1 Historischer Hintergrund - Wellen und Teilchen

Prof. Dr. A. Muramatsu Quantenmechanik I SS. 2007 4
1 Historischer Hintergrund - Wellen und Teilchen
Bis Ende des 19. Jahrhunderts konnte das Universum wie folgt beschrieben werden:
Materie: L(q, ˙q) bzw. H(p, q)
Materie → klassiche Mechanik
Strahlung → klassische Elektrodynamik
֒→ Euler − Lagrange
d ∂L
dt ∂ ˙q
− ∂L
∂q
Hamilton
˙q = ∂H
∂p
˙p = − ∂H
∂q
Strahlung: Maxwell-Gleichungen
Beschreibung der Strahlung:
= 0
⎫
⎪⎬
q(t) : Bahn des Teilchens
Newton: geometrische Optik
Teilchenbild des Lichtes(Reflexion/Brechung)
Maxwell: Wellentheorie der Strahlung(Interferenz, Diffraktion)
⎪⎭
In der 2. Hälfte des 19. Jahrhunderts werden neue Entdeckungen gemacht, die zum
Teil im Widerspruch zum klassischen Bild stehen.
• Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen.
• Atome und Elektronen
1.1 Elektromagnetische Welle und Photonen
Hier listen wir einige Befunde auf, die durch die klassische Theorie des Elektromagnetismus
nicht erklärbar sind.
a. Strahlung schwarzer Körper
Schwarze Körper: ein Körper der alle auffallende Strahlung absorbiert, ohne
etwas durchzulassen oder zu reflektieren.

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(i) Langwelliger Bereich
θ
Abbildung 1: Lichtstrom, der aus einem Flächenelement dF in einen Raumwinkel
dΩ bei einem Winkel θ ausgetrahlt wird.
Das Emissionsvermögen J(ω, T) gibt den Lichtstrom an, der aus einem
Flächenelement dF in einen Raumwinkel dΩ bei einem Winkel θ ausgetrahlt
wird. −→ Lichtstrom = J(ω, T) cosΘdF dΩdω
Raleigh-Jeans Gesetz (klassische Elektrodynamik) ֒→ J(ω, T) ∼ Tω 2
(ii) Kurzwelliger Bereich: Wiensche Gesetze (empirisch)
dF
J(ω, T) ∼ ω 3 e −gω/T
dΩ
(1.1)
(iii) Interpolation: Das Plancksche Strahlungsgesetz (1900)
Zentrale Annahme: Für eine elektromagnetische Welle der Frequenz ω
sind die möglichen Werte der Energie
Damit erhielt Planck
E = n�ω , n ∈ N (1.2)
J(ω, T) ∼
wobei � = 1,0546 · 10−27erg · s
−16 erg
und kB = 1,3807 · 10 K
α) �ω ≪ kBT → J(ω, T) ∼ kBTω 2
β) �ω ≫ kBT → J(ω, T) ∼ ω 3 e −�ω
k B T
�ω 3
e �ω/kBT − 1
(1.3)

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J
∼ω 2
Experimente
Abbildung 2: Schematischer Vergleich der experimentellen Ergebnisse für das Emissionsvermögen
eines schwarzen Körpers mit den Vorhersagen der klassischen Elektrodynamik.
b. Der Photoelektrische Effekt
Licht
Metall
e −gω
Abbildung 3: Schematische Darstellung des photoelektrischen Effekts.
Sei E: Energie der emitierten Elektronen
Befunde:
(i) E ist von der Intensität des Lichtes unabhängig
֒→ Widerspruch zur klassischen Theorie:
Energiedichte ∼ 1
8π (� E 2 + � B 2 ) ∼ Intensität
(ii) E = �(ω − ωA)
֒→ hängt nur von der Frequenz des einfallenden Lichtes ab.
Experiment: Lenard 1902.
e−
ω

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E
ωA
Abbildung 4: Schwelle ωA beim photoelektrischen Effekt
ωA hängt vom Metall ab (Austrittsarbeit)
Einsteinsche Hypothese (1905):
Das Licht besteht aus Photonen (Energiequanten) der Energie �ω.
Für Licht gilt
ω = ck ⇒ E = �ω = �kc (1.4)
Aus der Relativitätstheorie ist die Energie eines relativistischen Teilchens bekannt.
E = � p 2 c 2 + m 2 c 4 (1.5)
Das Licht hat keine Ruhemasse (m = 0)
c. Der Compton Effekt (1923)
Streuung von Röntgenstrahlung an Elektronen.
Energie und Impulserhaltung:
wobei � β ≡ �v/c.
Da k = ω/c und k ′ = ω ′ /c,
ω
⇒ E = |p|c ⇒ �p = � � k (1.6)
�ω + mc 2 = �ω ′ + mc2
�
1 − �v2
c2 x : � ω
c
� � k = � � k ′ + m�v
� 1 − β 2
= �ω′
c
y : 0 = � ω′
c
(1.7)
, (1.8)
mv
cosθ + � cosϕ (1.9)
1 − β2 sin θ −
mv
� sin ϕ (1.10)
1 − β2

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Daraus resultiert
γ
y
θ
e− ϕ
Abbildung 5: Anordnung bei der Compton-Streuung.
ω − ω ′ = 2�
mc 2ωω′ sin 2
γ
x
� �
θ
2
⇒ Frequenzverschiebung des Lichtes durch die Streuung
⇒ Teilchencharakter des Lichts.
(1.11)
Man kann die Änderung der Frequenz in eine Änderung der Wellenlänge über-
setzen: ω = 2πc
λ
֒→ λ ′ − λ = 4π �
mc sin2
� �
θ
2
(1.12)
�/mc = λc : Compton Wellenlänge ⇒ Wellencharakter eines Teilchens.
λc ∼ Ausdehung des Teilchens ⇒ λ sollte sehr klein sein, um λ−λ ′ beobachten
zu können
1.2 Welleneigenschaften von Materie
a. Die de Broglieschen Wellen
Davisson und Germer(1927) beschossen ein Kristallgitter mit Elektronen und
beobachteten Interferenzmuster wie bei einem entsprechenden optischen Experiment
mit Licht. Dies lässt sich durch die von de Broglie vorgeschlagene
Verallgemeinerung des Wellencharakters, den wir beim Compton-Effekt diskutierten,
auf alle Materieteilchen erklären.
E = �ω , (1.13)
�p = ��k → λ = 2π
| � h
=
k| |�p|
mit h = 2π � . (1.14)
Im Fall eines freien Teilchens wird wie beim Licht eine ebene Welle zugeordnet.
ψ(�r, t) = Ae i(ωt−� k·�r) = Ae i(Et−�p·�r)/�
(1.15)

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Die Geschwindigkeit der Ausbreitung der Welle ist durch die Phasengeschwindigkeit
gegeben. (Die Geschwindigkeit mit der Ebenen gleicher Phase sich fortpflanzen)
vϕ = ω
(1.16)
k
Eine ebene Welle hat eine unendlich große Ausdehnung, während die klassische
Erfahrung uns sagt, dass die Teilchen eine endliche Ausdehnung haben. Bei
Wellen kann man dies durch eine Superposition von ebenen Wellen erreichen.
So bildet man ein Wellenpaket
�
ψ(�x, t) = d 3 � � � � � � ��
k f �k exp i �k · �r − ω �k t , (1.17)
� �
wobei wir eine allgemeine Abhängigkleit ω �k
die Beziehung (1.16) ahnen läßt.
zugelassen haben, wie schon
Für die weitere Disskussion betrachten wir den eindimensionalen Fall:
�
ψ(x, t) = f(k) exp {i [kx − ω(k)t]} dk (1.18)
Sei ˜ f(k) = √ 2πf(k) die Fouriertransformierte der Wellenfunktion bei t = 0
֒→ ψ(x, t = 0) =
�
1
√ ˜f(k)e
2π
ikx ֒→
dk (1.19)
˜ f(k) =
�
1
√ dxψ(x, t = 0)e
2π
−ikx
(1.20)
Falls ψ(x, t = 0) = e ik0x ,
֒→ ˜ f(k) = √ 2πδ(k − k0) . (1.21)
Nehmen wir eine endliche Ausdehnung für Ψ(x, t = 0) an, dann hat ˜ f(k) auch
eine endliche Ausdehnung in k.
Beispiel: Das Gaußsche Wellenpaket
� 2 (x − x0)
ψ(x, t = 0) = A exp −
(∆x) 2
�
; sei x0 = 0
֒→ ˜ � �
A
f(k) = √ dx exp −
2π
x2
�
− ikx
∆x2 Mit
� ∞
e −ax2
0
dx = 1
�
π
2 a →
� ∞
e
−∞
−ax2 +bx
dx =
(1.22)
� π
a eb2 /4a , (1.23)

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wobei das Ergebnis rechts durch eine quadratische Ergänzung erreicht wurde,
können wir das Integral in Gl. (1.22) erhalten.
In unserem Fall haben wir a = 1/(∆x) 2 und b = ik, so dass
֒→ ˜ f(k) = A
�
�
√ π(∆x) 2 exp −
2π
k2 (∆x) 2�
, (1.24)
4
d.h. wir erhalten wiederum ein Gaußches Wellenpaket mit der Breite
∆k = 2
∆x
Abbildung 6: Gaußsches Wellenpaket im direkten und im Fourierraum.
Nehmen wir an, dass f(k) ein ausgeprägtes Maximum um k0 hat. Dann können
wir ω(k) um k0 entwickeln
ω(k) = ω(k0) +
� �� �
=ω0
dω
�
�
�
dk � (k − k0) + · · · (1.25)
k=k0
Für die Wellenfunktion erhalten wir
� � � � ��
dω�
ψ(x, t) ≃ exp −i ω0 + k0
�
dk � t
0
⇒ Gruppengeschwindigkeit
vg = dω
�
�
�
dk �
k=k0
�
f(k) exp i
∆
�
x − dω
�
�
�
dk �
0
�
t
�
k dk
� �� �
=Ψ(x− dω
dk | 0 t,0)
(1.26)
(1.27)
Diese entspricht der Geschwindigkeit eines Teilchens im klassischen Limes. Mit
der de Broglie - Hypothese haben wir für ein freies Teilchen

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E = p2
2m = �2k2 2m
✻
= �ω ⇒ ω = �k2
2m
✂
klassisch klassisch
✂
✂
✂✌
❄
vg = dω
�
�
�
dk � =
k0
�k0 p0
= = v0
(1.29)
m m
(1.28)
Aber aus ω = �k2 /2m sehen wir, dass die Annahme eines ausgeprägten Maximums
bei f(k) nach einer gewissen Zeit zusammenbrechen muss, da die
Phasengeschwindigkeit
vϕ = ω(k) �k
= (1.30)
k 2m
von der Wellenlänge abhängt. D.h. jede Komponente des Wellenpakets pflanzt
sich mit einer anderen Geschwindigkeit fort. Dagegen ist im Fall von Licht
ω = ck, so dass vϕ = c für alle Wellenlängen ist.
⇒ Im Gegensatz zu Lichtwellen im Vakuum zeigt das Teilchen Dispersion (wie
Licht in einem Medium mit einem Brechungsindex, der von der Wellenlänge
abhängt).
Dies kann man im Fall eines Gaußschen Wellenpakets exakt berechnen. Wie
wir schon gesehen haben, kann ein Wellenpaket durch
√
˜f(k)
2
= A
∆k exp
� 2 (k − k0)
−
(∆k) 2
�
(1.31)
beschrieben werden. Das Wellenpaket ist dann
ψ(x, t) = A
� � 2 (k − k0)
√ dk exp −
π∆k
(∆k) 2
�
exp {i[kx − ω(k)t]} . (1.32)
Für freie Teilchen haben wir
ω = �k2
2m
Wir können nun das Integral wie vorhin berechnen
(de Broglie) . (1.33)
x → k
a =
1 i�t
+
(∆k) 2 2m
b =
2k0
+ ix (1.34)
(∆k) 2

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Mit Hilfe der Formel
erhalten wir
� ∞
e
−∞
−ak2 +bk
dk =
� π
a eb2 /4a
�
ψ(x, t) = A 1 + i�t(∆k)2
�−1/2 � 2 b
exp
2m 4a − k2 0
(∆k) 2
�
(1.35)
. (1.36)
Offensichtlich ist ψ(x, t) eine komplexe Größe (wie auch bei einer einzigen
ebenen Welle). Eine physikalisch mit dem Teilchen asoziierte messbare Größe
muss reell sein. Im Fall von Strahlung kann man ihre Intensität messen, die
durch |E| 2 gegeben ist. Dementsprechend können wir |ψ(x, t)| 2 betrachten.
֒→ |ψ(x, t)| 2 = Ψ(x, t)Ψ ∗ (x, t)
=
Für den Exponenten erhalten wir,
wobei
und
Schließlich haben wir
֒→ |Ψ(x, t)| 2 =
�
A 2
1 + �2 t 2 (∆k) 4
4m 2
2Re b2
4a − 2k2 0 1
=
(∆k) 2 2|a| 2
1
=
2|a| 2
�
2
� 1/2 exp
�
2Re b2
4a − 2k2 0
(∆k) 2
�
�
Reb 2 a ∗ − 4|a| 2 k2 0
(∆k) 2
�
(∆k) 4
1 + �2 t 2 (∆k) 4
4m 2
Re b 2 a ∗ − 4|a| 2 k2 0 1
= −
(∆k) 2 (∆k) 2
�
x − �k0t
�2 m
�
A 2
1 + �2 t 2 (∆k) 4
4m 2
⎧
⎨
� exp 1/2 ⎩ − �
2
(∆k) 2
1 + �2 t 2 (∆k) 4
4m 2
Wir erhalten eine Gaußfunktion mit einem Maximum bei
wobei
�k0
m
(1.37)
, (1.38)
� (1.39)
�
. (1.40)
�
x − �k0
m t
⎫
�2 ⎬
⎭ . (1.41)
x = �k0
t , (1.42)
m
�
dω�
= �
dk � = vg
k=k0
(1.43)

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die schon definierte Gruppengeschwindigkeit ist.
Die Breite des Wellenpakets ist durch
∆x(t) =
gegeben. Sie wächst mit der Zeit an.
b. Beugung von Materiestrahlen
√ �
2
1 +
∆k
�2t2 (∆k) 4
4m2 �1
2
(1.44)
Die Beugung in der Optik ist eine Konsequenz der Tatsache, dass die Maxwellgleichungen
linear sind. Dadurch gilt das Superpositionsprinzip.
Licht
1
2
E
1
E 2
Abbildung 7: Interferenzanordnung mit Licht.
Das gesamte E-Feld ergibt sich aus der Superposition der einzelnen Felder.
Für die Intensität ergibt sich
�E(�x, t) = � E1(�x, t) + � E2(�x, t)
Ι
I = | � E(�x, t)| 2 = ( � E1 + � E2)( � E ∗ 1 + � E ∗ 2) = I1 + I2 + 2Re( � E1 � E ∗ 2) , (1.45)
und, wenn wir die Phasen der E-Felder berücksichtigen,
E1,2 = Ae iϕ1,2 → 2Re( � E1 � E ∗ 2) = 2|A| 2 cos(ϕ1 − ϕ2) , (1.46)
erhalten wir die Modulation der Intensität.

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θ
a
θ
θ
Abbildung 8: Schematische Darstellung der Röntgenstrahlbeugung durch einen Kristall.
Nachdem wir, die Superposition von zwei Wellen in Erinnerung gerufen haben,
kommen wir auf das Experiment von Davisson und Germer zurück. Bei der Beugung
an einem Kristall werden die Wellen von den Atomen gestreut, wie in der Abbildung
8. Wenn wir die gestreuten Strahlen von zwei benachbarten Gitterpunkten
betrachten, erhalten wir
ϕ1 − ϕ2 = k(x1 − x2) = 2π →Maxima
a sin θ = 2kπ (1.47)
λ
⇒ a sin θ = nλ :Bragg-Bedingung
Das Experiment von Davisson und Germer wurde aber mit Elektronen durchgeführt.
→ Nachweis des Wellencharakters der Materie.
1.3 Interpretation
Sowohl Licht als auch Materie besitzen einen Wellen- und einen Teilchencharakter
a. Der Zustand eines Teilchens (auch Photon) wird durch eine Wellenfunktion
beschrieben → ψ(�x, t). Wir sprechen von Zustand und nicht mehr von Trajektorie
wie in der klassischen Physik.
b. Genauso wie I ∼ | � E| 2 liefert |ψ| 2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, dass
das Teilchen an der Stelle �x zur Zeit t auftritt. Damit ist die Warscheinlichkeit,
das Teilchen im Volumen dV um den Punkt �x zur Zeit t zu finden
dP(�x, t) = C|ψ(�x, t)| 2 dV
C ist eine Normierungskonstante. Für ein Teilchen gilt
� �
dP = C |ψ(�x, t)| 2 dV = 1 (1.48)
c. Das Superpositionsprinzip soll gelten. Sind ψa, a = 1, 2, . . . mögliche Zustände
des Systems, dann ist
ψ = �
(1.49)
a
caψa

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auch ein möglicher Zustand des Systems. Die Wahrscheinlichkeit, das System
in einem gegebenen Zustand a zu finden, ist
Pa =
2 |ca|
�
(1.50)
|ca| 2
a
Die Bewegungsgleichung, die die Evolution eines Quantenzustandes ψ(�x, t)
beschreibt, soll so sein, dass die Lösungen die obigen Bedingungen erfüllen.