duden fizik cevaplar

Lehrermaterial

Physik

Gymnasiale Oberstufe

Herausgeber

Prof. Dr. Lothar Meyer

Dr. Gerd-Dietrich Schmidt

Autoren

Prof. Detlef Hoche

Dr. Josef Küblbeck

Prof. Dr. Lothar Meyer

Prof. Dr. Oliver Schwarz

Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der

vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages.

Hinweis zu § 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in

ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

Das Wort Duden ist für den Verlag Bibliographisches Institut GmbH als Marke geschützt.

1. Auflage, 2011

© 2011 Duden Paetec GmbH, Berlin

Internet www.duden-schulbuch.de

Redaktion Prof. Dr. Lothar Meyer

Gestaltungskonzept Britta Scharffenberg

Layout Claudia Kilian

Grafik Claudia Kilian, Jens Prockat, Walther-Maria Scheidt, Sybille Storch

Titelfoto Fotolia/Schiller Renato

ISBN 978-3-8355-3312-7

Inhaltsverzeichnis

1

Inhaltsverzeichnis

1

Hinweise zur Arbeit mit dem Lehrermaterial .......................... 2

2

Empfehlungen und Materialien zur Unterrichtsgestaltung ............... 3

2.1 Denk- und Arbeitsweisen in der Physik ......................... 3

2.2 Mechanik ................................................. 9

2.3 Thermodynamik ........................................... 63

2.4 Elektrizitätslehre und Magnetismus ........................... 74

2.5 Optik .................................................... 110

2.6 Quantenphysik ............................................ 116

2.7 Atom- und Kernphysik ...................................... 124

2.8 Spezielle Relativitätstheorie ................................. 143

2.9 Astrophysik ............................................... 148

3

Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs ............................... 158

3.1 Denk- und Arbeitsweisen in der Physik ......................... 158

3.2 Mechanik ................................................. 158

3.3 Thermodynamik ........................................... 195

3.4 Elektrizitätslehre und Magnetismus. ........................... 209

3.5 Optik .................................................... 243

3.6 Quantenphysik. ............................................ 257

3.7 Atom- und Kernphysik ...................................... 265

3.8 Spezielle Relativitätstheorie .................................. 279

3.9 Astrophysik ............................................... 283

3.10 Komplexe Aufgaben ........................................ 292

Bildquellenverzeichnis

Corel Photos Inc.: 33/1, 38/1, 38/2, 38/3, 45/2; Deutsche Bahn AG: 15/1; Günter Liesenberg, Berlin: 45/1, 58/1;

Meyer, L., Potsdam 122/1; Christiane Mitzkus, Berlin: 145/1; Mountain High Maps: 50/1, 50/2; Photo Disc, Inc.: 15/2, 34/1,

58/2, 58/3; Phywe Systeme GmbH & Co. KG, Göttingen: 8/1; Oliver Schwarz, Eisenach: 105/1; Toyota: 145, 2;

Volkswagen AG: 26/1, 28/1.

© Duden Paetec GmbH. Alle Rechte vorbehalten. Internet: www.duden-schulbuch.de

02

Hinweise zur Arbeit mit dem Lehrermaterial

1

Hinweise zur Arbeit mit dem Lehrermaterial

Die folgenden Empfehlungen und Materialien für den Physikunterricht der gymnasialen Oberstufe sollen dem Lehrer

Anregungen für seinen Unterricht geben und ihm eine rationelle Unterrichtsvorbereitung und -durchführung ermöglichen.

Dabei wird keine Vollständigkeit angestrebt, sondern es werden Anregungen zu Schwerpunkten des Unterrichts

gegeben.

Die Empfehlungen und Materialien sind abgestimmt mit dem Lehrbuch Physik, Gymnasiale Oberstufe,

Duden Schulbuchverlag 2011

ISBN 978-3-8355-3311-0

Damit werden weitgehend alle die Inhaltsbereiche abgedeckt, die in den Jahrgangsstufen 11–12 bzw. 10–12 in den

Grundkursen Physik oder in den für alle Schüler verbindlichen Kursen behandelt werden. Besonderheiten der Lehrpläne

einzelner Bundesländer können nur bedingt berücksichtigt werden. Wir orientieren uns vielmehr vorrangig an den EPA

Physik in der Fassung vom 12.03.2004.

Als Nachschlagewerke für die Hand des Schülers sind zu empfehlen:

− Basiswissen Schule Physik Abitur (mit DVD)

Duden Schulbuchverlag

ISBN 978-3-89818-077-1

Die Inhalte der DVD können auch über das Internetportal www.schuelerlexikon.de abgerufen werden.

−

−

Formelsammlung bis zum Abitur: Formeln, Tabellen, Daten (mit CD-ROM)


ISBN 978-3-89818-700-8

Formeln und Werte bis zum Abitur


ISBN 978-3-8355-9040-3

Über das gesamte Angebot des Duden Schulbuchverlags können Sie sich im Internet unter folgender Adresse

informieren:

www.duden-schulbuch.de

Die Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs sind auch zu finden unter:

www. lern-code.de

Das vorliegende Material enthält:

− konkrete Unterrichtsmaterialien (Tafelbilder, Kopiervorlagen, Arbeitsblätter, Experimente, Projekte),

− Hinweise zu den Experimenten des Lehrbuchs,

− die ausführlichen Lösungen aller Aufgaben des Lehrbuchs.

Für Anregungen, Vorschläge für konkrete Unterrichtsmaterialien, Kritiken und Hinweise ist der Duden Schulbuchverlags

immer dankbar.


Redaktion Physik

Bouchéstraße 12, Haus 8

12435 Berlin


Denk- und Arbeitsweisen in der Physik

3

2

Empfehlungen und Materialien zur Unterrichtsgestaltung

Die nachfolgenden Empfehlungen und Materialien

zur Unterrichtsgestaltung orientieren sich zum einen

am Lehrbuch Physik. Gymnasiale Oberstufe des Duden

Schulbuchverlags, Berlin und Mannheim 2011. Zum anderen

dienen uns die EPA Physik als wichtige Orientierung.

In den EPA sind die fachlichen und methodischen

Kompetenzen festgelegt, die die Schüler bis zum Abitur

erwerben sollen. Festgeschrieben sind dort vier Kompetenzbereiche:

− Kompetenzbereich Fachkenntnisse, in dem die Schüler

physikalisches Wissen erwerben, wiedergeben und

nutzen sollen.

−

−

−

Kompetenzbereich Fachmethoden, bei dem es um die

Beschreibung und bewusste Nutzung von Erkenntnismethoden

der Physik sowie typischen Methoden des

Faches geht.

Kompetenzbereich Kommunikation, in dem die Schüler

befähigt werden, in der Physik und über Physik zu

kommunizieren.

Kompetenzbereich Reflexion, bei dem es darum geht,

Bezüge zwischen Physik und anderen Bereichen herzustellen,

Sachverhalte zu bewerten, historische und

gesellschaftliche Zusammenhänge zu reflektieren.

Im „Zusammenspiel“ der Kompetenzen sollen die Schüler

bis zum Abitur eine solche naturwissenschaftliche (physikalische)

Grundbildung erwerben, die sie in die Lage

versetzt, ein Hochschulstudium oder eine qualifizierte

berufliche Ausbildung zu absolvieren. Die Zusammenhänge

sind unten dargestellt. Wir betonen: Es geht um

die Vermittlung solider Grundlagen in allen Kompetenz-

bereichen, um die Vorbereitung auf eine weitere Ausbildungsphase.

Für die Entwicklung bzw. weitere Ausprägung der genannten

Kompetenzen gibt es verschiedene methodische

Möglichkeiten. Einzelne fachliche Inhalte bieten unterschiedliche

Ansatzpunkte. Es ist die ureigenste Aufgabe

des Lehrers zu entscheiden, an welchen Inhalten welche

Kompetenzen in den Vordergrund gestellt werden und

welche Unterrichtsformen dabei zweckmäßig sind. Wir

beschränken uns darauf, Anregungen zu geben und Materialien

bereitzustellen, die der Lehrer in seinen Unterricht

einbeziehen kann.

Länderspezifische Besonderheiten können dabei in der

Regel nicht berücksichtigt werden.

2.1 Denk- und Arbeitsweisen in

der Physik

Ein wichtiger Kompetenzbereich sind die Fachmethoden,

die die Schüler kennen und anwenden sollen. Im Lehrbuch

Physik, Gymnasiale Oberstufe des Duden Schulbuchverlags

sind sie im einführenden Kapitel „Denk- und

Arbeitsweisen in der Physik“ zusammengefasst.

Die dort dargestellten Inhalte sollten im Laufe des Oberstufenunterrichts

an die Schüler herangetragen werden.

Aus didaktisch-methodischer Sicht bieten sich für das

Herangehen drei Varianten an:

− Zu Beginn des Oberstufenunterrichts wird als eine

neue Qualität eine an wissenschaftlichen Methoden

orientierte Arbeitsweise postuliert. Dann bietet es

Kompetenzbereich

Fachkenntnisse

Kompetenzbereich

Fachmethoden

Naturwissenschaftliche

(physikalische) Grundbildung

bis zum Abitur

Kompetenzbereich

Kommunikation

Kompetenzbereich

Reflexion


4 Empfehlungen und Materialien zur Unterrichtsgestaltung

−

−

sich an, in ein oder zwei Unterrichtsstunden an Beispielen

auf Modelle sowie auf die induktive, deduktive

und experimentelle Methode einzugehen. Aufmerksam

machen kann man an dieser Stelle auch auf

einige besonders tragfähige physikalische Konzepte

wie zum Beispiel die Nutzung von Erhaltungssätzen,

die Betrachtung von Wechselwirkungen, die Beschreibung

des Verhaltens von Systemen.

Im Laufe des Unterrichts wird an geeigneten Beispielen

die eine oder andere Methode aufgegriffen und

damit die Methodenkompetenz der Schüler gefestigt

bzw. weiterentwickelt.

Die Fachmethoden werden an Beispielen im Laufe des

Unterrichts ausführlich besprochen und angewendet.

Dazu kann Kapitel 1 des Lehrbuchs als Materialgrundlage

genutzt werden.

Eine Reihe von Inhalten können sich die Schüler auch

selbstständig aus dem Lehrbuch erschließen. Dazu gehören

insbesondere die Lehrbuchabschnitte

− Begriffe in der Physik (S. 8 f.),

− Größen in der Physik (S. 10 f.),

− Physikalische Gesetze (S. 12 f.),

− Messunsicherheiten und Fehlerbetrachtungen

(S. 24 ff.).

Auf zwei Probleme sei nachfolgend aufmerksam gemacht:

Nicht selten hört man die Meinung, dass Begriffe

der Alltagssprache häufig unklar und nicht eindeutig

sind, physikalische Begriffe dagegen klar und eindeutig.

Beide Teilaussagen sind problematisch. Bei Begriffen der

Alltagssprache wird durch den Zusammenhang, in dem

sie gebraucht werden, zumeist eine relativ große Klarheit

und Eindeutigkeit erreicht. Und die in der Physik bzw. im

Physikunterricht verwendete Terminologie ist mitunter

gar nicht so eindeutig und klar, wie manche Physiker und

Physiklehrer glauben.

Allein ein Blick in die Lehrpläne verschiedener Bundesländer

zeigt, dass es die eindeutige und klare Terminologie

in der Physik nicht gibt. So findet man z. B. in einem

Lehrplan von 2010 den Hinweis: „Die Kraftflussdichte B

sollte als magnetische Feldstärke eingeführt werden“.

Ein Blick in ein Fachbuch dürfte für Schüler das Durcheinander

komplett machen.

Auch Begriffe wie Teilchen oder Strahlung sind relativ

diffus.

Ein besonderes Problem stellen die Synonyme dar. Dazu

nachfolgend einige Beispiele aus Lehrplänen:

Begriff

Wärme

Potenzielle Energie

Radialkraft

Newtonsches Grundgesetz

Synonyme

Wärmemenge

Wärmeenergie

Entropie

Lageenergie

Höhenenergie

Energie der Lage

Zentripetalkraft

Zentralkraft

2. newtonsches Gesetz

2. newtonsches Axiom

Grundgesetz der Mechanik

Die Schüler sollten auf unterschiedliche Begriffe aufmerksam

gemacht werden, im Unterricht selbst ist ein

Begriff zu bevorzugen.

Ein zweites Problem sind die Tätigkeiten (b Lehrbuch

S. 30 f.), die von den Schülern insbesondere durch Aufgaben

abgefordert werden. Den Schülern sollte an Beispielen

verdeutlicht werden, was von ihnen erwartet wird,

wenn sie beschreiben, erklären, interpretieren … sollen.

Typische Mängel in Aufgabenstellungen wie z. B.

− Erklären Sie den Begriff ...

− Beschreiben Sie die Wirkungsweise …

− das Verwechseln von Begründen und Erklären oder

von Erklären und Erläutern

sollten vermieden werden.



5

Die induktiver Methode

FOLIE

Bei der induktiven Methode wird von Erfahrungen, Beobachtungen

und begründeten Vermutungen (Hypothesen) ausgegangen. Durch

experimentelle Untersuchungen und Verallgemeinerung der Ergebnisse

gelangt man zu einem Gesetz.

Erfahrungen, Beobachtungen, begründete Vermutungen

Experimentelle Untersuchungen

Auswerten und Zusammenfassen der Ergebnisse,

erste Verallgemeinerung

Ableiten von Voraussagen

Weitere experimentelle

Untersuchungen

Formulieren des Gesetzes

Anwenden in der Praxis

Beispiele:

− Zusammenhang zwischen Weg und Zeit bei einer geradlinigen,

gleichmäßig beschleunigten Bewegung

− Gewinnung einer Gleichung für die Radialkraft bei gleichförmiger

Kreisbewegung

− Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Stromstärke und

Spannung bei metallischen Leitern



FOLIE

Die deduktive Methode

Bei der deduktiven Methode wird von bekannten Zusammenhängen

und Gesetzen ausgegangen.

Unter Nutzung mathematischer Methoden und logischer Schlüsse wird

daraus ein neues Gesetz hergeleitet.

Problem- oder Zielstellung

Zusammenstellen von gesicherten Erkenntnissen

(Gesetze, Modelle) einschließlich

der Gültigkeitsbedingungen

bzw. der Grenzen der Anwendbarkeit

Deduktives Ableiten unter Anwendung

mathematischer Methoden und logischer Schlüsse

Formulieren des Gesetzes

Ableiten von Voraussagen

Experimentelles Prüfen

der Voraussagen

Anwenden in der Praxis

Beispiele:

− Gewinnung einer Gleichung für die Radialkraft

− Ableitung des Gesetzes für die Widerstände in einem verzweigten

Stromkreis

− Ableitung des Trägheitsgesetzes aus dem newtonschen Grundgesetz



7

Experiment und experimentelle (galileische) Methode

FOLIE

Ein Experiment ist eine „Frage an die Natur“. Es kann dazu dienen,

− Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen zu untersuchen,

− den Wahrheitswert von begründeten Vermutungen (Hypothesen)

und Voraussagen (Prognosen) zu prüfen,

− Stoff- und Naturkonstanten zu bestimmen.

Experimentelle oder galileische Methode

Erfahrungen und

Beobachtungen

Theorien und Modelle

Aufstellen einer Hypothese

Ableiten experimentell

prüfbarer Folgerungen

(Voraussagen)

Aufstellen einer

neuen Hypothese

Prüfen der Folgerungen

im Experiment

Widerlegen der Hypothese

Bestätigen der Hypothese


+

+

–

+


FOLIE

Modelle und ihre Nutzung

Ein Modell ist ein vom Menschen geschaffenes Ersatzobjekt für ein

reales Objekt. Es ist eine Vereinfachung des realen Objekts.

Modelle

Materielle Modelle

liegen in gegenständlicher Form

vor.

− Modell eines Motors

− Modell einer Turbine

− Teilchenmodell aus Kugeln

Ideelle Modelle

liegen als System von Aussagen

oder als zeichnerische Darstellung

vor.

− Modell Massepunkt

− Modell Feldlinienbild

− Teilchenmodell als System von

Aussagen

–

–

+

–

–

Ein Modell wird immer für einen bestimmten Zweck geschaffen.

Deshalb gilt:

− Ein Modell ist für den jeweiligen Zweck brauchbar oder nicht. Es ist

nicht wahr oder falsch.

− Ein Modell ist dann brauchbar, wenn es plausible Erklärungen und

experimentell prüfbarer Voraussagen ermöglicht.

− Ein Modell ist nur innerhalb bestimmter Grenzen anwendbar.

Modelle können auch genutzt werden, um

− den Aufbau oder die Struktur von realen Objekten zu

veranschaulichen,

− die Wirkungsweise technischer Geräte zu verdeutlichen,

− Experimente (Modellexperimente) durchzuführen.


Mechanik 9

2.2 Mechanik

Die Kenntnis und Anwendbarkeit grundlegender Gesetze

der Kinematik und der Dynamik ist eine notwendige

Voraussetzung für das Verständnis vieler Sachverhalte

in anderen Inhaltsbereichen. Als Beispiele seien die Bewegungen

von geladenen Teilchen in elektrischen und

magnetischen Feldern oder Stoßvorgänge bei Elementarteilchen

genannt.

Es ist deshalb bei vielen Oberstufenlehrgängen üblich,

ein Kapitel voranzustellen, in dem die in Sekundarstufe 1

vermittelten Grundlagen aus der Mechanik vertieft,

systematisiert und partiell auch erweitert werden.

Wir folgen der Darstellung im Lehrbuch Physik, Gymnasiale

Oberstufe, in dem diese Grundlagen bewusst relativ

ausführlich dargestellt sind. Das ermöglicht auch ein

selbstständiges Arbeiten der Schüler mit dem Lehrbuch.

Bewegungen in Natur und Technik

Inhaltliche Schwerpunkte bei der Behandlung von gleichförmigen

und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen

sind

− die Einteilung von Bewegungen aus Natur und Technik

nach der Bahnform und der Bewegungsart,

− die Wiederholung, Vertiefung bzw. Einführung der

Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung

als vektorielle Größen,

− die Gesetze für gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte

Bewegungen einschließlich des freien

Falls.

Dabei lassen sich zahlreiche Bezüge zur Erfahrungswelt

der Schüler und auch zu anderen Fächern herstellen. Damit

bieten sich zugleich günstige Möglichkeiten zur Weckung

und Aufrechterhaltung des Interesses der Schüler,

von dem der Unterrichtserfolg wesentlich abhängt.

Zum Einstieg ist es zweckmäßig, mit den Schülern einige

Grundlagen zu klären, die im nachfolgenden Unterricht

immer wieder eine Rolle spielen:

− Ruhe und Bewegung als Zustände von Körpern, die

nur bei Angabe eines Bezugssystems eindeutig sind,

wobei ein Bezugssystem ein Körper und ein damit

verbundenes Koordinatensystem ist.

− An Beispielen sollte dabei deutlich werden, dass sich

ein Körper je nach dem gewählten Bezugssystem sowohl

in Ruhe als auch in Bewegung befinden kann.

− Es sollte auch herausgearbeitet werden, dass man bei

der Bearbeitung von Problemen prüfen muss, welches

Bezugssystem zweckmäßig ist. Wenn man z. B. die Bewegung

einer Person auf einem fahrenden Schiff beschreibt,

ist sicher ein mit der Erdoberfläche verbundenes

Koordinatensystem nicht besonders günstig.

Bei der Beschreibung der Bahnkurve einer Last, die

von einem Flugzeug abgeworfen wird, ist dagegen

die Beschreibung gerade in einem solchen Bezugssystem

sinnvoll.

Im Zusammenhang mit der Relativität von Ruhe und

Bewegung können auch historische Betrachtungen erfolgen,

u. a. zu der Auffassung von ARISTOTELES und zum

historisch bedeutsamen Streit darüber, ob die Erde oder

die Sonne im Zentrum unseres Planetensystems stehen.

Ruhe und Bewegung

Ein Bezugssystem ist ein Bezugskörper und ein damit verbundenes Koordinatensystem.

TAFELBILD

Lage gegenüber einem Bezugssystem

ändert sich nicht

ändert sich

Ruhe

(z. B. Gebäude bez. Erdoberfläche)

Bewegung

(z. B. rollender Ball bez. Erdoberfläche)



ARBEITSBLATT

Bezugssysteme

1. Was versteht man in der Physik unter einem Bezugssystem?

2. Beschreiben Sie die folgenden Bewegungen in zwei unterschiedlichen Bezugssystemen. Wählen

Sie das zweite Bezugssystem selbst.

Vorgang Bezugssystem Erdoberfläche anderes Bezugssystem

(jeweils angeben)

Person auf Rolltreppe

Nach oben anfahrender

Fahrstuhl

Laufende Person im

fahrenden Zug

Bewegung

des Monds

3. Welches Bezugssystem würden Sie zur Beschreibung der folgenden Bewegungen wählen?

Begründen Sie.

a) Bewegung der Erde um die

Sonne

b) Bewegung eines geostationären

Nachrichtensatelliten

c) Laufende Person auf einem

flussabwärts fahrenden

Schiff


Mechanik 11

Bewegungen

Ein Körper ist in Bewegung, wenn er seine Lage gegenüber einem Bezugssystem ändert. Meist wird

ein mit der Erdoberfläche verbundenes Koordinatensystem gewählt.

TAFELBILD

Körper können sich bewegen

auf unterschiedlichen Bahnen

mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten

geradlinige

Bewegung

krummlinige

Bewegung

gleichförmige

Bewegung

ungleichförmige

Bewegung

fallender Stein Auto in Kurve herabschwebender

Fallschirmspringer

anfahrender Zug

Anhand einiger Körper (rollender Wagen, rollende Kugel)

sollte den Schülern demonstriert werden, dass sich

ein Körper bzw. Teile davon auf sehr unterschiedlichen

Bahnen bewegen können oder sich auch bewegen können,

ohne als Ganzes ihre Lage im Raum zu verändern

(z. B. rotierende Scheibe).

Den Schülern sollte deutlich werden, dass es neben der

(reinen ) Translation und der (reinen ) Rotation auch die

Kombination aus beiden gibt, im Unterricht aber eine

Beschränkung auf eine reine Translation oder Rotation

erfolgt. Bei der Beschreibung solcher Bewegungen ist es

sinnvoll, unterschiedliche Modelle zu nutzen. Für translatorische

Bewegungen wird das Modell Massepunkt genutzt,

für die Beschreibung der Rotation von Körpern das

Modell starrer Körper. Allgemeine Hinweise zum Modellbegriff

sind im LB S. 14 f. zu finden.

Den Schülern muss bewusst sein: Alle nachfolgend formulierten

Gesetze gelten für Massepunkte. Sie können

auch dann angewendet werden, wenn Körper näherungsweise

mit dem Modell Massepunkt beschrieben

werden können, wobei dieser Massepunkt häufig mit

dem Körperschwerpunkt identisch ist, bei starren Körpern

aber auch ein anderer Punkt als Bezugspunkt gewählt

werden kann.

Die Klassifizierung von Bewegungen nach Bewegungsarten

und Bahnformen kann in unterschiedlicher Weise

erfolgen. Im LB S. 46 ist eine Variante angegeben, es ist

aber nicht die einzig mögliche. So kann man z. B. bei den

Bewegungsarten auch Bewegungen mit konstantem

Betrag der Geschwindigkeit von solchen mit nicht konstantem

Betrag unterscheiden.

Unterschieden werden könnte auch zwischen unbeschleunigten

und beschleunigten Bewegungen.

Auf jeden Fall ist es sinnvoll, wenn sich der Lehrer auf

eine Klassifizierung festlegt. Erfahrungsgemäß bedarf

der historische Begriff „gleichförmige Kreisbewegung“

einer Erläuterung, da für diese Bewegung längs einer

Kreisbahn zwar alle Gesetze einer gleichförmigen Bewegung

gelten, die Bewegung aber beschleunigt ist. Den

Schülern sollte bewusst werden, dass in diesem speziellen

Fall die Beschleunigung in Richtung Mittelpunkt der

Kreisbewegung erfolgt, die Bewegung längs der Bahn

aber gleichförmig ist (v = konstant).



ARBEITSBLATT

Bahnformen und Bewegungsarten (1)

1. Bewegungen kann man klassifizieren nach der Bahn, auf der sie sich bewegen. Ergänzen Sie

Beispiele aus Natur, Technik und Alltag.

Bahnformen

Geradlinige Bewegung

Krummlinige Bewegung

(Spezialfall: Kreisbewegung)

2. Bewegungen kann man klassifizieren nach der Art, wie sie sich längs einer Bahn bewegen.

Ergänzen Sie Beispiele aus Natur, Technik und Alltag.

Bewegungsart

Unbeschleunigte Bewegung

(v = konstant, a = 0)

Beschleunigte Bewegung

(v ≠ konstant, a ≠ 0)


Mechanik

13

Bahnformen und Bewegungsarten (2)

1. Analysieren Sie selbst gewählte Bewegungen aus Natur, Technik und Alltag hinsichtlich der

Bahnform und der Bewegungsart.

Beispiel für Bewegung Bahnform Bewegungsart

(mit Begründung)

ARBEITSBLATT

2. Geben Sie an, welche Bewegungsarten den folgenden t-s-Diagrammen zugeordnet werden

können. Begründen Sie.

a) b) c)

s

s

s

t

t

t

3. Beschreiben Sie mit einer Skizze und in Worten die Bahnform und die Bewegungsart für einen

Punkt des Reifens eines rollenden Fahrrads. Wählen Sie ein zweckmäßiges Bezugssystem.



Lineal (Messstrecke)

Umlenkrolle

Motor

Uhr

Die gleichförmige Bewegung wurde bereits in den Klassen

6 und 9 in elementarer Form behandelt. Daran kann

man anknüpfen. Will man gleichförmige Bewegungen

nochmals demonstrieren oder Weg-Zeit-Messungen

durchführen, so bieten sich folgende Experimentieranordnungen

an:

− Luftkissenbahn,

− Wagen auf Schienen,

− Endloses Band,

− Faden mittels Experimentiermotor aufwickeln,

− Luftblase in einem wassergefüllten Glasrohr.

Die Skizze oben zeigt eine mögliche Experimentieranordnung.

Genutzt werden kann auch das beiliegende

Arbeitsblatt.

Bei der Darstellung in Diagrammen sollte beachtet werden,

dass die Graphen in Zeit-Weg-Diagrammen immer

einen positiven Anstieg haben oder parallel zur t-Achse

verlaufen.

Mitunter findet man auch Darstellungen folgender Art:

s

t

Das sind Zeit-Ort-Diagramme. Damit es bei den Schülern

nicht zu Missverständnissen kommt, sollte man mit ihnen

vereinbaren: s kann der Weg oder der Ort sein. Eine andere

Möglichkeit ist die, stets klar zwischen dem Weg s

und dem Ort x zu unterscheiden. Nutzen die Schüler verschiedene

Literatur, so werden sie auf eine dieser beiden

Varianten stoßen.

s

t

Die Wiederholung und Vertiefung der Gesetze der

gleichmäßig beschleunigten Bewegung sollte ebenfalls

mit Experimenten verbunden werden. Als Experimentieranordnungen

eignen sich

− Reifenapparat,

− Luftkissenbahn,

− Fallrinne,

− Schienenwagen,

− atwoodsche Fallmaschine,

− computergestützte Messungen.

Genutzt werden können die Experimente vor allem

− zur Demonstration von Zusammenhängen zwischen

zwei Größen,

− zur Aufnahme von Messwerten, die die Schüler grafisch

und analytisch auswerten.

Bei diesen gut überschaubaren Messungen bietet es sich

an, auf Messfehler sowie auf die Berücksichtigung von

Messfehlern bei grafischen Darstellungen einzugehen.

Hinweise dazu sind im Lehrbuch S. 24 ff. gegeben.

Aus inhaltlicher Sicht sollten zwei Aspekte beachtet werden:

− Erst die inhaltliche Interpretation der Gesetze zeigt,

ob die Schüler die Zusammenhänge tatsächlich erfasst

haben. Prüfen kann man das durch einfache Aufgaben

der Art: Wie verändert sich der zurückgelegte

Weg, wenn die Zeit halb so groß oder doppelt so groß

ist?

− Bewegungen mit Anfangsweg bzw. Anfangsgeschwindigkeit

kann man bei geschickter Wahl des Bezugssystems

auf solche ohne Anfangsweg bzw. ohne

Anfangsgeschwindigkeit zurückführen. Das sollte an

einfachen Beispielen, z. B. bei Überholvorgängen, demonstriert

werden.


Mechanik

15

Gleichförmige Bewegungen

1. Für einen ICE werden Wege und Zeiten gemessen. Die Messwerte sind im Diagramm dargestellt.

s in km

ARBEITSBLATT

20

15

10

5

0

0

1 2 3 4 5 6

t in min

a) Interpretieren Sie das Diagramm.

b) Berechnen Sie aus verschiedenen Wertepaaren die Geschwindigkeit des ICE. Zeichnen Sie das

Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm.

v in

m/s

80

60

40

20

0

0

1 2 3 4 5 6

t in min

2. Ein Passagierflugzeug fliegt mit einer durchschnittlichen Reisegeschwindigkeit von 850 km/h.

a) Ergänzen Sie die folgende Tabelle.

t in min 0 2 4 6 10 30 60

s in km

b) Zeichnen Sie den Graphen mit anderer Farbe in das

t-s-Diagramm von Aufgabe 1 ein.



FOLIE

Gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Für die gleichförmige und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

gelten folgende Gesetze:

Gleichförmige Bewegung

bei Bewegung aus dem Stillstand

(bei t = 0 ist s 0 = 0 und v 0 = 0)

Bahnbeschleunigung

a = 0

a

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

bei Bewegung aus dem

Stillstand

(bei t = 0 ist s 0 = 0 und v 0 = 0)

Bahnbeschleunigung

a = konstant ≠ 0

a

v = a · t

t

t

v = konstant ≠ 0

v = s } t

v

v = }

Δs

Δt

v ≠ konstant

v = a · t

v

Δt

Δv

s = v · t

s = v · t } 2

a = Δv } Δt

t

t

s = v · t s = }

a 2 · t 2 s = }

v · t

2

s

s

Δs

Δt

v = Δs } Δt

s ~ t

s ~ t 2

t

t


Mechanik

17

Bewegungen in Diagrammen (1)

Die Bewegungen von vier Körpern sind durch ihre Zeit-Weg-Diagramme gegeben.

1 2 3 4

s

s

s

s

ARBEITSBLATT

t

t

t

t

Welche der folgenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramme A– D bzw. der Zeit-Beschleunigung-Diagramme

I–IV gehören zu den Diagrammen 1– 4? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit

v

A B C D

v

v

v

t

t

t

t

Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit

a

I II III IV

a

a

a

t

t

t

t



ARBEITSBLATT

Bewegungen in Diagrammen (2)

1. Die Bewegungen von Körpern werden durch die nachfolgenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramme

wiedergegeben. Beschreiben Sie jeweils die Bewegung des Körpers. Nutzen Sie dazu die

Rückseite des Arbeitsblatts.

A B C

v

v

v

t

t

t

D E F

v

v

v

t

t

t

2. Die Bewegung eines Körpers wird durch folgendes t-v-Diagramm beschrieben:

30

v in m/s

25

20

15

II

III

IV

V

10

5

I

0

0

2 4 6 8

10 12 14

t in min

a) Beschreiben Sie mit Worten die Bewegung des Körpers.

b) Zeichnen Sie das t-a-Diagramm. Berechnen Sie dazu die Beschleunigungen.

c) Welchen Weg legt der Körper insgesamt zurück?


Mechanik

19

Bewegung eines Förderkorbs

Experimentell untersucht wurde die Bewegung eines Förderkorbes, wie er von Bergleuten beim

Einfahren in einen Schacht genutzt wird. Beim Anfahren ergeben sich folgende Messwerte:

t in s 0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,0 1,2

ARBEITSBLATT

s in m 0 0,10 0,37 0,81 1,49 2,32 3,30

a) Untersuchen Sie, welche Bewegungsart vorliegt. Prüfen Sie dazu, ob s ~ t oder s ~ t 2 gilt.

b) Wie groß ist die Beschleunigung a? Berechnen Sie die Beschleunigung aus mehreren Messwertepaaren

und bilden Sie den Mittelwert.

c) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten nach den angegeben Zeiten.

t in s 0 0,20 0,40 0,60 0,80 1,0 1,2

v in m } s

d) Zeichnen Sie das t-s-Diagramm und das t-v-Diagramm!

s

v

t

t

e) Interpretieren Sie das t-v-Diagramm.



ARBEITSBLATT

Bewegungen mit konstanter Beschleunigung

Für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung lassen sich eine Reihe von Fällen unterscheiden.

Zeichnen Sie für jeden Fall das t-v-Diagramm und das t-s-Diagramm.

Fall t-a-Diagramm t-v-Diagramm t-s-Diagramm

a

a > 0

v > 0

t

a

a = 0

v > 0

t

a

a < 0

v > 0

t

a

a < 0

v < 0

t

a

a = 0

v < 0

t

a > 0

v < 0

a

t

a = 0

v = 0

a

t


Mechanik 21

Bei den zusammengesetzten Bewegungen orientieren

sich die Lehrpläne auf die senkrechten Würfe, den waagerechten

und den schrägen Wurf.

Ausgangspunkt für die Betrachtungen zu zusammengesetzten

Bewegungen sollten Beispiele sein, die die Schüler

aus ihrem Erfahrungsbereich kennen, z. B.:

− Ein Boot bewegt sich in unterschiedlichen Richtungen

auf einem Fluss.

− Ein Schwimmer überquert einen Fluss.

− sportliche Disziplinen (Kugelstoßen, Speerwurf, Weitsprung

u. a.).

− Bewegungen von Personen in Zügen oder auf Dampfern.

− Bewegung eines Flugzeuges bei unterschiedlichen

Windrichtungen.

Dabei kann in der Diskussion die Aufmerksamkeit der

Schüler auf die Teilbewegungen und damit auf eine Einteilung

der zusammengesetzten Bewegungen gelenkt

werden. Wichtig ist hierbei, dass die Schüler erfassen: Es

erfolgen (zwei) Teilbewegungen, die im Zusammenwirken

eine (resultierende) Bewegung ergeben.

Das Thema bietet auch gute Möglichkeiten für ein projektartigen

Herangehen, z. B. in folgender Form:

Längerfristig vorbereitet werden Videoaufnahmen von

verschiedenen Bewegungen (z. B. Weitsprung, Hochsprung,

Abschlag von Bällen unter verschiedenen Winkeln).

Im Unterricht erfolgt dann eine Analyse ausgewählter

Bewegungen unter verschiedenen Gesichtspunkten.

Als Systematik bietet es sich an, zunächst die Überlagerung

zweier gleichförmiger Bewegungen und anschließend

die Überlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig

beschleunigter Bewegung zu behandeln. Wie weit

man im letztgenannten Fall in der quantitativen Erfassung

der Bewegung geht, sollte in Abhängigkeit von der

Klassensituation und den Lehrplananforderungen entschieden

werden.

Unabhängig davon sollten im Mittelpunkt des Unterrichts

nicht in erster Linie formale Berechnungen stehen,

sondern die Beschreibung und die Analyse von realen zusammengesetzten

Bewegungen. Dabei ist zu beachten,

dass die behandelten Gesetze für Massepunkte und unter

der Bedingung gelten, dass der Luftwiderstand null

ist. Von daher ist aus physikalischer Sicht stets zu analysieren,

ob eine bestimmte reale Bewegung näherungsweise

mit den behandelten Gesetzen beschrieben werden

kann oder nicht.

Darüber hinaus bietet es sich bei der Anwendung von

Gesetzen an, mit den Schülern zu diskutieren, wie sich

der Luftwiderstand in der Realität z. B. auf Wurfhöhen,

Fallzeiten, Wurfweiten oder Bahnformen auswirkt. Während

z. B. die maximale Wurfweite in der Theorie bei 45°

erreicht wird, beträgt der Abwurfwinkel bei Würfen im

Sport (Speerwurf, Diskuswurf, Weitsprung) meist 30°– 40°

und liegt damit als Erfahrungswert deutlich unter dem

theoretischen Wert. Werden Videoaufnahmen von realen

Bewegungen einbezogen, so ist ein Vergleich von

realer und theoretischer Bahn und eine Diskussion zu Ursachen

für die Abweichungen sehr zu empfehlen.

Zusammengesetzte Bewegungen

Zwei Teilbewegungen können sich zu einer zusammengesetzten Bewegung überlagern.

Die meisten Bewegungen lassen sich folgenden Fällen zuordnen:

TAFELBILD

Die Teilbewegungen erfolgen

in gleicher

Richtung

in entgegengesetzter

Richtung

senkrecht

zueinander

in beliebiger

anderer Richtung

Die Teilbewegungen können gleichförmig oder gleichmäßig beschleunigt verlaufen.



FOLIE

Überlagerung einer gleichförmigen geradlinigen und einer

gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung

Art der Überlagerung Beispiel Resultierende Geschwindigkeit

Senkrechter Wurf nach unten

v 0

v F = g ∙ t

Ein Stein wird

senkrecht nach

unten geworfen.

v = v 0 + g · t

Senkrechter Wurf nach oben

Ein Ball wird

senkrecht nach

oben geworfen.

v 0

v = v 0 – g · t

v F = g ∙ t

Waagerechter Wurf

v F = g ∙ t

v 0

Wurfparabel

Ein Skispringer

springt näherungsweise

waagerecht vom

Schanzentisch

ab.

v = √ }} v 2 + (g ∙ t)2

0

Schräger Wurf

v F = g ∙ t

v 0

Wurfparabel

Wurfweite

Ein Speer wird

geschleudert.

Die resultierende

Geschwindigkeit

ergibt sich aus der

Abwurfgeschwindigkeit

und der

Geschwindigkeit

beim freien Fall.


Mechanik

23

Skispringen

Die Skizze zeigt das Profil einer Schanze mit dem Absprungpunkt (AP). Die durchschnittliche

Absprunggeschwindigkeit beträgt bei dieser Schanze 25 m/s. Der Absprungtisch ist etwas nach

unten geneigt. Da sich aber der Springer abstößt, kann von einem horizontalen Absprung

ausgegangen werden.

ARBEITSBLATT

AP

Schanzenturm

Aufsprunghang

a) Zeichnen Sie in die Skizze maßstäblich den nach jeweils 0,4 s in horizontaler und vertikaler

Richtung zurückgelegten Weg sowie die Bahnkurve ein. Ein Weg von 10 m entspricht in der

Skizze 2 cm.

b) Ermitteln Sie aus der Skizze die ungefähre Flugzeit des Skispringers.

c) Schätzen Sie die Sprungweite ab. Der Absprunghang hat einen Radius von 170 m.

d) Wie groß ist theoretisch die Geschwindigkeit des Springers in m/s und km/h im Aufsetzpunkt

nach einer Flugzeit von 2,4 s? Ist seine tatsächliche Geschwindigkeit größer oder kleiner als die

berechnete?



Kräfte, Energie, Arbeit, Leistung

In dem in der Überschrift genannten Inhaltsbereich geht

es in der Oberstufe vor allem darum, Grundlagen aus

dem bisherigen Physikunterricht zu wiederholen und zu

vertiefen.

Bei der Behandlung von Kräfte und ihre Wirkungen

sollten die Aspekte in den Vordergrund gestellt werden,

die man für den nachfolgenden Unterricht benötigt. Das

sind vor allem

− die Kennzeichnung der Kraft als vektorielle Größe,

− die Zusammensetzung von zwei Kräften und die Zerlegung

einer Kraft in zwei Komponenten,

− ausgewählte Arten von Kräften,

− die newtonschen Gesetze,

− den Inhaltsbereich "Kräfte und Bewegungen", in

dem auch etwas komplexere Beispiele mit den Schülern

diskutiert werden können.

Einige Materialien, die im Unterricht genutzt werden

können, sind hier und auf den folgenden Seiten ausgewiesen.

Trotz mehrfacher Behandlung im bisherigen Physikunterricht

ist eine fundierte Wiederholung der Grundlagen

dringend zu empfehlen. Dabei kann der zeitliche Aufwand

für eine Wiederholung der Gesetze knapp bemessen

werden, der Zeitaufwand für die Lösung von Problemen

und Aufgaben sollte entsprechend hoch sein.

An Beispielen, insbesondere auch an solchen aus dem Erfahrungsbereich

der Schüler, sollen sie erfassen: Ob und

wie sich ein Körper bewegt, hängt von der Summe aller

auf ihn wirkenden Kräfte ab.

Betrachtet man z. B. einen auf ebener Strecke fahrenden

Radfahrer, dann könnte man neben den Antriebskräften

und den Reibungskräften auch noch die Gewichtskraft

und die nach oben wirkende gleich große Gegenkraft

einbeziehen. Da sich aber diese beiden Kräfte aufheben,

kann man auf das Einbeziehen sollte Kräftepaare

verzichten, wenn man die Zusammenhänge den Schülern

einmal exemplarisch verdeutlicht hat.

Bei der Frage nach der resultierenden Kraft auf einen

Körper ergibt sich fast zwangsläufig die Notwendigkeit,

die Zusammensetzung von zwei Kräften zu einer Resultierenden

und die Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten

zu wiederholen.

Erörtert werden sollten mit den Schülern auch Beispiele

für ein Kräftegleichgewicht und der damit verbundene

Bewegungszustand eines Körpers.

FOLIE

Luftwiderstandskraft

F L = }

1 2 c W · A · ρ · v 2 Auftriebskraft

Gewichtskraft

F G = m · g

Reibungskraft

F R = μ · F N

Kräfte in

Natur und Technik

F A = ρ · V · g

Druckkraft

F = p · A

Federspannkraft

F E = D · s

Radialkraft

F r = m · v }

F r = m ·

r

4π

2

r

}

·

T

2


Mechanik 25

Ob und wie sich ein Körper bewegt, hängt von

der Summe der auf ihn einwirkenden Kräfte ab.

Ein Körper bewegt sich in Richtung der auf ihn

wirkenden resultierenden Kraft.

Kräfte und Bewegungen

F R

F gegen

F Antrieb

F G

F gesamt

TAFELBILD

F gesamt = 0 F gesamt = konstant ≠ 0

Körper ist in Ruhe oder in gleichförmiger

geradliniger Bewegung.

Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt.

Beispiele:

Handy auf der Tischplatte

Pkw mit v = konstant

Beispiele:

anfahrender Pkw

abbremsender Pkw

Bei der Wiederholung und Vertiefung der newtonschen

Gesetze sollte auf den Erfahrungsbereich der Schüler und

auf einfache Experimente zurückgegriffen werden.

Bei der Wiederholung des Wechselwirkungsgesetzes

bieten sich ebenfalls einfache Experimente an.

Ausgangspunkt für die Behandlung des Trägheitsgesetzes

kann der Erfahrungsbereich der Schüler sein (anfahrende,

bremsende Fahrzeuge).

Beim newtonschen Grundgesetz kann man sich auf

einfache Experimente beschränken, mit denen man

Tendenz aussagen in folgender Form erhält:

− Je größer die Kraft F, desto größer die Beschleunigung

a,

− Je größer die Masse m, desto kleiner die Beschleunigung

a.

Zusammenhang zwischen Kraft und

Beschleunigung

(m = konstant)

Das newtonsche Grundgesetz

Zusammenhang zwischen Masse und

Beschleunigung

(F = konstant)

TAFELBILD

a

a

a ~ F

a ~ 1 } m

Je größer die wirkende Kraft, desto größer die

Beschleunigung.

F

Je größer die Masse des Körpers, desto kleiner

die Beschleunigung.

m

Allgemein gilt: F = m · a



ARBEITSBLATT

Kräfte und Bewegung

1. Ein Fallschirmspringer bewegt sich nach dem Absprung aus einem

Flugzeug zunächst beschleunigt. Bei geöffnetem Fallschirm stellt

sich nach einiger Zeit eine konstante Sinkgeschwindigkeit von etwa

6 m/s ein.

a) Zeichnen Sie in die Skizze die Kräfte ein, die dann wirken.

Beschreiben Sie, welche Kräfte das sind.

Welche Aussage kann man über die Beträge der Kräfte machen?

b) Beschreiben Sie die Wechselwirkungen, die bei einem Fallschirmspringer auftreten.

2. Auf einen Körper, der auf einem Tisch liegt, oder auf ein mit konstanter Geschwindigkeit fahrendes

Auto wirken verschiedene Kräfte. Benennen Sie diese Kräfte. Welche Aussagen kann man

über die Beträge der Kräfte und über die auf den Körper wirkende Gesamtkraft machen?

a)

b)

F M

F R

F G F T

3. Das Foto zeigt den Crashtest eines Autos.

a) Zeichnen Sie die Kräfte ein, die bei einem solchen

Crashtest auf die beteiligten Körper wirken.

b) Welches Gesetz ist wirksam, wenn zwei Körper

aufeinander einwirken?

Wie lautet es?


Mechanik

27

1. Ein Wagen wird durch unterschiedliche

Kräfte beschleunigt. Die Beschleunigung des

Wagens wird mit einem Beschleunigungsmesser

gemessen. Es ergeben sich folgende

Messwerte:


m

ARBEITSBLATT

F

F in N 0 0,40 0,80 1,2 1,6 2,0

a in m }

s 2 0 0,32 0,59 0,94 1,16 1,45

a) Stellen Sie die Messwerte grafisch dar.

b) Interpretieren Sie das Diagramm.

2. Ein Jumbo-Jet vom Typ Boeing 747 hat vier Triebwerke. In Versuchen wurde ermittelt, wie sich

die Beschleunigung des Flugzeugs ändert, wenn es unterschiedlich beladen bzw. betankt wird.

Die Ergebnisse der Messungen sind in der Tabelle dargestellt. Die Messwerte wurden jeweils bei

maximaler Schubkraft ermittelt.

m in t 320 300 280 260 240 220 200

a in m }

s 2 2,75 2,83 2,95 3,10 3,38 3,64 4,18

a) Stellen Sie die Messwerte grafisch dar.

Beachten Sie dabei, dass der Ursprung des

Koordinatensystems nicht bei (0;0) liegt.

b) Interpretieren Sie das Diagramm.

350

300

m in t

250

200

150

2,5

3,0 3,5 4,0 4,5 a in m/s 2



ARBEITSBLATT

Sicherheitsgurt und Airbag

1. Das Bild zeigt den zeitlichen Ablauf der Bewegung eines Pkw-Fahrers bei einem Auffahrunfall.

Der Fahrer hat den Sicherheitsgurt angelegt. Das Auto verfügt über einen Airbag.

a) Welche Funktion haben Sicherheitsgurt und Airbag?

b) Der Fahrer wird in ca. 100 ms abgebremst. Wie groß ist die durchschnittlich auf ihn wirkende

Kraft, wenn die Geschwindigkeit 50 km/h betrug, der Fahrer eine Masse von 75 kg hat und er

beim Auftreffen des Autos auf einen Baum auf einer Strecke von 0,70 m abgebremst wird?

Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Gewichtskraft des Fahrers. Bewerten Sie das Ergebnis.

2. Ergänzen Sie die nachfolgende Tabelle durch Berechnen und Eintragen der jeweiligen Größe.

Situation/Vorgang Kraft Masse Beschleunigung

Bremsen eines Pkw 1200 kg 6,5 m/s 2

Körper liegt auf dem Tisch 18,7 N 9,81 N/kg

Abbremsen eines Fahrrads 160 N 75 kg

Starten einer Rakete 300 t 7,5 m/s 2

Anfahren eines Zuges 500 t 0,5 m/s 2

Sonde auf dem Mars 6700 N 1800 kg


Mechanik 29

Im Lernbereich „Erhaltung der Energie“ bestehen die allgemeinen

Schwerpunkte

− in der sauberen Verwendung der Fachsprache, vor

allem in Abgrenzung zum technischen und umgangssprachlichen

Bereich,

− in der Befähigung der Schüler, Aufgaben und Probleme

analytisch und mit zweckmäßigen Lösungsstrategien

zu bearbeiten,

− darin, mit Größen und Einheiten sicher umzugehen

und Größen mit sinnvoller Genauigkeit anzugeben.

Für den Einstieg in den Lernbereich gibt es verschiedene

Herangehensweisen, die partiell miteinander kombiniert

werden können.

a) Es erfolgt eine Orientierung an der Fachsystematik,

ausgehend vom Begriff der Energie, den Energieformen,

den Transport- und Speicherformen bis

hin zu Energieumwandlungen und -flüssen bei ausgewählten

Anlagen und Maschinen und zum allgemeinen

Energieerhaltungssatz.

b) Es erfolgt eine stärker projektorientierte Arbeit, bei

der grundlegende Zusammenhänge am Beispiel erarbeitet

und gefestigt werden.

Mögliche Themen sind bei einem solchen Herangehen

z. B.:

− Energie und Energieumwandlungen im Haushalt

− Transport von Energie in Natur und Technik

− Speicherung von Energie in Natur und Technik

− Energie für Lebensprozesse

− Energie auf dem Weg zum Verbraucher

In der Wiederholung und Systematisierung sollten auch

einfach zu überschauende Experimente und Beispiele

aus dem Alltagsbereich oder aus anderen Naturwissenschaften

einbezogen werden, zum Beispiel bei den Begriffen

Energie und Energieumwandlung:

− Ein Lineal wird als Modell eines Schleuderbretts für

Artisten benutzt.

− Eine Glühlampe wird an eine Batterie angeschlossen

und leuchtet.

− Wir führen unserem Körper Nahrung zu. Es entsteht

Wärme (Körperwärme) und wir können Arbeit verrichten.

− Wenn Licht auf eine Solarzelle fällt, kann damit ein

kleiner Motor betrieben werden.

− Mit einem Dynamo wird eine Glühlampe zum Leuchten

gebracht.

Ausgangspunkt für die Wiederholung des Energieerhaltungssatzes

kann eine Diskussion der Energieumwandlungen

bei Geräten und Anlagen aus dem Erfahrungsbereich

der Schüler sein. Dabei spielt immer die zugeführte

(aufgenommene) und die genutzte (abgegebene) Energie

eine Rolle. Ausgehend von einfachen Beispielen (Pkw,

Heizung im Haus, Leuchtstofflampe, Taschenlampe) kann

der Energieerhaltungssatz plausibel gemacht werden.

Nach Wiederholung des Energieerhaltungssatzes und

des Wirkungsgrades empfiehlt es sich, noch einige ausgewählte

Schwerpunkte in den Mittelpunkt zu stellen,

bei deren Behandlung das Wissen über Energie gefestigt

wird. Der Lehrer kann z. B. aus folgenden Schwerpunkten

auswählen:

− Energieumwandlungen beim Menschen

− Rationelle Nutzung von Energie – Welche Konsequenzen

ergeben sich daraus für uns?

− Nicht erneuerbare und erneuerbare Energien

− Energieerhaltung und Energieentwertung

Energie

Energie ist eine physikalische Größe. Mit ihr können Körper bewegt, verformt, erwärmt oder zur

Aussendung von Strahlung gebracht werden.

TAFELBILD

kann in verschiedenen

Energieformen vorliegen.

kann bei Energieumwandlungen

entwertet werden.

kann von einer Energieform in

andere umgewandelt werden.

Energie

ist in Energieträgern (Heizund

Brennstoffe, bewegte und

verformte Körper, Batterien)

gespeichert.

kann weder erzeugt noch

vernichtet werden.

kann transportiert und von

einem Körper auf andere

übertragen werden.



FOLIE

Energie, Energieformen, Energieträger

Energie ist die Fähigkeit eines Körpers, mechanische Arbeit zu verrichten

oder Wärme abzugeben oder Strahlung auszusenden.

Energieform Beispiele Energieträger

Potenzielle Energie

E pot

angestautes Wasser

gehobene Körper

Kinetische Energie

E kin

fahrendes Auto

strömendes Wasser

strömende Luft

Thermische Energie

E therm

heißer Ofen

heißes Wasser

Flamme einer Kerze

Chemische Energie

E chem

Elektrische Energie

E el

Steinkohle, Braunkohle,

Erdgas, Propan

Benzin, Dieselkraftstoff,

Heizöl

Nahrungsmittel

elektrischer Strom

Kernenergie

Sonne Wasserstoff, Uran,

E kern Plutonium


Mechanik

31

Energien in Natur und Technik (in Joule)

FOLIE

Energie eines Elektrons, das mit 1 V

beschleunigt wurde

1,6 · 10 –19

Bindungsenergie eines Atomkerns von Uran 3 · 10 –10

Erwärmung von 1 g Wasser um 1 K 4,2

Energie zum Heben eines Körpers

von 1 kg um 10 m

Kinetische Energie eines mit 100 km/h

fahrenden Pkw (1 000 kg)

10 2

4 · 10 5

Tägliche Energieaufnahme des Menschen 10 7

Heizwert von 1 kg Steinkohle (Steinkohleeinheit,

SKE)

2,93 · 10 7

Jumbo-Jet (320 t) beim Abheben (310 km/h) 1,2 · 10 9

Energie, die bei der Explosion einer Atombombe

frei wird

Täglicher Energiebedarf in der Bundes republik

Deutschland (Primärenergieverbrauch)

≈10 14

4 · 10 16

Täglicher Energieweltbedarf (2010) 1,6 · 10 18

Energie, die bei einem schweren Erdbeben

freigesetzt wird

Kinetische Energie der Erde auf ihrer Bahn um

die Sonne

≈10 20

5 · 10 31

Energievorrat der Sonne ≈10 45



TAFELBILD

Mechanische Energie

ist die Energie, die Körper aufgrund ihrer Lage oder ihrer Bewegung haben.

Formen mechanischer Energie

Lageenergie

(potenzielle Energie)

hat ein gehobener Körper.

Bewegungsenergie

(kinetische Energie)

hat ein bewegter Körper.

Spannenergie

hat eine gespannte Feder.

E pot = F G · h

E pot = m · g · h

E kin = 1 } 2 m · v 2 E Sp = 1 } 2 D · s 2

Gehen in einem abgeschlossenen System nur rein mechanische Vorgänge vor sich, dann gilt:

Die mechanische Energie eines Systems bleibt gleich.

E pot + E kin + E Sp = konstant

Ein spezieller Unterrichtsabschnitt sollte der Wiederholung

der Formen mechanischer Energie gewidmet werden.

Der inhaltliche Schwerpunkt sollte dabei allerdings nicht

vorrangig auf der Wiederholung von Formeln liegen,

sondern auf mehr oder weniger komplexen Anwendungen.

Beispiele dafür sind:

− Energieumwandlungen bei freien Fall

− Energieumwandlungen bei mechanische Schwingungen

− Energieumwandlungen bei der Bewegung auf einer

geneigten Ebene

In den Unterricht können auch weitere Beispiele aus Natur,

Technik und Alltag einbezogen werden. Geeignet

sind z. B.

− die Fahrt auf einer Achterbahn (s. beiliegendes Arbeitsblatt),

− eine startende Rakete (s. beiliegendes Arbeitsblatt),

− die Bewegung eines Skaters oder eines Snowboardfahrers

in einer Halfpipe,

− die Würfe von Bällen.

Den Schülern sollte an diesen oder anderen Beispielen

bewusst werden:

− Bei fast allen Vorgängen in Natur und Technik spielen

nicht nur mechanische Energieformen eine Rolle.

Insbesondere durch die Reibung verringert sich in der

Regel die mechanische Energie eines Systems. Damit

hat der Energieerhaltungssatz der Mechanik nur einen

relativ geringen Gültigkeitsbereich.

−

Rein mechanische Vorgänge können qualitativ und

quantitativ mit den behandelten Energieformen der

Mechanik beschrieben werden.

Ob der Energieerhaltungssatz der Mechanik für einen

gegebenen Fall anwendbar ist oder nicht, kann den Schülern

an Beispielen verdeutlicht werden. Ein solches Beispiel

ist der Fall verschiedener Körper:

− Fall eines Steins aus 2 m Höhe: Energieerhaltungssatz

ist gut anwendbar, da die Reibung vernachlässigbar

klein ist.

− Fall eines Papiertrichters aus der gleichen Höhe:

Energieerhaltungssatz nicht mehr anwendbar, da die

Reibung die Bewegung des Körpers entscheidend beeinflusst.

− Diskussionsmöglichkeit: Ist auf einen aus 100 m Höhe

fallenden Regentropfen mit 5 mm Durchmesser der

Energieerhaltungssatz der Mechanik noch sinnvoll

anwendbar? Die Antwort lautet: nein. Die Diskussion

kann sehr unterschiedlich angelegt werden. Man

könnte z. B. die Geschwindigkeit des Regentropfens

ohne Luftwiderstand berechnen und käme auf ein

Ergebnis von etwa 44 m/s = 160 km/h. Regentropfen

erreichen aber am Erdboden maximal etwa 40 km/h.

Das bedeutet. Der Luftwiderstand beeinflusst den Fall

von Regentropfen erheblich. Der Energieerhaltungssatz

der Mechanik ist in diesem Fall nicht anwendbar.


Mechanik

33

Eine Achterbahn

Bei der Fahrt einer Achterbahn gehen verschiedene Energieumwandlungen vor sich.

a) Beschreiben Sie die Energieumwandlungen

vom Start bis zum Ziel.

ARBEITSBLATT

b) Vom Start aus werden die Wagen (Gesamtmasse 800 kg) auf eine Höhe von 15 m gezogen.

Wie groß ist die Änderung der potenziellen Energie?

c) Beim Herunterfahren von diesem höchsten Punkt der Bahn erreichen die Wagen eine maximale

Geschwindigkeit von 16 m/s. Wie groß ist dann die kinetische Energie der Wagen?

d) Gilt für eine solche Achterbahn der Energieerhaltungssatz der Mechanik? Vergleichen Sie dazu

die Ergebnisse von b) und c) miteinander.



ARBEITSBLATT

Eine startende Rakete

Die amerikanischen Raumfähren (Space Shuttle) werden mit einer Rakete in eine Erdumlaufbahn

gebracht. Die Startmasse beträgt ca. 2 000 t, die Raumfähre selbst hat eine Masse von ca. 100 t.

a) Beschreiben Sie die Energieumwandlungen,

die bei einer startenden Rakete vor sich gehen.

b) Die Raumfähre erreicht nach etwa 2 Minuten eine Höhe von 50 km. Wie groß ist in dieser Zeit

die Änderung ihrer potenziellen Energie?

c) In einer Umlaufbahn in 280 km Höhe über der Erdoberfläche bewegt sich die Raumfähre mit einer

Geschwindigkeit von ca. 28 000 km/h. Vergleichen Sie potenzielle und kinetische Energie der

Raumfähre in dieser Höhe.


Mechanik 35

Die mechanische Arbeit

Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn ein Körper durch eine Kraft bewegt oder verformt wird.

TAFELBILD

F

s

s

F

Wenn die Kraft F konstant ist und in Richtung des Wegs wirkt, dann gilt:

mechanische Arbeit = wirkende Kraft · zurückgelegter Weg

W = F · s

Einheiten: 1 Newtonmeter (1 Nm)

1 Joule (1 J)

1 Nm = 1 J

Da der Begriff der Arbeit den Schülern aus dem Alltagsleben

und meist auch aus dem bisherigen Physikunterricht

bekannt ist, drängt es sich geradezu auf, zunächst

einmal mit den Schülern zu sammeln, in welchen Zusammenhängen

und Bedeutungen der Begriff Arbeit verwendet

wird, ehe man zum physikalischen Begriff der

mechanischen Arbeit übergeht.

Es bieten sich einfache Experimente an, die jeweils kommentiert

werden:

1. Ein Körper (Wägestück, Buch) wird gehoben.

Kommentar: Auf den Körper wirkt eine Kraft. Der

Körper wird dadurch bewegt. Es wird mechanische

Arbeit verrichtet.

2. Ein Lineal, eine Blattfeder oder ein Holzstab wird gebogen.

3. Ein Körper wird in der Hand gehalten.

4. Ein Körper (Ball, Stein) fällt nach unten.

5. Ein Holzklotz wird mit konstanter Geschwindigkeit

über den Experimentiertisch gezogen.

6. Ein Experimentierwagen wird beschleunigt.

7. Ein Stück Knete wird verformt.

An einfachen Beispielen (z. B. Ziehen verschieden

schwerer Körper über eine bestimmte Strecke, Ziehen

eines Körpers eine kurze und eine längere Strecke, Dehnen

eines Expanders mit einer Feder bzw. mit zwei Federn

um eine bestimmte Strecke, unterschiedlich weites

Ausziehen einer Feder) kann den Schülern plausibel gemacht

werden, dass die mechanische Arbeit von Kraft

und Weg abhängt, es also sinnvoll ist, die mechanische

Arbeit als Produkt aus Kraft und Weg zu definieren.

Die verschiedenen Arten mechanischer Arbeit können

anhand einfacher Experimente unter Einbeziehung der

Übersicht im LB an die Schüler herangetragen werden.

Außerdem sei auf folgende Aspekte aufmerksam gemacht:

− Für die Schüler ist es einprägsamer, wenn sie Arbeiten

ermitteln, die in ihrem Erfahrungsbereich eine Rolle

spielen, z. B.:

– Welche Arbeit verrichte ich, wenn ich 10 Treppenstufen

hochsteige?

– Welche Arbeit verrichte ich, wenn ich einen Stein

in eine bestimmte Höhe hebe?

– Welche Arbeit verrichte ich, wenn ich einen Höhenunterschied

von 100 m zurücklege?

− Einbezogen werden sollten in die Diskussion auch

Fälle, bei denen die Schüler erfahrungsgemäß Schwierigkeiten

haben zu erkennen, ob Arbeit verrichtet

wird oder nicht. Dazu gehört z. B. die gleichförmige

Fahrt eines Autos oder eines Radfahrers auf ebener

Strecke, wo die Reibungsarbeit genauso groß ist wie

die vom Motor bzw. vom Fahrer verrichtete Arbeit.

− Für Schüler ist es immer wieder schwer verständlich,

dass es zwar anstrengend ist, eine schwere Tasche in

der Hand zu halten, dies aber keine Arbeit im physikalischen

Sinn sein soll.



TAFELBILD

Arten mechanischer Arbeit

Hubarbeit Spannarbeit Beschleunigungsarbeit

Reibungsarbeit

wird beim Heben des

Körpers verrichtet.

wird beim Verformen

eines Körpers

verrichtet.

wird beim Beschleunigen

eines Körpers

verrichtet.

wird immer verrichtet,

wenn Reibung

auftritt.

Die nutzbringende Arbeit ist fast immer kleiner als die aufzuwendende Arbeit.

nutzbringend:

− Arbeit zum Heben des Körpers K

1

aufzuwenden:

− Arbeit zum Heben des Körpers K

− Arbeit zum Heben der Rolle 1 und des Seils

− Reibungsarbeit

K

−

Hier ist zu klären: Nicht betrachtet werden in der

Physik die mikroskopischen Vorgänge in den Muskeln.

In ihnen erfolgen ständig Anspannungen und

Entspannungen, verbunden mit mikroskopischen

Bewegungen. Dazu ist Energie erforderlich. Die Anstrengung

beim Halten einer Tasche ist nicht nur eine

subjektive Empfindung. Wir verrichten dabei physiologische

Arbeit. Diese wird aber in der Physik nicht

betrachtet. Auf diese Aspekthaftigkeit der Physik

sollte man Schüler aufmerksam machen.

Nicht selten wird das Gehen auf ebener Strecke als

Beispiel dafür genommen, dass trotz Zurücklegen

eines Wegs keine Arbeit verrichtet wird, da Kraft

und Weg senkrecht zueinander sind. Eine etwas genauere

Analyse des Bewegungsablaufes beim Gehen

zeigt allerdings, das wir dabei unseren Körper ständig

heben und senken, also beim Gehen Hubarbeit

verrichtet wird. Setzt man den Energieaufwand beim

Gehen mit 100% an, so werden allein für die Hubarbeit

im Durchschnitt 60% bis 70% der Energie benötigt.

Hinzu kommt Beschleunigungsarbeit (Beschleunigung

von Beinen und Armen).

Zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen Arbeit

und Energieänderung ist es sinnvoll, eine Analogiebetrachtung

durchzuführen und diese mit einer Wiederholung

grundlegender physikalischer Zusammenhänge

zu verbinden: In der Sekundarstufe 1 sind die thermische

oder die innere Energie und die Wärme eingeführt worden.

Die Wärme wurde dabei als übertragene thermische

Energie gekennzeichnet: Q = ΔE therm .

In analoger Weise kann die Arbeit als durch Kraft übertragene

Energie aufgefasst werden. Die entsprechende

Beziehung lautet dann: W = ΔE.

Im Tafelbild auf der nächsten Seite ist diese Analogie

nochmal verdeutlicht.

Die Zusammenhänge zwischen den speziellen Arten

mechanische Arbeit und den jeweiligen Energieformen

können so an die Schüler herangetragen werden, wie es

im LB dargestellt ist. Ein Beispiel für eine unterrichtliche

Zusammenfassung ist auf der nächsten Seite unten angegeben.

Dabei sind Varianten möglich. Die Gleichungen lassen

sich plausibel herleiten. Man kann sie auch geben und

den Schwerpunkt auf die Interpretation und Anwendung

der Gleichungen legen.

Bei komplexen Anwendungen sollte am Beispiel verdeutlicht

werden, dass sich eine Reihe von Aufgaben bzw.

Problemen mit einem energetischen Ansatz viel einfacher

lösen lässt, als mit einem kinematischen Ansatz.

Beispiele dafür sind die Berechnung von Endgeschwindigkeiten

beim freien Fall oder beim Wurf, die Ermittlung

der Steighöhe beim senkrechten Wurf nach oben

oder die Berechnung der maximalen Geschwindigkeit

eines Pendels.


Mechanik 37

Energie, Arbeit, Wärme

TAFELBILD

Durch Wärme verändert sich die thermische

Energie eines Körpers.

E th

Wärme Q

Q = ΔE

E th

Durch Arbeit verändert sich die mechanische

Energie eines Körpers.

Arbeit W

v = 0 v > 0

W = ΔE

Arbeit und potenzielle Energie

Wird ein Körper gehoben oder elastisch verformt, so verändert sich seine potenzielle Energie.

TAFELBILD

E pot,2 = m · g · h

E pot,1 = 0

1

h W = m · g · h

W

s

F = } 2

F E · s

– F G

F E

E pot,1 = 0

E pot,2 =

1

} 2

F E · s

Die Änderung der potenziellen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm verrichteten Arbeit.

ΔE = W



ARBEITSBLATT

Mechanische Arbeit und Energie

1. Welche Arten von Arbeit werden bei den dargestellten Vorgängen verrichtet?

Welche Energieumwandlungen gehen dabei vor sich?

a) b) c)

2. Vergleichen Sie die mechanischen Arbeiten und Energieänderungen bei den dargestellten Vorgängen.

Geben Sie die jeweilige Leistung an, wenn der Vorgang 5,0 s dauert.

a) b) c)

m = 50 kg

2 m

m = 60 kg

m = 70 kg

3. Von verschiedenen Körpern sind einige Angaben bekannt. Ergänzen Sie in der Tabelle die

fehlenden Werte.

Masse m Geschwindigkeit v Höhe h E pot E kin

a) 20 kg 2,0 m

b) 200 t 1000 m

c) 70 kg 6,5 kg

d) 2,5 kg 2,5 m 125 J


Mechanik

39

Arbeit und Energie

FOLIE

Arbeit W

wird verrichtet, wenn ein Körper

durch eine Kraft bewegt oder

verformt wird.

Energie E

ist die Fähigkeit eines Körpers,

mechanische Arbeit zu verrichten

oder Wärme abzugeben oder

Strahlung auszusenden.

W = ΔE

Verrichtete Arbeit Ergebnis Änderung der mechanischen

Energie

Hubarbeit

W H = F G · h

W H = m · g · h

führt zur Änderung

der potenziellen

Energie

ΔE pot = m · g · Δh

Verformungsarbeit führt zur Änderung

(Federspannarbeit) der potenziellen

W F = }

1 2 F E · s

Energie

W F = }

1 2 D · s 2

ΔE pot = 1 }

2 (F E · s E – F A · s A )

Beschleunigungsarbeit

W B = F · s

W B = m · a · s

führt zur Änderung

der kinetischen

Energie

ΔE kin = 1 }

2 m · (v E 2 – v A 2 )

Reibungsarbeit

W R = F R · s

W R = μ · F N · s

führt zu einer

Verringerung der

mechanischen

Energie

ΔE mech = E E – E A



FOLIE

Der Stabhochsprung

Beim Stabhochsprung erfolgen zahlreiche Energieumwandlungen.

a) b) c)

1. Welche Energieformen hat das System „Springer-Stab“ in den drei

Abbildungen?

2. Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz mit den Größen v a , h a

und v c , h c . h bedeutet die Höhe des Schwerpunktes über dem Erdboden.

Es wird angenommen, dass das System „Springer-Stab“ ein

abgeschlossenes mechanisches System ist.

3. Welche Höhe kann der 70 kg schwere Springer erreichen, wenn

seine Geschwindigkeit vor dem Absprung 9,0 m/s beträgt und sich

sein Schwerpunkt 1,2 m über dem Erdboden befindet?

4. Diskutieren Sie folgende Probleme:

a) Inwieweit sind die für die Rechnung angenommenen Voraussetzungen

realistisch?

b) Wie wirken sich andere Voraussetzungen auf die erreichbare

Sprunghöhe aus?

c) Hängt die Sprunghöhe nur von der kinetischen Energie in der

Anlaufphase ab? Durch welche Faktoren wird sie eventuell noch

beeinflusst?

d) Ist die Aussage „Die Sprunghöhe beträgt 6,00 m.“ identisch mit

der Aussage „Der Körperschwerpunkt erreicht eine Höhe von

6,00 m“?


Mechanik

41

Bewegungen und Kräfte

FOLIE

1. Die geradlinigen Bewegungen verschiedener Körper werden durch

die nachfolgenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramme wiedergegeben.

Beschreiben Sie qualitativ die Bewegungen dieser Körper.

A B C

v

v

v

t

t

t

D E F

v

v

v

t

t

t

2. a) Der Bewegungsablauf eines Omnibusses ist in dem folgenden

Diagramm dargestellt. Deuten Sie den Bewegungsablauf und

geben Sie für jede der drei Fahretappen die Bewegungsart an.

b) Der Fahrer des Omnibusses muss diesen scharf abbremsen. Dabei

bewegen sich die Fahrgäste nach vorn. Erklären Sie diese Erscheinung

mithilfe eines physikalischen Gesetzes.

c) Der Omnibus hat eine Masse von 9,0 t und bewegt sich auf

geraden Strecke mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Wie

groß muss die Bremskraft sein, damit der Bus nach 25 m zum

Stehen kommt?

v

2

1

3

t



FOLIE

Fall und Wurf

1. Entwerfen Sie eine Versuchsanleitung, um in einem Experiment Ihre

Höhe auf einer Brücke über einem Fluss annähernd ermitteln zu können.

Gehen Sie dabei entsprechend folgender Gliederung vor:

− Versuchsprinzip

− physikalische Grundlagen

− Versuchsdurchführung

2. Jemand beschleunigt (mit konstanter Beschleunigung) mit der Hand

0,20 s lang einen Stein der Masse 200 g auf der senkrechten Strecke

A–B. Beim Loslassen in Punkt B hat der Stein die Geschwindigkeit

15 m/s nach oben.

B

B

A

A

50 cm

t 0 = 0 s

t 1 = 0,20 s

Beginn der Beschleunigung

Moment des Loslassens

a) Wie groß ist die Kraft, die den Stein nach oben beschleunigt?

b) Wie lange dauert es (vom Moment des Loslassens ab gerechnet),

bis der Stein seinen höchsten Flugpunkt erreicht hat?

c) Zeichnen Sie ein t-v-Diagramm von der Bewegung des Steins von

t 0 = 0 s bis zu dem Moment, in dem der Stein seinen höchsten

Flugpunkt erreicht.

d) Welche größte Steighöhe erreicht der Stein relativ zum Erdboden?


Mechanik 43

Impuls und Drehimpuls

Mit der Einführung der physikalischen Größe Impuls und

der Behandlung von Stößen lernen die Schüler eine Beschreibungsmöglichkeit

für Vorgänge kennen, die es in

vielen Bereichen des Alltags und der Technik gibt. Im

Interesse der Motivierung der Schülerist es sinnvoll, zunächst

einmal solche Vorgänge zu „sammeln“, bei denen

Kräfte auf Körper wirken und Bewegungs- bzw. Richtungsänderungen

hervorrufen.

Beispiele dafür sind:

− die Wirkung von Kräften auf Bälle;

− Auffahrunfälle bei Autos;

− das Ankoppeln von Waggons;

− das Andocken einer Raumfähre an eine Weltraumstation;

− die Bewegung von Flugzeugen/Raketen durch Strahltriebwerke/Raketentriebwerke;

− das Eindringen eines Geschosses in ein Hindernis.

Unterstützt werden können diese Beispiele durch Modellexperimente,

z. B. mithilfe von Schienenwagen oder

mithilfe einer Luftkissenbahn und den entsprechenden

Wagen.

Ehe Größen eingeführt werden, sollten die Schüler durch

die Diskussion von Beispielen (b oben) folgende qualitativen

Zusammenhänge erfassen:

− Körper können in unterschiedlicher Weise miteinander

wechselwirken. Dabei treten Bewegungs- oder

Formänderungen auf.

− Welche Wirkung ein Körper auf einen anderen hat, ist

nicht nur von seiner Geschwindigkeit, sondern auch

von seiner Masse und der Zeitdauer der Einwirkung

abhängig.

Davon ausgehend kann für den darauffolgenden Unterrichtsgang

gemeinsam mit den Schülern eine Art Fragekatalog

entwickelt werden, der dann „abgearbeitet“

wird.

Solche Fragen könnten sein:

− Wie kann man den Bewegungszustand eines Körpers

genauer kennzeichnen?

− Welche Zusammenhänge bestehen zwischen der

Krafteinwirkung auf einen Körper, der Dauer dieser

Einwirkung und der Bewegungsänderung?

− Wie kann man die Wechselwirkungen zwischen Körpern

einteilen? Welche Gesetze gelten dabei?

− Wo spielen die betrachteten physikalischen Zusammenhänge

in der Praxis eine Rolle? Welche Vorgänge

kann man damit erklären, welche nicht?

Erst nach diesen qualitativen Betrachtungen sollten die

physikalische Größen Impuls und Kraftstoß eingeführt

werden, wobei diese Begriffe natürlich auch vorher im

umgangssprachlichen Sinn verwendet werden können.

Bei der Einführung von Impuls und Kraftstoß sollte deutlich

auf den unterschiedlichen Charakter (Zustandsgröße,

Prozessgröße) aufmerksam gemacht werden. Durch Einbeziehung

weiterer, den Schüler bereits bekannter Größen

(z. B. Arbeit, Energie, Druck, Temperatur) kann die

Zweckmäßigkeit einer Unterscheidung zwischen Zustands-

und Prozessgrößen verdeutlicht werden.

Der Zusammenhang zwischen Kraftstoß und Impuls kann

theoretisch abgeleitet werden oder den Schülern gegeben

und interpretiert werden. In jedem Falle empfiehlt

es sich, die Zusammenhänge experimentell zu verdeutlichen.

Gut geeignet sind dafür Experimente mit Wagen (Schienenbahn,

Luftkissenbahn).

Sehr deutlich müssen die Schüler auf den vektoriellen

Charakter und damit auf die vektorielle Addition der

Größen aufmerksam gemacht werden. Das gilt auch für

Bewegungen längs einer Geraden, wo dem Vorzeichen

eine physikalische Bedeutung zukommt. Das spielt dann

vor allem bei der Interpretationen der Lösungen zu den

Aufgaben beim Stoß eine Rolle.

Wie die Vorzeichen festgelegt werden, ist willkürlich.

Wichtig ist nur, dass eine Bewegungsrichtung eindeutig

festgelegt wird. Das ist schon beim Ansatz der Aufgaben

zu beachten.

In welcher Ausführlichkeit auf den Drehimpuls und seine

Erhaltung eingegangen wird, hängt von den jeweiligen

Lehrplanforderungen ab. Notwendig ist dabei auf jeden

Fall die Einführung der beiden Größen Trägheitsmoment

und Winkelgeschwindigkeit als analoge Größen zu Masse

und Geschwindigkeit bei der Translation.

Eine Analogiebetrachtung (b Folie S. 47) ist gut zu Systematisierung

und zugleich zur Strukturierung des Wissens

der Schüler geeignet.



TAFELBILD

Bewegungszustand und Wechselwirkung von Körpern

Der Bewegungszustand eines Körpers ist durch seine Geschwindigkeit und durch seine Masse

gekennzeichnet.

Bei der Wechselwirkung zweier Körper können unterschiedliche Wirkungen auftreten:

Wechselwirkung bewirkt

Formänderung

(plastisch, elastisch)

Bewegungsänderung

Form- und

Bewegungsänderung

Beispiel:

Verformen eines

Werkstücks

Beispiel:

Abwerfen eines Balls

Beispiel:

Auffahrunfall

zweier Autos

TAFELBILD

Der Impuls p

kennzeichnet die Wucht, die ein Körper besitzt.

Impuls und Kraftstoß

Der Kraftstoß F · Δt

kennzeichnet die zeitliche Einwirkung einer

Kraft auf einen Körper.

m

v

F

m

v 1

v 2

p = m · v

Kraftstoß F · Δt

bewirkt eine Änderung des Impulses.

Für den Zusammenhang zwischen Kraftstoß und Impuls gilt:

F · Δt = Δ p

Der Kraftstoß auf einen Körper ist genauso groß wie die Änderung seines Impulses.


Mechanik

45

Impuls und Kraftstoß

1. Ein Pkw (m = 1,2 t) fährt auf einer geraden Straße mit 50 km/h.

a) Wie groß ist sein Impuls?

ARBEITSBLATT

b) Wie ändert sich der Impuls, wenn sich die Geschwindigkeit

verdoppelt halbiert auf null verringert wird

2. Ein Astronaut (m = 80 kg) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,10 m/s in der Nähe eines

Raumfahrzeugs. Mithilfe einer Rückstoßpistole ändert er seinen Bewegungszustand. Dabei wirkt

jeweils 4,0 s lang eine Kraft von 1,0 N. Ergänzen Sie die Skizzen und ermitteln Sie jeweils den

neuen Impuls.

a)

p 1

b) c)

p 1

p 1

p 2 = p 2 = p 2 =

3. Ein ankommender Tennisball wird zurückgeschlagen. Beschreiben Sie diesen Vorgang mit der

physikalischen Größe Impuls.



TAFELBILD

vor dem Stoß

Der Impulserhaltungssatz

nach dem Stoß

v 1

m 1

v 2

m 2

u 1

m 1

m 2

m 1 · v 1 + m 2 · v 2

u 2

m 1 · v 1 + m 2 · v 2

Für ein abgeschlossenes System mit zwei beteiligten Körpern gilt:

m 1 · v 1 + m 2 · v 2 = m 1 · u 1 + m 2 · u 2

p vor = p nach

Für ein beliebiges abgeschlossenes System gilt:

Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenes Systems ist eine Erhaltungsgröße.

p = Σ p i = konstant

Beim Impulserhaltungssatz ist im Hinblick auf Anwendungen

vor allem eine klare Formulierung der Gültigkeitsbedingungen

von Bedeutung. Dabei gibt es unterschiedliche

Möglichkeiten der Formulierung. Man kann

den Begriff „abgeschlossenes System“ in den Vordergrund

stellen und meint damit einen Raumbereich, der

kräftemäßig abgeschlossen ist, in dem also nur innere

Kräfte wirken. Energetisch braucht ein solches System

nicht abgeschlossen sein. Von daher ist zu überlegen, ob

man nicht von vornherein den Begriff „kräftemäßig abgeschlossenes

System“ einführt.

Als Anwendungen empfehlen sich der Raketenantrieb,

der Rückstoß bei Waffen oder die Bestimmung der Geschossgeschwindigkeit.

Die beiden erstgenannten Anwendungen

sind im Lehrbuch ausführlich dargestellt.

Die Stöße können als Anwendungen des Impulserhaltungssatzes

und des Energieerhaltungssatzes behandelt

werden. Das Lehrbuch enthält dazu einige Aufgaben.

Der Schwerpunkt sollte hier im Unterricht nicht auf den

Herleitungen der Gleichungen liegen, sondern auf vielfältigen

Anwendungen.

Auf zwei Probleme sollten die Schüler deutlich aufmerksam

gemacht werden:

− Wegen des vektoriellen Charakters der Geschwindigkeit

muss bei Berechnungen die Richtung der Bewegung

beachtet werden. Bei der Bewegung längs einer

Geraden ist die Festlegung einer positiven Bewegungsrichtung

notwendig. Sie kann aber willkürlich

festgelegt werden.

− Bei Körpern mit näherungsweise gleicher Masse sind

Impulsänderungen meist gut beobachtbar. Hat einer

der beteiligten Körper eine sehr große Masse, dann

sind Impulsänderungen bei Wechselwirkungen häufig

nur bei einem der Körper beobachtbar (Beispiel:

Ball – Wand, fallender Stein – Erde). Das ändert nichts

an der Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes.


Mechanik

47

Impuls und Drehimpuls

FOLIE

Impuls und Drehimpuls sind zwei physikalische Größen, für die jeweils

ein Erhaltungssatz gilt.

Impuls p

Der Impuls eines Körpers kennzeichnet

die Wucht, die dieser

Körper bei seiner Bewegung

längs einer Bahn hat.

Die Bewegung des Körpers wird

mit dem Modell Massepunkt

beschrieben.

Der Impuls eines Körpers ist umso

größer,

− je größer die Masse m des

Körpers ist und

− je größer seine Geschwindigkeit

v ist.

Drehimpuls L

Der Drehimpuls eines Körpers

kennzeichnet den Schwung, den

dieser Körper bei seiner Bewegung

um eine Drehachse hat.

Die Bewegung des Körpers wird

mit dem Modell starrer Körper

beschrieben.

Der Drehimpuls eines Körpers ist

umso größer,

− je größer das Trägheitsmoment

J des Körpers ist und

− je größer seine Winkelgeschwindigkeit

ω Ist.

Masse m

v

Trägheitsmoment

J

ω

L

p

p = m · v L = J · ω

}›

Impuls kann von einem Körper

auf andere Körper übertragen

werden.

Beispiel: Stoß zweier Körper

Impulserhaltungssatz:

In einem kräftemäßig abgeschlossenen

System bleibt der gesamte

Impuls erhalten.

p = p 1 + p 2 + … + p n = konstant

Drehimpuls kann von einem

Körper auf andere Körper übertragen

werden.

Beispiel: Kupplung bei einem

Pkw-Motor

Drehimpulserhaltungssatz:

In einem kräftemäßig abgeschlossenen

System bleibt der gesamte

Drehimpuls erhalten.

L = L 1 + L 2 + … + L n = konstant



Gravitationsgesetz und Gravitationsfelder

In diesem Lernbereich sind die Spezifika der einzelnen

Lehrpläne besonders zu beachten. In manchen Bundesländern

werden das Gravitationsgesetz und die keplerschen

Gesetze bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt.

Dann ist dieser Teil als systematisierende Wiederholung

anzulegen.

Für Schüler anderer Bundesländer geht es um eine Neuvermittlung.

Dabei kann in unterschiedlicher Weise vorgegangen

werden:

− Es erfolgt ein historischer Einstieg unter Einbeziehung

der keplerschen Gesetze. Über die newtonsche

Mondrechnung kommt man zum Gravitationsgesetz.

Das ist der Weg, der im Lehrbuch dargestellt ist.

− Es wird sofort das Gravitationsgesetz in den Vordergrund

gestellt, ausführlich interpretiert und dann

angewendet. Die keplerschen Gesetze werden in den

Abschnitt „Astrophysik“ verlagert, so der Lehrplan einen

solchen Schwerpunkt vorsieht.

Unabhängig vom eingeschlagenen Weg sollten die Schüler

zwei wesentliche Erkenntnisse gewinnen:

− Gravitationskräfte wirken zwischen allen massebehafteten

Körpern. Der einzelne Körper unterliegt

vielfältigen Gravitationswechselwirkungen.

− Die Gravitationskräfte zwischen Körpern aus unserem

Erfahrungsbereich sind meist so klein, dass sie vernachlässigbar

sind. Lediglich die Gravitationskräfte,

die die Erde auf Körper auf ihrer Oberfläche oder in

ihrer Nähe ausübt, spielen für uns in vielen Bereichen

eine Rolle.

Beispiele dafür sollten mit den Schülern diskutiert werden

(z. B. vom Baum fallender Apfel, Bewegung eines

weggeworfenen Steins, Wirkung der Gravitationskraft

auf die Atmosphäre, Veränderung der Gravitationskraft

auf eine Person im Flugzeug am Erdboden und in 10 km

Höhe, Veränderung der Gravitationskraft beim Einfahren

in einen tiefen Schacht).

Neu sind für die Schüler das Gravitationsfeld und seine

Beschreibung durch Feldgrößen. Die Lehrkraft sollte bei

der Einführung der Schüler in diesen Inhaltsbereich die

Vorkenntnisse aus der Sekundarstufe 1 nutzen. In der

Regel kennen die Schüler magnetische und elektrische

Felder sowie deren Beschreibung mit Feldlinienbildern.

Daran kann angeknüpft und das Gravitationsfeld in analoger

Weise als Raum um einen massebehafteten Körper

gekennzeichnet werden, in dem auf andere Körper

Kräfte ausgeübt werden.

Bei dem Feldgrößen Potenzial und potenzielle Energie

sollten die Schüler deutlich darauf aufmerksam gemacht

werden, dass man das Bezugsniveau, das man null setzt,

unterschiedlich wählen kann. In Abhängigkeit davon erhält

man verschiedene Werte für diese Größen.

Die Gleichung für die Arbeit im Gravitationsfeld muss

den Schülern aufgrund fehlender mathematischer Vorkenntnisse

meist gegeben werden. Wichtig ist bei der

Interpretation: Für die Höhen über der Erdoberfläche, in

denen wir uns normalerweise bewegen, kann die vereinfachte

Gleichung W = m ∙ g ∙ h angesetzt werden.

FOLIE

Das Gravitationsgesetz

Zwischen beliebigen Körpern

wirken aufgrund ihrer Massen

anziehende Kräfte.

Der Betrag dieser Kräfte ist umso

größer.

− je größer die Massen der Körper

sind und

− je kleiner ihr Abstand voneinander

ist.

Es gilt:

F

F = G ·}

m · M

r 2

Gravitationskräfte wirken auch zwischen der Erde und auf ihr befindlichen

Körpern und zwischen Himmelskörpern (z. B. Sonne – Erde,

Erde – Erdsatellit).

m

r

–F

M


Mechanik

49

Gravitation

1. Um die Sonne bewegen sich acht große Planeten und eine Vielzahl von Planetoiden.

a) Benennen Sie in der Skizze die acht großen Planeten.

ARBEITSBLATT

b) Die maximale Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 152,1 Millionen Kilometer, ihre

minimale Entfernung 147,1 Millionen Kilometer.

Berechnen Sie jeweils die Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne.

2. Für Raketen oder Satelliten ändert sich

der Betrag der Gravitationskraft mit der

Entfernung von der Erdoberfläche.

a) Stellen Sie den Zusammenhang dar.

r E ist der Erdradius. Die Gravitationskraft

auf den Körper beträgt an der

Erdoberfläche 1 000 N.

b) Entnehmen Sie dem Diagramm, in

welcher Höhe über der Erdoberfläche

die Gravitationskraft halb so groß ist

wie auf der Erdoberfläche?

1000

800

600

400

200

F in N

0

r E

2r E

3r E

4r E

3. Bei den amerikanischen Mondlandeunternehmen

(Apollo-Mission), die 1969 –1972 stattfanden und

bei denen Astronauten mehrmals auf dem Mond

landeten, erfolgte der Flug auf der in der Skizze

dargestellten Bahn.

a) Zeichnen Sie die Kräfte auf das Raumschiff in

den Punkten 1, 2 und 3 ein.

b) Wie veränderten sich die Gravitationskräfte mit

Annäherung an den Mond?

Erde 1

2

3



FOLIE

Das Gravitationsfeld der Erde

Flächen gleichen Potenzials

(Äquipotenzialflächen)

verlaufen senkrecht zu den

Feldlinien.

Das Gravitationsfeld der

Erde ist ein Radialfeld. Es

kann mit einem Feldlinienbild

veranschaulicht werden.

Gravitationsfeldstärke

Arbeit im Gravitationsfeld

und potenzielle Energie

g = }

F m

W = G · m · M ( }

1 – }

1 r 1

g = G · }

M r 2 W = ΔE pot

r 2

)

Potenzial im

Gravitationsfeld

V = E pot

} m

V = – G · M }

r

Wird E pot,∞ = 0 gesetzt, so erhält man für einen Körper der Masse

m = 1,0 kg folgenden Potenzialverlauf:

E pot

0

R 3 R 5 R 7 R 9 R r

–0,7 · 10 7 J

–1,3 · 10 7 J

–2,1 · 10 7 J

E pot

= –G · m ·M } r

–6,3 · 10 7 J


Mechanik 51

Mechanische Schwingungen und Wellen

In den verschiedenen Bundesländern wird dieser Inhaltsbereich

teilweise in der Sekundarstufe 1 und teilweise

in der Sekundarstufe 2 behandelt. Die Akzente können

deshalb in der Oberstufe recht unterschiedlich sein. Das

betrifft auch die Einordnung dieses Inhaltsbereichs. Er

wird entweder als Teilbereich der Mechanik oder als Teil

eines Abschnitts "Schwingungen und Wellen" unter Einbeziehung

von elektromagnetischen Schwingungen und

Wellen behandelt.

Im Abschnitt Schwingungen bestehen die Schwerpunkte

darin, dass die Schüler

− eine elementare Einführung in die Schwingungslehre

anhand mechanischer Schwingungen erhalten,

− mechanische Schwingungen mithilfe physikalischer

Größen (Auslenkung, Amplitude, Schwingungsdauer,

Frequenz) beschreiben können,

− Schwingungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten

(harmonisch, nicht harmonisch, ungedämpft, gedämpft)

einteilen können,

− erfassen, dass Schwingungen in vielen Bereichen der

Natur und der Technik auftreten, in einer Reihe von

Fällen genutzt werden, in anderen Fällen aber unerwünscht

sind und verhindert oder gedämpft werden

müssen.

Bei der Einführung des Begriffs Schwingung ist es ist sinnvoll,

periodische Vorgänge von den spezielleren Schwingungen

zu unterscheiden. Geeignet sind dafür die im LB

genannten Beispiele, wobei den Schülern deutlich werden

sollte: Jede Schwingung ist ein periodischer Vorgang,

aber nicht jeder periodischer Vorgang ist eine Schwingung.

Will man zunächst nur einen auf die Mechanik beschränkten

Schwingungsbegriff einführen, dann reicht

eine Formulierung wie z. B.: Eine mechanische Schwingung

ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers

um eine Gleichgewichtslage. Um zu einer solchen

Formulierung zu kommen, empfiehlt es sich, zunächst

verschiedene Schwinger zu betrachten und anhand der

unterschiedlichen Schwinger das Gemeinsame – die periodische

Bewegung um eine Gleichgewichtslage – herauszuarbeiten.

Geeignet dafür sind z. B. Federpendel,

Fadenpendel, schwingende Blattfedern, große Stimmgabeln

oder auch einfach schwingende Plastiklineale oder

eine schwingende Lampe.

An ausgewählten Beispielen kann den Schülern auch

verdeutlicht werden, unter welchen Bedingungen überhaupt

eine mechanische Schwingung zustande kommt.

Vorhanden sein müssen

− ein schwingungsfähiger Körper,

− eine auslenkende Kraft und

− eine zur Ruhelage rücktreibende Kraft.

Unabhängig von der Art der Einführung sollte im Interesse

der Praxisverbundenheit mit den Schülern diskutiert

werden, wo in Natur und Technik Schwingungen auftreten,

wo sie genutzt werden und wo sie auftreten, aber

unerwünscht sind. Die wichtigsten Unterrichtsergebnisse

sind im TB zusammengefasst.

Bei der Einführung von Größen zur Beschreibung mechanischer

Schwingungen bietet sich eine enge Verknüpfung

zwischen einem realen Schwinger und dem t-y-

Diagramm an. Besonders eignet sich dazu ein langsam

schwingendes vertikales Federpendel, weil in diesem Fall

die Schwingungsrichtung mit der Darstellung im t-y-Diagramm

übereinstimmt.

Eine mechanische Schwingung

ist eine zeitlich periodische Bewegung

eines Körpers um eine

Gleichgewichtslage.

Mechanische Schwingungen

TAFELBILD


können erwünscht oder unerwünscht

sein.

Erwünschte Schwingungen

Pendel einer Uhr

Schaukel

Unruh einer Uhr

Stimmgabel

Unerwünschte Schwingungen

Schwingungen eines Autos

Klirren von Fensterscheiben

Mitschwingen des Fundaments einer Maschine



FOLIE

Beschreibung mechanischer Schwingungen


können durch t-y-Diagramme

beschrieben werden.

Auslenkung y

y max

Größen zur Beschreibung von

Schwingungen sind:

– die Auslenkung y (jeweiliger

Abstand von der Gleichgewichtslage)

y max

Schwingungsdauer T

Zeit t

– die Amplitude y max (maximaler Abstand von der Gleichgewichtslage)

– die Schwingungsdauer T (Dauer einer vollständigen Hin- und

Herbewegung)

– die Frequenz f (Anzahl der Schwingungen je Sekunde)

y = y max · sin ( 2 π }

T · t ) = y max · sin (ω · t)

Geeignete Experimente zur Demonstration von Schwingungsbildern

sind:

− Schwingungen einer angeschlagenen Stimmgabel:

Eine Stimmgabel mit Schreibspitze wird über eine

berußte Glasplatte gezogen. Damit dieses für alle

Schüler sichtbar ist, legt man die Glasplatte auf den

Tageslichtprojektor.

− Schallschwingungen unterschiedlicher Art: Mithilfe

von Mikrofon und Oszillograf lassen sich unterschiedliche

Schwingungen sichtbar machen.

− Schwingungen eines Sandpendels: Ein bifilar aufgehängtes,

mit Sand gefülltes Pendel wird genutzt, um

ein Schwingungsbild zu erzeugen.

−

Pendelkörper

mit Sand gefüllt

Unterlage

Schwingungen eines Fadenpendels mit Schreibspitze:

Der Aufbau ist analog dem des Sandpendels. Als

Pendelkörper wird ein Körper großer Masse verwendet.

Mit ihm verbunden ist ein vertikal beweglicher

Schreibstift. Als Unterlage wird Papier verwendet.

Zur Festigung kann das beiliegende Arbeitsblatt genutzt

werden. Bei der Erarbeitung der Gleichung für die

Schwingungsdauer eines Fadenpendels können die Akzente

z. B. sehr unterschiedlich gesetzt werden:

− Es wird beim Fadenpendel der Zusammenhang T ~ √ } l

untersucht.

Das Ergebnis dieser Untersuchung wird in der Regel

sein, dass man feststellt: Beide Größen sind nicht

proportional zueinander. Nicht ableitbar aus der üblichen

grafischen Darstellung ist die oben genannte

Beziehung. Will man vom Experiment her zu dieser

Beziehung kommen, so sind mindestens folgende zusätzliche

Schritte erforderlich:

− Es müssen Vermutungen über den Zusammenhang

entwickelt werden.

− Diese Vermutungen müssen durch Rechnung (z. B.

T: √ } l = konstant) oder durch spezielle grafische

Darstellungen erhärtet werden. Das bedeutet ein

Abtragen von T und √ } l auf den Achsen. Dann ergibt

sich in der grafischen Darstellung eine Gerade.

Ein solches Herangehen scheint nur in leistungsstarken

Klassen sinnvoll.

− Die Gleichung für die Schwingungsdauer wird vorgegeben

und einzelne Zusammenhänge werden im SE

bestätigt.

− Es wird auf der Grundlage von Vermutungen experimentell

untersucht, wovon die Schwingungsdauer

noch abhängig sein könnte. Das wären z. B. die maximale

Auslenkung und die Masse des Pendelkörpers.


Mechanik

53

Arten von Schwingungen

FOLIE

Schwingungen können nach ihrer Form unterschieden werden.

harmonische (sinusförmige)

Schwingungen

nicht harmonische Schwingungen

y

y

t

t

Beispiel:

Fadenpendel

Federpendel

Beispiel:

klirrende Fensterscheibe

Schwingungen können nach der Art des Schwingungsverlaufs

unterschieden werden.

ungedämpfte Schwingungen

y

gedämpfte Schwingungen

y

t

y max = konst.

y max wird kleiner

t

Die Amplitude bleibt konstant.

Die Amplitude geht gegen null.

E pot

E zu

E kin

E therm

E pot E kin

E therm

Beispiel:

Pendel einer Pendeluhr

Beispiel:

einmal angeschlagene Stimmgabel



ARBEITSBLATT


1. Welche Größen ändern sich bei den skizzierten Schwingern zeitlich periodisch?

a) b) c)

2. Die Skizzen zeigen die Schwingungen eines Federpendels.

a) Markieren Sie die Gleichgewichtslage und die maximale Auslenkung. Zeichnen Sie jeweils die

resultierende Kraft ein.

b) Wie groß ist die Schwingungsdauer, wenn der zeitliche Abstand zwischen zwei Bildern 0,2 s

beträgt?

3. Bestimmen Sie aus dem t-y-Diagramm Amplitude,

Schwingungsdauer und Frequenz.

y in cm

y max =

20

T =

10

f =

0

1 2 3 4

t in s

–10

Schwingungsgleichung:

–20

–30


Mechanik 55

Im Abschnitt Wellen bestehen die Schwerpunkte darin,

dass die Schüler

− wissen, was man unter einer Welle versteht,

− Größen zur Beschreibung mechanischer Wellen kennen

und Wellen damit beschreiben können,

− wesentliche Eigenschaften von Wellen (Reflexion,

Brechung, Beugung, Interferenz) kennen und erfassen,

welche Bedeutung diese Eigenschaften in der

Praxis haben.

Ähnlich wie bei den Schwingungen ist es zunächst zu

empfehlen, den Schülern verschiedene mechanische Wellen

zu demonstrieren. Dazu eignen sich u. a. folgende

Anordnungen:

− Mit einem an der Wand befestigten Seil können Seilwellen

demonstriert werden.

− Anhand von gekoppelten Federschwingern oder gekoppelten

Fadenpendeln kann man die Ausbreitung

in Schwingungen im Raum zeigen.

− Mithilfe einer Spiralfeder kann man – analog zu den

Seilwellen – sowohl Längswellen als auch Querwellen

demonstrieren.

− Eingesetzt werden können auch die unterschiedlichen

Arten von Wellenmaschinen.

Im Ergebnis dieser Betrachtungen soll den Schülern das

Wesen mechanischer Wellen deutlich werden: Breitet sich

eine mechanische Schwingung im Raum aus, so spricht

man von einer mechanischen Welle.

Im Experiment werden Wellen erzeugt und unter zwei

Aspekten betrachtet:

a) Betrachtet man einen beliebig ausgewählten Schwinger

über eine Zeit lang hinweg, so gilt für den einzelnen

Schwinger: Er bewegt sich zeitlich periodisch um

eine Gleichgewichtslage.

b) Betrachtet man eine „Momentaufnahme“ aller

Schwinger, also die Schwinger zu einem bestimmten

Zeitpunkt, so gilt: Zu beobachten ist eine räumlich periodische

Bewegung um die Gleichgewichtslage.

Erst nach diesen Betrachtungen sollte zu der gängigen

Formulierung „Eine Welle ist eine zeitlich und räumlich

periodische Änderung einer physikalischen Größe“ übergegangen

werden. Die Schüler sollten auf folgende Voraussetzungen

für das Entstehen mechanischer Wellen

aufmerksam gemacht werden:

− Es müssen schwingungsfähige Körper vorhanden sein.

− Die schwingungsfähigen Körper müssen kräftemäßig

gekoppelt sein.

− Es muss ein Erreger vorhanden sein, damit es überhaupt

zu einer Welle kommt.

Gerade im Hinblick auf den Vergleich zu den elektromagnetischen

Wellen ist es sinnvoll, am Beispiel der mechanischen

Wellen den Unterschied zwischen Längs- und

Querwellen zu thematisieren.

Mechanische Wellen

FOLIE

Beispiele für mechanische Wellen sind Wasserwellen, Schallwellen, Erdbebenwellen,

Seilwellen.

Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung einer mechanischen Schwingung

im Raum.

Nach der Beziehung zwischen Ausbreitungsrichtung und Schwingungsrichtung

unterscheidet man Querwellen und Längswellen.

Mit Wellen wird Energie, aber kein Stoff transportiert.

Querwellen

Schwingungsrichtung

Längswellen

Schwingungsrichtung

Ausbreitungsrichtung

Beispiel: Wasserwellen


Beispiel: Schallwellen



FOLIE

Beschreibung mechanischer Wellen

Bewegung eines Schwingers an

einem bestimmten Ort x

(x = konstant)

y

Bewegung der Schwinger zu

einen bestimmten Zeitpunkt t

(t = konstant)

y

y max

t

y max

x

Schwingungsdauer T

Wellenlänge λ

Die Wellenlänge λ gibt den Abstand zweier benachbarter Wellenberge

bzw. Wellentäler an.

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v gibt an, wie schnell sich z. B. ein

Wellenberg ausbreitet.

v = λ · f y = y max · sin 32 π ( }

t T – }

x λ) 4

Es sei darauf aufmerksam gemacht, dass bei der Beschreibung

von Wellen mit Diagrammen und Gleichungen unterschiedliche

Bezeichnungen möglich sind:

− Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird mitunter

c gesetzt. Da c aber üblicherweise für die Lichtgeschwindigkeit

genutzt wird, sollte man bei mechanischen

Wellen v bevorzugen.

− Für den Ort wird s oder x verwendet. Wenn man in

Diagrammen für den Ort s nutzt, sollte auch die Wellengleichung

entsprechend angepasst werden.

Einige Unterrichtsergebnisse sind auf den Folien zusammengefasst.

Bei der Darstellung von Wellen im Diagramm

und bei der Behandlung von Größen zur Beschreibung

mechanischer Wellen kann unmittelbar an die Behandlung

der Schwingungen angeknüpft werden. Besonders

deutlich werden die Zusammenhänge für die Schüler,

wenn man ein reales Experiment mit den entsprechenden

grafischen Darstellungen in Beziehung setzt, so

wie das im LB gemacht ist. Zur Festigung bietet das LB ein

breites Angebot an Aufgaben und Experimenten an. Genutzt

werden können auch die beiliegenden Folien und

Arbeitsblätter.

Wichtige Eigenschaften mechanischer Wellen sind im

LB in einer Übersicht zusammengefasst. Sie können gut

am Beispiel von Wasserwellen oder von Schallwellen demonstriert

werden.

Die Reflexion lässt sich überzeugend mit Schallwellen

zeigen. Anwendungen dazu sind z. B. das Stethoskop,

das Sprachrohr oder das Echo.

Die Demonstration der Brechung mit Wasserwellen erfordert

experimentelles Geschick und eine hinreichende

Erprobung, wenn der Effekt für die Schüler überzeugend

sein soll.

Beugung und Interferenz können gut mit Wasserwellen

oder Schallwellen demonstriert werden.

Im Internet gibt es auch verschiedene Simulationen, auf

die man die Schüler aufmerksam machen sollte und die

im Unterricht genutzt werden können. Zu empfehlen

ist das Portal www.schulphysik.de, bei dem zahlreiche

Simulationen zu allen Bereichen der Physik angeboten

werden.


Mechanik

57

Arten mechanischer Wellen

FOLIE

Art Transversalwelle Longitudinalwelle

Oberflächenwelle

Merkmal

Schwingungsund


stehen senkrecht

aufeinander.

Schwingungsund


fallen

zusammen.

Schwinger bewegen

sich auf

Kreisbahnen,

deren Ebenen

parallel zur Ausbreitungsrichtung

liegen.

x x x

Beispiel Seilwellen Schallwellen Wasserwellen

Art lineare Welle Oberflächenwelle

räumliche Welle

Merkmal

eindimensionale

Ausbreitung

längs einer

Geraden

zweidimensionale

Ausbreitung auf

der Oberfläche

eines Körpers

dreidimensionale

Ausbreitung im

Raum

y

z

x

x

x

y

Beispiel

Wellen auf

Stäben oder

Schienen

Wasserwellen,

Erdbebenwellen

Schallwellen,

Erdbebenwellen



ARBEITSBLATT

Mechanische Wellen

1. In den Abbildungen sind Erscheinungen dargestellt. Notieren Sie jeweils, ob es sich um eine

mechanische Welle handelt. Begründen Sie Ihre Aussage.

2. Die folgenden Diagramme beschreiben eine Schallwelle, die von einer Stimmgabel ausgeht.

y in mm

y in mm

2

1

0

–1

0,0025 0,005

t

2

1

0

–1

43 86 129

x in cm

–2

–2

Ermitteln Sie aus den Diagrammen bzw. durch Berechnung die folgenden Kenngrößen der Welle:

y max = λ =

T = f =

3. Eine Welle hat eine Amplitude von 2 cm, ihre Frequenz beträgt 5 Hz und ihre Wellenlänge 1,0 m.

Stellen Sie die Welle in einem t-y-Diagramm und in einem x-y-Diagramm dar.


Mechanik 59

Beugung und Interferenz können gut mithilfe eines Wasserwellengeräts

demonstriert werden. Besonders überzeugend

ist die Interferenz von Wellen für die Schüler

auch, wenn man 2 Lautsprecher im Abstand von ca. 1,5 m

auf einen drehbaren Tisch bringt, beide mit einem Tongenerator

verbindet und den Tisch dann langsam dreht.

Für die Schüler sind dann deutlich Gebiete der Verstärkung

und der Abschwächung wahrnehmbar.

Um die Eigenschaften von Wellen zu erklären, benötigt

man das huygenssche Prinzip. Zu seiner Einführung eignen

sich Simulationen wie etwa die von Fendt, zu finden

unter www.schulphysik.de. Damit wird für die Schüler

verständlich, wie Beugung zustande kommt. Auf die

meist geringe Intensität der gebeugten Wellen sollten

die Schüler aufmerksam gemacht werden.

Zur Demonstration der Überlagerung von Wellen mithilfe

eines Tageslichtprojektors eignen sich zwei Wellenzüge,

die auf eine durchsichtige Folie kopiert werden (Vorlage

b unten). Dieses Modell ist gut geeignet, um die Entstehung

von Verstärkung, Abschwächung und Auslöschung

zweier Wellen zu verdeutlichen. Ebenfalls demonstriert

werden kann damit die Entstehung stehender Wellen.

Beugung und Interferenz

FOLIE

Unter Beugung von Wellen versteht

man die Eigenschaft, sich

hinter Öffnungen und Hindernissen

in den Schattenraum hinein

auszubreiten.

Die ungestörte Überlagerung von

Wellen gleicher Wellenlänge, gleicher

Ausbreitungs geschwindigkeit

und gleicher Schwingungs richtung

bezeichnet man als Interferenz.

Hindernis

Die Intensität ist im Bereich des

Schattenraums gering.

Es bilden sich Bereiche der Verstärkung

und der Abschwächung

(Auslöschung) heraus.

FOLIE



ARBEITSBLATT

Konstruktion eines Interferenzbildes

Von zwei Erregern gehen Wellen aus. Die Wellenberge sind als durchgehende Linien gezeichnet, die

Wellentäler als gestrichelte Linien.

a) Ergänzen Sie die vom zweiten Erreger ausgehenden Wellen. Sie haben die gleiche Wellenlänge

und die gleiche Amplitude wie die vom ersten Erreger ausgehenden Wellen.

b) Markieren Sie farbig Gebiete der Verstärkung und der Auslöschung.


Mechanik

61

Entstehung eines Interferenzmusters

FOLIE

Kopieren Sie die Vorlage zweimal auf durchsichtige Folie. Mit zwei dieser

Folien kann man die Entstehung von Interferenzmustern mit dem

Tageslichtprojektor demonstrieren.



Zum Thema „Anwendungen mechanischer Wellen“ gibt

es zahlreiche Möglichkeiten, längerfristig Schülerreferate

vorbereiten zu lassen. Damit kann die in vielen Lehrplänen

enthaltene Forderung erfüllt werden: Im Rahmen

von Referaten und Unterrichtsprojekten erarbeiten die

Schüler selbstständig neue Inhalte aus den angegebenen

Themenbereichen. Dabei erweitern sie ihre Fähigkeiten,

Probleme allein oder im Team eigenverantwortlich zu

behandeln und dabei auch wissenschaftliche Arbeitsmethoden

zu benutzen. Vorschläge für Themen sind unten

angegeben.

Ein mögliches Projekt könnte lauten: „Lärm und Lärmschutz.“

Dabei sollte man auf einige Eigenschaften von

Schall, die beim Lärmschutz von Bedeutung sind, eingehen:

− Wenn Schall auf Körper trifft, wird er zum Teil absorbiert

(aufgenommen). Wie viel Schall absorbiert wird,

hängt von dem betreffenden Stoff ab. Experimentell

lässt sich dies leicht demonstrieren, wenn man zwischen

eine Schallquelle (an Tongenerator angeschlossener

Lautsprecher) und die Schüler verschiedene

Stoffe bringt (z. B. Glasplatte, Pappe, dünnen Stoff,

dicke Stoffmatte).

− Wenn Schall auf Körper trifft, wird er zum Teil reflektiert.

− Wenn Schall auf Körper trifft, dann geht er teilweise

um diese Körper herum (wird gebeugt). Jeder Schüler

weiß aus der Erfahrung, das man z. B. ein heranfahrendes

Auto auch hört, wenn man hinter einer Hausecke

steht.

Aus fachlicher Sicht ist zu beachten: Lautstärke oder

Lautstärkepegel ist eine physiologische Größe, gemessen

in Phon (phon). Die entsprechende physikalische Größe

ist der Schallpegel in Dezibel (dB). Für 1 000 Hz stimmen

die Zahlenwerke überein, sodass heute meist nur Werte

in dB angegeben werden.

Bei der Erörterung von Problemen der Lärmvermeidung

und der Lärmbekämpfung sollten die örtlichen Gegebenheiten

in den Vordergrund gestellt werden.

Die Schüler sind eindringlich darauf aufmerksam zu machen,

dass auch „normaler“ Lärm zu erheblichen längerfristigen

gesundheitlichen Beeinträchtigungen führen

kann.

Aktuelle Informationen zum Thema findet die Lehrkraft

in der Broschüre „Lärmschutz im Verkehr“ des Bundesministerium

für Verkehr, Bau und Stadtentwickelung.

FOLIE

Themen für Schülerreferate

1. Raumakustik

2. Schalldämpfer bei Kraftfahrzeugen: Aufbau, Wirkungsweise

3. Echolot

4. Ultraschalldiagnose in der Medizin

Ultraschalldiagnose bei der Werkstattprüfung

Ultraschall zum Bohren und Schneiden von harten Werkstoffen

5. Doppler-Effekt, Überschallknall (Machscher Kegel)

6. Leben und Werk des niederländischen Physikers Christiaan Huygens

(1629–1695)

7. Wellenkraftwerke

8. Historische Entwicklung der Vorstellungen von Schall

9. Orientierung und Verständigung bei Tieren mithilfe von Ultraschall


Thermodynamik

63

2.3 Thermodynamik

Die Behandlung von Elementen der Thermodynamik in

der Oberstufe ist in den verschiedenen Bundesländern

extrem unterschiedlich. In einigen Bundesländern wird

Thermodynamik ausschließlich in der Sekundarstufe 1

und dort meist in den Anfangsklassen (Kl. 6 – 8) behandelt.

Andere Bundesländer haben Elemente der Thermodynamik

in die Lehrpläne der Oberstufe aufgenommen,

wobei es in der Regel um folgende inhaltlichen Schwerpunkte

geht:

− Grundaussagen der kinetischen Gastheorie,

− Gasgesetze und Zustandsänderungen,

− Hauptsätze der Thermodynamik und Kreisprozesse.

Im Lehrbuch Physik, Gymnasiale Oberstufe, sind darüber

hinaus die Grundlagen der Thermodynamik dargestellt,

die in der Sekundarstufe 1 Inhalt des Unterrichts sind. Es

handelt sich dabei vor allem um

− die Temperatur,

− die Übertragung von Energie in Form von Wärme,

− Aggregatzustände und ihre Änderungen,

− die Volumen- und Längenänderung von Körpern bei

Temperaturänderung.

Die Schüler haben damit die Möglichkeit, Grundlagen

der Thermodynamik selbstständig zu wiederholen.

Nachfolgend sind einige Materialien zusammengestellt,

die für eine Wiederholung von Grundlagen genutzt werden

können. Darüber hinaus sind Materialien vorhanden,

die auf Inhalte zielen, die nur in der Oberstufe behandelt

werden.

Wichtig ist insgesamt eine klare und eindeutige Terminologie.

Das gilt insbesondere für die Begriffe innere Energie

und Wärme.

Die innere Energie wird mitunter auch als thermische

Energie bezeichnet.

Beim Begriff Wärme gibt es nicht selten bei den Schülern

Unklarheiten. Deshalb sollte der Begriff Wärme deutlich

von den Begriffen Temperatur und Energie abgegrenzt

werden. Dazu gibt es unterschiedliche Möglichkeiten:

1. Es wird bewusst an die Umgangssprache angeknüpft

und anhand einfacher Beispiele (Erwärmung von

Wasser in einem Teich durch die Sonnenstrahlung,

Abkühlung heißen Wassers usw.) mit den Schülern

diskutiert, wie man Vorgänge mit den Begriffen

Energie und Wärme beschreiben kann.

2. Die Schüler werden aufgefordert, Beispiele für die

Verwendung des Wortes Wärme bzw. warm zu nennen.

Dabei sollte beachtet werden, dass der Begriff

Wärme mit sehr unterschiedlichen Inhalten verwendet

wird:

Temperatur, innere Energie, Wärme

FOLIE

Temperatur T

gibt an,

wie kalt oder warm

ein Körper ist.

innere Energie E i

gibt an,

welche Energie ein

Körper aufgrund seiner

Temperatur hat.

Wärme Q

gibt an,

wie viel thermische

Energie von einem

Körper auf einen

anderen übertragen

wird.

hohe Temperatur

niedrigeTemperatur

E i

Körper 1 Wärme Q = ΔE i

Körper 2

E i

Temperatur sinkt

Temperatur steigt



a) Wärme als Zustand im Sinne von Energie (Wasser

ist ein Wärmespeicher).

b) Wärme als Zustand im Sinne von Temperatur ( „Mir

ist warm“, „Morgen soll es 25 °C warm werden,“)

c) Wärme als etwas, was von einem Körper auf einen

anderen Körper übergeht. (Der Ofen strahlt

Wärme ab).

Inwieweit genauer auf einzelne Schwerpunkte eingegangen

wird, hängt von den Lehrplanforderungen in

den einzelnen Bundesländern ab. Nachfolgend sind dazu

einige Materialien angeboten. Diese Materialien können

im Rahmen einer systematisierenden Wiederholung, zur

Festigung oder als Zusammenfassung genutzt werden.

Interessant ist eine Diskussion der Frage, was eigentlich

mit einem Körper geschehen kann, wenn ihm Wärme

zugeführt wird oder wenn vom Körper Wärme an die

Umgebung abgegeben wird. Das Ergebnis der Diskussion

könnte eine Zusammenstellung sein, so wie sie unten auf

der Folie dargestellt ist.

FOLIE

Körper bei Wärmezufuhr oder Wärmeabgabe

Wird einem Körper Wärme zugeführt oder von ihm Wärme

abgegeben, so kann das verschiedene Auswirkungen haben.

Die Temperatur des

Körpers ändert sich.

ΔT = Q }

c · m

Q = c · m · ΔT

Bei der Umwandlungstemperatur

ändert sich

der Aggregatzustand.

Q s = m · q s

Q v = m · q v

Wärmezufuhr

oder

Wärmeabgabe

Volumen bzw. Länge

des Körpers ändert sich.

ΔV = γ · V 0 · ΔT

Δl = α · l 0 · ΔT ΔE i = W + Q

Die innere Energie des

Körpers ändert sich. Es

wird Wärme ausgetauscht

oder Arbeit verrichtet.


Thermodynamik

65

Energieübertragung durch Wärme

FOLIE

erfolgt durch wärmeleitende

Stoffe hindurch.

erfolgt mit strömenden

Stoffen.

erfolgt ohne Stoff.

Wärmeleitung Wärmeströmung Wärmestrahlung

gute Wärmeleiter

alle Metalle (z. B.Silber,

Kupfer, Gold)

schlechte Wärmeleiter

Gase und Flüssigkeiten,

Nichtmetalle,

Holz, Kunststoffe

erfolgt in der Erdatmosphäre

mit Luft,

in Gewässern und

Rohren mit Wasser.

kann durchsichtige

Stoffe durchdringen.

Sie wird von Körpern

teilweise reflektiert,

teilweise absorbiert.

Die Art der Wärmeübertragung ist unerwünscht

z. B. zwischen Zimmer

und Umgebung

z. B. zwischen einem

kalten und einem

warmen Raum

z. B. bei einer Glühlampe

Die Art der Wärmeübertragung wird genutzt oder tritt auf

z. B. bei Kochtöpfen,

beim Lötkolben

z. B. in Räumen, in der

Atmosphäre, beim

Golfstrom

z. B. bei der Sonnenstrahlung,

bei Infrarotstrahlern

Die Wärmeübertragung kann verringert werden

durch Verwendung

schlechter Wärmeleiter

durch die Beseitigung

strömender Stoffe

(Vakuum) oder Verringerung

der Strömung

durch Verwendung

reflektierender Stoffe

(helle und glatte

Oberflächen)



FOLIE

Aggregatzustände und ihre Änderung

gasförmig

(z. B. Wasserdampf)

Sieden

Kondensieren

Sublimieren

flüssig

(z. B. Wasser)

Resublimieren

Wärmezufuhr

Wärmeabgabe

Schmelzen

Erstarren

fest

(z. B. Eis)

Die Übersichten auf dieser Seite dienen der rationellen

Wiederholung. Ein Problem, das mit den Schülern diskutiert

werden könnte, ist der Unterschied zwischen Sieden

und Verdunsten. Dieser Unterschied ist erfahrungsgemäß

bei Weitem nicht allen Schülern klar. Interessant ist

auch eine Diskussion der Frage, wo Verdunsten eine Rolle

spielt, wo und zu welchem Zweck es genutzt wird und wo

es als unerwünschter Effekt vermieden werden sollte. Als

Stichworte seien die Verdunstungskälte, das Kalthalten

von Getränken in porösen Gefäßen oder das Verdunsten

von Wasser mit anschließender Wolkenbildung genannt.

FOLIE

Sieden und Kondensieren

Es wird Wärme zugeführt (Verdampfungswärme).

Sieden

flüssiger Aggregatzustand

gasförmiger Aggregatzustand

Kondensieren

Es wird Wärme abgegeben (Kondensationswärme).

Sieden und Kondensieren erfolgt bei einer bestimmten Temperatur, der

Siedetemperatur. Während des Siedens und Kondensierens ändert sich

die Temperatur nicht. Verdampfungswärme und Kondensationswärme

sind gleich groß.


Thermodynamik

67

Die Gasgesetze

FOLIE

Für das Modell ideales Gas gilt folgender Zusammenhang zwischen

Druck p, Volumen V und Temperatur T einer abgeschlossenen Gasmenge:

p · V

}

T = konstant p 1 · V

} 1

= p 2 · V

T

} 2

1

T 2

Bei der Konstanz einer Größe ergeben sich folgende Spezialfälle:

Isobare Zustandsänderung

(p = konst.)

V

}

T = konst.

V

} 1

= V 2

T

}

1

T 2

(Gesetz von

GAY-LUSSAC)

Isochore Zustandsänderung

(V = konst.)

p

}

T = konst.

p

} 1

= p 2

T

}

1

T 2

(Gesetz von

AMONTONS)

Isotherme Zustandsänderung

(T = konst.)

p · V = konst.

p 1 · V 1 = p 2 · V 2

(Gesetz von BOYLE und

MARIOTTE)

V

p

p

V 2

p

p 2

V

p 2

T

V 1

p 1

p 1

T 1

T 2

T

T 1

T 2

T

V 2

V 1

V

p

p

T 1

V 1

T 2

V 2

V

p

p 2

p 1

T 1

T 2

V

V

p

p 2

p 1

V 1

V 2

T

V



In der kinetischen Gastheorie geht es darum, die Beschreibung

thermodynamischen Systeme mit Teilchengrößen

vorzunehmen und damit auch das Verständnis

für Begriffe zu vertiefen, die die Schüler teilweise schon

aus dem Unterricht der Sekundarstufe 1 kennen. Es handelt

sich dabei z. B. um Begriffe wie Temperatur, Druck,

kinetische und innere Energie.

Die räumliche Verteilung von Teilchen lässt sich gut mit

einem Luftkissentisch demonstrieren: Unabhängig von

der Ausgangslage erhält man nach hinreichender Zeit

stets eine Art Gleichverteilung der schwebenden Teilchen.

Ein solches Modellexperiment ist zugleich ein guter

Ansatzpunkt, um die Schüler auf folgenden Sachverhalt

aufmerksam zu machen: Bei Experimenten oder in Zeichnungen

hat man es immer mit relativ wenigen Teilchen

zu tun. Bei thermodynamischen Systemen geht es dagegen

immer um große Teilchenzahlen und damit um statistische

Betrachtungen.

Die Geschwindigkeitsverteilung lässt sich ebenfalls gut

experimentell zeigen (b LB S. 197, Aufg. 2). Die theoretischen

Betrachtungen dazu können in unterschiedlicher

Tiefe durchgeführt werden.

Wichtig ist, dass die Schüler erkennen: Größen wie Druck

oder Temperatur, die wir messen können, lassen sich

auch mikrophysikalisch über Teilchengrößen deuten. Für

einige Größen ist das zusammenfassend in der Übersicht

unten dargestellt.

FOLIE

Kinetische Gastheorie

Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie lautet:

p · V = 2 }

3 N · } E kin

Zustandsgröße

Druck p

Temperatur T

Mittlere kinetische

Energie } E kin

Innere Energie E i

Kinetische-statistische Deutung

Der Druck kommt durch elastische Stöße einer

Vielzahl von Teilchen zustande.

p ~ N }

V

p ~ } E kin

Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere

kinetische Energie der Teilchen.

T~ } E kin T~ }

v 2

Die mittlere kinetische Energie der Teilchen

hängt von der Temperatur des Gases ab.

}

E kin ~ T

Die innere Energie eines Gases ist gleich der

Summe der mittleren kinetischen Energie

aller Teilchen.

E i = N · } E kin


Thermodynamik 69

Innere Energie und ihre Änderung

FOLIE

Innere Energie ist die insgesamt in eine Körper enthaltene Energie.

Änderung der inneren

Energie eines Körpers

durch Verrichten von Arbeit

W = ΔE i

durch Zufuhr oder Abgabe von Wärme

Q = ΔE i

W W Q Q

ΔE i wird größer ΔE i wird kleiner ΔE i wird größer ΔE i wird kleiner

Das Verrichteten von Arbeit und das Austauschen von Wärme kann

auch gleichzeitig erfolgen. Es gilt:

Δ E i = W + Q

FOLIE

Kreisprozesse

FOLIE

Bei allen kontinuierlich arbeitenden Wärmekraftmaschinen erfolgen

Kreisprozesse.

Ein Kreisprozess ist eine Abfolge von Zustandsänderungen, mit denen

der Ausgangszustand wieder erreicht wird.

Beispiel:

Heißluftmotor (Stirling-Motor)

1. Isotherme Expansion

p

4

1

2. Isochore Abkühlung

3. Isotherme Kompression

4. Isochore Erwärmung

W T 1

2

3 T 2

V 1 V 2

V



Der Begriff Entropie gehört zu den schwierigsten physikalischen

Begriffen überhaupt. Seine Vielschichtigkeit

– insbesondere sein hohes Abstraktionsniveau – kann

von den Schülern wohl kaum vollständig erfasst werden.

Daher ist es sinnvoll, sich auf einige grundlegende

Aspekte des Begiffs zu beschränken und die unterrichtliche

Behandlung so anzulegen, dass bei Bedarf zu einem

späteren Zeitpunkt sinnvolle Ergänzungen und Erweiterungen

eingeführt werden können.

Die didaktisch-methodischen Auffassungen zu Einführung

und Nutzung des Begriffs Entropie sind recht unterschiedlich.

Wir empfehlen – so wie im Lehrbuch dargestellt

– die Entropie sowohl phänomenologisch als auch

kinetisch-statistisch einzuführen.

Dies ist didaktisch durch zwei unterschiedliche – leider

aber auch kaum zu vereinbarende – Vorteile eines jeden

Verfahrens motiviert. Die statistische Deutung der Entropie

bietet dem Schüler in gewissen Grenzen die Möglichkeit,

sich unter dem Begriff der Entropie und den damit

verbundenen irreversiblen Prozessen anschaulich etwas

vorstellen zu können (die Unwahrscheinlichkeit, dass

viele Teilchen von allein in ihre Ausgangslage zurüchkehren).

Die phänomenologische Sicht eröffnet in Verbindung

mit der Definition ΔS = }

Q die Möglichkeit zu praktischen

Berechnungen und zur Messung der

T

Entropie.

Die Einführung der Entropie wird hauptsächlich über

die Notwendigkeit zur Kennzeichnung irreversibler und

reversibler Prozesse begründet. Tatsächlich ist diese Motivation

aus physikalischer Sicht nicht ausreichend. Allerdings

entspricht dieses Konzept nährungsweise dem

historischen Verlauf der Ereignisse im 19. Jahrhundert.

Dabei ist zu berücksichtigen, dass man damals hauptsächlich

reversib le und irreversible Vorgänge an Wärmekraftmaschinen

untersucht hat.

Ein wenig Unterrichtszeit sollte man einplanen, um den

Schülern einen interessanten Aspekt der modernen Physik

zu verdeutlichen – die Verknüpfung von Entropie und

Zeit.

Wir benutzen zur Zeitmessung möglichst streng periodische

Vorgänge, z. B. die Schwingungen von Quarzkristallen,

Atomgittern und Pendeln oder die Rotation der

Erde. Solche streng periodischen Vorgänge sind stets reversibel.

Anhand reversibler Vorgänge kann man nicht

erkennen, dass die Zeit in einer bestimmten Richtung

abläuft. Sie eignen sich aber zur Zeitmessung. Um die

Richtung der Zeit wahrzunehmen, um zwischen Vergangenheit,

Gegenwart und Zukunft zu unterscheiden, bedarf

es solcher Vorgänge , die nur in einer bestimmten

Richtung ablaufen können. Dies sind irreverversible Vorgänge,

die ganz wesentlich durch die Entropiezunahme

beschrieben werden.

FOLIE

Die Entropie

Die Entropie ist eine physikalische Größe, die 1865 von dem deutschen

Physiker ROBERT CLAUSIUS (1822–1888) eingeführt wurde.

Die Entropie ist eine physikalische Größe, mit deren Hilfe man die

Irreversibilität eines Vorganges beschreiben kann.

Für ihre Definition und Veranschaulichung gibt es unterschiedliche,

physikalische gleichwertige Formulierungen:

− Die Entropie ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit des Zustandes in

einem System.

ΔS = k · In W

− Die Entropie ist ein Maß für die bei einer bestimmten Temperatur

ausgetauschte Wärme.

ΔS = Q }

T

− Die Entropie ist ein Maß für den Wert von Energie in einem System.

Mit der Erzeugung von Entropie ist eine Verringerung des Wertes

von Energie verbunden.


Thermodynamik

71

Die Gasgesetze

FOLIE

Reversible Vorgänge

sind Vorgänge, die von einem

Ausgangszustand aus von allein

wieder zu diesem Zustand

führen.

Irreversible Vorgänge

sind Vorgänge, die von einem

Ausgangszustand aus nicht von

allein wieder zu diesem Zustand

führen.

− Bewegung der Erde

− Fadenpendel und Federschwinger

(kurzzeitig näherungsweise)

− Lösung von Zucker in Tee

− Abbremsen eines Autos

Für ein abgeschlossenes System

gilt:

Die Entropie ändert sich nicht.

ΔS = 0

ΔE mech = 0

Für ein abgeschlossenes System

gilt:

Die Entropie nimmt zu.

ΔS = S E – S A > 0

ΔE mech = E E – E A < 0

Bei einfachen thermodynamischen Systemen sind irreversible Vorgänge

durch folgende Merkmale gekennzeichnet:

− Wärme wird an die Umgebung abgegeben und zerstreut sich dort.

− Das System gelangt in den Zustand einer größeren Unordnung.

− Die Energie und die Teilchen des Systems nehmen eine wahrscheinlichere

Verteilung an.

Durch reversible Vörgänge lässt sich ein Zeitmaß festlegen. Irreversible

Vorgänge verdeutlichen die Richtung des zeitlichen Verlaufs.



Der Inhaltsbereich „Strahlungsgleichgewicht und Strahlungsgesetze“

ist nicht nur im Hinblick auf die Astrophysik

von Interesse. Hochaktuell sind Themen wie

− die Energiebilanz der Erde,

− der Treibhauseffekt oder

− moderne Lichtquellen und deren Spektren.

Welche Schwerpunkte für den Unterricht gewählt werden,

muss der Lehrer in Absprache mit seinen Schülern

entscheiden.

Bei der Energiebilanz der Erde empfiehlt sich eine pauschale

Energiebilanz unter dem Aspekt des thermodynamischen

Gleichgewichts (b LB S. 221). Betrachtungen

zum Treibhauseffekt und mögliche Auswirkungen dieses

Effektes sind nur anhand relativ einfacher Modelle zu

empfehlen.

Dabei ist zu beachten: Die Emission und Absorption von

Strahlung durch die Erde und ihre Atmossphäre ist ein

komplizierter und komplexer Prozess, der auch heute bei

weitem noch nicht in allen Einzelheiten erforscht ist.

FOLIE

Hauptbereiche und Eigenschaften

von Temperaturstrahlung

Temperaturstrahlung der Sonne

Infrarotes Licht Sichtbares Licht Ultraviolettes

Licht

Sonstige

Strahlung

38 % 48 % 7 % 7 %

Temperaturstrahlung

wird an Körpern

reflektiert.

wird von Körpern

absorbiert.

wird von Körpern

hindurchgelassen.

Nach dem Energieerhaltungssatz

gilt für die Intensität der

Strahlung:

I = I r + I a + I d

Energiestrom

Strahlung I

Strahlung

wird reflektiert

Strahlung

wird absorbiert

I a bzw. gestreut

I d

I r

durchlässiger

Körper

Strahlung

geht hindurch


Thermodynamik

73

Die Strahlungsgesetze

FOLIE

Strahlungsgesetz von

G. R. KIRCHHOFF

(1859)

macht eine Ausage über die von

einem Körper ausgehende Strahlungsleistung:

P = P S · a

P S Strahlungsleistung eines

schwarzen Strahlers

a Absorptionsgrad

Strahlungsgesetz von

STEFAN und BOLTZMANN

(um 1880)

gibt an, wovon die Strahlungsleistung

P eines Körpers abhängig ist:

P = σ · A · T 4

σ

A

T

Stefan-Boltzmann-Konstante

strahlende Fläche

Temperatur

Strahlungsgesetz von WIEN

(1896)

trifft eine Aussage über das Strahlungsmaximum:

λ max = }

k T

k wiensche Konstante

T Temperatur

Strahlungsgesetz von PLANCK

(1900)

beschreibt die Strahlungsintensität in

Abhängigkeit von der Wellenlänge

I

9 000 K

6 000 K

5 000 K

4 000 K

3 000 K

λ



2.4 Elektrizitätslehre und

Magnetismus

Elektrische und magnetische Felder

−

−

das Feld einer punktförmigen Ladung mit Feldstärke

und coulombschem Gesetz,

ausgewählte Anwendungen aus Natur und Technik

insbesondere zur Bewegung geladener Teilchen im

elektrischen Feldern.

Die inhaltlichen Schwerpunkte für die Oberstufe sind

− das statisches elektrisches Feld,

− das statisches magnetisches Feld,

− die Bewegung von geladenen Teilchen in homogenen

Feldern,

− die elektromagnetische Induktion und

− die elektromagnetischen Schwingungen und Wellen

Dabei kann vielfach an Kenntnisse der Schüler angeknüpft

werden, die sie im vorhergehenden Physikunterricht

erworben haben. Kennzeichnend für die Oberstufe

ist die verstärkte mathematische Durchdringung. Im Vordergrund

sollten dabei allerdings nicht formale Berechnungen

stehen, sondern die Vertiefung des inhaltlichen

Verständnisses für die betrachteten physikalischen Sachverhalte.

Die Schüler haben bereits in den vorhergehenden Klassenstufen

einige Kenntnisse über elektrische Felder gewonnen.

Das höhere Niveau in der Oberstufe besteht vor

allem darin, dass die bisherige qualitative Betrachtung

nun durch quantitative Beschreibungen vertieft wird. Im

Mittelpunkt stehen dabei:

− die Beschreibung elektrischer Felder durch die elektrische

Feldstärke,

− das homogene elektrische Feld mit dem Potenzial

und energetische Betrachtungen zur Energie geladener

Teilchen im Feld,

− der Plattenkondensator als Ladungs- und Energiespeicher,

Im Interesse der Festigung von Grundlagen und zugleich

als eine Voraussetzung für die fundierte Behandlung des

statischen elektrischen Felds sowie von Anwendungen ist

es zweckmäßig, ausgewählte Grundlagen aus vorhergehenden

Jahrgangsstufen zu wiederholen.

Im Lehrbuch sind dazu auf den Seiten 230 –234 in kurzer

und übersichtlicher Form die Inhalte dargestellt, die

bis zum Ende der Jahrgangsstufe 10 im Physikunterricht

behandelt worden sind. Dem schließt sich auf den Seiten

235 –237 ein entsprechendes Aufgabenangebot an.

Für das methodische Herangehen bieten sich unterschiedliche

Varianten an:

(a) Eine komplexe Wiederholung wird an den Anfang

des Unterrichts in Jahrgangsstufe 11 gestellt. Die

Schüler wiederholen anhand des Lehrbuchs weitgehend

selbstständig die Inhalte. Im Mittelpunkt des

Unterrichts steht die Lösung ausgewählter Aufgaben,

bei denen sich zeigt, inwieweit die Schüler die

Grundlagen tatsächlich beherrschen.

(b) Es werden jeweils nur die ausgewählten Inhalte wiederholt,

die für ein erfolgreiches inhaltliches Voranschreiten

erforderlich sind. Auf eine komplexe Wiederholung

wird verzichtet.

Für eine Wiederholung können neben dem Lehrbuch

auch die beiliegenden Arbeitsblätter und Folien mit genutzt

werden.

TAFELBILD

Das statische elektrische Feld

Ein elektrisches Feld ist der Zustand des Raums

um elektrisch geladene Körper.

+

Elektrische Felder, die sich zeitlich nicht ändern,

werden als statische elektrische Felder

bezeichnet.

–

Die Beschreibung eines elektrischen Felds kann

durch ein Feldlinienbild erfolgen.

Ein Feldlinienbild ist ein Modell für ein real

existierendes elektrisches Feld, für das wir kein

Sinnesorgan haben.


Elektrizitätslehre und Magnetismus

75

Größen in elektrischen Stromkreisen

FOLIE

Die elektrische Ladung Q eines

Körpers gibt an, wie groß sein

Elektronenüberschuss oder sein

Elektronenmangel ist.

Einheit: ein Coulomb (1 C)

Messgerät: Elektrometer

neutral

+

– –

+

+ –

positiv

geladen

+

–

+

+

negativ

geladen

+ –

– – +

+ –

–

Die Stromstärke I Die Spannung U Der Widerstand R

gibt an, wie viele

Ladungsträger sich

pro Zeiteinheit durch

den Querschnitt eines

Leiters bewegen.

I = Q }

t

Einheit:

ein Ampere (1 A)

Benannt ist die Einheit

nach dem französischen

Forscher

ANDRÉ MARIE AMPÈRE

(1775 –1836).

Messgerät:

Amperemeter

U

gibt an, wie stark

der Antrieb des elektrischen

Stroms ist.

U = I · R

Einheit:

ein Volt (1 V)

Benannt ist die Einheit

nach dem italienischen

Forscher

ALESSANDRO VOLTA

(1745–1827).

Messgerät:

Voltmeter

U

gibt an, wie stark der

Strom im Stromkreis

behindert wird.

R = U }

I

Einheit:

ein Ohm (1 Ω)

R = ρ · l }

A

Benannt ist die

Einheit nach dem

deutschen Forscher

GEORG SIMON OHM

(1789–1854).

Messgerät:

Ohm meter

R

I

A

V

U

Ω

R

Ein Amperemeter

wird immer in Reihe

zu dem Bauelement

geschaltet, für das die

Stromstärke gemessen

werden soll.

Ein Voltmeter wird

immer parallel zu

dem Bauelement

geschaltet, für das die

Spannung gemessen

werden soll.

Ein Ohmmeter mit

interner elektrischer

Quelle wird an das

betreffende Bauelement

angeschlossen.



FOLIE

Gesetze in Stromkreisen

I

U

A

Es fließt ein Strom, wenn

R

− der Stromkreis geschlossen ist

und

V

− eine elektrische Quelle vorhanden

ist.

Unverzweigter Stromkreis

(Reihenschaltung)

Verzweigter Stromkreis

(Parallelschaltung)

I

U

I

U

R 1

U 1

R 2

U 2

I 1 R 1

I 2 R 2

U = U 1 + U 2 U = U 1 = U 2

I = I 1 = I 2 I = I 1 + I 2

R = R 1 + R 2

Der Gesamtwiderstand ist immer

größer als der größte Teilwiderstand.

Es gilt die Spannungsteilerregel:

U

} 1

= R 1

U

}

2

R 2

1

}

R = }

1 +

R

}

1

1 R 2

Der Gesamtwiderstand ist immer

kleiner als der kleinste Teilwiderstand.

Es gilt die Stromteilerregel:

I

} 1

= R 2

}

I 2

R 1



77

Elektrische Energie und Leistung

FOLIE

Die elektrische Energie ist die Fähigkeit des elektrischen Stroms,

mechanische Arbeit zu verrichten, Wärme abzugeben oder Licht

auszusenden.

t

U

Die umgewandelte elektrische

Energie E ist umso größer,

I

A

Gerät

V

U

− je größer die am Gerät anliegende

Spannung U ist,

− je größer die Stromstärke I

durch das Gerät ist und

− je länger die Zeit ist, die sich das

Gerät in Betrieb befindet.

Einheiten:

E = U · I · t

1 Ws, 1 kWh

E = P · t

1 kWh = 3 600 000 Ws

Die elektrische Leistung eines Geräts gibt an, wie viel elektrische

Energie je Zeiteinheit in andere Energieformen (innere Energie,

Strahlungsenergie, mechanische Energie) umgewandelt wird.

U

Die elektrische Leistung P ist umso

größer,

I

A

Gerät

V

U

− je größer die am Gerät anliegende

Spannung U ist,

− je größer die Stromstärke I

durch das Gerät ist.

Einheiten:

P = E }

t

1 W, 1 kW, 1 MW

P = U · I

1 MW = 10 3 kW = 10 6 W



ARBEITSBLATT

Stromstärke, Spannung, Widerstand

1. Die Xenonlampe eines Pkw hat die Kenndaten 24 V/50 W. Sie ist 30 min lang in Betrieb. Wie groß

ist die Stromstärke durch die Lampe? Welche Ladung fließt in 30 Minuten durch einen Leiterquerschnitt?

Wie viele Elektronen sind das in jeder Sekunde?

2. Für ein Bauelement wurde die im Diagramm dargestellte

Kennlinie aufgenommen.

a) Interpretieren Sie diese Kennlinie.

120

80

I in mA

40

0

0 1 2 3

U in V

b) Wie groß ist der elektrische Widerstand des Bauelements unterhalb von 0,7 V und bei

Spannungen darüber?

3. Nachfolgend sind einige Schaltungen gegeben. Berechnen Sie jeweils die angegebenen

fehlenden Größen.

a) I 20 V

b)

230 V c) 120 Ω

40 Ω

6 V/2,4 W

R

I 1

R

R = 44 Ω

R

6,0 V

U 2

20 Ω

2 R

R

I 2

2 R

I 2R

I gesamt

A

60 Ω

I =

I 1 =

I 2 =

R =

R gesamt =

R gesamt =

I gesamt =

I 2R =

U R =

P gesamt =

R gesamt =

I gesamt =

U 1 =

U 2 =

U 3 =


Elektrizitätslehre und Magnetismus 79

Die Beschreibung elektrischer Felder durch Feldlinienbilder

ist den Schülern bereits bekannt. Der Schwerpunkt

des Unterrichts sollte folglich auf einer zusammenfassenden

Wiederholung mit folgenden Schwerpunkten

liegen:

− Feldlinienbilder verschiedener Felder,

− homogene und inhomogene Felder,

− Feldlinienbild als Modell des real existierenden elektrischen

Felds.

−

−

Für einen bestimmten Ort in einem elektrostatischen

Feld ist die Kraft auf einen Probekörper proportional

seiner Ladung:

F ~ q oder } q F = konstant

In einem inhomogenen Feld, z. B. im Feld einer geladenen

Kugel, verringert sich die Kraft F auf den Probekörper

mit der Entfernung vom geladenen Körper,

d. h., der Quotient } q F verkleinert sich mit der Stärke

des Felds.

Die wichtigsten Kenntnisse sind im Tafelbild unten zusammengefasst.

Zur Kennzeichnung und Interpretation

von Feldern kann auch die beiliegende Folie genutzt

werden.

Ausgangspunkt für die Einführung der elektrischen

Feldstärke ist die Frage, wie man ein elektrisches Feld

quantitativ charakterisieren kann. Es ist für Schüler gut

nachvollziehbar, dass es dafür zweckmäßig ist, die Kraft

auf einen Probekörper zu untersuchen, der sich in einem

statischen elektrischen Feld befindet. Bei Verwendung

eines elektronischen Kraftmessers kann die Kraft auf einen

Probekörper direkt gemessen werden. Ausreichend

sind halbquantitative Betrachtungen. Die experimentellen

Untersuchungen ergeben:

Das bedeutet physikalisch: Der Quotient } q F ist gut geeignet,

die Stärke eines elektrischen Felds zu kennzeichnen.

Er wird als elektrische Feldstärke definiert.

Wichtig ist dabei, dass die Schüler die in der Physik üblichen

Festlegungen erfassen:

− Die Feldstärke ist definiert als Quotient aus der Kraft

auf einen positiv geladenen Probekörper und der Ladung

dieses Körpers. Daraus folgt: Feldstärkevektor

und Richtung der Feldlinien stimmen überein.

− Bei einem negativ geladenen Probekörper sind demzufolge

die Richtung der Kraft und die Richtung des

Feldstärkevektors entgegengesetzt.

Beschreibung elektrischer Felder durch Feldlinienbilder

Ein Feldlinienbild ist ein Modell für ein elektrisches Feld. Es ermöglicht Aussagen über die Struktur

des Felds und über Kräfte auf geladene Körper im Feld.

TAFELBILD

Homogenes Feld

Inhomogenes Feld

+

_

+

_

+ –

+

–

Die Feldlinien verlaufen parallel und in

gleichem Abstand voneinander.

Der Abstand der Feldlinien voneinander ist

in verschiedenen Bereichen des Felds unterschiedlich.

Allgemein gilt für das elektrische Feld:

− Die Feldlinien verlaufen von + nach –.

− Die Feldlinien beginnen und enden an Ladungen. Es sind keine geschlossenen Linien.

− Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die (relative) Stärke des elektrischen Felds.



FOLIE

Das elektrische Feld

Ein elektrisches Feld existiert im Raum um elektrisch geladene Körper,

in dem auf andere elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt werden.

Elektrisches Feld um positiv bzw.

negativ geladene Kugeln

(Radialfeld)

+

–

Elektrisches Feld zwischen unterschiedlich

geladenen Kugeln

+ –

Elektrisches Feld zwischen unterschiedlich

geladenen Platten +

+

_

_

+

–

Elektrisches Feld zwischen einer

geladenen Platte und einer

geladenen Spitze

+

+

+

+

+

– –

– – –



Die elektrische Feldstärke E ist in einem Punkt

des Raums umso größer, je größer dort die

Kraft F auf eine Probeladung q ist:

E = } q F Einheit: 1 } m

V

Die elektrische Feldstärke

Q

q

+

+

F

+

F

TAFELBILD

Die Richtung der Feldstärke stimmt mit der

Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung

und damit mit der Richtung der Feldlinien

überein.

F

F

q

+

F

Feldlinienbilder und Feldstärkevektoren können die

Schüler im Internet selbst erkunden. Interaktive Darstellungen

sind zu finden unter:

− http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/

efeld0.html


efeld1.html


elektfeld2.html


efeld2.html


efeld3.html

Dabei können die Bedingungen in vielfältiger Weise variiert

werden. Die Lehrkraft kann bestimmte Bedingungen

vorgeben. Es sollte allerdings auch hinreichend Spielraum

für die Schüler eingeräumt werden.

Die Einführung des Potenzials erfolgt zweckmäßiger

Weise in einem homogenen Feld (b Tafelbild unten). Dabei

sollte den Schülern bewusst werden, dass man, ähnlich

wie bei der potenziellen Energie in der Mechanik, ein

Nullniveau festlegen muss. Meist wird dazu die potenzielle

Energie in Bezug auf die negativ geladene felderzeugende

Ladung null gesetzt. Der Vorteil dieser Festlegung

ist, dass dann der Betrag der Arbeit im Feld positiv

ist und damit auch das Potenzial einen positiven Wert

hat. Beim Radialfeld einer einzelnen felderzeugenden

Ladung wird als Bezugspunkt für das Nullpotenzial analog

zum Gravitationsfeld ein Punkt im Unendlichen gewählt.

Damit die Schüler sinnvoll Größenvorstellungen zur elektrischen

Feldstärke bekommen, ist es zweckmäßig, ihnen

in Natur und Technik auftretende Feldstärken zu geben

oder von den Schülern erkunden lassen. Einige Werte

sind auf der nachfolgenden Folie genannt.

Zum Verschieben einer Ladung q im homogenen

Feld der Stärke E ist Arbeit erforderlich:

W = F · s

Feldstärke, Potenzial und Spannung

+

φ 2 > 0

φ 1 = 0

TAFELBILD

W = q · E · s = E pot

Das elektrische Potenzial wird definiert als:

+

+

+

+

s

+

φ = E pot

} q = E · s

+

Die Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten eines elektrischen Felds ist gleich der Potenzialdifferenz

zwischen diesen Punkten:

U = Δ φ

U = E · s



FOLIE

Elektrische Feldstärken in Natur und Technik

Feldstärken in der Natur:

Elektrisches Feld der Erde

am Erdboden:

Feldstärke bei Gewittern:

ca. 130 V/m

bis 20000 V/m

Feldstärken bei elektrischen Geräten in 30 cm Abstand:

Elektrischer Boiler

Bügeleisen

Toaster

Föhn

Elektroherd

Glühlampe

260 V/m

120 V/m

80 V/m

80 V/m

8 V/m

5 V/m

Für Freileitungen und Kabel gilt:

380-kV-Leitung:

110-kV-Leitung:

Erdkabel (bis 380 kV):

6 000 V/m

2 000 V/m

0 V/m

(in 1 m Höhe über

dem Erdboden)

(in 1 m Höhe über

dem Erdboden)

(am Erdboden)

Für hochfrequente elektromagnetische Strahlung gelten für die

elektrische Feldstärke folgende Grenzwerte:

UKW-Sender

Fernsehsender

Mobilfunk-Basisstation

Radarstationen (Flugüberwachung,

Wetterradar)

27,5 V/m

41 V/m

bis 61 V/m

bis 61 V/m

(1,5 km Abstand)

(1,5 km Abstand)

(50 m Abstand)

Grenzwert für Dauerbelastung: 5000 V/m (für statische Felder,

bei 50 Hz)



83

Analogien zwischen Gravitationsfeld und elektrischem Feld

FOLIE

Gravitationsfeld

Um einen massebehafteten Körper

existiert ein Gravitationsfeld.

Auf einen Körper im Feld wird

eine Gravitationskraft ausgeübt.

m

F G

Erdoberfläche

F G = m · g

Beim Wegbewegen des Körpers

von der Erdoberfläche wird Arbeit

verrichtet. Im oberflächennahen

Bereich gilt:

W = F · s = m · g · s

Nimmt man die Erdoberfläche

als Nullniveau, dann gilt für die

potenzielle Energie:

E pot = W = m · g · h

Elektrisches Feld

Um einen geladenen Körper

exis tiert ein elektrisches Feld.

Auf einen geladenen Körper im

Feld wird eine elektrische Kraft

ausgeübt.

q +

F E

negativ geladene Platte

F E = q · E

Beim Wegbewegen der Ladung

von der geladenen Platte wird

Arbeit verrichtet. Im homogenen

Feld gilt:

W = F · s = q · E · s

Nimmt man die negativ geladene

Platte als Nullniveau, dann

gilt für die potenzielle Energie:

E pot = W = q · E · s

Der Quotient aus potenzieller Der Quotient aus potenzieller

Energie und Masse wird als Energie und Ladung wird als

Potenzial definiert:

Potenzial definiert:

V = }

m · g · h

m = g · h φ = }

q · E · s

q = E · s

Potenzialverlauf bei einer Masse

V

Potenzialverlauf bei einer

Ladung

φ

V ~ 1 } r

φ ~ 1 } r

Masse m

r

Ladung q

r



ARBEITSBLATT

Das coulombsche Gesetz

1. Bei der experimentellen Untersuchung der Kraft zwischen zwei geladenen Kugeln, von denen

jede die Ladung Q trägt, erhält man die folgenden Ergebnisse:

Q in nC

F in mN

F in mN

200 24,6

150 14,2

20

100 6,0

10

50 1,7

25 0,38

0

0 50 100 150 200

Q in nC

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Kraft F und der Ladung Q einer Kugel? Wie kann

man diesen Zusammenhang nachweisen?

2. Bei der Untersuchung der Kraft zwischen zwei geladenen Kugeln in Abhängigkeit von ihrer Entfernung

voneinander erhält man die folgenden Ergebnisse:

r in cm

F in mN

F in mN

10 8,9

15 3,9

10

20 2,3

5

25 1,4

30 0,95

0

0 10 20 30 40

r in cm

a) Interpretieren Sie das Diagramm.

b) Welcher Zusammenhang besteht? Wie kann man das nachweisen?


–

+


85

Feldstärke und Potenzial

1. Die Skizzen zeigen das Feldlinienbild einer Punktladung und das Feldlinienbild zwischen zwei

ungleichnamig geladenen Kugeln mit gleichem Betrag der Ladung.

ARBEITSBLATT

+ + –

a) Ergänzen Sie in den Skizzen Äquipotenziallinien.

b) Ein elektrisches Feld lässt sich durch ein Feldlinienbild oder durch ein Bild mit Äquipotenziallinien

beschreiben. Worin bestehen die Gemeinsamkeiten, worin die Unterschiede?

2. Eine einzelne, elektrisch geladene Kugel

hat ein radialsymmetrisches Feld, die

Überlagerung zweier solcher Felder ergibt

das typische Feldlinienbild zwischen zwei

ungleichnamig geladenen Kugeln.

Zeichnen Sie für die fünf markierten

Punkte die Feldstärkevektoren jeder

Ladung sowie den resultierenden Feldstärkevektor

ein.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen

dem resultierenden Feldstärkevektor und

der Richtung der Feldlinie im jeweiligen

Punkt?



TAFELBILD

Bewegung geladener Teilchen in elektrischen Feldern

In homogenen elektrischen Feldern wirkt auf geladene Teilchen eine konstante Kraft längs der Feldlinien:

F = Q ∙ E

Bewegung längs der Feldlinien

(Längsfeld)

Bewegung senkrecht zu den Feldlinien

(Querfeld)

–

+

+

+

–

–

–

Geladene Teilchen werden beschleunigt oder

abgebremst.

Geladene Teilchen werden abgelenkt.

Bei der Behandlung der Bewegung geladener Teilchen

in elektrischen Feldern liegt der Schwerpunkt auf den

unterschiedlichen Arten von Bewegungen. Dabei sollte

bewusst an die Inhalte aus der Mechanik (newtonsche

Gesetze, Bewegungsgesetze, zusammengesetzte Bewegungen)

angeknüpft werden.

Der Schwerpunkt sollte zunächst auf der Art der Bewegung

liegen. Dabei bieten sich beim Querfeld Vergleiche

mit dem waagerechten Wurf an, der vorher behandelt

worden ist. Auch bei Aufgaben sollten formale Berechnungen

eher im Hintergrund stehen.

Trotzdem wird man natürlich die eine oder andere Berechnung

durchführen lassen. Für die meisten Schüler

ist es beeindruckend, welche Geschwindigkeiten Elektronen

bereits bei relativ kleinen Beschleunigungsspannungen

erreichen. Das ist auch die geeignete Stelle, um

die Schüler auf die Grenzen klassischer Betrachtungsweisen

aufmerksam zu machen. Die Schüler sollten erfassen:

Die Masse eines Körpers ist geschwindigkeitsabhängig.

Sie sollen auch erkennen: Bei den Geschwindigkeiten,

mit denen wir es in unserem Alltag zu tun haben, spielt

die Masseänderung eines Körpers keine Rolle. Das kann

man gut verdeutlichen, wenn man z. B. die Masse eines

1,000 000 kg schweren Körpers bei einer Geschwindigkeit

von 100 km/h oder von 1 000 km/h berechnet lässt.

Bei Elektronen, die sich mit mehr als 10 % der Lichtgeschwindigkeit

bewegen, ist diese Masseänderung aber

nicht mehr vernachlässigbar, insbesondere nicht bei technischen

Anwendungen.

Welche Anwendung in den Vordergrund gestellt wird,

sollte der Lehrer in Absprache mit seinen Schülern entscheiden.

Naheliegend ist die Elektronenstrahlröhre mit

elektrostatischer Ablenkung, die im Lehrbuch ausführlich

dargestellt ist.

Bei der Behandlung von Magnetfeldern sind die Schwerpunkte:

− Dauermagnete mit ihrem Aufbau, ihren Eigenschaften

und ihren Wirkungen,

− das Feldlinienbild als Modell des Magnetfelds,

− die quantitative Beschreibung des Magnetfelds mit

der magnetischen Flussdichte und

− die Bewegung von geladenen Teilchen im Magnetfeld.

Durch einfache Experimente (Demonstration von Anziehung

und Abstoßung zwischen Magneten, Demonstration

der Kräfte auf Körper aus ferromagnetischen

Stoffen, Fehlen dieser Kräfte bei Körpern aus anderen

Stoffen) ergeben sich zwei grundlegende Aussagen, die

auch für viele Anwendungen von Bedeutung sind:

− Zwischen Magneten wirken anziehende bzw. abstoßende

Kräfte.

− Magnete ziehen Körper aus Eisen, Nickel oder Cobalt

(Körper aus ferromagnetischen Stoffen) an, Körper

aus anderen Stoffen aber nicht.

Ein grundlegender Unterschied zum elektrischen Feld ist

folgender: Im elektrischen Feld wirkt eine Kraft auf einen

geladenen Körper, im magnetischen Feld wirkt häufig

ein Kräftepaar auf einen Körper, das zur Ausrichtung

längs der Feldlinien führt.


+

+


87

Statische Felder

FOLIE

Statische elektrische Felder

existieren um elektrisch geladene

Körper.

können mithilfe von Feldlinienbildern

beschrieben werden.

Statische magnetische Felder

existieren um Dauermagnete und

stromdurchflossene Leiter bzw.

Spulen.

können mithilfe von Feldlinienbildern

beschrieben werden.

–

– +

+

–

+ – –

+

N

S

–

Ein Feldlinienbild ist ein Modell

des real existierenden Felds.

Die Feldlinien verlaufen von +

nach –. Sie beginnen und enden

an Ladungen.

Die Dichte der Feldlinien ist ein

Maß für die Stärke des Felds.

Auf positiv geladene Körper

oder Teilchen im Feld wirkt die

Feldkraft immer in Richtung der

Feldlinien, auf negativ geladene

Körper oder Teilchen entgegengesetzt

dazu.

Ein Feldlinienbild ist ein Modell

des real existierenden Felds.

Die Feldlinien verlaufen im Außenraum

vom Nordpol zum Südpol.

Es sind geschlossene Linien.

Die Dichte der Feldlinien ist ein

Maß für die Stärke des Felds.

Magnetnadeln richten sich im

Feld so aus, dass sie längs der

Feldlinien liegen. Der Nordpol

der Magnetnadel zeigt in Richtung

der Feldlinien.



FOLIE

Quantitative Beschreibung statischer Felder

Statische elektrische Felder

Die Stärke des elektrischen Felds

hängt von der Ladung der felderzeugenden

Körper ab.

Auf eine Ladung q im elektrischen

Feld wird eine Kraft

(Feldkraft) ausgeübt.

+

+

+

q

+

F

–

–

–

Statische magnetische Felder

Die Stärke des magnetischen

Felds hängt vom Aufbau des

Magneten und bei Leitern auch

von der Stromstärke ab.

Auf einen stromdurchflossenen

Leiter im Magnetfeld wird eine

Kraft (Feldkraft) ausgeübt.

l

F

A

+

–

+

–

Für die elektrische Feldstärke

gilt:

E = } q F Einheit: 1 } m

V

Die Richtung der Feldstärke ist

gleich der Richtung der Kraft auf

einen positiv geladenen Körper.

Für das homogene Feld eines

Plattenkondensators gilt:

E = }

U d

Die Feldstärke kann mit einem

Feldstärkemesser ermittelt

werden.

Auf Ladungsträger im elektrischen

Feld wirkt eine Kraft

parallel oder antiparallel zur

Richtung der Feldlinien.

F = q · E

Für die magnetische Flussdichte

gilt:

B = F }

I · l

Einheit: 1 N }

Am = 1T

Flussdichte B, Stromstärke I (Bewegungsrichtung

positiv geladener

Teilchen) und Kraft F stehen

senkrecht zueinander.

Für das homogene Feld im Innern

einer langen, luftgefüllten Spule

gilt:

B = μ 0 · μ r ·}

I · N

l

Die Flussdichte kann mit einem

Feldstärkemesser (einer Hall-

Sonde) ermittelt werden.

Auf bewegte Ladungsträger

wirkt im Magnetfeld eine Kraft

(Lorentzkraft) senkrecht zur Bewegungsrichtung

und senkrecht

zur Richtung des Magnetfelds

(UVW-Regel).

F = B · q · v



89

Magnetische Flussdichten in Natur und Technik

FOLIE

Magnetische Flussdichte in der Natur:

Magnetfeld der Erde am Äquator:

Magnetfeld der Erde in Mitteleuropa:

Magnetfeld der Erde in Polnähe:

ca. 30 μT

ca. 50 μT

ca. 60 μT

Magnetische Flussdichte bei Haushaltsgeräten:

Gerät

Abstände

3 cm 30 cm 100 cm

Föhn 2 – 2000 μT 0,01 – 7 μT < 0,3 μT

Rasierapparat 15 – 1500 μT 0,08 – 9 μT –

Mikrowelle 73 – 100 μT 4 – 8 μT < 0,6 μT

Computer 0,5 – 30 μT < 0,01 μT –

elektrischer Herd 1 – 50 μT 0,15 – 3 μT < 0,15 μT

Für Freileitungen und Kabel gilt:

unter Fahrdrähten der Deutschen Bahn:

380-kV-Leitung

110-kV-Leitung

Erdkabel (10 – 380 kV)

kurzzeitig bis 75 μT

38 μT

(in 1 m Höhe über dem

Erdboden)

19 μT

(in 1 m Höhe über dem

Erdboden)

100 μT

(bei 1000 A in jedem Leiter)

Grenzwert für Dauerbelastung:

100 μT



Bei der Behandlung von geladenen Teilchen in magnetischen

Feldern ist zu beachten, dass die UVW-Regel

(Rechte-Hand-Regel) und die Lorentzkraft möglicherweise

bereits Inhalt des Unterricht in Sekundarstufe 1

waren, wobei dort keine Gleichung für die Lorentzkraft

behandelt worden ist.

Ähnlich wie bei der Bewegung von geladenen Teilchen in

elektrischen Feldern sollte den Schülern zunächst am Beispiel

einer Elektronenstrahlröhre demonstriert werden,

dass man einen Elektronenstrahl mit einem Magnetfeld

ablenken kann.

Bei der quantitativen Behandlung der Bewegung von

geladenen Teilchen sollte eine Beschränkung auf den

einfachsten Fall erfolgen: Bewegungsrichtung der geladenen

Teilchen und Richtung der Feldlinien des Magnetfelds

verlaufen senkrecht zueinander. Dann wirkt in

einem homogenen Magnetfeld die Lorentzkraft immer

als konstante Radialkraft.

Ein Hinweis auf schräg in ein Magnetfeld eintretende

Teilchen sollte nicht fehlen, insbesondere dann nicht,

wenn man im Unterricht die Entstehung von Polarlichtern

mit einbeziehen will. Der Fall des schrägen Eintritts

mit den dabei entstehenden spiralförmigen Bahnen

sollte bewusst auf den oben genannten einfachsten Fall

zurückgeführt werden.

Die Anwendung der Rechte-Hand-Regel fällt vielen Schülern

schwer, weil es immer wieder zu Verwechslungen bei

der Stromrichtung (= Richtung positiv geladene Teilchen)

kommt. Es kann auch die Linke-Hand-Regel genutzt werden.

Der zu behandelnde Hall-Effekt spielt aus messtechnischen

Gründen eine wichtige Rolle: Er ist die physikalische

Grundlage für Hall-Sonden, die eine direkte Messung

der magnetischen Flussdichte ermöglichen.

Moderne Hall-Sonden werden heute aus dünnen Halbleiterplättchen

hergestellt und sind häufig in Schaltkreise

integriert, in denen gleich auch eine Signalverstärkung

erfolgt. Es ist eine schöne Erkundungsaufgabe für Schüler

herauszufinden, in welchen Bereichen heute Hall-

Sonden angewendet werden. Die Magnetfeldmessung

ist nur eine Möglichkeit ihrer Nutzung. Hall-Sonden können

auch für Metalldetektoren, als berührungs- und kontaktlose

Signalgeber oder in Schichtdickenmessgeräten

genutzt werden.

Als Anwendungen für die Bewegung geladener Teilchen

in magnetischen Feldern sind in den Lehrplänen der Massenspektrograf,

das Zyklotron und die Anwendung von

Teilchenbeschleunigern ausgewiesen. Dazu sind im Lehrbuch

Informationen zu finden. Ergänzend können die

beiliegenden Arbeitsblätter und Folien genutzt.

TAFELBILD

Bewegung geladener Teilchen in magnetischen Feldern

In homogenen magnetischen Feldern wird auf bewegte geladene Teilchen eine Kraft

ausgeübt. Bewegen sich die Teilchen senkrecht zu den Feldlinien, dann gilt:

F = Q ∙ v ∙ B (Lorentzkraft)

Für die geladenen Teilchen gilt

die Rechte-Hand-Regel:

Magnetfeld zeigt in die

Blattebene hinein.

Magnetfeld zeigt aus der

Blattebene heraus.

I bzw. v

B

–

–

F

Die Lorentzkraft wirkt bei v ⊥ B immer als Radialkraft. Damit gilt:

Q ∙ v ∙ B = m ∙ v 2

} r

r = m ∙ v } Q ∙ B


–

–


91

Geladenen Teilchen in Feldern

FOLIE

In einem homogenen elektrischen Feld wirkt auf geladene Teilchen

eine konstante Feldkraft F = q · E in Richtung der Feldlinien oder entgegengesetzt

zu ihnen. Im elektrischen Längsfeld (links) erfolgt ein

Beschleunigen oder Abbremsen, im Querfeld (rechts) eine Ablenkung.

+

q

+

F

F

–

q

v

–

d

+

Positiv und negativ geladene Teilchen

werden beschleunigt. in Feldrichtung (nach oben), ne-

Positiv geladene Teilchen werden

gativ geladene Teilchen entgegen

q · U = }

1 2 m · v 2 der Feldrichtung (nach unten) beschleunigt

und damit abgelenkt.

In einem homogenen magnetischen Feld wirkt auf bewegte geladene

Teilchen eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht

zur Richtung des Magnetfelds. Die Richtung der Ablenkung hängt auch

von der Art der Ladung ab

–

q

v

F L

F L

F L

Magnetfeld

in Blattebene

hinein

F L

F

F L

v – L

q

Magnetfeld

aus Blattebene

heraus

Der Betrag der Lorentzkraft kann

mit folgender Gleichung berechnet

werden:

F L = q · v · B

Die Richtung der Lorentzkraft ergibt

sich mit der Rechte-Hand-Regel oder

der Linke-Hand-Regel.

B

I bzw. v

F



ARBEITSBLATT

Geladene Teilchen in homogen elektrischen Feldern

1. Skizzieren Sie die Bewegung von geladenen Teilchen in einem homogenen elektrischen Feld.

a) b) c)

+

+

+

v 0 v v 0 0

+

–

–

–

–

–

2. Bei technischen Anwendungen ist der Ablenkwinkel α eines Elektronenstrahls eine wichtige

Größe. Daraus ergibt sich bei gegebenen geometrischen Abmessungen einer Elektronenstrahlröhre

der Auftreffpunkt des Elektronenstrahls auf dem Leuchtschirm.

a) Ergänzen Sie die Geschwindigkeiten in vertikaler

Richtung und die resultierende Geschwin-

+

digkeit.

α

v

b) Leiten Sie allgemein eine Gleichung für die

0

v0

–

Berechnung des Ablenkwinkels α her. Interpretieren

Sie diese Gleichung. Nutzen Sie dazu die

Rückseite des Blatts.

–

l

3. Die Skizze zeigt den prinzipiellen Aufbau einer braunschen Röhre. Benennen Sie die wichtigsten

Teile und kennzeichnen Sie deren Funktion.

+

+ –

–

+



93

Der Massenspektrograf

1. Ionen treten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in einen Plattenkondensator ein. Im

Bereich des Plattenkondensators befindet sich ein Magnetfeld (b Skizze). Nach dem Passieren

einer Blende treten die Ionen in ein zweites Magnetfeld und werden so abgelenkt, wie es die

Skizze zeigt.

a) Wie muss das elektrische Feld des Plattenkondensators

gerichtet sein? Zeichnen

Sie dieses Feld ein. Tragen die Ionen eine

positive oder eine negative Ladung?

Plattenkondensator

Blende

ARBEITSBLATT

Ionenstrahl

b) Begründen Sie, weshalb nur Ionen mit einer bestimmten Geschwindigkeit das gekreuzte elektrische

und magnetische Feld geradlinig durchlaufen.

2. Erläutern Sie anhand der Skizze die Wirkungsweise eines einfachen Massenspektrografen.

m 3

m 2

m 1

Fotoplatte

Quelle von

Ionen

B 1

B 2

+

E

gekreuztes elektrisches

und magnetisches Feld

–

magnetisches Feld



Elektromagnetische Induktion

Schwerpunkte bei der Behandlung der elektromagnetischen

Induktion sind

− die quantitative Formulierung des Induktionsgesetzes,

− die Behandlung von Anwendungen dazu und

− energetische Betrachtungen zur Induktion und zum

Magnetfeld, Letzteres als Voraussetzung für die Behandlung

elektromagnetischer Schwingungen und

Wellen.

Vorkenntnisse der Schüler zur elektromagnetischen Induktion

gibt es bereits. In Sekundarstufe 1 erfolgt neben

einer qualitativen Behandlung des Induktionsgesetzes

die Vermittlung von Kenntnissen über

− die Richtung des Induktionstroms (lenzsches Regel),

− Wirbelströme und deren Nutzung sowie

− den Wechselstromgenerator (qualitativ) und den

Transformator.

Bei der Behandlung der Induktion in einem Leiter hat sich

ein Vorgehen bewährt, dass im Tafelbild unten skizziert

ist: Ausgangspunkt ist das den Schülern bereits bekannte

elektromotorische Prinzip. Das lässt sich auch experimentell

gut demonstrieren. Die Frage nach der Umkehrung

führt unmittelbar zur elektromagnetischen Induktion.

Damit wird in stark vereinfachter Form der historische

Weg der Erkenntnisgewinnung nachvollzogen.

Die Ableitung der Gleichung für die Induktionsspannung

kann so erfolgen, wie es im Lehrbuch auf S. 321 dargestellt

ist. Die Meinungen dazu, ob man hier schon ein

Vorzeichen (Minuszeichen) einführt, sind unterschiedlich.

Die Bedingungen für das Entstehen einer Induktionsspannung

sollten in Verbindung mit Experimenten gründlich

wiederholt werden. Dabei sollte bei allen Experimenten

beachtet werden, dass die Schüler möglichst alle für

praktische Anwendungen wesentlichen Fälle erfassen.

Dies lässt sich durch entsprechende Teilexperimente realisieren:

−

Verschiedene Dauermagnete werden gegenüber Spulen

bewegt. Die Art der Bewegung wird variiert, die

Veränderungen mithilfe von Skizzen mit eingezeichneten

Feldlinienbildern verdeutlicht, z. B. in folgender

Weise:

a)

b)

V

V

Dabei sind auch Bewegungen einzubeziehen, bei

denen sich das Magnetfeld nicht ändert (z. B. Drehung

eines zylinderförmigen Stabmagneten um seine

Längsachse. Bewegung von Spule und Magnet, ohne

dass sich die Lage beider zueinander ändert).

Ergebnis:

Es wird nur dann eine Spannung induziert, wenn sich

das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert.

TAFELBILD

Elektromotorisches Prinzip

Induktion in einem Leiter

Generatorprinzip

l

F

+

–

l

v

U i

U Bewegte Ladungsträger (Strom)

V Magnetfeld

W Kraft auf den Leiter

U Kraft auf den Leiter (Bewegung)

V Magnetfeld

W Induktionsstrom

F = B · l · I

U i = B · l · v



Bedingungen für das Entstehen einer Induktionsspannung

FOLIE

Zeitlich konstantes Magnetfeld

Zeitlich veränderliches

Magnetfeld

+ – U i

Bewegung

Änderung der Stromstärke

+ – U i

Alle Experimente zeigen:

In einer Spule wird eine Spannung induziert, solange sich das von ihr

umfasste Magnetfeld ändert.

−

−

−

Es werden Spulen gegenüber Dauermagneten bewegt.

Ergebnis:

Ob eine Spannung induziert wird oder nicht, hängt

von der Relativbewegung zwischen Spule und Magnet

ab.

Der Dauermagnet wird durch einen Elektromagneten

ersetzt. Spule und Elektromagnet werden relativ zueinander

bewegt.

Ergebnis:

Eine Spannung wird unabhängig davon induziert, ob

ein Dauermagnet oder ein Elektromagnet verwendet

wird.

Spule und Elektromagnet sind zueinander in Ruhe.

Es wird die Stärke des Magnetfelds des Elektromagneten

verändert.

Ergebnis:

Für das Entstehen einer Induktionsspannung ist offensichtlich

nicht die Bewegung, sondern die Änderung

des von der Spule umfassten Magnetfelds das

Entscheidende.

Nachdem das Induktionsgesetz erarbeitet und ausreichend

gefestigt wurde, ist die Frage zu stellen, wovon

der Betrag der Induktionsspannung abhängig ist.

Vor der experimentellen Untersuchung können Vermutungen

formuliert werden.

Zur experimentellen Untersuchung sowie zur Festigung

sind im LB Aufgabenstellungen enthalten. Die wichtigsten

Ergebnisse sind im TB zusammengefasst.

Zur Einführung des lenzschen Gesetzes eignen sich Überraschungsexperimente,

z. B. eines der folgenden:

−

Ein geschlossener Aluminiumring wird beim Schließen

des Schalters nach oben geschleudert (Induktionskanone).

Eisenkern

Ring

Erst auf einer solch breiten empirischen Basis sollte als

Verallgemeinerung formuliert werden, unter welchen

Bedingungen eine Induktionsspannung entsteht.

Anschließend sollte die Frage in den Mittelpunkt gestellt

werden, wovon der Betrag der Induktionsspannung abhängt.

Das Herangehen kann dabei so erfolgen, wie es

im Lehrbuch auf den Seiten 322 ff. dargestellt ist.

−

Spule

Bei einem geöffneten Ring aus Aluminium und gleicher

Versuchsdurchführung passiert nichts.

U



TAFELBILD

Selbstinduktion beim Ein- und Ausschalten

Experiment 1 Experiment 2

L1

L2

L1 leuchtet später als L 2 auf.

Erklärung:

Beim Einschalten tritt in der Spule eine Induktionsspannung

auf, die einen Strom bewirkt.

Dieser hemmt den ursprünglichen Strom.

Beim Öffnen des Schalters

leuchtet die Glimmlampe auf.

Erklärung:

Beim Öffnen des Schalters wird in der Spule

eine Spannung induziert. Aufgrund der schnellen

Änderung des Magnetfelds liegt diese

Induktionsspannung über der Zündspannung

der Glimmlampe.

−

Ein Permanentmagnet wird gegenüber einem Aluminiumring

bewegt. Der Ring kann geschlossen bzw.

geöffnet sein. Beachte: Die Aufhängung muss hinreichend

lang sein. Sie sollte bifilar erfolgen.

Die Schüler sollten deutlich darauf aufmerksam gemacht

werden, dass das lenzsche Gesetz ein spezieller Fall des

Energieerhaltungssatzes ist. Das lässt sich besonders gut

am Beispiel der Wirbelstrombremse erläutern.

−

S

Es wird die Wirkungsweise einer Wirbelstrombremse

gezeigt, zunächst mit einer geschlitzten Scheibe,

dann mit einer nicht geschlitzten Scheibe.

Erklärungen sollten erst nach der Durchführung der

vergleichenden Experimente gegeben werden. Bei den

Experimenten liegt der Schwerpunkt beim genauen Beobachten

und beim Vergleichen der jeweiligen Bedingungen,

also bei den Phänomenen und darauf, wie sie

zustande kommen.

N

Auch bei der Selbstinduktion bietet sich ein experimentelles

Herangehen an. Die Experimentieranordnungen

sind im TB skizziert. Sie sind so gewählt, dass die Schüler

wichtige Effekte erfassen können, die beim Einschalten

bzw. beim Ausschalten auftreten. Für das Experiment

zum Einschaltvorgang sollten beide Lampen eine Betriebsspannung

von 4 Volt haben. Die Lampe 2 wird mit

einem regelbaren Widerstand (etwa 10 –20 Ohm) und

Lampe 1 mit einer Spule (einige hundert Windungen) mit

geschlossenem Eisenkern in Reihe geschaltet. Der Widerstand

wird so eingeregelt, dass beide Lampen gleich hell

leuchten.

Der typische Verlauf von Spannung und Stromstärke

sollte den Schülern gegeben und erläutert werden

(b beiliegende Folie).

Auf den nachfolgenden Seiten sind einige Arbeitsblätter

und Kopiervorlagen (Folien) zu finden, die teilweise im

Unterricht und teilweise auch für die häusliche Arbeit

genutzt werden können. Dabei sind bewusst wiederholende

Aspekte mit aufgenommen worden.



97

Induktion in einem Leiter

1. Ein Leiter der Länge l wird senkrecht zu den Feldlinien

eines homogenen Magnetfelds bewegt. Während

der Bewegung kann man eine Induktionsspannung U i

registrieren.

a) Zeichnen Sie in die Skizze die Richtung des

Induktionsstroms ein.

b) Um den Leiter zu bewegen, muss Energie aufgewendet

werden. Was geschieht mit dieser Energie?

l

v

B

U i

ARBEITSBLATT

c) Der 10 cm lange Leiter wird mit der Geschwindigkeit 75 cm/s gleichförmig im Magnetfeld

bewegt. Dessen Flussdichte beträgt 4,3 mT. Wie groß ist die entstehende Induktionsspannung?

d) An die beiden Anschlüsse (b Skizze oben) wird nun eine Spannung angelegt. Der Pluspol

befindet sich oben. Was geschieht mit dem beweglichen Leiterstück? Begründen Sie.

2. Eine Leiterschleife wird senkrecht zu den Feldlinien eines

homogenen Magnetfelds bewegt (b Skizze).

a) Markieren Sie den Teil der Leiterschleife, der für das

Entstehen einer Induktionsspannung zwischen den

Anschlüssen von Bedeutung ist. Begründen Sie.

U i

v

b) Die Leiterschleife (b Skizze) fällt frei in das Magnetfeld hinein. Wird sie dann zusätzlich beschleunigt

oder abgebremst? Begründen Sie.



ARBEITSBLATT

Die elektromagnetische Induktion (1)

1. Ein kleiner Stabmagnet wird nacheinander jeweils gleich schnell in verschiedene Spulen hineinbewegt,

so wie es in der Skizze dargestellt ist.

a) Begründen Sie die Art der Schaltung.

125 1 000 500

b) Vergleichen Sie die entstehenden Induktionsspannungen. Begründen Sie.

V

Spule 1 Spule 2 Spule 3

2. Ein Magnet wird gegenüber der Spule in unterschiedliche Weise bewegt. In welchem Falle entsteht

eine Induktionsspannung, in welchem nicht? Begründen Sie.

a) b) c)

V V V

3. Jeweils gleiche Spulen werden verschieden schnell vollständig aus einem Magnetfeld herausbewegt.

Vergleichen Sie die entstehenden Induktionsspannungen. Begründen Sie.

a) b) c)

N

S

N

S

N

S

V

2 s

V

1 s

V

5 s



99

Die elektromagnetische Induktion (2)

1. Ein Magnet wird in unterschiedlicher Weise bewegt. Skizzieren Sie das jeweilige Feldlinienbild.

Begründen Sie, ob in der Spule eine Spannung induziert wird oder nicht.

a) b) c)

ARBEITSBLATT

S

N

S

N

S

N

V

V

V

2. Eine Spule wird in unterschiedlicher Weise bewegt. Begründen Sie, ob in der Spule eine

Spannung induziert wird oder nicht.

a) b) c)

N

S

N

S

N

V

V

S

V

V

V

V

3. Zwei Spulen befinden sich auf einem gemeinsamen Eisenkern. Geben Sie mindestens drei

Möglichkeiten an, wie man in der rechten Spule eine Spannung induzieren kann.

+ –

V



FOLIE

Ein- und Ausschaltvorgang bei einer Spule

I

Einschalten I = konstant

Ausschalten t

U

U i = 0

t

FOLIE

Induktion einer Wechselspannung

homogenes Magnetfeld

U i

U i = U max · sin ( 2 π }

T · t ) = U max · sin (ω · t)

T

} 4 T } 2

3 } T

4

t

In Spulen, die in einem homogenen magnetischen Feld gleichförmig

rotieren, wird eine sinusförmige Wechselspannung induziert.



101

Das Induktionsgesetz und seine Anwendungen

Ergänzen Sie die folgende Übersicht zum Induktionsgesetz und zu technisch wichtigen

Anwendungen.

Induktion im zeitlich konstanten Magnetfeld

(B = konstant)

Induktion im zeitlich veränderlichen Magnetfeld

(A = konstant)

ARBEITSBLATT

Zwischen Induktionsspule und Magnetfeld

erfolgt eine Relativbewegung.

U i

U i

Bewegung

B

Für die Induktionsspannung gilt:

Für die Induktionsspannung gilt:

Anwendung: Generator

Anwendung: Transformator

Stator

Primärspule

Sekundärspule

N

S

N 1 N 2

U 1 ~ ~ U 2

Rotor

Wirkungsweise:

U i

geschlossener Eisenkern aus Dynamoblechen

Wirkungsweise:



Elektromagnetische Schwingungen und

Wellen

Die inhaltlichen Schwerpunkte bei der Behandlung elektromagnetischer

Schwingungen und Wellen sind:

− die Entstehung und Beschreibung elektromagnetischer

Schwingungen,

− die Erzeugung und Ausbreitung elektromagnetischer

Wechselfelder,

− wichtige Eigenschaften elektromagnetischer Wellen,

− Licht als elektromagnetische Welle und

− Beispiele für die Anwendung der behandelten Phänomene

in Natur, Technik und Wissenschaft.

Vom methodischen Herangehen her ist es sinnvoll, Analogiebetrachtungen

zwischen mechanischen und elektromagnetischen

Schwingungen und Wellen in den

Vordergrund zu stellen. Damit werden zugleich Inhalte

wiederholt und gefestigt, die sich die Schüler im vorhergehenden

Unterricht angeeignet haben. Das betrifft insbesondere

− die Entstehung und Beschreibung mechanischer

Schwingungen,

− die Charakterisierung und Beschreibung harmonischer

Schwingungen mit der Gleichung

y (t) = y max · sin (}

2 π

T · t ) = y max · sin (ω · t),

− die Entstehung und die Arten von Wellen,

− die Ausbreitung und die Eigenschaften von mechanischen

Wellen.

Ausgangspunkt der Behandlung von elektromagnetischen

Schwingungen sollte eine Wiederholung der

Kenntnisse über mechanische Schwingungen sein. Dabei

sollte auch der Begriff Schwingung wiederholt werden

(b Tafelbild). Zur Wiederholung kann das beiliegende Arbeitsblatt

und die Kopiervorlage (Folie) genutzt werden.

Die Erzeugung elektromagnetischer Schwingungen sollte

zunächst experimentell demonstriert werden (Schwingkreis,

Oszilloskop). Schon von den Schwingungsformen

her sind die Analogien für Schüler überzeugend.

Das Niveau, auf dem eine Erklärung für das Zustandekommen

einer elektromagnetischen Schwingung gegeben

wird, kann unterschiedlich gewählt werden.

Es bieten sich aufgrund der Vorkenntnisse der Schüler

zwei Varianten an:

a) Es wird der periodische Energiefluss zwischen Spule

(magnetisches Feld) und Kondensator (elektrisches

Feld) in den Vordergrund gestellt.

b) Ausgehend vom geladenen Kondensator werden

unter Einbeziehung von Induktionsgesetz und lenzschem

Gesetz die Vorgänge analysiert, die insbesondere

an der Spule vor sich gehen.

TAFELBILD

l

Fadenpendel


Eine mechanische Schwingung ist

eine zeitlich periodische Bewegung

eines Körpers um eine Gleichgewichtslage.

Bedingungen für das Zustandekommen:

− schwingungsfähiger Körper

− auslenkende Kraft

− zur Gleichgewichtslage rücktreibende

Kraft

Federschwinger

D

m

T = 2 π √ } l

g T = 2 π √ m

}

Ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung (F ~ y), so verläuft die Schwingung

harmonisch (sinusförmig).

Es gilt:

y (t) = y max · sin ( 2 π } T · t ) = y max · sin (ω · t)

D



103

Analogien zwischen mechanischen und

elektromagnetischen Schwingungen

FOLIE


Eine mechanische Schwingung

ist eine zeitlich periodische Bewegung

eines Körpers um eine

Gleichgewichtslage.

Beispiel: Federschwinger

Elektromagnetische

Schwingungen

Eine elektromagnetische Schwingung

ist eine zeitlich periodische

Änderung der Stärke des elektrischen

bzw. magnetischen Felds.

Beispiel: Schwingkreis

++

N

F

|y| maximal

v = 0

y

|y| = 0

v maximal

F

|y| maximal

v = 0

U

|U| maximal

I = 0

S

|U| = 0

I maximal

++

|U| maximal

I = 0

t

t

Es wird potenzielle Energie in

kinetische Energie umgewandelt

und umgekehrt.

Ohne Energiezufuhr verläuft die

Schwingung gedämpft.

Es wird Energie des elektrischen

Felds in Energie des magnetischen

Felds umgewandelt und umgekehrt.

Ohne Energiezufuhr verläuft die

Schwingung gedämpft.

y

U

t

t

Ursache: Durch Reibung wird

mechanische Energie in innere

Energie umgewandelt.

Ursache: Durch den ohmschen

Widerstand wird elektrische

Energie in innere Energie umgewandelt.



Die Vorgänge im Schwingkreis lassen sich mithilfe statischer

Bilder recht gut darstellen. Günstiger sind aber

Simulationen, etwa das betreffende Java-Applet von

Fendt, dass unter www.walter-fendt.de zu finden ist.

Die thomsonsche Schwingungsgleichung kann durch

halbquantitative Versuche plausibel gemacht werden, so

wie das im Lehrbuch auf Seite 339 dargestellt ist.

Liegt die Schwingungsdauer einer elektromagnetischen

Schwingung in der Größenordnung von einer Sekunde,

dann kann man eine solche Schwingung mithilfe eines

Amperemeters sichtbar machen, das man in den Schwingkreis

schaltet. Ein Arbeitsblatt dazu ist auf der nächsten

Seite zu finden.

Es ist sinnvoll, durch Experimente und geeignete Visualisierungen

plausibel zu machen, wie sich von einem Dipol

elektrische und magnetische Wechselfelder ausbreiten.

Dabei sind allerdings mehrere Probleme zu beachten:

1. Statische Bilder schaffen erfahrungsgemäß nur eine

unzureichende Vorstellung von den Vorgängen um

einen Dipol. Zu bevorzugen sind Simulationen, die

man in verschiedenen Varianten im Internet findet.

Dazu könnte eine Erkundungsaufgabe für die Schüler

formuliert werden. Zu empfehlen ist ein Verweis auf

die Internetadresse www.schulphysik.de.

Leider wird in den Simulationen meist nur die Ausbreitung

des elektrischen Anteils dargestellt, nicht

aber die Verkettung mit dem magnetischen Feld.

2. Genau bei dieser Verkettung tritt ein weiteres Problem

auf. Unmittelbar um den Dipol (beim Nahfeld)

sind die Felder gegeneinander verschoben. Beim Fernfeld

dagegen ist das nicht der Fall. Die Skizzen unten

zeigen eine mögliche Variante. Dabei wird allerdings

die Verkettung der Felder, die sich wechselseitig erzeugen

(b Lehrbuch S. 345 f.), nicht so recht deutlich.

Die Ausbreitung und die Eigenschaften elektromagnetischer

Wellen lassen sich gut am Beispiel von Mikrowellen

experimentell zeigen. Analogiebetrachtungen helfen

bei der Strukturierung und der Systematisierung des

Wissens. Dabei können auch die beiliegenden Folien mit

genutzt werden.

FOLIE

Abstrahlung von einem Dipol

+

–

–

+



105

Mit der rechts abgebildeten Schaltung lassen

sich elektromagnetische Schwingungen, bei

denen die Schwingungsdauer in der Größenordnung

von einer Sekunde liegt, veranschaulichen.

Bestandteile der Schaltung sind eine Spannungsquelle,

ein Schwingkreis und ein Amperemeter.

Elektromagnetische Schwingungen

ARBEITSBLATT

a) Wie groß ist die Schwingungsdauer eines Schwingkreises, der aus einem Kondensator der

Kapazität 40 μF und einer Spule der Induktivität 500 H besteht?

b) Zeichnen Sie die Schaltskizze der oben

angegebenen Schaltung. Geben Sie an, wo

man das Amperemeter einbauen muss, um

die Stromschwankungen zu messen.

c) Wie würden Sie die Spule (L = 500 H) herstellen, damit dieses Bauteile noch einigermaßen

handlich ist? Unterbreiten Sie einen praktikablen Vorschlag.



FOLIE

Eigenschaften elektromagnetischer Wellen

An metallischen Leitern werden die

Wellen reflektiert.

Es gilt das Reflexionsgesetz α = α‘.

Metallplatte

α

α'

Beim Übergang von einem Isolator

in einen anderen können elektromagnetische

Wellen ihre Ausbreitungsrichtung

ändern. Sie werden

gebrochen.

Es gilt das Brechungsgesetz.

An Hindernissen können die Wellen

gebeugt werden und sich so auch in

Schattenräume hinein ausbreiten.

Sender

Sender

Empfänger

Isolator

Empfänger

Hindernis

Sender

Empfänger

Elektromagnetische Wellen können

sich überlagern, sodass eine resultierende

Welle als Addition der Ausgangswellen

entsteht (Interferenz).

Dabei kommt es zu typischen Interferenzerscheinungen

wie Verstärkung

und Abschwächung.

Sender

Doppelspalt

Empfänger

Elektromagnetische Wellen können

polarisiert werden, z. B. durch ein

engmaschiges Netz aus Metalldrähten.

Die Feldvektoren schwingen

dann hinter dem Gitter nur in einer

Richtung.

Sender

Gitter

Empfänger



107

Sendung und Empfang hertzscher Wellen

FOLIE

Blockschaltbild eines Senders

NF-Schwingung

modulierte HF-Schwingung

modulierte

HF-Wellen

Mikrofon

Mischkreis

HF-Generator

Verstärker

HF-Schwingung

Schwingkreis

Antenne

Blockschaltbild eines Empfängers

ankommende

modulierte

HF-Wellen

HF-Schwingung

NF-Schwingung

verstärkte

NF-Schwingung

Demodulator

Verstärker

Abstimmkreis

Antenne

Lautsprecher



ARBEITSBLATT

TOP-Download und Verschwörungstheorien

Zu den häufigsten Downloads der Raumfahrtgeschichte gehört der berühmte Mitschnitt des

Gespräches, das der US-Präsident NIXON nach der Landung der amerikanischen Astronauten

NEIL ARMSTRONG und EDWIN ALDRIN auf dem Mond im Juli 1969 führte. Nachfolgend ist die

Gesprächsmitschrift angegeben.

McCandless: ...We‘d like to get both of you in the field-of-view of the camera for a minute.

Neil and Buzz, the President of the United States is in his office now and would like

to say a few words to you. Over.

Armstrong: That would be an honor.

McCandless: All right. Go ahead, Mr. President. This is Houston. Out.

Nixon: Hello, Neil and Buzz. I‘m talking to you by telephone from the Oval Room at the

White House, and this certainly has to be the most historic telephone call ever made. I just

can‘t tell you how proud we all are of what you (garbled). For every American, this has to

be the proudest day of our lives. And for people all over the world, I am sure they, too,

join with Americans in recognizing what an immense feat this is. Because of what you

have done, the heavens have become a part of man‘s world. And as you talk to us from

the Sea of Tranquility, it inspires us to redouble our efforts to bring peace and tranquility

to Earth. For one priceless moment in the whole history of man, all the people on this

Earth are truly one; one in their pride in what you have done, and one in our prayers that

you will return safely to Earth.

Armstrong: Thank you, Mr. President. It‘s a great honor and privilege for us to be here

representing not only the United States but men of peace of all nations, and with interests

and the curiosity and with the vision for the future. It‘s an honor for us to be able to participate

here today.

Nixon: And thank you very much and I look forward...All of us look forward to seeing you

on the Hornet on Thursday.

Aldrin: I look forward to that very much, sir.

Von der Homepage der NASA kann man sich die Original Sound-Dateien und die Mitschrift des

Funkverkehrs zwischen der Erde und dem Mond herunterladen (Quelle: http://science.ksc.nasa.

gov/history/apollo/apollo-11). Während des „kalten Krieges“ kam die Verschwörungstheorie

auf, die Amerikaner wären gar nicht auf dem Mond gewesen, sondern hätten alles nur vorgetäuscht.

Hört man das Gespräch jedoch sorgfältig an, dann kommt man zu dem Schluss, dass hier

tatsächlich zwei Personen sehr weit weg von der Erde waren ...

1. Hören Sie sich das Gespräch mehrfach an!

2. Aus den Pausen im Gespräch kann man die Entfernung zum Erdmond abschätzen.

Dazu muss man sich aber unbedingt tiefer in den Text einlesen und einhören, auch, um sich

nicht von Hintergrundgeräuschen irritieren zu lassen.

a) Erläutern Sie kurz den Inhalt des Telefongespräches! Welche Personen sind daran beteiligt

und wo befinden sie sich?

b) Ermitteln Sie die Länge der Gesprächspausen! Welcher Astronaut reagiert am schnellsten

auf die Worte des Präsidenten?

c) Schätzen Sie unter Nutzung der Daten aus dem Gespräch die Entfernung des Monds von

der Erde!



109

Die Lösungen zum Arbeitsblatt

Die Lösungen zum Arbeitsblatt sind nicht elementar.

Teilaufgabe 2a) ist noch relativ einfach:

MCCANDLESS und NIXON befinden sich, wie auch das

Aufzeichnungsgerät, auf der Erde, ARMSTRONG

und ALDRIN auf dem Mond.

Die ermittelten Zeiten der Gesprächspausen

sind:

McCandless–Armstrong: 7 s

McCandless–Nixon: < 1 s

Nixon–Armstrong: 8 s

Armstrong–Nixon: ca.1 s

Nixon–Aldrin: ca. 3– 4 s

ARBEITSBLATT

Bei Teilaufgabe 2b) ergibt sich:

MCCANDLESS bereitet ARMSTRONG auf das Gespräch

mit dem Präsidenten vor, ARMSTRONG

antwortet, wie auch im Laufe der übrigen Unterhaltung,

überlegt und bedächtig. Er benötigt

immer 7–8 Sekunden für die Antwort. Die

Funkwellen sollten zum Mond und wieder zurück

mehr als 2 aber weniger als 3 Sekunden

benötigen. ARMSTRONG hat also zusätzlich einige

Sekunden für die gedankliche Formulierung der

Antwort gebraucht. NIXON reagiert mit einer

für Gespräche üblichen Reaktionsverzögerung

von ca. 1 Sekunde auf die einlaufenden Worte

ARMSTRONGS, eine Verzögerung durch die Signallaufzeit

entfällt (das Tonbandgerät, das die Unterhaltung

aufzeichnet, steht natürlich auf der

Erde). ALDRINS Gesprächspart ist nur sehr kurz, so

dass er nicht erst lange nachdenken muss. Wir

merken das an seiner deutlich kürzeren Antwortzeit

im Vergleich zu ARMSTRONG.

Für Teilaufgabe 2c gilt:

Geht man davon aus, dass bei ALDRIN die Reaktionszeit

zum Formulieren der Antwort in der

Größenordnung von NIXONS Reaktionszeit liegt,

also ca. 1 Sekunde beträgt, dann kann man die

Entfernung zum Mond aus der bekannten Lichtgeschwindigkeit

abschätzen. Mit den oben ermittelten

3– 4 Sekunden Gesprächspause findet

man für die reine Lichtlaufzeit 2– 3 Sekunden,

also für die Monddistanz:

r = 1 } 2 c · t

Mit den oben genannten Daten erhält man für

r einen Wert zwischen 300 000 und 450 000 km.

Tatsächlich ist der Mond im Mittel rund

380 000 km von der Erde entfernt.



2.5 Optik

Inhalte der Optik, insbesondere die gesamte Strahlenoptik

und meist auch einige Aspekte der Wellenoptik,

werden in allen Bundesländern in der Sekundarstufe 1

behandelt. Schwerpunkte in der Oberstufe sind, unabhängig

von der Einordnung in den Gesamtlehrgang,

− das Modell Lichtwelle sowie das huygenssche Prinzip

mit ausgewählten Anwendungen,

− die Interferenz von Licht und Anwendungen dazu

(Bestimmung der Wellenlänge von Licht, Interferenz

an dünnen Schichten, Interferometer),

− die Polarisation von Licht als weiteres Merkmal für

den Wellencharakter.

Als Einstieg scheint es sehr sinnvoll zu sein, zunächst die

grundlegenden Eigenschaften von Licht und wichtige

Phänomene wie Ausbreitung, Reflexion, Brechung, Beugung,

Streuung und Absorption zu wiederholen. Das

kann z. B. in Form einer Diskussion mit den Schülern erfolgen.

Dabei wird zusammengetragen, was die Schüler

zum Licht noch wissen (b Tafelbild unten). Der Lehrer erhält

damit zugleich eine wichtige Rückkopplung über das

Ausgangsniveau der Schüler.

Inwieweit auf einzelne Aspekte genauer eingegangen

wird, hängt von der Klassensituation und von den Intentionen

des Lehrers ab.

Es sollte dann zunächst die Reflexion und die Brechung in

den Vordergrund gestellt werden. Die Beschreibung von

Reflexion und Brechung ist mit dem Modell Lichtstrahl

problemlos möglich. Den Schülern sollte aber verdeutlicht

werden, dass damit noch keine Erklärung für die Phänomene

Reflexion und Brechung gegeben ist.

Eine nachvollziehbare Erklärung bildet erst das Wellenmodell

in Verbindung mit dem huygensschen Prinzip. Ein

mögliches Herangehen ist im LB skizziert. Dabei sollten

– auch mit Blick auf typischen Anwendungen – zwei Fälle

unterschieden werden.

a) Es liegen lineare Wellen vor. Da jeder Punkt einer

Wellenfront Ausgangspunkt von Elementarwellen ist

und sich alle Elementarwellen in einem Medium

gleich schnell ausbreiten, entstehen immer neue lineare

Wellenfronten.

Wellenfront

Wellennormale

neue Wellenfront

Damit können Reflexion und Brechung erklärt werden.

b) Es liegen kreisförmige Wellen vor, die von einem

punktförmigen Erregerzentrum ausgehen. Damit

kann die Beugung an einem schmalen Spalt, einer

Kante oder einem kleinen Hindernis erklärt werden.

Statische Bilder zum huygensschen Prinzip sind erfahrungsgemäß

für Schüler schwer verständlich. Es sollten

deshalb Simulationen genutzt werden. Sie sind z. B. unter

www.schulphysik.de zu finden.

TAFELBILD

Ausbreitung mit

großer Geschwindigkeit

(300 000 km/s)

Was ist Licht?

Absorption

Beugung

geradlinige

Ausbreitung

Licht und seine Eigenschaften

Streuung

Reflexion

Wellenlänge

Brechung

Frequenz

Farbe


Optik 111

Auf die Streuung und die Absorption von Licht sollte

etwa auf dem Niveau eingegangen werden, wie es im

Lehrbuch auf S. 371 dargestellt ist. Dabei sollten die Schüler

vor allem auch auf die energetischen Aspekte aufmerksam

gemacht werden:

− Streuung von Licht bedeutet energetisch die Aufspaltung

des ursprünglichen Energiestroms in die unterschiedlichen

Richtungen. Das wird mitunter mit dem

Begriff Dissipation belegt.

− Absorption von Licht bedeutet energetisch, dass die

mit dem Licht transportierte Energie auf den betreffenden

Körper übertragen wird und es zu einer Erhöhung

der Temperatur des Körpers kommt, da sich

seine thermische Energie vergrößert.

Ausgangspunkt für die Behandlung der Welleneigenschaften

von Licht ist eine bei mechanischen Wellen

herausgearbeitete Erkenntnis, die etwa folgendermaßen

formuliert werden kann:

Mechanische Wellen, z. B. Wasserwellen oder Schallwellen,

breiten sich hinter Spalten, Kanten oder Hindernissen

in den gesamten Raum hinein aus.

Bei Licht lassen sich Beugung an schmalen Spalten und

Hindernissen sowie Interferenz am Doppelspalt bzw.

Gitter in einem gut abgedunkelten Raum problemlos

experimentell nachweisen.

Die Frage, warum Inter ferenz nicht überall in unserer

Umgebung zu beobachten ist, führt unmittelbar zum

Problem des kohärenten bzw. des inkohärenten Lichts.

Die Tiefe der Behandlung dieses Problems sollte vom

Leistungsvermögen der Schüler abhängig gemacht

werden.

Die Zusammenhänge zwischen den Modellen Lichtstrahl

und Lichtwelle können an einigen Beispielen gut verdeutlicht

werden.

Die beiliegende Übersicht kann dabei als Kopiervorlage

genutzt werden.

Eigenschaften von Licht

FOLIE

An schmalen Spalten und Hindernissen

wird Licht gebeugt.

Hinter einem Doppelspalt überlagert

sich das gebeugte Licht.

Es tritt Interferenz auf.

Schirm

Die Intensität des gebeugten

Lichts ist gering.

Auf einem Schirm sind Bereiche

der Verstärkung (helle Streifen,

Aufhellung) und der Abschwächung

(dunkle Bereiche) zu beobachten.

Aus dem Auftreten der Welleneigenschaften

Beugung und Interferenz bei Licht kann gefolgert werden:

Licht hat Welleneigenschaften.



FOLIE

Lichtstrahl und Lichtwelle

In der Physik werden Modelle genutzt, um physikalische Erscheinungen

beschreiben, erklären und voraussagen zu können. Für ein Modell gilt:

− Es stimmt in einigen Merkmalen oder Eigenschaften mit dem

Original überein, in anderen nicht.

− Es ist nur innerhalb bestimmter Grenzen gültig und sinnvoll anwendbar.

− Es ist weder richtig noch falsch, sondern zweckmäßig und geeignet

oder unzweckmäßig und nicht geeignet.

Für ein und dasselbe Original können verschiedene Modelle genutzt

werden.

Licht

kann beschrieben werden mit den Modellen

Lichtstrahl

Ein Lichtstrahl veranschaulicht den

Weg des Lichts.

Das Modell eignet sich gut zur

Beschreibung

− der geradlinigen Lichtausbreitung,

− der Schattenausbildung,

− der Reflexion und der Brechung.

Lichtwelle

Eine Lichtwelle veranschaulicht

den Charakter von Licht als elektromagnetische

Welle.

Das Modell eignet sich gut zur Beschreibung

und Erklärung

− der Beugung,

− der Interferenz,

− der Polarisation.

Zwischen den beiden Modellen für das Licht

gibt es auch Zusammenhänge:

L

Die Lichtstrahlen stehen senkrecht auf den Wellenfronten.


Optik 113

Konstruktive Interferenz

Es tritt maximale Verstärkung auf.

Interferenz von Licht

Destruktive Interferenz

Es tritt maximale Abschwächung

(Auslöschung) auf.

TAFELBILD

Δs = 2k ∙ λ } 2

(k = 0, 1, 2, …)

Δs = (2k – 1) ∙ λ } 2

(k = 1, 2, …)

Die Herleitung der Gleichung für Interferenzmaxima

kann so erfolgen, wie es im LB dargestellt ist. Ob dabei

die Begriffe konstruktive und destruktive Interferenz

eingeführt werden, bleibt der Lehrkraft überlassen. Entscheidend

ist eine solide Interpretation der Gleichung.

Die Schüler sollen erfassen:

− Bei einer bestimmten Wellenlänge ergeben sich eindeutige

Maxima, die auch messtechnisch gut erfasst

werden können.

− Da die Lage der Maxima von der Wellenlänge abhängig

ist, ergibt sich bei Verwendung von weißem Licht

ein kontinuierliches Spektrum.

Gibt man die Energieverteilung auf einem Bildschirm

an, dann wird klar, weshalb z. B. bei der Bestimmung der

Wellenlänge von Licht Messungen an Maxima günstiger

als Messungen an Minima sind.

Neben Simulationen kann man zur Demonstration der

Überlagerung von Wellen zwei Wellenzüge nutzen, die

auf eine durchsichtige Folie kopiert werden (Vorlage unten).

Dieses Modell ist gut geeignet, um mithilfe eines

Tageslichtprojektors die Entstehung von Verstärkung,

Abschwächung und Auslöschung zweier Wellen zu verdeutlichen.

Auch die Notwendigkeit der Nutzung kohärenter

Wellen kann verdeutlicht werden.

FOLIE



ARBEITSBLATT

Interferenz am Doppelspalt

1. Unter welchen Bedingungen treten bei Licht zeitlich stabile Bereiche der Verstärkung bzw. der

Auslöschung auf?

2. Zeichnen Sie für Licht einer Wellenlänge die von zwei Spalten (Doppelspalt) ausgehenden Wellen.

Markieren Sie im Bereich der Überlagerung der Wellen und auf dem Schirm die Bereiche der

maximalen Verstärkung und der Auslöschung. Wählen Sie als Abstand der Wellenfronten 1 cm.

3. Wie verändert sich die Lage der hellen Streifen auf dem Schirm, wenn man die Wellenlänge

größer wählt? Begründen Sie.

Schirm


Optik

115

Wellen im Vergleich

FOLIE

Mechanische Wellen, hertzsche Wellen und Licht haben ähnliche Eigenschaften,

die in analoger Weise beschrieben werden können.

Eigenschaft Mechanische Wellen Hertzsche Wellen Licht

Reflexion

Hindernis

leitende Schicht

Spiegel

α

α'

α

α'

α

α'

Bei der Reflexion von Wellen gilt das Reflexionsgesetz:

α = α'

Brechung

α

Wasser

tief

Wasser

flach

β

α

Luft

Isolator

β

Glas,

n 1 α Wasser

Luft β

n 2

Bei der Brechung von Wellen gilt das Brechungsgesetz:

sin α

}

sin β = n 2

}

n 1

Interferenz

Doppelspalt

Doppelspalt

Doppelspalt

Sender

Sender

(Lautsprecher)

(Mikrowellensender)

Sender

(Leuchte)

Polarisation

Wellen können sich überlagern (interferieren). Wo Verstärkung

und Abschwächung auftreten, hängt von den jeweiligen Bedingungen

ab.

Spalt

Gitter

Polarisationsfilter

Seilwellen können

durch einen Spalt

polarisiert werden.

Sender

Hertzsche Wellen

können durch ein

Drahtgitter polarisiert

werden.

Sender

Empfänger

Empfänger

Licht kann durch ein

Polarisationsfilter

polarisiert werden.



2.6 Quantenphysik

Schwerpunkte in diesem Lernbereich sind:

− der äußere lichtelektrische Effekt, seine Beschreibung

und seine quantenphysikalische Deutung sowie

− das Gewinnen eines Einblicks in die Eigenschaften

von Quantenobjekten, die wesentlich anders sind als

die von makroskopischen Objekten.

Die Behandlung des Fotoeffektes sollte zunächst auf

phänomenologischer Ebene erfolgen. Dabei ist es sinnvoll,

den traditionellen Weg zu gehen, der auch im Lehrbuch

dargestellt ist:

− Es erfolgt eine experimentelle Untersuchung des

Fotoeffekts und seine Deutung. Dazu kann das beiliegende

Arbeitsblatt genutzt werden.

− Es werden energetische Betrachtungen zu den drei

Fällen E > W A , E = W A und E < W A durchgeführt.

Anschließend erfolgen quantitative Betrachtungen anhand

der Einstein-Geraden bzw. der einsteinschen Gleichung

für den Fotoeffekt. Der Schwerpunkt sollte dabei

auf der Interpretation der Einstein-Geraden bzw. der einsteinschen

Gleichung liegen, nicht auf formalen Berechnungen.

−

−

−

−

Elektronen teilweise wie Teilchen und teilweise wie

Wellen verhalten;

Elektronen, Photonen und Masseteilchen (z. B. Atome,

Moleküle) Quantenobjekte sind, die sich anders verhalten

als makroskopische Körper;

für einzelne Ereignisse bei Quantenobjekten keine

Vorhersagen getroffen werden können, wohl aber

für eine hinrechend große Anzahl von Quantenobjekten;

Erkenntnisse der Quantenphysik in der modernen

Technik nutzen lassen.

Für das Herangehen empfehlen wir den im LB skizzierten

Weg.

Die entscheidende Folgerung aus den Betrachtungen ist:

Wie sich einzelne Quantenobjekte verhalten, ist nicht

vorhersagbar. Bei einer großen Anzahl von Quantenobjekten

sind Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich.

Den Schülern sollte auch deutlich werden: Quanteneffekte

treten bei beliebigen Objekten auf. Sie sind allerdings

bei makroskopischen Objekten so klein, dass sie

weit unter jeder Messbarkeitsgrenze liegen. In der beiliegenden

Kopiervorlage ist dazu ein Beispiel angegeben.

Im nachfolgenden Unterrichtsabschnitt sollten die Schüler

erfassen, dass sich

FOLIE

Verschiedene Modelle für das Licht

Modell Lichtstrahl Modell Welle Modell Photon

eignet sich zur

Beschreibung des

Wegs, den Licht

zurücklegt.

Keine Aussage zur

Natur des Lichts

eignet sich zur

Erklärung von

Beugung und Interferenz.

Licht hat Wellencharakter.

eignet sich zur

Erklärung des Fotoeffekts.

Licht hat Teilchencharakter.


Quantenphysik

117

Der äußere lichtelektrische Effekt

FOLIE

Die Erscheinung, dass aus der Oberfläche eines Körpers bei Bestrahlung

mit Licht Elektronen austreten können, wird als äußerer lichtelektrischer

Effekt bezeichnet.

2

E kin = e · U

in eV

1

E kin = h · f – W A

ΔE

ΔE

}

Δf = h

0

–1

W A

1 2 3 4 5 6

Grenzfrequenz f G

Δf

Frequenz f

in 10 14 Hz

–2

− Der Anstieg des Graphen ist das plancksche Wirkungsquantum h.

− Der Schnittpunkt des Graphen mit der Abszissenachse ist die Grenzfrequenz

f G .

− Der Schnittpunkt des Graphen mit der Ordinatenachse ergibt den

Betrag der Ablösearbeit W A .

Die Energiebilanz beim äußeren lichtelektrischen Effekt lautet:

h · f = W A + E kin

h plancksches Wirkungsquantum (h = 6,626 · 10 –34 J · s)

f Frequenz des eingestrahlten Lichts

W A Austrittsarbeit (Materialkonstante)

kinetische Energie der herausgelösten Elektronen

E kin



ARBEITSBLATT

Die Elektronenbeugungsröhre

1. Die Skizze zeigt eine Elektronenbeugungsröhre. Beschriften Sie diese Skizze.

U

U H

2. Auf dem Schirm kann man Ringe erkennen. Ergänzen Sie die nachfolgenden Sätze.

−

−

Das Muster wird von den Elektronen erzeugt. Dafür sprechen die

folgenden Ergebnisse bei der Durchführung des Experiments:

Erhöht man die Beschleunigungsspannung, so werden die Durchmesser

der Kreise .

Bringt man einen Magneten in die Nähe des Beugungsmusters, so

wird die Ringstruktur .

3. Im Ergebnis der Untersuchungen kann man formulieren:

Elektronen besitzen auch

. Elektronen kann eine

zugeordnet werden, die von der

und damit

von der

abhängt.


Quantenphysik

119

Lichtmikroskop und Elektronenmikroskop

FOLIE

Lichtmikroskop

Elektronenmikroskop

Lichtquelle

Kondensor

Objekt

Objektiv

Zwischenbild

Okular

Auge

Elektronenquelle

Kondensorspulen

(Magnetlinse)

Objekt

Objektspulen

(Magnetlinse)

Zwischenbild

Projektionsspulen

(Magnetlinse)

Auge

Leuchtschirm

mit Bild, Fotoplatte

Das Objekt wird mit Licht durchstrahlt.

Die Abbildung erfolgt durch

optische Linsen

(Nutzung der Brechung von

Licht).

Es entsteht ein vergrößertes Bild

des Objekts, das mit den Augen

betrachtet oder fotografiert

werden kann.

Meist wird mit 20-facher bis

1000-facher Vergrößerung

gearbeitet.

Das Auflösungsvermögen ist

durch die Wellenlänge des Lichts

begrenzt

(bei blauem Licht: 0,4 μm).

Das Objekt wird mit schnell bewegten

Elektronen durchstrahlt.

Die Abbildung erfolgt durch

Magnetlinsen

(Nutzung der Ablenkung von

Elektronen in Magnetfeldern).

Es entsteht ein vergrößertes Bild

des Objekts, das mit den Augen

betrachtet oder fotografiert

werden kann.

Die Vergrößerung ist etwa um

den Faktor 10 3 größer als bei

einem Lichtmikroskop.

Das Auflösungsvermögen ist

durch die Beschleunigungsspannung

begrenzt

(bei 100 kV : 0,3 nm).



FOLIE

Interferenz von Licht und von einzelnen Photonen

Doppelspalt

Schirm

Auf dem Schirm ergeben

sich zwei Häufungsbereiche.

Lichtquelle

Doppelspalt

Schirm

Es entsteht ein Interferenzmuster

mit Bereichen

der Verstärkung

und der Abschwächung.

Quelle für

einzelne

Photonen

Doppelspalt

CCD-Array

Bei wenigen Photonen

ergibt sich ein Muster,

aus dem man keinen gesetzmäßigen

Zusammenhang

erkennen kann.

Quelle für

einzelne

Photonen

Doppelspalt

CCD-Array

Bei einer größeren Anzahl

von Photonen ergibt

sich ein typisches

Interferenzmuster, vergleichbar

mit dem von

Licht.


Quantenphysik

121

Makroskopische Objekte und Quantenobjekte

FOLIE

Quantenobjekte sind die Objekte, mit denen sich die Quantenphysik beschäftigt.

Zu ihnen gehören Elektronen, Photonen, Neutronen, Protonen, Atome und Moleküle.

Sie unterscheiden sich in ihrem Verhalten grundsätzlich von makroskopischen

Objekten.

Makroskopische Objekte

Quantenobjekte

z. B. Ball, Ziegelstein, Murmel z. B. Elektronen, Photonen, Atome

Makroskopische Objekte bewegen

sich auf Bahnen.

Für ein makroskopisches Objekt kann

man Ort und Impuls im Rahmen der

Grenzen der Messgenauigkeit angeben.

Schickt man ein makroskopisches

Objekt mehrfach durch einen Doppelspalt,

so geht es stets entweder durch

den einen oder durch den anderen

Spalt.

Quantenobjekte bewegen sich nicht

auf Bahnen.

Je bestimmter der Ort eines Quantenobjekts

ist, desto unbestimmter ist

sein Impuls und umgekehrt.

Schickt man ein Quantenobjekt in großer

Anzahl durch einen Doppelspalt,

so bildet sich auf einem Schirm ein

typisches Interferenzmuster heraus.

Elektronenquelle

Ein makroskopisches Objekt geht stets

durch genau einen Spalt hindurch.

Man kann vorhersagen, durch welchen

Spalt es geht.

Eine große Anzahl von makroskopischen

Objekten ändert nichts an der

Vorhersagbarkeit des Ergebnisses.

Für makroskopische Objekte sind

keine Quanteneffekte beobachtbar.

m = 1,0 kg, Ortsunschärfe: 1 Atomdurchmesser

(10 –10 m)

Die Unbestimmtheit der Geschwindigkeit

beträgt: Δv ≥ 5,3 · 10 –25 m } s

Für ein einzelnes Quantenobjekt ist

nicht vorhersagbar, durch welchen

Spalt es geht.

Bei einer großen Anzahl von Quantenobjekten

sind Wahrscheinlichkeitsaussagen

möglich.

Für Quantenobjekte spielen Quanteneffekte

eine entscheidende Rolle.

Elektron: Bei einer Ortsunschärfe von

Δx = 0,0529 nm (bohrscher Radius)

beträgt die Unbestimmtheit der

Geschwindigkeit Δv ≥ 1 000 km } s .



FOLIE

Eigenschaften von Quantenobjekten

Zu den Quantenobjekten, mit denen sich die Quantenphysik

beschäftigt, gehören Elektronen, Photonen, Neutronen und Protonen,

aber auch Atome und Moleküle.

Im Unterschied zu den uns umgebenden makroskopischen Körpern gilt

für die Quantenobjekte:

− Quantenobjekte bewegen sich nicht auf Bahnen.

− Quantenobjekte sind keine kleinen Kügelchen.

− Bei Quantenobjekten treten Teilchen- und Welleneigenschaften auf.

haben etwas Welliges, was ihre Ausbreitung

bestimmt und z. B. auch Interferenz bewirkt.

Quantenobjekte

haben etwas Körniges oder Teilchenhaftes,

was sich z. B. bei einer Ortsmessung zeigt.

haben etwas Stochastisches, was keine Aussage

über das Verhalten eines einzelnen

Quantenobjekts erlaubt, wohl aber Wahrscheinlichkeitsaussagen

für eine große Anzahl

von Quantenobjekten.

Das

Elektron

ist als klassisches Teilchen beschreibbar.

m = 9,1 · 10 –31 kg

e = 1,6 · 10 –19 C

Es besitzt eine bestimmte Geschwindigkeit

und damit kinetische Energie.

zeigt auch Welleneigenschaften.

Es treten Beugung

und Inter ferenz auf.


Quantenphysik 123

Grundlegende Prinzipien der klassischen Physik

FOLIE

1. Kausalitätsprinzip: Jede Wirkung beruht auf einer Ursache.

2. Determinismus: Alles Geschehen auf der Welt ist durch kausale

Zusammenhänge in seinem Verlauf unabänderlich bestimmt.

3. Objektivierbarkeit: Der beobachtete Naturvorgang läuft unab hängig

und unbeeinflusst von dem Beobachter ab. Das Naturgeschehen ist

objektivierbar. Es lässt sich unabhängig vom Beobachter objektiv beschreiben.

Das Verhalten von Quantenobjekten unterscheidet sich

deutlich von dem makroskopischer Objekte und damit

von unserem Erfahrungsbereich. Um diese Unterschiede

herauszuarbeiten, ist es zweckmäßig die Prinzipien der

klassischen Physik zunächst noch einmal zu verdeutlichen

(b Folie oben).

Laplace formulierte die Grundpositionen der klassischen

Physik so:

Wir müssen den jetzigen Zustand des Weltalls als Wirkung

eines früheren und als Ursache des folgenden betrachten.

Ein Dämon möge alle Kräfte der Natur sowie

die Lage und die Geschwindigkeit aller Teilchen, aus denen

die Natur besteht, in einem bestimmten Augenblick

kennen. Könnte er zudem all diese Daten einer Rech-

nung zugrunde legen, so wäre er fähig, die Bewegung

der größten Körper des Weltalls und der kleinsten Atome

vorherzusagen. Für ihn wäre nichts unbestimmt, Zukunft

und Vergangenheit lägen offen vor ihm.

Die Quantenphysik stellt die Kausalität und die Objektiv

ierbarkeit infrage. Für eine große Anzahl von Quantenobjekten

lassen sich Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen.

Damit ist auch die Kausalität wieder hergestellt.

Überzeugend lassen sich die Zusammenhänge am Beispiel

der Interferenz von Licht und von einzelnen Photonen

darstellen (b beiliegende Folie). Eine Gegenüberstellung

von makroskopischen Objekten und Quantenobjekten

(b Folie) ist ebenfalls sehr hilfreich für das Verständnis.

Eigenschaften von Quantenobjekten

FOLIE

Quantenobjekte verhalten sich anders als die makroskopischen

Objekte, mit denen wir es in unserem Erfahrungsbereich zu tun haben:

− Für einzelne Quantenobjekte können Messergebnisse nicht vorhergesagt

werden.

− Für eine große Anzahl von Quantenobjekten kann man Wahrscheinlichkeitsaussagen

treffen und Gesetze formulieren.

− Quantenobjekte können durch den Messprozess gravierend beeinflusst

werden.

− Je bestimmter der Ort x eines Quantenobjekts ist, umso unbestimmter

ist sein Impuls (seine Geschwindigkeit) und umgekehrt. Für

Quantenobjekte gilt die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation:

Δx ∙ Δp ≥ h }

4π



2.7 Atom- und Kernphysik

In den Lehrplänen sind für diesen Lernbereich meist die

folgenden inhaltlichen Schwerpunkte ausgewiesen:

− Modelle für die Atomhülle,

− Emission und Absorption von Licht,

− Atomkerne, Kernumwandlungen und Radioaktivität,

− Kernspaltung und Kernfusion,

− Grundbausteine der Materie und das Standardmodell.

Eine Reihe von Inhalten wurde bereits in der Sekundarstufe

1 behandelt. Neu ist vor allem, dass verstärkt quantitative

Betrachtungen erfolgen, etwa zum Wasserstoffspektrum,

zum Massendefekt sowie zum Zerfallsgesetz

und zur Aktivität.

Ein erster Schwerpunkt besteht darin, den Schülern einen

Überblick über die Entwicklungsgeschichte der Vorstellungen

vom Atombau zu geben. Es ist sicher im Unterricht

nicht möglich und auch nicht sinnvoll, die komplizierten

und teilweise widersprüchlichen Entwicklungen

in den wissenschaftlichen Auffassungen nachvollziehen

zu wollen. Einige wichtige Aspekte und Fakten sollten

den Schülern aber bewusst werden:

− Bis etwa 1860 spielten in der physikalischen Forschung

Fragen des Atombaus keine Rolle.

− Mit der Entwicklung der Elektrizitätslehre, insbesondere

der Untersuchung von Gasentladungen, wurden

Erscheinungen registriert, die mit den bekannten Modellen

nicht zu erklären waren. Diese Situation verschärfte

sich mit der Entdeckung und Untersuchung

−

verschiedener Arten von Strahlungen (Katodenstrahlen

und ihr Durchgang durch dünne Folien, Röntgenstrahlung

(1895), ionisierende Strahlung (BECQUEREL

1896).

Auf der Grundlage experimenteller Erkenntnisse versuchte

man solche Modelle zu finden, mit denen man

experimentell ermittelten Fakten erklären konnte.

Das führte zu unterschiedlichen Modellen.

Einen Überblick über einige Etappen der Entwicklung der

Vorstellungen vom Atom gibt die beiliegende Kopiervorlage.

In Abhänigkeit vom Lehrplan steht entweder das bohrsche

oder das quantenphysikalische Atommodell im Vordergrund.

Während das bohrsche Atommodell nur für

Wasserstoff brauchbare Ergebnisse liefert, ist das quantenphysikalische

Atommodell auch auf andere Elemente

anwendbar. Allerdings erfolgt auch dort in der Schule

aus Gründen der Verständlichkeit für Schüler einer Beschränkung

auf die Beschreibung des Wasserstoffatoms.

Unabhängig vom behandelten Modell für die Atomhülle

sollten Energieniveauschemas in den Vordergrund gestellt

werden.

Mithilfe einer solchen grafischen Darstellung lassen sich

Emission und Absorption von Licht (allgemeiner: von

Strahlung) zeitgemäß beschreiben und erklären. Dabei

können die beiliegenden Folien mit einbezogen werden.

TAFELBILD

Aufbau des Atoms

Ein Atom besteht aus

–

+

Atomhülle

Atomkern

−

−

einem positiv geladenen Atomkern

(r ≈ 10 –15 m) mit Protonen und Neutronen,

einer negativ geladenen Atomhülle

(r ≈ 10 –10 m) mit Elektronen.

Seine Masse beträgt 10 –27 – 10 –24 kg.

Bei einem neutralen Atom gilt: Anzahl der Protonen = Anzahl der Elektronen

Für die Massen der Elementarteilchen gilt: m p ≈ m n m e ≈ 1

} 1840 m p (m e vernachlässigbar)

Massenzahl = Protonenzahl (Ordnungszahl) + Neutronenzahl

A = Z + N


Atom- und Kernphysik

125

Entwicklung der Vorstellungen vom Atom

FOLIE

1860 bis 1900

Untersuchung von Katodenstrahlen

(EUGEN GOLDSTEIN, PHILIPP LENARD,

J. J. THOMSON)

Katodenstrahlen sind schnell bewegte

Elektronen. Mit den Elektronen

wurde das erste Elementarteilchen

gefunden.

1902

Atommodell von J. J. THOMSON

Positiv geladene „Flüssigkeit“ mit

eingebetteten Elektronen

(Rosinenkuchen-Modell)

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

1911

Atommodell von ERNEST RUTHERFORD

(Planetenmodell) –

+

–

–

–

1913

Atommodell von NIELS BOHR

(Schalenmodell)

–

+

– –

–

–

–

–

ab 1925

Quantenmechanisches Atommodell

WERNER HEISENBERG

ERWIN SCHRÖDINGER

MAX BORN

Dieses Atommodell ist nur mit

mathematischen Mitteln beschreibbar.

Die Elektronen sind

keine Teilchen und bewegen sich

nicht auf Bahnen.



FOLIE

Quantenhafte Emission und Absorption von Licht

Im bohrschen Atommodell bedeutet die Emission bzw. die Absorption

von Licht den Übergang eines Elektrons von einer Bahn auf eine andere.

Emission eines Photons

Ein Elektron „springt“ von einer

kernferneren auf eine kernnähere

Bahn.

n 2

Absorption eines Photons

Ein Elektron wird von einer kernnäheren

auf eine kernfernere

Bahn „gehoben“.

n 2

n 1

n 1

h · f = ΔE

+ – +

–

E 2 E 2

E 1

E 1

h · f = ΔE

Dabei wird Energie ausgesendet

(emittiert).

Dabei wird Energie aufgenommen

(absorbiert).

Im quantenmechanischen Atommodell wird von Energieniveaus ausgegangen,

die für die Elektronen in der Atomhülle existieren. Emission

bzw. Absorption bedeutet den Übergang eines Elektrons von einem

Energieniveau auf ein anderes.

Emission von Photonen

Absorption von Photonen

E

–

–

–

–

E 4

ΔE 02

Photon

E 3

E 2

E 1

E

–

E 4

E 3

E 2

E 1

ΔE 20

–

Photon

E 0

E 0

–

–

Es wird mit Photonen Energie

abgegeben.

Es wird mit Photonen Energie

aufgenommen.

Die Energie entspricht einer bestimmten Frequenz f und mit c = λ · f

einer bestimmten Wellenlänge.



127

Das Energieniveauschema des Wasserstoffs

FOLIE

13,6

12,8

12,1

E in eV

Paschen-Serie

n = ∞

n = 4

n = 3

10,2

Balmer-Serie

n = 2

+10,2 eV

+13,6 eV

0

Lyman-Serie

n = 1

(Grundzustand)

− Für ein Wasserstoffatom im Grundzustand (n = 1) beträgt die Ionisierungsenergie

13,6 eV.

− Die möglichen Übergänge auf ein bestimmtes Niveau sind nach Physikern

benannt (Lyman, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund).

− Sichtbares Licht hat Energien zwischen 1,5 eV (langwelliges, rotes

Licht) und 3,3 eV (kurzwelliges, violettes Licht). Das bedeutet:

• Nur einige Spektrallinien der Balmer-Serie liegen im sichtbaren

Bereich.

• Die Linien der Lyman-Serie liegen im ultravioletten Bereich, die der

anderen Serien im infraroten Bereich.

Ausgewählte Energieniveaus der Balmer-Serie

12,8

E in eV

n = ∞

n = 5

n = 4

12,1

n = 3

H α

(rot)

H β

(grün)

H γ

(blau)

H δ

(violett)

10,2

n = 2

H α : λ = 656,28 nm

H β : λ = 486,13 nm

Hγ: λ = 434,05 nm

H δ : λ = 410,17 nm



FOLIE

Spontane und induzierte Emission

Spontane Emission

Induzierte Emission

E

E

E 2

E 1

E 1

ΔE

ΔE

E 0

Angeregter Zustand besteht nur

ca. 10 –8 s. Die Emission erfolgt

ohne äußere Einwirkung.

Beispiel: glühender Wolframdraht

E 0

Angeregter Zustand besteht

mehr als 10 –2 s. Die Emission wird

durch Photonen stimuliert.

Beispiel: Laser

Spiegel

Aufbau eines Lasers

Energiespeicher (Lasermedium)

teildurchlässiger Spiegel

Laserlicht

Energiequelle

Laserlicht unterscheidet sich vom Licht der meisten anderen

Lichtquellen:

− Laserlicht ist nahezu paralleles Licht.

− Laserlicht ist Licht einer Frequenz bzw. einer Wellenlänge (monochromatisches

Licht).

− Die Frequenz (Wellenlänge, Farbe) hängt vom Lasermedium ab.

− Laserlicht kann eine hohe Leistungsdichte von bis zu einigen Megawatt

je Quadratzentimeter haben.


Atom- und Kernphysik 129

Mit dem Energieniveauschema verfügen die Schüler über

eine anschauliche Deutung der energetischen Verhältnisse

in der Atomhülle. Wie diese Energieniveaus zustande

kommen, bleibt allerdings offen. Den Ansatz dafür

bietet die Schrödingergleichung, deren Lösungen für

ein Elektron im Potenzialtopf anschaulich verdeutlicht

werden. Dabei sollte immer wieder klargestellt werden:

Bei dem Potenzialtopf handelt es sich um ein stark vereinfachtes

Modell, mit dem man das Vorhandensein diskreter

Energieniveaus erklären kann. Bei Berechnungen

erhält man Ergebnisse, die mit der Realität nicht übereinstimmen.

Für das methodische Herangehen bieten sich unterschiedliche

Varianten an:

− Es wird von Analogienexperimenten ausgegangen,

bei denen sich Objekte in stabilen Zuständen befinden.

Das sind zum Beispiel lineare stehende Wellen

(Experimente mit Saiten) oder zweidimensionale stehende

Wellen (chladnische Klangfiguren). Anschließend

wird ein Modell mitgeteilt, mit dem man stationäre

Zustände von Elektronen in der Atomhülle

beschreiben kann.

− Es wird von der Schrödingergleichung ausgegangen

und die Lösungen diese Gleichung für den Potenzialtopf

erläutert. Die Lösungen ergeben stabile Zustände,

die als stehende Wellen oder als Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

(Orbitale) gedeutet werden

können. Analogieexperimente (schwingende Saiten,

chladnische Klangfiguren) bieten eine gewisse Veranschaulichung

für das eingeführte Modell.

Egal, welchen Weg man geht. Den Schülern sollten drei

Sachverhalte immer wieder bewusst gemacht werden:

− Es wird mit Modellen gearbeitet, die nicht identisch

sind mit der Realität. Potenzialtöpfe oder Orbitale

sind Vorstellungen über die Atomhülle.

− Die mathematische Beschreibung von Atomen mithilfe

der Schrödingergleichung ist so genau, dass sie

mit der Realität gut übereinstimmt und vielfältige

Anwendungen ermöglicht.

− Das Modell linearer Potenzialtopf eignet sich gut, um

die diskreten Energieniveaus für das Elektron in der

Atomhülle zu erklären. Man beachte aber: Die tatsächlichen

Energiewerte werden von dem Modell nur

schlecht beschrieben.

Mitunter helfen Analogien, um die relativ unanschaulichen

Sachverhalte der Quantenphysik zu verdeutlichen.

Eine solche Analogie ist bei der Folie unten genutzt – der

Vergleich des newtonschen Grundgesetzes mit der Schrödingergleichung.

Die Schrödingergleichung

FOLIE

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der Quantenphysik,

ähnlich wie das newtonsche Grundgesetz F = m ∙ a Grundgleichung der

klassischen Mechanik ist.

Klassische Mechanik

Grundgleichung:


F = m ∙ a

Das Verhalten eines Körpers wird

durch die Summe der auf ihn

wirkenden Kräfte bestimmt.

Als Lösung ergibt sich eine Bahnkurve,

die im einfachsten Fall in

x-Richtung verläuft.

Quantenphysik

Grundgleichung:

Schrödingergleichung

(allgemeine Form)

Das Verhalten eines Elektrons

der Atomhülle wird durch das

Potenzial bestimmt, in dem sich

das Elektron befindet.

Als Lösung ergibt sich eine Eigenfunktion

Ψ n (x), die im einfachsten

Fall des linearen Potenzialtopfs

die stationären Zustände

eines Elektrons verdeutlicht.



FOLIE

Lösungen der Schrödingergleichung für ein Elektron im

linearen Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden

Die Lösungen der Schrödingergleichung sind Eigenfunktionen Ψ n (x).

Sie beschreiben die stationären Zustände des Elektrons.

Ψ 1 (x) ~ sin ( x · π }

L )

Ψ 2 (x) ~ sin ( x · 2 π }

L ) Ψ 3 (x) ~ sin (}

x · 3 π

L )

0 L

x

0 L

x

0 L

x

Das Quadrat der jeweiligen Eigenfunktion 3Ψ n (x)4 2 ist ein Maß für die

Wahrscheinlichkeit (Aufenthaltswahrscheinlichkeit), ein Elektron im betreffenden

Raumbereich nachzuweisen.

[Ψ 1 (x)] 2 ~ 3sin (}

x · π

L ) 4 2

[Ψ 2 (x)] 2 ~ 3sin ( x · 2 π }

L ) 4 2 [Ψ 3 (x)] 2 ~ 3sin (}

x · 3 π

L ) 4 2

0 L 0 L 0 L

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit lässt sich auch mithilfe von

„Wolken“ unterschiedlicher Dichte darstellen.

Je größer ihre Dichte an einem Ort ist, desto größer ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit

des Elektrons an diesem Ort.



Das Modell linearer Potenzialtopf liefert eine Erklärung

für die diskreten Energieniveaus des Elektrons eines Wasserstoffatoms.

Die Lösungen der Schrödingergleichung

für diesen Fall haben die gleiche Form wie stehende

Wellen bei maximaler Auslenkung. Das legt die Analogie

zwischen den Eigenschwingungen einer Saite und den

Eigenfunktionen im linearen Potenzialtopf nahe, so wie

es auf der Folie unten dargestellt ist. Dabei ist aber zu

beachten, dass diese Analogie Grenzen hat: Eine Saite

schwingt zwischen den Knotenpunkten hin und her. Dagegen

sind die Elektronenzustände stationär.

Nun sind allerdings Atome dreidimensionale Gebilde.

Daraus ergibt sich die Frage, wie man sich die Atomhülle

räumlich vorstellen kann.

Auch hier können Analogiebetrachtungen nützlich sein,

indem man von den bisher betrachteten eindimensionalen

Bewegungen zu zweidimensionalen Bewegungen

übergeht. Das Analogon sind schwingende Platten, bei

denen die Bereiche, die nicht mit schwingen, als Linien

sichtbar werden, wenn man die schwingende Platte vorher

mit feinem Sand gestreut hat. Diese chladnischen

Klangfiguren sind zweidimensionale stehende Wellen.

Das Analogon dazu in der Quantenphysik sind strukturierte

Oberflächen, die von der Form her chladnischen

Klangfiguren ähneln.

Für den dreidimensionalen Potenzialtopf gibt es kein

einfaches mechanisches Analogon. Eine Vorstellung erhält

man mit den Orbitalen, die beim Wasserstoff im einfachsten

Fall kugelförmig beziehungsweise hantelförmig

sind (b LB S. 454).

Diese beiden Varianten lassen sich gut mit einem Luftballon

veranschaulichen: Der Grundzustand ist der kugelförmige

Luftballon, der angeregte Zustand der zu einer

Hantel umgeformte Luftballon, der bei etwas Geschick

nach kurzer Zeit von selbst wieder in den Grundzustand

„zurückspringt“.

Eigenschwingungen einer Saite und Eigenfunktionen

im Potenzialtopf

FOLIE

Eigenschwingungen

einer Saite

λ 1 = 2 L ; f 1 = 100 Hz

λ 2 = L ; f 2 = 200 Hz

2 2

Eigenfunktionen

im Potenzialtopf

λ 1 = 2 L

Ψ 1

(x)

E 1 =

h

}

2

8 m · L 2 x

0 L

λ 2 = L

Ψ 2

(x)

E 2 =

h

}

2

· 4 8 m L 2 x

0 L

λ 3 = }

2 L

3 ; f 3 = 300 Hz λ 3 = }

2 L

3

Ψ 3

(x)

E 3 =

h 2

}

8 m · L 2 · 9 x

0 L



FOLIE

Zustände der Atomhülle und Quantenzahlen

Die Energieniveaus in der Atomhülle hängen von einer Zahl n mit

n = 1, 2, 3, ... ab. Für das Wasserstoffatom gilt:

E n = –13,6 eV · }

1 E n 2 n = – R H · h · c · }

1 n 2

Für n = 1 ergibt sich der Grundzustand, für n = 2 der erste angeregte

Zustand usw.

Für die verschiedenen energetischen Zustände erhält man unterschiedliche

Orbitale.

Orbitale für n = 1 Orbitale für n = 2

x

x

x

x

Knotenfläche

z

y

z

y

Knotenfläche

z

y

Knotenfläche

z

y

Die geometrischen Eigenschaften der Orbitale lassen sich durch Zahlen

charakterisieren, die man Quantenzahlen nennt.

Quantenzahl Bedeutung mögliche Werte

Hauptquantenzahl

n

Nebenquantenzahl

l

(Bahndrehimpulsquantenzahl)

Magnetquantenzahl

m

Spinquantenzahl

s

kennzeichnet das

jeweilige Energieniveau

des Elektrons der Hülle.

kennzeichnet die Anzahl

der Knotenflächen im

Orbital.

kennzeichnet Orbitale mit

gleichem n und l nach der

Orientierung im Raum.

beschreibt die Richtung

der Eigenrotation des

Elektrons, hat aber keinen

Einfluss auf die Form des

Orbitals.

n = 1, 2, 3, ...

l = 0, 1, 2, ..., n – 1

(s, p, d, f )

m = – l, ..., –1, 0, 1, ..., + l

s = + }

1 2 , – }

1 2



Bei der Behandlung des Atomkerns stehen folgende inhaltlichen

Schwerpunkte im Zentrum:

− der Atomkern und seine Bestandteile (im Wesentlichen

eine Wiederholung),

− das Potenzialtopfmodell als einfaches Modell für den

Atomkern,

− Kernumwandlungen und Radioaktivität,

− Energiefreisetzung durch Kernspaltung und Kernfusion.

Ein Schwerpunkt dieses Inhaltsbereichs ist die Behandlung

eines einfachen Modells für den Atomkern. Dabei

ist zu beachten, dass es unterschiedliche Kernmodelle

gibt, die genutzt werden, um verschiedene Phänomene

zu beschreiben bzw. zu erklären.

So ist das Tröpfchenmodell gut geeignet, Kernspaltung

oder Kernfusion anschaulich zu beschreiben.

Beim Potenzialtopfmodell des Atomkerns (b Folie unten)

geht es vorrangig um die Beschreibung der diskreten

Ener gieniveaus von Protonen und Neutronen im Atomkern

sowie um die Erklärung des Zustandekommens von

α-, β- und γ-Strahlung. Eine zusammenfassende Darstellung

ist auf der Folie S. 134 zu finden.

Diskutiert wird immer wieder, wie man diese Strahlungen

bezeichnet. Der historische Begriff "radioaktive Strahlung"

ist weitverbreitet und auch nicht missverständlich,

wie mitunter behauptet wird. Ein sinnvoller Oberbegriff

ist "Kernstrahlung", weil die Quelle aller drei Strahlungsarten

der Atomkern ist. Der Begriff "ionisierende Strahlung"

umfasst dagegen neben der Kernstrahlung auch

die Röntgenstrahlung und die UV-Strahlung.

In welchem Umfang auf Eigenschaften und Anwendungen

der Kernstrahlung eingegangen wird, hängt von

dem jeweiligen Lehrplan ab.

Das Potenzialtopfmodell des Atomkerns

FOLIE

Mit dem Potenzialtopfmodell lassen sich die energetischen Zustände

von Protonen und Neutronen im Atomkern darstellen.

Potenzialwall

E(r)

E pot ~ 1 }r

r

Neutronen

Protonen

R-Kernradius

2 R

Der Potenzialtopf für Neutronen

ist tiefer als der für Protonen.

Für Neutronen gibt es keinen

Potenzialwall.

Es gibt je Energieniveau maximal

2 Neutronen.

Der Potenzialtopf für Protonen

ist aufgrund der coulombschen

Kräfte nicht so tief wie der für

Neutronen.

Auf Protonen wirkt die coulombsche

Kraft auch außerhalb des

Kerns noch abstoßend. Das führt

zu einem Potenzialwall.

Es gibt je Energieniveau maximal

2 Protonen.



FOLIE

Strahlung aus dem Atomkern

Art der

Strahlung

Darstellung im

Potenzialtopfmodell

Beispiel, Energien,

Kernumwandlungen

α-Strahlung

E(r)

226

222

Ra g Rn + 4 α

88 86 2

r

β-Strahlung

Neutronen

Protonen

Zwei Protonen und zwei

Neutronen bilden ein

α-Teilchen, das unter

Nutzung des Tunneleffekts

den Kern verlässt.

E(r) ν β – r

Ein Neutron kann sich unter

Energieabgabe in ein

Proton, ein Elektron und ein

Antineutrino umwandeln.

Energie

diskrete Energiewerte,

2 – 5 MeV

Es erfolgt eine Kernumwandlung.

214

214

Pb g Bi + 0 e + } ν

82 83 –1

Energie

Kontinuierliches

Energiespektrum bis

etwa 1 MeV

Es erfolgt eine Kernumwandlung.

γ-Strahlung

E(r)

Fermienergie

208

208

Pb* g Pb + γ

82 82

Ein Proton kann unter

Energieabgabe in einen

niedrigeren energetischen

Zustand übergehen.

Energie

diskrete Energiewerte,

um 1 MeV

Es erfolgt keine Kernumwandlung.



135

Mittlere Strahlenbelastung in Deutschland

FOLIE

Art der Strahlung

Dosis in mSv pro Jahr

Natürliche Strahlung

kosmische Strahlung

− auf Meereshöhe

− auf 1 500 m Höhe

terrestrische Strahlung

− bei Aufenthalt im Freien

− bei Aufenthalt in Gebäuden

„innere“ Strahlung beim

Menschen durch

− Einatmen von Radon

− durch Nahrung, Trinkwasser

0,25

0,50

0,06 … 2,2

0,09 … 2,4

1,4

0,3

Mittelwert: 2,4

Zivilisatorische Strahlung

Anwendung radioaktiver Stoffe

und ionisierender Strahlung

− bei medizinischen Untersuchungen

und Behandlungen

− in Technik, Forschung und Alltag

(hochfrequente Strahlung

bei PC, Fernseher)

− Kernwaffenversuche, Reaktorunfälle

1,5

0,02

< 0,02

Mittlere Strahlenbelastung 4,0

Mittelwert: 1,6



Bei Strahlenbelastungen ist zu beachten, dass dazu alle

Arten ionisierender Strahlung einen Beitrag leisten. Dazu

gehören nicht nur die beim Kernzerfall auftretenden

Strahlungen (Alpha-, Beta- und Gammastrahlung), sondern

auch Röntgenstrahlung, kurzwelliges UV-Licht und

Höhenstrahlung. Erfasst werden die biologischen Wirkungen

ionisierender Strahlung durch die Äquivalentdosis

H, wobei gilt:

H = D · q

Dabei sind D die Energiedosis und q der Qualitätsfaktor.

Die Internationale Strahlenschutzkommission (ICRP) hat

1991 anstelle dieses Qualitätsfaktors den sogenannten

Strahlungs-Wichtungsfaktor w R eingeführt. Für eine

bestimmte Strahlungsart R gilt dann: Das Produkt aus

der von einem Organ oder Gewebe T aufgenommenen

Energiedosis D T,R und dem betreffenden Strahlungs-

Wichtungsfaktor ergibt die Organdosis H T :

H T = D T,R · w R

Sie wird in Millisievert (mSv) gemessen. Erfolgt die Bestrahlung

durch mehrere Strahlungsarten, so werden die

einzelnen Beiträge summiert und man erhält:

H T = S D T,R · w R

R

Für die Strahlungs-Wichtungsfaktoren gilt:

Strahlungsart und

Energiebereich

Strahlungs-Wichtungsfaktor

Die Organdosis besagt nur wenig darüber, wie groß das

strahlenbedingte Risiko für Schädigungen tatsächlich ist,

da die Strahlenempfindlichkeit der einzelnen Organe

sehr unterschiedlich ist. Maß für das gesamte Strahlenrisiko

ist die effektive Dosis E. Die effektive Dosis E für

eine Strahlungsart und ein Organ oder Gewebe T ist die

mit dem Gewebe- Wichtungsfaktor multiplizierte Organdosis:

E = w T · H T

Sind mehrere Strahlungsarten und verschiedene Organe

beteiligt, so ergibt sich die effektive Dosis als Summe aller

Anteile zu:

E = S w T · H T

R

Gemessen wird die effektive Dosis ebenfalls in Millisievert

(mSv). Auf die Zeit bezogen wird sie effektive Dosisleistung

genannt. Diese auf den menschlichen Körper

bezogene effektive Dosisleistung liegt in Deutschland im

Mittel bei etwa 4 mSv/Jahr.

Wegen der sehr unterschiedlichen Individualität der Menschen

geht man bei wissenschaftlichen Berechnungen

von einem Standardmenschen aus. Dieser Standardmensch

hat ein Alter von 20 bis 30 Jahren, eine Gesamtlebensdauer

von 70 Jahren, ein Körpergewicht von 70 kg,

eine Körperoberfläche von 1,8 Quadratmetern und eine

Körpergröße von 170 cm. Auch die Zusammensetzung

des Körpers dieses Standardmenschen ist festgelegt.

Einige Gewebe-Wichtungsfaktoren sind in der nachfolgenden

Tabelle angegeben.

Photonen beliebiger Energie 1

Gewebe oder Organ

Gewebe-Wichtungsfaktor

Elektronen beliebiger

Energie

Neutronen

< 10 keV

10 keV bis 100 keV

100 keV bis 2 MeV

2 MeV bis 20 MeV

> 20 MeV

1

5

10

20

10

5

Protonen 5

Alphateilchen, Spaltfragmente,

schwere Kerne

20

Keimdrüsen 0,20

Dickdarm 0,12

Knochenmark (rot) 0,12

Lunge 0,12

Magen 0,12

Blase 0,05

Brust 0,05

Leber 0,05

Schilddrüse 0,05

Speiseröhre 0,15

Haut 0,01



137

Wirkung ionisierender Strahlung auf den Menschen

FOLIE

Absorption von Strahlungsenergie

Zeitdauer

Physikalische Prozesse

(Ionisation, Anregung)

10 –16 s

Molekulare Veränderungen

(an Proteinen, Enzymen, Nukleinsäuren)

10 –6 s

Sekunden

bis Stunden

Veränderungen in den Zellen

Körperzellen

Keimzellen

Schäden beim bestrahlten

Individuum (einschl. Fötus)

Schäden bei

den Nachkommen

Akute oder

Frühschäden

Spätschäden

(kein Krebs)

Leukämie,

Krebs

Genetische

Schäden

Stunden

bis Jahre

Sicher eintretende Schäden

Zufällige Schäden

Die Wirkung ionisierender Strahlung auf Menschen ist abhängig von

− der Art und Energie der Strahlung,

− der Dosis der Strahlung,

− der räumlichen und zeitlichen Verteilung der Strahlung,

− den Milieufaktoren.



Bei den energetischen Betrachtungen von Kernprozessen

geht es um zwei grundlegende physikalische Sachverhalte:

− Die Schüler sollen das Wesen der Bindungsenergie

bei Atomkernen erfassen, auch die Abhängigkeit der

Bindungsenergie je Nukleon von der Massenzahl.

Das lässt sich überzeugend anhand des üblichen Diagramms

(LB S. 492) erläutern.

− Die Schüler sollen den Zusammenhang zwischen Massendefekt

und Energie E = Δm · c 2 auf kernphysikalische

Prozesse anwenden.

Für das Gesamtthema bietet sich ein historischer Einstieg

an: die Entdeckung der Kernspaltung durch HAHN und

STRASSMANN.

Bezüglich der Kernkraftwerke ist es sinnvoll, den Schülern

u. a. einen Überblick über deren räumliche Verteilung

in Deutschland und dem benachbarten Ausland und

über deren Bedeutung für die Elektroenergieerzeugung

heute zu geben.

Bezüglich der Sicherheit von Kernkraftwerken und der

Entsorgung radioaktiver Abfälle sollte u. a. auf Folgendes

aufmerksam gemacht werden:

− Kernkraftwerke sind nach heutigen Sicherheitsstandards

gebaut. Wie bei jeder technischen Anlage kann

es auch in Kernkraftwerken Defekte und Havarien

geben.

− Aus physikalischen Gründen kann ein Kernkraftwerk

nicht wie eine Atombombe explodieren. Gefährlich

könnte der Austritt größerer Mengen radioaktiver

Stoffe sein, so wie es 1986 im ukrainischen Tschernobyl

und 2011 im japanischen Fukushima passiert ist.

− Der radioaktive Abfall (85 % niedrig radioaktiv, 5 %

hoch radioaktiv) ist bei richtiger Lagerung ungefährlich.

Das Problem besteht hier darin, dass wegen der

teilweise sehr langen Halbwertszeit eine sichere Lagerung

über viele Jahrzehnte erfolgen muss.

Bei der Behandlung der Kernfusion bietet es sich an, auf

die Prozesse im Innern der Sonne einzugehen. Dazu sind

im Lehrbuch einige Informationen gegeben. Ergänzend

dazu sei auf folgende Aspekte aufmerksam gemacht.

Dass die Temperatur im Innern der Sonne trotz der niedrigen

Umsatzrate so hoch ist, liegt daran, dass die Sonne

so groß ist. Sie isoliert sich praktisch selbst von innen nach

außen. Die Temperatur in der Sonne stieg solange an, bis

das Temperaturgefälle so groß war, dass gerade die je

Zeiteinheit im Innern erzeugte Energie zum Sonnenäußeren

transportiert wird. Zwischen dem Innern der Sonne

und ihrem Äußeren herrscht ein Temperaturdifferenz

von mehreren Millionen Grad. Dieser große Temperaturunterschied

verteilt sich aber auf mehrere hunderttausend

Kilometer. Je Meter hat die Sonne im Durchschnitt

nur einen Temperaturabfall von etwa 0,1 °C.

Wieso explodiert die Sonne nicht?

Je höher die Temperatur bei der Kernfusion ist, umso

schneller läuft sie ab. Eine kleine Temperaturerhöhung

im Sonneninnern müsste demnach zu einer verstärkten

Kernfusionsrate und dadurch zu noch mehr Temperaturanstieg

führen. Man wird also erwarten, dass die Sonne

nach kurzer Zeit explodieren müsste wie ein riesiger

Treibstofftank. Die Sonne explodiert jedoch nicht, weil

sie Gasball ist. Gas dehnt sich – sofern Platz dafür ist –

bei Temperaturerhöhung aus. Diese Ausdehnung gegen

ihre eigene Schwerkraft führt dazu, dass die Temperatur

des Gases sogar sinkt. Damit sinken auch die Temperatur

und die Umsatzrate der Kernfusion. Die Temperatur

stabilisiert sich.

TAFELBILD

Energie aus dem Atom

Bei einer Reihe von Kernumwandlungen wird Energie freigesetzt. Von praktischer Bedeutung sind

zwei Prozesse.

Kernspaltung

Ein schwerer Atomkern (z. B. Urankern) wird in

zwei mittelschwere Kerne aufgespalten.

Dabei wird Energie freigesetzt.

Beispiele:

− Kernkraftwerk,

− Atombombe

Kernfusion

Leichte Atomkerne (z. B. Wasserstoffkerne)

verschmelzen zu einem schwereren Atomkern

(z. B. zu einem Heliumkern).

Dabei wird Energie freigesetzt.

Beispiele:

− Energiefreisetzung in der Sonne,

− Wasserstoffbombe



139

Kernfusion im Innern der Sonne

FOLIE

Im Innern der Sonne verschmelzen in jeder Sekunde 567,0 Millionen

Tonnen Wasserstoff zu 562,7 Millionen Tonnen Helium. Der Vorgang

wird als Heliumsynthese oder als Proton-Proton-Zyklus bezeichnet.

1

1

H

1

1

H

1

1

H

H

1

1

2

1H

E 2 1H

E

1

1

H

3

2

He

E

E

3

2

He

H

1 1

4

2

He

E

1

1

H

1

1

H

Durch Reaktionsgleichungen lässt sich der Gesamtprozess so

beschreiben:

1

H + 1

H g 2 H + 1 1 1 e+ + ν + 1,19 MeV

2

H + 1

H g 3 He + γ + 5,49 MeV

1 1 2

3

He + 3

He g 4 He + 1 H + 1 H + 12,85 MeV

2 2 2 1 1

Der Massendefekt beträgt in jeder Sekunde Δm = 4,3 · 10 6 Tonnen.

Nach E = Δm · c 2 entspricht das einer Energie von 3,85 · 10 26 J, die in jeder

Sekunde von der Sonne in den Weltraum abgestrahlt wird.

Ein Teil dieser Energie erreicht die Erdoberfläche.



FOLIE

Streuexperimente zur Untersuchung

der Struktur der Materie

Eine grundlegende Methode zur Gewinnung von Erkenntnissen über

den Aufbau der Materie sind Streuexperimente.

Bekannte Teilchen (z. B. Protonen) werden gegeneinander oder auf

Targets (zu untersuchende Objekte) geschossen. Die Ergebnisse der

Wechselwirkungen werden registriert und daraus Folgerungen über

Strukturen und Eigenschaften von Teilchen abgeleitet.

Ein historisch bedeutsames Streuexperiment (E. RUTHERFORD, um 1910)

Strahl von

α-Teilchen

abgelenkte

α-Teilchen

Goldfolie

Atomkern

Leuchtschirm

Lichtblitz

Erkenntnisse aus diesem Experiment:

− Die Atomhülle ist weitgehend leer.

− Im Atom gibt es ein sehr kleines, massives Objekt, von dem

α-Teilchen unterschiedlich abgelenkt werden. Es wird als Atomkern

bezeichnet.

− Der Atomkern ist positiv geladen.

Insgesamt gilt für Streuexperimente:

− Effekte sind nur erzielbar, wenn streuendes und gestreutes Objekt

die gleiche Größenordnung haben und damit tatsächlich Wechselwirkungen

auftreten.

− Die Erforschung immer kleinerer Strukturen erfordert immer größere

Geschwindigkeiten und Energien der Streupartner

(Beispiel: LHC Genf).

Experimente und theoretische Überlegungen führen zu neuen

Erkenntnissen über die Struktur der Materie und ihrer Grundbausteine.

Die gegenwärtigen Erkenntnisse sind im Standardmodell zusammengefasst.



141

Elementare Bausteine der Materie

FOLIE

Teilchen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit in Familien zusammengefasst.

Teilchenfamilien

Leptonen

Hadronen

Elektron e

Myon μ

Elektron-Neutrino ν e

Myon-Neutrino ν μ

Tauon τ Tauon-Neutrino ν τ

Pion π +

Mesonen

Baryonen

Kaon K 0

Proton p

Neutron n

Hyperonen

Alle Hadronen sind aus Quarks zusammengesetzt. Damit sind nach

heutigem Erkenntnisstand Quarks und Leptonen die Grundbausteine

für alle anderen massebehafteten Teilchen.

Familie 1 2 3

Quarks

u up c charm t top

d down s strange b bottom

Leptonen

ν e

Elektron-

Neutrino

ν μ

Myon-

Neutrino

ν τ

Tauon-

Neutrino

e Elektron μ Myon τ Tauon

− Die vier Teilchen der 1. Familie bilden die stabile Materie.

Alle anderen Teilchen sind heute nur künstlich herstellbar.

− Zu jedem der 12 Elementarteilchen gibt es jeweils ein Antiteilchen.

Sie haben die gleiche Masse wie das jeweilige Teilchen, jedoch

die entgegengesetzten Ladungen (Farbladung, schwache Ladung,

elektrische Ladung).



FOLIE

Fundamentale Wechselwirkungen

Es existieren zwischen Teilchen vier fundamentale Wechselwirkungen

bzw. Kräfte. Eine Kraft zwischen Teilchen wirkt aber nur, wenn sie eine

ganz bestimmte Eigenschaft besitzen.

Wechselwirkung

bzw. Kraft

wirkt

zwischen

wirkt auf

die Eigenschaft

Austauschteilchen

Reichweite

relative

Stärke

starke

Kraft

Farbladung

Quarks,

Protonen,

Neutronen

Gluon 10 –15 m 1

elektromagnetische

Kraft

elektrische

Ladung

elektrisch

geladene

Teilchen

Photon

∞

F ~ 1 }

r 2 10 –2

schwache

Kraft

schwache

Ladung

allen

Teilchen

W- und

Z-Boson

10 –17 m 10 –13

Gravitationskraft

Masse

allen

Teilchen

Graviton

(?)

∞

F ~ 1 }

r 2 10 – 40

− Die starke Kraft bewirkt, dass Protonen, Neutronen und Atomkerne

als stabile Teilchen existieren.

− Die elektromagnetische Kraft bewirkt, dass um einen positiv

geladenen Atomkern eine negativ geladene Atomhülle existiert,

also stabile Atome vorhanden sind.

− Gravitationskräfte spielen im Bereich von Teilchen eine untergeordnete

Rolle und können dort – im Unterschied zur

Makrophysik – häufig vernachlässigt werden.


Spezielle Relativitätstheorie 143

2.8 Spezielle Relativitätstheorie

Für die Behandlung von Elementen der Relativitätstheorie

stehen in der Regel nur wenige Unterrichtsstunden

zur Verfügung. Es geht um die Vermittlung ausgewählter

Grundlagen, insbesondere um

− die erkenntnistheoretisch wichtigen Erkenntnisse

über Raum und Zeit,

− relativistische Effekte wie die Längenkontraktion,

die Zeitdilatation und die Addition von Geschwindigkeiten,

− die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit

und

− die Äquivalenz von Energie und Masse.

Insbesondere sollte beim Einstieg in die SRT folgender

Fakt beachtet werden: Eine Reihe von Aussagen der

SRT widerspricht dem „gesunden Menschenverstand“,

das heißt in diesem Fall, der Erfahrungswelt der Schüler.

Darum ist es zweckmäßig, vom Begriffssystem und den

erkenntnistheoretischen Grundlagen der klassischen Mechanik

(der Erfahrungswelt der Schüler) auszugehen und

die Ansätze für die von EINSTEIN eingeführte neuartige Betrachtung

klar herauszuarbeiten. Vor allem ist die uneingeschränkte

Akzeptanz der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

für die Schüler schwer zu verinnerlichen.

Daraus resultieren häufig Verständnisprobleme bei den

Schlussfolgerungen aus den einsteinschen Postulaten.

Daher ist es angebracht, immer wieder zu zeigen, dass die

bekannten Aussagen der klassischen Mechanik (z. B. der

Addition der Geschwindigkeiten) weiterhin als Grenzfall

(v << c) ihre Gültigkeit haben.

Als Ausgangspunkt für alle Betrachtungen kann die

klassische mathematische Beschreibung der Bewegung

eines Massepunkts gewählt werden. Wesentliches Ziel ist

hierbei neben einer Wiederholung bereits vermittelter

Grundlagen die erstmalige systematische Analyse der

newtonschen Vorstellungen von Raum und Zeit.

Dazu ist festzustellen: Lange bevor die Physik als Fachwissenschaft

begründet wurde, gab es schon aus naturphilosophischer

Sicht Diskussionen über die Begriffe

Raum und Zeit. Exemplarisch sollten ARISTOTELES und GALILEI

genannt werden, deren Auffassungen Eckpunkte für die

newtonschen Raum-Zeit-Vorstellungen waren. Letztendlich

sind NEWTONS Vorstellungen historisch gewachsen. Er

entwickelte seine „Mechanik“, indem er von einer bestimmten

Auffassung von Raum und Zeit ausging. In einer

modernen Fassung könnte man die newtonsche Vorstellung

von Raum und Zeit so formulieren: Raum und

Zeit existieren losgelöst von den physikalischen Körpern,

die sich im Raum bewegen.

Auffassungen von Raum und Zeit

FOLIE

Klassische Vorstellungen

(I. NEWTON, um 1700)

Raum und Zeit existieren objektiv.

Sie sind unabhängig vom Bewegungszustand

eines Körpers.

Raum und Zeit beeinflussen sich

gegenseitig nicht.

Der Raum ist unendlich. Alle

Punkte und Richtungen sind

gleichberechtigt (absoluter

Raum).

Die Zeit vergeht gleichförmig und

ohne Beziehung zu irgendeinem

äußeren Gegenstand (absolute

Zeit).

Relativistische Vorstellungen

(A. EINSTEIN, 1905)

Raum und Zeit sind nicht unabhängig

voneinander. Insbesondere

sind sie nicht unabhängig

vom Bewegungszustand eines

Körpers.

Einen absoluten Raum gibt es

nicht.

Die Zeit ist eine relative Größe.

Die gemessene Zeitdauer eines

Vorgangs hängt vom Bezugssystem

ab.



Das Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik kann,

ausgehend von der Beschreibung der Bewegung eines

Körpers von verschiedenen Bezugssystemen (Inertialsystemen)

aus, zunächst anschaulich formuliert werden:

Die Beschreibung der Bewegung eines Körpers ist für

beide Bezugssysteme gleich (Struktur und physikalischer

Inhalt der Gleichungen). Kein Bezugssystem ist bevorzugt.

Daran anschließend wird der Begriff Inertialsystem

mithilfe des Trägheitsgesetzes definiert und das Relativitätsprinzip

entsprechend formuliert.

Im Unterrichtsgespräch ergibt sich sofort die Frage nach

den „Transformationsregeln“.

Folgende Aufgabenstellung kann als Ausgangspunkt für

die Erarbeitung der Galilei-Transformationsgleichungen

dienen:

− Ort und Geschwindigkeit eines Körpers sind im Inertialsystem

S gegeben.

Wie werden Ort und Geschwindigkeit berechnet,

wenn sich der Beobachter im Inertialsystem S’ befindet

(S’ bewegt sich bezüglich S mit der Geschwindigkeit

v)?

− Welcher Zusammenhang besteht zwischen den verschiedenen

Orts- und Geschwindigkeitsmessungen?

− Die Zeitmessung erfolgt auf der Grundlage der newtonschen

Vorstellungen, d. h., es ist t = t’.

Für den Schüler ist ein konkretes Beispiel vorteilhaft,

z. B. die Bezugssysteme Bahndamm (S) und Zug (S’) oder

Baum (S) und fahrendes Auto (S’).

Die Lorentz-Transformation basiert auf der Annahme,

dass die Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter, der

sich in einem Inertialsystem befindet, den gleichen Wert

haben muss. Als historisches Experiment dazu kann das

Michelson-Experiment einbezogen werden.

Das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

sollte an dieser Stelle durch die Behandlung von weiteren

(neueren) Experimenten gestützt werden. So ist z. B. die

weltweite Synchronisation von Atomuhren mithilfe von

Radiosignalen unabhängig von der Bewegung der Erde

relativ zum Signal ein weiterer experimenteller Beleg für

die Konstanz von c.

Aus der Behandlung der Gleichzeitigkeit zweier räumlich

getrennter Ereignisse ergibt sich im Unterrichtsgespräch

die Frage nach der Zeitdauer eines Ereignisses an einem

Punkt im System S’ von beiden Systemen aus betrachtet

(kann auch als Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen an

einem Ort aufgefasst werden).

Das im Lehrbuch (b S. 29) vorgeschlagene Gedankenexperiment

für die Zeitdilatation eignet sich für die

selbstständige Erarbeitung durch den Schüler.

Als Übung können die Schüler mit Zahlenwerten die Zeitdilatation

für eine Lichtuhr berechnen. Hierfür bietet sich

die konkrete Arbeit in der Darstellung im Lehrbuch auf

S. 29 an.

FOLIE

Die Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit

1

c =

√ } = 299792 }

km ε 0 · 0

s

Klassische Geschwindigkeit

u' = 3 }

km h

Relativistische Geschwindigkeit

u' = 299 711 }

km s

v = 60 }

km h

Beobachter A

Beobachter B

Beobachter A

v = 60 }

km h Beobachter B

u = u' + v

u = 63 km }

h

v = 0,0170 } km s

u = }

v + u'

1 + }

v · u'

c 2

u = 299 711 km }

h


Spezielle Relativitätstheorie

145

Die klassische Vorstellung über Bewegungen

1. Ein Auto bewegt sich geradlinig und gleichförmig auf einer Landstraße mit der Geschwindigkeit

v. Seine Bewegung soll in zwei verschiedenen Bezugssystemen beschrieben werden.

Mit dem Baum

verbundenes Bezugssystem S (x, y, z)

Mit dem fahrenden Auto

verbundenes Bezugssystem S’ (x’, y’, z’)

ARBEITSBLATT

z'

z

y

v

y'

x

M

x'

v

a) Beschreiben Sie in Worten von jedem der beiden Bezugssysteme aus die Bewegung des Baums

und die des Autos!

b) Die Zeit vergeht in beiden Bezugssystemen gleich schnell. Es gilt also t = t ’. Die Relativbewegung

erfolgt nur in x-Richtung. Welche Aussage lässt sich dann über die Koordinaten in

y und y ’ bzw. z und z ’ treffen?

c) Bezüglich der x-Richtung lässt sich die Bewegung im jeweils anderen Bezugssystem beschreiben,

wenn die Größen in einem Bezugssystem gegeben sind. Ergänzen Sie die Übersicht!

Größe in S gegeben und in S’ gesucht

(Transformation S g S’)

Größe in S’ gegeben und in S gesucht

(Transformation S’ g S)

2. Die oben beschriebene Transformation von einem Bezugssystem in ein anderes wird in der Physik

als Galilei-Transformation bezeichnet. Zeigen Sie mithilfe der Galilei-Transformation:

Die Relativgeschwindigkeit zweier Körper K 1 und K 2 , die sich im System S mit den Geschwindigkeiten

v 1 und v 2 in Richtung der positiven x-Achse bewegen, ändert sich nicht, wenn man die

Geschwindigkeiten der Körper von S’ aus betrachtet (S’ bewegt sich mit v gegenüber S).



FOLIE

Zeitdilatation und Längenkontraktion

Zeitdilatation

1. Fall

An einer Stelle im System S’ findet

der physikalische Vorgang in

der Zeit Δt’ statt.

Der Beobachter in S bestimmt

die Zeit Δt.

Zusammenhang zwischen Δt und

Δt’:

Δt’

Δt =

√ } 1 – }

v 2

c 2

bzw. Δt > Δt’

2. Fall

An einer Stelle im System S

findet der physikalische Vorgang

in der Zeit Δt statt.

Der Beobachter in S’ bestimmt

die Zeit Δt’.

Zusammenhang zwischen Δt und

Δt’:

Δt

Δt’ =

√ } 1 – }

v 2

c 2

bzw. Δt < Δt’

Längenkontraktion

1. Fall

Der Maßstab ruht im System

S’ und hat dort die Länge l’.

Der Beobachter in S bestimmt

zu einem festen Zeitpunkt die

Länge l.

Zusammenhang zwischen l und

l’:

l = l’ · √ } 1 – v 2

} bzw. l < l’

2

c

2. Fall

Der Maßstab ruht im System S

und hat dort die Länge l.

Der Beobachter in S’ bestimmt

zu einem festen Zeitpunkt die

Länge l’.

Zusammenhang zwischen l und

l’:

l’ = l · √ } 1 – v 2

}

c 2

bzw. l’ < l

In einer zusammenfassenden Betrachtung können die

Zusammenhänge bei verschiedenen Bedingungen dargestellt

werden (b Übersicht oben).

Damit lässt sich das inhaltliche Verständnis für die Relativität

von Zeit- und Längenmessungen vertiefen.

In einer Verallgemeinerung kann folgende Aussage getroffen

werden:

Mit Δt 0 als Zeitdauer des Vorgangs bzw. l 0 als Länge des

Maßstabes im jeweiligen Ruhesystem folgt:

Δt

Δt =

0

√ } 1 – }

v 2

= Δt 0 · k bzw. l = l 0 · √ } 1 – }

v 2

c 2

= }

l0 c 2 k

Die Beispiele aus dem Lehrbuch runden diese Sequenz

ab. Auch eine Besprechung des Zwillingsparadoxons

kann das Verständnis für die physikalischen Vorgänge

vertiefen.

Das Zwillingsparadoxon wird gern als Beispiel gewählt,

da gerade semantische Unbestimmtheiten der Voraussetzung

des Gedankenexperiments eine scheinbar paradoxe

Situation bei der Analyse – hier können die Schritte

durchaus logisch fehlerfrei sein – ergeben.

Die Zeitdauer beider Uhren (Lebensalter der Zwillinge)

ist, da die beiden Uhren auf unterschiedlichen Wegen

zum Ausgangspunkt zurückkehren, nicht symmetrisch.

Dann ist auch die Zeit, welche die beiden Uhren anzeigen,

unterschiedlich.

Eine anschauliche Deutung einiger relativistischer Effekte

ist mithilfe von Minkowski-Diagrammen möglich. Die

Lehrpläne fordern ihre Behandlung in der Regel nicht. Im

Lehrbuch sind auf den Seiten 524 –525 einige Beispiele

für Minkowski-Diagramme dargestellt. Sie können in den

Unterricht einbezogen oder von interessierten Schülern

selbstständig erschlossen werden.



147

Grundlegende Aussagen der speziellen Relativitätstheorie

(ALBERT EINSTEIN, 1905)

FOLIE

Die zwei einsteinschen Postulate sind:

1. Relativitätsprinzip: Alle Inertialsysteme sind bezüglich physikalischer

Gesetze gleichberechtigt. Die fundamentalen Naturgesetze gelten in

jedem Inertialsystem in gleicher Weise.

2. Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Vakuumlichtgeschwindigkeit

ist in allen Inertialsystemen stets gleich groß.

Sie ist unabhängig vom Bewegungszustand der Lichtquelle und des

Beobachters bei der Messung.

Aus diesen Postulaten ergeben sich wichtige Folgerungen:

1. Raum und Zeit sind nicht unabhängig voneinander und

nicht absolut.

2. Zwei Ereignisse, die in einem Inertialsystem S gleichzeitig stattfinden,

erfolgen in einem dazu bewegten Inertialsystem S’ nicht gleichzeitig

(Relativität der Gleichzeitigkeit).

3. In seinem Ruhesystem S dauert ein physikalischer Vorgang am kürzesten

(Eigenzeit). Von einem dazu bewegten System S’ aus wird die

Zeitdauer größer gemessen.

Δt’ =

Δt

√ } = Δt · k (Zeitdilatation)

1 – }

v 2

c 2

4. In seinem Ruhesystem S hat ein Körper seine größte Länge (Eigenlänge).

In einem dazu bewegten System S’ ist die Länge geringer.

l’ = l · √ } 1 – }

v 2

= }

l c 2 k

5. Die Masse eines Körpers

hängt von seiner

Geschwindigkeit ab.

Es gilt:

m 0

(Längenkontraktion)

m

}

m 0

4

3

}

v c

m =

√ } = m 0 · k

1 – }

v 2

c 2 2

6. Masse und Energie

1

sind zueinander

äquivalent:

E = m · c 2 0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0



2.9 Astrophysik

Die Astronomie gehört als eine der ältesten Naturwissenschaften

zu den festen Bestandteilen der Kultur der

Menschheit. Sie hat stets das Weltbild der Menschen

entscheidend geprägt, hat aber auch von jeher praktische

Bedeutung gehabt. Grundlegendes Wissen über

die Entwicklung der Astronomie und des Weltbilds, über

die Stellung der Erde im Weltall, über die Natur der Himmelskörper

sowie die im Kosmos wirkenden Gesetze und

Entwicklungsprozesse sind wesentlicher Bestandteil einer

fundierten naturwissenschaftlichen und humanistischen

Bildung.

Für die Astrophysik im Rahmen eines Physiklehrgangs

stehen in der Regel nur relativ wenige Unterrichtsstunden

zur Verfügung. Das erfordert die Beschränkung auf

ausgewählte Inhaltsbereiche, die ihrerseits auch nur exemplarisch

behandelt werden können. Als inhaltliche

Schwerpunkte, die auch im Lehrbuch ausgewiesen sind,

bieten sich an:

− ein Einblick in die grundlegenden Forschungsmethoden

und die genutzten Beobachtungsinstrumente,

− ein Überblick über das Sonnensystem und die zu ihm

gehörenden Himmelskörper,

− die Behandlung der Sonne als ein typischer Hauptreihenstern,

− ein Überblick über Sterne und deren Entwicklung,

− eine Übersicht über große Strukturen im Weltall sowie

Einblicke in einige Probleme der Kosmologie.

Dementsprechend ist dieses Kapitels auch für Kurse mit

Schwerpunkt Quantenphysik relevant, wenn auch nicht

alle Aspekte in der vollen Breite unterrichtet werden

müssen. Insbesondere fordert der Lehrplan die Vermittlung

des aktuellen astrophysikalischen Weltbilds sowie

der speziellen Relativitätstheorie.

Um Aussagen über Himmelkörper und ihre Entwicklung

zu machen, sind Beobachtungen in allen Wellenlängenbereichen

erforderlich. Die Astronomen verfügen heute

über die entsprechenden technischen Mittel.

Durch Kombination der Aussagen aus den einzelnen

Wellenlängenbereichen können zunehmend genauere

Aussagen über Himmelkörper und ihre Entwicklung gewonnen

werden.

Bei den optischen astronomischen Instrumenten sollte

zunächst auf den Refraktor eingegangen werden. In

welchem Umfang das geschieht, hängt von den physikalischen

Vorkenntnissen der Schüler und der Auffassung

dazu ab, ob man die Instrumente lediglich als Hilfsmittel

zur Gewinnung von Beobachtungsdaten auffassen will

oder die Schüler auch genauere Vorstellungen über die

Wirkungsweise dieser Geräte erhalten sollen.

−

−

−

Linsen weisen eine Reihe von Abbildungsfehlern auf.

Diese lassen sich – wenn auch mit teilweise hohem

Aufwand – weitgehend korrigieren.

Die Helligkeit eines Bildes wird weitgehend durch

den Linsen- oder Spiegeldurchmesser bestimmt. Linsen

können aber nicht beliebig groß im Durchmesser

gefertigt werden, da sie sich verformen würden.

Sie können nur am Rand zur Erhöhung der Stabilität

durch eine Metallfassung unterstützt werden. Damit

ergeben sich für Linsenfernrohre deutliche Grenzen.

Hohlspiegel können in wesentlich größeren Durchmessern

gefertigt werden. Diese Hohlspiegel werden

in Spiegelfassungen am Rand und an der Rückseite

unterstützt, behalten somit in allen beliebigen Lagen

ihre Form bei und gewähren damit eine exakte optische

Abbildungsgüte.

Heutzutage ist es sogar möglich, durch in die Spiegelfassung

integrierte Elemente den Spiegel für eine exakte

Abbildung gezielt zu beeinflussen (adaptive Optik). Es

sind verschiedene optische Anordnungen im Gebrauch,

wobei die großen Teleskope meist auf verschiedene

Strahlengänge umrüstbar sind.

Dabei ist zu beachten:

− Beim Einsatz der Teleskope von der Erdoberfläche aus

verschlechtert die Erdatmosphäre die Abbildungsgüte

der Objektive. Insbesondere sind dies Ort s-

schwankungen (seeing) in Bereichen von 0,5‘‘ bis zu

einigen Bogensekunden. Dieser Nachteil kann durch

Beobachtungen von einer Erdumlaufbahn aus ausgeglichen

werden (b Hubble-Space-Telescope). Die

dabei anfallenden hohen Kosten setzen eine Grenze

beim Einsatz größerer Spiegel. Durch die Entwicklung

der adaptiven Optiken – über eine kontinuierliche

Messung des seeing wird der Spiegel durch Druckelemente

in der Spiegelfassung gezielt verformt – können

Nachteile der erdgebundenen Beobachtung in

Grenzen eliminiert werden. So werden jetzt schon

beim 8-Meter-Spiegel Auflösungen von 0,00015‘‘ erreicht.

Dies entspricht auf dem Mond einer Auflösung

von 2 m! Der „Mann im Mond“ wird beobachtbar!

Damit führt die adaptive Optik von einer seeingbegrenzten

Auflösung zu einer nur noch beugungsbegrenzten

Auflösung. Vom Erdboden aus können die

gleichen Auflösungen wie bei einem Raumteleskop

erreicht werden, und dies mit größeren Spiegeldurchmessern

und damit einer größeren Reichweite.

− Wichtig für die Arbeit mit Fernrohren ist, dass eine

Montierung das Teleskop sicher und erschütterungsfrei

in jeder beliebigen Lage hält und dass es sich auf jeden

Punkt an der Himmelskugel richten lässt.

Unabhängig davon sollten aber die Schüler auf einige

wichtige Aspekte aufmerksam gemacht werden.


Astrophysik

149

Analyse und Registrierung des Lichts von Sternen

FOLIE

Licht als Informationsträger

Richtung, aus der

das Licht kommt

Intensität

des Lichtes

Zusammensetzung

des Lichtes

ermöglicht Aussagen

über den Ort und

die Bewegung der

Lichtquelle


über die Leuchtkraft,

die Entfernung und

die Größe der

Lichtquelle


über den physikalischen

Zustand

und die chemische

Zusammensetzung

der Lichtquelle

Registrierung von Licht

Auge

fotografische

Schicht

Lichtempfindliche

Halbleiterschicht

in CCD-Kameras

Fotometer

geringe Empfindlichkeit

und

Auflösungsvermögen,

hohe Empfindlichkeit

und hohes


höchste Empfindlichkeit

und


objektive

Bewertung der

Lichtintensität

keine Speicherungsmöglichkeit,

längere Belichtungszeiten

erforderlich

geringer zeitlicher

Aufwand

keine objektive

Bewertung



FOLIE

Arten von Spiegelteleskopen

Newton-Teleskop

Fokus liegt seitlich außerhalb

des Tubus, das wird durch

45°-Planspiegel vor dem

Primärfokus erreicht.

Cassegrain-Teleskop

Konvexhyperbolischer

Sekundärspiegel vor dem

Primärfokus gibt eine

Brennweitenverlängerung.

FOLIE

Spektroskopische Bestimmung der Sterntemperatur

Untersuchung der Absorption aus einem angeregten Zustand

zu niedrig

günstig

Temperatur

zu hoch

Elektronen werden

nicht angeregt.

Elektronen

werden angeregt.

Atom wird ionisiert.

Absorptionslinie

wird nicht

beobachtet.

Absorptionslinie

E 2 – E 1 = h · f

wird beobachtet.

Absorptionslinie

wird nicht

beobachtet.


Astrophysik 151

Die Sternparallaxe

FOLIE

scheinbare Position

des Sterns

Erde

Erdbahn

Sonne

wahre Position

des Sterns

scheinbare Position

des Sterns

Position des Sterns im Fixsternbild

aus zwei unterschiedlichen Blickwinkeln

Gravitationslinse

FOLIE

Bild A

Licht und andere

elektromagnetische Strahlung

Erde

ferner

Quasar

Gravitationslinse

Bild B

Große Massenansammlungen im Universum können das Licht deutlich

ablenken und ähnlich wie Glaslinsen wirken.



FOLIE

Die Planeten unseres Sonnensystems

Erdähnliche Planeten

Merkur

Venus

Erde

Mars

Jupiterähnliche Planeten

Jupiter

Saturn

Uranus

Neptun

Physikalische Eigenschaften

Eigenschaft Erdähnliche Planeten Jupiterähnliche Planeten

Aufbau Erde Jupiter

D

D

C

B

A

0 2 000 4 000 6 000

r in km

C

B

A

0 20 000 40 000 60 000

r in km

A … fester Kern

B … flüssiger Kern

C … plastischer Mantel

D … feste Kruste

A … fester Kern

B … metallischer Wasserstoff

C … flüssiger Wasserstoff

D … Atmosphäre

Radius 2 440 … 6 378 km 24 800 … 71 825 km

Masse 0,34 · 10 24 … 5,97 · 10 24 kg 87 · 10 24 … 1 900 · 10 24 kg

Dichte 3,93 … 5,52 g · cm –3 0,69 … 1,65 g · cm –3

Oberfläche fest gasförmig

Stofflicher

Aufbau

Monde

und Ringsysteme

Eisen, schwere Oxide,

Silikate

maximal 2 Monde,

kein Ringsystem

Wasserstoff, Helium

größere Anzahl von

Monden,

Ringsysteme vorhanden


Astrophysik

153

Aufbau der Sonne

FOLIE

Chromosphäre

Korona

Fotosphäre:

sichtbare Oberfläche

der Sonne

300 – 500 km dick

körnige Struktur

(Granulation)

Chromosphäre:

10 000 km dick

Fotosphäre

Korona:

Übergang in den

interplanetaren

Raum

Die Sonnenstrahlung

Art der

Wellen bzw.

Teilchen

Zeit bis zur

Erde

Ausbreitung

Einfallende

Strahlung

Geschwindigkeit

Auswirkungen

Elektromagnetische Wellen

Gammastrahlung

Röntgenstrahlung

UV-Strahlung

sichtbares Licht

Wärmestrahlung

Radiowellen

300 000 km }

s

(Lichtgeschwindigkeit)

Strahlungsleistung

steigt

Teilchen

Protonen

Elektronen

Heliumkerne

300 – 600 km }

s

t = 8,3 min t = 5,8 d (bei 300 km }

s )

Erdatmosphäre absorbiert

außer Licht und Radio wellen

die Strahlung.

Teilchen werden vom

Magnetfeld der Erde

abgelenkt.

Die im Abstand Erde –Sonne senkrecht pro m 2

einfallende Strahlungsleistung heißt Solarkonstante

(S = 1,37 kW }

m 2 )

Licht und Wärme zum Leben

Magnetische Stürme

Polarlicht

Störung des Funkverkehrs



Mit dem inhaltlichen Schwerpunkt Zustandsgrößen von

Sternen lernen die Schüler ausgewählte Zustandsgrößen

und Zusammenhänge zwischen ihnen kennen. Damit

werden zugleich notwendige Voraussetzungen für das

Verständnis der Sternentstehung und Sternentwicklung

geschaffen.

Die im Unterricht zu behandelnden Zustandsgrößen

Masse, Leuchtkraft, Oberflächentemperatur, mittlere

Dichte, Spektralklasse und Radius stellen nur eine kleine

Auswahl an Zustandsgrößen dar. Als weitere wichtige

sind zu nennen: Mittlere Energieerzeugungsrate, mittlere

Molekularmasse, Schwerebeschleunigung an der

Oberfläche, Rotationsperiode, Magnetfeld.

Die Beschäftigung mit den Zustandsgrößen der Sterne

gehört zu den zentralen Aufgaben der Astrophysik, wobei

zwei Schwerpunkte hervorzuheben sind:

− Erarbeitung und Verbesserung von Methoden der Ermittlung

von Zustandsgrößen aus der Beobachtung,

− Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Zustandsgrößen.

Mit Ausnahme der Sonne sind Zustandsgrößen an Sternen

nicht ohne weiteres komplett aus der Beobachtung

zu entnehmen. Man kann stets nur einige wenige Zustandsgrößen

direkt ermitteln und muss weitere indirekt

bestimmen. Dazu ist man auf die Kenntnis der Zusammenhänge

zwischen diesen Größen angewiesen.

Im Unterricht sollten folgende Zusammenhänge vermittelt

werden:

− Masse-Radius-mittlere Dichte eines Sterns

− Masse-Leuchtkraft-Beziehung für Hauptreihensterne

− Hertzsprung-Russel-Diagramm als Ausdruck der Zusammenhänge

zwischen Oberflächentemperatur

(Spektralklasse) und Leuchtkraft der Sterne

− Farbe des Sternlichts-Spektralklasse-Oberflächentemperatur.

Anknüpfend an die bisher erworbenen Kenntnisse der

Schüler über Zustandsgrößen der Sonne kann zunächst

ein Überblick über die durch Beobachtung ermittelbaren

Zustandsgrößen gegeben werden (b Tafelbild unten).

Im weiteren Unterrichtsverlauf sollten exemplarisch einzelne

Methoden genauer erläutert werden. Nachfolgend

ist dazu ein Angebot gemacht.

Die Bestimmung der Sternmasse kann bei Kenntnis des

Gravitationsgesetzes und der keplerschen Gesetze an

einem vereinfachten Modellsystem (ein Stern großer

Masse wird von einem Begleiter geringer Masse umkreist)

erläutert werden.

Die Ermittlung des Sternradius kann am Beispiel von

Bedeckungsveränderlichen erläutert werden. Zur Erläuterung

des Zusammenhangs zwischen dem Verlauf der

Lichtkurve und dem Radius der Sterne im System eignet

sich eine einfache Demonstration.

An der Tafel wird der Hauptstern des Bedeckungsveränderlichen

mit Kreide eingezeichnet und an äquidistanten

Punkten die von diesem Stern zum Beobachter

verlaufenden Lichtstrahlen (mithilfe von Spaltleuchten)

markiert. Aus Pappe schneidet man zwei „bedeckende

Sterne“mit unterschiedlichen Radien aus, die mit einem

Haftmagneten versehen werden. Mit den Schülern

wird vereinbart, dass diese beiden Sterne mit gleicher

Geschwindigkeit um den Hauptstern kreisen sollen. Die

Anzahl derjenigen Lichtstrahlen, die am bedeckenden

Stern vorbei zum Beobachter gelangen, ist ein Maß für

die auf der Erde registrierte Helligkeit beim Bedeckungsvorgang.

Das Ergebnis der Betrachtungen wird in einer

vereinfachten Skizze dargestellt.

Es sei darauf hingewiesen, dass Sternbedeckungen formal

nichts anderes als „Sonnenfinsternisse“ sind, wobei

der bedeckende Körper ebenfalls leuchtet.

TAFELBILD

Zustandsgröße

Ermittlung von Zustandsgrößen durch Beobachtung (Auswahl)

Möglichkeit zur Bestimmung

Masse

Radius

Leuchtkraft (absolute Helligkeit)

Oberflächentemperatur

Spektralklassen O .... M

Beobachtung von Doppelsternen

Beobachtung von Bedeckungsveränderlichen,

Interferometerbeobachtungen

aus der Entfernung und scheinbare Helligkeit,

aus dem Spektrum

aus der Beobachtung des Spektrums/Farbe des

Sternenlichts

Beobachtung des Sternenspektrums


Astrophysik 155

Radien von Sternen

FOLIE

Riesen

Hauptreihensterne

Weiße Zwerge

Neutronensterne

R bis 10 9 km

R ≈ 10 5 km …

10 6 km

R ≈ 10 3 km

R ≈ 10 km

in den größten

Sternen findet die

Erdbahn Platz

der Sonne

vergleichbar

der Erde

vergleichbar

der Ausdehnung

von Berlin vergleichbar

Stern

Erde

Berlin

Weißer

Zwerg

Erdbahn

Sonne

Neutronenstern

Zur Veranschaulichung von Sternradien eignet sich eine

Übersicht, wie sie oben dargestellt ist.

Aus Masse und Radius eines Sterns lässt sich seine mittlere

Dichte berechnen. Um diese sehr unterschiedlichen

Dichten zu veranschaulichen, bieten sich z. B. Vergleiche

mit Wasser (ρ = 1 g · cm –3 ) an.

Das Thema Ermittlung der Oberflächentemperatur eines

Sterns sollte durch einen zeitlich vorangehenden Beobachtungsabend

bereits vorbereitet werden. Neben der

subjektiven Beobachtung ausgewählter Sterne kann man

mithilfe eines Fotoapparates Sternspuraufnahmen anfertigen,

bei denen die unterschiedliche Färbung des Sternlichtes

gut zu erkennen ist. Diese Fotos können dann im

Unterricht genutzt werden. Vergleiche mit Glühfarben

sind eine gute Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen

Oberflächentemperatur und Farbe des ausgesandten

Lichts zu verdeutlichen: Die einfachste Möglichkeit

besteht im Betreiben einer Glühlampe über einen regelbaren

Vorwiderstand.

Für die Glühfarben gilt etwa folgender Zusammenhang:

beginnende Rotglut 500 °C

Hellrotglut 850 °C

Gelbglut 1 100 °C

Weißglut 1 500 °C

Die Oberflächentemperaturen der Sterne lassen sich naturgemäß

in Schuldemonstrationsexperimenten nicht

darstellen.

Gewarnt werden muss aber vor einem Fehlschluss: Der

subjektive Farbeindruck ist nicht gleichbedeutend mit

der Feststellung, dass das Licht, dessen Farbe wahrgenommen

wird (etwa blau), auch am intensivsten vom

Stern (Lichtquelle) ausgesandt wird. Tatsächlich ist bei einer

Temperatur von 10 000 K das Intensitätsmaximum der

Strahlung bereits im ultravioletten Bereich des elektromagnetischen

Spektrums, während bei Verwendung von

Glühlampen das Intensitätsmaximum noch im infraroten

Spektralbereich liegt (schwarzer Strahler).



FOLIE

Entstehung und Entwicklung von Sternen

Infolge der Gravitation

kommt es zur Kontraktion

der interstellaren Wolke.

Potenzielle Energie wandelt

sich um in thermische Energie

(Erhöhung der Temperatur)

und elektromagnetische

Strahlung.

Bei ca. 5 00 000 K im Innern der

Gaskugel: Kernfusion setzt ein.

Stern ist stabil, wenn die im

Innern erzeugte Energie gleich

der abgestrahlten Energie ist.

Bei Erschöpfung der Vorräte

an Kernbrennstoff g

Kontraktion in den

zentralen Gebieten; Hülle

nur locker gebunden.

langsame

Kontraktion

plötzliche

Kontraktion

weißer

Zwerg

Supernova

schwarzes

Loch

Neutronenstern


Astrophysik 157

Eine viele Schüler interessierende Frage ist die nach der

Entwicklung und der Struktur des Kosmos als Ganzes, ist

es doch eine Frage, die eng mit weltanschaulichen Aspekten

verknüpft ist.

Wesentliche Grundlage für die gegenwärtig diskutierten

Weltmodelle sind die einsteinschen Gravitationsgleichungen

der allgemeinen Relativitätstheorie. In dieser

Theorie wird die Gravitation geometrisiert, den Ort jedes

Massepunkts beschreibt man durch drei Raum- und eine

Zeitkoordinate. Physikalische Vorgänge spielen sich in

einer kontinuierlichen Mannigfaltigkeit dieser vier Koordinaten

ab, wobei sich durch die Bewegung von Massen

die geometrischen Eigenschaften dieser Mannigfaltigkeit,

des Raum-Zeit-Kontinuums, stetig verändern.

Den Schülern wird man diese Überlegung nicht mitteilen.

Es ist aber sinnvoll, zuvor mit ihnen ausführlich den

Begriff des physikalischen Modells zu wiederholen, der

durch eine Vielzahl von Beispielen aus dem bisherigen

Physik- und Astronomieunterricht bekannt ist, um zu verdeutlichen,

dass physikalische Modelle stets nur einige

Aspekte der Realität abbilden können.

Für die Entwicklung des Weltalls gibt es unterschiedliche

Modelle (friedmannsche Weltmodelle). Wie sich die

künftige Entwicklung vollzieht, hängt im Wesentlichen

von der mittleren Dichte im Weltall ab.

Sollte sich das Universum weiter ausdehnen, dann vergrößert

sich auch zukünftig der mittlere Abstand zwischen

den Galaxien. Sollte es hingegen zu einem späteren Zeitpunkt

zu kontrahieren beginnen, dann fällt die Materie

in einem dem Urknall analogen Punkt zusammen.

Wichtig ist, dass die Schüler die im kosmologischen Prinzip

verallgemeinerten Erfahrungen und Erkenntnisse in

einer der folgenden gleichberechtigten Formulierungen

erfassen:

Urknall

−

−

−

−

Zeit

b

a

Zeit

Zeit

Zeit

Es existiert im Universum kein besonders ausgezeichneter

Punkt.

Alle Orte im Universum sind gleichberechtigt.

Das Universum bietet unabhängig vom Standort eines

Beobachters stets den gleichen Anblick.

Für die physikalische Beschreibung des Universums

darf man jeden beliebigen Punkt des Alls als Mittelpunkt

eines Koordinatensystems wählen.

a

b

Zeit

a

b

Zeit

Das Standardmodell des Urknalls

Urknall

vor ca. 13,7 Mrd. Jahren

n Neutronen

– Elektronen

+ Protonen

elektromagnetische

Strahlung

+ –

n –

+ +

– –

n n

Expansion und

Abkühlung

Expansion und Abkühlung

Atome bilden sich

Bildung der Atome

+

Atom (H)

–

+ n –

n + –

Atom (He)

+ –

+ –

FOLIE

Zeit

+ n –

n + –

+ n –

n + –

+ –

Vergrößerung der Wellenlänge

der elektromagnetischen

Strahlung, die heute als

Hintergrundstrahlung

beobachtet wird

+ –


158 Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs (LB S. 67 – 71)

3

Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs

3.1 Denk- und Arbeitsweisen in

der Physik

Keine Aufgaben vorhanden

3.2 Mechanik

Bewegungen in Natur und Technik

(LB S. 67 – 71)

1. 416 754 Ort und Weg

Betrachtet wird zum Beispiel die Bewegung eines Radfahrers,

der von einem bestimmten Ort (Ausgangsort)

losfährt, eine bestimmte Strecke fährt, dann umkehrt

und wieder zurückfährt. Er befindet sich nach einer bestimmten

Zeit wieder am Ausgangsort. Der Weg, den er

zurücklegt, wird dagegen mit der Zeit immer größer.

Hinweis: Gut geeignet für die Erläuterung des Unterschieds

sind periodische Bewegungen (Kreisbewegung,

Schwingung).

2. 418 394 Ort-Zeit-Diagramm

a) A gleichförmige Bewegung

B in Ruhe

C gleichförmige Bewegung mit größerer Geschwindigkeit

als bei A

D gleichförmige Bewegung in entgegengesetzter

Richtung zu A und C

E in Ruhe

b) Abschnitt A:

v = }

Δ s

Δ t = }

60 m

10 s = 6 }

m s = 21,6 }

km h

Abschnitt B: v = 0

Abschnitt C: v = }

Δ s

Δ t = }

60 m

5 s

3. 418 294 Zwei Fahrzeuge

= 12 }

m s = 43,2 }

km h

a) Im Ausgangszustand sind die Fahrzeuge A und B

400 m voneinander entfernt. Während B zunächst

steht, fährt A gleichförmig in Richtung B. Während

A immer gleichförmig in der gleichen Richtung weiterfährt,

beginnt B bei t = 50 s gleichförmig in der

entgegengesetzten Richtung zu fahren. Beide Fahrzeuge

sind nach etwa 57 s am gleichen Ort. Dann

entfernen Sie sich wieder voneinander.

b) Der Schnittpunkt der Graphen gibt den Ort und die

Zeit an, wo sich beide Fahrzeuge treffen. Das ist

etwa bei x = – 50 m und t = 57 s der Fall.

4. 416 484 Begegnungen

Relativgeschwindigkeit bezüglich des Radfahrers:

Fußgänger: 15 }

km h + 5 }

km h = 20 }

km h

Auto: 50 }

km h – 15 }

km h = 35 }

km h

Relativgeschwindigkeit bezüglich des Fußgängers:

Auto: 50 }

km h + 5 }

km h = 55 }

km h

Radfahrer: 15 }

km h + 5 }

km h = 20 }

km h

5. 417 314 Verschiedene Bewegungsarten

a) I und II: Der Graph im Diagramm ist eine Gerade.

Daher liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung

vor.

III: Der Graph im Diagramm ist gekrümmt. Daher

liegt eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

vor. Die Beschleunigung nimmt im dargestellten

Zeitraum zu.

IV: Die Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig ab.

Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte

Bewegung mit negativer Beschleunigung. Dies wird

als Bremsvorgang bezeichnet.

b) Wenn sich bei einem bestimmten Wert für die Zeit t

zwei Graphen schneiden, dann haben die entsprechenden

Körper zu diesem Zeitpunkt dieselbe

Geschwindigkeit.

6. 417 134 Durchschnittsgeschwindigkeit

a) Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich aus

Weg und Zeit.

15 km + 30 km

v = }} 0,33 h

v = 135 }

km h

25 km + 25 km

b) v = }}

1000 s + 500 s

v = 120 }

km h

Die Durchschnittsgeschwindigkeiten sind unterschiedlich,

da sich im ersten Fall die Geschwindigkeit

auf gleiche Zeiten und im zweiten Fall auf gleiche

Wege bezieht.


Mechanik

159

7. 419 904 Schneller bedeutet kürzer

Δt = s 1

} v – s 2

1

} v 2

Δt = 240 km

} – 240 km

}

100 }

km 130 }

km h

h

Δt = 0,55 h = 33 min

8. 419 534 Bewegungsdiagramme

a)

s in km

10. 416 994 Wege und Geschwindigkeiten

a) Es gilt s 1 + s 2 = 2 s 1 mit s 1 = v 1 · t 1

s = 2 v 1 · t 1

s = 2 · 22,2 m } s · 840 s

s = 37 296 m ≈ 37,3 km

b) v } = s

} t 1 + t 2

}

v = 37300 m

} = 25,9 m 1440 s } s = 93,2 }

km h

25

20

15

10

5

11. 416 044 Ein Überholvorgang

a) Als Dauer des Überholvorganges wird der Zeitraum

zwischen dem Wechsel auf die Überholspur bis zum

Einordnen angesehen. Neben der Relativgeschwindigkeit

ist auch die Länge der Fahrzeuge zu beachten.

40 m

30 m

0

0 2 4 6 8 10

t in min

Das Fahrzeug bewegt sich gleichförmig.

Begründung: Der Graph ist eine Ursprungsgerade.

Es gilt demzufolge s ~ t. Das ist für gleichförmige

Bewegungen der Fall.

b) v = }

s t

v =

135

27 km

}

12 min

v in km } h

2,25 km

= } = 135 }

km min

h

0

0 2 4 6 8 10 t in min

9. 418 184 Reaktionszeit eines Torwarts

a) t = } v s 11 m · s · 3,6

t = }

95 m = 0,42 s

b) Beim Elfmeter ist der Abschusspunkt des Balls festgelegt.

Eine Position vor der Torlinie würde zwar

die möglichen Winkel geringfügig einschränken,

zugleich aber die Reaktionszeit verkürzen. Sie würde

z. B. bei einer Position von 2 m vor der Torlinie nur

noch 0,34 s betragen. Eine Position deutlich vor der

Torlinie ist deshalb nicht zweckmäßig.

Bezieht man die Bewegung des Pkw auf den Lkw,

dann gilt:

− Die Relativgeschwindigkeit beträgt

90 }

km h – 72 }

km h = 18 }

km h oder 5 }

m s .

− Der Gesamtweg des Pkw beim Überholen beträgt

40 m + 20 m + 30 m + 5 m = 95 m.

− Die erforderliche Zeit ist dann:

t = s } v

b) s = v Pkw · t

t = 95 m · s } 5 m = 19 s

s = 25 }

m · 19 s = 475 m

s

20 m

c) Einige dieser Bedingungen sind:

− Relativgeschwindigkeit sollte möglichst groß sein.

Dann verkürzt sich die Überholzeit.

− Die Gesamtstrecke muss einsehbar sein. Dabei ist

zu beachten, dass die Relativgeschwindigkeit zum

Gegenverkehr sehr groß sein kann. Bewegt er sich

mit etwa gleicher Geschwindigkeit, dann sollte die

einsehbare Strecke etwa 2 s = 1 000 m lang sein.



12. 414 884 Ein schneller 100-m-Lauf

13. 419 234 Komplexe Bewegungen

0

0

v 1 = a · t

2 4 6 8 10 12 t in s

a) Die Bewegung erfolgt in den ersten vier Sekunden

beschleunigt, dann bis zum Ziel näherungsweise

gleichförmig (b Diagramm).

a) Das Auto bewegt sich zunächst mit 2 m/s 2 gleichmäßig

beschleunigt, fährt dann gleichförmig weiter

(a = 0), beschleunigt dann mit a = 4 m/s 2 und verzögert

anschließend mit –2 m/s 2 .

s in m

80

b) Es wird davon ausgegangen, dass zum Zeitpunkt

t = 0 gilt: s 0 = 0, v 0 = 0

60

Dann kann man die für das Zeichnen der Diagramme

40

erforderlichen Werte berechnen:

v-t-Diagramm:

20

v 1 = 2 }

m s 2 } s

b) Die Berechnung der Beschleunigung erfolgt unter

der Annahme, dass die Bewegung des Läufers zum

Zeitpunkt t = 0 beginnt. Das ist aber in der Realität

nicht der Fall, weil bis zum Beginn der Bewegung

eine bestimmte Reaktionszeit erforderlich ist. Damit

ist die tatsächliche mittlere Beschleunigung größer

als die berechnete. Darüber hinaus gehen wir von

einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus.

Aus s = }

a 2 · t 2 erhält man durch Umstellung:

a = }

2s

t 2

a = }

2 · 20 m = 2,9 }

m (3,70 s) 2 s 2

Die durchschnittliche Beschleunigung beträgt auf

den ersten 20 m etwa 2,9 }

m . s 2

c) } v = }

s t

} v = 100 m

} 10,27 s

v 2 = 30 m }

s

v 3 = v 2 + 4 }

m · 10 s = 70 m s 2 } s

v 4 = v 3 – 2 }

m · 10 s = 50 m s 2 }

s

s-t-Diagramm:

s = }

a 2 · t 2

m

}

s

s 1 = 2 }

2

2 ·(15 s)2 = 225 m

(nach 45 s)

s 2 = s 1 + v 1 · t = 225 m + 30 }

m · 10 s = 525 m

s

s 3 = s 2 + v 2 · t = }

a 2 · t 2

s 3 = 525 m + 30 }

m

m }

s · 10 s + 4 s

}

2

· (10 s)2

2

s 3 = 525 m + 300 m + 200 m

} v = 9,7 m } s = 35 km }

h

d) Für die Augenblicksgeschwindigkeit gilt v = }

Δs

Δt bei

kleinem Δt.

Eine Möglichkeit der Messung wäre die folgende:

Zwei Lichtschranken, die mit einer elektronischen

Uhr gekoppelt sind, werden in kurzer Entfernung

voneinander (z. B. Δs = 1 m) angebracht. Beim

Auslösen der 1. Lichtschranke beginnt die Uhr zu

laufen, beim Auslösen der 2. Lichtschranke wird sie

gestoppt. Dabei muss beachtet werden, dass die

Lichtschranken durch einen Körperteil ausgelöst werden,

der sich nicht stark unterschiedlich bewegt (wie

das z. B. bei Beinen und Armen der Fall ist).

Bei der gleichzeitigen Messung für mehrere Läufer

ist z. B. die Variante denkbar, dass die Lichtschranken

senkrecht zur jeweiligen Bahn angeordnet werden.

s 3 = 1 025 m

s 4 = s 3 + v 3 · t – a }

2 · t 2

s 4 = 1025 m + 70 }

m

m }

s · 10 s – 2 s

}

2

·(10 s)2

2

s 4 = 1 025 m + 600 m – 100 m

s 4 = 1 625 m

Damit ergeben sich folgende Diagramme:

e) Erkundungsaufgabe


Mechanik

161

v in m } s

14. 419 074 Startphase eines Bobs

60

50

40

Es liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor.

Damit können die betreffenden Bewegungsgesetze

genutzt werden.

30

20

10

a) v = a · t

v = 1,8 m }

s 2 · 5,0 s

0

0 5 10

15 20 25 30 35 40 45

t in s

v = 9 m } s

s in m

b) s = a } 2 · t 2

s = 1,8 }

m s

}

2

·(5 s) 2

2

1 400

s = 22,5 m

1 200

1 000

800

c) v } = }

s t

}v = }

22,5 m

5,0 s

}v = }

4,5 m = 16 km s } h

600

15. 417 834 Abbremsen eines Mopeds

400

200

a) Im Diagramm ist der Zusammenhang zwischen

Geschwindigkeit und Zeit dargestellt. Die Geschwindigkeit,

die anfangs 12,5 m/s betrug, verringert sich

innerhalb von 4 Sekunden gleichmäßig auf null.

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

c) Aus den Betrachtungen zu den Diagrammen (siehe

Teilaufgabe b) ergibt sich:

s = s 3 + v 3 · t – }

a 2 · t 2

s = 1025 m + 60 }

m

s · 5 s – 2 }

m s

}

2

·(5 s)2

2

s = 1 025 m + 300 m – 25 m

t in s

b) a = }

Δv

Δt

a = – 12,5 m s

} 4 s

c) s = v 0 · t – a } 2 · t 2

s = 25 m

= – 3,1 m }

s 2

16. 416 744 Bewegung eines Pkw

s = 1 300 m

In 40 s wird ein Weg von 1300 m zurückgelegt.

a)

50

v in km/h

40

d) Die Höchstgeschwindigkeit wird nach 35 s erreicht.

Sie beträgt 70 }

m (siehe b).

s

30

e) a = konst. = 2 }

m s 2

v = a · t

20

10

s = a } 2 · t 2

Mit t = } a v erhält man: s = }

a 2 · }

v 2

= }

v 2

a 2 2 a

Die Umstellung nach v ergibt: v = v (s) = √ } 2 a s

0

0

5

10 15 20 25

t in s



b) Für das t-s-Diagramm muss man die zurückgelegten

Wege berechnen:

s 1 = }

a 2 · t 2 = 13,9 m s

1

} 2 · 7 s ·(7 s)2 = 49 m

s 2 = s 1 + v · t 2 = 258 m

s 3 = s 2 + v · t 3 – }

a 2 · t 2

3

s 3 = 286 m

Damit erhält man die dargestellten Diagramme.

300

s in m

s 4 = v 2 · t 4 – a } 2 · t 4 2

s 4 = 9 }

m s · 120 s – 6 m s

}·(120 s)2

120 s · 2

s 4 = 1 080 m – 360 m = 720 m

s 5 = v 3 · t 5

s 5 = 3 }

m · 120 s = 360 m

s

s = s 1 + s 2 + s 3 + s 4 + s 5

s = 540 m + 1 080 m + 450 m + 720 m+ 360 m

s = 3 150 m

200

100

18. 415 084 Geschwindigkeitsmessung

0

0

2

1

0

–1

–2

–3

a in m }

s 2

5

5

10 15 20 25

10 15 20 25

t in s

t in s

Es soll näherungsweise die Augenblicksgeschwindigkeit

des letzten Waggons am Bahnsteigende bestimmt

werden.

Für die Augenblicksgeschwindigkeit gilt: v = }

Δs

Δt bei

kleinem Δt.

Geht man davon aus, dass die Zeit mit einer Stoppuhr

gemessen werden soll und unbedingt auch ein Sicherheitsabstand

zum fahrenden Zug eingehalten werden

muss, dann könnte man z. B. folgendes Verfahren

wählen:

− Das Bahnsteigende dient als Markierung für die

Zeitmessung.

− Es wird die Zeit gemessen, die der letzte Waggon

zum Passieren dieser Markierung braucht.

− Aus der Länge des Waggons und der Zeit ergibt sich

ein Näherungswert für die Geschwindigkeit.

19. 417 924 Perfekter Flugzeugstart

17. 417 084 Weg eines Radfahrers

Die Gesamtstrecke ergibt sich aus den fünf Teilstrecken.

Als Gesamtzeit wird 10 min angenommen.

Berechnet werden jeweils die Einzelwege s 1 bis s 5 .

s 1 = v 0 · t 1 + }

a 2 · t 1 2 mit a = }

Δv

Δt

s 1 = 3 }

m s · 120 s + 3 m s

}·(120 s)2

120 s · 2

s 1 = 360 m + 180 m = 540 m

s 2 = v 1 · t 2

s 2 = 6 }

m · 180 s = 1080 m

s

s 3 = v 1 · t 3 + }

a 2 · t 3 2

s 3 = 6 }

m s · 60 s + 3 m s

}·(60 s)2

60 s · 2

a) Aus s = }

a 2 · t 2 und v = a · t erhält man:

s = }

v 2

2 a

s = ((290 : 3,6) }

m s ) 2

}}

2 · 2,8 }

m = 1160 m

s 2

b)

v in m } s

80

60

40

20

0

0 5 10 15 20 25 30

t in s

s 3 = 360 m + 90 m = 450 m


Mechanik

163

s in m

1 000

800

600

400

200

0

0 5 10 15 20 25 30

t in s

b) Der Anhalteweg ergibt sich aus der gleichförmigen

Bewegung während der Reaktionszeit und dem

Weg, der während des Bremsens zurückgelegt wird

(Bremsweg).

s = v · t 1 + a } 2 · t 2 2

Mit t 2 = } a v erhält man: s = v · t 1 + }

v 2

2 a

Damit ergibt sich für die verschiedenen Geschwindigkeiten:

20. 416 074 Geschwindigkeit und Bremsweg

Nimmt man eine gleichmäßig verzögerte Bewegung bis

zum Stillstand an, dann gilt:

s = v · t – a } 2 t 2 (1)

v = a · t (2)

Die Umstellung von (2) nach t ergibt t = } a v . Eingesetzt in

(1) erhält man:

s = }

v 2

a – }

a · v 2

2 a 2

s = }

v 2

2 a

Das bedeutet: Der Bremsweg ist von der ursprünglichen

Geschwindigkeit und von der Beschleunigung abhängig.

Eine doppelt so große Geschwindigkeit bedeutet bei

bestimmten Straßenverhältnissen (a = konstant) den

vierfachen Bremsweg. Eine Verdopplung der Bremsbeschleunigung

führt zu einer Halbierung des Bremswegs

(bei v = konstant), wobei allerdings zu beachten ist, dass

es für den Wert der Bremsbeschleunigung Grenzen gibt.

Das Maximum liegt bei etwa 8,5 – 9 m/s 2 .

21. 419 024 Eine Vollbremsung

a) v = √ } 2 · a · s

v =

√ }}

2 · 6,8 }

m · 26 m s 2

v = 18,8 m } s = 67,7 km }

h

b) Die Geschwindigkeit lag erheblich über der innerhalb

geschlossener Ortschaften erlaubten Geschwindigkeit.

22. 418 774 Bremsweg und Anhalteweg

a) Der Bremsweg ist derjenige Weg, der vom Beginn

des Bremsens bis zum Stillstand zurückgelegt wird.

Der Anhalteweg berücksichtigt die „Schrecksekunde“,

die bis zum Beginn des Bremsens vergeht.

Er ist also länger als der Bremsweg.

v = 30 km }

h :

v = 50 km }

h :

v = 70 km }

h :

s = 14 m

s = 30 m

s = 52 m

v = 100 km }

h : s = 96 m

c) Der Anhalteweg vergrößert sich mit steigender

Geschwindigkeit überproportional. Damit wird bei

höheren Geschwindigkeiten ein Anhalten vor plötzlichen

Hindernissen kaum noch möglich.

Hinweis: Bei den für Pkw angegebenen Bremswegen

(meist von 100 km/h auf null), die bei etwa 35– 40 m

liegen, handelt es sich um die reinen Bremswege bei

optimalen Bedingungen und ohne Berücksichtigung

der in der Praxis stets vorhandenen Reaktionszeit.

23. 417 824 Verschiedene Bremsverzögerung

Für die Berechnung der Bremswege kann die Gleichung

s = }

v 2

2 a

genutzt werden.

a) s Rad = (10 m s ) 2

2 · 2,5 }

m = 20 m

s 2

s Pkw = (10 m s ) 2

2 · 7 }

m = 7,1 m

s 2

b) Der Anhalteweg setzt sich aus dem Bremsweg und

dem Weg zusammen, der während der Reaktionszeit

zurückgelegt wird. Dieser Weg beträgt:

s Rad = v · t

s Rad = 10 }

m · 0,80 s = 8,0 m

s

Für den Pkw ist dieser Weg genauso lang.

Damit erhält man als Anhaltewege:

s Rad = 20 m + 8,0 m = 28 m

s Pkw = 7,1 m + 8,0 m = 15 m



24. 415 794 Faustregeln

Weitere Faustregeln lauten:

a) Bei Nebel gilt: Sichtweite = Sicherheitsabstand.

Aus s = v 0 · t – v 2

0

} · t 2 ergibt sich mit v

4 s 0 = 750 }

m H s und

s H = 5,0 cm:

s = 750 }

m s · t – (750 m s ) 2

} 4 · 0,05 m · t 2

t in ms 0,03 0,06 0,09 0,12

b) Der Sicherheitsabstand sollte 2–3 Sekunden Fahrstrecke

betragen (bei 50 km/h bedeutet das etwa

30 m Abstand als Minimum).

c) Bei Nebel gilt: Sichtweite in Metern = Tempo in

Kilometern pro Stunde.

Die Bewertung kann im Vergleich zu der in der Aufgabe

genannten Faustregel erfolgen.

8

6

4

v in m } s

s in cm

2,0 3,5 4,47 4,95

25. 417 724 Abgebremstes Geschoss

2

a) Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit

Anfangsgeschwindigkeit gilt:

0

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

t in ms

s = v 0 · t – a } 2 · t 2 (1)

v = v 0 – a · t (2)

Um zu den Gleichungen s = s (t) und v = v (t) zu gelangen,

muss a eliminiert werden. Durch Umstellen

von (1) nach a unter Nutzung derAbbremszeit t = v 0

} a

erhält man:

a = v 2

0

} (3)

2 s H

Durch Einsetzen von (3) in (1) und (2) erhält man die

gesuchten Gleichungen:

s (t) = v 0 · t – v 2

0

}· t 2

4 s H

v (t) = v 0 – v 2

0

} 2 s H

· t

b) Aus v = v 0 – v 2

0

} · t ergibt sich mit v

2 s 0 = 750 }

m H s und

s H = 5,0 cm:

v = 750 }

m s – (750 m s ) 2

} 2 · 0,05 m · t

t in ms 0,03 0,06 0,09 0,12

v in m } s

581 413 244 75

c) Die Verzögerung (Beschleunigung) ergibt sich aus

dem Zeit-Weg- und dem Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz:

a = v 2

0

} 2 s H

a = (750 m s ) 2

} 2 · 0,05 m

a = 5,6 · 10 6 m }

s 2

Die Verzögerung des Geschosses im Holz beträgt

5,6 · 10 6 }

m . s 2

d) Es werden die in Teilaufgabe a abgeleiteten Gleichungen

für s (t) und v (t) miteinander verknüpft:

Aus v = v 0 – v 2

0

} · t erhält man

2 s H

t = (v 0 – v) 2 s H

} (1)

v 2

0

Einsetzen von t in die Gleichung für den Weg ergibt

nach Umformung und Vereinfachung:

v = v (s) = v 0 √ }s H – s

}

s H

800

v in m/s

Damit kann man eine Wertetabelle berechnen:

s in cm 0 1 2 3 4 5

600

v in m } s

750 671 581 474 335 0

400

Damit erhält man das folgende Diagramm.

200

0

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

t in ms


Mechanik

165

800

600

400

v in m/s

28. 414 444 Schnelle Regentropfen

a) Aus s = g } 2 · t 2 und v = g · t ergibt sich:

v = √ } 2 · g · s

v =

√ }}

2 · 500 m · 9,81 }

m = 99 m s 2 } s = 356 }

km h

200

0

0 1 2 3 4 5

e) Aus dem Diagramm ist ablesbar: Die halbe Auftreffgeschwindigkeit

hat das Geschoss in etwa 3,7 cm

Eindringtiefe.

Hinweis: Der exakte Wert ist 3,75 cm.

26. 417 454 Ein freier Fall

Aus s = }

g 2 · t 2 und v = g · t ergibt sich:

s = }

v 2

2 g

s = (13,89 m s ) 2

2 · 9,81 }

m (50 }

km h ≈ 13,89 }

m s )

s 2

s = 9,83 m ≈ 10 m

27. 412 484 Geschwindigkeit eines Steins

a) Die Höhe (Weg) kann aus dem Weg-Zeit-Gesetz

ermittelt werden.

s in cm

b) Die Auftreffgeschwindigkeit von Regentropfen beträgt

bis zu 30 }

km h .

Der Unterschied kommt zustande, weil auf die Regentropfen

die Luftwiderstandskraft wirkt und ihre

Bewegung erheblich beeinflusst. Im Fall von Regentropfen

kann deshalb nicht als freier Fall angesehen

werden.

29. 418 054 Analyse eines Fallschirmsprungs

a) Die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers nimmt

zunächst stark zu und erreicht nach etwa 8 Sekunden

freien Falls eine maximale Geschwindigkeit von

50 }

m . Mit dieser konstanten Geschwindigkeit bewegt

s

sich der Fallschirmspringer weiter. Beim Öffnen des

Fallschirms bei etwa 12 s wird die Bewegung stark

abgebremst und erreicht schließlich eine konstante

Geschwindigkeit von etwa 6 }

m s = 22 }

km s .

b) Als freien Fall kann man die Bewegung eines Körpers

dann ansehen, wenn der Einfluss des Luftwiderstandes

vernachlässigbar ist. Das ist bei vielen Körpern

der Fall, wenn die Fallstrecke und damit auch die

Fallzeit/Fallhöhe klein ist. Es ist auch bei schweren,

kleinen Körpern eher der Fall als bei leichten, größeren

Körpern.

s = g }

2 · t2

s 1 = }

9,81 m ·(1 s) 2 = 4,9 m

2 s 2

s 2 = }

9,81 m ·(2 s) 2 = 19,6 m

2 s 2

Der Körper befindet sich damit nach 1 s in 30,1 m

Höhe und nach 2 s in 15,4 m Höhe.

b) Aus s = g }

2 · t 2 ergibt sich t = √ } 2 s

} g

t =

√ } 2 · 35 m

9,81 }

m s 2

t = 2,7 s

v = g · t

v = 9,81 }

m · 2,7 s s 2

v = 26 }

m s = 94 }

km h

30. 418 894 Abschätzung der Höhe

a) Bei dem gegebenen Sachverhalt kann man von

einem freien Fall ausgehen.

s = }

g 2 · t 2

s = }

9,81m ·(4,0 s)2

2

2 s

s = 78,5 m

Das Felsplateau liegt ca. 79 m über der Wasseroberfläche.

b) v = g · t

v = 9,81 }

m · 4,0 s s 2

v = 39 }

m s = 140 }

km h

Die Auftreffgeschwindigkeit beträgt etwa 39 m }

s

(140 km }

h ) .



c) Zur beobachteten Fallzeit von 4,0 s kommt die Zeit

hinzu, die Schall braucht, um vom Auftreffpunkt bis

zum Felsplateau zu gelangen. Für den Schall gelten

die Gesetze der gleichförmigen Bewegung.

Aus v = }

s t folgt t = }

s v .

t = 78,5 m

340 }

m s

t = 0,23 s

Folglich hört man den Aufschlag des Steines nach

einer Zeit von 4,0 s + 0,23 s = 4,23 s.

a = (46,5 }

m s ) 2

} 2 · 4 m = 270 }

m s 2

Die Verzögerung beträgt 270 }

m . Das ist etwa das

2

s

27-Fache der normalen Fallbeschleunigung.

32. 414 794 Surfer in Aktion

Die gegebenen Größen sind in der nicht maßstäblichen

Skizze dargestellt.

v 1 = 5

m

} s

31. 415 254 Fallturm Bremen

a) Solche Experimente könnte man im Weltraum oder

während des Parabelflugs eines Flugzeugs realisieren.

45°

v 2 = 1,6

m

} s

v

b) Anzuwenden sind bei der Lösung die Gesetze des

freien Falls.

Aus s = g }

t =

√ } 2 · 110 m

2 · t 2 ergibt sich t = √ 2 s

} g

9,81 }

m = 4,7 s

s 2

Die maximale Dauer eines Experiments unter den

Bedingungen der Schwerelosigkeit beträgt 4,7 s.

c) s = g } 2 · t 2

s = 9,81 m }

2 s 2 (9,4 s)2 = 433 m

Wollte man die Zeit verdoppeln, so müsste der Weg

etwa viermal so groß sein.

Beachte: Die Abweichungen kommen durch Rundung

der Werte zustande.

d) Aus s = }

g 2 · t 2 folgt mit t = } g v :

s = v 2

} 2 g

und damit v = √

} 2 g · s

v =

√ }}

2 · 9,81 }

m · 110 m

s 2

v = 46,5 }

m s = 167 }

km h

Die maximale Geschwindigkeit der Fallkapsel beträgt

46,5 }

m s .

Beachte: Man kann auch die Gleichung v = g · t

anwenden. Der Wert für t ist dann schon ein Näherungswert.

e) Es liegt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung bis

zum Stillstand vor.

Aus v = v 0 – a · t folgt mit v = 0: t = v 0

} a

Eingesetzt in s = v 0 · t – }

a 2 t 2 erhält man:

s = v 2 0

} a – v 2 0

} 2 a = v 2 0

} 2 a

und damit: a = v 2 0

} 2 s

Betrag und Richtung der resultierenden Geschwindigkeit

können grafisch oder rechnerisch ermittelt werden.

v = √ }}}

v 2 1 + v 2 2 + 2 v 1 · v 2 · cos α

v = √ }}}}

( 5,0 }

m s ) 2 + ( 1,6 }

m s ) 2 + 2 · 5,0 }

m s · 1,6 }

m · cos 45°

s

v = √ }}}

25 }

m 2

+ 2,56 }

m 2

+ 11,31 }

m 2

= s 2 s 2 s √ } 38,87 }

m 2

2 s 2

v = 6,2 }

m s = 22 }

km h

Der Surfer bewegt sich mit 6,2 }

m in Richtung Ostsüdost.

s

Genauer: Der Winkel zwischen v 1 und v beträgt 10,5°.

33. 414 864 Abwurfgeschwindigkeit gefragt

Es geht um einen senkrechten Wurf nach oben, wobei

die Wurfhöhe gegeben ist. Dabei ist die Abwurfhöhe zu

beachten.

Aus v = v 0 – g · t ergibt sich mit v = 0:

v 0 = g · t = 0 oder t = v 0

}

g

Für den Weg gilt: s = v 0 · t – }

g 2 · t 2

(1) eingesetzt ergibt: s = v 2 0 – v 0

}

2

2 g = v 0

}

2

2 g

Durch Umstellung nach v 0 erhält man:

v 0 = √ } 2 g · s

v 0 =

√ }}

2· 9,81 }

m · 5,5 m s 2

v 0 = 10,4 m } s

Das Kind wirft den Ball mit etwa 10 }

m senkrecht nach

s

oben.

(1)


Mechanik

167

34. 414 954 Wurf nach unten

a) Für den freien Fall bzw. den Wurf nach unten gelten

folgende Gesetze:

v = g · t

v = v 0 + g · t

s = }

g 2 · t 2 s = v 0 · t + }

g 2 · t 2

Für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit

und Zeit ergibt sich damit:

200

150

100

50

s in m

freier Fall

t in s 0 1 2 3 4 5

0

0 1 2 3 4 5

t in s

v in m }

s

Wurf nach unten

0 9,81 19,6 29,4 39,2 49,1

t in s 0 1 2 3 4 5

v in m } s

10 19,8 29,6 39,4 49,2 59,1

b) Beim waagerechten Wurf gilt für die Geschwindigkeit:

v = √ }}

v 0 2 + (g · t) 2

Demzufolge erhält man:

t in s 0 1 2 3 4 5

Damit erhält man folgendes v-t-Diagramm:

v in m }

s

10 14,0 22,0 31,1 40,4 50,1

80

60

40

20

v in m } s

Für den Weg in x- und y-Richtung gilt:

x = v 0 · t y = }

g 2 · t 2

Daraus ergibt sich die Bahnkurve, die man zeichnen

und näherungsweise ausmessen könnte.

Die Graphen sind in die Diagramme unter Teilaufgabe

a gestrichelt mit eingezeichnet.

0

0 1 2 3 4 5

Für den Zusammenhang zwischen Weg und Zeit

erhält man:

freier Fall

t in s 0 1 2 3 4 5

s in m 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,6

Wurf nach unten

t in s 0 1 2 3 4 5

s in m 10 14,9 39,6 74,1 128,4 172,6

Damit erhält man folgendes s-t-Diagramm:

t in s

35. 416 514 Bahn eines Geschosses

a) Berechnung der Flugzeit:

t = 100 m

550 }

m = 0,18 s

s

In dieser Zeit fällt das Geschoss die Strecke:

s = }

g 2 · t 2 = 9,81 }

m s

}

2

·(0,18 s) 2

2

s = 0,159 m = 15,9 cm

b) Man muss ca. 16 cm oberhalb des Mittelpunkts der

Zielscheibe zielen.

Hinweis: Tatsächlich ist der Sachverhalt komplizierter,

weil in dem genannten Fall der Luftwiderstand die

Bewegung merklich beeinflusst. Davon wurde bei den

Berechnungen abgesehen.



36. 415 564 Skispringer in Aktion

a) Für x und y ergeben sich aus den Daten folgende

Werte:

t in s x in m y in m

0 0 0

0,2 5 – 0,2

0,4 10 – 0,78

0,6 15 – 1,8

0,8 20 – 3,1

1,0 25 – 4,9

1,2 30 – 7,1

1,4 35 – 9,6

1,6 40 – 12,6

1,8 45 – 15,9

37. 417 974 Ein Ballwurf

Es wird davon ausgegangen, dass Abwurf- und Auftreffpunkt

in einer Ebene liegen. Für die Wurfweite gilt:

s w = v 0 2 · sin 2 α

} g

und damit v 0 = √ }s w · g

}

sin 2 α

Die maximale Wurfweite wird (theoretisch) bei α = 45°

erzielt. Folglich ist sin 2 α = sin 90° = 1 und damit

v 0 = √ } s w · g

v 0 = 20 m }

s

Die Mindestgeschwindigkeit beim Abwurf beträgt 20 m } s .

38. 416 084 Abwurf aus dem Flugzeug

Abwurfpunkt

2,0 50 – 19,6

2,2 55 – 23,7

200 m

2,4 60 – 28,3

0 10 20 30 40 50 60

0

–5

–10

–15

–20

x in m

Die Fallzeit beträgt: t = √ } 2 h

} g

In dieser Zeit bewegt sich das Paket mit 180 }

km h = 50 }

m s

horizontal weiter. Die Strecke beträgt:

s = v 0 · t = v 0 · √ } 2 h

} g

s = 50 m }

s = 320 m

s · √ } 2 · 200 m · s

}

2

9,81 m

Auftreffpunkt

–25

Das Abwerfen muss etwa 300 m vor dem vorgesehenen

Auftreffpunkt erfolgen.

–30

y in m

39. 416 204 Bogenschießen

b) Für die Geschwindigkeit v gilt:

v = √ } v 0 2 + v F 2

Mit v 0 = 90 }

km h = 25 }

m s

und

v F = g · t = 9,81 }

m · 2,4 s = 23,5 m s 2 } s

erhält man:

v =

√ }}

25 }

m + 23,5 m s 2 }

s 2

v = 34,3 }

m s = 124 }

km h

v F

v 0

v

a) Mit Muskelkraft wird der Bogen gespannt. Dabei

wird chemische Energie in potenzielle Energie umgewandelt.

Beim Abschuss wird die potenzielle Energie des

gespannten Bogens in kinetische Energie des Pfeils

umgewandelt. Diese kinetische Energie wird durch

die Reibung teilweise in thermische Energie umgewandelt.

Der Rest wird beim Auftreffen des Pfeils

in thermische Energie und Verformungs energie

umgewandelt.

b) E = 1 } 2 m · v 2

E = }

1 2 m · 0,025 kg · ( 100 }

m s ) 2

E = 125 J


Mechanik

169

c) Bei einer Fallhöhe von 1,70 m beträgt die Fallzeit:

t = √ } 2 h

} g

t =

√ } 2 · 1,70 m

9,81 }

m = 0,59 s

s 2

In dieser Zeit legt er folgende waagerechte Strecke

zurück:

s = v · t

s = 100 }

m s · 0,59 s = 59 m

d) bei 70 m: t = 0,7 s

s = }

g 2 · t 2

bei 90 m:

s = 9,81 }

m s

}

2

·(0,7 s) 2 = 2,4 m

2

t = 0,9 s

s =

9,81 m }

s 2

}

2 · (0,9 s) 2 = 4,0 m

b) Genutzt wird die bei Teilaufgabe a) abgeleitete

Gleichung:

x 1,2 = v 0 2 · cos 2 α · tan α

}} ±

g √ }}}

v 4 0 · cos 4 α · tan 2 α

}} – 2 v 0 2 · cos 2 α · y

}}

g

Für die verschiedenen Winkel α erhält man mit

v 0 = 8,0 }

m s , g = 9,81 }

m und y = –1 m folgende Werte:

s 2

α in Grad 20 30 40 50 60

x in m 6,09 7,03 7,45 7,17 6,17

Damit erhält man folgende grafische Darstellung:

8

6

4

x in m

g 2

40. 416 294 Weitsprung optimal

a) Allgemein gilt für die Wurfparabel beim schrägen

Wurf:

g

y = tan α · x –}

· x 2 (1)

2 v 2 0 · cos 2 α

Die Sprungweite x lässt sich allgemein ermitteln,

wenn man Gleichung (1) nach x umstellt:

g

} · x 2 – tan α · x + y = 0

2 v 2 0 · cos 2 α

oder

2

0

0 20 40 60 80

α in Grad

x 2 – 2 v 2· 0 cos 2 α · tan α

}} g · x + 2 v 0 2 · cos 2 α · y

}} g = 0

Als Lösung dieser quadratischen Gleichung erhält

man:

x 1,2 = v 0 2 · cos 2 α · tan α

}} g ± √ }}}

v 4 0 · cos 4 α · tan 2 α

}} – 2 v

g 2

0 2 · cos 2 α · y

}

g

Mit v 0 = 8,0 }

m s , g = 9,81 }

m , α = 20 ° und y = –1 m er-

s 2

hält man:

x 1,2 = 2,1 m ± √ }}

(2,1 m) 2 + 11,5 m 2

x 1,2 = 2,1 m ± 4,0 m

x 1 = 6,1 m

Für einen Winkel von 45 ° erhält man:

x 1,2 = 3,26 m ± √ }}

(3,26 m) 2 + 6,52 m 2

x 1,2 = 3,26 m ± 4,14 m

x 1 = 7,40 m

Hinweis: Eine negative Sprungweite macht physikalisch

gesehen keinen Sinn.

Kräfte und ihre Wirkungen

(LB S. 91 – 93)

1. 417 944 Kräftezusammensetzung

Die resultierende Kraft kann man zeichnerisch oder

rechnerisch ermitteln.

Es gilt: F = √ }}}

F 1 2 + F 2 2 + 2 F 1 · F 2 · cos α

Damit erhält man folgende Resultierende:

a) F = 86 N

b) F = 185 N

c) F = 114 N

d) F = 60 N



2. 417 994 Kräftezerlegung

a) Je nach Aufhängung wirken die Kräfte als Zug- oder

Druckkräfte.

(I)

3. 418 044 Belastung von Seilen

Die Resultierende aus den beiden Teilkräften ist gleich

der Gesamtkraft, die auf die Aufhängung wirkt. Die

Kräfte auf die Seile können grafisch oder rechnerisch

ermittelt werden.

60°

F 1

F 2

F 2 F 1

F

F

(II)

F 1

F 2

F

Unter Nutzung der in der Skizze angegebenen waagerechten

Hilfslinie erhält man:

F

2

F

cos 30° = } und damit F 2 = } 2 · cos 30° = m · g

} 2 · cos 30°

F 2

F 2 = 600 kg · 9,81 }

m s

}}

2

2 · cos 30°

F 2 = 3 400 N

Aus den Skizzen ist die Richtung der Kräfte zu entnehmen.

Aus Symmetriegründen hat F 1 den gleichen Betrag.

b) Die Beträge der Teilkräfte können grafisch (maßstäbliche

Skizze) oder rechnerisch ermittelt werden.

Fall (I):

sin 30° = F }

F 2

F 2 =

F 1 =

F

} sin 30° = 2 F = 50 N

tan 30° = F }

F 1

F

} = 1,73 F = 44 N

tan 30°

4. 418 094 Eine geneigte Ebene

a)

F H

F G

F N

Fall (II):

Analog zu Fall (I) erhält man:

F 2 =

F 1 =

F

} sin 30° = 2 F = 50 N

F

} = 1,73 F = 44 N

tan 30°

c) Für eine solche Variante müsste sin α = tan α sein.

Das ist näherungsweise für kleine Winkel α der Fall.

Dann werden die Kräfte jedoch sehr groß.

α

b) F N = F G · cos α mit F G = m · g

F N = 90 kg · 9,81 }

m · cos 12°

s 2

F N = 864 N

F H = F G · sin α

F H = 90 kg · 9,81 }

m · sin 12°

s 2

F H = 184 N


Mechanik

171

c) Bei konstanter beschleunigender Kraft gilt mit dem

newtonschen Grundgesetz:

a = F }

m

Mit F = F H erhält man:

a = }

m · g · sin α = g · sin α

m

a = 9,81 }

m · sin 12°

s 2

a = 2,0 }

m s 2

d) 8 % Gefälle bedeutet: Auf 100 m beträgt der Höhenunterschied

8 m.

Damit erhält man für den Neigungswinkel:

tan α = 8 m } 100 m

α = 4,6°

Damit betragen die Kräfte:

F N = m · g · cos α

F N = 90 kg · 9,81 }

m · cos 4,6°

s 2

F N = 880 N

F H = m · g · sin α

F H = 90 kg · 9,81 }

m · sin 4,6°

2

s

F H = 71 N

5. 418 084 Masse und Gewichtskraft

Die Masse ist an den verschiedenen Orten konstant, die

Gewichtskraft kann mit der Gleichung

F G = m · g

berechnet werden.

Für den Ortsfaktor gilt:

g Mond = 1,62 }

m = 1,62 N s 2 }

kg

g Mars = 3,71 }

m = 3,71 N s 2 } kg

z. B.: m = 60 kg

Schulort: F G = 588,6 N

Nordpol: F G = 589,8 N

α

100 m

8 m

Äquator: F G = 587,4 N

Mond: F G = 97,2 N

Mars: F G = 222,6 N

6. 418 194 Menschen auf dem Mond

a) Die Gewichtskraft kann mit der Gleichung

F G = m · g berechnet werden.

F G, Erde = 9,81 }

m · 14700 kg = 144 kN

2

s

F G, Mond = 1,62 }

m · 14700 kg = 23,8 kN

s 2

b) Die Gewichtskraft der Raumstation auf der Erde ist

etwa 12-mal so groß wie die eines Pkw.

Auf dem Mond ist sie etwa doppelt so groß wie die

Gewichtskraft eines Pkw auf der Erde.

7. 418 264 Trägheit von Körpern

Aufgrund der Trägheit wirken beim schnellen Anheben

(große Beschleunigung) große Kräfte (Trägheitskräfte),

beim langsamen Anheben aber nur (näherungsweise)

die Gewichtskraft bzw. die Gegenkraft dazu.

8. 418 354 Sicherheit im Auto

Sicherheitsgurte: Beim schnellen Abbremsen (Auffahrunfall)

wirken erhebliche Trägheitskräfte in Fahrtrichtung.

Durch den Sicherheitsgurt wird ein Aufschlagen

des Körpers auf Lenkrad/Armaturenbrett vermieden.

Der Körper nimmt an der durch die Knautschzone verringerten

Beschleunigung des Fahrzeugs teil (s. u.).

Airbag: Airbags, die sich bei großen Beschleunigungen

automatisch aufblasen, dienen als „Abfederung“ für

den Körper und verhindern ein Aufschlagen auf harte

Kanten.

Kopfstütze: Eine Kopfstütze verhindert das Zurückschlagen

des Kopfes vor allem in zwei Gefahrensituationen:

− Auffahrunfall von hinten,

− Aufprall auf Hindernis, bei dem nach einer Vorwärtsbewegung

des Körpers in der Regel eine Bewegung

des Oberkörpers und Kopfes nach hinten erfolgt.

Knautschzone: Durch eine Knautschzone vorn und

hinten wird bei Unfällen der Brems- und Beschleunigungsweg

vergrößert und damit die Beschleunigung

verringert. Eine Verkleinerung der Beschleunigung, die

ein Vielfaches der Fallbeschleunigung auf der Erde betragen

kann, bedeutet eine Verkleinerung der Trägheitskräfte,

durch die die Unfallfolgen wesentlich beeinflusst

werden.



11. 418 444 Bremskräfte

9. 419 064 Radialkräfte

a)

a in m F = 1100 kg · ( 18 m s ) 2

}

}

2 · 55 m

s 2 kg ·m

F = 3240 }

s

12

a) Die Gleichungen lauten: F = m · a

Geht man von einem gleichmäßigen Abbremsen aus,

F = m · }

v 2

so können neben dem newtonschen Grundgesetz die

r

Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Der Vergleich zeigt: Der Term }

v 2

r ist eine Beschleunigung,

die als Radialbeschleunigung bezeichnet wird

und die senkrecht zur Geschwindigkeit gerichtet ist.

angewendet werden.

F = m · a (1)

Die Beschleunigung lässt sich folgendermaßen ausdrücken:

b) Mit T = 27,3 d, r = 384400 km und m = 7,35 · 10 22 kg

erhält man:

Aus v = a · t folgt t = }

v . Eingesetzt in

a

F = m · 4 π2 · r

}

T 2

s = }

a 2 · t 2 erhält man s = }

v 2

2 a

F = 2,0 ·10 20 N

und damit a = }

v 2

2 s

(2)

Einsetzen von (2) in (1) ergibt:

10. 418 374 Kraft und Beschleunigung

F = m ·}

v 2

2 s

10

Die erforderliche (durchschnittliche) Bremskraft beträgt

etwa 3 200 N.

8

6

4

2

0

0 1 2 3 4 5

b) Die grafische Darstellung zeigt den Zusammenhang

zwischen der wirkenden Kraft F und der Beschleunigung

a bei einem Körper mit bestimmter Masse.

Zwischen Kraft und Beschleunigung besteht direkte

Proportionalität. Das bedeutet: Je größer die Kraft

auf einen beweglichen Körper ist, desto größer ist

auch seine Beschleunigung.

c) Man kann entweder von der grafischen Darstellung

ausgehen (ein sinnvolles Wertepaar für die Gerade)

oder aus den gegebenen Wertepaaren den Mittelwert

bilden.

Aus den Wertepaaren ergibt sich mit

m = }

F a :

m 1 = 3,33 kg, m 2 = 3,39 kg,

m 3 = 3,30 kg, m 4 = 3,33 kg

und damit als Mittelwert:

m = 3,34 kg

F in N

12. 418 484 Eine Vollbremsung

a) F = m · a

F = 1 200 kg · 6,6 m }

s 2

F = 7 900 N

b) s = }

v 2

2 a

s = ( 13,9 m s ) 2

}

2 · 6,6 m · s 2

s = 14,6 m

c) Zum Bremsweg kommt der Weg während der Schrecksekunde.

Bei t = 0,8 s sind das:

s = 13,9 }

m · 0,8 s = 11 m

s

Der Weg bis zum Stillstand beträgt dann:

s = 14,6 m + 11 m = 25,6 m

13. 418 644 Ein gefährlicher Atlas

F = m · a

F = 1,4 kg · 50 · 9,81 }

m s 2

F = 690 N

Das ist die Größenordnung der Gewichtskraft eines

Menschen.


Mechanik

173

14. 418 734 Anfahren eines Pkw

a) a = Δv } Δt

b) F = m · a

a = 40 km h

} 4,5 s = 2,5 }

m

s 2

F = 1 350 kg · 2,5 m }

s 2

F = 3 380 N

c) Sie sind z. B für die Kompensation der Reibungskräfte

(Rollreibung, Luftwiderstand) erforderlich.

15. 418 794 Die Fahrt eines ICE

a) Es wird von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

ausgegangen. Folglich können zur Lösung

neben dem newtonschen Grundgesetz die betreffenden

Bewegungsgesetze genutzt werden.

a = F }

m

a =

270 000 N

} 500 000 kg

a = 0,54 }

m s 2

Die maximale Beschleunigung eines ICE beträgt etwa

0,5 }

m . s 2

b) Aus v = a · t folgt t = v }

a

t = 27,8 m s

}

0,54 m }

s 2

t = 51,5 s

Für den Weg aus dem Stillstand gilt:

s = }

a 2 · t 2

s = 0,54 }

m ·(51,5 s) 2

2

s

}}

2

s = 716 m

Bei konstanter Beschleunigung erreicht der Zug nach

ca. 50 s eine Geschwindigkeit von 100 km/h. Dabei

wird ein Weg von etwa 700 m zurückgelegt.

Für Pkw kann man eine durchschnittliche Zeit von

etwa 10 s bis zum Erreichen von 100 km/h annehmen.

Die Beschleunigung ist bei einem Pkw also

wesentlich größer als bei einem ICE.

c) Aus v = v 0 – a · t folgt mit v = 0: t = v 0

} a

Das Weg-Zeit-Gesetz lautet:

(1)

s = v 0 · t – }

a 2 · t 2 (2)

Setzt man (1) in (2) ein, so erhält man:

s = v 0

}

2

a – v 0

}

2

2 a = v 0

}

2

2 a

s = (55,6 }

m s ) 2

2 · 0,6 }

m s 2

s = 2576 m

Für die Bremskraft gilt:

F = m · a

F = 500 000 kg · 0,6 m }

s 2

F = 300 000 N

Der Zug kommt nach etwa 2 600 m zum Stehen. Die

Bremskraft beträgt ca. 300 kN.

d) Es liegt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung bis

zum Stillstand vor, für die folgendes Weg-Zeit-Gesetz

gilt:

s = v 0 · t – }

a 2 · t 2

Mit v 0 = 200 }

km h und a = 0,6 }

m erhält man:

2

s

t in s 0 20 40 60 80 90

s in m 0 991 1 742 2 253 2 524 2 570

s in m

2 500

2 000

1 500

1 000

500

0

0 20 40 60 80

16. 414 784 Ein Auffahrunfall

a) F = m · a = m ·}

Δv

Δt

8,3 m/s

F = 65 kg ·}

0,09 s = 6000 N

8,3 m/s

b) F = 0,65 kg ·}

0,09 s = 60 N

c) Schon allein die Kraft auf den Fahrer (Lösung Teilaufgabe

a) zeigt, dass auch ein Auffahrunfall mit

30 km/h gefährlich sein kann (s. auch Ergebnis der

Teilaufgabe d).

d) s = }

v 2

2g

(8,3 m/s)2

s = }

2 · 9,81 m/s 2

s = 3,5 m

t in s

Ein Auffahrunfall mit 30 km/h ist vergleichbar mit

einem Sprung aus etwa 3,5 m Höhe.



e) ABS bewirkt, dass auch beim starken Abbremsen die

Lenkbarkeit des Pkw erhalten bleibt. Der Bremsweg

verkürzt sich durch ABS nicht. Eher verlängert er sich.

Das bedeutet:

− Beim geradlinigen Auffahren spielt ABS keine

Rolle.

− ABS ermöglicht unter Umständen ein Ausweichen

und damit ein Vermeiden des Auffahrens.

17. 419 444 Geschwindigkeit der Erde

v = 2π ·

r

}

T

Die Geschwindigkeit der Erde um die Sonne beträgt

v = 2π · 149,6 · 106 km

}} = 29,8 km 31 536 000 s } s .

Die Geschwindigkeit des Monds um die Erde beträgt

2π · 384 400 km

v = }} = 1,02 km 2 360 059 s } s .

Die Bahngeschwindigkeit, mit der sich die Erde um die

Sonne bewegt, ist also etwa 30-mal so groß wie die

Bahngeschwindigkeit des Monds um die Erde.

18. 417 914 Nachrichtensatelliten

v = 2 · π · r }

T

v = 2 · π ·

v = 3,1 km } s

42 000 km

}

86 400 s

19. 417 774 Kurvenfahrt eines Pkw

a) Die Radialkraft ist gleich der Haftreibungskraft. Daraus

ergibt sich die maximale Geschwindigkeit.

m · v

}

2

= μ · m · g oder v = √ } μ · g · r

r

v =

√ }}

0,55 · 9,81 }

m · 30 m s 2

v = 12,7 }

m s

v = 45,8 }

km h

Der Pkw kann die Kurve mit einer maximalen Geschwindigkeit

von etwa 45 km } h .

b) Bei schnellerer Fahrt wird der Pkw aus der Kurve

getragen.

c) Das Elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) bremst

einzelne Räder gezielt ab, wenn das Fahrzeug droht,

ins Schleudern zu geraten. Drängt beispielsweise in

einer Kurve das Heck nach außen, wird das kurvenäußere

Vorderrad verzögert.

Bei Durchfahren einer Kurve mit zu großer Geschwindigkeit

hat dies zwei Effekte:

− Die Geschwindigkeit wird verringert.

− Der Kurvenradius wird größer.

20. 419 504 Das Kettenkarussell

a) Die Gondel bewegt sich tangential weiter.

b) Für die Geschwindigkeit bei einer Kreisbewegung

gilt:

v = }

2π · r

T

Damit erhält man:

2π · 9,0 m

v = } 6,3 s

= 9,0 }

m s = 32 }

km h

21. 419 864 Beschleunigung gefragt

a = v 2

} r

a = (8,3 m

} 40 m = 1,7 }

m s 2

Die auf den Motorradfahrer wirkende Radialbeschleunigung

beträgt 1,7 }

m . s 2

s ) 2

22. 414 584 Schnell durch die Kurven

Um die Kurve zu durchfahren, muss die Radialkraft

F = }

m · v 2

r durch die Haftreibung aufgebracht

werden.

m · v

}

2

= 4500 N

r

v = √ } 4500 N · r

} m

v = √ }}

4500 N · 40 m

}

1500 kg

v = 11 }

m s = 40 }

km h

Die Kurve kann mit maximal 40 km } h

23. 415 074 Eine sichere Fahrt

durchfahren werden.

Die Kurve kann sicher durchfahren werden, wenn die

Reibungskraft (Haftreibung) größer ist als die notwendige

Gegenkraft zur Radialkraft.

Die Bedingung für den Grenzfall lautet:

F r = F R

m · v 2

} r = μ · m · g

v 2 = μ · g · r

v = √ } μ · g · r

Theoretisch sicher ist eine Kurvenfahrt mit v < √ } μ · g · r .


Mechanik

175

24. 415 644 Schneiden von Kurven

a) Der Kurvenradius vergrößert sich.

b) Damit die zum sicheren Durchfahren erforderliche

Radialkraft noch vorhanden ist, muss bei einer bestimmten

Geschwindigkeit der Kurvenradius größer

sein.

c) Es besteht die Gefahr schwerster Unfälle.

25. 415 104 Hammerwerfen

Der Hammerwerfer muss die Gegenkraft zur Radialkraft

aufbringen.

F = m · }

v 2

r = 7,0 kg · (100 km h ) 2

} 2,5 m

F = 2 160 N

26. 416 394 Gefährliche Fahrt

a) Die der Radialkraft F r entgegengesetzt gleich große

Zentrifugalkraft (Fliehkraft) muss im obersten Punkt

des Loopings größer sein als die Gewichtskraft F G des

Motoradfahrers.

b) Aus der Bedingung F r ≥ F G folgt mit

F G = m · g und F r = }

m · v 2

r

für die gesuchte Geschwindigkeit

v ≥ √ } g · r =

√ }}

9,81 }

m · 3,8 m = 6,1 m s 2 }

s .

2. 415 854 Potenzielle Energie

Man beachte: Die potenzielle Energie ist davon abhängig,

welches Bezugsniveau man annimmt. Es sind

deshalb unterschiedliche Lösungen möglich.

a) Bezugsniveau Erdboden:

E pot = m · g · h = 1 kg · 9,81 }

m · 1 m s 2

E pot ≈ 10 J

Beachte: Die Höhe von 1 m müsste der Abstand

zwischen Bezugsebene und Schwerpunkt der Flasche

sein.

b) E pot = 1,3 kg · 9,81 }

m · 7 m s 2

E pot = 89 J

c) E pot = 120000 kg · 9,81 }

m · 8000 m

s 2

E pot = 9418000000 J

E pot = 9,4 GJ

3. 418 654 Kinetische Energie

Auch die kinetische Energie ist abhängig vom Bezugssystem.

Es muss gegebenenfalls mit angegeben werden.

a) E kin = 1 }

2 m · v 2

E kin = }

1 2 · 75 kg · ( 10 }

m s ) 2

E kin = 3,75 kJ

Energie, Arbeit und Leistung

(LB S. 107 – 109)

1. 416 854 Bedeutende Physiker

Ausführliche Informationen zu J. R. MAYER, J. P. JOULE und

H. VON HELMHOLTZ sind im Internet zu finden.

Bei J. R. MAYER sollte darauf eingegangen werden, dass

er als Arzt wichtige Zusammenhänge entdeckte, aber

aufgrund seiner in der Physik unüblichen sprachlichen

Darstellungen seine physikalischen Fähigkeiten selbst

von bedeutenden Physikern angezweifelt wurden.

J. P. JOULE untersuchte vor allem den Zusammenhang

zwischen Arbeit und Wärme (mechanisches Wärmeäquivalent)

und kam von daher zum Energieerhaltungssatz.

H. VON HELMHOLTZ war ein bemerkenswert vielseitiger Naturwissenschaftler.

Er formulierte in seinem Werk „Über

die Erhaltung der Kraft“ (1847) den Energieerhaltungssatz

in der damals üblichen physikalischen Terminologie.

b) E kin = }

1 2 · 0,0075 kg · ( 800 }

m s ) 2

E kin = 2,4 kJ

c) E kin = }

1 2 · 1 300 kg · (}

130 m

3,6 } s ) 2

E kin = 848 kJ

4. 417 524 Energie eines Hubschraubers

a) E pot = m · g · h

E pot = = 5600 kg · 9,81 }

m · 250 m

s 2

E pot = 13,7 MJ

E kin = 1 } 2 m · v 2

E kin = }

1 2 m · 5600 kg · ( 50 }

m s ) 2

E kin = 7,0 MJ



Unter den gegebenen Bedingungen ist die potenzielle

Energie des Hubschraubers etwa doppelt so

groß wie seine kinetische Energie.

b) Man kann entweder eine sinnvolle Höhe oder eine

sinnvolle Geschwindigkeit vorgeben und dann

jeweils die andere Größe berechnen, die allerdings

auch einen sinnvollen Wert haben sollte.

Es gilt:

E pot = E kin

m · g · h = 1 }

2 m · v 2

und damit

h = }

v 2

2 g oder v = √ } 2 g · h

Beispiele: v = 70 m } s

h = 400 m

h = 250 m v = 89 }

m s

Wie man leicht feststellt, gibt es für größere Höhen

keine sinnvolle Lösung, weil der Hubschrauber

dann Geschwindigkeiten fliegen müsste, die er nicht

erreicht. Die Maximalgeschwindigkeit liegt bei Hubschraubern

in der Größenordnung von etwa 300 }

km h ,

die maximale Höhe bei etwa 4500 m.

7. 416 354 Tal- und Bergfahrt

a) E kin = E pot

1

}

2 m · v 2 = m · g · h

h = }

v 2

2g

h = (30 }

km h ) 2

2 · 9,81 }

m s 2

h ≈ 3,5 m

Hinweis: Der errechnete Wert ist ein theoretischer

Wert. In der Praxis wird dieser Wert aufgrund der

Reibung nicht erreicht.

b) Da E pot ~ h ist, bedeutet eine Verringerung der

mechanischen Energie um 20 %: Der Radfahrer

erreicht nur noch 80 % der Höhe ohne Reibung, also

h = 2,8 m.

8. 416 654 Verschiedene Standpunkte

Lisa und Jannik wählen unterschiedliche Bezugsebenen

für die Betrachtung der Höhe des gehobenen Bechers.

Jannik hat die potenzielle Energie des Bechers in Bezug

auf den Fußboden und Lisa in Bezug auf die Tischplatte

angegeben.

5. 415 294 Eine Ramme für Pfähle

a) Beim Rammbär wird potenzielle in kinetische

Energie umgewandelt. Beim Auftreffen auf einen

Pfahl erfolgt die Umwandlung von kinetischer Energie

des Rammbärs in kinetische Energie des Pfahls.

Es wird Verformungsarbeit verrichtet.

b) Nach dem Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt:

m · g · h = }

1 2 m · v 2 und damit v = √ } 2 g · h

v =

√ }}

2 · 9,81 }

m · 3,5 m s 2

v = 8,3 }

m s = 30 }

km h

Der Rammbär trifft mit einer Geschwindigkeit von

ca. 30 }

km auf den Pfahl.

h

Beachte: Die Geschwindigkeit ist unabhängig von

der Masse. Praktisch wichtig ist der große Impuls, die

Wucht.

9. 419 254 Energie ist relativ

a) E pot = m · g · h

E pot = 80 kg · 10 }

m · 8848 m = 7,1 MJ

s2 b) E pot = m · g · h

E pot = 80 kg · 10 }

m ·(8848 m – 6850 m) = 1,6 MJ

s2 c) E pot = m · g · h

E pot = 80 kg · 10 m }

s 2 · (8 848 m – h Heimatort )

10. 419 434 Energie eines ICE

a) E kin = 1 } 2 m · v 2 = 1 } 2 · 380 t · ( 100 km }

h ) 2 = 147 MJ

b) Die Energie vervierfacht sich: E kin = 586 MJ

6. 416 824 Lkw und Pkw

a) Bei gleicher Geschwindigkeit ist E kin ~ m. Die kinetischen

Energien verhalten sich also wie 32 : 1.

b) Die möglichen Unfallfolgen wären bei einem Pkw

wesentlich problematischer.

c) v = 100 }

km h · 1,414 = 140 }

km h

d) Bei mechanischen Bremsen wird die kinetische

Energie in thermische Energie umgewandelt und an

die Umgebung abgegeben. Bei elektrischen Bremsen

kann ein erheblicher Teil der kinetischen Energie

durch elektromagnetische Induktion in elektrische

Energie umgewandelt und in Akkus gepeichert

werden.


Mechanik

177

14. 418 314 Energie beim Fall

11. 416 444 Artisten in Aktion

m · g · h = }

1 2 m · v 2

Geschwindigkeit.

h = v 2

E kin = }

1 2 m · v2

} 2 g

h = ( 30 km h ) 2

2 · 10 m E kin = }

1 2 m · 950 kg · ( 19,4 }

m s ) 2

}

s 2

a) Die potenzielle Energie des Springers wird in kinetische

Energie des Springers und diese schließlich in

Spannenergie des Schleuderbretts umgewandelt.

a) Richtig, denn wegen h‘ = 2 h folgt:

E pot‘ = m · g · h‘ = m · g · 2h‘ = 2 · m · g · h = 2 · E h

Diese wandelt sich in kinetische Energie der Partnerin

um. Am höchsten Punkt der Bewegung hat sich

die kinetische Energie der Springerin dann vollständig

in potenzielle Energie umgewandelt.

b) Richtig, denn wegen h‘ = 4 h folgt:

E kin‘ = E pot‘ = 4 · E pot = 4 · E kin

und damit

b) E pot, Artist = E pot, Partnerin

v‘ 2 = 4 · v 2 = (2v) 2

m 1 · g · h 1 = m 2 · g · h 2

h 2 = m 1 · h } 1 70 kg · 2 m

c) Falsch, denn die Endgeschwindigkeit hängt nur von

m =

2

} = 2,5 m

55 kg

der Fallhöhe ab.

Die Partnerin würde höchstens 2,5 m hoch geschleudert

werden.

15. 418 554 Mechanische Arbeit

12. 419 614 Energie eines Balls

Anzuwenden ist die Gleichung W = F · s · cos α. Damit

erhält man folgende Ergebnisse:

a) Abwurf: kinetische Energie

Aufstieg: Abnahme der kinetischen und Zunahme a) W = 120 Nm

der potenziellen Energie

Umkehrpunkt: potenzielle Energie

b) W = 85 Nm

Abstieg: Abnahme der potenziellen Energie und

Zunahme der kinetischen Energie

c) W = 60 Nm

Ausgangspunkt: kinetische Energie

Die auftretende Luftreibung kann vernachlässigt d) W = 0

werden.

e) W = – 60 Nm

b) E pot = 60 J (bei g = 10 }

m s 2 f) Das Ergebnis bedeutet: Kraft und Weg haben die

c) Es gibt verschiedene Lösungsmöglichkeiten (kinetische,

energetische). Besonders einfach: Vom höchsten

Punkt seiner Bewegung (v = 0) fällt der Körper

2,0 m. Dann gilt:

entgegengesetze Richtung. Das Vorzeichen spielt

aber nur dann eine Rolle, wenn man Betrachtungen

an einem System durchführt und weitere Wechselwirkungen

(z. B. der Austausch von Wärme) zu

m ∙ g ∙ s = }

1 2 m ∙ v 2 beachten sind.

oder

v = √ } 2 g ∙ s

16. 416 414 Beschleunigungsarbeit

v =

√ }}

2 ∙ 9,81 }

m s 2 a) Die Beschleunigungsarbeit ist gleich der Änderung

v = 6,3 }

m s

Aus Symmetriegründen ist die Geschwindigkeit bei

der Aufwärtbewegung und bei der Abwärtsbewegung

in 10 m Höhe gleich groß.

der kinetischen Energie:

W = ΔE kin

W = }

1 2 m · v 2 2 – }

1 2 m · v 2 1 = }

1 2 m · ( v 2 2 – v 2 1 )

13. 417 434 Crash und freier Fall

W = }

1 2 · 950 kg 3 ( 19,4 }

m s ) 2 – ( 13,9 }

m s ) 2 4

W = 87000 Nm

E pot = E kin

Die kinetische Energie ergibt sich aus Masse und



E kin = 179 kJ

Zum Beschleunigen des Autos ist eine Arbeit von

87 000 Nm erforderlich. Seine kinetische Energie

beträgt dann 179 kJ.

b) Die Beschleunigungsarbeit W ist gleich der Änderung

der kinetischen Energie:

W = ΔE kin

W = 1 } 2 m ( v 2 – v 1 2 ) mit v 1 = 0

W = 1 } 2 m · v 2

Die Umstellung nach v ergibt:

v = √ } 2 W } m

v = √ }}

2 · 87 000 Nm

}

950 kg

v = 13,5 }

m s = 48,6 }

km h

Mit der berechneten Beschleunigungsarbeit würde

das Auto aus dem Stillstand eine Geschwindigkeit

von knapp 50 }

km h

erreichen.

17. 417 414 Spannarbeit und Energie

Feder 1: W = }

1 2 F E · s = }

1 · 3 N · 4 cm = 6 N · cm

2

Feder 2: W ≈ 4,5 N · cm

Dehnung von 4 auf 8 cm:

Feder 1: W = }

1 2 F E · s 2 2 – }

1 2 F E 1 · s 1

2

W = 24 N · cm – 6 N · cm

W = 18 N · cm

Feder 2: W ≈ 19 N · cm

20. 419 214 Stauchung einer Feder

Bei der Lösung ist zu beachten, dass die Feder noch zusammengedrückt

wird. Damit lautet der Ansatz:

m · g (h + s) = }

1 2 D · s 2

Die Umformung ergibt als Lösung der quadratischen

Gleichung:

s = 1 } D ( m · g ± √ }}

m · g (m · g + 2 D · h) )

m

s = } 4000 N ( 12 kg · 9,81 }

N kg ±

( 12 kg · 9,81 N } kg) · ( 12 kg · 9,81 N } kg + 2 · 4000 }

N

s = 0,24 cm

√ }}}}}

m · 0,7 cm ) )

E spann = 1 }

2 D · s 2 = 1 }

2 · 40 N }

m · (0,20 m)2 = 0,80 J

In der Feder steckt nun eine Spannenergie von

0,80 Joule.

18. 414 374 Dehnung einer Feder

Die Dehnung s verdreifacht sich. Wegen E ~ s 2 verneunfacht

sich die Spannenergie der Feder.

19. 413 224 Aussagekräftiges Diagramm

a) Während bei Feder 1 ein linearer Zusammenhang

zwischen wirkender Kraft und Ausdehnung besteht,

ist bei Feder 2 ein nichtlinearer Zusammenhang erkennbar:

Mit zunehmender Ausdehnung wächst die

Kraft überproportional.

Der Anstieg ΔF/Δs ist gleich der Federkonstanten D

an der betreffenden Stelle.

Die Fläche unter dem Graphen ist gleich der Arbeit,

die zum Dehnen der Feder erforderlich ist. Sie ist

zugleich gleich der potenziellen Energie, die dann in

der Feder gespeichert ist.

b) Für Feder 1 können die Arbeiten berechnet, für Feder

2 aus dem Diagramm abgeschätzt werden.

Dehnung von 0 auf 4 cm:

21. 414 774 Ein Federschussgerät

E Sp = E pot

1

}

2 D · s 2 = m · g · h

h = }

D · s 2

2 m · g

h = 1,5 }

N ·(4 cm) 2

cm

}}

2 · 50 g · 10 }

m s 2

h = 24 cm

22. 417 114 Hochspringerin in Aktion

a) ΔE pot = m · g · Δh

ΔE pot = 56 kg · 9,81 N } kg · 1,11 m

ΔE pot = 610 Nm

b) E kin = 1 } 2 m · v 2 = ΔE pot

v = √ } 2 · ΔE pot

} m

v = √ } 2 · 610 Nm

} 56 kg

v = 4,7 m }

s


Mechanik

179

23. 418 714 Stabhochsprung

a) Beim Anlaufen wird chemische Energie in kinetische

Energie umgewandelt.

Diese kinetische Energie wird in Spannenergie des

Stabs und in potenzielle Energie umgewandelt.

Darüber hinaus wird im Laufe des Sprungs auch die

Spannenergie in potenzielle Energie umgewandelt.

Hinzu kommt eine Umwandlung von chemischer

Energie in potenzielle Energie (Abstoßen vom Stab).

Vom höchsten Punkt der Bahnkurve an wird potenzielle

in kinetische Energie umgewandelt.

Hinweis: Interessant ist in diesem Zusammenhang

eine Diskussion zur Bewegung des Körperschwerpunktes.

Bei guten Springern bewegt sich der Körperschwerpunkt

unter der Latte hinweg.

b) E kin = 1 } 2 m · v 2

E kin = }

1 2 · 77 kg · ( 9,8 }

m s ) 2

E kin = 3 700 J

Hinweis: Die anderen Angaben sind für die Lösung

der Teilaufgabe nicht erforderlich.

c) E kin = E pot = m · g · h

h = E kin

}

m · g

3 700 J

h =

77 kg · 9,81 }

m s 2

h = 4,9 m

Es wäre eine Höhe von 4,9 m + 1,05 m ≈ 6,0 m

erreichbar.

d) Die tatsächlich erreichte Höhe liegt unter der

theoretisch ermittelten Höhe. Die Berechnung erfolgt

unter der Annahme, dass sämtliche kinetische

Energie in potenzielle Energie umgewandelt wird.

Das ist in der Praxis nicht der Fall. Es erfolgen z. B.

auch Umwandlungen in thermische Energie. Es wird

auch nicht die gesamte Spannenergie des Stabs in

potenzielle Energie umgewandelt. Zu beachten ist

auch, dass der Schwerpunkt des Stabs sich ebenfalls

ändert (Hubarbeit).

24. 415 834 Arbeit, Energie, Leistung

a) Die Reibungsarbeit ergibt sich aus der bewegungshemmenden

Reibungskraft und dem Weg:

W R = F R · s

Mit F R = μ · F N = μ · m · g · cos α erhält man:

W R = μ · m · g · cos α · s

W R = 0,05 · 1100 kg · 9,81 }

m · cos 5,7° · 500 m

2

s

W R ≈ 268000 Nm

b) Die Änderung der potenziellen Energie ergibt sich

aus dem Höhenunterschied. Bei einer Strecke von

500 m beträgt er:

sin α = x

} und damit x = 500 m · sin α = 49,7 m

500 m

Damit ergibt sich für die Änderung der potenziellen

Energie:

ΔE pot = m · g · Δh

ΔE pot = 1 100 kg · 9,81 · 49,7 m

ΔE pot = 536 kJ

c) Bei einer gleichförmigen Fahrt besteht Kräftegleichgewicht,

d. h. die Antriebskraft muss genauso groß

sein wie die Summe aus der Reibungskraft und der

Hangabtriebskraft. Für diesen Fall kann man die

Leistung folgendermaßen berechnen:

P = }

W t = }

F · s

t

Die Kraft F ergibt sich betragsgemäß aus Hangabtriebskraft

und Reibungskraft:

F = m · g · sin α + μ · m · g · cos α

Damit erhält man für die Leistung:

m · g · s (sin α + μ · cos α)

P = }}

t

Setzt man die gegebenen bzw. berechneten Größen

ein, so ergibt sich:

P = 1100 kg · 9,8 }

m · 500 m (sin 5,7° + 0,05 · cos 5,7°)

2

s

}}}}

t

P =

α

804,3 kJ

} 30 s

P = 26,8 kW

100 m

d) Kinetische Energie des Pkw wird in potenzielle Energie

und Reibungsarbeit umgewandelt. Demzufolge

gilt:

1

} 2 m · v 2 = m · g · h + μ · m · g · cos α · s

Mit h = s · sin α und Kürzen durch m erhält man:

F G

1

} 2 v 2 = g · s · sin α + μ · g · s · cos α

1

} 2 v 2 = s (g· sin α + μ · g · cos α)

und damit

10 m



s = v 2

}}

2 g (sin α + μ · cos α)

( 13,9 }

m s ) 2

s = }}}

2 · 9,8 }

m (sin 5,7° + 0,05 · cos 5,7°)

2

s

s = (13,9 }

m s ) 2

2,92 }

m s 2

s = 66 m

25. 417 844 Spuren eines Unfalls

Die zunächst vorhandene kinetische Energie wird durch

die Reibungsarbeit „aufgezehrt“. Demzufolge gilt:

1

} 2 m · v 2 = μ · m · g · s


v = √ } 2 μ · g · s

v =

√ }}

2 · 0,45 · 9,81 }

m · 8,6 m

s 2

v = 8,7 m } s

v = 31 km } h

26. 416 864 Bremswege

a) E kin = 1 }

2 m · v 2

b) s = v · t

E kin = }

1 2 · 1700 kg · (}

130 m

3,6 s ) 2

E kin = 1,1 MJ

s = 130 km }

h · 0,80 s

s = 28,9 m

c) Es wird eine Reibungszahl von μ = 0,9 angenommen.

Für den Bremsweg ergibt sich:

1

} 2 m · v 2 = μ · m · g · s

und damit:

s = }

v 2

2 μ · g

m2

(130 : 3,6)2 }

s

s = }}

2

2 · 0,9 · 9,81 }

m s 2

s = 73,8 m ≈ 74 m

Hinweis: Bei einer anderen Annahme für die Reibungszahl

ändert sich der Weg entsprechend.

d) 5 % Steigung beziehungsweise Gefälle bedeutet:

Auf 100 m steigt oder fällt die Straße um 5 m.

α

Damit ergibt sich für den Winkel: α = 2,9°

Für die Steigung gilt:

1

} 2 m · v 2 = μ · m · g · cos α · s + m · g · h

mit h = s · sin α.

Einsetzen und Vereinfachen ergibt:

v

}

2

= ( μ · g · cos α + g · sin α) · s

2

und damit:

s = v

}}

2

2 g (μ· cos α + sin α)

(130 : 3,6) 2 }

m2

s

s = }}}

2

2 · 9,81 }

m (0,9· cos 2,9° + sin 2,9°)

s2 s = 70 m

Für das Gefälle gilt:

1

} 2 m · v 2 + m · g · h = μ · m · g · cos α · s

Einsetzen von h = s · sin α und Umformen ergibt:

v

}

2

+ g · s · sin α = μ · g · cos α · s

2

s · g ( μ · cos α – sin α) = }

v 2

2

s = v

}}

2

2 g (μ· cos α – sin α)

(130 : 3,6) 2 }

m2

s

s = }}}

2

2 · 9,81 }

m (0,9· cos 2,9° – sin 2,9°)

2

s

s = 78 m

27. 417 214 Leistung eines Autos

Es gilt:

P = }

W t = F · s

s

}

v

= F · v ⇒ F = P }

v

28. 418 334 Wirkungsgrad

a) η = η 1 ∙ η 2 ∙ …

100 m

η = 0,45 ∙ 0,9 ∙ 0,2 = 0,08

5 m

30 kW

= 36,1 }

m ≈ 831 N

s

Der Gesamtwirkungsgrad beträgt lediglich 8 %.

b) Der Gesamtwirkungsgrad einer Energieübertragungskette

hängt vom Wirkungsgrad jedes einzelnen

Glieds ab. Bereits ein geringer Wirkungsgrad

reicht aus, um einen niedrigen Gesamtwirkungsgrad

zu erzielen.


Mechanik

181

c) Solarzellen: 15 %

Zuleitungen: 95 %

Glühlampe: 5 %

LED: 50 %

Damit erhält man einen Gesamtwirkungsgrad

zwischen 0,7 und 7 %.

4. 418 724 Strahltriebwerke

Strahltriebwerke dienen dem Antrieb von Flugzeugen.

Sie sind so aufgebaut, dass komprimierte Luft und Verbrennungsgase

mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen

werden. Der Impuls beträgt m Gase · v Gase .

Nach dem Impulserhaltungssatz wirkt in der entgegengesetzter

Richtung ein gleich großer Impuls m F · v F , der

eine Bewegung des Flugzeugs bewirkt.

5. 419 454 Fallender Dachziegel

Impuls und Drehimpuls von Körpern

(LB S. 123 – 125)

1. 419 194 Impuls im Vergleich

Fußgänger: p = 65 kg ·}

5,0 m

3,6 s = 90 kg · }

m s

Geschoss: p = 0,012 kg · 750 }

m s = 9,0 kg · }

m s

Der Impuls des Fußgängers ist etwa 10-mal so groß wie

der Impuls des Geschosses.

Betrachtet wird das System Erde – Ziegelstein in drei

Zuständen:

− Ziegelstein ist in Ruhe: Der Gesamtimpuls ist null.

− Ziegelstein fällt herunter: Während des Fallens wird

der Stein von der Erde angezogen und zieht seinerseits

mit der gleichen Kraft die Erde an. Der Kraftstoß

F · Δ t und damit auch die Impulsänderung

beider Körper ist gleich groß, aber entgegengesetzt

gerichtet. Der Gesamtimpuls bleibt null.

− Ziegelstein liegt auf dem Erdboden: Der Gesamtimpuls

ist gleich null.

2. 419 204 Impulsänderung

F G

a) vergrößert sich

b) verkleinert sich, ist im Umkehrpunkt null und

vergrößert sich dann wieder

Erde

c) nimmt zu, da die Geschwindigkeit senkrecht zur

Flugbahn durch das Fallen zunimmt (Impulsparallelogramm!).

–F G

d) wird null, da er auf dem Boden liegen bleibt.

Hinweis: Es wird hier kein System, sondern jeweils ein

isolierter Körper betrachtet.

3. 419 394 Impuls beim Rudern

a) Für den gegebenen Fall lautet der Impulserhaltungssatz:

Der Gesamtimpuls des Systems Ruderer – Boot – Wasser

ist konstant. Wird durch die Ruder das Wasser in

der einen Richtung bewegt, so bewegt sich das Boot

in die entgegengesetzte Richtung. Geht man vom

Gesamtimpuls null aus, so ist jeweils die Impulsänderung

des Wassers gleich der Impulsänderung des

Boots.

b) Die Geschwindigkeit des Boots ist umso größer,

− je mehr Wasser durch die Ruder bewegt wird

− und je schneller es bewegt wird.

6. 419 474 Rückstoß beim Gewehr

m 1 · v 1 = m 2 · v 2

v 2 = m 1 · v 1

} v 2

v 2 = 0,012 kg · 750 }

m s

}}

5,2 kg

v 2 = 1,7 m }

s

7. 419 524 Impuls bei Spielzeug

Es wird das Rückstoßprinzip genutzt. Die Luft aus dem

Ballon strömt in der einen Richtung, das Fahrzeug

bewegt sich aufgrund des Impulserhaltungssatzes in die

entgegengesetzte Richtung.



8. 419 544 Elfmeterschießen

a) p = m · v

p = 0,45 kg · 26,7 m }

s

p = 12 kg · m } s

b) v = }

p m

v = 12 kg · m s

} 72 kg

c) p = F · Δt

v = 0,17 m } s

F = }

p Δt

F = 12 kg · m s

} 0,1 s

F = 120 N

ΔE = ( m 1

} 2 · v 1 2 + m 2

}

2 · v 2 2 ) – ( m 1 + m } 2

2

ΔE = 15,43 kJ – 12,60 kJ = 2,83 kJ

11. 419 374 Stöße von Wagen

· u 2 )

a) Aufgrund der Impulserhaltung müssen sich die nach

dem Stoß verbundenen Wagen nach rechts bewegen.

Nach dem Impulserhaltungssatz gilt für die

Geschwindigkeit:

m · v 1 = 4 · m · u ⇔ u = 1 } 4 v 1

Der Wagen bewegt sich also mit }

1 der Geschwindigkeit,

die der Wagen vor dem Stoß hatte, nach

4

rechts.

b) Es ist v 1 = – v 2 . Aufgrund der Impulserhaltung

müssen sich die nach dem Stoß verbundenen Wagen

nach links bewegen.

Nach dem Impulserhaltungssatz gilt für die Geschwindigkeit:

m · v 1 + 2 · m · v 2 = 3 · m · u

9. 419 714 Ein Raketenstart

Die Präsentation kann am Beispiel einer Ariane-Rakete

erfolgen. Die Fakten lassen sich schnell im Internet

recherchieren.

Beschrieben und physikalisch erklärt werden sollten

folgende Aspekte:

− Geringe Anfangsbeschleunigung

− Hohes Gesamtgewicht im Vergleich zur Nutzlast

− Die Rakete besteht aus mehreren Stufen

Eine Beispielrechnung soll zeigen, welche Masse an

Treibgasen pro Sekunde ausgestoßen werden muss, um

bei gegebener Austrittsgeschwindigkeit ( 3 000 m } s ) die

Gewichtskraft der Rakete auszugleichen.

10. 419 924 Stöße von Güterwagen

a) m 1 · v 1 + m 2 · v 2 = (m 1 + m 2 ) u

u = m 1 · v 1 + m 2 · v 2

}}

m 1 + m 2

u = 25 t · 4,0 km h

}

25 t + 5,0 t

u = 3,3 km }

h

b) Die Impulsbilanz lautet:

m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) u

28000 kg · }

m s = 28000 kg · }

m s

Die Energiebilanz lautet:

⇔

m · v 1 – 2 · m · v 1 = 3 · m · u ⇔ u = – 1 }

3 v 1

Der Wagen bewegt sich also mit }

1 der Geschwindigkeit,

die Wagen 1 vor dem Stoß hatte, nach

3

rechts.

c) Beim elastischen Stoß zweier Wagen gleicher Masse,

von denen einer ruht, übernimmt der ruhende

Wagen den kompletten Impuls des anderen Wagens.

Wagen 1 steht also nach dem Zusammenstoß, während

sich Wagen 2 mit v 1 nach rechts bewegt.

v 1 = 0

v 2 = v 1

12. 419 934 Impulsübertragung

Erläuterung eines selbst gewählten Beispiels, etwa:

− Auffahrunfall,

− Stoß zweier Billardkugeln,

− Auftreffen eines Geschosses auf einen Körper,

− Fußball beim Schuss auf den Torwart,

− Münze, die gegen eine andere gestoßen wird.

13. 419 974 Rückstoß bei Tieren

Beispiele könnten die Fortbewegung von Quallen,

Kraken oder von Tintenfischen sein.

Die Tiere saugen Wasser aus der Umgebung in ihren

Hohlkörper. Das zuströmende Wasser kommt dabei aus

vielen Richtungen:


Mechanik

183

16. 418 634 Pkw und Lkw

Anschließend stoßen sie das Wasser nach hinten aus:

Aufgrund seiner großen Masse besitzt der Lkw bei

bestimmter Geschwindigkeit einen wesentlich größeren

Impuls als der Pkw. Das bedeutet bei einem unelastischen

Zusammenstoß:

Die Geschwindigkeitsänderung und damit auch die Beschleunigung

ist beim Lkw wesentlich geringer als beim

Pkw. Auf die Insassen des Pkw wirken aufgrund der

größeren (negativen) Beschleunigung erheblich größere

Kräfte (Trägheitskräfte) als auf die Insassen des Lkw.

17. 417 274 Geschossgeschwindigkeit

Für den unelastischen Stoß gilt:

m 1 · v 1 = (m 1 + m 2 ) · u

Dabei bekommt das ausströmende Wasser einen nach

hinten gerichteten Impuls. Aufgrund der Impulserhaltung

bewegt sich das Tier nach vorn.

14. 418 804 Der erste Astronaut

m · v = F · Δt

m = }

F ·Δt

v

m = 5 · 106 N · 1 s

2 500 }

m s

m = 2000 kg = 2 t

Pro Sekunde werden jeweils 2 t Treibstoff ausgestoßen.

15. 414 894 Rückstoßpistole

a) F · Δt = m · v

F = }

m · v

Δt

F = 0,04 kg · 120 }

m s

}} 1 s

F = 4,8 N

und damit

u

v 1 = (m 1 + m 2 )·}

m 1

Die Geschwindigkeit u erhält man aus:

1

} 2 (m 1 + m 2 ) ·u 2 = μ · F N · s

u = √ } 2 μ · F N · s

}

( m 1 + m 2 )

Damit ergibt sich für v 1 :

v 1 = ( m 1 + m 2 )· √ } 2 · F N · s

}

( m 1 + m 2 )

}}

oder

m 1

v 1 = √ }}

( m 1 + m 2 )· 2 · F N · s

}}

m 1

v 1 = √ }}}

0,61 kg · 2 · 0,4 · 6,1 kg · }

m s

}}}

· 5,5 m

2

v 1 = 405 m } s

0,01 kg

Hinweis: Bei einem unelastischen Stoß (Eindringen des

Geschosses in den Holzklotz) wird mechanische Energie

in thermische Energie umgewandelt. Die Methode ist

nur sinnvoll anwendbar, wenn diese in thermische Energie

umgewandelte mechanische Energie relativ klein ist.

b) a = } m

F a = }

4,8 N

83 kg

c) v = a · t

a = 0,058 m }

s 2

v = 0,058 }

m · 3 s s 2

v = 0,17 }

m s

18. 417 334 Ballistisches Pendel

a) Beträgt die Masse des Holzklotzes M und die Höhe,

in die er gehoben wird, h, so ergibt sich mit dem

Impulserhaltungssatz:

m · v = (m + M) · u und damit v = }

m + M

m · u

Die Geschwindigkeit u ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz:

(m + M) · u 2 = (m + M) g · h



Nach dem elastischen Stoß bewegen sich beide Kugeln

v 1 v 2

u = √ } 2 g · h

a) m 1 m 2

21. 419 684 Eine Pirouette

in der gleichen Richtung, genauer: In der

Damit erhält man für die Geschossgeschwindigkeit v: ursprünglichen Bewegungsrichtung der schwereren

v = }

m + M

m · √ }

Kugel. Ihre Geschwindigkeiten betragen 8,95 }

m 2 g · h

s bzw.

4,45 }

m s .

b) Die Massen m und M können mit einer Waage ermittelt,

g einem Tabellenwerk entnommen werden. Die

Höhe h lässt sich in unterschiedlicher Weise bestimmen,

20. 415 484 Der Kugelstoßapparat

z. B.

− Messen der Höhe mit einem Lineal (während der

1. und 2. Schwingung)

− Messen der horizontalen Auslenkung. Aus der

Die Erklärung für die Erscheinung liefern Energieerhaltungssatz

der Mechanik und Impulserhaltungssatz. Nach

dem Energieerhaltungssatz wäre es z. B. möglich, dass

zwei Kugeln mit der Geschwindigkeit v stoßen:

Länge des Pendels und dieser Auslenkung kann

man h ermitteln.

c) Einsetzen in die Gleichung aus a) liefert:

E kin = 2 · }

1 2 m · v 2

Eine gestoßene Kugel hätte dann die gleiche kinetische

v = }

m + M

m · √ }

Energie:

2 g · h

3,81 kg

v = } 0,01 kg · √ }}

2 · 9,81 }

m s 2 E kin = m · v 2

v = 399 }

m Bezieht man den Impulserhaltungssatz mit ein, so ist

s

diese Variante nicht möglich, da nach dem Impulserhaltungssatz

die gestoßene Kugel die doppelte Geschwin-

Die Geschossgeschwindigkeit beträgt etwa 400 }

m s .

digkeit haben müsste. Bei Beachtung beider Erhaltungssätze

ist nur die beschriebene Variante möglich.

19. 419 304 Stoßende Kugeln

Für ein abgeschlossenes System, das hier nur aus einem

Körper besteht, gilt:

L = J ∙ ω = konstant

Aus m 1 · v 1 – m 2 · v 2 = (m 1 + m 2 ) · u folgt:

u = m 1 · v 1 – m 2 · v 2

}}

m 1 + m 2

u = 0,15 kg · 7,8 }

m s – 0,25 kg · 5,6 }

m s

}}}

0,15 kg + 0,25 kg

u = – 0,58 }

m s

Die Kugeln bewegen sich mit etwa 0,6 }

m s

der Kugel mit der größeren Masse.

in Richtung

b) Es sind die unterschiedlichen Richtungen der Bewegung

zu beachten.

u 1 = 2 m 2 · v 2 + ( m 1 – m 2 ) · v 1

}}

m 1 + m 2

u 1 = – 2 · 0,25 kg · 5,6 }

m s + (–10 kg) · 7,8 }

m s

}}}

0,4 kg

u 1 = – 8,95 m } s

u 2 = 2 m 1 · v 1 + ( m 2 – m 1 ) · v 2

}}

m 1 + m 2

u 2 = 2 · 0,15 kg · 7,8 }

m s – (10 kg) · 5,6 }

m s

}}}

0,4 kg

u 2 = 4,45 m } s

Bei konstantem Drehimpuls lässt sich die Winkelgeschwindigkeit

nur durch Verkleinerung des Trägheitsmoments

vergrößern. Das erreicht die Eiskunstläuferin,

indem sie alle Körperteile, insbesondere die Beine und

Arme, möglichst nah an die Drehachse bringt.

22. 419 674 Schnelle Zylinder

a) Das Trägheitsmoment des Hohlzylinders ist größer als

das des Vollzylinders. Demzufolge ist die Beschleunigung

des Vollzylinders größer. Er kommt eher unten

an.

b) Aus der Verknüpfung von s = }

a 2 · t 2 und v = a · t ergibt

sich:

a = }

v 2

(1)

2 s

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus energetischer

Betrachtung. Für den Vollzylinder gilt:

m · g · h = 1 } 2 m · r 2 + 1 } 2 J · ω2 mit

J = 1 } 2 m · r 2 und ω = v }

r


Mechanik

185

Damit erhält man:

m · g · h = }

1 2 m · v 2 + }

1 4 m · v 2

v 2 = 4 } 3 g · h

Eingesetzt in (1) ergibt: a VZ = 4 g · h } 6 s

= 2 g · h } 3 s

Analog ergibt sich für den Hohlzylinder mit sehr

dünner Wandung:

v 2 = g · h und a HZ = }

g · h

2 s

Für einen reibungsfrei hinabgleitenden Körper gilt:

m · g · h = 1 } 2 m · v 2 und damit:

v 2 = 2 g · h und a = }

g · h

s

Ein Vergleich der Beschleunigungen für die drei

Körper ergibt: Die Beschleunigung des reibungsfrei

hinabgleitenden Körpers ist am größten, die des

Hohlzylinders am kleinsten.

23. 417 804 Rollende Kugeln

a) Zweckmäßig ist ein energetischer Ansatz:

m · g · h = }

1 2 m · v 2 + }

1 2 J · ω 2

Mit J = }

2 5 m · r 2 und ω = }

v erhält man:

r

m · g · h = }

1 2 m · v 2 + }

1 2 · }

2 5 m · v 2

g · h = }

7 10 v 2

v = √ } 10

} 7 g · h

v =

√ }}

10

}

7 · 9,81 }

m · 0,70 m

s 2

v = 3,1 }

m s

Die Kugel erreicht eine maximale Geschwindigkeit

von 3,1 }

m s .

b) Die Schleifenbahn wird sicher durchlaufen, wenn im

oberen Punkt der Bahn die Zentrifugalkraft mindestens

gleich der Gewichtskraft ist.

Wir betrachten den Grenzfall: m · g ≤ m ·}

R – r

Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit:

v ≥ √ } g (R – r)

v ≥

√ }}}

9,81 }

m ·(0,2 m – 0,1 m)

2

s

v ≥ 0,99 }

m s

Die schleifenförmige Bahn wird sicher durchlaufen,

weil die erforderliche Mindestgeschwindigkeit kleiner

als die tatsächlich vorhandene ist.

c) Aus g · h = 7 }

10 v 2 (siehe Teilaufgabe a) erhält man:

v 2

h = 7 v 2

} 10 g

h = 7 · ( 0,99 }

m s ) 2

10 · 9,81 }

m = 7,0 cm

2

s

Die Höhe des Schwerpunkts über dem untersten

Punkt der Schleifenbahn beträgt demzufolge

7,0 cm + R = 27 cm.

d) Oberer Punkt: F 1 = 0

Unterer Punkt: Die Kraft setzt sich aus Gewichtskraft

und Zentrifugalkraft zusammen.

v 2

F 2 = m · g + m ·}

R – r

F 2 = 2,0 kg · 9,81 }

m + 2,0 kg · (1,95 m

}

s 2 0,1 m

F 2 = 96 N

Gravitationsfelder (LB S. 141 – 142)

1. 418 564 Gravitationskräfte

a) F = G ∙ }

m ∙ M

r 2

F Erde – Mond = 6,673 ∙ }

1 m3

1011 }

F Erde – Mond = 1,98 ∙ 10 20 N

b) F Erde – Sonne = 6,673 ∙ }

1 m3

1011 }

F Erde– Sonne = 3,54 ∙ 10 22 N

2. 415 314 Kraft auf Satelliten

Gewichtskraft:

F G = m ∙ g

F G = 2400 kg ∙ 9,81 }

m = 23500 N

s2 Gravitationskraft:

F = G ∙ }

m ∙ M

r 2

6,673 m3

F = } ∙ 2400 kg ∙ 5,97 ∙ 1024 kg

}}

10 11 kg ∙ s 2 (6371 km + 320 km) 2

F = 21400 N

s ) 2

∙ 5,97 ∙ 1024 kg ∙ 7,35 ∙ 10 22 kg

}}

kg ∙ s 2 3,844 2 ∙ 10 16 m 2

∙ 5,97 ∙ 1024 kg ∙ 1,99∙ 10 30 kg

}}

kg ∙ s 2 1,496 2 ∙ 10 22 m 2

Die Gravitationskraft in 350 km Höhe beträgt etwa 90 %

der Gewichtskraft auf der Erde.

3. 419 594 Die Gewichtskraft

a) Aufgrund der Rotation der Erde um ihre Achse wirkt

auf jeden Körper auf ihr auch eine Zentrifugalkraft,

die sich mit der Gravitationskraft zu einer Resultierenden

zusammensetzt. Das, was wir z. B. an einem



Kraftmesser ablesen, wenn ein Körper ruht, ist eine

resultierende Kraft, die etwas kleiner als die Gravitationskraft

ist.

b) Bei Vernachlässigung der Zentrifugalkraft gilt:

F G = m ∙ g = G ∙ }

m ∙ M

r 2

Damit ergibt sich für Höhen h über der Erdoberfläche:

h in km 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500

F G in N 981 843 733 643 568 506

1000

800

600

400

200

4. 415 774 Ebbe und Flut

Präsentation zu Ebbe und Flut. Dabei sollte insbesondere

auf folgende Aspekte eingegangen werden:

− Bewegung von Erde und Mond um einen

gemeinsamen Schwerpunkt,

− Einfluss der Gravitationskraft des Monds auf die

Wassermassen der Weltmeere,

− Einfluss der Fliehkraft infolge der Bewegung von

Erde und Mond um den gemeinsamen Schwerpunkt,

− Resultierende Kräfte und Entstehung von zwei Flutbergen,

− Einfluss der Sonne bei Springfluten und Nippfluten.

5. 416 424 Gravitationskonstante

a) b LB S. 128

b) Aus m ∙ g = G ∙ }

m ∙ M folgt g = G ∙ }

M oder G = }

g ∙ r 2

r 2 r 2 M

Mit M = ρ ∙ V und V = }

4 3 π ∙ r 3 erhält man:

G = g ∙ r 2 ∙ 3

} = }

3 g

ρ ∙ 4 π ∙ r 3 4 π ∙ r ∙ }

1 ρ

0

0 500 1000 1500 2000 2500

h in km

6. 414 624 Wettersatelliten

c)

1

}

2 m ∙ g = G ∙ }

m ∙ M

r 2

r = √ } G ∙ M ∙ 2

}

g

r = √ }}}

6,673 m 3 ∙ 5,97 ∙ 10 24 kg ∙ 2 ∙ s

}}}

2

10 11 kg ∙ s 2 ∙ 9,81 m

r = 9 012 km

In einer Höhe von 9 012 km – 6 371 km = 2 641 km

über der Erdoberfläche verringert sich die Gewichtskraft

eines Körper im Vergleich zu der auf der Erdoberfläche

auf die Hälfte.

d) Wie man auch durch Berechnung zeigen kann, wird

die Gewichtskraft praktisch nicht beeinflusst.

Beispiel: Bergsteiger mit einer Masse von 80 kg

720 m über NN: F G = 785,00 N

a) E pot = – G ∙ m ∙ M }

r

E pot = – 6,673 ∙ 10 –11 }

m3 ∙ 2 ∙ 103 kg ∙ 5,97 ∙ 10 24 kg

}}

kg ∙ s 2 42171 km

E pot = – 1,89 ∙ 10 10 J

b) W = – G ∙ m ∙ M ( 1 } r 1

– 1 } r 2

)

W = 1,03 ∙ 10 11 Nm

c) E kin = }

1 2 m ∙ v 2 = }

1 2 m ∙ (ω ∙ r)2 = }

1 2 m (}

2 π

T ∙ r ) 2

E kin = }

1 2 ∙ 2 ∙ 103 kg ∙ (

2 π

}

86400 s ∙ 3,58 ∙ 107 m ) 2

E kin = 6,78 ∙ 10 9 J

2 962 m über NN: F G = 784,45 N

e) Das Erklärungsmuster hängt vom gewählten Bezugssystem

ab. In einem mitbewegten (beschleunigten)

Bezugssystem ist die Erdanziehungskraft genau so

groß wie die entgegengesetzt gerichtete Zentrifugalkraft.

Die Resultierende beider Kräfte ist null.

7. 419 774 Eine astronomische Einheit

T 2

} E = r 3

SE

T 2

}

M (r SE + r EM ) 3

Aus dieser Gleichung wird die 3. Wurzel gezogen und

die Gleichung nach r SE umgestellt.

Dann erhält man:

3√ } T M

2

r EM

r SE = }

} – 1 T 2

E


Mechanik

187

3√ } (1,88 a) 2

r SE = 78,4 ∙ 106 km

}

} – 1

(1 a) 2

r SE = 149,8 ∙ 10 6 km

Aus den angegebenen Daten ergibt sich eine Entfernung

von 149,8 Mio. Kilometern zwischen Sonne und

Erde. Der (festgelegte) Wert für diese Entfernung beträgt

149,6 ∙ 10 6 km = 1 AE.

Betrachtet man die Kräfte auf einen Körper, dann

gilt für den gesuchten Punkt:

F G, Erde = F G, Mond

G ∙ m ∙ M E

} = G ∙ m ∙ M M

r 2

}

E r 2

M

Mit r M = r – r E erhält man:

M } E

= M

r 2 } M

E (r – r E ) 2

(r – r E ) 2 M E = r E

2 ∙ M M

8. 417 694 Die Sonnenmasse

Für die Erde ist die Gravitationskraft zwischen Sonne

und Erde die Radialkraft. Demzufolge kann man setzen:

m · 4 π2 · r

} = G ∙ }

m ∙ M

T 2 r 2

Die Umstellung nach M ergibt:

M = 4 π2 · r

}

3

G ∙ T 2

Einsetzen der betreffenden Werte ergibt:

4 π

M =

2 · (149,6 · 10 9 m) 3 · kg · s

}}}

2

6,673 · 10 –11 m 3 · (365,2 · 86 400 s) 2

M = 1,99 · 10 30 kg

r 2

E – 2 r ∙ M E

} r

M E – M E + M E ∙ r

}

2

= 0

M M E – M M

r E =

r ∙ M E }

( r ∙ M E

±

M E – M M √ }}

} M E – M M

) 2 – M E ∙ r

}

2

M E – M M

Mit r = 384 400 km, M E = 5,97 · 10 24 kg und

M M = 7,35 · 10 22 kg erhält man:

r E = 3,89 · 10 5 km ± √ }}

0,18 · 10 10 km

r E = 3,89 · 10 5 km ± 0,42 · 10 5 km

r E, 1 = 431 000 km

r E, 2 = 347 000 km

(von der Erde aus gesehen

hinter dem Mond)

9. 418 404 Erste Mondlandung

a) Für die Bewegung eines

Satelliten um einen

Zentralkörper auf einer

Kreisbahn gilt:

b)

F r = F G

m ∙ v

}

2

r E + h = G ∙ m ∙ M

}

(r E + h) 2

Mit v = 2 π ∙ (r E

}

+ h) erhält

T

man:

4 π 2 ∙ (r E + h)

}

2

(r E + h) = G ∙ M

}

T 2 (r E + h) 2

T = 2 π √ } (r E + h) 3

} G ∙ M

Da G, M und r E für die Erde bestimmte Werte haben,

gilt: Die Umlaufzeit eines Satelliten um einen Zentralkörper

ist, eine kreisförmige Bahn vorausgesetzt,

nur von der Höhe des Satelliten über der Oberfläche

des Zentralkörpers abhängig. Je größer diese

Höhe ist, umso größer ist auch die Umlaufzeit des

Satelliten.

Erde

X

r E

h

Erde mit der

Masse M

Satellitenbahn

Mond

Es existieren zwei Punkte, an denen die Gravitationskraft

von Erde und Mond gleich groß ist.

Der Punkt zwischen Erde und Mond befindet sich

etwa 347 000 km – 6 371 km = 341 000 km von der

Erdoberfläche entfernt.

c) Für eine Kreisbahn gilt:

m ∙ }

v 2

r = G ∙ }

m ∙ M oder v =

r √ } G ∙ M

}

2 r

–11 m3

Mit G = 6,67 ∙ 10 } , M = 7,35 ∙ kg ∙ s 2 1022 kg und

r = 85 km + 1738 km = 1823 km erhält man:

v = √ }}}

6,67 m 3 ∙ 7,35 ∙ 10 22 kg

}}}

10 –11 kg ∙ s 2 ∙ 1823 km ∙ 10 6 m

v = 1640 }

m s = 1,64 }

km s

Die Kreisbahngeschwindigkeit im Mondorbit beträgt

etwa 1,6 km } s .

d) Für die Arbeit im Gravitationsfeld gilt:

W = G ∙ m ∙ M ( }

1 –

r }

1 1 r 2

)

W = 614 ∙ 10 6 J = 614 MJ

Um den Aufstiegsteil der Mondfähre auf eine Höhe

von 85 km zu heben, wäre eine Arbeit von 614 MJ

erforderlich.

r E

X

r M

e) Erkundungsaufgabe: Aktuelle Informationen sind im

Internet zu finden.

r



10. 415 264 Ein Nachrichtensatellit

a) Für einen geostationären Satelliten gilt:

Er befindet sich ständig über einem bestimmten

Punkt der Erdoberfläche. Das ist nur unter folgenden

zwei Bedingungen möglich:

− Der Satellit bewegt sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit

wie die Erde. Dann gilt für ihn:

m ∙ ω 2 ∙ r = G ∙ }

m ∙ M

r 2

Da m, M, ω und G Konstanten sind, ist damit

der Radius der geostationären Bahn eindeutig

bestimmt.

r = 3 √ } G ∙ M

}

ω 2

− Der Satellit bewegt sich in der Äquatorebene. Nur

dann fallen die Rotationsachse der Erde und die

Drehachse des Satelliten zusammen. Bei der Bewegung

in jeder anderen Ebene würde der Satellit

über einem Punkt der Erdoberfläche pendeln.

b) Setzt man in der bei Teilaufgabe a genannten Gleichung

r = r E + h 2 und ω = }

2 π , so erhält man als Gleichung

für die Höhe h eines geostationären Satelliten

T

über der Erdoberfläche:

h = 3 √ } G ∙ M ∙ T 2

}

4 π 2 – r E

mit M = 5,97 · 10 24 kg (Erdmasse), T = 86 400 s und

r E = 6 371 km (h = 35 856 km).

11. 416 524 Raumflug zum Mars

a) m ∙ g = G ∙ m ∙ M }

r 2

g = G ∙ M }

r 2

g = 6,673 ∙ 10 –11 }

m3 ∙ 6,4 ∙ 10 23 kg

}}

kg ∙ s 2 (3,394 ∙ 10 6 m) 2

g = 3,7 }

m s 2

b) Für eine Kreisbahn um einen Zentralkörper gilt:

m ∙ }

v 2

r = G ∙ }

m ∙ M

r 2

v = v (r) = √ } G ∙ M

} r

c) v = √ }}

6,673 m 3 ∙ 6,4 ∙ 10 23 kg

}}

10 11 kg ∙ s 2 ∙ 3,494 ∙ 10 6 m

v = 3,50 km } s

d) Die Schubkraft wäre gleich der Gewichtskraft.

F G = m ∙ g

e) Die Schubkraft ergibt sich aus der Gewichtskraft und

der beschleunigenden Kraft:

F = F G + m ∙ a

F = 6500 kg ∙ 3,7 }

m + 6500 kg ∙ 7 }

m s 2 s 2

F = 69,6 kN

12. 416 334 Voyager-Sonden

Die 1977 gestarteten amerikanischen Sonden Voyager 1

und Voyager 2 haben viele neue Erkenntnisse gebracht.

Ausführliche Informationen zu diesen beiden Sonden

sind im Internet zu finden. Bei der Präsentation sollte

insbesondere auf folgende Aspekte eingegangen werden:

− Ziele der Missionen,

− Startdaten und Flugverlauf,

− Geräte an Bord (Auswahl treffen),

− ausgewählte wissenschaftliche Ergebnisse (Bilder von

Planeten).

13. 419 994 Neues aus der Raumfahrt

Bei der NASA (www.nasa.gov) findet man unter dem

Button „Missions“ ausführliche Informationen zu

zurückliegenden, laufenden und geplanten Missionen.

Aufgrund der Vielzahl von solchen Missionen muss eine

Auswahl getroffen werden. Zu empfehlen ist die Konzentration

auf ein laufendes Projekt, bei dem dargestellt

wird:

− Ziele der Mission,

− Beginn der Mission,

− Stand der Mission (Ergebnisse, Probleme, geplanter

Verlauf)

14. 416 264 ISS aktuell

Bezüglich der Geschichte sollte eingegangen werden

auf

− Hinweise zu Raumstationen vor der ISS (russische

Saljut und Mir, amerikanische Skylab),

− Planung und Beginn des Aufbaus der ISS,

− beteiligte Länder,

− Stand des Ausbaus (Eingehen auf einige wichtige

Module),

− gegenwärtige Besatzung und aktuelle Forschungsvorhaben.

Aktuelle Informationen findet man auf der Internetseite

der NASA unter www.nasa.gov, Button „Missions“.

F = 14000 kg ∙ 3,7 }

m s 2

F = 51,8 kN


Mechanik

189

Mechanische Schwingungen und Wellen

(LB S. 170 – 172)

1. 415 844 Der Pulsschlag

a) Experiment (typischer Wert: 12,4 Hz)

b) Da sich die Pulsfrequenz in Abhängigkeit von der

Belastung stark ändert, ist sie für Zeitmessungen

ungeeignet.

c) Solche periodischen Vorgänge sind z. B.:

− Schwingungen eines Pendels – Pendeluhr

− Drehschwingungen einer Unruh – mechanische

Uhren

− Schwingungen eines Schwingquarzes – Quarzuhr

− Schwingungen im atomaren Bereich – Atomuhr

2. 410 274 Eine Stimmgabel

a) y max = 2 mm, T = 2 ms = 0,002 s,

f = }

1 T = 1

} = 500 Hz

0,002 s

b) Allgemein lautet die Schwingungsgleichung:

y = y max · sin (ω t + φ 0 )

Mit φ 0 = 0 und ω = }

2 π

T

Werten erhält man:

y = 2 mm · sin ( 2 π }

0,002 s · t )

3. 412 034 Eine harmonische Schwingung

sowie mit den obigen

a) Aus der Schwingungsgleichung ergibt sich:

y max = 0,2 m; T = 0,8 s

Für die Beschleunigung gilt:

a = }

dv

dt = – y max · ω 2· sin (ω · t)

und damit

a max = – y max · ω 2 = – y max ·}

4 π 2

T 2

a max = – 0,2 ·}

4 π 2

T 2

a max = –12,3 }

m s 2

Die maximale Geschwindigkeit der Schwinger beträgt

1,6 }

m s , die maximale Beschleunigung 12,3 }

m . s 2

4. 417 024 Ein Fadenpendel

a) T = 2 π √ } l

g

T = 2 π

√ } 0,56 m

9,81 }

m s 2

T = 1,50 s

b) Aus T ~ √ } l ergibt sich:

halbe Pendellänge:

T verkürzt sich auf das 1 √ } -Fache (0,707-Fache)

2

doppelte Pendellänge:

T verlängert sich auf das √ } 2 - Fache (1,414-Fache).

vierfache Pendellänge:

T verlängert sich auf das Doppelte.

c) Da sich mit zunehmender Höhe der Ortsfaktor g verkleinert,

vergrößert sich die Schwingungsdauer.

d) Nur für kleine Auslenkwinkel (α < 10°) ist die rücktreibende

Kraft näherungsweise proportional der

Auslenkung, damit die Schwingung näherungsweise

harmonisch. Die Gleichung für die Schwingungsdauer

gilt exakt nur für harmonische Schwingungen.

Damit erhält man folgendes Diagramm:

20

10

0

–10

–20

y in cm

1,6 3,2

b) Für die Geschwindigkeit gilt:

v = }

dy

dt = y max · ω · cos (ω· t)

und damit

v max = y max · ω = y max · }

2π T

v max = 0,2 m ·}

2π 0,8 s

v max = 1,6 }

m s

t in s

5. 415 574 Das foucaultsche Pendel

a) Ein Pendel behält seine Schwingungsebene bei. Wegen

der Rotation der Erde ändert sich die Lage des

Fußbodens bezüglich der Schwingungsebene.

b) Gesucht: T

Gegeben: l = 67 m

g = 9,81 m }

s 2

Lösung: T = 2 π √ } l } g

T = 2 π

√ } 67 m

T = 16,4 s

9,81 }

m s 2



f) E = 6. 418 134 Verschiedene Fadenschwinger

}

1 2 D · s 2

a = – 3,7 }

m s 2

a) Allgemein gilt für die Schwingungsdauer eines

E = }

1 2 ∙ 4,8 }

N ·(0,050 m)2

m

Federschwingers:

E = 0,006 J

T = 2 π √ }m } D

Die Schwingungsdauer beträgt:

Für die „Reihenschaltung“ von Federn gilt

T = 2 π √ }m }

1

} D = }

1 + 1 D

D } und

1 D 2

T = 2 π

für die „Parallelschaltung“ D = D 1 + D 2 .

√ } 0,100 kg · m

} = 0,91 s

4,8 N


Die kinetische Energie ändert sich mit der Geschwindigkeit

sinusförmig. Man erhält folgendes

(1) T = 2 π √ }m } D

Diagramm:

(2) T = 2 π √ } 2 m D

(3) T = 2 π √ }m }

2 D

E kin

b) F = 4,8 }

N m · 0,078 m

F = 0,37 N

W = }

1 2 D · s 2

W = }

1 2 · 4,8 }

N ·(0,078 m)2

m

0 0,91 s t

W = 0,015 Nm

7. 411 124 Zerspringendes Glas

Genutzt wird die Resonanz: Durch Singen des Tons wird

c) Ein Körper führt eine harmonische (sinusförmige)

Schwingung aus, wenn das lineare Kraftgesetz gilt:

Für eine elastische Feder ist bei

das Glas in seiner Eigenfrequenz angeregt. Das kann zu

einer „Resonanzkatastrophe“ (Zerspringen des Glases)

führen.

D = konstant und F ~ s

somit die notwendige Bedingung für eine harmonische

8. 416 134 Schwingende Flüssigkeit

Schwingung erfüllt.

a) Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn ein

d) Für die Geschwindigkeit gilt:

v = y max · ω · cos (ω t )

lineares Kraftgesetz gilt, also die rücktreibende Kraft

proportional der Auslenkung ist.

Im gegebenen Fall gilt für die rücktreibende Kraft:

und damit für die maximale Geschwindigkeit:

F = – p · A

v = y max · ω = y max ·}

2 π mit T = 2 π

T

√ }m }

D

Mit p = ρ · g · 2 h und A = π · ·r 2 erhält man:

v = y max · √ }m } D

F = (–2 ρ · g · π · r 2 )· h = – D · h

v = 0,078 m · √ } 4,8 N

Für eine bestimmte Flüssigkeit ist ρ = konstant, für

}

0,1 kg ·m

ein gegebenes U-Rohr ist r = konstant. g kann ebenfalls

als konstant angenommen werden.

v = 0,54 }

m s

Demzufolge gilt: F ~ h

Die Flüssigkeitssäule führt also eine harmonische

e) Die größte Beschleunigung tritt in den Umkehrpunkten

auf. Für die maximale Beschleunigung gilt:

Schwingung gilt allgemein: T = 2 π √ }m } D

Schwingung aus. Für eine solche harmonische

a = – y max · ω 2

Mit m = ρ · V = ρ · π · r 2 · l

Mit ω 2 = }

4 π2 = 4 π 2 · }

m erhält man:

T 2 D

und D = 2ρ · g · π · r 2 erhält man:

a = – y max · }

D m

T = 2π

4,8 N

√ } ρ · π · r 2 · l

}

2 ρ · g · π · r 2

a = – 0,078 m ·}

0,1 kg · m

T = 2π

√ l

} 2 g


Mechanik

191

b) Die Schwingungsdauer einer Flüssigkeitssäule in einem

U-Rohr hängt nur von der Länge dieser Flüssigkeitssäule

sowie vom Ortsfaktor ab. Sie ist unabhängig

davon, welche Flüssigkeit schwingt und welchen

Durchmesser das Rohr hat.

c) Für ein Fadenpendel gilt: T = 2π √ } l }

g

Ein Fadenpendel müsste demzufolge halb so lang

(l = 20 cm) sein, damit es die gleiche Schwingungsdauer

wie eine 40 cm lange Wassersäule hat.

9. 417 064 Arten von Wellen

a) Bild A: Eine Frau spricht in ein Telefon. Die Töne

breiten sich als Schall aus und werden so

übertragen. Diese Ausbreitung erfolgt räumlich

und es wird kein Stoff übertragen.

Es handelt sich somit um eine Welle.

Bild B: Auf dem Wasser sind Wellen zu sehen.

Es handelt sich um eine mechanische Welle,

speziell um eine Kreiswelle.

b) Bei den Schallwellen von Bild A handelt es sich um

Längswellen, da die Druckschwankungen in Ausbreitungsrichtung

erfolgen.

Bei den Wasserwellen im Bild B handelt es sich um

Querwellen. Die Schwingungsrichtung ist senkrecht

zur Ausbreitungsrichtung.

c) Bei den Schallwellen in Bild A ändert sich der Luftdruck.

Bei den Wasserwellen in Bild B ändert sich die Auslenkung.

Schwinger schwingen senkrecht zu der Richtung, in der

die Reihe der Schwinger aufgebaut ist, also quer zur der

Ausbreitungsrichtung.

11. 416 054 Schallwellen einer Stimmgabel

T = }

1 f

T = 1

} 523 Hz = 0,0019 s

Mit v = 344 }

m erhält man:

s

λ = c }

f

λ = 344 m s

} 523 Hz = 0,66 m

Bei Verringerung der Temperatur verkleinert sich die

Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Wellenlänge wird

demzufolge kleiner. Die Frequenz ändert sich nicht.

12. 412 374 Wasserwellen

a) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit lässt sich über den

Zusammenhang c = λ · f bestimmen.

Dazu kann man in einer Wellenwanne mit bestimmter

Frequenz f Wellen erzeugen und diese fotografieren.

Am besten hat man einen Maßstab (Zollstock)

mit fotografiert. Dann kann man in dem Foto die

Wellenlänge bestimmen und über obigen Zusammenhang

die Ausbreitungsgeschwindigkeit berechnen.

Andere Möglichkeit: Ermittlung der Ausbreitungsgeschwindigkeit

eines Wellenbergs an einem

Teich durch Weg- und Zeitmessung.

b) Experiment

10. 418 974 Gekoppelte Schwinger

Longitudinalwellen

Der erste Schwinger wird in der Ebene, in der die gekoppelten

Fadenpendel hängen, zur Seite ausgelenkt

und losgelassen. Er beginnt zu den anderen Schwingern

hin und wieder weg zu schwingen. Durch die Kopplung

wird diese Bewegung auf den zweiten Schwinger übertragen,

der sich dieser Bewegung anschließt. Von hier

aus wird die Schwingung in dieser Ebene auf den dritten

Schwinger übertragen usw. Die Schwinger schwingen

in der Richtung, in der die Reihe der Schwinger aufgebaut

ist, also längs dieser Richtung und somit längs der

Ausbreitungsrichtung.

Transversalwellen

Der erste Schwinger wird senkrecht zur Ebene, in der die

gekoppelten Fadenpendel hängen, zur Seite ausgelenkt

und losgelassen. Er beginnt seitlich zu schwingen. Durch

die Kopplung wird diese Bewegung auf den zweiten

Schwinger übertragen, das sich dieser Bewegung

anschließt. Von hier aus wird die Schwingung in dieser

Ebene auf den dritten Schwinger übertragen usw. Die

13. 414 514 Stimmgabel mit 400Hz

Aus den gegebenen Daten können Schwingungsdauer

und Wellenlänge berechnet werden:

2

1

0

–1

–2

T = }

1 f

T = 1

} 400 Hz = 0,0025 s

λ = }

v f

λ = 344 m s

} 400 Hz = 0,86 m

y in mm

0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

t in s



2

1

0

–1

y in mm

0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9

x in m

t 1 = T }

2 = 1 s:

1 cm

y

–2

4 cm

8 cm

12 cm

x

14. 416 624 Schwinger und Wellengleichung

a) Aus der Schwingungsgleichung lässt sich ablesen:

y max = 3 cm und T = 3 s.

Die Frequenz erhält man aus f = }

1 zu 0,33 Hz.

T

Für die Wellenlänge gilt:

λ = }

c f = 5,0 m s

} 0,33 Hz

λ = 15 m

t 2 = 3 }

4 T = 6 s:

1 cm

y

4 cm

8 cm

12 cm

x

b)

+3

y in cm

t 3 = T = 4 s:

y

0

3

t in s

1 cm

–3

4 cm

8 cm

12 cm

x

+3

y in cm

t 4 = T } 8 + T = 9 s:

0

15

x in m

1 cm

y

–3

4 cm

8 cm

12 cm

x

c) Allgemein lautet die Wellengleichung:

y = y max · sin 32 π ( t }

T – x } λ) 4

Damit erhält man im gegebenen Fall:

y = 3 cm · sin 32 π (}

t 3 s – x

} 15 m) 4

t 5 = }

T + T = 10 s:

4

1 cm

y

15. 411 784 Harmonische Welle

4 cm

8 cm

12 cm

x

y

t 6 = }

3 T + T = 11 s:

8

1 cm

y

1 cm

2 s

t

4 cm

8 cm

12 cm

x


Mechanik

193

16. 417 154 Eine Schallwelle

a) y max = 1,0 mm

T = 0,002 s

λ = 0,6 m

f = }

1 = 500 Hz

T

v = λ · f

v = 0,6 m · 500 Hz

v = 300 }

m s

b) y = y max · sin 32 π ( t }

T – x } λ) 4

y = 1,0 mm · sin 32 π (

t

} 0,002 s – x

}

c) Für x = 40 cm erhält man:

y = 1,0 mm · sin 32 π (

t

}

0,6 m) 4

0,002 s – 0,67 ) 4

17. 419 664 Hörbereich und Stimmumfang

a) Hörbereich

Frequenzbereich, in dem ein Mensch Schall mit den

Ohren wahrnimmt.

Stimmumfang

Frequenzbereich, in dem ein Mensch Schall selbst

hervorruft, z. B. beim Sprechen oder beim Singen.

b) Bei 20 °C (v = 344 m/s) ergibt sich:

λ 1 = 344 m s

} 16 Hz = 21,5 m

344 m s

λ 2 = } 20 000 Hz = 0,017 m

λ 3 = 344 m s

} 85 Hz = 4,05 m

λ 4 = 344 m s

} 1 100 Hz = 0,31 m

Bei 20 °C umfasst der Hörbereich Wellenlängen zwischen

1,7 cm und 21,5 m. Der Stimmumfang umfasst

Wellenlängen zwischen 31 cm und 4,05 m.

c) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen

verringert sich mit Verringerung der Temperatur.

Damit ändern sich die genannten Intervalle.

Hinweis: Die Frequenz ist nicht temperaturabhängig.

Sie hängt nur von der Schallquelle ab.

18. 418 704 Erdbeben

a) Kontinentalplatten sind an ihren Stoßstellen ineinander

verhakt. Kommt es zu Verschiebungen, dann

kann das mit der Entstehung von mechanischen

Wellen (Erdbebenwellen) verbunden sein. Dabei

können Längswellen und Querwellen entstehen, die

sich teilweise an der Erdoberfläche und teilweise im

Erdmantel ausbreiten.

Längswellen breiten sich als Druckwellen aus. Die

Energie pendelt zwischen Spannenergie (Kompression

des Gesteins) und kinetischer Energie (Längsbewegung)

hin und her.

Querwellen breiten sich als Verformungswellen aus.

Die Energie pendelt zwischen Spannenergie (Querverformung

des Gesteins) und kinetischer Energie

(Querbewegung) hin und her.

b) Auch wenn die Amplitude der Erdbebenwellen mit

wenigen Zentimetern relativ klein erscheinen mag,

ist aufgrund der großen Massen, die sich bewegen,

viel kinetische Energie in ihnen enthalten.

Ebenso kann man mit der Spannenergie argumentieren:

Die Kompressibilität von Gestein ist gering,

entsprechend groß ist die „Federkonstante“. So entspricht

eine Kompression von wenigen Zentimetern

bereits gewaltigen Energiemengen.

Innerhalb der Erde wird die Energie elastisch weitergegeben.

Die Gebäude an der Erdoberfläche jedoch

können die Energie nicht weitergeben. Sie erfahren

einen Kraftstoß, der sie zerstört.

19. 414 614 Interferenz bei Schall

a) Der Schall, der von beiden Lautsprechern ausgeht,

überlagert sich. Man würde mit dem Mikrofon

Stellen größerer Lautstärke (Interferenzmaxima)

und Stellen geringer Lautstärke (Interferenzminima)

registrieren.

b) Das erste Minimum wird registriert, wenn der

Gangunterschied gerade λ } 2 beträgt.

L 1

s = 70 cm

L 2

Der Weg von L 2 zum Mikrofon beträgt nach dem

Satz von Pythagoras:

a = √ } x 2 +s 2

x = 1,40 m

a = √ }}

(1,4 m) 2 + (0,7 m) 2 = 1,57 m

Demzufolge gilt: a – x = }

λ und damit λ = 34 cm.

2

Die Frequenz des Schalls ergibt sich dann zu:

a

Mikrofon



f = }

c f

f = 340 m s

} 0,34 m

f = 1 000 Hz

Der Schall, der von den Lautsprechern abgegeben

wird, hat eine Frequenz von 1000 Hz.

c) Es wird von der Anordnung der Geräte ausgegangen,

so wie sie bei Teilaufgabe b angegeben ist.

Ein Lautstärkemaximum wird registriert, wenn der

Gangunterschied λ oder ein Vielfaches davon

beträgt. Für den Gangunterschied Δs gilt:

Δs = a – x = √ } x 2 + s 2 – x

Stellt man diese Gleichung nach x um, so erhält man:

Δs + x = √ } x 2 + s 2

(Δs + x) 2 = x 2 + s 2

(Δs) 2 + 2 · Δs · x + x 2 = x 2 + s 2

x = s 2 – (Δs)

}

2

2 · Δs

Damit erhält man:

für Δs = λ: x = (0,70 m)2 – (0,34 m)

}}

2

= 0,55 m

2 ∙ 0,34 m

Das erste Maximum wird erreicht, wenn das Mikrofon

55 cm von der Schallquelle L 1 entfernt ist.

d) Erhöhung der Frequenz bedeutet Verkleinerung der

Wellenlänge, denn bei v = konstant gilt:

λ ~ }

1 f bzw. f ~ }

1 λ

Der Wegunterschied Δs bleibt aber gleich, wenn

sich die Lage der Geräte zueinander nicht ändert.

Er beträgt also bei Verkleinerung der Wellenlänge

nicht mehr λ, bei doppelter Wellenlänge aber 2 λ.

Das bedeutet: Die Lautstärke verringert sich zunächst

und erreicht bei doppelter Frequenz wieder ein Maximum.

Zugleich wird der Ton mit Vergrößerung der

Frequenz höher.

20. 419 054 Kausalität

21. 414 754 Chaotisch oder nicht

Experimentelle Untersuchung: Der kritische Öffnungswinkel

hängt von verschiedenen Faktoren ab.

Wird der Öffnungswinkel bei einem Papiertrichter

variiert, so müssen zwangsläufig auch andere Größen

verändert werden:

− Entweder sein Querschnitt, wenn der erzeugende

Kreissektor mal mehr und mal weniger überlappt

wird,

− oder seine Masse, wenn bei gleichen Querschnitt jedesmal

ein neuer Kreisektor (mit einem veränderten

Radius) benutzt wird.

Je nachdem, welche dieser Varianten und welche Papiersorte

gewählt wird, erhält man etwas andere Werte

für den kritischen Öffnungswinkel, bei dem der Kegel

beim Herunterfallen stark trudelt, umkippt und von der

senkrechten Bahn stark abweicht. Bei der Verwendung

eines Kegels mit einem Querschnitt von 15 cm und einer

Papiersorte mit der spezifischen Masse von 80 g/m 3

erhält man als kritischen Winkel etwa 160°.

Begründung des Verhaltens

Der Schwerpunkt des Kegels befindet sich über der

Kegelspitze. Durch kleine Störungen (z. B. die Unsymmetrie

des Klebefalzes, das nicht ganz exakte Loslassen)

beginnt der Kegel zu kippen. Dem wird jedoch durch

starke Kräfte, die die vorbeiströmende Luft in unterschiedlich

starker Weise auf die verschieden geneigten

Kegelseiten ausübt, entgegengewirkt. Der Kegel kippt

wieder in die Gleichgewichtslage.

Schon bei relativ kleinen Fallgeschwindigkeiten kommt

es zu einer turbulenten Umströmung des Kegels und

damit zu chaotischem Verhalten.

22. 417 344 Übergang zum Chaos

Erläuterung am selbst gewählten Beispiel. Geeignet sind

z. B.:

− Magnetpendel,

− Doppelmulde,

− Doppelpendel,

− Fall von Körpern (Blatt Papier in verschiedener

Form).

Starke Kausalität

Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen.

Beispiele: Werfen eines Balls, Schießen oder Werfen auf

eine Zielscheibe, Betätigen eines Schalters, …

Schwache Kausalität

Ähnliche Ursachen können zu sehr unterschiedlichen

Wirkungen führen.

Beispiele: Herabfallen eines Blattes, viele Glücks- und

Geschicklichkeitsspiele, Billard, Wetterentwicklung, Würfeln,

…


Thermodynamik

195

3.3 Thermodynamik

Thermisches Verhalten von Körpern

und Stoffen (LB S. 187 – 188)

1. 414 984 Temperaturmessung

Temperaturmessung

Flüssigkeitsthermometer

Physikalisches Prinzip

Das Volumen einer Flüssigkeit ändert

sich mit der Temperatur.

3. 419 014 Wärmeübertragung

Wärmeleitung: Es wird Energie durch einen Stoff hindurch

übertragen. Beispiel: Ein Lötkolben wird elektrisch

erhitzt. Die Spitze des Lötkolbens erhitzt sich durch

Wärmeleitung.

Wärmeströmung: Es wird Energie mit einem Stoff transportiert.

Beispiel: Warme Luft wird mit einer südlichen

Luftströmung zu uns transportiert.

Wärmestrahlung: Es wird Energie durch elektromagnetische

Wellen übertragen. Beispiel: Sonnenenergie wird

von der Sonne auf die Erde übertragen.

Gasthermometer

Bimetallthermometer

Elektrisches Thermometer

Messung mit

Thermofarben

Glühfarben

Das Volumen eines Gases ändert

sich mit der Temperatur.

Die Krümmung eines Bimetallstreifens

ändert sich mit der Temperatur.

Der elektrische Widerstand eines

Sensors ändert sich mit der Temperatur.

Nutzung von Stoffen, die mit der

Temperaturänderung ihre Farbe

ändern.

Nutzung von Stoffen, die mit der

Temperaturänderung ihre Farbe

ändern.

4. 418 024 Längenänderung

a)

Δl in mm

8

6

4

2

Seger-Kegel

Galilei-Thermometer

2. 418 454 Temperatur und Wärme

Die Form eines glühenden Körpers

ändert sich mit der Temperatur.

Die Dichte von Stoffen ändert sich

mit der Temperatur.

Die Temperatur ist eine Zustandsgröße, die kennzeichnet,

wie warm oder kalt ein Körper ist. Die Wärme

dagegen ist eine Prozessgröße. Sie ist ein Maß dafür,

wie viel Energie von einem Körper (System) übertragen

wird.

Die innere Energie kennzeichnet die gesamte Energie,

die in einem Körper (System) vorhanden ist. Für

einen bestimmten Körper (System) gilt dabei: Je höher

die Temperatur ist, desto größer ist auch seine innere

Energie.

Das Wärmeempfinden ist im Unterschied zu den genannten

physikalischen Größen ein subjektives Empfinden,

das individuell sehr verschieden sein kann.

Die gefühlte Temperatur ist die Lufttemperatur, die

vom Einzelnen wahrgenommen wird. Um sie überhaupt

angeben zu können, wird von einem Modell-Menschen

ausgegangen und es werden Bedingungen festgelegt,

auf deren Grundlage eine gefühlte Temperatur angegeben

wird. Genauere Hinweise dazu sind unter den

genannten Internet-Adressen zu finden.

0

0 20 40 60 80 100

Im Diagramm ist der Zusammenhang zwischen der

Längenänderung und der Temperatur dargestellt. Je

höher die Temperatur ist, desto größer ist die Änderung

der Länge. Zwischen Temperaturänderung und

Längenänderung besteht direkte Proportionalität.

b) Für die Längenänderung gilt: Δl = α ∙ l 0 ∙ ΔT und

Δl

damit α = } l 0 ∙ ΔT .

Damit könnte man für verschiedene Wertepaare (Δl,

ΔT ) den Wert berechnen und dann den Mittelwert

bilden. Man kann auch von der grafischen Darstellung

ausgehen und ein sinnvolles Wertepaar auswählen,

z. B. Δl = 8 mm und ΔT = 100 K.

α = }

0,008 m

5 m ∙ 100 K

α = 0,000016 1 } K

t in °C

Das Metall hat einen linearen Ausdehnungskoeffizienten

von 1,6 ∙ 10 –5 K –1 . Es könnte sich um Kupfer

handeln.



5. 416 954 Volumenänderung

Der Winkel α ändert sich nicht. Das hängt damit zusammen,

dass sich die Metallscheibe nicht nur in einer

Richtung, sondern im Raum ausdehnt, wenn sie erwärmt

wird. Dabei gilt für den Radius Δr ~ r · ΔT und für ein

Kreissegment Δl ~ l 0 · ΔT bzw. Δl ~ r · ΔT, da l 0 = 2 π · r

ist. Radius und Länge des Kreissegments verändern sich

proportional zu r und ΔT.

6. 418 154 Temperatur und Länge

a) Es treten bei Temperaturänderung deutliche Längenänderungen

auf, die man durch Ausdehnungsschleifen

abfangen kann.

V 0 = 1 kg }

ρ

und mit den Tabellenwerten für die Dichte bei 20 °C:

1000 g ∙ cm3

für Kupfer: V = } = 111,6 cm 3

8,96 g

1000 g ∙ cm3

für Zink: V = } = 140,3 cm 3

7,13 g

Damit erhält man für Kupfer:

θ in °C 20 40 60 80 100

ρ in g ∙ cm –3 8,96 8,94 8,93 8,93 8,92

Für Zink ergibt sich:

θ in °C 20 40 60 80 100

ρ in g ∙ cm –3 7,13 7,11 7,10 7,08 7,07

b) Gesucht: Δl

Gegeben: l 0 = 55m

θ 1 = 245 °C

θ 1 = 18 °C

ΔT = 227 K

α = 1,2 ∙ 10 –5 K –1

9

8

ρ in g · cm –3

Kupfer

Lösung:

Δl = α ∙ l 0 ∙ ΔT

7

Zink

Δl = 1,2 ∙ 10 –5 K –1 ∙ 55 m ∙ 227 K

Δl = 15 cm

0

0 20 40 60 80 100

θ in °C

Bei einer Temperaturänderung von 227 K beträgt

die Längenänderung einer 55 m langen Stahlleitung

etwa 15 cm.

c) Die Längenänderungen werden bei Brücken durch

eine Lagerung auf Rollen in Verbindung mit Dehnungsfugen

berücksichtigt. Bei langen Geländern

baut man bewegliche Elemente ein.

7. 419 914 Temperatur und Dichte

a) Die Dichte eines Stoffes ergibt sich allgemein zu:

ρ = }

m V

Während die Masse konstant ist, ändert sich das

Volumen mit der Temperatur: Für die Volumenänderung

bei Temperaturänderung gilt: ΔV = γ ∙ V 0 ∙ ΔT.

Damit ist: V = V 0 + ΔV = V 0 + γ ∙ V 0 ∙ ΔT = V 0 (1 + γ ∙ ΔT ).

Damit erhält man für die Dichte:

ρ = ρ (T) = m

}

V 0 (1 + γ ∙ ΔT )

b) Für die Volumenausdehnungskoeffizenten gilt γ ≈ 3 α

und damit:

γ Kupfer = 4,8 ∙ 10 –5 K –1 γ Zink = 10,8 ∙ 10 –5 K –1

Geht man z. B. von jeweils 1 kg aus, dann beträgt das

Volumen

c) Die Temperaturabhängigkeit der Dichte scheint gering

(b Diagramm), spielt aber in Natur und Technik

eine durchaus bedeutsame Rolle:

− Die temperaturveränderliche Dichte von Wasser

führt zu charakteristischen Temperaturschichtungen

in Gewässern, die besonders im Sommer und

im Winter ausgeprägt sind.

− Die temperaturveränderliche Dichte wird beim galileischen

Thermometer zur Temperaturmessung

genutzt.

− Die temperaturveränderliche Dichte von Luft führt

zu Luftströmungen.

8. 415 864 Stoffkonstanten

a) Durch die Wärmezufuhr steigt die Temperatur des

festen Körpers auf 5 °C. Bei weiterer Wärmezufuhr

bleibt die Temperatur konstant, d. h., der Körper

schmilzt. Nach dem vollständigen Schmelzen erhöht

sich die Temperatur gleichmäßig auf 80 °C und bleibt

dann konstant. Das bedeutet: Bei dieser Temperatur

siedet der Körper.

b) q S = Q S

} m

q S =

12,9 kJ

} = 129 kJ ∙ kg–1

0,1 kg


Thermodynamik

197

c) Aus Q = c ∙ m ∙ ΔT ergibt sich:

Q

c = } m ∙ ΔT

c =

12,9 kg

}

0,1 kg ∙ 75 K

kJ

c = 1,72 }

kg ∙ K

Die spezifische Schmelzwärme des Stoffs beträgt

129 kJ ∙ kg –1 , seine spezifische Wärmekapazität

1,72 kJ ∙ kg –1 ∙ K –1 .

Hinweis: Es könnte sich um Benzol (Benzen) handeln.

9. 416 704 Mischungstemperatur

a) Es entsteht Wasser mit einer Mischungstemperatur,

die man so berechnen kann:

θ M = m 1 ∙ θ 1 + m 2 ∙ θ 2

}}

m 1 + m 2

θ M =

1 kg ∙ 0 °C + 1 kg ∙ 100 °C

}}

2 kg

θ M = 50 °C

b) Das Eis schmilzt. Anschließend erwärmt sich das kalte

Wasser. Für die Wärmebilanz gilt:

vom heißen

Wasser abgegebene

Wärme

= Schmelzwärme

+

vom kalten

Wasser aufgenommene

Wärme

c ∙ m (100 °C – θ M ) = m ∙ q S + c ∙ m (θ M – 0 °C)

θ M = 10,1 °C

Es entstehen 2 Liter Wasser mit einer Temperatur von

etwa 10 °C.

Hinweis: Bei dieser Lösungsvariante könnten den

Schülern die Einheiten Probleme bereiten.

Es gilt: 1 K = 1 °C.

c) Für die Wärmebilanz gilt:

c ∙ m (100 °C – θ M ) =

c Eis ∙ m ∙ 20 K + m ∙ q S + c ∙ m (θ M – 0 °C)

θ M = 5,2 °C

Es entstehen 2 Liter Wasser mit einer Temperatur von

etwa 5 °C.

10. 417 094 Theorie und Praxis

Bei der schwarz eingezeichneten Kurve geht man davon

aus, dass keinerlei Wärmeaustausch mit der Umgebung

erfolgt. Es ist eine idealisierte Kurve.

Nimmt man die Kurve experimentell auf, so wird ein Teil

der zugeführten Wärme an die Umgebung abgegeben.

Deshalb ist bei gleichmäßiger Wärmezufuhr die tatsächlich

erreichte Temperatur geringer als bei der idealisierten

Kurve. Die Wärmeabgabe an die Umgebung

ist umso größer, je höher die Temperatur ist. Darüber

hinaus treten Messfehler auf, die beim Zeichnen

des Graphen zu beachten sind.

11. 417 734 Wasserdampf zum Erwärmen

a) Der Effekt kommt zustande, weil beim Kondensieren

von Wasser eine relativ große Verdampfungswärme

(2256 kJ ∙ K –1 ) frei wird.

b) Ein formales Herangehen liefert folgendes Ergebnis:

Der Wasserdampf kondensiert und kühlt sich dann

weiter ab. Das übrige Wasser erwärmt sich. Damit

ergibt sich folgende Energiebilanz:

m 1 ∙ q V + c ∙ m 1 (T 1 – T M ) = c ∙ m 2 (T M – T 2 )

Die Umstellung nach T M und Einsetzen ergibt:

T M = 4,19 kJ

} kg ∙ K (2 kg ∙ 293 K + 0,5 kg ∙ 373 K) + 0,5 kg ∙ 2256 kJ

} kg

}}}}}

kJ

4,19 } (0,5 kg + 2 K)

kg ∙ K

T M = 416,7 K

Das ist eine Temperatur von über 100 °C und damit

praktisch nicht möglich. Eine genauere Analyse zeigt:

Beim Kondensieren des Dampfes wird folgende

Wärme frei:

kJ

Q V = m 1 ∙ q V = 0,5 kg ∙ 2256

} = 1128 kJ

kg

Zum Erwärmen des Wassers von 20 °C auf 100 °C ist

folgende Wärme erforderlich:

kJ

Q = m 2 ∙ c ∙ ΔT = 2 kg ∙ 4,19 } ∙ 80 K = 670 kJ

kg ∙ K

Das bedeutet: Das Wasser wird auf 100 °C erhitzt.

Dazu ist nur ein Teil des Wasserdampfes erforderlich.

Es stellt sich somit eine Temperatur von 100 °C ein.

c) Bezeichnet man die Masse des Wasserdampfes mit

m D und die des zu erwärmenden Wassers mit m W ,

dann gilt wie bei Teilaufgabe b) für die Energiebilanz:

m D ∙ q V + c ∙ m D (T 100 – T M ) = c ∙ m W (T M – T 15 )

Mit m W = m – m D und den eingesetzten Temperaturdifferenzen

erhält man:

m D ∙ q V + c ∙ m D ∙ 20 K = c ∙ m W (m – m D ) ∙ 65 K

Die Umstellung nach der Masse des Dampfes ergibt:

m D =

m ∙ c ∙ 65 K

}}

q V + c ∙ 20 K + c ∙ 65 K

0,06 kg ∙ 4,19 }

kJ

kg ∙K

m D = }}}}

∙65 K

kJ

2256

}

kg + 4,19 kJ

}

kg ∙ K ∙ 20 K + 4,19 kJ

}

kg ∙ K ∙ 65 K



m D = 0,0063 kg = 6,3 g

Eine mögliche Variante wäre damit: Man leitet 6,3 ml

Wasserdampf von 100 °C in 60 ml – 6,3 ml = 53,7 ml

Wasser von 15 °C.

d) Ein Teil der Wärme wird an die kühlere Umgebung

und die Tasse übertragen. Dadurch hat der Espresso

eine niedrigere Temperatur als berechnet.

p 2 = 3,13 bar

Der Reifendruck würde sich von 2,8 bar auf 3,1 bar

erhöhen.

b) In diesem Falle ergäbe sich:

55 °C

p 2 = 2,8 bar ∙ } = 7,7 bar,

20 °C

also fast der dreifache Wert für den Reifendruck.

12. 417 984 Eis und Wasserdampf

In allen Fällen gilt: Vom Wasserdampf wird Wärme

abgegeben, er kondensiert. Vom Eis wird Wärme

aufgenommen, es schmilzt. Dann gilt allgemein für die

Energiebilanz:

m D ∙ q V + c ∙ m D (T D – T M ) = m E ∙ q S + c ∙ m E (T M – T S )

Die Umstellung nach der Mischungstemperatur ergibt:

T M = m D ∙ q V – m E ∙ q s + c (m D ∙ T D – m E ∙ T s )

}}}

c (m D + m E )

Das Einsetzen der Werte ergibt:

a) T M = 384 K

Die Temperatur ist größer als 100 °C. Es liegt folglich

ein unvollständiger Kondensationsvorgang vor. Im

Kalorimeter befindet sich eine Mischung aus Dampf

und Wasser. Die Rechnung liefert für die kondensierte

Dampfmenge

m D ∙ q V = m E ∙ q s + m E ∙ c W ∙ ΔT

m D = m E ∙ q S + m E ∙ c W ∙ ΔT }}

q V

m D = 3,3 g

Dies bedeutet eine Mischung aus 13,3 g Wasser und

6,7 g Dampf von 100 °C.

b) T M = 278 K

Es befinden sich 85 g Wasser von 4,7 °C im Kalorimeter.

c) T M = 258 K

Es liegt ein unvollständiger Schmelzvorgang vor. Eine

dem Fall a) analoge Rechnung liefert eine Mischung

aus 80 g Eis und 30 g Wasser von 0 °C.

13. 414 874 Druck im Reifen

a) Es wird davon ausgegangen, dass das Volumen des

Reifens konstant bleibt. Dann gilt das Gesetz von

AMONTONS.

Aus p 1

} = p 2

T } folgt:

1 T 2

p 2 = p 1 ∙ T 2

} T 1

p 2 = 2,80 bar ∙ }

328 K

293 K

14. 417 574 Masse von Luft

Luft wird als ideales Gas betrachtet. Damit lassen sich

die betreffenden Gesetze anwenden.

Aus p ∙ V = m ∙ R S ∙ T erhält man durch Umstellen nach m:

m = }

p ∙ V

R S ∙ T

m = 101,6 ∙ 103 N ∙ 5,7 m ∙ 4,2 m ∙ 2,8 m ∙ kg ∙ K

}}}

m 2 ∙ 287 J ∙ 295 K

m = 80,4 kg

Der Raum enthält 80,4 kg Luft.

15. 419 414 Heizen eines Zimmers

a) Genutzt werden kann die Gleichung zur Berechnung

der Wärme.

Q = c p · m · Δθ mit m = ρ · V und ρ = 1,29 kg · m –3

kJ

Q = 1,01 } kg · K · 1,29 }

kg · 90 m3· 14 K

m 3

Q = 1,64 MJ

Um die Luft im Wohnraum von 8 °C auf 22 °C zu

erwärmen, ist eine Wärme von 1,64 MJ erforderlich.

1,64 MJ

b) x = } · 1 kg = 0,082 kg = 82 g

20 kg

Die dafür notwendige Wärme entsteht, wenn man

82 g Kohle vollständig verbrennt.

c) Bei einem Wirkungsgrad von 35 % erhöht sich die

Menge des Brennstoffs:

Aus η = E nutz

} E zu

folgt: E zu = E nutz

} η

Die zugeführte Energie erhöht sich um den Faktor }

1 η ,

damit auch der erforderliche Heizstoff:

x = }

82 g

0,35 = 234 g

d) Die zugeführte Wärme bewirkt nicht nur eine Erhöhung

der Lufttemperatur, sondern auch der Temperatur

der Wände, der Decke und aller Einrichtungsgegenstände.

Alle diese Körper nehmen Wärme

auf. Die Luft erwärmt sich demzufolge weniger als

berechnet.


Thermodynamik

199

16. 415 784 Unbekanntes Gas

Die Art des Gases könnte sich aus der spezifischen Gaskonstanten

ergeben.

Aus p ∙ V = m ∙ R S ∙ T ergibt sich:

R S = }

p ∙ V

m ∙ T

R S = 202 ∙ 103 Pa ∙ 8,2 ∙ 10 –3 m

}}

3

0,02 kg ∙ 320 K

R S = 259 J ∙ kg –1 ∙ K –1

Es könnte sich bei dem Gas um Sauerstoff handeln.

Hinweis: Die Gasart kann auch über die molare Masse M

mit der Gleichung p ∙ V = }

m M ∙ R ∙ T bestimmt werden.

Die kinetische Gastheorie

(LB S. 197 – 198)

1. 415 054 Brownsche Bewegung

a) Unter der brownschen Bewegung versteht man die

mit einem Mikroskop beobachtbare unregelmäßige

Bewegung von Teilchen (Blütenstaub, Zigarettenrauch).

b) Ursache für die brownsche Bewegung sind Stöße

nicht sichtbarer Teilchen (Atome, Moleküle) mit den

mikroskopisch sichtbaren Teilchen. Durch diese vielfältigen

Stöße führen die mikroskopisch sichtbaren

Teilchen unregelmäßige Bewegungen aus.

2. 414 704 Geschwindigkeitsverteilung

Es gibt für die Unterschiede zwischen dem experimentellen

Ergebnis und dem theoretischen Kurvenverlauf

unterschiedliche Gründe:

− Beim Experiment ist die Anzahl der Teilchen relativ

klein. Die theoretische Verteilung gilt für große

Teilchenzahlen.

− Mit der Experimentieranordnung werden nur die

Teilchen erfasst, die sich in einer bestimmten Höhe

näherungsweise waagerecht nach rechts bewegen.

Diese durch die Experimentieranordnung hervorgerufene

Auswahl ist nur bedingt repräsentativ.

3. 417 244 Diffusion

a) Aufnahme (1) wurde später als Aufnahme (2) gemacht.

Aufgrund der thermischen Bewegung der

Teilchen verteilt sich die Tinte allmählich im Wasser.

Es wird gleichmäßig gefärbt.

b) Unter Diffusion versteht man einen physikalischen

Vorgang, bei dem die Teilchen eines Stoffs sich mit

den Teilchen eines anderen Stoffs aufgrund ihrer

thermischen Bewegung mischen. Bei Gasen und Flüssigkeiten

kann das zu einer vollständigen Durchmischung

zweier oder mehrerer Stoffe führen.

Beispiele:

− Ausbreitung von Zigarettenrauch in Luft

− Ausbreitung von Parfüm in Luft

4. 416 874 Teilchenzahlen

a) Die Teilchenanzahl kann mit der allgemeinen

Zustandsgleichung des idealen Gases in der Form

p ∙ V = N ∙ k ∙ T berechnet werden. Aus p ∙ V = N ∙ k ∙ T

ergibt sich:

N = }

p ∙ V

k ∙ T

N = 1,3 ∙ 10–9 Pa ∙ 4 ∙ 10 – 4 m

}}

3

1,38 ∙ 10 –23 J ∙ K –1 ∙ 293 K

N = 1,29 ∙ 10 8

b) Als Druck ist p = 101,325 kPa einzusetzen. Damit

erhält man:

N = 101325 Pa ∙ 4 ∙ 10– 4 m

}}

3

1,38 ∙ 10 –23 J ∙ K –1 ∙ 293 K

N = 1,00 ∙ 10 22

Die Anzahl der Gasmoleküle beträgt bei dem Restdruck

1,29 ∙ 10 8 , bei normalem Luftdruck 11,00 ∙ 10 22 .

5. 416 234 Die Grundgleichung

a) Eine Form der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

lautet:

p ∙ V = }

2 3 N ∙ E } kin

Dabei bedeuten p der Druck im Gas, V das Volumen,

N die Teilchenanzahl und E } kin die mittlere kinetische

Energie der Teilchen. Die Gleichung gilt für das

ideale Gas.

Wichtige Zusammenhänge werden deutlich, wenn

man z. B. die Gleichung nach jeweils einer Größe

umstellt:

(I) p = 2 N ∙ E }

}

kin

3 V

Bei konstanter Teilchenanzahl und konstantem

Volumen ist der Druck im Gas der mittleren kinetischen

Energie der Teilchen proportional.

Bei konstantem Volumen und bestimmter kinetischer

Energie der Teilchen ist der Druck proportional

der Teilchenanzahl.

Bei konstanter Teilchenanzahl und konstanter

kinetischer Energie der Teilchen sind Druck und

Volumen umgekehrt proportional zueinander.



(II) } E kin = 3 p ∙ V } 2 N

Bei konstantem Druck und Volumen ist die mittlere

kinetische Energie der Teilchen umso kleiner,

je größer die Teilchenanzahl ist.

usw.

b) b Lehrbuch S. 193

c) } v = √ } 3 p

}

ρ

} v = √ }}

3 ∙ 101 325 Pa ∙ m

}}

3

1,25 kg

} v = 493

m }

s

Die mittlere Geschwindigkeit von Stickstoffmolekülen

beträgt bei Normbedingungen 493 m }

s .

6. 418 284 Teilchengrößen

a) Zur Lösung genutzt werden kann die Grundgleichung

der kinetischen Gastheorie.

Aus p ∙ V = }

2 3 N · E } kin folgt:

}

E kin = }

3 p ∙ V

2 N

}

E kin = 3 ∙ 1,1 ∙ 106 Pa ∙ m

}}

3

2 ∙ 10 26

}

E kin = 1,65 ∙ 10 –20 J

Die mittlere Energie der Argonatome beträgt

1,65 ∙ 10 –20 J.

b) Aus p ∙ V = N ∙ k ∙ T folgt:

T = }

p ∙ V

N ∙ k

T = 1,1 ∙ 106 Pa ∙ m 3 ∙ 10 –23 ∙ K

}}

10 26 ∙ 1,38 J

T = 797 K oder θ = 524 °C

In dem Gas herrscht eine Temperatur von 524 °C.

7. 415 554 Eine Verteilung

a) Nach einem längeren Zeitraum ist eine Durchmischung

der roten und blauen Teilchen zu erwarten.

Aufgrund der relativ kleinen Teilchenzahl ist

aber eine Gleichverteilung eher unwahrscheinlich.

b) Bei der Erläuterung sollte vor allem das betrachtete

thermodynamische System klar festgelegt sein.

Einige mögliche Beispiele:

− Tasse mit heißem Tee + Umgebung

− Mischung von zwei Wassermengen in einem

Gefäß

− Speise bei Zimmertemperatur + Kühlraum eines

Kühlschranks

8. 415 434 Temperatur und Geschwindigkeit

Für den Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit

gilt:

T ~ }

v 2 oder √ } T ~ √ }

v 2

a) Eine Vervierfachung der Temperatur T führt zu

einer Verdopplung des mittleren Geschwindigkeitsquadrats.

b) Ein Viertel der Temperatur T führt zu einer

Halbierung des mittleren Geschwindigkeits quadrats.

9. 419 264 Stickstoff der Luft

a) Luft wird als ideales Gas angesehen. Dann kann die

Zustandsgleichung in der Form p ∙ V = N ∙ k ∙ T angewendet

werden. Die Umformung ergibt:

N = }

p ∙ V

k ∙ T

N = 1013 ∙ 102 Pa ∙ 10 – 3 m

}}

3

1,381 ∙ 10 –23 }

J K ∙ 293 K

N = 2,69 ∙ 10 22

b) Für die Abschätzung der mittleren Geschwindigkeit

gilt:

} v ≈ √ } 3 p

}

ρ

Geht man vom normalen Luftdruck aus und betrachtet

man Luft mit seinen Bestandteilen als ideales Gas,

dann erhält man:

} v Stickstoff =

√ }}

3 ∙ 101300 }

N

m 2

} = 493 }

m

1,25 }

kg s

m 3

} v Sauerstoff =

√ }}

3 ∙ 101300 }

N

m 2

} = 461 }

m

1,43 }

kg s

m 3

10. 415 454 Geschwindigkeit von Teilchen

Für die Geschwindigkeiten gilt:

v W : } v : √ }

v 2 = 1 : 1,13 : 1,22

Mit v W = 485 }

m erhält man:

s

} v = 1,13 ∙ vW = 548 }

m s

√ }

v 2 = 1,22 ∙ v W = 592 }

m s

11. 414 594 Energie eines Gases

a) E kin = 1 }

2 m ∙ v 2

E kin = }

1 2 ∙ 2,66 ∙ 10–26 kg ∙ ( 480 }

m s ) 2


Thermodynamik

201

E kin = 3,06 ∙ 10 –21 J

b) In 1 mol Sauerstoff befinden sich 6,022 ∙ 10 23 Teilchen

(Avogadro-Konstante). Damit ergibt sich für die

Energie:

E kin = 6,022 ∙ 10 23 ∙ 3,06 ∙ 10 –21 J

E kin = 1,84 ∙ 10 3 J = 1,84 kJ

12. 418 884 Innere Energie

Ein wesentlicher Unterschied zwischen dem Modell

ideales Gas und einem realen Gas ist: Beim Modell

ideales Gas wird von elastischen Wechselwirkungen und

damit vom Erhalt der mechanischen Energie ausgegangen.

Bei realen Gasen spielen dagegen zwei Faktoren

eine Rolle:

− Gasteilchen haben ein Eigenvolumen. Das führt

dazu, dass unter ansonsten gleichen Bedingungen

das Volumen eines realen Gases größer ist als das des

idealen Gases.

− Es treten zwischenmolekulare Wechselwirkungen

auf. Dadurch ist der Druck im realen Gas unter ansonsten

gleichen Bedingungen kleiner als im idealen

Gas.

Für die Energie spielen bei realen Gasen vor allem die

zwischenmolekularen Wechselwirkungen eine Rolle, die

beim idealen Gas nicht betrachtet werden.

13. 416 724 Energie eines Teilchens

Für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens gilt:

}

E kin = }

3 2 k ∙ T (Boltzman-Konstante)

Damit erhält man:

T in K 100 200 300 400

E kin in 10 –21 J 2,07 4,14 6,21 8,29


E kin in 10 –21 J

Aus dem Diagramm (und auch aus der Gleichung) ist

erkennbar:

− Die kinetische Energie eines Teilchens ist der absoluten

Temperatur direkt proportional.

− Für T = 0 K ist die kinetische Energie eines Teilchens

null.

14. 416 924 Zusammenhang zwischen T und v

a) Mit T = }

v 2 erhält man das folgende Diagramm:

T

b) Die Geschwindigkeit der Teilchen kann nicht beliebig

groß werden. Demzufolge gibt es eine obere Grenze

für die Temperatur T.

15. 418 604 Simulationen

Aufsuchen, Testen und Präsentieren von Simulationen

zur kinetischen Gastheorie

16. 419 704 Präsentation

√ }

v 2

Anfertigen einer Präsentation: Es ist sinnvoll, bei einer

Darstellung der kinetisch-statistischen Betrachtungsweise

auf die zweite Betrachtungsmöglichkeit, die

phänomenologische Betrachtungsweise, zumindest

hinzuweisen. Ansonsten sollte man sich auf die in der

Aufgabe genannten Schwerpunkte beschränken.

8

6

4

2

0

0 100 200 300 400

T in K



Hauptsätze der Thermodynamik und

Kreisprozesse (LB S. 218 – 220)

1. 416 664 Energieumwandlung

Natur: Meteorite dringen mit hoher Geschwindigkeit in

die Lufthülle der Erde ein und verdampfen. Dabei wird

mechanische Energie teilweise in innere Energie umgewandelt.

Beim Reiben der Hände aneinander erfolgt

ebenfalls eine Umwandlung mechanischer Energie in

innere Energie.

Technik: Sägen und Feilen sind Beispiele für Vorgänge,

bei denen sich mechanische Energie teilweise in innere

Energie umwandelt.

2. 418 224 Innere Energie

a) Zufuhr von Wärme von der Heizplatte, Zufuhr von

Wärme durch Sonnenstrahlung, Verrichten von Reibungsarbeit

am Topf, Mischen mit Wasser höherer

Temperatur.

b) Die Temperatur von Wasser erhöht sich, da sich die

innere Energie des Körpers vergrößert.

f) Q = 0: ΔE i = W

5. 415 754 Mechanische Arbeit

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet:

ΔE i = W + Q.

isotherm: W = – Q

isobar: W = ΔE i – Q

adiabatisch: W = ΔE i

6. 418 864 Isothermer Prozess

a) Für eine isotherme Zustandsänderung gilt das Gesetz

von BOYLE und MARIOTTE: p 1 · V 1 = p 2 · V 2

Damit kann man die erforderlichen Werte berechnen.

3

p 2 = p 1 · V 1

5000

160

} V 2

4000

200

V in cm p in kPa

p 1 = 100 kPa

8000

7000

100

114

V 1 = 8000 cm 3

6000

133

3000

2000

267

400

3. 415 924 Energieumwandlung

Präsentation: Die meisten Vorschläge für ein Perpetuum

mobile widersprechen dem Energieerhaltungssatz. Das

ist allerdings in manchen Fällen nicht ohne Weiteres zu

erkennen.

400

300

p in kPa

4. 414 714 Energiebilanzen

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet:

200

100

ΔE i = W + Q.

Es ergeben sich folgende Energiebilanzen:

0

0 2 000 4 000 6 000 8 000

V in cm 3

a) p = konst.: ΔE i = W + Q mit ΔE i = m ∙ c v ∙ ΔT

Q = m ∙ c p ∙ ΔT

W = – p ∙ ΔV

b) V = konst.: W = 0

ΔE i = Q mit Q = m ∙ c v ∙ ΔT

c) T = konst.: ΔE i = 0

Q = – W oder W = – Q

d) siehe c)

e) V = konst.: W = 0

ΔE i = Q

b) Beim Auszählen der Fläche unter dem Graphen sind

die Einheiten zu beachten:

1 kPa · cm 3 = 10 3 Pa · 10 –6 m 3 = 10 –3· }

N · m 2 m3 =

10 –3 N · m

Die Auszählung ergibt: W ≈ 1 100 Nm

7. 416 064 Ein Kreisprozess

a) Vom Ausgangszustand A ausgehend lassen sich die

Größen für die weiteren Zustände berechnen:


Thermodynamik

203

Zustand B: T B = T A = 293 K

p B = 2 p A = 480 kPa

V B = p A · V A

} p = 1 B

} 2 V A = 1,2 dm3

Zustand C: V C = 1,2 dm 3

T C = 453 K

p C = T C · p B

} = 742 kPa

T B

Zustand D: T D = 453 K

8. 419 554 Größen beim Kreisprozess

a) Die fehlenden Größen können, ausgehend vom Ausgangszustand,

berechnet werden.

Zustand A: p A = 450 kPa

V A = 500 l

T A = 600 k

Zustand B: T B = 600 k

V B = 2 000 l

p B = p A · V } A

= 112,5 kPa

V B

p D = 240 kPa

V D = p C · V } C

p = 3,7 dm 3

D

b) Damit ergibt sich folgendes V-p-Diagramm:

800

p in kPa

C

Zustand D: V D = 500 l

p D = 150 kPa

T D = p D · T A

} p = 200 K

A

Zustand C: V C = 2000 l

T C = 200 K

p C = T C · p B

} = 37,5 kPa

T B

600

400

200

B

A

D

b) η = T H – T K

}

T H

η =

600 K – 200 K

}} = 0,67

600 K

Der thermische Wirkungsgrad für diesen Prozess

beträgt 67 %.

0

0 1 2

c) Die Gesamtbilanz ergibt sich aus den energetischen

Betrachtungen zu den Teilprozessen.

Q AB = –W = p A · V A · ln V B

} = –399 J

V A

Q BC = ΔE i = m · c V · ΔT = p B · V B

} ·

T }

cV (T

B R C – T B )

S

Mit }

cV c

= V}

R S

c P – c = 1

V

} c P – c } V

= 1

} erhält man:

κ – 1

c V

Q BC = p B · V B

} · 1

T }

B κ – 1 (T C – T B ) = 786 J

Q CD = W = p C · V C · ln V D

} = 1003 J

V C

Q DA = ΔE i + p · ΔV = m · c V (T A – T D ) + p D (V D – V A )

Q DA = p D · V D

} · 1

T }

D κ – 1 (T A – T D ) + p D (V D – V A )

Q DA = – 472 J

3 4 5

Damit ergibt sich folgende Gesamtbilanz:

Q = Q AB + Q BC + Q CD + Q DA = 918 J > 0

Es muss demzufolge Wärme zugeführt werden.

V in dm 3

9. 414 574 Heißluftmotor

a) Für den Kreisprozess gilt: η = 1 – TK } TW

Die Umstellung nach T W ergibt:

T W = T K

} 1 – η

T W = }

280 K

1 – 0,3

T W = 400 K

Das heiße Reservoir muss eine Temperatur von 400 K

haben, damit der Wirkungsgrad 0,3 beträgt.

b) Vortrag: Hinweise sind im Lehrbuch auf Seite 206 zu

finden. Informationen und Simulationen zum Heißluftmotor

findet man auch im Internet.

10. 426 824 Viertaktmotor

a) Die vier Takte sind im LB S. 207 erläutert.

b) Die Interpretation des Diagramms ist im LB S. 207 zu

finden. Die Idealisierungen beziehen sich insbesondere

auf den gleichmäßigen Verlauf der Graphen bei

den verschiedenen Prozessen.



c) Die rot markierte Fläche ist ein Maß für die Energie,

die „verbraucht“ wird. Die grün markierte Fläche ist

ein Maß für die Energie, die vom Motor abgegeben

wird und die z. B. den Antrieb des Fahrzeugs bewirkt.

11. 417 304 Motoren für Pkw

Präsentation: Die Schwerpunkte für die Darstellung

eines der zwei Verbrennungsmotoren sind in der Aufgabenstellung

genannt. Hingewiesen werden sollte

auch auf Hybridantriebe (Kopplung eines Verbrennungsmotors

mit einem Elektromotor) und auf reine Elektroantriebe.

In der Präsentation sollte hier als Ausblick auf

den aktuellen Entwicklungsstand eingegangen werden.

12. 415 944 Motorkühlung

Der Motor muss gekühlt werden, um die Ausgangsbedingungen

wieder zu erreichen. Nur bei einer Temperaturdifferenz

kann Wärme abgegeben werden. Je

größer diese Differenz ist, desto wirkungsvoller arbeiten

Wärmekraftmaschinen. Kühlmittel sind Wasser und Luft.

13. 415 374 Unterschiedliche Motoren

Der Dieselmotor arbeitet effizienter. Bei beiden Motortypen

erfolgt die Wärmeabgabe an die Fahrzeugumgebung

(und daher mit nahezu gleich niedriger Temperatur).

Beim Dieselmotor ist aber die Betriebstemperatur

höher. Da die maximale zu gewinnende mechanische

Arbeit bei einer Wärmekraftmaschine durch die

Differenz aus Betriebstemperatur und Wärmeabgabetemperatur

bestimmt wird, kann ein Dieselmotor bei

sonst gleichen Bedingungen mehr mechanische Arbeit

als ein Benzinmotor erbringen.

14. 416 174 Wärmekraftmaschinen

a) Die grundsätzliche Wirkungsweise einer Wärmekraftmaschine

besteht darin, dass eine Umwandlung

von Wärme und Arbeit ineinander erfolgt und damit

durch Zufuhr von Wärme mechanische Arbeit verrichtet

werden kann (Bei Kältemaschinen und Wärmepumpen

wird mechanische Energie zugeführt.).

Im dargestellten Fall wird Wärme Q 1 zugeführt. In

der Wärmekraftmaschine erfolgt eine Umwandlung

in mechanische Energie, mit der Nutzarbeit (z. B. der

Antrieb eines Fahrzeugs) verrichtet werden kann.

Ein Teil der zugeführten Wärme wird als Abwärme

an die Umgebung abgegeben. Für die Energiebilanz

gilt:

Q 1 = W + Q 2

Eine Wärmekraftmaschine funktioniert nur, wenn ein

Temperaturunterschied zwischen dem Bereich der

Wärmezufuhr und dem der Wärmeabgabe vorhanden

ist.

b) Darstellung an einem selbst gewählten Beispiel.

15. 417 634 Verschiedene Vorgänge

Näherungsweise reversibel sind rein mechanische

Vorgänge in Natur und Technik, an denen eine relativ

geringe Anzahl von Körpern beteiligt ist.

Beispiel: Pendelbewegung

Dazugehörige Energieumwandlungen: potenzielle Energie

– kinetische Energie – potenzielle Energie.

Als reversibel können auch solche Vorgänge wie die Bewegung

der Planeten um die Sonne angesehen werden.

Da der Lichtweg stets umkehrbar ist, handelt es sich bei

der Ausbreitung von Licht unter Idealbedingungen um

einen reversiblen Vorgang – er könnte auch rückwärts

ablaufen. Meist erfolgen dabei keine unmittelbaren

Energieumwandlungen, d. h., die elektromagnetische

Energie der Lichtwellen bleibt erhalten (z. B. vollständige

Reflexion).

Irreversible Vorgänge laufen unter Beteiligung vieler

Körper/Teilchen ab und sind oft mit der Abgabe von

Wärme an die Umgebung verbunden.

Verbrennen von Holz oder Kohle zu Heizzwecken

Dazugehörige Energieumwandlung: chemische Energie

– innere Energie

Zusammenstürzen eines Sandhaufens

Energieumwandlung: potenzielle Energie – kinetische

Energie – Reibungswärme zwischen den Sandkörnern.

16. 416 184 Irreversibilität

Irreversible Prozesse gehen oft unter Beteiligung großer

Teilchenzahlen und Wärmeabgabe an die Umgebung

vonstatten. Außerdem nimmt bei ihnen der Ordnungszustand

in einem System ab. Diese Merkmale können

– müssen aber nicht gleichzeitig – erfüllt sein, damit ein

irreversibler Vorgang vorliegt.

Beim Zerstampfen von großen Salzkristallen in kleinere

Kristalle nimmt der Ordnungszustand ab und die

Teilchenzahl wird extrem vergrößert. Beim Bremsen

in einem Fahrzeug entweicht Reibungswärme in die

Umgebung, der Ordnungzustand des Systems Fahrzeug

bleibt aber enthalten. Dennoch sind beide Prozesse irreversibel,

da jeweils einige Merkmale der Irreversibilität

auf sie zutreffen.

17. 417 164 Reversibel oder nicht

a) Kurzzeitig kann die Erdrotation als reversibel angesehen

werden. Tatsächlich verringert sich durch

die Gezeitenreibung die Winkelgeschwindigkeit der


Thermodynamik

205

Erde, sodass man langfristig die Erdrotation als irreversibel

ansehen kann.

b) Reversibler Vorgang. Es wird periodisch Energie

zugeführt.

c) Irreversibler Vorgang: Der umgekehrte Vorgang ist

nie beobachtet worden.

d) Reversibler Vorgang: Durch Wärmeabgabe an die

Umgebung verringert sich die Temperatur des Wassers

wieder bis zum Anfangszustand.

18. 416 464 Entropieänderungen

a) Entropie nimmt ab.

b) Entropie nimmt zu.

c) Entropie nimmt ab.

d) Entropie nimmt zu.

Die Begründung kann jeweils mithilfe des veränderten

Ordnungszustandes der Teilchen bei Änderung des

Aggregatzustandes gegeben werden. Die Entropie ist

dabei ein Maß für die Unordnung der Teilchen.

b) Erläuterung an einem selbst gewählten Beispiel.

21. 416 114 Temperaturausgleich

a) Es erfolgt zwischen Körper 1 und Körper 2 ein Temperaturausgleich.

Dabei sinkt die Temperatur von

Körper 1, die von Körper 2 steigt. Es geht Wärme von

Körper 1 auf Körper 2 über. Die innere Energie von

Körper 1 sinkt, die von Körper 2 steigt. Die Gesamtenergie

bleibt gleich.

Im Endzustand liegt ein System aus zwei Körpern

gleicher Temperatur vor.

b) Ein unbeeinflusstes System strebt immer dem

wahrscheinlichsten Zustand zu. Ein System gleicher

Temperatur ist der wahrscheinlichste Zustand.

c) Für die Entropie gilt allgemein: ΔS = Q }

T

Körper 1 gibt die Wärme Q 1 bei der Temperatur T 1

ab. Körper 2 nimmt die Wärme Q 2 (Q 1 = Q 2 ) bei

der Temperatur T 2 auf. Damit erhält man für die

gesamte Entropieänderung:

ΔS = Q } T 2

– Q } T 1

Da T 1 > T 2 ist, erhält man einen positiven Wert für

die Entropieänderung. Das bedeutet: Es erfolgt eine

Zunahme der Entropie.

19. 417 684 Betrag der Entropie

Allgemein gilt für die Entropieänderung ΔS = Q } T . Die

Gleichung ist auf die drei genannten Fälle anzuwenden.

a) ΔS = q S

}

∙ m =

T

b) ΔS = q V ∙ m

} T

c) ΔS = q S ∙ m

} =

T

59 }

kJ ∙ 0,3 kg

kg

} 505 K

= 2 256 kJ

} ∙ 0,2 kg

kg

}} 373 K

270 }

kJ ∙ 700 kg

kg

}}

1 773 K

= 0,035 kJ } K

= 1,21 kJ } K

= 107 kJ }

K

Während sich bei a) und b) die Entropie vergrößert,

wird sie bei c) kleiner. Das kann man auch durch Vorzeichen

verdeutlichen.

22. 417 054 Verschiedene Stoffe

Die Verdampfungswärme von Gold ist wesentlich kleiner

als die von Zinn.

q V, Gold = 1 578 kJ }

kg

23. 418 914 Entropie und Wärme

Q = ΔS · T

Q = 2 }

kJ

kg · 310 K

Q = 620 kJ

q V, Zinn = 2 386 kJ }

kg

20. 415 214 Zunahme von Entropie

a) Natur: Schmelzen von Eis, Verdunsten von Wasser,

Temperaturausgleich innerhalb von kleinen

Bereichen der Atmosphäre, Verfaulen von

Holz.

Technik: Heizen eines Zimmers (Verteilung der

Wärme im Raum), Thermodiffusion, Verbrennen

von Kraftstoff.

Alltag: Lösen von Zucker im Tee oder Kaffee, Mischen

von kaltem und heißem Wasser.

24. 415 714 Entropieexport

Die Betrachtungen werden auf 1 s bezogen.

ΔS

} 1 s = 1017 W

} 5800 K – 1017 W

} 260 K

ΔS = 1017 Ws

} 5800 K – 1017 Ws

} 260 K

ΔS = –3,7 · 10 14 J }

K


206 Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs (LB S. 228)

25. 416 274 Entropie und Mensch

a) b LB S. 216

b) Die Abgabe von Entropie an die Umgebung ist

lebensnotwendig. Geht man davon aus, dass sich ein

Mensch in der Regel in einem Gleichgewichtszustand

befindet, so muss die bei Verdauungs- und Entwicklungsprozessen

produzierte Entropie an die Umgebung

abgegeben werden. Wäre das nicht der Fall,

so befände sich der menschliche Körper schnell weit

weg von einem Gleichgewichtszustand. Der Mensch

würde sterben.

26. 418 424 Wärmetod

Kurzreferat: Dabei sollte herausgearbeitet werden, dass

es um die Betrachtung eines Systems geht. Wenn das

Universum ein abgeschlossenes System ist, dann nimmt

in ihm die Entropie ständig zu. Irgendwann müsste das

Universum und damit auch die Erde einen Zustand erreichen,

bei dem ein vollständiger Temperaturausgleich

zwischen allen Objekten eingetreten ist. Das gesamte

Universum wäre dann ein System mit sehr niedriger

Temperatur. Es würden keinerlei Veränderungen mehr

im System vor sich gehen. Leben wäre damit nicht mehr

möglich. Dieser Zustand wird als Wärmetod bezeichnet.

Strahlungsgleichgewicht und Strahlungsgesetze

(LB S. 228)

1. 418 934 Strahlungsgleichgewicht

Nicht im Strahlungsgleichgewicht zu sein würde bedeuten:

Die Erde gibt entweder mehr Energie ab, als sie

aufnimmt, oder weniger. Im ersten Fall würde sich die

Energie der Erde verringern und damit eine Abkühlung

erfolgen. Im zweiten Fall würde sich die Energie der

Erde vergrößern und damit eine Erwärmung erfolgen.

2. 416 534 Sternfarben

a) Von der Oberflächentemperatur eines Sterns ist es

abhängig, in welchem Bereich des Spektrums das

Strahlungsmaximum liegt und welcher Farbeindruck

demzufolge hervorgerufen wird. Ähnlich wie bei

glühenden Körpern gilt:

rot: relativ niedrige Temperatur (≈ 4000 K)

gelb: höhere Temperatur (≈ 6000 K)

bläulich: sehr hohe Temperatur (≈ 15 000 K)

In der Astronomie werden die Sterne nach ihrer

Farbe in Spektralklassen eingeteilt. Jeder der Spektralklassen

(Farben) kann ein Temperaturbereich

zugeordnet werden.

b) Da bei hohen Temperaturen das Strahlungsmaximum

außerhalb des sichtbaren Bereichs liegt, kann es trotz

unterschiedlicher Oberflächentemperaturen zu ähnlichen

Farbeindrücken kommen.

3. 413 874 Die Sonne

Das Gesetz von STEFAN und BOLTZMANN lautet:

P = σ ∙ A ∙ T 4

Mit σ = 5,67 ∙ 10 –8 W

} , einem mittleren Sonnenradius

m 2 ∙ K4 von 696 000 km und einer Oberflächentemperatur von

5 780 K erhält man:

P = 5,67 ∙ 10 –8

P = 3,85 ∙ 10 26 W

W

}

m 2 ∙ K 4 ∙ 4 π ∙ (6,96 ∙ 108 m) 2 ∙ (5 780 K) 4

Dieser Wert entspricht dem Tabellenwert.

4. 417 934 Hell oder dunkel

Das Problem kann mithilfe der Strahlungsgesetze gelöst

werden, wobei man mit Modellen arbeiten muss, wenn

man die Strahlungsgesetze anwenden will.

Das Ergebnis lautet: Stehen die beiden Autos so lange

an einem Ort, dass sich ein Strahlungsgleichgewicht mit

der Umgebung herausbilden kann, dann erhitzen sie

sich wegen des kirchhoffchen Gesetzes näherungsweise

auf die gleiche Innentemperatur. Allerdings bildet sich

dieser Gleichgewichtszustand für das schwarze Auto

schneller heraus, da es während des Erwärmungsvorgangs

pro Zeiteinheit mehr Strahlungsenergie aus der

Umgebung aufnimmt (Absorptionsgrad a = 1).

Die fachliche Begründung könnte man folgendermaßen

geben: Vereinfachend betrachten wir das schwarze

Auto als schwarzen Körper, das weiße Auto als beliebigen

Körper mit dem Emissionsgrad e. Die Temperatur

im Auto kann sich nicht mehr ändern, wenn die pro

Zeiteinheit vom erhitzten Auto emittierte Strahlung

gleich derjenigen Strahlung ist, die das Auto pro Zeiteinheit

von seiner Umgebung erhält. Wir bezeichnen

die Temperatur des Autos mit T A und die Temperatur

der Umgebung mit T U . Dabei ist zu beachten, dass T U

nicht allein die Sonnentemperatur und auch nicht allein

die Lufttemperatur ist, sondern ein gemittelter Wert,

der sich aus der Oberflächentemperatur aller Körper in

der Umgebung des Autos, der Lufttemperatur und der

Sonnenstrahlungstemperatur zusammensetzt.

Das schwarze Auto strahlt mit der Strahlungsleistung

P = σ ∙ A ∙ T A 4 (1)

und empfängt aus der Umgebung die Strahlungsleistung

P = σ ∙ A ∙ T U 4 (2)


Thermodynamik

207

Daraus folgt für den Gleichgewichtszustand

(1) = (2) : T A = T U .

Das weiße Auto emittiert als realer Körper mit dem

Emissionsgrad e:

P = e ∙ σ ∙ A ∙ T A 4 (3)

Die Umgebung, die man immer als schwarzen Körper

ansehen darf, emittiert dem Auto folgende Strahlungsleistung

zu:

P = A ∙ σ ∙ T U 4 (4)

Unter der Annahme, dass die absorbierende Fläche

nur ein Viertel der abstrahlenden Fläche beträgt,

gilt:

P e = e ∙ A e ∙ σ ∙ (T K 4 – T U 4 )

T K = 4 √ }}}}

84 W

}}} + (293

0,7 ∙ 4 ∙ 0,15 m 2 ∙ 5,67 ∙ 10 –8 }

W K)4

m 2 ∙ K 4

T K = 323 K

θ K = 50 °C.

Allerdings absorbiert das Auto davon nur den Anteil a,

entsprechend dem Absorptionsgrad a seiner Oberfläche:

P = a ∙ A ∙ σ ∙ T U 4 (5)

Im Gleichgewicht gilt somit:

e ∙ A ∙ σ ∙ T 4 A = a ∙ A ∙ σ ∙ T 4

U

Wegen des kirchhoffchen Strahlungsgesetzes ist aber

immer e = a und deshalb auch für das weiße Auto

T A = T U .

6. 416 984 Treibhauseffekt

a) b siehe LB S. 224, Abb.1

b) Vortrag zum Treibhauseffekt: Genutzt werden kann

auch die Darstellung im Lehrbuch, S. 224–225. Die

in der ersten Auflage des Lehrbuchs auf Seite 225 in

Abb. 3 dargestellte Gesamtbilanz ist schwierig zu interpretieren.

Einfacher überschaubar ist die folgende

Darstellung:

100 % 30 %

10 % 60 %

5. 417 654 Sonnenstrahlung

a) 0,7 ∙ S = P } A

P = A ∙ 0,7 ∙ S

20 %

P = 0,15 m 2 ∙ 0,7 ∙ 0,8 kW }

m 2

P = 84 W = 84 J }

s

50 %

b) Q = m ∙ c ∙ Δθ

Δθ = }

Q m ∙ c

Δθ = 84 J

}}

J

2 kg ∙ 4 190 }

kg ∙ K

Δθ = 0,01 K (Temperaturanstieg pro Sekunde)

θ E = θ A + 0,01 }

K s ∙ t

θ E = 20 °C + 0,01 }

K s ∙ 3 ∙ 3600s

θ E = 128 °C

Diese Endtemperatur ist nicht möglich, da das Wasser

vorher verdampfen würde. Dieses nummerische

Ergebnis kommt deshalb zustande, weil die Temperaturstrahlung

des Wassers vernachlässigt wurde.

Hinweis: Nachfolgend wird eine Modellrechnung

angegeben, die mit den Schülern besprochen werden

könnte. Es wird die Frage untersucht, welche

Temperatur sich mit Berücksichtigung der Temperaturstrahlung

einstellen würde.

7. 417 444 Globale Erwärmung

a) Aktuelle Informationen findet man im Internet unter

solchen Suchwörtern wie „Globale Erwärmung“,

„Klimawandel“ oder „Treibhauseffekt“. Es sollte

auch darauf verwiesen werden, dass einige Thesen

zur globalen Erwärmung kontrovers diskutiert

werden und angegebene Temperaturwerte und

mögliche Auswirkungen einer globalen Erwärmung

Prognosen sind, die auf der Grundlage von Modellen

gewonnen wurden. Sie spiegeln unseren jetzigen

Erkenntnisstand wider.

b) Präsentation zur globalen Erwärmung

c) Diskussion zum Klimaschutz: Es ist sinnvoll, den Akzent

darauf zu legen, welchen Beitrag jeder Einzelne

zum Klimaschutz leisten kann.

P a = P e = 84 W





209

3.4 Elektrizitätslehre und

Magnetismus

Der Gleichstrom – Grundlagen

(LB S. 235 – 237)

6. 410 194 Spannungsteiler

a)

R 1

R 2

1. 410 294 Ohmsches Gesetz

I = U }

R

2. 418 684 Länge eines Drahts

Für einen metallischen Leiter gilt das Widerstandsgesetz

R = }

ρ · l

A .

Dabei ist ρ der spezifische elektrische Widerstand des

Materials und beträgt für Kupfer 0,017 Ω · mm 2 · m –1 .

l = }

R · A

ρ

2) 2

l = R · π ( d

}

ρ

b) Bei Reihenschaltung gilt:

R } 1

= U 1

R }

2 U 2

U 2 = U 1 · R 2

}

R 1

U 2 = 12 V ·}

100 Ω

50 Ω = 24 V

c) z. B. zur Anpassung des Messbereichs eines

Messgeräts.

7. 419 364 Voltmeter

Vor das Messwerk wird ein Widerstand R geschaltet.

R

72 Ω · π · (0,2 mm)2

l = }}

0,017 Ω · mm 2 · m –1

l = 532 m

3. 410 024 Parallelschaltung

Es gilt:

U = U 1 = U 2 und I = I 1 + I 2

Der Widerstand muss so gewählt werden, dass 1 V am

Messwerk und 9 V am Widerstand abfallen.

8. 410 124 Gesamtwiderstand

U

Daraus folgt:

I

}

U = }

I1 U + }

I2 U = I 1

} + I 2

U };

1 U 2

4. 410 364 Reihenschaltung

1

}

R = 1 }

R 1

+ 1 }

R 2

Für die Berechnung des Gesamtwiderstands zwischen

den Punkten A und B zeichnet man das Schaltbild in

einer übersichtlicheren Form und vereinfacht es durch

Ersatzschaltungen, z. B.:

3 Ω

Es gilt U = U 1 + U 2 und I = I 1 = I 2

Daraus folgt:

U

} I

= }

U1

I

+ }

U2

I

= U 1

}

+ U 2

I };

1 I 2

A

2 Ω

B

R = R 1 + R 2

R 4

5. 410 554 Zwei Widerstände

Gesamtwiderstand: R = R 1 · R 2 50 Ω · 100 Ω

} =

R 1 + R } = 33 Ω

2 50 Ω

Gesamstromstärke: I = }

U R = }

12 V

33 Ω = 0,36 A

Teilstromstärke: I 1 = 0,24 A

I 2 = 0,12 A

Die Spannung ist an den beiden Widerständen gleich

groß.

1

2

1 Ω

R 2 1 Ω

1 Ω R 3

R 1

3

2

R 12 = } Ω

R 123 = } Ω

1 Ω



3 Ω

(3) R ges = R 2 + R 1/3

R 1

R ges = R 2 + R 1 · R } 3

R 1 + R 3

A

B

R 2

R 3

R ges = 20 Ω +

10 Ω · 30 Ω

}

10 Ω + 30 Ω

6

2 Ω

R' 1 Ω

2

3

} Ω

2

R' 3

R' 1

6

R' 12 = } Ω

R 123 = 1 }

7

Ω R

7 ges = 1 Ω

34

5 }

R ges = 27,5 Ω

(4) R ges = R 3 + R 1/2

R 3

R 1

R 2

R ges = R 3 + R 1 · R 2

} R 1 + R 2

R ges = 30 Ω +

R ges = 36,7 Ω

10 Ω · 20 Ω

}

10 Ω + 20 Ω

9. 410 014 Spannungsmessung

A

R 3

U

R 2 R 1

V

(5) 1 }

R ges

= 1 }

R 1

+ 1 }

R 2

+ 1 }

R 3

R 1

R 2

R 3

1 1

} = }

R ges 10 Ω + 1

}

20 Ω + 1

}

30 Ω

1

} =

R

}

11

ges 60 Ω–1

R ges = 5,5 Ω

oder

(6) 1 } R = 1 } R 1/2

+ 1 } R 3

U

R 3

R 2 R 1

A

V

R 1

R 3

R 2

1

}

R = 1

} R 1 + R + }

1 2 R 3

R = (

1

} + }

1 R 1 + R 2 R 3

) –1

R = (

1

}

10 Ω + 20 Ω + 1

} 30 Ω) –1

R = 15 Ω

10. 410 174 Widerstände kombiniert

a) Mit den drei zur Verfügung stehenden Widerständen

lassen sich verschiedene Gesamtwiderstände realisieren.

(7) R = (

1

} +

R 1 + R }

1 3 R 2

) –1

R = (

1

}

10 Ω + 30 Ω + 1

} 20 Ω) –1

R 1 R 3

R = 13,3 Ω

R 2

(1) R ges = R 1 + R 2 + R 3

R 1 R 2 R 3

R ges = 10 Ω + 20 Ω + 30 Ω

R ges = 60 Ω

(8) R = (

1

} +

R 2 + R }

1 3 R 1

) –1

R R = (

1

}

20 Ω + 30 Ω + 1

} 10 Ω) –1

3

R 2

R 1

(2) R ges = R 1 + R 2/3

R = 8,3 Ω

R 1

R 2

R 3

R ges = R 1 + R 2 · R 3

}

R 2 + R 3

R ges = 10 Ω +

R ges = 22 Ω

20 Ω · 30 Ω

}

20 Ω + 30 Ω

b) Die Stromstärke besitzt an jedem Punkt der Reihenschaltung

den gleichen Betrag. Für ihn gilt:

I = }

U R ges

I = }

100 V

60 Ω = 1,67 A

Folgende Teilspannungen fallen an der Widerständen

ab: U i = R i · I



211

U 1 = 10 Ω · 1,67 A = 16,7 V

13. 410 424 Potenziometerschaltung

U R U

U

U 2 = 20 Ω · 1,67 A = 33,4 V

a) Es gilt: I = } und U

R 1 + R L = R 2 · I

2

U 3 = 30 Ω · 1,67 A = 50,1 V

U

R 2 R 1

c) Sind die Widerstände parallel geschaltet, so fällt an

jedem die Spannung U ab. Für die Teilströme gilt

dann:

I i = }

U R i

U L

Eliminieren der Stromstärke liefert die Beziehung

I 1 = }

100 V

10 Ω = 10 A

für die Spannung U L , im Falle eines unbelasteten

Potenziometers:

I 2 = }

100 V

20 Ω = 5 A

R

U L = U · } 2

R 1 + R 2

I 3 = }

100 V

30 Ω = 3,3 A

b)

U

d) Reihenschaltung Parallelschaltung

R 2 R 1

P = (U 1 + U 2 + U 3 )· I P = (I 1 + I 2 + I 3 )· U

P = 100 V · 1,67 A

P = 18,3 A · 100 V

R L ,U L

P = 167 W

P = 1830 W

Da R 2 und R L parallel geschaltet sind, errechnet sich

ihr Gesamtwiderstand R 2L zu:

11. 410 324 Passende Widerstände bilden

R 2L = R 2 · R } L

R 2 + R L

R = (230 V – 12 V )·}

12 V

50 W = 52 Ω 10 Ω

Ersetzen des Widerstandes R 2 in der Gleichung für

5 Ω

den unbelasteten Fall durch den Widerstand

10 Ω

R 2L liefert die gesuchte Abhängigkeit.

50 Ω

R

U

35 Ω

10 Ω

L = U · } 2L

R 1 + R 2L

50 Ω

R

U L = U ·

2 · R }}

L

(R

10 Ω

2 + R L )· ( R 1 + R 2 · R } L

R 2 + R L

)

105 Ω 50 Ω 50 Ω

R

10 Ω

U L = U · }} 2

R 1 + R 2 + R 1 · R } 2

R L

12. 418 384 Anschlussmöglichkeiten

c) Mit R = R 1 + R 2 folgt:

R

U

Zur Inbetriebnahme der Lampe kann entweder ein

L = U · } 2

R + (R – R 2) · R } 2

R L

Transformator oder ein Vorwiderstand verwendet

werden.

Beim Transformator muss das Verhältnis der Windungszahlen

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt die

Gleichungen der darzustellenden Graphen.

dem Verhältnis der Spannungen entsprechen.

R

U 0

Bei Verwendung eines Vorwiderstands gilt:

R = U 0

}

– U und mit I = P I

} U : R = (U 0 – U )· }

U P

Für den gegebenen Fall erhält man:



30,0

25,0

U

U L in V

U L (R L = 25 Ω)

U L (R L = 110 Ω)

U L (R L ∞)

15. 410 234 Autoscheinwerfer

a) Halogenlampe H 4: I = }

P U = }

60 W

12 V = 5,0 A

Xenonlampe: I = }

35 W

12 V = 2,9 A

I = 50 W }

24 V = 2,1 A

15.0

Energiesparlampe:

I = 20 W }

230 V = 0,09 A

10.0

5.0

Glühlampe:

I = }

100 W

230 V = 0,44 A

Die Stromstärke ist bei Pkw-Lampen erheblich größer

als bei Energiesparlampen (oder Glühlampen) im

Haushalt.

0,0

0 20 40 60 80 R

R 2 in Ω

b) Für die Pkw-Lampen ergibt sich folgende Lichtausbeute

(Lichtstrom/Watt):

U L (R L = 110 Ω) = 20 V · }}

100 Ω + (100 Ω – R 2) · R }} 2

110 Ω

R

U L (R L = 25 Ω) = 20 V · }}

2

100 Ω + (100 Ω – R 2 ) · R 2

}}

25 Ω

U L (R L ⇒ ∞) = 20 V · R 2

}

100 Ω

d) Die Kurve U L geht unabhängig von dem Widerstand

R L durch die Punkte (0/0) und (R/U). Bei unbelastetem

Potenziometer (R L → ∞) ergibt sich eine Gerade, die

bei Belastung umso mehr „durchhängt“, je kleiner

der Widerstand R L ist, d. h. je mehr das Potenziometer

vom Verbraucher belastet wird.

14. 410 484 Schaltkreis

Es gilt: I =

A

U

} R 1 + R 2

und U L = R 2 · I

Die Punkte A und B sind leitend (Widerstand 0 Ω)

miteinander verbunden, daher beträgt die Spannung

zwischen ihnen 0 V. Folglich sind die Spannungen an

den 25-Ω-, 4-Ω- und 10-Ω-Widerständen alle null. Die

Spannung von 12 V liegt am 100-Ω-Widerstand an.

I = U } R = 0,12 A

Die Stromstärke durch den 25-Ω-Widerstand ist 0 A.

A

B

R 2

Halogenlampe: 15 –20 lm } W

Xenonlampe: 80 –100 }

lm W

Das bedeutet für die drei Lampen:

60 W: 900 –1200 lm

35 W: 2800 – 3500 lm

50 W: 4000 – 5000 lm

16. 410 214 Wasserkocher

a) P = U · I

I = }

P U

I = }

800 W

230 V = 3,5 W

b) Die erforderliche Energie kann mithilfe der Leistungsdefinition

berechnet werden.

P = }

E t

t = }

E P

t = }

c · m · ΔT

P

t = 4,19 · 103 }

J · 0,5 kg ·57 K

kg · K

}}

800 W

t = 2,5 min

c) t ‚ = }

c · m · ΔT

P ‚

t ‚ = }

t 0,8

t ‚ =

2,5 min

} 0,8

t ‚ = 3,1 min

(P ‚ = 0,8 P)

Durch die Heizspirale fließt ein Strom von ca. 3,5 A.

Sieht man von Energieverlusten ab, so erreicht das

Wasser nach etwa 2,5 min die Temperatur θ 2 . Liegt

der durchschnittliche Wirkungsgrad η = 0,8 vor, so

dauert der Erwärmungsvorgang ungefähr 3,1 min.



213

17. 410 104 Verzweigter Stromkreis

Es gilt P = U · I.

Da U = konst = in beiden Verzweigungsarmen gleich,

teilt sich E proportional zu I auf.

20. 414 804 Innenwiderstand

Spannungsquelle

– +

R i

U i

U i

18. 410 284 Bedeutung der Stromversorgung

a) Argumente, die für diese Aussage sprechen, sind

z. B.:

− Fast alle Haushaltsgeräte werden mit elektrischer

Energie betrieben.

− Moderne Elektronik, die heute in allen Bereichen

des täglichen Lebens, der Technik und der Industrie

umfangreich genutzt wird, funktioniert nur

mit elektrischer Energie.

− Elektrische Energie kann aus verschiedenen

Energieformen gewonnen und leicht in viele

Energieformen umgewandelt werden.

− Elektrische Energie lässt sich gut über größere

Entfernungen transportieren und verteilen.

Gegenargumente sind:

− Die starke Abhängigkeit von elektrischer Energie

kann bei Ausfall der Energiezufuhr zu erheblichen

Komplikationen bis hin zu Katastrophen führen.

− Der größte Anteil der im Haushalt genutzten

Energie wird für die Heizung verwendet. Hier sind

Öl und Gas die entscheidenden Energieträger. Der

zweitgrößte Anteil betrifft den Kraftfahrzeugverkehr.

Hier sind Benzin und Diesel die entscheidenden

Energieträger.

b) Erkundungsaufgabe: Im Internet sind z. B. unter dem

Suchwort „Stromausfall“ Beispiele zu finden.

c) Präsentation:

Hier können die Schüler ihrer Fantasie freien Lauf

lassen. Es sollte deutlich werden, was alles ohne

Strom nicht funktioniert und wie abhängig wir von

dieser Energieform sind.

19. 410 344 Alltagssprachliche Bedeutung

Beispiele für Formulierungen aus der Umgangssprache

sind neben dem in der Aufgabe genannten Beispiel:

− Er ist geladen.

− Er hat einen geladen.

− Sie führt eine spannungsreiche Diskussion.

− Sie steht unter Hochspannung.

− Er setzt dieser Position Widerstand entgegen.

Subtrahieren der am Innenwiderstand R i abfallenden

Spannung U i von der Leerlaufspannung U 0 ergibt die

Klemmspannung U k .

U k = U 0 – R i · I

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte führt auf ein

eindeutig lösbares Gleichungssystem:

I) 24,6 V = U 0 – 12 mA · R i

II) 24,3 V = U 0 – 25 mA · R i

Der innere Widerstand R i der Spannungsquelle errechnet

sich zu 23 Ω, die Leerlaufspannung U 0 beträgt ca.

24,9 V.

21. 410 444 Lebensgefahr

a) Der Widerstand zwischen beiden Händen beträgt

1200 Ω. Mit dem Grenzwert von 20 mA = 0,020 A

erhält man:

U = I · R

U = 0,020 A · 1 200 Ω = 24 V

Bei 25 V bleibt man in der Regel weit unter dem

Grenzwert, da an den Händen noch ein Übergangswiderstand

besteht, der aber bei feuchten Händen

sehr klein sein kann.

b) Bei Netzspannung (U = 230 V) und einem Widerstand

von 1 200 Ω ergibt sich für die Stromstärke:

I = }

U R

I = }

230 V

1200 Ω

I = 0,19 A = 190 mA

Dieser Wert liegt weit über dem Grenzwert und

kann insbesondere durch die Beeinflussung der Herztätigkeit

lebensgefährlich sein.

c) I = }

Q t

I = 0,01 · 10–3 As

} 0,1 s

U K

I = 0,1 mA

Diese Stromstärke ist ungefährlich. Sie liegt weit

unter dem Grenzwert von 20 mA.



d) Die Gefahr besteht vor allem darin, dass es durch 23. 420 164 Akku eines Handys

N = 9 · 10 22 Durch den einzelnen Widerstand bei R 2 fließt demzufolge

jeweils ein Drittel der Stromstärke.

den (ungefährlichen) elektrischen Schlag zu einer

Schreckreaktion kommt und man sich dadurch erheblich

verletzen kann.

Aus E = U · I · t folgt: I = }

E U · t

Zu ergänzen sind innerhalb von 30 min = 30 · 60 s die

fehlenden 90 % der maximal möglichen Energie von

22. 410 474 Akkumulatoren

5,6 Wh oder 5,6 · 3600 Ws:

5,6 · 3600 Ws

I = }}

3,7 V · 30 · 60 s · }

9

10

a) Angegeben sind maximale Spannung und gespeicherte

Ladung. Die Angabe 70 Ah bedeutet, dass

I = 2,7 A

die Autobatterie 70 h lang eine Stromstärke von 1 A

hervorrufen kann. Die Spannung zwischen den Polen

beträgt 12 V.

24. 424 914 Knotensatz

Der abgebildete Nickel-Metall-Hybrid-Akkumulator

kann bei 1,2 V über eine Zeit von 1 800 Stunden eine

Stromstärke von 1 mA liefern.

b) Wir gehen davon aus, dass die Batterie beim Abstellen

Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der

Summe der abfließenden Ströme:

I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5

des Pkw voll geladen ist und die Kenn daten

12 V/70 Ah hat. Es leuchten insgesamt vier Glühlampen

mit den Kenndaten 12 V/5 W. Sie leuchten 25. 410 394 Maschensatz

insgesamt 9,5 Stunden.

Durch eine Glühlampe fließt bei U = konstant = 12 V U 1 + U 2 + U 3 = 0

eine Stromstärke von:

I = }

P U = }

5 W 12 V = 0,42 A

26. 419 824 Eine Ersatzschaltung

Da die Glühlampen parallel geschaltet sind, fließt

eine Gesamtstromstärke von:

a) Die Ersatzschaltung sollte schrittweise entwickelt

I = 4 ·}

5 W 12 V = 1,67 A

werden:

In 9,5 Stunden beträgt demzufolge die abgeflossene

Ladung:

R 1

Q = I · t

R 2 R 3

Q = 1,67 · 9,5 h = 15,9 Ah ≈ 16 Ah.

30 % der Batteriekapazität sind 21 Ah, vorhanden

sind demzufolge noch 70 Ah – 16 Ah = 54 Ah. Ein

Kaltstart müsste sicher möglich sein.

R 1 ,R 2 ,R 3

c) Durch eine Glühlampe fließt eine Ladung von:

Q = }

P U · t

b) Für R 2 erhält man:

Q = }

5 W 1

· 9,5 h ~ 4,0 Ah

} = }

1

12 V R 2 R + }

1 R + }

1 R

Die Anzahl der Elektronen ergibt sich über einen

einfachen Ansatz:

1 e = 1,6 · 10 –19 As

N · e = 4,0 · 3600 As

Daraus folgt:

R 2 = }

R 3

Der Gesamtwiderstand beträgt somit:

R gesamt = R + }

R 3 + R = }

7 3 R

R gesamt = }

7 ∙ 25 Ω = 46,7 Ω

3

c) Die Stromstärke durch R 1 und R 2 ist gleich groß.

d) Für die Stromstärke gilt: I = }

U R

I = }

12 V

46,7 Ω = 0,26 A



215

27. 410 544 Wasserkraftwerke

a) Lageenergie des Wassers, Bewegungsenergie des

Wassers. Bewegungsenergie der Rotoren im Generator,

elektrische Energie.

b) 84 m 3 haben eine Gewichtskraft von 840000 N und

eine Lageenergie von 168 MJ.

Bei einer Abgabe von 124 MW ergibt sich ein Wirkungsgrad

von }

124

168 = 74 %

28. 410 064 Energiesparen

Heizung:

sinnvolles Lüften, geringe Zimmertemperatur ...

Beleuchtung:

Energiesparlampen einsetzen, nicht unnötig Licht brennen

lassen, Beleuchtung der Situation anpassen, ...

Kühlschrank:

entsprechend der Temperaturzonen bestücken, Tür nur

selten und kurz öffnen, im Winter Balkon als Kühlschrank

nutzen, ...

Elektrische Leitungsvorgänge

(LB S. 261 – 263)

1. 418 494 Verschiedene Modelle

a) Teilchenmodell: In einem metallischen Leiter befinden

sich Metallionen und freie Elektronen. Diese

bewegen sich aufgrund der Temperatur regellos.

Bändermodell: Das Bändermodell charakterisiert die

Energiezustände von Elektronen in einem Metall. Infolge

der Wechselwirkungen zwischen den Atomen

sind die energetischen Zustände von Elektronen

nicht durch diskrete Werte, sondern durch Energiebereiche

(Bänder) gekennzeichnet.

b) Teilchenmodell: Liegt an einem Leiter keine Spannung

an, so bewegen sich die freien Ladungsträger

regellos. Nach Anlegen einer Spannung bewegen

sich die ungebundenen Elektronen in eine Vorzugsrichtung,

es fließt ein elektrischer Strom. Behindert

wird diese gerichtete Bewegung durch Zusammenstöße

der freien Ladungsträger mit den Metallionen.

Bändermodell: Bei Metallen überschneiden sich ab

einer bestimmten Höhe die Potenzialtrichter, weshalb

manche Energiebänder durchgehend werden.

Befindet sich eine Ladung in einem solchen Band,

dem Leitungsband, dann ist sie nicht an einen Gitterpunkt

gebunden, sondern kann sich durch das gesamte

Metallgitter bewegen. Es fließt beim Anlegen

einer Spannung ein Strom.

2. 417 744 Unbekanntes Bauelement

a) Dargestellt ist der Zusammenhang zwischen der

angelegten Spannung U und der dann fließenden

Stromstärke I. Je größer die Spannung ist, desto größer

ist auch die Stromstärke. Es besteht aber keine

direkte Proportionalität.

Bei gleichmäßiger Zunahme der Spannung wächst

die Stromstärke überproportional.

b) Der Widerstand in einem Punkt ergibt sich aus dem

Anstieg der Tangente in diesem Punkt. Aus Spannungsänderung

und Stromstärkeänderung erhält

man:

bei 15 V: 580 Ω

bei 30 V: 380 Ω

Das bedeutet: Mit zunehmender Spannung verringert

sich der Widerstand.

Hinweis: Berechnet man den Widerstand aus Spannung

und Stromstärke, dann erhält man

bei 15 V: R = }

15 V

20 mA = 750 Ω

bei 30 V: R = 30 V }

50 mA = 600 Ω

c) Nein. Bei einem metallischen Leiter vergrößert sich

der Widerstand mit der Temperatur, die sich ihrerseits

mit der Stromstärke vergrößert.

3. 418 764 Metallfadenlampe

Im Diagramm ist der Zusammenhang zwischen Spannung

und Stromstärke dargestellt.

Je größer die Spannung ist, desto größer ist die Stromstärke.

Mit zunehmender Spannung wird der Anstieg

der Stromstärke immer geringer.

Zwischen Spannung und Widerstand besteht folgender

prinzipielle Zusammenhang:

R

U



4. 418 174 Widerstandsthermometer

a)

Messwiderstand

A

U

Feldes zur Katode, die negativ geladenen Cl – -Ionen

(Anionen) gelangen zur Anode. Somit fließt durch

die Flüssigkeit ein elektrischer Strom.

Der entscheidende Unterschied zur Leitung in Metallen

ist, dass bei der Flüssigkeitsleitung nicht nur

Elementarladungen, sondern auch Stoff transportiert

wird.

b) Wirkungsweise: Unterschiedliche Temperatur am

Messfühler (Messwiderstand) bewirkt unterschiedlichen

elektrischen Widerstand des Messwiderstands

und damit unterschiedliche elektrische Stromstärke

(U = konstant). Wird eine Eichung des Strommessers

vorgenommen, zeigt er direkt die Temperatur an.

c) Bei einem Heißleiter nimmt bei U = konstant die

Stromstärke mit der Temperatur zu, bei einem Kaltleiter

nimmt sie ab. Damit sind grundsätzlich beide

Bauelemente als Sensoren geeignet. Vorzuziehen ist

aber ein Kaltleiter, weil bei den meisten Kaltleitern

ein Bereich existiert, in dem sich die Stromstärke

gleichmäßig mit der Temperatur ändert.

5. 416 694 Supraleiter

Vortrag zu Supraleiter: Es sollte auch oft wichtige Entwicklungsetappen

eingegangen werden, etwa

− auf die Entdeckung der Supraleitung durch den

niederländischen Physiker HEIKE KAMERLINGH ONNES bei

Quecksilber im Jahr 1911,

− auf die Entdeckung der Hochtemperatur-Supraleitung

durch G. BEDNORZ und K. A. MÜLLER (1986).

Als Anwendungen bieten sich an:

− supraleitende Kabel,

− Magnete in Teilchenbeschleunigern (LHC Genf) oder

in der Medizin (bei Computertomografen).

6. 418 074 Leitung in Flüssigkeiten

a) Für die gesuchten Dissoziationen gelten die folgenden

Reaktionsgleichungen:

NaCl g Na + + Cl –

H 2 SO 4 g 2 H + + SO 4

2–

HNO 3 g H + + NO 3

–

CuSO 4 g Cu 2+ + SO 4

2–

MgCl 2 g Mg 2+ + 2 Cl –

b) Beim Lösen des Kochsalzes dissoziieren die NaCl-

Moleküle zu Na + - und Cl – -Ionen. Legt man an den so

entstehenden Elektrolyten eine elektrische Spannung

an, dann wandern die positiv geladenen Na + -

Ionen (Kationen) unter der Wirkung des elektrischen

c) Genutzt werden die Leitungsvorgänge in Flüssigkeiten

z. B. bei der Verkupferung von Metallen, bei der

Elektrolackierung oder auch bei der Metallgewinnung.

Eine Möglichkeit, um metallische Körper zu galvanisieren,

also mit einer dünnen Metallschicht zu

überziehen, stellt die Verkupferung dar. In Wasser

gelöstes Kupfersulfat (CuSO 4 ) dissoziiert in Cu 2+ - und

SO 2–

4

-Ionen. Der zu verkupfernde, in die Lösung getauchte

Gegenstand wird an die Katode einer Spannungsquelle

angeschlossen, worauf die Kupferionen

von ihm angezogen werden. Die Schmelzflusselektrolyse

ist ein besonderes Verfahren der Metallgewinnung,

das ebenfalls auf der Leitung in Flüssigkeiten

beruht. Bei der Elektrolackierung lagern sich die

negativ geladenen Wasser-Lack-Teilchen an der auf

positivem Potenzial liegenden Karosserie ab.

Unerwünscht sind die Leitungsvorgänge in Flüssigkeiten

z. B. bei nass gewordenen Elektrogeräten oder

Zuleitungen. Die elektrische Leitung im Wasser kann

einen Kurzschluss hervorrufen oder im schlimmsten

Fall sogar tödlich sein. Dies ist der Fall, wenn der

Strom beim Anfassen des Geräts oder des Kabels

nicht über den Nullleiter, sondern über den menschlichen

Körper abfließt.

7. 419 274 Leitende Luft

Damit Luft leitend wird, muss eine Ionisierung der Luft

erfolgen. Das kann in unterschiedlicher Weise geschehen:

− Die Luft wird stark erhitzt.

− Die Luft wird durch Strahlung ionisiert.

− Es liegt zwischen zwei Körpern eine solch hohe Spannung

an, das die Luft zwischen ihnen durch elektrische

Vorgänge ionisiert wird.

Letzteres ist z. B. bei Funkenüberschlägen oder

Blitzen der Fall. Durch Vorentladungen bildet sich

infolge Stoßionisation ein Blitzkanal aus, durch den

die Hauptentladung erfolgt.

8. 418 474 Energiesparlampen

Kurzvortrag zu Aufbau und Wirkungsweise: Energiesparlampen

sind Leuchtstofflampen. Der Aufbau kann

anhand einer Skizze beschrieben werden.



217

Drosselspule

230 V b)

Lichtschalter

S1 S2 L1 L2

zu auf X –

auf zu – X

zu zu X X

Starter

c) Experiment

Bei der Wirkungsweise sollte insbesondere auf die Rolle

des Leuchtstoffs, mit dem die Lampen innen beschichtet

sind, eingegangen werden. Durch diesen Leuchtstoff

wird ein Großteil der in der Röhre entstehenden ultravioletten

Strahlung in sichtbares Licht umgewandelt.

Gleichzeitig wird durch ihn die Farbe des Lichts bestimmt.

9. 415 614 Metalle und Halbleiter

Gemeinsamkeiten: Wird eine Spannung angelegt, so

bewegen sich sowohl im Drahtwiderstand als auch im

Halbleiter Ladungen gerichtet durch einen Leiterquerschnitt.

Unterschiede: Bei einem Drahtwiderstand sind die

Ladungsträger Elektronen, bei einem Halbleiter Elektronen

oder Löcher.

12. 415 124 Gleichrichterschaltung

Jede Gleichrichterschaltung besitzt den gleichen grundsätzlichen

Aufbau. An der Primärseite eines Transformators

liegt eine Wechselspannung an, die nach Passieren

der Gleichrichtereinheit als Gleichspannung abgegriffen

werden kann.

Je nachdem, ob die gleichrichterseitige Wicklung der

Transformatoreinheit in eine oder in zwei Richtungen

vom Strom durchflossen wird, spricht man von einer

Einweg- oder einer Zweiweggleichrichterschaltung.

a) Die Einweg-Einpuls-Gleichrichterschaltung stellt den

einfachsten Einweggleichrichter dar. Im Sekundärkreis

der Transformatoreinheit sind ein Lastwiderstand

R L und eine Diode in Reihe geschaltet.

+

10. 418 614 Heißleiter

230 V ~

R L

a) Bei Temperaturerhöhung vergrößert sich der Widerstand

des Drahtwiderstands, der des Heißleiters

verringert sich.

b) Da sich beide Widerstände zum Gesamtwiderstand

addieren, können je nach der Stärke der Widerstandsänderung

folgende drei Fälle auftreten:

− Gesamtwiderstand wird größer (Einfluss des

Drahtwiderstands überwiegt).

− Gesamtwiderstand bleibt gleich (Einfluss beider

Widerstände heben sich auf).

− Gesamtwiderstand wird kleiner (Einfluss des Heißleiters

überwiegt)

Da diese eine Durchlass- und eine Sperrrichtung

besitzt, kann nur eine Hälfte des ursprünglichen

Wechselstroms die Gleichrichtereinheit durchfließen.

Am Widerstand R L fällt dadurch eine pulsierende

Gleichspannung ab.

b) Die Weit verbreitetste Zweiweggleichrichterschaltung

ist die nach ihrem Erfinder benannte Graetz-

Schaltung. Ihre Gleichrichtereinheit ist aus vier

Dioden aufgebaut, die so angeordnet sind, dass

unabhängig von der Polung der gleichrichterseitigen

Spule der Lastwiderstand stets in gleicher Richtung

vom Strom durchflossen wird.

–

11. 419 654 Schaltung mit Dioden

A

F

a)

S1 S2 L1 L2

zu auf – X

230 V ~

E

–

+

D

auf zu – X

R L

zu zu – X

B

C

Liegt der Punkt A bei der ersten Halbschwingung der

Wechselspannung auf positivem Potenzial, so fließt

der Strom über D, E, C nach B. Ist bei der zweiten



Halbschwingung B positiv, so fließt der Strom über

D, E, F nach A. Zu der am Widerstand abfallenden

Gleichspannung tragen dadurch beide Halbschwingungen

der Wechselspannung bei.

13. 418 214 Eine Konstantspannungsquelle

a) Der Grund für den konstanten Spannungsabfall geht

aus dem typischen Verlauf der Kennlinie einer Diode

hervor. Da das Diffusionsfeld dem äußeren Feld entgegenwirkt,

fließt bis zum Erreichen der Schwellenspannung

U s auch in Durchlassrichtung kein Strom.

Nach Überschreiten der Spannung U s überwiegt

das äußere Feld, infolgedessen die Ladungsträger

nahezu ungehindert den pn-Übergang passieren. Daher

verläuft die Kennlinie sehr steil und somit liegt

trotz unterschiedlicher Belastung nahezu der gleiche

Spannungsabfall vor.

Für eine Siliciumdiode beträgt die Schwellenspannung

0,7 V, die an zwei in Reihe geschalteten Siliciumdioden

abfallende Spannung somit 1,4 V.

b) Bei Verwendung von Dioden unterschiedlicher

Schwellenspannung können sehr verschiedene

Spannungswerte erreicht werden. So stellt z. B.

die Hintereinanderschaltung einer Siliciumdiode

(U s = 0,7 V) mit einer Germaniumdiode (U s = 0,35 V)

eine Konstantspannungsquelle von 1,05 V dar.

14. 419 384 Automatische Steuerung

Wird der Fotowiderstand beleuchtet, dann ist sein elektrischer

Widerstand sehr gering und der gesamte Strom

fließt am Transistor vorbei (rote Linie).

Behindert z. B. eine Person die Lichtausbreitung zum

Fotowiderstand, dann nimmt der elektrische Widerstand

und damit auch die Potenzialdifferenz zwischen

Basis und Emitter zu. Die Folge ist ein Basisstrom, der

den Kollektorstrom und so den Motor einschaltet. Der

Vorwiderstand R V schützt die Basis vor zu großen Stromstärken.

15. 417 234 Transistor als Schalter

a) Ein Schalter ist durch die Zustände „Ein“ und „Aus“

gekennzeichnet. Diese Zustände können beim

Transistor durch Veränderung der Basis-Emitter-Spannung

erreicht werden:

U BE < 0,7 V: Es fließt kein Kollektorstrom.

U BE > 0,7 V: Es fließt ein Kollektorstrom.

b) Transistoren schalten kontaktfrei, benötigen geringe

Steuerspannungen, ermöglichen eine hohe Schaltgeschwindigkeit.

Mit einer einfachen Transistorschaltung

ist es allerdings nicht möglich, einen Stromkreis

zu schalten, in dem große Stromstärken fließen.

16. 418 144 Eine spezielle Sicherung

Bei intaktem Aluminiumstreifen ist die Basis-Emitter-

Spannung sehr gering, der gesamte Strom fließt an der

Lampe bzw. der Klingel vorbei.

Wird der Sicherungsstreifen beschädigt, dann nimmt

die Potenzialdifferenz zwischen Emitter und Basis zu.

Die Folge ist ein Basisstrom, der den Kollektorstrom und

dadurch die Alarmanlage einschaltet.

17. 414 684 Ein Mikrofonverstärker

An der Basis eines npn-Transistors ist ein Mikrofon, am

Kollektor ein Lautsprecher angeschlossen. Die an der

Basis und dem Emitter anliegende Spannung wird durch

die beiden Widerstände bestimmt und kann am Regelwiderstand

R 1 variiert werden.

Die Basis-Emitter-Spannung wird so eingestellt, dass ein

mittlerer Kollektorstrom fließt. Die Membran des Lautsprechers

befindet sich zunächst in Ruhe. Fällt nun Schall

auf das Mikrofon, so ändert sich dessen elektrischer

Widerstand und dadurch die Basisstromstärke. Da eine

kleine Änderung des Basisstroms eine große Änderung

der Kollektorstromstärke bewirkt, wird das ursprüngliche

akustische Signal durch den Transistor verstärkt

und am Lautsprecher wieder in Schall umgewandelt.

18. 419 354 Solarzellen

a) Kurzvortrag zu Aufbau und Wirkungsweise einer

Solarzelle: Es sollte herausgearbeitet werden, dass

eine Solarzelle eine großflächige Ausführung einer

Fotodiode ist. Bei Lichteinfall entsteht zwischen p-

und n-Schicht eine Spannung.

b) Der Wirkungsgrad von Solarzellen auf Silicium-Basis

liegt bei etwa 15 %. Er verringert sich mit Verunreinigung

der Oberfläche und hängt auch vom Einstrahlwinkel

ab.

c) Vorteile: Mit der Sonnenstrahlung wird erneuerbare

Energie genutzt.

Nachteile: Die gewonnene Elektroenergie ist abhängig

von der Sonneneinstrahlung. Nachts wird keine

Elektroenergie gewonnen.

d) Die Solarzellen sind mit Akkumulatoren gekoppelt.

Durch diese Akkumulatoren wird der Betrieb der

Geräte auch dann gewährleistet, wenn in den Zellen

keine Elektroenergie gewonnen wird.

19. 419 174 Leuchtdioden

Vortrag zu Leuchtdioden



219

20. 417 044 Lichterketten

Zu jeder Lampe wird ein Heißleiter parallel geschaltet.

Ist die Lampe in Ordnung, so fließt aufgrund des großen

Widerstands durch den Heißleiter nur ein kleiner Strom.

Ist die Lampe kaputt, fließt durch den Heißleiter ein

größerer Strom. Sein Widerstand wird damit deutlich

kleiner.

21. 418 624 Integrierter Schaltkreis

Referat zur Entwicklung der Halbleiterelektronik.

Informationen dazu sind im Internet zu finden.

Elektrische Felder (LB S. 294 – 297)

1. 411 504 Ladungstrennung

Beispiele für Ladungstrennung

− Eine Ladungstrennung erfolgt z. B. innerhalb einer

Gewitterwolke. Der zugrundeliegende Mechanismus

ist bis heute zwar noch nicht vollständig verstanden,

man geht jedoch davon aus, dass das Zusammenspiel

unterschiedlicher Vorgänge die Ursache der Ladungstrennung

darstellt.

− Aufgrund der einfallenden UV-Strahlung, der radioaktiven

sowie der kosmischen Strahlung erfolgt eine

teilweise Ionisation der Luftmoleküle in der oberen

Atmosphäre. Es entsteht so eine leitende Schicht,

welche in einer Höhe von 60 km beginnt, positiv

geladen ist und Ionosphäre genannt wird. Infolge

der Influenz trägt die Erdoberfläche eine negative

Ladung.

− Eine Ladungstrennung kann z. B. mit einem Bandgenerator

erreicht werden. Das Funktionsprinzip

beruht auf der Reibungselektrizität, die auf seiner

großen Kugel eine positive Ladung hervorruft.

− Bei galvanischen Elementen erfolgt durch elektrochemische

Vorgänge an den Elektroden eine

Ladungstrennung. Auf diesem Prinzip beruht die

Wirkungsweise von Monozellen, von Batterien und

auch von Brennstoffzellen.

− Häufig bekommt man beim Anfassen der Autotür

einen elektrischen Schlag. Der Grund dafür ist die Ladungstrennung

infolge des Kontakts und insbesondere

der Reibung zwischen Kleidung und Autositz.

− Beim Kämmen der Haare werden diese manchmal

vom Kamm angezogen. Auch diese Beobachtung

geht auf die Reibungselektrizität zurück. Sie führt zu

einer entgegengesetzten Aufladung von Kamm und

Haar und dadurch zur beschriebenen Anziehung.

Verbundene Effekte:

− Ladungstrennung durch Influenz

− Ladungstrennung durch Kontakt und Reibung

− Ladungstrennung durch dielektrische Polarisation

(Ladungsverschiebung bei Nichtmetallen)

− Ladungstrennung durch Dissoziation

− Ladungstrennung durch elektrochemische Vorgänge

− Ladungstrennung durch elektromagnetische

Induktion

2. 418 844 Eine haarige Sache

a) Mit der stark aufgeladenen Kugel besteht durch das

Anfassen eine leitende Verbindung. Damit lädt sich

auch der gesamte menschliche Körper einschließlich

der Haare auf. Die abstoßenden Kräfte zwischen

gleichnamigen Ladungen führen zu dem abgebildeten

Effekt.

b) Es sollten 20 mA nicht überschritten werden. Das ist

selbst bei starker Aufladung wegen der insgesamt

kleinen Ladung gewährleistet.

3. 410 224 Das Feldlinienbild

Ein elektrisches Feld existiert in der Wirklichkeit. Ein

Feldlinienbild ist ein Modell des real existierenden Felds.

4. 411 474 Das Feld geladener Kugeln

a) Zwischen gleichnamig geladenen Kugeln wirken abstoßende

Kräfte, zwischen ungleichnamig geladenen

Kugeln anziehende Kräfte.

b) Eine Deutung könnte so erfolgen, dass man sich die

Feldlinien wie eine Art Gummischnüre vorstellt (faradaysche

Vorstellung).

5. 410 434 Das Feld einer Nadelspitze

a) Die Skizze zeigt das Feldlinienbild zwischen einer

positiv geladenen leitenden Spitze und einer negativ

geladenen leitenden Platte.

Eine positive Probeladung erfährt eine Kraft tangential

zu den Feldlinien. Die Feldlinien treten senkrecht

in die Oberflächen von Nadel und Platte ein.

b) Aus dem unterschiedlichen Abstand der Feldlinien

ergibt sich: Das Feld ist in der Nähe der Spitze am

stärksten und auch stärker als in der Nähe der Platte.



6. 412 564 Grieskörnchen

Hinweis: Nachfolgend ist eine bestimmte Ladungsverteilung

angenommen. Bei Veränderung der Art der

Ladung ändert sich lediglich die Richtung der Feldlinien.

+

a)

+

– Es liegt ein radialsymmetrisches

Feld vor. Das Feld ist

inhomogen.

+

+

b)

c)

+

+

+

_

_

–

+ –

Zwischen den Platten ist das

Feld weitgehend homogen,

in den beiden Randbereichen

inhomogen.

Um die beiden ungleichnamig

geladenen Platten

(Kugeln) besteht ein inhomogenes

Feld.

9. 411 634 Das Feld an der Oberfläche

Die Richtung einer Feldlinie ist

immer gleich der Richtung, in

F

die im Feld eine Kraft auf eine

Ladung wirkt.

Würde eine Feldlinie nicht

senkrecht zur Leiteroberfläche

stehen (b Skizze), dann würde

Feldlinie

–

das bedeuten: Auf die Ladungsträger

in der Leiteroberfläche

Oberfläche

würde eine Kraft F wirken.

Da die Ladungsträger auf der

Leiteroberfläche beweglich sind, würde die senkrechte

Komponente der Kraft F solange eine Verschiebung bewirken,

bis F senkrecht zur Oberfläche steht. Damit steht

auch die Feldlinie senkrecht zu Oberfläche.

d)

+

7. 418 594 Feldlinienbilder

+

Um die beiden gleichnamig

geladenen Platten (Kugeln)

besteht ein inhomogenes

Feld.

10. 410 774 Kugel im Kasten

Die Feldlinien stehen senkrecht auf den Oberflächen

von Kugel und Kasten.

Die Äquipotenziallinien verlaufen in der Nähe der Oberflächen

parallel zu den Oberflächen.

Die Äquipotenzialflächen und die Feldlinien stehen

senkrecht aufeinander.

Erkundung im Internet, Präsentation

8. 411 984 Feldlinien

Die Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche des

Hufeisens, das Innere des Hufeisens ist feldfrei. In großer

Entfernung gleicht das Feld dem einer geladenen Kugel.


–


221

11. 411 594 Kugel im Feld

Nach dem Einbringen der ungeladenen Kugel zwischen

die unterschiedlich geladenen Platten kommt es zu

einer Ladungstrennung durch Influenz.

13. 411 604 Geladene Pendel

Die Rückstellkraft F R eines ausgelenkten Pendels muss

im Gleichgewicht sein mit der Coulombkraft F C , die zwischen

den beiden Ladungen wirkt. Bei einem mathematischen

Pendel beträgt die Rückstellkraft

F R = }

FG · y

l

+

– ––

+

+

+

Gesucht: Q, Q‘

Gegeben: F G = 0,3 N

l = 80 cm = 0,8 m

d = 8 cm = 0,08 m

r = 12 cm = 0,12 m

r‘ = 3 cm = 0,03 m

Lösung:

a)

Der positiv geladene Teil der Kugel wird von der

negativen Platte angezogen, die negativ geladene

Kugelhälfte von der positiv geladenen Platte. Da die

resultierende Kraft dadurch null ist, kann keine Auslenkung

beobachtet werden. Bringt man eine ungeladene

Kugel in die Nähe eines geladenen Körpers, so erfolgt

ebenfalls durch Influenz eine Ladungsverschiebung, was

eine anziehende Kraft zur Folge hat. Nun ist nämlich die

resultierende Kraft in Richtung des geladenen Körpers

gerichtet.

y

l

F R = }

FG Q

· y =

2

l } = F 4 π · ε 0 · r 2 C

d

r

l

+

– ––

+

+

+

Q = √ } 4 π · ε 0 · F G · y

} · r

l

Q = √ }}}

4 π · 8,854 · 10 –12· }

As · 0,3 N · 0,02 m

V · m

}}} · 0,12 m

0,8 m

Q = 1,1 · 10 –7 C

b)

d

12. 410 054 Nah- und Fernwirkung

l

r

l

In der Fernwirkungstheorie wirkt die Kraft zwischen

geladenen Körpern ohne Verzögerung über beliebige

Ent fernungen.

In der Nahwirkungstheorie gehen alle Kraftwirkungen

auf lokale Wechselwirkungen zwischen geladenen

Körpern und Feldern zurück.

y

F R = }

FG Q‘

· y‘ =

2

l } = F 4 π · ε 0 · r‘ 2 C

Erst die Nahwirkungstheorie führt in ihrer von MAXWELL

entwickelten Form auf die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit

der elektromagnetischen Wechselwirkungen

und der elektromagnetischen Wellen.

Q‘ = √ } 4 π · ε 0 · F G · y‘

} · r‘

l

Q‘ = √ }}}

4 π · 8,854 · 10 –12· }

As · 0,3 N · 0,025 m

V · m

}}} · 0,03 m

0,8 m

Q‘ = 3,1 · 10 – 8 C

Die gesuchten Werte der Ladungen betragen

Q = 1,1 · 10 –7 C und Q‘ = 3,1 · 10 – 8 C.



14. 416 564 Feldstärke im Kondensator

17. 415 624 Geladenes Fadenpendel

a) E = }

U d

E = }

55 V

0,20 m = 275 }

V m

b) W = ΔE

a)

l

l

W = F · s = q · E · s

W = 3,2 · 10 – 8 C · 275

V

}

m · 0,10 m

E

y

F G

F el

W = 8,8 · 10 –7 J

Die potenzielle Energie vergrößert sich um

8,8 · 10 –7 J.

c) Für das Potenzial gilt: φ = E pot

}

q

Mit E pot = 2 · 8,8 · 10 –7 J und q = 3,2 · 10 –8 C erhält

man:

φ = 2 · 8,8 · 10–7 V · A · s

}} = 55 V

3,2 · 10 –8 A · s

d) v = √ } 2 U · q m

v = √ }}

3,2 · 10 –8 C

v = 4,2 m } s

2 · 55 V ·}

0,2 · 10 –6 kg

b) Die elektrische Feldkraft F el , die auf die geladene

Kugel wirkt, ist im Gleichgewicht mit der Rückstellkraft

F R des Pendels. Bei den vorliegenden Abmessungen

ist die elektrische Feldkraft in guter Näherung

antiparallel zur Rückstellkraft.

F el = }

m · g · y

l

F el = 0,5 · 10–3 kg · 9,81 m · s

}}

–2

· 0,05 m

1,5 m

F el = 0,16 · 10 –3 N

Die auf die Kugel wirkende elektrische Feldkraft

beträgt etwa 0,16 · 10 –3 N.

18. 411 614 Zwei Kugeln

15. 413 104 Probeladung im Kondensator

F = q · E = q · }

U d

F = 20 C · 1,5 · 103 V

}} = 937,5 · 10 – 6 N

10 9 · 0,032 m

F = 9,4 · 10 – 4 N

16. 413 174 Geerdete Schaltung

a) Für den Gesamtwiderstand erhält man:

R = 84 Ω

Damit beträgt die Gesamtstromstärke:

I = }

U R

I = }

50 V

84 Ω = 0,60 A

b) Die Potenzialdifferenzen ergeben sich aus den Spannungsabfällen

an den Widerständen:

C – A: 38 V

C – B: 30 V

C – D: 34 V

a) sin α = }

y l

α = arc sin (}

2l)

r

α = arc sin ( 0,1 m } 2 · 1 m)

α = 2,9°

Die abstoßende Kraft entspricht

der Rückstellkraft eines

Pendels.

Es gilt also:

F C = }

m · g · y

l

F C = 1 · 10 –3 kg · 9,81 m · s

}}

–2

· 0,05 m

1 m

F C = 4,9 · 10 – 4 N

1 Q

F C = } 4π · ε }

2

0 r 2

Q = √ } 4π · ε 0 · F C · r

Q = √ }}}

–12 As

4π · 8,84 · 10

Q = 2,3 · 10 – 8 C

}

V · m · 4,9 · 10 – 4 N · 0,1 m

r

y = r }

2

α



223

b)

19. 410 304 Gravitation und elektrische Kraft

a) Gewichtskraft F G :

F G = m · g

+ +

Q 1 Q 2

F G = 9,8 · 10 –31 N

kg · 9,81 }

kg = 9,6 · 10 –31 N

Kraft im elektrischen Feld:

F = q · E = q · }

U d

F = 1,6 · 10 –19 1 V

C ·}

0,1 m = 1,6 · 10 –18 N

c) Für die elektrische Feldstärke eines Radialfelds gilt:

1

E = }· 4π · ε }

Q 0

r 2

1

E = }}} · 2,3 · 10 – 8

4π · 8,854 · 10 –12 As · V –1 · m –1 }

(0,1 m) 2

E = 20,7 · 10 3 V · m –1

b) Beide Kräfte wirken in entgegengesetzter Richtung.

Da die Feldkraft wesentlich größer als die Gewichtskraft

ist, bewegt sich das Elektron nach oben.

20. 410 254 Schwebende Watte

a)

–

–

–

–

–

–

–

d) F R = F C

e)

1,60

1,40

1,20

1,00

0,80

0,60

0,40

0.20

0,00

m · g

}· }

r l 2 = 1

} ·}

Q2

4π · ε 0 r 2

r = (

l · Q

}

2

1 } 3

2π · ε 0 · m · g)

1

r (}

Q 2 ) = (}

1 2) 2 }

3

· r

1

r (}

Q 2 ) = (}

1 2) 2 } 3

· 0,1 m = 0,06 m

r (2Q) = 2 2 1 } 3

· r

r (2Q) = 2 2 1 }

3

· 0,1 m = 0,16 m

r in m

0 20 40 60 80

Q in 10 –8 C

Der Abstand r der Kugel vergrößert sich mit zunehmender

Ladung Q.

+

b) Beim Schweben müssen Gewichtskraft F G und Feldkraft

F E gleich groß sein:

F G = F E

+

m · g = E · q

m · g = U } d · q

Damit erhält man für die Spannung:

U = }

m · g · d

q

+

U = 0,15 · 10 –3 kg · 9,81 }

m s

}}}

· 0,05 m

2

5 · 10 –9 C

U = 1,5 · 10 4 V

+

+

Bei Vergrößerung der Spannung vergrößert sich die

Feldstärke und damit die Feldkraft. Die Gewichtskraft

bleibt gleich. Damit bewegt sich der Wattebausch

nach oben.

F E

F G

+

+

+



21. 413 654 Kapazität

a) Kondensatoren einzeln: U = U 1 = U 2 = 10 V

b)

140

120

I in μA

Q 1 = C 1 · U

100

Q 1 = 4 · 10 – 6 F · 10 V

Q 1 = 4 · 10 –5 C

80

60

40

Q 2 = C 2 · U

Q 2 = 10 · 10 – 6 F · 10 V

20

0

0 2 4 6 8 10 12 15

t in s

Q 2 = 1 · 10 – 4 C

b) Kondensatoren in Reihe: U = U 1 + U 2

U = Q } C 1

+ Q } C 2

U = Q · C 1 + C } 2

C 1 · C 2

Q = C 1 · C 2

}· U

C 1 + C 2

Q = 4 · 10 – 6 F · 10 · 10 – 6 F

}}

4 · 10 – 6 F + 10 · 10 – 6 F · 10 V = 2,86 · 10 –5 C

U 1 = }

Q C 1

U 1 = 2,86 · 10 –5 C

}

4 · 10 – 6 F

U 1 = 7,15 V

U 2 = }

Q C 1

U 2 = 2,86 · 10 –5 C

}

10 · 10 – 6 F

U 2 = 2,86 V

c) Kondensator parallel: Die an den Kondensatoren

abfallenden Spannungen U 1 , U 2 entsprechen der

anliegenden Spannung U.

U 1 = U 2 = U = 10 V

Die Ladungen Q 1 und Q 2 ergeben sich, analog zum

Aufgabenteil a), zu

Q 1 = 4 · 10 –5 C und Q 2 = 1 · 10 – 4 C

22. 413 974 Kondensatorentladung

Beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand

nimmt die Entladestromstärke exponentiell ab.

c) Nach 6,4 s ist die Stromstärke auf die Hälfte ihres

Anfangswertes zurückgegangen. Ein Viertel der

Anfangsstromstärke liegt nach 12,8 s vor.

d) Nach der Definition der Stromstärke I = }

dQ erhält

dt

man die gesuchte Ladung durch Integration.

Für eine Abschätzung kann der Entladestrom in den

angegebenen Intervallen als konstant angenommen

werden. Es gilt:

Q ≈ (130 μA + 91 μA + 68 μA + 51 μA + 35 μA) · 3 s

Q ≈ 1,1 · 10 –3 C

Die Fläche unter dem Graphen kann auch ausgezählt

werden. Die ursprüngliche Ladung des Kondensators

betrug ca. 1,1 · 10 –3 C.

23. 414 464 Offener Kondensator

Für einen Plattenkondensator gilt:

E = }

U d , C = }

Q U , C = ε 0 · }

A d

Die Ladung der Platten wird als konstant angenommen.

a) Die Spannung ist halb so groß, die Feldstärke bleibt

gleich.

b) Die Spannung ist doppelt so groß, die Feldstärke

bleibt gleich.

c) Der Abstand der Platten beträgt dann }

1 · d. Die

10

Spannung beträgt ein Zehntel, die Feldstärke bleibt

gleich.

a)

+

–

A

d) Der Abstand der Platten beträgt dann 1,3 d. Damit

verringert sich C auf das 0,77-Fache. Die Spannung

steigt auf das 1,3-Fache, die Feldstärke bleibt gleich.



225

24. 414 414 Energievermehrung

Um den Plattenabstand zu vergrößern, benötigt man

Energie, da man eine Kraft gegen die Anziehung der

Platten längs eines Weges ausüben muss. Diese Energie

wird dem Feld zugeführt.

Δ E Feld = F · s

27. 413 424 Potenzial im Kondensator

a) U = d · E

U = 0,012 m · 7,0 · 10 4 }

V m

U = 840 V

b) Bezüglich der negativ geladenen Platte:

φ = 280 V

25. 415 884 Energie in zwei Kondensatoren

Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren gilt:

Q = Q 1 = Q 2 .

Werden die Kondensatoren parallel geschaltet, so bleibt

die gesamte Ladung erhalten. Sie verteilt sich aber jetzt

so, dass an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung

liegt.

Für die Energie gilt:

E = }

1 2 · C · U 2

Mit Veränderung der Schaltung ändert sich nicht nur

die Gesamtkapazität, sondern auch die Spannung und

damit die Energie.

Für die Reihenschaltung gilt:

E R = }

1 2 C · U 2 mit U = }

Q C

E R = }

1 2 · C 1 · C } 2

· Q2 (C 1 + C 2 )

}

2

= }

1 C 1 + C 2 (C 1 · C 2 ) 2 2 · C 1 + C 2

}· Q 2

C 1 · C 2

Für die Parallelschaltung erhält man:

E P = }

1 2 (C Q

1+ C 2 )·}

2

= 1 (C 1 + C 2 ) 2 } 2 · Q

}

2

C 1 + C 2

Der Vergleich ergibt: E P < E R

Mit der Parallelschaltung verringert sich die in den Kondensatoren

gespeicherte Energie.

26. 412 984 Plattenkondensator

a) W = F · s = q · E · s = q · }

U d · s

Mit d = s erhält man:

W = q · U

Bezüglich der positiv geladenen Platte:

φ = – 560 V

c) E = 1 }

2 C · U 2

C = ε 0 · A } d = 18 · 10 –12 F = 18 pF

E = 1 }

2 · 18 pF · 840 V = 7,6 · 10 – 9 J

d) E pot = F · d = E · e · d

= 7 · 10 4 V }

m · 1,6 · 10–19 C · 0,012 m

= 1,3 · 10 –16 J

28. 415 304 Energie im Kondensator

a) E = 1 } 2 C · U 2

E = 1 } 2 · 2,4 · 10 – 6 F · (120 V) 2

E = 0,017 Ws

b) E = m · g · h

E

h = }

m · g

0,17 Nm · kg

h = }} = 17 cm

0,010 kg · 9,81 N

c) E = 1 } 2 m · v 2

v = √ } 2E

}

m

v = √ } 2 · 0,017 Nm

} 0,010 kg = 1,8 }

m s

W = 6,5 C · 1,5 · 103 V

}}

10 6

W = 9,75 · 10 –3 J

b) Die Potenzialdifferenz beträgt 750 V.

Für das Potenzial gilt φ = E · s. Bei konstanter Feldstärke

E ist φ ~ s, nimmt also von der negativ geladenen

Platte (φ = 0) in Richtung positiv geladener

Platte gleichmäßig bis φ = 1,5 kV zu.

29. 412 804 Feldstärkemessung

Wir betrachten die beiden Platten als Kondensator. Es

werden solange Ladungen getrennt, bis die Feldstärke

im kleinen Kondensator gleich groß ist, wie die Feldstärke

im großen Kondensator. Dies ist der Fall, wenn

E = U } d = Q } C · d =

Q

= ε 0 · }

A d · d

Q

}

ε 0 · π · r 2

ist.

Damit erhält man für die Feldstärke E:

Q

E = }

ε 0 · π · r 2



2,7 · 10

E =

–10 C

}}}

8,854 · 10 –12 As · V –1· m –1 · π · (0,02 m) 2

E = 24,3 kV · m –1

30. 412 644 Felder in der Umgebung

a) Die in Natur und Technik auftretenden Feldstärken

sind sehr unterschiedlich.

Beispiele:

− Elektrisches Feld der Erde am Erdboden: 130 } m

V

− Bügeleisen: 120 } m V (in 30 cm Entfernung)

− Föhn: 80 V } m

(in 30 cm Entfernung)

(in 50 m Entfer-

− Mobilfunk-Basisstation: bis 61 } m V

nung)

− 380-V-Freileitung: 6000 } m V (in 1 m Höhe über dem

Erdboden im Bereich der größten Durchhängung

der Leitungen)

Der Grenzwert für Dauerbelastung bei statischen

Feldern und bei Feldern mit einer Frequenz von 50

Hz (Netzfrequenz) beträgt 5 000 } m V .

Gesundheitliche Gefährdungen werden zwar

teilweise behauptet, sind aber bei Einhaltung der

Grenzwerte nicht belegt.

b) Befinden sich Körper in einem elektrischen Feld,

so kommt es zur Influenz (bei Leitern) bzw. zur

dielektrischen Polarisation (bei Nichtleitern).

Beide Effekte können zum Nachweis eines elektrischen

Felds genutzt werden, z. B. beim Elektrofeldmeter.

Hinweis: Unter diesem Suchwort findet man im

Internet ausführliche Informationen zu Aufbau und

Wirkungsweise.

32. 418 164 Protonen im Längsfeld

a) a = }

F m = }

q · E

m

a =

= q · U }

m · d

1,6 · 10 –19 C · 800 V

}}

1,672 · 10 –27 kg · 0,040 m

a = 1,9 · 10 12 m }

s 2

b) Die Geschwindigkeit kann mit der Beschleunigung

oder mit der Beschleunigungsspannung berechnet

werden:

v = √ } 2 a · s v = √ } 2 U · q } m

v = √ }}}

2 · 1,9 · 10 12 }

m s · 0,040 m

v = 3,9 · 10 5 m } s

Mit der Beschleunigungsspannung erhält man das

gleiche Ergebnis.

33. 414 824 Ablenkung im Feld

a) Die Bahnkurve des Elektrons innerhalb des homogenen

elektrischen Felds ist Teil einer Parabel.

y

+ + + + + + + +

F el

d y 1

v 0

x

31. 416 004 Miniaturisierung

Aus den gegebenen Werten lässt sich berechnen:

Ein Luft-Kondensator, der mit einer Spannung von 5 V

geladen werden soll, darf keinen Plattenabstand kleiner

als 2,5 μm haben.

Für einen Mikrochip bedeutet dies auch: Elektrische Leitungen,

die einen Potenzialunterschied von 5 V haben,

dürfen sich nicht näher als 2,5 μm kommen, sonst kann

es zu einem Durchschlag der isolierenden Luftschicht

kommen.

Der Leitungsabstand aktueller Computerprozessoren

ist allerdings wesentlich kleiner (z. B. 135 nm). Dies ist

möglich, da die Durchschlagfestigkeit der isolierenden

Schichten (Siliziumdioxid) wesentlich höher ist, als die

von Luft.

– – – – – – – –

I

Nach dem Superpositionsprinzip überlagert sich

die Bewegung in x-Richtung ungestört mit der in

y-Richtung. Es gilt:

x = v 0 · t g t = } v x und y = 1 0

} 2 · a · t 2

Die konstante Feldkraft führt zu einer gleichmäßig

beschleunigten Bewegung in y-Richtung mit der

Beschleunigung:

a = } m F = }

e m

· E

Einsetzen in den Ausdruck für y führt zu:

y = }

1 e · E

2 } m · t 2 bzw. zu y = }

1 2 · }

U d · } m e · }

1 · x 2

v 2

0

b) Die Geschwindigkeit des Elektrons nach Durchlaufen

des elektrischen Längsfelds kann mit folgender Gleichung

berechnet werden:

v 0 = √ } 2U B · e } m



227

v 0 = √ }}}

2 · 600 V · 1,759 · 10 11 C · kg –1

v 0 = 14,5 · 10 6 m · s –1

c) Einsetzen von v 0 in die Gleichung von y (x) aus Teilaufgabe

a) mit x = 5 cm ergibt:

Magnetische Felder (LB S. 316 – 319)

1. 410 584 Eisenfeilspäne

a)

y = 0,02 cm

Das Elektron trifft nicht auf eine der Platten sondern

verlässt das elektrische Querfeld auf der rechten

Seite (Skizze).

34. 419 574 Gegenfeldmethode

Die Elektronen bewegen sich durch eine Öffnung in

einer Katode auf eine Anode zu. Die an der Anode

auftreffenden Elektronen werden als Strom nachgewiesen.

Erhöht man die (positive) Spannung der Anode

gegenüber der Katode, werden die Elektronen auf

ihrem Weg zwischen der Katode und der Anode abgebremst.

Übersteigt der Wert e · U die kinetische Energie

der Elektronen, erreichen sie die Anode nicht und kein

Strom kann mehr nachgewiesen werden. Aus dem Wert

der Gegenspannung, bei dem gerade eben kein Strom

mehr nachgewiesen werden kann, lässt sich die kinetische

Energie der Elektronen berechnen: E kin = e · U

b)

Gitterelektrode

Auffangelektrode

geladene

Teilchen

mit v > 0

–

F

–

v 2

V

U

+ –

I

A

Informationsgehalt eines Feldlinienbilds:

− Die magnetischen Feldlinien sind geschlossen,

d. h., das magnetische Feld ist ein quellenfreies

Wirbelfeld.

− Je dichter die Feldlinien an einem Ort des Felds

zusammenliegen, desto größer ist die dort wirkende

Kraft auf einen Probekörper.

− Die Richtung der Feldlinien entspricht der Richtung

der wirkenden Kraft auf einen Probe körper.

Grenzen des Modells:

− Ein Feldlinienbild suggeriert ein zweidimensionales

Feld. Das magnetische Feld wirkt jedoch im

ganzen Raum, ist also ein dreidimensionales Feld.

− Ein Magnet ist umgeben von einem den gesamten

Raum ausfüllenden Magnetfeld. Auch dort, wo

ein Punkt des Feldlinienbilds nicht von einer Feldlinie

durchsetzt wird, wirkt eine Kraft auf einen

Probekörper.

2. 412 574 Erdmagnetfeld

a) Folgende Elemente sollten enthalten sein:

− Das Magnetfeld der Erde ist ein magnetisches Dipolfeld,

das in der nahen Erdumgebung mit dem

Feld eines Stabmagneten verglichen werden kann.



− Die mittlere magnetische Flussdichte des Felds

beträgt zwischen 60 μT (in Polnähe) und 20 μT (im

Äquatorbereich). Es ist also ein relativ schwaches

Feld.

− Zu unterscheiden sind die Vertikal- und die

Horizontalkomponente des Erdmagnetfelds.

− Die Erdachse und die magnetische Achse des Felds

sind um ca. 11,4° gegeneinander geneigt. Magnetischer

Nord- und Südpol des Felds fallen mit den

geografischen Polen also nicht zusammen.

− Der magnetische Nordpol liegt in der Nähe des

geografischen Südpols, der magnetische Südpol

liegt in der Nähe des geografischen Nordpols.

− Das Erdmagnetfeld unterliegt zeitlichen und

räumlichen Schwankungen, die verbunden sind

mit eruptiven Prozessen der Sonne (z. B. Flares).

− Die Entstehung des Erdmagnetfelds beruht auf

dem Prinzip des selbsterregenden Dynamos.

− Mit Magnetosphäre bezeichnet man das gesamte,

die Erde umgebende Magnetfeld.

− Die Form der Magnetosphäre wird vom Sonnenwind

beeinflusst.

− Das Erdmagnetfeld schützt uns vor dem Einfall

energiereicher Teilchen und macht dadurch

menschliches Leben auf der Erde erst möglich.

b) Auch andere Planeten und Monde haben Magnetfelder,

die durch unterschiedliche Ursachen

zustande kommen (Jupiter – selbst erregter Strömungsdynamo,

Mars – Felder durch dauermagnetisierte

Stoffe, Jupitermond Io – fremdinduziertes

Magnetfeld).

3. 412 594 Leiter im Magnetfeld

In dem skizzierten Fall wirkt die Kraft auf den Betrachter

zu gerichtet.

Die neben der skizzierten Variante weiteren möglichen

Fälle ergeben sich

− durch Umpolen der Spannungsquelle bzw.

− durch Umdrehen des Magneten.

Die Kraft kehrt sich jeweils beim Umpolen der

Spannungsquelle bzw. beim Umdrehen des Magneten in

die entgegengesetzte Richtung.

4. 414 554 Simulation von Magnetfeldern

a) Unter der genannten Internetadresse ist eine Simulation

zu finden, mit der sich die Schüler zunächst

beschäftigen sollten.

B

c) Bei gleicher Stromrichtung „umschlingen“ die

meisten Feldlinien beide Leiter. Zwischen den Leitern

wirken anziehende Kräfte. Bei unterschiedlicher

Stromrichtung „verdrängen“ sich die näherungsweise

kreisförmigen Feldlinien um die beiden Leiter.

Zwischen den Leitern wirken abstoßende Kräfte.

5. 412 754 Nachweis von Magnetfeldern

Magnetfelder beeinflussen Magnetnadeln bzw. die

Bewegung von Ladungsträgern in dünnen Schichten

(Hall-Effekt). Beides kann zum Nachweis eines Magnetfelds

genutzt werden:

− Einbringen einer Magnetnadel in den Raum,

− Magnetfeldmesser (Hall-Sonde).

6. 412 764 Abschirmung von Magnetfeldern

a) Körper aus ferromagnetischen Stoffen werden nicht

durchdrungen, solche aus Isolatoren werden durchdrungen.

Diamagnetische und paramagnetische Stoffe beeinflussen

Magnetfelder nur wenig.

b) Besonders geeignet zur magnetischen Abschirmung

sind weichmagnetische Stoffe.

Der betreffende Raum könnte mit Blechen aus

weichmagnetischem Eisen umschlossen werden.

7. 410 764 Drehspulmesswerk

Die drehbare Spule befindet sich in einem Magnetfeld.

Wird sie von einem Strom durchflossen, so wirkt

aufgrund der Lorentzkraft ein Kräftepaar, das zu einer

Drehung der Spule führt.

r

b) Für die magnetische Flussdichte um einen geraden,

stromdurchflossenen Leiter gilt:

B ~ }

1 r

Damit erhält man folgenden prinzipiellen Zusam

menhang:

F

F



229

Eine Rückstellfeder sorgt dafür, dass nur ein bestimmter

Ausschlag erreicht wird. Je größer die Stromstärke durch

die Spule ist, desto größer ist die Kraft und desto größer

ist demzufolge auch der Ausschlag.

c)

10

F in mN

8. 416 494 Verschiedene Stoffe

Die betreffenden Stoffe unterscheiden sich vor allem dadurch,

dass sie Magnetfelder in unterschiedlicher Weise

beeinflussen. Das kommt in den verschiedenen Werten

für die Permeabilitätszahl zum Ausdruck:

ferromagnetische Stoffe: μ r @ 1 (Eisen, Nickel, Cobalt)

paramagnetische Stoffe: μ r > 1 (Luft, Aluminium)

diamagnetische Stoffe: μ r < 1 (Wasser, Kupfer)

9. 416 364 Kraft auf Leiterschleife

5

α in º

0

30 90 150 210 270

–5

–10

Aus dem Verlauf des Graphen kann man ableiten:

F ~ sin α

a)

–

+

11. 411 294 Spule im Magnetfeld

b) B = }

F I · l

B = 12 · 10 –3 N

} = 24 mT

2,5 A · 0,2 m

c) Die Kräfte auf den linken und rechten Teil der Leiterschleife

sind gleich groß, aber entgegengesetzt

gerichtet. Ihre Summe ist null.

10. 412 694 Leiterschleife im Feld

F

a) Auf die Teile, die parallel zu den Feldlinien liegen,

wirkt keine Kraft, da I und B parallel zueinander

sind. Eine Kraft wirkt auf die Teile der Spule, bei

denen die Wicklungen senkrecht zum Magnetfeld

verlaufen. Das ist oben und unten der Fall. Die Richtung

der Stromstärke ist allerdings oben und unten

entgegengesetzt, damit auch die wirkenden Kräfte.

Vereinfacht lässt sich das für eine Leiterschleife so

darstellen:

F 2

I

I

F 1

a) B = }

F I · l

B = 11,6 · 10 –3 N

} = 29 mT

10 A · 0,04 m

b) Vorzeichenwechsel bedeutet eine Änderung der

Kraftrichtung.

Beide Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt

gerichtet. Für den Betrag einer Kraft erhält man:

F = l · I · B

F = 500 · 0,06 m · 2,6 A · 40 · 10 –3 T

F = 3,1 N

Die Kräfte bewirken eine Drehung der Spule.

b) Es wirkt nur noch eine Kraft auf den unteren Teil der

Spule. Die Kräfte bewirken eine Verschiebung der

Spule in Längsrichtung.



12. 418 234 Ströme und Kräfte

14. 416 784 Flussdichte in einer Spule

a)

West

I

Nord (magnetischer Südpol)

Ost

a) B = μ 0 · μ r ·}

N · I

l

Mit μ r = 1 und I = }

U erhält man:

R

B = μ 0 · }

N · U

l · R

B = 1,257 · 10 –6 Vs

}

Am · 1000 · 4,0 V

}}

0,080 m · 16 Ω

Süd (magnetischer Nordpol)

B = 3,9 · 10 –3 T = 3,9 mT

Die Kraft wirkt auf den Leiter nach oben.

b) F = l · I · B

F = 25 · 10 – 6 T · 120 m · 500 A

F = 1,5 N

13. 419 154 Magnetfelder um uns

a) Die Stärke des Erdmagnetfelds hängt von der geografischen

Breite ab und beträgt im Bereich des

Äquators etwa 30 μT und im Bereich der magnetischen

Pole etwa 60 μT. In Mittel Europa sind es etwa

50 μT.

Hinweis: Die angegebenen Werte sind Mittelwerte.

Es gibt erhebliche Magnetfeldanomalien.

b) Mit Eisenkern vergrößert sich die Flussdichte um den

Faktor 750:

B = 750 · 3,9 · 10 –3 T = 2,9 T

15. 418 964 Untersuchungen an Spulen

a) Genutzt werden könnte eine Hall-Sonde. Möglich ist

auch die Verwendung eines kleinen, stromdurchflossenen

Leiterstücks in Verbindung mit einem Kraftsensor

(Stromwaage).

Geändert werden die Stromstärke durch die Feldspule,

die Länge der Feldspule und ihre Windungszahl.

b)

b) Für technische Geräte und Anlagen findet man zum

Beispiel folgende Werte:

Gerät

Abstände

3 cm 30 cm 100 cm

Föhn 2 – 2000 μT 0,01 – 7 μT < 0,3 μT

Rasierapparat 15 – 1500 μT 0,08 – 9 μT –

Mikrowelle 73 – 100 μT 4 – 8 μT < 0,6 μT

Computer 0,5 – 30 μT < 0,01 –

Elektrischer

Herd

1 – 50 μT 0,15 – 3 μT < 0,15 μT

380-kV-Leitung:

38 μT (in 1 m Höhe über dem Erdboden im

Bereich der größten Durchhängung)

Grenzwert für Dauerbelastung:

100 μT

c) Beachten Sie: Gesundheitliche Auswirkungen durch

Magnetfelder mit Stärken unterhalb der Grenzwerte

sind nicht belegt.

c) Aus der grafischen Darstellung oder durch Rechnung

erhält man:

B ~ I

d) Für das Magnetfeld im Innern einer langen Spule

gilt:

B = μ 0 ·}

N · I

l

Die Umstellung der Gleichung ergibt:

I = }

B · l

μ 0 · N

e)

I = 3,5 T · 0,15 m · 107 Am

}}

10 3 · 4π · Vs · 30

I = 14 A

l in cm 15 20 25 30 35 40

B in mT 4,98 3,97 3,11 2,62 2,32 2,05

l · B in cm · mT 74,7 79,4 77,8 78,6 81,2 82,0



231

5,0

4,0

3,0

B in mT

B ~ 1 } l

17. 417 264 Gerade Leiter

a) B(r) = }

2A 2π · μ 0 · }

1 r

B(r) =

2A · 4π · 10 –7

}

2π

Vs

}

Am · }

1 r

= 4 · 10 –7 Vs

}

Am · }

1 r

Damit erhält man z. B. die folgenden Werte:

2,0

1,0

0

0 10 20 30 40

f) B = μ 0 · N · I } l

l in cm

liefert Werte von etwa 1,9 · 10 –6 }

V · s

A · m .

r in cm 2,0 4,0 6,0 8,0 10

B in μT 20 10 6,7 5,0 4,0

Damit erhält man das folgende Diagramm:

B in T

20

16

16. 416 404 Selbst gewickelte Spule

12

a) Für die magnetische Flussdichte im Innern einer langen

stromdurchflossenen Zylinderspule gilt:

B = μ 0 · μ r ·}

N · I

l

B = μ 0 N · I } l ( N = l }

d )

B = μ 0 · }

l d · }

I l

B = 1,25 · 10 –6 Vs · A –1 · m –1 · 40 mm

} 0,1 mm · }

50 mA

40 mm

B = 0,63 mT

b)

8

4

0

0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

r in cm

b) U = I · R

Mit R = ρ · l } A

erhält man: U = I · ρ · l } A

Die Drahtlänge l ergibt sich aus der Windungszahl

und dem Umfang der Spule:

l = N · π · d = 400 · π · 8 mm

l = 10 053 mm = 10,1 m

Die Querschnittsfläche ergibt sich aus dem Drahtdurchmesser:

A = }

π · d2

4

(0,1 mm)2

= π ·}

= 0,0079 mm 2

4

Damit erhält man für die Spannung:

U = 0,05 A · 0,017 Ω · mm2 · 10,1 m

}}}

m · 0,0079 mm 2

U = 1,1 V

c) F = B · I · l

F = μ 0

}

2π · r · I 2· l

F = 4π Vs ·(1 A)2 · 1 m

}}

10 7 Am · 2π · 1 m

F = 2 · 10 –7 N

18. 411 424 Teilchenbahnen

Die Richtung der Kraft auf die geladenen Teilchen ergibt

sich jeweils mithilfe der Rechte-Hand-Regel.

a)

–

+



b)

c)

–

+

b) Bewegt sich ein geladenes Teilchen in einem homogenen

Magnetfeld auf einer Kreisbahn, dann wirkt

die Lorentzkraft als Radialkraft. Daraus folgt:

m · v

}

2

r = Q · v · B

r = m · v } Q · B

Das gesuchte Verhältnis der Radien errechnet sich

somit zu:

r p

} r = m p

e

} m = 1836

e

Für die Frequenz f gilt: f = }

ω 2π = }

1 2π = }

v r

d) keine Ablenkung

19. 415 814 Elektronen im Feld

a) Die Spannung ergibt sich aus der Energie von 500 eV.

Sie beträgt 500 V.

b) m e

}

· v 2

r = e · v · B

B = m e

}

· v

r · e

Mit v = √ } 2E

} m e

erhält man:

B = } r 1 · e √ } 2 m e · E

Einsetzen der Werte ergibt: B = 3 mT

20. 413 184 Teilchenbeschleunigung

a) Die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit der Beschleunigungsspannung

U und der spezifischen Ladung } m

Q

beträgt:

v = √ } 2U · Q } m

–

Da Elektronen und Protonen auf die gleiche Geschwindigkeit

gebracht werden sollen, gilt:

v = √ } 2U e · e }

m =

e √ 2U p · }

e

m p

Auflösen nach dem Verhältnis U p

} führt zu

U e

U p

} = m p

U }

e

m = 1836

e

+

Nach Einsetzen der Beziehung für den Radius erhält

man:

f = }

1 e · B

2π } m und somit f e} = m p

}

f p

m = 1836

e

Um unterschiedliche Ladungsträger auf die gleiche

Geschwindigkeit zu bringen, muss das Verhältnis

der Beschleunigungsspannungen dem vorliegenden

Massenverhältnis entsprechen. Die Beschleunigungsspannung

der Protonen ist 1 836-mal größer als

die der Elektronen. Bewegen sich Elektronen und

Protonen im gleichen homogenen magnetischen

Feld auf Kreisbahnen, dann verhalten sich die Radien

ebenfalls wie die Massen. Im Gegensatz dazu verhalten

sich die Umlauffrequenzen umgekehrt zu den

Teilchenmassen.

21. 417 464 ß-Strahlung im Magnetfeld

a) Die Lorentzkraft F L zwingt die β – -Teilchen auf eine

Kreisbahn, wobei sie als Radialkraft F R wirkt.

Es gilt also: m · v

}

2

r = Q · v · B

Auflösen nach v ergibt: v = }

Q · m

B · r

Nach Einsetzen des Ausdrucks für die Geschwindigkeit

v in die Beziehung der kinetischen Energie

erhält man:

E kin = Q 2 · B 2 · r

}

2

2 m

Da es sich bei der β – -Strahlung um negativ geladene

Elektronen handelt, kann die Ladung Q durch die

Elementarladung e und die Masse m durch die Elektronenmasse

m e ersetzt werden.

b) E kin = e 2 · B 2 · r

}

2

2 m e

E kin = (1,602· 10–19 C · 0,01 T · 0,12 m)

}}}

2

2 · 9,109 · 10 –31 kg

E kin = 2,09 · 10 –14 J = 0,13 MeV

Die kinetische Energie der β – -Teilchen beträgt etwa

0,13 MeV.



233

22. 418 904 Gekreuzte Felder

a) Bewegt sich ein geladenes Teilchen in der beschriebenen

Anordnung, so wird es infolge des vorhandenen

magnetischen und elektrischen Felds abgelenkt.

Nur für den Fall, dass die beiden Feldkräfte gleich

groß sind und in entgegengesetzter Richtung wirken,

kann die Ladung die gekreuzten Felder geradlinig

durchlaufen.

Es gilt dann: F el = Q · E = Q · v · B = F L

Auflösen nach der Geschwindigkeit ergibt: v = }

E B

Lediglich die Teilchen mit dieser Geschwindigkeit

durchlaufen die Anordnung geradlinig.

b) Mögliche sinnvolle Kombinationen sind z. B.:

E = 250 · 10 3 V · m –1 ; B = 0,1 T

E = 750 · 10 3 V · m –1 ; B = 0,3 T

E = 1,25 · 10 6 V · m –1 ; B = 0,5 T

23. 419 004 Die Hall-Spannung

U H = R H ·}

I · B

d

U H = 0,00040 }

m3 0,30 A · 0,850 T

·}}

C 0,001 m

U H = 0,1 V

24. 417 514 Hall-Sonden

Präsentation. Hinweise zur Nutzung von Hall-Sonden

sind im Internet zu finden.

e) m = 2,2 · 10 –25 kg

Angegeben in u erhält man: m = 132 u

Es könnte sich demzufolge um Xenon handeln.

26. 419 784 Massenspektrograf

a) Positiv geladene Ionen werden durch das elektrische

Feld nach unten abgelenkt, der Einfluss des Magnetfelds

bewirkt eine Ablenkung nach links in Richtung

der z-Achse. Die Ablenkung in y-Richtung ist abhängig

von der Länge des elektrischen Felds d, von

dessen Feldstärke E, von der Ladung Q, Masse m und

Geschwindigkeit v des Teilchens. In z-Richtung wird

die Ablenkung beeinflusst von der Länge d des magnetischen

Felds, von dessen magnetischer Flussdichte

B, von der Ladung Q, Masse m sowie Geschwindigkeit

v des Ions.

b) Ein Massenspektrograf wird benutzt, um unterschiedliche

Isotope eines Elements zu trennen. Auf

die von einer Ionenquelle emittierten Teilchen wirkt

die elektrische Feldkraft in y-Richtung sowie die

Lorentzkraft in z-Richtung. Das Zusammenwirken der

Kräfte hat zur Folge, dass die auf dem Schirm auftreffenden

Teilchen gleicher Ladung und Masse auf

einer Parabel liegen. Auf welchem Punkt der Kurve

ein Teilchen auftrifft, hängt von dessen Anfangsgeschwindigkeit

ab. Da die Ablenkung der Ladungsträger

auch von deren Massen beeinflusst werden,

liegen die Teilchen unterschiedlicher Isotope auf

verschiedenen Parabeln, was die Isotopentrennung

ermöglicht.

25. 419 804 Ionen im Magnetfeld

a) Die Ionen sind positiv geladen, wie man aus der

Ablenkung im Magnetfeld ableiten kann. Sie müssen

demzufolge durch das elektrische Feld nach unten

abgelenkt werden. Das elektrische Feld ist demzufolge

von oben nach unten gerichtet.

b) Es gilt v = }

E und damit E = v · B.

B

E = 4,0 · 10 4 }

m s · 1,2 T

E = 4,8 · 10 4 V } m

c) Für die Bewegung von Ionen mit bestimmter Geschwindigkeit

wirkt im Magnetfeld die dann konstante

Lorentzkraft als Radialkraft.

d) m · }

v 2

r = e · v · B

e

} m = }

v r · B

e

} m = 4,0 · 104 m s

}

0,045 · 1,2 T

e

}

m = 7,4 · 105 }

C kg

Elektromagnetische Induktion

(LB S. 335 – 337)

1. 413 204 Bewegter Magnet

Es wird immer dann eine Spannung induziert, solange

sich das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert. Das

ist bei vier der fünf Bewegungen der Fall.

Ausnahme: Drehung des Dauermagneten um seine

Längsachse (Drehung 5).

2. 411 484 Bewegte Spule

a) Induktionsspannung: (2), (4)

keine Induktionsspannung: (1), (3)

Begründung: Es wird eine Spannung induziert,

solange sich das von der Induktionsspule umfasste

Magnetfeld ändert.



b) Induktionsspannung: Spule (Beispiel 4) rotiert um

eine Achse, die senkrecht zur Blattebene steht.

keine Induktionsspannung: Spule befindet sich außerhalb

des Magnetfelds und wird dort bewegt.

3. 413 354 Spule im Feld

a) Rotation um die y-Achse, Rotation um die z-Achse,

Verschieben der Spule, sodass sie das Magnetfeld

verlässt.

Die angegebenen Bewegungen sind verbunden mit

einer Änderung der wirksamen Spulen fläche bzw.

einer Änderung der die Spule durchsetzenden magnetischen

Flussdichte.

Beides führt zu einer Induktionsspannung, deren

Betrag von der Schnelligkeit der Bewegung abhängt.

b) Rotation um die x-Achse, Verschieben der Spule in x-,

y- oder z-Richtung, jedoch nicht bis in den feldfreien

Raum hinein Da die magnetische Flussdichte keiner

zeitlichen Änderung unterliegt und nun auch die

wirksame Spulenfläche konstant bleibt, wird keine

Spannung induziert.

5. 411 494 Leiterstück

U i = B · l ·v

U i = 2,6 ·10 – 3 T · 0,15 m ·0,80 m } s

U i = 0,31 mV

6. 413 364 Freier Fall im Feld

a) Es wird der freie Fall des Leiters angenommen.

v = √ } 2 g · s

v =

√ }}

2 · 9,81 }

m · 0,50 m

s 2

v = 3,1 m } s

b) Die Elektronen bewegen sich nach links.

c) U i = B · l ·v

U i = 4,8 · 10 – 3 T · 0,10 m · 3,1 }

m s

U i = 1,5 mV

y

z

d) Mit der Vergrößerung der Geschwindigkeit (v = g · t)

vergrößert sich die Induktionsspannung zwischen

den Enden des Leiters.

B

x

7. 417 364 Induktionsspannung

4. 416 674 Induktion

V

a) Ein typisches Beispiel für die Induktion ohne Relativbewegungen

ist der Transformator. Hier führt die

Veränderung des Primärstroms zu einem veränderten

Magnetfeld und dieses zu einem induzierten

Sekundärstrom.

b) Ein typisches Beispiel für die Induktion durch Bewegungen

ist der Generator. Hier führt die Rotation

der Induktionsspule im konstanten Magnetfeld zur

Induktion in der Spule.

c) In einer Spule wird eine Spannung induziert, wenn

sich das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert.

Die Ursache dafür kann entweder eine Änderung der

wirksamen Spulenfläche oder ein zeitlich veränderliches

Magnetfeld sein.

a) – Schließen oder Öffnen des Schalters

− Veränderung des regelbaren Widerstands

− Herausziehen des Eisenkerns aus Spule 2

b) Dazu muss sich das von Spule 2 umfasste Magnetfeld

möglichst schnell und möglichst stark ändern. Eine

Variante wäre:

− große Spannung an Spule 1, damit große Stromstärke

durch die Spule und

− schnelle Änderung des Magnetfelds durch Öffnen

des Schalters.

c) Spule 2 wird entlang des Eisenkerns verschoben oder

sie wird um den Eisenkern gedreht.

8. 411 574 Induktionsschleife

a) Der durch die Induktionsschleife fließende elektrische

Strom ist von einem Magnetfeld umgeben.

Durch das auf die Schleife fahrende Auto wird dieses

Feld beeinflusst, d. h., es unterliegt einer zeitlichen

Änderung, was nach dem Induktionsgesetz eine

Spannung hervorruft. Diese kann registriert werden

und so eine Ampel oder z. B. eine Schranke ansteuern.



235

b) Ja! Bei einer stromlosen Induktionsschleife nutzt

man die Tatsache, dass die meisten Autos selbst

von einem schwachen Magnetfeld umgeben sind.

Dieses vorwiegend von der Lichtmaschine des Autos

erzeugte Magnetfeld induziert beim Überfahren

der Schleife eine Spannung, welche wiederum zum

Ansteuern von Geräten genutzt werden kann. Bei

dieser Variante muss die Stromstärkemessung jedoch

sehr empfindlich sein.

c) Mithilfe zweier in die Straße eingelassenen Induktionsschleifen

kann die Geschwindigkeit von Fahrzeugen

ermittelt werden. Beide Leiterschleifen rufen

beim Überfahren der Anordnung eine Induktionsspannung

hervor. Eine elektronische Uhr ermöglicht

die Messung der Zeitdifferenz zwischen den beiden

Magnetfeldänderungen. Der Schleifenabstand, dividiert

durch die gemessene Zeit, ergibt die Geschwindigkeit

des Fahrzeugs.

d) v = }

Δ s

Δ t

v = }

5,2 m

0,28 s

v = 19 }

m s = 67 }

km h

9. 412 044 Anwendungen

a) Die Wirkungsweise eines Transformators beruht

auf einem Induktionsstrom infolge der zeitlichen

Änderung der magnetischen Flussdichte, ein Generator

erzeugt eine Induktionsspannung aufgrund der

Änderung der wirksamen Fläche.

b) Beschreibung des Aufbaus und der Wirkungsweise

von Transformator und Generator ist im Lehrbuch

angegeben.

10. 414 064 Präsentation Transformator

Der Vortrag sollte

− einen Zusammenhang herstellen zwischen dem

Induktionsgesetz und dem typischen Aufbau eines

Transformators: Zweck des Eisenkerns, Verlauf der

Feldlinien, Zahl der Windungen, unterschiedliche

Drahtstärke in Primär- und Sekundärspule, Wirbelströme

− Möglichkeiten und Auswirkungen der Nutzung von

Transformatoren aufzeigen: Wechselstrom, Netzspannung,

Hochspannungsnetze, Kleinspannung,

Stand-by-Verbrauch, Elektrosmog

11. 414 184 Transformator Wirkungsgrad

Für den Wirkungsgrad gilt:

η = P ab

} P zu

P zu =

und damit P zu = P ab

} η

15 MW

}

0,98

P zu = 15,3 MW

Die Stromstärke im Primärkreis ergibt sich aus der aufgenommenen

Leistung:

P = U · I

I = P }

U

I =

15,3 MW

}

220 kV

I = 70 A

12. 412 494 Bewegte Leiterschleife

a) Φ = B · A

Φ = 4,5 · 10 – 3 T · 3,6 · 10 – 3 m 2

Φ = 1,6 · 10 –5 Wb

bei φ = 45°: 1,1 · 10 –5 Wb

bei φ = 90°: 0

b) Es wird keine Spannung induziert, da sich der magnetische

Fluss durch die Leiterschleife nicht ändert.

c) U i = – B ·}

Δ A

Δ t

U i = – 4,5 · 10 – 3 T · – 3,6 · 10– 3 m

}}

2

0,50 s

U i = 3,2 · 10 – 5 V

U i = 0,032 mV

13. 411 994 Veränderliches Magnetfeld

Zwischen der induzierten Spannung U i und dem magnetischen

Fluss Φ besteht der Zusammenhang

U i = – N }

dΦ dt .

In den Abschnitten I, III und V ist die Steigung des Graphen

und somit auch die Induktionsspannung null.

Im Bereich II ist die Änderung des magnetischen Flusses

positiv, was aufgrund des negativen Vorzeichens im

Induktionsgesetz (Lenzsche Regel) eine negative Induktionsspannung

zur Folge hat.

Zwischen t 3 und t 4 liegt eine negative Steigung vor, weshalb

in diesem Bereich eine positive Spannung induziert

wird.



Der Betrag der induzierten Spannung im Abschnitt II ist

um das 1,5-Fache größer als der im Bereich IV.

14. 414 494 Selbstinduktion

U i = – L · }

ΔI

Δt

U i = – μ 0 · N 2 · A

} · ΔI

l } Δt

U i = – μ 0 · π ( d 2) 2 · N 2

}· ΔI

l }

Δt

U i = – 3,3 · 10 –3 Vs

}

A · }

ΔI

Δt

Abschnitt I: U i = 0, da }

ΔI

Δt = 0

Abschnitt II: Δ I = 250 mA , Δt = 10 ms

U i = – 3,3 · 10 – 3 }

Vs 250 mA ·}

A 10 ms

U i = 82,5 mV

Da die Stromstärke abnimmt, hat die Induktionsspannung

einen positiven Betrag.

Abschnitt III:

Abschnitt IV:

U i = 0, da ΔI }

Δt = 0

Δ I = 200 mA , Δt = 5 ms

U –3 Vs 200 mA

i = – 3,3 · 10 }·}

A 5 ms

U i = – 132 mV

Da nun die Steigung des Graphen positiv ist, liegt im

Bereich IV eine negative Induktionsspannung vor.

Abschnitt V:

150

100

50

0

–50

–100

–150

U i in mV

U i = 0, da ΔI }

Δt = 0

0 10 20 30 40 50

15. 415 024 Energie in der Spule

a) E = 1 } 2 L ·I 2

Mit L = 0 · N 2· A

} erhält man:

l

E = 0 · N 2 · A ·I

}

2

2 l (A = }

π ·d 2

4 )

E = 1,257 Vs · (500)2· 2,46 m 2 · (3,0 A)

}}}

2

10 6 Am · 10 3 · 2 · 0,15 m

E = 23 mJ

t in ms

Es gilt: E ~ I 2

Halbe Stromstärke bedeutet ein Viertel der Energie,

doppelte Stromstärke bedeutet die vierfache

Energie.

b) E = 1 }

2 C · U 2

U = √ } 2 E

} C

U = √ } 2 · 23 ·10 – 3 J

}

6,2 · 10 – 6 F

U = 86 V

c) U i = – L ·}

Δ I

Δ t

U i = 1,257 Vs ·(500)2 · 2,46 m

}}

2

· 3,0 A

}

10 6 Am · 10 3 · 0,15 m 0,020 s

U i = 0,77 V

Hierbei handelt es sich um eine näherungsweise

Lösung, bei der der Ausschaltvorgang durch eine

lineare Abnahme des Stroms beschrieben wird.

16. 419 874 Spule mit Eisenkern

a) E = }

1 2 L ·I 2

E = 0 · r · N 2 · A ·I

}}

2

2 l

E = 1,257 Vs · 480 ·(1500)2 · 85 m 2 ·(4,2 A)

}}}}

2

10 6 Am · 10 4· 2 ·0,25 m

E = 410 J

b) E = m ·g· h

E

h = }

m · g

h = 410 J

}}

0,1 kg · 9,81 }

m = 420 m

s 2

c) Wegen E ~ r verringert sich beim Entfernen

des Eisenkerns die Energie des Magnetfelds um das

480-Fache.

17. 413 384 Kondensator und Spule

a) E = 1 } 2 C · U 2

E = 1 }

2 · 2,4 · 10 – 6 F · (120 V) 2 = 17 mJ

E = 1 } 2 L ·I 2

E = 1 }

2 ·1,2 H · (2,5 A)2 = 3,75 J

Die im magnetischen Feld der Spule gespeicherte

Energie ist wesentlich größer als die im elektrischen

Feld des Kondensators gespeicherte Energie.



237

b) Es müsste gelten:

1

} 2 C · U 2 = 1 } 2 L · I 2 oder C · U 2 = L · I 2

Es sind verschiedene Lösungen möglich. Geht man

z. B. von U = 100 V und I = 1 A aus, dann würde sich

ergeben (ohne Einheiten):

C · 10 4 = L oder

L

} C = 104

Das wäre z. B. erfüllt mit L = 1 H und C = 100 μF.

c) m · g · h = }

1 2 m ·v 2

Bei einer Höhe von 10 m würde man eine Geschwindigkeit

von 14 }

m s erhalten. Es sind natürlich auch

viele andere Kombinationen möglich.

20. 414 484 FI-Schalter

Der geschlossene Eisenkern ist so gewickelt, dass sich die

Magnetfelder von Null- und Außenleiter bei störungsfreiem

Betrieb gerade gegenseitig kompensieren. Fließt

der Strom jedoch fehlerhaft nicht über den Nullleiter,

sondern z. B. über einen menschlichen Körper ab, so

unterscheiden sich die Stromstärken in Hin- und Rückleitung

und somit auch deren Magnetfelder. Diese heben

sich nun nicht mehr gegenseitig auf, was eine Magnetfeldänderung

und somit einen Induktionsstrom in

der linken Spule hervorruft. Er betätigt einen Schalter,

wodurch der Stromkreis unterbrochen wird.

18. 418 954 Energieerhaltung

a) E = 1 }

2 L · I 2

E = }

1 2 0 · r · N 2· A

} · I 2

l

E = 1,257 Vs · 320 · (250)2 · 15 m 2· (4,3 A)

}}}

2

2 · 10 6 Am · 10 4 · 0,20 m

E = 1,7 J

b) Wenn der Schalter geöffnet wird, bricht das Feld

zusammen. Feldenergie wird in elektrische Energie

(Stromfluss) umgewandelt. Der Strom bewirkt eine

Erwärmung des Leiters. Die innere Energie wird in

Form von Wärme an die Umgebung abgegeben.

19. 412 584 Induktionsherd

a) Unter einer glaskeramischen Platte sind Spulen

verschiedener Induktivität installiert. Beim Fließen

eines Wechselstromes wird um diese Spulen ein magnetisches

Feld aufgebaut. Das Feld durchdringt die

Keramikkochfläche. Werden Metallgegenstände in

das Kochfeld gebracht, induzieren die magnetischen

Felder Wirbelströme, die das Material stark erhitzen.

21. 414 734 Magnet im freien Fall

Den Stabmagnet umgibt ein inhomogenes Magnetfeld.

Dadurch ändert sich das Magnetfeld in der umgebenden

Röhre bei der Bewegung des Magneten. Es werden

eine Spannung und daraus resultierend Wirbelströme

induziert. Je schneller der Magnet fällt, desto größer ist

die Spannung und desto stärker sind die Wirbelströme.

Die Wirbelströme rufen nach dem lenzschen Gesetz

eine bremsende Kraft hervor, die umso größer ist, je

stärker die Wirbelströme sind. Deshalb beschleunigt der

Magnet seinen Fall nur solange, bis die bremsende Kraft

gleich groß wie seine Gewichtskraft ist. Dann fällt er mit

konstanter Geschwindigkeit.

22. 414 844 Wechselstromwiderstand

Bei Wechselspannung wird in der Spule ständig eine

Spannung und ein Strom induziert, der nach dem

lenzschen Gesetz dem ursprünglichen Strom entgegen

gerichtet ist und diesen schwächt. Die Spule wirkt

demzufolge wie ein zusätzlicher Widerstand (induktiver

Widerstand).

b) Nur in Metallen (Kupfer, Aluminium, Stahl. u. Ä.)

können Wirbelströme entstehen.

c) Geringe elektrische Arbeit im Leerlauf, dadurch

Energieeinsparung, geringe Erwärmung im Leerlauf,

geringe Gefahr für Verbrennungen, rasche Abkühlung

nach der Benutzung, geringe Energieverluste,

da es keine Heizplatte gibt, von der Wärme an die

Umgebung abgestrahlt wird.

Schnelle Reaktionszeit, da keine wärmespeichernde

Heizplatte erhitzt wird.

Hinweis: Die Wärmeentwicklung beim Ummagnetisieren

ferroelektrischer Materialien überwiegt die

Wärmeentwicklung durch die induzierten Wechselströme.

Daher funktioniert ein Induktionsherd nur

mit magnetischem Kochgeschirr optimal.



Elektromagnetische Schwingungen und

Wellen (LB S. 357 – 358)

1. 414 834 Schwingkreis

a) Bei der Entladung des Kondensators über eine Spule

wird in der Spule ein Magnetfeld aufgebaut.

Diese Magnetfeldänderung ruft eine Induktionsspannung

hervor, die mit einem Induktionsstrom

verbunden ist. Nach dem lenzschen Gesetz ist dieser

Induktionsstrom seiner Ursache entgegengerichtet.

Aufgrund dieses Induktionsstromes wird die Entladung

des Kondensators verlangsamt. Wenn das Feld

im Kondensator abgebaut ist, nimmt die Entladestromstärke

ab, wodurch wiederum in der Spule eine

Spannung induziert wird. Diese Induktionsspannung

ist mit einem Induktionsstrom verbunden, der nach

dem lenzschen Gesetz seiner Ursache entgegengerichtet

ist. Dieser Induktionsstrom bewirkt eine

entgegengesetzte Aufladung am Kondensator. Die

im magnetischen Feld der Spule gespeicherte Energie

wird somit wieder in die Feldenergie des Kondensators

umgewandelt. Wenn in der Spule keine magnetische

Energie mehr gespeichert ist und kein Strom

mehr fließt, beginnt der Vorgang von Neuem.

Wenn der ohmsche Widerstand zu vernachlässigen

ist, wird in jeder Periode wieder die ursprüngliche

Kondensatorspannung erreicht.

Mit dem ohmschen Widerstand geht in jeder Periode

ein Teil der Energie in thermische Energie über. Die

Spannung nimmt von Periode zu Periode ab.

b) T = 2 π √ } L · C = 5,6 ms

f = }

1 = 178 Hz

T

Bei Abnahme der Stromstärke bewirkt der Induktionsstrom

ein Weiterfließen des Stromes und damit

ein Aufladen des Kondensators im Schwingkreis in

umgekehrter Richtung. Dieser Vorgang wiederholt

sich ständig.

3. 415 334 Vergleich der Schwingungen

Merkmal

a) sich periodisch

ändernde

Größen

b) Voraussetzung

für die Entstehung

c) Energieübertragungen

d) Ursache für die

Dämpfung

Mechanische

Schwingungen

y, v, a, p, r,

E pot , E kin

Elektromagnetische

Schwingungen

U, I, E el , E mag

− Schwingungsfähiger Körper bzw.

Schwingkreis

− eine einmalige Energiezufuhr

oder

− eine periodische Energiezufuhr

E pot a E kin

Reibung

E mech g E i

E el a E mag

− Stromfluss in

Leitern und Spule

führt zu ihrer

Erwärmung

− Im Eisenkern

der Spule wird

eine Spannung

induziert, die zu

Wirbelströmen

im Kern führt,

dadurch erwärmt

sich der Kern

− E feld g E i

2. 415 244 Verlauf der Schwingung

a)

I in mA

100

50

0

–50

0,02

–100

t in s

4. 415 964 Kondensator und Spule

a) f = 1

2 π · √ } L · C

Induktivität und Kapazität ergeben sich aus

L = μ 0 · N 2· A

}

l

bzw. C = ε 0 · A }

d .

Mit L = 9,4 mH und C = 18 pF erhält man:

f = 1

2 π

√ } 9,4 H · 18 F

}

10 3· 10 12

f = 3,9 · 10 5 Hz = 0,39 MHz

b) An der Spule liegt eine Wechselspannung an.

Dadurch ändert sich ständig das von der Spule

umschlossene Magnetfeld. Dabei sind verschiedene

Phasen zu unterscheiden:

Bei Zunahme der Stromstärke verändert sich das von

der Spule umfasst Magnetfeld. Der damit verbundene

Induktionsstrom wirkt seiner Ursache entgegen,

bewirkt also ein langsameres Ansteigen der

Stromstärke.

b) Mit Einführen eines Eisenkerns vergrößert sich die

Induktivität der Spule. Demzufolge verkleinert sich

die Eigenfrequenz, da f ~ 1 √ } .

L

5. 414 934 Frequenz des Schwingkreises

f = 1

2 π √ } L · C



239

Es werden entweder sinnvolle Werte für C vorgegeben

und L berechnet oder man gibt Werte für L vor und

berechnet C. Wir wählen als Beispiel die erste Variante.

Die Umstellung nach L ergibt:

L = 1

}

4 π 2 · f 2 · C

Für C = 10 pF erhält man:

L = 1

}}}

4 π 2 · (433 ·10 6 Hz) · 10 · 10 –12 F

L = 1,35 · 10 – 8 H

Weitere Werte können nach dem gleichen Verfahren

berechnet werden.

6. 410 094 Schwingkreis mit Rückkopplung

a) Um eine ungedämpfte Schwingung zu erhalten,

muss dem Schwingkreis ständig so viel Energie

zugeführt werden, wie in innere Energie umgewandelt

wird. Dies muss im Takt der Eigenfrequenz des

Schwingkreises und in der richtigen Phase erfolgen.

b) Die Induktivität des Schwingkreises bildet die Primärspule

eines Transformators, dessen Sekundärseite im

Basis-Emitterkreis eines Transistors liegt.

Fließt durch die Spule des Schwingkreises ein elektrischer

Strom, so wird nach dem Induktionsgesetz auf

der Sekundärseite ein Basisstrom induziert. Dieser ist

verbunden mit einer Änderung des Kollektorstroms,

der im Takt der Eigenfrequenz des Schwingkreises

diesem seine Verlustenergie zuführt. Infolgedessen

bleibt die Amplitude der elektromagnetischen

Schwingung konstant, es liegt eine ungedämpfte

Schwingung vor.

c) Die Resonanzfrequenz f eines Dipols errechnet sich

für seine Grundschwingung zu:

f = c } 2 l

f = λ · f } 2 l

l = 3,4 m }

2

l = 1,7 m

d) Bei vielen modernen Empfängern wird die Frequenz

des jeweiligen Senders angezeigt. Die Erläuterung

der Informationsübertragung kann sich an der Lehrbuchdarstellung

orientieren. Statt des dort dargestellten

analogen Verfahrens werden heute Informationen

meist digital übertragen.

9. 412 854 Im Schatten des Hauses

a) Rundfunk:

Die Wellenlänge beträgt 0,1 bis 10 4 m

Sichtbares Licht:

Die Wellenlänge beträgt 3,9 · 10 – 7 bis 7,8 · 10 – 7 m

(390 –780 nm)

Wärmestrahlung:

Die Wellenlänge beträgt 3 · 10 – 5 bis 7,8 · 10 – 7 m

b) Für Radiowellen stellt das Haus ein Hindernis im

Bereich der Wellenlänge dar. Hinter dem Hindernis

breiten sich die Wellen durch Beugung aus.

7. 412 654 Energieübertragung

Bei den genannten Bedingungen befinden sich die

Dipole in Resonanz, d. h., im Empfangsdipol fließt im

Bereich der Lampe eine maximale Stromstärke (Schwingungsbauch).

8. 412 794 Radioempfang

a) Es handelt sich um einen UKW-Sender, d. h., er ist im

VHF-Band zu empfangen.

b) c = λ · f

λ = c } f

λ =

3 · 10 8 m } s

}

88,8 · 10 6 Hz

c) Das Modell Lichtstrahl beschreibt den Schatten eines

Gebäudes für sichtbares Licht und Wärmestrahlung.

Dieses Modell ist sinnvoll für Hindernisse, die groß

sind gegenüber der Wellenlänge

Das Modell Welle beschreibt, wie die Radiowellen

auch hinter einem Gebäude zu empfangen sind, dieses

Modell ist sinnvoll für Hindernisse, deren Größe

im Bereich der Wellenlänge liegt.

λ = 3,4 m



10. 413 554 Wellen im Vergleich

Merkmal

Mechanische

Wellen

Elektromagnetische

Wellen

c) t = } v s t = 2 · 384400 km · s

}}

300000 km

t = 2,26 s

a) sich periodisch

ändernde Größen

b) Voraussetzung

für die Entstehung

c) Eigenschaften

11. 414 094 Radar

y, v, a, p, r, E pot ,

E kin

− mechanische

Schwingungen

− schwingungsfähige

Teilchen/Körper,

die miteinander

gekoppelt

sind

− Brechung

− Beugung

− Interferenz

− können Stoffe

durchdringen,

werden dabei

gedämpft bzw.

absorbiert

u, i, E el , E mag

− elektromagnetische

Schwingungen

− Antenne

− breiten sich

im Vakuum

geradlinig mit

Lichtgeschwindigkeit

aus

− durchdringen

Isolatoren

Präsentation:

Radar ist die Abkürzung für „Radio Detection and Ranging“

(„Funkortung und -abstandsmessung“). Das Prinzip

besteht im Aussenden eines Funkimpulses und der

Detektion seines Echos, wenn der Funkimpuls an einem

Körper gestreut wurde. Aus der Zeitdifferenz zwischen

Aussenden und Empfangen des Pulses lässt sich der

Abstand des streuenden Körpers ermitteln. Wenn man

diese Messtechnik rotierend in alle Himmelsrichtungen

ausführt, bekommt man ein Bild von den Hindernissen

(oder Flugzeugen) in seiner Umgebung. (Das sind die

rotierenden Antennen auf den Masten von Schiffen und

auf den Türmen am Flughafen.)

Die Präsentation sollte neben der prinzipiellen Funktionsweise

auf die historische technische Entwicklung

sowie auf eine aktuelle Anwendung eingehen.

12. 413 664 Interplanetarisches Radar

a) s = v · t

s = 300000 }

km s · 742,5 s

s = 2,2275 m · 10 8 km

b) Die Entfernung Erde – Mars entspricht bei der

beschriebenen Stellung etwa dem 1,5-Fachen der

Entfernung Erde – Sonne.

13. 410 614 Stehende Mikrowellen

a) Bei der Wand muss es sich um einen Leiter handeln.

b) Mit f = 9,4 GHz ergibt sich eine Welle mit einer

Wellenlänge von:

λ = }

c f

λ = 3 · 108 m s

} = 3,2 cm

9,4 · 10 9 Hz

Da der Abstand zweier Schwingungsknoten }

λ 2 ist,

erhält man auf 17 cm zehn Schwingungsknoten

(10· 1,6 cm).

14. 413 464 Mobilfunk

Referat zum Mobilfunknetz:

Der Vortrag sollte eingehen auf die Bedeutung der

Funkzellen, deren Größe und gegenseitige Überschneidung,

Strahlungsleistung und Reichweite der Sender für

die Netze bei unterschiedlichen Frequenzen.

Vorschläge für Fragestellungen, die spezielle Themen

hervorheben:

a) Katastrophenschutz: was passiert, wenn alle gleichzeitig

telefonieren wollen?

b) Wie können alle Mobiltelefone durcheinandersenden,

ohne sich gegenseitig zu stören?

15. 413 684 Antenne am Kofferradio

Die Stabantenne am Kofferradio dient dem Empfang

der UKW- Sender im Bereich von 100 bis 200 MHz.

Nach der Formel für einen Sendedipol

l = }

λ 2

ergibt sich danach eine Länge von 37,5 bis 75 cm.

Das stimmt nicht mit der Beobachtung überein, dass das

Kofferradio typischerweise eine Teleskopantenne hat,

die sich bis auf maximal 40 cm ausziehen lässt.

Tatsächlich sind die Antennen des Radioempfängers

meistens als }

λ -Antennen ausgeführt. Damit erreicht man

4

ein Maximum für die Spannung am offenen Ende der

Antenne und ein Maximum für den Strom am anderen

Ende der Antenne. Hier muss eine geeignete Schaltung

der Empfangselektronik einen Stromfluss ermöglichen.



241

16. 413 694 Radio im Tunnel

Am Tunneleingang ist der Empfang des Radiosenders

noch gegeben. Im Tunnel werden die hertzschen Wellen

abgeschirmt. Dies passiert, wenn Stahlbeton oder Stahlträger

als Baumaterialien verwendet wurden oder das

Erdreich sehr mineralhaltig ist. Die hertzschen Wellen

werden dann reflektiert und können nicht in den Tunnel

eindringen.

b) Für die Handystrahlung stimmt die genaue Abstimmung

der Geräteöffnungen nicht exakt für die Wellenlänge

der Strahlung. Daher kann die Strahlung

durch Beugung das Gehäuse passieren.

Handys stellen ihre Sendeleistung auf die gegebene

Situation ein. Das Handy in der Mikrowelle erhöht

also seine Sendeleistung, bis sie zu Kommunikation

mit der Basisstation ausreicht.

17. 410 874 Rundfunkempfänger

Ein einfacher Rundfunkempfänger besteht aus einem

Abstimmkreis, einem Demodulationskreis, einem Verstärker

und einem Lautsprecher.

Mithilfe des Drehkondensators wird die Eigenfrequenz

des Abstimmkreises auf die Frequenz der Trägerschwingung

abgestimmt. Liegt Resonanz vor, so empfängt der

Empfänger die hertzschen Wellen des Radiosenders, auf

denen die eigentliche Information (Sprache, Musik usw.)

aufmoduliert wurde.

Im Demodulationskreis erfolgt die Trennung vom Träger-

und niederfrequenten Informationssignal. Dabei

stellt eine Halbleiterdiode, sie wirkt als Gleichrichter, das

wichtigste Bauteil dar. Sie trennt den negativen Schwingungsanteil

ab und sorgt so für einen pulsierenden

Gleichstrom, der den Kondensator periodisch auflädt.

Durch geeignete Wahl eines parallel zum Kondensator

geschalteten Widerstandes verliert die hochfrequente

Trägerschwingung ihren Einfluss auf den Auf- und

Entladevorgang. Nach erfolgreicher Trennung vom

Trägersignal wird die eigentliche Information mithilfe

eines Transistors verstärkt und abschließend von einem

Lautsprecher oder Kopfhörer in Schall umgewandelt.

19. 418 584 Elektrosmog

Unter Elektrosmog versteht man die in unserer Umwelt

vorhandenen, durch technische Anordnungen hervorgerufenen

elektrischen, magnetischen und elektromagnetischen

Felder.

Für elektrische, magnetische und elektromagnetische

Felder gibt es Grenzwerte, die nicht überschritten werden

sollten. Teilweise werden auch Vorsorgewerte angegeben,

die unter den Grenzwerten liegen. Angaben

dazu sind im Internet zu finden.

Für Mobiltelefone und andere Geräte werden SAR-

Werte (spezifische Absorptionsrate) angegeben. Der

SAR-Wert ist ein Maß für die Absorption elektromagnetischer

Strahlung in biologischem Gewebe. Bei Handys

liegt dieser Wert zwischen 0,10 und 2,0 W/kg.

Ob Elektrosmog für den Menschen gesundheitsschädlich

ist, kann bisher nicht eindeutig belegt werden. Die

bisherigen Erfahrungen und Forschungen zeigen: Bei

Einhaltung der Grenzwerte ist keine gesundheitliche

Beeinträchtigung zu erwarten.

18. 413 194 Mikrowellenstrahlung

a) Ein faradayscher Käfig, das heißt, eine vollständige

elektrisch leitende Hülle, sollte die Strahlung abhalten

können. Damit jedoch keine Strahlung durch

Beugung an den notwendigen Öffnungen des Geräts

(Lüftungsöffnungen, Türspalt) austreten kann, müssen

diese sehr klein gegenüber der Wellenlänge sein.

Tatsächlich stimmen jedoch die Hersteller der Geräte

die Öffnungen genau auf die verwendete Wellenlänge

ab, sodass durch destruktive Überlagerung

(Wellenberg überlagert sich mit Wellental) keine

Strahlung aus dem Gerät austreten kann.

Daher ist es gefährlich, Gegenstände in den Türspalt

des Mikrowellengeräts zu schieben oder ein Mikrowellengerät

in Betrieb zu nehmen, bei dem die Tür

verbogen ist, auch wenn der Spalt dadurch kleiner

geworden ist.




Optik

243

3.5 Optik

40

β in Grad

Luft–Glas

Ausbreitung von Licht und Wechselwirkung

mit Stoffen (LB S. 373 – 374)

30

20

10

Luft–Diamant

1. 415 414 Die Lichtgeschwindigkeit

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80

α in Grad

Es kann eine der im Lehrbuch dargestellten Möglichkeiten

ausgewählt werden.

2. 418 524 Spiegelbilder

Die geschilderte Beobachtung an den Wänden des

Aquariums entsteht durch Totalreflexion. Da man sein

Spiegelbild nur sehen kann, wenn man senkrecht in den

Spiegel schaut, wird hier keine Totalreflexion auftreten.

Da der Fisch jedoch ausgedehnt ist, könnte für das Licht,

das von der Schwanzflosse ins Auge fällt der Grenzwinkel

überschritten werden, sodass der Fisch immerhin

einen Teil seines Körpers in Totalreflexion sieht. Außerdem

findet immer auch Reflexion zusätzlich zur Brechung

statt. Dies hängt stark von der Beleuchtung ab.

Da Aquarien häufig beleuchtet sind und es deshalb im

Inneren deutlich heller als außen ist, dürfte der reflektierte

Anteil des Lichts nicht unerheblich sein. Also wird

der Fisch sein Spiegelbild beobachten können.

3. 414 104 Brechung an Oberflächen

Die Grenzwinkel für die Totalreflexion betragen

beim Übergang von Glas in Luft 41,8° und beim

Übergang von Diamant in Luft 24,6°.

c) Dieser Zusammenhang tritt auf, wenn die optische

Dichte beider Stoffe gleich groß ist. Das ist z. B.

bei Kanadabalsam (n = 1,54) oder Zedernholzöl

(n = 1,505) und bestimmten Glassorten der Fall.

4. 415 744 Totalreflexion und Brechzahl

Für den Grenzwinkel der Totalreflexion gilt:

sin α G = c 1

} c oder sin α

2 G = }

1 n

n

α G

1,2 56,4°

1,4 45,6°

1,6 36,7°

1,8 33,7°

2,0 30,0°

a) Je größer der Einfallswinkel α ist, desto größer ist

der Brechungswinkel β. Der Zusammenhang ist nicht

linear. Mit zunehmendem Einfallswinkel vergrößert

sich der Brechungswinkel immer weniger.

b) Luft – Glas Luft – Diamant

α β α β

20° 13,2° 20° 8,2°

40° 25,4° 40° 15,5°

60° 35,5° 60° 21,2°

80

60

40

20

α G in °

80° 41,0° 80° 24,2°

90° 41,8° 90° 24,6°

0

0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

n

Damit ergibt sich folgendes Diagramm:

Mit Verkleinerung der (relativen) Brechzahl wird der

Grenzwinkel der Totalreflexion immer größer und strebt

schließlich gegen 90°.



5. 418 754 Glasfaserkabel

a) Für die Grenzwinkel der Totalreflexion gilt: sin α G = 1 }

n

Damit erhält man:

sin α G =

1

} 1,60

α G = 38,7°

1

sin α G = } α

1,55 G = 40,2°

Für den Übergang zwischen den beiden Stoffen gilt:

sin α G = }

1,55 α

1,60 G = 75,6°

b) Unter dem maximal möglichen Einstrahlwinkel

versteht man den Winkel, der vorhanden sein muss,

damit das einfallende Licht im Kern fortgeleitet wird.

Aus geometrischen

Betrachtungen folgt:

α = 2 (90° – α G )

α = 28,8°

α

Strahl 2:

Der Brechungswinkel

ist bei Strahl 1 berechnet.

Im Weiteren verläuft

der Lichtstrahl symmetrisch.

Strahlen 3 und 4:

(3) Bei 45° tritt Totalreflexion auf, da der Grenzwinkel

folgenden Wert hat:

sin α G = }

1 n = }

1 1,6 ; α G ≈ 39°

(4) α 1 = 45°

sin α } 1

= sin 45°

} = 1,6; β

sin β 1 sin β 1 ≈ 26°

1

α 2 = 19°

30°

18°

sin β } 2 sin β

=

sin α } 2

2 sin 18,8° ; β 2 ≈ 31°

60°

78°

60°

18°

30°

6. 414 654 Rechtwinkliges Prisma

In der Skizze ist der prinzipielle Strahlenverlauf

angegeben.

(3)

45°

45°

45°

β 2

α 2

β 1

α 1

(4)

β 1

β

α 4 2 '

α 4

α 1

α 2

α 3

45° α 3 ' 45°

Mit α 1 = 45° und n = 1,5 ergibt sich:

sin β 1 = sin α 1

} n = 0,4714 β 1 ≈ 28,1°

α 2 = 90° – β 1 = 67,9° = α 2 ‘

α 3 = α 2 – 45° = 16,9°

α 4 = 45° – α 3 = 28,1° = β 1

β 4 = α 1 bzw. sin β 4 = n · sin α 4

7. 418 364 Verschiedene Prismen

Angegeben sind die Strahlenverläufe und die Winkel für

eine Brechzahl des Glases von n = 1,6.

Strahl 1:

sin α } 1

= sin 30°

} = 1,6; β

sin β 1 sin β 1 ≈ 18°

1

sin α G = }

1 n = }

1 1,6 ; α G ≈ 39°

Totalreflexion bei α 2 = 42°

sin β } 3

= sin β 3

}

sin α 3 sin 180° = 1,6; β 1 ≈ 30°

α 1 = 30

β 1 = 18

60°

60°

α 3 = 18

α 2 = 42

60°

β 3 = 30

8. 414 994 Planparallele Glasplatte

Der Abstand x kann

allgemein berechnet

werden. Damit erhält

man eine Gleichung mit

den Parametern α, n

und d.

Aus sin(α – β) = }

x c

folgt:

x = c · sin(α – β)

Mit c =

d

} cos β

45°

erhält man:

d · sin(α – β)

x = } (1)

cos β

Mit cos β = √ } 1 – sin 2 β und sin β = }

sin α ergibt sich:

n

α

d

β

c

x


Optik

245

cos β = √ } 1 – sin2 α

} . n 2

In (1) eingesetzt erhält man:

d · sin(α – β)

x = √ } 1 – sin2 α

}

n 2 .

Lichtquelle

weißes

Licht

farbiges

Licht

Mit sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β ergibt sich:

d (sin α · cos β – cos α · sin β)

x = }}

√ } 1 – sin2 α

}

oder umgeformt:

d · n · cos α · sin β

x = d · sin α –}}

√ } n 2 – sin 2 α

n 2

Mit sin β = }

sin α erhält man nach Umformung:

n

x = d · sin α

( 1 – cos α

√ } n 2 – sin 2 α ) .

Prisma

11. 415 044 Reflexion an einem Spiegel

Zeichnet man die Elementarwellen in den Auftreffpunkten

auf dem Spiegel zu dem Zeitpunkt, bei dem die

äußerste Wellenfront den Spiegel trifft, dann ergibt sich

als Einhüllende dieser Wellen gerade die von der gespiegelten

Wellenfront ausgehende Welle.

Die Interpretation ergibt:

a) Mit Vergrößerung des Einfallswinkels vergrößert sich

bei d = konst. und n = konst. der Abstand x.

b) Mit Vergrößerung der Brechzahl vergrößert sich bei

α = konst. und d = konst. der Abstand x.

c) Mit Vergrößerung der Dicke vergrößert sich bei

α = konst. und n = konst. der Abstand x.

L

L'

Spiegel

9. 414 334 Lichtgeschwindigkeit in Glas

Auf die Rückseite eines quaderförmigen Glasblocks

klebt man einen Maßstab. Die Vorderseite klebt man bis

auf einen schmalen Spalt ab.

Nun lässt man zunächst Licht senkrecht durch den

Spalt fallen und liest an dem Maßstab die Position des

Lichtflecks ab. Dann kippt man den Quader um einen

definierten Winkel α. Und liest erneut die Position auf

dem Maßstab ab.

Aus den abgelesenen Positionen und der Dicke des

Quaders kann man den Brechungswinkel bestimmen.

Zusammen mit dem Kippwinkel kann man unter Verwendung

des Brechungsgesetzes den Brechungsindex

n bestimmen. Dieser liefert als Quotient zur Lichtgeschwindigkeit

im Vakuum dann die Lichtgeschwindigkeit

in Glas.

12. 414 814 Totalreflexion

Totalreflexion kann nur beim Übergang von einem

optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium

auftreten, hier also beim Übergang von Glas in Luft. Der

Einfallswinkel ist in diesem Fall gleich dem Brechungswinkel

beim Übergang Luft – Glas:

sin β = sin α ∙ }

cG c L

Bei α = 90° (sin α = 1) würde das einfallende Licht gerade

den Grenzwinkel der Totalreflexion erreichen. Es erfolgt

also bei allen Winkeln α < 90° keine Totalreflexion. Das

entspricht den Alltagserfahrungen.

Hinweis: Die zu beobachtenden Reflexionen an Glasscheiben

sind nicht auf Totalreflexion zurückzuführen,

sondern auf eine partielle Reflexion des einfallenden

Lichts.

10. 414 354 Spektralfarben

Fällt weißes Licht auf ein Prisma, so entsteht hinter dem

Prisma ein Farbband (Spektrum). Die Ursache hierfür ist

die Dispersion, das heißt, die unterschiedliche Brechung

an der Grenzfläche für unterschiedliche Wellenlängen.

13. 423 904 Fata Morgana

Heißere Luft hat eine geringere Dichte als kalte Luft.

Aus diesem Grunde ist auch der Brechungsindex geringer.

An Luftschichten unterschiedlicher Temperatur kann

das Licht daher, wie in der Skizze gezeigt, eine Kurve

beschreiben.

Auf heißem Asphalt sind die wärmeren Schichten unten.

Folglich sieht man den Himmel, wenn man seinen Blick

nach unten richtet.

In der Wüste wird dieser sich am Boden spiegelnde Himmel

leicht fälschlicherweise für eine ferne Küste gehal-



ten. Gelegentlich kommt es in der Wüste aufgrund der

starken Temperaturschwankungen zwischen Tag und

Nacht auch zu einer umgekehrten Luftschichtung. Diese

führt dazu, dass man quasi um die Erdkrümmung herum

sehen kann. Eine sehr weit entfernte Stadt scheint dann

in erreichbarer Entfernung zu sein.

15. 414 674 Wege und Zeiten

a) Für die Rettung sollte die Zeit, die der Rettungsschwimmer

von A nach B braucht, ein Minimum sein.

Das dürfte bei Weg 3 der Fall sein, denn der Rettungsschwimmer

bewegt sich auf Land wesentlich

schneller als im Wasser und es gilt t ~ 1 }

v .

b)

A

50 m

C

x

E

s 1

s 2

B

80 m – x

D

30 m

14. 419 094 Die Drehspiegelmethode

Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in der Skizze dargestellt.

Durch eine Blende fällt Licht im Punkt C auf einen

drehbar gelagerten Spiegel. Dieser Spiegel reflektiert

das Licht auf den Hohlspiegel H, dessen Krümmungsmittelpunkt

in C liegt. Licht, das auf den Hohlspiegel trifft,

wird von ihm in Richtung C reflektiert.

Solange der Spiegel S seine Lage nicht ändert, würde

das Bild des Spalts genau im Bereich der Blendenöffnung

entstehen.

Rotiert der Spiegel S, so trifft das vom Hohlspiegel H

reflektierte Licht den Spiegel nach der Reflexion in einer

etwas anderen Stellung. Hat sich der Spiegel um den

Winkel α gedreht, so ist das Bild des Spalts gegenüber

der ursprünglichen Reflexionsrichtung um 2 α abgelenkt.

Aus dem Winkel und der Drehzahl des Spiegels kann

man die Zeit berechnen, in der das Licht die Strecke

durchläuft. Die Lichtgeschwindigkeit ergibt sich dann

zu:

c = 2 . } CH

}

t

1862 gab FOUCAULT einen experimentell ermittelten Wert

von 298000 km/s an.

Die Bedeutung des Verfahrens von FOUCAULT besteht

neben der hohen Messgenauigkeit vor allem darin, dass

zwischen Spiegel und Hohlspiegel auch andere Stoffe

eingebracht werden konnten. So wies FOUCAULT nach,

dass die Lichtgeschwindigkeit in Wasser und Glas wesentlich

kleiner als die in Luft ist.

Die Zeit t ergibt sich mit t = }

s aus den Teilwegen und

v

den entsprechenden Geschwindigkeiten:

t(x) = t 1 + t 2

t(x) = √ }}

(50 m) 2 + x

}}

2

8 }

m s

+ √ }}

(30 m) 2 + (80 m – x)

}}

2

4 }

m s

c) Das Minimum der Zeit lässt sich aus dem Graphen

der unter b) genannten Funktion ablesen. Diesen

Graphen erhält man aus berechneten Wertepaaren.

Einfacher ist die Eingabe der Funktion in einen Funktionsplotter

(stehen im Internet zur Verfügung) bzw.

einen GTR. Das Minimum liegt bei etwa 67 m.

Hinweis: Das Bilden der ersten Ableitung und das Berechnen

des Extremwerts übersteigt die schulischen

Möglichkeiten.

Aus dem Brechungsgesetz ergibt sich:

sin α

}

sin β = c 1

} = 8 m s

c 2 4 }

m = 2,0

s

Mit x = 67 m erhält man für s 1 = } AE = 83,6 m und

sin α = }

67 m

83,6 m .

Entsprechend ergibt sich für s 2 = } EB = 32,7 m und

sin β = }

13 m

32,7 m .

Damit erhält man:

sin α

} sin β

=

67 m ∙ 32,7 m

}

83,6 m ∙ 13 m = 2,01


Optik

247

Spiegel, Linsen und optische Geräte

(LB S. 389 – 390)

1. 419 814 Größe eines Spiegels

Abstand dieses Punkts von der Linse ist die Brennweite.

b) Aus der Linsengleichung folgt, dass f = g }

2 ist.

Bei an der Wand senkrecht aufgehängten Spiegeln beobachtet

man, dass sich der Ausschnitt, den man sehen

kann, mit dem Abstand des Betrachters vom Spiegel verändert,

jedoch der Ausschnitt, den der Betrachter von

sich selbst sieht, nahezu unverändert bleibt. Der Spiegel

muss so aufgehängt werden, dass die obere Kante des

Spiegels auf Höhe der Mitte zwischen den Augen und

dem oberen Rand der Person ist. Er muss genau halb so

groß wie die Person sein. Entsprechend muss er genau

halb so breit wie die Person sein. Der Betrachter kann

sich dann in jeder Entfernung vom Spiegel vollständig

sehen, wenn er sich mittig zum Spiegel stellt.

Man kann jedoch auch mit einem kleineren Spiegel auskommen,

wenn man ihn z. B. schräg an die Decke hängt.

2. 417 124 Zerstreuungslinse

c)

G

Es gilt: }

1 f = }

1 + }

1 = }

1 + }

1 oder f = g 1 b 1

} = g 2 b 2

};

g 1 b 1 g 2 b 2 g 1 + b 1 g 2 + b 2

Für z und d ergibt sich:

I

g 1

b 1

z

d

II

B

a)

z = g 1 + b 1

d = b 1 – g 1

G

F

B

F

Beide Gleichungen kann man miteinander

verbinden:

(z + d)

z + d = 2 b 1 gb 1 = } 2

(z – d)

z – d = 2 g 1 gg 1 = } 2

z 2 – d

}

2

=

4 z

(z + d) (z – d)

} =

4 z

4 b 1 g } 1

4 (g 1 + b 1 ) = f

b) Man erhält ein virtuelles Bild.

c) Das Bild ist immer verkleinert, aufrecht und seitenrichtig.

d) Aus der Skizze oben ergibt sich nach dem Strahlensatz:

B

}

G = }

b g = }

f – b

f

Die Umformung ergibt:

b

} g = 1 – }

b f

Durch weitere Umformungen erhält man:

1

}– f = }

1 g + }

1 – b

Der Vergleich mit der Abbildungsgleichung zeigt: Für

eine Zerstreuungslinse gilt die Abbildungsgleichung.

Man muss aber f und b negativ ansetzen.

3. 416 284 Brennweite einer Linse

a) Man bewegt die Linse solange senkrecht zum Schirm,

bis sich die Lichtstrahlen in einem Punkt treffen. Der

d) Experimentelle Bestimmung der Brennweite

4. 419 514 Die Abbildungsgleichung

a) Die Abbildungsgleichung lautet: }

1 f = }

1 g + }

1 . Die Umstellung

nach der Bildweite b ergibt:

b

b(g) = }

f · b

b – f = f

}

( 1 – }

f

g)

Die Bildweite ist von der Brennweite der Linse und

von der Gegenstandsweite abhängig. Bei konstanter

Brennweite f gilt:

− Bei g > f ist der Term ( 1 – }

f < 1, damit die Bildweite

größer als die Brennweite.

− Bei g g f geht der Term ( 1 – }

f gegen null, die

Bildweite damit gegen unendlich.

− Bei g < f ist der Term ( 1 – }

f < 0, die Bildweite

damit negativ. Das Bild liegt auf der gleichen Seite

der Linse wie der Gegenstand (virtuelles Bild).

b) Als Brennweite wird ein beliebiger Wert, z. B.

f = 10 cm, angenommen. Dann erhält man folgende

Wertetabelle:

g)

g)

g)



g in cm 10 20 30 40 50

b in cm ∞ 20 15 13,3 12,5

b)

Film als Schirm

g in cm 60 70 80 90 100

b in cm 12 11,7 11,4 11,3 11,1

Bild

20

b in cm

Gegenstand

Linse

10

0

–10

f 20 40 60 80 100 g in cm

c)

Umlenkspiegel

Schirm

–20

Bild

Geht die Gegenstandsweite gegen die Brennweite,

so geht die Bildweite gegen unendlich.

Bei ständiger Vergrößerung der Gegenstandsweite

nähert sich die Bildweite der Brennweite.

Bei g < f nähert sich bei Verringerung der Gegenstandsweite

die Bildweite null.

Objektiv

Gegenstand

Kondensor

5. 415 384 Verschiedene Bilder

Lichtquelle

Hohlspiegel

Bildkonstruktion und Berechnungen. Man erhält mit

den angegebenen Daten folgende Werte:

a) Sammellinse

g = 1 cm b = – 1,5 cm B = 2,6 cm (virtuell)

g = 4,5 cm b = 5,6 cm B = 2,1 cm (reell)

b) Zerstreuungslinse


g = 4,5 cm b = – 1,6 cm B = 1,6 cm (virtuell)

c) Hohlspiegel


g = 4,5 cm b = 5,0 cm B = 1,7 cm (reell)

d) Wölbspiegel


g = 4,5 cm b = – 1,5 cm B = 0,5 cm (virtuell)

6. 416 454 Verschiedene Geräte

a)

Hohlspiegel

Kondensor

Objektiv

Schirm

7. 419 184 Sehfehler

Bei Nacht ist die Pupille geweitet. Deshalb sind die

Scheibchen auf der Netzhaut größer und man sieht

unschärfer.

8. 418 254 Ein spezielles Fernrohr

Ein Mikroskop ist so konstruiert, dass man kleine Gegenstände

in der Brennebene des Objektivs vergrößert

beobachten kann. Ein Fernrohr dagegen soll weit entfernte

Gegenstände unter einem größeren Sehwinkel

und nicht wirklich vergrößert anzeigen. Dazu wählt man

beim Objektiv des Mikroskops eine kleine Brennweite

und beobachtet mit dem Okular das reelle Zwischenbild,

das das Objektiv in vielen Brennweiten Entfernung im

Tubus erzeugt. Würde man dieses Mikroskop auf einen

weit entfernten Gegenstand richten, so würde es ein

verkleinertes Bild nahe am Objektiv im Tubus erzeugen.

Dies wäre weit außerhalb der Brennweite des Okulars,

sodass dieses nicht als Lupe wirken würde, sondern ein

noch mal verkleinertes reelles Bild erzeugen würde.

Deshalb kann das Mikroskop nicht als Fernrohr benutzt

werden. Außerdem ist die Helligkeit des Bildes von der

Objektivöffnung abhängig. Diese wäre beim Mikroskop

viel zu klein.

Lampe

Dia


Optik

249

9. 419 084 Brennpunkt gefragt

Man zeichnet einen beliebigen Gegenstand ein und

von einem Punkt den Mittelpunktstrahl. Dieser schneidet

den gegebenen Strahl im Bildpunkt. Durch diesen

wiederum muss der Parallelstrahl gehen, der aus dem

Brennpunktstrahl durch Brechung an der Linse wird.

Er schneidet die optische Achse im Brennpunkt. Den

2. Brennpunkt erhält man durch Spiegelung an der

Linsenebene.

L

F

12. 416 154 Pkw-Spiegel

a) Ebene Spiegel haben den Vorteil, dass andere Fahrzeuge,

Personen oder Gegenstände in der Größe erscheinen,

die sie haben. Der Blickwinkel ist allerdings

relativ stark eingeschränkt.

Bei einem Wölbspiegel ist der Blickwinkel größer. Gegenstand

und Bild haben allerdings unterschiedliche

Größe. Das kann von Nachteil sein.

b) Das ist bei einem ebenen Spiegel der Fall.

Begründung: Bei einem ebenen Spiegel sieht man

den Gegenstand so, wie man ihn auch ohne Spiegel

sehen würde. Das Spiegelbild entspricht den Sehgewohnheiten.

Damit sind auch Relativgeschwindigkeiten

besser abschätzbar als bei einem Wölbspiegel,

bei dem die Bildgröße nicht gleich der Größe ist, die

man ohne Spiegel wahrnehmen würde. Darüber hinaus

verändert sich die Bildgröße mit der Entfernung,

was eine Geschwindigkeitseinschätzung schwieriger

macht.

10. 417 624 Brille als Feuerzeug

Man kann mit einer Sammellinse ein Feuer anzünden,

indem man brennbares Material in den Brennpunkt der

Sammellinse bringt und von der anderen Seite der Linse

Sonnenlicht parallel zur optischen Achse einfallen lässt.

Nicht jede Brille besteht aus einer Sammellinse, deshalb

muss es eine Brille für Weitsichtige (Lesebrille) sein. Eine

Gleitfocusbrille ist für den genannten Zweck ungeeignet.

11. 419 404 Ein scharfes Bild

Die Bildweite ergibt sich aus }

1 f = }

1 g + }

1 b zu:

1

}

b = }

1 f – }

1 oder b = }

f · g

g

g – f

0,3 m ∙ 50 m

b = }

50 m – 0,3 m = 0,302 m

Für die unterschiedlichen Bildweiten kann man die Gegenstandsweiten

(Bereich der Tiefenschärfe) berechnen:

g = }

f · b

b – f

g 1 =

0,3 m ∙ 0,304 m

}}

0,304 m – 0,3 m = 22,8 m

0,3 m ∙ 0,300 m

g 2 = }}

0,300 m – 0,3 m g ∞

Es werden Gegenstände scharf abgebildet, die sich in

etwa 23 m Entfernung oder weiter vom Fotoapparat

entfernt befinden.

Hinweis: In diesem Zusammenhang kann der Einfluss

der Blende auf die Tiefenschärfe ausführlicher diskutiert

werden.

13. 417 294 Brennweite eines Objektivs

Nach der besselschen Methode ergibt sich die Brennweite

zu:

f = z 2 – d

}

2

4 z

f = (100 cm)2 – (13 cm)

}}

2

4 ∙ 100 cm

f = 24,6 cm = 246 mm

Es gäbe folgende weiteren Möglichkeiten: Es wird paralleles

Licht durch das Objektiv geschickt, der Brennpunkt

ermittelt und daraus die Brennweite bestimmt. Dabei

entsteht allerdings bei einem realem Objektiv das kaum

zu lösende Problem der Bezugsebene für die Brennweite

(Linsenebene).

Das Gleiche gilt für die Bestimmung der Brennweite aus

Gegenstandsweite und Bildweite.

G

(I)

d = 13cm

z = 100 cm

14. 416 244 Strahlengang umgekehrt

a) Wenn ich z. B. die Augen einer Person im Spiegel

sehe, dann sieht die Person meine Augen ebenfalls.

(II)

S



b) Wenn man b und g vertauscht, dann erhält man

dieselbe Gleichung.

c) Man erhält einen Fotoapparat.

Beugung, Interferenz, Polarisation,

Spektren (LB S. 410 – 412)

1. 418 244 Interessante Phänomene

15. 418 504 Fernrohre

Recherche-Aufgabe: Ein wesentlicher Unterschied besteht

darin, dass beim keplerschen Fernrohr ein umgekehrtes,

seitenvertauschtes Bild und beim galileischen

Fernrohr ein aufrechtes, seitenrichtiges Bild entsteht. Ein

umgekehrtes Bild kann im Hinblick auf Anwendungen

von Nachteil sein.

Zu beobachten sind typische Interferenzerscheinungen.

Feines Gewebe oder Vogelfedern wirken wie ein optisches

Gitter.

Hinweis: Bei Gewebe handelt es sich um ein Kreuzgitter,

auf das im Unterricht in der Regel nicht näher eingegangen

wird.

2. 410 664 Doppelspalt

16. 413 804 Ein Beamer

Die optische Bauweise eines Beamers entspricht der

eines Bildwerfers (b Lern-Code 416 454 ).

17. 419 794 Digitalkameras

Recherche-Aufgabe: Bei modernen Digitalkameras gibt

es recht viele verschiedene Varianten. Typische Beispiele

sind:

Porträtaufnahmen: Kurze Verschlusszeit, große Blende,

Zusatzbeleuchtung zur Vermeidung des Rote-Augen-

Effekts.

Landschaftsaufnahmen: Längere Verschlusszeit, kleine

Blende zur Erhöhung der Tiefenschärfe

Sportaufnahmen: Kurze Verschlusszeit, große Blende,

damit auch bei schnellen Bewegungen ein scharfes Bild

entsteht.

Beleuchtet man zwei eng benachbarte Spalte mit kohärentem,

monochromatischem und parallelem Licht, dann

können die beiden Spalte als Zentren von huygensschen

Elementarwellen betrachtet werden. Die beiden

Wellensysteme überlagern sich und ergeben auf einem

Bildschirm ein stabiles Interferenzmuster mit Bereichen

der Verstärkung und Bereichen der Abschwächung bzw.

Auslöschung, so wie das in der Skizze dargestellt ist.

Die Verschlusszeiten werden automatisch so gewählt,

dass die Verwacklungsgefahr gering ist. Um eine Verwacklung

zu vermeiden, werden auch Bildstabilisatoren

genutzt.

18. 416 884 Brille als Linse

Man benötigt die Brille eines weitsichtigen Menschen,

denn diese Brille hat als Brillengläser Sammellinsen.

Hinweis: Eine Gleitsichtbrille ist ungeeignet.

19. 416 094 Trick mit Loch

Bei einem kurzsichtigen Menschen entsteht auf der

Netzhaut des Auges von einem Gegenstandspunkt kein

scharfer Bildpunkt, sondern ein mehr oder weniger

großer Lichtfleck. Dadurch erscheint das Bild des Gegenstands

insgesamt unscharf. Durch eine Blende wird

die Größe des Lichtflecks reduziert. Das Bild des Gegenstands

ist schärfer.

3. 410 684 Konstruktive Interferenz

Es gilt nach dem Satz des PYTHAGORAS:

y

2

1 = (x + b }

2) 2 + e 2 und y 2

2 = (x – b }

2) 2 + e 2

Subtrahiert man die beiden Gleichungen voneinander,

dann ergibt sich:

2

y – y 2 = 1 2 (x + }

b 2) 2 – (x – }

b 2) 2 =

x 2 + b · x + }

b 2

4 – x 2 + b · x – }

b 2

4 = 2 b · x oder

(y 1 – y 2 ) · (y 1 + y 2 ) = 2 b · x.

Nun ist Δy = y 1 – y 2 und y 1 + y 2 ≈ 2a.

Damit ergibt sich

Δy = }

2 b · x

2 e = }

b e · x,

also ist für das 1. Maximum λ = }

b e · x.


Optik

251

4. 410 704 Unbekanntes Gitter

Für die Maxima beim Gitter gilt allgemein:

sin α k = }

k · λ

b

Die Umstellung nach b ergibt:

b = }

k · λ

sin α k

Mit k = 1 und α 1 = 30° erhält man:

b =

500 nm

} = 1000 nm

sin 30°

5. 416 194 Interferenz am Doppelspalt

a)

b) Für die Beugungsmaxima 2. Ordnung ist k = 2 und

der Abstand zur Schirmmitte x = }

2,1

2 cm.

Damit gilt:

λ = x · b }

e · k

= 1,05 · 0,4 mm } 3 m · 2

= }

1,2 · 10–6 m2

= 700 nm

6 m

c) Betrachtet man die Formel für die Maxima α = }

k · λ

b

mit k = 0, ±1, ±2, …, so ist der Winkel, unter dem

Maxima für k ≠ 0 beobachtet werden, von der

Wellenlänge abhängig. Licht mit größerer Wellenlänge

wird stärker gebeugt. Für k = 0 ist der Winkel

aber immer 0°, deshalb treffen im 0. Maximum

alle Farben zusammen und man beobachtet weißes

Licht.

d) Das Maximum 1. Ordnung ist vom Maximum 2. Ordnung

scharf zu trennen, wenn die am weitesten abgelenkte

Farbe des Maximums 1. Ordnung weniger

abgelenkt wird als die am wenigsten abgelenkte

Farbe des Maximums 2. Ordnung.

b

α

α

1 · λ } 1

b < 2 · λ 2

}

b .

Dies ist erfüllt, weil 780 nm < 2 · 400 nm.

Δs

Für einen relativ weit entfernten Schirm können wir

die Strahlen aus den beiden Spalten, die zum gleichen

Schirmpunkt gehen, als parallel annehmen.

Der Winkel α, den sie zum Lot auf den Schirm einnehmen,

tritt dann auch in dem kleinen Dreieck auf,

das den Gangunterschied der Strahlen enthält. In

diesem Dreieck gilt:

sin α = }

Δs

b

Für Maxima muss der Gangunterschied ein ganzzahliges

Vielfaches von λ sein, für Minima ein ungeradzahliges

Vielfaches von }

λ 2 .

Maxima: sin α = }

k · λ , k = 0, ±1, ±2, …

b

(2 k+ 1) · λ

Minima: sin α = }, k = 0, ±1, ±2, …

2 b

6. 410 724 Anzahl der Maxima

Für die Maxima beim Gitter gilt:

sin α = }

k · λ k = 0, ±1, ±2, …

b

Die rechte Seite dieser Gleichung wächst monoton mit

zunehmendem k. Die Sinus-Funktion kann aber nur

Werte zwischen –1 und 1 annehmen. Es muss also für k

die Bedingung | }

k · λ

b | ≤ 1 erfüllt sein.

Daraus ergibt sich für positive k:

k ≤ }

b λ = 2 · 10 – 6 m

} ≈ 2,6.

0,78 · 10 – 6 m

Es können also nur Maxima bis zur 2. Ordnung beobachtet

werden. Das sind auf jeder Seite 2 und

das 0. Maximum, also insgesamt 5 Maxima.

7. 410 744 Messung der Wellenlänge

x

α

e

x

}

2

Im Dreieck, das der Strahl mit dem Lot auf den

Schirm bildet, gilt:

tan α = } a x .

Da für kleine Winkel tan α ≈ sin α ist, kann man

die beiden Gleichungen gleichsetzen:

x

} e = }

k · λ

b

α

e

Um die Wellenlänge messen zu können, muss mindestens

ein weiteres Maximum auf dem Schirm beobachtet

werden. Der Rand des Schirms ist mit der Mitte des

Schirms vom Gitter unter einem Winkel α zu sehen, für

den gilt:



tan α = }

x 2 e = }

1 m 2 · 2 m = }

1 4

und damit ergibt sich

k > 1 } 2

α = 14°.

Für das Maximum 1. Ordnung beim Gitter gilt:

sin α = λ }

b

mit b = 1 mm } 200 , also

λ = b · sin α = 1 mm } 200 · sin 14° = 1,21 · 10–6 m.

8. 418 994 Interferenz am Gitter

a) Für die Maxima beim Gitter gilt:

sin α k = }

k · λ

b = }

sk e (für s k >> e).

b) Aus }

k · λ

b = }

sk e

mit k = 1:

λ = b · sk } e

2,3 cm

λ = 0,01 mm ·}

50 cm

ergibt sich durch Umstellung nach λ

λ = 0,00 046 mm = 460 nm

c) f = }

c λ

f = 300 000 km s

} 460 nm = 3 ∙ 10 8 m s

}

4,6 ∙ 10 –7 m

f = 6,5 ∙ 10 14 Hz

Es überlappen sich also schon das 1. und das 2. Maximum.

b) Das Spektrum 2. Ordnung beginnt mit λ 2 (blau). Sei λ

die Wellenlänge 1. Ordnung, die auf den Beginn des

Spektrums 2. Ordnung fällt, dann gilt:

λ 2 · (2 · 2 + 1) = λ ·(2· 1 + 1)

λ = }

5 3 λ 2 = 667 nm

c) Alle Farben von 400 nm bis 666 nm (blau bis hellrot)

im Spektrum 1. Ordnung sind also Spektralfarben, da

erst bei 667 nm die Überlappung mit dem Spektrum

2. Ordnung beginnt.

d) Damit eine Überlappung beobachtet werden kann,

muss man das Blau der 2. Ordnung noch beobachten,

also muss gelten:

sin α blau, 2. Ordnung = 5 λ 2

}

2 b < 1

b > 2,5 λ 2 = 1 μm

e) Damit die Randfarben der Spektren m-ter und n-ter

Ordnung aufeinander fallen, muss gelten:

(2 n + 1) · λ 2 }

2 b

= (2 m + 1) · λ 2 }

2 b

(2 n + 1) · 400 nm = (2 m + 1) · 800nm

2 n + 1 = 4 m + 2

9. 410 814 Weißes Licht am Doppelspalt

a) Überlappung tritt auf, wenn die am weitesten gebeugte

Farbe des Spektrums weiter abgelenkt wird

als die am wenigsten gebeugte Farbe des Spektrums

nächsthöherer Ordnung. Es gilt:

λ 1 = c }

f 1

=

und

λ 2 = c }

f 2

=

3 · 10 8 m s

}

3,75 · 10 14 }

1

3 · 10 8 m s

}

7,50 · 10 14 }

1

s

= 800 nm

= 400 nm

s

Für Überlappung muss gelten:

n = 2 m + 0,5

Ist m ganzzahlig, dann ist n nicht ganzzahlig, also

können die Randfarben nicht aufeinander fallen.

10. 410 824 Biprisma von Fresnel

Das von der Lichtquelle L ausgehende Licht wird an

den beiden Prismen gebrochen. Durch die Brechung am

Biprisma entstehen die beiden virtuellen Bilder L 1 und

L 2 der Lichtquelle L, also Stellen, von denen das Licht

herzukommen scheint. Durch die Gangunterschiede

entstehen typische Interferenzmuster.

α n + 1 < α n

sin α n + 1 < sin α n

32 (k + 1) +14 λ 2 }}

2b

< (2k + 1) λ 1 }

2b

(2k + 3) · 400 nm < (2k + 1) · 800 nm

2k + 3 < 4k + 2

1 < 2k

11. 410 944 Grünes Licht am Doppelspalt

Aus sin α k = }

Δs

b

b = Δs

}

sin α k

erhält man:

b = 2 · 4,93 · 10–4 mm

}}

sin 30°

b = 1,97 · 10 –3 mm = 2 μm

Der Spaltabstand (Gitterkonstante) beträgt 2 μm.


Optik

253

12. 415 984 Drei Farben am Gitter

a) Die Wellenlänge in Wasser ist kleiner als die Wellenlänge

in Luft. Es gilt:

λ W} =

λ }

c W

L

c = 1 L

} n = }

3 4

Für die Maxima beim Gitter gilt:

sin α = }

k · λ mit k = 0, ± 1, ± 2 …

b

Da Licht mit größerer Wellenlänge stärker gebeugt

wird, muss man, um vollständige Spektren zu beobachten,

die gelbe Linie mit 578 nm untersuchen.

Da die Sinusfunktion nur Werte zwischen –1 und 1

annehmen kann, muss für positive k

k · λ

}

b

≤ 1 sein. Also k ≤ b

} =

λ gelb

1 750 nm

} 578 nm = 3,03.

Man kann also Spektren bis zur 3. Ordnung in Luft

beobachten. Unter Wasser beobachtet man dann bis

zur 4. Ordnung, weil sich die Wellenlängen wie 3 : 4

verhalten.

b) Für die Abstände auf dem Schirm gilt:

tan α = } e

x und sin α = 1 · λ

}

b .

Setzt man die Werte ein, erhält man folgende Ergebnisse:

Farbe blau grün gelb

x Luft in cm 2,0 2,6 2,7

14. 415 464 Fernrohre

Je größer der Objektivdurchmesser ist, desto mehr Licht

kann „eingesammelt“ werden. Das ist erforderlich, um

auch lichtschwache Objekte beobachten zu können.

Das Auflösungsvermögen vergrößert sich mit Vergrößerung

des Objektivdurchmessers.

15. 417 544 Mikroskope

Aus der genannten Gleichung ist ablesbar:

Das Auflösungsvermögen ist umso größer,

− je kleiner die Wellenlänge des verwendeten Lichts

ist,

− je kleiner die Brennweite des Objektivs ist und

− je größer der Durchmesser des Objektivs ist.

16. 410 894 Seifenhaut

a) An der Grenzschicht Luft–Seifenhaut wird ein Teil

des Lichts reflektiert. Dabei tritt ein Phasensprung

von }

λ auf. Der andere Teil des Lichts wird gebrochen.

2

An der Grenzschicht Seifenhaut– Luft wird wiederum

ein Teil reflektiert und ein Teil gebrochen. Der

reflektierte Teil trifft auf die obere Grenzschicht

Seifenhaut– Luft und wird dort teilweise gebrochen

und teilweise reflektiert.

x Wasser in cm 1,5 1,9 2,0

13. 417 474 Unbekannte Gitterkonstante

Möglichkeit 1:

Mit Licht bekannter Wellenlänge wird ein Interferenzmuster

erzeugt. Aus der Wellenlänge, dem Abstand e

zwischen Gitter und Schirm und dem halben Abstand

der beiden Maxima 1. Ordnung s kann man die Gitterkonstante

folgendermaßen berechnen:

b = λ · e }

s

(e >> s)

Möglichkeit 2:

Wenn die genannte Bedingung nicht erfüllt ist, dann

kann man die Beziehung sin α = }

λ und damit b = λ · sin α

b

nutzen.

Möglichkeit 3:

Es wird mit einer Sammellinse bekannter Brennweite

ein stark vergrößertes Bild des (Transmissions-) Gitters

erzeugt und die Gitterkonstante mithilfe der Abbildungsgleichung

1

} f = }

1 g + }

1 b

und damit b = f · g } f – g

bestimmt.

Möglichkeit 4:

Das Gitter wird mit einem Komparator ausgemessen.

b) Wir gehen von dem skizzierten Fall aus, dass das

Licht in der Seifenhaut näherungsweise den Weg d

bzw. 2d zurücklegt. Dann gilt für das Maximum beim

reflektierten Licht:

2d = }

2k n + 1 · }

λ 2

Damit ergibt sich für die Wellenlänge:

λ = }

4d · n

2k + 1 .

Damit erhält man:

k = 0

k = 1

d

λ = }

4d · n = 1820 nm

1

λ = }

4d · n = 607 nm

3

Seifenhaut

n = 1,3

k = 2 λ = }

4d · n = 364 nm

5

Es wird oranges Licht verstärkt.

Für das Maximum beim durchgehenden Licht gilt:



d = k } n · λ } 2

Damit erhält man:

k = 1

k = 2

und damit λ = 2d · n }

k

λ = }

2d · n = 910 nm

1

λ = }

2d · n = 455 nm

2

k = 3 λ = }

2d · n = 303 nm

3

Es wird blaues Licht verstärkt.

Damit tritt für eine bestimmte Schichtdicke und

Farbe (Wellenlänge) Dunkelheit auf, wenn gilt:

2 d = (2k + 1) · }

λ 2

Die Mitte ist hell.

mit k = 0, 1, 2, …

b) Ist R der Krümmungsradius der Linse und r der Radius

einer Linse, dann gilt nach dem Höhensatz:

r 2 = d (2 R – d ) = 2 R · d – d 2

17. 410 974 Newtonsche Ringe

a) Entscheidend für das Zustandekommen der newtonschen

Ringe ist die dünne Luftschicht zwischen Linse

und Glasplatte.

Reflektiertes Licht:

Das Licht soll fast senkrecht auffallen, sodass der im

Luftspalt zurückgelegte Weg mit 2 d angenommen

werden kann. Es kommt zu einer Überlagerung

des an der Rückseite der Linse und an der Vorderseite

der Glasplatte reflektierten Lichts, wobei an

der Grenzfläche Luft – Glas ein Phasensprung von }

λ 2

auftritt.

1 2

Glasplatte

2R

r

d

d

Glas

Luft

Glas

Es kommt zur Auslöschung, wenn der Gangunterschied

bei den Strahlen 1 und 2 ein ungeradzahliges

Vielfaches der halben Wellenlänge ist, also wenn gilt:

2 d = 2k · }

λ (k = 1, 2, 3, …)

2

Aus Symmetriegründen ist diese Bedingung bei

d = konst. für einen Kreis erfüllt. Bei monochromatischem

Licht ist dieser Kreis dunkel. Durch die

unterschiedliche Dicke erscheint eine größere Anzahl

von Ringen. Die Mitte ist dunkel.

Durchgehendes Licht:

Auch im durchgehenden Licht sieht man helle und

dunkle Ringe. Es kommt zu einer Überlagerung

der Strahlen 1 und 2. Strahl 2 wird zweimal an der

Grenzschicht Luft – Glas reflektiert, der Phasensprung

beträgt damit

Da R sehr groß gegen d ist, kann man auch schreiben:

r 2 = 2 R · d (1)

Für den k-ten hellen Ring im reflektierten Licht gilt:

2 d = (2k + 1)· }

λ 2

In (1) eingesetzt erhält man:

r 2 = R ·(2k + 1)· }

λ 2

und damit

2 r

R = }

2

(2k + 1) · λ

Für den gegebenen Fall ergibt sich:

2 ·(4,5 mm)2

R = }}

7 · 600 · 10 6 mm

R = 9 643 mm ≈ 9,64 m

Der Krümmungsradius der Linse beträgt 9,64 m.

18. 410 924 Oberflächenvergütung

2 · λ } 2 = λ.

d

Glas

Luft

Glas

a) Mit Licht wird Energie transportiert. Reflexion von

Licht bedeutet auch die Umlenkung von Energie.

Verringert man die Reflexion, so geht mehr Licht und

damit mehr Energie in die Linse über. Auch für Licht

gilt der Energieerhaltungssatz.

1 2


Optik

255

b) Bedingung für die Auslöschung ist: 2d = λ } 2n

Für Magnesiumfluorid (n = 1,38) erhält man:

d = λ } 4n

= 600 nm

} 4 · 1,38

d = 109 nm

Bei einer Schichtdicke von 109 nm wird bei einer Entspiegelungsschicht

aus Magnesiumfluorid Licht der

Wellenlänge 600 nm ausgelöscht. Licht benachbarter

Wellenlänge wird partiell ausgelöscht.

c) Die Empfehlung ist sinnvoll. Insbesondere bei

ungünstigen Lichtverhältnissen gelangt mehr Licht

durch die Brillengläser in die Augen.

Außerdem werden auch störende Reflexe von

Lichtquellen unterdrückt, die sich schräg hinter dem

Brillenträger befinden.

Hinweis: Die Verminderung von Reflexionen aus der

Sicht anderer Personen sind ein eher nebensächlicher

Effekt.

19. 416 014 LCD-Anzeige

a) Das Licht der LCD-Anzeige ist linear polarisiert.

Deshalb gelangt bei einer bestimmten Stellung eines

Polarisationsfilters kein Licht mehr hindurch.

b) Aufbau und Wirkungsweise einer LCD-Anzeige sind

im Lehrbuch für die gymnasiale Oberstufe auf S. 403

dargestellt.

20. 416 024 Frequenz und Wellenlänge

a) Beim Übergang von einem Stoff in einen anderen

ändert sich die Frequenz nicht. Sie beträgt in Luft

ebenfalls 5,5 · 10 14 Hz.

b) λ = }

c f

λ = 3 · 106 mm · s

}

5,5 · 10 14 s

λ = 545 nm

b) Wegen c Glas < c Luft und λ ~ c gilt für f = konstant:

Beim Übertritt von Licht aus Luft in Glas wird die

Wellenlänge kleiner.

c) Im menschlichen Auge sind für die Farbwahrnehmung

drei Arten von Zapfen verantwortlich:

L-Zapfen nehmen vorrangig größere Wellenlängen

wahr. Das Absorptionsmaximum liegt bei etwa

560 nm (grüngelber Bereich).

M-Zapfen nehmen Wellenlängen etwas kleinerer

Wellenlänge wahr. Das Absorptionsmaximum liegt

bei etwa 530 nm (gelber Bereich).

S-Zapfen nehmen kleine Wellenlängen wahr. Das

Absorptionsmaximum liegt bei etwa 420 nm (blauer

Bereich).

22. 419 854 Arten von Spektren

a) Will man ein Spektrum erzeugen, so muss man das

Licht in seine Bestandteile (Wellenlängen) zerlegen.

Möglichkeit 1: Das Licht wird durch ein Prisma geschickt.

Aufgrund der Dispersion wird Licht unterschiedlicher

Wellenlänge verschieden stark gebrochen

(Dispersionsspektrum).

Möglichkeit 2: Das Licht wird auf ein Gitter gelenkt.

Aufgrund der wellenlängenabhängigen Beugung

und Interferenz kommt es zu einer Aufspaltung des

Lichts (Gitterspektrum).

b) Ein kontinuierliches Spektrum entsteht bei glühenden

festen Körpern und glühenden Gasen unter

hohem Druck. Ein Linienspektrum entsteht bei

glühenden Gasen unter geringem Druck.

23. 415 524 Spektrometer

Bei einem Spektrometer wird genutzt, das Licht unterschiedlicher

Wellenlänge unterschiedlich stark gebrochen

wird.

Rot

Das Licht hat eine Wellenlänge von 545 nm. Es handelt

sich also um grünes Licht.

21. 417 504 Farbiges Licht

Licht einer

Lichtquelle

Prisma

Violett

a) λ = }

c f

λ = 3 ∙ 108 m ∙ s

}

4 ∙ 10 14 s

λ = 750 nm

Die Wellenlänge des Lichtes beträgt 750 nm.

24. 414 854 Spektralanalyse

Es erfolgt eine spektralanalytische Untersuchung des

Sternenlichts und ein Vergleich mit den Spektrallinien

bekannter Stoffe. Aus diesem Vergleich kann man folgern,

welche Stoffe an der Oberfläche eines Sterns bzw.

in seiner Atmosphäre vorhanden sind.



25. 419 634 Dunkle Linien

Von der Sonnenoberfläche wird ein kontinuierliches

Spektrum abgestrahlt. Auf seinem Weg durchläuft das

Licht die kühleren äußeren Schichten der Sonnenatmosphäre

(Korona). Dabei werden durch Absorption genau

diejenigen Frequenzen herausgefiltert, die die dort

vorhandenen Stoffe selbst aussenden würden. Dadurch

sind im kontinuierlichen Spektrum eine Vielzahl dunkler

Linien zu beobachten, die nach ihrem Entdecker

J. v. FRAUNHOFER benannt sind.

26. 417 184 Unterschiedliche Farben

Licht einer Mischfarbe besteht aus unterschiedlichen

Wellenlängen, Licht einer Spektralfarben hat eine bestimmte

Wellenlänge. Das bedeutet: Schickt man Licht

auf ein Prisma oder auf ein optisches Gitter und wird

dieses Licht in verschiedene Anteile (Farben) zulegt, so

liegt eine Mischfarbe vor. Im anderen Fall handelt es sich

um eine Spektralfarbe.

Hinweis: Durch einfache Beobachtung mit den Augen

lässt sich eine Mischfarbe nicht von einer Spektralfarbe

unterscheiden.

27. 419 584 Spektren von Lampen

Recherche, Vortrag: Glühlampen und Halogenlampen

senden ein kontinuierliches Spektrum aus, LED- und

Energiesparlampen (Leuchtstoffröhren) ein Linienspektrum.

Bei Vor- und Nachteilen von Glühlampen sollte vergleichend

eingegangen werden auf

− den Wirkungsgrad und

− die Wahrnehmung des abgestrahlten Lichts.


Quantenphysik

257

3.6 Quantenphysik

Photonen und Elektronen als Quantenobjekte

(LB S. 428 – 429)

EINSTEIN:

Licht ist weder Welle noch Teilchen,

sondern etwas, was teilweise

Welleneigenschaften und teilweise

Teilcheneigenschaften zeigt. Licht

besteht aus Lichtquanten (Photonen).

1. 416 104 Modelle für das Licht

a) Ein Modell ist ein Ersatzobjekt für ein Original. Es

stimmt in einigen Eigenschaften mit dem Original

überein, in anderen nicht. Ein solches Modell kann

ideell (in Form eines Aussagesystems) oder materiell

(gegenständlich) sein.

Die Funktion eines Modells kann sehr unterschiedlich

sein, z. B.:

− Mithilfe eines Modells kann man Sachverhalte

mathematisch erfassen.

− Mithilfe eines Modells kann man Sachverhalte

erklären oder voraussagen.

− Mithilfe eines Modells kann man experimentieren,

z. B. bestimmte Zusammenhänge untersuchen

(Modellexperimente).

− Mithilfe von Modellen kann man Sachverhalte

veranschaulichen.

b) Strahlenmodell: Zweckmäßig bei der Erklärung der

Schattenbildung oder der Entstehung einer Sonnenfinsternis.

Wellenmodell: Zweckmäßig bei der Erklärung der

Beugung von Licht.

Teilchenmodell: Zweckmäßig bei der Erklärung des

äußeren lichtelektrischen Effekts.

c) Reflexion oder Brechung von Licht kann man gut mit

dem Strahlenmodell beschreiben. Beide Phänomene

können aber auch mit dem Wellenmodell beschrieben

werden.

d) Im Wellenmodell kann man nicht erklären, dass bei

Licht bestimmter Wellenlänge unabhängig von der

Intensität der Strahlung keine Fotoemission auftritt,

obwohl die Zunahme der Wellenamplitude eine Vergrößerung

der Energie bedeutet, die von der Welle

transportiert wird.

2. 417 814 Was ist Licht?

a) NEWTON: Licht ist ein Strom von kleinstenTeilchen

(Korpuskulartheorie).

HUYGENS: Licht besitzt Wellencharakter

(Wellentheorie des Lichts).

YOUNG, FRESNEL: Versuche zur Beugung und Interferenz

belegen den Wellencharakter

von Licht.

b) Die Schwerpunkte für eine Präsentation können unterschiedlich

gesetzt werden. Sinnvoll erscheint eine

Orientierung am sehr widersprüchlichen historischen

Erkenntnisgang, der sich an bei Teil aufgabe a) genannten

Namen orientieren kann.

3. 411 734 Licht auf Fotokatode

a) Mit Erhöhung der Intensität des Lichts werden mehr

Elektronen emittiert, ihre Energie verändert sich

aber nicht.

b) Mit Erhöhung der Frequenz vergrößert sich wegen

E ~ f die kinetische Energie der Fotoelektronen, nicht

aber ihre Anzahl.

4. 414 944 Austrittsarbeit

a) Genutzt werden zur Berechnung kann die einsteinsche

Gleichung für den lichtelektrischen Effekt.

Aus h · f = W A + E kin ergibt sich mit f = }

c und bei Umstellung

nach W A

λ

:

W A = h · c }

λ – E kin

W A = 6,626 · 10–34 J · s · 3 · 10 8 }

m s

}} –1,8· 1,6 · 10 –19 J

400 · 10 –9 m

W A = 4,97 · 10 –19 J – 2,88 · 10 –19 J = 2,1 · 10 –19 J

Die Ablösearbeit beträgt 2,1 · 10 –19 J = 1,3 eV.

Für die Grenzfrequenz gilt:

f G = W A

}

h

f G =

2,1 · 10 –19 J

}}

6,626 · 10 –34 J · s = 3,17 · 1014 Hz

Die Grenzfrequenz hat einen Wert von etwa

3,2 · 10 14 Hz. Diese Frequenz liegt im Bereich des

infraroten Lichts.

b) Im Wellenbild ist die transportierte Energie mit der

Amplitude verknüpft. Eine Vergrößerung der transportierten

Energie würde man dann z. B. erreichen,

wenn man die Intensität des Lichts vergrößert.

Experimente zeigen aber: Liegt die Frequenz des

Lichts unterhalb der Grenzfrequenz, so werden auch

bei beliebiger Intensität des Lichts keine Photonen

emittiert. Eine Deutung der Grenzfrequenz mit dem

Wellenmodell ist deshalb nicht möglich.



5. 411 744 Fotoeffekt

a) Äußerer lichtelektrischer Effekt: Durch Bestrahlung

mit Licht werden aus Oberflächen Elektronen abgelöst.

Innerer lichtelektrischer Effekt: Im Inneren von Stoffen

(Halbleitern) werden durch Licht Elektronen aus

der Bindung herausgelöst und stehen dann im Stoff

als wanderungsfähige Ladungsträger zur Verfügung.

b) Nachweis des äußeren Lichtelektrischen Effekts:

wird und der in der nachfolgenden grafischen Darstellung

für die Alkalimetalle Natrium und Caesium

dargestellt ist.

2

1

W A

–1

e · U = E kin in eV

Caesium auf Wolfram

Natrium

ΔE

Δf

1 2 3 4 5 6 f in 10 14 Hz

W A

–2

Grenzfrequenz f G

Der Anstieg der Geraden ergibt sich als Quotient

ΔE : Δf. Er ist für alle Materialien gleich und wird als

plancksches Wirkungsquantum bezeichnet: h = }

ΔE

Δf .

Wenn man eine negativ geladene Zinkplatte mit

ultraviolettem Licht (UV-Licht) bestrahlt, dann wird

die Platte entladen.

Verwendet man statt UV-Licht sichtbares Licht, so

wird die negativ geladene Zink-Platte praktisch nicht

entladen, selbst wenn man die Lichtintensität sehr

hoch wählt.

Bestrahlt man eine positiv geladene Platte mit beliebigem

Licht, so tritt kein Effekt auf.

Erklärung:

Licht kann nur die beweglichen Elektronen aus der

Platte herauslösen, die positiven Atomrümpfe jedoch

nicht.

Zur Ablösung der Elektronen aus einem Festkörper

ist eine bestimmte Energie erforderlich, die

als Ablöseenergie E ab oder auch als Austrittsarbeit

bezeichnet wird.

c) Mithilfe einer Vakuum-Fotozelle kann man quantitativ

untersuchen, wie die kinetische Energie der

Elektronen von der Frequenz des verwendeten Lichts

abhängt. Licht fällt auf eine Katode aus Alkalimetall.

Die austretenden Elektronen besitzen eine

bestimmte maximale kinetische Energie E kin . Es fließt

ein Strom. Vergrößert man die Gegenspannung zwischen

Katode und Anode, so werden die Elektronen

in dem Gegenfeld abgebremst. Wenn die kinetische

Energie der Elektronen nicht mehr ausreicht, um das

Gegenfeld zu überwinden, ist die Stromstärke null.

Für diesen Grenzfall gilt: e · U = E kin = 1 } 2 m · v 2

Dabei ist U die Spannung zwischen Anode und Katode

bei I = 0 und damit e · U gleich der Arbeit

gegen das elektrische Feld. Bestrahlt man die Katode

der Fotozelle mit Licht verschiedener Frequenz, dann

erhält man einen Zusammenhang zwischen Energie

und Frequenz, der als Einstein-Gerade bezeichnet

6. 411 814 Vakuumkatode

a) Aus der Wellenlänge des Lichts kann man mit der

Gleichung f = }

c die betreffende Frequenz berechnen.

λ

Die Bewegungsenergie E kin ergibt sich aus der

jeweiligen Gegenspannung: E kin = e · U G .

Damit erhält man folgende Werte:

f in 10 14 Hz 7,50 6,67 6,00 5,45 5,00

E kin in eV 1,25 0,90 0,62 0,40 0,17


1,5

1

0,5

0

E kin in eV

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Je höher die Frequenz des Lichts ist, mit dem die

Katode einer Vakuumfotozelle beleuchtet wird,

desto größer ist die kinetische Energie der Fotoelektronen.

Es gilt E kin ~ f .

b) Für das plancksche Wirkungsquantum gilt:

h = ΔE kin

}

Δf

Aus dem Diagramm sollten zwei sinnvolle Werte

ausgewählt werden, z. B.:

h =

1,25 eV

}

4 · 10 14 Hz

f in 10 14 Hz


Quantenphysik

259

h = 1,25 · 1,6 · 10–19 Ws

}}

4 · 10 14 Hz

h ≈ 5 · 10 –34 J · s

Die Grenzfrequenz ist der Schnittpunkt der Einstein-

Geraden mit der f-Achse, also ergibt sich:

f G ≈ 4,5 · 10 14 Hz

Die Austrittsarbeit erhält man, wenn man die Einstein-Gerade

bis zur negativen E kin -Achse verlängert.

Es ergibt sich ein Wert von etwa 1,8 eV.

Die Berechnung ergibt:

W A = h · f G

W A = 6,6 · 10 –34 J · s · 4,5 · 10 14 Hz

W A ≈ 3 · 10 –19 J = 1,9 eV

b) Die Strahlungsleistung für 1 cm 2 beträgt 2 · 10 – 4 W,

die Anzahl N der Photonen demzufolge:

N = P · t }

E

N = 2 · 10– 4 W · 1 s

}

6,6 · 10 –19 J

N = 3 · 10 14

c) Mit W A = 2 eV und E = 4,1 eV erhält man:

E kin = h · f – W A

E kin = 4,1 eV – 2 eV = 2,1 eV

Die kinetische Energie der Elektronen beträgt 2,1 eV

oder 3,4 · 10 –19 J.

c) Die Geschwindigkeit der schnellsten Fotoelektronen

ergeben sich nach der Beziehung

e · U = E kin = 1 }

2 m · v 2 zu v = √ 2 U · } m

e

Damit erhält man unter Nutzung der angegebenen

Gegenspannungen:

v 1 = √ }}}

2 · 1,25 V · 1,759 · 10 11 }

C kg = 6,6 · 105 }

m s

v 2 = 5,6 · 10 5 m } s

v 3 = 4,7 · 10 5 m } s

v 4 = 3,8 · 10 5 m } s

v 5 = 2,4 · 10 5 m }

s

d) Bei einer kinetischen Energie von 2,1 eV beträgt die

maximale Gegenspannung, die ein Elektron überwinden

könnte, gerade 2,1 V.

9. 419 734 Geschwindigkeit von Elektronen

a) Aus h · f = W A + }

1 2 m · v 2 erhält man mit f = }

c λ durch

Umstellen nach v:

v = √ } 2 ( h · c λ – W A)

} m

v = √ }}}

2

( 6,626 · 10–34 J ·s · 3 · 10 8 }

m s

}}

444 · 10 –31 kg ) – 1,9 · 10–19 J

}}}

9,109 · 10 –31 kg

v = 0,75 · 10 6 m } s

7. 411 824 Photonenimpuls

Der Impuls des Lichtblitzes beträgt 20 kg · }

m s .

Den gleichen Impuls hat ein Auto mit 1000 kg und

p = 20 m s

} 1 000 = 0,02 }

m s .

(Also nicht einmal 0,1 }

km h .)

b) Experimentell könnte man die Geschwindigkeit mit

der Gegenfeldmethode bestimmen.

Diese Methode ist unter dem Lern-Code 419 574

dargestellt.

Für den Grenzfall I = 0 gilt:

e · U = 1 }

2 m · v 2 und damit: v = √ 2 U · } m

e

e

} m kann einem Tabellenwerk entnommen, die

Gegenspannung U direkt gemessen werden.

8. 415 904 Energie beim Fotoeffekt

a) Die Energie eines Lichtquants ergibt sich aus der

Wellenlänge und der Lichtgeschwindigkeit:

E = h · f = h · }

c λ

E = 6,626 · 10 –34 3 · 10 8 m s

J · s ·}

300 · 10 –9 m

E = 6,6 · 10 –19 J ≈ 4,1 eV

10. 411 384 Schnelle Elektronen

a) Kinetische Energie E kin = 1,5 keV

v = √ } 2 · E } kin

m = 2,3 · 10 7 m e

} s

b) de-Broglie-Wellenlänge

λ = h } m · v = 3,2 · 10 –11 m = 32 pm (Picometer)



c)

Gitter

Δs = λ

528 Spalte/mm ⇒ Spaltabstand b = 1,9 · 10 –6 m.

Erstes Maximum:

sin α = }

λ ⇒ α = 9,7 · 10 – 4 Grad

b

Ort auf dem Schirm s:

s = }

10 m · λ = 1,7 · 10 – 4 m

b

Abstand der hellen Streifen:

2 s = 3,4 · 10 –4 m = 0,34 mm

11. 419 744 Gelbes Licht

a) Für die Energie eines Photons gilt:

E = h · f

Mit f = }

c erhält man:

λ

E = h · }

c λ

E = 6,626 · 10 –34 3 · 10 8 m s

J · s ·}

589 · 10 –9 m

E = 3,4 ·10 –19 J = 2,1 eV

b) Wenn ein Photon eine Energie von 3,4 · 10 –19 J besitzt

und die Strahlenleistung 75 mW beträgt, dann gilt:

N · 3,4 · 10 –19 J

}} = 75 mW

s

oder

N = 75 · 10–3 W · s

}

3,4 · 10 –19 J

N = 2,2 · 10 17

c) Geht man von einer

punktförmigen Lichtquelle

aus und breitet sich

das Licht gleichmäßig im

gesamten Raum aus, dann

kann man die Bezugsfläche

1 cm 2 als Teil einer

Kugelfläche ansehen.

Auf die gesamte Kugel fläche treffen in jeder Sekunde

N = 2,2 ∙ 10 17 Photonen. Auf 1 cm 2 entfallen

Interferenzmuster

demzufolge:

x = 2,2 · 1017 · 1 cm

}}

2

4 π ·(100 cm) 2

x = 1,75 · 10 12

d) Auf die gesamte Kugelfläche von 4π · r 2 fällt eine

Leistung von 75 mW. Auf 1 cm 2 sollen 5 · 10 –12 W

fallen. Dann gilt:

75 · 10 –3 W · 1 cm

}}

2

= 4 π · r 2

5 · 10 –12 W

oder

r = √ }}

75 · 10 –3 W ·1 cm

}}

2

5 · 10 –12 W · 4 π

r = 3,45 · 10 4 cm = 345 m

12. 416 574 Anzahl der Photonen

Die Energie von Photonen muss in Beziehung gesetzt

werden zu der gegebenen Lichtleistung.

N · E = P · t

Mit E = h · f und f = }

c erhält man:

λ

N · h · }

c λ = P · t oder N = }

P · t · λ

h · c

N = 1,7 · 10–18 W · 1 s · 550 · 10 –9 m

}}}

6,626 · 10 –34 J · s · 3 · 10 8 }

m s

N = 4,7

13. 416 214 Wellenlänge gefragt

a) Zwischen Beschleunigungsspannung und Geschwindigkeit

besteht die folgende Beziehung:

e · U = }

1 2 m · v 2 und damit U = }

1 2 · }

m e · v 2

U = }

1 2 · kg

} · (2,65· 10 7

1,758 · 10 11 }

m C

s ) 2

U = 1,99 · 10 3 V ≈ 2 kV

b) Es gilt:

h · f = W A + }

1 2 m · v 2 und mit f = }

c λ

h · }

c λ = W A + }

1 2 m · v 2

Die Umstellung nach der Wellenlänge ergibt:

1 cm 2 λ = h · c

}

r

W A + }

1 2 m · v 2

Vernachlässigt man die Austrittsarbeit, so erhält

man:

λ = 2 h · c }

m · v 2


Quantenphysik

261

pm λ = 2 · 6,626 · 10–34 J · s · 3 · 10 8 }

m s

}}}

9,109 · 10 –31 kg · (2,62 · 10 7 }

m Für den Zusammenhang zwischen Beschleunigungsspannung

und Geschwindigkeit gilt:

2

s

v = }

h oder v 2 = h

m · λ }

2

m 2 · λ 2 (1)

λ = 0,62 · 10 –9 m

v 2 = 2 U · } m e (2)

Diese Wellenlänge würde im Bereich der Röntgenstrahlung

liegen. Bei Berücksichtigung der Austrittsarbeit

müsste die Wellenlänge noch kleiner sein.

Durch Gleichsetzen von (1) und (2) erhält man:

2 U · } m e h

}

2

m 2 · λ 2

14. 412 614 Protonenwellenlänge

λ = h

√ } 2 m · U · e

Damit erhält man folgende Werte:

a) Geht man von ursprünglich ruhenden Protonen aus,

U in kV 2 4 6 8 10

dann beträgt die kinetische Energie:

λ in pm 87 61 50 43 39

E = e · U

E = 1,6 · 10 –19 C · 200 · 10 3 V

E = 3,2 · 10 –14 J = 2 · 10 5 eV

100 λ in

80

b) Für die de-Broglie-Wellenlänge von Quantenobjekten

gilt:

λ = }

h m · v

60

Mit E = }

1 2 m · v 2 40

erhält man:

v = √ } 2 E

} m

und damit:

20

λ = h

m · √ = h

2 E

} √ }

0

2 E · m

0

m

2 4 6 8 10 U in kV

6,626 · 10

λ =

J ·s

√ }}}

Zwischen der Beschleunigungsspannung und der

2 · 3,2 · 10 –14 J · 1,673 · 10 –27 kg

Wellenlänge besteht ein nichtlinearer Zusammenhang:

Je größer die Beschleunigungsspannung ist,

λ = 6,4 · 10 –14 m

desto kleiner ist die Wellenlänge.

Im Vergleich zu grünem Licht ist die Wellenlänge

etwa um den Faktor 1,3 · 10 –7 kleiner.

Eine Wellenlänge bis herunter zu 10 –11 m erreicht

man mit relativ moderaten Spannungen im

kV-Bereich.

15. 411 374 Elektroneninterferenz

a) In diesem Experiment tritt der Wellencharakter von

Quantenteilchen zutage.

Man erhält ein Interferenzmuster. Folglich gibt es für

die Elektronen zwei mögliche Wege und es existiert

keine vollständige „Welcher-Weg-Information“.

Folglich überdeckt die Wahrscheinlichkeitswolke der

Elektronen beide Spalte des Doppelspalts.

Ferner haben die Elektronen alle dieselbe Wellenlänge

und damit dieselbe kinetische Energie.

b) λ = } m h · v = 4,3 · 10 – 12 m v = }

h m · λ = 1,7 · 108 }

m s

Kinetische Energie: E = }

m · v 2

= 1,3 · 10 –14 J = 82 keV

2

c) Aus der de-Broglie-Wellenlänge λ = }

h ergibt sich:

m · v



Eigenschaften von einzelnen Quantenobjekten

(LB S. 441 – 442)

1. 412 604 Klassische Physik am Ende

Interferenzexperimente mit Elektronen oder Atomen

können nicht klassisch erklärt werden.

Beispiele sind die Elektronenbeugung und das Atominterferometer.

ren nachgewiesen werden. Also z. B. kann Detektor

A alle 4 nachweisen, oder Detektor B alle 4, oder

Detektor B eines und Detektor C drei, usw.

b) Bei 4 000 Photonen ist es sehr unwahrscheinlich, dass

ein Detektor alle 4 000 nachweist. Mit großer Wahrscheinlichkeit

wird etwa die Hälfte der Photonen von

Detektor B nachgewiesen, etwa ein Viertel von A

und ein Viertel von C.

Widerspruch:

Quantenobjekte sollten nach klassischer Sicht im Interferometer

an jedem Strahlteiler entweder durchgelassen

oder reflektiert werden. Dann müssten aber an den Detektoren

50 % der Quanten objekte an Detektor A und

50 % an Detektor B nach gewiesen werden.

4. 411 284 Modell für Quantenobjekte

a)

A

Strahlteiler Spiegel 1

B

C

Quelle für

einzelne

Quantenobjkete

A

A

Spiegel 2

B

Strahlteiler

B

C

oder

Erklärung mit der Quantenphysik:

Jedes Quantenobjekt teilt sich an jedem Strahlteiler, die

Teilwolken überlagern sich und bilden Verdichtungen

und Verdünnungen.

Dementsprechend wird das Quantenobjekt stets nur an

Detektor A nachgewiesen.

B

C

A

B

C

A

2. 411 244 Zufall

oder

Münzwurf: im Prinzip determiniert (Mechanik)

A

A

Junge oder Mädchen: im Prinzip determiniert (Mechanik

und Genetik)

Blitzschlag: im Prinzip determiniert (E-Lehre)

B

C

B

C

Heirat:

Ungeklärt (Gibt es einen freien Willen? Hängen Entscheidungen

von quantenphysikalischen Prozessen ab?)

3. 411 314 Ergebnis bei der Messung

b) Die Hälfte der Wolke läuft auf Detektor B zu: Nachweiswahrscheinlichkeit

50 %

Die andere Hälfte teilt sich noch einmal, jede der

Teilwolken läuft auf die

Detektoren A und C zu: Nachweiswahrscheinlichkeit

jeweils 25 %.

a) Jedes der 4 Photonen kann (unabhängig von den

anderen drei Photonen) an jedem der drei Detekto-


Quantenphysik

263

5. 411 334 Interferometer

6. 411 324 Polarisation

a)

b)

Quelle für

einzelne

Photonen

1

Strahlteiler

A

2

Spiegel

a) Grundprinzip:

„In der Quantenphysik kann der Zustand eines Quantenobjekts

durch eine Messung schlagartig und stark

geändert werden.“

Wenn das Photon auf das 45°-Filter fällt und durchgelassen

wird, dann ist sein Zustand nachher verändert:

Es geht nun mit 100 % Wahrscheinlichkeit

durch ein weiteres 45°-Filter und mit P 2 = 50 %

Wahrscheinlichkeit durch das Filter mit senkrechter

Vorzugsrichtung.

b) Die Wahrscheinlichkeit für ein waagerecht polarisiertes

Photon, durch ein 45°-Filter zu kommen,

beträgt P 1 = 50 %. Damit ist die Wahrscheinlichkeit

für P = P 1 · P 2 = 25 %.

7. 411 394 Ein reales Experiment

3

A

4

A

a) Für die Maxima gilt:

sin α K = }

k · λ

b

Mit k = 1 und sin α 1 ≈ tan α 1 = }

s1 e

λ = s 1 · b

} e

erhält man:

30 μm · 100 nm

λ = }}

1,25 · 10 9 nm

λ = 2,4 · 10 –12 nm

A

A

c) 1. Möglichkeit: Man kann einen der beiden Spiegel

etwas verschieben, sodass die Laufzeit leicht unterschiedlich

wird.

2. Möglichkeit: Man kann ein Interferenzmuster bekommen,

wenn man den Detektor A in horizontaler

Richtung verschiebt.

Begründung jeweils: Dadurch haben die beiden

Wege unterschiedliche Weglängen.

d) Durch Einbringen von Polfiltern mit zueinander

orthogonaler Vorzugsrichtung in die beiden „Arme“

des Interferometers kann man die Wege markieren.

Das Interferenzmuster kann dann nicht mehr

beobachtet werden.

A

Die Masse ergibt sich aus der de-Broglie-Beziehung:

λ = h }

m · v

und damit

m = h } λ · v

6,626 · 10

m =

–34 J · s

}}

2,4 · 10 –12 m · 200 }

m s

m = 1,4 · 10 –24 kg

b) Da die Breite eines Spalts halb so groß ist wie die

Gitterkonstante, ist der Abstand des ersten Einzelspaltminimums

doppelt so groß wie der Abstand des

ersten Gittermaximums. Mit anderen Worten: Das

erste Einzelspaltminimum unterdrückt das zweite

Gittermaximum.

c) Bei einem Gitter treten neben einem ausgeprägten

Maximum 0-ter Ordnung weitere Maxima auf, deren

Intensität nach Art einer Glockenkurve abnimmt.

Die Maxima sind scharf ausgeprägt, wenn Licht einer

Wellenlänge oder Quantenobjekte einer Geschwindigkeit

verwendet werden.

Bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten und damit

auch unterschiedlichen de-Broglie-Wellenlängen der



Fullerene ist bereits das Maximum 0-ter Ordnung

nicht mehr so stark ausgeprägt, das Maximum 1.

Ordnung ist bereits „verschmiert“. Entscheidend für

das entstehende Interferenzbild ist also die Geschwindigkeitsverteilung

der Moleküle.

Quantenobjekten transportierten Informationen beim

Abhören verändert und damit unkenntlich gemacht

werden.

Mittlerweile ist es gelungen, Informationen mit einzelnen

Photonen über größere Strecken zu übertragen.

8. 411 254 Nachweiswahrscheinlichkeit

a)

11. 411 354 Atominterferenz

a) Licht mit 532 nm Wellenlänge ist grün.

Die stehende Lichtwelle hat eine Gitterkonstante von

266 nm (halbe Wellenlänge).

b) Kleine-Winkel-Näherung:

λ = g · x } a

= 266 nm · 20

} = 10,6 · 10 –12 m.

500000

b) An den Orten, wo das Bild der Lichtquelle ist,

werden besonders viele Photonen nachgewiesen.

c) λ = } m h · v ; also ist

m = }

h v · λ = 6,63 · 10 – 34 Js

}} = 6,7 · 10 – 27 kg.

9,3 · 10 3 }

m s · 10,6 · 10 –12 m

Das ist ein Atomgewicht von etwa 4 u. Es handelt

sich also um Heliumatome.

12. 419 244 Unbestimmtheitsrelation

a) Die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation besagt:

Je bestimmter der Ort eines Quantenobjektes ist,

umso unbestimmter ist sein Impuls und umgekehrt.

Diese Unbestimmtheit ist nie kleiner als h } 4 π .

9. 411 344 Interferenz mit Fulleren

Rechercheaufgabe

Die Fullerene werden erhitzt, wodurch sie verdampfen.

Entsprechend ihrer Temperatur ist ihre Geschwindigkeit

verteilt. Sie durchqueren mit einer mittleren Geschwindigkeit

von 220 }

m s im Hochvakuum eine Strecke von

etwa 2 Metern. Dabei passieren sie ein Gitter aus einer

freitragenden Siliziumnitrid-Struktur. Im Detektor werden

sie von einem 25-Watt-Laser, der auf 4 μm fokussiert

ist, schlagartig thermisch ionisiert und danach elektrisch

auf eine Fotokatode beschleunigt. Die aus der Katode

herausgeschlagenen Elektronen zeigen das Auftreffen

des Fulleren-Moleküls als zählbaren Puls an. Die „Detektorposition“

ist durch den Fokus des Lasers bestimmt.

Dieser kann nach links und rechts verschoben werden.

b) Es gilt dann:

Δ x · Δ p = h }

4 π

oder Δ x =

h

}

4π · Δ p

Damit sinnvolle Werte entstehen, sollte Δ x · Δ p in der

Größenordnung von h liegen.

Δ p in kg · m } s

Δ x in m Δ p in

kg · m

} s

Δ x in m

10 – 4 5 · 10 –31 10 –16 5 · 10 –19

10 – 8 5 · 10 –27 10 –20 5 · 10 –15

10 –12 5 · 10 –23 10 –24 5 · 10 –11


10 –10 Δx in m

10 –20

10 –30

Δp in kg · m

10. 416 164 Verschlüsselung

Kurzvortrag Quantenverschlüsselung: Die Quantenverschlüsselung

oder Quantenkryptografie ist eine

Methode, Informationen abhörsicher zu übermitteln.

Das Grundprinzip besteht darin, dass die mit einzelnen

10 –40

10 –24 10 –20 10 –16 10 –12 10 –8 10 –4

} s

Aus diesem Diagramm ist ablesbar: Je größer die

Unschärfe des Impulses ist, desto kleiner ist die Unschärfe

des Ortes und umgekehrt.



265

c) Mit m = 500 g = 0,500 kg und Δ v = ±1 }

mm

s

erhält man für Δ p = 10 – 3 }

kg · m .

s

Als Größenordnung für die Ortsunschärfe erhält

man:

h

Δ x = } 4 π · Δ p

Δ x = 6,626 J · s · 103 · s

}}

10 34 · 4 π · kg · m

Δ x = 5,3 ·10 –32 m

Ein solcher Wert liegt unterhalb jeder Messmöglichkeit.

3.7 Atom- und Kernphysik

Physik der Atomhülle (LB S. 468 – 470)

1. 411 864 Ölfleckversuch

Schülervortrag.

Material siehe 410 085

2. 411 874 Atommodelle

a) Ein Modell ist ein ideelles (gedankliches) oder

materielles (gegenständliches) Objekt, das als Ersatzobjekt

für ein Original genutzt wird. Es ist eine

Vereinfachung des Originals.

(1) Thomsonsches Atommodell

b) Nach THOMSON besteht ein Atom aus einer neutralen

Substanz, in die positive Ladungen (Protonen) und

negative Ladungen (Elektronen) eingebettet sind.

Die Protonen und Elektronen sind dabei unregelmäßig

verteilt wie Rosinen in einem Kuchen. Das

Modell beschreibt die Körnigkeit der Materie und

elektrische Neutralität der Atome.

c) Das Modell beschreibt nicht die Zerlegung von

Atomen in Protonen und Elektronen. Das Modell

kann den Streuversuch von RUTHERFORD nicht erklären.

(2) Rutherfordsches Atommodell

b) Elektronen kreisen auf elliptischen Bahnen um den

Atomkern (Planetenmodell).

Es beschreibt richtig die Massen- und Ladungsverhältnisse

im Atom.

c) Es kann die Stabilität von Atomen und die Entstehung

von Spektrallinien nicht erklären.

(3) Bohrsches Atommodell

b) Es existieren stabile Bahnen, auf denen sich Elektronen

strahlungsfrei bewegen.

Es ermöglicht die Abschätzung des Atomradius und

die Berechnung des Wasserstoffspektrums. Es führt

Erkenntnisse der Quantenphysik in die Atomphysik

ein.

c) Es geht im Widerspruch zur Quantenphysik von

Bahnen aus und führt nur bei Wasserstoff zu richtigen

Ergebnissen.

(4) Quantenmechanisches Atommodell

b) Die Elektronen halten sich mit bestimmter Wahrscheinlichkeit

in einem Raumbereich auf.

Es steht im Einklang mit dem Wellencharakter der

Elektronen. Es erklärt das Periodensystem der Elemente.



c) Es ist ein mathematisches Modell und nur sehr bedingt

anschaulich zu deuten.

3. 411 884 Atome messen

Recherche-Aufgabe

Die Masse von Atomen lässt sich mithilfe eines Massespektrografen

bestimmen.

Der Radius von Atomen kann z. B. aus einmolekularen

Schichten (Ölfleckversuch siehe 410 085 ) oder aus

Strukturmodellen (dicht gepackte Atome) abgeschätzt

werden.

4. 411 904 Gravitation im Atom

Anzuwenden sind das Gravitationsgesetz und das coulombsche

Gesetz.

Als Abstand zwischen Atomkern und Elektron wird der

bohrsche Radius (r = 0,53 · 10 –10 m) angesetzt.

F 1 = G · m 1 · m 2

}

r 2

F 1 = 6,673 · 10 –11· m

}

3

· 1,673 · 10–27 kg · 9,109 · 10 –31 kg

}}}

kg · s 2 (0,53 · 10 –10 m) 2

F 1 = 3,6 · 10 – 47 N

F 2 = 1

}· Q 1 · Q

4 π · ε } 2

0

r 2

F 2 = 1

}}· (1,602 · 10–19 C) 2

4 π · 8,854 · 10 –12 }

A · s }}

(0,53 · 10 –10 m) 2

F 2 = 8,2 · 10 – 8 N

V · m

Die Gravitationskraft zwischen Atomkern und Elektron

ist um viele Größenordnungen geringer als die elektromagnetische

Kraft zwischen positiv geladenem Kern

und negativ geladenem Elektron.

Die Kräfte zwischen Ladungen spielen offensichtlich für

den Zusammenhalt eines Atoms eine wesentlich größere

Rolle als Gravitationskräfte.

5. 427 944 Gewichtskraft des Elektrons

Die Gewichtskraft des Elektrons im Schwerefeld der Erde

beträgt g · m e = 9,1 · 10 –30 N.

Die elektrostatische Anziehung beträgt 8,2 · 10 – 8 N.

Somit ist die Gewichtskraft des Elektrons für die Eigenschaften

der Atomhülle nicht relevant.

6. 412 254 Energie im Potenzialtopf

Die möglichen Energiewerte in einem linearen

Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden sind

abhängig

− vom planckschen Wirkungsquantum h,

− von der Masse eines Elektrons m e ,

− von der Breite des Potenzialtopfs L und

− von der Zahl n mit n = 1, 2, 3, ...

Da h und m e Konstanten sind, ergibt sich, dass für die

möglichen Energiewerte E n gilt:

E n ~ 1 }

L 2 und E n ~ n2

7. 412 224 Elektronen im Potenzialtopf

Übergang 3. angeregter Zustand ⇒ 2. angeregter Zustand:

Δ E 43 = E 4 – E 3 = 16 h

}

2

– 9 h

8 m · L }

2

= 7 h

2 8 m · L }

2

2 8 m · L 2

Übergang 2. angeregter Zustand ⇒ Grundzustand:

Δ E 31 = E 3 – E 1 = 9 h

}

2

– 1 h

8 m · L }

2

= 8 h

2 8 m · L }

2

.

2 8 m · L 2

Der Energieunterschied ist beim Übergang vom 2. angeregten

Zustand in den Grundzustand größer als vom

3. angeregten Zustand in den 2. angeregten Zustand,

also ist die zugehörige Wellenlänge kleiner.

8. 428 824 Ein Lithiumatom

E = h

}

2

· 8 m e · L 2 n2

(6,626· 10

E =

–34 Js)

}}}

2

8 · 9,109 · 10 –31 kg (3,5· 10 –10 m) = 2,15 · 2 10–19 J

E = 3,07 eV

Der Unterschied zum realen Wert kommt zustande, weil

mit einem stark vereinfachten Modell gearbeitet wurde.

9. 412 394 Tunneleffekt

In der klassischen Physik kann ein System seinen Zustand

nur verändern, wenn es ausreichend Energie für jeden

der kontinuierlich durchlaufenen Zwischenzustände

besitzt. So kann eine Kugel auf einer Kugelbahn nur

Hochpunkte der Bahn überwinden, wenn ihre kinetische

Energie vorher mindestens so groß war, wie die potenzielle

Energie am höchsten Punkt.

In der Quantenmechanik kann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit

eines Quantenobjekts auch an solchen

Orten gegeben sein, die vom Ursprungsort durch eine

klassisch unüberwindliche Barriere getrennt sind. Voraussetzung

ist allerdings, dass jeweils die Gesamtenergie

des Ausgangszustands und des Endzustands gleich sind.

Das klassisch nicht zulässige Überwinden einer solchen

Barriere wird als „Tunneleffekt“ bezeichnet.

Übertragen auf klassische Objekte würde das zum Beispiel

bedeuten, dass von den Erbsen in einer geschlossenen

Konservendose plötzlich eine Erbse neben der Dose

liegt. Derartiges ist noch nie beobachtet worden.



267

Theoretisch besteht eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit

für jedes Quantenobjekt, aus dem die Erbse besteht,

auch 1 cm neben dem ursprünglichen Ort der Erbse. (Die

Wahrscheinlichkeitswolke hat keinen scharfen Rand,

sondern erstreckt sich bis ins Unendliche.) Doch müssten

alle Atome der Erbse gleichzeitig um den gleichen

Betrag verschoben auftauchen, um wieder dieselben

Moleküle zu bilden. Nur in demselben Bindungszustand

würde die Gesamtenergie der Erbse wieder der des

Ursprungszustands entsprechen.

Um die Wahrscheinlichkeit für das Tunneln eines

klassischen Objekts zu berechnen, müsste man die

Wahrscheinlichkeiten des gleichzeitigen Tunnelns aller

beteiligten Quantenobjekte multiplizieren. Dies führt

bei Erbsen zu praktisch unendlich kleinen Wahrscheinlichkeiten.

10. 412 274 Wellenfunktion

a)

Damit erhält man für den Übergang von n = 4 nach

n = 3:

2,7 eV

f = }

h

f = 6,5 · 10 14 Hz

= 2,7 · 1,602 · 10–19 J

}}

6,626 · 10 –34 J · s

c) Experimentell ergibt sich eine Energie von 0,65 eV

und damit eine kleinere Frequenz von 1,6 ∙ 10 14 Hz.

Die Unterschiede sind mit der Nutzung des stark

vereinfachten Modells Potenzialtopf erklärbar.

12. 412 634 Orbitaldarstellung

Ein Orbital veranschaulicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit

von Elektronen in der Atomhülle. Im gegebenen

Fall handelt es sich um das Modell eines angeregten

Wasserstoffatoms (n = 2, l = 1). Das Elektron befindet

sich mit über 90 %-iger Wahrscheinlichkeit im farbig

markierten Bereich.

E 4

x

b)

0 L

0 L

E 3

E 2

E 1

x

E 4

E 3

E 2

E 1

13. 427 794 Energieniveaus

a) Für folgende Übergänge der Balmer-Serie liegen die

Spektrallinien im sichtbaren Bereich:

n = 4 g n = 2 (2,55 eV)

n = 3 g n = 2 (1,90 eV)

b) Für den Übergang von n = 3 zu n = 2 (E = 1,90 eV)

ergibt sich als Wellenlänge:

λ = }

h · c

E

λ = 6,626 · 10 –34 Js · 3,0 · 10 8 }

m s

}} = 654 nm

3,04 · 10 –19 J

Als Frequenz erhält man:

f = E }

h

oder f = c }

λ

f = 1,9 · 1,602 · 10 –19 J

}}

6,626 · 10 –34 J · s

f = 4,6 · 10 14 Hz

11. 412 284 Wasserstoffatom

a) E = h 2

}

8 m e · L 2 · n2

(6,626 · 10

E 1 =

–34 Js)

}}

2

8 · 9,109 · 10 –31 kg (10 –9 m) = 0,60 · 2 10–19 J

E 1 = 0,38 eV

E 2 = E 1 · 4 = 1,5 eV

E 3 = E 1 · 9 = 3,4 eV

E 4 = E 1 · 16 = 6,1 eV

b) Für den Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz

gilt:

E = h · f oder f = E }

h

14. 412 054 Blaues Licht

a) Aus E = h · f und c = λ · f folgt:

E = }

h · c

λ

E = 6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 10 8 }

m s

}}

434,05 · 10 –9 m

E = 4,58 · 10 –19 J = 2,9 eV

b) Dem Energieniveau n = 5 kann eine Energie von

– 0,50 eV zugeordnet werden.

c) Die Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand

(n = 1) und dem Energieniveau n = 5 beträgt 13,1 eV.



Ein Elektron müsste demzufolge mit 13,1 V beschleunigt

werden, damit es diese Energie besitzt.

15. 411 964 Lichtemission

a) Sichtbar sind die Spektrallinien mit den Wellenlängen

700 nm und 500 nm.

b) Mit E = h ∙ f = h ∙ }

c kann jeder Wellenlänge eine

λ

Energie zugeordnet werden. Man erhält:

für λ = 700 nm: E = 1,77 eV

für λ = 500 nm: E = 2,48 eV

für λ = 292 nm: E = 4,25 eV

Der Ausschnitt aus dem Energieniveauschema

könnte dann z. B. so aussehen:

–1,0

–2,77

–5,25

E in eV

1,77

2,48

4,25

E 3

E 2

E 1

λ 2,3 = 6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 10 8 }

m s

}} = 776 nm

1,6 · 1,602 · 10 –19 J

Eine Energie von 4,9 eV hat ein Photon mit einer

Wellenlänge von 253 nm. Das ist Licht im ultravioletten

Bereich.

Eine Energie von 1,6 eV hat ein Photon mit einer

Wellenlänge von 776 nm. Das ist Licht im Grenzbereich

zum Infra rot.

18. 412 204 Rubinlaser

Entscheidend für das Laserlicht ist der Übergang von E 1

in den Grundzustand.

Aus Δ E = h · f mit f = }

c λ

folgt

Δ E = h · }

c λ

und damit

λ = }

h · c

Δ E

λ = 6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 10 8 }

m s

}}

2,863 · 10 –19 J

λ = 6,94 · 10 –7 m = 694 nm

–9,25

4,25

E 0

Die Wellenlänge von 694 nm entspricht der von rotem

Licht.

Hier würde es für die Linie mit einer Wellenlänge

von 292 nm zwei Möglichkeiten geben.

16. 412 084 Spektralapparat

Die diskreten Änderungen der Energie in der Atomhülle

führen zur Emission von Strahlung, wobei jeder Energie

eine bestimmte Frequenz bzw. Wellenlänge entspricht:

E = h ∙ f = h ∙ }

c λ

Bei einem Spektralapparat wird das auffallende Licht

in seine spektralen Anteile zerlegt. Das kann durch ein

Prisma oder durch ein Gitter realisiert werden. Die Spektrallinien

können ausgemessen und mit den Spektrallinien

bekannter Stoffe verglichen werden.

17. 411 974 Quecksilberlampe

a) Eine Ionisierungsenergie von 10,4 eV bedeutet: Bei

Zufuhr dieser Energie zu einem Atom kann ein Elektron

aus dem Grundzustand die Atomhülle verlassen.

Aus dem Atom wird dann ein positiv geladenes Ion.

b) Mit ΔE 1,2 = 4,9 eV und ΔE 2,3 = 1,6 eV

ergibt sich:

λ = }

h · c

E

λ 1,2 = = 6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 10 8 }

m s

}} = 253 nm

4,9 · 1,602 · 10 –19 J

19. 412 194 Übergänge im Laser

Dieser scheinbare Widerspruch löst sich, wenn man

„strahlungslos“ richtig interpretiert. Es bedeutet, dass

die Energiedifferenz nicht als Photon emittiert oder

absorbiert wird, sondern z. B. eine Erwärmung des Stoffs

bewirkt. Der Energieerhaltungssatz ist uneingeschränkt

gültig.

20. 412 234 Gefahr durch Laser

Laserlicht ist insbesondere wegen seiner hohen

Energiedichte für das menschliche Auge gefährlich.

So erreicht bereits ein zulässiger Laserpointer mehr als

1 mW/mm 2 . Das ist wesentlich mehr, als eine 100-W-

Glühlampe aus 1 cm Entfernung.

Es kann leicht zu Verbrennungen auf der Netzhaut und

damit zu irreparablen Augenschäden führen.

Hinweis: In der Augenheilkunde wird Laserlicht genutzt,

um z. B. sich ablösende Netzhaut an den Augenhintergrund

„anzuschweißen“.

21. 412 244 Laser in der Medizin

Recherche unter den Stichworten:

− Lasermedizin

− Laserskalpell

− LASEK



269

− Tatooentfernung

und Präsentation

22. 412 664 Spontane Emission

1 Mol Wasserstoff bedeutet: Es liegen 6 ∙ 10 23 (genauer:

6,022 ∙ 10 23 ) Teilchen vor. Wenn 10 % angeregt sind,

handelt es sich um 6 ∙ 10 22 Teilchen, von denen innerhalb

von 1,6 ∙ 10 –9 s die Hälfte in den Grundzustand zurückfällt

und dabei Photonen emittiert. Die zeitliche Abhängigkeit

zeigt die folgende Übersicht:

Zeit in t

0 6 ∙ 10 22

1,6 ∙ 10 –9 s 3 ∙ 10 22

3,2 ∙ 10 –9 s 1,5 ∙ 10 22

4,8 ∙ 10 –9 s 0,75 ∙ 10 22

23. 420 354 Franck-Hertz-Röhre

Anzahl der angeregten Teilchen

a) Von einer Glühkatode werden Elektronen emittiert

und durch eine regulierbare Spannung zwischen Katode

und Gitter beschleunigt. Durch Regulieren der

Beschleunigungsspannung lässt sich die Geschwindigkeit

und damit die kinetische Energie der Elektronen

verändern.

Nach Passieren des Gitters durchlaufen die Elektronen

ein Gegenfeld. Nur solche Elektronen, die ein

gewisses Mindestmaß an Bewegungsenergie besitzen,

gelangen bis zur Anode. In welchem Umfang

Elektronen zur Anode gelangen, wird anhand des

Stroms ermittelt, der zwischen der Katode und der

Anode fließt.

Die Beschleunigungsspannung wird dann langsam

erhöht und die Stromstärke wird gemessen. Dabei

zeigt sich: Zunächst vergrößert sich die Stromstärke

durch die Röhre. Bei einer bestimmten Spannung

sinkt die Stromstärke deutlich ab. Nun erreichen nur

noch wenige Elektronen die Anode. Erhöht man

die Beschleunigungsspannung weiter, so steigt die

Stromstärke wieder an und sinkt nach Erreichen

eines erneuten Maximums wieder ab.

b)

30

20

10

I in mA

4,9 V 4,9 V 4,9 V

Auf ihrem Weg zur Anode stoßen die Elektronen

mit Quecksilberatomen zusammen. Bei niedriger

Beschleunigungsspannung erfolgen diese Stöße elastisch.

Die Elektronen geben dabei keine kinetische

Energie an die Atome ab und sind deshalb in der

Lage, das Gegenfeld vor der Anode zu überwinden.

Erreicht die kinetische Energie der Elektronen

einen bestimmten Wert, dann kommt es zu unelastischen

Stößen zwischen Elektronen und Atomen.

Die Quecksilberatome nehmen dabei Energie von

den Elektronen auf. Diese gelangen aufgrund ihrer

geringeren Energie nicht mehr bis zur Anode. Die

Stromstärke sinkt. Wird die Beschleunigungsspannung

weiter erhöht, vergrößert sich die Energie der

Elektronen wieder, der Strom steigt erneut an. Bei

einer stetigen Steigerung der Spannung erreichen

die Elektronen auch wieder diejenige Energie, bei

der unelastische Stöße erfolgen.

Auf diese Weise können die Elektronen auf ihrem

Weg zur Anode gleich zwei- oder mehrmals ihre

Energie an Quecksilberatome abgeben. So erklärt

sich das Auftreten mehrerer Maxima bzw. Minima in

der Spannungs-Stromstärke-Kurve.

Bei Quecksilber unterscheiden sich die Maxima jeweils

um die Spannung 4,9 V.

Geht man von diskreten Energieniveaus in der Hülle

des Quecksilberatoms aus, dann zeigt dieser Versuch:

Nur wenn die kinetische Energie eines Elektrons

mindestens der Differenz zweier atomarer Energieniveaus

entspricht, kann sie durch das Quecksilberatom

aufgenommen werden.

24. 428 614 Licht vom Quecksilber

a) Aus der Energiedifferenz ΔE = 4,9 eV ergibt sich:

Δ E = h · f = h · c }

λ

λ = 6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 10 8 }

m s

}}

4,9 · 1,602 · 10 –19 J

λ = 253 nm

und damit λ = h · c } Δ E

b) Strahlung dieser Wellenlänge liegt im ultravioletten

Bereich. Solche Strahlung lässt sich mithilfe von

Leuchtschirmen (z. B. mit Zinksulfid) oder durch

spezielle Detektoren nachweisen.

25. 424 204 Natriumdampf

a) Die Energie der emittierten Elektronen beträgt

2,12 eV.

b) Für die Wellenlänge ergibt sich:

λ = }

h · c

Δ E

0

0 5 10

15

U in V

λ = 6,626 · 10 –34 Js · 3 · 10 8 m } s

}}

2,12 · 1,602 · 10 –19 J



Physik des Atomkerns (LB S. 497 – 500)

λ = 585 nm

v = 1,24 · 10 8 m · s –1 100-mal stärker als die Coulombkraft ist, überwiegt

Es handelt sich um Licht im gelben Spektral bereich.

1. 423 874 Dichte des Atomkerns

26. 429 554 Eine Röntgenröhre

m = ρ ∙ V

Diese Aufgabe sollte bei der angegebenen Beschleunigungsspannung

von 50 kV relativistisch gelöst werden.

Vermutlich wird aber ein Teil der Schüler eine klassische

Lösung angeben. Es sind deshalb nachfolgend beide

Lösungsvarianten dargestellt.

m = 1,8 ∙ 10 14 }

g cm 3 cm3

m = 1,8 ∙ 10 14 g = 1,8 ∙ 10 11 kg =1,8 ∙ 10 8 t

1 cm 3 Wasser hat eine Masse von 1 g. Demzufolge wiegt

1 cm 3 Kernmaterie das 1,8 ∙ 10 14 -Fache.

a) Für die Energie der Elektronen ergibt sich klassisch:

E = e · U

2. 425 324 Kernradius

E = 50 keV = 8,0 · 10 –15 J

Als Gesamtenergie (relativistisch) ergibt sich:

E ges = E kin, rel + E 0

Für den Kernradius gilt allgemein:

r = 1,4 ∙ 10 –15 ∙ 3 √ } A

Mit E 0 = m e, 0 · c 2 = 8,2 · 10 –14 J = 5,11 · 10 5 eV

Damit erhält man:

√ }

Kohlenstoff: r = 1,4 ∙ 10 m ∙ 12 –15 = 3,2 ∙ 10 m

ergibt sich als maximale Gesamtenergie:

Eisen: r = 1,4 ∙ 10 –15 m ∙ 3 √ } 56 = 5,4 ∙ 10 –15 m

E ges = 9,0 · 10 –14 J = 5,6 · 10 5 eV

Blei: r = 1,4 ∙ 10 –15 m ∙ 3 √ } 208 = 8,3 ∙ 10 –15 m

Uran: r = 1,4 ∙ 10 –15 m ∙ 3 √ } 238 = 8,7 ∙ 10 –15 m

b) Klassisch erhält man:

v = √ 2 e · U

} m

3. 427 904 Kräfte im Atomkern

v =

√ }}}

2 · 5 · 10 4 V · 1,759 · 10 11 }

c kg

a) Als Gravitationskraft ergibt sich:

v = 1,33 · 10 8 }

m s

F G = G · m 1 · m } 2

r 2

Das sind ca. 43 % der Vakuumlichtgeschwindigkeit.

F G = 6,673 · 10 –11 }

m3 kg)

}}

2

kg · s

Relativistisch ergibt sich:

(10 –15 m) 2

Mit E ges = m · c 2 = E kin, rel + E 0 und

F 1 = 1,9 · 10 – 34 N

m

m =

0

√ } E

folgt:

0

1 – }

v 2

c √ } Als abstoßende Kraft zwischen den Ladungen ergibt

= E kin, rel + E 0

1 – }

v 2

sich:

2

c 2

Sinnvoll ist jetzt ein Umstellen der Gleichung nach }

v c ,

F E = 1

}· 1 · Q

4 π · ε } 2

0 r 2

da daraus erkennbar ist, in welcher Relation sich v

F E = 1 · Vm

}}

zur Lichtgeschwindigkeit c verhält. Die Umstellung

C)

}}

2

4 π · 8,854 · 10 –12 As (10 –15 m) 2

ergibt:

v

} c = √ }}

F E = 2,3 · 10 2 N

(E

1 – 0 )

}}

2

(E kin, rel + E 0 ) 2 b) Die Ergebnisse von a) zeigen:

Die Geschwindigkeit des Elektrons beträgt etwa

41 % der Lichtgeschwindigkeit. Daraus ergibt sich

ein Wert von:

Die Gravitationskraft spielt eine untergeordnete

Rolle. Die Coulombkraft ist wesentlich größer. Da

aber die anziehende starke Wechselwirkung etwa

sie und hält die Bestandteile des Atomkerns (Protonen,

Neutronen) zusammen.

4. 413 134 Tröpfchenmodell

a) Zwischen den Teilchen des Wassers wirken zwischenmolekulare

(coulombsche) Kräfte, die im Idealfall

einen kugelförmigen Wassertropfen bewirken.



271

Infolge seiner Gewichtskraft hat ein auf ebener

Fläche liegender Wassertropfen eine linsenförmige

Form.

b)

250

Impulse je Minute

b) Das Tröpfchenmodell lässt sich so kennzeichnen:

200

Atomkern

Analogie

Wassertröpfchen

150

Ein Atomkern ist ein kompaktes

Gebilde, bestehend

aus Nukleonen.

Entscheidend für die

Stabilität eines Atomkerns

sind die starken Kräfte

zwischen den Nukleonen.

Ein Atomkern kann in

Teile zerfallen. Dazu ist

meist eine Anregung

erforderlich.

Zwei Atomkerne können

sich zu einem neuen

Atomkern zusammenschließen.

Dazu ist eine

Anregung erforderlich.

Ein Wassertropfen ist ein

Gebilde, bestehend aus

vielen kleinen Wassertröpfchen

Entscheidend für die Stabilität

eines Wassertropfens

sind die zwischenmolekularen

Kräfte, die die vielen

kleinen Wassertröpfen

zusammenhalten.

Ein Wassertropfen kann in

kleinere Tröpfen zer legt

werden. Dazu ist eine

Anregung erforderlich.

Aus zwei Wassertröpfchen

kann sich ein neuer

Wassertropfen bilden.

Dazu ist eine Anregung

erforderlich.

100

50

0

0 5 10 15 20 25

r in cm

Das Diagramm bestätigt die unter a) genannte Vermutung:

Mit zunehmendem Abstand verringert sich

die Intensität der Strahlung. Daraus ergibt sich für

den Strahlenschutz: Ein möglichst großer Abstand

von Quellen radioaktiver Strahlung ist eine Möglichkeit,

sich vor solcher Strahlung zu schützen.

c) Die Strahlung, die dann registriert wird, kommt nicht

in erster Linie von der Strahlungsquelle, sondern ist

Folge der natürlichen Radioaktivität in unserer Umgebung

(Nulleffekt).

c) Nach außen ist ein Wassertropfen elektrisch neutral.

Daher wirkt zwischen zwei eng benachbarten Wassertropfen

nur die überaus geringe Gravitationskraft.

5. 426 634 Kernkraft

Die Kernkraft spielt außerhalb des Atomkerns keine

Rolle, weil ihre Reichweite mit etwa 10 –15 m sehr klein

ist.

6. 428 444 Kernumwandlungen

14

N + 4 α g 17 7 2 8 O + 1 p 1

9

Be + 4 α g 12 4 2 6 C + 1 n 0

8. 429 394 Nachweis von Kernstrahlung

Präsentation: Der Schwerpunkt kann entweder auf die

genauere Erläuterung eines Nachweisgeräts oder auf

einen Überblick gelegt werden. Anregungen dazu sind

im Lehrbuch zu finden.

9. 428 014 Nebelkammer in Aktion

a) Kurzreferat zu Aufbau und Wirkungsweise einer

Nebelkammer.

b) (1) ist Alphastrahlung, die stets eine bestimmte,

diskrete Energie besitzt.

(2) ist Betastrahlung mit einem kontinuierlichen

Spektrum.

7. 422 324 Das Abstandsgesetz

10. 424 634 Ablenkung in Feldern

a) Da sich die radioaktive Strahlung im Raum ausbreitet

und sich die Oberfläche einer Kugel mit dem

Radius (Abstand) quadratisch vergrößert, nimmt

wahrscheinlich die Intensität der Strahlung mit dem

Quadrat des Abstandes ab.

a)

+

α-Teilchen

Positronen

–



b) Vorausgesetzt wird ein homogenes elektrisches Feld,

in das die Teilchen senkrecht zu den Feldlinien eintreten

(b Skizze). Dann erfolgt in vertikaler Richtung

eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

s = }

a 2 t 2 mit a = } m

F und F = q ∙ E

Damit gilt für die Ablenkung s:

s ~ }

q m

Für ein α-Teilchen ist die spezifische Ladung:

q

} m = 3,2 ∙ 10 –19 C

}} = 4,8 ∙ 6,644 ∙ 10 –27 kg 107 }

C kg

Für ein Positron gilt:

q

} m = 1,759 ∙ 1011 }

C kg

Das bedeutet: Bei ansonsten gleichen Bedingungen

ist die Ablenkung von Positronen größer als die von

Alphateilchen.

11. 427 024 Radium zerfällt

a) Es muss zunächst die Anzahl der Kerne (Atome)

bestimmt werden. Dann lässt sich mithilfe der Halbwertszeit

ermitteln, wie viele dieser Atomkerne in

einer Sekunde zerfallen.

Für den Anfangszustand gilt:

m

N 0 = N A ·}

m mol

N 0 = 6 · 10 23· 1

}

mol · 1 g

226 }

g mol

N 0 = 2,7 · 10 21

Für die Aktivität einer radioaktiven Substanz gilt:

A 0 = }

Δ N

Δ t

Setzt man für N das Zerfallsgesetz ein, so kann man

für kleine Zeitintervalle schreiben:

Δ N

}

Δ t = –λ · N 0 · e–λ · t

Mit t = 0 (Anfangszustand) erhält man:

Δ N

}

Δ t = –λ · N 0

Mit λ = In 2 } T 1/2

Δ N

}

Δ t = – N 0

}

· In 2

T 1/2

erhält man:

Δ N

} Δ t = – 2,7 · 1021· In 2

} 1 600 a

Δ N

}

Δ t = –3,7· 1010 }

1 s

Geht man vom Anfangszustand aus, so zerfallen in

einer Sekunde 3,7 · 10 10 Kerne des Radium-Nuk lids.

b) Für die Masse gilt analog zur Teilchenzahl:

m = m 0 · e –λ· t

Bei den gegebenen Werten erhält man:

m = 1 g · e – In 2 } T 1/2 · 100 a

m = 1 g · e – 0,043

m = 0,96 g

Nach 100 Jahren sind noch 0,96 g des Radium-Nuklids

nicht zerfallen.

c) Es gilt das Zerfallsgesetz N = N 0 · e –λ· t .

Mit N = 0,1 · N 0 erhält man:

0,1 N 0 = N 0 · e –λ· t oder 0,1 = e –λ· t

Logarithmieren liefert:

ln 0,1 = –λ · t

In 0,1

t = –}

λ

In 0,1

t = –}

1,4 · 10 –11 }

1 s

t = 1,6 · 10 11 s ≈ 5070 a

Die Aktivität einer bestimmten Menge Radium-226

hat in etwa 5 100 Jahren (das ist das 3,2-fache der

Halbwertszeit) auf 10 % abgenommen.

12. 428 164 Aktivität von Quellen

a) Da Holmium doppelt so schnell wie Phosphor zerfällt,

liegt bei der gleichen Anzahl von Kernen bei

Holmium die doppelte Aktivität vor.

b) Für die gleiche Aktivität ist vom halb so schnell

zerfallenden Phosphor die doppelte Anzahl Kerne

erforderlich.

13. 422 974 Aktuelle Aktivität

a) 19 Jahre sind mehr als 3 Halbwertszeiten. Somit ist

die Aktivität kleiner als ein Achtel der Anfangsaktivität

und damit kleiner als 50 kBq. Sie liegt also unter

der Freigrenze.

b) Aus dem Gesetz für die Aktivität

A = A 0 · e –λ· t

erhält man nach Umstellung und Logarithmieren:

ln A 0

} = λ · t und damit

A

t = In 370 kBq

(}

50 kBq )

}}

· 5,26 a

In 2

t = 15,2 a

Die Aktivität des Cobalt-60-Strahlers ist nach 15,2 a

auf unter 50 kBq abgesunken.



273

14. 423 374 Unbekannte Strahlung

a) Nach der UVW-Regel ist die Ladung der Strahlung

negativ. Es handelt sich um Betastrahlung. Die Zerfallsgleichung

lautet:

215

83 Bi g 0

–1 e + 215

84 Po

b) A = 215 + 5 ∙ 4 = 235

Z = 83 + 2 ∙ 5 – 1 = 92

Das Ausgangselement ist demzufolge 235 U (Uran-

92

Actinium-Reihe).

c) 64 Minuten sind 8 Halbwertszeiten. Damit gilt:

N = N 0

} = 0,0039 N 2 8 0

15. 423 644 Strahlenbelastung

Präsentation zur natürlichen Strahlenbelastung :

Aktuelle Informationen findet man unter dem Suchwort

„Strahlenbelastung“ im Internet.

Bei der Bewertung ist zu beachten: Menschen sind

ständig einer natürlichen Strahlenbelastung ausgesetzt.

Dann beträgt der Massendefekt:

Δ m = Δ A · u

Δ m = 0,563 7 · 1,66 · 10 –27 kg = 9,36 · 10 –28 kg

Als Bindungsenergie je Nukleon erhält man:

E = }

Δ m · c 2

A

E = 9,36 · 10–28 kg · ( 3 · 108 }

m s ) 2

}}

60

E = 1,4 · 10 –12 J ≈ 8,8 MeV

18. 427 594 Bindungsenergie

Die Bindungsenergie eines Atomkerns ergibt sich zu

E B = m K ∙ c 2 mit m K ≈ Z ∙ m p + N ∙ m m und N + Z = A.

Demnach erhält man als Zusammenhang:

E B

16. 423 984 Altersbestimmung

a) 14 7 N + 1 0 n g 14 6 C + 1 1 p

b) Wenn der Anteil noch 25 % beträgt, dann sind zwei

Halbwertszeiten vergangen. Die Mumie ist also

2 · 5 730 Jahre = 11 460 Jahre alt.

0

0

Zwischen der Massenzahl A und der Bindungsenergie

des Atomkerns besteht näherungsweise direkte

Proportionalität.

A

17. 425 594 Eine charakteristische Kurve

a) E B ist die Kernbindungsenergie je Nukleon. Es ist

die Energie, die man aufwenden muss, um den

Atomkern in Nukleonen zu zerlegen. Es ist zugleich

die Energie, die frei wird, wenn sich der Kern aus

Protonen und Neutronen zusammensetzt. A ist die

Massenzahl, also die Anzahl der Nukleonen. Die

Grafik zeigt: Die Bindungsenergie je Nukleon ist bei

leichten Kernen gering, erreicht bei mittelschweren

Kernen ein Maximum und fällt dann wieder ab. Daraus

ergeben sich zwei grundsätzliche Möglichkeiten

der Energiefreisetzung:

− Aufspaltung eines schweren Kerns in zwei mittelschwere

Kerne (Kernspaltung),

− Fusion zweier leichter Kerne (Kernfusion).

b) Es gilt:

Δ A = 27 · A p + 33 · A n – A Co

Δ A = 27 · 1,007 83 + 33 · 1,008 67 – 59,933 81

Δ A = 0,563 7

19. 421 554 Massendefekt bei Helium

Die Atommasse von Helium beträgt 4,001 506 u. Der

Atomkern besteht aus 2 Protonen und 2 Neutronen.

Dann gilt für einen Atomkern:

E = Δ m · c 2

Δ m = (2 · 1,007 276 + 2 · 1,008 665) · u – 4,001 506 u

Δ m = 0,030 376 u

Mit u · c 2 = 931,49 MeV ergibt sich:

ΔE = 0,030 376 ∙ 931,49 MeV

ΔE = 28,3 MeV

20. 422 044 Massendefekt bei Eisen

Für den Massendefekt erhält man:

Δ m = 0,514187 u

Daraus ergibt sich als Bindungsenergie des Atomkerns:



E B = Δ m · c 2

Mit u · c 2 = 931,49 MeV ergibt sich:

E B = 0,514 187 ∙ 931,49 MeV = 478,96 MeV

Die Bindungsenergie je Nukleon beträgt dann:

E B } A

478,96 MeV

= } = 8,55 MeV

56

21. 414 534 Potenzialtopfmodell

Die Kernkräfte haben eine sehr kurze Reichweite und

wirken nur zwischen unmittelbar benachbarten Protonen

und Neutronen. Daher ist die potenzielle Energie an

allen Positionen im Innern des Kerns praktisch identisch.

Daher wird das Potenzial durch einen kasten- oder topfförmigen

Verlauf beschrieben.

r

Neutronen

2 R

Da die coulombsche Kraft auf die Protonen im Kern der

Anziehung durch die Kernkraft entgegenwirkt, ist der

Potenzialtopf für die Protonen nicht so tief wie für die

Neutronen. Das ist in der Abbildung auf der rechten

Seite dargestellt. Außerdem wirkt die coulombsche

Kraft auch außerhalb des Kerns noch abstoßend auf die

Protonen, was zu einem Potenzialwall für die Protonen

führt.

In einem solchen Kastenpotenzial können die Kernbausteine

nur bestimmte Energiezustände einnehmen.

22. 413 144 γ-Spektrum

Potenzialwall

E(r) E pot ~ 1 }

r

Protonen

R-Kernradius

Protonen im Atomkern befinden sich in bestimmten

energetischen Zuständen, die für ein gegebenes Nuklid

festliegen. Beim Übergang von einem höheren auf ein

niedrigeres Niveau wird eine bestimmte Energie freigesetzt.

Dem betreffenden Gammaquant kann deshalb

auch eine bestimmte Wellenlänge zugeordnet werden.

Damit entsteht stets ein Linienspektrum.

r

Als Energiebilanz ergibt sich dann:

ΔE = 4,3 MeV = ER

b) Nach dem Impulserhaltungssatz haben α-Teilchen

und Thorium-Kern den gleichen Impuls, allerdings

mit entgegengesetzter Richtung (Gesamtimpuls

null).

Für die kinetische Energie E kin = }

1 2 m · v 2 kann man

mit p = m · v auch schreiben:

E kin = }

p 2

2 m

Damit erhält man für den gegebenen Fall:

E R = E kin, α + E kin, Th = }

p 2 p

+

2 m }

2

α 2 m Th

= }

p 2

2 m α ( 1 + m α

}

m Th )

E R

= E kin, α ( 1 + m α

}

m Th )

Für die kinetische Energie des α-Teilchens erhält man

somit:

E

E kin, α =

R

( 1 + m α

} m Th )

E kin, α = }

4,3MeV

1 + }

4 234

E kin, α ≈ 4,23 MeV

Wegen der wesentlich kleineren Masse des

α-Teilchens gegenüber der Masse des Rückstoßkerns

wird fast die gesamte Reaktionsenergie auf das

α-Teilchen übertragen.

24. 416 554 Energieniveauschema

Das Energieniveauschema zeigt: Ein Cäsium-137-Kern

kann sich in verschiedener Weise verändern:

− Cs-137 zerfällt unter Abgabe von β-Strahlung in

Ba-137, wobei die Energie der β-Strahlung 1,39 MeV

beträgt.

− Cs-137 gibt β-Strahlung mit einer Energie von

0,51 MeV ab. Es entsteht Ba*-137 in einem angeregten

Zustand. Beim Übergang in den Grundzustand

wird Gammastrahlung mit einer Energie von

0,66 MeV abgegeben.

Die Reaktionsgleichungen lauten:

137

137

Cs g Ba + 0 e

55 56 –1

137

137

Cs g

55 56 Ba* + 0 e –1

137

56 Ba* g 137

56 Ba + γ

23. 413 284 α-Zerfall

a) Für den α-Zerfall von U-238 gilt:

238

92 U g 4 2 α + 234

90 Th

25. 429 314 Tritium und Helium

a) Ein Tritiumkern besteht aus einem Proton und zwei

Neutronen.



275

Die Bewertung des Sachverhalts durch einzelne Schüler

Δ m = (1· 1,007276 u + 2 · 1,008665 u) – 3,016049 u

208

82 Pb Kontra

kann sehr unterschiedlich sein.

Δ m = 0,008557 u

E B = 7,971 MeV

29. 426 884 Kernreaktoren

Ein Helium-3-Kern besteht aus zwei Protonen und

einem Neutron.

Δ m = (2· 1,007276 u + 1 · 1,008665 u) – 3,016029 u

Δ m = 0,007188 u

a) Präsentation zu Druckwasserreaktor und zu Siedewasserreaktor:

Entscheidender Unterschied ist die

Anlage der Wasserkreisläufe.

b) Eine mögliche Lösung wäre:

E B = 6,696 MeV

Wiederaufarbeitung

Pro

Endlagerung

Pro

b) Der Unterschied ergibt sich aus der unterschiedlichen

Zusammensetzung des Kerns. Beim Helium-3-Kern

mit zwei Protonen spielt die elektromag netische

− Der hoch aktive Abfall

enthält nur noch geringe

Mengen an Uran und

− Geringeres Weiterverbreitungs-Risiko

für die

nächste Zukunft.

Plutonium.

− Wiederaufarbeitungsanlagen

fallen weg –

Wechselwirkung eine größere Rolle.

− Der Abfall enthält keine

flüchtigen radioaktive höhere Akzeptanz bei

26. 427 524 Eine Kernreaktion

Stoffe.

der Bevölkerung.

− Die Wärmeentwicklung

nimmt schnell ab.

a) 212 84 2 α + 208 82 − Das Plutonium kann

keine unerwünschte

b)

212

84 Po

Kettenreaktion auslösen.

− Plutonium wird der Energieerzeugung

zurückgeführt.

α

7 MeV

− Andere Stoffe (Tc, Xe,

Pd u. a.) werden nutzbar

gemacht.

− Weiterverbreitungsrisiko

durch die Plutoniumgewinnung.

27. 413 214 Uranspaltung

− Es entstehen mittel- und

E = m · c 2

leichtradioaktive Abfälle.

− Störfälle in der Anlage

belasten eventuell die

Umgebung stärker mit

Strahlung.

E = 0,223 55 · 1,66 · 10 –27 kg · (3 · 10 8 }

m s ) 2

E = 3,34 · 10 –11 J ≈ 209 MeV

28. 413 244 Kernenergie

Es bietet sich an, zu diesem Thema eine vorbereitete

Diskussion zu führen, in der Vor- und Nachteile der

Nutzung von Kernenergie gegenübergestellt werden.

Aus physikalisch-technischer Sicht erscheint wesentlich,

folgende zwei Positionen deutlich zu machen:

−

−

Die gesteuerte Kernspaltung ist heute gut beherrschbar.

Bei beliebigen technischen Prozessen (nicht nur bei

der Nutzung von Kernenergie!) gibt es ein Restrisiko,

dass mit der Wahrscheinlichkeit des Versagens

einzelner Komponenten eines technischen Systems

zusammenhängt. Dieses Restrisiko lässt sich minimieren.

Die Wahrscheinlichkeit des Versagens eines komplexen

technischen Systems beträgt aber nie null.

Kontra

− Der gesamte radioaktive

Abfall muss gelagert

werden: Endlager nimmt

viel mehr Aktivität auf.

− Erst nach Millionen von

Jahren gleicht das gelagerte

Gefährdungspotential

dem des natürlichen

Uranerzes

− Wärmeentwicklung ist

sehr hoch und klingt nur

sehr langsam ab.

− Unkontrollierte Freisetzung

von flüchtigen

radioaktiven Zerfallsprodukten

ist nicht auszuschließen.

− Die Abfälle werden nicht

genutzt.

− Es muss mehr Uran abgebaut

werden.

− Das Endlager enthält

hohe Mengen vom hochgiftigen

Plutonium, was

langfristig wieder das

Problem der Weiterverbreitung

(Proliferation)

verstärkt.



30. 413 154 Wasserstofffusion

a) Δ m = (1,007 276 u + 1,008 665 u) – 2,013 553 u

Δ m = 0,002 387 8 u

E B = 2,22 MeV

b) Der Prozess lautet:

1

H + 1 H g 2 1 1 1 D + 0 e + ν + E

1

Vernachlässigt man das Neutrino geringer Energie

und das Positron, dann erhält man für den Massendefekt:

Δ m = 2 ∙ 1,007 276 u – 2,013 553 u

Δ m = 0,000 998 8 u

E = 0,93 MeV

31. 421 334 Eine Kernfusion

a) E = [(2,014 102 u + 3,016 049 u) – (4,002 603 u +

1,008 665 u)] 931,5 }

MeV

u = 17,6 Mev

b) E = 6,02 · 1026 u

}· 17,6 MeV = 2,65 · 10 27 MeV

4,00 u

= 1,18 · 10 8 kWh

c) Ein Kraftwerk mit P = 1 000 MW liefert in 24 Stunden

eine Energie von

P = 10 6 kW · 24 h = 2,4 · 10 7 kWh.

Der Vergleich mit b) zeigt: Die Energie, die bei der

Fusion von 1,00 kg Helium frei wird, ist etwa 5-mal

so groß wie die Energie, die ein großes Kraftwerk an

einem Tag zur Verfügung stellt.

− Gehen später die Heliumvorräte zur Neige, löst

ein erneuter Kontraktionsvorgang und die damit

verbundene Temperaturerhöhung die Fusion von

Elementen mit noch höherer Ordnungszahl aus

(b Skizze).

H

In diesem fortgeschrittenen Entwicklungsstadium

gleicht der Stern einer Zwiebel, in der die verschiedenen

Brennzonen übereinander geschichtet

sind.

b) Die Kernfusion stellt nur bis zum Element Eisen eine

Möglichkeit dar, um Kernbindungsenergie freizusetzen.

Jenseits des Eisens wird die Energiebilanz negativ

(siehe Kernbindungsenergie je Nukleon in Abhängigkeit

von der Massenzahl). Bei der Eisenfusion

wird der Umgebung Energie entzogen. Es entsteht

ein Eisenkern. Die Temperatur im Zentrum des Sterns

sinkt sehr schnell und er stürzt in sich zusammen. Der

Stern leuchtet als Supernova extrem hell auf.

33. 420 904 Stand der Fusionsforschung

H

He

C

N

O

Si

Es sollte der aktuelle Forschungsstand verdeutlicht werden,

so wie er aktuellen Informationsquellen (Internet)

zu entnehmen ist. Als Stichworte seien genannt:

− Forschungsreaktor Iter (internationales Projekt),

− Fusionsreaktor Wendelstein (Greifswald).

He

C,O

N,Mg

O,Mg

Si

Fe

Fe

32. 423 784 Schalenbrennen bei Sternen

a) Bei massereichen Sternen kann das sogenannte Schalenbrennen

auftreten. Das bedeutet:

− Zunächst erfolgt – wie bei allen Sternen – eine

Fusion von Wasserstoff zu Helium im Zentrum des

Sterns.

− Sind die Wasserstoffvorräte aufgebraucht, so kann

es im Innern des Sterns zur Fusion von Helium

kommen. Die erforderliche Temperatur von ca.

10 8 K kommt zustande, weil in kernnahen Regionen

Gravitationsenergie durch Kontraktion in

innere Energie umgewandelt wird. Die Fusion

von Wasserstoff kommt dabei nicht zum Erliegen,

verlagert sich aber in kernfernere Bereiche des

Sterns, in denen noch ausreichend Wasserstoff

vorhanden ist.

34. 428 414 Nuklearmedizin

Bei der Präsentation sollte auf die Nutzung der Nuklearmedizin

in der Diagnostik und der Therapie eingegangen

werden. Als Stichworte seien genannt:

− Szintigrafie (Schilddrüsen, Niere, Skelett),

− Behandlung von Karzinomen.

Sinnvoll ist die Konzentration auf jeweils ein diagnostisches

und therapeutisches Verfahren.



277

Grundbausteine der Materie (LB S. 510)

1. 413 164 Streuversuche von Rutherford

Zu den ersten Wissenschaftlern, die Streuexperimente

durchführten, zählt der britische Physiker ERNEST

RUTHERFORD (1871–1937). RUTHERFORD nutzte bereits zu

Beginn des 20. Jahrhunderts α-Teilchen als Geschosse.

Diese Teilchen sind rund 7 000-mal schwerer als ein Elektron

und zweifach positiv geladen. RUTHERFORD lenkte

α-Teilchen auf sehr dünne, nur etwa 100 Atomschichten

starke Goldfolien. Die Registrierung der Teilchen erfolgte

auf einem Leuchtschirm. Dabei beobachtete man:

Die weitaus meisten dieser Teilchen passierten die Folie

ungehindert, bzw. wurden nur geringfügig abgelenkt.

Nur in wenigen Fällen werden die α-Teilchen um nahezu

180° umgelenkt.

Erklärung: Die stark umgelenkten α-Teilchen sind auf

ein massives Hindernis gestoßen, den Atomkern. Da die

meisten α-Teilchen praktisch ungehindert die Folie passieren,

muss die Ausdehnung des Atomkerns bedeutend

kleiner sein als das Atom. Den prinzipiellen Versuchsaufbau

von Rutherford zeigt die Skizze unten. Die Deutung

der Ergebnisse ist darunter dargestellt.

Strahl von

α-Teilchen

abgelenkte

α-Teilchen

v = q · B · r } m (1)

Aus Geschwindigkeit und Masse lässt sich über

E = }

1 2 m · v 2

die kinetische Energie der Teilchen berechnen:

E = q 2 · B 2· r

}

2

2 m

Da Positron und Elektron den gleichen Betrag der

Ladung und die gleiche Masse haben, kann gefolgert

werden:

Aufgrund des kleineren Radius ist die Energie des

Positrons kleiner als die des Elektrons.

3. 413 314 Paarvernichtung

E = 2 · m · c 2

E = 2 · 1,673 · 10 –27 kg · (3 · 10 8 }

m s ) 2

E = 3,0 · 10 –10 J = 1,87 GeV

4. 428 354 Streuexperimente

a) Die Objekte, an denen gestreut wird, müssen in der

gleichen Größenordnung sein wie die Objekte, die

gestreut werden sollen.

Goldfolie

b) Den Elektronen und anderen Teilchen muss eine

Wellenlänge in der Größenordnung 10 –15 m zugeordnet

werden können. Daraus ergibt sich für die

Energie der Teilchen:

E = }

1 2 m · v 2

Leuchtschirm

Lichtblitz

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus λ = }

h m · v

v = }

h m · λ

Damit erhält man: E = h

}

2

2 m · λ 2

E =

6,626 · 10 –34 J · s

}}}

2 · 9,109 · 10 –31 kg · (10 –15 m) 2

zu

Atomkern

E = 2,41 · 10 –7 J = 1,5 · 10 12 eV

5. 413 254 Bahnradius

2. 413 274 Paarerzeugung

a) Spur 1 stammt von einem Elektron, Spur 2 von einem

Positron (UVW-Regel).

b) Für den Zusammenhang zwischen E, B und r gilt:

q · v · B = m · }

v 2

r oder q · B = m · }

v r


a) Bewegen sich die geladenen Teilchen im homogenen

Magnetfeld der Stärke B senkrecht zu den Feldlinien

mit der Geschwindigkeit v, dann wirkt auf sie die

Lorentzkraft

F = q · B · v.

Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft. Demzufolge

gilt:

Lorentzkraft = Zentripetalkraft

q · B · v = m · v 2

} r



Daraus ergibt sich:

r = }

m · v 2

q · v · B = }

m · v

q · B

Das bedeutet: Der Radius der Kreisbahn eines geladenen

Teilchens, das sich senkrecht zu den Feldlinien

eines homogenen Magnetfelds bewegt, ist umso

größer,

− je größer die Geschwindigkeit v des geladenen

Teilchens ist,

− je kleiner seine spezifische Ladung }

q m ist und

− je kleiner die magnetische Flussdichte B ist.

b) Bei Verdopplung der Geschwindigkeit (Vergrößerung

auf 200 %) verdoppelt sich der Bahnradius.

6. 413 334 Auflösung von Mikrostrukturen

Grundsätzlich gilt: Die Strukturen, die man auflösen

kann, müssen in der gleichen Größenordnung liegen

wie die Wellenlängen, die man den entsprechenden

Teilchen zuordnen kann. Es gilt:

E

} c = }

h c · f = }

h λ

λ = }

h · c

Δ E

und damit

Eine Abschätzung ergibt:

λ = 6,626 · 10 –34 Js · 3,0 · 10 8 m } s

}}

10 · 10 9· 1,602 · 10 –19 J

λ = 1,2 · 10 –16 m

Die Abschätzung zeigt: Zur Auflösung von Mikrostrukturen

muss die Wellenlänge der verwendeten

Teilchen so klein wie die Struktur selbst sein.

7. 413 404 Large Hadron Collider

a) Kurzreferat: Informationen zu den aktuellen Forschungen

sind im Internet zu finden.

b) E = m · g · h

h = E

} m · g

h = 7 · 10 12 · 1,602 · 10 –19 J

}}

10 – 6 kg · 9,81 m }

s 2

h = 0,114 m

9. 413 594 Fundamentale Kräfte

Elektromagnetische Kraft:

Wirkung: Wirkt auf elektrisch geladene Teilchen und

Körper. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige

Ladungen ziehen sich an. Bewegte

Ladungen werden im Magnetfeld abgelenkt, bewegte

Ladungen erzeugen ein Magnetfeld. Die Wirkung

nimmt mit }

1 ab. r

Beispiele:

2

Zusammenhalt des Atoms, Funktion von Elektromotor

und Dynamo

Starke Kraft:

Wirkung: Wirkt auf Quarks: Jeweils drei Quarks ziehen

sich gegenseitig an und bilden zum Beispiel ein Proton

oder ein Neutron, sodass die „Farbladung“ ausgeglichen

ist. In unmittelbarer Nähe des Neutrons aber ist

die Farbladung nicht vollständig ausgeglichen, da der

Abstand zu den Quarks unterschiedlich ist. In dieser

Entfernung wirkt die starke Kraft anziehend zwischen

Kernteilchen. Die Reichweite beträgt zwischen Kernteilchen

10 –15 m.

Beispiele:

Zusammenhalt von Protonen und Neutronen, Bildung

von Atomkernen

Schwache Kraft:

Wirkung: Die schwache Kraft wirkt auf die Eigenschaften

der Quarks und kann daher eine Umwandlung der

verschiedenen Quarks ineinander bewirken. Sie wirkt

daher auf alle Teilchen, allerdings mit einer extrem geringen

Reichweite von 10 –17 m.

Beispiele:

Beta-Zerfall. Die schwache Kraft ist die einzige Wechselwirkung

für Neutrinos. Daher sind sie kaum nachzuweisen.

Gravitationskraft:

Wirkung: Wirkt auf alle Teilchen anziehend. Sie ist die

einzige Kraft, die im kosmischen Maßstab nicht durch

einen „Ladungsausgleich“ aufgehoben ist. Daher dominiert

sie das Geschehen in großen Maßstäben, obwohl

sie die schwächste der fundamentalen Kräfte ist. Die

Wirkung nimmt mit }

1 ab. r

Beispiele:

2

Zusammenhalt des Planetensystems

8. 413 444 Kollisionsexperimente

Neutronen sind in einem Beschleuniger aufgrund der

nicht vorhandenen Ladung grundsätzlich nicht nutzbar.

Protonen bzw. Bleiionen werden gegenüber Elektronen

bevorzugt, weil sie aufgrund ihrer wesentlich größeren

Masse eine erheblich größere Energie erreichen können.



279

3.8 Spezielle Relativitätstheorie


(LB S. 533 – 534)

1. 412 974 Galilei-Transformation

Im Bahnabteil ist es ein freier Fall auf einer geraden

Flugbahn Richtung Erdmittelpunkt. Vom Bahndamm aus

betrachtet erfolgt diese Bewegung als Wurfparabel, die

dem waagerechten Wurf entspricht.

2. 412 994 Albert Einstein

Ausführliche Informationen zu ALBERT EINSTEIN und zur

speziellen Relativitätstheorie sind unter www.schuelerlexikon.de

zu finden.

Einem Zeitunterschied von 10 – 6 s entspricht ein

Entfernungsunterschied von 300 m.

Hinweis: Für ein gutes Navigationssystem wäre ein

solcher Unterschied nicht akzeptabel.

c) Kurzvortrag zum europäischen Satellitennavigationssystem

GALILEO: Aktuelle Informationen zu diesem Satellitennavigationssystem

sind in Internet zu finden.

5. 411 204 Geschwindigkeitsaddition

Für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten

gilt:

v = v 1 + v 2

}

1 + v 1 ∙ v } 2

c 2


v =

0,8 c + 0,7 c

}

1 + 0,8 · 0,7

v = 0,96 c

3. 413 004 Funkuhren

a) Das Signal breitet sich mit konstanter Geschwindigkeit

aus. Für 2 000 km beträgt die Laufzeit des

Signals:

t = } c s = 2 · 106 m

} ≈ 6,7 · 10 –3 s

3 · 10 8 }

m s

b) Im täglichen Leben spielt diese Zeitdifferenz keine

Rolle. Bei vielen technischen Experimenten und Messungen

kann diese Differenz jedoch nicht vernachlässigt

werden. Hier muss gegebenenfalls die Laufzeit

der Signale berücksichtigt werden.

c) Eine Funkuhr, die synchronisiert werden soll, erhält

von einer anderen Funkuhr ein Signal, das beim

Eintreffen sofort zurückgesendet wird. Aus der

Kon stanz der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich der

genaue Zeitpunkt des Eintreffens des Signals aus der

halben Gesamtlaufzeit.

Hinweis: Unter Einbeziehung von GPS-Satelliten und

dem Vergleich verschiedener Standorte kann die Genauigkeit

bis auf 1 Nanosekunde (10 – 9 s) gesteigert

werden.

6. 424 364 Länge einer Rakete

l = l’ √ } 1 – v 2

}

c 2

l = 550 m

7. 429 664 Längenkontraktion

l = l’ √ } 1 – }

v 2

c 2

Für die drei Geschwindigkeiten erhält man:

l 100 = 4,56 m √ }}

1 – (}

0,028

300000) 2 = 4,56 m

l 1000 = 4,56 m √ }}

l 0,1 C = 4,56 m √ } 1 – (}

0,1 c

c ) 2

1 – (}

0,28

300000) 2 = 4,56 m

8. 427 924 Eine schnelle Rakete

folgt 1

l’ =

c 2 √ } 1 – }

v 2

c

l’ = 809 m

2

Mit l = l’ √ } 1 – v 2

}

= 4,54 m

und somit

4. 423 864 Satellitennavigation

a) t = } c s 20 200 km · s

t = }

300 000 km = 0,07 s

Die Laufzeit eines Signals zwischen GPS-Satellit und

Erdoberfläche beträgt mindestens 0,07 Sekunden.

b) s = Δt · c

s = 10 – 6 s · 3 · 10 8 m }

s = 300 m

9. 411 164 Weltraumreise

a) Δ t = Δ s } v = 9 Jahre

b) Δ s‘ = Δ s · √ } 1 – v 2

Δ t‘ = }

Δ v s‘ = 7,8 Jahre

} = 3,9 Lichtjahre

c 2



13. 426 784 Masse eines Menschen

10. 413 064 Zeitdilatation

0

v

0 0,2 0,4 0,6 0,8

}

b) Mit E = m · c 2 ist m = }

E . Gibt man die Energie in

c 2

c

MeV an, dann erhält man die genannte Einheit.

Bei Δt

} Δt‘ = 1,5 ergibt sich mit c = 3 · 105 }

km s aus dem Üblich ist die Verwendung dieser Einheit bei Elementarteilchen.

Mit Δt‘ als Zeitdauer des physikalischen Vorgangs in

seinem Ruhesystem (S‘) und Δt als Zeitdauer des physikalischen

Vorgangs vom Inertialsystem S aus gemessen gilt:

In seinem Ruhesystem (Rakete) ändert sich die Masse

nicht. Er bestimmt auf der Waage seine Ruhemasse von

75 kg. Für einen Erdbeobachter ergibt sich die Masse zu

Δt = Δt‘

√ } m

1 – }

v 2

m =

0

c 2

√ } 1 – }

v 2

c 2

und damit

75 kg

Δt

} Δt‘ = m =

1

√ } √ } 1 – 0,64

1 – }

v 2

c 2

m = 125 kg

Damit erhält man z. B. folgende Wertepaare:

Dies bedeutet, dass der Mensch, vom Erdbeobachter aus

v

} c

0 0,1 0,2 0,3 0,4 betrachtet, eine wesentlich größere Trägheit besitzt, die

Δt

sich aus der Masse von 125 kg ergibt.

} 1,000 1,005 1,021 1,048 1,091

Δt'

Allgemein gilt: Mit Vergrößerung der Geschwindigkeit

v

}

c

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 vergrößert sich die Masse eines Körpers.

Δt

}

Δt'

1,155 1,250 1,400 1,667 2,294

14. 421 364 Ruheenergie

Δt

}

Δt'

a) Für den Zusammenhang zwischen Masse und Energie

3

gilt die einsteinsche Beziehung:

E = m · c 2

2

Mit m = 9,109 · 10 –31 kg ergibt sich:

E = 8,198 · 10 –14 kg · m 2· s –2 = 8,198 · 10 –14 J

1

E = 5,12 MeV

Diagramm }

v c zwischen 0,74 und 0,75.

Bei }

v c = 0,74 ergibt sich v = 222 000 }

km s .

Bei }

v c = 0,75 ergibt sich v = 225 000 }

km s .

15. 425 414 Elektron wird schwerer

11. 413 044 Verzerrte Erde

a) Mit l = l‘ · √ } 1 – v 2

} ergibt sich l = 2,18 m.

c 2

Der Beobachter E misst l‘ = 5 m.

Der Beobachter P misst l = 2,18 m.

b) Für E ist die Versuchsanordnung ebenfalls nur 2,18 m

lang, für den Beobachter P in der Rakete natürlich

5 m.

c) t = 5 Minuten · 1

√ } = 11,47 Minuten

1 – }

v 2

c 2

12. 411 274 Massenzuwachs

Die bewegte Masse unterscheidet sich von der ruhenden

um 10 – 5 %.

m 0

Mit m =

√ } 1 – }

v 2

c 2

m } 0

ergibt sich:

m = 0,9901 = √ } 1 – }

v 2

c 2

Durch Quadrieren erhält man:

0,9803 = 1 – }

v 2

oder v 2 = (1 – 0,9803) c 2

c 2

v = 4,21 · 10 7 }

m s

Mit c = 3 · 10 8 }

m ergibt sich, dass die Geschwindigkeit

s

etwa 14 % der Lichtgeschwindigkeit entspricht.

16. 411 774 Energieverdopplung

Die Masse muss sich verdoppelt haben. Aus dieser Erkenntnis

und der Formel für die Massenveränderlichkeit

folgt:

2 m 0 = k · m 0



281

Das bedeutet:

1

√ } = 2

1 – }

v 2

c 2

Umstellen liefert:

v = c · √ } 1 – 1 } 4 = 0,866 c

17. 424 874 Wachsende Masse

Die effektiv bestrahlte Fläche ergibt sich aus dem mittleren

Radius der Erde (r = 6 371 km).

Mit A = π · r 2 erhält man:

A eff = 1,28 · 10 14 m 2

Mit E = P · t folgt:

E = 1,4 · 10 3 W · 1,28 · 10 14 · 24 · 3600 s

E = 1,55 · 10 22 Ws

Aus E = m · c 2 folgt:

m = }

E c 2

m = 1,73 · 10 5 kg

18. 411 704 Leider noch keine Enterprise

a) E kin = (m – m 0 ) · c 2

= m 0 · c 2· 1

√ } 1 – }

v 2

Mit m 0 = 5 · 10 5 kg, v = 0,9 c ergibt sich

E kin = 5,8 · 10 22 Ws

b) Das Kraftwerk produziert in einem Jahr

43,5 · 10 15 Ws, es müsste also 1,33 Mio. Jahre

arbeiten.

19. 429 084 LHC bei Genf

a) Es gilt (relativistisch)

E = m · c 2 = k · m 0 · c 2 mit k =

Aus der obigen Gleichung folgt:

k =

Mit E = 7 · 10 12 eV (aus der Tabelle),

m 0 = 1,672 · 10 –27 kg und c = 3 · 10 8 }

m s

ergibt sich:

k =

· 103 7 · 10 12· 1,602 · 10 –19 J

}}}

1,672 · 10 –27 kg · 9 · 10 16 m 2· ≈ 7,45 s –2 Die Masse der Protonen ist bei dieser Beschleuni-

1

b) Aus k =

√ } v

folgt }

1 – v 2

c = √ } 1 – 1 }

k √ } 1

1 –}

2 5,5 · 10 7

c 2

und damit: v = 0,999999991 c

20. 426 144 Elektronen im Beschleuniger

E 0 = m 0 · c 2

E 0 = 9,109 · 10 –31 kg · 9 · 10 16 m 2 · s –2

E 0 = 8,198 · 10 –14 J = 5,12 MeV

Aus E = E 0 + E kin folgt:

E kin = 44,9 MeV

Für das Verhältnis der Massen gilt:

m

Aus m =

0

√ } folgt m · c 2 = m 0 ·c 2

1 – }

v 2

c √ } 1 – 2 }

v 2

c 2

Mit E = m · c 2 und E 0 = m 0 · c 2 ergibt sich:

E 1

} =

E 0

√ } 1 – }

v 2

c 2

(

– 1)

c 2 E 50 MeV

} = }

E 0 5,12 MeV = 9,766

Variante 1:

E 1

Mit } =

E 0

√ } 1 – }

v 2

nach der Geschwindigkeit v:

v = 1,32 · 10 8 m · s –1

Die Geschwindigkeit des Elektrons beträgt

1

√ } v = 1,32 · 10 8 }

m .

s

1 – }

v 2

digkeit.

c 2 Variante 2:

E

}

m 0 · c 2

1

Mit E kin = m 0 · c 2 · 3√ – 1

1 – } 4 = E 1

v 2 0 3

c √ } – 1 folgt:

1 – v 2

2 } 4

c 2

E 1

} =

E 0

3√ – 1

1 – } 4

v 2

c 2

gungsenergie etwa das 7450-Fache der Ruhemasse.

Der Anteil der kinetischen Energie an der Gesamtenergie

ergibt sich aus der gegebenen Gesamtenergie

und der Ruheenergie. Diese kann man folgendermaßen

berechnen:

Das Verhältnis der Gesamtmasse des Elektrons zu seiner

Ruhemasse beträgt etwa 9,8.

Die Geschwindigkeit kann in unterschiedlicher Weise

berechnet werden.

c 2 = 9,766 ergibt sich durch Umstellung

. Das sind etwa 44 % der Lichtgeschwin-

Es ergibt sich der gleiche Wert für die Geschwindigkeit.



21. 413 394 Beschleunigung von α-Teilchen

a) Allgemein gilt: q · U = 1 } 2 m · v 2

und damit: v = √ } 2q · U

}

m

b) Die Ruhemasse eines α -Teilchens beträgt

6,645 · 10 –27 kg. Für die Abhängigkeit der Masse von

der Geschwindigkeit gilt:

m

m =

0

√ } = k · m 0

1 – }

v 2

c 2

Damit erhält man:

22. 424 894 Masseverlust der Sonne

Der Masseverlust der Sonne pro Sekunde beträgt:

Δm = }

ΔE = 4,3 · c 2 109 kg

Demzufolge verliert die Sonne pro Jahr etwa:

4,3 · 10 9 kg · 365 · 86 400 = 1,4 · 10 17 kg

Daraus ergibt sich eine theoretische „Lebensdauer“ der

Sonne von 1,4 · 10 13 Jahren. Dies sind weit über 10 Billionen

Jahre.

Hinweis: Als tatsächliche Lebensdauer der Sonne werden

in der Astronomie Werte von etwa 5 Milliarden

Jahren angegeben.

k 1,021 1,091 1,25 1,667

v 0,2 c 0,4 c 0,6 c 0,8 c

m in 10 –27 kg 6,78 7,24 8,30 11,1

11

10

9

8

7

6

m in 10 –27 kg

0,2 0,4 0,6 0,8 1

v in c

c) Die Geschwindigkeit bei Verdreifachung der Masse

ergibt sich aus:

m 0

m =

√ } 1 – }

v 2

c 2

Mit m = 3 m 0 erhält man:

m 0

3 m 0 =

√ } 1 – }

v 2

c 2

v = c · √ } 8 } 9 = 0,94 c

oder vereinfacht:

Bei nichtrelativistischer Betrachtung würde man für

die Beschleunigungsspannung erhalten:

U = m 0

}

· v 2

2Q

U = 6,645 · 10 –27 kg · ( 0,94 · 3 · 108 }

m s ) 2

}}}

2 · 1,602 · 10 –19 C

U = 1,7 · 10 9 V

Da sich aber die Masse auf das Dreifache vergrößert,

muss sich auch die Beschleunigungsspannung auf

den dreifachen Wert vergrößern.

Hinweis zu c): Bei einer Verdopplung der Masse

gelten die analogen Betrachtungen. Die Ergebnisse

lauten dann:

v = 0,87 c

U = 1,4 · 10 9 V


Astrophysik

283

3.9 Astrophysik

Forschungsmethoden der Astrophysik

(LB S. 544 – 545)

1. 428 244 Fernrohre und Teleskope

a) In der historischen Entwicklung wurden zunächst

vor allem Linsenfernrohre (Refraktoren) verwendet,

ehe sich Spiegelteleskope durchsetzten. Das hängt

unmittelbar mit den jeweiligen technischen Möglichkeiten

zusammen. Nachfolgend sind einige Aspekte

genannt und verglichen.

Vorteile

Lichtstärke und Auflösungsvermögen

deutlich größer als

bei Refraktoren und

(bis 10 m Spiegeldurchmesser)

Nachteile

Refraktor

Mit mäßigem Aufwand

herstellbar

Relativ einfache

Montierung durch

„starre Struktur“

Lichtstärke und Auflösungsvermögen

durch Linsendurchmesser

begrenzt

(Linsendurchmesser

bis zu 1 m)

Spiegelteleskop

Herstellung sehr

aufwendig.

Lagerung und

Justierung der großen

Spiegelflächen

problematisch.

b) Präsentation zum VLT: Ausführliche Informationen

und zahlreiche interessante Bilder sind im Internet

unter www.eso.org zu finden.

2. 416 124 Immer größere Teleskope

Die Spiegelflächen A verhalten sich wie die empfangenen

Lichtmengen I, denn die Empfangsfläche der Strahlung

ist die Oberfläche des jeweiligen Spiegels.

A

Damit gilt: } 1

=

A }

I1

2 I 2

bzw., da die Flächen vom Quadrat des Spiegeldurchmesser

d abhängen:

d 2

} 1 = d 2

}

I1 =

I }

25

2 2 1 .

Der größere Spiegel empfängt 25-mal mehr Licht.

3. 426 414 Der Schattenstab

Kurzvortrag zum Schattenstab: Er ist einer der ältesten

astronomischen Beobachtungsinstrumente. Die Skizze

zeigt seinen Aufbau.

Mit einem solchen Schattenstab kann man bestimmen:

− die Nord-Süd-Richtung,

− den Zeitpunkt des wahren Mittags an einem Ort.

4. 413 764 Sternfarben

a) Aus der Erfahrung ist bekannt, dass es einen Zusammenhang

zwischen der Glühfarbe eines erhitzten

Körpers und seiner Leuchtfarbe gibt:

− dunkelrötlich glühend (Temperatur relativ niedrig),

− bläulich-weißlich glühend (Temperatur relativ

hoch).

Dieser Zusammenhang wird durch das planckschen

Strahlungsgesetz beschrieben.

b) Temperaturfolge: 3, 1, 4, 2.

5. 414 164 “Punkte“ und „Scheiben“ im All

a) Die Lösung erfolgt mithilfe der unten angegebenen

Zeichnung. Dieser Zeichnung entnimmt man die

Zusammenhänge:

tan }

α 2 = }

R r

Papier mit

konzentrischen

Kreisen

R Mondradius,

senkrechter

Stab

bzw. tan

α‘

}

2 = R }

r‘ ,

Grundplatte

für sehr kleine Winkel darf man den Tangens weglassen

(man kann aber natürlich auch damit rechnen!)

und erhält durch Umstellen nach R den Zusammenhang:

α‘ · r‘ = α · r oder

r‘ = }

α · r = 384000 km · 31 = 11904000 km

α‘

r

R

α

} 2



b) Es sind zwei Varianten möglich:

Variante 1:

Aus der Aufgabenstellung entnimmt man, dass von

der Erde aus auch für die Sonne für den scheinbaren

Winkeldurchmesser gilt:

α ≈ 31‘.

Anhand der Lösung der Teilaufgabe a) ist dann

für die 30-fach größere Entfernung zu Neptun zu

folgern:

α‘ = }

α 30 ≈ 1‘.

Antwort: Auf Neptun würde die Sonne noch gerade

(an der Auflösungsgrenze) für das menschliche Auge

als sehr kleines flächenhaftes Objekt erscheinen.

Variante 2:

Man nutzt den (in der Aufgabe nicht gegebenen)

Abstand Erde – Sonne 1 AE = 149,6 Mio. km), und

rechnet:

8. 413 724 Sterntemperaturen „messen“

Eine Absorptionslinie entsteht, wenn durch Photonenabsorption

in der Atomhülle ein Elektron von einem

niedrigeren auf ein höheres Energieniveau gelangt.

Von besonderem Interesse für die astrophysikalische

Bestimmung der Sterntemperatur sind solche Elektronenübergänge,

bei denen bereits das Ausgangsniveau

ein angeregtes Elektronenniveau ist.

In dieses Ausgangsniveau gelangen Elektronen z. B.

durch Stoßanregung. Die Energie dieser Stoßanregung

hängt dabei von der Temperatur des Sterngases ab.

Beobachtet man also eine bestimmte Spektrallinie, die

durch Elektronenübergang aus einem bereits angeregten

Niveau entstanden ist, dann muss die Temperatur

etwa so groß sein, dass die betreffende Stoßanregung

in einer nennenswert großen Anzahl von Atomen in der

Gashülle des Sterns erfolgen kann. Durch eine Analyse

vieler Absorptionslinien kann man die Temperatur auf

wenige 10 K genau eingrenzen.

Entfernung Neptun – Sonne:

r = 30 · 149,6 · 10 6 km = 4,488 · 10 9 km.

Der Sehwinkel von Neptun zur Sonne ist dann:

tan }

α = R · r, α = 0,0179° = 1,07‘.

2

6. 413 714 Lichtzerlegung

Hauptbestandteile: Spalt, Gitter oder Prisma, System für

eine optische Abbildung auf einem Schirm (im einfachsten

Fall eine Sammellinse), Projektionsschirm für das

Spektrum.

Der Spalt erzeugt auf dem Schirm eine Linie, durch das

Prisma (oder Gitter) wird das eintretende Licht in seine

farblichen Bestandteile zerlegt (der Wellenlänge nach

„sortiert“) und mithilfe der Abbildungslinse entsteht

eine scharfe Abbildung des Spektrums auf dem Schirm.

9. 414 054 Spuren lesen im Spektrum

a) richtig

Begründung: Das Licht, das wir von einem Stern

registrieren, wird von dessen Oberfläche abgestrahlt.

Die Zusammensetzung dieses Lichts hängt im

Wesentlichen von seiner Oberflächentemperatur ab.

b) falsch

Begründung: Die jeweilige Sternatmosphäre beeinflusst

die im Sternspektrum feststellbaren Absorptionslinien,

nicht aber das von der Sternoberfläche

abgestrahlte Emissionsspektrum.

10. 414 234 Sternstunde

r = } p 1 = 1

} = 3,2 pc

0,31“

7. 413 844 Absorptionslinien

Eine Absorptionslinie entsteht, wenn durch Photonenabsorption

in der Atomhülle ein Elektron von einem

niedrigeren auf ein höheres Energieniveau gelangt.

Der Spalt erzeugt auf dem Schirm letztlich die (Spektral)

linie. Durch das Prisma (oder Gitter) wird das eintretende

Licht in seine farblichen Bestandteile zerlegt

(der Wellenlänge nach „sortiert“) und mithilfe der

Abbildungslinse entsteht eine scharfe Abbildung des

Spektrum auf dem Schirm. Das kontinuierliche Spektrum

besteht im Grunde aus den sortierten und nebeneinander

auf dem Schirm abgebildeten Spaltbildern in jeder

Wellenlänge. Dort aber, wo Photonen mit bestimmten

Wellenlängen durch atomare Prozesse absorbiert wurden,

befindet sich eine dunkle Linie – die betreffende

Absorptionslinie.

11. 414 254 Sternentfernung

p = 1 } r = 0,39“

12. 413 774 Lichtreise

Zur Lösung benötigt man die Umrechnung von Parsec in

Lichtjahre: 1 pc = 3,26 Lichtjahre.

Dann folgt: 11 pc = 35,86 Lichtjahre. Das Licht benötigt

nahezu 36 Jahre.


Astrophysik

285

13. 414 144 Kleine Winkel

a) Der Radius der Erdbahn ist mehr als 20 000-fach

größer als der Erdradius. Um genau diesen Faktor

würden sich die Sternparallaxen verkleinern, wenn

man den Erdradius als Basis der Winkelmessung

verwenden würde.

b) Exakt: 3,27 · 10 – 5 “ also im Bereich von Mikrobogensekunden.

Auch wenn man derartige Messgenauigkeiten

zukünftig erreichen wird, würde man Entfernungsmessungen

von Sternen nur extrem ungenau

und nur für die allernächsten Sterne rea lisieren

können.

Wolken verdeckt. Mehr Glück hatten seine Kollegen in

Sobral, wo der Himmel wolkenfrei war.

Die beiden Gruppen ließen sich Zeit mit der Auswertung.

Erst am 6. November waren sie bereit, gemeinsam

an die Öffentlichkeit zu treten. An einer gemeinsamen

Sitzung der Royal Society und der Royal Astronomical

Society wurde das Ergebnis der beiden Expeditionen bekanntgegeben.

EDDINGTONs Gruppe hatte einen Wert von

1,61 Bogensekunden gefunden, die Gruppe aus Sobral

einen Wert von 1,98 Bogensekunden. Die Fehlergrenzen

waren zwar groß, sie schlossen aber den von der

newtonschen Gravitationstheorie favorisierten Wert von

0,88 Bogensekunden aus. Damit hatte die allgemeine

Relativitätstheorie eine glänzende Bestätigung erfahren.

14. 428 364 Forschungssatelliten

Recherche-Aufgabe: Aktuelle Informationen sind im

Internet zu finden, vor allem auf den Seiten

www.nasa.gov und www.esa.int/esaCP/Germany.html.

15. 414 404 Lichtablenkung

Lichtteilchen fallen in einem Gravitationsfeld (wie alles

andere) schon wegen der Krümmung der Raumzeit in

Richtung des Massenzentrums. Da dieses Fallen unabhängig

ist von der Masse des fallenden Teilchens,

konnte man diesen Effekt bereits berechnen, bevor man

wusste, welche träge Masse die Lichtteilchen haben. Der

27-jährige JOHAN SOLDNER hat 1803 einen Aufsatz vorgelegt,

in welchem er aufgrund von NEWTONs Theorie die

Ablenkung eines Lichtstrahls berechnete, der knapp am

Sonnenrand vorbei läuft. Das Ergebnis seiner Rechnung

war ein Winkel von 0,875 Bogensekunden. Genau

diesen Wert erhielt EINSTEIN auch, als er 1911 seine noch

etwas unausgegorene neue Theorie testete.

1916 lieferte die „fertige“ Allgemeine Relativitätstheorie

aber eine Prognose von 1,75 Bogensekunden, also

den doppelten Wert. Die Beobachtung dieser winzigen

Abweichung konnte nur bei einer totalen Sonnenfinsternis

gelingen. Denn nur wenn das Licht der Sonne vollständig

vom Mond abgeschirmt wird, treten die Sterne

in ihrem unmittelbaren Umfeld zum Vorschein.

Zur experimentellen Überprüfung unternahm EDDINGTON

eine Expedition nach Westafrika, um am 29. Mai des

Jahres 1919 von der im Golf von Guinea gelegenen

Vulkaninsel Principe die Sonnenfinsternis zu beobachten.

Zur Absicherung wurde eine zweite Expedition mit

dem gleichen Zweck nach Sobral in Brasilien organisiert.

Die benötigte Messgenauigkeit lag an der Grenze dessen,

was damals erreichbar war. Insbesondere Temperaturunterschiede

innerhalb der Atmosphäre führten

zu Lichtablenkungen und damit zu Messfehlern. Hinzu

kam, dass auch die Wetterbedingungen nicht optimal

waren. Von den 16 Platten, die EDDINGTON in Principe belichtete,

waren nur wenige brauchbar. Auf den anderen

waren die im Umfeld der Sonne gelegenen Sterne durch

16. 428 214 Vergleich der Sterne

Die Intensität der beobachteten Sternstrahlung ist proportional

zur tatsächlichen Strahlungsintensität (bzw.

zur Leuchtkraft) des Sterns und indirekt proportional

zum Abstandsquadrat zu diesem Stern (lambertsches

Gesetz):

I ~ L }

r 2 .

Haben zwei Sterne gleiche Radien und gleiche Oberflächentemperaturen,

dann sind ihre Leuchtkräfte auch

gleich groß. Aus der oben formulierten Proportionalität

ergibt sich dann für zwei Sterne 1 und 2:

I 1} = r 2

I }

2

.

2 r 2

1

Das Intensitätsverhältnis beträgt 1 : 10, also ist der lichtschwächere

Sterne √ } 10 -fach weiter als der hellere Stern

von der Erde entfernt (3,16-fach).

17. 421 584 Hubble-Weltraumteleskop

Recherche und Präsentation zum Hubble-Weltraumteleskop.

Ausführliche Informationen dazu sind im

Internet zu finden.

Das Sonnensystem (LB S. 555 – 556)

1. 423 304 Planetensystem als Modell

Wenn 1 AE einem Meter entspricht, dann haben die

Planeten den folgenden mittleren Abstand zur Sonne:

Abstand

zur Sonne

in m

Me Ve Er Ma Ju Sa Ur Ne

0,38 0,72 1,00 1,52 5,2 9,53 19,20 30,50



M =

2. 427 454 Die galileische Methode

4 π 2 ∙ (2,279 ∙ 10 11 m) 3 ∙ kg ∙ s

}}}

2

6,673 ∙ 10 –11 m 3 ∙ (1,88 ∙ 365 ∙ 86400 s) 3

M = 4 π 2 ∙ r 3

R = 0,696 ∙ 10 6 km

}

G ∙ T 2

a) Ja. Setzt man die Tabellenwerte in die Form

M = 1,99 ∙ 10 30 kg

T 2 : a 3 = konstant ein, erhält man:

Io: 4,1687 · 10 –8 , Europa: 4,1714 · 10 –8 ,

Ganymed: 4,1732 · 10 –8 , Kallisto: 4,17821 · 10 –8 .

8. 426 324 Sternatmosphären

b) KEPLER hat mit seinen Planetengesetzen die Bewegungen

der Jupitermonde erklärt, bevor diese Himmelskörper

überhaupt entdeckt wurden bzw. ihre

Existenz bekannt war.

3. 429 304 Erde und Mars

v = }

2 π ∙ R

T

v Erde = 2 π ∙ 149,6 ∙ 106 km

}} = 29,79 km ∙ s–1

365,2422 ∙ 86 400 s

2 π ∙ 227,9 ∙ 10

v Mars =

km

}} = 24,12 km ∙ s–1

1,88 ∙ 365,2422 ∙ 86 400 s

3 kT

}

m

< }

2 GM

R ,

4. 427 464 Massenanziehung

Setzt man die entsprechenden Werte für Sonnenmasse,

Erdmasse und Abstand Erde –Sonne in das Gravitationsgesetz

ein, so erhält man eine Kraft von 3,54 · 10 22 N. 9. 421 564 Fluchtgeschwindigkeit

v F = √ } 2 G ∙ m

} r

5. 429 784 Ein Zwergplanet

T 2

} 1 1 3

T 2

} 2 a 3 2 =

2

√ } v F = 630 }

km s

a 3

2 ∙ T 2

} 1

a 3

1

T 2 = 252,03 Jahre

10. 424 844 Dichte-Radius-Diagramm

Dichte aus R und M berechnen:

kg

Io: 3,6 ∙ 103 }

6. 424 104 Der Planetoid Eros

m3

Aus T 1

}

2

1 3

kg

T 2

} Europa: 3,0 ∙ 103 } m3

2 a 3

2

a 2 = a 1 ∙ 3 √ } kg

Ganymed: 1,9 ∙ 103 }

T 2

m3

} 2

T 2

1 kg

Kallisto: 1,8 ∙ 103 } m3

Mit a 1 = 1 AE und T 1 = 1 a (Erde als Bezug) erhält man:

a2 = 1 AE ∙ 3 √ } (1,76)2

a 2 = 1,46 AE

11. 423 054 Größe der Sonne

7. 427 084 Sonnenmasse

G ∙ }

m ∙ M ∙ r

}

r 2 T 2

Die Umformung nach M ergibt:

R = 149,6 ∙ 10 6 km ∙ sin 0,26655°

Ursache bildet die geringe Entfernung des Merkur von

der Sonne, damit ist er unmittelbar den Einflüssen der

Sonnenstrahlung und der Sonnenaktivität ausgesetzt.

Infolge der energiereichen Strahlung der Sonne können

eventuell vorhandene Gasmoleküle das Schwerefeld des

Planeten relativ leicht verlassen.

Bei einer physikalischen Betrachtung setzt man die von

der Gastemperatur T und der Teilchenmasse m abhängige

Bewegungsenergie der (idealen) Gasteilchen zur

Gravitationswirkung des Planeten in Relation. Es gilt

dabei

d. h. ist die Teilchengeschwindigkeit größer als die

Fluchtgeschwindigkeit, können Teilchen aus dem Anziehungsbereich

des Himmelskörpers herausdriften.

Damit folgt nach Eintragung in das Radius-Dichte-

Diagramm: Io – erdartig, Europa – erdartig, Ganymed –

eisartig, Kallisto – eisartig.

R = r ∙ sin α

α ist dabei der halbe Winkel, unter dem man die Sonne

sieht. Damit erhält man:


Astrophysik

287

12. 427 864 Masse der Sonne

G ∙ }

m ∙ M = m ∙ 4 π 2 ∙ r

}

r 2 T 2

Die Umstellung nach der Sonnenmasse ergibt:

M = 4 π 2 ∙ r

}

3

G ∙ T 2

Mit r = 149,6 ∙ 10 6 km und T = 365 d erhält man:

M = 1,99 ∙ 10 30 kg

Das entspricht annähernd dem Tabellenwert.

13. 413 944 Mittlere Dichte

Mittlere Dichte = Sonnenmasse

}}

Volumen der Sonnenkugel = }

1,4 g , cm 3

also etwas mehr als die Dichte von Wasser.

14. 413 734 Sonnenenergie

a) s = 1 368 W }

m 2

(Der in Joule gegebene Wert pro Quadratmeter

und Sekunde, man nennt diesen Wert auch Solarkonstante)

wird mit der Querschnittsfläche der Erde

multipliziert (R: Erdradius):

m Masse des Wassers,

c Wärmekapazität von Wasser

ΔT Temperaturunterschied

Hinweis: Es handelt sich natürlich nur um eine grobe Abschätzung,

die viele Faktoren (Erdatmosphäre, Wärmeverluste

im Gefäß, etc.) unberücksichtigt lässt.

16. 413 564 Merkur‘s Solarkonstante

S = 1,7 · 10 17 W

s = S

}

(π· R 2 )

Die Solarkonstante für Merkur ist: s = 9146 }

W . m 2

17. 425 404 Sonnenbeobachtung

Die Projektionsmethode ist die für den Beobachter

ungefährlichste Art der Sonnenbeobachtung. Darin und

in der Möglichkeit, das Bild durch mehrere Personen

gleichzeitig betrachten zu lassen, besteht ihr wesentlicher

Vorteil.

Die Filtermethode ist, vor allem bei Anwendung eines

Objektivfilters, als direkte Art der Sonnenbeobachtung

für einen einzelnen Beobachter zu empfehlen, der relativ

leicht die Nachführung des Fernrohrs betätigen kann.

S = s · π · R 2 = 1,7 · 10 17 W.

b) Die von der Sonne je Sekunde ankommende Strahlungsenergie

übertrifft den gegenwärtigen Leistungsbedarf

der Menschheit um das 10 000-fache.

Könnte man die Sonnenstrahlung auf einer vergleichsweise

kleinen Teilfläche der Erdoberfläche

„aufsammeln“, dann wären die Energieprobleme der

Menschheit gelöst.

c) Lösungsidee: Man legt gedanklich eine Kugel mit

Erdbahnradius r um die Sonne und multipliziert die

Solarkonstante s mit der Fläche dieser Kugel:

L = s · 4 π · r 2 = 3,8 · 10 26 W

15. 413 524 Strahlungsleistung

Stellt man fest, wie lange die Sonnenstrahlung benötigt,

um eine bestimmte Menge Wasser durch senkrechten

Strahlungseinfall zu erwärmen, dann kann man die

Strahlungsleistung je Quadratmeter ausrechnen. Ist Q

die in das Wasser übergegangene Wärme und t die dafür

benötigte Zeit, so ist P = }

Q die Strahlungsleistung

t

auf der Fläche des Erlenmeyerkolbens. Für Q gilt:

Q = m · c ·ΔT

18. 422 844 Sonnenaktivitäten

a) Zu den Sonnenaktivitäten gehören Sonnenflecken,

Sonnenfackeln, Protuberanzen, Filamente als spezielle

Protuberanzen, Eruptionen. Diese verschiedenen

Sonnenaktivitäten lassen sich genauer charakterisieren.

Informationen findet man in Astronomiebüchern

und im Internet.

b) Präsentation zu Sonnenaktivitäten. Es kann dabei

auch auf das Weltraumwetter eingegangen werden.

19. 424 474 Sonnenflecken

a) Sonnenflecken sind dunkle Gebilde in der Fotosphäre,

die eine niedrigere Temperatur als ihre Umgebung

aufweisen und die deshalb als dunkle Flecke

sichtbar sind. Für ihre Entstehung gibt es bis heute

keine alle Einzelheiten aufklärende Theorie. Wahrscheinlich

sind zwei Effekte entscheidend:

− Durch die differenzielle Rotation der Sonne (die

äquatornahen Bereiche rotieren schneller als die

polnahen Bereiche) nehmen die Feldlinien des

Magnetfelds, die in das elektrisch leitfähige heiße

Gas der Sonnenoberfläche „eingefroren“ sind, an

dieser ungleichförmigen Rotation teil und werden

so allmählich „aufgewickelt“. Dadurch verringert



sich der Abstand zwischen den Feldlinien und es

bilden sich unter der Sonnenoberfläche Flussröhren.

− Hinzu kommt die Konvektion in der Konvektionszone.

Riesige Plasmablasen steigen innerhalb der

Konvektionszone auf und wirbeln die Flussröhren

durcheinander, sodass verflochtene Strukturen

entstehen. Dadurch steigt der Druck im Innern der

Röhre an. Gas wird nach oben gepresst und die

Röhren werden leichter als ihre Umgebung, sodass

sie aufsteigen und die Fotosphäre durchstoßen.

Ein Fleckenpaar entsteht.

b) Der Durchmesser des Sonnenflecks beträgt auf dem

Foto 1 mm = 10 –3 m. Die Sonne hat auf dem Foto

einen Durchmesser von 4,2 cm = 4,2 ∙ 10 –2 m. Der

Durchmesser der Sonne beträgt 1,392 ∙ 10 9 m. Damit

erhält man für den Durchmesser des Sonnenflecks:

x = 1,392 ∙ 109 m ∙ 10 –3 m

}}

4,2 ∙ 10 –2 m

Sterne und ihre Entwicklung

(LB S. 567 – 568)

1. 423 504 Helle Sterne

Stern

Scheinbare Helligkeit

in mag

Sternbild

Sirius A –1,5 Großer Hund

Canopus –0,7 Kiel des Schiffes

Arktur –0,05 Bärenhüter

Wega +0,03 Leier

Rigel +0,12 Orion

2. 427 334 Nahe Sterne

x = 33 000 km

Stern

Entfernung in pc

Hinweis: In der Regel beträgt der Fleckendurchmesser

zwischen 1 000 und 10 000 km. Es wurden auch

schon Flecken mit einem Durchmesser von mehr als

100 000 km beobachtet.

20. 422 104 Größe einer Protuberanz

Der Durchmesser der Sonne beträgt 1,392 ∙ 10 9 m.

Auf dem Foto hat sie einen Durchmesser von

5,2 cm = 5,2 ∙ 10 –2 m. Die Höhe der Protuberanz über

der Sonnenoberfläche beträgt 1,5 cm = 1,5 ∙ 10 –2 m, ihre

Breite etwa 2,3 cm = 2,3 ∙ 10 –2 m.

Mit diesen Werten erhält man:

h = 1,392 ∙ 109 m ∙ 1,5 ∙ 10 –2 m

}}

5,2 ∙ 10 –2 m

h = 4,0 ∙ 10 8 m = 400000 km

b = 1,392 ∙ 109 m ∙ 2,3 ∙ 10 –2 m

}}

5,2 ∙ 10 –2 m

b = 6,2 ∙ 10 8 m = 620000 km

Proxima Centauri 1,30

α Centauri A 1,33

α Centauri B 1,33

Barnards Stern 1,83

Lalande 21185 2,53

3. 426 684 Sternspuren

a) Die scheinbare Bewegung der Sterne kommt durch

die tägliche Rotation der Erde um ihre Achse zustande.

b) In 24 h beschreibt ein Stern eine kreisförmige Bahn

um den jeweiligen Himmelspol. Das entspricht einem

Winkel von 360°. Auf dem Foto ergibt sich ein Winkel

der Sternspuren von etwa 30°. Mit diesem Wert

erhält man:

24 h ∙ 30°

x = }

360°

x = 2 h

Die Belichtungszeit betrug bei der Aufnahme etwa

2 Stunden.

4. 416 374 Energieerhaltung

Die Sterne sind selbstleuchtende Gaskugeln. Die von

ihnen je Sekunde freigesetzte und in das Weltall abgegebene

Energie müssen durch Energieumwandlung aus

anderen Energieformen stammen, die im Stern gespeichert

sind. Jedenfalls kann die Sternenergie auf Grund

des Energieerhaltungssatzes nicht einfach im Inneren

der Sterne „entstehen“.


Astrophysik

289

Wie auch immer die konkrete Energieumwandlung im

Stern funktioniert, sie kann nicht ewig ablaufen, da

jeder Energieträger (chemische Energie, Kernspaltungsoder

Kernfusionsenergie von Atomen) irgendwann zur

Neige geht. Deshalb müssen sich Sterne im Laufe der

Zeit verändern – sie entstehen und sie verlöschen.

astronomischen Einheiten und die Zeit in Jahren angegeben.

Damit erhält man:

M =

(170 AE)3

}

(400 a) 2

M = 30,7 M Sonne

5. 413 624 Sternenleben

Auf Grund des Energieerhaltungssatzes kann die

Sternenergie nicht einfach im Inneren der Sterne

„entstehen“.

Wie auch immer die konkrete Energieumwandlung im

Stern funktioniert, sie kann nicht ewig ablaufen, da

jeder Energieträger irgendwann zur Neige geht.

Wenn es das Weltall seit unendlicher Zeit gäbe, dann

wären bereits alle Sterne erloschen – es wäre im All

„dunkel“. Da dies ganz offenbar nicht der Fall ist, muss

das Weltall in der Vergangenheit zu einem Zeitpunkt

entstanden sein, der es ermöglichte, dass auch heute

noch die Energievorräte der Sterne (hauptsächlich Wasserstoff

für die Kernfusion zu Helium) nicht verbraucht

sind. Auch wenn gegenwärtig noch neue Sterne im All

entstehen, ändert dies nichts Grundsätzliches an diesem

Argument.

9. 428 174 Dichte von Sternen

Riesenstern:

m = 15 · 1,99 · 10 30 kg ≈ 3 · 10 34 g

r = 227,9 · 10 6 km ≈ 2 · 10 13 cm

} ρ =

m }

V ≈ 3 · 1034 g/(4 π/3 · 8 · 10 39 cm 3)

} ρ ≈ 10 –6 g · cm –3

Weißer Zwerg:

m = 1,99 · 10 30 kg ≈ 2 · 10 33 g

r = 6378 km ≈ 6 · 10 8 cm

} ρ =

m }

V ≈ 2 · 1033 g/(4 π/3 · 216 · 10 24 cm 3 )

} ρ ≈ 2 · 10 6 g · cm –3

6. 428 694 Zustandsgrößen

Die Oberflächentemperatur ergibt sich aus der spektralen

Energieverteilung.

Die Masse von Sternen lässt sich aus Untersuchungen an

Doppelsternen ermitteln.

Der Radius von Sternen kann aus Untersuchungen an

Bedeckungsveränderlichen oder durch interferometrische

Untersuchungen bestimmt werden.

Die mittlere Dichte von Sternen ergibt sich aus Masse

und Radius.

7. 429 804 Oberflächentemperatur

Zwischen der Oberflächentemperatur eines Sterns und

der Farbe des Lichts, dass wir von ihm wahrnehmen, besteht

ein enger Zusammenhang: Rot leuchtende Sterne

haben eine niedrigere Temperatur als gelb leuchtende

Sterne und gelb leuchtende Sterne eine niedrigere Temperatur

als bläulich leuchtende Sterne. Einer bestimmten

Spektralklasse (Farbe) entspricht ein bestimmter

Temperaturbereich.

8. 429 494 Masse eines Sterns

10. 423 514 Arbeiten im HRD

a) Stern 1: Hauptreihenstern

Stern 2: Riese

Stern 3: Hauptreihenstern

Stern 4: Riese

Stern 5: weißer Zwerg

b) Es handelt sich um einen Riesen.

11. 421 274 HRD-Hauptreihe

a) Oberflächentemperatur steigt, Leuchtkraft wird größer,

Masse und Radius werden größer.

b) Oberflächentemperatur sinkt, Leuchtkraft wird kleiner,

Masse und Radius werden kleiner.

c) Senkrecht: Bei konstanter Oberflächentemperatur

wird die Leuchtkraft größer, Masse und Radius ebenfalls.

Waagerecht: Bei konstanter Leuchtkraft verringert

sich die Temperatur. Masse und Radius werden

größer.

Für die Masse eines Sterns gilt vereinfacht die Beziehung

M = }

a 3

(vereinfachte Kepler-Gleichung). Dabei wird die

2

T

Masse in Vielfachen der Sonnenmasse, der Abstand in



12. 413 934 Leuchtkräfte

Die folgenden Angaben sind in Vielfachen der Sonnenleuchtkraft

gegeben:

1 – L = 0,1 L 3

2 – L = 0,95 L 3

3 – L = 10 000 L 3

4 – L = 3 L 3

13. 413 914 Anderer Stern

Zur Lösung wird das Stefan-Boltzmann-Gesetz benötigt.

Für die Leuchtkraft L gilt:

L = 4 π · R 2 · σ · T 4

Variante 1:

Für zwei Sterne 1 und 2 folgt der Zusammenhang:

L } 1

= L

R 2

1 · T 4 } 2

1 R 2

2 · T 4

2

Mit der bekannten Sonnentemperatur T = 5770 K und

der Angabe, dass die Leuchtkraft des Sterns 1000-fach

höher als die der Sonne sein soll, folgt unmittelbar die

Lösung in Vielfachen des Sonnenradius.

R = 77 R 3 .

Variante 2:

Man verwendet die Sonnenleuchtkraft L = 3,8 · 10 26 W

und die Sonnentemperatur und stellt das Stefan-Boltzmann-Gesetz

nach R um.

R = 77 R 3 .

14. 414 424 Masse-Leuchtkraft-Beziehung

Stern mit fünffacher Sonnenmasse: L = 125 L 3

Stern mit halber Sonnenmasse: L = 0,125 L 3 = 1 } 8 L 3

15. 413 924 Zukunft der Sonne

Die Dichte der Sonne beträgt dann ρ = 8,1 · 10 –7 }

g . cm 3

Auf der Erde kann man diesen geringen Wert in hinreichender

Näherung als „Vakuum“ ansehen.

16. 420 064 Doppelsterne

Genutzt werden kann die Kepler-Gleichung in der Form

M 1 + M 2 = }

4 π 2

G · }

a 3

T 2

oder vereinfacht in folgender Form:

M 1 + M 2 = }

a 3

T 2

Dabei sind die Sternmassen in Vielfachen der Sonnenmasse,

T in Jahren und a in astronomischen Einheiten

anzugeben. Für Sirius A und B erhält man:

a = 3 √ }}

T 2 (M 1 + M 2 )

a = 3 √ }}

(50 a) 2 (2,3 + 1,1)

a = 20,4 AE

Der Abstand zum gemeinsamen Schwerpunkt ergibt sich

aus dem Schwerpunktsatz:

M

} 1

= a 1

M } = a – a 2

2 a }

2 a 2

a 2 = a

}

( M 1

} + 1

M 2 )

20,4 AE

a 2 = }

2,3

} 1,1 + 1

a 2 = 6,6 AE

a 1 = 20,4 AE – 6,6 AE = 13,8 AE

17. 413 894 Rotierende Neutronensterne

Aus dem in der Aufgabe gegebenen Hinweis folgt im

Grenzfall:

v = c = 2 π · f · R

Umstellen nach f ergibt die Lösung:

f = c

} = 4775 Hz

2 π · R

Die kurzperiodischsten Neutronensterne drehen sich

nicht so schnell, man kennt aber durchaus sogenannte

Millisekundenpulsare.

18. 428 974 Ein Planetensystem entsteht

Ähnlich wie ein Stern entsteht auch ein Planetensystem

aus Gas und Staubwolken.

(1) Infolge der Gravitation kommt es zu einer Verklumpung,

wobei sich im Zentrum dieses Bereichs der

künftige Stern befindet.

(2) Die Verklumpung setzt sich fort. Der Gesamtimpuls

des Systems bleibt dabei erhalten. Alle Teilchen

bewegen sich in einer Drehrichtung. Aufgrund der

Kräfte bei Kreisbewegungen in Kombination mit

Gravitationskräften bildet sich eine Art Scheibe

heraus.

(3) Durch Inhomogenitäten bilden sich Bereiche mit

besonders großen Massekonzentrationen heraus.

Das sind die Bereiche, in denen sich ein Stern bzw.

Planeten entwickeln.


Astrophysik

291

(4) Es entsteht ein Planetensystem mit

− einem Stern,

− Planeten als Massekonzentration,

− einer Vielzahl von Kleinkörper.

Das Alter unseres Sonnensystems wird auf etwa

4,6 Milliarden Jahre geschätzt.

Beachten Sie dabei: Unser Sonnensystem entwickelt sich

wie auch das gesamte Universum weiter.

Wurde nun Licht in einem Stern zum Beispiel bei einem

bestimmten Übergang eines Wasserstoffatoms ausgesendet,

so entsprach die Übergangsenergie zum Zeitpunkt

des Aussendens einer bestimmten Wellenlänge

entsprechend der Beziehung:

λ = }

h · c

E

Je länger das Licht unterwegs ist, bis es uns heute erreicht,

d. h., je weiter der Stern entfernt ist, auf dem das

Licht entstanden ist, desto größer ist die Wellenlänge

in der Zwischenzeit durch die Ausdehnung des Raums

geworden. Diese Verschiebung der Wellenlänge hin zu

größeren Werten wird als Rotverschiebung bezeichnet.

19. 413 964 Ferne Planetensysteme

Es gibt offenbar Planetensysteme, bei denen massereiche

Planeten sehr dicht an ihrer Sonne stehen. Diese

Planeten umkreisen ihr Zentralgestirn auf Bahnen,

die teilweise näher als die Bahn Merkurs an der Sonne

verlaufen.

Anhand der Abbildung meint man zu erkennen, dass

es bei anderen Planetensystemen keine erdähnlichen

Planeten gibt, doch dies ist ein Trugschluss: Die Messgenauigkeit

reicht bislang nur in einigen Ausnahmefällen

aus, um Planeten mit relativ geringen Massen

nachzuweisen.

Große Strukturen im Universum

(LB S. 576)

1. 428 474 Die Milchstraße

Die Milchstraße verläuft u. a. durch folgende Sternbilder:

Einhorn, Fuhrmann, Casseopeia, Cepheus,

Schwan, Adler.

2. 414 394 Massenschätzung

Es gilt der in der Aufgabenstellung beschriebene Ansatz:

M · v 2

} r

= G · M · M Galaxis

}}

r 2

M Sonnenmasse

r Entfernung Sonne-Zentrum der Galaxis

M Galaxis = }

r · v 2

G

= 2,2 · 1041 kg (ca. 10 11 Sonnenmassen)

3. 414 454 Rotverschiebung

Seit dem sogenannten Urknall dehnt sich der Raum des

Universums aus. Dies hat zur Folge, dass die Wellenlänge

von Licht im Laufe der Zeit größer wird.

4. 414 504 Unendlich weit weg?

Diese Hoffnung kann nicht erfüllt werden. Da das Universum

erst seit einer endlichen Zeit existiert, können

wir nicht beliebig weit in das All hinein blicken, sondern

nur so weit, wie die Strecke reicht, die das Licht seit Entstehung

unserer Welt bereits durchlaufen konnte.

5. 425 344 Galaxienflucht

Nach dem Gesetz von Hubble gilt v = H ∙ r und damit:

r = }

v H

Mit v = 0,13 c = 39000 }

km s

r = 39000 }

km s

}}

∙ s ∙ Mpc

75 km

r = 520 Mpc = 5,20 ∙ 10 8 pc

6. 424 484 Lokale Gruppe

erhält man:

Zur lokalen Gruppe gehören u. a. folgende Galaxien:

Milchstraßensystem, kleine und große magellansche

Wolke, Leo I und Leo II, der Andromedanebel (M 31),

NGC 185, NGC 147, NGC 205, … . Bekannt sind über

50 Galaxien, die zur lokalen Gruppe gehören. Alle

diese Objekte befinden sich in einem Umkreis von bis

zu 7 Millionen Lichtjahren. Die Mitglieder der lokalen

Gruppe sind durch Gravitationskräfte aneinander gebunden.

7. 426 934 Außerirdisches Leben

Präsentation zum Thema „Außerirdisches Leben“. Dabei

ist der Aspekt zu beachten, dass Leben in vielfältigen

Formen existieren kann und nicht auf intelligentes

Leben beschränkt werden sollte.

8. 414 434 Zivilisationen im All

Die relativen Häufigkeiten f i , f Z , T sind frei wählbar

– man sollte aber auf eine vernünftige Begründung

achten.



Dies könnte so aussehen:

Höheres Leben gibt es auf der Erde seit ca. 500 Mio.

Jahren, der Mensch entwickelte sich vor ca. 1. Mio. Jahren.

Man könnte aus diesen beiden Zahlen entnehmen,

dass es auf jedem 500-ten Planeten mit Leben eventuell

intelligentes Leben gibt:

f i = 0,002.

Intelligentes Leben gibt es auf der Erde seit ca. 1 Mio.

Jahre, eine technische Zivilisation haben wir seit

ca. 100 Jahren, also:

f Z = 0,0001.

Als Pessimist würde man angesichts der globalen Probleme

eventuell schätzen, dass wir die Lebensspanne

unserer technischen Zivilisation nahezu erreicht haben:

T = 200 a.

(Hinweis: Die Einheit Jahr ist wichtig, damit sich die

Einheiten insgesamt herauskürzen und eine Zahl als

Ergebnis herauskommt!).

Lösung:

N = 2 · 10 –7 .

Das wäre eine extrem pessimistische Schätzung, die vor

allem dadurch zustande kommt, dass in diesem Beispiel

die Lebensdauer einer technischen Zivilisation nur als

sehr kurz angenommen wurde.

3.10 Komplexe Aufgaben

Komplexe Aufgaben (LB S. 578 – 590)

1. 417 074 Sicherheit im Straßenverkehr

a) Zu erläutern und zu begründen sind die drei nachfolgenden

genannten Sicherheitskomponenten.

Knautschzone: Die Knautschzone verlängert bei

einem Crash den „Bremsweg“ der Personen. Längerer

Bremsweg bedeutet kleinere Beschleunigung

und damit nach F = m · a auch eine kleinere Kraft, die

auf die Person wirkt. Darüber hinaus wird durch die

Verformung des Pkw Energie absorbiert.

Sicherheitsgurt mit Gurtstraffer und Gurtkraftbegrenzer:

Beim plötzlichen Abbremsen bewegt sich

eine Person aufgrund Ihrer Trägheit weiter in Fahrtrichtung,

wenn keine Gegenkraft wirkt. Sicherheitsgurt

und Gurtstraffer sorgen dafür, dass eine Person

sofort abgebremst wird. Zu große abbremsende

Kräfte, die nur im Bereich des Gurts wirken, können

erhebliche Verletzungen bewirken. Deshalb werden

diese Kräfte durch einen Gurtkraftbegrenzer auf

einen bestimmten Wert begrenzt.

Airbag: Airbags sollen vor allem verhindern, dass

Körperteile auf harte Fahrzeugteile (Armaturenbrett,

Türverkleidung) aufschlagen. Durch Airbags werden

Körperteile, z. B. der Kopf, zusätzlich „weich“ abgebremst.

b) Für den Weg s gilt s = }

a 2 (Δt)2 , für die Beschleunigung

a = }

Δv . Einsetzen von a und Umstellen nach Δt

Δt

ergibt:

s = }

Δv

2 · Δt ·(Δt)2

und damit

Δt = }

2 s

Δv

Δt = }

2 · 0,70 m

50 }

km h

Δt = 0,10 s

Für die Beschleunigung ergibt sich damit:

a = }

Δv

Δt = 50 km h

} 0,1 s

a = 140 }

m s 2

Das bedeutet: Der Airbag wird aktiviert.

2. 419 334 Waagerechter Wurf

a) In x-Richtung gilt: x = v 0 · t (1)

In y-Richtung gilt: y = h 1 – }

g 2 t 2 (2)

Umstellen von (1) nach t und Einsetzen in (2) ergibt:

y = h 1 –

g

}

2 v 0

2 · x 2 (3)


Komplexe Aufgaben

293

b) Die Wurfweite beträgt 0,90 m.

Die Abwurfhöhe lässt sich aus Gleichung (3) berechnen,

wenn man Wertepaare aus der gegebenen

Wertetabelle einsetzt (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten).

Es ergibt sich: h 1 = 0,25 m.

Die Abwurfgeschwindigkeit kann man z. B. so berechnen:

− Aus der Fallhöhe von 0,20 m ergibt sich aus

s = }

g 2 · t 2 die Fallzeit (t = 0,20 s).

− Aus x = 0,8 m und t = 0,20 s erhält man:

v = }

x t = 4,0 }

m s

c) h 2 = h 1 = 25 cm

Die Auftreffgeschwindigkeit des senkrecht nach

unten fallenden Körpers beträgt:

v = g · t

Mit t = √ 2 s

} g

v = g · √ 2 s

} g = √ } 2 s · g

erhält man:

v =

√ }}

2 · 0,25 m · 9,81 m }

s 2

v = 2,2 }

m s

Für die Geschwindigkeit des waagerecht geworfenen

Bauteils erhält man:

v = √ } v x

2 + v y

2

v = √ }}

(4,0 }

m s ) 2 + (2,2 }

m s ) 2

c) Ein Körper bewegt sich gleichförmig und geradlinig,

wenn die Summe der auf den Körper wirkenden

Kräfte null ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die

resultierende Kraft in Bewegungsrichtung und die

bewegungshemmenden Reibungskräfte gleich groß

sind.

Mit F = 0 ist nach F = m · a auch a = 0.

4. 415 594 Bewegungen von Pkws

a) a = 3 }

m s 2

v = 50 }

km h = 13,9 }

m s

Damit erhält man als Zeit für die Beschleunigungsphase:

t = v } a

t = 13,9 m s

3,0 }

m s 2

t = 4,6 s

Für den Weg erhält man:

s = }

a 2 t 2

s = 3,0 }

m s

}

2

· (4,6 s) 2

2

s = 32 m

v = 4,6 m } s

Die Geschwindigkeit des waagerecht geworfenen

Bauteils ist wesentlich größer, weil sich bei ihm die

Geschwindigkeit in x-Richtung und die in y-Richtung

vektoriell zusammensetzen.

b) s

Pkw 2

Pkw 1

3. 417 964 Kräfte und mechanische Arbeit

a) Maßstäbliche Skizze.

Rechnerisch ergibt sich:

F = √ }}}

F 1

2 + F 2

2 + 2 F 1 · F 2 · cos α

F = 30,7 MN

b) Bei der Berechnung kann man von der resultierenden

Kraft ausgehen oder die Arbeit für jeden der

Schlepper einzeln berechnen.

W = F · s

W = 30,7 MN · 800 m

W = 24,5 · 10 9 J

50 km }

h

t 2

Pkw 2

c) Pkw 1 liegt bis zum Erreichen von 50 }

km h

folgenden

Weg zurück:

s = }

a 2 t 2

Mit t = } a v erhält man:

s = }

a 2 · }

v 2

= }

v 2

a 2 2 a

t 1

Pkw 1

t

t



s = ( 13,9 m s ) 2

2 · 2,0 }

m s 2

s = 48,3 m

Die Zeit dafür beträgt:

t = }

v a = 13,9 m s

2 }

m = 6,95 s

s 2

Pkw 2 legte in dieser Zeit folgenden Weg zurück:

s 1 = 32 m in 4,6 s (b Aufg. a)

s 2 = 13,9 }

m s ·(6,95 s – 4,6 s) = 32,7 m

Der Gesamtweg in 6,95 Sekunden beträgt damit

64,7 m. Damit entsteht folgende Situation:

Der Abstand der beiden Pkw beträgt mehr als 10 m,

genauer: etwa 12 m.

5. 418 574 Elektrische Feldstrukturen

a)

1

Es gilt:

r = 10 cm

Pkw 1 Pkw 2

48,3 m 60,7 m 64,7 m

r

Q 1 = 3,2 ∙ 10 –9 As |Q 2 | = Q 1

} 2

Q

E 1 = } 1

E 4 π ε 0 r 2 2 = Q } 2

4 π ε 0 r 2

Die Feldstärken sind beide nach rechts gerichtet.

Demzufolge ergibt sich:

E = E 1 + E 2 = 4,3 kV } m

12,4 m

A

E 2

E 1

2

c) Aus sehr großer Entfernung sieht das Feld wie das

einer einzelnen, positiven Punktladung mit Q 1/2 aus.

d) Gewitterentstehung:

Durch vertikale Luftströmungen von Wassertröpfchen

und leichten Eis oder Staubpartikeln kommt es

zur Ladungstrennung innerhalb einer Wolke, z. B.

oben positiv und unten negativ. Die Erdoberfläche

wird durch Influenz entgegengesetzt zur Wolkenunterseite

geladen. Durch die hohe Feldstärke kommt

es zu Entladungen in Form von Blitzen. Dabei weitet

sich ein anfangs sehr dünner Entladungskanal von

oben und unten her zu einem Plasmakanal mit sehr

hoher Stromstärke.

Xerografie:

Eine Metalltrommel ist mit einem Halbleiter beschichtet,

der bei Beleuchtung leitend wird.

1. Schritt: Die Beschichtung wird im Dunkeln über

Sprühentladung bei hoher Spannung geladen.

2. Schritt: Die Trommel wird über eine Optik je nach

Schwärzung der Vorlage belichtet und dabei werden

die hellen Teile entladen.

3. Schritt: Geladene Tonerteilchen werden von den

geladenen Trommelteilen angezogen.

4. Schritt: Das aufgedrückte Papier nimmt den Toner

auf.

Piezoelektrischer Effekt:

Phänomen: Wenn ein Kristall (z. B. ein Quarz) zusammengedrückt

wird, entsteht zwischen den Druckflächen

eine Spannung, die umso größer ist, je stärker

die Kontraktion ist.

Erklärung: Der Kristall ist aus unterschiedlichen Ionen

aufgebaut, die unterschiedlich geladen sind. Bei der

Verformung werden die Ionen gegenüber ihrer elektrischen

Gleichgewichtslage verschoben. Dadurch

entsteht in der Grenzschicht eine Raumladung.

b)

6. 415 424 Ein Plattenkondensator

B

C

a) Für die Berechnung der Kapazität gilt:

C = ε r · ε 0 · }

A d

Mit den Werten ergibt sich:

C = 1,00 · 8,85 · 10 –12 }

F m · }}

0,12 m · 0,12 m

0,008 m

1

A

2

C = 1,6 · 10 –11 F = 16 pF

Die Ladung lässt sich so berechnen.

Aus C = }

Q ergibt die Umformung:

U

Q = C · U

Mit den Werten ergibt sich:

Q = 1,6 · 10 –11 F · 230 V


Komplexe Aufgaben

295

Q = 3,7 · 10 – 9 As

b) Für einen Plattenkondensator gilt:

E = U } d

E = }

230 V

0,008 m = 2,9 · 104 }

V m .

Für die im Feld gespeicherte Energie gilt:

E = }

1 2 C · U 2

E = }

1 16 pF ·(230 V)2

2

E = 4,2 · 10 –7 F · V 2

E = 4,2 · 10 –7 J

c) Die angeschlossene Spannung ändert sich nicht.

Befindet sich zwischen den Platten ein Dielektrikum

mit ε r = 3,5 ,so erhöht sich die Kapazität auf

den 3,5-fachen Wert. Entsprechend verändert sich

auch die Ladung auf den Platten des Kondensators

auf den 3,5-fachen Wert. Die elektrische Feldstärke

ändert sich nicht, da Spannung und Abstand der

Platten gleich bleiben.

Die gespeicherte Energie ist wegen E = }

1 2 C · U 2

3,5-mal größer. Ab abgetrennter Spannungsquelle

gilt: Da keine Ladungen ab- oder zufließen, ist die

elektrische Ladung konstant. Die Kapazität erhöht

sich bei ε r = 3,5 um den Faktor 3,5.

Aus C = }

Q U bzw. U = }

Q folgt:

C

Die Spannung verringert sich um den Faktor }

1 3,5 .

Entsprechendes gilt wegen E = }

U für die Feldstärke

d

und wegen E = }

1 2 C · U 2 auch für die im Kondensator

gespeicherte Energie.

c) Hängt man ein mit der Probeladung q geladenes

Kügelchen in den Kondensator, wird es durch die

Feldkraft ausgelenkt. Dabei zeigt die Resultierende

aus elektrischer Kraft und Gewichtskraft in die gleiche

Richtung wie der gespannte Faden.

Es gilt:

tan φ = }

F sowie sin φ =

F }

x G l

Für die elektrische Feldstärke E gilt:

E = }

F (1)

q

Wegen der kleinen Winkel kann man sin α = tan α

setzen. Damit gilt:

F

} F G

= x }

l

φ

oder F = x · F G

} l

Einsetzen in (1) ergibt:

x

l

F G

φ

E = x · F G

} q · l

Alle rechts stehenden Größen können bestimmt und

damit kann die Feldstärke ermittelt werden.

F

(2)

7. 426 164 Experiment mit einem Kondensator

a) Für die Kapazität des Kondensators gilt:

C = ε 0 · ε r · A }

d

C = 8,85 · 10 –12 · 1 ·}

π · 0,122

0,020 F

C = 20 pF

b) Beim Auseinanderziehen der Kondensatorplatten

gelten die Formeln:

σ = }

Q A sowie σ = ε 0 · E .

Darin ist σ die Flächenladungsdichte. Wenn die

Kondensatorplatten auseinander gezogen werden,

nachdem die Spannungsquelle abgetrennt wurde,

bleibt die Ladung Q erhalten.

Die Flächenladungsdichte ändert sich nicht. Deshalb

bleibt auch die elektrische Feldstärke konstant.

8. 415 544 Zusammenhang zwischen Q und U

a) An den Messkurven erkennt man den linearen Zusammenhang

zwischen Plattenladung Q und Spannung

U:

Q = C · U

Wegen C = ε 0 · ε r · }

A gehört d

d

1 zum Kondensator

mit dem kleineren Plattenabstand, also der größeren

Kapazität und der steileren Geraden A.

b) Wenn die elektrische Feldstärke E einen zu großen

Wert erreicht, wird die Luft leitend. Es kommt zu

einer elektrischen Entladung im Kondensator. Wegen

E ~ U kann ein Kondensator nur bis zu einer maximalen

Spannung aufgeladen werden. Bei diesem Wert

endet der Graph.

c) Für die in einem Kondensator gespeicherte Energie

gilt:



E = 1 }

2 C · U 2

Der Energieinhalt des Kondensators sinkt von anfangs

E 1 = }

1 2 C · U 1 2 = }

1 2 · 1,0 · 3,02 J = 4,5 J

bis die LED erlischt auf

Diagramm 4:

Der Graph ist keine Gerade, d. h. der Anstieg

(Beschleunigung) ist hier nicht konstant.

Diagramm 4 ist nicht geeignet.

10. 416 594 Die magnetische Flussdichte

E 2 = }

1 2 C · U 2 2 = }

1 2 · 1,0 · 1,52 J = 1,125 J.

Wegen Δ E = P · Δ t gilt für die mittlere

Leistung P = 0,02 W.

Δ t = Δ E } P

= }

3,375 J = 169 s.

0,02 W

Die Diode leuchtet somit etwa 2 Minuten und

50 Sekunden.

9. 417 864 Eine Ladung im Feld

a) Berechnung der Geschwindigkeit:

Nach dem Energieerhaltungssatz gilt:

Q ∙ U = }

1 2 m · v 2

Daraus folgt:

v = √ } 2 Q · U

} m

v = √ }}

2 · 5 · 10 –9 As · 10 4 V

}}

3 · 10 – 6 kg

≈ 5,8 m } s

a)

40

35

30

25

20

15

10

5

Die Kraft F ist näherungsweise proportional zur

Stromstärke I. Die Steigung der eingezeichneten

Geraden beträgt:

F

}

I

F in mN

0

0 1 2 3 4 5

= 7,00 mN }

A

I in A

Für die magnetische Flussdichte gilt bei der gegebenen

Leiterlänge l = 8,0 cm:

b) Da das elektrische Feld innerhalb des Plattenkondensators

konstant ist, wirkt auch eine konstante

Kraft auf das Kügelchen. Es bewegt sich demzufolge

gleichmäßig beschleunigt.

Trifft es auf die rechte Platte, gibt es seine Ladung

ab, wird neu (mit anderer Polung) aufgeladen und

dadurch mit einer betragsmäßig gleichgroßen und

konstanten Kraft nach links beschleunigt. Da die

Kugel ohne Energieverluste an der rechten Platte

reflektiert wird, bleibt der Betrag der Geschwindigkeit

erhalten und die Kugel wird konstant weiter

beschleunigt.

Diagramm 1:

Nach der Reflexion wird die Geschwindigkeit (betragsmäßig)

größer und nicht wie im Diagramm

dargestellt kleiner. Diagramm 1 ist nicht geeignet.

b)

B = }

F I · l = }

F I · }

1 l

B = 7,00 }

mN

A · 1

}

0,080 m

B = 87,5 mT

N

U

Diagramm 2:

Richtungswechsel der Geschwindigkeit stimmt, aber

die Beschleunigung ist auf dem Rückweg kleiner (Betrag

des Anstiegs). Diagramm 2 ist nicht geeignet.

Diagramm 3:

Der Vorzeichenwechsel der Geschwindigkeit ist

richtig dargestellt und der Betrag des Anstiegs (Beschleunigung)

in beiden Phasen ist gleich. Die physikalischen

Verhältnisse werden richtig dargestellt.

S

Eine stromdurchflossene Leiterschaukel hängt mit

ihrer Unterkante im senkrecht verlaufenden Magnetfeld

eines Hufeisenmagneten. Sie erfährt unter dem

Einfluss der Lorentzkraft F L und der Gewichtskraft

F G eine Auslenkung. Dabei zeigt die Resultierende

aus beiden Kräften in die gleiche Richtung wie die

seitlichen Schnüre der Schaukel. Es gilt:

tan φ = F L

} sowie sin φ =

F }

x G l


Komplexe Aufgaben

297

φ

l

b) Ein Leiterstück wird so in das Magnetfeld gebracht,

dass es sich senkrecht zu den magnetischen Feldlinien

befindet. Fließt durch das Leiterstück der Länge

l ein Strom bestimmter Stromstärke I, dann wirkt auf

das Leiterstück eine Kraft F, die mit einem Kraftmesser

gemessen werden kann. Es gilt:

x

F G

Leiter

φ

F L

F = l · I · B

Daraus ergibt sich:

B = }

F l · I

Alle rechts stehenden Größen können gemessen

werden.

Für kleine Auslenkungen gilt sin φ = tan φ und

damit:

x

} l = F L

} bzw. F

F L = F G · }

x G l .

Die Größen rechts sowie die Stromstärke I können

gemessen werden.

c) Ein Magnetfeld durchdringt senkrecht ein Halbleiterplättchen

oder einen Metallstreifen. Wird dieser

Leiter von einem Strom durchflossen, so kann an den

seitlichen Anschlüssen 1 und 2 des Leiters eine Spannung

gemessen werden.

I

B

v

+

–

1

2

–

U H

12. 417 484 Spannung am geraden Leiter

a) Für die induzierte Spannung gilt U ind = B · l · v.

Da die Spannung mit einem hochohmigen Messgerät

gemessen wird, fließt kein Strom und keine bremsende

Lorentzkraft wirkt auf den Stab. Daher steigt

die Geschwindigkeit v linear an.

Die beiden Diagramme (1) und (3) kommen deshalb

nicht infrage.

Diagramm (2) ist dann richtig, wenn der Leiter zum

Zeitpunkt 0 aus der Ruhe startet. Diagramm (4) ist

dann richtig, wenn der Leiter zum Zeitpunkt 0 bereits

eine Anfangsgeschwindigkeit hat.

b) Jetzt kommt es zu einem Induktionsstrom, der nach

der lenzschen Gesetz seiner Ursache entgegenwirkt

und den Stab abbremst. Je schneller der Stab wird,

desto größer wird die bremsende Kraft, bis beide

Kräfte im Gleichgewicht sind und der Stab mit konstanter

Geschwindigkeit weiter gleitet.

Damit ergibt sich folgendes t-I-Diagramm:

I

Die Elektronen mit der Geschwindigkeit v werden

im magnetischen Querfeld der Flussdichte B von der

Lorentzkraft F L = B · e · v abgelenkt.

Durch die Ladung baut sich ein elektrisches Feld E

auf, bis die elektrische Feldkraft F el und die Lorentzkraft

F L den gleichen Betrag haben.

t

11. 414 964 Zeitlich konstantes magnetisches Feld

a) Das Feldlinienbild eines Hufeisenmagneten sieht

etwa so aus:

N

13. 417 784 Elektronen im magnetischen Feld

a) Die Gleichung ergibt sich aus folgender Überlegung:

Bei der Bewegung von geladenen Teilchen in einem

homogenen Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als

Radialkraft. Es gilt also:

Radialkraft = Lorentzkraft

S

m · v

}

2

= Q · v · B

r



Die Vereinfachung und Umformung der Gleichung

ergibt:

m · v

} = Q · B

r

oder

Q

} m = }

v B · r

Für ein Elektron ist Q = e und damit:

e

} m = }

v B · r

Mit den gegebenen Werten erhält man:

e

}

m = 1,7 · 10 7 }

m s

}}

1,4 · 10 –3 T · 0,074 m

e

} m = 1,64 · 1011 }

C kg

Der Tabellenwert beträgt 1,76 · 10 11 C }

kg .

b) Im gegebenen Falle wirkt auf die Elektronen eine

konstante Kraft (Lorentzkraft) stets senkrecht zur

Bewegungsrichtung. Die Lorentzkraft wirkt demzufolge

als Radialkraft. Damit ist die Bahn kreisförmig.

c) Protonen haben den gleichen Betrag der Ladung

wie Elektronen, ihre Masse ist aber etwa 1800-mal so

groß. Das bedeutet:

− Der Betrag der Lorentzkraft verändert sich nicht.

− Wegen der größeren Masse ist aber der Radius der

Kreisbahn bei ansonsten gleichen Bedingungen

größer als bei Elektronen.

14. 417 674 Induktion in einer Leiterschleife

a) Diagramm (4) ist die richtige Darstellung.

b) Die induzierte Spannung wird mit der Formel

U ind = B · l ·v berechnet. Der Drahtrahmen bewegt

sich mit konstanter Geschwindigkeit. Folglich sind

die induzierten Spannungen konstant bzw. null und

nicht an- oder absteigend wie in den Diagrammen

(2) und (3).

Was unterscheidet die Diagramme (1) und (4)?

In Diagramm (4) sind alle Zeitabschnitte gleich lang,

während in Diagramm (1) die Zeit, in der keine Spannung

gemessen werden kann (also die Zeit, in der

sich der Drahtrahmen ganz im Magnetfeld befindet)

kürzer als die Zeiten ist, in denen eine Spannung

gemessen werden kann (Ein- bzw. Austrittsphase des

Drahtrahmens).

Die Geschwindigkeit beträgt v = 16 }

cm s , der

Rahmen ist zu Beginn 8,0 cm vom Magnetfeld

entfernt. Nach 0,5 s wird das Magnetfeld erreicht

und eine Spannung induziert. Da der Rahmen eine

Seitenlänge von ebenfalls 8,0 cm hat, dauert auch

die Eintrittsphase 0,5 s. Für die restlichen 8,0 cm im

Magnetfeld werden nochmals 0,5 s benötigt, die

Austrittsphase dauert schließlich ebenfalls 0,5 s. Diagramm

(4) ist damit die richtige Lösung.

c) | U ind | = B · l · v = 0,5 T · 0,080 m · 0,16 m · s –1

= 6,4 mV.

Diese Spannung wird beim Eintritt und beim Austritt

induziert, die Polarität ist verschieden, da zuerst

rechts und dann links die Spannung induziert wird.

Befindet sich im Stromkreis ein Widerstand von 5 Ω,

so misst man die Stromstärke:

I in mA

I = U ind

} R

1,3

0

–1,3

± 6,4 mV

= } = ± 1,3 mA

5,0 Ω

d) Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter der

Länge l wird mit der Formel F L = B · I · l berechnet:

F L = 0,5 T · 1,28 mA · 0,080 m

F L = 0,051 mN = 51 μN

Wegen des lenzschen Gesetzes ist die Kraft immer

der Ursache entgegengesetzt, d. h. dass die Kraft im

Gegensatz zur Spannung bzw. Stromstärke immer

das gleiche Vorzeichen hat.

F in μN

51

0

15. 415 674 Rotation einer Leiterschleife

1

t in s

a) Bei der Rotation des Drahtrahmens wird in den

beiden achsenparallelen Leiterstücken der Länge

l = 8,0 cm eine Spannung induziert, da hier Elektronen

längs des Leiters verschoben werden können.

Bewegt sich die obere Kante des Drahtrahmens nach

unten, so erfahren die Elektronen wegen der UVW-

Regel eine Kraft nach links.

Entsprechend erfahren die Elektronen der unteren

Kante eine Kraft nach rechts. Die beiden anderen

Seiten tragen nichts zur Induktionsspannung bei,

da hier die Elektronen quer zum Leiter verschoben

werden. Der Maximalwert der Spannung wird mit

der Formel U = 2 · B ·l · v berechnet.

2

1 2

t in s


Komplexe Aufgaben

299

Der Faktor 2 folgt aus der Tatsache, dass die Spannungen

in der oberen und der unteren Hälfte des

Drahtrahmens addiert werden; v ist der Betrag der

Umdrehungsgeschwindigkeit, für den gilt:

v = }

2 π · r = 2 π ·r · f

T

v = 2 π · 0,040 · 20 m } s

den halben Wert. Außerdem wird die Periodendauer

verdoppelt.

0,4

0,2

U in V

v = 5,03 m } s

Beim Radius ist zu beachten, dass man nur die Hälfte

der Seitenlänge einsetzt.

0

0,2

0,02 0,04

0,06 0,08 0,1

t in s

0,4

v i

α

α

v ù

v

B

16. 415 514 Selbstinduktion und Transformator

a) I = }

U R

I = }

12 V

50 Ω = 0,24 A

U = I · R

Wegen der Anfangsbedingung ist der Winkel α zum

Zeitpunkt t = 0 s null. Die Geschwindigkeitsfunktion

lautet deshalb (b Abb.):

v (t) = v · sin (2 π · f · t )

Für die Spannungsfunktion folgt:

U (t) = 2 · B · l · v (t) = 2 ·B · l · v ·sin(2 π · f · t )

U (t) = 2 · 0,5 · 0,080 · 5,03 V · sin (2 π · 20 s –1· t)

U (t) = 0,40 V · sin (40 π · s –1 · t )

v ù = v · sin α

b) Es entsteht eine sinusförmige Wechselspannung mit

dem Scheitelwert 0,40 V.

0,4

0,2

0

0,2

0,4

U in V

0,02 0,04

0,06 0,08 0,1

t in s

c) Wird die Frequenz halbiert, so sinkt der Betrag

der Geschwindigkeit auf die Hälfte und wegen

U = 2 · B · l · v sinkt der Scheitelwert der Spannung auf

U = 0,24 A · 1 = 0,24 V

b) Mit Veränderung der Stromstärke ändert sich die

Stärke des Magnetfelds der Spule. Nach dem Induktionsgesetz

entsteht dadurch zwischen den Enden der

Spule eine Induktionsspannung, die in der Physik als

Selbstinduktionsspannung bezeichnet wird.

Für die Selbstinduktion gilt:

U i = – L · ΔI }

Δt = 0 · r · N 2 · A

} l

· ΔI }

Δt

Soll U i kleiner sein, so muss man zum Beispiel die

Länge l der Spule vergrößern.

c) Aufbau: siehe Skizze

Wirkungsweise:

An die Primärspule

wird eine Wechselspannung

angelegt.

Dadurch entsteht

um die Primärspule

U 1 N 1 N 2 U 2

und damit im Eisenkern ein sich ständig änderndes

Magnetfeld, das auch die Sekundärspule durchsetzt.

Dadurch wird nach dem Induktionsgesetz in der

Sekundärspule eine Spannung induziert.

d) Es gilt:

Eisenkern

U } 1

= N 1

U }

2 N 2

Wenn die Sekundärspannung U 2 10-mal so groß wie

U 1 sein soll, dann muss auch die Sekundärwindungszahl

10-mal so groß wie die Primärwindungszahl

sein.



17. 417 884 CD als Beugungsgitter

a) Auf dem Schirm ergibt sich ein Interferenzmuster, so

wie man es bei der Nutzung eines optischen Gitters

beobachten kann.

b) Für die Wellenlänge erhält man:

k · λ

} b = }

sK a

λ = }

sK a · b

λ = 0,086 m · 1,6 · 10– 6 m

}}

0,20 m

λ = 688 nm

Bei genauerer Betrachtung der geometrischen

Verhältnisse am Gitter findet man für ein Maximum

die Beziehung:

b

sin α k = Δ s k

}

b .

α k

Δs

Mit der Bedingung Δ s = k · λ folgt die Gleichung

sin α k = }

k · λ , mit der sich die Wellenlänge

b

bestimmen lässt.

c) Grüner statt roter Laser: Da die Wellenlänge von

grünem Licht kleiner ist als die von rotem Licht, sind

die Maxima näher zusammen. Bei Verwendung einer

DVD ist die Gitterkonstante kleiner, der Abstand der

Maxima demzufolge größer als bei einer CD.

19. 414 634 Wellenlänge von Licht

a) Die Experimentieranordnung könnte so gestaltet

sein:

Spalt

Gitter

Schirm

18. 416 794 Interferenz am Gitter

a)

Die Sekundärstromstärke beträgt dann nur etwa ein

Zehntel der Primärstromstärke (Energieerhaltungssatz).

Quecksilberdampflampe

Kondensor

Spalt

Linse

großer

Gitter

Abstand

Schirm

1

2

3

1

2

3

P

Hauptmaximum k-ter Ordnung

Hauptmaximum 0-ter Ordnung

b) Folgende Größen sind direkt messbar:

e – Abstand Schirm – Gitter

s k – Abstand der 0-ten Ordnung zur k-ten

Ordnung der Spektrallinie auf dem

Schirm.

Es gilt tan α = }

sk e .

b

Gitter

α k

e

e

Schirm

s k

s K

Lichtquelle

Abbildungslinse

Durch die Lichtquelle wird ein Spalt ausgeleuchtet.

Dieser Spalt wird mit einer Sammellinse (Abbildungslinse)

auf dem Schirm scharf abgebildet. Anschließend

wird hinter die Linse ein Gitter gesetzt. Auf

dem Schirm ist ein Interferenzmuster zu sehen.

b) Beim Maximum 0. Ordnung besteht zwischen den

von verschiedenen Spalten ausgehenden Wellen kein

wellenlängenabhängiger Gangunterschied.

Für die Maxima 1. Ordnung und für die höherer

Ordnung gilt:

sin α K = }

k · λ

b

Das bedeutet: Der Winkel k , unter dem ein Maximum

auftritt, ist abhängig von der Wellenlänge λ.

Bei rotem Licht (große Wellenlänge) ist der Winkel

größer als bei blauem Licht (kleine Wellenlänge).

Bei Verwendung von weißem Licht entsteht in jeder

Ordnung (außer in der nullten Ordnung) ein kontinuierliches

Spektrum.

c) Es gilt allgemein:

k · λ

} b = }

sK e

Für die 1. Ordnung erhält man:


Komplexe Aufgaben

301

λ

}

b = }

s1 e

oder

v = 4,7 · 10 5 m Vergrößert man die Frequenz des Lichts, so erhöht

} s

sich die notwendige Gegenspannung für I = 0.

21. 428 744 Betrachtungen zum Fotoeffekt

λ = b · }

s1 e

a) Wegen des äußeren lichtelektrischen Effekts werden

durch die Photonen Elektronen aus dem Katodenmaterial

λ = 8,00 · 10–5 m · 6,25 · 10 –3 m

}}

0,650 m

λ = 769 nm

herausgelöst. Es gilt folgende Energiebilanz:

E Photon = W Ablöse + E kin, Elektron

20. 418 324 Der fotoelektrische Effekt

Damit Elektronen herausgelöst werden können,

muss die Energie des Photons E Photon ≥ W Ablöse

sein. Bei der entsprechenden Energie der Photonen

erhalten die Elektronen die Energiedifferenz

a) Aus h ∙ f G = W A folgt:

E Photon – W Ablöse = E kin, Elektron als kinetische

f G = W A

Energie.

}

h

f G = 4,27 ∙ 1,602 ∙ 10–19 J

}} = 1,03 ∙ 10 15 Die austretenden Elektronen besitzen demzufolge

Hz

6,626 ∙ 10 –34 Js

eine bestimmte maximale kinetische Energie. Es

Damit erhält man als Grenzwellenlänge:

fließt ein Strom, der durch die angelegte Gegenspannung

beeinflusst wird. Vergrößert man die Gegen-

λ = }

c f

spannung zwischen Katode und Anode, so werden

λ = 3,00 ∙ 108 m s

die Elektronen durch das Gegenfeld stärker abgebremst.

Wenn die kinetische Energie der Elektronen

} = 291 nm

1,03 ∙ 10 15 Hz

Licht mit einer Wellenlänge von 800 nm hat eine

Energie von:

nicht mehr ausreicht, um das Gegenfeld zu überwinden,

ist die Stromstärke null. Für den Grenzfall

E = }

h∙ c

(maximale Energie) gilt:

λ

e · U = W

E = 6,626 ∙ 10–34 Js ∙ 3 ∙ 10 8 }

m kin, Elektron

s

}}

800 ∙ 10 –9 m

E = 2,48 ∙ 10 –19 Hz = 1,55 eV

b) Es gilt:

E Photon = h · f = W Ablöse + E kin, Elektron

Die Energie bei λ = 400 nm ist doppelt so groß, also

3,1 eV. Beide Werte liegen deutlich unter dem Wert Zunächst kann man aus c = λ · f die Frequenz des

für die Austrittsarbeit (bei Zink: 4,27 eV). Damit kann Lichts berechnen. Es ergibt sich:

bei Verwendung von sichtbarem Licht bei Zink kein

Fotoeffekt auftreten.

f = }

c λ = 3 · 10 8 m s

} 2,5 · 10 –7 m 1015 Hz

Daraus erhält man:

b) Bei λ = 254 nm beträgt die Energie der Photonen:

E Photon = h · f = 6,63 · 10 – 34 Js · 1,2 · 10 15 s –1

E = }

h∙ c

λ

E

E = 6,626 ∙ 10–34 Js ∙ 3 ∙ 10 8 }

m Photon = 7,96 · 10 –19 J = 4,96 eV

s

}}

254 ∙ 10 –9 m

Mit der gegebenen kinetischen Energie der Elektronen

E = 4,89 eV

Damit beträgt die kinetische Energie des herausgelösten

ergibt sich die Ablösearbeit zu:

W Ablöse = 3,2 eV

Elektrons:

E kin = 4,89 eV – 4,27 eV = 0,62 eV

Daraus kann man die Geschwindigkeit des Elektrons

berechnen:

c) Durch die Intensitätserhöhung wird der gemessene

Fotostrom größer, d. h. es werden mehr Elektronen

herausgelöst.

Diese Erhöhung der Intensität bewirkt aber keine

E kin = }

1 2 m ·v 2

Veränderung der maximalen Energie der herausgelösten

Elektronen des Lichts; die Gegenspannung


v = √ } für I = 0 bleibt gleich.

2 E } kin

Schlussfolgerung: Die (maximale) kinetische Energie

m

der herausgelösten Elektronen hängt nicht von der

v = √ }}

2 · 0,62 · 1,602 · 10 –19 J

Intensität des Lichts ab.

}}

9,109 · 10 –31 kg

Schlussfolgerung: Die maximale kinetische Energie

des Fotoelektronen steigt an.



d) Nach dem Wellenmodell der klassischen Physik

entspricht eine Intensitätserhöhung des Lichts einer

größeren Energie der Welle. Demzufolge müssten

im Experiment durch eine Intensitätserhöhung

auch die kinetische Energie der herausgelösten

Elektronen und die notwendige Gegenspannung

für I = 0 größer werden. Dies ist nicht der Fall.

e)

2

1

0

–1

–2

E kin in eV

Aus dem Diagramm ist ablesbar:

− Die Austrittsarbeit beträgt etwa 2,0 eV.

− Das plancksche Wirkungsquantum (Anstieg) hat

einen Wert von etwa

h = Δ E kin

}

Δ f

= 2,0 · 1,602 · 10–19 J

}} = 6,7 · 10 –34 J · s

4,7 · 10 14 Hz

Das liegt nahe am Tabellenwert von 6,626 · 10 –34 J · s.

Hinweis: Die Berechnung kann auch mithilfe der

gegebenen Werte erfolgen.

22. 416 474 Neutronen als Quantenobjekte

a) 4 2 He + 9 4 Be g 12 6 C + 1 0 n

b) ΔE B = Δm · c 2

ΔE B = ( m He + m Be – m C – m n) · c 2

ΔE B = (4,002603 + 9,012182 – 12,00000

– 1,008665) u · c 2

ΔE B = 5,70 MeV > 0

Die Reaktion kann also ablaufen. Es wird Energie

freigesetzt.

c) Die α-Teilchen benötigen eine ausreichend hohe

kinetische Energie, um die Coulombabstoßung zu

überwinden.

d) Aus E = }

p 2

2 m und p = }

h λ

2 4 6

f in 10 14 Hz

folgt: E = h 2

}

2 m ∙ λ 2

e) Aus E = h

}

2

folgt:

2 m ∙ λ 2

λ = h

√ } 2 E ∙ m

6,626 · 10

λ =

–34 Js

√ }}}}

4,5 · 10 6 · 1,602 · 10 –19 J · 1,674 · 10 –27 kg

λ = 1,3 · 10 –14 m ! 10 –10 m (bei E = 4,5 MeV)

Damit sind diese Neutronen zu energiereich, um

Strukturen von Atomgröße untersuchen zu können.

f) Bei Stoßprozessen mit Stoßpartnern etwa gleicher

Masse findet maximaler Impuls- und damit maximaler

Energieübertrag statt. Daher geben die

Neutronen bereits bei wenigen Stößen mit den im

Wasser zahlreich vorhandenen Wasserstoffkernen

ihre Energie ab. Bei Blei tritt aufgrund der hohen

Kernmassen nur eine vergleichsweise geringe Wirkung

auf. Ein Magnetfeld hat keinen Einfluss auf die

Energie der Neutronen. eine zweckmäßige Variante

wäre: Abbremsen der Neutronen durch eine (dünne)

Wasserschicht.

g) Aus p = m ∙ v = }

h λ

v = }

h λ ∙ m

v =

folgt:

6,626 ∙ 10 –34 Js

}}}

0,1 ∙ 10 –9 m ∙ 1,675 ∙ 10 –27 kg

v = 4,0 ∙ 10 3 m } s

Das bedeutet: Für einen Weg von 250 m benötigen

die Neutronen weniger als eine Zehntelsekunde.

Demzufolge spielt die Halbwertszeit von 11,7 Minuten

keine nennenswerte Rolle. Der Anteil der zerfallenden

Neutronen ist vernachlässigbar.

23. 410 354 Elektronen als Quantenobjekte

a) Bei Quantenobjekten gilt für die Wellenlänge

λ = }

h p

und für den Impuls

p = m e · v

Aufgrund der Energieerhaltung beim Beschleunigungsvorgang

gilt:

1

} 2 m e · v e 2 = e · U

Damit erhält man für die Geschwindigkeit:

v =

√ } 2 · e · U

} m e

Mit den Werten folgt:

v = √ }}

2 · 1,6 · 10 –19 As · 5 · 10 4 V

}} ≈ 1,33 · 10 8 }

m 9,11 · 10 –31 kg

s .


Komplexe AufgabenKomplexe Aufgaben

303

Daraus ergibt sich für den Impuls:

p = m · v

p = 1,21 · 10

–22 kg · m

} .

s

Mit diesen Werten erhält man die de-Broglie-

Wellenlänge der Elektronen zu:

6,63 · 10

λ =

–34 Js

}} = 5,5 pm .

1,21 · 10 –22 kg · m

} s

b) Da die Entfernung zwischen Doppelspalt und Schirm

wesentlich größer ist als der Abstand benachbarter

Interferenzstreifen, gelten die bekannten geometrischen

Beziehungen am Doppelspalt.

Mit b = 100 nm, e = 5 cm und dem Abstand

zweier benachbarter Maxima s = 2,75 μm folgt

λ

aus } b = }

s die Wellenlänge λ = s · b

e

} zu 5,5 pm.

e

Das Experiment steht im Einklang mit der Theorie.

Die frei werdende Energie beträgt dann:

E = Δ m · c 2

E = 0,3275 · 10 –27 kg · (3· 10 8 }

m s ) 2

E = 2,9 · 10 –11 J = 180 · 10 6 eV = 180 MeV

d) Abschirmung: Durch die Abschirmung wird Kernstrahlung

absorbiert.

Kontrollierte Ableitung radioaktiver Stoffe: Es dürfen

nur bestimmte Mengen unter Einhaltung von

vorgegebenen Grenzwerten abgeleitet werden.

25. 416 224 Kernstrahlung

a) 212 Bi g 4 α + 208 Tl

83 2 81

212

Bi g 0 e + 212 Po

83 –1 84

c) Elektronen zeigen hier deutliche Eigenschaften von

Quantenobjekten. Das Verhalten einzelner Quantenobjekte

(Auftreffpunkt auf dem Schirm) kann

in der Regel nicht vorhergesagt werden. Es können

aber Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Auftreffpunkte

getroffen werden. Wenn mehr Elektronen

betrachtet werden, überlagern sich die Wahrscheinlichkeiten

und es entstehen die typischen Intensitätsverteilungsmuster

(Interferenzstreifen).

b) Nachfolgend sind einige mögliche Vergleichs aspekte

genannt:

Alphastrahlung

besteht aus doppelt positiv

geladenen Heliumkernen.

wird schon durch Papier

absorbiert (geringes

Durchdringungs vermögen).

Betastrahlung

besteht aus Elektronen.

hat ein etwas größeres

Durchdringungsvermögen

als Alphastrahlung.

24. 415 734 Kernumwandlungen des radioaktiven

Isotops U-235

a) Beschrieben werden können Filmdosimeter oder

Zählrohr.

kann in elektrischen und

magnetischen Feldern

abgelenkt werden.

hat eine große biologische

Wirksamkeit

(Q = 20).

kann in elektrischen und

magnetischen Feldern

abgelenkt werden.

hat eine geringe biologische

Wirksamkeit

(Q = 1).

b) 235

92 U g 4 2 α + 231

90 Th

c) Die Reaktionsgleichung lautet:

1

n + 235 U g 144 89

Ba + Kr + 3 1 n

0 92 56 36 0

Es wird zunächst der Massendefekt bestimmt:

Links:

Rechts:

1,674 928 6 · 10 –27 kg

+ 390,216 09 · 10 –27 kg

391,891 018 6 · 10 –27 kg

3 · 1,674 928 6 · 10 –27 kg

+ 238,938 37 · 10 –27 kg

+ 147,600 37 · 10 –27 kg

391,563 525 8 · 10 –27 kg

Der Massendefekt beträgt demzufolge:

Δm = 0,327 492 8 · 10 –27 kg

c) Die Aufgabe kann in unterschiedlicher Weise gelöst

werden:

Variante a: Die angegebene Zeit ist das Vierfache der

Halbwertszeit. Also sind noch nicht zerfallen:

− nach T 1/2 : 50 %

− nach 2 T 1/2 : 25 %

− nach 3 T 1/2 : 12,5 %

− nach 4 T 1/2 : 6,25 %

Demzufolge sind 100 % – 6,25 % = 93,75 % der ursprünglich

vorhandenen Atomkerne zerfallen.

Variante b: Man kann bei der Lösung auch vom Zerfallsgesetz

ausgehen:

N = N 0 · e – }

ln 2 · t

T 1/2

N = N 0 · e

– ln 2 · 242,4 min }}

60,6 min

N = N 0 · 0,0625

N

} = 0,0625 oder 6,25 %

N 0



d) Für die Energie gilt:

E = }

1 2 m · v 2

Daraus ergibt sich:

v = √ } 2 E

} m

v = √ }}

2 · 6,08 · 10 6 · 1,602 · 10 –19 J

}}

6,644 781 · 10 –27 J

v = 1,71 · 10 7 m } s

b)

E 1 = –13,6 eV

E 2 = –3,40 eV

E 3 = –1,51 eV

E 4 = –0,85 eV

E 5 = –0,54 eV

0 eV

– 0,54 eV

– 0,85 eV

–1,51 eV

–3,4 eV

E in eV

Übergänge (1d)

e) Die α-Teilchen bewegen sich auf einer kreisförmigen

Bahn. Die Richtung der Ablenkung ergibt sich aus

der UVW-Regel.

E Ion = 13,6 eV

f) Für den Bahnradius gilt die Gleichung:

r = }

m · v

Q · B

Bei gleichem v und B spielen Masse und Ladung eine

Rolle. Die Ladung eines Elektrons ist halb so groß wie

die eines Alphateilchens. Seine Masse ist aber mit

9,1 · 10 –31 kg um einige Größenordnungen kleiner

als die eines Alphateilchens. Demzufolge ist bei den

gegebenen Bedingungen der Bahnradius bei Elektronen

kleiner als bei Alphateilchen.

Hinweis: Die Begründung kann auch mit den spezifischen

Ladungen } m Q erfolgen.

26. 414 694 Spektrum und Energieniveaus

a) Es kann ein Spektralapparat (Zerlegung des Lichts

mit Prisma oder Gitter) genutzt werden. Die Ausmessung

von Spektral linien im sichtbaren Bereich kann

mit einem Spektrometer erfolgen.

–13,6 eV

c) Bild links n = 3, Bild Mitte n = 2, Bild rechts n = 1

Begründung: Wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit

des Elektrons auch in großem Abstand vom Kern

noch relativ groß ist, gehört es zu einem Zustand

hoher Energie.

Oder:

Das Niveau ohne Knotenfläche gehört zu n = 1.

Das Niveau mit einer Knotenfläche gehört zu n = 2.

Das Niveau mit zwei Knotenflächen gehört zu n = 3.

d) Das Atom befindet sich im ersten angeregten Zustand,

also n = 2.

Die Übergänge nach n = 3 und nach n = 4 sind energetisch

möglich.


duden fizik cevaplar

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?