Übungen zu Experimentalphysik III – Optik

Übungen zu Experimentalphysik III – Optik
WS 2012/2013
Übungsblatt 4
Mathematisch wird ein Laserpuls als Überlagerung ebener Wellen mit der Frequenz !
beschrieben werden:
E(z; t) = R ^E(0; !) e i(!t¡k(!)z) d!
Dabei bezeichnet k(!) = !n(!)
c die Wellenzahl. Die spektrale Phase Á(z; !) = k(!)z bzw. die
Wellenzahl k(!) können um die Zentralfrequenz !0 in eine Taylor-Reihe entwickelt werden:
Á(z; !) = Á(!0) + @Á
¯
!0 ¢! + P1 º=2
bzw.
@!
k(!) = k(!0) + @k
¯
!0 ¢! + P1 º=2
@!
(¢!) º
º!
(¢!) º
º!
@ º k
@! º
@ º Á
@! º
¯
¯ !0
Den Taylor-Koeffizienten können verschiedene Dispersionsordnungen zugeordnet werden.
Der erste Term wird als Gruppenverzögerung (group delay) bezeichnet:
GD = @Á
@!
= @k
@! z = k1z = z
vg
mit der Gruppengeschwindigkeit vg = @!
@k . Der zweite Term ist die Gruppengeschwindigkeitsdispersion
(group delay dispersion)
GDD = @2 Á
@! 2 = @2 k
@! 2 z = k2z
und der dritte Term (third order dispersion) ist definiert als
TOD = @3 Á
@! 3 = @3 k
@! 3 z = k3z
Während die GD nur zu einer zeitlichen Verzögerung des Pulses als Ganzes führt, wird der
Puls durch alle höheren Dispersionsordnungen verbreitert. Es lässt sich dabei zwischen
normaler bzw. positiver (GDD > 0) und anomaler bzw. negativer Dispersion (GDD < 0)
unterscheiden. Bei der normalen Dispersion propagieren die roten Spektralanteile schneller
als die blauen, während bei der anomalen Dispersion die blauen Spektralanteile den roten
vorauslaufen.
¯
¯ !0

Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass für die Pulsdauer eines Gauß-Pulses nach der Propagation durch ein Medium
mit der Länge z und dem Dispersionskoeffizienten k2 die folgende Beziehung gilt:
r
¿FWHM(z) = ¿0;FWHM ¢ 1 + 16(ln 2)2 k2 2 z2
¿ 4 0;FWHM
Aufgabe 2
Hinweise:
Der Gauß-Puls im Zeitbereich wird durch A(t) = A0 exp ¡ ¡ 1
2 ¡t2¢ beschrieben, wobei
¡ = 1
¿ 2 + ib0 = a0 + ib0 ist. Bei einem Fourier-limitierten Puls mit flacher Phase ist
b0 = 0.
Geben Sie zunächst den Gauß-Puls ^ A(!) im Frequenzbereich an.
Die Propagationsgleichung im Frequenzbereich ist ^ A(!; z) = ^ A(!; 0) exp ¡ ¡i k2
2 !2 z ¢ .
Bei ¿ handelt es sich nicht um die volle Halbwertsbreite, sondern um die 1=e-Breite.
Zeigen Sie, dass die Dispersionskoeffizienten k2 und k3 bei Propagation durch ein Medium
mit dem Brechungsindex n(¸) durch die folgenden Beziehungen gegeben sind:
k2 = @2k @! 2 = ¸3
2¼c2 @2n @¸2 k3 = @3k @! 3 = ¡ ¸4
4¼2c3 ³
3 @2n @¸2 + ¸ @3n @¸3 ´
Aufgabe 3
Die Abhängigkeit des Brechungsindex n eines Materials von der Wellenlänge ¸ lässt sich
durch die Sellmeier-Gleichung beschreiben:
n(¸) =
q
1 +
B1¸2 ¸2 B2¸2 + ¡C1 ¸2 B3¸2 + ¡C2 ¸2 ¡C3
Für das Borosilikatglas BK7 betragen die Sellmeier-Koeffizienten:
B1 = 1:03961212 , B2 = 0:231792344 , B3 = 1:01046945
C1 = 6:00069867 ¢ 10 ¡3 ¹m 2 , C2 = 2:00179144 ¢ 10 ¡2 ¹m 2 , C3 = 103:560653 ¹m 2
Berechnen Sie @2 n
@¸ 2 und k2 für die Wellenlänge ¸ = 800 nm.

Aufgabe 4
Berechnen Sie nun mit Hilfe der Ergebnisse aus den Aufgaben 1 bis 3 die Pulsdauer eines
Gauß-Pulses mit ¿0;FWHM = 100fs bzw. ¿0;FWHM = 5fs nach der Propagation durch 15 mm
BK7 Glas.