Rechenübung Human/Zahn
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Übungsaufgaben 2000 – Experimentalphysik für die Studiengänge <strong>Human</strong>- und <strong>Zahn</strong>medizin<br />
Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, ASB-409 �463 2479 e-mail: henniger@physik.tu-dresden.de<br />
DP M. Sommer ASB-423...�463 2487 e-mail: sommer@pssrs1.phy.tu-dresden.de<br />
Blatt - 1-<br />
Allgemeine Hinweise zur Lösung der Aufgaben<br />
Die <strong>Rechenübung</strong> soll Ihnen das "Handwerkszeug" für die Lösung physikalischer Aufgaben liefern und<br />
ein Gefühl für physikalische Zusammenhänge vermitteln. Dazu ist es erforderlich, dass Sie die gestellten<br />
Aufgaben zumindest versuchsweise lösen. Dabei auftretenden Probleme können Sie im Seminar<br />
zur Diskussion stellen. Es reicht in keinem Fall aus, nur die gegebene Lösung der Aufgaben anz uschauen.<br />
Erst wenn Sie die Lösung einer Aufgaben nach einigen Tagen – quasi aus dem Kopf – reproduzieren<br />
können, werden Sie auch ähnliche Aufgaben selbständig lösen können.<br />
Ihre Kenntnisse im Fach Experimentalphysik werden Sie in einer Klausur am Ende des Semesters<br />
beweisen können. Es sind 6 bis 7 Aufgaben zu lösen. Insgesamt sind 50 Punkte erreichbar. 14 Punkte<br />
reichen für die Note 4. Dazu müssten z.B. zwei Aufgaben vollständig gelöst werden. Ein großer Teil<br />
der Klausuraufgaben lehnt sich an die in der Übung behandelten Aufgaben an.<br />
Zulässige Hilfsmittel während der Klausur sind nur eine von unserer Seite gestellte Formelsammlung,<br />
ein nicht programmierbarer Taschenrechner und Schreibzeug. Ihre sogenannten Tafelwerke aus der<br />
Schule dürfen nicht verwendet werden! Die zugelassene Formelsammlung ist identisch mit der zum<br />
Buch von P. Müller: "Physik - Verstehen durch Üben". Eine größere Anzahl von diesem Buch ist in<br />
der Studentenbibliothek der TU erhältlich. Wir empfehlen Ihnen, bereits jetzt mit dieser Formelsammlung<br />
zu arbeiten. Die gegebenen Lösungen zu den Übungsaufgaben bauen darauf auf. Die Ursprungsformeln<br />
sind mit der dazugehörigen Signatur gekennzeichnet.<br />
Aufgabe 1<br />
Ein Auto mit der Geschwindigkeit vxo= 36 km/h prallt auf ein schweres, ortsfestes Betonhindernis.<br />
Nach dem Aufprall ist es um xk = 50 cm kürzer (Knautschzone). Die Bremskraft wird während<br />
des gesamten Knautschvorganges als konstant angesehen.<br />
a) Wie groß war die Bremsbeschleunigung des Autos?<br />
b) Wurde der Airbag ausgelöst, wenn dessen Sensor auf einen Schwellwert entsprechend der<br />
4-fachen Fallbeschleunigung g eingestellt war?<br />
LÖSUNG:<br />
Aus der Aufgabenstellung müssen Sie folgende Dinge entnehmen:<br />
• Das Problem läßt sich kinematisch betrachten, es ist also ein reines Bewegungsproblem. Die<br />
Größe der wirkenden Kräfte ist nicht gefragt. Deshalb gelten die Gleichungen aus der Formelsammlung<br />
M 1.<br />
• Die Aussage, daß die Bremskraft während des Knautschvorganges konstant ist bedeutet unter<br />
Anwendung des Newtonschen Grundgesetzes (F=m*a), daß auch die Bremsbeschleunigung während<br />
des Vorganges konstant ist. Damit handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.<br />
• Der vom Beginn des Knautschvorganges bis zum Stillstand des Autos zurückgelegte Weg ist<br />
gleich xk (Anfangs- und Endbedingung).<br />
• Die Anfangs- und Endgeschwindigkeiten mit vx0 und vEnd=0 sind ebenfalls gegeben. Zu beachten<br />
ist aber die Einheit der Geschwindigkeit. Bei Berechnungen wird prinzipiell ms -1 verwendet, wobei<br />
1 ms -1 = 3,6 kmh -1 sind.<br />
Aus der Formelsammlung M 1 ist zu entnehmen:<br />
SpezielleOrts<br />
a x 2<br />
x = ⋅ t + vx0<br />
⋅ t + x<br />
2<br />
Geschwindigkeit:<br />
v<br />
x<br />
=<br />
dx<br />
dt<br />
= x&<br />
− Zeit − Funktion,<br />
gleichmäßig<br />
beschleunigteBewegung:<br />
0<br />
Der Anfangsort x0 ist frei wählbar. Sinnvoll ist die Wahl x0=0. Damit wird automatisch xEnd=xk=0,5 m.<br />
Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion berechnet sich immer als erste Ableitung der Orts-Zeit-Funktion:
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Blatt - 2 -<br />
vx = ax ⋅ t + vx<br />
0<br />
Die Anfangsgeschwindigkeit vx0 beträgt 10 ms -1 , die Endgeschwindigkeit vEnd=0. Damit stehen für die<br />
Berechnung der beiden Unbekannten Bremsbeschleunigung und Dauer des Vorganges auch zwei<br />
unabhängige Gleichungen zur Verfügung, d. h. das Problem ist nun lösbar.<br />
x<br />
k<br />
aVerzögerung<br />
2<br />
= ⋅ t + v 0 ⋅ t<br />
2<br />
Verzögerung x Verzögerung<br />
v = = a ⋅ t + v<br />
End 0 Verzögerung Verzögerung x0<br />
Mit Hilfe der zweiten Gleichung läßt sich die unbekannte Dauer des Aufprallvorganges tVerzögerung eliminieren.<br />
Umgestellt nach der Bremsverzögerung lautet die Endformel:<br />
a<br />
Verzögerung<br />
2<br />
vx0<br />
= −<br />
2⋅<br />
x<br />
Das Ergebnis lautet damit:<br />
aVerzögerung= -100 m/s 2<br />
k<br />
Dieser Wert ist größer als das zehnfache der Erdbeschleunigung (9,81 m/s 2 ). Deshalb wird der Airbag<br />
ausgelöst.<br />
Aufgabe 2<br />
m1=1 kg<br />
zu Teil a,b<br />
l1= 85 cm<br />
l2= 15 cm<br />
m2=1 kg<br />
h=30cm<br />
m1=1 kg<br />
zu Teil c<br />
Zwei Körper sind mit einem 1 m langen Seil über eine Umlenkrolle verbunden. Körper 1 befindet<br />
sich auf der Tischplatte (siehe Abbildung), Körper 2 wird in einer Höhe von h=30 cm über<br />
dem Fußboden festgehalten. Bei t=0 wird Körper 2 losgelassen.<br />
a) Welche Beschleunigung erfährt der reibungsfrei gleitende Körper 1?<br />
b) Körper 2 erreicht bei t=t1 den Erdboden. Wie groß ist die Geschwindigkeit von Körper<br />
1 zu diesem Zeitpunkt?<br />
c) Körper 1 wird durch einen Vollzylinder ersetzt, und das Experiment wird wiederholt.<br />
Körper 2 erreicht bei t=t2 den Erdboden. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Vollzylinders<br />
bei t=t2?<br />
m2=1 kg<br />
h=30cm
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Blatt - 3 -<br />
LÖSUNG:<br />
Bei der Lösung dieser Aufgabe muß man Folgendes beachten. Der Körper 2 beschleunigt jeweils<br />
beide durch den Bindfaden verbundene Körper. Die beschleunigende Kraft ist damit immer die Gewichtskraft<br />
des Körpers 2. Beschleunigt werden aber durch die Kraft beide Körper. Dieser Gedankengang<br />
liegt der Lösung für a) zugrunde. Teil b) ließe sich rein kinematisch, d. h. über die Gesetze der<br />
geradlinig beschleunigten Bewegung lösen. Einfacher ist aber wie in vielen anderen Fällen ein Ansatz<br />
mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes. Dabei liegt der Gedanke zugrunde, daß die potentielle Energie<br />
des Körpers 2 in kinetische Energie von Körper 1 und 2 umgewandelt wird. Im Teil c) wird dieser Zusammenhang<br />
ebenfalls genutzt, hier ist allerdings zu beachten, daß der Vollzylinder neben der kinetischen<br />
Energie der Translation auch kinetische Energie der Rotation, also seiner Abrollbewegung aufnimmt.<br />
Der spezielle Fall zeigt auch, daß man nicht immer aller Größen des Körpers kennen muß.<br />
Hier genügt allein die Erkenntnis, daß es sich um einen Vollzylinder handelt, weder seine Länge noch<br />
sein Durchmesser sind bekannt. Wie man in der Lösung sieht, kürzen sich diese Werte wieder heraus,<br />
es genügt die Kenntnis der Masse des Zylinders.<br />
a)<br />
F = m<br />
b)<br />
Körper 1ist<br />
bei Aufprall<br />
⇒ E<br />
( m = m )<br />
1<br />
2<br />
c)<br />
⇒ E<br />
J<br />
=<br />
pot<br />
1<br />
2<br />
2<br />
m2<br />
⋅ g<br />
⋅ g = ( m1<br />
+ m2<br />
) ⋅ a ⇒ a =<br />
m + m<br />
von Körper 1noch<br />
1 1 2<br />
⇒ Erot<br />
= ⋅ m1<br />
⋅ r<br />
2 2<br />
2<br />
v 1 2<br />
⋅ = m 2 1 ⋅ v<br />
r 4<br />
1 2<br />
⇒ m2<br />
⋅ g ⋅ h = m1<br />
⋅ v<br />
2<br />
m<br />
⇒ v = 1,<br />
534<br />
s<br />
1 2<br />
+ m2<br />
⋅ v<br />
2<br />
+<br />
Aufgabe 3<br />
pot<br />
1<br />
1<br />
4<br />
1<br />
2<br />
⋅ v<br />
1<br />
2<br />
4,<br />
905<br />
auf Tischplatte<br />
1 2<br />
= m2<br />
⋅ g ⋅ h = Ekin<br />
= m1<br />
⋅ v<br />
2<br />
1 2<br />
+ m2<br />
⋅ v<br />
2<br />
2 ⎛ 1 1<br />
= v ⋅ ⎜ m1<br />
+ m<br />
⎝ 2 2<br />
1<br />
2<br />
⇒ g ⋅ h = v ⇒ v =<br />
m<br />
g ⋅ h = 1,<br />
716<br />
s<br />
1 2<br />
= m2<br />
⋅ g ⋅ h = Ekin<br />
+ Erot<br />
= m1<br />
⋅ v<br />
2<br />
1<br />
+ m2<br />
2<br />
2 1 2<br />
⋅ v + J1<br />
⋅ω<br />
2<br />
2<br />
m1<br />
⋅ r ,<br />
v<br />
Körper 1rollt<br />
⇒ ω =<br />
r<br />
m<br />
=<br />
2<br />
⋅ g<br />
=<br />
m<br />
s<br />
5<br />
⇒ g ⋅ h = ⋅ v<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⇒ v =<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
4<br />
⋅ g ⋅ h<br />
5<br />
Ein Sportwagen durchfährt mit einer konstanten Bahngeschwindigkeit von vs=144 km/h eine<br />
ausgebaute Kurve mit dem Radius r=100 m.<br />
a) Welcher Radialkraft F ist ein Fahrer mit einer Masse von 80 kg ausge setzt?<br />
b) Welchem Vielfachen der Gewichtskraft entspricht das?<br />
c) In welche Richtung wirkt diese Kraft?<br />
Wäre die Kurve nicht ausgebaut, würde das Auto mit der im Aufgabenteil b) berechneten Beschleunigung<br />
wegrutschen. Die Kurve kann in diesem Fall nur mit einer geringeren Geschwindigkeit<br />
durchfahren werden.<br />
d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit vMAX in physikalischen Einheiten km/h für eine maximal<br />
zulässige Radialbeschleunigung von aMAX = -9 m/s².
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Blatt - 4 -<br />
LÖSUNG:<br />
a) Berechnung der Radialkraft F aus der Bahngeschwindigkeit v s und dem Bahnradius r<br />
v s<br />
= 144 km/<br />
h = 40 ms<br />
−1<br />
aus der Formelsammlung im Abschnitt M2 steht für die Radialbeschleunigung:<br />
F = m ar<br />
=<br />
2<br />
vs<br />
− m<br />
r<br />
= − 80 kg<br />
−1<br />
( 40 m s )<br />
100 m<br />
2<br />
= −1280<br />
N<br />
Die Radialkraft hat also einen Betrag von 1280 N.<br />
b) Vielfache von g :<br />
2<br />
F ar<br />
= =<br />
−2<br />
mg<br />
g<br />
−<br />
16 m s<br />
9,<br />
81 m s<br />
≈ 1,<br />
6<br />
oder anders ausgedrückt: ar entspricht 1,6 g<br />
a r<br />
2<br />
v<br />
= −<br />
r<br />
c) Die Kraft zeigt zum Kurvenmittelpunkt. Das kann auch durch eine Skizze verdeutlicht werden.<br />
d) Maximalgeschwindigkeit bei ebener Fahrbahn!<br />
a<br />
=<br />
MAX<br />
2<br />
v<br />
=<br />
r<br />
9m<br />
s<br />
MAX<br />
vMAX = aMAX<br />
r<br />
−1<br />
= 108 km/ h<br />
Aufgabe 4<br />
100 m<br />
=<br />
900<br />
m<br />
2<br />
s<br />
−2<br />
= 30 m s<br />
Durch eine große Zentrifuge (Radius r = 10 m) soll eine große Beschleunigung fürs medizinische<br />
Fliegertraining erreicht werden.<br />
a) Berechnen Sie die Drehzahl N in Einheiten min -1 , die für eine Beschleunigung von 7 g notwendig<br />
ist.<br />
a) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Körpers auf dem Radius r?<br />
LÖSUNG:<br />
Bei einer gleichmäßigen kreisförmigen Bewegung wirkt eine Radialbeschleunigung, die den bewegten<br />
Körper auf der Kreisbahn hält. Sie ändert nur die Richtung, nicht aber den Betrag der Bahngeschwindigkeit.<br />
Physikalisch läßt sich eine solche Bewegung mit dem Radius r der Kreisbahn und der Winkelgeschwindigkeit<br />
ω (Winkel pro Zeit- Radiant pro Sekunde) beschreiben. Zu beachten ist bei der Lösung,<br />
daß die gefragte Drehzahl in Einheiten pro Minute erst aus der Winkelgeschwindigkeit umgerechnet<br />
werden muß. Weiterhin müssen Sie wissen, daß mit der Einheit "g" für den Wert der beschleunigung<br />
die Fallbeschleunigung g=9,81 ms -2 gemeint ist. Also ist 7 g der siebenfache Wert der<br />
Fallbeschleunigung.<br />
Die Radialbeschleunigung wird nach Formelsammlung M 2 berechnet:<br />
−1
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Blatt - 5 -<br />
a r<br />
= 2<br />
w<br />
⋅r<br />
Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl läßt sich aus folgender Überlegung<br />
ableiten. Der Winkel eines Vollkreises beträgt 2π. Eine Drehzahl von einer Umdrehung pro Sekunde<br />
entspricht also einer Winkelgeschwindigkeit von 2π pro Sekunde. Da die Drehzahl in der Einheit<br />
Umdrehungen je Minute gefragt ist, muß man das Ergebnis noch mit 60 s pro min multiplizieren.<br />
Zusammengefaßt lautet die Formel dann:<br />
Damit ist N:<br />
1 [ ]<br />
N min<br />
N<br />
=<br />
− =<br />
ar<br />
⋅60<br />
sec<br />
r<br />
2 ⋅π ⋅min<br />
ω ⋅ 60sec<br />
2⋅<br />
π ⋅ min<br />
Die Radialbeschleunigung soll gleich 7g sein. Damit lautet das Ergebnis:<br />
N=25 min -1<br />
Die Bahngeschwindigkeit wird aus der Radialbeschleunigung nach M 2 wie folgt berechnet:<br />
v = r ⋅ ω = r ⋅<br />
Das Ergebnis lautet:<br />
Aufgabe 5<br />
v=26 m/s.<br />
ar<br />
r<br />
Ein Bus mit der Masse 10 t beschleunigt innerhalb von 10 s gleichmäßig vom Stillstand auf<br />
36 km/h.<br />
Wie groß ist die maximale Leistung, die aufzubringen ist?<br />
Zu welchem Zeitpunkt wird die maximale Leistung aufgebracht?<br />
Wie groß ist die mittlere Leistung?<br />
LÖSUNG:<br />
Zur Lösung dieser Aufgabe ist die Kenntnis der Zusammenhänge zwischen Arbeit, Energie und Leistung<br />
notwendig. Aus der Formelsammlung M 4 ist für die Leistung zu entnehmen:<br />
P =<br />
dW<br />
dt<br />
r r<br />
= F ⋅ v<br />
Es handelt sich bei der Vorgang um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Das bedeutet, daß<br />
die Beschleunigung und damit die beschleunigende Kraft nach der NEWTONschen-<br />
Bewegungsgleichung konstant ist. Die Geschwindigkeit ist dagegen wächst linear mit der Zeit gemäß<br />
mit<br />
v( t) = a ⋅ t
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Blatt - 6 -<br />
vEnd<br />
a = (gleichmäßig beschleunigte Bewegung).<br />
t<br />
gesamt<br />
Die Richtungen von beschleunigender Kraft und Geschwindigkeit des Busses stimmen überein, so<br />
daß man das Skalarprodukt der Vektoren durch das Produkt der Beträge ersetzen kann. Damit ist die<br />
momentane Leistung:<br />
P( t m a t m v<br />
2<br />
End<br />
) = ⋅ ⋅ = ⋅ 2 ⋅ t<br />
t<br />
2<br />
gesamt<br />
Diese wird offensichtlich Ende des Vorganges nach 10 s maximal. Das Ergebnis lautet also:<br />
Pmax=100 kW.<br />
Die mittlere Leistung ist dagegen der Quotient aus verrichteter Gesamtarbeit und Gesamtdauer des<br />
Vorganges:<br />
P Ekin,<br />
End m ⋅v<br />
= =<br />
t 2 ⋅t<br />
gesamt<br />
Das Ergebnis lautet:<br />
Aufgabe 6<br />
P=50 kW.<br />
2<br />
End<br />
gesamt<br />
.<br />
Ein Hochspringer der Masse m = 70 kg will eine Höhe von h1 = 2 m erreichen.<br />
a) Welche Absprunggeschwindigkeit vo in physikalischen Einheiten km/h muß er dazu haben?<br />
b) Wie groß ist die dafür aufzubringende Energie E1?<br />
Ein Stabhochspringer der gleichen Masse will eine Höhe h2 = 5 m erreichen. Dazu biegt er den<br />
Stab nach dem Anlauf und verwandelt einen Teil seiner kinetischen Anlaufenergie in Spa nnungsenergie<br />
(gespeicherte Spannarbeit) des Stabes, die ihn nach oben katapultiert.<br />
c) Welche mechanische Spannungsenergie E2 ist in dem verwendeten Stab noch erforderlich,<br />
um die Differenzstrecke von h1 = 2 m bis h2 = 5 m zu überwinden?<br />
LÖSUNG:<br />
Aus der Aufgabenstellung sollten Sie erkennen, daß es sich bei dem Sprung um eine Umwandlung<br />
von kinetischer in potentielle Energie handelt. Solche Aufgabe lassen sich am einfachsten mit Hilfe<br />
des Energieerhaltungssatzes lösen. Die entsprechenden Formeln finden sich in der Formelsammlung<br />
unter M 4:<br />
1 2<br />
Kinetische Energie Ekin<br />
= ⋅ m ⋅ v<br />
2<br />
PotentielleEnergie<br />
imSchwerefel<br />
d E<br />
und<br />
Energieerh altungssat zE<br />
kin 1,<br />
+ E<br />
pot , 1<br />
pot<br />
= E<br />
= m ⋅ g ⋅ z<br />
kin,<br />
2<br />
b) und b) Beide Aufgabenteile lassen sich mit einfachen Energiebetrachtungen lösen. Um eine Höhe<br />
von 2 m zu erreichen, muß der Hochspringer beim Absprung mindestens eine kinetische Energie<br />
gleich der angestrebten potentiellen Energie, die der Sprunghöhe 2 m entspricht, besitzen. Dabei<br />
P(t)<br />
Pmax<br />
P<br />
+ E<br />
pot,<br />
2<br />
tEnd<br />
t
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Blatt - 7 -<br />
wird die potentielle Energie am Absprungpunkt und die kinetische Energie in der Höhe h=2 m<br />
gleich Null gesetzt:<br />
Ekin, 1 E pot , 1 m v0 Ekin, E pot , m g h<br />
2 1<br />
+ = ⋅ ⋅ + 0 = + = 0 + ⋅ ⋅<br />
2<br />
Daraus folgt:<br />
2 2 1<br />
wobei interessanterweise allein für die Berechnung der Absprunggeschwindigkeit die Masse des<br />
Springers gar nicht benötigt wird. Die Ergebnisse lauten:<br />
v0=22,5 km/h<br />
Ekin,1=1373 J<br />
Bitte beachten Sie, daß die Geschwindigkeit in m/s berechnet wurde und erst danach in km/h umgerechnet<br />
werden darf (Faktor 3,6).<br />
c) Nach dem Energieerhaltungssatz muß die erforderliche Spannungsenergie zum zusätzlichen Höhengewinn<br />
gleich dem zusätzlichen Gewinn an potentieller Energie sein.<br />
Das Ergebnis lautet:<br />
Aufgabe 7<br />
E2=2060 J<br />
Ein bemannter Schlitten mit der Masse m wird von einem Turm mit der Höhe h ausgeklinkt und<br />
durchläuft gerade noch eine Schleifenbahn mit dem Radius r.<br />
a) Wie hoch muß der Turm sein?<br />
b) Wie groß ist die Radialbeschleunigung im Punkt A?<br />
c) Welche Zwangskraft muß an diesem Punkt von der Schiene aufgebracht werden?<br />
LÖSUNG:<br />
v0 = 2⋅ g ⋅h<br />
1<br />
E = ΔE<br />
pot = m ⋅ g ⋅ h − h )<br />
2<br />
( 2 1<br />
r<br />
A<br />
Als Kriterium, daß der Schlitten im Scheitelpunkt der Schleifenbahn nicht nach unten fällt, muß die<br />
Radialbeschleunigung in diesem Punkt größer bzw. gleich der Fallbeschleunigung g sein. Die minimale<br />
Höhe des Startturmes läßt sich am einfachsten über den Energieerhaltungssatz berechnen, da die<br />
kinetische Energie des Körpers in Scheitelpunkt gleich der potentiellen Energie am Startpunkt ist. Bei<br />
der Berechnung der Gesamthöhe des Turmes kommt dann noch die Höhe der Schleife hinzu.<br />
Die Formeln zur Berechnung der Radialbeschleunigung und der Bahngeschwindigkeit sind schon in<br />
Aufgabe 8 angegeben. Der Energieerhaltungssatz lautet:<br />
h
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Blatt - 8 -<br />
KinetischeEnergieE<br />
Potentielle<br />
Energieim<br />
kin<br />
Energieerhaltungssat<br />
zE<br />
=<br />
1<br />
2<br />
Schwerefel<br />
kin,<br />
1<br />
⋅ m⋅<br />
v<br />
+ E<br />
2<br />
d E<br />
pot , 1<br />
pot<br />
= E<br />
= m ⋅ g ⋅ z<br />
kin,<br />
2<br />
Am Anfangspunkt (1) ist die Geschwindigkeit Null und die Höhe z gleich h, wenn man den Nullpunkt<br />
der Höhe wie in der Skizze an den Punkt A ansetzt. Am interessierenden Punkt (2), also dem oberen<br />
Scheitel der Schleifenbahn, ist die Geschwindigkeit v und die Höhe beträgt 2r. Damit ist:<br />
mit<br />
Damit ist h:<br />
m g h m ⋅ ⋅ = ⋅ v + m⋅ g ⋅2r<br />
2<br />
v = r ⋅<br />
2<br />
ar<br />
= r ⋅<br />
r<br />
g 2<br />
r ⋅<br />
h<br />
r 5<br />
= + 2 ⋅ r = ⋅ r<br />
2 ⋅ g 2<br />
g<br />
r<br />
Die Radialbeschleunigung im Punkt A (niedrigster Punkt) berechnet sich wieder über Energieerhaltungssatz<br />
==> Bahngeschwindigkeit ==> Radialbeschleunigung über die schon angegebenen Formeln<br />
bei nun bekannter Turmhöhe:<br />
Damit ist:<br />
2<br />
v = 2 ⋅ g ⋅ h = 5 ⋅ g ⋅ r<br />
ar = 5 ⋅ g<br />
Die Zwangskraft im Punkt A berechnet sich nach dem Newtonschen Grundgesetz, wobei zu beachten<br />
ist, daß zusätzlich zur Radialkraft noch die Gewichtskraft wirkt:<br />
Aufgabe 8<br />
FA r<br />
= m⋅<br />
a + m⋅<br />
g = 6 ⋅m<br />
⋅ g<br />
Ein Pendelkörper (Kugel) schwingt reibungsfrei an einem masselosen Faden mit der Länge l=2<br />
m (siehe Zeichnung).<br />
x<br />
l<br />
m<br />
+ E<br />
pot , 2
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Blatt - 9 -<br />
a) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Auslenkung.<br />
b) Wie groß ist die Frequenz der Schwingung?<br />
c) Bei x=0 beträgt die Geschwindigkeit der Kugel v=0,5 m/s. Wie groß ist die maximale<br />
Auslenkung xmax?<br />
d) Die Kugel schwingt nun in einem Wasserbassin. Wie verändert sich die Kreisfrequenz?<br />
LÖSUNG:<br />
a)<br />
ω<br />
b)<br />
f =<br />
2π<br />
c)<br />
E<br />
x<br />
kin<br />
=<br />
1<br />
2<br />
m ⋅v<br />
ω =<br />
2<br />
= E<br />
g<br />
l<br />
pot<br />
⇒<br />
1<br />
2π<br />
0,<br />
3525<br />
l − h<br />
⎛ l − h⎞<br />
cosϕ<br />
= ⇒ ϕ = acos⎜<br />
⎟ == a cos(<br />
0,<br />
987)<br />
= 0,<br />
16 rad ⇒ x<br />
l<br />
⎝ l ⎠<br />
d) Wasserbas sin ⇒ Reibung ⇒ Kreisfrequ enz verringer t sich !<br />
• b<br />
Reibungskr aft : FR<br />
= −b<br />
⋅ x ⇒ γ = ⇒ω<br />
=<br />
2m<br />
( b über Stokesches Gesetz bestimmbar )<br />
Varianten zu c):<br />
f<br />
=<br />
g<br />
l<br />
=<br />
2<br />
1<br />
v<br />
= m ⋅ g ⋅ h ⇒ h = =<br />
2<br />
g<br />
Hz<br />
0,<br />
0255<br />
ω<br />
2<br />
0<br />
− γ<br />
m<br />
2<br />
mit ω<br />
2<br />
"<br />
• Berechnung von x über den Pythagoras x = l − ( l − h)<br />
= 31,<br />
8 cm<br />
2<br />
0<br />
max<br />
g<br />
=<br />
l<br />
= l ⋅ϕ<br />
=<br />
• Berechnung über Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der ungedämpften Schwingung<br />
v x ( t)<br />
x(<br />
t)<br />
= xm<br />
0 cos( 0t)<br />
⇒ vmax<br />
= xm<br />
⋅w<br />
w w &<br />
Aufgabe 9<br />
= =<br />
≈ 22,<br />
6 cm<br />
0,<br />
32 m<br />
Eine Infusionsflasche mit dem Volumen V = 1 l ist in einer Höhe von h = 1,28 m über einem<br />
Labortisch aufgehängt. Die Flüssigkeit entweicht über einen Schlauch ungehindert und reibungslos<br />
durch eine auf dem Tisch liegende Kanüle mit dem Innendurchmesser von d = 1 mm.<br />
a) Mit welcher Geschwindigkeit v0 strömt die Flüssigkeit aus?<br />
b) Nach welcher Zeit t ist die Flasche leer?<br />
LÖSUNG:<br />
Da der Vorgang als reibungsfrei angesehen wird, läßt sich das Problem über den Energieerhaltungssatz<br />
lösen. Dabei wird die potentielle Energie der hochhängenden Infusionsflasche in kinetische Energie<br />
der Flüssigkeitsstromes umgewandelt:<br />
t<br />
l-h<br />
h<br />
ϕ<br />
l
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Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 10 -<br />
E<br />
m<br />
= ⋅ v = m⋅ g ⋅ h = E<br />
2<br />
kin2 0 pot<br />
2<br />
1<br />
Damit ist die Austrittsgeschwindigkeit:<br />
v = 2 ⋅ g ⋅ h<br />
0<br />
Das Ergebnis lautet:<br />
v0=5 m/s.<br />
Die zur Leerung der Flasche erforderliche Zeit berechnet sich analog zu Aufgabe 10. Dabei wird angenommen,<br />
daß sich die Fallhöhe während des Auslaufens nicht wesentlich ändert, die Ausströmgeschwindigkeit<br />
also nicht ändert:<br />
4⋅V t = 2<br />
π ⋅d ⋅ v<br />
Das Ergebnis lautet:<br />
Aufgabe 10<br />
t=255 s.<br />
0<br />
.<br />
Ein mit V = 9 l Wasser gefüllter Eimer (Leermasse mleer = 1 kg) soll mit waagerecht ausgestrecktem<br />
Unterarm gehalten werden. Die Länge l1 vom Zentrum des Ellenbogengelenks bis zum Ansatz<br />
des Bizeps am Unterarm beträgt 4 cm (Ansatzwinkel a = 78.8°). Vom Ansatzpunkt des Bizeps<br />
bis zum Haltepunkt des Eimers ist die Entfernung l2 = 36 cm.<br />
Welche Kraft muß der Bizeps aufbringen?<br />
Ellenbogengelenk<br />
(Drehpunkt)<br />
LÖSUNG:<br />
a<br />
l1 l2<br />
Voraussetzung (wurde in der Aufgabenstellung nicht explizit angegeben, ist aber in der Skizze erkennbar):<br />
Unterarm ist horizontal, Oberarm ist vertikal, daraus folgt, daß alle Winkel außer α rechte Winkel sind.<br />
10 l
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Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 11 -<br />
In der Aufgabe wird die Berechnung der Bizepskraft gefordert. Sie müssen deshalb aus der Aufgabenstellung<br />
folgende Zusammenhänge erkennen:<br />
• Der mit dem Wasser gefüllte Eimer hat eine bestimmte (Gesamt-) Masse und deshalb wirkt an der<br />
Hand eine Gewichtskraft. Diese Kraft wirkt senkrecht nach unten.<br />
• Da die Gewichtskraft nicht direkt am Ansatzpunkt des Bizeps angreift, gilt für die Kraft an diesem<br />
Punkt allgemein der Drehmomentensatz.<br />
• Mit dem Drehmomentensatz läßt sich elegant die Bizepskraft berechnen. Dabei ist zu beachten,<br />
daß die zum Halten des Eimers erforderliche Gegenkraft nur entlang vorgegebener Wirkungslinien<br />
verlaufen kann. Diese Wirkungslinien sind in der Aufgabe die Knochen und der Bizeps. Also ist die<br />
Richtung der Bizepskraft durch den Verlauf des Bizeps vorgegeben.<br />
Also erfolgt die Lösung in 2 Schritten:<br />
• Berechnung der Gewichtskraft des gefüllten Eimers,<br />
• Berechnung der Bizepskraft mittels Drehmomentensatz unter der Voraussetzung, daß die Gewichtskraft<br />
des Eimers senkrecht und die Bizepskraft unter dem Winkel α zum Unterarm wirkt.<br />
Günstig erweist sich oftmals eine Lösung ausschließlich über Formeln, in die erst am Schluß Werte<br />
eingesetzt werden. Das Ergebnis läßt sich anhand von Einheitenbetrachtungen (Berechnung des Lösungswertes<br />
unter Berücksichtigung der physikalischen Einheiten der Ausgangswerte) auf grobe Fehler<br />
(falsche Umstellungen, Vertauschungen usw.) hin überprüfen. Das Ergebnis muß die Einheit Newton<br />
(kg*m*s -2 ) besitzen. Wichtig ist auch die Beachtung der Vorsätze „Milli“, „Mikro“, „Kilo“ usw., um im<br />
Ergebnis nicht die Größenordnung zu verfehlen.<br />
1. Berechnung der Gesamtgewichtskraft<br />
FG H O = mg<br />
⋅ g<br />
, mit<br />
2<br />
m g = mEimer<br />
+ mH<br />
2O<br />
m<br />
H O<br />
2<br />
= ρ<br />
H O<br />
2<br />
⋅V<br />
H O<br />
2. Die Berechnung der Bizepskraft mittels Drehmomentensatz wird der Formelsammlung unter der<br />
Signatur M 7 (Mechanik Thema 7) entnommen:<br />
r r r<br />
M = r × F,<br />
M = F ⋅ r ⋅sin<br />
a , Gleichgewicht<br />
: ∑<br />
k<br />
Der Winkel α ist dabei der Winkel zwischen r (Verbindungslinie Drehpunkt - Ansatzpunkt der Kraft)<br />
und der Richtung der Kraft. Dieser ist an der Hand 90° und am Bizeps α (siehe Skizze in der Aufgabenstellung).<br />
Damit ist:<br />
r r r r r r r<br />
ΣM = l × F + l + l × F = 0<br />
( )<br />
k 1 Bizeps 1 2 G, H2O ( )<br />
l ⋅ F ⋅ sin α = l + l ⋅ F<br />
1 Bizeps 1 2 G , H2O Zusammengefaßt ergibt sich die Bizepskraft zu:<br />
Ergebniskontrolle anhand Einheitenbetrachtung:<br />
2<br />
l1<br />
+ l2<br />
FBizeps = ⋅ g ⋅(<br />
mEimer<br />
+ ρH<br />
2O<br />
⋅V<br />
sin α ⋅l<br />
1<br />
H O<br />
2<br />
)<br />
r<br />
M<br />
Meter Meter kg<br />
3<br />
[ ] = ⋅ ⋅(<br />
kg+<br />
⋅ Meter )<br />
F Bizeps<br />
1⋅<br />
Meter<br />
Sekunde<br />
kg⋅<br />
Meter<br />
[ ] = Newton<br />
FBizeps = 2<br />
Sekunde<br />
2<br />
Meter<br />
3<br />
k<br />
r<br />
= 0<br />
mit
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Blatt - 12 -<br />
Ergebnis: Die Kraft, die der Bizeps aufbringen muß, um den Wassereimer zu halten, beträgt:<br />
Aufgabe 11<br />
FBizeps=1000 N<br />
Ein Heißluftballon V = 500 m³ ist mit Luft der Temperatur J 1 = 100°C gefüllt. Die Umgebungsluft<br />
hat eine Temperatur von J 0=0°C mit der Dichte r 0 = 1,29 kg/m³. Der Ballon und der Korb nebst<br />
Aufhängung haben eine Masse von m=70 kg. Luft kann bei diesen Temperaturen als ideales<br />
Gas betrachtet werden. Die Dichte ist dann umgekehrt proportional zur absoluten Temperatur<br />
des Gases.<br />
a) Wie groß kann die Nutzlast mN sein?<br />
b) Wie groß wäre die Nutzlast bei einer Heliumfüllung mit der Dichte rHe = 0,179 kg/m³?<br />
LÖSUNG:<br />
a) Berechnung der Nutzlast:<br />
Die Auftriebskraft F A ist Masse der verdrängten Luft m L mal Fallbeschleunigung g<br />
FA L 0<br />
m g V g r = = .<br />
Der Ballon schwebt, wenn die Auftriebskraft gleich seiner gesamten Gewichtskraft<br />
G = ( m + mN<br />
+ mG)<br />
g ist, wobei G m die Masse des Füllgases - hier die heiße Luft, m N die Nutzlast<br />
und m die Leermasse von Ballon, Korb und Aufhängung ist. Durch Gleichsetzen von F A mit G folgt<br />
m m m V + + = r und<br />
0<br />
m G<br />
aus<br />
bzw.<br />
m N<br />
N<br />
G<br />
= r V wobei r die Dichte des Füllgases ist<br />
r 1 r2<br />
= (siehe auch Aufgabenstellung) folgt<br />
T<br />
1<br />
= r<br />
T<br />
2<br />
T<br />
r = r und mit T = T + J = 273,<br />
15 K + J<br />
0<br />
0<br />
T1<br />
T0<br />
m + mN<br />
= ( r 0 − r ) V = r0<br />
( 1−<br />
)<br />
T<br />
0<br />
V<br />
0<br />
= 1,<br />
29 kg m<br />
T0<br />
( 1 − ) − m<br />
T<br />
−3<br />
b) Heliumfüllung<br />
mN = ( r<br />
0 − rHe<br />
1<br />
500 m<br />
3<br />
( 1<br />
) V − m = ( 1,<br />
29<br />
0<br />
1<br />
V<br />
273,<br />
15 K<br />
− ) − 70 kg = ( 172,<br />
8 − 70)<br />
kg ≈ 103 kg<br />
373,<br />
15 K<br />
−<br />
0,<br />
179<br />
)<br />
kgm<br />
−3<br />
500 m<br />
3<br />
− 70 kg = 485,<br />
5 kg
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Blatt - 13 -<br />
Aufgabe 12<br />
Mittels einer Dosierpumpe erhält ein Patient Kontrastmittel zugeführt. Die pro Zeiteinheit zugeführte<br />
Flüssigkeitsmenge wird über eine Druckmessung bestimmt. Dabei wird der Differenzdruck<br />
zwischen zwei unterschiedlichen Querschnitten einer sich verjüngenden Röhre gemessen.<br />
Der Innenradius des größeren, kreisförmigen Querschnitts beträgt r1 = 4 mm, der an der<br />
Verjüngung r2 = 1 mm. Der gemessene Differenzdruck Dp entspricht dem Schweredruck einer<br />
Quecksilbersäule mit der Höhe h = 10 mm (ca. 10 Torr). Die Dichte von Quecksilber beträgt<br />
rHg = 13,55 g/cm³. Die innere Reibung der Flüssigkeit wird vernachlässigt. Die Infusionsflüssi gkeit<br />
hat die Dichte r w wie Wasser.<br />
a) In welchem Rohrteil herrscht ein geringerer statischer Druck?<br />
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v1 in Einheiten m/s im dickeren Rohrteil mit dem Inne nradius<br />
r1.<br />
c) Wie groß ist der Volumenstrom Iv = dV/dt in Einheiten cm³/s?<br />
d) Welches Flüssigkeitsvolumen Vp in Einheiten ml erhält der Patient bei einer Pumpdauer<br />
von t = 30 s zugeführt?<br />
LÖSUNG:<br />
a) Druckunterschied:<br />
Aus der Formelsammlung BERNOULLI-Gleichung (M 14):<br />
r 2<br />
p + gz + v = p0<br />
= const.<br />
2<br />
p<br />
r mit 1 2<br />
r<br />
2<br />
2<br />
1 + v1<br />
= p2<br />
+ v2<br />
und 1 2<br />
2<br />
v<br />
b) Berechnung von 1<br />
r<br />
2<br />
z = z (kein Höhenunterschied!)<br />
v < v , daraus folgt p 1 > p2<br />
Druckdifferenz durch unterschiedlichen Staudruck (Dichte von Wasser<br />
Δp<br />
=<br />
Kontinuität:<br />
1<br />
1<br />
p<br />
1<br />
−<br />
2<br />
p<br />
2<br />
2<br />
rW<br />
=<br />
2<br />
2<br />
1<br />
v<br />
2<br />
2<br />
1<br />
r w<br />
−<br />
2<br />
A v = A v = p r v = p<br />
r<br />
v 2 = v1<br />
bzw.<br />
r<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
v<br />
r<br />
v<br />
2<br />
1<br />
v<br />
=<br />
r<br />
2<br />
W<br />
( v<br />
2<br />
2<br />
− v<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
4<br />
2 2 2<br />
2 1 4<br />
1<br />
4<br />
2 1<br />
1 ⎟<br />
2<br />
⎟<br />
r<br />
= v<br />
r<br />
=<br />
⎛ r ⎞<br />
v ⎜<br />
r<br />
⎝<br />
⎠<br />
)<br />
3<br />
W 1 g cm = r ):<br />
Da r 1 genau 4 mal so groß ist wie r 2 ist die Geschwindigkeit v 2 16 mal so groß wie v 2 und die Quadrate<br />
der Geschwindigkeiten unterscheiden sich um den Faktor 256!<br />
also gilt:<br />
v = 256 v<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
Messung mit Quecksilbermanometer:<br />
Δ<br />
v<br />
p = r Hg<br />
r<br />
1<br />
Hg<br />
g h =<br />
=<br />
g h<br />
r<br />
2<br />
W<br />
1<br />
2 4<br />
⎛ r ⎞ 1<br />
⎜<br />
r ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
v<br />
2<br />
1<br />
−1<br />
⎛ r ⎞ 1 ( ⎜<br />
⎟<br />
⎝ r2<br />
⎠<br />
r<br />
r<br />
Hg<br />
W<br />
4<br />
−1)<br />
g h =<br />
2<br />
255<br />
r<br />
r<br />
Hg<br />
W<br />
g h
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Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 14 -<br />
v<br />
1<br />
2 −2<br />
−1<br />
= 13,<br />
55⋅<br />
9,<br />
81m<br />
s 0,<br />
01m<br />
≈ 0,<br />
1m<br />
s<br />
255<br />
c) Volumenstrom<br />
I v<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
− 1<br />
3 −1<br />
( 0,<br />
4 cm)<br />
⋅10<br />
cm s = 51,<br />
cm<br />
= A v = p r v = p ⋅<br />
s<br />
d) Flüssigkeitsvolumen<br />
Vp = I v t = 154 cm<br />
Aufgabe 13<br />
3 =<br />
154 ml<br />
Für verschiedene Zwecke werden bestimmte Anlagen und Geräte mit einem inerten Gas, zum<br />
Beispiel N2, gespült.<br />
Als wöchentlicher Bedarf wird eine Masse m(N2) = 125 kg flüssiger Stickstoff verwendet. Das<br />
verdampfte Stickstoffgas wird den Verbrauchern mit einem Überdruck, der einer Quecksilbersäule<br />
von h = 50 mm entspricht, geliefert. Die Temperatur in den Räumen beträgt q1 = 20°C.<br />
Welches Gasvolumen in Litern (gemessen mit Durchflußzählern in den Leitungen) kann der<br />
Anlage entnommen werden?<br />
Hinweise:<br />
• Die Anlage kann bei der Beschickung als mit Stickstoffgas gefüllt angesehen werden. Das<br />
Eigenvolumen der Tank- und Rohrleitungsanlage braucht deshalb nicht berücksichtigt zu<br />
werden.<br />
• Der äußere Luftdruck p0 (Normaldruck) beträgt 101,3 kPa.<br />
• Rechnen Sie den Überdruck in der Leitung getrennt aus!<br />
• Die Dichte von Quecksilber beträgt r = 13,55 g/cm³.<br />
• Das Atomgewicht von Stickstoff beträgt 14 atomare Masseneinheiten.<br />
LÖSUNG:<br />
Es gilt die Thermische Zustandsgleichung für das Ideale Gas (T 3):<br />
p ⋅ V = ν ⋅ R⋅ T<br />
Das Volumen soll berechnet werden, die Temperatur ist gegeben, der Druck ist der Umgebungsluftdruck<br />
plus Überdruck in den Leitungen und die Stoffmenge ν läßt sich aus der vorggebenen Masse<br />
berechnen. Die Aufgabe läßt sich also in folgende Teilaufgaben untergliedern:<br />
1. Berechnung des Überdruckes in den Leitungen in Pascal,<br />
2. Berechnung der Stoffmenge des Stickstoffes aus der Masse,<br />
3. Berechnung des Stickstoffvolumens bei den angebenen Umgebungsbedingungen aus der Stoffmenge,<br />
1. Der Überdruck ist gleich dem Schweredruck der Quecksilbersäule (nach M 13):<br />
Δp = ρ ⋅ g ⋅ h<br />
Δp<br />
= 6650<br />
Pa<br />
2. Das Atomgewicht von Stickstoff ist mit 14 atomaren Masseneinheiten angegeben, zu beachten ist<br />
aber, daß Stickstoff immer ein zweiatomiges Molekül (N2) bildet. Die Molmasse M(N2) ist also<br />
28 g/mol.
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Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 15 -<br />
n<br />
n<br />
N 2<br />
N 2<br />
=<br />
m<br />
M<br />
N 2<br />
N 2<br />
= 4464<br />
mol<br />
3. Mit der Thermischen Zustandsgleichung läßt sich nun das Gasvolumen berechnen, wobei die Molare<br />
Gaskonstante R = 8314,51 J/(kmol*K) ist:<br />
n ⋅ R ⋅ T<br />
V =<br />
p<br />
V =<br />
M<br />
Aufgabe 14<br />
N 2<br />
V = 100m<br />
m<br />
⋅<br />
3<br />
N2<br />
( p + r ⋅ g ⋅ h)<br />
0<br />
⋅ R ⋅T<br />
Die von einem Sporttaucher ausgestoßenen Luftblasen verdoppeln ihr Volumen, wenn sie bis<br />
zur Wasseroberfläche, wo momentan der Luftdruck pO = 10 5 Pa herrscht, aufsteigen. Die Ausdehnung<br />
der Luftblasen kann als isotherm angesehen werden<br />
In welcher Tiefe z befindet sich der Taucher?<br />
LÖSUNG:<br />
An der Wasseroberfläche herrscht nur der normale Luftdruck (etwa 100 kPa). Im Wasser herrscht<br />
zusätzlich in Abhängigkeit von der Tauchtiefe noch der Schweredruck (M 13) des Wassers:<br />
p = ρ ⋅ g ⋅ z<br />
H2 O H2O p = p + ρ ⋅ g ⋅ z<br />
gesamt 0 H2O .<br />
Die Temperatur des Gases bleibt wegen des umgebenden Wassers konstant (isotherme Ausdehnung).<br />
Deshalb gilt das Spezialfall des Thermischen Zustandsgleichung (T 3; ν, R und T sind Konstanten)<br />
das Boyle-Mariottesche Gesetz:<br />
p⋅ V = const.<br />
p ⋅ V = p ⋅V<br />
gesamt<br />
1 0 0<br />
Zusammen mit der Bedingung, daß sich das Volumen der Gasblasen verdoppelt, folgt:<br />
( ρ )<br />
p + ⋅ g ⋅ h ⋅ V = p ⋅ 2⋅<br />
V<br />
0 1 0 1<br />
p0<br />
h =<br />
ρ ⋅ g<br />
h = 10, 2 m<br />
Zu beachten ist hierbei wieder das Einsetzen der Werte in den richtigen Einheiten (vor allem Dichte in<br />
kg/m 3 ).
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Blatt - 16 -<br />
Aufgabe 15<br />
In einer Badewanne mit der Wärmekapazität C = 50 kJ/K befinden sich mw = 220 kg Wasser mit<br />
der Temperatur qw = 65 °C. Für Wasser gilt cW = 4,19 kJ/(kg K).<br />
a) Wieviel Liter kaltes Wasser (Volumen VK) von qK = 14 °C muß zugegossen werden, damit<br />
eine Mischtemperatur von qM = 38 °C entsteht?<br />
b) Mit welcher Masse mD von 100 °C heißem Wasserdampf kann die jetzt in der Wanne befindliche<br />
Wassermasse wieder auf 65 °C erwärmt werden? Die Verdampfungswärme für Wasser<br />
beträgt qv = 2255 kJ/kg.<br />
LÖSUNG:<br />
a) Die Lösung erfolgt über eine Berechnung der Wärmebilanz (T 1). Das zugeführte kalte Wasser<br />
nimmt bei seiner Erwärmung genau soviel Wärme auf, wie das warme Wasser und die Badewanne<br />
abgeben. Zu beachten ist, daß die in der Aufgabe angebene Wärmekapazität für Wasser eine spezifische<br />
Wärmekapazität ist, d. h. Wärme pro Temperaturänderung und Masse des Wassers gerechnet<br />
wird, dagegen wurde bei der für die Badewanne angegebenen Wärmekapazität schon die spezifische<br />
Wärmekapazität des Wannenmaterials mit der Masse der Wanne multipliziert. Die entsprechende<br />
Formel ist nicht in der Formelsammlung enthalten, läßt sich aber einfach ableiten:<br />
Q = m⋅ c⋅ ΔT<br />
C = m ⋅c<br />
Wanne Wanne Wanne<br />
Q = C ⋅ ΔT<br />
Wanne<br />
( θw θ Misch) W W ( θw θ Misch) W K ( θ Misch θk<br />
)<br />
( C + cw ⋅ mw)<br />
⋅ ( θw − θ Misch)<br />
=<br />
c ⋅ ( θ − θ )<br />
C ⋅ − + c ⋅ m ⋅ − = c ⋅ m ⋅ −<br />
m<br />
k<br />
m = 261 kg<br />
k<br />
V = 261l<br />
k<br />
W Misch k<br />
b) Die Berechnung stützt sich auf dieselben Überlegungen wie bei a), zu beachten ist einerseits die<br />
Verdampfungswärme des Dampfes und andererseits die nun erhöhte Gesamtmasse des Wassers:<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
C⋅ θ − θ + c ⋅ m + m ⋅ θ − θ + q ⋅ m + c ⋅m ⋅ θ − θ = 0<br />
Misch w W w k Misch w V D W D D w<br />
m = 232, kg<br />
D<br />
Man sieht deutlich, daß der Dampf durch die extrem hohe Verdampfungswärme eine große Wärmemenge<br />
mit sich führt.<br />
Aufgabe 16<br />
Die Luftröhre als Atemweg zwischen dem Kehlkopf und den in die Lungenflügel führenden<br />
Stammbronchien besitzt einen Durchmesser von d = 2cm. Bei Normaldruck wird bei einem<br />
Atemzug ein Luftvolumen von etwa V = 500 cm³ zugeführt. Die Dauer eines einmaligen Einatmungsvorganges<br />
beträgt beim Erwachsenen etwa t = 1,5 s. Die Dichte der Luft betrage<br />
1,3 kg/m³, ihre Viskosität h = 1,8 10 -5 Ns/m². Kriterium für eine turbulente Strömung ist das Überschreiten<br />
einer kritischen Reynoldschen Zahl von Re,krit = 2300.<br />
a) Wie groß ist die Volumenstromstärke IV in m³/s und die mittlere Strömungsgeschwindigkeit<br />
v in m/s in der Luftröhre?<br />
b) Handelt es sich dabei um laminare oder turbulente Strömung?<br />
Hinweis: Störungen der Strömung durch die Struktur der Luftröhrenwand und des Kehlkopfes<br />
werden vernachlässigt!
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Blatt - 17 -<br />
LÖSUNG:<br />
a) Die mittlere Volumenstromstärke errechnet sich als Quotient aus dem Atemzugvolumen und der<br />
Dauer des Einatmungsvorganges (nach M 14):<br />
dV<br />
IV<br />
= = A⋅ v<br />
dt<br />
−4 3 −1<br />
IV = 3, 3⋅10 m s<br />
Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit wird durch Division durch den Luftröhrenquerschnitt berechnet:<br />
IV<br />
4⋅V<br />
v = = 2<br />
A π ⋅d<br />
⋅t<br />
−1<br />
v = 1,<br />
06 m s<br />
b) Als Entscheidungskriterium für laminare bzw. turbulente Strömung dient die Reynoldsche Zahl<br />
(Formelsammlung M 15):<br />
⋅ ⋅<br />
Re = ρ l v<br />
η<br />
Die Größe l gibt eine für die geometrischen Verhältnisse typische Länge an. In unseren Fall ist dies<br />
der Durchmesser der Luftröhre:<br />
R<br />
R<br />
e<br />
e<br />
l v d V<br />
=<br />
d t<br />
⋅ ⋅ ρ 4 ⋅ ⋅ρ ⋅<br />
= 2<br />
η η⋅ π ⋅ ⋅<br />
= 1532<br />
Dieser Wert ist deutlich kleiner als die kritische Reynoldsche Zahl. Deshalb liegt in jedem Fall eine<br />
laminare Strömung vor.<br />
Aufgabe 17<br />
Bei einem Unfall kommt es zur Verbrühung einer Person mit siedendem Wasser (Temperatur<br />
qs = 100 °C). Dabei gelangt eine Wassermasse von mW = 5 g auf die Haut. Wie groß ist die übertragene<br />
Energie, die zur Schädigung der Haut führen kann?.<br />
Bei einer zweiten Person strömt die Wasserdampf (Masse mD = 5 g, Temperatur qD = 100 °C) auf<br />
die Haut. Um welchen Faktor unterscheidet sich das Ausmaß der Hautschäden beider Personen,<br />
wenn vereinfachend angenommen wird, daß diese proportional zur übertragenen Energie<br />
sind?<br />
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt cW = 4.2 kJ / (kg K), die spezifische Verdampfungswärme<br />
qv = 2255 kJ/Kg. Die Hauttemperatur vor dem Unfall wird in beiden Fällen mit<br />
qH = 36 °C angenommen.<br />
LÖSUNG:<br />
Das auf die Haut gelangte Wasser kühlt sich bis auf Hauttemperatur ab und gibt dabei eine Wärmemenge<br />
ab (T 1). Eine mögliche Erwärmung der Hautpartie wird vernachlässigt.
Übungsaufgaben 2000 – Experimentalphysik für die Studiengänge <strong>Human</strong>- und <strong>Zahn</strong>medizin<br />
Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 18 -<br />
Q = c ⋅m ⋅ −<br />
Q = , kJ<br />
( θ θ )<br />
1 W W s Haut<br />
1 134<br />
Bei einer Verbrühung mit Dampf kommt zusätzlich noch die Verdampfungswärme hinzu.<br />
( θ θ )<br />
Q = c ⋅m ⋅ − + q ⋅m<br />
2<br />
Q = 12, 6 kJ<br />
2<br />
W D s Haut V D<br />
Als Maß für die Hautschädigung wird die übertragene Wärmemenge gewählt. Deshalb berechnet sich<br />
der Faktor als:<br />
Aufgabe 18<br />
Q2<br />
δ = =<br />
Q<br />
1<br />
9, 4 .<br />
An eine Spannungsquelle von U0 = 10 V sind vier Widerstände angeschlossen. R1 = 1 W ist in<br />
Reihe sowohl zu den parallel geschalteten Widerständen R2 = R3 = 6 W als auch zum Widerstand<br />
R4 = 6 W geschaltet.<br />
a) Entwerfen Sie den Schaltplan!<br />
b) Wie groß ist der Strom I2 durch den Widerstand R2?<br />
LÖSUNG:<br />
a) Schaltplan:<br />
I<br />
R<br />
gesamt<br />
1<br />
R<br />
R<br />
U 0<br />
2<br />
3<br />
I 2<br />
I 3<br />
b) Bei dieser Schaltung fließt ein Gesamtstrom Igesamt durch die Widerstände R1 und R4. Dieser Gesamtstrom<br />
teilt sich in der Parallelschaltung in I2 und I3 auf. Es gilt für den Gesamtstrom das Ohmsche<br />
Gesetz (E 1):<br />
I<br />
gesamt<br />
U<br />
=<br />
R<br />
gesamt<br />
Für die Aufteilung der Ströme auf die Widerstände R2 und R3 gelten die Kirchhoffschen Gesetze (E 1):<br />
R<br />
4
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Blatt - 19 -<br />
∑<br />
I<br />
= 0<br />
k<br />
k<br />
∑ em ∑<br />
m k<br />
U = I ⋅ R<br />
I gesamt<br />
= I<br />
2<br />
+ I<br />
k<br />
3<br />
k<br />
Als Spezialfall für Maschen ohne Spannungsquellen ergibt sich die bekannte Stromteilerregel für das<br />
Verhältnis der Ströme in der Parallelschaltung:<br />
.<br />
I ⋅ R = I ⋅R<br />
2<br />
2<br />
Für den Gesamtwiderstand gilt (E 1):<br />
R gesamt<br />
1<br />
R<br />
R<br />
23<br />
23<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
R2<br />
⋅ R3<br />
=<br />
R + R<br />
3<br />
3<br />
= R + R<br />
1 1<br />
= +<br />
R R<br />
3<br />
23<br />
+ R<br />
Damit ist der Strom durch R2:<br />
I<br />
I<br />
2<br />
2<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜R1<br />
+ R<br />
⎝<br />
= 0,<br />
5 A<br />
4<br />
4<br />
U ⋅ R3<br />
R2<br />
⋅R<br />
⎞ 3 + ⋅<br />
R2<br />
R ⎟<br />
+ 3 ⎠<br />
( R + R )<br />
2<br />
3<br />
Alternativ ist es möglich, über die Spannungsteilerregel den Spannungsabfall über R23 auszurechnen<br />
und dann über das Ohmsche Gesetz den Strom durch R2 zu berechnen:<br />
U<br />
I<br />
2<br />
U<br />
2<br />
gesamt<br />
U<br />
=<br />
R<br />
R<br />
=<br />
R<br />
2<br />
2<br />
23<br />
gesamt<br />
Das Ergebnis ist wieder dieselbe Endformel.<br />
Aufgabe 19<br />
Eine Batterie hat in frischem Zustand eine Quellspannung von U0 = 1,67 V. Sie wird zum Betrieb<br />
eines Verbrauchers mit dem Widerstand R = 5,6 W genutzt. Mit einem Voltmeter wird die Klemmenspannung<br />
UK und mit dem Amperemeter der Strom I gemessen. Bei Belastung beträgt die<br />
Klemmenspannung UK = 1,58 V.<br />
a) Wie groß ist der Innenwiderstand Ri der Batterie?<br />
b) Wie groß wäre der Kurzschlußstrom IK in dieser Schaltung?<br />
c) Wie groß ist die elektrische Leistung des Verbrauchers in dieser Schaltung?
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Blatt - 20 -<br />
Hinweis: Entwerfen sie erst einen richtigen Schaltplan unter Verwendung des üblichen Ersatzschaltbildes<br />
für eine „Spannungsquelle“. Die Innenwiderstände von Volt- und Amperemeter<br />
brauchen nicht berücksichtigt zu werden, d.h. sie werden mit unendlich bzw. Null angenommen.<br />
LÖSUNG:<br />
Schaltplan:<br />
I<br />
A<br />
U e<br />
R<br />
a<br />
R<br />
i<br />
V<br />
U Klemm<br />
Es gilt folgendes:<br />
1. Die Spannungsquelle liefert unabhängig von der Belastung immer dieselbe Spannung, die sogenannte<br />
Urspannung oder eingeprägte Spannung.<br />
2. Diese Spannung teilt sich nach der Maschensatz in einen Spannungsabfall über dem Innenwiderstand<br />
und einen Spannungsabfall über dem Außenwiderstand (Lastwiderstand) auf. Der Spannungsabfall<br />
über dem gesamten Lastwiderstand ist gleich der Klemmspannug, welche an der Batterie real<br />
gemessen wird.<br />
3. Wird der Lastwiderstand unendlich, so ist die Klemmspannung gleich der Urspannung der Batterie.<br />
4. Wird der Lastwiderstand null, so herrscht ein Kurzschluß und es fließt der Kurzschlußstrom, welcher<br />
vom Innenwiderstand begrenzt wird.<br />
Damit ergibt sich:<br />
( )<br />
U = I ⋅ R + R<br />
U = U + U<br />
U<br />
R<br />
I U<br />
= =<br />
R<br />
U = U = I ⋅ R<br />
I<br />
0<br />
0<br />
i<br />
i<br />
i a<br />
U<br />
=<br />
R<br />
i a<br />
Klemm a a<br />
Kurz<br />
0<br />
i<br />
a<br />
a<br />
a) Mit Hilfe der 4. Gleichung kann man den Strom durch beide Widerstände berechnen. Mit diesem<br />
Strom und der Differenz aus Ur- und Klemmspannung erhält man unter Nutzung der 1. Gleichung den<br />
Innenwiderstand:<br />
I U<br />
=<br />
R<br />
R<br />
R<br />
i<br />
i<br />
Kl<br />
a<br />
U0 −U<br />
=<br />
U<br />
K<br />
= 0, 32 Ω<br />
K<br />
⋅ R<br />
a
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Blatt - 21 -<br />
b) Mit Hilfe der letzten Gleichung (auf den Kurzschlußfall angepaßte Form der ersten Gleichung) ergibt<br />
sich der Kurzschlußstrom zu:<br />
I<br />
K<br />
U<br />
= =<br />
R<br />
I = 52 , A<br />
K<br />
i<br />
U ⋅U<br />
K<br />
U − U ⋅ R<br />
0 0<br />
( )<br />
0<br />
K a<br />
c) Die Leistung des Verbrauchers in der Schaltung berechnet sich als Produkt der über dem Verbraucher<br />
abfallenden Spannung und dem fließenden Strom (E 1):<br />
Aufgabe 20<br />
P U I U<br />
= K ⋅ =<br />
R<br />
P = 0, 45W<br />
2<br />
K<br />
a<br />
Für eine Endoskop-Beleuchtung werden zwei Glühlämpchen (4V Nennspannung, 0.25 W Nennleistung)<br />
parallel an eine Stromquelle (Eingeprägte Spannung Ue = 4,5 V, Innenwiderstand Ri =<br />
10 W ) angeschlossen.<br />
a) Entwerfen sie eine Schaltskizze unter Berücksichtigung der obigen Angaben!<br />
b) Welcher Strom fließt durch ein Lämpchen?<br />
c) Welche Spannung liegt an den Lämpchen an?<br />
d) Welche Leistung hat ein Lämpchen tatsächlich in dieser Anordnung?<br />
LÖSUNG:<br />
a) Schaltplan:<br />
I gesamt<br />
I L<br />
U e<br />
R i<br />
R L<br />
b) Aus der Aufgabenstellung lassen sich foldende Angaben ableiten:<br />
1. Die Glühlampen geben bei einer Nennspannung von 4 V eine Nennleistung von 0,25 W ab. Daraus<br />
läßt sich der in diesem Fall (Nennbelastung) fließende Strom und damit auch der Widerstand der<br />
Lampen berechnen.<br />
2. Aus der eingeprägten Spannung und dem zu berechnenden Gesamtwiderstand läßt sich der Gesamtstrom<br />
ermitteln. Dieser teilt sich nach der Stromteilerregel wegen den gleichen Widerstände der<br />
beiden parallelen Stränge zu gleichen Teilen auf beide Lampen auf.<br />
3. Aus dem durch eine Lampe fließenden Strom und dem berechneten Lampenwiderstand ergibt sich<br />
der Spannungsabfall über einer Lampe.<br />
4. Dieser Spannungsabfall multipliziert mit dem durch die Lampe fließenden Strom ergibt wieder die<br />
Lampenleistung.
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Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 22 -<br />
zu 1.:<br />
zu 2.:<br />
c) zu 3.:<br />
d) zu 4.:<br />
U<br />
R =<br />
I<br />
R<br />
R<br />
I<br />
I<br />
1<br />
parallel<br />
Gesamt<br />
Gesamt<br />
Lampe<br />
Nenn<br />
Nenn<br />
= R + R<br />
I<br />
i<br />
L<br />
U<br />
=<br />
R<br />
=<br />
e<br />
Gesamt<br />
Gesamt<br />
2<br />
P<br />
L<br />
parallel<br />
=<br />
Nenn<br />
1 1 2<br />
= + =<br />
R R R<br />
U = R ⋅ I<br />
Lampe Lampe Lampe<br />
U = 3, 43V<br />
Lampe<br />
P = U ⋅I<br />
Lampe Lamps Lampe<br />
P = 0,18W<br />
Lampe<br />
Aufgabe 21<br />
= U<br />
L<br />
Nenn<br />
⋅ I<br />
Ue<br />
U<br />
2 ⋅(<br />
Ri<br />
+<br />
P<br />
Nenn<br />
Nenn<br />
2<br />
Nenn<br />
)<br />
=<br />
U<br />
R =<br />
P<br />
0,<br />
054<br />
Bei einem Herzschrittmacher wird im Pulsrhythmus ein Kondensator mit der Kapazität von<br />
C = 4 mF entladen. der dabei entstehende elektrische Impuls hat eine Dauer von tp = 1 ms. Die<br />
Spannung ist auf 5 V eingestellt. Wie groß ist die mittlere Stromstärke I des Entladeimpulses?<br />
LÖSUNG:<br />
Ein Kondensator speichert bei einer bestimmten Spannung eine bestimmte Ladung. Die Entladung<br />
innerhalb einer vorgegebenen Zeit führt zu einem definierten Stromimpuls. Als Grundlage für die Berechnungen<br />
dienen die Formeln aus E 1 und E 2:<br />
Damit ist:<br />
dQ Q<br />
I<br />
dt t<br />
C Q<br />
= =<br />
=<br />
U<br />
2<br />
Nenn<br />
Nenn<br />
A
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Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 23 -<br />
C ⋅U<br />
I =<br />
t<br />
−6<br />
As<br />
4 ⋅10 ⋅5V<br />
I = V<br />
−3<br />
10 s<br />
I = 20 mA<br />
BEMERKUNGEN ZU DEN OPTIKAUFGABEN:<br />
In der Optik werden für Linsen und Linsensysteme folgende Konventionen getroffen:<br />
� Die Seite der Linsenebene, auf der sich der Gegenstand befindet, heißt Gegenstandsseite. Der<br />
Abstand zwischen Gegenstand und Linsenebene heißt Gegenstandsweite, diese wird in der Skizze<br />
zu Aufgabe 22 nach links positiv gerechnet.<br />
� Der Gegenstandsseite gegenüber liegt die Bildseite. Die dazugehörige Bildweite wird nach rechts<br />
positiv gerechnet. Ein auf der Gegenstandsseite entstehendes Bild hat damit eine negative Bildweite.<br />
� Gegenstandsgröße und Bildgröße werden bezüglich der optischen Achse gemessen. Sie werden<br />
beide zur selben Seite der optischen Achse positiv gerechnet. Damit ist bei positiver Gegenstandsgröße<br />
(wird meist so angenommen) bei einem umgekehrten Bild wie in der Skizze die zugehörige<br />
Bildgröße negativ.<br />
� Sammellinsen haben eine positive, Zerstreuungslinsen eine negative Brennweite.<br />
� Alle Strahlengänge sind umkehrbar. Damit sind Gegenstand und Bild beliebig vertauschbar.<br />
� Brennpunktstrahlen gehen durch einen der beiden Brennpunkte. Parallelstrahlen verlaufen parallel<br />
zur optischen Achse. Mittelpunktstrahlen verlaufen durch den Mittelpunkt der Linse, also den<br />
Schnittpunkt aus optischer Achse und Linsenebene. Für alle einfachen optischen Abbildungen gilt:<br />
• Brennpunktstrahlen werden an der Linsenebene zu Parallelstrahlen.<br />
• Parallelstrahlen werden zu Brennpunktstrahlen.<br />
• Der Mittelpunktstrahl ändert seine Richtung nicht.<br />
Zur Berechnung werden folgende Formeln benötigt (siehe Formelsammlung O 2-4):<br />
β = = − β = ′ = − ′<br />
B b<br />
G g oder<br />
y a<br />
y a<br />
= + = +<br />
f b g ′<br />
oder<br />
1 1 1 1 1 1<br />
f a a<br />
Mit β wird der Abbildungsmaßstab bezeichnet. Dieser wird für ein umgekehrtes Bild negativ, der Betrag<br />
gibt den Wert der Vergrößerung (bzw. Verkleinerung) an.<br />
Aufgabe 22<br />
Wie weit muß eine 180 cm große Person vom Objektiv (Brennweite f = 5 cm) einer Kleinbildkamera<br />
mindestens entfernt sein, wenn sie auf dem Kleinbildfilm (24x36) mm² in Hochformat abgebildet<br />
werden soll?<br />
a) Zeichnen Sie für Ihr Verständnis eine Skizze!<br />
b) Berechnen Sie die Entfernung g (Gegenstandsweite)!
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Blatt - 24 -<br />
LÖSUNG:<br />
Skizze:<br />
G<br />
Gegenstandsseite F<br />
f<br />
g b<br />
Bildseite<br />
F'<br />
B<br />
Optische<br />
Achse<br />
In diesem Fall ist die Gegenstandsgröße mit G = 180 cm und die Bildgröße mit B = -36 mm vorgegeben.<br />
Außerdem ist die Brennweite f = 50 mm bekannt. Nach den oben zusammengestellten Formeln<br />
gilt:<br />
B<br />
G<br />
= −<br />
b<br />
g<br />
b g B<br />
= − ⋅<br />
G<br />
1 1 1<br />
= +<br />
f g b<br />
1 1 1 G<br />
= − ⋅<br />
f g g B<br />
B G<br />
g = f ⋅<br />
B<br />
g m<br />
−<br />
= 255 ,<br />
Die Behandlung von Hohl- und Wölbspiegeln erfolgt sehr ähnlich. Hierbei ist zu beachten, daß Gegenstands-<br />
und die Bildweite beide vor dem Spiegel positiv gerechnet werden. Damit hat ein hinter<br />
dem Spiegel entstehendes (virtuelles) Bild eine negative Bildweite. Parallel- und Brennpunktstrahlen<br />
verhalten sich wie bei Linsen, der Mittelpunktstrahl (hier Strahl durch den Krümmungsmittelpunkt) wird<br />
ohne Ablenkung reflektiert. Ein Strahl auf den Schnittpunkt von optischer Achse und Spiegelebene<br />
wird wie an einem flachen Spiegel mit α=α´ reflektiert. Die Brennweite ist gleich der Hälfte des Krümmungsradius,<br />
sie wird für Hohlspiegel (konvex) positiv und für Wölbspiegel (konkav) negativ gerec hnet.<br />
Ansonsten gelten dieselben Abbildungsgleichungen.<br />
Aufgabe 23<br />
Ein <strong>Zahn</strong>arztspiegel in Form eines Hohlspiegels mit dem Krümmungsradius r = 160 mm soll zur<br />
Erzeugung von 2-fach vergrößerten Bildern dienen. In welcher Entfernung a vom Scheitel des<br />
Hohlspiegels muß sich der Gegenstand jeweils befinden, um<br />
a) ein reelles Bild<br />
b) ein virtuelles Bild zu erzeugen?
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Dr.rer.nat.habil. J. Henniger, DP M. Sommer<br />
Blatt - 25 -<br />
LÖSUNG:<br />
Skizzen:<br />
B<br />
M<br />
b<br />
Für den Hohlspiegel gilt:<br />
G g<br />
= −<br />
B b<br />
1 1 1<br />
= +<br />
f g b<br />
f<br />
r<br />
=<br />
2<br />
F<br />
r f<br />
Reelles Bild<br />
M<br />
Virtuelles Bild<br />
r F<br />
f<br />
G<br />
G B<br />
g b<br />
a) Für die Entstehung eines reellen Bildes muß die Bildweite positiv werden. Das Bild steht umgekehrt<br />
wie der Gegenstand.<br />
g
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Blatt - 26 -<br />
B = −2 ⋅G<br />
⇒ b = 2⋅<br />
g<br />
1 1 1 3<br />
= + =<br />
f g 2⋅<br />
g 2⋅<br />
g<br />
3<br />
g = ⋅ r<br />
4<br />
g = 120mm<br />
b) Für die Entstehung eines virtuellen Bildes wird die Bildweite negativ. Dafür sind Gegenstand und<br />
Bild gleichgerichtet.<br />
B<br />
G<br />
Aufgabe 24<br />
B b<br />
= = −<br />
2 ⋅ B g<br />
b = −2 ⋅ g<br />
1 1 1 1<br />
= − =<br />
f g 2 ⋅ g 2 ⋅ g<br />
1<br />
g = ⋅ r<br />
4<br />
g = 40mm<br />
In einem Museum liegt unter einer Vitrine ein kleines, versteinertes Fossil. Eine Lupe soll den<br />
Gegenstand fünffach vergrößern. Der Abstand zwischen Fossil und Lupe beträgt 4 cm.<br />
a) Zeichnen Sie für Ihr Verständnis eine Skizze!<br />
b) Ein Bild welcher Art entsteht?<br />
c) Wie groß muß die Brennweite der Sammellinse gewählt werden, um die Forderungen zu<br />
erfüllen?<br />
LÖSUNG:<br />
a) Skizze:<br />
B F G<br />
Blickrichtung<br />
b) Um eine Sammellinse als Lupe zu nutzen, muß man den zu vergrößernden Gegenstand innerhalb<br />
der einfachen Brennweite plazieren. Dann entsteht ein vergrößertes, virtuelles und aufrechtes Bild.<br />
c) Es gilt die allgemeine Abbildungsgleichung:<br />
1 1 1<br />
= +<br />
f g b
Übungsaufgaben 2000 – Experimentalphysik für die Studiengänge <strong>Human</strong>- und <strong>Zahn</strong>medizin<br />
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Blatt - 27 -<br />
mit f>0 (wegen der Sammellinse), g>0 und b
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Blatt - 28 -<br />
Aufgabe 26<br />
& A<br />
D = D ⋅<br />
r<br />
D&<br />
= ⋅ −<br />
Γ<br />
2<br />
100 Gy h 1<br />
Die Aktivität von 60 Co in einem Tele-Gamma-Gerät beträgt gegenwärtig 3,7 10 13 Bq. Die Halbwertszeit<br />
von 60 Co ist 5,27 Jahre. Die Dosisleistungskonstante für das Nuklid 60 Co beträgt<br />
GD = 3,42 10 -13 Gy m² Bq -1 h -1 .<br />
a) Wie groß war die Aktivität bei der Anschaffung vor 3 Jahren?<br />
b) Welche Dosisleistung wird gegenwärtig im Abstand von 141,5 cm von der als punktförmig<br />
angenommenen Quelle gemessen werden? Die Abschirmung durch Luft ist vernachlässi gbar!<br />
Hinweis: Die Dosisleistung berechnet sich nach folgendem Zusammenhang (Formel nicht in<br />
Formelsammlung):<br />
Lösung:<br />
&D<br />
= ΓD<br />
⋅<br />
r<br />
A<br />
2<br />
a) Die Grundlagen sind hier dieselben wie bei Aufgabe 27 b). Zu beachten ist allerdings, daß nicht die<br />
Anfangsaktivität A0 gegeben ist, sondern die Aktivität A 3 Jahre nach der Anschaffung:<br />
A = A ⋅e<br />
0<br />
A = A⋅ e<br />
0<br />
(ln 2 ) ⋅t<br />
−<br />
T1<br />
2<br />
(ln 2 ) ⋅t<br />
T1<br />
2<br />
13<br />
A = 55 , ⋅10<br />
Bq<br />
b) Auch hier gelten dieselben Formeln wie in der Aufgabe zuvor:<br />
& A<br />
D = D ⋅<br />
d<br />
D& = , Gy ⋅ h<br />
−<br />
Γ 2<br />
6 3<br />
1<br />
Zugleich sieht man, daß der Abstand zur Quelle, da er quadratisch eingeht, einen großen Einfluß auf<br />
die Dosisleistung hat. Damit wird das Prinzip, daß Abstand der beste Strahlenschutz ist, erklärbar.