3.3. Aspekte der Programmierung

3.3. Aspekte der Programmierung
3.3.1. Numerische Integration
3.3. Aspekte der Programmierung
Im vorangegangen Kapitel haben wir gesehen, dass zur Berechnung der Elemensteifigkeitsmatrix
und des Elementlastvektors die Formfunktionen und ihre Ableitungen elementweise
zu integrieren sind. Diese Integration kann insbesondere bei komplizierten Ansatzfunktionen
auch numerisch erfolgen. Unter den numerischen Integrationsverfahren ist insbesondere das
���-Verfahren zu nennen, welches sich durch eine optimale Integrationsordnung auszeichnet
(Exaktheit). Betrachten wir zunächst eine 1D-Integration
� l
f(x)dx,
0
z.B.fürf(x) = B T (x)EI(x)B(x),wiesiebeiderBerechnungvonBalkenelementenauftritt.
Es ist zweckmäßig das Integral über ein beliebiges Intervall x ∈ [x1,x2] auf ein Standardintervall,
in der Regel ξ ∈ [−1,1] zu transformieren (siehe Abbildung 3.22).
Damit gilt
x
x1
x2
ξ = −1 ξ ξ = 1
l 2
Abbildung 3.22.: Transformation auf ein Standardintervall
x(ξ) = 1
2 (1−ξ)x1 + 1
2 (1+ξ)x2
= x1 +x2
+
2
x2 −x1
ξ
2
Das Integral bezüglich x wird dadurch wie folgt transformiert:
(3.57)
� � x2 +1
f(x)dx = f(x(ξ))
x1 −1
dx
dξ , mit
dξ
� �� �
g(ξ)
dx
dξ = x2 −x1
=
2
l
2
(3.58)
Durch diese Transformation ist es ausreichend, im Folgenden Integrationsformeln für
� +1
g(ξ)dξ
−1
anzugeben. Bei der numerischen Integration wird das Integral durch eine Summenformel
angenähert, d.h.
� +1 Pint �
g(ξ)dξ ≈ g(ξp)wp, (3.59)
−1
p=1
37

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
g(ξ)
−1 1
Abbildung 3.23.: Trapezregel
wobei ξp und wp die Pint Integrationspunkte, bzw. Integrationsgewichte darstellen. Als BeispielfüreinesolcheIntegrationsformel(keine��Ù�integration!)giltdieTrapezregel(Pint
= 2),
beidereinIntegralwertdurchdieFlächeeinesTrapezangenähertwird(sieheAbbildung3.23).
In Formeln ausgedrückt bedeutet dies
� +1
g(ξ)dξ ≈ 1g(−1)+1g(1). (3.60)
−1
Diese Formel ist exakt für konstante und lineare Polynome.
Als weiterer Vertreter der sogenannten Newton-Cotes-Formeln (bei dieser Klasse von Verfahren
werden die Endpunkte bei der Integration berücksichtigt) sei noch die Simpson-Regel
� +1
−1
g(ξ)dξ ≈ 1
3
g(−1)+ 4
3
1
g(0)+ g(+1) (3.61)
3
erwähnt. Hiermit können die Integrale von Polynomen bis zum Grad 3 exakt berechnet werden.
Als numerisch effizienter, bzw. optimal im Bezug auf die Anzahl der Integrationspunkte
und Exaktheitsgrad gilt die schon erwähnte��Ù�-Integration (��Ù�-Quadratur), deren
Integrationspunkte und Integrationsgewichte für (3.59) in Tabelle 3.2 dargestellt sind:
38
Pint ξp wp Exakt für Polynome
bis Grad
1 0 2 1
2 − 1
3
√
1
, √
� 3 �3 3 3 − , 0 5 5
1,1
5 8 5 , , 9 9 9
3
5
Tabelle 3.2.:���-Quadratur
ξ

Allgemein gilt für den Exaktheitsgrad
3.3. Aspekte der Programmierung
m = 2Pint −1. (3.62)
Für den�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken mit EI = const. und q = q0 = const. bedeutet das
� +1
ESM: B T � +1
(ξ)EIB(ξ)dξ �= O(ξ)EIO(ξ)dξ
ELV:
−1
→ Integrationsordnung: m = 2 → Pint = 2
−1
� +1
N T � +1
(ξ)q0dξ �= O(ξ 3 )q0dξ
−1
→ Integrationsordnung: m = 3 → Pint = 2
Betrachten wir noch einmal denÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Balken aus (3.44)
Π[w,β] = 1
� l
EIβ
2 0
′2 dx+ 1
� l
G
2 0
Ā(w′ −β) 2 � l
dx− qw dx
−1
mit linearen Ansätzen für w und β und überlegen uns die notwendigen Anforderungen an
eine Integrationsformel (���-Quadratur):
1. Term:
� l
1
EIβ
2 0
′2 dx
Pint = 1 exakt für EI = const.
2.Term:
� l
1
G
2 0
Ā(w′ −β) 2 dx
Pint = 2 exakt für GĀ = const.
3.Term:
� l
qwdx
0
Pint = 1 exakt für q = const.
0
39

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Integriert man den 2. Term für die Schubdeformation mit nur einem Punkt, dann spricht
man von einer Unterintegration. Diese Unterintegration liefert die gleiche Steifigkeitsmatrix
wie die gemischte Formulierung, d.h. (3.56)
⎡
K e = K e MM + GĀ
⎢
le ⎢
⎣
le 1 2 −1 le
2
le
2
l2 e
4 −le
2
l 2 e
4
−1 −le 1 − 2 le
2
le
2
l2 e
4 −le
2
3.4. Finite Elemente Diskretisierung für partielle
Differentialgleichungen
3.4.1. Membrangleichung
Die Membrangleichung stellt mechanisch eine inhomogeneÄ�ÔÐ��-Gleichung dar, die als ÈÓ�××ÓÒsche Differentialgleichung bezeichnet wird
∆w = − p
σ0t = −˜p mit ∆(·) = ∂2 (·)
∂x2 + ∂2 (·)
, (3.63)
∂y2 l 2 e
4
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎦
wobei der Membran folgende Eigenschaften zugeordnet werden
40
• dünn
• biegeschlaff
• kleine Deformation in z−Richtung: w
• häufig w| ∂B = 0 als Randbedingung.
y
σ0
dx
dy
p(x,y)
∂B
B
Abbildung 3.24.: Membran
σ0
x

3.4. Finite Elemente Diskretisierung für partielle Differentialgleichungen
Zur Differentialgleichung (3.63) lässt sich folgendes Potential angeben:
Π[w] = 1
�
(gradw)
2
2 �
dA− ˜pwdA → min. (3.64)
mit
gradw =
A
� ∂w
∂x
∂w
∂y
� �
w,x
=
w,y
A
�
,.
Die erste Variation von (3.64) liefert
�
δΠ[w] = (gradw·gradδw− ˜pδw)dA (3.65)
B
und mit partieller Integration erhalten wir
�
�
δΠ[w] = (−divgradw − ˜p)δwdA+
B
Auf dem Rand gilt
w| ∂B = 0 → δw| ∂B = 0
für alle δw, so dass in B mit
� �
w,x
div(gradw) = div = w,xx +w,yy = ∆w
gilt
w,y
∂B
gradw ·�nδwdA. (3.66)
−∆w − ˜p = 0 bzw. ∆w = −˜p. (3.67)
Für die FE-Formulierung gehen wir von der 1. Variation bzw. der schwachen Form aus
�
�
δΠ = gradw ·gradδw dA− ˜pδw dA = 0. (3.68)
B
δB
Dahierinnur1.Ableitungenauftreten,reichteinC 0 -stetigerAnsatzmitelementweiselinearen
Ansätzen für w und δw aus. Das bedeutet, hier gilt
w h =
N�
NI(�x)wI und δw h =
I=1
N�
NI(�x)δwI, (3.69)
I=1
wobei auf die bisher verwendete Kennzeichnung e für elementweise definierte Größen verzichtet
wird. Der Gradient von w h ist gegeben durch
gradw h = ∂wh
∂x ex + ∂wh
∂y ey
�
h w,x =
wh ,y
� N�
� �
N,xI
=
I=1
N,yI
wI =
N�
I=1
B IwI
(3.70)
41

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
und
gradδw h = ∂δwh
∂x ex + ∂δwh
∂y ey
�
h δw,x =
δwh ,y
�
=
N�
I=1
� N I
,x
N I
,y
�
δwI =
N�
BIδwI (3.71)
Bevor wir die Ansätze (3.69), (3.70) und (3.71) in (3.68) einsetzen, wollen wir (3.68) noch
in einer Matrixdarstellung angeben. Mit
gradw = � w,x w,y
� T
und gradδw = � δw,x δw,y
lässt sich in (3.68) das Skalarprodukt umschreiben, so dass man
�
δΠ = (gradδw) T �
gradw dA− ˜pδw dA = 0 (3.72)
A
A
erhält. Einsetzen und Auswerten auf Elementebene Ae liefert für Ne Knoten pro Element
�
Ne �
δwIB
Be I=1
T Ne �
I
J=1
�
BJwJ dA−
Be
� T
I=1
Ne �
˜p δwINI dA. (3.73)
I=1
Ausklammern der virtuellen Verrückungen δwI liefert die Elementsteifigkeitsmatrix Ke IJ und
den Elementlastvektor Fe I :
⎧
⎫
Ne �
I=1
d.h. K e IJ =
�
und F e I =
�
⎪⎨ Ne �
�
δwI B
Be ⎪⎩ J=1
T
IB J dA
� �� �
Be
Be
K e IJ
B T
I B J dA
˜pNI dA.
�
⎪⎬
˜pNI dA
⎪⎭
wJ −
Be � �� �
Fe I
(3.74)
Das anschließende Zusammenbau / Assemblierung des Gesamtgleichungssystems geschieht
analog zum Vorgehen im eindimensionalen Zustand.
42

3.5. Elementtechnologie
3.5. Elementtechnologie
In (3.74) sind die Ansatzfunktionen und damit die Elementformulierungen noch unbestimmt.
Wir wollen dies nun etwas konkretisieren. Die am häufigsten eingesetzten Elemente (siehe
Abbildung 3.25) sind
- Dreiecke (linear),
- Rechtecke (bilinear),
- isoparametrische Elemente (quadratisch)
Abbildung 3.25.: Dreieck-, Rechteck- und isoparametrisches Element
Neben der Form werden Elementformulierungen auch nach der Art der Ansatzfunktion (Grad
der Polynome) charakterisiert.
Allgemein gilt für die Wahl der Ansatzfunktionen, dass
NI(�xJ) = δIJ =
woraus folgt, dass
w h (�xI) = wI
� 1 für I = J
0 für I �= J
, (3.75)
(siehe Abbildung 3.26) und dass im Element keine Unstetigkeiten auftreten. Um unstetige
Felder zu berücksichtigen, muss auf die sogenannte eXtended FEM = XFEM zurückgegriffen
werden.
NI
Abbildung 3.26.: Beispiel einer quadratischen Ansatzfunktion
Außerdem muss die Funktion w h stetig an den Elementkanten sein. Um in (3.68) alle möglichen
virtuellen Testfelder gradδw mit der diskreten Darstellung realisieren zu können, muss
43

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
der Ansatz für w und δw vollständig sein. Das bedeutet, dass für (3.68) alle Gradienten
(lineare NI in x,y) darstellbar sein müssen, d.h.
NI(�x) ∈ (1,x,y). (3.76)
Diese Vollständigkeitsanforderung ist von der Problemstellung (Differentialgleichung und Potential)
abhängig. Für das Membranelement reicht eine lineare Vollständigkeit aus. Die Berechnung
(Konstruktion) der Formfunktionen kann nach dem folgenden Schema erfolgen
w h (�x) = w h (x,y) = C0 +C1x+C2y +...
⎡ ⎤
= � 1 x y ... � ⎢
⎣
C0
C1
C2
.
⎥ = p(�x)C (3.77)
⎦
Aus Forderung (3.75) lassen sich nun Bedingungen für die Ansatzkoeffizienten C bestimmen,
denn
⎡ ⎤
wI = � 1 xI yI ... � ⎢
⎣
C0
C1
C2
.
⎥
⎥,
(3.78)
⎦
wobei I die Knotennummer eines Elementknotens ist. Für alle Ne Knoten lässt sich daraus
ein Gleichungssystem formulieren:
⎡ ⎤
w1
⎢ ⎥
⎢ w2 ⎥
⎢ ⎥
⎣ . ⎦ =
⎡ ⎤⎡
⎤
1 x1 y1 ... C0
⎢ 1 x2 y2 ... ⎥⎢
⎥
⎥⎢
C1 ⎥
⎢ ⎥⎢
⎥,
(3.79)
⎣ . . . ⎦⎣
. ⎦
1 xNe
yNe ...
wNe
welches sich kurz als
CNe−1
w = H C (3.80)
schreiben lässt. Hierin bezeichnet man die Matrix H alsÎ�Ò��ÖÑÓÒ��matrix. Die Koeffizienten
C erhält man durch Invertieren des Gleichungssystems (3.80) zu
C = H −1 w. (3.81)
Setzt man dies in (3.77) ein, so ergibt sich
44
w h (�x) =
Ne �
I=1
NI(�x)wI = N(�x)w = p(�x)C = p(�x)H −1 w (3.82)
❀ N(�x) = p(�x)H −1 . (3.83)

3.5.1. Dreieckselement
3.5. Elementtechnologie
Wir betrachten nun den einfachsten Fall eines ebenen Elements, das Dreieckselement mit
drei Knoten. Für den Ansatz p(�x) wählen wir
p(x,y) = � 1 x y � . (3.84)
DieÎ�Ò��ÖÑÓÒ��matrix H ergibt sich aus den Knotenkoordinaten (xI,yI), I = 1,2,3
zu
⎡ ⎤
1 x1 y1
H = ⎣ 1 x2 y2 ⎦. (3.85)
1 x3 y3
Für den Ansatz w h ergibt sich dann
mit
N(x,y) = 1
⎡
b0 = ⎣
2Ae
x2y3 −x3y2
x3y1 −x1y3
x1y2 −x2y1
� b T
0 +b T
1 x+b T
2 y �
⎤
Für die Elementfläche Ae gilt
⎡
⎦, b1 = ⎣
y2 −y3
y3 −y1
y1 −y2
⎤
⎡
⎦, b2 = ⎣
x3 −x2
x1 −x3
x2 −x1
⎤
(3.86)
⎦ (3.87)
Ae = 1
detH. (3.88)
2
Für die Ableitungen der Formfunktionen erhält man somit
∂N
∂x
1
= b
2Ae
T
1
und ∂N
∂y
d.h. die B-Matrix in (3.74) wird zu
� � � �
NI,x N,x
B = [BI] = =
NI,y
1
= b
2Ae
T
2 , (3.89)
N ,y
= 1
2Ae
� b T
1
b T
2
�
. (3.90)
Hiermit lassen sich die Elementsteifigkeitsmatrix K e und der Elementlastvektor F e für ein
Membranelement angeben. Unter der Annahme, dass ˜p(�x) = const. ist und mit der Feststellung,
dass B = const. im Element ist, ergibt sich aus (3.74)
K e IJ =
F e I =
�
�
Be
Be
B T
I B J dA −→ K e =
NI˜p dA −→ F e �
=
Be
�
Be
B T BdA = 1
N T ˜pdA = ˜pAe
3
4Ae
⎡
1
⎣ 1
1
�
b1b T
1 +b2b T�
2
⎤
(3.91)
⎦ (3.92)
45

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
3.5.2. Isoparametrisches Konzept
Um auch gekrümmte Elementränder abbilden zu können, verfolgen wir das isoparametrische
Konzept, bei dem eine identische Approximation für Feldgrößen und Elementgeometrie
gemacht wird. Dies drückt sich durch den Ansatz
w h =
�x =
N�
NI( � ξ)wI
I=1
N�
NI( � ξ)xI I=1
y
1
x
4
2
η
ξ
3
Abbildung 3.27.: Das isoparametrische Konzept
4
1
η
3
2
ξ
(3.93)
(3.94)
aus und wir erhalten eine Koordinatentransformation, wie sie in Abbildung 3.27 skizziert ist.
Es treten folgende Größen auf
� �
�ξ
ξ
= lokale (elementeigene) bzw. konvektive (eingeritzte) Koordinaten
η
�x =
� x
y
�
physikalische Koordinaten (Formulierung des Randwertproblems).
Es gelten dieBeziehungen für eine Abbildung zweier Koordinatensysteme�x und � ξ. Wir stellen
folgende Forderungen an diese Abbildung:
Sie sollte eindeutig und umkehrbar sein, d.h. Ae(�x) ←→ �( � ξ).
Damit darf dieÂ��Ó��determinante J nicht verschwinden. Durch die Forderung J ≥ 0 wird
der Umlaufsinn der Knoten festgelegt, wie in Abbildung 3.28 dargestellt.
J = det
� ∂x
∂ξ
∂y
∂ξ
∂x
∂η
∂y
∂η
�
> 0 (3.95)
Für ein 4-Knotenelement können wir die Ansatzfunktion im lokalen Koordinatensystem in
46

4
3
3 4
2 3
1 2 1 2 1 4
J > 0 J < 0 J < 0
Abbildung 3.28.: Jakobideterminanten für verschiedene Elemente
3.5. Elementtechnologie
(ξ,η) leicht angeben. Für kompliziertere Elementgeometrien kann auf das schon bekannte
Verfahren derÎ�Ò��ÖÑÓÒ��matrix zurückgegriffen werden.
NI(ξ,η) = 1
4 (1+ξξI)(1+ηηI), (3.96)
wobei ξI,ηI die Knotenkoordinaten vom Knoten I im lokalen Koordinatensystem in (ξ,η)
sind. Ausgeschrieben für das Element aus Abbildung 3.27 lautet dies
N1 = 1
4 (1−ξ)(1−η)
N2 = 1
4 (1+ξ)(1−η)
N3 = 1
4 (1+ξ)(1+η)
N4 = 1
4 (1−ξ)(1+η)
(3.97)
In Abbildung 3.29 ist die Formfunktion N1 aus (3.97) über einem 4-Knotenelement aufgetragen.
N1
1
4
2
η
3
ξ
Abbildung 3.29.: Formfunktionen für ein 4-Knoten-Element
Wir wollen nun die Vollständigkeit des isoparametrischen Konzepts überprüfen, d.h. wir for-
47

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
dern
w h = a0 +a1x+a2y
wI = a0 +a1xI +a2yI
und w h = �
NIwI = �
NI(a0 +a1xI +a2yI)
I
= �
NIa0 + �
NIxIa1 + �
I
I
I
I
NIyIa2
!
= a0 +a1x+a2y (3.98)
Aus Vergleich der letzten beiden Zeilen erhält man die Bedingungen
1. �
I NI = 1
2. �
I NIxI = x bzw. �
I NIyI = y.
Die zweite Forderung wird automatisch durch das isoparametrische Konzept erfüllt (vgl.
(3.94)). Zur Überprüfung der ersten Bedingung betrachten wir das 4-Knotenelement:
N1 +N2 = 1
2 (1−η)
N3 +N4 = 1
2 (1+η)
⎫
⎪⎬
⇒ N1 +N2 +N3 +N4 = 1 (3.99)
⎪⎭
DieStetigkeitsanforderungen (stetig imElementundandenElementkanten) werden ebenfalls
vom isoparametrischen Konzept erfüllt.
Zur Berechnung der Gradienten von wh werden die Ableitungen der Formfunktionen nach
den physikalischen Kopordinaten x und y benötigt.
gradw h � �
h w,x = = �
� �
NI,x
wI = � BIwI (3.100)
w h ,y
I
NI,y
Da die Ansatzfunktionen nicht direkt als Funktionen von x und y vorliegen, gehen wir zur
Berechnung der Ableitungen wie folgt vor:
∂NI
∂ξ
∂NI
∂η
= ∂NI
∂x
= ∂NI
∂x
∂x ∂NI ∂y
+
∂ξ ∂y ∂ξ
∂x ∂NI ∂y
+
∂η ∂y ∂η
Diese Beziehungen lassen sich als Matrixoperationen beschreiben:
� � � ��
�
NI,ξ x,ξ y,ξ NI,x
= ,
NI,η x,η y,η NI,y
� �� �
J
48
(3.101)

3.5. Elementtechnologie
wobei sich die Berechnung von J aus dem isoparametrischen Konzept herleiten lässt:
x = �
I NIxI ❀ x,ξ = �
I NI,ξxI, x,η = �
I NI,ηxI
y = �
I NIyI ❀ y,ξ = �
I NI,ξyI, y,η = �
I NI,ηyI
Damit sind die Einträge in J berechenbar und die Inversion ergibt die gesuchten Ableitungen
der Formfunktionen nach x bzw y.
� �
NI,x
BI = =
NI,y
1
� ��
�
y,η −y,ξ NI,ξ
(3.102)
det J −x,η x,ξ NI,η
� �� �
f(ξ,η)
Es sei angemerkt, dass durch det J die Funktion f(ξ,η)im Allgemeinen kein Polynomin ξ,η
darstellt, sondern eine gebrochen rationale Funktion, die in der Regel numerisch integriert
werden muss. Dazu bereiten wir das Integral in (3.74) geeignet auf.
K e �
IJ = B
Be
T � +1�
+1
IB J dA = B
−1 −1
T I( � ξ)BJ( � ξ)det J dξdη (3.103)
� �� �
g(ξ,η)
Um (3.103) numerisch zu integrieren, verwenden wir wieder eine���-Quadratur.
Für die��Ù�-Quadratur im Einheitsquadrat � stellen wir hier nur tabellarisch die Quadraturformeln
zusammen:
� 1 � 1 Pint �
g(ξ,η)dξdη = g(ξp,ηp)wp
−1
−1
p=1
Die Gewichte sind gegeben durch (vgl. mit Tabelle aus P. Wriggers, Anhang A)
3.5.3.�����- und
3.5.3.1.�����-Elemente
Pint ξp,ηp wp Exaktheitsgrad
1 0,0 4 1
1 3
2×2 ± 1
√ 3 , ± 1
√ 3
.
.
Tabelle 3.3.: 2-dimensionale���-Quadratur
Serendipity-Elemente
Die obige Skizze in Abbildung 3.30 zeigt�����-Elemente mit 4, 9 bzw. 16 Knoten. Bei
�����-Elementenwerden dieFormfunktionen inFormvonProdukten von�����-
Polynomen gebildet, d.h.
.
NI(ξ,η) = LI(ξ)LI(η), (3.104)
.
49

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
η
ξ
η
Abbildung 3.30.: Übersicht über die erstenÄ��Ö�Ò��-Elemente
1
1
1
1 3 2
ξ
L1(ξ)
L2(ξ)
L3(ξ)
Abbildung 3.31.: Lagrange-Polynome zweiter Ordnung
wobeiLI(ξ)ein1-dimensionalesÄ��Ö�Ò��-Polynomdarstellt.BeispielhaftsindÄ��Ö�Ò��-
Polynome 2. Ordnung in Abbildung 3.31 dargestellt.
Die Polynome LI lassen sich wie folgt konstruieren. Für Knoten I wird ein Polynom N-ter
Ordnung PI aufgestellt
PI(ξ) = (ξ −ξ1)(ξ −ξ2)...(ξ −ξI−1)(ξ −ξI+1)...(ξ −ξN)
oder in kurzer Schreibweise
N�
PI(ξ) = (ξ −ξJ). (3.105)
J=1,I�=J
Um zu erreichen, dass NI = 1 an der Stelle ξ I erfüllt wird, müssen die LI(ξ) mittels
50
LI(ξ) = PI(ξ)
PI(ξI)
η
ξ
(3.106)

3.5. Elementtechnologie
normiert werden. Dies sind die�����-Polynome. Betrachten wir noch folgendes Beispiel
mit 3 Knoten aus Abbildung 3.32:
2
1 3 2
P1(ξ) = (ξ −ξ2)(ξ −ξ3) = ξ(ξ −1)
P2(ξ) = (ξ −ξ1)(ξ −ξ3) = ξ(ξ +1)
Abbildung 3.32.: Beispiel mit 3 Knoten
P3(ξ) = (ξ −ξ1)(ξ −ξ2) = (ξ +1)(ξ −1)
❀ P1(ξ1) = 2; P2(ξ2) = 2; P3(ξ3) = −1.
Dadurch erhält man dieÄ��Ö�Ò��-Polynome
L1(ξ) = 1
2 ξ(ξ −1); L2(ξ) = 1
2 ξ(ξ +1); L3(ξ) = (1−ξ)(1+ξ).
Als weiteres Beispiel betrachten wir das 9-Knoten-Element aus Abbildung 3.33.
N1
1
8
4
9
5 2
7 3
Abbildung 3.33.: 9-Knoten-Lagrange-Element
Für die Formfunktion N1 erhalten wir nach (3.104) den Ausdruck
N1(ξ,η) = L1(ξ)L1(η) = 1
ξη(ξ −1)(η−1)
4
Zusammenfassend lassen sich die Formfunktionen wie folgt darstellen:
NI = 1
4 ξη(ξ −ξI)(η +ηI) für I = 1,2,3,4
NI = 1
2 (1−ξ2 )η(η+ηI) für I = 5,7
NI = 1
2 (1−η2 )ξ(ξ +ξI) für I = 6,8
NI = (1−ξ 2 )(1−η 2 ) für I = 9
6
(3.107)
51

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Es kann leicht nachgerechnet werden, dass �
I NI = 1 und aufgrund des isoparametrischen
Konzeptes gilt die Vollständigkeit das Ansatzes.
Betrachtet man die vorkommenden Polynome in ξ und η und ordnet diese in folgende Form
(��Вsches Dreieck)
1
ξ η
ξ 2 ξη η 2
ξ 2 η η 2 ξ
ξ 2 η 2
(3.108)
an, so stellt man fest, dass bis zur 2. Ordnung alle Polynombasen komplett enthalten sind.
Ein Vorteil des 9-Knotenelementes im isoparametrischen Konzept liegt in der quadratischen
Interpolation der Feldgrößen und der Geometrie. Damit können parabelförmige Ränder abgebildet
werden. Dies unterstreicht den im Allgemeinen nichtlinearen Charakter der isoparametrischen
Abbildung. Die Gestalt des 9-Knotenelements hat Einfluss auf die Vollständigkeit
der Approximation in (x,y). Dies ist hier tabellarisch zusammengestellt:
52
1. rechteckiges 9-Knotenelement
η
ξ
Abbildung 3.34.: Rechteckiges 9-Knotenelement
y
1
ξ η
ξ 2 ξη η 2
x
vollständig bis 2. Ordnung

2. gerade Ränder
3. allgemeine Lage
η
ξ
Abbildung 3.35.: 9-Knotenelement mit geraden Rändern
η
y
x
1
ξ η
ξ 2 ξη η 2
vollständig bis 2. Ordnung
ξ
Abbildung 3.36.: 9-Knotenelement mit gekrümmten Rändern
y
1
ξ η
x
vollständig bis 1. Ordnung
3.5. Elementtechnologie
53

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
3.5.3.2. Serendipity-Elemente
η
ξ
η
Abbildung 3.37.: Übersicht über die ersten Serendipity-Elemente
Eine weitere wichtige Klasse stellen die sogenannten Serendipity-Elemente dar. Im Gegensatz
zu den�����-Elementen fehlen bei den Serendipity-Elementen die inneren Knoten
(siehe Abbildung 3.37). Im Falle des 4-Knoten-Elements fallen�����- und Serendipity-
Element zusammen. Die Vollständigkeit des Ansatzes für das 8-Knoten-Serendipity-Element
ist wieder tabellarisch aufgetragen:
54
1. rechteckiges 8-Knoten-Element
η
ξ
Abbildung 3.38.: Rechteckiges 8-Knotenelement
y
ξ
1
ξ η
ξ 2 ξη η 2
x
vollständig bis 2. Ordnung
η
ξ

2. gerade Ränder
3. allgemeine Lage
η
ξ
Abbildung 3.39.: 8-Knotenelement mit geraden Rändern
η
y
1
ξ η
x
vollständig bis 1. Ordnung
ξ
Abbildung 3.40.: 8-Knotenelement mit gekrümmten Rändern
y
1
ξ η
x
vollständig bis 1. Ordnung
3.5. Elementtechnologie
55

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Die Ansatzfunktionen für das 8-knotige Serendipity-Element lauten
56
N1 = − 1
(1−ξ)(1−η)(1+ξ +η)
4
N2 = − 1
(1+ξ)(1−η)(1−ξ +η)
4
N3 = − 1
(1+ξ)(1+η)(1−ξ −η)
4
N4 = − 1
(1−ξ)(1+η)(1+ξ −η)
4
N5 = 1
2 (1−ξ2 )(1−η)
N6 = 1
2 (1+ξ)(1−η2 )
N7 = 1
2 (1−ξ2 )(1+η)
N8 = 1
2 (1−ξ)(1−η2 )
(3.109)

3.5.4. Zusammenstellung der Standard-Elemente
1. Dreieck-Elemente
2.�����-Elemente
3. Serendipity-Elemente
Die verschiedenen Ansatzbasissysteme in ξ,η finden sich in Anhang B.
3.5.5. Übergangselemente
3.5. Elementtechnologie
Oft möchte man höherwertige Elemente dort einsetzen, wo starke Fluktuationen in den Feldgrößen
erwartet werden oder wo gekrümmte Ränder auftreten. Im übrigen Bereich sollen
hingegen einfache Elemente zum Einsatz kommen. Um diese beiden Diskretisierungen kompatibel
miteinander zu verbinden, werden (häufig)Übergangselemente eingesetzt. Einesolche
Verbindung ist in Abbildung 3.41 dargestellt. Damit müssen Elemente zur Verfügung gestellt
werden, die einen stetigen Übergang zwischen unterschiedlichen Elementtypen realisieren.
Zum Beispiel kann ein 5-Knoten-Übergangselement (siehe Abbildung 3.42) durch folgendes
Vorgehen konstruiert werden:
1. Bilineares 4-Knoten-Element
Wie bei den�����-Elementen entwickelt, sind die mit Formfunktionen gegeben
durch
ˆNI = 1
4 (1+ξIξ)(1+ηIη), (3.110)
57

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
58
höherwertige 9-Knoten-Elemente
Übergangselemente
einfache 4-Knoten-Elemente
Abbildung 3.41.: Beipiel für die Verwendung von Übergangselementen
Abbildung 3.42.: 5-Knoten-Übergangselement
wobei ˆ N1 und ˆ N2 am Knoten 5 die Bedingung ˆ NI( � ξJ) = δIJ verletzen, da
.
ˆN1( � ξ5) = ˆ N2( � ξ5) = 1
2 .
2. Ansatzfunktion N5
DieFormfunktion N5 wirdsoberechnet, dassN5( � ξ)andenKnoten1bis4verschwindet
(siehe Abbildung 3.43).
Daraus ergibt sich
N5 = 1
2 (1−ξ2 )(1−η). (3.111)
Man erkennt leicht, dass für (3.111) tatsächlich N5( � ξJ) = δ5J für J = 1...5 gilt.

N5
Abbildung 3.43.: zu Schritt 2
η
ξ
3.5. Elementtechnologie
3. Korrektur von ˆ N1 und ˆ N2
Die Korrektur muss so erfolgen, dass die Bedingung NI( � ξJ) = δIJ im Element erfüllt
wird (siehe Abbildung 3.44).
Man erhält
N1
Abbildung 3.44.: zu Schritt 3
N1 = ˆ N1 − 1
2 N5, da ˆ N1( � ξ5) = 1
2 ,
N2 = ˆ N2 − 1
2 N5, da ˆ N2( � ξ5) = 1
2 .
η
ξ
(3.112)
Das oben beschriebene Verfahren lässt sich an anderen Elementkanten wiederholen und
eignet sich zum hierarchischen Aufbau der Formfunktionen zur Generierung von 8-Knoten-
Serendipity- oder 9-Knoten-�����-Elementen aus einem bilinearen Element.
59

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
60