6. Uebung - Humboldt-Universität zu Berlin
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HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN<br />
FACHINSTITUT THEORETISCHE BIOLOGIE<br />
Prof. Dr. Hanspeter Herzel<br />
Institut für Biologie Telefon: (030)2093-9101<br />
<strong>Humboldt</strong>-<strong>Universität</strong> <strong>zu</strong> <strong>Berlin</strong> Fax: (030)2093-8801<br />
Invalidenstraße 43 E-mail: itb(at)biologie.hu-berlin.de<br />
10115 <strong>Berlin</strong> Web: itb.biologie.hu-berlin.de<br />
Mathematik für Biologen — <strong>6.</strong> Übung — <strong>zu</strong>r Vorlesung vom 20.11.2012<br />
Die Lösungen <strong>zu</strong> diesem Übungsblatt müssen am 27.11.2012 <strong>zu</strong> Beginn der Vorlesung abgegeben werden.<br />
Für jedes vollständig gelöste Übungsblatt gibt es 2 Punkte.<br />
Als Vorausset<strong>zu</strong>ng für die Zulassung <strong>zu</strong>r Klausur sind mindestens 80 % der Übungsblätter ab<strong>zu</strong>geben.<br />
Bitte versehen Sie Ihre abgegebenen Übungsblätter mit dem Namen Ihrer Tutorin/Ihres Tutors und dem<br />
Termin Ihres Tutoriums sowie Ihren eigenen Angaben (Name und Matrikelnummer).<br />
Mit (Bsp) gekennzeichnete Aufgaben werden als Beispiele in den Tutorien vorgerechnet und gehören folglich<br />
nicht <strong>zu</strong> den Hausaufgaben.<br />
Aktuelle Infos unter http://itb.biologie.hu-berlin.de/Research/students/material/mathe<br />
E-Mails an mathetutor(at)biologie.hu-berlin.de<br />
1. (Folgen)<br />
Diskutieren Sie für jede der unten stehenden Folgen die folgenden Punkte:<br />
(i) Ist die Folge nach oben und/oder nach unten beschränkt?<br />
(ii) Ist die Folge monoton, streng monoton oder nicht monoton?<br />
(iii) Konvergiert die Folge? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.<br />
Begründen Sie Ihre Antworten formal!<br />
Tipps: Oft wird es hilfreich sein, nach einer ersten groben Analyse (z.B. durch eine Skizze) die<br />
Eigenschaften in einer strategisch sinnvollen Reihenfolge <strong>zu</strong> diskutieren. So ist z.B. eine monotone und<br />
beschränkte Folge immer konvergent, was dann nicht extra bewiesen werden muss.<br />
Verwenden Sie auch Ergebnisse, die aus der Vorlesung, dem Skript oder den Übungsaufgaben bekannt<br />
sind.<br />
(Bsp) (xn)n∈N =<br />
(a) (an)n∈N = 1<br />
(b) (ym)m∈N =<br />
2. (Summen)<br />
� �n 1<br />
+ 1<br />
2<br />
�<br />
− 1<br />
�m 2<br />
Berechnen Sie die Summe<br />
N�<br />
n=−N<br />
�<br />
3<br />
� |n|<br />
4<br />
(c) αn+1 = 2·αn (α0 = 1, n ∈ N0)<br />
(d) (zk)k∈N = k − 1<br />
k<br />
(e)<br />
�<br />
(cn)n∈N = sin n π<br />
�<br />
2<br />
mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe.<br />
(Bitte wenden) →
3. (Reihen)<br />
Diskutieren Sie die folgenden Reihen bzgl. Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz.<br />
(Bsp)<br />
n� 1<br />
xn =<br />
3i (a)<br />
n� 1<br />
rn =<br />
3<br />
(b)<br />
n� 1<br />
sn =<br />
j + 2<br />
(c)<br />
n� 3<br />
tn =<br />
2k i=3<br />
ν=1<br />
4. (Rekursive Folgen, Beispiel aus der Evolutionsgenetik)<br />
Wir betrachten eine Bakterienpopulation, die sich durch Zellteilung vermehrt. Der Einfachheit halber<br />
nehmen wir an, dass es eine strikte Generationenfolge gibt, d.h. dass sich alle Bakterien gleichzeitig<br />
teilen (verdoppeln). Die Bakterien kommen in zwei verschiedenen Genotypen vor: dem Wildtyp a<br />
und der Mutante A. Der Zellzyklus der Bakterien besteht aus einer vegetativen und einer generativen<br />
Phase. In der vegetativen Phase stirbt ein Teil der Bakterien<br />
ab. Von den a-Bakterien überlebt ein Anteil r (mit 0 < r < 1);<br />
die A-Bakterien sind empfindlicher, von ihnen überlebt nur ein<br />
Anteil r/2. An die vegetative Phase schließt sich die generative<br />
Phase an, in der die Zellteilung erfolgt. Dabei geht der Typ a<br />
durch Mutation mit der Wahrscheinlichkeit m = 0,003 in den<br />
Typ A über, so dass aus einem a-Bakterium zwei A-Bakterien<br />
werden. Eine Rückmutation von A nach a ist so selten, dass sie<br />
hier nicht betrachtet werden muss.<br />
j=0<br />
a A<br />
a A<br />
a A<br />
k=2<br />
r r/2<br />
2(1-m) 2m 2<br />
Generation<br />
n<br />
n+1<br />
(vegetative<br />
Phase)<br />
(generative<br />
Phase)<br />
(a) Wie entwickeln sich die a- und A-Populationen von Generation <strong>zu</strong> Generation? Stellen Sie<br />
für beide Populationen eine rekursive Vorschrift auf, welche die Bakterienmenge nach der<br />
generativen (und vor der nächsten vegetativen) Phase beschreibt. (Tipp: für r = 0,6 gilt<br />
An+1 = 0,0036 an + 0,6 An.)<br />
(b) Zeigen Sie, dass r = 1<br />
<strong>zu</strong> erhalten.<br />
2(1−m)<br />
gelten muss, um eine konstante Populationsgröße der a-Bakterien<br />
(c) Wie verändern sich Ihre Ergebnisse aus (a) (a), wenn Sie die Bakterienmengen nach der vegetativen<br />
(und vor der nächsten generativen) Phase beschreiben? Warum bleibt das Ergebnis aus (b)<br />
gleich?<br />
5. (Lineare iterierte Abbildung)<br />
Eine Population von Fischen im Meer wachse in jedem Jahr um 2%. Dieses Wachstum werde durch<br />
Fischerei gestört. Die Fangquote sei auf 300 Tonnen pro Jahr festgelegt und werde auch voll ausgenutzt.<br />
Ein einzelner Fisch wiege etwa 3 kg.<br />
(a) Machen Sie sich klar, warum die Entwicklung der Population von Jahr <strong>zu</strong> Jahr durch folgende<br />
iterierte Abbildung beschrieben werden kann: an+1 = 1,02an − 10 5 . Wofür stehen die Variablen<br />
a und n und in welchen Einheiten werden sie gemessen?<br />
(b) Wie viele Fische dieser Art muss es im Fanggebiet geben, damit der Fischbestand unter diesen<br />
Bedingungen konstant bleibt?<br />
(c) Skizzieren Sie den Graphen der Iterationsfunktion an+1 = f(an) und zeichnen Sie die Winkelhalbierende<br />
ebenfalls mit ein.<br />
(d) Illustrieren Sie im Graphen aus (c) (c), wie sich die Population für verschiedene Anfangswerte der<br />
Populationsgröße entwickelt. Wie viele qualitativ unterschiedliche Fälle gibt es?<br />
(e) Skizzieren Sie die Populationsentwicklung in einem separaten Graphen als Funktion der Zeit<br />
für mehrere qualitativ unterschiedliche Anfangswerte.<br />
(f) Welche Probleme treten auf lange Sicht bei der Entwicklung der Population und der einfachen<br />
Formulierung als lineare iterierte Abbildung auf?<br />
(g) Alternativ könnte die Populationsentwicklung beschrieben werden durch die iterierte Abbildung<br />
an+1 = 1,02(an−105 ). Wie ändert sich die Interpretation dieser Iterationsvorschrift im Vergleich<br />
<strong>zu</strong>r Gleichung aus (a) (a)?