Datenstrukturen und Algorithmen Wiederholung Wiederholung Bäume

Datenstrukturen und 

Algorithmen 

VO 708.031 

09.12.2010 stefan.klampfl@tugraz.at 

1 

Wiederholung 

• Laufzeitverhalten der Suchverfahren für vorsortierte Felder 

Mittlerer Fall Schlechtester Fall 

Binärsuche O(log n) O(log n) 

Interpolationssuche O(log log n) O(n) 

Quadratische Binärsuche O(log log n) O( n) 

„FastSearch“ O(log log n) O(log n) 

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• Suchen in linearen Feldern: 

Ohne Vorsortierung: 

• Sequentielle Suche 

• Speicherung nach 

Zugriffswahrscheinlichkeit 

• Selbstanordnende Felder 

worst-case: T(n)=Θ(n) 

Wiederholung 

Mit Vorsortierung: 

• Binärsuche 

• Interpolationssuche 

• Quadratische Binärsuche 

• FastSearch 


• Definition: 

Bäume 

Ein Baum ist eine Menge, die durch eine sog. 

Nachfolgerrelation strukturiert ist. 

Elemente: Knoten 

• In einem Baum gilt: 

– ∃ Knoten w ohne Vater(w) � (w=Wurzel) 

– ∀ Knoten k≠w Knotenfolge k0 , k1 , …, kt mit k0 =k, kt =w und ki =Vater(ki-1 ) für i=1, 2, …, t. 

(Ast zwischen k und w, Länge t, 

t … Tiefe des Knotens k) 

1 

∃ 1 

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• Ordnung eines Knotens: Anzahl seiner Söhne 

• Ordnung eines Baumes: maximale Ordnung aller Knoten 

• Die Knoten eines Baumes sind entweder Blätter (Knoten ohne 

Söhne, Ordnung 0) oder innere Knoten (Ordnung >0) 

• Jeder Knoten ist Wurzel eines Teilbaumes 

• Höhe eines Baumes: Länge des längsten Pfades von der 

Wurzel bis zu einem Blatt 

• Voller Baum der Ordnung k: Jeder Knoten 

hat genau k Söhne oder ist ein Blatt 

• Ein vollständiger Baum ist ein voller 

Baum, bei dem jedes Blatt gleiche 

Tiefe hat 



• Anwendungen in der Informatik: 

– Rekursionsbäume 

– Entscheidungsbäume 

– Suchbäume 

– Haldenbäume 

– Codebäume u.v.a. 

Beispiel (Syntaxbäume): 

Arithmetische Ausdrücke 

Blätter (= Knoten ohne Söhne) enthalten 

Zahlen, innere Knoten speichern 

Operatoren (+, -, *, /). 


+ 

* 

2 5 

/ 

+ 

3 4 3 

• Anwendungen: 

– Hierarchische Strukturen: 

– Inklusionsstrukturen: 



Binärbäume 

• Jeder Knoten hat maximal zwei Nachfolger 

Existiert ein Sohn- oder ein Vaterknoten nicht, 

wird nil zurückgeliefert 


Binärbäume 

• Reihenfolge der Knoten: 

– Symmetrische Reihenfolge (SR, inorder): 

linker Teilbaum in SR, Wurzel, rechter Teilbaum in SR 

Beispiel: 

+ 

* 

/ 

+ 

3 4 3 

Aufruf: SR(w) 

w … Wurzel 

T(n) = Θ(n) 

Infix-Notation 

2 5 


Sortierte Binärbäume 

• Binäre Suchbäume sind in symmetrischer Reihenfolge sortiert 

Knoten im linken Teilbaum 

≤ Wurzel ≤ Knoten im 

rechten Teilbaum 


Binärbäume 

• Reihenfolge der Knoten: 

– Hauptreihenfolge (HR, preorder): 

Wurzel, linker Teilbaum in HR, rechter Teilbaum in HR 

– Nebenreihenfolge (NR, postorder): 

linker Teilbaum in NR, rechter Teilbaum in NR, Wurzel 

+ 

* 

2 5 

/ 

+ 

3 4 3 

Postfix-Notation 

(HR) 

(NR) 



• Suchen (binäre Suche): 

Suchzeit: O(h) 

b … gesuchter Wert 

k … Wurzel des Teilbaums 

Aufruf: SUCHE(b, w) 

h … Höhe des Baumes (= Länge des längsten Astes) 



• Minimum und Maximum: 

k … Wurzel des Teilbaums 

Laufzeit: 

jeweils O(h) 



• Vorgänger und Nachfolger: 

Nachfolger von k: was ist der kleinste Wert größer als k? 

Laufzeit: O(h) 

Wenn ein rechter Sohn 

existiert, suche das Minimum 

in diesem Teilbaum, … 

… sonst suche den niedrigsten 

Knoten, bei dem sich k unter 

dem linken Sohn befindet 



• Vorgänger und Nachfolger: 

Vorgänger von k: was ist der größte Wert kleiner als k? 


Wenn ein linker Sohn existiert, 

suche das Maximum in diesem 

Teilbaum, … 

… sonst suche den niedrigsten 

Knoten, bei dem sich k unter 

dem rechten Sohn befindet 


• Einfügen: 


Fügt den Wert w in den Binärbaum B ein 

Simuliere eine Suche nach w, bis zu einer 

freien Stelle (x=nil) 

Dort fügen wir das Element ein (als Sohn 

von y) 

Baum B war leer 



• Entfernen: 


Suchen ⇒ Knoten k 

a) k ist Blatt: abhängen 

b) k hat nur einen Sohn: 

Teilbaum von diesem Sohn an VATER(k) anhängen 

c) k hat 2 Söhne: Finde den Nachfolger k‚ 

(k' hat keinen linken Sohn!) 

Setze WERT(k) = WERT(k' ) 

Entferne k'‚ Fall a) oder b) 



• Zusammenfassung: 

– Minimum 

– Maximum 

– Vorgänger 

– Nachfolger 

– Einfügen 

– Löschen 

– Suchen 


Alle Operationen in O(h) Zeit 

h … Baumhöhe 

• Vorteil: dynamische Lösung des Wörterbuchproblems 

• Nachteil: Zeiten bis zu Θ(n) 



• Aufbau eines sortierten Binärbaumes: 

– durch wiederholtes Einfügen (⇒ natürliche Bäume) 

– Binärbaum hängt von der Reihenfolge der Elemente ab 

T(n) = O(n*h) 

= Θ(n 2 ), wenn h = Θ(n) 

Fügt man randomisiert ein, ist E[h] klein 

Einige wenige 

Reihenfolgen 

liefern entartete 

Bäume (= Listen) 


Danke für Ihre Aufmerksamkeit! 

Bis zum nächsten Mal. 

(Donnerstag, 16. Dez. 2010, 11:15, i13)

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