Definition: (Kette, noethersche Ordnung) Definition: (Kette ...

3. Funktionales Programmieren 3.4 Semantik, Testen und Verifikation 

Definition: (Kette, noethersche Ordnung) 

Sei (M, ≤) eine Ordnung. Eine Folge ϕ : N → M heißt eine (abzählbar 

unendliche) aufsteigende Kette, wenn für alle i ∈ N gilt: 

(absteigende Kette: entsprechend). 

ϕ(i) ≤ ϕ(i + 1) 

Eine Kette ϕ wird stationär, falls es ein j ∈ N gibt, so dass 

ϕ(j) = ϕ(j + k) für alle k ∈ N 

©Arnd Poetzsch-Heffter TU Kaiserslautern 533 

Lemma: 


Eine Ordnung ist genau dann noethersch, wenn jede absteigende 

Kette stationär wird. 

Beweis: (siehe Theorievorlesung) 



Definition: (Kette, noethersche Ordnung) (2) 

Sei N eine Teilmenge von M. x ∈ N heißt: 

• größtes Element von N, wenn ∀y ∈ N gilt: y ≤ x. 

• kleinstes Element von N, wenn ∀y ∈ N gilt: x ≤ y. 

• maximales Element von N, wenn ∀y ∈ N gilt: 

x ≤ y impliziert x = y. 

• minimales Element von N, wenn ∀y ∈ N gilt: 

y ≤ x impliziert x = y. 

Eine Ordnung (M, ≤) heißt noethersch, wenn jede nicht-leere 

Teilmenge von M ein minimales Element besitzt. 


Terminierungskriterium: 


Sei f : S → T eine rekursive Funktionsdeklaration mit formalem 

Parameter n und sei P die Menge der zulässigen Parameter von f . 

Jede Anwendung von f auf Elemente von P terminiert, 

• wenn es eine noethersche Ordnung (M, ≤) 

• und eine Abb. δ : P → M gibt, 

• so dass für jede rekursive Anwendung f (G(n)) im Rumpf der 

Deklaration gilt: 

i) G(n) ist ein zulässiger Parameter, d.h. G(n) ∈ P. 

ii) Die aktuellen Parameter werden echt kleiner, d.h. 

δ(G(n)) < δ(n) 

©Arnd Poetzsch-Heffter TU Kaiserslautern 536

Bemerkung: 


• Da die aktuellen Parameter nur endlich oft echt kleiner werden 

können (und dann stationär werden), garantiert das obige 

Kriterium die Terminierung. 

• Um die Terminierung nachzuweisen, muss man also eine 

geeignete noethersche Ordnung und eine geeignete Abbildung δ 

finden. 

• Ist der Argumentbereich bereits noethersch geordnet, kann δ 

selbstverständlich auch die Identität sein. 



Beispiele: (Terminierungsbeweis) (2) 

2. einfuegen ([],z,ix) = [z] 

einfuegen (xs,z,0) = z:xs 

einfuegen (x:xs,z,ix) = einfuegen (xs,z,ix -1) 

P ist die Menge aller Tripel aus (a,[a],Int). 

Noethersche Ordnung (N, ≤). 

Als δ wähle die Funktion längefst, die länge auf die erste 

Komponente anwendet. 

Zu zeigen: 

i) (xs,z,ix-1) ist ein zulässiger Parameter : ok. 

ii) längefst(xs,z,ix-1) < längefst(x:xs,z,ix) : ok. 



Beispiele: (Terminierungsbeweis) 

1. foldrplus xs = 

if null xs then 0 

else (headd xs) + foldrplus (tail xs) 

P ist die Menge aller endlichen Listen über Integer. 


Als δ wähle die Funktion länge (Länge einer Liste). 

Zu zeigen: 

i) tail xs ist ein zulässiger Parameter: ok. 

ii) länge (tail xs) < länge xs: ok. 




Bemerkung: 

Hätte man stattdessen für δ die Selektion auf die dritte Komponente 

gewählt, hätte man Terminierung nur für eine kleinere Menge 

zulässiger Parameter zeigen können, nämlich z.B. für Parametertripel 

(xl,el,ix) mit ix ≥ 0. 




3. foo(m,n) = 

if m 0. 


δ : Z × Z → N mit 

δ(m, n) = 

� 0 , falls m < n 

m − n + 1 , falls m ≥ n 


Bemerkung: 


• Terminierungsbeweise sind bei der Entwicklung von 

Qualitätssoftware sehr wichtig, und zwar unabhängig vom 

verwendeten Modellierungs- bzw. Programmierparadigma. 

• Es sollte zur Routine der Softwareentwicklung, gehören, den 

zulässigen Parameterbereich festzulegen und dafür Terminierung 

zu zeigen. 




Zu zeigen: 

i) (m − n, n) ist ein zulässiger Parameter: ok. 

ii) Unter der Voraussetzung m ≥ n und n > 0: 

1. Fall: m − n ≥ n: 

δ(m − n, n) = m − n − n + 1 < m − n + 1 = δ(m, n) 

2. Fall: m − n < n: 

δ(m − n, n) = 0 < m − n + 1 = δ(m, n) 


Kapitel 4 

4. Prozedurales Programmieren 4.0 

Prozedurales 

Programmieren 


Übersicht 


4. Prozedurales Programmieren 

Der Begriff des Algorithmus 

Grundkonzepte prozeduraler Programmierung 

Sprachliche Basis: Teilsprache von Java 

Anweisungen 

Prozeduren 

Variablen in Programm und Speicher 

Felder 

Benutzerdefinierte Typen 

Sichtbarkeit von Bindungen 

Iteration und Rekursion 

Weitere prozedurale Sprachkonzepte 

Algorithmen in prozeduraler Formulierung 

Einführung in die Algorithmenanalyse 

Speicherverwaltung 

Laufzeitverhalten 


Abschnitt 4.1 

4. Prozedurales Programmieren 4.1 Der Begriff des Algorithmus 



Übersicht (2) 


Prozedurale Algorithmen und deren Analyse 

Algorithmenklassen & -entwicklung 

Verifikation prozeduraler Programme 

Spezifikation von Prozedureigenschaften 

Verifikation von Prozeduren 




Zentrale Begriffe der algorithmischen Vorgehens: 

• Algorithmus 

• Variablen zur Speicherung von Werten 

• Ausführungszustand = Speicherzustand + Steuerungszustand 

• Zustandsveränderung 

• Aktion 

• Ablauf 

• Determinismus, Determiniertheit 



Der Begriff des Algorithmus (2) 

Die prozedurale Modellierung und Programmierung baut auf den 

klassischen Algorithmusbegriff auf. 

Eine Berechnung wird als zustandsverändernder Ablauf betrachtet. 

Damit orientiert sie sich am Berechnungskonzept von Rechnern, das 

auch auf der Beschreibung von Abläufen basiert, in denen sich in 

jedem Schritt der Ausführungszustand ändern kann. 



Begriffsklärung: (Algorithmus) (2) 

Man sagt, die Ausführung eines Algorithmus terminiert, wenn sie 

nach endlich vielen Schritten beendet ist; andernfalls spricht man von 

einer nicht-terminierenden Ausführung. 

Bemerkung: 

Es gibt viele Begriffsklärungen für " Algorithmus", die sich aber in den 

wesentlichen Aspekten gleichen. 



Begriffsklärung: (Algorithmus) 

Ein Algorithmus ist ein Verfahren zur schrittweisen Ausführung von 

(Berechnungs-) Abläufen, das sich präzise und endlich beschreiben 

lässt, so dass: 

• die Beschreibung auf wohlverstandenen, ausführbaren 

(" effektiven") Einzelschritten basiert; 

• in jedem Schritt eine oder mehrere Aktionen ggf. parallel 

ausgeführt werden; 

• jede Aktion von einem Zustand in einen Nachfolgezustand führt. 



Beispiel: (Algorithmus, der erste) 

Verdoppeln nach Adam Riese (1574): 

Dupliren: 

Lehret wie du ein zahl zweyfaltigen solt. 

Thu ihm also 

Schreib die zahl vor dich / 

mach ein Linien darunder / 

heb an zu forderst / 

Duplir die erste Figur. 

Kompt ein zahl die du mit einer Figur schreiben magst / 

so setz die unden. 

Wo mit zweyen / 

schreib die erste/ Die ander behalt im sinn. 



Beispiel: (Algorithmus, der erste) (2) 

Darnach duplir die ander / 

und gib darzu/ 

das du behalten hast / 

und schreib abermals die erste Figur / 

wo zwo vorhanden / 

und duplir fort biß zur letzsten / 

die schreibe gantz auß / 

als folgende Exempel außweisen: 

... 



Begriffsklärung: (Speichervariable) 

Eine Speichervariable (oder einfach nur Variable) ist ein 

Speicher/Behälter für Werte. Charakteristische Operationen auf einer 

Variablen v: 

• Zuweisen eines Werts w an v; 

• Lesen des Wertes, den v enthält/speichert/hat. 

Der Zustand einer Variablen v ist undefiniert, wenn ihr noch kein Wert 

zugewiesen wurde; andernfalls ist der Zustand von v durch den 

gespeicherten Wert charakterisiert. 


Speichervariablen: 


Um die Zustände zwischen den Schritten präziser fassen zu können, 

führt man Variablen ein, die Werte speichern können: 

Variablen stellen wir graphisch durch Rechtecke dar: 

v: True v enthält/speichert den Wert True 

v1: 7 v1 enthält/speichert den Wert 7 



Beispiel: (Algorithmus, der zweite) 

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers: 

Seien m, n, v Variablen fuer Integer-Werte; 

lese die Werte w1 und w2 ein, fuer die der ggT berechnet werden soll, 

und weise w1 an m und w2 an n zu; 

solange der Wert von m groesser als 0 ist, tue Folgendes und pruefe 

danach wieder die Bedingung: 

• berechne n mod m und weise das Ergebnis an v zu; 

• weise den Wert von m an n zu; 

• weise den Wert von v an m zu; 

gebe den Wert aus, den n enthaelt. 

Ausführen des Algorithmus für mehrere Eingaben! 



Algorithmusformulierung: 

Formulierung des obigen Algorithmus durch ein Flussdiagramm: 



Algorithmusformulierung: (3) 

Formulierung des obigen Algorithmus durch ein C++ Programm (ohne 

zusätzliche Ausgaben): 

#include 

// Berechnet ggT fuer 2 gelesene Werte 

void main(){ 

int m; int n; int v; 

cin >> m; 

cin >> n; 

} 

while( m>0 ) { 

v = n % m; 

n = m; 

m = v; 

} 

cout 0 ) { 

v = n % m; 

n = m; 

m = v; 

} 

IO.println( n ); 


Bemerkung 


• Algorithmen können mehr oder weniger formal beschrieben sein. 

• Ein Algorithmus ist unabhängig von der verwendeten 

Beschreibungstechnik bzw. Sprache. 



Begriffsklärung: (Zustände) 

Jeder Schritt bei der Ausführung eines Algorithmus führt von einem 

Ausführungszustand zum Nachfolgezustand. Ein 

Ausführungszustand ist gekennzeichnet durch 

• den Speicherzustand (im Wesentlichen der Zustand der 

Variablen); 

• den Steuerungszustand (vereinfacht gesagt, die Stelle im 

Programm, an der die Ausführung angekommen ist). 

Ein Ausführungsschritt führt zu einer Zustandsveränderung, also einer 

Veränderung von Speicher- und/oder Steuerungszustand. 


Begriffsklärung: (Ablauf) 


Der Ablauf eines Algorithmus zu gegebenen Eingaben wird 

charakterisiert durch 

• die Sequenz der Ausführungszustände, 

• die Sequenz der ausgeführten Aktionen. 


Begriffsklärung: (Aktion) 


In einem Ausführungsschritt wird üblicherweise eine Aktion 

ausgeführt. Aktionen sind: 

• Zuweisungen an Variablen 

• Kommunikation mit der Umgebung (Ein- und Ausgabe)? 

Die Aktion bestimmt nachfolgende Steuerungszustände bzw. die 

Terminierung des Algorithmus. 



Begriffsklärung: (Effizienz) 

Ein Algorithmus A heißt effizienter als ein Algorithmus B, wenn der 

" Aufwand" zur Ausführung von A geringer ist als der " Aufwand" zur 

Ausführung von B und zwar für die zulässigen Eingabedaten. 

Oft wird nur erwartet, dass der Aufwand für alle bis auf endlich viele 

Eingaben geringer ist oder nur im Mittel über die zulässigen Eingaben.

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