Dimensionstheorie Linearer Gleichungssysteme

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2.5 Dimensionstheorie Linearer Gleichungssysteme
Früher eingeführte Konzepte für Lineare Gleichungssysteme wie elementare Umformungen
(siehe 2.2.5) und die Stufenform aus 2.2.7 übertragen sich unmittelbar
auf Matrizen. In diesem Fall spricht man genauer von der Zeilenstufenform. Eine
Matrix � A hat Zeilenstufenform, falls Indices k1 < k2 < . . .kr existieren mit
�aiki = 1, �aij = 0 für j < ki oder i > r. Wir nennen diese Indices auch die Stufenindices
von � A. Der Rang von � A ist gleich r, der Rang einer beliebigen Matrix
definitionsgemäß gleich dem Rang einer durch elementare Umformungen daraus
erzeugten Matrix im Zeilenstufenform. Allerdings kann man von einer gegebenen
Matrix zu verschiedenen Zeilenstufenformen gelangen, und der Rang könnte vielleicht
nicht immer der gleiche sein. Um dieses Problem zu beseitigen, geben wir
eine Neubegründung des Begriffs “Rang” mit Hilfe des Dimensionsbegriffs.
Definition 2.5.1 (Rang)
a) Der Rang eins Vektorsystems v1, v2, . . .,vm in einem Vektorraum V ist definiert
als
rang{v1, v2, . . .,vm} := dim Lin{v1, v2, . . .,vm}.
b) Der Spaltenrang einer Matrix A mit Spalten �a1,�a2, . . .,�an ∈ K m ist definiert
als rang{�a1,�a2, . . .,�an}
c) Der Zeilenrang einer Matrix mit Zeilen a 1, a 2, . . .,a m ∈ K 1×n ist definiert
als rang{a 1, a 2, . . .a m}.
Der von den Zeilen einer m × n-Matrix A erzeugte Unterraum des K 1×n heißt
auch Zeilenraum von A; der von den Spalten von A erzeugte Unterraum des K m
heißt Spaltenraum von A. Der Zeilen- bzw. Spaltenrang ist also definitionsgemäß
gleich der Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraumes.
Später werden wir sehen, daß der Zeilenrang immer gleich dem Spaltenrang ist.
Das ist sehr praktisch und leicht zur merken, aber nicht ganz leicht zu begründen.
Lemma 2.5.2 Bei den folgenden Umformungen eines Vektorsystems v1, v2, . . .,vm
ändert sich die lineare Hülle Lin{v1, v2, . . ., vm} und somit auch der Rang nicht.
1. Vertauschen zweier Vektoren;
2. Ersetzen eines der vi durch αvi für einen Skalar α �= 0;
3. Ersetzen eines der vi durch vi + αvj für einen Skalar α und ein j �= i.

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Wie man sieht, handelt es sich hier um eine offensichtliche Verallgemeinerung der
elementaren Zeilenumformungen von Matrizen.
Korollar 2.5.3 Der Zeilenrang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der von Null
verschiedenen Zeilen einer daraus durch elementare Zeilenumformungen erhaltenen
Matrix � A in Zeilenstufenform. Er entspricht somit dem früher definierten
Rang des zugehörigen linearen Gleichungssystems.
Zum Beweis muss man sich nur noch überlegen, daß die ersten r Zeilen von � A
linear unabhängig sind, also eine Basis des Zeilenraumes bilden.
Die 2. Interpretation der Matrix-Vektormultiplikation (siehe 2.4.2) liefert folgende
wichtige Interpretation des Spaltenraumes:
Bemerkung 2.5.4 Der Spaltenraum einer Matrix A besteht aus genau denjenigen
Vektoren � b ∈ K m , für die das LGS A�x = � b eine Lösung hat. Er kann
auch als das Bild der zur Matrix A gehörigen linearen Abbildung FA (siehe 2.4.4)
aufgefasst werden.
Wenn man elementare Zeilenumformungen durchführt, erhält man eine eins-zueins-Korrespondenz
(bijektive Abbildung) zwischen dem möglichen rechten Seiten,
d.h. den Bildmengen von FA, zur alten und neuen Matrix. Diese Beobachtung
liefert zwar keinen exakten Beweis, aber eine gute Begründung für folgendes
wichtige Lemma. Den vollständigen Beweis tragen wir später nach.
Lemma 2.5.5 Der Spaltenrang einer Matrix ändert sich bei elementaren Zeilenumformungen
nicht.
Nun folgt relativ leicht der folgende erste wichtige Satz dieses Abschnitts:
Satz 2.5.6 Der Zeilenrang einer Matrix ist immer gleich ihrem Spaltenrang.
Dieses ist ein wirklich bemerkenswerter Satz, auch wenn er einfach klingt. Wir
weisen noch einmal auf die völlig unterschiedliche Bedeutung des Zeilen- und
Spaltenraumes hin.
Der Rang einer Matrix A wird im folgenden mit rang(A) bezeichnet. Der Rang
einer m ×n-Matrix kann höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m und
n sein.
Wir wollen im Rest dieses Abschnittes den Begriff des Ranges auf lineare Gleichungssysteme
anwenden, genauer auf deren Lösbarkeit und die Struktur der
Lösungsmenge.
Gegeben sein ein LGS A�x = � b, wobei A eine m × n-Matrix ist. Die m × (n + 1)-
Matrix (A, � b) heißt auch erweiterte Matrix des Systems. Es wird also die rechte
Seite � b des LGS der Koeffizientenmatrix als weitere Spalte hinzugefügt.

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Proposition 2.5.7 Das Gleichungssystem A�x = � b hat genau dann eine Lösung,
wenn der Rang der Koeffizientenmatrix mit dem Rang der erweiterten Matrix
übereinstimmt: rang A = rang(A, � b).
Wenn man Gleichungssysteme wie üblich mit dem Gauß-Verfahren löst, braucht
man diesen Satz nicht (das System ist genau dann lösbar, wenn der Vektor � b
nach Umformung in der r + 1-ten bis m-ten Komponente eine Null hat). Er ist
eher von prinzipieller Bedeutung: jedes wie auch immer geartete Verfahren zur
Rangbestimmung liefert auch einen Test auf Lösbarkeit eines LGS (aber noch
nicht unbedingt die explizite Bestimmung der Lösung).
Nun kommen wir zum Hauptsatz der Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme.
Wir erinnern daran, daß die Lösungsmenge L(A,�0) eines homogenen LGS mit n
Unbestimmten ein Untervektorraum des K n ist.
Theorem 2.5.8 (Dimensionsformel für LGS) Der Lösungsraum eines homogenen
LGS A�x = �0, wobei A eine m × n-Matrix ist, hat die Dimension
dim L(A,�0) = n − rang(A).
Falls A bereits Zeilenstufenform hat und etwa die ersten r Indices die Stufenindices
sind (also aii = 1 für i = 1, . . .,r := rang(A) ), so erhält man eine Basis
von L(A,�0), indem man für die letzten n − r Komponenten nacheinander die
n−r Einheitsvektoren des K n−r einsetzt und den jeweils zugehörigen eindeutigen
Lösungsvektor bestimmt.
Für inhomogene Systeme A�x = � b brauchen wir keine eigene Dimesionsformel.
Falls es nämlich überhaupt eine Lösung �c gibt, so ist bekanntlich die Lösungsmenge
L(A, � b) = �c + L(A,�0)
eine affiner Unterraum. Seine Dimension ist definitionsgemäß (wie es der Anschauung
entspricht) gleich der Dimension des zugehörigen Untervektorraumes.
Übrigens nennt man zwei affine Unterräume v+U und w+U eines Vektorraumes
auch parallel. Alle Verschiebungen von U sind nach Definition parallel zu U selbst.
Ein paar Worte zur Veranschaulichung und Interpretation des Dimensionssatzes
2.5.8. Zunächst betrachten wir ein paar Spezialfälle.
Wenn man eine nicht-triviale Gleichung in zwei Unbestimmten hat, so ist die
Lösungsmenge eine Gerade im K 2 , also von der Dimension 1 = 2 − 1.
Wenn man eine nicht-triviale Gleichung in drei Unbestimmten hat, so ist die
Lösungsmenge eine Ebene im K 3 , also von der Dimension 2 = 3 − 1.
Wenn zwei nicht proportionale Gleichungen mit drei Unbestimmten vorliegen,
so ist der Rang gleich 2 und die Lösungsmenge von der Dimension 1 = 3 −2, also
eine Gerade.

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Wenn man eine weitere Gleichung hinzunimmt, die jedoch abhängig von den
beiden ersten ist, das heißt die entsprechende Zeile eine Linearkombination der
ersten beiden Zeilen, dann ändert sich die Lösungsmenge nicht, und der Rang
r = 2 ebensowenig.
Allgemein liefert der Satz eine präzisierte und quantifizierte Version der offensichtlichen
Beobachtung, daß eine Lösungsmenge um so kleiner wird, je mehr
Gleichungen man hat. Dabei ist das Maß für die Größe eines Vektorraums seine
Dimension. Allerdings ist die Dimension eines Lösungsraumes nicht n − m,
wie man naiverweise erwarten könnte, sondern die Anzahl der Gleichungen m
ist durch den Rang r zu ersetzen. In der Tat kann der Zeilenrang r als die Anzahl
der “wesentlichen verschiedenen” (d.h. linear unabhängigen) Gleichungen
beschrieben werden.
Wir schauen uns zwei Spezialfälle von 2.5.8 an, nämlich die Fälle mit größtmöglichem
Rang.
Korollar 2.5.9 Gegeben sei ein LGS A�x = � b, das wenigstens eine Lösung besitzt.
Dabei ist A eine m × n-Matrix vom Rang r. Die Lösung ist eindeutig
bestimmt genau dann, wenn r = n ist.
Zum Beweis zieht man sich auf den homogenen Fall zurück: es ist L(A, � b) =
�c+L(A,�0), wobei �c die nach Voraussetzung existierende Lösung ist. Diese Menge
besteht genau dann nur aus �c, wenn L(A,�0) nur aus der Null besteht, d.h. als
Vektorraum die Dimension 0 hat. Nach der Dimensionsformel läuft das auf r = n
hinaus.
Korollar 2.5.10 Gegeben sei eine m × n-Matrix vom Rang r. Das LGS A�x = � b
ist für jedes � b ∈ K m lösbar (man sagt auch: universell lösbar) genau dann, wenn
r = m ist.
Dieses folgt leicht aus der Bemerkung 2.5.4 zusammen mit Korollar 2.3.19: Lösbar
ist das LGS genau dann, wenn � b im Spaltenraum liegt, und dieser ist genau dann
gleich ganz K m , wenn seine Dimension r gleich m ist.
Wir wenden uns schließlich noch denjenigen Matrizen A zu, deren LGS universell
und eindeutig lösbar ist. Nach den beiden letzten Sätzen muss hier m = n = r
sein. Solche Matrizen bekommen einen eigenen Namen.
Definition 2.5.11 Eine Matrix heißt regulär, wenn sich quadratisch ist, also eine
n × n-Matrix für passendes n, und ihr Rang größtmöglich, also gleich n ist.
Definition 2.5.12 Die Einheitsmatrix En der Größe n über dem Körper K ist
die Matrix, deren Spalten (oder Zeilen) die kanonischen Einheitsvektoren des K n

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sind:
⎛ ⎞
1 0 . . . 0 0
⎜ ⎟
⎜0
1 . . . 0 0⎟
⎜ ⎟
En = ⎜
⎜.
.
⎟ .
⎜ ⎟
⎝0
0 . . . 1 0⎠
0 0 . . . 0 1
Für die Einheitsmatrix gilt En�x = �x für jeden Spaltenvektor �x und EnB =
B sowie AEn = A für beliebige Matrizen A und B passender Größe. D.h. En
liefert die identische Abbildung K n → K n und ist neutrales Element für die
Matrizenmultiplikation (aufgefasst als Verknüpfung).
Satz und Definition 2.5.13 a) Für eine n ×n-Matrix A sind die folgenden
Eigenschaften äquivalent:
1. A ist regulär, also vom Rang n.
2. Für jedes � b ∈ K n hat das LGS A�x = � b eine eindeutige Lösung.
3. A ist invertierbar, d.h. es existiert eine Matrix X so, daß AX = En.
Die Matrix X aus 3. ist eindeutig bestimt und hießt die inverse Matrix zu
X, Bezeichnung X =: A −1 .
b) Bei regulärem A und gegebenem � b ∈ K n wird die nach 2. eindeutige Lösung
des LGS A�x = � b durch �x = A −1� b gegeben.
Die Lösung der Matrixgleichung AX = En ist gleichwertig zur Lösung der n
Vektorgleichungen A�xi = �ei, i = 1, . . ., n. Dabei ist �xi die i-te Spalte von X. Die
Lösung von LGS mit dem Gauß-Verfahren liefert also folgendes
Verfahren zur Bestimmung der inversen Matrix. Gegeben sei die reguläre
n ×n-Matrix A. Bilde die n ×2n-Matrix (A, En) und überführe den linken Block
A durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix En. Die hierbei im
rechten Block entstehende Matrix X erfüllt AX = En, ist also die inverse Matrix
X = A −1 .
Zusatz 2.5.14 Die durch die Gleichung AA −1 = En gekennzeichnete Inverse
A −1 einer regulären Matrix A erfüllt auch die Gleichung A −1 A = En (“jede
rechtsinverse Matrix ist auch linksinvers”).
Wenn umgekehrt zu einer n × n-Matrix A eine Matrix X mit XA = En
existiert, so ist A regulär und X die inverse Matrix zu A (“jede linksinverse
Matrix ist auch rechtsinvers”).

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Eine Folgerung aus diesem Zusatz ist, daß die invertierbaren Matrizen einer festen
Größe über einem festen Körper eine Gruppe bilden. Das gemäß den Gruppenaxiomen
erforderliche inverse Element ist die inverse Matrix. Zu zeigen ist
allerdings noch, daß das Matrizenprodukt von zwei invertierbaren Matrizen A
und B wieder invertierbar ist. Das ist nicht schwer: die Matrix B −1 A −1 ist offenbar
invers zu AB.
Der Zusatz gewinnt noch an Bedeutung, wenn man die Matrizen als lineare
Abbildungen auffasst. Bekanntlich drückt die Existenz eines Rechtsinversen die
Surjektivität aus, die Existenz eines Linksinversen die Injektivität. Im allgemeinen
sind das ganz verschiedene Eigenschaften. Für lineare Abbildungen F : V →
V , wo V ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist (oder auch F : V → W mit
dim V = dim W < ∞) gilt jedoch: F ist injektiv genau dann, wenn F surjektiv
ist. Dieses ist übrigens völlig analog zur Situation von beliebigen Abbildungen
zwischen endlichen Mengen gleicher Mächtigkeit. Für lineare Abbildungen
F = FA : K n → K n (vergleiche 2.4.9) kann man die letzte Behauptung schnell
aus Satz 2.5.13 schließen; der allgemeine Fall ergibt sich später, wenn wir die
Dimensionsformel 2.5.8 auf lineare Abbildungen übertragen haben.