Tutorium: Diskrete Mathematik Steven Köhler

2
Tutorium: Diskrete Mathematik
Steven Köhler
mathe@stevenkoehler.de
mathe.stevenkoehler.de
© 2012 Steven Köhler
Matrizen

Matrizen
Definition I
3
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen,
mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann.
Matrizen sind ein SchlÄusselkonzept der linearen Algebra und
tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen
ZusammenhÄange, in denen Linearkombinationen eine Rolle
spielen, Äubersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und
GedankenvorgÄange. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare
Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu
beschreiben.
Matrizen
Definition II
4
© 2012 Steven Köhler
Matrizen werden dargestellt durch eine tabellarische Au°istung
der Werte, die durch ein gro¼es Klammerpaar umgeben ist. Die
FormderKlammernistdabeinichtfestvorgegeben,typischsind
aber runde oder eckige Klammern.
0
1
A = (aij) =
A = [aij] =
B
@
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a11 ::: a1m
.
. ..
an1 ::: anm
2
6
4 .
a11 ::: a1m
. ..
an1 ::: anm
.
.
C
A
3
7
5

Matrizen
Addition von Matrizen
5
Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und
subtrahiert.
2
A + B = 4 a11
3 2
a12 a13
5 + 4 b11
3
b12 b13
5
a21 a22 a23
a31 a32 a33
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b21 b22 b23
b31 b32 b33
2
= 4 a11
3
+ b11 a12 + b12 a13 + b13
5
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33
Matrizen
Subtraktion von Matrizen
6
Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und
subtrahiert.
2
A ¡ B = 4 a11
3 2
a12 a13
5 ¡ 4 b11
3
b12 b13
5
a21 a22 a23
a31 a32 a33
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b21 b22 b23
b31 b32 b33
2
= 4 a11
3
¡ b11 a12 ¡ b12 a13 ¡ b13
a21 ¡ b21 a22 ¡ b22 a23 ¡ b235
a31 ¡ b31 a32 ¡ b32 a33 ¡ b33

Matrizen
Skalare Multiplikation
7
Eine Matrix kann mit einen konstanten Faktor ¸ 2 R multipliziert
werden. Den Wert ¸ nennt man ein Skalar.
2
¸A = ¸ ¢ 4 a11
3 2
a12 a13
5 = 4 ¸a11
3
¸a12 ¸a13
5
a21 a22 a23
a31 a32 a33
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Matrizen
Multiplikation von Matrizen I
8
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¸a21 ¸a22 ¸a23
¸a31 ¸a32 ¸a33
Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch eine weitere Multiplikation
fÄur Matrizen. Dabei werden 2 Matrizen miteinander
mutlipliziert. Die folgende Formel zeigt dies exemplarisch fÄur zwei
3 £ 3-Matrizen:
A ¢ B
a11 a12 a13 b11 b12 b13
= a21 a22 a23 ¢ b21 b22 b23
a31 a32 a33 b31 b32 b33
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33
= a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 a21b13 + a22b23 + a23b33
a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22 + a33b32 a31b13 + a32b23 + a33b33

Matrizen
Multiplikation von Matrizen II
9
Die EintrÄage der Ergebnismatrix C sind o®enbar die Skalarprodukte
der Zeilenvektoren der Matrix A mit den Spaltenvektoren
der Matrix B.
Daraus lÄasst sich leicht eine Aussage Äuber eine essentielle
Voraussetzung der Matrizenmultiplikation tre®en.
Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, mÄussen die
Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen
der zweiten Matrix Äubereinstimmen.
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Matrizen
Multiplikation von Matrizen III
10
Gegeben seien sei Matrizen A 2 R m£n und B = R n£p . Das Produkt
C der beiden Matrizen A und B ist dann eine m£p -Matrix
und lÄasst sich allgemein durch die folgende Formel darstellen:
C = A ¢ B
= £ ¤ £ ¤
aij ¢ bij
= £ ¤
nX
cij mit cij =
k=1
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aikbkj

Matrizen
Multiplikation von Matrizen IV
11
Aufgabe
Es seien A =
· ¸
1 2
und B =
3 4
Berechne A + B, A ¡ B und A ¢ B.
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Matrizen
Multiplikation von Matrizen V
12
LÄosung
Es ergeben sich die folgenden Matrizen:
· ¸
0 7
A + B =
3 7
· ¸
2 ¡3
A ¡ B =
3 1
· ¸
¡1 11
A ¢ B =
¡3 27
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· ¸
¡1 5
gegeben.
0 3

Matrizen
Falksches Schema I
13
Das Falksche Schema (1951 von Sigurd Falk vorgeschlagen) ist
eine einfache Methode, Matrizenmultiplikation Äubersichtlicher
darzustellen.
Dazu werden die Matrizen A und B sowie deren Produkt
C in eine bestimmte tabellarische Form gebracht, die vor allem
eine optische Hilfe bietet.
Matrizen
Falksches Schema II
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Gegeben seien die Matrizen A 2 R3£3 und B 2 R3£3 . Darstellung
der Matrizenmultiplikation mit dem Falkschen Schema:
2
3
b11 b12 b13
4
5 (= B)
2
(A =) 4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3
5
2
4
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b21 b22 b23
b31 b32 b33
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
3
5 (= C)
Die Werte fÄur cij berechnen sich wie zuvor durch cij = 3P
aikbkj.
k=1

Matrizen
Aufgaben
15
Aufgabe 1
Gegeben seien die Matrizen
A =
2 0 1
1 0 ¡1
7 6 3
¡1 2 4
;B=
3 2 ¡1
1 0 2
1 1 0
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;C= 1 2 ¡2 ;D=
2
3
¡2
Entscheide, ob die folgenden Produkte de¯niert sind und berechnen
diese, falls sie existieren: AB, BA, AC, AD, AA, BB, CD,
DC.
Matrizen
Aufgaben
16
Aufgabe 2
Gegeben seien die Matrizen
2
3
6
A = 62
41
4
3
2
5
4
3
3
6
5 7
45
und
2
¡1
6
B = 6 2
4 3
¡2
2
3
3
1
¡3
3
4
4 7
¡35
4 7 7 4
0 1 2 0
:
Berechne das Element, das in AB in der dritten Zeile und zweiten
Spalte steht. Berechne au¼erdem die vierte Spalte von AB.
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:

Matrizen
Aufgaben
17
Aufgabe 3
Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche
falsch sind. BegrÄunde deine Meinung!
a) Die Addition von Matrizen ist nicht assoziativ.
b) Die Multiplikation von Matrizen ist fÄur alle Matrizen kommutativ.
c) Die Multiplikation von Matrizen ist niemals kommutativ.
d) FÄur 2 £ 2 - Matrizen gilt das Distributivgesetz
(A + B) ¢ C = AC + BC:
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Matrizen
Elementare Zeilenumformungen
18
Man darf Matrizen durch elementare Zeilenumformungen in eine
andere Matrix ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind:
² Vertauschen von zwei Zeilen;
² Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen
Konstanten;
² Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Diese Operationen dÄurfen beliebig kombiniert und beliebig oft
wiederholt werden.
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Matrizen
Elementare Spaltenumformungen I
19
Ebenso wie durch elementare Zeilenumformungen darf man eine
Matrix durch elementare Spaltenumformungen in eine andere Matrix
ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind:
² Vertauschen von zwei Spalten;
² Multiplikation einer Spalte mit einer von Null verschiedenen
Konstanten;
² Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen
Spalte.
Diese Operationen dÄurfen ebenfalls beliebig kombiniert und beliebig
oft wiederholt werden.
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Matrizen
Elementare Spaltenumformungen II
20
Generell sollten elementare Zeilen- und Spaltenumformungen
nicht vermischt werden, da dies meist mehr Chaos als Nutzen
bringt.
Wir werden uns im Folgenden ausschlie¼lich mit elementaren
Zeilenumformungen beschÄaftigen.
Sollten einmal Umformungen der Spalten notwendig sein,
werden wir die zugehÄorige Matrix zunÄachst transponieren und
anschlie¼end die Zeilen der transponierten Matrix umformen.
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Matrizen
Zeilenstufenform I
21
Durch elementare Zeilenumformungen kann man jede Matrix in
die sogenannte Zeilenstufenform bringen. Diese erfÄullt die folgenden
Eigenschaften (vgl. Gramlich):
² Alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, stehen in der Matrix
ganz unten.
² Wenn eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste
von Null verschiedene Zahl eine Eins. Sie wird als fÄuhrende
Eins bezeichnet.
² In zwei aufeinanderfolgenden Zeilen, die von Null verschiedene
Elemente besitzen, steht die fÄuhrende Eins in der
unteren Zeile stets weiter rechts als in der oberen Zeile.
Matrizen
Zeilenstufenform II
22
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Besitzt die Matrix Zeilenstufenform und gilt zusÄatzlich noch
² Eine Spalte, die eine fÄuhrende Eins enthÄalt, hat keine weiteren
von Null verschiedenen EintrÄage,
dann liegt die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vor.
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Matrizen
Zeilenstufenform III
23
Beispiel
· ¸
2 8
Es sei A = .
3 5
Bringe die Matrix A in Zeilenstufenform!
Matrizen
Zeilenstufenform IV
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ZunÄachst wird die 1. Zeile mit 1
2 multipliziert:
· ¸
1 4
:
3 5
Anschlie¼end wird das (¡3)-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert:
· ¸
1 4
:
0 ¡7
Abschlie¼end wird die 2. Zeile mit ¡ 1
7 multipliziert:
· ¸
1 4
:
0 1
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Matrizen
Zeilenstufenform V
25
Aufgabe 4
ÄUberfÄuhre die folgende Matrix in Zeilenstufenform!
2
1
6
62
43
2
1
1
1
¡2
¡3
3
1
0 7
15
1 3 2 1
Matrizen
Einheitsmatrizen I
26
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Als Einheitsmatrix wird die spezielle quadratische Matrix
En 2 R n£n
bezeichnet, deren Hauptdiagonalenelemente 1 sind; alle anderen
EintrÄage sind 0.
2
1
6
60
6
En = 6
6.
40
0
1
.
0
:::
:::
. ..
:::
0
0
.
1
3
0
0 7
. 7
05
0 0 ::: 0 1
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Matrizen
Einheitsmatrizen II
27
Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezÄuglich der Matrizenmultiplikation,
d.h., fÄur alle Matrizen A (passende Dimensionen
vorausgesetzt) gilt
Matrizen
Diagonalmatrizen
28
A ¢ E = E ¢ A = A:
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Diagonalmatrizen sind spezielle quadratische Matrizen, die
lediglich auf der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Elemente
besitzen:
2
d1
6 0
6
D =
.
6 .
4 0
0
d2
.
.
0
:::
:::
. ..
:::
0
0
.
.
dn¡1
3
0
0 7
. 7
. 7 :
7
0 5
0 0 ::: 0 dn
Die Einheitsmatrizen En sind spezielle Diagonalmatrizen.
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Matrizen
Skalarmatrizen I
29
Skalarmatrizen sind spezielle Diagonalmatrizen, besitzen also
ebenfalls nur auf der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Elemente;
zusÄatzlich haben alle Hauptdiagonalenelemente denselben
Wert:
2
¸
6
60
6
S = 6 .
6 .
40
0
¸
.
0
:::
:::
. ..
:::
0
0
.
¸
3
0
0 7
.
7
. 7 :
7
05
0 0 ::: 0 ¸
Matrizen
Skalarmatrizen II
30
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Wie man leicht sieht, ist die Skalarmatrix lediglich ein skalares
Vielfaches der Einheitsmatrix:
2
¸
6
60
6
S = 6 .
6 .
40
0
¸
.
0
:::
:::
. ..
:::
0
0
.
¸
3
0
0 7
.
7
. 7 = ¸ ¢ En:
7
05
0 0 ::: 0 ¸
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Matrizen
Dreiecksmatrizen I
31
Dreiecksmatrizen sind eine weitere spezielle Art von Matrizen.
Sie werden unterschieden in obere und untere Dreiecksmatrizen.
Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie Äuber- bzw. unterhalb
der Hauptdiagonalen nur Nullen besitzen.
Matrizen
Dreiecksmatrizen II
32
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2
a1
6 0
6
O =
.
6 .
4 0
?
a2
.
.
0
:::
:::
. ..
:::
?
?
.
.
an¡1
3
?
? 7
. 7
. 7
? 5
0 0 ::: 0 an
2
a1
6 ?
6
U = 6 .
4 ?
0
a2
.
?
:::
:::
. ..
:::
0
0
.
an¡1
3
0
0 7
. 7
0 5
? ? ::: ? an
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Matrizen
Transponierte Matrix I
33
Aus einer Matrix A erhÄalt man die transponierte Matrix A T
dadurch, dass man die Zeilen der Matrix A mit den Spalten der
Matrix A vertauscht.
Mit anderen Worten: Die Matrix A wird an der Hauptdiagonalen
" gespiegelt\.
Gegentlich wird die transponierte Matrix auch gestÄurzte Matrix
genannt.
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Matrizen
Transponierte Matrix II
34
Es sei A 2 Rn£m gegeben durch:
2
6
A = 4 . .
.
..
a11 ::: a1m
.
an1 ::: anm
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3
7
5 :
Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten erhÄalt man die
transponierte Matrix AT 2 Rm£n :
A T 2
3
a11 ::: an1
6
= 4 . .
.
.. .
7
. 5 :
a1m ::: anm

Matrizen
Symmetrische Matrizen
35
Eine quadratische Matrix A 2 R n£n hei¼t symmetrisch, wenn fÄur
alle i; j 2 N (1 · i · n und 1 · j · n) Folgendes gilt:
aij = aji:
FÄur symmetrische Matrizen gilt au¼erdem
Matrizen
Inverse Matrix I
36
A = A T :
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Eine quadratische Matrix A hei¼t invertierbar, falls es eine Matrix
A ¡1 gibt, fÄur die gilt:
A ¢ A ¡1 = A ¡1 ¢ A = E:
Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. Falls eine Matrix
invertierbar ist, so ist ihr Inverses allerdings eindeutig bestimmt.
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Matrizen
Inverse Matrix II
37
Frage:
Woher wei¼ man, ob eine quadratische Matrix invertierbar
ist oder nicht? Wenn man wei¼, dass eine Matrix invertierbar ist,
wie kann man die inverse Matrix bestimmen?
Matrizen
Inverse Matrix III
38
Antwort:
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Man wendet den Gau¼-Jordan-Algorithmus an.
² Ist die Matrix invertierbar, liefert dieser garantiert die inverse
Matrix.
² Ist die Matrix nicht invertierbar, wird dies durch das Verfahren
zweifelsfrei festgestellt.
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Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus I
39
Der Gau¼-Jordan-Algorithmus besteht aus den folgenden einfachen
Schritten, mit deren Hilfe man die inverse Matrix
bestimmen kann, falls sie existiert.
Vorbereitung
Man erstellt die folgende Blockmatrix:
h
A ¯ i
¯ E :
A ist die zu invertierende Matrix, E ist eine entsprechend dimensionierte
Einheitsmatrix.
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Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus II
40
1. Schritt
Man wÄahlt die erste Spalte, die noch nicht in der richtigen Form
vorliegt (1 auf der Hauptdiagonalen, sonst nur Nullen).
2. Schritt
Ist das Hauptdiagonalenelement der Spalte eine Null, so vertauscht
man die Zeilen der Matrix auf geeignete Art, um ein von
Null verschiedenes Element in die Hauptdiagonale zu bekommen.
3. Schritt
Durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor macht
man das Hauptdiagonalenelement der Spalte zu einer 1.
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Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus III
41
4. Schritt
Durch Addition geeigneter Vielfacher der gerade multiplizierten
ZeilebringtmanalleanderenElementeinderaktuellenSpalte
auf Null.
5. Schritt
Man wiederholt dieses Vorgehen, bis alle Spalten der Matrix A
die richtige Form haben oder bis ein weiteres Umformen nicht
mehr mÄoglich ist.
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Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus IV
42
Beispiel
2
¡1
Gesucht ist das Inverse der Matrix A = 4 0
2
0
3
0
35.
4
LÄosung
4 1
ZunÄachst stellen wir die entsprechende Blockmatrix auf.
2
¡1
4 0
2
0
0
3
1
0
0
1
3
0
0 5
4 4 1 0 0 1
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Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus V
43
Zuerst bringen wir das Hauptdiagonalenelement der ersten Spalte
in die richtige Form, indem wir die erste Zeile mit ¡1 multi-
plizieren. 2
4
1 ¡2 0 ¡1 0 0
0 0 3 0 1 0
4 4 1 0 0 1
Um den Rest der ersten Spalte in die richtige Form zu bringen,
addieren wir das (¡4)-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile.
2
1
4 0
¡2
0
0
3
¡1
0
0
1
3
0
0 5
0 12 1 4 0 1
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Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus VI
44
Weiter mit Spalte 2. ZunÄachst vertauschen wir die zweite und
dritte Zeile. 2
1
4 0
¡2
12
0
1
¡1
4
0
0
3
0
1 5
0 0 3 0 1 0
Durch Multiplikation mit 1 bringen wir das Hauptdiagonalenele-
12
ment von Zeile 2 in die richtige Form.
2
1
6
4 0
¡2
1
0
1
12
¡1
4
12
0
0
0
1
12
3
7
5
0 0 3 0 1 0
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3
5

Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus VII
45
Durch Addition des doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile
bringen wir die zweite Spalte in die richtige Form.
2
6
4
1
0
0
1
2
12
1
12
4 ¡ 12
4
12
0
0
2
12
1
12
3
7
5
0 0 3 0 1 0
Weiter mit Spalte 3. Multiplikation der dritten Zeile mit 1
3 ergibt:
2
6
4
1 0 2
12
0 1 1
12
4 2
¡ 0 12 12
4
1
12 0 12
0 0 1 0 1
3
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Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus VII
46
Addition geeigneter Vielfacher zu den ersten beiden Zeilen bringt
schlie¼lich die dritte Spalte in die richtige Form.
2
1
6
4
0 0 ¡ 1
0 1 0
3
1
3
1 ¡ 18
1 ¡ 36
1
6
1
12
0
3
7
5
0 0 1 0 1
3
Wir haben also die inverse Matrix zu A gefunden.
A ¡1 2
¡
6
= 6
4
1
3
1
3
1 ¡ 18
1 ¡ 36
3
1
6
7
1 7
125
0 0
1
3
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0
3
7
5

Matrizen
Gauß-Jordan-Algorithmus VIII
47
Ist die Matrix A nicht invertierbar, so lÄasst sie sich mit dem
Gau¼-Jordan-Algorithmus nicht zur Einheitsmatrix E umformen.
Im Gegenzug kann die Matrix A immer genau dann zur
Einheitsmatrix E umgeformt werden, wenn sie invertierbar ist.
Matrizen
Aufgaben
48
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Aufgabe 5
a) Es sei A 2 R3£3 2
1
gegeben durch A = 42 1
1
3
0
15.
2 2 1
Berechne A ¡1 mit Hilfe des Gau¼-Jordan-Algorithmus.
ÄUberprÄufe dein Ergebnis auf Richtigkeit!
b) Zeige, dass die folgende Matrix B 2 R3£3 nicht invertierbar
ist:
2
1
B = 42 ¡2
4
3
3
¡15
:
2 ¡12 13
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Matrizen
Aufgaben
49
Aufgabe 6
Zeige anhand der Matrix A =
·
1
3
¸
2
,
7
dass die folgende
Eigenschaft gilt:
¡ T
A ¢¡1 ¡ ¡1
= A ¢ T
:
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Matrizen
Anwendungen für Matrizen
50
Matrizen haben eine Vielzahl von Anwendungsgebieten:
² Wachstumsmatrizen
² Populationsmatrizen
² Kosten-Preis-Kalkulationen
² LÄosen von linearen Gleichungssystemen
² Darstellung von linearen Abbildungen
² Anwendungen in der Computergra¯k (Rotation, Translation,
etc.)
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