Rechenregeln für Matrizen - Mathe Online

Rechenregeln für Matrizen
Multiplikation einer Matrix mit der Einheitsmatrix
Es gilt
AE = EA = A
also die Multiplikation einer Matrix A mit der Einheitsmatrix ergibt wiederum
A.
Sei
A =
�
2 5
1 7
dann ist die Einheitsmatrix der gleichen Dimension
Daraus folgt:
und
AE =
=
=
EA =
=
=
�
E =
2 5
1 7
�
� �
1 0
0 1
�
�
1 0
0 1
�
2 ∗ 1 + 5 ∗ 0
�
2 ∗ 0 + 5 ∗ 1
1 ∗ 1 + 7 ∗ 0
� �
2 5
= A
1 7
1 ∗ 0 + 7 ∗ 1
�
1 0
0 1
� �
2 5
1 7
�
1 ∗ 2 + 0 ∗ 1
�
1 ∗ 5 + 0 ∗ 7
0 ∗ 2 + 1 ∗ 1
� �
2 5
= A.
1 7
0 ∗ 5 + 1 ∗ 7
.
�
�

Multiplikation einer Matrix mit der Nullmatrix
Das Produkt einer quadratischen Matrix mit der Nullmatrix ergibt
die Nullmatrix:
A0 = 0A = 0.
Falls wiederum
dann ist
und
A0 =
=
=
0A =
=
=
�
A =
2 5
1 7
�
� �
2 5
1 7
0 0
0 0
�
2 ∗ 0 + 5 ∗ 0
�
2 ∗ 0 + 5 ∗ 0
1 ∗ 0 + 7 ∗ 0
� �
0 0
= 0
0 0
1 ∗ 0 + 7 ∗ 0
�
0 0
0 0
� �
2 5
1 7
�
0 ∗ 2 + 0 ∗ 1
�
0 ∗ 5 + 0 ∗ 7
0 ∗ 2 + 0 ∗ 1
� �
0 0
= 0.
0 0
0 ∗ 5 + 0 ∗ 7
Transponieren einer Summe bzw. eines Produkts zweier Matrizen
Weiters gelten folgende Regeln:
1. (A + B) T = A T + B T
2. (AB) T = B T A T
3. (A T ) T = A
�
�
�

Wenn
dann ist
1.
2.
und
also
A =
�
2 5
1 7
(A + B) T =
=
=
A T + B T =
=
=
(AB) T =
�
��
�
�
, B =
2 5
1 7
2 1
5 10
2 5
1 10
�
�
� T
�
0 −4
4 3
+
�
�
0 −4
4 3
�� T
�
2
1
�
2
5
�
2
�T �
5 0
+
7 4
� �
1 0
+
7 −4
�
5
�T −4
3
�
4
3
1 10
(A + B) T = A T + B T .
=
=
��
�
�
2 5
1 7
20 7
28 17
20 28
7 17
� �
� T
�
0 −4
4 3
�� T

und
also
B T A T =
=
=
�
�
�
0
�T �
−4 2 5
�T 4
0
3 1 7
� � �
4 2 1
−4
20
3
�
28
5 7
7 17
(AB) T = B T A T .
3. Schließlich wollen wir ein Beispiel für Regel 3 betrachten:
(A T ) T =
⎛�
⎝ 2
1
� ⎞
T T �
5 ⎠ =
7
=
�
2
1
�
5
= A.
7
Die Inverse eines Produktes von zwei Matrizen
Es gilt
(AB) −1 = B −1 A −1 .
2 1
5 7
Auch hier ein Beispiel (mit den gleichen Matrizen wie vorher):
(AB) −1 =
=
=
B −1 A −1 =
�� � � ��−1 � �−1 2 5 0 −4
20 7
=
1 7 4 3
28 17
�
�
1
17 −7
=
20 ∗ 17 − 28 ∗ 7 −28 20
1
�
17
144 −28
� �
17 −7
�
−7
20
144
−28
144
20
144 144
� �−1 �
0 −4 2 5
�−1 4 3 1 7
� T

also
� �
�
1
3 4 1
=
0 ∗ 3 − 4 ∗ (−4) −4 0 2 ∗ 7 − 1 ∗ 5
= 1
� � �
�
3 4 1 7 −5
16 −4 0 9 −1 2
� � �
�
1 3 4 7 −5
=
16 ∗ 9 −4 0 −1 2
= 1
�
�
17 −7
144 −28 20
Potenzieren von Matrizen
• A 0 = E
• A −p = (A −1 ) p
• A p+q = A p A q
(AB) −1 = B −1 A −1 .
A p = AA . . . A
� �� �
p−mal
7 −5
−1 2
�