kapitel 7-8

Kapitel 7
Deformierbare Körper
Schrittweise Erweiterung unseres Modells der Wirklichkeit.
-WarumkommtMaterieinverschiedenenAggregatszuständenvor?
-PhysikalischeEigenschaften,Dichte,Härte,Elastizität.
7.1 Atomares Modell der Aggregatzustände
Zwischen neutralen Atomen treten elektrische
Kräfte auf. Wir bescheinen diese durch ein
Wechselwirkungs-Potential zwischen zwei Atomen
als Funktion des Abstandes R. DieBindungführtzu
einem Gleichgewichtsabstand (Minimum in V (R)).
Im Festkörper ist ein Atom von mehreren Atomen
umgeben und verspürt die Summe aller Einzelkräfte
~F = P
i ~ Fi = rV .
Kristallines Gitter: Atomesindineinemregelmäßigen
Gitter angeordnet, Fernordnung.
amorpher Körper: kristallineZellensindstatistisch
verteilt.
Ein Federmodell des Festkörpers beschreibt die Kräfte
zwischen den Atomen mit einer richtungsabhängigen
Federkonstante. Schwingung um die Ruhelage
jedes Freiheitsgrades mit der Energie 1
2 kT.
Ruhelage = Minimum in der potentiellen Energie.
Federmodell
potentielle Energie V
2
1
0
-1
-2
— V
VHRL
60
30
-30
1. 1.5
R
2.
-60
2.5
Bei Temperatur unter dem Schmelzpunkt ist K + V < 0. AtomekönnenihrenGitterplatz
nicht verlassen. Schmelzen und Sieden sind eine Konsequenz erhöhter kinetischen Energie.
Die Stabilität fester Körper ist Ausdruck von Quanteneffekten, welche die Bindung und Ordnung
bestimmen. Ebenso bestimmen Quanteneffekte die Elastizität fester Körper. Nachdem
äußere Kräfte den Körper verformt haben versucht er seinen Gleichgewichtszustand wieder
einzunehmen.
In einer Flüssigkeit sind Atome relativ leicht beweglich. Trotzdem bleiben eine gewisse Nahordnung
und spezielle Bindungseffekte an Grenzflächen.
75
0
Gradient —V

76 KAPITEL 7. DEFORMIERBARE KÖRPER
7.2 Deformierbare feste Körper
Massenkräfte: Gravitation und Trägheit betrifft alle Volumenelemente.
Oberflächenkräfte: führen zur Deformation der Oberflächenschicht, die sich in den Körper
fortpflanzt.
Elastisch: Nach Krafteinwirkung verschwindet die Deformation völlig.
Plastisch: eine Formänderung bleibt zurück.
Spannung und Dehnung:
Eine Oberflächenkraft (Zug) wirkt senkrecht auf die Stirnfläche eines Objektes mit Querschnitt
A. DiesführtzueinerLängenänderung L. Für L ⌧ L gilt das Hooksche Gesetz:
F = E A L
L
wobei E den Elastizitätsmodul angibt.
Zugspannung ist Kraft pro Flächeneinheit
= F L
= E
A L .
Diese lineare Näherung gilt nur für kleine Deformationen.
Ursprung der Linearität: Nahe der Ruhelage hat Epot die
Form einer Parabel, damit ist die Verschiebung linear mit
der Kraft.
Außerhalb des Propotionalitätsbereichs erfolgt Dehnung
(Potential weniger steif, nichtlinear), dann Fließgrenze
(Netzebenen verschieben sich, plastischer Bereich), gefolgt
von Bruch.
Elastische Hysterese: DieerstmaligeÄnderungführtvon
O !A, zurückaufA!B. PermanenteVerformungbleibt.
Experiment zum Hookschen Gesetz, Fließgrenze und Bruch.
Querkontraktion:
Bei Dehnung ändert sich auch die Querdimension:
✓ ◆ ✓ ◆
d L
µ = /
d L
µ =Poissonzahl,Querkontraktionszahl.DaV = d 2 L ist gilt
V
V
=
=
L
L +2
d
d
L
L (1 2µ) = (1
E
2µ)
Σ
0.2
0.1
0
�0.1
�0.2
�0.4
�0.2
L
O B
�L
A
A
0
�L�L
0.2 0.4
Durch die Zugspannung wird das Volumen größer, also sollte µ

7.2. DEFORMIERBARE FESTE KÖRPER 77
Kompression eines isotropen, homogenen Körpers.
Jede Abmessung wird durch den Druck auf zwei dazu parallel
liegenden Flächen verformt.
V
V
=
=
L
L +2
d
d
p
(1
E
2µ) =
1
K p
K =Kompressionsmodul.(1/K =Kompressibilität)
Scherung
Scherkräfte sind Oberflächenkräfte die tangential angreifen. Mit
der Scherspannung
⌧ = F
d 2
bezeichnet man die pro Flächeneinheit wirkende tangentiale Kraft.
Durch die Scherspannung werden die Kanten des Quaders um den
Winkel ↵ verkippt. Bei kleinem Winkel gilt (G =Schub-,Scher-,
Torsionsmodul)
⌧ = G ↵.
Torsion eines Drahtes mit Radius R. WirstellenunsdenDrahtalsSummevonkonzentrischen
Zylinderhülsen (Radius r) vor.Fürr ⌧ L ist ↵ = ' r/L und die Scherspannung ist
⌧ = G r'
L .
Torsion eines Wasserschlauches.
Die rücktreibende Kraft eines Objektes nach Scherung
äußert sich in einem Drehmoment
Z Z R
M = r⌧dA= 2⇡r 2 ⌧dr
= ⇡ G '
2 L R4
= apple'= DR '
0
.
.
L
d
Α
L L
Das Richtmoment des Objektes apple wird oft auch mit DR bezeichnet.
Die Bedeutung von apple ist Drehmoment pro Winkeleinheit. apple wächst mit R 4 an. Drehpendel
zur Messung sehr kleiner Drehmomente verwendet dünne Torsionsfäden.
Vergleich der Schwingungsperiode für dünne und dicke Drähte mit Hilfe von (6.26).
Balkenbiegung
Zugspannung und Druck, Krümmung der neutralen Faser,
Spannungsdoppelbrechung zur Sichtbarmachung der Balkendeformation.
Experiment zur Balkenbiegung, neutrale Faser.
d
d � d
Α
�
p
Τ

78 KAPITEL 7. DEFORMIERBARE KÖRPER
7.3 Hydrostatik - Ruhende Flüssigkeiten
Grob gesagt besitzen ausgedehnte Flüssigkeiten keine bestimmte Gestalt. Deshalb bedürfen
Gestaltsänderungen von Flüssigkeiten relativ kleiner Kräfte. Bei konstantem Volumen
rühren die für eine Gestaltsänderung notwendigen Kräfte von Reibungs- und Oberflächeneffekten
her.
Ideale Flüssigkeit: keineReibung,keineOberflächeneffekte.AtomeinderFlüssigkeitsind
frei verschiebbar. (Schubmodul G =0). Die horizontale Lage einer ruhenden Flüssigkeitsoberfläche
ist durch die Schwerkraft bestimmt. Bei Bewegung stellt sich die (stationäre)
Oberfläche immer senkrecht zur resultierenden Kraft ein.
- Ober mit Schwung beim Servieren wäre ein Beispiel, oder
z
- Flüssigkeitsoberfläche in einem rotierenden Zylinder:
tan ↵ = !2 r
g
z(r) = !2
Z
g
= dz
dr
rdr= !2 r 2
2g
+ z0 .
z0 ist über die Erhaltung der Masse zu bestimmen.
Parabolische Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit A61.5
z0
a
F = m g
Statischer Druck in einer idealen Flüssigkeit:
Die Tangentialkomponente der Gesamtkraft an der Oberfläche einer idealen Flüssigkeit ist
Null, also wirkt der Druck immer senkrecht zur Oberfläche.
Druck: p = F/A
Ruhende Flüssigkeit: Da die Flüssigkeitsmoleküle frei beweglich angenommen werden,
muss die Gesamtkraft auf ein ruhendes Volumenelement gleich Null sein.
Wird das Eigengewicht der Flüssigkeit vernachlässigt dann
gilt : rp =0, Der Druck im Flüssigkeitsvolumen ist konstant.
Auf jedes Flächenelement der umgebenden Wände herrscht F1
F2
derselbe Druck (isotrope Druckverteilung). Anwendung bei der
A1
A2
hydraulischen Presse,
F1/A1 = F2/A2 .
Experiment: Druckvergleich in zwei Kolben B27.7
Schweredruck :
Wir nehmen an, dass die Dichte ⇢ in der Flüssigkeit unabhängig
vom Druck ist. Jedes Volumenelement hat ein Gewicht
⇢gdV.DamitistderDruckamBodeneinerFlüssigkeitssäule
der Höhe h gleich p(0) = ⇢gh.EineWassersäulevon10m
Höhe erzeugt den Druck
p(0) = ⇢gh⇡ 10 5 Pascal =1bar = 10 5 N/m 2 .
Cartesischer Taucher, Waage+Hand B25.4
h
A
dV
F = ∑ g h A
Die Kraft auf der Oberseite eines Flüssigkeitsquaders der Höhe z und der Fläche A ist um
den Betrag F = ⇢g zA= ⇢g V kleiner als auf der Unterseite. Diese Differenz entsteht
durch das Gewicht des Flüssigkeitsquaders. Die Annahme konstanter Dichte der Flüssigkeit
mw 2 r

7.3. HYDROSTATIK - RUHENDE FLÜSSIGKEITEN 79
ist durch die sehr geringe Kompressibilität von Wasser gerechtfertigt,
1
K =
V
V
1
p ⇡ 5 ⇥ 10 10 m 2
N .
Hydrostatisches Paradoxon: Der Schweredruck am Boden hängt nur von der Höhe, nicht aber
der Gestalt des Behälters ab.
Hydrostatisches Paradoxon Bxx
Auftrieb: (Archimedisches Prinzip) ScheinbarerGewichtsverlustentsprichtdemGewichtderverdrängten
Flüssigkeitsmasse. Wir betrachten einen Quader ( F = Mg= ⇢f gA z ), eingetaucht in
einer Flüssigkeit. Der Druckunterschied zwischen Ober- und Unterseite des Quaders ist
p = ⇢fl g z.
Damit ergibt sich eine Auftriebskraft
FA = A p = A⇢fl g z = Gfl
die gerade der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit Gfl entspricht.
Ein Körper der Gewichtskraft Gk verliert scheinbar so
viel an Gewicht, wie die von ihm verdrängte Flüssigkeit wiegt.
A
F = M g
Schwimmen ergibt sich wenn Gk = FA = Gfl ist. Dann taucht der Körper vollständig in die
Flüssigkeit ein und ist in jeder Position in der Flüssigkeit im Gleichgewicht.
Wenn Gk < FA = Gfl ist, dann ragt ein Teil des Körpers aus der Flüssigkeit heraus.
Beispiel Eisberg:
Die Dichte von Eis ist ⇢f =0.95 kg/dm 3 ,dieDichtevonWasserbei0 o Cist ⇢fl =1.05 kg/dm 3 .
Der Eisberg hat ein Volumen V = V1 + V2. DasVolumenV1 ist über der Wasseroberfläche, während
V2 unterhalb der Wasseroberfläche liegt. Es gilt ⇢flV2g = ⇢fVg.
Daraus folgt V2/V = ⇢f /⇢fl =0.904. Etwa10%desEisbergesragenausdemWasser.
Beispiel Luftballon:
Ein Luftballon steigt auf Grund des Unterschiedes der Dichte der Luft und des Ballongases. Die Dichte
eines Gases ist proportional zu seiner Molmasse. Die Molmasse gibt das Gewicht von ⇡ 22.7 Liter
eines Gases bei Normalbedingungen T =0 o Cundp =10 5 Pa=1 bar.
Helium 4 g/mol
Stickstoff 28 g/mol
Luft 29 g/mol
SF6 146 g/mol
Wenn wir den leichten Überdruck des Ballongases und das Gewicht
seiner Hülle vernachlässigen, gilt für die Auftriebskraft
FA Fk =(⇢luft ⇢gas)Vg
Die stationäre Aufstiegsgeschwindigkeit erhalten wir aus der Balance von FA Fk und dem Strömungswiderstandskraft
FS aus Gleichung (5.74) aufSeite55.
(⇢luft ⇢gas)Vg= 1
2 ⇢luftcW Av 2 . (7.1)
Mit dem Volumen des kugelförmigen Ballons V =4⇡R 3 /3 und seiner Querschnittsfläche A = R 2 ⇡
ergibt sich
v =
r ⇢luft ⇢gas
⇢luft
wobei R der Ballonradius ist.
8R
, (7.2)
3 cW
Archimedes B25.6, Schiff schwimmt auf Gas B25.7, Aräometer B25.8
FA
Dz

80 KAPITEL 7. DEFORMIERBARE KÖRPER
7.4 Grenzflächen an Flüssigkeiten
Offensichtlich gibt es Kräfte, die Flüssigkeitsteilchen zusammenhalten
(Kohäsion). Im Inneren einer Flüssigkeit wird die Kraft auf ein Molekül
im zeitlichen Mittel gleich Null. An der Oberfläche fehlen Nachbarmoleküle.
Damit bleibt an der Oberfläche eine Resultierende in Richtung
zur Flüssigkeit, die Oberflächenspannung.
Wir betrachten die Energieflächendichte, dienotwendigistumMoleküle
an die Oberfläche zu bringen. Das gelingt bei einer Vergrößerung
der Oberfläche um A. DabeileistenwirdieArbeit W :
✏ = W
A
[✏] = J N
=
m2 m .
Messung der Oberflächenspannung einer Seifenlamelle über die Kraft
auf einen Querbügel den wir um den Weg s verschieben:
W = F s = ✏ 2 L s = ✏ A 2 .
Der Faktor 2 berücksichtigt, dass die Seifenlamelle zwei Oberflächen
hat. Auf die Oberfläche wirkt die tangentiale Zugspannung = Oberflächenspannung.
Die Oberflächenspannung und spezifische Oberflächenenergie
sind einander gleich.
= ✏ = F Energie
= . F
2L Fläche
Für Wasser ist =0.07 N/m bei 20 C, für Hg ist =0.47 N/m und für Methanol =0.02 N/m.
In homogenen Flüssigkeiten steigt die Oberflächenspannung mit der Siedetemperatur an. (Methanol:Wasser:Quecksilber=
338:373:600 K). Seifenlamellen (Seifenblasen) sind komplexere Objekte,
eine Wasserschicht liegt zwischen den hydrophilen Enden zweier Tensidschichten aus Seifenanionen.
Wasseroberfläche und Ring B35.1
Überdruck in einer Seifenblase
Die Seifenblase versucht auf Grund der Oberflächenspannung ihre Oberfläche zu verringern. Damit
erhöht sich der Luftdruck in der Seifenblase. Gleichgewicht herrscht, wenn der Energiegewinn beim
Verringern der Oberfläche 2✏ A, gleichistderArbeit V p, diegegendenÜberdruckgeleistet
wird. Das Volumen einer Kugel ist VK =4⇡R 3 /3, ihreOberflächeAK =4⇡R 2 .
Wenn sich das Volumen um VK =4⇡R 2 R verringert,
dann verringert sich die Oberfläche um AK =8⇡R R.
Die Arbeit gegen den Druck ist
W = V p =4⇡R 2 R p. (7.3)
Sie wird von der Oberflächenspannung aufgebracht
W =2✏ A =16✏⇡R R. (7.4)
Gleichsetzen von (7.3) und(7.4) liefert den Überdruck
p =4✏/R . (7.5)
Experiment zum Überdruck in einer Seifenblase B32.1
2R
R
p ��p
L
�R
�s

7.4. GRENZFLÄCHEN AN FLÜSSIGKEITEN 81
Minimale Oberflächen :
Die Kugelgestalt einer Seifenblase ist das Resultat der Oberflächenspannung, das eingeschlossene
Volumen soll minimiert werden und eine Kugel hat bei gegebener Oberfläche das kleinste Volumen.
Dies gilt für ✏>0, dann ist für A

82 KAPITEL 7. DEFORMIERBARE KÖRPER
.
.
gas
Σ13
�
Σ23
Σ12
R solid
liquid
Wenn 13 > 12 dann ist 'Kohäsion)
Eine Flüssigkeitslinse
(Material 2) liegt auf der Grenzfläche
zwischen der flüssigen Phase
1undderGasphase3.
gas
Σ23
Σ13
�
liquid
Σ12
R solid
Wenn 13 < 12 dann ist '>90 o ,
Beispiel: Hg-Glas-Luft.
(Kohäsion>Adhäsion)
Σ13 Σ23
Für 13 12 > 23 ist Gleichung (7.6) für keinen Winkel erfüllt. Es verbleibt eine Kraftkomponente
parallel zur Grenzfläche 1-3. Die Kontaktlinie bewegt sich, bis die Oberfläche völlig benetzt wird.
Kapillarität
Wir betrachten ein enges Rohr mit benetzender Flüssigkeit 13 > 12. Der Innenradius der Kapillare
sei kleiner als der konkav geformte Bereich der Flüssigkeitsoberfläche.
Für eine einfach gewölbte Flüssigkeitsoberfläche gilt (siehe Gl. 7.5)
p = 2
R .
Zwischen dem Radius der gekrümmten Flüssigkeitsoberfläche R und dem Durchmesser der Kapillare
(2r) bestehtdieBeziehungR cos ' = r.
j
2 r
R
�
r
�
R
Σ12
2
4 2 1
Die Oberflächenspannung hält dem Schweredruck das Gleichgewicht. Dieser Ansatz gilt, weil die integrierte
Kraftwirkung auf die Oberfläche durch die Oberflächenspannung gerade r 2 ⇡ 2
ist und die
R
gesamte Gewichtskraft ⇡ r 2 ⇡⇢ g h. Die Steighöhe in der Kapillare erlaubt die Bestimmung von .
2
R =
2
2 cos '
= ⇢gh ! h = .
r/ cos ' r⇢g
Steighöhe in Kapillaren B31.2
3
1

Kapitel 8
Mechanische Schwingungen
Schwingungen materieller Objekte können zu hörbaren Tönen führen, sie können so subtil
sein wie die Bewegung der Atome in einem Schwingquarz, oder so groß wie ein Erdbeben.
In ausgedehnten Medien pflanzen sich Schwingungen als Wellen aus. Zwei physikalische
Gründe gibt es für das Auftreten mechanischer Schwingungen, die Trägheit und die Stabilität
materieller Objekte. Stört man diese Stabilität dann treten Bindungskräfte auf, die das
Gleichgewicht wieder herstellen, siehe Bild auf Seite 75.
8.1 Freier ungedämpfter Oszillator
Massepunkt an Feder, Hooksches Gesetz für die rücktreibende
Kraft
F = ky
Aus der Bewegungsgleichung mit y = z z0
m ¨y = ky
erhalten wir mit der Abkürzung ! 2 0 = k/m (!0 ist
die Eigenfrequenz) die Schwingungsgleichung
für den harmonischen Oszillator:
¨y + ! 2 0 y =0. (8.1)
Eine allgemeine Lösung ist
y(t) =C1 cos !0t + C2 sin !0t (8.2)
bzw. mit C1 = A cos ' und C2 = A sin '
y(t) =A cos (!0t + ') (8.3)
Das Argument der Kosinusfunktion (!0t + ') bestimmt den momentanen Wert der Auslenkung
y(t). In unserem Beispiel kann man den Zeitnullpunkt so legen, dass die Phase ' gleich
Null wird.
Nach einer Schwingungsdauer, T =2⇡/!0 wird derselbe Wert von y(t) erreicht.
83
k.y
m
z0
z

84 KAPITEL 8. MECHANISCHE SCHWINGUNGEN
8.2 Freier gedämpfter Oszillator
Wenn das Federpendel in einer Flüssigkeit schwingt kommt
zur Federkraft F = ky noch eine Reibungskraft dazu, z.B.
die Stokesche Reibung,
FR = 6⇡⌘rv.
Mit =3⇡⌘r/m ist die Bewegungsgleichung
¨y + ! 2 0 y +2 ˙y =0. (8.4)
Dabei ist !0 die Eigenfrequenz des ungedämpften Federpendels.
Eine allgemeine Lösung für (8.4) ist
y(t) =e
t c e i p ! 2 0
2 t + c ⇤ e i p ! 2 0
2 t
. (8.5)
Die Größe ⌧ = 1 stellt die charakteristische Dämpfungszeit dar. Das zeitliche Schwingungsverhalten
hängt von dem Verhältnis !0/ ab. Für schwache Dämpfung

8.3. ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN 85
8.3 Erzwungene Schwingungen
Eine periodische externe Kraft mit der Amplitude F0 und der Frequenz !e treibt die Bewegung
des gedämpften harmonischen Oszillators. In diesem Fall ist die Bewegungsgleichung
inhomogen,
¨y + ! 2 0 y +2 ˙y = F0
m cos !e t. (8.8)
Eine allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist
y(t) =A cos (!e t + ') (8.9)
mit einer Amplitude A, dievonderexternenFrequenz
abhängt
A =
q
(! 2 0
F0/m
! 2 e) 2 +4 2 ! 2 e
. (8.10)
und einer Phasenverschiebung ', dieebenfallsvonderexternenFrequenzabhängt:
m
w0
z0
z
we
¨ 2 F0 Æ
' = arctan ⇥ 2 !e/(! 2 0 ! 2 e) ⇤ . (8.11)
Gleichung (8.9) beschreibtdensogenanntenstationären Fall, der Oszillator schwingt mit
der Erregerfrequenz !e verschoben in seiner Phase um '. Dieser Fall gilt für Zeiten, die
1 sehr viel länger sind als die charakteristische Dämpfungszeit, t .DieAmplitudeder
erzwungenen Schwingung (8.10) hängtabvon
• der Amplitude der äußeren Kraftwirkung F0/m, vonderDämpfung und vom Verhältnis
Erregerfrequenz zu Eigenfrequenz, !e/!0.
• Das Amplitudenmaximum liegt bei der Resonanzfrequenz !e = !r = p ! 2 0 2 2 .Das
Maximum verschiebt sich mit steigender Dämpfung zu kleineren Frequenzen.
• Die Phase des bewegten Objektes (8.11) ist verzögert gegenüber der der Erregerschwingung.
Die Phasenverzögerung ist frequenzabhängig. Die Schwingung ist in Phase mit
der Erregerschwingung bei kleinen Erregerfrequenzen. Sie ist gegenphasig für !e !0.
Ohne Dämpfung erfolgt ein sprunghafter Wechsel der Phase um ⇡ bei Resonanz.
A
F0 ê m
3
2
1
w0=1
0
0 1 2
weêw0
g=0.1
g=0.25
g=0.5
g=1
j
3
2
1
w0=1
g=0.1
0
0 1 2
weêw0
g=1
g=0.5
g=0.25
Die Bewegung ist komplizierter während des Einschwingens. Im Einschwingvorgang
sind Bewegungen mit der Eigenfrequenz noch sichtbar, siehe die folgenden Bilder. Die

86 KAPITEL 8. MECHANISCHE SCHWINGUNGEN
Dämpfung wurde immer mit 2 =0.1 angenommen, die Eigenfrequenz mit !0 =1.Die
Erregerschwingung rot gezeichnet, die Bewegung des getriebenen Oszillators in schwarz. Die
Frequenz der Erregerschwingung verändert sich von !e =0.1 (erstes Bild) bis !e =2(letztes
Bild). Die Periode der Eigenschwingung ist durch die Gitterlinien eingezeichnet.
Amplitude
Amplitude
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
y ¢¢ HtL + 0.1 y ¢ HtL + yHtL á cosH0.1 tL
0 20 40 60 80 100
Zeit
y
4
¢¢ HtL + 0.1 y ¢ HtL + yHtL á cosH0.8 tL
2
0
-2
-4
0 20 40 60 80 100
Zeit
Amplitude
Amplitude
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
y ¢¢ HtL + 0.1 y ¢ HtL + yHtL á cosH0.2 tL
-1.5
0 20 40 60 80 100
Zeit
10
5
0
-5
y ¢¢ HtL + 0.1 y ¢ HtL + yHtL á cosHtL
-10
0 20 40 60 80 100
Zeit
Amplitude
Amplitude
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
y ¢¢ HtL + 0.1 y ¢ HtL + yHtL á cosH0.4 tL
0 20 40 60 80 100
Zeit
y ¢¢ HtL + 0.1 y ¢ HtL + yHtL á cosH2 tL
-1.0
0 20 40 60 80 100
Zeit
Die Erregung beginnt schlagartig (cos !et). Der Einschwingvorgang mit der Eigenfrequenz
ist bei kleinem ⌦ am deutlichsten sichtbar (erstes und zweites Bild). Die Resonanzüberhöhung
ist im vierten und fünften Bild ersichtlich. Die gegenphasige Bewegung zeigt sich bei
hohen Erregerfrequenzen im letzten Bild.
Einschwingvorgang, Resonanz und Phasenschub beim getriebenen Schlitten.
8.4 Parametrischer Oszillator
Wenn sich die Länge eines Fadenpendels periodisch
ändert, (im Bild ! = !e)
`(t) = `0 + r cos (!et + )
= `0 [1 + cos (!et + )] (8.12)
ändern sich auch die Eigenschaften des Oszillators
periodisch.
Für das Fadenpendel mit kleiner Auslenkung
hatten wir (Seite 69), jetzt mit Dämpfung
¨' +2 ˙' + ! 2 0 ' =0, (8.13)
wobei !0 = p g/`0 war. Ändert sich die Fadenlänge periodisch haben wir eine nichtlineare
Differentialgleichung mit `(t) aus (8.12) undderDefinition⌦(t) = p g/`(t),
¨' +2 ˙' +⌦ 2 (t) ' =0. (8.14)
Für kleine Werte von schreiben wir für (8.12) ⌦2 (t) ⇡ ! 2 ⇥
0 1 2 cos (!et + ) ⇤ . In dieser linearen
Näherung ergibt sich eine Matthieusche Differentialgleichung. Die Kontrollparameter
!e, , bestimmen die Bereiche für stabile Trajektorien des Oszillators. Die Energiezufuhr
durch die von äußen erwirkte Längenänderung wird optimal, wenn die treibende Frequenz
r
Ω
�0
�0

8.5. GEKOPPELTE OSZILLATOREN 87
!e das Doppelte der Eigenfrequenz !0 des Pendels ist. Die Bilder zeigen die Pendeltrajektorie
(schwarz) und die Pendelänge (rot) für !e =2!0 und für !e = !0.
jHtL Amplitude
j
2
¢¢ HtL + 0.02 j ¢ HtL + jHtL H1 - 0.2 cosH2 tLL á 0.
1
0
-1
Länge des Pendels
j
2
¢¢ HtL + 0.02 j ¢ HtL + jHtL H1 - 0.2 cosHtLL á 0.
-2
0 20 40 60 80 100
-2
0 20 40 60 80 100
Zeit
Zeit
Technische Beispiele dafür sind : Quadrupol-Massenspektrometer, optisch parametrischer
Oszillator.
Parametrisch getriebenes Fadenpendel.
8.5 Gekoppelte Oszillatoren
Am Beispiel zweier Massepunkte und drei Federn. Die Auslenkung jeder Masse hängt auch
von der Stellung der anderen Masse ab. Für die Bewegungsgleichungen erhält man ein gekoppeltes
System zweier Differentialgleichungen. Mit den drei Federkonstanten k1, k2 und
k12 ergibt sich für die beiden Massen
k m k12 m k
m1¨z1 = kz1 + k12(z2 z1) (8.15)
z1
z2
jHtL Amplitude
1
0
-1
Länge des Pendels
m2¨z2 = kz2 k12(z2 z1) (8.16)
wobei z1 und z2 die Auslenkung der beiden Massen von ihrer jeweiligen Ruhelage angibt.
Es gibt spezielle Bewegungen für welche beide Massen harmonische Schwingungen ausführen:
Normalschwingungen (Eigenschwingungen). Gleichungen für diese Normalschwingungen
erhalten wir durch Addition und Subtraktion von (8.15) und(8.16). Dabei entstehen neue
Koordinaten: (z1+z2)/2 beschreibt die Bewegung des Schwerpunktes beider Massen, (z1 z2)
die Dehung der Feder zwischen beiden Massen.
Demonstrationsbeispiel: zwei Pendel, die mit einer Feder gekoppelt sind: parallele Schwingung
(in Phase) und antiparallel (gegenphasig). Ebenso: Energieaustausch zwischen beiden
Pendeln.
Normalmoden, Schwebung gekoppelter Pendel.
Verallgemeinerung: Ein gekoppeltes und entlang einer Geraden oszillierendes System mit N
Massen hat genau N unabhängige Eigenschwingungen. Die allgemeine Bewegung des gekoppelten
Systems ist eine Superposition dieser Eigenschwingungen. Bei äußerer Anregung mit
einer Frequenz nahe einer Eigenschwingung tritt diese mit großer Amplitude auf.
Bei einem mehratomigen Molekül: Jedes der N Atome hat 3 Freiheitsgrade der Bewegung.
Ein N-atomiges Molekül hat 3N Freiheitsgrade (FHG).

88 KAPITEL 8. MECHANISCHE SCHWINGUNGEN
Drei der Translation des Schwerpunktes
und 3 für Rotation um den
Schwerpunkt. Damit bleiben 3N 6
FHG übrig für Schwingungen. Für
ein lineares Molekül gibt es nur zwei
FG der Rotation und deshalb blei-
Ν2
ben 3N-5 FHG für Schwingungen. Ν3
�
Ν1
Das Bild zeigt für CO2 und H2O die symmetrische Streckschwingung ⌫1, die(fürCO2 zweifach
entartete) Biegeschwingung ⌫2 und die asymmetrische Streckschwingung ⌫3. Normalschwingungen
sind so definiert, dass bei Bewegung entlang einer Normalschwingungskoordinate
der Schwerpunkt des Systems in Ruhe bleibt und keine Rotation des Objektes auftritt.
8.6 Überlagerung von Schwingungen
In der Natur treten reine harmonische Schwingungen nur selten auf. Meist hat man es mit
Überlagerungen zu tun.
Die Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz:
x1(t) = a1 cos (!t+ '1)
x2(t) = a2 cos (!t+ '2)
ergibt mit dem Additionstheorem
cos (!t + 'i) = cos !t cos 'i sin !t sin 'i
eine Schwingung gleicher Frequenz mit einer Phasenverschiebung
Dabei ist
x(t) =x1(t)+x2(t) =C cos (!t+ ') .
tan ' = a1 sin '1 + a2 sin '2
a1 cos '1 + a2 cos '2
und die Amplitude
C =
q
a 2 1 + a2 2 +2a1a2 cos ('1 '2) .
Für '1 =0, '2 = und a1 = a2 =1ergibt sich
x(t) =x1(t)+x2(t) = p 2(1 + cos ) cos
�a1
�a2
�Π 0 Π 2Π
�c
0
�c
0
�a2
0
�1
apple
✓
sin
!t arctan
1 + cos
x1�t�
�a1
�Π 0 Π 2Π
x�t�
�Π 0 Π 2Π
◆
�
.
�2
x2�t�
Ν1
Ν2
Ν3

8.6. ÜBERLAGERUNG VON SCHWINGUNGEN 89
Eine Überlagerung zweier Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz
ergibt Schwebungen:
x1(t) = a cos (!1 t)
x2(t) = a cos (!2 t)
x1(t)+x2(t) ergibt die Schwebung
✓ ◆ ✓ ◆
!1 !2 !1 + !2
x(t) =2a cos t cos t
2
2
Wenn !1 !2 klein ist, kann man die mittlere Frequenz
¯! =(!1 + !2)/2 einführen und diese Gleichung wie folgt
interpretieren: Schwingungen mit der Frequenz ¯! und einer
Amplitude, die langsam mit der Einhüllenden
✓ ◆
!1 !2
E(t) =2a cos t
2
moduliert ist (Schwebung).
Schwebung zweier Stimmgabeln mit Mikrophon.
1
0
�1
1
0
�1
2
0
0 Π 2Π 3Π 4Π
0 Π 2Π 3Π 4Π
E
x1�t� � cos Ω1t
x2�t� � cos Ω2t
�2
x�t�
0 Π 2Π 3Π 4Π
Die zweidimensionale Überlagerung von Schwingungen ergibt Lissajous-Figuren.
Zwei lineare, zueinander senkrechte Schwingungen gleicher Frequenz ergeben Bahnkurven
in Form einer Ellipse, deren Form von der relativen Phase zwischen beiden Schwingungen
abhängt. Für verschiedene Frequenzen ergeben sich ebenfalls geschlossene Kurven, wenn ein
rationales Frequenzverhältnis vorliegt. Für !1 >!2 schließt sich die Bahn nach einer Zeit
t = T2 =2⇡/!2. LiegteinnichtrationalesVerhältnisvonFrequenzenvor,soschließtsichdie
Bahn nicht (Beispiel in der letzten Bildzeile).
Ω1
���������� � 1�1
Ω2
Ω1
���������� � 1�2
Ω2
Ω1
���������� � 1�3
Ω2
Ω1
���������� � 1�4
Ω2
Ω1
���������� � 1.6129
Ω2
��0 ��45 ��90 ��135 ��180
��0 ��45 ��90 ��135 ��180
��0 ��45 ��90 ��135 ��180
��0 ��45 ��90 ��135 ��180
t�2Π t�4Π t�6Π t�8Π t�10Π

90 KAPITEL 8. MECHANISCHE SCHWINGUNGEN
8.7 Fourier-Analyse
Bei einer Überlagerung von Schwingungen mit rationalen Frequenzverhältnissen ergibt
sich eine periodische Schwingung mit einer Periode des größten gemeinsamen Teilers aller
beteiligten Frequenzen. In den folgenden Bilder überlagern wir zu cos !t
2
1
0
-1
Teiler = 1ê5
-2
0 2 4 6 8
time
2
1
0
-1
Teiler = 1ê7
-2
0 2 4 6 8
time
2
1
0
-1
Teiler = 1ê1
-2
0 2 4 6 8
time
im Bild links mit cos 4
5 !t,
in Bildmitte mit cos 2
7 !t,
im Bild rechts mit cos 2!t.
Umgekehrt lässt sich jede periodische Funktion f(t) = f(t + T ) immer in eine Summe
von Sinus- oder Cosinus-Funktionen zerlegen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer
Grundfrequenz sind
1X
f(t) =a0 + an cos (n!1t + 'n) . (8.17)
n=1
Dabei nennt man an cos !1t die Grundschwingung und die Terme mit n>1 Oberschwingungen
(in der Akustik: Grundton und Obertöne).
Das Bild zeigt die Überlagerung der Grundschwingung sin !t mit 7 ungeradzahligen harmonischen
Frequenzen, die jeweils mit der Amplitude 1/(2n 1) gewichtet sind
mX 1
f(t) =
sin [(2n 1)!t] .
sinHt wL + 2n 1
(8.18)
1
1
1
1
1
1
sinH3 t wL + sinH5 t wL + sinH7 t wL + sinH9 t wL + sinH11 t wL + sinH13 t wL
3 5 7 9 11 13
f@tD
n=1
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-2 -1 0
Zeit
1 2
f@wD
2.00
1.00
0.50
0.20
0.10
0.05
0.02
0 2 4 6 8 10 12 14
harmonische
Die Überlagerung (8.18) ist einer Rechteckschwingung ähnlich. Je mehr Frequenzen in der
Summe (8.18) berücksichtigtwerdenumsoschärferwerdendieKantendesRechtecks.Das
diskrete Frequenzspektrum f(!) dazu ist rechts gezeigt.
Das nächste Bild zeigt die Überlagerung von 7 geradzahligen harmonischen Frequenzen,
jeweils gewichtet mit der Amplitude 1/(2n) sind
mX 1
f(t) = sin [2n!t] . (8.19)
1
1
1
1
1
1
1
sinH2 t wL + sinH4
2 4 2n t wL + sinH6 t wL + sinH8 t wL + sinH10 t wL + sinH12 t wL + sinH14 t wL
6 8 10 12 14
f@tD
n=1
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-2 -1 0
Zeit
1 2
2.00
1.00
0.50
f@wD
0.20
0.10
0.05
0.02
0 2 4 6 8 10 12 14
harmonische

8.7. FOURIER-ANALYSE 91
So wie man durch geeignete Überlagerung von Sinus (oder Cosinus) Funktionen beliebige
periodische Funktionen erzeugen kann, gelingt es umgekehrt eine beliebige periodische
Funktion in Sinus (oder Cosinus) Funktionen zu zerlegen. Die Zerlegung einer periodischen
Funktion in ihre harmonischen Anteile heißt Fourier-Zerlegung oder Fourier-Analyse.
Ist die Ausgangsfunktion nicht periodisch sondern ein einmaliges Ereignis, wie z.B. ein
Donnerschlag oder eine rechteckförmige Stufe, dann gelingt die Fourier-Transformation auch,
allerdings genügt dann nicht eine Summe von diskreten Frequenzen wie in Gleichung
8.18. Im Falle eines zeitlich begrenzten Ereignisses braucht man eine kontinuierliche Verteilung
von Frequenzen zur Darstellung.
Beispiel:
Fourier-Zerlegung
eines
Rechteckpulses
f�t�
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 10 20
t
f�Ν�
8
4
0
�4
0 20 40 60 80
Ν�1�t
Beispiel: Frequenzanalyse einer gedämpften Schwingung.
Wir untersuchen die gedämpfte Schwingung (siehe Seite 84) derEigenfrequenz!0 =5bei
unterschiedlichen Dämpfungen. Wir sehen, dass die gedämpfte Schwingung nicht mehr harmonisch
ist, die Bandbreite der Frequenzverteilung steigt mit zunehmender Dämpfung an,
das Maximum der Fourier-Transformierten wandert zu kleiner Frequenzen.
y@tD
2
1
0
-1
g = 0.1
w0 = 5
v0 = 10
0 1 2 3 4 5
t HsL
3.0
2.5
2.0
fHwL 1.5
1.0
0.5
0.0
0 2 4 6 8 10 12
frequency w
1
y@tD
0
g = 1
w0 = 5
v0 = 10
0 1 2 3 4 5
t HsL
0.30
0.25
0.20
fHwL 0.15
0.10
0.05
0.00
0 2 4 6 8 10 12
frequency w
y@tD
fHwL 0.04
g = 5
w0 = 5
v0 = 10
0
0 1 2 3 4 5
t HsL
0.08
0.06
0.02
0.00
0 2 4 6 8 10 12
frequency w
Die Fourier-Transformation schafft eine Verbindung zwischen der Verteilung einer Größe
x und der Verteilung der inversen Größe 1/x. Zum Beispiel die Verbindung zwischen
Frequenz und Zeit:
f(t) und f(!) =f (2⇡⌫) .
Die zeitliche Form der Größe f(t) wird abgebildet in das Spektrum von Frequenzen f(⌫),
die überlagert werden müssen um die Größe f(t) darzustellen.
Analog die Fouriertransformation zwischen Wellenlänge und Wellenzahl
f( ) und f(k) =f (2⇡/ ) .
Fourieranalyse von Stimmgabeln und Pfeifen.