fft-rev4.pdf

Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
Faktorisierung der DFT-Matrizen
◮ Faktorisierung von DFT4
◮ Spalten vertauschen
DFT4 =
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
1 i −1 −i
1 −1 1 −1
1 −i −1 i
◮ Blockstruktur erkennen
⎡
1
⎢ 1
⎣ 1
1
−1
1
1
i
−1
⎤
1
−i ⎥
−1 ⎦
1 −1 −i i
=
⎡
⎢
⎣
Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
Faktorisierung der DFT-Matrizen
◮ Faktorisierung von DFT8
◮ Spalten in DFT8 vertauschen
⎡
⎢
�DFT 8 = ⎢
⎣
⎤
⎥
⎦ ↦→
DFT2
DFT2
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
1 −1 i −i
1 1 −1 −1
1 −1 −i i
⎤
� � ⎤
1 0
DFT2
�
0 i
⎥
� ⎥
−1 0 ⎦
DFT2
0 −i
1 1 1 1 1 1 1 1
1 i −1 −i ω8 ω 3 8 ω 5 8 ω 7 8
1 −1 1 −1 i −i i −i
1 −i −1 i ω 3 8 ω8 ω 7 8 ω 5 8
1 1 1 1 −1 −1 −1 −1
1 i −1 −i ω 5 8 ω 7 8 ω8 ω 3 8
1 −1 1 −1 −i i −i i
1 −i −1 i ω 7 8 ω 5 8 ω 3 8 ω8
⎥
⎦ = �DFT 4
⎤
⎥
⎦
Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
Faktorisierung der DFT-Matrizen
◮ Faktorisierung von DFT4
◮ Faktorisierung erkennen
⎡
⎢
�DFT 4 = ⎢
⎣
I2
I2
�
1
�
0
1
−
0
�
0
i
�
0
i
⎤
⎥
⎦ ·
�
DFT2
02
Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
Faktorisierung der DFT-Matrizen
wobei I2 = Einheitsmatrix, 02 = Nullmatrix
◮ Faktorisierung von DFT8
◮ Blockstruktur erkennen
⎡
⎢ DFT4 ⎢
�DFT 8 = ⎢ DFT4 ⎣
◮ Faktorisierung erkennen
�DFT 8 =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1
ω 4 8
� I4 D4
I4 −D4
ω8
ω 5 8
ω 2 8
ω 6 8
� �
DFT4
·
04
ω 3 8
ω 7 8
⎤
02
DFT2
⎤
⎥ ⎥
⎥
⎦ · DFT4 ⎥
⎤ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ · DFT4
⎥
⎦
04
DFT4
�
�