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Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Modulare Arithmetik für Polynome ◮ Polynommultiplikation mittels Auswertung und Interpolation ◮ Gegeben Polynome a(X ), b(X ) ∈ K[X ]
Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Diskrete Fourier-Transformation ◮ Die Gleichung X n = 1 hat in C genau n Lösungen ω 0 n, ω 1 n, ω 2 n, . . . , ω n−1 n wobei ωn = e 2πi/n � � � � 2π 2π = cos + i · sin n n (“primitive” n-te Einheitswurzel) ◮ Diese “n-ten Einheitswurzeln” bilden eine zyklische Gruppe Rn der Ordnung n unter der Multiplikation. ist ein Isomorphismus. (Zn, +) → (Rn, ·) : k ↦→ ω k n ◮ Aussagen über Z und Zn übertragen sich auf die Gruppen Rn ◮ n|m =⇒ Rn ⊆ Rm Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Diskrete Fourier-Transformation ◮ n = 6 : ω6 = 1 + i · √ 3 � 2 1, 1 + i · √ 3 2 R6 = ◮ n = 7 , −1 + i · √ 3 2 = R2 ∪ R3 ∪ { 1 ± i · √ 3 } 2 R7 = {1} ∪ � cos � � kπ ± i sin 7 , −1, −1 − i · √ 3 , 2 1 − i · √ � 3 2 � � � kπ ; 1 ≤ k ≤ 3 7 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Diskrete Fourier-Transformation ◮ Beispiele ◮ n = 2 : ω2 = −1 R2 = {1, −1} ◮ n = 3 : ω3 = (−1 + i · √ 3)/2 � R3 = 1, −1 + i · √ 3 , 2 −1 − i · √ � 3 2 ◮ n = 4 : ω4 = i R4 = {1, i, −1, −i} = R2 ∪ {±i} ◮ n = 5 : √ √ � √ 5 − 1 + i 2 5 + 5 ω5 = �√ 4 √ � √ 5 − 1 ± i 2 5 + 5 R5 = {1} ∪ , 4 −√5 − 1 ± i √ 2 � 5 − √ � 5 4 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Diskrete Fourier-Transformation ◮ n = 8 ◮ n = 9 ω8 = 1 + i √ 2 R8 = R4 ∪ � ω8, ω 3 8, ω 5 8, ω 7� 8 = R4 ∪ R9 = R3 ∪ � cos � � kπ ± i sin 9 � ± 1 ± i � √ 2 � � � kπ ; k ∈ {1, 2, 4} 9
Seite 1 und 2: Schnelle Fourier-Transformation (FF
Seite 5: Schnelle Fourier-Transformation (FF
Seite 13 und 14: iterativer und paralleler Implement

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