Lösungen 6 - Michael Kaschke

Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Prof. Dr. Michael Kaschke (CZ AG)
L8. Musterlösungen Refraktion und Aberrationen des Auges
Übungsaufgabe 6-1: Wellenaberrationen (***)
Die Wellenaberration nach Zernike für Defokussierung und Öffnungsfehler sind in
normierten Koordinaten als
Wdef(r) = c2,0 (2r 2 -1)
Wsph(r) = c4,0 (6r 4 -6r 2 +1)
definiert.
a) Berechnen Sie für den Öffnungsfehler über eine kreisförmige Pupille den Peak-Valley-
Wert, den Mittelwert und den rms-Wert für c4,0 = 1.
b) Bei der Bestimmung der Zernikekoeffizienten geht man stets von einem normierten
Pupillenradius aus. Diese Referenz geht empfindlich in das Ergebnis ein. In der Realität
ist die Pupillengröße aber oft nicht sehr genau bestimmbar. Wie ändert sich die
Bestimmung eines sphärischen Zernikekoeffizients, wenn die Pupille um 5% falsch
angenommen wird? Wie groß ist die damit verbundene falsche Angabe der
Defokussierung?
c) Zerlegen Sie die asphärische Zylinderfläche mit der Gleichung F(x,y) = y 4 in
Zernikepolynome. Wenn eine Welle durch eine dünne Komponente läuft, so kann man
deren Wirkung in der TEA-Näherung (thin-element-approximation) als Phasenmaske
betrachten, die sich auf die Welle aufprägt. Wie sieht die Welle hinter einer Zylinderlinse
mit Brechzahl n = 1.5 aus, die die obige Fläche sowie eine Planfläche hat ? Welche
Bildfehler werden durch die Komponente erzeugt?
3 3
d) Wenn man eine kubische Phasenmaske der Form F ( x,
y)
= a ⋅ ( x + y ) in die Pupille
eines Abbildungssystems einbringt, so bewirkt diese in erster Näherung eine Invarianz
der OTF von der Defokussierung. Zerlegen Sie die Phasenmaske in Zernikepolynome.
Die OTF ist definiert als Fouriertransformation der Punktbildintensität IPSF. Die
Punktbildamplitude ist gleich der Fouriertransformation der Pupillenfunktion P(x,y). Aus
der Fouriertheorie folgt daraus, daß die OTF als Autokorrelationsintegral der
Pupillenfunktion ausgedrückt werden kann (Duffieux-Integral)
∞ ∞
λ fs λ fs
fs fs x
y * λ λ
x
y
∫ ∫ Px ( p + , yp
+ ) ⋅P ( xp−
, yp
− ) dxpdyp 2 2 2 2
−∞ −∞
HOTF ( sx, sy)
=
∞ ∞
2
Px ( , y) dxdy ∫ ∫
−∞ −∞
p p p p
Hier ist f gleich der Brennweite des Systems, xp, yp sind die Koordinaten in der Pupille
und sx, sy die Ortsfrequenzen. Da Pupille und Bild Fourier-konjugierte Ebenen sind,
liefert hier das Samplingtheorem den Zusammenhang zwischen den Pupillenkoordinaten
und der Ortsfrequenz im Bild. Für z.B. die x-Komponente lautet diese Beziehung sx =
xp/λ/f. Die Auflösung bestimmter Ortsfrequenzen in der Abbildung hängt eng mit der
Beugung an den entsprechenden Objektstrukturen zusammen. Betrachtet man eine
Objektstruktur als lokales Gitter, so ist die Auflösung anschaulich dadurch gegeben, daß
die erste Beugungsordnung des Gitters durch das optische System transportiert wird. Ist
der Beugungswinkel größer als der Aperturwinkel, kann im Bild keine entsprechende
Interferenz von 0. und 1. Beugungsordnung entstehen. Das oben angegeben
Autokorrelationsintegral beschreibt anschaulich die Auflösung bzw. den Kontrast für eine
Ortsfrequenz (sx, sy) durch den Überlapp der verschobenen Pupillenfläche (entspricht
einer lateralen Verschiebung der ersten Beugungsordnung in der Pupille infolge des
Gitterwinkels).
Zeigen Sie die Wirkung der Maske auf die MTF durch Betrachtung nur einer
Koordinatenrichtung x und untermauern Sie damit die obige Behauptung einer EDF-
Wirkung (extended depth of focus).
Hinweis: Setzen Sie die Pupillenfunktion mit der Maske und einem Defokussierungsterm
in den Integralausdruck zur OTF ein.
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 1 von 16
Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Prof. Dr. Michael Kaschke (CZ AG)
a)
Die Wellenaberration ist gegeben durch
4 2
( r)
= 6r
− 6r
+ 1
W sph
Skizze:
1) Peak-Valley-Wert :
Ableitung:
dWsph 24r 12r
dr
3 Extrema :
= −
dW !
sph
= 0 : r1 = 0
dr
, W(r) 1 = 1
r = 1/ 2 , W(r ) = −1/2
2 2
Randwert: r 3 = 1 , W ( r3
) = 1
Damit sind die Extremwerte -0.5 und +1, der pv-Wert also : Wpv = 1.5
2) Mittelwert :
1
∫
Wsph(
r)
2π
r dr
0
1
W = = ⋅
1
π
∫
0
0
2π
r dr
∫
0
⎡ 6 3 4 1 2 ⎤
= 2⋅
⎢r
− r + r = 2⋅
⎣ 2 2 ⎥
⎦ 0
3) Rms-Wert :
W
2
rms
1
2
∫ [ Wsph(
r)
−W
]
2π
r dr 1
0
1
= = ⋅
1
π ∫
0
2π
r dr
∫
0
1
1
1
4 2
5 3
∫ [ 6r
− 6r
+ 1]
2π
r dr = 2 [ 6r
− 6r
+ r]
[ 1−
3/
2 + 1/
2]
= 0
4 2 2
[ 6r
− 6r
+ 1]
2π
r dr
⎡36
10 8 6 3 4 4 1 2 ⎤ 1
= 2⋅
⎢ r − 9r
+ 8r
− r − 3r
+ r =
⎣10
2 2 ⎥
⎦ 0 5
1
W
rms = = 0.
447
5
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 2 von 16
1
dr

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b)
Es sei in dem Ausdruck für den Öffnungsfehler
4 2
Wsph ( r)
= c4
, 0 ⋅(
6r
− 6r
+ 1)
ein skalierter Radius r = ε ⋅ r eingesetzt mit ε = 0.95. Es folgt aus diesem Ansatz
4 2
4 4 2 2
( r)
= c ⋅ 6r
− 6r
+ 1 = c ⋅ 6ε
r − 6ε
r + 1 .
W sph
4 , 0
( ) ( )
4,
0
Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem regulären Ausdruck für Öffnungsfehler und Defokus
4 2
2
W ( r)
= c4,
0 ⋅(
6r
− 6r
+ 1)
+ c2,
0 ⋅(
2r
−1)
für die Potenzen r 4 und r 2 , so folgt
4
4 Δc4,
0 c4,
0 − c4,
0
4
r : c4,
0 = c4,
0 / ε , = = 1−1
/ ε = − 0.
228
c c
2 c
r :
c
2,
0
4,
0
4,
0
2
ε −1
= 3⋅
= −0.
324
2
ε
4,
0
Der Fehler im Zernikekoeffizienten der sphärischen Aberration beträgt somit etwa 23%, es
entsteht gleichzeitig ein Defokussierungskoeffizient in der Größenordnung von 32%.
Dies zeigt den empfindlichen Einfluß des richtigen Pupillenradius eindrucksvoll.
c)
Die Zernike-Polynome (in Fringe-Normierung und als Funktion von x und y geschrieben), die als
höchste Potenz y 4 enthalten, sind
4 4 2 2
Z − ( x,
y)
= y + x − 6x
y
4-Blattfehler
4,
4
Z − −
Sekundär-Astigmatismus
4 4 2 2 2 2
4,
2(
x,
y)
= 4y
− 4x
− 4x
y + 3x
3y
4 4 2 2 2 2
Z 4 , 0(
x,
y)
= 6y
+ 6x
+ 12x
y − 6x
− 6y
+ 1
Sphärische Aberration
Um gleichzeitig die Terme mit x 4 und x 2 y 2 zum Verschwinden zu bringen, muß man diese drei
Polynome geeignet kombinieren. Dabei entstehen Potenz-Anteile niedrigerer Ordnung mit den
Potenzen x 2 , y 2 und Absolutglieder, die wiederum mit Polynomen niedrigerer Ordnung
kompensiert werden müssen. Für eine Erzeugung der gewünschten Flächenform benötigt man
daher noch die Zernikepolynome
2 2
Z − ( x,
y)
= y − x
Astigmatismus
2 , 2
2 2
Z ( x,
y)
= 2x
+ 2y
−1
Defokussierung
2,
0
Z 0 , 0(
x,
y)
= 1
Man macht daher den Ansatz
Piston, konstanter Offset
4
F ( x,
y)
= y = c4,
− 4Z
4,
−4
+ c4,
0Z
4,
0 + c4,
−2Z
4,
−2
+ c2,
−2Z
2,
−2
+ c2,
0Z
2,
0 + c0,
0Z
0,
0
Durch Einsetzen der Polynome und Koeffizientenvergleich gleicher Potenzen erhält man das
lineare Gleichungssystem
4
y : c + 6c
+ 4c
= 1
x
x
y
4
2
1:
2
:
:
:
c
− 6c
− 6c
c
4,
−4
4,
−4
2 2
x y : − 6c
4,
−4
4,
0
4,
0
4,
0
+ 6c
+ 12c
+ 3c
− 4c
− 4c
= 0
= 0
+ 2c
− 3c4,
−2
+ c2,
−2
+ 2c
− c + c = 0
2,
0
4,
0
4,
0
4,
0
4,
−2
− c
0,
0
4,
−2
4,
−2
2,
−2
4,
−2
2,
0
2,
0
= 0
= 0
Aus diesen Gleichungen kann man die Koeffizienten ermitteln. Entsprechend der linearen
Abhängigkeit und Kompensationswirkung der höheren Potenzen zerfällt das Gleichungssystem.
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 3 von 16
Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
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Die ersten 3 Gleichungen lassen sich getrennt lösen, die Ergebnisse liefern in den Gleichungen
4 - 6 die restlichen 3 Koeffizienten:
c = −1/
2
4-Blattfehler
4,
−4
c = 1/
2
Sekundär-Astigmatismus
4 , −2
c 4 , 0 = 5/
12
Sphärische Aberration
c = 3/
2
Astigmatismus
2 , −2
c 2 , 0 = 5/
4
Defokussierung
c 0 , 0 = 5/
6
Offset
Für eine dünne Komponente mit Brechzahl n, einer Planfläche und einer gekrümmten Fläche
F(x,y) lautet die Phasendifferenz der Welle in λ
n −1
W ( x,
y)
= ⋅ F(
x,
y)
λ
wobei F(x,y) die Pfeilhöhenabweichung von der Scheitelebene ist. Wegen n = 1.5 folgt hier
F(
x,
y)
W ( x,
y)
=
2λ
Entsprechend der Interpretation der obigen zur Beschreibung notwendigen Zernikepolynome
erzeugt die asphärische Zylinderlinse Vierblattfehler (Z4,-4), Sphärische Aberration (Z4,0),
Astigmatismus 5. Ordnung (Z4,-2, primären Astigmatismus (Z2,-2, Defokussierung (Z4,0 und Piston
(Z0,0).
d)
Die kubische Phasenmaske F(x,y) = a (x 3 +y 3 ) hat eine Form entsprechend der folgenden
Abbildung. Der Kreis beschreibt den Pupillenrand.
y
x
y-section
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 4 von 16
z
x-section
Abbildung 1
Analog zur vorigen Teilaufgabe erkennt man, daß zur Beschreibung des y 3 -Anteils der
Phasenfunktion die Zernikepolynome (siehe Folie 52 der Vorlesung)
3 2
Z − ( x,
y)
= y − 3x
y
Dreiblattfehler
3,
3
3 2
Z3, − 1(
x,
y)
= 3y
− 3x
y − 2y
Koma
Z 1 , − 1(
x,
y)
= y
Kippung
notwendig sind. Die Aufstellung des zugehörigen Gleichungssystems ergibt die Koeffizienten
c a 4 , c = 3a
/ 10 , c = − 3a
/ 5
3,
− 3 = / 3,
−1
1,
−1
Berücksichtigt man zudem, daß eine betragsgleiche x-Komponente vorliegt, ergibt sich
insgesamt
a
F( x,
y)
= ⋅(
2⋅
Z1,
1 + 2⋅
Z1,
−
1 + Z3,
1 + Z3,
−1
+ Z3,
−3
− Z3,
3)
4

Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Prof. Dr. Michael Kaschke (CZ AG)
Wenn man eine Phasenmaske in der Systempupille einsetzt und annimmt, das System ist sonst
ideal und gleichzeitig eine Defokussierung in der Bildebene vornimmt, so kann man für eine
transversale Dimension x bei normierter Pupillengröße mit kubischem Anteil x 3 und
Defokussierung c2,0 (der konstante Offset-Anteil im Zerniketerm Z2,0 spielt keine Rolle und ist
hier weggelassen) die komplexe Pupille in der folgenden Form schreiben
⎛ 3 2
⎧ 2π⋅i⋅
⎞
⎜ ax + c20
2x
⎟
⎪ ⎝
⎠
P(
x)
= e
x < 1
⎨
⎪⎩ 0 x > 1
Man erhält damit durch Einsetzen in das Duffieuxintegral
∞
⎛ λ f s ⎞ * ⎛ λ f s ⎞
∫ P⎜
x + ⎟⋅
P ⎜ x − ⎟⋅dx
−∞
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
HOTF( sx)
=
∞
2
P(
x)
dx
∫
−∞
mit dem in den ersten Quadranten verschobenen Teil
P x + λfs
/ 2
3
= exp 2π⋅
i ⋅ a x + λfs
/ 2 + c 2 x + λfs
/ 2
{ [
{ [ ] }
2,
0 2,
0
2,
0
2 ] }
3
2
λfs
/ 2 = exp{
2π⋅
i ⋅[
a x − λfs
/ 2 + c2,
0 2 x − λfs
/ 2 ] }
3 2
2
3
{ 2πi
⋅[
ax − 3ax
( λfs
/ 2)
+ 3ax(
λfs
/ 2)
− a(
λfs
/ 2)
+ 2c
2
x − 4c
x(
λfs
/ 2)
+ 2c
2 ( λfs
/ 2)
] }
( ) ( ) 2,
0 ( 2 )
3 2
2
3
exp 2πi
⋅ ax + 3ax
( λfs
/ 2)
+ 3ax(
λfs
/ 2)
+ a(
λfs
/ 2)
+ 2c
2
x + 4c
x(
λfs
/ 2)
+ 2c
( λfs
/ 2)
=
und analog dem in den dritten Quadranten verschobenen Teil
P x −
( ) ( ) ( )
= exp
erhält man für das Produkt im Integranden
*
P x + λfs
/ 2 P x − λfs
/ 2
( ) ( )
2
3
= exp 2πi
⋅ 6ax
( λfs
/ 2)
+ 2a(
λfs
/ 2)
+ 8c
x(
λfs
/ 2)
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 5 von 16
2,
0
{ [ ] }
2,
0
Die OTF als Funktion der Ortsfrequenz s = x/λ/f lautet
3
2πi⋅2a(
λf
⋅sx
/ 2)
∞
e
2
2πi⋅(
λfsx
/ 2)(
⋅ 6ax
+ 8c2,
0x)
HOTF(
sx)
= ∫⋅e
dx
π −∞
Mit Hilfe des Integrals (Gradsteyn/Ryzhik Nr. 3.323-2)
∞
2
ib
−
2
4
2 2
ia x + ibx i + 1
∫ e dx = ⋅
a
−∞
π
⋅e
2
a
ergibt sich hier der Ausdruck für die OTF
HOTF(
sx)
=
2
2
iπa
3 8πi⋅λ⋅
f ⋅sx⋅c2
, 0
i + 1
⋅(
λf
⋅sx
) −
2
3a
⋅e
⋅e
3λf
⋅sxa
und als Betrag die MTF
HMTF(
sx)
=
1
6λf
⋅s
a
x
Die MTF hängt in dieser Näherung nicht von der Defokussierung c2,0 ab, reagiert also bei
Defokussierung nicht mit Kontrastverlust. Die Phase der OTF hängt allerdings von c2,0 ab, so
daß mit zunehmender Defokussierung ein Shift der PSF stattfindet ( entspricht einer
Verzeichnung). Anschaulich kann man dies an der folgenden Abbildung 2 sehen. Im linken Teil
sind die MTF-Kurven gemäß obiger Formel für verschiedene Werte der Defokussierung c2,0.
aufgetragen. Man erkennt, daß im Bereich kleiner Ortsfrequenzen s (hier normiert aufgetragen),
sich der Kontrast kaum verändert. Bei größeren Ortsfrequenzen sλf/x > 0.5 läßt die
Performance der Phasenmaske nach und wirkt sich verschlechternd auf die Auslösung aus. Das
rechte Bild zeigt den Realteil der komplexen OTF. Hier sieht man, daß sich trotz konstantem
Betrag der OTF die Phase und damit auch der Realteil sehr stark ändern. Das bedeutet eine
2,
0
2,
0
Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Prof. Dr. Michael Kaschke (CZ AG)
Störung in der Phasenübertragung. Im Bild entspricht das einer transversalen Verschiebung.
Dies paßt anschaulich zum Verhalten der kubischen Phasenmaske, die im Grundsatz eine
künstliche große Koma einführt. Koma bewirkt wegen der Asymmetrie des Punktbildes ein
seitliche Verschiebung im Bild.
Das Verhalten der Übertragungsfunktion MTF in einem System ohne Phasenmaske ist in
Aufgabe 6-2 diskutiert und in den Abbildungen 8 und 11 gezeigt.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
1
MTF Re[OTF]
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0 0.5 1 0 0.5 1
sλf/x
sλf/x
Abbildung 2
growing defocus
c 2,0 = 0 ...3 λ
0
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 6 von 16

Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Prof. Dr. Michael Kaschke (CZ AG)
Übungsaufgabe 6-2: Hartmann-Shack-.Wellenfrontsensor (**)
a) Es sollen die Wellenaberrationen für Defokussierung und sphärische Aberration bei der
Wellenlänge von λ = 550 nm eines kollimierten Strahls mit 3 mm Durchmesser mittels
eines Hartmann-Shack-Wellenfrontsensors gemessen werden. Der CCD-Detektor habe
eine Pixelgröße von 7 μm, mittels geeigneter Algorithmen sei die
Schwerpunktsbestimmung auf 1/20 Pixel genau möglich. Wie groß ist die Brennweite der
Subaperturlinsen zu wählen, damit man den Defokus als Zernikekoeffizient auf λ/20
genau bestimmen kann? Wie genau kann für diese Brennweite der Zernikekoeffizient
des Öffnungsfehlers ermittelt werden? Woher kommt dieser Unterschied?
b) Wenn man die endliche Größe a der Subaperturen berücksichtigt, so ist im Fall üblicher
Auswertealgorithmen für die Schwerpunkte der Dynamikbereich des Sensors dadurch
gegeben, daß ein Spot die der Subapertur zugeordnete Fläche auf dem Sensor verläßt.
Wie groß ist im einfachen geometrischen Bild daher die maximal meßbare
Defokussierung des obigen Sensors, wenn man N = 30 Subaperturen über den
Strahldurchmesser annimmt und der Füllfaktor 1 gesetzt wird ? Wenn man davon
ausgeht, daß in den kleinen Subaperturen die Linsen beugungsbegrenzt sind, so erhält
man endlich große Spots. Wie groß ist die oben berechnete maximal meßbare
Defokussierung unter Berücksichtigung der Beugung? Beachten Sie daß die
Subaperturen quadratisch sind.
c) Diskutieren Sie den Einfluß verschiedener Kohärenzzustände der einfallenden
Signalwelle auf das Meßergebnis. Was passiert, wenn der CCD-Sensor nicht exakt in
der Fokalebene des Linsenarrays steht? Wie wirkt sich also auch eine Verwendung
verschiedener Wellenlängen aus? Was passiert am Rande einer scharf begrenzten
Welle mit dem Signal teilausgeleuchteter Subaperturen? Wie kann man dieses Problem
praktisch lösen, wenn die Intensität der Wellen konstant ist?
a)
In normierten Koordinaten gilt für die Wellenaberration des Defokus
2
Wdef ( r)
= c2,
0 ⋅(
2r
−1)
,
die Ableitung ergibt den Gradienten der Wellenfront. Im Hartmann-Shack-Wellenfrontsensor ist
die Neigung der Wellenfront bzw. der Winkel θ des Schwerestrahls in einer Subapertur das
entscheidende Maß für die Spotauswanderung Δx. Siehe dazu die folgende schematische
Darstellung des Systems:
Wellenfront
D
θ
Δx
Spot-
Offset
Detektor
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 7 von 16
Array
a
f
θ max
Abbildung 3
Die Richtung der Normale bzw. die Neigung der Wellenfront ergibt sich aus der Ortsableitung zu
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dWdef dr
= 4r ⋅c
2,
0
dW def
Dieser Gradient hat den maximalen Wert am Rand für r = 1 :
Analog gilt für den Öffnungsfehler:
4 2
Wsph ( r)
= c4
, 0 ⋅(
6r
− 6r
+ 1)
dWsph c ( 24r 12r)
dr
dr
= 4c2,
0
max
(1a)
3
= 4,
0 ⋅ −
dWsph = 12⋅ c4,
0
dr max
(1b)
Der Mittenstrahl im Hartmann-Shack-Sensor bilde den Winkel θ zur Achse. Die Subaperturen
mit Durchmesser a seien als klein gegen den Durchmesser D angenommen.
Dann gilt am Rand des Sensors mit Strahldurchmesser D, Spotauswanderung Δx und
Brennweite f der Subaperturlinsen
Δx
λ dWdef
θ ≈ tanθ
= = ⋅
(2)
f D / 2 dr max
Der Vorfaktor 2λ/D kommt an diese Stelle ins Spiel, weil die Wellenaberration in der Zernike-
Darstellung auf λ normiert ist und der Pupillenradius bzw. hier Strahlradius auf 1 normiert wird.
Um zu absoluten Einheiten zu kommen, ist diese Skalierung notwendig.
p
Mit der Pixelgröße p = 7 μm folgt Δ x min = und aus (2) folgt mit (1a) die Brennweite
20
Δx
⋅ D p ⋅ D
f = =
= 4.
77 mm
(3)
dWdef
40⋅
λ ⋅ 4c2,
0min
2λ
⋅
dr
max
Für die Genauigkeit der Öffnungsfehlerbestimmung folgt analog
p ⋅ D
c 4 , 0min
=
= 0.
0167 = 1/
60
12⋅
40⋅
λ ⋅ f
Da die Wellenfläche der sphärischen Aberration gegenüber dem Defokusfehler am Rand einen
um den Faktor 3 größere Steigung hat (sieht man auch aus dem Vergleich der Gleichungen (1a)
und (1b)), ist die Gradienten-basierte Meßmethode mit dem Hartmann-Shack-Sensor
entsprechend um diesen Faktor empfindlicher.
b)
Wenn N = 30 Subaperturen vorliegen, so haben diese den Durchmesser
D
a = = 0.
10mm
N
Die maximal messbare Defokussierung erhält man aus (1a) und (3) für Δx = a/2 zu
a / 2⋅
D
c 2 , 0max
= = 14.
2
(4)
8⋅
λ ⋅ f
Dies entspricht dem Winkel θmax in der obigen Zeichnung. Die numerische Apertur für eine
Subapertur beträgt
a / 2
NA = = 0.
021
f
woraus für eine quadratische Apertur der Durchmesser der Psf (analog Airy, ohne Faktor 1.22)
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 8 von 16

Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
Karlsruhe Institut für Technologie (KIT) Prof. Dr. Michael Kaschke (CZ AG)
Dpsf = = 0.
0262mm
NA
λ
folgt. Wenn man in (4) die maximal erlaubte Auswanderung des Spots um diesen Wert
korrigiert, sinkt der Maximalwert der messbaren Defokussierung auf
( a / 2 − Dpsf
) ⋅ D
c2
, 0max
=
= 6.
8
8⋅
λ ⋅ f
Der Grund für diese Korrektur liegt darin, daß in der obigen rein geometrischen Betrachtung nur
die Zentren der Spots betrachtet wurden. Tatsächlich haben diese aber infolge der Beugung
eine endliche Ausdehnung und für eine Auswertung der Schwerpunkte ist zu fordern, daß die
Spots noch getrennt sind, also entsprechend dem Rayleighkriterium einen Abstand von ca. dem
Airydurchmesser haben müssen.
c)
Wenn eine kohärente Welle auf den Wellenfrontsensor fällt, so wird jeder einzelne Spot nahezu
beugungsbegrenzt sein und eine entsprechende Beugungsstruktur aufweisen. Die Pixelbedingte
Diskretisierung des Sensors muß so klein sein, damit diese Intensitätsverteilungen
hinreichend genau aufgenommen und bzgl. des Schwerpunkts ausgewertet werden können.
Wenn das einfallende Licht teilkohärent ist, so sind die einzelnen Spots verbreitert und besitzen
weniger Feinstruktur infolge Beugung an den Subaperturrändern. Das verkleinert den
Dynamikbereich, die Auswertung des Schwerpunktes wird dadurch aber eher genauer und
robuster. Man muß sich aber klar machen, daß partiell kohärentes Licht keine eindeutige Phase
hat, der Wellenfrontsensor mißt in diesem Fall eine über die Subapertur und alle
Spektralkomponenten gemittelte Richtung des Poyntingvektors.
Wenn der Sensor nicht exakt in der Fokalebene steht (siehe Abbildung 4), so ist die Winkel-
Ortsablage-Relation des exakten Fourier-Setups gestört. Die Auswertegleichungen stimmen
daher nicht mehr exakt. Da diese aber in der Regel trotzdem zur Anwendung kommen,
interpretiert das Verfahren den entstehenden Fehler als Defokussierungsanteil der einlaufenden
Welle. Entsprechend Abbildung 5 skalieren die Schwerpunktsablagen gleichmäßig, die höheren
Aberrationsterme werden dabei idealerweise nicht gestört. Zu Fehlern kommt es allerdings bei
teilausgeleuchteten Subaperturen am Rand, siehe zweites Bild.
volle
Ausleuchtung
f
z
Brennebene
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 9 von 16
CCD
Schwerpunkt
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teilweise
Ausleuchtung
θ o
f
z
θ o
Brennebene
Δx o
CCD
Schwerpunkt
Abbildung 4 Abbildung 5
θ
Wenn verschiedene Wellenlängen gleichzeitig mit einem Sensor verarbeitet werden sollen (z.B.
Weißlicht), so bedeutet dies einerseits einen partiell kohärenten Strahl. Andererseits bewirkt die
chromatische Längsaberration der Arraylinsen im Wellenfrontsensor eine geringe
Defokussierung. Entsprechend obigen Argumentationen gibt es aber von Randeffekten und
einem kleinen Defokusfehler keine Probleme mit dieser Art von Sensor.
1
2 3
Sensor
Subaperturen
4
5
6
Ausleuchtung
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 10 von 16
Δx
Abbildung 6
Wenn einzelne Subaperturen am Rande des Strahls nur teilweise ausgeleuchtet werden (siehe
Abbildung 6), so verschiebt sich der energetische Schwerpunktsstrahl aus der geometrischen
Mitte der Subapertur (siehe Abbildung 5). In der Fokalebene ergibt sich aber trotzdem die
richtige Schwerpunktsablage zur Auswertung. Ausserhalb der Fokalebene oder für breitbandige
Anwendungen kommt es aber wie oben diskutiert zu Fehlern im Randbereich. Für Strahlen mit
näherungsweise konstanter Intensität über den Querschnitt kann man aber durch Analyse der
Spotenergien auf dem Sensor die Beiträge der fehlerhaften Subaperturen eliminieren, indem
man nur die Subaperturen mit vollem Energiebeitrag zur Auswertung zuläßt.

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Übungsaufgabe 6-3: Punktbild und Übertragungsfunktion (**)
Zur Charakterisierung und als Qualitätsmaß beugungsbegrenzter optischer Systeme dient in
der Praxis die sogenannte Strehlzahl oder Definitionshelligkeit. Diese ist definiert als das
normierte Verhältnis der Punktbildintensität auf der Achse für das reale gestörte System
( real)
I psf ( 0,
0)
zum idealen System: D S = .
( ideal)
I ( 0,
0)
psf
a) Schreiben Sie die Strehlzahl für das Punktbild in der Bildebene unter der Annahme einer
gleichmäßig ausgeleuchteten Pupille als Funktion der Wellenaberration W(x,y).
b) In der Näherung sehr kleiner Aberrationen kann man die Strehlzahl aus a) entwickeln
(Marechal-Näherung). Leiten Sie in diesem Fall den Zusammenhang zwischen DS und
dem rms-Wert der Wellenaberration her. Wie groß ist die Defokussierung ausgedrückt
als Zernikekoeffizient c4, wenn die Strehlzahl auf 0.9 abgefallen ist?
c) Berechnen Sie die OTF für ein ideales System mit homogen ausgeleuchteter
Kreispupille ohne Aberrationen aus dem Ausdruck für das Duffieuxintegral (siehe auch
Aufgabe 6-1). Erkären Sie anhand dieses Ansatzes geometrisch-anschaulich die
Entstehung einer Grenzfrequenz. Wie groß ist diese im Fall der Kreispupille? Warum
ändert sich diese nicht durch Aberrationen?
d) Vereinfachen Sie den Ausdruck für das Autokorrelationsintegral auf nur eine Dimension
x bei konstanter Ausleuchtung. Wie sieht der Verlauf der OTF über der Raumfrequenz s
im idealen Fall aus? Wie lautet die OTF im Falle einer Defokussierung? Wie groß darf
die Defokussierung höchstens sein, bis die Übertragungsfunktion eine Nullstelle aufweist
? Was bedeutet dies für die Abbildung? Was ist an der Kontrastübertragung mit
negativen Werten der OTF problematisch?
a)
In der Bildebene ist die Amplitude des Punktbildes durch das Fraunhofer-Beugungsintegral
gegeben, welches seiner Struktur nach eine Fouriertransformation ist (siehe auch Literatur /3/
oder z.B. Saleh/Teich: Fundamentals of Photonics). Diese Näherung des Beugungsintegrals
ergibt sich aus dem Kirchhoffintegral, indem man den Term exp( ikr )
r r
im Exponenten entwickelt
und nur die linearen Anteile berücksichtigt. Diese Approximation ist im Fernfeld zulässig. Das
Integral lautet
−ikz
iπ
2 2
2πi
ie
− ( x'
+ y'
) − [ xx'+
yy']
λz
λz
E(
x',
y',
z)
= e E(
x,
y,
0)
⋅e
dx dy
λz
∫∫
Dabei ist für ein optisches System das Feld E(x,y,0) gleich der komplexen Amplitude in der
Austrittspupille. Diese kann als reelle Amplitude A(x,y) und als Wellenaberration W(x,y) bzw.
Phasenterm geschrieben werden. Auf der optischen Achse für x'=y'=0 gilt somit
−ikz
ie
2πiW
( x,
y,
0)
E(
0,
0,
z)
= A(
x,
y,
0)
⋅e
dx dy
λ z ∫∫
Setzt man diesen Ausdruck in die Definition der Strehlzahl ein und berücksichtigt, daß die
Pupille gleichmäßig ausgeleuchtet ist (A hängt nicht von x,y ab), so erhält man den Ausdruck
iW x y
A x y e dx dy
DS
=
Axy dxdy
∫∫
2
2π
( , )
( , )
2
∫∫ ( , )
1
2
2πiW
( x,
y)
DS
= ⋅ 2 ∫∫ e dxdy
(1)
FAP
wobei FAP die Fläche der Austrittpupille des Systems ist. In realen Systemen mit
Wellenfrontfehlern weicht das Punktbild von der idealen Airyverteilung ab. Die
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 11 von 16
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Energiekonzentration ist schlechter, die Peakhöhe wird kleiner und man beobachtet eine
Verbreiterung, vor allem im Sockelbereich. Die Strehlzahl beschreibt diesen Effekt in normierter
Form als Reduktion der Peakhöhe des Punktbildes.
b)
Wenn die Aberrationen W(x,y) sehr klein sind, so kann der Exponentialterm in (1) in eine
Taylorreihe entwickelt werden. Dann folgt unter der Annahme eines verschwindenden
Mittelwertes W ( x,
y)
= 0 (richtige Wahl der Referenzkugel), bei Entwicklung der
2 2
Exponentialfunktion bis zum quadratischen Term mit Wrms = W
Ausdruck
für die Strehlzahl der
1
DS
≈
F
2
1 2 2
1
⋅∫∫1+
2πiW
( x,
y)
− ⋅4π
W ( x,
y)
dxdy
=
2
F
⋅ AP
2
AP
2 2 2
2 2
[ F − 4π
F W ( x,
y)
] = 1−
4π
⋅W
2 2
2
[ F + 2πi
W ( x,
y)
− 2π
W ( x,
y)
]
1
= ⋅ 2 AP
AP
rms
FAP
wobei beim Quadrieren die Terme höherer Ordnung in dieser Näherung wiederum
vernachlässigt sind. Man hat hiermit einen direkten Zusammenhang zwischen Strehlzahl und
dem rms-Wert der Wellenfläche in der Pupille, wobei diese Näherung nur für kleine
Aberrationen gültig ist. Dabei ist zu beachten, daß die Wellenaberration in dieser normierten
Darstellung in λ skaliert ist.
Wenn eine Defokussierung mit Zernikekoeffizient c2,0 vorliegt, gilt
2
W ( x,
y)
= c ⋅ 2r
−1
W
2
rms
2,
0
( )
1
2
∫ [ Wdef
( r)
−W
]
2π
r dr 2 1
c
0
2,
0
= = ⋅
1
π ∫
0
2π
r dr
∫
0
2
2 ⎡2
6 4 1 2⎤
c2,
0
= 2c2,
0 ⋅
⎢
r − r + r =
3 2 ⎥
⎣
⎦0
3
Damit ergibt sich die Definitionshelligkeit
2
2 c
1
4 2
( 2r
−1)
2π
r dr
2,
0
DS = 1−
4π
⋅
(1)
3
und nach dem Zernikekoeffizienten aufgelöst für DS = 0.9:
1 3(
1−
DS
)
c 2 , 0=
= 0.
087
π 4
An Gleichung (1) erkennt man, daß der Zernikekoeffizient der Wellenaberration (hier
Defokussierung) quadratisch in die Absenkung der Strehlzahl eingeht. Dasselbe Verhalten hat
man für die anderen Aberrationen cn,m, allerdings mit modifizierten Vorfaktoren. Physikalisch
bedeutet eine Wellenaberration eine Störung der idealen Kugelwelle im Bildraum des optischen
Systems. Für eine Kugelwelle liegen im Bildpunkt die optimalen Verhältnisse für konstruktive
Interferenz und damit einen hohen Intensitätspeak im Punktbild vor. Störungen führen zu
destruktiven Interferenzbeiträgen und zu einem Absinken des Peaks.
c)
Im Duffieuxintegral
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 12 von 16
2
AP

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H ( s , s ) =
OTF x y
∞ ∞
∫ ∫
−∞ −∞
λ fs λ fs
fs fs x
y * λ λ
x
y
Px ( p + , yp
+ ) ⋅P ( xp−
, yp
− ) dx dy
2 2 2 2
∞ ∞
2
Px ( , y) dxdy ∫ ∫
−∞ −∞
p p p p
ist die Pupillenfunktion P im idealen Fall durch eine schräg verschobene Funktion mit
kreisförmiger Begrenzung und konstanter Höhe ('Tophat') gegeben (siehe Abbildung 7).
y
p
verschobene
Pupillen
a
α
d λ f sy / 2
λ f sx / 2
Integrationsgebiet
x p
Abbildung 7
Wenn die Pupille homogen ausgeleuchtet ist und keine Aberrationen vorliegen, so ergibt obiger
Ausdruck im Nenner einfach die Kreisfläche πa 2 und im Zähler die Fläche des gemeinsamen (in
der Zeichnung orange) symmetrischen Kreiszwickels. Mit der bekannten Formel für die Fläche
eines einfachen Kreisabschnittes (Bezeichnungen siehe Abbildung 7)
2
= ⋅ ( α − sinα
)
2
a
A
folgt mit der Definition der Grenzfrequenz
2a
2NA
sG = =
λ ⋅ f λ
und der Länge der Gesamt-Ortsfrequenz
2 2
s = sx
+ sy
hier
2
2
α ⎛ λfs
⎞ ⎛ λfs
⎞
x
y as
d = a ⋅ cos = ⎜ ⎟ + ⎜
⎟ =
2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ sG
d s
α = 2arccos
= 2arccos
a sG
⎛
2 ⎞
2 ⎜ s s ⎛ s ⎞ ⎟
A=
a ⋅
⎜ arccos − ⋅ 1−
⎜
⎟
s
⎟
G sG
⎝
⎝ sG
⎠
⎠
und schließlich für die Übertragungsfunktion
⎛
2 ⎞
2 ⎜ s s ⎛ s ⎞ ⎟
H = ⋅
⎜ − ⋅ − ⎜
⎟
OTF arccos 1
π s
⎟
G sG
⎝
⎝ sG
⎠
⎠
Die Abbildung 8 zeigt diese Abhängigkeit als Funktion der normierten Ortsfrequenz als rote
Kurve. Zur Illustration ist angedeutet, wie der Kurvenverlauf für reale Systeme aussieht.
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 13 von 16
p p
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1
0.5
0
H OTF
0
ideal
typischer Verlauf
für reale Systeme
mit Aberrationen
Kontrastverlust
durch Aberrationen
0.5 1
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 14 von 16
s / sG
Abbildung 8
f ⋅ sx
Wenn die Kreise um x p =
2
λ
verschoben werden (hier vereinfachend nur in x-Richtung
angenommen), so berühren sie sich und die überlappende Fläche ist verschwunden. Dann ist
der Kontrast Null, dies passiert bei der maximalen Ortsfrequenz, die gleich der Grenzfrequenz
ist und für xp = a entsteht
2x
p 2a
2NA
s x = = = = sG
λ ⋅ f λ ⋅ f λ
Die Entstehung einer Grenzfrequenz hängt wiederum (siehe auch Aufgabe 4-6) damit
zusammen, daß der maximale Beugungswinkel eines Gitters mit Gitterkonstante g = 1/sG noch
innerhalb des Aperturwinkels liegt und somit vom System transportiert wird. Siehe dazu auch
Abbildung 9, wo schematisch die Entstehung der Beugungsordnungen im Objekt dargestellt ist.
Grundsätzlich entspricht in der Fourierbetrachtung eine kleine Struktur einer hohen
Ortsfrequenz und einem großen (Beugungs-) Winkel.
Gitter-
Objekt
einfallendes
Licht
g = 1 / s
g = 1 / s
Gitterkonstante
Akzeptanzwinkel
+3.
+2.
θ
+2.
+1.
+1.
0.
-1.
Ordnungen für eine
kleinere
Gitterkonstante :
nicht aufgelöst
Optiksystem
-1.
-2. gebeugte
Strahlordnungen :
aufgelöst
-2.
-3.
Abbildung 9
Wenn das System Aberrationen aufweist, so wird zwar der Wert des Autokorrelationsintegrals
durch die entsprechende komplexwertige Funktion P verändert, die Grenzen des
Integrationsgebietes ändert das aber nicht. Daher ist die Grenzfrequenz unabhängig von den
Aberrationen des Systems. Dies ist in Abbildung 8 ebenfalls sichtbar.
d)

Vorlesung Optische Systeme - Anwendungen in der Medizintechnik Sommersemester 2010
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Im eindimensionalen Fall vereinfacht sich das Autokorrelationsintegral für eine Spaltöffnung der
Breite b und unendlicher Länge bei homogener Ausleuchtung zu
∞
1 ⎛ λ f sx
⎞ * ⎛ λ f sx
⎞
HOTF( sx)
= ⋅ P xp
P xp
dxp
b ∫ ⎜ + ⎟⋅
⎜ − ⎟
−∞
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Die Pupillenfunktion ist im Bereich -b/2...xp...+b/2 gleich 1, ausserhalb dieses Intervalls
verschwindet sie. Damit folgt
b λfs
−
2 2
2
λfs
HOTF( sx)
= ⋅ dxp
= −
b ∫1
1
b
0
Die Übertragungsfunktion fällt also linear mit der Ortsfrequenz ab bis zur Grenzfrequenz (siehe
Abbildung 10)
b 2NA
sG = =
λ⋅
f λ
1
0.5
0
H OTF
0
0.5 1
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 15 von 16
s / sG
Abbildung 10
Wenn man einen Defokussierungsterm in die Definition der OTF einsetzt, erhält man die
Wellenaberration
2
2
( x)
= c ⋅ 2x
−1
= c ⋅ 2x
−1
+ const.
( ) ( )
W 2,
0
2,
0 p
2
b
c2,
0 = ⋅c2,
0
4
wobei x auf 1 normiert ist (siehe Vorlesung Folien 51 und 52) und c2,0 den konventionellen
Zernikekoeffizienten der Defokussierung beschreibt. Diese Skalierung ist notwendig, weil die
Pupillenkoordinaten xp in der obigen Definition des Duffieuxintegrals absolut einzusetzen sind.
Es folgt
H
OTF
1
( sx)
= ⋅
b
1
= ⋅
b
∞
∫
−∞
⎛ λf
sx
⎞ * ⎛ λ f sx
⎞ 1
P⎜
xp
+ ⎟⋅
P ⎜x
p − ⎟dxp
= ⋅
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ b
b/
2−v
2πi⋅c
∫
e
−b/
2+
v
2
2
⋅[
( x + v)
− − ( x −v)
+ ] 1
2,
0 2 p 1 2 p 1
dxp
= ⋅
b
b/
2−v
2πi⋅c2
, 0⋅8vxp
−b/
2+
v
b/
2−v
⎛ λ f sx
⎞
2πi⋅W
⎜ xp
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
−b/
2+
v
⎛ s ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤
x
sx
sx
=
⎜
⎜1−
⎟
⎟⋅sinc⎢16π⋅
c ⋅ ⋅
⎜ −
⎟
2,
0 1 ⎥
⎝ sG
⎠ ⎣ sG
⎝ sG
⎠⎦
wobei der Übersichtlichkeit halber zwischendurch die Abkürzung v=λfsx/2 verwendet wurde.
Die erste Nullstelle der sinc-Funktion erhält man für das Argument π. Daraus folgt die
Bedingung
∫
e
∫
e
⋅e
⎛ λ f sx
⎞
−2πi⋅W
⎜ xp
− ⎟
⎝ 2 ⎠
16πi⋅c
⋅vx
b/
2−v
2,
0 p
1 e
dxp
= ⋅
b 16πi
⋅c
⋅v
2,
0
−b/
2+
v
dx
p
(2)
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s ⎛ s ⎞
x x
16π⋅
c2,
0 ⋅ ⋅ 1
s ⎜ −
s ⎟
⎟=
π
G ⎝ G ⎠
1
1±
1−
s 4c
x
2,
0
=
sG
2
Die erste Nullstelle entsteht, wenn der Wurzelradikant verschwindet, also für die Defokussierung
c2,0 = 1/4. Die folgende Abbildung zeigt das Verhalten der Funktion HOTF(sx) für verschiedene
Werte von c2,0. Die erste Nullstelle ist als gelber Punkt markiert, sie liegt bei der Ortsfrequenz
sG/2. Wie man an Gleichung (2) sieht, ist die OTF in diesem Fall reellwertig. Um die
Kontrastwerte aus der MTF zu erhalten, ist der Betrag der OTF zu nehmen. Die negativen
Werte der Kurve im linken Teil der Abbildung 11 werden dann entsprechend umgeklappt und
man erhält die Darstellung rechts.
0.8
0.6
H OTF
c 2,0 = 0
0.4
c2,0 = 0.2
0.4
c2,0 = 0.2
0.2
c2,0 = 1
c2,0 = 0.1
0.2
c2,0 = 0.1
0
c2,0 = 0.25
0
c2,0 = 0.25
c2,0 = 0.5
c2,0 = 1 c2,0 = 0.5
-0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
s /s x G
-0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
0.5
Abbildung 11
Eine Nullstelle in der Übertragungsfunktion bedeutet, daß bei einer Abbildung mit einem
entsprechenden System eine Fourierkomponente bzw. Strukturgröße im Bildspektrum völlig
fehlt. Damit ist die Ähnlichkeit von Objekt und Bild gestört. Ein negativer Kontrastwert bedeutet
eine Kontrastumkehr schwarz weiß. Damit sind zwar prinzipiell Strukturen im Bild
erkennbar, diese haben aber verfälschte Intensitätswerte. Der Vorzeichenwechsel in der OTF
wird dann in die Übertragung der Phase gesteckt, man hat hier dann für negative OTF-Werte
einen Phasensprung von π.
Wenn man das System defokussiert, so verbreitert sich das Punktbild. Damit ist anschaulich
klar, daß es zu einem verminderten Kontrast kommt und daß sich dieser Effekt vorrangig bei
hohen Ortsfrequenzen, also kleinen Strukturgrößen bemerkbar macht. Bestimmte
Ortsfrequenzen werden je nach Symmetrie und Parametern im Autokorrelationsintegral komplett
per Integration 'herausgemittelt' bzw. es entsteht perfekte destruktive Interferenz aus den
Phasenbedingungen in der Pupille. Diese fehlen dann komplett im Bild. Dies ist eine Folge des
Zusammenwirkens von Interferenz (Bildentstehung durch Beugung) und Phaseneffekten in der
Pupille.
Vorlesung 6. Refraktion und Aberration des Auges 16 von 16
0.8
0.6
H MTF
c 2,0 = 0