Technische Informatik 2 ALU 3: Integer-Divisions- algorithmen und ...

Technische Informatik 2 

ALU 3: 

Integer-Divisions- 

algorithmen und 

Fließkomma Arithmetik 

Prof. Dr. Miroslaw Malek 

Sommersemester 2012 

www.informatik.hu-berlin.de/rok/ca

• Festkomma - Arithmetik (Fortsetzung) 

- wiederherstellende Division 

- nichtwiederherstellende Division 

- Division durch wiederholte Multiplikation 

- Division mit Lookup-Table 

• Fließkomma - Arithmetik 

- Formate 

- Addition / Subtraktion 

- Multiplikation / Division 

- Pipelining 

• logische Operationen 

TI2 – ALU-3 - 2 

Thema heute

• Wiederhole N-mal 

• Verschiebe A & Q um eine Position nach links 


Algorithmus für 

wiederherstellende Division 

• Subtrahiere M von A und schreibe das Ergebnis nach A zurück 

• Wenn das Vorzeichenbit von A gleich 1 ist, so setze Q 0 auf 0 und 

addiere M wieder zu A (A Wiederherstellen) 

• Anderenfalls setze Q 0 auf 1 

N+1 Bit 

Addierer 

A n 

Akkumulator 

A n-1 

0 

A 

A 0 

Dividend Q 

Q n-1 

Quotient 

Setzen 

Addiere/ 

Subtrahiere 

Divisor M 

Mn-1 M0 Q 0 

Steuer- 

logik


START 

Q ← Dividend 

COUNT← 0 

M ← Divisor 

A ← 0 

Linksverschiebung von A, Q 

Nein 

Ja 

A ← A-M 

A(n-1)=1? 

Q(0) ← 1 

COUNT= 

n-1? 

STOP 

Wiederherstellender Divisionsalgorithmus 

für positive ganze Zahlen 

Ja 

Nein 

A-Akkumulator 

M-Divisor 

Q(0) ← 0 

A ← A+M 

COUNT ← COUNT+1 

Quotient in Q; Rest in A 

Q-Dividend/Quotient


Beispiel für eine 

Wiederherstellende Division 

15 10 :5 10 Q=15 10 =01111 M=5 10 =00101 2 -M=11011 2 

A Q Kommentar A Q Kommentar 

00000 01111 Shift 11110 M addieren 

00000 11110 M substrahieren 00101 

11011 00011 11000 Shift 

11011 M addieren 00111 10000 M substrahieren 

00101 11011 

00000 11110 Shift 00010 10001 Shift 

00001 11100 M substrahieren 00101 00010 M substrahieren 

11011 11011 

11100 M addieren 00000 00011 Ergebnis (3 10 ) 

00101 

00001 11100 Shift 

00011 11000 M substrahieren 

11011


Algorithmus für 

nichtwiederherstellende Division 

1. Wiederhole n-mal: 

– Wenn das Vorzeichenbit von A = 0 ist, verschiebe A und Q um 

eine binäre Position nach links und subtrahiere M von A; 

– Andernfalls verschiebe A und Q nach links und addiere M zu A. 

– Wenn das Vorzeichenbit von A=0 ist, setzte Q 0 auf 1, 

anderenfalls setze Q 0 auf 0; 

2. Wenn das Vorzeichenbit von A = 1 ist, addiere M zu A 

Das negative Ergebnis wird durch Addieren wiederhergestellt, 

z.B: 

R i ß� ( R i - M ) +M (1) 

und dann um eine Position nach links geschoben (d.h. 

Multiplikation mit 2) und subtrahiert: 

R i+1 ß� 2 R i - M (2) 

Die beiden Operationen (1) und (2) werden dann als eine 

ausgeführt: 

R i+1 ß� 2 [(R i - M) + M] - M = 2 R i - M

Start 

Qß�Dividend 

Countß�0 

Mß�Divisor 

Aß�0 

Leftshift A,Q 

Aß�A-M 

A(n-1)=1? 

Leftshift A,Q 

Aß�A-M 

nein 


Nichtwiederherstellender Divisionsalgorithmus 

für Pos. Ganze Zahlen 

ja 

Leftshift A,Q 

Aß�A+M 

Countß�Count+1 

Q(0)=A(n-1) 

ja 

ja 

Count= 

n-1? 

A(n-1)=1? 

Aß�A+M 

Stop 

nein 

Quotient in Q 

Rest in A 

nein


Beispiel für eine 

Nichtwiederherstellende Division 

15 10 :5 10 Q=15 10 =01111 M=5 10 =00101 2 -M=11011 2 

A Q Kommentar 

00000 01111 Shift 


11011 

11011 11110 Shift 

10111 11100 M addieren 

00101 

11100 11100 Shift 

11001 11000 M addieren 

00101 

11110 11000 Shift 

11101 10000 M addieren 

00101 

00010 10001 Shift 


11011 

00000 00011 Ergebnis (3 10 )


Q= 

Division durch wiederholte 

Multiplikation 

Dividend * F 0 * F 1 * ... 

Divisor * F 0 * F 1 * ... 

Divisor = V = 1-y F 0 = 1+y F 1 = 1+y 2 

V * F 0 = 1-y 2 V * F 0 * F 1 = (1-y 2 ) (1+y 2 ) = 1-y 4 

Multipliziere Dividend und Divisor mit (1+y), dann (1+y2 ), ... 

1 1 1 ( 1 )( 1 ) 

1 1 

1 y4 y2 y 

y2 + y + + 

= = = 

x - y - 

- 

y 

Schlüsselidee: 

Finde eine einfache Funktion (Faktor), bei deren Anwendung 

durch die wiederholte Multiplikation der Wert 1 erreicht wird. 

2i 

y2i y4 y2 1 ( 1 + y )( 1 + )( 1 + )…( 1 + 

= 

) 

x 1 - 

i=3,4,… 

0


Fließkommaarithmetik: 

Wissenschaftliche Notation 

Komponenten der Darstellung von Fließkommazahlen 

1. Vorzeichen V 

2. Exponent X e 

3. Mantisse X m 

4. Basis B 

Ø� X = (-1) V * X m * B Xe 

Beispiele: + 1.234 * 10 2 

0.1024 * 10 4 

9.9999 * 10 99

32 Bit Format 

VZ 

Binäre Normalisierung am Beispiel 


32 Bit 

E M 

7-Bit Exponent 

Fließkommaformat der 

IBM S/360 und S/370 

Normalisierung hält die Mantisse beim Wert von 

0.5 ≤ M < 1 -64 ≤ E ≤ 63 

24-Bit Mantisse 

0 0001001 001....... 

Nichtnormalisierter Wert 

0 0000111 1....... 

Normalisierter Wert (andere Arten der 

Normalisierung möglich) 

+0.001...x2 9 

+0.1...x2 7 

Excess - 64 Format: E‘= E + 64 0 ≤ E’ ≤ 127


IEEE 754 Fließkommaformat: 

(Single Precision) 

31 30 23 22 0 

VZ E 7 ... E 0 M 1 ... M 23 

Vorzeichen 

Exponent Mantisse 

• Vorzeichen: 1=negative Mantisse, 0=positive Mantisse 

• Exponent: 8 Bit mit Bias von 127, 0 < E‘ < 255 

• Mantisse: 23 Bit Signifikant plus implizit M 0 =1 wegen 

Normalisierung (1.M) 

à� x=(-1) VZ (Exponent -127 ) 

2 10 * (1,Signifikant) 2 * 210 • Genauigkeit: 24 Bit 

• Rang vom Wert: 1,18*10 -38



(Double Precision) 

63 62 52 51 0 

VZ E 10 ... E 0 M 1 ... M 52 

Vorzeichen 


• Exponent: 11 Bit mit Bias von 1.023 

• Mantisse: 52 Bit plus implizit M 0 =1 wegen Normalisierung 

à� x=(-1) VZ * (1,Signifikant) 2 * 2 10 


(Exponent 2 -1023 10 ) 

• Genauigkeit: 53 Bit 

• Rang vom Wert: 2,23*10 -308



Temporäre reelle Zahl 

79 78 64 63 0 

VZ E 14 ... E 0 M 1 ... M 63 

Vorzeichen 


• Exponent: 15 Bit mit Bias von 16.383 

• Mantisse: 64 Bit plus implizit M 0 =1 wegen Normalisierung 

à� x=(-1) VZ * (1,Signifikant) 2 * 2 10 


(Exponent 2 -16383 10 ) 

• Genauigkeit: 64 Bit 

• Rang vom Wert: 3,37*10 -4932


Eigenschaften von IEEE 754 

(Single Precision) 

Mantisse mit eingesetzter 1 24 Bits 1 ≤ M' < 2 

Größter Fehler 2 -24 

Genauigkeit » 7 dezimale Einheiten 

Verschiebung 127 

Exponentenrang -126 ≤ E ≤ 127 

Betragsmäßig kleinste Zahl ≠ 0 2 -126 = 1.2 * 10 -38 

Größte Zahl (2 - 2 -23 ) 2 127 = 3.4 * 10 38 

Sonderfälle: 

a) Null (-1) S * 0 E‘=0, M=0 

b) Anfangs (-1) S ∞ E‘=255, M=0 

c) Nicht Zahl E‘=255, M≠0 

d) Normalisiert (-1) S * (1.M) 2 E‘-127 0 < E‘ < 255 

e) Nichtnormalisiert (-1) S * (0.M) 2 -126 

E‘=1, M≠0 (Diese Zahl kann nicht normalisiert werden, weil die 

Linksverschiebung einen Unterlauf verursachen würde)


Unterlauf und Überlauf 

• Ein Unterlauf tritt auf, wenn der resultierende verschobene 

Exponent kleiner als Null (oder Eins, IEEE) ist. In diesem Fall 

wird das gesamte Fließkommawort auf Null gesetzt. 

• Ein Überlauf tritt auf, wenn der resultierende verschobene 

Exponent größer ist, als der für das Exponent-Feld erlaubte 

Maximalwert. 

• In beiden Fällen wird normalerweise ein Error-Bit im Status- 

Word gesetzt oder ein Interrupt ausgelöst, so dass ein 

Programm entscheiden kann, welche Aktion auf einen Unter- 

oder Überlauf folgen soll.


Normalisierung und Skalierung 

• Normalisierung ist ein Prozess zur Sicherstellung 

der maximalen Genauigkeit einer Fließkommazahl. 

• Normalisierung: Die Ziffer “1” muss an der am 

weitesten linken Position (direkt nach dem 

Komma) auftreten. 

• Linksverschiebung der Mantisse entspricht einer 

Subtraktion von 1 vom Exponenten 

• Rechtsverschiebung der Mantisse entspricht einer 

Addition von 1 zum Exponenten. 

• Beispiele : 

1.27 x 10 5 = .127 x 10 6 

42.1 x 10 -6 = .421 x 10 -4


Probleme: Arithmetik und Runden 

• Fließkommaaddition und -subtraktion sind 

komplizierter als Multiplikation oder Division, 

da beide Operanden durch Verschiebung auf 

den gleichen Exponenten gebracht werden 

müssen (Denormalisierung) 

• Gebrochene binäre Arithmetik kann aufgrund 

der begrenzten Bit-Repräsentation zu 

ungenauen Ergebnissen führen. “Guard bits” 

oder größere (“breitere”) Register werden bei 

der Präzisionserhöhung gebraucht. Das 

Ergebnis wird nach der Operation gerundet.


Runden 

Rundungsmethoden Ergebnissse Guard Bits Kommentare 

Chopping (Abschneiden): 

Das Ergebnis 

wird nicht gerundet 

Normale Rundung: 

1 wird zum Ergebnis 

addiert. LSB wenn 

das Ergebnis von 

einem Guard Bit 

gefolgt wird 

Von Neumann:LSB 

wird auf 1 gesetzt, 

wenn MSB von den 

Guard Bits 1 ist. 

0.0010 

0.0010] 

0.0010 

0.0011] 

0.0011 

0.0100] 

0.0010 

0.0011] 

0.0011 

0.0011] 

110 „biased error“ 

110 

110 

110 

110 

0-Chopped Bits 

„unbiased 

error“ 

-0.5 bis +0.5 

(LSB) 

Komplexere 

Umsetzung, 

„unbiased 

error“:-1 bis 

+1 (LSB)

X E , Y E - Exponenten von X und Y 

X M , Y M - Mantisse von X und Y 


X E -Y E 

ADD X + Y = ( X M * 2 + Y M ) * 2 

SUB X - Y = ( X M * 2 - Y M ) * 2 

MULT X * Y = ( X M * Y M ) * 2 

DIV X / Y = ( X M / Y M ) * 2 

Gleichungen für 

Fließkommaoperationen 

Y E 

X E -Y E Y E 

X E +Y E 

X E -Y E


Fließkomma: 

Addition und Subtraktion 

1) Auswahl der Zahl mit dem kleineren Exponenten und 

Verschiebung seiner Mantisse schrittweise nach rechts 

entsprechend der Differenz der Exponenten 

2) Setze den Exponenten des Ergebnisses gleich dem größeren 

Exponenten 

3) Führe die Addition oder Subtraktion der Mantissen aus und 

setze das Vorzeichen des Ergebnisses 

4) Normalisiere das Ergebnis (falls nötig) 

5) Prüfe auf Überlauf/Unterlauf


Fließkomma: 

Multiplikation und Division 

Multiplikation 

1) Addiere Exponenten 

2) Multipliziere Mantissen und setze Vorzeichen des Ergebnisses 

3) Normalisiere den resultierenden Wert (falls nötig) 

4) Prüfe auf Überlauf/Unterlauf 

Division 

1) Subtrahiere Exponenten 

2) Dividiere Mantissen und setze Vorzeichen des Ergebnisses 

3) Normalisiere den resultierenden Wert (falls nötig) 

4) Prüfe auf Überlauf/Unterlauf 

Überlauf exp > + Bereich 

Unterlauf exp < - Bereich

Daten 

bus 


Steuer 

bus 

Fließkommaarithmetikschema 

Exponenten- 

einheit 

Steuereinheit 

Mantissen- 

einheit

Daten 

bus 


Exponenteneinheit 

E1 E2 

Addierer 

E 

Datenverarbeitender Teil einer 

einfachen Fließkomma-Einheit 

Mantisseneinheit 

AC MQ 

Addierer 

DR


AC 

Exponen- 

tenaddierer 

E 

Ein kombiniertes Schema zur 

Fließkommaarithmetik 

MQ 

Mantissen- 

addierer 

DR

Input 

bus 

Output 

bus 


Fließkommaaddierer eines IBM 

Mainframe 

E1 E2 

M1 M2 

Addierer 1 

Addierer 3 

E1 - E2 

Teste auf 0- 

Bit 

Shifter 1 

Addierer 2 

R 

Shifter 2 

E3 M3 

Exponenten- 

vergleich und 

Mantissen- 

präzisierung 

Mantissen 

Addition/ 

Subtraktion 

Normalisierung 

der Ergebnisse

Eingangs- 

bus 

Exponenten 

vergleichen 

Exponenten 

angleichen 

Mantissen- 

addition 

Normalisierung 

Ausgangsbus 


Pipeline-Version des 

Fließkommaaddierers 

E1 E2 M1 M2 

E4 E5 M4 M5 

Verschieber 1 

E6 M6 M7 

E7 

Addierer 3 

E3 

Addierer 

1 

Teste auf 0- 

Bit 

Addierer 2 

R 

Verschieber 2 

M3

• Logische Verknüpfungen 

• Programmverzweigungen 

• Vergleiche 


Weitere Operationen

Z 

c c2XY 

= 

AND 


Implementierung der log. Befehle 

AND, OR, XOR und NOT 

X Y 

m m 

c 

c 

m 

Z 

X + c1c 

OR 

Y 

c 

NOT 

XOR 

OR 

AND 

Amerikanische Symbolnotation 

c 

XY 

+ c1c 

XOR 

XY 

1 1 2 2 1 2 

2 

+ 

+ 

+ 

1/4 

Dekoder 

c1c2 

X 

NOT 

c 1 

c 2


Zero 

Flip-Flop 

(flag) 

Amerikanische Symbolnotation 

Implementierung zweier bedingter 

Sprünge SZA und SNA 

Akkumulator 

AC 

. . . 

D 

0 1 

SNA 

SZA 

IR 

Befehls- 

dekodierer 

Zähler 

aktiviert 

SZA – Skip on AC = 0 

SNA – Skip on AC ≠ 0 

PC 

Programmzähler

TEST AUF A>B (oder A B 

A < B

Technische Informatik 2 ALU 3: Integer-Divisions- algorithmen und ...

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