Navigation oder Wo bin Ich? - Christina Birkenhake

Navigation oder Wo bin ich?
Prof. Dr. Christina Birkenhake
christina@birkenhake.net
http://christina.birkenhake.net
7. Juli 2008

Teil I
Ursprünge der Navigation

Ein altes Problem
Wo bin ich?

Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markanten
Stellen: Bäume, Felsen etc.

Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markanten
Stellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarken

Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markanten
Stellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarken
offenes Meer Peilung von Gestirnen

Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markanten
Stellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarken
offenes Meer Peilung von Gestirnen
Navigation

Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markanten
Stellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarken
offenes Meer Peilung von Gestirnen
lateinisch: navem agere
Navigation

Ein altes Problem
Wo bin ich?
Landwege: kein Problem man orientiert sich an markanten
Stellen: Bäume, Felsen etc.
Seewege: Küstenähe Peilung von Landmarken
offenes Meer Peilung von Gestirnen
Navigation
lateinisch: navem agere ein Schiff lenken

Navigationsgeräte
Latitude Hook
Kamal
Astrolabium
Jakobsstab
Quadrant/Sexant
Kompass
Chronometer
Seekarte

Latitude Hook
(Polynesien)
Ermöglicht die Höhe eines Gestirns zu vergleichen

Kamal
(Arabien)
Ermöglicht die Höhe eines Gestirns zu vergleichen

Astrolabium
(Naher Osten und Europa)
Im 15.-17.Jh. üblich
Ermöglicht, die Zenitdistanz eines
Gestirns zu messen.

Jakobsstab
Horizont
W
Richtung Nordstern
N
S
O
(ab 13. Jh.)
Zum Winkel messen.

Sextant
Horizont
120 0

Sextant
Horizont
α
α
2
120 0

Magnetkompass
(frühes 14. Jhd)
Probleme: Missweisung , Ablenkung

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?
◮ terrestrische Navigation

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?
◮ terrestrische Navigation
◮ Astronavigation

Wie geht man mit den erhaltenen Informationen um?
◮ terrestrische Navigation
◮ Astronavigation
◮ Funk-/Schallnavigation

Teil II
Terrestrische Navigation

Koordinatensystem auf der Erde

Koordinatensystem auf der Erde
Vereinbarung: Erde = Kugel

Koordinatensystem auf der Erde
Vereinbarung: Erde = Kugel
Erdachse = Rotationsachse

Koordinatensystem auf der Erde
Vereinbarung: Erde = Kugel
Erdachse = Rotationsachse
⇒ Pole, Äquator

Koordinatensystem auf der Erde
Vereinbarung: Erde = Kugel
Erdachse = Rotationsachse
⇒ Pole, Äquator
Großkreise durch die Pole
⇒ Meridiane

Koordinatensystem auf der Erde
Vereinbarung: Erde = Kugel
Erdachse = Rotationsachse
⇒ Pole, Äquator
Großkreise durch die Pole
⇒ Meridiane
Parallelkreise zum Äquator
⇒ Breitenkreise

Koordinaten eines Punktes auf der Erde

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
Erde mit Polen und Äquator

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
P
Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
P
Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde
Breitengrad durch P

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
P Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde
Breitengrad durch P
Längengrad durch P

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
P Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde
Breitengrad durch P
ϕ
Längengrad durch P
ϕ Breite von P

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
G
P
ϕ
Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde
Breitengrad durch P
Längengrad durch P
ϕ Breite von P
G: Greenwich/London

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
G
P
ϕ
Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde
Breitengrad durch P
Längengrad durch P
ϕ Breite von P
G: Greenwich/London
Nullmeridian

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
G
λ
P
ϕ
Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde
Breitengrad durch P
Längengrad durch P
ϕ Breite von P
G: Greenwich/London
Nullmeridian
λ Länge von P

Koordinaten eines Punktes auf der Erde
G
λ
P
ϕ
Erde mit Polen und Äquator
Ein Ort P auf der Erde
Breitengrad durch P
Längengrad durch P
ϕ Breite von P
G: Greenwich/London
Nullmeridian
λ Länge von P
(ϕ, λ) Koordinaten von P

Erdkoordinaten in der Praxis
Breite ϕ und Länge λ werden in Grad angegeben: 0 ◦ , . . . , 360 ◦

Erdkoordinaten in der Praxis
Breite ϕ und Länge λ werden in Grad angegeben: 0 ◦ , . . . , 360 ◦
z.B. Altdorf: 49 ◦ 23 ′ 8, 79 ′′ N 11 ◦ 21 ′ 23, 05 ′′ O

Erdkoordinaten in der Praxis
Breite ϕ und Länge λ werden in Grad angegeben: 0 ◦ , . . . , 360 ◦
G
z.B. Altdorf: 49 ◦ 23 ′ 8, 79 ′′ N 11 ◦ 21 ′ 23, 05 ′′ O
P
ϕ
ϕ = 49 ◦ 23 ′ 8, 79 ′′ nördliche Breite
Aufgaben Seemeile

Erdkoordinaten in der Praxis
Breite ϕ und Länge λ werden in Grad angegeben: 0 ◦ , . . . , 360 ◦
λ
z.B. Altdorf: 49 ◦ 23 ′ 8, 79 ′′ N 11 ◦ 21 ′ 23, 05 ′′ O
P
G ϕ = 49 ◦ 23 ′ 8, 79 ′′ nördliche Breite
ϕ
λ = 11 ◦ 21 ′ 23, 05 ′′ östliche Länge
Aufgaben Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist:
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist:
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist:
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E Kimi, Seekarte 1087
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist:
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E Kimi, Seekarte 1087
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E Kavala, Seekarte 1086
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist:
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E Kimi, Seekarte 1087
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E Kavala, Seekarte 1086
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E Berg Athos, Seekarte 1086
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist:
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E Kimi, Seekarte 1087
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E Kavala, Seekarte 1086
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E Berg Athos, Seekarte 1086
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist: b = 2 ◦ 15 ′ N
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E Kimi, Seekarte 1087
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E Kavala, Seekarte 1086
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E Berg Athos, Seekarte 1086
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist: b = 2 ◦ 15 ′ N
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N b = 3 ◦ 04 ′ S
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E Kimi, Seekarte 1087
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E Kavala, Seekarte 1086
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E Berg Athos, Seekarte 1086
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist: b = 2 ◦ 15 ′ N
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N b = 3 ◦ 04 ′ S
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist b = 0 ◦ 30 ′ N
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 1 Bestimme die Orte mit den Koordinaten
1. 38 ◦ 26 ′ N 27 ◦ 9 ′ E Izmir, Seekarte 1087
2. 38 ◦ 22 ′ N 26 ◦ 8 ′ E Khios, Seekarte 1087
3. 38 ◦ 37, 5 ′ N 24 ◦ 6, 5 ′ E Kimi, Seekarte 1087
4. 40 ◦ 56, 5 ′ N 24 ◦ 25 ′ E Kavala, Seekarte 1086
5. 40 ◦ 9, 5 ′ N 24 ◦ 19, 5 ′ E Berg Athos, Seekarte 1086
Aufgabe 2
Der Breitenunterschied von 15 ◦ 10 ′ N nach 17 ◦ 25 ′ N ist: b = 2 ◦ 15 ′ N
Aufgabe 3 Bestimme den Breitenunterschied
15 ◦ 10 ′ N 12 ◦ 06 ′ N b = 3 ◦ 04 ′ S
von 53 ◦ 0 ′ S nach 52 ◦ 30 ′ S ist b = 0 ◦ 30 ′ N
2 ◦ 10 ′ N 3 ◦ 45 ′ S b = 5 ◦ 55 ′ S
Aufgaben 4-5 Seemeile

Aufgabe 4 Segelt man von 29 ◦ 30 ′ O mit Längenunterschied
l = 2 ◦ 10 ′ O so erreicht man
Aufgabe 5 Bestimme das Ziel beim Verlassen von
90 ◦ 08 ′ W l = 10 ◦ 30 ′ O
2 ◦ 50 ′ W in Richtung l = 5 ◦ 14 ′ O
179 ◦ 30 ′ O l = 3 ◦ 30 ′ O
168 ◦ 40 ′ W l = 20 ◦ 40 ′ W
Seemeile

Aufgabe 4 Segelt man von 29 ◦ 30 ′ O mit Längenunterschied
l = 2 ◦ 10 ′ O so erreicht man 31 ◦ 40 ′ O
Aufgabe 5 Bestimme das Ziel beim Verlassen von
90 ◦ 08 ′ W l = 10 ◦ 30 ′ O
2 ◦ 50 ′ W in Richtung l = 5 ◦ 14 ′ O
179 ◦ 30 ′ O l = 3 ◦ 30 ′ O
168 ◦ 40 ′ W l = 20 ◦ 40 ′ W
Seemeile

Aufgabe 4 Segelt man von 29 ◦ 30 ′ O mit Längenunterschied
l = 2 ◦ 10 ′ O so erreicht man 31 ◦ 40 ′ O
Aufgabe 5 Bestimme das Ziel beim Verlassen von
90 ◦ 08 ′ W l = 10 ◦ 30 ′ O Ziel 79 ◦ 38 ′ W
2 ◦ 50 ′ W in Richtung l = 5 ◦ 14 ′ O
179 ◦ 30 ′ O l = 3 ◦ 30 ′ O
168 ◦ 40 ′ W l = 20 ◦ 40 ′ W
Seemeile

Aufgabe 4 Segelt man von 29 ◦ 30 ′ O mit Längenunterschied
l = 2 ◦ 10 ′ O so erreicht man 31 ◦ 40 ′ O
Aufgabe 5 Bestimme das Ziel beim Verlassen von
90 ◦ 08 ′ W l = 10 ◦ 30 ′ O Ziel 79 ◦ 38 ′ W
2 ◦ 50 ′ W in Richtung l = 5 ◦ 14 ′ O Ziel 2 ◦ 24 ′ O
179 ◦ 30 ′ O l = 3 ◦ 30 ′ O
168 ◦ 40 ′ W l = 20 ◦ 40 ′ W
Seemeile

Aufgabe 4 Segelt man von 29 ◦ 30 ′ O mit Längenunterschied
l = 2 ◦ 10 ′ O so erreicht man 31 ◦ 40 ′ O
Aufgabe 5 Bestimme das Ziel beim Verlassen von
90 ◦ 08 ′ W l = 10 ◦ 30 ′ O Ziel 79 ◦ 38 ′ W
2 ◦ 50 ′ W in Richtung l = 5 ◦ 14 ′ O Ziel 2 ◦ 24 ′ O
179 ◦ 30 ′ O l = 3 ◦ 30 ′ O Ziel 183 ◦ 0 ′ O = 177 ◦ 0 ′ W
168 ◦ 40 ′ W l = 20 ◦ 40 ′ W
Seemeile

Aufgabe 4 Segelt man von 29 ◦ 30 ′ O mit Längenunterschied
l = 2 ◦ 10 ′ O so erreicht man 31 ◦ 40 ′ O
Aufgabe 5 Bestimme das Ziel beim Verlassen von
90 ◦ 08 ′ W l = 10 ◦ 30 ′ O Ziel 79 ◦ 38 ′ W
2 ◦ 50 ′ W in Richtung l = 5 ◦ 14 ′ O Ziel 2 ◦ 24 ′ O
179 ◦ 30 ′ O l = 3 ◦ 30 ′ O Ziel 183 ◦ 0 ′ O = 177 ◦ 0 ′ W
168 ◦ 40 ′ W l = 20 ◦ 40 ′ W Ziel 189 ◦ 20 ′ W = 170 ◦ 40 ′ O
Seemeile

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)
Erdradius (am Äquator): r � 6400 km

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)
Erdradius (am Äquator): r � 6400 km
1 ′ =

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)
Erdradius (am Äquator): r � 6400 km
1 ′ = 2πr

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)
Erdradius (am Äquator): r � 6400 km
1 ′ = 2πr
360

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)
Erdradius (am Äquator): r � 6400 km
1 ′ = 2πr
360 · 60

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)
Erdradius (am Äquator): r � 6400 km
1 ′ = 2πr
� 1, 862 km
360 · 60

Seemeile
Seemeile: 1 sm = 1 ′ (Bogenminute)
Erdradius (am Äquator): r � 6400 km
1 ′ = 2πr
� 1, 862 km
360 · 60
1 sm = 1 ′ = 1, 862 km
Erdradius Abweitung

Wie berechnet man den Erdradius?

Wie berechnet man den Erdradius?
Eratosthenes von Kyrene (284-202 v. Chr.)
M
α
α
Alexandria
Syrene
Abweitung Kurs

Aufgabe 6 Wie groß ist die Entfernung zwischen 2 Breitengraden?
Aufgabe 7 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
47 ◦ 02 ′ N 10 ◦ 11 ′ E in sm und km:
Aufgabe 8 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
49 ◦ 12 ′ N 11 ◦ 54 ′ E in sm und km:
Aufgabe 9 Berechne den Erdumfang.
Aufgaben 10-11 Abweitung

Aufgabe 6 Wie groß ist die Entfernung zwischen 2 Breitengraden?
1 ◦ = 60 sm = 111, 27 km
Aufgabe 7 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
47 ◦ 02 ′ N 10 ◦ 11 ′ E in sm und km:
Aufgabe 8 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
49 ◦ 12 ′ N 11 ◦ 54 ′ E in sm und km:
Aufgabe 9 Berechne den Erdumfang.
Aufgaben 10-11 Abweitung

Aufgabe 6 Wie groß ist die Entfernung zwischen 2 Breitengraden?
1 ◦ = 60 sm = 111, 27 km
Aufgabe 7 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
47 ◦ 02 ′ N 10 ◦ 11 ′ E in sm und km:
b = 2 ◦ 10 ′ N ⇒ Distanz: (2 · 60 + 10) sm = 130 sm = 242, 06 km
Aufgabe 8 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
49 ◦ 12 ′ N 11 ◦ 54 ′ E in sm und km:
Aufgabe 9 Berechne den Erdumfang.
Aufgaben 10-11 Abweitung

Aufgabe 6 Wie groß ist die Entfernung zwischen 2 Breitengraden?
1 ◦ = 60 sm = 111, 27 km
Aufgabe 7 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
47 ◦ 02 ′ N 10 ◦ 11 ′ E in sm und km:
b = 2 ◦ 10 ′ N ⇒ Distanz: (2 · 60 + 10) sm = 130 sm = 242, 06 km
Aufgabe 8 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
49 ◦ 12 ′ N 11 ◦ 54 ′ E in sm und km:
l = 1 ◦ 43 ′ N auf Breitengrad ϕ = 49 ◦ 12 ′ N ⇒ Distanz:
(60 + 43) ′ = 103 ′ = 103 · cos ϕ sm = 67, 3 sm = 125, 32 km
Aufgabe 9 Berechne den Erdumfang.
Aufgaben 10-11 Abweitung

Aufgabe 6 Wie groß ist die Entfernung zwischen 2 Breitengraden?
1 ◦ = 60 sm = 111, 27 km
Aufgabe 7 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
47 ◦ 02 ′ N 10 ◦ 11 ′ E in sm und km:
b = 2 ◦ 10 ′ N ⇒ Distanz: (2 · 60 + 10) sm = 130 sm = 242, 06 km
Aufgabe 8 Bestimme die Entfernung von 49 ◦ 12 ′ N 10 ◦ 11 ′ E und
49 ◦ 12 ′ N 11 ◦ 54 ′ E in sm und km:
l = 1 ◦ 43 ′ N auf Breitengrad ϕ = 49 ◦ 12 ′ N ⇒ Distanz:
(60 + 43) ′ = 103 ′ = 103 · cos ϕ sm = 67, 3 sm = 125, 32 km
Aufgabe 9 Berechne den Erdumfang.
60 · 360 · sm = 2160 sm = 40 219, 2 km
Aufgaben 10-11 Abweitung

Abweitung
= Anzahl der Seemeilen auf einer Bogenminute eines Breitenkreises

Abweitung
= Anzahl der Seemeilen auf einer Bogenminute eines Breitenkreises
Breite ϕ
Äquator

Abweitung
= Anzahl der Seemeilen auf einer Bogenminute eines Breitenkreises
Breite ϕ
Äquator
ϕ
r
Äquator: r = 6 400 km

Abweitung
= Anzahl der Seemeilen auf einer Bogenminute eines Breitenkreises
Breite ϕ
Äquator
ϕ r
r*
ϕ
r
Äquator:
Breitenkreis ϕ:
r = 6 400 km
r ∗ = r · cos ϕ

Abweitung
= Anzahl der Seemeilen auf einer Bogenminute eines Breitenkreises
Breite ϕ
Äquator
ϕ r
r*
ϕ
r
Äquator:
Breitenkreis ϕ:
Abweitung:
r = 6 400 km
r ∗ = r · cos ϕ
aϕ = cos ϕ sm

Abweitung
= Anzahl der Seemeilen auf einer Bogenminute eines Breitenkreises
Breite ϕ
Äquator
ϕ r
r*
ϕ
r
Äquator:
Breitenkreis ϕ:
Abweitung:
Auf Breite ϕ:
r = 6 400 km
r ∗ = r · cos ϕ
aϕ = cos ϕ sm
1 sm = 1
cos ϕ 1′
Aufgaben 10-11 Kurs

Aufgabe 10
Berechne die Entfernung des Längenunterschieds l = 20 ◦ 03 ′ E auf
der Breite 36 ◦ 12 ′ N.
Aufgabe 11
Wieviele Längenminuten sind 227 sm auf der Breite 48 ◦ 25 ′ ?
Aufgaben 12-13 Kurse

Aufgabe 10
Berechne die Entfernung des Längenunterschieds l = 20◦03 ′ E auf
der Breite 36◦12 ′ N.
(20 · 60 + 3) · cos 36◦12 ′ sm = 970, 77 sm ·1,862
= 1807, 58 km
Aufgabe 11
Wieviele Längenminuten sind 227 sm auf der Breite 48 ◦ 25 ′ ?
Aufgaben 12-13 Kurse

Aufgabe 10
Berechne die Entfernung des Längenunterschieds l = 20◦03 ′ E auf
der Breite 36◦12 ′ N.
(20 · 60 + 3) · cos 36◦12 ′ sm = 970, 77 sm ·1,862
= 1807, 58 km
Aufgabe 11
Wieviele Längenminuten sind 227 sm auf der Breite 48 ◦ 25 ′ ?
auf Breite 48 ◦ 25 ′ : 227 sm � 227′
cos 48 ◦ 25 ′ = 342, 02 ′ = 5 ◦ 42 ′
Aufgaben 12-13 Kurse

Kurs
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt

Kurs
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt
270
300
240
210
330
✵
0
180
030
150
060
120
090

Kurs
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt
270
300
240
210
330
✵
0
N
180
030
150
060
120
090
Nord N � 0 ◦

Kurs
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt
270
300
240
210
330
✵
0
N
180
030
150
060
120
090
O
Nord N � 0 ◦
Ost O � 90 ◦

Kurs
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt
270
300
240
210
330
✵
0
N
180
030
150
NO
060
120
090
O
Nord N � 0 ◦
Ost O � 90 ◦
Nordost NO � 45 ◦

Kurs
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt
270
300
240
210
330
✵
0
N NNO
180
030
150
NO
060
120
090
O
Nord N � 0 ◦
Ost O � 90 ◦
Nordost NO � 45 ◦
Nordnordost � 22, 5 ◦

Kurs
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt
270
300
240
210
330
✵
0
N NNO
180
030
150
NO
060
120
090
O
Nord N � 0 ◦
Ost O � 90 ◦
Nordost NO � 45 ◦
Nordnordost � 22, 5 ◦
usw.
Aufgaben 12-13 Seekarte

Aufgabe 12
Wie lautet der Kurs bei südwestlicher bzw. nordwestlicher
Richtung?
Aufgabe 13
Welcher Kurs wird mit
1. ostsüdöstlicher
2. südsüdöstlicher
3. nordnordwestlicher
4. westsüdwestlicher
Richtung bezeichnet?
Aufgabe 14 Seekarte

Aufgabe 12
Wie lautet der Kurs bei südwestlicher bzw. nordwestlicher
Richtung?
SW= 225 ◦ NW= 315 ◦
Aufgabe 13
Welcher Kurs wird mit
1. ostsüdöstlicher
2. südsüdöstlicher
3. nordnordwestlicher
4. westsüdwestlicher
Richtung bezeichnet?
Aufgabe 14 Seekarte

Aufgabe 12
Wie lautet der Kurs bei südwestlicher bzw. nordwestlicher
Richtung?
SW= 225 ◦ NW= 315 ◦
Aufgabe 13
Welcher Kurs wird mit
1. ostsüdöstlicher OSO = 112, 5 ◦
2. südsüdöstlicher
3. nordnordwestlicher
4. westsüdwestlicher
Richtung bezeichnet?
Aufgabe 14 Seekarte

Aufgabe 12
Wie lautet der Kurs bei südwestlicher bzw. nordwestlicher
Richtung?
SW= 225 ◦ NW= 315 ◦
Aufgabe 13
Welcher Kurs wird mit
1. ostsüdöstlicher OSO = 112, 5 ◦
2. südsüdöstlicher SSO = 157, 5 ◦
3. nordnordwestlicher
4. westsüdwestlicher
Richtung bezeichnet?
Aufgabe 14 Seekarte

Aufgabe 12
Wie lautet der Kurs bei südwestlicher bzw. nordwestlicher
Richtung?
SW= 225 ◦ NW= 315 ◦
Aufgabe 13
Welcher Kurs wird mit
1. ostsüdöstlicher OSO = 112, 5 ◦
2. südsüdöstlicher SSO = 157, 5 ◦
3. nordnordwestlicher NNW = 337, 5 ◦
4. westsüdwestlicher
Richtung bezeichnet?
Aufgabe 14 Seekarte

Aufgabe 12
Wie lautet der Kurs bei südwestlicher bzw. nordwestlicher
Richtung?
SW= 225 ◦ NW= 315 ◦
Aufgabe 13
Welcher Kurs wird mit
1. ostsüdöstlicher OSO = 112, 5 ◦
2. südsüdöstlicher SSO = 157, 5 ◦
3. nordnordwestlicher NNW = 337, 5 ◦
4. westsüdwestlicher WSW = 247, 5 ◦
Richtung bezeichnet?
Aufgabe 14 Seekarte

Seekarte
Gerhard Kremer (Merkator), 1512-1594 ⇒ Merkatorkarte

Seekarte
Gerhard Kremer (Merkator), 1512-1594 ⇒ Merkatorkarte
G
λ
P
ϕ
y
0
P
x

Seekarte
Gerhard Kremer (Merkator), 1512-1594 ⇒ Merkatorkarte
G
λ
P
ϕ
Eigenschaft: winkeltreu!
y
0
P
x

Seekarte
Gerhard Kremer (Merkator), 1512-1594 ⇒ Merkatorkarte
G
λ
P
ϕ
Eigenschaft: winkeltreu!
⇒ (ϕ, λ) ↦→ (x, y) = � r · arc λ, r · ln tan(45 ◦ + ϕ
2 )�
y
0
P
x

Merkatorkarte
Fahre von P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach P(ϕ, λ) mit konstantem Kurs
P’
dλ
P
ϕ
d
P'
P

Merkatorkarte
Fahre von P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach P(ϕ, λ) mit konstantem Kurs
Merkatorkarte ⇒ Gerade
P’
dλ
P
ϕ
d
P'
κ
P

Merkatorkarte
Fahre von P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach P(ϕ, λ) mit konstantem Kurs
Merkatorkarte ⇒ Gerade
Erdkugel ⇒ Loxodrome
P’
κ
dλ
P
ϕ
d
P'
κ
P

Merkatorkarte
Fahre von P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach P(ϕ, λ) mit konstantem Kurs
Merkatorkarte ⇒ Gerade
Erdkugel ⇒ Loxodrome
P’
κ d
dλ
P
ϕ
d
Kurs ⇒ tan κ =
x−x ′
y−y ′
y
κ
y'
x'
P'
Länge ⇒ d = r |dϕ|
cos κ = r |ϕ−ϕ′ |
cos κ
P
x
Sphärische Dreiecke

Aufgabe 14
Bestimme Kurs und Distanz der Loxodrome von
Valdivia P ′ = 286 ◦ 34, 9 ′ O , 39 ◦ 53, 1 S nach
Yokohama P = 139 ◦ 39, 2 ′ O , 35 ◦ 26, 6 ′ N
Aufgabe 15 Sphärische Dreiecke

Aufgabe 14
Bestimme Kurs und Distanz der Loxodrome von
Valdivia P ′ = 286 ◦ 34, 9 ′ O , 39 ◦ 53, 1 S nach
Yokohama P = 139 ◦ 39, 2 ′ O , 35 ◦ 26, 6 ′ N
κ = arctan
d = r ϕ−ϕ′
cos κ
x−x ′
y−y ′ = −60, 98 ◦
= 9 315 sm = 17 345, 13 km
Aufgabe 15 Sphärische Dreiecke

Aufgabe 15
a) Bestimme den Kurs und die Loxodromische Distanz von
1. Hafen in Bucht Ormos Kalamitsas auf Skiros nach dem Hafen
von Kimi
2. Ak. Mourtzouflo auf Limnos nach Ak. Akrotiri auf Samothraki
b) Wie lang ist die Loxodrome mit Kurs κ = 45 ◦ von
ϕ = 0 ◦ , λ = 0 ◦ zum Nordpol?
Sphärische Dreiecke

Aufgabe 15
a) Bestimme den Kurs und die Loxodromische Distanz von
1. Hafen in Bucht Ormos Kalamitsas auf Skiros
ϕ ′ = 38 ◦ 50, 5 ′ N, λ ′ = 24 ◦ 34 ′ E nach dem Hafen von Kimi
ϕ = 38 ◦ 37, 5 ′ N, λ = 24 ◦ 7, 5 ′ E
2. Ak. Mourtzouflo auf Limnos ϕ ′ = 39 ◦ 59 ′ N, λ ′ = 25 ◦ 2 ′ E nach Ak.
Akrotiri auf Samothraki ϕ = 40 ◦ 28, 5 ′ N, λ = 25 ◦ 26, 5 ′ E
b) Wie lang ist die Loxodrome mit Kurs κ = 45 ◦ von
ϕ = 0 ◦ , λ = 0 ◦ zum Nordpol?
Sphärische Dreiecke

Aufgabe 15
a) Bestimme den Kurs und die Loxodromische Distanz von
1. Hafen in Bucht Ormos Kalamitsas auf Skiros
ϕ ′ = 38 ◦ 50, 5 ′ N, λ ′ = 24 ◦ 34 ′ E nach dem Hafen von Kimi
ϕ = 38 ◦ 37, 5 ′ N, λ = 24 ◦ 7, 5 ′ E
κ = 180 ◦ − arctan dx
dy = −122, 16◦ , dlox = 24, 3 sm
2. Ak. Mourtzouflo auf Limnos ϕ ′ = 39 ◦ 59 ′ N, λ ′ = 25 ◦ 2 ′ E nach Ak.
Akrotiri auf Samothraki ϕ = 40 ◦ 28, 5 ′ N, λ = 25 ◦ 26, 5 ′ E
b) Wie lang ist die Loxodrome mit Kurs κ = 45 ◦ von
ϕ = 0 ◦ , λ = 0 ◦ zum Nordpol?
Sphärische Dreiecke

Aufgabe 15
a) Bestimme den Kurs und die Loxodromische Distanz von
1. Hafen in Bucht Ormos Kalamitsas auf Skiros
ϕ ′ = 38 ◦ 50, 5 ′ N, λ ′ = 24 ◦ 34 ′ E nach dem Hafen von Kimi
ϕ = 38 ◦ 37, 5 ′ N, λ = 24 ◦ 7, 5 ′ E
κ = 180 ◦ − arctan dx
dy = −122, 16◦ , dlox = 24, 3 sm
2. Ak. Mourtzouflo auf Limnos ϕ ′ = 39 ◦ 59 ′ N, λ ′ = 25 ◦ 2 ′ E nach Ak.
Akrotiri auf Samothraki ϕ = 40 ◦ 28, 5 ′ N, λ = 25 ◦ 26, 5 ′ E
κ = arctan dx
dy = 32, 4◦ , dlox = 34, 76 sm
b) Wie lang ist die Loxodrome mit Kurs κ = 45 ◦ von
ϕ = 0 ◦ , λ = 0 ◦ zum Nordpol?
Sphärische Dreiecke

Aufgabe 15
a) Bestimme den Kurs und die Loxodromische Distanz von
1. Hafen in Bucht Ormos Kalamitsas auf Skiros
ϕ ′ = 38 ◦ 50, 5 ′ N, λ ′ = 24 ◦ 34 ′ E nach dem Hafen von Kimi
ϕ = 38 ◦ 37, 5 ′ N, λ = 24 ◦ 7, 5 ′ E
κ = 180 ◦ − arctan dx
dy = −122, 16◦ , dlox = 24, 3 sm
2. Ak. Mourtzouflo auf Limnos ϕ ′ = 39 ◦ 59 ′ N, λ ′ = 25 ◦ 2 ′ E nach Ak.
Akrotiri auf Samothraki ϕ = 40 ◦ 28, 5 ′ N, λ = 25 ◦ 26, 5 ′ E
κ = arctan dx
dy = 32, 4◦ , dlox = 34, 76 sm
b) Wie lang ist die Loxodrome mit Kurs κ = 45 ◦ von
ϕ = 0 ◦ , λ = 0 ◦ zum Nordpol?
dlox = 90−0
cos 45 ◦ · 60 sm = 7 636, 8 sm = 14 219, 6 km
Sphärische Dreiecke

Teil III
Sphärische Trigonometrie

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt
Geodäte = Großkreisbogen: kürzester Weg

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel
a
Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt
Geodäte = Großkreisbogen: kürzester Weg
Länge: Mittelpunktswinkel a

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel
C
a
B
A
Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt
Geodäte = Großkreisbogen: kürzester Weg
Länge: Mittelpunktswinkel a
Sphärisches Dreieck:
Ecken: A, B, C

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel
C
γ
a
β
α
B
A
Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt
Geodäte = Großkreisbogen: kürzester Weg
Länge: Mittelpunktswinkel a
Sphärisches Dreieck:
Ecken: A, B, C
Innenwinkel: α, β, γ

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel
C
γ
a
b
β
α
B
A
c
Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt
Geodäte = Großkreisbogen: kürzester Weg
Länge: Mittelpunktswinkel a
Sphärisches Dreieck:
Ecken: A, B, C
Innenwinkel: α, β, γ
Mittelpunktswinkel: a, b, c

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel
C
γ
a
b
β
α
B
A
c
Sinussatz:
Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt
Geodäte = Großkreisbogen: kürzester Weg
Länge: Mittelpunktswinkel a
Sphärisches Dreieck:
Ecken: A, B, C
Innenwinkel: α, β, γ
Mittelpunktswinkel: a, b, c
sin a sin b
=
sin α sin β
= sin c
sin γ

Sphärische Dreiecke
Einheitskugel
C
γ
a
b
β
α
B
A
c
Sinussatz:
Großkreise = Schnittkreise mit Ebenen
durch Mittelpunkt
Geodäte = Großkreisbogen: kürzester Weg
Länge: Mittelpunktswinkel a
Sphärisches Dreieck:
Ecken: A, B, C
Innenwinkel: α, β, γ
Mittelpunktswinkel: a, b, c
sin a sin b
=
sin α sin β
= sin c
sin γ
Cosinussatz: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
N
P’
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
N
P’
bekannt ist:
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
N
c
P’
bekannt ist:
c = 90 ◦ − ϕ ′ = 129 ◦ 43, 1 ′
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
b
N
c
P’
bekannt ist:
c = 90 ◦ − ϕ ′ = 129 ◦ 43, 1 ′
b = 90 ◦ − ϕ = 54 ◦ 33, 4 ′
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
b
N
α
c
P’
bekannt ist:
c = 90 ◦ − ϕ ′ = 129 ◦ 43, 1 ′
b = 90 ◦ − ϕ = 54 ◦ 33, 4 ′
α = λ ′ − λ = 146 ◦ 55 ′ 42 ′′
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
b
a
N
α
c
P’
bekannt ist:
c = 90 ◦ − ϕ ′ = 129 ◦ 43, 1 ′
b = 90 ◦ − ϕ = 54 ◦ 33, 4 ′
α = λ ′ − λ = 146 ◦ 55 ′ 42 ′′
gesucht: a
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
b
a
N
α
c
P’
bekannt ist:
c = 90 ◦ − ϕ ′ = 129 ◦ 43, 1 ′
b = 90 ◦ − ϕ = 54 ◦ 33, 4 ′
α = λ ′ − λ = 146 ◦ 55 ′ 42 ′′
gesucht: a
cos a=cos b cos c+sin b sin c cos α=−0, 9
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
b
a
N
α
c
P’
bekannt ist:
c = 90 ◦ − ϕ ′ = 129 ◦ 43, 1 ′
b = 90 ◦ − ϕ = 54 ◦ 33, 4 ′
α = λ ′ − λ = 146 ◦ 55 ′ 42 ′′
gesucht: a
cos a=cos b cos c+sin b sin c cos α=−0, 9
a = 153, 60◦ ·60
= 9216, 04 ′ = 9216, 04 sm = 17160, 27 km
Kreuzpeilung

Sphärische Distanz
P
Sphärisches Dreieck: Nordpol (N), Valdivia (P’), Yokohama (P)
b
a
N
α
c
P’
bekannt ist:
c = 90 ◦ − ϕ ′ = 129 ◦ 43, 1 ′
b = 90 ◦ − ϕ = 54 ◦ 33, 4 ′
α = λ ′ − λ = 146 ◦ 55 ′ 42 ′′
gesucht: a
cos a=cos b cos c+sin b sin c cos α=−0, 9
a = 153, 60◦ ·60
= 9216, 04 ′ = 9216, 04 sm = 17160, 27 km zum
Vergleich: loxodrome Distanz: d = 9 317 sm
Kreuzpeilung

Aufgabe 16
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz von
1. Madrid 40, 4 ◦ N 3, 7 ◦ W nach Moskau 52, 3 ◦ N 37, 6 ◦ E
2. New Orleans 30 ◦ N 90 ◦ W nach New York 41 ◦ N 74 ◦ W
3. München 48, 2 ◦ N 11, 5 ◦ E nach Nürnberg 49, 5 ◦ N 11 ◦ E
Aufgabe 17 Kreuzpeilung

Aufgabe 16
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz von
1. Madrid 40, 4 ◦ N 3, 7 ◦ W nach Moskau 52, 3 ◦ N 37, 6 ◦ E
κ = 67, 2 ◦ , dlox = 1844, 4 sm, dsph = 1822, 9 sm
2. New Orleans 30 ◦ N 90 ◦ W nach New York 41 ◦ N 74 ◦ W
3. München 48, 2 ◦ N 11, 5 ◦ E nach Nürnberg 49, 5 ◦ N 11 ◦ E
Aufgabe 17 Kreuzpeilung

Aufgabe 16
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz von
1. Madrid 40, 4 ◦ N 3, 7 ◦ W nach Moskau 52, 3 ◦ N 37, 6 ◦ E
κ = 67, 2 ◦ , dlox = 1844, 4 sm, dsph = 1822, 9 sm
2. New Orleans 30 ◦ N 90 ◦ W nach New York 41 ◦ N 74 ◦ W
κ = 49, 7 ◦ , dlox = 1021 sm, dsph = 1020 sm
3. München 48, 2 ◦ N 11, 5 ◦ E nach Nürnberg 49, 5 ◦ N 11 ◦ E
Aufgabe 17 Kreuzpeilung

Aufgabe 16
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz von
1. Madrid 40, 4 ◦ N 3, 7 ◦ W nach Moskau 52, 3 ◦ N 37, 6 ◦ E
κ = 67, 2 ◦ , dlox = 1844, 4 sm, dsph = 1822, 9 sm
2. New Orleans 30 ◦ N 90 ◦ W nach New York 41 ◦ N 74 ◦ W
κ = 49, 7 ◦ , dlox = 1021 sm, dsph = 1020 sm
3. München 48, 2 ◦ N 11, 5 ◦ E nach Nürnberg 49, 5 ◦ N 11 ◦ E
κ = −14, 2 ◦ , dlox = 80, 5 sm = 149, 8 km,
dsph = 80, 5 sm = 149, 8 km
Aufgabe 17 Kreuzpeilung

Aufgabe 17
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach
P(ϕ, λ)
1. P ′ : ϕ ′ = 0 ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
2. P ′ : ϕ ′ = 30 ◦ N, λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
3. P ′ : ϕ ′ = 60 ◦ N ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
Kreuzpeilung

Aufgabe 17
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach
P(ϕ, λ)
1. P ′ : ϕ ′ = 0 ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
κ = 45, 09 ◦ , dlox = 7224, 4 sm, dsph = 5700 sm
2. P ′ : ϕ ′ = 30 ◦ N, λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
3. P ′ : ϕ ′ = 60 ◦ N ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
Kreuzpeilung

Aufgabe 17
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach
P(ϕ, λ)
1. P ′ : ϕ ′ = 0 ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
κ = 45, 09 ◦ , dlox = 7224, 4 sm, dsph = 5700 sm
2. P ′ : ϕ ′ = 30 ◦ N, λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
κ = 45, 09 ◦ , dlox = 467, 58 sm, dsph = 3900 sm
3. P ′ : ϕ ′ = 60 ◦ N ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
Kreuzpeilung

Aufgabe 17
Berechne Kurs, loxodrome und sphärische Distanz P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) nach
P(ϕ, λ)
1. P ′ : ϕ ′ = 0 ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
κ = 45, 09 ◦ , dlox = 7224, 4 sm, dsph = 5700 sm
2. P ′ : ϕ ′ = 30 ◦ N, λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
κ = 45, 09 ◦ , dlox = 467, 58 sm, dsph = 3900 sm
3. P ′ : ϕ ′ = 60 ◦ N ′ , λ ′ = 0 ◦ und P : ϕ = 85 ◦ N, λ = 180 ◦
κ = 45, 09 ◦ , dlox = 2124, 8 sm, dsph = 2100 sm
Kreuzpeilung

Kreuzpeilung
Ν
2 Leuchtfeuer
Doppelpeilung

Kreuzpeilung
Ν
2 Leuchtfeuer
Peilung der Leuchtfeuer
Doppelpeilung

Kreuzpeilung
Ν
Standlinie 1
2 Leuchtfeuer
Peilung der Leuchtfeuer
Standlinie an LF1: 320 ◦
Doppelpeilung

Kreuzpeilung
Ν
Standlinie 1
Standlinie 2
2 Leuchtfeuer
Peilung der Leuchtfeuer
Standlinie an LF1: 320 ◦
Standlinie an LF2: 55 ◦
Doppelpeilung

Kreuzpeilung
Ν
Standlinie 1
Standlinie 2
2 Leuchtfeuer
Peilung der Leuchtfeuer
Standlinie an LF1: 320 ◦
Standlinie an LF2: 55 ◦
Standort: •
Doppelpeilung

Doppelpeilung
Ν
κ
Himmelskugel

Doppelpeilung
Ν
κ
1 Leuchtfeuer
Himmelskugel

Doppelpeilung
Ν
κ
Standlinie 1
1 Leuchtfeuer
1te Peilung: Standline 245 ◦
Himmelskugel

Doppelpeilung
Ν
κ
6 sm 1 Leuchtfeuer
Standlinie 1
1te Peilung: Standline 245◦ Versegeln: 6 sm, Kurs 60◦ Himmelskugel

Doppelpeilung
Ν
6 sm
κ
Standlinie 1
Standlinie 2
1 Leuchtfeuer
1te Peilung: Standline 245 ◦
Versegeln: 6 sm, Kurs 60 ◦
2te Peilung: Standlinie 270 ◦
Himmelskugel

Doppelpeilung
Ν
6 sm
κ
Standlinie 1
Standlinie 2
1 Leuchtfeuer
1te Peilung: Standline 245 ◦
Versegeln: 6 sm, Kurs 60 ◦
2te Peilung: Standlinie 270 ◦
Himmelskugel

Doppelpeilung
Ν
6 sm
κ
Standlinie 1
Standlinie 2
1 Leuchtfeuer
1te Peilung: Standline 245 ◦
Versegeln: 6 sm, Kurs 60 ◦
2te Peilung: Standlinie 270 ◦
Standort: •
Himmelskugel

Aufgabe 18
Ein Segelboot kreuzt westlich der Insel Limnos. Um seine Position
zu bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Ak. Mourtzouflo unter 237 ◦
und Ak. Komki unter 273 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des
Schiffes. (Karte 1086)
Aufgabe 19
Ein Segelboot kreuzt nördlich der Insel Thassos. Um seine Position
zu bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Ak. Ammodhis unter 336 ◦
und N. Thasopoua unter 87 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des
Schiffes. (Karte 1086)
Aufgabe 20
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Skiros. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer N.Valaxa unter 331 ◦ und
Ak.Lithari unter 7, 5 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des Schiffes.
(Karte 1087)
Aufgaben 21-23 Himmelskugel

Aufgabe 18
Ein Segelboot kreuzt westlich der Insel Limnos. Um seine Position
zu bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Ak. Mourtzouflo unter 237 ◦
und Ak. Komki unter 273 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des
Schiffes. (Karte 1086) 39 ◦ 49, 1 ′ N 24 ◦ 42 ′ O
Aufgabe 19
Ein Segelboot kreuzt nördlich der Insel Thassos. Um seine Position
zu bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Ak. Ammodhis unter 336 ◦
und N. Thasopoua unter 87 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des
Schiffes. (Karte 1086) 40 ◦ 49 ′ N 24 ◦ 37, 75 ′ O
Aufgabe 20
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Skiros. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer N.Valaxa unter 331 ◦ und
Ak.Lithari unter 7, 5 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des Schiffes.
(Karte 1087) 38 ◦ 34, 5 ′ N 24 ◦ 38, 75 ′ O
Aufgaben 21-23 Himmelskugel

Aufgabe 21
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Skiros. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Vorio Podhi unter 358, 5 ◦ und
Ak.Lithari unter 209 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des Schiffes.
(Karte 1087)
Aufgabe 22
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Khios. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Volissos unter 216, 5 ◦ und das
LF nördlich von Mesta unter 330, 5 ◦ an. Bestimme die Koordinaten
des Schiffes. (Karte 1087)
Aufgabe 23
Ein Motorboot kreuzt im Golf von Sirte. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es den Wasserturm auf dem Festland unter
228, 5 ◦ und die Boye BYB unter 284 ◦ an. Bestimme die
Koordinaten des Schiffes. (Karte 3344)
Aufgaben 24-27 Himmelskugel

Aufgabe 21
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Skiros. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Vorio Podhi unter 358, 5 ◦ und
Ak.Lithari unter 209 ◦ an. Bestimme die Koordinaten des Schiffes.
(Karte 1087) 39 ◦ 0, 25 ′ N 24 ◦ 50, 5 ′ O
Aufgabe 22
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Khios. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es die Leuchtfeuer Volissos unter 216, 5 ◦ und das
LF nördlich von Mesta unter 330, 5 ◦ an. Bestimme die Koordinaten
des Schiffes. (Karte 1087) 38 ◦ 23, 25 ′ N 25 ◦ 51, 25 ′ O
Aufgabe 23
Ein Motorboot kreuzt im Golf von Sirte. Um seine Position zu
bestimmen, peilt es den Wasserturm auf dem Festland unter
228, 5 ◦ und die Boye BYB unter 284 ◦ an. Bestimme die
Koordinaten des Schiffes. (Karte 3344) 30 ◦ 40, 3 ′ N 18 ◦ 24, 05 ′ O
Aufgaben 24-27 Himmelskugel

Aufgabe 24 (Karte 1086)
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Samothraki. Das LF N.Zourafa
wird unter 315, 5 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 19, 2 sm
mit Kurs NNW liefert die Peilung nach LF N.Zourafa 190 ◦ .
Bestimme die Koordinaten des Schiffes.
Aufgabe 25 (Karte 1086)
Ein Segelboot kreuzt südlich von Sithonia. Das LF N.Psathoura
wird unter 105 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 8, 8 sm mit
Kurs NNO liefert die Peilung nach LF N.Psathoura 145 ◦ .
Bestimme die Koordinaten des Schiffes.
Aufgabe 26 (Karte 1087)
Ein Segelboot kreuzt südlich von Khios. Das LF N.Venetiko wird
unter 320 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 10, 6 sm mit
westlichem Kurs liefert die Peilung nach LF N.Venetiko 25 ◦ .
Bestimme die Koordinaten des Schiffes.
Aufgabe 27 (Karte 1087)
Ein Segelboot kreuzt südlich von Ak. Evstratios. Das LF Ak. Tripiti
wird unter 64 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 13, 3 sm mit
Kurs 123 ◦ liefert die Peilung nach LF Ak. Tripiti 340 ◦ . Bestimme
die Koordinaten des Schiffes.
Himmelskugel

Aufgabe 24 (Karte 1086)
Ein Segelboot kreuzt um die Insel Samothraki. Das LF N.Zourafa
wird unter 315, 5 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 19, 2 sm
mit Kurs NNW liefert die Peilung nach LF N.Zourafa 190 ◦ .
Bestimme die Koordinaten des Schiffes. 40 ◦ 37, 2 ′ N 25 ◦ 51, 25 ′ O
Aufgabe 25 (Karte 1086)
Ein Segelboot kreuzt südlich von Sithonia. Das LF N.Psathoura
wird unter 105 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 8, 8 sm mit
Kurs NNO liefert die Peilung nach LF N.Psathoura 145 ◦ .
Bestimme die Koordinaten des Schiffes. 39 ◦ 40, 9 ′ N 24 ◦ 0, 4 ′ O
Aufgabe 26 (Karte 1087)
Ein Segelboot kreuzt südlich von Khios. Das LF N.Venetiko wird
unter 320 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 10, 6 sm mit
westlichem Kurs liefert die Peilung nach LF N.Venetiko 25 ◦ .
Bestimme die Koordinaten des Schiffes. 37 ◦ 59, 4 ′ N 25 ◦ 55, 5 ′ O
Aufgabe 27 (Karte 1087)
Ein Segelboot kreuzt südlich von Ak. Evstratios. Das LF Ak. Tripiti
wird unter 64 ◦ angepeilt. Nach einer Versegelung von 13, 3 sm mit
Kurs 123 ◦ liefert die Peilung nach LF Ak. Tripiti 340 ◦ . Bestimme
die Koordinaten des Schiffes. 39 ◦ 17 ′ N 25 ◦ 4 ′ O
Himmelskugel

Die Himmelskugel
Von der Erde aus sehen wir Sterne.
Äquatorsystem

Die Himmelskugel
Von der Erde aus sehen wir Sterne.
Himmelsgewölbe: Hohlkugel
Äquatorsystem

Die Himmelskugel
Von der Erde aus sehen wir Sterne.
Himmelsgewölbe: Hohlkugel
⇒ Himmelskugel
Äquatorsystem

Die Himmelskugel
Von der Erde aus sehen wir Sterne.
Himmelsgewölbe: Hohlkugel
⇒ Himmelskugel
Wie auf der Erde: Positionen von
Sternen durch Kugelkoordinaten.
Äquatorsystem

Die Himmelskugel
Von der Erde aus sehen wir Sterne.
Himmelsgewölbe: Hohlkugel
⇒ Himmelskugel
Wie auf der Erde: Positionen von
Sternen durch Kugelkoordinaten.
Dazu wählt man:
Äquatorsystem

Die Himmelskugel
Von der Erde aus sehen wir Sterne.
Himmelsgewölbe: Hohlkugel
⇒ Himmelskugel
Wie auf der Erde: Positionen von
Sternen durch Kugelkoordinaten.
Dazu wählt man:
◮ Pole bzw. Achse ⇒ Äquator.
Äquatorsystem

Die Himmelskugel
Von der Erde aus sehen wir Sterne.
Himmelsgewölbe: Hohlkugel
⇒ Himmelskugel
Wie auf der Erde: Positionen von
Sternen durch Kugelkoordinaten.
Dazu wählt man:
◮ Pole bzw. Achse ⇒ Äquator.
◮ Nullmeridian
Äquatorsystem

Äquatorsystem
Ekliptikebene

Äquatorsystem
Achse = Erdachse
(Pfeil zeigt Richtung Polarstern)
Ekliptikebene

Äquatorsystem
Achse = Erdachse
(Pfeil zeigt Richtung Polarstern)
Nullmeridian?
Ekliptikebene

Äquatorsystem
Achse = Erdachse
(Pfeil zeigt Richtung Polarstern)
Nullmeridian?
Problem: Erdrotation
Ekliptikebene

Ekliptikebene
Erdbahn um Sonne
Ekliptik

Ekliptikebene
Erdbahn um Sonne
Ebene ⇒ Ekliptikebene
Ekliptik

Ekliptikebene
Erdbahn um Sonne
Ebene ⇒ Ekliptikebene
Erdachse zur Ekliptikebene geneigt
Ekliptik

Ekliptikebene
ε
Erdbahn um Sonne
Ebene ⇒ Ekliptikebene
Erdachse zur Ekliptikebene geneigt
Winkel ε = 23, 44 ◦
Ekliptik

Ekliptik
Schnittkreis Ekliptikebene mit Himmelskugel: Ekliptik
Jahreszeiten

Ekliptik
Schnittkreis Ekliptikebene mit Himmelskugel: Ekliptik
Auf Himmelskugel: Bahn der Sonne
Jahreszeiten

Ekliptik
Schnittkreis Ekliptikebene mit Himmelskugel: Ekliptik
Auf Himmelskugel: Bahn der Sonne
Ekliptik und Himmelsäquator: 2 Schnittpunkte
Jahreszeiten

Jahreszeiten
Polarstern
Frühlingspunkt Astronav.

Jahreszeiten
Polarstern
21.6.
23.9.
21.3
21.12
Frühlingspunkt Astronav.

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
Sonnenposition am 21.3.
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Nullmeridian des Äquatorsystems
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
S
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Nullmeridian des Äquatorsystems
Koordinaten eines Sternes S:
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
S
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Nullmeridian des Äquatorsystems
Koordinaten eines Sternes S:
Meridian durch S
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
S
δ
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Nullmeridian des Äquatorsystems
Koordinaten eines Sternes S:
Meridian durch S
δ Deklination
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
p
S
δ
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Nullmeridian des Äquatorsystems
Koordinaten eines Sternes S:
Meridian durch S
δ Deklination
p = 90 ◦ − δ Poldistanz
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
α
p
S
δ
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Nullmeridian des Äquatorsystems
Koordinaten eines Sternes S:
Meridian durch S
δ Deklination
p = 90 ◦ − δ Poldistanz
α Rektazension
Horizontalsystem

Frühlingspunkt und Äquatorsystem
α
p
S
δ
Sonnenposition am 21.3.
Frühlingspunkt Υ
Nullmeridian des Äquatorsystems
Koordinaten eines Sternes S:
Meridian durch S
δ Deklination
p = 90 ◦ − δ Poldistanz
α Rektazension
(δ, α) Sternkoordinaten von S im Äquatorsystem
Diese Daten stehen in Astronomischen bzw. Nautischen Jahrbüchern
Horizontalsystem

Horizontalsystem
Erde
Zeitmessung

Horizontalsystem
Erde mit Standort
Zeitmessung

Horizontalsystem
Erde mit Standort
Himmelskugel
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
Pn
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
Pn
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Himmelsmeridian
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
S
Pn
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Himmelsmeridian
S Stern
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
S
Pn
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Himmelsmeridian
S Stern
Meridian von S
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
S
h
Pn
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Himmelsmeridian
S Stern
Meridian von S
h Höhe
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
z
S
h
Pn
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Himmelsmeridian
S Stern
Meridian von S
h Höhe
z Zenitdistanz
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
z
S
Pn
h
a
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Himmelsmeridian
S Stern
Meridian von S
h Höhe
z Zenitdistanz
a Azimut
Zeitmessung

Horizontalsystem
Z
z
S
Pn
h
a
Erde mit Standort
Himmelskugel
Z Zenit
Horizont
Pn nördlicher Himmelspol
Himmelsmeridian
S Stern
Meridian von S
h Höhe
z Zenitdistanz
a Azimut
(h,a) Sternkoordinaten von S im Horizontalsystem
Zeitmessung

Teil V
Astronavigation - Beispiel

Ortsbestimmung auf See
unbekannte Position P ′ (ϕ ′ , λ ′ ):
Zeit:
Sonnenhöhe:
Sonnendeklination:
Zeitgleichung:
Versegelung: 15, 2 sm mit Kurs κ = WNW
⇒ Position P(ϕ, λ):
Zeit:
Sonnenhöhe:
Sonnendeklination:
20.Okt. 2003, 18 h 50 m UT
h ′ = 21 ◦ 40, 5 ′ (Sextant)
δ ′ = 10 ◦ 10, 2 ′ S = −10 ◦ 10, 2 ′ (NJB)
z = WOZ − MOZ = −15 m 3 s (NJB)
21.Okt. 2003, 12 h MOZ
h = 35 ◦ 2, 7 ′ (Sextant)
δ = 10 ◦ 13 ′ S = −10 ◦ 13 ′ (NJB)
Aufgabe: bestimme die Koordinaten von P ′ und P
Jahreszeiten Funknavigation Schritt 1

Ortsbestimmung auf See
unbekannte Position P ′ (ϕ ′ , λ ′ ):
Zeit:
Sonnenhöhe:
Sonnendeklination:
Zeitgleichung:
20.Okt. 2003, 18 h 50 m UT
h ′ = 21 ◦ 40, 5 ′ (Sextant)
δ ′ = 10 ◦ 10, 2 ′ S = −10 ◦ 10, 2 ′ (NJB)
z = WOZ − MOZ = −15 m 3 s (NJB)
Versegelung: 15, 2 sm mit Kurs κ = WNW = −67, 5 ◦
⇒ Position P(ϕ, λ):
Zeit:
Sonnenhöhe:
Sonnendeklination:
21.Okt. 2003, 12 h MOZ
h = 35 ◦ 2, 7 ′ (Sextant)
δ = 10 ◦ 13 ′ S = −10 ◦ 13 ′ (NJB)
Aufgabe: bestimme die Koordinaten von P ′ und P
Jahreszeiten Funknavigation Schritt 1

Schritt 1: Bestimmung von ϕ
12 h : Sonne S, Zenit Z, und der Pol Pn stehen auf einem Großkreis,
dem Himmelsmeridian
S
Z
Äquator
Horizont
Pn
Schritt 2

Schritt 1: Bestimmung von ϕ
12 h : Sonne S, Zenit Z, und der Pol Pn stehen auf einem Großkreis,
dem Himmelsmeridian
S
Z
Äquator
p
Horizont
Pn
p = 90 ◦ − δ Poldistanz der Sonne
Schritt 2

Schritt 1: Bestimmung von ϕ
12 h : Sonne S, Zenit Z, und der Pol Pn stehen auf einem Großkreis,
dem Himmelsmeridian
S
Z
Äquator
p
ϕ
Horizont
Pn
p = 90 ◦ − δ Poldistanz der Sonne
Breite ϕ = Polhöhe
Schritt 2

Schritt 1: Bestimmung von ϕ
12 h : Sonne S, Zenit Z, und der Pol Pn stehen auf einem Großkreis,
dem Himmelsmeridian
S
h
Z
Äquator
p
ϕ
Horizont
Pn
p = 90 ◦ − δ Poldistanz der Sonne
Breite ϕ = Polhöhe
h + p + ϕ = 180 ◦
Schritt 2

Schritt 1: Bestimmung von ϕ
12 h : Sonne S, Zenit Z, und der Pol Pn stehen auf einem Großkreis,
dem Himmelsmeridian
S
h
Z
Äquator
p
ϕ
Horizont
Pn
p = 90 ◦ − δ Poldistanz der Sonne
Breite ϕ = Polhöhe
h + p + ϕ = 180 ◦
⇒ ϕ = 180 ◦ − h − p
= 90 ◦ − h + δ
= 90 ◦ − 35 ◦ 2, 7 ′ − 10 ◦ 13 ′
= 44 ◦ 44 ′ 18 ′′
Schritt 2

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
P
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
λ−λ '
ϕ−ϕ'
P'
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
P
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
λ−λ '
d
ϕ−ϕ'
P'
bekannt: Abstand P ′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
P
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
λ−λ '
| κ|
d
| κ|
ϕ−ϕ'
P'
bekannt: Abstand P ′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
bekannt: mittlerer Winkel |κ| = 67, 5 ◦
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
P
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
λ−λ '
| κ|
d
| κ|
ϕ−ϕ'
P'
bekannt: Abstand P ′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
bekannt: mittlerer Winkel |κ| = 67, 5 ◦
Breitendifferenz: ∆ϕ = ϕ − ϕ ′ = d cos κ = 5 ′ 49 ′′
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
P
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
λ−λ '
| κ|
d
| κ|
ϕ−ϕ'
P'
bekannt: Abstand P ′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
bekannt: mittlerer Winkel |κ| = 67, 5 ◦
Breitendifferenz: ∆ϕ = ϕ − ϕ ′ = d cos κ = 5 ′ 49 ′′
ϕ ′ = ϕ − ∆ϕ = 44 ◦ 38 ′ 29 ′′
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
P
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
λ−λ '
| κ|
d
| κ|
ϕ−ϕ'
P'
bekannt: Abstand P ′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
bekannt: mittlerer Winkel |κ| = 67, 5 ◦
Breitendifferenz: ∆ϕ = ϕ − ϕ ′ = d cos κ = 5 ′ 49 ′′
ϕ ′ = ϕ − ∆ϕ = 44 ◦ 38 ′ 29 ′′
mittlere Breite: ϕ = ϕ+ϕ′
2
= 44, 69◦
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
P
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
λ−λ '
| κ|
d
| κ|
ϕ−ϕ'
P'
bekannt: Abstand P ′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
bekannt: mittlerer Winkel |κ| = 67, 5 ◦
Breitendifferenz: ∆ϕ = ϕ − ϕ ′ = d cos κ = 5 ′ 49 ′′
ϕ ′ = ϕ − ∆ϕ = 44 ◦ 38 ′ 29 ′′
mittlere Breite: ϕ = ϕ+ϕ′
2
= 44, 69◦
Längendifferenz: ∆λ = λ ′ − λ =
d sin |κ|
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
P
λ−λ '
bekannt: Abstand P
| κ|
′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
bekannt: mittlerer Winkel |κ| = 67, 5◦ Breitendifferenz: ∆ϕ = ϕ − ϕ ′ = d cos κ = 5 ′ 49 ′′
d
| κ|
ϕ−ϕ'
P'
ϕ ′ = ϕ − ∆ϕ = 44 ◦ 38 ′ 29 ′′
mittlere Breite: ϕ = ϕ+ϕ′
2
= 44, 69◦
Längendifferenz: ∆λ = λ ′ − λ =
d sin |κ|
cos ϕ
Schritt 3

Schritt 2: Bestimmung von ∆ϕ, ϕ ′ , ∆λ
rechtwinkliges Dreieck auf der Erde
P
λ−λ '
bekannt: Abstand P
| κ|
′ P = d = 15, 2 sm = 15, 2 ′
bekannt: mittlerer Winkel |κ| = 67, 5◦ Breitendifferenz: ∆ϕ = ϕ − ϕ ′ = d cos κ = 5 ′ 49 ′′
d
| κ|
ϕ−ϕ'
P'
ϕ ′ = ϕ − ∆ϕ = 44 ◦ 38 ′ 29 ′′
mittlere Breite: ϕ = ϕ+ϕ′
2
= 44, 69◦
Längendifferenz: ∆λ = λ ′ − λ =
d sin |κ|
cos ϕ
= 19, 75′
Schritt 3

Schritt 3: Nautisches Dreieck Pol, Zenit, Sonne
Position P ′ : großes sphärisches Dreieck auf Himmelskugel
S
Z’
Pn
Schritt 4

Schritt 3: Nautisches Dreieck Pol, Zenit, Sonne
Position P ′ : großes sphärisches Dreieck auf Himmelskugel
S
Z’
p’
Pn
bekannt:
Poldistanz p ′ = 90 ◦ − δ ′
Schritt 4

Schritt 3: Nautisches Dreieck Pol, Zenit, Sonne
Position P ′ : großes sphärisches Dreieck auf Himmelskugel
S
Z’
b
p’
Pn
bekannt:
Poldistanz p ′ = 90 ◦ − δ ′
b = 90 ◦ − ϕ ′
Schritt 4

Schritt 3: Nautisches Dreieck Pol, Zenit, Sonne
Position P ′ : großes sphärisches Dreieck auf Himmelskugel
S
Z’
b
z p’
Pn
bekannt:
Poldistanz p ′ = 90 ◦ − δ ′
b = 90 ◦ − ϕ ′
Zenitdistanz: z = 90 ◦ − h
Schritt 4

Schritt 3: Nautisches Dreieck Pol, Zenit, Sonne
Position P ′ : großes sphärisches Dreieck auf Himmelskugel
S
Z’
b
z p’
Pn
T
bekannt:
Poldistanz p ′ = 90 ◦ − δ ′
b = 90 ◦ − ϕ ′
Zenitdistanz: z = 90 ◦ − h
gesucht:WOZ (wahre Ortszeit von P ′ ): T
(denn: WOZ = 12 h ⇔ S auf Himmelsmeridian)
Schritt 4

Schritt 3: Nautisches Dreieck Pol, Zenit, Sonne
Position P ′ : großes sphärisches Dreieck auf Himmelskugel
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
bekannt:
Poldistanz p ′ = 90 ◦ − δ ′
b = 90 ◦ − ϕ ′
Zenitdistanz: z = 90 ◦ − h
gesucht:WOZ (wahre Ortszeit von P ′ ): T
(denn: WOZ = 12 h ⇔ S auf Himmelsmeridian)
dazu zuerst:
Stundenwinkel t = 180 ◦ − T
Schritt 4

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
sin h = sin ϕ sin δ ′ − cos ϕ cos δ ′ cos T
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
sin h = sin ϕ sin δ ′ − cos ϕ cos δ ′ cos T
sin h
cos ϕ cos δ ′ = tan ϕ tan δ ′ − cos T
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
sin h = sin ϕ sin δ ′ − cos ϕ cos δ ′ cos T
sin h
cos ϕ cos δ ′ = tan ϕ tan δ ′ − cos T
cos T = tan ϕ tan δ ′ −
sin h
cos ϕ cos δ ′ = −0, 71
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
sin h = sin ϕ sin δ ′ − cos ϕ cos δ ′ cos T
sin h
cos ϕ cos δ ′ = tan ϕ tan δ ′ − cos T
cos T = tan ϕ tan δ ′ −
sin h
cos ϕ cos δ ′ = −0, 71
WOZ = T = 134 ◦ 47 ′ 30 ′′ = 8 h 59 m 10 s
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
sin h = sin ϕ sin δ ′ − cos ϕ cos δ ′ cos T
sin h
cos ϕ cos δ ′ = tan ϕ tan δ ′ − cos T
cos T = tan ϕ tan δ ′ −
sin h
cos ϕ cos δ ′ = −0, 71
WOZ = T = 134 ◦ 47 ′ 30 ′′ = 8 h 59 m 10 s
MOZ = WOZ + z = 8 h 59 m 39 s − 15 m 3 s
= 8 h 44 m 7 s
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
sin h = sin ϕ sin δ ′ − cos ϕ cos δ ′ cos T
sin h
cos ϕ cos δ ′ = tan ϕ tan δ ′ − cos T
cos T = tan ϕ tan δ ′ −
sin h
cos ϕ cos δ ′ = −0, 71
WOZ = T = 134 ◦ 47 ′ 30 ′′ = 8 h 59 m 10 s
MOZ = WOZ + z = 8 h 59 m 39 s − 15 m 3 s
= 8 h 44 m 7 s
λ ′ = UT − MOZ = 18 h 50 m 8 h 44 m 7 s
= 10 h 5 m 53 s = 151 ◦ 28 ′ 15 ′′ O
Lösung

Schritt 4: Cosinussatz für das Dreieck Pn, S, Z
S
Z’
b
t
z p’
Pn
T
cos z = cos b cos p ′ + sin b sin p cos t
sin h = sin ϕ sin δ ′ − cos ϕ cos δ ′ cos T
sin h
cos ϕ cos δ ′ = tan ϕ tan δ ′ − cos T
cos T = tan ϕ tan δ ′ −
sin h
cos ϕ cos δ ′ = −0, 71
WOZ = T = 134 ◦ 47 ′ 30 ′′ = 8 h 59 m 10 s
MOZ = WOZ + z = 8 h 59 m 39 s − 15 m 3 s
= 8 h 44 m 7 s
λ ′ = UT − MOZ = 18 h 50 m 8 h 44 m 7 s
= 10 h 5 m 53 s = 151 ◦ 28 ′ 15 ′′ O
λ = λ ′ − ∆λ = 151 ◦ 27 ′ 54 ′′ O
Lösung

Lösung
P ′ (ϕ ′ , λ ′ ) = 44 ◦ 38 ′ 29 ′′ N 151 ◦ 28 ′ 15 ′′ O
P(ϕ, λ) = 44 ◦ 44 ′ 18 ′′ N 151 ◦ 27 ′ 54 ′′ O

Teil VI
Funknavigation

Hyperbel
Gleichung:
x 2 y 2
− = 1
a2 b2

Hyperbel
Gleichung:
x 2 y 2
− = 1
a2 b2 Brennpunktgl.:
|PF1 − PF2| = 2a

Hyperbel
Gleichung:
x 2 y 2
− = 1
a2 b2 Brennpunktgl.:
|PF1 − PF2| = 2a
Anwendung: Loran=long range navigation
GPS=global positioning system

Die Rotationskörper der Hyperbel
einschaliges Hyperboloid zweischaliges Hyperboloid

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1
Auf Schiff nicht bekannt:
Ti = Zeit des Signals Si von Fi → P

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1
Auf Schiff nicht bekannt:
Ti = Zeit des Signals Si von Fi → P
Auf Schiff bekannt:
Signal Si trifft zur Uhrzeit ti bei P an

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1
Auf Schiff nicht bekannt:
Ti = Zeit des Signals Si von Fi → P
Auf Schiff bekannt:
Signal Si trifft zur Uhrzeit ti bei P an
∆t = t2 − t1 = T2 − T1

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1
Auf Schiff nicht bekannt:
Ti = Zeit des Signals Si von Fi → P
Auf Schiff bekannt:
Signal Si trifft zur Uhrzeit ti bei P an
∆t = t2 − t1 = T2 − T1
v · Ti = FiP (Geschw. × Zeit = Weg)

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1
P
Auf Schiff nicht bekannt:
Ti = Zeit des Signals Si von Fi → P
Auf Schiff bekannt:
Signal Si trifft zur Uhrzeit ti bei P an
∆t = t2 − t1 = T2 − T1
v · Ti = FiP (Geschw. × Zeit = Weg)
F2P − F1P = v · (T2 − T1) = v∆t

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1
P
Auf Schiff nicht bekannt:
Ti = Zeit des Signals Si von Fi → P
Auf Schiff bekannt:
Signal Si trifft zur Uhrzeit ti bei P an
∆t = t2 − t1 = T2 − T1
v · Ti = FiP (Geschw. × Zeit = Weg)
F2P − F1P = v · (T2 − T1) = v∆t
Schiff auf Hyperbel mit Brennpkten Fi und a = v∆t
2

Loran
Schiff mit unbekannter Position P empfängt Signale S1, S2 von
zwei Sendern F1, F1
F 2
F 1
P
Auf Schiff nicht bekannt:
Ti = Zeit des Signals Si von Fi → P
Auf Schiff bekannt:
Signal Si trifft zur Uhrzeit ti bei P an
∆t = t2 − t1 = T2 − T1
v · Ti = FiP (Geschw. × Zeit = Weg)
F2P − F1P = v · (T2 − T1) = v∆t
Schiff auf Hyperbel mit Brennpkten Fi und a = v∆t
2
Zur Ortsbestimmung mehrere Signale bzw. Hyperbeln nötig

Global Positioning System GPS
Satelliten als Sender:

Global Positioning System GPS
Satelliten als Sender:
Position liegt auf einem Rotationshyperboloid

Global Positioning System GPS
Satelliten als Sender:
Position liegt auf einem Rotationshyperboloid
8 Sender nötig für exakte Positionierung

Zeitmessung

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma
11.12.2007 z = −6 min 56 s

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma
11.12.2007 z = −6min56s 24 Zeitzonen Breite = 360◦
24 = 15◦

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma
11.12.2007 z = −6min56s 24 Zeitzonen Breite = 360◦
24 = 15◦
UT = MOZ0◦ Ortszeit von Greenwich

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma
11.12.2007 z = −6min56s 24 Zeitzonen Breite = 360◦ = 15◦
24
UT = MOZ0◦ Ortszeit von Greenwich
MEZ = UT − 1h = MOZ15◦ Ortszeit von Görlitz

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma
11.12.2007 z = −6min56s 24 Zeitzonen Breite = 360◦ = 15◦
24
UT = MOZ0◦ Ortszeit von Greenwich
MEZ = UT − 1h = MOZ15◦ Ortszeit von Görlitz
Allgemein: λ = (UT − MOZλ) · 15

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma
11.12.2007 z = −6min56s 24 Zeitzonen Breite = 360◦ = 15◦
24
UT = MOZ0◦ Ortszeit von Greenwich
MEZ = UT − 1h = MOZ15◦ Ortszeit von Görlitz
Allgemein: λ = (UT − MOZλ) · 15
λGörlitz − λErlangen = 15 ◦ − 11 ◦ 00 ′ 56, 46 ′′ = 3 ◦ 59 ′ 3, 54 ′′ =
15 min 56, 24 s

Zeitmessung
Sonnentag = ein Umlauf der (wahren) Sonne
12h = obere Kulmination (Höchststand) der Sonne
⇒ WOZλ (wahre Ortszeit), konstant auf Meridian λ
Problem keine gleichmäßige Kreisbewegung der Sonne
⇒ MOZλ Ortszeit der mittleren Sonne
Unterschied |WOZ − MOZ| ≤ 16 min
Zeitgleichung WOZ − MOZ = z Analemma
11.12.2007 z = −6min56s 24 Zeitzonen Breite = 360◦ = 15◦
24
UT = MOZ0◦ Ortszeit von Greenwich
MEZ = UT − 1h = MOZ15◦ Ortszeit von Görlitz
Allgemein: λ = (UT − MOZλ) · 15
λGörlitz − λErlangen = 15 ◦ − 11 ◦ 00 ′ 56, 46 ′′ = 3 ◦ 59 ′ 3, 54 ′′ =
15 min 56, 24 s
WOZAltdorf = MOZAltdorf + z = MEZ + 14 min 34 s + z
Sternzeit Beispiel

Sternzeit
mittlerer Sonnentag Zeitraum zwischen 2 oberen Kulminationen
der mittleren Sonne

Sternzeit
mittlerer Sonnentag Zeitraum zwischen 2 oberen Kulminationen
der mittleren Sonne
Sterntag Zeitraum zwischen 2 oberen Kulminationen
des Frühlingspunktes

Sternzeit
mittlerer Sonnentag Zeitraum zwischen 2 oberen Kulminationen
der mittleren Sonne
Sterntag Zeitraum zwischen 2 oberen Kulminationen
des Frühlingspunktes
eine Umdrehung der Erde
1 Sonnenjahr = 365, 25 So.Tage = (365, 25 + 1) Sterntage

Sternzeit
mittlerer Sonnentag Zeitraum zwischen 2 oberen Kulminationen
der mittleren Sonne
Sterntag Zeitraum zwischen 2 oberen Kulminationen
des Frühlingspunktes
eine Umdrehung der Erde
1 Sonnenjahr = 365, 25 So.Tage = (365, 25 + 1) Sterntage
⇒ 1So.Tag � 1 Sterntag + 4 min
Beispiel

Analemma über
dem Tempel von
Delphi
an 38 Tagen
zwischen dem
2.2. und
1.12.2002 jeweils
8 h OEZ
Zeitmessung