Platonische Körper

E = 7 + 1
K = 8 + 1
F = 3 + 0
E + F ­ K = 2
Der Term E + F ­ K bleibt unverändert. Wegen der Korrespondenz des
Schlegeldiagramms mit dem Polyeder ist damit der Euler'sche Polyedersatz
bewiesen.
Mit diesem Satz lässt sich auch zeigen, dass es nur fünf regelmäßige Polyeder
gibt.
Berührende Kugeln
Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat
eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
eine Kugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.
Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (oder das
Zentrum) des platonischen Körpers.
Eigenschaften
Wie viele Ecken (E), Flächen (F) und Kanten (K) haben die Platonischen
Körper?
E F K
Tetraeder 4 4 6
Kubus 8 6 12
Oktaeder 6 8 12
Ikosaeder 12 20 30
Dodekaeder 20 12 30
Zufall? Jede in dieser Tabelle vorkommende Zahl tritt mehrfach auf.
Lässt sich zwischen den Größen E, K und F verschiedener Körper eine
Beziehung herstellen?
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