Platonische Körper
Platonische Körper
Platonische Körper
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12 dodeka<br />
13 triskaideka<br />
14 tetrakaideka<br />
15 pentakaideka<br />
16 hexakaideka<br />
Sternkörper<br />
17 heptakaideka<br />
18 oktakaideka<br />
19 enneakaideka<br />
20 ikosa<br />
24 ikositetra<br />
Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen eines Polyeders auf erhält man<br />
Sternkörper, wie das Sterntetraeder.<br />
Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für<br />
Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber<br />
unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.<br />
Wie viele <strong>Platonische</strong> <strong>Körper</strong> gibt es?<br />
Die F Seitenflächen haben zusammen n∙F Seiten, jeweils zwei der Seiten<br />
ergeben eine Kante. Damit ist<br />
(1) 2K = n • F<br />
Jede Ecke verbindet m Kanten, über alle Ecken gezählt sind das m∙E Kanten.<br />
Jede Kante des Polyeders verbindet zwei Ecken, wird demnach zweimal<br />
gezählt. Folglich ist<br />
(2) 2K = m • E<br />
Mit diesen Beziehungen werden E und F im Euler'sche Polyedersatz ersetzt:<br />
E + F – K = 2 → 2 K 2 K<br />
__ + __ K = 2<br />
m n<br />
Teilen durch K ergibt<br />
(3). 1 1 1 1<br />
__ + __ = __ + __<br />
n m K 2<br />
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