Hydrom02.pdf

1.04 Druck an ebenen Flächen
Zur Konstruktion einer Druckspannungsverteilung, allgemein.
Flüssigkeit in einer Grube.
z = 0
z
p3 p1 p = γ . z
p 2
p
p 1
Die Druckspannung p wirkt stets aus der Flüssigkeit senkrecht auf
das betrachtete Wandelement. Druckspannungsfiguren können an
der Innenseite oder der Außenseite dargestellt werden.
z 1
1
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.1
p 2
z 2
2
z 3
3
p 3

4m
4m
1m
4m
Aufgabe:
Druckspannungsverteilung
an den Wänden
des dargestellten
Gefäßes.
Gegeben: γ = 10kN/m 3
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.2

h 1 2
3 h
Aufgabe:
a 1 a 2 a 3
b b b
A. Berechnung und Darstellung der Druckspannungen an den
Behälterwandungen.
B. Berechnung der Gewichtskräfte der Flüssigkeiten in den 3
symmetrischen Behältern.
Gegeben: h = b = 1m; Spiegelbreiten a 1 = 1; a 2 = 0,5; a 3 = 1,5m;
senkrecht zur Tafelebene s =1,0 m; γ = 10 kN/m 3 .
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.3

a 1
1 h
3
b
a 2
2
p
p = γ . h
p = 10 . 1 =10kPa
a 3
F = V ⋅γ
= 1⋅1⋅
1⋅10
= 10kN
1
0,
25 ⋅1
F2 = F1
− 2 ⋅ ⋅1⋅
10 = 7,
5kN
2
0,
25 ⋅1
F3 = F1
+ 2 ⋅ ⋅1⋅
10 = 12,
5kN
2
= γ
⋅ h ⋅ b ⋅ s = 10 ⋅1⋅
1⋅1
= 10kN
F B
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.4
b

a 1 a 2 a 3
h 1 2
3 h
b
b b
p = γ . h
Hydrostatisches Paradoxon:
Die Druckspannung infolge der Flüssigkeit auf den Böden der Behälter
ist in allen drei Fällen gleich (p = γ
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.5
. h) und ist von der Form
der Behälter(wände) unabhängig. Wenn die Bodenflächen gleich
sind, ergeben sich auch gleiche Bodenkräfte FB (auch bei asymmetrischen
Behältern). Weil die Seitenwände der Behälter 2 und 3
nicht vertikal sind, heben sich hier die auf die Seitenwände entfallenden
Kräfte nicht vollständig auf. Im Behälter 2 (3) haben die
Seitenwandkräfte auch eine nach oben (unten) gerichtete Komponente.
p

Druck auf ebene Wände
γ . h γ . h γ . γ h
. h
Unabhängig von der Breite (eines Behälters) ist die horizontale
Druckverteilung gleich. Auch in engsten Fugen ∆b
und Klüften
(Riss in der Bauwerksoberfläche) wirkt der volle Flüssigkeitsdruck.
∆b
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.6
h

Druckkräfte an vertikaler ebener Wand:
z = 0
z = h
p s
p = γ . h
h/2
p
p = γ . z
Die Integration der Druckspannungsverteilung
p(z) in den
Grenzen z = 0 (Spiegel) bis
z = h liefert zunächst die resultierende
Linienlast [in kN/m]:
2
2
⎡ z ⎤ h
z
FH
= ⎢γ
⋅ ⎥ = γ ⋅
⎣ 2 ⎦ 2
0
Dies ist in der Ebene die Fläche des sog. Wasserdruckdreieckes.
Hieraus wird der Betrag der resultierenden Kraft [in kN] durch
Multiplikation mit der Dimension senkrecht zur p-z-Ebene (z.B.
Einheitsbreites =1(m)). In diesem Falle ist das Ergebnis zugleich:
FH = p .
S Amit pS = Druck am Schwerpunkt der gedrückten Fläche
und A = h . s = gedrückte Fläche.
F
H
=
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.7
h
∫
0
γ
⋅
h
z
⋅
dz

Aufgabe: Druckkräfte an Gefäßwänden;
Druckspannungen
1m Flüssigkeit mit
γ = 5 kN/m3 p = 5 . z in kN/m 2
z
20 kPa
40 kPa
4m
4m
20 kPa
III
40 kPa
II
I
IV
4m
20 kPa
40 kPa
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.8

I
II
III
Druckfiguren Linienlasten [kN/m] Wandkräfte [kN]
2 (20 . 4/2) = 2 . 40
2 (1,5 . 20) = 2 . 30
2 ((20 + 40) . 4/2)
= 2 . 120
oder:
2 (4 . 20 + 20 . 4/2)
IV 40 . 4 = 160
Belastungsbreite
s = 2m
2 . 80
= 2 . (10 . 4 . 2)
2 . 60
= 2 . (20 . 1,5 . 2)
2 . 240
= 2 . (30 . 4 . 2)
320
= 40 . 4 . 2
Kraftwirkungslinien verlaufen jeweils durch den Schwerpunkt der
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.9
Druckspannungsfiguren.

Kräfte am System
80 kN 80 kN
60 kN 60 kN
160 kN 160 kN
80 kN 80 kN
320 kN
Kräftepoligon
60 kN
80 kN
80 kN
60 kN
160 kN 80 kN
F G = 200 kN
160 kN
80 kN
320 kN
Statt der Ermittlung des
Schwerpunktes eines
Trapezes ist die Angabe
derer von Rechteck und
Dreieck einfacher.
Die Summe der Vertikalkräfte
ist
F G = 320 - 2 . 60 = 200kN.
Diese ist gleich der Eigengewichtskraft
der im Gefäß
befindlichen Flüssigkeit:
F G = γ . V.
V = 4 . 4 . 2 + 1 . 4 . 2 = 40 m 3
F G = 5 . 40 = 200 kN.
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.10

Kippmoment einer Staumauer Die Wirkungslinie der aus der
Druckspannungsfigur resultierenden
Kraft verläuft durch
den Schwerpunkt der
Druckspannungsfigur.
h
γ . h
A
a
B
Dichtung bei Punkt A
Kippen um B
2
h h
M = γ ⋅ ⋅ = γ ⋅
2 3
Kraft . Hebelarm
Untersickerung wird durch geeignete Gründungsmaßnahmen
verhindert. Die Eigengewichtskraft des Bauwerkes erzeugt das
dem Kippmoment entgegengesetzt gerichtete Standmoment M ST .
h
6
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.11
3

h
Kippmoment einer Staumauer
γ . h
γ . h
A
a
B
Dichtung bei Punkt B.
Gründungsfuge mit Wasser gefüllt.
Kippen um Punkt B.
M
M
h
= γ ⋅
6
⎛ h
= γ ⋅ h ⋅ ⎜
⎝ 6
In der ungedichteten
Gründungsfuge wirkt die volle
Druckspannung p = γ . h.
Das Standmoment M St bleibt gleich.
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.12
3
+ γ ⋅ h ⋅ a ⋅
2
+
a
2
2
⎞
⎟
⎠
a
2

Aufgabe: Ufermauer in Blockbauweise
h
F G
b
1
1
1
gegeben:
Baustoff γ B = 22 kN/m 3
Wasser γ W = 10 kN/m 3
H 1. Auf welche Höhe h
Dichtung
Kippachse
darf der Wasserstand
maximal ansteigen, damit
die Wand nicht
umkippt ?
2. Ermittlung der erforderlichen
Breite b, wenn
h = H = 3m und die
Kippsicherheit ν = 1,3 .
3. Um welchen Betrag erhöht sich das Kippmoment, wenn die
Dichtung erst an der Kippachse vorhanden ist ?
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.13

1. Wirkende Kräfte pro lfdm Mauer (pro 1m-Block):
Die Wasserdruckkraft horizontal ist:
2
h
FH
= γ W ⋅
2
=
Eigengewichtskraft der Wand:
Diese Aussage ist gleichbedeutend
mit dem Quotienten:
FG = γ B
3
3
5 ⋅ h / 3 = 33 → h = 99 / 5 = 2,
7m
ν =
M
M
= 1
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.14
st
K
5 ⋅ h
⋅ V = 22⋅
3⋅
1⋅1=
2
[kN/m]
66,00kN/m
Im Gleichgewichtsfall ist Standmoment MST = Kippmoment MK. (=Labiles Gleichgewicht)
Eine Sicherheit, dass das Bauwerk nicht doch kippt, wenn eine
kleinste zusätzliche Horizontalkraft auftritt, besteht nicht !
M
K
=
F
H
⋅h/3
= 5 ⋅h
3
/3 [kNm/m]
MST = FG
⋅ b/2 = 66 ⋅ 0,5 = 33 kNm/m
(= kritischer Wasserstand)

2. Ermittlung der erforderlichen Breite b, wenn h = H = 3m und
die Kippsicherheit ν = 1,3. Eine geforderte Kippsicherheit ν = 1,3
bedeutet, dass der Betrag des Standmomentes
zumindest das 1,3-fache des Kippmomentes ausmachen soll, d.h.,
mindestens 30% höher ist:
M ≥ 1,
3 ⋅
F H
St
FG B
= 10⋅
h
2
M
= γ ⋅V
= 22 ⋅ 3 ⋅1
⋅ b = 66
M K = FH
K
/ 2 = 10⋅
3
⋅
h
1, 3 ⋅ 45 ≤ 33 ⋅ b
1,
3 ⋅ 45
b ≥
= 1,
33
33
2
/ 2 =
⋅
45kN
/ 3 = 45 ⋅ 3 / 3 =
2
m
b
45
kNm
M St
b
= 66⋅b
⋅
2
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.15

3. Um welchen Betrag erhöht sich das Kippmoment, wenn die
Dichtung erst an der Kippachse angeordnet ist ?
∆ γ
∑
MK MK = W
M St
St
=
h ⋅ b ⋅ b / 2
= 10 ⋅ 3 ⋅1,
33
= 45 + 26,
53 = 71,
5kNm
/ m
33 ⋅
1,
33
K
2 =
58,
37kNm
/ m
M < M Die Wand kippt um !
2
/
2
=
26,
53kNm
/ m
Anmerkung: Neben der Kippsicherheit ist auch die Gleitsicherheit
nachzuweisen:.
ν
=
FR
F
Je nach Versagenswahrscheinlichkeit
des Bauwerkes wird für ν
gefordert : 1, 3 ≤ ν ≤ 1,
5
F H = Summe aller horizontalen Wasserdruckkräfte
F R = Reibkraft in der Fuge zwischen Bauwerk und Sohle = µ . F N
F N = Normalkraft aus Eigengewichtskraft und anderen ständigen
Lasten (z.B. Auftriebskräfte --> Hafenmole)
µ = Reibbeiwert nach Coulomb
H
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.16

Anwendung: Riegellasten
1
2
3
4
5
6
Stauwandblech einer Planschütze
Gleiche Wasserlasten wirken auf 6 horizontalen Träger (Riegel)
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.17

Unterteilung einfacher Wasserlasten an vertikaler Wand
Bei Wasserbauwerken ist oft die einfachste hydrostatische Wasserdruckspannungsfigur
- nämlich das sog. "Wasserdruckdreieck"
- die für den Entwurf des Tragwerks maßgebliche, zumindest oft
für einen maßgeblichen “Außergewöhnlichen Lastfall” (AL), vergl.
DIN 19704. Dieser Lastfall liegt vor, wenn ein Verschluss nur einseitig
belastet wird: beispielsweise ein Schleusentor, wenn eine
Schleusenkammer vollständig entleert ist. Es muss in diesem Fall
sichergestellt sein, dass die zwischen Massivbauwerk und Stahlkonstruktion
befindliche Dichtung überall gleich funktionsfähig
bleibt. Dies kann am ehesten gewährleistet werden, wenn die
Formänderungen (Durchbiegungen und Drehwinkel) bei allen
Haupttragelementen gleiche Größenordnung haben.
Wenn z.B. Haupttragelemente als (horizontale) Riegel aus Stahl
ausgeführt sind, dann muss zur Erzielung gleicher Belastungen
der Abstand zwischen den Riegeln mit zunehmender Tiefe unter
dem Wasserspiegel abnehmen.
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.18

Kulka (1928) hat für eine Planschütze, die mit n Riegeln
ausgesteift ist, das dargestellte graphische Verfahren für die
Unterteilung der Wasserdruckspannungsfigur in n betragsmäßig
gleiche Teilflächen angegeben:
Die Riegel werden jeweils auf der Höhe der Schwerpunkte der
Teilflächen (ein Dreieck und n-1 Trapeze) angeordnet.
Konstruktion:
• Unterteilung der Wassertiefe h in n gleiche Abschnitte a. h = n . a;
Horizontale Linien mit Abstand a zeichnen.
• Halbkreis über der Wasserztiefe h.
• Kreise um den Schnittpunkt der Vertikalen (h) mit dem Wasserspiegel
durch die Schnittpunkte des Halbkreises mit den Horizontalen
liefern an der Vertikalen die betreffenden Grenzen der
Teilflächen der Wasserdruckfigur.
• Zeichnerische Ermittlung der Schwerpunkte der Teilflächen.
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.19

1.05 Druckmittelpunkt
F
h D
z z
S = Flächenschwerpunkt
D = Druckmittelpunkt
h S
dF
h
α
y
D
S
x
x y
y
z
e
z S
Y-Achse = Uferlinie
z D
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.20
z 2
dA
z 1
Z-Achse
= Symmetrieachse

Wasserdruckkraft an einer symmetrischen Teilfläche einer
geneigten ebenen Wand.
Ermittlung des Betrages der Kraft und ihres Angriffspunktes.
Die z-Achse liegt in der um den Winkel α gegen die Horizontale
(Wasserspiegel) geneigten Ebene.
Die Y-Achse ist die Uferlinie.
Abstände von der Uferlinie (in der y-z-Ebene): z, z S , z D.
Vertikale Abstände vom Wasserspiegel:
h = z . sinα
h S = z S . sinα
h D = z D . sinα.
Schwerpunkt und Druckmittelpunkt liegen auf der Symmetrieachse
= z-Achse. Da der Druck mit z zunimmt, liegt der Druckmittelpunkt
D tiefer als der Schwerpunkt S.
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.21

Am Flächenelement (Lamelle) dA wirkt die Druckspannung
p = γ ⋅ h = γ ⋅ z ⋅ sinα
(01)
Die auf das Flächenelement wirkende
Kraft ist dann
dF = γ ⋅ z ⋅ sinα
⋅ dA
Die Gesamtkraft F durch Integration ist:
Darin ist
z
2
z
2
F =
α
(z liegt in der
Ebene der gedrückten
Fläche
und dF ist dazu
senkrecht)
∫dF = ∫γ⋅z⋅sin α ⋅ dA = γ ⋅ sin ∫ z ⋅
z1
z1
z2
z⋅dA= zS
∫
z
1
⋅A
=
M y = statisches Moment um
die y-Achse
F = γ ⋅ sinα
⋅M
y = γ ⋅ sinα
⋅ zS
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.22
z
z
2
1
⋅
A
dA
(02)
(03)
(04)
Demnach ist (05)

F y
S
= γ ⋅ sin α ⋅ M = γ ⋅ sinα
⋅ z ⋅ A (05)
hS
sinα
sinα ⋅ z S = h bzw. z S = (s. o.) (06)
Darin ist S
Mit dem Druck am Schwerpunkt γ h S =p S wird wiederum
F = γ ⋅ hS
⋅ A = pS
Der Betrag der Wasserdruckkraft an der ebenen Wand ergibt
sich aus der Multiplikation der gedrückten Fläche A mit der
Druckspannung p S an deren Schwerpunkt.
⋅
A
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.23
(07)
Der Kraftangriffspunkt folgt aus dem Satz vom statischen Moment.
Bezüglich der y-Achse ist das statische Moment der Elementardruckkraft
dM = dF ⋅ z = γ ⋅ z ⋅ sinα
⋅ dA
2 (08)

Das gesamte statische Moment wird aus der Integration erhalten:
Darin ist
z
2
M =
α
∫
2
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ∫
2
γ sinα
z dA γ sin z ⋅
z
z
1
∫ 2
z
1
z
Demnach ist
2
dM = dF ⋅ z = γ ⋅ z ⋅ sinα
⋅ dA
2
⋅ dA
=
z
z
2
1
dA
I y = Flächenmoment 2. Grades
bezüglich der Wasserlinie (y-Achse)
M = γ ⋅ sinα
⋅ I = F ⋅ z
Es folgt M γ ⋅ sinα
⋅I
y Iy
z D = =
=
F γ ⋅ sinα
⋅M
y My
Iy
und weiter zD
= unabhängig vom Neigungswinkel α.
zS
⋅ A
An einer vertikalen Wand
I
z = = h
ist zS = hS und es wird
y
D
y
D
hS
⋅ A
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik
D
02.24
(08)
(09)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)

Y-Achse =Uferlinie
y
h D
h S
F
h
dF
S = Flächenschwerpunkt
D = Druckmittelpunkt
x y
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.25
S
D
z z
x
z zS z z D
1
e
dA
z 2
Z-Achse
= Symmetrieachse
y

Nach dem Steiner`schen Satz ist mit IS (bezogen auf die spiegelparallele
Hauptachse der betrachteten Fläche A):
Iy = IS
2
+ A ⋅ zS
(15)
Eingesetzt in (13)
2
IS
+ A ⋅ zS
IS
z D = =
A ⋅ zS
A ⋅ zS
+ zS
(16)
Der Abstand zwischen Schwerpunkt und Druckmittelpunkt ist e
e
I
e
S
S
= zD
− zS
= bzw. (17)
A ⋅ zS
A ⋅ hS
=
I
⋅ sinα
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.26

Beispiel: Rechteckfenster in ebener Wand (allgemein)
gegeben: Höhe H, Breite B, Entfernung der Oberkante vom
Wasserspiegel h 1 , Neigungswinkel α.
A = B ⋅
I S
e
=
H
B ⋅
12
3
H
3
B ⋅H
⋅ sinα
=
12 ⋅B
⋅ H ⋅(
h + H
Rechteckfenster:
1
)
2
( ) h + H ⋅ B H
F = pS
⋅ A = γ 1 2
⋅
H
zS = hS
= h1
+
2
2
H ⋅ sinα
=
12 ⋅(
h H
1 + )
2
B
Überprüfen Sie das
Ergebnis für h1 = 0.
Setzen Sie auch
verschiedene Werte
α ein.
a). gegeben: γ = 10 kN/m3 , α = 90o , h1 = 0m, H = 2m, B = 2m.
Ergebnisse: e = 1/3 = 0,333m, F = 40 kN.
b). gegeben: γ = 10 kN/m3 , α = 30o , h1 = 1m, H = 2m, B = 2m.
Ergebnisse: e = 1/3 = 0,333m, F = 20 kN.
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.27
h 1
H

Rechteckfenster:
c). gegeben: γ = 10 kN/m 3 , α = 90 o , h 1 = 1m, H = 2m, B = 2m.
Ergebnisse: e = 1/6 = 0,167m, F = 80 kN.
d). gegeben: γ = 10 kN/m 3 , α = 30 o , h 1 = 1m, H = 2m, B = 2m.
Ergebnisse: e = 1/9 = 0,111m, F = 60 kN.
Dreieckfenster:
a). gegeben: γ = 10 kN/m 3 , α = 90 o , h 1 = 1m (B), H = 2m, B = 2m.
Ergebnisse: e = 0,134m, F = 33,32 kN.
b). gegeben: γ = 10 kN/m 3 , α = 90 o , h 1 = 1m, H = 2m, B = 2m.
Ergebnisse: e = , F = .
Kreisfenster:
a). gegeben: γ = 10 kN/m 3 , α = 90 o , h 1 = R = 1m.
Ergebnisse: e = R/8, F = 20 . π . R 3 kN.
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.28

Aufgabe: Berechnung der Wasserdruckkraft F und deren
Angriffspunkt D an der geneigten Teilfläche A - B.
Gegeben: Einheitsbreite s = 1m senkrecht zur Tafel.
A
D
2m
h S zS
S
3m
z D
B
2m
2m
α
p B
γ =
p S
p A
10kN / m
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.29
3

A =
=
h S
2 2
2
1⋅ 3 + 2 3,
605m
= 3m
I S
=
1⋅
3,
605
12
© 2002 Büsching, F.: Hydromechanik 02.30
3
= 3,
904m
2
sin α = = 0,
554
3,
605
2
tan α =
3
α = 33,
69
hS
3
zS
= = = 5,
415m
sinα
0,
554
IS
⋅
z
zD = + S
zS
A
hD zD
e
=
= ⋅ α
=
5,
415
3,
904
⋅
3,
605
+
5,
415
⋅ sin = 5,
615 ⋅ 0,
554 = 3,
111m
IS
⋅ sinα
3,
904 ⋅ 0,
554
=
= 0,
200m
A ⋅ h 3,
605 ⋅ 3
S
F = pS
⋅ A = 10 ⋅ 3 ⋅ 3,
605 = 108,
15kN
= 5,
615m
Der Betrag der Kraft F
kann auch aus der direkt
wirkenden Druckspannungsfigur
oder
aus 2 Komponenten
ermittelt werden.
4