Vorlesung Finanz- und Versicherungsmathematik - tiera.ru

Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich C, Abteilung Mathematik
Vorlesung
Finanz- und
Versicherungsmathematik
gehalten im
Sommersemester 2004
von
Prof. Dr. Ernst-Peter Beisel
Skript angefertigt in L ATEX
April 2004
1

Inhaltsverzeichnis
I Finanzmathematik 10
1 Einführung 11
1.1 Zur Geschichte des Zinserhebung . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Elementare Abschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Positive Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.5 Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.1 Abschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.2 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.3 Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.4 Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Zinsbegriff 40
2.1 Einmalige Zinszahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Der kontinuierliche Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Der konforme Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.3 Der linear proportionale Jahreszinssatz . . . . . . . . . 46
2

2.2 Periodisch wiederkehrende Zinszahlungen . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Verzinsungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Unterjährige Zinsverechnungs-Perioden . . . . . . . . . 51
2.2.3 Bankenübliche Praxis der Zinsberechnung . . . . . . . 57
2.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.2 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.3 Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Renten 66
3.1 Zinsperiodische konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.1 Nachschüssige Ratenzahlung . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.2 Vorschüssige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.3 Aufgeschobene und unterbrochene Renten . . . . . . . 75
3.2 Unterzinsperiodische konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.1 Volljährige Zinsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.2 Unterjährige Zinsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.3 Asyncrone konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.4 Effektive Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Volljährige veränderliche Raten bei voll-jähriger Verzinsung . . 85
3.3.1 Arithmetisch fortschreitende Raten . . . . . . . . . . . 85
3.3.2 Geometrisch fortschreitende Renten . . . . . . . . . . . 88
3.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.1 Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.2 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.3 Progammierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3

4 Tilgung 94
4.1 Einfache Annuitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.1 Einfache konstante Annuitäten . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.2 Tilgungsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.3 Unterjährige Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Varianten der einfachen Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.1 Prozentannuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2 Annuitäten mit Agio oder Disagio . . . . . . . . . . . . 104
4.2.3 Aufgeschobene Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.4 Veränderliche Raten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Unterjährige allgemeine Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.1 Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.3 Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Rentabilität 120
5.1 Das Äquivalenz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Interner Zinsfuß eines Zahlungsstroms . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.1 Interner Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.2 Berechnung des internen Zinssatzes . . . . . . . . . . . 125
5.3 Sparkonten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.1 Das Sparkontenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Vergleich von Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4.1 Rentabilität einer Investition . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.2 Vergleichende Bewertung mehrerer Investitionsprojekte 135
5.4.3 Kritik der klassischen Methoden . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.4 Methode der realen Rendite . . . . . . . . . . . . . . . 141
4

5.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.1 Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.2 Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5.3 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
II Versicherungsmathematik 149
6 Grundlagen 150
6.1 Rechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1.1 Der Zins als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . . . . . 151
6.1.2 Die Sterblichkeit als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . 156
6.1.3 Die Kosten als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . . . . 159
6.2 Sterbewahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.1 Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2.2 Modellbildung zur Sterbewahrscheinlichkeit . . . . . . 162
6.2.3 Sterbetafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3.1 Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3.2 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.3 Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7 Versicherungsformen 172
7.1 Kapitalversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.1.1 Todesfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.1.2 Erlebensfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.1.3 Gemischte Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.1.4 Direkte Auszahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.1.5 Veränderliches Kapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5

7.2 Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2.1 Einfache jährliche Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2.2 Unterjährige Zahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.2.3 Allgemeine Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.3.1 Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.3.2 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.3.3 Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8 Prämien 196
8.1 Nettoprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.1 Todesfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.2 Erlebensfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.1.3 Besondere Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.1.4 Unterjährige Prämienzahlung . . . . . . . . . . . . . . 202
8.2 Bruttoprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2.1 Ausreichende Einmalprämien . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2.2 Ausreichende Jahresprämien . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2.3 Brutto-Jahresprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3.1 Theoretische Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3.2 Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9 Deckungskapital 209
9.1 Deckungskapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.1.1 Nettoreserven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.1.2 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.1.3 Ausreichende Reserven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.1.4 Änderung von Verträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6

Vorwort
Die Vorlesung ”Finanz- und Versicherungsmathematik” ist eine Pflichtvorlesung
für Studierende des Bachelor-Studiengangs ”Wirtschaftsmathematik”.
Sie ist im vierten Semester angesiedelt und setzt elementare Kenntnisse in
Linearer Algebra, Analysis und Statistik voraus. Zusammen mit der parallel
angebotenen Vorlesung ”Einführung in Operations Research” stellt sie ein
Kernangebot im Bereich der Wirtschaftsmathematik dar.
In diesen beiden Vorlesungen werden die Grundlagen gelegt für Veranstaltungen
zur Modellbildung und der Lösung praktischer Probleme der Wirtschaftsmathematik
in den folgenden Semestern, insbesondere für das Projektseminar,
das in gewisser Weise den Höhepunkt des Bachelorstudiums
”Wirtschaftsmathematik” darstellt.
Einführende Bücher zur Finanzmathematik oder zur Versicherungsmathematik
richten sich häufig an Studierende der Wirtschaftswissenschaften oder
an Studierende (der Mathematik) an Fachhochschulen. Diese Bücher zeichnen
sich aus durch geringe mathematische Anforderungen und sehr praxisorientierte
Aufgabenstellungen. Dies bedeutet, daß in der Finanzmathematik
lediglich die Kenntnis der arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen
vorausgesetzt wird und die Versicherungsmathematik nur in Form des
deterministischen Modells besprochen wird, das keinerlei wahrscheinlichkeitstheoretischen
Ansatz berücksichtigt.
Das vorliegende Skript versucht, die beschriebene Praxisorientierung im Sinne
eines angestrebten Praxisbezugs des Bachelorstudiums beizubehalten und
die mathematischen Anforderungen für Mathematikstudierende interessanter
zu gestalten. Letzteres geschieht durch Einbeziehung von Aspekten der Analysis
und Numerik in der Finanzmathematik und durch konsequente Verfolgung
eines wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells in der Versicherungsmathematik.
Der Praxisbezug wird durch viele anwendungsorientierte Beispiele
und entsprechende Übungsaufgaben hergestellt.
Während früher ausgiebige Tabellen die Grundlage für den rechnerischen
Umgang mit den Formeln der Finanz- und Versicherungsmathematik waren,
ist heute die Verwendung von Computerprogrammen in beiden Disziplinen
nicht mehr wegzudenken. Erst durch diese ”Befreiung” von langwierigen
Rechnungen kann nun auch in einführenden Vorlesungen das Strukturelle
mehr in den Vordergrund rücken, ohne daß dabei der Praxisbezug verloren
7

geht. Diese Vorlesung versucht, dem Aspekt der programmgestützten Mathematik
durch die einbezogene Entwicklung von ”Excel-VBA-Programmen”
(oder äquivalenten Werkzeugen) Rechnung zu tragen.
Die Übungen zur Vorlesung werden abgeschlossen durch eine zweistündige
Klausur, bei deren Bestehen ein Leistungsnachweis ausgestellt wird. Mündliche
und schriftliche Leistungen im Rahmen der Übungen werden bei der Notenfindung
entsprechend berücksichtigt werden.
im Sommersemester 2004 Peter Beisel
8

Literaturliste
Von den im folgenden angegebenen Werken möchte ich besonders die Bücher
von Herzberger und Gerber hervorheben. Sie haben die Erstellung dieses
Skripts stark beeinflußt. Aber auch die anderen Bücher haben zu der Ausarbeitung
dieser Vorlesung in Details hilfreich beigetragen. Insbesondere habe
ich viele Beispiele aus diesen Werken übernommen, was im Skript nicht jedesmal
ausdrücklich vermerkt ist. Dem Leser sei angeraten, alle Bücher einzusehen
und sich damit weitere Übungsaufgaben (zum Teil mit Lösungen)
zu beschaffen.
Altrogge, G.: Finanzmathematik, R. OldenburgVerlag München Wien, 1999
Bosch, K.: Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 5.
Auflage 1998
Bosch, K.: Finanzmathematik für Banker, R. Oldenbourg Verlag München
Wien, 2001
Caprano,E./Wimmer,K.: Finanzmathematik, Verlag Vahlen München, Wi-
So Kurzlehrbücher,6. Auflage, 1999
Gerber, H. U.: Lebensversicherungsmathematik, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
New York, 1986
Herzberger, J.: Einführung in die Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag
München Wien, 1999
Isenbart,Fritz/ Münzner, Hans: Lebensversicherungsmathematik für Praxis
und Studium, Gabler, 3. Auflage 1994
Ihrig, H./ Pflaumer, P.: Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag München
Wien, 6. Auflage 1998
Köhler, H.: Finanzmathematik, Carl Hanser Verlag München Wien, 4. Auflage
1997
Locarek, H.: Finanzmathematik, R. R. Oldenbourg Verlag München Wien,
3. Auflage 1997
Wolfsdorf, K.: Versicherungsmathematik,Teil 1 Personenversicherung, B.
G. Teubner Stuttgart 1986
9

Teil I
Finanzmathematik
10

Kapitel 1
Einführung
1.1 Zur Geschichte des Zinserhebung
Die Problematik der Erhebung von Zinsen beschäftigt die Menschen seit
langer Zeit. Es finden sich viele Textstellen in den heiligen Schriften der
großen Religionen, die sich auf die Zinserhebung beziehen. Diese gilt als von
Gott verboten. So steht z.B. im 2. Buch Mose 22,24 als Teil der göttlichen
Gesetze, die Moses am Berg Sinai verkündete:
Wenn du Geld verleihst an einen aus meinem Volke, an einen
Armen neben dir, so sollst du an ihm nicht wie ein Wucherer
handeln; du sollst keinerlei Zins von ihm nehmen.
Während diese Weisung noch die Freiheit läßt, Zinsen von Angehörigen anderer
Völker zu erheben, wird an anderer Stelle im Alten Testament die
Zinserhebung rigoros verdammt, etwa bei Hesekiel 18,13:
Wer ... auf Zinsen gibt und einen Aufschlag nimmt - sollte der
am Leben bleiben? Er soll nicht leben, sondern weil er alle diese
Greuel getan hat, soll er den Tod sterben,...
Auch im Koran finden sich Stellen, die die Zinserhebung als von Gott verboten
erklären, z.B. in Sure 3, 130
11

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 12
Ihr Gläubigen! Nehmet nicht Zins, indem ihr in mehrfachen Beträgen
wieder nehmt, was ihr ausgeliehen habt.
Oder in Sure 2, 275
Diejenigen, die Zins nehmen, werden dereinst nicht anders dastehen
als wie einer, der vom Satan erfaßt und geschlagen ist.
Dies wird ihre Strafe dafür sein, daß sie sagen: ’Kaufgeschäft
und Zinsgeschäft sind ein und dasselbe.’ Aber Gott hat einmal
das Kaufgeschäft erlaubt und die Zinsleihe verboten.
Dennoch ist anzunehmen, daß im Alltag der Menschen, zumindest im jüdischchristlichen
Bereich, Zinsen erhoben wurden. So steht in Matthäus 25, 27:
Dann hättest du mein Geld zu den Wechslern bringen sollen, und
wenn ich gekommen wäre, hätte ich das meine wiederbekommen
mit Zinsen.
Bei den Römern galt ab 51 v. Chr. ein Höchstzinssatz von 1% pro Monat.
Dagegen soll ein Zinssatz von 6% pro Jahr als regulär angesehen worden sein.
Die Christliche Kirche stellte sich allerdings bis weit ins Mittelalter gegen
jeglichen Zins. Die Päpste Alexander (1179) und Klemens (1311) postulierten:
Jede Gesetzgebung, die Zins erlaubt, ist null und nichtig.
Erst 1983 (!) wurde der Zinskanon ersatzlos aus dem Kirchengesetzbuch gestrichen.
Die strenge Haltung der (katholischen) Kirche zur Zinserhebung beeinflusste
natürlich auch die weltliche Gesetzgebung. So verfügte Kaiser Lothar um
825:
Wer Zins nimmt, wird mit dem Königsbann belegt, wer wiederholt
Zins nimmt, wird aus der Kirche ausgeschlossen und soll vom
Grafen gefangen gesetzt werden.

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 13
Im ausgehenden Mittelalter setzte sich die römische Rechtsempfindung wieder
mehr durch, die Kirche nahm eine liberalere Haltung zur Zinserhebung
ein und es entwickelte sich eine Geldwirtschaft.
In Deutschland wird heute die Zinserhebung prinzipiell durch das Bürgerliche
Gesetzbuch geregelt. Dort findet sich immerhin im §248 (Zinseszins) (1) noch
ein Verbot der Erhebung von Zinseszinsen
Eine im voraus getroffene Vereinbarung, daß Zinsen wieder Zinsen
tragen sollen, ist nichtig.
Dies allerdings gilt nur unter Privatpersonen, denn Absatz (2) sagt:
Sparkassen, Kreditanstalten und Inhaber von Bankgeschäften können
im voraus vereinbaren, daß nicht erhobene Zinsen von Einlagen
als neue Einlagen gelten sollen. ...
Auch eine Art Richtzinssatz wird im BGB angegeben. Im § 246 (gesetzlicher
Zinssatz) heißt es:
Ist eine Schuld nach Gesetz oder Rechtsgeschäft zu verzinsen, so
sind vier vom Hundert für das Jahr zu entrichten, sofern nicht
anders bestimmt ist.
Im § 608 (Fälligkeit der Zinsen) wird festgelegt, daß Darlehen in der Regel
jährlich verzinst werden:
Sind für ein Darlehen Zinsen bedungen, so sind sie, sofern nicht
anderes bestimmt ist, nach Ablauf je eines Jahres und, wenn das
Darlehen vor dem Ablauf eines Jahres zurückzuerstatten ist, bei
der Rückerstattung zu entrichten.
Die Alltäglichkeit der Zinserhebung gilt heute in der westlichen Welt allgemein
als anerkannt. Gleichwohl bleibt das Nebeneinander von ”realer Arbeit”
und der ”Arbeit von Kapital” ein ethisch/philosophisches Problem.

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 14
1.2 Mathematische Grundlagen
Zentrale Werkzeuge für einführende Kapitel zur Finanzmathematik sind voll–
ständige Induktion, der Ableitungs- und Integralbegriff sowie Reihen und
Verfahren zur Berechnung von Nullstellen von Polynomen. Ferner sind Kenntnisse
zu einfachen gewöhnlichen Differentialgleichungen von Vorteil.
Wir wiederholen (zur Einstimmung) die wichtigsten Ergebnisse.
1.2.1 Elementare Abschätzungen
Zunächst betrachten wir einige Techniken zur Abschätzung von reellen Ausdrücken.
Bernoulli-Ungleichung
Eine grundlegende Abschätzung ist die Bernoulli-Ungleichung
(1 + h) n ≥ 1 + nh für h > −1, n ∈ N0 (1.1)
Diese begründet man leicht durch vollständige Induktion: Der Induktionsanfang
für n = 0 ist klar. Sei also n ∈ N0 vorgegeben. Dann gilt wegen 1+h ≥ 0
und der Induktionsannahme
(1 + h) n+1 = (1 + h) n (1 + h)
≥ (1 + nh) (1 + h)
= 1 + (n + 1) h + nh 2 ≥ 1 + (n + 1) h
Offensichtlich ist die Ungleichung sogar echt , wenn h �= 0 und n > 1 gelten.
(1 + h) n > 1 + nh für h > −1, h �= 0, n ∈ N, n > 1 (1.2)
Die folgende Abschätzung ist eine unmittelbare Anwendung der Bernoulli-
Ungleichung.
Lemma 1.1 Es gilt für alle x > 0 und m > 1
1 + x
1 <
�
1 + x
�m <
m
�
1 + x
m + 1
� m+1
�
< lim 1 +
m→∞
x
�m = e
m
x
(1.3)

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 15
Beweis: Wir zeigen die strenge Monotonie der Folge � 1 + x
�m � �
, m ∈ N. Die
m
x m x Identität limm→∞ 1 + = e setzen wir als bekannt voraus.
m
Zunächst einmal gilt wegen (1.2) für x > 0, m > 1
�
1 + x
�m > 1 + m
m
x
= 1 + x
m
Also brauchen wir die Monotonie nur noch für m > 2 nachzuweisen. Wir
zeigen sie direkt unter Ausnutzung von
−1 <
−x
m (m + x − 1) ⇐⇒
x < m (m + x − 1) ⇐⇒
0 < m 2 + mx − m − x ⇐⇒
0 < m (m − 1) + x (m − 1) ⇐⇒
0 < (m + x) (m − 1)
(beachte x > 0) und der Bernoulli-Ungleichung (1.1)
� �
x m
1 + m
� �
x m−1
1 + m−1
=
(m + x)m
mm (m − 1) m−1
((m − 1) + x) m−1
= m + x
=
� �m−1 (m + x) (m − 1)
m m (m + x − 1)
m + x
=
�
m (m + x) − m − x
m m (m + x) − m
m + x
≥
�
−x
1 +
m m (m + x − 1)
�
�
m + x −x (m − 1)
1 +
m m (m + x − 1)
= m + x m
m
2 + mx − m − mx + x
m (m + x − 1)
= (m + x) (m2 − m + x)
m2 (m + x − 1)
� m−1
� m−1
= m3 − m2 + mx + m2x − mx + x2 m3 + m2x − m2 x
= 1 +
2
m2 > 1
(m − 1 + x)

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 16
Also gilt � 1 + x
�m � �
x m−1
> 1 + auch für m > 2 ✷
m
m−1
Eine Abschätzung für ln
Durch Differenzieren und Integrieren erhält man viele Informationen über
eine betrachtete Funktion, insbesondere, wenn man an Abschätzungen interessiert
ist. Wir demonstrieren dies am Beispiel der folgenden Ungleichungskette
Lemma 1.2 Es gilt für alle x > 0
x − x2
2
≤ ln (1 + x) ≤ x − x2
2
+ x3
3
(1.4)
Beweis: Wir beweisen die rechte Abschätzung, die linke beweist man ähnlich.
(Übungsaufgabe)
Dazu betrachten wir die Hilfsfunktion
h (x) := x − x2
2
+ x3
3
− ln (1 + x) für x ≥ 0
Für diese haben wir zu zeigen, daß sie nicht negativ ist. Beachtet man aber
h (0) = 0, so genügt es sogar, h ′ als nicht negativ nachzuweisen, da dann h
monoton ansteigt.
Es gilt
h ′ (x) = 1 − x + x 2 − 1
≥ 0
1 + x
⇐⇒ 1 − x + x 2 ≥ 1
1 + x
⇐⇒ 1 − x 2 + x 2 (1 + x) ≥ 1
⇐⇒ x 3 ≥ 0
Da x > 0 vorausgesetzt wurde, ist der Beweis geführt. ✷

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 17
Konvexe Funktionen
Desweiteren kann bei Abschätzungen oft die (lokale) Konvexität einer Funktion
ausgenutzt werden. Für unsere Zwecke reicht dabei eine sehr eng gefaßte
Begriffsfestlegung.
Definition 1.3 Eine dreimal stetig differenzierbare Funktion f : (a, b) −→
R heißt konvex, wenn für sie f ′′ (x) ≥ 0 gilt für alle x ∈ (a, b) . Sie heißt
konkav, wenn stattdessen f ′′ (x) ≤ 0 gilt.
Anschaulich bedeutet diese Festlegung, daß bei konvexen Funktionen die erste
Ableitung an jedem Punkt x ∈ (a, b) höchstens ansteigt, daß also die
Funktion f durchgehend linksgekrümmt ist. Man beachte, daß f genau dann
konvex ist, wenn (−f) konkav ist.
Für die konvexen Funktionen gilt der sie geometrisch charakterisierende
Satz 1.4 Sei f : (a, b) −→ R dreimal stetig differenzierbar. f ist genau dann
konvex, wenn für beliebig vorgegebenes x0 ∈ (a, b) gilt:
Beweis:
f (x) ≥ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) für alle x ∈ (a, b) (1.5)
a) Sei zunächst f als konvex vorausgesetzt und seien x, x0 ∈ (a, b) beliebig
vorgegeben. Dann lautet die Taylorformel für f um die Entwicklungsstelle x0
f (x) = f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) + 1
2 f ′′ (ξ) (x − x0) 2
mit einer Zwischenstelle ξ zwischen x und x0. Da nach Voraussetzung f ′′ (ξ) ≥
0 gilt, gilt die Ungleichung (1.5).
b) Sei nun x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben und die Gültigkeit der Ungleichung
(1.5) vorausgesetzt. Für hinreichend kleines λ ∈ R gilt
Dann folgt wegen (1.5)
x1 := x0 + λ ∈ (a, b)
f (x1) ≥ f (x0) + f ′ (x0) λ

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 18
Da f dreimal stetig differenzierbar ist, gilt für die Taylorformel 2. Ordnung
für f um den Entwicklungspunkt x0
f (x1) = f (x0) + f ′ (x0) λ + 1
2 f ′′ (x0) λ 2 + λ 2 ε (x0, λ)
mit ε (x0, λ) → 0 für λ → 0. Daher folgt
1
2 f ′′ (x0) λ 2 + λ 2 ε (x0, λ) ≥ 0 =⇒
1
2 f ′′ (x0) + ε (x0, λ) ≥ 0 =⇒
f ′′ (x0) ≥ 0.
Da x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben war, ist f als konvex nachgewiesen. ✷
Anschaulich besagt der Satz, daß der Graph der Tangente an der Stelle x0
stets unterhalb vom Graph der konvexen Funktion verläuft.
Definition 1.5 Gilt in Ungleichung (1.5) immer das > − Zeichen bei x �=
x0, so nennt man die konvexe Funktion f streng konvex.
Beachte: Gemäß dem obigen Beweis ist f streng konvex, wenn durchgehend
f ′′ (x) > 0 gilt für alle x ∈ (a, b) . Die umgekehrte Aussage gilt nicht! Ein
Gegenbeispiel ist die Funktion f : R −→ R, f (x) = x 4 . Diese Funktion ist
streng konvex, aber es gilt f ′′ (0) = 0.
Analog zur Aussage von Satz 1.4 kann Konvexität auch mit Hilfe von Sekanten
charakterisiert werden.
Satz 1.6 Sei f : (a, b) −→ R eine dreimal stetig differenzierbare Funktion.
Genau dann ist f konvex, wenn für alle x1, x2 ∈ (a, b) und jedes λ ∈ [0, 1]
gilt
f (λx1 + (1 − λ) x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ) f (x2) (1.6)
Beweis:

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 19
a) Es gelte die Ungleichung (1.6) für alle x1, x2 ∈ (a, b) und jedes λ ∈ [0, 1] .
Wir wollen zeigen, daß Ungleichung (1.5) für alle x0 ∈ (a, b) . Seien dazu
x0, x ∈ (a, b) und λ ∈ (0, 1] vorgegeben. Dann gilt
f (x0 + λ (x − x0)) = f (λx + (1 − λ) x0)
daher
f (x0 + λ (x − x0)) − f (x0)
λ (x − x0)
Im Grenzprozeß λ → 0 folgt daraus
≤ λf (x) + (1 − λ) f (x0) = f (x0) + λ (f (x) − f (x0))
(x − x0) ≤ f (x) − f (x0)
f ′ (x0) (x − x0) ≤ f (x) − f (x0)
b) Sei nun die Gültigkeit von (1.5) für alle x0 ∈ (a, b) vorausgesetzt. Seien
x1, x2 ∈ (a, b) und λ ∈ [0, 1] vorgegeben. Dann setzte z := λx1 + (1 − λ) x2.
Es ist z ∈ (a, b) und es gilt
Damit gilt auch
f (x1) − f (z) ≥ f ′ (z) (x1 − z) und
f (x2) − f (z) ≥ f ′ (z) (x2 − z)
λ (f (x1) − f (z))+(1 − λ) (f (x2) − f (z)) ≥ f ′ (z) (λ (x1 − z) + (1 − λ) (x2 − z))
also
λf (x1) + (1 − λ) f (x2) − f (z) ≥ f ′ (z) (λx1 + (1 − λ) x2 − z) = 0
Damit ist die Gültigkeit von (1.6) bewiesen. ✷
Bemerkung: Im allgemeinen wird die Eigenschaft (1.6) zur Definition der
Konvexität herangezogen, da hierbei keinerlei Differenzierbarkeits-Voraussetzungen
benötigt werden.
Als Anwendung der genannten Theorie erweitern wir die Bernoulli-Ungleichung:
Lemma 1.7 Es gilt für alle x, α ∈ R, α > 1, x > −1, x �= 0
(1 + x) α > 1 + αx
und für alle x, α ∈ R, 0 −1, x �= 0
(1 + x) α < 1 + αx

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 20
Beweis: Die Gültigkeit der Ungleichung kann wie folgt eingesehen werden:
die Funktion f (x) := (1 + x) α hat als zweite Ableitung
f ′′
(x) = α (α − 1) (1 + x) α−2 .
Diese ist strikt positiv für x > −1, α > 1. Daher ist f auf dem angegebenen
Bereich streng konvex und die lineare Approximation t1 (x) = 1 + α · x von
f an der Stelle x0 = 0 verläuft (bis auf die Stelle x = 0) strikt unterhalb von
f.
Auf der anderen Seite ist f streng konkav für 0 < α < 1, x > −1, daher gilt
auch der zweite Teil der Behauptung. ✷
1.2.2 Reihen
Elementar ist zunächst einmal die Potenzreihenentwicklung für die e−Funktion
um die Stelle x0 = 0
e x =
∞�
k=0
1
k! xk = 1 + x + 1
2 x2 + 1
6 x3 + ... für alle x ∈ R
Man beachte, daß die e−Funktion auf ganz R streng konvex ist und daher
(für x �= 0) strikt oberhalb ihrer linearen Approximation t1 (x) = 1 + x um
die Stelle x0 = 0 verläuft. Man vergleiche hierzu die Ungleichung (1.3).
Desweiteren grundlegend ist die Potenzreihenentwicklung für die Logarithmusfunktion
um die Stelle x0 = 1
ln x =
∞�
k=1
1
k (−1)k−1 (x − 1) k = (x − 1) − 1
2 (x − 1)2 + 1
3 (x − 1)3 − ...
für |x| < 1, die wegen ihrer strengen Konkavität strikt (für x �= 1) unterhalb
ihrer linearen Approximation t1 (x) = x − 1 um die Stelle x = 1 verläuft.
Man beachte hierzu die Ungleichungskette (1.4).
Wichtige Reihen sind außerdem die arithmetischen, die geometrischen und
die Binomial-Reihen.

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 21
Arithmetische Reihen
Arithmetische Folgen sind von der rekursiven Form
an+1 = an + d für alle n ∈ N0,
a0, d ∈ R vorgegeben
Das allgemeine Glied der Folge lautet
an = a0 + nd für n ∈ N0
(1.7)
Werden die ersten n + 1 Glieder der Folge aufsummiert, so entsteht das
allgemeine Glied sn der arithmetischen Reihe
sn =
n�
(a0 + kd) = a0
k=0
= a0 (n + 1) + d
n�
1 + d
k=0
(n + 1) n
2
n�
k
k=0
�
= (n + 1) a0 + n
2 d
�
(1.8)
für n ∈ N. Man erkennt, daß die Reihe für vorgegebene a0, d ∈ R gegen ∞
strebt, sofern nicht gerade a0 = d = 0 gilt.
Geometrische Reihen
Diese entstehen durch Aufsummierung aus der geometrischen Folge
an+1 = anq für alle n ∈ N0,
a0, q ∈ R vorgegeben
(in rekursiver Form). Das allgemeine Glied der Folge lautet
an = a0q n für n ∈ N0
Summiert man die ersten n + 1 Glieder der Folge auf, so ergibt sich
sn :=
n�
a0q k = a0
k=0
n�
k=0
q k 1 − q
= a0
n+1
1 − q
(1.9)
(1.10)

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 22
Setzen wir oBdA a0 = 1 voraus. Offensichtlich konvergiert die Reihe genau
dann, wenn |q| < 1 gilt.
s := lim
n→∞
n�
q k =
k=0
∞�
k=0
q k = 1
1 − q
(1.11)
Die Reihe konvergiert in diesem Fall sogar absolut und gleichmäßig, so daß
sie elementweise abgeleitet werden kann.
∞�
kq k−1 =
k=1
1
(1 − q) 2 = 1 + 2q + 3q2 + ... (1.12)
Dieser Ableitungsprozeß kann auch direkt mit der Summenformel (1.10)
durchgeführt werden
n�
k=1
kq k−1 = − (n + 1) qn (1 − q) + (1 − q n+1 )
(1 − q) 2
= nqn+1 − (n + 1) q n + 1
(1 − q) 2
wobei sich für n → ∞ das gleiche Ergebnis ergibt, da
(1.13)
lim
n→∞ nqn = 0 gilt für |q| < 1 (1.14)
Aus (1.12) ergibt sich durch Multiplikation mit q auch
∞�
kq k =
k=0
q
(1 − q) 2
1.2.3 Nullstellen von Polynomen
(1.15)
Ausgangspunkt für das Verständnis und den Umgang mit einem Polynom
p : R −→ R vom Grad n der Form
p (x) = a0 + a1x + a2x 2 + ... + anx n

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 23
mit Koeffizienten a0, ..., an ∈ R, an �= 0, ist das Hornerschema. Darunter
versteht man das folgende lineare Gleichungssystem
an = cn
an−1 = cn−1 − cnb
an−2 = cn−2 − cn−1b (1.16)
...
a0 = c0 − c1b,
das bei beliebig vorgegebenen b ∈ R bequem rekursiv nach den n + 1 Unbekannten
c0, ..., cn aufgelöst werden kann. Ersetzt man die Koeffizienten
a0, ..., an im Polynom durch die genannten Gleichungen, so erhält man durch
Umsortierung die folgende Form des Polynoms
p (x) = a0 + a1x + a2x 2 + ... + anx n
= (c0 − c1b) + ... + (cn−1 − cnb) x n−1 + cnx n
= c0 + c1x + ... + cn−1x n−1 + cnx n − b � c1 + c2x + ... + cnx n−1�
= c0 + (x − b) � c1 + c2x + ... + cnx n−1�
(1.17)
Diese Form des Polynoms hat mehrere Konsequenzen
1. Man kann den Wert p (b) des Polynoms p an der Stelle x = b für beliebiges
b ∈ R berechnen, indem man das GLS (1.16) löst und die Identität
p (b) = c0 verwendet. Offensichtlich brauchen bei dieser Berechnung
keinerlei Potenzen berechnet zu werden. Das macht die Auswertung
des Polynoms an der Stelle x = b numerisch sehr stabil und rechnerisch
einfach.
Im übrigen kann die Bedeutung der c ′ s auch durch folgende Umsortierung
des Polynoms p verstanden werden: Löst man das Gleichungssystem
(1.16) teilweise nach den c ′ s auf
cn = an
cn−1 = cnb + an−1
cn−2 = cn−1b + an−2 (1.18)
...
c0 = c1b + a0

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 24
und schreibt p in der folgenden Form auf
p (x) = (... ((anx + an−1) x + an−2) x + ... + a1) x + a0
(1.19)
so sieht man aus dieser Darstellung: setzt man für x den Wert b ein,
so nehmen die inneren Klammern sukzessive die Werte cn−1, cn−2, ..., c1
an.
2. Ist x = b eine Nullstelle von p, so gilt c0 = p (b) = 0 und damit besitzt
p die Faktor-Darstellung
p (x) = (x − b) � c1 + c2x + ... + cnx n−1�
(1.20)
3. Per Induktionsbeweis über den Grad n des Polynoms ist damit unmittelbar
klar, daß p höchstens n verschiedene (reelle) Nullstellen haben
kann.
4. Dies wiederum hat nun zur Folge, daß wenn zwei Polynome p1 und p2
auf einem (noch so kleinen) Intervall (a, b) identisch sind, sie überhaupt
übereinstimmen und gleiche Koeffizienten haben müssen. Damit ergibt
sich die Möglichkeit des Koeffizientenvergleichs.
5. Wendet man die Faktordarstellung aus (1.20), die über das Horner–
schema berechnet wird, iterativ an, so ergibt sich schließlich die voll–
ständige reelle Faktorzerlegung des Polynoms p zu
p (x) = (x − x1) l1 · (x − x2) l2 · ... · (x − xs) l2 · p1 (x) , (1.21)
in der x1, ..., xs, s ∈ N, die verschiedenen reellen Nullstellen von p
sind, die mit den algebraischen Vielfachheiten l1, ..., ls auftreten und
in der p1 ein nullstellenfreies Polynom darstellt, dessen Grad gerade
l = n − l1 − ... − ls ≥ 0 ist.
Bisektionsverfahren
Reelle Nullstellen von Polynomen können also prinzipiell wie folgt ermittelt
werden: kennt man eine Nullstelle des zu untersuchenden Polynoms p, so
kann man mit den Hornerschema zu einem im Grad um eins niedrigeren

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 25
Polynom übergehen und dessen Nullstellen zu bestimmen versuchen. Nullstellen
können also rekursiv bestimmt werden, wenn man weiß, wie eine erste
Nullstelle bestimmt wird.
Ein Verfahren zur Bestimmung einer ersten Nullstelle ist das Bisektionverfahren.
Dieses basiert auf dem Zwischenwertsatz. Voraussetzung für seine
Anwendung ist, daß man zwei Stellen x1 und x2 kennt, für die das Polynom
p unterschiedliche Vorzeichen annimmt, d.h. für die
p (x1) · p (x2) < 0
gilt. In dieser Situation gilt für das arithmetische Mittel der beiden Stellen,
x3 = 1
2 (x1 + x2) ,
entweder p (x3) = 0 oder p (x3) > 0 oder p (x3) < 0.
Im ersten Fall hat man bereits eine Nullstelle gefunden, im zweiten oder
dritten Fall ein um die Hälfte kleineres Intervall, an dessen Eckpunkten das
Polynom unterschiedliche Vorzeichen annimmt. Somit hat man erneut die
Ausgangssituation und kann die Überlegung von vorne beginnen.
Es entsteht also eine Folge sich jeweils einschließender Intervalle mit sich
halbierendem Durchmesser, von denen jedes nach dem Zwischenwertsatz eine
Nullstelle enthält. So kann man mit endlich vielen Operationen eine Nullstelle
des Polynoms beliebig genau einschachteln.
Bleibt die Frage zu klären, wie man an zwei Polynomstellen mit unterschiedlichem
Vorzeichen kommt. Garantiert ist deren Existenz natürlich nicht. Z.B.
nimmt das Polynom f (x) = x 2 an allen Stellen x nur nichtnegative Werte
an. Dagegen garantiert der Zwischenwertsatz für jedes Polynom ungeraden
Grades die Existenz einer Nullstelle, da diese Polynome für x → ∞ und
x → −∞ jeweils unterschiedliches Vorzeichen annehmen.
Hilfe bei der Suche nach nicht zu weit auseinanderliegenden Stellen mit unterschiedlichem
Vorzeichen leisten die beiden folgenden Abschätzungen, die
jeweils ein Intervall angeben, in dem alle Nullstellen eines Polynoms liegen.
Satz 1.8 Für ein Polynom der Form
p (x) = x n + an−1x n−1 + ... + a0

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 26
gilt: Alle Nullstellen x0 des Polynoms erfüllen die Ungleichungen
� �
�n−1
|x0| ≤ max 1, |ai| und |x0| ≤ 1 + max
0≤i≤n−1 {|ai|}
Beweis:
a) Es gilt
i=0
x n 0 = −an−1x n−1
0
also nach der Dreiecksungleichung
− ... − a1x0 − a0
|x0| n ≤ |an−1| |x0| n−1 + ... + |a0| .
Nun gilt für x0 entweder |x0| ≤ 1 oder |x0| > 1. Im zweiten Fall hat man
|x0| n ≤ |x0| n−1
n−1
Somit gilt die erste Abschätzung.
�
�n−1
|ai| =⇒ |x0| ≤ |ai|
i=0
b) Gilt |x0| ≤ 1, so ist die zu zeigende zweite Ungleichung sicher erfüllt.
Setzen wir also insbesondere x0 �= 0 voraus. Dann gilt
1
1 = −an−1
x0
1
− an−2
x 2 0
− ... − a0
sodaß unter Anwendung der Dreiecksungleichung und der Teilsummenformel
der geometrischen Reihe gilt
� � � � � �
�
1 ≤ |an−1| �
1 � �
�
� � + |an−2| �
1 � �
�
� � + ... + |a0| �
1 �
�
� �
Für |x0| > 1 folgt also
x0
x 2 0
1 1 −
≤ max {|ai|}
0≤i≤n−1 |x0|
1
|x0| n
1 − 1
|x0|
|x0| − 1 ≤ max
0≤i≤n−1 {|ai|} ·
i=0
x n 0
1
x n 0
1 1 − |x0|
= max {|ai|}
0≤i≤n−1 n
|x0| − 1
�
1 − 1
|x0| n
�
≤ max
0≤i≤n−1 {|ai|}
Damit ist auch die zweite Ungleichung bewiesen. ✷

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 27
Newtonverfahren
Das oben angegebene Bisektionsverfahren konvergiert sehr langsam. Im Prinzip
verbessert man nur in jedem vierten Schritt eine Dezimale der Annäherung
an die Nullstelle. Hat man ein genügend kleines Intervall gefunden, in dem
eine Nullstelle liegt, so wendet man besser das Newtonverfahren an. Dieses
konvergiert wesentlich schneller und benötigt meist nur sehr wenige Schritte,
um die Nullstelle mit hoher Präzision zu bestimmen.
Sei p ein gegebenes Polynom und x0 eine Stelle, in deren Nähe eine Nullstelle
des Polynoms liegt. Dann wendet man bekanntermaßen iteriert die Formel
xk+1 = xk −
an. Ohne Beweis sei angegeben:
p (xk)
p ′ (xk)
für k = 0, 1, 2, ... (1.22)
Satz 1.9 Ist x0 nahe genug bei einer Nullstelle x ∗ des Polynoms p und gilt
p ′ (x ∗ ) �= 0, so konvergiert das Newtonverfahren gegen x ∗ und es gibt ein
γ > 0, so daß für alle k ∈ N gilt
|xk+1 − x ∗ | ≤ γ |xk − x ∗ | 2
Der Satz bescheinigt dem Verfahren also quadratische Konvergenz, wenn
der Startpunkt des Verfahrens bereits nahe genug an der zu berechnenden
Nullstelle liegt. In der Praxis versucht man, ein kleines Intervall zu finden,
in dem eine Nullstelle liegt (etwa mit dem Bisektionsverfahren) und wendet
dann das Newtonverfahren an, wobei man z.B vom Intervallmittelpunkt
startet.
Zuweilen kann allerdings das Newtonverfahren auch von einer Stelle gestartet
werden, die nicht notwendig nahe bei der zu berechnenden Nullstelle
liegt. Dies zeigt das folgende
Lemma 1.10 Die zweimal differenzierbare Funktion p : R −→ R habe im
Intervall (a, b) eine Nullstelle x ∗ . Es gelte p ′ (x) > 0 und p ′′ (x) > 0 für
alle x ∈ (x ∗ , b) . Startet dann das Newtonverfahren bei x0 ∈ (x ∗ , b) , so
konvergiert das Verfahren streng monoton abfallend gegen x ∗ .
✷

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 28
Beweis: Nach Voraussetzung ist p streng montoton ansteigend auf [x ∗ , b].
Daher gilt p (x0) > p (x ∗ ) = 0 und p ′ (x0) > 0. Also folgt
Ferner gilt
x1 − x ∗ = x0 −
x1 = x0 −
p (x0)
p ′ (x0)
< x0
p (x0)
p ′ (x0) − x∗ + p (x∗ )
p ′ (x0)
= x0 − x ∗ − 1
= (x0 − x ∗ )
p ′ (x0) (p (x0) − p (x ∗ ))
�
1 − p′ (ξ)
p ′ �
(x0)
für ein ξ ∈ (x ∗ , x0)
letzteres nach dem Mittelwertsatz. Da aber p ′ nach Voraussetzung auf [x ∗ , b]
streng monoton ansteigend ist, folgt 0 ≤ p ′ (x ∗ ) < p ′ (ξ) < p ′ (x0) , also
0 < 1 − p′ (ξ)
p ′ (x0)
und damit 0 < (x1 − x ∗ ) < (x0 − x ∗ ) , mithin x1 > x ∗ . Dies zeigt, daß das
Verfahren eine monoton abfallende, nach unten durch x ∗ beschränkte Folge
erzeugt. Damit konvergiert das Verfahren gegen einen Punkt ¯x ≥ x ∗ . Es
bleibt zu zeigen, daß ¯x = x ∗ gilt.
Nehmen wir an, daß dem nicht so ist. Dann gilt p (¯x) > 0 wegen der strengen
Monotonie von p und p (xi) ≥ p (¯x) für jeden Iterationspunkt xi des Verfahrens,
i ∈ N. Gleichzeitig ist p ′ auf [x ∗ , x0] nach oben durch ein δ > 0
beschränkt. Daher gilt
xi − xi+1 =
p (xi)
p ′ (xi)
< 1
≥ p (¯x)
δ
für jedes i ∈ N. Dies widerspricht der Konvergenz des Verfahrens. ✷
Bemerkung: Gilt in Lemma 1.10 sogar p ′ (x) > 0, p ′′ (x) > 0 für alle
x ∈ (a, b) und startet das Newtonverfahren bei x0 ∈ (a, x ∗ ) , so gilt für den
ersten Iterationspunkt x1 des Newtonverfahrens x1 ≥ x ∗ , so daß im Falle
x1 ∈ (x ∗ , b) die Vorausetzungen des Lemmas auf x1 zutreffen und die weiteren
Iterationspunkte eine streng monoton abfallende Folge bilden. (Beweis:
Übungsaufgabe)
> 0

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 29
Newton-Fourier-Verfahren
Interessanterweise kann unter den gleichen Vorausssetzungen wie in Bemerkung
1.2.3 auch eine monotone Annäherung von links an die Nullstelle erreicht
werden, und zwar simultan zur Annäherung von rechts. So entsteht
das Newton-Fourier-Verfahren. Dieses verwendet bei vorgegebenen y0 <
x ∗ < x0 die Rekursionsformeln
Es gilt der
xk+1 = xk −
yk+1 = yk −
p (xk)
p ′ (xk)
p (yk)
p ′ (xk)
für k = 0, 1, 2, ... (1.23)
für k = 0, 1, 2, ...
Satz 1.11 Die zweimal stetig differenzierbare Funktion p habe im Intervall
(a, b) eine Nullstelle x ∗ . Es gelte p ′ (x) > 0 und p ′′ (x) > 0 für alle x ∈ (a, b) .
Startet dann das Newton-Fourier-Verfahren bei x0 ∈ (x ∗ , b) , und y0 ∈
(a, x ∗ ) , so konvergiert das Verfahren quadratisch, streng monoton abfallend
von x0 und ansteigend von y0 gegen x ∗ .
Beweis: Die streng monotone Konvergenz der Folge xi, i ∈ N0, wurde bereits
im Lemma bewiesen. Analog zeigen wir die strenge Monotonie der Folge der
yi, i ∈ N0.
Es gilt y0 < x ∗ und deshalb p (y0) < p (x ∗ ) = 0. Wegen p ′ (x0) > 0 folgt daher
Ferner gilt
y1 − x ∗ = y0 −
y1 = y0 −
p (y0)
p ′ (x0)
> y0
p (y0)
p ′ (x0) − x∗ + p (x∗ )
p ′ (x0)
= y0 − x ∗ − 1
= (y0 − x ∗ )
p ′ (x0) (p (y0) − p (x ∗ ))
�
1 − p′ (ξ)
p ′ �
(x0)
für ein ξ ∈ (y0, x ∗ )

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 30
Wiederum gilt
0 < 1 − p′ (ξ)
p ′ (x0)
< 1,
da p ′ streng monoton wachsend und positiv ist. Also gilt y0 < y1 ≤ x ∗ . Damit
bildet die Folge der yi, i ≥ 0, eine streng monoton ansteigende beschränkte
Folge, die gegen x ∗ konvergiert, wie man analog zum Beweis des Lemmas
einsieht.
Für den Beweis der quadratischen Konvergenz stellen wir folgende Betrachtung
an. Zunächst gilt
xk+1 − yk+1 = xk −
p (xk)
p ′ (xk) − yk
p (yk)
+
p ′ (xk)
= (xk − yk) − 1
p ′ (xk) (p (xk) − p (yk))
�
= (xk − yk) 1 − p′ (ξ)
p ′ �
für ein ξ ∈ (yk, xk)
(xk)
wobei zuletzt der Mittelwertsatz angewendet wurde. Erneute Anwendung des
Mittelwertsatzes liefert
xk+1 − yk+1 =
� ′ p (xk) − p
(xk − yk)
′ (ξ)
p ′ �
(xk)
= p′′ (η)
p ′ (xk) (xk − ξ) (xk − yk) für ein η ∈ (ξ, xk)
≤ γ (xk − yk) 2
Einbeziehung des Horner-Schemas
für ein nur von [y0, x0] abhängiges γ > 0
Eine Implementierung des Newtonverfahrens für Polynome nach der Formel
(1.22) verwendet natürlich das Hornerschema zur Berechnung der Werte
p (xk) , k ∈ N0. Erfreulicherweise können dabei die Werte p ′ (xk) , k ∈ N0,
simultan gleich mitberechnet werden. Dies kann wie folgt eingesehen werden:
✷

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 31
Es sei wie in Formel (1.16) die Stelle x = b ∈ R betrachtet, zu der das
Hornerschema den Wert p (b) berechnet. Leitet man die Darstellung (1.17)
des Polynoms p ab, so ergibt sich
p ′ (x) = c1 + c2x + ... + cnx n−1 + (x − b) � c2 + 2c3x + ... + (n − 1) cnx n−2�
Daher gilt
p ′ (b) = c1 + c2b + ... + cnb n−1
(1.24)
p ′ (b) kann also prinzipiell mit dem Hornerschema berechnet werden, wenn
anstelle der Koeffizienten ak, k = 0, ..., n, des Polynoms p die Hornerkoeffi–
zienten c1, ..., cn verwendet werden. Nennen wir die Koeffizienten dieser erneuten
Anwendung des Hornerschemas c ′ 1, ..., c ′ n, so ergibt sich folgendes
nun leicht einzusehendes Rechenschema für die simultane Berechnung von
p (b) und p ′ (b)
cn = an, c ′ n = 0
cn−1 = cnb + an−1, c ′ n−1 = c ′ nb + cn
cn−2 = cn−1b + an−2, c ′ n−2 = c ′ n−1b + cn−1
... ...
c1 = c2b + a1,
c ′ 1 = c ′ 2b + c2
c0 = c1b + a0, c ′ 0 = c ′ 1b + c1
(1.25)
Es gilt dann p (b) = c0 und p ′ (b) = c ′ 0. Diese simultane Berechnung der beiden
Werte ist natürlich numerisch vorteilhafter als deren Einzelberechnung.
1.2.4 Positive Nullstellen
Von den Nullstellen eines Polynoms werden uns vorwiegend die positiven
interessieren. Es stellt sich daher die Frage, ob man der Form des Polynoms
ansehen kann, wieviele positive Nullstellen es hat. Erfreulicherweise gibt es
solche Resultate.
Wir beginnen mit einem anschaulich wohlbegründeten
Satz 1.12 Es sei p ein reelles Polynom der Form
p (x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a0
mit an �= 0. Wir betrachten ein Intervall [a, b] mit p (a) · p (b) �= 0.

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 32
Hat p an den Eckpunkten des Intervalls gleiches Vorzeichen, so kann es im
offenen Intervall (a, b) nur eine gerade Anzahl von Nullstellen haben. Sind
die entsprechenden Vorzeichen jedoch verschieden, so hat p eine ungerade
Anzahl von Nullstellen in (a, b) .
Beweis: Wir bezeichnen mit
α1, α2, ..., αm die reellen Nullstellen von p innnerhalb (a, b)
β1, β2, ..., βk die reellen Nullstellen von p außerhalb von [a, b]
und mit γj ± iδj (j = 1, ..., h) die echt komplexen Nullstellen von p, wobei
alle Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheiten aufgezählt seien. Man beachte,
daß dabei die konplexen Nullstellen in Paaren komplex konjugierter
Nullstellen auftreten.
Dann besitzt p die Faktorisierung
p (x) = φ (x)
φ (x) = an
m�
(x − αj) mit
j=1
k�
(x − βj)
j=1
h� �
(x − γj) 2 + δ 2� j
wobei jeweils ein Paar zueinander komplex konjugierter Nullstellen zusammengefaßt
wurde.
Nun betrachten wir den Quotienten
p (a)
p (b)
j=1
φ (a) a − α1 a − α2 a − αm
= · ... ·
φ (b) b − α1 b − α2 b − αm
Hierbei gilt zunächst einmal wegen der relativen Lage der Nullstellen
a − βj
b − βj
> 0 für alle j = 1, ..., k,
so daß φ (a) /φ (b) > 0 gelten muß. Auf der anderen Seite ist mit dem gleichen
Argument
a − αj
b − αj
< 0 für alle j = 1, ..., m,

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 33
so daß
sign
� �
p (a)
= (−1)
p (b)
m
gelten muß. Also gilt die Behauptung. ✷
Der Satz läßt folgende Folgerung zu:
Korollar 1.13 Es sei das Polynom p von der Form
mit an �= 0. Dann gilt:
p (x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a0
1. Ist an · a0 > 0, so besitzt p eine gerade Anzahl positiver Nullstellen
2. Ist an · a0 < 0, so besitzt p eine ungerade Anzahl positiver Nullstellen.
Beweis: Es ist p (0) = a0 und limx→∞ p (x) = ±∞ je nach Vorzeichen von
an. Der Satz macht somit eine Aussage über die Nullstellen von p im Intervall
(0, ∞) . ✷
Im folgenden sagen wir, daß die Koeffizientenfolge a0, a1, ..., an von p beim
Index k > 0 einen Vorzeichenwechsel hat, wenn ak �= 0 gilt und der nächst
kleinere Index i, für den ai �= 0 gilt, umgekehrtes Vorzeichen hat wie ak.
Man beachte, daß bei a0 kein Vorzeichenwechsel vorliegen kann und daß
damit insgesamt höchstens n Vorzeichenwechsel vorliegen können. Gilt dabei
a0 · an > 0, so liegt eine gerade Anzahl von Vorzeichenwechseln vor, bei
a0 · an < 0 eine ungerade.
Lemma 1.14 Ist p von der Form
p (x) = (x − c) q (x) mit c > 0,
so ist die Anzahl der Vorzeichenwechsel von p um eine ungerade natürliche
Zahl höher als die von q.
Beweis: Es sei q (x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a0 mit an > 0 vorausgesetzt.
Wir betrachten drei Fälle:

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 34
1. Es sei a0 < 0. Dann ist also die Anzahl v der Vorzeichenwechsel von q
ungerade und größer null. q sei von der Form
q (x) = anx n +...+bx m+1 −rx m −...−dx l+1 +kx l +...+gx p+1 −hx p −...+a0
Hierin seien b > 0, d > 0, g > 0 und r ≥ 0, k ≥ 0, h ≥ 0 vorausgesetzt.
Es liegen also Vorzeichenwechsel bei (m + 1) , (l + 1) , (p + 1)
vor und dieses seien der erste, ein beliebiger mittlerer und der letzte
Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge von q.
Wird nun das Polynom p betrachtet, also q mit (x − c) multipliziert,
so läßt sich p in folgender Form schreiben
p (x) = anx n+1 ± ... − (r + bc) x m+1 ± ...
+ (k + dc) x l+1 ± ... − (h + gc) x p+1 ± ... − a0c
Da an > 0, (r + bc) > 0, (k + dc) > 0, (h + gc) > 0, −a0c > 0 gilt, liegt
jeweils bei Indizes größer (m + 1) , (l + 1) , (p + 1) , 0 ein Vorzeichenwechsel
vor, insgesamt also nach Konstruktion mindestens ein Wechsel
mehr als bei q. Außerdem ist die Anzahl ˆv wegen −a0c > 0 gerade.
Damit ist ˆv − v ungerade und positiv und es gilt die Behauptung.
2. Es sei a0 > 0 vorausgesetzt. Dann zeigt man die Behauptung genau
entsprechend dem ersten Fall.
3. Ist a0 = 0, so kann eine gewisse Potenz von x ausgeklammert werden,
d.h. p ist von der Form
p (x) = x s (x − c) ˆq (x)
Die Anzahl der Vorzeichenwechsel von p wird aber von dem Faktor x s
nicht beeinflußt. Daher folgt auch hier die Behauptung wie im ersten
oder zweiten Fall. ✷
Mit Hilfe der beiden vorherigen Lemmata kann nun ein klassisches Resultat
bewiesen werden.
Satz 1.15 (Vorzeichenregel von Descartes) Die Anzahl aller positiven
Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel
seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als
diese.

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 35
Beweis: Das Polynom sei von der Form p (x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a0
mit an �= 0 und besitze genau die positiven Nullstellen c1, c2, ..., cs > 0, wobei
mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit aufgezählt seien. Dann
läßt sich p faktorisieren in
p (x) = (x − c1) (x − c2) · ... · (x − cs) g (x)
wobei g ein Polynom (n − s)-ten Grades ohne positive Nullstellen ist.
Somit besitzt die Koeffizientenfolge von p nach dem letzten Lemma mindestens
s Vorzeichenwechsel mehr als die von g und die Anzahl v der Vorzeichenwechsel
in der Koeffizientenfolge von p ist größer oder gleich der Anzahl
s positiver Nullstellen von p.
Sei nun zunächst a0 �= 0 vorausgesetzt. Nach Korollar 1.13 ist s genau dann
gerade, wenn an · a0 > 0 gilt. Auf der anderen Seite ist, wie schon betont, v
auch genau dann gerade, wenn an · a0 > 0 gilt. Also ist v − s immer gerade.
Ist dagegen a0 = 0, so kann wieder eine gewisse Potenz von x in p ausgeklammert
werden. Da dieser Vorgang weder die Zahl der positiven Nullstellen
noch die der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge beeinflußt, ist alles
bewiesen. ✷
1.2.5 Intensität
Es sei f : R+ −→ R++ eine stückweise stetige, rechtsseitig differenzierbare
Funktion. Dann nennt man für jedes t ∈ R+
ϕ (t) := lim
△t→0+
f (t + △t) − f (t)
△t
1
f (t) = f r (t)
= (ln f (t))r
f (t)
die Intensität der Funktion f an der Stelle t. f r benennt dabei die rechtsseitige
Ableitung von f an der Stelle t.
Ist die Intensität ϕ einer Funktion f vorgegeben, so kann f aus ϕ berechnet
werden:
Lemma 1.16 Es sei ϕ := R+ −→ R eine stückweise stetige, rechtsseitig
stetige Funktion. Dann ist ϕ Intensität der (stückweise stetigen, rechtsseitig
differenzierbaren) Funktion
f (t) = f (0) exp
�� t
0
�
ϕ (τ) dτ

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 36
wobei der Wert f (0) beliebig vorgegeben werden kann.
Beweis: Es gilt nach der Kettenregel
f r (t) =
�
f (0) exp
�� t
0
��r
ϕ (τ) dτ = f (0) exp
�� t
0
�
ϕ (τ) dτ ϕ (t) = f (t)·ϕ (t)
Insbesondere gilt: die konstante Funktion ϕ (t) =: δ ist Intensität der Funktion
f (t) = f (0) e δt
Man beachte, daß sich f aus ϕ (im Falle von Differenzierbarkeit) durch Lösen
einer homogenen linearen DGL erster Ordnung ergibt
1.3 Übungsaufgaben
1.3.1 Abschreibung
f ′ = ϕ (t) · f
Eine schöne Anwendung für arithmetische und geometrische Folgen ist die
Abschreibung. Bei dieser wird der Wert eines Gutes, das einer Abnutzung
oder Alterung unterliegt, zum Zwecke der steuertechnischen oder bilanztechnischen
Bewertung rechnerisch vom Anschaffungswert A auf den Restwert
RN nach N (Bilanz-) Jahren herabgesetzt. Bei der Beschreibung, wie sich
der Wert des Gutes innerhalb der N (Bilanz-) Jahre darstellt, unterscheidet
man mehrere Modelle, die unterschiedliche steuerliche Auswirkungen
haben.
• die lineare Abschreibung, bei der der Wert des Gutes linear abnimmt.
Der Restwert Rn nach n Jahren beträgt also
A − RN
Rn = A − n
N
Die Restwerte R1, R2, ... bilden somit eine arithmetische Folge mit den
Parametern a0 = A und d = − A−RN
N .
✷

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 37
• die arithmetisch-degressive Abschreibung. Bei dieser sinkt der anfängliche
Abschreibungsbetrag a1 =: a von Jahr zu Jahr um den gleichen
Betrag d, dem Abschreibungsgefälle, ab. Der Abschreibungsbetrag an
im n−ten Jahr beträgt also
an = a − (n − 1) d
• die digitale Abschreibung als der Spezialfall der arithmetisch-degressiven
Abschreibung, bei dem aN = d, gilt.
• die geometrisch-degressive Abschreibung, bei der sich jedes Jahr der
Restwert um einen festen Prozentsatz p % verringert. Es gilt also
wobei i := 1 − p
100
Rn = A · i n
zur Abkürzung gesetzt wurde.
Zu beachten ist, dass sich bei linearer Abschreibung der rechnerische Wert
des Gutes gleichmäßig verringert, während er bei degressiver Abschreibung
anfänglich stärker und später schwächer fällt. Im letzteren Fall kann frühzeitig
ein höherer Betrag steuerlich geltend gemacht werden.
Aufgabe 1.17 Zeigen Sie, daß bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung
2 [Na − (A − RN)]
d =
(N − 1) N
und
A − RN A − RN
< a < 2
N
N
gelten muß und berechnen Sie Rn für 1 ≤ n ≤ N.
Aufgabe 1.18 Beweisen Sie für die geometrisch-degressive Abschreibung bei
vorgegebenem Restwert RN die Formeln
� � � � 1
RN
N
p = 100 1 −
A
und
N = ln (RN) − ln (A)
ln i

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 38
und für die digitale Abschreibung
und (für 1 ≤ n ≤ N)
d =
2 (A − RN)
N (N + 1)
an = (N − n + 1) d =
1.3.2 Praktische Aufgaben
N − n + 1
a
N
Aufgabe 1.19 Eine Maschine mit dem Anschaffungswert von 50000 EUR
soll in 10 Jahren auf den Restwert 20000 EUR abgeschrieben werden. Berechnen
Sie den Restwert nach 5 Jahren bei
1. linearer
2. arithmetisch-degressiver
3. geometrisch-degressiver
Abschreibung, wenn im zweiten Fall die anfängliche Abschreibungsrate 4000
EUR beträgt. Tragen Sie den Verlauf der Abschreibungen in eine gemeinsame
Skizze ein.
Aufgabe 1.20 Eine Maschine mit dem Anschaffungswert von 200000 EUR
werde 10 Jahre lang geometrisch-degressiv mit dem prozentualen Abschreibungssatz
von 10% abgeschieben. In den anschließenden 6 Jahren erfolge eine
digitale Abschreibung auf die Hälfte des Restwertes nach 10 Jahren. In
weiteren 20 Jahren soll eine lineare Abschreibung auf 0 vorgenommen werden.
Man erstelle einen Abschreibungsplan, der den Jahren zugeordnet den
jeweiligen Restwert und die Abschreibungsbeträge enthält.

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG 39
1.3.3 Theoretische Aufgaben
Aufgabe 1.21 Zeigen Sie für alle x > 0 die Ungleichung
x − x2
2
≤ ln (1 + x)
Aufgabe 1.22 Beweisen Sie die Identität
� � � � �
α + 1 α α
= +
k k k − 1
für α ∈ R und k ∈ N.
Aufgabe 1.23 Es sei α ∈ R beliebig vorgegeben. Zeigen Sie, daß die Ablei-
tung der Potenzreihe g (x) := � ∞
k=0
die Gleichung
� α
k
�
�
x k mit dem Konvergenzradius 1
(1 + x) g ′ (x) − αg (x) = 0 für alle |x| < 1
erfüllt (natürlich ohne Benutzung der Identität (??)).
Aufgabe 1.24 Beweisen Sie Bemerkung 1.2.3: Gilt in Lemma 1.10 sogar
p ′ (x) > 0, p ′′ (x) > 0 für alle x ∈ (a, b) und startet das Newtonverfahren bei
x0 ∈ (a, x ∗ ) , so gilt für den ersten Iterationspunkt x1 des Newtonverfahrens
x1 ≥ x ∗ , so daß im Falle x1 ∈ (x ∗ , b) die Voraussetzungen des Lemmas auf x1
zutreffen und die weiteren Iterationspunkte eine streng monoton abfallende
Folge bilden.
1.3.4 Programmierpraxis
Aufgabe 1.25 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das zu vorgegebenem
Polynom p und zu vorgegebener Stelle x0 ∈ R den Funktionswert p (x0)
und den Wert der Ableitung p ′ (x0) mit dem Hornerschema berechnet.
Aufgabe 1.26 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das zu vorgegebenem
Polynom p, dessen erste und zweite Ableitung für alle positiven Argumente
positiv sind und für das p (0) < 0 gilt, die (eindeutig bestimmte)
positive reelle Nullstelle bestimmt.

Kapitel 2
Einmaliger Kapitaleinsatz - der
Zinsbegriff
Objekt unserer Betrachtung sind Zinsen. Zinsen sind der Preis, den ein Investor
erhält dafür, daß er über einen begrenzten Zeitraum auf die Verfügungs–
gewalt über sein Kapital verzichtet. Sie vermehren das vom Kapitalgeber
eingesetzte Kapital, es ist gerade der Zweck der Investition, das eingesetzte
Kapital zu vermehren.
Die Kapitalbindung bei einer Investition kann darin bestehen, Wirtschaftsgü–
ter zu kaufen und sie im Wirtschaftsprozeß arbeiten zu lassen. Genausogut
kann das Kapital an einen Kapitalnehmer übergeben werden, der seinerseits
das Kapital dem Wirtschaftsprozeß zufließen lassen kann. Es kann z.B. auf
ein Bankkonto eingezahlt und so einer Bank zur Verfügung gestellt werden.
Die Bank zahlt dem Kapitalgeber dafür Zinsen.
Der Einfachheit halber wollen wir den Ort der Kapitalbindung, unabhängig
von der realen Situation, Konto nennen. Einem Konto können im Betrachtungszeitraum
Zahlungen von außen zufließen, ebenso können Zahlungen
nach außen abfließen. Auf dem Konto befindliches Kapital verzinst sich zu
dem dem Konto zugeordneten Zinskonditionen.
Werden mehrere Konten gleichzeitig betrachtet (ggf. mit unterschiedlichen
Zinssätzen und Betrachtungszeiträumen), so sprechen wir von einem Kontensystem.
40

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 41
2.1 Einmalige Zinszahlung
Oft trifft man die Situation an, daß ein Kapitalbetrag auf ein Konto eingezahlt
wird mit der Vereinbarung, es dort für einen fest vereinbarten Zeitraum
zu belassen. Am Ende dieses Zeitraum wird das Kapital einschließlich vereinbarter
Zinsen wieder ausbezahlt (Beispiel: Festgeld). Zinsvereinbarungen
und Laufzeiten werden dabei sehr unterschiedlich sein und es stellt sich die
Frage, wie man unterschiedliche Investitionsvorhaben vergleichen und die
vorteilhaftigste auswählen kann.
Eine wichtiger Aspekt dabei ist, die Zinszahlungen vergleichbar zu machen.
Dies kann dadurch geschehen, daß die Zinsen auf eine Zeiteinheit und eine
Geldeinheit bezogen werden.
Die international übliche Zeiteinheit bei der Zinsrechnung ist ein Jahr.
Vergleichbarkeit entsteht, wenn angegeben wird, wieviel Zinsen
das eingesetzte Kapitals pro Zeiteinheit, d.h. pro Jahr erbringt,
bezogen auf das eingesetzte Kapital (z.B. als Prozentangabe)
Im folgenden besprechen wir, wie der Begriff ”Jahreszinssatz”, der dies als
Größe bemessen soll, sinnvoll festgelegt werden kann. Wir suchen also z.B.
eine Antwort auf folgende Problemstellung
Beispiel 2.1 Es werden 1000 EUR für ein viertel Jahr ausgeliehen. Am Ende
der Zeit erhält der Kreditgeber 1050 EUR zurück. Welchen Jahreszinssatz
hat dieser Kredit?
Zu beachten ist, daß der Begriff eines Jahreszinssatzes eine fiktive, rein
rechnerische Größe sein wird, da seine Festlegung eine Modellvorstellung
darüber voraussetzt, wie sich das investierte Kapital mit der Zeit entwickelt.
2.1.1 Der kontinuierliche Jahreszinssatz
Gehen wir zunächst davon aus, dass ein Anleger ein Kapital K für einen
Zeitraum T angelegt hat und dafür nach Ablauf der Zeit T einen Betrag KT
zurückerhält, der höher ist als der angelegte Betrag: er erhält sein Kapital
plus Zinsen zurück.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 42
Wenn auch häufig die Zinsen einer Kapitalanlage erst am Ende der Laufzeit
zusammen mit dem eingesetzten Kapital ausgezahlt werden, so ist die übliche
Vorstellung doch die, das das investierte Kapital ”arbeitet” und die Zinsen
erwirtschaftet. Dies geschieht nicht am Ende der Investition, sondern permanent.
Modellmäßig wird die ”Arbeitskraft” einer Kapitaleinheit als über die
gesamte Laufzeit gleich angenommen. Auf der anderen Seite können laufend
erarbeitete Zinsen, da sie in unserem Modell nicht zwischenzeitlich ausbezahlt
werden, dem investierten Kapital zugeschlagen (kapitalisiert) werden
und damit die Arbeitskraft des investierten Kapitals erhöhen. Zwischenzeitlich
erarbeitete Zinsen bringen dann wieder Zinsen, man spricht vom Zinseszinseffekt.
Wir gehen daher aus von der folgenden
Grundannahme (bzgl. der zeitlichen Kapitalentwicklung):
Zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0 ist das Veränderung des Kapitals pro
Zeiteinheit, K ′ , proportional zur Höhe des investierten Kapitals
K.
K ′ = i∞K (2.1)
i∞ wird Zinsintensität genannt (vgl. dazu den Begriff der Intensität aus
dem letzten Kapitel).
Interpretieren wir K ′ als Ableitung der von der Zeit differenzierbar abhängigen
Größe K,
K ′ = dK
dt
so stellt
i∞ = dK/dt
K ,
wie oben für den Begriff des Jahreszinssatzes gefordert, die Änderung des
Kapitals pro Zeiteinheit, bezogen auf das eingesetzte Kapital dar. Wir nennen
i ∞ daher auch kontinuierlichen Jahreszinssatz.
(2.1) ist eine lineare Differentialgleichung. Lösung dieser Differentialgleichung
ist bekanntlich
K (t) = K0e i∞t
(2.2)
oder mit q := e i∞
Kt = K0q t , (2.3)

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 43
wobei wir Kt für K (t) geschrieben haben. Wir nennen q den Aufzinsungsfaktor.
K0 gibt das Anfangskapital zum Zeitpunkt t = 0 an, Kt das zum
Zeitpunkt t verzinste Kapital. Für das zurückbezahlte Endkapital KT gilt
also
KT = K0q T
T heißt dabei die Laufzeit der Investition (in Jahren). Hierbei lassen wir
für T theoretisch beliebige nichtnegative reelle Zahlen zu, da Laufzeiten von
Investitionen oftmals Bruchteile von Jahren einbeziehen. Üblich sind dabei
vor allem Monate und Tage, wobei kleinere Zeiteinheiten als Tage nicht i.a.
nicht betrachtet werden. In verschiedenen Länderen und Finanzmärkten wird
dabei rechnerisch mit einer unterschiedlichen Anzahl von Tagen pro Jahr
gerechnet.
Deutsche Banken rechnen in der Regel mit
1 Jahr = 12 Monate à 30 Tagen = 360 Tage (2.4)
Diese Festlegung gilt generell so auf dem Obligationenmarkt im deutschsprachigen
Raum und in den USA. In Großbritannien dagegen wird das Jahr
mit 365 Tagen angesetzt. Auf dem Geldmarkt erfolgt die Zählung der Tage
zumeist exakt. Bei der Berechnung des Effektivzinses (siehe unten) wird in
Europa mit 365 Tagen pro Jahr gerechnet. Sofern nicht anders gesagt, legen
wir (2.4) als Rechnungsgrundlage zugrunde.
Wir berechnen den kontinuierlichen Jahreszinssatz für unser Eingangsbeispiel.
Beispiel 2.2 Es werden 1000 EUR für ein viertel Jahr ausgeliehen. Am
Ende der Zeit erhält der Kreditgeber 1050 EUR zurück. Wie hoch ist der
kontinuierliche Jahreszinssatz?
Lösung: Formel (2.2) muß nach i∞ aufgelöst werden. Offensichtlich gilt
i∞ = 1
t (ln Kt − ln K0) (2.5)
Mit den konkreten Zahlenwerten ergibt sich mit t = T = 0.25
i∞ = 1
(ln 1050 − ln 1000) = 0.19516...
0.25
✷

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 44
2.1.2 Der konforme Jahreszinssatz
Der kontinuierliche Jahreszinssatz hat den Nachteil, daß er zunächst keine
direkte anschauliche Interpretation zulässt, die etwa die Zinsen bei einem
auf genau ein Jahr festgelegten Kapital prozentual zum eingesetzten Kapital
angibt. Dies zeigt folgendes
Beispiel 2.3 Es werden 1000 EUR für ein Jahr ausgeliehen. Am Ende der
Zeit erhält der Kreditgeber 1100 EUR zurück. Wie hoch ist der kontinuierliche
Jahreszinssatz?
Lösung: Mit Formel (2.5) ergibt sich
i∞ = 1
(ln 1100 − ln 1000) = 0.09531...
1
Anschaulich erwartet hätte man einen Zinssatz in Höhe von i = 0.1. ✷
Abhilfe schafft man durch einen anderen Begriff des Jahreszinssatzes. Wir
setzen
q =: 1 + i1
(2.6)
und nennen i1 den konformen Jahreszinssatz. Diese Festlegung nutzt das
bisherige Modell, unterstützt aber mehr die anschauliche Erwartung an einen
Jahreszinssatz, was wie folgt eingesehen werden kann.
Es gilt für die Höhe des Kapitals am Ende der Laufzeit von t Jahren
speziell bei t = 1
Kt = K0q t = K0 (1 + i1) t
K1 = K0 (1 + i1) = K0 + K0i1 =⇒ i1 = K1 − K0
K0
(2.7)
i1 gibt also die bruchteilige Vermehrung des eingesetzten Kapitals an. Man
bezeichnet den prozentualen Anstieg mit p1 := 100 · i1 und nennt ihn den
konformen Jahreszinsfuß. Dieser wird in der Regel auf zwei Dezimalen
(kaufmännisch) gerundet angegeben.
Bemerkung: Formel (2.7) ist auch bei negativen Zinssätzen anwendbar.
In diesem Fall verliert das Kapital an Wert. Anwendungsfall hierfür ist die

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 45
Kaufkraftentwertung. Herrscht z.B. eine jährliche Kaufkraftentwertung von
2.5%, so sind 100 EUR nach 10 Jahren nur noch 100 · (1 − 0.025) 10 = 77.63
EUR wert.
Diese Entwertung von investiertem Kapital betrachtet man auch bei der degressiven
Abschreibung, die aus steuerlichen oder bilanztechnischen Gründen
durchgeführt wird, vgl. die Übungen zum letzten Kapitel. ✷
Man beachte die Umrechnungsformel
1 + i1 = e i∞ , (2.8)
über die der kontinuierliche Jahreszinssatz in den konformen Jahreszinssatz
umgerechnet werden kann und umgekehrt. Da die lineare Approximation an
die Funktion f (x) = e x an der Stelle x0 = 0 durch t1 (x) = 1 + x gegeben
und e x streng konvex ansteigend ist, ist e x > 1 + x für alle x ∈ R− {0} . Also
ist 1 + i1 = e i∞ > 1 + i∞, d.h.
i1 > i∞,
Beispiel 2.4 Es werden 1000 EUR für ein viertel Jahr ausgeliehen. Am
Ende der Zeit erhält der Kreditgeber 1050 EUR zurück. Wie hoch ist der
konforme Jahreszinssatz?
Lösung: Formel (2.7) muß nach i1 aufgelöst werden. Offensichlich gilt
i1 =
� K1
K0
� 1
t
− 1 (2.9)
Mit den konkreten Zahlenwerten ergibt sich wegen t = T = 0.25
� �4 1050
i1 = − 1 = 0.21551...
1000
Der konforme Jahreszinsfuß beträgt also 21, 55 %. ✷
Beispiel 2.5 Für einen Sparbrief mit einer Laufzeit von 4 Jahren müssen
heute 870 EUR eingezahlt werden, um nach Ablauf der 4 Jahre 1000 EUR
ausgezahlt zu bekommen. Wie groß ist der verwendete konforme Jahreszinssatz?

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 46
Lösung:
i1 = q − 1 = 4
�
1000
− 1 = 0.0354...
870
Damit liegt ein konformer Jahreszinsfuß von p1 = 3, 54% zugrunde. ✷
Natürlich können Formel (2.3) bzw. Formel (2.7) auch nach dem Anfangskapital
aufgelöst werden
K0 = Ktq −t � −1
= Kt q �t (2.10)
Man nennt diesen Vorgang, ein Kapital in seiner Zinsentwicklung zeitlich
zurückzurechnen, Abzinsung oder Diskontierung. v := q−1 = 1
1+i1 heißt
Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor.
Beispiel 2.6 Ein junger Mann benötigt in 8 Jahren einen Betrag von genau
10000 EUR. Er kann heute einen beliebig großen Betrag zum konformen Jahreszins
von 5, 5% auf 8 Jahre fest anlegen. Wieviel muß er heute investieren,
um am Ende der Laufzeit 10000 EUR zu erhalten?
Lösung:
K0 = 10000 (1 + 0.055) −8 = 6515.98...
Er sollte 6515, 98 EUR anlegen. ✷
2.1.3 Der linear proportionale Jahreszinssatz
Eine dritte Möglichkeit, einen Jahreszinssatz festzusetzen entsteht, wenn man
die (vereinfachende) Modellvorstellung hat, daß die am Ende der Laufzeit
T zu zahlenden Zinsen in ihrer Entstehung gleichmäßig (linear) über die
Laufzeit zu verteilen sind, d.h. man setzt für 0 ≤ t ≤ T
Kt = K0q t =: K0 (1 + t · i)
Wir nennen i den linear proportionalen Jahreszinssatz und p := 100 · i
den linear proportionalen Jahreszinsfuß.
Anwendung findet dieses vereinfachende Modell nur zur approximativen Berechnung
des Jahreszinssatzes bei unterjährigen Laufzeiten, weil es dort

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 47
näherungsweise mit dem zuerst betrachteten ”wirklichen” Modell übereinstimmt.
Leider ist die Vereinfachung nur scheinbar und verursacht stattdessen
viel Konfusion. Ihre Einführung hat traditionelle Gründe.
Bei unterjähriger Laufzeit gilt in der Regel t = 1 mit z.B. m = 12, m = 4
m
oder m = 2, was einer Zinszahlung nach einem Monat, viertel Jahr oder
halben Jahr entspricht. Liegt m fest, so schreiben wir im := i.
Bezeichnung: Man nennt den auf t = 1
m
auch relativen Zinssatz.
Jahr bezogenen Zinssatz t · i = im
m
Beachte: Der relative Zinssatz ist kein Jahreszinssatz, sondern ein unterjähriger
Zinssatz! Man beachte ferner, dass der linear proportionale Jahreszins-
satz im im Gegensatz zum konformen Jahreszinssatz i1 vom Jahresbruchteil
1
m
abhängig ist.
Wegen
1 + 1
m im = (1 + i1) 1
�
m =⇒ 1 + 1
m im
�m = 1 + i1
gilt nach Lemma 1.7 für alle im > 0, m ∈ N, m > 1
�
1 + i1 = 1 + 1
m im
�m > 1 + m 1
m im = 1 + im
also
Gleichzeitig gilt die Abschätzung
Damit hat man insgesamt
i1 > im
1 + tim = e i∞t > 1 + i∞t =⇒ im > i∞
i∞ < im < i1
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Beispiel 2.7 Es werden 1000 EUR für ein viertel Jahr ausgeliehen. Am
Ende der Zeit erhält der Kreditgeber 1050 EUR zurück. Wie hoch ist der
linear proportionale Jahreszinssatz?
Lösung: Es ergibt sich
i4 = 1
0.25
� �
1050
− 1 = 0.20
1000
Der linear proportionale Zinsfuß Jahreszinsfuß beträgt also 20, 0% ✷

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 48
Vergleich der Jahreszinssätze
Man beachte, daß damit bei diesem Beispiel die Ungleichungskette (2.13)
durch die Werte
0.19516 < 0.20 < 0.21551
bestätigt wird. Alle drei Werte geben unter einer gewissen Modellvorstellung
einen Jahreszinssatz für die Aufgabenstellung an.
Im folgenden soll die Spanne zwischen den Jahreszinssätzen, d.h. der Unterschied
zwischen dem konformen Zinssatz i1 und dem kontinuierlichen Zinssatz
i∞ allgemein abgeschätzt werden, um die Schere zwischen diesen besser
einschätzen zu können. Es gilt:
1 + i1 = e i∞ = 1 + i∞ + 1
2! i2 ∞ + ... =⇒
i1 − i∞ = 1
2! i2 ∞ + 1
3! i3 ∞ + ...
Damit hat man einerseits bei i∞ > 0
andererseits gilt bei i∞ < 3
insgesamt also
also z.B. bei i∞ < 2
i1 − i∞ = 1
2 i2∞ ≤ 1
2 i2 ∞
= 1
i1 − i∞ ≥ 1
2 i2 ∞;
2 i2 ∞
�
1 + 1
3 i∞ + 1
3 · 4 i2 �
∞ + ...
�
�
1 + i ∞
3 +
1
1 − i∞
3
1
2 i2∞ ≤ i1 − i∞ ≤ 3
2
� �2 i∞
3
= 3 i
2
2 ∞
,
3 − i∞
i 2 ∞
3 − i∞
+ ...
(2.14)
1
2 i2∞ ≤ i1 − i∞ ≤ 3
2 i2∞ so daß der Unterschied im Bereich i∞ ∈ (0, 2) mit i∞ quadratisch wächst.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 49
Grenzbetrachtung
Im übrigen kann man leicht beweisen, daß im+1 < im gilt für alle m ∈ N.
(Übungsaufgabe)
Damit konvergiert die Folge (im) m∈N gegen ein î ≥ i∞. Wir wollen zeigen,
daß hier sogar das Gleichheitszeichen gilt, daß also
gilt.
Nun, es gilt nach (2.11)
mithin gilt
lim
m→∞ im = i∞
�
1 + im
�m = 1 + i1 = e
m
i∞
�
im = m (1 + i1) 1 �
m − 1 = (1 + i1) 1
m − (1 + i1) 0
1/m
(2.15)
Daher ist î die Ableitung der Funktion f (x) = (1 + i1) x an der Stelle x = 0.
Also gilt
î = ln (1 + i1) =⇒ e î = 1 + i1 = e i∞
und damit î = i∞. Dies zeigt im Nachhinein, daß die Zinsintensität i∞ als
ein Jahreszinssatz aufgefaßt werden kann!
2.2 Periodisch wiederkehrende Zinszahlungen
In vielen Fällen der Praxis erbringt investiertes Kapital mehrfach Erträge,
etwa wenn die Investition den Kauf von Maschinen beinhaltet, die beim Einsatz
in der Produktion immer wieder Erlöse erbringen, welche zum Investor
zurückfließen. Ebenso bringt auf ein Sparkonto eingezahltes Geld in periodischen
Abständen Zinsen, die dem Konto gutgeschrieben werden und somit
das angesparte Kapital vermehren.
Da wir unterstellt haben, daß investiertes Kapital permanent Zinsen erbringt,
handelt es sich bei periodischen Zinszahlungen eher um periodische Zinsverrechnungen:
aufgelaufene Zinsen werden also in periodischen Abständen
festgestellt und verrechnet.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 50
2.2.1 Verzinsungsarten
Gehen wir also davon aus, daß bei einem investiertem Kapital K in n regelmäßigen
Zeitabständen der Länge t > 0 Zinsen erfaßt werden. Dann gibt
es zwei Möglichkeiten, was mit den Zinsen passiert:
1. die Zinsen werden ausgezahlt und somit der Investition entzogen. Das
verzinste Kapital beträgt dann am Ende der Laufzeit T = n · t
� �
1 + n q T
��
n − 1
KT = K0
wobei die ausgezahlten Zinsen ohne weitere Zinseszinsen dem eingesetzten
Kapital hinzugerechnet werden. Man spricht von einfacher
Verzinsung oder arithmetischer Verzinsung.
Viele Sparverträge oder Beteiligungen z.B. sehen eine jährliche Zinsverrechnung
mit Auszahlung der Zinsen auf ein separates Konto vor, das
zumeist sogar ohne Zinsertrag ist (Girokonto). Die angefallenen Zinsen
werden also nicht reinvestiert, sondern ausgezahlt. In dieser Situation
werden die ausgezahlten Zinsen nicht weiter mitverzinst.
2. die Zinsen werden dem investierten Kapital zugeschlagen (in Kapital
konvertiert bzw. kapitalisiert), sie werden ebenfalls investiert. Dann
lautet das Endkapital bei mehrfacher Anwendung von Formel (2.3) bei
dieser Verzinsung mit Zinseszinsen
KT = K0q t · q t · ... · q t = K0q nt = K0q T
Hier spricht man von geometrischer Verzinsung oder Verzinsung
mit Zinseszinseffekt.
Zum Vergleich dieser beiden Verzinsungsarten betrachten wir ein Kontensystem,
bei dem ein Kapital K0 zum Jahreszinssatz i = i1 über n Jahre, n ∈ N,
fest angelegt und jährlich verzinst wird. Legt man einfache Verzinsung zugrunde,
so ergibt sich nach n Jahren, n ∈ N, für das Gesamtkapital:
Kn = K0 (1 + ni) . (2.16)
Die Folge der Kn, n ∈ N, bildet in diesem Fall eine arithmetische Folge.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 51
Legt man Verzinsung mit Zinseszins zugrunde, so ergibt sich nach den n
Jahren ein Endkapital von
Kn = K0 (1 + i) n
Die Folge der Kn, n ∈ N, bildet in diesem Fall eine geometrische Folge.
Wie man der Bernoullischen Ungleichung
(2.17)
(1 + i) n ≥ 1 + ni, n ∈ N , i > 0 (2.18)
entnimmt, ist die Verzinsung mit Zinseszinsen für n ∈ N0 stets einträglicher
als einfache Verzinsung (ohne Zinseszinsen). Die Differenz di,n zwischen beiden
Verzinsungsarten kann leicht angegeben und nach unten abgeschätzt
werden. Es gilt
Damit gilt
(1 + i) n = 1 + ni +
� n
2
di,n = (1 + i) n − (1 + ni) =
≥
� n
2
�
i 2 =
(n + 1) n
i
2
2
�
i 2 �
n
+ ... +
n − 1
� n
2
�
i 2 �
n
+ ... +
n − 1
�
i n−1 + i n
�
i n−1 + i n
Die Differenz di,n wächst also (mindestens) quadratisch mit der Anzahl n der
Jahre genauso wie mit dem Zinssatz i.
2.2.2 Unterjährige Zinsverechnungs-Perioden
Oftmals beträgt die Laufzeit einer Kapitalanlage nicht ein Vielfaches ganzer
Jahre, sondern umfaßt Bruchteile davon. Um beliebige solcher Jahresbruchteile
zu erfassen, kann vorgesehen werden, daß tägliche Zinsverrechnung
erfolgt. Üblich sind aber auch wöchentliche, monatliche bzw. viertel- oder
halbjährige Zinsverrechnungen. Die Laufzeit betrage dann ein ganzzahliges
Vielfaches der Zinsverrechnungsperiode.
Die Zinsverrechnung des investierten Kapitals K0 erfolge nach jeweils 1
m -tel
Jahr, wobei der Parameter m die Werte
m = 365, 360, 180, 52, 26, 24, 12, 6, 4, 2, 1

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 52
annehmen kann. Dabei wird je nach Land oder Verzinsungsart das Jahr zu
360 oder zu 365 Tagen angesetzt.
Unterstellt sei nun, daß das Kapital für n Zinsverrechnungs-Perioden, n ∈
N, angelegt sei und geometrisch verzinst wird. International gebräuchlich
sind zwei Arten von Zinsangaben, um die Verzinsung zu beschreiben: einmal
durch Angabe eines konformen Jahreszinssatzes, zum anderen über einen
linear proportionalen Jahreszinssatz:
Das Endkapital KT ergibt sich bei einer Laufzeit von T = n · 1
m Jahren
1. bei geometrischer Verzinsung mit dem Aufzinsungsfaktor (1 + i) 1
m zu
KT = K0
�
(1 + i) 1
m
� n
= K0 (1 + i) n
m = K0 (1 + i) T . (2.19)
Wir nennen diesen Typ der Verzinsung konforme Verzinsung zum
Jahreszinssatz i.
2. bei geometrischer Verzinsung mit dem Aufzinsungsfaktor � 1 + i
�
zu m
�
KT = K0 1 + i
�n ��
= K0 1 +
m
i
�m�T . (2.20)
m
Wir nennen diesen Typ der Verzinsung linear proportionale 1
m −jährige
Verzinsung zum Jahreszinssatz i = im.
Zu beachten ist, dass die konforme Verzinsung im doppelten Sinne teilungsunabhängig
ist!
1. Teilungseigenschaft
Beide Verzinsungsarten haben die Eigenschaft: Das Anfangskapital kann
beliebig aufgeteilt werden, etwa zu K0 = K1 + K2 und beide Kapitalanteile
können getrennt zu gleichen Konditionen verzinst werden.
Als Summe der beiden Endkapitalwerte ergibt sich dann das gleiche
Endkapital wie bei der Verzinsung des Gesamt-Anfangskapitals.
(K1 + K2)
bzw.
��
= K1 1 + i
�m�T + K2
m
(K1 + K2) q T = K1q T + K2q T
��
1 + i
�m�T m
��
1 + i
�m�T m

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 53
2. Teilungseigenschaft
Die konforme Verzinsung hat zusätzlich die Eigenschaft: Das erreichte
Endkapital KT hängt nicht von der Periodenlänge t = 1 , sondern nur
m
von der Laufzeit T ab. Es ist völlig gleichgültig, wie groß m ist. Solange
die Laufzeit der Kapitalanlage ein festes T mit T = n · t ist, ergibt sich
das gleiche Endkapital K0qT . Dies gilt sogar, wenn T = t1 + t2 + ... +
tn eine beliebige Zerlegung der Laufzeit ist. Diese Eigenschaft hat die
linear proportionale Verzinsung nicht.
Folgerung:
• Bei einer konformen Verzinsung kann jederzeit das Konto
nach Zinsverrechnung geleert und sofort wieder mit dem abgezogenen
Kapital als Neuanlage aufgefüllt werden, ohne dass
sich dabei die Verzinsung über die Gesamtlaufzeit ändert.
Bei einer konformen Verzinsung kann jederzeit ein Teil des
Kapitals von Konto abgezogen, auf eine Ersatzkonto mit gleichen
Konditionen für eine Zeit zwischengelagert und anschließend
dem Originalkonto wieder zugefügt werden, ohne dass
sich dabei die Verzinsung über die Gesamtlaufzeit ändert.
Aus diesen Grunde braucht bei der konformen Verzinsung auch die Peri-
−tel Jahr nicht mitbenannt werden.
odenlänge von 1
m
Nomineller und effektiver Zinssatz
Wird zu einer Kapitalanlage ein Rechnungs-Jahreszinssatz benannt (ein Jahreszinssatz,
mit dem die Zinsen berechnet werden, z.B. von der Bank) und
wird unterjährig verzinst, so muß klar festgelegt werden, um welchen Jahreszinssatz
es sich beim Rechnungs-Zinssatz handelt. Unterschiedliche Interpretationen
führen zu unterschiedlichem Endkapital!
Beispiel 2.8 Es werde ein Betrag von K0 = 1000 EUR auf 1 Jahr zu einem
Jahreszinsfuß von p = 4% angelegt. Die Zinsausschüttung erfolge monatlich.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 54
1. wird der Jahreszinssatz als konformer Zinssatz interpretiert, so berechnet
sich das Endkapital zu
K1 = 1000
�� 1 + 4
� � 1 12
12
= 1040.00 [EUR]
100
2. wird der Jahreszinssatz als linear proportionaler Zinssatz interpretiert,
so lautet die Rechnung
�
�12 4
K1 = 1000 1 +
= 1040. 74 [EUR]
12 · 100
Wie man sieht, ist das Endkapital bei Benutzung des linear proportionalen
Jahreszinssatzes als Rechnungszinssatz leicht höher (und damit für den
Anleger günstiger) als bei Verwendung des konformen Jahreszinssatzes. ✷
Zu beachten ist:
• Wäre in dem Beispiel eine ”wirkliche” Verzinsung zum Jahreszinsfuß
von p = 4% beabsichtigt gewesen und hätte als linear proportionale
1 −jährige Verzinsung angegeben werden sollen, so hätte als zu-
12
gehöriger linear proportionaler Zinssatz i = i12 ein kleinerer Wert angegeben
werden müssen als i1 = 0.04. Aus Formel (2.11) entnehmen
wir
i12 = m � m √ 1 + i1 − 1 � � √ �
12
= 12 1.04 − 1 = 0.039285
Das bedeutet: wird als linear proprotionaler Jahreszins i12 = 0.039285
angesetzt, so führt die Verzinsung zu
�
K1 = 1000 · 1.04 = 1000 1 + 0.039285
�12 = 1040.00
12
• Auf der anderen Seite: gibt der Jahreszinssatz von 0.04 den linear proportionalen
Zinssatz i12 an, so ist die ”wirkliche” Verzinsung des Kapitals
höher als 4% pro Jahr. Dieser Jahreszins i1 berechnet sich ebenfalls
aus Formel (2.11)
i1 =
�
1 + im
�m �
− 1 = 1 +
m
0.04
�12 − 1 = 0.040742
12

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 55
Beachte:
Das bedeutet: ist der konforme Jahreszinssatz i1 = 0.040742, so beträgt
die Verzinsung
�
�12 4
K6 = 1000 · 1.040742 = 1000 1 +
= 1040.74
12 · 100
In Deutschland ist es üblich, den Rechnungs-Jahreszinssatz als
linear proportionalen Zinssatz zu interpretieren. Dabei wird ein
Jahr als aus 12 Monaten zu je 30 Tagen bestehend angesetzt,
besteht also rechnungsmäßig aus 360 Tagen.
Für unsere weiteren Überlegungen wollen wir daher, sofern nicht anders betont,
die deutsche Situation unterstellen und den angegebenen Rechnungs-
Zinssatz i als linear proportionalen Zinssatz im interpretieren.
Der Rechnungs-Jahreszinssatz i wird auch nomineller Jahreszinssatz
genannt.
Als Jahreszinssatz i = ieff der ”wirklichen” Verzinsung des Kapitaleinsatzes
betrachten wir den Zinssatz, der mit konformer Verzinsung
ein vorgegebenes Endkapital Ke liefert. ieff heißt effektiver
Jahreszinssatz.
PreisangabenVerordnung
Zu beachten ist, dass bei der Berechnung des Effektivzinses laut PreisangabenVerordnung
(PAngV) vom 1.9.2000 das Jahr mit 365 Tagen, 52
Wochen, 12 Monate angesetzt ist. Den kleinsten in praktischen Beispielen
auftretenden dieser Jahresbruchteile nennen wir Rechen-Zeiteinheit.
In diesem Zusammenhang ist noch einmal auf die Teilungsunabhängigkeit
der konformen Verzinsung hinzuweisen: Es ist egal, ob die Verzinsung auf
der Basis von 1
1
Jahren oder Jahren durchgeführt wird. Denn sei etwa
m ¯m
T = ¯m · ¯g = m · g mit g, ¯g ∈ R++ so ist
(1 + i1) T =
�
(1 + i1) 1 � ¯mT
¯m
=
�
(1 + i1) 1 �mT m

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 56
In diesem Sinne kann z.B. bei halbjähriger Verzinsung auch mit 6 Monaten
gerechnet werden.
Bei Verwendung von Tagen, wie dies oft der Fall der Praxis ist, tritt die
Schwierigkeit auf, dass die Monate verschieden lang sind. Die PAngV gleicht
alle Monate an zu 365 = 30. 416 Tagen an. Die erläuternden Beispiele dieser
12
Verordnung machen klar, wie damit in der Praxis umzugehen ist. Man ziehe
aus der zu beschreibenden Zeitspanne die maximale Anzahl voller Monate
heraus und zähle die restlichen Tage exakt.
Der Deutlichkeit halber sei die Vorgehensweise noch einmal notiert:
Berechnung von Jahresbruchteilen nach der PAngV:
1. Ist die Rechen-Zeiteinheit das Jahr, so sind Zeitangaben für Zinstermine
natürliche Zahlen
2. Ist die Rechen-Zeiteinheit der Monat, so sind Zeitangaben für Zinstermine
natürliche Vielfache von 1
12 .
3. Ist die Rechen-Zeiteinheit die Woche, so sind Zeitangaben für Zinstermine
natürliche Vielfache von 1
52 .
4. Ist die Rechen-Zeiteinheit der Tag, weil Kalendertage angegeben sind,
so wird wie folgt vorgegangen: Zunächst zieht man von der gegebenen
Zeitspanne zwischen dem betrachteten Zeitpunkt t und dem Beginn
der Anlage eine maximale Anzahl m1 von Monaten ab. Anschließend
zählt man die restliche Anzahl m2 an Tagen. Dann setzt man
t = m1
12
+ m2
365
Mit unserem obigen Beispiel wird also wie folgt umgegangen:
Beispiel 2.9 Es werde ein Betrag von K0 = 1000 EUR auf 1 Jahr zu einem
Jahreszinsfuß von p = 4% angelegt. Die Zinsausschüttung erfolge monatlich.
Man berechne den Kapitalendwert und den effektiven Jahreszinsfuß.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 57
Lösung: p wird als nomineller Jahreszinsfuß angesehen. Damit ergibt sich
als Endkapital
�
�12 4
K1 = 1000 1 +
= 1040.74 [EUR]
12 · 100
Der effektive Jahreszinssatz berechnet sich aus
1040.74 = 1000 (1 + ieff)
zu ieff = 1.04074 − 1 = 0.04074. Der effektive Jahreszinsfuß beträgt also
4.07%. ✷
Bemerkung: Ist ein Konto mit (fester) nomineller Verzinsung von p% ge-
1
geben und wird linear proportional −jahrig verzinst zum Jahreszinssatz
m
von i = p
100 , so fällt der Aufzinsungsfaktor qm = � 1 + i
�m in Abhängigkeit
m
von m unterschiedlich aus. Gemäß Lemma 1.1 steigt er mit anwachsendem
m an und nähert sich bei m → ∞ dem kontinuierlichen Aufzinsungsfaktor
q = ei an.
Im übrigen gibt qm gleichzeitig den effektiven Aufzinsungsfaktor an:
q (m)
eff :=
�
K (m)
T
K0
� 1
T
=
Der effektive Jahreszinssatz i (m)
eff
�� 1 + i
� � 1
mT T
m
:= q(m)
eff
=
�
1 + i
�m .
m
− 1 steigt also mit anwachsendem
m an und im Grenzfall m → ∞ ergibt sich eine effektive Verzinsung von
ieff = qeff − 1 = e i − 1. (Vergleiche hierzu auch (2.15))
2.2.3 Bankenübliche Praxis der Zinsberechnung
In vielen Fällen ist die Laufzeit einer Anlage nicht ganzzahliges Vielfaches der
Zinsverrechnungsperiode. Z.B. kann die Zinsverrechnungsperiode ein volles
Jahr (volljährige Verzinsung), die Laufzeit der Investition aber nicht volle
Jahre betragen.
In Deutschland wird dann in einer Gemischten Zinsrechnung wie folgt
verfahren:

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 58
Es liege eine einmalige Kapitalanlage vor, die 1 −jährig mit dem
m
nominellen Jahreszinssatz i verzinst wird. Liegen bruchteilige Anteile
einer Zinsverrechnungsperiode vor dem ersten Zinstermin, so
wird bis zu diesem Zeitpunkt täglich zum Jahreszinssatz i linear
proportional und einfach verzinst. Danach erfolgt über eine
maximale ganze Anzahl von Zinsverrechnungsperioden eine linear
proportionale 1 −jährige Verzinsung zum Jahreszinssatz i.
m
Schließlich wird der Rest der Laufzeit (ein Bruchteil einer Zinsverrechnungsperiode)
wieder täglich zum Jahreszinssatz i linear
proportional und einfach verzinst.
Diese Art der Verzinsung tritt z.B. bei Sparbüchern auf. Dort erfolgt eine
Zinsverrechnung grundsätzlich zum Ende eines Kalenderjahres. Bei Sparverträgen
oder Sparbriefen dagegen beginnt in der Regel die erste Zinsperiode
mit dem Beginn des Sparvertrages, so daß bruchteilige Zinsperioden nur am
Ende der Laufzeit auftreten können, etwa wenn der Vertrag durch den Sparer
vorzeitig gekündigt wird.
Um die angesprochene Situation formelmäßig zu erfassen, unterstellen wir,
daß der investierte Betrag K0
• t1 Tage vor dem nächsten Zinsverrechnungstermin angelegt wurde
• insgesamt während n 1 −jährige Zinsverrechnungsperioden angelegt
m
bleibt und
• danach noch t2 Tage bis zum Ende der Laufzeit verbleiben.
Der nominelle Zinssatz sei i. Dann lautet die Formel für das Endkapital Ke
am Ende der Laufzeit
� � �
i
Ke = K0 1 + t1 · 1 +
360
i
�n � �
i
1 + t2 ·
(2.21)
m
360
wobei unterstellt ist, daß die Zinsverrechnungsperiode 1
m
Jahr beträgt.
Beispiel 2.10 Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von K0 = 5000 DM
mit gemischter Verzinsung an, das bei einem nominellen Zinsfuß von p = 4%
am 20.5.1989 bis zum 29.9.1993 (einschließlich) fest angelegt wurde, wenn
Zinsverrechnung jeweils zum Kalender-Jahresende stattfindet? Man berechne
ferner den effektiven Jahreszinssatz ieff der Anlage nach der PAngV.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 59
Lösung: Die folgende Zeitspannen sind zu berücksichtigen:
• 220 Tage vom 21.5.89 bis 31.12.89
• 3 Jahre vom 1.1.90 bis 31.12.1992
• 269 Tage vom 1.1.1993 bis zum 29.9.1993
Mit diesen Daten ergibt sich gemäß Formel (2.21) der folgende Wert für das
Endkapital KT
�
KT = 5000 1 + 0.04 · 220
�
(1 + 0.04)
360
3
�
1 + 0.04 · 269
�
= 5934.02 [DM]
360
Das verzinste Kapital hatte also am 29.9.1993 den Wert von 5934, 02 DM.
Um den effektiven Jahreszinsatz ieff zu berechnen, berechnen wir die Laufzeit
T der Anlage in Bruchteilen von Jahren:
T = 4 + 4 9
+
12 365
= 4. 35799 09
wobei 4 Jahre (21.5.1989 bis 20.5.1993), 4 Monate (21.5.1993 bis 20.9.1993)
und 9 Tage (21.9.1993 bis 29.9.1993) gezählt wurden. Damit berechnet sich
der effektive Jahreszins aus der Gleichung
4. 35799 09
5934.02 = 5000 (1 + ieff)
Eine Lösung dieser Gleichung erhält man zu
�
4. 35799 09 5934.02
ieff = − 1 = 0.0400812 53
5000
Der effektive Jahreszinsfuß ist mit peff = 4.01% also trotz der teilweise
verwendeten einfachen Verzinsung leicht höher als der Nominalzinsfuß von
p = 4%. (Wie ist das zu erklären?) ✷

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 60
Staffelzinsen
Bei vielen Sparbriefen und Bundesschatzbriefen steigen die Jahreszinssätze
mit der Länge der Laufzeit an. Ferner kann z.B. der gesetzliche Jahreszinssatz
für die Verzinsung von Sparguthaben zu irgend einem Zeitpunkt im
Kalenderjahr verändert werden. In diesen Fällen wird gemäß der Restart-
Eigenschaft der Verzinsung wie folgt verfahren: Zinsen werden nach der Methode
der gemischten Verzinsung für die Perioden getrennt berechnet, in
denen verschiedene Zinssätze gelten. Modellmäßig wird ein bestehendes Guthaben
zum Zinsänderungstermin kostenfrei vom Konto abgehoben und sofort
(zu den neuen Konditionen) wieder eingezahlt. Bei der Berechnung des Effektivzinses
wird allerdings weiter von einem durchgehenden Jahreszinssatz
ieff ausgegangen.
Beispiel 2.11 Auf welche Betrag wächst ein Kapital von K0 = 5000 DM
an, das bei einem nominellen Zinsfuß von p = 2% am 20.5.1989 auf ein Sparbuch
eingezahlt wurde und am 29.9.1993 wieder abgehoben wurde, wenn zum
31.3.1991 der gesetzliche Sparzins auf p = 1.5% gesenkt wurde? Man berechne
ferner den effektiven Jahreszinssatz ieff der Anlage (nach der PAngV).
Lösung:
Zunächst wird die Entwicklung der Anlage bis zum 31.3.1991 über gemischte
Verzinsung bei einem nominellen Jahreszinsfuß von 2% ausgerechnet:
• 220 Tage vom 21.5.89 bis 31.12.89
• 1 Jahr vom 1.1.90 bis 31.12.90
• 90 Tage vom 1.1.1991 bis zum 31.3.91
Dies führt zu einer Verzinsung auf
KT1 = 5000
�
1 + 0.02 · 220
360
�
(1 + 0.02) 1
�
1 + 0.02 · 90
�
= 5188. 15 [DM]
360
Nun erfolgt die Neuanlage des erzielten Endkapitals KT1 zu den neuen Konditionen
bis zum 29.9.1993:

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 61
• 270 Tage vom 1.4.91 bis 31.12.91
• 1 Jahr vom 1.1.90 bis 31.12.1992
• 269 Tage vom 1.1.1993 bis zum 29.9.1993
Dies führt zu einer weiteren Verzinsung auf
KT2 = 5188.15
= 5384. 90 [DM]
�
1 + 0.015 · 270
360
�
(1 + 0.015) 1
Als Endkapital ergibt sich also KT2 = 5384. 90 DM.
�
1 + 0.015 · 269
�
360
Zur Berechnung der Effektivverzinsung gehen wir aus von einer Gesamtlaufzeit
von
T = 4 + 4 9
+ = 4. 35799 09 Jahren
12 365
und setzen dementsprechend an
5384. 90 = 5000 (1 + ieff) 4.3579909
Lösung dieser Gleichung ist ieff = 0.0171628 2. Der effektive (durchschnittliche)
Jahreszinsfuß liegt also bei peff = 1.72%. ✷
2.3 Übungsaufgaben
2.3.1 Theoretische Aufgaben
Aufgabe 2.12 Angelegtes Kapital verdoppelt sich bei volljähriger Verzinsung
zum Jahreszinsfuß p gemäß Formel (2.3) nach
Jahren (mit q = 1 + p
100 ).
t2 =
ln 2
ln q

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 62
1. In Bankenkreisen ist dafür die Näherungsformel
t2 ≈ 70
p
üblich. Begründen Sie diese Formel!
2. Herzberger gibt eine weitere Formel an:
t2 ≈ 69
p
+ 0.35
Begründen Sie diese Formel, indem Sie ausgehend von (1.4) den Term
ln 2 nach oben und unten abschätzen und vergleichen Sie diese Näherungs-
ln q
formel anhand konkreter Werte von p mit der Formel aus 1.
Aufgabe 2.13 Finden Sie Abschätzungen (nach oben und nach unten) für
1. den Unterschied der Jahreszinssätze
ausgedrückt durch im und
i1 − im
2. den Unterschied der Kapitalendwerte
ausgedrückt durch i.
K0e ni − K0 (1 + ni)
Aufgabe 2.14 Zeigen Sie für den linear proportionalen Zinssatz im, dass er
mit steigendem m abbfällt, dass also
im+1 < im gilt für alle m ∈ N

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 63
2.3.2 Praktische Aufgaben
Aufgabe 2.15 Ein Kapital von 100000 EUR werde zum Jahreszinsfuß von
p = 4, 5% auf 5 Jahre fest angelegt. Man berechne das Endkapital nach 5
Jahren
1. bei arithmetischer jährlicher Verzinsung
2. bei geometrischer jährlicher Verzinsung
3. bei monatlicher linear proportionaler Verzinsung
4. bei monatlicher konformer Verzinsung
und berechne in allen Fällen die effektive Verzinsung.
Aufgabe 2.16 15000 EUR werden auf einen Zeitraum von 8 Jahren angelegt.
Der Anleger hat am Ende 25123 EUR auf seinem Konto. Man berechne
den nominellen und den effektiven Jahreszinssatz der Anlage, wenn die Zinsen
halbjährlich verrechnet wurden.
Aufgabe 2.17 Eine Firma möchte Zerobonds zum Nominalwert (Endwert)
von 100 EUR mit einer Laufzeit von 25 Jahren ausgeben.
1. der aktuelle Marktzins für Langzeitanleihen betrage 8%. Man berechne
den Ausgabekurs des Zerobonds, d.h. den Wert eines Anteils der Anlage
zum Ausgabezeitpunkt, wenn sich dieser über Zinseszinseffekt in 25
Jahren bei einem Jahreszinsfuß von 8% auf 100 EUR steigert.
2. Nach drei Jahren ist der langfristige Marktzins auf 6% gefallen. Der
aktuelle Kurs(wert) eines Anteils stellt sich so ein, dass eine geometrische
Verzinsung in 22 Jahren mit dem aktuellen Marktzins gerade den
Nominalwert liefert. Man berechne den aktuellen Kurs des Zerobonds.
3. Ein Investor hat sich 1000 Stück des Zerobonds zum Ausgabepreis zugelegt.
Nach drei Jahren verkauft er die Bonds wieder. Mit welchem
effektiven Jahreszinssatz hat sich seine Investition verzinst?

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 64
Aufgabe 2.18 Nach welcher Zeit verdoppelt sich Kapital, das monatlich nominell
zum Jahreszinsfuß von p = 6% verzinst wird. � Wie genau sind die
bzw. nach der + 0.35 Formel?
Schätzungen nach der 70
p
Aufgabe 2.19 Herr K. legte am 3.4.1999 1000 DM auf ein Sparbuch an
und wird dieses Sparbuch am 18.7.2003 wieder auflösen. Der Sparzins betrug
bis zum 31.3.2000 p = 2%, und danach p = 1.5%. Wieviel EUR wird Herr
K. abheben können?
Aufgabe 2.20 Frau S. kauft für 25000 EUR den Sparbrief einer Bank. Dieser
hat die folgenden Konditionen.
• 4% Nominalzins im ersten Jahr
• 4.25% Nominalzins im zweiten Jahr
• 4.75% Nominalzins im dritten Jahr
• 5.5% Nominalzins im vierten Jahr
• 5.5% Nominalzins im fünften Jahr
Zusätzlich erhält ein Sparer, der den Brief bis zur Endfälligkeit behält, bei
Rückgabe einen Bonus von 5% auf die Endsumme.
� 69
p
1. Wieviel hat Frau S. nach 5 Jahren gespart? Welchen nominellen Jahreszins
hätte eine vergleichbare Festgeldanlage für 5 Jahre bieten müssen?
2. Der Sparbrief kann nach frühestens einem Jahr wieder eingelöst werden.
Welche effektive Verzinsung erzielt Frau S., wenn sie den Sparbrief
nach 3 Jahren und 4 Monaten zurückgibt.

KAPITEL 2. ZINSBEGRIFF 65
2.3.3 Programmierpraxis
Aufgabe 2.21 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm zur unterjährigen
Verzinsung, das folgendes leistet:
Es soll bei einmaliger Einzahlung eines Kapitals K0 auf ein Konto mit bekanntem
nominellen Jahreszinsfuß p bei festgelegteter unterjähriger Verzin-
sung nach jeder Periode von 1
m tel Jahr den Kapitalendwert Kn nach n Zinsverrechnungsperioden
berechnen. Das Programm soll bei bekanntem m gleichzeitig
in der Lage sein, jeden der vier Werte K0, Kn, n, p zu berechnen, wenn
die anderen drei Werte bekannt sind.
Aufgabe 2.22 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das zu gegebenen
Kapitaleinsatz K0, Kapitalendwert Ke und Laufzeit in vollen Jahren (Anzahl
n) und Tagen (Anzahl t) die Effektivverzinsung berechnet.
Aufgabe 2.23 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm zur gemischten
Verzinsung. Dabei soll eingegeben werden können, wieviele Tage t1 vor der
ersten Zinsverrechnung liegen, wieviele Perioden n der Zinsverrechnung folgen
und wieviele Tage t2 nach der letzten Zinsverrechnung das Konto geleert
wird. Der relative Zinsfuß pro Zinsperiode soll eingegeben werden können.
Ansonsten soll das Programm das gleiche leisten wie das der letzten Aufgabe.

Kapitel 3
Periodische Ein- und
Auszahlungen - Renten
Während wir bislang eine einmalige Kapitalanlage in ihrer Wertentwicklung
beobachtet haben, sollen nun regelmäßige Einzahlungen auf ein Konto oder
regelmäßige Auszahlungen von einem Konto Gegenstand der Betrachtung
sein.
Bezeichnung: Wir wollen eine Zahlungsfolge reiner Einzahlungen, die in
regelmäßigen Zeitabständen erfolgt, eine Rente nennen. Die regelmäßigen
Zahlungen nennen wir Raten.
Wir werden Renten nach verschiedenen Gesichtspunkten unterscheiden:
• nach Ihrer Dauer (zeitlich begrenzte oder ewige Renten)
• nach der Länge der Zahlungsperioden(volljährig oder unterjährig)
• nach dem Fälligkeitstermin der Raten (nachschüssige oder vorschüssige
Renten)
• nach dem Zeitpunkt der Zinsverrechnung (volljährig oder unterjährig)
Folgende Bezeichnungen sollen vorab festgelegt werden:
r die Ratenhöhe,
66

KAPITEL 3. RENTEN 67
Rn der Rentenendwert, d.h. der Wert aller Zahlungen nach Ablauf der
Rentendauer
R0 der Rentenbarwert, d.h. der Wert von Rn diskontiert auf den Zeitpunkt
t = 0.
n die Anzahl der Zinsverrechnungen
i der Kalkulationszinssatz der Rente.
Im folgenden sollen diese Größen in eine formelmäßige Beziehung gebracht
werden.
3.1 Zinsperiodische konstante Raten
Zunächst wollen wir Renten betrachten, bei denen die Zahlung der Raten jeweils
gleichzeitig mit einer Zinsverrechnung erfolgt. Wir wollen sogar oBdA
annehmen, dass genau zu jeder Zinsverechnung eine Ratenzahlung erfolgt.
Der Fall, daß nicht zu jeder Zinsverrechnung eine Rate fließt, läßt sich dann
leicht auf den zu besprechenden Fall zurückführen (siehe periodisch unterbrochene
Ratenzahlung).
Das Konto, bzgl. dessen wir die Ratenzahlungen betrachten, werde mit einem
Jahreszinssatz i betrachtet. Dies kann der nominelle Zinssatz sein (bei linear
proportionaler Verzinsung) oder der effektive Zinssatz (bei konformer Verzinsung).
Die Zinsverrechnungen mögen 1 −jährig stattfinden mit m ∈ N.
q bezeichne den relevanten Aufzinsungsfaktor pro Zinsperiode, d.h. im Falle
linear proportionaler Verzinsung gilt q = 1+ i
m
m
mit dem relativen Zinssatz i
m ,
im Falle konformer Verzinsung q = (1 + i) 1
m . Die Anzahl der betrachteten
Zinsperioden sei n.
3.1.1 Nachschüssige Ratenzahlung
Zunächst werden wir nachschüssige Renten behandeln, d.h. Renten, bei
denen die Raten jeweils am Ende der Zahlungsperiode im Nachhinein gezahlt
werden.

KAPITEL 3. RENTEN 68
Regelmäßige Einzahlungen
Die folgenden Gleichungen verknüpfen Rentenendwert, Rentenbarwert,
Rate und Laufzeit.
Rentenendwert Offensichtlich gilt für den Endwert Rn der Rente die folgende
Beziehung
Rn = rq n−1 + ... + rq + r = r qn − 1
q − 1 =: rsn. (3.1)
Man nennt den Faktor sn = qn−1 den nachschüssigen Rentenendwert-
q−1
faktor.
Rentenbarwert Entsprechend gilt für den Rentenbarwert
R0 = Rnq −n 1 − q−n
= r
q − 1 =: ran (3.2)
Hierin bezeichnet man an = 1−q−n
q−1 als den nachschüssigen Rentenbarwertfaktor.
Rate und Laufzeit Die Gleichungen können auch nach r bzw n aufgelöst
werden, damit diese Werte berechnet werden können, wenn die übrigen gegeben
sind:
und
q − 1
r = Rn
qn − 1
n =
= Rn
sn
� �
Rn(q−1)
ln + 1
r
ln q
= R0
=
q − 1
R0
=
1 − q−n an
�
− ln
Man beachte hierbei, daß in der letzten Formel
also
1 − R0 (q − 1)
r
> 0
1 − R0(q−1)
r
ln q
�
(3.3)
(3.4)
r > R0 (q − 1) = R0 · i (3.5)

KAPITEL 3. RENTEN 69
gelten muß. Dies kann so interpretiert werden: Ein vorgegebener Rentenbarwert
kann durch die Zahlung der Raten nur erreicht werden, wenn die Raten
groß genug sind, mindestens so groß wie die Zinsen, die man aus dem Barwert
zahlen müsste.
Beispiel 3.1 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines
jeden Jahres 1000 EUR auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden
jeweils am Ende des Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher
Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen
Barwert hat dieser Betrag?
Lösung: Wir setzen in die Rentenformel (3.1) ein
R10 = 1000 1.0610 − 1
0.06
Der Barwert der Rente ergibt sich zu
✷
= 13180.80 [EUR]
R0 = 13180.8 · 1.06 −10 = 7360.10 [EUR]
Als zweites Beispiel betrachten wir dieselbe Situation noch einmal mit dem
Unterschied, daß nun die Zinsperiode ein viertel Jahr betrage und dafür vierteljährlich
nur 250 EUR einbezahlt werden.
Beispiel 3.2 Es werden bei vereinbarten nominellen 6% Zinsen pro Jahr am
Ende eines jeden viertel Jahres 250 EUR auf ein Ansparkonto eingezahlt.
Zinsen werden jeweils am Ende des viertel Jahres verrechnet und dem Konto
gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto
angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag?
Lösung: Es ist mit m = 4, r = 250, i = 0.06, n = 10, q = 1 + i
m
R10 = 250 1.01540 − 1
0.015
= 13566. 97 [EUR]
= 1.015
und damit natürlich ein höherer Wert als zuvor. Genauso ergibt sich mit
R0 = 13566. 97 · 1.015 −40 = 7478. 96 [EUR]
ein höherer Barwert als bei volljähriger Zahlung und Verzinsung (warum?).
✷

KAPITEL 3. RENTEN 70
Regelmäßige Auszahlungen
Bisher haben wir eine einzahlende Rente mit regelmäßigen Einzahlungen
auf ein Konto betrachtet. Betrachten wir als nächstes die Situation, dass auf
einem Konto mit dem Aufzinsungsfaktor q anfänglich ein Betrag Ka liegt, von
dem regelmäßig zum Ende einer Zinsperiode eine Rate r abgehoben werden
soll. Die Bewegungen auf dem Konto entwickeln sich bei einer Laufzeit T von
n Zinsperioden nach der folgenden Klammerfolge
(... (((Kaq − r) q − r) q − r) q... − r) q − r = KT ⇐⇒
Kaq n − rq n−1 − rq n−2 − ... − rq − r = KT ⇐⇒
Kaq n − � r + rq + ...rq n−1� = KT
wobei KT der Kontostand am Ende der n − ten Zinsperiode sei.
Damit ergibt sich
Kaq n − r qn − 1
q − 1
= KT
(3.6)
In diesem Fall kann man zur Interpretation der Formel also von folgendem
Modell ausgehen:
Bei auszahlenden Renten werden die Raten zunächst nicht aus
dem Originalkonto ausgezahlt, sondern ersatzweise von einem separaten
(vituellen) Schuld-Konto abgehoben, das derselben Verzinsung
unterliegt. Am Ende der n Zinsperioden wird das separate
Ratenkonto über das inzwischen voll geometrisch verzinste
Originalkkonto ausgeglichen.
In diesem Sinne können wir mit einer auszahlenden Rente genauso umgehen
wie mit einer einzahlenden Rente!
Beispiel 3.3 Frau T. legt einen Betrag von 10000 EUR auf ein Anlagekonto
mit 4% jährlicher Verzinsung an. Wie lang kann sie von diesem Konto jeweils
zum Jahresende 1000 EUR abheben, bis das Konto abgeräumt ist?

KAPITEL 3. RENTEN 71
Lösung: In der obigen Formel (3.6) setzen wir KT = 0. Somit entsprechen
die anfänglichen Ka = 10000 EUR gemäß Formel (3.2) dem Barwert einer
nachschüssigen Rente mit Rate r = 1000 EUR und Formel (3.4) kann
angewendet werden:
n = − ln � 1 − 10000·0.04
�
1000 = 13.024
ln 1.04
Die Tatsache, daß sich n hier als nichtganzzahlig ergibt, kann folgendermaßen
ausgewertet werden: Die von Ka abhängige Funktion n mit
�
− ln 1 −
n (Ka) =
Ka(q−1)
�
r
ln q
ist für festes q > 1 und r > Ka (q − 1) streng monoton ansteigend wegen
n ′ (Ka) = dn
dKa
= − 1
lnq ·
1
� �
q − 1
· − > 0.
r
1 − Ka(q−1)
r
Deshalb entspricht eine Laufzeit von n = 13 Jahren einem geringeren Anfangskapital
als Ka und eine Laufzeit von n = 14 Jahren einer höheren Anfangskapital
als Ka. Bei einer Laufzeit von 13 Jahren wird also das Anfangskapital
Ka durch die ausgezahlten Raten nicht völlig aufgebraucht.
Die Möglichkeit, 1000 EUR abzuheben, ergibt sich demnach für 13 Jahre,
nicht aber für 14 Jahre. ✷
Zinsberechnung
Gleichung (3.1) oder (3.2) können (bei n > 2) nicht direkt nach dem Aufzinsungsfaktor
q aufgelöst werden, sondern es muß ein Näherungsverfahren
angewendet werden. Zu beobachten ist, daß beide Gleichungen nach der Vorzeichenregel
von Descartes eine eindeutige positive Lösung besitzen, denn es
gilt
(r − Rn) + rq + ... + rq n−1 = 0 mit (r − Rn) < 0 (3.7)
bzw.
r + rq + ... + rq n−1 − R0q n = 0

KAPITEL 3. RENTEN 72
zu lösen. Beide Gleichungen haben genau einen Vorzeichenwechsel. Betrachten
wir Gleichung (3.7) genauer.
Zu bestimmen ist eine positive Nullstelle des Polynoms
Es gilt
und
g (q) = (r − Rn) + rq + ... + rq n−1
g ′ (q) = r + 2rq + ... + (n − 1) rq n−2
g ′′ (q) = 2r + ... + (n − 1) (n − 2) rq n−3
Beide Ableitungen sind positiv für positive q. Nach der Bemerkung zu Lemma
1.10 kann daher das Newton-Verfahren erfolgreich eingesetzt werden, wenn
es von einem beliebigen q0 > 0 startet, z.B. bei q0 = 1.
Ausgehend von der äquvalenten Umformung von (3.7)
q n − 1
q − 1
− Rn
r
kann das Näherungsverfahren aber auch auf ein Polynom mit weniger Koeffizienten
angewendet werden. Dazu wird diese Gleichung mit (q − 1) multi-
pliziert
= 0
g (q) := q n − Rn
� �
Rn
q + − 1 = 0 (3.8)
r r
Es entsteht ein Polynom mit genau zwei positiven Nullstellen: einmal q = 1
und zum anderen die bereits angesprochene Nullstelle von (3.7). Die erste
und die zweite Ableitung von g berechnen sich zu
g ′ (q) = nq n−1 − Rn
r , g′′ (q) = n (n − 1) q n−2
� Rn
Damit gilt (bei n ≥ 2) g ′ (q) > 0 und g ′′ (q) > 0 für alle q > n−1 . Hierbei
nr
ist hauptsächlich der Fall Rn > nr interesssant, da genau dann eine positive
Verzinsung erfolgt.
Für das Polynom liegt also folgende Situation vor:
g hat eine positive Nullstelle bei q = 1.
g hat ein lokales Minimum bei q = n−1
�
Rn
nr

KAPITEL 3. RENTEN 73
g hat eine weitere positive Nullstelle bei q > n−1
Nullstelle.
�
Rn
nr
. Diese ist die gesuchte
Nach der Bemerkung zu Lemma 1.10 kann daher das Newton-Verfahren bei
einem beliebigen q0 > n−1
�
Rn
nr erfolgreich gestartet werden, z.B. bei q0 = Rn
nr .
Ausgehend von Formel (3.2) ergibt sich eine ähnliche Argumentation
(Übungsaufgabe!)
Ewige Renten
Ist bei einer Rente das Zahlungsende ungewiss, ist also darüber keine Vereinbarung
getroffen, so wird n als sehr groß angenommen. In diesem Fall
betrachtet man gerne den Grenzwert für n → ∞ und spricht von einer ewigen
Rente. Bei einer ewigen (nachschüssigen) Rente ist der Rentenbarwert
interessant. Bei unbestimmtem Zahlungsende nähert sich der Rentenbarwert
dem Wert
1 − q−n
R0 = lim r
n→∞ q − 1
r
= . (3.9)
q − 1
Beachte: Es gilt also r = R0 · (q − 1) . Damit gibt die Rate r gerade die
fiktiven Zinsen auf den Barwert an (vgl. dazu (3.5)).
3.1.2 Vorschüssige Renten
Es seien nun ohne Beweise die entsprechenden Formeln für die vorschüssige
Rente angegeben. Für den Rentenendwert ergibt sich
Rn = rq n + ... + rq 2 + rq = rq qn − 1
q − 1 = rqsn =: rs ′ n, (3.10)
und daraus die übrigen Formeln
R0 = Rnq −n 1 − q−n
= rq
q − 1 = rqan =: ra ′ n (3.11)
1 −
r = Rn
1
q
qn 1 −
= R0
− 1 1
q
1 − q−n (3.12)

KAPITEL 3. RENTEN 74
� � �
Rn(q−1)
ln + 1 − ln 1 − rq
n =
=
ln q
R0(q−1)
�
rq
ln q
wobei wieder rq > R0 (q − 1) vorausgesetzt werden muß.
(3.13)
Hierbei nennt man s ′ n = q qn −1
q−1 = qsn den vorschüssigen Rentenendwertfaktor
und a ′ n = q 1−q−n
q−1 = qan den vorschüssigen Rentenbarwertfaktor.
Für die Berechnung von q aus den Formeln (3.10) oder (3.11) gelten ähnliche
Argumente wie im nachschüssigen Fall (Übungsaufgabe!).
Bei den obigen Aufgaben ergeben sich leicht veränderte Ergebnisse, wenn wir
vorschüssige Ratenzahlungen vorsehen.
Beispiel 3.4 Gegeben sei die Aufgabenstellung von Beispiel 3.1. Diesmal
mögen allerdings die Raten vorschüssig gezahlt werden.
Lösung: Es ergibt sich
R10 = 1000 · 1.06 1.0610 − 1
0.06
= 13971.63 [EUR]
R0 = 13971.63 · 1.06 −10 = 7801.69 [EUR] ,
wobei offensichtlich jeweils ein höherer Wert herauskommen muß als bei der
nachschüssigen Rechnung, da die Raten jeweils ein Jahr länger verzinst werden.
✷
Beispiel 3.5 Gegeben sei die Aufgabenstellung von Beispiel 3.3. Diesmal
mögen allerdings die Raten vorschüssig gezahlt werden.
Lösung: Man findet
n = − ln � 1 − 10000·0.04
�
1000·1.04 = 12.379 [Jahre]
ln 1.04
Hier wiederum muß eine kürzere Laufzeit herauskommen, weil die Raten
früher entnommen werden. ✷
Man beachte, daß Probleme mit vorschüssiger Zahlweise in der Regel auch
nachschüssig gerechnet werden können. Bei der letzten Aufgabe z.B. könnte
man nach Zahlung der ersten Rate von einem anfänglichen Kontostand von
nur 9000 EUR ausgehen und nachschüssig rechnen.

KAPITEL 3. RENTEN 75
Ewige Renten
Bei der ewigen (vorschüssigen) Rente nähert sich der Rentenbarwert dem
Wert
1 − q−n rq
R0 = lim rq =
n→∞ q − 1 q − 1
(3.14)
3.1.3 Aufgeschobene und unterbrochene Renten
Kurz angesprochen werden sollen die Situationen der aufgeschobenen oder
unterbrochenen Renten. Hier setzen Ratenzahlungen erst später ein oder
werden zwischenzeitlich für eine Weile unterbrochen. Zur Erläuterung dieser
Fälle seien zwei Beispiele angegeben.
Beispiel 3.6 Eine Rente von jährlich 2000 EUR soll erst nach Ablauf von
6 Jahren beginnen und dann 8 mal hintereinander ausgezahlt werden. Wie
hoch ist der Barwert der Rente bei einem angenommenen Jahreszinsfuß von
5%?
Lösung: Man kann nachschüssig oder vorschüssig rechnen. Wir rechnen
nachschüssig.
Die Rente hat zu Beginn des 6. Jahres einen Wert von
2000 1
1.058 1.058 − 1
1.05 − 1
= 12926.43 [EUR]
Dieser Wert muß noch weitere 5 Jahre abgezinst werden, um den gesuchten
Barwert zu erhalten
R0 = 1.05 −5 · 12926.43 = 10128.20 [EUR]
Beispiel 3.7 Der Holzbestand einer Gemeinde wirft am Ende des 14. bis
zum Ende des 17. Jahres einen Ertrag von jeweils 6000 EUR ab; desgleichen
nach Wiederaufforstung am Ende des 28. bis zum Ende des 31. Jahres und am
Ende des 42. Jahres bis zum Ende des 45. Jahres. Wie hoch ist der Barwert
aller Beträge bei angenommener jährlicher Verzinsung von 5%?
✷

KAPITEL 3. RENTEN 76
Lösung: Man faßt die drei Ertragsperioden als nachschüssige Renten auf
und zinst sie anschließend auf den Barwert ab.
Es ergibt sich als Wert der Rente für 4 Jahre ab dem 14. Jahr zu Beginn des
14. Jahres:
R14 = 6000
1.054 1.054 − 1
= 21275.70 [EUR]
1.05 − 1
Da die Ertragsperioden jeweils 4 Jahre betragen, ergibt sich der gleiche Betrag
auch als Wert R28 der Rente zu Beginn des 28. Jahres und als Wert R42
zu Beginn des 42. Jahres.
Dadurch ergibt sich insgesamt als Barwert des gesamten Ertrages
R0 = 21275.70 � 1.05 −13 + 1.05 −27 + 1.05 −41� = 19859.83 [EUR]
Der Barwert des gesamten Ertrages beläuft sich also auf 19859, 83 EUR. ✷
Periodisch unterbrochene Ratenzahlungen
Ist die Unterbrechung der Ratenzahlungen nach jeweils einer Zahlung regelmäßig,
d.h. unterbleibt nach einer laufenden Ratenzahlung die weitere
Ratenzahlung für s Perioden, wird also erst nach s Perioden die nächste
Rate gezahlt, so können die jeweils s Perioden ohne Ratenzahlung zu einer
Ersatz-Periode zusammengefasst werden, für die dann der Aufzinsungsfaktor
q s gilt, denn genau dieser beschreibt das Anwachsen durch den Zinseszinseffekt
während der Zeit ohne Ratenzahlung. In den obigen Formeln ist also
nur q durch q s zu ersetzen.
Bei dem folgenden Beispiel wird Beispiel 3.1 leicht verändert und so ein
Vergleich ermöglicht.
Beispiel 3.8 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines
jeden Jahres 1000 EUR auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden
jeweils am Ende jedes halben Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben.
Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt?
Welchen Barwert hat dieser Betrag?
Lösung: Wir setzen in die Rentenformel (3.1) mit q = � 1 + 1
20.06� 2
= 1. 0609
ein
R10 = 1000 1.060910 − 1
= 13236. 64 [EUR]
0.0609

KAPITEL 3. RENTEN 77
Der Barwert der Rente ergibt sich zu
✷
R0 = 13236. 64 · 1.0609 −10 = 7328. 81 [EUR]
3.2 Unterzinsperiodische konstante Raten
Wir besprechen nun den Fall, dass die Ratenzahlungen einer Rente nicht
nur zu den Zinsterminen, sondern unterzinsperiodisch erfolgen. Unabhängig
davon kann die Zinsverrechnung volljährig oder unterjährig erfolgen, wobei
die Ratenzahlungen teilweise mit Zinsterminen übereinstimmen können oder
nicht.
3.2.1 Volljährige Zinsperioden
Der häufigste Fall ist der, daß die Ratenzahlung unterjährig und die Verzinsung
volljährig erfolgt, also die Periode der Verzinsung nicht mit der Periode
der Ratenzahlung übereinstimmt.
Betrachten wir m feste Zahlungen pro Jahr, die in gleichlangen Zeitabständen
erfolgen mögen, eine davon zum Zinstermin. Die Zahlungsperiode beträgt
-tel Jahr, der nominelle Jahreszinssatz sei i.
also 1
m
In Deutschland verwendet man zur Bearbeitung dieser Situation das folgende
Prinzip der Ersatzrate :
Alle im Laufe einer Zinsperiode gezahlten Raten werden auf ein
(virtuelles) Ersatzkonto mit gleichem nominellen Jahreszinssatz i
eingezahlt und dort der einfachen Verzinsung unterworfen. Das
sich am Ende der Zinsperiode aus den eingezahlten Raten ergebene
Kapital wird dem Ersatzkonto entnommen und nachschüssig
als Ersatzrate rE zum Zinstermin in die Rente eingebracht.

KAPITEL 3. RENTEN 78
Nachschüssige Renten
Bei nachschüssigen Renten erfolgen die Zahlungen jeweils am Ende einer
Zahlungsperiode. Für die Ermittlung der Ersatzrate ergibt sich daher die
folgende Formel
� � �
q − 1
1 + + r 1 +
m
q − 1
= rm + r (1 + 2 + ... + (m − 1))
m
rE = r + r
� �
2 (q − 1)
+ ... + r 1 +
m
�
(m − 1) (q − 1)
m
Nach Anwendung der arithmetischen Summenformel ergibt sich daraus
�
�
q − 1
rE = r m + (m − 1)
(3.15)
2
Diese festen jährlichen Ersatzraten können wir in die Formeln der nachschüssigen
volljährigen Rente des letzten Abschnitt einsetzen. Dadurch erhalten wir
�
� n (q − 1) q − 1
Rn = r m + (m − 1)
(3.16)
2
q − 1
bzw.
sowie
und
n =
�
ln
�
� −n
(q − 1) 1 − q
R0 = r m + (m − 1)
2
q − 1
r = Rn
= R0
�
(q − 1)
m +
Rn(q−1)
r(m+ (q−1) + 1
(m−1)) 2
ln q
�−1 q − 1
(m − 1)
2
qn − 1
�
�−1 (q − 1)
q − 1
m + (m − 1)
2
1 − q−n �
=
�
− ln 1 −
R0(q−1)
r(m+ (q−1)
�
(m−1))
2
ln q
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Zum Vergleich mit der jährlichen Ratenzahlung rechnen wir noch einmal
Beispiel 3.1 bei entsprechender unterjähriger Ratenzahlung.

KAPITEL 3. RENTEN 79
Beispiel 3.9 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines
jeden viertel Jahres 250 EUR auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden
jeweils am Ende des Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher
Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen
Barwert hat dieser Betrag?
Lösung: Es ist mit m = 4, r = 250, i = 0.06, n = 10
�
R10 = 250 4 + 0.06
2 3
� 10 1.06 − 1
= 13477.40 [EUR]
0.06
und
R0 = 13477.40 · 1.06 −10 = 7525.70 [EUR]
mithin höhere Werte als bei der jährlichen Zahlungsweise, was verständlich
ist, da zwischenzeitliche, wenn auch einfache unterjährige Verzinsung der
Raten erfolgt. ✷
Bemerkung: Bei der ewigen (nachschüssigen) Rente ergibt sich als Rentenbarwert
R0 =
=
�
� −n
(q − 1) 1 − q
lim r m + (m − 1)
n→∞ 2
q − 1
�
r
m +
q − 1
1
�
(m − 1) (q − 1)
2
(3.20)
Vorschüssige Renten
Bei vorschüssigen Renten erfolgen die Zahlungen für die Zahlungsperiode bereits
am Anfang der Zahlungsperiode. Entsprechend dem Prinzip der Ersatzrate
werden die einzelnen vorschüssigen Raten, die innerhalb eines Jahres
gezahlt werden, zu einer jährlich nachschüssig zu zahlenden Ersatzrate rE
zusammengefasst, wobei diese Raten einfach verzinst werden. Es ergibt sich
� � �
� �
�
q − 1
2 (q − 1)
m (q − 1)
rE = r 1 + + r 1 + + ... + r 1 +
m
m
m
q − 1
= rm + r (1 + 2 + ... + m)
� m �
q − 1
= r m + (m + 1)
2

KAPITEL 3. RENTEN 80
Diese Ersatzrate wird am Ende der Zinsperiode in die Rente eingebracht.
Daraus leiten sich für Rentenendwert und Rentenbarwert die folgenden Beziehungen
her:
�
� n (q − 1) q − 1
Rn = r m + (m + 1)
(3.21)
2
q − 1
bzw.
sowie
und
n =
�
ln
�
� −n
(q − 1) 1 − q
R0 = r m + (m + 1)
2
q − 1
r = Rn
= R0
�
(q − 1)
m +
Rn(q−1)
r(m+ (q−1) + 1
(m+1)) 2
ln q
�−1 q − 1
(m + 1)
2
qn − 1
�
�−1 (q − 1)
q − 1
m + (m + 1)
2
1 − q−n �
=
�
− ln 1 −
R0(q−1)
r(m+ (q−1)
�
(m+1))
2
ln q
Für die ewige (vorschüssige) Rente ermitteln wir diesmal
R0 = r
�
�
(q − 1)
m + (m + 1)
q − 1 2
3.2.2 Unterjährige Zinsperioden
(3.22)
(3.23)
(3.24)
Sind pro Jahr s Zinsverrechnungsperioden vereinbart und pro Zins-periode
noch einmal m Zahlungsperioden, so sind alle obigen Formeln unverändert zu
benutzen, wenn anstelle des Jahreszinses i der relative Zinssatz i
s verwendet
wird. Für q ist also � 1 + i
�
einzusetzen.
s
Die Laufzeit wird dabei weiterhin über die Zinsperioden abgezählt, d.h. n
gibt die Anzahl der Zinsperioden über die gesamte Laufzeit an.
Zur Illustration greifen wir noch einmal unser letztes Beispiel auf:

KAPITEL 3. RENTEN 81
Beispiel 3.10 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines
jeden viertel Jahres 250 EUR auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen
werden jeweils halbjährlich verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher
Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen
Barwert hat dieser Betrag?
Lösung: Es ist mit s = 2, m = 2, r = 250, i = 0.06, i = 0.03, n = 20
s
�
R20 = 250 2 + 0.03
2 1
� 20 1.03 − 1
= 13535.95 [EUR]
0.03
und
R0 = 13535.95/ (1.03) 20 = 7494.50 [EUR]
Man beachte, daß sich hierbei für den Rentenendwert ein höherer und für
den Rentenbarwert ein niedrigerer Wert ergibt. ✷
3.2.3 Asyncrone konstante Raten
In manchen Fällen der Praxis erfolgen Ratenzahlungen zwar periodisch, aber
nicht syncron mit den Zinsverrechnungsterminen. In diesen Fällen muß wie
oben beschrieben für jede Zinsperiode eine Ersatzrate berechnet werden.
Sinnvollerweise erfolgt dies unter Verwendung von Tageszinsen auf dem Ersatzkonto.
Beispiel 3.11 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr einmal pro
viertel Jahres 250 EUR auf ein Ansparkonto eingezahlt. Die Einzahlung erfolge
10 Tage nach Beginn des viertel Jahres, Zinsen werden jeweils halbjährlich
verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. (Z.B. erfolge die Ratenzahlung
jeweils zum 10.Januar, 10.April, 10. Juli, 10. Oktober, während die Zinsverechnung
zum 31. Juni und zum 31. Dezember erfolgt.)
Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen
Barwert hat dieser Betrag?
Lösung: Es ist eine halbjährige Ersatzrate rE zu berechnen. Dies geschieht
wie folgt:
�
rE = 250 1 + [20 + 5 · 30] 0.06
� �
+250 1 + [20 + 2 · 30]
360
0.06
�
= 510. 41667
360

KAPITEL 3. RENTEN 82
Damit ergibt sich als Rentenendwert
R20 = 510. 41667 1.0320 − 1
0.03
= 13715. 09 [EUR]
Dieser liegt natürlich höher als der entsprechende Wert bei nachschüssiger
vierteljährlicher Ratenzahlung wie sie im letzen Beispiel erfolgte. Ferner ergibt
sich als Rentenbarwert
R0 = 13715. 09/ (1.03) 20 = 7593. 71 [EUR]
ein höherer Wert als bei der nachschüssigen vierteljährlichen Ratenzahlung.
✷
3.2.4 Effektive Verzinsung
Die bisherigen Formeln zur Rentenberechnung kranken aus Sicht der wirklichen
Verzinsung im Sinne des exponentiellen Modells wieder an der zwischenzeitlichen
Verwendung von relativen Zinssätzen und einfacher Verzinsung.
Die wirkliche Verzinsung der eingezahlten Raten r erhielte man, wenn
man jede Rate mit dem Faktor q t multiplizierte, wobei t die Restlaufzeit der
Rate (in Jahren) sei, also die Zeitspanne, die von der Einzahlung der Rate bis
zum Ende der Laufzeit der Rente vergeht. Dies entspricht der konformen (tagesgenauen)
Verzinsung einer jeden Rate mit anschließlicher Aufsummierung
der Endwerte.
Ist der Rentenendwert Ke einer gegebenen Rente über gewisse
Zins- oder Sonderzahlungen ermittelt worden, so bezeichnet man
den Jahreszinssatz ieff als effektiven Jahreszinssatz, für den
die konforme Verzinsung aller Raten in der Aussummierung genau
den berechneten Rentenendwert ergibt.
Einzahlende Rente
Dies bedeutet laut PAngV bei einer einzahlenden Rente, bei der s Raten
r1, ..., rs zu den Zeitpunkten t1, ..., ts (Tage nach Rentenbeginn) gezahlt werden
und die eine Laufzeit von T Jahren hat: Zu lösen ist mit qeff = 1 + ieff

KAPITEL 3. RENTEN 83
die Gleichung
Ke =
s�
k=1
T −Tk rkqeff (3.25)
wobei Tk ∈ Q die Bruchteile eines Jahres angeben, die vom Beginn der
Rentenzahlung bis zum Zeitpunkt tk verstrichen sind.
Alle Exponenten dieser Gleichung haben als rationale Zahlen einen gemeinsamen
Hauptnenner, sagen wir m ∈ N. 1 gibt den größten Bruchteil eines
m
Jahres, die Elementar-Zinsperiode an, bzgl. derer die Zahlungen eine Rente
darstellen, bei der alle Zahlungen zu einem (fiktiven) Zinstermin erfolgen.
Mit der Abkürzung x := q 1
m
eff
Nullstelle des Polynoms
f (x) =
ergibt sich daraus die Aufgabe, eine positive
s�
rkx nk − Ke
k=1
mit gewissen natürlichen Exponenten nk zu berechnen. x gibt den Aufzinsungsfaktor
der Elementarperiode an.
Im Gegensatz zur bisherigen Berechnung von effektiven Jahreszinssätzen
kann die polynomiale Gleichung
s�
rkx nk − Ke = 0 (3.26)
k=1
in der Regel nicht analytisch nach x aufgelöst werden. Nach der Vorzeichenregel
von Descartes besitzt die Gleichung aber genau eine positive Lösung
x ∗ , da natürlich Ke, r1, ..., rs > 0 vorausgesetzt werden können.
Wegen f (0) = −Ke < 0 und f (1) = −Ke + � s
k=1 rk < 0 muß sogar x ∗ > 1
gelten. Damit gilt auch qeff > 1, also ieff > 0.
Zu beachten ist, dass f ′ (x) > 0 und f ′′ (x) > 0 gelten für alle x ∈ R++,
so dass das Newton- Verfahren zur Lösung von (3.26) von jeder beliebigen
Stelle x0 ∈ R++ mit Erfolg gestartet werden kann!
Ist die Elementar-Zinsperiode sehr klein, so empfliehlt es sich allerdings, mit
dem Newton-Verfahren die (3.26) entsprechende Gleichung in der Variablen
q zu lösen. Diese besitzt ebenso genau eine positive Nullstelle und kann von
jedem beliebigen positiven q0 gestartet werden.

KAPITEL 3. RENTEN 84
Die bisherige Betrachtung berücksichtigt noch in keiner Weise die Periodizität
der Ratenzahlungen. Alle Aussagen gelten für eine beliebige Folge von
positiven Zahlungen aus einem anfänglich leeren Konto. Verwendet man die
doppelte Teilbarkeitseigenschaft der konformen Verzinsung, so kann auf die
Konstruktion einer Ersatzrate rE zurückgegriffen werden, um mit der normalen
Rentenendwertformel (3.1) zu arbeiten. Zur Berechnung der Ersatzreate
werden alle Ratenzahlungen innerhalb eines Jahres auf ein Ersatzkonto eingezahlt,
das mit dem effektiven Jahreszinssatz konform verzinst wird. Zum
Ende des Jahres wird der Kapitalendwert des Ersatzkontos als Ersatzrate rE
auf das Originalkonto eingezahlt.
Wir prüfen diese zweite Vorgehensweise am Beispiel 3.11.
Beispiel 3.12 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr einmal pro
viertel Jahres 250 EUR auf ein Ansparkonto eingezahlt. Die Einzahlung erfolge
10 Tage nach Beginn des viertel Jahres, Zinsen werden jeweils halbjährlich
verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. (Z.B. erfolge die Ratenzahlung jeweils
zm 10.Januar, 10.April, 10. Juli, 10. Oktober, während die Zinsverechnung
zum 30. Juni und zum 31. Dezember erfolgt.)
Welchen effektiven Jahreszinsfuß hat die Anlage?
Lösung: Der berechnete Rentenendwert lautete: Ke = 13715. 09.
Die Ersatzrate rE berechnet sich über den effektiven Aufzinsungsfaktor qeff =
(1 + ieff) zu
�
rE = 250 q
10
1− 365
eff
3
12 + q1−
eff
− 10
365
so dass die zu lösende Gleichung lautet
�
13715. 09 = 250 q
10
1− 365
eff
3
12 + q1−
eff
− 10
365
+ q
+ q
6 10
1− − 12 365
eff
6 10
1− − 12 365
eff
+ q
+ q
9 10
1− − 12 365
eff
9 10
1− − 12 365
eff
�
� 10 qeff − 1
qeff − 1
1
Die Elementar-Zinsperiode ist hier Jahre. Dies entspricht zwei Stunden.
4380
Daher löst man am besten die Gleichung
� 10
1− 365
13715. 09 (qeff − 1) = 250 q
3 10
− 12 365 + q1−
6 10
9 10 �
1− − 1− − �q
12 365
12 365 10
+ q + q eff − 1 �
eff
eff
mit dem Newton-Verfahren, da die entsprechende polynomiale Gleichung
für x := q 1
4380 eine Ordnung von 43800 · 4255 hätte.
eff
eff
eff

KAPITEL 3. RENTEN 85
Wir wissen bereits, dass diese Gleichung außer x = 1 noch genau eine positive
Lösung besitzt. Als eindeutige Lösung q > 1 ergibt sich schließlich qeff =
1. 06090 81. Der effektive Jahreszinsfuß liegt also bei peff = 6.09%. ✷
Auszahlende Rente
Bei einer auszahlenden Rente, bei der aus einem Anfangskapital Ka fortlaufende
Zahlungen r1, ..., rs zu den Zeitpunkten t1, ..., ts nach Rentenbeginn
über eine Laufzeit T erfolgen, berechnet sich der effektive Jahreszinssatz ieff
nach analog nach folgender Formel (vgl. (3.6))
Kaq T eff =
s�
k=1
T −Tk rkqeff + KT
wobei wieder Tk ∈ Q die Bruchteile eines Jahres angeben, die vom Beginn
der Rentenzahlung bis zum Zeitpunkt tk verstrichen sind und qeff = 1 + ieff
gesetzt wurde. Alle obigen Überlegungen sind weiterhin gültig, solange dabei
Verwendung finden kann.
Ke = Kaq T eff
3.3 Volljährige veränderliche Raten bei volljähriger
Verzinsung
Zuweilen wird bei Renten eine additive oder prozentuale Veränderung der
laufenden Raten vereinbart. So kann z.B. vereinbart sein, zur schnelleren
Tilgung eines Kredits die Zahlungen laufend um 2% zu erhöhen. Wir wollen
solche Fälle exemplarisch für volljährige Raten mit volljähriger Verzinsung
besprechen. Bei unterjähriger Verzinsung ist mit den entsprechenden Ersatzraten
zu arbeiten.
3.3.1 Arithmetisch fortschreitende Raten
Zunächst betrachten wir den Fall, daß die Ratenzahlungen laufend um einen
festen Betrag d steigen.
rs = r + (s − 1) d, s ∈ N

KAPITEL 3. RENTEN 86
Für den Endwert der nachschüssigen Rente ergibt sich dann (vgl. 3.1)
Rn = rq n−1 + (r + d) q n−2 + ... + (r + (n − 1) d) (3.27)
= r
n�
q n−j �n−1
+ d jq n−j−1
j=1
j=0
Aus der folgenden Zwischenüberlegung ergibt sich eine Zusammenfassung
dieser Formel ( d bezeichnet die Ableitung nach q)
dq
�n−1
(−j) q
j=1
−j−1 �n−1
d
=
dq
j=1
q−j = d
�
�n−1
q
dq
j=0
−j
�
= d
� −n q − 1
dq q−1 �
=
− 1
also
�n−1
jq n−j−1 = −q n
�
j=0
schließlich also
Rn = r qn − 1
q − 1
=
Daher gilt für den Barwert:
1
q − 1
−n
−n
(q−1 − 1) qn+1 − q−n − 1
(q − 1) 2
(q −1 − 1) q n+1 − q−n − 1
� q n − 1
q − 1
�
(q − 1) 2
�
− n = 1
q − 1 [sn − n] (3.28)
� �
n d q − 1
+ − n = rsn +
q − 1 q − 1 d
q − 1 (sn − n) (3.29)
R0 = Rn 1 − q−n d
= r +
qn q − 1 q − 1
� 1 − q −n
q − 1
n
−
qn �
Die entsprechenden Formeln für die vorschüssige Rente lauten
Rn = rq qn � �
n − 1 dq q − 1
+ − n
q − 1 q − 1 q − 1
und
1 − q−n dq
R0 = rq +
q − 1 q − 1
� 1 − q −n
q − 1
(3.30)
= rs ′ n + d
q − 1 (s′ n − nq) (3.31)
n
−
qn �
= ra ′ n + d
�
a
q − 1
′ n − n
�
qn−1 (3.32)

KAPITEL 3. RENTEN 87
Beispiel 3.13 Ein Betrag von 10000 EUR wird auf ein Konto eingezahlt
und zu 6% verzinst. Mit welchem Auszahlungs-Betrag kann eine jeweils zum
Jahresende auszuzahlende Rente aus diesem Konto beginnen, wenn die Zahlungen
über 10 Jahre laufen und jährlich um 50 EUR steigen sollen und das
Konto am Ende leergeräumt sein soll? Wie groß ist die letzte Rate?
Lösung: Mit R0 = 10000, q = 1.06, d = 50 und n = 10 wird in die Formel
für die nachschüssige Rente eingesetzt und nach r aufgelöst
r = R0
�
(q − 1) d q − 1
− 1 − n
1 − q−n q − 1 qn �
− 1
= 10000 · 0.06
�
50
0.06
− 1 − 10
1 − 1.06−10 0.06 1.0610 �
= 1157.60
− 1
Die anfängliche Rate beträgt also 1157.60 EUR und die letzte
1157.60 + 9 · 50.00 = 1607.60 EUR. ✷
Für die ewige Rente gilt im nachschüssigen Fall
� −n
1 − q−n d 1 − q n
R0 = lim r + −
n→∞ q − 1 q − 1 q − 1 qn �
= r
q − 1 +
d
(q − 1) 2
und im vorschüssigen Fall
1 − q−n dq
R0 = lim rq +
n→∞ q − 1 q − 1
� 1 − q −n
q − 1
n
−
qn �
Allgemeine arithmetisch fortschreitende Rente
(3.33)
q q
= r + d 2 (3.34)
q − 1 (q − 1)
Nun seien ohne Beweis noch Formeln für die folgende allgemeine arithmetisch
fortschreitende Rente genannt. Bei dieser wird nicht bei jedem Zinsverrechnungstermin
die laufende Rate um den Betrag d erhöht, sondern nach jeweils
w Zinsperioden. Dabei dürfen wir n > w > 1 annehmen, da sich sonst die
Situation nicht von den bisherigen unterscheidet. Zu beachten ist, daß n kein
ganzzahliges Vielfache von w sein muß.
Gilt (k − 1) w < n ≤ kw für ein k ∈ N, so erhält man für den nachschüssigen
Fall die folgende Identität
Rn = 1
�
r (q
q − 1
n � n n−(k−1)w
q − q
− 1) + d
qw ��
− (k − 1) (3.35)
− 1

KAPITEL 3. RENTEN 88
und für den vorschüssigen Fall
Rn = q
q − 1
�
r (q n − 1) + d
� q n − q n−(k−1)w
q w − 1
��
− (k − 1)
(3.36)
Man beachte, daß sich für w = 1 und k − 1 = n gerade die alten Formeln
ergeben.
3.3.2 Geometrisch fortschreitende Renten
Wir vergrößern nun die zu zahlende Rate nach jeder Zahlungsperiode über
einen Vergrößerungsfaktor c > 1
rs = rc s−1 , s ∈ N
Dadurch ergibt sich für den Rentenendwert für die nachschüssige Rente
Rn = rq n−1 + crq n−2 + ... + c n−1 r
� �2 = rq n−1
1 + c
q +
= rq n−1
�n−1
� �j c
q
j=0
� c
q
+ ... +
� � �
n−1
c
q
(3.37)
Bei Anwendung der geometrischen Teilsummenformel müssen wir die Fälle
q = c und q �= c unterscheiden
Rn =
� r c n −q n
, für c �= q
c−q
rnqn−1 , für c = q
Daraus ergibt sich dann eine Formel für den Rentenbarwert
� c (
R0 =
r
q) n −1
, für c �= q
c−q
, für c = q
r n
q
(3.38)
(3.39)
Entsprechende Formeln können auch für die vorschüssige Rente ermittelt
werden
� c
rq
Rn =
n−qn , c−q
rnq
für c �= q
n , für c = q
(3.40)

KAPITEL 3. RENTEN 89
und
R0 =
�
c (
rq
q) n −1
, für c �= q
c−q
rn, für c = q
(3.41)
Beispiel 3.14 Wir rechnen noch einmal das letzte Beispiel, diesmal aber mit
einer 5% tigen Steigerung der Rate.
Lösung: Es gilt nun mit R0 = 10000, c = 1.05, q = 1.06, n = 10
� �n c
q
r = R0 (c − q)
= 10000 · (1.05 − 1.06)
− 1
� �
1.05 10
− 1
1.06
= 1105.80
Die anfängliche Rate beträgt also 1105.80 EUR und die letzte 1105.80 ∗
1.05 9 = 1715. 5 EUR. ✷
Im Falle einer ewigen Rente ergibt sich ein endlicher Rentenbarwert nur, wenn
c < q gilt, wenn also die Steigerung der Zahlungen unterhalb der Verzinsung
liegt. Es gilt dann im nachschüssigen Fall
R0 = lim
n→∞ r
� c
q
� n
c − q
− 1
und im vorschüssigen Fall
� �n c − 1 q
R0 = lim rq
n→∞ c − q
= r
q − c
= rq
q − c
Allgemeine geometrisch fortschreitende Rente
(3.42)
(3.43)
Ohne Beweis seien wieder die Formeln für die allgemeine geometrisch fortschreitende
Rente angegeben. Bei dieser wird nicht bei jedem Zinsverrechnungstermin
die laufende Rate um den Faktor c erhöht, sondern nach jeweils
w Zinsperioden. Dabei dürfen wir n > w > 1 annehmen, da sich sonst die
Situation nicht von den bisherigen unterscheidet. Zu beachten ist, daß n kein
ganzzahliges Vielfache von w sein muß.

KAPITEL 3. RENTEN 90
Gilt (k − 1) w < n ≤ kw für ein k ∈ N, so erhält man für den nachschüssigen
Fall die folgende Identität
Rkw =
�
r(qw−1) q−1 kq(k−1)w für c = qw r(qw−1) q
q−1
kw−ck qw für c �= q −c w und (3.44)
Rn = R(k−1)wq n−(k−1)w + r
q − 1 ck−1 � q n−(k−1)w − 1 �
und für den vorschüssigen Fall
Rkw =
(3.45)
�
rq(qw −1)
q−1 kq(k−1)w für c = qw rq(qw −1) q
q−1
kw−ck qw für c �= q −c w und (3.46)
Rn = R(k−1)wq n−(k−1)w + rq
q − 1 ck−1 � q n−(k−1)w − 1 �
(3.47)
Man beachte, daß sich für w = 1 und k − 1 = n die alten Formeln ergeben.
3.4 Übungsaufgaben
3.4.1 Theoretische Aufgaben
Aufgabe 3.15 Diskutieren Sie die (numerische) Auflösung der Formeln (3.2),
(3.10) und (3.11) nach q über das Newtonverfahren für Polynome
Aufgabe 3.16 Beweisen Sie die Formeln für die allgemeine arithmetisch
fortschreitende und die allgemeine geometrisch fortschreitende Rente.
3.4.2 Praktische Aufgaben
Aufgabe 3.17 Frau Z. zahlte am 1.1.1988 80000 DM auf einer Bank ein.
Zu Beginn eines jeden weiteren Jahres wurden jährlich 4000 DM angespart,
und zwar letzmalig am 1.1.1997. Ab 1.1.1998 wurden jährlich am Jahresanfang
6000 DM abgehoben. Welchen Kontostand weist das Konto am 31.12.
2001 auf, wenn durchgehend ein Jahreszinsfuß von 5.5% gültig ist? Welche
ewige nachschüssige jährliche Rente (in EUR) könnte dem Konto ab dem
31.12.2002 entnommen werden, wenn der Jahreszinsfuß unverändert bleibt?

KAPITEL 3. RENTEN 91
Aufgabe 3.18 Ein Unternehmer möchte drei Maschinen zum Preis von jeweils
30000 EUR anschaffen. die erste Maschine soll Anfang 2006, die zweite
Anfang 2008 und die dritte Anfang 2011 installiert werden. Wie hoch ist bei
einem Zinsfuß von 5% die jährliche Rücklage des Unternehmers, wenn die
erste jährliche Rücklage Anfang 1999 erfolgte und die letzte Anfang 2003
erfolgen soll?
Aufgabe 3.19 Herr P. zahlt jeweils zum 1. und zum 15. eines jeden Monats
200 EUR auf ein Konto ein. Die Verzinsung erfolgt vierteljährlich mit 1.25%.
1. Berechnen Sie den Kontostand nach 10 Jahren.
2. Welcher Betrag müsste jeweils zu Jahresbeginn alternativ eingezahlt
werden, damit nach 10 Jahren der gleiche Kontostand erreicht würde?
3. Wie lange könnten dem Konto (nach 10 Jahren) bei gleicher Verzinsung
monatlich vorschüssig 500 EUR entnommen werden?
Aufgabe 3.20 Jemand zahlt 15 Jahre lang jeweils jährlich vorschüssig 6000
EUR auf ein Konto ein und erhält am Ende 150000 EUR ausbezahlt.
a) Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz.
Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz, falls bei gleicher Auszahlung monatlich
b) vorschüssig
c) nachschüssig
jeweils 500 EUR eingezahlt werden?
Aufgabe 3.21 Herr K. verkauft sein Haus um 300000 EUR. Der Käufer
zahlt jedoch nicht sofort, sondern in Form einer zwanzigjährigen monatlich
vorschüssig zu zahlenden Rente. Gesucht wird bei einem vereinbarten Jahreszinsfuß
von 7% der monatliche Rentenbetrag?

KAPITEL 3. RENTEN 92
Aufgabe 3.22 Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag über 180000
EUR ab. Bis zur Zuteilung in 8 Jahren sollen einschließlich anfallender Zinsen
40% der Bausparsumme eingezahlt sein.
1. Welcher konstante Betrag muß vierteljährlich vorschüssig 8 Jahre lang
eingezahlt werden bei einem (jährlichen) Guthabenzins von 2.5%?
2. Nach der Zuteilung wird ein Bauspardarlehen von 108000 EUR ausgezahlt.
Die Verzinsung erfolgt vierteljährlich zu einem nominellen Jahreszins
von 4.5%. Welcher nachschüssige monatliche Betrag muß gezahlt
werden, damit das Darlehen nach genau 10 Jahren zurückgezahlt
ist?
Aufgabe 3.23 Ein Handwerker möchte von seinem 60. Geburtstag an 20
Jahre lang eine monatliche vorschüssige Rente von 1500 EUR ausgezahlt bekommen,
die jährlich um 2% steigen soll. Welchen Betrag muß er dafür 30
Jahre lang bis zu seinem 60. Geburtstag vierteljährlich nachschüssig ansparen,
wenn der Jahreszinssatz sowohl während der Anspar- als auch während
der Auszahlungszeit 5.5% beträgt?
Aufgabe 3.24 Eine vorschüssige Jahresrente von 15000 EUR soll jedes
Jahr um 300 EUR (bzw. 2%) erhöht werden. Welcher Betrag muß bei einem
Jahreszinsfuß von 6.5% dafür angelegt werden, damit die Rente vorschüssig
15 Jahre lang gezahlt werden kann? Welcher Betrag muß angelegt werden,
damit die Rente bei gleichen Konditionen sogar ewig gezahlt werden kann?
Aufgabe 3.25 Eine Firma macht einem Angestellten bzw. dessen Hinterbliebenen
folgende Pensionszusage für 20 Jahre. Monatlich werden vorschüssig
1200 EUR gezahlt. Die Rente wird alle zwei Jahre um 3% erhöht.
1. Gesucht ist der Rentenendwert nach 20 Jahren bei einem Jahreszinssatz
von 5%.
2. Welchen Betrag muß die Firma bei gleichem Kapitalzinssatz zu Beginn
der Laufzeit für die Pensionsrückstellungen einsetzen?

KAPITEL 3. RENTEN 93
3.4.3 Progammierpraxis
Aufgabe 3.26 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das auf der Basis
der Formeln (3.16) und (3.17) fehlende Daten zu einer Rente mit unterjährigen
Raten und volljähriger Verzinsung berechnet. Verwenden Sie dabei
die Berechnung von q auch zur Effektivzinsberechnung.
Aufgabe 3.27 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm zur Rentenrechnung,
das folgendes leistet: Zu allgemeiner geometrisch fortschreitender oder
allgemeiner arithmetisch fortschreitender vorschüssiger oder nachschüssiger
Rentenzahlung werden Rentenendwert, Rentenbarwert und Laufzeit berechnet,
je nachdem welche Daten gegeben sind. Außerdem sollen bei gegebener
Anfangsrate, dem Barwert und der Laufzeit die jeweils (maximale) arithmetische
oder geometrische Steigerungsrate der Rente berechnet werden können.

Kapitel 4
Ausgleich negativer
Kontostände - Tilgung
In diesem Abschnitt betrachten wir regelmäßige Einzahlungen auf ein Kreditkonto,
die dazu dienen sollen, einen bestehenden negativen Kontostand sowie
die darauf anfallenden Schuldzinsen in einem vorgesehenen Zeitrahmen, der
Laufzeit, auszugleichen. Die in der Regel in gleichen Zeitabständen in gleicher
Höhe fließenden Zahlungen nennt man Annuitäten. Die Annuitäten müssen
so bemessen sein, daß das Schuldkonto am Ende der Laufzeit ausgeglichen ist.
Sie enthalten also einen Tilgungsanteil, der einen Teil der verbleibenden Restschuld
zurückzahlt und einen Zinsanteil, der die auf die Restschuld fälligen
Zinsen beinhaltet. Sind die Annuitäten konstant, so nimmt der Tilgungsanteil
im Laufe der Zeit immer weiter zu, da der Zinsanteil wegen fallender
Restschuld immer weiter abnimmt.
Ein Darlehen, das über (zumeist konstante) Annuitäten zurückgezahlt wird,
nennen wir Annuitätendarlehen. Des weiteren sind Tilgungen gebräuchlich,
bei denen die Annuitäten im Laufe der Zeit in vorher festgelegtem Maße zuoder
abnehmen. Annuitätendarlehen, bei denen die Zahlungsintervalle und
die Zinsverrechnungsintervalle übereinstimmen, wollen wir einfach nennen.
Daneben sind auch Ratenkredite üblich, bei denen die Schuld in festen Tilgungsraten
getilgt wird. Da wiederum die Zinsen im Laufe der Zeit abnehmen
und diese den Raten zugeschlagen werden, sind bei Ratenkrediten die Annuitäten
nicht konstant. Ratenkredite werden wir in den Übungsaufgaben
betrachten.
94

KAPITEL 4. TILGUNG 95
Annuitätenzahlungen sind von ihrer Struktur her Renten. Wir können daher
weitgehend die Formeln und Bezeichnungen des letzten Kapitel verwenden.
Dabei betrachten wir nur den für die Praxis relevanten Fall der
nachschüssigen Annuitäten.
Für die Raten der Rente, die Annuitäten, wollen wir die einprägsame Abkürzung
As verwenden und für die (positiv angesetzte) Restschuld Ss (hierbei
zählt s ∈ N,1 ≤ s ≤ n, die Zahlungsperioden ab). Den Zinsanteil in As
bezeichnen wir mit Zs und mit Ts den Tilgungsanteil. Es gilt also immer
As = Zs + Ts
4.1 Einfache Annuitäten
(4.1)
Zunächst besprechen wir den klassischen Fall des Annuitätendarlehens, bei
dem periodisch konstante Zahlungen erfolgen und bei dem die Restschuld
jeweils zum Zeitpunkt der Ratenzahlung verzinst wird.
4.1.1 Einfache konstante Annuitäten
Zur Berechnung der Raten eines Annuitätendarlehens verwenden wir die Formeln
aus Abschnitt 3.1.1. Ist (−S) der Kontostand des betrachteten Kontos
zum Zeitpunkt s = 0, so beträgt dieser bei periodischen Ratenzahlungen der
Höhe r und einem Aufzinsungsfaktor von q nach n Perioden gemäß (3.6)
�
−Sn = Rn = −Sq n n−1
+
j=0
rq j = −Sq n + r qn − 1
q − 1
(4.2)
Wir betrachten jetzt den Fall, daß die periodischen Zahlungen der Höhe
r = A nach n Jahren zu einem ausgeglichenen Kontostand führen. Es gilt
dann Rn = 0 und damit
S = Aq −n qn − 1
q − 1
(4.3)
Aus dieser Formel kann die Annuität bei gegebenen Daten S, q, n berechnet
werden:
n q − 1
A = Sq
qn q − 1
= S
− 1 1 − q−n (4.4)

KAPITEL 4. TILGUNG 96
Man nennt κ := q−1
1−q −n den Annuitätenfaktor.
Bemerkung:
1. Formel (4.3) schreibt sich auch als
S = Aq −n qn − 1
q − 1 =
n−1
j=0
�
Aq j−n =
n�
l=1
Aq −l = Aq −1 + ... + Aq −n (4.5)
die so interpretiert wird, daß die Schuld S0 = S durch die Summe aller
diskontierten Annuitäten getilgt wird.
2. Im Falle des zeitlich unbegrenzten (ewigen) Annuitätendarlehens gilt
q − 1
A = lim S = S (q − 1) = S · i (4.6)
n→∞ 1 − q−n d.h. die Annuität hat in diesem Fall genau die Höhe der zu zahlenden
Zinsen. ✷
Aus (4.4) folgt für die Laufzeit des Annuitätendarlehens (vgl. (3.4))
�
− ln 1 −
n =
S(q−1)
�
A
=
ln q
ln A − ln (A − S · i)
ln q
(4.7)
Man beachte, daß hierin A > S · i angenommen werden muß, die Annuität
muß also echt größer als der Jahreszinsbetrag sein, damit das Darlehen eine
endliche Laufzeit hat (vgl. (4.6)).
Beispiel 4.1 Für eine Schuld von 50000 EUR wird bei einem nominellen
Zinsfuß von 4% eine jährliche Annuität von 5704, 45 EUR gezahlt. Nach
wieviel Jahren ist die Schuld getilgt?
Lösung:
ln 5704.45 − ln (5704.45 − 2000)
n = = 11
ln 1.04
Die Schuld ist nach 11 Jahren vollständig getilgt. ✷

KAPITEL 4. TILGUNG 97
Restschuld
Zu der Annuität (4.4) wollen wir den Zinsanteil Zs und den Tilgungsanteil
Ts sowie die Restschuld Ss, s ∈ N, berechnen. Die Restschuld ergibt sich als
Kontostand zum Beginn der Periode s, nach Zahlung der Anniuität A = As,
also (als positive Größe) nach Formel (4.2) aus der verzinsten Anfangsschuld
Sqs abzüglich der auf diesen Zeitpunkt aufgezinsten bereits gezahlten Annuitäten:
Ss = Sq s − A qs − 1
(4.8)
q − 1
Setzt man (4.4) in (4.8) ein, so ergibt sich
Ss = Sq s n q − 1
− Sq
= S
qn q
− 1
s − 1
q − 1
�
q s − qn (qs − 1)
qn �
− 1
= S qn − qs qn − 1 = Sqs qn−s − 1
qn − 1
(4.9)
Auf der anderen Seite wird die Restschuld Ss durch die noch ausstehenden
(n − s) Annuitäten getilgt. Daher gilt analog (4.5)
Ss = Aq −(n−s) qn−s − 1
q − 1
Bemerkung:
�n−s
= A
j=1
q −j = Aq −(n−s) + ... + Aq −2 + Aq −1 (4.10)
• Durch Verknüpfung von (4.6) und (4.8) zeigt sich, daß bei einem ewigen
Annuitätendarlehen die Restschuld unverändert gleich der Anfangsschuld
bleibt.
• Löst man Formel (4.10) nach A auf,
q − 1
A = Ss
1 − q−(n−s) (4.11)
und vergleicht diese Gleichung mit Formel (4.4), so sieht man, daß man
die Annuität auch auf der Basis der Restschuld zu Beginn einer jeden
Periode berechnen kann, wenn dabei nur die Restlaufzeit berücksichtigt
wird.

KAPITEL 4. TILGUNG 98
Zins- und Tilgungsanteil
Mit Hilfe der Formeln für die Restschuld lassen sich nun bequem der Zinsanteil
und der Tilgungsanteil der Annuität berechnen. Offensichtlich gilt mit
(4.9) und (4.3) (Ss−1 ist die Restschuld am Ende der Periode s)
Zs = Ss−1 · i = S qn − q s−1
und damit
q n − 1 (q − 1) = Aq−n � q n − q s−1� = A � 1 − q −(n+1−s)�
Ts = A − Zs = Aq −(n+1−s) = Aq −(n+1) q s = Ts−1q = T1q s−1
(4.12)
(4.13)
Daher bilden die Tilgungen eine geometrische Folge, der Tilgungsanteil nimmt
progressiv zu.
Mit (4.4) gilt auch
Ts = S
q − 1
qn − 1 qs−1 = S qs − qs−1 qn − 1
(4.14)
Man kann Ts auch über die Restschuld Ss−1 zu Beginn der Periode s berechnen.
Mit (4.14) und (4.9) ergibt sich
q n − 1
Ts = Ss−1
qn − qs−1 q s − q s−1
q n − 1
Insbesondere ergibt sich für T1
Bemerkungen:
q s − q s−1
= Ss−1
qn − q
s−1 = Ss−1
q − 1
qn+1−s − 1
T1 = A − Z1 = A − S (q − 1) = Aq −n q − 1
= S
qn − 1
(4.15)
(4.16)
1. Natürlich unterscheidet sich die Restschuld zu Beginn der Periode s
von der zum Ende der Periode s gerade um die Tilgungsrate in der
Periode s:
Ss−1 − Ss = S qn − q s−1
q n − 1 − S qn − q s
q n − 1 = S qs − q s−1
q n − 1 = Ts (4.17)
Da die Tilgungsrate geometrisch anwächst, fällt die Restschuld entsprechend
progressiv ab.

KAPITEL 4. TILGUNG 99
2. Nach 1. ist die Schuld S gerade die Summe aller Tilgungsraten. Mit
(4.13) gilt
S = T1 + ... + Tn
� n−1
= T1 1 + q + ... + q � q
= T1
n − 1
q − 1
was Formel (4.16) bestätigt. Entsprechend gilt für die Restschuld
und
Ss = S − (T1 + ... + Ts)
=
q
S − T1
s − 1
q − 1
Ss = Ts+1 + ... + Tn
� s n−1
= T1 q + ... + q �
= T1q s � 1 + q + ... + q n−s−1�
= T1q s qn−s − 1
q − 1
q
= T1
n − qs q − 1
(4.18)
(4.19)
3. Zu beobachten ist aber, daß der Barwert T aller Tilgungraten zum
Zeitpunkt s = 0 konstant gleich
T = Tsq −s = Aq −(n+1−s) q −s = Aq −(n+1) = T1q −1
ist. Es gilt also A = T q n+1 = T1q n .
(4.20)
Beachte: Im Sinne von Formel (4.5) wird die Schuld aber nicht alleine
durch die diskontierten Tilgungsraten getilgt, es gilt nicht T = S
n .
Beispiel 4.2 Ein Darlehen von 100000 EUR soll in 15 jährlich gleichen Annuitäten
getilgt werden. Der vereinbarte Zinsfuß betrage 6%. Man bestimme:
1. die Annuität
2. die erste Tilgungsrate
3. die 8. Tilgungsrate

KAPITEL 4. TILGUNG 100
4. die Restschuld nach 10 Jahren
5. die 12. Zinsrate
Lösung: Es gilt S = 100000, n = 15, q = 1.06. Damit ergibt sich nach den
obigen Formeln
1.
2.
3.
4.
1.06 − 1
A = 100000
1.0615 − 1 1.0615 = 10296.28
T1 = A − Z1 = 10296.28 − 6000 = 4296.28
T8 = 4296.28 · 1.06 7 = 6460.02
S10 = 100000 − 4296.28 1.0610 − 1
1.06 − 1
= 43371.66
Z12 = A − T12 = 10296.28 − 4296.28 · 1.06 11 = 2140.66
Ergebnis: Die Annuität beträgt 10296, 28 EUR, die erste Tilgungsrate 4296, 28
EUR, die achte Tilgungsrate 6460, 02 EUR, die Restschuld nach zehn Jahren
43371, 61 EUR und die Zinsen am Ende des zwölften Jahres 2140, 66 EUR.
✷
4.1.2 Tilgungsplan
In dem Beispiel wurden willkürlich einige interessante Größen zur Tilgung
konkret ausgerechnet. Möchte man einen vollständigen Überblick über den
Verlauf der Tilgung erhalten, so empfiehlt sich die Erstellung eines Tilgungsplanes.
Bei diesem werden zu jeder Zahlungs- und Zinsverrechnungsperiode
die Zinszahlung, die Tilgungsleistung und die Restschuld tabellarisch aufgeschrieben.
Dies kann fortlaufend mit Hilfe der Formeln (4.12) bis (4.17)
geschehen.

KAPITEL 4. TILGUNG 101
Beispiel 4.3 Eine Schuld von 500000 EUR soll durch einfache Annuitätentilgung
in 6 Jahren bei einem Zinsfuß von 8% getilgt werden. Man stelle einen
Tilgungsplan auf.
Lösung: Es ist S = 500000, n = 6, q = 1.08. Daraus berechnet sich zunächst
eine Annuität von
Die ersten Zinsen betragen
und die erste Tilgungsrate
6 1.08 − 1
A = 500000 · 1.08
1.086 − 1
Z1 = 500000 · 1.08 = 40000
= 108157.69
T1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69
woraus sich eine Restschuld am Ende des ersten Jahres von
S1 = 500000 − 68157.69 = 431842.31
ergibt. Führt man diese Rechnung fort, so ergibt sich der folgende Tilgungsplan:
Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Restschuld Ss
1 500000 40000 68157.69 431842.31
2 431842.31 34547.38 73610.31 358232.87
3 358232.00 28658.56 79499.13 278732.87
4 278732.87 22298.63 85859.06 192873.81
5 192873.81 15429.90 92727.79 100146.02
6 100146.02 8011.68 100146.01 0.01
Aus dieser Tabelle läßt sich der Verlauf der Tilgung verfolgen. ✷
4.1.3 Unterjährige Perioden
Alle bislang hergeleiteten Formeln gelten für einfache Annuitätendarlehen,
auch etwa für solche mit unterjährigen Zahlungen und unterjähriger Verzinsung.
Findet beides mit der Periode 1 −tel Jahr statt, so ist nur i durch
m
i
i
und q durch 1 + zu ersetzen. (n bezeichnet weiterhin die Anzahl der
m m
Zahlungsperioden).

KAPITEL 4. TILGUNG 102
Beispiel 4.4 Ein Darlehen von 50000 EUR soll bei einem nominellen Zinsfuß
von 5% durch vierteljährliche gleiche Raten in zwei Jahren getilgt werden.
Es findet vierteljährliche Zinsverrechnung statt.
Lösung: Zu rechnen ist mit S = 50000, n = 8, p = 5/4 = 1.25, q = 1.0125.
Mit diesen Daten ergibt sich eine vierteljährliche Annuität von
i
0.0125
A = S = 50000
= 6606.66
1 − q−n 1 − 1.0125−8 Es ergibt sich folgender Tilgungsplan:
Periode s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Restschuld Ss
1 50000, 00 625, 00 5981, 66 44018, 34
2 44018, 34 550, 23 6056, 43 37961, 92
3 37961, 92 474, 52 6132, 13 31829, 78
4 31829, 78 397, 87 6208, 78 25621, 00
5 25621, 00 320, 26 6286, 39 19334, 60
6 19334, 60 241, 68 6364, 97 12969, 09
7 12969, 63 162, 12 6444, 54 6525, 09
8 6525, 09 81, 56 6525, 09 0, 00
4.2 Varianten der einfachen Tilgung
Im folgenden besprechen wir einige Abarten der einfachen Annuitäten-Tilgung.
4.2.1 Prozentannuität
Tilgungen im Bausparwesen oder bei Hypothekendarlehen werden häufig
durch eine Prozentangabe festgelegt. Heißt es etwa: ”Das Darlehen wird zu
6% verzinst und mit 2% getilgt”, so ist folgende Regelung gemeint: Der Tilgungsanteil
der Annuität beträgt im ersten Jahr 2% der geschuldeten Summe.
In diesem Fall hat das Darlehen keine feste Laufzeit, aus der eine Annuität
berechnet werden könnte. Stattdessen wird die Annuität dadurch festgelegt,
daß sie die Summe aus der Zinsrate und der Tilgungsrate des ersten Jahres
✷

KAPITEL 4. TILGUNG 103
darstellt. Diese Zahlungsrate gilt dann durchgehend für alle Zahlungsperioden,
bis die Schuld getilgt ist. Nachträglich läßt sich damit aus Formel (4.7)
die Laufzeit des Darlehens ermitteln.
Beispiel 4.5 Ein Darlehen von 50000 EUR wird mit 6% verzinst und mit
2% getilgt. Wann ist die Schuld zur Hälfte getilgt, wann vollständig? Wie
hoch ist die letzte Rate?
Lösung: Es ist S = 50000 und q = 1.06. Die Zinsen des ersten Jahres
betragen
Z1 = 50000 · 0.06 = 3000
Die Tilgung des ersten Jahres beträgt
T1 = 50000 · 0.02 = 1000
Damit beläuft sich die Annuität auf A = 4000 EUR.
Die Antwort auf die erste Frage kann nun am einfachsten mit Formel (4.8)
gegeben werden
25000 = Ss = Sq s − A qs − 1
q − 1 = 50000 · 1.06s − 4000 1.06s − 1
0.06
Dies wird nach 1.06 s aufgelöst:
25000 · 0.06 = (50000 · 0.06 − 4000) 1.06 s + 4000 =⇒
1.06 s =
25000 · 0.06 − 4000
50000 · 0.06 − 4000 =⇒
s =
ln (4000 − 25000 · 0.06) − ln (4000 − 50000 · 0.06)
= 15.725
ln 1.06
Das Darlehen ist also nach 16 Jahren zu mehr als der Hälfte getilgt.
Zur Berechnung der (gesamten) Tilgungsdauer verwenden wir Formel (4.7)
n =
ln A − ln (A − S · i)
ln q
= ln 4000 − ln (4000 − 50000 · 0.06)
ln 1.06
Das Darlehen ist also nach 23, 791 Jahren vollständig getilgt.
= 23.791
Es stellt sich die Frage, wie mit dieser gebrochenen Zahl umzugehen ist.
Vereinbart sind volljährige Tilgung und Verzinsung. Daher ist die Laufzeit

KAPITEL 4. TILGUNG 104
des Darlehens volle 24 Jahre. Die letzte Rate muß dann aber nur so hoch
sein, daß das Darlehen gerade getilgt und die letzten Zinsen gezahlt werden.
Zur praktischen Abwicklung berechnet man die Restschuld nach 23 Jahren
wiederum nach Formel (4.8)
Ss = Sq s − A qs − 1
q − 1 = 50000 · 1.0623 − 4000 1.0623 − 1
1.06 − 1
= 3004.20
Auf diese Schuld muß im letzten Jahr Zinsen gezahlt werden und zwar:
Z24 = 3004.20 · 0.06 = 180.25
Die letzte Rate beträgt daher 3004, 20 EUR+180, 25 EUR = 3184, 45 EUR.
✷
4.2.2 Annuitäten mit Agio oder Disagio
Je nach Marktlage werden Annuitätendarlehen mit einem Aufgeld (Agio)
versehen, um die Übernahme des Darlehens für den Gläubiger attraktiver
zu machen oder mit einem Abschlag (Disagio), um die Zinsen nominell
attraktiver zu gestalten und so den Schuldner für das Darlehen zu gewinnen.
Ein Aufgeld kann periodisch als Zuschlag zu den Zinszahlungen oder einmalig
zu Beginn der Laufzeit gezahlt werden. Ein Abschlag wird in der Regel nur
zu Beginn der Laufzeit erhoben. Aufgelder entstehen für den Schuldner auch,
wenn zusätzliche Gebühren erhoben werden.
Wir betrachten zunächst den Fall, daß ein periodisches Aufgeld erhoben wird,
das sich in seiner Höhe aus der Tilgung berechnet (Tilgungsaufgeld). Ein
entsprechendes Restschuldaufgeld wird in den Übungen angesprochen. Ferner
betrachten wir den Fall des einmalig zu Beginn der Laufzeit erhobenen Agio
oder Disagio.
Periodisches Tilgungs-Aufgeld
Wird ein Aufgeld vereinbart, so wird dieses in jeder Zahlungsperiode zusätzlich
zu Tilgung und Zinsen gezahlt und (in der Regel) als Prozentanteil α der Tilgungsrate
angegeben. Ist Ts die Tilgungsrate der s -ten Periode, so ist
as = Ts · α
100
(4.21)

KAPITEL 4. TILGUNG 105
das zu zahlende Aufgeld. Die s -te Annuität As beträgt daher
As = Ts + Zs + as
(4.22)
Zu beachten ist, daß das Tilgungsaufgeld eine periodische Sonderzahlung
ist, die zusätzlich zur normalen Annuität zu zahlen ist. Die periodisch zu
leistenden Zahlungen sind also nicht mehr konstant, sondern erhöhen sich
wegen der steigenden Tilgungsraten in jeder Periode. Da die Tilgungsraten
unverändert sind gegenüber einem entsprechenden Darlehen ohne Aufgeld,
kann das Aufgeld als nicht ausgewiesene,zusätzliche, steigende Zinszahlung
interpretiert werden.
Beispiel 4.6 Eine Schuld von 500000 EUR soll in 6 Jahren bei einem Zinsfuß
von 8% durch Annuitätentilgung zurückgezahlt werden. Dabei soll noch
ein zusätzliches Aufgeld von 10% gezahlt werden. Man erstelle einen Tilgungsplan.
Lösung: Es ist S = 500000, q = 1.08, n = 6, α = 10. Damit berechnet sich
die Annuität ohne Aufgeld zu
q − 1
0.08
A = S = 500000 = 108157.69
1 − q−n 1 − 1.08−6 Der Tilgungsanteil im ersten Jahr beträgt
T1 = A − Z1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69
Tatsächlich zu zahlen sind am Ende des ersten Jahres
A1 = A + α
100 T1 = 108157.69 + 0.1 · 68157.69 = 114973.46
Analog berechnet sich der vollständige Tilgungsplan:
Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Aufgeld as Annuität As
1 500000.00 40000.00 68157.69 6815.77 114973.46
2 431842.31 34547.38 73610.31 7361.03 115518.72
3 358232.00 28658.56 79499.13 7949.91 116107.60
4 278732.87 22298.63 85859.06 8585.91 116743.60
5 192873.81 15429.90 92727.79 9272.78 117430.49
6 100146.02 8011.68 100146.01 10014.60 118172.29
✷

KAPITEL 4. TILGUNG 106
Periodisches eingeschlossenes Tilgungs-Aufgeld
Man kann auch das periodische Aufgeld so in die Annuität einbeziehen, dass
pro Periode ein konstanter Betrag zu zahlen ist. In diesem Fall erhält das
Aufgeld noch deutlicher den Charakter einer zusätzlichen Zinszahlung (siehe
Beispiel).
Wir berechnen diese konstante Annuität durch folgenden ”Trick”: Wir gehen
aus von einer fiktiven Anfangsschuld von
�
¯S = S 1 + α
�
100
Zu zahlen sind am Ende des ersten Jahres die Zinsen Z1 = S · i. Wir drücken
diesen Betrag durch ¯ S aus
und nennen ī = i
1+ α
100
S · i =
¯S
1 + α i =
100
i
1 + α
¯S =:
100
¯ S · ī
den fiktiven Zinssatz. Berechnet man zu diesem Zinssatz
und der fiktiven Schuld die Annuität, so ergibt sich mit ¯q := 1 + ī
A = ¯ ¯q − 1
S
1 − ¯q −n
(4.23)
Benutzt man diese Größe als am Ende der ersten Periode zu zahlenden Betrag
und zieht die Zinsen ¯ S·ī davon ab, so bleibt eine fiktive Tilgungsrate ¯ T1 übrig,
die das zu zahlende Aufgeld und die wirkliche Tilgungsrate T1 enthält. Nun
muß gelten
�
¯T1 = 1 + α
�
T1 =⇒
100
¯ T1 − T1 = α
100 T1
(4.24)
Die fiktive Restschuld zu Beginn des nächsten Jahres ist dann
¯S1 = ¯ S − ¯ �
T1 = S 1 + α
� �
− 1 +
100
α
�
�
T1 = (S − T1) 1 +
100
α
�
100
wobei S1 = (S − T1) die wirkliche Restschuld angibt. Es gilt also wieder
�
¯S1 = S1 1 + α
�
. (4.25)
100
Faßt man im Sinne von (4.11) die wirkliche Restschuld S1 als geschuldete
Summe eines Darlehens mit um eine Periode reduzierter Laufzeit auf und

KAPITEL 4. TILGUNG 107
berechnet die fiktive Annuität auf dieser Basis, so erhält man genau die
gleiche filtive Annuität wie eine Periode zuvor.
Folgerung: die fiktiven Tilgungsraten summieren sich über die gesamte
Laufzeit zu ¯ S, die wirklichen Tilgungsraten damit genau zu S. Die fiktiven
und die wirkliche Tilgungsraten unterscheiden sich dabei genau um das
vereinbarte Aufgeld.
Beispiel 4.7 Eine Schuld von 500000 EUR, die mit 8% verzinst werden
soll, soll einschließlich eines Aufgeldes von 10% durch gleiche Annuitäten in
6 Jahren getilgt werden. Man berechne einen Tilgungsplan.
Lösung: Es ist S = 500000, q = 1.08, n = 6, α = 10. Man berechnet einen
filtiven Zinssatz zu
ī = 0.08
1 + 10
100
= 8
110
und eine fiktive Schuld von
�
¯S = 1 + 10
�
· 500000 = 550000
100
Somit erhält man als Annuität
A = 550000
8
110
1 − � 1 + 8
110
� −6 = 116360.95
Da die Zinsen im ersten Jahr 40000 EUR betragen, ergibt sich als fiktive
Tilgungsrate ¯ T1 des ersten Jahres
und als wirkliche Tilgungsrate
¯T1 = 116360.95 − 40000 = 76360.95
T1 = ¯ T1
1.1
= 69419.05.
Die wirkliche Restschuld zu Beginn des zweiten Jahres beträgt also
S1 = 500000 − 69419.05 = 430580.95.
Aus diesem Wert berechnet man erneut Zinsen, berechnet mit der Annuität
die fiktive und die wirkliche Tilgungsrate usw.

KAPITEL 4. TILGUNG 108
Schließlich ergibt sich folgender Tilgungsplan
Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs fikt. Tilgung ¯ Ts wirk. Tilgung Ts
1 500000.00 40000.00 76360.95 69419.05
2 430580.95 34446.48 81914.47 74467.70
3 356113.25 28489.06 87871.89 79883.54
4 276229.71 22098.92 94262.57 85693.25
5 190536.46 15242.92 101118.03 91925.48
6 98610.98 7888.88 108472.07 98610.97
Zu beachten ist, daß sich die Zinsen und die fiktiven Tilgungsraten in jeder
Periode zur konstanten Annuität A = 116360.95 summieren.
Man kann diesen Tilgungsplan mit dem eines einfachen Annuitätendarlehens
vergleichen, bei dem der nominelle Zinssatz so gesetzt ist, dass sich bei einer
Laufzeit von 6 Jahren eine jährliche Annuität von A = 116360.95 ergibt.
Der Zinssatz berechnet sich aus (4.3)
d.h.
500000 = 116360.95q −6 q6 − 1
q − 1
500000q 6 (q − 1) = 116360.95 � q 6 − 1 �
Dieses Polynom hat als eindeutige positive Lösung größer 1, q = 1. 10461 59.
Damit entspricht dem o.a. Darlehen ein einfaches Annuitätendarlehen (ohne
Aufgeld) zu nominellen Jahreszinsfuß von p = 10.46%.
Der zugehörige Tilgungsplan sieht wie folgt aus (gerechnet mit i = 0. 10461 59)
Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts
1 500000.00 52307.95 64053.00
2 435947.00 45606.99 70753.96
3 365193.04 38205.00 78155.95
4 287037.09 30028.64 86332.31
5 200704.78 20996.91 95364.04
6 105340.74 11020.82 105340.63
Auffallender Unterschied ist, dass im zweiten Fall die Restschuld weniger
schnell abfällt. ✷

KAPITEL 4. TILGUNG 109
Einmaliges Agio/Disagio
Ist bei einem Darlehen ein einmaliges Agio von α% vorgesehen, so wird bei
Auszahlung des Darlehens die volle Darlehenssumme S ausbezahlt, aber als
zu tilgende Summe ¯ S das � 1 + α
�
fache der Darlehenssumme festgesetzt,
100
¯S = � 1 + α
�
S. 100
Wird bei einem Darlehen ein (einmaliges) Disagio von α% vorgesehen, so
wird nur das � 1 − α
�
fache der Darlehenssumme S ausbezahlt, nämlich der
100
Betrag ¯ S = � 1 − α
�
S. 100
In beiden Fällen handelt es sich um Vorabzinsen, die es dem Gläubiger gestatten,
die nominell zu zahlenden Zinsen optisch attraktiver zu gestalten.
Zu beachten ist, daß der Schuldner im Falle des Disagios die Darlehenssumme
von vorneherein höher ansetzen muß, wenn er auf die Auszahlung eines
bestimmten Betrages angewiesen ist. Bei der Finanzierung im Mietwohnungsbau
wird von dieser Möglichkeit der Vorabzinsen gerne Gebrauch gemacht,
da u.U. diese Finanzierungskosten frühzeitig steuerlich berücksichtigt werden
können.
Beispiel 4.8 Ein Kreditnehmer benötigt 100000 EUR. Er kann zur Finanzierung
jährlich 12000 EUR aufbringen. Ihm werden drei Darlehensangebote
unterbreitet:
1. Ein Darlehen mit Disagio von 5% und einem nominellen Zinssatz von
6%.
2. Ein Darlehen mit 100% Auszahlung und einem nominellen Zinssatz von
6.8%.
3. Ein Darlehen mit einem Agio von 5% und einem nominellen Zinssatz
von 6%.
Man berechne die Laufzeiten der Darlehen, wenn die Annuität in allen Fällen
A = 12000 EUR beträgt.
Lösung:

KAPITEL 4. TILGUNG 110
1. Das Darlehen muß nominell über S = 100000 = 105263.16 EUR abge-
0.95
schlossen werden, damit 100000 EUR ausbezahlt werden. Die Laufzeit
beträgt dann gemäß Formel (4.7)
n =
ln A − ln (A − S · i)
ln q
= ln 12000 − ln (12000 − 105263.16 · 0.06)
ln 1.06
2. Die Laufzeit des zweiten Darlehens kann unmittelbar nach Formel (4.7)
berechnet werden
n =
ln A − ln (A − S · i)
ln q
= ln 12000 − ln (12000 − 100000 · 0.068)
ln 1.068
= 12.824
= 12.711
3. Im dritten Fall wird der geschuldeten Summe einmalig ein Aufgeld von
5% der Darlehenssumme, also 5000 EUR zugeschlagen, das mit getilgt
werden muß. Die anfängliche Restschuld beträgt also S = 105000 EUR.
Dementsprechend ergibt sich für die Laufzeit
n =
ln A − ln (A − S · i)
ln q
= ln 12000 − ln (12000 − 105000 · 0.06)
ln 1.06
= 12.776
Die Laufzeit beträgt also in allen drei Fällen 13 Jahre, wobei die letzte Rate
allerdings leicht unterschiedlich ausfällt. Hat man die Möglichkeit, ein Agio
oder Disagio steuerlich geltend zu machen, so empfiehlt sich dies bei diesem
Beispiel. ✷
4.2.3 Aufgeschobene Tilgung
Oft wird eine Aussetzung der ersten Tilgungsraten vereinbart, um dem Schuldner
(etwa dem Bauherrn) über die ersten finanziellen Engpässe hinwegzuhelfen.
In diesem Fall zahlt der Kreditnehmer
entweder über die ersten t < n Perioden nur die Zinsen auf seine Schuld.
Die Restschuld Ss bleibt dann für die ersten t Perioden unverändert
gleich der Anfangsschuld S. Es gilt also St = S.
oder die ersten t < n Perioden bleiben zahlungsfrei. Dann wächst die Restschuld
an und beläuft sich nach t Perioden auf St = Sq t .

KAPITEL 4. TILGUNG 111
Es können alle hergeleiteten Formel für das einfache Annuitätendarlehen verwendet
werden, wenn anstelle von S die Restschuld St und anstelle der Laufzeit
von n Perioden nur n − t Perioden verwendet werden.
Beispiel 4.9 Ein Kreditnehmer leiht 1000 EUR zu einem Zinsfuß von 7%
und verpflichtet sich, die geliehene Summe in 4 konstanten jährlichen Annuitäten
zurückzuzahlen. Dabei wird vereinbart, daß das erste Jahr zahlungsfrei
bleibt.
Lösung: Es ist S = 1000, n = 5, t = 1, i = 0.07. Die Annuität berechnet
sich nach der Formel
also
Sq n = A qn−t − 1
q − 1
=⇒ A = Sqn q − 1
q n−t − 1
A = 1000 · 1.07 5 0.07
1.074 = 315.89 (4.26)
− 1
Nach dem ersten Jahr beträgt die geschuldete Summe S1 = 1000·1.07 = 1070
EUR. Diese Summe wird in 4 gleichen Raten zu 315, 89 EUR abbezahlt. ✷
4.2.4 Veränderliche Raten.
Zuweilen wünscht der Schuldner eine schrittweise Erhöhung der pro Periode
zu zahlenden Rate, weil er mit steigenden Einkünften rechnet oder um seine
Schuld möglichst schnell zu tilgen. Wir besprechen die beiden Fälle, daß
die Annuität jeweils um einen festen Betrag steigt oder daß sie pro Periode
prozentual ansteigt.
Arithmetisch steigende Annuitäten
Wir betrachten zunächst den Fall der arithmetisch um einen festen Betrag d
ansteigenden Annuitäten
As = A + (s − 1) d, s ∈ N (4.27)

KAPITEL 4. TILGUNG 112
Dann lautet der Ansatz für die Berechnung der Annuität
Sq n = Aq n−1 + (A + d) q n−2 + ... + (A + (n − 1) d)
=
n�
[A + (s − 1) d] q n−s
s=1
Vergleichen wir dies mit Formel (3.29), so ergibt sich
�
− n
oder
Sq n = A qn − 1
q − 1
A =
+ d
q − 1
� q n − 1
q − 1
q − 1
qn �
Sq
− 1
n − d
� ��
n q − 1
− n
q − 1 q − 1
(4.28)
Beispiel 4.10 Mit S = 1000, i = 0.07, d = 10 und n = 5 ergibt sich als
anfängliche Annuität
A = 0.07
1.075 �
1000 · 1.07
− 1
5 − 10
� ��
5 1.07 − 1
− 5 = 225.24
0.07 0.07
Die weiteren Annuitäten sind: 235.24, 245.24, 255, 24, 265, 24 . ✷
Für die Restschuld am Ende der s−ten Periode findet man
Ssq n−s =
Ss =
=
�
n−s
As+jq n−s−j =⇒
j=1
�
n−s
As+jq −j n−s
=
j=1
�
(A + (s + j − 1) d) q −j
j=1
�n−s
Aq −j �n−s
+ (s − 1) dq −j �n−s
+ jdq −j
j=1
j=1
j=1
�n−s
= (A + (s − 1) d) q −j �n−s
+ d jq −j
j=1
Benutzt man hierin die Identitäten (für m ∈ N)
m�
j=1
q −j = q −m
m�
j=1
�
j=1
q m−j = q −m
m−1
q
j=0
j = q −m qm − 1
q − 1
(4.29)

KAPITEL 4. TILGUNG 113
und die aus (3.28) hergeleitete Beziehung
� �
m m−1
1 q − 1 �
− m =
q − 1 q − 1
j=0
jq m−j−1 = q m−1
m−1
�
jq −j
j=1
(4.30)
so ergibt sich nach einiger Umformung
Ss = Aq −(n−s) qn−s � n−s − 1
(s − 1) q − (n − 1)
+ dq−(n−s−1)
+
q − 1 q (q − 1)
qn−s − 1
(q − 1) 2
�
(4.31)
Daraus ergibt sich für Zinsrate und Tilgungsrate in der s ten Periode
Zs = Ss−1i und Ts = As − Zs
Geometrisch steigende Annuitäten
Nun nehmen wir an, daß die zu zahlende Rate sich nach jeder Zahlungsperiode
über einen Faktor c > 1 vergrößert
As = Ac s−1 , s ∈ N
Dadurch ergibt sich gemäß der Formel (3.37) aus der nachschüssigen Rentenrechnung
Sq n = Aq n−1
�n−1
� �j c
q
Betrachten wir hier nur den Fall c �= q, so ergibt sich (vgl. (3.40))
also
j=0
Sq n = A cn − q n
c − q
n c − q
A = Sq
cn − qn (4.32)
In ähnlicher Weise wie oben erhält man für die Restschuld am Ende der
Periode s
Ss = S (cq) s q n−s − c n−s
q n − c n , (4.33)

KAPITEL 4. TILGUNG 114
für die Tilgungsrate der Periode s
Ts = S (cq)s−1
qn − cn � �
n−s+1 n−s+1
q (1 − c) + c (q − 1)
und für die Zinsrate der Periode s
Beweise: Übungsaufgabe!
(4.34)
Zs = S (cq) s−1 q n−s+1 − c n−s+1
q n − c n (q − 1) (4.35)
Diese Formeln sollen an einem Zahlenbeispiel erläutert werden.
Beispiel 4.11 Als Daten seien vorgegeben: S = 1000, n = 5, q = 1.07, c =
1.05. (vgl. oben)
Lösung: Damit ergibt sich als anfängliche Annuität
5 1.05 − 1.07
A = 1000 · 1.07
1.055 = 222.15
− 1.075 und als Tilgungsplan über die 5 Perioden
Jahr s Restschuld Ss−1 Annuität As Tilgung Ts Restschuld Ss
1 1000 222.15 152.15 847.85
2 847.85 233.26 173.91 673.94
3 673.94 244.92 197.75 476.19
4 476.19 257.17 223.83 252.36
5 252.36 270.03 252.83 0
4.3 Unterjährige allgemeine Tilgung
In der Praxis erfolgen oft unterjährige Zahlungen zur Tilgung einer Schuld
bei volljähriger Verzinsung. Wir betrachten wieder die in Deutschland übliche
Praxis. Danach werden die unterjährig gezahlten Annuitäten nicht unmittelbar
tilgungswirksam. Stattdessen werden die innerhalb eines Jahres gezahlten
Raten A nur zum relativen Zinssatz gemischt verzinst akkumuliert und
✷

KAPITEL 4. TILGUNG 115
bilden eine volljährige Ersatzannuität AE, die am Jahresende die anstehenden
Schuldzinsen begleicht und den Ratenrest zur Tilgung verwendet. Wir
können daher die Formeln der nachschüssigen Rentenrechnung verwenden.
Dies werde am Beispiel eines n jährigen Darlehens mit 1 jährigen nachschüssigen
m
Annuitäten gezeigt. Der nominelle Jahreszinssatz betrage i. Mit Hilfe der
nachschüssigen Ersatzrate können die unterjährige Annuität aus Formel (3.16)
berechnen (q = 1 + i)
Sq n �
� n (q − 1) q − 1
= A m + (m − 1)
2
q − 1
mithin
n q − 1
A = Sq
�
(q − 1)
m +
qn − 1 2
q − 1
= S
1 − q−n 2
(m + 1) + (m − 1) q
�−1 (m − 1)
Daraus ergibt sich für die Laufzeit des Annuitätendarlehens
�
2
ln A − ln A − S 2m+i(m−1)
n =
i
�
ln (1 + i)
(4.36)
(4.37)
Bei anderer unterjähriger Annuitätenzahlung (vorschüssig oder asyncron) ist
hier lediglich eine andere Ersatzrate zu verwenden.
Effektive Verzinsung
Von ihrer Struktur her sind Annuitätendarlehen Renten. Ein Effektivzins
kann also grundsätzlich mit den Formeln des letzten Kapitels ermittelt werden.
Darauf soll an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden, zumal wir
uns im nächsten Kapitel ausführlich mit der Effektivzinsberechnung beschäftigen
wollen.

KAPITEL 4. TILGUNG 116
4.4 Übungsaufgaben
4.4.1 Theoretische Aufgaben
Aufgabe 4.12 Begründen Sie die folgenden Formeln für Ratenkredite.
Bei diesen wird die Schuld S in n gleichen Tilgungsraten Ts = S
n zurückgezahlt.
Dabei müssen auf die jeweilige Restschuld Ss Zinsen in Höhe von Zs = S · i
gezahlt werden, wenn i den vereinbarten nominellen Zinssatz darstellt. Tilgungsrate
und Zinsen addieren sich zu einer zu zahlenden Annuität As (s =
1, ..., n).
1. Für den Fall, daß die Zahlungen genau zu den Zinsterminen erfolgen
gilt
�
Zs = 1 − 1
�
(s − 1) S · i
n
und
As = S
[1 + (n − s + 1) i]
n
2. Erfolgen die Zinsverrechnung volljährig und die Zahlungen unterjährig
in Zahlungspreioden zu jeweils 1 Jahr, so gilt
m
�
Zt = 1 − 1
� ��
m + 1
t − S · i
2m
n1
wobei n = m · n1 gilt, also n1 die Anzahl der Jahre angibt, die hier
mit t = 1, ..., n1 abgezählt werden. Hinweis: Die Restschuld ist zu den
einzelnen Zahlungsterminen innerhalb der Zinsperiode jeweils einfach
zu verzinsen und diese Zinsen sind zu akkumulieren.
Aufgabe 4.13 Bei der Annuitätentilgung mit Restschuldaufgeld unterscheidet
man wieder die Fälle des zusätzlichen oder des eingeschlossenen Aufgelds.
Zu zahlen seien beim s−ten Zahlungstermin β% der Restschuld Ss−1 als Agio.
Begründen Sie die folgenden Formeln (bei vereinbartem Zinsfuß von p%)
1. Beim zusätzlichen Aufgeld beträgt die zu zahlende Annuität Ās
Ās = A
�
1 + β
p
�
1 − qs−1
q n
��
,
wenn A die ohne Aufgeld zu zahlende Annuität wäre.

KAPITEL 4. TILGUNG 117
2. Beim eingeschlossenen Aufgeld berechnet sich die zu zahlende Annuität
über
¯q − 1
Ās = S ,
1 − ¯q −n
wobei der Aufzinsungsfaktor ¯q = 1 + p+β
100
Verwendung findet.
Aufgabe 4.14 Man beweise die Formeln (4.33) bis (4.35).
4.4.2 Praktische Aufgaben
Aufgabe 4.15 Für einen Ratenkredit über 60000 EUR muß monatlich nachschüssig
500 EUR für die reine Tilgung aufgebracht werden. Zusätzlich zu
der monatlichen Tilgungsrate müssen nachschüssig 0, 6% Zinsen für die zu
Monatsbeginn vorhandene Restschuld gezahlt werden.
1. Wieviel Zinsen müssen insgesamt im ersten Jahr, wieviel im letzten
Jahr gezahlt werden, wenn Zinsen monatlich verrechnet werden?
2. Wie lautet die Antwort auf diese Fragen, wenn Zinsen nur jährlich
verrechnet werden?
Aufgabe 4.16 Eine Schuld von 20000 EUR wird jährlich mit 5% verzinst.
1. Der Schuldner würde die Schuld gerne mit gleichbleibenden, jährlich
nachschüssigen Annuitäten in 10 Jahren zurückzahlen. Wie hoch wäre
die Annuität?
2. Auf der anderen Seite wird er nicht mehr als jährlich 2100 EUR aufbringen
können. Wie lange dauert dann die Rückzahlung? Berechnen
Sie konstante Annuitäten, die diese Bedingung erfüllen und berechnen
Sie gleichfalls eine Rückzahlung mit Annuitäten von genau 2100 EUR
und einer letzten kleineren Rate.
Aufgabe 4.17 Zur Rückzahlung eines Kredits mit einem Jahreszins von
5, 5% kann jemand jährlich nachschüssig höchstens 8000 EUR auf 20 Jahre
aufbringen. Wie hoch kann der Kreditbetrag höchstens sein?

KAPITEL 4. TILGUNG 118
Aufgabe 4.18 Ein Kredit über 350000 EUR mit einer Laufzeit von 10 Jahren
ist jeweils vierteljährlich mit 1, 75% zu verzinsen. Bestimmen sie die
konstante Annuität, falls die nachschüssige Annuitätenzahlung
1. jährlich
2. halbjährlich
3. vierteljährlich
4. monatlich
erfolgt.
Aufgabe 4.19 Ein Annuitätendarlehen über 50000 EUR ist jährlich mit
5, 5% zu verzinsen und einschließlich eines Tilgungsaufschlags von 8% in 6
gleichen nachschüssigen Jahresraten zurückzuzahlen. Die konstante Jahresrate
enthalte also Tilgung, Zinsen und Aufgeld. Stellen Sie einen Tilgungsplan
auf.
Aufgabe 4.20 Ein Darlehen der Höhe 55000 EUR soll in 5 Jahren getilgt
sein. Berechnen Sie den effektiven Jahreszins für folgende Annuitätenzahlungen
1. jährlich nachschüssig jeweils 13200 EUR
2. vierteljährlich nachschüssig 3300 EUR
3. vierteljährlich vorschüssig 3300 EUR
4. monatlich nachschüssig 1100 EUR
Aufgabe 4.21 Ein Hypothekendarlehen über 120000 EUR werde auf 12
Jahre mit folgenden Konditionen festgeschrieben:
Auszahlung: 95%
nomineller Jahreszins: 6, 2%
(anfängliche) Tilgung jährlich: 2%
Berechnen sie die Annuität und die Restschuld nach 12 Jahren bei monatlich
konstanten Annuitätenzahlungen und bestimmen Sie die Effektivverzinsung.
Wie ändert sich die Situation, wenn dem Schuldner zwei Jahre Tilgungsaufschub
gewährt werden?

KAPITEL 4. TILGUNG 119
Aufgabe 4.22 Für eine Annuitätenschuld von 80000 EUR werden 10 Jahre
lang nachschüssig jeweils 8000 EUR zurückbezahlt. Für diese 10 Jahre ist ein
Jahreszins von 7% vereinbart. Nach 10 Jahren beträgt der neue Zinssatz 8%.
Wie hoch muß die neue Annuität sein, damit die Schuld nach weiteren 10
Jahren getilgt ist?
4.4.3 Programmierpraxis
Aufgabe 4.23 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das zu vorgegebener
Restschuld S und zu vorgegebenem Zinsfuß p bei gegebener Laufzeit n
in Perioden sowie gegebenem periodeschem in die Annuität einzubeziehenden
Tilgungsaufgeld von α% die Annuität A berechnet bzw. bei gegebener Annuität
die Laufzeit. Das Programm soll dabei auch in der Lage sein, die Annuität
und die Laufzeit aus einer prozentual angegebenen Tilgung zu berechnen. Ferner
soll ein anfängliches Disagio mitberücksichtigt werden.
Anschließend soll das Programm einen Tilgungsplan generieren, der für jede
Periode s die Restschuld Ss, den Zinsanteil Zs und den Tilgungsanteil Ts
auswirft, wobei zusätzlich zu zahlende periodische Gebühren in Höhe von β%
der (wirklichen) Tilgungsrate zu berücksichtigen sind.
Aufgabe 4.24 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das unterjährige
Tilgungsraten bei ganzjähriger Verzinsung zum Jahreszinsfuß p und dabei
arithmetisch oder geometrisch fortschreitenden Annuitäten vorsieht. Ansonsten
soll das Programm wie das vorherige zunächst fehlende Daten aus gegebenen
Daten berechnen.
Aufgabe 4.25 Schreiben Sie ein möglichst anwenderfreundliches (Excel-)
VBA-Programm zur Erfassung eines Hypothekendarlehens mit Tilgungsaussetzung
und einer Zinsanpassung nach der festgeschriebenen Laufzeit.

Kapitel 5
Bewertung von Investitionen -
Rentabilität
Thema dieses Kapitels ist die Bewertung und der Vergleich von Kapitalanlagen,
von Krediten oder ganz allgemein von Investitionen und Finanzierungen.
Wir haben bereits gesehen, dass Kredite in ganz unterschiedlichen Raten
und unterschiedlichen Laufzeiten zurückgezahlt werden können. Annuitäten
können z.B. volljährig oder unterjährig gezahlt werden, eine anfängliche Tilgung
kann niedrig oder hoch angesetzt sein, Zahlungen können ausgesetzt
werden, etc. Außerdem erscheint die Berechnung anfallender Zinsen zuweilen
recht willkürlich.
In dieser Situation stellt sich für den Kreditnehmer, aber auch für den Kreditgeber
die Frage, welche von mehreren in Betracht gezogenen Darlehens-
Möglichkeiten für ihn persönlich die vorteilhafteste ist, - wobei geklärt werden
muss, was sich hinter dem Begriff ”vorteilhaft” verbirgt: eine in der Höhe
begrenzte Annuität, eine kurze Laufzeit, ein geringer Jahreszinssatz, oder...
Häufig treten bei Krediten auch Sonderzahlungen auf, die mit einem vereinbarten
Nominalzinssatz in keiner direkten Beziehung stehen. So können Bearbeitungsgebühren,
Darlehensgebühren, Kontoführungsgebühren, Aufgelder
etc., wenn sie als zusätzliche Zahlungen auftreten, die letztliche Bewertung
eines Kredits erschweren.
120

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 121
5.1 Das Äquivalenz-Prinzip
Kapitalanlagen in einfacher Form ebenso wie Kredite werden beschrieben
durch Zahlungsfolgen auf einem (fiktiven) Konto: einem Anlagekonto oder
einem Kreditkonto. Beiden gemeinsam ist, dass zu verschiedenen Zeitpunkten
Zahlungen auf oder Zahlungen von dem Konto vorgenommen werden.
Wie wir aus den bisherigen Betrachtungen zur Finanzmathematik entnehmen
können, ist die Wirkung von Zahlungen immer fest mit dem Zeitpunkt
ihrer Ausführung verbunden: Ein und derselbe Betrag, zu unterschiedliche
Zeitpunkten auf ein Konto eingezahlt, hat unterschiedliche Auswirkung auf
den Konto-Endstand, unterschiedliche Einzahlungen zu verschiedenen Zeiten
können den gleichen Beitrag zum Kontoendstand bewirken.
Legt man das Modell der Verzinsung mit Zinseszins (konforme Verzinsung)
mit dem Aufzinsungsfaktor q zugrunde, so kann leicht bestimmt werden,
wann zwei Einzahlungen K1 zum Zeitpunkt T1 und K2 zum Zeitpunkt T2
(nach Beginn der Anlage) am Ende der Laufzeit T der Anlage den gleichen
Betrag ergeben:
K1q T −T1 = K2q T −T2 (5.1)
Nennen wir für die Zahlung K zum Zeitpunkt t ≥ 0 nach Beginn der Anlage
die Größe Ke := Kq T −t den Kapitalendwert der Zahlung, so legt diese
Gleichung die Gleichheit der Kapitalendwerte K1q T −T1 und K2q T −T2 fest.
Kürzen wir in (5.1) durch q T , so ergibt sich auch die Gleichheit der Kapitalbarwerte
K1
K2
= T1 q qT2 Nach Multiplikation mit q t ergibt sich sogar die Gleichheit der Kapitalzeitwerte
zu einem (beliebigen) Zeitpunkt t nach Beginn der Anlage
Diese Betrachtung beschreibt das
K1q t−T1 = K2q t−T2
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik:
Wir nennen zwei Zahlungen K1 zum Zeitpunkt T1 > 0 und K2
zum Zeitpunkt T2 > 0 (nach Beginn der Anlage) äquivalent,

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 122
wenn ihre Barwerte übereinatimmen
K1 K2
= T1 q qT2 (5.2)
5.2 Interner Zinsfuß eines Zahlungsstroms
Als ein erstes Hilfsmittel zur Bewertung einer Kapitalanlage betrachten wir
die Berechnung des (unbekannten) Aufzinsungsfaktor eines Kontos, auf dem
das Kapital konform verzinst wird.
5.2.1 Interner Jahreszinssatz
Wir betrachten ein Konto über ein Zeitintervall [0, T ] , auf dem zu gewissen
Zeiten T0, ..., Tn ∈ [0, T ] gewisse Zahlungen C0, ..., Cn ∈ R, n ∈ N, erfolgen.
Wir nennen die Zahlungfolge zusammen mit der Folge der Zahlungszeiten
einen Zahlungsstrom. Die Zeitangaben seien in Jahren gegeben. Für die
Berechnung der Zeiten T0, ..., Tn aus Kalenderdaten mögen die Vorschriften
der PAngV gelten.
Einzahlungen sollen dabei mit positivem Vorzeichen und Auszahlungen mit
negativem Vorzeichen notiert sein. Ferner sei festgelegt, dass T0 = 0 gilt,
dass also C0 eine Zahlung sei, die unmittelbar zu Beginn der Anlage erfolge.
Entsprechend vereinbaren wir, dass die letzte Zahlung Cn zum Zeitpunkt T
stattfindet, dass also Tn = T gilt.
Der dem Zahlungsstrom zugeordnete Kontoendstand, d.h. der Kapitalendwert
VT aller Zahlungen zum Zeitpunkt T bei konformer Verzinsung mit dem
(Jahres-) Aufzinsungsfaktor q ist dann
VT =
n�
k=0
Ckq T −Tk (5.3)
Bezeichnungen: Betrachtet werde ein nichttrivialer Zahlungsstrom, wie
oben beschrieben, mit zugeordnetem konform verzinsten Konto. Ist die erste
nichttriviale Zahlung eine Einzahlung ist, so sprechen wir von einer Finanzierung,
das zugehörige Konto heißt Kreditkonto. Ist dagegen die erste

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 123
nicht triviale Zahlung eine Auszahlung, so sprechen wir von einer Investition,
das zugehörige Konto heißt Anlagekonto. Soll nicht zwischen einer
Investition und einer Finanzierung unterschieden werden, sprechen wir von
einem Investitionsprojekt. Ein Investitionsprojekt, bei dem der Kontoendstand
null ist, nennen wir geschlossen, andernfalls heißt es offen.
Ein Zahlungsstrom, bei dem die erste Zahlung nichttrivial und alle weiteren
nichttrivialen Zahlungen gegenteiliges Vorzeichen haben, nennen wir normal.
Einen nichttrivialen Zahlungsstrom, bei dem nur ein Vorzeichenwechsel
stattfindet, nennen wir quasinormal. Ein Investitionsprojekt mit quasinormalem
(normalen) Zahlungsstrom nennen wir quasinormal (normal).
Ein offenes Investitionsprojekt, zu dem der Kontoendstand bekannt ist, kann
leicht geschlossen werden, indem die letzte Zahlung des Zahlungsstroms über
den Kontoendstand korrigiert wird. Diesen Vorgang nennen wir Abschließen.
Man beachte: Ein normaler Zahlungsstrom ist quasinormal. Beim Abschließen
eines offenen Investitionsprojekts kann ein quasinormaler Zahlungsstrom
diese Eigenschaft verlieren.
Wir betrachten nun ein geschlossenes Investitionsprojekt, d.h. wir unterstellen,
dass die letzte Zahlung Cn darin bestand, den Kontostand abzuschließen.
Sind alle Zahlungen C0, ..., Cn bekannt, nicht aber der Aufzinsungsfaktor q
des Anlagekontos, so kann dieser aus der Gleichung
n�
0 = Ckq T −Tk (5.4)
k=0
bestimmt werden. Diese Situation tritt z.B. ein, wenn auf ein Anlagekonto
Zinszahlungen fließen, die sich an einem nominellen Zinssatz richten, die aber
nicht unbedingt die wirkliche Verzinsung der erfolgten Auszahlung wiedergeben
(vgl. linear proportionale Verzinsung).
Da oBdA angenommen werden kann, dass T − T0, ..., T − Tn nichtnegative
rationale Zahlen sind, kann q wie folgt bestimmt werden: Sei oBdA m ∈ N
der Hauptnenner all dieser rationalen Zahlen, dann setze x := q 1
m . x ist der
Aufzinsungsfaktor bezogen auf 1 − Jahr.
m
Dann bestimmt sich x als eine positive Nullstelle des Polynoms
n�
g (x) = Ckx nk (5.5)
k=0

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 124
wobei nk ∈ N die Zähler dieser rationalen Zahlen in der Hauptnennerdarstellung
sind. Nach Konstruktion gibt g den Kontoendstand des Kontos in
Abhängigkeit von x und damit vom Aufzinsungsfaktor q an. Wir nennen g
Kontoendstandfunktion.
Definition 5.1 Wir nennen einen Jahreszinssatz i, der sich als i = x m − 1
aus einer positiven Nullstelle des Polynoms g berechnet, interen Jahreszinssatz
oder effektiven Jahreszinssatz des geschlossenen Investitionsprojekts.
Beispiele
Merke: Bzgl. eines effektiven Jahreszinssatzes sind die Summe
aller Auszahlungen und die Summe aller Einzahlungen äquivalent,
denn eine äquivalente Formulierung von (5.4) lautet
0 =
n�
Ckq −Tk
k=0
Interpretiert wird dies auch als Äquivalenz der Gläubiger und
Schuldnerleistungen.
Beispiele für die betrachtete Situation ergeben sich wie folgt:
• Betrachten wir ein Sparkonto vom Zeitpunkt der ersten Einzahlung an
bis zur Auflösung des Kontos. Auf dieses Konto werden innerhalb der
Laufzeit verschiedene positive oder negative Zahlungen vorgenommen.
Dies kann einerseits durch den Kontobesitzer geschehen, der Einzahlungen
und Abhebungen vornimmt, andererseits werden dem Konto durch
die Bank Zinsen (berechnet nach der gemischten Verzinsung) gutgeschrieben
oder Gebühren abgebucht. Ein interer Jahreszinsfuß gibt an,
welche Rendite die Anlage auf dem Sparkonto dem Sparer letztlich gebracht
hat.
• Betrachten wir einen Kredit aus der Sicht des Kreditnehmers. Interpretieren
wir die Kreditzahlungen als Einzahlungen auf ein Kreditkonto

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 125
und die Tilgungs-, Zins-, und Gebührenzahlungen (oder sonstige Sonderzahlungen
wie Aufgeld) als Auszahlungen aus den Kreditkonto, so
stellt sich die Frage nach dem effektiven Jahreszinssatz. Wir haben ihn
in einfachen Fällen in den letzten Kapiteln schon berechnet.
• Ein weiteres Beispiel der Praxis ist die Verrentung von Kapital. Hierbei
wird zuerst in einer Ansparphase über einen gewissen Zeitraum
Kapital angespart. Dieses soll in der Auszahlungsphase als Rente wieder
ausbezahlt werden. Auch hier gibt der effektiver Jahreszinsfuß die
wirkliche Verzinsung des gesamten Zahlungsstroms auf einem fiktiven
Anlagekonto an.
5.2.2 Berechnung des internen Zinssatzes
Im folgende betrachten wir zunächst eine geschlossene quasinormale Investition.
Nach der Vorzeichenregel von Descartes besitzt das Polynom f aus
(5.5) dann genau eine positive Nullstelle x ∗ . Ist das
Deckungskriterium für Investitionen
g (1) =
n�
Ck > 0 (5.6)
k=0
erfüllt, ist also die Summe aller Einzahlungen größer als die Summe der
Auszahlungen, so muß sogar x ∗ > 1 gelten. Denn nach Konstruktion gilt
immer
lim g (x) = −∞ (5.7)
x→∞
da die erste nichttriviale Zahlung als negativ vorausgesetzt wurde.
Beachte: Bei Finanzierungen ist genau umgekehrt zu argumentieren.
Nach diesen Voraussetzungen kann der interne Zinssatz nun leicht mit einer
Kombination aus Bisektionsverfahren und Newton-Verfahren (für Polynome)
berechnet werden.
Beispiel 5.2 Ein Mann zahlt ab seinem 36. Lebensjahr bis zu seinem 65.
Geburtstag vorschüssig jährlich 1200 EUR in eine Rentenversicherung ein.
Diese verspricht, ab dem 66. Lebensjahr vorschüssig eine jährliche Rente von
6000 EUR zu zahlen. Man berechne den internen Zinsfuß

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 126
1. wenn der Mann 75 Jahre alt wird
2. wenn der Mann erst mit 85 Jahren ablebt
3. wenn der Mann sogar die 100 Jahre erreicht.
Bei der Lösung werde die Geldentwertung nicht mit berücksichtigt.
Lösung: Die relevante Rechenzeit-Einheit ist das Jahr.
1. Bei 75 Jahre alten Mann ist die Gleichung
�30
− 1.2q 40−k +
k=1
�40
k=31
6q 40−k = 0
zu lösen. Hier berechnet sich der interne Zinsfuß zu 2, 48%.
2. Wird der Mann 85 Jahre, so ist die Gleichung
�30
− 1.2q 50−k +
k=1
�50
k=31
6q 50−k = 0
zu lösen. Nun beträgt der interne Zinsfuß 4, 75%.
3. Für den 100 jährigen Mann ist die Gleichung
�30
− 1.2q 65−k +
k=1
�65
k=31
6q 65−k = 0
zu lösen. Damit beträgt der interne Zinsfuß 5, 71%. ✷
Beispiel 5.3 Ein Kredit über 3000 DM habe eine Laufzeit von 20 Monaten.
Die Rückflußrate beträgt monatlich nachschüssig 180 EUR. Zu Beginn
ist eine Bearbeitungsgebühr von 60 EUR zu entrichten, die von der Auszahlungssumme
abgezogen wird. Wie groß ist der effektive Jahreszinssatz?

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 127
Lösung: Die relevante Zeit-Recheneinheit ist der Monat.
Die zu lösende Gleichung lautet
(3000 − 60) q 20
12 −
Setzen wir darin x = q 1
12 , so ergibt sich
�20
k=1
180q 20−k
12 = 0
2940x 20 �20
− 180 x 20−k = 0 ⇐⇒
k=1
2940x 20 − 180 x20 − 1
x − 1
= 0 ⇐⇒
2940x 21 − (2940 + 180) x 20 + 180 = 0
Eindeutige positive Lösung größer 1 der Gleichung ist x = 1. 02011 48. Dies
bedeutet q = x 12 = 1. 02011 48 12 = 1. 26995 57. Der effektive Jahreszinssatz
beträgt also ieff = 0. 26995 57. ✷
Bemerkung: Die Berechnung des effektiven Zinssatzes verlangt die Verwendung
der genauen Verzinsungszeiten für alle Zahlungen. Dies ist durch die
Vorschriften der PAngV nicht wirklich gegeben, da z.B. Schaltjahre nicht
berücksichtigt werde, die Monate in ihrer Länge angeglichen werden, etc.. In
diesem Sinne ergeben die genannten Berechnungsmethoden nur eine Schätzung
für den wirklichen Zinssatz.
Die PAngV setzt die international übliche Methode zur Effektivzinsberechnung
der International Security Market Association (ISMA) für
Deutschland um. In den USA, wo generell die Rückzahlungszeitpunkte mit
den Zinsverechnungszeitpunkten übereinstimmen, verwendet man den relativen
Zinssatz für die Effektivzinsberechnung. Darauf wird hier nicht näher
eingegangen.
5.3 Sparkonten
Wir betrachten nun eine geschlossene Finanzierung, die über ein (fiktives)
Kreditkonto (mit unbekanntem Zinsfuß) abgewickelt wird, auf dem jeweils

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 128
zum Ende einer Zinsperiode eine Kapitalbewegung der Höhe Ck ∈ R, k =
0, 1, ..., n stattfindet. Dabei beschreibt C0 den Kontostand zu Beginn der
Finanzierung, die Zinsperiode sei 1 Jahr und die Laufzeit dementsprechend
m
T = n
m .
Die Bestimmungsgleichung für den aus dem internen Zinssatz ieff festzulegenden
Aufzinsungsfaktor q = (1 + ieff) 1
m (vgl. Formeln (5.4),(5.5)) lautet
n�
Ckq n−k = 0 (5.8)
k=0
Für die Lösbarkeit der Gleichung (5.8) kann etwa wieder das Deckungskriterium
für Finanzierungen oder eine ähnliche Bedingung vorausgesetzt werden.
Nicht notwendig ist dann allerdings die Eindeutigkeit des internen Zinssatzes
über die Vorzeichenregel von Descartes sichergestellt. Im allgemeinen ist die
Eindeutigkeit sogar gar nicht gegeben, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 5.4 Auf einem Konto mit unbekanntem Zinssatz erfolgen an aufeinander
folgenden Jahren jeweils am Jahresende die folgenden Kontobewegungen
(in EUR):
C0 = 1000, C1 = −3020, C2 = 2040
Der Kontostand nach der letzten Kontobewegung sei null. Gesucht ist der
interne Zinsfuß.
Lösung: Wir lösen die interne Zinsfußgleichung
1000q 2 − 3020q + 2040 = 0
Diese Gleichung hat zwei Lösungen, die beide positiv sind:
q1 = 1.02 und q = 2.0
Dies entspricht einem internen Zinsfuß von entweder p = 2% oder p = 100%.
(Man beachte dazu, dass das Polynom zwei Vorzeichenwechsel hat.) ✷
Interpretieren wir das Konto des Beispiels als Sparkonto (aus der Sicht der
Bank, der der Sparer einen Kredit gibt), so liegt die Besonderheit des Beispiels
darin, daß das Konto zwischenzeitlich überzogen wurde. Die Zahlung
am Ende des letzten Jahres wurde so bemessen, daß die Überziehung ausgeglichen
wurde. In der Tat wäre ohne diesen Umstand die Doppeldeutigkeit
des internen Zinsfusses nicht eingetreten. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 129
5.3.1 Das Sparkontenprinzip
Dazu betrachten wir die j−te Vermögenswertfunktion gj der Finanzierung
zum Ende der Zinsperiode j im Betrachtungszeitraum:
gj (q) :=
j�
Ckq j−k , für j = 0, 1, ..., n (5.9)
k=0
(Beachte: gn ist die Kontoendstandfunktion mit q = x). Diese gibt, abhängig
vom verwendeten (variablen) Aufzinsungsfaktor q, den Kontostand zum Ende
der j−ten Periode an.
An die Finanzierung stellen wir nun folgende
Forderung: (Sparkontenprinzip)
Bzgl. eines internen Zinssatzes i ∗ := ieff gelte mit q ∗ = 1 + i ∗
gj (q ∗ ) ≥ 0 für j = 0, 1, ..., n (5.10)
Unsere Forderung ist also, daß das Konto bzgl. eines internen
Zinssatzes zu keinem Zeitpunkt einen negativen Kontostand aufweist
. Wir nennen die Finanzierung halbnormal. (Entsprechend
ist eine halbnormale Investition definiert.)
Es gilt dann insbesondere C0 ≥ 0 und Cn ≤ 0, da das Konto zum Ende des
Betrachtungszeitraums ausgeglichen sein soll. Wir setzen oBdA voraus,
daß Ck > 0 für mindestens ein k und Cn < 0 sowie n ≥ 2 gilt, so daß
gn, g ′ n, g ′′
n keine Nullpolynome sind..
Die folgende Beweisführung beruht nun wesentlich auf der Beobachtung, daß
die Werte gj (q) , j = 0, ..., n bei der Berechnung des Funktionswertes gn (q)
über das Hornerschema auftreten. Nach Konstruktion genügen die Funktionen
gj für jedes q dem Rekursionsschema
g0 (q) = C0 (5.11)
gj (q) = Cj + q · gj−1 (q) , für j = 1, ..., n,
so daß sich die Funktion gn auch folgendermaßen schreibt:
gn (q) = ((... (g0 (q) q + C1) q + C2) q + ... + Cn−1) q + Cn
(5.12)

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 130
Also stimmen die Werte gj (q) mit den Hornerkoeffizienten bei der Berechnung
von gn (q) überein.
Damit beweisen wir
Lemma 5.5 (moore) Das Polynom gn besitzt für den Fall, daß eine positive
Nullstelle q ∗ existiert, keine weitere positive Nullstelle mehr.
Beweis: gn besitze die positive Nullstelle q ∗ . Dann schreibt sich gn als
gn (q) = (q − q ∗ ) h (q) (5.13)
wobei sich h über das Hornerschema zu einem Polynom (n − 1) − ten Grades
berechnet, dessen Koeffizienten gemäß (5.11) die Zahlen
cn := g0 (q ∗ ) , cn−1 := g1 (q ∗ ) , ..., c1 := gn−1 (q ∗ )
sind. Da diese nach Voraussetzung alle nicht negativ sind, besitzt h keine
positive Nullstelle. Damit besitzt auch gn keine weitere positive Nullstelle. ✷
Zu beachten ist, daß unter der Forderung des Sparkontenprinzips auch die
Voraussetzung für Lemma 1.10 gegeben ist, das die Monotonie des Newton-
Verfahrens regelt, wenn dieses rechts von der zu bestimmenden Nullstelle
gestartet wird. Dies kann wie folgt eingesehen werden: Zu zeigen ist:
g ′ n (q) > 0, g ′′
n (q) > 0 für alle q > q ∗ ,
wobei q ∗ wieder die einzige positive Nullstelle des Polynoms gn sei.
Zunächst einmal sind nach Voraussetzung die Funktion h aus (5.13 ) und
sämtliche ihrer Ableitungen Funktionen mit nichtnegativen Koeffizienten.
Diese Funktionen nehmen also für positive q nur positive Werte an, sofern
mindestens ein Koeffizient positiv ist. Auf der anderen Seite folgt durch Ableiten
von gn in der Form (5.13)
g ′ n (q) = h (q) + (q − q ∗ ) h ′ (q) und
g ′′
n (q) = 2h ′ (q) + (q − q ∗ ) h ′′ (q)
Damit gilt auch g ′ n (q) ≥ 0 und g ′′
n (q) ≥ 0 für alle q ≥ q ∗ und es sind
die Voraussetzungen von Lemma 1.10 bei Anwendung auf die Funktion gn
erfüllt. Das Newton-Verfahren konvergiert gegen die Nullstelle q ∗ , sobald
es von einem beliebigen q rechts von q ∗ gestartet wird.
Bzgl. der Existenz des internen Zinssatzes können (bei unterstelltem Sparkontenprinzip)
folgende Überlegungen angestellt werden:

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 131
• Gilt gn (1) = C0 + ... + Cn > 0, übersteigt also die Summe der (unverzinsten)
Einzahlungen die der (unverzinsten) Entnahmen, so muß
wegen Cn < 0 die Ungleichung gn (0) < 0 gelten. In diesem Fall besitzt
gn nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle q ∗ mit 0 < q ∗ < 1. Da
q ∗ = 1+i ∗ gilt, hat die Finanzierung demnach eine negative Verzinsung.
• Gilt dagegen gn (1) = C0 + ... + Cn < 0, übersteigen also die (unverzinsten)
Entnahmen die (unverzinsten) Einzahlungen, so besitzt gn nach
dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle q ∗ mit 1 < q ∗ , also mit positivem
i ∗ , denn es gilt nach Voraussetzung limq→∞ gn (q) = ∞. Dazu genügt es
zu wissen, daß das erste nichtverschwindende Ck positiv ist, was wegen
des Sparkontenprinzips automatisch gegeben ist. Dann ist dieses Ck der
höchste Koeffizient in gn und bestimmt dessen Verhalten für q → ∞.
• Wir zeigen nun, daß die Bedingung gn (1) = C0 + ... + Cn < 0 auch
notwendig ist für die Existenz einer Nullstelle q ∗ > 1.
Sei dazu vorausgesetzt, daß q ∗ > 1 eine Nullstelle von gn ist. Dann gilt
Damit gilt auch
Ebenso folgt aus
sofort
0 = gn (q ∗ ) = Cn + q ∗ gn−1 (q ∗ )
0 ≤ gn−1 (q ∗ ) ≤ q ∗ gn−1 (q ∗ ) = −Cn
0 ≤ gn−1 (q ∗ ) = Cn−1 + q ∗ gn−2 (q ∗ ) ≤ −Cn
0 ≤ gn−2 (q ∗ ) ≤ q ∗ gn−2 (q ∗ ) ≤ −Cn−1 − Cn
Führt man diese Überlegungen weiter fort, so ergibt sich schließlich
Wegen g0 (q ∗ ) = C0 folgt daraus
0 ≤ g0 (q ∗ ) ≤ −C1 − ... − Cn
C0 + C1 + ... + Cn ≤ 0 (5.14)
Zu beachten ist, daß bei den obigen Abschätzungen ein < - Zeichen
gesetzt werden darf, sobald irgendwann gj (q ∗ ) �= 0 gilt, j = n, ..., 1.
Damit gilt nach unseren generellen Voraussetzungen in (5.14) sogar
das < −Zeichen

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 132
5.4 Vergleich von Investitionen
In diesem Abschnitt soll geklärt werden, wann eine Investition als lohnenswert
angesehen wird. Die Frage, wann eine Finanzierung lohnenswert ist ,
klärt man analog.
Beispiel 5.6 Eine typische Investition.
Ein Investor besorgt sich zu Beginn des Projektes einen Kapitalbetrag Ka,
indem er diesen von einem Investitionskonto abhebt. Auf dem Konto entsteht
ein negativer Kontostand, der über die Laufzeit der Investition Schuldzinsen
erzeugt. Er investiert den geliehenen Betrag (Kapitalbindung), um Erlöse
zu erwirtschaften. Die Erträge des Kapitals zahlt er jeweils zum Ende einer
Periode auf das Konto ein.
Am Ende der ersten Perioden möge ggf. der Kapitalbedarf noch den Erlös
überwiegen, so daß anfänglich weitere Auszahlungen vom Konto notwendig
(Phase der Anschaffung und Ingangsetzung). Schließlich mögen die Erlöse die
laufenden Kosten überwiegen, es kommt nur noch zu Einzahlungen auf dem
Anlagekonto (Phase der produktiven Nutzung).
Am Ende der letzten Periode kommt es zur Kapitalfreisetzung durch Liqudation.
Dieser Liquidationserlös wird ebenfalls dem Anlagekonto gutgeschieben.
Skizze:
✷

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 133
5.4.1 Rentabilität einer Investition
Was immer wir unter dem Begriff ”lohnenswert” verstehen wollen, eines
ist klar: Eine Investition kann nur lohnenswert sein, wenn ihre (unverzinsten)
Einnahmen die (unverzinsten) Ausgaben übersteigen, wenn also das
Deckungskriterium für Inverstitionen erfüllt ist. Dies setzen wir im folgenden
voraus.
Wir betrachten wieder einen Zahlungsstrom aus Zahlungen Ck, k = 0, ..., n,
auf einem Konto erfolgen mögen. Der
die zu den Zeitpunkten Tk = k
m
jährliche Aufzinsungsfaktor sei q. Setzen wir x := q 1
m , so ergibt sich der
Kontoendstand nach der letzten Zahlung zu
Vn =
n�
Ckx n−k
k=0
(5.15)
wenn vereinbarungsgemäß der Kontostand vor der ersten Zahlung null war.
Vn heißt der Vermögenswert der Investition. (vgl. (5.3))
Wir nennen eine Investition rentabel, wenn der Vermögenswert
Vn positiv ist.
Man beachte: Ist die Investition geschlossen, so ist sie nicht rentabel.
Kapitalwertmethode
Der Vermögenswert gibt eine Möglichkeit, die Rentabilität einer Investition
zu bewerten. Auf der anderen Seite kann die Bewertung von der Laufzeit unabhängiger
gemacht werden, wenn man den Kapitalwert (Kapitalbarwert)
der Investition
n�
V0 = Ckx −k
k=0
betrachtet, der den Barwert aller Zahlungen zum Zeitpunkt T = 0 zusammenfaßt.
Der Kapitalwert ist genau dann positiv, wenn der Vermögenswert
positiv ist.
Ist der Kapitalwert positiv und damit die Investition rentabel, so
wird sie als lohnenswert angesehen.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 134
Ist der den Zahlungen zugeordneten Aufzinsungsfaktor bekannt, so kann der
Kapitalwert einer Investition über (5.15) leicht berechnet und somit die Rentabilität
der Investition bewertet und ggf. mit der von anderen Projekten
verglichen werden.
Die Rentabilität der Investition wird um so höher eingeschätzt,
je höher der Kapitalwert liegt.
Ist der Aufzinsungsfaktor nicht bekannt, so wird er durch einen fiktiven
Kalkulationszinssatz ersetzt, der die durchschnittliche Wiederanlageverzinsung
bzw. die durchschnittliche Schuldzinsenbelastung des Investors beschreibt.
Methode des internen Zinssatzes
Eine alternative Möglichkeit der vergleichenden Bewertung von Investitionsmaßnahmen
ergibt sich aus der Effektivverzinsung. Bei dieser Methode wird
das Investitionsprojekt als geschlossen unterstellt und sein kleinster interner
Zinssatz i∗ berechnet. Da das Deckungskriterium erfüllt ist, gilt i∗ > 1 und
da dann ferner für die Kontoendsstandfunktion g gilt: g (1) > 0, ist g (x) > 0
für alle 1 ≤ x < x∗ := (1 + i∗ ) 1
m . Damit ist auch für die Kapitalwertfunktion
V0 (x) =
n�
Ckx −k
k=0
positiv für 1 ≤ x < x ∗ , die Investition also rentabel für alle (positiven)
Jahreszinssätze, die kleiner als der berechnete interne Zinssatz sind.
Eine offene Investition wird als lohnenswert angesehen, wenn
sein interner Zinssatz i ∗ höher als ein vom Investor benannter
Kalkulationszinssatz ist. Die Investition wird als umso lohnender
angesehen, je höher ihre Rendite, d.h. der interne Zinssatz ist.
Dabei ist der Kalkulationszinssatz als Jahreszinssatz anzusehen, zu dem der
Investor sein Kapital alternativ (mit der gleichen Zahlungsfolge) anlegen
könnte.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 135
5.4.2 Vergleichende Bewertung mehrerer Investitionsprojekte
Oft stellt sich nicht nur die Frage, ob eine Investition oder eine Finanzierung
lohnenswert ist, sondern es stehen mehrere Möglichkeiten zur Auswahl und
der Investor möchte herausfinden, welche für ihn die vorteilhaftigste ist.
Beispiel 5.7 Herr A. braucht ein neues Auto. Um an sein Traumauto zu
kommen hat er mehrere Möglichkeiten, z.B.
1. er handelt beim Neuwagenhändler einen Rabatt für Barzahlung aus,
leiht sich das am vorhandenen Eigenkapital fehlende Restkapital bei
seiner Bank und kauft den Neuwagen.
2. er verzichtet auf einen Rabatt und nimmt ein günstiges Ratenfinanzierungsangebot
des Neuwagenhändlers in Anspruch, wobei er sein Eigenkapital
als Anzahlung verwendet.
3. er entscheidet sich, den Wagen zu leasen. Sein Eigenkapital verwendet
er dabei als einmalige Barzahlung.
Ein Vergleich der obigen Finanzierungsmaßnahmen ist problematisch. Klar,
ist, was auch immer Herr A. wählt,
• er hat ab sofort sein Traumauto zur Verfügung
• er ist sein Eigenkapital los
• er zahlt mehr oder weniger lange monatliche Raten unterschiedlicher
Höhe.
Von daher hat ein Vergleich der Finanzierungsmaßnahmen gleiche Ausgangsbasis.
Verglichen werden könnten die obigen Maßnahmen aber nur dann
sinnvoll, wenn sämtliche Ein- und Auszahlungen vollständig bekannt sind.
So spielen sicher auch steuerliche Aspekte eine Rolle, die bei der bisherigen
Problemformulierung noch gar nicht einbezogen wurden. Auch können
unterschiedliche, geldwerte Sonderleistungen berücksichtigt werden müssen,
wie sie z.B. bei Leasing-Verträgen auftreten können.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 136
Im folgenden beschreiben wir zunächst die o.g. zwei ”klassischen” Methoden
zum Vergleich von Investitionen. Anschließend wollen wir die angesprochenen
Methoden diskutieren..
Beispiel 5.8 Ein Anleger habe die Möglichkeit, auf verschiedene Weisen
6000 EUR zu investieren. Investiert er, so erhält jährlich nachschüssig Rückflußraten.
Folgende mögliche Rückzahlungsflüsse werden ihm geboten:
1. 6 gleichgroße jährliche Raten zu je 1600 EUR
2. 3 gleiche Raten zu 2850 EUR in den ersten drei Jahren
3. 6 Raten in folgenden Höhen: 3000 EUR, 2200 EUR, 1000 EUR, 1000
EUR, 1000 EUR, 1000 EUR
4. Hier werden 6 Jahre lang Zinsen in Höhe von je 750 EUR (nomineller
Zinssatz 12, 5%) gezahlt. Zum Schluß erhält er das investierte Kapital
von 6000 EUR zurück.
Der Investor hat nun grundsätzlich die Möglichkeit, die erforderlichen 6000
EUR von seinem Tagesgeldkonto, das ihm eine Effektivverzinsung von 5%
bringt, abzuziehen und diese zu investieren. Zum anderen hat er die Möglichkeit,
sich das erforderliche Kapital selbst zu effektiven 8% zu leihen.
Es stellt sich die Frage, ob eine der Anlageformen lohnenswert und welche
für ihn ggf. an günstigsten ist.
Anwendung der Kapitalwertmethode
Bei dieser Methode gilt diejenige Anlagen-Variante als günstigste, die den
höchsten Kapitalwert hat.
Beispiel 5.9 Wir berechnen den Kapitalwert der im letzten Beispiel genannten
Investitionen, zunächst mit dem Wiederanlage-Zinsfuß von 5% bei Verwendung
von Eigenkapital. Vom Anlagekonto werden zunächst die erforderlichen
6000 EUR abgehoben und investiert. Die Rückflüsse werden wieder auf
das Konto eingezahlt.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 137
1.
2.
3.
4.
−6000 +
6�
1600 · 1.05 −k = 2121.1
k=1
−6000 + 2850 · 1.05 −1 + 2850 · 1.05 −2 + 2850 · 1.05 −3 = 1761.3
−6000 + 3000 · 1.05 −1 + 2200 · 1.05 −2 +
−6000 +
6�
1000 · 1.05 −k = 2068.9
k=3
5�
750 · 1.05 −k + 6750 · 1.05 6 = 2284.1
k=1
Man erkennt, daß alle vier Investitionen rentabel und die vierte Investitionsvariante
die lohnendste ist. Es folgen die erste, die dritte und die zweite
Variante auf den Plätzen.
Das Willkürliche an der Kapitalwertmethode ist der vorgegebene Kalkulationszinssatz.
Dass dieser im obigen Beispiel die Reihenfolge der Bewertung
verschiedener Investitionen erheblich beeinflussen kann, zeigt sich, wenn nun
mit einem Kalkulationszinsfuß von 8% gerechnet wird. Dies entspricht dem
Zinssatz einer Kreditaufnahme über das Fremdfinanzierungskonto, es wird
also unterstellt, dass die Investition nun fremdfinanziert wird.
Die Kapitalwerte berechnen sich entsprechend zu
1396.60, 1344.70, 1503.50, 1248.20.
Auch mit Kreditaufnahme sind alle Investitionen rentabel. Die dritte Investition
ist nun die lohnendste, gefolgt von der ersten, der zweiten und der
vierten. ✷

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 138
Anwendung der Methode des internen Zinssatzes
Die Variante mit der höchsten Rendite wird als günstigste Variante angesehen.
Beispiel 5.10 Mit den obigen Daten ergibt sich als interner Zinssatz für die
einzelnen Varianten:
1.
2.
3.
4.
−6000 · q 6 +
6�
1600 · q 6−k = 0
k=1
Als Lösung ergibt sich q = 1. 1534, also ist 15, 34 der interne Zinsfuß.
−6000 · q 6 + 2850 · q 5 + 2850 · q 4 + 2850 · q 3 = 0
Lösung ist q = 1. 2004, also lautet der interne Zinsfuß 20, 04%.
−6000 · q 6 + 3000 · q 5 + 2200 · q 4 +
6�
1000 · q 6−k = 0
k=3
Es ergibt sich q = 1. 1846, also 18, 46% als interner Zinsfuß.
−6000 · q 6 +
5�
750 · q 6−k + 6750 = 0
k=1
Hier gilt q = 1. 125, damit liegt der interne Zinsfuß bei 12, 50%.
Bei dieser Berechnungsmethode zeigt sich also die zweite Anlagevariante als
Sieger, gefolgt von der dritten, der ersten und der vierten Variante. Die Reihenfolge
ist also verschieden von dem Ergebnis der Kapitalwertmethode. Da
in allen vier Investitionen der interne Zinssatz über den angegebenen Kalkulationszinssätzen
liegt, werden alle als lohnenswert eingestuft. ✷

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 139
5.4.3 Kritik der klassischen Methoden
Wie wir gesehen haben, hängt die Bewertung einer Investition von angenommenen
(fiktiven) oder berechneten Kalkulationszinssatz ab, mit dem
rückfließendes Kapital wieder angelegt wird. Während der Kalkulationszinssatz
bei der ersten Methode individuell nach Erfahrungswerten der Wiederanlage
festgelegt werden kann, wird er bei der zweiten Methode quasi als
interner Zinssatz berechnet.
Fisher Rate
Interessante Einsichten zum Kalkulationszinssatz ergeben sich, wenn der Kapitalwert
zweier zu vergleichender Investitionen im funktionalen Zusammenhang
mit dem Kalkulationszinssatz betrachtet wird:
Betrachten wir die erste und die vierte Investitionsvariante und bei diesen
den Kapitalwert in Abhängigkeit von q, so sind die zwei Funktionen
f1 (q) = −6000 +
f4 (q) = −6000 +
6�
1600 · q −k und
k=1
5�
k=1
750 · q −k + 6750q −6
zu vergleichen. In der Tat zeigen beide insofern einen unterschiedlichen Verlauf,
als die zweite für q = 1 einen höheren Wert annimmt und dann viel
steiler abfällt. Dadurch schneiden sich beide Kurven bei q = 1.0647. Diesen
Zinsfuß von 6, 47% nennt man Fisher rate.
Die Beobachtung ist wie folgt zu interpretieren: Für Kalkulationszinsfüsse
unter 6, 47% ist der Kapitalwert der vierten Anlage günstiger, ab 6, 47% ist
dies genau umgekehrt. Dies spiegelt die oben berechneten Ergebnisse der Kapitalwertmethode
mit den Kalkulationszinssätzen 5% und 8% richtig wider.
Problematik des Kalkulationszinssatzes
Bei der Anwendung der Kapitalwertmethode auf das Beispiel sind wir von
zwei verschiedenen Kalkulationszinssätzen ausgegangen. Während der erste

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 140
Zinssatz von 5% die Wiederanlage von Einzahlungen zum Zinssatz des Tagesgeldkontos
realistisch bewertet, denn diese Möglichkeit steht dem Investor
bei ihm zufließendem Kapital zu Verfügung, bewertet der zweite Kalkulationszinssatz
zurückfließendes Kapital zum Fremdfinanzierungszins von 8%.
Dies unterstellt implizit, dass zufließende Gelder unmittelbar und in voller
Höhe zur Reduzierung der Fremdfinanzierungsschuld herangezogen werden
können. Das ist unrealistisch, da in der Regel derartige Sondertilgungen ausgeschlossen
oder zumindest in der Höhe begrenzt sind. Selbst wenn diese
Sondertilgungen möglich wären, so wäre doch bei allen angesprochenen Investitionen
eine Tilgung des Fremdfinanzierungschuld vor dem Ende der Investition
erreicht. Weitere Kapitalrückflüsse könnten dann kaum noch mit dem
Fremdfinazierungszinssatz bewertet werden.
Personenbezogenheit des Kalkulationszinssatzes
Welcher Kalkulationszinssatz sinnvoll ist, hängt sicher auch von der Frage ab,
ob die Betrachtung von Gläubigerseite oder von Schuldnerseite her angestellt
wird .
Für einen Kreditnehmer macht es wenig Sinn, einen Kalkulationszinssatz anzusetzen,
der geringer ist als der effektive Zinssatz, weil sein Schuldkonto eben
mit dem (hohen) effektiven Zinssatz verzinst wird. Für ihn ist die Bewertung
der Finanzierungen mit der Methode des internen Zinssatzes sinnvoll.
Für den Kreditgeber hingegen ist es völlig offen, ob er zurückbezahlte Gelder
zu einem ähnlich guten Zinssatz wie dem Effektivzinssatz anlegen kann. Er
wird also den Kalkulationszinsfuß der Investition eher niedriger ansetzen und
so möglicherweise beim Vergleich zweier Rückzahlungsvarianten zu einem
anderen Ergebnis kommen als der Kreditnehmer. Der Kreditgeber wird also
die Kapitalwertmethode bei relativ geringem Kalkulationszinssatz wegen des
Risikos der Wiederanlage bevorzugen.
Bemerkung: Generell bleiben bei den bisherigen Betrachtungen Aspekte des
Risikos (der zukünftigen Zinsentwicklung oder der Bonität) unberücksichtigt.
Auch wurden Fragen der Liquidität bzw. der Unsicherheit von prognostizierten
Zahlungen nicht angesprochen.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 141
5.4.4 Methode der realen Rendite
Die Schwierigkeiten bei den klassischen Vergleichsmethoden für Investitionsprojekte
entstehen, weil Ungleiches verglichen wird. Wirklich vergleichbar
sind Investitionen nur, wenn sie von folgender einfacher Gestalt:
Betrachtet wird ein Referenzkonto mit verschiedenen zugeordneten Anlagekonten
zu möglicherweise unterschiedlichen Zinssätzen, in die Kapital aus
dem Referenzkonto während der betrachteten Laufzeit investiert wird.
• Aus dem Referenzkonto steht anfänglich ein fester Eigenkapitalbetrag
S zur Verfügung.
• Das Referenzkonto wird über einen festen Zeitraum T, der die Laufzeit
der Investition darstellt, betrachtet. Aus ihm fließen (jeweils zum
Ende einer Periode) Gelder als interne Auszahlungen zu zugeordneten
Anlagekonten ab. Genauso fließen Erlöse der Anlagekonten als interne
Einzahlungen dem Referenzkonto zu.
• Der Kontostand des Referenzkontos am Ende der Laufzeit T gibt den
Vermögenswert VT der Investition an. Dabei wird unterstellt, das alle
zugeordneten Anlagekonten auf null gestellt sind.
Im Falle einer solchen einfachen Investition ist das Vergleichskriterium
klar: je höher der Vermögenswert, desto lohnender die Investition! Dabei
nennen wir die Investition einfach, weil Kapitalflüsse aus oder zum Referenzkonto,
seien es Teilauszahlungen des Anlegebetrags oder Rückflüsse, als
interne Angelegenheit der Investition angesehen werden.
Aus dem Vermögenswert kann abschließend die reale Rendite der Investitionen
berechnet werden. Im Sinne des Begriffs der geschlossenen Investition
berechnet man dazu einfach den internen Zinsfuß p des Zahlungsstroms, bei
dem zum Zeitpunkt t = 0 die Einzahlung S und am Ende der Laufzeit T die
Auszahlung VT erfolgt.
Beispiel 5.11 Wir betrachten noch einmal das obige Beispiel.
1. Fall: Der Investor verwendet das Eigenkapital.
Referenzkonto ist das Tagesgeldkonto mit seiner Verzinsung von 5%. Aus ihm
fließen zum Zeitunkt T = 0 die 6000 EUR ab und werden investiert.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 142
Es ergeben sich für die einzelnen Varianten die folgenden Vermögenswerte
VT und realen Renditen p bei S = 6000 EUR und einem Kalkulationszinsfuß
von 5% (Achtung: wir verwenden der einfachheit halber die Rechenergebnisse
der Kapitalwertmethode)
1.
2.
3.
4.
VT =
6�
1600 · 1.05 6−k = (6000 + 2121.10) · 1.05 6 = 10883.05
k=1
q = 6� 10883.05/6000 = 1.10433
Die Anlage rentiert sich also real zu 10, 43%
VT = (6000 + 1761.3) · 1.05 6 = 10400.88
q = 6� 10400.88/6000 = 1.0960
Die Anlage rentiert sich real zu 9, 60%.
VT = (6000 + 2068.9) · 1.05 6 = 10813.1
q = 6� 10813.1/6000 = 1.10315
Damit ergibt sich eine reale Rendite von p = 10, 13%
VT = (6000 + 2284.1) · 1.05 6 = 11101.49
q = 6� 11101.49/6000 = 1.1080
Als reale Rendite ergibt sich p = 10, 80%.
Der Vergleich mit der Kapitalwertmethode zeigt, dass die Rangreihenfolge
der Investitionen die gleiche ist wie bei der Kapitalwertmethode bei einem
Kalkulationzins von 5% (warum?)
2. Fall: Die Investition wird fremdfinanziert.
In diesem Fall verbleiben die vorhandenen 6000 EUR aus dem Tageskonto
als Referenzkonto und werden dort über die gesamte Laufzeit mit 5% verzinst.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 143
Zusätzlich nimmt der Investor einen Kredit von 6000 EUR zu einem Effektivzins
von 8% auf. Diesen zahlt er in 6 nachschüssigen Annuitäten A von
je
6 1.08 − 1
A = 6000 · 1.08
1.086 = 1297. 89
− 1
aus dem Referenzkonto zurück. Gleichzeitig fließen die Rückflüsse aus der
Investition aus das Referenzkonto.
1.
2.
3.
4.
VT = 6000 · 1.05 6 +
6�
(1600 − 1297. 89) 1.05 6−k = 10095. 50
k=1
q = 6� 10095. 50/6000 = 1. 09059 31
Die reale Rendite ergibt sich zu p = 9, 06%.
VT = 6000 · 1.05 6 +
3�
2850 · 1.05 6−k −
k=1
6�
1297. 89 · 1.05 6−k = 9613. 27
k=1
q = 6� 9613. 27/6000 = 1. 08173 28
Es ergibt sich eine reale Rendite von p = 8.17%.
VT = 6000 · 1.05 6 +
3000 · 1.05 5 + 2200 · 1.05 4 +
= 10025. 52
6�
1000 · 1.05 6−k −
k=3
q = 6� 10025. 52/6000 = 1. 08932 95
Hier stellt sich die Rendite real zu p = 8.93%.
VT = 6000·1.05 6 +
6�
750·1.05 6−k −
k=1
6�
1297. 89 · 1.05 6−k
k=1
6�
1297. 89·1.05 6−k +6000 = 10313. 88
k=1

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 144
q = 6� 10313. 88/6000 = 1. 09449
Die Investition rentiert sich real zu p = 9.45%.
Insgesamt zeigt sich in unserem Beispiel die vierte Investition bei Einbringung
des Eigenkapitals als diejenige mit der höchsten realen Rendite. Sie ist
unter diesem Aspekt die lohnenste Investition! ✷
5.5 Übungsaufgaben
5.5.1 Theoretische Aufgaben
Festverzinsliche Wertpapiere
Festverzinsliche Wertpapiere (Zinsanleihen) sind Kapitalanlagen, bei denen
am Anfang die Investition einer bestimmten Summe steht, mit der das Recht
auf Einnahme periodischer Zinsen (Kupons) erworben wird und bei denen
nach einer festen Laufzeit ein Betrag, der nicht notwendig mit dem investierten
Betrag übereinstimmen muß, zur Rückzahlung des investierten Kapitals
auf ein Investitionskonto eingezahlt wird. In Deutschland ist es üblich, daß
die Zinsen volljährig bezahlt werden. Das macht die zinstechnische Bearbeitung
einfach, da in diesem Fall die US-Methode mit der Berechnungsmethode
nach PAngV übereinstimmt.
Wir gehen im folgenden von dem praxisnahen Fall aus, daß die Stückelung
des betrachteten festverzinslichen Papiers 100 EUR beträgt und betrachten
auch nur den Erwerb eines Papiers im Nominalwert dieses Betrages. Dadurch
gibt der investierte Betrag den Kurs des Wertpapieres an. Dieser Kurs kann
erheblich vom Nominalwert abweichen, nämlich dann, wenn die mit dem
Papier verbundenen Nominalzinsen von den Marktzinsen abweichen. Es ist
klar, daß ein veränderter Auszahlungsbetrag bei gleichen Zinserträgen und
gleicher Rückzahlung die Rendite der Investition verändert: je niedriger der
Kurs des Wertpapiers, desto höher seine Rendite.
Im Einzelnen vereinbaren wir folgende Bezeichnungen
n = Laufzeit des Papiers in vollen Jahren (n ≥ 2)

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 145
A = (Ausgabe-)Kurs in EUR
B = jährlicher konstanter Zinsertrag
C = Rückzahlung, bestehend aus den letzten Zinsen plus dem Einlösekurs
Die Rendite des Wertpapiers berechnet sich dann als interner Zinsfuß aus der
Gleichung
gn (q) = −Aq n + Bq n−1 + ... + Bq + C = 0 (5.16)
Dabei wollen wir praxisnah
voraussetzen.
A > 0, B > 0, C > 0 (5.17)
Hinweis: Der Kurs eines Wertpapiers mit gebrochener Laufzeit von zunächst
t(> 0) Tagen und dann n Jahren wird festgesetzt zu
K ′ �
360 − t
= K 1 + (q
360
′ �
− 1)
wobei K den (fiktiven) Kurs bei einer Laufzeit von (n + 1) Jahren und q ′
den Aufzinsungsfaktor des Marktzinses bezeichne. Da dieser Kurs zu den
Zinszahlungstagen ”springt”, bezeichnet man mit
K ′′ = K ′ −
360 − t
360
(q − 1) · 100
den börsennotierten Kurs. Beachte: Üblicherweise werden die Kurse als Prozentangaben
notiert!
Aufgabe 5.12 Zeigen Sie , daß im Falle C = A + B die Gleichung (5.16)
die eindeutige positive Lösung q = 1 + B
A hat.
Aufgabe 5.13 Substituieren Sie in Gleichung (5.16) q durch x := 1.
Zeigen
q
Sie, daß die so entstehende Gleichung
h (x) = q −n �n−1
gn (q) = −A + B
j=1
x j + Cx n = 0
mit dem Newtonverfahren für Polynome sicher gelöst werden kann, wenn bei
beliebigen x0 > 0 gestartet wird.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 146
Aufgabe 5.14 Betrachtet werde die Funktion h aus der letzten Aufgabe. Zeigen
Sie:
1. Gilt h (1) = −A + (n − 1) B + C > 0, so gilt für die Rendite i ∗ > 0.
2. Gilt h (1) = −A + (n − 1) B + C < 0, so gilt für die Rendite i ∗ < 0.
3. Gilt A < C − B, so gilt für die Rendite i ∗ < B
A
4. Gilt A > C − B, so gilt für die Rendite i ∗ > B
A
Wie interpretieren Sie diese Bedingungen und Ergebnisse?
5.5.2 Programmierpraxis
Aufgabe 5.15 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das für eine geschlossene
halbnormale Finanzierung den Effektivzins berechnet. Gehen sie
dabei von 1 −jährlichen, in der Höhe unregelmäßigen Zahlungen aus. Das
m
Programm soll zuvor testen, ob die Finanzierung halbnormal ist.
Aufgabe 5.16 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das für eine offene
quasinormale Investition mit bekanntem (Jahres-) Kalkulationszinssatz
den Effektivzins berechnet. Gehen sie dabei von 1 −jährlichen, in der Höhe
m
unregelmäßigen Zahlungen aus. Das Programm soll zuvor testen, ob die Finanzierung
quasinormal ist.
Aufgabe 5.17 Schreiben sie ein (Excel-) VBA-Programm, das mehrere Investitionen
mit unterschiedlichen Zahlungsströmen nach der Methode der
realen Rendite vergleicht. Unterscheiden Sie dabei zwischen Eigen- und Fremdfinanzierung.
5.5.3 Praktische Aufgaben
Aufgabe 5.18 Berechnen sie die Rendite eines festverzinslichen Wertpapiers,
das zu einem Kurs von 93, 24 bei einer Restlaufzeit von 3 Jahren und
211 Tagen und einer Nominalverzinsung von 4, 75% erstanden wurde. (Es
wurde zu 100% zurückbezahlt)

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 147
Aufgabe 5.19 Welches ist der Kurs und der börsennotierte Kurs eines festverzinslichen
Wertpapiers, das mit nominellen Zinsen von 7% ausgestattet
ist und eine Laufzeit von 5 Jahren und 2 Monaten hat, wenn der aktuelle
Marktzins für 3-jährige Papiere bei 6% liegt? (Rückzahlung zu 100%).
Aufgabe 5.20 Berechnen Sie den internen Zinsfuß des Fondskontos, bei
dem folgende Bewegungen stattfinden:
Zu Beginn des ersten Jahres werden 10000 EUR investiert und nach einem
halben Jahr noch einmal für 5000 EUR nachgekauft. Genau fünf Jahre nach
Beginn der Investition werden im monatlichen Rhythmus jeweils Anteile für
5000 EUR verkauft. Dies geschieht vier mal so. Schließlich wird letztmalig
einen Monat später das Konto leergeräumt. Dabei werden noch einmal
6781, 23 EUR erzielt.
Aufgabe 5.21 Berechnen Sie den effektiven Jahreszins für folgenden Kredit:
Geliehen werden 50000 EUR für 8 Jahre. Vereinbart ist eine anfänglich
zu zahlende Darlehensgebühr von 3%, die der Darlehensumme zugeschlagen
wird, ein Zahlungsaufschub von einem halben Jahr, anschließende nachschüssige
monatliche Zahlungen von 750 EUR und eine abschließende Restzahlung von
8000 EUR (einschließlich der letzten Annuität).
Aufgabe 5.22 Vergleichen Sie die folgenden Kapitalanlagen nach der Methode
der realen Rendite bei jeweils gleichem Kalkulationszinsfuß von 7%,
wenn das Kapital fremdfinanziert wird und von 4%, wenn Eigenkapital genutzt
wird.
Investiert werden sollen 10000 EUR. Es stehen drei Anlagen zur Auswahl:
1. Investiert werden sofort 6000 EUR und ein halbes Jahr später die restlichen
4000 EUR. Rückflüsse ergeben sich wie folgt:
• nach viereinhalb Jahren 3000 EUR
• nach fünf Jahren 5000 EUR
• und nach sechs Jahren 10000 EUR
2. Investiert werden sofort 10000 EUR. Zurückgezahlt werden 20000 EUR
nach sieben Jahren.

KAPITEL 5. RENTABILITÄT 148
3. Investiert werden sofort beginnend jeweils 2000 EUR in Abständen von
einem viertel Jahr. Zurückgezahlt werden jeweils 2000 EUR beginnend
genau drei Jahre nach der ersten Auszahlung 8 mal viertel jährlich
nachschüssig.

Teil II
Versicherungsmathematik
149

Kapitel 6
Grundlagen der
Lebensversicherung
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts hat man unter Versicherungsmathematik nur
die Lebensversicherungsmathematik verstanden. Sachversicherungen wurden
im wesentlichen ohne Verwendung von Mathematik abgewickelt, Prämien
alleine aus der Schadenserfahrung festgesetzt. Heute haben die Erfahrung
und die Modelle, die man mit der Lebensversicherungsmathematik gesammelt
hat, Einzug auch in andere Versicherungsarten genommen, wie etwa
der Krankenversicherung, der Pensionsversicherung und natürlich der Sachversicherungen
wie der KFZ-Versicherung, der Feuerversicherung und der
Gebäudeversicherung. Dieser grundlegenden Bedeutung der Lebensversicherungsmathematik
tragen wir Rechnung, wenn wir diese als alleinigen Gegenstand
unserer Betrachtungen auswählen.
Lebensversicherungsmathematik früher war hauptsächlich Lebensversicherungstechnik,
d.h. die routinemäßige Handhabung von Formelapparaten und
Tabellen, bei der die Mathematik zwar das Verständnis des Werkzeugs lieferte,
aber soweit in den Hintergrund gerückt war, daß sie für die Praxis nicht
mehr nötig war. Grund dafür war die Notwendigkeit intensiver, langwieriger
Rechnungen mit Tabellendaten, so daß für individuelle Problemlösungen
wenig Zeit blieb. Im Zeitalter der Computer ist das Rechnen derart einfach
geworden, daß das ”Wie” der Rechnung gegenüber dem ”Weshalb” in
den Hintergrund tritt. Außerdem sind die Grundkenntnisse in Statistik und
Wahrscheinlichkeitsrechnung heute weiter verbreitet, was eine anspruchsvol-
150

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 151
lere, über die reinen Erwartungswerte hinausgehende Versicherungsmathematik
auch für die Praxis erlaubt. Dies schlägt sich nieder in einer alle Versicherungsprobleme
umfassenden Risikotheorie, in der anhand der Verteilung
des Gesamtrisikos Zusammenhänge zwischen Sicherheitszuschlägen, Sicherheitsreserven
und Ruinwahrscheinlichkeit untersucht werden.
Im folgenden betrachten wir zunächst die Rechnungsgrundlagen der Lebensversicherungsmathematik.
Anschließend wird das Äquivalenzprinzip, das Prinzip
der Gleichheit zwischen Leistung und Gegenleistung in der Versicherung
erläutert und erste grundlegende Versicherungsmodelle besprochen
6.1 Rechnungsgrundlagen
Als Rechnungsgrundlagen der Lebensversicherungsmathematik faßt man heute
die drei folgenden Bereiche auf:
• die Zinsrechnung, hier insbesondere die Rentenrechnung
• die Sterbewahrscheinlichkeit, d.h. die statistisch und wahrscheinlichkeitstheoretisch
erfaßte Sterblichkeit bestimmter Bevölkerungsgruppen
• die Kosten, also die Kalkulation ausreichender Prämien, die unter
Berücksichtigung des Äquivalenzprinzips die Entlöhnung für die von
den Versicherungsgesellschaften geleistete Arbeit sicherstellen.
Wir wollen alle drei Rechnungsgrundlagen näher betrachten.
6.1.1 Der Zins als Rechnungsgrundlage
Lebensversicherungsverträge haben in der Regel eine Laufzeit von vielen Jahren.
Deshalb spielt die zinsmäßige Erfassung des gebundenen Kapitals eine
große Rolle. Da fortwährende Prämienzahlungen oder Leibrenten periodische
Zahlungen darstellen, spielen insbesondere Renten und Annuitäten eine
wichtige Rolle. Grundsätzlich können wir dabei die von uns aufgestellten Formeln
verwenden, allerdings ist z.B. die Dauer der Zahlungen meist eine rein
zufällige Größe.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 152
Rechnungsgrundlage bei Lebensversicherungen ist kein zuvor zwischen dem
Versicherungsnehmer und der Gesellschaft ausgehandelter individueller Zins,
sondern ein allgemeiner Kalkulationszinssatz, der den berechneten Tarifen
zugrunde liegt, der im Versicherungsvertragsgesetz vorgeschrieben wird und
der gemäß dem Versicherungsaufsichtsgesetz vom Bundesaufsichtsamt für das
Versicherungswesen (BAV) beaufsichtigt wird.
Der Kalkulationszinssatz (der Rechnungszins) darf nicht zu optimistisch angesetzt
sein, da Lebensversicherungsvertäge oft Laufzeiten von Jahrzehnten
haben und während all dieser Zeit die Erfüllbarkeit der Verträge sichergestellt
sein muß. Zum Ausgleich eines niedrig angesetzten Rechnungszinses
kann im Nachhinein durch Überschußbeteiligung ein gewisser Ausgleich für
den Versicherungsnehmer geschaffen werden.
Im Gebrauch war in der Vergangenheit ein Rechnungszins von 3%; bei Pensionskassen
und Sterbekassen von 3, 5%. Im Rahmen der betrieblichen Altersversorgung
bilden die Unternehmen Rückstellungen, von denen allgemein
angenommen wird, daß sie sich mit 6% verzinsen. Seit 1994 beträgt der Rechnungszins
durch die innereuropäische Angleichung mindestens 4%.
Bezeichnungen
In der Versicherungsmathematik sind gewisse feste Symbole als Bezeichnungen
international üblich und anerkannt, die teilweise von den von uns verwendeten
Bezeichnungen abweichen. Deswegen sei an dieser Stelle eine Liste
dieser Bezeichnungen aufgeführt.
• p bezeichnet den Zinsfuß
• i = p
100
bezeichnet den Zinssatz
• B gibt den Barwert eines Kapitals an
• S gibt den Endwert eines Kapitals wieder
• r = 1 + i bezeichnet den Aufzinsungsfaktor (zuvor q)
• v = 1
1+i = r−1 benennt den Abzinsungsfaktor
• d = 1 − v = iv bezeichnet die Diskontrate

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 153
• n gibt die Anzahl der Jahre an
• 1
m
mit m = 2, 4, 12, 360 bezeichnet den Jahresteil
• h nennt die Anzahl der Jahresteile der Länge 1
m
Man beachte die Analogie der Gleichungen r = 1 + i und v = 1 − d. Die
folgenden Formeln vereinfachen das Rechnen mit Renten.
• ä¯n = 1 + v + v2 + ... + vn−1 = 1−vn 1−vn = gibt den Barwert der
1−v d
vorschüssigen volljährigen Rente der Höhe 1 an
• a¯n = v+v2 +...+vn = v 1−vn 1−vn = gibt den Barwert der nachschüssigen
1−v i
volljährigen Rente der Höhe 1 an
• ¨s¯n = rnä¯n = rn + rn−1 + ... + r = r rn−1 r−1 = rn−1 d
vorschüssigen volljährigen Rente der Höhe 1 an
• s¯n = rna¯n = rn−1 + rn−2 + ... + 1 = rn−1 r−1 = rn−1 i
gibt den Endwert der
gibt den Endwert der
nachschüssigen volljährigen Rente der Höhe 1 an
Im Übrigen gelten die folgenden Identitäten
ä¯n = 1 + a n−1 (6.1)
s¯n = 1 + ¨s n−1 (6.2)
Zur Berechnung der Barwerte bzw. der Endwerte einer volljährigen Rente
der Höhe R benutzt man einfach die Formeln
Unterjährige Renten
B = Rä¯n, B = Ra¯n und S = R¨s¯n, S = Rs¯n (6.3)
Bei unterjährigen Renten wird in der Versicherungsmathematik i.a. unterstellt,
daß die Zinsverrechnungsintervalle mit den Zahlungsintervallen übereinstimmen.
Daher ergibt sich für den Barwert a (m)
¯n
tel des Jahres
einer auf 1
m

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 154
bezogenen nachschüssigen Rente über n Jahre mit der Rate 1
m
Es ist üblich, a (m)
¯n
a (m)
¯n = 1 �n·m
m
k=1
= 1 1
v m
m
= 1
m
auszudrücken. Es gilt nämlich
damit ist a (m)
¯n
daß aus der Beziehung
�
v k
m = 1
n·m−1
1
v m
m
1 − v n·m
m
i
1 − v 1
m
r 1
m − 1
1 − v n
i
k=0
v k
m
= 1 1 − v
m
n
=
r 1
m − 1
i
m
r 1
m − 1 a¯n
auch mit Hilfe der unterjährigen Zinsrate
i (m) �
:= m r 1
�
m − 1
a (m)
¯n
= 1 − vn
i (m)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
(6.7)
durch einen analogen Term beschrieben wie a¯n. Man beachte,
r = 1 + i =
�
1 + i(m)
�m
m
(6.8)
folgt, daß i (m) den linear proportionalen Jahreszins darstellt, der bei 1
m −tel
jähriger Verzinsung die gleiche Jahresverzinsung liefert wie i und den wir
früher mit im bezeichnet haben. Es gilt also i (m) < i. Formel (6.7) kann daher
als Barwert einer Jahresrente mit dem geringeren Zinssatz i (m) interpretiert
werden. Beachte: es ist limm→∞ i (m) = i (∞) die Zinsintensität.
Entsprechend ergibt sich für die vorschüssige unterjährige Rente mit der unterjährigen
Diskontrate
der Barwert
d (m) = m
= i(m)
r 1
m
ä (m)
¯n
=
�
1 − v 1
�
m = v 1
�
m m r 1
�
m − 1
= i(m)
1 + i(m)
m
d
m
1 − v 1 ä¯n =
m
1 − vn
d (m)
(6.9)
(6.10)
(6.11)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 155
und für die Endwerte von vorschüssiger bzw. nachschüssiger unterjähriger
Rente
bzw.
¨s (m)
¯n
s (m)
¯n
=
=
d
m
1 − v 1 ¨s¯n =
m
rn − 1
d (m)
i
m
r 1
m − 1 s¯n = rn − 1
i (m)
(6.12)
(6.13)
Bemerkung: In der Praxis verwendet man oft eine lineare Näherung für diese
Formeln. Betrachten wir z.B. den Barwert der vorschüssigen unterjährigen
Rente. Dann gilt zunächst mit v = 1 − d
ä (m)
¯n
=
d
m
1 − v 1 ä¯n =
m
1
m ä¯n
1 −
= 1
m ä¯n
�
v 1
�m m
1 − v 1
m
m−1 �
k=0
= 1
m ä¯n
m−1 �
k=0
�
v 1
m
� k
(1 − d) k
m
Bilden wir zu dieser von d abhängigen Funktion ä (m)
¯n die lineare Approximation
um die Stelle d = 0, so ergibt sich die Näherungsformel
= 1
m ä¯n
�
m −
ä (m)
¯n
m − 1
d
2
≈ 1
m ä¯n
�
= ä¯n
m−1 �
k=0
�
1 −
�
1 − k
m d
�
m − 1
2m d
�
(6.14)
Man kann nachweisen, daß die rechte Seite genau der Formel für den Barwert
der vorschüssigen unterjährigen Rente mit Rate 1 entspricht, wenn eine
m
volljährige Zinsverrechnung unterstellt wird und unterjährig einfach verzinst
wird (vgl. (3.17)). Entsprechende Näherungsformeln und Interpretationen
können für a (m)
¯n , ¨s (m)
¯n , s (m)
¯n hergeleitet werden.(Übungsaufgabe) ✷

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 156
6.1.2 Die Sterblichkeit als Rechnungsgrundlage
Leibrenten sind Rentenzahlungen an eine Person, die solange gezahlt werden,
wie die Person lebt. Mit dem Tod erlicht der Anspruch auf die Zahlungen. Die
Dauer der Rentenzahlung ist also von der Lebensdauer der Person abhängig
und diese ist eine zufällige Größe. Von daher spielt die Zufallsvariable T, die
die zukünftige Lebensdauer der Person vom Alter x angibt, in der Versicherungsmathematik
eine wesentliche Rolle.
Im folgenden wird die Zufallsvariable T zunächst als stetig und bekannt
vorausgesetzt. Mit ihrer Ermittlung bzw. Schätzung werden wir uns im
nächsten Abschnitt auseinandersetzen. Ihre Verteilung sei
G (t) := P (T < t) , t ≥ 0,
sie gibt für festes t die Wahrscheinlichkeit an, daß die x-jährige Person innerhalb
von t Jahren sterben wird. Man beachte: Es gilt G (0) = 0 und G (t) = 1
für genügend großes t > 0.
Die Dichtefunktion zu T schreiben wir g (t) := G ′ (t) .
Bezeichnungen
In der Versicherungsmathematik hat sich nun eine international respektierte
feste Symbolik eingebürgert, an die wir uns im wesentlichen auch halten
wollen. So schreibt man für die t−jährige Sterbewahrscheinlichkeit des
x−Jährigen
tqx := P (T < t) = G (t) (6.15)
und analog
tpx := P (T ≥ t) = 1 − G (t) = 1 − tqx
(6.16)
für die t−jährige Überlebenswahrscheinlichkeit des x−Jährigen. Man beachte:
0qx = 0, 0px = 1.
Ferner beschreibt
s|tqx : = P (s ≤ T < s + t)
= G (s + t) − G (s) = s+tqx − sqx (6.17)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 157
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der x−Jährige die nächsten s Jahre überlebt
und dann innerhalb von t Jahren sterben wird. Es ist natürlich
und für t ≥ 0
s|0qx = P (s ≤ T < s + 0) = P (s ≤ T < s) = P (∅) = 0
0|tqx = P (0 ≤ T < 0 + t) = P (T < t) = tqx
Des weiteren schreiben wir für den x-Jährigen die bedingte Wahrscheinlichkeit,
daß er weitere t Jahre überlebt, wenn er (zukünftig) bereits s Jahre
überlebt hat, mit
tpx,s : = P (T ≥ s + t |T ≥ s) =
= 1 − G (s + t)
1 − G (s)
Es gilt 0px,s = 1. Entsprechend ist
= s+tpx
spx
tqx,s : = P (T < s + t |T ≥ s) =
= G (s + t) − G (s)
1 − G (s)
= s|tqx
spx
P (T ≥ s ∧ T ≥ s + t)
P (T ≥ s)
P (s ≤ T < s + t)
P (T ≥ s)
(6.18)
(6.19)
die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, daß der x-Jährige innerhalb der nächsten
t Jahre stirbt, wenn er bereits s weitere Jahre überlebt hat. Es gilt
0qx,s = 0. Man beachte, daß hierbei wieder
gilt.
Produktformeln
tqx,s = 1 − tpx,s
(6.20)
Weitere nützliche Identitäten in diesem Zusammenhang sind die folgenden
Produktformeln, die sich unmittelbar aus (6.18) und (6.19) ergeben
s+tpx = spx · tpx,s (6.21)
s|tqx = spx · tqx,s (6.22)
wobei wir auf 0px,s = 1 und 0qx,s = 0 hinweisen, so daß diese Formeln für
s, t ≥ 0 gelten.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 158
Lebenserwartung und Sterbeintensität
Schließlich nennen wir den Erwartungswert E (T ) der Zufallsvariablen T die
Lebenserwartung des x-Jährigen und bezeichnen sie mit e◦ x. Es gilt also
� ∞
tg (t) dt. (6.23)
e ◦ x =
0
e ◦ x kann auch durch die Verteilungsfunktion von T ausgedrückt werden. Über
partielle Interation erhält man leicht
e ◦ � ∞
� ∞
x = (1 − G (t)) dt = tpxdt (6.24)
0
(Beachte dazu, daß G (t) = 1 für genügend großes t > 0.)
Wir vereinbaren noch, daß der Präfix t in den Symbolen tpx, tqx, s|tqx etc.
nicht geschrieben wird, wenn er den Wert t = 1 hat. Man schreibt also
z.B. s|qx anstelle von s|1qx für die Wahrscheinlichkeit, daß der x-Jährige die
nächsten s Jahre überleben wird, um dann innerhalb eines Jahres zu sterben.
Ein weiterer wichtiger Begriff ist der der Sterbeintensität. Unter der Sterbeintensität
eines x-Jährigen im Alter von x + t verstehen wir den Quoti-
enten
µx+t :=
Es gilt also
g (t)
1 − G (t)
d
d
= − ln (1 − G (t)) =
dt dt ln
� �
1
1 − G (t)
g (t) = tpx · µx+t
0
(6.25)
(6.26)
µx+t verwendet man z.B. um die Wahrscheinlichkeit auszudrücken, daß der
x-Jährige zwischen den Zeitpunkten t und t + △t sterben wird
P (t ≤ T < t + △t) = G (t + △t) − G (t) ≈ g (t) △t = tpx · µx+t△t (6.27)
Für kleine Werte von △t =: s > 0 hat man damit die Näherungsformel (vgl.
(6.22))
tpx · sqx,t = G (t + s) − G (t) ≈ tpx · µx+t · s
so daß auch
sqx,t ≈ µx+t · s (6.28)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 159
für kleine s > 0 erfüllt ist.
Die Lebenserwartung des x-Jährigen kann nun in der Form
� ∞
t · tpx · µx+tdt (6.29)
geschrieben werden.
e ◦ x =
Da wir nach Definition µx+t auch in der Form
0
µx+t = − d
dt ln (tpx) (6.30)
schreiben können, erhalten wir durch Integration einen alternativen Ausdruck
für tpx
tpx = e − � t
0 µx+sds
(6.31)
6.1.3 Die Kosten als Rechnungsgrundlage
Bei der Prämienkalkulation müssen die Kosten des Versicherers gesondert
berücksichtigt werden. Man unterscheidet in der Regel drei Kostenarten.
a) Die einmaligen Kosten Diese Kosten enthalten Ausgaben für Werbung,
zu zahlende Provisionen, Kosten für ärztliche Untersuchungen, die Ausstellung
der Policen, etc. Man nennt sie die α−Kosten. Sie werden einmalig
erhoben und zwar als Bruchteil (etwa α = 0, 035) der Versicherungssumme
oder des Kapitalwertes einer Rente oder eines Vielfachen
der Jahresrente etc., zuweilen auch abhängig vom Eintrittsalter oder
der Beitragszahlungsdauer.
b) Die Inkassokosten Zu diesen gehören alle Kosten, die durch die Erhebung
der Prämien entstehen. Sie werden β−Kosten genannt und
während der gesamten Prämienzahlungsdauer erhoben. Zumeist werden
sie als Bruchteil (etwa β = 0, 03) der Bruttojahresprämie angesetzt.
c) Die laufenden Verwaltungskosten Diese beinhalten alle inneren Verwaltungskosten
des Versicherers, soweit sie nicht zu den bereits genannten
Kosten gehören. Eingezogen werden sie wieder als Bruchteil (etwa

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 160
γ = 0, 0031) der Versicherungssumme, des Rentenbarwertes oder des
Rentenjahresbetrags und werden jährlich während der gesamten Versicherungsdauer
in Rechnung gestellt. Sie werden γ−Kosten genannt.
Einige Versicherer erheben die laufenden Kosten auch als ”Stückkosten”,
unabhängig von der Versicherungssumme, dem Eintrittsalter und der
Versicherungsdauer für jeden Vertrag jährlich in gleicher Höhe (etwa
12 EUR pro Vertrag).
Zuweilen werden auf Grund von Erfahrungen begründete Voraussagen über
das zu erwartende Storno als vierte Rechnungsgrundlage bezeichnet.
6.2 Sterbewahrscheinlichkeit
Im letzten Abschnitt haben wir die Sterbewahrscheinlichkeit eines x-Jährigen
als bekannt vorausgesetzt. Dies ist natürlich in der Praxis nicht der Fall und
man muß sich Gedanken machen, wie man an die Verteilung der Zufallsvariablen
T eines beliebigen x-Jährigen kommt. Hilfsmittel dazu liefert die
Statistik. Beobachtet man genügend viele x-Jährige in ihrem weiteren Lebensverlauf,
so kann T empirisch bestimmt werden.
Generell setzt diese Vorgehensweise natürlich genügend viel Beobachtungszeit
voraus, ist also unpraktikabel und verliert aus sich heraus ihre Aktualität.
Einfacher ist es, die Sterblichkeit einer Gesamtheit von Lebenden über
einen festen kurzen Zeitraum zu beobachten (etwa im Zusammenhang mit
Volkszählungen) und diese Daten mit statistischen Methoden gegenzurechnen.
6.2.1 Historische Bemerkungen
Systematische Datenerhebungen über ”Überlebende” und ”Gestorbene” finden
wir bereits in der frühen Neuzeit. Schon zu Beginn des siebzehnten Jahrhunderts
wurden regelmäßig wöchentlich die in London und Umgebung Verstorbenen
registriert. Allerdings waren diese Zahlen für die Ermittlung einer
Sterbewahrscheinlichkeit nur begrenzt brauchbar, da sie die Zu- und Abwanderung
der Bevölkerung nicht berücksichtigten und auch keine Bezugszahlen
für den Bevölkerungsstand boten.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 161
Seit dem letzten Drittel des vorvorigen Jahrhunderts wurden dann aber systematisch
Daten über Lebende und Verstorbene in geschlossenen Gemeinschaften
erhoben und daraus allgemeine Sterbetafeln entwickelt.
Schon frühzeitig versuchte man auch, Sterblichkeit analytisch zu erfassen und
mittels Sterbegesetzen zu beschreiben. Das erste uns bekannte Sterbegesetz
stammt von de Moivre (1724). Dieser postulierte ein oberstes Alter ω (etwa
ω = 86) für das menschliche Leben und daß T gleichverteilt sei zwischen 0
und ω − x. Dadurch ergab sich
g (t) = 1
ω − x
für 0 < t < ω − x
als Dichtefunktion für T, woraus sich eine Sterblichkeitsintensität von
ableitet.
µx+t =
g (t)
1 − G (t)
= 1/ (ω − x)
1 − t
ω−x
=
1
ω − x − t
Gompertz (1824) postulierte ein exponentielles Wachstum der Sterblichkeitsintensität
µx+t = Bc x+t
für t > 0
mit Parametern B > 0, c > 1, ein Ansatz, der von Makeham (1860) noch
zu
µx+t = A + Bc x+t
für t > 0
mit A > 0 verbessert wurde. Dieser Ansatz kommt ohne das Postulat eines
obersten Alters ω aus und gibt das menschliche Altern (zumindest im Bereich
zwischen 25 und 80) besser wieder. Aus ihm berechnet man (vgl. (6.31))
mit der Abkürzung m = B/ ln c.
tpx = e −At−mcx (c t −1)
Weibull (1939) postulierte, daß die Sterblichkeitsintensität nicht exponentiell,
sondern mit fester Potenz anwachse
µx+t = k (x + t) n
(n > 0, k > 0 Parameter), woraus sich (vgl. (6.31))
k
−
tpx = e n+1((x+t) n+1 −xn+1 )

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 162
ergibt.
Heute verwendet man solche analytischen Ansätze höchstens zum ”Glätten
von Rohdaten” bei der Erstellung von Sterbetafeln. Der Erstellung dieser
Sterbetafeln liegt eine wahrscheinlichkeitstheoretische Modellbildung zugrunde,
die wir im folgenden erörtern wollen.
6.2.2 Modellbildung zur Sterbewahrscheinlichkeit
Zunächst einmal zerlegen wir die Zufallsvariable T , damit diese praktisch
leichter zu handhaben ist. Indem wir T := [T ] + (T − [T ]) =: K + S bilden,
wird T zunächst über die diskrete Zufallsvariable K ”ganzzahlig gestutzt” in
dem Sinne, daß bei der Lebensdauer eines x-Jährigen nur ganze Jahre gezählt
werden. Die stetige Zufallsvariable S nimmt dann Werte zwischen 0 und 1
an. Es gilt für t = k + u, k = [t]
Dabei gilt
für k = 0, 1, ....
Modellannahmen
P (T < t) = P (T < k) + P (k ≤ T < k + u)
= P (T < k) + P (K = k ∧ S < u) (6.32)
P (K = k) = P (k ≤ T < k + 1) = kpx · qx,k = k|qx
(6.33)
Um das Modell einfach zu halten, nehmen wir an, daß S von K unabhängig
verteilt ist. Wegen der Unabhängigkeit gilt dann
P (S < u) = P (S < u |K = k ) =
= P (k ≤ T < k + u)
P (K = k ∧ S < u)
P (K = k)
P (k ≤ T < k + 1) = kpx · uqx,k
kpx · qx,k
= uqx,k
qx,k
(6.34)
Ferner nehmen wir an, daß die Zufallsvariable S gleichverteilt ist zwischen 0
und 1.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 163
Linearisierung
In diesem Fall ist
die Verteilungsfunktion für S, sodaß
H (u) := P (S < u) = u für 0 ≤ u ≤ 1 (6.35)
gilt für alle k ∈ N0, insbesondere also
uqx,k = u · qx,k
(6.36)
uqx = u · qx. (6.37)
Es gilt dann wegen P (T < k + u) = P (T < k) + P (k ≤ T < k + u)
G (t) = tqx = k+uqx = kqx + kpx · uqx,k = kqx + u · kpx · qx,k
insbesondere wegen (6.19)
k+1qx = kqx + kpx · qx,k = kqx + k|qx
(6.38)
(6.39)
Wir interpretieren dies so, daß die Verteilungsfunktion G (t) zwischen t = k
und t = k + 1 durch unsere Forderungen linearisiert wurde!
Ferner berechnet man für die Sterblichkeitsintensität wegen upx = 1 − uqx =
1 − u · qx zu
µx+u = − d
du ln (upx)
1
qx
= − (−qx) =
1 − u · qx 1 − u · qx
(6.40)
Der Erwartungswert E (K) von K heißt die gestutzte Lebenserwartung
ex des x-Jährigen. Es gilt
bzw.
ex =
=
ex =
∞�
kP (K = k) =
k=1
∞�
kP (K = k) =
k=1
∞�
P (K ≥ k) =
k=1
∞�
∞�
k · kpx · qx,k
k=1
k=1 j=k
∞�
P (K = j)
∞�
[1 − P (T < k)] =
k=1
∞�
k=1
kpx
(6.41)
(6.42)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 164
Der Erwartungswert von S ist E (S) = 1,
es gilt also
2
e ◦ x = E (T ) = E (K) + E (S) = ex + 1
2
(6.43)
Für die Varianzen gilt entsprechend wegen der vorausgesetzten stochastischen
Unabhängigkeit von K und S
Reduktion der Daten
V ar (T ) = V ar (K) + V ar (S) = V ar (K) + 1
12
(6.44)
Wegen unserer vereinfachenden Modellbildung genügt es nun, die Wahrscheinlichkeiten
qx,k zu kennen für alle k ∈ N0, um einen vollständigen
Überblick über tqx = G (t) zu haben, was wie folgt eingesehen werden kann:
Zunächst genügt es auf Grund der Produktformel (6.21), die einjährigen
Überlebenswahrscheinlichkeiten px,k zu kennen, um die kpx und die kqx zur
Verfügung zu haben, denn es gilt kqx = 1 − kpx und
kpx = px · px,1 · ... · px,k−1
(6.45)
Schließlich genügt es, anstelle der px,k die qx,k zu kennen, da gemäß (6.20)
px,k = 1 − qx,k gilt. Damit kann man gemäß Formel (6.38) alle tqx berechnen.
6.2.3 Sterbetafeln
Wie können nun die einjährigen bedingten Sterbewahrscheinlichkeiten
qx,k für x ≥ 0, k ∈ N0 geschätzt werden? Nun, man unterstellt, daß die
einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines beliebigen x-Jährigen, qx, und die
bedingte einjährige Sterbewahrscheinlichkeit qx−k,k eines beliebigen (x − k) −jährigen
unter der Bedingung, daß er zunächst k weitere Jahre überlebt, sich nur unwesentlich
unterscheiden.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 165
Periodentafeln
Für den praktischen Normalfall werden beide Größen durch dieselben Wert
¯qx geschätzt. Das Ergebnis sind Sterbetafeln, die bezogen auf die Gesamtbevölkerung
oder eine interessierende Teilgruppe (etwa ”Männer” oder ”Frauen”)
für jedes Alter x den Wert ¯qx angeben. Zu ihrer Ermittlung geht man
im Prinzip wie folgt vor:
Man beobachtet einen Zeitraum weniger Jahre (etwa 1 bis 3), für den man
die Fluktation kennt (etwa ”gleich viel Abwanderung wie Zuwanderung”),
die Gesamtheit aller Personen der Teilgruppe oder eine Stichprobe und stellt
die Anzahl der Lebenden ˆ lx im Alter von x Jahren und die Anzahl der dann
innerhalb eines Jahres Gestorbenen, ˆ dx, fest. Eine erste rohe Schätzung für
die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines x-Jährigen ist dann
ˆqx = ˆ dx
ˆ lx
(6.46)
Diese Rohdaten, die zumeist noch einen sehr ”gezackten” Graphen ergeben,
unterwirft man allerlei ”Glättungsprozessen” (etwa ”Ausgleichung im Sinne
des mittleren quadratischen Fehlers, Vergleich mit theoretischen Ansätzen
wie dem Sterbegesetz von Gompertz-Makeham, Ausgleichung durch Splines,
etc.), bevor man diese geglätteten Werte ¯qx in Tabellen, den so genannten
Periodentafeln auflistet. Gleichzeitig listet man Lebende lx und Tote dx
der Sterbetafel auf, indem man diese aus mit einem fiktiven Anfangsbestand
l0 = 100000 von Lebenden über die Rekursionsformeln
für x = 0, 1, 2, ... berechnet.
dx = lx · ¯qx
lx+1 = lx − dx (6.47)
Zu beachten ist, daß mit den Schätzwerten ¯qx weitere wichtige Größen der
Verteilung G geschätzt werden können. Z.B. schätzt man zunächst px zu
¯px = 1 − ¯qx = 1 − dx
Nach unserer Voraussetzung und (6.20) ist dann auch
lx
¯px,k = ¯px+k = lx+k+1
lx+k
= lx+1
. (6.48)
lx
(6.49)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 166
eine Schätzung für px,k. Ferner ergibt sich nach der Produktformel (6.21) eine
Schätzung für kpx durch
k ¯px = ¯px · ¯px,1 · ... · ¯px,k−1 = lx+1
lx
· lx+2
· ... ·
lx+1
Daraus ergibt sich auch eine Schätzung für kqx zu
k ¯qx = 1 − k ¯px = lx − lx+k
und schließlich als Schätzung für k|qx nach (6.22)
k|¯qx = k ¯px · ¯qx,k = k ¯px · ¯qx+k = lx+k
lx
lx
lx+k
lx+k−1
· dx+k
lx+k
= lx+k
. (6.50)
lx
(6.51)
= dx+k
. (6.52)
lx
Ferner erhält man eine Schätzung für die Lebenserwartung e ◦ x eines x-Jährigen
über (6.42) und (6.43) zu
e ◦ x = 1
2 +
Selektionstafeln
∞�
k=1
k ¯px = 1
2 +
∞�
k=1
lx+k
lx
= 1 1
+
2 lx
∞�
lx+k. (6.53)
Unter Umständen steht es den Interessen eines Versicherungsunternehmens
entgegen, die Größen qx, qx−1,1, qx−2,2, ... alle durch ein und denselben Wert
¯qx zu schätzen. Da die Versicherer in der Regel Versicherungsverträge erst
nach einer Gesundheitsüberprüfung abschließen, ist die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit
eines frisch überprüften geringer als die eines bereits vor
Jahren Versicherten. Daher gilt für die Klientel der Versicherer in der Regel
qx < qx−1,1 < qx−2,2 < ...
Führt man Schätzungen für diese Größen differenzierter aus und schätzt sie
durch Werte ¯qx, ¯qx−1,1, ¯qx−2,2, ... (international auch q[x], q[x−1]+1, q[x−2]+2, ...
geschrieben), so entstehen so genannte Selektionstafeln, die allerdings auf
Grund der Differenzierung wesentlich umfangreicher sind als Periodentafeln.
Man beobachtet, daß die Differenzierung nach einer gewissen Anzahl r von
Jahren (etwa r = 10) vernachlässigbar wird und dann
¯qx−r,r = ¯qx−r−1,r+1 = ...
k=1

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 167
gilt. In diesem Fall spricht man von einer Schlußtafel.
In der Praxis verwenden die Versicherer nur die einfacheren Periodentafeln,
die auch Aggregattafeln heißen. Diese entstehen u.U. auch als gewichtetes
Mittel aus Selektionstafeln und Schlußtafeln.
Kommutationswerte
Üblicherweise enthalten Sterbetafeln neben den Schätzwerten ¯qx für die einjährigen
Sterbewahrscheinlichkeiten und den (fiktiven) Lebendenanzahlen lx
und Totenanzahlen dx noch weitere Werte, die für die Arbeit mit den genannten
Daten rechentechnische Hilfe bieten. Es handelt sich um die so genannten
Kommutationswerte Dx, Nx, Cx und Mx. Diese entstehen aus den zuerst genannten
Werten durch formale Einbeziehung des Abzinsungsfaktors v. Zu
betonen ist, daß es sich um Hilfsgrößen handelt, die keine direkte Interpretation
erlauben. Man legt folgendes fest:
• Dx := lx · v x als ”diskontierte Lebende des Alters x”
• Nx := � ∞
k=0 Dx+k als ”aufsummierte diskontierte Lebende”
• Cx := dx · v x+1 als ”diskontierte Tote des Alters x”
• Mx := � ∞
k=0 Cx+k als ”aufsummierte diskontierte Tote”
Gelegentlich betrachtet man auch
• Sx := � ∞
k=0 Nx+k = � ∞
k=0 (k + 1) Dx+k als doppelt aufsummierte diskontierte
Lebende
• Rx := � ∞
k=0 Mx+k = � ∞
k=0 (k + 1) Cx+k als doppelt aufsummierte diskontierte
Tote
Es gelten dann die folgenden leicht zu beweisenden Beziehungen zwischen
den Kommutationswerten:
Cx = vDx − Dx+1
Mx = vNx − Nx+1 = Dx − dNx (6.54)
Rx = Nx − dSx

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 168
Die Kommutationswerte haben ihren Ursprung in der deterministischen Auffassung
der Versicherungsmathematik und sind in einem stochastischen Modell
entbehrlich. Sie haben auch deswegen heute an Bedeutung verloren, weil
Rechnungen nicht mehr von Hand über die Sterbetafeln durchgeführt werden
müssen.
Wir haben sie trotzdem eingeführt, weil sie immer noch in der Literatur der
Versicherungsmathematik auftauchen. Außerdem sind sie durchaus brauchbar
bei der programmtechnischen Abwicklung der Rechnungen und bei kleineren
Rechnungen per Hand.
6.3 Übungsaufgaben
6.3.1 Theoretische Aufgaben
Aufgabe 6.1 Zeigen Sie, daß Formel (6.14) äquivalent ist zur Formel (3.22),
daß sich also die Berechnung des Barwertes einer vorschüssigen unterjährigen
Rente nach PAngV interpretieren läßt als Ergebnis einer linearen Approximation
bei der Berechnung nach der Internationalen Methode.
Aufgabe 6.2 Berechnen Sie eine zu (6.14) analoge Formel für den Barwert
der nachschüssigen unterjährigen Rente a (m)
n und zeigen Sie, daß sich diese
entsprechend der vorigen Aufgabe interpretieren läßt.
Aufgabe 6.3 Bestätigen Sie für die ewigen Renten die folgenden Formeln
(m ∈ N)
1. vorschüssige volljährige ewige Rente mit Rate 1 : ä ¯∞ = 1
d
2. nachschüssige volljährige ewige Rente mit Rate 1 : a ¯∞ = 1
i
3. vorschüssige unterjährige ewige Rente mit Rate 1
m
4. nachschüssige unterjährige ewige Rente mit Rate 1
m
: ä(m) ¯∞ = 1
d (m)
: a(m)
¯∞ = 1
i (m)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 169
Zeigen sie ferner die Identitäten
1 1 1
= +
d (m) m i (m)
und
1
1 1
= v m
i (m) d (m)
und interpretieren sie diese im Zusammenhang mit den o.a. ewigen unterjährigen
Renten.
Aufgabe 6.4 Man betrachtet auch ewige unterjährige Renten mit steigenden
Raten in folgender standardisierter Form mit zwei Parametern m, q ∈ N:
Gezahlt wird in Perioden von 1 −tel Jahr, q mal im Jahr wird die Zahlung
m
erhöht, q ein Teiler von m. Begonnen wird die Zahlung mit einer Rate in
hinzu. (Die letze Zahlung im
Höhe von 1
mq , bei jeder Erhöhung kommt 1
mq
k−ten Jahr beträgt also k
m ).
Der Barwert einer solchen vorschüssigen Rente wird mit � I (q) ä � (m)
¯∞
der nachschüssigen Rente mit � I (q) a � (m)
¯∞ bezeichnet.
und der
Man stelle � I (q) ä � (m)
als (unendliche) Summe ewiger unterjähriger Renten
¯∞
dar und zeige
� �(m) (q) 1
I ä = ¯∞ d (m)
1
d (q)
und zeige anschließend
� �(m) (q)
I a = ¯∞
1
i (m)
1
d (q)
Aufgabe 6.5 Werden die ewigen steigenden Renten der letzten Aufgabe nach
n Jahren abgebrochen (n ganzzahliges Vielfaches von 1),
so entstehen gewöhnliche
q
Renten, die ”standard increasing annuities”. Ihre Barwerte werden im vorschüssigen
Fall mit � I (q) ä � (m)
bzw. im nachschüssigen Fall mit ¯n
� I (q) a � (m)
bezeichnet.
¯n
Diese Renten können über Differenzen entsprechender ewiger Renten berechnet
werden. Man zeige:
� I (q) ä �(m)
¯n
� I (q) a �(m)
¯∞
ä(q)
=
¯n − nvn d (m)
= ä(q)
¯n − nv n
i (m)

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 170
6.3.2 Praktische Aufgaben
Bei den folgenden Aufgaben zur Rentenrechnung soll die Zinsbehandlung
unterstellt werden, die in der Versicherungsmathematik üblich ist. Es sollen
die (auch in den obigen theoretischen Aufgaben) erarbeiteten Rentenbarwerte
und Rentenendwerte verwendet werden.
Aufgabe 6.6 In welche monatlichen vorschüssigen Ratenzahlungen kann eine
vorschüssige jährliche Rente von 3000 EUR aufgelöst werden, wenn 5%
Verzinsung unterstellt wird?
Aufgabe 6.7 Mit welcher nachschüssigen vierteljährlichen Rate soll eine
Schuld von 25000 EUR zurückgezahlt werden, wenn die Schuld nach 5 Jahren
getilgt sein soll und ein Jahreszins von 8% zugrunde gelegt wird?
Aufgabe 6.8 Welchen Endwert hat eine vorschüssige jährliche Rente, welche
mit 6000 EUR beginnt, jährlich um 300 EUR steigt und über 12 Jahre
läuft? Als Zinsfuß soll bei der Rechnung 6, 5% verwendet werden.
Aufgabe 6.9 Wie muß man eine nachschüssige monatliche Ersparnis von
anfänglich 150 EUR jährlich steigern, um nach 8 Jahren 20000 EUR gespart
zu haben, wenn die Bank eine Jahreszins von 6% gewährt?
Aufgabe 6.10 Ein Vater wünscht sich für das nach 15 Jahren beginnende
Studium seiner Tochter eine 7 Jahren laufende vorschüssige jährliche Rente
von 6000 EUR. Dazu möchte er 15 Jahre lang nachschüssig monatlich einen
festen Betrag sparen, der mit 5% verzinst wird. Wieviel muß er monatlich
sparen, wenn der Zins von 5% auch für die Auszahlungsphase unterstellt
wird?
6.3.3 Programmierpraxis
Aufgabe 6.11 Geben Sie die Ihnen vorliegenden Daten qx der Sterbetafeln
”1981/83” für Männer und Frauen in eine Excel-Tabelle ein und ergänzen
Sie diese um die Spalten lx, dx, e o x, Dx, Nx, Sx, Cx, Mx, Rx. Stellen Sie dabei
die Rubriken qx und e o x für Männer und Frauen als Diagramme einander
gegenüber.

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN 171
Aufgabe 6.12 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das für eine ”Durchschnittsperson”
mit vorgewähltem Alter x die Verteilungsfunktion G und die
Dichtefunktion g der Zufallsvariablen T (zukünftige Lebensdauer) für t ≥ 0
tabelliert und in einem Diagramm plottet. Sehen Sie dabei auch vor, daß
jeweils zwei verschiedene Verteilungs- oder Dichtefunktionen gegeneinander
geplottet werden (z.B. Mann/Frau oder zwei verschiedene Alter)

Kapitel 7
Die gebräuchlichen
Versicherungsformen
Grundlegendes Prinzip bei der Erstellung von Tarifen einer Versicherung ist
das Prinzip der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung (Äquivalenzprinzip).
Dieses Prinzip bedeutet nicht, daß im Einzelfall die Leistungen des Versicherten
(die gezahlten Prämien) mit der Leistung des Versicherten (der ausgezahlten
Versicherungssumme) übereinstimmen muß. Es bedeutet lediglich,
daß
der Barwert der zu erwartenden Leistungen mit dem Barwert der
zu erwartenden Gegenleistungen übereinstimmt.
Die Leistung des Versicherers besteht in der Regel aus der Auszahlung der
Versicherungssumme, dem Kapital. Wir bezeichnen den Barwert des Kapitals
(zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses) mit Z. Z ist eine Zufallsvariable, da
sein Wert von der Lebensdauer des Versicherten abhängt. Der zu erwartende
Barwert der Leistung, E (Z) , wird auch als Nettoeinmalprämie (NEP)
bezeichnet. Diese stellt nach dem Äquivalenzprinzip den Barbetrag dar, den
der Versicherte zum Zeitpunkt des Versicherungsabschlusses als Leistung zu
erbringen hat.
Zunächst geht es uns darum, die NEP für verschiedene Versicherungsformen
auszurechnen. Auf ihrer Basis kann der Tarif einer Versicherung (die
Staffelung der zu zahlenden Prämien) berechnet werden. Die NEP spiegelt
172

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 173
allerdings in keiner Weise das vom Versicherer getragene Risiko wieder. Man
interssiert sich daher auch für die Verteilung der Zufallsvariablen Z, zumindest
für ihre Varianz.
7.1 Kapitalversicherungen
Wir besprechen drei verschiedene grundlegende Versicherungsformen: die Todesfallversicherungen,
die Erlebensfallversicherungen und die gemischten Versicherungen.
Bei diesen legen wir immer ein Kapital von 1 (EUR) zugrunde. Dies kann
deswegen geschehen, weil die berechneten NEP jeweils nur mit S multipliziert
werden müssen, wenn ein Kapital von S (EUR) zugrundegelegt wird.
Dies ist in allen Fällen leicht einzusehen. Dort, wo wir die Berechnung der
entsprechenden Varianz ansprechen, ist diese dann immer mit S 2 zu multiplizieren.
7.1.1 Todesfallversicherungen
Bei einer Todesfallversicherung (life insurance) versichtert der x−jährige Versicherungsnehmer
sein Leben zugunsten anderer Personen für den Fall seines
Ablebens innerhalb der Versicherungsdauer. Wir betrachten Versicherungen
mit dem Kapital 1 (EUR), welches zum Ende des Jahres zahlbar sei, in dem
der Versicherte stirbt. Überlebt der Versicherte eine vereinbarte feste Laufzeit
der Versicherung, so ist keine Leistung von Seiten des Versicherers fällig.
Lebenslängliche Deckung
Betrachten wir zunächst eine Todesfallversicherung, deren Laufzeit das gesamte
restliche Leben des Versicherten ist (whole life). Der Zeitpunkt der
Auszahlung der Versicherungssumme wird durch die Zufallsvariable K beschrieben,
er lautet K + 1. Der Barwert der Leistung beträgt also
Z = v K+1
(7.1)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 174
Z ist eine diskret verteilte Zufallsvariable mit dem Wertebereich Bild (Z) =
{v, v 2 , v 3 , ...} . Diese Werte werden mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angenommen
(vgl. (6.33)):
P � Z = v k+1� = P (K = k) = kpx · qx,k = k|qx
für k ∈ N0. Die NEP berechnet sich daher zu
Ax := EZ = Ev K+1 ∞�
=
k=0
v k+1 · kpx · qx,k =
∞�
k=0
v k+1 · k|qx
wobei Ax die international übliche Bezeichnung für diese NEP ist.
Geschätzt aus der Sterbetafel ergibt sich
∞�
Āx =
= 1
∞�
v k+1 dx+k = v−x
k=0
k+1 dx+k
v
lx
lx
k=0
lx
∞�
k=0
Die Varianz von Z wird an einfachsten über die Formel
berechnet. Da
V ar (Z) = EZ 2 − (EZ) 2
EZ 2 ��v2 = E
�K+1 �
(7.2)
(7.3)
Cx+k = 1
vx Mx =
lx
Mx
Dx
(7.4)
(7.5)
(7.6)
gilt, läßt sich EZ 2 nach der Formel für EZ, wobei man v durch v 2 substituiert,
berechnen.
Temporäre Deckung
Bei dieser ”kurzen” Variante der Todesfallversicherung (term insurance) wird
das Kapital genau dann ausbezahlt, wenn der Versicherte während der vereinbarten
Laufzeit von n Jahren stirbt und zwar zum Ende des Jahres, in
dem der Tod eintritt. Jetzt lautet die Zufallvariable Z
Z =
� v K+1 , für K = 0, 1, ..., n − 1
0, für K = n, n + 1, ...
Die NEP wird nun mit |nAx bezeichnet. Sie ergibt sich zu
�n−1
|nAx = E (Z) =
k=0
�
v k+1 n−1
· kpx · qx,k = v k+1 · k|qx
k=0
(7.7)
(7.8)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 175
und wird über
geschätzt. Zu beachten ist, daß
�
|nĀx = v−x
n−1
Cx+k =
lx
k=0
Mx − Mx+n
Dx
|1 Āx = v · 0|qx = v · qx
die NEP der einjährigen Todesfallversicherung darstellt.
(7.9)
Die Varianz dieser Zufallsvariablen kann wieder berechnet werden über Formel
(7.5), wobei der Erwartungswert der Variablen
Z 2 �
2 K+1
[v ] , für K = 0, 1, ..., n − 1
=
0, für K = n, n + 1, n + 2, ...
berechnet werden muß, was keine neuen Probleme aufwirft.
Aufgeschobene lebenslange Deckung
Diese Todesfallversicherung gilt wie die erste lebenslang, die Deckung beginnt
aber erst nach einer Karenzzeit von m Jahren. Die diese Variante beschrei-
bende Zufallvariable lautet
Z =
� 0, für K = 0, 1, ..., m − 1
v K+1 , für K = m, m + 1, m + 2, ...
sodaß der Erwartungwert m|Ax von Z sich zu
berechnet und zu
m|Ax =
∞�
k=m
v k+1 · kpx · qx,k =
m| Āx = Mx+m
Dx
geschätzt wird. Beachte dazu über (7.8)
m|Ax = Ax −|m Ax
∞�
k=m
Die Varianz berechnet sich wieder über Formel (7.5).
v k+1 · k|qx
(7.10)
(7.11)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 176
Aufgeschobene temporäre Deckung
Bei diesem Typ beginnt die über n Jahren dauernde Deckung erst m Jahre
nach Vertragsabschluß. Die NEP wird in diesem Fall mit m|nAx bezeichnet
und es gilt
Der Schätzwert hierzu lautet
m|nAx =
m+n−1 �
k=m
m|n Āx = Mx+m − Mx+m+n
Dx
v k+1 · k|qx. (7.12)
(7.13)
Die Varianz von Z läßt sich genauso einfach berechnen wie in den übrigen
Fällen.
Man beachte: Offensichtlich gilt
Ax = |mAx + m|nAx + m+n|Ax
7.1.2 Erlebensfallversicherungen
(7.14)
Die Erlebensfallvesicherung (pure endowment) besteht darin, daß der Versicherungsnehmer
im Alter von x Jahren die Versicherung für eine feste Dauer
von n Jahren abschließt. Die Gegenleistung des Versicherers besteht darin,
daß der Versicherte nach Ablauf der n Jahren die vereinbarte Summe von 1
(EUR) ausgezahlt erhält, sofern er die vereinbarte Laufzeit überlebt. Stirbt
er vor dem vereinbarten Ende der Versicherung, so hat der Versicherer keine
Leistung zu erbringen.
Diese Form der Versicherung wird durch die Zufallsvariable
�
0, für K = 0, 1, ..., n − 1
Z =
vn , für K = n, n + 1, n + 2, ...
beschrieben. Die NEP wird mit |nEx bezeichnet. Sie berechnet sich zu
|nEx =
∞�
k=n
= v n
v n · kpx · qx,k = v n
∞�
k=n
∞�
k=n
kpx · qx,k = v n
∞�
k=n
k|qx
[G (k + 1) − G (k)] = v n [1 − G (n)] = v n npx (7.15)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 177
Mit dieser einfachen Formel für den Erwartungswert von Z läßt sich dieser
auch leicht mit Kommutationswerten schätzen
|nĒx n lx+n
= v
lx
Ohne Beweis sei angegeben:
= lx+nv x+n
lxv x
V ar (Z) = v 2n · npx · nqx
7.1.3 Gemischte Versicherungen
Dx+n
=
Dx
(7.16)
(7.17)
Die gebräuchlichste Form der Lebensversicherung ist die gemischte Versicherung
(endowment), die aus einer temporären Todesfallversicherung und einer
gleichzeitigen Erlebensfallversicherung mit jeweils einer Laufzeit von n Jahren
besteht. Für den Versicherten hat dies den Vorteil, daß er innnerhalb
von n Jahren sein Todesrisiko abdeckt und trotzdem, sofern er die vereinbarten
n Jahre überlebt, anschließend die volle Versicherungssumme ausgezahlt
bekommt.
Das Kapital wird zum Ende des Todesjahres ausbezahlt oder aber nach Ablauf
von n Jahren. Die Zufallsvariable, die den Barwert dieser Versicherung
beschreibt, ist also offensichtlich
Z =
� v K+1 , für K = 0, 1, ..., n − 1
v n , für K = n, n + 1, n + 2, ...
Die NEP wird mit Ax,¯n bezeichnet. Sie ist einfach zu berechnen, wenn man
beachtet, daß
Z = Z1 + Z2
gilt, wobei wir mit Z1 den Barwert der temporären Todesfallversicherung und
mit Z2 den Barwert der Erlebensfallversicherung bezeichnen. Damit ergibt
sich sofort
und
Ax,¯n = |nAx + |nEx
V ar (Z) = V ar (Z1) + V ar (Z2) + 2Cov (Z1, Z2)
Da das Produkt aus Z1 und Z2 immer null ist, gilt
Cov (Z1, Z2) = E (Z1Z2) − E (Z1) E (Z2) = − |nAx · |nEx
(7.18)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 178
woraus sich
ergibt.
V ar (Z) = V ar (Z1) + V ar (Z2) − 2 · |n Ax · |nEx
(7.19)
Dieses Ergebnis hat eine interessante Interpretation. Sieht man die Varianz
der Zufallsvariablen Z als Maß für das Risiko der Versicherungsgesellschaft
an, so ist das Risiko des Versicherers bei der gemischten Versicherung kleiner
als bei entsprechenden getrennten Versicherungen (mit verschiedenen Personen).
Der Schätzwert für die NEP ergibt sich für die gemischte Versicherung zu
Āx,¯n = |n Āx + |n Ēx = Mx − Mx+n
7.1.4 Direkte Auszahlung
Dx
+ Dx+n
Dx
(7.20)
Bei den bisherigen Formen der Todesfallversicherung haben wir der Einfachheit
halber angenommen, daß die Auszahlung des Kapitals am Ende des
Jahres erfolgt, in dem der Versicherte gestorben ist. Diese Annahme entspricht
nicht der Praxis, deshalb wollen wir nun den Fall diskutieren, daß
das Kapital unmittelbar zum Zeitpunkt des Todes ausgezahlt wird. Der Todeszeitpunkt
des im Alter von x Jahren Versicherten ist x+T, wobei T wieder
die (zufällige) Lebensdauer des Versicherten bezeichnet.
Lebenslange Deckung
Beträgt die Höhe der Kapitals wieder 1 (EUR), so lautet der Barwert des
Kapitals zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses
Z = v T
Da es sich bei T nun um eine stetige Variable handelt, berechnet sich die
NEP allgemein nach der Formel
� ∞
Ãx = v t � ∞
· g (t) dt =
0
9
v t · tpx · µx+tdt (7.21)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 179
wobei wir (6.27) verwendet haben. Diese Größe können wir wegen der Annahme
der stückweisen Linearität der Verteilungsfunktion G konkret ausrechnen.
Dazu schreiben wir
T = (K + 1) − (1 − S)
Wegen der Unabhängigkeit von K und S, und damit auch von (K + 1) und
(1 − S) gilt
Nun gilt
E � r (1−S)� =
so daß sich
Ãx = E � v K+1� · E � v −(1−S)� = E � v K+1� · E � r (1−S)�
� 1
0
r 1−s · 1ds = −
� 0
1
r u du =
Ãx = 1
(r − 1) Ax
(7.22)
ln r
� 1
ergibt. Beachtet man r = 1 + i = ei(∞) , so ergibt sich auch
Ãx = i
Ax
(7.23)
i (∞)
0
r u du = 1
(r − 1) ,
ln r
Wegen i (∞) < i liegt damit Ax leicht unter Ãx, was sehr wohl der Anschauung
entspricht, da der Zeitpnkt der Auszahlung des Kapitals bei direkter
Auszahlung potentiell früher liegt als bei Auszahlung am Jahresende.
Bemerkung: Der Term i
i (∞) wird in der Praxis oft durch √ 1 + i angenähert.
(mit welcher Berechtigung? Übungsaufgabe!)
Unterjährige Auszahlung
Alternativ zu der stetigen Zufallsvariable S kann man approximativ auch die
diskrete Zufallsvariable S (m) betrachten mit
S (m) = [mS + 1] /m (7.24)
(für vorgegebenes m ∈ N, vorzugsweise m = 2, 4, 12), deren Werte durch
Aufrunden der Werte von S auf das nächsthöhere natürliche Vielfache von

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 180
1
m erhalten werden. Die Zufallsvariable T (m) = K + S (m) gibt dann den Zeitpunkt
an, der durch Aufrundung des durch x + T angegebenen Todestages
auf den nächsten m−ten Teil des Todesjahres entsteht. Da S eine von K unabhängige
Gleichverteilung hat, ist auch S (m) von K unabhängige (diskrete)
Verteilung.
Soll nun also das Kapital einer Todesfallversicherung am Ende des m−ten
Teils des Todesjahres ausbezahlt werden, in dem der Tod eingetreten ist (z.B.
des Todesmonats), wird also der Barwert
Z = v K+S(m)
betrachtet, so zerlegt man zur Berechnung des Erwartungswertes E (Z) =:
A (m)
x wieder
K + S (m) = (K + 1) − � 1 − S (m)�
so daß
A (m)
x
= E � v K+1� · E
�
r 1−S(m)�
Man findet analog zum obigen stetigen Fall (ohne Beweis)
A (m)
x = i
i
(m) Ax
(7.25)
wodurch sich für m → ∞ Formel (7.23) bestätigt.
Gemischte Versicherung
Wir können das Ergebnis der Berücksichtigung direkter Auszahlung bei der
lebenslangen Todesfallversicherung unmittelbar auf die temporäre Todesfallversicherung
übertragen. Wiederum können wir Z als Produkt zweier von-
einander unabhängigen Variablen darstellen
mit
und
Z =
� v T , für K = 0, 1, ..., n − 1
0, für K = n, n + 1, n + 2, ... = Z1 · Z2
Z1 =
� v K+1 , für K = 0, 1, ..., n − 1
0, für K = n, n + 1, n + 2, ...
Z2 = r 1−S

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 181
Damit ergibt sich wieder für die NEP |n Ãx der temporären Todesfallversicherung
bei direkter Auszahlung (vgl. (7.23))
|nÃx = E (Z) = E (Z1) · E (Z2) = |nAx ·
i∞
i
(7.26)
Da die gemischte Versicherung sich additiv aus der temporäre Todesfallversicherung
und der Erlebensfallversicherung zusammensetzt und eine direkte
Auszahlung nur die erste Komponente betrifft, ist die NEP hier schnell ermittelt:
(vgl. (7.20))
Ãx,¯n = i
� �
i
· |nAx + |nEx = Ax,¯n + − 1 · |nAx (7.27)
i∞
7.1.5 Veränderliches Kapital
Bei einigen Versicherungen wird vereinbart, daß das auszuzahlende Kapital
in seiner Höhe vom Todeszeitunkt abhängt. So kann z.B. eine Todesfallversicherung
abgeschlossen werden, die für den Versicherten das Risiko der
Rückzahlung eines Darlehens abdecken soll. Wird das Darlehen durch regelmäßige
Zahlungen getilgt, so verringert sich die Restschuld von Jahr zu
Jahr. Dementsprechend kann die vom Versicherer im Todesfall zu zahlende
Versicherungssumme von Jahr zu Jahr abnehmen.
Allgemeine Todesfallversicherung
Wir betrachten eine lebenslange Todesfallversicherung, bei der zum Ende des
j−ten Jahres das Kapital cj, j = 1, 2, ... , ausbezahlt wird, falls der Versicherte
in diesem Jahr stirbt. Der Barwert der Versicherungssumme beträgt
also
Z = cK+1v K+1
Offensichtlich gilt dann für alle h ∈ N
E � Z h� =
∞�
k=0
i∞
c h k+1 · v h(k+1) · kpx · qx,k
(7.28)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 182
so daß die Berechnung der NEP und der Varianz keine Schwierigkeiten bereitet.
Insbesondere gilt also
E (Z) =
∞�
k=0
ck+1 · v k+1 · kpx · qx,k
(7.29)
Zu beachten ist, daß die Einzelwahrscheinlichkeiten kpx · qx,k nur für endlich
viele k ∈ N von null verschieden sind. Also können Reihen mit diesen
Einzelwahrscheinlichkeiten beliebig umsortiert und linearkombiniert werden.
Dadurch kann man E (Z) als Linearkombination von Erwartungswerten von
aufgeschobenen lebenslangen Todesfallversicherungen mit jeweils konstantem
Kapital darstellen:
E (Z) = c1Ax + (c2 − c1) 1|Ax + (c3 − c2) 2|Ax + ... (7.30)
Man beachte, daß der Fall der temporären, auf n Jahre begrenzten Todesfallversicherung
aus der lebenslangen hervorgeht, wenn cn+1 = cn+2 = ... = 0
gesetzt wird. In diesem Fall kann man
E (Z) = c1Ax+(c2 − c1) 1|Ax+(c3 − c2) 2|Ax+...+(cn − cn−1) n−1|Ax−cn n|Ax
(7.31)
schreiben. In der Praxis kann natürlich diese Darstellung immer angewendet
werden, da n nur genügend groß angesetzt werden muß.
Genauso gut kann man E (Z) auch als Linearkombination von temporären
Todesfallversicherung mit jeweils konstantem Kapital darstellen
E (Z) = cn |nAx + (cn−1 − cn) |n−1Ax + ... + (c1 − c2) |1Ax
Standardformen
(7.32)
Beläuft sich das Kapital im j−ten Jahr auf cj = j, so spricht man vom
”standard increasing” Typ der lebenslangen Todesfallversicherung. Es gilt
also, die Variable
Z = (K + 1) v K+1
zu betrachten. Die NEP wird in diesem Fall mit (IA) x bezeichnet und hat
den Wert
∞�
(IA) x =
(7.33)
k=0
(k + 1) · v k+1 · kpx · qx,k

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 183
Geschätzt werden kann (IA) x über die aus (7.30) abgeleitete Beziehung
� IĀ �
x = Āx + 1| Āx + 2| Āx + ... (7.34)
Dabei gilt für eine entsprechende, auf n Jahre befristete Versicherung
�
K+1 (K + 1) v , für K = 0, 1, ..., n − 1
Z =
0, für K = n, n + 1, n + 2, ...
Deren NEP |n (IA) x
wird nach (7.31) zu
�
IĀ �
|n
�
n−1
|n (IA) x = (k + 1) · v k+1 · kpx · qx,k
k=0
x = Āx + 1| Āx + 2| Āx + ... + n−1| Āx − n n| Āx (7.35)
geschätzt. Im übrigen erhält man aus (7.32) auch die Schätzung
�
IĀ �
|n
x = n |n Āx − |n−1 Āx − ... − |1 Āx
(7.36)
Analog spricht man bei einer temporären Todesfallversicherung, bei der das
Kapital pro Jahr um eine Einheit abnimmt, von einer Versicherung von ”standard
decreasing” Typ. Hier gelten mit
�
K+1 (n − K) v , für K = 0, 1, ..., n − 1
Z =
0, für K = n, n + 1, n + 2, ...
die Beziehungen
�
n−1
|n (DA) x = (n − k) · v k+1 · kpx · qx,k, (7.37)
k=0
wobei |n (DA) x die NEP bezeichne und für deren Schätzung
|n
� DĀ �
x = |n Āx + |n−1 Āx + ... + |1 Āx
(7.38)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 184
Direkte Auszahlung
Wir besprechen nun eine Versicherung, bei der das versicherte Kapital eine
stückweise stetige Funktion c (t) , t ≥ 0, der Zeit ist. Dabei soll das Kapital
unmittelbar zum Todeszeitpunkt T ausgezahlt werden. Der betrachtete
Barwert des Kapitals ist
Z = c (T ) v T
und die NEP beläuft sich in diesem allgemeinen Fall auf
� ∞
EZ =
0
c (t) · v t · tpx · µx+tdt (7.39)
Nutzen wir den stückweise linearen Verlauf der Verteilung G von T , so ergibt
sich folgende Betrachtung
∞�
EZ = E (Z |K = k ) P (K = k)
=
=
=
k=0
∞�
E � c (k + S) v k+S |K = k � P (K = k)
k=0
∞�
E � c (k + S) r 1−S |K = k � v k+1 P (K = k)
k=0
∞�
k=0
wobei wir zur Abkürzung
ck+1 · v k+1 · kpx · qx+k
ck+1 := E � c (k + S) r 1−S |K = k �
(7.40)
(7.41)
gesetzt haben. Wegen der Unabhängigkeit von K und S können die ck+1
dabei über
berechnet werden.
ck+1 =
� 1
0
c (k + u) r 1−u du (7.42)
Konkret betrachten wir den Fall, wo c (t) = [t + 1] , wo also das auszuzahlende
Kapital jährlich um eine Einheit anwächst. Bei der lebenslangen Todesfallversicherung
gilt dann für den Barwert
Z = (K + 1) v T = (K + 1) v K+1 r 1−S

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 185
In diesem Fall gilt wieder
wobei
ck+1 =
und daher
gilt.
� 1
0
[k + 1 + u] r 1−u du =
�
IÃ �
=
x
i
i∞
7.2 Leibrenten
�
IÃ �
=
x
i
(IA) x
i∞
∞�
k=0
� 1
0
(k + 1) r 1−u du = (k + 1) i
(k + 1) · v k+1 · kpx · qx+k
i∞
(7.43)
(7.44)
Unter einer Leibrente für eine bestimmte Person verstehen wir periodische
Zahlungen an die Person, beginnend zu einem vereinbarten Zeitpunkt und
endend mit dem Tode der Person oder spätestens nach einer vereinbarten
Laufzeit. Der Barwert der Leibrente ist daher eine Zufallsvariable, die wir im
folgenden mit Y bezeichnen wollen. Wir interessieren uns für das zufällige
Verhalten dieser Variablen, insbesondere für ihren Erwartungswert E (Y ) ,
den wir wieder Nettoeinmalprämie (NEP) nennen wollen.
7.2.1 Einfache jährliche Leibrenten
Wir besprechen verschiedene Typen einer jährlich gezahlten Leibrente.
Vorschüssige lebenslange Leibrente
Die Höhe der Leibrente betrage jährlich 1 (EUR), die Zahlungen finden
vorschüssig zu den Zeitpunkten 0, 1, ..., K statt. Der Barwert der Rente ist
also
(7.45)
Y = 1 + v + v 2 + ... + v K = ä K+1

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 186
Diese diskrete Zufallvariable hat die Einzelwahrscheinlichkeiten
P � �
Y = äk+1 = P (K = k) = kpx · qx,k
Bezeichnet man die NEP dieser Rente mit äx, so gilt also
äx =
∞�
k=0
ä k+1 · kpx · qx,k
(7.46)
Auf der anderen Seite können wir Y auch als Linearkombination anderer
Zufallsvariablen beschreiben
Y =
∞�
v k · Ik (K) (7.47)
k=0
wobei wir unter Ik die von K abhängige Zufallsvariable
�
0, falls K < k
Ik (K) =
1, falls K ≥ k
(7.48)
verstehen. Man beachte, daß die Summe in (7.47) in Wirklichkeit endlich ist,
da P (K ≥ k) = 0 für genügend großes k. Der Erwartungswert von Ik ist
EIk (K) = 0·P (Ik (K) = 0)+1·P (Ik (K) = 1) = P (Ik (K) = 1) = P (K ≥ k)
(7.49)
Über (7.47) berechnet sich die NEP von Y nun alternativ zu
äx =
∞�
v k · E (Ik (K)) =
k=0
∞�
v k · P (K ≥ k) =
k=0
∞�
k=0
v k · kpx
(7.50)
Vergleicht man (7.50) mit (7.15), so sieht man, daß sich die NEP der betrachteten
Leibrente als NEP einer Summe von Erlebensfallversicherungen
darstellt!
Auf der andereren Seite besteht auch ein Zusammenhang der Leibrente mit
der lebenslangen Todesfallversicherung. Ist Z deren Barwert, so gilt
Y = ä K+1 =
1 − vK+1
d
= 1 − Z
d
(7.51)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 187
Über diese Darstellung ergibt sich die NEP zu
äx =
1 − E (Z)
d
= 1 − Ax
d
Mit dieser Formel läßt sich äx leicht schätzen: (vgl. (7.4))
(ä) x =
1 − Mx
Dx
d
= Dx − Mx
dDx
Im übrigen gilt auch nach (7.50) (vgl. (7.16))
(ä) x =
∞�
k=0
Dx+k
Dx
= 1
Dx
∞�
k=1
= dNx
dDx
= Nx
Dx
Dx+k = Nx
Mit Hilfe von (7.51) läßt sich auch die Varianz von Y bestimmen
V ar (Y ) =
Nachschüssige lebenslange Leibrente
V ar (Z)
d 2
Dx
(7.52)
(7.53)
(7.54)
Erfolgen die Zahlungen bei einer lebenslangen Leibrente nachschüssig, so
erfolgen sie zu den Zeitpunkten 1, 2, ..., K und der Barwert der Rente wird
durch die Zufallsvariable
Y = v + v 2 + ... + v K = a ¯ K
(7.55)
Die Zufallsvariablen der vorschüssigen und der nachschüssigen Rente unterscheiden
sich also nur um die additive Konstante 1. Dementsprechend gilt
für die NEP ax im vorliegenden Fall
woraus sich
als Schätzung ergibt.
Ferner gilt wegen
ax = äx − 1 (7.56)
āx = Nx
− 1 =
Dx
Nx − Dx
Dx
Y = a ¯ K =
1 − vK
i
= 1 − (1 + i) vK+1
= Nx+1
Dx
i
(7.57)
(7.58)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 188
beim Übergang zum Erwartungswert
ax =
1 − (1 + i) Ax
i
(7.59)
woraus wegen Ynachschüssig = Yvorschüssig − 1unmittelbar folgt, dass auch hier
Formel (7.54) gilt in der Form
Temporäre Leibrenten
V ar (Y ) =
(1 + i)2
i 2 V ar (Z) (7.60)
Wird nun eine Leibrente betrachtet, die auf eine Dauer von n Jahren begrenzt
ist, so ändert sich Y gegenüber der bisherigen Version wie folgt
�
äK+1 , für K = 0, 1, ..., n − 1
Y =
(7.61)
ä¯n, für K = n, n + 1, n + 2, ...
Aus (7.46) bzw.(7.47) erhält man sofort für den Erwartungswert |näx von Y
(vgl. (7.15)) sowie
|näx =
=
�
n−1
äk+1 · kpx · qx,k + ä¯n
∞�
k=0
k=n
�n−1
äk+1 · kpx · qx,k + ä¯n · npx
k=0
�n−1
|näx =
Ferner ergibt sich analog zu (7.51)
Y =
k=0
v k · kpx
1 − Z
d
kpx · qx,k
wobei Z diesmal allerdings über
�
K+1 v , für K = 0, 1, ..., n − 1
Z =
vn , für K = n, n + 1, n + 2, ...
(7.62)
(7.63)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 189
wie bei der gemischten Versicherung definiert ist. Dadurch folgt
|näx =
1 − Ax,¯n
d
Daraus ergibt sich wieder elegant die Schätzung für |näx
|n(ä) x =
1 −
� Mx−Mx+n
Dx
d
= dNx − dNx+n
dDx
+ Dx+n
�
Dx
= Nx − Nx+n
Dx
= Dx − Mx + Mx+n − Dx+n
dDx
(7.64)
(7.65)
Bei nachschüssiger Zahlweise fällt die erste Zahlung weg, dafür kommt im
Falle des Erlebens im Alter von x + n eine weitere Rentenzahlung hinzu.
Dementsprechend ergibt sich die NEP in diesem Falle zu
|nax =
n�
k=1
Schätzen können wir diesen Wert durch
|n(a) x =
n�
v k · lx+k
=
k=1
lx
n�
k=1
Aufgeschobene Leibrenten
v x+k lx+k
v x lx
=
v k · kpx
n�
k=1
Dx+k
Dx
= Nx+1 − Nx+n+1
Dx
(7.66)
Der Barwert einer um m Jahre aufgeschobenen vorschüssigen Leibrente ist
�
0, für K = 0, 1, ..., m − 1
Y =
vm + vm+1 + ... + vK (7.67)
, für K = m, m + 1, ...
Die NEP m|äx berechnet sich daraus offensichtlich zu
m|äx = äx − |mäx
Dementsprechend lautet die Schätzung für diesen Wert
m|(ä) x = Nx
Dx
− Nx − Nx+m
Dx
= Nx+m
Dx
(7.68)
(7.69)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 190
Im nachschüssigen Fall erfolgt die erste Zahlung ein Jahr später und die letzte
im Erlebensfall ebenfalls. dementsprechend lautet die NEP
und ihre Schätzung
m|ax = ax − |max
m|āx = Nx+m+1
Dx
7.2.2 Unterjährige Zahlung
(7.70)
(7.71)
Betrachten wir nun den Fall der vorschüssigen unterjährigen Zahlungen. Dabei
fassen wir zunächst die jeweils zum m−ten Teil eines Jahres ausbezahlte
Rente zum Zinssatz i auf als jährlich ausbezahlte Rente zum Zinssatz i (m) .
Für die NEP ä (m)
x dieser Rente gilt dann nach (7.52)
ä (m)
x = 1 1
−
d (m) d
A(m)
(m) x
(7.72)
Nun gilt A (m)
x = i
i (m) Ax wegen (7.25) und Ax = 1 − däx nach (7.52), so daß
ä (m)
x
=
1 1
−
d (m)
d · i
d (m)
i
(1 − däx)
i (m)
i − i(m)
d (m) · i (m)
=
d (m) · i (m) äx −
= : α (m) äx − β (m) (7.73)
Bemerkung: In der Praxis rechnet man oft mit Näherungswerten für α (m)
und β (m) , nämlich
(mit welche Berechtigung?)
α (m) ≈ 1 und β (m) ≈
m − 1
2m
(7.74)
Für die vorschüssige temporäre, auf n Jahre begrenzte unterjährige Leibrente
findet man (ohne Beweis) die NEP
|nä (m)
x = α (m) |näx − β (m) [1 − npx · v n ] (7.75)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 191
und für die vorschüssige um n Jahre aufgeschobene lebenslange unterjährige
Leibrente
n|ä (m)
x = α (m) n|äx − β (m) · npx · v n
= α (m) n|äx − β (m) · nEx (7.76)
7.2.3 Allgemeine Leibrenten
Zum Schluß dieses Abschnitts betrachten wir noch allgemeine jährliche Leibrenten,
bei denen zu den Zeitpunkten 0, 1, ..., K die Zahlungen R0, R1, ..., RK
erfolgen. Der Barwert dieser Zahlungen ist
Y =
∞�
v k · Rk · Ik (K) (7.77)
k=0
(vgl. (7.48)) mit dem Erwartungswert
E (Y ) =
welcher über
∞�
E (Y ) = v k · Rk · lx+k
=
k=0
lx
∞�
k=0
∞�
k=0
v k · Rk · kpx
Rk · vx+k lx+k
v x lx
=
∞�
k=0
Rk · Dx+k
Dx
(7.78)
(7.79)
(vgl. (7.16)) geschätzt werden kann. In dieser Formel sind alle bisher behandelten
volljährigen Leibrenten als Spezialfälle enthalten. Aber auch weitere
Falle können behandelt werden:
Betrachten wir z.B. eine volljährige vorschüssige Leibrente mit steigenden
Zahlungen R0 = 1, R1 = 2, R2 = 3, ..., so lautet die NEP
mit der Schätzung
(Iä) x =
(Iä) x =
∞�
k=0
(k + 1) · v k · kpx
∞�
(k + 1) · Dx+k
k=0
Dx
= Sx
Dx
(7.80)
(7.81)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 192
Eine entsprechende temporäre Leibrente über n Jahre hat die NEP
mit der Schätzung
n−1
|n (Iä) x =
�
n−1
|n (Iä) x = (k + 1) · v k · kpx
k=0
�
(k + 1) · Dx+k
k=0
7.3 Übungsaufgaben
Dx
7.3.1 Theoretische Aufgaben
(7.82)
= Sx − Sx+n − nNx+n
. (7.83)
Dx
Aufgabe 7.1 Beweisen Sie die folgenden Behauptungen aus der Vorlesung:
1. Der Quotient i
i (∞) läßt sich über √ 1 + i gut annähern.
2. Die Varianz der Erlebensfallversicherung lautet V ar (Z) = v 2n · npx ·
nqx.
3. Die bei unterjährigen Leibrenten üblichen Abkürzungen lassen sich über
gut annähern.
α (m) ≈ 1 und β (m) ≈
m − 1
2m
Aufgabe 7.2 Berechnen Sie die NEP für eine vorschüssige oder nachschüssige
jährliche Rente mit n-jähriger Rentengarantie. Darunter versteht man eine
lebenslange Leibrente, bei der über n Jahre die Rentenzahlungen (ggf. an eine
andere begünstigte Person) garantiert werden, auch wenn der Versicherte
innerhalb dieser n Jahre stirbt. Nach Ablauf der n Jahre erlicht die Rentenzahlung
beim Tode des Versicherten. Geben Sie auch eine Schätzung dieser
NEP über Sterbetafeln an.

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 193
7.3.2 Praktische Aufgaben
Bei den folgenden Aufgaben aus der Versicherungspraxis legen Sie bitte die
Ihnen bekannten Sterbetafeln ”81/83” zugrunde sowie einen Rechnungszins
von 4%. Sofern nicht anders gesagt, berechnen Sie Versicherungen, deren
Kapital am Ende des Todesjahres ausgezahlt wird. Ferner werden in der
Regel noch keine Kosten berücksichtigt.
Aufgabe 7.3 Ermitteln Sie die Nettoeinmalprämie der folgenden Nachfragen:
1. Herr A. (40 Jahre) wünscht eine 30-jährige Risikolebensversicherung
(temporäre Todesfallversicherung) über 1000000 EUR.
2. Frau B. (32 Jahre) möchte eine Kapitallebensversicherung (gemischte
Versicherung) auf das Endalter 85 über 500000 EUR.
3. Herr C. (48 Jahre) fragt nach einer lebenslangen Todesfallversicherung
über 200000 EUR mit direkter Auszahlung
Aufgabe 7.4 Beantworten Sie die folgenden Fragen:
1. Frau D. (52 Jahre) hat 16000 EUR. Welche Summe einer Risikolebensversicherung
über 23 Jahre kann sie damit erzielen?
2. Herr E. (35 Jahre) möchte für ihm zur Verfügung stehende 40000 EUR
eine Kapitallebensversicherung auf das Endalter 65 Jahre abschließen.
Welche Versicherungssumme kann er damit erhalten?
3. Frau F. (46 Jahre) möchte 5000 EUR für den Todesfall anlegen, um ihren
Erben die Begräbniskosten zu ersparen. Welche Versicherungssumme
ist möglich? (lebenslange Todesfallversicherung mit direkter Auszahlung).
Aufgabe 7.5 Herr G. (51 Jahre) trifft mit seiner Bank, die auch Versicherungsgeschäfte
betreibt, folgende Vereinbarung. Er spart monatlich 200 EUR
über einen auf 20 Jahre abgeschlossenen Sparvertrag mit 6% Verzinsung. Die
Sparverpflichtung erlicht, wenn der Sparer stirbt.

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 194
Gleichzeitig schließt er eine Risikolebensversicherung ab, die im Falle seines
Ablebens sicherstellt, daß das Sparziel für seine Erben erreicht wird. Dies
soll wie folgt geschehen: das Kapital der Risikoversicherung soll jährlich fallen
so, daß die bisher gesparte Summe und die Versicherungssumme zusammen
zum Zeitpunkt der Auszahlung der Versicherungssumme das Sparziel
(Vermögenswert des Sparvertrages nach 20 Jahren) abdecken. Berechnen Sie
die Nettoeinmalprämie der Versicherung und die Rendite der Kombination
aus Sparvertrag und Versicherung, wenn der Versicherte
1. nach 10 Jahren stirbt
2. die 20 Jahre überlebt.
Unterstellen Sie dabei, daß die Nettoeinmalprämie sofort mit einem Kostenaufschlag
von 4% der anfänglichen Versicherungssumme gezahlt wird.
Aufgabe 7.6 Manche Bausparkassen verpflichten den Bausparer zum Abschluß
einer Risikolebensversicherung, sobald sie ein Darlehen gewähren.
Frau H. (38 Jahre) hat von ihrer Bausparkasse ein Darlehen von 150000
EUR erhalten, das mit einer Risikolebensversicherung abgesichert werden
soll. Dies soll folgendermaßen geschehen: Die Versicherungssumme soll jährlich
fallen und zwar auf die Höhe der auf volle EURO gerundeten Restschuld aus
dem Darlehen zum Anfang des jeweiligen Jahres.
Das Darlehen werde mit monatliche Annuitäten von 1400 EUR getilgt bei
jährlichen Schuldzinsen von 4, 5%.
Berechnen Sie die Höhe der Nettoeinmalprämie der Risikoversicherung.
Berechnen Sie auch den Kapitalwert der zu zahlenden Nettoeinmalprämie
für den Fall, daß die Risikoversicherung als (konstante) Deckungssumme die
geschuldeten 150000 EUR und eine Laufzeit hat, die der auf volle Jahre
abgerundeten Tilgungszeit des Darlehens entspricht.
Aufgabe 7.7 Erstellen Sie ein Angebot zu folgenden Anfragen, indem Sie
jeweils die Nettoeinmalprämien berechnen:
1. Herr I. (62 Jahre) wünscht eine jährliche Leibrente von 30000 EUR,
die sofort beginnt und jährlich um 3% der Anfangsrente steigt.

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN 195
2. Herr J. (64 Jahre) wünscht die gleiche Rente wie Herr K., allerdings
mit mit 5-jähriger Rentengarantie.
3. Frau K. (73 Jahre) wünscht eine sofort beginnende monatliche Leibrente
über 2000 EUR. Diese Rente soll in jedem Jahr um 100 EUR
steigen.
Aufgabe 7.8 Frau L. (53 Jahre) hat 600000 EUR geerbt. Sie ist alleinstehend
und möchte diese Erbschaft in eine zu Ihrem 60. Geburtstag beginnende
jährliche Leibrente umwandeln. Welche Rente kann sie erwarten?
Vergleichen Sie diese Leibrente mit einem Auszahlungsplan aus einem Rentenfonds,
der sich jährlich zu 5, 8% verzinst, wenn die 600000 EUR sofort in
den Fonds eingezahlt und die gleichen Rentenleistungen wie bei der Leibrente
erbracht werden, solange noch Geld zur Verfügung steht.
Aufgabe 7.9 Welche Rente erhält Frau M. (36 Jahre) , wenn sie heute
250000 EUR in eine Rentenversicherung einbezahlt und mit dem 61-ten
Lebensjahr eine jährliche Leibrente mit Rentengarantie über 10 Jahre und
gleichzeitig eine Todesfallversicherung über 250000 EUR bis zu ihrem 60.
Geburtstag wünscht.?
7.3.3 Programmierpraxis
Aufgabe 7.10 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das zu vorgegebener
Laufzeit (n = 100 bei lebenslang) für jedes Startalter x (spaltenweise) die
Werte |n Āx, |n Ēx, Āx,n, |n(ä) x , |n(a) x auswirft und in einem Diagramm darstellt.
Aufgabe 7.11 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das Todesfallversicherungen
mit prozentualer jährlicher Steigerung der Versicherungssumme bzw.
Leibrenten mit jährlich prozentual steigenden Raten rechnet.

Kapitel 8
Periodisch zu zahlende Prämien
In der Praxis besteht die Leistung des Versicherten in der Regel nicht in der
Zahlung einer Einmalprämie, sondern in der Zahlung von mehreren gleichbleibenden
Prämien, ggf. bis zu seinem Tode oder begrenzt auf höchstens t
Prämien, t ∈ N. Dabei soll der Erwartungswert des Barwertes der insgesamt
gezahlten Prämien mit dem Erwartungswert der berechneten Einmalprämie
übereinstimmen.
Wir definieren den totalen Verlust L des Versicherers als die Differenz zwischen
dem Barwert der Leistungen des Versicherers und dem Barwert der
gezahlten Prämien. L ist eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert null sein
sollte, wenn die Leistung des Versicherers und die des Versicherten äquivalent
sein sollen. Wir sprechen also von Nettoprämien, wenn
E (L) = 0 (8.1)
gilt. Diese werden grundsätzlich als vorschüssige Zahlungen angenommen.
Natürlich erwartet niemand vom Versicherer, Versicherungen zu Nettoprämien
und damit ohne Berücksichtigung von Erstellungs- und Bearbeitungskosten
abzuschließen. Daher werden Nettoprämien mit einem Aufschlag versehen,
der die beim Versicherer entstehenden Kosten abdecken soll. Die so entehenden
Prämien nennt man ausreichende Prämien. Ggf. kommen zu diesen
Prämien noch Risikoaufschläge hinzu, wobei wir dann von Bruttoprämien
sprechen.
196

KAPITEL 8. PRÄMIEN 197
8.1 Nettoprämien
Im folgenden betrachten wir wieder verschiedene Versicherungen und berechnen
volljährige oder unterjährige Nettoprämien. Dabei können wir bei der Erfassung
der Zufallsvariablen, die die Prämienzahlungen beschreiben, welche
in Ihrer Dauer durch die Lebensdauer des Versicherten bestimmt sind, auf die
Überlegungen zu Leibrenten zurückgreifen, denn die Prämienzahlungen sind
in ihrer Struktur Rentenzahlungen an den Versicherer. Durch Kombination
der verschiedenen Versicherungsarten mit den verschiedenen Rentenarten
entstehen natürlich sehr viele Versicherungstypen, die wir hier nur exemplarisch
behandeln können.
8.1.1 Todesfallversicherungen
Lebenslange Deckung
Wir betrachten zunächst wieder die die Todesfallversicherung des x−Jährigen
mit lebenslanger Deckung, bei der das versicherte Kapital von 1 (EUR) am
Ende des Todesjahres auszuzahlen ist. Die Finanzierung dieser Auszahlung
geschehe über volljährige lebenslange Nettoprämien (P T ) x .
Der Verlust des Versicherers beträgt daher
L = v K+1 − (P T ) x · ä K+1
(8.2)
Setzen wir E (L) = 0, so ergibt sich für die vom Versicherten jährlich vorschüssig
zu zahlende Nettoprämie
Diese Prämie wird geschätzt zu
(P T ) x = Ax
äx
(P T ) x = Mx
Im übrigen ergibt sich aus (7.52) bei Teilung durch äx die Identität
(P T ) x = 1
äx
Nx
(8.3)
(8.4)
− d (8.5)

KAPITEL 8. PRÄMIEN 198
Zur Berechnung der Varianz von L stellen wir äK+1 dar über die geometrische
Summenformel
L = v K+1 1 − v
− (P T ) x
K+1 � �
P Tx
= 1 + v
d
d
K+1 P Tx
−
d
Gehen wir jetzt zur Varianz über, so ergibt sich wegen der Konstanz von
(P T ) x
d
V ar (L) =
�
1 +
�2 P Tx
V ar
d
� v K+1� . (8.6)
Dagegen beträgt der Verlust des Versicherers bei einer Nettoeinmalprämie
von Ax
L = v K+1 − Ax
so daß sich die Varianz zu
V ar (L) = V ar � v K+1�
Interpretieren wir wieder die Varianz des Verlustes als Verlustrisiko für den
Versicherer, so liegt also das Risiko bei jährlicher Prämienzahlung deutlich
höher als bei einer Einmalprämie, was natürlich unmittelbar einsichtig ist.
Begrenzte Prämienzahlung
Wird bei unverändert lebenslanger Deckung die Zahlungsdauer der Prämien
auf n Jahre begrenzt, so sieht die Berechnung der Nettoprämie (P T ) x|n wie
folgt aus:
so daß
welches zu
L =
geschätzt wird.
� v K+1 − (P T )x|n · ä K+1
v K+1 − (P T ) x|n · än
(P T ) x|n = Ax
(P T ) x|n =
für K = 0, 1, ..., n − 1
für K = n, n + 1, ...
|näx
Mx
Nx − Nx+n
(8.7)
(8.8)
(8.9)

KAPITEL 8. PRÄMIEN 199
Temporäre Deckung
Alternativ zur lebenslangen Deckung betrachten wir die temporäre Deckung,
bei der die Todesfallversicherung und auch die Prämienzahlung |n (P T ) x auf
n Jahre begrenzt ist. In diesem Fall ist der Verlust des Versicherers
�
K+1 v − |n (P T )
L =
x · äK+1 für K = 0, 1, ..., n − 1
für K = n, n + 1, ...
0 − |n (P T ) x · än
(vgl. (7.7) und (7.61)). Offensichtlich ergibt sich dann
welches zu
geschätzt werden kann.
|n (P T ) x = |nAx
|näx
|n(P T ) x = Mx − Mx+n
Nx − Nx+n
8.1.2 Erlebensfallversicherung
(8.10)
(8.11)
(8.12)
Wir betrachten die reine Erlebensfallversicherung und die gemischte Versicherung.
Reiner Erlebensfall
Eine Erlebensfallversicherung mit Kapital 1 (EUR) und einer Deckungs- und
Prämienzahldauer von n Jahren verursacht dem Versicherer einen Verlust von
�
0 − |n (P E)
L =
x · äK+1 für K = 0, 1, ..., n − 1
. (8.13)
für K = n, n + 1, ...
v n − |n (P E) x · än
wobei |n (P E) x die zu zahlende Prämie bezeichne. Daraus berechnet sich die
Prämie zu
|n (P E) x = |nEx
.
|näx
(8.14)
Geschätzt werden kann sie aus der Sterbetafel zu
|n(P E) x =
Dx+n
Nx − Nx+n
(8.15)

KAPITEL 8. PRÄMIEN 200
Gemischte Versicherung
Wird diese Versicherung mit einer Todesfallversicherung verbunden, liegt also
eine gemischte Versicherung vor, bei der die Zahlungsdauer auf n Jahre
begrenzt ist, so ergibt sich eine Nettoprämie von
mit der Schätzung
Im übrigen gelten hier die Formeln
|n (P G) x = Ax,n
|näx
|n(P G) x = Mx − Mx+n + Dx+n
Nx − Nx+n
1
|näx
= d + |n (P G) x
die sich ergibt, wenn (7.64) durch |näx geteilt wird und
|n (P G) x = |n (P T ) x + |n (P E) x
wie über (7.18) eingesehen werden kann.
8.1.3 Besondere Versicherungen
(8.16)
(8.17)
(8.18)
(8.19)
Es seien nun noch drei (willkürlich ausgewählte) spezielle Versicherungen
genannt, um die Spannbreite der Möglichkeiten zu illustrieren.
Altersrente
Eine um n Jahre aufgeschobene Leibrente mit auf n Jahre zu zahlender
Prämie n| (P L) x und jährlicher Rate 1 (EUR) wird auch als Altersrente bezeichnet.
Für sie berechnet man nach dem bekannten Muster die jährliche
Nettoprämie (vgl. (7.68))
geschätzt zu
n| (P L) x = n|äx
n|(P L) x =
|näx
Nx+n
Nx − Nx+n
(8.20)
(8.21)

KAPITEL 8. PRÄMIEN 201
Ausbildungsversicherung
Wird ein Vertrag abgeschlossen, der eine Auszahlung der Summe nach n
Jahren vorsieht, unabhängig davon ob der Versicherungsnehmer innerhalb
der n Jahre stirbt oder nicht, so liegt in der Regel eine Ausbildungs- oder
Aussteuerversicherung vor. Erst durch die Prämienzahlung wird allerdings
der Vertrag zu einem Versicherungsvertrag, da die Prämienleistungen des
Versicherten aufhören, falls er vorzeitig stirbt (und dennoch das Kapital nach
n Jahren ausbezahlt werden muß). Der Verlust der Versicherung bei einem
Kapital von 1 beläuft sich auf
�
n v − |n (P A)
L =
x · äK+1 für K = 0, 1, ..., n − 1
(8.22)
für K = n, n + 1, ...
v n − |n (P A) x · än
woraus sich eine jährliche Prämie |n (P A) x von
|n (P A) x = vn
berechnet. Diese wird geschätzt durch
Prämienrückgewähr
|n(P A) x =
|näx
v n Dx
Nx − Nx+n
(8.23)
(8.24)
Eine n jährige Erlebensfallversicherung auf das Kapital 1 sehe vor, daß die
bezahlten Prämien unverzinst zurückerstattet werden, wenn der Versicherte
vor Ablauf der Versicherung stirbt. Dabei mögen sich die effektiv zu zahlenden
Brutto-Prämien (siehe nächster Abschnitt) auf das 1.4-fache der Nettoprämien
belaufen.
Der Verlust des Versicherers beträgt, wenn wir die Jahresnettoprämie diesmal
einfach mit P bezeichnen
�
K+1 1.4 (K + 1) P v − P äK+1 für K = 0, 1, ..., n − 1
L =
vn (8.25)
− P än
für K = n, n + 1, ...
Daraus berechnet man den Erwartungswert E (L) zu
E (L) = 1.4P · |n (IA) x + |nEx − P · |näx

KAPITEL 8. PRÄMIEN 202
Setzt man diesen gleich null, so kann die Nettoprämie P ermittelt werden:
P =
|nEx
|näx − 1.4 · |n (IA) x
8.1.4 Unterjährige Prämienzahlung
(8.26)
Falls die Nettoprämien nicht volljährig, sondern unterjährig in m gleichen
Raten gezahlt werden sollen, so bezeichnet man die insgesamt pro Jahr zu
zahlenden Prämien zum Kapital 1 mit den gleichen Bezeichnern wie die
volljährigen, nur mit einem Superskript (m) versehen. Man erhält dann völlig
analoge Formeln für die Prämien. Ohne Beweis seien einige davon angegeben.
• Todesfallversicherung
1. lebenslange Deckung
2. temporäre Deckung
• Erlebensfall
1. reiner Erlebensfall
2. gemischte Versicherung
(P T ) (m)
x
|n (P T ) (m)
x
|n (P E) (m)
x
|n (P G) (m)
x
Ax
=
ä (m)
x
|nAx
=
|nä (m)
x
|nEx
=
|nä (m)
x
Ax,n
=
|nä (m)
x
(8.27)
(8.28)
(8.29)
(8.30)
Beachte: Die pro Periode ” 1 Jahr” zu zahlende Prämie (z.B. die Mo-
m
natsprämie bei m = 12) ist der m−te Teil der oben angegebenen Prämien
mit dem oberen Indes (m) .

KAPITEL 8. PRÄMIEN 203
8.2 Bruttoprämien
Die vom Versicherten praktisch zu zahlenden Prämien setzen sich zusammen
aus den Nettoprämien, Kostenzuschlägen und Risikozuschlägen. Kommen
zu den Nettoprämien nur die Kostenaufschläge zum Ausgleich der dem
Versicherer entstehenden Vertriebs- und Verwaltungskosten hinzu, so spricht
man von ausreichenden Prämien. Werden noch besondere Risikozuschläge
berücksichtigt, so spricht man von Bruttoprämien.
Wir besprechen diese Zuschläge für einige ausgesuchte Versicherungstypen.
8.2.1 Ausreichende Einmalprämien
Zunächst betrachten wir Zuschläge zu den Nettoeinmalprämien. Die Kostenaufschläge
werden hier je nach Kostenart bzw. Versicherungstyp unterschiedlich
angesetzt.
Altersrente
Bei der um n Jahre aufgeschobenen Leibrente mit Jahresrate 1 setzt man für
die ausreichende NEP n|ä a x an:
n|ä a x = n|äx + α · n|ä a x + β · n|ä a x + γ · äx
(8.31)
d.h. man setzt die α− und β−Kosten proportional zur ausreichenden NEP
und die γ−Kosten proportional zu Kosten 1 während der gesamten Laufzeit,
so daß diese den Barwert der gesamt anfallenden Verwaltungskosten
darstellen. Daraus ermittelt man
Gemischte Versicherung
n|ä a x = n|äx + γ · äx
1 − α − β
(8.32)
Für diesen Versicherungstyp (Kapital 1, Dauer n Jahre) berechnet man eine
ausreichende NEP A a x,n aus dem Ansatz
A a x,n = Ax,n + α + β · A a x,n + γ · |näx
(8.33)

KAPITEL 8. PRÄMIEN 204
wobei die α−Kosten jetzt proportional der Versicherungssumme 1 angesetzt
werden und die γ−Kosten nur für n Jahre berücksichtigt werden. Damit gilt
A a x,n = Ax,n + α + γ · |näx
1 − β
Ersetzt man im übrigen hierin (nach (7.64))
(8.34)
1 − Ax,n
|näx =
d
(8.35)
so erhält man
A a d − γ
x,n =
d (1 − β) Ax,n
αd + γ
+
d (1 − β)
(8.36)
als vereinfachende Formel für die Berechnung der ausreichenden Einmalprämie.
Temporäre Todesfallversicherung
Bei der n Jahre dauernden Todesfallversicherung mit Kapital 1 ermittelt man
die ausreichende NEP n|A a x aus dem Ansatz
n|A a x = n|Ax + α · � �
1 − |nEx + β · n|A a x + γ · |näx
(8.37)
Hier werden also die α−Kosten proportional zu der um die NEP der n−jährigen
Erlebensfallversicherung reduzierten Versicherungssumme 1 angesetzt.
Dies liefert
n|A a x = n|Ax + α · � �
1 − |nEx + γ · |näx
(8.38)
1 − β
8.2.2 Ausreichende Jahresprämien
So wie die Nettojahresprämien aus den NEP einfach hervorgehen, indem man
diese durch |näx dividiert (bei n jähriger Prämienzahlung), so erhält man auch
die auseichenden Jahresprämien aus den ausreichenden Einmalprämien durch
Division durch |näx. Dem liegt im Prinzip der Ansatz zugrunde, daß so zu den
Nettojahresprämien Aufschläge aus allen drei Kostenarten hinzukommen
P a = P + P α + P β + P γ
(8.39)
Dies ergibt sich einfach, wenn man die obigen Ansätze für die ausreichenden
Einmalprämien durch |näx teilt.
Im einzelnen erhält man:

KAPITEL 8. PRÄMIEN 205
Altersrente
Die ausreichende Jahresprämie P a bei der oben besprochenen Altersrente
erhalten wir aus Formel (8.32)
Gemischte Versicherung
n| (P L) a
x =
n|äx + γ · äx
(1 − α − β) · |näx
(8.40)
Zur Berechnung einer ausreichenden Jahresprämie bei der gemischten Versicherung
orientieren wir uns an Formel (8.34)
|n (P G) a
x = Ax,n + α + γ · |näx
(1 − β) · |näx
(8.41)
Eine einfachere Berechnungsformel direkt aus der Nettojahresprämie erhalten
wir unter Ausnutzung von (7.64) in der Form
1 = Ax,n + d · |näx.
Dies multiplizieren wir an den Summenden α
|nP G a x = Ax,n + α � Ax,n + d · |näx
(1 − β) · |näx
� + γ · |näx
= (1 + α) Ax,n + αd · |näx + γ · |näx
= 1 + α
(1 − β) · |näx
1 − β |n (P G) x +
Temporäre Todesfallversicherung
dα + γ
1 − β
(8.42)
Grundlage zur Berechnung der ausreichenden Jahresprämie bei der temporären
Todesfallversicherung ist (8.38)
|n (P T ) a
x = n|Ax + α · � �
1 − |nEx + γ · |näx
(8.43)
(1 − β) · |näx

KAPITEL 8. PRÄMIEN 206
8.2.3 Brutto-Jahresprämien
Mögliche Zuschläge zu den ausreichenden Jahresprämien ergeben sich durch
besondere Risiken, z.B. wenn eine Todesfallversicherung abgeschlossen werden
soll und durch ein chronisches Leiden die Lebensaussichten negativ beeinflußt
werden.
Weitere Zuschläge werden erhoben, wenn der Tarif einer Versicherung auf
Jahresprämien ausgelegt ist, der Kunde aber eine monatliche Zahlung wünscht.
Dazu wird nicht etwa der ganze Tarif neu berechnet, sondern es werden pauschale
Zuschläge zu den sich durch Division ergebenden Raten erhoben, etwa
2% bei halbjähriger Zahlweise, 3% bei vierteljähriger und 5% bei monatlicher
Zahlweise. Umgekehrt werden Rabatte gewährt, wenn der Tarif auf
Monatsbasis berechnet wurde, der Kunde aber halbjährige oder volljährige
Zahlweise wünscht.
Schließlich werden bei kleinen Versicherungssummen Zuschläge auf die Prämien
erhoben (Kleinsummenzuschläge) bzw. Rabatte bei größeren Versicherungssummen
gewährt (Summenrabatte), um die pauschal berechneten Kosten der
Versicherung gerechter zu verteilen.
8.3 Übungsaufgaben
8.3.1 Theoretische Aufgabe
Aufgabe 8.1
1. Berechnen Sie eine Formel für die Nettojahresprämie einer um m Jahre
aufgeschobenen temporären Leibrente über n Jahre.
2. Berechnen Sie die Nettojahresprämie einer sofort beginnenden Leibrente
mit n Jahren Zahlungsgarantie.
8.3.2 Praktische Aufgaben
Aufgabe 8.2 Berechnen Sie zu der Aufgabe 7.3 jährliche Nettoprämien.

KAPITEL 8. PRÄMIEN 207
Aufgabe 8.3 Stellen Sie bei der Aufgabe 7.4 den Nettoeinmalprämien jeweils
jährliche Nettoprämienzahlungen über die gesamte Laufzeit der angesprochenen
Versicherungen gegenüber (bei gleichen Versicherungssummen)
und berechnen Sie den (theoretischen) Gewinn für den Versicherungsnehmer,
wenn er die zur Verfügung stehenden Gelder zu 5, 5% anlegt und die
vorschüssigen Jahresprämien über einen Auszahlungsplan aus dem angelegten
Geld finanziert.Beim dritten Teil der Aufgabe 7.4 lassen Sie den Auszahlungsplan
über 10, 20 oder 30 Jahre laufen.
Aufgabe 8.4 Berechnen Sie zu den Aufgaben 7.8 und 7.9 monatliche Nettoprämien
über die jeweilige Aufschubzeit der angesprochenen Leibrenten, die
die Nettoeinmalprämien ersetzen könnten.
Aufgabe 8.5 Ein 35 jähriger Mann plant für seine private Altersvorsorge
eine Altersrente bei einer Versicherungsgesellschaft über jährlich 9000
EUR ein. Diese soll ab seinem 65. Geburtstag gezahlt werden. Mit welchen
Bruttomonatsprämien muß er rechnen, wenn Kostenfaktoren von α = 0.035,
β = 0.01 und γ = 0.015 und ein Aufschlag von 5% für monatliche Zahlweise
einkalkuliert werden müssen.
Aufgabe 8.6 Eine 43 jährige Frau möchte eine Erlebensfallversicherung
über 25000 EUR mit Prämienrückgewähr für 12 Jahre abschließen. Berechnen
Sie die Jahresbruttoprämie P, wenn diese das 1, 3 fache der Jahresnettoprämie
beträgt.
Aufgabe 8.7 In Aufgabe 6.10 sparte ein Vater (30 Jahre alt) für das in 15
Jahren beginnende Studium seiner Tochter, das auf 7 Jahre angesetzt war,
allerdings ohne Risikoabsicherung über einen Versicherungsvertrag. Rechnen
Sie nun die über 15 Jahre zu zahlende Nettomonatsprämie für eine Ausbildungsversicherung
aus, die das nötige Kapital für eine 7 jährige Jahresrente
von 6000 EUR für die Tochter bereitstellt, wenn während der 7 Jahre ein
Rechnungszins von 5% unterstellt wird.
Aufgabe 8.8 Berechnen Sie ausreichende Vierteljahresprämien für folgende
Risikolebensversicherung: Versicherungsnehmer ist eine 51 jährige Frau, die
Versicherungssumme betrage 100000 EUR und die Dauer der Versicherung
10 Jahre. Die Kostenfaktoren seien α = 0.035, β = 0.01 und γ = 0.00125.

KAPITEL 8. PRÄMIEN 208
Aufgabe 8.9 Berechnen Sie Nettojahresprämien und Bruttojahresprämien
für einen 49 jährigen Mann, der eine gemischte Versicherung über 15 Jahre
und einen Betrag von 50000 EUR abschließt, wenn dessen Gesundheitsprüfung
einen Risikoaufschlag von 10% ergeben hat. Rechnen Sie mit den
Kostenfaktoren α = 0.035, β = 0.03 und γ = 0.0031.

Kapitel 9
Das Deckungskapital des
Versicherers
Nach dem Äquivalenzprinzip besteht zum Zeitpunkt des Abschlusses einer
prämienfinanzierten Versicherung eine Äquivalenz zwischen der zu erwartenden
Versicherungsleistung und den zu erwartenden Prämien. Zu einem
späteren Zeitpunkt besteht diese Äquivalenz in der Regel nicht mehr.
Wurde z.B. eine Einmalprämie vereinbart, so hat der Versicherte unmittelbar
nach Beginn der Versicherung seine Leistungen bereits erbracht, während die
des Versicherers noch aussteht. In diesem Fall hat der Versicherer durch die
Einnahme der Einmalprämie eine Reserve gebildet, über die er später seine
Leistung abdecken will.
Wurden jährliche Prämien vereinbart und eine Versicherung für n Jahre abgeschlossen,
so hat der Versicherte nach 0 < t < n Jahren bereits einen Teil
seiner Leistungen erbracht, ein anderer Teil steht noch aus. Auch für den
Versicherer hat sich nach t Jahren die Situation geändert. Vorausgesetzt, der
Versicherte lebt noch, so hat sich die Sterbewahrscheinlichkeit des Versicherten
und damit der Erwartungswert des Barwertes der vom Versicherer zu
erbringenden Leistung geändert. Auf der anderen Seite hat der Versicherer
durch Einnahme der bisher gezahlten Prämien bereits eine gewisse Teilreserve
gebildet.
209

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL 210
9.1 Deckungskapital
Zur Analyse der beschriebenen Situationen definieren wir als Zufallsvariable
den Verlust tL des Versicherers zum Zeitpunkt x + t. Er wird zum Zeitpunkt
t nach Abschluß des Versicherungsvertrages - unter der Voraussetzung,
daß der Versicherte noch lebt - als die Differenz zwischen dem Barwert der
zukünftigen Leistungen des Versicherers und dem Barwert der zukünftigen
Prämien festgelegt. Diese Größe wird in der Regel positive Werte annehmen
und stellt den Barwert des Finanzbedarfs des Versicherers aus dem laufenden
Vertrag dar.
Lassen wir zunächst wieder die Vertriebs- und Verwaltungskosten des Versicherers
außer acht, so nennen wir den Erwartungswert tV = E (tL) das
Nettodeckungskapital. Diese Größe wird auch Nettoreserve genannt, da sie
zum Zeitpunkt t in gewisser Weise zu der aus den bereits gezahlten Prämien
gebildeten Reserve äquivalent ist.
9.1.1 Nettoreserven
Wir ermitteln die Nettoreserven für einige spezielle Versicherungsarten.
Erlebensfallversicherung
Betrachten wir zunächst eine Erlebensfallversicherung auf n Jahre mit Versicherungssumme
1. Nach unserem Sterblichkeits-Modell sind die Sterbewahrscheinlichkeiten
des nun x + t−Jährigen durch sqx+t gegeben. Der aktuelle
Barwert der zum Zeitpunkt x vereinbarten Versicherungsleistungen für den
Versicherten ergibt sich demnach zu n−tEx+t. Damit berechnet sich das Nettodeckungskapital
|n−tV Ex+t am Ende des Jahres t nach Versicherungsbeginn
nach der Formel
|n−tV Ex+t = n−tEx+t − |n (P E) x · |n−täx+t für t = 0, 1, ..., n − 1 (9.1)
Diese Größe wird geschätzt zu
|n−t(V E) x+t = Dx+n
−
Dx+t
Dx+n Nx+t − Nx+n
Nx − Nx+n Dx+t
= Dx+n (Nx − Nx+t)
Dx+t (Nx − Nx+n)
(9.2)

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL 211
Man beachte, daß sich für t = 0 hieraus |n−t(V E) x+t = 0 und für t = n der
Wert |n−t(V E) x+t = 1 ergibt.
Temporäre Todesfallversicherung
Bei der temporären Todesfallversicherung ergibt sich für das Nettodeckungskapital
|n−tV Tx+t zum Zeitpunkt x + t
mit der Schätzung
|n−t(V T ) x+t
= Mx+t − Mx+n
Dx+t
|n−tV Tx+t = |n−tAx+t − |nP Tx · |n−täx+t
− Mx − Mx+n
Nx − Nx+n
Nx+t − Nx+n
Dx+t
= (Mx+t − Mx+n) (Nx − Nx+n) − (Mx − Mx+n) (Nx+t − Nx+n)
Dx+t (Nx − Nx+n)
(9.3)
(9.4)
Daraus ergibt sich insbesondere für t = 0 die Schätzung |n−t(V T ) x+t = 0
und für t = n der Wert |n−t(V T ) x+t = 0. Dazwischen verläuft |n−t(V T ) x+t
zunächst leicht ansteigend und dann wieder abfallend (siehe Übungsaufgabe)
Gemischte Versicherung
Entsprechend ergibt sich für das Nettodeckungskapital |n−tV Gx+t zum Zeitpunkt
x + t bei der gemischten Versicherung auf n Jahre
Diese kann man schätzen zu
|n−t(V G) x+t
= Mx+t − Mx+n
Dx+t
|n−tV Gx+t = A x+t,n−t − |nP Gx · |n−täx+t
+ Dx+n
Dx+t
− Mx − Mx+n + Dx+n
Nx − Nx+n
Nx+t − Nx+n
Dx+t
(9.5)
(9.6)
= (Mx+t − Mx+n + Dx+n) (Nx − Nx+n) − (Mx − Mx+n + Dx+n) (Nx+t − Nx+n)
Dx+t (Nx − Nx+n)

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL 212
Die Berechnungsformel für |n−tV Gx+t läßt sich umschreiben, wenn man (7.64)
und (8.18) berücksichtigt. Danach gilt
|n−tV Gx+t = � �
1 − d |n−täx+t − |nP Gx · |n−täx+t
= 1 − � |nP Gx + d � |n−täx+t (9.7)
= 1 − |n−täx+t
|näx
woraus sich die einfachere Schätzung
ergibt.
|n−t(V G) x+t = 1 − Dx (Nx+t − Nx+n)
Dx+t (Nx − Nx+n)
(9.8)
(9.9)
Berücksichtigt man ferner (8.16), um Ax+t,n−t auszudrücken, so findet man
die so genannte Prämiendifferenzformel
�
· |n−täx+t (9.10)
|n−tV Gx+t = � |n−tP Gx+t − |nP Gx
Im übrigen ergibt sich für t = 0 die Schätzung |n−t(V G) x+t = 0 und für t = n
die Schätzung |n−t(V G) x+t = 1.
Lebenslange Todesfallversicherung
Am einfachsten leiten sich die Formeln für das Nettodeckungskapital V Tx+t
der lebenslangen Todesfallversicherung aus denen der gemischten Versicherung
her, wenn hierin n → ∞ betrachtet wird. Es gilt
mit der Schätzung
V Tx+t = Ax+t − P Tx · äx+t
= 1 − (P Tx + d) äx+t
= 1 − äx+t
äx
(9.11)
= ( P Tx+t − P Tx) · äx+t (9.12)
(V T ) x+t = 1 − DxNx+t
Dx+tNx
Für t = 0 ergibt sich die Schätzung (V T ) x+t = 0.

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL 213
9.1.2 Strukturen
Im folgenden versuchen wir, natürliche Strukturen im Deckungskapital und
in den Prämien zu entdecken.
Rekursionsformeln
Wir betrachten eine allgemeine Todesfallversicherung, bei der cj das im j−ten
Jahr versicherte Kapital ist und Pk die zu Beginn des j−ten Jahres zu zahlende
Jahresnettoprämie. Der totale Verlust des Versicherers beträgt
L = cK+1v K+1 −
K�
Pjv j
Daraus findet man die die Nettoprämien charakterisierende Gleichung (vgl.
Kapitel 7)
0 = E (L) =
∞�
j=0
j=0
cj+1·v j+1 · jpx · qx+j −
∞�
j=0
Pj · v j · jpx
(9.13)
Zu beachten ist, daß das Modell allgemeiner ist, als dies auf den ersten Blick
den Anschein hat. Läßt man negative Prämien zu, so werden auch Erlebensfallversicherungen
und Leibrenten beschrieben. Eine gewöhnliche gemischte
Versicherung erhält man beispielsweise, wenn man
c1 = c2 = ... = cn = 1, cn+1 = cn+2 = ... = 0 und
P0 = P1 = ... = Pn−1 = |n (P G) x , Pn = −1, Pn+1 = Pn+2 = ... = 0
setzt.
Das Nettodeckungskapital zum Ende des Jahres k ∈ N ist
kV =
∞�
j=0
ck+j+1·v j+1 · jpx+k · qx+k+j −
∞�
j=0
Pk+j · v j · jpx+k
(9.14)
Zur Ermittlung einer Rekursionsformel ziehen wir nun jeweils den ersten
Term aus den beiden Summen und substituieren über die Produktformel
(6.21)
jpx+k = px+k · j−1px+k+1

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL 214
Dies ergibt
kV + Pk =
ck+1 · v · qx+k + px+k
−px+k
∞�
j=1
∞�
j=1
Pk+j · v j · j−1px+k+1
ck+j+1·v j+1 · j−1px+k+1 · qx+k+j (9.15)
(9.16)
Fassen wir nun noch j − 1 als neuen Summationsindex zusammen, so gilt die
Rekursionsformel
kV + Pk = v (ck+1 · qx+k + k+1V · px+k) (9.17)
Diese Formel hat die Interpretation, daß das Nettodeckungskapital zum Zeitpunkt
k zusammen mit der zu diesem Zeitpunkt fälligen Prämie gerade der
auf diesen Zeitpunkt abgezinste Barwert des zum Zeitpunkt k + 1 benötigten
Kapitals, nämlich ck+1 im Todesfall, bzw. k+1V im Erlebensfall, ist.
Formel (9.17) kann nach k+1V aufgelöst werden
k+1V = (kV + Pk) r − ck+1 · qx+k
. (9.18)
px+k
Beachte: Mit dieser Formel kann dann leicht, beginnend mit 0V = 0, das
Nettodeckungskapital rekursiv berechnet werden.
Prämienstruktur
Eine leichte Umschreibung der Rekursionsformel über px+k = 1 − qx+k ergibt
kV + Pk = k+1V · v + (ck+1 − k+1V ) · v · qx+k
(9.19)
In der rechten Seite ist nur der Betrag (ck+1 − k+1V ) explizit vom potentiellen
Tod des Versicherten im laufenden Jahr abhängig, dieser Beitrag zum
Deckungskapital ist mit explizitem Risiko für den Versicherer behaftet und
wird deshalb Risikosumme genannt.
Aus (9.19) folgt auch eine Zerlegung der Prämie Pk in zwei Komponenten,
Pk = P s k + P r k = ( k+1V · v − kV ) + (ck+1 − k+1V ) · v · qx+k. (9.20)

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL 215
Dabei nennt man P s k = ( k+1V · v − kV ) die Sparprämie, weil sie zusammen
mit dem alten Deckungskapital das (abgezinsten) neue Deckungskapital ergibt
und P r k = (ck+1 − k+1V ) · v · qx+k die Risikoprämie. Somit setzt sich die
Prämie zusammen aus einer Sparquote und einer Prämie für eine einjährige
Todesfallversicherung.
Eine weitere interessante Beobachtung ist die:
Summiert man die auf das Ende des Jahres j aufgezinsten Sparprämien der
Jahre 1 bis j Jahre auf, so erhält man
j−1 �
jV =
k=0
(1 + i) j−k P s j . (9.21)
Damit erweist sich das Nettodeckungskapital zum Ende des Jahres j als der
aufgezinste Wert der Sparprämien der vorangegangenen Versicherungsjahre.
Bemerkung: Die Sparprämie kann durchaus auch negative Werte annehmen.
9.1.3 Ausreichende Reserven
(Noch nicht ausgearbeitet)
9.1.4 Änderung von Verträgen
(Noch nicht ausgearbeitet)