Unterlagen zur Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik

Inhalt 

Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel 

Fachbereich Elektrotechnik 

Labor für Hochfrequenztechnik 

Prof. Dr.-Ing. K.H. Kraft 

Unterlagen zur Lehrveranstaltung 

Grundlagen der Regelungstechnik 

Teil 1: Übersichten, Formelsammlung und graphische Darstellungen 

Teil 2: Übungsaufgaben

FH Wolfenbüttel 

FB Elektrotechnik 

Prof. Dr. K.H. Kraft 

Grundlagen Regelungstechnik 

Übersicht 

01

Eingangsgröße x(t), Sollwert x0 

Ausgangsgröße y(t) 

Größen des einschleifigen Regelkreises 

Störgrößen z1(t) vor, z2(t) hinter der Regelstrecke 

Sollwertsprung x(t)=x0⋅s(t); Einheitssprungfunktion 

Regler: FR(p); Regelstrecke: FS(p) 

s ( t) 

= 

Übertragungsfunktionen 

Kreisübertragungsfunktion (offener Regelkreis): FK(p)=FR(p)⋅FS(p) 

Gesamtübertragungsfunktion (geschlossener Regelkreis): 

Störübertragungsfunktionen 

Störung vor der Regelstrecke: 

Störung hinter der Regelstrecke: 




F 

F 

F 

g 

z 1 

z2 

{ 

FK 

( p) 

( p) 

= = 

1+ 

FK 

( p) 

1+ 

F 

0 

1 

für 

F ( ) F 

S p 

( p) 

= 

= 

1+ 

F ( p) 

⋅ F ( p) 

F 

R 

( p) 

= 

1+ 

F 

R 

S 

1 

( p) 

⋅ F 

S 

R 

t< 

0 

t≥0 

1 

1 

( p) 

⋅ F ( p) 

g 

R 

S 

( p) 

( p) 

1 

= 

( p) 

1+ 

F ( p) 

Tabelle 1: Wichtige Formeln des einschleifigen Regelkreises. 


Theorie 

K 

02




Tabelle 2: Regelungstechnische Übertragungsglieder (Teil 1). 


Theorie 

03




Tabelle 3: Regelungstechnische Übertragungsglieder (Teil2). 


Theorie 

04

Operation Originalfunktion u(t) Bildfunktion U(p) 

Addition 1( 

t) 

u2( 

t) 

Konstanter Faktor u(t) 

1 t 

Ähnlichkeit u( 

) 

a a 

u + U p) 

+ U ( p) 

1( 

2 

a ⋅ a ⋅ U( 

p) 

U( a ⋅ p 

Differentiation u′ (t) 

p ⋅ U( 

p) 

− u( 

0) 

Integration 

Verschiebung ( t T1) 

Dämpfung 

t 

Faltung u1 

t − x) 

⋅ 

0 

Anfangswert lim[ u( 

t)] 

t→0 

Endwert 




t 

0 

1 

u( 

x) 

dx 

U( 

p) 

p ⋅ 

u − 1 U( 

p) 

⋅ e 

u 

) 

− pT 

−at 

( t) 

⋅ e 

U ( p + a) 

( u ( x) 

dx U p) 

⋅ U ( p) 

lim[ u( 

t)] 

t→∞ 2 

1( 

2 

lim [ p ⋅U 

( p)] 

p→∞ 

lim 

p→0 

[ p ⋅U 

( p)] 

Tabelle 4: Allgemeine Regeln der Laplace-Transformation. 


Theorie 

05

Nr. Bildfunktion Y(p) Zeitfunktion y(t) 

1 p 1 

2 1 

3 

1 

2 

p τ 

4 1 

3 2 

p τ 

1 − 

5 n n 1 

p τ 

6 

7 

8 

9 

10 

τ 

1+ 

pτ 

( 1 ) 

1 p + pτ 

1 

p ( 1+ 

pτ 

)( 1+ 

pτ 

) 

1 

τ1 

−τ 

2 

1+ 

p τ )( 1+ 

pτ 

) 

( 1 

2 

pτ1τ 

2 

1+ 

pτ 

)( 1+ 

pτ 

) 

( 1 

2 

11 1 

2 

p ( 1+ 

pτ 

) 

12 τ 

2 

( 1+ 

pτ 

) 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

2 

s ( t ) = 

0 

1 

für 

( t) 

ds( 

t) 

0 ( t) 

= = 

1s 

dt 

δ 

δ 

τ t 

1 

2 

( 

τ t 

2 

) 

1 ( t ) 

( n −1)! 

τ 

e 

t / τ − 

1 e 

t − 

− 

1 

/ τ 

2 

n−1 

τ 2 − t / τ τ 2 1 − t / τ1 

1+ 

e − e 

τ −τ 

τ −τ 

− t / τ1 − t / τ 2 

e − e 

1 − t / τ 2 − t / τ1 

( τ1e 

−τ 

2e 

) 

τ −τ 

1 

2 

1− 

( 1+ 

t ) e 

− t / τ 

τ 

t e 

− t / τ 

τ 

2 

pτ 

2 

( 1+ 

pτ 

) 

( 1− 

t ) e 

− t / τ 

τ 

1 , D




Frequenzverhalten von PT2-Gliedern. 


Theorie 

07




Zeitverhalten von Verzögerungsgliedern (PTn). 


Theorie 

08





Theorie 

09





Theorie 

10

Aufgabe 1 

Aufgaben der Klausur vom WS 2006 

Ein Übertragungssystem sei durch den dargestellten Frequenzgang charakterisiert. 

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion F(p), vorzugsweise mit Verstärkungsfaktor 

K0, Dämpfungsfaktor D und Eigenfrequenz f0. Es wird dazu empfohlen, einen Ausdruck 

für den Phasengang ϕ(ω) aufzustellen. 

b) Geben Sie den PN-Plan und die Sprungantwort an. 

Aufgabe 2 

Mit der dargestellten Schaltung soll die Übertragungsfunktion F(p)=-2⋅(1+pTD)/(1+pTv) ent- 

sprechend dem angegebenen PN-Plan mit T0=1 ms realisiert werden. Vorgegeben ist der 

Wert R1=10 kΩ. 

a) Bestimmen Sie alle fehlenden Elemente der Schaltung. 

b) Berechnen und skizzieren Sie die normierte Sprungantwort –uA(t)/Us mit u0(t)=Us⋅s(t). 

c) Wie groß darf Us maximal sein, damit stets |uA|≤1 V gilt ? 





f1=414 Hz 

F(f1)=0.427 

ϕ(f1)=-45° 

f2=1000 Hz 

F(f2)=0.25 

ϕ(f2)=-90° 

Übungsaufgaben 

11

Aufgabe 3 

Der dargestellte Regelkreis enthält einen PI-Regler mit FR(p)=KR⋅(1+pTi)/(pTi), eine Regel- 

strecke mit FS(p)=1/(1+pTS), TS=100 ms und ein Messglied mit FM(p)=1/(1+pTM). Bei der 

Reglerdimensionierung soll die Zeitkonstante TS>TM kompensiert werden. 

a) Welche Übertragungsfunktion Fg(p)=Y(p)/X(p) erhält man, wenn zunächst ein ideales 

Messglied (TM=0) eingesetzt und KR=5 gewählt wird ? 

b) Wie hängt bei Berücksichtigung von TM>0 die Reglerverstärkung KR vom Verhältnis 

TM/TS (0

Aufgabe 1 

a) F(p)=0.5/(p/ω0+1) 2 , f0=1 kHz, D=1; 

b) p∞1,2=-ω0, y(t)=x0⋅[1-(1+ω0t)⋅exp(-ω0t)]. 

Aufgabe 2 

Lösungen (WS 06) 

a) TD=T0=1 ms, Tv=T0/2, C1=50 nF, C2=25 nF, R2=40 kΩ; 

b) –uA(t)/Us=2⋅(1+exp(-t/Tv)); 

c) |uAmax|=4⋅Us, Us≤250 mV. 

Aufgabe 3 

a) Fg(p)=1/(1+pTg), Tg=20 ms; 

b) KR=1/(4⋅TM/Ts); 

c) Fg(p)=(1+pTM)/(1+2⋅pTM) 2 ; 

d) FKM(p)=1/[4⋅pTM⋅(1+pTM)], ϕr=76.3°. 

Aufgabe 4 

a) Fg(p)=1/[1/200⋅(pT2) 2 +1/10⋅pT2+1]=1/N2(p); 

b) Fz1(p)=(1/KR)/N2(p), Fz1 * (p)=(1/KR)⋅(1+pT1)/N2(p), Fz2(p)=(1/KR)⋅(1+pT1)⋅(pT2)/N2(p); 

c) yz1(0)=0, yz1(∞)=z10/10, 

yz1 * (0)=0, yz1 * (∞)=z10 * /10, 

yz1(0)=z20, yz2(∞)=0. 






13

Aufgabe 1 


Gegeben ist die Sprungantwort y(t) eines Übertragungssystems mit der Sprunganregung 

x(t)=x0⋅s(t) und der Zeit t90=1.609 ms, bei der y(t90)/x0=0.9 gilt. Zusätzlich liegt die Ortskur- 

ve F(jf) vor, speziell bei f1=159.2 Hz erhält man F(jf1)=0.75-j0.25. Bestimmen Sie aus die- 

sen Angaben die Übertragungsfunktion F(p) mit allen Parametern und geben Sie die end- 

gültigen Ausdrücke für y(t) und F(jΩ) mit geeigneter normierter Frequenz Ω sowie den 

PN-Plan von F(p) an. 

Aufgabe 2 

Die dargestellte Reglerschaltung (PIDT1-Variante als rückwirkungsfreie Kettenschaltung 

mit als ideal angenommenen Elementen) soll mit den vorgegebenen Werten R2=R4=10 

kΩ so dimensioniert werden, dass die Übertragungsfunktion F(p) mit den Parametern 

KR=2, Ti=1 ms, TD=200 µs, Tv=40 µs entsteht: 

F 

1 + pT 

1 + pT 

i 

D 

( p) 

= KR 

⋅ ⋅ . 

pTi 1 + pTv 

a) Bestimmen Sie die allgemeine ÜF der Schaltung mit allen Elementen und berechnen 

Sie R1, C2, R3, C4 und R5, wobei KR nur von der ersten Teilschaltung zu bilden ist. 

b) Welcher Wert uA(t=0) ergibt sich bei einem Sprung von Us=1 V am Eingang ? 

c) Zeichnen Sie den PN-Plan von F(p). 






14

Aufgabe 3 

Gegeben ist der dargestellte Regelkreis: P-Regler mit KR=5, integrierende Regelstrecke 

mit Ts=30 ms sowie ein Messglied mit PT1-Verhalten, KM=1 und TM=2 ms. 

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion Fg(p)=YM(p)/X(p). Welcher Dämpfungsfaktor 

Dg wurde hier eingestellt ? 

b) Berechnen Sie die normierte Durchtrittsfrequenz Ωd mit |FK(jΩd)|=1, Ω=ωTs und ermit- 

teln Sie die hier vorliegende Phasenreserve ϕr. 

c) Geben Sie die Störübertragungsfunktionen Fz1(p)=YM(p)/Z1(p) und Fz2 * (p)=YM(p)/Z2 * (p) 

an. Worin liegt hier im Hinblick auf die Ausregelung von Störungen der Unterschied ? 

Aufgabe 4 

Die dargestellte Kaskadenregelung mit den gegebenen Zeitkonstanten T1=2 ms, T2=10 

ms soll so dimensioniert werden, dass sich für die Ausgangsgröße y1(t) als Reaktion auf 

einen Sollwertsprung x(t)=x0⋅s(t) ein Einschwingvorgang 2. Ordnung nach dem 

aperiodischen Grenzfall einstellt. Dabei soll der innere Regelkreis durch ein PT1-Glied mit 

der Ersatzzeit-konstanten Tg2=1 ms und der Verstärkung Kg2=1 ersetzt werden können. 

a) Berechnen Sie die Reglerparameter KR1, Ti1, KR2 und Ti2 der beiden PI-Regler und die 

Eigenfrequenz f0g des geschlossenen Regelkreises. 

b) Welche Bildfunktion Y2(p) und welcher Einschwingvorgang ergibt sich für y2(t) ? 






15

Aufgabe 1 


F(p)=K⋅(1+pT1)/(1+pT2), y(t)/x0=K⋅[1+(T1/T2-1)⋅exp(-t/T2)], y(∞)/x0=1, K=1, y(0)/x0=0.5, 

T1/T2=0.5, y(t)/x0=1-0.5⋅exp(-t/T2), T2=1 ms, Ω=ωT2, F(jΩ)=(1+0.5⋅jΩ)/(1+jΩ), 

p0=-1/T1, p∞=-1/T2. 

Aufgabe 2 

a) F(p)=R2/R1⋅(1+pR2C2)/(pR2C2)⋅R5/(R3+R4)⋅(1+pR4C4)/(1+pR3R4/(R3+R4)C4), R1=5 kΩ, 

C2=100 nF, C4=20 nF, R3=2.5 kΩ; 

b) uA(0)=10 V; 

c) p01=-1/T1, p01=-1/TD, p∞1=0, p∞2=-1/Tv. 

Aufgabe 3 

a) Fg(p)=1/[p 2 TsTM/KR+pTs/KR+1], Dg=1/2⋅√3; 

b) Ω=4.77, ϕr=72.4°; 

c) Fz2 * (p)= pTs/KR/N2(p), Fz2 * (0)=0, yM(∞)=0, Fz1(p)= 1/KR/N2(p), Fz1(0)≠0, yM(∞)≠0. 

Aufgabe 4 

a) Ti2=T2, KR2=10, Ti1=T1, KR1=0.5, f0g=79.6 Hz; 

b) Y2(p)=x0/p⋅1/(1+pT1), y2(t)=x0⋅(1-exp(-t/T1). 






16

Aufgabe 1 


Gegeben sind die dargestellten PN-Pläne zweier Übertragungsglieder. In beiden Fällen 

gelten die Bedingungen |F(∞)|=1, ϕ(0)=-π/2. Geben Sie jeweils die Übertragungsfunktion 

F(p) mit Typbezeichnung an und skizzieren Sie die Ortskurve F(jΩ) mit Ω=ωT1 unter An- 

gabe von mindestens 4 Wertetripeln Ω, Re(F), Im(F). Hinweis: Man beachte das Vorzei- 

chen von F(p). 

Aufgabe 2 

Für die gegebene Schaltung mit idealem Operationsverstärker und mit den Schaltelemen- 

ten R1=R3=1 kΩ, R2=5 kΩ, C1=C3=1 nF soll die Übertragungsfunktion F(p)=U3(p)/U0(p) mit 

Angabe der Typbezeichnung bestimmt und die Sprungantwort u3(t) mit dem Ein- 

gangssignal u0(t)=Us⋅s(t), Us=-1 V berechnet und skizziert werden. 






17

Aufgabe 3 

Zu untersuchen ist eine PLL-Schaltung mit dem Parameter Kd=0.5 (Multiplizierer als Pha- 

sendetektor) und mit der Integrierzeit Tv=100 µs für den VCO (entsprechend einer Kon- 

stanten Kv=10 4 Hz/V) sowie mit den Parametern KR=10 und Ti=40 µs des eingesetzten PI- 

Reglers mit der ÜF FR(p)=KR⋅(1+pTi)/(pTi). 

a) Wie lautet die ÜF Fg(p)=ΦA(p)/ΦE(p) des geschlossenen Kreises ? 

b) Welche Dämpfungskonstante Dg wurde hier gewählt ? 

c) Welche Funktion erfüllt das nachgeschaltete Ausgangsfilter mit FAF(p)=1/(1+pTi) und 

wie lautet ΦAF(p) bei Sprunganregung durch ϕE(t)=ϕ0⋅s(t) ? 

d) Nach welcher Zeit erreicht die Ausgangsgröße ϕAF(t) ihr absolutes Maximum und wie 

groß ist das maximale relative Überschwingen ? 

Aufgabe 4 

Der dargestellte zweischleifige Regelkreis mit FS1(p)=1/(pTS1), TS1=1 s, FS2(p)=1/(1+pTS2), 

TS2=0.5 s soll mit Hilfe der beiden Regler FR1(p)=KR1 und FR2(p)=KR2⋅(1+pTi2)/(pTi2) so ein- 

gestellt werden, dass der innere Kreis durch die Übertragungsfunktion Fg2(p)=1/(1+pTg2) 

mit Tg2=0.1 s ersetzt werden kann und der äußere Kreis damit ein Einschwingverhalten 

entsprechend dem aperiodischen Grenzfall zeigt. Bestimmen Sie dazu die Reglerparame- 

ter KR1, KR2 und Ti2 sowie die resultierende Eigenfrequenz f0g (oder eine Zeitkonstante τg) 

und damit einen Ausdruck für die Sprungantwort y(t). 






18

Aufgabe 1 


a) F(p)=-pT1/(1+pT1), F(jΩ)=-(Ω 2 +jΩ)/(1+Ω 2 ), Ω=ωT1, DT1; 

b) F(p)=(1+pT1)/(pT1), F(jΩ)=1-j/Ω, PI. 

Aufgabe 2 

F(p)=-5⋅pτ/(1+pτ) 2 , τ=1 µs, BP2/DT2, u3(t)=5⋅Us⋅t/τ⋅exp(-t/τ). 

Aufgabe 3 

a) Fg(p)=(1+pTi)/(p 2 TiTv/(KdKR)+pTi+1); b) D=1/√2; c) ΦAF(p)=ϕ0/[p⋅((p/ω0g) 2 +√2⋅p/ω0g+1)]; 

d) tm1=125.7 µs, ü=0.043. 

Aufgabe 4 

KR1=2.5, KR2=5, Ti2=0.5 s, f0g=0.796 Hz, Dg=1, y(t)=x0⋅[1-(1+ω0gt)⋅exp(-ω0gt)]. 






19

Aufgabe 1 


1+ 

pT0 

Gegeben ist ein Übertragungsglied mit der Übertragungsfunktion F( 

p) 

= . 2 

( 1+ 

pT ) 

Für die Zeitkonstante T0 sollen die beiden Fälle T0=T1/2 und T0=2T1 betrachtet werden. 

a) Geben Sie für beide Fälle den PN-Plan an. 

b) Berechnen Sie allgemein die (normierte) Sprungantwort y(t)/x0, wobei als Anregung 

x(t)=x0⋅s(t) benutzt wird. 

c) Zeichnen Sie die Sprungantworten für die beiden genannten Fälle, vorzugsweise in 

einem Diagramm und in der normierten Form y(t/T1)/x0. 

Aufgabe 2 

Das Frequenzverhalten der gegebenen Schaltung mit idealem Operationsverstärker ist zu 

untersuchen. Diese Schaltung kann gegebenenfalls zur Amplituden- und Phasenkorrektur 

eines Übertragungssystems eingesetzt werden. 

a) Bestimmen Sie die allgemeine Übertragungsfunktion der Schaltung und den PN-Plan. 

b) Geben Sie den Frequenzgang F(jΩ) an, und zwar für R1=R2=R und mit der Normierung 

Ω=ωT2, T2=RC2. 

c) Berechnen und zeichnen Sie den Amplituden- und Phasengang mit Angabe einiger 

Wertetripel Ω, F(Ω), ϕ(Ω). 






1 

20

Aufgabe 3 

Der dargestellte Regelkreis mit FR(p)=KR(1+pTi)/(pTi) und Fs(p)=1/(pTs) ist zu dimensionie- 

ren. Das Vorfilter mit FVF(p) zur Sollwertverzögerung soll dabei so gewählt werden, dass 

die Gesamtübertragungsfunktion Fg * (p) des geschlossenen Kreises folgendermaßen 

lautet: 

F 

Y ( p) 

( p) 

= = 

X ( p) 

p 

( ) 

ω 

* 

g 

0g 

2 p 

+ 2Dg 

ω0 

g 

1 

+ 1 

a) Bestimmen Sie Fg(p), FVF(p) und Fg * (p)=Fg(p)⋅FVF(p) mit den Parametern KR, Ti, Ts. 

b) Die beiden Reglerparameter KR und Ti des PI-Reglers sind so zu wählen, dass 

1 Dg= 2 3 beträgt und für die Zeit bis zum ersten Maximum der Sprungantwort (Sollwert- 

π 

sprung) t m1 

= 

= T 

2 

s 

ω 1− 

D 

0g 

g 

= 1 s gilt. 

c) Skizzieren Sie die Ortskurve FK(jΩ)=FR(jΩ)⋅Fs(jΩ) mit Ω=ωTs und den gewählten Wer- 

ten nach b) und ermitteln Sie die normierte Durchtrittsfrequenz Ωd sowie die Phasen- 

reserve ϕr im Hinblick auf das Nyquist-Kriterium. 

Aufgabe 4 

Eine Regelstrecke vom Typ PT2 mit den Zeitkonstanten T1=100 ms, T2=20 ms und der 

Verstärkung Ks=1 soll mit einem PID(T1)-Regler kombiniert werden, der die Übertragungs- 

funktion 

( 1+ 

pTi 

)( 1+ 

pTD 

) 

FR 

( p) 

= K R 

und die Parameter Ti=100 ms, TD=20 ms, Tv=4 ms 

pT ( 1+ 

pT ) 

i 

v 

sowie KR=Ti/(4Tv) besitzt. Diese Dimensionierung ergibt einen reellen Doppelpol der Über- 

tragungsfunktion des geschlossenen Kreises. 

a) Geben Sie die Kreis-ÜF FK(p) an und bestimmen Sie die Stör-ÜF Fz2(p), die für eine 

Störung z2(t) direkt am Ausgang der Regelstrecke maßgeblich ist. 

b) Berechnen und skizzieren Sie die Ausgangsgröße y(t)/z20 als Reaktion auf einen Stör- 

sprung z2(t)=z20⋅s(t), vorzugsweise mit einer geeigneten Normierung der Zeit. 






21

Aufgabe 1 


a) p0=-2/T1, p∞12=-1/T1 bzw. p∞12=-1/T1, p0=-1/(2T1); 

b) y(t)/x0=1-[1+t/T1⋅(1-T0/T1)]⋅exp(-t/T1); 

c) 1-[1+1/2⋅t/T1]⋅exp(-t/T1) 

y(t)/x0={ 

1-[1-t/T1]⋅exp(-t/T1) 

Aufgabe 2 

a) F(p)=F(0) (1+pT12)/(1+pT2) mit F(0)=1+R2/R1, T2=R2C2, T12=(R1||R2)C2; 

b) F(jΩ)=F(0) (1+jΩ/2)/(1+jΩ) mit Ω=ωT2; 

c) F(Ω)=2 [(1+1/4 Ω 2 )/(1+Ω 2 )] 1/2 , ϕ(Ω)=arctan(Ω/2)-arctan(Ω). 

Aufgabe 3 

a) Fg(p)=(1+pTi)/(p 2 TiTs/KR+pTi+1), FVF(p)=1/(pTi+1), Fg * (p)=1/[(p/ω0g) 2 +2Dg p/ω0g+1]; 

b) Ti/Ts=0.276, KR=10.88; 

c) FK(jΩ)=-39.48/Ω 2 -j10.88/Ω, ϕr=72.4°. 

Aufgabe 4 

a) FK(p)=1/[4⋅pTv (1+pTv)], Fz2(p)= 4⋅pTv (1+pTv)/(1+2⋅pTv) 2 ; 

b) yz2(t)/z20=(1+t/(2Tv)) exp(-t/(2Tv)) 






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