Blatt 7

Fachbereich Physik, Universität Duisburg-Essen, Campus Essen
Übungen zur Vorlesung
Physik III für Lehrämter WS 08/09
Prof. Dr. A. Wucher Blatt 7
Prof. Dr. T. Guhr
Dipl. Phys. C. Heuser
Dipl. Phys. J. Hämmerling Abgabetermin: 04.12.08, 08:15 Uhr,
Aufgabe 20 Atommodelle (1+2+2 Punkte)
Im Lauf der Geschichte gab es einige Atommodelle, mit denen versucht wurde die Bewegung
des Elektrons um den Kern mathematisch zu beschreiben. Zwei dieser Vertreter sind das Rutherford’sche
und das Bohr’sche Atommodell:
(a) Bestimmen Sie im Rutherford’sches Atommodell den Bahnradius eines Elektrons um den
Kern!
(b) Bestimmen Sie den Bahnradius und die Energie eines Elektrons im Bohr’schen Atommodell!
(c) Wo liegt der Denkfehler im Rutherford’schen Atommodell? Welche Idee unterscheidet das
Bohr’sche von dem Rutherford’schen Atommodell?
Aufgabe 21 Potentialwall (4+2+2+3 Punkte)
In der Quantentheorie gibt es verschiedene Modellbeispiele für die Bewegung von Teilchen mit
Welleneigenschaften in Potentiallandschaften. Im folgenden soll ein Fall betrachtet werden, in
welchem ein Teilchen mit der Energie E in Form einer freien Welle aus −∞ in Richtung ∞ auf
eine Potentialstufe der Höhe E0 zufliegt. Dieser Potentialsprung trete bei x = 0 auf. Für die
folgende Betrachtung werden zwei Bereiche definiert: Bereich I, welcher potentialfrei ist und
Bereich II, welcher ein konstantes Potential von E0 aufweist.
(a) Stellen Sie die Schrödingergleichung für die beiden Bereiche (I & II) auf und zeigen Sie,
dass die Gleichungen durch die angegebenen Wellenfunktionen gelöst werden. Geben Sie
k und κ an!
ΨI(x) = A · exp(ikx) + B · exp(−ikx) (1)
ΨII(x) = C · exp(iκx) + D · exp(−iκx) (2)
Da wir im folgenden davon ausgehen, dass die Welle in Bereich II nicht mehr reflektiert
wird, setzen daher D = 0!
(b) Die beiden Wellenfunktionen ΨI und ΨII müssen bei x = 0 stetig ineinander übergehen.
Drücken Sie B und C durch A, k und κ aus. Benutzen Sie hierfür die beiden Beziehungen
ΨI(0) = ΨII(0) und Ψ ′ I (0) = Ψ′ II (0).
(c) Im folgenden Fall sei die Energie des Teilchens E größer als die Potentialschwelle E0.
Bestimmen Sie den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten R = | B
A |2 bzw. T = κ C
k | A |2 .
Wie hängen R und T zusammen?
(d) Betrachten Sie nun den Fall, dass die Energie des Teilchens E kleiner als die Potentialschwelle
E0 ist. Ändern sich k und κ, und wenn ja, wie? Bestimmen Sie weiterhin
den Reflexionskoeffizienten R. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen in
Bereich II (x > 0) zu finden?

Aufgabe 22 Tunneleffekt (1+2 Punkte)
In der vorherigen Aufgabe hatte die Potentialstufe eine unendliche Ausdehnung. Wenn die
Barriere der Höhe E0 aber nur eine endliche Breite a hat, besteht die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Teilchen durch die Barriere tunnelt. Die Transmissionswahrscheinlichkeit durch die
Barriere ist das Betragsquadrat des Verhältnisses von der Amplitude nach und vor der Barriere
T = | Anachher
Avorher |2 und lautet:
(mit α = 1
�
¯h 2m(E0 − E))
T =
(1 − E
E0
1 − E
E0
) + E0
4E · sinh2 (αa)
(a) Berechnen Sie die Tunnelwahrscheinlichkeit für ein Elektron der Energie E = 4eV , welches
auf eine Barriere der Höhe E0 = 6eV und der Breite a = 1nm trifft?
(b) Wie muss die Breite a gewählt werden, damit die Tunnelwahrscheinlichkeit T = 75%
wird?
(3)