3 Differentialquotient - Verlag E. Dorner

3 Differentialquotient
3 Differentialquotient
Nachdem du den Differenzenquotienten wiederholt und in verschiedenen Situationen angewendet
hast, lernst du den Differentialquotienten und seine Bedeutung kennen.
Du erwirbst folgende Grundkompetenzen:
� Den Zusammenhang zwischen Differenzenquotient und Differentialquotient kennen
� Die Begriffe mittlere bzw. momentane Änderungsrate entsprechend zuordnen
� Differenzenquotient und Differentialquotient verbal und formal beschreiben
� Differenzenquotient und Differentialquotient in verschiedenen Kontexten deuten
� Sachverhalte mit Differenzenquotient und Differentialquotient beschreiben
Neues Wissen
Momentangeschwindigkeit
Beispiel:
Bei einem Tandemfallschirmsprung wird aus 4000 m Höhe abgesprungen.
Der freie Fall dauert ca. 22 Sekunden, bis auf einer Höhe
von rund 1500 Meter der Fallschirm geöffnet wird.
Für den Weg s (t), den ein Körper (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes)
im freien Fall in der Zeit t zurücklegt, gilt näherungsweise
s (t) = 5 t2 ( t in Sekunden und s (t) in Meter ) .
Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 = 6 hast du im vorigen
Abschnitt näherungsweise mithilfe von immer kleineren Zeitintervallen
[t; 6] (bzw. [6, t]) ermittelt. Je kleiner das Intervall, desto besser
die Näherung.
Die gesuchte Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = t0 kann als Grenzwert der mittleren Geschwindigkeiten
_
v = Δs
} aufgefasst werden, wenn die Zeitabschnitte Δt immer kürzer werden, also
Δt
gegen null streben.
lim
Δt → 0
Δs
} = lim
Δt Δt → 0
s (t0 + Δt) – s (t0)
}
Δt
= lim
Δt → 0
5 (t0 + Δt) 2 – 5 t
0
2
}
Δt
= lim
Δt → 0
5 (6 + Δt)2 – 5 · 62 }
Δt
= lim
Δt → 0 5 · (36 + 12 Δt + Δt2 ) – 36
}
Δt
= 5 · lim
Δt → 0
36 + 12 Δt + Δt2 �
���
���
���
���
���
– 36
}
Δt
���
12 Δt + Δt2
Δt (12 + Δt)
�
= 5 · lim } = 5 · lim }
Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt
��� � � � � � �� ��
= 5 · lim (12 + Δt) = 5 · (12 + 0) = 60
Δt → 0
Zum Zeitpunkt t0 = 6 Sekunden hat der Körper eine Geschwindigkeit von 60 m/s.
Dimensionen, Mathematik 7
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GK
GK
Differentialrechnung
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x Definition
Beschreibt eine reelle Funktion s: t ° s (t) die Abhängigkeit des Weges s von der Zeit t
und existiert für den Zeitpunkt t0 der Grenzwert lim
Δt → 0 Δs
}
Δt
Δt → 0
s (t0 + Δt) – s (t0) }
Δt
= lim
= s 9(t0),
so wird dieser Grenzwert als die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 bezeichnet
und mit s 9 (t0) (sprich: s Strich von t0) beschrieben.
147 Berechne für den freien Fall s (t) = 5 t 2 ( t in Sekunden und s (t) in Meter ) die Momentangeschwindigkeit
zum Zeitpunkt t0 = 20.
Tangente im Punkt eines Funktionsgraphen
Im vorigen Abschnitt hast du zuerst die Steigung einer Sekante s [A; B] mithilfe des Differenzenquotienten
k = Δy
} ermittelt. Die Steigung der Tangente im Punkt A erhältst du, indem du den
Δx
Punkt B immer näher gegen A wandern lässt, also die Differenz Δx beliebig klein werden lässt.
4
3
2
1
–1 O
–1
y
A
Δx
B 1
1 2 3 4
Δy
x
4
3
2
1
–1 O
–1
y
A
Δx
B 2
Δy
1 2 3 4
x
4
3
2
1
–1 O
–1
y
A
B i
Tangente
1 2 3 4
Die Steigung der Tangente im Punkt A kann als Grenzwert der Sekantensteigungen der Sekanten
s [A, Bi] aufgefasst werden.
148 Bearbeite die Aufgaben im dynamischen Arbeitsblatt Tangentensteigung .
x Definition
Falls eine Tangente an einen Funktionsgraphen von f im
Punkt A ( x0 | f (x0) ) existiert, dann wird jene Gerade durch
A als Tangente bezeichnet, für deren Steigung gilt:
k = lim = lim
Δx = f 9 (x0) f 9(x0) ist die Kurzschreibweise für den Grenzwert.
Sprechweisen: f Strich von x0 oder Ableitung von f an der
Stelle x0.
Analog zur Sekantensteigung gilt: k = f 9(x0) = tan �
Δx → 0 Δy
}
Δx
Δx → 0 f (x0 + Δx) – f (x0)
}
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4
3
2
1
–1 O
–1
y
�
A
Tangente
1 2 3 4
x
x