Some applications of Dirac's delta function in Statistics for more than ...

AAM: Intern, J., Vol. 3, Issue 1 (June 2008) [Previously, Vol. 3, No. 1] 53
The last equality follows because of the following relation
n
( k ) ( n−k
)
n ∂
〈 ψ , δ ( x) δ ( y)
〉 = ( −1)
ψ ( x,
y)
|
k n−k
x=
0,
y=
0 .
∂x
∂y
Therefore, we have
1
f ( x,
y)
= ∑ ≤ n< ∞∑
δ
0 0≤k
< n k!
( n − k)!
n ( k ) ( n−k
)
µ k , n−k
( −1)
δ ( x)
( y)
.
Now, the non-central moment of order ( r , s)
is given by
∞ ∞
∫ ∫
−∞−∞
But, we also have
∫∫
∞ ∞
r s
r s
f ( x,
y)
x y dxdy = ∫ ∫ x y ∑ ∑
−∞−∞
0≤n< ∞ 0≤k
≤n
r s ( i)
( j)
x y δ ( x)
δ ( y)
dxdy = 0,
if i ≠ r or j ≠ s
1
k!
( n − k)!
r+ s
= ( −1)
r!
s!
, if i = r and j = s .
Therefore, the non-central moment of order ( r , s)
reduces to µ r, s .
n ( k ) ( n−k
)
µ k , n−k
( −1)
δ ( x)
δ ( y)
dxdy .
When we talk about the moment generating function in the one variable case, we have
∞
n
tX tx ( −1)
(
φ ( t)
= E(
e ) = ∫ e ∑ µ
0≤n<
∞
nδ
n!
=
=
=
−∞
n
( −1)
n!
( −1)
n!
µ n
t
n
∞
∑ µ
0≤n<
∞
n ∫
∑0≤ n<
∞
∑0 ≤n<
∞ !
n
n
−∞
e
tx
µ ( −1)
.
n
δ
n
( n)
d
dx
( x)
dx
n
n
e
tx
|
n)
x=
0
( x)
dx
In the two-variable case, the moment generating function is given by
φ ( s,
t)
∞ ∞
sX + tY
sx+
ty
= E(
e ) = ∫ ∫ e f ( x,
y)
dxdy
−∞−∞
∞ ∞
sx+
ty
1
= ∫ ∫ e ∑0≤ n< ∞∑
0≤k
< n k!
( n − k
−∞−∞
=
1
k!
( n − k)!
µ
)!
k , n−k
∞ ∞
n
∑ ∑ µ
≤ < ∞ ≤ <
− −
0 n 0 k n
k , n k ( 1)
∫ ∫
−∞−∞
n
( −1)
δ
e
sx+
ty
δ
( k )
( k )
( x)
δ
( x)
δ
( n−k
)
( n−k
)
( y)
dxdy
( y)
dxdy