圏 論 に よ る プログラミング と 論 理

圏論によるプログラミングと論理
shiatsumat (@shiatsumat)
yingtai (@__int)
172

序章 前書きに代えて
こんにちは. 皆さんは圏論 (category theory) という理論をご存知で
しょうか?
「なんて読むんですか? けんろん?」
「よくわからないけど変わった数学らしい」
「モナドという概念があって, Haskell はそれで⼊入出⼒力とかを実現してい
て, 実はそれは圏論の概念なんでしょ」
……等々, いろいろな反応があると思います.
Haskell などの関数型プログラミング⾔言語のおかげで圏論の知名度は⼀一
般のプログラマーの間でも上がってきていますが, 「モナドがあって...」
という以上の理解は⼀一般的にあまり得られていない⾯面があると思います.
また, プログラミングにおける圏論の応⽤用にはさらに⾯面⽩白い側⾯面があるの
ですが, その部分はほとんど注⽬目されていないように思えます. その上,
圏論に関するプログラマーのための⽂文献は少なく, せっかく興味を持って
も勉強しづらいというのが現状でしょう.
この現状を憂えたわたしたちは, 圏論に関する総括的な⼊入⾨門記事を書く
ことにしました. また同時に, 論理やラムダ計算, プログラムの再帰構造
などについても解説しており, 全体として関数型プログラミングの理論的
な基礎を⼀一から学べるようになっています. この記事が皆さんの理解の⼀一
助となれば幸いです.
記事の構成
この記事は 3 部構成です. それぞれ「基礎理論」, 「圏論とプログラミ
ング」, 「圏論と論理学」と題しています.
第Ⅰ部では, 圏論について学ぶ前に押さえておくべきことを解説します.
まず初めに, 集合や写像, 論理などのごく基礎的な知識を第 1 章で扱い
ます. 読んでいてわからない⽤用語などがあれば, 適宜ここを⾒見返すとよい
でしょう.
第 2 章ではラムダ計算について扱います. 特に単純型付きラムダ計算
(λ→) とその拡張を形式的に定義します.
173

第 3 章では, プログラミングにおけるデータ型を理論的側⾯面から⾒見てい
きます. 例えばデータ型の構成やプログラム再帰といった概念はどのよう
に抽象的な仕⽅方で捉えられるかといったことについて解説します. これら
は後の圏論とプログラミングの関係に直結する内容といえます.
第Ⅱ部はこの記事の中⼼心となる部分です. ここでは圏論とそのプログラ
ミングにおける応⽤用について, 第Ⅰ部の内容を参照しながら解説します.
第 4 章では圏論の基礎について解説します. この章を読めば, 後の圏論
に関する章もスムーズに理解できるでしょう.
第 5 章では, CPL という⾔言語を通して, 圏論とプログラムの関係を概観
します.
第 6 章では, 圏論から⾒見たプログラムにおける再帰構造について解説し
ます. 第 3 章で扱った計算理論が圏論を使うと綺麗に表せることが分かる
でしょう.
第 7 章ではモナドとクライスリ圏について説明します.
第Ⅲ部では, 論理と圏論との関係について解説します.
第 8 章では, 第 1 章で簡単に扱った論理の基礎についてきちんと解説
します. ここでは圏論の知識は前提としません.
第 9 章では論理とプログラムの関係について扱います. まず 8 章で扱
った「直観主義論理」について少し掘り下げていき, そこから論理とプロ
グラムの対応関係を⾒見出した後, 圏論的な視点からその共通構造を⾒見てみ
ます.
各章の依存関係は下図のようになっています.
174

実線の⽮矢印は「A の章で説明したことを B の章で⽤用いている」ことを表
します. 破線の⽮矢印は「A の章を読むと B の章がよりスムーズに理解でき
る」ことを表します.
凡例
初出語は「真 (truth, true)」のように, 太字で表記した後英語での表
記を添えます. また初出の⼈人名は「バートランド・ラッセル (Bertrand
Arthur William Russell, 1872-1970)」のように, ⽇日本語表記とアルファ
ベット表記, ⽣生没年を記します.
諸注意とお願い
この記事は主にプログラマー, 特に Lisp 系⾔言語や ML 系⾔言語, Haskell,
Erlang, F# のいずれかによる関数型プログラミングにある程度慣れてい
る⼈人を対象としています. 特に 3, 5, 6 章はそれらの知識を前提します.
数学の予備知識や圏論の基礎, 論理に関する章はプログラミングをしない
⼈人も読み物として楽しめるようになっていると思います.
また, この記事はさまざまな話題を「広く浅く」扱うことを⽅方針として
書かれています. そのため, 必ずしも内容を深く掘り下げているわけでは
ありません. 各トピックについてのより深い理解のためには, 記事の最後,
参考⽂文献の章で案内されている資料が参考になるかと思います.
謝辞
酒井政裕先⽣生は計算機科学と圏論について多くのことを教えてくださ
いました. 本当にありがとうございました.
175

目次
序章 前書きに代えて
記事の構成
凡例
諸注意とお願い
謝辞
文字一覧
第Ⅰ部
基礎理論
第 1 章 数学の予備知識
集合論の基礎
写像の基礎
濃度
論理学の基礎
関係
公理的集合論
クラス
宇宙
第 2 章 ラムダ計算
計算理論とは何か
ラムダ計算
単純型付きラムダ計算
カリースタイルによるλ→の定義
型の置換
簡約
カリースタイル/チャーチスタイル
チャーチスタイルによるλ→の定義
直和/直積
ユニット型/ボトム型
第 3 章 データ型の構成
代数的データ型
再帰的データ型
最⼩小不動点と最⼤大不動点
176
第Ⅱ部
圏論とプログラミング
第 4 章 圏論の基礎
圏の定義
意味を忘れる
意味をあたえる
コラム さまざまな圏
図式
双対
関⼿手
⾃自然変換
コラム 圏論の歴史
ひとしさ
重なりあう圏
コラム さまざまな圏 2
集合論をほどく
随伴関⼿手
コラム 圏論と集合論
第 5 章 圏論プログラミング言語
圏論プログラミング⾔言語
開発環境の導⼊入
データ型の定義
双代数
圏論的データ型
さまざまなデータ型
プログラムの記述
開発環境の使い⽅方
関数との格闘
楽しいプログラミング
データ型の整理
より多くのデータ型
どうして動くのか
まとめ
第 6 章 圏論と再帰
代数
代数の圏

余代数
余代数の圏
CPL を思いだす
カタモーフィズム
アナモーフィズム
有限と無限
ハイロモーフィズム
パラモーフィズム
アポモーフィズム
第 7 章 モナドとクライスリ圏
モナド
Haskell のモナド
クライスリ圏
モナドとクライスリ三つ組
コラム 圏論と哲学
第Ⅲ部
論理と圏論
第 8 章 論理の基礎
論理とは何か (再考)
統語論と意味論
⼀一階命題論理の統辞論
⼀一階命題論理のモデル論的意味論
⼀一階述語論理の統辞論
⼀一階述語論理のモデル論的意味論
証明論
コンビネータ論理 SK
最⼩小論理 HM
直観主義論理 HJ
古典論理 HK
演繹と証明
⾃自然演繹
シークエント計算
第 9 章 論理と計算と圏
直観主義論理
ブラウワーの直観主義
BHK 解釈
177
カリー=ハワード同型対応
圏論とカリー=ハワード同型対応
双デカルト閉圏
具体的な対応
古典論理への拡張
さまざまな対応
文献紹介
記号一覧

文字一覧
ギリシア文字 (Greek alphabet)
⼤大⽂文字 ⼩小⽂文字 特殊な
⼩小⽂文字
⽇日本語読み ギリシア語
読み
英語表記
Α α アルファ アルファ alpha
Β β ベータ ヴィタ beta
Γ γ ガンマ ガマ gamma
Δ δ デルタ ゼルタ delta
Ε ε ϵ エプシロン エ・プシロン epsilon
Ζ ζ ゼータ ジタ zeta
Η η イータ イタ eta
Θ θ ϑ シータ シタ theta
Ι ι イオタ ヨタ iota
Κ κ カッパ カパ kappa
Λ λ ラムダ ラムザ lambda
Μ µμ ミュー ミ mu
Ν ν ニュー ニ nu
Ξ ξ グザイ クシ xi
Ο ο オミクロン オ・ミクロン omicron
Π π ϖ パイ ピ pi
Ρ ρ ϱ ロー ロ rho
Σ σ ς シグマ シグマ sigma
Τ τ タウ タフ tau
Υ υ ユプシロン イ・プシロン upsilon
Φ φ ϕ ファイ フィ phi
Χ χ カイ ヒ chi
Ψ ψ プサイ プシ psi
Ω ω オメガ オ・メガ omega
黒板太字 (blackboard bold)
178

文字一覧
ギリシア文字 (Greek alphabet)
⼤大⽂文字 ⼩小⽂文字 特殊な
⼩小⽂文字
⽇日本語読み ギリシア語
読み
英語表記
Α α アルファ アルファ alpha
Β β ベータ ヴィタ beta
Γ γ ガンマ ガマ gamma
Δ δ デルタ ゼルタ delta
Ε ε ϵ エプシロン エ・プシロン epsilon
Ζ ζ ゼータ ジタ zeta
Η η イータ イタ eta
Θ θ ϑ シータ シタ theta
Ι ι イオタ ヨタ iota
Κ κ カッパ カパ kappa
Λ λ ラムダ ラムザ lambda
Μ µμ ミュー ミ mu
Ν ν ニュー ニ nu
Ξ ξ グザイ クシ xi
Ο ο オミクロン オ・ミクロン omicron
Π π ϖ パイ ピ pi
Ρ ρ ϱ ロー ロ rho
Σ σ ς シグマ シグマ sigma
Τ τ タウ タフ tau
Υ υ ユプシロン イ・プシロン upsilon
Φ φ ϕ ファイ フィ phi
Χ χ カイ ヒ chi
Ψ ψ プサイ プシ psi
Ω ω オメガ オ・メガ omega
黒板太字 (blackboard bold)
178

第Ⅰ部
基礎理論
180

第1章 数学の予備知識
この章では, 圏論の基礎を学ぶ前に知っておくべき数学の基礎的な⽤用語
や記号などを紹介します. 直感的に理解できる内容なので, 難しい部分も
少し粘ればわかると思います.
とはいえ, この章は結構⻑⾧長いです. 勢いあまってこれからの話題にさほ
ど関係がないことまで書いているので, 分からないことがあっても気にせ
ず, 気楽に読んでください. 他の章で⾏行き詰まったときも, この章に戻っ
てきたらスムーズに理解できるかもしれません.
集合論の基礎
集合論 (set theory) は集合 (set) という同種のものの集まりに関す
る理論です. 集合は場合によっては系 (system), 族 (family) ともいい
ます. 集合の集合は集合族 (family of sets) と呼ぶことが多いです.
集合を構成するそれぞれの数学的対象を 元 または要素 (element,
member) といいます. x が集合 A の元であることを「x は A に属する (x
belongs to A)」もしくは「A は x を (元として) 含む (A contains x (as an
element) )」といい,

第1章 数学の予備知識
この章では, 圏論の基礎を学ぶ前に知っておくべき数学の基礎的な⽤用語
や記号などを紹介します. 直感的に理解できる内容なので, 難しい部分も
少し粘ればわかると思います.
とはいえ, この章は結構⻑⾧長いです. 勢いあまってこれからの話題にさほ
ど関係がないことまで書いているので, 分からないことがあっても気にせ
ず, 気楽に読んでください. 他の章で⾏行き詰まったときも, この章に戻っ
てきたらスムーズに理解できるかもしれません.
集合論の基礎
集合論 (set theory) は集合 (set) という同種のものの集まりに関す
る理論です. 集合は場合によっては系 (system), 族 (family) ともいい
ます. 集合の集合は集合族 (family of sets) と呼ぶことが多いです.
集合を構成するそれぞれの数学的対象を 元 または要素 (element,
member) といいます. x が集合 A の元であることを「x は A に属する (x
belongs to A)」もしくは「A は x を (元として) 含む (A contains x (as an
element) )」といい,

ここでタプル (tuple) という概念を導⼊入しておきます. タプルとは順
序のついた列のことです. n 個の要素からなるタプルを n タプル, n 組
(n-tuple) といい,

ここでタプル (tuple) という概念を導⼊入しておきます. タプルとは順
序のついた列のことです. n 個の要素からなるタプルを n タプル, n 組
(n-tuple) といい,

写像 f, g について

これまで⾒見てきた写像は⼀一つの変数 x のみによって値が決定されまし
た. しかし, 複数の変数によって値が決定される写像もあります. これを
多変数写像 (multi-input mapping) といいます. これは集合の直積を始
域とする写像だと解釈できます. たとえば

な濃度です.
論理の基礎
論理学 (logic) は⼀一般的に⾔言って, 思考の法則, 論理に関する学問で
す. 特にこの記事では, いわゆる数理論理学 (mathematical logic), つま
り記号論理 (symbolic logic) を扱う論理学について触れたいと思います.
記号論理とは⽂文字通り, 数学的な記号を使って論理を表現するものです.
記号論理の体系にはいろいろなものがありますが, ここではいわゆる古典
論理 (classical logic), つまり中学/⾼高校で習う範囲の論理を形式化した
ものを紹介します.
古典論理には⼤大別して 2 種類あります. すなわち命題論理と, それを拡
張した体系である⼀一階述語論理です.
命題論理 (propositional logic) は, 命題 (proposition) を「 か つ 」「 ま
たは」「ならば」などの関係で結びつけた命題を調べるものです. 命題とは,
真 (true, truth) または偽 (false, falsefood) である⽂文のことです.
「1+1=2」「

分条件 (necessary and sufficient condition)」

「すべての」「ある」という表現によって, 命題の条件を満たすものの「量」
を指定することを量化 (quantification) といい, 量化のための記号を量
化子 (quantifier) といいます. ⼀一階述語論理では, 以下の 2 種類の量化
⼦子によってものを量化します.
・ 全称量化子 (universal quantifier) は ∀ と書き表します.
∀

右全域的 (right-total) ∀

ックスがあります. 発⾒見者であるバートランド・ラッセル (Bertrand
Arthur William Russell, 1872-1970) が名前の由来です. これは次の
ようなパラドックスです:
素朴集合論においては, 「⾃自分⾃自⾝身を元として含まない集合」とい
う概念が考えられる. ここで「⾃自分⾃自⾝身を元として含まない集合」す
べてからなる集合

冪集合の公理 (axiom of power set)
任意の集合 A に対して A の冪集合 (A の部分集合全体の集合) が存
在する.
置換公理 (axiom schema of replacement)
関数クラスφによる集合 A の像となる集合 B が存在する.
∀

(universe) といいます.
すべての集合の集まりは真のクラスとなってしまいます. そこで, すべ
ての集合の集まりのような振る舞いをしながらそれ⾃自⾝身も集合であるグ
ロタンディーク宇宙 (Grothendieck universe)というものを考えます. ア
レクサンドル・グロタンディーク (Alexander Grothendieck, 1928-) が
名前の由来です.
数学的な定義を紹介しておきます. 集合

第 2 章 ラムダ計算
計算機科学における圏論を学ぶ前に知っておくべきこととして, ラムダ
計算, 特に単純型付きラムダ計算について説明します. 型付きラムダ計算
は直接的に関数プログラミングに関わるモデルでもあります.
この章では, まずラムダ計算について概説した後, カリースタイルおよ
びチャーチスタイルによるラムダ計算の形式的定義を紹介します. 第 8 章
を先に読むと, この章の理解がよりスムーズになるかもしれません.
計算理論とは
計算理論 (theory of computation) とは, 計算モデル (model of
computation) やアルゴリズムを理論的に扱う, 計算機科学の⼀一分野を指
します. 計算 (computation) と は コンピュータで 扱える情報処理
(information processing) のことです. 計算モデルとは⽂文字通り, コンピ
ュータを抽象化したモデルのことをいいます.
ラムダ計算とは
ラムダ計算 (lambda calculus) は計算モデルの 1 つで, 関数の定義と
実⾏行を抽象化した体系です. 「1 つ」と⾔言っても実際には⾊色々な種類があ
り, 例えば型なしラムダ計算, 単純型付きラムダ計算, およびそのさまざ
まな拡張 (λ-cube など) がこれに含まれます. この記事ではこれらの拡
張について深く⽴立ち⼊入ることはせず, 単純型付きラムダ計算とその簡単な
拡張だけを扱います.
この分野では特に, 「写像」ではなく「関数」という語を使⽤用します.
ラムダ計算では, 関数をラムダを使った記法で表記します. 例えば, 関
数

とみなします.
たとえば定義域と値域が⾃自然数である 2 変数関数

α-変換は束縛変数の名前は置換できることを意味し, β-簡約は関数の
適⽤用を意味します. そして, η-変換は関数の外延性を意味します. それぞ
れの変換によって同値となるような項の関係を, それぞれ α-同値, β-同
値, η-同値 (*-equivalence) と呼びます.
単純型付きラムダ計算 (simply typed lambda calculus) , あるいは λ
→ は, ラムダ計算に型 (type) という概念を導⼊入したものです. これは
Int や Bool, String といったプログラムにおけるデータ型にあたるもので
す. 論理における

α-変換は束縛変数の名前は置換できることを意味し, β-簡約は関数の
適⽤用を意味します. そして, η-変換は関数の外延性を意味します. それぞ
れの変換によって同値となるような項の関係を, それぞれ α-同値, β-同
値, η-同値 (*-equivalence) と呼びます.
単純型付きラムダ計算 (simply typed lambda calculus) , あるいは λ
→ は, ラムダ計算に型 (type) という概念を導⼊入したものです. これは
Int や Bool, String といったプログラムにおけるデータ型にあたるもので
す. 論理における

例えば任意の型

Γ ⊢

ルで既に対応する定義がなされたものは省きます. 以後, λ→ やその拡張
は基本的にチャーチスタイルによって構成されたものを扱います.
定義
1. V を 変数の集合, Π を型の集合とします. このとき, 擬項
(pseudo-terms) Λ !を以下の⽂文法で定義します.
Λ ! ∷= V λx: Π. Λ ! (Λ ! Λ !)
2. 型付け可能性の関係 ⊢ をカリースタイルと同様に定義します.
3. λ→ は (Λ !, Π, ⊢) の三つ組です.
厳密には, ここで擬項として定義したものは前擬項
(pre-pseudo-terms) であり, ここから置換とα-同値とを定義した後に
擬項を定義する必要がありますが, ここでは省略します.
自由変数
fv

表します. また関係 = ! (β-同値) は → ! の同値閉包です.
λ→ において, すべての項は有限回のβ-簡約によって, 簡約の⼿手順に
関わらず正規形になり, 停⽌止します. これを強正規化定理 (strongly
normalization theorem) と呼びます. これは λ→ が計算モデルとして
チューリング不完全であることを意味します.
直和/直積
λ→ に直和と直積を導⼊入した体系を考えましょう.
1. まず Λ ! を次のように拡張します:
Λ ! ∶≔ ⋯ Λ !, Λ ! π ! Λ ! | π ! Λ !
| in ! !!! Λ! | in ! !!! Λ! | case(Λ !; V. Λ !; V. Λ !)
2. 次に以下の 6 つの型付け規則を追加します.
! ⊢ !: ! ! ⊢ !: !
! ⊢ !,! ∶ !×!
! ⊢ !: !
! ⊢ !" !!!
! ! ∶ !!!
! ⊢ !: !×!
! ⊢ ! ! ! : !
! ⊢ !: !
! ⊢ !" ! !!! ! ∶ !!!
! ⊢ !: !!! !,!:! ⊢ !:! !,!:! ⊢ !:!
! ⊢ !"#$ !;!.!;!.! :!
3. 最後に簡約規則を追加します.
a. π !

す.

第 3 章 データ型の構成
前章では単純型付きラムダ計算について概説しましたが, この章では型
についてさらに掘り下げます.
代数的データ型
関数型プログラミング⾔言語では, 新たなデータ型の定義に代数的データ
型 (algebraic data type) と呼ばれるものを⽤用います. ここでは Haskell
の代数的データ型を例に取ります. 次のようにして (⽚片⽅方向の) リストを
定義できます.
data List a = Cons a (List a) | Nil
代数的データ型には型の引数を持たせることができます. List は引数で
ある型 a を受け取って初めて型になるので, ⼀一種の関数のようなものだと
考えられます. たとえば List Int は Int 型の要素を持つリストのことです.
また, Cons や Nil というのはデータを構築するためのもので, データ構
築子 (data constructor) といいます. Cons の場合, 型 a の値と型 List a
の値を元にして新たに型 List a のデータを作ります. Nil の場合, 何も受け
取らずにデータを作ります. Cons や Nil もやはり⼀一種の関数のようなもの
だと考えられます.
代数的データ型を使う際, 多くの⾔言語においてパターンマッチ
(pattern matching) が可能です. この機能によって, データを「パターン」
として⾒見ることができます. たとえば, リストの⼀一番初めの値を得たくて,
なおかつリストが空だったときにデフォルト値を得たいというような場
合, Haskell では
headOrDefault :: a -> List a -> a
headOrDefault d (Cons x xs) = x
headOrDefault d Nil = d
と書けばいいです.
代数的データ型の特殊なものとして, 直積と直和が考えられます.
-- a×b
data Prod a b = Pair a b
fst' :: Prod a b -> a
fst' (Pair x y) = x
snd' :: Prod a b -> b
203

snd' (Pair x y) = y
-- a+b
data Coprod a b = Inl a | Inr b
case' :: (a->c) -> (b->c) -> Coprod a b -> c
case' f g (Inl x) = f x
case' f g (Inr y) = g y
直積と直和は 2 章でラムダ計算に導⼊入したものと同じで, 集合論的な直積
と直和にそれぞれ対応しています. Haskell においては, 直積と直和はそ
れぞれタプルと Either 型にも対応しています. ⽇日常的にはこちらを使う
ことが多いでしょう.
fst :: (a,b) -> a
fst (x,y) = x
snd :: (a,b) -> b
snd (x,y) = y
data Either a b = Left a | Right b
either :: (a->c) -> (b->c) -> Either a b -> c
either f g (Left x) = f x
either f g (Right y) = g y
いずれも標準で定義されています.
代数的データ型は⼀一般に, 直積の直和であるといえます. 例えば
data List a = Cons a (List a) | Nil
は実質的には List

いので, 有限時間で計算を終えるプログラムを書くことができます.
⼀一般に, 再帰は不動点として表されます. List a は
data L a x = Cons a x | Nil
というデータ型があるとき L a の不動点となります. つまり L a x = x とな
るような x が List a にあたるのです. 再帰を不動点として扱うことは理論
的な扱いの上でかなり重要です.
実際, Haskell でもうまくデータ型を定義することで不動点を再現する
ことができます.
newtype Fix f = Fix (f (Fix f))
data L a x = Cons a x | Nil
type List a = Fix (L a)
多少扱いが⾯面倒になりますが, これでもちゃんと扱えるデータを定義でき
ます. たとえば先ほどの zeroForever は以下のようになります.
zeroForever :: List Int
zeroForever = Fix (Cons 0 zeroForever)
なお, 再帰的なデータ型のうち, 単純な⽅方法で不動点を使うことでは表
せないようなものもあります.
data CrazyList a
= CrazyCons a (CrazyList (a,a))
| CrazyNil
CrazyList a の定義の中でデータ構築⼦子の定義において CrazyList (a,a)と
いう形で登場しており, Fix で定義するのが難しくなっています. このよ
うなデータ型を非正則なデータ型 (non-regular data type) といいます.
これ以降は, この記事では⾮非正則なデータ型は扱いません.
最小不動点と最大不動点
再帰的な型を不動点で表しましたが, 実は不動点は⼀一つとは限りません.
不動点の中で, 型の⼤大きさ (集合としての濃度) が⼀一番⼩小さいものを最⼩小
不動点といい, ⼀一番⼤大きいものを最⼤大不動点といいます.
集合論上普通に解釈すれば, 最⼤大不動点は無限のデータ構造を含む型で,
最⼩小不動点は有限のデータ構造しか持たない型です.
しかしながら, Haskell においては事情が特殊で, 有限のみのリストか
らなる型は実際には定義できません. なので, 最⼩小不動点も無限のデータ
構造を含むものとなり, 最⼩小不動点と最⼤大不動点は同じになるのです.
205

第Ⅱ部
圏論とプログラミング
206

第 4 章 圏論の基礎
いよいよ圏論の話をしていきます. ここまで⻑⾧長い道のりでしたね. しか
し⾯面⽩白いのはここからです. 楽しみながら読み進めてください.
さっそく, 圏を定義していきます. そのあと, そこから考えられる⾊色々
な概念について説明します. 最初はよくわからないかもしれませんが, 読
み進めるうちに少しずつわかってくるはずです.
圏の定義
圏 (category)

4. 対象 B について, 恒等射 (identity morphism) id !:

ここまで読んで, 「圏とは何か」「 対象とは何か」「 射とは何か」がよく
わからないな, という印象を受けたかもしれません. しかし, ここでは意
味などどうでもいいのです. 意味をいったん忘れることが, 圏論を理解す
る助けになります. というのも, 圏論の⾯面⽩白さは, 具体的な「意味」のな
い「抽象的な世界」を扱うところにあるのです.
普段私たちが数学について (あるいはプログラムについて) 考えるとき,
どうしても集合と写像の⾔言葉に頼ってしまいます. しかし, これから学ん
でいく圏論的なものの⾒見⽅方を⾝身に着けると, それまで関係のなかったよう
にみえたいくつもの概念が⾃自然な形で結びついて⾒見えます. 「本質が⾒見え
る」と⾔言っても過⾔言ではありません.
数学は, 似ている物事を抽象化し, まとめて扱えるようにする学問であ
るといえます. 圏論的なものの⾒見⽅方はこの意味で, ⾒見た⽬目以上に強⼒力なの
です.
意味をあたえる
とはいえ, この記事で扱うのは計算機科学における圏論です. 抽象的
なことはやはり難しいので, 具体的な圏を考えていきましょう.
ここからは⼀一つの⼗十分⼤大きいグロタンディーク宇宙

コラム さまざまな圏
Set 以外のさまざまな圏をここで紹介しておきます.
空圏 (empty category) とは対象が存在しない圏のことです. 当
然ながら射も存在しません. 離散圏 (discrete category) とは各対象
の恒等射以外に射が存在しない圏のことです.
痩せた圏 (thin category) とは任意の対象 A,B について A から B
への射が 0 本か 1 本しかないような圏のことです. 射 f:A→B は単に
順序対 ⟨

図式
さて, すでに圏論の定義で使った図式について説明します.
圏 C 上の図式 (diagram) D は, C の対象を頂点で, 射を⽮矢印で表したも
のです.
図式にある射だけで合成射を作ることができます. 図式にもともとある
射と新しく作った合成射を合わせた射のあいだで, 始域と終域が同じ射ど
うしは必ず等しいとき, その図式は可換 (commutative) であるといいま
す. 図式が可換であることは, 中に左回りの⽮矢印を書き⼊入れて表します.
たとえば図式
が可換であるとは ℎ ∘

双対は 2 つのものの表と裏, あるいは左と右のような関係です. 圏論で
はさまざまな概念に明確な双対の関係を⾒見いだすことができ, それが圏論
の強みの⼀一つとなっています.
関手
関手 (functor), もしくは共変関手 (covariant functor) とは, 圏か
ら圏への写像のようなものです. 圏 C から圏 D への関⼿手 F を F:C→D と
書き表します. 関⼿手は対象に関する写像と射に関する写像からなります.
このような関⼿手 F について,
1. 圏 C の射

⼀一⽅方, 関⼿手 F,F’:C→D と G,G’:D→E があるとき, ⾃自然変換α:F→F’とβ:G
→G’について, その2つの水平合成 (horizontal composite)

コラム 圏論の歴史
圏論が歴史的にどのような発展を遂げてきたかについて少し話し
たいと思います.
圏論が数学に初めて導⼊入されたのは 1940 年代のことで, サミュエ
ル・アイレンベルグ (Samuel Eilenberg, 1913-1998) とソーンダー
ス・マックレーン (Saunders Mac Lane, 1909-2005) によって, 代数
的位相幾何学という分野での研究の⼀一部として始まりました.
その後, ホモロジー代数という分野にも役⽴立つことが知られるよう
になりました. この分野にはアーベル圏や導来圏などの話題が出てき
ます. また, 代数的幾何学という分野にも有⽤用であることがわかりま
した. さらには普遍代数の拡張にもつながり, ⾼高階論理の表現などに
役⽴立っています.
数学だけでなく, 数学の外の科学の分野でも圏論は使われていま
す. たとえば物理学において, 数理物理学者のジョン・バエズ (John
C. Baez, 1961-) が素粒⼦子のふるまいを記述する図であるファインマ
ン・ダイアグラムとモノイダル閉圏の関係を⽰示しました. また, ブレ
イドつきモノイダル圏も場の量⼦子論やひも理論で応⽤用されています.
計算機科学においても, 単純型付きラムダ計算という計算体系がデ
カルト閉圏という圏によって説明できることなどがわかっており, 計
算をモデル化するのに圏論が⼤大いに役⽴立っています. クライスリ圏,
いわゆるモナドがプログラムの形式化に役だっている, ……という話
は, まさしくこの記事の主題です.
また, 圏論においてはモノイダル圏や三⾓角圏や⾼高次の圏などのバリ
エーションも⽣生まれています. ⾼高次の圏は, 対象が 0 次元, 射が 1 次
元といえるのに対し, より⾼高次元なものを扱うための道具です.
実に圏論は, さまざまな応⽤用, 拡張がなされてきた分野なのです.
214

1. 圏 C の射

自然変換 (natural transformation) とは, 関⼿手から関⼿手への写像の
ようなものです. ただし関⼿手どうしは, 始域が等しく終域も等しくなけれ
ばなりません.
関⼿手 F,G:C→D について, F から G への⾃自然変換αを

ひとしさ
圏論では, いろいろなレベルでの「ひとしさ」を考えます. それぞれの
ひとしさを⽐比べてみましょう.
まず, 相等 (equality). これは単純にイコール「=」の関係です. 相等
は対象, 射, 圏, 関⼿手, ⾃自然変換… あらゆるものについて考えられます.
相等は⼀一番強い意味でのひとしさです. しかし, もっと弱い意味のひとし
さも⼤大事なのです.
同型 (isomorphism) とは, ⾒見た⽬目は異なるけれども, 内部の構造はま
ったく同じであることです.
たとえば射 f:A→B について

ら D への同値な関⼿手が存在するとき, 圏 C と D は同値 (equivalent) であ
るといいます. 圏 C と圏 D の双対が同値であるとき, 圏 C と D は反変同値
(contravariantly equivalent) もしくは双対的に同値 (dually
equivalent) であるといいます. なお, 圏 C とその双対が同値であるとき,
圏 C は自己双対 (self-dual) であるといいます.
A から B への準同型 (homomorphism) があるとは, A の構造が B の構
造(の⼀一部)として解釈できることです. A から B への準同型があっても B
から A の準同型があるとは限りません. A から B への準同型と B から A へ
の準同型があることと, A と B は同型であることは, 同値です.
重なりあう圏
圏 C と圏 D があるとき,
1. ob ℰ = ob

双関⼿手の重要な例のひとつが hom 関手 (hom-functor) です. これは
hom 集合の拡張にあたるものです.
局所的に⼩小さい圏 C を考えます. 関⼿手

コラム さまざまな圏2
圏 C,D における関⼿手の圏 Func(

コンマ圏は重要な圏です. なお, 圏 C の射の圏は (Id

要素は集合 A のいずれかの元にあたります.
射 f:A→Bが任意の射 g,h:B→C について

を満たす対象のことです. 直積は同型を除いて⼀一意に存在します.
圏 C における直積「×」は双関⼿手

を満たす対象のことです. 直和は同型を除いて⼀一意に存在します. 直和は
直積の双対です.
圏 C 上の直和「+」も双関⼿手

を満たす対象のことです. 冪対象は同型を除いて⼀一意に存在します. なお,
eval は値付け (evaluation arrow) , ℎ は h の転置 (transpose) といい
ます.
Set において, 冪対象 (exponential object)

が存在するとき,

コラム 圏論と集合論
ここまで読んで, 「圏論も結局は集合論の⾔言葉で書かれてるじゃん」
と思った⼈人もいるかもしれません. 集合論を使って考えるのが分かり
やすいので, ここでは圏論の説明に⽤用いましたが, 実際は圏の世界を
集合論と関係のない公理を使って描くことは可能です. 「射の集合」
「対象の集合」などの概念を使わずに議論すればいいのです. もちろ
ん技術的な難しさはいろいろありますが, なんとかなります.
さらに, 圏論に基づいて集合論を体系化しようという動きもありま
す. ある⽅方法では, 初等トポス (elementary topos) という圏を使い
ます. 初等トポスとは,「終対象・引き戻し (pullback)・真理値の対象・
『真』の射・冪対象 (この章で紹介したものとは違い, 冪集合に近い) 」
を持つものです. 詳しい説明は省略します. この初等トポスに
「well-‐‑‒pointed である・選択公理を持つ・⾃自然数対象を持つ」という
性質を付加したものを集合の圏とする, つまり対象を集合とし, 射を
写像とする, ということです. こうして定義された集合は, ZF 公理系
で定義される集合の⼀一部となります. 残念ながら, すべてではないの
です. それでも, これから圏論が数学の有⼒力な基礎論として使われる
可能性は⼗十分にあると思います.
227

第 5 章 圏論プログラミング言語
ではいよいよ, 圏論を使ってプログラミングをしていきましょう. この
章では, 圏論プログラミング⾔言語を学び, この⾔言語を通して, 圏論を使っ
てどのようにプログラミングができるかを⾒見ていきます.
圏論プログラミング言語
圏論プログラミング言語 (Categorical Programming Language, CPL)
は, 1987 年に萩野達也教授が発案したプログラミング⾔言語です. CPL では,
プログラムを純粋に圏論の概念だけで記述します. 単純な⽂文法でありなが
ら, ⾮非常に幅広い概念を記述できます.
開発環境の導入
CPL の実⾏行環境として, 酒井政裕⽒氏によって Haskell で実装されたイン
タプリタがあります. これは Hackage から簡単にインストールできます.
http://hackage.haskell.org/package/CPL
まず, Haskell のコンパイラをインストールしておきましょう. Haskell
Platform を導⼊入することをお勧めします.
http://www.haskell.org/platform/
Hackage のライブラリをインストールするには, ⼿手動でする⽅方法もあり
ますが, cabal というパッケージ管理システムを使うほうが便利です.
cabal は Haskell Platform に標準装備されています.
$ cabal install cpl
した後, cpl コマンドでインタプリタを起動できるようになります.
(Windows の場合は C:¥Users¥***¥AppData¥Roaming¥cabal¥bin に
実⾏行ファイルが⼊入っています.)
データ型の定義
ではいよいよ, CPL の⽂文法について⾒見ていきましょう.
CPL で定義するデータ型には「左データ型」と「右データ型」があり, そ
れぞれ以下のように定義します.
[左データ型]
left object

第 5 章 圏論プログラミング言語
ではいよいよ, 圏論を使ってプログラミングをしていきましょう. この
章では, 圏論プログラミング⾔言語を学び, この⾔言語を通して, 圏論を使っ
てどのようにプログラミングができるかを⾒見ていきます.
圏論プログラミング言語
圏論プログラミング言語 (Categorical Programming Language, CPL)
は, 1987 年に萩野達也教授が発案したプログラミング⾔言語です. CPL では,
プログラムを純粋に圏論の概念だけで記述します. 単純な⽂文法でありなが
ら, ⾮非常に幅広い概念を記述できます.
開発環境の導入
CPL の実⾏行環境として, 酒井政裕⽒氏によって Haskell で実装されたイン
タプリタがあります. これは Hackage から簡単にインストールできます.
http://hackage.haskell.org/package/CPL
まず, Haskell のコンパイラをインストールしておきましょう. Haskell
Platform を導⼊入することをお勧めします.
http://www.haskell.org/platform/
Hackage のライブラリをインストールするには, ⼿手動でする⽅方法もあり
ますが, cabal というパッケージ管理システムを使うほうが便利です.
cabal は Haskell Platform に標準装備されています.
$ cabal install cpl
した後, cpl コマンドでインタプリタを起動できるようになります.
(Windows の場合は C:¥Users¥***¥AppData¥Roaming¥cabal¥bin に
実⾏行ファイルが⼊入っています.)
データ型の定義
ではいよいよ, CPL の⽂文法について⾒見ていきましょう.
CPL で定義するデータ型には「左データ型」と「右データ型」があり, そ
れぞれ以下のように定義します.
[左データ型]
left object

す.
なお, 右データ型にはもう⼀一種類の定義⽅方法がありますが, それについ
ては後述します.
さて, これから圏論の⾔言葉を⽤用いてデータ型を定義していきます. その
準備として, 双代数という概念を定義します.
双代数
圏 C,D と関⼿手 F,G:C→D があるとします.
このとき, 圏 C の対象

なお, この圏は第 3 章のコラムで紹介したコンマ圏の特殊な場合です.

右データ型においては, G,H-終双代数が

直積は
right object Prod(A,B) with pair is
fst: Prod -> A
snd: Prod -> B
end object;
と定義できます.

さて, ここでもう⼀一つ右データ型の定義の⽅方法を紹介します. 基本的に
はこれまでに紹介したものと変わりません. 右データ型は

zero: 1 -> Nat
succ: Nat -> Nat
end object;
と定義できます.

foldr

パラメータ化された⾃自然変換を取り扱うのです.
たとえば
Prod

element) は型 A の要素のうち, ある「正規化 (regularize)」されたもの
をいいます. 処理系は要素をデータに正規化し終えたことをもって計算の
終了を判断します.
具体的には CPL のデータ c は,

しかし, 冪対象を使えばより柔軟に関数を扱えます. 冪対象を使う上で
のテクニックも後に紹介します.
さて, やっと CPL でプログラミングをする準備ができました. CPL の開
発環境の使い⽅方に慣れつつ, プログラミングをしていきましょう.
開発環境の使い方
まず, CPL を起動しましょう.
Categorical Programming Language (Haskell version)
version 0.0.6
Type help for help
cpl>
と表⽰示されます.
edit というコマンドで編集モードになります. たとえば
cpl> edit
| left object F(X) with P is
| a:X->F
| end object;
と⼊入⼒力すると
left object F(+) is defined
という出⼒力が返り, 無事データ型が定義できます. 出⼒力中の「+」は, そこ
に⼊入るのが共変関⼿手であることを表します. ⽂文末のセミコロンを忘れない
ようにしましょう.
直積を定義すると
right object Prod(+,+) is defined
と表⽰示されます.
また, 冪を定義すると
right object Exp(-,+) is defined
と表⽰示されます. 「-」は逆に, 反変関⼿手であることを表します.
ブール値と⾃自然数とリストも定義しておきます.
...
left object Bool is defined
...
left object Nat is defined
...
left object List(+) is defined
射の定義も編集モードで書くことができますが, 単⼀一⾏行で済むならば
239

edit せずに書けます. (データ型も⼀一応, 単⼀一⾏行で済む場合はそのまま書
けます. )
cpl> let three = succ.succ.succ.zero
three = succ.succ.succ.zero
: 1 -> Nat
cpl> let compose(f,g) = g.f
f: *a -> *c g: *a -> *b
-----------------------compose(f,g):
*a -> *b
*というプレフィックスは変数が型変数であることを表します.
では, プログラムを実⾏行しましょう. 実⾏行するプログラムは, 何らかの
対象の要素でなければなりません. 何らかの対象の要素であるプログラム
をデータの形に直す, つまり正規化することこそが, CPL におけるプログ
ラムの実⾏行なのです.
そのためには simp というコマンドを使います. simplification (簡約)
の略です.
まず⻑⾧長さ n の zero だけで埋められたリストを作る関数 zerolist を定義
します.
cpl> let zerolist =
snd.pr(pair(zero,nil),pair(fst,cons))
zerolist = snd.pr(pair(zero,nil),pair(fst,cons))
そして, これに three を適⽤用しましょう. 射の合成という形式で書くこと
に注意してください.
cpl> simp zerolist.three
cons.pair(fst,cons).pair(fst,cons).pair(zero,nil)
: 1 -> List(Nat)
ちゃんと表⽰示されましたね. この形式でちゃんとしたデータですが, なん
だかリストらしく⾒見えません. より簡単な形にするために full というコマ
ンドを付け加えましょう.
cpl> simp full zerolist.three
cons.pair(zero,cons.
pair(zero,cons.pair(zero,nil)))
: 1 -> List(Nat)
よりリストらしくなりました. 基本的には simp full のほうを使うことを
240

おすすめします.
なお, it と書くと直前に実⾏行したプログラムに展開されます.
cpl> simp it
cons.pair(fst,cons).pair(fst,cons).pair(zero,nil)
: 1 -> List(Nat)
せっかくなので, 中⾝身がどう動いているかを⾒見てみましょう. 次のよう
にすると, 処理系をトレースできます.
cpl> set trace on
cpl> simp full zerolist.three
1[1]:three*I
2[1]:succ.succ.succ.zero*I
3[2]:succ.succ.zero*I
4[3]:succ.zero*I
5[4]:zero*I
6[3]:succ*zero
7[2]:succ*succ.zero
8[1]:succ*succ.succ.zero
9:zerolist*succ.succ.succ.zero
10:snd.pr(pair(zero,nil),pair(fst,cons))*succ
.succ.succ.zero
(中略)
46:cons*pair(zero,cons.
pair(zero,cons.pair(zero,nil)))
47:I*cons.pair(zero,cons.
pair(zero,cons.pair(zero,nil)))
cons.pair(zero,cons.
pair(zero,cons.pair(zero,nil)))
: 1 -> List(Nat)
ずいぶん⻑⾧長い道のりですね. [n]の数字は解析の深さを表しています. 「f*d」
はプログラム f に対してデータ d を適⽤用することを表しています. 詳しい
241

仕組みは後述します.
トレース機能をオフにする場合は set trace off すればよいです.
ファイルから定義を読み込むには load コマンドを使います.
cpl> load mysourcecode.cpl
なお, ファイルに書く際は, データ型の定義と射の定義ともに⽂文末のセ
ミコロンを忘れないようにしましょう.
それまでの定義をすべてリセットするには reset と打ちます.
show というコマンドでプログラムの型を得られます.
cpl> show fst.pair(zero,nil)
fst.pair(zero,nil)
: 1 -> Nat
また, show object というコマンドでデータ型についての詳しい情報が
得られます.
cpl> show object Prod
right object Prod(+,+)
- natural transformations:
fst: Prod(*a,*b) -> *a
snd: Prod(*a,*b) -> *b
- factorizer:
f0: *a -> *b f1: *a -> *c
------------------------------
pair(f0,f1): *a -> Prod(*b,*c)
- equations:
(REQ1): fst.pair(f0,f1)=f0
(REQ2): snd.pair(f0,f1)=f1
(RFEQ): Prod(f0,f1)=pair(f0.fst,f1.snd)
(RCEQ): fst.g=f0 & snd.g=f1 => g=pair(f0,f1)
- unconditioned: yes
- productive: (yes,yes)
最後に, 開発環境を終了するには
cpl> exit
としましょう.
関数との格闘
CPL においては, 関数にはさまざまな表し⽅方があり, それぞれを上⼿手く
利⽤用していくことが⼤大事です. きっちり理解しておきましょう.
まず, ⼀一引数関数から考えていきます. A から B への関数の表し⽅方には以
242

下の3つがあります.
1. 射

合は 1 の形式をもとにして作ります.
cpl> let not3 = curry(snd.Prod(id1,not1))
not3 = curry(snd.Prod(id1,not1))
: 1 -> Exp(Bool,Bool)
cpl> simp eval.pair(not3,true)
false
: 1 -> Bool
eval を使って関数適⽤用を⾏行うのが⾯面⽩白いところです. ちょっとした⼯工夫と
して, 任意の射を冪対象にする次のような関数を作るといいでしょう.
cpl> let toexp(f) = curry(snd.Prod(id1,f))
toexp(f) = curry(snd.Prod(id1,f))
f: *a -> *b
------------------------toexp(f):
1 -> Exp(*a,*b)
次に, ⼆二引数関数を作っていきましょう. A×B から C への関数の表し⽅方
は以下の4つがあります.
1. 射

true.!
: 1 -> Bool
curry(snd) は素直に「第⼆二引数を取る」ことだと理解してください.
「!」でいったん終対象まで戻して情報をリセットしてからデータを書
く, というのは頻繁に使う⼿手法なので覚えておきましょう. 計算結果に「!」
が残って少し気持ち悪いかもしれませんが, これで問題ありません.
1 の形式は 2 の形式をもとにして作ることができます.
cpl> let or1 = eval.Prod(or2,I)
or1 = eval.Prod(or2,I)
: Prod(Bool,Bool) -> Bool
cpl> simp full or1.pair(true,false)
true.!
: 1 -> Bool
I の部分を変えれば第 2 引数を加⼯工しておくことができます.
普段使うのは 1 の形式なので, 慣れたら最初から 1 の形式で書きましょ
う.
cpl> let or1' =
eval.Prod(if(curry(true.!),curry(snd)),I)
or1' = eval.Prod(if(curry(true.!),curry(snd)),I)
: Prod(Bool,Bool) -> Bool
ちゃんと定義できましたね.
次の関数は定義しておくとよく使います.
cpl> let uncurry(f) = eval.Prod(f,I)
次に, ⾜足し算を定義しましょう. これは少しだけ難しいです.
まず, 4 の形式では次のようにします.
cpl> let add4(m,n) = pr(n,succ).m
add4(m,n) = pr(n,succ).m
m: *a -> Nat n: 1 -> Nat
------------------------add4(m,n):
*a -> Nat
これを 2 の形式では次のようにします.
cpl> let add2 = pr(curry(snd),curry(succ.eval))
add2 = pr(curry(snd),curry(succ.eval))
: Nat -> Exp(Nat,Nat)
curry(succ.eval)というのがポイントです. ここでは, succ は返り値
を「加⼯工」していると考えてください.
最終的に 1 の形式では次のようにします.
cpl> let add1 =
245

uncurry(pr(curry(snd),curry(succ.eval)))
add1 = uncurry(pr(curry(snd),curry(succ.eval)))
: Prod(Nat,Nat) -> Nat
順を追って考えていけば簡単ですね.
楽しいプログラミング
では, CPL のよりディープな世界に踏み込んでいきます. まず, 基本的な
データ型をファイルに書きだしてしまいましょう.
left object 0 with !!
end object;
right object 1 with !
end object;
right object Prod(A,B) with pair is
fst: Prod -> A
snd: Prod -> B
end object;
let swap = pair(snd,fst);
left object Coprod(A,B) with case is
inl: A -> Coprod
inr: B -> Coprod
end object;
right object Exp(A,B) with curry is
eval: Prod(Exp,A) -> B
end object;
let uncurry(f) = eval.Prod(f,I);
left object Bool with if is
true: 1 -> Bool
false: 1 -> Bool
end object;
let id1 = fst.pair(I,true);
let toexp(f) = curry(snd.Prod(id1,f));
left object Nat with pr is
zero: 1 -> Nat
246

succ: Nat -> Nat
end object;
let one = succ.zero;
let two = succ.one;
let three = succ.two;
left object List(A) with foldr is
nil: 1 -> List
cons: Prod(A,List) -> List
end object;
right object Inflist(A) with unfoldr is
head': Inflist -> A
tail': Inflist -> Inflist
end object;
定義の都合上, ところどころ名前に「'」を付けます.
こっそり swap も定義されています. また, ⾃自然数も名づけてあります.
では, いろいろな関数を定義していきましょう.
まずは, 論理値の関数です.
let not = if(false,true);
let equiv_(p,q) = if(q,not.q).p;
let equiv = uncurry(if(curry(snd),curry(not.snd)));
let or_(p,q) = if(true,q).p;
let or = uncurry(if(curry(true.!),curry(snd)));
let and_(p,q) = if(q,false).p;
let and = uncurry(if(curry(snd),curry(false.!)));
let xor = not.equiv;
これは簡単ですね. なお,「_」が付いているのは説明のために加えたポイ
ントフリーでないバージョンです.
次は, ⾃自然数の関数です.
# pred.n : n-1
let pred = pr(inl,inr.case(zero,succ));
# add.pair(m,n) : m + n
let add_(m,n) = pr(n,succ).m;
let add = uncurry(pr(curry(snd),curry(succ.eval)));
# sub.pair(m,n) : if m>=n then m-n else 0
let sub_(m,n) = pr(inr.n,case(inl,pred)).m;
let sub = uncurry(pr(curry(inr.snd),
247

curry(case(inl,pred).eval))).swap;
# mult.pair(m,n) : m*n
let mult_(m,n) = pr(zero,add.pair(n.!,I)).m;
let mult = uncurry(pr(curry(zero.!),
curry(add.pair(eval,snd))));
# fact.n : n*(n-1)*...*1
let fact = fst.pr(pair(one,one),
pair(mult.pair(snd,fst),succ.snd));
let iszero = pr(true,if(false,false));
# ge.pair(m,n) : m>=n
let ge = case(false,true.!).sub;
# le.pair(m,n) : m

foldr(nil,cons.Prod(eval.pair(f.!,I),I));
⼀一気にややこしくなってきました.
uninlist は補助的な関数です. uninlist を使うと head と tail が簡
単に記述できることに注⽬目してください. 要はリストを分解しているので
す. 詳しくは次の章で解説します.
さて, concat と map をポイントフリーにしたいですね. これがなかなか
難しいのです. ⼀一歩ずつ考えていきましょう. まず, concat の定義は以下
のような形になると考えられます.
let concat = uncurry(foldr(curry(snd),curry(X)))
この X の部分を考えると, X は以下の型を持つと考えられます.
Prod(Prod(*a,Exp(*b,List(*a))),*b) -> List(*a)
ここから考えると, fst.fst で今問題となっているリストの要素,
snd.fst が今まで作られた関数, snd が concat 関数全体の隠れた第 2 の
引数であるといえるので, X は
cons.pair(fst.fst,eval.Prod(snd,I))
とすればよく, 結局 concat は以下のようなものになります.
let concat = uncurry(foldr(curry(snd),curry(
cons.pair(fst.fst,eval.Prod(snd,I)))));
振り返ってみれば意外と簡単ですね. 同様にして map は
let map = uncurry(foldr(curry(nil.!),curry(
cons.pair(eval.pair(snd,fst.fst),
eval.Prod(snd,I))))).swap;
となります.
reverse 関数も定義しておきましょう.
let reverse = foldr(
nil,concat.pair(snd,cons.pair(fst,nil.!)));
次は, お待ちかねの無限リストの関数です.
let cons' = unfoldr(fst,pair(head',tail').snd);
let nth'_(a,n) = head'.pr(a,tail');
let nth' = head'.
uncurry(pr(curry(snd),curry(tail'.eval)));
let repeat = unfoldr(I,I);
let map' = unfoldr(
eval.Prod(I,head'),Prod(I,tail'));
let cycle = unfoldr(head,concat.pair(case(nil,I).
tail,case(nil,singlelist).head));
let zip = unfoldr(
Prod(head',head'),Prod(tail',tail'));
249

リストの関数よりもむしろすっきりしていますね.
無限リストを扱う関数であっても必ず有限時間内に計算は終了します.
すべての計算が有限時間内に停⽌止することは CPL の⼤大きな特徴です. (つま
り CPL はチューリング不完全です.) これはプログラムの安全性という観
点からも重要であるといえます.
ここまでで紹介したことを応⽤用して, ぜひ, さまざまなプログラミング
を楽しんでくださいね.
データ型の整理
CPL のデータ型をよく考えてみると, あらゆるデータ型は実質的に始対
象・終対象・直積・直和・冪だけでできていることがわかります.
左データにおいて
left object

と同じです.
たとえば⾃自然数・リスト・無限リストの定義はそれぞれ
left object Nat with pr is
innat: Coprod(1,Nat) -> Nat
end object;
left object List(A) with foldr is
inlist: Coprod(1,Prod(A,List)) -> List
end object;
right object Inflist(A) with unfoldr is
outinflist: Inflist -> Prod(A,Inflist)
end object;
と書き換えられます. CPL で定義できるデータ型は意外と単純なのです.
より多くのデータ型
よりマニアックなデータ型の世界へ⾜足を踏み⼊入れましょう.
余自然数 (conatural number) は
right object Conat with pcr is
pred': Conat -> Coprod(1,Conat)
end object;
と定義できます. ⾃自然数の双対になっています.
余⾃自然数は, ⾃自然数に無限⼤大を加えたものです. これでいてちゃんとい
ろいろな演算ができます.
pred’は以下を満たす射です.
pred ! ∘ 0 = inl
pred ! ∘ (

let three' = toconat.three;
さらっと無限を扱えるのが素晴らしいですね.
では, 演算を定義しましょう.
let succ' = pcr(Coprod(I,pred'));
let add' = pcr(uncurry(case(
toexp(Coprod(I,pair(zero'.!,I)).pred'),
curry(inr))).Prod(pred',I));
let sub' = uncurry(pr(curry(inr.snd),
curry(case(inl,pred').eval))).swap;
let ge' = case(false,true.!).sub';
let gt' = ge'.Prod(I,succ);
let le' = not.gt';
let eq' = and.pair(ge',le');
マニアックな感じがいいですね. sub’以降の関数は余⾃自然数と⾃自然数を引
数とします. 必ず有限時間内で終わるような計算しかできないので, 余⾃自
然数から余⾃自然数を引く関数は定義できないのです.
余リスト (colist) は
right object Colist(A) with unfoldr’ is
outcolist: Colist -> Coprod(1,Prod(A,Colist))
end object;
と定義できます. リストの双対になっています.
余リストは要素数が有限にも無限にもなりえます. 絶対に有限であるリ
ストと絶対に無限である無限リストの間のようなものです.
let length' = pcr(Coprod(I,snd).outcolist);
let fromlist_tocolist = unfoldr'(uninlist);
let frominflist_tocolist =
unfoldr'(inr.pair(head',tail'));
let unoutcolist = unfoldr'(
Coprod(I,Prod(I,outcolist)));
let nil'' = unoutcolist.inl;
let cons'' = unoutcolist.inr;
let singlelist' = cons''.pair(I,nil''.!);
unoutcolist は既出の uninlist の双対で, 余リストを構成することを意
味します. 詳しいことは次の章まで待ってください.
リストと無限リストがわかっていれば余リストは普通に扱えるはずな
ので, 頑張ってみてください.
これらのほかに, いくらでもデータ構造は考えられます.
252

たとえば, 二分木 (binary tree) は
left object Binary(A) with foldbinary is
leaf: A -> Binary
branch: Prod(Binary, Binary) -> Binary
end object;
と定義できます.
また, 多分木 (rose tree, multi-way tree) は
left object Rose(A) with foldrose is
leafr: A -> Rose
branchr: List(A) -> Rose
end object;
と定義できます.
CPL でぜひいろいろ遊んでみてくださいね.
どうして動くのか
CPL におけるプログラムの実⾏行, つまり正規化の⽅方法を紹介します.
プログラムの実⾏行には simp と simp full の⼆二種類がありますが, まず
simp から紹介していきます.
プログラム e とデータ c があるとき, e に c を与えることを

[L-‐‑‒FACT]

[FULL-‐‑‒L-‐‑‒FACT]

第 6 章 圏論と再帰
圏論の理論的な強⼒力さを味わっていきましょう. この章では, プログラ
ミングにおいて頻出する再帰構造と再帰処理を, 圏論を⽤用いて綺麗に表現
できることを⽰示します.
代数
F-代数 (F-algebra) は F,I-双代数にあたるものです.
代数の圏
F-代数の圏は F,I-双代数の圏にあたるもので,

対です.
余代数の圏
G-余代数の圏は, I,G-双代数の圏にあたるもので,

型においては G,H-終双代数から, それぞれ定義されていました. 詳しくは
5 章を参照してください.
ここで, 左データ型において

cata-CHARN 3 :

∵ in ∘

In が⼊入っているので少しややこしいですが, 数は次のように定義され
ます.
zero = In Zero
one = In (Succ zero)
two = In (Succ one)
リストについては⼆二引数関⼿手 L(A,X)=1+A×X を考えます. 対象 A を部
分適⽤用した関⼿手

add x y = cata phi x
where phi Zero = y
phi (Succ r) = succN r
-- add zeroN y = y
-- add (succN x) y = succN (add x y)
mul :: Nat -> Nat -> Nat
mul x y = cata phi x
where phi Zero = zeroN
phi (Succ r) = add r y
-- mul zeroN y = zeroN
-- mul (succN x) y = add (mul x y) y
intToNat はカタモーフィズムで書けないので, 普通の再帰で書きました.
ちょっと不思議な形式に⾒見えるかもしれませんが, コメントを⾒見ながら感
覚をつかんでください. あとは CPL のときと同じようにできるはずです.
この内容を CPL で書きなおしてみても⾯面⽩白いと思います.
次は, リストの関数です.
nilL = In Nil
consL x xs = In (Cons x xs)
fromList :: List a -> [a]
fromList xs = cata phi xs
where phi Nil = []
phi (Cons x r) = x:r
-- fromList nilL = []
-- fromList (consL x xs') = x:fromList xs'
toList :: [a] -> List a
toList [] = nilL
toList (x:xs) = consL x (toList xs)
lengthL :: List a -> Nat
lengthL xs = cata phi xs
where phi Nil = zeroN
phi (Cons _ r) = succN r
-- lengthL nilL = zeroN
-- lengthL (consL _ xs) = succN (lengthL xs)
toList も普通の再帰で書きました.
262

補⾜足しておくと, 実は in !! =

mapL :: (a -> b) -> List a -> List b
mapL f = cata (In.(fbimap f id))
Haskell の標準ライブラリには標準では双関⼿手の型クラスがないので,
Bifunctor という型クラスを作りました. map の関数の定義がかなり綺麗
になりましたね.
アナモーフィズム
射

ana-SELF はアナモーフィズムの再帰処理の全てです.
とりあえず, Haskell で書いてみましょう.
newtype Nu f = Wrap (f (Nu f))
out :: Nu f -> f (Nu f)
out (Wrap x) = x
ana :: Functor f => (a -> f a) -> a -> Nu f
ana phi = Wrap . fmap (ana phi) . phi
type Conat = Nu N
type Colist a = Nu (L a)
余⾃自然数 (“Conat”) は無限⼤大を含む⾃自然数で, 余リスト (“Colist”) は
要素数が有限にも無限にもなりうるリストです. 余リストといっても
Haskell の標準のリストも余リストなので恐れることはありません.
まずは余⾃自然数を使ってみましょう.
zeroCN = Wrap Zero
succCN n = Wrap (Succ n)
intToConat :: Int -> Conat
intToConat n = ana phi n
where phi 0 = Zero
phi n’ = Succ (n’-1)
-- intToConat 0 = zeroCN
-- intToConat n = succCN (intToConat (n-1))
infinity :: Conat
infinity = intToConat (-1)
conatToInt :: Conat -> Int
conatToInt (Wrap (Succ n)) = 1 + conatToInt n
conatToInt (Wrap Zero) = 0
add' :: Conat -> Conat -> Conat
add' x y = ana phi (x,y)
where phi (Wrap Zero, Wrap Zero) = Zero
phi (Wrap(Succ x'), y) = Succ (x',y)
phi (x, Wrap(Succ y')) = Succ (x,y')
-- add' zeroCN zeroCN = zeroCN
-- add' (succCN x') y = succCN (add' x' y)
-- add' x (succCN y') = succCN (add' x y')
265

conatToInt はアナモーフィズムを使って書けないので普通の再帰で書き
ました.
次は余リストの関数です.
nilCL = Wrap Nil
consCL x xs = Wrap (Cons x xs)
toColist :: [a] -> Colist a
toColist xs = ana phi xs
where phi [] = Nil
phi (x:xs') = Cons x xs'
-- toColist [] = nilCL
-- toColist x:xs = consCL x (toColist xs)
fromColist :: Colist a -> [a]
fromColist (Wrap Nil) = []
fromColist (Wrap(Cons x xs)) = x:fromColist xs
decleasingSeq :: Conat -> Colist Conat
decleasingSeq n = ana phi n
where phi (Wrap Zero) = Nil
phi (Wrap (Succ n')) = Cons n' n'
-- decleasingSeq zeroCN = nilCL
-- decleasingSeq (succCN n) =
consCL n (decleasingSeq n)
-- decleasingSeq n = [n-1,n-2,n-3,...,0]
fromColist も普通の再帰で書きました.
なお, 5 章で out-inv-DEF を使っていたのは以下の関数です.
let cons' = unfoldr(
fst,pair(head',tail').snd);
let succ' = pcr(Coprod(I,pred'));
let unoutcolist = unfoldr'(
Coprod(I,Prod(I,outcolist)));
また, data-map-DEF のときと同様に, 関数

有限と無限
mapCL :: (a -> b) -> Colist a -> Colist b
mapCL f = ana ((fbimap f id).out)
ここまでの説明で気づいた⽅方もいるかもしれませんが, Mu と Nu は実質
的に同じ定義がなされています.
newtype Mu f = In (f (Mu f))
unIn :: Mu f -> f (Mu f)
unIn (In x) = x
newtype Nu f = Wrap (f (Nu f))
out :: Nu f -> f (Nu f)
out (Wrap x) = x
名前が変わっているにすぎません. 実際, Haskell においては, 両者は同⼀一
視されます. CPL とは事情が違うのです. CPL では計算が有限時間で終わ
ることが保障されていましたが, これは有限の型と無限の型を厳密に区別
しているために実現されています. この区別が明確でない (例えば, 有限
リストと無限リストが同じ型 [] である) Haskell ではそのような保証は
されていません.
Haskell ではリストは無限リストになりえるし, ⾃自然数は無限⼤大になり
えます. ただ, 無限リストや無限⼤大を作り出すには, カタモーフィズムと
は違う「普通の再帰」を⽤用いなければなりません. 以前 intToNat という
関数を定義しましたが, あのような関数です. たとえば「intToNat -1」
と書くと容易に無限⼤大が得られます.
ハイロモーフィズム
F-始代数と F-終余代数が同じとき, アナモーフィズム

添え字は適宜省略します.
定義をまとめるとこのようになります.
hylo-DEF:

ます.
プログラムの⾼高速化技術の⼀一つとして「融合変換 (program fusion)」
というものがあります. これは, 関数 f,g を合成した関数

para-FUSION:

アポモーフィズム (apomorphism 9 ) はパラモーフィズムの双対です. し
かし, 感覚的には意味が⼤大きく変わります. 「再帰を終えることができる」
という感じになります.
射

join f g (Left x) = f x
join f g (Right y) = g y
Either a b -> c
apo :: Functor f =>
(a -> f (Either a (Nu f))) -> a -> Nu f
apo phi = Wrap . fmap (join (apo phi) id) . phi
さっそくアポモーフィズムを使っていきましょう.
insertCL :: Ord a =>
a -> Colist a -> Colist a
insertCL k xs = apo phi xs
where phi (Wrap Nil) = Cons k (Right nilCL)
phi (Wrap (Cons x xs'))
| x < k = Cons x (Left xs')
| otherwise =
Cons k (Right (consCL x xs'))
-- insertCL k nilCL = Cons k nilCL
-- insertCL k (consCL x xs')
-- | x < k = consCL x (insertCL k xs')
-- | otherwise = consCL k (consCL x xs')
appendCL :: Colist a -> Colist a -> Colist a
appendCL xs ys = apo phi (xs,ys)
where phi (Wrap Nil, Wrap Nil) = Nil
phi (Wrap Nil, Wrap (Cons y ys')) =
Cons y (Right ys')
phi (Wrap (Cons x xs'), ys') =
Cons x (Left (xs',ys'))
-- appendCL nilCL nilCL = nilCL
-- appendCL nilCL (consCL y ys') = consCL y ys'
-- appendCL (consCL x xs') ys' =
-- consCL x (appendCL xs' ys')
感覚をつかめば簡単ですね.
お疲れ様でした. これで再帰構造を扱うのは終わりです. あとは⾃自分で
いろいろ実験したり勉強したりしてください.
272

第 7 章 モナドとクライスリ圏
モナドは Haskell と切っても切れない関係にあるものです. モナドが単
純な仕組みであることは, Haskeller なら理解していることだと思います.
しかしながら, その理論的な側⾯面となると, 具体的なモナドを考えるだ
けでは理解しづらいこともあるでしょう. この章ではプログラムによる解
説を交えつつ, 圏論からモナドにアプローチしていきます.
モナド
圏 C 上のモナド (monad)

なっているものとします. なお, ⼀一般にモナドに関する関⼿手は Haskell に
おいて次のように定義できます.
fmap f x = x >>= (return.f)
また, join という関数があります.
join :: (Monad m) => m (m a) -> m a
join x = x >>= id
実はηが return, μが join にあたります. return と join を⽤用いて改めて
結合律と左・右単位元律を表すと以下のようになります.
join . join == join . fmap join
join . return == join . fmap return == id
ここで, ⾃自然変換の⽔水平合成の定義より

圏 C 上のクライスリ三つ組 (Kleisli triple)

・副作⽤用のある計算(≒State Monad, IO Monad):

コラム 圏論と哲学
圏論の⽤用語には哲学⽤用語と同じものがいくつかあります. 偶然の⼀一
致もあるかもしれませんが, 哲学に影響された可能性も⼤大いにあるで
しょう.
そもそも「圏 (category)」⾃自体が哲学では⼀一般に「範疇」とか「カ
テゴリー」と訳される概念で, ⼈人間のなしうる「分類」のことをいい
ます. 例えばアリストテレス (Aristotélēs, 前 384-‐‑‒前 322) は存在
者を「実体・量・質・関係・場所・時間・位置・所有・能動・受動」
という 10 の カテゴリーに 分類し , またイマヌエル・カント
(Immanuel Kant, 1724-‐‑‒1804) はその主著『純粋理性批判』において
⼈人間の知性のうちに「量・質・関係・様態」というカテゴリーが備わ
っていることを主張しました.
また, 前の章で扱った「ハイロモーフィズム」は「質料形相論」と
訳される概念で, 元はといえばこの⽤用語もやはりアリストテレスの形
⽽而上学に由来します.
なぜこれほど哲学由来と思われる語が多いのかというと, それは圏
論が⼀一般的な概念を記述することを⽬目指しているからだと思います.
哲学⾃自体における圏論の利⽤用はまだ黎明期であると⾔言えるでしょ
う. しかし, 抽象的な概念を語るのに圏論の「⾔言葉」は役⽴立つので, こ
れから少なからず使われていくことになると思います. 圏論が⼀一般に
広まって, さまざまなところで「道具」として認識されるようになる
といいと思います.
277

第Ⅲ部
圏論と論理学
278

第 8 章 論理の基礎
この章では, 論理学の基本的な部分をもう少し詳しく扱います. 特に⼀一章
で扱った⼀一階の命題論理と述語論理について, 具体的にどのような体系か
ら構築できるのかを⽰示します.
論理とは何か (再考)
第 1 章でわたしたちは「論理学は思考の法則に関する学問である」と書
きました. ここで念頭にあったのは, 数学における証明 (proof) です. た
とえばわたしたちは,
△

るはずです:

零項真理関数 true, false
⼀一項真理関数 ¬
⼆二項真理関数 ∧,∨, →, ↔
統辞論の形式に触れる前に, ¬,∧,∨, →, ↔ の結合性について注意してお
きます. 結合の強さは ¬ / ∧,∨ / → / ↔ の順で, 左ほど強い結合性を持ち
ます. また, → は右結合です. すなわち,

真偽を “true” と “false” という値で表します. C ⾔言語なら, 0 == false
で 1 == true です. そのように取り決めた上で, C の処理系は “3 + 5
== 8; // true” などと解釈できるわけです. (もちろん真/偽を数値と同⼀一
視しないプログラミング⾔言語もあり, その場合は true/false ⾃自体が別の
データ型の値として定義されるでしょう.)
このような考え⽅方によって, わたしたちは「真偽」という概念を明確にす
ることができます. モデル論的意味論においては, 「命題がどのような場合
に真/偽であるか」という問いを「領域 (domain)」という集合と「解釈
(interpretation)」という写像に置き換え, 形式的に定義します.
「真偽」にあたるものは真理値である領域です. これを次のように定義し
ましょう:
D ! ∶= {1,0}
C ⾔言語と同じで, 1 が真を, 0 が偽を表します. それ以外の真理値は存在し
ません.
解釈は「論理式の集合」から D ! への写像です. ある解釈 I のもとで論
理式

∧ ! ∶=
→ ! ∶=
1, 1 ↦ 1
1, 0 ↦ 0
0, 1 ↦ 0
0, 0 ↦ 0
(1, 1) ↦ 1
1, 0 ↦ 0
0, 1 ↦ 1
(0, 0) ↦ 1
∨ ! ∶=
↔ ! ∶=
1, 1 ↦ 1
1, 0 ↦ 1
0, 1 ↦ 1
0, 0 ↦ 0
(1, 1) ↦ 1
1, 0 ↦ 0
0, 1 ↦ 1
(0, 0) ↦ 1
解釈の定義は以上です. さて, この意味論において「妥当な推論」とは何
かを考えましょう. 先ほどの条件をモデル論的意味論に当てはめると, 推
論

・ ⊨

零項真理関数 true, false
⼀一項真理関数 ¬
⼆二項真理関数 ∧,∨, →, ↔
量化⼦子 ∀, ∃
「名前」と「述語」, 「変項」,「量化⼦子」の意味は 1 章で説明した通り
です. また, 命題論理と同様に, n 項真理関数が定義されます.
1 章で「関数」と呼んでいたものは, 真理関数と区別するため, ここでは
「演算⼦子」と呼びます. 「〜~の⼆二乗」, 「×」などは全て演算⼦子です.演算⼦子
は取る項の個数に応じて n 項演算子 (n-place operator) と呼ばれます.
n 項述語に n タプルとして与えられるのは項 (term) です. 項は以下の規
則によって定義されます.
1.

論理式

複合論理式

以上の M, g が与えられれば, 解釈 I は⼀一意に定まります.
論理式

はないかと考えられるのです. たとえ集合概念以外のモデルを⽤用いたとし
ても, どのみち論理の体系はそれに依存した形で相対的に妥当性を保証さ
れるのみになります.
そこで本節では, モデル論的意味論に換えて, 「証明論 (proof theory)
的意味論」を考えます. 証明論的意味論によれば, 「集合」概念に依存せず,
論理の⾔言葉だけで論理を定義できるからです.
証明論では, 解釈によって推論の妥当性を定義する代わりに, 推論に形
式的な規則を与えることで命題が「証明可能」であることを⽰示します.
例えば, ¬(

1.

3.

(CE)

前提 Γ から論理式

⼀一般的に, 論理式

⼀一般的に, 論理式

ベルト流証明論と⾃自然演繹を「直接に」⽐比較することができるようになりま
す.
296

第 9 章 論理と計算と圏
この章では, 論理と計算, および圏の間にある関係について⾒見ていきま
す. 少し哲学的な内容に踏み込むので, 他の章とは⽑毛⾊色の違った内容にな
るかもしれません. しかし, これらの関係はプログラムの (プログラマー
の普段の⾒見⽅方とはおそらく異なる) 理論的背景を理解する⼀一端となる部分
なので, 読んでおいて損はないでしょう.
まず直観主義と呼ばれる数学的⽴立場について紹介し, 直観主義の視点か
ら論理と計算の間に⾃自然な対応が⾒見出せることを確かめます. 続いて, そ
の対応を圏論の⾔言葉で書きなおしてみます.
直観主義論理
直観主義論理は, 前章で⾒見たように, 古典論理から排中律を除いた体系
でした. しかし, なぜこれが「直観主義」論理と呼ばれるようになったの
でしょうか.
直観主義 (intuitionism) とは⼤大まかに⾔言って, 数学における真理は⼈人
間の思考と独⽴立したものではない, という⽴立場です.
たとえば, ⼀一般的な (中学/⾼高校で習う) 論理においては, すべての命
題は証明可能かどうかに関わらず, 必ず真か偽に決定しています. ⾔言い換
えると, 命題 P について排中律が必ず成り⽴立ちます. ⼀一⽅方で, 既に⾒見てき
たように, 直観主義論理は排中律を公理として認めません. 直観主義の⽴立
場では,

での論理においては次のように証明されます:
1. 2は無理数である.
2. 2 !
を考える. このとき, 2 !
は有理数であるか有理数でないかの
どちらかである.
a. 2 !
が有理数と仮定すると, この命題は真. このとき

3. 数学は論理に先⾏行する.
これだけでは意味が取りにくいので, 少しかみ砕いてみましょう.
1 は, 数学とは精神の「⾏行為」であるという主張です. 古典的な数学は,
数や関数といった抽象的な数学的対象を独⽴立して存在するものであるか
のように扱ってきました. この⽴立場を実在論 (realism) あるいはプラト
ニズム (Platonism) 2 と呼びます. ブラウワーは数学的対象や真理を, ⼈人
間の精神と独⽴立して存在するものだとは認めません. そのため, 数学の構
成は⼈人間の精神的活動としてしか考えられません.
1 のテーゼより, 数学の発展とは, ⼈人間が時間の経過に従って数学の知
識を得ることであり, 証明プロセスは時間軸に沿った数学の精神的な構成
プロセスにほかなりません. ゆえに, 数学は時間を知覚することを前提と
します. 3 これが 2 の意味するところです.
さて, 数学が⼈人間の直観によるものでしかない以上, ⾔言語は数学をする
上での道具にすぎません. ラッセルの論理主義 (数学は論理学に還元でき
るとする⽴立場) や, ヒルベルト (David Hilbert, 1862-1943) の形式主義
(数学の推論を純粋な記号の操作として捉える⽴立場) などは, ブラウワー
にとってはナンセンスです. それらは⾔言語/記号やその操作といった, い
わば必然性を⽋欠いた数学の対応物にすぎないものを, 数学の本質や原理と
して捉えているからです. 3 のテーゼはこのような考え⽅方から帰結します.
もちろん記号による演繹の定式化がまったく意味をなさないわけでは
ありませんが, しかしそれらは必ず, 直観主義的に妥当な⽅方法で⽤用いられ
なければなりません. 例えば直観主義において, 三段論法 (

ものでもなく, それだけで数学者の注⽬目を浴びるような主張ではありませ
んでした. 4
これらを公理化する上で⼤大きな役割を果たしたのが, ハイティング
(Arend Heyting, 1898-1980) とコルモゴロフ (A. N. Kolmogorov,
1903-1987) です. コルモゴロフは命題論理の, ハイティングは述語論
理の定式化をそれぞれ⾏行いました. ⼀一般的に, これらの定式化をブラウワ
ー =ハイティング=コルモゴロフ解釈 (Brouwer-Heyting-Kolmogorov
Interpretation), 略して BHK 解釈 (BHK Interpretation) と呼びます.
BHK 解釈において, 論理結合⼦子はそれぞれ次のように解釈されます.
1.

レーフ (Per Martin-Löf, 1942-) によって考案された直観主義型理論
(intuitionistic type theory, ITT) です. 直観主義型理論は「依存型
(dependent type)」の概念によって⾼高階述語論理と計算を結びつける型シ
ステムで, 定理証明器 Agda のベースにもなっています.
カリー=ハワード同型対応
ハイティングとコルモゴロフは, 命題と証明の間に次のような関係があ
ることをそれぞれ⽰示唆しました.
命題 P 証明 p
ハイティング P は意図 (志向) p は意図 P を充⾜足する⽅方法
コルモゴロフ P は問題 (タスク) p は問題 P を解決する⽅方法
ハイティングの捉え⽅方はブラウワーの観念論的な直観主義に忠実です.
注⽬目すべきは, 後者のコルモゴロフの捉え⽅方です. ここでの「問題 (タス
ク)」とその「解決」という語法はプログラミングを想起させないでしょう
か?
もう少し整理してみましょう. ここで登場するのが型の概念です.
例えば

ろ, 命題や論理式と型の (propositions- or formulae-as-types), 証明と
プログラムの (proofs-as-programs) 間にある関係は単なるアナロジー
ではなく, 形式的な対応として成⽴立します.
圏論とカリー=ハワード同型対応
さて, 少し寄り道をしましたが, 驚くべきなのはここからです. なんと,
カリー=ハワード同型対応は圏論により形式化できます.
計算モデル 論理 圏
型 A 命題 A 対象 A
型 A から型 B を導出
するプログラム
命題 A から命題 B を
推論できることの証
明
射 f:A→B
圏を⽤用いた論理学を圏論理 (categorical logic) といい, 論理の圏論的
なモデルを⽤用いた意味論を圏論的意味論 (categorical semantics) とい
います. また, ある圏に対応する計算モデルを 内部言語 (internal
language) といいます. これらの道具を使うことで, ある論理と計算モデ
ルのカリー=ハワード同型対応を, 圏論のより抽象的な視点から考えられ
るようになります.
カリー=ハワード同型対応の結果として, 単純型付きラムダ計算 (直
積・直和・ユニット型・ボトム型があるバージョン) と直観主義論理と双
デカルト閉圏が対応しています. 以下, 直観主義論理と双デカルト閉圏に
ついて紹介します.
双デカルト閉圏
デカルト閉圏 (Cartesian closed category) とは,
1. 終対象を持つ
2. 任意の 2 対象 A,B について直積 A×B が存在する
3. 任意の 2 対象 A,B について冪対象 B A が存在する
という 3 条件を満たす圏のことです.
そして双デカルト閉圏 (Bicartesian closed category) は, これらに加
えて
4. 始対象を持つ
302

5. 任意の 2 対象 A,B について直和 A+B が存在する
という条件を満たす圏のことをいいます.
具体的な対応
ではいよいよ, 型付きラムダ計算と直観主義論理, および双デカルト閉
圏における, 具体的な対応を⾒見ていきましょう.
型付きラムダ計算の列における⻑⾧長い横棒は, 2 章で説明した「型付け可
能性」のことであり, 論理におけるシークエント計算に対応します.
型付きラムダ計算 直観主義論理 双デカルト閉圏
ユニット型 恒真式 T 終対象 1
ボトム型 ⊥ ⽭矛盾 ⊥ 始対象 0
Γ ⊢ :

Γ ⊢

+コントロール演算⼦子 +⼆二重否定除去規則
線型型システム
線型論理 (linear
logic)
スター⾃自⽴立圏
(*-autonomous
category)
単純型付きラムダ計算
+依存型
(dependent type)
⼀一階直観主義述語論理
(first-order
intuitionistic
predicate logic)
⾼高階直観主義述語論理
ハイパードクトリン
(hyperdoctrine)
Calculus of
Constructions (CoC)
(higher-order
intuitionistic
predicate logic)
トポス (topos)
計算と論理を⾒見事に抽象化する圏論という⾔言語の偉⼤大さがわかります
ね. このように, 圏論を軸としていろいろな世界を⾒見ることができるので
す.
305

文献紹介
ここでは, 記事を書くにあたって直接に参照した⽂文献に加え, 内容のよ
り深い理解に役⽴立つ資料をいくつか紹介します.
第 1 章
[1] ⼆二項関係 – Wikipedia (URL)
[2] ラッセルのパラドックス – Wikipedia (URL)
[3] カリーのパラドックス – Wikipedia (URL)
[4] 公理的集合論 – Wikipedia (URL)
[5] クラス (集合論) – Wikipedia (URL)
第 2 章
[6] Morten Heine B. Sørensen, Paweł Urzyczyn『Lectures on the
Curry-Howard Isomorphism』 (URL)
執筆中は主に [6] を参考にしました. 型なしラムダ計算からカリー=
ハワード同型対応に⾄至るまで, ⼀一から解説されています.
この章ではほとんど単純型付きラムダ計算にのみ触れましたが, 後述の
[7] ではそれに加え, System F や System Fω などの拡張も解説されて
います.
第 3 章
[7] Benjamin C. Pierce 『Types and Programming Languages』 The MIT
Press, 2002 年
[8] Haskell/不動点と再帰 - Wikibook (URL)
[7] は型理論の教科書の定番と⾔言ってもよいでしょう. この記事の〆切
直前に訳書の『型システム⼊入⾨門 ̶—プログラミング⾔言語と型の理論̶—』(住
井英⼆二郎 監訳, オーム社, 2013 年) が刊⾏行されました.
[8] は不動点と再帰についてのよくまとまった解説です. Wikibook の
Haskell の章 (URL) にはよい記事が多いので, ぜひ英語版も含めて読ん
でみてください.
306

第 4 章
[9] Saunders Mac Lane 著 三好博之/⾼高⽊木理訳『圏論の基礎』丸善出版,
2013 年
[10] 清⽔水義夫『圏論による論理学―⾼高階論理とトポス』東京⼤大学出版会,
2007 年
[11] 橋本光靖『圏と関⼿手⼊入⾨門』(URL)
[12] Diagonal Functor – Wikipedia (URL)
現時点では⽇日本語の圏論の⽂文献はわずかですが, ⼀一番まとまっているの
は [11] です. [9] は定番の教科書で, 圏論の基礎から少し⾼高度なことま
で扱っており, この⼀一冊をちゃんと読めば圏論の⼒力は相当つきます. [10]
は少し異⾊色で, 圏論と論理学を対照し, 「圏論的普遍論理」を提唱してい
る本です. ⼊入⾨門書としてもかなり分かりやすい本ですし, 圏論による哲学
に興味を持っている⼈人にも役⽴立つはずです.
第 5 章
[13] 萩野達也『A Categorical Programming Language』エディンバラ⼤大
学博⼠士論⽂文, 1987 年 (URL)
[14] 萩野達也『カテゴリー理論的関数型プログラミング⾔言語』コンピュ
ーターソフトウェア 7(1) pp.16-32, 1990 年 (URL)
[15] ⽇日々の流転 2003 年 1 ⽉月 2 ⽇日 (URL)
CPL の資料は少ないですが, CPL の発案者本⼈人が書いたものである
[13][14] は⾮非常に読みやすく⾯面⽩白いです. [14] には CPL の基本アイデ
アについてかなり詳しく書いてあります.
第 6 章
[16] Varmo Vene 『 Categorical Programming with Inductive and
Coinductive Types』タルトゥ⼤大学計算機科学科, 2000 年 (URL)
[17] スペースアルク・語源辞典 (URL)
この章を書く際には [16] がとても参考になりました. 元の論⽂文が⾮非
常に分かりやすく充実しているので⼀一度読むことをお勧めします.
307

第 7 章
[18] Eugenio Moggi『An Abstract View of Programming Languages』
1989 年 (URL)
[19] Haskell/圏論 – Wikibooks (URL)
[20] 中村翔吾『モナドへの近道・Haskell からの寄り道』2007 年 (URL)
第 8 章
[21] ⼾戸次⼤大介『数理論理学』東京⼤大学出版会, 2012 年
[22] 基礎演習 I 論理学 (URL)
8 章の内容は基本的に [21] に準拠しました. この記事では⾶飛ばしがち
になってしまいましたが, ⼀一階述語論理までの論理体系が丁寧に解説され
ています. 他に記号論理学を⼀一から, かつ幅広く扱う⼊入⾨門書としては『論
理学をつくる』(⼾戸⽥田⼭山和久, 名古屋⼤大学出版会, 2000 年) などがありま
す.
第 9 章
[23] Per Martin-Löf『Intuitionistic Type Theory』1980 年 (URL)
[24] ⾦金⼦子洋之『ダメットにたどりつくまで』勁草書房, 2006 年
[25] ⽊木下佳樹『Agda ⾔言語について』(URL)
[26] 森⼝口草介『Cartesian Closed Category』スライド, 2011 年 (URL)
[27] Till Mossakowski, Florian Rabe, Valeria De Paiva, Lutz Schröder,
and Joseph Goguen『An Institutional View on Categorical Logic
and the Curry-Howard-Tait-Isomorphism』(URL)
ブラウワーの直観主義は実のところ, フレーゲに始まり, ヒルベルトや
ゲーデルなどを経て現在に⾄至る「数学の基礎づけ」という⼀一連の流れの中
に位置づけられるべきもので, 第 1 章で少し触れた「公理的集合論」など
にも関係することがらです. これらの歴史的背景については『ゲーデル 不
完全性定理』 (訳・解説 林晋/⼋八杉満利⼦子, 岩波⽂文庫, 2006 年) によい解
説があります.
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記号一覧
第1章 数学のおさらい

第2章 ラムダ計算
Γ, … コンテキストの名前

第2章 ラムダ計算
Γ, … コンテキストの名前

第2章 ラムダ計算
Γ, … コンテキストの名前