彗星运动中的混沌运动

第十二讲
彗星运动的混沌现象
周济林

一、天文背景
彗星分短周期彗星(周期>200年)、中等周期彗星(20
年

简史
• 1950年,Oort在解释长周期彗星时,认为10 4 ~10 5 AU处存
在一个均匀球状分布的彗星源,称为Oort云。
• 1980’s, Fernandez 1980, Duncan,Quinn,Tremaine 1988
提出短周期彗星来源于行星形成后的一个物质盘(现称
Kuiper带,Edgeworth(1943), Kuipter(1951)
• 主要依据是彗星轨道倾角的演化
• 1992年,第1颗除冥王星外的kuiper带天体被发现
• 之后,kuiper被认为是短周期彗星的源泉。
• 现在认为,Oort云是中、长周期彗星的源泉。

2、长周期彗星演化映射模型
彗星
木星
●
g
●
问题:
在太阳产生的中心力场和木星摄
动下长周期彗星的演化
q
模型:限制性三体问题

Prtrosky (1988)研究了长周期彗星运动,解析地得到
一个二维保面积映射:
K
g
n+
1
n+
1
=
=
K
g
n
称为Kepler映射。
其中: σ = 1
Kn
g
n
+
+
2
2
µσ
πσ
∆(
q
0
/( −K
为顺行, σ = −1
)
n+
1
为彗星第n次回归时的能量,
)
3/
2
为逆行。
n 为彗星第n次回归时的木星的相角,
∆ 为彗星每次回归时的能量的增量。
, (mod2
π
)

Kepler映射典型相图

Liu& Sun 1994 采用另一种方法解析得到了一个映射(项数更
多)Zhou,Sun 2000将该方法推广到允许q

其中:
取初始时间:

能量:

映射
K
g
n+
1
n+
1
=
=
K
g
n
n
+
+
2
2
π
µψ
( g
/( −K
n
, q)
n+
1
)
3/
2
, (mod2
K: energy parameter of the comet’s orbital motion
g: phase angle of Jupiter when comet passes perihelion
n: number of passages,µ: mass of Jupiter (~0.001)
π
)

ψ (g)
200
100
0
-100
q=1.01
q=0.5
-200
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
g(x2π)
Graph of ψ(
g,
q)
for different q.

4、彗星运动中的混沌运动
不动点、稳定性、不变环面的存在、破裂
局部混沌与全局混沌(KS熵)

5、长周期彗星运动中的轨道扩散
K
0.00
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
-0.25
-0.30
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
g(x2π)
Phase diagram of map for q=1.1

概率密度函数
分布方差
运动在相空间
两类无规行走模式
布朗运动
高斯分布(指数
衰减)
有限
几乎覆盖全空间
Levy飞行
Levy分布
(代数衰减)
无限
跳跃、分形

log 10 (P(K))
10 -2 (a )
10 -3
10 -4
10
-15 -12 -9 -6 -3 0
-5
K
Cauchy分布:
C n(x)~a/(x 2 +a 2 )
Gauss 分布:
G n(x)~exp(-x 2 /a 2 )
特点:长尾巴分布
特点:短尾巴分布

Levy飞行的特点
有限标准差: n个初值x相同的点无归规行走,
t时刻分布的方差:
s(t)= 1/2
S(t) ~ t 1/2 (Gaussian 分布)
~ t (Cauchy 分布)

Applications of Levy flight
Josephson Junctions:
Geisel T., Nierwetberg, and Zacherl A. 1985,
Turbulence:
Phys. Rev. Lett. 54, 616
Shlesinger M. F., West B.J. and Klafter J. 1987,
Phys. Rev. Lett. 58, 1190
Hamiltonian systems: strange kinetics
Shlesinger M.F., Zaslavsky G. M. and Klafter J. 1993,
Nature 363,31

P(K)
长周期彗星
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
q=1.2
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1
K
0.01
1E-3
1E-4
1E-5
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0
(1)能量的概率分布函数:
P(K)
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
0.000
(左)Gauss 分布 ; (右)Cauchy分布
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0
q=0.9
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0
K
0.01
1E-3
1E-4

K
K
0.0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
(a)
g( x 2π)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
g( x 2π)
(a)
(2)单个轨
道在相空间
的几何结构
Gauss分布
(q>1)
Cauchy分
布(q

log 10 (n f )
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
k=2
-2.00 -1.75 -1.50 -1.25 -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00
log 10 (-K f )
q=1.5
q=1.2
q=1.05
q=0.5
q=0.8
k=1
(3)能量演
化的集体
行为
q>1:
K ~
f
q

结论:
(1)彗星运动的相空间存在不变环面、混沌区相间的复杂
图象;
(2)长周期彗星演化是一种无规行走,当轨道与木星轨道
不相交时遵循高斯分布;相交时遵循Levy分布。
参考文献:
Petrosky:Celest. Mech. 42:53-79,1988
Liu J, Sun YS:Celest. Mech. Dyna. Astron. 60:3-28,2002
Zhou JL,Sun YS: A.&Aon. 364:887-893,2000
Zhou JL,Sun YS, Zhou LY: Celest. Mech. Dyna. Astron. 84:
409-427,2002