良榮論文最終 - 吳順德教授- 國立臺灣師範大學

國立臺灣師範大學機電科技學系
碩士論文
指導教授:吳順德博士
使用迭代式高斯法與傾斜極值篩選法解決
經驗模態分解法中的混波現象
Solution of Mode Mixing Phenomenon of
Empirical Mode Decomposition by Using
Iterative Gaussian Filter and Oblique-Extrema
Based Sifting Process
研究生:陳良榮 撰
中華民國 100 年 7 月

致謝
在這兩年的研究生生涯中,首先最要感謝的是我的指導教授吳順德博士。
不論是在課業上或是研究領域上都以專業的知識給了我很多靈感和啟發。還
有吳教授以在業界當主管多年的經驗背景,教導了我許多未來在工作上應有
的態度,及如何正確撰寫一份計畫書及報告。更重要的是這段期間我家裡發
生一些狀況時,吳教授持續的給予我幫助與建議,讓我可以順利度過這次難
關。這些都使我有所成長。
接下來要感謝學校的同學們,不論是學長小胖、家齊、士宜,或是同屆
同學家熏和實驗室學弟求文、庭易、易宗,都提供了我許多幫助和適時的關
懷。在這間小小的實驗室中充滿了許多回憶,永遠都會記得。還有我多年的
好友剛綸及富偉,在我遇到問題時總是不吝嗇的伸出援手,讓我在研究時事
半功倍。
最後要感謝我最敬愛的家人與老婆,他們是隱藏在我身後最大的助力。
有了他們的用心栽培與鼓勵,我才得以順利完成碩士學業。
在此將本論文獻給所有關心我的長輩、家人和朋友,希望可以一起分享
這份喜悅,謝謝你們。
I

中文摘要
1998 年黃鍔等人提出了一種可以用來處理非線性、非穩態訊號的時頻分
析工具,經驗模態分解法(Empirical mode decomposition, EMD)。經驗模態分
解法可以將訊號拆解成數個零均值、近似單成分的本質模態函數(Intrinsic
Mode Function, IMF)。可以比傅立葉分析(Fourier analysis)多處理非線性及非
穩態訊號的優點,使得經驗模態分解法已被應用在各個不同的領域。然而經
驗模態分解法存在著一些缺點例如停止準則、邊界效應、混波現象(mode
mixing)…等。本論文提出了一個結合迭代式高斯法(iterative Gaussian filter)
與傾斜極值篩選法(oblique-extrema based sifting process, OEMD)流程,可以
用來解決經驗模態分解法中的主要缺點:混波問題。不論迭代式高斯法或傾
斜極值篩選法都不是解決混波現象的完美解答,其中一個方法太耗時而另一
個只能處理混波現象的特定種類。由實驗結果可以發現,本論文的流程的確
可以有效阻止混波現象的發生。
關鍵字:經驗模態分解法、混波現象、迭代式高斯法、傾斜極值篩選法
II

Abstract
An ideal algorithm for nonlinear and non-stationary data analysis was
proposed by Huang et al. in 1998, as known as Empirical Mode Decomposition
(EMD). Comparing to Fourier analysis assuming the time series data is linear and
stationary, EMD is a method capable of analyzing not only linear and stationary
but also nonlinear and non-stationary. With this useful feature, EMD has been
applied to many fields. However, lacking theoretical foundation, there are some
drawbacks in EMD, such as sifting stop criterion, boundary effect, mode mixing,
etc. To fix the mode mixing problem, the main drawback of EMD, a process is
presented in this paper, which combines iterative Gaussian diffusive filter (IGDF)
with oblique-extrema based sifting process (OEMD) since either IGDF or
OEMD is not the perfect solution for mode mixing problem, for the reasons that
one of them is only able to solve specific problems and the other one is too
time-consuming. The experiments presented in this paper indicating that the
proposed process works as expected.
Keywords: Empirical Mode Decomposition, mode mixing, iterative Gaussian
diffusive filter, OEMD
III

目錄
致謝 ............................................................................................................................... I
中文摘要 ...................................................................................................................... II
Abstract ...................................................................................................................... III
目錄 ............................................................................................................................. IV
圖目錄 .......................................................................................................................... V
表目錄 ........................................................................................................................ VII
第一章 序論 .......................................................................................................... 1
1.1 前言 .......................................................................................................... 1
1.2 研究動機與目的 ....................................................................................... 1
1.3 論文架構 ................................................................................................... 2
第二章 經驗模態分解法與相關問題 .................................................................... 3
2.1 經驗模態分解法(EMD)簡介 .................................................................... 3
2.2 停止準則 Stop criterion ........................................................................... 6
2.3 邊界效應 Boundary effect ....................................................................... 8
2.4 極值點位置 Extrema locations ............................................................. 13
2.5 混波現象 Mode mixing .......................................................................... 14
2.6 其他 EMD 的問題 .................................................................................. 16
第三章 混波問題探討 ......................................................................................... 17
3.1 Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD.............................. 17
3.2 Signal-Assisted Empirical Mode Decomposition, SAEMD .................. 19
3.3 Masking Signal-Assisted EMD, MEMD ............................................... 21
3.4 利用微分運算來改善混波現象 .............................................................. 22
3.5 迭代式高斯濾波器,IGDF .................................................................... 24
3.6 傾斜極值篩選法,OEMD ..................................................................... 27
第四章 實驗流程設計與實驗結果 ...................................................................... 31
4.1 實驗流程設計 ......................................................................................... 31
4.2 本研究所使用的模擬訊號 ...................................................................... 34
4.3 迭代式高斯濾波器實驗結果 .................................................................. 35
4.4 傾斜極值篩選法實驗結果 ...................................................................... 39
4.5 本論文方法實驗結果 ............................................................................. 49
第五章 結論與未來展望 ..................................................................................... 56
5.1 結論 ........................................................................................................ 56
5.2 未來展望 ................................................................................................. 57
參考文獻 .................................................................................................................... 58
IV

圖目錄
圖 1 經驗模態分解法示意圖 ........................................................................ 3
圖 2 經驗模態分解法(EMD)演算法之流程圖 ............................................. 5
圖 3 邊界效應 ............................................................................................... 9
圖 4 具有邊界效應的 IMF............................................................................ 9
圖 5 奇偶函數擴充 ..................................................................................... 11
圖 6 鏡像擴充法 ......................................................................................... 12
圖 7 混波現象 1 .......................................................................................... 14
圖 8 混波現象 2 .......................................................................................... 15
圖 9 EMD 分解諧波能力關係圖 ................................................................ 16
圖 10 EEMD 流程圖 ................................................................................... 18
圖 11 EEMD 實驗結果 ............................................................................... 18
圖 12 迭代次數與誤差關係圖 .................................................................... 19
圖 13 SAEMD 實驗結果............................................................................. 21
圖 14 MEMD 流程圖 .................................................................................. 21
圖 15 MEMD 實驗結果 .............................................................................. 22
圖 16 經過微分運算的訊號,振幅比的特徵明顯提升 ............................. 23
圖 17 一般一階濾波器的頻率響應圖 ........................................................ 25
圖 18 迭代次數與暫態區關係圖 ................................................................ 25
圖 19 高斯濾波器時域與頻率響應圖 ........................................................ 26
圖 20 Oblique extrema point .................................................................. 27
圖 21 訊號反曲點與極值點關係圖 ............................................................ 28
圖 22 OEMD 之流程圖 ............................................................................... 30
圖 23 實驗流程圖 ....................................................................................... 31
V

圖 24 迭代式高斯濾波器流程圖 ................................................................ 32
圖 25 訊號一經 IGDF 分解結果 ................................................................. 35
圖 26 訊號二經 IGDF 分解結果 ................................................................. 36
圖 27 訊號三經 IGDF 分解結果 ................................................................. 36
圖 28 訊號一經 OEMD 分解結果 .............................................................. 39
圖 29 訊號二經 OEMD 分解結果 .............................................................. 40
圖 30 訊號三經 OEMD 分解結果 .............................................................. 40
圖 31 訊號一移除間歇性干擾後經 EMD 與 OEMD 拆解的結果 ............. 43
圖 32 訊號二移除間歇性干擾後經 EMD 與 OEMD 拆解的結果 ............. 45
圖 33 訊號三移除間歇性干擾後經 EMD 與 OEMD 拆解的結果 ............. 47
圖 34 訊號一的實驗結果............................................................................ 49
圖 35 訊號二的實驗結果............................................................................ 50
圖 36 訊號三的實驗結果............................................................................ 50
圖 37 訊號一經 EEDM 的拆解結果 ........................................................... 53
圖 38 訊號二經 EEMD 的拆解結果 ........................................................... 53
圖 39 訊號三經 EEMD 的拆解結果 ........................................................... 54
VI

表目錄
表 1 迭代式高斯法與傾斜極值篩選法之比較 ........................................... 33
表 2 IGDF 迭代時間 ................................................................................... 37
表 3 IGDF 相關係數 ................................................................................... 38
表 4 OEMD 迭代時間................................................................................. 41
表 5 OEMD 相關係數................................................................................. 41
表 6 移除間歇性干擾後 EMD 與 OEMD 的迭代時間 ............................... 47
表 7 移除間歇性干擾後 EMD 相關係數 .................................................... 47
表 8 移除間歇性干擾後 OEMD 相關係數 ................................................. 48
表 9 本論文方法迭代時間 .......................................................................... 51
表 10 本論文方法相關係數 ........................................................................ 51
表 11 EMD 與本論文方法拆解模擬訊號相關係數比較 ............................ 52
表 12 IGDF 與本論文方法時間 .................................................................. 52
表 13 本論文方法與其他常見方法比較 .................................................... 55
VII

第一章 序論
訊號處理中的時頻分析法應用在各種工程領域中,用途十分廣泛。本章
節前言部分介紹一種時頻分析的工具,隨後簡述本論文的研究動機與論文架
構。
1.1 前言
1998 年黃鍔(Norden E. Huang)博士等人提出了一個新的時頻分析方法:
HHT,它是一種結合 Hilbert Transform 和經驗模態分解法(Empirical Mode
Decomposition, EMD)的時頻分析工具。大致上分為兩個主要步驟: (1)將原始
訊號經過一套篩選迭代程序(sifting process)後,分解成數個本質模態函數
(Intrinsic Mode Function, IMF)以及一個趨勢分量(trend),此種過程就稱之為
EMD。(2)將分解出來的 IMF 代入 Hilbert Transform 中。透過上述步驟以找
出訊號之時間-頻率-能量的分布情形[1]。
因為 EMD 在篩選迭代過程所採用的基底(basis)會隨著訊號局部特徵尺
度(local characteristic time scale)而改變,屬於一種適應性基底(adaptive basis)。
可以解決傳統傅立葉分析不能處理非穩態(non-stationary)、非線性(nonlinear)
訊號的問題[1]。
這幾年來 HHT 已經應用在各個領域,例如海洋流訊號,影像訊號,語
音訊號,生醫訊號…等,都有不錯的成果。
1.2 研究動機與目的
HHT 在這幾年來已經被許多學者做為重要的時頻分析工具。EMD 可以
將訊號分解出有限個 IMFs,再透過 Hilbert Transform 分析 IMF 的瞬時頻率
(instantaneous frequency)與振幅就可以解讀訊號的物理意義。雖然 HHT 的應
1

用已經十分廣泛,但依然存在某些問題必須解決。這些問題分別為[2]:
停止準則的選取(stop criterion)
邊界效應(boundary effect)
IMF 的混波問題(mode mixing)
其中最需要被解決的是混波問題,當混波現象發生時,訊號所擁有的物
理意義可能會被破壞,在分析時可能會找不到特徵或是誤判。本論文綜合前
人的幾個做法,去蕪存菁,結合成一套新的流程,期望可以降低 EMD 混波
現象的影響。
1.3 論文架構
本論文一共分為六個章節,主要介紹經驗模態分解法中的混波問題,針
對混波問題提出改善的辦法,並放上實驗結果及結論。第一章先簡單說明何
為經驗模態分解法,並敘述本論文的動機及目的;第二章詳細說明了經驗模
態分解法的流程,並且對於此法常見的問題做簡單的介紹;第三章講述本論
文解決混波現象所採用的方法;第四章說明實驗的流程與實驗結果;最後第五
章做出結論與未來展望。
2

第二章 經驗模態分解法與相關問題
本章先簡介經驗模態分解法(EMD),之後再根據 1.2 節的敘述,針對 EMD
中常見的幾個問題分別討論為何會產生及可能造成的影響,並提出前人的解
決辦法。
2.1 經驗模態分解法(EMD)簡介
經驗模態分解法(Empirical Mode Decomposition, EMD)是一種將原始訊
號拆解成有限個由高頻至低頻排序的本質模態函數(Intrinsic Mode Function,
IMF),以及一個趨勢訊號(trend)的過程,如圖 1 所示。
圖 1 經驗模態分解法示意圖[1]
(上)原始訊號(下)原始訊號經由 EMD 拆解後的各分量
3

在 EMD 拆解的過程中,每一個 IMF 必須滿足下面兩個條件[1]:
訊號的局部極大值(local maxima)和局部極小值(local minima)數目總
合要和訊號跨零點(zero crossing)數目相等或是相差一個。
訊號的任一時間點,由局部極大值所定義的上包絡線和局部極小值
所定義的下包絡線,平均值必須為零。
也因為以上兩個條件,IMF 是一個振幅零均值(zero-mean amplitude
modulation)的近似單成分(mono-component),不同的局部特徵會拆解出不同
的 IMF。因此 EMD 可以處理非線性和非穩態的訊號。為了獲得符合定義的
IMF,黃鍔博士制定了一套流程稱之為篩選程序(sifting process),程序如下[1]:
1. 利用立方雲線(cubic spline)連接輸入訊號 的局部極大值與局部極小
值,作為上包絡線(upper envelope) 與下包絡線(lower envelope) 。
2. 求出上下包絡線的均值,作為均值包絡線 。
3. 將原始的輸入訊號 減去均值包絡線 得到一個分量 。
4
(2.1)
(2.2)
4. 檢查 是否滿足 IMF 的定義,如果不是則重複上述(1)-(3)步驟,不斷
迭代訊號,如果滿足定義則將分量 取出,將其記錄下來為 。此
時 就是所得到的第一個 IMF。
5. 將輸入訊號 減去 成為殘餘量 。
(2.3)
(2.4)
6. 此時訊號波形因原訊號重複將低頻分量移除,使得波形逐漸趨於對稱。
判斷殘餘量 是否為一個趨勢訊號(trend),如果不是就把殘餘量

當作新的原始訊號 繼續步驟(1)-(3),接下來會得到第二個 IMF 。
如果 是一個趨勢訊號就停止做拆解的動作。
7. 最後原始訊號可以表示為:
上述篩選程序表示成流程圖,如圖 2 所示[1]。
j 1
i i 1
x
i,
j
r
i
原始訊號
找出上包絡線
以及下包絡線
立方雲線
5
h j (t)
b j (t)
均值包絡線 m j (t)
g j i j j
( t)
x , ( t)
m ( t)
本質模態函數
是
ci j
( t)
g ( t)
殘餘量 ri ( t)
xi,
j ( t)
ci
否
趨勢函數
結束
xi, j t
是
( )
否
j j 1
( t)
g
xi, j j
圖 2 經驗模態分解法(EMD)演算法之流程圖
( t)
(2.5)

2.2 停止準則 Stop criterion
如上述程序所示,EMD 在根據局部特徵時間尺度拆解 IMF 的過程中,
會有兩個效果: (a)消除載波; (b)使振幅趨於平滑。第一個條件是為了使瞬時
頻率(instantaneous frequency, IF)有意義,第二個條件是為了防止鄰近的振幅
相差過大。不幸的是為了達成第二個條件,當 EMD 迭代太多次後,可能會
消滅具有物理意義的振幅波動。為了使 IMF 的振幅和頻率保持足夠的物理
意義,我們必須設定停止準則(stop criterion) [1]。
黃鍔博士等人首先提出利用標準差(Standard Deviation, SD)作為停止準
則[1]:
文獻中建議當 SD 大小在 0.2~0.3 之間時就停止迭代。
6
(2.6)
黃鍔博士等人在 2003 年提出了另一種停止準則,S 次數停止準則(S
number stop criterion)[3]:
這是一種自訂迭代次數的準則且滿足 IMF 極值點數必須和過零點數一
樣多的條件。當設定的 S 次數越小時,EMD 的拆解速度就越快; 當 S 次數
過大時,除了拆解過程較為耗時之外,可能又會破壞訊號所含的物理意義。
為了找到較佳的 S 次數,正交指數(Index of Orthogonal, IO[1])可以當作
另一個準則,文獻指出 IO 值小於 0.05 時所得到的 IMF 較好。此時 S 值介於
3~5 次,為最佳的 S 次數停止準則。
Cheng Junsheng 等人在 2005 提 出 了 訊 號 能 量 差 異 追 蹤 法 (Energy
Difference Tracking Method)[4]:

(2.7)式
假設原始訊號可以表示成有限個彼此不相關且均值為零的分量總合如
此時原始訊號的總能量可表示成
因為分量之間彼此正交,我們可得
此時能量守恆,原始訊號的總能量又可表示成
7
(2.7)
(2.8)
(2.9)
由(2.5)式我們知道 EMD 分解出的訊號是數個 IMF 分量加上一個趨勢分
量,假設第一個 IMF 分量 並沒有和原始訊號正交,原始訊號的總能量
可表示成
(2.11)
此時 和 之間會存在一個能量差異 。我們可以將 當作停止準
則,當設定的 越小時,EMD 所拆解出的 IMF 正交性越高,物理意義也
會更完整。
Bo Xuzn 等人則在 2007 年時提出了頻寬準則(Bandwidth Criterion)[5]:
文獻中敘述利用局部窄頻訊號(local narrowband signal)來替代 IMF 的兩
個條件,會使得 IMF 更接近 monocomponent。一個訊號 稱
之為窄頻訊號,若其振幅 是一個有限頻寬訊號(bandlimted signal),且
(2.10)

的最高頻率遠小於 的瞬時頻率 。
另一方面, 的瞬時頻寬可以定義為
假設 是 的 Fourier transform,且 的能量為 1。可以得到
8
(2.12)
(2.13)
其中 為 振 幅 頻 寬 (amplitude bandwidth) , 為 頻 率 頻 寬 (frequency
bandwidth)。
(2.14)
(2.15)
其中 (2.16)
當 越小時,拆解出的 IMF 會越接近 monocomponent。
2.3 邊界效應 Boundary effect
EMD 在拆解訊號時,如果遇到訊號邊界的極值點定義不明,無法找到
正確的包絡線,往往造成 IMF 會振盪或扭曲,破壞訊號所表示的物理意義[1]。
如圖 3 所示[6],黑色實線為原始資料,無法確定左右兩點是否為極值點,包
絡線可能出現錯誤。這使得 EMD 拆解出的 IMF 中,某些 IMF 在起始點或
截止點附近會產生出不正常的波動,如圖 4 所示[7],在紅色圓圈標示的地方。
針對改善邊界效應,整理出的方法如下:

圖 3 邊界效應[6]
圖 4 具有邊界效應的 IMF[7]
9

Kan Zeng and Ming-Xia He 在 2004 年提出了奇偶函數擴張法(odd &
even extension),將原始資料做奇偶函數擴充[6]。方法如下:
1. 將原始訊號 做偶函數擴充,成為一個 2N 周期的序列 。公式
如下:
10
(2.17)
2. 尋找 訊號的極大值,並利用立方雲線建立上包絡線。如果此時
最右邊的邊界點不是局部極大值的話,則將最左邊的極大值再利
用偶函數擴充補上。
3. 重複第 2 步,建立 的下包絡線。
4. 因為我們無法確定原始訊號 最右邊之後的訊號,就是以偶函數擴
充後的訊號呈現。所以我們又建立了一個奇函數擴充,公式如下:
5. 重複步驟 2、3 建立奇函數擴充的上下包絡線。
-
(2.18)
6. 將原始訊號 減去由 、 所求得四條包絡線的均值後,就可
以得到一個 IMF。如圖 5 所示[6],(a)原始訊號; (b)偶函數擴充,虛線
為上下包絡線; (c)奇函數擴充,虛線為上下包絡線; (d)虛線為(b)(c)四
條包絡線的均值,實線為原始訊號減去均值結果

圖 5 奇偶函數擴充[6]
Zhao Zhidong and Wang Yang 在 2007 年提出了一個考慮邊界附近極值
點和位置的方法[8]:
假設原始訊號的長度為。先將邊界的兩個點直接當作極大值和極小值,
然後在找出訊號中其他所有的極大值和極小值點。建立 、 、 和 等四
個值。其中 和 分別表示除了第 1 個和第 N 個點之外,其餘極大值的平
均值; 和 則分別表示除了第 1 個和第 N 個點之外,其餘極小值的平均。
接下來比較 、 、 、 、 和 的大小。如果 < ,則 = ; 如
果 < ,則 = ; 如果 > ,則 = ; 如果 > ,則 = 。
利用立方雲線連接上述資料重建後的極大值和極小值,求得上下包絡線,
並重複上述步驟以求得 IMF。
11

Zhang Qingjie 等人在 2010 年提出了一個在 EMD 迭代的過程中,判斷訊
號此時是高頻或低頻訊號的不同,採用不同處理邊界效應的辦法[9]。流程如
下:
1. 計算原始訊號的全部極值點數目 M。
2. 在迭代的過程中計算此時訊號的極值點數目 ,如果 則
將訊號當成高頻訊號,到步驟 3; 反之如果 則將訊號分
類成低頻訊號,跳到步驟 4。
3. 因為高頻訊號極值點夠多,所以邊界效應並不明顯,此時採用鏡相
擴充法就可以有不錯的效果。如圖 6 所示[9]。
圖 6 鏡像擴充法[9]
4. 低頻訊號則使用 least-squares polynomial 最小平方誤差法線性模擬
增加最左右兩邊的極值點。
5. 利用立方雲線連結極大值和極小值,找到上下包絡線與均值包絡
線。
6. 將原始訊號減掉均值包絡線判斷是否為 IMF。
12

7. 重複步驟 2~6 直到找到 IMF 為止。
8. 將原始訊號減去 IMF,判斷殘餘量(residue)是否為趨勢,是的話停
止程序,不是的話則令此殘餘量為原始訊號重複 2~8。
2.4 極值點位置 Extrema locations
在實際應用中 EMD 演算法通常都是使用在離散訊號。一般來說我們需
要知道取樣點和左右兩點的關係,來判斷取樣點是否為極值點。判斷方法如
下:
If((x[n]>x[n-1]) AND (x[n]≧x[n+1]))
OR ((x[n]≧x[n-1]) AND (x[n]>x[n+1])) 此時 x[n]為極大值
Else if ((x[n]

14
(2.20)
假若 a>0 則此點為最小值,若 a

圖 8 混波現象 2[10]
Rilling and Flandrin 在 2008 年[12]還有 Michael Feldman 在 2009 年[11],
分別用理論和數值分析的方式找到上述所敘述的特定條件。考慮一個訊號
由兩個頻率為 和 的訊號疊加而來:
其中 ,當它們的頻率比
某些關係,EMD 拆解時會產生不同的情況:
(圖 9 橫軸)與振幅比
15
(2.21)
(圖 9 縱軸)符合
1. 當兩訊號的振幅比和頻率比位於圖 9 中區域(1)時,也就是頻率或振
幅 非 常 接 近 時 , EMD 會將 視 為 是 單 一 波 形 或 者 是 因 為
intermittency 而無法拆解。關係式如公式(2.19):
或
(2.22)
2. 當兩訊號的振幅比和頻率比位於圖 9 中區域(2)時,EMD 需經過多
次篩選迭代程序才可將訊號分離。關係式如公式(2.20):
(2.23)

3. 當這兩訊號的振幅比和頻率比位於圖 9 中區域(3)時,也就是頻率比
和振幅比較大時,EMD 只需經過一次篩選迭代程序即可將訊號完全
拆解出來。關係式如公式(2.21):
2.6 其他 EMD 的問題
圖 9 EMD 分解諧波能力關係圖[11]
16
(2.24)
EMD 除了上述停止準則的選取、邊界效應、IMF 的混波問題外,還有
一些值得討論的地方,例如包絡線的選取[13][14][15][16][17][18]、如何定義
均值包絡線[19][20]…等。

第三章 混波問題探討
本論文針對 EMD 的主要缺陷「混波現象」做改善。綜合前人訊號處理
的文獻,期待可以整理出一個有效又簡單流程,將處理不同問題的方法結合
起來,用以解決混波現象。
本章節對於系統架構中的各步驟做詳細的介紹,探討其推導過程和主要
功用。隨後將會在第四章說明本論文的流程及設定原因。以下各小節即為本
論文流程的引用文獻。
3.1 Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD
2009 年 Zhaohua Wu 和 黃鍔為了改善由 intermittency 所造成的混波現
象而提出了一個在訊號中加入白雜訊的方法[10],流程如下:
1. 在原始訊號 中加入白雜訊 。
2. 用 EMD 將加入白雜訊後的訊號拆解成數個 IMFs。
3. 重複步驟 1、2 數次,但每次加入的白雜訊都不同。
4. 將所有拆解出來的 IMFs 做均值,以獲得最終結果。
EEDM 對於整個分解流程的影響在於迭代過程中所加入的白雜訊提供
了均勻的分散尺度,使得 intermittency 訊號可以被分離開來,並在最後一步
IMFs 平均後相互抵消了。將上述步驟繪成流程圖如下
17

圖 10 EEMD 流程圖
圖 11 EEMD 實驗結果[10]
18

圖 11 是 EEMD 對於模擬訊號加入 50 次白雜訊後的拆解結果,可以看出
intermittency 訊號被移除了。雖然 EEMD 對於 intermittency 問題的處理能力
不錯,但是缺點是迭代次數比較多次後誤差值才會小於可以滿意的大小,如
圖 12 所示。除此之外,拆解出的 IMFs 可能會增加。
圖 12 迭代次數與誤差關係圖[10]
3.2 Signal-Assisted Empirical Mode Decomposition, SAEMD
Xu Guanlei 等人在 2009 年提出了 SAEMD(Signal-assisted empirical mode
decomposition)[27],是一種修正 IMF 相位和振幅的方法,針對時變的混合訊
號有不錯的拆解能力。方法如下。
1. 找出所有原始訊混合訊號
點 。
2. 用標準 EMD 拆解出 的 。
3. 將 代入最小平方誤差法 以求得
19
的極值
(3.1)
(3.2)

其中
4. 求出 的最佳估計振幅(estimation of amplitudes):
將 代入 Hilbert transform,得
複數成分 ,然後可以得到:
再將(3.4)式代入 Fourier transform 得到
又
其中 ,代入最佳估計振幅:
5. 透過 SAEMD 得到的第一個 IMF 為 。
6. 。
7. 重複步驟 1~6 直到 為一個趨勢函數為止。
20
(3.3)
。若 有一個
SAEMD 是一種先找出原始訊號極值點時間後,將傳統 EMD 所拆解出
的 IMF 重新做修正的方法。對於時變訊號的拆解能力不錯,但缺點是若訊
(3.4)
(3.5)
(3.6)
號長度增加的話,在估計相位時因為階數提高,使得計算量大幅增加。下圖
13 是 SAEMD 的實驗結果,左邊由上到下分別是三個不同的訊號和其加總
結果,右邊則是 SAEMD 的拆解結果。

圖 13 SAEMD 實驗結果[27]
3.3 Masking Signal-Assisted EMD, MEMD
R. Deering 於 2005 年提出了一個將原始訊號加入修正訊號再進行拆解
的方法[28],流程如下並繪成流程圖 14:
1. 透過原始訊號 的頻率和振幅建構出修正訊號 。
2. 將 與 分別用 EMD 拆解成 、
。
3. 將新的 IMF 定義為
圖 14 MEMD 流程圖
21

圖 15 為 MEMD 的實驗結果,上方為原始訊號,中間為 EMD 的拆解結果,
下方為 MEMD 的拆解結果,可以發現混波現象有所改善。不過 MEMD 必
須先建構出修正函數,但是對於函數內的參數並沒有一個明確的數學定義,
可能要用經驗來選擇,並不方便。
3.4 利用微分運算來改善混波現象
如下:
圖 15 MEMD 實驗結果[28]
2010 年,林家齊提出了利用微分運算來改善混波現象的方法[22],概念
1. 假設原始訊號
其中 , 其振幅比為:
2. 經過微分運算後變成:
22
(3.7)
(3.8)

3. 其振幅比為:
4. 透過微分運算後因為 ,所以
以圖 16 來解釋:
23
(3.9)
。也就是說振幅比被放大了,
原本特徵位於不可分離區(1)的訊號,經過微分運算後,特徵提升到可以
容易被分離的區域(3)。另外原本特徵位於 EMD 需經過多次拆解才可分
離(2)的訊號,經過微分運算後,特徵也提升到區域(3),大幅減少 EMD
運算時間。
5. 透過積分法將訊號還原,以獲得正確的 IMF。
Differentiate
圖 16 經過微分運算的訊號,振幅比的特徵明顯提升[22]
此方法雖然簡單且容易實現,但是因為必須使用積分法將訊號還原,還
原後會有基準線漂移的現象。且若訊號的頻率比或振幅比太小,就算透過微
分也無法將特徵位於區域(1)或區域(2)的訊號轉移到區域(3)。

3.5 迭代式高斯濾波器,IGDF
由 2.5 節的討論可以知道,若訊號間的頻率與振幅符合某些特定條件會
有混波現象(mode mixing)的問題,或是高頻雜訊參雜在訊號中產生間歇現象
(intermittency)。針對間歇現象,本論文採用迭代式高斯濾波器(Iterative
Gaussian Diffusive Filter, IGDF)來加以改善[23][24]。
假設原始離散訊號:
其中 是第 l 模態(mode)波長, 是離散 Fourier 級數展開
24
(3.10)
將 高 斯 濾 波 器 (3.11 式 ) 代入 (3.10 式 ) 後 可 得 到 較 為 平 滑 的 訊 號 ( 低
頻) (3.12 式):
⇒
若我們將 減去 可以得到較為高頻的訊號 (3.13):
透過這樣的機制,高斯遮罩可以當作一個濾波器。不幸的是,一般的低通
濾波器都是非理想的,在截止頻率(Cutoff frequency)後面依然存在著過渡
頻帶(transition band),如圖 17 所示。一般一階濾波器的頻率響應圖,可以
發現在截止頻率後面還有過渡頻帶,高低頻的訊號就不能準確的被分離出
來。為了解決此問題,文獻[24]的作者提出了迭代式的高斯遮罩。
(3.11)
(3.12)
(3.13)

圖 17 一般一階濾波器的頻率響應圖[25]
當訊號經過 m 次的遮罩後,其數學式可以表示成:
由頻率響應圖 18,可以發現當迭代次數增加時,暫態區會變小,因此訊
號可以比較精確的被分離出來。
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2
frequency
2.5 3 3.5 4
圖 18 迭代次數與暫態區關係圖
25
m=1
m=4
m=7
m=10
,
(3.14)

若想要分離兩個不同波長的訊號( ),可以透過下面的式子:
其中參數 可以任意設定成一個小數值,有了 和 就可以求出平滑參數 。
從圖 19 高斯濾波器的時域圖和頻率響應圖可以發現,高斯濾波器的截止
頻率會隨著不同的平滑參數 而改變。
GAIN
0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
0 10 20 30 40
frequency
50 60 70 80
0.018
0.016
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
圖 19 高斯濾波器時域與頻率響應圖
26
sigma=2
sigma=1
sigma=0.5
sigma=2
sigma=1
sigma=0.5
0
0 1 2 3 4 5 6
(3.15)

3.6 傾斜極值篩選法,OEMD
若訊號中兩個極值點之間含有一個或以上的反曲點(inflection
point)(訊號經過一次微分後的極值點),很容易可以理解訊號之中有隱藏尺
度(hidden scales)。不幸的是傳統 EMD 的特徵時間尺度是依據極值點發生
的間隔所求得,所以假如一個訊號在改變震盪行為時極值點數沒有增加的
話,EMD 拆解出來的 IMF 將會保持不變。這就是為什麼 EMD 會錯失一
些平緩的震盪,使得 IMF 包含一些隱藏尺度的主要原因。為了改善這個
問題,此篇論文採用傾斜極值篩選法(Oblique-extrema Empirical Mode
Decomposition, OEMD)演算法加以改善[26]。
首先要先定義的是傾斜極值點(Oblique extrema point):
令 和 (t t )為訊號 的兩個反曲點, 為連
接兩個反曲點的直線。將 減去 後可以得到
,然後f l t 的區域極值點 就被定義為區域傾斜極大值或極小值點
(an oblique local maxima or minima)。如圖 20。
圖 20 Oblique extrema point [26]
27

若 的行為類似下圖 21(c),原本兩個反曲點中並沒有極值點,透過
計算後多得到一個傾斜極值點 ,EMD 演算法將得以改善。
圖 21 訊號反曲點與極值點關係圖[26]
接下來要定義傾斜極值本質模態函數(Oblique-extrema IMF, OIMF),
和 IMF 類似,一個 OIMF 訊號必須滿足以下兩個條件:
所有的傾斜極大值皆為正值,所有的傾斜極小值皆為負值。
在任何時間點,由傾斜極值點定義出的均值包絡線值皆為 0。
條件 1 可以確保 OIMF 中沒有載波和隱藏尺度; 條件 2 可以確保 OIMF
是對稱的,使得瞬時頻率不會因為不對稱的載波產生不想要的波動。定義
完傾斜極值點和 OIMF 後就可以介紹 OEMD(Oblique-extrema Empirical
Mode Decomposition)流程:
1. 假設原始訊號為 ,先找出 的極值點,接下來找出 的極值
點g g g m ,它們就是 的反曲點。
2. 將所有反曲點以直線連接起來成為 。
3. 將 減去 使得 。
4. 找出所有 的極值點 m 的發生時間接著對應到 的
值,它們就是 的傾斜極值點。
28

5. 接下來和傳統 EMD 一樣,以立方雲線連接 的極值點和步驟 4 所
找到的傾斜極值點形成上下包絡線( ),然後求出均值包絡
6. 將原始訊號減去均值包絡線 。
。
7. 判斷 是否為一個 OIMF,如果不是則回到第 1 步,如果是 OIMF
則令
8. 將殘餘量 當作新的輸入訊號 回到第一步,當
r n t 是一個 OIMF 或是r n t 的傾斜極值點少於 2 個時中止。
最後,原始訊號 就可以表示成:
29
(3.16)
拆解成 n 個 OIMFs 和一個殘餘量。將上述步驟畫成流程圖如圖 22 所示:

j 1
i i 1
i,
j
圖 22 OEMD 之流程圖
整個 OEMD 迭代過程可以造成兩個效果: (a)消除載波和隱藏尺度; (b)
平滑不對稱的振幅。
x
( t)
r ( t)
i
原始訊號 x(t)
找出 極值點
, ( )
時間
t xi j
t
a
找出 x ( ) 反曲點
i,
j t
時間 t
b
以直線連接 xi,
j(
tb)
形成 l(
tb
)
xli , j
( t)
xi,
j(
t)
l(
tb)
找出 ( ) 極值點
,
時間
t xl i j
t
t
t c
以 a 和 建立 i
均值包絡線 (t)
OIMF
30
m j
hj i j j
( t)
x , ( t)
m
( t)
ci j
( t)
h ( t)
ri i j i
)
(t
r i
c
( t)
x , ( t)
c ( t)
極值點少於2
結束
, t x j
( )
j j 1
x
li , j
h ( t)
j

第四章 實驗流程設計與實驗結果
根據第三章的文獻回顧,針對改善混波現象,此章節先介紹本論文的實
驗流程,解釋為何選用下列方法以及制訂此流程的理由,並簡介各個方法的
優缺點。接下來為本實驗成果的呈現及說明,驗證實驗流程是否有效。先對
各步驟的工具做測試,對實驗中各個結果加以討論,最後再測試完整的流
程。
4.1 實驗流程設計
下圖 23 為本論文之實驗流程圖。
原始訊號 迭代式高斯濾波器 傾斜極值篩選法 結束
移除 intermittency 改善訊號振幅比
及移除隱藏的時
間尺度訊號
圖 23 實驗流程圖
先將原始訊號放入迭代式高斯濾波器中,透過 3.9 式找出迭代式高斯濾
波器的平滑參數 ,過濾掉高頻間歇性訊號,以移除 intermittency 現象,接
下來透過 OEMD 將剩餘訊號繼續拆解,流程圖如圖 24。
31

圖 24 迭代式高斯濾波器流程圖
流程圖中第三步 這邊對 連續
做兩個迴旋積的理由是由 3.13 式可以知道高斯遮罩 的大小為:
訊 號
確保系統會收斂。
高斯遮罩
原始訊號x(t)
g(
, t)
m=1
1
e
2
ym m
( t)
g( ,
t)
[
g(
,
t)
x
( t)]
'
y m xm(
t)
ym(
t)
y m
0
是
高頻訊號: y
低頻訊號: y
'
m
m
否
。若在迭代的過程中 ,則第 3.14 式中的高頻
32
2
t
2
2
m m1
x ( t)
y
就 會 因 為
使得系統發散。所以要連續做兩次高斯遮罩的迴旋積,
m
m

若直接採用迭代式高斯濾波器分離出訊號 IMF,會相當的耗時。除了耗
時 的 缺 點 之 外 , 迭 代 式 高 斯 濾 波 器 並 不 能 處 理 調 頻 訊 號 (Frequency
modulation, FM)。因此就單純的把高斯濾波器拿來過濾高頻的間歇訊號,解
決 intermittency。除此之外,不論是使用傳統 EMD 或者是 OEMD 拆解訊號。
只要訊號中有間歇性干擾,拆解出來的 IMFs 一定會有混波現象的情形,如
圖 8 所示。因此必須在使用 EMD 之前透過迭代式高斯濾波器移除訊號的
intermittency。
OEMD 的演算法容易實現且省時,且演算法必須找到訊號中的反曲點,
所以 OEDM 又具有 3.4 節以微分法提升振幅比的作用。加上此演算法所取的
極值點位置是介於兩個反曲點之間的取樣點,更可以找出訊號中隱藏的時間
尺度。下表為迭代式高斯濾波器與 OEMD 的優缺點說明。
IGDF
OEMD
優點 缺點
可以分離訊號中指定的頻率; 很容易處理
intermittency 現象
省時; 容易實踐; 可以移除隱藏的時間尺
度訊號
33
耗時
不能解決
表 1 迭代式高斯法與傾斜極值篩選法之比較
intermittency 現象

4.2 本研究所使用的模擬訊號
本研究一共使用三個模擬測試訊號,取樣頻率都是 1000Hz,時間 t 都是
20s,如下所示:
訊號一:
訊號二:
訊號三:
訊號一是三個不同頻率振幅的弦波加上間歇性干擾所組成,其中三個混
合訊號的頻率、振幅比位於第 2.5 節中圖 9 可以分離的區域 3 中。測試迭代
式高斯濾波器拆解間歇性干擾的能力和時間,並實驗 OEMD 在訊號是可以
被 EMD 分離時的拆解能力。
訊號二是兩個訊號加上間歇性干擾,頻率、振幅比位於圖 9 不可分離的
區域 1 中。測試迭代式高斯濾波器拆解間歇性干擾的能力和時間,並實驗
OEMD 在訊號是不可被 EMD 分離時的拆解能力。
訊號三則是參考文獻[26]中的一個 EMD 不可分離的模擬訊號加上間歇
性干擾。測試迭代式高斯濾波器拆解間歇性干擾的能力和時間,並實驗
OEMD 在訊號是不可被 EMD 分離時的拆解能力。
34

4.3 迭代式高斯濾波器實驗結果
本研究用訊號一至訊號三作迭代式高斯濾波器對間歇性雜訊的分離能
力的測試,以及分離各種不同頻率弦波的能力。實驗結果如圖 25、圖 26、
圖 27 所示。
s 1 (t)
highest
2nd
3rd
lowest
a
10
0
-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b
0.5
0
-0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
10
0
-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
e
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 25 訊號一經 IGDF 分解結果
(a)原始訊號 (b)經過迭代式高斯濾波器分離出的高頻雜訊(c)繼續拆解所
分離出的最高頻訊號(d)次高頻訊號(e)最低頻訊號
35

s 2 (t)
2nd
lowest
highest
50
0
-50
0 2 4 6 8 10
b
12 14 16 18 20
6
4
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
10
0
-10
0 2 4 6 8 10
d
12 14 16 18 20
50
0
-50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
圖 26 訊號二經 IGDF 分解結果
(a)原始訊號 (b)經過迭代式高斯濾波器分離出的高頻雜訊(c)繼續拆解所
highest
s 3 (t)
lowest
2nd
40
20
分離出的高頻訊號(d)低頻訊號
圖 27 訊號三經 IGDF 分解結果
(a)原始訊號 (b)經過迭代式高斯濾波器分離出的高頻雜訊(c)繼續拆解所
分離出的訊號(d)剩餘趨勢訊號
a
time(s)
0
0 2 4 6 8 10
b
12 14 16 18 20
0.5
0
-0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
4
2
0
-2
-4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d
20
10
0
a
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
36

將三個模擬訊號拆解時所需的迭代時間製作成下表
間歇性干擾
拆解時間(s)
剩餘訊號
第一次拆解時間(s)
37
剩餘訊號
第二次拆解時間(s)
時間總和
訊號一 0.312 0.137 51.766 52.215
訊號二 0.026 0.13 0.156
訊號三 0.026 211.458 211.484
表 2 IGDF 迭代時間
由表 2 可以發現,迭代式高斯濾波器對於濾除間歇性雜訊的能力相當
好,訊號一至訊號三分別只要相當少的秒數即可將雜訊分離,方便又省時。
然而,若要使用高斯濾波器拆解頻率接近的訊號時,迭代次數會大大的增
加。訊號一分離最後兩個訊號的時候,消耗時間比前面相加還多了 115 倍
的時間,相當耗時,並不適合做此用途。訊號二的頻率比已達到 5 倍,所
以所需的迭代時間很少。訊號三則和訊號一類似,迭代的時間和分離間歇
性雜訊時相比也是高出許多。
除此之外,由圖 25 至圖 27 可以發現,迭代式高斯濾波器和 EMD 類似,
也存在著邊界效應的問題。表 3 是使用迭代式高斯濾波器分離訊號時的誤差
值,這邊所使用的誤差函數是相關係數(correlation coefficient),其值介於
[-1,1],正值表示正相關,負值代表負相關,越接近 1 時相關性越好表示誤
差值越小。為了排除邊界效應對相關係數的影響,本論文在計算時所採用的
時間為 t=[1,19]。
由表 2、表 3 可以發現迭代式高斯濾波器拆解訊號很準確,但缺點是一
但訊號頻率接近時,迭代時間會大大增加。
(s)

訊號一
訊號二
訊號三
見歇性干擾
相關係數
0.9997
0.9963
0.9997
最高頻訊號
相關係數
1.0000
0.9965
0.9973
表 3 IGDF 相關係數
38
次高頻訊號
相關係數
1.0000
最低頻訊號
相關係數
1.0000
0.9996
0.9835

4.4 傾斜極值篩選法實驗結果
4.4 將三個模擬訊號分別代入 OEMD 做測試,測試 OEMD 對於有間歇
性干擾訊號的拆解能力。隨後將三個訊號的干擾雜訊移除,測試對於不同混
合訊號的拆解能力,並且在此時和 EMD 做比較,測試 OEMD 是否比 EMD
更能將隱藏尺度的訊號分離。實驗結果如圖 28、圖 29、圖 30、圖 31、圖
32、圖 33 所示。
s 1 (t)
IMF1
IMF2
IMF3
IMF4
a
10
0
-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
0
-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b
10
0
-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
5
0
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d
5
0
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 28 訊號一經 OEMD 分解結果
39

IMF1
IMF2
IMF3
s 2 (t)
s 3 (t)
IMF2
IMF3
IMF1
50
0
-50
0 2 4 6 8 10
b
12 14 16 18 20
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
40
20
0
-20
-40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d
50
0
-50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
40
20
圖 29 訊號二經 OEMD 分解結果
圖 30 訊號三經 OEMD 分解結果
a
time(s)
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b
100
0
-100
-200
-300
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
200
0
-200
0 2 4 6 8 10
d
12 14 16 18 20
200
0
-200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
a
time(s)
40

訊號一
訊號二
訊號三
訊號一 訊號二 訊號三
時間(s) 18.7654 13.4495 13.3556
表 4 OEMD 迭代時間
見歇性干擾
相關係數
0.0347
0.1699
0.0011
最高頻訊號
相關係數
0.4764
0.0105
-0.2263
表 5 OEMD 相關係數
41
次高頻訊號
相關係數
0.3691
最低頻訊號
相關係數
0.3968
0.5645
-0.4297
由圖 28、圖 29、圖 30 與表 5 可以發現,在模擬訊號中摻雜了間歇性雜
訊,測試 OEMD 的拆解能力時,可以看出同一個時間尺度的訊號被拆解的
不同的 IMF 中,也就是說發生了混波現象。由此可知不論是傳統 EMD 或者
是 OEMD,對於有間歇性干擾的訊號,拆解能力都不佳,混波現象一定會發
生(intermittency)。
從表 4 則可以觀察到 OEDM 的迭代時間主要是根據 IMF 的多寡,混合
訊號成分越多拆解時間越長。但是和迭代式高斯濾波器在拆解頻率接近的訊
號時相比(表 2),時間明顯節省很多。

s 1 (t)
s 1 (t)
s 1 (t)
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
time(s)
-2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
EMD
time(s)
OEMD
-8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
time(s)
42
a
b
c

s 1 (t)
s 1 (t)
IMF1
IMF1
IMF2
IMF3
IMF2
IMF3
10
0
EMD
a
-10
0 2 4 6 8 10
b
12 14 16 18 20
10
0
-10
0 2 4 6 8 10
c
12 14 16 18 20
2
0
-2
0 2 4 6 8 10
d
12 14 16 18 20
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10
0
time(s)
OEMD
a
-10
0 2 4 6 8 10
b
12 14 16 18 20
10
0
-10
0 2 4 6 8 10
c
12 14 16 18 20
5
0
-5
0 2 4 6 8 10
d
12 14 16 18 20
5
0
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 31 訊號一移除間歇性干擾後經 EMD 與 OEMD 拆解的結果
(a)原始訊號 (b)由 EMD 求得的原始訊號極值點(c)由 OEMD 求得的原始
訊號極值點(d)EMD 拆解結果(e)OEMD 拆解結果
43
d
e

s 2 (t)
s 2 (t)
s 2 (t)
30
20
10
0
-10
-20
-30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
time(s)
-1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
30
20
10
0
-10
-20
EMD
time(s)
OEMD
-30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
44
a
b
c

s 2 (t)
s 2 (t)
IMF1
IMF2
IMF2
IMF1
50
0
-50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
50
0
EMD
a
-50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
0
-1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
50
0
圖 32 訊號二移除間歇性干擾後經 EMD 與 OEMD 拆解的結果
(a)原始訊號 (b)由 EMD 求得的原始訊號極值點(c)由 OEMD 求得的原始
訊號極值點(d)EMD 拆解結果(e)OEMD 拆解結果
b
c
time(s)
-50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
0
OEMD
a
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
50
0
-50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b
c
time(s)
45
d
e

s 3 (t)
s 3 (t)
s 3 (t)
IMF1
IMF2
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
25
20
15
10
5
time(s)
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
20
10
OEMD
time(s)
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
20
10
EMD
a
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1
0
-1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
46
a
b
c

s 3 (t)
IMF2
IMF1
20
10
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
0
圖 33 訊號三移除間歇性干擾後經 EMD 與 OEMD 拆解的結果
(a)原始訊號 (b)由 OEMD 求得的原始訊號極值點(c) EMD 拆解結果
(d)OEMD 拆解結果
訊號一 訊號二 訊號三
EMD 時間(s) 2.4530 1.9172 1.7307
OEMD 時間(s) 7.9930 3.3751 3.6545
表 6 移除間歇性干擾後 EMD 與 OEMD 的迭代時間
訊號一
訊號二
訊號三
IMF1
相關係數
0.9999
0.0401
0.2111
OEMD
a
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
20
10
47
IMF2
相關係數
0.9821
Na
Na
表 7 移除間歇性干擾後 EMD 相關係數
b
c
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
IMF3
相關係數
0.9841
d

訊號一
訊號二
訊號三
IMF1
相關係數
0.9962
0.9974
0.9519
48
IMF2
相關係數
0.9883
1.0000
0.9994
表 8 移除間歇性干擾後 OEMD 相關係數
IMF3
相關係數
0.9984
將間歇性干擾從模擬訊號中移除後,由圖 31 可以觀察到混合訊號頻率
比、振幅比座落在 2.5 節圖 9 中的區域(3)時。由 EMD 或者 OEMD 所找到的
極值點是一樣的,都可以順利將訊號拆解,對照表 7、表 8 可以看出相關係
數都很高,而且對照表 2、表 6 發現 EMD 或 OEMD 迭代的時間會比迭代式
高斯濾波器少很多。
由圖 32 可以看到 OEMD 會找出介於兩個反曲點中間的隱藏極值點
oblique-extrema,比傳統 EMD 的極值點還多,因此可以將傳統 EMD 不能分
解的訊號給拆開。對照表 7、表 8 可以看出 EMD 相關係數相對 OEDM 而言
低了很多。
若將 微分可得 ,所以傳統
EMD 會找不到極值點而無法將訊號分解。但從圖 33 可以再一次觀察到,
OEMD 找出了比傳統 EMD 還多的極值點,所以能把有趨勢的混合訊號順利
拆解。對照表 7、表 8 也可以看出 EMD 相關係數相對 OEDM 而言低了很多。
透過這三個例子可以得知,傳統 EMD 對於趨勢訊號或者有混波的訊號,
在拆解尋找極大極小值的過程中,往往會漏失掉一些隱藏訊號的極值點,使
得被拆出的 IMFs 不是一個單一成分訊號。然而 OEMD 的 oblique-extrema

point 則可以克服這個問題,使各分量拆解到不同的 IMF 中。
透過 4.3、4.4 節的幾個例子可以呼應 4.1 節中敘述的流程:要先使用迭代
式高斯濾波器對訊號做 intermittency 處理。又因迭代式高斯濾波器,對於頻
率接近的訊號拆解太過耗時,所以過濾掉間歇性干擾後之後再使用 OEDM
找出隱藏尺度的訊號。
4.5 本論文方法實驗結果
第四章最後,本論文做 4.1 節中的流程測驗。實驗結果如圖 34、圖 35、
圖 36 所示。
s 1 (t)
intermittency
IMF1
IMF2
IMF3
This paper
a
10
0
-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
b
0.5
0
-0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
10
0
-10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d
5
0
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
e
5
0
-5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 34 訊號一的實驗結果
(a)原始訊號 (b)被 IGDF 分離的雜訊(c)將剩餘訊號代入 OEMD 後的
IMF1(d)IMF2(e)IMF3
49

s 2 (t)
IMF2
intermittency
IMF1
50
0
This paper
a
-50
0 2 4 6 8 10
b
12 14 16 18 20
6
4
2
0
-2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
c
2
0
-2
0 2 4 6 8 10
d
12 14 16 18 20
50
0
-50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 35 訊號二的實驗結果
(a)原始訊號 (b)被 IGDF 分離的雜訊(c)將剩餘訊號代入 OEMD 後的
s 3 (t)
residue
intermittency
imf1
20
10
IMF1(d) IMF2
0
0 2 4 6 8 10
b
12 14 16 18 20
2
0
-2
圖 36 訊號三的實驗結果
(a)原始訊號 (b)被 IGDF 分離的雜訊(c)將剩餘訊號代入 OEMD 後的
IMF1(d)殘餘量
a
0 2 4 6 8 10
c
12 14 16 18 20
2
0
-2
0 2 4 6 8 10
d
12 14 16 18 20
20
10
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
50

訊號一
訊號二
訊號三
訊號一 訊號二 訊號三
時間(s) 9.1004. 3.7800 3.6374
表 9 本論文方法迭代時間
間歇性干擾
相關係數
0.9997
0.9965
0.9996
IMF1
相關係數
1.0000
0.9980
0.9503
表 10 本論文方法相關係數
51
IMF2
相關係數
0.9873
0.9999
0.9994
IMF3
相關係數
0.9983
從 最後三個實驗結果可 以 觀 察 到 , 本 論 文 所 設 計 的 實 驗 流 程
(IGDF+OEMD)的確可以有效的改善 EMD 中的混波現象,對照表 11 可以發
現相關係數比 EMD 提高很多。再對照表 12 後可觀察到當混合訊號頻率很
接近時,所花費的時間也比只使用迭代式高斯濾波器來拆解快很多。

訊號一
訊號二
訊號三
方法 間歇性干擾
相關係數
52
IMF1
相關係數
IMF2
相關係數
IMF3
相關係數
EMD 0.9999 0.9821 0.9841
IGDF+OEMD 0.9997 1.0000 0.9873 0.9983
EMD 0.0401 Na
IGDF+OEMD 0.9965 0.9980 0.9999
EMD 0.2111 Na
IGDF+OEMD 0.9996 0.9503 0.9994
表 11 EMD 與本論文方法拆解模擬訊號相關係數比較
訊號一 訊號二 訊號三
IGDF 時間(s) 52.215 0.156 211.484
IGDF+OEMD 時間(s) 9.1004 3.78 3.6374
表 12 IGDF 與本論文方法時間
為了證明本論文所提方法的優越性,我們使用套裝軟體 Visual Signal 將
訊號一至訊號三代入目前最常被用來解決混波現象的 EEMD 方法,其拆解
結果如圖 37、圖 38、圖 39 所示,EEMD 加入白雜訊的次數為 50 次。從圖
37、圖 38、圖 39 中,我們可以看出 Visual Signal 的 EEMD 模組的拆解結果
依然存在混波問題,而本論文所設計的演算法則可完全消除混波現象。

60
50
40
30
20
10
0
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
EEMD
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 37 訊號一經 EEDM 的拆解結果
EEMD
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 38 訊號二經 EEMD 的拆解結果
53

24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
EEMD
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
time(s)
圖 39 訊號三經 EEMD 的拆解結果
54

本章最後整理出表 13,是第三章文獻回顧中一些處理混波現象方法和本
論文方法(IGDF+OEMD)的優缺點比較。
EEMD
SAEMD
MEMD
IGDF+OEMD
優點 缺點
分離間歇性干
擾效果佳
處理時變訊號
效果佳
可以分解有隱
藏尺度的訊號
分離間歇性干
擾效果佳
可以分離有隱
藏尺度的訊號
省時
耗時
不能分解有隱藏尺度的訊號
不能移除間歇性干擾
可能會很耗時
不能移除間歇性干擾
需要用經驗決定參數,並不準確
分離間歇性干擾雜訊時,須先知道
55
雜訊的頻率,以設定 IGDF 的平滑
參數
表 13 本論文方法與其他常見方法比較

第五章 結論與未來展望
第六章為本論文的最終章節。透過第三章的混波現象文獻回顧,和第四、
第五章的實驗流程設計與展示的結果,從觀察中可以得到下面的結論。最後
提出本論文的未來工作。
5.1 結論
經驗模態分解法(EMD)在對混合訊號拆解迭代的過程中,若混合訊號的
頻率過於接近,EMD 會將訊號視為單一波型無法拆解。或者是發生間歇性
干擾(intermittency)時,同一尺度的訊號會被分配到不同的本質模態函數(IMF)
中。這兩種情況都稱為 EMD 的混波現象(mode mixing)。本論文針對改善混
波現象,這個 EMD 的主要問題,提出了一個結合迭代式高斯濾波器與傾斜
極值篩選法(OEMD)的流程。從第五章的實驗結果可以發現:迭代式高斯濾波
器確實可以輕易的將高頻的間歇雜訊給濾除,有效的解決 intermittency 問題。
除此之外,若想透過迭代式高斯濾波器篩選出混合訊號的 IMFs 時,雖然可
以達成,但相當的耗時並沒有效率。而 OEMD 透過找到訊號兩個反曲點中
隱藏的極值點(oblique-extrema),的確可以輕易的將頻率太過接近,傳統 EMD
會視為單一波型的混合訊號給拆解開來。而且和傳統 EMD 類似,只要遇到
間歇性干擾 intermittency 時,混波現象也會產生。
因此本論文設計先透過迭代式高斯濾波器移除掉間歇性雜訊,剩下來頻
率可能比較接近的訊號再使用迭代次數較少的 OEMD 拆解出 IMFs。從第五
章最後的結果可以看出,本論文提出的流程確實可以更有效的改善混波現象
的問題。
最後,本篇論文的主要貢獻在於:
1. 第一個用迭代式高斯濾波器排除掉 EMD 中 intermittency 現象的研究。
56

2. 透過本篇論文的設計流程,將前人提出的兩種各有其優缺點的方法,經
過整合後可以簡單又有效解決 EMD 的混波問題。
5.2 未來展望
雖然本論文的方法確實可以改善 EMD 的主要問題,混波現象。但是依
然存在一些地方可以改善:(1)不論是迭代式高斯濾波器或者傾斜極值篩選法,
都有邊界效應的問題;(2)迭代式高斯濾波器必須先設定想要分離訊號的頻率,
以求出迭代次數 m 和平滑參數 。本論文的模擬訊號都已預先知道雜訊的頻
率,若是處理實際訊號時,可能要用傅立葉分析或者一些時頻分析的方法來
解決。未來目標主要就是從這兩方面改善,希望能讓整體架構更為完整。
57

參考文獻
[1] N. E. Huang, Z. Shen, S. R. Long, M. C. Wu, H. H. Shih, Q. Zheng, N.C. Yen,
C. C. Tung and H. H. Liu, “The empirical mode decomposition and the
Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis,”
Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences , vol. 454,
no.1971, pp.903-995, 1998.
[2] R. T. R to, M. D. Ortigueir nd A.G. B tist , “On the HHT, its pro lems,
nd some solutions,” Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 22, pp.
1374-1394, 2008.
[3] N. E. Huang, M. L. C. Wu, S. R. Long, S. S. P. Shen, W. Qu, P. Gloersen and
K. L. Fan, “A confidence limit for the empiric l mode decomposition nd
Hil ert spectr l n lysis,” Proceedings of The Royal Society A-Mathematical
Physical and Engineering Sciences, vol. 459, pp. 2317-2346, 2003.
[4] C. Junsheng, Y. Dejie and Y. Yu, “Rese rch on the intrinsic mode function
(IMF) criterion in EMD method,” Mechanical Systems and Signal Processing,
vol. 20, pp. 817-824, 2006
[5] B. Xuan, Q. Xie and S. Peng, “EMD sifting sed on ndwidth,” IEEE
Signal Processing Letters, vol. 14, no. 8, 2007
[6] K. Zeng and M. . He, “A simple ound ry process technique for empiric l
mode decomposition,” Proceedings of the IEEE International Geoscience and
Remote Sensing Symposium Proceedings (IGARSS ’ 4), vol. 6, pp. 4258-4261,
Anchorage, Alaska, USA, 2004
[7] M. G. Frei nd I. Osorio, “Intrinsic time-scale decomposition:
Time-frequency-energy analysis and real-time filtering of non-stationary
58

sign ls,” Proceedings of The Royal Society A-Mathematical Physical and
Engineering Sciences, vol. 463, pp. 321, 2007
[8] Z. Zhidong and W. Y ng, “A new method for processing end effect in
empiric l mode decomposition,” in Proceedings of 2007 IEEE Conference on
Communications, Circuits and Systems, pp. 841-845, 2007
[9] Z. Qingjie, Z. Hu yong nd S. Lincheng, “A new method for mitig tion of
end effect in empiric l mode decomposition,” IEEE 2010 2nd International
Asia Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics,
pp.400-403, 2010
[10] Z. Wu and N. E. Huang, “Ensem le empiric l mode decomposition: A noise
ssisted d t n lysis method,” Advances in Adaptive Data Analysis, vol. 1,
no. 1, pp. 1-41, 2009
[11] M. Feldman, “An lytic l sics of the EMD: Two h rmonics decomposition,”
Mechanical Systems and Signal Processing, vol.23, no.7, pp.2059-2071, 2009
[12] G. Rilling and P. Flandrin, “One or two frequencies? The empiric l mode
decomposition nswer,” IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 56, no.
1, pp. 85-95, 2008
[13] Q. Chen, N. Huang, S. Riemenschneider nd Y. u, “A B-spline approach
for empiric l mode decompositions,” Advances in Computational
Mathematics, vol. 24, no. 1-4, pp. 171-195, 2006
[14] S. R. Qin and Y. M. Zhong, “A new envelope lgorithm of Hil ert-Huang
tr nsform,” Mechanical Systems and Signal Processing, vol. 20, pp.
1941-1952, 2006
[15] G. G. S. Pegr m, M. C. Peel nd T. A. McM hon, “Empiric l mode
decomposition using r tion l splines: n pplic tion to r inf ll time series,”
59

Proceedings of The Royal Society A-Mathematical Physical and Engineering
Sciences, vol. 464, pp. 1483-1501, 2008
[16] Y. Kopsinis and S. McLaughlin, “Improved EMD using dou ly-iterative
sifting nd high order spline interpol tion,” EURSIP Journal on Advances in
Signal Processing, vol. 2008, no. 120, 2008
[17] Z. Xu, B. Hu ng nd K. Li, “An ltern tive envelope ppro ch for empiric l
mode decomposition,” Digital Signal Processing, vol. 20, no. 1, pp. 77-84,
2010
[18] A. Roy and J. F. Doherty, “Improved sign l n lysis perform nce t low
sampling rates using raised cosine empiric l mode decomposition,” IEEE
Electronics Letters, vol. 46, no. 2, pp. 176-177, 2010
[19] H. Hong, . W ng nd Z. T o, “Local integral mean-based sifting for
empirical mode decomposition,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 16, no.
10, 2009
[20] El Hadji S Diop, R. Alexandre and A. O. Boudr , “An lysis of intrinsic
mode functions PDE ppro ch,” IEEE Signal Processing Letters, vol. 17, no.
4, 2010
[21] P. Fr nk P i, “Online tracking of instantaneous frequency and amplitude
of dynamical system response,” Mechanical Systems and Signal Processing,
vol. 24, pp. 1007–1024, 2010
[22] 林家齊,「改善經驗模態分解法混波問題與計算效率之研究」,國立台灣
師範大學,碩士論文,民國 99 年 6 月
[23] M. D. Wheeler and K. Ikeuchi, “Iter tive smoothed residu ls low-pass
filter for smoothing with controlled shrink ge,” IEEE Transactions on Pattern
Analysis and Machine Intelligence, vol.18, no. 3 pp. 334-337, 1996
60

[24] Y. N. Jeng, P. G. Huang and Y. C. Cheng, “Decomposition of
one-dimensional waveform using iterative Gaussian diffusive filtering
methods,” Proceedings of the Royal Society A-Mathematical Physical and
Engineering Sciences, vol.464, no. 2095, pp. 1673-1695, 2008
[25] 維基百科,低通濾波器,http://zh.wikipedia.org/zh-tw,2011 年 7 月 24
日更新(中文)
[26] Z. J. Yang, L. G. Yang and C. M. Qing, “An o lique-extrema-based
approach for empiric l mode decomposition,” Digital Signal Processing,
vol.20, no. 3 pp. 699-741, 2010
[27] G. L. Xu, X. T. Wang and X. G. Xu, “Time v rying frequency-shifting signal
ssisted empiric l mode decomposition method for AM FM sign ls,”
Mechanical Systems and Signal Processing, vol.23, no. 8, pp.2458-2469,
2009
[28] R. Deering and J. F. Kaiser, “The use of m sking sign l to improve
empiric l mode decomposition,” Processing IEEE ICASSP, Philadelphia,
USA, vol. 4, pp. 485-488, 2005
61