Solution of Exam on Ordinary Differential Equations. Trial Aleph ...

5.2 Answer
y (x) = 1 2 xex sin x + e x (C 1 cos x + C 2 sin x) ; C 1 ; C 2 2 R (44)
6 Problem 5
_x =
_y =
cos 2 x
tan y tan x
cos 2 y
tan y tan x
(45)
(46)
6.1 <strong>Solution</strong>
_y
_x = y0 x =
cos2 y
tan y tan x
cos 2 x
tan y tan x
dy
dx = cos2 y
cos 2 x ;
dy
cos 2 y =
= cos2 y
cos 2 x ;
dx
cos 2 x ; R
y 0 = cos2 y
cos 2 x
dy
cos 2 y = R
dx
cos 2 x ; tan y = tan x + C 1;
(47)
cos 2 x
tan y tan x = cos2 x
C 1
;
tan y tan x = C 1
cos 2 y
tan y tan x = cos2 y
C 1
_x = cos2 x
C
_y = cos2 y
C
dx
dt = cos2 x
C ; dx
cos 2 x = dt
C ; R dx
cos 2 x = R dt
C ; tan x = 1 C t+C 1; x = arctan 1 C t + C 1
:
dy
dt = cos2 y
C ; dy
cos 2 y = dt
C ; R dy
cos 2 y = R dt
C ; tan y = 1 C t+C 2; y = arctan 1 C t + C 2
:
tan y tan x = C , 1 C t + C
1
2 C t + C 1
= C2 C 1 = C
6.2 Answer
1
x (t) = arctan t + C 1
C 2 C 1
1
y (t) = arctan t + C 2
C 2 C 1
8C 1 ; C 2 2 R; C 1 6= C 2 :
8