VF3-1

Värmeledningsekvationen (Heat
conduction equation),
isotropt (isotropic) material
∂t
∂ ⎛ ∂t
ρc
= ⎜λ
∂τ
∂x
⎝ ∂x
∂ ⎛ ∂t
⎜
∂z ⎝
λ ∂z
⎞
⎟ +
⎠
⎞
⎟ +
⎠
∂ ⎛ ∂t
⎜λ
∂y
⎝ ∂y
Q′
⎞
⎟ +
⎠
( 1−18)
Om λ = konstant, if λ constant ⇒ homogent
(homogeneous) material
∂t
∂τ
=
2
⎧ ∂ t
a⎨
2
⎩
∂
x
+
∂
2
∂
y
t
2
+
2
∂ t ⎫
+
2 ⎬
∂
z
⎭
Q′
ρ
c
(1 −19)
a
λ ⎧termisk diffusivitet⎫
= ⎨ ⎬
ρ c
⎩ thermal diffusivity
⎭

Enkel Plan Vägg, Simple Plane
Wall, Kap., Ch. 3
t 1 b
t 1 > t
t 2
2
x
Q & ∂
stationär värmeledning ⇒ = 0
∂τ
steady heat conduction:
∂ ∂
endimensionellt:
= ≡ 0
∂yy
∂zz
one dimensional case:
ingen intern värmegenerering: Q′ = 0
no internal heat generation:
λ = konstant ober av t och x: λ constant independent of
t and x:
2
(1 - 19) ⇒
d t
= 0
2
dx
lösning, solution: t = c 1 x + c 2
RV, BC: x = 0 t = t 1 ; x = b t = t 2
⇒ linjär temperaturfördelning

Enkel Plan Vägg,forts, Simple plane
wall
t t
t
2 −
= 1 + x (3 − 3)
b
t
1
Värmeflödet, The heat flow:
dt
Q&
= −λA
dx
Q
1
Q&
= λA
(t1 − t 2 ) (3 − 4)
b
Alternativ formulering, Alternate formulation
b
t
{
1− t2
= ⋅
{
Q&
λ A
drivkraft { flöde
" spänning " resi−
" ström "
potential stan s current
resis tan ce

Sammansatt plan vägg-
Composite Wall
t 1
λ1
λ 3
λ 2
t 4
λ
b 1 b 2 b 3
λ 3
Q &
”Seriekoppling - Serial circuit”
Q
t
1
∑
t 1− t4 = ( termisk res, thermal res)
⋅Q&
− t
4
=
⎛
⎜
⎝
b1
b
+
2
+
λ A λ A
1
2
b3
λ A
⇒
t
t
Q&
1 −
=
4
(3 − 6)
b1
b b
+
2
+
3
λ1A
λ2A
λ3A
Konvektion, Convection
Q&
= α A( t −t ) ⇒ Konvektiv resis tan s :
f
3
⎞
⎟⋅
⎠
Q&
1
Convective resis tan ce
α A
w

Sammansatt Vägg- Composite Wall,
forts, continuation
t f1
α 1
λ 1 λ 2
λ 3
α 2
t f2
Q&
=
1
α A
1
+
b 1 b 2 b 3
)
t
f 1
3
∑
i=
l
− t
i
f 2
bi
+
λ A
1
α A
2
(3 − 7

Cirkulärt rör eller skikt-Circular
tube or layer (shell)
• Innerradie, inner radius r i ;Ytterradie, outer radius r o ; Innerytans
temperatur, inner temperature t i ; Ytterytans temperatur, outer
temperature t o
r o
radiell temperaturfördelning
t i
> t o
r i
t i
r
dr
r i
radial temperature distribution
r o
t o
t i
> t o
)
&
t
−t
i o
Q= −1
1
⎛
r
ln
i ⎞
⎜ ⎟
2πλL
⎝ro
⎠
(3−10

Cirkulärt rör eller skikt sammansatt av olika
material, Composite circular wall (shell)
radiell temperaturfördelning
t fi > t fo
r 1
λ 1
λ 2
t fi
r 2
r 3
t 1
t 2
t 3
t fo
radial a temperature e distribution
t fi > t fo
0
Q&
=
tf
−t
i fo
1 1 r 1 r 1
+ ln + ln +
2 πrL
π
r
L
α
2
3
1L
α
i
2
π
L
λ
1
r
1
2
π
L
λ
2
r
2
2
3
0