Automated Generation of Kempe Linkages for ... - Alexander Kobel

Contents
1 Introduction 1
1.1 Kempe Linkages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dynamic Geometry in Cinderella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Algebraic Geometry Visualization in Xalci . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Basic Linkages 5
2.1 Straight Line Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 How to Draw a Straight Line? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 An Inexact Approach: Watt‘s linkage . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 An Exact Solution: The Peaucellier-Lipkin Cell . . . . . . . . . . 7
2.1.4 The Peaucellier Cell on Slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 The Translator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 The Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 The Distance Copier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Angle Adder and Multiplicator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 The Angle Adder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 The Angle Multiplicator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Kempe Linkages for Plane Curves 15
3.1 Trigonometric Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Kempe‘s Straight Line Linkwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Complexity of the Kempe Linkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Generalizations and Criticism of Kempe‘s Proof and Open Questions . 22
4 Simulation of Kempe Linkages using Cinderella and Xalci 25
4.1 Some Design Aspects of Cinderella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Complex Projective Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.3 Automated Theorem Checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.4 CindyScript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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