Affine Transformations Mô hình hoá - Modelling Ví dụ Phép biến đổi ...

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội
hunglt@it-hut.edu.vn
8682595
Bài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ
Affine Transformations
Le Tan Hung
Email: hunglt@it-hut.edu.vn
I KHái niệm cơ bản
II Các phép biến đổi
III Hệ tọa độ đồng nhất
Mô hình hoá - Modelling
• Mô hình hoá là tiến trình tạo mới thao
tác trên các mô hình của các đối tượng
hay hệ thống
• Computer graphics ~ quan tâm đến mô
tả hình học của các đối tượng nhằm
cung cấp phương pháp biểu diễn số cho
các hình trên cơ sở về kích thước và các
thuộc tính có liên quan đến tiến trình tô
trát
• Các đối tượng hình học thường được
mô tả bởi các thuật ngữ "thực thể cơ sở"
sub-parts (primitives), như circles, lines
polygons hay cubes
object
• A scene trong đồ họa: chứa các thực
thể đối tượng
Scene Modeling
• Đặt các đối tượng trong cảnh tại các
vị trí khác nhau, thay đổi tỉ lệ và
biến đổi
A scene with several instances of the object
(c) SE/FIT/HUT 2002 1
(c) SE/FIT/HUT 2002 2
Ví dụ
• At each frame of the animation, the
object is transformed, in this case by a
rotation. It could also be transformed
by changing its size (scaling), or its
shape (deforming), or its location
(translation).
• Further animation effects can be
achieved by not changing the object,
but the way it is viewed (i.e. the
window to viewport transformation) at
each frame (e.g. by zooming).
Phép biến đổi - Transformations
• Trong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: modeling, rendering, displaying
• Với Modeling:
modeling
coordinate Modeling
transformation
world
coordinate
Viewing
transformation
viewing
coordinate
(eye coordinate)
• Transformation: là phép ánh xạ tọa độ điểm hay vector thành tọa độ hay
vector khác
• Biến đổi mô hình hoá - Modeling transformations
• build complex models by positioning simple components
• Biến đổitạo góc nhìn - Viewing transformations
• placing virtual camera in the world
• transformation from world coordinates to camera coordinates
• Biến đổitạo Hoạtcảnh - Animation
• vary transformations over time to create motion
(c) SE/FIT/HUT 2002
(c) SE/FIT/HUT 2002 4
Transformations - Modeling
Viewing
Transformations - Viewing
world
• Viewing là tiến trình tạo ra góc nhìn của
các mô hình trên màn hình 2D
• Mô tả hình học của các đối tượng
hay các cảnh cung cấp bởi các mô
hình sẽ được chuyển đổi thành tập
các thực thể cơ sở hiển thị.
• Một mô hình có thể quan sát trên các góc
cạnh khác nhau (e.g. faraway, near,
looking down, looking up)
OBJECT
WORLD
CAMERA
(c) SE/FIT/HUT 2002 5
(c) SE/FIT/HUT 2002 6
1

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội
hunglt@it-hut.edu.vn
8682595
Phép biến đổi Affine
Affine Transformations
Phân loại - Transformations
• Phép biến đổi Affine làphépbiến đổitọa độ điểm đặctrưng
của đốitượng thành tập tương ứng các điểmmới để tạo ra các
hiệu ứng cho toàn đốitượng.
• Vídụ: phép biến đổitọa độ vớichỉ 2 điểm đầu cuốicủa đoạn
thẳng tạo thành 2 điểmmới mà khi nối chúng với nhautạo thành
đoạnthẳng mới.
• Các điểmnằmtrênđoạnthẳng sẽ có kếtquả là điểmnằmtrên
đoạnthẳng mớivới cùng phép biến đổi thông qua phép nội
suy.
• Có 2 cách nhìn trên phép biến đổi
• Object Transformation: thay đổi tọa
độ của các điểm theo một số các
quy luật mà không ảnh hưởng đến
hệ tọa độ gốc.
• Coordinate Transformation sinh ra
hệ tọa độ khác và biểu diễn tất các
các đểm trên hệ tọa độ mới đó
• Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng
về bản chất gần tương đồng nhau
Example: OBJECT TRANSFORMATION
.4, 2
1,1
Example: COORDINATE TRANSFORMATION
(1,1)
(1,1)
(c) SE/FIT/HUT 2002 7
(c) SE/FIT/HUT 2002
Modeling Transformations
2D Object Transformations
Transform objects/points
Transform coordinate system
• A 2D object transformation alters each point P into a
new point Q using a specific formula or algorithm.
• It therefore alters the co-ordinates of P (P x ,P y ) into
new values which specify point Q (Q x ,Q y )
• This can be expressed using some function T, that
maps co-ordinate pairs into co-ordinate pairs:
• T(P x ,P y ) = (Q x ,Q y )
• or:
• T(P) = Q
(c) SE/FIT/HUT 2002 9
(c) SE/FIT/HUT 2002
Matrix Representation
• If affine transformation T maps P onto Q, then Q is related to P as
follows:
Q
x
= aPx
+ bPx
+ tx
•
Q
• y
= cPy
+ dPy
+ t
y
• where a, b, c, d, tx and ty are all constants, and ad = bc
• This gives rise to the following matrix representation:
⎛ Q
x ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ Px
⎞ ⎛ t
x
• i.e. ⎟ ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜
⎝ Q
y ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ P
y ⎠ ⎝ t
y ⎠
Q = MP +
Tr
(c) SE/FIT/HUT 2002
Các phép biến đổi hìnhhọchaichiều
• Phương pháp biểu diễn đốitượng P = [ x y ]
• Phép biến đổivị trí điểm ⎡a
b⎤
T = ⎢ ⎥
⎣c
d ⎦
• Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽ đúng trên toàn bộ đối
tượng
z
⎡a
b ⎤
X * ⎢
= x
c d
⎥
⎣ ⎦
[ ] [ T ] = [ x y] * = ( ax + cy ) ( bx + dy )
y
p M
x
p W
[ ] [ ]
' y '
(c) SE/FIT/HUT 2002 12
2

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội
hunglt@it-hut.edu.vn
8682595
Phép biến đổi
y
Phép quay- Rotation
• Phép bấtbiến
⎡1
T = ⎢
⎣0
• Phép biến đổitỉ lệ - Scaling
0⎤
1
⎥
⎦
• A scaling changes the size of an object with two scale factors, S x and S y
[ X ]*[ T ] = [ x
⎡a
0⎤
y] * ⎢ [( )
0 1
⎥ = ax
⎣ ⎦
y] = [ x'
y'
]
• Phép biếndạng
• A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x
or in the y direction
⎡1
b⎤
⎢
⎣0
1
⎥
⎦
[ X ]*[ T ] = [ x y] * = [ bx + dy] = [ x'
y'
]
z
x
x = ρ cos α, y = ρ sin α ;
x’ = ρ cos (θ +α ), y’ = ρ sin (θ +α )
;
x’ = ρ ( cosθ cosα - sinθ sinα )
= x cosθ -y sinθ
y’ = ρ ( sinθ cosα + cosθ sinα )
= x sinθ + y cosθ
[x' y']= [xcosθ -ysinθ xsinθ +
ycosθ]
⎡ cosθ
[T ] = ⎢
⎣−
sinθ
sinθ
⎤
cosθ
⎥
⎦
y
( x’, y’ )
ρ
ρ
θ
α
( x, y )
x
(c) SE/FIT/HUT 2002 13
(c) SE/FIT/HUT 2002 14
Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi
Affine Transformations
• Preservation of lines:
• They preserve lines, so the image of a straight line is another straight line.
• This vastly simplifies drawing transformed line segments.
• We need only compute the image of the two endpoints of the original line
and then draw a straight line between them
• Preservation of collinearity guarantees that polygons will transform into
polygons
• Affine transformations map lines to lines;
Thuộc tính
• Preservation of parallelism
• Preservation of parallelism guarantees that parallelograms will transform
into parallelograms
• Preservation of proportional distances
• Preservation of proportional distances means that mid-points of lines
remain mid-points
• Affine transformations change volume by | Det(M) |;
(c) SE/FIT/HUT 2002 15
(c) SE/FIT/HUT 2002
Kết hợp các phép biến đổi
Composition of Affine Transforms
• Any affine transformation can be
decomposed into elementary
transformations.
• Mọi phép biến đổiphứctạp đều có
thể tạo thànhtừ các phép biến đổicơ
sở như:
• Dịch chuyển - Translation
• Tỉ lệ - Scaling
• Quay- Rotation
• Biến dạng - Shearing
Affine transformations preserve
affine combinations
• It is rare that we want to perform just one elementary
transformation.
• Usually an application requires that we build a complex
transformation out of several elementary ones
• e.g. translate an object, rotate it, and scale it, all in one move
• These individual transformations combine into one overall
transformation
• This is called the composition of transformations.
• The composition of two or more affine transformations is
also an affine transformation
(c) SE/FIT/HUT 2002
(c) SE/FIT/HUT 2002
3

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội
hunglt@it-hut.edu.vn
8682595
Thuộc tính
• Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo thành
phép biến đổi cho đối tượng
• We have defined each transformation by their effects on single points
• In practice these will be applied to multiple points to transfer entire scenes
or objects made up of many defining points
T
Điểm gốc - Pivotal points
Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling
• The simple versions of rotation and scaling have been based around the origin.
• This means that when we rotate or scale, the object will also move, with
respect to the origin
• Translate all points through (-c1,-c2)
• Rotate all points about the origin by
• Translate all points back through (c1,c2)
(c 1 ,c 2 )
(c) SE/FIT/HUT 2002 19
(0,0)
(c) SE/FIT/HUT 2002
Pivotal points
• Often we wish to rotate or scale with respect to some pivotal
point, not the origin
• Most significantly, we often wish to rotate or scale an object
about its centre, or midpoint
• In this way, the object’s location does not change
• To do this, we relate the rotation or scaling about the pivotal
point V, to an elementary rotation or scaling about the origin
• We first translate all points so that V coincides with the origin
• We then rotate or about the origin
• then all points are translated back, so that V is restored to its original
location
Hệ toạ độ đồng nhất
• Vấn đề gặp phải:
• An affine transformation is composed of a linear transformation
followed by a translation
• Unfortunately, the translation portion is not a matrix
multiplication but must instead be added as an extra term, or
vector
• What we need is a “trick”, so that translations can be represented
in matrix multiplication form
• This then means that they can be easily composed with other
transformations, by simply multiplying the matrices together
(c) SE/FIT/HUT 2002
(c) SE/FIT/HUT 2002
Tọa độ đồng nhất
Homogeneous Transform
• x' = ax + by + n
• y' = bx + dy + m
• Phương pháp biểu diễn mở rộng thông qua tọa độ đồng
nhất của các vector vị trí
• Với ứng dụng của phép chiếu hìnhhọc màởđótọa độ
điểm được môtả dưới ma trận [ x* y* h]
• với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là mộtsố thựctuỳ ý
Ưu điểmcủaHệ tọa độ đồng nhất
Homogeneous Transform
• Ðưaracáinhìnhợp nhấtcủa các phép biến đổidưới phép
nhân ma trận, hỗ trợ cho việcxử lý bằng cả phần cứng và
phần mềm
• Kếthợp các các phép biến đổitạo thànhma trận tích đơn giản
duy nhất. Tránh nhầmlẫn về thứ tự của các phép nhân khi sử
dụng.
• Order matters: AB is generally not the same as BA
• Chophépkếthợp vớicả các phép biến đổi đặcbiệt không
tuyến tính khác(non-affine) như:
• Phép chiếu phối cảnh - Perspective projections!
• Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v
(c) SE/FIT/HUT2002 23
(c) SE/FIT/HUT 2002 24
4

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội
hunglt@it-hut.edu.vn
8682595
Phép biến đổi vớitọa độ đồng nhất
Phép tỉ lệ
• Ma trận biến đổi đồng nhất ⎡a
b 0⎤
[ T ] =
⎢
⎢
c d 0
• Phép tịnh tiến
⎢ ⎥ ⎥⎥ ⎣m
n 1⎦
⎡ 1 0 0⎤
[ x ' y'
1] = [ x y 1]
⎢
⎢
0 1 0
⎥
⎥
= [ x + m y + n
⎢⎣
m n 1⎥⎦
1]
⎡S1
0 0⎤
[ x ' y'
1] = [ x y 1]
⎢
0
⎢
S2
0
⎥
= [ x.
S1
⎥
y.
S2
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
1]
(t x , t y , t z )
(c) SE/FIT/HUT 2002 25
(c) SE/FIT/HUT 2002 26
Phép quay
Phép biến đổi tổng hợp
[ x'
y'
1] = [ x y 1]
⎡ cos φ
⎢
− sin φ
⎢
sin φ
cos φ
⎢⎣
0 0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
= [ x .cosφ
− y.sinφ
x.sinφ
+ y.cosφ
1]
y
( x’, y’ )
ρ
θ
α
ρ
( x, y )
x
(c) SE/FIT/HUT 2002 27
(c) SE/FIT/HUT 2002 28
Coordinate Transforms
Coordinate Transforms
u
x
(1,1)
u’
(1,1)
(c) SE/FIT/HUT 2002
Object defined in Local
Coordinate System
v
v’
y
Object after transformation in
Global Coordinate System
(c) SE/FIT/HUT 2002 30
5

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội
hunglt@it-hut.edu.vn
8682595
Identity as a Coordinate Transform
Translation
x
u
(1,1)
x
u’
(1,1)
x
u
(1,1)
⎡1
0 tx⎤
Q =
⎢
0 1
⎥
⎢
ty
⎥
P
⎢⎣
0 0 1 ⎥⎦
x
u’
(1+tx,1+ty)
⎡1
Q =
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1
0
v
0⎤
0
⎥
⎥
P
1⎥⎦
y
v’ y
(c) SE/FIT/HUT 2002 31
⎡1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0 tx⎤⎡0⎤
⎡tx⎤
1 ty
⎥⎢
⎥
=
⎢ ⎥
⎥⎢
0
⎥ ⎢
ty
⎥
0 1 ⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦
⎢⎣
1 ⎥⎦
v y
⎡tx⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
1 ⎥⎦
⎡1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0 tx⎤⎡1⎤
⎡ 1+
tx⎤
1 ty
⎥⎢
⎥
=
⎢ ⎥
⎥⎢
0
⎥ ⎢
ty
⎥
0 1 ⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦
⎢⎣
1 ⎥⎦
⎡1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
v’
y
0 tx⎤⎡0⎤
⎡ tx ⎤
1 ty
⎥⎢
⎥
=
⎢ ⎥
⎥⎢
1
⎥ ⎢
1+
ty
⎥
0 1 ⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦
⎢⎣
1 ⎥⎦
origin
O = ty
v (1, 0, 0) u (0, 1, 0)
(c) SE/FIT/HUT 2002 32
Rotation
x
u
(1,1)
u’
x
⎡0⎤
O =
⎢ ⎥
⎢
0
⎥
⎢⎣
1⎥⎦
Scaling
x
u
(1,1)
x
u
(sx*1,sy*1)
v’
v
⎡cosθ
− sinθ
Q =
⎢
⎢
sinθ
cosθ
⎢⎣
0 0
y
0⎤
0
⎥
⎥
P
1⎥⎦
y
⎡cosθ
⎤ ⎡− sinθ
⎤
v =
⎢ ⎥
⎢
sinθ
⎥
u =
⎢ ⎥
⎢
cosθ
⎥
⎢⎣
1 ⎥⎦
⎢⎣
1 ⎥⎦
(c) SE/FIT/HUT 2002 33
⎡sx
0
Q =
⎢
⎢
0 sy
⎢⎣
0 0
v
0⎤
0
⎥
⎥
P
1⎥⎦
y
y v
⎡0⎤
⎡sx⎤
⎡ 0 ⎤
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
O
⎢
0
⎥
v =
⎢ ⎥ u =
⎢
sy
⎢
0
⎥
⎥
⎢⎣
1⎥
⎢ ⎥
⎦ ⎢ ⎥ ⎣ 1
⎣ 1 ⎦
⎦
(c) SE/FIT/HUT 2002 34
Composite Transformations
x
u
(1,1)
v y
x
O =
u’
v
’
y
v =
⎡x1(1
− cosθ
) + y1
sinθ
⎤
⎢
⎥
⎢
y1(1
− cosθ
) − y1
sinθ
⎥
⎢⎣
1 ⎥⎦
⎡cosθ
+ x1(1
−cosθ
) + y1
sinθ
⎤
⎢
⎥
⎢
sinθ
+ y1
(1 −cosθ
) − y1
sinθ
⎥
⎢⎣
1 ⎥⎦
Modeling Transformations
• To make full use of the computational optimisation made
possible by composite transforms, we only want to apply the
transformations to points at the very end
• i.e. the transformation operation (multiplying point p by
transform matrix is the very last thing we do in the modelling
phase)
⎛cosθ
− sinθ
⎜
M = ⎜ sinθ
cosθ
⎜
⎝ 0 0
x1
(1 − cosθ
) + y1
sinθ
⎞
⎟
y1(1
− cosθ
) − x1
sinθ
⎟
1 ⎟
⎠
u =
⎡−sinθ
+ x1
(1 −cosθ
) + y1
sinθ
⎤
⎢
⎥
⎢
cosθ
+ y1
(1 −cosθ
) − y1
sinθ
⎥
⎢⎣
1
⎥⎦
Specify points
in local coords
Specify
Transformations
(composite if necessary)
Send to
Pipeline
(c) SE/FIT/HUT 2002 35
(c) SE/FIT/HUT 2002 36
6

Khoa CNTT - DDHBK Hà nội
hunglt@it-hut.edu.vn
8682595
+
+
+
+
transform
+
transform
+
transform
This of course shouldn’t
mean all objects need to
share the same
transformations
=
Obviously we want
something more
versatile
=
(c) SE/FIT/HUT 2002 37
(c) SE/FIT/HUT 2002 38
7