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第 4 章 关 系 数 据 库 理 论
数 据 库 模 式 : 一 组 相 关 的 关 系 模 式
关 系 模 式 R(A 1 ,A 2 ,…,A n )
1

4.1 函 数 依 赖
4.1.1 函 数 依 赖 的 基 本 概 念
一 、 关 系 模 式 的 优 劣 与 数 据 依 赖
1. 关 系 模 式 集 性 能 比 较
2

例 1: 学 生 数 据 库
方 案 1: 各 类 数 据 放 在 一 个 关 系 模 式 中
Students(Sno,Sname,Cno,Grade,Sdept,Sloc)
键 (Sno,Cno)
3

问 题 :
1 冗 余 :
一 个 学 生 选 20 门 课
学 生
系 宿 舍 区 的 信 息 重 复 存 储
4

2 潜 在 不 一 致 ( 修 改 复 杂 )
学 生 改 名
对 于 所 选 的 若 干 门 课 若 干 行
到 处 修 改 潜 在 的 不 一 致
修 改 复 杂
5

3 插 、 删 异 常
没 选 课 Cno 为 NULL 学 生 信 息 无 法 插 入
选 课 信 息 输 入 错 误 删 除 同 时 删 学 生 信 息
6

方 案 2: 选 课 信 息 单 独 存 放
Students(Sno,Sname,Sdept,Sloc)
键 : Sno
SC(Sno,Cno,Grade)
键 : (Sno,Cno)
有 所 改 进 : 与 选 课 无 关 的 信 息 只 存 一 次
7

仍 有 问 题 :
1. 冗 余
系 与 宿 舍 区 的 对 应 关 系
一 个 系 1000 个 学 生
系 与 宿 舍 区 的 对 应 关 系 存 放 1000 次
8

2. 潜 在 不 一 致
系 换 宿 舍 区
到 处 修 改 潜 在 的 不 一 致
修 改 1000 次 复 杂
9

3. 删 插 异 常
有 相 应 学 生 的 信 息
才 能 插 入 系 以 及 宿 舍 区 的 信 息
学 生 全 部 毕 业
系 与 宿 舍 区 的 联 系 同 时 删 除
10

2. 产 生 冗 余 及 更 新 异 常 的 原 因
关 系 模 式 内 部 属 性 值 之 间 的 内 在 联 系
—— 数 据 依 赖
主 要 的 数 据 依 赖 :
函 数 依 赖 、 多 值 依 赖
11

Sname
键
Sno
Cno
Sdept
Sloc
Grade
一 个 Sno,m 个 Cno m 行 学 生 信 息
一 个 系 1000 个 Sno,1000 行 系 与 宿 舍 区 的 n:1 联 12 系

3. 关 于 数 据 依 赖
属 性 值 之 间 相 关 联 系 的 表 达
语 义 的 体 现 构 成 数 据 的 约 束
大 多 数 数 据 依 赖 是 函 数 依 赖
13

二 、 函 数 依 赖 的 定 义
1. 函 数 依 赖
设 R(U) 是 一 个 关 系 模 式 ,U 是 关 系 R 的 属 性 全 集 ;
X,Y 是 R 的 属 性 组 (X,Y U);
若 对 于 R 上 任 意 一 个 可 能 的 关 系 实 例 r
满 足 : t 1 ,t 2 ∈r ,t 1 [X]=t 2 [X] 则 t 1 [Y]=t 2 [Y]
则 称 “ X 函 数 决 定 Y ” 或 “Y 函 数 依 赖 于 X”
记 为 :X Y
X 称 为 决 定 因 素
对 关 系 模 式
14

函 数 依 赖 X Y 的 含 义 为 :
任 何 时 刻 表 中 任 一 元 组 :
属 性 组 X 上 的 值 (a 1 a 2 ...a n )
唯 一 地 决 定
在 属 性 组 Y 上 的 值 (b 1 b 2 ...b m )
15

R(A,B,C,D)
一 个 实 例 : A B C D
t 1 a 1 b 1 c 1 d 1
t 2 a 2 b 2 c 2 d 2
t 3 a 2 b 2 c 2 d 3
t 4 a 3 b 2 c 2 d 4
元 组 t 2 ,t 3 A 的 取 值 相 同
B,C 的 取 值 相 同
实 例 判 定 函 数 依 赖
16

若 对 于 任 何 时 刻 ( 任 意 实 例 ) 有
A 的 取 值 相 同 时 B,C 上 的 取 值 相 同
则 A (B,C)
17

函 数 依 赖 的 例 :
例 Movies(title,year ,length, genre, studioName,starName)
(title,year) length 决 定
(title,year) genre 函 数 依 赖
(title,year) studioName
即 (title,year) ( length, genre, studioName)
关 系 实 例 P38 图 3-2 1-3 行
5-6 行
18

例 :
Students(Sno,Sname,Sage,Class_no,Sdept)
此 关 系 模 式 上 有 许 多 函 数 依 赖
如 :
Sno (Sname,Sage,Class_no,Sdept)
Class_no Sdept
(Sno,Sname)(Sage,Class_no )
……
19

2. 平 凡 函 数 依 赖
如 果 函 数 依 赖 X Y,Y X ;
则 称 为 平 凡 函 数 依 赖
否 则 称 为 非 平 凡 的 函 数 依 赖
例 :(Sno,Sname) Sname 平 凡 函 数 依 赖
(Sno,Cno) Cno
平 凡 函 数 依 赖
Sno Sname
非 平 凡 的 函 数 依 赖
20

所 有 平 凡 的 函 数 依 赖 保 持 “ 恒 真 ”
通 常 我 们 讨 论 的 都 是 非 平 凡 的 函 数 依 赖
包 含 平 凡 的 函 数 依 赖 有 时 简 化 规 则 的 陈 述
A 1 A 2 …A n B 1 B 2 …B m
平 凡 : B 1 B 2 …B m 是 A 1 A 2 …A n 子 集
非 平 凡 : 每 一 个 Bi 不 是 A 1 A 2 …A n 子 集 ( 通 常 讨 论 )
21

4.1.2 函 数 依 赖 与 键
设 R(U) 是 一 个 关 系 模 式 ,U 是 关 系 R 的 属 性
全 集 ;X 是 R 的 属 性 组 (X U);
若 X U , 且 不 存 在 X’ X ,X’ U
则 称 X 为 R 的 键 ( 候 选 键 )。
X 能 决 定 所 有 属 性
X 中 属 性 缺 一 则 不 可 决 定 所 有 属 性
22

键 举 例 :
例 Movies(title,year,length,genre,
studioName, StarName)
影 片 影 星
键 : (title,year , StarName)
能 决 定 所 有 属 性
三 个 属 性 缺 一 不 可
所 以 是 键
23

例 :
Students(Sno,Sname,Sage,Class_no,Sdept)
键
Sno
(Sno,Sname ) 是 超 键 不 是 键
真 子 集 Sno 可 以 决 定 所 有 属 性
24

设 R(U) 是 一 个 关 系 模 式 ,U 是 关 系 R 的 属 性
全 集 ;X 是 R 的 属 性 组 (X U);
若 X U , 则 称 X 为 R 的 超 键 。
与 键 比 较
25

超 键 举 例 :
Students(Sno, Sname, sage, Class_no, Sdept)
超 键 有 :
Sno
(Sno,Sname)
(Sno,Class_no)
(Sno, Sname,Sage, Class_no, Sdept)
…
26

4.1.3 函 数 依 赖 的 规 则
P40
如 何 推 导 函 数 依 赖
已 知 某 关 系 所 满 足 的 函 数 依 赖 , 推 出 它 满 足 的
另 一 些 函 数 依 赖 。
例 3.4
R(A,B,C)
由 A B, B C 推 导 A C
思 路 : 考 察 R 的 任 意 两 个 A 上 取 值 相 同 的 元 组
看 看 C 上 取 值 是 否 相 同
27

假 设 这 样 的 两 个 元 组 为
(a,b 1 ,c 1 ) (a,b 2 ,c 2 )
由 A B A 上 值 相 同 则 B 上 值 相 同
有 b 1 =b 2
记 为 b
得 到 (a,b,c 1 ) (a,b,c 2 )
由 B C B 上 值 相 同 则 C 上 值 相 同
有 c 1 =c 2
即 C 上 取 值 相 同
所 以 A 上 取 值 相 同 的 元 组
C 上 取 值 相 同 所 以 A C
28

函 数 依 赖 集 S 蕴 涵 于 函 数 依 赖 集 T:
满 足 T 中 函 数 依 赖 的 关 系 实 例
也 满 足 S 中 函 数 依 赖
R(A,B,C)
T:{A B, B C } S{A B, B C ,A C}
29

函 数 依 赖 集 等 价 :
函 数 依 赖 集 S 蕴 涵 于 函 数 依 赖 集 T
函 数 依 赖 集 T 蕴 涵 于 函 数 依 赖 集 S
S 与 T 是 等 价 的
30

P40
分 解 规 则 :
A 1 A 2 …A n
B 1 B 2 …..B m
则 A 1 A 2 …A n B i i=1,…m
例 : (title,year,length,genre)
(title,year) (length,genre)
则 (title,year)
(title,year)
length
genre
31

合 并 规 则 :
P40 组 合 / 结 合
A 1 A 2 …A n B i i=1,…m
则 A 1 A 2 …A n B 1 B 2 …..B m
例 : (title,year,length,genre)
(title,year)
(title,year)
length
genre
则 (title,year) (length,genre)
32

P42
平 凡 依 赖 规 则 :
A 1 A 2 …A n
等 价 于 A 1 A 2 …A n
B 1 B 2 …..B m
C 1 C 2 …..C k
去 掉 A 中 出 现 的 属 性 非 平 凡
例 :
(title,year)
(title,year)
(studioName,year)
(studioName)
33

** 属 性 集 的 闭 包
函 数 依 赖 集 F 属 性 组 X
若 有 属 性 组 Y 包 含 所 有 满 足 下 述 条 件 的 属 性 A
X
A 蕴 涵 于 F 中 的 函 数 依 赖
称 Y 为 属 性 组 X 对 于 函 数 依 赖 集 F 的 闭 包 ,
记 为 X F
+
34

P43 例 3.8:
R(A,B,C,D,E,G)
F={AB C , BC AD, D E, CG B}
{A,B} + ={A,B,C,D,E}
F
35

闭 包 与 键
例 : R(A,B,C,D) F={A D, BC A}
{B,C} + ={A,B,C,D}
B + ={B} C + ={C}
F
F
BC 是 键
F
决 定 属 性 全 集
最 小 性
36

求 键 时 的 一 些 考 虑 :
1. 一 个 属 性 不 在 函 数 依 赖 右 边 出 现 , 则 一 定 是
键 属 性
2. 此 外 , 考 虑 含 函 数 依 赖 左 边 属 性 的 属 性 集 的
闭 包 ( 不 含 不 在 左 边 、 在 右 边 的 属 性 )
3. 不 必 考 虑 以 键 作 为 真 子 集 的 属 性 集 的 闭 包
4. 不 必 考 虑 属 性 全 集 的 闭 包 ( 全 键 情 况 除 外 )
37

例 : R(A,B,C,D) F={A C, C B,B A}
求 所 有 键
分 析 : 键 中 必 含 D
键 属 性 涉 及 左 边 的 A,B,C
解 : {A,D} + ={A,C,B,D}
{B,D} + F
={B,A,C,D}
{C,D} + F
={C,B,A,D}
F
D 不 是 键 , 不 含 D 的 属 性 组 也 不 能 作 键
{A,D}{B,D}{C,D} 为 键
不 必 考 虑 以 上 述 键 作 为 真 子 集 的 属 性 组
这 是 所 有 的 键
38

定 理 :
当 且 仅 当
B i 在 A + 中
F
i=1..m
A B 1 B 2 …..B m 蕴 涵 于 函 数 依 赖 集 F
39

定 理 的 例 :
例 : R(A,B,C,D,E,G)
F={AB C, BC AD, D E, CG B}
1) AB D 是 否 蕴 涵 于 上 述 函 数 依 赖
{A,B} + ={A,B,C,D,E}
F
AB D 蕴 涵 于 ...
2) D A 是 否 蕴 涵 于 上 述 函 数 依 赖
{ D} + ={DE}
F
D A 不 蕴 涵 于 ...
40

传 递 规 则 :
A 1 A 2 …A n
B 1 B 2 …..B m
B 1 B 2 …..B m
C 1 C 2 …..C k
则
A 1 A 2 …A n
C 1 C 2 …..C k
41

P44 例 3.10 Movies(title,year,length,genre,
studioName, StudioAddr)
(title,year)
studioName
studioName
StudioAddr
(title,year)
StudioAddr
42

** 函 数 依 赖 集 的 闭 包 :
由 给 定 的 函 数 依 赖 集 推 导 出 的 所 有 函 数 依 赖 的
集 合
** 对 于 关 系 模 式 :
能 导 出 关 系 模 式 的 所 有 函 数 依 赖 的 给 定 的 函 数
依 赖 集 , 称 为 “ 基 本 集 ” , 如 果 基 本 集 的 任 何 真 子
集 不 能 导 出 关 系 上 的 所 有 依 赖 , 此 基 本 集 为 最 小 的 .
最 小 基 本 集 又 称 为 极 小 的 函 数 依 赖 集
等 价
43

极 小 的 函 数 依 赖 集
(1)F 中 任 一 函 数 依 赖 的 右 部 仅 含 一 个 属 性
(2)F 中 没 有 多 余 的 函 数 依 赖
即 : 不 存 在 这 样 的 函 数 依 赖 X A
使 F 与 F-{X A} 等 价
(3)F 中 每 个 函 数 依 赖 的 左 部 都 没 有 多 余 的 属 性
即 : 不 存 在 这 样 的 函 数 依 赖 X A,
对 于 X 的 真 子 集 Z
使 F 与 F-{X A} ∪ZA 等 价
44

计 算 极 小 函 数 依 赖 集 的 算 法 :
(1) 应 用 分 解 规 则 , 使 F 中 每 一 个 函 数 依 赖 的
(2) 去 掉 各 函 数 依 赖 左 部 多 余 的 属 性
右 部 属 性 单 一 化
(3) 去 掉 多 余 的 函 数 依 赖
例 :F={A BC,B C,AB C}
(1) F 1 =F= {A B, A C, B C,AB C}
(2)F 2 =F 1 = {A B, A C, B C,A C}
={A B, A C, B C}
(3)F 3 =F 2 ={A B, B C}
极 小 集
45

A,B,C 为 属 性 组
Armstrong 公 理 :
推 导 函 数 依 赖 的 规 则
自 反 律 B A 则 A B
增 长 律 ( 增 广 律 ) A B 则 任 意 C AC BC
传 递 律 A B B C 则 A C
46

4.2 关 系 数 据 库 模 式 设 计
4.2.1 有 关 函 数 依 赖
完 全 函 数 依 赖
设 R(U) 是 一 个 关 系 模 式 ,U 是 关 系 R 的 属 性 全
集 ;X,Y 是 R 的 属 性 组 (X,Y U);
若 X Y , 且 不 存 在 X’ X ,X’ Y
则 称 Y 完 全 函 数 依 赖 于 X ; 记 作 : X Y 。
f
47

完 全 函 数 依 赖 含 义 :
元 组 在 属 性 组 Y 上 的 值
依 赖 于
在 属 性 组 X 中 所 有 属 性 上 的 值 。
48

部 分 函 数 依 赖
设 R(U) 是 一 个 关 系 模 式 ,U 是 关 系 R 的 属 性 全 集 ;
X,Y 是 R 的 属 性 组 (X,Y U);
若 X Y , 且 存 在 X’ X ,X’ Y
P
则 称 Y 部 分 函 数 依 赖 于 X ; 记 作 : X Y 。
49

部 分 函 数 依 赖 含 义 :
元 组 在 属 性 组 Y 的 值 ,
只 依 赖 于
属 性 组 X 的 一 部 分 属 性 的 值 。
50

例 :
Students(Sno,Sname,Cno,Grade,Sdept,Sloc)
键 (Sno,Cno)
f
Sno Sname 完 全 函 数 依 赖
p
(Sno,Cno) Sname
由 于 Sno Sname
部 分 函 数 依 赖
51

传 递 函 数 依 赖
R(U) 是 一 个 关 系 模 式 ,U 是 关 系 R 的 属 性
全 集 ;X,Y,Z 是 R 的 属 性 组 (X,Y,Z U);
若 X Y ,Y Z 且 Z Y,Y X
t
则 称 Z 传 递 函 数 依 赖 于 X ; 记 作 : X Z
52

关 于 传 递 函 数 依 赖 的 解 释 :
Z Y: 不 考 虑 平 凡 函 数 依 赖
Y X:
例 :Sno SSN SSN (Sname, Sage),
由 于 SSN Sno
Sno (Sname, Sage)
是 直 接 函 数 依 赖 , 同 一 实 体 两 个 键 存 储 上 没 有 冗 余 !
53

传 递 函 数 依 赖 的 含 义 :
Z 上 的 值 可 间 接 地 依 赖 于 X 上 的 值 ,
关 系 模 式 中 含 两 个 多 对 一 联 系 形 成 的 链 ,
从 而 导 致 数 据 冗 余 。
54

例 :Students(Sno,Sname,Sdept,Sloc)
有 Sno Sdept
Sdept Sloc
于 是 Sno Sloc 是 传 递 函 数 依 赖 ,
这 里 Sloc 不 仅 依 赖 于 键 Sno
还 依 赖 于 非 键 属 性 Sdept
55

不 同 Sno 可 以 对 应 相 同 的 Sdept
不 同 的 Sdept 对 应 相 同 的 Sloc。
表 中 同 一 Sdept 与 Sloc 的 信 息
对 不 同 Sno 多 次 重 复 。
数 据 冗 余 , 由 此 带 来 潜 在 不 一 致 性 ( 修 改 时 )。
56

4.2.2 关 系 模 式 的 规 范 化
为 区 分 关 系 模 式 的 优 劣 分 为
不 同 的 范 式 (Normal Form)
一 、 第 一 范 式 到 第 三 范 式
1. 第 一 范 式 (1NF)
关 系 模 式 R 属 于 1NF, 当 且 仅 当 R 中 的 每 一 属 性 A
的 值 域 只 包 含 原 子 项 ( 即 不 可 分 割 的 数 据 项 )
1NF—— 是 关 系 模 式 的 基 本 标 准
57

例 : Students(Sno,Sname,Cno,Grade,Sdept,Sloc)
Student ∈1NF
存 在 问 题 :
P
(Sno,Cno) Sname
由 于 Sno Sname
非 键 属 性 部 分 依 赖 于 键
冗 余 、 更 新 异 常
实 体 集
多 对 多 联 系
58

2. 第 二 范 式 (2NF)
关 系 模 式 R 属 于 2NF 当 且 仅 当
R 属 于 1NF
且 每 一 非 键 属 性 完 全 函 数 依 赖 于 键 。
* 去 掉 非 键 属 性 对 键 的 部 分 函 数 依 赖
*R ∈1NF 且 没 有 组 合 键 R∈2NF
59

2NF 的 另 一 个 定 义 :
不 允 许 非 平 凡 函 数 依 赖 的 左 边
是 键 的 真 子 集 ( 右 边 不 是 键 属 性 )
* 两 种 定 义 的 等 价 性
60

例 :
Students(Sno,Sname,Sdept,Sloc) ∈2NF
SC(Sno,Cno,Grade) ∈2NF
性 能 改 善
但 是 :Sno Sdept Sdept Sloc
于 是 Sno Sloc 是 传 递 函 数 依 赖
这 里 非 键 属 性 Sloc 不 仅 依 赖 于 键 Sno
还 依 赖 于 非 键 属 性 Sdept
冗 余 异 常
61

3. 第 三 范 式 (3NF)
关 系 模 式 R 属 于 3NF 当 且 仅 当
R 属 于 1NF, 且 每 一 非 键 属 性 都 非 传 递 函 数 依
赖 于 键 。
去 掉 了 非 键 属 性 对 键 的 部 分 依 赖 与 传 递 依 赖 。
关 系 模 式 R 属 于 3NF 必 有 R 属 于 2NF
62

3NF 的 另 一 个 定 义 :
任 何 非 平 凡 的 函 数 依 赖
A 1 A 2 …A n
B
A 1 A 2 …A n 是 超 键 ( 键 决 定 B)
或 B 是 某 个 键 的 组 成 部 分 ( 键 属 性 / 主 属 性 )
两 种 定 义 的 等 价 性
63

例 :
Students(Sno,Sname,Sdept) ∈3NF
实 体 集 和 一 个 多 对 一
SL(Sdept,Sloc) ∈3NF
一 个 多 对 一
SC(Sno,Cno,Grade) ∈3NF
多 对 多
64

例 :
MovieStudios( title,year,length,genre,
studioName,studioAddr)
函 数 依 赖 :
(title,year)
studioName
studioName
studioAddr
MovieStudios ∈2NF
65

分 解 为 :
MS 1 (title,year,length,genre,studioName)
∈3NF
实 体
一 个 多 对 一
MS 2 (studioName,studioAddr) ∈3NF
一 个 多 对 一
66

4. DB 模 式 中 每 一 关 系 模 式 为 第 N 范 式 , 称 该 DB 模
式 为 第 N 范 式 。
通 常 DB 设 计 要 求 达 到 3NF。
例 : Students(Sno,Sname,Sdept,Sloc) ∈2NF
SC(Sno,Cno,Grade) ∈3NF
DB 模 式 ∈2NF
1NF 2NF 3NF 逐 级 判 定
67

二 、Boyce-Codd 范 式 (BCNF)
关 系 模 式 R(U,F) ∈ 1NF,
若 X Y ∈F 且 Y X 时 , 必 有 X 含 有 键 ;
则 R(U,F) ∈ BCNF。
换 句 话 说 , 每 一 非 平 凡 函 数 依 赖 决 定 因 素 都 含 有 键 ,
则 R(U,F) ∈ BCNF
消 除 主 属 性 对 键 的 部 分 依 赖 与 传 递 依 赖 。
键 可 以 多 个 含 任 意 一 个 即 可
68

例 :3NF 的 不 足
学 生 教 师 课 程
STJ(S,T,J)
J: subject
键 : (S,J ) (S,T)
F: { (S,J) T, (S,T) J, T J }
无 非 主 属 性 是 3NF
( 左 : 含 键 右 : 键 的 一 部 分 3NF)
P
(S,T) J
主 属 性 部 分 依 赖 于 键
69

有 主 属 性 对 键 的 部 分 依 赖
冗 余 ( 教 师 与 课 程 的 关 系 )
没 有 学 生 选 修 TJ 不 可 存
TJ 存 多 次 修 改 不 方 便 且 易 导 致 不 一 致
S T J
---------------------
s1 t1 j1
s2 t1 j1
s3 t1 j1
s1 t2 j2
s4 t3 j2
70

改 进 : ST(S,T) ∈BCNF
TJ(T,J) ∈BCNF
单 一 事 物 单 一 联 系
S T T J
------------ --------------
s1 t1 t1 j1
s2 t1 t2 j2
s3 t1 t3 j2
s1 t2
s4 t3
71

分 解 后 没 有 任 何 属 性
对 键 的 部 分 依 赖 和 传 递 依 赖
没 有 学 生 选 修 TJ 可 存
TJ 只 存 一 次
修 改 方 便 且 不 导 致 不 一 致
72

例 :
Movies(title,year,length,genre,
studioName,starName)
键 : (title,year,starName)
(title,year)
studioName
左 边 不 包 含 键
由 此 说 明 Movies 不 是 BCNF
常 称 (title,year)
注 意 : 范 式 是 对 关 系 模 式 而 言 的
studioName 为 BCNF 违 例
73

例 : Movies1(title,year,length,genre,studioName)
键 :(title,year)
(title,year) (length,genre,studioName)
左 边 为 键
极 小 函 数 依 赖 集
没 有 BCNF 的 违 例
所 以 是 BCNF
74

例 : 双 属 性 关 系 ∈ BCNF
设 R(A,B)
1) 无 非 平 凡 函 数 依 赖
(A,B) 是 键 R ∈ BCNF
2) F: A B
A 是 键 左 边 含 键 R ∈ BCNF
3) F:B A
B 是 键 左 边 含 键 R ∈ BCNF
4)F:A B B A
A 或 B 是 键 左 边 含 键 R ∈ BCNF
75

例 :
Students(Sno,Sname,Ssex,Sage,Sdept) ∈BCNF
Courses(Cno,Cname,Cpno,Ccredit) ∈BCNF
SC(Sno,Cno,Grade) ∈BCNF
DB 模 式 ∈BCNF
76

例 : 学 生 课 程 名 次
SJP(S,J,P)
键 :(S,J) (J,P)
F:(S,J) P (J,P) S
SJP(S,J,P) ∈BCNF
决 定 因 素 含 有 键
77

定 理 : 若 R 属 于 BCNF, 必 有 R 属 于 3NF。
反 证 法 : 假 设 R 不 是 3NF X : 键 Z: 非 键 属 性
则 :
存 在 非 平 凡 函 数 依 赖 X Y Y Z
Y X Y 不 含 有 键
有 非 平 凡 函 数 依 赖 Y Z
左 边 不 含 有 键
则 R 不 属 于 BCNF
矛 盾 !
命 题 成 立
78

4.2.3 关 系 模 式 的 分 解
将 一 个 关 系 模 式 分 解 为 几 个 子 模 式
达 到 更 高 的 范 式
提 高 性 能
79

一 、 分 解 规 则 :
R(U) 分 解 为 子 关 系 S(U 1 ) 和 T(U 2 ) 要 求 :
1. U= U 1 ∪ U 2
2. S(U 1 ) 中 的 元 组 是 R(U ) 中 元 组
在 { U 1 } 上 的 投 影 。
T(U 2 ) 中 的 元 组 是 R(U) 中 元 组
在 U 2 上 的 投 影 。
80

例 : Movies(title,year,length,genre,
分 解 为 :
影 片 影 星 与 影 片 ( 多 对 多 )
studioName,starName)
Movies 1 (title,year,length,genre,studioName)
影 片
Movies 2 (title,year,starName)
影 星 与 影 片 ( 多 对 多 )
关 系 实 例 Movies 在 子 关 系 上 的 投 影
81

二 、 分 解 为 BCNF 的 方 法
R(U) 没 有 达 到 BCNF, 将 其 分 解 为 一 组 达 到
BCNF 的 子 关 系 模 式 。
1) 求 键
2) 寻 找 BCNF 的 违 例
82

3) 分 解
假 定 : X→Y 为 BCNF 的 一 个 违 例
Y’=X + -X
F
从 X→ Y’ 分 解
R 1 (X ∪ Y’)
R 2 (X ∪(U-X-Y’))
83

4) 分 别 对 R 1 ,R 2
求 R 的 极 小 函 数 依 赖 集
在 其 上 的 投 影 F 1 ,F 2
重 复 1) 2) 3)
直 至 得 到 一 组 达 BCNF 的 子 关 系 模 式
84

三 、 函 数 依 赖 集 的 投 影
设 有 关 系 模 式 R(U,F), S(U 1 ,F 1 ) 为 分 解 后 得 到 的
子 关 系 模 式 之 一 , 求 F 1
方 法 :
对 S 上 的 每 一 个 属 性 集 X, 求 X +
F
再 求 X + ∩U
F 1
若 S 上 的 任 何 一 个 属 性 A X + ∩ U 1
F
A X
则 X A 是 F 1 中 的 一 个 函 数 依 赖 , 依 次 计 算 得 F 1
如 果 我 们 不 能 确 定 一 个 关 系 上 成 立 的 函 数 依 赖 , 就 无 法 判 定 是 85 否
属 于 BCNF。

例
设 :R(U,F),U={A,B,C,D},
F={A→B,B→C,C→D,D→A }
ρ={R 1 (A,B,C),R 2 (C,D)}
求 :F 在 R 1 、R 2 上 的 投 影 F 1 、F 2
解 : 令 : U 1 ={A,B,C}, U 2 ={C,D}
86

对 于 U 1 ={ABC}:
∵ A + F = {ABCD},
B + F = {ABCD},
C + F = {ABCD},
(AB) + F = {ABCD},
(AC) + F = {ABCD},
(BC) + F = {ABCD},
A + F∩U 1 ={ABC}
B + F ∩U 1 ={ABC}
C + F ∩U 1 ={ABC}
(AB) + F ∩U 1 ={ABC}
(AC) + F ∩U 1 ={ABC}
(BC) + F ∩U 1 ={ABC}
87

∴ F 1 = {A→B,A→C, B→A, B→C, C→A,
C→B, AB→C, AC→B, BC→A }
= {A→B, B→C, C→A }
88

对 于 U2 = {CD}:
∵ C + F = {ABCD}, C + F∩U 2 ={CD}
D + F = {ABCD},
D + F ∩U 2 ={CD}
∴ F 2 = { C→D,D→C }
89

简 化 搜 索 依 赖 的 过 程
1. 不 必 考 虑 S 的 属 性 全 集 的 闭 包
2. 只 考 虑 函 数 依 赖 左 边 属 性 的 属 性 集 的 闭 包
90

例 : R(A,B,C,D) F={A B , B C}
S(U 1 ,F 1 ) U 1 ={A,C} 求 F 1
解 :
A + ={A,B,C}
F
A + ∩U 1 = {A,C}
C 不 在 左 边 不 考 虑 含 C 的 属 性 集 的 闭 包
F 1 ={AC}
F
91

例 : R(A,B,C,D,E) F={A D, B E, DE C }
S(U 1 ,F 1 ) U 1 ={ABC} 求 F 1
解 : 不 考 虑 含 C 的 属 性 集
A + ={A,D} A + ∩U 1 =A
F
B + ={B,E} B + ∩U 1 =B
F
F
F
{A,B} + ={A,B,C,D,E} {A,B} + ∩U 1 ={A,B,C}
F
F
F 1 ={AB C}
92

四 、 分 解 为 BCNF 的 例
例 :R(A,B,C,D,E)
F={A→BC, B→D, C→D, D→E}
1) 求 R 的 键
右 侧 不 含 A, 键 含 A。
A + ={A,B,C,D,E} A 是 键
F
2) B→D 是 BCNF 的 违 例
从 B→DE 分 解
R 1 (B,D,E) R 2 (B,A,C)
93

3) 对 于 R 1 (B,D,E) 求 函 数 依 赖 集 F 的 投 影 F 1
不 考 虑 含 E 的 属 性 集
B + ={B,D,E} B + ∩U 1 ={B,D,E} B → D B → E
F
D + ={D,E} D + ∩U 1 ={D,E} D → E
F
{B,D} + ={B,D,E} {B,D} + ∩U 1 ={B,D,E } BD → E
F
化 简 F 1 ={B → D, D → E}
F
F
F
可 求 得 R 1 键 为 B ( 过 程 略 )
D → E 为 BCNF 违 例 , 由 D → E 分 解
R 11 (D,E),R 12 (D,B) 双 属 性 BCNF
94

4) 对 于 R 2 (B,A,C) 求 函 数 依 赖 集 F 的 投 影 F 2
A + ={A,B,C,D,E} A + ∩U 2 ={A,B,C}
F
B + ={B,D,E}
F
C + ={C,D,E}
F
B + ∩U 2 ={B}
C + ∩U 2 ={C}
A → BC
{A,B} + ={A,B,C,D,E} {A,B} + ∩U 2 ={A,B,C }
{B,C} + ={B,C,D,E} {B,C} + ∩U 2 ={B,C }
F
F
F
F
AB → C
{A,C} + ={A,B,C,D,E} {A,C} + ∩U 2 ={A,B ,C} AC →B
F
化 简 F 2 ={A → B,A → C}
可 求 得 R 2 键 为 A ( 过 程 略 )
无 BCNF 违 例 R 2 达 BCNF
F
F
F
F
5) 结 果 ={R 11 (D,E),R 12 (D,B), R 2 (B,A,C)}
95

例 : Movies(title,year,length,genre,
studioName,starName)
(title,year,starName) 是 唯 一 键
(title,year)
(length,genre,studioName)
是 BCNF 违 例
分 解 为 : M 1 {title,year, length,genre,studioName}
和 M 2 {title,year, starName}
用 算 法 可 印 证 M 1 ,M 2 都 属 于 BCNF
96

例 : MovieStudios(title,year,length,genre,
(title,year) 唯 一 键
studioName,studioAddr)
studioName
studioAddr 是 BCNF 违 例
分 解 为 :
S 1 {studioName, studioAddr }
和 S 2 {studioName, title,year,length,genre}
用 算 法 可 印 证 S 1 ,S 2 都 是 BCNF
97

例 :
MSP{title,year,studioName,president,presAddr}
title,year 是 键
title,year
studioName
studioName
president 是 BCNF 违 例
president
presAddr 是 BCNF 违 例
由 studioName
president,presAddr 分 解
选 不 满 足 BCNF 的 函 数 依 赖 时 , 右 侧 应 含 尽 量 多
属 性 ( 闭 包 )
98

MSP{title,year,studioName,president,presAddr}
由 studioName
president,presAddr
分 解 为 :
MSP 1 {studioName, president,presAddr}
经 算 法 判 定 不 是 BCNF
和 MSP 2 {studioName, title,year}
经 算 法 判 定 是 BCNF
99

对 于 MSP 1 {studioName, president,presAddr}
由 BCNF 违 例 president
presAddr
分 解 为 MSP 11 {president, presAddr}
和 MSP 12 {president, studioName}
最 终 分 解 为 :
都 是 BCNF
MSP 2 {studioName, title,year}
MSP 11 {president, presAddr}
MSP 12 {president, studioName}
100

五 、 从 分 解 中 恢 复 信 息
模 式 分 解 的 标 准 :
* 保 持 依 赖 的 分 解
子 关 系 的 函 数 依 赖 集 可 蕴 涵 原 函 数 依 赖 集
* 无 损 连 接 的 分 解
由 子 关 系 经 连 接 运 算 可 恢 复 原 关 系
101

考 虑 :R(A,B,C)
B
C 是 BCNF 的 违 例
分 解 为 R 1 (A,B) R 2 (B,C)
若 A 是 键 A B B C
若 (A,B) 是 键 只 有 B C
R=R 1 R 2 即 无 损 连 接 的
P53 证 明 不 可 能 出 现 伪 元 组
102

看 一 个 实 例 , 便 于 理 解
R A B C R 1 A B R 2 B C
a1 b1 c1 a1 b1 b1 c1
a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2
a3 b2 c2 a3 b2
A B B C
R 1 R 2 :
A B C
a1 b1 c1
a2 b2 c2 与 R 相 同
a3 b2 c2
103

一 个 实 例 (A,B) 是 键
R A B C R 1 A B R 2 B C
a1 b1 c1 a1 b1 b1 c1
a1 b2 c2 a1 b2 b2 c2
a2 b2 c2 a2 b2
a3 b2 c2 a3 b2
B C
R 1 R 2 :
A B C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a2 b2 c2 与 R 相 同
a3 b2 c2
104

推 广 :
A,B,C 是 属 性 组 B C 是 BCNF 的 违 例
A 是 B、C 中 没 有 出 现 的 属 性
R(A,B,C) 分 解 为 R 1 (A,B) R 2 (B,C)
R=R 1 R 2
即 将 关 系 模 式 分 解 为 BCNF 的 算 法 是 无 损 连 接 的
105

* 但 不 一 定 保 持 函 数 依 赖
R(A,B,C,D,E) AB C DE C B D
ABE 是 键
由 AB CD 分 解 为
R 1 (A,B,C,D) AB C B D
R 2 (A,B,E)
对 R 1 由 B D 分 解 为
R 11 (B,D) B D R 12 (B,A,C) AB C
DE C 丢 失
( 不 蕴 涵 于 子 模 式 函 数 依 赖 集 )
106

判 断 一 个 分 解 具 有 无 损 连 接 性 的 算 法
算 法 的 输 入 :
关 系 模 式 R(A 1 ,A 2 ,…,A n ),
R 上 的 函 数 依 赖 集 F,
R 的 一 个 分 解 ={R 1 ,R 2 ,…,R k }
算 法 的 输 出 : true 或 false
107

算 法 LOSSLESSTEST(R,F ,)
构 造 一 个 k 行 n 列 的 二 维 表 T, 第 i 行 对 应 于 关 系 模 式 R i , 第
j 列 对 应 于 属 性 A j , 令
T ij = {
a j 若 A j R i
b ij 若 A j R i
108

c1:=true
do while c1
{c1:=false;
for 每 一 个 XYF do
for 每 一 对 t i , t k T do
if t i [X] = t k [X] and t i [Y] t k [Y]
then { EQUY(t i , t k ); c1=true }
for 任 一 个 tT do { if t=a 1 a 2 ..a n then return(true)}
}
return(false)
109

EQUY (t i ,t k ) 是 使 t i , t k 两 个 元 组 的 Y 值 相 等 的 子 处 理 过 程 ,
处 理 原 则 如 下 :
若 t i [Y] 与 t j [Y] 有 一 个 为 a j
则 将 另 一 个 也 改 为 a j
否 则 ,t k [Y]=t i [Y] 假 定 i

例 : 关 系 模 式 R(A,B,C,D,E)
F={AC,BC,CD,DEC,CEA}
分 解 为 ={R 1 (A,D),R 2 (A,B),R 3 (B,E),
R 4 (C,D,E),R 5 (A,E )}
用 上 述 算 法 判 断 是 否 具 有 无 损 连 接 性
111

构 造 二 维 表
A B C D E
R 1
b 12 b 13 a 4 b 15
R 2
a 1 a 2 b 23
b 24 b 25
a 1
R 3 b 31 a 2 b 33 b 34 a 5
R 5 a 1 b 52 b 53 b 54 a 5
R 4 b 41 b 42 a 3 a 4 a 5
112

由 AC, 做 的 修 改
A B C D E
R 1
b 12 b 13 a 4 b 15
R 2
a 1
b 13
a 3 a 4
a 1 a 2 b 23
b 24 b 25
R 4 b 41 b 42
a 5
R 3 b 31 a 2 b 33 b 34 a 5
R 5 a 1 b 52 b 53 b 54 a 5
b 13
113

由 CD 做 的 修 改
A B C D E
R 1
b 12 b 13 a 4 b 15
R 2
a 1
4
a 3 a 4
a 1 a 2 b 13 b 24 a b 25
R 4 b 41 b 42
a 5
R 3 b 31 a 2 b 13 b 34 a 4
a 5
R 5 a 1 b 52 b 13 b 54 a 5
a 4
114

结 果 二 维 表
A B C D E
R 1
b 12 a 3
a 4 b 15
R 2
a 1
a 2
a 3
a 4
b 25
a 1
R 3
a 1 a 2 a 5
a 3 a 4
R 5 a 1 b 52 a 3 a 4 a 5
R 4 a 1 b 42 a 3 a 4 a 5
算 法 输 出 true 是 无 损 的
115

定 理 : 关 系 模 式 R(U), 分 解 为 ={R1(U 1 ),R2(U 2 )}
是 无 损 连 接 的
当 且 仅 当
U 1 U 2 U 1 -U 2
或
U 1 U 2 U 2 -U 1
116

保 持 依 赖 分 解 成 3NF 的 算 法 :
1) 对 R(U,F) 求 最 小 依 赖 集 F’
2) 若 F’ 只 有 XA, 且 XA=U 转 4)
3) 若 U 中 有 某 些 属 性 与 F’ 中 所 有 依 赖 的
左 部 与 右 部 都 无 关 , 则 将 它 们 构 成 一 个 关 系 模 式
4) 将 F’ 左 部 相 同 的 依 赖 分 组 每 一 组 形 成 一 个
子 关 系 R i (U i ,F i )
={R 1 (U 1 ,F 1 ),R 2 (U 2 ,F 2 ),…...R n (U n ,F n )}
117

例 :Students(Sno,Sname ,Sage,Dno,Classno,Tno,Cno,Grade)
给 出 一 个 保 持 依 赖 的 分 解
解 : 最 小 依 赖 集
F’= {Sno Sname,Sno Sage,Sno Classno
Classno Tno, Tno Classno,
Classno Dno ,(Sno,Cno) Grade}
左 部 相 同 的 分 为 一 组
={R 1 (Sno,Sname,Sage,Classno),
R 2 (Classno,Tno,Dno),
R 3 (Sno,Cno,Grade )}
118

4.2.4 多 值 依 赖 与 4NF
数 据 依 赖 : 函 数 依 赖 、 多 值 依 赖
例 : 学 校 中 , 一 门 课 程 , 一 组 教 师 , 一 套 参 考 书
teach(C,T,B)
全 键 (C,T,B)
无 函 数 依 赖
teach(C,T,B) ∈BCNF
119

存 在 问 题 : 冗 余 、 更 新 异 常
原 因 :C 决 定 T、B 的 一 组 值
T 与 B 取 值 无 关
在 同 一 表 中 给 出 各 种 组 合 , 造 成 冗 余
多 值 依 赖 的 存 在
120

1. 多 值 依 赖 的 定 义
定 义 : 设 R(U) 是 一 个 关 系 模 式
U 是 关 系 R 的 属 性 全 集
X,Y,Z 是 R 的 属 性 组 且 Z=U-X-Y
若 对 于 关 系 实 例 r ,
满 足 : 给 定 X 的 值 , 有 一 组 Y 值 与 之 对 应 , 且 与 Z 无 关
则 称 “X 多 值 决 定 Y” 或 “Y 多 值 依 赖 于 X”
记 为 :X Y
当 Z= 时 , 称 为 平 凡 多 值 依 赖
121

例 :teach(C,T,B)
C T
某 一 课 程 决 定 一 组 教 师 与 参 考 书 无 关
C B
某 一 课 程 决 定 一 组 参 考 书 与 教 师 无 关
122

多 值 依 赖 具 有 这 样 的 性 质 :
设 R(U) X,Y,Z U Z= U-X-Y
1)X Y 则 X Z 对 称
2) X Y 则 X Y 特 例
123

2. 第 四 范 式 定 义 :
定 义 : 关 系 模 式 R(U,F) ∈ 1NF,
R 上 非 平 凡 的 多 值 依 赖 X Y ,
必 有 X 含 有 键 则 R(U,F) ∈ 4NF。
说 明 :
当 U-X-Y= (Y X) 时 , 称 为 非 平 凡 多 值 依 赖
4NF 的 关 系 模 式 只 允 许 ( 决 定 因 素 含 键 的 ) 函 数 依 赖
及 平 凡 的 多 值 依 赖 出 现
124

3. 分 解 成 4NF
在 R 的 函 数 依 赖 中 , 找 一 个 4NF 的 违 例
A B (A,B 是 属 性 集 )
分 解 为
R 1 (A,B)
R 2 (A,C)
C 为 A,B 中 没 有 的 属 性 的 集 合
125

例 :teach(C,T,B) 分 解 为
CT(C,T)∈ 4NF
C T 平 凡 多 值 依 赖
CB(C,B)∈ 4NF
C B 平 凡 多 值 依 赖
一 张 表 一 个 联 系 消 除 了 冗 余 、 更 新 异 常
126

4.2.5 关 于 规 范 化
规 范 化 的 实 质 : 概 念 单 一 化
一 事 一 地
单 一 事 物 单 一 联 系
1NF
2NF
3NF
BCNF
4NF
消 除 非 键 属 性 对 键 的 部 分 函 数 依 赖
消 除 非 键 属 性 对 键 的 部 分 、 传 递 函 数 依 赖
消 除 键 属 性 对 键 的 部 分 函 数 依 赖 与 传 递 函 数 依 赖
消 除 非 平 凡 且 非 函 数 依 赖 的 多 值 依 赖
127

熟 练 掌 握 : 函 数 依 赖 概 念 ; 函 数 依 赖 Armstrong 公
理 系 统 和 推 理 规 则 ; 属 性 集 A 关 于 函 数 依 赖
集 F 的 闭 包 计 算 ;BCNF、3NF、2NF 和 1NF
的 概 念 ; 判 定 关 系 模 式 属 于 第 几 范 式 ; 从
函 数 依 赖 集 计 算 关 系 模 式 的 键 ; 关 系 模 式
分 解 的 函 数 依 赖 投 影 计 算 ; 具 有 无 损 连 接
性 分 解 到 BCNF 的 算 法 。 保 持 函 数 依 赖 分 解
到 3NF 的 算 法 。 判 定 无 损 连 接 性 的 算 法 。
掌 握 : 函 数 依 赖 集 闭 包 概 念 ; 多 值 依 赖 与 4NF; 关
系 投 影 ; 具 有 无 损 连 接 性 分 解 和 保 持 函 数 依
赖 分 解 的 概 念 ; 低 范 式 关 系 模 式 的 缺 点 。
理 解 : 数 据 冗 余 及 其 影 响 问 题 。
128