4章の演習問題（全問）

n
n
1 1
P ( − x) = C − x + 1 −x − 1 = C − x + 1 −x
−1
2 k n−k 2
k
( ) (( ) ) (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) )
n n n k n n k
2 k= 0 2 k=
0
n
n n
1 ( −1)
= ∑ − − − + = ∑ − +
2 2
2 k
n−k
−
2
( C ) ( 1) ( x 1 ) ( 1) ( x 1) ( C ) ( x 1) ( x 1)
n n k n n k
k = 0 k = 0
n
= ( −1) P ( x)
n
∑
∑
k n k k n−k
n
n−k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
′
x x dx x x dx
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 n
1 n−1
d 2 n k d 2 n k
∫⎜ ( − 1) ( 1)
n ⎟ =
n−1
dx
∫⎜ − ⎟
dx
−1 −1
n−1 1 1 n−1 1 n−1
k 2 n 2 n k−1 2 n
( 1) ( 1) ( 1)
n−1 n 1 n 1
dx
⎥
− −
dx dx
−1
−1 −1
⎡ d ⎤ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ k−1
= ⎢x x − − ⎜ x − ⎟kx dx=−k ⎜ x − ⎟
⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ x dx
[ ](x 2 1) n-1
x1x+1
⎛ d
x
⎞
xdx k
⎛ d
x
⎞
x
1
dx
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 n
1 n−1
2 n k 2 n k−
∫⎜ ( − 1) ( 1)
n ⎟ =−
n−1
dx
∫⎜ − ⎟
dx
−1 −1
⎛
= ( − ) ⋅( − + )
−
⎝
1 n−2
d 2 n k−2
k k 1 ∫ ⎜ ( x 1) x dx
n−2
⎟
dx
−1
x k
⎛ ⎞ ⎛ n⎞
⎜ ( x − 1) ⎟xdx = −1 k! ⎜ ( x −1)
⎟dx
=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 n
1 n−k
d 2 k d 2
n
n−k
dx
dx
−1 −1
∫ ∫ 0
n
( )
⎞
⎠
[ ]
Pn Pm Pn
Pn Pm 1
m