Page 1 随机过程的概念 我们已经知道，在一个样本空间Ω ，通过构建σ ...

随 机 过 程 的 概 念
我 们 已 经 知 道 , 在 一 个 样 本 空 间 , 通 过 构 建 域 的 方 法 , 我 们 可 以 构 建 概 率 测 度
空 间 , 并 在 此 空 间 上 定 义 随 机 ( 实 数 ) 变 量 。 这 其 实 是 建 立 了 从 样 本 空 间 到 实 数 的 一 个 一 元
函 数 ( 映 射 )。
在 实 际 金 融 分 析 中 , 我 们 遇 到 的 变 量 不 仅 具 有 随 机 性 , 还 具 有 随 时 间 而 变 化 的 性 质 , 因
此 需 要 用 到 随 机 过 程 的 概 念 。
假 设 是 随 机 试 验 的 样 本 空 间 ,T 是 一 个 参 数 集 一 般 指 时 间 。 如 果 对 于 每 个 t T ,
都 有 随 机 变 量 X ,
t R 与 之 对 应 , 则 称 依 赖 于 t 的 一 族 随 机 变 量 X
, t
过 程 , 有 时 也 简 写 为
X t 或 者
X
t 。
为 一 个 随 机
随 机 变 量 X , t
是 映 射 到 实 数 轴 的 二 元 函 数 , 自 变 量 包 括 时 间 和 状 态 。
如 果 固 定 在 某 个 具 体 时 点 上 , 它 退 化 为 一 个 普 通 随 机 变 量 。
如 果 给 定 每 个 时 点 上 的 状 态 , 它 退 化 为 时 间 的 确 定 性 函 数 , 又 称 为 样 本 路 径 。
每 分 钟 扔 一 个 硬 币 , 定 义 样 本 空 间 为
HT ,
将 时 间 定 义 为 t1, t
2,...
, 并 在 上 定 义 概 率 测 度 , 则
X t
1 2
, X t ,....
就 是 一 个 随 机 过 程 。 如 果 将 时 点 固 定 , 其 中 的 每 一 项 都 是 一 个 随 机 变 量 ; 如 果 将 每 个 时 点 的
状 态 确 定 , 例 如 假 设 每 次 都 出 现 H , 那 么
就 是 该 随 机 过 程 的 一 条 样 本 路 径 。
X H t
X H, t , , ,....
1 2
记 S 为 某 只 股 票 上 市 以 来 第 t 个 交 易 日 的 收 盘 价 , 由 于 股 价 受 各 种 随 机 因 素 的 影 响 , 因
t
此 S t 也 是 一 个 随 机 过 程 。
记 c
t
为 上 述 股 票 的 看 涨 期 权 在 t 时 刻 的 价 格 , 其 到 期 时 点 为 T , 执 行 价 格 为 K 。 对 于

t T 的 时 点 , ctSt, t, T,
K 也 是 一 个 随 机 变 量 , 其 取 值 取 决 于 S
t
的 随 机 过 程 。 K 和 T 被
称 为 c
t
的 随 机 过 程 的 参 数 。
根 据 时 间 参 数 和 状 态 是 否 连 续 可 以 对 随 机 过 程 进 行 分 类 :
( ) 和 T 都 是 离 散 的 。 这 是 实 际 中 最 常 出 现 的 随 机 过 程 。
( ) 连 续 ,T 离 散 。
( ) 离 散 ,T 连 续 。
( ) 和 T 都 连 续 。 以 它 为 基 础 的 金 融 学 研 究 称 为 连 续 时 间 金 融 。 在 这 种 情 况 下 我 们 可 以
用 许 多 方 便 的 数 学 工 具 来 处 理 随 机 过 程 , 所 以 理 论 上 大 多 采 用 此 类 模 型 。
dS dt dz
ln S
ln
S
t t1
t

随 机 过 程 的 统 计 特 征
因 为 固 定 在 某 个 时 点 上 , 随 机 过 程 退 化 为 一 个 普 通 的 随 机 变 量 , 所 以 我 们 有 以 下 定 义 :
定 义 一 个 随 机 过 程 X
t
为 随 机 过 程 的 一 阶 分 布 函 数 。
在 任 意 时 点 的 分 布 函 数
F x t X x
,
t
称 一 阶 分 布 函 数 的 偏 导 数
为 随 机 过 程 的 一 阶 密 度 函 数 。
f
x,
t
F x,
t
x
E X X d X dF X
t t t t t
R
2 2
Var X X d X dF X
2
t t
t t
R
t t t
以 上 概 念 都 是 时 间 t 的 函 数 。
以 上 统 计 特 征 只 揭 示 了 随 机 过 程 在 某 个 固 定 时 点 上 的 信 息 。 很 多 时 候 我 们 需 要 知 道 在 不
同 时 点 上 随 机 过 程 的 分 布 是 否 具 有 某 种 联 系 。 所 以 进 一 步 引 入 以 下 概 念 。
t
,
t
,...,
1, 2,... t
1, t
2,...
F x x t t X x X x
1 2 1 2
f x , x ,..., t , t ,...
t1 t2
1 2
n
F xt
, x ,...,
1 t
t
2 1, t2,...
x
x
...
t1 t2
如 果 能 确 定 联 合 分 布 , 我 们 就 完 全 掌 握 了 随 机 过 程 的 各 种 信 息 。 但 很 多 时 候 我 们 是 难 以
观 察 和 把 握 联 合 分 布 的 , 所 以 我 们 退 而 研 究 随 机 过 程 的 矩 的 性 质 。

二 阶 混 合 原 点 矩
EX X
re s t
,
s t
称 为 自 相 关 函 数 。
二 阶 混 合 中 心 矩
称 为 协 方 差 函 数 。
,
,
Cov s t E X
s
s X
t
t re s t st
自 相 关 函 数 和 协 方 差 函 数 是 两 个 时 间 参 数 和 的 二 元 函 数 。 当 s t时 协 方 差 就 退 化
为 方 差 了 。
E X | X , t s
t
s
ln S ln
S
t t1
t
期 望 值 恒 定 pt p0 i,
E( pt)
p0
Var p
t
i1
方 差 无 界
2
自 相 关
t
t
2
cov( pt, pts)
E
pt p0 pts
p0
t s
t
s
s
t s t
自 相 关 系 数 很 高 , 且 强 记 忆 性 。
正 弦 波 过 程 :
X acosbt
t
和 为 常 数 , 服 从 在 上 的 均 匀 分 布 。 试 求 X
t
的 一 阶 密 度 函 数 、 一 阶 期 望 、 自 相 关
函 数 和 自 协 方 差 函 数 。

平 稳 性 是 指 随 着 时 间 的 变 化 , 随 机 过 程 的 某 些 特 征 会 保 持 不 变 的 性 质 。 它 是 随 机 过 程 中
的 重 要 概 念 。 最 常 见 的 平 稳 性 定 义 有 强 平 稳 过 程 和 弱 平 稳 过 程 。
如 果 一 个 随 机 过 程 的 分 布 不 随 着 时 间 的 推 移 而 变 化 , 我 们 称 该 随 机 过 程 是 一 个 强 平 稳 过
程 。 即
t
,
t
,...
t
,
1, 2,..., n t t, t t,... t t, 1
,
2
,...,
n
F x x x t t t F x x x t t t t t t
1 2 n
1 2
n
如 果 一 个 随 机 过 程 的 一 阶 矩 和 二 阶 矩 都 存 在 ( 不 为 无 穷 大 ), 而 且 不 随 时 间 的 推 移 而 变
化 , 称 该 随 机 过 程 是 一 个 弱 平 稳 过 程 。 即 :
s t , s,
t T
re s, t re s t, t t re t s , s,
t T
由 于
2
Cov s, t re s, t
s t
re t s
所 以 弱 平 稳 过 程 的 自 协 方 差 也 不 随 时 间 变 化 而 变 化 。
二 阶 矩 只 与 时 间 的 间 隔 有 关 , 而 与 时 点 的 绝 对 位 置 无 关 。
由 于 弱 平 稳 过 程 中 对 一 阶 矩 和 二 阶 矩 的 大 小 有 要 求 , 而 严 平 稳 过 程 没 有 , 所 以 这 两 种 平
稳 过 程 没 有 相 互 包 含 的 关 系 。 但 是 满 足 一 阶 矩 二 阶 矩 有 限 这 一 性 质 的 严 平 稳 过 程 都 是 弱 平 稳
过 程 。

几 种 常 见 的 随 机 过 程
白 噪 音 ( )
如 果 一 个 随 机 过 程
t
满 足
s 0, s,
t T
0,
s t
, 2
Cov s t
, s t
我 们 称
t
为 一 个 白 噪 音 过 程 。
显 然 白 噪 音 过 程 属 于 弱 平 稳 过 程 。
如 果 恒 等 于 一 个 非 零 常 数 , 则 我 们 很 容 易 通 过 去 均 值 将 其 转 化 为 一 个 白 噪 音 。
s
有 些 教 材 也 将 这 样 的 随 机 过 程 称 为 白 噪 音 。
白 噪 音 的 核 心 特 征 在 于 无 条 件 自 相 关 系 数 为 零 , 即 无 自 相 关 。
如 果
t
是 一 个 白 噪 音 , 那 么 满 足
t
a0
0 t
1 t1 ...
q tq
的 随 机 过 程 称 为 过 程 。 请 自 行 验 证 过 程 的 弱 平 稳 性 和 自 相 关 性 质 。
如 果
t
是 一 个 白 噪 音 , 那 么 满 足
的 随 机 过 程 称 为 过 程 。
t
0
1 t1
2 t2 ...
p t
p
t
鞅 过 程 ( )
设 , , 是 概 率 空 间 ,T 是 固 定 的 正 数 ,
t,0
t T
是 的 子 代 数 的 域 流 。

考 虑 一 个 适 应 的 随 机 过 程 X
t,0 s t T , 且 E Xt
。
如 果
E X
t
|
s
X
s
则 我 们 称
X
t
是 一 个 鞅 。 鞅 没 有 上 升 或 下 降 的 趋 势 。
如 果
E X
t
|
s
X
s
则 我 们 称
X
t
是 一 个 下 鞅 。 鞅 没 有 下 降 的 趋 势 , 但 可 能 有 上 升 的 趋 势 。
如 果
E X
t
|
s
X
s
则 我 们 称
X
t
是 一 个 上 鞅 。 鞅 没 有 上 升 的 趋 势 , 但 可 能 有 下 降 的 趋 势 。
鞅 过 程 的 核 心 特 征 在 于 条 件 一 阶 矩 ( 条 件 期 望 ) 为 当 前 值 。
鞅 过 程 意 味 着 公 平 游 戏 : 对 未 来 的 最 佳 预 测 等 于 当 前 值 。 也 就 是 说 , 当 前 信 息 集 无
法 提 供 任 何 有 助 于 预 测 未 来 的 信 息 , 未 来 的 变 动 是 完 全 不 可 预 测 的 。
鞅 过 程 意 味 着 无 条 件 收 益 率 有 界 , 条 件 预 期 收 益 率 为 。
在 图 上 , 鞅 过 程 应 呈 现 出 非 常 不 规 则 的 轨 迹 , 不 应 有 任 何 的 可 监 测 到 的 趋 势 。
鞅 过 程 与 正 态 分 布 无 必 然 联 系 。 满 足 条 件 期 望 等 于 的 过 程 同 样 是 鞅 。
从 连 续 性 上 看 , 鞅 又 可 以 分 为 两 种 : 连 续 鞅 ; 右 连 续 鞅 ( 跳 跃 )。
无 条 件 二 阶 矩 ( 方 差 ) 有 界 的 连 续 鞅 被 称 为 连 续 平 方 可 积 鞅 (
)
鞅 过 程 是 适 应 随 机 过 程 。 鞅 的 概 念 总 是 与 特 定 的 信 息 集 和 特 定 的 概 率 测 度 相 联 系 。
信 息 集 和 测 度 改 变 , 随 机 过 程 可 能 在 鞅 和 非 鞅 之 间 变 换 。
将 半 鞅 转 化 为 鞅 过 程 的 方 法 有 二 :
分 解 : 在 一 些 一 般 条 件 下 , 任 意 的 随 机 过 程 都 可 以 分 解 为 一 个 鞅
和 一 个 上 升 下 降 过 程 的 的 组 合 。 去 除 第 二 部 分 , 即 可 得 到 一 个 鞅 。
转 变 概 率 测 度 , 使 其 在 新 的 概 率 测 度 下 转 化 为 一 个 鞅 。 只 要 对 概 率 为 和 概 率
为 的 事 件 测 度 相 同 , 这 个 测 度 被 称 为 原 测 度 的 等 价 鞅 测 度 (
), 转 换 过 程 需 要 用 到 哥 萨 诺 夫 定 理 ( )
现 实 生 活 中 的 股 票 价 格 和 贴 现 债 券 价 格 是 一 个 下 鞅 。
条 件 期 望 是 一 个 鞅 。
ln S ln S , E 0
,
Es E t
XT Es XT
s t T
1
1
t t
t t t

令
X
X
t t t1
当
X
t
是 一 个 鞅 过 程 时 , t
被 称 为 鞅 差 分 序 列 。 由 条 件 期 望 的 基 本 性 质 可 得
E
E E
t
t
|
t1
0
E
ttj
E
E
ttj |
tj
E
t
jE
t
|
tj
0
所 以 鞅 差 分 序 列 都 是 白 噪 音 。
但 白 噪 音 不 一 定 是 鞅 差 分 序 列 。 例 如
2
t at 1 t2 t, t
I.I.D. 0,
t t t
where
h
v
t
hv
2
0 1 t1
2
t
is a white noise (IID) and v 1. vt is independent of t
1.
2 2
t E vt 0 1 t1 E vt
E
0 1
t1
1/2 1/2
E
0
Since E v 0, 0, for i 0
E
i
2
t
t t
t t
E E v E
t1 1 1 0 1 1
2
Var
t1 t 0 1 t1
t
ti
t
在 v
t
生 成 的 信 息 流 下 是 一 个 鞅 差 分 序 列 。
1/ 2
0
效 率 市 场 假 说 :
公 平 游 戏 意 味 着 剔 除 合 理 的 ( 系 统 ) 可 预 期 收 益 ( 时 间 价 值 + 风 险 溢 酬 ) 之 后 , 超
额 收 益 应 该 是 鞅 差 分 序 列 , 以 当 前 信 息 而 言 是 不 可 预 测 的 , 条 件 期 望 为 零 , 没 有 自 相 关 。
投 资 者 无 法 稳 定 地 获 得 超 额 收 益 。 检 验 方 法 如 :
'
如 果 β 0
信 息 效 率
, 价 格 时 间 序 列 上 的 检 测
R E R β Ω t
v
'
t1 t t1
t
或 v
t
存 在 序 列 相 关 , 说 明 不 是 公 平 游 戏 , 不 是 有 效 市 场 。

马 尔 可 夫 过 程 ( )
设 , , 是 概 率 空 间 ,T 是 固 定 的 正 数 ,
t,0
t T
考 虑 一 个 适 应 的 随 机 过 程 X
t,0 s t T 。
如 果
则 我 们 称
X x | X x | x
t t s
t t s
X
t
是 ( 基 于 这 个 域 流 和 测 度 的 ) 一 个 马 尔 可 夫 过 程 。
是 的 子 代 数 的 域 流 。
马 尔 可 夫 性 质 又 称 作 无 记 忆 性 或 者 叫 无 后 效 性 , 是 在 预 测 未 来 分 布 的 时 候 , 只 取 决
于 当 前 的 信 息 ; 或 者 同 时 使 用 当 前 信 息 和 历 史 信 息 时 , 与 仅 仅 使 用 当 前 信 息 的 预 测
结 果 是 一 样 的 。 也 就 是 说 在 当 前 信 息 已 知 的 情 况 下 , 历 史 信 息 对 预 测 未 来 分 布 没 有
额 外 的 作 用 。
马 尔 可 夫 性 质 也 可 以 写 为 , 如 果
X
t
为 马 尔 可 夫 过 程 , 则 对 于 任 一 非 负 的 波 雷 尔 可
测 函 数 f , 存 在 另 一 个 波 雷 尔 可 测 函 数 g , 使 得
|
E f X
t s g X
s
如 果
随 机 性 只 是 依 赖 于
其 仅 仅 是
X
t
为 马 尔 可 夫 过 程 , g 函 数 的 存 在 性 意 味 着 , 如 果 t 时 刻 到 期 的 衍 生 证 券 的
X
t
, 则 在 s 时 刻 (0 s t ), 一 定 存 在 一 个 衍 生 证 券 的 定 价 函 数 ,
X
s
的 函 数 , 我 们 不 需 要 储 存 任 何 有 关 路 径 的 信 息 。
大 部 分 的 衍 生 证 券 定 价 模 型 都 基 于 马 尔 可 夫 性 质 。 模 型 是 个 例 外 。
效 率 市 场 假 说
马 尔 可 夫 性 质 与 弱 式 效 率 市 场 假 说 是 一 致 的 , 即 表 明 技 术 分 析 无 效 。 但 超 额 收 益 的
鞅 差 分 性 质 与 效 率 市 场 假 说 存 在 更 一 般 的 一 致 性 。
鞅 性 质 是 式 中 ,
f x x g x x 时 的 特 殊 情 形 。

并 非 每 个 鞅 过 程 都 是 马 尔 可 夫 过 程 。 因 为 马 尔 可 夫 过 程 要 求 对 于 每 个 函 数
都 必 须 存 在 相 应 的 函 数 g , 使 得 式 成 立 。
f ,
并 非 每 个 马 尔 可 夫 过 程 都 是 鞅 过 程 。 因 为 马 尔 可 夫 性 质 只 要 求 存 在 某 个 函 数 g ,
使 得 式 成 立 , 并 不 要 求 g x
x 。
独 立 增 量 过 程 ( )
独 立 增 量 意 味 着 在 时 间 上 , 两 两 独 立 。 独 立 增 量 过 程 是 马 尔 可 夫 过 程 。
独 立 同 分 布 ( , )
如 果 独 立 增 量 过 程 的 增 量 只 是 时 间 间 隔 的 函 数 , 与 时 间 的 绝 对 位 置 无 关 , 即 Xt Xs
跟
X
X 的 分 布 对 于 任 意 t 是 一 样 的 , 则 称 此 过 程 为 ( 增 量 ) 独 立 同 分 布 过 程 。
tt st
容 易 验 证 独 立 同 分 布 过 程 既 是 鞅 过 程 又 是 马 尔 可 夫 过 程 , 所 以 具 有 很 好 的 分 析 性 。 在 随
机 金 融 分 析 中 我 们 往 往 使 用 一 些 独 立 同 分 布 过 程 来 刻 画 金 融 中 的 随 机 变 量 。 但 现 实 中 的 资 产
价 格 收 益 率 是 不 服 从 独 立 同 分 布 的 。 不 服 从 独 立 同 分 布 并 不 意 味 着 市 场 无 效 。
本 节 中 学 习 到 的 几 种 随 机 过 程 的 关 系 可 以 用 下 图 来 说 明 。
白 噪 音
鞅 差 分
独 立 同 分 布
差 分
马 尔 可 夫 过 程