Release2.2

ใช้ดีถูกใจอย่าลืมอุดหนุนฉบับตีพิมพ์เป็นเล่มด้วยนะครับ* เนื้อหาตามหลักสูตรใหม่ครบทุกบทเรียน ม.4-5-6* โจทย์แบบฝึกหัดเตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ* ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยครบทั้ง 14 ฉบับ (2541-2548)* พร้อมเฉลยคําตอบ วิธีคิด และเรื่องที่น่ารู้อีกมากมาย..เหมาะสําหรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6สอบโควตารับตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลัยเซต ตรรกศาสตร์/การให้เหตุผลระบบจํานวนจริง/ทฤษฎีจํานวนเรขาคณิตวิเคราะห์ความสัมพันธ์/ฟังก์ชันกําหนดการเชิงเส้นฟังก์ชันตรีโกณมิติเอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึมเมตริกซ์ เวกเตอร์จํานวนเชิงซ้อน ทฤษฎีกราฟลําดับ/อนุกรม ลิมิต/ความต่อเนื่องอนุพันธ์/การอินทิเกรต สถิติความน่าจะเป็นRelease 2.2คณิต มงคลพิทักษ์สุขวศ.บ. ไฟฟ้า จุฬาฯ (เกียรตินิยม) http://math.reads.itkanuay@thai.com

2Math E-BookRelease 2.2เรียบเรียงโดย คณิต มงคลพิทักษ์สุขเผยแพร่ทางอินเตอร์เน็ตที่เว็บไซต์ http://math.reads.it และไทยแวร์ดอตคอมRelease 2.0 13 ตุลาคม 2548Release 2.1 28 ธันวาคม 2548Release 2.2 14 มิถุนายน 2549ตีพิมพ์ครั้งแรก (จาก Release 2.0) ธันวาคม 2548ในชื่อ “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET”โดยสํานักพิมพ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบัณฑิต)ราคาปก 159 บาทสงวนลิขสิทธิ์ตามกฎหมายห้ามลอกเลียนไม่ว่าส่วนหนึ่งส่วนใดของหนังสือเว้นแต่ได้รับอนุญาตฉบับตีพิมพ์มีจําหน่ายแล้วที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯร้านซีเอ็ด ร้านขายแบบเรียนทั่วไป และธรรมบัณฑิต3/1 ถนนอัษฎางค์ ริมคลองหลอดสนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200ธนาณัติสั่งจ่าย ป.ณ.หน้าพระลานในนาม ผู้จัดการโทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884ถนนราชดําเนินโรงแรมรัตนโกสินทร์แม่ธรณีตรอกสาเก7-Eleven ร้านธรรมบัณฑิต วัดบูรณศิริถนนอัษฎางค์ ไปกระทรวงมหาดไทยคลองหลอดแผงหนังสือสนามหลวงเดิมสนามหลวงกระทรวงยุติธรรม

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 3¤íÒªÕéæ¨§ภายในหนังสือเล่มนี้ประกอบด้วย เนื้อหาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ.2544 ช่วงชั้นที่ 4 (หรือ ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวข้อ (ซึ่งพยายามเขียนให้กระชับที่สุด) และ โจทย์แบบฝึกหัด ที่เรียงลําดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนื้อหาและเทคนิคการคํานวณที่ควรทําความเข้าใจเพิ่มเติม เนื้อหาบางบทเรียนสามารถเริ่มทําความเข้าใจได้ทันที แต่บางบทเรียนก็จําเป็นต้องใช้พื้นฐานความรู้จากบทเรียนอื่นประกอบด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันการสับสนผู้อ่านควรศึกษาเรียงตามหัวข้อดังนี้ตรรกศาสตร์เซตระบบจํานวนจริงความน่าจะเป็นทฤษฎีกราฟเมตริกซ์พื้นฐานฟังก์ชันเรขาคณิตวิเคราะห์เวกเตอร์เพิ่มเติมกําหนดการเชิงเส้นจํานวนเชิงซ้อนสถิติลําดับ+อนุกรมตรีโกณมิติลิมิต+ความต่อเนื่องเอกซ์โพ.+ลอการิทึมอนุพันธ์+อินทิเกรตนอกจากนี้ในตอนท้ายยังมี ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ ครบทั้ง 14ฉบับ (ต.ค.41 ถึง มี.ค.48) และวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (2532 ถึง 2548, เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) เพื่อใช้สําหรับฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย (O-NET / A-NET) อีกด้วยในท้ายบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคําตอบและวิธีคิด กํากับไว้ทั้งหมดแล้ว โดยเฉลยวิธีคิดในหนังสือเล่มนี้เป็นเพียงการสรุปความคิดรวบยอดของข้อนั้นๆ ไม่ได้แสดงวิธีทําอย่างละเอียดทุกขั้นตอน ทั้งนี้เป็นความตั้งใจที่จะเน้นให้ผู้อ่านได้ลองคิดและเกิดความเข้าใจไปพร้อมๆ กัน เพื่อให้ทําข้อสอบได้รวดเร็วขึ้น เชื่อว่าหากผู้อ่านได้ให้เวลาทําความเข้าใจเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน และฝึกทําโจทย์แบบฝึกหัดไปทีละขั้นๆ พร้อมกับตรวจเฉลยทุกข้อ ก็จะติดตามบทเรียนจนจบได้อย่างลุล่วง สิ่งที่ต้องการแนะนําในที่นี้คือ หากมีข้อสงสัยให้รีบถามจากผู้รู้ ไม่ควรปล่อยให้ติดค้างอยู่ :]Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 4แนวโจทย์ข้อสอบเข้าฯ ในปัจจุบันโจทย์ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปัจจุบันนี้เปลี่ยนแนวไป ทําให้หลายคนบ่นว่ายากขึ้นมากส่วนตัวผู้เขียนว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหา ในนิยามหลักๆ ของบทเรียนลักษณะข้อสอบแบบนี้อันที่จริงไม่ถือว่ายาก แต่ค่อนไปในทางลึกซึ้งมากกว่า คนที่จะทําข้อสอบแบบนี้ได้ถูก จะต้องรู้ลึกและแม่นจริง สูตรลัดกลายเป็นสิ่งไร้ค่า และการขยันเรียนที่โรงเรียนโดยตลอดพร้อมกับทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมด้วยตนเอง จะได้ผลดีมากกว่าการกวดวิชาเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้ได้ผลดี(1) ปัญหาแรกของคนที่บอกว่าตัวเองเรียนไม่รู้เรื่องเลย ทําโจทย์ไม่เป็นเลย อยู่ที่เรียนผิดวิธีครับ ถ้าไม่เข้าใจบทเรียนให้ลองถามตัวเองว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้(ก) ไม่ตั้งใจเรียน กรณีนี้ไม่มีวิธีแก้วิธีใดดีไปกว่าการบังคับตัวเองให้ตั้งใจเรียน :](ข) ถ้าตั้งใจแล้วแต่ไม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไม่ดี แบบนี้คงต้องย้ายไปเรียนกับคนที่สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกับสนุก หรือเข้าใจกับมีสูตรลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครับ!)(2) ทีนี้พอเข้าใจบทเรียนแล้ว การที่จะทําได้ดีไม่ดี อยู่ที่การฝึกฝนอีกอย่างหนึ่งด้วย (ถ้านั่งฟังอย่างเดียวแต่ไม่ได้ลงมือฝึกด้วยตัวเองเลย ก็คงคล้ายกับเรียนว่ายน้ําทางทีวีนั่นแหละครับ) ยิ่งทําโจทย์เยอะและแปลก จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแม่นยําลึกซึ้งในวิชานั้นสอนกันไม่ได้อีกสิ่งหนึ่งที่ควรปรับปรุงคือ แทนที่จะจําวิธีแก้โจทย์เป็นรูปแบบตายตัว อยากให้ “มองคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ” คือฝึกมองให้กว้างว่าแต่ละเรื่องที่เรารู้นั้น เอาไปเป็นเครื่องมือช่วยแก้ปัญหาจุดไหนของเรื่องไหนได้บ้าง ต้องบอกได้ว่าทําไมโจทย์ข้อนี้ถึงควรทําด้วยวิธีนี้ หรือรู้จักมองว่าเนื้อหาบทไหนเชื่อมโยงถึงกันได้บ้าง (ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้แทรกคําอธิบายถึงความเกี่ยวโยงไว้ให้บ้างแล้ว) การฝึกแบบนี้น่าจะทําข้อสอบได้ดีขึ้นครับ..นับตั้งแต่เริ่มลงมือพิมพ์จนวันนี้ (ตุลาคม 2548) ใช้เวลาถึง 2 ปี และหนังสือเล่มนี้คงจะยังไม่สําเร็จด้วยดีถ้าขาดบุคคลเหล่านี้ หากหนังสือเล่มนี้มีส่วนดีประการใด ก็เป็นเพราะบุคคลทั้งหมดนี้ครับ..- อาจารย์ทุกท่านโดยเฉพาะอาจารย์คณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กับผม ขอขอบพระคุณอ.ชัยศักดิ์ และ อ.จงดี (สาธิตปทุมวัน) เป็นพิเศษครับ ทั้งสองท่านเป็นต้นแบบที่ดีในการสอน- ป๊า ม้า ยังคงเข้าใจและยอมเรื่อยมา บอยกับน้องยุ ช่วยพิมพ์เฉลยอย่างขยันขันแข็ง- ผู้เขียนหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ ผู้ออกข้อสอบเข้าฯ รวมทั้งเว็บไซต์ของ สกอ.- อ.สมพล (กวงเจ็ก) และ อ.พนม สนพ. Science Center ที่ให้โอกาสนําเสนอผลงาน- ชง สําหรับความคิดริเริ่มพิมพ์ชีท และกล้า สําหรับความคิดเรื่องข้อสอบพื้นฐานวิศวะ- น้องภัค น้องหนึ่ง น้องโอ๊ต น้องเคน สําหรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ทั้งหลายที่เคยเป็นศิษย์กันมา ตั้งแต่ใช้ชีทลายมือเขียนมาจนกระทั่งพิมพ์เสร็จ (ขึ้นหลักร้อยแล้ว แต่ยังจําได้ทุกคนครับ) โดยเฉพาะแอน, เนย์, เภา, ตูน เป็นน้องกลุ่มแรกที่ได้ใช้หนังสือเล่มนี้ ให้คําแนะนํา และช่วยตรวจแก้ข้อสอบด้วย- ความร้ายกาจของ “เจ๊ชุดดํา” แห่งฟู้ดเซ็นเตอร์ชั้น 3 ที่ทําให้เกิดความคิดว่า คนเราควรทํางานในหน้าที่ของตัวเองให้ดีที่สุด แล้วผมก็เดินกลับบ้านมาเริ่มพิมพ์หนังสือเมื่อสองปีที่แล้ว!- Thaiware.com, se-ed.net, f0nt.com ... สามเว็บไทยใจดีมีข้อสงสัย คําแนะนํา หรือพบข้อบกพร่อง กรุณาติดต่อผู้เขียนที่ kanuay@thai.comและสอบถามปัญหาต่างๆ ได้ที่เว็บบอร์ดใน http://math.reads.itยินดีตอบทุกปัญหาครับ :]ขอบคุณที่ให้ความสนใจครับคณิต มงคลพิทักษ์สุขMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5ÊÒÃa¡ÒÃeÃÕÂ¹ÃÙ(e¹× éoËÒ·ÕèãªÊoº O-NET / A-NET)ตั้งแต่ปีการศึกษา 2549 เป็นต้นไป การสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัยจะเปลี่ยนระบบเป็นแอดมิสชั่นส์ (Central University Admissions System) ซึ่งแบ่งคะแนนสอบออกเป็น 4 ส่วน1. GPAX รวมทุกวิชาในระดับ ม.ปลาย [10%]2. GPA เฉพาะวิชาหลัก 4-5 วิชา ต่างๆ กันไปแล้วแต่คณะที่เลือก [20%]3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [35%-40%]เป็นข้อสอบบังคับ นักเรียนทุกสาขาจะต้องสอบ มี 5 วิชาได้แก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสังคมศึกษา (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง) ... ซึ่งนักเรียนแต่ละคนสอบ O-NET ได้เพียงปีเดียว หลังจบ ม.64. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [30%-35%]เป็นข้อสอบฉบับเพิ่มเติม มีรายวิชาต่างกันไปตามสาขาที่สอบ (ไม่เกิน 3 วิชา และอาจมีวิชาความถนัดของแต่ละสาขาด้วย เช่น วิศวะฯ สถาปัตย์ ครู ศิลปะ ดนตรี สุขศึกษา) ข้อสอบจะครอบคลุมเนื้อหากว้างและลึกกว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง ยกเว้นวิทยาศาสตร์ 3 ชั่วโมง) โดยคณิตศาสตร์จะใช้สอบสําหรับนักเรียนที่เลือกสาขาคํานวณเท่านั้น ...นักเรียนแต่ละคนสอบ A-NET ได้ 3 ปีหมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มีการจัดสอบปีละ 1 ครั้ง ปลายเดือนกุมภาพันธ์(2) ทุกวิชาจะมีข้อสอบส่วนอัตนัย เป็นแบบเติมคําตอบสั้นๆ (Short Answer) ด้วย(3) ชื่อวิชาต่างจากระบบเดิม คือคณิตศาสตร์ 1 (O-NET) จะง่ายกว่าคณิตศาสตร์ 2 (A-NET)ค่าน้ําหนักของวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา- สาขาบริหารธุรกิจ พาณิชย์ บัญชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20%- สาขาวิศวกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลยี สิ่งแวดล้อม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์สุขภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาสังคมศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 20%- สาขาการจัดการ การท่องเที่ยว | GPA 5% | O-NET 14%- สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8%- สาขาครุศาสตร์ ศึกษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8%- สาขาวิทยาศาสตร์สาธารณสุข พลศึกษา การกีฬา | GPA 4% | O-NET 7%- สาขาศิลปกรรม วิจิตรศิลป์ ประยุกต์ศิลป์ | GPA ไม่ใช้คณิตศาสตร์ | O-NET 7%- สาขามนุษยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 7-10% | A-NET ไม่แน่นอนรายละเอียดเพิ่มเติม อยู่ในเว็บไซต์ของ สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (NIETS)http://www.ntthailand.comMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6หัวข้อคณิตศาสตร์พื้นฐาน (สําหรับข้อสอบ O-NET)บทที่ 1 เซต (ทั้งหมด)บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 2.2 และ 2.5)บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ 3.5)บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 5.2 และ 5.5)บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เฉพาะเกริ่นนํา และหัวข้อ 7.9)บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวข้อ 8.1)บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม (เฉพาะหัวข้อ 13.1 และ 13.4 ที่ไม่เกี่ยวกับอนันต์)บทที่ 16 ความน่าจะเป็น (เฉพาะหัวข้อ 16.1 และ 16.6)บทที่ 17 สถิติ (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบัติต่างๆ)หัวข้อคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (สําหรับข้อสอบ A-NET)คือทุกหัวข้อในหนังสือเล่มนี้รวมทั้งหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่อยู่ในหนังสือเรียน ได้แก่บทที่ 2 การหารสังเคราะห์บทที่ 13 อนุกรมแบบอื่นๆ ที่ไม่ใช่เลขคณิตและเรขาคณิตบทที่ 16 การนับในกรณีอื่นๆ (หัวข้อ 16.4)บทที่ 17 สูตรลดทอนในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7ÊÒÃºaเรื่อง หน้าบทที่ 1 เซต 111.1 สับเซตและเพาเวอร์เซต 121.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 151.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต 21บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 312.1 สมบัติของจํานวนจริง 322.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ 362.3 อสมการ 392.4 ค่าสัมบูรณ์ 442.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น 48เรื่องแถม ถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร 58บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 593.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง 603.2 สัจนิรันดร์ 633.3 การอ้างเหตุผล 653.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ 673.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย 69เรื่องแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล 82บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์ 834.1 เบื้องต้น : จุด 844.2 เบื้องต้น : เส้นตรง 864.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ 924.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม 944.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 964.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 994.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา 102บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 1195.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ 1205.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ 1215.3 กราฟของความสัมพันธ์ 124Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 8เรื่อง หน้า5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน 1275.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 131เรื่องแถม หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog 146บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น 147บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1577.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย 1587.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 1607.3 สมการตรีโกณมิติ 1627.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1657.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 1667.6 ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 1697.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 1717.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 1727.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง 173บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 1878.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 1878.2 การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียล 1918.3 ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึม 1928.4 การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม 195เรื่องแถม จําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 204บทที่ 9 เมตริกซ์ 2059.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 2069.2 ดีเทอร์มินันต์ 2089.3 อินเวอร์สการคูณ 2119.4 การดําเนินการตามแถว 2159.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น 216บทที่ 10 เวกเตอร์ 22710.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 22810.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 23010.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต 23110.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 23310.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 23510.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ 23710.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 240เรื่องแถม สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์ 250Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 9เรื่อง หน้าบทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน 25111.1 การคํานวณเบื้องต้น 25211.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 25411.3 รูปเชิงขั้ว 25611.4 สมการพหุนาม 259เรื่องแถม ใช้จํานวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ 268บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ 26912.1 ส่วนประกอบของกราฟ 27012.2 กราฟออยเลอร์ 27212.3 วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด 274บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม 27913.1 ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต 28013.2 ลิมิตของลําดับอนันต์ 28213.3 อนุกรมและซิกม่า 28413.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ 285บทที่ 14 ลิมิตและความต่อเนื่อง 29514.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 29614.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด 29814.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 300เรื่องแถม การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล 306บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 30715.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 30715.2 สูตรในการหาอนุพันธ์ 30915.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด 31215.4 สูตรในการอินทิเกรต 31715.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง 319เรื่องแถม เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 332บทที่ 16 ความน่าจะเป็น 33316.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 33316.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยน 33516.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม 33716.4 การนับในกรณีอื่นๆ 33916.5 ทฤษฎีบททวินาม 34116.6 ความน่าจะเป็น 345เรื่องแถม เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน 358Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 10เรื่อง หน้าบทที่ 17 สถิติ 35917.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 36017.2 ค่ากลางของข้อมูล 36317.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 37417.4 ค่าการกระจายของข้อมูล 37817.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 38317.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 388ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) 403ฉบับที่ | ตุลาคม 2541 408ฉบับที่ | มีนาคม 2542 417ฉบับที่ | ตุลาคม 2542 426ฉบับที่ | มีนาคม 2543 435ฉบับที่ | ตุลาคม 2543 444ฉบับที่ | มีนาคม 2544 453ฉบับที่ | ตุลาคม 2544 462ฉบับที่ | มีนาคม 2545 471ฉบับที่ | ตุลาคม 2545 481ฉบับที่ | มีนาคม 2546 492ฉบับที่ | ตุลาคม 2546 502ฉบับที่ | มีนาคม 2547 512ฉบับที่ | ตุลาคม 2547 523ฉบับที่ | มีนาคม 2548 532สถิติคะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 541ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (17 ปี)(เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์)ชุดที่ 1 | รวมปี 2532 ถึงปี 2541 542ชุดที่ 2 | รวมตุลาคม 2541 ถึงมีนาคม 2548 573โจทย์ทดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยชุดที่ 1 (มี 2 ส่วน, 70 ข้อ) 588ชุดที่ 2 (35 ข้อ) 606ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเข้มข้น 616ดรรชนี 657Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET11เซต{ s,e,t }º··Õè1 e«µ“กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะเรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, เซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ สิ่งที่อยู่ภายในแต่ละเซต เรียกว่า สมาชิก (Element หรือMember)นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, C แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, D แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่น้อยกว่า 7, และ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ว่าA = { อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ }การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma)B = { −2, − 1, 0, 1, 2} หรือ B = {0,1, −1,2, − 2}การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยนC = {2,3,5} D = {2,3,5} จะกล่าวได้ว่า C = Dสมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา ( 360 = 2× 2× 2× 3× 3× 5)E = {4, 5, 6, 7, ..., 32}หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET12เซตเซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจํากัด (FiniteSet) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n(A)เช่นในตัวอย่างข้างต้น n(A) = 7, n(B) = 5, n(C) = 3,n(E) = 29 นอกจากนั้น เซตจํากัดที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่าเซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅นั่นคือ n( ∅ ) = 0เซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ เรียกว่า เซตอนันต์ (Infinite Set) เช่น F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2,G แทนเซตของจํานวนใดๆ ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1F = {1, 0, −1, −2, − 3, ...}, n(F) หาค่าไม่ได้G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข } คือG = {x | 0 < x < 1}อ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 < x < 1 (เงื่อนไข)S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! Se«µµoä»¹ÕéÁÕ¨íÒ¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·Òã´{ ∅ ,0,1,{2,3},(4,5)}¤íÒµoº¤×o 5 µaÇ ä´æ¡ e«µÇÒ§, eÅ¢ 0,eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ùoa¹áº (4,5)¹aè¹¤×oe«µ¹aºe»¹ 1 ¤Ù oa¹áº¹aºe»¹ 1{(1, 2), (2, 1), {1, 2}, {2, 1}}¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´æ¡ ¤Ùoa¹áº (1,2), ¤Ùoa¹áº (2,1), æÅae«µ {1,2}(¤Ù oa¹áº 1-2 ¡aº 2-1 ×oÇÒµÒ§¡a¹ æµe«µ1-2 ¡aºe«µ 2-1 ×oÇÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁµo§¹aº«éíÒ¹a¤Ãaº)e«µ¢o§ª×èo¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹Õée»¹e«µ¨íÒ¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤íÒµoº¤×oe«µ¨íÒ¡a´¤Ãaº Ö§æÁ¨íÒ¹Ç¹ÊÁÒªi¡ä´ÙÇÒÁÒ¡¢¹Ò´äË¹ æµ¡çäÁÁÒ¡Ö§o¹a¹µ¹a..สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B, 3 ∈ C, 0.5 ∈ Gสัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C, 0 ∉ Gขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต Uนั่นคือ สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก Uเช่น ถ้า U = { −2, −1,0,0.5,7}และ H = {x | x > 0} จะได้ว่า H = {0,0.5,7}แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น U = เซตของจํานวนเต็ม จะได้ว่า H = {0, 1, 2, 3, ...}การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขควรระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับด้วย แต่ถ้าไม่ได้ระบุไว้โดยทั่วไปให้ถือว่า U เป็นเซตของจํานวนจริงใดๆ ( R )เช่น H {x | x 0}= ∈ R >= > มีความหมายเดียวกับ H {x | x 0}1.1 สับเซต และเพาเวอร์เซตสับเซต (Subset) คือเซตย่อย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊂ Aและ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄ Aตัวอย่างเช่น A = {m,p,r,w}จะมีเซต B ที่ทําให้ B ⊂ A ได้ถึง 16 แบบ ดังนี้∅{m} {p} {r} {w}{m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w}{m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w}{m, p, r, w}S ¢oÊa§e¡µ! S»ÃaoÂ¤ {a, b} ⊂ AÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇÒ a ∈ A æÅa b ∈ AMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET13เซตข้อควรทราบ1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ∅ ⊂ A2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A ⊂ A3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น n 2 แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างต้น 4 2 16เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่(กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ 16 หัวข้อ 16.3)มีของ n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ไม่ซ้ํากันทั้งสิ้นโดยที่ x! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ x⎛n⎞ n!⎜ ⎟ = ชุด⎝r ⎠ (n−r)! ⋅ r !เช่นถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตที่หยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว⎛อยู่ 7 ⎞ 7! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅⎜7 353⎟= = =⎝ ⎠ 4! ⋅ 3! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3แบบ= )4. บางตําราใช้สัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่งจะมีเพียง 2 n − 1 แบบเท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่าเท่านั้น ไม่นับตัวมันเอง) และใช้สัญลักษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับเซตใดๆ (นั่นคือ A ⊆ A แต่ A ⊄ A) ... แต่ในเล่มนี้จะรวบใช้เครื่องหมาย ⊂ แทนการเป็นสับเซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตัวมันเองด้วยเพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A)ดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 nSตัว¢oÊa§e¡µ! Sเช่นในตัวอย่าง A = {m,p,r,w}จะได้ P (A) = { ∅, {m},{p} ,{r},{w} ,{m, p} ,{m, r} ,...,{m, p, r, w} }»ÃaoÂ¤ {a, b} ∈ P(A)ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇÒ {a, b} ⊂ A¹aè¹¤×o a ∈ A æÅa b ∈ A• ตัวอยาง ใหเขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเซตของก. A = {a}ตอบ มีสับเซต 2 1 = 2 แบบ ไดแก ∅ และ {a}ดังนั้น P(A) = { ∅ ,{a}}ข. B = {a,b}ตอบ มีสับเซต 2 2 = 4 แบบ ไดแก ∅ , {a}, {b} และ {a, b}ดังนั้น P (B) = { ∅ , {a}, {b}, {a, b}}ค. C = {2,3,5}ตอบ มีสับเซต 3 2 8{2, 5}, {3, 5} และ {2, 3, 5}= แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , {2, 3} ,ดังนั้น P (C) = { ∅ , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}ง. D =∅ตอบ มีสับเซต 2 0 = 1 แบบ ไดแก ∅ ดังนั้น P(D) = { ∅ }S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¹o§æ Áa¡äÊaºÊ¹ÃaËÇÒ§ ∅ ¡aº { ∅ }ÇÒµÒ§¡a¹oÂÒ§äÃ ...∅ (e«µÇÒ§) e»ÃÕÂºeÊÁ×o¹¡Åo§e»ÅÒæ äÁÁÕoaäÃoÂÙ ã¹¹aé¹eÅÂ (¨íÒ¹Ç¹ÊÁÒª i¡e·Ò¡aº 0)äe¢ÕÂ¹ÊaÅa¡É³e»¹ { }¡çä´æµÒÒÁÇÒ¡Åo§ãºË¹Öè§«Öè§ÁÕ¡Åo§e»ÅÒoÕ¡ãºoÂÙ ¢Ò§ã¹ ¹aºe»¹¡Åo§ÇÒ§e»ÅÒËÃ×oäÁ¤íÒµoº¡ç¤×oäÁe»ÅÒæÅÇãªäËÁ¤Ãaº¡çeËÁ×o¹¡a¹¡aº e«µ¢o§e«µÇÒ§ { ∅ }«Öè§äÁäé»¹e«µÇÒ§oÕ¡µoä»æÅÇ ...ËÃ×oÒµoºÊaé¹æ ¡ç¤×o n( ∅ ) = 0æµ n({ ∅ }) = 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET14เซต• ตัวอยาง กําหนด E = { ∅,{0},{ ∅ }} ใหหา P(E)ตอบ { ∅, { ∅}, {{0}}, {{ ∅}}, { ∅, {0}}, { ∅, { ∅}}, {{0}, { ∅}}, { ∅, {0}, { ∅}}}• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1,3,5,7} และ B = {1,2,3,4,5,6,7} ใหหาก. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P(A)ตอบ คําวา X ∈ P(A) ก็คือ X ⊂ Aดังนั้น มีเซต X ที่เปนไปไดทั้งหมด 2 4 = 16 แบบหากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞⎛4⎞⎜ 1 4 6 4 1 160⎟ + ⎜ + + + = + + + + =1 ⎟ ⎜2⎟ ⎜3⎟⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ข. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P(A) และ n(X) < 2ตอบ คําวา X ∈ P(A) ก็คือ X ⊂ A ซึ่งมี 16 แบบ (ดังขอ ก.) แตขอนี้ตองการ n(X) < 2 เทานั้นหากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลวจึงจะทราบวิธีคํานวณ ดังนี้(แตถายังไมไดศึกษา ก็คงตองเขียนนับเอาโดยตรง)แบบ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞⎜ 1 4 6 110⎟ + ⎜ + = + + =1 ⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ค. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ⊂ Y และ Y ⊂ Bตอบ ตองการ A ⊂ Y ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยูใน Y ครบทุกตัว ... และ Y ⊂ B แปลวา2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไขY⊂ B แลว) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เปรียบเสมือนการหาสับเซตทุกแบบของ {2, 4, 6} นั่นเอง จึงตอบวา 3 2 8= แบบแบบฝึกหัด 1.1(1) กําหนด A, B เป็นเซตที่มีลักษณะ A ⊂ B และ A ≠ B ถ้า x ∈ A และ y ∈ B แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(1.1) {x} ⊂ B(1.3) {A} ⊂ {B}(1.2) {y} ⊄ A(1.4) {A} ≠ {B}(2) ให้ A = {{ ∅ },a,b,{a},{a,b}} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(2.1) { ∅} ∈ A(2.3) {{a}, b} ⊂ A(2.2) { ∅} ⊂ A(2.4) {a, b} ∈ A และ {a, b} ⊄ A(3) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่(3.1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C(3.2) ถ้า A ∈ B และ B ∈ C แล้ว A ∈ C(3.3) ถ้า A ⊄ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊄ CแบบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET15เซต(4) ให้ A เป็นเซตใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(4.1) {x|x= A} = {A}(4.3) {x|{x} ⊂ A} = {A}(4.2) {x|x∈ A} = A(4.4) {x|{x} ⊂ ∅ } = ∅(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(5.1) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ(5.2) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ(5.3) ถ้า n(A) = 5 แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ(5.4) ถ้า n(A) = 5 แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว(6) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัวและในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต(7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่(7.1) ∅ ∈∅ (7.5) ∅ ∈ P( ∅ )(7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.6) ∅ ⊂ P( ∅ )(7.3) ∅ ∈ { ∅ }(7.7) { ∅} ∈ P( ∅ )(7.4) ∅ ⊂ { ∅ }(7.8) { ∅} ⊂ P( ∅ )(8) ถ้า A = { ∅ , a, {b}, {a, b}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(8.1) ∅∈ P(A)(8.6) a ∈ P(A)(8.2) { ∅} ∈ P(A)(8.7) {a} ∈ P (A)(8.3) ∅ ⊂ P(A)(8.8) {b} ∈ P (A)(8.4) { ∅} ⊂ P(A)(8.9) {{b}} ∈ P (A)(8.5) { ∅,a,{b}} ∈ P(A)(8.10) { ∅,a,{b}} ⊂ P(A)(9) ถ้า A = { ∅ ,1,2,3,{1},{1,2},{1,2,3}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(9.1) { ∅, {1}, {1, 2}} ∈ P (A) (9.3) {{1},{2},{3}} ∈ P(A)(9.2) { ∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P (A) (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P (A)(10) [Ent’39] ให้ S = {1,2,3,4,5,6,7} แล้วจงหา n(X) และ n(Y)เมื่อกําหนด X = {A ∈ P(S)| 1 ∈ A และ 7 ∉ A }และ Y = {A ∈ X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 }1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซตการแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์(Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนขึ้นการเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นกรอบสี่เหลี่ยม ซึ่งภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนให้มีบริเวณที่เซตสองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพS ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¤ÇÃäÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æºº·aèÇä» ¤×oãËÁÕÊÁÒªi¡ÃÇÁ¡a¹¡o¹(eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æÅÇ¨Ò¡¹aé¹eÁ× èo·ÃÒºÇÒªié¹ÊÇ¹ã´äÁÁÕÊÁÒªi¡ ¤oÂ¢Õ´ËÃ×oæÃe§Ò·ié§ä».. ·íÒæºº¹Õ éo¡ÒÊ¼í ä¹oÂÅ§¤Ãaº..Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET16เซตUUUAA BA BBA และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ BUUUสมมติว่า A = {0,1,2,3,4}B = {1,3,5,7,9}C = {2,3,5,7,11}จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้AABBUUUAAU0 4 1 9A2 3 5 711Cการดําเนินการเกี่ยวกับเซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม1. ยูเนียน (Union : ∪ ) ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมดBBUBABยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ Bบางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น AB (คือ ละเครื่องหมายอินเตอร์เซคชันไว้)อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ' )เซต A' คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน Acบางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น A หรือ A4. ผลต่าง (Difference หรือ Relative Complement : − )B − A คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... หรือ B − A = B ∩ A'จะเรียก B − A ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เมื่อเทียบกับ A” ก็ได้A BA BBข้อสังเกต โดยทั่วไป n(B − A) ≠ n(B) − n(A) แต่ n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)Uอินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็น AUUAAAB

คณิตศาสตร O-NET / A-NET17เซตสมบัติที่เกี่ยวกับการดําเนินการของเซต• การแจกแจงA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)• คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซต(A ∪ B) ' = A ' ∩ B '(A ∩ B) ' = A ' ∪ B 'P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)หมายเหตุ ในภาษาอังกฤษบางครั้งอ่าน A ∪ B ว่า A cup B และอ่าน A ∩ B ว่า A cap B• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1,3,5,7} และ B = {1,2,3,4,5,6,7} ใหหา(ในขอ ก. และ ข. จําเปนตองใชความเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู ดวย)ก. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ∩ Y ≠ ∅ และ Y ⊂ Bตอบ วิธีคิดตางจากตัวอยางที่แลว ( A ⊂ Y ⊂ B) เล็กนอย ... ขอนี้ตองการ A ∩ Yสมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใน Y (มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A Y∩ = ∅)≠ ∅ แสดงวาการอยูกี่ตัวก็ได แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสับเซตทุกแบบของ {1, 3, 5, 7} ที่ไมใชเซตวาง นั่นเอง ในขั้นตอนนี้จึงได 2 4 − 1 = 15 แบบ ...อีกเงื่อนไขคือ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง3บางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y ⊂ B แลว) ... ขั้นนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 8แบบ ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น 15 × 8 = 120 แบบข. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ และ Z ⊂ Aตอบ วิธีคิดเหมือนขอ ก. ... นั่นคือ ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3 ตองมีอยูใน Z(มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Z = ∅) ที่สําคัญคือ สมาชิก 2 หามอยูใน Z เพราะจะขัดแยงกับอีกเงื่อนไข ( Z ⊂ A) ... ในขั้นตอนนี้จึงได 2 2 − 1 = 3 แบบ ...อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง2บางตัวของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z ⊂ A แลว) ... ขั้นนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 4 แบบ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น3× 4 = 12 แบบค. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z =∅ และ Z ⊂ Aตอบ ขอนี้งายที่สุด เนื่องจาก ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z =∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยูใน Zเลยแมแตตัวเดียว เมื่อประกอบกับอีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A จึงไดวา สมาชิก 5, 7 เทานั้นที่จะอยูใน Z (กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เพราะแม Z = ∅ ก็ยังทําใหเงื่อนไข Z ⊂ A เปนจริงอยูดี) ... จึงไดคําตอบเปน 2 2 = 4 แบบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET18เซต• ตัวอยาง ถา C = { ∅, { ∅} , 0 ,{{ ∅}, 0} ,{ ∅, {0}},{{ ∅, {0}}}} ใหหาคาของก. n(P(C))6ตอบ เนื่องจาก n(C) = 6 ดังนั้น n(P(C)) = 2 = 64ข. n (P (C) − C)ตอบ n (P (C) − C) ไมไดคิดจาก 64 − 6 = 58 ... เพราะโดยทั่วไปสมาชิกของ C นั้นไมไดอยูในP(C) ทั้งหมด การจะคิด n (P (C) − C) ตองดูวา สมาชิกของ C นั้นอยูใน P(C) กี่ตัวเริ่มพิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนั้นการเขียนเพาเวอรเซตใหเปนระเบียบยังมักจะเริ่มดวย ∅ ) ... ตอมา { ∅ } ก็ “อยู” อยูในขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปนสมาชิกตัวแรกสุดใน C ) หรือกลาววา “อยู” เพราะ∅∈ C ... ตอมา 0 อันนี้ “ไมอยู” เพราะไมใชเซต สิ่งที่อยูในเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอมา{{ ∅ }, 0} อันนี้ “อยู” มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปนตัวสองกับตัวสาม) หรือกลาววา “อยู” เพราะ { ∅} ∈ Cและ 0 ∈ C ... ตอมา { ∅ ,{0}} อันนี้ “ไมอยู” เพราะ {0} ∉ C ...และสุดทาย {{ ∅ , {0}}} อันนี้ก็ “อยู” เพราะวา { ∅,{0}} ∈ Cมาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เปนตัวที่หา) นั่นเองสรุปแลว สมาชิกของ C นั้นอยูใน P(C) 4 ตัว ดังนั้น n(P(C) − C) = 64 − 4 = 60ค. n(C − P(C))ตอบ n(C − P(C)) ก็ไมไดคิดจาก 6 − 64 ... แตตองดูวา สมาชิกของ P(C) นั้นอยูใน C กี่ตัว ซึ่งมีวิธีคิดเชนเดียวกับขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n(C ∩ P(C)) = 4 ... ดังนั้น จึงทําใหn(C − P(C)) = 6 − 4 = 2หากดูแผนภาพประกอบจะเขาใจยิ่งขึ้นเราทราบวา (ขอ ก.) n(C) = 6 และ n(P(C)) = 64จากนั้นนับในขอ ข. วา n(C ∩ P(C)) = 4จึงได (ข.) n(C − P(C)) = 2 และ (ค.) n(P(C) − C) = 60ง. n [(P (C) − C) ∪(C − P (C))]ตอบ จากขอ ข. กับ ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดคําตอบเปน 60 + 2 = 62(นํามาบวกกันไดทันที เพราะสองสวนนี้ไมไดซอนทับกัน)แบบฝึกหัด 1.22 4 60CP(C)(11) กําหนดให้ A∪ B = {0,1,2,3,4,5} A ∩ B = {1,3,5} B ∩ C = {2,3,5}A∪ C = {0,1,2,3,5} A ∩ C = {0,3,5} แล้ว ข้อใดผิดก. A ∩ B' = {0} ข. B ∩ C ' = {1} ค. A ∩ C ' = {1} ง. B ∩ A ' = {2,4}(12) ให้เขียนเซต C' ∪ B' แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกําหนดให้U = {x ∈ I |1< x < 10} เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็มMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET19เซตB= {x | x หาร 3 ลงตัว } และ C = {x | x < 5}(13) [Ent’38] ถ้า A = {0,1} และ B = {0,{1},{0,1}} แล้ว(13.1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด A ∈ P(B)(13.2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด {1} ∈ P (A) ∩ P (B)(13.3) ค่าของ n(P(A ∪ B)) − n(P(A ∩ B)) เป็นเท่าใด(14) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(14.1) ∅ ' = U (14.7) A ∩ A '(14.2) U ' = ∅(14.8) A ∪ A '= ∅= U(14.3) A ⊂ (A ∪ B)(14.9) A − = ∅− =U และ U A A '(14.4) B ⊂ (A ∪ B)(14.10) A −∅ = A และ ∅− A(14.5) (A ∩B) ⊂ A(14.11) A − A= ∅(14.6) (A ∩B) ⊂ B(14.12) A − B = A ∩ B'(15) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(15.1) ถ้า A ⊂ B แล้ว P(A) ⊂ P(B)(15.2) ถ้า A ∪ B(15.3) ถ้า A ∩ B= ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅=∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅(15.4) ถ้า A − B = ∅ และ B − C = B แล้ว A' ∪ C'(15.5) ถ้า A − B = ∅ และ B − C ≠ ∅ แล้ว A − C(16) สําหรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(16.1) A ∩ B ≠ A ∪ B(16.5) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∉ A ∪ B= U≠ ∅(16.2) A − B ≠ B − A(16.6) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∉ A ' ∩ B'(16.3) A ∩ B = A − B '(16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈ A ' ∩ B'(16.4) (A ∪ B) ' = B ' − A(16.8) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∈ (A ' ∪ B')'(17) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด(17.1) A − (A ∩ B)(17.6) (A ∪ B) − B(17.2) (A − B) ∪ B(17.7) (A ∩ B) − B(17.3) (A − B) ∩ B(17.8) A − (A − B)(17.4) A ∩ (A − B)(17.9) (A − B) ∩ (B − A ')(17.5) A ∪ (A − B)(18) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่(18.1) ถ้า A ∪ C = B ∪ C แล้ว A = B(18.2) ถ้า A ∩ C = B ∩ C แล้ว A = B(18.3) ถ้า A − C = B − C แล้ว A = B(18.4) ถ้า A' = B' แล้ว A = B(19) ให้บอกเงื่อนไขที่ทําให้ A − B = A อย่างน้อย 3 กรณี= ∅Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET20เซต(20) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด(20.1) [Ent’21] (A −B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B)(20.2) [A ∩ (A ' ∪ B)] ∪ [B ∩ (B ' ∪ A ')](20.3) ([(A −B) ∪ (B − A)] − A ') ∪ ( A ' − [(A −B) ∪ (B − A)] )(20.4) [(A∪B)' ∩ (B − C')] ∪ ([(D −E) ∩ (C' −E')] ∪ (A − E') ) '(21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(21.1) (A ∩B ∩C) ∪ (A ' ∩B ∩C) ∪ (B' ∪ C ') = U(21.2) (A ∩B ∩C ∩D ') ∪ (A ' ∩C) ∪ (B' ∩C) ∪ (C ∩ D) = C(21.3) P(A ∩B) ⊂ P(A ∪ B)(21.4) P(A − B) ∩ P(B − A) = { ∅ }(21.5) ถ้า A ⊂ B แล้ว P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)(22) ให้ A = {0,1,2,3}, B = {{0},1,2,{3}} และ C = {0,{1},{2},3}ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(22.1) P(A) ∩P(B) ∩ P(C') = { ∅ ,{1},{2},{1,2}}(22.2) P(A) ∩P(B') ∩ P(C) = { ∅ ,{0},{3},{0,3}}(22.3) P(A ') ∩P(B) ∩ P(C) = { ∅ ,{0}}(22.4) P(A) ∩ P(B') ∩ P(C') = { ∅ }(23) ถ้า n( U ) = 35, n(A) = 22, n(B) = 18ให้หาว่า n(A ' ∩ B') จะมีค่ามากที่สุดได้เท่าใด(24) ถ้า n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c, n(D) = dn(A ∩ B) = b, n(B ∩ C) = c, n(C ∩ D) = d แล้วให้หา n(A ∩B ∩C ∩ D) และ n(A ∪B ∪C ∪ D)(25) ให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง P(C) = { ∅ ,{a},{c},C} , n(P(A)) = 8, n(P(B)) 16C ⊂ A, C ⊂ B, {b,d,e} ⊂ A∪ B และ b ∈ A ∩ B' ข้อใดผิดก. d ∈ (A ∪ B ')'ข. e ∈ (C ∪ B')'ค. b ∉ (A ' ∪ B')'ง. {b, e} ⊂ (A ' ∪ B) '(26) เมื่อ A = { ∅ ,1,{1}} และ A ∩ B' = ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(26.1) n[P(A) ∩ P(B)] = 8 (26.3) P(A − B) = { ∅ }(26.2) {1} ∈ P (A ∩ B)(26.4) P(B − A) = { ∅ }(27) [Ent’36] ถ้า A = { ∅, { ∅ }, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แล้วจงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) − A ] ∪ [ A − P (A) ](28) มีเซต A ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้กี่แบบ(28.1) A ∪ B = {1,2,3,4,5} และ B = {1,3,5}(28.2) A ∪ B = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {2,4,6,8,10}= ,Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET21เซต(29) กําหนดให้ A = {1,2,3,4,5,6,7} และ B = {1,2,3} แล้วจะมีเซต X ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่แบบ(29.1) B ⊂ X ⊂ A(29.2) X ⊂ A และ B ∩ X ≠ ∅(30) ถ้า B ⊂ A โดย n(A) = 10, n(B) = 4 ให้หาค่า n(C) ในแต่ละข้อต่อไปนี้(30.1) C = {S | B ⊂ S ⊂ A }(30.2) C = {S ⊂ A | S ∩B ≠ ∅ }(31) กําหนด A = {0,2,4,6,8} B = {0,1,2} C = {1,2,3} D = {0,2,3}ให้หาจํานวนเซต X ซึ่ง X ⊂ A และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้(31.1) B ∩C ' ⊂ X(31.3) B ∩D ⊂ X(31.2) B ∩C ' ⊄ X(31.4) B ∩D ⊄ X(32) ถ้า U = {1, 2, 3, 4, ..., 8}A = U − {1} B = {2,4,6} และ C = {1,7}มีเซต D ที่เป็นไปได้กี่แบบที่ตรงตามเงื่อนไข (B ' − C) ⊂ D ⊂ A(33) กําหนดให้ U = {x ∈ I | − 2 < x < 6} เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม2A = {k | k ∈ U } และ B = { k | k ∈ U }จํานวนสมาชิกของเซต C = {x | A ∩B ⊂ x และ x ⊂ A ∪ B} เป็นเท่าใด(34) ให้ A = {a,b,c,d, f} และ B = {a,c,d,e}เซต X ซึ่ง X ⊂ A ∪ B และ A ∩ B ∩ X ≠ ∅ มีกี่เซต(35) ให้ A = {1,3,5,7,9} และ S k= {B ⊂ A | n(B) = k}ให้หาค่า n(S) เมื่อ S = S1 ∪ S ∪ S ∪ S4 ∪ S52 3(36) กําหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n( U ) = 100, n(A ') = 40, n(B) 55n(A ∩ B') = 32 แล้วค่าของ n(A ' ∩ B') เป็นเท่าใด1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต= ,• โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณส่วนประกอบต่างๆและมีสูตรในการหาจํานวนสมาชิกในเซตเพิ่มเติมดังนี้สําหรับ 2 เซตn(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)สําหรับ 3 เซตn(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B)− n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩B ∩ C)·íÒ¤ÇÒÁe¢Òã¨´ÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡ç´Õ¹a¤Ãaº..= + -= + +- - - +Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET22เซต• ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีจํานวน 30 คน พบวามีนักเรียนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน ถามวามีนักเรียนในหองนี้ที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชาอยูกี่คนวิธีคิด จะสังเกตไดวา U คือนักเรียนในหองนี้ และมีเซตอยูสองเซต คือ ชอบเรียนคณิตศาสตร กับชอบเรียนภาษาอังกฤษ (ซึ่งมีบางคนชอบทั้งสองวิชา แสดงวาสองเซตนี้มีสวนซอนทับกัน)Uก ข คMathEngงวิธีที่ 1 “ชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง ข เปน 5“ชอบเรียนคณิตศาสตร 12 คน” จะได ชอง ก เปน 12-5=7“ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา คือชอง ง นั้นสามารถคํานวณไดดังนี้ 30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบวิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n(M) = 12, n(E) = 15, และ n(M ∩ E) = 5 …ดังนั้น เราหา n(M ∪ E) ไดตามสูตร n(M ∪ E) = 12 + 15 − 5 = 22ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา เทากับ 30 − 22 = 8 คน ... ตอบ• ตัวอยาง ในการสอบของนักเรียนชั้นหนึ่ง พบวามีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศึกษา 48คน วิชาภาษาไทย 45 คน โดยมีผูที่สอบผานทั้งวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ทั้งสังคมศึกษาและภาษาไทย 13 คน ทั้งคณิตศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมีผูที่สอบผานทั้งสามวิชาเพียง 5 คน ถามวาที่กลาวมานี้มีนักเรียนอยูทั้งหมดจํานวนเทาใดวิธีคิด มีเซตอยูสามเซต คือ สอบผานคณิตศาสตร สอบผานสังคมศึกษา และสอบผานภาษาไทย (ซึ่งมีผูสอบผานหลายวิชา แสดงวาสามเซตนี้มีสวนซอนทับกัน) โจทยไมไดกลาวถึงผูสอบไมผาน ดังนั้นอาจไมตองเขียนกรอบสี่เหลี่ยมแทน U ก็ได (คือไมมีชอง ซ)MathSocial วิธีที่ 1 “ผานทั้งสามวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง จ เปน 5ก ข คพิจารณาการสอบผานสองวิชา จะได ชอง ข เปน 15-5=10,ง จชอง ฉ เปน 13-5=8, ชอง ง เปน 7-5=2ฉ พิจารณาการสอบผานหนึ่งวิชา จะได ชอง ก 37-10-5-2=20,ชชอง ค 48-10-5-8=25, และชอง ช 45-2-5-8=30Thaiดังนั้น จํานวนคนรวมทุกชอง 5+10+8+2+20+25+30 = 100 คน ตอบวิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n(M) = 37, n(S) = 48, n(T) = 45n(M ∩ S) = 15, n(S ∩ T) = 13, n(M ∩ T) = 7 และ n(M S T) 5ดังนั้น เราหา n(M ∪S ∪ T) ไดจาก n(M ∪S ∪ T) = 37+ 48+ 45−15−13− 7+ 5 = 100ดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมดในชั้น (ที่กลาวถึง) เทากับ 100 คน ... ตอบ∩ ∩ = …ถึงแม้การคิดด้วยสูตร (วิธีที่สอง) ทําให้คํานวณได้รวดเร็ว แต่โจทย์บางข้อก็เหมาะกับวิธีแรก (แยกชิ้นส่วน) เท่านั้น ดังเช่นโจทย์ส่วนใหญ่ในแบบฝึกหัดต่อไปMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET23แบบฝึกหัด 1.3เซต(37) นักเรียน 80 คน เป็นนักกีฬา 35 คน เป็นนักดนตรี 27 คน และไม่ได้เป็นทั้งนักกีฬาและนักดนตรี 32 คน ถามว่ามีนักเรียนที่ไม่ได้เป็นนักกีฬา หรือ ไม่ได้เป็นนักดนตรี อยู่กี่คน(38) [Ent’33] จากการสํารวจนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่ามี 20 คนที่เรียนฝรั่งเศสหรือคณิตศาสตร์(โดยที่หากเรียนฝรั่งเศสแล้วต้องไม่เรียนคณิตศาสตร์) มี 17 คนที่ไม่เรียนคณิตศาสตร์ และมี 15คนที่ไม่เรียนฝรั่งเศส แล้วมีกี่คนที่ไม่เรียนทั้งสองวิชานี้เลย(39) [Ent’34] จากการสอบถามผู้ดื่มกาแฟ 20 คน พบว่าจํานวนผู้ใส่ครีม น้อยกว่าสองเท่าของผู้ใส่น้ําตาลอยู่ 7 คน และจํานวนผู้ที่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาล เท่ากับจํานวนผู้ที่ไม่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาลดังนั้นมีผู้ที่ใส่ครีมทั้งหมดกี่คน(40) พนักงานบริษัท 34 คน ถูกสํารวจเกี่ยวกับการสวมนาฬิกา แว่นตา และแหวน ปรากฏว่าสวมแว่นอย่างเดียว 5 คน จํานวนคนสวมนาฬิกามากกว่าจํานวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จํานวนคนไม่สวมนาฬิกาเป็น 3 เท่าของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนั้น คนสวมแหวนทุกคนสวมแว่น แต่คนสวมนาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่น จะมีคนสวมนาฬิกากี่คน(41) [Ent’26] นักเรียนคนหนึ่งไปพักผ่อนที่พัทยา ตลอดช่วงเวลานั้นเขาสังเกตได้ว่ามีฝนตก 7 วันในช่วงเช้าหรือเย็น โดยถ้าวันใดฝนตกช่วงเช้าแล้วจะไม่ตกในช่วงเย็น, มี 6 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเช้าและมี 5 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเย็น ถามว่านักเรียนคนนี้ไปพักผ่อนที่พัทยากี่วัน(42) จากการสํารวจสายตาและสุขภาพฟันของนักเรียน 160 คน ซึ่งมีนักเรียนชายอยู่ 100 คน(นักเรียนชายสายตาไม่ดี 30 คน และฟันผุ 35 คน) พบว่ามีนักเรียนที่สายตาดีและฟันไม่ผุอยู่ 80คน (เป็นชาย 55 คน) และมีนักเรียนที่สายตาไม่ดีทั้งหมด 50 คน ฟันผุทั้งหมด 60 คน ถามว่ามีนักเรียนที่สายตาดี หรือ ฟันไม่ผุ รวมทั้งหมดกี่คน(43) ในจํานวนนักเรียน 35 คนซึ่งเป็นหญิง 11 คน ถ้าพบว่าชอบเล่นบาสเกตบอลกับฟุตบอลอย่างน้อยคนละอย่าง โดยมีนักเรียนชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นักเรียนหญิง 7 คนชอบฟุตบอลนักเรียนชอบบาสเกตบอลทั้งหมด 23 คน ฟุตบอล 21 คน ถามว่านักเรียนชายที่ชอบทั้งสองอย่างมีกี่คน(44) โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 600 คน หญิง 500 คน ในจํานวนนี้มีนักเรียนที่มาจากต่างจังหวัดรวม 300 คน เป็นผู้ชาย 200 คน และมีนักกีฬารวม 50 คน เป็นผู้ชาย 30 คน โดยมีนักกีฬาที่มาจากต่างจังหวัด 25 คน เป็นชาย 15 คน ถามว่านักเรียนชายที่ไม่ได้มาจากต่างจังหวัดและไม่ได้เป็นนักกีฬาด้วย มีกี่คน(45) เซตของจํานวนเต็มเซตหนึ่ง หากนํา 3 หรือ 4 ไปหารจะปรากฏว่า 4 หารลงตัวอย่างเดียว 6จํานวน, 3 หารลงตัวทั้งหมด 8 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 3 จํานวน, ทั้ง 3 และ 4 หารลงตัว มี 2จํานวน, และ 4 หารไม่ลงตัว 18 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 4 จํานวน ถามว่าจํานวนสมาชิกของเซตนี้เป็นเท่าใด, จํานวนคู่ในเซตนี้มีกี่จํานวน, และมีจํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไม่ลงตัวกี่จํานวน(46) [Ent’31] จากการสํารวจความนิยมของผู้ไปเที่ยวสวนสัตว์ 100 คน พบว่า 50 คนชอบช้าง, 35คนชอบลิง, 25 คนชอบหมี, 32 คนชอบแต่ช้าง, 20 คนชอบหมีแต่ไม่ชอบลิง, 10 คนชอบช้างและลิงแต่ไม่ชอบหมี, ให้หาจํานวนคนที่ไม่ชอบสัตว์ทั้งสามชนิดนี้เลยMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET24เซต(47) [Ent’38] จากการสํารวจผู้ฟังเพลง 180 คน พบว่ามีผู้ชอบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทยเดิม 92 คน และลูกทุ่ง 125 คน โดยแบ่งเป็น ผู้ชอบเพลงไทยสากลและไทยเดิม 52 คน เพลงไทยสากลและลูกทุ่ง 43 คน เพลงไทยเดิมและลูกทุ่ง 57 คน และทุกคนจะชอบฟังเพลงอย่างน้อยหนึ่งในสามประเภท จงหาจํานวนผู้ที่ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว(48) [Ent’39] ในการสํารวจความนิยมของคน 100 คน ที่มีต่อนายก, ข, ค โดยที่ทุกคนต้องแสดงความนิยมให้อย่างน้อย 1 คน ปรากฏว่านาย ก ได้รับคะแนนนิยมมากกว่านาย ข อยู่ 6 คะแนน และเขียนแผนภาพได้ดังรูป ต่อไปนี้ข้อใดผิดก. นาย ข ได้คะแนนนิยมน้อยที่สุดข. ผลรวมของคะแนนทั้งสามคน เป็น 199ค. ผู้ที่ลงคะแนนให้ นาย ก เท่านั้น มี 10 คนง. ผลรวมของคะแนนที่ลงให้คนใดคนหนึ่งเพียงคนเดียว เท่ากับ 24Uก2022 23 119(49) ในบรรดานักกีฬา 100 คนซึ่งเป็นชาย 60 คน พบว่ามีนักบาสเกตบอล 35 คน เป็นชาย 20คน, มีนักเทนนิส 28 คน เป็นชาย 15 คน, มีนักวอลเลย์บอล 40 คน เป็นชาย 22 คน, เป็นทั้งนักบาสเกตบอลและเทนนิส 14 คน เป็นชาย 6 คน, เป็นทั้งนักเทนนิสและวอลเลย์บอล 16 คน เป็นชาย 10 คน, เป็นทั้งนักบาสเกตบอลและวอลเลย์บอล 20 คน เป็นชาย 11 คน, และมีนักกีฬาที่ไม่ได้เล่นกีฬาสามประเภทนี้เลย 12 คน เป็นชาย 8 คน ให้หาว่านักกีฬาที่เล่นครบทั้งสามประเภทมีผู้ชายมากกว่าผู้หญิงกี่คน(50) จํานวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 100 มีกี่จํานวนที่หาร 2 และ 3 และ 5 ไม่ลงตัวคขเฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1) ข้อ (1.1) และ (1.4) ถูก(2) ข้อ (2.1) และ (2.3) ถูก(3) ข้อ (3.1) ถูก(4) ข้อ (4.3) ผิด(5) ข้อ (5.1) และ (5.4) ถูก(6) 9 ตัว, 126 เซต(7) ข้อ (7.1) และ (7.7) ผิด(8) ข้อ (8.6), (8.8), (8.10) ผิด(9) ข้อ (9.3) ผิด(10) 32, 6(11) ข.(12) {1,2,4,5,6,7,8,9,10}(13) ผิด, ผิด, 16-2(14) ถูกทุกข้อ(15) ข้อ (15.3) และ (15.5) ผิด(16) ข้อ (16.3),(16.4),(16.6) ถูก(17.1) A − B (17.2) A ∪ B(17.3) ∅ (17.4) A − B(17.5) A (17.6) A − B(17.7) ∅ (17.8) A ∩ B(17.9) ∅(18) ข้อ (18.4) ถูก(19) A = ∅ หรือ B = ∅หรือ A ∩ B = ∅(20.1) A ∪ B (20.2) B(20.3) B' (20.4) (A ∩ E) '(21) ถูกทุกข้อ (22) ข้อ (22.3) ผิด(23) 13 (24) d, a (25) ง.(26) ข้อ (26.4) ผิด(27) 61+3(28.1) 8 (28.2) 32(29.1) 16(29.2) (8 − 1) × 16(30.1) 64(30.2) (16 − 1) × 64(31.1) 16 (31.2) 16(31.3) 8 (31.4) 24(32) 16 (33) 4(34) 56 (35) 31(36) 13 (37) 66(38) 6 (39) 11(40) 13 (41) 9(42) 130 (43) 6(44) 385(45) 26, 12, 24(46) 13 (47) 20(48) ค. (49) 22-13(50) 26Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET25เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)เซต= เซต (แบบ) 9!5!4!126(1.1) ถูก เพราะ ถ้า x ∈ A(7.1) ผิด เพราะเซตว่างตัวขวาต้องไม่มีสมาชิกแสดงว่า x ∈ B ด้วย ดังรูป→A แต่ถ้าเป็นแบบข้อ (7.3) จะถูก(1.2) ผิด เพราะโจทย์บอกแค่ x (7.2) ถูก เพราะว่าเซตว่างตัวขวามีซับเซต 2 0 = 1เพียง y ∈ B, ยังไม่ชัดเจนว่าBแบบ คือ ∅ (ตัวมันเอง)y ∈ A หรือไม่ (อาจจะอยู่หรือไม่อยู่) หรืออาจบอกว่าเพราะ “ ∅ (ตัวซ้าย) จะเป็นสับเซต(1.3) ผิด ถ้า {A} ⊂ {B} แสดงว่า A ∈ {B} ซึ่ง ของเซตใดๆ ทุกเซต” ก็ได้ผิด เพราะ {B} มีสมาชิกตัวเดียวคือ B (7.4) ถูก เหตุผลเดียวกับข้อ (7.2) นั่นคือ รูปแบบ∅ ⊂(1.4) ถูก เพราะ A ≠ B (โจทย์กําหนด) ดังนั้น จะถูกเสมอ → ดังนั้น (7.6) ก็ถูกเช่นกัน{A} ≠ {B} แน่นอน(7.5) ถูก เพราะ ∅ ∈ P( ∅ ) แปลว่า ∅⊂∅ (จะ(2.1) ถูก (ในโจทย์นั้น A มีสมาชิกอยู่ 5 ตัว และ เหมือนกับโจทย์ข้อ 7.2){ ∅ } เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับแรกสุด) (7.7) ผิด เพราะ { ∅} ∈ P( ∅ ) แปลว่า { ∅}⊂ ∅(2.2) ผิด เพราะ { ∅} ⊂ Aแปลว่า ∅∈ A ซึ่งไม่ และแปลว่า ∅ ∈∅ (จะเหมือนกับโจทย์ข้อ 7.1)จริง(7.8) ถูก เพราะ { ∅} ⊂ P( ∅ ) แปลว่า ∅∈P( ∅ )(2.3) ถูก เพราะ {{a}, b} ⊂ A แปลว่า {a} ∈ A และแปลว่า ∅ ⊂∅ ถูก (จะเหมือนกับโจทย์ข้อและ b ∈ A ซึ่งจริง7.2)(2.4) {a, b} ∈ A ถูก (เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับ (8.1) ∅∈ P(A) แปลว่า ∅ ⊂ A → ถูกเสมอ ไม่สุดท้ายในโจทย์) แต่ {a, b} ⊄ A นั้นผิด ว่า A เป็นเซตใดๆ ก็ตาม (รูปแบบ ∅⊂ )เพราะว่า a ∈ A และ b ∈ A ด้วย แสดงว่า (8.2) { ∅} ∈ P(A) แปลว่า { ∅} ⊂ Aและแปลว่า{a, b} เป็นสับเซตของ A แน่ๆ ดังนั้นตอบ ผิด ∅ ∈ A → ถูก (เพราะในโจทย์ มี ∅ อยู่ใน A(3.1) ถูก (ข้อนี้เป็นกฎที่ควรทราบ)ด้วย)(3.2) ผิด เช่น B = {A},C = {B} ดังนั้น (8.3) ∅⊂ P(A) ถูกทันทีเลย! เพราะเป็นรูปแบบ∅ ⊂C = {{A}} ... จึงได้ว่าA ∉ C(3.3) ผิด เช่น A ⊂ C (A อยู่ใน C)(8.4) { ∅} ⊂ P(A) แปลว่า ∅∈ P(A) ตรงกับแต่ B อยู่นอก A กับ C ดังรูปโจทย์ข้อ (8.1) ซึ่งถูกA (8.5) ถูก เพราะ { ∅,a,{b}} ∈ P(A) แปลว่า{ ∅,a,{b}} ⊂ ABและแปลได้ว่า ∅∈ A และ a ∈ A และ {b} ∈ AC(4.1) และ (4.2) ถูกซึ่งพบว่าเป็นจริงทั้งหมด(เป็นไปตามนิยามของการเขียนเงื่อนไขเซต) (8.6) เป็นไปไม่ได้ที่สมาชิกของ P(A) ไม่ได้เป็นเซต(4.3) ผิด เพราะ {x} ⊂ A คือ x ∈ A จึงต้อง → ข้อนี้จึงผิดได้ผลเหมือนข้อ (4.2)(8.7) {a} ∈ P(A) แปลว่า {a} ⊂ A แปลว่า(4.4) ถูก เพราะ {x} ⊂∅ คือ x ∈ ∅ ซึ่งพบว่า a ∈ A → ถูกไม่มี x ใดๆ ตรงตามนี้ ดังนั้นเซตในข้อนี้จึงเป็นเซต (8.8) {b} ∈ P(A) แปลว่า {b} ⊂ A แปลว่าว่างb ∈ A → ผิด(5.1) ถูก คํานวณจาก 2 5 = 32 ... แต่ (5.2) ผิด (8.9) ถูก วิธีคิดเดียวกับข้อ (8.8) นั่นคือ {b} ∈ A5เพราะต้องเหลือ 31 แบบ (2 − 1)เป็นจริง(5.3) ผิด เพราะ P(A) จะมีเพียง 1 แบบเท่านั้น (8.10) { ∅,a,{b}} ⊂ P(A) แปลว่า ∅∈ P(A)แต่ภายใน P(A) มีสมาชิกอยู่ 32 ตัว... (5.4) จึงถูก จริง, a ∈ P(A) ไม่จริง, {b} ∈ P(A) ไม่จริง ดังนั้น(6) จาก 2 n = 512 จึงได้ n = 9 ตัว ข้อนี้ผิดและสับเซตที่ดึงสมาชิกมา 5 ตัวจาก 9 ตัว มีอยู่Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET26เซต(9.1) { ∅, {1}, {1, 2}} ∈ P(A) แปลว่า (13.1) A ∈ P(B) คือ A ⊂ B ดังนั้น ผิด{ ∅, {1}, {1, 2}} ⊂ A(เพราะ 1 ∉ B)แปลว่า ∅∈ A และ {1} ∈ A และ {1, 2} ∈ A ซึ่ง (13.2) จาก P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้นข้อนี้ถูก= P({0}) = { ∅ , {0}} ดังนั้น ข้อนี้ก็ผิด(9.2) { ∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P(A) แปลว่า (เพราะ {1} ∉ P(A) ∩ P(B) )∅∈P(A)→∅⊂ A และ∪ = จะได้{1} ∈ P(A) → {1} ⊂ A → 1 ∈ Aและ {1, 2} ∈ P(A) → {1, 2} ⊂ A → 1 ∈ A, 2 ∈ Aซึ่งพบว่าเป็นจริงทุกอย่าง ดังนั้นข้อนี้ถูก(9.3) {{1},{2},{3}} ∈ P(A) แปลว่า{{1},{2},{3}} ⊂ A และแปลว่า{1} ∈ A, {2} ∈ A, {3} ∈ A ซึ่งผิด⊂ แปลว่า(9.4) {{1},{2},{3}} P(A){1} ∈ P(A),{2} ∈ P(A),{3} ∈ P(A)ก็คือ {1} A, {2} A, {3} A⊂ ⊂ ⊂ หรือแปลอีกที1 ∈ A,2 ∈ A,3 ∈ A ซึ่งถูก(10) สําหรับการหา n(X) แปลว่า “ให้หาว่ามีเซตA ที่เป็นไปได้กี่แบบตามเงื่อนไขนี้”(ก) A ∈ P(S) (แปลว่า A ⊂ S)กับ (ข) 1 ∈ A และ 7 ∉ A (แปลว่าใน A ต้องมี 1และต้องไม่มี 7)แสดงว่า มีเฉพาะ 2, 3, 4, 5, 6 เท่านั้นที่เลือกได้ ว่าจะอยู่หรือไม่อยู่ใน A ... ก็เปรียบเสมือนการหาจํานวนสับเซตแบบต่างๆ ของ {2,3,4,5,6} ..ฉะนั้น5n(X) = 2 = 32ส่วน n(Y) ให้หาว่ามี A เป็นไปได้กี่แบบ ซึ่ง A ∈ xและผลบวกไม่เกิน 6วิธีคิดต้องนับเอาโดยตรงเท่านั้น ได้แก่{1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} {1, 5} และ {1, 2, 3}พบว่ามี A ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ..ฉะนั้น n(Y) = 6(11) จาก A ∩ B,A ∩ C,B ∩ C จะทําให้ทราบว่าA B C {3,5}∩ ∩ = จากนั้นวาดแผนภาพB10 3 5 42Aจาก A ∪ C = {0,1,2,3,5}แสดงว่าใน A กับ C ส่วนที่เหลือไม่มีสมาชิกใดเลย และ4 ∈ B ดังนั้นก. A − B = {0} ถูกCข. B − C = {1} ผิด ..ต้องได้ {1, 4}ค. A − C = {1} ถูกง. B − A = {2,4} ถูก(12) U = {1,2,3,...,10} → B = {3,6,9} และC = {1,2,3,4,5} ต้องการหาเซต C' ∪ B' ก็คือ(C ∩ B) ' ซึ่งเราได้ C ∩ B = {3} ดังนั้นตอบ{1,2,4,5,6,7,...,10}(13.3) A B {0,1,{1},{0,1}}4n(P(A ∪ B)) = 2 = 161A ∩ B = {0} จะได้ n(P(A ∩ B)) = 2 = 2ดังนั้นตอบ 16 − 2 = 14(14.1) และ (14.2) ถูก เพราะ U กับ ∅ เป็นส่วนเติมเต็ม (complement) ของกันและกัน(14.3) ถึง (14.6) ถูกทั้งหมด พิจารณาจากแผนภาพจะง่ายที่สุด(14.7) และ (14.11) A − A =∅ ถูก(14.8) ถึง (14.10) ถูก ... (14.12) ถูก (ต้องรู้!)(15.1) ถูก (เป็นสิ่งที่ควรทราบ)(15.2) ถูก A ∪ Bสมาชิกอยู่เลย= ∅ แสดงว่าต้องไม่มีเซตใดมี(15.3) ผิด ถ้า A กับ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน ก็สามารถทําให้ A ∩ B =∅ ได้ หรือเมื่อ A กับ Bเป็นเซตว่าง เพียงเซตใดเซตหนึ่งก็ได้(15.4) A − B =∅ แสดงว่า A ⊂ BB − C = B แสดงว่า B กับ C แยกจากกัน(B ∩ C )=∅ ดังรูปC Bดังนั้น A' ∪ C' = (A ∩ C)' = ∅ ' = U ถูก(เพราะ A กับ C ก็แยกจากกัน)(15.5) A − B =∅ แปลว่า A ⊂ BBA− C ≠∅ แปลว่า B ⊄ C− C ≠∅ แปลว่า A ⊄ Cดังนั้น เปลี่ยนโจทย์กลายเป็น"A ⊂ B และ B ⊄ Cแล้ว A ⊄ C " อันนี้เท็จเช่น รูปนี้ A ⊂ C ได้(16.1) ผิด เช่นถ้า A = B จะได้A ∩ B = A ∪ B = A = B ด้วย(16.2) ผิด เช่นถ้า A = B จะได้A − B = B − A = ∅(16.3) ถูกเสมอ มาจากกฎA − B' = A ∩ (B')' = A ∩ B(16.4) B' − A = B' ∩ A' = (B ∪ A)' ถูก(16.5) ผิด x อาจมาจากใน B ก็ได้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)AACB

คณิตศาสตร O-NET / A-NET27เซต(16.6) A' ∩ B' = (A ∪ B)'ถ้า x ∈ A แล้ว x ∉(A ∪ B)' ..ถูก(16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈(A ∪ B)' ..ผิด( x อาจอยู่ใน B ได้)(16.8) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∈ A ∩ B ..ผิด( x อาจอยู่เพียงใน A โดยไม่อยู่ใน B )(17) ใช้การมองจากแผนภาพจะง่ายที่สุด(แผนภาพจะต้องเป็นแบบทั่วไป คือมีส่วนซ้อนทับกัน)UAก ขAคB− B A ∩ B B − A(17.1) A − (A ∩ B) ⇒ กข – ข = ก ⇒ ตอบA − B(17.2) (A − B) ∪ B ⇒ ก ∪ ขค = กขค ⇒ตอบ A ∪ B(17.3) (A − B) ∩ B ⇒ ก ∩ ขค = ∅ข้ออื่นๆ ก็สามารถคิดด้วยวิธีเดียวกัน ได้คําตอบดังนี้(17.4) A ∩(A − B) = A − B(17.5) A ∪(A − B) = A(17.6) (A ∪ B) − B = A − B(17.7) (A ∩ B) − B = ∅(17.8) A − (A − B) = A ∩ B(17.9) เนื่องจาก B − A ' = B ∩ A ดังนั้น(A − B) ∩(B − A ') ⇒ ก ∩ ข = ∅(18.1) ผิด เช่นหาก C = U แล้ว A กับ B ไม่จําเป็นต้องเท่ากัน(18.2) ผิด เช่นหาก C = ∅(18.3) ผิด เช่นหาก C = U(18.4) ถูก(19) B =∅ หรือ A ∩ B =∅ (แยกกันอยู่)หรือ A =∅(20) ถ้ามีเพียง 2 เซต สามารถใช้วิธีทดเอาจากแผนภาพเซตเหมือนข้อ (17)(20.1) ก ∪ ค ∪ ข = กขค = A ∪ B(20.2) (กข ∩ ขคง) ∪ (ขค ∩ กคง)= ข ∪ ค = B(20.3) (กค – คง) ∪ (คง – กค) = ก ∪ ง= B'ง(20.4) มีถึง 5 เซต จึงต้องใช้การแจกแจงช่วยคิด(วาดแผนภาพไม่ได้)ก้อนซ้ายได้ A' ∩ B' ∩ B∩ C = ∅∅ก้อนกลางได้ D ∩ E' ∩ C ' ∩ E = ∅∅ก้อนขวาได้ A ∩ Eรวมกันได้ ∅∪( ∅∪(A ∩ E))' = (A ∩ E)'(21.1) จากโจทย์ ดึง B∩ C ออกจากสองวงเล็บแรก= [(A ∪ A ') ∩ B ∩ C] ∪(B ∩ C)'U(B C) (B C) '= ∩ ∪ ∩ = U ถูก(21.2) จากโจทย์ ดึง C ออกจากทุกวงเล็บ= C ∩ [(A ∩ B ∩ D') ∪ A ' ∪ B' ∪ D]จัดรูป A, B, D ตัวหลังใหม่= C ∩ [ (A ∩ B ∩ D ') ∪(A ∩ B ∩ D ') ' ] = CU(21.3) ถูกเสมอ เพราะ (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)และมีกฎอยู่ว่า ถ้า ⊂ แล้ว P( ) ⊂ P( )(21.4) A − B กับ B − A ไม่มีสมาชิกร่วมกันดังนั้นภายในเซต P(A − B) กับเซต P(B − A) จะมีสมาชิกที่เหมือนกันเพียงตัวเดียวคือ ∅→ ข้อนี้ถูก(21.5) ถ้า A ⊂ B จะได้ว่า P(A) ⊂ P(B) ดังนั้นP(A) ∪ P(B) = P(B) ...... (1)และถ้า A ⊂ B จะได้ A ∪ B = B ด้วย ดังนั้นP(A ∪ B) = P(B) ..... (2) ดังนั้น (1)=(2) ถูก(22) ใช้หลักว่า P( ) ∩ P( Δ) ∩ P( Ο ) = P( ∩ Δ ∩ Ο)** ใช้ได้เฉพาะเครื่องหมาย ∩(22.1) A ∩ B ∩ C' = {1,2} ถูก(22.2) A ∩ B' ∩ C = {0,3} ถูก(22.3) A' ∩ B∩ C = ∅ ข้อนี้ผิดที่ถูกต้องเป็น P(A ' ∩ B ∩ C) = { ∅ }(22.4) A ∩ B' ∩ C' = ∅ ถูก(23) n(A ' ∩ B') = n(A ∪ B)' มีค่ามากสุด ก็คือn(A ∪ B) มีค่าน้อยสุด ..จะเกิดขึ้นเมื่อ B ⊂ Aทําให้ n(A ∪ B) = n(A) = 22ดังนั้น n(A ∪ B) ' = 35 − 22 = 13(24) n(A) = a , n(B) = b แต่ n(A ∩ B) = bแสดงว่า B อยู่ใน A ทั้งหมด ( B A⊂ )และเช่นเดียวกันจะพบว่า D ⊂ C ⊂ B ⊂ Aดังนั้น n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = n(D) = dและ n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) = aถูกMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET29เซต(39) โจทย์บอกว่าก+ข+ค+ง=20ก+ข=2(ข+ค)-7และ ข = งUก ข คครีม น้ําตาลดังนั้น จากสมการแรกสุดจะได้ ก+2ข+ค=20 .....(1)สมการที่สองจัดรูปได้ ข-ก+2ค=7 .....(2)(1)x2 - (2); 3ก+3ข=33 ดังนั้น ก+ข=11(40) คนสวมแหวนทุกคนแหวน แว่น นาฬิกาขก ค งสวมแว่น แต่คนที่สวมนาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่นจะวาดแผนภาพได้ดังนี้(แหวนเป็นสับเซตของแว่น,นาฬิกากับแว่นแยกกัน)โจทย์บอกว่า ก+ข+ค+ง=34 .....(1) ข=5 .....(2)ค=ก+ข+1 .....(3) และ ก+ข+ง=3ก .....(4)แทนค่า (2), (3) ในสมการ (1) และ (4) จะได้ก+5+(ก+5+1)+ง=34 และ ก+5+ง=3กแก้ระบบสมการได้ ก=7, ง=9โจทย์ถาม ค = ก+ข+1 = 7+5+1 = 13 คน(41) ฝนตกเช้าจะไม่ตกเย็น แสดงว่าเซตแยกกัน ก ข คก+ข=7, ข+ค=6, ก+ค=5บวกกันทั้งสามสมการได้ ตกเช้า ตกเย็น2(ก+ข+ค)=18 ..ดังนั้น ก+ข+ค = 9 วัน(42) ข้อนี้วาดรูปแบ่งชายหญิงได้ดังนี้(หรือจะแบ่งเป็นชายกับหญิง คนละรูปกันก็ได้ แต่คิดไม่สะดวก)Uก ข ค งจ ฉ ชซตาดี ฟันไม่ผุก ข ค งจ ฉ ช ซงUUชาย100หญิง60ชายหญิง30 = ค+ง → ช+ซ = 50 − 30 = 2035 = ก+ง → จ+ซ = 60 − 35 = 2555 = ข → ฉ = 80 − 55 = 25รวม 3 สมการเข้าด้วยกัน จะได้ก+ข+ค+2ง=120 และ จ+ฉ+ช+2ซ=70แต่เนื่องจาก ก+ข+ค+ง=100 ดังนั้น ง=20และ ก+ข+ค=80และเนื่องจาก จ+ฉ+ช+ซ=60 ดังนั้น ซ=10และ จ+ฉ+ช=50คําตอบคือ 80 + 50 = 130 คน(หมายเหตุ ..จะวาดแผนภาพเป็นเซตของคนที่สายตาไม่ดี, หรือเซตของคนที่ฟันผุ ก็ได้)(43) ก+ข=16 ....(1)ฉ+ช=7 จะได้ ข+ค=21-7=14 ....(2)สองสมการบวกกัน จะได้ก+2ข+ค=16+14=30แต่ ก+ข+ค=24 ดังนั้นข=30-24= 6 คน(44) ก+ข=200และ ข+ค=30รวม ก+2ข+ค=230แต่ ข=15ดังนั้น ก+ข+ค=215∴ง = 600 − 215 = 385 คนกจข คฉ ชบาส ฟุตบอลUก ข ค งจ ฉ ชซตจว. นักกีฬาก ข ค งจซ3ลงตัว 4ลงตัวUช้างAไทยสากล32 35?20zy xชาย24หญิง11ชาย600หญิง500(ข้อสังเกต ข้อ 43 และ 44 ไม่ได้คํานวณในส่วนที่เป็นผู้หญิงเลย, ถ้าต้องคิดจะใช้วิธีเหมือนข้อ 42)(45) โจทย์ข้อนี้ให้คิดเอาเองว่า จํานวนคี่ที่4 หารลงตัวนั้น ไม่มี!(นั่นคือ ฉ,ช 0 = )ค = 6, ก+ข+จ = 8 โดย ก+ข = 3 → จ = 5..ข = 2 , ก+ง = 4 และ จ+ซ 18 4 14= − = ..จํานวนสมาชิกของเซตนี้ = (ก+ง)+ข+ค+(จ+ซ)= 4 + 2 + 6 + 14 = 26จํานวนคู่ = (ก+ง)+ข+ค = 4 + 2 + 6 = 12จํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไม่ลงตัว = ทุกตัวยกเว้น ข= − = 26 2 24 จํานวน(46) ข้อนี้มี 3 เซต คือ ชอบช้าง, ชอบลิง, ชอบหมีโจทย์ถาม n(A ∪ B ∪ C)' = 100 − n(A ∪ B ∪ C)โดยการสังเกตให้ดี ใช้ข้อมูลแค่ 3 ตัว คิดวิธีเดียวกับขัอ (36) ดังรูปก็จะทราบว่าn(A ∪ B ∪ C) =32 + 35 + 20 = 87ดังนั้นตอบ 13(47) ข้อนี้ตรงตามสูตรn(A B C) ∪ ∪ =180=95+92+125-52-43-57+x∴ x = 20 คน∴ y = n(A ∩ C) − 20=43-20=23z = n(A ∩ B) − 20=52-20=32ผู้ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว มี95 − 20 − 23 − 30 = 20 คนหมีคู่คี่ลิงBไทยเดิมC ลูกทุ่งMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET30เซต(48) สมการแรก กx+y+20+23+22+11+9=100 x 20 yและสมการที่สอง22 23 11(x+20+23+22)=(y+20+23+11)+6 9แก้ระบบสมการ ได้ x = 5,y = 10 ค∴ นาย ก ได้ 70 คะแนน, นาย ข 64 คะแนน,นาย ค 65 คะแนนก. ถูก ข. 70 64 65 199ค. ผิด ต้องเป็น 5 คน ง. 5 10 9 24xyข+ + = ถูก+ + = ถูก(49) ข้อนี้มีสามเซต (บาสเกตบอล, เทนนิส,วอลเลย์บอล) และยังแบ่งชายหญิง จึงจําเป็นต้องแยกวาดคนละภาพกัน84ชายหญิงถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่าข้อมูลที่ให้มาตรงตามสูตรพอดีชาย n(A ∪ B ∪ C) = 60 − 8=20+15+22-6-10-11+x ... ดังนั้น x=22 คนหญิง (แต่ละเลขได้จาก จํานวนทั้งหมดลบด้วยผู้ชาย)40-4 = 15+13+18-8-6-9+y ... ดังนั้น y=13 คนสรุปว่า ต่างกันอยู่ 22 − 13 = 9 คน(50) ให้ U = {0, 1, 2, ..., 100}A = {x | x หารด้วย 2 ลงตัว }B= {x | x หารด้วย 3 ลงตัว }C = {x | x หารด้วย 5 ลงตัว }ต้องการหาค่า n(A ' ∩ B ' ∩ C ') ก็คือn(A ∪ B ∪ C) ' ..หาโดย n( U ) − n(A ∪ B ∪ C)∪ ∪ จะต้องคํานวณตามสูตรซึ่ง n(A B C)n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C))−n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)** ทุกๆ ชิ้นส่วน อย่าลืมนับเลข 0 ด้วย **... n(A) → หาร 2 ลงตัว มี 51 จํานวนn(B) → หาร 3 ลงตัว มี 34 จํานวนn(C) → หาร 5 ลงตัว มี 21 จํานวนn(A ∩ B) → หาร 2 และ 3 ลงตัว คือหาร 6 ลงตัวมี 17 จํานวน ... n(A ∩ C) → หาร 2 และ 5 ลงตัวคือหาร 10 ลงตัว มี 11 จํานวน ... n(B ∩ C) →หาร 3 และ 5 ลงตัว คือหาร 15 ลงตัว มี 7 จํานวน... n(A B C)∩ ∩ → หาร 2 และ 3 และ 5 ลงตัวคือหาร 30 ลงตัว มี 4 จํานวนดังนั้น n(A ∪ B ∪ C) = 51 + 34 + 21 − 17 − 11− 7 + 4 = 75และเนื่องจาก n( ) = 101U จึงได้n(A ' ∩ B ' ∩ C ') = 101 − 75 = 26S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¨Ò¡¢o (50) ËÒ¡o¨·Âe»ÅÕèÂ¹ä»e»¹ A ¤×oe«µ¢o§¨íÒ¹Ç¹·Õ èËÒÃ 6 Å§µaÇ æÅa B ¤×oe«µ¢o§¨íÒ¹Ç¹·Õ èËÒÃ 8 Å§µaÇæÅÇ A ∩ B äe»¹e«µ¢o§¨íÒ¹Ç¹æººã´¤Ãaº..ËÅÒÂ¤¹µoºÇÒ ËÒÃ·aé§ 6 æÅa 8 Å§µaÇ ¡çæ»ÅÇÒËÒÃ 48 Å§µaÇ ... äÁãª¹a¤Ãaº! ...eoÒ 6 ¡aº 8 ÁÒ¤Ù³¡a¹¹aé¹¼í ! äµo§ãª ¤.Ã.¹. ¤×o ËÒÃ 24 Å§µaÇ ¨Ö§äÙ¡Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET31ระบบจํานวนจริงRe a +lº··Õè2 Ãaºº¨íÒ¹Ç¹¨Ãi§จํานวนที่มนุษย์คิดขึ้นใช้ครั้งแรกเป็นจํานวนที่ใช้นับสิ่งของต่างๆ เรียกว่า จํานวนธรรมชาติ (NaturalNumber) หรือ จํานวนนับ (Counting Number)ได้แก่ 1,2,3,4,... ซึ่งสัญลักษณ์แทนเซตของจํานวนนับคือ N = {1,2,3,4,...}หากนําจํานวนนับเหล่านี้มาบวกหรือคูณกัน ผลลัพธ์ย่อมเป็นจํานวนนับเสมอ เรียกว่า “เซตของจํานวนนับมี สมบัติปิด สําหรับการบวกและการคูณ” (คําว่า สมบัติปิด หมายความว่า เมื่อนําสมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลที่ได้ยังคงเป็นสมาชิกของเซตนั้นอยู่) แต่หากนําจํานวนนับบางจํานวนมาลบหรือหารกันจะมีปัญหาขัดข้องเนื่องจากผลที่ได้ไม่เป็นจํานวนนับ ด้วยเหตุนี้จํานวนลบจํานวนศูนย์ รวมทั้งจํานวน เศษส่วน (Fraction) จึงถูกคิดขึ้นมาใช้จํานวนนับ จํานวนศูนย์ และจํานวนเต็มลบ เรียกรวมกันว่า จํานวนเต็ม (Integer)I = {..., −3, −2, −1,0,1,2,3,...}จํานวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเต็ม เรียกรวมกันว่า จํานวนตรรกยะ (Rational Number)Q = {a/b|a,b ∈ I และ b ≠ 0}ดังนั้น เซตจํานวนนับเป็นสับเซตจํานวนเต็ม และเซตจํานวนเต็มเป็นสับเซตจํานวนตรรกยะข้อควรทราบ1. จํานวนตรรกยะที่เป็นเศษส่วนของจํานวนเต็ม จะเขียนเป็นทศนิยมซ้ําได้เสมอMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET32ระบบจํานวนจริงและจํานวนที่เขียนเป็นทศนิยมไม่ซ้ํา จะเรียกว่าจํานวนอตรรกยะ (Irrational Number) Q 'เช่น 2 = 1.4142... , 3 1.7321... π ≈= , 3.1416...2. N มีสมบัติปิดสําหรับการบวกและการคูณI และ Q มีสมบัติปิดสําหรับการบวก, ลบ, และคูณ..แต่ Q ' ไม่มีสมบัติปิดเลยจํานวนทั้งหมดที่กล่าวมานี้ เรียกรวมกันว่าจํานวนจริง (Real Number : R ) ซึ่งมีแผนผังความสัมพันธ์ดังที่แสดงไว้S e¾ièÁeµiÁ! S1. ÃÒ¡·ÕèÊo§¢o§¨íÒ¹Ç¹eµ çÁ (·Õ èo´¤Òoo¡ÁÒe»¹¨íÒ¹Ç¹eµçÁäÁä´) äe»¹¨íÒ¹Ç¹oµÃÃ¡ÂaeÊÁo2. ¤Ò e «Öè§e»¹¤Ò¤§·Õè·Õ èe¡Õ èÂÇ¡aºÅo¡ÒÃi·ÖÁ (º··Õè 8)¡çe»¹¨íÒ¹Ç¹oµÃÃ¡Âaeª¹¡a¹ (ÁÕ¤Ò»ÃaÁÒ³ 2.718..)RCI mเพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องจํานวนเชิงซ้อนมีจํานวนอีกหนึ่งประเภทที่ไม่ใช่จํานวนจริง เนื่องจากไม่สามารถจัดลําดับค่ามากน้อยร่วมกับจํานวนจริงบนเส้นจํานวนได้ คือรากที่สองของจํานวนลบ เช่น − 2 เรียกว่า จํานวนจินตภาพ (Imaginary Number)เมื่อรวมกันกับเซตจํานวนจริงแล้วเรียกว่า จํานวนเชิงซ้อน(Complex Number : C ) ซึ่งจะได้ศึกษาในบทที่ 11Q 'II - I0QQ−I+I หรือ N2.1 สมบัติของจํานวนจริงนอกจากสมบัติปิดซึ่งได้รู้จักแล้ว ระบบจํานวนจริงยังมีสมบัติอีกหลายลักษณะที่ควรทราบเนื่องจากเป็นพื้นฐานที่จําเป็นสําหรับวิชาคณิตศาสตร์ (ส่วนใหญ่จะเคยพบมาแล้วในระดับ ม.ต้น)สมบัติของการเท่ากัน[1] สมบัติการสะท้อน (Reflexive Property) a = a[2] สมบัติการสมมาตร (Symmetric Property) a = b ↔ b = a[3] สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) a = b ∧ b = c → a = c[4] สมบัติการบวกและคูณด้วยจํานวนที่เท่ากัน a = b → a + c = b + ca = b → ac = bcสมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณ[1] “เอกลักษณ์ (Identity)” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวนจริง a ใดก็ตามแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจํานวน a เดิม ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง คือ 0 และเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนจริง คือ 1[2] “อินเวอร์ส (Inverse) ของ a” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกของจํานวนจริง a คือ –a และเอกลักษณ์การคูณของจํานวน1จริง a คือ 1/a หรือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a −[3] สมบัติปิด (Closure Property) a, b ∈ R → a + b ∈a, b ∈ R → a ⋅b∈[4] สมบัติการสลับที่ (Commutative Property) a + b = b + aab= baMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)RR

คณิตศาสตร O-NET / A-NET33ระบบจํานวนจริง[5] สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative Property) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + ca (bc) = (ab) c = abc[6] สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) a(b+ c) = ab+ac(a + b) c = a c + b c+[7] สมบัติสําหรับเซตของจํานวนจริงบวก ( R ) เพิ่มเติมได้แก่ สมบัติปิดของการบวก สมบัติปิดของ++การคูณ และสมบัติที่ว่า “ถ้าจํานวนจริง a ≠ 0 แล้ว a ∈ R หรือ −a∈ R เสมอ”ทฤษฎีบทเพิ่มเติมที่ควรทราบ(พิสูจน์ได้จากสมบัติที่กล่าวแล้วข้างต้น)[1] กฎการตัดออกสําหรับการบวกและการคูณ a + c = b + c → a = ba⋅ c = b⋅c → a = b เมื่อ c ≠ 0[2] การคูณด้วยศูนย์ และจํานวนลบ 0a = a0 = 0 (1)a − = − a(a)b − = a(b) − = − ab(a)(b) − − = ab −(a) − = a* [3] ผลคูณเท่ากับศูนย์ ab = 0 → a= 0 หรือ b = 0[4] บทนิยามของการลบและการหาร a − b = a + ( − b)a ÷ b = ab − 11เมื่อ b ≠ 0 (ไม่นิยาม[5] การแจกแจงสําหรับการลบ a (b − c) = ab − ac1[6] อินเวอร์สการคูณไม่เป็นศูนย์เสมอ a − ≠ 0 เมื่อ a ≠ 0a ac[7] การคูณทั้งเศษและส่วน=[8] การบวกและการคูณเศษส่วน[9] อินเวอร์สการคูณของเศษส่วน[10] เศษส่วนซ้อนb bca d ac + bd+ =b c bc−1⎛a⎞b⎜ ⎟ =⎝b⎠aab a a==c bc bcหมายเหตุ1. ข้อ [7] ถึง [10] ตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์2. อาจนิยามการหารด้วยการคูณ คือ a ÷ b = c ↔ a = bc ก็ได้แต่ต้องกํากับว่าเป็นจริงเมื่อ b ≠ 0 เท่านั้น (การหารด้วย 0 ในที่นี้จะไม่นิยาม)• ตัวอยาง เซตตอไปนี้มีลักษณะตรงตามขอใด (ใน A, B, C, D) บางA. มีสมบัติปดการบวก B. มีสมบัติปดการคูณC. เปนสับเซตของเซตจํานวนตรรกยะ Q D. เปนสับเซตของเซตจํานวนเต็ม Iก. เซตของจํานวนนับ Nตอบ A ถูก เพราะไมวาจะยกจํานวนนับจํานวนใดมาบวกกัน ผลลัพธก็ยังคงเปนจํานวนนับB ถูก เพราะไมวาจะยกจํานวนนับจํานวนใดมาคูณกัน ผลลัพธก็ยังคงเปนจํานวนนับC ถูก เพราะจํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะD ถูก เพราะจํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็มMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)a d ad⋅ =b c bcacbabcd0 − )ad=bc

คณิตศาสตร O-NET / A-NET34ระบบจํานวนจริงข. เซตของจํานวนอตรรกยะตอบ A ผิด เพราะมีจํานวนอตรรกยะบางจํานวน ที่บวกกันแลวกลายเปนจํานวนตรรกยะ เชน 2 บวกกับ − 2 แลวได 0B ผิด เพราะมีจํานวนอตรรกยะบางจํานวน ที่คูณกันแลวกลายเปนจํานวนตรรกยะ เชน 2 ⋅ 2 = 2C ผิดอยางแนนอน เพราะเซตของจํานวนตรรกยะและอตรรกยะ เปนคอมพลีเมนตกันD ผิดเชนกัน เพราะไมใชวาจํานวนอตรรกยะทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม (ที่จริงไมมีเลยสักตัว)ค. {x|x < 0}ตอบ A ถูก จํานวนลบหรือจํานวนศูนย เมื่อนํามาบวกกันยอมยังเปนจํานวนลบหรือศูนยB ผิด เพราะจํานวนลบคูณกันยอมไดผลลัพธเปนจํานวนบวกC และ D ผิด เพราะจํานวนลบบางจํานวนไมใชจํานวนตรรกยะ (และจํานวนเต็ม) เชน − 2ง. {1.414, 22/7}ตอบ A และ B ผิด เพราะเมื่อหยิบจํานวนจากเซตนี้มาบวก (หรือคูณ) กัน ผลลัพธไมอยูในเซตนี้C ถูก เพราะเลขทศนิยม และเศษสวนของจํานวนเต็ม เปนจํานวนตรรกยะเสมอ ( 22/7 ≠ π)D ผิดแนนอน เพราะสมาชิกในเซตนี้ไมใชจํานวนเต็มจ. { − 1,0,1}ตอบ A ผิด เพราะเมื่อหยิบบางจํานวนมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดไมอยูในเซตนี้ เชน 1+ 1 = 2B ถูก เพราะไมวาจะหยิบจํานวนใดมาคูณกัน ผลลัพธที่ไดก็ยังอยูในเซตนี้เสมอC และ D ถูก เพราะสมาชิกทุกตัวเปนจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ)ฉ. {10x | x ∈ I }ตอบ { 10 x | x ∈ I } = {0, ± 10, ± 20, ± 30, ...} เขียนแจกแจงสมาชิกเพื่อใหพิจารณางายA และ B ถูก เพราะไมวาจะหยิบจํานวนใดในเซตนี้มาบวก (หรือคูณ) กัน ผลลัพธที่ไดยังอยูในเซตนี้C และ D ถูก เพราะสมาชิกทุกตัวเปนจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ)แบบฝึกหัด 2.1(1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(1.1) 0.343443444... เป็นจํานวนตรรกยะ(1.2) 0.112112112... เป็นจํานวนอตรรกยะ(1.3) ถ้า a 2 เป็นจํานวนคู่ แล้ว a ต้องเป็นจํานวนคู่(1.4) ถ้า a 2 เป็นจํานวนคี่ แล้ว a ต้องเป็นจํานวนคี่(2) ถ้า a, b, c ∈ R แล้ว ข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด(2.1) ถ้า ab = a แล้ว b = 1(2.2) ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 และ b = 0(2.3) เมื่อ b ≠ 0 ถ้า a = c แล้ว a = c(2.4) เมื่อ b, c 0b b≠ ถ้า a ab c= แล้ว b = cMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! So¨·Âã¹ÃÙ»æºº¢o¤ÇÒÁÙ¡ËÃ×o¼í ¹aé¹ ÊÇ¹ÁÒ¡ÒoÒ¹¢o¤ÇÒÁe¾ÕÂ§e¼i¹æ ä´ÙeËÁ×o¹ÇÒÙ¡ æµ·Õè¨Ãi§ºÒ§¢o¤ÇÒÁ¡ç¼í ..¡ÒÃµoºo¨·ÂÅa¡É³a¹Õé¤ÇÃ¾ÂÒÂÒÁÂ¡¡Ã³Õ·Õ è¼í ¢Öé¹ÁÒÊa¡ 1 ¡Ã³Õ ÒËÒä´¡çæÊ´§ÇÒ¢o¤ÇÒÁ¹aé¹¼í (¡ÒÃÂ¡µaÇoÂÒ§¨íÒ¹Ç¹ oÂÒÅ×Á·´Êoº¨íÒ¹Ç¹µí Åº ¨íÒ¹Ç¹µí ÃÙ · æÅa¨íÒ¹Ç¹·È¹iÂÁ·ÕèäÁÖ§ 1 ´ÇÂ) ... æµÒËÒÂa§ä§¡çËÒäÁä´ ¢o¤ÇÒÁ¹aé¹¡çÁÕ oo¡ÒÊäÙ¡ÊÙ§ (Òäºo¡ÇÒÙ¡ªaÇÃæ ¤§µo§ãªÇi¸Õ¾iÊÙ¨¹ «Öè§ºÒ§¢o¡çÂÒ¡¹a¤Ãaº..)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET35ระบบจํานวนจริง(3) เซตในข้อใดมีสมบัติปิดของการบวก และการคูณก. เซตของจํานวนเต็มลบทั้งหมด ข. เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่ไม่ใช่ 2ค. เซตของจํานวนตรรกยะที่ไม่ใช่จํานวนเต็ม ง. เซตของจํานวนเต็มที่หารด้วย 4 ลงตัว(4) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(4.1) เซตของจํานวนจริง มีสมบัติปิดของการลบ(4.2) เซตของจํานวนจริง มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการลบ(4.3) เซตของจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มีสมบัติปิดของการหาร(4.4) เซตของจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการหาร(5) เมื่อกําหนดเซต A = {x ∈ N | x ∈ Q } และ B = N − A แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(5.1) A มีสมบัติปิดการคูณ แต่ B ไม่มีสมบัติปิดการคูณ(5.2) A ไม่มีสมบัติปิดการบวก และ B ไม่มีสมบัติปิดการบวก(6) เซต A ในข้อใดทําให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง“ถ้า x ∈ A แล้ว จะมี y ∈ A ซึ่ง xy = 1 และ xy ∈ A”ก. เซตของจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0 ข. เซตของจํานวนจริงค. เซตของจํานวนอตรรกยะ ง. เซตของจํานวนตรรกยะที่ไม่ใช่ 0(7) ให้หาอินเวอร์สการคูณของเอกลักษณ์การคูณของ 6 + 516 + 5และ(8) กําหนดตารางการดําเนินทวิภาคดังขวามือ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้องก. (a ∗b) ∗ a = cข. (b ∗ c) ∗ b = aค. (a ∗b) ∗(c ∗ b) = bง. (c ∗ a) ∗(b ∗ a) = b(9) การดําเนินการ ∗ สําหรับจํานวนจริง ในข้อใดไม่มีสมบัติการสลับที่ก. x∗ y = 3x y + (x + y) ข. x∗ y = 2(x + y) − 3x yค.3 1x∗ y = −xy x+yง.1x∗ y = 2x y +x − y(10) [Ent’24] กําหนด a∗ b = 3ab + (a + b) แล้ว x ∗(y∗ z) = (z∗y) ∗ x หรือไม่(11) ถ้า A เป็นเซตของจํานวนนับคี่ และกําหนดตัวดําเนินการ ⊕ กับ ⊗ บนเซต A ดังนี้a + baba ⊕ b = และ a ⊗ b = แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกหรือผิดบ้าง22* a b ca a b cb b c ac c a b(11.1) เซต A มีสมบัติปิด และมีสมบัติการสลับที่ ภายใต้การดําเนินการ ⊕(11.2) เซต A ไม่มีสมบัติปิด แต่มีสมบัติการสลับที่ ภายใต้การดําเนินการ ⊗Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET36ระบบจํานวนจริง2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบn n−1พหุนามตัวแปรเดียว ที่มี x เป็นตัวแปร จะอยู่ในรูป anx + an−1x + ... + a1x + a0โดยที่ aเป็นค่าคงที่ (สัมประสิทธิ์) และ n เป็นจํานวนนับ นิยมใช้สัญลักษณ์แทนพหุนามว่า p(x)นอกจากนั้น สัญลักษณ์ p(c) หมายถึงการแทนค่า x ด้วยจํานวน c3 23 2เช่น p(x) = 4x − x − 2x + 6 จะได้ว่า p ( − 1) = 4 ( −1) −( −1) −2 ( − 1) + 6 = 3n n−1การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว anx + an−1x + ... + a1x + a0= 0 จะต้องแยกตัวประกอบให้สมการอยู่ในรูปผลคูณเท่ากับศูนย์ โดยมีเทคนิคต่างๆ ที่ศึกษาผ่านมา ได้แก่ กําลังสองสมบูรณ์ ผลต่างของกําลังสอง ผลบวกและผลต่างของกําลังสาม เป็นต้น แต่สําหรับสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะช่วยให้การแยกตัวประกอบสะดวกขึ้นทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem) กล่าวว่า“ถ้าหาร p(x) ด้วย x – c แล้ว จะเหลือเศษเท่ากับ p(c)”และหากการหารนี้เหลือเศษ 0 พอดี (หารลงตัว) จะกล่าวว่า x – c เป็นตัวประกอบของ p(x)นั่นคือ “พหุนาม p(x) จะมี x – c เป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ p(c) = 0”เรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem)เรานําทฤษฎีบททั้งสองมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ p(x) ได้ โดยการสุ่มหาค่า c ที่ทําให้ p(c) = 0 พอดี เพื่อให้ได้ตัวประกอบ x – c ... แล้วนํา x – c ที่ได้ไปหารออกจาก p(x) เพื่อลดทอนกําลัง n ลง ทําซ้ําจนแยกตัวประกอบได้ครบยังมีอีกทฤษฎีที่ทําให้เลือกค่า c ได้รวดเร็ว นั่นคือ ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะซึ่งกล่าวว่า “ถ้า x – (k/m) เป็นตัวประกอบของ p(x) แล้ว.. k เป็นตัวประกอบของ a 0 และm เป็นตัวประกอบของ a n ” (โดยเศษส่วน k/m เป็นเศษส่วนอย่างต่ําเท่านั้น)สรุปวิธีการหาตัวประกอบ x – c ของ p(x) เมื่อ c เป็นจํานวนตรรกยะ คือนําค่า k มาจากตัวประกอบของ a 0 และนําค่า m มาจากตัวประกอบของ a n ... ค่า c ที่เป็นไปได้จะอยู่ในบรรดาเศษส่วน k/m เหล่านี้เท่านั้น (อย่าลืมคิดทั้งจํานวนบวกและจํานวนลบ) ดูตัวอย่างวิธีคํานวณได้ในเรื่องการหารสังเคราะห์หมายเหตุ หากจํานวน c ไม่ใช่จํานวนตรรกยะ เช่น x 2 − 2 = (x − 2)(x + 2) จะใช้ทฤษฎีนี้ไม่ได้3 2• ตัวอยาง 2x − x + 6x − 1 หารดวย x − 2 เหลือเศษเทาใด3 2ตอบ ใชทฤษฎีเศษ จะไดวาเศษจากการหาร 2x − x + 6x − 1 ดวย x − 2 ก็คือ3 22(2) (2) 6(2) 1 7− − + = − ... (สามารถตรวจคําตอบไดโดยการตั้งหารยาว หรือหารสังเคราะห)3 2• ตัวอยาง 2x − x + 6x − 1 หารดวย x + 1 เหลือเศษเทาใด3 2ตอบ ใชทฤษฎีเศษ จะไดวาเศษจากการหาร 2x − x + 6x − 1 ดวย x + 1 ก็คือ3 22( 1) ( 1) 6( 1) 1 4− − − − − + = ... (สามารถตรวจคําตอบไดโดยการตั้งหารยาว หรือหารสังเคราะห)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET37ระบบจํานวนจริง• ตัวอยาง ฟงกชันพหุนามดีกรีสอง p(x) ฟงกชันหนึ่ง พบวาเมื่อหารดวย x แลวเหลือเศษ 3, เมื่อหารดวย x − 1 เหลือเศษ 12, และเมื่อหารดวย x − 2 จะเหลือเศษ 25ก. ฟงกชัน p(x) นี้หารดวย x − 3 เหลือเศษเทาใดวิธีคิด การจะทราบคําตอบขอนี้ จะตองหาใหไดกอนวา p(x) คืออะไร2โดยทั่วไปพหุนามดีกรีสอง ตองมีลักษณะเปน Ax + Bx + C ซึ่งจะเห็นวา มีสัมประสิทธิ์ 3 ตัวเราจึงใชคําใบที่โจทยใหมา 3 อยาง ในการสรางระบบสมการเพื่อหาสัมประสิทธิ์ 3 ตัวนี้2“หารดวย x แลวเหลือเศษ 3” แปลวา p(0) = 3 หรือ A(0) + B(0) + C = 32“หารดวย x − 1 แลวเหลือเศษ 12” แปลวา p(1) = 12 หรือ A(1) + B(1) + C = 12“หารดวย x − 2 แลวเหลือเศษ 25” แปลวา p(2) 25แกสามสมการรวมกัน ไดผลเปน A = 2, B = 7, C 32ดังนั้น p(x) นี้หารดวย x − 3 จะเหลือเศษ= หรือ2A(2) + B(2) + C = 25= ... ดังนั้น22(3) + 7(3) + 3 = 42p(x) = 2x + 7x + 3ข. ฟงกชัน p(x) นี้หารดวย x − c ลงตัว เมื่อ c เทากับเทาใดตอบ p(x) หารดวย x − c ลงตัว ... แปลวา มี x − c เปนตัวประกอบหนึ่งนั่นเอง2และเนื่องจาก p (x) = 2x + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) จึงไดคําตอบวาp(x) นี้จะหารดวย x − c ลงตัว เมื่อ c = − 1/2 หรือ c = − 3หรืออาจกลาววา p(c) = 0 (หารลงตัวคือไมมีเศษ) ดังนั้น22c + 7c + 3 = (2c + 1)(c + 3) = 0 จะได c = − 1/2 หรือ c 3= − เชนเดียวกันค. ฟงกชัน p(x) นี้หารดวย x − c เหลือเศษ 7 เมื่อ c เทากับเทาใดตอบ p(x) หารดวย x2ดังนั้น 2c 7c 3 72+ + = แกสมการไดจึงไดคําตอบวา c = 1/2 หรือ c = − 4หรืออาจกลาววา “ p(x) หารดวย x− c เหลือเศษ 7 ... แปลวา p(c) = 72c + 7c − 4 = (2c − 1)(c + 4) = 0− c เหลือเศษ 7 ” คือ “ p(x) − 7 หารดวย x c− ยอมหารดวย 5 ลงตัว)(ยกตัวอยางเชน 38 หารดวย 5 เหลือเศษ 3 แสดงวา 38 32ดังนั้น p(x) − 7 = 2x + 7x − 4 = (2x − 1)(x + 4) ได c = 1/2 หรือ c 4− ลงตัว”= − เชนกันเทคนิคการหารพหุนาม ด้วยวิธีหารสังเคราะห์ (Synthetic Division)วิธีหาผลหารของพหุนาม ที่เคยได้ศึกษาผ่านมาแล้วคือการตั้งหารยาว สามารถใช้หารพหุนามได้ทุกกรณี (หารด้วยดีกรีเท่าใดก็ได้) ... แต่ในกรณี “การหารพหุนามด้วย x – c (ดีกรีหนึ่ง)”เราสามารถทําได้รวดเร็วยิ่งขึ้นโดยการหารสังเคราะห์ในที่นี้สมมติว่า จะหาผลของการหาร x 4 − 3x 3 + 4x 2 + x − 6 ด้วย x − 21. เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นตัวตั้ง (ในที่นี้คือ 1, −3, 4, 1, − 6 ) เรียงกันในบรรทัด โดยใส่ค่าc จากตัวหาร (ในที่นี้คือ 2) ลงในช่องด้านหน้าสุด และเว้นบรรทัดไว้ในลักษณะดังนี้2 1 − 3 4 1 − 6Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET38ระบบจํานวนจริง2. เริ่มขั้นตอนการหารโดยนําตัวเลขในหลักแรกสุด (ในที่นี้คือ 1) ลงมาเขียนด้านล่างตรงบรรทัดของผลลัพธ์ ... จากนั้นใช้ตัวหาร (คือ 2) คูณผลลัพธ์นี้ ไปใส่ไว้ใต้หลักถัดไป2 1 −3 4 1 −6↓ 2 13. พิจารณาที่หลักถัดไป ให้บวกเลขเข้าด้วยกัน ( − 3 + 2 = − 1) นําไปใส่ไว้บรรทัดล่างแล้วใช้ตัวหาร (คือ 2) คูณผลลัพธ์นี้ ไปใส่ไว้ใต้หลักถัดไปอีก ... ทําซ้ําเรื่อยๆ จนครบทุกหลัก2 1 −3 4 1 − 6 +2 −2 4 101 − 1 2 5 44. ในบรรทัดผลลัพธ์ที่ได้ ตัวเลขในหลักสุดท้ายคือ เศษ และตัวเลขที่เหลือด้านหน้าคือสัมประสิทธิ์ของผลหาร (ดีกรีลดลงไปหนึ่งเสมอ) ... ในที่นี้ผลหารก็คือ x 3 − x 2 + 2x + 5 เศษ 43• ตัวอยาง ใหหาเศษจากการหาร 2x − 7x + 6 ดวย x + 1วิธีคิด หากไมตองการใชทฤษฎีเศษ−−ก็สามารถใชวิธีตั้งหารสังเคราะห ไดผลดังนี้−2แสดงวา ผลหารเปน 2x − 2x − 5 และเหลือเศษ 11หมายเหตุ พจนใดหายไป เมื่อตั้งหารสังเคราะหตองใส2สัมประสิทธิ์เปน 0 ดวย (เชนในโจทยขอนี้ไมมีพจน x ) มิฉะนั้นผลหารที่ไดจะไมถูกตอง1 2 0 −7 62 2 52 2 −5 113 2• ตัวอยาง ใหแยกตัวประกอบพหุนาม 3x − 7x + 4วิธีคิด เนื่องจากตัวประกอบของ 4 (สัมประสิทธิ์ตัวสุดทาย) ไดแก ± 1, ± 2, ± 4และตัวประกอบของ 3 (สัมประสิทธิ์ตัวแรกสุด) ไดแก ± 1, ± 3จากทฤษฎีตัวประกอบจํานวนตรรกยะ จะไดวาจํานวนที่นาจะเปนคําตอบ ไดแก± 1, ± 2, ± 4, ± 1/3, ± 2/3, ± 4/3 ...จากนั้นทดลองนําจํานวนเหลานี้มาหารสังเคราะหทีละจํานวนหากพบวาตัวใดทําใหเศษเปน 0 ตัวนั้นก็จะเปนคําตอบ ...ซึ่งจากการหารสังเคราะหในตัวอยางดานขวานี้ ทําใหทราบวา3 23x − 7x + 4 = (x − 1)(x − 2)(3x + 2)หมายเหตุ ลําดับของตัวหารไมจําเปนตองเหมือนกับในตัวอยาง (เชนอาจจะใช 2 กอนก็ได)แบบฝึกหัด 2.21 3 − 7 0 43 −4 −42 3 −4 −4 06 43 2 03 2(12) ถ้าหาร 4x − 21x + 26x − 17 ด้วย x − 4 แล้วเหลือเศษ a3 2และหาร 3x + 13x + 11x + 5 ด้วย x + 3 แล้วเหลือเศษ b แล้วให้หาค่าของ b – a(13) ถ้า x − 1 หาร x2 + 2a และ x + 2 หาร x+ a แล้วเหลือเศษเท่ากัน ค่า a เป็นเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET40ระบบจํานวนจริงช่วง และการแก้อสมการช่วง (Interval) คือเซตที่บอกสมาชิกด้วยขอบเขตนิยมแสดงเป็นกราฟบน เส้นจํานวน (Number Line)ช่วงเปิด (a, b) หมายถึง {x|a < x < b}ช่วงปิด [a, b] หมายถึง {x|a < x < b}ช่วงครึ่งเปิด (a, b] หมายถึง {x|a < x < b}และช่วงครึ่งเปิด [a, b) หมายถึง {x|a < x < b}ช่วง (a, ∞ ) หมายถึง {x|x > a}ช่วง [a, ∞ ) หมายถึง {x|x > a}ช่วง ( −∞ ,a) หมายถึง {x|x < a}ช่วง ( −∞ ,a] หมายถึง {x|x < a}และช่วง ( −∞, ∞ ) หมายถึงเซตของจํานวนจริง Rabขอบเขตของ x 2 เมื่อกําหนด a< x < b2 2- ถา a > 0 และ b > 0 จะไดขอบเขตเปน (a , b )* สองกรอบนี้ใช้ประกอบโจทย์แบบฝึกหัดข้อ 23 ถึง 252 2- ถา a < 0 และ b < 0 จะไดขอบเขตเปน (b , a )- ถา a < 0 ขณะที่ b > 0 ขอบเขตที่ไดจะมีคาต่ําสุดเปน 0 และเปนชวงครึ่งปด (เปน 0 ได)คาสูงสุดใหเลือกระหวาง a 2 กับ b 2 วาตัวใดมากกวากันเชนถา x ∈ ( − 4,3) จะเห็นวา x มีคาตั้งแตติดลบจนถึงบวกแสดงวาผานคานอยๆ เชน − 1, 0, 1 ฯลฯ ดวย ...เมื่อนําไปยกกําลังสอง คาต่ําสุดจึงตองเปน 0สวนคาสูงสุดเลือกระหวาง 9, 16 ... สรุปวา x 2 อยูในชวง [0, 16)หมายเหตุ : ขอบเขตของ x ก็คิดในลักษณะเดียวกันกับ x2หลักในการคํานวณ (บวกลบคูณหาร) ระหวาง 2 ชวง คือ a< x < b และ c< y < dสมมติตองการผลคูณ xy ใหหาผลคูณ ac, ad, bc, bd ใหครบแลวพิจารณาวาในผลคูณทั้งสี่ที่ได ตัวใดมีคาต่ําสุดและตัวใดสูงสุด ... คา xy จะอยูในชวงนั้นเชน ถา x ∈ ( − 1,3) และ y ∈ ( − 5,4) ถามวา xy อยูในชวงใดเนื่องจากผลคูณทั้งสี่คือ 5, −4, − 15, 12 ... ดังนั้น xy อยูในชวง ( − 15,12)กับการบวก ลบ และหาร ก็ทําเชนเดียวกัน เชนในตัวอยางเดิมนี้ผลหารทั้งสี่เปน 1/5, −1/4, − 3/5, 3/4 ... ดังนั้น x/y อยูในชวง ( − 3/5,3/4)ขอสังเกต คา x + y จะมีขอบเขตเปน (a+ c, b+ d) เสมอ(ตัวนอยสุดยอมเกิดจากนอยบวกนอย และตัวมากสุดยอมเกิดจากมากบวกมาก)และคา x − y จะมีขอบเขตเปน (a−d, b− c) เสมอเนื่องจากการนําลบคูณ y จะกลับดานเปน − d < − y < − c ... แลวนํามาบวกกันกับ xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET41ระบบจํานวนจริงสมการ (Equality) คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการเท่ากัน การแก้สมการ คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง อาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของสมการ” หรือการหา “รากของสมการ” ก็ได้ ส่วน อสมการ (Inequality) คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการไม่เท่ากัน (ได้แก่ > > < < หรือ ≠ ) การแก้อสมการ ก็คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง ซึ่งอาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของอสมการ” ก็ได้เช่นกันS ¡ÒÃæ¡oÊÁ¡ÒÃ¹aé¹ÁÕ¢o¤ÇÃÃaÇa§á§¹Õé1. ¡ÒÃºÇ¡ËÃ×oÅº·aé§Êo§¢Ò§¢o§oÊÁ¡ÒÃ æÅa¡ÒÃµá oo¡ÊíÒËÃaº¡ÒÃºÇ¡Åº ·íÒäéÊÁo2. ¡ÒÃ¤Ù³ËÃ×oËÒÃ·aé§Êo§¢Ò§¢o§oÊÁ¡ÒÃ µo§ÃaÇa§eÃ×èo§¡ÒÃe»ÅÕ èÂ¹e¤Ã× èo§ËÁÒÂÒ¹íÒ¨íÒ¹Ç¹Åº¤Ù³ËÃ×oËÒÃ·aé§Êo§¢Ò§¢o§ÊÁ¡ÒÃ µo§¡Åaº´Ò¹e¤Ã×èo§ËÁÒÂÁÒ¡¡ÇÒ/¹oÂ¡ÇÒ3. ¡ÒÃ¡ÅaºeÈÉe»¹ÊÇ¹ ¡ÒÃÂ¡¡íÒÅa§Êo§·aé§Êo§¢Ò§ ¡ÒÃ¤Ù³ä¢Ç ÒäÁ¨íÒe»¹äÁ¤ÇÃ·íÒ¹a¤Ãaºe¾ÃÒae¤Ã×èo§ËÁÒÂoÒ¨¼í (¤×oºÒ§¤Ãaé§eÃÒäÁ·ÃÒºæ¹ªá ÇÒµo§¡Åaº´Ò¹e¤Ã×èo§ËÁÒÂËÃ×oäÁ)เทคนิคการหาช่วงคําตอบของอสมการพหุนาม1. เมื่อแยกตัวประกอบเรียบร้อยแล้ว อสมการโดยทั่วไป (ในตัวอย่างสมมติว่าเครื่องหมายเป็น > )2(x − c 1)(x − c 2)(x − c 3)...(x + 3)(x − 1)จะอยู่ในรูป > 0 เช่น> 0(x − d )(x − d )...1 23x(x − 2)2. เขียนเส้นจํานวนและระบุตําแหน่งของ c,c 1 2 ,c 3 ,d,d,... 1 2 ให้ครบทุกตัว(เรียงตามลําดับน้อยไปมาก) และหากมีตัวประกอบใดอยู่หลายครั้งก็เขียนจุดเป็นจํานวนเท่านั้นครั้งด้วย เช่นในภาพ3. ใส่เครื่องหมาย +, –, +, – สลับกันไปในช่วงย่อยๆบนเส้นจํานวน โดยเริ่มจากช่วงขวามือที่สุดเป็น + เสมอ-3 0 1 1 2 2 2- + - + - + - +-3 0 1 1 2 2 24. หากในอสมการเป็นเครื่องหมาย “มากกว่าศูนย์” ช่วงคําตอบจะเป็นช่วงเปิด ในช่วง +หากเป็นเครื่องหมาย “น้อยกว่าศูนย์” ช่วงคําตอบจะเป็นช่วงเปิด ในช่วง –โดยที่ถ้ามีเครื่องหมาย “เท่ากับศูนย์” อยู่ด้วย ช่วงคําตอบจะเปลี่ยนเป็นช่วงปิดทั้งนี้ต้องระวังเรื่องเศษส่วน ที่ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ - + - + - + - +-3 0 1 1 2 2 2( x ≠ d 1,d 2,...)5. จัดรูปคําตอบให้กระชับ (ยุบรวมจุดที่เป็นจุดเดียวกัน)เช่น ในตัวอย่างนี้ตอบว่า x ∈ [ −3,0) ∪ {1} ∪ (2, ∞ )-3 0 1 2* หากมีจุดซ้ํากันเกิน 2 จุด (ยกกําลังมากกว่า 2) ถ้าเป็นกําลังคู่ให้เขียนจุดเพียง 2 จุด แต่ถ้าเป็นกําลังคี่ให้เขียนจุดเพียงจุดเดียว เนื่องจากในตอนท้าย ช่วงที่ได้ก็จะยุบรวมกันเสมอข้อควรระวังการใช้เส้นจํานวนในการหาคําตอบ สัมประสิทธิ์หน้า x ทุกๆวงเล็บจะต้องไม่ติดลบ (หากติดลบให้นํา -1 คูณทั้งสองข้างเพื่อให้เครื่องหมายกลายเป็นบวก และอย่าลืมกลับด้านเครื่องหมายมากกว่า/น้อยกว่าด้วย) เช่น (x+1)(3-x) > 0แบบนี้ต้องเปลี่ยนเป็น (x+1)(x-3) < 0 ก่อนS ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¡ÒÃe¢ÕÂ¹¤íÒµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃæÅaoÊÁ¡ÒÃäµÒ§¡a¹¹a¤Ãaº.. Òe»¹ÊÁ¡ÒÃeÃÒäºæµÅaÇ§eÅçºe»¹ 0ä´ eª¹ (x-2)(x-3) = 0 ää´ x = 2, 3Ù¡µo§ ..æµÒe»¹oÊÁ¡ÒÃ (x-2)(x-3) < 0ä¡ÅÒÂe»¹ x < 2, 3 äÁäé´ç´¢Ò´!µo§ËÒªÇ§¤íÒµoº¨Ò¡eÊ¹¨íÒ¹Ç¹e·Ò¹aé¹¹a¤Ãaº!Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET42ระบบจํานวนจริง• ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ2x + 2x − 19x − 4= 4วิธีคิด สามารถยายขางไปคูณไดทันที (แตตองกํากับเงื่อนไขวา x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4 ดวย)22จะได x + 2x − 19 = 4(x − 4) ... จากนั้นยายทางขวามาลบเปน x − 2x − 3 = 0หรือ (x + 1)(x − 3) = 0 ... ดังนั้น คําตอบคือ { − 1,3}• ตัวอยาง ใหหาชวงคําตอบของอสมการ2x + 2x − 19< 4x − 4วิธีคิด อสมการนี้ยายขาง x − 4 ไปคูณไมได เพราะไมแนใจวาตองกลับเครื่องหมาย < หรือไมดังนั้นจึงใชวิธียายเลข 4 ทางขวามาลบแทน ... ไดเปนจัดรูปฝงซายใหเปนเศษสวนเดียว คือ2x −2x − 3x − 4อยูในรูปที่ตองการแลว เขียนเสนจํานวนเพื่อหาคําตอบ(อยาลืม x ≠ 4) ... และคําตอบที่ไดคือ ( −∞, −1] ∪ [3,4)2x + 2x − 19− 4 < 0x − 4< 0 จากนั้นเปน (x + 1)(x − 3) < 0x − 4- + - +-1 3 4หมายเหตุถ้ามีพหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบเป็นจํานวนจริงไม่ได้ (คือใช้สูตร2− B± B −4AC2Aแล้วพบว่าในรู้ทติดลบ) เวลาเขียนเส้นจํานวนให้ละทิ้งก้อนนั้นไปได้เลย เขียนจุดเฉพาะตัวประกอบที่แยกเป็นกําลังหนึ่งได้ (เพราะก้อนนั้นจะเป็นบวกเสมอ และไม่มีผลต่อความจริงเท็จของอสมการ) เช่น(x + 2)(x − 5)(x + 2x + 2)x − 32< 0 จะได้เส้นจํานวนดังนี้- + - +-2 3 5S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¡ÒÃ·ÕèeÃÒæÂ¡µaÇ»Ãa¡oºã¹ã¨æÅÇ¹Ö¡eÅ¢äÁoo¡ äÁä´æ»ÅÇÒ¡o¹¹aé¹æÂ¡äÁä´¹a¤Ãaº.. äµo§Åo§ãªÊÙµÃ´Ù¡o¹ eª¹x 2 +x-3 < 0 ãªÊÙµÃä´− 1± 1+12æºº¹ÕéÊÒÁÒÃe¢ÕÂ¹eÊ¹¨íÒ¹Ç¹ä´ æÅa⎡ªÇ§¤íÒµoº¤×o ⎢ ,⎣2−1− 13 − 1+132 2⎤⎥⎦สมบัติความบริบูรณ์ (The Axiom of Completeness)เป็นสมบัติข้อสุดท้ายของระบบจํานวนจริง มีชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least Upper Bound Axiom)ค่าขอบเขตบน คือค่าจํานวนจริงซึ่งไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆ ในเซตที่กําหนดให้เช่น เซต S = {0, −1, −2, −3, − 4, ...} มีค่าขอบเขตบนเป็น 0 หรือ 0.5 หรือ 1.8 หรืออื่นๆ เพราะค่าเหล่านี้ไม่น้อยกว่าสมาชิกใดใน S แต่ ค่าขอบเขตบนน้อยสุด ได้แก่ 0 เท่านั้นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คือค่า bค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง ( −∞ ,b) และ ( −∞ ,b] คือค่า bค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, ∞ ) และ [a, ∞ ) และ ( −∞, ∞ ) หาไม่ได้สมบัติข้อสุดท้ายของระบบจํานวนจริง กล่าวว่า “สับเซตใดๆ ของ R ถ้ามีขอบเขตบนแล้วค่าขอบเขตบนน้อยสุดจะยังอยู่ใน R ” ซึ่งสมบัติข้อนี้ในระบบจํานวนอื่นบางระบบ เช่น Q ไม่มีMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET43แบบฝึกหัด 2.3ระบบจํานวนจริง(21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(21.1) ถ้า (a − b)(b − c)(c − d) > 0 แล้ว a > b > c > d(21.2) ถ้า a < b และ n ∈ N แล้ว an < bn(21.3) ถ้า a > 0, b > 0 และ a ≠ b แล้ว a + b > ab(21.4) ถ้า a > 0, b > 0 และ a b≠ แล้ว 2 22b a 1 1a+ b> a+ b(22) ถ้า a < b < c แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิดa + b3 3 3(22.1) a < < b(22.3) a < b < c(22.2)a2a + b + c3< < (22.4) ab < bc(23) ถ้า − 7 < x < 5 และ 3 < y < 6 แล้ว ค่าต่อไปนี้อยู่ในช่วงใด22(23.1) x − y(23.2) xyc(24) ถ้า − 6 < x < − 2 และ 2 < y < 3 แล้ว ค่าต่อไปนี้อยู่ในช่วงใด(24.1) xy (24.3) x/y(24.2) x − y(25) ต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้มีเส้นรอบรูป 20 ซม. และความสูงไม่เกิน 5 ซม. ความยาวฐานควรเป็นเช่นไร(26) ถ้า A และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 4 < 3x − 2 < 13 และ11 − x < 4x + 1 < 2x + 7 ตามลําดับแล้ว ในเซต A ∩ B' จะมีจํานวนเต็มเป็นเท่าใดบ้าง(27) ถ้า m และ n คือจํานวนเต็มที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ที่เป็นคําตอบของอสมการ2x + 6x + 7 < 0 แล้ว m − n เป็นเท่าใด(28) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด2ก. ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของ 20 − 3x − 2x > 0 คือ 132ข. ค่าสัมบูรณ์ของผลบวกของคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของ 3x + 7x − 30 < 0 คือ 72(29) ถ้า m คือผลบวกจํานวนเต็ม ที่เป็นคําตอบของ 21 + 5x − 6x > 02 2และ n คือผลบวกจํานวนเต็ม ที่ไม่เป็นคําตอบของ 3x − 1 > 1 + x − 3x แล้วให้หา m+n(30) กําหนด a และ b เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ซึ่งไม่เป็นคําตอบของอสมการ22x + 4x − 5 > 0 ตามลําดับ แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(30.1) {ab} ⊂ {a, b}(30.2) {a + b} ⊂ {a, b}(31) ถ้าพหุนาม x 3 + a 2 x − a − 2 หารด้วย x − 1 แล้วเหลือเศษมากกว่า 5ค่า a เป็นเท่าใดได้บ้างMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET44ระบบจํานวนจริง(32) จงหา(32.1) เซตคําตอบของอสมการ x(x − 1)(x − 2) < 0(x + 1)(x −2)4(32.2) เซต (A ' ∩ B ') ' เมื่อ A เป็นเซตคําตอบของ (x + 2)(x − 3)(x − 1) < 0 และ B3เป็นเซตคําตอบของ (x + 4)(x − 3)(x + 2) > 0(32.3) ผลบวกค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเต็มใน(33) ให้หาเซตคําตอบของ x 3 − x 2 − 4x + 4 > 0(x + 4)(x + 1)(x −2){x|2x(x − 5)(34) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของ x 3 + 2x 2 < 5x + 6 และ B = ( −5, ∞ ) แล้วผลบวกของจํานวนเต็มใน A ∩ B เป็นเท่าใด(35) ให้หาเซตคําตอบของอสมการต่อไปนี้1 2(35.1) x − 2 x + 1−(36) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของ 2x 5 > 0 และ B เป็นเซตคําตอบของ 2x 1 < 1 แล้วx + 2ให้หาผลบวกของจํานวนเต็มที่มากที่สุดกับจํานวนเต็มที่น้อยที่สุด ในเซต B ∩ A '(37) [Ent’38] ให้ S เป็นเซตคําตอบของ x 1 > 2ค่าของ a 2 + 1 เป็นเท่าใด−x + 23−x + 5>0}'และ a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S แล้ว(38) ให้หาขอบเขตบนน้อยสุดของแต่ละเซตที่กําหนดให้2(38.1) {x|x < 7}(38.3) (2,6] − ∪ [3,8)(38.2) {1,5,7,9} ∪ [6, ∞ ) (38.4) {x= 2n|n ∈ I }(39) ถ้า a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของและ b เป็นขอบเขตล่างมากสุดของn+A = {x | x = , n ∈ I }n+11−B {x | x , n }n= = ∈ I แล้ว ให้หาค่า a + b(40) ให้หาผลบวกของค่าขอบเขตบนน้อยสุด และค่าขอบเขตล่างมากสุด ของเซตคําตอบของ2อสมการ 2x − 5x + 2 < 52.4 ค่าสัมบูรณ์“ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value หรือ Modulus) ของจํานวนจริง a” ใช้สัญลักษณ์ว่า aค่าสัมบูรณ์มีความหมายเชิงเรขาคณิต คือ a เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุด 0และ a − b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุดที่แทน bดังนั้น นิยามของค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงเป็นดังนี้a⎧ a ,a > 0= ⎨⎩ − a ,a < 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET45ระบบจํานวนจริงจากสิ่งเหล่านี้ ทําให้สรุปทฤษฎีได้หลายอย่าง เช่น[1] ค่าสัมบูรณ์ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ a > 0 เสมอ[2] ค่าสัมบูรณ์ไม่คํานึงถึงเครื่องหมายลบ a = − aa − b = b − an n[3] ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการคูณ ab = a ba = a[4] ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการหารaba= โดย b ≠ 02 2 2[5] ยกกําลังด้วยเลขคู่ไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ a = a = a[6] ค่าสัมบูรณ์กระจายไม่ได้ สําหรับการบวกลบ a + b a + bn* [7] รากที่ n ของกําลัง nnab⎧⎪ a ,= ⎨⎪ ⎩ a ,< a −b > a − bn = จํานวนคู่n = จํานวนคี่ทฤษฎีที่ช่วยแก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์แบบง่าย(คือมีค่าสัมบูรณ์เดียว และอีกข้างของสมการเป็นค่าคงที่)* [1] สมการ x = bมีความหมายเดียวกับสมการ x2 = b2 (ยกกําลังสองทั้งสองข้างได้)และยังสรุปได้ว่า “ x = b หรือ x = − b” ด้วย (วิธีนี้สะดวกกว่าการยกกําลังสอง)* [2] อสมการ x < b ความหมายเดียวกับ − b < x < bอสมการ x < b ความหมายเดียวกับ − b < x < bอสมการ x > b ความหมายเดียวกับ “ x < − b หรือ x > b”อสมการ x > b ความหมายเดียวกับ “ x < −bหรือ x > b”-b b• ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ 3− x = 1วิธีคิด จาก 3− x = 1 จะได3− x = 1 หรือ 3− x = − 1 ...แปลวา x = 2 หรือ x 4= ...ดังนั้น คําตอบคือ {2, −2,4, − 4}• ตัวอยาง ใหหาชวงคําตอบของอสมการ 3− x < 1วิธีคิด จาก 3− x < 1 จะได ... −1 < 3−x < 1 ...นํา 3 ลบทั้งสามสวนของสมการ −4 < − x < −2…นําลบคูณทั้งสมการ 2 < x < 4 …ดังนั้น คําตอบคือ [ −4, −2] ∪ [2,4]S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! SÊÁ¡ÒÃ·ÕèoÕ¡¢Ò§Ë¹Öè§µí µaÇæ»Ã eª¹x + 2 = x ·íÒæºº¹Õ éä´.. x+ 2= x ËÃ×o x+ 2=−xeËÁ×o¹Çi¸ÕÂ¡¡íÒÅa§Êo§·aé§Êo§¢Ò§ æÅÇÂÒÂÁÒÅº¡a¹ (¼ÅµÒ§¡íÒÅa§Êo§) «Öè§äµo§µÃÇ¨¤íÒµoºeÊÁo¹a¤Ãaº e¾ÃÒa¤íÒµoºã´·Õ è·íÒãË¤ÒÊaÁºÙÃ³µi´Åº äãªäÁä´..æµÒe»¹oÊÁ¡ÒÃ eª¹x + 2 < x äÁ¤ÇÃ·íÒæºº¹Õ é! − x < x+2 < x e¾ÃÒaµÃÇ¨¤íÒµoºÅíÒºÒ¡ ... ¤ÇÃãªÇi¸ÕæÂ¡ªÇ§ÂoÂµÒÁ·Õèäo¸iºÒÂã¹ËaÇ¢oa´ä»¤Ãaº..เทคนิคการหาคําตอบของสมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ใดๆ1. กําหนดจุดที่ทําให้ค่าสัมบูรณ์แต่ละพจน์เป็นศูนย์ ลงบนเส้นจํานวนให้ครบทุกจุดเรียงตามค่าน้อยไปมาก เช่นสมการ 2x + 1 − x − 2 = x + 3 ... มีค่าสัมบูรณ์อยู่ 2 พจน์ ก็กําหนดจุดบนเส้นจํานวน2 จุดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET46ระบบจํานวนจริงเส้นจํานวนที่ได้จะถูกแบ่งเป็นช่วงย่อยๆ ซึ่งใช้เป็นเงื่อนไขของค่า x เช่นในตัวอย่างนี้จะมีช่วงx < − 1/2, − 1/2 < x < 2 , และ x > 2(สังเกต : เครื่องหมาย “เท่ากับ” จะอยู่รวมกับ “มากกว่า”ตามนิยามของการถอดค่าสัมบูรณ์)-1/2 22. ในแต่ละช่วงย่อย สมการจะถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ทิ้งได้ โดยให้ทดลองแทนจํานวนใดๆ ที่อยู่ในช่วงนั้นลงไปในค่าสัมบูรณ์ หากภายในค่าสัมบูรณ์ติดลบเมื่อถอดค่าสัมบูรณ์ออกแล้วจะต้องใส่ลบเพิ่มให้ แต่ถ้าภายในเป็นบวกแล้วก็ถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้เลยไม่ต้องแก้ไขอะไร ... ดังตัวอย่างนี้มี 3ช่วง จะได้สมการ 3 แบบคือx > 2-1/2 < x < 2x < -1/2-1/2 2(-2x - 1) − (-x + 2 ) = x + 3 (2x + 1) − (-x + 2 ) = x + 3 (2x + 1) −(x − 2) = x + 3− x − 3 = x + 33x − 1 = x + 3x + 3 = x + 3x = −3x = 20 = 03. ตรวจสอบคําตอบที่ได้ของแต่ละช่วง ให้ใช้คําตอบเฉพาะที่อยู่ในช่วงนั้นจริงๆ (อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข) แล้วจึงรวมผลที่ได้จากแต่ละช่วงย่อยเข้าด้วยกัน (ยูเนียน) เป็นคําตอบที่แท้จริงของสมการ(สังเกต : หากแก้สมการแล้วได้ผลเป็น 0 = 0 หรือประโยคอื่นๆ ที่เป็นจริงเสมอ เช่น 3 > 0แสดงว่าช่วงย่อยนั้นเป็นคําตอบได้ทั้งหมด แต่ถ้าแก้สมการแล้วได้ผลเป็นประโยคที่เป็นเท็จ เช่น1 = 0 หรือ 3 < 0 แสดงว่าช่วงย่อยนั้นไม่มีค่าใดเป็นคําตอบเลย)x > 2-1/2 < x < 2x < -1/2-1/2 2x = − 3∅ x > 2ตัวอย่างนี้คําตอบที่ได้คือ x ∈ { −3} ∪ [2, ∞ )(41) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(41.1) ถ้า nแบบฝึกหัด 2.4+n∈ I และ n > 1 จะได้ na(41.2) ถ้า a, b > 0 แล้ว a − b = a − b(42) ให้หาค่าของจํานวนจริง m ที่น้อยที่สุดที่ทําให้(42.1) 4x + 0.5 < m เมื่อ − 3 < 2x − 1 < 0.5−(42.2) x 2 5 m ∈x2(42.3) x − 25 < m เมื่อ x + 5 < 6+ < เมื่อ x (2,6)(43) ถ้า x − 1 < 5 และ y − 2 < 4 แล้ว x + y มีค่าอยู่ในช่วงใด=aMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(44) ให้หาคําตอบของสมการต่อไปนี้2(44.1) x − 6 x + 8 = 0(44.2) x − 1 + x + 1 = 2(44.3) [Ent’30] x − 4 + x − 3 = 147ระบบจํานวนจริง(45) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของสมการ 2+ 3x = 2+3 xและ B เป็นเซตคําตอบของสมการ 2+ 3x = 2+ 3x แล้วให้หาเซต B ∩ A '2(46) ให้หาผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ 8(x + 2) − 14(x + 2) + 3 = 02(47) ถ้า A = {x ∈ I | x + 3x + 3 = 2x + 3 } และ5−3xB = {x ∈ I | = 2}x + 2แล้ว ให้หาค่า a2 + b2 เมื่อ a, b เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดและขอบเขตล่างมากสุดของ A ∪ B(48) ให้หาคําตอบทั้งหมดของสมการ2x( x ) = x(49) ให้หาคําตอบของอสมการต่อไปนี้(49.1) 2x − 1 < 3x + 2(49.4)(49.2) 3 < x − 2 < 6(49.5)(49.3)1x 0x+ > และ 2x − x − 2 < 0(50) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของอสมการ x 2 + x < 4+233< xx − 1 − 2xx − 1และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ x < x − 7 แล้วให้หาเซต (A ∩ B) '(51) ถ้า4x + 5A = {x ∈ | x < < 5}2< 2R แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(51.1) ถ้า a, b ∈ A แล้ว (a + b)/2 ∈ A(51.2) ถ้า a, b เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด และขอบเขตล่างค่ามากสุดของ Aแล้ว a + b ∈ A2(52) ถ้า A = {x ∈ R | x − 2 < 14} และแล้ว มีจํานวนเต็มใน A ∩ B' กี่จํานวน1B = {x ∈ R | − 1 > 0}x(53) ให้หาค่า a, b, c ที่เป็นจํานวนนับที่น้อยที่สุด ที่ทําให้(53.1) − 4 < x < 1 เป็นคําตอบของอสมการ ax + b < c(53.2) x < − 10 หรือ x > 8 เป็นคําตอบของอสมการ ax + b > c(54) ให้หาคําตอบของอสมการต่อไปนี้(54.1) 3x + 2 < 4x + 1(54.2) [Ent’41] x 2 < 2−x + 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET48ระบบจํานวนจริง(54.3) x − 7 < 5 < 5x − 25(54.4) x − 1 + x − 3 < x − 5(54.5)2x −5x − 42x + x −2> 1* (55) ให้หาคําตอบของอสมการ x − 3 < x − 2(56) ให้หาค่า x ที่ทําให้(56.1) (1 − x )(1 + x) เป็นจํานวนจริงบวก− + เป็นจํานวนจริงลบ(56.2) (1 x )(1 x)2.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น* ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงจํานวนเต็มเท่านั้นสมบัติของจํานวนเต็มกับการหาร[1] บทนิยามของการหารจํานวนเต็มลงตัวสัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “m หารด้วย n ลงตัว” คือ n mเรียก m ว่า ตัวตั้ง (Dividend) และเรียก n ว่า ตัวหาร (Divisor)สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า n m ก็ต่อเมื่อ m = nq และ q ∈ I[1.1] สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c[1.2] ตัวหารที่ลงตัวย่อมน้อยกว่า ถ้า a b แล้ว a < b เสมอ[1.3] การหารผลรวมเชิงเส้นลงตัว ถ้า a b และ a c แล้ว a (bx+cy)“ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination) ของ b กับ c” คือจํานวนในรูป bx+ cy ซึ่ง x, y ∈ IS Êiè§·Õ è¤ÇÃ·ÃÒº!Sn1. Ò a b æÅa a c æÅÇ a (b ± c) 3. Ò a bæÅÇ a bn2. Ò a b æÅÇ a (b⋅ c) 4. Ò a b æÅÇ a b* »ÃaoÂ¤´Ò¹º¹¹ÕéÙ¡·u¡¢o æµÒ¡Åaº´Ò¹»ÃaoÂ¤eËÅÒ¹Õéä¼i´¹a¤Ãaº!»ÃaoÂ¤´Ò¹ÅÒ§¹Õé¼i´·u¡¢o!n1. Ò a (b ± c) æÅÇ a b æÅa a c 3. Ò a b æÅÇ a bn2. Ò a (b⋅ c) æÅÇ a b 4. Ò a b æÅÇ a[2] บทนิยามของการหารจํานวนเต็มใดๆสําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า m = nq + r และ q ∈ I , 0 < r < nมีจํานวนเต็ม q, r ชุดเดียวเท่านั้น เรียก q ว่า ผลหาร (Quotient) และ r คือ เศษ (Remainder)[3] บทนิยามของ จํานวนเฉพาะ (Prime Numbers)“จํานวนเฉพาะ p คือจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0, 1, − 1 และมีจํานวนเต็มที่ไปหาร p ลงตัวเพียงแค่1, −1, p, − p เท่านั้น” เช่น ± 2, ± 3, ± 5, ± 7, ± 11, ... ... จํานวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่จํานวนเฉพาะและไม่ใช่0, 1, − 1 จัดเป็น จํานวนประกอบ (Composite Numbers)[3.1] หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว“ทุกจํานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเขียนในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะบวก ได้แบบเดียว”Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)b

คณิตศาสตร O-NET / A-NET49ระบบจํานวนจริง[3.2] จํานวนเฉพาะกับการหารลงตัว ถ้า p mn แล้ว p m หรือ p n[4] บทนิยามของ จํานวนคู่ (Even Numbers) และ จํานวนคี่ (Odd Numbers)“จํานวนคู่ คือจํานวนที่เขียนได้ในรูป 2n เมื่อ n ∈ I ”“จํานวนคี่ คือจํานวนที่เขียนได้ในรูป 2n+ 1 เมื่อ n ∈ I ”[5] บทนิยามของ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม. : the Greatest Common Divisor : GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น. : the Least Common Multiple : LCM)“ d เป็น ห.ร.ม. ของ a กับ b ก็เมื่อ d a และ d b และถ้ามี n a และ n b แล้ว n d”สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ห.ร.ม. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ (a, b)“ c เป็น ค.ร.น. ของ a กับ b ก็เมื่อ a c และ b c และถ้ามี a n และ b n แล้ว c n”สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ค.ร.น. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ [a, b][5.1] ห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ[5.2] ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แล้ว (a/d,b/d) = 1[5.3] ขั้นตอนวิธีการหา ห.ร.ม. ของยุคลิดการหา ห.ร.ม. ของ a กับ b จะเริ่มโดยเขียน a กับ b ในรูปการหาร แล้วนําเศษที่ได้ไปหารต่อๆ ไป คือ a = b q1 + r1b = rq 1 2 + r2r1 = r2q3 + r3r2 = r3q4 + r4...ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหารลงตัว (เศษเป็น 0) จะได้ว่า ห.ร.ม. เท่ากับ เศษตัวสุดท้าย ( r k )เช่น ต้องการหาค่า ห.ร.ม. ของ 138 กับ 182 จะมีขั้นตอนการหาดังนี้(182) = (138) 1 + (44) (138) = (44) 3 + (6) (44) = (6) 7 + ( 2) (6) = ( 2 ) 3ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 2 (เพราะ 2 คือเศษตัวสุดท้าย ที่ทําให้การหารนั้นลงตัว)หมายเหตุ ถ้า (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เป็น จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Relative Primes)(โดยที่ m และ n ไม่จําเป็นต้องเป็นจํานวนเฉพาะ)การหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มมากกว่าสองจํานวน สามารถหาจากสองจํานวนใดก็ได้ แล้วนําผลที่ได้ไปหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ร่วมกับจํานวนที่เหลือต่อไปแบบฝึกหัด 2.5(57) เศษของการหาร3 2(19) (288) ด้วย 5 เป็นเท่าใด(58) ให้หา ห.ร.ม. ของ 252 กับ 34 และเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้น d = 252x + 34yเมื่อ x, y เป็นจํานวนเต็ม(59) ให้หา ห.ร.ม. ของ –504 กับ –38 และเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นด้วย(60) ถ้า ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ x กับ 128 เป็น 16 และ 384 แล้วค่า x เป็นเท่าใด(61) [Ent’37] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y ถ้า (x, y) = 9 , [x, y] = 28215 และจํานวนเฉพาะที่หาร x ลงตัวมี 3 จํานวน แล้ว x, y มีค่าเท่าใด(62) [Ent’38] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ 80 < x < 200และ x = p q เมื่อ p, q เป็นจํานวนเฉพาะซึ่งไม่เท่ากันถ้า x, y เป็นจํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ และมี ค.ร.น. เป็น 15015 แล้วค่า y เป็นเท่าใดได้บ้างMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET50เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)ระบบจํานวนจริง(1) ผิดทุกข้อ(2) ข้อ (2.3) ถูก นอกนั้นผิด(3) ง.(4) ข้อ (4.1) และ (4.3) ถูก(5) ถูกทุกข้อ (6) ง.(7) 6 + 5 และ 1(8) ค. (9) ง. (10) เท่ากัน(11.1) ผิด (11.2) ถูก(12) 1 (13) –3 (14) –81(15) 4+3 (16) –155/9(17) (x − 1)(x − 2)(18) (x −1)(x −2)(x − 3)(x + 2)(x + 4)2(19) (x −2)(x − 4)(x + 5)(3x + 1)(x + 1)(20.1) {b, − b} (20.2) {0}(20.3) {0, − 2b}(20.4) { −a − 1, − a + 1}(21) ข้อ (21.1) และ (21.2) ผิด(22) ข้อ (22.4) ผิด นอกนั้นถูก(23.1) ( − 6,46)(23.2) ( − 252,180)(24.1) ( −18, − 4)(24.2) ( −9, − 4)(24.3) ( −3, − 2/3)(25) อยู่ในช่วง [7.5, 10) ซม.(26) 2, 4 (27) 2(28) ถูกทุกข้อ(29) ( − 1+ 0 + 1+ 2) + (0)(30) ถูกทุกข้อ(31) a ∈ ( −∞, −2) ∪ (3, ∞ )(32.1) ( −∞, −1) ∪ (0,1)(32.2) [ −4, ∞) − {1}(32.3) 11(33) [ −2,1] ∪ [2, ∞ )(34) –5(35.1) ( −∞, −1) ∪ (1/3,1)(35.2) (2, 8] (36) 0(37) 5 (38.1) 7(38.2) ไม่มี (38.3) 8(38.4) ไม่มี (39) 0(40) 5/2 (41) ผิดทุกข้อ(42.1) 3.5 (42.2) 17/3(42.3) 96 (43) [0, 12)(44.1) 2, −2, 4, − 4(44.2) [ − 1,1](44.3) [3, 4](45) [ − 2/3,0) (46) –8(47) 90 (48) 1, 6(49.1) ( −1/5, ∞ )(49.2) ( −4, −1) ∪ (5,8)(49.3) ( −1,2) − {0}3+21(49.4) (1,3) − ∪[ , ∞ )2(49.5) ( −∞, −2] ∪ ( −1,1) ∪ [2, ∞ )(50) (2, ∞ ) (51) ถูกทุกข้อ(52) 7 (53.1) 2, 3, 5(53.2) 1, 1, 9(54.1) ( −∞, −3/7) ∪(1, ∞ )(54.2) ( −∞, −4) ∪(0, ∞ )(54.3) (2, 4) ∪ (6, 12)(54.4) ( − 1,3)(54.5) ( −∞, −1] ∪[ −1/3,3] −{1, − 2}(55) ( −∞, −1/2) ∪(5/2, ∞ )(56.1) ( −∞, −1) ∪( − 1,1)(56.2) (1, ∞ ) (57) 1(58) 2 = (252)(5) + (34)( − 37)(59) 2 = ( −504)( − 4) + ( − 38)(53)(60) 48 (61) 495, 513(62) 105, 165เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(1.1) ผิด ทศนิยมไม่ซ้ํา เป็นจํานวนอตรรกยะ(1.2) ผิด ทศนิยมซ้ํา เป็นจํานวนตรรกยะ(1.3) ผิด เช่น a = 2(1.4) ผิด เช่น a = 3(2.1) ผิด เช่น a=0 แล้ว b จะเป็นเท่าใดก็ได้(2.2) ผิด ต้องเป็น a=0 หรือ b=0 (ไม่จําเป็นต้องเป็น 0 พร้อมกันทั้งคู่)(2.3) ถูก (ตามกฎการคูณเข้าทั้งสองข้าง เอา bคูณ จะได้ a = c)(2.4) ผิด เช่น a=0 แล้ว b กับ c ไม่จําเป็นต้องเท่ากัน(3) ก. มีการบวก แต่ไม่มีการคูณ(เพราะ ลบคูณลบ ได้บวก)ข. ไม่มีการบวก (เช่น 3 + 5 = 8 → 8 ไม่อยู่ในเซตนี้) และไม่มีการคูณ (เช่น 3 5 15⋅ = )ค. ไม่มีการบวกและคูณเลย (เช่น 3 − 3+ ( ) = 04 4และ 3 ⋅ 4 = 1)4 3ง. ถูก (เพราะ บวกกันแล้วย่อมยังหาร 4 ลงตัว,คูณกันก็ยังหาร 4 ลงตัว)(4.1) ถูก (จํานวนจริงลบกัน ย่อมเป็นจํานวนจริง)(4.2) ผิด เพราะ (a − b) − c ≠ a −(b − c)(4.3) ถูก (นําจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มาหารกัน ย่อมเป็นจํานวนจริง) ... (แต่ถ้ารวม 0 ด้วย ข้อนี้จะผิดเพราะส่วนเป็น 0 นั้นไม่นิยาม)(4.4) ผิด เพราะ [ a ] ÷ c ≠ a ÷ [ b ]bc(5) A = {x | x เป็นจํานวนนับ และ x เป็นจํานวนตรรกยะ } = {1,4,9,16,25,36,...} หรือมองว่า A เป็นเซตของจํานวนนับยกกําลังสองก็ได้..B = N จํานวนนับอื่นๆ ที่ไม่อยู่ใน A}-A={Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET51ระบบจํานวนจริง(5.1) A มีสมบัติปิดการคูณ เพราะจํานวนนับ 2คูณกัน ย่อมยังเป็นจํานวนนับ 2B ไม่มีสมบัติปิดการคูณ เช่น2 × 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดังนั้น ข้อนี้ถูก(5.2) A ไม่มีสมบัติปิดการบวก เช่น1 + 1 = 2 → 2 ∉ AB ไม่มีสมบัติปิดการบวก เช่น2 + 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดังนั้นข้อนี้ถูก(6) ก. ไม่จริง เช่น ถ้า x = 2 จะไม่มี y ที่เป็นจํานวนเต็ม ที่ xy = 1ข. ไม่จริง เช่น ถ้า x 0จริง ที่ xy = 1= จะไม่มี y ที่เป็นจํานวนค. ไม่จริง เพราะถ้า xy = 1 นั้น xy ∉ A แน่นอน( 1 ไม่ใช่จํานวนอตรรกยะ)ง. จริง ไม่ว่า x เป็นจํานวนตรรกยะใด y จะเป็นจํานวนตรรกยะเสมอ (x, y ≠ 0)(7) อินเวอร์สการคูณของ a คือ 1/a ... ดังนั้นอินเวอร์สการคูณของ16 + 5คือ 6 + 5เอกลักษณ์การคูณของจํานวนจริงใดๆ คือ 1 เสมอ(8) ก. (a b) a b a b∗ ∗ = ∗ = → ผิดข. (b ∗ c) ∗ b = a ∗ b = b → ผิดค. (a ∗ b) ∗(c ∗ b) = b ∗ a = b → ถูกง. (c ∗ a) ∗(b ∗ a) = c ∗ b = a → ผิด(9) ตอบ ง. เพราะ x − y ≠ y − x(10) จะมองแค่ว่า a * b มีสมบัติการสลับที่ก็ได้หรือคิดจาก x ∗(y ∗ z) = x ∗ (3yz + y + z)= 3x(3yz + y + z) + x + 3yz + y + zและ (z ∗ y) ∗ x = (3zy + z + y) ∗ x= 3(3zy + z + y)x + 3zy + z + y + xก็ได้ ... คําตอบข้อนี้คือ “เท่ากัน”(11.1) A ไม่มีสมบัติปิดภายใต้ ⊕ เช่น5 + 72= 6 แต่ 6 ∉ A )แต่มีสมบัติการสลับที่เพราะ a + b b += a เสมอ) ... ดังนั้นข้อนี้ผิด3 × 322 2(11.2) A ไม่มีสมบัติปิดภายใต้ ⊗ เช่น= 4.5 แต่ 4.5 ∉ A และ A มีสมบัติการสลับที่ เพราะab ba= เสมอ ... ดังนั้นถูก2 23 2(12) a = 4(4) − 21(4) + 26(4) − 17 = 73 2และ b = 3( − 3) + 13( − 3) + 11( − 3) + 5 = 8ดังนั้น b − a = 8 − 7 = 12(13) เศษ (1) + 2a = ( − 2) + a ดังนั้น a =− 34 3 2(14) เศษ (5) − (5) + 3(5) −(5) − 13 2= 2(5) + (5) + 75(5) + a ... ดังนั้น a =− 81(15) เป็นตัวประกอบ แสดงว่า หารแล้วเหลือเศษ 03 2 a(2) − a(2) + (2) + 2b = 0 .... (1)41 (2)2 (2) b 0a+ − = .... (2)แก้ระบบสมการ ได้ a = 4,b = 3 → a + b = 72(16) จาก (x − 2x − 3) = (x − 3)(x + 1)แสดงว่าจะได้⎧4+3+2+ + =4 3 2(3) a(3) b(3) 3(3) 4 0⎨⎩(1) − + a(1) − + b(1) − + 3(1) − + 4 = 0−19 −37a = ,b =9 92และจาก (x + x − 2) = (x + 2)(x − 1)3 2⎧(2) − + 10(2) − + c(2) − + d=0แสดงว่า ⎨ 3 2⎩(1) + 10(1) + c(1) + d = 0จะได้ c = 7,d =− 18−155ดังนั้น a + b + c + d =9(17) แยกตัวประกอบแต่ละพหุนามก่อน(โดยการหารสังเคราะห์)3จะได้ (x − 7x + 6) = (x −1)(x − 2)(x + 3)3 2และ (3x − 7x + 4) = (x −1)(x − 2)(3x + 2)และ (x 4 − 3x 3+ 6x − 4) = (x −1)(x −2)(x − 2)(x + 2)2ดังนั้น ห.ร.ม. = (x −1)(x − 2) = x − 3x + 2(18) แยกตัวประกอบแต่ละพหุนามก่อน3 2จะได้ (x − 2x − 5x + 6) = (x −1)(x − 3)(x + 2)3 2และ (x + x − 10x + 8) = (x −1)(x − 2)(x + 4)ค.ร.น. = (x −1)(x −2)(x − 3)(x + 2)(x + 4)5 3 2= x − 17x + 12x + 52x−482(19) (3x + 1)(x −2)(x − 4)(x + 5)(x + 1)2 2(20.1) a = 0 → x − b = 0 →(x − b)(x + b) = 0 → { − b, b}2(20.2) b = 0 → x = 0 → {0}2 2 2(20.3)a = 1 → x + b + 2bx − b = 02→ x + 2bx= 0 → x(x+ 2b) = 0 → {0, − 2b}2 2(20.4) b = 1 → x + a + 2ax − 1 = 02→ (x + a) − 1 = 0 → (x + a − 1)(x + a + 1) = 0→ { − a+ 1, −a−1}(21.1) ผิด เช่น c > b > a และ c > dแบบนี้ก็ยังได้ ()()() 0− − + > อยู่2− < แต่ (2) − < 12(21.2) ผิด เช่น 2 1(21.3) ถูก ... พิสูจน์ จาก (a + b) / 2 > ab2 2→ a+ b > 2 ab → a + 2ab+ b > 4ab2 2 2→ a − 2ab+ b > 0 → (a− b) > 0(เป็นจริงเสมอ เมื่อ a ≠ b)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET52ระบบจํานวนจริง(21.4) ถูก ... พิสูจน์ จาก 3 33 3→ b + a > ab(b + a)h2 2xh2 2+ xb + a b + a>2 2ab ab→ (b + a) (b − ab + a ) > ab(b + a)2 2 2→ b − 2ab+ a > 0 → (b− a) > 0≠ )(เป็นจริงเสมอ เมื่อ a b(22.1) และ (22.2) ถูก ... (เป็นสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตด้วย → xmin < X < xmax)(22.3) ถูก (เพราะ x 3 เป็นฟังก์ชันเพิ่มเสมอ) →แต่ถ้าเปลี่ยนเป็นยกกําลังเลขคู่ ข้อนี้จะผิด(22.4) ผิด เช่น ถ้า b = 0 จะได้ ab = bc2(23.1) จาก − 7 < x < 5 → 0 < x < 49และ 3 < y < 6 → − 6 < − y < − 32จะได้ − 6 < x − y < 46 ดังนั้นตอบ ( − 6,46)2(23.2) จาก 9 < y < 36 จะได้2− 252 < xy < 180 ดังนั้นตอบ ( − 252,180)(24.1) xy อยู่ในขอบเขตของ−12, −18, −4, −6→ ตอบ ( −18, − 4)(24.2) x − y อยู่ในขอบเขตของ−8, −9, −4, −5→ ตอบ ( −9, − 4)(24.3) x อยู่ในขอบเขตของ 3, 2, 1, 2 / 3y − − − − →ตอบ ( −3, − 2/3)(25)หาค่า x ในเทอมของ h ก่อน2 2 2 220 = 2x + 2 h + x → 10 − x = h + x2 2 2→ 100 − 20x + x = h + x →2 2100 − h h∴ x = = 5 −20 202h 5จากโจทย์ 0 < h < 5 → 0 < 0 → (3x − 2)(2x + 1) > 0+ - +− 1/22/3∴ n = 0 ดังนั้น m + n = 222 2(x + 6x + 9) − 2 < 0 → (x + 3) − 2 < 0(x + 3 − 2)(x + 3 + 2) < 0จากเส้นจํานวน ได้ −3− 2 < x < − 3+2ดังนั้นจํานวนเต็ม m=-3+1=-2 และ n=-3-1=-4∴ m − n = 2| − 4| + | − 3| + | − 2| + | − 1| + |0| + |1| + |2| = 13ถูกข. แยกตัวประกอบไม่ออก อาจใช้สูตรหรือจัดกําลัง2 7สองสมบูรณ์ดังนี้ x + x − 10 < 0 →32 7 49 409 7 2 409(x + x + ) − < 0 → (x + ) − < 03 36 36 6 367 409 7 409→ − − < x 0 → x + 2x − > 022 7 2 7→ (x + 2x + 1) − > 0 → (x + 1) − > 0 →2 2(x + 1 − 3.5)(x + 1 + 3.5) > 0+ - +−1− 3.5 − 1+3.5เนื่องจาก 3.5 ≈ 1.8 ดังนั้น a = 0, b =− 2ก. {0} ⊂ {0, − 2} ถูกข. { −2} ⊂ {0, − 2} ถูกMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET53ระบบจํานวนจริง3 2(31) (1) + a (1) − a − 2 > 52→ a − a − 6 > 0 → (a − 3)(a + 2) > 0+ - +− 23ดังนั้น a ∈( −∞, −2) ∪(3, ∞ )(32.1)- + - + - +-1 0 1 2 2ตอบ ( −∞, −1) ∪ (0,1)(32.2) A + - + - +-2 1 1 3B - + - +-4 -2 3(A ' ∩ B ') ' = A ∪ B = [ −4, 1) ∪ (1, ∞ )หรือตอบในรูป [ −4, ∞) − {1} ก็ได้(32.3)+ - + - + - +-4 -1 0 2 5 5ผลบวกค่าสมบูรณ์ตามต้องการคือ| − 3| + | − 2| + |0 | + | 1| + |5| = 11(33) (x − 1)(x − 2)(x + 2) > 0- + - +ตอบ [ −2,1] ∪ [2, ∞ )(34) x 3 + 2x 2 − 5x − 6 < 0→ (x − 2)(x + 1)(x + 3) < 0A คือB = ( −5, ∞ )∴ A ∩ B คือ-2 1 2- + - +-3 -1 2-5 -3 -1 2ดังนั้นตอบ −4 − 3 − 1 + 0 + 1 + 2 = − 5(35.1) ห้ามคูณไขว้เพราะตัวส่วนอาจติดลบ แล้ว1 2เครื่องหมายจะผิด ควรทําดังนี้ − 4 →4 −1 > 02 2(x − 2) x + 1 (x − 2) x + 124x + 4 − x + 4x − 4→> 0 →2(x − 2) (x + 1)02 2− x + 8x x − 8x> 0 →< 02 2(x − 2) (x + 1) (x − 2) (x + 1)x(x − 8)→ < 02(x − 2) (x + 1)- + - + - +-1 0 2 2 8แต่ในโจทย์มี x + 1จึงต้องเพิ่มเงื่อนไขว่า x + 1 > 0 → x > − 14และนอกจากนั้น > 0 ด้วย → x > 2x − 2รวมแล้วจึงตอบเพียง (2, 8]2x − 5(36) A; > 0x + 2+ - +-2 5/22x − 1 2x − 1 − x − 5B; − 1 < 0 → < 0x + 5 x + 5x − 6→ < 0x + 5 -5 6∴ B ∩ A ' = B − A คือ [ − 2,5/2)+ - +ผลบวกที่ต้องการคือ 2 + ( − 2) = 0(37) x − 1 x −2 0 1 − 2x −− > → 4 > 0x + 2 x + 2−x − 5 x + 5→ > 0 → < 0x + 2 x + 2+ - +− 5− 22ดังนั้น a = −2 → a + 1 = 5(38.1) ได้ x ∈( − 7, 7) ตอบ 7(38.2) ไม่มีขอบเขตบน (38.3) ตอบ 8(38.4) {..., 6, 4, 2,0,2,4,...}1 2 3(39) A { , , ,...} =2 3 41 1B = { −1, − , − , ...} จะได้ b =− 12 3− − − ไม่มีขอบเขตบน= จะได้ a 1ดังนั้น a + b = 1 − 1 = 0(40) ยกกําลังสองได้เพราะเป็นบวกทั้งสองข้าง2 2→ 2x − 5x + 2 < 5 → 2x − 5x − 3 < 0→ (2x + 1)(x − 3) < 0+ - +-1/2 32แต่อย่าลืมเช็คเงื่อนไขของรู้ท ว่า 2x − 5x + 2 > 0→ (2x − 1)(x − 2) > 0+ - +1/2 2ดังนั้นคําตอบคือผลบวกที่ต้องการคือMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)-1/2 1/2 2 31 53 + ( − ) =2 2

คณิตศาสตร O-NET / A-NET54ระบบจํานวนจริงn(41.1) ผิด a⎧na , n = จํานวนคู่= ⎨⎩ a , n = จํานวนคี่(41.2) ผิด เช่น a = 0,b = − 1จะได้ |a − b| = 1, |a| − |b| = − 1(42.1) − 3 < 2x − 1 < 0.5 → − 2 < 2x < 1.5→− 1 < x < 0.75∴− 4 < 4x < 3 →− 3.5 < 4x + 0.5 < 3.5→ | 4x + 0.5 | < 3.5(42.2)1 22 < x < 6 → < < 1 →3 x2 1 2 17− 1 < − < − → 5 < − + 6

คณิตศาสตร O-NET / A-NET55ระบบจํานวนจริง(48) ถอดค่าสัมบูรณ์ได้ 2 กรณีคือ x < 0 กับx > 0 แต่พบว่า x < 0 ไม่ได้ เพราะขวามือจะติดลบ ... จึงเหลือแค่กรณี x > 0 เท่านั้น(โดยที่จริงแล้ว x ≠ 0 เพราะ 0 0 ไม่นิยาม)1 22xx 3 2 3→ ( x) = x → x = xก. มองเฉพาะเลขชี้กําลัง22x = 6 → x = 61 x = 3 →2ข. มองว่าฐานของเลขยกกําลัง x = 1 ก็ได้ เพราะ1 ยกกําลังอะไรก็ได้ 1 เท่ากัน∴ ตอบ {1, 6}(หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้ควรจะใช้เรื่อง log ช่วยคิด)(49.1) แยกช่วงย่อยเหมือนข้อ 44, 45 ก็ได้ก. เมื่อ x < 1/2 จะได้− 2x + 1< 3x + 2 → − 1< 5x → x >− 1/5→ ( − 1/5, 1/2)ข. เมื่อ x > 1/2 จะได้2x − 1< 3x + 2 → − 3 < x → x >−3 → [1/2, ∞ )∴ ตอบ ( −1/5, ∞ )(49.2) นอกค่าสัมบูรณ์เป็นตัวเลข จึงแก้แบบนี้ได้− 6 < x − 2 < − 3 หรือ 3 < x − 2 < 6− 4 < x < − 15 < x < 8∴ ตอบ (4, − −1) ∪ (5,8)(49.3) จาก1x 0|x|ก. เมื่อ x < 0 จะได้+ > แยกช่วงย่อยคิด1 x − 1x − > 0 → > 0xx(x − 1)(x + 1)0x2> เขียนเส้นจํานวนได้เป็น(1,0) − ∪(1, ∞ ) นําไปอินเตอร์เซคเงื่อนไขได้ (1,0) −ข. เมื่อ x > 0 จะได้1 x + 1x + > 0 → > 0xx2(ด้านบนแยกตัวประกอบไม่ออก) เขียนเส้นจํานวนได้เป็น (0, ∞ ) นําไปอินเตอร์เซคเงื่อนไขได้ (0, ∞ )ฉะนั้น คําตอบในส่วนนี้คือ ( −1,0) ∪(0, ∞ )ต่อมา จาก x 2 −x − 2 < 0 → (x − 2)(x + 1) < 0เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น ( − 1,2)สรุปคําตอบของข้อนี้x ∈( −1,0) ∪(0, ∞ ) และ x ∈( − 1,2)เชื่อมด้วยคําว่า “และ” แปลว่า อินเตอร์เซคได้คําตอบ x ∈( −1,0) ∪ (0,2)(49.4) แยกช่วงย่อย ก. เมื่อ x < 1 จะได้3 3< x → < x →− x + 1 − 2 −x − 123 3 + x + x− x < 0 → < 0 →−x − 1 −x − 12x + x + 3> 0 → x + 1 > 0 → x > −1x + 1→ (1,1) −ข. เมื่อ x > 1 จะได้3 3< x → − x < 0 →x − 1 − 2 x − 32 23 − x + 3x x − 3x − 30 →0 →x − 3 x − 33+ 21 3−21(x − )(x − )2 2 0(x − 3)> (แยกด้วยสูตร)แล้วเขียนเส้นจํานวน โดยคิดว่า 21 ≈ 4 กว่าๆ3− 21 3+21จะได้ [ ,3) ∪ [ , ∞ ) อินเตอร์เซคกับ2 23 + 21[1, 3) ∪ [ , ∞ )23 + 21(1,3) − ∪ [ , ∞ )2เงื่อนไขช่วง ได้เป็น∴ ตอบ(49.5) แยกช่วงย่อย ก. เมื่อ x < 0 จะได้−x−x< 2 → − 2 < 0 →−x − 1 −x − 1− x + 2x + 2 x + 20 → 0−x − 1 x + 1เขียนเส้นจํานวนได้เป็น ( −∞, −2] ∪( −1, ∞ )อินเตอร์เซคกับเงื่อนไขช่วง ได้ ( −∞, −2] ∪ ( − 1,0)ข. เมื่อ x > 0 จะได้xx< 2 2 0x − 1 → x − 1− < →x − 2x + 2 x − 20 → 0x − 1 x − 1เขียนเส้นจํานวนได้เป็น ( −∞,1) ∪ [2, ∞ )อินเตอร์เซคกับเงื่อนไขช่วง ได้ [0, 1) ∪ [2, ∞ )∴ ตอบ ( −∞, −2] ∪( −1,1) ∪ [2, ∞ )(50) A; แยกช่วงย่อย ก. เมื่อ x −2จะได้x+ 2 + x−4 < 0 → x+ 2+ 2x−8 < 0 →23x − 6 < 0 → x < 2 → [ −2, 2]ดังนั้น A = ( −∞ ,2]Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET56ระบบจํานวนจริงB; แยกช่วงย่อย ก. เมื่อ x < 7 จะได้7 7x 7 จะได้x < x − 7 → 0 < −7→ ∅ดังนั้น7B = ( −∞ , )2A ∩ B = ( −∞ ,2] ... ตอบ (A ∩ B) ' = (2, ∞ )(51) คิดทีละซีก คือ2x < |4x + 5| และ |4x + 5| < 10จาก 2x < |4x + 5| ใช้วิธีแยกช่วงย่อยก. เมื่อ x 0 → < 0x x xเขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น B = (0,1)∴A ∩ B' = A − B = ( −4,0] ∪ [1,4)คําตอบคือ มีจํานวนเต็มอยู่ 7 จํานวน(53.1) เทคนิคการคิดคือ−นํา 4 + 1 32 2=− ลบออกทุกส่วนของอสมการเพื่อให้ตัวเลขทางซ้ายและทางขวาเป็นเลขเดียวกัน3 3 3จะได้ − 4 + < x + < 1 + →2 2 25 3 5− < x + < →2 2 2− 5 < 2x + 3 < 5→ |2x + 3| < 5 นั่นคือ a = 2,b = 3,c = 5(53.2) คิดเช่นเดียวกับข้อที่แล้ว คือ−นํา 10 + 8 = − 1 ลบออก2จะได้ x + 1 9→ |x+ 1| > 9 นั่นคือ a = 1,b = 1,c = 9(54.1) เนื่องจากเป็นบวกทั้งสองข้าง ไม่จําเป็นต้องใช้วิธีแยกช่วงย่อย แต่สามารถยกกําลังสองได้เลยดังนี้2 2 2 2(3x+ 2) < (4x+ 1) → (3x+ 2) − (4x+ 1) < 0→ (3x + 2 − 4x − 1)(3x + 2 + 4x + 1) < 0 →( − x + 1)(7x + 3) < 0 → (x − 1)(7x + 3) > 03เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น ( −∞, − ) ∪(1, ∞ )7(54.2) เนื่องจากตัวส่วนมีค่าสัมบูรณ์จึงเป็นบวกเสมอ สามารถคูณย้ายไปไว้ทางขวาได้ทันที และจากนั้นยังสามารถยกกําลังสองได้ (เหมือนข้อที่แล้ว)2 2 2 2(x − 2) < (2x + 2) → (x −2) − (2x + 2) < 0 →(x− 2−2x−2)(x− 2+ 2x+ 2) < 0 →( −x − 4)(3x) < 0 → 3(x + 4)(x) > 0เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น ( −∞, −4) ∪(0, ∞ )(54.3) คิดทีละซีก คือ|x − 7| < 5 และ |5x − 25| > 5ก. จาก |x − 7| < 5 จะได้ − 5 < x − 7 < 5นั่นคือ 2 < x < 12ข. จาก |5x − 25| > 5 จะได้5x − 25 > 5 หรือ 5x − 25 6 หรือ x < 4นํา ก. อินเตอร์เซค ข. ได้คําตอบ (2, 4) ∪ (6, 12)(54.4) แยกช่วงย่อยเป็น 4 ช่วงก. เมื่อ x < 1 จะได้− x + 1 − x + 3 < − x + 5 → − 1 < x → ( − 1,1)ข. เมื่อ 1 < x < 3 จะได้x − 1 − x + 3 < − x + 5 → x < 3 → [1,3)ค. เมื่อ 3 < x < 5 จะได้x − 1 + x − 3 < − x + 5 → x < 3 → ∅ง. เมื่อ x > 5 จะได้x − 1 + x − 3 < x − 5 → x < −1→ ∅∴ รวมกันทุกช่วงย่อยแล้วได้คําตอบ ( − 1,3)(54.5) ถ้าแยกกรณีจะยาก เรามองเห็นว่าทางขวาเป็นตัวเลข จึงควรคิดแบบนี้2x − 5x − 42x + x − 2x> 1 หรือ 2 − 5x − 4< −12x + x − 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET57ระบบจํานวนจริงก. จาก 2 2x − 5x − 4x + x − 22 2> 1 จะได้x −5x−4−x − x+2> 0 →2x + x − 2(6x − − 2) (3x+1)> 0 →< 0(x + 2)(x − 1) (x + 2)(x −1)เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบ ( −∞, −2) ∪ [ − 1/3,1)ข. จาก 2 2x − 5x − 4x + x − 22 2< −1จะได้x −5x− 4+ x + x−2< 0 →2x + x − 22(x − 3)(x + 1)< 0(x + 2)(x −1)เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบ ( −2, −1] ∪ (1,3]ข้อ ก. และ ข. เชื่อมด้วยคําว่า “หรือ” คือยูเนียนดังนั้นคําตอบคือ ( −∞, −1] ∪ [ −1/3,3] − { − 2,1}(55) มีค่าสัมบูรณ์ซ้อนกัน พิจารณาชั้นในสุดก่อนก. เมื่อ x < 0 จะได้สมการโจทย์กลายเป็น| −x− 3| < |x−2|ยกกําลังสองทั้ง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกัน2 2 2 2( −x − 3) < (x −2) → ( −x −3) −(x − 2) < 0 →( −x−3− x+ 2)( −x− 3+ x− 2) < 0 →(2x − −1)(5) − < 0 → (2x+ 1)(5) < 0ได้เป็น x 0 จะได้สมการโจทย์กลายเป็น|x − 3| < |x − 2|ยกกําลังสองทั้ง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกัน2 2 2 2(x − 3) < (x −2) → (x −3) −(x − 2) < 0 →(x −3 − x + 2)(x − 3 + x − 2) < 0 →(1)(2x − − 5) < 0 → (1)(2x − 5) > 0ได้เป็น x > 5/2 อินเตอร์เซคกับเงื่อนไขได้ช่วงเดิมสรุปรวมข้อนี้คําตอบคือ ( −∞, −1/2) ∪(5/2, ∞ )(56.1) ก. เมื่อ x < 0 จะได้2(1 + x)(1 + x) > 0 → (x + 1) > 0ซึ่งเป็นจริงเสมอยกเว้นที่ x = − 1(จะเขียนเส้นจํานวนเพื่อหาคําตอบก็ได้)ดังนั้นคําตอบของช่วงนี้คือ ( −∞, −1) ∪ ( − 1,0)ข. เมื่อ x > 0 จะได้(1 − x)(1 + x) > 0 → (x − 1)(x + 1) < 0เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น ( − 1,1)และนําไปรวมกับเงื่อนไขช่วง ได้เป็น [0, 1)สรุปรวมข้อนี้ตอบว่า ( −∞, −1) ∪ ( − 1,1)(56.2) คิดวิธีเดียวกันกับข้อที่แล้วก็ได้ หรือจะใช้คําตอบเดิมมาคิดก็จะรู้ว่า คําตอบคือ (1, ∞ )(จุด x =− 1 และ 1 เราไม่นํามาตอบเพราะเป็นจุดที่ทําให้ (1 − |x|)(1 + x) เป็นศูนย์)(57) พิจารณาจากเลขหลักหน่วย คือ3 29 ⋅ 8 → 9 ⋅ 4 → 6 ดังนั้น เศษ = 1หรือจะคิดจากทฤษฎีเศษก็ได้ คือ3 2เราพบว่า (4x − 1) (58x − 2) หารด้วย x ย่อม3 2เหลือเศษเท่ากับ (1) − ⋅(2) − = − 4 เสมอ3 2→ ถ้าแทน x ด้วย 5 ก็จะได้ว่า (19) (288)หารด้วย 5 เหลือเศษ − 4 ด้วย ... และเศษ − 4สําหรับตัวหารเป็น 5 ก็จะหมายถึงเศษ 1(58) การเขียนผลรวมเชิงเส้น ต้องหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีของยุคลิดก่อน ดังนี้252=34(7)+14 .....(ก) 34=14(2)+6 .....(ข)14=6(2)+2 .....(ค) 6=2(3) (ห.ร.ม. เท่ากับ 2)จากนั้นย้ายข้างสมการ ก,ข,ค ให้อยู่ในรูป เศษ=.......ดังนี้ (ก) 14=252+34(-7) (ข) 6=34+14(-2)(ค) 2=14+6(-2) แล้วแทน (ข) ใน (ค) จะได้2 =14+(34+14(-2))(-2) =14(5)+34(-2)แทนด้วย (ก) ลงไปอีก จะได้2 =(252+34(-7))(5)+34(-2) =252(5)+34(-37)ดังนั้น ตอบว่า 2 = 252(5) + 34(-37)(59) วิธีเดียวกับข้อที่แล้ว หา ห.ร.ม.ก่อน-504=-38(14)+28...(ก) จะได้ 28=-504+(-38)(-14)-38=28(-2)+18....(ข) จะได้ 18=-38+28(2)28=18(1)+10....(ค) จะได้ 10=28+18(-1)18=10(1)+8....(ง) จะได้ 8=18+10(-1)10=8(1)+2.... (จ) จะได้ 2=10+8(-1)และ 8=2(4) (ห.ร.ม. คือ 2)จากนั้นแทน (ง) ใน (จ) ได้ 2=10+(18+10(-1))(-1)=10(2)+18(-1) ... แทน (ค) ลงไป2 =(28+18(-1))(2)+18(-1) =28(2)+18(-3) ...แทน (ข) ลงไป 2 =28(2)+(-38+28(2))(-3)=28(-4)+(-38)(-3) ... สุดท้ายแทน (ก) ลงไป2 =(-504+(-38)(-14))(-4)+(-38)(-3)ตอบ 2 = (-504)(-4) + (-38)(53)(60) x ⋅ 128 = 16 ⋅ 384 → x = 48(61) ห.ร.ม. คือ 9 = 3 × 3ค.ร.น. คือ 28,215 = 3 × 3 × 5 × 11 × 57ทั้ง x และ y ต้องหาร 9 ลงตัว ดังนั้นx = 3 × 3 × 5 × 11 = 495y = 3 × 3 × 57 = 513(62) จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ แสดงว่า ห.ร.ม. = 1∴ x y = 1 ⋅ 15,015 = 3 × 5 × 7 × 11 × 13x มีตัวประกอบ 2 ตัว และ 80 < x < 200ดังนั้น x = 13 × 7 หรือ x = 13 × 11 เท่านั้นก็จะได้ y = 3 × 5 × 11 = 165 หรือy = 3 × 5 × 7 = 105Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NETeÃ× èo§æÁถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร..(1) สมมติว่า จะถอดรากที่สองของ 514เริ่มต้น ให้แบ่งตัวเลขในจํานวน 514 ออกเป็นกลุ่มๆ ทีละ 2 ตัว โดยวัดจากจุดทศนิยมมาทางซ้าย ได้แก่ 14 และ 5 (หลักหน่วยอยู่กับสิบ หลักร้อยอยู่กับพันหลักหมื่นอยู่กับแสน ไปเรื่อยๆ) และวัดทศนิยมไปทางขวากลุ่มละ 2 ตัวเช่นกัน(โจทย์ข้อนี้ไม่มีทศนิยมจึงใส่ 00 และ 00 ไปเรื่อยๆ)(2) หาจํานวนนับที่คูณตัวเองแล้วได้ใกล้เคียงกลุ่มแรก (คือ 5) ที่สุด(แต่ไม่เกิน 5) นั่นคือ 2 คูณ 2 ... ก็ใส่ 2 ไว้ที่ช่องตัวหาร กับช่องผลลัพธ์(3) จาก 2 คูณ 2 ได้ 4 ... ใส่ผลคูณคือ 4 ไว้ใต้เลข 5 แล้วนํามาลบกัน เหลือ 1(4) นําผลลัพธ์ที่ได้ในขณะนี้ (บรรทัดบนสุด) คือ 2 มาคูณสองกลายเป็น 4ใส่ไว้ที่ช่องตัวหารด้านหน้า ... แล้วดึงเลขกลุ่มถัดไปลงมา (คือ 14) กลายเป็น 114(5) ต่อมาให้หาค่า x ซึ่งทําให้ 4x คูณ x ได้ใกล้เคียง 114 ที่สุด (แต่ไม่เกิน 114)... เช่น 41 คูณ 1 ได้ 41, 42 คูณ 2 ได้ 84, 43 คูณ 3 ได้ 129 (เกิน)ดังนั้น ต้องใช้ 42 คูณ 2 ... ใส่ 2 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 4) และใส่ 2 ไว้ช่องผลลัพธ์ด้วย จากนั้น 42 คูณ 2 ได้ 84 เอาไปตั้งลบออกจาก 114 (เหลือ 30)(6) ทําเช่นเดียวกับข้อ (4) และ (5) ไปเรื่อยๆคือ เอาผลลัพธ์ในขณะนี้ (22) มาคูณสองกลายเป็น 44 ใส่ไว้ช่องตัวหารและดึงกลุ่มถัดไป (คือ 00) ลงมาต่อท้าย 30 กลายเป็น 3000(7) หาค่า x ซึ่งทําให้ 44x คูณ x ได้ใกล้เคียง 3000 ที่สุด(แต่ไม่เกิน 3000) ... พบว่า ต้องใช้ 446 คูณ 6ใส่ 6 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 44) และใส่ 6 ไว้ช่องผลลัพธ์จากนั้น 446 คูณ 6 ได้ 2676 เอาไปตั้งลบออกจาก 3000 (เหลือ 324)(8) เอาผลลัพธ์ในขณะนี้ (226) มาคูณสองเป็น 452 ใส่ไว้ช่องตัวหารและดึงกลุ่มถัดไป (คือ 00) ลงมาต่อท้าย 324 กลายเป็น 32400หาค่า x ซึ่งทําให้ 452x คูณ x ได้ใกล้เคียง 32400 ที่สุด (แต่ไม่เกิน 32400) ...พบว่า ต้องใช้ 4527 คูณ 7 ... ใส่ 7 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 452) และใส่ 7 ไว้ช่องผลลัพธ์ จากนั้น 4527 คูณ 7 ได้ 31689 เอาไปตั้งลบออกจาก 32400 ...ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้คําตอบที่มีจํานวนทศนิยมเท่าที่ต้องการสรุปว่า รากที่สองของ 514 มีค่าประมาณ 22.67...ข้อสังเกต จํานวนหลักของคําตอบ จะเท่ากับจํานวนกลุ่มที่แบ่งในโจทย์เช่น 514 แบ่งได้ 2 กลุ่ม คือ 5,14 ดังนั้นคําตอบจะมี 2 หลัก (ไม่รวมทศนิยม)หรือถ้าเป็น 903601 แบ่งได้ 3 กลุ่ม คือ 90,36,01 คําตอบก็จะมี 3 หลัก...อ่านแล้วทดลองถอดรากที่สองเองดูสิครับอย่างเช่น หารากที่สองของ 225, รากที่สองของ 3000, รากที่สองของ 214.7ตรวจสอบคําตอบกับเครื่องคํานวณ ถ้าตรงกันแสดงว่ารู้หลักในการคิดแล้ว :]58(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ระบบจํานวนจริง5 14.00 0022 5 14.00 0022 5 14.00 004122 5 14.00 0044 1 142 2 .2 5 14.00 00442 1 1484302 2 .2 5 14.00 00442 1 148444 30 002 2 . 62 5 14.00 00442 1 1484446 30 0026 763 242 2 . 6 72 5 14.00 00442 1 1484446 30 0026 764527 3 24 003 16 89.... ....Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET59ตรรกศาสตร~l∧g→cº··Õè3 µÃÃ¡ÈÒÊµÃตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวิชาเกี่ยวกับการใช้เหตุผลเพื่อวิเคราะห์ค่าความจริง (จริงหรือเท็จ) ของประโยคต่างๆ ความเข้าใจในตรรกศาสตร์เบื้องต้นจะช่วยให้ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างมีเหตุผลประโยคทุกประโยคที่มี ค่าความจริง (Truth Value) เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเราจะเรียกว่า ประพจน์ (Proposition หรือ Statement) ดังนั้นประพจน์อาจเป็นประโยคบอกเล่า,ประโยคปฏิเสธ เช่น “เมื่อวานฝนตกที่บางกะปิ”, “1 มากกว่า 2”, “เก่งไม่ใช่คนร้าย” เหล่านี้ถือเป็นประพจน์ เพราะสามารถให้ค่าความจริงกํากับว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้แต่ประโยคคําถาม ประโยคคําสั่ง ขอร้อง ประโยคแสดงความปรารถนา ประโยคอุทานเหล่านี้ไม่ใช่ประพจน์เพราะไม่สามารถให้ค่าความจริงได้ เช่น “กรุณางดใช้เสียง”, “ใครเป็นคนทําแก้วแตก”, “อยากไปเที่ยวหัวหินจังเลย” หรือ “โอ้โห วิเศษไปเลยจอร์จ”S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S»ÃaoÂ¤·Õè´ÙeËÁ×o¹e»¹»Ãa¾¨¹ ºÒ§¤Ãaé§¡çäÁe»¹»Ãa¾¨¹ ... eª¹1. ÊÁÈÃÕÊÇÂ·ÕèÊú ã¹«oÂ eÃ×èo§¤ÇÒÁÊÇÂ¹aé¹e»¹eªi§ïµÇiÊaÂ äÁÊÒÁÒÃ¿¹¸§ä´ÇÒ¨Ãi§ËÃ×oe·ç¨ ¨Ö§äÁe»¹»Ãa¾¨¹!2. e¢Ò¡íÒÅa§¡i¹¢ÒÇ oa¹¹Õé¡çäÁe»¹»Ãa¾¨¹ e¾ÃÒaäÁäé¨Òa¨§ÇÒ e¢Ò ËÁÒÂÖ§ã¤Ã á§¹aé¹oÒ¨ä¨Ãi§ËÃ×oe·ç¨¡çä´ äÁæ¹ªá(eÃÕÂ¡»ÃaoÂ¤·Õèµí µaÇæ»Ãæºº¹ÕéÇÒ »ÃaoÂ¤e»´ ää´ÈÖ¡ÉÒã¹ËaÇ¢o 3.4 ¤Ãaº..)สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประพจน์ต่างๆ เป็นตัวอักษรเล็ก เช่น p, q, r โดยแต่ละประพจน์จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ 2 แบบเท่านั้น คือเป็น จริง (True; T) หรือเป็น เท็จ (False; F)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET60ตรรกศาสตร3.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริงในชีวิตประจําวันรวมทั้งในวิชาคณิตศาสตร์ เรามักพบการเชื่อมประโยค (ประพจน์) ด้วยตัวเชื่อม (Connectives)... และ (and), หรือ (or), ถ้า-แล้ว (if-then), ก็ต่อเมื่อ (if and only if)และยังพบการเติมคําว่า ไม่ (not) ด้วย... ซึ่งการเชื่อมแต่ละแบบ ส่งผลต่อค่าความจริงดังตารางเครื่องหมาย ~ เรียกว่า นิเสธ (Negation) ใช้เพื่อกลับค่าความจริงให้เป็นตรงข้ามpqp และ q( p q ∧ )p หรือ q( p q ∨ )ถ้า p แล้ว q( p → q)p ก็ต่อเมื่อ q( p ↔ q)T T T T T T FT F F T F F FF T F T T F TF F F F T T Tการเชื่อมด้วย และ มีกรณีเดียวที่เป็นจริง คือ T ∧ Tการเชื่อมด้วย หรือ มีกรณีเดียวที่เป็นเท็จ คือ F∨Fการเชื่อมด้วย ถ้า-แล้ว มีกรณีเดียวที่เป็นเท็จ คือ T → Fส่วนการเชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ ถ้าค่าความจริงเหมือนกันจะให้ผลเป็นจริง ต่างกันจะให้ผลเป็นเท็จข้อสังเกต ตัวเชื่อมทั้งสี่นี้ มีเพียง ถ้า-แล้ว ที่ไม่สามารถสลับที่ประพจน์ได้ไม่ p( ~p)ตารางที่แสดงค่าที่เป็นไปได้ครบทุกแบบดังนี้ เรียกว่า ตารางค่าความจริง (Truth Table)จํานวนแบบที่เกิดขึ้นเท่ากับ 2 n เมื่อ n คือจํานวนประพจน์ ... เช่น ถ้ามี 1 ประพจน์จะเป็นไปได้ 2แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ (ดังตารางนี้), ถ้ามี 3 ประพจน์จะเป็นไปได้ 8 แบบรูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ที่ให้ค่าความจริงตรงกันทุกๆ กรณี จะกล่าวว่ารูปแบบทั้งสอง สมมูลกัน (Equivalent) (แปลว่า สามารถใช้แทนกันได้) สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงการสมมูลกัน คือ≡ (ขีดสามขีด)รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ที่ควรทราบได้แก่• การแจกแจงp (q r) (p q) (p r)∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨p ∧(q∨r) ≡ (p ∧ q) ∨(p ∧ r)• การเปลี่ยนตัวเชื่อมp → q ≡ ~p ∨ q ≡ ~q → ~pp ↔ q ≡ (p → q) ∧(q→p)สิ่งที่ควรทราบตัวเชื่อม และ มีสมบัติคล้ายอินเตอร์เซคชันของเซตตัวเชื่อม หรือ มีสมบัติคล้ายยูเนียนของเซตและ นิเสธ มีสมบัติคล้ายคอมพลีเมนต์ของเซต• การเติมนิเสธ~(p q) ~p ~ q∧ ≡ ∨~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~ q~(p → q) ≡ p ∧ ~ q~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~qMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET61แบบฝึกหัด 3.1ตรรกศาสตร(1) ให้เติมค่าความจริงหรือประพจน์ที่เหมาะสม ลงในช่องว่าง เมื่อ p เป็นประพจน์ใดๆT ∧p≡ T ∨p≡ T →p≡ T ↔p≡F ∧p≡ F∨ p ≡ F→p≡ F ↔p≡p ∧p≡ p ∨ p ≡ p → T ≡ p ↔p≡p ∧~p≡ p ∨ ~p ≡ p →F≡ p ↔~p≡p →p≡p →~p≡(2) กําหนดให้ p, r เป็นจริง และ q เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ(2.1) [(p ∧ s) ∨(p ∧r)] →(p ∨ s)(2.2) [(q →s) ∨ r] ∨[(q ↔ s) ∧ r](2.3) [(r ↔ q) ∨(p → q)] →(p ∧ ~ q)(2.4) [(p ↔ q) ∨(q →r)] ∨ ~ s(2.5) [(q →p) ∧r] ↔ ~(~ r)(2.6) [(p ∧ q) →~ r] →[(~ p ∨ q) ↔ r](2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔[(p → q) ∧(~ q → r)](2.8) [(p ∧ q) ∧~ r] ∧[(r ∨ ~ s) ∧(~ p ∨ ~ q)](2.9) [p →(q ∧r)] ∧[(q →p) ∨ r](2.10) [q →(p ∨ r)] →[p →(q ∧ ~ r)](2.11) [(~p →~q) ∧(~r →~s)] ∨[(~p→r) ∧(s → ~q)](3) จงหาค่าความจริงของรูปแบบประพจน์ต่อไปนี้(3.1) (p ∨ ~ q) →(p → q) เมื่อ q เป็นจริง(3.2) (p ∨ ~ q) →(p → q) เมื่อ p เป็นเท็จ(3.3) (~r ∧ p) ∨(~(r ∨ s) ∧(r ∨ ~q)) เมื่อ p, q เป็นจริง และ r, s เป็นเท็จ(3.4) (p → q) ∧(s →p) ∧(s → q) เมื่อ p, r, r → q เป็นจริง(3.5) (~ q ∧(p ∨ r)) → (~ r) เมื่อ p → q เป็นเท็จ, q∨ r เป็นจริง(3.6) n →[(m∨ q) → ~s] เมื่อ q→ n เป็นเท็จ(3.7) (p ∨ r) ∧ qเมื่อ p → q เป็นเท็จ, q∨ r เป็นจริง(3.8) (q ∨ p) →(r ∧ s)เมื่อ (p → q) ∧(r ∨ s) เป็นจริง, q∨ s เป็นเท็จ(3.9) [Ent’25] r → sเมื่อ (p ∨ r) →(q ∨ s) เป็นเท็จ, p → q เป็นจริง(3.10) (p ∨ r) → ~ qเมื่อ (p ∧ ~ r) →(p → q) เป็นเท็จ(3.11) p, q, r เมื่อ (p ∧ q) →(p → r) เป็นเท็จ(3.12) r เมื่อ p ∧(p ↔~ r) ∧(q → r) เป็นจริง(3.13) ((p ∧ ~ q) →~ p) →(p → q)(3.14) ⎡[ p ∨ ~(r ∧ s) ] ∧ ~p⎤ →(~ r ∨ ~ s)⎣ ⎦Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET62ตรรกศาสตร(4) กําหนดให้ [(p → q) ∧(p ∨ r)] →(s → r) เป็นเท็จ ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. [(p ↔ q) ∧(q ↔r)] ∨(r ↔ s) เป็นเท็จ∧ → ∧ → ∧ เป็นจริงข. [(~ p q) (~ q r)] (~ r s)(5) ถ้า [(p ↔ q) →(r ∨ ~ s)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงพิจารณาว่ารูปแบบประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเหมือนกับ [(~ p ∧r) →(q ∨ ~ s)] บ้างก. ~(p ∧ s) → ~r ข. r ↔(p ∧ ~q) ค. (s →r) ∨(p → q)(6) ถ้า p สมมูลกับ q และ r ไม่สมมูลกับ s พิจารณาข้อความใดถูกหรือผิดบ้างก. [(p ↔~ q) ∨(r ↔~ s)] ↔[(~ p ∧ q) ∨(~ r ∨ ~ s)] เป็นเท็จ∨ ∧ ∨ → ∨ ↔ → เป็นจริงข. [(p r) (q s)] [(p ~ q) (r ~ s)](7) จงหานิเสธของก. (p →~ q) ∧(~ r → s) ข. (p ∧~ q) → ~ r(8) กําหนดประพจน์ “ถ้าเดชาขยันและทําการบ้านสม่ําเสมอแล้วเขาจะสอบผ่าน” เป็นเท็จ แล้วข้อใดเป็นจริงก. เดชาขยันแต่ไม่ทําการบ้านสม่ําเสมอข. เดชาไม่ขยันแต่ทําการบ้านสม่ําเสมอค. ถ้าเดชาสอบไม่ผ่านแสดงว่าเขาไม่ทําการบ้านสม่ําเสมอง. เดชาขยันก็ต่อเมื่อเขาสอบไม่ผ่าน(9) ข้อใดไม่สมมูลกันก. p ∨ q กับ ~(~p ∧ ~ q) ข. ~(p ∧ ~ q) กับ ~q → ~pค. ~p →(q→ p) กับ ~q→ p ง. ~p↔ q กับ (~ p → q) ∧(q → ~ p)(10) รูปแบบประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกับข้อใด(10.1) p ↔ qก. (p → q) ∧(q ∧ ~ p) ข. (~ q →~ p) ∧(~ q ∨ p)ค. (p ∧ ~ q) ∧(q → p) ง. (p ∧ ~q) ∧(~p → ~q)(10.2) ⎡[ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ]⎣((q ~ t) p) ((q ~ t) ~ p) ∨ ~q⎦⎤ → rก. q ∧ ~t ∧ pข. (t ∧ q) ∨ pค. t ∧ q∧ rง. (t ∧ q) ∨ rจ. (t ∧ r) ∨ p(10.3) [(q∨r) ∧(p ∧ s) ∧(q ∨ ~r)] ∨[(q ∨ ~r) ∧(p ∧~s) ∧(q∨r)]ก. p ∧ qข. p ∨ qค. p → qง. p ↔ q(11) ข้อความใดสมมูลกับ “ถ้า a < 0 และ b < 0 แล้ว ab 0ก. ถ้า a > 0 หรือ b > 0 แล้ว ab < 0ข. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว ab > 0ค. ถ้า ab < 0 แล้ว a > 0 หรือ b > 0ง. ถ้า ab > 0 แล้ว a < 0 และ b < 0> ”Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET63ตรรกศาสตร(12) ข้อความในข้อใดสมมูลกันบ้างก. ถ้า a เป็นจํานวนเต็ม แล้ว a เป็นจํานวนคู่ หรือ a เป็นจํานวนคี่ข. ถ้า a ไม่เป็นจํานวนคู่ และ a ไม่เป็นจํานวนคี่ แล้ว a ไม่เป็นจํานวนเต็มค. a ไม่เป็นจํานวนเต็ม หรือ a เป็นจํานวนคู่ หรือ a เป็นจํานวนคี่(13) ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. ~(p ∧~r) ∨ ~ q สมมูลกับ q →(r ∨ ~p)ข. p →(q→ r) สมมูลกับ q →(p → r)ค. (p ∧ q) → r สมมูลกับ (p →~ q) ∨(p → r)(14) กําหนดค่าความจริงของตัวเชื่อม ∗ ดังตาราง(14.1) (p ∗ p) ∗ (q ∗ q) สมมูลกับข้อใดก. p ∧ qข. p ∨ qค. p → qง. p ↔ q(14.2) [Ent’34] p ∗ q สมมูลกับข้อใดก. ~(~p → q) ข. ~p→qค. ~(q → ~p) ง. q → ~p(15) กําหนดให้ p ∗ q ≡~(p ∨ q) ถามว่าอัตราส่วนจํานวนกรณีที่ p ∗ (q ∗ r) เป็นจริง ต่อจํานวนกรณีที่เป็นเท็จ เป็นเท่าใด3.2 สัจนิรันดร์p q p ∗ qหากรูปแบบของประพจน์ใดให้ค่าความจริงเป็นจริงเสมอทุกๆ กรณี (สร้างตารางค่าความจริงแล้วพบว่าเป็นจริงทุกแบบ) เราเรียกรูปแบบนั้นว่าเป็น สัจนิรันดร์ (Tautology)• ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรันดรหรือไมก. (r ∨p) →(p → r)ข. (r ∨ ~ p) ↔(p → r)วิธีคิด เขียนตารางแสดงคาความจริงของ p กับ r ใหครบทุกกรณีที่เปนไปได (4 กรณี)p r r ∨ p p → r (r ∨p) →(p → r) p r r ∨ ~p p → r (r ∨ ~ p) ↔(p → r)T T T T T T T T T TT F T F F T F F F TF T T T T F T T T TF F F T T F F T T Tเราพบวา ขอ ก. เกิดกรณีที่เปนเท็จไดดวย จึงไมเปนสัจนิรันดรแตขอ ข. ผลเปนจริงทุกกรณี จึงเปนสัจนิรันดรการตรวจสอบรูปแบบประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ นอกจากจะใช้วิธีเขียนตารางค่าความจริงให้ครบทุกกรณีแล้ว โดยทั่วไปนิยมใช้ “วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ” คือถ้าหากรณีที่ทําให้รูปแบบนั้นเป็นเท็จไม่ได้เลย รูปแบบนั้นก็จะเป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าทําเป็นเท็จได้แม้เพียงกรณีเดียว รูปแบบนั้นย่อมไม่ใช่สัจนิรันดร์TTFFTFTFFFFTMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET64ตรรกศาสตรโดยเฉพาะเมื่อมีประพจน์ย่อยมากๆ (เช่น p, q, r, s, ...) การเขียนตารางให้ครบทุกกรณีจะทําได้ไม่สะดวก ควรใช้วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ• ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรันดรหรือไมก. (r ∨p) →(p → r)ข. (r ∨ ~ p) ↔(p → r)วิธีคิด ก. ใชวิธีพยายามทําใหเปนเท็จหากตัวเชื่อมหลักเป็น “หรือ”, “ถ้า-แล้ว” สามารถตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ได้โดยพยายามทําให้เป็นเท็จ ดังกล่าวไปแล้ว แต่หากตัวเชื่อมหลักเป็น “ก็ต่อเมื่อ” ควรตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์โดยหลักการต่อไปนี้“ ↔ เป็นสัจนิรันดร์ เมื่อ ≡ เท่านั้น”(และถ้า ≡ ก็จะได้ว่า ↔ ไม่เป็นสัจนิรันดร์)(16) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่(16.1) (p ∧ q) →[(p ∨ q) → r](16.2) (p ∨ q) →[(p ∧ q) → r](r ∨p) →(p →r)T FF T T Fตัวเชื่อมหลักคือ “ถา-แลว” จะเปนเท็จได แสดงวาวงเล็บหนาตองเปนจริง และวงเล็บหลังตองเปนเท็จเทานั้น ... วงเล็บหลังเปนเท็จแสดงวา p ตองเปนจริง และ r ตองเปนเท็จ ... นําคาความจริงของ pและ r ไปใสในวงเล็บหนา ไดคาเปนจริงตามที่ตองการพอดี ... แสดงวาตอนนี้เราทําใหผลเปนเท็จไดสําเร็จ (คือเปนเท็จเมื่อ p เปนจริง, r เปนเท็จ) ขอนี้จึงไมเปนสัจนิรันดรข. ตัวเชื่อมหลักคือ “ก็ตอเมื่อ” จะเปนเท็จได 2 แบบ คือ T ↔ F กับ F ↔ T ... การคิดดวยวิธีนี้คอนขางยุงยาก เราควรเลี่ยงไปใชวิธีในตัวอยางถัดไป คือดูความสมมูลระหวางกอนหนาและหลัง ...• ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรันดรหรือไม (r ∨ ~ p) ↔(p → r)วิธีคิด เนื่องจากตัวเชื่อมหลักเปน “ก็ตอเมื่อ” จึงตรวจสอบวาซายกับขวาสมมูลกันหรือไมพบวา วงเล็บขวาคือ p →r ≡ ~p ∨ r ≡ วงเล็บซาย ... ดังนั้นเปนสัจนิรันดรแบบฝึกหัด 3.2(16.3) [Ent’29] [(p → q) ∧(q →r)] →(p → r)(16.4) [(p →r) ∧(q →r)] →[(p ∧ q) → r](16.5) [(p →r) ∧(q →r)] →[(p ∨ q) → r](16.6) [(p →r) ∧(q→s) ∧(p ∧ q)] →(r ∨ s)(16.7) [Ent’29] [ ∧ → ] ∧(p → q)⎡⎣(p q) r ⎤⎦→(p →r)(17) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่(17.1) [Ent’23] ~ (p →~ q) ↔(p ∧ q)(17.2) [(~ p ∧ q) ∨ p] ↔(p ∧ q)(17.3) [(p ∨ q) ∧~p] ↔(~p ∧ q)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET65ตรรกศาสตร(17.4) (p ↔ q) ↔[(q ∨ ~ p) ∧(p ∨ ~ q)](17.5) [(p ∧ q) →(p ∨ q)] ↔[(~p ∧~q) →(~p ∨ ~q)](17.6) [p →(q ∧r)] ↔[(p → q) ∧(p → r)](17.7) [Ent’29] [p →(q →r)] ↔[(p → q) → r](17.8) [Ent’29] [p ↔(q ↔r)] ↔[(p ↔ q) ↔ r](18) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่(18.1) [(p ∨r) →(q ∨ r)] ∨(p ∨ q)(18.2) [(~ p ∧ q) →~ p] ∨(p → q)(19) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่(19.1) นิเสธของ (p ∧~ p) →(q ∧ ~ q)(19.2) นิเสธของ [p ∧(q ∨ ~ q)] ↔[~ p ∨(q ∧ ~ q)](19.3) นิเสธของ ~(p ↔ q) ∧(~p ↔ ~ q)(20) เมื่อ p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ ถามว่าประพจน์ในข้อใดเป็นจริงบ้างก. (p → q) →(~ p ∧ ~ q)ข. (p → q) ↔(~ p ∨ q)ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) →(~(p ∧ q) ∧ ~ r)ง. ((p →r) ∧(q →r)) ↔((p ∧ q) → r)จ. ((p → q) ∨(p →r)) ↔(p →(q ∧ r))(21) ตัวเชื่อมในกรอบสี่เหลี่ยม ที่ทําให้ [(p ~ q) (p ~ r)] [p ~(q r)]→ ∧ → → ∨ เป็นสัจนิรันดร์คืออะไร3.3 การอ้างเหตุผลการอ้างเหตุผล คือการกล่าวว่าถ้ามีเหตุเป็นข้อความ p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปผลเป็นข้อความ q อันหนึ่งได้ การอ้างเหตุผลมีทั้งแบบที่ สมเหตุสมผล (valid) และ ไม่สมเหตุสมผล (invalid) ซึ่งเราสามารถตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้โดยหลายวิธี คือ1. ตรวจสอบสัจนิรันดร์การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผล ก็เมื่อ (p 1 ∧p2 ∧p 3 ∧... ∧p n) → q เป็นสัจนิรันดร์หรือกล่าวว่า จะไม่สมเหตุสมผลเพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือเมื่อ “เหตุเป็นจริงทุกข้อแต่ผลเป็นเท็จ”2. เทียบกับรูปแบบที่พบบ่อยการอ้างเหตุผลทุกรูปแบบต่อไปนี้ สมเหตุสมผล(1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → qpผล qข้อนี้เป็นรูปแบบมาตรฐานผล~q~ pเพราะ p → q ≡~q → ~p(3) เหตุ p → qq → rผล p → r(4) เหตุ p → qr → sp ∨ rผล q ∨ sMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET66ตรรกศาสตร(5) เหตุ p ∧ qผล pเชื่อมด้วย “และ”สามารถแยกเป็นประพจน์เดี่ยวได้(6) เหตุ pผล p ∨ qสามารถเติมประพจน์ใดๆ ได้แต่ต้องเชื่อมด้วย“หรือ”แบบฝึกหัด 3.3S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! SÒµÃÇ¨Êoº¡ÒÃoÒ§eËµu¼Å´ÇÂÇi¸Õ·ÕèÊo§ ¤×oe·ÕÂº¡aºÃÙ»æºº æÅa¾ºÇÒ¼Å·Õèä´ÁÒ¨Ò¡ÃÙ»æººeËÅÒ¹ÕéäÁµÃ§¡aº·ÕèãËÁÒã¹o¨·Â oÂÒe¾iè§ÊÃu»ÇÒäÁÊÁeËµuÊÁ¼Å¹a¤Ãaº! ...äµo§Ëa¹¡Åaºä»ãªÇi¸ÕæÃ¡µÃÇ¨Êoº¡o¹¨Ö§ÊÃu»ä´ (e¾ÃÒaoÒ¨äÊÁeËµuÊÁ¼Å¡çä´)(22) [Ent’39] การอ้างเหตุผลดังต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่(22.1) เหตุ 1. p → q2. q→s3. ~sผล ~p(23) การอ้างเหตุผลดังต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่(23.1) เหตุ 1. ถ้า x เป็นจํานวนคู่แล้ว 2|x2. ถ้า x เป็นจํานวนคู่และ 2|x แล้ว x เป็นจํานวนเต็ม3. ไม่จริงที่ว่า “x เป็นจํานวนเฉพาะและ x เป็นจํานวนเต็ม”4. x เป็นจํานวนคู่ผล x เป็นจํานวนเฉพาะ(23.2) เหตุ 1. ถ้า a เป็นจํานวนตรรกยะแล้ว a ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ2. a 2 = 2 หรือ a 2 = − 13. ถ้า a 2 = 2 แล้ว a เป็นจํานวนอตรรกยะ4. a 2 ≠ − 1ผล a เป็นจํานวนตรรกยะ(24) จงเติมข้อความที่ทําให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล(24.1) เหตุ 1. p →(q→r)2. ~s∨p3. qผล(25) จงเติมข้อความที่ทําให้การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผลเหตุ 1. ถ้าฉันขยัน ฉันจะไม่ตกคณิตศาสตร์2. ฉันตกคณิตศาสตร์ผล(22.2) เหตุ p →(r ∨ s)ผล ~p ∨(r ∨ s)(24.2) เหตุ 1. ~p→q3.ผล(26) กําหนดเหตุให้ดังนี้เหตุ 1. ถ้าฉันขยันแล้วฉันจะสอบได้2. ถ้าฉันไม่ขยันแล้วพ่อแม่จะเสียใจ3. ถ้าฉันเรียนในมหาวิทยาลัยแล้วพ่อแม่จะไม่เสียใจ4. ฉันสอบไม่ได้ให้หาว่าผลในข้อใดทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล2. q → ~rMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)p

คณิตศาสตร O-NET / A-NET67ตรรกศาสตรผลก. ฉันไม่ได้เรียนในมหาวิทยาลัย หรือฉันขยันข. ฉันเรียนในมหาวิทยาลัย และฉันขยันค. พ่อแม่ฉันไม่เสียใจ และฉันไม่ได้เรียนในมหาวิทยาลัยง. ฉันขยัน แต่ฉันสอบไม่ได้3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณประโยค “x มากกว่า 2” (หรือ “เขาไม่ใช่คนร้าย”) ไม่ใช่ประพจน์ เนื่องจากยังไม่ทราบแน่ชัดว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ค่าความจริงขึ้นอยู่กับว่า x เป็นจํานวนใด (หรือ “เขา” เป็นใคร) เช่น ถ้า x เป็น 3 ประโยคนี้จะเป็นจริง แต่ถ้า x เป็น 2 ประโยคนี้จะเป็นเท็จ เราเรียก“ประโยคที่ยังคงติดค่าตัวแปร และเมื่อแทนค่าตัวแปรแล้วจึงกลายเป็นประพจน์” ว่า ประโยคเปิด(Open Sentence)สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยคเปิดใดๆ (ที่ติดค่าตัวแปร x) ได้แก่ P (x), Q (x), R (x) ฯลฯ ซึ่งประโยคเปิดเหล่านี้สามารถใช้ตัวเชื่อมได้เช่นเดียวกับประพจน์ p, q, r ทั่วๆ ไปตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) คือข้อความที่ใช้บ่งบอกความมากน้อยของค่าตัวแปร xมี 2 แบบได้แก่ สําหรับ x ทุกตัว (For All x; ∀ x ) และ สําหรับ x บางตัว (For Some x; xซึ่งตัวบ่งปริมาณทั้งสองนี้เมื่อใช้ร่วมกับเอกภพสัมพัทธ์แล้ว จะทําให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์(คือมีค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ) ได้ เช่นให้ P(x) แทนประโยคเปิด “x มากกว่า 2”จะได้ว่า ∀ x[P(x)] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกตัว... x มากกว่า 2”และ ∃ x[P(x)] แทนประโยค “สําหรับ x บางตัว... x มากกว่า 2”ซึ่งถ้า U = { 1,2,3}ก็จะพบว่า ∀ x[P(x)] เป็นเท็จ, ∃ x[P(x)] เป็นจริงแต่ถ้า U = { 3,4}แล้วจะพบว่า ∀ x[P(x)] เป็นจริง, ∃ x[P(x)] เป็นจริงหมายเหตุ1. หากไม่มีการระบุเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตจํานวนจริง R2. สามารถแจกแจงตัวบ่งปริมาณได้เพียงสองรูปแบบนี้เท่านั้น∀x[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ∀x[P(x)] ∧ ∀ x[Q(x)]∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃ x [Q (x)]ประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร เมื่อใช้ตัวบ่งปริมาณก็จะมีสองตัวเช่นกัน และการอ่านต้องคํานึงถึงลําดับก่อนหลัง ดังตัวอย่างนี้ให้ P(x) แทน “x มากกว่า 2” และ Q(x,y) แทน “x+y เป็นจํานวนเฉพาะ”จะได้ว่า ∀x∃y [P (x) ∧ Q (x, y)] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัวที่ทําให้... xมากกว่า 2 และ x+y เป็นจํานวนเฉพาะ”ส่วน ∃y∀x [P (x) ∧ Q (x, y)] นั้น แทนประโยค “สําหรับ y บางตัว จะมี x ทุกตัวที่ทําให้...x มากกว่า 2 และ x+y เป็นจํานวนเฉพาะ”ซึ่งสองประโยคนี้คนละความหมายกัน ไม่สามารถใช้แทนกันได้∃ )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET68ตรรกศาสตรการหานิเสธของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ นอกจากจะใส่นิเสธที่ประโยคเปิด (ภายในเครื่องหมายวงเล็บ) แล้ว ยังต้องเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ จาก ∀ เป็น ∃ และจาก ∃ เป็น ∀ ด้วยเช่น นิเสธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คือ ∃x∀y[P(x) ∧ ~Q(x,y)]แบบฝึกหัด 3.4(27) ให้ U = { −2, −1, 0, 1, 2}ข้อใดเป็นจริงก. ∀ x[x เป็นจํานวนเต็ม และ x 2 > 0]3 2ข. x[x x2∃ > และ x < x ]ค. ∀x[ถ้า x เป็นจํานวนเต็มบวก แล้ว x เป็นจํานวนเฉพาะ ]ง. ∃ x[x เป็นจํานวนเฉพาะ และ x เป็นจํานวนคี่ ](28) กําหนด P(x) แทน “x เป็นจํานวนอตรรกยะ”, Q(x) แทน “x เป็นจํานวนตรรกยะ”ข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จก. ∀x[P(x) → Q( 2)] ข. ∃x[Q(x) → P(0.5)]ค. ∀x[P(x) ∨ ~Q( π )] ง. ∃x[Q(x) ∧ ~P(22/7)]2(29) กําหนดประโยคเปิด P(x), Q(x) ดังนี้ P(x) = x > x , Q(x) = x เป็นจํานวนเฉพาะ หรือตัวหารร่วมที่มากที่สุดของ 3 กับ x เป็น 1 ข้อความใดถูกหรือผิดบ้างก. ∀ x[P(x)] เป็นจริง เมื่อ U เป็นช่วงเปิด (0, 1)∀ เป็นเท็จ เมื่อ U { }ข. x[Q(x)]= 2, 3, −5, 8(30) จงหาค่าความจริงของ3 2∃ x(x + 5x− 1 < 4) ∧ ∀ x( x − 1 < 0 → x > −2)(31) ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจํานวนนับ N ถามว่าประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นอย่างไร22[ ∃x(x − 1เป็นจํานวนนับ >⎛ ⎞) ∧ ∀ x(x + 1 0)] → ∀ x ⎜ < 0⎟⎝x⎠(32) จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U = { −1, 0, 1}2 2(32.1) ∃x(x ≠ 1) →∀x(x ≠ 1)2(32.2) ∃ x(x+ 1> 0) ∧ ∃x(x ≠ 1)2(32.3) ∃ x(x+ 1> 0 ∧ x ≠ 1)2(32.4) ∀ x(x > 0) ∨ ∀ x(x = 0)2(32.5) ∀ x(x > 0 ∨ x = 0)(33) จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U = { −1, 0, 1}2(33.1) ∃x∃ y(x + y > 2)2(33.2) ∃x∀ y(x + y > 2)2(33.3) ∀x∃ y(x + y > 2)2(33.4) ∀x∀ y(x + y > 2)S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! Sæºº½¡Ëá ¢o 32.2 ¡aº 32.3 Çi¸Õ¤í äÁeËÁ×o¹¡a¹¹a¤Ãaºe¾ÃÒa ËÒÁ¡Ãa¨ÒÂ some e¢Òä»ã¹ æÅaã¹¢o 32.2 eÃÒ¤í ¤Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§æÂ¡«ÒÂ·Õ¹Ö§ ¢ÇÒ·Õ¹Ö§æÅÇ¤oÂeoÒÁÒeª×èoÁ¡a¹´ÇÂ æÅaæµã¹¢o 32.3 eÃÒµo§¤í ã¹Ç§eÅçºÃÇé´ÕÂÇ ËÁÒÂÖ§ÇÒ¤Ò x ·Õèãªã¹Ç§eÅçº·aé§Ë¹ÒæÅaËÅa§ µo§e»¹µaÇe´ÕÂÇ¡a¹...æÅa¢o 32.4 ¡aº 32.5 ¡ç¤í äÁeËÁ×o¹¡a¹e¾ÃÒaËÒÁ¡Ãa¨ÒÂ all e¢Òä»ã¹ ËÃ×oÊÃu»Êiè§·Õ è¡Ãa¨ÒÂäóÕ¡¤Ãaé§¹Ö§¹a¤Ãaºall ¤Ù¡aº æÅa, some ¤Ù¡aº ËÃ×oMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET69ตรรกศาสตร(34) [Ent’21] จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์ = { − 1, 0, 1}2 2(34.1) ∀x∀y(x − y = y − x)2 2(34.2) ∀x∃y(x − y = y − x)2 2(34.3) ∃x∀y(x − y = y − x)2 2(34.4) ∃x∃y(x − y = y − x)2 2(34.5) ∃x∀y(x − y ≠ y − x)(35) จงหาค่าความจริงของ∃ ∀ − ≠ − เมื่อ U { }(35.1) x y(x y y x)(35.2) x y(x y 0)= −2, 0, 2∀ ∃ + = เมื่อ U { }= −2, 2(36) ประพจน์ ∀x∃ y(xy = 1) ↔ ∃x∀ y(xy = y) เป็นจริง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเท่าใดก. จํานวนเต็ม ข. จํานวนเต็มบวก ค. จํานวนจริง ง. จํานวนจริงบวก+(37) ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตจํานวนจริงบวก R ข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริงก. ∀x∀ y[x + y> xy]ข. ∃x∃ y[x + y x](38) จงหานิเสธของ(38.1) ∀x[P(x) → ~Q(x)](38.2) ∀x [P (x) →(Q (x) → R (x))](38.3) ⎡∀[ P (x)]~ ⎣ x → ∃x[Q(x)]⎤⎦(38.4) ∃x∃ y[(x + y = 5) →(x − y = 1)](38.5) ∃x∃ y[x > 0 ∧ y ≠ 0 ∧ xy < 0](38.6) [Ent’39] ∃x∀ y(xy > 0 → x < 0 ∨ y < 0)(38.7) ∃x∃y[(P(y) ∧~R(x)) →(~Q(x) ∨ ~P(y))](38.8) ∀x∃y∀ z (x + y > z และ xy < z)(39) ข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง22ก. นิเสธของ ∀ + = ∧ ∃ π]y∃ < →∀ > คือ ∀x[x>6] ∧∃ x[x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET70ตรรกศาสตรกรณีย่อยๆ หลายครั้ง ... เช่น เราสังเกตเห็นว่าในทุกเช้าพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ดังนั้นเราจึงสรุปแบบขยายผลว่าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออกเสมอ, เราสังเกตเห็นว่าลายนิ้วมือของหนึ่งพันคนมีลักษณะต่างกัน จึงสรุปเอาแบบขยายผลว่า คนทุกคนบนโลกมีลายนิ้วมือไม่เหมือนกันเลย,เพื่อนบ้านทุกคนล้วนบอกว่าหมอคนนี้รักษาดีมาก เมื่อสมชายไม่สบายจึงไปหาหมอคนนี้ เพราะสรุปเอาแบบอุปนัยว่าตนเองจะได้รับการรักษาให้หายดีเช่นกัน• ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย ในคณิตศาสตร1. ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} เมื่อสังเกตลักษณะของสมาชิกทั้งหาตัว พบวาเกิดจากการบวกทีละ 2 เราจึงสรุปผลวา สมาชิกตัวที่เหลือที่ละไวคือ 12, 14, 16, ... (จํานวนนับคู)2. จาก 1= 1, 1+ 3 = 4, 1+ 3 + 5= 9, 1+ 3 + 5+ 7 = 16, 1+ 3+ 5+ 7 + 9=25เราจึงสรุปไดวา จํานวนนับคี่ n จํานวนแรก มีผลบวกเทากับ n23. ลําดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... สังเกตไดวา ผลตางของแตละพจนติดกัน เปน 2, 4, 8, 16ดังนั้นพจนถัดไปของลําดับคือ 63 (เพราะผลตางเทากับ 32)4. จาก 11× 11 = 121, 111× 111 = 12321, 1111× 1111 = 1234321 …จึงสรุปไดวา 11111× 11111 = 1234543215. เมื่อยกตัวอยางจํานวนนับที่หารดวย 3 ลงตัว เชน 12, 51, 96, 117 , 258 , 543, 2930 ,5022 , 7839 … พบวาผลบวกของเลขโดดเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวจึงสรุปวาถาผลบวกของเลขโดดเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวแลว จํานวนนับนั้นจะหารดวย 3 ลงตัวข้อควรระวังในการให้เหตุผลแบบอุปนัยคือ ข้อสรุปที่ได้ไม่จําเป็นต้องถูกต้องทุกครั้งเนื่องจากเป็นการสรุปผลเกินขอบเขตที่เราพิจารณาออกไปสิ่งที่มีผลต่อความน่าเชื่อถือ ได้แก่1. จํานวนข้อมูลที่มีเพียงพอหรือไม่ ... (ไม่ควรพิจารณาข้อมูลปริมาณน้อยๆ แล้วสรุปทันที)เช่น – สุ่มหยิบลูกบอลได้สีแดงติดกัน 4 ครั้ง จึงสรุปเอาว่าบอลทุกลูกมีสีแดง ซึ่งอาจผิดก็ได้2 (n 1)– สมมติฐาน (n+ 1) > 2 − สําหรับจํานวนนับ n ใดๆพบว่าเมื่อแทน n= 1,2,3,4 จะได้ 4 > 1, 9> 2, 16> 4, 25> 8 ซึ่งล้วนเป็นจริงแต่ที่แท้สมมติฐานนี้จะเป็นเท็จ เมื่อแทน n = 7, 8, 9, ... เป็นต้นไป– สมมติฐาน n 2 − n+ 5 เป็นจํานวนเฉพาะ สําหรับจํานวนนับ n ใดๆพบว่าเมื่อแทน n= 1,2,3,4 จะได้ n 2 − n+ 5 = 5,7,11,17 ซึ่งเป็นจํานวนเฉพาะจริงๆแต่เมื่อแทน n= 5 จะได้ n 2 − n+ 5 = 25 ซึ่งไม่ใช่จํานวนเฉพาะ2. ข้อมูลที่ใช้นั้นเป็นตัวแทนที่ดีแล้วหรือไม่ ... (อาจมีข้อมูลที่ไม่ตรงกับข้อสรุปอยู่ แต่นึกไม่ถึง) เช่น สุ่มถามคน 100 คนในบริเวณสยามสแควร์ พบว่าอายุไม่เกิน 22 ปีถึง 70 คน จึงสรุปเอาว่าในกรุงเทพฯ มีประชากรวัยรุ่นจํานวนมากกว่าวัยทํางานอยู่เท่าตัว ซึ่งอาจเป็นข้อสรุปที่ผิด3. ข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนเกินไปหรือไม่ ... (บางเรื่องสรุปได้ยาก โดยเฉพาะที่เกี่ยวกับความนึกคิดของมนุษย์ เช่น ความเชื่อ ความพึงพอใจ มักจะขึ้นกับเหตุผลต่างๆ กัน)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET71ตรรกศาสตรการให้เหตุผลแบบนิรนัย (ใหญ่ → ย่อย)การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) เป็นการใช้ความจริงที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป เพื่อนําไปสู่ข้อสรุปย่อยใดๆ ... เช่น เป็นความจริงที่ว่าจํานวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเป็นจํานวนคู่ และ 10 นั้นหารด้วย 2 ลงตัว เราจึงสรุปว่า 10 เป็นจํานวนคู่• ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัย1. เหตุ (1) นักเรียนทุกคนตองทําการบาน ... (2) สุดาเปนนักเรียน ผล สุดาตองทําการบาน2. เหตุ (1) นกเทานั้นที่บินได ... (2) คนบินไมได ผล คนไมใชนก* 3. เหตุ (1) สัตวปกทุกตัวบินได ... (2) แมวบางตัวเปนสัตวปก ผล แมวบางตัวบินได* ข้อสรุปนี้เป็นข้อสรุปที่ สมเหตุสมผล(valid) แม้ว่าผลจะขัดแย้งกับความจริงในโลกก็ตามข้อควรระวังในการให้เหตุผลแบบนิรนัยคือ ในบางครั้งเมื่อเราใช้ความรู้สึกเพียงผิวเผินตัดสิน อาจจะคิดว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล ทั้งที่จริงๆแล้วไม่ใช่ ... ยกตัวอย่างเช่นS ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¹o§ºÒ§¤¹oÒ¨Ê§ÊaÂÇÒ æÁÇäºi¹ä´äóÂÒ§äÃ..¡ÒÃãËeËµu¼Åæºº¹iÃ¹aÂ¹aé¹eÃÒ¡ÅÒÇã¹ÃÙ»æºº¢o§ ¡ÒÃoÒ§eËµu¼Å(eËÁ×o¹ËaÇ¢o 3.3) «Öè§¤ÇÃ·íÒ¤ÇÒÁe¢ Òã¨ÇÒ ¡ÒÃÊÁeËµuÊÁ¼Å¹aé¹äÁä´æ»ÅÇÒ¼Åäe»¹¨Ãi§·a¹·Õ¹a¤Ãaº æµæ»ÅÇÒ eÁ×èoã´·Õ èeËµu·u¡¢oe¡í e»¹¨Ãi§¢Öé¹ÁÒ ¼Å¨Ö§äe»¹¨Ãi§µÒÁ´ÇÂ ...eÇÅÒeÃÒµÃÇ¨ÊoºÇÒ¡ÒÃãËeËµu¼Å¹ÕéÊÁeËµuÊÁ¼ÅËÃ×oäÁãËeÃÒÂÖ´¨Ò¡eËµu·ÕèãËÁÒe·Ò¹aé¹ ËÒÁeoÒ¤ÇÒÁ¨Ãi§ã¹oÅ¡ä»µá Êi¹¹a¤Ãaº!1. เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) ยุงบินได้ผล ยุงเป็นนก (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสิ่งอื่นที่ไม่ใช่นก แต่บินได้)2. เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนไม่ใช่นกผล คนบินไม่ได้ (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสิ่งอื่นที่ไม่ใช่นก แต่บินได้)3. เหตุ (1) นักเรียนบางคนเป็นนักกีฬา ... (2) นักกีฬาบางคนแข็งแรงผล นักเรียนบางคนแข็งแรง (ไม่สมเหตุสมผล เพราะนักกีฬาที่แข็งแรงอาจไม่ใช่นักเรียนก็ได้)การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลแบบนิรนัย สามารถทําได้อย่างรอบคอบโดยใช้แผนภาพของเซต (แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์) ช่วยในการคิดนกสิ่งที่บินได้ นก สิ่งที่บินได้ สิ่งที่บินได้ไม่มีนกตัวใดบินได้ นกบางตัวบินได้ นกทุกตัวบินได้(หรือ นกทุกตัวบินไม่ได้) (หรือ นกบางตัวบินไม่ได้)หากในข้อความมีการระบุถึงสมาชิกของเซต (เช่น สมชายบินได้)จะเขียนเป็น จุด อยู่ภายในบริเวณเซตนั้นถ้าพบว่าแผนภาพเป็นไปตามที่สรุป ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้นจะถือว่า สมเหตุสมผล แต่ถ้าเป็นแบบอื่นได้ด้วย จะถือว่า ไม่สมเหตุสมผลMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)นกสมชายสิ่งที่บินได้

คณิตศาสตร O-NET / A-NET72ตรรกศาสตรดังนั้นในการตรวจสอบ เราจะต้องพยายามทําให้เหตุเป็นจริงทุกข้อแต่ผลสรุปเป็นเท็จ (ถ้าทําได้ ก็แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล ถ้าทําไม่ได้แสดงว่าสมเหตุสมผล)ตัวอย่างเช่น1. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา(2) สมศักดิ์เป็นนักเรียนชายผล สมศักดิ์ลงแข่งกีฬา ... สมเหตุสมผลนร.ชายสมศักดิ์2. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา(2) สมศรีไม่ได้เป็นนักเรียนชายผล สมศรีไม่ได้ลงแข่งกีฬา ... ไม่สมเหตุสมผล (เป็นไปได้ 2 แบบ)ผู้ลงแข่งกีฬานร.ชายผู้ลงแข่งกีฬาสมศรีสมศรี3. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา(2) สมเสร็จลงแข่งกีฬาผล สมเสร็จเป็นนักเรียนชาย ... ไม่สมเหตุสมผล4. เหตุ (1) นักเรียนชายบางคนลงแข่งกีฬา(2) สมศักดิ์เป็นนักเรียนชายผล สมศักดิ์ลงแข่งกีฬา ... ไม่สมเหตุสมผลนร.ชาย ผู้ลงแข่งกีฬาสมเสร็จสมเสร็จสมศักดิ์สมศักดิ์นร.ชาย ผู้ลงแข่งกีฬาหมายเหตุ บางตําราเขียนแผนภาพในรูปทั่วไป ดังรูปด้านล่างนี้และใช้การแรเงาเพื่อบ่งบอกว่าชิ้นส่วนนั้นไม่มีสมาชิกเลยABเช่นA2 เซตB3 เซตCนก สิ่งที่บินได้หากมีประโยคว่า “เพนกวินเป็นนก”จะต้องจุดแทน “เพนกวิน” ลงในช่อง “นก” ทางซ้ายเท่านั้นเนื่องจากช่องกลางถูกแรเงาทึบไปแล้วไม่มีนกตัวใดบินได้ * แต่บางตําราก็ใช้การแรเงาเพื่อบ่งบอกว่าชิ้นส่วนนั้นต้องมีสมาชิกอยู่!แบบฝึกหัด 3.5(40) ให้บอกค่าของ a ที่ปรากฏในลําดับต่อไปนี้(40.1) −1, −3, −5, − 7, a(40.5) 3, 1, −1, − 3, a(40.2) 2, 7, 12, 17, a (40.6) 1 , 2 , 3 , 4 ,a2 3 4 5(40.3) 1, −2, 3, − 4, a(40.7) 1, 4, 9, 16, a(40.4) 3, 6, 12, 24, a (40.8) 3, 3 3, 3 3 3, 3 3 3 3, a(40.9) [พื้นฐานวิศวะ มี.ค.47] 125, 726, a, 40328, 362889Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET73ตรรกศาสตร(41) ให้หาสมการ 2 สมการ ต่อจากรูปแบบที่กําหนดให้ โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบอุปนัย(และคํานวณหรือใช้เครื่องคํานวณ เพื่อตรวจสอบคําตอบที่ได้)(41.1)37 × 3 = 11137 × 6 = 22237 × 9 = 333(41.5)11× 11 = 12111× 12 = 13211× 13 = 143× =(41.2) 9 9 81× =9 99 8919 × 999 = 8991× = −(41.3) 1 9 11 212 × 9 = 111 − 3123 × 9 = 1111 − 4(41.6)(41.7)1089 × 1 = 10891089 × 2 = 21781089 × 3 = 32672(3) = 3(3−1)2(3) + 2(9) = 3(9−1)2(3) + 2(9) + 2(27) = 3(27−1)× + =9 98 6 8889× 987 + 5 = 8888(41.4) 9 9 7 88× + =(41.8)3× 4 = 2 (1+ 2+3)4× 5 = 2 (1+ 2+ 3+4)5× 6 = 2 (1+ 2+ 3+ 4+5)(42) ให้ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบนิรนัย ประกอบกับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์(42.1) เหตุ – คนบางคนว่ายน้ําได้ (42.2) เหตุ – คนบางคนว่ายน้ําได้– สมชายเป็นคน – สมชายเป็นคนผล สมชายว่ายน้ําได้ ผล สมชายว่ายน้ําไม่ได้(42.3) เหตุ – ไม่มีเด็กดีคนใดคุยในเวลาเรียน– นักเรียนห้องนี้ทุกคนเป็นเด็กดีผล ไม่มีนักเรียนคนใดในห้องนี้คุยในเวลาเรียน(42.4) เหตุ – นักเรียนบางคนทําการบ้านไม่เสร็จ– นักเรียนบางคนชอบเล่นฟุตบอลผล นักเรียนที่เล่นฟุตบอลบางคนทําการบ้านไม่เสร็จ(42.5) เหตุ – วันนี้ฉันเงินหมด– ไม่มีใครที่เงินหมดแล้วโดยสารรถเมล์ได้ผล วันนี้ฉันไม่สามารถโดยสารรถเมล์ได้(42.6) เหตุ – ไม่มีสัตว์น้ําตัวใดบินได้ (42.12) เหตุ – ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่มีสองตา– นกแก้วเป็นสัตว์น้ํา – กุ้งไม่ได้เป็นปลาผล นกแก้วบินไม่ได้ ผล กุ้งมีสองตา(42.7) เหตุ – คนที่มีความสุขทุกคนยิ้มแย้ม (42.13) เหตุ – ไม่มีช่างคนใดที่ขยัน– ฉันยิ้มแย้ม – สมนึกเป็นช่างผล ฉันมีความสุขผล สมนึกไม่ขยัน(42.8) เหตุ – นักเรียนทุกคนสวมแว่นตา (42.14) เหตุ – ไม่มีช่างคนใดที่ขยัน– ผู้ร้ายบางคนสวมแว่นตา – สมนึกไม่ขยันผล นักเรียนบางคนเป็นผู้ร้าย ผล สมนึกเป็นช่างMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET74ตรรกศาสตร(1) p|F|p|FT|p|p|T(42.9) เหตุ – ไม่มีนางแบบคนใดเป็นผู้ชาย (42.15) เหตุ – สัตว์ทุกตัวต้องหายใจ– พระเอกหนังทุกคนเป็นผู้ชาย – สุนัขทุกตัวต้องหายใจผล ไม่มีนางแบบคนใดเป็นพระเอกหนัง ผล สุนัขทุกตัวเป็นสัตว์(42.10) เหตุ – สิ่งมีชีวิตทุกชนิดต้องกินอาหาร (42.16) เหตุ – แอปเปิ้ลไม่มีพิษ– สัตว์ทุกตัวเป็นสิ่งมีชีวิต – องุ่นไม่มีพิษผล คนทุกคนต้องกินอาหาร ผล ผลไม้ที่ทานได้ไม่มีพิษ(42.11) เหตุ – ครูบางคนชอบดื่มกาแฟ (42.17) เหตุ – นกทุกตัวมีปีก– ผู้ชายทั้งหมดชอบดื่มกาแฟ – สัตว์ที่มีปีกบางตัวบินได้ผล ครูบางคนเป็นผู้ชาย – เพนกวินเป็นนกผล เพนกวินบินได้p|T|T|~p|T|~pp|~p|T|F(2) ข้อ 2.6 ถึง 2.10 เท็จนอกนั้นจริง(3) ข้อ 3.5, 3.7, 3.9,3.12 เท็จ นอกนั้นจริง(3.11) T, T, F(4) ก. ถูก ข. ถูก(5) ถูกทุกข้อ(6) ก. ผิด ข. ถูก(7) ก.(p ∧ q) ∨(~ r ∧ ~ s)ข. p ∧~q∧r(8) ง. (9) ค.(10.1) ข. (10.2) ง.(10.3) ก. (11) ค.(12) สมมูลกันทุกข้อ(13) ถูกทุกข้อ(14.1) ก. (14.2) ก.(15) 3:5(16 ถึง 19) เป็นทุกข้อ ยกเว้น16.1, 16.2, 17.2, 17.7, 19.1(20) ข. และ ค. เป็นจริงเฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(21) → หรือ ↔(22) สมเหตุสมผลทั้งสองข้อ(23) ไม่สมเหตุสมผลทั้งสองข้อ(24.1) s → r (24.2) r(25) ฉันไม่ขยัน (26) ก.(27) ข. (28) ก.(29) ก. ถูก ข. ผิด(30) จริง (31) เท็จ(32) ข้อ 32.1, 32.4 เป็นเท็จนอกนั้นจริง(33) ข้อ 33.1 จริง นอกนั้นเท็จ(34) ข้อ 34.2, 34.4 จริงนอกนั้นเท็จ (35.1) เท็จ(35.2) จริง (36) ง. (37) ง.(38.1) ∃x[P(x) ∧ Q(x)](38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))](38.3) ∀x[ P(x) ] → ∃ x[Q(x)](38.4) ∀x∀ y [(x + y = 5) ∧(x − y ≠ 1)](38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0](38.6) ∀x∃ y(xy > 0 ∧ x> 0 ∧ y > 0)(38.7) ∀x∀y [P (y) ∧~ R (x) ∧ Q (x)](38.8) ∃x∀y∃ z(x + y < zหรือ xy > z)(39) ก. ถูก ข. ผิด(40.1) –9 (40.2) 22 (40.3) 5(40.4) 48 (40.5) –5 หรือ 3(40.6) 5/6 (40.7) 25(40.8) 3 3 3 3 3 (40.9) 5047(41.1) 37 × 12 = 444, 37 × 15 = 555(41.2) 9 × 9999 = 89991,9 × 99999 = 899991(41.3) 1234 × 9 = 11111 − 5 ,12345 × 9 = 111111 − 6(41.4) 9 × 9876 + 4 = 88888,9 × 98765 + 3 = 888888(41.5) 11 × 14 = 154, 11 × 15 = 165(41.6) 1089 × 4 = 4356 ,1089 × 5 = 5445(41.7) 2(3) + 2(9) + 2(27)+ 2(81) = 3(81− 1) ,2(3) + 2(9) + 2(27) + 2(81)+ 2 (243) = 3 (243 − 1)(41.8) 6× 7 = 2 (1+ 2 + 3 +4 + 5 + 6) , 7 × 8 = 2 (1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)(42) ข้อที่สมเหตุสมผลได้แก่(42.3), (42.5), (42.6),(42.9), (42.13)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET75เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)ตรรกศาสตร(1) ก. เครื่องหมาย “และ”T ∧p ≡ p ... จริง “และ” อะไร ก็จะได้ตามตัวนั้น(หมายความว่า T ∧ T ≡ T, T ∧F ≡ F)F ∧ p ≡ F ... เท็จ “และ” อะไร จะได้เท็จเสมอp ∧ p ≡ p ... เหมือนกันเชื่อมด้วย “และ” ได้ตัวเดิมp ∧ ~p ≡ F ... ตรงข้ามกันเชื่อมด้วย “และ” จะได้เท็จเสมอ (เพราะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นเท็จ)ข. เครื่องหมาย “หรือ”(วิธีคิดลักษณะเดียวกับ “และ”)T ∨ p ≡ T, F ∨ p ≡p, p ∨ p ≡p, p ∨ ~ p ≡ Tค. เครื่องหมายถ้า-แล้วT →p ≡p, F →p ≡ T, p → T ≡ T, p →F ≡ ~ p(เพราะ T →F ≡F, F →F ≡ T)p →p ≡ T, p →~p ≡ ~pง. เครื่องหมาย “ก็ต่อเมื่อ”T ↔ p ≡p, F ↔ p ≡ ~p,p ↔ p ≡ T, p ↔ ~p ≡ F(หมายเหตุ ข้อ 1 นี้จะทําได้ก็เมื่อคุ้นเคยลักษณะของตัวเชื่อมทั้งสี่แล้ว)(2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) ≡ T(2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [.....] ≡ TT(2.3) [(r ↔ q) ∨(p → q)] →[.....] ≡ TF(2.4) [(p ↔ q) ∨(q →r)] ∨ ~ s ≡ T(2.5) [(q →p) ∧ r] ↔ r ≡ TTTFTT T(2.6) [(p ∧ q) →~ r] →[(~ p ∨ q) ↔r] ≡ FF F TT F(2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔[(p → q) ∧.....] ≡ FT F .T F(2.8) (p ∧ q) ∧ ~ r ∧[... ∧...] ≡ FF(2.9) [p →(q ∧ r)] ∧[.....] ≡ FF(2.10) [q →(....)] →[p →(q ∧ ~ r)] ≡ FF T F .T F(2.11) [(~ p → ....) ∧(~ r → ....)] ∨[.....] ≡ TTTT(3.1) (....) →(p → q) ≡ TTT(3.2) (....) →(p → q) ≡ TF .T(3.3) (~ r ∧ p) ∨(....) ≡ TT(3.4) r → q ≡ T โดย r เป็นจริงแสดงว่า q เป็นจริงด้วย(p → q) ∧(s →p) ∧(s → q) ≡ TT T T T(3.5) p T, q F, r T≡ ≡ ≡ ดังนั้น(~ q ∧ (p ∨ r)) →(~ r) ≡ FT T F(3.6) n ≡ F ดังนั้น n →[....] ≡ T(3.7) q ≡ F ดังนั้น (....) ∧ q ≡ F(3.8) q ≡ F, s ≡ F, r ≡ T, p ≡ F ดังนั้น(q ∨ p) →(....) ≡ TF(3.9) p ∨ r ≡ T, q ∨ s ≡ F≡ ≡ )(แสดงว่า q F, s Fp → q ≡ T แสดงว่า p ≡ F ดังนั้น r ≡ Tและจะได้ r → s ≡ T → F ≡ F(3.10) p → q ≡ F แสดงว่า p ≡ T, q ≡ Fดังนั้น (....) → ~ q ≡ TT(3.11) p ∧ q ≡ T แสดงว่าMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)p ≡ T, q ≡ T p → r ≡ F แสดงว่า r ≡ F(3.12) p ≡ T, p ↔ ~r ≡ T แสดงว่า r ≡ F(3.13) และ (3.14) ไม่บอกค่าของ p, q, r, s มาเลย แสดงว่า น่าจะเป็นสัจนิรันดร์ (คือเป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่า p, q, r, s จะเป็นอย่างไร)ซึ่งตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นสัจนิรันดร์จริงๆ จึงตอบว่าเป็นจริงทั้งสองข้อ ... วิธีตรวจสอบเป็นดังนี้(3.13) พยายามทําให้เป็นเท็จ แสดงว่าก้อนหน้าต้องเป็นจริง ก้อนหลังต้องเป็นเท็จ(เนื่องจากเชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว”)((p ∧ ~ q) → ~ p) →(p → q)FT FT Fซึ่งถ้าก้อนหลังเป็นเท็จ แปลว่า p จะต้องเป็นจริงเท่านั้น และ q จะต้องเป็นเท็จเท่านั้น ... เอาค่าความจริงของ p กับ q ไปใส่ในก้อนหน้า พบว่าก้อนหน้า

คณิตศาสตร O-NET / A-NET76ตรรกศาสตรไม่ได้เป็นจริง ... นั่นคือ เราพยายามทําให้ประโยคนี้เป็นเท็จ แต่ไม่มีวิธีใดที่ทําได้ ข้อนี้จึงเป็นสัจนิรันดร์(3.14) ใช้วิธีเดียวกับข้อที่แล้ว คือพยายามทําให้ก้อนหน้าจริง ก้อนหลังเท็จ (เพราะเชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว”)⎡⎣[ p ∨ ~(r ∧ s) ] ∧ ~p⎤⎦→(~ r ∨ ~ s)FT FT Tซึ่งถ้าก้อนหลังเป็นเท็จ แปลว่า r กับ s จะต้องเป็นจริงทั้งคู่เท่านั้น ... เอาค่าความจริงของ r กับ s ไปใส่ก้อนหน้า พบว่าเหลือเพียง [ p ∧ ~p]ซึ่งจะเป็นเท็จเสมอ ไม่มีทางเป็นจริงได้ ... สรุปว่าเราไม่มีทางทําให้ข้อนี้เป็นเท็จได้ ข้อนี้จึงเป็นสัจนิรันดร์(4) s → r ≡ F แสดงว่า s ≡ T, r ≡ Fp ∨ r ≡ T แสดงว่า p ≡ Tp → q ≡ T แสดงว่า q ≡ Tก. [(....) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) ≡ F ถูกFข. [....] (~ r s) TF→ ∧ ≡ ถูกT(5) p ↔ q ≡ T แสดงว่า p ≡ qr ∨ ~s ≡ F แสดงว่า r ≡ F, s ≡ Tดังนั้น [(~ p ∧ r) → ....] ≡ TFพิจารณา ก. ~ (....) → ~ r ≡ T ถูกTข. r (p ~ q) TF↔ ∧ ≡ ถูกFค. (s r) (p q) T→ ∨ → ≡ ถูกT≡ ≡ ดังนั้น(6) p q, r ~sก. [.... ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [.... ∨ (~ r ∨ ~ s)] ≡ TTดังนั้น ก. ผิดข. [....] [(p ~ q) (r ~ s)] T→ ∨ ↔ → ≡ ถูกT T(7) ก. ~[(~p ~q) (r s)](p ∧ q) ∨ (~ r ∧ ~ s)∨ ∧ ∨ ≡ข. ~ [~ (p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ≡ (p ∧ ~ q) ∧ r(8) ให้ p แทน “เดชาขยัน”, q แทน “เดชาทําการบ้านสม่ําเสมอ”, r แทน “เดชาสอบผ่าน”ดังนั้น โจทย์บอกว่า (p ∧ q) → r เป็นเท็จแสดงว่า p ≡ q ≡ T, r ≡ Fก. p ∧ ~q ≡ F ข. ~p∧ q≡Fค. ~r →~q ≡ F ง. p ~r TT↔ ≡ ตอบ ง.(9) ก. ~(~p ∧ ~q) คือ p ∧ q ... สมมูลข. (~ p ∨ q) กับ (q ∨ ~ p) ... สมมูลค. p ∨ (~ q ∨ p) ≡ ~ q ∨ p เทียบกับ q ∨ p ...ไม่สมมูลง. สมมูล ตามกฎการกระจาย ↔ ตอบ ค.(10.1) ข. ถูก เพราะ ข. คือ (p → q) ∧ (q → p)(10.2) {[(q ∧ ~ t) ∧ (p ∨ ~ p)] ∨ ~ q} → r≡ [(q ∧ ~ t) ∨ ~ q] → r≡ [(q ∨ ~ q) ∧ (~ t ∨ ~ q)] → rT≡ (~ t ∨ ~ q) → r ≡ (t ∧ q) ∨ r ข้อ ง.(10.3) [(q ∨ r) ∧(q ∨ ~ r)] ∧[(p ∧ s) ∨(p ∧ ~ s) ]≡ [q ∨ (r ∧ ~ r) ∧ (p ∧ (s ∨ ~ s)] ≡ q ∧ pTF Tข้อ ก.(11) ข้อ ข. กับ ง. ไม่ใช่แน่นอน เพราะกลายเป็นab > 0, a < 0, b < 0 ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับโจทย์ ...ดังนั้น พิจารณาเฉพาะ ก. กับ ค.โจทย์ (p ∧ q) → rก. (~ p ~ q) ~ r∨ → ผิดค. ~r → (~p ∨ ~q) ถูก(12) ก. p → (q ∨ r) ข. (~ q ∧ ~ r) → ~ pค. ~p∨ q∨ r ข้อ ก. และ ข. กระจายแล้วจะเหมือนข้อ ค. ดังนั้นสมมูลกันหมดทุกข้อ(13) ก. ~(p ∧ ~r) ∨ ~ q ≡ ~p∨ r ∨ ~ q≡ q → (r ∨ ~ p) ถูกข. p → (q → r) ≡ ~ p ∨ (~ q ∨ r)และ q → (p → r) ≡ ~ q ∨ (~ p ∨ r) ถูกค. (p ∧ q) → r ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ r และ(p →~ q) ∨ (p →r) ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ ~ p ∨ r ถูก(14.1) ลองทําตารางค่าความจริงp q p*p q*q (p*p)*(q*q)T T F F TT F F T FF T T F FF F T T Fพบว่าผลลัพธ์ที่ได้นี้เหมือนกับ p ∧ q จึงตอบ ก.(14.2) จากตารางในโจทย์ มี F*F เท่านั้นที่ให้ผลเป็นจริง คล้ายๆ ตัวเชื่อม “หรือ” ... แต่ผลตรงกันข้าม (ตัวเชื่อม “หรือ” จะได้ผลเป็น T,T,T,Fตามลําดับ)ดังนั้น p q ~(p q)เพราะ ~(~p→ q) ≡ ~(p∨q)∗ ≡ ∨ ... ตอบข้อ ก.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET77ตรรกศาสตร(15) ทําตารางค่าความจริงเพื่อนับจํานวนกรณีp q r q*r p*(q*r)T T T F FT T F F FT F T F FT F F T FF T T F TF T F F TF F T F TF F F T Fคําตอบคือ จริง:เท็จ เท่ากับ 3:5(16.1) (p ∧ q) →[(p ∨ q) → r]FT FT T T T Fทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์(16.2) (p ∨ q) →[(p ∧ q) → r]FT FT T T T Fทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์(16.3) [(p → q) ∧(q →r)] →(p → r)FT T FT T F F T Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกันแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์(16.4) [(p →r) ∧(q →r)] →[(p ∧ q) → r]FT T FT T T T T T Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า r ขัดแย้งกันแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์(16.5) [(p →r) ∧(q →r)] →[(p ∨ q) → r]FT T FT FF F F F F Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า p กับ q ต้องเป็นเท็จเท่านั้น ทําให้ p ∨ q เป็นจริงไม่ได้แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์(16.6) [(p →r) ∧(q → s) ∧(p ∧ q)] →(r ∨ s)FT T T FF F F F T T F Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า p ขัดแย้งกัน, q ก็ขัดแย้งกัน ... แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์(16.7) ⎡⎣[ (p ∧ q) →r ] ∧(p → q) ⎤⎦→(p →r)FT T FT F F T T T Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกันแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์(17.1) ~(p → ~ q) ≡ ~(~p ∨ ~ q) ≡ p ∧ qดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์(17.2) (~ p ∧ q) ∨ p ≡ (~ p ∨ p) ∧ (q ∨ p)T≡ q ∨ p ดังนั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์(17.3) (p ∨ q) ∧ ~ p ≡ (p ∧ ~ p) ∨ (q ∧ ~ p)F≡ q ∧ ~ p ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์(17.4) (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p) ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์(17.5) (p ∧ q) →(p ∨ q) ≡ ~ (p ∨ q) →~ (p ∧ q)≡ (~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q) เป็นสัจนิรันดร์(17.6) ~p ∨ (q ∧ r) ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r)≡ (p → q) ∧ (p → r) เป็นสัจนิรันดร์(17.7) ซ้ายมือ ~p ∨ ~q∨rขวามือ ~ (~ p ∨ q) ∨ r ≡ (p ∧ ~ q) ∨ rดังนั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์(17.8) ข้อนี้แจกแจงยากใช้วิธีพิจารณาความสมมูลแต่ละกรณีดีกว่าp q r ซ้าย ขวาT T T T TT T F F FT F T F FT F F T TF T T F FF T F T TF F T T TF F F F Fซ้ายกับขวามีค่าตรงกันเสมอ ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์(18.1) [(p ∨ r) →(q ∨ r)] ∨(p ∨ q)FF FF Fนําค่า p และ q เป็นเท็จไปใส่ด้านหน้า จะลดรูปหายไปเหลือเพียง r → r ซึ่งพบว่าเป็นจริงเสมอ ไม่มีทางทําให้ด้านหน้าเป็นเท็จได้เลย ดังนั้นข้อนี้เป็นสัจนิรันดร์(18.2) [(~p∧ q) →~p] ∨(p → q)FF FF T T T Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกันแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์(19.1) (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) ≡ F → F ≡ Tเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) ดังนั้น นิเสธของประพจน์นี้ไม่เป็นสัจนิรันดร์ (แต่จะเป็นเท็จทุกกรณี)(19.2) [p ∧ T] ↔ [~ p ∨ F] ≡ p ↔ ~ p ≡ Fเสมอ ดังนั้น นิเสธของประพจน์นี้ เป็นสัจนิรันดร์Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET78ตรรกศาสตร(19.3) เนื่องจาก p ↔ q สมมูลกับ ~p ↔ ~ q ดังนั้น ~(p ↔ q) ∧ (~p ↔ ~ q) ≡ ~ ∧ ≡ Fเสมอ ... นิเสธของประพจน์นี้จึงเป็นสัจนิรันดร์(20) p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ รูปแบบที่จะเป็นจริงเสมอก็คือ “สัจนิรันดร์” นั่นเองก. (p → q) →(~ p ∧ ~ q)FT FF T F Tทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) เนื่องจากซ้ายกับขวาสมมูลกัน จึงเป็นสัจนิรันดร์ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) →(~ (p ∧ q) ∧ ~ r)FTFF F F F F Tทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า r ขัดแย้งกันแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ง. จากด้านซ้าย (~ p ∨ r) ∧ (~ q ∨ r)≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ r ≡ (p ∨ q) → rไม่เหมือนด้านขวา ดังนั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์จ. จากด้านซ้าย (~ p ∨ q) ∨ (~ p ∨ r)≡ ~p ∨ (q∨ r) ≡ p → (q∨r)ไม่เหมือนด้านขวา ดังนั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์สรุปว่า ข้อ ข. และ ค. ที่เป็นจริง(21) เนื่องจากซ้ายและขวาสมมูลกัน ดังนั้นเครื่องหมายที่ใช้ได้คือ → กับ ↔(22.1)สมเหตุสมผล(22.2) p → (r ∨ s)~p∨ r∨sสมเหตุสมผล(23.1) แปลงจากประโยคคําพูดให้เป็นสัญลักษณ์ได้ว่าเหตุ 1. p → q วิธีคิด 1. pผล2. (p ∧ q) →r3. ~ (s ∧ r)4. ps1. p → q2. q → sp → s3. ~ s~pไม่สมเหตุสมผล→ q4. pได้ q2.(p ∧ q) →rได้ r3. ~ s ∨ ~ r≡ r →~sได้ ~s(23.2)ผล1. p → ~ q2. r ∨ s3. r → q4. ~ spไม่สมเหตุสมผล(24.1)ผล s(24.2)1. p → (q → r)≡ q → (p → r)3. qp → r2. s → p→ r1. ~ p → q2. q → ~ r~p → ~r≡ r → p3.ผล p แสดงว่า 3. คือ r(25)1. p → ~ q2. qผล ~p ∴ ตอบว่า ฉันไม่ขยัน(26)วิธีคิด 1. p → q1. p → q2. ~ p → r3. s → ~ r4. ~ qผล ?ดังนั้นต้องตอบว่า ~s เป็นจริงแต่ในตัวเลือกเป็นดังนี้ก. ~s∨ p ข้อที่ใช้ได้คือ ก. (เพราะเชื่อมด้วย ∨ )ข. s ∧ pค. ~r ~sวิธีคิด 2. r∨ s4. ~ sr3. r → qq1. p → ~ q~p4. ~ q~p2. ~ p → rr3. s → ~ rผล ~s∧ ใช้ไม่ได้ เพราะเชื่อมด้วย ∧ ซึ่งเราทราบว่า ~r เป็นเท็จ (เพราะในเหตุนั้น r เป็นจริง)ง. p ∧ ~ q(27) ก. เท็จ เพราะมี x ที่ x 2 > 0 คือเมื่อ x = 0ข. จริง เช่น x = 2 จะได้ 8 > 4, 2 < 4ค. เท็จ เพราะถ้า x = 1 จะไม่เป็นจํานวนเฉพาะง. เท็จ เพราะไม่มี x ใด ตรงตามเงื่อนไขเลยMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET79ตรรกศาสตร(28) ก. “สําหรับทุกๆ x ถ้า x เป็นจํานวนอตรรกยะแล้ว 2 เป็นจํานวนตรรกยะ”... เท็จ (เช่น x = 3)ข. “มีบาง x ซึ่ง...ถ้า x เป็นจํานวนตรรกยะแล้ว0.5 เป็นจํานวนอตรรกยะ”... จริง (เช่น x = 2 จะได้ F → F เป็น T )ค. “สําหรับทุกๆ x...x เป็นจํานวนอตรรกยะ หรือπ ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ”... จริง เพราะ π ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ จริงเสมอ( ∨ T ≡ T)ง. “มีบาง x ซึ่ง... x เป็นจํานวนตรรกยะ และไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ”227... จริง เพราะ 22 ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ จริง7เสมอ และลองแทนด้านหน้าให้จริงด้วย เช่น x = 1หมายเหตุ ∀ x พิสูจน์ให้เท็จง่าย∃ x พิสูจน์ให้จริงง่าย2(29) ก. “สําหรับทุก x...x > x ”ใน U = (0, 1) ... จริงข. “สําหรับทุก x...x เป็นจํานวนเฉพาะ หรือห.ร.ม. ของ 3 กับ x เป็น 1” ... จริง เพราะ2, 3, − 5 เป็นจํานวนเฉพาะ, และ 8 มี ห.ร.ม. กับ3 เป็น 1ดังนั้น ก. ถูก ข.ผิด3(30) ∃ x(x + 5x − 1 < 4) เป็นจริง เช่น x =− 1จะได้ − 7 < 4 จริง2∀x(| x − 1| < 0 → x > −2)เป็นจริงเพราะส่วนที่ขีดเส้นใต้เป็นเท็จเสมอและ F → ≡ T สรุปข้อนี้ตอบ T ∧ T ≡ T2(31) ∃x(x − 1 เป็นจํานวนนับ) จริง เช่น x = 2จะได้ 2 2 − 1 = 3 เป็นจํานวนนับ∀ x(x + 1 > 0) จริง (จํานวนนับใดๆ + 1 ย่อมมากกว่า 0 )2x( 0)x∀ < เท็จ เช่น x 1= จะได้ 2 1 < 0ดังนั้น ข้อนี้ตอบ (T ∧ T) → F ≡ F2(32.1) ∃x(x ≠ 1) จริง เช่น x 0= ,2∀x(x ≠ 1) เท็จ เช่น x = 1, ดังนั้น T → F ≡ F(32.2) ∃ x(x + 1 > 0) จริง เช่น x = 02∃x(x ≠ 1) จริง ดังนั้น T ∧ T ≡ T(32.3) ∃ x(x + 1 > 0 และ x 2 ≠ 1) จริงเช่น x = 0 ดังนั้น T2(32.4) ∀ x(x > 0) เท็จ เช่น x = 0∀ x(x = 0) เท็จ เช่น x = 1 ดังนั้น F ∨ F ≡ F2(32.5) ∀ x(x > 0 หรือ x = 0) จริง (ไม่ว่าx =− 1,0,1 ก็จะจริงอันใดอันหนึ่งเสมอ) T(33.1) มี x บางตัวและ y บางตัว ที่ทําให้2x + y > 2 จริง เช่น x = 1, y = 1(33.2) มี x บางตัว ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จเข่น x = −1 → y = 0 ไม่ได้x = 0 → y = 0 ไม่ได้x = 1 → y = 0 ไม่ได้(33.3) x ทุกตัว ใช้ y ได้บางตัว เท็จเช่น x = 0 จะใช้ y ไม่ได้เลย(33.4) x ทุกตัว y ทุกตัว เท็จ แน่นอนเช่น x = 0, y = 0 ก็ไม่ได้แล้ว(34.1) เท็จ เช่น x = 1, y =− 1 จะได้ว่า 2 ≠ 0(34.2) ทุกๆ x จะใช้ y ได้บางตัว จริง เช่นx = 0, y = 0 x = 0, y = 1 x = − 1, y = − 1(34.3) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จเช่น x = − 1 ใช้ y = 1 ไม่ได้x = 0 ใช้ y = 1 ไม่ได้x = 1 ใช้ y = − 1 ไม่ได้(34.4) บาง x บาง y จริง(34.5) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จเช่น x = 0, y = 0 ไม่ได้ x = 1, y = 1 ไม่ได้x = − 1, y = − 1 ก็ไม่ได้(35.1) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ( y = x ไม่ได้)(35.2) x ทุกตัว ใช้ y ได้บางตัว จริงคือ x = 2,y =− 2 ได้, x = − 2,y = 2 ได้(36) ก. ∀x∃ y(xy = 1) เท็จเช่น x 2= จะไม่มี y ∈ I ที่ใช้ได้เลย∃x∀ y(xy = y) จริงถ้า x = 1 จะได้ว่า xy = y เสมอทุกๆ yดังนั้นสรุปข้อนี้ F ↔ T ≡ Fข. ∀x∃ y(xy = 1) เท็จ x y(xy y)∃ ∀ = จริง(เหตุผลเดียวกับข้อ ก.) ข้อนี้จึงได้ F ↔ T ≡ Fค. ∀x∃ y(xy = 1) เท็จ เช่น x = 0 จะไม่มีy ∈ R ที่ใช้ได้เลย∃x∀ y(xy = y) จริง (เหตุผลเดิม)ดังนั้นข้อนี้ F ↔ T ≡ Fง. x y(xy 1)+∈ R +ใด∀ ∃ = จริง ไม่ว่า xจะมี y ∈ R ใช้ได้เสมอ∃x∀ y(xy = y) จริง (เหตุผลเดิม)ดังนั้นข้อนี้ T ↔ T ≡ T ... ตอบ ง.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET80ตรรกศาสตร(37) ก. เท็จ เช่น x = 10, y = 5 จะได้ 15 > 50ข. เท็จ ไม่มี x, y ใดเลย ที่บวกกันแล้ว < 0 ได้ค. เท็จ ไม่มี x ใด ที่ใช้ y ได้ทุกตัว(ไม่ว่า x ใด เราจะหา y ที่ > x ได้เสมอ)ง. จริง ทุกๆ x จะมีบาง y ซึ่ง y > x เสมอดังนั้น ตอบ ง.(38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)](38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))](38.3) x [ P(x) ]∀ → ∃ x[Q(x)](38.4) ∀x∀ y[(x + y = 5) ∧(x − y ≠ 1)](38.5) ∀x∀y[x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0](38.6) ∀x∃ y(xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y>0)(38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)](38.8) ∃x∀y∃ z(x + y < zหรือ xy > z)(39) ก. ถูกแล้วแต่ ข. ผิด ต้องเป็น ∃ x[x < 6] ∧ ∃ x[x < 8](40.1) a =− 9 (เป็นจํานวนคี่ ติดลบ เรียงกัน /หรืออาจมองว่าลดลงทีละ 2 ก็ได้)(40.2) a = 22 (ลงท้ายด้วยเลข 2 และขึ้นหลักยี่สิบ / หรืออาจมองว่าเพิ่มทีละ 5 ก็ได้)(40.3) a = 5 (จํานวนนับเรียงกัน โดยติดลบสลับกับไม่ติดลบ)(40.4) a = 48 (บวกด้วยตัวมันเองกลายเป็นพจน์ถัดไป / หรืออาจมองว่าคูณ 2)(40.5) a =− 5 (ลดลงทีละ 2)หรือ a = 3 ก็ได้ (มองว่าหมุนเวียน)(40.6)a563 → 1↑ ↓−3 ←−1= (เศษส่วนของจํานวนนับเรียงติดกัน)(40.7) a = 25 (กําลังสองของจํานวนนับ)(40.8) a = 3 3 3 3 3 (มีเลข 3 อยู่ 5 ตัว)(40.9) หลักหน่วยควรเป็น 7 เนื่องจากหลักหน่วยเรียงกันเป็นลําดับ 5, 6, _, 8, 9ส่วนหลักที่เหลือก็เป็นลําดับ12, 72 , _, 4032, 36288× 6× 9พบว่า 72 × 7 = 504 และ 504 8 4032ดังนั้นตอบว่า 5047(41.1) 37 × 12 = 444 , 37 × 15 = 555(41.2) 9 × 9999 = 89991,9 × 99999 = 899991(41.3) 1234 × 9 = 11111 − 5 ,12345 × 9 = 111111 − 6× = พอดี(41.4) 9 9876 4 88888× + = ,9 × 98765 + 3 = 888888(41.5) 11× 14 = 154, 11× 15 = 165(41.6) 1089 × 4 = 4356 ,1089 × 5 = 5445(41.7) 2(3) + 2(9) + 2(27) + 2(81) = 3(81 − 1) ,2(3) + 2(9) + 2(27) + 2(81) + 2(243) = 3(243 − 1)(41.8) 6× 7 = 2 (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ,7× 8 = 2 (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)(42.1,42.2)สมชายสมชายคน สิ่งที่ว่ายน้ําได้เป็นไปได้ทั้ง 2 แบบ จึงไม่สมเหตุสมผล(42.3)คนคุยในเวลาเรียน นร.ห้องนี้สมเหตุสมผล(42.4)เด็กดีผู้ทําการบ้าน นักเรียน ผู้เล่นฟุตบอลไม่เสร็จอาจเป็นไปตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล(42.5)สมเหตุสมผล(42.6)สมเหตุสมผล(42.7)ฉันผู้เงินหมด ผู้โดยสารรถเมล์ได้นกแก้วสัตว์น้ํา สิ่งที่บินได้คนมี ฉัน ฉันความสุขคนยิ้มแย้มเป็นไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตุสมผลMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(42.8)81(42.13)ตรรกศาสตรนักเรียนผู้ร้ายคนสวมแว่นตาอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล(42.9)พระเอกหนังนางแบบผู้ชายสมเหตุสมผล(42.10) ไม่สมเหตุสมผลเพราะในเหตุไม่ได้ระบุว่า คนเป็นอะไร(ไม่ได้พูดถึงคน, พูดถึงแต่สัตว์)“ไม่ได้บอกว่าคนเป็นสิ่งมีชีวิต”ห้ามใช้ความจริงบนโลกในการตัดสิน!(42.11)ผู้ชายครูผู้ชอบดื่มกาแฟอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล(42.12)กุ้งปลาสิ่งที่มีสองตาอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผลสมเหตุสมผล(42.14)สมนึกช่างสมนึกสมนึกคนขยันช่าง คนขยันเป็นไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตุสมผล(42.15)สุนัขสัตว์สิ่งที่ต้องหายใจอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล(42.16) ไม่สมเหตุสมผลเพราะในเหตุไม่ได้กล่าวว่าอะไรคือ “ผลไม้ที่ทานได้”(คล้ายข้อ 42.10 คือห้ามใช้ความรู้สึกในการตัดสิน,ห้ามใช้ความจริงบนโลกในการตัดสิน ให้ยึดถือเฉพาะเหตุที่ให้มาเท่านั้น)(42.17)เพนกวินนกสิ่งที่บินได้สิ่งที่มีปีกอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผลMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET82ตรรกศาสตรeÃ×èo§æÁมองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล..วิชาตรรกศาสตร์ถูกใช้เป็นพื้นฐานของอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์แบบดิจิตัล ซึ่งส่งสัญญาณด้วยค่าแรงดันไฟฟ้าเป็นสัญญาณ “0” กับ “1” เท่านั้น ...สัญญาณ “0” ใช้แรงดัน 0 โวลต์, เทียบได้กับ “False” ในตรรกศาสตร์และสัญญาณ “1” ใช้แรงดัน 5 โวลต์ (หรือ 12 โวลต์ แล้วแต่อุปกรณ์), เทียบได้กับ “True” ในตรรกศาสตร์ชิพที่ฝังอยู่ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์จะมีหลักการทํางานเสมือนเป็นตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรียกตัวเชื่อมเหล่านี้ว่า เกต (Gate)เกตที่นิยมใช้กันทั่วไปมีดังนี้(1) INVERTER (เทียบได้กับ “นิเสธ”)เปลี่ยน 0 เป็น 1 และเปลี่ยน 1 เป็น 0(2) AND (เทียบได้กับ “และ”)จะเป็น 1 เพียงกรณีเดียวคือสัญญาณเข้าทั้งสองด้านเป็น 1(3) OR (เทียบได้กับ “หรือ”)จะเป็น 0 เพียงกรณีเดียวคือสัญญาณเข้าทั้งสองด้านเป็น 0(4) NAND กับ NOR (อ่านว่า แนนด์ กับ นอร์)เป็นนิเสธของ AND กับนิเสธของ OR ตามลําดับคือนําผลที่ได้จาก AND กับ OR มากลับค่าให้เป็นตรงกันข้าม(5) XOR (อ่านว่า เอ๊กซ์-ออร์)จะเป็น 1 เมื่อสัญญาณเข้าด้านหนึ่งเป็น 0และอีกด้านเป็น 1 เท่านั้น (0 ทั้งคู่ กับ 1 ทั้งคู่ จะให้ผลเป็น 0)จากความรู้ทางตรรกศาสตร์จะพบว่าเป็นนิเสธของ “ก็ต่อเมื่อ” นั่นเองเข้าออกinv0 110and01or011nand011nor001xor01สิ่งที่น่าสนใจของดิจิตัลคือการมองตรรกศาสตร์เป็นแบบคํานวณ คือเมื่อเราให้ 0 แทน False และ 1 แทนTrue แล้วจะพบว่าตัวเชื่อม AND มีลักษณะเหมือนการคูณ ส่วน OR นั้นมีลักษณะเหมือนการการบวก (โดยที่ 1+1 จะต้องเท่ากับ 1, จะเป็น 2 ไปไม่ได้นะครับ..) ดังตารางนี้A BA and BA BA or BAnot A( A )11001010(AB)1000เราสามารถนําพื้นฐานดิจิตัลกลับไปประยุกต์ใช้กับวิชาตรรกศาสตร์ได้เพียงแค่ทราบว่า “และคือคูณ”, “หรือคือบวก” เท่านี้เองครับ :]11001010(A+B)11101001หมายเหตุA nand B = AB = A+BA nor B = A+ B = AB(แจกแจงนิเสธตามกฎตรรกศาสตร์)A xor B ใช้สัญลักษณ์ A⊕BMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET83เรขาคณิตวิเคราะหG (e,o)º··Õè4 eÃ¢Ò¤³iµÇie¤ÃÒaËเรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry)เป็นวิชาคํานวณเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต โดยการเขียนกราฟลงบนพิกัดฉาก เช่น การหาระยะระหว่างจุดสองจุด, ระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น, การหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม, หรือการหาความชันของเส้นตรง เป็นต้น ซึ่งจะใช้เป็นเครื่องมือช่วยในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ในบทถัดไปได้ นอกจากนี้ความสัมพันธ์ที่พบบ่อยอาจมีกราฟเป็นเส้นโค้ง ได้แก่วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลาใน ระนาบ (Plane) หนึ่งๆ เราจะอ้างถึงตําแหน่งหรือจุดใดๆได้ด้วยค่า พิกัด (Coordinate) โดยระบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบพิกัดฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบด้วยเส้นจํานวน 2 เส้นตั้งฉากกัน ณ จุดที่สมมติให้เป็น จุดกําเนิด (Origin; หรือจุด O)เรียกชื่อเส้นนอนและเส้นตั้ง ว่าแกน x และแกน y ตามลําดับแกนทั้งสองนี้ตัดกัน แบ่งพื้นที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วนQ 2(−, +)Q 3(−, −)OyQ 1(+, +)Q 4(+, −)เรียกแต่ละส่วนว่า จตุภาค (Quadrant; Q) ได้แก่ จตุภาคที่ 1, 2, 3, และ 4 ดังภาพการอ้างถึงพิกัดในระบบพิกัดฉาก นิยมเขียนในรูป คู่อันดับ (Ordered Pair) ที่สมาชิกตัวแรกแทนระยะทางในแนว +x และตัวหลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คู่อันดับ (2, 4)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET844.1 เบื้องต้น : จุดเรขาคณิตวิเคราะหการเขียนชื่อจุดนิยมใช้ตัวอักษรใหญ่ เช่น จุด P, จุด Q และอาจเขียนกํากับด้วยคู่อันดับในพิกัดฉาก เป็น P(x,y) ใดๆ เช่น Q(2,4) ใช้แทนจุดที่ชื่อ Q และมีพิกัดเป็น (2, 4)[1] ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดสัญลักษณ์ที่ใช้แทนระยะห่าง ระหว่างจุด P กับ Q คือ PQP (x 1 ,y 1 )Q (x 2 ,y 2 )2 22 1 2 1PQ = (x − x ) + (y − y )[2] จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด จุดที่แบ่งระยะทางเป็นอัตราส่วน m:nQ (x 2 ,y 2 )Q (x 2 ,y 2 )mx1+ x2 y1+y2R( , )2 2mx1+ nx2 my1+ny2R( , )m + n m + nP (x 1 ,y 1 )P (x 1 ,y 1 )[3] จุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมเส้นมัธยฐาน คือเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดจุดหนึ่งกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (เรียกว่าจุด Centroid) จะแบ่งเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นออกเป็นอัตราส่วน 2:1 เสมอR (x 3 ,y 3 )P (x 1 ,y 1 ) C3 3Q (x 2 ,y 2 )[4] พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคํานวณได้โดย นําคู่อันดับของจุดยอดมาตั้งเรียงแบบทวนเข็มนาฬิกาให้ครบทุกจุด (โดยวนกลับมาที่จุดแรกอีกครั้งด้วย) จากนั้น คูณลงเครื่องหมายเดิม คูณขึ้นเปลี่ยนเครื่องหมาย (วิธีการเดียวกับการหา det ในเรื่องเมตริกซ์ บทที่ 9) นําค่าที่ได้รวมกันแล้วหารสอง จะเป็นพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนั้นT (x 5 ,y 5 )S ¢o¤ÇÃ·ÃÒº! Sx1 y1P (x 1 ,y 1 )1. ãª¡aºÃÙ»¡ÕèeËÅÕ èÂÁ¡çä´ eª¹ 3 eËÅÕèÂÁพื้นที่1= ⋅2xxxxxyyyyy2 23 34 45 51 1Q (x 2 ,y 2 ) R (x 3 ,y 3 )เพิ่มเติมสูตรระยะทางระหว่างจุดนี้จะได้นําไปใช้อีกครั้งและขยายผลออกเป็นระยะทางในสามมิติ ในเรื่องเวกเตอร์ (บทที่ 10) และนอกจากนั้นยังใช้คํานวณค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อน (ในบทที่ 11) ด้วยnพิสูจน์ได้จาก ทฤษฎีบทปีทาโกรัส(Pythagorean Theorem)S (x 4 ,y 4 )1= (x 1 y 2+ x 2 y 3+ x 3 y 4+ x 4 y 5+ x 5 y 1− x 2 y 1− x 3 y 2− x 4 y 3− x 5 y 4−x 1 y 5 )2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x1+ x2+ x3 y1+ y2+y3C( , )eÃÒ¡çµo§¤Ù³Å§ 3 ¤Ãaé§ ¤Ù³¢Öé¹ 3 ¤Ãa é§2. ÒäÁeÃÕÂ§¨ú µÒÁeÊ¹ÃoºÃÙ» ¤íÒµoº·Õ èä´ä¼í ... æµÒeÃÕÂ§µÒÁe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò¤íÒµoº·Õ èä´äe»¹ µí Åº¢o§¤Ò·ÕèÙ¡µo§

คณิตศาสตร O-NET / A-NET85แบบฝึกหัด 4.1เรขาคณิตวิเคราะห(1) กําหนดจุด P 1 (1,7) และ P 2 ( − 5,2) ให้หาค่า PP 1 2(2) ถ้า P, Q เป็นจุดกึ่งกลางของ AB , CD ตามลําดับ เมื่อกําหนด A(2,7), B(6, 3)C(2,5) − , และ D(8,1) ให้หาความยาวของ PQy(3) กําหนดสี่เหลี่ยมด้านขนาน OBCD ดังภาพ, P เป็นจุดกึ่งกลางของ BC , และ PC = PQ จงหาขนาดพื้นที่สามเหลี่ยม PQC(4) กําหนดสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดมุมอยู่ที่ A(5, − 3) ,B( − 6,1) , C(1,8) แล้วสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมชนิดใดOD (2,4) CP− ,B (2,0)(5) สามเหลี่ยม ABC มีจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามเป็น P(2,1) − , Q(5,2), R(2, − 3) ให้หาความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม ABC นี้(6) กําหนดสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A(2,8), B(6,12), C(2, − − 4) ถ้าจุด P และ Q อยู่บนด้าน AB และ BC ตามลําดับ โดยมีอัตราส่วน AP : PB = 1 : 3 , BQ : BC = 3 : 4 ให้หา PQ(7) ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง เมื่อกําหนดก. จุด A(10,5), B(3,2), C(6, − 5) เป็นจุดมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากข. จุด D(1,2), E( − 3,10) , F(4, − 4) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันค. จุด A(2,3) − , B ( − 6,1) , C(10, − − 1) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน(8) จงหาจุด P บนแกน x ซึ่งอยู่ห่างจากจุด P 1 (1, − 2) และ P 2 (3,5) เป็นระยะเท่ากัน(9) ให้หาจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งผ่านจุด (1, 7), (8, 6), (7, − 1)(10) ให้หาผลบวกของความยาวเส้นมัธยฐาน ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ A(2, − 1) , B(4,3), และ C(2,5) −(11) ถ้า (m, n) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ (4, 5), ( − 4,7) , และ(4, 1) แล้วจงหาค่า m − n(12) สามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดเป็น B(6,7), C(4, − − 3) ถ้าจุด P(4/3,1) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐานแล้ว เส้นมัธยฐานที่ลากจาก A มีความยาวเท่าใด(13) P เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (13, 2) และ ( −13, − 2) , Q เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (6, 10) และ(0, 14), R เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (8, 4) และ (16, − 4) ให้หาพื้นที่และตําแหน่งจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ของรูปสามเหลี่ยม PQR(14) จงหาผลต่างของพื้นที่สามเหลี่ยม ABC และ PQR เมื่อกําหนดตําแหน่งจุดยอดให้ ดังนี้A(1,3), B( − 2,0) , C(3, − 5) , P(0,0), Q(8,18), และ R(12,27)(15) กําหนดจุด P(3, − 2) , Q(2,3) − , R(0,4) แล้วข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม PQR เป็น 9 5 หน่วยMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)Qx

คณิตศาสตร O-NET / A-NET86เรขาคณิตวิเคราะหข. พื้นที่รูปสามเหลี่ยม PQR เป็น 15 ตารางหน่วย(16) ให้หาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยมซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A(1,4), B ( −3, − 2) , C(1, 3)E( − 2,7)[1] ความชัน (Slope; m) ของเส้นตรง ที่ทราบจุดผ่านสองจุดเส้นตรงสองเส้น ขนานกัน (Parallel; ) ก็ต่อเมื่อ มีความชันเท่ากันและเส้นตรงสองเส้น ตั้งฉากกัน (Perpendicular; ⊥ ) ก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันเป็น -1Q (x 2 ,y 2 )y2−y1m = tanθ=θ4.2 เบื้องต้น : เส้นตรงx − xP (x 1 ,y 1 )ถ้า m > 0 (เป็นค่าบวก) แสดงว่า กราฟเฉียงขึ้นทางขวาถ้า m < 0 (ติดลบ) แสดงว่า กราฟเฉียงลงทางขวาถ้า m = 0 แสดงว่า เป็นเส้นนอนขนานแกน xและถ้าเป็นเส้นตั้งขนานแกน y จะได้ว่า m หาค่าไม่ได้[2] สมการของเส้นตรง[2.1] เมื่อทราบจุดผ่านจุดหนึ่ง (x 1, y 1) และค่าความชัน mmy − y1เราใช้ความสัมพันธ์ของความชัน คือx − x1= mP (x 1 ,y 1 )หรือจัดรูปได้ว่า y − y1 = m ( x − x) 1[2.2] เมื่อทราบจุดผ่านสองจุด (x 1, y 1), (x 2, y 2)ให้คํานวณค่าความชันจากสองจุดนี้ก่อน แล้วจึงทําตามข้อ (2.1)โดยเลือกใช้จุดใดก็ได้จุดเดียวQ (x 2 ,y 2 )⎛y2−y1⎞สมการที่ได้จะเป็น y − y 1 = ⎜ ( x 1)x2 x⎟ x −⎝ − 1⎠P (x 1 ,y 1 )[2.3] เมื่อทราบ ระยะตัดแกน (Intercept) ทั้งสองแกนyสามารถใช้สมการเส้นตรงในรูป Intercept Formx yได้แก่ +a b= 1bเมื่อ a, b คือ ระยะตัดแกน x และ y ตามลําดับหรือกล่าวว่าเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด (a,0)O ax และตัดแกน y ที่จุด (0,b)โดยที่ a, b อาจเป็นค่าติดลบก็ได้2 1− − , D(4,5) −, และเราสามารถสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่กําหนดให้ เช่น จุด P กับ Q ใดๆ ได้เสมอ และเขียนแทน “ส่วนของเส้นตรง” ที่เชื่อมระหว่างจุด P กับ Q ด้วยสัญลักษณ์ PQ นอกจากนั้นนิยมตั้งชื่อ “เส้นตรง” ด้วยอักษร L เช่น เส้นตรง L 1 , เส้นตรง L 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET87เรขาคณิตวิเคราะหข้อควรทราบ1. สมการเส้นตรงมีรูปทั่วไป (Common Form) เป็น A x + By+ C = 02. สมการเส้นตรงที่นิยมใช้ประโยชน์มีอยู่ 3 รูปแบบ ได้แก่Slope-Intercept Form y = mx + c เมื่อ c คือระยะตัดแกน ySlope-Point Form y − y1 = m ( x − x 1)S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! Sx yIntercept-Intercept Form + = 13. เมื่อนํารูปทั่วไป มาจัดข้างตัวแปรใหม่ จะได้ y = − A x −ทําให้ทราบว่า ค่าความชันmABabB= − และระยะตัดแกนวายCBCc = −B• ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,3) และ Q(5,9)ก. ความชันของเสนตรงที่ผานจุด P และ Q เทากับเทาใด9 − 3ตอบ mPQ= = 3/25 − 1ข. ใหหาสมการเสนตรง L 1 ซึ่งตั้งฉากกับ PQ และผานจุดกึ่งกลางของ PQ2วิธีคิด เนื่องจาก L 1 ตั้งฉากกับ PQ ดังนั้น mL1= − (ความชันคูณกันตองได − 1)จุดกึ่งกลางของ PQ อยูที่พิกัด 1 + 5 3 + 9( , )2 23... นั่นคือ (3, 6)2สราง L 1 ไดจากความชันและจุดที่ผาน คือ (y − 6) = − (x − 3) ... จัดรูปใหมใหสวยงาม3ไดเปน 3y − 18 = − 2x + 6 ... และกลายเปน 2x + 3y − 24 = 0• ตัวอยาง เสนตรง L 5 ตัดแกน y ที่ (0, 1/ 3) และมีระยะตัดแกน x ทางลบเทากับ 1/2 หนวย สวนเสนตรง L 6 ผานจุด ( − 1,2) และตั้งฉากกับ L 5ก. เสนตรง L 5 และเสนตรง 6ตอบ เมื่อวาดกราฟคราวๆ จะไดวา L5L มีความชันเทาใด1/ 3m = = 2/31/2เสนตรง L 6 ตั้งฉากกับ L 5 ดังนั้น mL6= − 3/2หมายเหตุ : ระยะตัด “แกน x ทางลบ” เทากับ 1/2 หมายความวาตัดแกน x ที่จุด ( − 1/2,0)ข. จุดที่เสนตรงทั้งสองตั้งฉากกัน อยูที่พิกัดใดL กอน ...วิธีคิด สรางสมการเสนตรง L 5 และ 6x yเสนตรง L 5 อาจสรางไดโดยระยะตัดแกนทั้งสอง+ =−1/2 1/ 31จัดรูปเปน 2x − 3y = − 13เสนตรง L 6 สรางไดเปน (y − 2) = − (x + 1) จัดรูปเปน 3x + 2y = 12จุดที่เสนตรงทั้งสองตั้งฉากกัน ก็คือจุดตัดของสองเสนตรง หาไดจากการแกระบบสมการไดคําตอบเปน (1/ 13, 5/ 13)eÁ×èoäËÒ¤ÇÒÁªa¹o´Â –A/B ¹aé¹¤ÇÃ¨íÒÇÒ µí ÅºË¹Ò x ÊÇ¹´ÇÂË¹Ò y e¾×èoäÁãËãª¼í µaÇ æÅaµo§ä´ÊÁ¡ÒÃãËoÂÙ ã¹ÃÙ» Ax+By+C=0 ¡o¹eÊÁo ¹a¤Ãaº..Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET88เรขาคณิตวิเคราะห[3] ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้นAx+By+C 1 =0dAx+By+C 2 =0d=C − C2 122A + BS ¢o¤ÇÃÃaÇa§! Säµo§ä´ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃeÊ¹µÃ§·aé§Êo§eÊ¹ãËoÂÙ ã¹ÃÙ» Ax+By+C=0 eÊÁo... æÅaÒ¤Ò A,B ¢o§Êo§ÊÁ¡ÒÃäÁeËÁ×o¹¡a¹ µo§ËÒ¤Ò¤§·ÕèÁÒ¤Ù³ãËeËÁ×o¹¡a¹¡o¹¹a¤Ãaº[4] ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงP (x 1 ,y 1 )dAx+By+C=0d=Ax + By + C1 122A + B• ตัวอยาง กําหนดเสนตรง L 1 : 2x + 3y − 24 = 0ก. ระยะทางจากจุด S( − 2,5) ไปยังเสนตรง L 1 เทากับเทาใด2( − 2) + 3(5) −24 13d = = = 13 หนวยตอบ SL12 22 + 313ข. ใหหาสมการเสนตรงที่อยูหางจาก L 1 เปนระยะ 2 13 หนวยวิธีคิด สมการเสนตรงที่ได จะตองขนานกับ L 1 (มีความชันเทากัน) จึงจะทําใหระยะหางคงที่ไดดังนั้น ใหสมการที่ตองการ เปน 2x + 3y + C = 0 แลวหาคา C ที่ถูกตอง จากสมการระยะหาง− 24 − Cนั่นคือ 2 13 = ... ยายขางและถอดคาสัมบูรณ ไดเปน ± 26 = −24 − C2 22 + 3จะไดคา C = 2, − 50 จึงตอบวา 2x + 3y + 2 = 0 และ 2x + 3y − 50 = 0ค. ใหหาจุดบนเสนตรง L:2x 2 + y− 6= 0 ซึ่งอยูหางจาก L 1 เปนระยะ 2 13 หนวยวิธีคิด สมมติวา จุดที่ตองการคือ (x 1, y 1) จะไดสมการระยะหาง ดังนี้2x1 + 3y1−242 13 =ซึ่งจะพบวา ติดสองตัวแปร ... แตในที่นี้เราสามารถแกไดเพราะโจทยกําหนด2 22 + 3มาดวยวาจุด (x 1, y 1) อยูบนเสนตรง 2x + y − 6 = 0 ... ดังนั้น 1+ 1− =นําไปแทนที่ในคาสัมบูรณแลวแกสมการตามปกติ ไดผลเปน x 1 = − 8,5 ถา 12x y 6 0x 8= − ได y1= 22 และถาx1= 5 ได y1= − 4 ... จึงตอบวาจุดที่ตองการ คือ ( − 8,22) และ (5, − 4)หมายเหตุ ขอ ค. สามารถคิดไดอีกวิธี คือ หาจากจุดตัดระหวางเสนตรง L 2 กับเสนตรงที่เปนคําตอบของขอ ข. เพราะเสนตรงในขอ ข. ก็คือเสนที่หางจาก L 1 อยู 2 13 หนวยแลว• ตัวอยาง กําหนดสมการเสนตรง L 3 คือ 3x + y = 2 3 และ L 4 คือ 3x + 3y = 18ก. เสนตรงที่ขนานกับ L 3 จะตองมีความชันเทาใดตอบ คิดจาก − A/B จะงายที่สุด เพราะไมตองจัดรูป ... ไดคําตอบเปน − 3/1 = − 3ข. มุมระหวาง L 4 กับแกน x ที่เปนมุมแหลม มีขนาดกี่องศาวิธีคิด หาความชันของ L 4 กอน ไดเปน − 3/ 3 = − 3จากนั้นพิจารณาวาความชันคือ อัตราสวนแกนตั้งตอแกนนอน ( y:x) ในที่นี้เทากับ 3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET89เรขาคณิตวิเคราะหคิดจากตรีโกณมิติ จะพบวามุมที่ทํากับแกน x จะเทากับ 60°(หมายเหตุ : มุมที่ได จะเทากันไมวาความชันเปนบวกหรือลบ เพียงแตเอียงคนละทิศกัน)ค. วงกลมใดๆ ที่อยูระหวาง L 3 กับ L 4 จะมีรัศมีไดมากที่สุดหนวยวิธีคิด เนื่องจากเสนตรง L 3 กับ L 4 ขนานกัน (จากความชันที่คํานวณได ในขอ ก. และ ข.)ถาเราทราบระยะหางระหวางสองเสนนี้ ก็จะทราบวาวงกลมตรงกลางมีขนาดใหญที่สุดไดเทาใดC2−C1ระยะหางระหวางเสนตรง คิดจาก d =22A + B... แตในขอนี้คา A, B ของเสนตรงทั้งสองไมเหมือนกัน จึงตองปรับใหเทากัน เชน หารสมการ L 4 ดวย 3 กลายเปน 3x + y = 6 36 3 − 2 3 4 3d = = = 2 33 + 12ดังนั้น L3L42 2... สรุปวาวงกลมที่จะอยูระหวาง L 3 กับ L 4 ไดจะตองมีเสนผานศูนยกลางไมเกิน 2 3 หนวย หรือ รัศมีที่มากที่สุดเทากับ 3 หนวยง. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ปดลอมดวย L 3 , แกน x , และแกน y มีขนาดเทาใดวิธีคิด เสนตรงใดๆ ที่ความชันหาคาไดและไมเทากับ 0 และไมผานจุด (0, 0) ยอมทําใหเกิดรูปสามเหลี่ยมที่มีดานประกอบมุมฉากเปน แกน x และแกน y ไดเสมอ ... ซึ่งขนาดของพื้นที่สามเหลี่ยมนี้หาไดงายๆ ดวยระยะตัดแกน x และแกน y นั่นเองในขอนี้ ระยะตัดแกน x (แทน y = 0) เปน 2 และระยะตัดแกน y (แทน x = 0) เปน 2 3... ดังนั้นขนาดพื้นที่สามเหลี่ยม เทากับ (1/2) × (2) × (2 3) = 2 3 ตารางหนวย[5] ขนาดของมุมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นตัดกันθm 2tan θ =m 1Ans 1Ans 2m1 − m21 + mm1 2การหาเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุม θ นี้พอดี จะใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า“ระยะทางจากจุดบนเส้นตรงนี้ ไปยังเส้นตรงที่กําหนดให้ทั้งสองเส้น จะเท่ากันเสมอ”Ax 1 + By 1 + C1 A2x+ By 2 + C2นั่นคือ =2 2 2 21+ 1 2+2A B A Bซึ่งคําตอบที่ได้จะมีสองคําตอบ (เป็นเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุมแหลมและมุมป้าน) ที่ตั้งฉากกันดังภาพ[6] ภาพฉาย (Projection) บนเส้นตรงภาพฉายของจุด P บนเส้นตรง L คือจุด Q ภาพฉายของ PP 1 2 บนเส้นตรง L คือ QQ 1 2P (x 1 ,y 1 )P 2 (x 2 ,y 2 )L: Ax+By+C=0QP 1 (x 1 ,y 1 ) Q 2L: Ax+By+C=0Q 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET90เรขาคณิตวิเคราะหการคํานวณหาตําแหน่งภาพฉาย สามารถคํานวณได้หลายวิธี เช่น คํานวณจากความชันเป็นวิธีที่สะดวกที่สุด (โดยสร้างสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับเส้นตรง L แล้วจึงแก้ระบบสมการหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น) หรือคํานวณจากระยะทาง (โดยสร้างสมการเพื่อหาจุดที่ห่างจากจุด P เป็นระยะเท่าที่กําหนด ซึ่งจะได้เป็นสมการวงกลม แล้วจึงแก้ระบบสมการหาจุดตัดของวงกลมกับเส้นตรง)ภาพฉายของจุด P(x,y) 1 1 ใดๆ บนเส้นตรงที่มีสมการ “ y = x” (คือเส้นตรงเฉียงขึ้นx1+ y1 x1+y1ทางขวา ทํามุม 45° กับแกน x) ได้แก่ จุด Q( , )2 2แบบฝึกหัด 4.2(17) ถ้า A(1,2), B(2,k), C(3,4) อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ให้หาค่า k(18) จุด (1, y) อยู่บน PR ซึ่งมีพิกัด P(2,6) − และ R(4, − 2) ให้หาค่า y(19) AB ตัดแกน x และ y โดยมีระยะตัดแกน x ทางบวก 4 หน่วย และแกน y ทางบวก 3หน่วย จุดตัดสองจุดนี้แบ่ง AB ออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กันพอดี จงหาพิกัดของ A กับ B(20) หากกําหนดพิกัด A(4,5), B(1,2), C(2,8), D(2,4) − แล้ว AB ขนานกับ CD หรือไม่(21) จงหาจุด D ที่ทําให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เมื่อ A(4,1) − , B( −5, − 4) , C(1, − 2)(22) ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด (k, 7) , ( −3, − 2) ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (3, 2), (1, − 4) แล้ว ค่า kเป็นเท่าใด(23) ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1,5) และ B(3,6) ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด C(m,4) และD(1, − − m) แล้ว จงหาค่า m(24) วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ C(5,6) มีเส้นตรง L มาสัมผัสที่จุด ( − 3,1) ให้หาความชันของเส้นตรง L(25) จงหาความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีพิกัดเป็น A(1,7), B(8,6), C(7, − 1)(26) ให้หาคําตอบของข้อ (7) โดยใช้ความรู้เรื่อง ความชันของเส้นตรง(27) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3, 0) และ (0, 2)(28) เส้นตรง L ผ่านจุด ( −2, − 5) และ (1, 3) ถามว่ารูปสามเหลี่ยมที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงเส้นนี้ กับแกน x และแกน y มีพื้นที่เท่าใด(29) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (6, 8) และจุดตัดแกน x ของ 3x + 4y = 12(30) รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีจุดมุมอยู่ที่ A(1,2), B(2, − − 1) , C(3, − − 6) , D(2, − 5)ถ้า P เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม แล้ว P จะอยู่ห่างจากจุดกําเนิดกี่หน่วย(31) จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับ 2x + 3y + 10 = 0 และผ่านจุดที่ x + y = 1 ตัดกับ 2x + y = 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET91เรขาคณิตวิเคราะห(32) เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันที่จุดตัดแกน x พอดี หากเส้นหนึ่งมีสมการเป็น 3x − 4y + 5 = 0แล้ว ให้หาว่าอีกเส้นหนึ่งตัดแกน y ที่จุดใด(33) หากเส้นตรง L ตั้งฉากกับ 2x + 3y + 5 = 0 และผ่านจุด (1, 5)ถามว่าเส้นตรง L ตัดแกน x ที่จุดใด(34) ให้ M เป็นเส้นตรง 3x − 3y + 5 = 7 และ N เป็นเส้นตรง 2x − 5y + 7 = 4 จงหาสมการเส้นตรง L ที่ขนานกับ M และมีระยะตัดแกน y เท่ากับ N(35) เส้นตรง L 1 ผ่านจุด (2, 2) และ ( − 2,0) , เส้นตรง L 2 ตั้งฉากกับ L 1 ที่จุด ( − 2,0) และเส้นตรง L 3 มีส่วนตัดแกน x เป็น 4/3 แกน y เป็น –4 จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงสามเส้นนี้(36) กําหนด L 1 มีสมการเป็น 2x − 3y + 6 = 0 , L 2 ผ่านจุด ( − 2,3) และขนานกับ L 1หาก L 3 ผ่านจุด (2/ 3, − 1) และตั้งฉากกับ L 1 แล้ว ถามว่า L 2 กับ L 3 ตัดกันที่จุดใด ในควอดรันต์ใด(37) สมมติว่า A(3,k) อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 และเป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกําเนิด และรัศมี 4 หน่วย ถ้าเส้นตรง L สัมผัสวงกลมนี้ที่จุด A แล้ว ให้หาระยะตัดแกน x ของเส้นตรง L(38) เส้นตรง L เป็นเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งมีศูนย์กลางที่ A(1,2) − โดยสัมผัสกันที่จุด B(2, − 1) และทําให้เกิดสามเหลี่ยม PQR ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงเส้นนี้, แกน x, และแกน y พิจารณาข้อความ ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม PQR คือ 6 + 3 2 หน่วยข. พื้นที่สามเหลี่ยม PQR มีขนาด 4.5 ตารางหน่วย(39) หากสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดที่ A(2,5) − , B(4,8), C(2, − 3) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางด้านทั้งสองซึ่งสั้นกว่าด้านที่สาม และหาระยะตัดแกน x และ y ของเส้นตรงนี้(40) ถ้าระยะที่เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดแกน x เป็นสองเท่าของระยะตัดแกน y และเส้นตรงนี้ผ่านจุด(1, 3) แล้ว ให้หาเส้นตรงนี้(41) เส้นตรงที่ผ่านจุด ( − 2,4) และมีผลบวกของ X-intercept กับ Y-intercept เป็น 9 จะมีความชันเท่าใด และตัดแกน x ที่ใด(42) [Ent’24] เส้นตรง L มีความชันเป็น 0.5 และผ่านจุด C(3,0) − ตัดแกน y ที่จุด Aหากลาก AB ตั้งฉากกับ L โดยจุด B นั้นทําให้มีเส้นตรงขนานแกน y ผ่านจุด B ตัดแกน x ที่จุดC ได้ ถามว่า BC มีค่าเท่าใด(43) สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉาก มีจุด A อยู่ที่ ( − 3,5) , จุด C อยู่ที่ (4, − 4) ,และมีความชันของ AB เป็น 3/2 นั้น มีขนาดกี่ตารางหน่วย(44) เส้นตรง 2x − 3y = 6 และ 4x − 6y = 25 อยู่ห่างกันกี่หน่วย(45) จงหาค่า C ที่ทําให้เส้นตรง Ax + 2y + C = 0 อยู่ห่างจาก 3x − 4y − 5 = 0 หนึ่งหน่วยMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET92เรขาคณิตวิเคราะห(46) เส้นตรง L 1 ขนานกับ L 2 โดยอยู่ห่างกัน 4 หน่วย หากเส้นตรง L ซึ่งมีสมการเป็น12x −5y − 15 = 0 นั้นขนานกับ L 1 และอยู่ห่างจาก L 1 , 2ส่วนตัดแกน x ของเส้นตรง L 1 และ L 2L เป็นระยะเท่าๆ กัน จงหาผลบวกของ(47) กําหนดจุดยอดของสามเหลี่ยมเป็น A(2,1) − , B(5,4), C(2, − 3) ให้หาส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม ที่ลากจากจุด A มายังด้าน BC(48) เส้นตรง L มีสมการเป็น 5x − 12y + 3 = k และ L อยู่ห่างจากจุด P (3,2) − อยู่ 4 หน่วย ให้หาผลบวกของค่า k ที่เป็นไปได้ทั้งหมด(49) ให้หาว่าจุดใดบนเส้นตรง 2x − 4y = 15 อยู่ห่างจาก 3x + 4y = 10 เป็นระยะ 3 หน่วย(50) จงหาขนาดมุมแหลมที่เกิดจากการตัดกันของ 5x − y = 0 และ 2x − 3y + 1 = 0(51) กําหนดเส้นตรง L 1 ผ่านจุด ( 3,2), (0, 1) และเส้นตรง L 2 ผ่านจุด (2, 3), (1, 4) ให้หาขนาดของมุมแหลมระหว่าง L 1 กับ L 2(52) เส้นตรง L 1 ผ่านจุด (2, 3), (1, 0) และเส้นตรง L 2 ผ่านจุดกําเนิด O และตัดกับ L 1 ที่จุดC ถ้ามุมระหว่าง L 1 กับ L 2 เป็น 30° ให้หาความยาวของ CO(53) จงหาสมการเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุมที่เกิดจากการตัดกันของ 3x 4y 1 0+ + = และ4x − 3y − 6 = 0(54) ถ้า A เป็นภาพฉายของจุด ( − 2,1) บนแกน x และ B เป็นภาพฉายของ ( − 5,6) บนแกน yให้หาสมการเส้นตรง AB(55) กําหนด A(1,0), B(5,8) − , P เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ Q เป็นภาพฉายของ B บนเส้นตรง x = 1 จงหาสมการเส้นตรง PQ และเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ PQ(56) จงหาโพรเจคชันของจุด ( − 2,1) บนเส้นตรง x − y = 0(57) จงหาโพรเจคชันของจุด (0, 7) บนเส้นตรง 4x − 5y = 64.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟกราฟเส้นโค้ง ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา เรียกรวมกันว่า ภาคตัดกรวย (Conic Section) เนื่องจากเป็นกราฟที่ได้จากการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบในมุมต่างๆ ดังภาพ (ในหน้าต่อไป)ตัวอย่างการนําความรู้เรื่องภาคตัดกรวยไปใช้ในชีวิตจริง เช่น1. การหาตําแหน่งศูนย์กลางของแผ่นดินไหว (วงกลม)2. เลนส์ จานรับดาวเทียม โคมไฟหน้ารถยนต์ การเคลื่อนที่วิถีโค้ง (พาราโบลา)3. ห้องกระซิบ สลายนิ่ว โครงสร้างอะตอม วงโคจรของดาวเคราะห์ ดาวหาง ดาวเทียม (วงรี)4. การหาตําแหน่งของต้นกําเนิดเสียง โดยใช้ผลต่างเวลาระหว่าง 2 จุด (ไฮเพอร์โบลา)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET93เรขาคณิตวิเคราะหวงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา(Circle) (Ellipse) (Parabola) (Hyperbola)พื้นฐานการเขียนกราฟก่อนจะศึกษาภาคตัดกรวยแต่ละรูป ควรทราบพื้นฐานการเขียนกราฟ ว่าลักษณะของกราฟโดยทั่วๆ ไปนั้นจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร หากมีค่าคงที่มาบวกลบคูณหารอยู่กับตัวแปร x หรือ y ซึ่งพื้นฐานเหล่านี้เป็นสิ่งสําคัญ เพราะเป็นจริงเสมอไม่ว่าจะใช้กับกราฟใดๆ นอกเหนือจากในบทนี้ เช่นค่าสัมบูรณ์, ตรีโกณมิติ, เอกซ์โพเนนเชียล ฯลฯ[1] เมื่อมีค่าคงที่มาบวกหรือลบจะเกิดการ เลื่อนแกนทางขนาน(Translate หรือ Shift) กล่าวคือหากเปลี่ยนรูปสมการจาก f(x,y) = 0ไปเป็น f(x− h,y-k) = 0 เมื่อh, k เป็นค่าคงที่ กราฟรูปเดิมจะถูกเลื่อนไปทางขวา h หน่วยและเลื่อนขึ้นด้านบนอีก k หน่วย(หรือกล่าวว่า จุดกําเนิดถูกเลื่อนไปยังคู่อันดับ (h, k) และรูปกราฟทั้งหมดถูกเลื่อนตามไปด้วย)[2] เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นบวก) มาคูณหรือหารจะเกิดการ ปรับขนาด (Scale) ทางแกนนั้นกล่าวคือ หากเปลี่ยนรูปสมการจาก y = f(x)ไปเป็น myที่มากกว่า 1 ... กราฟรูปเดิมจะถูกบีบลงทางแนวนอน n เท่า และบีบลงทางแนวตั้ง m เท่า(ส่วนกรณีที่ m, n น้อยกว่า 1 จะมองว่าเป็นการหาร และกราฟจะถูกขยายออกแทน)ทั้งนี้ต้องใช้แกน h, k ที่ได้จากการเลื่อนแกนแล้ว เป็นแกนกลางสําหรับบีบหรือขยายรูปกราฟ= f (nx) เมื่อ m, n เป็นค่าคงที่Oyy(0,-1)Oyyy = x 2xxy+1 = x 2y = x 2xy = (2x) 2xyy(3,0)yy = (x-3) 2xy+1 = (x-3) 2x(3,-1)3y = x 2ความสูงทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 3yxy/4 = x 2ความกว้างทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2 ความสูงทุกตําแหน่งเพิ่มเป็น 4 เท่าMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET94เรขาคณิตวิเคราะหข้อสังเกต 1. กราฟในตัวอย่างหน้าที่แล้ว สองรูปล่างเป็นสมการเดียวกัน เพียงแต่มองคนละวิธี* 2. หากสมการมีทั้งการบวกลบและคูณหาร จะต้อง yจัดรูปสมการให้บวกลบอยู่ในวงเล็บ (กระทํากับตัว2y = (x-3) 2 -2แปรโดยตรง) แล้วถัดมาจึงเป็นการคูณหารจัดรูปเป็น 2(y+1)=(x-3) 2ดังตัวอย่างด้านขวานี้x[3] เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นลบ) มาคูณหรือหารนอกจากจะมีการขยายหรือบีบตามข้อ (2) แล้ว ยังเกิดการ พลิก (Flip) รูปกราฟ โดยใช้แกน h, kนี้เป็นแกนหมุนด้วย (หากตัวแปร x ถูกคูณด้วยลบ จะพลิกสลับซ้ายขวา, และหากตัวแปร y ถูกคูณด้วยลบ จะพลิกสลับบนล่าง)yy = x 2เลื่อนแกนไปอยู่ที่ (3,-1) และความสูงทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2y-(y+1) = (x-3) 2xOxเลื่อนแกนไปอยู่ที่ (3,-1) และพลิกรูปกราฟ สลับบนล่าง4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลมนิยาม วงกลม คือ “เซตของคู่อันดับที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เป็นระยะเท่าๆ กัน”เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดศูนย์กลาง (Center; C) และเรียกระยะทางนั้นว่า รัศมี (Radius; r)สมการวงกลม สร้างจากสมการระยะทางระหว่างจุดสองจุด (ทฤษฎีบทปีทาโกรัส) หากมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(0,0) และรัศมียาว r หน่วย สมการจะเป็น x 2 + y 2 = r2 แต่ถ้าเลื่อนแกน ให้จุด2 2 2ศูนย์กลางไปอยู่ที่ C(h,k) สมการจะกลายเป็น (x− h) + (y− k) = rrC(h,k)วงกลม2 2 2(x− h) + (y− k) = rจุดศูนย์กลาง C(h,k)รัศมี r หน่วยรูปทั่วไป2 2x + y + Dx + Ey + F = 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET95เรขาคณิตวิเคราะห• ตัวอยาง ใหสรางสมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (1, − 2) และผานจุด (2, 1)2 2และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม2 2วิธีคิด หารัศมีจากระยะทางระหวาง (1, − 2) กับ (2, 1) ไดเทากับ 1 + 3 = 10 หนวย2 2 2สมการวงกลมคือ (x− h) + (y− k) = r แทนคาจุดศูนยกลางและรัศมี2 2 22 2 2 2ได − + + = → − + + + + = → + − + − =(x 1) (y 2) 10 x 2x 1 y 4y 4 10 x y 2x 4y 5 0• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปวงกลมที่มีสมการเปน x 2 + y 2 + 2x−4y− 10=02 2วิธีคิด จัดกลุม x และ y แยกกันและยายตัวเลขไวทางขวา (x + 2x) + (y − 4y) = 10ตอมา เติมตัวเลขลงในวงเล็บทั้งสอง เพื่อใหเปนกําลังสองที่สมบูรณ (อยาลืมเติมทางขวาดวย)2 22 2ไดเปน (x + 2x +1 ) + (y − 4y +4 ) = 10 +1+4 นั่นคือ (x + 1) + (y − 2) = 15ตอบ จุดศูนยกลางคือ ( − 1,2) และรัศมียาว 15 หนวยข้อสังเกต1. จากรูปทั่วไปของสมการวงกลม x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 เมื่อจัดรูปด้วยวิธีกําลังสองสมบูรณ์แล้วจะทําให้ทราบว่า (h, k) = ( −D/2, − E/2)2.1 สมการวงกลมมีค่าคงที่ซึ่งบอกลักษณะกราฟ อยู่ 3 ตัว คือ D, E, F หรือ h, k, rดังนั้นการสร้างสมการวงกลมจากจุดที่กราฟผ่าน ต้องกําหนดจุดมาให้ 3 จุด แล้วจึงแก้ระบบสมการ3 สมการ ซึ่งกรณีนี้สมการ x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 จะคํานวณง่ายกว่า2.2 แต่ถ้าบอก r มาให้ จะต้องการจุดเพิ่มอีกเพียง 2 จุด เพื่อหาค่า h, k หรือถ้าบอก h, k มาให้ ก็2 2 2ต้องการอีกเพียงจุดเดียวเพื่อหาค่า r โดยใช้สมการ (x− h) + (y− k) = rเส้นสัมผัสวงกลม คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น (เรียกว่าจุดสัมผัส) และเส้นสัมผัสวงกลมทุกเส้นจะตั้งฉากกับรัศมี (ที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดสัมผัส)ระยะทางจากจุด P(x,y) 1 1 ใดๆ ภายนอกวงกลม มายังจุดสัมผัส Q หาได้ดังนี้QdP (x 1 ,y 1 )Cd2 21 1 1 1d = x + y + Dx + Ey + F2 2 2หรือ d = (x − h) + (y −k) − r1 1แบบฝึกหัด 4.4(58) สมการต่อไปนี้ต้องการเลื่อนแกนเพื่อให้ได้รูปที่กําหนด ต้องเลือกจุดใดเป็นจุดกําเนิดจุดใหม่(58.1) (x− 4)(y + 3) = 1 → xy = 1(58.2) y = x + 1 −2→ y = x2 2 2 2(58.3) x + y + 2x − 4y + 5= 9 → x + y = kMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET96เรขาคณิตวิเคราะห(59) จงหาสมการรูปทั่วไปของวงกลม ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้(59.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, 4) และผ่านจุด (1, 1)(59.2) เส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง เชื่อมจุด (1, 1) กับ (2, 2)(59.3) สัมผัสเส้นตรง y = 2xที่จุดกําเนิด และผ่านจุด (1, 1)(59.4) ผ่านจุด ( − 6,3) , (2, 3) และ ( − 2,7)(59.5) ผ่านจุด (1, 5)2 2x + y + 3x − 3y − 8 = 0− และผ่านจุดตัดของวงกลม 2 2x + y − 2x + 2y − 8 = 0 กับ2 2(60) หาความยาวเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด (0, 1) ไปยังวงกลม 3x + 3y + 11x + 15y = − 9(61) ให้หาสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้(61.1) สัมผัสวงกลม x 2 + y 2 = 8 ที่จุด (2, 2)(61.2) สัมผัสวงกลม x 2 + y 2 = 17 และมีความชันเป็น 4[Hint: สร้างสมการเส้นตรงความชันเท่านี้ แต่ผ่านจุดศูนย์กลางก่อน](61.3) สัมผัสวงกลม x 2 + y 2 = 16 และผ่านจุด ( − 1,8)[Hint: สร้างสมการเส้นตรงความชันใดๆ ที่ผ่านจุดนี้ แล้วจึงหาค่าความชัน](62) ให้หาสมการวงกลม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ [Hint: หาจุดศูนย์กลางวงกลมก่อน]2(62.1) รัศมี 2 หน่วย และสัมผัสกับวงกลมสองวงนี้ คือ (x 2)2(y 1) 12 2(x− 6) + (y − 2) = 4 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์ที่ 1(62.2) รัศมี 1 หน่วย, สัมผัสกับเส้นตรง y = x + 2, และสัมผัสกับวงกลม− + + = และ2 2x + y − 4x + 2y + 1=0(62.3) แนบในสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นตรงสามเส้นนี้ตัดกัน 2x − 3y + 21 = 0 ,3x −2y − 6 = 0 , และ 2x + 3y + 9 = 0(63) จงหาค่า k ที่ทําให้ 2 2 x y 6x 8y k 0+ − + + = เป็นสมการวงกลม(64) [Ent’32] จงหาค่า k > 0 ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ y = kx สัมผัสกับ x 2 + y 2 − 14x + 49=k2(65) ถ้า C เป็นจุดศูนย์กลางของกราฟ x 2 + 4x + 2 = − (y 2 + 8y + 9) แล้ว ให้หาสมการเส้นตรง OCและสมการวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง(66) [Ent’38] เส้นตรงความชัน –4/3 ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม x 2 + y 2 − 4x + 2y = 4 โดยตัดวงกลมที่จุด A กับ B หากกําหนดจุด D(1, − − 2) แล้ว ให้หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABD(67) ให้หาสมการกราฟซึ่งจุด P(x,y) ใดๆ บนกราฟเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับกราฟ2(x − 1) = (1− y)(1+ y) และผ่านจุด A(1,0) − ด้วย4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลานิยาม พาราโบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่มีระยะไปถึงจุดคงที่จุดหนึ่ง เท่ากับระยะไปถึงเส้นตรงเส้นหนึ่ง” เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดโฟกัส (Focus; F) เรียกเส้นตรงเส้นนั้นว่า ไดเรกตริกซ์(Directrix; เส้นบังคับ) เรียกเส้นตรงที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ ว่า แกน (Axis)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET97เรขาคณิตวิเคราะหเป็น x2หรือ y2พาราโบลาที่มี จุดยอด (Vertex) อยู่ที่ V(0,0) และระยะโฟกัสยาว c หน่วย จะมีสมการ= 4cy (อ้อมแกน y, กราฟหงายเมื่อค่า c เป็นบวก, กราฟคว่ําเมื่อค่า c ติดลบ)= 4cx (อ้อมแกน x, กราฟเปิดขวาเมื่อ c เป็นบวก, กราฟเปิดซ้ายเมื่อ c ติดลบ)2หากมีการเลื่อนแกน ให้จุดยอดไปอยู่ที่ V(h,k) สมการจะกลายเป็น (x− h) = 4 c (y − k)− = − ตามลําดับและ2(y k) 4 c (x h)2c⎧c ⎨⎩⎧c ⎨⎩Axis :x=hF (h,k+c)V (h,k)Directrix : y=k-cพาราโบลา (ตั้ง)2(x− h) = 4 c (y−k)จุดยอด V(h,k)ระยะโฟกัส c หน่วยเลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วยรูปทั่วไป2x Dx Ey F 0+ + + =Axis : y=kDirectrix :x=h-ccV(h,k)c⎫⎪⎬2c⎪⎭F (h+c,k)พาราโบลา (ตะแคง)2(y− k) = 4 c (x−h)จุดยอด V(h,k)ระยะโฟกัส c หน่วยเลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วยรูปทั่วไป2y Dx Ey F 0+ + + =นิยาม เลตัสเรกตัม (Latus Rectum) คือเส้นแสดงความกว้างของรูปกราฟ ณ ตําแหน่งโฟกัสข้อสังเกต1. พาราโบลาอ้อมแกนใด อาจสังเกตได้จาก ตัวแปรนั้นจะยกกําลังหนึ่ง2. สมการพาราโบลามีค่าคงที่ 3 ตัว (คือ D, E, F หรือ h, k, c) เช่นเดียวกับวงกลม ดังนั้นการสร้างสมการจะใช้วิธีคล้ายกัน แต่พาราโบลาต้องทราบก่อนด้วยว่าเป็นพาราโบลาอ้อมแกนใด• ตัวอยาง ใหสรางสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (1, − 2) และผานจุด (2, 1) โดยมีแกนสมมาตร2 2แนวตั้ง และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม2วิธีคิด มีแกนสมมาตรแนวตั้ง แสดงวาสมการคือ (x− h) = 4 c (y − k)2เราทราบจุดยอด (h, k) = (1, − 2) แทนคาลงในสมการ เปน (x− 1) = 4 c (y+2)หาคา c โดย แทนจุดที่พาราโบลาผานคือ (2, 1) ลงไปที่ x, y แลวสมการตองเปนจริงMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET98เรขาคณิตวิเคราะห22(2− 1) = 4 c (1 + 2) → 4 c = 1/ 3 ... ฉะนั้น สมการพาราโบลาคือ (x− 1) = (1/ 3)(y+2)2 2และกระจายได 3(x − 2x+ 1) = y+ 2 → 3x −6x− y+ 1=0หมายเหตุ ในตัวอยางแรกของเรื่องวงกลมก็สามารถคิดดวยวิธีในขอนี้ได คือใสจุดศูนยกลาง (h, k) ลงไปในสมการวงกลมกอน จากนั้นแทนจุดที่ผานคือ (2, 1) เพื่อหาคา r ที่ยังไมทราบ2• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปพาราโบลาที่มีสมการเปน x − 2x −2y − 3=02วิธีคิด สังเกตวาไมมีพจน y แสดงวาเปนพาราโบลาออมแกนตั้ง (หงายหรือคว่ํา)การจัดรูปสมการพาราโบลาแบบนี้ เราจัดกลุม x ไวทางซาย และยาย y กับตัวเลขไวทางขวาคือ2(x 2x) 2y 3+1 +1 เพื่อเปนกําลังสองสมบูรณ2− = + ... จากนั้นเติมตัวเลข (x − 2x ) = 2y + 32 2 2ไดเปน (x − 1) = 2y + 4 → (x − 1) = 2 (y + 2) → (x − 1) = 4 (0.5)(y + 2)ตอบ เปนสมการพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ (1, − 2) จุดโฟกัสคือ (1, − 2 + 0.5) = (1, − 1.5)และสมการไดเรกตริกซคือ y = −2− 0.5 = − 2.5 (หรืออาจเขียนเปน 2y + 5 = 0 ก็ได)(ถายังไมแมนยํา ควรเขียนกราฟเพื่อชวยในการคิดเลขดวย)แบบฝึกหัด 4.5(68) จงหาสมการรูปทั่วไปของพาราโบลา ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้(68.1) จุดยอดอยู่ที่ ( − 2,3) และจุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 3)(68.2) จุดยอดอยู่ที่ O และจุดปลายเลตัสเรกตัมจุดหนึ่งอยู่ที่ ( − 3,6)(68.3) จุดยอดอยู่ที่ O และผ่านจุด ( −4, − 6) โดยมีแกน x เป็นแกนสมมาตร(68.4) จุดยอดอยู่ที่ (2, − 3) และผ่านจุด (8, − 2.1) โดยแกนสมมาตรตั้งฉากแกน x(68.5) จุดยอดอยู่ที่ (5, − 2) และผ่านจุด (3, 0) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน y(68.6) จุดโฟกัสอยู่ที่ (2, 2) และสมการไดเรกตริกซ์เป็น x + 2 = 0(68.7) ผ่านจุด (1, 3) , (9, 1) , และ (51, − 2) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน x(68.8) ผ่านจุด ( − 2,3) , (3, 18), และ (0, 3)2(69) ให้หาระยะจากจุด P (4, − 3) ซึ่งอยู่บนพาราโบลา 2x + 3y = 0 ไปถึงจุดโฟกัส(70) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ของพาราโบลา(70.1) จุดโฟกัส ความกว้างที่จุดโฟกัส และสมการไดเรกตริกซ์ ของ x 2 − 12y = 0(70.2) ส่วนประกอบทั้งหมดของ y 2 − 10y + 12x + 61=0(70.3) จุดโฟกัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (4, 2) และมีไดเรกตริกซ์เป็น x − 1=0(70.4) จุดตัดแกน x ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, − 1/ 3) และจุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 7/6)(71) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P(x,y) ซึ่ง(71.1) อยู่ห่างจากเส้นตรง y = − 4 เท่ากับระยะห่างจากจุด ( − 2,8)(71.2) อยู่ห่างจากเส้นตรง x = − 4 มากกว่าระยะห่างจากจุด (3, 1) อยู่ 5 หน่วย2(72) จุดบนโค้ง 4y = (x − 1) ซึ่งอยู่ห่างจากจุดโฟกัส 13 หน่วย จะห่างจากแกน x เท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET99เรขาคณิตวิเคราะห(73) ความยาวคอร์ดที่เกิดจากเส้นตรง 2x − y = 8 ตัดกับพาราโบลา y2 = 8x เป็นเท่าใด(74) สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 6) และจุดโฟกัสของ 2 y 4x 4y 8− − = คือสมการใด(75) ให้หาสมการพาราโบลาที่มีเส้นตรง y = 5 เป็นไดเรกตริกซ์ และมีจุดโฟกัสอยู่ที่ศูนย์กลางของกราฟ x 2 − 6x = 6−2y − y2(76) ให้หาสมการพาราโบลาที่ผ่านจุดตัดของเส้นตรง x = y กับวงกลม x 2 + y 2 + 6x = 0 โดยมีแกน x เป็นแกนสมมาตร(77) กําหนดให้ไดเรกตริกซ์และแกนของพาราโบลา 2 y 4y 8x 20− + = ตัดกันที่จุด Pถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจุดกําเนิด, จุด P, และจุดโฟกัสของพาราโบลาแล้ว กําลังสองของรัศมีวงกลมเป็นเท่าใด(78) ให้หาระยะโฟกัสของเลนส์รูปพาราโบลา ซึ่งมีความสูง 6 หน่วย และฐานกว้าง 8 หน่วย4.6 ภาคตัดกรวย : วงรีนิยาม วงรี คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลรวมของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่าเท่ากัน”เรียกจุดคงที่สองจุดนั้น ว่า จุดโฟกัส ( F,F 1 2 ) และนอกจากนี้ ระยะทางรวมซึ่งเป็นค่าคงที่นั้น จะมีค่าเท่ากับ ความยาวของแกนเอก (2a) พอดีจะมีสมการเป็นวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(0,0) และแกนเอกยาว 2a หน่วย แกนโทยาว 2b หน่วย2 2⎛ x y⎜ ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ = 1⎝a⎠ ⎝b⎠(รีตามแกน x) หรือ2 2⎛ y x⎜ ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ = 1⎝a⎠ ⎝b⎠(รีตามแกน y)B 1 (h,k+b)⎫⎬ ba⎭V 2 F 2 C Fc1(h,k) (h+c,k)B 2V 1(h+a,k)วงรี (นอน)2 2(x−h) (y−k)+ = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b2 2ระยะโฟกัส c = a − bรูปทั่วไป2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + =Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET100เรขาคณิตวิเคราะหB 2(h,k+c)b C (h,k) B 1 (h+b,k)a⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩V 1 (h,k+a)F 1⎫⎬c⎭F 2V 2วงรี (ตั้ง)2 2(y−k) (x−h)+ = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b2 2ระยะโฟกัส c = a − bรูปทั่วไป2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + =นิยาม แกนเอก (Major Axis) คือเส้นแสดงความยาวของวงรี ( VV 1 2 ) และ แกนโท(Minor Axis) คือเส้นแสดงความกว้างของวงรี ( BB 1 2 )ข้อสังเกต1. สมการวงรีเกิดจากการขยายขนาดทางแกน x, y ของวงกลมรัศมี 1 หน่วย2. สําหรับวงรีนั้น a > b เสมอ ดังนั้นตัวเลขใดมีค่ามากกว่า ตัวนั้นก็จะเป็น a (เป็นแกนเอก)3. สมการวงรีมีค่าคงที่ถึง 4 ตัว การสร้างสมการวงรีจากจุดที่กราฟผ่าน ต้องใช้ถึง 4 จุด (ไม่นิยมกระทํา เพราะต้องแก้ระบบสมการที่มีถึง 4 สมการ)• ตัวอยาง ใหสรางสมการวงรีที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสอยูที่ (2, 4) และจุดยอดอยูที่2 2(2, − 4) และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็มวิธีคิด จุดศูนยกลาง จุดโฟกัส และจุดยอด เรียงกันโดยคา x เทากันและ y ตางกัน2 2(y−k) (x−h)แสดงวาเปนวงรีตามแกนตั้ง ... สมการคือ + = 12 2a b2 2เนื่องจากคา a = ( −4) − (1) = 5 และคา c = (4) − (1) = 3 ดังนั้น b = 5 − 3 = 42 2(y−1) (x−2)แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน + = 12 25 42 2 2 2กระจายสมการ 16(y − 1) + 25(x − 2) = 400 → 16(y − 2y+ 1) + 25(x − 4x+ 4) = 4002 2→ 25x + 16y −100x−32y− 284 = 02 2• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปวงรีซึ่งมีสมการเปน 7x + 16y + 28x− 96y+ 60 = 0วิธีคิด ในขอนี้สัมประสิทธิ์หนา x 2 กับ y 2 ไมเปน 1 จึงตองแยกออกมาหนาวงเล็บดวย2 2 2 2ดังนี้ (7x + 28x) + (16y − 96y) = −60 → 7 (x + 4x) + 16 (y − 6y) = − 60 ...จากนั้นเติมตัวเลขลงในวงเล็บทั้งสองและเติมทางขวาดวยเชนเดิมแตใหระวังเนื่องจากมีตัวคูณอยูหนาวงเล็บทางซาย ทําใหตัวเลขที่เติมทางขวาเปลี่ยนไป2 2ไดเปน 7(x + 4x +4 ) + 16(y − 6y +9 ) = −60+28+144 ... ( 28 7 4= × , 144 = 16 × 9 )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET101เรขาคณิตวิเคราะห2 2นั่นคือ 7(x + 2) + 16(y − 3) = 112นําตัวเลขที่เหลือทางขวา คือ 112 หารตลอดสมการ จะได2 2(x + 2) (y − 3)+ =16 71ตอบ เปนวงรีตามแกนนอน จุดศูนยกลางคือ ( − 2,3)เนื่องจากคา a = 4, b = 7 จะได c = 16− 7 = 3 ดังนั้นจุดยอดคือ ( − 2± 4,3) จุดโฟกัสคือ ( − 2± 3,3) และจุดปลายแกนโทคือ ( − 2,3±7)แบบฝึกหัด 4.6(79) จงหาสมการรูปทั่วไปของวงรี ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้(79.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, − 1) แกนเอกขนานกับแกน y และยาว 8 หน่วยส่วนแกนโทยาว 6 หน่วย(79.2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกําเนิด มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 8) และมีโฟกัสอยู่ที่ (0, − 5)(79.3) จุดยอดอยู่ที่ ( − 4,2) และ (2, 2) โดยแกนโทยาว 4 หน่วย(79.4) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ ( − 2,1) มีจุดโฟกัสที่ ( − 2,4) และผ่านจุด ( − 6,1)(79.5) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 1) มีจุดยอดที่ (2, − 4) และค่า c:a=2:5(80) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ทั้งหมดของวงรี2 2(80.1) 4x + 9y = 362 2(80.2) 9x + 5y −54x − 50y + 26 = 02 2(80.3) 5x + 9y − 10x = 40(81) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P(x,y) ซึ่ง(81.1) ระยะห่างจากจุด (4, 0) และจุด ( − 4,0) รวมกันเป็น 12 หน่วย(81.2) ระยะห่างจากจุด (2, 7) และจุด (2, 1) รวมกันเป็น 10 หน่วย(82) ฐานของสามเหลี่ยมยาว 6 หน่วย และผลบวกของอีกสองด้านเป็น 10 หน่วย(82.1) ถ้าฐานตรึงอยู่กับที่ กราฟที่ประกอบด้วยจุดยอดของสามเหลี่ยมจะเป็นรูปใด(82.2) ให้หาสมการกราฟดังกล่าว ถ้าฐานตั้งอยู่บนแกน x โดยมีจุดกําเนิดอยู่ตรงกลาง2 2(83) [Ent’39] ให้หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงรี 4x + 9y − 48x + 72y + 144 = 0และตั้งฉากกับ 3x + 4y = 5(84) [Ent’37] ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานที่ทํามุม 45° กับแกน x และผ่านจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี x 2 + 3y 2 − 4x − 2= 0 มีค่าเท่าใด2 2(85) [Ent’38] ให้จุด F 1 และ F 2 เป็นจุดโฟกัสของวงรี kx + 4y − 4y = 8 และวงรีนี้ตัดแกน y ที่จุด B ซึ่งอยู่เหนือแกน x ถ้าสามเหลี่ยม FF 12 B มีพื้นที่ 3 7/4 ตารางหน่วย แล้วค่า k เป็นเท่าใด(86) นายแดงปีนขึ้นไปบนสะพานโค้งที่มีลักษณะเป็นครึ่งวงรี ปลายทั้งสองห่างกัน 4 เมตร และมีระยะสูงสุด 1 เมตร ถ้าเขาอยู่บนสะพานในตําแหน่งที่ห่างจากปลายข้างหนึ่ง เป็นระยะตามแนวราบ80 ซม. เขาจะอยู่สูงจากพื้นกี่เซนติเมตรMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET1024.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลาเรขาคณิตวิเคราะหนิยาม ไฮเพอร์โบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลต่างของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่าเท่ากัน” เรียกจุดคงที่สองจุดนั้น ว่า จุดโฟกัส ( F,F 1 2 ) และนอกจากนี้ ผลต่างระยะทางซึ่งเป็นค่าคงที่นั้น จะมีค่าเท่ากับ ความยาวของแกนตามขวาง (2a) พอดีจะมีสมการเป็นไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่ C(0,0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยุคยาว 2b2 2x y⎜ ⎛ ⎟ ⎞ − ⎜ ⎛ ⎟⎞ = 1⎝a⎠ ⎝b⎠B 1 (h,k+b)⎫c ⎬ b ⎭F 2V 2aC V 1(h,k)(h+a,k)AsymptoteB 2(แบบอ้อมแกน x) หรือF 1(h+c,k)Asymptotea(y-k)=b(x-h)2 2y x⎜ ⎛ ⎟ ⎞ − ⎜ ⎛ ⎟⎞ = 1⎝a⎠ ⎝b⎠(อ้อมแกน y)ไฮเพอร์โบลา (ตะแคง)2 2(x−h) (y−k)− = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b2 2ระยะโฟกัส c = a + bรูปทั่วไป2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + =Asymptoteb(y-k)=a(x-h)AsymptoteF 1 (h,k+c)V 1 (h,k+a)B b 2 C (h,k) B 1 (h+b,k)⎧ ⎫⎪c⎬ a⎨ ⎭⎪⎩V 2F 2ไฮเพอร์โบลา (ตั้ง)2 2(y−k) (x−h)− = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b2 2ระยะโฟกัส c = a + bรูปทั่วไป2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + =นิยาม แกนตามขวาง (Transversal Axis) VV 1 2 และ แกนสังยุค (Conjugate Axis)BB ใช้ในการสร้าง เส้นกํากับ (Asymptote) สองเส้น เพื่อบังคับความกว้างของไฮเพอร์โบลา1 2ข้อสังเกต1. การวาดกราฟไฮเพอร์โบลา เปรียบเสมือนว่ามีวงรีอยู่ในกรอบตรงกลาง โดยใช้จุดศูนย์กลางร่วมกันและแกนตามขวางกับแกนสังยุคจะทับแกนเอกและโทของวงรีพอดีแต่สําหรับไฮเพอร์โบลา a ไม่จําเป็นต้องมากกว่า b (แกนใดเครื่องหมายบวก จะอ้อมแกนนั้น)2. ถ้า a = b (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) รูปวงรีตรงกลางจะกลายเป็นวงกลม สามารถเรียกไฮเพอร์โบลานั้นว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET103เรขาคณิตวิเคราะห• ตัวอยาง ใหสรางสมการไฮเพอรโบลาที่มีจุดศูนยกลางที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสที่ (2, − 4) และจุดยอดที่2 2(2, 4) และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็มวิธีคิด จุดศูนยกลาง จุดโฟกัส และจุดยอด เรียงกันโดยคา x เทากันและ y ตางกันแสดงวาเปนไฮเพอรโบลาออมแกนตั้ง ... สมการคือ2 2(y−k) (x−h)− = 12 2a b2 2เนื่องจากคา a = (4) − (1) = 3 และคา c = ( −4) − (1) = 5 ดังนั้นb = 5 − 3 = 42 2(y−1) (x−2)แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน − = 12 23 42 2 2 2กระจายสมการ 16(y −1) −9(x − 2) = 144 → 16y −9x − 32y+ 36x− 164 = 0หมายเหตุ อาจตอบใหอยูในรูป สัมประสิทธิ์ของ x เปนบวก ก็ได2 2โดยนํา − 1 คูณทั้งสมการ กลายเปน 9x −16y − 36x+ 32y+ 164 = 0• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปไฮเพอรโบลาที่มีสมการเปน x 2 − 5y 2 + 10y− 25=02 2วิธีคิด จัดกําลังสองสมบูรณเหมือนเดิม x −5(y − 2y) = 25 ...สังเกตไดวา ไมมีพจน x กําลังหนึ่ง แสดงวาที่แกน x ไมมีการเลื่อนแกน และไมตองจัดรูปเติมตัวเลขทั้งสองขาง เปน x 2 −5(y 2 − 2y +1) = 25-5 ... นั่นคือ x 2 −5(y − 1) 2 = 20(การจัดรูปกําลังสองสมบูรณในขอนี้ หลายจุดตองระวังพลาดเรื่องเครื่องหมายลบ)นําตัวเลขที่เหลือทางขวา คือ 20 หารตลอดสมการ จะได2x (y − 1) 2− = 120 4ตอบ เปนสมการไฮเพอรโบลา (ออมแกนนอน) จุดศูนยกลางคือ (0, 1)เนื่องจากคา a = 20, b = 2 จะได c = 20 − 4 = 4 ดังนั้นจุดยอดคือ ( ± 20,1) จุดโฟกัสคือ ( ± 4,1) และจุดปลายแกนสังยุคคือ (0, 1±2)นิยาม สําหรับวงรีและไฮเพอร์โบลา ความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity; e) คือค่าที่บอกว่าจุดโฟกัสและจุดยอด อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นอัตราส่วนเท่าใด นั่นคือ e = c / aจะพบว่าค่า e ของวงรี อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 เสมอ (ถ้า e ยิ่งมากขึ้น วงรีจะยิ่งแคบลง)และค่า e ของไฮเพอร์โบลา มากกว่า 1 เสมอ (ถ้า e ยิ่งมากขึ้น กราฟจะยิ่งกว้างขึ้น)เพิ่มเติม1. รูปวงรี และไฮเพอร์โบลา ก็มีเลตัสเรกตัมและเส้นไดเรกตริกซ์ด้วย (คิดไม่เหมือนกับพาราโบลา)แต่ไม่ได้กล่าวถึงในหลักสูตร ม.ปลาย2. ภาคตัดกรวยในรูปเต็มคือ2 2Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0โดยที่ C ≠ 0ลักษณะกราฟจะเป็นเหมือนรูปใดรูปหนึ่งใน 4 รูปที่ได้ศึกษาแล้ว แต่แกนจะถูกหมุนไปจากเดิม เช่นอาจเป็นรูปวงรีเฉียงๆ ... จะได้ศึกษาการจัดสมการและเขียนกราฟเหล่านี้ในระดับมหาวิทยาลัยÇ§ÃÕ a ÂÒÇ·ÕèÊúS e·¤¹i¤¡ÒÃ¨íÒ!SäÎe¾oÃoºÅÒ c ÂÒÇ·ÕèÊúá§¹aé¹ a 2 =c 2 +b 2 á§¹aé¹ c 2 =a 2 +b 2caacbbMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET104เรขาคณิตวิเคราะหนอกจากนี้ไฮเพอร์โบลามุมฉากอีกรูปแบบหนึ่ง ได้แก่สมการในรูป xy = k เมื่อ k เป็นค่าคงที่ ไฮเพอร์โบลานี้มีแกนนอนและแกนตั้งเป็นเส้นกํากับ และมีส่วนประกอบต่างๆ ดังภาพF 1ไฮเพอร์โบลามุมฉากxy= k k > 0จุดศูนย์กลาง C(0,0)V 2C (0,0)V 1จุดยอด V 1 ( k, k)V 2 ( − k, − k)จุดโฟกัส F 1 ( 2k, 2k)F 2 ( − 2k, − 2k)F 1V 1C (0,0)V 2F 2ไฮเพอร์โบลามุมฉากxy= − k k > 0จุดศูนย์กลาง C(0,0)จุดยอด V 1 ( − k, k)V 2 ( k, − k)จุดโฟกัส F 1 ( − 2k, 2k)F 2 ( 2k, − 2k)แบบฝึกหัด 4.7(87) จงหาสมการรูปทั่วไปของไฮเพอร์โบลา ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้(87.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ ( − 3,1) มีจุดยอดที่ (2, 1) และแกนสังยุคยาว 6 หน่วย(87.2) จุดโฟกัสอยู่ที่ ( −1, − 6) และ ( − 1,4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หน่วย(87.3) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 4) และ (0, − 4) และมีจุดปลายแกนสังยุคเป็น (3, 0)(88) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ทั้งหมดของไฮเพอร์โบลา2 2(88.1) 9x − 4y = 362 2(88.2) 9x − 16y − 18x −64y − 199 = 02 2(88.3) 6x − y − 36x − 2y + 59 = 02 2(88.4) 6x − 10y − 12x − 40y − 94 = 0(89) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P(x,y) ซึ่งผลต่างของระยะทางจาก P (x,y) ไปยังจุด(3, 0) กับ ( − 3,0) เป็น 4 หน่วยMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET105เรขาคณิตวิเคราะห(90) [Ent’32] ให้หาสมการกราฟที่ทําให้ผลคูณระยะทางจาก P(x,y) ใดๆ ในกราฟ ไปยังเส้นตรง4x − 3y = − 11 และ 4x + 3y =− 5 เป็น 144/25(91) ให้หาส่วนประกอบของกราฟรูปต่อไปนี้(91.1) จุดยอด และจุดโฟกัสของ xy = − 4(91.2) จุดศูนย์กลางของ xy + 2x − y = 32 2(92) [Ent’32,36] ถ้าภาคตัดกรวยรูปหนึ่งมีสมการเป็น 9x − 18x = 16y + 64y + 199 แล้ว ผลรวมของระยะทางจากจุดโฟกัสทั้งสองไปถึงเส้นตรง 3x + 4y = 8 เป็นเท่าใด2 2(93) [Ent’34] ถ้า F 1 เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 6x − 10y − 12x − 40y − 94 = 0 และอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 แล้ว ให้หาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ F 1 และมีไดเรกตริกซ์เป็นแกนสังยุคของไฮเพอร์โบลา2 2(94) [Ent’39] กําหนดไฮเพอร์โบลา 9(x−1) − 4(y− 2) = 36 ให้หาสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรี ไปยังจุดที่ไฮเพอร์โบลาตัดแกน x ทั้งสองจุด เป็น 8 หน่วย2 2(95) [Ent’37] กําหนด E แทนวงรี 6x + 5y + 12x −20y − 4 = 0 จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกับ E, มีจุดยอดอยู่ที่เดียวกับจุดโฟกัสของ E, และมีความยาวแกนสังยุคเท่ากับความยาวแกนโทของ E พอดี(96) ให้สังเกตว่ากราฟของสมการแต่ละข้อเป็นภาคตัดกรวยรูปใด โดยไม่ต้องคํานวณ(96.1) x 2 + y 2 −6x − 8y + 12= 0 (96.6) 2 2(96.2) 2 2 x 2y 2x 4y 13 0+ − + − = (96.7)2 2(96.3) 2 x 2x y 3 0+ − + = (96.8)2 2(96.4) 2 2 x y 2x 2 0(96.5) 2 2 x y 4(1) 61 (2) 2(3) 5 (4) หน้าจั่ว(5) 2 × (9 2 + 34)(6) 3 10 (7) ถูกทุกข้อ(8) (29/ 4 , 0) (9) (4, 3)(10) 41 + 26 + 17(11) –3 (12) 10(13) 72, (5, 4) (14) 15(15) ผิดทั้งสองข้อ (16) 31(17) 3 (18) 2(19) ( −4,6),(8, − 3)(20) ขนาน (21) (2, 3)(22) –30 (23) –2(24) –8/5 (25) 103x + 3y −9x − 6y + 20 = 03x − 3y −9x − 6y + 20 = 03x − 2 = − y + 4y− − − = (96.9)2 2− = (96.10)2เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(26) ... (27) 2x + 3y = 6(28) 1/48 (29) y = 4x − 16(30) 5 (31) 2x + 3y + 1 = 0(32) (0, − 20/9) (33) ( − 7/3,0)(34) y = x + 3/5 (35) 10(36) ( 2,3) − , 2Q (37) 16/3(38) ถูกทั้งสองข้อ(39) y (11/2)x 1= + ,a = − 2/11, b = 1(40) x + 2y − 7 = 0(41) − 1/2, (6, 0) หรือ 4, ( − 3, 0)(42) 7.5 (43) 19.5(44) 13/2 (45) 0, 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)3x − 2 = y + 4y3x − 2 = 4y(46) − 11/12 + 41/12 = 2.5(47) 40/ 58(48) − 88 + 16 = − 72(49) (2, − 11/ 4) , (8, 1/ 4)(50) 45° (51) 75°(52) 3(53) x 7y 7 0− − = หรือ7x + y − 5 = 0(54) y = 3x + 6(55) 4x − 3y + 20 = 0 ,3x + 4y + C = 0(56) ( −1/2, − 1/2)(57) (4, 2)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET106เรขาคณิตวิเคราะห(58.1) (4, − 3) (58.2) ( −1, − 2) (58.3) ( − 1,2)(59.1) x 2 + y 2 −6x − 8y + 12=0(59.2) x 2 + y 2 − 3x − 3y + 4 = 0(59.3) x 2 + y 2 − 4x + 2y = 0(59.4) x 2 + y 2 + 4x −6y − 3=0(59.5) x 2 + y 2 − 3x + 3y − 8 = 0(60) 3 (61.1) x + y = 4(61.2) 4x − y = ± 17(61.3) 4x + 3y = 20 , 12x − 5y = − 522 2(62.1) (x− 2) + (y− 2) = 4(62.2)2 2(x 2) (y 2) 12 2− + − = , (x+ 1) + (y+ 1) = 12 2(62.3) (x+ 1) + (y − 2) = 13 (63) k < 25(64) 4 3 (65) y 2x2 2(66) 9 (67) 12x − 4y = 3(68.1) y 2 −28x −6y − 47 = 0(68.2) 2 y 12x 02 2= , (x+ 1) + (y+ 2) = 5+ = (68.3) 2(68.4) x 2 − 4x − 40y − 116 = 0(68.5) x 2 − 10x − 2y + 21=0(68.6) y 2 −8x − 4y + 4 = 02(68.7) 2y − x − 12y + 19 = 0y + 9x = 0(68.8) x 2 + 2x − y + 3=0(69) 1465/8 (70.1) (0, 3) , y + 3= 0, 12(70.2) V(3,5) − , F(6,5) − , เลตัสเรกตัมยาว12, ไดเรกตริกซ์คือแกน y(70.3) (7, 2) (70.4) ( ± 2,0)(71.1) x 2 + 4x −24y − 44 = 0(71.2) y 2 − 4x − 2y + 9=0(72) 12 (73) 6 5 (74) 4x − 3y + 14 = 0(75) x 2 − 6x + 12y − 15=0(76) y 2 + 3x = 0 (77) 145/16(78) 2/3 หน่วย2 2(79.1) 16x + 9y − 96x + 18y + 9 = 02 2(79.2) 64x + 39y = 24962 2(79.3) 4x + 9y − 16x + 18y − 11 = 02 2(79.4) 25x + 16y + 100x − 32y − 284 = 02 2(79.5) 25x + 21y −100x − 42y − 404 = 0(80.1) C(0,0), V(3,0) ± , F( 5,0)± ,B(0, ± 2)(80.2) C(3,5), V(3,5± 6) , F(3,5± 4) ,B(3±20,5)(80.3) C(1,0), V(1± 3,0) , F(1± 2,0) ,B(1, ± 5)2 2(81.1) 5x + 9y = 1802 2(81.2) 25x + 16y −100x − 128y − 44 = 02 2(82.1) วงรี (82.2) 16x + 25y = 400(83) 4x − 3y = 36 (84) 2 2(85) 9/4 (86) 802 2(87.1) 9x − 25y + 54x + 50y − 169 = 02 2(87.2) 9x − 16y + 18x − 32y + 137 = 02 2(87.3) 7x − 9y + 63 = 0(88.1) C(0,0), V(2,0) ± , F( ± 13,0) ,B(0, ± 3)(88.2) C(1, − 2) , V(1± 4, − 2) , F (15, ± − 2) ,B(1, − 2±3)(88.3) C(3, − 1) , V(3, −± 1 6) ,F(3, −± 1 7) , B(3± 1, − 1)(88.4) C(1, − 2) , V(1 10, 2)F(1± 4, − 2) , B(1, − 2±6)2 2(89) 5x − 4y = 20± − ,2 2(90) 16x − 9y + 64x + 18y + 55 = ± 144(91.1) V(2, ± ∓ 2) , F( ± 2 2, ∓ 2 2)(91.2) (1, − 2) (92) 6(93) y 2 − 16x + 4y + 84=02 2(94) 23x + 36y − 46x = 345(95) x 2 − 5y 2 + 2x + 20y − 14=0(96.1) วงกลม (96.2) วงรี(96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอร์โบลา(96.5) ไฮเพอร์โบลา (96.6) วงกลม(96.7) ไฮเพอร์โบลา (96.8) วงรี(96.9) ไฮเพอร์โบลา (96.10) พาราโบลาMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET107เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)เรขาคณิตวิเคราะห2 2 2 2(1) 1 2(2)|PP | = (1 + 5) + (7 − 2) = 6 + 5 = 612+ 6 7−3 − 2+ 8 5+1P( , ) = (4,2) Q( , )2 2 2 22 2= (3, 3) ∴ |PQ | = 1 + 1 = 2(3)2 2|OD| 2 4 20= + = ดังนั้น20= = หน่วย |PQ| 5|PC| 52∴ = ด้วยและเนื่องจาก DC อยู่ที่ความสูง y = 4ดังนั้น PQ อยู่ที่ y = 2ความสูงของ Δ จาก C มายัง PQ คือ 2 หน่วย1จะได้ พื้นที่ Δ = × 2 × 5 = 5 ตร.หน่วย22 2(4) |AB| = 11 + 4 = 137 , |BC| =2 2 2 27 + 7 = 98 ,|AC| = 4 + 11 = 137→ |AB| = |AC| แสดงว่าเป็น Δ หน้าจั่ว(5) เส้นรอบรูป Δ ABC จะยาวเป็น 2 เท่าของเส้นรอบรูป Δ PQR เสมอ Aเพราะ |AB| = 2|PQ|,RQ|BC| = 2|QR|และ |AC| = 2|PR|C Pหาค่า |PQ| =2 27 + 1 = 50 = 5 2 ,|QR| =2 23 + 5 = 34 และ2 2|PR| = 4 + 4 = 32 = 4 2ดังนั้นเส้นรอบรูป Δ ABC = 2 × (9 2 + 34)3(2) + 1(6) 3(8) + 1(12)(6) P( , ) = (3, 9)4 41(6) + 3( − 2) 1(12) + 3( −4)Q( , ) = (0, 0)4 42 2∴ |PQ| = 3 + 9 = 90 = 3 102 2(7) ก. |AB| = 7 + 3 = 582 2 2 2|BC | = 3 + 7 = 58 ,| AC | = 4 + 10 = 1162 2 2พบว่า |AB| + |BC| = |AC| แสดงว่าΔ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ... ถูกต้อง(มุม B เป็นมุมฉาก)B2 2ข. |DE| = 4 + 8 = 80 = 4 52 2|EF| = 7 + 14 = 245 = 7 52 2|DF| = 3 + 6 = 45 = 3 5พบว่า |DE| |DF| |EF|+ = แสดงว่าD, E, F อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ... ถูกต้อง(จุด E กับ F เป็นจุดปลาย)2 2ค. |AB| = 4 + 2 = 20 = 2 52 2 2 2|BC| = 4 + 2 = 2 5,|AC| = 8 + 4 = 4 5พบว่า |AB| + |BC| = |AC| แสดงว่าA, B, C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ... ถูกต้อง(8) สมมติจุด P มีพิกัด (x, 0) ก็จะได้ว่า2 2 2 2(x − 1) + 2 = (x − 3) + 5 กระจายได้2 2x − 2x + 1 + 4 = x − 6x + 9 + 2529 29นั่นคือ 4x = 29 → x = ∴ P( , 0)4 4(9) สมมติจุดศูนย์กลางมีพิกัด (x, y)2 2 2 2ดังนั้น (x − 1) + (y − 7) = (x − 8) + (y − 6)2 2= (x − 7) + (y + 1) (เท่ากันทั้งสามก้อน)นํามาเขียนสมการเป็น 2 คู่ เพื่อหา x, y เช่น2 2 2 2x − 2x+ 1+ y − 14y+ 49 = x − 16x+ 64+ y − 12y+36คือ 7x − y = 25 ..... (1) และอีกสมการ2 2 2 2x − 2x++ 1 y − 14y+ 49 = x − 14x+ 49+ y + 2y+1คือ 3x − 4y = 0 ..... (2)จะได้ x = 4, y = 3 ดังนั้น ตอบ (4, 3)(10) A ไปยังจุดกึ่งกลางของ BC4− 2 3+5( , ) = (1,4)) → 1 + 5 = 262 2(คือ2 2B ไปยังจุดกึ่งกลางของ AC2 2(คือ (0, 2)) → 4 + 1 = 17C ไปยังจุดกึ่งกลางของ AB2 2(คือ (3, 1)) → 5 + 4 = 41รวม 26 + 17 + 41(11) จุดตัดของเส้นมัธยฐาน4− 4+ 4 5+ 7+1 4 13(m, n) = ( , ) = ( , )3 3 3 39จะได้ m − n =− =− 33Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET108เรขาคณิตวิเคราะห(12) จุดกึ่งกลางของ BC คือ6−4 7−3D( , ) = (1,2)2 2วิธีคิด1 หาจุด A(x, y) โดยx+ 6− 4 y+ 7−3 4( , ) = ( ,1) →3 3 3(x, y) = (2, − 1) ดังนั้น เส้นมัธยฐาน จาก A(2, − 1)2 2ไปยัง D(1, 2) มีขนาด 1 + 3 = 10 ... ตอบวิธีคิด2 หาระยะจาก1 2 2 10( ) 13 34P( , 1)3ไปยัง D(1, 2) ได้เป็น+ = และใช้สมบัติว่า เส้นมัธยฐาน|AD| = 3 เท่าของ |PD|→ ∴ตอบ 10(13) P(0,0),Q(3,12),R(12,0)พื้นที่121= × 12 × 122= 72 ตร.หน่วย= ×สูง × ฐานจุดตัดของเส้นมัธยฐาน0+ 3+ 12 0+ 12+0( , ) = (5,4)3 3(14) พล็อตจุดคร่าวๆ เพื่อหาลําดับของจุดบนเส้นรอบรูปได้ดังภาพ Bพื้นที่1Δ ABC = ⋅21 3−2 03 −51 31= (6 + 5 + 10 + 9) = 15 ตร.หน่วย2ส่วน PQR ไม่เป็น Δ เพราะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันดังนั้น พื้นที่ = 0 ∴ ตอบ 15 ตร.หน่วย2 2(15) ก. |PQ| = 5 + 5 = 5 22 2 2 2|QR| = 2 + 1 = 5, |PR| = 3 + 6 = 3 5จะได้ความยาวรอบรูป = 4 5 + 5 2 หน่วยข. พื้นที่1= ⋅23 −20 4−2 33 −21= (8 − 9 + 12 + 4) = 7.5 ตร.หน่วย2ดังนั้น ก. ผิด และ ข. ผิดPQ (3,12)QR (12,0)RACP(16) ลําดับที่เขียน ต้องเรียงทวนเข็มนาฬิกาเช่น A, E, D, B, C, A E1 4 Dพื้นที่1= ⋅2−2 7−4 5−3 −2−1 −31 41= (8 + 28 + 15 − 2 + 3 + 7 − 10 + 8 + 9 − 4)231= ตร.หน่วย(17) mAB mACk − 2 4 − 2= → =2 − 1 3 − 1(18) วิธีคิดเหมือนข้อที่แล้วคือ y − 6 − 2 −=61+ 2 4 + 2(19) จากภาพจะได้ A( − 4,6)และ B(8, − 3)ดังนั้น y = 2∴ k = 35 − 2 8 − 4(20) mAB = = 1, mCD= = 14 − 1 2 + 2∴ mAB= mCD→ ขนานกัน(21) สมมติ D(x, y) จะได้ว่า mAB = mCD1 + 4 y + 2→ = → 5x − y = 7− 4 + 5 x − 1y − 1 − 2 + 4และ mAD= mBC→ =x + 4 1 + 53y x 7→ − = ..... (2)แก้ระบบสมการได้ D(x, y) = (2, 3)(22) ความชัน (3, 2), (1, 4)∴ ความชัน (k, 7),( −3, − 2) คือดังนั้น..... (1)−−คือ 4 − 21 − 3= 31−31 7 + 2− = → k = −303 k + 36 − 5 1m = = ∴ m = −23 − 1 24 + m− 2 = → m = −2m + 1(23) AB CDจะได้(24) ความชันของรัศมีที่ผ่าน (5, 6) กับ ( − 3,1) คือ6 − 1 5= ... และเนื่องจากเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับ5 + 3 88รัศมีเสมอ จึงได้ว่า m L = −35A43B C434ABMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET109เรขาคณิตวิเคราะห1 4m =− , m =− , m = 7 แสดง7 3(25) AB AC BCว่า AB ⊥ BC ดังรูปและเนื่องจากวงกลมที่ล้อมรอบ Δ มุมฉากจะทําให้ ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เสมอ∴ ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง = |AC|2 2= 6 + 8 = 10 หน่วย= 3 = − 7 =57 3 2→ AB ⊥ BC(26) ก. m AB , m BC , mACข. m DE =− 2, m EF =−2 → DE // EF1 1m = , m = → AB // BC2 2ค. AB BCดังนั้น ถูกทุกข้อ(27) x-intercept = 3, y-intercept 2= →x y+ = 1 → 2x + 3y − 6 = 03 23 + 5 8→ = =1+2 3(28) สร้างสมการของ L ก่อน mL8→ y − 3 = (x − 1) →8x − 3y + 1=03จากนั้น หาระยะตัดแกน x และ y (โดยแทนy = 0 และแทน x = 0 ตามลําดับ)1ได้เป็น − และ 1 L8 31/3แสดงว่า1/81 1 1 1พื้นที่ Δ= × × = ตร.หน่วย2 8 3 48(29) จุดตัดแกน x คือ (4, 0)8 − 0→ mL= = 46 − 4สมการคือ y = 4(x − 4) → y = 4x − 16(30) สร้างสมการเส้นทแยงมุม AC กับ BD2 + 6AC ; y − 2 = ( )(x − 1) →1 + 3y = 2x− 1 + 5BD ; y + 1 = ( )(x + 2) →−2 − 2y = −x − 3จุดตัดของเส้นทั้งสอง คือ P( −1, − 2)2 2ตอบ 1 + 2 = 5(31)A 2m ,B 3=− =− จุดตัดของ x + y = 1และ 2x + y = 5 คือ (4, − 3)ดังนั้น สมการที่ต้องการคือ2y + 3 = − (x − 4) → 2x + 3y + 1 = 03ABC(32) ความชันของ 3x − 4y + 5 = 0 คือ 3 4 →ความชันของอีกเส้น คือผ่านจุดตัดแกน x คือ4−35( − ,0) →34 5y =− (x + )3 3สร้างสมการจะหาจุดตัดแกน y ของเส้นนี้ได้เป็น4 5 20(0, − ⋅ ) = (0, − )3 3 9(33) ความชันของ 2x + 3y + 5 = 0 คือ2 3− → mL=3 23สมการ L คือ y − 5 = (x − 1) →27−จุดตัดแกน x (แทน y ด้วย 0) คือ( ,0)3(34) m M = 1 → m L = 1,ระยะตัดแกน y ของ N (แทน x = 0) คือ 3 5∴ L มีความชัน 1 และผ่านจุด3(0, )53 3→ y − = 1x → y = x +5 52 − 0 1(35) L;y 1 = ( )(x+ 2) → y= x+12 + 2 2L 2 ; mL2= −2 → y = − 2(x + 2) = −2x − 4x yL 3 ; + = 1 → y = 3x − 4(4 / 3) −4จะได้ จุดตัด L,L 1 2 คือ ( − 2,0)จุดตัด L,L 2 3 คือ (0, − 4)จุดตัด L,L 3 1 คือ (2, 2)∴ พื้นที่1= ⋅22 2−2 00 −42 2L 2L 1L 31= (4 + 8 + 8) = 10 ตร.หน่วย22(36) m L1 = = m L2 →32 2 13L 2 : y 3 (x 2) y x3 3 3m 3 3 2L3 =− → L 3 : y + 1 =− (x − )2 2 33→ y = − x ..... (2)2− = + → = + ..... (1)สมการเส้นตรงทั้งสองตัดกันที่จุด (2,3) − → Q2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET110เรขาคณิตวิเคราะห2 2(37) หาจุด A(3, k) → 4 = 3 + k→ k = 7 (Quadrant 1) ∴ A(3, 7)จากนั้น mOA mL= 7 → = − 3 →3 73L:y− 7 = − (x−3)716→ 7y = − 3x + 16 → ระยะตัดแกน x =32 + 1(38) L ⊥ AB → mAB= = −1−1 − 2→ m = 1 → L : y + 1 = 1(x − 2) →L∴ y = x − 3ระยะตัดแกน x = 3ระยะตัดแกน y =− 3ก. ความยาวรอบรูป Δ= 3 + 3 + 3 2 = 6 + 3 2... ถูก1ข. พื้นที่ Δ= × 3 × 3 = 4.5 ตร.หน่วย ... ถูก22 2(39) |AB| = 6 + 3 = 45,2 2 2 2|BC| = 2 + 11 = 125, |AC| = 4 + 8 = 80จุดกึ่งกลางของด้านที่สั้น คือ กึ่งกลาง AB →− 2 + 4 5 + 8 13( , ) = (1, )2 2 2− 2 + 2 5 − 3และกึ่งกลาง AC → ( , ) = (0, 1)2 213/2 − 1ดังนั้นสมการเส้นตรง คือ y − 1 = ( )(x)1 − 011→ y = x + 122ตอบ ระยะตัดแกน x =− , แกน y = 111(40) x + y = 1 → ผ่านจุด (1, 3)2bbจะได้ 1 3 7+ = 1 → b = ∴ a = 72b b 2สมการเส้นตรงนี้ คือx y+ = 1 → x + 2y − 7 = 07 (7 / 2)33 3 2(41) x y 1ผ่านจุด ( − 2,4)+ = →a 9 − a− 2 4 + = 1 → a − 3a − 18 = 0a 9 − aจะได้2→ ได้ a = 6, − 3ถ้า a = 6 → b = 3 → สมการคือx y 1+ = 1 → y = − x + 36 3 2ถ้า a 3 b 12x y− + = 1 → y = 4x + 123 12= − → = → สมการคือ1ตอบ ความชัน − ตัดแกน x ที่ (6, 0)2หรือ ความชัน 4 ตัดแกน x ที่ (3,0) −(42) L:y = 0.5(x + 3) → จุด A คือ (0, 1.5)→ m = 0.5 ∴ m = − 2LABAB : y − 1.5 = −2(x) → y = − 2x + 1.5เส้นตรงขนานแกน y ผ่านจุด Bตัดแกน x ที่ (3,0) −B(-3,y)แสดงว่าจุด B เป็น ( − 3,y)ดังภาพC(-3,0)หาจุด B จากสมการ AB ได้ เป็นB( −3, 7.5) → ∴ |BC| = 7.5(43) หาพิกัดจุด B โดยสร้างสมการ AB และBC นํามาแก้หาจุดตัด..3 3 19AB : y − 5 = (x + 3) → y = x +2 2 22 2 4BC : y + 4 =− (x −4) → y =− x −3 3 3หาจุดตัด (จุด B ) ได้เป็น ( − 5,2)1∴ พื้นที่ Δ= × |AB| × |BC|21 2 2 2 2 1= × 2 + 3 × 9 + 6 = × 13 × 3 132 219.5= ตร.หน่วยหมายเหตุ หาพิกัดจุด B โดยความชันก็ได้mmABBC3 y − 5 3= → =2 x + 3 22 y + 4 2= − → = −3 x − 4 3ซึ่งรูปสมการก็เหมือนกับการสร้างเส้นตรงอยู่นั่นเอง..(44) 2x − 3y = 6 คือ 4x − 6y − 12 = 0 →| −12 − ( −25) | 13 13= = =4 + 6 42 2ระยะห่าง2 2LAMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET111เรขาคณิตวิเคราะห(45) สมมติเส้นตรงที่ต้องการ 3x − 4y + K = 0| −5 − K |1 = → ± 5 = −5 − K3 + 4จะได้2 2ดังนั้น → K = 0 หรือ − 10คําตอบคือ 3x − 4y = 0 หรือ 3x − 4y − 10 = 0แต่โจทย์ให้ Ax + 2y + C = 0จึงต้องนํา -1/2 คูณสมการให้กลายเป็น3− x + 2y = 0 กับ23− x + 2y + 5 = 02ดังนั้นตอบ C = 0 หรือ 5(46) L อยู่ตรงกลางระหว่าง 1 2L,L พอดี แสดงว่าห่างด้านละ 2 หน่วย → หาสมการ 1 2| −15 − C |2 = → −15 − C = ± 262 212 + 5ดังนั้น C = 11 หรือ − 41 ... สมการ 1 212x − 5y + 11 = 0, 12x − 5y − 41 = 0L,L โดยL,L คือ11มีส่วนตัดแกน x (ระยะตัดแกน x ) =− และ124112 → ตอบ − 11 + 41 = 2.512−3 − 4(47) สมการ BC : y − 4 = ( )(x − 5)2 − 5→ 7x − 3y − 23 = 0ระยะจาก A มาตั้งฉาก BC หาจาก|7( −2) − 3(1) − 23| 40= หน่วย2 27 + 358|5( −3) − 12(2) + 3 − k|(48) 4 =2 25 + 12→ ± 52 = −36 − k → k = 16, − 88ดังนั้นตอบ − 72(49) ให้จุดที่ต้องการคือ (x, y) →2x 4y 15 y2x − 154− = → = แทนค่าในสมการระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง2x − 15|3x + 4( ) − 10|→ 3 =42 23 + 4→ ± 15 = 5x − 25 ..จะได้ x = 2 หรือ 8ถ้า x = 2 → y = − 11/ 4ถ้า x = 8 → y = 1/ 411 1(2, − ) และ (8, )4 45 − (2/3)tan θ = = 1 → ∴ θ = 45°1 + 5(2/3)ดังนั้นตอบว่า(50)2 − 1 1(51) m L1 = =3 − 0 3แสดงว่า L 1 ทํามุม 60° กับแนวนอนในลักษณะดังภาพ3 − 4mL2= =−12 − 1แสดงว่า L 1 ทํามุม 45° กับแนวนอนในลักษณะดังภาพดังนั้น เส้นตรงทั้งสอง L 2ทํามุมกัน 75° ดังภาพ(52) L; 1 y = 3(x − 1) → m L1 = 3→ tan 30° =จะได้mL1− m1 + m m1 3 − mL21= → mL2=3 1 + 3mL231L 2 : y x3L,L )→ = (ผ่านจุดกําเนิด)L1L2L2ดังนั้นหาจุด C (จุดตัดของ 1 2ได้เป็น 3 3 ( , )2 23 2 3 2→ |CO| = ( ) + ( ) = 32 2|3x+ 4y+ 1| |4x−3y−6|(53) =5 5→ 3x + 4y + 1 = ± (4x − 3y − 6)ดังนั้นตอบ x − 7y − 7 = 0 และ 7x + y − 5 = 0(54) A( −2, 0), B(0, 6)→6AB : y = ( )(x + 2) → y = 3x + 621 − 5 0 + 8(55) P( , ) = ( −2, 4), Q(1, 8) →2 24PQ : y − 4 = ( )(x + 2) → 4x − 3y + 20 = 03เส้นตรงตั้งฉากกับ PQ จะต้องมีความชัน − 3/4แต่โจทย์ไม่บอกว่าผ่านจุดอะไร จึงตอบติดค่า C ไว้ดังนี้ 3x + 4y + C = 0(56) m L 160°= → สร้างสมการเส้นตรงตั้งฉากกับL และผ่านจุด ( − 2,1) ได้เป็นy − 1 =− 1(x + 2) → y =−x − 11 1พบว่าตัดกับ L (ตั้งฉาก) ที่จุด ( − , − )2 21 1ดังนั้น โพรเจคชันของ (-2,1) บน L คือ ( − , − )2 2[หมายเหตุ เนื่องจากเป็นเส้นตรง y=x จึงสามารถใช้− 2+ 1 − 2+1 1 1สูตรลัดได้ด้วยว่า ( , ) ( , )L 1L 145°75°45° 60°L 2= − − ]2 2 2 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET112เรขาคณิตวิเคราะห(57) วิธีคิดเช่นเดียวกับข้อที่แล้ว4mL55y − 7 = − x4= → สร้างเส้นตั้งฉากและผ่าน (0, 7) ได้เป็นพบว่า ตัดกับ L ที่จุด (4, 2) ... ดังนั้นตอบ (4, 2)(58.1) (h, k) = (4, − 3)(58.2) y + 2 = |x + 1| → (h,k) = ( −1, − 2)2 2(58.3) (x + 2x + 1) + (y − 4y + 4) = 9 − 5 + 1 + 42 2→ (x + 1) + (y − 2) = 1 → (h, k) = ( − 1, 2)(59.1) (h, k) = (3, 4)2 2r = (3 − 1) + (4 − 1) = 13ดังนั้น สมการวงกลมคือ2 2→ (x − 3) + (y − 4) = 132 2กระจายได้ x − 6x + 9 + y − 8y + 16− 13 = 02 2→ x + y − 6x − 4y + 12 = 0(59.2)1 + 2 1 + 2(h, k) = ( , ) = (1.5, 1.5)2 22 2(2 − 1) + (2 − 1) 2r = =2 22 2 2 2→ (x − 1.5) + (y − 1.5) = ( )22 2→ x − 3x + 2.25 + y − 3y + 2.25 = 0.52 2→ x + y − 3x − 3y + 4 = 0(59.3) หาจุดศูนย์กลาง C(h, k) → ห่างจากจุดกําเนิด (0, 0) และ (1, 1) เป็นระยะเท่ากัน2 2 2 2(h − 1) + (k − 1) = h + k2 2 2 2→ h − 2h + 1 + k − 2k + 1 = h + k→ h + k = 1 ..... (1)และ CO ตั้งฉากกับ y = 2x (m = 2)21 k 12 h 2ดังนั้น mCO=− → =− ..... (2)แก้ระบบสมการได้ (h, k) = (2, − 1)2 2∴ r = 2 + 1 = 5 และสมการวงกลมคือ2 2(x − 2) + (y + 1) = 52 2→ x − 4x + 4 + y + 2y + 1 = 52 2→ x + y − 4x + 2y = 02(59.4) รู้จุดผ่าน 3 จุด ต้องแก้ระบบสมการ 3สมการ เพื่อหา D, E, F ดังนี้2 2x + y + Dx + Ey + F = 02 2( − 6) + (3) + D( − 6) + E(3) + F = 0 ..... (1)2 2(2) + (3) + D(2) + E(3) + F = 0 ..... (2)2 2( − 2) + (7) + D( − 2) + E(7) + F = 0 ..... (3)แก้ระบบสมการได้ D = 4, E =− 6, F =− 3ดังนั้นตอบ x 2 + y 2 + 4x − 6y − 3 = 0(59.5) หาจุดตัดของวงกลมทั้งสองก่อนโดยนําสมการลบกันเป็น 5x = 5y → y = xแทนค่าเข้าไปอีกครั้งในสมการใดสมการหนึ่งได้เป็น x = 2 → y = 2หรือ x = −2 → y = − 2∴ จุดตัดมีสองจุด คือ (2, 2), ( −2, − 2)ต่อมา หาสมการวงกลมที่ผ่านจุด(1, −5),(2, 2),( −2, − 2) โดยคิดวิธีเดียวกับข้อที่แล้ว( x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0)แก้ 3 สมการได้ D = − 3, E = 3, F = − 8ดังนั้นตอบ x 2 + y 2 − 3x + 3y − 8 = 02 2(60) 3x + 3y + 11x + 15y = −9→2 2 11x + y + x + 5y + 3 = 03จะได้ว่าเส้นสัมผัสจากจุด (0, 1) มีความยาว2 2 11= (0) + (1) + (0) + 5(1) + 3 = 9 = 3 หน่วย32 − 0(61.1) m รัศมี = = 1 → m เส้นสัมผัส =− 12 − 0→ y − 2 = −1(x −2) → x + y = 4(61.2) r = 17, C(h,k) = (0,0) →สร้างสมการเส้นตรงผ่าน (0, 0) และ m = 4จะได้ y = 4x จากนั้นขยับเส้นตรงนี้ออกไปจากเดิมเป็นระยะ 17 หน่วยจะได้ว่า|C−0|17 = → C = 17, −17→2 24 + 1ดังนั้นตอบ y = 4x ± 17Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET113เรขาคณิตวิเคราะห(61.3) วิธีแรก สมการเส้นตรงผ่าน ( − 1,8) คือy − 8 = m(x + 1) → y = mx + m + 8เส้นตรงเส้นนี้สัมผัสวงกลม x 2 + y 2 = 16 แสดงว่าตัดวงกลมเพียงจุดเดียว นั่นคือ สมการ2 2x (mx m 8) 16+ + + = จะต้องมีคําตอบเดียวกระจายสมการได้เป็น2 2 2 2(m + 1) x + (2m + 16m) x + (m + 16m + 48) = 0นั่นคือ 2 B 4AC 0 − = ได้4m =− หรือ 12 3 5ตอบ 4x + 3y = 20, 12x − 5y = − 52วิธีที่สอง คิดโดยหาระยะทางจากจุด ( − 1,8) ไปสัมผัสวงกลม x 2 + y 2 = 16 ก่อน ได้เป็น2 2(1) − + 8 − 16= 7 หน่วยจากนั้นหาจุดสัมผัสบนวงกลมซึ่งอยู่ห่างจาก ( − 1,8)2 2เป็นระยะ 7 หน่วย → (x + 1) + (y − 8) = 72 2 2→ (x + 1) + (y − 8) = 7(เป็นสมการวงกลมรัศมี 7 จากจุด ( − 1,8) นั่นเอง)→ นําไปตัดกับ x 2 + y 2 = 16 แก้ระบบสมการได้48 20 16 12x =− → y = , x = → y =13 13 5 548 20 16 12∴ จุดสัมผัส คือ ( − , ) กับ ( , )13 13 5 5จากนั้นสร้างสมการเส้นสัมผัสได้ (ระหว่าง 2 จุด)48 20(1,8) − กับ ( − , ) → ได้ 12x − 5y = − 52(1,8) − กับ13 1316 12( , ) → ได้ 4x 3y 205 5 + =(62.1) หาพิกัดของจุดศูนย์กลาง (h, k) โดยก. ระยะทางจาก (h, k) ไปยัง(6, 2) เป็น 4 หน่วย (h,k) 2 22 2→ (h − 6) + (k − 2) = 42(6,2)ข. ระยะทางจาก (h, k) ไปยัง 1(2, − 1) เป็น 3 หน่วย (2,-1)2 2→ (h − 2) + (k + 1) = 3แก้ระบบสมการได้ (h, k) (2, 2) = หรือ122 46( , − )25 25แต่ในที่นี้ต้องการ (h, k) ใน Q 1 จึงเป็น (2, 2)2 2 2เท่านั้น... และตอบว่า (x − 2) + (y − 2) = 2(62.2) วงกลม 2 2 x y 4x 2y 1 0+ − + + = จัด2 2 2รูปได้เป็น (x − 2) + (y + 1) = 2ดังนั้น จุดศูนย์กลาง (h, k) ที่ต้องหาในข้อนี้จะมีสมการระยะทางเป็นก. (h, k) ไปยัง (2, − 1) เป็น 3 หน่วย(รัศมีวงกลม 2 วง รวมกัน 2 1 32 2→ (h − 2) + (k + 1) = 3 ..... (1)+ = )ข. (h, k) ไปยังเส้นตรง y = x + 2 เป็น 1 หน่วย|h− k + 2|→ = 12 21 + 1..... (2)แก้ระบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรือ ( −1, − 1)2 2 2จึงตอบว่า (x 2) (y 2) 1− + − = หรือ2 2 2(x + 1) + (y + 1) = 1(62.3) ระยะทางจากจุด C(h,k) ไปยังเส้นตรงทั้งสาม จะต้องเท่ากัน (เพราะเป็นรัศมีวงกลม) นั่นคือ|2h − 3k + 21| |3h − 2k − 6|=2 2 2 22 + 3 3 + 2|2h + 3k + 9|= = r2 23 + 2แก้ระบบสมการทีละคู่ ได้ (h, k) = (25, 2) หรือ(1,2) − หรือ ( − 7.5,34.5) หรือ ( −7.5, − 4.5)แต่จากการวาดกราฟคร่าวๆ จะทราบว่า จุด (h, k) ที่อยู่ภายใน Δ นี้จริงๆ คือ ( − 1,2) เท่านั้นจะได้ r 132 2(63) จาก (x − 6x) + (y + 8y) = −k→2 2= → (x + 1) + (y − 2) = 132 2(x − 6x + 9) + (y + 8y + 16) = − k + 9 + 162 2→ (x − 3) + (y + 4) = 25 − kจะเป็นสมการวงกลมเมื่อ 25 − k > 0 → k < 25(64) คิดแบบเดียวกับข้อ 61.3 (วิธีแรก)→ y = kx สัมผัส x 2 + y 2 − 14x + 49 = k2แสดงว่า ตัดกราฟแค่จุดเดียว (ระบบสมการมีคําตอบเดียว) → แก้ระบบสมการได้2 2 2x + (kx) − 14x + 49 − k = 02 2 2→ (k + 1) x − 14x + 49 − k = 0ต้องการ B 2 − 4AC = 0 จะได้ว่า2 2 214 − 4(k + 1)(49 − k ) = 0→ k = 0, 4 3, − 4 3โจทย์ต้องการ k > 0 เท่านั้น จึงตอบ 4 3(65) x 2 + 4x + 2 = − (y 2 + 8y + 9) →2 2(x + 4x + 4) + (y + 8y + 16) = −2 − 9 + 4 + 162 2 2→ (x + 2) + (y + 4) = 3เป็นสมการวงกลม ซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ C( −2, − 4)หาสมการเส้นตรง OC ได้เป็น−4y = x → y = 2x−2หาสมการวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง− 2 + 0 − 4 + 0→ (h, k) = ( , ) = ( −1, − 2)2 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)2 2 2 2r = 1 + 2 = 5 → (x + 1) + (y + 2) = 5

คณิตศาสตร O-NET / A-NET114เรขาคณิตวิเคราะห(66) x 2 + y 2 − 4x + 2y = 4มีจุดศูนย์กลางที่ (2, − 1)ดังนั้นสมการเส้นตรงคือ4y + 1 =− (x − 2)3แก้ระบบสมการหาจุดตัดของเส้นตรงกับวงกลมได้เป็น A(0.2, 1.4) และ B(3.8, −3.4)→พื้นที่0.2 1.41 −1 −2Δ ABD = ⋅2 3.8 −3.40.2 1.41= × (0.68 + 7.6 + 1.4 + 5.32 + 3.4 − 0.4)2= 9 ตร.หน่วย2(67) (x − 1) = (1 − y)(1 + y) →2 2 2 2 2(x − 1) = (1 − y ) → (x − 1) + y = 1(เป็นรูปวงกลม) ... ให้หาสมการซึ่ง (x, y) เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมที่สัมผัสวงกลมนี้ และผ่าน ( − 1,0)แสดงว่าระยะทางจากจุด (x, y) ไปยัง ( 1,0)และระยะทางจากจุด (x, y) ไปยัง (1, 0) = r + 1− = r2 2 2 2จะได้ (x + 1) + y + 1 = (x − 1) + y →2 2 2 2 2 2x + 2x + 1+ y + 2 (x + 1) + y + 1 = x − 2x + 1+y2 2→ 2 (x + 1) + y = − 4x − 1จากนั้นยกกําลังสอง2 2 2→ 4(x + 1) + 4y = 16x + 8x + 12 2→ 12x − 4y = 3 เป็นสมการที่ต้องการ(68.1) แสดงว่า อ้อมแกน x และ c = 72→ (y − 3) = 4(7)(x + 2)2→ y − 28x − 6y − 47 = 0(68.2) แสดงว่าอ้อมแกน x และ c =− 3(เพราะอัตราส่วนระยะโฟกัส ต่อความยาวเลตัสเรกตัมต้องเป็น 1 : 4 เสมอ จึงไม่ใช่อ้อมแกน y)2 2→ y = 4( −3)(x) → y + 12x = 0(68.3) แกน x เป็นแกนสมมาตร แสดงว่าอ้อมแกน2x ... จะได้ y = 4cxแทนค่า ( 4, 6)− − เพื่อหาค่า c→ 36 = 4c( −4) → 4c = − 9ตอบ y 2 =−9x → y 2 + 9x = 0(68.4) แกนสมมาตรตั้งฉากแกน x แสดงว่าอ้อม2แกน y ... จะได้ (x − 2) = 4c(y + 3)แทนค่า (8, 2.1)− เพื่อหาค่า c36 = 4c(0.9) → 4c = 402ตอบ (x − 2) = 40(y + 3)2→ x − 4x − 40y − 116=0(68.5) แสดงว่าอ้อมแกน y จะได้2(x − 5) = 4c(y + 2) แทนค่า (3, 0) เพื่อหาค่า c4 = 4c(2) → 4c = 22ตอบ (x − 5) = 2(y + 2)2→ x − 10x − 2y + 21=0(68.6) Directrix : x =− 2, F(2,2) แสดงว่าอ้อมแกน x, หาจุดยอดได้เป็น (0, 2) [กึ่งกลางระหว่างโฟกัสกับไดเรกตริกซ์] ดังนั้น c = 22ตอบ (y − 2) = 4(2)(x)2→ y −8x − 4y + 4 = 0(68.7) อ้อมแกน2x y Dx Ey F 0→ + + + = หาค่า D, E, F โดยแทนค่า (1,3),(9,1),และ (51, − 2)จะได้ว่า2(3) + D(1) + E(3) + F = 0 ..... (1)2(1) + D(9) + E(1) + F = 0 ..... (2)2และ (2) − + D(51) + E(2) − + F= 0..... (3)แก้ระบบสมการได้ =− =− =1 19D ,E 6,F2 2ดังนั้น ตอบ 2 1 19y − x − 6y + = 02 22→ 2y − x − 12y + 19 = 0(68.8) ลองพล็อตกราฟคร่าวๆ จะรู้ว่าเป็นพาราโบลาอ้อมแกน y เท่านั้น จึงตั้งสมการว่า2x + Dx + Ey + F = 0 → แทนค่าจุดทั้งสามเพื่อแก้ระบบสมการเช่นเดียวกับข้อที่แล้ว ได้คําตอบเป็นD = 2, E =− 1, F = 3 →ดังนั้น ตอบ x 2 + 2x − y + 3 = 02 2 3(69) 2x + 3y = 0 → x = − y2 3→ = − เป็นพาราโบลาคว่ําx 4( )y83(0, − )84 (33 1,465)8 84(3)yมีจุดยอดที่ V(0, 0) จุดโฟกัสที่2 2ตอบ + − = หน่วย(70.1) x2 = → จุดยอด (0, 0) อ้อมแกน yตอบ จุดโฟกัส F(0, 3), ความกว้างที่จุดโฟกัส= 4(3) = 12 หน่วย, สมการไดเรกตริกซ์y = − 3 → y + 3 = 0(-2,3)2(3,18)(0,3)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET115เรขาคณิตวิเคราะห(70.2) y 2 − 10y + 25 = − 12x − 61+252→ (y − 5) = 4( − 3)(x + 3) → อ้อมแกน xตอบ จุดยอด V( − 3, 5), จุดโฟกัส F( − 6, 5),ความกว้าง ณ โฟกัส = 12, สมการไดเรกตริกซ์x =− 3 + 3 = 0 (ก็คือแกน y)(70.3) Directrix: x = 1จุดยอด (4, 2) แสดงว่าเปิดขวา, c = 3 →ดังนั้นจุด F(7, 2)1 7(70.4) V(0, − ), F(0, ) แสดงว่า หงาย,3 67 1 3c = ( )6 − − 3 = → x 2 = 4( 3 )(y + 1 ) →22 3หาจุดตัดแกน x; แทน y ด้วย 0 จะได้2 3 1x = 4( )( ) = 2 → x = ± 22 3ดังนั้น ตอบ ( 2,0),( − 2,0)(71.1) พาราโบลา มี y 4= − เป็น Directrix, มีF( −2, 8) → อ้อมแกน y → หาจุดยอดได้เป็น (จุดกึ่งกลางระหว่าง F กับ Directrix) V( − 2, 2)2→ c = 6 ดังนั้นได้สมการ (x + 2) = 4(6)(y − 2)2→ x + 4x − 24y − 44 = 0(71.2) เทคนิคการคิด คือ ขยับเส้นตรง x =− 4ไปทางขวาเข้าหาจุด F(3, 1) เป็นระยะ 5 หน่วย จะได้ Directrix: x = − 4 + 5 = 1 → อ้อมแกน xจุดยอดคือ V(2, 1) → c = 1 → ได้สมการเป็น2(y − 1) = 4(1)(x − 2)2→ y − 4x − 2y + 9 = 02(72) (x − 1) = 4(1)(y)อ้อมแกน y, จุดยอด V(1, 0) → จุดโฟกัส F(1, 1)หาจุดบนโค้งนี้ที่ห่างจาก F(1, 1) อยู่ 13 หน่วยสมมติจุดนั้นเป็น (a, b) จะได้ว่า2 213 (a 1) (b 1)= − + − ..... (1)2และ (a − 1) = 4b ..... (2)แก้ระบบสมการได้ b = 12, − 14ถ้า b = 12 → a = 1 ± 4 3จุด (a, b) = (1 + 4 3, 12) หรือ (1 − 4 3, 12)=− เป็นไปไม่ได้ (หาค่า a ไม่ได้)ถ้า b 14,(4,2)x=1∴ ห่างจากแกน x อยู่ 12 หน่วย(73) แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้เป็น (8, 8) กับ(2, − 4) ดังนั้นความยาวคอร์ดที่เกิดขึ้น2 2= 6 + 12 = 180 = 6 5 หน่วย(74) y 2 − 4y + 4 = 4x + 8 + 42→ (y − 2) = 4(1)(x + 3) → อ้อมแกน x, จุดยอดV( − 3, 2) และจุดโฟกัส F( −2, 2) →สมการเส้นตรงที่ต้องการคือ6−2y − 6 = ( )(x − 1) → 4x − 3y + 14 = 01+22 2(75) (x − 6x + 9) + (y + 2y + 1) = 6 + 9 + 12 2→ (x − 3) + (y + 1) = 16 → จุดศูนย์กลางคือC(3, −1)→ หาพาราโบลาที่มี Directrix: y = 5,โฟกัส F(3, −1)→ อ้อมแกน yจุดยอดคือ V(3, 2) → c = −3→ สมการที่ได้2(x − 3) = 4( −3)(y −2)→2x − 6x + 12y − 15 = 0(76) แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้เป็น (0, 0) กับ(3, − −3)→ หาพาราโบลาที่ผ่าน 2 จุดนี้ และแกนสมมาตรคือแกน x → แสดงว่า (0, 0) เป็นจุดยอด2จะได้ (y) = 4c(x) → แทน ( −3, − 3) เพื่อหาค่า c→ 9 = 4c( −3) → 4c = − 3ดังนั้น ตอบ y 2 = −3x → y 2 + 3x = 0(77) y 2 − 4y + 4 = − 8x + 20 + 42→ (y − 2) = 4( −2)(x − 3) → อ้อมแกน x,จุดยอด V(3, 2), จุดโฟกัส F(1, 2) → ไดเรกตริกซ์x = 3 + 2 = 5 → จุดตัดของไดเรกตริกซ์กับแกนสมมาตร ก็คือ P(5, 2) ดังนั้น โจทย์ให้หาวงกลมที่ผ่านจุด (0, 0),(1, 2),(5, 2) →แก้ระบบสมการ หา D, E, F จาก2 2x + y + Dx + Ey + F = 0เช่นเดียวกับโจทย์ข้อ (59.4),(59.5) ได้เป็น1D = − 6,E = ,F = 0 → สมการวงกลมที่ได้ คือ22 2 1+ − + = → จัดรูปเพื่อหารัศมีx y 6x y 022 2 1 1 1(x − 6x + 9) + (y + y + ) = 9 + ดังนั้น2 16 161 145กําลังสองของรัศมีวงกลม = 9 + = 16 16(78) วาดพาราโบลาลงบนแกนเพื่อช่วยคํานวณ โดยให้เปิดขวาและมีจุดยอดที่ (0, 0) จะได้สมการเป็น y2 = 4cx →หาค่า c จากจุดที่ผ่าน คือ (6, 4)→ 16 = 4c(6)∴ระยะโฟกัส16 2→ c = =24 323= หน่วย(6,4)(6,-4)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET116เรขาคณิตวิเคราะห(79.1) C(3, 1), a 4, b 3,− = = รีตามแกน y2 2(y + 1) (x − 3)→ + = 12 24 32 2→ 9(y + 1) + 16(x − 3) = 1442 2→ 16x + 9y − 96x + 18y + 9 = 0(79.2) C(0, 0), V(0, 8) แสดงว่า a = 8 และรีตามแกน y, F(0, − 5) แสดงว่า c = 52 2→ b = 8 − 5 = 39 จะได้สมการเป็น2 2y x2 228 + 39= → + =(79.3) V( 4, 2), (2, 2)1 64x 39y 2496− แสดงว่า รีตามแกน x และจุดศูนย์กลาง C( −1, 2) → a = 32 2(x − 2) (y + 1)→ + = 12 23 22 2→ 4(x − 2) + 9(y + 1) = 362 2→ 4x + 9y − 16x + 18y − 11 = 0(79.4) C( −2, 1), F( − 2, 4) แสดงว่ารีตามแกน yและ C = 3, ผ่านจุด ( − 6,1) แสดงว่าจุดปลายแกนโทเป็น B( − 6, 1)2 2จะได้ b = 4, a = 3 + 4 = 5 →2 2(y − 1) (x + 2)+ = 12 25 42 2→ 16(y − 1) + 25(x + 2) = 4002 2→ 25x + 16y + 100x − 32y − 284 = 0(79.5) C(2, 1), V(2, − 4) แสดงว่า รีตามแกน yและ a = 5, ค่า c:a = 2:5 แสดงว่า c = 22 2→ b = 5 − 2 = 21 ดังนั้นได้สมการ2 2(y − 1) (x − 2)→ + = 125 212 2→ 21(y − 1) + 25(x − 2) = 5252 2→ 25x + 21y − 100x − 42y − 404 = 0(80.1) นํา 36 หารรีตามแกน x2 2x y→ + = 1 →9 42 2(a = 3, b = 2 → c = 3 − 2 = 5)ตอบ C(0,0), V(3,0),( − 3,0),F( 5, 0),( − 5, 0), B(0, 2),(0, − 2)2 2(80.2) 9(x − 6x + 9) + 5(y − 10y + 25)=− 26 + 81 + 1252 2→ 9(x − 3) + 5(y − 5) = 1802 2(x − 3) (y − 5)→ + = 1นํา 180 หาร20 36รีตามแกน y (a = 6, b = 20, c = 4)ตอบ C(3, 5), V(3, 5±6)F(3, 5± 4), B(3 ± 20, 5)2 2(80.3) 5(x − 2x + 1) + 9(y ) = 40 + 52 2→ 5(x − 1) + 9y = 45 →นํา 45 หาร2 2(x − 1) y→ + = 19 5รีตามแกน x (a = 3, b = 5, c = 2)ตอบ C(1, 0), V(1 ± 3, 0), F(1 ± 2, 0), B(1, ± 5)(81.1) F(4, 0), ( − 4, 0) แสดงว่า รีตามแกน xc = 4, C(h,k) = (0,0) → ระยะทางรวมเป็น 122 2แสดงว่า a = 6 → b = 6 − 4 = 20xสมการที่ต้องการคือ 2 y226 + 20=2 2→ 5x + 9y = 180(81.2) F(2, 7), (2, 1) แสดงว่ารีตามแกน yc = 3, C(h,k) = (2,4) → ระยะทางรวม เป็น 102 2แสดงว่า a = 5 →∴ b = 5 − 3 = 4 →12 2(y − 4) (x − 2)สมการที่ต้องการ คือ + = 125 162 2→ 25x + 16y − 100x − 128y − 44 = 0(82.1) รูปวงรี (เพราะตรงตามนิยามของวงรีพอดี)(82.2) 6 = 2c → c = 310 = 2a → a = 5 ∴ b = 4xได้สมการ 2 y2+2 25 4= 12 2→ 16x + 25y = 4002 2(83) 4(x − 12x + 36) + 9(y + 8y + 16)=− 144 + 144 + 1444(x26) 9(y24) 144C(h, k) (6, 4)→ − + + = เป็นสมการวงรีที่มี= − → หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน3(6, − 4) และตั้งฉากกับ + = = −4 4แสดงว่า L3 3ตอบ 4x − 3y − 36 = 03x 4y 5 (m )4m = → y + 4 = (x − 6)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET117เรขาคณิตวิเคราะห2 2(84) (x − 4x + 4) + 3(y ) = 2 + 42 22 2 (x − 2) y→ (x − 2) + 3y = 6 → + = 1 →6 2รีตามแกน x C(h, k) = (2, 0), c = 6 − 2 = 2∴ F(2 ± 2, 0) = (4, 0) กับ (0, 0) → โจทย์ให้หาระยะระหว่างเส้นตรงที่ผ่าน (4, 0) และผ่าน (0, 0)โดยทํามุม 45° กับแกน xดังภาพ∴ d = 4sin45°= 2 2หน่วย(85)2 2 1kx + 4(y − y + ) = 8 + 142 1 2→ kx + 4(y − ) = 921 22 (y − )x→ + 2 = 122(3 / k) (3 / 2)พบว่าต้องรีตามแกน xจึงจะเกิด Δ ได้ ดังภาพ2 2 9 9c = a − b = −k 43 7 1 9 9 3∴ พื้นที่ Δ= = ⋅(2 − ) ⋅ ( )4 2 k 4 29→ k =4(86) ตั้งแกนไว้ให้จุด C(h, k) = (0, 0) จะได้ว่า2 2x y+ = 1 โจทย์ถามตําแหน่ง P ซึ่งห่างจาก2 22 1ปลายหนึ่ง 80 ซม. → แสดงว่า x 1.22 2(1.2) yค่าความสูง y → + = 12 22 1→ y = 0.8 จึงตอบว่า สูงจากพื้น 80 ซม.(87.1) C( − 3, 1), V(2, 1) แสดงว่า อ้อมแกน xa = 5, แกนสังยุคยาว 6 หน่วย แสดงว่าb = 3 → สมการคือ2 2= → หา(x + 3) (y − 1)− = 12 25 32 2→ 9x − 25y + 54x + 50y − 169 = 0(87.2) F( 1, 6), ( 1, 4)C(h, k) ( 1, 1) c 5− − − แสดงว่า อ้อมแกน y= − − → = ... แกนตามขวางยาว2 26 หน่วย แสดงว่า a = 3 → b = 5 − 3 = 42 2(y + 1) (x + 1)สมการคือ − = 12 23 42 2→ 16y − 9x + 32y − 18x − 137 = 0(หรือนํา -1 คูณ กลายเป็น− + − + = ก็ได้)2 29x 16y 18x 32y 137 0d4B3/2 cF 1 (0,1/2) F 2(87.3) F(0, 4), (0, 4)C(0, 0), c 4− แสดงว่า อ้อมแกน y= ... จุด B(3, 0) แสดงว่า2 2b = 3 → a = 4 − 3 = 7y x− = 17 3สมการคือ 2 2 22 2→ 9y − 7x − 63 = 0(หรือ2 27x 9y 63 0− + = ก็ได้)− = → นํา 36 หาร(88.1)2 29x 4y 362 2x y→ − = 1 → อ้อมแกน x,4 9a = 2,b = 3 → c = 4 + 9 = 13ตอบ C(0, 0), V( ± 2, 0), F( ± 13, 0), B(0, ± 3)2 2(88.2) 9(x − 2x + 1) − 16(y + 4y + 4)= 199 + 9 − 642 2→ 9(x − 1) − 16(y + 2) = 1442 2(x − 1) (y + 2)116 9a = 4,b = 3,c = 5ตอบ C(1, − 2), V(1 ± 4, − 2), F(1 ± 5, − 2)→ − = → อ้อมแกน xB(1, − 2±3)2 2(88.3) 6(x − 6x + 9) − (y + 2y + 1)= − 59 + 54 − 12 2→ 6(x − 3) − (y + 1) = − 62 2(y + 1) (x − 3)16 1→ − = → อ้อมแกน ya = 6, b = 1, c = 7ตอบ C(3, −1), V(3, − 1± 6), F(3, − 1±7)B(3 ± 1, − 1)2 2(88.4) 6(x − 2x + 1) − 10(y + 4y + 4)= 94 + 6 − 402 2→ 6(x − 1) − 10(y + 2) = 602(x − 1)2(y + 2)10 61a = 10, b = 6, c = 4ตอบ C, (1, − 2), V(1± 10, − 2), F(1± 4, − 2)→ − = → อ้อมแกน xB(1, − 2±6)(89) F(3, 0),( −3, 0) → C(h, k) = (0, 0), c = 3 ,อ้อมแกน x , ผลต่างระยะทาง 4 หน่วย2 2→ 2a = 4 → a = 2 ∴ b = 3 − 2 = 5x∴ สมการคือ 2 y222 − 5=2 2→ 5x − 4y − 20 = 01Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET118เรขาคณิตวิเคราะห|4x − 3y + 11| |4x + 3y + 5| 144(90) ⋅ =2 2 2 24 + 3 4 + 3 25→ |(4x − 3y + 11)(4x + 3y + 5)| = 1442 2→ 16x − 9y + 64x + 18y + 55 = ± 144− + + + = หรือตอบ2 216x 9y 64x 18y 199 02 216x − 9y + 64x + 18y − 89 = 0(91.1) อยู่ในรูปแบบไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy =− kจุดยอด (2, −2), ( − 2, 2)จุดโฟกัส (2 2, −2 2),( − 2 2, 2 2)(91.2) จัดรูปดังนี้ xy + 2x − y = 3→ x(y + 2) − (y + 2) = 3 − 2→ (x − 1)(y + 2) = 1 อยู่ในรูปแบบไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy = k ... มีจุดศูนย์กลางที่ (1, − 2)2 2(92) 9(x − 2x + 1) − 16(y + 4y + 4)= 199 + 9 − 642 2→ 9(x − 1) − 16(y + 2) = 1442 2(x − 1) (y + 2)→ − = 1 อ้อมแกน x16 9C(1, 2), c 16 9 5− = + = → จุดโฟกัสอยู่ที่(1 ± 5, − 2) = (6, − 2) กับ ( −4, − 2)ผลรวมระยะทางที่ต้องการ คือ|3(6) + 4( −2) −8| |3( − 4) + 4( −2) −8|+2 2 2 23 + 4 3 + 42 28= + = 6 หน่วย5 52 2(93) 6(x − 2x + 1) − 10(y + 4y + 4)= 94 + 6 − 402 2(x − 1) (y + 2)→ − = 1 อ้อมแกน x10 6C(1, − 2) , c = 10 + 6 = 4 → F(1 ± 4, − 2) ดังนั้นF 1 คือ (5, − 2) [Q 4] → แกนสังยุคของไฮเพอร์โบลาคือ x = 1 → สร้างสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดV(5, − 2) และ Directrix: x = 1 → แสดงว่าอ้อมแกน x และ c = 4 →2(y + 2) = 4(4)(x − 5)2→ y − 16x + 4y + 84 = 0(94) จุดตัดแกน x ของไฮเพอร์โบลา (แทน2y = 0) คือ 9(x − 1) − 16 = 3652→ x = 1 ± ... คู่อันดับ3หาสมการวงรีที่มี52F(1 , 0)352(1 ± , 0)3± และผลบวกเป็น 8แสดงว่า C(h, k) = (1, 0), รีตามแกน x,52 52 92c = , a = 4 → ∴ b = 16 − =3 9 32 2(x − 1) 9yตอบ + = 1 →16 922 223(x − 1) + 36(y ) = 3682 2→ 23x + 36y − 46x − 345 = 02 2(95) 6(x + 2x + 1) + 5(y − 4y + 4) = 4 + 6 + 202 2(x + 1) (y − 2)15 6C(h, k) = ( − 1, 2), a = 6, b = 5,→ + = วงรี รีตามแกน yc = 6 − 5 = 1 →V( 1, 2 6), F( 1, 2 1)ที่ C( 1, 2), V( 1, 2 1),− ± − ± → หาสมการไฮเพอร์โบลา− − ± แกนสังยุคยาวเท่าแกนโทของวงรี ( b = 5 เท่ากัน)2 2(y − 2) (x + 1)→ − = 1 →21 52 25(y − 2) − (x + 1) = 52 2→ 5y − x − 20y − 2x + 14 = 0(หรือ x 2 − 5y 2 + 2x + 20y − 14 = 0 ก็ได้)(96) ย้ายข้างสมการให้อยู่ในรูป2 2Ax + By + Dx + Ey + F = 0... ถ้า A หรือ B เป็น 0 ⇒ พาราโบลาถ้า A = B ⇒ วงกลมถ้า A ≠ B แต่เครื่องหมายเดียวกัน ⇒ วงรีถ้า A กับ B เครื่องหมายตรงข้ามกัน ⇒ไฮเพอร์โบลาดังนั้นแต่ละข้อได้คําตอบดังนี้(96.1) วงกลม (96.2) วงรี(96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอร์โบลา(96.5) ไฮเพอร์โบลา (96.6) วงกลม(96.7) ไฮเพอร์โบลา (96.8) วงรี(96.9) ไฮเพอร์โบลา (96.10) พาราโบลาMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET119ความสัมพันธและฟงกชันf(n)=c+tnº··Õè5 ¤ÇÒÁÊaÁ¾a¹¸/¿§¡ªa¹ความรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์และฟังก์ชัน จะเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรและเป็นพื้นฐานของการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในการทํางาน ทั้งด้านพาณิชยศาสตร์ ด้านวิศวกรรม ฯลฯ ซึ่งในบทนี้เราจะได้รู้จักลักษณะเบื้องต้นของความสัมพันธ์และฟังก์ชันคู่อันดับ (Ordered Pair) ประกอบด้วยสมาชิกสองตัวในรูป (a, b) ซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนลําดับสมาชิกตัวหน้ากับตัวหลังได้ และ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d เท่านั้นผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian Product) คือผลคูณระหว่างเซตสองเซตเซต A × B (เอคูณบี) คือเซตของคู่อันดับ ที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต A และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต B ครบทุกคู่ หรือเขียนแบบเงื่อนไขได้ว่า A × B = {(a,b)| a ∈ A และ b ∈ B}เช่น A = {0,1,2}, B = {1,3} จะได้ A× B = {(0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)}A× A = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}ข้อสังเกต1. n(A × B) = n(A) ⋅ n(B)2. n(A ×∅ ) = n(A) ⋅ n( ∅ ) = 0 ดังนั้น A × ∅ = ∅3. A× B = B× A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือมีเซตใดเซตหนึ่งเป็น ∅Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET1205.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ความสัมพันธและฟงกชันความสัมพันธ์ (Relation : r) คือเซตที่สมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับหรือกล่าวว่า เซตที่นําไปเขียนกราฟ (2 มิติ บนแกน x,y) ได้ จัดว่าเป็นความสัมพันธ์นิยาม “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” (from A to B)คือเซตของคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าอยู่ในเซต A และสมาชิกตัวหลังอยู่ในเซต B แต่ไม่จําเป็นต้องครบทุกคู่ ... ดังนั้น “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือสับเซตของ A×Bn(A× B)และเป็นไปได้ทั้งหมด 2 แบบสัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือ r = {(x,y) ∈ A×B | .....}ตัวอย่างเช่น A = {2,3,4} และ B = {1,3,5,8}จะได้ A× B = {(2,1),(2,3),(2,5),(2,8),(3,1),(3,3),(3,5),...,(4,8)}และมี r ⊂ A× B ทั้งสิ้น 3 ×2 4 = 4096 แบบ ... ทุกแบบสามารถเขียนเงื่อนไขได้ เช่นr 1 = {(x,y) ∈ A× B | y < x} จะได้ r 1 = {(2, 1),(3, 1),(3, 3),(4, 1), (4, 3)}r 2 = {(x,y) ∈ A× B | y = x + 1} จะได้ r 2 = {(2, 3),(4, 5)}r 3 = {(x,y) ∈ A× B | x หาร y ลงตัว } จะได้ r 3 = {(2, 8), (3, 3),(4, 8)}3r = {(x,y) ∈ A× B | x < y} จะได้ r 4 = ∅4หมายเหตุ1. เนื่องจากความสัมพันธ์จัดเป็นเซตชนิดหนึ่ง จึงเขียนแสดงความสัมพันธ์ได้ 2 ลักษณะ ได้แก่ แจกแจงสมาชิก และบอกเงื่อนไข2. r = {(x, y) ∈ A × A | .....} เรียกว่า “ความสัมพันธ์ภายใน A” (in A)3. ถ้าไม่ระบุว่าเป็นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด จะหมายถึงเซตจํานวนจริง R × Rแบบฝึกหัด 5.1(1) กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจํานวนจริง ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(1.1) ∀a∀b[(a,b) ≠ (b,a)](1.2) ∀a∀b[(a,b) ≠ (c,d) → a ≠ cและ b ≠ d](1.3) ∃a∃ b[(a + 2b,1) = ( − 1,b + a/2)](2) ถ้า (3x + 5, 8 − 4y) = ( −5, − 6) และ (y, 2) = ( − p, 2) แล้ว ให้หา (xp, x/p)(3) กําหนดให้ (a, b) ∗ (c, d) = (a − c, b + d) ถ้า (3,4) ∗ (0,0) = (x,y) ∗ (3,4)แล้ว ให้หา (x, y)(4) กําหนด A, B, C เป็นเซตใดๆ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(4.1) ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจํากัดแล้ว A× B เป็นเซตอนันต์(4.2) ถ้า A× B เป็นเซตอนันต์ แล้ว A เป็นเซตอนันต์ หรือ B เป็นเซตอนันต์(4.3) ถ้า A× B = A× C แล้ว B = CMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET121ความสัมพันธและฟงกชัน(4.4) ถ้า A× B = ∅ แล้ว A = B = ∅(4.5) A× B = B× A ก็ต่อเมื่อ A = B(4.6) (A ∩ B) × C ⊂ A × C ⊂ (A ∪ B) × C(4.7) A× B ≠ A และ A× B ≠ B(4.8) มีเซต A บางเซต ที่ทําให้ A ∩ (A× B) ≠ ∅(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(5.1) ถ้า A = {4,5,6,{4,5,6}} และ B = {4,5,{4,5}}แล้ว n[P(A) × P(B)] = 128(5.2) ถ้า A = {3, 4, 5, ..., 32} , B = {7, 8, 9, ..., 40} และ C {0, 1, 2, ..., 25}n [(A × B) ∩ (A × C)] = 570(5.3) ถ้า A = {0, 1, 2, ..., 28} และ B = { −3, −2, − 1, ..., 4}แล้ว n[(A × B) ∪ (B × A)] = 439(6) กําหนดให้ A = {a 1, a 2, a 3, ..., a m}, B = {a 1, a 2, a 3, ..., a k}โดยที่ m < kถ้า (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B) × (B ∩ A) แล้ว n[(A × B) ∪ (B × A)] มีเท่าใด= แล้ว(7) ถ้า n( U ) = 10, n(A ' ∩ B') = 2, n(A ' ∪ B') = 9 และ n(B) − n(A) = 1 แล้ว ให้หาจํานวนความสัมพันธ์ต่างๆ กันจาก A ไป B(8) [Ent’39] ถ้า n(A) = 10 แล้ว ให้หาจํานวนความสัมพันธ์ทั้งหมดจาก A× A ไป A(9) กําหนดให้ A = {1,2,3} และ B = {0,4} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่(9.1) มีความสัมพันธ์จาก A ไป B ทั้งหมด 64 เซต(9.2) มีความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเท่ากับ A ทั้งหมด 27 เซต(10) กําหนดให้ n(A) = 3 และ n(B) = 4 แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่(10.1) จํานวนความสัมพันธ์จาก A ไป B เท่ากับจํานวนความสัมพันธ์จาก B ไป A3(10.2) จํานวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A มีทั้งหมด 15 เซต(10.3) จํานวนความสัมพันธ์จาก B ไป A ที่โดเมนเป็น B มีทั้งหมด 2401 เซต(10.4) จํานวนความสัมพันธ์ภายใน A ที่โดเมนเป็น A มีทั้งหมด 343 เซต(11) ให้เขียน r 1 ∩ r 2 แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อ(11.1) 1 = ∈ × + =2 2(11.2) r {(x,y)| x y 16}r {(x,y) I I | x y 1} , r 2 = {(x,y) ∈ I× I | x − y = 3}12= + = , r = {(x,y)| y = 4 − x }(12) ถ้า A = {1, 2, 3, ..., 20} , B = {0, 1, 2, ..., 25}และ r = {(x,y) ∈ A× B | y> x} ให้หาจํานวนคู่อันดับภายใน r25.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์โดเมน (Domain; D) ของความสัมพันธ์ คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับเรนจ์ หรือ พิสัย (Range; R) ของความสัมพันธ์ คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับนั่นคือ D r = {x |(x,y) ∈ r} และ R r = {y |(x,y) ∈ r}Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET122ความสัมพันธและฟงกชันและ DrR4 r4เช่นในตัวอย่างข้างต้น D r {2,3,4}1= = ∅ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว D r= , R r 1= {1,3}, D r = {2,4}, R2r 2= {3,5}⊂ A และ R r⊂ Bการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ภายใน R ซึ่งบอกมาเป็นเงื่อนไข (สมการ)ให้พิจารณาที่เงื่อนไขว่าหากมีสิ่งเหล่านี้คือ การหาร, การถอดราก, ค่าสัมบูรณ์, การยกกําลังจะมีข้อจํากัดเกิดขึ้น กล่าวคือbถ้ามี a = จะได้ว่า c ≠ 0cถ้ามี a = n b ถ้า n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0 และ b > 0nถ้ามี a = b ถ้า n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0ถ้ามี a = b จะได้ว่า a > 0โดยการหาโดเมน ควรจะพิจารณาในรูปสมการ y = ...(x)... (เขียน y ในเทอมของ x)และการหาเรนจ์ หากเป็นไปได้ควรจัดรูปให้กลายเป็น x = ...(y)... (เขียน x ในเทอมของ y) แล้วค่อยพิจารณา2• ตัวอยาง ใหหาโดเมนและเรนจของ r = {(x,y)| y = 4 − x }2วิธีคิด (1) การหาโดเมน พบวามีรากที่สอง ดังนั้น 4− x > 0 หรือ − 2 < x < 2(2) การหาเรนจ เนื่องจากมีรากที่สอง ดังนั้น y > 0 เสมอ2จากนั้นจัดรูปเปน x 4 yนําเงื่อนไขมารวมกันไดเปน 0 < y < 22= ± − ซึ่งจะไดวา 4 − y > 0 ก็คือ 2 y 2ดังนั้น ตอบ D r = [ − 2,2] และ R r = [0,2]• หมายเหตุ หากไดศึกษาเรื่องกราฟวงกลมในบทเรียน2“เรขาคณิตวิเคราะห” จะทราบวาสมการ y = 4 − x− < 0 เทานั้น) ซึ่งถาเขียนกราฟจะมองเห็นโดเมนและเรนจไดชัดเจนกวาการคํานวณ1r − คือ ตัวผกผัน หรือ อินเวอร์ส (Inverse) ของ r1โดยที่ r − = {(y, x) | (x, y) ∈ r }อธิบายได้ว่า r − 1 สามารถหาได้จาก การสลับที่สมาชิกตัวหน้าและหลังของคู่อันดับใน rหรือถ้าเป็นความสัมพันธ์แบบเงื่อนไข ก็หาได้จากการสลับที่ระหว่าง x และ y นั่นเอง−เช่น ถ้า r = {(2,1),(3,3),(4,5),(0, − 1)} จะได้ 1แต่ถ้าเป็นแบบเงื่อนไข r = {(x,y)| y = 2x − 3} สามารถเขียน r − 1 ได้หลายแบบเช่น r = {(y,x)| y = 2x − 3} หรือ r = {(x,y)| x = 2y − 3} หรือซึ่งแบบสุดท้าย (เขียนในรูปของ y) นี้เป็นที่นิยมมากกว่าข้อสังเกต D − 1 = Rrและ R − 1 = Drเสมอrry2r = {(1, 2),(3, 3),(5, 4),( − 1, 0)}Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x + 3r = {(x,y)| y = }2

คณิตศาสตร O-NET / A-NET123แบบฝึกหัด 5.2ความสัมพันธและฟงกชัน(13) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้(13.1) r = {(x,y)| xy = 2}(13.2) r = {(x, y) | (x −2)(y − 1) = 1 }1(13.3) r = {(x,y)| y = }(13.4)(13.5)x − 1r = {(x,y)| y =2x − 3}x + 1r = {(x,y)| y =x + 1, x > 1}x − 1(14) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้[ Hint : บางสมการควรจัดรูปให้เป็นกําลังสองสมบูรณ์ ]2(14.1) r = {(x,y)| y = x }(14.2) r = {(x,y)| y = x}2(14.3) r = {(x,y)| y = x −2x − 3}(14.4) r = {(x,y)| y = 3 + x + 1}2 2(14.5) r = {(x,y)| x + y = 16}2(14.6) r = {(x,y)| y = 16−x }2(14.7) r = {(x,y)| y = 1 4 − 3x − x }22 2(14.8) r = {(x,y)| x + y − 6x + 4y − 3 = 0}(15) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้1(15.1) r = {(x,y)| y = }2x − x1r = {(x,y)| y =}x − 4x + 3(15.2)2(15.3)x + 1r = {(x,y)| y = }x2 2(15.4) r = {(x,y)| 2x + y − 2xy + x + 1 = 0}2 2 2(15.5) r = {(x,y)| x y − y − x − 2 = 0}2 2(15.6) r = {(x, y) | xy − xy − 2y + 2y − 6x + 11 = 0 }(16) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้3(16.1) r = {(x,y)| y =}x + 3 − 4(16.2) r = {(x,y)| y = x + 2 − x }2(16.3) r = {(x,y)| y = x − 4 }(17) ให้หาเรนจ์ ของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้1(17.1) r = {(x,y)| y = }2x − 4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(17.2) = =2(17.3)1r {(x,y)| y }x − 4xr = {(x,y)| y = }x − 2124ความสัมพันธและฟงกชัน2(17.4) r = {(x,y)| y = 3x − 1+ 2 2x − 3x − 2 }(18) ให้ r = {(x,y)| xy = 1+ y} แล้ว R r − D r เป็นเซตใด(19) ให้ r เป็นความสัมพันธ์ภายใน R ซึ่งถ้า A Dr Rr⎧⎪ x − 2 , x < 11r = {(x,y)| y = ⎨}⎪⎩15 − x , x > 11= ∩ แล้ว ผลบวกของค่าขอบเขตบนน้อยสุดกับค่าขอบเขตล่างมากสุดเป็นเท่าใด2 2(20) กําหนดให้ r = {(x,y)| y −2xy − x + 1 = 0} จํานวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นสมาชิกของR ∩ D' เป็นเท่าใดrr(21) ถ้า = =21r {(x,y)| y }x −2x − 3แล้ว ให้หาคอมพลีเมนต์ของ Dr − 1(22) ถ้าให้เอกภพสัมพัทธ์เป็น R r โดยที่ r2 2 −1= {(x,y)| y = (9− x ) } แล้ว ข้อใดถูกก. ∃x∀ y[x + y = y]ข. ∀x∃ y[x + y = 0]5.3 กราฟของความสัมพันธ์“กราฟของความสัมพันธ์ r” ก็คือเซตของจุดบนแกนมุมฉาก (x, y) ซึ่งแต่ละจุดแทนสมาชิกใน r (โดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นแกนนอน และสมาชิกตัวหลังเป็นแกนตั้ง)เช่น ถ้า r 1 = {(1, 2),( −1, 2),(2, 3),( −2, 0),(0, − 2)}2r 2 = {(x, y) ∈ I×I | y = x } = {(0, 0),( ± 1, 1),( ± 2, 4), ...}2และ r 3 = {(x,y) ∈ R× R | y = x } จะได้กราฟดังภาพyyy32-2 -1 O 1 2-2r 14x1-2 -1 O 1 2การเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะช่วยให้เห็นโดเมนและเรนจ์ได้ชัดเจนยิ่งขึ้นรูปแบบของกราฟที่ควรรู้จักมีดังนี้ ...หมายเหตุ ควรศึกษาเทคนิคการเขียนกราฟ (การเลื่อนแกน, การปรับขนาดกราฟ) ซึ่งอธิบายไว้ในบทเรียน“เรขาคณิตวิเคราะห์” เพื่อช่วยในการหาโดเมนและเรนจ์ต่อไปr 2xOr 3xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET125ความสัมพันธและฟงกชัน1. กราฟเส้นตรง y = mx + c m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน yyyycOm > 0xm < 0cOxOc m = 0x222. กราฟพาราโบลา y = ax หรือ x = ay a คือค่าคงที่ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์yyyx = ay 2y = ax 2 a > 0a > 0xx OOy = ax 2 Oa < 0x3. กราฟค่าสัมบูรณ์ (ที่คล้ายพาราโบลา) y = a x หรือ x = a yyyOy = a|x|a > 0xOxy = a|x|a < 0yx = a|y|a > 0Ox2 2 24. กราฟวงกลม x + y = r r คือรัศมีของวงกลม (มากกว่าศูนย์)5. [Ent’22] กราฟค่าสัมบูรณ์ (ที่คล้ายวงกลม) x + y = k k คือค่าคงที่ที่มากกว่าศูนย์yyS e¾ièÁeµiÁ! Sr-rxO r -k O-r6. กราฟไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy = cc คือค่าคงที่ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์yk-kkc > 0x¡ÃÒ¿ã´æ ·ÕèÁÕ¤ÒÊaÁºÙÃ³¹aé¹äÁÕÅa¡É³a¤ÅÒÂÀÒ¤µá ¡ÃÇÂ e¾ÕÂ§æ¤eÃÒÁo§¤ÒÊaÁºÙÃ³e»¹Â¡¡íÒÅa§Êo§ e¾×èoãËäéÊ¹o¤§ æÅÇ»ÃaºãË¡ÅÒÂe»¹eÊ¹µÃ§e·Ò¹aé¹..c < 0yOxOxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET126ความสัมพันธและฟงกชันกราฟของความสัมพันธ์อาจเป็น “พื้นที่ (แรเงา)” ในระนาบ หากว่าความสัมพันธ์นั้นเป็น“อสมการ” โดยมีหลักในการเขียนกราฟคือ คิดว่าเป็นเครื่องหมายเท่ากับแล้วเขียนกราฟของสมการก่อน จากนั้นตรวจสอบว่าบริเวณใดของพื้นที่ตรงตามเงื่อนไขของอสมการ จึงแรเงา (เส้นกราฟทึบแสดงว่าจุดบนเส้นนั้นอยู่ใน r, เส้นประแสดงว่าจุดบนเส้นนั้นไม่อยู่ใน r)yyyy < x+222O1กราฟของอินเวอร์ส ( r − ) มีความเกี่ยวข้องกับกราฟของ r คือ เกิดจากการหมุนกราฟโดยมีเส้นตรง y = x เป็นแกนหมุน … เท่ากับเป็นการสลับแกน x กับ y กันนั่นเองy เส้นตรง yy = x(-3,-1)แบบฝึกหัด 5.3(23) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ โดยอาศัยการเขียนกราฟ(23.1) r = {(x,y)| x + y = 4}(23.2) r = {(x,y)| x − 2 + y = 2}(23.3) r = {(x,y)| y =2x + 2x − 2}(23.4)2r = {(x,y)| y = x + 2x −2 , − 30}(24.1) r 1 r 2 r 5∩ ∩ (24.3) r 1 ∩ r 3 ∩ r 4∩ ∩ (24.4) r 3 ∩ r 4 ∩ r 5(24.2) r 1 r 4 r 5(25) ให้หาขนาดพื้นที่ (ตารางหน่วย) ของ r 1 ∩ r 2 ∩ r 3 เมื่อr 1 = {(x,y)| x − y + 1 > 0} r 2 = {(x,y)| 2x + y − 4 < 0}และ r 3 = {(x,y)| y + 1 > 0}r(26) ให้หาขนาดพื้นที่ (ตารางหน่วย) ของ r 1 ∩ r 2 เมื่อ(26.1) r 1 = {(x,y)| 2 < x + y } และ 2xOOxy > 3x 2xx 2 + y 2 > 4r -1(-1,-3)-2O-2r = {(x,y)| x + y < 4}Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x2x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET127ความสัมพันธและฟงกชัน(26.2) r 1 = {(x,y)| x + 2 y < 4} และ r 2 = {(x,y)| 2 x + y > 2}2 2(26.3) [Ent’21] r 1 = {(x,y)| y < 4 − x } และ r 2 = {(x,y)| y > x }21(26.4) r = {(x,y)| y < 16−x } และ r = r −11(27) ให้หาขนาดพื้นที่ (ตารางหน่วย) ของ r r −2 1∪ เมื่อ r = {(x,y)| 2 x + y < 8}(28) ถ้า A = โดเมนของ r 1 ∩ r 2 และ B = เรนจ์ของ r 1 ∩ r 2โดยที่ r 1 = {(x,y)| x + y > 2} และ r 2 = {(x,y)| x + 2 y < 4}แล้ว ผลบวกของจํานวนเต็มใน A ∩ B' เป็นเท่าใด2 2(29) ถ้า r 1 = {(x,y)| x − y = 5} และ r 2 = {(x,y)| x + y < 53} แล้ว โดเมนของ r 1 ∩ r 2เป็นช่วงใด22(30) ถ้า A = {x | x − 2x < 3} และ r = {(x,y) ∈ A × R | x − y − 1 = 0} แล้ว เรนจ์ของ rเป็นช่วงใด(31) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(31.1) ถ้า r = {(x,y) ∈ R× R | y =2x } แล้ว r1 = r(31.2) ถ้า r+= {(x,y) ∈ R × R | y =2x } แล้ว r1 = r(31.3) ถ้า r2 2= {(x,y) ∈ R× R | x + y = 25} แล้ว r1+2 2(31.4) ถ้า r = {(x,y) ∈ R × R | x + y = 25} แล้ว r1y(32) ให้หาขนาดพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกล้อมด้วยกราฟของ r และ r − 1เมื่อกําหนดกราฟของ r เป็นดังภาพ(0,1)(2,2)O(-2,-2) (0,-1)− =− =rrx5.4 ลักษณะของฟังก์ชันจากที่ศึกษาผ่านมาแล้วว่า ความสัมพันธ์ คือเซตของคู่อันดับ (และที่พบบ่อยจะเขียนอยู่ในรูปสมการ) หากความสัมพันธ์ใดมีลักษณะดังต่อไปนี้ด้วย จะเรียกว่าเป็น ฟังก์ชัน (Function : f)“สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัว จะคู่กับสมาชิกตัวหลังได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น”หรือกล่าวว่า สําหรับ x แต่ละตัว จะคู่กับ y ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้นเช่น r 1 = {(0,1),(1,2),(1,3),(2,4)}ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ 1 คู่กับทั้ง 2 และ 3r = {(0, 1),(1, 2), (3, 1),(2, 4)}2เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่มีการใช้สมาชิกตัวหน้าซ้ําเลย(ห้ามใช้สมาชิกตัวหน้าซ้ํา แต่ใช้สมาชิกตัวหลังซ้ําได้)S e¾ièÁeµiÁ! S¿§¡ªa¹ e»ÃÕÂºeÊÁ×o¹e¤Ã×èo§ä¡Ã·Õ èeÃÒãÊ x e¢Òä»æÅa¼Ò¹¡ÃaºÇ¹¡ÒÃ¤íÒ¹Ç³¨¹¡Ãa·aè§ä´ y oo¡ÁÒ..á§¹aé¹ ¡ÒÃäe»¹¿§¡ªa¹ä´ ÒeÃÒãÊ x æººeíÁe¢Òä»¡ç¤ÇÃää´¤Ò y e·ÒeíÁoo¡ÁÒ¹aè¹eo§..Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET128ความสัมพันธและฟงกชัน012r 112340123r 2124ไม่เป็นฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันr {(x,y)| y x}342= = ไม่เป็นฟังก์ชัน สมมติ x = 4 จะได้ว่า y = 2 หรือ − 2= =2เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่ว่าจะแทน x ค่าใด ก็ได้ y เพียงค่าเดียวr {(x,y)| y x }เมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะเห็นได้ชัดเจนว่า x แต่ละตัว คู่กับ y เพียงตัวเดียวหรือไม่ (ลากเส้นแนวตั้ง ดูว่าที่ x แต่ละค่า เส้นนี้ตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุดหรือไม่)yyr 3r 4OxOxไม่เป็นฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันสิ่งที่ควรทราบ1. ความสัมพันธ์ที่เขียนในรูป y = ...(x)... ได้แบบเดียว จะเป็นฟังก์ชันเสมอ2* 2. ถ้า f เป็นฟังก์ชัน จะเขียนแทน y ด้วยคําว่า f(x) (อ่านว่า เอฟเอกซ์) เช่น f(x) = xลักษณะของฟังก์ชัน“ฟังก์ชันจาก A ไป B” (from A into B หรือ f:Aคือฟังก์ชันซึ่ง D f = A และ R f ⊂ B012r 5ab0123r 6> B )“ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B” (from A onto B หรือ f:A ontoคือฟังก์ชันซึ่ง D f= A และ R f= Babcd> B )0123S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¿§¡ªa¹¨Ò¡ A ä» B äµo§ãªoéÁ¹ (¤×oe«µ A) ãË¤Ãº·u¡µaÇ¹a¤Ãaº ¼í ¡aº¤ÇÒÁÊaÁ¾a¹¸¨Ò¡A ä» B «Öè§äÁµo§ãª A ËÁ´¡çä´r 7abcA B A Bเป็นฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B1 1“ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B” (one-to-one หรือ f:A − > B )⊂ และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วย”คือฟังก์ชันที่ D f = A และ R f B1 1“ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B” (one-to-one correspondence หรือคือฟังก์ชันที่ D f= A และ R ff:A − onto > B )= B และ “สําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วย”ABMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET129ความสัมพันธและฟงกชัน012Ar 5abB124Ar 8เป็นฟังก์ชัน 1-1 เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไป B เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไปทั่วถึง Bเมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะทําการตรวจสอบว่า y แต่ละตัว คู่กับ x เพียงตัวเดียวหรือไม่ โดยลากเส้นแนวนอนและดูว่าที่ y แต่ละค่า เส้นนี้ตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุดหรือไม่yyyr 3r 4abcdB0123Ar 9r 10abcdBOxOxOxไม่เป็นฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1-1 เป็นฟังก์ชัน 1-1ฟังก์ชันแบบเฉพาะต่างๆ ที่ควรรู้จักฟังก์ชันคงตัว (Constant Function) f(x) = a (กราฟเส้นตรงแนวนอน)ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Function) f(x) = ax+ b (กราฟเส้นตรงเฉียงๆ)2ฟังก์ชันกําลังสอง (Quadratic Function) f(x) = ax + bx + c (กราฟพาราโบลาหงายหรือคว่ํา)n n−1 n−2ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial Function) f (x) = anx + an−1x + an−2x + ... + a0p(x)ฟังก์ชันตรรกยะ (Rational Function) f(x) = ..เมื่อ p(x), q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามq(x)ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function) f(x) = ax + b + c (กราฟรูปตัววีหงายหรือคว่ํา)ฟังก์ชันเพิ่ม (Increasing Function) และ ฟังก์ชันลด (Decreasing Function)มีนิยามดังนี้ ... สําหรับทุกๆ x, 1 x 2 ∈ [a,b]ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า x 2 > x 1 แล้ว f(x 2)> f(x) 1และ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า x 2 > x 1 แล้ว f(x 2)< f(x) 1ตัวอยางการแกฟงกชัน (1)เพิ่มเติม การเขียนกราฟของฟังก์ชันพหุนาม และการหาช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลด จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในเรื่องอนุพันธ์ (บทที่ 15)• ถา f(x) = 2x − 3 ใหหา f(3x − 1)วิธีคิด จาก f( Δ ) = 2( Δ) − 3 จะได f (3x − 1) = 2(3x − 1) − 3 = 6x − 5 ... ตอบ• f(3x − 1) = 6x − 5 ใหหา f(x)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET130ความสัมพันธและฟงกชันวิธีคิด ให A 3x 1= − นั่นคือจะไดวา f(3x 1) 6x 5ดังนั้น f(x) 2x 3− = − กลายเปน= − ... ตอบx =A + 13A + 1f(A) = 6( ) − 5 = 2A − 33• f(3x − 1) = 6x − 5 ใหหา f(2)วิธีคิด ให 2 = 3x − 1 ไดเลย นั่นคือ x = 1จะไดวา f(3x − 1) = 6x − 5 กลายเปน f(2) = 6(1) − 5 = 1 ... ตอบ• f(x) = 2x − 3 ใหหา f(3x − 1) ในรูปของ f(x)วิธีคิด หา f (3x − 1) = 2(3x − 1) − 3 = 6x − 5 กอนจากนั้นเปลี่ยน x เปน f(x) โดยจะไดวาf(x) = 2x − 3 → x =f(x) + 3f(3x 1) 6( ) 5 3f(x) 42− = − = + ... ตอบแบบฝึกหัด 5.4f(x) + 3(33) f ที่กําหนดให้ในแต่ละข้อ เป็นฟังก์ชันจริงหรือไม่และถ้าเป็นฟังก์ชันให้ระบุเพิ่มเติมด้วยว่า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่(33.1) f(x) =2x(33.6) f(x) = 1/x2(33.2) [f (x)] = x(33.7)2(33.3) f(x) = x(33.8) f(x) =3x(33.4) f(x) = x(33.9) f(x) =21/x(33.5) f(x) = x(33.10) f(x) =2/3x(34) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่(34.1) r = {(x,y)| x + y < 1}(34.2) r = {(x,y)| x + y = 1}(35) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่(35.1) r = {(x,y)| x + y = 1}(35.2) r = {(x,y)| x + y = 1}(35.3) r = {(x,y)| x + y = 1}(35.4) r = {(x,y)| x + y = 1}(36) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่(36.1) f = {(x,y)| 2x + y − 3 = 0}(36.2) f = {(x, y) | (x − 4)(y + 3) = 1 }3(36.3) f = {(x, y) | y − 3 = (x + 4) }2(36.4) f = {(x,y)| x − y + 3 = 0}2f(x) = x + x+1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET131ความสัมพันธและฟงกชัน(37) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชัน f:R > R หรือไม่(37.1) f = {(x,y)| y =29−x }(37.2) f = {(x,y)| y =29+x }(37.3) f = {(x,y)| y x = 1}(37.4) f = {(x,y)| x + y − 5 = 0}(38) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชัน f:R onto4(38.1) f = {(x,y)| y = x }2(38.2) f = {(x,y)| y = x − 2x + 3}2(38.3) f = {(x,y)| y = x − 4 }3 2(38.4) f = {(x, y) | y = x + 3x + 3x + 1 }(39) ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน R หรือไม่(39.1) f(x) 5x 2(39.2) f(x) 2x 5(39.3)2f(x) x 3= ∞ หรือไม่> A เมื่อ A [0, )f(x) = x + 2x + 1= − (39.4)2f(x) = (x − 2) + 2= − + (39.5)3= + (39.6)3 2(40) ให้หาโดเมน และเรนจ์ ของฟังก์ชันต่อไปนี้2(40.1) f(x) = x − 2x + 4(40.2)(40.3)f(x) =f(x) =2x − 25x − 521+xxf(x) = x + 3x + 3x + 12(41) กําหนด f(x) = x เมื่อ − 2 < x < 8 ถามว่า f(t + 3) เท่ากับเท่าใด และจะมีความหมายเมื่อ t อยู่ในช่วงใด(42) ให้หาค่าของ2(42.1) f(x) เมื่อ f(x + 1) = x + 3x + 92 2(42.2) f(2) เมื่อ f( x − 1) = x + 2(42.3) f(4x) ในเทอมของ f(x) เมื่อf(x) =xx + 25.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผันฟังก์ชันประกอบ (Composite Function)ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันดังแผนภาพจะได้ว่า f(0) = 3 และ g(3) = 7อาจกล่าวว่า g(f(0)) = 7 ก็ได้นอกจากนั้น g(f(1)) = 8และ g(f(2)) = 7012f3456g789A B CMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET132ความสัมพันธและฟงกชันฟังก์ชัน g(f(x)) เป็นฟังก์ชันจาก A ไป Cเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ g (f (x)) = (g f)(x) เรียกว่าฟังก์ชันประกอบของ f และ gและอ่านว่า จีโอเอฟเอกซ์ฟังก์ชัน (g f)(x) จะหาได้ก็เมื่อ มีสมาชิกบางส่วนของ R f กับ D g ร่วมกันหรือกล่าวว่า (g f)(x) จะหาได้ ก็เมื่อ R f ∩ D g ≠ ∅fgfgA B Cหา gof ได้A B Cหา gof ไม่ได้* โดยทั่วไป ถ้า R f ⊂ D g จะได้ว่า D gof = D f (คือโดเมนของ f ทุกตัวใช้ได้หมด)แต่ถ้า R f ⊄ D g (กรณีนี้พบบ่อยเป็นปกติ) จะได้ว่า D gof ⊂ D f เท่านั้น (คือโดเมนของ f บางตัวใช้ไม่ได้ เพราะเรนจ์ของตัวนั้นไม่ได้อยู่ในโดเมน g) ... การหาโดเมนของ g fจึงต้องระวัง2• ตัวอยางเชน f(x) = x − 1 และ g(x) = x ตองการหา D gof... จะไดวา (g f)(x) = g (f (x)) = g ( x − 1) = x − 1ซึ่งดูจากลักษณะแลว คา x นาจะเปนจํานวนจริงใดๆ ( D gof = R )แตที่จริงแลว f(x) = x − 1 นั้น x > 1 จากนั้นนํา f(x) ไปใชกับ g พบวาใชไดทั้งหมดดังนั้นจึงสรุปวา D gof = [1, ∞ )ตัวอยางการแกฟงกชัน (2)• ถา f(x) = 2x − 3 และ g(x) = 3x + 4 ใหหา (g f)(x)วิธีคิด จาก (g f)(x) = g (f (x)) = g (2x − 3) = 3 (2x − 3) + 4 = 6x −5... ตอบ• (g f)(x) = 6x −5และ g(x) = 3x + 4 ใหหา f(x)วิธีคิด จาก (g f)(x) = g (f (x)) = 3 (f (x)) + 4 แตโจทยกําหนด (g f)(x) = 6x − 5= − ... ตอบดังนั้น 3(f(x)) + 4 = 6x − 5 ยายขางสมการได f(x) 2x 3• (g f)(x) = 6x −5และ g(x) = 3x + 4 ใหหา f(2)วิธีคิด จาก (g f)(2) = g (f (2)) = 3 (f (2)) + 4 แต (g f)(2) = 6 (2) − 5 = 7ดังนั้น 3(f(2)) + 4 = 7 ยายขางสมการได f(2) = 1 ... ตอบ• (g f)(x) = 6x −5และ f(x) = 2x − 3 ใหหา g(x)วิธีคิด จาก (g f)(x) = g (f (x)) = g (2x − 3) แตโจทยกําหนด (g f)(x) = 6x − 5ดังนั้น g(2x − 3) = 6x − 5 ใชเทคนิคการแกฟงกชันตามเดิมได g(x) = 3x + 4 ... ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET133ความสัมพันธและฟงกชัน• (g f)(x) = 6x −5และ f(x) = 2x − 3 ใหหา g(1)วิธีคิด ตองการ g(1) จึงให f(x) = 1 จะได 2x − 3 = 1 → x = 2แทนคา x ดวย 2 จะได (g f)(2) = g (1) = 6 (2) − 5 = 7 ... ตอบฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function)1เราทราบแล้วว่าความสัมพันธ์ r ใดๆ สามารถหาอินเวอร์ส ( r − ) ได้เสมอ เช่นเดียวกัน1ฟังก์ชัน f ใดๆ ก็จะหาอินเวอร์ส f − 1ได้เสมอ แต่ f − อาจไม่เป็นฟังก์ชัน1ถ้า f − − 1เป็นฟังก์ชันจะเรียกว่า ฟังก์ชันอินเวอร์ส หรือ ฟังก์ชันผกผัน และเขียนเป็น f (x) ได้จากหลักการเขียนกราฟของอินเวอร์ส ทําให้พบว่า1f − จะเป็นฟังก์ชัน ก็เมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เท่านั้น− 1และ f ( ) = Δ มีความหมายเดียวกับ f( Δ ) = 1 1 1สมบัติของอินเวอร์ส ได้แก่ (f g) − = g − f−−1 −1และตัวอยางการแกฟงกชัน (3)−(f ) = f1• ถา f(x) = 2x − 3 ใหหา f (x)− 1วิธีคิด จาก f(x) = 2x − 3 → f (2x − 3) = x− 1จากนั้นใชเทคนิคการแกฟงกชันตามเดิมได f (x) = 0.5x + 1.5 ... ตอบ(หมายเหตุ อาจใชวิธีหาอินเวอรส เหมือนในบทเรียนความสัมพันธ คือสลับตัวแปร x กับ y )− 1• ถา f(x) = 2x − 3 ใหหา f (5)− 1วิธีคิด จาก f(x) = 2x − 3 → f (2x − 3) = x− 1แลวให 2x − 3 = 5 นั่นคือ x = 4 ดังนั้น แทนคา x ดวย 4 จะได• ถา f(x − 1) =− 14x − 3 ใหหา f (x)วิธีคิด จาก− 1− 1จากนั้นใชเทคนิคการแกฟงกชันตามเดิมไดf(x − 1) = 4x − 3 → f (4x − 3) = x − 1f (x) 0.25x 0.25= − ... ตอบ− 1• ถา f(x − 1) = 4x − 3 ใหหา f (5)− 1วิธีคิด จาก f(x − 1) = 4x − 3 → f (4x − 3) = x − 1− 1แลวให 4x − 3 = 5 นั่นคือ x = 2 ดังนั้น แทนคา x ดวย 2 จะได− 1• [Ent’35] ถา f(x) =xx − 2และ (f g)(x + 2) = 3x + 6 ใหหา g(2)วิธีคิด ตองการ g(2) จึงให x + 2 = 2 นั่นคือ x = 0แทนคาใน (f g)(x + 2) = 3x + 6f (5) 4f (5) 1 จะไดวา (f g)(2) = 6 หรือ f(g(2)) = 6− 1จากนั้นใชสมบัติของอินเวอรส กลายเปน f (6) = g(2)− 1 6ซึ่ง f (6) = = 1.5 ดังนั้น g(2) = 1.5 ... ตอบ6−2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)= ... ตอบ= ... ตอบ

คณิตศาสตร O-NET / A-NET134ความสัมพันธและฟงกชันพีชคณิตของฟังก์ชัน (Algebra of Function)D ∗ = D ∩ D(f ∗ g)(x) = f (x) ∗ g (x) ซึ่ง f g f gเครื่องหมาย ∗ เป็นได้ทั้ง + , − , × , ÷ (โดยกรณีหาร g(x) 0แบบฝึกหัด 5.5≠ )(43) ให้หา g fและ f g ของฟังก์ชันที่กําหนดให้ในแต่ละข้อ(43.1) f(x) = 2x และ g(x) = x + 3(43.2) f(x) = x + 1 และ g(x) = x(43.3) f(x) 4x 1⎧⎪4 − x ,x < 0* (43.4) f(x) = ⎨⎪⎩ 6− x ,x > 42= + และ g(x) = x2และ g(x) = x + 1 เมื่อ x > 222(44) [Ent’33] ถ้า (g f)(x) = 3 [f (x)] − 2 f (x) + 1 และให้หา (g f)(1)g(x) = x − x + 2(45) ถ้าf(x)x + 1= เมื่อ x ≠ 0 และ (f g)(x) = x ให้หา g(x)x22(46) ถ้า g(x) = x + x + 2 และ (g f)(x) = x − x + 2 แล้วให้หา f(x)(47) ถ้า f(x) = Ax+ B โดยที่ A > 0 และ (f f)(x) = 4x − 9 ให้หาค่า B(48) อินเวอร์สของฟังก์ชันต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันหรือไม่(48.1) f = {(x,y)| y = x x }2(48.2) f = {(x,y)| y = (x + 1) }(48.3) f = {(x,y)| y =29−x }(48.4) f = {(x,y)| y = 1/ x }−(49) ให้หาฟังก์ชันผกผัน f 1 (x) เมื่อกําหนดให้(49.1) f(x) = 5− x(49.5)(49.2) f(x) = 5x + 4(49.6)(49.3)(49.4)f(x)f(x) =x − 1= (49.7)31x − 11(50) ให้หา f − (x) เมื่อกําหนดให้ f(x)2− 1(51) ให้หา f (x) เมื่อกําหนดให้(51.1) f(3x − 4) = 4x + 3⎧⎪ 2x + 2 , x > 0= ⎨⎪⎩ − x − 1 ,x < 0x − 2f(x) =x − 3f(x) =x2x − 12x − 3f(x) =3x − 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET135ความสัมพันธและฟงกชัน(51.2) [Ent’21](51.3)− 1(51.4)x xf( + 1) = − 12 25x − 7f(x + 1) =x − 3f [3f(2x + 1) − 3x + 2] = 2x + 13 2− 1(52) ถ้า f(x − 1) = x − 3x + 3x + 5 แล้วค่าของ f (5) เป็นเท่าใด(53) กําหนดให้ f(x + 3) = 4x − 5 และ g(x − 3) = 2 − 3x ให้หาค่าของ−1−1 −1(53.1) (f g )(5)(53.3) −−1−1 −1(53.2) (g f )( −1)(53.4) (g f )(3)(54) กําหนดให้ f(x 1) 2x 3+ = + และ(55) กําหนดให้⎧2x + 1 , x > 0g(x) = ⎨⎩3x + 1 , x < 0(f g )( 4)−1 −1−1 −1(54.1) (f g )(0)(54.2) ⎧−2x , x > 0f(x) = ⎨⎩ 3 , x < 0และ2⎧ >⎪ x , x 3g(x) = ⎨⎪⎩ − x , x < 3(55.1) (f − g)(x)(55.2) D f/gให้หาค่าของ(g f )(0)ให้หา2(56) ถ้า f(x) = x + 1, g(x) = 1− x และ h(x) = 1− x แล้ว ให้หา( )(x)h(56.1) [(g f) + h](x)(56.2) f g(57) ถ้า f(2x − 3) = 3x − 2 และ (f + g)(x) =2x + x − 3 แล้ว ให้หา−1(57.1) (g + f )(x)(57.2) ( g )(x)2(58) ถ้า f(x) = x + 5 และ (g f)(x) = x −25แล้ว ให้หา f(59) ถ้า f(x) 4x2= , g(x) x 1= + และf( )(x)g⎧x + 1, x > 0h(x) = ⎨⎩x − 1, x < 0−1 −1−1(59.1) (f + g + h )( − 2)(59.2) แล้ว ให้หา[(g f ) ⋅ h](2)(60) ถ้า (f + g)(x) = 2x + 1 และ (f − g)(x) = 3 − 4x แล้ว ให้หา1(60.1) (f g) −−1 −1 ( −2)(60.2)−1 x(61) ถ้า f (x) =−1(62) ถ้าx − 2(61.1) (f g)(2)และ (f g)(x) = x + 2 แล้ว ให้หา[(g + f ) f](1)[(g f) ⋅ f ](4)−1+ (61.2)+ = + และ (f g)(x − 1) = 5x + 1 แล้ว ให้หาf (x 1) 2x 3f −1−1(62.1) ( + f )(3)(62.2) g[(fg) f ](1)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET136เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)ความสัมพันธและฟงกชัน(1) ผิดทุกข้อ(2) (35/ 3, 20/21) (3) (6, 0)(4) ข้อ (4.2) และ (4.6) ถูก2(5) ถูกทุกข้อ (6) 2mk − m(7) 2 20 (8) 21,000(9) ถูกทุกข้อ (10) ถูกทุกข้อ(11.1) {(2, − 1)}(11.2) {(0,4),( 7, −3),( − 7, − 3)}(12) 310(13.1) rD = R − {0},R r = R − {0}(13.2) R − {2} , R − {1}(13.3) R − {1} , R − {0}R − − , R − {2}(13.4) { 1}(13.5) (1, ∞ ), (1, ∞ )(14.1) R , [0, ∞ )(14.2) [0, ∞ ), [0, ∞ )(14.3) R , [ −4, ∞ )(14.4) [ −1, ∞ ), [3, ∞ )(14.5) [ − 4,4] , [ − 4,4](14.6) [ − 4,4] , [0, 4](14.7) [ − 4,1] , [0, 1.25](14.8) [ − 1,7] , [ − 6,2](15.1) − {0, 1}R , R − (4,0] −(15.2) R − {1, 3} , R − (1,0] −(15.3) [ −1, ∞) − {0}, R(15.4) ∅ , ∅(15.5) [ −2, −1) ∪ (1, ∞ ), RR , R − {3, −2}(15.6) − (46/25, 2](16.1) − { −7,1}RR , −(3/4,0]−(16.2) R , [0, 2](16.3) R , [0, ∞ )(17.1) R − { −2,2}(17.2) R − [ −2,2](17.3) R − {2} (17.4) [2, ∞ )(18) {1} (19) 5 (20) 2(21) ( 1/4,0]− (22) ข.(23.1) [ − 4,4] , [ − 4,4](23.2) [0, 4] , [ − 2,2](23.3) R , [ −3, ∞ )(23.4) [ − 3,2) , [ − 3,6)(24.1) 1 (24.2) 0.5(24.3) 1 (24.4) หาค่าไม่ได้(25) 6.75 (26.1) 24(26.2) 12 (26.3) π(26.4) 4π (27) 85.33(28) 0 (29) [ −7, −5] ∪ [5,7]− (32) 4(30) [ 1,8](31) ข้อ (31.2) และ (31.3) ถูก(33) ข้อ (33.2) และ (33.5)ไม่เป็นฟังก์ชัน ข้อ (33.3), (33.6),(33.8) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง(34.1) ไม่เป็น (34.2) เป็น(35) ข้อ (35.4) เท่านั้นที่เป็น(36) ข้อ (36.4) เท่านั้นที่ไม่เป็น(37) ข้อ (37.2) เท่านั้นที่เป็น(38) ข้อ (38.2) เท่านั้นไม่เป็น(39) ข้อ (39.1), (39.5),(39.6) เป็น (40.1) R , [3, ∞ )(40.2) R − {5} , R − {10}(40.3) − {0}R , R − (2,2) −2(41) (t + 3) เมื่อ − 5 < t < 5(42.1) x 2 + x + 7 (42.2) 7(42.3)4f(x)3f(x) + 1 ,(43.1) (g f)(x) = 2x + 3(f g)(x) = 2x + 6(43.2) (g f)(x) = x + 1เมื่อ x −1(f g)(x) = x + 1 เมื่อ x > 0> ,2(43.3) (g f)(x) = (4x + 1) ,2(f g)(x) = 4x + 1⎧⎪ 5 − x , x < 0(43.4) (gf)(x) = ⎨ 2⎪⎩ (6 − x) + 1 , x > 82และ (f g)(x) = 5 − xเมื่อ x > 2 (44) 11/4 หรือ 2(45)1x − 1เมื่อ x ≠ 1(46) x − 1 หรือ − x (47) –3(48) ข้อ (48.1) เท่านั้นที่เป็น2(49.1) 5− x เมื่อ x > 0(49.2) 2x − 45เมื่อ x > 0(49.3) 3x + 1(49.4) 1 + 1/ x เมื่อ x ≠ 0(49.5) 3x − 2 เมื่อ x ≠ 1(49.6)x − 1x2x 1 −(49.7) 2x − 3−1(50)(51.1)(51.3)3x − 2เมื่อเมื่อxx1≠22≠30.5x + 1 , x >⎧⎪2f (x) = ⎨⎪⎩ − − x − 1, x < − 13x − 2544x − 12x − 5(51.4) 4x + 73(51.2) x + 2เมื่อ x ≠ 5(52) –1(53.1) –33 (53.2) –19(53.3) 4 (53.4) –4(54.1) –2/3 (54.2) –1/2(55.1) 3+ x, x < 0 และ− x, 0 < x < 3 และ2−2x − x , x > 3(55.2) R − {0}2(56.1) 1− x + 1 + 1−xเมื่อ − 1< x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET137เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)ความสัมพันธและฟงกชัน(1.1) ผิด เพราะมีบาง a, บาง bซึ่ง (a, b) = (b, a) เช่น a = 2,b = 2(1.2) ผิด เพราะ (a, b) ≠ (c, d) ไม่ได้แปลว่าa ≠ c และ b ≠ d พร้อมๆ กันเสมอไปต้องใช้ว่า a ≠ c หรือ b ≠ d จึงจะถูก(1.3) ข้อนี้จะถูกก็เมื่อ a + 2b =− 1 และa= + → = + ซึ่งเป็นไปไม่ได้1 b 2 2b a2เพราะสมการทั้งสองขัดแย้งกัน (ไม่มีคําตอบ)ดังนั้นข้อนี้จึงผิด(2) 3x + 5 = −5 → x = − 10 / 3และ 8 − 4y = −6 → y = 7 / 2y =−p → p =− 7 / 2ดังนั้นx 35 20(xp, ) = ( , )p 3 21(3) (3, 4) ∗ (0, 0) = (3 − 0, 4 + 0) = (3, 4)และ (x, y) ∗ (3, 4) = (x − 3, y + 4)ดังนั้น 3 = x − 3 → x = 6 และ4 = y + 4 → y = 0 ตอบ (6, 0)(4.1) ผิด มีกรณีที่ A × B กลายเป็นเซตจํากัดคือเมื่อ B =∅ จะทําให้ A × B =∅(4.2) ถูก เพราะถ้า n(A B)× หาค่าไม่ได้แสดงว่า n(A) หรือ n(B) ต้องหาค่าไม่ได้(4.3) ผิด ไม่จําเป็นว่า B = C หากว่า A =∅(4.4) ผิด A =∅ หรือ B =∅อย่างใดอย่างหนึ่งก็ได้ ไม่ต้องเป็น ∅ ทั้งคู่(4.5) ผิด ถ้า A = ∅ก็ทําให้ A × B = B × A ได้(4.6) ถูก เพราะ A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B(4.7) ผิด เช่น A = ∅ จะทําให้ A × B = A ได้(หรือ B =∅ จะทําให้ A × B = B)(4.8) ผิด เพราะสมาชิกของ A กับสมาชิกของ A × B ย่อมไม่มีตัวใดซ้ํากันอยู่แล้ว( A × B มีสมาชิกเป็นคู่อันดับ)ดังนั้น A ∩ (A × B) = ∅ เสมอ4 3(5.1) n(P(A)) = 2 , n(P(B)) = 24 3→ n(P(A) × P(B)) = 2 ⋅ 2 = 128 ถูก(5.2) เนื่องจาก (A × B) ∩ (A × C) = A × (B ∩ C)n(A) = 30 n(B ∩ C) = 19 →n[(A × B) ∩ (A × C)] = 30 × 19 = 570 ถูก(5.3) จากสูตรเรื่องเซต n[(A × B) ∪ (B × A)] =n(A × B) + n(B × A) − n[(A × B) ∩ (B × A)]พบว่า A ∩ B = {0,1,2,3,4}ดังนั้น (A × B) ∩ (B × A) จะมีอยู่ 5 5× คู่อันดับทําให้ได้ (29 × 8) + (8 × 29) − (5 × 5) = 439 ถูก(6) จาก n[(A × B) ∪ (B × A)]= n(A × B) + n(B × A) − n[(A × B) ∩ (B × A)](ตัวที่ขีดเส้นใต้ โจทย์ให้เป็น (A B) (B A)2จะได้ = mk + km − mm = 2mk − m∩ × ∩ )(7) n(A ' ∩ B ') = 2 แสดงว่า n(A ∪ B) = 8(วาดรูปประกอบจะเห็นชัด)n(A ' B ') 9 ∪ = แสดงว่าn(A ∩ B) = 1และจาก n(B) − n(A) = 1x 1 yA Bจะได้ว่า (y + 1) − (x + 1) = 1 และ x + 1+ y = 8แก้ระบบสมการได้ x = 3,y = 4 ดังนั้นn(A) = 4 , n(B) = 5 และความสัมพันธ์จาก A ไปB มีทั้งสิ้น 2 4×5 = 220 แบบn(A × A) ⋅ n(A) 100 × 10 1,000(8) 2 = 2 = 2 แบบ(9.1) 3 ×2 2 = 2 6 = 64 ถูก(9.2) โดเมนเป็น {1, 2, 3} ครบทุกจํานวน ดังนั้นต้องคิดแบบการนับส่วนของโดเมนเป็น 1 จะมีได้ 3 แบบ คือ(1, 1) / (1, 2) / (1, 1), (1, 2)คิดจาก 2 2 − 1 (สับเซตของ B ทุกแบบ ที่ไม่ใช่ ∅ )โดเมนเป็น 2 ก็มี 3 แบบ, เป็น 3 ก็มี 3 แบบดังนั้นประกอบกันทั้งสามส่วน ได้ 3× 3× 3= 27 ถูก(10.1) ถูก คือ 2 12 แบบ(10.2) โดเมนเป็นตัวแรก มี 15 แบบ → คิดจาก42 − 1 (สับเซตของ B ทุกแบบที่ไม่ใช่ ∅ )ตัวสองและสาม ก็ 15 แบบดังนั้นได้ 15 × 15 × 15 ถูก(10.3) คิดเช่นเดียวกับข้อ (10.2) คือ แต่ละตัวของ3โดเมน B จะมีได้ 2 − 1 = 7 แบบรวมกันทั้ง 4 ตัว เป็น 7× 7× 7× 7= 2,401 ถูก(10.4) คิดเช่นเดิม32 − 1 = 7 → 7 × 7 × 7 = 343 ถูก(11.1) r 1 ∩ r 2 ได้จากการแก้ระบบสมการคือ (x, y) = (2, − 1) เท่านั้น (เป็นจํานวนเต็มพอดี)จึงตอบ r 1 ∩ r 2 = {(2, − 1)}2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET138ความสัมพันธและฟงกชัน(11.2) แก้ระบบสมการได้ y 2 − y − 12 = 0 → y = 4 หรือ − 3ถ้า y = 4 → x = 0,ถ้า y =−3 → x =± 7ดังนั้น r 1 ∩ r 2 = {(0,4),( 7, −3),( − 7, − 3)}(12) ถ้า x = 1 ได้ y = 1,2,3,...,25 → 25 แบบถ้า x = 2 ได้ y 2,3,...,25 24= → แบบ ...จนถึง x = 20 ได้ y = 20, 21, ..., 25 (6 แบบ)รวมจํานวนคู่อันดับ = 25 + 24 + 23 + ... + 6= 310 (ควรใช้สูตรอนุกรมบทที่ 13 ในการบวกเลข)2y = → x ≠ 0 → D = R − {0}x2x = → y ≠ 0 → R = R − {0}y(13.1) ก. rข. rหมายเหตุ เป็นกราฟไฮเพอร์โบลามุมฉากดังนี้(13.2) ก. y − 1 =1x − 2→ x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2 → D = R − {2}1x − 2 = → y ≠ 1 → R = R − {1}y − 1ข. rหมายเหตุ เป็นกราฟไฮเพอร์โบลามุมฉาก เหมือนในข้อที่แล้ว แต่เลื่อนจุด (0,0) ไปอยู่ที่ (2,1)1(13.3) ก. y = → x ≠ 1 → D r = R −{1}x−11x − 1 = → y ≠ 0 → R = R − {0}yข. rหมายเหตุ เป็นกราฟไฮเพอร์โบลามุมฉาก2x − 3(13.4) ก.y = → x+ 1 ≠ 0 → x ≠ −1x+1→ D r = R − { −1}ข. xy + y = 2x − 3 → xy − 2x = −y − 3 →−y − 3x = → y − 2 ≠ 0 → R r = R − {2}y − 2(13.5) ก.x + 1y = → x ≠ 1x − 1โจทย์เพิ่มว่า x > 1 ดังนั้น D r = (1, ∞ )ข. xy − y = x + 1 → xy − x = y + 1 →x =y+1y−1r+ >y−1... แต่เนื่องจาก x> 1 จะได้ y 1 1y + 1 y + 1 − y + 1→ − 1 > 0 → > 0y − 1 y − 12→ > 0 → y > 1y − 1ดังนั้น R r = (1, ∞ )2(14.1) y = x → D r = R , R r = [0, ∞)หมายเหตุ เป็นกราฟพราโบลาหงาย(14.2) y = x → D r = [0, ∞ ), R r = [0, ∞ )หมายเหตุ เป็นกราฟพาราโบลาหงายเหมือนข้อที่แล้วแต่มีเพียงซีกขวาเท่านั้น เพราะ x ห้ามติดลบ2 2(14.3) y = x −2x − 3 → y + 3 + 1= x − 2x + 12→ y + 4 = (x − 1)ดังนั้น D r = R , R r = [ −4, ∞)หมายเหตุ เป็นกราฟพาราโบลาหงาย จุดยอด (1,-4)(ไม่ว่าจะวาดกราฟหรือไม่ ก็ต้องจัดกําลังสองสมบูรณ์ให้เหลือ x กับ y เพียงอย่างละตัวเดียวเสมอ)(14.4) y − 3 = x + 1(เป็นพาราโบลา2(y 3) x 1x + 1 > 0 → D r = [ −1, ∞)y − 3 > 0 → R = [3, ∞)r− = + แต่มีเพียงซีกบน)(14.5) ถ้าคิดด้วยกราฟ จะได้รูปวงกลมD = [ − 4,4], R = [ − 4,4]rrหรือคิดโดยจัดรูปสมการก็ได้ คือ2 2ก. y =± 16 −x →16 − x > 0→ (x − 4)(x + 4) < 0 → −4 < x < 42ข. x =± 16 −y →... →− 4 < y < 42(14.6) y = 16 − x เป็นครึ่งวงกลม เพราะy > 0 เสมอ ดังนั้น D r = [ − 4,4], R r = [0,4]2(14.7) 2y = 4 − 3x − x → ลองยกกําลังสอง2 2ได้ 4y = 4 − 3x − x เป็นสมการวงรี2 2จัดรูปดังนี้ (x + 3x + 2.25) + 4y = 6.252 2(x + 1.5) y→ + = 16.25 1.5625จากภาพจะได้= − และD r [ 4,1]R r = [0,1.25]วงรีด้านล่างหายไปเพราะในโจทย์มีรู้ท ทําให้ y > 0 เสมอ2 2(14.8) (x − 6x + 9) + (y + 4y + 4) = 3 + 9 + 42 2 2→ (x − 3) + (y + 2) = 414.1 14.22.5เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (3, − 2) รัศมี 4หน่วย ดังนั้น D r = [ − 1,7], R r = [ − 6,2]1.25(1.5,0)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET139ความสัมพันธและฟงกชัน(15.1) ก. x 2 − x ≠ 0 → x(x − 1) ≠ 0→ D = R − {0,1}rx − x = 1 → x − x + 1 = 1 +1y 4 y 4ข. 2 21 y + 4 y + 4(x ) 02 4y 4y2→ − = → >เขียนเส้นจํานวน จะได้ R r = R − ( −4,0](15.2) ก. x 2 − 4x + 3 ≠ 0 → (x − 3)(x − 1) ≠ 0→ D = R − {1,3}r1 1x − 4x + 3 = → x − 4x + 4 = + 1yyข. 2 22 y + 1 y + 1→ (x − 2) = → > 0y yเขียนเส้นจํานวน จะได้ r(15.3) ก. x + 1 0 → x −1,R = R − ( −1,0]> > และx ≠ 0 → D r = ( −1, ∞) − {0}= x + 1 → = x + 1 →2xx2ข. yy2 21 ± 1 + 4yxy − x− 1= 0→ x= →22y> > (เป็นจริงเสมอ)2 2 11 + 4y 0 → y −4∴ R r = R(15.4) ก. y 2 − 2xy + 2x 2 + x + 1 = 02 22x ± 4x − 8x − 4x − 4→ y =22→ y = x ± −x − x − 12 2→ − x − x − 1 > 0 → x + x + 1 < 0แยกตัวประกอบไม่ออก แสดงว่าก้อนนี้เป็นบวกเสมอหรือทดลองจัดกําลังสองสมบูรณ์ก็ได้ ได้ผลดังนี้1 2 3(x ) 02 4→ + + < เป็นไปไม่ได้ Drข. เนื่องจาก D r= ∅ จะได้ R r(15.5) ก. 2 2 22∴ =∅=∅ ด้วยx + 2 x + 2y = → > 0 →x − 1 x − 1x + 2> 0 เขียนเส้นจํานวนได้(x − 1)(x + 1)D r = [ −2, −1) ∪(1, ∞ )หมายเหตุ2x 1 0ข. xy 2 2 − x− y 2 − 2=0− ≠ รวมอยู่ในเส้นจํานวนแล้ว4 21 ± 1 + 4y + 8y→ x =22y4 2→ 1 + 4y + 8y > 0 เป็นจริงเสมอดังนั้น R r= R(15.6) ก.1 2 212(y − ) −x = 2 2 →1 2 1(y − ) −2 4มอง (y-1/2) เป็นก้อนๆ หนึ่งแล้วย้ายข้างแบบข้อ (13.4) จะได้1 2 25x − 46 25x − 46(y − ) = →> 02 4x − 8 4x − 846เขียนเส้นจํานวนได้ r = R −2D ( ,2]252y − 2y − 11ข. x = → (y − 3)(y + 2) ≠ 02y − y − 6→ R = R − {3, −2}r(16.1) ก. | x+ 3| − 4 ≠ 0 → x+ 3 ≠ ± 4→ D = R − { −7,1}ข.r3 3|x + 3| − 4 = |x 3| 4y→ + = y+3 3 + 4y→ + 4 > 0 → > 0yy3ดังนั้น r = R − −R ( ,0]4x ∈ R → D = R(16.2) ก. rเนื่องจากไม่มีข้อจํากัดใดๆ สําหรับค่า xข. y = |x + 2| −|x|→ แยกช่วงย่อยคิด..ถ้า x > 0 → y = | x + 2 − x | = 2ถ้า − 2 0 เสมอกราฟด้านล่างที่ค่า y ติดลบจะถูกพลิกขึ้นด้านบนให้เป็นค่าบวก ดังภาพ∴ D = R , R = [0, ∞)r(17.1) R 1 Drrr− = ⇒2x − 4 ≠ 0 → (x − 2)(x + 2) ≠ 0R − = R − {2, −2}ดังนั้น 1r2 2(17.2) x − 4 ≠ 0, x − 4 > 02ดังนั้น − > → −1= R − −r(17.3) R − 1 = R − {2}x 4 0 R [ 2,2]r-12Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET140ความสัมพันธและฟงกชัน(17.4)22x − 3x − 2 > 0 →(2x + 1)(x −2) > 0 → x ∈( −∞, −1/2] ∪ [2, ∞)และ23x − 1 + 2 2x − 3x − 2 > 0 →22 2x − 3x − 2 > 1 − 3xx > 1 4(2x 3x 2) 1 6x 9x3 → − − < − +ถ้า2 22 2→ x + 6x + 9 > 0 → (x + 3) > 0 เสมอ12ถ้า x < → ... → (x + 3) < 0 เป็นไปไม่ได้3∴ R = [2, ∞ ) เท่านั้น−1r1 + yx = → R = R − {0}y(18) r1xy − y = 1 → y = → D r = R − {1}x − 1ดังนั้น R r − D r = {1}(19) ก. > x 11; x − 2 0 → x 2x > 11; 15 − x > 0 → x < 15นํามารวมกันได้เป็น D r = [2,15]2ข. ในช่วง 2 < x < 11 จะได้ y = x − 2แสดงว่า y มีค่าเพิ่มขึ้นจาก 0 ไปถึง 3ส่วนในช่วง 11 < x < 15 จะได้ y 2 = 15 − xแสดงว่า y มีค่าลดลงจาก 2 ถึง 0(จะใช้วิธีทดลองพล็อตเป็นกราฟพาราโบลาก็ได้)สรุป R r = [0,3] → A = D r ∩ R r = [2,3]และผลบวก 3 + 2 = 5(20)2y + 1x = → R2r = R2y + 12 x − 1 x − 1 1y = → < 0 → D r = ( ,1]1 − 2x 2x − 1 21ดังนั้น r ∩ r = R −R D ' ( ,1]2จํานวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ 22(21) D 1 R x 2x 31− = r → − − = →yr2 1x − 2x + 1 = + 3 + 1 →y2 1 4y + 1 4y + 1(x − 1) = + 4 = → > 0y y yเขียนเส้นจํานวนได้ ( −∞, −1/ 4] ∪ (0, ∞ )ดังนั้น คอมพลีเมนต์คือ ( − 1/4,0]1 1= → − = →2 29 − x y(22) y 2 9 x22 22 1 9y − 1 9y − 1x = 9 − = → > 02 2 2y y y(3y − 1)(3y + 1)นั่นคือ 02y1 1เป็น r RR = − ( − , ) = U3 3> เขียนเส้นจํานวนได้ผลก. ∃x∀ y[x + y = y] ไม่ถูก เพราะ x + y = yแสดงว่า x = 0 แต่ใน U ไม่มี 0ข. ∀x∃ y[x + y = 0] ถูก เพราะไม่ว่าหยิบ x ตัวใดก็จะหา y ที่ตรงเงื่อนไขได้เสมอ(23.1) D r = [ − 4,4]R r = [ − 4,4](23.2) D r = [0,4]R r = [ − 2,2]2 2(23.3) y + 2 = x + 2x → y + 3 = (x + 1)D r= RR r = [ −3, ∞ )(23.4) กราฟเหมือนข้อที่แล้วแต่มีแค่ช่วงเดียวD r = [ − 3,2)R r = [ − 3,6)(24)(24.1) 1 ตร.หน่วย (24.2) 1/2 ตร.หน่วย-112(2,0) 2(24.3) 1 ตร.หน่วย (24.4) หาค่าไม่ได้-4(-3,2)4-4(-1,-3)(-1,-3)1-1 111-1114(2,6)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET141ความสัมพันธและฟงกชัน(25) หาจุดยอดของ Δ ได้เป็น(1, 2),( −2, −1),(2.5, − 1)ดังนั้น พื้นที่1= × 3 × 4.52= 6.75 ตร.หน่วย4-1 1 -12(30) A = [ − 1,3](-1,0)2r = {(x, y) | x = y + 1, x ∈[ − 1, 3]}(0,-1)(3,8)(26.1)พื้นที่1= × 8 × 821− × 4 × 4232 8 24= − = ตร.หน่วย(26.2)1พื้นที่ = 4 × ( × 2 × 3)2= 12 ตร.หน่วย22142244จะได้ R r = [ − 1,8](31)r 1r −(31.1) ผิด (31.2) ถูกr r −1r = r −1= 1rr −2(26.3) พื้นที่ = 1 × π ×4= π ตร.หน่วย(26.4)4r 1( 2 )21r2 = r −14(31.3) ถูก (31.4) ผิด1(32) พื้นที่ = × ×= 4 ตร.หน่วย4( 1 2)2212พื้นที่ = π ×4= 4π ตร.หน่วย(27)1 ( 4 )พื้นที่ = 4 ( + )1 1 8= 4( × 8× 4 + × × 4)2 2 3256= ≈ 85.33 ตร.หน่วย3(28)A = D = [ − 4,4]r1∩r2B = [ − 2,2]A − B = [ −4, −2) ∪ (2,4]ผลบวก =−4 − 3 + 3 + 4 = 0(29) แก้ระบบสมการได้จุดตัดทั้งสี่เป็น(7, 2) ± ±ดังนั้น D r1 ∩ r2 = [ −7, −5] ∪ [5,7]4- 53r ∩ r41 2824(8/3,8/3)4 82224-5 5 53(33) ใช้วิธีสังเกตว่า x เดียวให้ค่า y เดียวหรือไม่(ถ้ามี y เลขคู่ หรือ |y| จะไม่เป็นฟังก์ชัน, ถ้ามี x เลขคู่หรือ |x| จะไม่เป็น 1-1) หรือจะใช้วิธีเขียนรูปกราฟก็ได้ (ถ้ามีเส้นตรงในแนวตั้งที่ตัดกราฟเกิน 1 จุดได้ จะไม่เป็นฟังก์ชัน, ถ้ามีเส้นตรงแนวนอนที่ตัดกราฟเกิน1 จุดได้ จะไม่เป็น 1-1)33.1(33.1) เป็นฟังก์ชันแต่ไม่เป็น 1 − 1(33.2) ไม่เป็นฟังก์ชัน(33.3) เป็นฟังก์ชัน 1 − 133.433.233.5 33.6(33.4) เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1 − 1(33.5) ไม่เป็นฟังก์ชัน(33.6) เป็นฟังก์ชัน 1 − 133.3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET142ความสัมพันธและฟงกชัน1 2 3(33.7) f(x) = (x + ) + เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1 − 133.7 33.82 4(33.8) เป็นฟังก์ชัน 1 − 1(33.9) เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1 − 1(33.10) เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1 − 134.1 34.2(34.1) ไม่เป็น (34.2) เป็น(35) มีเพียง (35.4) ที่เป็น ดังรูป(38) ฟังก์ชันจาก R ไปทั่วถึง [0, ∞ )แสดงว่า D f= R และ R f = [0, ∞ )พิจารณาทุกข้อแล้ว D fเป็นเท่าใดก็ได้ ดังนั้น ต้องพิจารณา f(38.1) ใช่ เพราะ y > 0= R แน่นอน เพราะ xR ว่าเป็นเท่าใด2(38.2) ไม่ใช่ เพราะ y − 2 = (x − 1) → y > 2(38.3) ใช่ เพราะ x 2 − 4 > −4 → y > 03(38.4) ใช่ เพราะ y = |x + 1| → y > 0(39.1) เป็น เพราะเป็นเส้นตรง ความชัน 5(39.2) ไม่เป็น (ความชัน 2(39.3) และ (39.4) ไม่เป็น เพราะเป็นพาราโบลาหงาย (มีช่วงที่เกิดฟังก์ชันลดด้วย)3(39.5) f(x) 2 (x 2)3(39.6) f(x) (x 1)− )− = − และ39.5= + เป็นทั้งสองข้อ ดังรูป39.635.135.2(2,2)(-1,0)(36) เป็น 1 − 1 ทุกข้อยกเว้น (36.4) ดังรูป336.3x+y=1x+y=-135.3 35.43/2(-4,3)36.136.436.23(4,-3)2 2(40.1) y = x − 2x + 4 → y − 3 = (x − 1)→ D = R , R = [3, ∞)(รูปพาราโบลาหงาย)f(40.2)y =ดังนั้น f(40.3) ก.f(x − 5) (x + 5)→ D f = R − {5}x − 5R ... เพราะ x ≠ 5R = − {10}21 + xy = → D f = R − {0}x2 y ± y − 4ข. x − xy + 1 = 0 → x =22→ y − 4 > 0 → R = R − ( −2,2)(41) − 2 < t + 3 < 8 → − 5 < t < 5f2ดังนั้น f(t + 3) = (t + 3) เมื่อ − 5 < t < 5(42.1) ให้ A = x + 1 → x = A − 1 → จะได้2f(A) = (A − 1) + 3(A − 1) + 922= A + A + 7 ดังนั้น f(x) = x + x + 72(42.2) ให้ 2 = x − 1 จะได้ x 2 = 5ดังนั้น f(2) = 5 + 2 = 72(37) ฟังก์ชันจาก R ไป R แสดงว่า D f2(37.1) ไม่ใช่ เพราะ 9 − x > 0 แสดงว่า− 3 < x < 3 เท่านั้น= R2(37.2) ใช่ เพราะ 9 + x > 0 เสมอ → x ∈ R(37.3) ไม่ใช่ เพราะ x ≠ 0(37.4) ไม่ใช่ เพราะ x = 5 −|y| → x < 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET143ความสัมพันธและฟงกชัน(42.3)4xf(4x) =4x + 2xแต่ f(x) = → xf(x) + 2f(x) = xx + 2−2f(x)→ xf(x) − x = −2f(x) → x =f(x) − 14x 1ดังนั้น f(4x) = = =4x + 2 11 +2x1 4f(x)=f(x) − 11 − ( )3f(x) + 14f(x)(43.1) (gof)(x) = g(2x) = 2x + 3และ (fog)(x) = f(x + 3) = 2x + 6(43.2) (gof)(x) = g(x + 1) = x + 1และ (fog)(x) = f( x) = x + 12(43.3) (gof)(x) = g(4x + 1) = (4x + 1)2 2และ (fog)(x) = f(x ) = 4x + 1(43.4) ก. กรณีแรก(gof)(x) g( 4 x) 4 x 1 5 x= − = − + = −เมื่อ “ x < 0 และ 4 − x > 2” → x < 02กรณีที่สอง (gof)(x) = g(6 − x) = (6 − x) + 1เมื่อ “ x > 4 และ |6 − x| > 2” → x > 82 2ข. กรณีแรก (fog)(x) = 4 − (x + 1) = 3 − xเมื่อ “|x| > 2 และ x 2 + 1 < 0” ... เป็นไปไม่ได้2 2กรณีที่สอง (fog)(x) = 6 − (x + 1) = 5 − xเมื่อ “|x| > 2 และ x 2 + 1 > 4” → |x| > 22 2(44) 3f(x) − 2f(x) + 1 = f(x) − f(x) + 2 →2 12f(x) − f(x) − 1 = 0 → f(x) = − หรือ 121ดังนั้น (gof)(1) = g(f(1)) = g( − ) หรือ g(1)2= 11 / 4 หรือ 2(45) g(x) + 1 = x → xg(x) = g(x) + 1g(x)1→ g(x) = ; x ≠ 1x − 12 2(46) f(x) + f(x) + 2 = x − x + 21 1→ [f(x) + ] = [x − ]2 22 2→ f(x) = x − 1 หรือ f(x) = − x(47) (fof)(x) = 4x − 9→ A(Ax + B) + B = 4x − 9 →2A = 4 และ AB + B =− 9โจทย์ให้ A > 0 ดังนั้น A = 2 → B = − 3(48) อินเวอร์สจะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 ดังนั้นให้ตรวจสอบว่าแต่ละข้อเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่ ดังนี้2(48.1) เป็น เพราะ y = x เมื่อ x > 02และ y = − x เมื่อ x < 0 ดังรูป48.148.3(48.2) ไม่เป็น เช่น y=1 จะได้ x=0 หรือ -2(48.3) ไม่เป็น เช่น y=0 จะได้ x=3 หรือ -3(48.4) ไม่เป็น เช่น y=1 จะได้ x=1 หรือ -1(49.1) จาก y = 5 − x ;y > 0 กลายเป็น2x = 5 − y → y = 5 − x ;x > 0(49.2) จาก y = 5x + 4;y > 0 กลายเป็นx − 4x = 5y + 4 → y = ;x > 05x − 1(49.3) จาก y = กลายเป็น3y − 1x = → y = 3x + 131(49.4) จาก y = กลายเป็นx − 11 1x = → y = + 1;x ≠ 0y − 1 xx − 2(49.5) จาก y = กลายเป็นx − 3y − 2x = → xy − 3x = y − 2y − 33x − 2→ y = ;x ≠ 1x − 1x(49.6) จาก y = กลายเป็น2x − 1yx = → 2xy − x = y2y − 1x 1→ y = ;x ≠2x − 1 22x − 3(49.7) จาก y = กลายเป็น3x − 22y − 3x = → 3xy − 2x = 2y − 33y − 22x − 3 2→ y = ;x ≠3x − 2 3248.248.4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET144ความสัมพันธและฟงกชัน(50) กรณีแรก x = 2y + 2 ;y > 0x→ y = + 1 ;x > 22(เงื่อนไขมาจาก y 0 ∴ 2y + 2 2> > )2กรณีที่สอง x =−y − 1 ;y < 0→ y = − −x− 1 ;x < − 1(เครื่องหมายลบเท่านั้น เพราะ y < 0 เสมอ)2(เงื่อนไขมาจาก y < 0 → − y < 0 →2∴−y − 1 < − 1)−1ดังนั้น−1(51.1)ให้⎧ x⎪ + 1 ; x > 2f (x) = ⎨ 2⎪ ⎩ − x− 1 ; x < −1f (4x + 3) = 3x − 4A − 3A = 4x + 3 → x = →4− − −f (A) = 3( ) − 4 =4 4−1 3x − 25→ f (x) =4จะได้1 A 3 3A 25−1 x x(51.2)ให้f ( − 1) = + 1 →2 2xA = − 1 → x = 2(A + 1) →21 2(A 1)− +1f (A) = + 1 = A + 2 → f (x) = x + 22−1 5x − 7(51.3) f ( ) = x + 1 →x − 35x − 7 3A − 7ให้ A = → x =x − 3 A − 5−1 3A − 7 4A − 12∴ f (A) = + 1 =A − 5 A − 5−1 4x − 12→ f (x) = ;x ≠ 5x − 5(51.4) f(2x + 1) = 3f(2x + 1) − 3x + 23 3−1→ f(2x + 1) = x − 1 → f ( x − 1) = 2x + 12 23 2ให้ A = x − 1 → x = (A + 1) →2 3− 1 2 4A + 7จะได้ f (A) = 2( )(A + 1) + 1 =3 3− 1 4x + 7∴ f (x) =3−1 3 2(52)ให้ x 3 − 3x 2 + 3x + 5 = 5−1จะได้ x = 0 เท่านั้นf (x − 3x + 3x + 5) = x − 1 →− 1−1(53.1) หา g (5) โดย−1ให้→ ∴ f (5) = 0 − 1 = − 1g (2 − 3x) = x − 3 →2 − 3x = 5 → x = −1 → g (5) = − 4−1หา(fog )(5) f( 4)→ x = −7 → f( − 4) = − 33= − โดยให้ x + 3 =− 4−1(53.2) หา f − ( −1) → 4x − 5 = −1 → x = 1−1→ f ( − 1) = 1 + 3 = 4−1(gof )( − 1) = g(4) → ให้ x − 3 = 4 → x = 7→ g(4) = 2 − 3(7) = − 191(53.3) หา g − ( −4) → 2 − 3x = −4 → x = 2−1→ g ( − 4) = 2 − 3 = − 1−1 −1 −1(f og )( − 4) = f ( − 1) = 4 (หาไว้แล้วในข้อที่แล้ว)−1(53.4) หา f (3) → 4x − 5 = 3 → x = 2−1→ f (3) = 2 + 3 = 5−1 −1 −1(g of )(3) = g (5) =− 4 (หาไว้แล้วในข้อแรก)−1 1(54.1) กรณีแรก g (0) = −21ใช้ไม่ได้เพราะ − >02−1 11กรณีที่สอง g (0) = − ใช้ได้ เพราะ − < 0331 1ต่อมา f − 1( − ) หาโดยให้ 2x + 3 =−33→ 5x = − −∴ f 1 ( − 1 ) = − 5 + 1 = −233 3 3− 13(54.2) f (0) หาจาก 2x + 3 = 0 → x = −2−1 3 1→ f (0) = − + 1 = −2 21 1 3กรณีแรก g − 3( − ) =− ใช้ไม่ได้เพราะ − > 02 441 1 1กรณีที่สอง g − 1( − ) =− ใช้ได้เพราะ − < 02 221ตอบ −22(55.1) กรณีแรก (f − g)(x) = −2x − xเมื่อ x > 0 และ x > 3 → x > 3กรณีที่สอง (f − g)(x) =− 2x + x =− xเมื่อ x > 0 และ x < 3 → 0 < x < 3กรณีที่สาม (f − g)(x) = 3 + xเมื่อ x 0 0 → x > −1และ 1 − x + 1 > 0 → x < 0นั่นคือเงื่อนไขของ x เป็น − 1 < x < 0fog 1 − x + 1h 1 − x− > → 0 → เป็นจริงเสมอ2และ 1 − x ≠ 0 → x ≠ 1,x ≠ − 1สรุปเงื่อนไขของ x คือ x ∈ ( −∞,1) − { − 1}Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET145ความสัมพันธและฟงกชัน(57.1) f(2x − 3) = 3x − 2A + 3 3x + 5→ f(A) = 3( ) − 2 → f(x) =2 2−1 2x − 5∴ f (x) = ...3จาก2(f g)(x) x x 3+ = + − จะได้2 3x + 5g(x) = x + x − 3 −2− 1 2 3x + 5 2x −5∴ (g + f )(x) = x + x − 3 − +2 32 x − 43= x +62 3x + 5x + x − 3 −g(57.2) ( )(x) =2f3x + 5222x − x − 11 5= ; x ≠ −3x + 5 32(58) g(x + 5) = x − 252 2→ g(A) = (A − 5) − 25 → g(x) = x − 10xf x + 5∴ ( )(x) = ; x ≠ 0,102g x − 10x1 1(59.1) f − ( −2) → 4x = −2 → x = −−1 1→ f ( − 2) = −22g( − 2) = ( − 2) + 1 = 5 จะได้กรณีแรก1h ( 2) 3− − = − ใช้ไม่ได้ เพราะ 31กรณีที่สอง h ( 2) 1ดังนั้น ได้คําตอบ−1(59.2) หาค่า2− >0− − = − ใช้ได้ เพราะ − 1 < 01 7− + 5 − 1 =2 2(gof )(2) ⋅ h(2)−1 1f (2) → 4x = 2 → x =2−1 1 1 1 5→ f (2) = ; g( ) = + 1 =2 2 4 4h(2) 2 1 3⋅ 3 =4 4(60.1) f(x) + g(x) = 2x + 1 และ= + = → ได้คําตอบ 5 15f(x) − g(x) = 3 − 4xแก้ระบบสมการ จะได้f(x) = 2 − x และ g(x) = 3x − 1→ (fog)(x) = 2 − (3x − 1) = 3 − 3x1หา (fog) − ( −2)→ ให้−1 5→ (fog) ( − 2) =353 − 3x = −2 → x =3(60.2) f(1) = 2 − 1 = 1 →−1 −1 2 5หา g (1) + f (1) = + 1 =(61.1) หา f(2) โดยให้3 3xf( ) xx − 2 = →x2 x 4 f(2) 4x − 2 = → = → =หา g(2) โดย (fog)(x) = x + 2 → f(g(2)) = 4−1 4→ g(2) = f (4) = = 24 − 2ดังนั้น (f + g)(2) = 4 + 2 = 6−1(61.2) f (4) = 2(หาแล้วในข้อที่แล้ว)(gof)(4) = g(f(4))x 8หา f(4) โดย = 4 → x =x − 2 38→ f(4) =38หา g( ) โดย 8 8 14f(g( )) = + 2 =3 3 3 38 −114 14 / 3 7→ g( ) = f ( ) = =3 3 14 / 3 − 2 4ดังนั้น ตอบ 7 ⋅ 2 =74 2f(3) −+ f (3) →g(3)(62.1) หา1f(3) ได้จาก f(2x + 3) = x + 1 → 2x + 3 = 3→ x = 0∴ f(3) = 1−ได้จาก11f (3)−f (x + 1) = 2x + 3 → x + 1=3−1→ x = 2 → f (3) = 2(2) + 3 = 7g(3) ได้จาก f(g(3)) ⇒ x − 1 = 3 → x = 4→ f(g(3)) = 20 + 1 = 21 →−1g(3) = f (21) = 2(20) + 3 = 43ดังนั้นตอบ 1 + 7 = 7143 43− 1(62.2) f (1) หาจาก x + 1 = 1 → x = 0−1→ f (1) = 2(0) + 3 = 3หา (fg)(3) = f(3) ⋅ g(3)หาแล้วจากข้อแรก คือ 1⋅ 43 = 43Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET146ความสัมพันธและฟงกชันeÃ×èo§æÁหลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog..22สมมติว่า f(x) = x + 6 และ g(x) = 3 − x ต้องการหา D fogไม่ควรคิดโดยหา fog ก่อนแล้วจึงหาโดเมนและเรนจ์ เพราะคําตอบที่ได้อาจผิดในตัวอย่างนี้ หากคิดโดยหา fog ก่อน จะเป็น( ) 2(f g)(x) = 3 − x + 6 = 3 − x + 6 = 9 − x2 2 22หาโดเมนได้จากเงื่อนไข 9 − x > 0 จะได้คําตอบคือ x ∈ [ − 3,3] แต่เป็นคําตอบที่ผิด!!เช่น เมื่อเราพิจารณาค่า (f g)(2) จะพบว่า g(2) นั้นไม่นิยาม.. ฟังก์ชัน fog จึงไม่ควรมี 2 อยู่ในโดเมนสาเหตุที่คําตอบผิดก็เพราะในการหา fog นั้นมีขั้นตอนที่เครื่องหมายรู้ทถูกยกกําลังสองให้หายไปเงื่อนไขของโดเมน (ที่อยู่ในรู้ท) ก็เลยหายไปด้วย..หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ (เช่น fog) ที่ถูกต้องเป็นดังนี้(1) เขียน f(g(x)) โดยใส่ g(x) ลงไปใน f ก่อน (ต้องคงค่า g(x) ไว้ อย่าเพิ่งแทน x ลงไป)(2) ถ้าหา D fogให้พิจารณาโดเมนของ f(g(x)) ที่เราเขียน ว่า g(x) เป็นอะไรได้บ้าง แล้วจึงย้อนไปคิด xถ้าหา R fogให้หาเรนจ์ของ g(x) ก่อนแล้วเอามาใส่ลงใน f(g(x)) ที่เราเขียนไว้ เพื่อให้ทราบเรนจ์11−x11−g(x)ตัวอย่าง กําหนดให้ f(x) =2เริ่มต้น เขียน (f g)(x) = ก่อน22และ g(x) = 4 − x ให้หาเซต D fogและ R fog2ก. หาโดเมน; พิจารณาเงื่อนไขรู้ทและเป็นตัวส่วน ดังนั้น 1− g(x) > 0แยกตัวประกอบแล้วเขียนเส้นจํานวน จะได้ − 1 < g(x) < 12 2 2จากนั้นจึงแทน x ลงไปได้ว่า − < − < → − < → 0 → 4 − x < 4 → 0 < 4 − x < 2 ...แสดงว่า g(x) มีค่าในช่วง [0,2]นําขอบเขตของค่า g นี้ไปใส่ใน f ต่อ ได้เป็น2 2 2< < < < < < <

คณิตศาสตร O-NET / A-NET147กําหนดการเชิงเสนlinearº··Õè6 ¡íÒË¹´¡ÒÃeªi§eÊ¹กําหนดการเชิงเส้น (Linear Programming)เป็นเทคนิคที่เริ่มใช้ในปี ค.ศ. 1947 ในช่วงที่สหรัฐอเมริกากําลังประสบปัญหาทรัพยากรไม่เพียงพอและต้องหาวิธีจัดสรรให้ได้ประโยชน์สูงที่สุด เทคนิคการแก้ปัญหาแบบนี้นําไปใช้ในหลายด้าน เช่น การผลิตสินค้าแต่ละประเภทด้วยวัตถุดิบที่มีให้ได้กําไรสูงที่สุด การขนส่งให้สิ้นเปลืองน้อยที่สุด การหาปริมาณวัตถุผสมให้ได้ส่วนประกอบตามต้องการโดยเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด การมอบหมายงานให้แต่ละกลุ่มเพื่อให้งานสําเร็จในเวลาน้อยที่สุด ฯลฯตัวอย่างสถานการณ์ ในการผลิตเก้าอี้สองชนิดคือขนาดเล็กและขนาดใหญ่ พบว่า เก้าอี้ขนาดเล็กแต่ละตัวต้องเสียเวลาในการเลื่อยไม้ 1 ชั่วโมง ประกอบและตกแต่ง 2 ชั่วโมง ขายได้กําไรตัวละ 30 บาท ส่วนเก้าอี้ขนาดใหญ่ต้องเสียเวลาในการเลื่อยไม้ 2 ชั่วโมง ประกอบและตกแต่ง 2ชั่วโมง และขายได้กําไรตัวละ 50 บาท ถ้าหากคนงานเลื่อยไม้ทํางานได้วันละไม่เกิน 8 ชั่วโมง และคนงานประกอบตกแต่งทํางานได้วันละไม่เกิน 10 ชั่วโมง ต้องการทราบว่าในแต่ละวันควรจะผลิตเก้าอี้แต่ละชนิดเป็นจํานวนเท่าใดจึงจะได้กําไรมากที่สุด และได้กําไรเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET148กําหนดการเชิงเสนขั้นตอนการแก้ปัญหา จะเริ่มจากการเปลี่ยนสถานการณ์ให้เป็น แบบจําลองทางคณิตศาสตร์ ก่อน โดยสมมติตัวแปร x และ y แทนจํานวนผลิตที่เราต้องการทราบ นั่นคือให้ x แทนจํานวนเก้าอี้ขนาดเล็กที่ผลิตใน 1 วันy แทนจํานวนเก้าอี้ขนาดใหญ่ที่ผลิตใน 1 วัน1. สิ่งที่เราต้องการคือกําไรมากที่สุด ดังนั้นถ้าให้ P แทนกําไรที่ได้ จะเขียนเป็นสมการได้ดังนี้P = 30x + 50yเรียกว่า สมการจุดประสงค์ หรือ ฟังก์ชันจุดประสงค์ (P เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปร x และ y)2. เงื่อนไข (หรือข้อจํากัด) ที่มีอยู่ ได้แก่จํานวนชั่วโมงทํางานของคนงานเลื่อยไม้ และคนงานประกอบตกแต่ง ซึ่งนํามาเขียนเป็นอสมการได้ดังนี้(เลื่อยไม้) x + 2y < 8(ประกอบตกแต่ง) 2x+ 2y < 10ค่า x และ y เป็นจํานวนเก้าอี้ จึงไม่สามารถเป็นค่าติดลบได้3. เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจํากัด และแรเงาบริเวณที่ “ตรงตามเงื่อนไขทุกข้อ”y54O2x + 2y = 10x + 2y = 85 8x > 0y > 0เนื่องจาก x และ y ต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ จึงเรียกอสมการทั้งสี่ว่า อสมการข้อจํากัดxเรียกบริเวณที่แรเงานี้ว่า อาณาบริเวณที่หาคําตอบได้(Feasible Region) เนื่องจากค่า x และ y ที่เป็นไปได้ จะต้องอยู่ในบริเวณที่แรเงาเท่านั้น4. หาจุดยอดมุมทั้งหมดของบริเวณที่แรเงา (ถ้าเป็นจุดที่เกิดจากเส้นตรงตัดกัน ไม่ได้อยู่บนแกน xหรือ y ก็ต้องใช้วิธีแก้ระบบสมการเพื่อหาจุดตัด)ในตัวอย่างนี้หาจุดยอดมุมได้เป็น (0, 0),(0, 4),(2, 3),(5, 0)คู่อันดับ x และ y เหล่านี้เท่านั้น ที่มีโอกาสทําให้เกิดค่า P มากที่สุดดังต้องการ5. นําคู่อันดับ x และ y ทั้งสี่จุดที่ได้ ไปหาค่า Pจะพบว่าค่า P ที่มากที่สุดเกิดเมื่อ (x,y) = (2,3) คือP = 30(2) + 50(3) = 210สรุปว่า ใน 1 วัน ควรผลิตเก้าอี้ขนาดเล็ก 2 ตัว ขนาดใหญ่ 3 ตัว จึงจะทําให้ได้กําไรมากที่สุด และกําไรที่มากที่สุดนั้นเท่ากับ 210 บาทข้อสังเกต1. ฟังก์ชันที่ต้องการค่าสูงสุดมักให้ชื่อเป็น P (Profit), ค่าต่ําสุดเป็น C (Cost)2. ในทุกสถานการณ์ นอกจากข้อจํากัดที่โจทย์ให้มาแล้ว มักจะต้องเพิ่มอสมการ x > 0, y > 0ด้วยเสมอ (คือ ค่า x และ y โดยส่วนมากไม่สามารถเป็นค่าลบได้)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET149กําหนดการเชิงเสน3. ในบางสถานการณ์ ค่า x หรือ y อาจต้องเป็นจํานวนเต็มเท่านั้น หากค่าที่ได้เป็นคําตอบไม่ใช่จํานวนเต็ม ก็จําเป็นจะต้องเลือกจุดข้างเคียง (ภายในบริเวณที่แรเงา) ที่เป็นจํานวนเต็ม และให้ผลใกล้กับค่าที่ต้องการมากที่สุด ดังแสดงให้เห็นในตัวอย่างถัดไป4. ในบางครั้งอาณาบริเวณที่แรเงาอาจล้อมรอบด้วยเส้นประ (เช่น กรณีที่ในข้อจํากัดใช้คําว่าระหว่าง,น้อยกว่า, หรือ มากกว่า) จุดยอดมุมที่ได้เป็นคําตอบยังไม่สามารถใช้ได้ ก็ต้องใช้วิธีเลือกจุดข้างเคียงภายในบริเวณที่แรเงา เช่นเดียวกัน• ตัวอยาง โดยปกติเครื่องบินลําหนึ่งมีที่นั่ง 15 ที่นั่ง บรรจุผูโดยสารและสินคารวมกันได 1,500 กก. แตถาน้ําหนักสินคามากกวาน้ําหนักผูโดยสารเกิน 200 กก. เครื่องบินจะเอียงและบินไมได (สมมติวาผูโดยสารแตละคนมีน้ําหนักเฉลี่ย 75 กก.) ถามวาเที่ยวบินแตละเที่ยวจะมีรายไดมากที่สุดเทาใด หากคาโดยสารที่นั่งละ6,000 บาท และคาขนสงสินคากิโลกรัมละ 100 บาทวิธีคิด ใหจํานวนผูโดยสารเปน x คน และน้ําหนักสินคาเปน y กิโลกรัมและ Z เปนรายไดตอเที่ยวที่ตองการ ดังนั้นฟงกชันจุดประสงคคือ Z = 6000x+100yสวนเงื่อนไขที่มีไดแก (1) ที่นั่งผูโดยสารมี 15 ที่นั่ง 0 < x < 15(2) เครื่องบินบรรทุกได 1,500 กก. 75 x + y < 1500(3) น้ําหนักสินคามากกวาผูโดยสารไดไมเกิน 200 กก. y − 75x < 200(4) (เพิ่มเติมเอง) น้ําหนักสินคาไมเปนคาติดลบ y > 0หาอาณาบริเวณที่เปนคําตอบไดดังกราฟ และจุดยอดมุมทั้งหมดไดแกy1,500200O(8.67,850)(15,375)15 20x(0,0), (0,200), (8.67,850), (15,375), และ (15,0)เมื่อแทนคาในฟงกชันจุดประสงคแลว พบวาจุด(8.67,850) ใหคารายไดมากที่สุด คือ Z = 137,000แตมีปญหาวา x เปนจํานวนผูโดยสาร ตองเปนจํานวนเต็มเทานั้น เมื่อพิจารณาจุดใกลเคียงในบริเวณที่แรเงา จะมี (8,800) ซึ่งใหคา Z = 128,000 บาทและ (9,825) ซึ่งใหคา Z = 136,500 บาทดังนั้นจึงตองเลือกจุดหลัง และไดคําตอบวาเที่ยวบินแตละเที่ยวจะมีรายไดมากที่สุด 136,500 บาท(เมื่อมีผูโดยสาร 9 คน, สินคา 825 กก.)หมายเหตุ1. การแก้ปัญหาด้วยกําหนดการเชิงเส้น นอกจากใช้หาค่าสูงสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์แล้ว ยังใช้กับหาค่าต่ําสุดได้เช่นกัน โดยจุดคําตอบจะเป็นหนึ่งในบรรดาจุดยอดมุม ที่ทําให้ค่าฟังก์ชันน้อยกว่าจุดอื่น2. การที่คําตอบทุกข้อจะเป็นหนึ่งในจุดยอดมุมเสมอ ก็เพราะฟังก์ชันจุดประสงค์ Z = a x + b y มีลักษณะเป็นสมการเส้นตรง (ความชัน –a/b) ที่แปรเปลี่ยนระดับความสูงไปตามค่า Z ดังภาพ จะเห็นว่าค่าสูงสุดหรือต่ําสุดของ Z ย่อมเกิดที่จุดยอดมุมสุดท้าย ก่อนเส้นตรงเส้นนี้จะหลุดออกนอกบริเวณที่แรเงา (ดูภาพในหน้าถัดไปประกอบ)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET150กําหนดการเชิงเสนyy6000x + 100y = 140000O6000x + 100y = 70000x6000x + 100y = 0O6000x + 100y = 137000x3. ในตัวอย่างข้อนี้หากเปลี่ยนตัวเลขเป็นค่าโดยสารที่นั่งละ 8,000 บาท จะทําให้ฟังก์ชันจุดประสงค์เปลี่ยนเป็นZ = 8000x+ 100y (ความชันเปลี่ยน)ซึ่งจุดยอดมุมที่ทําให้เกิดค่ามากที่สุดกลายเป็นจุด (15,375) ก็จะไม่มีปัญหาเรื่องค่า x เป็นทศนิยมแบบฝึกหัดS e¾ièÁeµiÁ! SËÅa§¨Ò¡ÅÒ¡eÊ¹µÃ§æµÅaeÊ¹æÅÇ eÊ¹µÃ§äæº§ÃÙ»oo¡e»¹Êo§ÊÇ¹ ... eÃÒ¾ï ÒÃ³ÒÇÒäæÃe§Òã¹ÊÇ¹ã´ä´ËÅÒÂÇi¸Õ eª¹(1) ·´Åo§¹íÒü´ã´¡çä´ã¹ºÃieÇ³Ë¹Öè§ä»æ·¹ã¹oÊÁ¡ÒÃ Ò¾ºÇÒoÊÁ¡ÒÃe»¹¨Ãi§¡çäæÃe§ÒÊÇ¹¹a é¹ Òe»¹e·ç¨¡çãËæÃe§Òã¹oÕ¡ÊÇ¹·Õ èeËÅ×o(2) ãªÇi¸ÕÁo§Åá ¤×oÒ x > .. æÃe§Ò´Ò¹¢ÇÒ, Òe»¹ x < .. æÃe§Ò´Ò¹«ÒÂËÃ×o´Ù·Õ è y ¡çä´ Òe»¹ y > .. æÃe§Ò´Ò¹º¹, Òe»¹ y < .. æÃe§Ò´Ò¹ÅÒ§** æµËÒÁ´ÙµaÇæ»Ã·Õ èÊaÁ»ÃaÊi·¸iìµí Åº¹a¤Ãaº! (e¾ÃÒa¼Åä¡Åaº´Ò¹¡a¹)(1) จงเขียนกราฟแสดงบริเวณที่เป็นคําตอบของระบบอสมการแต่ละข้อ พร้อมทั้งหาจุดยอดมุมที่เกิดขึ้นทั้งหมดด้วย 0, y > 0(1.1) x + y 4− 0, y > 0(1.2) x + y 4− (1.3) x + 2y 4+ 0, y > 0(1.4)5x+3y > 0x − 2y > 02 < x < 4(1.5)3x+y < 6x − y < 1x + y < 4x > 0, y > 0(2) สําหรับข้อ (2.1) ถึง (2.3) ให้หาค่า P ที่สูงที่สุด หรือค่า C ที่ต่ําที่สุดและสําหรับข้อ (2.4) ถึง (2.8) ให้หาทั้งค่าสูงสุดและต่ําสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์(2.1)P = 5x + 3y2x+5y < 300x + y < 900 < x < 70y > 0(2.2) [พื้นฐานวิศวะ’37]S ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! SÊíÒËÃaºº·¹Õ éËÒ¡ÁÕ¡ÃÒ¿eÊ¹µÃ§ÁÒ¡¡ÇÒ 2 eÊ¹æÅÇ ¤ÇÃe¢ÕÂ¹¡ÃÒ¿ãËã¡Åe¤ÕÂ§Êa´ÊÇ¹¨Ãi§ÁÒ¡·ÕèÊú e¾×èoäÁãËÊaºÊ¹ÇÒ¨úÂo´ÁuÁ¢o§¾×é¹·Õ èæÃe§Ò¹aé¹ e¡í ¨Ò¡eÊ¹ã´µá ¡aºeÊ¹ã´ºÒ§..Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)C = 2x + 3yx + y > 45x+2.5y < 250 < x < 50 < y < 5

คณิตศาสตร O-NET / A-NET151กําหนดการเชิงเสน(2.3)P = 2x + 3y2x+3y < 30y − x < 5x + y > 5x > 10, y > 0(2.4)Z = 3x + 2y2x+3y < 122x+y < 8x > 0, y > 0(2.5)Z = 20x + 30y4x+2y > 1002x + 4 y > 140x < 60, y < 40(2.6)Z = 40x + 35y3x+5y > 625x+y > 30x > 0, y > 0(2.7)Z = x − 2y + 4x + y < 4x + 2y > −2x − y > −2x < 3(2.8)(3) บริเวณที่แรเงาเป็นกราฟของระบบอสมการใด(3.1)y(3.2)Z = 8x + 5y3x+y > 6x + 5y > 8x + y > 4x > 0, y > 0yx + y = 3x - y = 2155OxO4 8x(3.3)450400yO600 1200x(4) โรงงานลิ้นจี่กระป๋องและสับปะรดกระป๋องแห่งหนึ่ง ขายลิ้นจี่ได้กําไรกระป๋องละ 4 บาทสับปะรดกําไรกระป๋องละ 7 บาท โดยกรรมวิธีการผลิตมี 2 ขั้นตอน คือ- ปอกและต้มในน้ําเชื่อม (เครื่องจักรทํางานได้ไม่เกินครั้งละ 30 ชั่วโมง)- บรรจุกระป๋อง (เครื่องจักรทํางานได้ไม่เกินครั้งละ 20 ชั่วโมง)ลิ้นจี่ 1 กระป๋องต้องผ่านขั้นตอนแรก 3 นาที ขั้นตอนหลัง 1 นาทีสับปะรด 1 กระป๋องต้องผ่านขั้นตอนแรก 4 นาที ขั้นตอนหลัง 3 นาทีการผลิตแต่ละครั้งควรผลิตอย่างละกี่กระป๋อง จึงจะได้กําไรมากที่สุดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET152กําหนดการเชิงเสน(5) โรงงานผลิตจานและชามพลาสติก มีรายละเอียดการใช้เครื่องจักร และกําไรที่ได้ ดังแสดงในตาราง ให้หาว่าควรผลิตอย่างละกี่ใบใน 1 วัน จึงจะได้กําไรสูงสุดจาน 1 ใบ ชาม 1 ใบ เครื่องจักรทํางานได้เครื่องจักร A 2 นาที 1 นาที ไม่เกินวันละ 3 ช.ม.เครื่องจักร B 1 นาที 3 นาที ไม่เกินวันละ 5 ช.ม.กําไร 1.00 บาท 1.20 บาท(6) โรงงานผลิตสินค้าสองชนิด แต่ละวันจะใช้เหล็ก 250 กก. สินค้าชนิดที่หนึ่งใช้เหล็กชิ้นละ 10กก. ชนิดที่สองใช้เหล็กชิ้นละ 25 กก. และสําหรับเวลาที่ใช้ผลิตแต่ละวันมี 260 นาที ทั้งสองชนิดใช้เวลาชิ้นละ 20 นาทีเท่ากัน ส่วนการทาสีมีเวลารวมวันละ 100 นาที ชนิดแรกใช้เวลาทาสีชิ้นละ 10นาที ชนิดที่สองชิ้นละ 4 นาที ถ้าสินค้าชนิดแรกกําไรชิ้นละ 30 บาท ชนิดที่สองกําไรชิ้นละ 25บาท ควรจะผลิตอย่างละกี่ชิ้นใน 1 วันจึงได้กําไรสูงที่สุด(7) โรงงานผลิตสินค้าทําสินค้าออกมาสองชนิด คือ x กับ y โดยสินค้าแต่ละอย่างต้องผ่านกระบวนการ 3 ขั้นตอน ดังตาราง หากกําไรต่อชิ้นของสินค้า x เป็น 5,000 บาท สินค้า y เป็น3,500 บาท ควรจะผลิตอย่างละกี่ชิ้นใน 1 วันสินค้า x 1 ชิ้น สินค้า y 1 ชิ้น เครื่องจักรทํางานได้ขั้นตอนที่ 1 3 ช.ม. 2 ช.ม. 24 ช.ม. ต่อวันขั้นตอนที่ 2 1 ช.ม. 2 ช.ม. 16 ช.ม. ต่อวันขั้นตอนที่ 3 1 ช.ม. 1 ช.ม. 9 ช.ม. ต่อวัน(8) บริษัทผลิตวิทยุแห่งหนึ่งผลิตวิทยุออกมา 2 รุ่น คือรุ่น A กับรุ่น B โดยที่รุ่น A มีกําไรเครื่องละ250 บาท รุ่น B 300 บาท แต่ละวันตั้งใจจะผลิตรุ่น A ไม่น้อยกว่า 80 เครื่อง รุ่น B ไม่น้อยกว่า100 เครื่อง แต่ผลิตได้รวมกันไม่เกินวันละ 200 เครื่อง ควรจะผลิตอย่างไรจึงจะได้กําไรสูงสุด และกําไรสูงสุดนั้นเป็นเท่าใด(9) โรงงานเฟอร์นิเจอร์ทําตู้และเตียงซึ่งจะใช้แรงงานช่างไม้กับช่างทาสี โดยตู้ 1 ใบช่างไม้ใช้เวลาทํา15 ชั่วโมง ช่างทาสีอีก 12 ชั่วโมง และเตียง 1 หลังช่างไม้ใช้เวลาทํา 5 ชั่วโมง ช่างทาสี 4 ชั่วโมงถ้าแต่ละวันช่างไม้ทุกคนช่วยกันทํางานได้เวลารวมกันอย่างมาก 60 ชั่วโมง ช่างทาสีรวมกัน 40ชั่วโมง ส่วนกําไรนั้นตู้ใบละ 500 บาท เตียงหลังละ 400 บาท ควรจะผลิตตู้และเตียงอย่างละเท่าใดต่อวัน(10) ผู้จัดการบริษัทต้องการซื้อตู้เก็บเอกสารใหม่จํานวนหนึ่ง เขาสอบถามได้ข้อมูลว่าตู้ยี่ห้อ A ราคาตู้ละ 400 บาท ใช้พื้นที่วาง 6 ตารางฟุต จุเอกสารได้ 8 ลูกบาศก์ฟุต ส่วนตู้ยี่ห้อ B ราคาตู้ละ 800บาท ใช้พื้นที่วาง 8 ตารางฟุต จุเอกสารได้ 12 ลูกบาศก์ฟุต หากเขามีงบไม่เกิน 5,600 บาท และมีพื้นที่ไม่เกิน 72 ตารางฟุต เขาควรจะซื้ออย่างละกี่ตู้เพื่อให้เก็บเอกสารได้มากที่สุด และถามว่าเก็บเอกสารได้เท่าใด(11) ต้องการจ้างคนงานสองคนมาทําความสะอาดตู้ 5 ตู้ โต๊ะ 12 ตัว และหิ้งหนังสือ 18 หิ้ง โดยคนงานคนที่หนึ่งสามารถทําความสะอาดตู้ได้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตัว และหิ้งหนังสือ 3 หิ้งต่อชั่วโมง คนที่สองทําความสะอาดตู้ 1 ตู้ โต๊ะ 2 ตัว และหิ้งหนังสือ 6 หิ้งต่อชั่วโมง ค่าแรงคนที่หนึ่ง 25 บาทต่อชั่วโมง ค่าแรงคนที่สอง 22 บาทต่อชั่วโมง ควรจะจ้างคนงานทั้งสองทํางานคนละกี่ชั่วโมงเพื่อเสียค่าแรงน้อยที่สุดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET153กําหนดการเชิงเสน(12) ปุ๋ยเคมีสองชนิดมีส่วนผสมดังตาราง หากต้องการปุ๋ยที่มีฟอสฟอรัสไม่ต่ํากว่า 9 หน่วยไนโตรเจนไม่ต่ํากว่า 8 หน่วย และโพแทสเซียมไม่เกิน 7 หน่วย จะเสียค่าใช้จ่ายในการซื้อปุ๋ยน้อยที่สุดเท่าใดฟอสฟอรัส ไนโตรเจน โพแทสเซียม ราคาต่อถุงชนิดที่ 1 3 หน่วย 1 หน่วย 1 หน่วย 50 บาทชนิดที่ 2 1 หน่วย 2 หน่วย 1 หน่วย 40 บาท(13) บริษัทแห่งหนึ่งมีเหมืองอยู่ 2 แห่ง ในแต่ละวันเหมืองแรกผลิตแร่เกรด A ได้ 1 ตัน เกรด B 3ตัน และเกรด C 5 ตัน ส่วนเหมืองที่สองผลิตแร่ทั้งสามเกรดได้เกรดละ 2 ตันเท่ากัน หากบริษัทต้องการผลิตแร่ส่งลูกค้าโดยเป็นแร่เกรด A 80 ตัน เกรด B 150 ตัน และเกรด C 200 ตัน ให้หาว่าบริษัทควรจะเปิดเหมืองเพื่อผลิตแร่แห่งละกี่วันจึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด (ค่าใช้จ่ายในการขุดแร่แต่ละเหมืองเป็น 6,000 บาทต่อวัน เท่ากัน)* (14) อาหารปลาชนิดแรกราคาถุงละ 6 บาท มีอัตราส่วนระหว่างโปรตีน ไขมัน และคาร์โบไฮเดรตเท่ากับ 1 : 2 : 2 ในขณะที่อาหารปลาชนิดที่สองราคาถุงละ 4 บาท มีอัตราส่วนเป็น 1 : 1 : 5 ให้หาอัตราส่วนระหว่างอาหารชนิดที่หนึ่งกับชนิดที่สองที่ผู้เลี้ยงปลาควรจะซื้อ ถ้าอัตราส่วนระหว่างโปรตีน ไขมัน และคาร์โบไฮเดรต ที่จําเป็นต้องใช้ ไม่ต่ํากว่า 3 : 4 : 10เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1.1) (0,0), (0,4), (2,0), (14/5,6/5)(1.2) (0,0), (0,4), (2,0), (8/3,4/3)(1.3) (0,2), (0,3), (4,0), (6,0)(1.4) (2,1), (4,2), (2,-10/3), (4,-20/3)(1.5) (0,0), (0,4), (1,0), (1,3), (7/4,3/4)(2.1) 410 (2.2) 8 (2.3) 30(2.4) 13, 0 (2.5) 2400, 1100(2.6) หาค่าไม่ได้, 434 (2.7) 12, -1(2.8) หาค่าไม่ได้, 23(3.1) x y 2(3.2) 5x + 8y < 40 , 15x 4y 60− < , x + y< 3, x> 0, y>0+ < ,x> 0, y>0(3.3) 3x + 4y < 1800, x + 3y< 1200,x> 0, y>0(4) ลิ้นจี่ 120 กระป๋อง, สับปะรด 360 กระป๋อง(5) จาน 48 ใบ, ชาม 84 ใบ(6) ชนิดที่หนึ่ง 8 ชิ้น, ชนิดที่สอง 5 ชิ้น(7) สินค้า x 6 ชิ้น, สินค้า y 3 ชิ้น(8) รุ่น A 80 เครื่อง, รุ่น B 120 เครื่อง,กําไร 56,000 บาท(9) ผลิตเตียง 10 หลังโดยไม่ผลิตตู้เลย(10) ยี่ห้อ A 8 ตู้, ยี่ห้อ B 3 ตู้, เก็บได้ 100 ลบ.ฟุต(11) คนแรก 2 ช.ม., คนที่สอง 3 ช.ม.(12) 220 บาท (ชนิดที่ 1 สองถุง ชนิดที่ 2 สามถุง)(13) เหมืองแรก 36 วัน เหมืองที่สอง 22 วันหรือ เหมืองแรก 34 วัน เหมืองที่สอง 24 วัน ก็ได้(14) 5 : 14เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)yy(1.1) (1.2)4 3x-2y=642x-y=4O(14/5,6/5)x2 4 x+y=4O(8/3,4/3)x2 4 x+y=4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET154กําหนดการเชิงเสน(1.3)3Oy2 2x+4y=12O 4 6xx+2y=4(1.4) yx=2 x=4 x-2y=0(2,1) (4,2)Ox(2,-10/3)(4,-20/3)5x+3y=0(1.5) y(2.1)6 x-y=14 (1,3)P max เกิดที่ (70, 20)Pmax= 5(70) + 3(20)= 410(2.2)C min เกิดที่ (4, 0)Cmin= 2(4) + 3(0)= 8(2.3)P max เกิดที่(7/4,3/4)x1 2 4 x+y=43x+y=6y10(10, )310Pmax= 2(10) + 3( )3= 309060 (50,40)O54Oyy(70,20)70 90 150(2.5,5)4 5105 (10,10/3)xO 5 10 15xx(2.4)Oy4 (3,2)4(2.5) Zmax= 2,400yที่จุด (60, 40)Zmin= 1,100 ที่จุด (10, 30)(5,40) (60,40)(10,30) (60,5)xO 4(2.6) yZ max หาค่าไม่ได้(0,62/5)(4,10)O(2.7) y(-2,0)O(2.8)(0,6)Oy(1,3)(30,0)xZmin= − 1 ที่จุด (1, 3)(1,3)(3,1)x4 (3,-2.5)(3,1)(8,0)Zmax= 13 ที่จุด (3, 2)Zmin= 0 ที่จุด (0, 0)Zmin= 434 ที่จุด(3.1) x + y < 3, x − y < 2,x > 0, y > 0xx62(0, )5Zmax= 12 ที่จุด (3, − 2.5)Z max หาค่าไม่ได้Zmin= 23 ที่จุด (1, 3)(3.2) ต้องสร้างสมการเส้นตรงด้วย intercept form( x + y = 1) ก่อน.. ได้เป็นa bx y+ = 1 → 15x + 4y < 60,4 15x y+ = 1 → 5x + 8y < 408 5x > 0, y > 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET155กําหนดการเชิงเสน(3.3) เช่นเดียวกับข้อ 3.2x y+ = 1 → 3x + 4y < 1,800,600 450x y+ = 1 → x + 3y < 1,200,1,200 400x > 0, y > 0(4) P = 4x + 7y3x 4y 1, 800O+ < (นาที)+ < (นาที)x 3y 1,200x > 0, y > 0y400 (120,360)600Pmax= 3,000 ที่จุด (120, 360)ตอบ ลิ้นจี่ 120 กระป๋อง สับปะรด 360 กระป๋อง(5) P = x + 1.2y2x y 180Ox+ < (นาที)+ < (นาที)> >yx 3y 300x 0, y 0100 (48,84)10Oy90Pmax= 148.80 ที่จุด (48, 84)ตอบ จาน 48 ใบ ชาม 84 ใบ(6) P = 30x + 25y10x + 25y < 25020x + 20y < 26010x + 4y < 100x > 0, y > 0(5,8)10(8,5)Pmax= 365 ที่จุด (8, 5)ตอบ ชนิดที่หนึ่ง 8 ชิ้น ชนิดที่สอง 5 ชิ้นxx(7) P = 5, 000x + 3, 500y3x + 2y < 24yx + 2y < 16x + y < 9x > 0, y > 08OOy(80,100)10O(2,7)8(6,3)Pmax= 40,500 ที่จุด (6, 3)ตอบ สินค้า x 6 ชิ้น สินค้า y 3 ชิ้น(8) P = 250x + 300yx > 80, y > 100x + y < 200(80,120)40/127 (8,3)O 12Pmax= 100 ที่จุด (8, 3)ตอบ ยี่ห้อ A 8 ตู้ ยี่ห้อ B 3 ตู้และจุได้ 100 ลบ.ฟุต(100,100)Pmax= 56,000 ที่จุด (80, 120)ตอบ รุ่น A 80 เครื่อง รุ่น B 120 เครื่องและกําไร 56,000 บาท(9) P = 500x + 400y15x + 5y < 6012x + 4y < 40 yx > 0, y > 0Pmax= 4,000 ที่จุด (0, 10)ตอบ ผลิตเตียง 10 หลัง โดยไม่ผลิตตู้(10) P = 8x + 12y400x + 800y < 5, 6006x + 8y < 72yx > 0, y > 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)xxxx

คณิตศาสตร O-NET / A-NET156กําหนดการเชิงเสน(11) C = 25x + 22yx + y > 53x + 2y > 123x + 6y > 18x > 0, y > 0(0,6)(2,3)OOyy(4,1)(6,0)Cmin= 116 ที่จุด (2, 3)ตอบ คนที่หนึ่ง 2 ช.ม. คนที่สอง 3 ช.ม.(12) C = 50x + 40y3x + y > 9x + 2y > 8x + y < 7x > 0, y > 0Cmin= 220 ที่จุด (2, 3)ตอบ 220 บาท(14) C = 6x + 4yx y 3+ >5 7 172x y 4+ >5 7 172x 5y 10+ >5 7 17x > 0, y > 0(1,6)(2,3) (6,1)yxx(13) C = 6,000x + 6,000yx + 2y > 803x + 2y > 1505x + 2y > 200x > 0, y > 0 และ x, y ∈ Iy(0,100)(25,37.5)(35,22.5)O(80,0)Cmin= 345,000 ที่จุด (35, 22.5)แต่ y ไม่เป็นจํานวนเต็ม จึงต้องเลือกจุดข้างเคียงแทนก. ลด y สมมติ y = 22 จะได้ x = 36(หาค่า x จาก x + 2y = 80) → C = 348,000ข. เพิ่ม y สมมติ y = 23 จะได้ x = 34.67ใช้ไม่ได้!เปลี่ยนเป็น y = 24 จะได้ x = 34(หาค่า x จาก 3x + 2y = 150 ) → C = 348,000ปรากฏว่า C เท่ากัน จึงเลือกตอบจุดใดก็ได้ตอบ (36 วัน, 22 วัน) หรือ (34 วัน, 24 วัน)[หมายเหตุ ถ้าค่า C ไม่เท่ากัน ก็ให้เลือกตอบจุดที่ค่าC น้อยกว่า]xCmin86ตอบ 5:14(0,28/17)(5/17,14/17)(25/51,28/51)O( , )17 17= ที่จุด 5 14(25/17,0)xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET157ฟงกชันตรีโกณมิติπ = ˆ rig + θnº··Õè7 ¿§¡ªa¹µÃÕo¡³Áiµiตรีโกณมิติ (Trigonometry) เป็นวิชาที่เกี่ยวกับการวัดส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยม เช่นความยาวด้าน, ขนาดของมุม, และขนาดพื้นที่ โดยมีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอยู่ 6 ฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Function) ได้แก่ฟังก์ชันไซน์ (Sine; sin) โคไซน์ (Cosine; cos)แทนเจนต์ (Tangent; tan) โคแทนเจนต์(Cotangent; cot) ซีแคนต์ (Secant; sec) และโคซีแคนต์ (Cosecant; cosec หรือ csc)แต่ละฟังก์ชันมีโดเมนเป็นขนาดของมุม θ และค่าเรนจ์ที่ได้ออกมานั้นเป็นจํานวนจริง ซึ่งจะพบว่า หาก 0°

คณิตศาสตร O-NET / A-NETค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ควรทราบ158ฟงกชันตรีโกณมิติθ 0° 30° 45° 60° 90°sin θ 0 1/2 1/ 2 3/2 1cos θ 1 3/2 1/ 2 1/2 0tan θ 0 1/ 3 1 3 หาค่าไม่ได้เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ ที่สําคัญ ได้แก่2 21. sin θ+ cos θ= 1 เป็นความสัมพันธ์ระหว่างค่า sin และ cos ของมุมใดๆซึ่งได้มาจากทฤษฎีบทปีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ( a 2 + b 2 = c2 ..นํา c 2 หารทั้งสองข้าง)22 2นอกจากนี้ เมื่อนํา sin θ หารทั้งสองข้างของสมการอีก จะได้ 1 + cot θ = cosec θ22 2หรือถ้านํา cos θ หารทั้งสองข้างของสมการ ก็จะได้ tan θ + 1 = sec θ2. sin θ = cos (90 °−θ ) เป็นความสัมพันธ์แบบ โค-ฟังก์ชัน (Co-function) ซึ่งสังเกตได้จากความสัมพันธ์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเช่นกันกล่าวว่า “ถ้ามุมสองมุมรวมกันได้ 90° แล้ว ค่า sin ของมุมหนึ่งจะเท่ากับค่า cos ของอีกมุม”และนอกจากนี้ยังมีอีกสองคู่ คือ tan θ = cot (90 °−θ ) และ sec θ = cosec (90 °−θ )7.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย2 2จากความสัมพันธ์ที่ว่า sin θ+ cos θ= 1 เสมอ (ทุกๆ ค่า θ) ถ้าให้ sin θ, cos θเป็นแกน x, y แล้ว จะได้กราฟเป็นรูปวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยมีข้อตกลงที่ใช้เป็นมาตรฐาน คือให้“แกน x เป็น cos θ และแกน y เป็น sin θ ” กําหนดแบบนี้ก็เพื่อให้ θ เป็นมุมที่ทํากับแกน xโดยเริ่มวัดเป็น 0° ในแนว +x และเพิ่มขึ้นในทิศทวนเข็มนาฬิกา เรียงไปตามลําดับควอดรันต์(คือเป็น 90° ในทิศ +y, เป็น 180° ในทิศ –x, ...) พอดีy90° (0,1)sin 45° = 1/ 260° ( 1 , 3120°2cos 60° = 1/2sin 90° = 1cos 90° = 0sin 120° = 3/2cos 120° = −1/2sin 180° = 0cos 180° = −1sin 225° = −1/ 2cos 225° = −1/ 2sin 300° = − 3/2cos 300° = 1/2180°(-1,0)3/22/2หมายเหตุ 1° (องศา; degree) แบ่งเป็น 60 ' (ลิปดา; minute)(1( − ,2225°1− ,23)211/2θ12222 )45° ( 1 , 212 )330° ( , 1 ) 2 2320° (1,0)x− ) 300° ( 1 2270° (0,-1), 32 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)O− )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET159ฟงกชันตรีโกณมิติประโยชน์ของ วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit Circle) คือ เราสามารถหาค่าฟังก์ชันของมุม θต่างๆ ได้ง่ายขึ้น, สามารถขยายฟังก์ชันให้ใช้กับ θ ใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเกิน 90° หรือจะเป็นค่าติดลบก็ตาม (วัดตามเข็มนาฬิกา), และช่วยให้เห็นแนวโน้มของค่าฟังก์ชันเมื่อ θ อยู่ในควอดรันต์ต่างๆข้อสังเกตจากกราฟวงกลมนี้ทําให้เราได้ทราบว่า1. sin θ, cos θ มีค่าได้ตั้งแต่ –1 ถึง 1 เท่านั้น2. sin ( −θ ) = − sin θ ... เพราะ θ−θ , จะอยู่เหนือแกนและใต้แกนตรงข้ามกันเสมอและ cos ( −θ ) = cos θ ... เพราะ θ−θ , จะอยู่ซ้ายหรือขวาเท่าๆ กันเสมอดังนั้น tan ( −θ ) = − tan θ ... ได้จากการนํา sin ( −θ ) หารด้วย cos ( −θ )แบบฝึกหัด 7.1(1) ให้หาค่าของ(1.1) sin x + sin 2x + sin 4x เมื่อ x = 60°(1.2) cos 4x − cos 3x + cos x เมื่อ x = 120°(2) จงหา sin θ + cos θ หากกําหนดเงื่อนไข θ ดังแต่ละข้อ(2.1) ปลายส่วนโค้ง θ อยู่บนเส้นตรงซึ่งเชื่อมจุด (0, 0) กับ (3, 4)(2.2) ปลายส่วนโค้ง θ อยู่บนเส้นตรง y = 2x−1(3) ให้หาค่าของ2 2 2 2 2 2(3.1) cos 35°+ sec 70°− cosec 47°+ sin 35°− tan 70°+ cot 47°(3.2)2sec x2 2 2 2 222 2 tan x + + + −+cot x cot x sin x sin x cosec x(4) จงเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย(4.1) 1 + 1 + 1 +12 2 2 21 + sin θ 1 + cos θ 1 + sec θ 1 + cosec θ6 6 4 4(4.2) 2(sin x + cos x) − 3(sin x + cos x) + 12 2 32 2 2[Hint: กระจาย (sin x + cos x) และ (sin x + cos x) ก่อน](5) ถ้า sin θ−cos θ = a แล้ว sin θcosθ มีค่าเท่าใด2 2(6) ถ้า (sin θ−cos θ ) = a แล้ว cosec θ − secθ มีค่าเท่าใด(7) ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี A เป็นมุมฉาก และ tan B = 3/4 แล้ว ให้หาค่าของsec C cot B cosec A(8) กําหนดสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก หากลาก BDตั้งฉากกับ AC ที่จุด D แล้วพบว่า AB = 10 , BD = 8 จงหาค่าsin, cos ของมุม A และขนาดของ BC , CD(9) จากภาพ หาก BC = 10 และพื้นที่สามเหลี่ยม ABC120°เป็น 10 3 ตารางหน่วย ให้หาขนาดพื้นที่สามเหลี่ยม ACD C D B EMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)A

คณิตศาสตร O-NET / A-NET160ฟงกชันตรีโกณมิติ(10) ถ้า sin θ = 0.7310 และ 0 < θ < 90° ให้หาค่า θ นั้น(ตารางระบุค่า cos 43° = 0.7314 และ cos 43 10' 0.7294° = )7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุมนอกจากการวัดมุมในระบบ องศา (Degree; ° ) แล้ว ยังมีอีกระบบหนึ่งซึ่งวัดจากความยาวส่วนโค้ง (เส้นรอบวง) ของวงกลมหนึ่งหน่วย เรียกว่า เรเดียน (Radian; rad) นั่นคือ360° คิดเป็น 2π เรเดียน (ความยาวเส้นรอบวง) 180° คิดเป็น π เรเดียน90° คิดเป็น π /2 เรเดียน 60° คิดเป็น π /3 เรเดียน45° คิดเป็น π /4 เรเดียน 30° คิดเป็น π /6 เรเดียนการแปลงหน่วยระหว่างองศา กับเรเดียนใช้วิธีเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ตามปกติS ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S2π/33π/45π/6π7π/65π/4rความสัมพันธ์ระหว่างมุม θ (หน่วยเรเดียน)กับความยาวส่วนโค้ง a ในวงกลมรัศมี rใดๆ คือ θ = a/rหมายเหตุ การวัดมุมเป็นเรเดียน มักละหน่วยไว้ ไม่ต้องเขียนกํากับว่า rad ก็ได้หากไม่มีสัญลักษณ์องศากํากับ แสดงว่าเป็นมุมเรเดียน เช่น sin 30 นั้นจะไม่เท่ากับ 1/2การลดรูปขนาดมุมหากขนาดของมุมที่จะหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น มี nπ หรือ n π /2ไปบวกลบอยู่ เช่นsin(2 π −θ), cos ( π +θ), sin( π /2 −θ), ฯลฯ เราสามารถกําจัดค่าคงที่เหล่านี้ทิ้งได้ ให้เหลือเพียงมุมθ เช่น sin( θ± 2 π ) = sin θyππππcos ( θ± 2 ) = cos θsin( θ± ) = − sin θcos ( θ± ) = − cos θsin( θ± /2) = ± cos θcos ( θ± π/2) = ∓ sin θความสัมพันธ์เหล่านี้ พิจารณาได้จากวงกลมหนึ่งหน่วยyπ/2π/34π/3 5π/33π/2π/4π/6011π/67π/4xÖ§æÁÁuÁ π eÃe´ÕÂ¹ äe·ÕÂºe·Ò¡aº 180° æµÇÒ π ≠ 180 ¹a¤Ãaº ...Ë¹ÇÂeÃe´ÕÂ¹¹Õé¤×o¤Ò¨íÒ¹Ç¹¨Ãi§ (æ»ÅÇÒ π Âa§¤§ÁÕ¤Ò 3.14.. eª¹eíÁ)θ+πθ-πθ+π/2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)θθ-π/2θax

คณิตศาสตร O-NET / A-NET161ฟงกชันตรีโกณมิติข้อสังเกตคือ เมื่อตัดมุม nπ ออก ฟังก์ชันยังคงเป็นชื่อเดิมไม่เปลี่ยน แต่ถ้าตัดมุม n π /2ออก ฟังก์ชันจะเปลี่ยนชื่อเป็นโคฟังก์ชันเสมอ (แต่นอกจากนี้ยังต้องดูเครื่องหมายบวกลบด้วย ว่าเปลี่ยนหรือไม่)แบบฝึกหัด 7.2(11) วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 24 ซม. ให้หาความยาวส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางขนาด(11.1) 2/3 เรเดียน(11.2) 130°(12) มุมที่จุดศูนย์กลางวงกลมที่รัศมียาว 4 ซม. และส่วนโค้งรองรับมุมนี้ยาว 8 ซม. จะมีขนาดเป็นกี่เรเดียน(13) ให้หารัศมีวงกลมซึ่งมุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาด 5 เรเดียน และส่วนโค้งที่รองรับมุมนี้ ยาว 20นิ้ว(14) สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมยอด 22.5° บรรจุอยู่ในวงกลม โดยจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ถ้าส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยฐานของสามเหลี่ยม ยาว 4 ซม. ให้หาความยาวรัศมีของวงกลมนี้2π 4π 5πsin − cos − tan(15) ให้หาค่าของ3 3 3π 3π 7π(16) ถ้า f( ) coscos + tan + sin3 4 6π− θθ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ 3 ⎠แล้ว ค่าของ f(2 π ) − f(0) เป็นเท่าใด(17) ตอบคําถามต่อไปนี้(17.1) เมื่อ 0 < θ (18.4) sin( − π /6) < 0(18.1) sin 1 sin 1(18.2) tan 1 tan 2(18.3) sin(1 − ) = sin 1< (18.5) sin( − 11 π /6) < 0π (18.6) tan( π/7) = tan(6 π /7)(19) ให้หาค่าของsin(2 π−θ) tan( π−θ) cot(3 π−θ)(19.1)cot (2 π+θ ) tan( π+θ)2 2(19.2)ππ[sin θ + sin( − θ )] + [cos θ − cos ( − θ)]2 2(20) ให้หาค่าของ cos300°+ sin450°+ tan495°(21) ให้หาค่าของ2 2 2sin ( − 253 ° ) + cos (287 ° ) sin (323 ° )−2 21 − sin (217 ° ) cos (37 ° )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET162ฟงกชันตรีโกณมิติ(22) ตอบคําถามต่อไปนี้ เมื่อ 0 < x < 2π(22.1) ค่ามากที่สุดของ 2 − cos 2x เป็นเท่าใด เมื่อ x เป็นเท่าใด(22.2) ค่าต่ําสุดของกราฟ y = 3 sin (2x −π /2) เป็นเท่าใด เมื่อ x เป็นเท่าใด(23) [Ent’ต.ค.42] จงหาเซต {cos A | 0 < A < 4 π/3และ 5 − 3sin3A มีค่ามากที่สุด }7.3 สมการตรีโกณมิติ2หลักในการแก้สมการที่เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น 4sin x + 11cos x − 1 = 0 หรือθ− θ= โดยรวมเป็นดังนี้22ta n sec 1ขั้นแรก ถ้าในสมการ มีฟังก์ชันอื่นๆ ที่ไม่ใช่ sin กับ cos ให้แปลงเป็น sin กับ cos ก่อนขั้นที่สอง เมื่อได้สมการที่มีเพียง sin กับ cos แล้ว- หากเหลือแค่ sin หรือ cos อย่างใดอย่างหนึ่ง สามารถแยกตัวประกอบต่อได้ทันที- แต่ถ้าเหลือทั้ง sin และ cos ปนกัน ... ให้ใช้เอกลักษณ์2 2sin cos 1θ + θ = มาเป็นสมการช่วยมองเป็นระบบ 2 สมการ 2 ตัวแปร (คือตัวแปร sin กับ cos) จึงจะหาคําตอบต่อได้ และต้องตรวจคําตอบเสมอ เพราะมีการยกกําลังสองเกิดขึ้นอาจทําให้ได้คําตอบเกิน<

คณิตศาสตร O-NET / A-NET163ฟงกชันตรีโกณมิติS ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃµÃÕo¡³ÁiµiÁÕ¢o¤ÇÃÃaÇa§á§¹Õé1. ¡ÒÃ·ÃÒº¤Ò¿§¡ªa¹¤ÒË¹Öè§ eª¹ ·ÃÒºÇÒ sin θ = 1/2 äÂa§äÁÊÒÁÒÃÊÃu»ä´·a¹·ÕÇÒ θ oÂÙ µíÒæË¹§ã´ e¾ÃÒaäÁÕÊo§¤íÒµoºoÂÙ ã¹¤¹Åa¤Ço´Ãa¹µeÊÁo (eª¹ã¹¡Ã³Õ¹Õé θ oÒë»¹µíÒæË¹§ 30° ËÃ×o 150° ) á§¹aé¹eÃÒµo§·ÃÒºe¾ièÁeµiÁ´ÇÂÇÒ ¤Ò θ ¹ÕéoÂÙ ã¹¤Ço´Ãa¹µãó´Â»¡µieÃÒÊÒÁÒÃ·ÃÒº¤Ço´Ãa¹µä´¨Ò¡e¤Ã×èo§ËÁÒÂ¢o§¤Ò¿§¡ªa¹o×è¹ eª¹Ò·ÃÒºe¾ièÁÇÒ cos 0æÊ´§ÇÒe»¹¤Ço´Ãa¹µ 1 ¤×o 30° æµÒ·ÃÒºÇÒ cos θ < 0 ¡çµo§e»¹¤Ço´Ãa¹µ 2 ¤×o 150°æ¼¹ÀÒ¾µoä»¹Õée»¹¡ÒÃÊÃu»e¤Ã×èo§ËÁÒÂ e¾× èo¤ÇÒÁÊa´Ç¡ã¹¡ÒÃËÒ¤íÒµoºθ > ¡çsin + ALL +tan + cos +Q e»¹ºÇ¡·aé§ 6 ¤Ò1Q 2 ÁÕe©¾Òa sin æÅa cosec ·Õèe»¹ºÇ¡Q 3 ÁÕe©¾Òa tan æÅa cot ·Õèe»¹ºÇ¡Q ÁÕe©¾Òa cos æÅa sec ·Õèe»¹ºÇ¡42. ÊÁÁµiÇÒµo§¡ÒÃ¤Ò θ ã¹ªÇ§ 0 < θ < 2πæµÊÁ¡ÒÃ·Õèä´¹aé¹e»¹¤Ò 2θ (eª¹ sin 2θ = 1/ 2 ) äµo§¢ÂÒÂªÇ§¤íÒµoºe»¹ 0 < 2θ< 4π(æÅÇ¨Ö§¹íÒ¤íÒµoº 2θ ·Õèä´·u¡¤íÒµoºËÒÃ´ÇÂÊo§) ËÒ¡äÁ¢ÂÒÂªÇ§ ä¡ÅÒÂe»¹0 < 2θ< 2π¤íÒµoº·Õ èä´ääÁ¤Ãº3. ¤íÒµoººÒ§¤íÒµoº o´Âe©¾Òa·ÕèoÂÙ ( º¹æ¡¹ x ËÃ×oæ¡¹ y ) oÒ¨ãªäÁä´ ã¹¡Ã³Õ·ÕèÊÁ¡ÒÃÁÕ¤íÒÇ Ò tan , cosec ,sec , cot e¾ÃÒa¤ÒeËÅÒ¹ÕéÁÒ¨Ò¡¡ÒÃËÒÃ¡a¹¢o§ sin, cos µo§µÃÇ¨Êoº´ÇÂÇÒÁÕ¤íÒµoºã´ËÒ¤ÒeËÅÒ¹ÕéäÁä´ (¤×o µaÇÊÇ¹e»¹ 0 ) ËÃ×oäÁ4. Òo¨·ÂäÁä´ÃaºuªÇ§¢o§¤íÒµoº ãËµoºã¹ÃÙ»·aèÇä»«Öè§¡ÒÃËÁu¹¢o§ θ e»¹¡ÕèÃoº¡çäéª¹ Òã¹ªÇ§ [0, 2 π ] (¡ÒÃËÁu¹ÃoºæÃ¡) ÁÕ¤íÒµoº 1 ü´ ¤×o π /4 ãËµoºÇÒ π/4 ± 2nπËÁÒÂeËµu ËÒ¡ÁÕ¤íÒµoºËÅÒÂü´ã¹¡ÒÃËÁu¹ÃoºæÃ¡ oÒ¨Å´ÃÙ»Å§eËÅ×o»ÃaoÂ¤e´ÕÂÇäéª¹ Ò¤íÒµoºe»¹ π/3,2 π /3 ¡çoÒ¨µoºÃÙ»·aèÇä»o´ÂÂÖ´¨ú ¡Öè§¡ÅÒ§ ÇÒ π/2 ± π/6 ± 2nπแบบฝึกหัด 7.32(24) เมื่อ cos θ = 4/5 และ 0 < θ < π/2แล้ว ให้หาค่าของ 5tanθ + 4sec(25) เมื่อ sin θ = − 3/5 และ tan θ > 0 ให้หาค่าของ tan θ − cos(26) เมื่อ tan θ = 15/8 และ π < θ < 3 π /2ให้หาค่าของ sin θ + cos(27) เมื่อ sin x = 5/13 และ cos x < 0 ให้หาค่าของ sin(x − π) + cos(x −π)θθθ(28) กําหนดให้ sec θ = 5/3 และ 0 < θ

คณิตศาสตร O-NET / A-NET164ฟงกชันตรีโกณมิติ(29) [Ent’ต.ค.43, ต้องใช้ความรู้เรื่องเมตริกซ์ด้วย]⎛ถ้า sin x = 3/5 และ tan x = − 3/4 แล้ว จงหาค่าของ det 2(30) ตอบคําถามต่อไปนี้ เมื่อ 0 < θ < 2π(30.1) ให้หาค่า θ ที่ทําให้ cos θ = 3/2(30.2) ให้หาค่า θ ที่ทําให้ cos 2θ = 3/2(31) เมื่อ tan x + sec x = 2 ให้หาค่าของ cos x(32) เมื่อ cosec θ+ cot θ= 5/3 แล้ว ให้หาค่าของ sin θ4 4(33) เมื่อ 2sin x = sec x ให้หาค่าของ sin x +cos x⎜⎝⎡cosec x sec x⎤⎞⎢ 1 cos x⎥⎟⎣⎦ ⎠(34) เมื่อ 2sin x = sec x ให้หาค่าของ1 −2 2sin x cos x−1 + cot x 1 + tan x(35) เมื่อ sin θ+ cos θ= 1/5 และ 0 < θ < π ให้หาค่าของ tan θ2(36) เมื่อ 2tan θ−sec θ= 1 และ 0 < θ < π/2แล้ว ให้หาค่าของ sec θ2(37) เมื่อ 4sin x + 11cos x − 1 = 0 และ π < x < 2πให้หาค่าของsin ( − x) + cos ( − x) + tan ( − x)22(38) [Ent’36] กําหนดให้ 4 sin θ+ 11 cos θ− 1 = 0 แล้ว2(39) ให้หาค่า x จากสมการ cos 2x + 3 sin 2x − 3 = 0πcot ( θ+ /2) + sec( θ−3 )π มีค่าเท่าใด4 2(40) [Ent’38] ให้หาเซตคําตอบของอสมการ 2sin x+ 3sin x− 2 > 0 โดยที่ 0 < x < 2π(41) [Ent’25] ค่าของ 0 < θ < 2πที่ทําให้ sin θ + cos θ < 0 จะอยู่ในช่วงใด(42) [Ent’35] สําหรับจํานวนจริง x ใดๆ ให้ A x เป็นเมตริกซ์ซึ่งถามว่า S {x | 2 x 2= − π < < π และ xA2⎡ 2sinx 2sin x⎤= ⎢ ⎥⎢⎣2 cos x cos x ⎥⎦x 2A เป็นซิงกูลาร์เมตริกซ์ } มีจํานวนสมาชิกกี่ตัว(43) จงหาผลบวกคําตอบทั้งหมดของสมการ x 3 − 9x 2 + 23x − 15= 0 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์= { x ∈ A | cos ( −x) > − cos x }U และ A [0,2 ]= π2(44) [Ent’39] กําหนดให้ f (x) = cos x + cos x แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกก. ถ้า 0 < x < π แล้ว f(x) = 2cosxข. ถ้า π < x < 2πแล้วค. ถ้า π/2 < x < 3 π/2แล้ว f(x) = 0ง. ถ้า 3 π/2 < x < 2πแล้ว f(x) = 0f(x) = 2cosxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET1657.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติฟงกชันตรีโกณมิติ• การศึกษาเรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะฟังก์ชัน sin และ cos จะเป็นประโยชน์ในการศึกษาเรื่องอื่นๆ ได้ เช่น คลื่น, เสียง, การเคลื่อนที่แบบเป็นคาบ (การแกว่ง), ไฟฟ้ากระแสสลับy = sin x1O π 2π-1y = cos xxDsin= RR sin = [ −1,1]period = 2πamplitude = 11-1O π 2πxDcosR = [ −1,1]cos= Rperiod = 2πamplitude = 1y = tan x1-1O π 2πxD = R − { /2 ± n }Rtantan=Rperiod =πππy = cosec x1-1O π 2πxD cosec = R − { ± n }R = R − ( −1,1)cosecperiod = 2ππy = sec x1-1O π 2πxD = R − { /2 ± n }secR = R − ( −1,1)secperiod = 2πππMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET166ฟงกชันตรีโกณมิติ1-1y = cot xO π 2πxπD cot = R − { ± n }Rcot= Rperiod =πแบบฝึกหัด 7.4(45) ให้ A = ( −π/2, 0) ∪ (0, π /2) ฟังก์ชันใดต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันลด บนเซต Aก. sin x ข. cos x ค. cosec x ง. sec x(46) กราฟของ y = sin x และ y = cos x เมื่อ 0 < x < 2π ตัดกันกี่จุด และจุดใดบ้าง7.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุมโดยทั่วไปการคํานวณค่าตรีโกณมิติอาจเกี่ยวข้องกับมุมที่เกิดจากการบวกกัน หรือลบกันดังนั้นในหัวข้อนี้จะเป็นการสรุปสูตรที่สําคัญ เพื่อนําไปใช้ประโยชน์สูตรชุดที่หนึ่ง .. สูตรเบื้องต้นเราสามารถพิสูจน์สูตรหลัก คือ cos ( ) cos cos sin sin(วิธีพิสูจน์ไม่ได้แสดงไว้ในที่นี้) และจากนั้นถ้าแทน β ด้วย −β จะได้สูตร cos ( α+β )α−β = α β + α β ก่อนรวมทั้งได้สูตร sin ( α+β ) กับ sin ( α−β ) จาก sin ( α+β ) = cos (90 ° − ( α+β ))(1) cos ( α+β ) = cos α cos β − sin α sin β(2) cos ( α−β ) = cos α cos β + sin α sin β(3) sin ( α+β ) = sin α cos β + cos α sin β(4) sin ( α−β ) = sin α cos β − cos α sin βสูตรชุดที่สอง .. สูตรผลคูณเกิดจากสมการที่ (1) บวกลบกับ (2) … และสมการที่ (3) บวกลบกับ (4)(5) 2cosα cosβ = cos ( α+β ) + cos ( α−β ) ... จาก (1)+(2)(6) −2sinα sinβ = cos ( α+β) − cos ( α−β ) ... จาก (1)-(2)(7) 2 sin α cos β = sin ( α+β ) + sin ( α−β ) ... จาก (3)+(4)α β = α+β − α−β ... จาก (3)-(4)(8) 2 cos sin sin ( ) sin ( )สูตรชุดที่สาม .. สูตรผลบวก และผลลบมีที่มาเดียวกับสูตรชุดที่สอง ... แต่กําหนดให้ A = α+β และ B = α−βA + B A − B(9) cos A + cos B = 2 cos ( ) cos ( ) ... จาก (5)(10)2 2A + B A − Bcos A cos B 2 sin ( ) sin ( )2 2⎧tan α + tan βtan ( α+β ) =⎪1 − tanα tanβ⎨⎪tan α − tan βtan ( α−β ) =⎩⎪ 1 + tanα tanβ− = − ... จาก (6)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET167ฟงกชันตรีโกณมิติ(11)(12)sin A sin BA + B A − B2 sin ( ) cos ( )2 2sin A sin BA + B A − B2 cos ( ) sin ( )2 2+ = ... จาก (7)− = ... จาก (8)สูตรชุดที่สี่ .. สูตรมุมสองเท่า และมุมครึ่งสูตรสําหรับมุมสองเท่าได้จากสมการชุดที่หนึ่งเช่นกัน คือใช้มุมเป็น α +α= 2sin (2 α ) = 2 sin α cos αcos (2 )2cos2sintan (2 α ) =2tanαα = α − α หรือ2 221 − tan αcos (2 α ) = 1 − 2 sin α = 2 cos α − 12 2สูตรสําหรับมุมครึ่ง ได้จากการย้ายข้างสมการ cos (2 α ) = 1 − 2 sin α = 2 cos α − 1โดยมองว่า α กลายเป็น α /2 และ 2α กลายเป็น αsin ( α /2) = ± (1−cos α )/2cos ( α /2) = ± (1+ cos α )/2และ tan ( α /2) = ± (1−cos α )/(1 + cos α )นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์สูตรมุมใดๆ ต่อไปอีก โดยอาศัยหลักการเดียวกันกับสี่ชุดข้างต้นเช่น อาจหาสูตรมุมสามเท่า sin(3 α),cos(3 α), tan(3 α ) หรือใช้สูตรชุดที่หนึ่งช่วยในการลดรูปขนาดของมุม θ± nπ, θ ± n π /2เป็นต้นแบบฝึกหัด 7.5(47) ให้หาค่าของ sin (75 ° ), cos (5 π /12) , และ tan ( π /12)(48) กําหนด cot A = 2.4 โดย A ∈ ( π,3 π /2) และ sin B = 0.6 โดย B ∈ ( π/2, π )(48.1) cos (A + B) และ sin (A + B) มีค่าเท่าใด(48.2) มุม A+ Bอยู่ในควอดรันต์ใด(49) จงหา cos A เมื่อ sin (A + B) = 1/5 , cos (A − B) = 2/5 และ sin B = 3/5(50) จงหา cos B เมื่อ A + B = 5 π /4 และ tan A = 1 โดยที่ 0 < B < π(51) ให้หาค่าของ(51.1) 2cos75° cos15°(51.2) 2sin25° cos5° − sin20°(51.3) 4 sin 75° cos 15° + 4 cos 15° cos 165°(51.4) sin 108° cos 42° + sin 42° cos 108°(51.5) cos 68° cos 78° + cos 22° cos 12° − cos 10°(51.6) 2 cos 35° cos 70° − cos 35° + cos 15°(52) ให้หาค่าของ(52.1) 2 cos 3θ sin 2θ−2 cos 4θsin θ−2 cos 2θsinθ(52.2) sin 3θ sin 6θ+ sin θsin 2θ−sin 4θsin 5θMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)α

คณิตศาสตร O-NET / A-NET168ฟงกชันตรีโกณมิติ(53) ให้หาค่าของ2 2 2(53.1) sin A + sin (60 °+ A) + sin (60 °− A)2 2 2(53.2) [Ent’20] cos A + cos (60 °+ A) + cos (60°−A)(54) ให้หาค่าของ(54.1)(54.2)(54.3)(54.4)(54.5)cos 10°+ sin 40°sin 70°sin 75°− sin 15°cos 75°+ cos 15°tan 178°− tan 108°1 + tan 178° tan 108° ⎛ cot A ⎞⎛ cot B ⎞⎜ 1+ cot A⎟⎜1+cotB⎟⎝ ⎠⎝ ⎠sin 3θcos 3θ−sin θ cos θ(55) ให้หาค่าของ(55.1) sin 50°+ sin 10°− cos 20°(55.2) sin 10°+ cos 40°− cos 20°เมื่อ tan 10 ° = Bเมื่อ A+ B = 225°(55.3) cos 20°+ cos 100°+ cos 140°cos10°+ cos20°+ cos40°+ cos50°(55.4)sin 10°+ sin 20°+ sin 40°+ sin 50°(56) ให้หาค่าของ sin 40°+ sin 20° ในรูปของ sin 5°(57) ให้หาค่าของ(57.1)(57.2)(57.3)(57.4)ππ3cos cos5 5π 3πcos + cos5 52 4cos cos cos7 7 75ππsin cos24 24π π π(57.5) [Ent’33] 8 sin 70° sin 50° sin 10°(58) ให้หาค่าของ tan 9°− tan 27°− tan 63°+ tan 81°[Hint: นํา 2sin 5π คูณเศษและส่วน]2(59) กําหนด 4sin A + 3cos2B = − 2 และ sin 2A sec A = sin B เมื่อ A, B ∈ [0, π /2] ให้หาค่าของ 2cos (A+B)(60) [Ent’38] ถ้า 3cos2A − 2cos2B = − 3 และ sin A − 2 sin B = 0 เมื่อ A, B ∈ [0, π /2]แล้ว ให้หาค่าของ sin (A + B)3(61) [Ent’37] กําหนด sin 3θ + sin θ = 1 − 4 sin θ จงหาค่าของ sec 2θ + cos (3 π /2 + θ)(62) [Ent’38] ถ้าจงหาค่า sin 2αsin 2β3 − 4 3cos ( α+β ) = และ103 + 4 3cos ( α−β ) = แล้ว10Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET169ฟงกชันตรีโกณมิติ(63) ถ้า tan x = 2 แล้ว จงหาค่าsin 2x1 + cos 2x(64) จงหาค่า sin 4θ เมื่อ tan θ = 1/3 และ 0 < θ

คณิตศาสตร O-NET / A-NETy = arcsin xπ/2-1 1O−π/2arcsinxD arcsin = [ −1,1]R [ /2, /2]= −π π-1arccos1170y = arccos xπOD arccos = [ −1,1]R = [0, π]xπ/2-1O−π/2y = arctan x1 0 = cos∞π/2π/20 = sin -1 10 = tanπ 0−π/2-1−π/2 −∞ข้อสังเกตฟังก์ชัน arcsin (กับ arctan) จะอยู่ในช่วงที่ cos เป็นบวกเสมอส่วนฟังก์ชัน arccos จะอยู่ในช่วงที่ sin เป็นบวกเสมอความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์ในเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน คือx + yarctan x + arctan y = arctan 1 xyarctan−ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้จากการใส่ฟังก์ชัน tan ทั้งสองข้างของสมการโดยความสัมพันธ์นี้ใช้ได้เมื่อ arctan x + arctan y ยังอยู่ในช่วง ( −π/2, π /2)แบบฝึกหัด 7.6(67) ให้หาค่าของ arcsin ( 3/2) และ arccos ( − 1/2)(68) ค่าของ 2 arcsin ( − 3/2) + arccos (1/ 2) + arccos ( − 1) เป็นเท่าใด(69) ให้หาค่าของ2 2cos (arcsin (cos ) + )7 7(70) ให้หาค่าของ(70.1) cos (arccos (4/5) + arccos (12/13))(70.2) sin (arccos (3/5) + arcsin ( − 4/5))(70.3) cos (2 arcsin (3/5))(70.4) [Ent’39] tan(2arcsin( − 1/ 5))(71) ให้หาค่าของπsin( 2arctan( 2 1))2 + −และ cos (3 π /2 − 2 arctan x)ππ1ฟงกชันตรีโกณมิติxDarctan= RR ( /2, /2)= −π πMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET171ฟงกชันตรีโกณมิติ(72) ให้หาค่าของ A+2B เมื่อกําหนด tan A = 1/7 และ sin B = 1/ 10 โดยที่0 < A,B < π /2(73) จงหาค่า 7tan( π /4 + A) เมื่อกําหนดให้ sin A = 1/3 และ π/2 A<

คณิตศาสตร O-NET / A-NET172ฟงกชันตรีโกณมิติ(79.4) [Ent’31]4 4cos x sin x 1− = 0 < x < 2π2 2(79.5) [Ent’29] 4 sin x − 6 tan x + 2 sec x = 00 < x < π /2(79.6) 4 sin x cos x + 2 2 cos x + 2 sin x + 2 = 0 0 x 2(79.7) sin x 3 cos x sec(x )3< < π+ = + π 0 < x < 2π2 2(79.8) [Ent’34] 2 sin x + 1 = − sin x + 2 2 sin x + sin x 0 < x < 2π(79.9) [Ent’30] sin x − sin 2x + sin 3x = 00 < x < 2π(80) ให้หาช่วงคําตอบของอสมการต่อไปนี้4 2(80.1) [Ent’38] 2sin x + 3sin x − 2 > 00 < x < 2π+ < 0 < x < 2π(80.2) 3sinx cosx 1(81) [Ent’32] ให้หาคําตอบรูปทั่วไปของสมการ cos 2θ = sin θ(82) จงแสดงว่าเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง(82.1) tan (90°− A) = cot A−2(82.2) = tan(82.3)1 cos x x1 + cos x 2sin x + sin y x + y= tancosx + cosy 22 2 2 2(82.4) tanx− sinx = tanx sinx(82.5)⎛ A A⎞⎜cos − sin ⎟ = 1 − sin A⎝ 2 2⎠2(83) ถ้า A, B, C เป็นมุมในรูปสามเหลี่ยม จงแสดงว่าsin A + sin B C= cotcos A + cos B 27.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์กฎของไซน์ และกฎของโคไซน์ เป็นความสัมพันธ์ที่ใช้กับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่ทราบบางส่วนประกอบ (ความยาวด้าน และขนาดมุม) เพื่อหาค่าของส่วนประกอบที่เหลือ มีประโยชน์กับการศึกษาเรขาคณิตวิเคราะห์ และเวกเตอร์1. กฎของไซน์ (Law of Sine)B“อัตราส่วนของค่าไซน์ของมุมๆ หนึ่ง ต่อความยาวด้านตรงข้าม จะเท่ากันทั้งสามมุม”csin A sin B sin Ca= =a b cโดยกฎของไซน์นี้พิสูจน์มาจาก พื้นที่สามเหลี่ยมA( 1 bc sin A = 1 ca sin B = 1 ab sin C)b2 2 2C2. กฎของโคไซน์ (Law of Cosine)“เราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือ ได้จากความยาวด้านสองด้านและขนาดมุมตรงกลาง”2 2 2a b c 2bc cos A= + −(ถ้ามุมตรงกลางนั้นเป็น A = 90° กฎนี้จะกลายเป็นทฤษฎีบทปีทาโกรัส)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET173แบบฝึกหัด 7.8ฟงกชันตรีโกณมิติ(84) กําหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้าน a ยาว 10 หน่วย, b ยาว 10 3 หน่วย และ c ยาว 10หน่วย ให้หาขนาดมุมทั้งสาม(85) Δ ABC มีด้าน a = 2 5, b = 4 5 และ c = 3 5 ให้หาค่า sin (B/2)(86) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีอัตราส่วนความยาวด้านทั้งสามเป็น a:b:c = 4:5:6 ให้แสดงว่าสามเหลี่ยมรูปนี้มีมุมหนึ่งขนาดเป็นสองเท่าของอีกมุมหนึ่ง(87) Δ ABC มีมุม B = 65° , ด้าน a = 4, c = 8 ให้หาความยาวด้าน b (กําหนดcos 65° = 0.422)(88) Δ ABC มีด้าน c = 15, a = 12 และ A = 27° , sin A = 0.454 จงหามุม C(89) Δ ABC มีมุม A ขนาด 45° และ a = 2 2, b = 2 3 จงหาขนาดของมุมที่เหลือ(90) Δ ABC มีมุม B = 30° และด้าน c = 150, b = 50 3 ให้พิจารณาว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด(91) Δ ABC มีมุม A = 20° , B = 47° และด้าน b = 12 หน่วย ให้หาความยาวด้าน a (กําหนดsin 20° = 0.342, sin 47° = 0.731)(92) สามเหลี่ยม ABC มีค่า (a b c)(b c a) 3bc+ + + − = จงหาขนาดของมุม A2 2(93) [Ent’38] สามเหลี่ยม ABC มีค่า (a + b + c)(a −b − c) = − 3bc และ 4a = 6b จงหาค่า21 + 2sin (3A−2B)2 2(94) [Ent’25] ถ้าความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็น x, y, x + xy+ y ตามลําดับ ให้บอกลักษณะของสามเหลี่ยมนี้(95) เครื่องบินขับไล่สองลําบินในแนวราบ ออกจากฐานทัพพร้อมกัน โดยทิศทางการวิ่งทํามุมกัน38° ถ้าเครื่องบินมีความเร็ว 320 และ 380 ไมล์ต่อชั่วโมง ตามลําดับ จงหาระยะทางระหว่างเครื่องบินสองลํานี้เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งชั่วโมง ( cos 38° = 0.788)7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูงในชีวิตจริงการวัดระยะทางหรือความสูงของสิ่งต่างๆ ไม่สามารถใช้เครื่องมือวัดโดยตรงได้เสมอไป เราจึงใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากช่วยในการคํานวณศัพท์ที่ใช้เรียกมุมที่เกิดจากการสังเกตนั้น คือ มุมก้ม (Angle of Depression) และ มุมเงย (Angle of Elevation) โดยมุมก้มคือมุมที่วัดลงไปจากแนวราบ (ระดับสายตา) ส่วนมุมเงยคือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET174แบบฝึกหัด 7.9ฟงกชันตรีโกณมิติ(96) ชายคนหนึ่งอยู่ริมเขื่อนซึ่งสูงเหนือระดับน้ําทะเล 300 เมตร มองเห็นเรือ A กับ B อยู่ในระนาบเดียวกัน เป็นมุมก้ม 33° และ 20° ตามลําดับ เรือสองลํานี้อยู่ห่างกันเท่าใด(กําหนด sin 33° = 0.5446, cos 33° = 0.8387, sin 20° = 0.3430, cos 20° = 0.9397 )(97) หากมองจากจุด A ซึ่งอยู่ทางทิศใต้ของตึก จะเห็นยอดตึกเป็นมุมเงย 45° แต่หากมองจากจุดB ซึ่งอยู่ทางทิศตะวันออกของจุด A อีก 40 เมตร จะเห็นยอดตึกเป็นมุมเงย 30° แสดงว่าความสูงของตึกเป็นกี่เมตร* (98) สามเหลี่ยมมุมฉาก PQR และ PQS ซ้อนทับกันโดยมีมุม Q เป็นมุมฉากร่วมกัน และQR : RS = 1 : 3 ให้หาค่า tan SPQ ˆ เมื่อกําหนด SPR ˆ = arctan 0.6[Hint: ใช้ความสัมพันธ์ arctan x ± arctan y ](1.1) 3/2 (1.2) –2(2.1) 7/5 (2.2) 7/5 หรือ –1(3.1) 1 (3.2) 1/2 (4.1) 22(4.2) 0 (5) (1−a )/22(6) ± 2a/(1 − a ) (7) 20/9(8) 4/5, 3/5, 13.33, 10.67(9) 8 3 ตารางหน่วย(10) 46° 58 ' (11.1) 16 ซม.(11.2) 52 π /3 ซม.(12) 2 เรเดียน (13) 4 นิ้ว(14) 32/π ซม.(15) − (3 3 + 1)/2 (16) 0(17.1) θ(17.2) เพิ่มขึ้นจาก 1 ถึง ∞(18) เท็จทุกข้อ ยกเว้น (18.4) จริง(19.1) − sin θ (19.2) 2(20) 1/2 (21) 1เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(33) 1/2 (34) 1/2(35) –4/3 (36) 3/2(37) − (1+ 3 15)/ 4 (38) 19(39) π/4 ± nπ(40) [ π/4, 3 π/4] ∪ [5 π/4, 7 π /4](41) [3 π/4,7 π /4] (42) 9(43) 1+5=6 (44) ค. (45) ค.(46) 2 จุด คือ( π/4, 1/ 2),(5 π /4, −1/ 2)(47) ( 3+ 1)/ 2 2,( 3− 1)/ 2 2, ( 3− 1)/( 3+1)(48.1) 63/65, –16/65(48.2) Q 4 (49) 5/7(50) ± 1 (51.1) 1/2(51.2) 1/2 (51.3) 0(51.4) 1/2 (51.5) 0(51.6) 1/ 2 (52.1) 0(22.1) เป็น 3 เมื่อ x = π/2, 3 π /2(52.2) 0 (53.1) 3/2(22.2) เป็น –3 เมื่อ x = π (53.2) 3/2 (54.1) 3(23) {0, − 3 /2} (24) 10 (54.2) 1/ 3(25) 31/20 (26) –23/17 (54.3) ( 3 + B) /(1 − 3B)(27) 7/13 (28) 12/5 (54.4) 1/2 (54.5) 2(29) –1/3 (30.1) π/6, 11 π /6(55.1) 0 (55.2) 0(30.2) π/12, 11 π/12, 13 π/12, 23 π /12 (55.3) 0 (55.4) 3(31) 4/5 (32) 15/172(56) 1 − 2sin 5°(57.1) –1/4 (57.2) 1/2(57.3) –1/8(57.4) ( 2+1)/4(57.5) 1 (58) 4 (59) –1(60) 1 (61) 39/28(62) 12 3/25 (63) 2(64) 24/25 (65) sin B(66) ง. (67) 60°, 120°(68) 7 /12π (69) 0(70.1) 33/65 (70.2) 0(70.3) 7/25 (70.4) –4/32(71) 1/ 2 , − 2x/(1+x )(72) π /4 (73) 9−4 2(74) π /4 (75) ...(76.1) 7/25 (76.2) -1, 4(76.3) 3 (76.4) 1/2, –1(76.5) 1 (76.6) ± 2(76.7) ไม่มีคําตอบ (77) 1(78) − 3 3/2(79.1) π/4, 3 π/4,5 π/4, 7 π /4(79.2) π/6, π/2, 5 π/6, 3 π /2(79.3) π /6 (79.4) 0, π, 2π(79.5) π /4(79.6) 2 π/3,5 π/4,4 π/3,7 π /4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(79.7) 11 π/12,23 π /12(79.8) π/6,5 π/6, 3 π /2(79.9) 0, /3, /2, ,5 /3,3 /2,2(80.1) [ π/4,3 π/4] ∪ [5 π/4,7 π /4](80.2) (2 π/ 3, 2 π )(81) /6 ± 2n /3π π π π π ππ π (82,83) ...(84) 30 ° , 120 ° , 30° (85) 5/82(86) C = 2A เนื่องจากcos C = 2 cos A − 1175ฟงกชันตรีโกณมิติ(87) 7.28 (88) 34.6 ° , 145.4°(89) 75 ° , 60° หรือ 15 ° , 120°(90) สามเหลี่ยมมุมฉาก A = 90° หรือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว A = 30°(91) 5.61 (92) 60° (93) 3(94) สามเหลี่ยมมีมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน 120°(95) 234.86 ไมล์ (96) 359.9 เมตร(97) 20 2 (98) 1 หรือ 4เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(1.1) sin 60°+ sin 120°+ sin 240°3 3 3 3= + + ( − ) =2 2 2 2(1.2) cos 480°− cos 360°+ cos 120°= cos 120° − cos 0° + cos 120°1 1= ( − ) − 1 + ( − ) = − 22 2(2.1)sin θ + cos θ4 3 7= + =5 5 5(2.2) แก้ระบบสมการ หาจุดตัดของเส้นตรงy = 2x − 1 กับวงกลม x 2 + y 2 = 1 จะได้เป็น2 2x + (2x − 1) = 1 →25x − 4x = 0 → x = 0 หรือ 4 5 →ถ้า x = 0 ได้ y = − 1y4 3ถ้า x = ได้ y =5∴ sin θ + cos θ = − 1หรือ 7/55(3.1)2 2cos 35°+ sin 35°=12 2sec 70°− tan 70°=12 2และ − cosec 47° + cot 47° = − 1(เอกลักษณ์ของตรีโกณฯ)∴ ตอบ 1 + 1 − 1 = 1y5θ3(4,3)4x2 2(3.2)sec x = sec x =1 ,2 22 + 2 tan x 2sec x 22 2cot x − cosec x 1= − และ2 2 2 2 2cot x sin x + sin x = cos x + sin x = 1ตอบ 1/2 − 1 + 1 = 1 / 2θ(4/5,3/5)x(0,-1)1 11 + sin θ 1 + cosec θ(4.1) จาก +2 22 21 sin θ 1 + sin θ= + = = 12 2 21 + sin θ sin θ + 1 1 + sin θและเช่นเดียวกัน 1 +12 21 + cos θ 1 + sec θ2 21 cos θ 1 + cos θ= + = = 12 2 21 + cos θ cos θ + 1 1 + cos θ∴ ตอบ 2(4.2) ให้ A2= sin x และ B =2จะได้ว่า A + B = 1cos x3 3 2 2โจทย์ถาม 2(A + B ) − 3(A + B ) + 13 3ลองกระจาย (A + B) = 13 2 2 3→ A + 3A B + 3AB + B = 13 3 2→ A + B = 1 − 3AB ..... (1)2 2และกระจาย (A + B) = 12 2→ A + 2AB + B = 12 2→ A + B = 1 − 2AB ..... (2)แทนค่าสมการ (1),(2) ลงในโจทย์ จะได้2 22(1 − 3A B − 3AB ) − 3(1 − 2AB) + 12 2=−6A B − 6AB + 6AB= (6AB)(A − + B− 1) = 0 (เพราะ A B 1(5) ยกกําลังสองทั้งสองข้าง2 2 2sin θ−2 sin θcos θ+ cos θ= a2→ 1 − 2sinθ cos θ = a1 − a∴ sin θ cos θ =21 1(6) cosec θ−secθ= −sin θ cos θcos θ − sin θ ± a 2a= = = ±2 2sin θ cos θ 1 − a 1 − a( )221 − aหมายเหตุ sin cos22+ = )θ θ = มาจากข้อที่แล้วMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET176ฟงกชันตรีโกณมิติ(7) sec C cot B cosec AB3 1 1 1(15) [ − ( − ) − ( − 3)] ÷ [ + ( − 1) + ( − )]5 4 202 2 2 2= ( )( )(1) =3 3 93 3 + 1 3 3 + 15* ค่า cosec A ดูจาก Δ ไม่ได้4= ( ) ÷ ( − 1) = −2 2π πเพราะ A = 90° ไม่ใช่มุมแหลม(16) f(2 ) − f(0) = cos( − ) − cos( )Cπ3 A3 3(8) จากปีทาโกรัส Bπ π= cos − cos = 0จะได้ AD = 63 38 BC 10tan A = =8(17.1) θ > sin θ6 10เพราะ θ คือความยาวส่วนโค้งบนเส้นรอบวง∴ BC = 13.33A D C แต่ sin θ คือความยาวเส้นตรงบนแกน y6 10cos A = = ∴ AC = 16.67 (17.2) ค่า sin θ ลดลง จาก 1 ไปสู่ 010 AC∴จะได้ ค่า cosec θ (ซึ่งเป็นส่วนกลับของ sin)CD = 10.678 4 6 3 จะเพิ่มขึ้น จาก 1 ถึง ∞sin A = = , cos A = =10 5 10 5π/2 ≈ 1.57(9) BC = 10 , พื้นที่ Δ ABC = 10 3 (18.1) sin 1° tan 21ข้อนี้ เท็จพื้นที่ Δ ACD = ⋅ 8 ⋅ 2 3 = 8 3 ตร.หน่วย2(10) 0.7294 = cos 43°10’ x (18.3)1sin(1 − π ) = − sin 10.7310 = cos .......... 10’0.7314 = cos 43°0’∴ ข้อนี้ เท็จเทียบบัญญัติไตรยางศ์ (ประมาณค่าแบบเส้นตรง)1-πได้ว่า 0.0016 = x → x = 8'π(18.4) sin( − ) < 0 จริง (ควอดรันต์ที่ 4)0.0020 10 '6ดังนั้น 0.7310 คือ cos 43° 2 ' (โดยประมาณ)11π(18.5) sin( − ) < 0 เท็จ (ควอดรันต์ที่ 1)และเท่ากับ sin θ ดังนั้น จากโค-ฟังก์ชัน6แสดงว่าπ 6θ= 90°− 43° 2 ' = 46°58 ' (18.6) sin = sinπ π 6πแต่ cos =−cos7 77 7a 2 a(11.1) θ= → = → a = 16 ซม.π 6πr 3 24∴ tan = − tan ข้อนี้ เท็จ7 7(11.2) ต้องทํา 130° เป็นเรเดียน แล้วจึงคํานวณπ a 13π(19.1) ( − sin θ )( − tan θ )( − cot θ ) =− sin θ→ 130( ) = → a = ⋅ 24(cot θ)(tan θ)180 24 1852=π 2 2(19.2) (sin θ + cos θ ) + (cos θ − sin θ )ซม.3= (1 + 2 sin θ cos θ ) + (1 − 2 sin θ cos θ ) = 28(12) θ= = 2 เรเดียน(20) cos 300°+ sin 90°+ tan 135°4= 1/2 + 1 + ( − 1) = 1 / 220(13) 5 = → r = 4 นิ้ว(21) ข้อนี้ใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ช่วยลดขนาดมุมลงr(14) 22.5° คิดเป็น π 2 2 2sin(107) ° + cos(73) ° sin(37) °−เรเดียน2 21 − sin (143 ° ) cos (37 ° )8π 4 32→ = → r =8 r π ซม. 2 2 2sin (73 ° ) + cos (73 ° ) sin (37 ° )= −2 21 − sin (37 ° ) cos (37 ° )0.00200.0016Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET177ฟงกชันตรีโกณมิติ2 21 sin (37 ° ) cos (37 ° )= − = = 12 2 2cos (37 ° ) cos (37 ° ) cos (37 ° )(22.1) 2 cos2xสุด cos 2x 1− มากสุดแสดงว่า cos 2x น้อย→ = − (ต่ําสุดของ cos )∴ 2 − cos2x มากสุดเท่ากับ 3เมื่อ cos 2x 1 2x , 3=− → =π π(* อย่าลืมขยายช่วงเป็น 0 < 2x < 4π )3∴ = π πx ,2 2(22.2) ต่ําสุดเป็น − 3 เมื่อπ π 3πsin(2x − ) = −1 → 2x − =2 2 2π π 7π[* ขยายช่วงเป็น − < 2x − < ]2 2 2∴ x = π(23) 5 − 3sin3A มีค่ามากที่สุด3π7πแสดงว่า sin 3A =−1 → 3A = ,2 2<

คณิตศาสตร O-NET / A-NET178ฟงกชันตรีโกณมิติ(35)1cos θ= −sinθ..... (1)52 2แต่ cos θ+ sin θ= 1 ..... (2)12 2∴ ( − sin θ ) + sin θ = 152→ 25 sin θ − 5 sin θ + 12 = 0(5 sin θ−4)(5 sin θ+ 3) = 0sin45θ= หรือ3−5โจทย์กําหนด 0 02ซึ่งพบว่า sin x + 2 มากกว่า 0 เสมออยู่แล้ว2 2 1ดังนั้น 2sin x − 1> 0 → sin x >π 3π 5π 7πตอบ [ , ] ∪ [ , ]4 4 4 4(41) sin θ+ cos θ< 0 คือ y + x < 0ดังนั้น จากภาพ3π7πตอบ [ , ]4 4(42) A x เป็นซิงกูลาร์เมตริกซ์แสดงว่าdet(A x) = 02 2→ 2 sin x cos x − 2 2 sin x cos x = 0→ 2sinxcosx(1 − 2sinxcosx) = 0→ sin x = 0 หรือ cos x = 01หรือ sin x cos x21sin x cos x = ต่อ2... พบว่าไม่มีคําตอบดังนั้น ค่า x ในช่วง[ −2 π,2 π ] มี 9 ตัวดังภาพ= → แก้สมการ(43) x 3 − 9x 2 + 23x − 15 = 0→ (x − 1)(x − 3)(x − 5) = 0x = 1 หรือ 3 หรือ 5แต่ U = {x | cos( −x) > − cos x}หรือ cos x > − cos x → 2 cos x > 0→ cos x > 0 (Q 1, Q 4)พบว่า cos 1 > 0 ,cos 3 < 0 , cos 5 > 0ดังนั้นตอบ 1 + 5 = 632sin x = 1/ 2sin x = − 1/ 2cos x = 0y+x=0sin x = 051Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET179ฟงกชันตรีโกณมิติ(44) f(x) = | cos x | + cos x →ถ้า cos x > 0 (Q 1, Q 4)จะได้ f(x) = 2 cos xแต่ถ้า cos x < 0 (Q 2, Q 3)จะได้ f(x) = 0ดังนั้น ข้อ ค. ถูก(45) พิจารณาค่าจากกราฟ ตอบ ค. cosec x(ถ้ามี cot x ก็ถูกเช่นกัน)(46) หาจุดตัดของ y = sinx และ y = cos xโดยแก้ระบบสมการ sin x = cos xก็คือ tan x = 1 x→ = π หรือ 5 4 4π 1∴ ตอบ 2 จุด ได้แก่ กับ 5 π−1(ดูภาพประกอบ)( , )4 2sin xπ( , )4 2cos xO π 2π(47) sin 75°= sin(45°+ 30 ° )= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°1 3 1 1 3 + 1= ⋅ + ⋅ =2 2 2 2 2 25π π πcos = cos( + )12 4 6π π π π= cos cos − sin sin4 6 4 61 3 1 1 3 − 1= ⋅ − ⋅ =2 2 2 2 2 2π πtan − tanπ π πtan = tan( − ) = 4 612 4 6 π π1 + tan tan4 611 −3 3 − 1= =11 +3 + 1312(48) จาก cot A = 2.4 = และ A ∈ Q355 12จะได้ sin A =− , cos A =−13 133จาก sin B = 0.6 = และ B ∈ Q254จะได้ cos B =−5(48.1) cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B12 4 5 3 63= ( − )( − ) − ( − )( ) =13 5 13 5 65sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B5 4 12 3 16= ( − )( − ) + ( − )( ) = −13 5 13 5 65(48.2) เนื่องจาก cos(A + B) เป็นบวก และsin(A + B) เป็นลบ ดังนั้น A + B อยู่ใน Q 41(49) sin A cos B + cos A sin B = ..... (1)52cos A cos B + sin A sin B = ..... (2)53โจทย์ให้ sin B = → มีสองกรณีคือ544cos B = − กับ cos B =554ถ้า cos B = − จะได้54 3 1(1) − sin A + cos A =5 5 5และ (2) 3 sin A − 4 cos A =25 5 5cos A1174cos B = เท่านั้น5แก้ระบบสมการได้ดังนั้นจะได้ (1) 4 sin A + 3 cos A =15 5 5และ (2) 3 sin A + 4 cos A =2=− ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ...5 5 55แก้ระบบสมการได้ cos A = ... ตอบ75π(50) tan A = 1 → tan( − B) = 145πtan − tan B4 1 − tanB→ = 1 → = 15π1 + tan tanB1 + tanB4tan B 0<

คณิตศาสตร O-NET / A-NET180ฟงกชันตรีโกณมิติ(51.5)1 1[cos 146°+ cos 10 ° ] + [cos 34°+ cos 10 ° ] − cos 10°2 21= [cos 146 ° + cos 34 ° ]21 146°+ 34° 146°− 34°= [2 cos( ) cos( )]2 2 2= cos 90° cos 56° = 0หรือมองเป็น “โค-ฟังก์ชัน” ก่อน จะได้ว่า[sin 22° sin 12° + cos 22° cos 12 ° ] − cos 10°= cos(22° − 12 ° ) − cos 10° = 0(51.6) (cos 105°+ cos 35 ° ) − cos 35°+ cos 15°= cos 105° + cos 15° = 2 cos 60° cos 45°1 1 1= 2 ⋅ ⋅ = 2 2 2(52.1) [sin 5θ−sin θ] −[sin 5θ−sin 3 θ ]−[sin 3θ − sin θ ] = 01(52.2) − [cos 9 θ − cos 3 θ ]21 1− [cos 3θ − cos θ ] + [cos 9θ − cos θ ] = 02 22 1 − cos2A(53.1) จาก sin A = จะได้ว่า2โจทย์ถาม1[1 − cos 2A + 1 − cos(120 ° + 2A) + 1 − cos(120 ° − 2A)]21= [3 − cos 2A − 2 cos 120 ° cos 2A]21 3= [3 − cos 2A + cos 2A] =2 2(53.2) เช่นเดียวกับข้อที่แล้ว คือ+cos A = จะได้ว่า2 1 cos2Aจาก21[1 + cos 2A + 1 + cos(120 ° + 2A) + 1 + cos(120 ° − 2A)]21= [3 + cos 2A + 2 cos 120 ° cos 2A]21 3= [3 + cos 2A − cos 2A] =2 2(54.1) แปลง cos 10° เป็น sin 80° ก่อน (โค-ฟังก์ชัน) (หรือแปลง sin 40° เป็น cos 50° ก็ได้)sin 80°+ sin 40°จะได้sin 70°2sin60° cos20°= = 3sin 70°(เพราะ cos 20°= sin 70°)2cos45 sin30 1(54.2) ° ° = tan 30 ° =2cos45° cos30°3(54.3) ตรงตามสูตร tan( α −β ) จึงได้เป็นtan 70° → ต้องตอบในรูป tan 10°=Bจึงกระจายว่า tan 70°= tan(60 °+ 10 ° )tan 60°+ B 3 + B= =1 − (tan60 ° )(B) 1 − 3B(54.4) จาก A + B = 225° จะได้1 − tanAtan B = tan(225° − A) =1 + tanAcot A cot Bโจทย์ถาม ( )( )1 + cot A 1 + cotB(นํา tan A , tan B คูณทั้งเศษและส่วน)1 1= ( )( )tan A + 1 tan B + 1แทนค่า tan B จะได้1 1= ( )( )tan A + 1 1 − tan A ( ) + 11 + tan A1 1 + tanA 1= ( )( ) =tan A + 1 1 − tan A + 1 + tan A 2sin 3θ cos θ−cos 3θ sin θ(54.5)sin θ cos θsin 2θ 2 sin θ cos θ= = = 2sin θ cos θ sin θ cos θ(55.1) [sin 50°+ sin 10 ° ] − cos 20°= 2sin30° cos20° − cos20°= cos 20°− cos 20°=0(55.2) sin 10 °+ [cos 40°− cos 20 ° ]= sin 10°− 2 sin 30° sin 10°= sin 10°− sin 10°=0(55.3) cos 20 °+ [cos 100°+ cos 140 ° ]= cos 20°+ 2 cos 120° cos 20°= cos 20°− cos 20°=0(55.4)(cos 10°+ cos 50 ° ) + (cos 20°+ cos 40 ° )(sin 10°+ sin 50 ° ) + (sin 20°+ sin 40 ° )2 cos 30° cos 20° + 2 cos 30° cos 10°=2sin30° cos20° + 2sin30° cos10°2 cos 30 ° (cos 20° + cos 10 ° )=2sin30 ° (cos20° + cos10) °= cot 30° = 3(56) sin 40°+ sin 20°= 2 sin 30° cos 10°2= cos 10°= 1 − 2 sin 5°π π π32sin cos cosπ 3π(57.1) cos cos = 5 5 55 5π2sin 52π3πsin cos= 5 5 2π⋅2sin25π πsin π − sin 0 − sin5 5 1= = = −π π4sin 4sin45 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET181ฟงกชันตรีโกณมิติπ 3π(57.2) cos + cos5 5π π π 3π2sin cos + 2sin cos= 5 5 5 5π2sin 52π 4π 2πsin + sin − sin= 5 5 5π2sin 54πsin5 14π = =π(เพราะ sin = sinπ )2sin25 55π 2π 4π(57.3) cos cos cos7 7 7π π 2π 4π2 sin cos cos cos= 7 7 7 7π2sin 72π 2π 4πsin cos cos= 7 7 7π2sin 74π 4π 8πsin cos sin7 7 7 1= = = −π π4 sin 8 sin87 78π (เพราะ sin =−sinπ )7 75ππ π π2sin cos sin + sin(57.4) 24 24 = 4 62 21 2 1 2 + 1= ( + ) =2 2 2 4(57.5)cos 10°8 sin 70° sin 50° sin 10° ⋅cos 10°4sin70° sin 50° sin 20° cos 20°=⋅cos 10° cos 20°( sin 70°= cos 20°)2sin50° sin40 ° − (cos90° − cos10) °= = = 1cos 10° cos 10°(58) (tan 9°+ tan 81 ° ) − (tan 27°+ tan 63 ° )= (tan 9° + cot 9 ° ) − (tan 27° + cot 27 ° )sin 9° cos 9° sin 27° cos 27°= ( + ) − ( + )cos 9° sin 9° cos 27° sin 27°2 2 2 2sin 9°+ cos 9° sin 27°+ cos 27°= −sin 9° cos 9° sin 27° cos 27°1 1= −sin 9° cos 9° sin 27° cos 27°2 2 sin54°− sin18°= − = 2( )sin 18° sin 54° sin 54° sin 18°2cos36° sin18°= 2( ) = 4sin 54° sin 18°(เพราะ cos 36°= sin 54°)(59) จาก24sin A + 3cos2B =− 22 2→ 4 sin A + 3(1 − 2 sin B) = − 22 2→ 4sin A − 6sin B = − 5 ..... (1)และจาก sin 2A sec A = sin B→ 2sinAcosAsecA = sinB→ 2sinA = sinB ..... (2)แก้ระบบสมการได้ sin B = 1, − 1∈π ดังนั้น Bแต่ B [0, ]21และได้ sin A = → A = π2 62πโจทย์ถาม 2 cos(A + B) = 2 cos = −13(60) 3 cos 2A − 2 cos 2B =− 3= π เท่านั้น22 2→ 3(1 − 2 sin A) − 2(1 − 2 sin B) = − 3 ....(1)sin A = 2 sin B ..... (2)แทน (2) ใน (1) จะได้2 23 − 24 sin B − 2 + 4 sin B = − 32 1→ sin B = → แต่ B อยู่ใน Q 151∴ sin B = เท่านั้น และจะได้ cos B =52 1→∴ sin A = 2 sin B = , cos A =5 5โจทย์ถาม sin(A + B)= sin A cos B + cos A sin B= 2 2 1 1 4 115 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5= 5 + 5=(61) หาค่า sin 3θ → sin 3θ = sin(2 θ + θ )= sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ2= (2 sin θ cos θ) cos θ + (1 − 2 sin θ) sin θ2 2= 2sin θ(1 − sin θ ) + (1− 2sin θ)sinθ3= 3sinθ−4sinθ→ ดังนั้นแก้สมการได้เป็น13sinθ + sinθ = 1→sin θ = →43πโจทย์ถามค่า sec 2θ + cos( + θ)21 1= + sin θ = + sin θ2cos 2θ 1 − 2sin θ1 1 8 1 39= + = + =21 −4 7 4 281625Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET182ฟงกชันตรีโกณมิติ(62)cos α cos β − sin α sin β =..... (1) และcos cos sin sin3 + 4 3103103 − 4 310α β + α β = ..... (2)(1) + (2)→ cos α cos β =2(2) − (1)4 3→ sin α sin β =210∴ sin2α sin2β = 4sinα cosα sinβ cosβ3 4 3 12 3= 4( )( ) =10 10 25sin 2x 2 sin x cos x(63) =21 + cos2x 1 + 2cos x − 1sin x= = tan x = 2cos x11(64) tan θ= → แสดงว่า sin θ=3103และ cos θ= (เพราะ θ อยู่ใน Q 1)10∴ sin 4θ = 2 sin 2θ cos 2θ2= 2(2 sin θ cos θ)(1 − 2 sin θ )1 3 2 96 24= 2(2)( )( )(1 − ) = =10 10 10 100 25(65) [sin(A + B) − sin(A − B)]− [sin(2A + B) − sin(2A − B)]= 2 cos A sin B − 2 cos 2A sin B= 2 sin B (cos A − cos 2A)5 + 1 5 + 1= 2sinB( − 2( ) 2+ 1)4 45 + 1 3 + 5= 2sinB( − + 1) = sinB4 4(66) ก. ถูก (ตรงตามสูตรชุดที่สอง)− 2sin(x + y)sin(x − y)ข.−2cos 2x − cos 2y=−22 21 − 2sin x − 1 + 2sin y=−22 2= sin x − sin y ถูกค.2cos(x + y)cos(x − y)2cos 2x + cos 2y=2=2 22cos x − 1+ 1−2sin y22 2= cos x − sin y ถูกง. ผิด เพราะต้องได้ cos(5x − x) = cos 4x3(67) arcsin( ) = π2 31 2arccos( − ) = π2 3π π 7π(68) 2( − ) + + π =3 4 122π2π(69) cos(arcsin(cos ) + )7 7π 2π 2π π= cos(( − ) + ) = cos = 02 7 7 24(70.1) ให้ A = arccos จะได้ cos A5และให้3sin A =512B arccos 135sin B =13= จะได้cos B[ sinของ arccos เป็นบวกเสมอ]โจทย์ถาม cos(A + B)= cos A cos B − sin A sin B4 12 3 5 33= ⋅ − ⋅ =5 13 5 13 65(70.2) ให้โจทย์ถาม sin(A + B)3A = arccos และ 5= sin A cos B + cos A sin B4 3 3 4= ⋅ + ⋅( − ) = 05 5 5 512134=5= และ[ cos ของ arcsin ก็เป็นบวกเสมอเช่นกัน]2(70.3) cos(2A) = 1 − 2 sin A= 1 − 2(9/25) = 7 / 25(70.4) tan(2A)24B = arcsin( − )52tanA 2( −1/ 2) 4= = = −1 − tan A 1 − 1/ 4 31 2[หมายเหตุ sin A =− , cos A =5 51∴ tan A =− ]2π(71) ก. sin( 2A)2 +ππ= sin cos 2A + cos sin 2A = cos 2A2 22= 2cos A − 1→ หาค่า cos A โดยที่tan A 2 1แก้ระบบสมการ sin A = ( 2 − 1) cos A= − ก่อน ...2 22 1กับ sin A + cos A = 1 ได้ cos A =∴ ตอบ1 2 − 1 12( ) − 1 = =4 − 2 2 2 − 2 24 − 2 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET183ฟงกชันตรีโกณมิติ3πข. cos( 2A)2 −3π3π= cos cos 2A + sin sin 2A = − sin 2A2 2=−2sinAcosA→ หาค่า sin A กับ cos Aโดยที่ tan A = x ... ได้เป็นsin A =x, cos A =11 + x 1 + xดังนั้น ตอบ−2x21 + x(72)2 21 1A + B = arctan + 2 arcsin7 10แปลงเป็น arctan เพื่อใช้สูตร ได้เป็น1 1arctan + 2 arctan7 31 2 / 3= arctan + arctan7 1 − 1/ 91 3= arctan + arctan7 41/ 7 + 3/ 4π= arctan = arctan 1 =1 − 3 / 28 4(73)1 8sin A = → cos A = −3 3Q ) → tan A = −(ติดลบ เพราะ A อยู่ใน 2และπtan + tan Aπ7tan( + A) = 7⋅44π1 − tan tanA41 − 1/ 8 8 − 1 7( 8 − 1)= 7 ⋅ = 7( ) =1 + 1/ 8 8 + 1 7= 9 − 4 21 1 1(74) A + B + C = arctan + arctan + arctan2 5 81/2 + 1/5 1= arctan+ arctan1 − 1/ 10 87 1 7 / 9 + 1/ 8= arctan + arctan = arctan9 8 1 − 7 / 72= arctan 1 = π4(75) วิธีที่1 ใส่ sin ทั้งสองข้าง จะได้12 16 3sin(arccos + arcsin ) =13 65 55 63 12 16 3→ ⋅ + ⋅ =13 65 13 65 5315 + 192 3 3 3→ = → =13 ⋅ 65 5 5 5..OK..218วิธีที่2 ใช้สูตร arctan จะได้5 16 3arctan + arctan = arctan12 63 45 / 12 + 16 / 63 3→ arctan= arctan5 ⋅ 161 −412 ⋅ 633 3→ arctan = arctan ..OK..4 4(76) การแก้สมการในข้อนี้ ส่วนมากทําได้ 2 วิธี(เช่นเดียวกับข้อที่แล้ว) คือ 1. ใส่ฟังก์ชัน sin, cos,หรือ tan ทั้งสองข้าง กับ 2. ใช้สูตร arctanแต่บางกรณีจะทําเป็น arctan ไม่ได้ คือ เมื่อเป็นarccos (-) [เพราะนิยามไว้คนละควอดรันต์กัน]...ในข้อ (76.1) จะแสดงไว้ทั้งสองวิธี แต่หลังจากนั้นจะเลือกแสดงเพียงวิธีที่สั้นกว่าเพียงวิธีเดียวเท่านั้น..4 3(76.1) วิธีที่ 1 cos(arccos − arcsin( − )) = x5 54 4 3 3 7→ ⋅ + ⋅( − ) = x → x =5 5 5 5 253 3วิธีที่ 2 arctan − arctan( − ) = arccos x4 43/4+3/4→ arctan= arccos x1 − 9 / 1624 7arctan = arccos x → x =7 25x − x = tan(arcsin 7 + arccos 4 )3 25 52x 7 / 24 + 3 / 4 4→ − x = =3 1 − 7 / 32 32→ x − 3x − 4 = 0 → (x − 4)(x + 1) = 0→ x = 4, − 1(76.2) 2(76.3)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)1/ 7+1/8 1arctan + arctan1 − 1/ 56 18= arccot x→3 1arctan + arctan11 18= arccot x→3 / 11 + 1 / 18arctan1 − 1/ 66= arccot x→1arctan3= arccot x → x = 3(76.4) + 1 + 2x −arctan1 = arccos121 −(4x − 1) 5→ arctan2x = arccos121 − 2x 5→2x1= 2 (เพราะ arccos arctan 221 − 2x5 = )1→ แก้สมการได้ x = , − 12π 3π(76.5) arctan x + 2( ) =4 4→πarctan x =4→ x = 1

คณิตศาสตร O-NET / A-NET184ฟงกชันตรีโกณมิติ(76.6) ใส่ tan ทั้งสองข้าง1 + x + 1 − x→ = 121 − (1 − x )2→ = 1 → x = ± 22x(76.7) ใส่ sin ทั้งสองข้าง3 1 1→ ( )(0) + ( − )(1) = x → x = −2 2 21 π 2π π 7πแต่ arccos( − ) + = + =2 2 3 2 67π1ซึ่งไม่อยู่ในช่วง arcsin (แม้ว่า sin = − 6 21ก็ตาม ..แต่ arcsin( − )2 6(77) จาก arctan 3x − arctan x = π63x − x πจะได้ว่า arctan =21 + 3x 62x 12→ = → 3x − 2 3x + 1 = 021 + 3x 32 1→ ( 3x − 1) = 0 → x =3arctan 3x + arctan xดังนั้น tan( )2arctan 3 + arctan(1 / 3)= tan( )2π /3 + π /6 π= tan( ) = tan = 12 42 1(78) cos (arctan x) =41→ cos(arctan x) = หรือ2→ x = 3 หรือ − 3= − π ) ∴ ไม่มีคําตอบ1−2แต่โจทย์กําหนด 1 ex< 1 ดังนั้น x =− 3 เท่านั้น3[e > 1]∴x x 3x −3 3x + tan(arctan ) = x + = =2 2 2 2sin x − 1 − sin x − 1(79.1) = 42sin x − 1−2 1→ = 4 → cos x = ±2− cos x 23 5 7→ x = π , π , π ,π4 4 4 4(79.2) จาก sin 4θ= 2 sin 2θ cos 2θ2= 4sinθ cos θ (1− 2sin θ ) จะได้ว่าโจทย์กลายเป็น34 sin θcos θ − 8 sin θcos θ + 2 sin θcos θ = 2 cos θ3→2 cos θ(3 sin θ−4 sin θ− 1) = 02→ 2 cos θ(2 sin θ−1) (sin θ+ 1) = 0ดังนั้น cos θ = 0 หรือsin θ =− 1 ...1sin25 3, , ,6 2 6 2θ = หรือ∴θ = π π π πcos 2θ3(79.3) 2sin2θ + 3 − = 0sin 2θsin 2θ2→ 2sin 2θ + 3cos2θ − 3 = 02→ 2(1 − cos 2 θ ) + 3cos2θ − 3 = 02→ 2cos 2θ − 3cos2θ + 1=0→ (2 cos 2θ − 1)(cos 2θ − 1) = 0→ cos 2θ = 1 หรือ 1/2แต่ cos 2θ = 1 ไม่ได้ เพราะจะทําให้ sin 2θ=0ดังนั้น cos 2θ= 1 / 2 เท่านั้นππ→ 2θ = → θ =3 62 2 2 2(79.4) (cos x − sin x)(cos x + sin x) = 12 2→ cos x − sin x = 1 → cos 2x = 1π π π π→ 2x = 0, 2 , 4 → x = 0, , 22 sin x 2(79.5) 4sin x − 6 + = 02cos x cos x2 2→ 4sin xcos x − 6sinxcosx + 2 = 02→ sin 2x − 3 sin 2x + 2 = 0→ (sin 2x −2)(sin 2x − 1) = 0→ sin 2x = 1 เท่านั้น ∴ 2x = → x =2 4(79.6)(4 sin x cos x + 2 sin x) + (2 2 cos x + 2) = 0→ 2sinx(2cosx + 1) + 2(2cosx + 1) = 0→ (2 sin x + 2)(2 cos x + 1) = 0ดังนั้น1sin x22 5 4 7x , , ,3 4 3 4=− หรือ→ = π π π π(79.7)π1cos x = −21 32[ sinx + cosx] = sec(x + π )2 2 3→ 2[sinxcos + cosxsin ] = sec(x + )3 3 3πππ π π→ 2 sin(x + ) = sec(x + )3 3π→ 2 sin(x + ) cos(x + ) = 13 32π→ sin(2x + ) = 132 5 9 11 23→ 2x + = , → x = ,3 2 2 12 12ππ π π π ππMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET185ฟงกชันตรีโกณมิติ2 2(79.8) 2 sin x + sin x + 1 = 2 2 sin x + sin x2ให้ 2sin x + sinx = A จะได้ว่า2A + 1 = 2 A → A + 2A + 1 = 4A2→ A − 2A + 1 = 0 → A = 12∴ 2 sin x + sin x = 1→ (2 sin x − 1)(sin x + 1) = 01→ sin x = หรือ − 125 3x , ,6 6 2→ = π π π(79.9) ใช้ผลที่คิดไว้ในข้อ (61) คือ= − ดังนั้นโจทย์กลายเป็น3sin 3x 3 sin x 4 sin x3sin x − 2 sin x cos x + 3 sin x − 4 sin x = 02→ 2sinx(2 − cosx − 2sin x) = 02→ 2sinx(2 − cosx − 2(1 − cos x)) = 02→ 2sinx( − cosx + 2cos x) = 0→ 2sinx(cosx)(2cosx − 1) = 0→ sin x = 0 หรือ cos x = 0 หรือπ π π π3 5∴ x = 0, , , π, , ,23 2 2 3(80.1)2 2(2 sin x − 1)(sin x + 2) > 0 →1sin x2 → >2 1sin xตอบ2π1cos x =2> หรือ 1

คณิตศาสตร O-NET / A-NET186ฟงกชันตรีโกณมิติ2 2 2(85) (4 5) = (2 5) + (3 5) − 2(2 5)(3 5) cos B1→ cos B = − (แสดงว่า B อยู่ใน Q 2 )42 Bจาก cos B = 1 − 2 sin 22 B 5 B 5∴ sin = → sin =2 8 2 8(เป็นบวกเท่านั้น เพราะ B ต้องอยู่ใน Q 1)2(86) ให้ a 4x, b 5x, c 6x= = = จะได้ว่า2 2 2(4x) = (5x) + (6x) − 2(5x)(6x) cos A3→ cos A = ...49 1และด้วยวิธีเดียวกันได้ cos B = , cos C =16 82 3 2 1พบว่า 2cos A − 1= 2( ) − 1= = cosC4 8→ ∴ C = 2A(87) b 2 = 4 2 + 8 2− 2(4)(8)(0.422) = 52.992→ b = 7.28(88) กฎของsinsin C 0.45415 12→ = ดังนั้นsin C = 0.5675 → C ≈ 34.6° หรือ 145.4°(89)sin B sin 45°3= → sin B =2 3 2 22ดังนั้น B = 60° → C = 75°หรือ B = 120° → C = 15°(90)sinC sin30°3= → sin C =150 50 32ดังนั้น C = 60 → A = 90° สามเหลี่ยมมุมฉากหรือ C = 120° → A = 30° สามเหลี่ยมหน้าจั่ว(91)a 12= → a = 5.610.342 0.731(92) กระจายแล้วจัดข้างเป็น 2 2 21∴ cos A = → A = 60°2a = b + c − bc2 2 2(93) กระจายแล้วได้ a = b + c − bc เช่นกัน1∴ cos A = → A = 60°22 2จาก 4a = 6b → a = 3/2 b →b= →sin 60°sin B1sin B = → B = 45° หรือ 135°2แต่ 135°+ 60°> 180° ∴ B = 45° เท่านั้นใช้กฎของ sin ได้ว่า 3/2 b2 2→ 1 + 2sin (3A − 2B) = 1 + 2(1) = 32 2 2 2(94) (x + xy + y ) = x + y − 2xy cos A1จะได้ cos A = − คือเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน22 2(95) x = 320 + 380 − 2(320)(380)(0.788)= 234.86 ไมล์320 x(96)htan A x h cot Ax = → =htan B y h cot By = → =∴ y − x = h(cot B − cot A)ดังนั้น เรืออยู่ห่างกัน0.9397 0.8387= 300 ( − )0.3430 0.5446= 359.9 เมตร(97) h tan 45 AC h cot 45AC = °→ = °htan 30 BC h cot 30BC = °→ = °2 2 2แต่ AC + 40 = BC B2 2 2 2 2∴ h cot 45°+ 40 = h cot 30°40→ h =2 2cot 30°− cot 45°40= = 20 2 เมตร3 − 1(98) ให้ PQ ยาว aและ QS ยาว 4baQb 3bRจากความสัมพันธ์ SPR ˆ + RPQ ˆ = SPQ ˆbจะได้ arctan 0.6 + arctan4b= arctana0.6 + b / a 4b→ arctan( ) = arctan1 − 0.6b / a aตัด arctan ออกทั้งสองข้างแล้วจัดรูปสมการ ได้เป็น2 2→ a − 5ab + 4b = 0→ (a − 4b)(a − b) = 0→ a = 4b หรือ a = bˆ 4btan SPQ 1aA40∴ = = หรือ 4P38°380A BhA B xy45°30°aChNarctan 0.6SMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET187ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึมe xp + log a rº··Õè8 ¿§¡ªa¹eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅæÅaÅo¡ÒÃi·ÖÁการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของจํานวนประชากรตามธรรมชาติ ปริมาณรังสี หรือเงินฝากในธนาคารโดยทั่วไปไม่ได้เป็นสัดส่วนแบบเส้นตรง แต่เป็นแบบทวีคูณ (ยกกําลัง) ทําให้เราจําเป็นต้องศึกษาเกี่ยวกับเลขยกกําลัง รวมทั้งฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง คือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) และฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithmic Function)8.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลังเลขยกกําลัง จะเขียนในรูป anเรียก a ว่าฐาน และเรียก n ว่า เลขชี้กําลัง (Exponent)โดย a nnใช้แทน a คูณกันเป็นจํานวน n ตัว หรือนิยามให้ 0 a 1และ a1/n=−n= , ana1na≠ )= (โดยที่ a 0a = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ an ตัวMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NETทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับเลขยกกําลังได้แก่188ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม⎧ a ⋅ a = a⎪• ⎨ma m−n⎪ = an⎩ am n m+nmn⎧ =(a ) a⎪• ⎨⎪ n m=⎩aamnmnn n n⎧ ⎪ (ab) = a ⋅ b• ⎨n n n⎪⎩ (a/b) = a / b⎧ n ab = n a ⋅ n b⎪• ⎨na an⎪ =b n⎪⎩ bโดย n เป็นจํานวนจริงใดๆ (ไม่จําเป็นต้องเป็นจํานวนเต็ม) และกรณีกรณฑ์ n ≠ 0หมายเหตุคําว่า รากที่สอง กับเครื่องหมาย กรณฑ์ (radical : • หรือ • 1/2 ) มีความหมายต่างกัน“รากที่สอง ของ 16” ได้แก่ 4 และ –41/2แต่ “ 16 หรือ 16 ” มีค่าเท่ากับ 4 อย่างเดียวเท่านั้นการหารากที่สองของ M ±2พิจารณา ( a b) (a b) 2 ab2+ = + + และดังนั้น ถ้าเราให้ a+ b = Mและ 4ab Nสรุป รากที่สองของ M + N ได้แก่ ± ( a+b)N( a− b) = (a+ b) − 2 ab= แล้วแก้ระบบสมการหาค่า a, b ก็จะได้คําตอบรากที่สองของ M − N ได้แก่ ± ( a− b)เมื่อ a+ b = Mและ 4ab = Nเช่น รากที่สองของ 6 − 35 หาได้จาก a+ b = 6และ 4ab = 35นั่นคือ a, b = 3.5, 2.5 จึงได้คําตอบว่า 3.5− 2.5 และ 2.5−3.5รากที่สองของ 72 + 40 หาได้จาก a+ b = 72 = 6 2และ 4ab = 40นั่นคือ a, b = 5 2, 2 จึงได้คําตอบว่า 5 2+ 2 และ − 5 2−2การแก้สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์(1) สมการที่มี ax+ b บวกลบกันอยู่หลายพจน์ ควรย้ายข้างให้จํานวนพจน์เท่าๆ กัน และสัมประสิทธิ์หน้า x รวมเท่าๆ กันที่สุด จากนั้นจึงยกกําลังทั้งสองข้างไปจนกว่าเครื่องหมายกรณฑ์จะหมดไป ... การยกกําลังเช่นนี้ มักทําให้ได้คําตอบเกิน ดังนั้นต้องตรวจคําตอบเสมอ(2) หากสิ่งที่อยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์นั้นยาวมาก ให้สมมติสิ่งนั้นเป็นตัวแปร A ไปก่อน แล้วทําตัวแปรที่เหลือในสมการให้อยู่ในรูป A ทั้งหมด เพื่อให้สมการสั้นลงและคํานวณสะดวกขึ้น• ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการตอไปนี้ก. x + 1 = 4x + 9วิธีคิด ยกกําลังสองทั้งสองขาง จะได x 2 + 2x + 1 = 4x + 9 → x 2 −2x − 8 = 0แยกตัวประกอบไดเปน (x − 4)(x + 2) = 0 ... ดังนั้นคําตอบนาจะเปน 4, − 2แตเมื่อลองแทนคาแลวพบวา 4 ทําใหสมการเปนจริง แต − 2 ใชไมได ... ดังนั้นตอบ {4}2 2ข. x − 7 + x − 12 = 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET189ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม2วิธีคิด สมมติให x − 7 = A เพื่อใหมองงายขึ้น ... กลายเปน A + A − 5 = 5ยายขางสมการใหมีจํานวนกรณฑสองฝงเทาๆ กัน คือ A − 5 = 5 − Aจากนั้นยกกําลังสองทั้งสองขาง ไดเปน A − 5 = 25− 10 A + A → A = 3ยกกําลังสองอีกครั้ง ... A = 9 ... ตรวจสอบคําตอบใน A + A − 5 = 5 แลวพบวาใชไดดังนั้น x 2 − 7 = 9 → x 2 = 16 → x = 4, − 4 ... จึงตอบ {4, − 4}ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชันเลขยกกําลังกําหนดรูปทั่วไปเป็น f(x) =xa โดยค่าของฐาน a อยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞ ) เท่านั้นนํามาเขียนกราฟได้ดังนี้yyO(0,1)x(0,1)Oxxx= a 1=y a , >y a , <

คณิตศาสตร O-NET / A-NET190ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม(3) ให้หาค่าของ⎛(3.1)(3.2)1 1 1 1 ⎞⎜ + + + ... +1+ 2 2 + 3 3 + 4 8 + 9⎟⎝⎠⎛⎜⎝5 − 2 5 + 2⎞+5 + 2 5 − 2⎟⎠(3.3) ( 18 + 320 )(3.4) ( 10 + 84 − 10 − 84 )(3.5)(3.6)⎛⎜⎝2 3 5 ⎞+ −12−2 35 7 −2 10 9−2 14 ⎟⎠⎛(6 + 35) − (6 − 35)⎜⎝ 13 1032 32(4) ตอบคําถามต่อไปนี้(4.1) [Ent’20] ให้หาค่าของ x 2 − 4xy + y2 เมื่อ(4.2) ให้เรียงลําดับจํานวนจากน้อยไปมากก.25 3⎞⎟⎠x=6 + 36 − 3และ20 315 310 33 ข. 5 ค. 7 ง. 9(4.3) ถ้า 2.44 × 7.17 0.0244 × 71.7= 0.56 แล้ว ให้หาค่าของ3.9 × 8(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด(5.1) ถ้า a x > 1 และ 0 < a < 1 แล้ว x > 0x(5.2) ถ้า x < 0 และ a > 1 แล้ว 0 < a < 12 3(5.3) 5 < 53 2(5.4) (sin 1 ° ) < (sin 1 ° )2 3(5.5) (ta n 46 ° ) < (ta n 46 ° )(6) ให้หาคําตอบของสมการ1/2 1/ 4(6.1) [Ent’33] x − x − 6 = 0(6.2) 2x+ 1 = x + 1(6.3) [Ent’33] 2x+ 1 − x− 3 = 2(6.4) 2x− 3 + x+ 2 = 7x−52 2(6.5) x + 6 x − 2x+ 5 = 11 + 2x2 2(6.6) (x + 1) = 5 ( x + 2x+ 2 − 1)2 2(6.7) x + 3x+ 15 + x + 3x+ 6 = 92 2(6.8) 2x −6x −27 − x −6x− 2 = x − 5(6.9) 3 6(5x + 6) − 3 5(6x − 11) = 1390 × 0.008y=6 − 36 + 3S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! SxãËËÒ¤Ò x ·Õè·íÒãË2 = 0¹o§æ ËÅÒÂ¤¹µoºÇÒ 0 ... æµ·Õè¨Ãi§¤×o äÁÁÕ¤íÒµoº01. 2 = 1 ¹a2. 2 Â¡¡íÒÅa§´ÇÂ¨íÒ¹Ç¹¨Ãi§ã´¡çäÁÁÕ·Ò§ä´ 0 ¹a¤ÃaºæÅaäÁÇÒäe»¹eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅã´æ ¡çäÁÁÕ·Ò§ä´ 0(´Ù¨Ò¡¡ÃÒ¿¡çä´¤Ãaº ¤Ò y ·Õèä´µo§e»¹ºÇ¡eÊÁo)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET191ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม8.2 การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียลf(x) g(x)(1) สมการในรูป a = b จะต้องแปลงฐานทั้งสองข้างให้เท่ากัน เพื่อกําจัดฐานทิ้งไปตามสมบัติที่ว่า a M = a N ↔ M = N(2) ถ้ามีพจน์เลขยกกําลังฐานเดียวกัน บวกลบกันอยู่ เช่น a,a x 2x อาจสมมติเป็นตัวแปร2A, A เพื่อให้คํานวณสะดวกขึ้นเช่นเดิม (ฐานมักจะเป็นจํานวนเฉพาะ) แต่ถ้ามีฐานอื่นอยู่ด้วย จะใช้ตัวแปร B อีกอันก็ได้ และเมื่อจัดกลุ่มเลขยกกําลังเป็นพวกๆ แล้ว จึงทําการคํานวณต่อไป(3) อสมการ ใช้สมบัติของฟังก์ชันเพิ่ม/ฟังก์ชันลด ในการกําจัดฐาน คือM Na > a ↔ M > N เมื่อ a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม)และ a M > a N ↔ M < N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด)• ตัวอยาง ใหหาคําตอบของสมการตอไปนี้x 2 xก. (0.1) + = 10f(x) g(x)วิธีคิด สมการอยูในรูป a = b จึงทําฐานใหเทากัน เชน ทําเปนฐาน 0.1x+ 2 −1xจะได (0.1) = ((0.1) ) ... ดังนั้น x + 2 = −x → 2x = −2 → x = − 1ข. 8 x − 3⋅4 x −6⋅ 2 x + 8 = 0= เพื่อใหมองงายขึ้นวิธีคิด สมการนี้มีเอกซโพเนนเชียลฐาน 2 ลวนๆ ดังนั้นสมมติให 2 x A3x 2x x 3 2จะได 2 − 3⋅2 −6⋅ 2 + 8 = 0 → A − 3A − 6A + 8 = 0แยกตัวประกอบไดเปน (A − 4)(A − 1)(A + 2) = 0 ... ดังนั้น A = 4, 1, − 2นั่นคือ 2 x = 4, 1, − 2 ... แสดงวา x = 2, 0(สวนกรณี 2 x = − 2 นั้นเปนไปไมได เพราะเอกซโพเนนเชียลตองมีคาเปนบวกเสมอ)(7) ให้หาคําตอบของสมการ(7.1)(7.2)(7.3)(7.4)x x+3⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝4⎠ ⎝2⎠1+x22x10 100แบบฝึกหัด 8.2(7.5)⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝2⎠x2x + 1⋅ 2 = 18 4x 3x 2= (7.6) 18 −−= (54 2)2x+ 1 −4⎛3⎞ ⎛ 8 ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝2⎠ ⎝27⎠x⎛4 ⎞ ⎛27⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝9 ⎠ ⎝ 8 ⎠x−1(8) ให้หาคําตอบของสมการx 1 x 5(8.1) 4 + + 64 = 2+x 2 x 1 4x(8.2) 4 + − 2(4 + ) = 22x 2 x(8.3) 2 + − 9 ⋅ 2 + 2 = 02x + 1 x −1(8.4) [Ent’29,32]2x + 2 x + 3 x(8.5)=12 − 9 ⋅ 2 + 1 = 03 − 3 − 3 + 3 = 0x(7.7) (5 + 2 6) = 3 + 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET192ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม2x 3 x(8.6) 3 + − 55 = 28(3 − 2)5x 3x x 5x 1(8.7) [Ent’31,33] 6 (2 ) + 11(2 ) − 3 (2 ) = 2 +1+ x2 + x−2 − x2+ x−2(8.8) [Ent’34] 3 + 9(3 ) = 28(9) ให้หาคําตอบของสมการx − x(9.1) 3(3 + 3 ) = 10(9.3)x⎛4 ⎞ ⎛3⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =⎝3 ⎠ ⎝4⎠2x − 2x(9.2) 3(3 + 3 ) = 10(9.4) [Ent’35](10) ให้หาคําตอบของสมการ2x 1 x(10.1) 5 − 25 =x (1/2) 2x 34 + 2x x (1/ 2)(10.2) 4 − 3 =x (1/ 2) 2x 13 − 22x x 2x(10.3) 6 (3 ) − 13 (6 ) + 6 (2 ) = 0x x 2x(10.4) 25 (16 ) − 40 (20 ) + 16 (5 ) = 0x2 + 2x x2+ 1 x+1(10.5) [Ent’39]3 − 3 − 9 + 27 = 0x2512x 1−x1+ = 21−x x 6(11) ให้หาช่วงคําตอบของอสมการx 1(11.1) 10 (sin 1) °x2−5(11.2) 2 > 1/16x 5 2(11.6) (cot 1) ° + < (cot 1) °x2− 3x x−3(11.3) (0.5) < (0.5)x+2(11.7) (cos 45 ° )5< (sin 45 ° )(11.4)x 2+ 2x+ 8 x + 12⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞⎜ ⎟ < ⎜ ⎟⎝2⎠ ⎝4⎠(11.8)ax 2+ 7 8(x − 1)< a8.3 ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึมฟังก์ชันลอการิทึม เป็นอินเวอร์สของเอกซ์โพเนนเชียล เขียนได้ในรูปyความสัมพันธ์ระหว่างเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมคือ x = a ↔ y = logaxโดยค่าของฐาน a จะต้องอยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞ ) ซึ่งนํามาเขียนกราฟได้ดังนี้yyf(x) =log xaOx(1,0) O(1,0)xy loga x, a > 1= y = loga x, 0 < a < 1ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลดข้อสังเกต1. ค่า x ต้องเป็นบวกเสมอ ส่วนค่า y เป็นอะไรก็ได้ ... D log2. ในที่นี้กราฟผ่านจุด (1, 0) เสมอ ... แสดงว่า loga1 0+= R , R log= R= ทุกๆ ค่า a ที่เป็นฐานได้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET193ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม3. จากการเลื่อนแกนทางขนาน จะได้สมการลอการิทึมเป็น y− k = log a(x−h)4. logax อ่านว่า “ล็อก x ฐาน a” หรือ “ลอการิทึม x ฐาน a”กฎของลอการิทึมได้แก่⎧ loga1 = 0• ⎨⎩ logaa = 1⎧ log a(mn) = logam + logan⎪• ⎨ mlog⎛ ⎞⎪ a⎜⎟ = logam − logan⎩ ⎝ n ⎠q q• log p b = logaabplogan logam⎧ ⎪ m = n• ⎨logan⎪⎩ a = nlog b 1log ac• logab= =logcabหมายเหตุ a, b, c, m, n+∈ R โดยที่ a, b, c ≠ 1 และ p, q ∈ Rหากลอการิทึมมีฐานเป็น 10 เรียกว่า ลอการิทึมสามัญ (Common Logarithms) อาจละไว้ไม่ต้องเขียนฐานกํากับ คือเขียนเพียง log x ก็ได้ นอกจากนั้น ลอการิทึมที่มีฐานเป็นค่าคงที่ทางวิทยาศาสตร์ e ( ≈ 2.718 ) จะเรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarithms หรือ NapierianLogarithms) และใช้สัญลักษณ์ ln x แทนlogexการหาค่าลอการิทึมสามัญโดยใช้ตารางเนื่องจากในตารางระบุเพียงค่า log 1 จนถึง log 9.99 เท่านั้นหากต้องการหาค่า log N เราจะต้องเขียนจํานวน N เป็นรูปnและใช้กฎของลอการิทึม ว่า0 0N 10log N = log (N × 10 ) = log N + n0n1 < N < 10× เมื่อ 03ตัวอย่างเช่น log 1, 150 มีค่าเท่ากับ log (1.15 × 10 ) หรือ log (1.15) + 3จากตารางพบว่า log (1.15) ≈ 0.0607 ดังนั้น log 1, 150 ≈ 3.0607หมายเหตุ1. หากค่า N 0 ในตารางไม่ละเอียดพอ จะต้องใช้วิธีประมาณโดยเทียบสัดส่วนระยะทาง2. เราเรียก n (เป็นจํานวนเต็มเสมอ) ว่า แคแรกเทอริสติก (Characteristic) ของ log Nและเรียก log N 0 (มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เสมอ) ว่า แมนทิสซา (Mantissa) ของ log N3. ตารางที่กําหนดให้ เป็นค่าลอการิทึมสามัญ (ฐาน 10) เท่านั้นถ้าต้องการหาค่าลอการิทึมฐานอื่นๆ ต้องอาศัยกฎของลอการิทึมช่วยแปลงฐานนั่นคือ logab = log b ÷ log a และ ln b = log b ÷ log e ( log e ≈ 0.4343)การหาค่าแอนติลอการิทึมโดยใช้ตารางจากตัวอย่างที่แล้ว เราทราบว่าค่า log ของ 1,150 เป็น 3.0607 (โดยประมาณ)สามารถกล่าวแบบย้อนกลับได้ว่า ค่า antilog ของ 3.0607 เป็น 1,150ตัวอย่างเช่น ต้องการหาค่า M ที่ทําให้ log M = 3.0607 เราต้องทํา 3.0607 ให้อยู่ในรูปผลบวกของแคแรกเทอริสติกกับแมนทิสซาก่อน นั่นคือ 3 + 0.0607 จากนั้นเปิดตารางได้เป็น33log 10 + log 1.15 หรือ log (1.15 × 10 ) ดังนั้น M ≈ 1,150Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET194ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึมหมายเหตุ ต้องทําให้แมนทิสซาเป็นบวกเสมอ เช่น log M = − 3.0607 ไม่ควรทําเป็น−3 − 0.0607 แต่ต้องทําเป็น − 4 + 0.9393 เพื่อให้คํานวณได้สะดวกแบบฝึกหัด 8.3(12) ให้หาค่าของ(12.1) log 0.01 + log20.25 + log50.04 + log500.0004(12.2) log2 cos 60°+ 7 log3 tan 30°− log8 sin 90°+ log4sin 30°1 1(12.3) log 18 + log 12 + log2 + log82 88 215 24 80(12.4) log (20) + 7 log⎛ ⎞5 log⎛ ⎞3 log⎛ ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎝16 ⎠ ⎝25 ⎠ ⎝ 81 ⎠2 2 2(12.5) + +log550 log 50 log250log224 log2192(12.6) −log 2 log 296 12(12.7) log21 ⋅ log32 ⋅ log43 ⋅ log45(12.8) log23 ⋅ log34 ⋅ log45 ⋅ ... ⋅ log n(n + 1) ⋅ log3132(12.9) log 4(log 81) − log 4(log 3)log(12.10)7 52 −7 + 5 log 4 3 − 2 log 33(13) ให้หาค่าของ(13.1) 49 1−0.25log 7 252 91 8 log 5 log 4 log 581 9 3(13.2) ( + + +81 2)/ 93(13.3) 3 log 4096 64 − 2log 91−log(13.4)5 4 1 log8 1 log6 2 log25 ⋅ 64 − ⋅ 36 − ⋅ 4− 2(13.5)(14) ให้เขียน⎛ 1−log4316 ⋅ 36⎜⎝25 ⋅ 491−log631−log5 3 − log732 2 5⎞⎟⎠1/21 1 1+ +1+ log bc 1+ log ca 1+log aba b cเป็นรูปอย่างง่าย(15) ตอบคําถามต่อไปนี้(15.1) ให้หาค่า (g f)(2) เมื่อกําหนด g(x) = log3x และ f(x) = 2x(15.2) ให้หาค่า g(2b) เมื่อกําหนด g(x) = log2bx(15.3) ให้หาค่า log 5 เมื่อทราบว่า log83 = p และ log35= q1 4 / 3(15.4) [Ent’34] ถ้า x log3 − −= (9 )(27 ) และlogx25 5 24y = log − 2log + log แล้ว8 3 9ให้หาค่าของ x + y(15.5) ถ้า log 7(11− 6 2) = a และ log 7(45+ 29 2) = b แล้ว ให้หาค่าของ 3a + 2b(15.6) ถ้า logax = 1, logbx = 1/10 , logcx = 1/100 , logdx = 1/1000 แล้ว ให้หาค่าของlogabcdxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET195ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึมlog b(logba)(15.7) ถ้า p = เมื่อ a, b > 1 แล้ว ให้หาค่าของ aplog ab(15.8) [Ent’33] ถ้า 2log2a − 3log2b = 4 และ 3log2a − 4log2b = 6 แล้ว ให้หาค่าของ ( a 2b + log ) 1/22ab(15.9) ถ้า log a(x − m) = log x − log m แล้วให้หาค่าของ x 2 − m 2 x + m3a a(16) ให้หาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้(16.1) y = log 6(2− x)(16.4) y = log2 x−32(16.2) y = log 1/ 3( − x)(16.5) 5(16.3) y = log x(17) ให้หาแมนทิสซาและแคแรกเทอริสติกของค่าต่อไปนี้(17.1) log 257 (17.3) 3.3010(17.2) log 0.024 (17.4) − 2.3010y = −log (3x − 2)15(18) จํานวน 875 มีกี่หลัก เมื่อกําหนดให้ log 8.75 = 0.9420[Hint : ถ้า log N = characteristic + mantissaจะได้ว่า N นั้นมีจํานวน c+1 หลัก]8.4 การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม(1) สมการเรื่องลอการิทึม มักจะแก้ปัญหาโดยใช้กฎของลอการิทึม เช่น การทําให้ฐานเท่ากันเพื่อกําจัด log ทิ้งไป ตามสมบัติที่ว่า logaM = logaN ↔ M = N(2) ถ้ามีพจน์คล้ายกันปรากฏอยู่ อาจสมมติเป็นตัวแปร A เพื่อให้คํานวณสะดวกขึ้น(3) เมื่อได้คําตอบแล้ว ต้องตรวจสอบว่าใช้ได้หรือไม่ (เช่น ภายใน log ต้องไม่ติดลบ)(4) อสมการ ใช้สมบัติของฟังก์ชันเพิ่ม/ฟังก์ชันลด ในการกําจัดฐาน คือlogaM > logaN ↔ M > N เมื่อ a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม)และ logM a > logN a ↔ M< N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด)• ตัวอยาง ใหหาคําตอบของสมการตอไปนี้ก. log 2(2x − 1) + log 2(x + 3) = 2วิธีคิด ใชสมบัติของ log เปลี่ยนผลบวกกลายเปน log ผลคูณ ... log 2[(2x − 1)(x + 3)] = 2ยายฐาน 2 ของ log ทางซาย ไปยกกําลังทางขวา จะได (2x − 1)(x + 3) = 42กระจายพหุนามและแยกตัวประกอบ ... 2x + 5x − 7 = 0 → (2x + 7)(x − 1) = 0นั่นคือ x = − 3.5, 1 ... แต x = − 3.5 ไมได เพราะจะทําใหภายใน log เปนลบดังนั้นตอบ x = 1 เทานั้นวิธีคิด ให log9xข. 2log9x + logx9 = 31= A เพื่อใหมองงายขึ้น สมการจะกลายเปน 2A + = 3A2 2นํา A คูณทั้งสมการ แลวจัดรูปไดดังนี้ ... 2A + 1 = 3A → 2A − 3A + 1 = 0แยกตัวประกอบ (2A − 1)(A − 1) = 0 ดังนั้น A = 1/2, 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET196ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม1/2 1เนื่องจาก log9x = 1/2, 1 ... จึงไดคําตอบเปน x = 9 , 9 นั่นคือ x = 3, 9(หมายเหตุ ขอนี้ x อยูใน log และยังเปนฐานของ log ดวย จึงตองระวังเงื่อนไขเปนพิเศษคือ x หามติดลบ, หามเปน 0, และหามเปน 1)(19) ให้หาคําตอบของสมการ(19.1) x + 8 =log 810log (2/ 3)(19.2) x = 2/3(19.3) x 3log x =310, 000(19.4) [Ent’38]x−x+log32= −log 27(x + 2x)(19.5) 4 3 2=(19.6) [Ent’33] 1 1 1 29 3 1log log log 7 0(19.7)23 2 6แบบฝึกหัด 8.41log log log 0x − x + 4 =log (x − 1) = log (5 − x)x+ 4 x+4(20) ให้หาคําตอบของสมการ2(20.1) [Ent’32] log (2x − 5) + log (x + 1) = log (x − x+3)2(20.2) log (2x − 1) + log (x + 1) = 2 log x + 12(20.3) log 2 + log (4 −5x− 6x ) = 3 log 3 2x−12 2 2 2(20.4) x log 2(x + 2x−6) − 2x log 2(x + 2x− 6) = x − 2x2 2(20.5)3 log ( x + 1+ x) + log ( x + 1− x) = log (4x + 1) − 0.5(21) ให้หาคําตอบของสมการ2 2(21.1) (log x) = log x(21.2) log x = log x8 2 16(21.3) [Ent’25] log2x + 4 logx2 = 5(21.4) log 5 73x + logx3=2 2(22) ให้หาคําตอบของ2(x + 7) x + 7(22.1) สมการ 3 − 6(3 ) + 8 = 0(22.2) ระบบสมการ 5 x = 4 − y และ 2 +5 y 42 −=x(23) ให้หาช่วงคําตอบของอสมการ23 x x(23.1) (x ) < (x)(23.4) log a5> log5ax2ln2 x(23.2) [Ent’34] e < 2 (23.5) 1004 2(23.3) log x 2(2x − 3) > log x 2(24 − 6x) (23.6)−−log x < 1 − log x + 15log (x −8x − 2x+ 1) > 4x− 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET197ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม(1.1) 2 (1.2) xy6 4(1.3) 2− x (1.4) 272(1.5) 11/7 (2.1) 3a /5(2.2) –2 (3.1) 2(3.2) 14/3 (3.3) 10+8(3.4) 2 3 (3.5) 2 5(3.6) 1 (4.1) 30(4.2) ง-ก-ค-ข (4.3) 0.56(5) ถูกทุกข้อ ยกเว้น (5.1) ผิด(6.1) 81 (6.2) 0, 4(6.3) 4, 12 (6.4) 2, 5/2(6.5) 1 (6.6) −1, − 1±15(6.7) –5, 2 (6.8) 9(6.9) 6, − 161/30(7.1) 3 (7.2) 2±3(7.3) 11/2, –13/2 (7.4) 3(7.5) ไม่มีคําตอบ (7.6) 22/17(7.7) 1/2 (8.1) 2(8.2) 3/2 (8.3) –2, 1(8.4) –2, 1 (8.5) –2, 1(8.6) –3, 0 (8.7) –1(8.8) –3, 2 (9.1) –1, 1(9.2) –1/2, 1/2 (9.3) –1, 1(9.4) 4/13, 9/13 (10.1) 1/2(10.2) 3/2 (10.3) –1, 1(10.4) 1 (10.5) 1/2, ± 2เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(11.1) ( −∞, − 1](11.2) R − [ −1,1](11.3) R − [1, 3](11.4) R − [ −4,4](11.5) ( −∞, − 3) (11.6) ( −∞, − 3)(11.7) R − [ −7,3](11.8) (3, 5)เมื่อ a > 1 และ R − [3, 5] เมื่อ0 < a < 1 (12.1) –8(12.2) –5 (12.3) –20/3(12.4) 1 (12.5) 4/(1+log 5)(12.6) 3 (12.7) 0 (12.8) 5(12.9) 1 (12.10) 19(13.1) 49/5 (13.2) 2 4 ⋅ 512(13.3) 3 − 2 (13.4) 144(13.5) 4.8 (14) 1 (15.1) 0(15.2) 2b (15.3) 3pq /(1 + 3pq)(15.4) − log 3 (15.5) 6(15.6) 1/1111 (15.7) logba(15.8) 4 (15.9) 0(16.1) ( −∞ ,2) กับ R−(16.2) R กับ R+(16.3) R กับ [0, ∞ )(16.4) R − {3} กับ R(16.5) R − [ − 2/3, 2/3] กับ R(17.1) แมนทิสซา log 2.57แคแรกเทอริสติก 2(17.2) แมนทิสซา log 2.4แคแรกเทอริสติก –2(17.3) แมนทิสซา 0.3010แคแรกเทอริสติก 3(17.4) แมนทิสซา 0.6990แคแรกเทอริสติก –3(18) 45 (19.1) 02/3(19.2) 10 (19.3) 10 ±(19.4) 0 (19.5) –4, 2(19.6) –1, 2 (19.7) 2(20.1) 4 (20.2) 1(20.3) –3/2 (20.4) –4, 2(20.5) 3/4 (21.1) 1, 1004(21.2) 1, 10 (21.3) 2, 165/2(21.4) 3, 3(22.1) 2log32−7, log32−7(22.2) x = 4log2/(1+log2)y= 2(log2− 1)/(1+log2)R+ −(23.1) [1, 3](23.2) (0, 1)(23.3) (2,3) ∪ (27/8,4)(23.4) (0, 1/5) ∪ (1, 5)(23.5) (0, 5)(23.6) (1, 2) ∪ (3, ∞ )เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(1.1)5 7 2 − 17 35−34(2 ) ⋅ (2 ) = 2 = 2(1.2) xyz6 4 0 = xy6 4(1.3) นํา x 2 คูณทั้งเศษและส่วน2 24 − 4x + x (2 − x)= = 2 − x2 − x 2 − x(1.4)6n 8n 1 6n 2n 1+ +n=n3n 5n 3n 2n3 3 3 (1 3 )( ) [ ]3 + 3 3 (1 + 3 )13n n 3= (3 ) = 3 = 274 ⋅ 9 (9 + 2) 11=n n4 ⋅ 9 (4 + 3) 7(1.5) n n(2.1) a( 2 3 + 1 − 75 +4 )25 3 3 3= 3 1 5 3 4a( )5 + 3 − 3+32 22 3 1 5 4 2 2 3 2 3a= a( + − + ) = a( ) =5 3 3 3 5 52 22x −2 2(x + 1) x − |x + 1|(2.2) =2 2ซึ่ง x 2 + 1 เป็นบวกเสมอ ถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลย→ 2 222 2x − (x + 1)= −1= −2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET198ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม(3.1) พิจารณาและ1 1 − 2 1 − 2⋅ =1 + 2 1 − 2 −11 2 − 3 2 − 3⋅ =...2 + 3 2 − 3 −1จะได้ว่าโจทย์กลายเป็นฯลฯ1− 2 2 − 3 3 − 4 8−9( + + + ... + )−1 −1 −1 −1O x1 − 9= = 2−12 2(5.3) 5 มากกว่า 1 → ฟังก์ชันเพิ่ม( 5 − 2) + ( 5 + 2)(3.2)→ 2 < 3 ถูก( 5 + 2)( 5 − 2)7 − 2 10 + 7 + 2 10 14(5.4) sin 1° น้อยกว่า 1 → ฟังก์ชันลด= =3 3→ 3 > 2 ถูก(3.3) 18 + 2 80 → บวกกันได้ 18 และคูณกัน (5.5) tan 46° มากกว่า 1 → ฟังก์ชันเพิ่มได้ 80 คือ 10 กับ 8→ 2 < 3 ถูกดังนั้นตอบ 10 + 8(6.1) ให้ 1 42x = A จะได้ A − A − 6 = 0(3.4) 10 + 2 21 − 10 − 2 21→ (A − 3)(A + 2) = 0 → A = 3 หรือ − 2= ( 7 + 3) −( 7 − 3) = 2 3(3.5)2 3 5+ −7 − 5 5 − 2 7 − 2= ( 7 + 5) + ( 5 + 2) − ( 7 + 2) = 2 5(3.6) ใช้สูตร A 3 − B 3 = (A − B)(A 2 + AB + B 2 )โดยมอง A = 6 + 35 = 3.5 + 2.5และ B = 6 − 35 = 3.5 − 2.5จะได้โจทย์กลายเป็น(2 2.5)(6 + 35 + 3.5 − 2.5 + 6 − 35)(2 2.5)(13)= = 113 1013 10(4.1) x 2 − 4xy + y 2 = (x − y) 2 − 2xy →หาค่า2 2( 6 + 3) − ( 6 − 3)x − y =6 − 39 + 2 18 − 9 + 2 18= = 4 2 →6 − 32หาค่า xy = 1 → ∴(4 2) − 2(1) = 3055 3 5 3(4.2) ก. (3 ) = 24345 3 5 3ข. (5 ) = 62535 3 5 3ค. (7 ) = 34325 3 5 3ง. (9 ) 81= ∴ ง < ก < ค < ข×3.9 × 8(4.3) จาก 2.44 7.17 = 0.56จะได้ว่า−22.44 × (10 ) × 7.17 × (10)2 −33.9 × (10 ) × 8 × (10 )− 2+ 1− 2+3= 0.56 × (10 ) = 0.56(5.1) ax > a0 แต่ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด)ดังนั้น x < 0 ข้อนี้ผิด(5.2) ถูก a > 1,x < 0 →x0 < a < 1อาจดูจากกราฟyในกรณีฟังก์ชันเพิ่มซีกซ้ายของแกน y1จึงสรุปว่า 1 x4= 3 เท่านั้น (รากที่สี่จะติดลบไม่ได้)4→ x = 3 = 81(6.2) ยกกําลังสอง → 2x + 1 = x + 2 x + 1→ x = 2 x → ยกกําลังสองอีกครั้ง2→ x = 4x → x(x − 4) = 0→ x = 0 หรือ 4 ใช้ได้ทั้งสองคําตอบ( ∗ เมื่อมีการยกกําลัง ต้องตรวจคําตอบทุกครั้ง ∗ )(6.3) 2x 1 2 x 3+ = + − → ยกกําลังสอง→ 2x + 1 = 4 + 4 x − 3 + x − 3→ x = 4 x − 3 → ยกกําลังสองอีกครั้ง2 2→ x = 16(x − 3) → x − 16x + 48 = 0→ (x − 12)(x − 4) = 0 → x = 12 หรือ 4(ตรวจคําตอบแล้วพบว่าใช้ได้ทั้งสองคําตอบ)(6.4) ยกกําลังสอง→ 2x − 3 + 2 (2x − 3)(x + 2) + x + 2 = 7x − 52→ 2x + x − 6 = 2x − 2 ยกกําลังสองอีกครั้ง2 2→ 2x + x − 6 = 4x − 8x + 42→ 2x − 9x + 10 = 0 → (2x −5)(x − 2) = 0→ x = 5 / 2 หรือ 2 (ใช้ได้ทั้งสองคําตอบ)(6.5) x 2 − 2x − 11 + 6 x 2 − 2x + 5 = 02ให้ x − 2x + 5 = A จะได้2(A − 16) + 6A = 0 → (A + 8)(A − 2) = 0→ A = − 8 หรือ 2 แต่รู้ทไม่มีทางติดลบ ดังนั้น2x − 2x + 5 = 2 เท่านั้น → ยกกําลังสอง2 2→ x − 2x + 5 = 4 → (x − 1) = 0 → x = 1(ตรวจคําตอบแล้วใช้ได้)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET199ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม(6.6) x 2 + 2x + 1 = 5 x 2 + 2x + 2 − 52ให้ x + 2x + 2 = A จะได้2 2A − 1 = 5A − 5 → A − 5A + 4 = 0→ (A − 4)(A − 1) = 0 → A = 4 หรือ 12ถ้า A = 4 จะได้ว่าx + 2x + 2 = 42→ x + 2x + 2 = 16 → x = − 1 ± 152แต่ถ้า A = 1 จะได้ว่า2→ x + 2x + 2 = 1 → x = − 1∴ ตอบ −1, − 1 ± 15(6.7) ให้ x 2 + 3x + 15 = Ax + 2x + 2 = 1→ A + A− 9 = 9 → A − 9 = A−9ยกกําลังสอง → A − 18 A + 81 = A − 9→ A = 5 → A = 25 (ใช้ได้)2→ x + 3x + 15 = 25 ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ→ (x + 5)(x − 2) = 0→ x = − 5 หรือ 2(6.8) ข้อนี้จัดเป็น A ล้วนๆ ไม่ได้จึงต้องใช้วิธียกกําลังสอง ตามปกติ2 22x − 6x − 27 = x − 6x − 2 + x − 52→ 2x −6x − 27 =2 2 2x − 6x − 2 + 2(x − 5) x − 6x − 2+ x − 10x + 252→ 5x − 25 = (x −5) x −6x − 22→ 0 = (x − 5)( x − 6x − 2 − 5)2→ x = 5 หรือ x − 6x − 2 = 52→ x − 6x − 27 = 0 → (x − 9)(x + 3) = 0x =− 3 หรือ 9ตรวจสอบคําตอบ พบว่า x = 5 และ − 3 ใช้ไม่ได้∴ ตอบ x = 9 เท่านั้น(6.9) 3 30x + 36 = 1 + 3 30x − 55ให้ 30x 55 A3− = จะได้ 3 A + 91 = 1 + A1/ 3 2/ 3ยกกําลังสาม A + 91 = 1 + 3A + 3A + A2/3 1/3→ 0 = A + A − 301/ 3 1/ 3→ (A + 6)(A − 5) = 01/ 3→ A = 5 หรือ − 6 (รากที่สาม ค่าติดลบได้)3∴ A = 5 = 125 → 30x − 55 = 125 → x = 63หรือ A = ( − 6) =−216 → 30x − 55 =− 216→ x = − 161/ 302x x + 3(7.1)→ x = 3(1 / 2) = (1 / 2) → 2x = x + 3(7.2)2(1 + x ) 4x 210 = 10 → 1 + x = 4x4 ± 16 − 4→ x = = 2 ± 32+ − −(3/2) = [(3/2) ] → |2x + 1| = 12(7.3)|2x 1| 3 4→ x = 11/ 2 หรือ − 13 / 22x 3 x − 1(7.4)→ x = 3(2/3) = [(2/3) ] → 2x = 3x − 3x 2x+1(7.5)(1/2) = (1/2) → x = 2x + 1→ x = 2x + 1 → x = − 1 ตรวจแล้วพบว่า ใช้ไม่ได้เพราะทําให้ในรู้ทติดลบ ∴ ข้อนี้ ไม่มีคําตอบ28 4x 33x 2(7.6) [(3 2) ] −−= [(3 2) ]→ 16 − 8x = 9x − 6 → x = 22 / 17(7.7) เนื่องจาก ( 3 +22) = 5 + 2 6∴ x = 1/ 2อาจใช้วิธี ทดลองยกกําลังสองดู กลายเป็น2x(5 + 2 6) = 5 + 2 6 → 2x = 1 → x = 1/ 22x x(8.1) 4 ⋅ 2 − 32 ⋅ 2 + 64 = 0 →มอง x 2 เป็น A จะได้22→ 4(A − 4) = 0 → A = 4x→ 2 = 4 → x = 24A − 32A + 64 = 0(8.2) ให้ 4 x = A → 16A − 8A = A22→ A − 8A = 0 → A(A − 8) = 0x→ A = 0 หรือ 8 → 4 = 8 เท่านั้น(เพราะ 4 x = 0 ไม่มี) → x = 3 / 2(8.3) ให้ 2 x = A → 4A 2 − 9A + 2 = 0→ (A − 2)(4A − 1) = 0 → A = 2 หรือ 1/ 4ดังนั้น 2 x = 2 หรือ 1/ 4 → x = 1 หรือ − 2(8.4) ให้ x 2 92 = A → 2A − A + 1 = 0224A 9A 2 0→ − + = (สมการเหมือนข้อที่แล้ว)→ x = 1 หรือ − 2(8.5) ให้ 3 x = A → 9A 2 −27A − A + 3 = 02→ 9A − 28A + 3 = 0 → (9A − 1)(A − 3) = 0x→ A = 1/ 9 หรือ 3 3 1/ 9→ = หรือ 3→ x = − 2 หรือ 1(8.6) ให้ 3 x = A → 27A 2 − 55 = 28A − 562→ 27A − 28A + 1 = 0 → (27A − 1)(A − 1) = 0→ = หรือ 1x→ A = 1/ 27 หรือ 1 3 1/ 27→ x = − 3 หรือ 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET200ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม(8.7) ให้ 2 x = A → 6A 5 + 11A 3 − 3A = 2A55 3 4 2→ 4A + 11A − 3A = 0 → A (4A + 11A − 3) = 02 2→ A(4A − 1)(A + 3) = 0→ A = 0 หรือ A 22= 1/ 4 ( A =− 3 ไม่ได้)x→ 2 = 0 (ไม่ได้) หรือ 2 2x = 1/ 4 → x = − 1(8.8) ให้2x + x−2 93 = A → 3A + = 28A2→ 3A − 28A + 9 = 0 → (3A − 1)(A − 9) = 0→ A = 1/ 3 หรือ A = 92→ x + x − 2 = − 1 (ไม่ได้)2หรือ x + x − 2 = 22→ x + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0→ x = − 3 หรือ 2(9.1) ให้ 3 x = A → 3(A + 1/A) = 102→ 3A − 10A + 3 = 0 → (3A − 1)(A − 3) = 0x→ A = 1/ 3 หรือ 3 3 1/ 3→ x = − 1 หรือ 1→ = หรือ 3(9.2) ให้ 3 2x = A → 3(A + 1/A) = 102x(เหมือนข้อที่แล้ว) → 3 = 1/3 หรือ 3 →x =− 1/ 2 หรือ 1/2x 1 25(9.3) ให้ (4/ 3) = A → A + = A 122→ 12A − 25A + 12 = 0 →(4A − 3)(3A − 4) = 03 4 4 x 3→ A = หรือ ( )4 3 3 4→ x = − 1 หรือ 1(9.4) ให้→ = หรือ 4 3x 1 13= A → A + =1 − x A 62→ 6A − 13A + 6 = 0 → (3A −2)(2A − 3) = 02→ A = หรือ 3 → x =23 2 1 − x 3x 2 x 4ถ้า = → =1 − x 3 1 − x 9→ 9x = 4 − 4x → x = 4 / 13หรือ ถ้าx 3 x 9= → =1 − x 2 1 − x 4→ 4x = 9 − 9x → x = 9 / 13x x(10.1) ให้ A = 25 ,B = 4 →จะได้ 5A − A = 2B + 8B → 4A = 10BA 5 25 x 5 1→ = → ( ) = → x =B 2 4 2 2หรือ 3 2x x(10.2) ให้ A = 4 ,B = 3 → จะได้B A 3 BA − 3B A 3B3 = − 2 → 2= +33 3 A 8 4 4→ A = 4B → = =2 B 3 3 3 34 x 4 4 3∴ ( ) = → x =3 3 3 2(10.3) ให้ 3 x = A, 2 x = B2 2→ 6A − 13AB + 6B = 0→ (2A − 3B)(3A − 2B) = 0ดังนั้น A = 3 หรือ 2 B 2 33 x 3( )2 2→ = หรือ 2 → x = 1 หรือ − 1(10.4) ให้ 4 x = A, 5 x = B3→2 225A − 40AB + 16B = 0 →2(5A − 4B) = 0ดังนั้น A = 4 B 5→ x = 12x(10.5) ให้ 32x= A, 3 = B→ AB − 3A − 9B + 27 = 0→ A(B − 3) − 9(B − 3) = 0→ (A − 9)(B − 3) = 0 → A = 9 หรือ B = 32x→ 3 = 9 หรือ 3 2x = 3ดังนั้น x =± 2 หรือ 1/210 + < 10− + → ฟังก์ชันเพิ่ม(11.1)x 1 (x 1)< < ตอบ ( −∞, − 1]2x −5 −4> → ฟังก์ชันเพิ่ม→ x + 1 − (x + 1) → x −1(11.2)2 22 2→ x − 5 > −4 → x − 1 > 0ตอบ ( −∞, −1) ∪(1, ∞ ) หรือ R − [ −1,1](11.3)2x −3x x−30.5 0.5< → ฟังก์ชันลด2 2→ x − 3x > x − 3 → x − 4x + 3 > 0ตอบ ( −∞,1) ∪(3, ∞)→ หรือ R − [1, 3](11.4)2x + 2x+ 8 2x+24(1 / 2) < (1 / 2)2 2→ x + 2x + 8 > 2x + 24 → x − 16 > 0ตอบ R − [ −4,4](11.5) ฟังก์ชันลด (เพราะ sin 1°< 1)→ x + 5 < 2 → x < − 3 ตอบ ( −∞, − 3)(11.6) ฟังก์ชันเพิ่ม (เพราะ cot 1°> 1)→ x + 5 < 2 → ตอบ ( −∞, − 3)1 |x + 2| 1 5(11.7) ( ) < ( ) → ฟังก์ชันลด2 2→ |x + 2| > 5 →ตอบ ( , 7) (3, )−∞ − ∪ ∞ หรือ R − [ −7,3]Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET201ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม2(11.8) ถ้า a > 1 → x + 7 < 8x − 82→ x − 8x + 15 < 0 → (x −5)(x − 3) < 0→ (3, 5)2ถ้า 0 < a < 1 → x + 7 > 8x − 82→ x − 8x + 15 > 0 → R − [3,5]∴ ตอบ (3, 5) เมื่อ a > 1 และR − [3, 5] เมื่อ 0 < a < 1−2 −2 −2 −2(12.1) log 10 + log 2 + log 5 + log 50=−2 −2 −2 − 2 =− 82 5 501 −2 1 −2[หมายเหตุ 0.01 = = 10 , 0.25 = = 2100 41 −20.04 = = 5 , ... ]25(12.2) log 2( 1 ) + 7 log 1 13( ) − log 8(1) + log 4( )2 32=− 1+ 7(1/2) − − 0 + (1/2) − =− 5[หมายเหตุ 21 1log ( ) log (2 )2 2−14 = =− ]2−(12.3) −1 + −3 + + 33 3 −12 2 22log 2 log 2 log 2 log 21 1 20=−3 − −3− =−3 3 3(12.4) log 20 + 7 log 15 − 7 log 16 + 5 log 24− 5log25+ 3log80−3log81= (2log2 + log5) + (7log3 + 7log5)− (28 log 2) + (15 log 2 + 5 log 3) − (10 log 5)+ (12 log 2 + 3 log 5) − (12 log 3)= log 2 + log 5 = log 10 = 1(12.5)2log5 2 2log2+ +log 50 log 50 log 504 4= =log 50 1 + log 5(12.6) log2 24 log2 96 − log2 192 log2123 5 6 22 2 2 2= log(2 ⋅3)log(2 ⋅3) −log(2 ⋅3)log(2 ⋅ 3)= (3 + log2 3)(5 + log2 3) − (6 + log2 3)(2 + log23)2 22 2 2 2= 15 + 8 log 3 + [log 3] − 12 − 8 log 3 − [log 3]= 3(12.7) log21 = 0 → ∴ ตอบ 0(12.8)log 32= = 5log 2log 3 log 4 log 5 log 32⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅log 2 log 3 log 4 log 31log 81(12.9) log 4( ) log44 1log 3 = =7−(12.10) + −log 7 6 32 2352 5 log 2 2 log 3= 52 + ( −30) − 2(3 / 2) = 197 7(13.1) 49 ÷ 49 = 49 ÷ 250.5= 49 ÷ 25 = 49 / 5(13.2)(13.3)= 3 − 20.25 log 25 0.25 log 498 2 4(9 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 5 )= 2 ⋅ 596log212 24 1212log33 223 − 2 = 3 − 225 64 36 16(13.4) 2 2 2 2(13.5)⋅ ⋅ ⋅ = 1444 2 2 5⎛ 16 36 ⎞⋅3 3⎜25 1⎟⎜ ⋅2 2 ⎟⎝ 3 3 ⎠1/2⎜ 2 2 ⎟ ⋅4 6= = 4.85[หมายเหตุ ข้อ 13.1, 13.2, 13.4, 13.5m mใช้กฎที่ว่า Alog B = Blog A ]1 1(14) พิจารณา=1 loga= =log abc log abcaและเช่นกันและ1 + log bc log a + log bcba a a1 logb=1 + log ac logabc1 logc=1 + log ab logabccดังนั้นจะได้ log a + log b + log c = 1log abc(15.1) (gof)(2) = g(f(2)) = g(1) = 0(15.2)2bg(2b) = log 2b = 2b2blog 5pq = log 3 ⋅ log 5 =log 8(15.3) จาก 8 3∴ log 5 = pq log 8 = pq(3 log 2)= pq(3(1 − log 5)) = 3pq − 3pq log 53pq→ (1 + 3pq) log 5 = 3pq → log 5 =1 + 3pq3 −2 −4 −2(15.4) = ⋅ =x log 3 3 log(3 )y = 2 log 5 − 3 log 2 − 2 log 5 + 2 log 3+ 3 log 2 + log 3 − 2 log 3 = log 3∴ x + y = − 2 log 3 + log 3 = − log 3(15.5) 3a + 2b3 27 7= log (11 − 6 2) + log (45 + 29 2)73 2= log [(11 − 6 2) (45 + 29 2) ]= log 7[(3,707 − 2,610 2)(3,707 + 2,610 2)]= log (117,649) = log (7 ) = 67 7(15.6) จาก log a = log x และ log b = 10 log xและ log c6= 100 log x และ log d = 1000 log xนํามาบวกกัน จะได้ log abcd∴ logabcdx = 1 / 1111= 1111 log xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET202ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม(15.7) p = log a(logba)plog a(logba)→ a = a = log a(15.8) 2log2 a − 3log2b = 4 .....(1)และ 3log2 a − 4log2b = 6.....(2)แก้ระบบสมการได้ log2a = 2 และ log2b = 02 1/ 2∴ a = 4,b = 1 → ตอบ (4 + log 1) = 4(15.9) log a(x − m) = 2 loga x − 2 logamxx→ log a(x − m) = log a( ) → x − m = ( )mmb82 22 3 2 2 2 3→ xm − m = x → ∴ x − m x + m = 0(16.1) โดเมน 2 − x > 0 → x < 2D = ( −∞ ,2) และเรนจ์ R = R(16.2) โดเมน − x > 0 → x < 0−= −∞ = R และเรนจ์ R = RD ( ,0)+(16.3) โดเมน x > 0 D = (0, ∞ ) = Rและเรนจ์ R = [0, ∞ ) (เพราะมีค่าสัมบูรณ์)(16.4) โดเมน |x − 3| > 0 → เป็นจริงเสมอยกเว้น x = 3 ∴ D = R − {3}และเรนจ์ R = R2(16.5) โดเมน (3x − 2) > 0→ ( 3x − 2)( 3x + 2) > 0เขียนเส้นจํานวนและเรนจ์ R = R2 2∴ D = R − [ − , ]3 3(17.1) log 257 = log 2.57 + 2∴แมนทิสซา = log 2.57, แคเรกเทอริสติก = 2(17.2) log 0.024 = log 2.4 − 2∴แมนทิสซา = log 2.4, แคแรกเทอริสติก =− 2(17.3) 3.3010 = 3 + 0.3010∴แมนทิสซา = 0.3010, แคเรกเทอริสติก = 3(17.4) − 2.3010 = − 3 + 0.6990∴แมนทิสซา = 0.6990, แคแรกเทอริสติก =− 315(18) log(875) = 15 log 875= 15(2 + 0.9420) = 44.13 →15ดังนั้น 875 มี 45 หลัก(19.1) x + 8 = 8 → x = 0log x(19.2) (2/ 3) = (2/ 3) → log x = 1 → x = 10(19.3) ใส่ log ทั้งสองข้าง จะได้3logx→ log x = (1 / 3)log 10,0002→ 3(log x) = 4 / 32/32/3→ log x = ± 2/3 → x = 10 หรือ 10 −(19.4)2x x 2x x3 − 3 ⋅ 2 = −1 → 3 −2⋅ 3 + 1 = 0x 2 x→ (3 − 1) = 0 → 3 = 1 → x = 02(19.5) log4 log3 log 2(x + 2x) = 03 22 0→ log log (x + 2x) = 4 = 122 1 2 3→ log (x + 2x) = 3 = 3 → x + 2x = 2 = 8ดังนั้น (x + 4)(x − 2) = 0 → x = − 4 หรือ 2(19.6) วิธีเดียวกับข้อที่แล้ว จะได้ผลเป็น1 122x x 4 = 6→ − + =x x 4 6− +→ (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2, − 1(19.7) x 2 − 1 = 5 − x → x 2 + x − 6 = 0→ (x + 3)(x − 2) = 0 → x = − 3, 2ตรวจสอบคําตอบที่ได้ → พบว่า x =− 3 ไม่ได้เพราะจะเกิดฐานเป็น 1 → ∴ x = 2 เท่านั้น2(20.1) (2x − 5)(x + 1) = (x − x + 3)2→ x − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0ดังนั้น x = 4, − 2 ตรวจสอบคําตอบ พบว่าx = − 2 ไม่ได้ เพราะทําให้เกิดติดลบใน logจึงได้ x = 4 เท่านั้น2(20.2) (2x − 1)(x + 1) = x + 12→ x + x − 2 = 0 → (x + 2)(x − 1) = 0→ x = − 2,1 ตรวจสอบคําตอบ พบว่า x =− 2ไม่ได้ เช่นเดียวกับข้อ 20.1 ... ดังนั้น x = 1เท่านั้น2(20.3) 2(4 − 5x − 6x ) = 2x − 12→ 12x + 12x − 9 = 0 → 3(2x + 3)(2x − 1) = 0ดังนั้น x =− 3/2, 1/2 ตรวจสอบคําตอบ พบว่าx = 1/ 2 ไม่ได้ (จะเกิด log 0 ) ∴ x = − 3 / 22 2 2(20.4) (x − 2x) log (x + 2x − 6) = x − 2x2 22→ (x − 2x)(log (x + 2x − 6) − 1) = 022→ x = 0 หรือ 2 หรือ log (x + 2x − 6) = 12→ (x + 2x − 6) = 2 → (x + 4)(x − 2) = 0→ x = − 4 หรือ 2ตรวจคําตอบพบว่า x = 0 ใช้ไม่ได้ (ติดลบใน log)∴ x = − 4,2 เท่านั้น2 2(20.5) log ( x + 1 + x) + log ( x + 1 − x)= log 16(4x + 1) − 0.52 22 22 16→ log (x + 1 − x ) = log (4x + 1) − 0.5→ 0 = log 16(4x + 1) − 0.5→ 0.5 = log 16(4x + 1) → 4x + 1 = 4→ x = 3 / 4 (ตรวจคําตอบแล้วใช้ได้)2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET203ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึม2(21.1) ให้ log x = A → A = 2A2→ A − 2A = 0 → A = 0 หรือ 2→ x = 1, 100(21.2) ให้ log x = A → A / 2 = A2 2→ A / 4 = A → A − 4A = 04→ A = 0 หรือ 4 → x = 1, 10(21.3) ให้ log2x = A → A + 4/A = 52→ A − 5A + 4 = 0 → A = 1 หรือ 4→ x = 2, 16(21.4) ให้ 35 7log x = A → A + = 2A 22→ 2A − 7A + 5 = 0 → A = 5 / 2 หรือ 15/2→ x = 3 , 3(22.1) ให้ x + 7 23 = A → A − 6A + 8 = 0x+7→ A = 2,4 → 3 = 2 หรือ 4→ x + 7 = log32 หรือ log34→ x = log32 − 7 หรือ 2log32 − 7(22.2) xlog5+ ylog4 = 0 ..... (1)xlog4 + ylog5 = 2log4 − 2log5 ..... (2)แก้ระบบสมการตามปกติ ได้ผลเป็นx =−log 4(2 log 4 − 2 log 5)2 2(log 5) − (log 4)2log4 4log2= =log 5 + log 4 1 + log 2และ2(log 2 − 1)y =1 + log2(23.1) มี 2 กรณี ขึ้นกับฐานว่าเป็นฟังก์ชันลดหรือเพิ่ม ... กรณีแรก 0 < x < 1 (ฟังก์ชันลด)2 2จะได้ 3x > x → x − 3x < 0→ x(x − 3) < 0 → x ∈ (0,3)อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข ได้เป็น (0, 1)กรณีที่สอง x > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม)2 2จะได้ 3x < x → x − 3x > 0→ x(x − 3) > 0 → x ∈( −∞,0) ∪ (3, ∞ )อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข ได้เป็น (3, ∞ )∴ ตอบ (0, 1) ∪(3, ∞ ) หรือ − [1, 3](23.2)2x x 22 < 2 → x < x2→ x − x < 0 → x(x − 1) < 0 ตอบ (0, 1)(23.3) กรณีแรก 2 < x < 3 (ฟังก์ชันลด)Rจะได้ 2x − 3 < 24 − 6x → x < 27 / 8อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข ได้เป็น (2, 3)กรณีที่สอง x > 3 (ฟังก์ชันเพิ่ม)จะได้ 2x − 3 > 24 − 6x → x > 27 / 8อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข ได้เป็น (27 / 8, ∞ )และเงื่อนไข ใน log ต้องมากกว่า 024 − 6x > 0 → x < 4∴ ตอบ (2,3) ∪ (27/8,4)(23.4) ให้ A = log5aกรณีแรก 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด)จะได้ 1/ A > A → 1/ A − A > 02นํา A คูณ → 1 − A < 02A − 1 > 0 ดังนั้น A > 1, A < − 1นั่นคือ a > 5, a < 1/ 5อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข ได้เป็น (0, 1 / 5)กรณีที่สอง a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม)จะได้ 1/ A − A > 0 นํา A คูณ2 2→ 1 − A > 0 → A − 1 < 0ดังนั้น − 1 < A < 1 นั่นคือ 1/5 < a < 5อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข ได้เป็น (1, 5)∴ ตอบ (0, 1 / 5) ∪ (1, 5)(23.5) 1 log x < log 10 − log x + 1521/2 10→ x < →x + 15ยกกําลังสองได้เพราะเป็นบวกทั้งสองข้าง → x(x + 15) < 1002→ x + 15x − 100 < 0 → (x + 20)(x − 5) < 0จะได้ − 20 < x < 5 ... ตรวจสอบเงื่อนไข log และเงื่อนไขรู้ท → x > 0, x + 15 > 0∴ คําตอบเป็น (0, 5) เท่านั้น4 2 4(23.6) log (x − 8x − 2x + 1) > log ( x − 1)x−1 x−1กรณีแรก ถ้า 1 < x < 2 (ฟังก์ชันลด)จะได้ x 4 − 8x 2 − 2x + 1 < (x − 1)24 2 2 2→ x − 9x < 0 → x (x − 9) < 02→ x (x − 3)(x + 3) < 0 เขียนเส้นจํานวนได้x ∈( −3,3) − {0}อินเตอร์เซคกับเงื่อนไขช่วง ได้เป็น (1, 2) เท่านั้นกรณีที่สอง ถ้า x > 2 (ฟังก์ชันเพิ่ม)จะได้ x 4 − 8x 2 − 2x + 1 > (x − 1)22→ x(x− 3)(x + 3) > 0 เขียนเส้นจํานวนได้x ∈ ( −∞, −3) ∪ (3, ∞ )อินเตอร์เซคกับเงื่อนไขช่วง ได้เป็น (3, ∞ ) เท่านั้นสรุป ช่วงคําตอบรวมคือ (1, 2) ∪(3, ∞ )ตรวจสอบกับเงื่อนไข log และรู้ท4 2x − 8x − 2x + 1 > 0, x − 1 > 0พบว่าใช้ได้หมด ดังนั้นตอบ (1, 2) ∪(3, ∞ )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET204ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและลอการิทึมeÃ×èo§æÁจําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง..(1-บทที่ 2) เมื่อในโจทย์มีตัวแปรอยู่ที่ส่วน (เศษส่วน)1 2xเช่น = ย้ายข้างคูณไขว้ได้ แต่ต้องมีเงื่อนไขตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ด้วยx − 1 3x − 11 2x>x − 1 3x − 1อย่าแรเงาค่า x ที่ทําให้ส่วนเป็นศูนย์อสมการห้ามคูณไขว้ ให้ย้ายมาลบกัน แล้วเมื่อเขียนเส้นจํานวนก็ต้องระวัง(2-บทที่ 7) เมื่อในโจทย์มีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ไม่ใช่ sin กับ cosเช่น 2sin x = sec x มีฟังก์ชัน sec จึงต้องระวัง คําตอบที่ทําให้ cos x = 0 จะใช้ไม่ได้cosec x + cot x > 5/3 มีฟังก์ชัน cosec และ cot จึงต้องระวัง คําตอบที่ทําให้ sin x = 0 จะใช้ไม่ได้(3-บทที่ 7) เมื่อในโจทย์มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (หมายถึง arc- ต่างๆ)เช่น arcsin (2x + 1) − arcsin (2x − 1) = arccos ( − 1) แก้โดยใส่ cos หรือ sin ทั้งสองข้างของสมการแต่ต้องระวังว่าคําตอบที่ได้อาจไม่อยู่ในช่วงโดเมนมาตรฐาน (เช่นถ้าได้ x=1 จะใช้ไม่ได้ เพราะไม่มี arcsin3)และยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทําให้สมการเป็นจริงหรือไม่(4-บทที่ 8) เมื่อในโจทย์มี logเช่น log 2(2x − 1) + log 2(x + 3) = 2 ต้องระวังว่า ภายในฟังก์ชัน log ต้องมากกว่าศูนย์เสมอและยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทําให้สมการเป็นจริงหรือไม่2 log9x + logx9 = 3 มีตัวแปรทั้งใน log และที่ฐานของ log จึงต้องระวังทั้งสองอย่างคือภายในฟังก์ชัน log ต้องมากกว่าศูนย์, ที่ฐานต้องมากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับหนึ่งและยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทําให้สมการเป็นจริงหรือไม่(5-บทที่ 8) เมื่อในโจทย์มีรากที่ n (หรือยกกําลัง 1/n) เมื่อ n เป็นจํานวนคู่เช่น 2x+ 1 − x− 3 = 2 มีรากที่สอง จึงใช้วิธียกกําลังสองเพื่อกําจัดเครื่องหมายรู้ทต้องระวังคําตอบที่ได้ว่าภายในรู้ทห้ามติดลบ (แต่ถ้าเป็นรากที่สาม ในรู้ทติดลบได้)และยังต้องตรวจว่าคําตอบที่ได้ทําให้สมการเป็นจริงหรือไม่(6-บทที่ 16) เมื่อในโจทย์มีแฟคทอเรียลของตัวแปรเช่น (x+ 3)! = 30(x+ 1)! คําตอบที่ได้จะต้องทําให้หน้าแฟคทอเรียลเป็นจํานวนนับหรือศูนย์เท่านั้น+ = เมื่อกระจายแล้วจะมีแฟคทอเรียลเช่นกัน อย่าลืมตรวจคําตอบด้วยนะ :]2Px,250 P2x,2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET205เมตริกซ[ m t r x ]º··Õè9 eÁµÃi¡«ตัวอย่างเมตริกซ์ เช่นเมตริกซ์ (Matrix) เป็นกลุ่มของจํานวนที่เรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยม ภายในเครื่องหมายวงเล็บ ( )หรือ [ ] เรียกจํานวนแต่ละจํานวนที่อยู่ในเมตริกซ์ว่าสมาชิก (Entry) เราศึกษาเรื่องเมตริกซ์เพื่อใช้ช่วยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร ซึ่งจะได้อธิบายไว้ในหัวข้อสุดท้ายของบทนี้⎛ 7 5⎞⎜ 6 0⎟⎡, ⎡⎜⎣ 1 0 −2⎤⎦ , 3 4 ⎤⎢−5 2⎟2 2⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ขนาดของเมตริกซ์ เรียกว่า มิติ (Dimension) (คิดจากจํานวน แถว; row คูณ หลัก; column)ในตัวอย่างเป็นเมตริกซ์ที่มีมิติ 32,13,22× × × ตามลําดับ ... เมตริกซ์สองเมตริกซ์ จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ “มีมิติเดียวกัน” (แปลว่า ขนาดเท่ากัน) และสมาชิกในตําแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากันการเรียกชื่อเมตริกซ์นิยมใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และอาจเขียนมิติกํากับเป็นตัวห้อยไว้ เช่น A 3 × 2 , B 1 × 3 , C 2 × 2 โดยจะเรียกชื่อสมาชิกเป็นตัวพิมพ์เล็ก ที่มีตัวห้อยบอกตําแหน่งแถวและหลัก ในรูป a ij (แถวที่ i และหลักที่ j) เช่น⎡a11 a12⎤A = ⎢a 21 a ⎥22 B = ⎡ b11 b12 b13⎤⎢ ⎥ ⎣⎦⎢⎣a31 a32⎥⎦จะได้ a11 = 7 a21 = 6 b13= − 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET206เมตริกซหมายเหตุ เพื่อหลีกเลี่ยงการเข้าใจผิด หากจํานวนแถวหรือจํานวนหลักมากกว่า 10 จะไม่เขียนตําแหน่งเป็นตัวห้อย ... แต่จะเขียนค่า i และ j กํากับไว้ด้านหลัง เช่น a, ij i= 2, j=11ทรานสโพส (เมตริกซ์สลับเปลี่ยน; Transpose) ของเมตริกซ์ Aใช้สัญลักษณ์ A t หรือ A T คือการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก (หรือเปลี่ยนหลักเป็นแถว)เช่น⎡ 7 5⎤t ⎡7 6 −5⎤A = ⎢ 6 0⎥A =⎢ ⎥ ⎢ 5 0 2 ⎥−5 2⎣ ⎦⎢⎣⎥⎦เมตริกซ์มิติ m× n เมื่อทําการทรานสโพส จะกลายเป็นมิติ n × mเมตริกซ์ที่ควรรู้จัก1. เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) คือเมตริกซ์ที่มีจํานวนแถว เท่ากับจํานวนหลักสมมติว่ามี n หลัก และ n แถว ( n × n) เรียกสมาชิกในแนว 11, 22, 33, ..จนถึง nn ว่า เส้นทแยงมุมหลัก (Main Diagonal) และสมาชิกตัวอื่นที่เหลือจะเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยม เรียกว่าสามเหลี่ยมบน (Upper Triangle) และ สามเหลี่ยมล่าง (Lower Triangle)⎡6 2 1 ⎤⎡2 0⎤ ⎡ 5 ⎢3 1 2⎥⎣ ⎤⎦1×1 ⎢ 1 1⎥−⎣− ⎦ ⎢ ⎥2×2⎢⎣3 0 1 ⎥⎦2. เมตริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix; 0 ) คือเมตริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็นเลข 0 (จัตุรัสหรือไม่ก็ได้)3×3⎡0 0 0⎤⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎡ 0 ⎢0 0 0⎥⎣ ⎤⎦ ⎢0⎥ ⎢0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢⎣0 0 0⎥⎦3. เมตริกซ์หนึ่งหน่วย (Unit Matrix; I) คือเมตริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก เป็น1 และสมาชิกตัวอื่นที่เหลือทั้งหมดเป็น 0 อาจเขียนขนาดกํากับเป็นตัวห้อยเพียง 1 ตัว⎡ 1 0 0⎤⎡1 0⎤ I1 = ⎡ 1 I2 I ⎢3 0 1 0⎥⎣ ⎤⎦ = ⎢ =0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦9.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์1. การบวกเมตริกซ์คู่หนึ่ง จะทําได้ก็ต่อเมื่อ เมตริกซ์ทั้งสองมีมิติเดียวกันผลบวกที่ได้ จะมีมิติเดิม และสมาชิกของผลลัพธ์เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันนั้นบวกกัน(สําหรับการลบก็เช่นกัน; สมาชิกผลลัพธ์ เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันลบกัน)⎡ 1 −2 3⎤ ⎡0 2 −1⎤ ⎡ 1 0 2 ⎤⎢ + =−4 5 6⎥ ⎢3 −2 4⎥ ⎢−1 3 10⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 1 −2 3⎤ ⎡0 2 −1⎤ ⎡ 1 −4 4⎤⎢ − =−4 5 6⎥ ⎢3 −2 4⎥ ⎢−7 7 2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦เอกลักษณ์การบวกของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ 02. การคูณเมตริกซ์ด้วยสเกลาร์ ผลที่ได้จะเป็นการคูณสมาชิกทุกตัวด้วยสเกลาร์นั้น⎡1 2 3⎤ ⎡2 4 6⎤2 ⎢ =0 − 5 7 ⎥ ⎢ 0 − 10 14 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET207เมตริกซ3. ส่วนการคูณเมตริกซ์คู่หนึ่งจะทําได้เมื่อ จํานวนหลักของตัวตั้งเท่ากับจํานวนแถวของตัวคูณและผลคูณที่ได้จะเป็นเมตริกซ์ที่มีจํานวนแถวเท่าตัวตั้ง จํานวนหลักเท่าตัวคูณหรือเขียนง่ายๆ ได้ดังนี้ Am× n × Bn× r = Cm×rวิธีการหาสมาชิกของผลลัพธ์ ขอให้สังเกตจากตัวอย่าง (ยึดแถวตัวตั้ง ยึดหลักตัวคูณ)⎡2 3⎤ ⎡0 1⎤ ⎡ 1 3 2 ⎤A = ⎢ , B = , C =−1 4⎥ ⎢3 2⎥ ⎢−1 0 −2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦จะได้⎡20 ⋅ + 33 ⋅ 21 ⋅ + 32 ⋅ ⎤ ⎡9 8⎤AB = ⎢ =−⋅ 10+ 4⋅3 −⋅+ 11 4⋅2⎥ ⎢12 7⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡01 ⋅+⋅− 1(1) 03 ⋅ +⋅ 10 02 ⋅ +⋅− 1( 2) ⎤ ⎡−1 0 −2⎤BC = ⎢ =31 ⋅+ 2(1) ⋅− 33 ⋅ + 20 ⋅ 32 ⋅ + 2( ⋅−2) ⎥ ⎢ 1 9 2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦เอกลักษณ์การคูณของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ Iจะเรียกว่า เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) ก็ได้สมบัติการบวกและการคูณการบวกเมตริกซ์• A + B = B + A• (A + B) + C = A + (B + C)t t t• A + B = (A + B)• A + 0 = 0 + A = A• A + ( − A) = 0t• (kA) = k ⋅ Aการคูณด้วยสเกลาร์• k(k A) = k (kA) = (kk ) A1 2 2 1 1 2• k(A + B) = kA + kBtการคูณด้วยเมตริกซ์• AB ไม่จําเป็นต้องเท่ากับ BA• (AB) C = A (BC)• A(B + C) = AB + AC• (A + B) C = AC + BCt t t• (AB) = B A• AI = IA = A(1)⎡2 3 −1⎤ ⎡−3 2⎤A = ⎢ , B4 0 8⎥ = ⎢ 5 4⎥แบบฝึกหัด 9.1จงหาค่าของ a11+ b22และ 2a12 − 3b 21⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎧i + j ,i > j⎪(2) ให้เมตริกซ์ A มีมิติ 3 × 3 โดยที่ a ij = 1 ,i = j(3) เมื่อ⎨⎪⎩i − j ,j > i−4⎡ 2 −4⎤⎡cosec 30°log 10 ⎤A = ⎢ 0, B2 1 5⎥ = ⎢ ⎥⎣ + ⎦ ⎢⎣ 4 25 ⎥⎦2 2⎡xx−x⎤ ⎡x−1 1 ⎤− + = และ A = ⎢ , B20 x⎥ = ⎢0 x + 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦(4) ถ้า 2 x x 1 0(5) จงหาค่าของ(6)⎡(5.1) 1 3 2 ⎤ ⎡ 2 6 1 ⎤⎢0 1 5⎥ + ⎢4 1 2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦(5.2)⎡6 2⎤ ⎡ 1 5⎤⎢8 4⎥ − ⎢−1 3⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡2 3⎤ ⎡0 1⎤A = ⎢ , B =−1 4⎥ ⎢3 2⎥(5.3)จงเขียนเมตริกซ์ A นั้นถามว่า A⎣ ⎦ ⎣ ⎦ จงหา t t t⎡ 2 1⎤5 ⎢ 4 3⎥⎢ ⎥⎢⎣−2 8⎥⎦= B หรือไม่แล้ว AA+ B,A + B,(A+ B),A+0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)= B หรือไม่

คณิตศาสตร O-NET / A-NET208เมตริกซ(7)⎡2 −1 4⎤A = ⎢ 3 0 1 ⎥⎣ ⎦ จงหา tA,2A,− Aa a b b b ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 11 12 ⎤ ⎡ 11 12 13(8) A ⎢ , Ba21 a22 ⎥ b21 b22 b23(9) จงหาค่า x, y เมื่อกําหนดให้(9.1) A 2 × 5 B 5 × 3 C x × y(9.2) A 3 × 5 B x × y C 3 × 4(10) A 3 2 2 4(11)(12)จงเขียนเมตริกซ์ AB× = (9.3) Ax× 2 × B2× 5 = C7×y× = (9.4) A2× x × By× 5 = C2×5× , B × จงหามิติของ AB และ BA1 2 3 0A = ⎡ ⎢ ⎤ , B =⎡ ⎤−1 0⎥ ⎢1 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡1 0⎤ ⎡3 −4⎤A = ⎢ , B4 2⎥ = ⎢−1 5 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦จงหา AB, BA2 2 2จงหา AB, BA, (A + B) , A + 2AB + B(13)⎡2 1⎤ ⎡3 2⎤A = ⎢ , B0 3⎥ = ⎢1 2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − ⎤2 −1 0 1 − 1 = C⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢4 2⎥1 1 2 2 3 ⎣ ⎦⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦(14) ถ้า ⎢ 3 0 1 ⎥ ⎢ 1 0 ⎥ ⎡ 1 0(15)⎡2 1⎤A = ⎢ 0 2 ⎥⎣(16) [Ent’33] กําหนด(17)(18) ถ้าจงหา An⎦จงหา A t × (B × A)จงหาค่า c 22⎡x+y 2⎤ ⎡ 2 y⎤ ⎡ 1 a⎤A = ⎢ , B , C3 z⎥ = ⎢ =−2 y⎥ ⎢0 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡3 x⎤⎡1 2 0⎤ ⎡5 7⎤A = , B ⎢1 y ⎥⎢ , C1 0 2⎥ = = ⎢7 5⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥z 1 ⎣ ⎦⎢⎣⎥⎦(19) [Ent’30](20)⎡a 0 ⎤X = ⎢ 0 −b⎥⎣ ⎦ และ 2X 2X I 0⎡a 4⎤A = ⎢ 2 b ⎥⎣ ⎦2⎡ x −1 x ⎤ ⎡−2 0 4⎤⎢ 2 ⎥A = y 1 3 , B ⎢ 0 2 4⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ 23 x y ⎥ ⎢⎣4 4 2⎥⎣ ⎦⎦(21) [Ent’39]t[ ]BAB 12ถ้า AB+ + = จงหา a, bถ้า 2 A 4A 5I 0⎡ 3 7 ⎤A = ⎢ , B = ⎡ x y ⎤−7 −4⎥⎣ ⎦⎣ ⎦= เป็นกราฟรูปอะไร+ − = จงหา a, bถ้า AB= C จงหาค่า x + y − zถ้า A t + A = B แล้ว x, y เป็นเท่าใด= C จงหาค่า aเซตของจุด (x, y) ซึ่งสอดคล้องกับสมการ9.2 ดีเทอร์มินันต์S ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! Se¹× èo§¨Ò¡ AB Áa¡äÁe·Ò¡aº BA2 2 2á§¹a é¹ (A + B) ≠ A + 2AB + B ¹a¤ÃaºæÅa¡çËÒÁæÂ¡µaÇ»Ãa¡oºÊÁ¡ÒÃ¡íÒÅa§Êo§´ÇÂ2 2eª¹ (A + 2B)(3A + B) ≠ 3A + 7AB+2Bæµe¹× èo§¨Ò¡ AI e·Ò¡aº IA eÊÁo2á§¹a é¹ (A + 2I)(3A + I) = 3A + 7A + 2Iดีเทอร์มินันต์ (ตัวกําหนด; Determinant) เป็นคุณสมบัติของเมตริกซ์จัตุรัสเท่านั้นและดีเทอร์มินันต์มีค่าเป็นตัวเลข โดยเมตริกซ์หนึ่งๆ จะคํานวณดีเทอร์มินันต์ได้ค่าเดียวเสมอเครื่องหมายแสดง “ดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ A” คือ A หรือ det (A)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NETวิธีหาดีเทอร์มินันต์เมตริกซ์ 1 × 1ถ้า A = ⎡⎣a ⎤⎦จะได้ว่า det (A) = a209เมตริกซ์ 2 × 2⎡a b⎤ถ้า A = ⎢ c d ⎥⎣ ⎦จะได้ว่า det (A) = ad − bcเมตริกซถ้าเมตริกซ์ 3 × 3 ใช้หลักว่า “คูณเฉียงลงรวมกัน” ลบด้วย “คูณเฉียงขึ้นรวมกัน”⎡a b c⎤A = ⎢d e f⎥⎢ ⎥⎢⎣g h i⎥⎦จะได้ว่า det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdcส่วนเมตริกซ์ n × n ใดๆ จะใช้ วิธีโคแฟกเตอร์ (ใช้ได้กับทุกขนาด ตั้งแต่ 2 × 2 ขึ้นไป)det (A) = สมาชิก 1 แนว คูณกับโคแฟกเตอร์ของแนวนั้น (ตําแหน่งเดียวกันคูณกันแล้วรวม)คําว่า “แนว” ในที่นี้ หมายถึงแถวหรือหลักก็ได้1. ไมเนอร์ (Minor) ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า M ij (A)คือ ค่า det ของสับเมตริกซ์ (เมตริกซ์ย่อย; Submatrix) ที่ตําแหน่งนั้น..(ตัดแถว ตัดหลัก แล้วหา det)2. โคแฟกเตอร์ (ตัวประกอบร่วมเกี่ยว; Cofactor) ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า C ij (A)หรือ Cof (A)คือ ไมเนอร์ ijijM (A) ที่นํามาใส่เครื่องหมาย บวกหรือลบ สลับกันตามรูปแบบi+j= − ⋅ (ตําแหน่งแรกสุดใส่บวก, แล้วเติมเครื่องหมายบวกลบสลับกันไป)C ( 1) Mตัวอย่างเช่น ต้องการหาเมตริกซ์โคแฟกเตอร์ของเริ่มจากหาค่าตัวเลขไมเนอร์ให้ครบทุกตําแหน่งij⎡2 1 −1⎤A = ⎢2 0 1⎥⎢ ⎥⎢⎣5 0 8⎥⎦0 1 2 1 2 1M11 = = 0, M12 = = 11, ..., M33= = − 20 8 5 8 2 0⎡0 11 0 ⎤ ⎡+ 0 − 11 + 0 ⎤∴ M (A) = ⎢8 21 −5⎥ → C (A) = ⎢− 8 + 21 −( −5)⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣1 4 − 2⎥⎦ ⎢⎣+ 1 − 4 + ( −2)⎥⎦จากเมตริกซ์โคแฟกเตอร์ที่ได้ ทําให้หาค่า det (A) ได้ดังนี้det (A) = 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ ( − 11) + ( −1) ⋅ 0 = − 11 (คิดจากแถวที่ 1)det (A) = 5 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 4) + 8 ⋅ ( − 2) = − 11 (คิดจากแถวที่ 3)det (A) = 1 ⋅ ( − 11) + 0 ⋅ 21 + 0 ⋅ ( − 4) = − 11 (คิดจากหลักที่ 2)จะพบว่า ไม่ว่าจะคิดจากแถว หรือหลักใด ก็จะได้ค่า det (A) เท่าเดิมเสมอ แต่โจทย์ข้อนี้คิดจากหลักที่ 2 จะง่ายที่สุด เพราะพจน์ที่สองกับสาม เป็น 0 ไม่จําเป็นต้องหาค่าโคแฟกเตอร์det (A) = a C + a C + a C12 12 22 22 32 32= 012 12 a22= − a M += 022 − a32M 32M2 1= −1 ⋅ = −115 8Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET210เมตริกซสมบัติของดีเทอร์มินันต์• det (AB) = det (A) ⋅ det (B)•tdet (A ) = det (A)•nndet (A ) = (det (A)) เมื่อ n ∈ I•ndet (kA) = k ⋅ det (A) เมื่อ n = ขนาดของ Aเมตริกซ์ที่ค่า det เป็นศูนย์ เรียกว่า เมตริกซ์เอกฐาน(Singular Matrix) เช่น เมตริกซ์ที่มีแนวใดแนวหนึ่งเป็น 0 ทุกตัวหรือเมตริกซ์ที่มี 2 แนวซ้ํากัน หรือเป็น k เท่าของกันและกันเมตริกซ์ที่มีสามเหลี่ยมล่างหรือบน เป็น 0 ทุกตัวเรียกว่า เมตริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix)จะมีค่า det เป็น “ผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลัก”แบบฝึกหัด 9.2• det (I) = 1• det (0) = 0S ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! SÖ§æÁÊaÅa¡É³¢o§ det äeËÁ×o¹¤ÒÊaÁºÙÃ³ æÅaÊÁºaµi¡ÒÃ¡Ãa¨ÒÂ¼Å¤Ù³¼ÅËÒÃ¡çeËÁ×o¹¡a¹.. æµ¨ú ·Õ èµÒ§¡a¹¤×o1. ¤Ò det µí Åºä´ eª¹ | -2 | = -22. ¡ÒÃ´Ö§ÊaÁ»ÃaÊi·¸iìoo¡ÁÒµo§Â¡¡íÒÅa§Áiµí ÇÂ eª¹ | 3A | = 3 n | A |(22) A = ⎡ 2 ⎤ , B = ⎡ −5⎤(23)(24)(25)det (A), det (B), det (0 )⎣ ⎦ ⎣ ⎦ จงหา1⎡2 5 2 4A− ⎤ ⎡, B− − ⎤= ⎢ =4 −6⎥ ⎢ 3 6 ⎥ จงหา det (A), det (B)⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡1 −5⎤ ⎡xx⎤⎡5 0⎤A = ⎢ , B , C2 2 ⎥ = ⎢ =−1 x ⎥ ⎢ 0 4 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 3 −4 0 ⎤A = ⎢−5 4 −3⎥⎢⎥⎢⎣2 −2 1 ⎥⎦(26) จงหา det (A) เมื่อ(27)⎡5 3 −5⎤A = ⎢4 2 1 ⎥⎢ ⎥⎢⎣−1 −3 1 ⎥⎦(28) [Ent’40] ให้จงหาค่า x ที่ทําให้ det (A) < det (B) < det (C)จงหา det (A), M 11(A), M 32(A), C 11(A), C 32(A)⎡ 6 1 2⎤A = ⎢−3 0 5⎥⎢ ⎥⎢⎣7 2 1⎥⎦โดยใช้วิธีโคแฟกเตอร์จงหา det (A) โดยใช้วิธี ∑ naC,nij ij ∑ aC, ij ij คูณทแยง⎡ x y 4⎤A = ⎢−3 8 0⎥⎢ ⎥⎢⎣x −y −1⎥⎦4 แล้ว จงหาโคแฟกเตอร์ของ a 33(29) [Ent’39](30)⎡a −1 0⎤A = ⎢b 1 1⎥⎢ ⎥⎢⎣c 1 −1⎥⎦A⎡−4 1 1 0 ⎤⎢ 2 0 1 −3⎥= ⎢ ⎥⎢ 0 0 2 1 ⎥⎢⎣1 −1 3 2 ⎥⎦2 0 4 −60 −4 0 05 −2 0 01 3 −1 −3(31) จงหาค่าi= 1 j=1โดยโคแฟกเตอร์ของ a 21 คือ –6, โคแฟกเตอร์ของ a 23 คือถ้า C 12 (A) = 1 และ det (A) = − 5 จงหาค่า aC CC Cจงหา11 2132 44และ 1 a b + c1 b a+c1 c a+bและn n+ 1 n+2n+ 1 n+ 2 n+3n+ 2 n+ 3 n+4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET211เมตริกซ⎡−1 1⎤A = ⎢ 3 −1⎥(32) [Ent’36] ถ้า จงหาค่า 3 t t− +⎣ ⎦⎡1 1⎤(33) A = จงหา n t t⎢ 0 1 ⎥ det ( − 2 A A (A + A )) เมื่อ n ∈ I +⎣ ⎦2 0 0 5 3 4 −(34) กําหนด A = , B = , C = , D =ถ้า AXB= CD จงหา X(35) จงหา det (X) เมื่อกําหนดให้det ( 2 A A (A A ))⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 4 ⎤⎢0 1⎥ ⎢1 0⎥ ⎢2 1⎥ ⎢ 3 −2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡−2 0 0⎤ ⎡12 4 10⎤⎢ 4 3 0⎥ X = ⎢0 −5 8⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ 2 1 5⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦(36) [Ent’36] ให้ A, B เป็น non-singular matrix โดยAB + 4A = 2I จะได้ค่า x + y เท่ากับเท่าใด(37) [Ent’31] กําหนดให้ A, B, C, I เป็นเมตริกซ์มีมิติ 2 2−1det (C ) 4(38)t ⎡−6 1= และ AB C⎡ sin x 2 cos x⎤A = ⎢ −cos x 2 sin x ⎥⎣ ⎦⎤= ⎢ 4 −2⎥⎣ ⎦(39) [Ent’39] จงหาจํานวนจริง x ทั้งหมดที่ทําให้(40) จงหาค่า x ที่ทําให้(41)x⎡ log 2 −2x⎤A = x−1⎢⎣log 2 x ⎥⎦Aแล้ว det (B) มีค่าเท่าใด1 ⎡−2 −2⎤= , B =4 ⎢ x y ⎥⎣× ถ้า3จงหาค่า x ที่ทําให้ A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน⎡ 1 2 −1⎤⎢−2 x −2⎥⎢ ⎥⎢⎣1 −2 1 ⎥⎦2⎡ 1 0 −x⎤⎢2 1 0⎥⎢ ⎥⎢⎣x 3 5 ⎥⎦เป็นเมตริกซ์เอกฐานจงหาค่า x ที่ทําให้ A ไม่เป็นเมตริกซ์เอกฐาน⎦ และdet( − A) = det(2 2I) ,เป็นเมตริกซ์เอกฐาน(42) [Ent’34] ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง เมื่อ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส มิติ 2 × 2tก. ถ้า A = − A แล้ว สมาชิกในแนวทแยงมุมบนซ้ายถึงล่างขวาของ A เป็น 0 หมดข. ถ้า A2= B และ B เป็นนอนซิงกูลาร์เมตริกซ์แล้ว A เป็นนอนซิงกูลาร์ด้วย9.3 อินเวอร์สการคูณเรื่องเมตริกซ์ไม่มีการหาร มีแต่การคูณด้วย อินเวอร์ส (เมตริกซ์ผกผัน; Inverse Matrix)1และ อินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ A −−1 −1−1 Iโดยนิยามให้ A ⋅ A = A ⋅ A = I (เปรียบเสมือน A= )Aวิธีหาอินเวอร์สการคูณเมตริกซ์ 1 × 1ถ้า A = ⎡⎣a ⎤⎦−1จะได้ว่า A = ⎡ 1/a ⎤⎣⎦ถ้าเมตริกซ์ 2 × 2⎡a b⎤A = ⎢ c d ⎥⎣ ⎦⎤= ⋅det (A) ⎢ −ca ⎥⎣ ⎦−1 1 ⎡ d −bจะได้ว่า AMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

éèคณิตศาสตร O-NET / A-NET212เมตริกซส่วนเมตริกซ์ n× n ใดๆ ตั้งแต่ 2 × 2 ขึ้นไป จะใช้ วิธีโคแฟกเตอร์ เช่นเดิม−1 (C (A))A =det (A)tเรียก (C (A)) ว่า เมตริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix) ของ Aใช้สัญลักษณ์เป็น adj A หรือ Adj(A) ก็ได้tสมบัติของอินเวอร์สการคูณ−1 −1 −1• (AB) = B A1• (kA) = ⋅ Ak−1 −1−1−1• A = A =1A−1n n −1 −n• (A ) = (A ) = A−1 −1• (A ) = Aเมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สการคูณได้ ต้องเป็น เมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-Singular Matrix)คือ det 0 ≠ เท่านั้นS ¡ÒÃæ¡ÊÁ¡ÒÃeÁµÃi¡«ÁÕ¢o¤ÇÃÃaÇa§á§¹Õ1. eÁ× èo·íÒ¡ÒÃÂÒÂ¢Ò§µaÇ¤Ù³ ä»e»¹oi¹eÇoÃÊoÂÙ oÕ¡½§ µo§¤íÒ¹Ö§Ö§ÅíÒáº´ÇÂ e¾ÃÒa¡ÒÃ¤Ù³äÁÁÕÊÁºaµi¡ÒÃÊÅaº·Õ è.. eª¹1AB = C ¡ÅÒÂe»¹ B A −1= C ä´.. æµe»¹ B = CA − äÁä´2. µÃÇ¨ÊoºeÊÁoÇÒ ÊÁ¡ÒÃÂa§e»¹eÁµÃi¡«·a é§Êo§¢Ò§ËÃ×oäÁ (ËÒ¡ÂÒÂ¢Ò§eÁµÃi¡« ä»e»¹oi¹eÇoÃÊ¨¹ËÁ´ oÂÒÅ×ÁeËÅ×o−1eÁµÃi¡« I äÇ´ÇÂ..) eª¹ ¨Ò¡ AB = 2C ËÒ¡ÂÒÂ¢Ò§e»¹ ABC = 2 æºº¹Õ é¼í e¾ÃÒa½§¢ÇÒ¡ÅÒÂe»¹µaÇeÅ¢.. ·Õ−1Ù¡µo§e»¹ ABC = 2 I3. [Ent27] ÊÁ¡ÒÃeÁµÃi¡«ÊÒÁÒÃ¤Ù³e¢Ò·a é§Êo§¢Ò§äéÊÁo æµ¡ÒÃµaóo¡·a é§Êo§¢Ò§ºÒ§¤Ãaé§ãªäÁä´ .. eª¹⎡1 1⎤⎡6 2⎤ ⎡1 8⎤A = ⎢ , B , C2 2⎥= ⎢ =0 9⎥ ⎢5 3⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦¾ºÇÒ AB = AC æµ B ≠ C4. ãÊe¤Ã×èo§ËÁÒÂ det ·a é§Êo§¢Ò§äéÊÁo æµ¡ÒÃµaóo¡·a é§Êo§¢Ò§¡çÁa¡äãªäÁäéª¹1 2 2 3A = ⎡ ⎢ ⎤ , B⎡ ⎤3 4⎥ = ⎢4 5⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦¾ºÇÒ det(A) = det(B) æµ A ≠ B5. Ò AB = 0 æÅÇ äÁ¨íÒe»¹·Õ è A ËÃ×o B µo§e»¹ 0eª¹(43)⎡ 2 −3⎤ ⎡3 6⎤A = ⎢ , B =−2 3 ⎥ ⎢2 4⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 3 2 2 3A− − ⎤ ⎡, B− ⎤= ⎢ 4 2 ⎥ = ⎢4 −6⎥¡ç¾ºÇÒ AB = 0 äéª¹¡a¹แบบฝึกหัด 9.3จงหา −12⎣ ⎦ ⎣ ⎦4 3 2 3A = ⎡ ⎢ ⎤ , B⎡ ⎤2 2⎥ = ⎢4 5⎥−1 −1 − 12A , B , 0 , I(44)จงหา −1 −1 − 1(AB) , B A⎣ ⎦ ⎣ ⎦(45) จงหาอินเวอร์สการคูณของMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET213เมตริกซ(45.1)(45.2)(46) [Ent’41](47)⎡1 2⎤⎢2 3⎥⎣ ⎦⎡ cos θ sin θ ⎤⎢−sinθ cos θ⎥⎣⎦⎡ 1 −2⎤ ⎡−1 1⎤A = ⎢ , B =−3 4 ⎥ ⎢2 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 ⎡ −1 3⎤A = ⎢ ⎥2 ⎢⎣−3 −1⎥⎦⎡(48) 2 − 5 ⎤ ⎡X1 2 ⎤ ⎡ 3 0 ⎤⎢ + =1 −2⎥ ⎢2 4⎥ ⎢1 2⎥1 tจงหา 2A − B⎡(45.3) 2 4⎤⎢1 2⎥⎣ ⎦−1 tและ B เป็นเมตริกซ์ที่สอดคล้องกับสมการ BA = A จงหา B⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ จงหาเมตริกซ์ X(49) ถ้า 4 6 A =1 2(50) [Ent’20] ถ้า(51)⎡ ⎢ ⎤ 8 12⎥ ⎡ ⎢ ⎤3 4⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦จงหา A⎡ 4 16⎤ ⎡4 0⎤A ⎢ 36 64 ⎥ = ⎢ 0 4 ⎥⎡3 0 −1⎤AB = I, B = ⎢4 2 0 ⎥⎢ ⎥⎢⎣3 −1 1⎥⎦(52) [Ent’40] กําหนดจงหา b + c(53) [Ent’38](54) [Ent’37] ถ้า* (55)จงหา 1A −⎣ ⎦ ⎣ ⎦−1จงหา⎡1⎤A ⋅ ⎢1⎥⎢ ⎥⎢⎣ 1⎥⎦⎡3 4⎤ ⎡ 1 2⎤ ⎡a b⎤A = ⎢ , B , X2 3⎥ = ⎢ =−1 3⎥ ⎢c d⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡0 1⎤ ⎡2 −1⎤ ⎡−1 0 ⎤A = ⎢ , B , C1 2⎥ = ⎢ =−1 3⎥ ⎢ 1 −2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡2 1 −2⎤A = ⎢3 0 0 ⎥⎢ ⎥⎢⎣4 6 −1⎥⎦⎡ 1 2 −1⎤ ⎡0 2 −3⎤B = ⎢ 3 0 1 ⎥ , C = ⎢3 −1 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ −2 1 0⎥⎦ ⎢⎣0 2 1 ⎥⎦(56) จงหาอินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A เมื่อ(57) [Ent’41]−1(58)−1(59) 2Aและและ AX + B = Aถ้า X = (B + C)A จงหา 1X −1AB AC I 021จงหา adj A, A (adj A), (adj A) A, det (A), A −⎡3 4⎤A = , ⎡30 18⎤⎢ 1 2 ⎥ C = ⎢⎣ ⎦ 12 8 ⎥⎣ ⎦−1ก.det (B ) 12−1 −1ข.det (B A ) 24⎡2 5 1⎤A = ⎢3 0 0⎥⎢ ⎥⎢⎣4 −2 7⎥⎦⎡2 −3 2⎤A = ⎢6 3 0⎥⎢ ⎥⎢⎣0 −3 1⎥⎦A −− − = จงหา1, B เป็นเมตริกซ์ที่ทําให้ AB = C ข้อใดถูก= ค.t= ง.2t 1จงหา det (A ) −= B และ det (A) det (B) 16det (2 B ) = 24det (A B) = 48⋅ = จงหามิติของเมตริกซ์ B(60) A มีมิติ 3 × 3 และ det (A) = 4, ถ้า A 2−1− 3A + I = 0 และจงหา det (B)1 2 − 1 1⎢x 3⎥ ⎢2 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤−1 −1(61) [Ent’27] A = , B = , C = 2AB + BMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)1 3B = A − I2 2จงหาค่า x เมื่อ det (C) = 1

คณิตศาสตร O-NET / A-NET214เมตริกซ⎡c −1⎤A = ⎢ 1 −c⎥⎣ ⎦⎡ 1 a 0⎤A = ⎢1−a −a 1⎥⎢ ⎥⎢⎣1 0 1⎥⎦(62) [Ent’32](63)(64) [Ent’35] ข้อใดถูกก. ถ้าเมตริกซ์3UV − 2XY = ⎡⎣3 ⎤⎦⎡2 1⎤ข. ถ้า ⎢ 2a a⎥⎣ ⎦2 2 3 −1 tและ det (2A ) (1 c ) det (A ) 45−1t 1จงหาค่า a ที่ทําให้+ − = จงหา cadet(A ) + det(2A) + 4 = 04a⎡5⎤ ⎡ 1⎤U= ⎡ 1 1 4 ,X 0 12 ,V ⎢0 ⎥ ,Y ⎢ 1⎥⎣ − − ⎤⎦ = ⎡⎣ ⎤⎦ = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ 1⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦เป็นซิงกูลาร์เมตริกซ์แล้ว a = 2ค. ถ้า A, B เป็นเมตริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเดียวกัน และ det (AB) = 0แล้ว det (A) = 0 หรือ det (B) = 0ง. ถ้า A เป็นนอนซิงกูลาร์เมตริกซ์มิติ 2 2(65) [Ent’41]⎡2 −1⎤ ⎡ x −x⎤A = ⎢ , M1 3⎥ = ⎢3/7 x+3⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦t −1det(M) = det((2A + A )A )det ((2A) ) = det (2A )× แล้ว1 1จงหาเซตจํานวนจริง x ที่ทําให้−1 1(66) [Ent’36] กําหนด A, B เป็น non-singular matrix โดย det (A ) = − และ⎡−1 −2⎤B = ⎢ x y ⎥⎣ ⎦จงหา x* (67) [Ent’39] ให้* (68) [Ent’37] ถ้าก. 1 A3+ y ถ้า AB + 3A = 2I⎡ 1 2 −1⎤A = ⎢ 2 1 1⎥⎢ ⎥ถ้า AB BA I⎢⎣−1 1 0⎥⎦⎡1 1 −1⎤A = ⎢2 1 3⎥⎢ ⎥⎢⎣1 0 1⎥⎦ข. 3A= = จงหาค่า1−2−det (adj B )และ AB = BA = I จงหาเมตริกซ์ผูกพันของ B1 A3− ค.ttง. − 3A* (69) [Ent’38] ให้ A, B เป็นเมตริกซ์จัตุรัสมีมิติ 4 × 4 โดย A(adj A) − BA = Iถ้า det (B) = 0 แล้ว det (A) มีค่าเท่าใด−แล้ว เมตริกซ์หมายเหตุจากข้อ 55, 67, 68, 69 ซึ่งเป็นการคํานวณเกี่ยวกับ adj A นั้น เราสามารถพิสูจน์ความสัมพันธ์−1 adj Aจากสมการ A = ก่อน เพื่อความสะดวกในการคํานวณdet (A)−1 A(adj A) A(adj A)เช่น A A I⋅ = → = → det (A) ⋅ I = A (adj A)det (A)det (A)−1 adj A−1 Aส่วนความสัมพันธ์อื่น ก็หาได้จาก A = เหมือนกัน เช่น adj Adet (adj A)n 1= (det (A)) − ฯลฯdet (A)= ,det (A)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET2159.4 การดําเนินการตามแถวเมตริกซ− 1การดําเนินการตามแถว (Row Operation) ใช้หาอินเวอร์สการคูณ (A ) ได้ซึ่งการดําเนินการตามแถวนั้น สามารถกระทําได้ 3 ลักษณะ คือa) นําค่าคงที่ k (ที่ไม่ใช่ 0) ไปคูณไว้แถวใดแถวหนึ่งb) นําค่าคงที่ k ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอื่นc) สลับแถวกัน 1 ครั้งการหาอินเวอร์สการคูณ (A -1 ) โดยดําเนินการตามแถวมีหลักอยู่ว่า พยายามหาขั้นตอนทํา A ให้กลายเป็น I1แล้ววิธีเดียวกันนั้นจะทํา I ให้กลายเป็น A − ได้1เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า ⎡A I ⎤ ~ ⎡ I A − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ตัวอย่างเช่น ต้องการหา1A − เมื่อ⎡ 4 2⎤A = ⎢ −8 3 ⎥⎣ ⎦เราจะเริ่มจาก เขียน A กับ I ไว้ในแถวเดียวกัน เรียกว่า เมตริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix)แล้วพยายามแปลง A ทางซ้ายมือ ให้เป็น I⎡ 4 2 1 0⎤⎡⎣A I ⎤⎦= ⎢ −8 3 0 1 ⎥⎣⎦⎡4 2 1 0⎤~2R1 +⎢R20 7 2 1⎥⎣ ⎦4 2 1 0~ ⎡ ⎢⎤0 1 2/7 1/7⎥⎣⎦1 R271เมื่อแปลง A ทางซ้ายมือ ให้เป็น I เรียบร้อยแล้ว, I ทางขวามือจะกลายเป็น A −−1 ⎡−3/28 −1/14⎤ดังนั้น A= ⎢ 2/7 1/7 ⎥⎣⎦⎡4 0 −3/7 −2/7⎤⎢0 1 2/7 1/7 ⎥⎣⎦⎡ 1 0 −3/28 −1/14⎤~ ⎢0 1 2/7 1/7 ⎥⎣⎦− 2R2 + R1ข้อสังเกต1. เราใช้เครื่องหมาย ~ แทนการดําเนินการแต่ละขั้นตอน และเขียนวิธีกํากับไว้2. นิยมเขียนแถวที่ถูกดําเนินการไว้ด้านหลัง เช่น 2R1+ R2แสดงว่า R 2 จะเปลี่ยนไป3. เทคนิคการทําให้เป็น I โดยเร็วที่สุดคือ ทําสมาชิกเป็น 0 ให้ครบทีละสามเหลี่ยม (ล่างหรือบน)4. หากต้องการสลับที่ระหว่างแถว R, 1 R 2 ก็จะใช้สัญลักษณ์กํากับว่า R 12การดําเนินการตามแถวทั้งสามแบบ ส่งผลต่อค่า det ดังนี้a) นําค่าคงที่ k (ที่ไม่ใช่ 0) ไปคูณไว้แถวใดแถวหนึ่ง detnew = k ⋅ detoldb) นําค่าคงที่ k ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอื่น detnew = detold(det ไม่เปลี่ยน จึงใช้วิธีนี้ช่วยในการคํานวณ det ได้ โดยปรับสมาชิกในเมตริกซ์ให้มี 0 มากๆ)c) สลับแถวกัน 1 ครั้ง detnew = − detoldtทั้งนี้ การดําเนินการตามหลัก ก็ให้ผลเช่นเดียวกัน เนื่องจากสมบัติ det (A ) =~1 R14=⎡⎣IA-1⎤⎦det (A)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET216แบบฝึกหัด 9.4เมตริกซ(70) ถ้า(71) ถ้า− 1และ det (2C )⎡a b c⎤A = ⎢d e f⎥⎢ ⎥⎢⎣g h i⎥⎦,⎡ d f e ⎤B = ⎢2a 2c 2b⎥⎢ ⎥⎢⎣g i h ⎥⎦ถามว่า B เป็นกี่เท่าของ A⎡a b c⎤ ⎡4x 4y 4z⎤ ⎡p − a+x x⎤A = ⎢p q r ⎥ , det (A) = 3, B = ⎢2a 2b 2c ⎥ , C = ⎢q − b+y y⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣x y z⎥⎦ ⎢⎣−p −q −r⎥⎦ ⎢⎣r − c+z z⎥⎦− 1จงหา det (3B )t(72) [Ent’38] ให้ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส 4 × 4 และ M 23 (A) = 5จงหา M 32(2A)(73) [จากข้อ 43,55,56] จงหาอินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A, B, C, D โดยใช้วิธีดําเนินการ ตามแถว เมื่อ⎡2 1 −2⎤ ⎡2 −3 2⎤⎡−3 −2⎤ ⎡2 −3⎤ A = , B , C ⎢3 0 0 ⎥ , D ⎢6 3 0⎥⎢ 4 2 ⎥ = ⎢4 6⎥= =⎣ ⎦ ⎣ − ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣4 6 −1⎥⎦ ⎢⎣0 −3 1⎥⎦9.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้นระบบสมการเชิงเส้น ที่มีจํานวนตัวแปรเท่ากับจํานวนสมการ เราจะเขียนให้อยู่ในรูปสมการเมตริกซ์ได้ เป็น AX = B (เรียก A ว่า เมตริกซ์สัมประสิทธิ์, X เป็นเมตริกซ์ตัวแปร, และ B เป็นเมตริกซ์ค่าคงที่) สิ่งที่เราต้องการหาก็คือเมตริกซ์ Xเช่น ระบบสมการแปลงเป็นสมการเมตริกซ์ AX⎧ 4x + 2y − z = 0⎪⎨ x − y = 3⎪⎩ 5x − 3y + 2z + 1 = 0มี 3 สมการ และมี 3 ตัวแปร⎡= B ได้ว่า 4 2 − 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤⎢1 − 1 0⎥ ⎢y⎥ = ⎢3⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣5 −3 2⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦วิธีแก้สมการเมตริกซ์นี้ มี 3 แบบ11. วิธีอินเวอร์ส AX = B → X = A − B เป็นวิธีทําแบบตรงๆนั่นคือ−1⎡x⎤ ⎡4 2 −1⎤ ⎡0⎤⎢y⎥ = ⎢1 −1 0⎥ ⎢3⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣5 −3 2⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ก็ต้องหาอินเวอร์สก่อน แล้วคูณกันได้เป็นคําตอบi2. กฎของคราเมอร์ (Cramer’s Rule) x =idet (A )det (A)เมื่อ A i คือนําเมตริกซ์ B มาแทนลงในหลักที่ i ของเมตริกซ์ Aเช่น จากตัวอย่าง จะได้x0 2 −13 −1 0−1 −3 2= ,4 2 −11 −1 05 −3 2y4 0 −11 3 05 −1 2= ,4 2 −11 −1 05 −3 2z =4 2 01 −1 35 −3 −14 2 −11 −1 05 −3 23. การดําเนินการตามแถว (Row Operation) ⎡⎣ A B ⎤⎦ ~ ⎡⎣I X⎤⎦มีหลักอยู่ว่า พยายามหาขั้นตอนทํา A ให้กลายเป็น Iแล้ววิธีเดียวกันนั้นจะทํา B ให้กลายเป็น X ได้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET217เมตริกซ⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎣5 −3 2 −1⎥⎦จากตัวอย่างก็ต้องเริ่มจาก 4 2 −⎢1 01 −1 0 3แล้วทําให้เป็น⎡ 1 0 0 x⎤⎢0 1 0 y⎥⎢ ⎥⎢⎣0 0 1 z⎥⎦แบบฝึกหัด 9.5(74) จงหาคําตอบของระบบสมการต่อไปนี้ โดยใช้วิธีอินเวอร์ส(74.1) x − 2y = 5(74.2)3x + 2y = −1(75) จงหาคําตอบของระบบสมการ(76) จงหาคําตอบของระบบสมการ4x + 3y + 2z = 53x − y − z = 6− x + 2y + z = 13x + 2y = 6− 4x + y = 14(77) จงหาคําตอบระบบสมการนี้โดยใช้กฎของคราเมอร์(77.1)2x + 3y + z = 3x + 2y + z = 1− x + 4y = −2(77.2) 2x + y + z = 1− − =x 2y 3z 13x + 2y + 4z = 5(78) [Ent’38] กําหนดระบบสมการเชิงเส้น2x − 5y = 13x − 7y = 2โดยใช้วิธีอินเวอร์สโดยใช้กฎของคราเมอร์(77.3)2x + 4y + z = 1x + 2y = −2−x − 3y + 2z = 3x + 2y + 3z = −12x + y − 4z = 9x − y + 2z = −2จงหาค่า x(79) จงหาคําตอบระบบสมการต่อไปนี้ โดยการดําเนินการตามแถว(79.1) x + y + z = 103x + z = 13(79.2) 2x + y − z = 5y + 2x − z − 9 = 0(80) จงหาคําตอบของระบบสมการ(80.1) x − 2y − z = 14x + 3y + 2z = −5− 2x + 4y + 2z = −4(81) จงหาคําตอบของระบบสมการ(81.1) [Ent’25](82) [Ent’25] ให้+ = 0+ = 4+ = 22 1x z4 2x y3 1y z⎡ 1 0 2⎤A = ⎢2 −1 1⎥⎢ ⎥⎢⎣5 1 2⎥⎦−1และ⎡ 1⎤B = ⎢2⎥⎢ ⎥⎢⎣ 0⎥⎦3x − 2y + 2z = −3x − 3y − 3z = −2(80.2) x − 2y − z = 1(81.2)4x + 3y + 2z = −5− 2x + 4y + 2z = −2+ 3 y + z = 3+ 2 y + z = 1− + 4 y = −22x1x1x(83) ให้หาค่า x และ y จากระบบสมการต่อไปนี้ ถ้า s เป็นค่าคงที่−1จงหาค่า y ที่ได้จากสมการMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)⎡x⎤A ⎢y⎥ = B⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦

คณิตศาสตร O-NET / A-NET218เมตริกซs (x + y) − s = −x − 2y ___(1)s (x + y) − y = 0 _______(2)(84) [Ent’40] ให้⎡ 1 2 3⎤A = ⎢0 −1 0⎥⎢ ⎥⎢⎣2 1 0⎥⎦และX⎡p⎤= ⎢q⎥⎢ ⎥⎢⎣r⎥⎦⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣ 0⎥⎦1ถ้า A(adjA)X 2 6จงหาค่า p(85) [Ent’41] ให้⎡1 −1 2⎤A = ⎢1 a 1⎥⎢ ⎥⎢⎣1 −1 a⎥⎦และ⎡ 1 ⎤B = ⎢0⎥⎢ ⎥⎢⎣−1⎥⎦จงหาค่าของ a ที่ทําให้ AX = B หาคําตอบได้(86) [Ent’40] ให้1 2 3A~ ⎡ ⎢⎤0 −1 −1⎥R −2R⎢ ⎥⎢⎣−1 0 2⎥⎦⎡ 1 2 a⎤ ⎡x⎤A = ⎢ 2 3 b ⎥ , X = ⎢y⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ −1 0 c⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦2 1แล้ว x มีค่าเท่าใดและ⎡ 1⎤B = ⎢ 1⎥⎢ ⎥⎢⎣ 0⎥⎦ถ้า AX= B และ(87) (โจทย์ทบทวน) ประโยคต่อไปนี้ถูกหรือผิดx (1) A + B ≠ B + A_____ (2) A t + B t ≠ (A + B)t_____ (3) ABt t ≠ (AB)t−1 −1 −1_____ (4) [Ent’27] A B ≠ (AB)_____ (5) A + 0 = A_____ (6) A × 1 = A_____ (7) A × I = A_____ (8) [Ent’21] AB= BA_____ (9) k(A + B) ≠ kA + kB_____ (10) (A + B) C = AC + BC_____ (11) A(B + C) = AC + AB_____ (12) (AB) C = C (BA)_____ (13) I2_____ (14) AI= I= IA_____ (15) AB = A ⋅ Bn n_____ (16) A = A11_____ (17) A− = A −t t_____ (18) A = A_____ (19) [Ent’27] kA_____ (20) I = 0_____ (21) 0 = 0_____ (22) 2I = 2= k A_____ (23) A 2 + 5A + 6I = (A + 2I)(A + 3I)_____ (24) A 2 + 5AB + 6B 2 = (A + 2B)(A + 3B)1n_____ (25) (A )n−1= (A )−1 −1_____ (26) (A ) = A−1 _____ (27) (3A) =−13 A_____ (28) adj A =t(C (A))det (A)−1_____ (29) A ⋅ A = adj A_____ (30) [Ent’37] A = (adj A) ⋅ An_____ (31) adj A = A เมื่อ A มีมิติ nn ×t −1_____ (32) 2A A = 8 เมื่อ A มีมิติ 3×3−1 t t_____ (33) A ABA = 3เมื่อ AB = I3_____ (34)_____ (35) a b c⎡ 1 tanθ⎤cos θ ⋅ ⎢= 1− tan θ 1 ⎥⎣⎦b c a = 0c a b_____ (36) ถ้า AB = 0 แล้วA = 0 หรือ B = 0_____ (37) [Ent’30] ถ้า AB = 0 แล้วMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)A = 0 หรือ B = 0

คณิตศาสตร O-NET / A-NET219เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)เมตริกซ(1) 6 และ –9⎡(2) 1 − 1 − 2 ⎤⎢3 1 −1⎥⎢ ⎥⎢⎣4 5 1 ⎥⎦(3) เท่ากัน⎡(4) เท่ากัน (5.1) 3 9 3⎡(5.2) 5 − 3⎤⎢9 1 ⎥⎣ ⎦⎤⎢4 2 7⎥⎣ ⎦(5.3)⎡ 10 5 ⎤⎢ 20 15⎥⎢ ⎥⎢⎣−10 40⎥⎦⎡(6) 2 4 ⎤ ⎡, 2 2 ⎤ ⎡, 2 2 ⎤⎢ ,2 6⎥ ⎢4 6⎥ ⎢4 6⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡2 3⎤⎢−1 4⎥⎣ ⎦⎡(7) 2 3 ⎤⎢ ⎡4 −2 8⎤−1 0 ⎥ , ,⎢ ⎥ ⎢6 0 2⎥4 1 ⎣ ⎦⎢⎣⎥⎦⎡−2 1 −4⎤⎢−3 0 −1⎥⎣ ⎦(8) ... (9.1) 2 และ 3(9.2) 5 และ 4(9.3) 7 และ 5(9.4) x = y และเป็นจํานวนนับ(10) (AB) 3× 4, BA ไม่มี(11) ⎡ 5 2 ,3 6⎢ ⎤ ⎡ ⎤−3 0⎥ ⎢0 2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡(12) 3 − 4 ⎤ ⎡− , 13 − 8 ⎤⎢ ,10 −6⎥ ⎢ 19 10⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 4 −44⎤⎡20 −40⎤⎢ ,33 37 ⎥ ⎢24 21 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡12 18⎤(13) ⎢12 30⎥⎣ ⎦(15)⎡ n n n2 2⎤⎢⋅2 ⎥⎢ n ⎥⎣0 2 ⎦(14) 2(17) 3 + 2 − 2 = 3(18) –1 และ 1(19) –1, –3 หรือ –3, –1(20) –1 และ 1(16) 3 42 2(21) กราฟไฮเพอร์โบลา 3x − 4y = 12(22) 2, –5, 0 (23) 8, 0(24) x ∈ ( −5, −4) ∪ (3,4)(25) –2, –2, –9, –2, 9(26) –34 (27) 60(28) 14 (29) 2−7 0(30) = 2851 −4(31) –360, 0, 02 4(32) (2)(2)(12) − − − = − 7682 n(33) (2)(1)(1)(3) − = 12(34) –5 (35) 2 (36) 4(37) 16 (38) ไม่มี⎪⎧5 ± 3 5⎫⎪(39) 1, (40) 4⎨⎪⎩2(41) x ≠ 0, 2/3⎬⎪⎭(42) ก.ถูก, ข.ถูก⎡ 1 1 ⎤(43) , ไม่มี, ไม่มี,⎢−2 −3/2⎥⎣ ⎦⎡1 0⎤⎡−4 27/4⎤⎢0 1⎥(44) ⎢⎣ ⎦3 −5⎥⎣ ⎦(45.1)(45.2)⎡−3 2⎤⎢ 2 −1⎥⎣ ⎦⎡cos θ −sinθ⎤⎢ sin θ cos θ ⎥⎣⎦⎡ − ⎤⎢2 −7⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡−9 −6⎤⎢0 1⎥(48) ⎢⎣ ⎦ −4 −2⎥⎣ ⎦(45.3) ไม่มี (46) 2 10(47) 1 0⎡(49) ไม่มี (50) 1 4⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣3⎥⎦(51) 2 6(53)(54)⎡−2 −1⎤⎢ 1 1⎥⎣ ⎦⎡ 2 0 4 ⎤⎢ 0 2 −2⎥⎢ ⎥⎢⎣−4 −2 −2⎥⎦⎤⎢9 16⎥⎣ ⎦(52) 6 + 5 = 11⎡(55) 0 − 11 0 ⎤⎢ 3 6 −6⎥, − 33 I,⎢⎥⎢⎣18 −8 −3⎥⎦− 33 I, − 33 ,⎡ 0 −11 0 ⎤1 ⎢ 3 6 −6⎥−33 ⎢⎥⎢⎣18 − 8 − 3 ⎥⎦(56)⎡−1/ 4 1/ 4 1/2⎤⎢ 1/2 −1/6 −1⎥⎢⎥⎢⎣3/2 −1/2 −2⎥⎦(57) ง. (58) -111(59) 4 4 × (60)1−2(61) 3 (62) 2 หรือ –21(63) ± (64) ค.2(65) {11 , 5}7− (66) –4(67) 36 (68) ก.(69) 1 (70) 2(71) –9/8, 8/3 (72) 40(73) ดูที่ข้อ 43, 55, 56(74.1) 1, –2 (74.2) 3, 1(75) 5/4, 9/2, –27/4(76) –2, 6(77.1) 2, 0, –1(77.2) 1, –3, 2(77.3) 13/9, 7/9, –4/3(78) –20(79.1) 25/7, 29/7, 16/7(79.2) 1, 2, –1(80.1) ไม่มีคําตอบ(80.2) มีคําตอบหลายชุด(81.1) 2, 1, –1(81.2) 1/2, 0, –1 (82) 0s(s−1) s 2(83) − ,2s + 1 2s + 1(84) 1/2 (85) a ≠ − 1, 2(86) –2/3(87) ข้อที่ถูก คือ (3), (4),(6), (7), (10), (11), (13),(14), (15), (16), (17), (21),(23), (25), (26), (29), (32),(34), (36)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET220เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)เมตริกซ(1) a 11 + b 22 = 2 + 4 = 6,2a12 − 3b 21 = 2(3) − 3(5) = − 9(2)จะได้ ⎡ ○○⎤i = j⎢Δ ○⎥Δ i > j⎢⎣Δ Δ ⎥ ⎦ ○ j > i⎡ 1 1−2 1−3⎤ ⎡1 −1 −2⎤⎢2+ 1 1 2− 3⎥ = ⎢3 1 −1⎥⎢⎣3+ 1 3+ 2 1 ⎥⎦⎢⎣4 5 1 ⎥⎦(3) เท่ากัน เพราะ 2 = cosec 30°,− 4 = log10 −4 0, 2 + 1 = 4 และ 5 = 25(4) เท่ากัน(จากการย้ายข้างสมการ x 2 − x + 1 = 0 จะได้ว่า2 2 2x = x − 1, x − x = 1, x = x + 1)(5.1)⎡ 393⎤⎢⎣427⎥⎦⎡(5.3) 10 5⎢⎤20 15⎥⎢⎣−10 40⎥⎦t t 22tA + B =⎡ ⎤⎢46⎥= (A + B)⎣ ⎦2 3และ⎡A + 0 =⎤⎢−14⎥= A⎣ ⎦(5.2)⎡ 5 − 3⎤⎢⎣9 1 ⎥⎦24(6) A B⎡+ =⎤⎢ ⎣26⎥ ⎦⎡2 3⎤ t4 −2 8(7) A = ⎢− 1 0 ⎥ , 2A =⎡ ⎤6 0 2,⎢⎢ ⎥4 1⎥⎣ ⎦⎣ ⎦−2 1 −4และ − A =⎡ ⎤⎢ ⎣ − 30 − 1 ⎥ ⎦ab11 11+ a12b21 ab11 12+ a12b22 ab11 13+ a12b23(8) AB = ⎡⎤⎢ ⎣a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23⎥ ⎦(9.1) x = 2,y = 3(9.2) x = 5,y = 4(9.3) x = 7,y = 5(9.4) x = y และเป็นจํานวนนับเท่านั้น(10) AB 3× 4 , ส่วน BA ไม่มี1⋅ 3 + 2⋅1 1⋅ 0 + 2⋅1(11) AB =⎡⎤⎢ ⎣ − 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 ⎥ ⎦5 2=⎡ ⎤⎢ ⎣ − 30 ⎥ ⎦3⋅ 1 + 0 ⋅( −1) 3⋅ 2 + 0⋅0 3 6BA =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 11 ⋅ + 1(1) ⋅ − 12 ⋅ + 10 ⋅=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣02⎥⎦3 4 13 8(12) AB =⎡ − ⎤10 6, BA⎡ − − ⎤⎢=⎣ − ⎥⎦ ⎢⎣ 19 10⎥⎦2 4 −4 4 −4 4 −44(A + B) =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢3 7 3 7=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣33 37 ⎥⎦2 2 10 10 6 −8A + 2AB + B =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢42 42+⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣20 −12⎥⎦3 −4 3 −420 −40+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 1 5 1 5=⎣− ⎥⎦ ⎢⎣− ⎥⎦ ⎢⎣24 21 ⎥⎦สังเกต โดยปกติ AB มักจะไม่เท่ากับ BA2จึงทําให้ (A + B) ไม่เท่ากับ A 2 + 2AB + B2 ด้วย2เพราะ (A + B) = (A + B)(A + B)2 2= A + AB+ BA + B ... ซึ่ง AB + BA ≠ 2ABt 20 ⎛ 32 2 1(13) A(BA)⎞=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢13⎥ ⎜⎢12⎥ ⎢03⎥⎟⎣ ⎦ ⎝⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠2 0 6 9 12 18=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢13 27=⎣ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥⎦ ⎢⎣1230⎥⎦⎡(14) 3 0 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ −10⎢2 −1 0⎥ ⎢1 −1⎥ ⎡ ⎤⎢4 21 1 2⎥ ⎢ ⎢ ⎥2 3⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ −10⎡ ⎤= 1⎡ ⎤⎢⎥ ⎢ 4 2 ⎥= ⎢2⎥→ ∴ c22= 2⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣⎦ ⎣⎢⎦⎥(เมื่อคุ้นเคยแล้วจะไม่จําเป็นต้องหาผลคูณให้ครบทุกตําแหน่งก็ได้)2 1(15) จาก A =⎡ ⎤จะได้⎢ ⎣02⎥ ⎦2 2 1 2 1 44→ A =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢02 02=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣04⎥⎦3 44 2 1 8 12→ A =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢04 02=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣0 8⎥⎦4 812 2 1 1630→ A =⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢0 8 0 2=⎣ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 16⎥⎦⎡ n n nn 2 ⋅ 2⎤ดังนั้น รูปทั่วไป A = ⎢ 2 ⎥⎢ n0 2 ⎥⎣ ⎦...ฯลฯ ...(16) ตําแหน่ง 11; 2(x + y) − 4 = 1 .....(1)ตําแหน่ง 12; (x + y)(y) + 2y = a .....(2)ตําแหน่ง 21; 6 − 2z = 0 → z = 3 .....(3)ตําแหน่ง 22; 3y + zy = 1 .....(4)แทน (3) ใน (4) ได้ y = 1/ 6,จาก (1) ได้ (x + y) = 5 / 2ดังนั้น จากสมการ (2) จะได้(5/2)(1/6) + 2(1/6) = a → a = 3/ 4(17) ตําแหน่ง 21; 3 + 2z = 7 → z = 2ตําแหน่ง 22; x + 2 = 5 → x = 3ตําแหน่ง 12; x + 2y = 7แทน x = 3 ได้ y = 2 ∴ x + y − z = 3(18) X 2 + 2X + I = 0 → (X + I) 2 = 0(ทําได้เพราะ XI = IX )a + 1 0 0 0→⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 0 − b + 1⎥ =⎢0 0⎥2⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (ใช้เมตริกซ์คูณกันนะ)2⎡(a + 1) 0 ⎤ 0 0→⎡ ⎤⎢ 2 =00∴ a = − 1, b = 10 ( − b + 1) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎣⎦ ⎦Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET221เมตริกซ(19) A 2 + 4A − 5I = 02⎡ a + 8 4a + 4b⎤⎡4a 16⎤ ⎡5 0⎤ ⎡0 0⎤⎢ 2 +2a 2b 8 b 4 4b−0 5=+ + ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣0 0⎥⎣⎦⎦แสดงว่า a 2 4a 3 04a + 4b + 16 = 0 .....(2)+ + = .....(1)2a + 2b + 4 = 0 .....(3)และ b 2 + 4b + 3 = 0 .....(4)→ แก้ระบบสมการ ได้เป็น a =− 1,b =− 3หรือ a =− 3,b =− 1 ก็ได้2หมายเหตุ A + 4A − 5I = (A + 5I)(A − I) = 0ใช้ได้ เพราะ AI = IAแต่จะสรุปว่า A =− 5I, I ไม่ได้เพราะ Δ= 0 ไม่ได้แปลว่า หรือ Δ= 0(20)2 2⎡ x y 3⎤ ⎡ x −1 x ⎤t 2 2A + A = ⎢− 1 1 x ⎥ + ⎢y 1 3⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥⎢⎣ x 3 y ⎥⎦ ⎢⎣3 x y ⎥⎦2 2⎡ 2x y − 1 x + 3⎤⎡−204⎤2 2= ⎢y − 1 2 x + 3⎥= B = ⎢ 0 2 4⎥⎢ 2 2 ⎥⎢x + 3 x + 3 2y ⎢⎣ 4 4 2⎥⎣⎥⎦⎦พิจารณาจากตําแหน่ง 11 กับ 33ก็จะพบว่า x =− 1,y = 1ซึ่งตรวจสอบแล้วจะใช้ได้กับตําแหน่งอื่นๆ ที่เหลือด้วย(21) [ ]3 7 xxy⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢−7 −4⎥ y = [12]⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦x→ [ 3x−7y 7x− 4y⎡ ⎤] y= [12]⎢⎣ ⎥⎦22− 4y = 12 ไฮเพอร์โบลา→ 3x − 7xy + 7xy(22) det(A) = 2 , det(B) = − 5 , det([0]) = 0[สังเกต det(B) ใช้สัญลักษณ์ว่า |B| = | − 5| = − 5ไม่ต้องตัดเครื่องหมายลบทิ้งไปแบบค่าสัมบูรณ์นะ!]2 −5(23)det(A) =4 − 6= (2)( −6) − ( − 5)(4) = 8det(B) =−12 −( − 12) = 0[แสดงว่า B เป็นเมตริกซ์เอกฐาน]2(24) |A| < |B| < |C| → 12 < x + x < 202→ x + x − 12 > 0 และ x 2 + x − 20 < 0→ (x + 4)(x − 3) > 0 และ (x + 5)(x − 4) < 0เขียนเส้นจํานวน เอาช่วงคําตอบมาอินเตอร์เซคกันได้เป็น ( −5, −4) ∪ (3,4)(25)3 −4 0det(A) =−5 4 −32 −2 1= 0− 18 − 20 + 12 + 0 + 24 = −2คูณขึ้น คูณลง4 −3M(A) 11 =− 2 1= −23 0M 32(A) =−5 − 3=−9C 11(A) = − 2 , C 32(A) = 9(26) เลือกหลักที่ 2→ det(A) = a c + a c + a c12 12 22 22 32 32−35 62 6 2=− (1)7 1+ (0)7 1−(2)− 35= 38 − 72 = − 34(27) วิธีn∑ ac (ตามหลัก) เลือกหลักที่ 1 (j = 1)ij iji=1det(A) = a11c11 + a21c21 + a31c312 1 3 −5 3 −5= 5−31 − 4− 3 1+ ( −1)2 1= (5)(5) − (4)( −12) − (13) = 60วิธี Σ nac (ตามแถว) เลือกแถวที่ 2 (i = 2)j=1ij ijdet(A) = a21c21 + a22c22 + a23c233 −5 5 −5 5 3=− 4−3 1+ 2−1 1−1−1 − 3= ( −4)( − 12) + (2)(0) − ( − 12) = 60วิธีคูณทแยงdet(A) =−10 − 12 + 15 + 10 − 3 + 60 = 60 คูณขึ้น คูณลง(28) C 21 (A) 6y 4=− =− − y − 1→ 6 = 3y → y = 2x yC 23(A) = 4 =− x − y→ 4 = 2xy →แทน y = 2 ได้ x = 1x y 1 2∴ C 33(A) =−38 =− 38= 8 + 6 = 14(29) det(A) =− 5 = (a)C 11 + ( − 1)C 12 + (0)C 131 1แทนค่า 11 12C =1 − 1=− 2,C = 1จะได้ a = 20 1 −3(30) C 11 = 0 2 1−13 2= − 6 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 = − 71 1 0C21=−0 2 1−132= − (0 + 0 − 3 + 4 + 0 − 1) = 0−4 1 1C44= 2 0 10 0 2= 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 0 = − 4C11 C21−7 0∴C C=C − 4= 2832 44 32Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET222เมตริกซ(31)2 0 4 −60 −4 0 05 −2 0 01 3 −1 −32 4 −6= (4)50 − 01 −1 −3⎛ 4 −6⎞= (4) − ⎜− (5)−1 −3⎟ = (4)(5)(18) − − − = −360⎝⎠ส่วนอีกสองเมตริกซ์นั้น det มีค่าเป็น 0จะคิดโดยวิธีปกติ (คูณทแยง) ก็ได้ แต่ในที่นี้จะแสดงโดยใช้สมบัติที่ว่า(1) นําหลักบวกกัน ค่า det ไม่เปลี่ยน(2) ถ้ามี 2 หลัก เป็น k เท่าของกัน det = 0... จากเมตริกซ์แรก นําหลัก 2 ไปบวกหลัก 31 a a+ b+c= 1 b a+ b+ c = 01 c a+ b+c(เพราะหลักที่ 3 เป็น a+b+c เท่าของหลักที่ 1)... จากเมตริกซ์ที่สอง นําหลัก 1 ไปบวกหลัก 3n n+ 1 2n+2= n+ 1 n+ 2 2n+ 4 = 0n+ 2 n+ 3 2n+6(เพราะหลักที่ 3 เป็น 2 เท่าของหลักที่ 2)3 t t(32) det( − 2A A (A + A ))2 3t= (2) − ⋅ A ⋅ A⋅ A+A−1 1 −2 4= 4 ⋅3 −1 ⋅4 − 244= 4 ⋅( −2) ⋅( − 12) = − 768n t t(33) det( − 2A A (A + A ))2 nt= (2) − ⋅ A ⋅ A⋅ A+An + 111 21n+1= 4 ⋅ 01⋅ 12= 4 ⋅(1) ⋅ (3) = 12(34) A ⋅ X ⋅ B = C ⋅ DC ⋅ D ( −5)( −10)→ X = = = −5A ⋅ B (2)( −5)−200 12 4 10(35) 4 3 0 ⋅ X = 0 − 5 82 1 5 0 0 1→ (30)X − = (60) − → X = 2สังเกต ข้อนี้เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยม จะหา det ง่าย(36) AB + 4A = 2I → A(B + 4I) = 2I→ A ⋅ B + 4I = 2I⎛ 1 ⎞ 2 −22→ ⎜ ⎟ ⋅xy 4= (2)⎝4⎠ +1→ (2y + 8 + 2x) = 4 → x + y = 44− A = 2 2I → ( − 1) A = (2 2)(37) จาก33→ A = 8 → A = 23 2 2−1 1 1จาก C = 4 → = 4 → C =C 4t −6 1จาก AB C =⎡⎤⎢⎣4 −2⎥⎦−6 1→ A ⋅ B ⋅ C =4 − 2= 88→ B = = 16(2)(1 / 4)2 2(38) det(A) = 2 sin x + 2 cos x = 2 เสมอ(จากเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ) ดังนั้น det ไม่มีทางเป็น 0 ∴ ข้อนี้ ไม่มีคําตอบ(39)210−x2 1 03 2= x − 6x + 5 = 0x3 52 5±3 5→ (x − 1)(x −5x − 5) = 0 → x = 1,2(40) 1 2 − 1−2 x − 2 = x+ 4− 4+ x−4−41 −2 1= 2x − 8 = 0 → x = 4[สังเกต หลักที่ 2 จะเป็น − 2 เท่าของหลักที่ 3]xlog 2 −2x(41)≠ 0log 2x−1xx x−1→ xlog2 + 2xlog2 ≠ 02 2→ x log 2 + (2x − 2x) log 2 ≠ 02 2→ 3x − 2x ≠ 0 → x ≠ 0, 3ab −a −c(42)⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢cd⎥ =−b−d→⎣ ⎦ ⎢⎣⎥⎦แสดงว่า a กับ d เป็น 0 (ก. ถูก)2A = B และ B ≠ 0 → แสดงว่า A ≠ 0 ด้วย2(A = B) → ข. ก็ถูก−1(43)11 12 2⎡ ⎤A = ⋅⎡ ⎤ ⎢ 3⎥4 3,2 ⎢=⎣−− ⎥⎦ ⎢−2−⎣ 2⎥⎦−1 1 −63B = ⋅⎡ ⎤0 ⎢−42⎥→⎣ ⎦−11 0002= ⋅⎡ ⎤0 ⎢00⎥→⎣ ⎦−11 10 10I = ⋅⎡ ⎤0 1=⎡ ⎤0 1= I1 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦2 2(44)หาไม่ได้ เพราะ B = 0หาไม่ได้ เพราะ 0 = 0−1−1 20 27(AB) =⎡ ⎤⎢ ⎣12 16 ⎥ ⎦1 16 −27 −4 27/4=⎡ ⎤4 12 20=⎡ ⎤− ⎢⎣−⎦⎥ ⎣⎢ 3 −5⎦⎥1 1 1 5 3 1 2 3B − A− =⎡ − ⎤ −2 4 2⋅⎡ ⎤− ⎢⎣−⎦⎥ 2 ⎣⎢−2 4 ⎦⎥1 16 −27 −4 27/4=⎡ ⎤4 12 20=⎡ ⎤− ⎢⎣−⎦⎥ ⎣⎢ 3 −5⎦⎥1 1 1หมายเหตุ (AB) − = B − ⋅ A− เสมอ(45.1)−1⎡12⎤ 1 ⎡ 3 −2⎤ ⎡−3 2⎤⎢23 =1 2 1=⎣ ⎥⎦ − ⎣⎢−⎦⎥ ⎣⎢ 2 −1⎦⎥Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET223เมตริกซ(45.2)− 1⎡ cos θ sin θ⎤⎢⎣− sin θ cos θ⎥⎦1 cos θ −sin θ cos θ −sinθ=⎡ ⎤2 2cos sin sin cos=⎡ ⎤θ+ θ⎢⎣ θ θ⎥⎦ ⎢⎣sin θ cos θ⎥⎦(45.3) 24 012 = ดังนั้นไม่มีคําตอบ−1 t 1 42 −12(46) 2A B = 2 ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤−2⎣⎢3 1⎦⎥ ⎢⎣1 1⎥⎦−210 2−10=−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 2 7=⎣−⎥⎦ ⎢⎣2 −7⎥⎦−1 t t(47)BA = A → B = A ⋅ A1 ⎡ −1 − 3⎤ 1 ⎡ −1 3⎤= ⎢ ⋅2 3 −1 ⎥ ⎢2 − 3 −1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 40 10=⎡ ⎤ ⎡ ⎤4 ⎢04 =⎣ ⎥⎦ ⎢⎣01⎥⎦(48)⎡ 2 − 5 ⎤X⎡ 3 0 ⎤ ⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 2 − 2 ⎤⎢1 2=1 2−2 4=⎣ − ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣−1 −2⎥⎦−12 −5 2 −2→ X =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢1 2⋅⎣ − ⎥⎦ ⎢⎣−1 −2⎥⎦1 −25 2 −2 −9−6=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 ⎢ 12 1 2=⎣− ⎥⎦ ⎢⎣− − ⎥⎦ ⎢⎣−4 −2⎥⎦(49)−14 6 1 2A =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢812⎥ ⋅⎢34⎥⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎦หาไม่ได้เพราะ 4 6 0812 = ดังนั้นข้อนี้ไม่มีคําตอบ1 4(50) จาก⎡A ⋅ 4⎤⎢916⎥= 4I⎣ ⎦1 4→⎡ ⎤⎢916⎥= A ⋅ I = A⎣ ⎦−1 −1−1(51) AB = I แสดงว่า A= B⎡⎤ 1 ⎡3 0 −1⎤ ⎡⎤ 1 ⎡2⎤−1→ A ⋅ ⎢⎥ 1 = ⎢4 2 0⎥ ⎢⎥ 1 = ⎢6⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1 ⎢⎣3 −1 1⎥ ⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ 1 ⎢⎣3⎥⎦(52) AX + B = A → AX = A − B−1→ X = A ⋅(A − B)1 3 −4 2 2 −6 6∴ X =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 ⎢ 2 3⋅3 0=⎣−⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣5 −4⎥⎦→ b + c = 6 + 5 = 111 1 1(53) X − = A − ⋅ (B + C)−−1 −11 4ตอบ⎡01 1 −1 1 2−11 1 1=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢12 ⋅0 1=1 10⋅⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ − ⎣⎢−⎦⎥1 ⎢⎣0 1⎥⎦−2 −1=⎡ ⎤⎢ ⎣ 1 1 ⎥ ⎦12⎡ 1 0 2⎤ ⎡ 2 0 4 ⎤−1→ ∴ A = 2 ⎢ 0 1 − 1⎥ = ⎢ 0 2 −2⎥⎣⎢−2 −1 −1⎦ ⎥⎣⎢−4 −2 −2⎦⎥−1(54) A(B − C) = I → 2(B − C) = A⎤⎢⎣916⎥⎦det(55) ใช้ขั้นตอน Aจาก,> M + −t> C > adj⎡2 1 −2⎤ ⎡0 −3 18⎤A = ⎢3 0 0 ⎥ → M(A) = ⎢11 6 8 ⎥⎢⎣46 −1⎥ ⎦⎢⎣0 6 −3⎥⎦⎡ 0 3 18⎤ ⎡0 −11 0 ⎤→ C(A) = ⎢−11 6 −8⎥ → adj(A) = ⎢ 3 6 −6⎥⎢⎣ 0 −6 −3⎥ ⎦⎢⎣18 −8 −3⎥⎦โจทย์ถาม A⋅ adj(A) กับ adj(A) ⋅ A⎡−33 0 0 ⎤ได้เป็น ⎢ 0 −33 0 ⎥ ทั้งสองอย่าง⎢⎣ 0 0 −33⎥⎦0 11 01 1 ⎡ − ⎤−det(A) = − 33 , A = − ⎢ 3 6 −6⎥33 ⎢⎣18 −8 −3⎥⎦[หมายเหตุ A ⋅ adj(A) = adj(A) ⋅ A = A ⋅ Iเสมอ → แสดงที่มาไว้ในเฉลยข้อ 69](56) จาก⎡ 3 6 −18⎤M(A) = ⎢ 3 2 −6⎥⎢⎣−6 −12 24 ⎥⎦⎡ 3 −6 −18⎤→ C(A) = ⎢−3 2 6 ⎥⎢⎣−612 24⎥⎦→ det(A) = (แถว2) 6( − 3) + 3(2) = − 12และ⎡ 3 −3 −6⎤adj(A) = ⎢ −6 2 12⎥⎢⎣−18 6 24⎥⎦ดังนั้น3 3 6 1/4 1/4 1/21 1 ⎡ − − ⎤ ⎡−⎤−A = − ⎢ − 6 2 12⎥ = ⎢ 1/2 −1/6 −1⎥12 ⎢−18 6 24⎥ ⎢3/2 −1/2 −2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦(57) A = 2, C = 24 → ∴ B = C ÷ A = 12−1 1 1ก. B = = ข้อนี้ผิดB 12−1 −1 1 1ข. B A = =B ⋅ A 24t 2ค. 2B 2 B 48ข้อนี้ผิด= ⋅ = ข้อนี้ผิด22ง. AB = A ⋅ B = 48 ถูก−−1 −1(58) = = = =(เลือกแถว 2 ในการหา det)5 1ตอบ − 3 = − 3(37) = −111(59)t 1 t −1(A ) A A A− 27n−1 22A = B → = BAn→ 2 = 16 ∴ n = มิติของ A และ B = 4ตอบ 4 × 4(60) จาก A 2 − 3A + I= 0 → I− 3A = − A21 3B = A − I → 2BA = I−3A2 2−1และ(ได้จากการนํา 2A คูณ) จากนั้น สมการทั้งสอง2เท่ากัน จะได้ 2BA = − A3 3 22 ⋅ B ⋅ 4 = ( −1) (4) ∴ B = − 1/ 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET224เมตริกซ− 1 2A + I(61) C = (2A + I)(B ) → C =B∴ 1 =3 4 −1121 − 8x2x 7÷2 1=−3→ x = 32(62) A 1 c= − → จากสมการในโจทย์จะได้2 2 2 3 −12 ⋅ A + (1 − c ) ⋅ A = 4522 22 22→ 4(1− c ) + (1− c ) = 45 → (1− c ) = 92→ 1 − c = 3 หรือ − 3นั่นคือ c 2 =− 2 (ใช้ไม่ได้) หรือ 4 → c = ± 22(63) A = a − a → จากสมการในโจทย์จะได้−1 1 3a ⋅ A + ⋅(2) ⋅ A + 4 = 04a1→ + 2(a − 1) + 4 = 0a − 12→ 1 + 2(a − 1) + 4(a − 1) = 02 1→2a − 1 = 0 → a = ±⎡5⎤ ⎡ 1 ⎤(64) ก. 3[ 1 −1 −4] ⎢0⎥ − 2[ 0 1 2]⎢−1⎥⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦= 3[] 1 − 2[ 3] = [ − 3]ข้อนี้ผิด2 12ข. 2 2a a 0a a = − = →a = 0 หรือ 2 → ข้อนี้ผิดค. AB = A ⋅ B = 0 →A = 0 หรือ B 0−1 1 1ง. 2A = =2A2= ข้อนี้ถูก4 A−1 4แต่ 2A = → ข้อนี้ผิดAM = x(x + 3) + x( 3 ) = x +24 x7 7− 6 −1 2 −1(2A + A )(A ) =1 9÷1 3=7(65)2และt 1 55ดังนั้น 2 24 55 2x + x = → 7x + 24x − 55 = 07 711→ (7x − 11)(x + 5) = 0 ∴ x ∈ { , − 57}1(66) A(B + 3I) = 2I → B + 3I = 2A −2 1→ B + 3I = 2 ⋅ A −2 2 1→ − xy+ 3= 4 ⋅ ⎛ ⎜−⎞ ⎟⎝ 2 ⎠→ 2y + 6 + 2x = −2 → x + y = − 4(ข้อ 67 ถึง 69 ควรศึกษาขั้นตอนการพิสูจน์ เพื่อนําไปปรับใช้กับโจทย์นอกเหนือจากนี้)(67) เนื่องจาก AB = BA = I แสดงว่า−1B = A → โจทย์ถาม det(adj A)−1 adj(A)พิสูจน์ จาก A =AA−1A adj(A)→ ⋅ = → ใส่ det ทั้งสองข้าง−1→ A ⋅ A = adj(A)n 1 n 1ดังนั้น adj(A) A A − −= ⋅ = A3−1โจทย์ข้อนี้− 1(68) โจทย์ให้หา adj(B) ก็คือ adj(A )−1 adj(A)พิสูจน์ จาก A =A =−6 ∴ adj(A) = ( − 6) = 36A−1→ A ⋅ A = adj(A)−1 −1 −1เปลี่ยน A เป็น → ⋅ =−1 Aดังนั้น adj(A ) =Aโจทย์ข้อนี้ A = 3 ดังนั้น ตอบ ก.−1 adj(A)(69) พิสูจน์ จาก A =A A A adj(A )−1→ A ⋅ A = adj(A) → นํา A คูณทั้งสองข้าง→ A ⋅ I = A ⋅ adj(A)ดังนั้น โจทย์จะกลายเป็น AI− BA=I→ ( A − 1) I = BA → ( A − 1) 4= B ⋅ Aซึ่ง det(B)=0 จึงได้ A − 1 = 0 → A = 1(70) จากabcA = d e fgh iสลับ R 12 ได้เป็น de fabcgh iA=− Adfeacb =− − A = Ag i hสลับ C 23 ได้เป็น ( )นํา 2 คูณ R 2 ได้เป็น d f eดังนั้นตอบ 2 เท่า(71) ก.R 13 อีกครั้งabcA p q r 3xyz2a 2c 2b = 2 A = Bg i h= = → สลับ R 12 แล้วสลับxyzabc 3pqr→ = (สลับ 2 ครั้ง det เท่าเดิม) จากนั้นนํา 4, 2, − 1 คูณแต่ละแถว→4x 4y 4z2a 2b 2c = 3 ⋅(4)(2)( − 1) = − 24 = B−p −q −r−1 3 9→∴ 3B = = −−24 83Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET225เมตริกซข. จากpqrabc 3xyzabcA p q r 3xyzR= = → สลับ 12→=− → ทรานสโพส (det ไม่เปลี่ยน) และนํา -1 คูณหลักที่ 2หลักที่ 3 บวกหลักที่ 2 จะได้p − a+x xq − b+ y y = 3 = Cr − c+z zp −a x→ q − b y = −3 ⋅( − 1) = 3r −c z−1 2 8∴ 2C = =C 3t(72) M 23(A) = 5 → หาค่า M 32(2A)3 t 3 332 23= 2 ⋅ M (A) = 2 ⋅ M (A) = 2 ⋅ 5 = 40หมายเหตุt1. M 32(A)23เท่าเดิม2. ค่า M คือ det ดังนั้นจึงดึง 2 ออกมาได้, แต่= M (A) เพราะทรานสโพสแล้วค่า detต้องกลายเป็น 2 3 เพราะ M คือ det 3 × 3(73) แต่ละเมตริกซ์ มีวิธีดําเนินการได้หลายแบบหลายลําดับ สั้นยาวต่างกันไปแล้วแต่คนมอง ในเฉลยนี้เป็นเพียงแบบหนึ่งเท่านั้นA;− 4R1 + R2⎡−3 −2 1 0⎤ ⎡ 1 0 11⎤⎢⎣ 4 2 0 1⎥ ⎦ R2~+R ⎢4 2 01⎥1 ⎣ ⎦~ ~⎡10 1 1 ⎤ ⎡101 1 ⎤⎢⎣02 −4 −3⎥ ⎦⎢⎣0 1 −2 −3/2⎥⎦1R22B; แถว 1 กับแถว 2 เป็น 2 เท่าของกัน แสดงว่า1B = 0 จึงไม่สมารถหา B − ได้ → ไม่มีคําตอบ(Row Operation จะเกิดแถว 0 0 และทําต่อไม่ได้)C;~~⎡2 1 −2 1 0 0⎤ ⎡3 0 0 0 1 0⎤⎢30 0 0 10⎥ ⎢2 1−2 100⎥⎢ R46 −1 00 1⎥ 12 ⎢46 −1 00 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 1 0 0 0 1/3 0 ⎤⎢−6 −11 0 1 0 −2⎥(1/ 3)R 1 ⎢− 2R3 + R4 6 −1 0 0 1 ⎥2 ⎣⎦⎡1 0 0 0 1/3 0 ⎤⎢0 −11 0 1 2 −2⎥6R~+1 R2⎢− 4R1 + R0 6 −1 0 −4/3 1 ⎥3 ⎣⎦⎡1 0 0 0 1/3 0 ⎤⎢0 1 0 −1/11 −2/11 2/11⎥( −~1/11)R2⎢0 −6 1 0 4/3 −1⎥− R3⎣⎦⎡100 0 1/3 0 ⎤~ ⎢0 1 0 −1/11 −2/11 2/11⎥6R2 + R3⎢⎣0 0 1 −6/11 8/33 1/11⎥⎦⎡2 −3 2 1 0 0⎤ ⎡8 0 2 1 1 0⎤D; ⎢6 3 0 0 1 0⎥ ~ ⎢6 3 0 0 1 0⎥⎢ R2 R0 3 1 0 0 1⎥ + 1 ⎢R2 + R6 0 1 0 1 1⎥⎣ −⎦ 3 ⎣ ⎦⎡−400 1−1−2⎤~ ⎢ 6 3 0 0 1 0 ⎥− 2R3 + R1⎢⎣ 6 0 1 0 1 1 ⎥⎦3~−(1/ 4)R 1(1/ 3)R 2~− 2R1 + R2− 6R1 + R3⎡ 100 −1/41/41/2⎤⎢2 1 0 0 1/3 0 ⎥⎢⎣60 1 0 1 1⎥⎦⎡ 100 −1/4 1/4 1/2⎤⎢0 1 0 1/2 −1/6 −1⎥⎢⎣00 1 3/2 −1/2 −2⎥⎦⎡ − ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 3 2 y =⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ − 1 ⎥ ⎦(74.1) 1 2 x 5−1x 1 −2 5 1 2 2 5→⎡ ⎤y=⎡ ⎤3 2⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1=⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ − ⎥⎦ 8 ⎢⎣−3 1⎥⎦⎢⎣−1⎥⎦1=⎡ ⎤⎢−2⎥→⎣ ⎦(74.2)∴ x = 1,y = − 2−1⎡x⎤ 2 −51y =⎡ ⎤ ⎡ ⎤3 7 ⋅⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣− ⎥⎦⎢⎣ 2⎥⎦x 1 −75 1 3→⎡ ⎤y=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 32 2=⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ − ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 1⎥⎦∴ x = 3,y = 1(75)−1⎡x⎤ ⎡4 3 2⎤ ⎡5⎤⎢ y ⎥ = ⎢ 3 − 1 − 1 ⎥ ⋅ ⎢ 6 ⎥⎢⎣z ⎥⎦⎢⎣−12 1⎥ ⎦ ⎢⎣ 1⎥⎦หาอินเวอร์ส (ด้วยสูตร adj A / det A )⎡x⎤ 1 ⎡ 1 1 −1 ⎤⎡5⎤ได้เป็น ⎢ y ⎥ = ⎢−2 6 10 ⎥⎢ 6 ⎥⎢z 8⎣ ⎥⎦⎢⎣ 5 −11 −13⎦⎥⎢⎣1⎥⎦⎡ 5/4 ⎤ 5 9 27= ⎢ 9/2 ⎥ ∴ x = , y = , z = −⎢−27/4⎥4 2 4⎣ ⎦(76)x⎡ 3 2⎤ ⎡ ⎤ ⎡6⎤⎢−41 y =⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣14⎥⎦6 2 3 2 −22→ x =14 1÷− 4 1= = −211แทนลงสมการในโจทย์ ได้ y = 6(77.1)3 3 1 2 3 1−10x = 1 2 1 ÷ 1 2 1 = = 2−240 −140−5แทนในสมการสุดท้าย ได้ y = 0จากนั้นแทน x และ y ในสมการใดสมการหนึ่งที่เหลือ ได้ z = − 1(77.2)1 1 1 2 1 1−9x = 1 −2 − 3 ÷ 1 −2 − 3 = = 15 2 4 3 2 4 −92 1 1→ 27y = 1 1 − 3 ÷ ( − 9) = 335 4 −9= −แทน x และ y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ z = 2(77.3)−1 2 3 1 2 3−39 13x = 9 1 − 4 ÷ 2 1 − 4 = =−2 −1 2 1 −1 2 −27 91 −1 3−21 7→ y = 2 9 − 4 ÷ ( − 27) = =1 −2 2−27 9Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)แทน x, y ลงในสมการใดก็ได้ จะได้ z =− 4 / 3

คณิตศาสตร O-NET / A-NET226เมตริกซ(78) ต้องการหาค่าเฉพาะ x ควรใช้กฎคราเมอร์1 4 1 2 4 1→ 20x = − 2 2 0 ÷ 1 2 0 = 203 3 2 1 3 2 −1= −− − −(79.1) [ A|B ] ~ [ I|X ]⎡1 1 1 10⎤ ⎡1 1 1 10⎤⎢30 1 13⎥ ⎢2−10 3⎥⎢ R~+1 R2 1 1 9⎥ 3 ⎢− R1 + R3 2 0 19⎥⎣ − ⎦ 2 ⎣ ⎦~ ~⎡1 1 1 10⎤ ⎡1 1 1 10 ⎤⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢2 −1 0 3 ⎥⎢7 0 0 25⎥ ⎢1 0 0 25/7⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦2R2 + R 3 (1/ 7)R3~ ~⎡1 0 0 25/7⎤ ⎡1 0 0 25/7 ⎤⎢2 −1 0 3 ⎥ ⎢0 −1 0 −29/7⎥⎢1 1 1 10 ⎥ ⎢0 1 1 45/7 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡100 25/7⎤ x=25/7⎢0 1 0 29/7⎥ ∴ y = 29/7R ⎢00 1 16/7⎥ z=16/72 ⎣⎦⎡2 1 −1 5 ⎤ ⎡ 2 1 −1 5 ⎤⎢3 −2 2 −3⎥ ⎢ 7 0 0 7 ⎥⎢ 2R~+1 R1 3 3 2⎥ 2 ⎢− 3R1 + R5 6 0 17⎥⎣ − − − ⎦ − − −3 ⎣⎦R13 − 2R1 + R2− R1 + R3R2~+3− R(79.2)~ ~⎡ 7 0 0 7 ⎤ ⎡ 1 0 0 1 ⎤⎢−5 −6 0 −17⎥ ⎢−5 −6 0 −17⎥⎢ 2 1 −1 5 ⎥ ⎢ 2 1 −15 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡1 0 0 1 ⎤ ⎡1 0 0 1 ⎤⎢0 −6 0 −12⎥ ⎢0 1 0 2 ⎥⎢0 1 −1 3 ⎥ ⎢0 −1 1 −3⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦สลับแถว ั .... (1/ 7)R 1~ ~5R1 + R 2 ( −1/ 6)R 2− 2R1 + R3 −R3R2~+R3⎡100 1⎤ x=1⎢0 1 0 2⎥ ∴ y = 2⎢00 1 1⎥⎣ − ⎦ z = −1(80) เนื่องจาก สมการที่ (1) กับ (3) มีสัมประสิทธิ์เป็น − 2 เท่าของกัน ..ดังนั้น A = 0 ทําให้หาคําตอบที่แน่นอนชุดหนึ่งไม่ได้(80.1) สมการ (1) กับ (3) ขัดแย้งกัน ไม่มีคําตอบ(80.2) สมการ (1) กับ (3) เป็นสมการเดียวกัน(จึงเหลือแค่ 2 สมการ) ... มีคําตอบหลายชุด(81.1)⎡201⎤ ⎡1/x⎤ ⎡0⎤⎢420⎥ ⎢1/y⎥ = ⎢4⎥⎢⎣031⎥ ⎦⎢⎣1/z⎥ ⎦ ⎣⎢2⎦⎥1001 2018 1→ = 420 ÷ 420 = =x 231 031 16 2∴ x = 2 แทนลงในโจทย์ ได้ y = 1,z = − 1⎡2 3 1⎤ ⎡1/ x⎤⎡ 3 ⎤(81.2) ⎢ 1 2 1⎥ ⎢ y⎥ = ⎢ 1 ⎥⎢ 140 ⎢ z ⎥⎣−⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎢ −2⎦⎥13 3 1 2 3 1−10→ = 1 2 1 ÷ 1 2 1 = = 2x −240 −140−5∴ x = 1/2 แทนลงในโจทย์ ได้ y = 0,z = − 1⎡x⎤ ⎡1 0 2⎤ ⎡1⎤ ⎡⎤(82) ย้ายข้าง.. ⎢ y ⎥ = ⎢ 2 − 1 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 0 ⎥⎢⎣ z⎥⎦⎢⎣5 1 2⎥ ⎦⎢⎣0⎥ ⎦ ⎢⎣⎥⎦∴ y = 0(83) (s + 1) x + (s + 2) y = s .....(1)sx + (s − 1) y = 0 .....(2)⎡s+ 1 s+2⎤ ⎡x⎤ ⎡s⎤⎢ s s − 1 ⎥ y = 0 →⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣ ⎥⎦ss+ 2 s+ 1 s+2x =0s−1÷s s−1ใช้กฎคราเมอร์ช่วยs(s − 1) s(s − 1)= = −(s + 1)(s −1) − s(s + 2) 2s + 1s+ 1 s s+ 1 s+2และ y =s 0÷s s−12 2−ss= =(s + 1)(s −1) − s(s + 2) 2s + 1⎡ ⎤= ⋅ = ⎢ ⎥⎢⎣0⎥⎦1(84) A(adjA)X 2 A AX 6หาค่า A ได้ 6 ดังนั้น⎡1 2 3⎤ ⎡p⎤⎡1/6⎤⎢0 − 1 0⎥ ⎢q⎥= ⎢ 1 ⎥ →⎢⎣2 1 0⎥ ⎦ ⎢⎣r⎥⎦⎣⎢ 0 ⎦⎥กฎคราเมอร์1/6 2 3 1 2 33 1p = 1 − 1 0 ÷ 0 − 1 0 = =0 1 0 2 1 0 6 2(85) หาคําตอบได้เสมอเมื่อ A ≠ 02∴ a − a − 2 ≠ 0 → (a − 2)(a + 1) ≠ 0→ a ≠ 2, − 1~⎡ 1 2 a⎤⎡ 1 2 3⎤(86) ⎢2 3 b⎥⎢ 0 −1 −1⎥⎢− 2R1 + R10 c2⎣−⎥⎦ ⎣⎢−1 0 2⎦⎥แสดงว่า a = 3, b − 2a = − 1 → b = 5, c = 2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣⎢−102⎥ ⎦ ⎢⎣z⎥⎦⎣⎢0⎦⎥⎡ดังนั้น จะได้สมการ 1 2 3 ⎤ ⎡ x ⎤ 1⎢2 3 5⎥ ⎢y⎥= 1และ123 1 232x = 1 3 5 ÷ 2 3 5 = 2/3002 102 −3= −−Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET227เวกเตอรTR˜vc ⋅º··Õè10 eÇ¡eµoÃปริมาณในโลกมีสองชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์(Scalar Quantity) และปริมาณเวกเตอร์ (VectorQuantity) โดยที่ปริมาณสเกลาร์นั้นระบุเฉพาะขนาดเช่น ระยะเวลา มวล ราคาสิ่งของ แต่ปริมาณเวกเตอร์นั้นจะระบุทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรง ความเร็วความเร่ง โมเมนตัม บทเรียนเรื่องเวกเตอร์นี้เป็นพื้นฐานที่สําคัญของวิชากลศาสตร์ ไฟฟ้า และอื่นๆการเขียนปริมาณเวกเตอร์จะใช้รูปลูกศร โดยให้ความยาวลูกศรแทนขนาด และหัวลูกศรชี้บอกทิศทาง เช่น จากภาพ เวกเตอร์มี “ขนาด” 4 หน่วย และมี “ทิศทาง” ทํามุม 45 ° กับแกน xในทิศทวนเข็มนาฬิกาB เขียนชื่อเวกเตอร์ ตามจุดเริ่มและจุดสิ้นสุดของลูกศร เช่น ÃBหรือใช้ตัวพิมพ์เล็ก (ที่เติมขีดด้านบน) ก็ได้ เช่น u, v, wuขนาดของเวกเตอร์ u เขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า uyเวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ มีขนาดD45°BxAเท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน (ไม่จําเป็นต้องมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกัน ˜ ˜เช่นAB = CD ก็ได้ ถ้ามีขนาดเท่ากัน และทิศเดียวกัน ดังภาพ)CAMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET22810.1 การบวกและลบเวกเตอร์เวกเตอรเวกเตอร์บวกกัน สามารถหาผลลัพธ์ได้สองวิธี คือ หัวต่อหาง และหางต่อหาง1. หัวต่อหาง ให้นําเวกเตอร์มาเขียนต่อกัน โดยเอาหางลูกศรใหม่มาวางต่อที่หัวลูกศรเดิมเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ คือเวกเตอร์ที่ลากจากหางแรกสุด ไปถึงหัวลูกศรปลายสุด˜ ˜ ÃB + BC = AC ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDuvwu2. หางต่อหาง ให้นําหางเวกเตอร์ชนกัน แล้วต่อเติมรูปให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ คือเวกเตอร์ที่ลากจากหางที่ชนกัน ˜ ไปสุดแนวทแยงมุมสี่เหลี่ยมด้านขนาน˜ ÃB + AD = AC ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDvu+vuvu+ v+wwwu v uvu+vwu+ v+wu+vการบวกเวกเตอร์ มีสมบัติเหมือนการบวกจํานวนจริงทุกประการ ได้แก่สมบัติปิด, สมบัติการสลับที่, สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม, การมีเอกลักษณ์, และการมีอินเวอร์สu+ v = v+ u(u+ v) + w = u + (v + w)เอกลักษณ์การบวกของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ศูนย์ ( 0 ) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 0 หน่วยu+ 0 = uu +− ( u) = 0“นิเสธของ u ” หรืออินเวอร์สการบวก เขียนสัญลักษณ์ว่า − u หมายถึง เวกเตอร์ขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้ามกับ u หรือกล่าวว่า −ÃB=˜BA นั่นเองการลบเวกเตอร์ เป็นการบวกด้วยนิเสธ u− v = u + ( − v)ดังนั้นสามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์ได้จากวิธีการบวก ทั้งสองวิธี คือหัวต่อหาง และหางต่อหาง− vuvu−vuu−vuหรือหาได้จากวิธีหางต่อหางแบบใหม่ ให้เขียนเวกเตอร์ตัวตั้งและตัวลบแบบหางชนกันเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะลากจากปลายลูกศรของตัวลบ มายังปลายลูกศรของตัวตั้งÃB −ÃD =˜DB ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD− vMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET229เวกเตอรu v uu−vขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ หาได้จากกฎของโคไซน์ในเรื่องตรีโกณมิติ ซึ่งสรุปได้ดังนี้(และสามารถนําขนาดที่ได้ไปคํานวณหาทิศทาง โดยกฎของไซน์กับรูปสามเหลี่ยม)2 2u+ v = u + v + 2 u v cos θ2 2u− v = u + v − 2 u v cos θเมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ vS ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! SÁuÁ θ ÃaËÇÒ§ u ¡aº v äµo§Çá ¢³a¹íÒËÒ§µoËÒ§eÊÁo¹a¤Ãaº æÅaÁÕ¢¹Ò´äÁe¡i¹ 180 o§ÈÒvθab2 2a + b + 2abcosθaθแบบฝึกหัด 10.1b2 2a + b − 2abcosθ(1) กําหนดเวกเตอร์ u และ v ดังภาพ ให้วาดรูปหา u+ vและ u− vโดยวิธีหัวต่อหาง และหางต่อหาง (สี่เหลี่ยมด้านขนาน)(2) ให้เขียนเวกเตอร์แสดงการเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 40 กม.ต่อ ชม. ไปทางทิศตะวันออก และ 60กม.ต่อ ชม. ไปทางทิศตะวันตกเฉียงใต้(3) ให้เขียนเวกเตอร์ขนาด 10 หน่วย ทิศ 030 ° , เวกเตอร์ 12 หน่วย ทิศ 135 °, และเวกเตอร์ 5หน่วย ทิศ 330 °หมายเหตุ การบอกมุมในระบบ 3 หลัก (Three Figure System) จะให้ทิศเหนือเป็น 000 องศาและเพิ่มขึ้นในทิศตามเข็มนาฬิกา (เช่น 090 องศา แทนทิศตะวันออก, 180 องศา แทนทิศใต้)(4) ถ้า u แทนระยะทาง 50 กม. ในทิศ 170 ° จะได้ว่า − u คืออะไร(5) นาย ก ออกเดินทางไปในทิศ 030 ° เป็นระยะทาง 1,000 กม. แล้วเดินทางต่อในทิศ 150 °เป็นระยะทาง 500 กม. จงหาว่าเขาอยู่ทางทิศใดของจุดเริ่มต้น และอยู่ห่างเท่าใด(6) เครื่องบินออกแรงบินไปทางทิศเหนือด้วยความเร็ว 240 กม.ต่อ ชม. ในบริเวณที่มีพายุพัดไปในทิศตะวันออกด้วยความเร็ว 180 กม.ต่อ ชม. ถามว่า ความเร็วของเครื่องบินจะเป็นเท่าใด(7) เครื่องบินออกแรงบินด้วยความเร็ว 200 กม.ต่อ ชม. ไปในทิศ 030 ° ถ้ากระแสลมพัดด้วยความเร็ว 50 กม.ต่อ ชม. ไปในทิศ 330 ° จงหาอัตราเร็วของเครื่องบินที่แท้จริง(8) ชายคนหนึ่งพายเรือในน้ํานิ่งได้อัตราเร็ว 4 กม.ต่อ ชม. ถ้าเขาต้องการเดินทางไปทางทิศเหนือขณะที่กระแสน้ําไหลไปทางทิศตะวันตกด้วยอัตราเร็ว 3 กม.ต่อ ชม. แล้ว เขาต้องออกแรงพายเรือไปในทิศใด ด้วยอัตราเร็วเท่าใด จึงได้อัตราเร็วเท่ากับการพายปกติในน้ํานิ่งMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET230เวกเตอร(9) เวกเตอร์ ÃB มีขนาด 6 หน่วย ขนานแกน x โดยมีทิศทางไปในแนว + x และเวกเตอร์ ÃCทํามุม 60 ° กับเวกเตอร์ ˜ ˜ AB โดยมีขนาดเท่ากัน จงหาขนาดและทิศทางที่เป็นไปได้ของเวกเตอร์u = AB +ÃC และ ˜ v = AB −ÃC(10) จงหา u+ v เมื่อ u กับ v ทํามุมกัน 0 ° , 90 °, 180 °(11) จงหา u− v เมื่อ u กับ v ทํามุมกัน 0 ° , 90 °, 180 °(12) ถ้า u+ v+ w = 0และ u = 2, v = 4, w = 2 จงหา u− v และ u+v(13) กําหนดให้ u = 1, v = 2, w = 3, w ตั้งฉากกับ v และมีทิศเดียวกับ uจงหาค่า u+ v+w(14) กําหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ในระนาบถ้า u = 4, v = 3, u− v = 25 + 12 3จงหามุมระหว่าง u กับ v(15) ถ้า u = 10, v = 5, u+ v = 12จงหา u−v(16) [Ent’35] ถ้า u = 4, v = 3, u+ v = 6จงหา u−v(17) ถ้า u = 4, v = 5, และ u ตั้งฉากกับ v จงหา 2u+ v+ 3u−v(18) ถ้า u = v จงหามุมระหว่าง u กับ v ที่ทําให้ u+ v = 2 u−v(19) [Ent’37] เวกเตอร์ u , v , w มีสมบัติว่า u = w และ u− v = v+wถ้ามุมระหว่าง u กับ v เป็นπ แล้ว มุมระหว่าง v กับ w เป็นเท่าใด5(20) กําหนด ABCDEF เป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มี O เป็นจุดกึ่งกลาง และ |ÃB| = 2ซม. เวกเตอร์ใดต่อไปนี้ยาวกว่า 4 ซม.˜ ˜ ข. ÃB +˜ED ค. ˜ ˜FO + DO ง. ˜ ÕD + OBก. AD + FD10.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ผลที่ได้จากการคูณเวกเตอร์ u ด้วยสเกลาร์ a เป็นดังนี้1. ถ้า a = 0 จะได้ au = 02. ถ้า a > 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับ u แต่มีขนาดเป็น a ⋅ u3. ถ้า a < 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศตรงข้ามกับ u และมีขนาดเป็น a ⋅ uการคูณด้วยสเกลาร์ มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง เช่นเดียวกับจํานวนจริง นั่นคือ a(bu)= (ab)u , (a+ b) u = au + bu , และ a(u+ v) = au + avความสัมพันธ์ของ “การคูณด้วยสเกลาร์” และ “การขนานกันของเวกเตอร์”เมื่อ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะได้ทฎษฎีว่า1. u จะขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ มีค่า a ≠ 0 ที่ทําให้ u = av2. ถ้า u ไม่ขนานกับ v , หาก au + bv = 0 แสดงว่า a = 0 และ b = 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET231แบบฝึกหัด 10.2เวกเตอร(21) กําหนดให้ u + 4v = 3v − 2w และ 3v − 4w = 2w + 5uถ้า w = 12 จงหาค่า u + v + w(22) u = 2v − w โดยที่ v = w = 1 และมุมระหว่าง v กับ w เป็น 120 °จงหามุม θ ระหว่าง u กับ v(23) กําหนดให้ u ≠ 0, v ≠ 0 และ u ขนานกับ v2 2จงหาค่า x ที่ทําให้ (x + 6x −2) u − v = (x − 2x ) u + x v2(24) กําหนดให้ u ≠ 0, v ≠ 0 และu จะขนานกับ v เมื่อ x มีค่าเท่าใด2(25) กําหนดให้ u ≠ 0, v ≠ 0 และu กับ v จะมีทิศทางเดียวกัน เมื่อ x มีค่าเท่าใด(x −5) u − v = (1 − x) u − 3 v แล้ว(x −5) u − v = (1 − x) u − 3 v แล้ว2 22(26) u กับ v มีทิศทางเดียวกัน ถ้า u + (6− 3x )v = 100u + v จงหาค่า x5 3(27) กําหนดให้ u ≠ 0, v ≠ 0 และ u ไม่ขนานกับ vจงหาค่า x และ y ที่สอดคล้องกับสมการ xu + (x− 8)v = (2+ 2y)u − yv(28) u ≠ 0, v ≠ 0 และ u กับ v ไม่ขนานกันถ้า 3u + 8v = a (3u + v) + b (u − 2v) จงหาค่า a และ b(29) ถ้า u ไม่ขนานกับ v และ w = (a+ 4b)u + (2a+ b+ 1)v, s = (b− 2a+ 2)u + (2a−3b−1)vจงหาค่า a กับ b ที่ทําให้ 3w = 2s10.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิตเราสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ พิสูจน์ส่วนประกอบของรูปเรขาคณิตหลายเหลี่ยมได้รวมทั้งแก้โจทย์ปัญหาประเภท “เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น”เทคนิคที่ใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาแบบนี้ คือ .. (ดูตัวอย่างประกอบ)1. เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมของเวกเตอร์อื่น แบบใดก็ได้ก่อน2. พยายามเปลี่ยนเวกเตอร์ที่ไม่ต้องการ เป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่ต้องการ ไปทีละขั้นๆ3. เมื่อเหลือเพียงเวกเตอร์ที่ต้องการแล้ว ก็จัดเป็นรูปอย่างง่าย แล้วจึงตอบ4. บางครั้งเราต้องอาศัยสมการเวกเตอร์อื่น เพื่อช่วยแปลงให้เป็นเวกเตอร์ที่ต้องการตัวอยาง [Ent’35] สี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีจุด M และ N อยูที่กึ่งกลางดาน BC และ CD ตามลําดับจงหา ÃB ในเทอมของ AM˜ กับ ÃNวิธีคิด วาดภาพตามโจทยไดดังรูปMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET232เวกเตอรABD N CM• เริ่มตน เขียน ÃB ในเทอมของเวกเตอรใดๆ กอนเชน ÃB =ÃM + MB˜ ____________________ (1)จากนั้นพยายามเปลี่ยน MB˜ ใหเปน AM˜ หรือ ÃN ใหได• จากรูป เราเชื่อม MB˜ กับ ÃN ไดดังนี้ÃB =ÃN +ÑC +˜CB˜ 1 ˜ ˜= AN + AB + 2 MB21 1หรือจัดรูปสมการไดวา MB˜=ÃB −ÃN _________________ (2)4 21 1เมื่อแทนคาจากสมการ (2) ลงใน (1) ก็จะไดคําตอบ ˜=˜+˜−˜แบบฝึกหัด 10.3AB AM ( AB AN)4 2˜ ˜ ตอบ4 2= AM − AN3 3(30) [Ent’26] สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มีจุด P เป็นจุดที่เส้นทแยงมุมตัดกัน จุด Q อยู่บนด้านAB โดย AQ : QB = 3 : 5 ถ้า ÃB = u และ ÃD = v จงหา PQ˜ ในรูปของ u กับ v(31) จากภาพ |˜EF | : |˜FB| = 2 : 1 จงหา ÃF ในรูปผลรวมของ a กับ bAE2aFBa4aCbDข้อ (31)Aข้อ (32)(32) จากภาพจุด B แบ่งครึ่งด้าน AC, จุด M แบ่งครึ่งด้าน AD , และจุด N กับ O แบ่งด้าน DCออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ถ้า ÃB = a และ ˜BD = a + b ให้หา MN˜ ในรูปของ a กับ b(33) สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ให้ ÃB = a และ ÃC = b ถ้า ÃD , ˜ BE , ˜ CFคือมัธยฐานของสามเหลี่ยม ตัดกันที่จุด O จงเขียน DÕ ในรูปของ a กับ b1(34) สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จุด E อยู่บน CB โดย ˜CE=˜, CB จุด F เป็น3จุดตัดของ ÃC กับ ˜DE , หาก ˜ EF = a˜ ED และ ˜ ˜CF = b CA จงหาค่า a กับ b(35) ให้ D เป็นจุดแบ่งด้าน AC ของสามเหลี่ยม ABC โดยที่ |ÃD | : |˜DC | = m : nจงหา BD˜ในเทอมของ BÃ กับ BC˜(36) สามเหลี่ยม ABC มีจุด D กับ E เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB กับ AC ตามลําดับให้พิสูจน์ว่า(36.1) ˜ 1DE ขนานกับ BC˜(36.2) ˜DE =˜BCMDNB2OCMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET233เวกเตอร(37) ในสี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่ง จงพิสูจน์ว่า ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านที่ไม่ขนานกันนั้น จะขนานกับฐาน และยาวเป็นครึ่งหนึ่งของผลบวกด้านคู่ขนาน10.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเวกเตอร์ที่กล่าวถึงที่ผ่านมาทั้งหมด เป็นการมองในพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinate หรือr−θ) คืออ้างถึงเวกเตอร์ใดๆ ด้วยค่า ขนาด (ความยาว) และทิศทาง (มุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน +x) แต่นอกจากนั้นเรายังสามารถอ้างถึงเวกเตอร์เหล่านี้ในพิกัดฉาก (Cartesian Coordinateหรือ x− y) ได้ ด้วยค่าทิศทางในแนวนอน ( Δ x) และแนวตั้ง ( Δ y) ดังภาพP (3,4)B (x 2 ,y 2 )uA (x 1 ,y 1 )˜⎡Δx⎤ ⎡ x2−x1⎤AB =⎢=⎣Δy⎥ ⎦⎢⎣ y2−y⎥1⎦OQ (-1,-6)vR (2,-2)3u = ⎡ ⎢ ⎤⎣4⎥⎦3v = ⎡ ⎢ ⎤⎣4⎥⎦ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้ว กับพิกัดฉากΔ x = r cos θΔ y = r sinθ2 2r = ( Δ x) + ( Δy)tan θ = ( Δy/ Δ x) = ความชันเวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ Δ x เท่ากัน และ Δ y เท่ากัน เช่น ในภาพ u = vเวกเตอร์สองอันจะขนานกัน ( u v) ก็ต่อเมื่อความชันเท่ากัน(การขนานกันนั้น มีทั้งแบบทิศเดียวกันและทิศตรงข้ามกัน)และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกัน ( u ⊥ v) ก็ต่อเมื่อความชันคูณกันได้ –1การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ จะได้ผลเช่นเดียวกับเมตริกซ์ นั่นคือ⎡a⎤ ⎡c⎤ ⎡a+c⎤⎢b⎥ + ⎢ =d⎥ ⎢b+d⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡a⎤⎡ka⎤k ⋅ ⎢ =b ⎥ ⎢ kb ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎡⎣a,b⎤⎦ แทน a ⎤⎢b⎥⎣ ⎦เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector) ก็คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สําคัญในระบบพิกัดฉาก มีอยู่ 2 ตัว ได้แก่ i กับ jโดย i แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +x และ j แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +y⎡1⎤⎡0⎤นั่นคือ i และ j= ⎢ 0 ⎥⎣ ⎦S e¾ièÁeµiÁ! SÃaÇa§oÂÒe¼ÅoeoÒ y oÂÙ º¹ x oÂÙ ÅÒ§! æºº¹Õé¹a¤Ãaº(e»¹e¾ÃÒaÇÒe¤Âªi¹¡aºÊÙµÃËÒ¤ÇÒÁªa¹)= ⎢ 1 ⎥⎣ ⎦⎡ y −y2 1⎤⎢⎣x −x⎥2 1⎦⎡เราสามารถเขียนเวกเตอร์ a ⎤⎢b⎥ใดๆ ในรูป “ผลรวมเชิงเส้นของ i กับ j ” ได้เสมอ⎣ ⎦⎡หรือ a ⎤ ⎡⎢ = ai + bjb⎥นั่นเอง ซึ่งการเขียนในรูปแบบ ai + bj นั้นก็เป็นที่นิยมกว่า a ⎤⎢⎣ ⎦b⎥⎣ ⎦ส่วนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางของ ÃB ใดๆ (ที่ไม่ใช่ 0 ) สามารถสร้างได้จากการนําขนาดของ ˜ÃB มาหาร (เพื่อทําให้ขนาดเหลือเพียง 1 หน่วย) เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า ÃBMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)| AB|

คณิตศาสตร O-NET / A-NET234แบบฝึกหัด 10.4เวกเตอร(38) จงเขียน PQ˜ ให้อยู่ในระบบแกนฉาก เมื่อกําหนดจุดดังนี้(38.1) P(2,4), Q(3,7) (38.2) P( −2,3), Q(4, − 5)(39) ถ้า˜ ให้หา⎡−3⎤PQ = ⎢ 2 ⎥⎣ ⎦(39.1) จุดเริ่มต้น เมื่อสิ้นสุดที่ Q( −2, − 5)(39.2) จุดสิ้นสุด เมื่อเริ่มต้นที่ P(4, − 6)(40) คู่อันดับ A(3, −4), B(6,3), C(7, − 1) จงหาเวกเตอร์ ˜ ˜ÃB, AC, BC พร้อมขนาด(41)⎡ 3 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡−3⎤u = ⎢ , v = , w =−4⎥ ⎢−2⎥ ⎢ 4 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦จงหา 2u 3v w− +− + และ 2u 3v w(42) เวกเตอร์ในแต่ละข้อ ขนานกันหรือไม่ ถ้าขนานให้บอกว่ามีทิศเดียวกันหรือตรงข้ามกัน⎡(42.1) 0 ⎤⎢4⎥กับ ⎡ 0 ⎤⎡−4⎤⎡−2⎤⎢⎣ ⎦ −2⎥(42.2) ⎢ 0 ⎥ กับ ⎢⎣ ⎦ 0 ⎥⎡(42.3) 0 ⎤⎢3⎥กับ ⎡ 3⎢⎣ ⎦ 0⎣⎣−⎦⎤⎥⎦(42.4)⎡ 7 ⎤⎢−14⎥⎣⎦⎡ ⎤⎢−⎥⎦กับ ⎣ ⎦ ⎣12(43)⎡3⎤ ⎡2⎤ ⎡−1⎤u = ⎢ , v , w4⎥ = ⎢ =−1⎥ ⎢2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦จงเขียน w ในรูปของ au+ bv(44) ให้เขียนเวกเตอร์w⎡6⎤= ⎢ 9 ⎥ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ ⎡4⎤1u = ⎢ , v =⎣ ⎦ 1⎥⎣ ⎦ 4⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦(45) สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มียาวเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้น(46) กําหนดให้˜ ˜ จงหาผลบวกของกําลังสองของความ2 3AB = ⎡ ⎢ ⎤ , AD =⎡ ⎤−3⎥ ⎢4⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 3 ⎤ ⎡−4⎤ ⎡ 5 ⎤u = ⎢ , v = , w =−2⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢−3⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูป i กับ j(46.1) u (46.2) v (46.3) w(46.4) u + v(46.5) 2u − w(47) กําหนดคู่อันดับ A(1,2),B(4, − − −2),C(3,4),D(2, − − 16/3) จงหา˜ ˜− ในรูป i กับ j (47.2) 2AB˜ ˜− 3CD(48) กําหนดให้(47.1) 2AB 3CD⎡ 3 ⎤ ⎡−2⎤u = ⎢ , v =−4⎥ ⎢ 8 ⎥ จงหา⎣ ⎦ ⎣ ⎦(48.1) เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ u(48.2) เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางตรงข้ามกับ v(48.3) เวกเตอร์ขนาด 3 หน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ u+v(48.4) เวกเตอร์ขนาดเท่ากับ u− v และมีทิศทางเดียวกับ u+v| |(49) ถ้า u = 3i + 4j ขนานกับ PQ˜ ซึ่งมีขนาด 15 หน่วย, จุด P คือ (2, 4) จงหาจุด QMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET235เวกเตอร(50) กําหนดจุด P(c,d) และ Q(c+ a,d+ b) จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทิศตรงข้ามกับ PQ˜(51) [Ent’30] จงหาเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 3 2 หน่วย ทํามุม 45 ° กับเวกเตอร์ j และ1 1ตั้งฉากกับเวกเตอร์ − i + j2 210.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์การคูณเวกเตอร์คู่หนึ่ง จะเกิดผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ1. การคูณแบบดอท (Dot Product) u ⋅ vให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ (ตัวเลข) หรือเรียกว่าผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar Product) ก็ได้2. การคูณแบบครอส (Cross Product) u × vยังคงให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ หรือเรียกว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Vector Product) ก็ได้นิยาม การคูณแบบดอท ในพิกัดฉาก...⎡a⎤⎡c⎤⎢ ⋅ = (a i + b j) ⋅ (c i + dj) = ac + bdb⎥⎢d⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦การคูณแบบดอท ในพิกัดเชิงขั้ว... u ⋅ v = u v cos θเราสามารถใช้สมการทั้งสองร่วมกัน ในการคํานวณเกี่ยวกับมุม θ ระหว่าง u กับ v ได้ข้อสังเกต การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขียนใหม่ได้ว่า2 2u+ v = u + v + 2(u ⋅ v)2 2u− v = u + v − 2(u ⋅ v)เมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ vสมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบดอท• u ⋅ v = v ⋅ u• u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w• a(u ⋅ v) = au ⋅ v• u ⋅ u = u• 0 ⋅ u = 0• u ⋅ v = 0 ↔ u ⊥ v2uθvสูตรในการหาพื้นที่สามเหลี่ยมเมื่อมีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์ u กับ v1และมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น θ คือ u v sin θ2พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ u v sinθแบบฝึกหัด 10.5(52) จงหา u ⋅ v เมื่อ(52.1) u3 2= ⎡ ⎢ ⎤ , v =⎡ ⎤−4⎥ ⎢−3⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦(52.2)(52.3) u = 3i− 5j , v = − 4i+ 2j (52.4)⎡ 4 ⎤ ⎡−2⎤u = ⎢ , v =−10 ⎥ ⎢ 2 ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦3 4u = i− j, v = 2i−5j4 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET236เวกเตอร(53) กําหนดคู่อันดับ A(3, −2),B(3,5),C(2,4)− จงหา(53.1) ˜ ˜ AB ⋅ BC(53.2) AB˜⋅ (BC˜+ÃC)(54) จงหามุมระหว่าง u กับ v เมื่อกําหนด(54.1) u = 2i− 2 3j, v = 3i+j(54.2) u = 2 3i+ 2j , v = − 3 3i+3j(54.3) u = 2i+ 3j , v = − 3i+2j(55) จงแสดงว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยอาศัยการคูณเวกเตอร์ เมื่อกําหนดคู่อันดับดังนี้ A(2,2),B(6,4),C(10, 14) − และให้บอกว่ามุมใดเป็นมุมฉาก(56) u = − i+ j และ v = 2i+ xj ถ้ามุมระหว่าง u กับ v เป็น 135 ° จงหาค่าของ x(57) ถ้า u กับ v ทํามุมกัน 60 ° และ u = 2, v = 3 จงหามุมระหว่าง v− uกับ u(58) [Ent’38] กําหนด u = 3i− 4j และ u(u− v) = 24จงหา vcosθ เมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ v˜ , ÕQ = 12 i + 5j ลากเวกเตอร์ ˜QR ตั้งฉาก ÕP ที่จุด R จงหา ÕR(59) OP = 3 i −4 j(60) กําหนดให้ A(1,1),B(1, − − 2),C(7,3),D(6,5) เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยม ABCD ให้หาขนาดของมุมแหลม ที่เกิดจากเส้นทแยงมุมตัดกัน(61) จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมตามที่กําหนด(61.1) สามเหลี่ยม OAB เมื่อ ÕA = 3 i + 5j , ÕB = 8 i + 2j(61.2) สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เมื่อ ÃB = 2 i + 2 j , ÃC = − 3 i + 3 j(61.3) สามเหลี่ยมที่มี u+ vกับ u− vเป็นด้านสองด้าน เมื่อ u = 2i− j, v = i+j(62) ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีพื้นที่ 24 ตารางหน่วย และ ÃB ⋅ÃD = 3 จงหาค่าtan(DAB) ˆ เมื่อ Â เป็นมุมแหลม(63) [Ent’36]⎡ 2 ⎤ ⎡1⎤u = ⎢ , v =−5⎥ ⎢2⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ถ้า u ⋅ w = − 11 และ v ⋅ w = 8 จงหา w−v(64) กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ที่มี ÃB = u , ˜ BC = v , ˜ CA = w โดย u 7w = 15 และ u ⋅ v = 28 จงหาค่า w(v − 2u)(65) ให้นิยาม u ∗ v = (ac + bd) i − (bc − ad) j เมื่อ u = ai+ bj , v = ci+djถ้า a = 3i− 4j, b = 2i− 3j, c = 3i+ 2j จงหา a ⋅ (b ∗ c)(66) ถ้า u+ v+ w = 0, u = 2, v = 3, w = 4 จงหา u ⋅ v(67) [Ent’33] กําหนดเวกเตอร์ a = xi+ yj, b = 4i− 3j และ c = − 5i+5jถ้า a ⊥ b, a = 3 และ a ⋅ c > 0 จงหาค่า x + y(68) u = 3i− 4j, v = 2i− 3j ถ้า a เป็น unit vector ที่ตั้งฉากกับ u จงหาค่า v ⋅ a(69) เวกเตอร์ใดประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)= ,

คณิตศาสตร O-NET / A-NET237เวกเตอรก. 3i+ 2j, i+ 5j, 2i+ 3jข. 3i−2j, i− 5j, 2i+3jค. 3i−2j, −i− 5j, 2i+ 3jง. 3i− 2j, 2i+ 3j, − 3i+2j(70) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด2ก. ถ้า cos θ = 1 โดย θ เป็นมุมระหว่าง u กับ v แล้ว u vข. 2i j+ ตั้งฉากกับ6 12− i + j5 5ค. (u+ v) ⋅ (u+ v) = u ⋅ u + 2 u ⋅ v + v ⋅ vง. ถ้า u = 3i− 4j, v = 2i+ j แล้วมุมระหว่าง u กับ v เป็น arccos(2/5 5)˜ ˜ P(71) [Ent’32] จากภาพ จงหา PQ ⋅ RQ31QO60°Rแต่ในความเป็นจริงจุดใดๆ ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันเสมอไป แต่อยู่ใน ปริภูมิสามมิติ (3-3Dimensional Space : R ) ดังนั้นเราจําเป็นต้องใช้พิกัดฉาก 3 มิติ … ซึ่งประกอบด้วยแกน x, y,และ z ตั้งฉากกันที่จุดกําเนิด ... ระนาบ xy, yz, xz แบ่งปริภูมิออกเป็น 8 ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่าอัฐภาค (Octant) โดยอัฐภาคที่ 1-4 และ 5-8 จะมีลําดับเหมือนจตุภาคที่ 1-4 ดังรูปzzxO10.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติในเนื้อหาเรขาคณิตวิเคราะห์ได้กล่าวไปแล้วว่า2(1) ใน ระนาบ (Plane : R ) หนึ่งๆ เราจะอ้างถึงตําแหน่งหรือจุดใดๆ ได้ด้วยค่า พิกัด(Coordinate) โดยระบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบ พิกัดฉาก (Cartesian Coordinate)ประกอบด้วยแกนอ้างอิง 2 แกนที่ตั้งฉากกัน ณ จุดกําเนิด (จุด O) เรียกชื่อแกนนอนและแกนตั้ง ว่าแกน x และ y ตามลําดับ(2) แกนทั้งสองแบ่งพื้นที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่า จตุภาค (Quadrant)(3) การอ้างถึงพิกัดในระบบพิกัดฉาก นิยมเขียนในรูป คู่อันดับ (Ordered Pair) ที่สมาชิกตัวแรกแทนระยะทางในแนว +x และตัวหลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คู่อันดับ (2, 4)y48x31526yระนาบ yz (x = 0)ระนาบ xz (y = 0)ระนาบ xy (z = 0)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET238เวกเตอรzzxyQ(2,0,1) 1 P(2,4,1)42xR(2,4,0)yหลักในการตั้งลําดับแกนตามมาตรฐานคือ กฎมือขวา (Right Hand Rule) ... เมื่อแบมือขวาขึ้นตรงๆ และแยกนิ้วโป้งให้ตั้งฉากกับนิ้วชี้ จะได้ว่าปลายนิ้วทั้งสี่ชี้ไปในทิศ +x, ฝ่ามือหันไปในทิศ+y, และนิ้วโป้งชี้ไปในทิศ +zระบุตําแหน่งสิ่งต่างๆ ด้วย สามสิ่งอันดับ (Ordered Triple) ที่สมาชิกแต่ละตัวแทนระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว +z ตามลําดับ เช่น สามสิ่งอันดับ (2, 4, 1)เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ จะอ้างถึงด้วย Δ x , Δ y และ Δ z ดังรูปB (x 2 ,y 2 ,z 2 )P (3,4,-3)A (x 1 ,y 1 ,z 1 )⎡Δx⎤ ⎡x2−x1⎤ÃB =⎢Δy ⎥=⎢y2−y⎥⎢ ⎥ ⎢1⎥⎢⎣ Δz⎥⎦ ⎢⎣z2−z1⎥⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣c⎥⎦หมายเหตุ บางตําราใช้ ⎡⎣a,b,c⎤⎦ แทน a bOvuQ (-1,-6,3)R (2,-2,0)uv==⎡ 3 ⎤⎢ 4 ⎥⎢ ⎥⎣−3⎦⎡ 3 ⎤⎢ 4 ⎥⎢ ⎥⎣−3⎦การคํานวณเกี่ยวกับเวกเตอร์สามมิติ1. เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ Δ x เท่ากัน, Δ y เท่ากัน, และ Δ z เท่ากัน2. เมื่อกําหนดเวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแต่ละแกนดังนี้⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣c⎥⎦ก็จะเขียนเวกเตอร์ a bได้เป็น ai + bj + ck⎡ 1⎤i = ⎢0⎥⎢ ⎥⎢⎣ 0⎥⎦,⎡0⎤j = ⎢ 1⎥⎢ ⎥⎢⎣ 0⎥⎦2 2 23. ขนาดของเวกเตอร์ r = ( Δ x) + ( Δ y) + ( Δ z)(ใช้เป็นสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด คล้ายทฤษฎีบทปีทาโกรัสใน 2 มิติ)4. การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์5. การคูณแบบดอทและ u v u v cos⎡a⎤⎡d⎤ ⎡a+d⎤⎢b⎥ + ⎢e⎥ = ⎢b+e⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦ ⎣⎢ f⎦⎥ ⎣⎢c+f⎦⎥, และ⎡a⎤⎡d⎤⎢b⎥ ⋅ ⎢e ⎥ = (ai+ bj+ ck) ⋅ (di+ ej+ fk) = ad+ be + cf⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦⎣⎢f⎦⎥⎡0⎤k = ⎢0⎥⎢ ⎥⎢⎣1⎥⎦⎡a⎤⎡ka⎤k ⋅ ⎢b⎥= ⎢kb⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦ ⎣kc⎦⋅ = θ (ใช้สมการทั้งสองร่วมกัน ในการคํานวณมุม θ ระหว่าง u กับ v )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET239เวกเตอรสังเกตได้ว่าการคํานวณเกี่ยวกับเวกเตอร์ในสามมิตินั้น คล้ายคลึงกับเวกเตอร์ในสองมิติและสมบัติของเวกเตอร์ก็เป็นเช่นเดียวกันทั้งหมด ... จะมีเพียงสิ่งเดียวที่ต่างออกไป นั่นคือ การบอกทิศทางในสามมิติ จะไม่กล่าวถึงความชัน แต่จะวัดมุมที่เวกเตอร์กระทํากับแกนทั้งสาม เรียกว่า มุมกําหนดทิศทาง (Direction Angle) ได้แก่ มุม α (alpha), β (beta) และ γ (gamma)zมุม α คือมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน + xมุม β คือมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน + yมุม γ คือมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน + zอาศัยผลคูณแบบดอท (นําเวกเตอร์ u = ai + bj + ckมาดอทกับ i, j,k ทีละอัน) จะได้..acos α = , cos β =ubu, และcosγ =cuxγαβเรียกค่าทั้งสามนี้ว่า โคไซน์แสดงทิศทาง (Direction Cosine) มักกล่าวถึงค่าเหล่านี้แทนมุม2 2 2ข้อสังเกต cos α + cos β + cos γ = 1เวกเตอร์สองอันจะขนานกัน ( u v) ก็ต่อเมื่อ โคไซน์แสดงทิศทางของ u กับ v ทั้งชุด..(1) มีค่าตรงกัน ... (แสดงว่า u กับ v มีทิศทางเดียวกัน)หรือ (2) เป็นค่าติดลบของกัน ... (แสดงว่า u กับ v มีทิศทางตรงข้ามกัน)และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกัน ( u ⊥ v) ก็ต่อเมื่อ u ⋅ v = 0แบบฝึกหัด 10.6(72) กําหนดพิกัดจุด P(1,2,3) และ Q( − 1,3,5) ให้หา(72.1) เวกเตอร์ PQ˜(72.2) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกับ PQ˜(72.3) เวกเตอร์ขนาด 7 หน่วย ในทิศเดียวกับ ˜QP(73) กําหนด u = i + 3j และ v = −2i − 2j + 6k ให้หา(73.1) u+ v(73.3) เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศ v(73.2) u + v(73.4) ขนาดมุมระหว่าง u + v กับ v(74) ให้หา u ⋅ v และมุมระหว่าง u กับ v ในแต่ละข้อ(74.1) u = −i − k และ v = 3i + j(74.2) u = 2i − j + k และ v = i + j + 2k(75) กําหนด u = i − 2 j + 3k, v = 3i + 4j + 2k และ w = 2i + 4j + 2kให้พิจารณาว่าเวกเตอร์คู่ใดบ้างที่ตั้งฉากกัน(76) รูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A(2, − 1,1) , B(7,0, − 2) , และ C(3,2, − 1) เป็นจุดยอด เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ .. ถ้าเป็น ให้ตอบด้วยว่ามุมใดเป็นมุมฉาก(77) ให้หาโคไซน์แสดงทิศทางของ u = 2i − j + 3k และ v = − 4i + 2j − 6kและพิจารณาว่าเวกเตอร์ดังกล่าวขนานกันหรือไม่OuyMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET24010.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์เวกเตอรการคูณเวกเตอร์แบบครอส เช่น u × v จะยังคงให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์มีนิยามดังนี้⎡a⎤⎡d⎤ ⎡bf−ce⎤i j k⎢b⎥ × ⎢e⎥ = ⎢cd− af⎥= a b c⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦ ⎣⎢f⎦⎥⎣ae−bd⎦d e f(มักจะอาศัย det ของเมตริกซ์ช่วยจํารูปแบบการครอสและหาผลลัพธ์โดยวิธีโคแฟกเตอร์ ตัดแถวตัดหลัก)** ผลลัพธ์ที่ได้ จะตั้งฉากกับระนาบ uv ... หาทิศทางได้ด้วยกฎมือขวาโดยสี่นิ้วพุ่งไปทาง u กํามือเข้าหา v ผลลัพธ์มีทิศทางตามนิ้วโป้งที่ชูขึ้น(ดังนั้น i × j = k, j × k = i , k i j× = )vuu×v× v uขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ u× v = u v sinθช่วยคํานวณมุม θ ระหว่าง u กับ v ได้สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบครอส• u × v = − (v × u)• u × (v + w) = u × v + u × w• a(u × v) = a u × v• u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ w• u × u = 0• 0 × u = 0• u × v = 0 ↔ uvuθvสูตรในการหาพื้นที่สามเหลี่ยม เมื่อมีด้านประชิดเป็นu กับ v และมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น θ คือ1 1u v sin θ → u × v2 2พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ u v sin θ → u × vปริมาตรของ ทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน (Parallelepiped) ที่มีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์ u , v , wคือผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์ มีค่าเท่ากับu u uu (v w) v v vw w w1 2 31 2 31 2 3⋅ × = ลูกบาศก์หน่วย(หากสลับลําดับเวกเตอร์ไม่ถูกต้อง ผลคูณที่ได้อาจติดลบจึงต้องใส่ค่าสัมบูรณ์กํากับไว้ด้วย)แบบฝึกหัด 10.7(78) ให้หา u × v และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับ u และ v ในแต่ละข้อ(78.1) u = 2i − 3j และ v = i − 5j(78.2) u = i − 2 j และ v = 3i + kMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)uwv

คณิตศาสตร O-NET / A-NET241เวกเตอร(78.3) u = i + 3j และ v = −2i − 6j(79) [จากข้อ 74.2] กําหนด u = 2i − j + k และ v = i + j + 2k(79.1) u × v(79.3) ค่า sin ของมุมระหว่าง u และ v(79.2) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดเป็น u และ v(80) ให้หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดดังนี้(80.1) P(1,2,3), Q( − 1,3,5) และ R(3, − 1,0), B(1,4,5) และ C(7,2,9)(80.2) A(2,0, − 3)(81) ให้หาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เมื่อกําหนด(81.1) A(2,0, − 3) , B(1,4,5) และ C(7,2,9)(81.2) ÃB = 3 i −2 j และ ˜DA = − i + j −2k(82) ให้หาปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน ที่มีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์ดังนี้(82.1) u = i − 2 j + 3k, v = 3i + 4j + 2k และ w = i + 4j − k(82.2) u = −2i − 6 j + k, v = 2i + 4j − k และ w = 4i + 2j − 2k(1) ถึง (3) ดูในเฉลยวิธีคิด(4) 50 กม. ทิศ 350 °(5) 500 3 กม. ทิศ 060 °(6) 300 กม./ชม. ทิศ 037 °(7) 50 21 กม./ชม.(8) 5 กม./ชม. ทิศ 037 °(9) u มีขนาด 6 3 หน่วยทิศ 060 ° หรือ 120 °และ v มีขนาด 6 หน่วยทิศ 030 ° หรือ 150 °(10) u + v ,u2 2+ v , u − v2 2(11) u v u + v , u + v(12) 6, 2 (13) 20(14) 150 ° (15) 106(16) 14 (17) 5 41(18) arccos (3/5) (19) 4 π /5(20) ก. เพราะ ÃD ยาว 4 ซม.− ,(21) 18+ 6+ 12 = 36(22) arcsin ( 3/2 7)หรือตอบในรูป arccos ( − 5/2 7)(23) x ≠ −1, − 2, 1/3(24) x ≠ − 3, 2เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(25) − 3 < x < 2(26) − 4/3 < x < 4/3(27) x = 6 และ y = 2(28) a = 2 และ b = − 3(29) a = 2 และ b = − 11 1(30) u v8 21(32) a b6(34) a = b = 1/4(35)− − (31)+ (33)mBC + nBAm + n⎡(38) 1 ⎤⎢3⎥, ⎡ 6 ⎢⎣ ⎦ ⎣−8Q(1, 4)⎡4⎤ ⎢ → 53⎥⎣ ⎦a +1− (a + b)61b3˜ ˜ (36-37) ...⎤⎥⎦(39) P(1, 7) − ,⎡ ⎤⎢ →7⎥⎣ ⎦− (40) 3 58 ,,⎡ 1 ⎤⎢ →−4⎥⎣ ⎦17(41) 13 , 15 − 6 2(42.1) ขนานกัน ทิศตรงข้าม(42.2) ขนานกัน ทิศเดียวกัน(42.3) ไม่ขนานกัน(42.4) ขนานกัน ทิศเดียวกัน(43) 3 u −10 v11 11Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)(44) w = u + 2v(45) 50+ 26 = 76(46.1) 3i−2j(46.2) − 4i+j(46.3) 5i−3j(46.4) −i−j(46.5) i−j(47.1) − 21i + 20 j2 2(47.2) 21 + 20(48.1) 3 i −4(48.2)j5 51 (i − 4j)17(48.3) 3 (i + 4j)17(48.4) 13 (i + 4j)17(49) (11, 16) หรือ ( −7, − 8)−ai− bj(50)2 2a+ b(51) 3i+3j(52) 18, –28, –22, 11/2(53) –37, 11(54) 90 °, 120 ° , 90 °

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(55) ˜ ÃB ⋅ AC = 0 และมุม A เป็นมุมฉาก (56) 0(57) arccos ( − 1/2 7) หรือ180 °− arcsin (3 3/2 7)(58) 1/5 (59) 16 (3 i − 4 j)25(60) arccos (2/ 5)(61.1) 17 ตารางหน่วย(61.2) 6 ตารางหน่วย(61.3) 3 ตารางหน่วย(62) 8 (63) 2(64) 6 (65) 52(66) 3/2 (67) 21/5(68) ± 1/5 (69) ข.(70) ถูกทุกข้อ (71) 1/4(72.1) − 2i + j + 2k(72.2) 1 (2i j 2k)242(72.3) 7 (2 i − j − 2 k)3(73.1) 38 (73.2) 10 + 44(73.3)(73.4)1(2i 5j 6k)38 − − +18arccos( )418−3arccos( )20(74.1) –3 และ(74.2) 3 และ π /3(75) u ตั้งฉากกับ w(76) เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก,มุม C เป็นมุมฉาก2 −1 3(77) ( , , )14 14 14−2 1 −3( , , )14 14 14(ทิศตรงกันข้าม)และดังนั้นขนานกัน3 − + + เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)เวกเตอร(78.1) − 7k และ ± k(78.2) −2i − j + 6k และ1± (2i − − j + 6k)41(78.3) 0 และ ไม่มี(79.1) −3i − 3j + 3k(79.2) 3 3 ตารางหน่วย(79.3) 3/2(80.1) 29/2 ตารางหน่วย(80.2) 9 13 ตารางหน่วย(81.1) 18 13 ตารางหน่วย(81.2) 53 ตารางหน่วย(82.1) 2 ลูกบาศก์หน่วย(82.2) 0 ลูกบาศก์หน่วย(ไม่เกิดทรงสี่เหลี่ยม)(1) หัวต่อหาง หางต่อหางหัวต่อหางu−vu+vuu− v(2) 40 km/h (3)60 km/hvvv5uหางต่อหางuu+v(4) − u คือ ระยะทาง 50 กม. ทิศ 350°u−v1012(5)Ã1,00030˚ θB30˚ 30˚5002 2|AC| = 1,000 + 500 − 2(1,000)(500)(cos 60 ° )= 500 3 กม.หาทิศด้วยกฎของ sinคือ sin θ sin 60 °= → θ = 30° ∴ทิศ 060°500 500 3(6)240θ1802 2240 + 180 = 300 กม./ชม.ทิศ ≈ 037° (เป็น Δ มุมฉาก อัตราส่วน 3:4:5)CMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET243เวกเตอร(7)3(9) กรณีที่ 1θ20050 30˚ 30˚ 2 2ตอบ 50 + 200 + 2(50)(200) cos 60°= 50 21 กม./ชม.(8)4Aพายจริงตอบ 5 กม./ชม.ทิศ ≈ 037°u =2 26 + 6 + 2(6)(6)cos60° = 6 3 หน่วยv =2 26 + 6 − 2(6)(6)cos60° = 6 หน่วย( Δ ด้านเท่า)ทิศ u คือ 060° , ทิศ v คือ 150°กรณีที่ 2 6AB60˚Cทิศ u คือ 120°, ทิศ v คือ 030°(10) 0°→ u+ v = u + v2 290°→ u+ v = u + v180°→ u+ v = u − v(11) 0°→ u− v = u − v2 290°→ u− v = u + v660˚6C6vv180°→ u− v = u + v[หมายเหตุ ข้อ 10, 11 จะคิดโดยวาดรูป หรือโดยใช้กฎของ cos ก็ได้]uBu(12) ถ้า u+ v+ w = 0แสดงว่าหัวชนหางกันหมดพอดี เป็นรูป Δ แต่จากขนาดที่ให้มา 2, 4, 2ไม่เป็น Δ แต่เป็นแค่เส้นตรงดังรูปv∴ u− v = 2 + 4 = 6, u+ v = 4 − 2 = 2(13)2 2u+ v+ w = 2 + 4 = 20(14)2 225+ 12 3 = 4 + 3 −2(4)(3) cos θuv= 25 − 24 cos θ∴ cos θ = − 3/2 → θ = 150°(15)2 212 = 10 + 5 + 2(10)(5) cos θ∴ 2(10)(5) cos θ uv = 192 2u− v = 10 + 5 − 2(10)(5)cos θ2 2= 10 + 5 − 19 = 1062 2(16) 6 = 4 + 3 + → = 112 2∴ u− v = 4 + 3 − 11 = 14(17) u ⊥ v ดังนั้น2 2u+ v = u− v = 4 + 5 = 41ตอบ 2 41 + 3 41 = 5 41(18) ให้ u = v = a จะได้ว่า2 2 2 2 2 2a + a + 2a cos θ = 2 a + a −2a cos θ2 22a (1 + cos θ ) = 4(2a )(1 − cos θ )3 3∴ cos θ = → θ = arccos5 5uv(19) ให้ u = w = a จะได้2 2 2 2uva + v − 2a v cos θ = v + a + 2 v a cos θ→ cos θ uv = − cos θ vwเนื่องจาก θ uv = π 4ดังนั้น θ vw =55(มองจากวงกลมหนึ่งหน่วยในเรื่องตรีโกณมิติ)u2 v w u3 1πuvuvuvwuvvwMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET244เวกเตอร(20)AFO2B Cก. ÃD +˜FD ยาวเกิน 4 ซม. ถูกเพราะแค่ ÃD ก็ยาว 4 ซม. แล้วและ FD˜ยังชื้ในทิศต่อออกไปอีกข. ÃB +˜ED ยาว 4 ซม. พอดีค. ˜FO +˜DO ยาว 2 ซม.ง. ÕD +ÕB ยาว 2 ซม.แสดงว่ายาว 2 ซม. ทุกส่วนเพราะประกอบจากสามเหลี่ยมด้านเท่า(21) u − 4v = 3v − 2w → 2w = −v − uและ 3v − 4w = 2w + 5u → 6w = 3v − 5uดังนั้น (จาก 2 สมการ) จะได้u = 3v → w = − 2v∴ถ้า w = 12 → v = 6 → u = 18ตอบ 18 + 6 + 12 = 36(22) หาขนาดก่อน2 2 1u = 2 + 1 − 2(2)(1)( − ) = 72ก. หาค่า θ โดยกฎ sinsin θ sin 120°3= ∴ θ = arcsin( )1 7 2 7หรือ ข. หาค่า θ โดยกฎ cos เช่นเดิมก็ได้w = 2v − u →22Eww = 2 + 7 − 2(2)( 7)cos θ = 15arccos( )2 7∴θ = − (มีค่าเท่ากัน)(23) u//v → แสดงว่า สัมประสิทธิ์ ≠ 0 นั่นคือ2 2x + 6x −2 − x + 2x ≠ 0 และ −1− x ≠ 02→ 3x + 5x −2 ≠ 0 → (3x − 1)(x + 2) ≠ 0→ x ≠ 1/ 3, −2, − 12(24) u//v → x − 5− 1+ x ≠ 0→ (x + 3)(x − 2) ≠ 0 → x ≠ − 3, 22(25) จาก (x − 5 − 1 + x) u = − 2vu มีทิศเดียวกับ v แสดงว่าสัมประสิทธิ์ของ u จะต้องติดลบด้วย2x + x − 6 < 0 → (x + 3)(x − 2) < 0→ − 3 < x < 2D120˚vu = 2v − wv2 2 2(26) − − = −3 5ทิศเดียวกัน แสดงว่าสัมประสิทธิ์ของ v เป็นบวกด้วย(6 3x ) v (100 ) u2 162→ − 3x + > 0 → 9x − 16 < 03→ − 4/3 < x < 4/3(27) u ไม่ขนาน v แสดงว่าสัมประสิทธิ์ = 0 ทุกตัว → x − 2 − 2y = 0 ..... (1)และ x − 8 + y = 0 ..... (2) ∴ x = 6,y = 2(28) 3 − 3a − b = 0.....(1)8 − a + 2b = 0 .....(2) ∴ a = 2,b = − 3(29) 3[(a+ 4b) u + (2a + b+1) v]= 2[(b − 2a + 2) u + (2a −3b − 1) v]→ u ไม่ขนาน v ดังนั้น3(a + 4b) − 2(b − 2a + 2) = 0 ..... (1)3(2a + b + 1) − 2(2a −3b − 1) = 0 .....(2)แก้ระบบสมการได้ a = 2,b =− 1(30) A 3 Q 5˜D˜ ˜PQ = PB + BQ1 5 1 1= ( u − v ) + ( − u) = − u − v2 8 8 2[หมายเหตุ แบบฝึกหัดนี้แต่ละข้อทําได้หลายวิธีเช่น ข้อนี้อาจเริ่มจาก ˜PQ =˜PA +ÃQ1 3 1 1=− ( u + v)+ u =− u − v]2 8 8 2(31) จากรูปในโจทย์→ ˜ ˜ ˜1AF = AB + BF = (2a) + (a + b − 4a)31= a + b3(32)MDA B˜ ˜ ˜ ˜vaPNa+b1 1MN = MD + DN = AD +˜DC2 31 1 1= (a + (a + b)) + (a − (a + b)) = a + b2 3 6ÃB ˜BD ˜BC ˜BDCuOBCMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET245เวกเตอร(33)A˜ ˜bCO1 1 1 1DO = DA = ( − (a + b)) = − (a + b)3 3 2 6(34) D3Aจะได้ว่า ˜EF1= ED4ตอบ a = b = 1/ 4aDC1F E2B˜ และ ˜CF(35)Bจาก ˜BD =˜BC +˜CDn=˜BC+˜CA .....(1)m + nและ ˜BD =˜BA +ÃDm=˜BA −˜CA.....(2)m + nn(1)+(2); ˜ −=˜+ ˜+mแทน ˜CA =˜BA −˜BC→˜ ˜ ˜ ⎛n− m⎞˜Bจาก Δ คล้ายAFD กับ CFE˜1= CA4A˜m2BD BC BA CA+ n˜2BD = BC + BA + ⎜ ⎟(BA − BC)⎝ m + n⎠˜˜ ˜ตอบmBC+nBA→ BD =m + nCnDm[สังเกต ผลที่ได้เหมือนกับสูตรจุดแบ่งเส้นตรงเป็นอัตราส่วน m:n ในบทเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์](36) ADEBC˜DE =˜DA +ÃE .....(1)˜BC =˜BA +ÃC = 2˜DA + 2˜ AE .....(2)เทียบ (1) กับ (2) พบว่าเป็น 2 เท่าของกันและกัน1ดังนั้น ˜DE =˜BCและ ˜DE //˜BCด้วย2(การพิสูจน์ว่าขนาน ต้องพิสูจน์ว่าเป็น a เท่าของกัน)(37)A˜BE =˜BC +˜CD +˜DE .....(1)˜ ˜ ˜ ˜BCAF = AB + BE + EF˜ ˜ ˜ .....(2)= BC + BE + DE(1)-(2); ˜BE −ÃF =˜CD −˜BEดังนั้น˜˜ ˜CD + AFBE =2˜ 3 − 2PQ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢7 − 4⎥ =⎣ ⎦ ⎢⎣3⎥⎦(38.1)16(38.2) ˜PQ⎡=⎤⎢ ⎣ − 8 ⎥ ⎦−3 −2 − x(39.1)⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 2 ⎥=⎢−5 − y⎥→ P(x, y) = (1, −7)⎣ ⎦ ⎣ ⎦−3x − 4(39.2)⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 2 ⎥=⎢y + 6⎥→ Q(x, y) = (1, −4)⎣ ⎦ ⎣ ⎦32 2(40) ÃB⎡ ⎤˜=⎢7⎥, AB = 3 + 7 = 58⎣ ⎦˜ 1BC⎡ ⎤ ˜=⎢−4⎥, BC = 17⎣ ⎦˜ 4AC⎡ ⎤˜=⎢3⎥, AC = 5⎣ ⎦6 − 6 − 3 −3(41) 2u − 3v + w =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢− 8 + 6 + 4=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦2 2∴ 2u − 3v + w = 3 + 2 = 13แต่ 2u − 3v + w = 2(5) − 3(2 2) + 5+ ≠ + ]= 15 − 6 2 [อย่าลืม!! u v u v(42.1) ขนานกัน ทิศตรงข้ามกัน(42.2) ขนานกัน ทิศเดียวกัน(42.3) ไม่ขนานกัน(42.4) ขนานกัน (ความชัน = − 2) ทิศเดียวกัน(ดูทิศจากเครื่องหมายบวกลบที่ x, y )1 3 2(43)⎡−⎤= a⎡ ⎤+ b⎡ ⎤⎢⎣ 2⎥⎦ ⎢⎣4⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦แสดงว่า 1 3a 2b− = + และ 2 = 4a − b3 103 10∴ a = ,b = − ตอบ w = u − v11 1111 11(44) เหมือนข้อที่แล้ว คือ6 = 4a + b และ 9 = a + 4b ∴ a = 1,b = 2ตอบ w = u + 2vDEFMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET246เวกเตอร(45)เส้นทแยงมุมคือ ÃC กับ BD˜˜ 5ได้จาก ˜ ˜หา ACAB + AD = ⎡ ⎤⎢ ⎣ 1 ⎥ ⎦ÃD−ÃB =⎡ ⎤⎢ ⎣7⎥ ⎦1หา BD˜ได้จากและได้ ÃC = 26 , ˜BD = 50ตอบ 26 + 50 = 76(46.1) u = 3i − 2j(46.2) v =− 4i + j(46.3) w = 5i − 3j(46.4) u + v = −i − j(46.5) 2u − w = i − j(47.1)⎡ 2 ⎤⎢⎣−3⎥⎦A˜B˜282AB− 3CD=2( −3i − 4j) − 3(5i − j)3=− 21i + 20 j2 AB − 3˜ CD = 21 + 20 = 8412 2(47.2) |˜|(48.1) u = 3 i −4 ju 5 5(48.2) ใส่ลบเพราะต้องการทิศตรงข้ามv 2 8 1 4− = i − j = i − jv 68 68 17 17(48.3) u+ v = i + 4j → ต้องการ 3 หน่วยคือ 3 (i + 4j)17⎡3⎤⎢⎣ 4⎥⎦2 2(48.4) u− v = 5 + 12 = 13หน่วย13∴ ตอบ (i + 4j)173 4(49) ˜PQ =± 15 ( i + j) =± (9 i + 12 j)5 5[บวกลบ เพราะ “ขนานกัน” อาจเป็นทิศตรงข้ามก็ได้]ถ้า ˜PQ = 9 i + 12 j ได้ Q(11, 16)ถ้า ˜PQ =−9 i −12 j ได้ Q( −7, − 8)(50) ˜ −ai− bjPQ = a i + b j → ตอบ2 2DaC+ b(51)v60˚u2⎡−1/ 2⎤⎢ 1/ 2 ⎥⎣ ⎦3θv−uj3 245˚เวกเตอร์ที่ต้องการจะอยู่ใน Q 1แยกเวกเตอร์ขนาด 3 2 ลงบนแกน x และ yจะได้ด้านละ 3 หน่วย ดังนั้นตอบ 3i + 3j(52.1) u ⋅ v = (3)(2) + ( −4)( − 3) = 18(52.2) −8 − 20 = − 28(52.3) −12 − 10 = − 22(52.4) 3 + 4 =112 26 5(53.1)⎡−⎤ ⎡ ⎤⎢ 7 ⎥⋅−1=−37⎣ ⎦ ⎢⎣⎥⎦(53.2) AB˜⋅ ˜BC + AB˜⋅ÃC−6−1=− 37 +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 7 ⎥⋅⎢6⎥=− 37 + 48 = 11⎣ ⎦ ⎣ ⎦(54.1) u ⋅ v = u v cos θ→ u ⋅ v = 2 3 − 2 3 = 0 → ∴ θ = 90°(54.2) u ⋅ v = (2 3)( − 3 3) + (2)(3) = − 12→ − 12 = (4)(6) cos θ → ∴ θ = 120°(54.3) u ⋅ v = 0 → ∴ θ = 90°4 84(55) ÃB ,ÃC ⎡ ⎤,˜BC=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 2=16=⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ − 18 ⎥ ⎦˜ ˜∴มุม A 90พบว่า AB ⋅ AC = 0(56) u ⋅ v = u v cos θ2→− 2 + x = ( 2)( 4 + x )cos 135°2→ x − 2 = − 4 + x2 2→ x − 4x + 4 = 4 + x → x = 0(57)แบบแรก กฎของ sin ใน Δ ;หาขนาด v − u ก่อน= °คิดได้ 2 แบบ2 2v − u = 3 + 2 − 2(3)(2)cos60° = 7ใช้กฎของ sinsin θ sin 60°→ =3 73 3∴θ = 180°−arcsin( )2 7(สาเหตุที่มี 180°− arcsin เพราะต้องการมุมป้านแต่ค่า arcsin นิยามไปถึงเพียง 90˚)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET247เวกเตอรแบบที่สอง ใช้การคูณเวกเตอร์( v − u)⋅ u = v − u ⋅ u ⋅ cos θ2→ v ⋅ u − u = v − u ⋅ u ⋅ cos θ2→ (3)(2)(cos 60 ° ) − (2) = ( 7)(2) cos θ1∴θ = arccos( − )2 7(หมายเหตุ 2 คําตอบนี้มีค่ามุมเท่ากัน)2(58) u(u− v) = 24 → u − u ⋅ v = 242→ (5) − (5)vcosθ = 24→ vcosθ = 1/5(59)หามุม θ ก่อนจาก ˜ÕQ ⋅ OPO16= 36 − 20 = 16 = (5)(13) cos θ → cos θ =6513 16 16ดังนั้น ˜ ˜⋅OR = OQ cos θ = =65 5ÕR = เวกเตอร์ 16 5˜θQRหน่วยในทิศ ÕP16 3 4 16∴ OR = ( i − j) = (3i −4j)5 5 5 25(60) ลองพล็อตจุดลงบนแกน เพื่อหาลําดับการเรียงจะพบว่า เส้นทแยงมุมเป็น ÃC กับ BD˜˜ ⎡6⎤˜ ⎡7⎤→ AC =⎢2, BD =⎣ ⎥⎦⎢⎣ 7⎥⎦มุมระหว่างเส้นทแยงมุม คิดจาก ÃC⋅˜BD→ 42 + 14 = ( 40)( 98)(cos θ )→θ= arccos 2/ 5(61.1) หามุม θ ระหว่าง ÕA กับ ÕB ก่อน→˜ÕA ⋅ OB = 24 + 10 = 34 ⋅ 68 cos θ1→θ= 45° ..พื้นที่ ˜ÕAB OA OB sinΔ = θ21 134 68 172 2= ⋅ ⋅ ⋅ = ตร.หน่วย(61.2) ÃB ⋅ÃC = 0 แสดงว่า มุม A 901พื้นที่ ˜Δ = AB˜ AC21= (2 2)(3 2) = 6 ตร.หน่วย2(61.3) u+ v = 3i , u − v = i − 2j →หามุม= °θ 3 = (3)( 5)cos θ → cos θ =2∴ sin θ = → พื้นที่ Δ =5= 3 ตร.หน่วย1 2(3)( 5)( )2 515P(62)พื้นที่ = AB AD sin θ= 24 ˜˜˜ ˜ = ˜ÃB ⋅ AD AB AD cos θ= 3∴ tan θ= 8a(63) ให้ w= ⎡ ⎤⎢ ⎣b⎥ ⎦จะได้ 2a − 5b = − 11และ a + 2b = 8 ดังนั้น a = 2,b = 32 1∴ w =⎡ ⎤3w v⎡ ⎤⎢→ − =⎣ ⎥⎦⎢⎣ 1⎥⎦→ w − v = 2(64)u = 7 ,u ⋅ v = 28 uw = 15→ u + v = 1522A→ 7 + v + 2(28) = 15u2Bwvu+ v = − w→ v = 120หา w(v− 2u) = ( −u− v)(v − 2u)2 2= −u ⋅ v + 2 u − v + 2u ⋅ v2 2 2= u ⋅ v + 2 u − v = 28 + 2(7) − 120 = 6(65) b ∗ c = [(2)(3) + ( − 3)(2) ] i−[ ( −3)(3) − (2)(2) ] j = 13 j∴ a ⋅(b ∗ c) = (3i − 4j) ⋅ (13j) = − 52→ a ⋅(b ∗ c) = 52(66)u+ v+ w = 0แสดงว่าเป็น Δ ดังรูปหามุม θ โดย2 2 24 = 2 + 3 − 2(2)(3)cos θ→ cos θ = − 1 / 4 .... ∴θ = arccos( − 1 / 4)∴ มุมระหว่าง u กับ v จะต้องวัดระหว่างหางกับหางเท่านั้น คือA1180°−arccos( − )41ดังนั้น u ⋅ v = u v cos(180° − arccos( − ))41 1 3= u v ( − cos(arccos( − )) = (2)(3)( ) =4 4 2Bθ43wvDCCMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET9 12a = i+j5 5และ x y 9 / 5 12 / 5 21/ 5+ = + = เท่านั้น(68) ให้ a = xi+ yj จะได้ 3x − 4y = 0 .....(1)2 2และ x + y = 1 .....(2)4 3x ,y5 58 9 1v ⋅ a = − = − หรือ5 5 5∴ ได้= = หรือ4 3x = − ,y = −5 58 9 1− + =5 5 5(69) เวกเตอร์ 3 อันจะประกอบเป็น Δ ได้แสดงว่า ± a ± b ± c = 0 พอดี (บวกหรือลบก็ได้)2Δ นี้เป็นมุมฉากด้วย แสดงว่า a =2b +2cหรือมีคู่หนึ่งซึ่ง ma ⋅ mb= − 1ก. m = 2/3, 5, 3/2 ไม่ถูกข. m =−2/3, − 5, 3/2 ถูก และพบว่า(3 i −2 j) − ( i −5 j) − (2 i + 3 j) = 0 ด้วย ตอบ ข.ค. m =− 2/3, 5, 3/2 ถูก แต่ไม่สามารถบวกลบกันให้เป็น 0 ได้เลย ข้อ ค. จึงยังไม่ใช่..ง. m =−2/3, 3/2, − 2/3 ไม่เป็น Δเพราะมีคู่หนึ่งที่ขนานกัน(70) ก. cos θ=± 1 → θ= 0 ° , 180° ถูกข. ดอทกันได้ 0 →∴ตั้งฉาก ถูกค. ถูก เพราะ u ⋅ v = v ⋅ uง. ถูก จาก u ⋅ v = 6 − 4 = (5)( 5)cos θ∴θ = arccos(2/5 5)(71) ˜˜PQ ⋅ RQ =˜PQ ⋅ (RO˜+ÕP +˜PQ)˜˜ ˜˜ ˜ 2˜ ˜ เพราะตั้งฉากกัน และ˜ 2 2= =˜˜ ˜˜= PQ ⋅ RO + PQ ⋅ OP + | PQ |→ PQ ⋅ OP = 0|PQ| 1 1ดังนั้น PQ ⋅ RQ = PQ ⋅ RO + 1 →หามุมระหว่าง PQ˜ กับ RÕ ได้เป็น 150°ดังภาพPและ 60˚RÕQ= 3cos60°=3260˚O R3 1∴ ตอบ (1)( )(cos 150 ° ) + 1 =2 4248(72.1) ˜PQ = ( −1 − 1)i + (3 − 2)j + (5 − 3) k(67) a ⊥ b → a ⋅ b = 0 → 4x − 3y = 0... (1)2 2a = 3 → x + y = 3 ..... (2)=− 2i + j + 2kแก้ระบบสมการได้ x = 9/5,y = 12/5 หรือ (72.2) เนื่องจาก ˜ 2 2 2PQ = 2 + 1 + 2x =− 9/5,y =− 12/5= 9 = 3 ดังนั้นตอบ − + +โจทย์ให้ a ⋅ c > 0 ดังนั้น(72.3) ˜QP = −˜PQ = 2 i − j − 2kดังนั้นตอบ 7 (2 i j 2k)3 ⋅ − −(73.1) u+ v = − i + j + 6k2 2 2= 1 + 1 + 6 = 382 1 2i j k3 3 32 2 2 2 2(73.2) u + v = 1 + 3 + 2 + 2 + 6= 10 + 44(73.3) เนื่องจาก v = 381ดังนั้นตอบ(2i 5j 6k)38 ⋅ − − +(73.4) u + v = − i + j + 6k ,v =−2i − 2j + 6k นํามาดอทกันจะได้ (u + v) ⋅ v = 2 − 2 + 36= u + v ⋅ v ⋅ cos θ = 38 ⋅ 44 cos θ36 18∴ cos θ = =38 ⋅ 44 41818→ θ = arccos( )418(74.1) u ⋅ v =− 3 + 0 + 0 =− 3−3u = 2 v = 10 ∴ θ = arccos20(74.2) u ⋅ v = 2 − 1 + 2 = 33u = 6 v = 6 ∴ θ = arccos = π6 3(75) u ⋅ v = 3 − 8 + 6 = 1v ⋅ w = 6 + 16 + 4 = 26w ⋅ u = 2 − 8 + 6 = 0 ∴ u ⊥ w(76) ÃB = 5 i + j − 3kÃC = i + 3 j − 2 k˜BC = − 4 i + 2 j + k˜˜พบว่า AC ⋅ BC = 0ดังนั้น Δ ABC เป็น Δ มุมฉาก, มุม C = 90°เวกเตอรMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(77) สําหรับ u .... u = 142 −1∴ cos α = , cos β = และ14 143cos γ =14สําหรับ v .... v = 2 14−4 −2 1∴ cos α = = , cos β =2 14 14 14−3และ cos γ =14ดังนั้น u กับ v ขนานกัน (โดยมีทิศตรงข้ามกัน)(78.1) เนื่องจาก= 0i + 0j − 7k = − 7ki j ku × v = 2 −3 01 −5 0เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับ u และ v ก็คือเวกเตอร์ที่ขนานกับ u × v นั่นเอง∴ ตอบ ± k (นําขนาดคือ 7 ไปหาร)(78.2)i j ku × v = 1 − 2 0 = −2i − j + 6k3 0 1และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย(78.3)i j ku × v = 1 3 0−2 −6 01=± (2i − − j + 6k)41= 0i + 0j + 0k = 0 (เนื่องจาก u//v นั่นเอง)และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ไม่มี(79.1)i j ku × v = 2 − 1 1 = −3i − 3j + 3k1 1 2(79.2) พื้นที่= u v sinθ= u × v2 2 2= 3 + 3 + 3 = 3 3 ตร.หน่วย(79.3) จาก u × v = u v sinθ จะได้3 3 = 6 ⋅ 6 ⋅ sinθ → sinθ =32249˜(80.1) PQ =− 2 i + j + 2 k˜PR = 2i − 3j − 3k1˜ ˜ 1Δ= PQ PR sin θ= |˜PQ ×˜PR |2 2i j k˜PQ ×˜PR = − 2 1 2 = 3 i − 2 j + 4 k2 −3 −3พื้นที่จาก1 29เวกเตอร2 2 2∴ พื้นที่ Δ= ⋅ 3 + 2 + 4 = ตร.หน่วย2 2[ใช้ ˜QP×˜หรือ QR˜ RP × ˜ RQ ก็ได้เช่นกัน](80.2) ÃB =− i + 4 j + 8kÃC = 5 i + 2 j + 12 k˜˜i j kAB × AC = − 1 4 8 = 32 i + 52j − 22 k5 2 1212 2 2พื้นที่ Δ= 32 + 52 + 22 = 9 13 ตร.หน่วย2(81.1) ˜BA = i − 4 j − 8 k˜BC = 6 i − 2 j + 4 k˜˜i j kBA × BC = 1 −4 − 8 = −32i − 52j + 22k6 −2 42 2 2พื้นที่ = 32 + 52 + 22 = 18 13 ตร.หน่วย˜ ˜(81.2) AB = 3 i − 2j , AD = i − j + 2k˜ ˜i j k∴ AB × AD = 3 − 2 0 = −4 i − 6 j − k1 −1 22 2 2พื้นที่ = 4 + 6 + 1 = 53 ตร.หน่วย1 −2 3(82.1) u ⋅ (v × w) = 3 4 21 4 −1= (1)( −12) − ( −2)( − 5) + (3)(8) = 2 ลบ.หน่วย(หากคิดได้ติดลบ ให้ตอบเฉพาะขนาดนะ!)−2 −6 1(82.2) u ⋅ (v × w) = 2 4 −14 2 −2= 0 ลบ.หน่วย (แสดงว่าไม่เกิดทรงสี่เหลี่ยม เพราะเวกเตอร์ทั้งสามอยู่ในระนาบเดียวกัน)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET250เวกเตอรeÃ×èo§æÁสิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์..เรื่อง ผู้คิดค้น (ประเทศ) ปี ค.ศ.ระบบจํานวน 60 และ 360 (เช่น มุม, เวลา)แนวคิดเรื่องอัตราส่วน πชาวบาบิโลนและอียิปต์โบราณ -3000ทฤษฎีบทปีทาโกรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก Phythagoras of Samos (กรีก) -500ขั้นตอนวิธีในการหา ห.ร.ม. Euclid (กรีก) -300แนวคิดเรื่องตรีโกณมิติ Hipparchus (กรีก) -140ค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30° 45° 60° Ptolemy (กรีก) 200แนวคิดเรื่องสมการกําลังสองAbu Ja'far Muhammad ibnMusa al-Khwarizmi (แบกแดด)830ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน e) หรือลอการิทึมเนเปียร์ John Napier (สก๊อตแลนด์) 1618ชื่อฟังก์ชันไซน์ และสัญลักษณ์ sin Edmund Gunter (อังกฤษ) 1624หลักการแยกตัวประกอบและแก้สมการพหุนาม Thomas Harriot (อังกฤษ) 1631การเขียนกราฟ, คู่อันดับ, และผลคูณคาร์ทีเซียน René Descartes (ฝรั่งเศส) 1637ทฤษฎีบททวินาม Blaise Pascal (ฝรั่งเศส) 1654ใช้สัญลักษณ์ ∞ แทนจํานวนที่มีค่ามากจนไม่สิ้นสุด John Wallis (อังกฤษ) 1655แคลคูลัส (อนุพันธ์และการอินทิเกรต)Isaac Newton (อังกฤษ)และ Gottfried Leibniz (เยอรมัน)1666กฎของโลปีตาลในการคํานวณลิมิต Guillaume de L'Hôpital (ฝรั่งเศส) 1696ใช้สัญลักษณ์ π แทนอัตราส่วนเส้นรอบวงกลม William Jones (อังกฤษ) 1706สัญลักษณ์ e, i (จํานวนจินตภาพ), และ f(x) Leonhard Euler (สวิส) 1727การกระจายแบบปกติ โค้งรูประฆัง Abraham de Miovre (ฝรั่งเศส) 1733แก้ปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก Leonhard Euler (สวิส) 1736กฎของคราเมอร์ (แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วย det) Gabriel Cramer (สวิส) 1750หลักการมีตัวประกอบจํานวนเฉพาะชุดเดียว Karl Friedrich Gauss (เยอรมัน) 1801ตรรกศาสตร์แบบสัญลักษณ์ George Boole (อังกฤษ) 1847แผนภาพของเซตJohn Venn (อังกฤษ) และLeonhard Euler (สวิส)186xทฤษฎีกราฟ Dénes König (ฮังการี) 1936แผนภาพลําต้น-ใบ และแผนภาพกล่อง John Wilder Tukey (อเมริกา) 1977ค่าของ e จนถึงทศนิยมละเอียดที่สุดที่คํานวณได้ความยาว 2 ล้านตําแหน่งRobert Nemiroff และJerry Bonnell (อเมริกา)1994ค่าของ π จนถึงทศนิยมละเอียดที่สุดที่คํานวณได้ความยาว 2 แสนล้านตําแหน่งYasumasa Kanada และDaisuke Takahashi (ญี่ปุ่น)1999จํานวนเฉพาะ ที่มีค่าสูงที่สุดที่ค้นพบCurtis Cooper และคือ 2 30402457 - 1 (มีอยู่ 9,152,052 หลัก)Steven R. Boone (อเมริกา)2005หมายเหตุ นอกจากที่เราเห็นชื่อผู้คิดค้นอย่างชัดเจน เช่น ทฤษฎีบทปีทาโกรัส, กฎของโลปีตาล, กฎของคราเมอร์,วิธีหา ห.ร.ม. ของยุคลิด, แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์, สามเหลี่ยมปาสคาล ฯลฯ ยังมีอีกหลายชื่อที่น่าสนใจครับ..(1) คําว่า algebra (พีชคณิต) และ algorithm (กระบวนการคิด) มาจากชื่อของ al-Khwarizmi(2) คําว่า cartesian มาจากชื่อของ Descartes(3) สัญลักษณ์ e มาจากชื่อย่อในลายเซ็นของ Euler ซึ่งเป็นผู้ประมาณค่าของ e และพิสูจน์ว่าเป็นจํานวนอตรรกยะส่วน Jones เลือกใช้อักษรกรีก π (pi) แทนอัตราส่วน 3.14.. เพราะมีเสียงขึ้นต้นเหมือน perimeter (เส้นรอบรูป)และ Wallis เลือกใช้สัญลักษณ์ ∞ แทนค่ามากจนไม่สิ้นสุด เพราะ ∞ เป็นตัวเลขในภาษากรีก แปลว่าหนึ่งพัน(4) ตรรกศาสตร์แบบสัญลักษณ์ บางครั้งเรียกตัวแปรค่าความจริงว่า boolean มาจากชื่อของ Boole(5) โค้งปกติรูประฆัง บางครั้งเรียกว่า Gaussian distribution มาจากชื่อของ GaussMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET251จํานวนเชิงซอนCplxº··Õè11 ¨íÒ¹Ç¹eªi§«o¹ระบบจํานวนที่ศึกษากันโดยปกติ คือระบบจํานวนจริง (Real Number; R) ซึ่งเราพบว่าบาง2สมการไม่มีคําตอบที่เป็นจํานวนจริง เช่น x + 4 = 0หรือ x 2 + x+ 2 = 0 ฯลฯ (เพราะในรากที่สองติดลบ) จึงได้มีการสมมติจํานวนแบบใหม่ขึ้นมาใช้เพิ่มเติม เพื่อให้ทุกปัญหามีคําตอบเสมอ จํานวนแบบใหม่นี้เรียกว่าจํานวนจินตภาพ (Imaginary Number; I m)จํานวนจินตภาพ อยู่ในรูป bi โดย b ∈ R และนิยามให้ i = − 1เช่น สมการ x 2 + 4 = 0 จะได้คําตอบเป็น x = ± − 4 นั่นคือ x = 2i, − 2i− 1 ± − 72สมการ x 21 7+ x+ 2 = 0 ใช้สูตรหาคําตอบจะได้ x = นั่นคือ x = − ± i2 2ระบบจํานวนที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ในรูป a + bi (โดยa, b ∈ R ) เรียกว่า จํานวนเชิงซ้อน (Complex Number; C) มี a เป็นส่วนจริง (Real Part) และb เป็นส่วนจินตภาพ (Imaginary Part) และมักแทนตัวแปรที่เป็นจํานวนเชิงซ้อนด้วย zหมายเหตุ1. จาก z = a + bi บางทีเขียนว่า a = Re(z) และ b = Im(z) ก็ได้เช่น ถ้า z 1 = 3 − 2i จะได้ Re (z 1) = 3 และ Im(z 1) = − 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET252จํานวนเชิงซอน2. บางตําราใช้ j = − 1 แทน i เพื่อป้องกันการสับสนกับตัวแปรอื่น เช่น กระแสไฟฟ้า* 3. ข้อสังเกต กําลังของ i มี 4 แบบหมุนเปลี่ยนกัน เริ่มจาก i 2 = − 1 ... i3 = − i ... 45i = i ... i 6 1แผนภาพของจํานวนเชิงซ้อน เปลี่ยนจากเส้นจํานวนในแกนนอน1 มิติ กลายเป็นระนาบ 2 มิติ (คือมีแกนจริง; Real Axis กับ แกนจินตภาพ; Imaginary Axis ตั้งฉากกัน) เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน(Complex Plane) ... และใช้คู่อันดับ (a, b) หรือเวกเตอร์ที่ชี้จาก(0, 0) มายัง (a, b) แทนจํานวนเชิงซ้อน z = a + bi ได้S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! SÃaÇa§oÂÒÊaºÊ¹¡aºeÇ¡eµoÃ¹a¤Ãaº ... ã¹eÃ×èo§eÇ¡eµoÃ¹aé¹æ¡¹¹o¹ÁÕi æ¡¹µaé§ÁÕjæµ¨íÒ¹Ç¹eªi§«o¹æ¡¹¹o¹äÁÁÕÊaÅa¡É³oaäÃeÅÂ æÅaæ¡¹µaé§ÁÕ i11.1 การคํานวณเบื้องต้นim0 3-2i = 1= − ... i7 = − i ... i 8 = 1 ...ในการคํานวณเราปฏิบัติเหมือนว่า i เป็นตัวแปรหนึ่ง (ซึ่ง i 2 = − 1) เพียงเท่านั้น1. การเท่ากัน a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d(3,-2)หรือเขียนเป็นคู่อันดับ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d2. การบวก (a + bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d) iหรือเขียนเป็นคู่อันดับ (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+d)3. การคูณ (a + bi) × (c + di) = (ac− bd) + (ad+bc) iหรือเขียนเป็นคู่อันดับ (a, b) × (c, d) = (ac− bd, ad+bc)สมบัติของจํานวนเชิงซ้อน เหมือนกับสมบัติของจํานวนจริงทุกประการ (และจํานวนจริงก็คือจํานวนเชิงซ้อนประเภทหนึ่ง) นั่นคือ มีสมบัติปิด, การสลับที่การบวกและคูณ, การเปลี่ยนกลุ่มการบวกและคูณ, การแจกแจง, และการมีเอกลักษณ์กับอินเวอร์ส โดยเอกลักษณ์การบวกก็คือ 0 หรือ0 + 0i หรือ (0, 0) และเอกลักษณ์การคูณคือ 1 หรือ 1 + 0i หรือ (1, 0) เช่นเดียวกับในระบบจํานวนจริง ... สรุปสั้นๆ ว่า ทุกกฎที่เคยใช้กับจํานวนจริง จะยังคงใช้ได้ดังนั้น อินเวอร์สการบวกของ z = a + bi ก็คือ − z = −a − bi−1 1 1และอินเวอร์สการคูณของ z = a + bi คือ z = =z a + biซึ่งสามารถทําให้อยู่ในรูปปกติได้โดยนํา a − bi คูณทั้งเศษและส่วน จะได้1 a − bi ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞= =2 2 ⎜ 2 2 − 2 2 ia bi a b a + b⎟ ⎜a + b⎟+ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(z z ) z z−1 −1 −1และมีทฎษฎีบทเกี่ยวกับอินเวอร์สการคูณว่า = และ n − 1 −(z ) (z 1 ) n −= = zn1 2 1 2หมายเหตุ1. ในระบบจํานวนเชิงซ้อนจะไม่มีการเปรียบเทียบมากกว่า, น้อยกว่า2. สมการ a × b = ab จะไม่เป็นจริง หากว่า a, b ติดลบทั้งสองจํานวนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)reS ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¡ÒÃºÇ¡æÅaÅº¨íÒ¹Ç¹eªi§«o¹¹aé¹äÁÁÕoaäÃÂu§ÂÒ¡ æµ¡ÒÃ¤Ù³æÅa¡ÒÃËÒÃ¹Òä½¡½¹ãË¤u¹e¤Â¹a¤Ãaº

คณิตศาสตร O-NET / A-NET253จํานวนเชิงซอน• ตัวอยาง ใหหาผลบวก ลบ คูณ และหาร ของจํานวนเชิงซอน z 1 = 3 − 2i ดวย z 2 = 1+iตอบ z1+ z 2 = (3− 2i) + (1+ i) = 4−iz1− z 2 = (3−2i) − (1+ i) = 2−3i21 2= − ⋅ + = + − − = + ... (อยาลืม 2zz (3 2i) (1 i) 3 3i 2i 2i 5 i2i = − 1)z13 −2i 3−2i ⎛1−i⎞3− 3i− 2i+ 2i 1−5i= = ⋅ = = = (1/2) − (5/2) i2z21+ i 1+ i⎜1 i⎟⎝ − ⎠ 1 − i + i − i 2• ตัวอยาง ใหหาคา(1 + i)(1 − i)12102 22 2วิธีคิด เนื่องจาก (1 + i) = 1 + 2 i + i = 2 i และ12 66(1 + i) (2 i) 64 iดังนั้น= = = −2i10หรือคิดไดอีกวิธีดังนี้ ... เนื่องจากดังนั้น55(1 − i) = 1 − 2 i + i = − 2 i(1 − i) (2i) − −32 i⎛1+ i⎞ ⎛1+ i⎞ ⎛1+i⎞2i⎜ i1 i⎟ = ⎜ ⋅ = =1 i⎟ ⎜1 i⎟⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ + ⎠ 21210(1 + i) ⎛1 + i⎞2 1011= (1 i) (i) (2 i) 2 i 2 i10 ⎜ ⎟ + = = = −(1 − i) ⎝1 − i⎠แบบฝึกหัด 11.1(1) z 1 = (2, − 3) , z 2 = ( −4, − 1) , z 3 = ( − 2,1) จงหาค่า(1.1) z 1 + z 2(1.4) zz 1 2(1.2) z 1 − z 3(1.5) zz 1 3(1.3) 2z1 + 3z2(1.6) 1 2 + 3... (อยาลืม 11 3 i i iz(z z)(2) จงหาอินเวอร์สการบวก และอินเวอร์สการคูณ ของ(2.1) z 1 = (2, − 3)(2.3) z 3 = ( − 2,1)(2.2) z 2 = ( −4, − 1)(2.4) z 4 = (1,0)(3) จงหาค่าของ(3.1) (6, 4) − (3, 5)(3.4) (3, − 2) ÷ (5, 4)(3.2) (3, − −2) − (4,2) − (3.5) (7, 2) ÷ (0, 3)(3.3) (4,3) − − (5, − 6)(3.6) (6, 3) ÷ (3, 0)(4) จงหาค่าจํานวนจริง x และ y เมื่อ(4.1) (x, y) + ( − 2, 4) = ( −4, − 1)(4.2) [Ent’25] (x, y) × (2, − 3) = ( −5, − 3)(4.3) (3, 1) ÷ (x, y) = (1, − 2)(4.4) x 2yi1 + i 2 + ii i− = + … [ข้อสังเกต : 1 i(5) x 2 + y 2 + 2xyi − 1 − i = 0 จงหาค่า x และ yi= − ]= = −)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET254จํานวนเชิงซอน2(6) ถ้า z 1 = (2, − 3) จงหาค่า 2z −1(7) จงหาค่าของ(7.1) 2 + 3i(7.2)4 − 2i2 + i 3 + 4i+2 − i 1 + 2i(7.3)− 14 + 23 i 16 + 12 i+3 + 4i 4i(8) จงหาค่าของ⎛3+ 4i 3−4i⎞⎜ −3− 4i 3+4i⎟⎝⎠(9) ให้หาค่าต่อไปนี้(9.1) i 29(9.3) i451(9.2) i 42(9.4) i4,040(10) จงหาค่า135 136 137 138i i i i+ + + และ3135 136 137 138i i i i9 10 126(11) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ z = i + i + ... + i เมื่อ i 21= − 1 แล้ว จงหาค่า 2z −(12) จงหาอินเวอร์สของ4(1 + i)1 − i(13) จงหาค่าของ12(13.1) (1 + i)(13.3)(13.2)2(1 + i) + (1 + i) + 11 + i(1 + i)(1 − i)1610(14) จงหาค่า m+∈ I ที่น้อยที่สุด ที่ทําให้5m⎛1 + i⎞ ⎛1 − i⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝1 − i⎠ ⎝1 + i⎠m11.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ในเศษส่วนหนึ่งๆ เมื่อมีจํานวนเชิงซ้อน a + bi เป็นตัวส่วน จะนํา สังยุค (conjugate)ของ a + bi คือ a − bi มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นเลขจํานวนจริง ( a2 + b2 )สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสังยุคของ z = a + bi คือ z = a − biค่าสัมบูรณ์ (absolute value) ของจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนใดๆ คือระยะห่างจากจุด2 2นั้นไปถึงจุดกําเนิด (0, 0) ดังนั้น z = a + bi = a + bสมบัติของสังยุคและค่าสัมบูรณ์1. z = z ก็ต่อเมื่อ z เป็นจํานวนจริงเท่านั้น และ z = z เสมอ(z −−− 1 −1) = (z) และ = z2.1 13. (z n ) (z)nn n= และ z4. z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2zz = n+∈ IMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET255จํานวนเชิงซอน5. zz 1 2 zz 1 2= และ z 1 ÷ z 2 = z 1 ÷ z 26. zz 1 2 = z 1 z 2 และ z 1 ÷ z 2 = z 1 ÷ z 27. z มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ และ z ⋅ z =2z8. z = −z = z1• ตัวอยาง ถา z 1 = 1 + 2i และ zz 1 2 − z 2 = i จงหาคาiวิธีคิด จาก zz 1 2 − z 2 = i → z(z 2 1 − 1) = i → z 2 =z1− 1จากนั้นใสสังยุคทั้งสองขางของสมการ เพื่อใหทางซายไมติดสังยุค ... จะไดและหาอินเวอรสไดเปน−1 z1− 1 2iz2= = = −2−i−iz −2z2=− iz − 11• ตัวอยาง ใหหาคาของ z เมื่อz=(2− 2 3 i) (3 + 4 i)2(2 − i) (1 + i)3ตอบ1/21/2 3 31/2 3(2− 2 3 i) (3 + 4 i) 2− 2 3 i 3+4i (4) (5)= = =2 2 2(2 − i) (1 + i) 2− i 1+i ( 5)( 2)แบบฝึกหัด 11.225 2(15) z 1 = 2 + 3i, z 2 = 3 − 4i จงหาค่าของz ⎞⎜z⎟⎝ 2 ⎠⎛ 1(15.1) z 1 + z 2(15.4)2(15.2) z 1 − z 2(15.5) 1(15.3) zz 1 21(16) ถ้า z 1 = 3 + 4i และ zz 1 2 + z 2 − 4 = 0 จงหาค่า z −(17) จงหาค่า z ที่สอดคล้องกับสมการ z + i + 3 − 2 z = 1 + 2i2(z )(18) จงหาค่าของ(18.1) 3 + 4i(18.4) − 4 + 0i(18.2) − 5 + 12i(18.5) (0, − 5)(18.3) − 7i(19) จงหาค่า z เมื่อ z คือ(19.1)(19.2)2 4(1+ 3 i) ( 3 − i)2(1−3 i)5− 2i(1+3 i)6(1+2 i)(19.3)4(3+4 i)(1 + i)16− 14(19.4) ((1, 1) )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET256จํานวนเชิงซอน(20) จงหาค่าของ(2 − i)(3 + 2 i)(4 − 3 i)(5 + 4 i)(1+ 2 i)(2 −3 i)( −4−5 i)31(21) ถ้า z = (1 + 3 i)( 3 − i)(1 + i) จงหาค่า z −(22) ถ้า z 1 + z 2 = 0 และ z 1 = z 2 = 1 จงหาค่า1 1+z z1 2(23) ให้แก้ระบบสมการต่อไปนี้ เพื่อหาค่า z (โดยสมมติ z a bi = + )(23.1)z + 1z + 3 − 2i(23.2) [Ent’30](23.3) z − 4 = 1z − 8= 1z + 1z + (3 − 2i)(24) ถ้า z+ 12 = 2 z+3 จงหาค่า z1 + z(25) เมื่อ z ≠ 1 จงหาค่า⎛และ z = 149=1และ z − 12 5=z − 8i 3Re⎞⎜ ⎟⎝ 1 − z ⎠และ zz = 29(26) [Ent’ต.ค.41] ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง (i+ 1)(z + 1) = − 1 แล้ว จงหาส่วนจริงของจํานวน15เชิงซ้อน z(z − z)(27) ข้อใดไม่ใช่กราฟวงกลมก. zz 12= ค. z + z = zข. z z z+ = +(28) จงเขียนกราฟของ+ = ง. 3z i z 3 i(28.1) z − (2+ 3i) = 1(28.2) z+ 2 = 3 z− 2+4i(28.3) z+ 2i + z−2i = 10หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้อาจเปลี่ยนเป็น “จงหาค่า z ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้” ก็ได้ และคําตอบจะมีได้มากมาย (ทุกๆ จุดในกราฟ) เพราะตัวแปร z นั้น สมการเดียวไม่เพียงพอ11.3 รูปเชิงขั้วการอ้างถึงพิกัด (a, b) ของจํานวนเชิงซ้อน อาจจะกล่าวได้อีกแบบเป็น (r, θ )imโดยที่ r แทน “ระยะห่างจากจุดกําเนิด” (modulus) และb z (a,b)θ แทน “ทิศทาง” (argument) (มุมวัดทวนเข็มนาฬิกาจากrแกน + x ) เรียกรูปแบบนี้ว่า รูปเชิงขั้ว (Polar Form)ซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างสองระบบนี้เป็นดังนี้θO are2 2a = r cos θ r = a + b = zb= r sinθ tan θ = (b/a)เราอาจเขียนรูปทั่วไปของ z = a + bi เป็น z = (rcos θ ) + (rsin θ )i หรือ z = r(cos θ+ i sin θ )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET257จํานวนเชิงซอนหมายเหตุ 1. จาก z = r(cos θ+ i sin θ ) บางทีเขียนว่า r = Abs(z) และ θ = Arg(z)2. บางตําราใช้สัญลักษณ์ z = r ∠θ หรือ z = r cis θ เพื่อความสะดวกในการเขียน, คํานวณรูปเชิงขั้วสามารถนํามาใช้ประโยชน์ในการคูณ หาร ยกกําลัง และถอดรากของจํานวนเชิงซ้อนได้สะดวก โดยมีทฤษฎีอยู่ดังนี้ถ้า z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) และ z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) แล้ว1. zz 1 2 = rr 12 (cos( θ 1 +θ 2 ) + i sin( θ 1 +θ 2 ))2. z/z 1 2 = (r/r)(cos( 1 2 θ 1 −θ 2 ) + i sin( θ 1 −θ 2 ))3. n n z r (cos(n ) i sin(n ))= θ + θ → ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ (De Moivre’s Theorem)n4. รากที่ n ของ z นั้น จะมีอยู่ n แบบเสมอ เพราะมาจากสมการดีกรี n คือ (root) = zθ θคําตอบแรกได้แก่ n z = n r (cos( ) + i sin( ))n nและคําตอบที่เหลือจะมีขนาดเท่ากันแต่มุมต่างๆ กัน ... หาค่ามุมได้จากการแบ่งวงกลม 360°ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กันโดยมีมุม θ /n นี้เป็นจุดๆ หนึ่งในบรรดาคําตอบ หรือเขียนเป็นสูตรว่า360° θ360°n nnn z = n r (cos( k + ) + i sin( k + ))θnสูตรลัดในการหารากที่สองของ a + bi คือ⎛ r+ a r−a ⎞± ⎜ + i ⎟⎝ 2 2 ⎠เมื่อ b> 0 ... และ⎛ r+ a r−a ⎞± ⎜ − i ⎟2 2โดย k = 0, 1, 2, ..., (n − 1)เมื่อ⎝ ⎠ b < 0• ตัวอยาง ถา z 1 = 2+ 2 3 i และ z 2 = − 3 + i ใหอาศัยรูปเชิงขั้วเพื่อหาคาของก. zz 1 2 และ z/z 1 2วิธีคิด แปลง z 1 และ 21z ใหอยูในรูปเชิงขั้วไดดังนี้2 2= + = และมีมุมเทากับ 60° (หามุมวิธีเดียวกับเวกเตอรและตรีโกณฯ)z 2 (2 3) 42 2z 2 = ( 3) + 1 = 2 และมีมุมเทากับ 150°ดังนั้น z 1 = 4(cos60° + isin60 ° ) หรือเขียนยอๆ วา z 1 = 4∠ 60°และ z 2 = 2(cos150° + isin150 ° ) หรือเขียนยอๆ วา z 2 = 2∠ 150°จะได zz 1 2 = (4⋅2) ∠ (60° + 150) ° = 8∠ 210° หรือ 8(cos210°+ isin210 ° ) =−4 3 − 4iและจะได z/z 1 2 = (4/2) ∠ (60° − 150) ° = 2 ∠(90)− ° หรือ − 2i ... (มุม − 90° คือ iข. z4 2วิธีคิด จาก z 2 = 2∠ 150° ใชทฤษฎีบทของเดอมัวฟ ไดเปน424= ∠ °⋅ = ∠ ° = ∠ ° หรือตอบวาz 2 (150 4) 16 600 16 24016(cos 240°+ i sin 240 ° ) =−8 − 8 3 i• ตัวอยาง ถา z = 64i ใหหารากที่สามของ zวิธีคิด แปลงเปนเชิงขั้ว ได z = 64∠ 90°1/ 3ดังนั้นรากที่สาม (คําตอบแรก) คือ 64 ∠ (90 ° /3) = 4 ∠ 30° หรือ 2 3 + 2i− )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET258จํานวนเชิงซอนอีกสองคําตอบหาไดโดยบวกมุมเขาไป เพื่อใหตัดแบงวงกลม (ขนาด 4 หนวย) ออกเปน 3 สวนเทาๆ กัน... นั่นคือ สวนละ 120 องศาคําตอบที่สอง คือ 4 ∠ (30° + 120 ° ) = 4∠ 150° หรือ − 2 3 + 2iคําตอบที่สาม คือ 4 ∠ (150° + 120 ° ) = 4 ∠ 270° หรือ − 4iแบบฝึกหัด 11.4(29) ให้เขียนจํานวนเชิงซ้อนต่อไปนี้เป็นรูปเชิงขั้ว(29.1) −− 1 3 i(29.4) − 5(29.2) (4, − 4)(29.5) 4i(29.3) (10, 0) (29.6) − 3i(30) ถ้า z 1 = 4(cos 30° + i sin 30 ° ) และ z 2 = 3(cos 180°+ i sin 180 ° )จงหาค่า zz 1 2 ในรูป a + bi(31) ถ้า z 1 = 2(cos 18° + i sin 18 ° ), z 2 3(cos 72 i sin 72 )zzz3= − 4(cos 30° + i sin 30 ° ) จงหาค่า zz 1 2 z 3 และ 1 2 ในรูป a +(32) ถ้า z 1 = 2(cos 15° + i sin 15 ° ), 2a + bi= − ° + ° และz = 2(cos − i sin )3 3z3biπ π จงหาค่า6z 1 และ z 8 2 ในรูป8(33) จงหาค่า ( 3 + i) โดยวิธียกกําลังโดยตรง และวิธีแปลงเป็นเชิงขั้วก่อน(34) [Ent’ต.ค.42] ถ้า z = − 2+ 2 3 i เมื่อ i 2 = − 1 แล้ว z 17 อยู่ในควอดรันต์ใด(35) จงหาค่า z 010และ z − เมื่อ z = − 1+3 i(36) จงหาค่าของ⎛(36.1)(36.2)(36.3)503 i ⎞⎜ + ⎟⎝ 2 2⎠−8 −8⎛−+ 1 −3⎞ ⎛−− 1 −3⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠30(1 + i)( 2−2 i)(37) [Ent’มี.ค.44] ถ้า32z 1 3 i = + และจงหาค่า a+ b1018zi − z27= a + biเมื่อ a และ b เป็นจํานวนจริง(38) [Ent’ต.ค.43] กําหนดให้ z 1 และ z 2 เป็นจํานวนเชิงซ้อนที่ 2zz 1 2 = 1+ z2และπ π 6z = (cos + i sin ) จงหาอินเวอร์สการคูณของ z 21(39) จงหาค่า18 18Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET259จํานวนเชิงซอน(39.1) รากที่สี่ของ − 8+8 3 i(39.2) รากที่สามของ 8i ในรูป a + bi(39.3) รากที่สามของ − 8i(39.4) รากที่สองของ − 4+4 3 i(39.5) รากที่สองของ −2 3 − 2i(39.6) รากที่สองของ −15 − 8 i2(40) จงหารากที่สองของ 3+ 4i โดยวิธีสมมติคําตอบ(x + y i) = 3 + 4 i(41) [Ent’24] ถ้าสมการ x 22 2= −2 − 2 3 i มีคําตอบเป็น z 1 และ z 2 แล้ว จงหา z1 + z211.4 สมการพหุนามn n−1 n−2จากนี้สมการพหุนามดีกรี n ในรูป anx + an−1x + an−2x + ... + a0= 0 จะหาคําตอบได้ n จํานวนเสมอ ซึ่งใน n คําตอบนี้ อาจเป็นจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนปนกันอยู่ สามารถคํานวณโดยแยกคําตอบที่เป็นจํานวนจริงออกจนเหลือเพียงดีกรีสอง แล้วอาศัยสูตรx2− b ± b −4ac= ช่วยในการหาคําตอบที่เป็นจํานวนเชิงซ้อนข้อสังเกต2a2− b ± b −4ac2a1. จากสูตร x = ทําให้เราพบว่า ในสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจํานวนจริง ถ้าA + Bi เป็นคําตอบหนึ่งของสมการแล้ว จะมีสังยุค A − Bi เป็นอีกคําตอบด้วยเสมอ2. หากไม่ต้องการใช้สูตร อาจใช้วิธีจัดกําลังสองสมบูรณ์ก็ได้2 22เช่น x + 4x + 7 = 0 → (x + 4x + 4) + 3 = 0 → (x + 2) + 3 = 0 → x = − 2±3 i3. ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบ (หารลงตัว) ของพหุนาม ที่เคยได้ศึกษาในหัวข้อจํานวนจริง ยังคงใช้ได้กับจํานวนเชิงซ้อน และนอกจากนี้การหารสังเคราะห์ก็ยังใช้ได้เช่นกัน• ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบ (ทุกคําตอบ) ของสมการ x 3 − 3x 2 + 9x + 13 = 0วิธีคิด ใชวิธีแยกตัวประกอบ (จากบทเรียนเรื่องพหุนาม) เชนการหารสังเคราะห2จะไดผลเปน (x + 1)(x − 4x + 13) = 0ซึ่งวงเล็บหลังมีดีกรีสอง แตหาตัวเลขเพื่อแยกตัวประกอบไมได จึงใชสูตรไดวา24 ± ( −4) − 4(1)(13) 4 ± −364 ± 6ix = = = = 2 ± 3i2(1) 2 2ดังนั้น เซตคําตอบของสมการนี้คือ {1,2+ 3i,2−3i}• ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 6x + 4 = 0 เมื่อทราบวามี 1+ i เปนคําตอบหนึ่งวิธีคิด การมี 1+ i เปนคําตอบหนึ่ง แสดงวาตองมี 1− i เปนอีกคําตอบดวยMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET260จํานวนเชิงซอนหรือกลาววา มี (x − (1 + i))(x − (1 − i)) เปนตัวประกอบของพหุนาม2และ เนื่องจาก (x − (1 + i))(x − (1 − i)) = (x − 1 −i)(x − 1 + i) = x − 2x + 2เราจึงนํา x 2 − 2x + 2 ไปหารพหุนามในโจทย (ตั้งหารยาว) เพื่อแยกตัวประกอบ2 2ไดเปน (x − 2x + 2)(x − x + 2) = 0ดังนั้น หาสองคําตอบที่เหลือไดจากสูตร1 ± ( −1) − 4 (1)(2) 1 ± −7x = =2(1) 2เซตคําตอบของสมการนี้คือ {1+ i,1− i,(1/2) + ( 7/2)i,(1/2) − ( 7/2)i}(42) จงหาคําตอบของสมการต่อไปนี้2(42.1) x + 16 = 02(42.2) 2x − 3x + 4 = 03(42.3) 2x − x + 1 = 0แบบฝึกหัด 11.4(43) [Ent’26] ให้หาค่าสัมบูรณ์ของรากของสมการ z(1 2 − z) 2 = 16* (44) ให้หาคําตอบของสมการ2(44.1) 2x + (1 − 2 i) x + 1 = 8 i2(44.2) 2ix − 3x − 3i = 02(44.3) x + 2(i − 1)x − 1 − 2i = 02(44.4) x − (2+ 3i)x − 1 + 3i = 0[Hint : สูตรของสมการดีกรีสอง สามารถจัดรูปใหม่ได้ว่า2 2(2ax b) b 4ac2+ = − ](45) จงแสดงว่า 2 + 3i เป็นคําตอบหนึ่งของ x 3 − 3x 2 + 9x + 13 = 0 โดยการแทนค่า และการแยกตัวประกอบ(46) จงหาค่าสัมบูรณ์ของผลบวกของรากสมการ x 3 − 17x 2 + 83x − 67 = 0(47) จงหาผลบวก และผลคูณ ของรากทั้งหมดของสมการ z 3 + 2z 2 + 9z + 18 = 0n[Hint : a x + an−1x + ... + aan−1na0= 0 มีผลบวกรากเป็น − และผลคูณ (1) − ]n n−1 02(48) ถ้าสมการกําลังสอง Ax + Bx + C = 0 มีรากหนึ่งเป็น 4 + 3i แล้ว ค่า A + B + C เมื่อA = 1 เป็นเท่าใด(49) 2 และ 1 − i เป็นคําตอบของสมการกําลังสาม สมการใด(50) จงหาสมการพหุนามกําลังสี่ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และมี z 1 = 2 − 2 3 i กับz2= − 4i เป็นคําตอบของสมการ(51) ถ้า 2 + 2i เป็นคําตอบของ x 4 − 4x 3 + x 2 + 28x − 56 = 0 จงหาคําตอบที่เหลือ(52) จงแก้สมการ x 4 + 2x 3 = 4x + 4 โดยทราบว่ามี −1 − i เป็นคําตอบหนึ่งananMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET261จํานวนเชิงซอน(53) ถ้า − 1 + 3 i เป็นรากหนึ่งของสมการ x 5 + 9x 3 − 8x 2 − 72 = 0 จงหารากทั้งหมด(54) จงหารากของสมการ(54.1) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0n n−1 n−2[Hint : (x − 1) = (x − 1)(x + x + ... + x + 1) ](54.2) x 5 + 3x 4 + 2x 3 − 8x 2 − 24x − 16 = 0(55) จงหาผลบวกของรากสมการ x 6 − x 5 + x 4 − x 2 + x − 1 = 0(56) จงหาผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของรากสมการ(56.1) [Ent’มี.ค.43] z 4 + z 2 + 2 = 0(56.2) x 4 − 2x 3 + 12x 2 − 8x + 32 = 0* (56.3) [Ent’27] x 5 − 3ix 4 + 4x − 12i = 0* (57) x 3 − (5− 2i)x 2 + (7− 10i)x + k หาร x + 2i ลงตัว จงหาค่า k4 3 2(58) ถ้า x = −2 − 3 i จงหาค่า2x + 5x + 7x − x + 4f(x)[Hint : จากทฤษฎีเศษเหลือ จะได้ว่า f( −2− 3i) คือเศษของ 2] x + 4x+ 7(59) [Ent’มี.ค.42] ให้ P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ x 3 เป็น 1 ถ้า x − 2 หาร P(x) เหลือเศษ 5 และ 1+ 3 i เป็นรากหนึ่งของP(x) แล้ว รากที่เป็นจํานวนจริงของ P(x) มีค่าเท่าใด(1.1) ( −2, − 4) (1.2) (4, − 4)(1.3) ( −8, − 9) (1.4) ( − 11,10)(1.5) ( − 1,8) (1.6) ( − 12,18)(2.1) ( − 2,3),(2/13,3/13)(2.2) (4, 1),( − 4/ 17, 1/ 17)(2.3) (2, −1),( −2/5, − 1/5)(2.4) ( − 1,0),(1,0) (3.1) (3, − 1)(3.2) (1, − 4) (3.3) ( − 9,9)(3.4) (7/41, − 22/41)(3.5) (2/3, − 7/3) (3.6) (2, 1)(4.1) ( −2, − 5)(4.2)1 21( , )13 13(4.4) 2, 3/2− − (4.3) 1 7( , )5 5(5) 1 ,1 หรือ 1 1− , −2 2 2 210 24(6) ( − , )169 169เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(7.1) 1 + 4 i (7.2) 14 +2 i10 5 5 5(7.3) 5 + i (8)348−⎛ ⎞⎜ ⎟ i⎝25⎠(9.1) i (9.2) –1 (9.3) –i(9.4) 1 (10) 0, –1 (11) –1–i− + (13.1) –64(12) 1 i4 4(13.2) 5 + i (13.3) 8i2 2(14) 2 (15.1) 5 + i(15.2) −1 − 7i (15.3) 18 − i−25 25(15.4) 6 −17 i(15.5) −5 − 12i (16) 1 + ii(17) 2 + (18.1) 53(18.2) 13 (18.3) 7 (18.4) 4(18.5) 5 (19.1) 16(19.2) 64 (19.3) 62581 256Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)(19.4) 1/4 (20) 125(21) 1/ 4 2 (22) 0(23.1) 7 + 10i หรือ−10 − 7 i(23.2) 2 + 5i หรือ −5 − 2i(23.3) 6 + 17i หรือ 6 + 8i(24) 6 (25)1 − z1−z(26) 1/2 (27) ข.(28.1) กราฟวงกลม รัศมี 1หน่วย มีจุดศูนย์กลางที่ (2, 3)(28.2) กราฟวงกลม รัศมี 4.5หน่วย จุดศูนย์กลางอยู่ที่(2.5, − 4.5)(28.3) กราฟวงรีตามแกน y มีศูนย์กลางที่จุดกําเนิด แกนเอกยาว10 แกนโทยาว 2 21 หน่วย(29.1) 2(cos240°+ i sin240 ° )หรือ 2∠ 240°22

คณิตศาสตร O-NET / A-NET262จํานวนเชิงซอน(29.2) 4 2 ∠ 315°(29.3) 10 ∠ 0°(29.4) 5∠ 180°(29.5) 4∠ 90°(29.6) 3∠ 270°(30) −6 3 − 6i(31) − 12+ 12 3 i และ3 3 3+ i4 4(32) 64 i และ −8−8 3 i(33) −128−128 3 i(34) 240° → Q3−10(35) 1∠ 0° และ(36.1) 1 +3 i2 22 ∠ 240°(36.2) –1 (36.3) –32(37) 1/2 + ( − 1/2) = 0(38) − 3i(39.1) 2∠ 30° , 2∠ 120°,2∠ 210° , 2∠ 300°(39.2) − 2i, i ± 3(39.3) 2∠ 90°, 2 2102 ∠ 330°∠ ° ,(39.4) 2 2 ∠ 60°, 2 2 ∠ 240°(39.5) 2∠ 105° , 2∠ 285°(39.6) ± (1− 4 i) (40) ± (2 + i)(41) 8 (42.1) ± 4i(42.2) 3 ±23 i4 4(42.3) − 1, 1 ± i (43) 23(44.1) 1 + 2i,− − i(44.2)215 3± − i4 4เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(44.3) 2–i, –i(44.4) 1 + 2i, 1 + i2(45) (x+ 1)(x − 4x+ 13) = 0(46) 17 (47) z = − 2, ± 3iตอบ –2, –18 (48) 18(49) x 3 − 4x 2 + 6x− 4=0(50) x 4 − 4x 3 + 32x 2− 64x+ 256=0(51) 2− 2i, ± 7(52) − 1 ± i, ± 2(53) − 1± 3 i, 2, ± 3i(54.1)1 3− 1, ± ± i2 2(54.2) − 1, ± 2, − 1±3 i(55) 1 (56.1)44 2(56.2) 4+4 2(56.3) 3+ 4 2 (57) 14 i(58) –31 (59) 3/4(1) z 1 + z 2 = ( −2, − 4) , z 1 − z 3 = (4, − 4) ,2z1 + 3z 2 = (4, − 6) + ( −12, − 3) = ( −8, − 9) ,zz 1 2 = (2 − 3i)( −4−i)=−8 − 2i + 12i − 3 = ( − 11,10) ,zz 1 3 = (2 − 3i)( − 2+i)=− 4 + 2i + 6i + 3 = ( − 1,8)z 1(z2+ z 3) = zz 1 2+ zz 1 3 = ( − 12,18)(2.1) อินเวอร์สการบวก คือ − z 1 = ( − 2,3)−1อินเวอร์สการคูณ คือ z2 + 3i 2 3= = ( , )2 22 + 3 13 13(2.2) − z 2 = (4,1)11=2 − 3i−11 − 4 + i 4 1z 2 = = = ( − , )2 2−4 −i (4) − + 1 17 17(2.3) − z 3 = (2, − 1)−11 −2 −i2 1z 3 = = = ( − , − )2 2− 2 + i (2) − + 1 5 5−11− = − , z 4 = = (1,0)1(2.4) z 4 ( 1,0)(3.1) (3, − 1) (3.2) (1, − 4)(3.3) ( − 9,9)3 − 2i (3 − 2i)(5 − 4i)(3.4) =2 25 + 4i 5 + 415 − 10 i − 12 i − 8 7 22= = ( , − )41 41 417+ 2i 7+ 2i − 7i+2 2 7(3.5) = ( )( − i) = = ( , − )3i 3 3 3 3[ข้อสังเกต 1 = − i ]i(3.6) 6 + 3i = (2, 1)3(4.1) (x, y) = ( −4, −1) − ( − 2, 4) = ( −2, − 5)−5 − 3i ( −5 − 3i)(2 + 3i)(4.2) (x, y) = =2 − 3i 13(10 − + 9) + (6 − − 15)i 1 21= = ( − , − )13 13 133 + i (3 + i)(1 + 2 i)(4.3) (x, y) = =1 − 2i 5(3 − 2) + (1 + 6) i 1 7= = ( , )5 5 51 2(4.4) x − 2yi = 1 1i+ + i+=−+ i 1 − 2i + 1 = 2 − 3i∴ x = 2,y = 3 / 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET263จํานวนเชิงซอน2 2(5) (x + y ) + (2xy) i = 1 + iเทียบสัมประสิทธิ์ส่วนจริง x 2 + y 2 = 1 .....(1)และส่วนจินตภาพ 2xy = 1 .....(2)แก้ระบบสมการได้ x = ,y =หรือ1 12 21 1x =− ,y =−2 2− 2 22z1 = =2 2z (2 − 3i)(6)212 2 2( − 5 + 12 i)= = =(4 − 9) − 12 i −5 − 12 i 16910 24= ( − , )169 169(7.1) (2 + 3 i)(4 + 2 i) 2 += 16 i = 1 +4 i20 20 10 52(2 + i) (3 + 4 i)(1 − 2 i)(7.2) +5 5(4 − 1) + 4 i + (3 + 8) + (4 −6) i 14 2= = + i5 5 5(14 − + 23i)(3−4i) 4(7.3) + ( + 3)25 i50 + 125 i= + (4i − + 3) = 5+i25(8)2 2⎛(3 + 4 i) (3 − 4 i) ⎞⎜ − ⎟⎝ 25 25 ⎠⎛(9 − 16 + 24 i) − (9 − 16 − 24 i) ⎞= ⎜ ⎟⎝25⎠3 3⎛48 i ⎞ ⎛48 ⎞= ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ i⎝ 25 ⎠ ⎝25⎠(9)29 1 42 2i = i = i , i = i = − 1,451 3 4, 040 4i = i = − i, i = i = 1(10)135 136 137 138i i i iเท่ากับ ( − i) + (1) + (i) + ( − 1) = 0+ + + (สี่ตัวเรียงกัน)135 136 137 138i ⋅ i ⋅ i ⋅ i = ( −i)(1)(i)( − 1) = − 1(11) z = i 9 + i 10 + i 11 + i 12 + ... 0125 126= i + i = i − 1−1 2 2( −i − 1)ดังนั้น30121 122 123 124 125 126+ i + i + i + i + i + i02z = = = −1 − ii − 1 234(1 + i) [( 1 + i)](12) จาก2 2=1 − i 1 − i2 2( 1 + 2i − 1) ( 2i)−4 4= = = =1 − i 1 − i 1 − i − 1 + i−∴ อินเวอร์ส คือ 1 + i4[ข้อสังเกต ( 1 + i) 2= 2i]2( 1 + i)= 2i2( 1 − i)= −2i⎛1 + i⎞ ⎜ ⎟ = i⎝1 − i⎠⎛1 − i⎞ ⎜ ⎟ =− i⎝ 1 + i⎠12 6 2(13.1) (1 + i) = (2 i) = 64 i = − 64(13.2)⎛ 1 ⎞(1 + i) + (1) + ⎜ ⎟⎝ 1 + i⎠(1 − i) 5 1= (1 + i) + (1) + = + i2 2 2(13.3)(14)⎛1 + i⎞⎜ ⎟⎝1 − i⎠106 10 3 13(1 + i) = i (2 i) = 8 i = 8 i5m m 6m⎛1 + i⎞ ⎛1 − i⎞ ⎛1 + i⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ = 1⎝1 − i⎠ ⎝ 1 + i⎠ ⎝1 − i⎠6m→ i = 1 → m = 2(15) z 1 + z 2 = 5 − i = 5 + iz1 − z2= − 1 + 7i = −1 − 7izz 1 2 = (2 − 3i)(3 + 4i) = 18−i2 − 3i (2 − 3i)(3 − 4i)(z 1 / z 2)= =3 + 4i 256 17=− − i25 252 21(z ) = (2 − 3 i) = −5 − 12 i(16) จาก zz 1 2 + z 2 − 4 = 0 → z 2 =1⎛ 4 ⎞ 4→ z2= ⎜z1 1⎟ =⎝ + ⎠ z1+ 1− 1 z1+ 1 4 + 4i∴ z2= = = 1 + i4 4(17) ให้ z = a + bi จะได้ว่า(a + bi) + i + 3 − 2(a − bi) = 1 + 2 iนั่นคือ a + 3 − 2a = 1, b + 1 + 2b = 21 1→ a = 2,b = → ∴ z = 2 + i3 32 2(18.1) 3 + 4 = 5(18.2) 13(18.3) 7(18.4) 4(18.5) 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)4z + 1

คณิตศาสตร O-NET / A-NET264จํานวนเชิงซอน2(19.1) 2 ⋅ 24(19.2)(19.3)225= 16(2)(2) =646( 3) 8145 =625162 256−(19.4) (( ) ) 42(20)1 1=4⎛ 2 − i 3 + 2i 5 + 4i ⎞⋅ ⋅ 4 − 3i ⋅⎜1 + 2i 2 − 3i −4 − 5i ⎟⎝⎠3= (1 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 1) = 125(21) z = (2)(2)( 2) = 4 2−1 −1 1→ z = (4 2) =4 21 1 z + z+ = = 0z z zz(22)2 11 2 1 2(หมายเหตุ โจทย์บอก z 1 กับ 2ไม่ให้ส่วนเป็นศูนย์ เท่านั้น)(23) การหาค่า z จากสมการค่าสัมบูรณ์ต้องทราบ 2 สมการ จึงแก้หา a, b ได้a + bi + 1(23.1)= 1a + bi + 3 − 2i2 2(a + 1) + b→ = 12 2(a + 3) + (b − 2)z เพื่อป้องกัน2 2 2 2→ (a + 1) + b = (a + 3) + (b − 2)→− 4a + 4b − 12 = 0 → a − b =− 3 .....(1)2 2และ z 149 a b 149= → + = .....(2)แก้ระบบสมการได้ b = 10 → a = 7 หรือb =−7 → a =− 10∴ ตอบ z = 7 + 10i หรือ −10 − 7 i(23.2) สมการแรกเหมือนข้อ (23.1) คือa − b = − 3 .....(1)และสมการที่สอง คือ a 2 + b 2 = 29 .....(2)แก้ระบบสมการได้ b = 5 → a = 2 หรือb =−2 → a =− 5∴ ตอบ z = 2 + 5i หรือ −5 − 2i2 2 2 2(23.3) (a − 4) + b = (a − 8) + b→ − 8a + 16 = − 16a + 64 → a = 65− + = + − →32 2 2 2และ (a 12) b a (b 8)แทนค่า a = 6 ได้ b = 17 หรือ 8ตอบ z = 6 + 17i หรือ 6 + 8i32 2 2 2(24) (a + 12) + b = 2 (a + 3) + b →2 2 2 2a + 24a + 144 + b = 4a + 24a + 36+4b2 2 2 2→ 108 = 3a + 3b → 36 = a + b→ z = 6(25) 1 + z 1 + a +=bi1 − z 1 − a − bi[(1 + a) + bi ] [(1 − a) + bi]=2 2(1 − a) + b2 21 + 2bi − b − a=21 − z2 21 + z 1 − (a + b ) 1 − z∴ Re⎛ ⎞⎜ ⎟ = =⎝ 1 − z ⎠ 1 − z 1 − z22 2−1 − 1 + i(26) (i+ 1)(z + 1) = − 1 → z+ 1 = =i + 1 2− 1 + i 3 1→ z = − 1 = − − i2 2 23 1ดังนั้น z =− + i2 215 ⎛ 3 1 ⎞ 15หาค่า z(z − z) = ⎜− + i ⎟(i)⎝ 2 2 ⎠⎛ 3 1 ⎞ 1 3= ⎜− + i ⎟( − i) = + i⎝ 2 2 ⎠ 2 2∴ ส่วนจริง คือ 1/2(27) ก. a 2 + b 2 = 1 เป็นกราฟวงกลม2 2 2 2 2ข. 2a = a + b → 4a = a + b2 2→ 3a − b = 0 → 3a = b, 3a = − bเป็นกราฟเส้นตรงสองเส้น (ตอบ ข.)2 2 2 2ค. 2a = a + b → 1 = a + 2a + 1 + b2 2→ 1 = (a + 1) + b เป็นกราฟวงกลม2 2 2 2ง. (3a) + (3b + 1) = a + (b + 3)2 2 2 2→ 8a + 8b = 8 → a + b = 1เป็นกราฟวงกลม2 2(28.1) (a − 2) + (b − 3) = 12 2→ (a − 2) + (b − 3) = 1 เป็นกราฟวงกลมรัศมี 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางที่ (2, 3)2 2 2 2(28.2) (a + 2) + b = 3 (a − 2) + (b + 4)2 2→ a − 5a + b + 9b = − 222 2(a − 2.5) + (b + 4.5) = − 22 + 6.25 + 20.25 = 4.5เป็นกราฟวงกลม รัศมี 4.5 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2.5, − 4.5)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET265จํานวนเชิงซอน2 2 2 2(28.3) a + (b + 2) + a + (b − 2) = 102 2→ 25 − 2b = 5 a + (b − 2)2 2→ 25a + 21b = 5252 2a b→ + = 1 → เป็นกราฟวงรีตามแกน y มี21 25ศูนย์กลางที่จุดกําเนิด แกนเอกยาว 10 หน่วย และแกนโทยาว 2 21 หน่วย(29.1) คิดจาก −1 − 3 i = 2และคิดมุมจากอัตราส่วน −1: − 3 คือ 240°ดังนั้น −1− 3 i = 2(cos240° + i sin240 ° )หรือเขียนย่อว่า 2∠240(29.2) 4 2∠ 315°(29.3) 10∠ 0°(29.4) 5∠ 180°(29.5) 4∠ 90°° ก็ได้(29.6) 3∠ 270°หมายเหตุ ในหลักสูตร ควรเขียนตอบแบบเต็มเท่านั้น คือ r(cos θ + i sin )ย่อใช้เพื่อความสะดวกขณะคํานวณθ ส่วนสัญลักษณ์แบบ(30) zz 1 2 = rr 12 ∠θ ( 1 + θ 2 ) = 12∠ 210°= 12(cos 210° + i sin 210 ° ) = −6 3 − 6 i(31) zz 1 2 z 3 = rrr 12 3 ∠( θ 1 + θ 2 + θ 3 )= 24∠ 120° = 24(cos 120° + i sin 120 ° )=− 12 + 12 3 izz 1 2 rr 123= ∠θ ( 1 + θ2 − θ 3) = ∠ 60°z r 23 33 3 3= + i4 4(32) 6 6z = r ∠6θ = 64∠ 90° = 64i1 1 1และสังเกต 2ππz = 2(cos − i sin )3 3ตรงกลางเป็นเครื่องหมาย ลบ ต้องทําเป็นบวกก่อนπ π→ z2= 2(cos( − ) + i sin( − ))3 3จึงคํานวณต่อได้8 88 4z2 = r2∠8θ 2 = 16 ∠( − ) = 16∠3 3=−8 − 8 3 i(33) วิธียกกําลังโดยตรง[ ] 4ππ8 2 4→ ( 3 + i) ( 3 + i) = (2 + 2 3 i)222= ⎡⎣(2 + 2 3 i) ⎤⎦ = ( − 8 + 8 3 i)=−128 − 128 3 i8 8วิธีเชิงขั้ว → ( 3 + i) = (2∠ 30 ° ) = 256∠ 240°=−128 − 128 3 i2(34) z =− 2 + 2 3 i = 4∠ π317 17 34π17 4π→ z = 4 ∠ = 4 ∠ →3 32(35) z =− 1 + 3 i = 2∠ π30 0 2π→ z = 2 ∠ 0( ) = 1∠ 0 = 13[ข้อสังเกต 0 z 1= เสมอ]−10 −10 20π−104π→ z = 2 ∠( − ) = 2 ∠3 3−10= 2 (cos240°+ i sin240 ° )π 50 π 2 π∠ = ∠ = ∠6 6 650 50 50(36.1) (1 ) 1 11 3= 1∠ 60° = + i2 2−8 −8อยู่ใน Q3⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞(36.2) ⎜− + i⎟ + ⎜− − i⎟⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠2π−8 4π−8= (1 ∠ ) + (1 ∠ )3 316π 32π 2π 4π= 1 ∠( − ) + 1 ∠( − ) = 1∠ + 1∠3 3 3 3⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞= ⎜− + i⎟ + ⎜− − i⎟= −1⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠(36.3)30( 2∠ 45 ° ) ⎛ 2∠ 45°⎞= ( 2 45 )10⎜ ⎟ ⋅ ∠ °(2 ∠ 45 ° ) ⎝ 2∠ 45°⎠10⎛ 2 ⎞10 5= ⎜ ⎟ (2 ) ∠ 900° = 2 ∠ 180° = −32⎝ 2 ⎠+z = = 1∠ 60°2(37) 3 1 3 i18 3 6 6z (z ) 1 ∠ 360°→ = =27 3 9 9i − z i − (z ) i − 1 ∠ 540°1 1 1 1= = = − ii −( − 1) 1 + i 2 2∴ a + b = 1/ 2 − 1/ 2 = 061 3(38) z⎛ π1 1⎞ π= ⎜ ∠ ⎟ = 1∠ = + i →⎝ 18 ⎠ 3 2 21จาก 2z1z2 = 1 + z2 → z2=2z − 11 1→ z2= =(1+ 3i) − 1 3i1−1→ z2 = → z2= − 3 i− 3i10120Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET266จํานวนเชิงซอน(39.1) − 8 + 8 3 i = 16∠ 120°รากที่สี่จะเริ่มจาก1120°16 4 ∠ คือ 2∠ 30°4และอีกสามคําตอบที่เหลือจะบวกไปทีละ360° = 90 °4ได้แก่ 2∠ 120 ° , 2∠ 210 ° , 2∠ 300°∴ ตอบ 2∠ 30 ° ,2∠ 120 ° ,2∠ 210 ° ,2∠ 300°(39.2) 8i = 8∠ 90°รากที่สามเริ่มจาก 1 9083 °∠ คือ 2∠ 30°3จากนั้นบวกไปทีละ 360 ° = 120 °3ได้แก่ 2∠ 150 ° ,2∠ 270°ตอบ (ในรูป a(39.3) − 8i = 8∠ 270° →คําตอบแรกคือ 2∠ 90°+ bi) 3 + i, − 3 + i, − 2i∴ ตอบ 2∠ 90 ° ,2∠ 210 ° ,2∠ 330°(39.4) − 4 + 4 3 i = 8∠ 120° →คําตอบแรกคือ 2 2∠ 60°∴ ตอบ 2 2∠ 60 ° ,2 2∠ 240°(39.5) −2 3 − 2i = 4∠ 210° →คําตอบแรกคือ 2∠ 105°∴ ตอบ 2∠ 105 ° ,2∠ 285°(39.6) ใช้เชิงขั้วคิดจะยาก เพราะไม่ทราบมุม θจึงใช้วิธีสมมติคําตอบเป็น x + yi ดังนั้น2(x + yi)2 2= −15 −8 i → x − y = − 15 .....(1)และ 2xy 8=− .....(2)แก้ระบบสมการได้ x = 1 → y = − 4หรือ x =−1 → y = 4∴ ตอบ 1 − 4i และ − 1 + 4i(40) x 2 − y 2 = 3 และ 2xy = 4 →จะได้ x = 2 → y = 1หรือ x =−2 → y =−1→∴ ตอบ 2 + i และ −2 − i(41) z 1 กับ z 2 เป็นรากที่สองของ −2 − 2 3 i2 21 2∴ z + z = −2− 2 3i + −2−2 3i= 4 + 4 = 8(42.1) x 2 =−16 → x =± − 16 =± 4i(42.2)x =3 ± 9 − 3243 −23 3 23= ± = ± i4 4 4 4(42.3)32x − x + 1 = 02→ (x + 1)(2x − 2x + 1) = 0เฉพาะกําลังสอง ได้∴ x =− 1, 1 ± i(43) z 4 − z 2 + 16 = 02 ± 4 − 8x = = 1 ± i22 1 ± 1 − 64 1 3 7→ z = = ± i2 2 222 ⎛ 1⎞⎛3 7 ⎞→ z = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 4⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠(44.1)x =22∴ z = 2−(1 − 2 i) ± (1 −2 i) −4(2)(1 −8 i)−(1 − 2 i) ± − 11 + 60 i=4ถอดรากด้วยวิธีข้อ 39.6, 40−(1 − 2 i) ± (5 + 6 i)= = 1 + 2i, −3/2 − i4(44.2)43 ± 9 − 4(2i)( −3i)x =4i3 ± 9 − 24 3 ± 15 i 3 15= = = − i ±4i 4i 4 4[ ] 2−2(i − 1) ± 2(i −1) −4(1)( −1 −2 i)(44.3) x =2−2(i − 1) ± 4 − 2i+ 2±2= = = 2 −i, − i2 2(2+ 3i) ± (2+ 3i) −4(1)( − 1+3i)(44.4) x =2(2 + 3 i) ± − 1 2+ 3i±i= = = 1+ 2i, 1+i2 2(45) วิธีแทนค่า3 2(2 + 3 i) − 3(2 + 3 i) + 9(2 + 3 i) + 13= ( − 46 + 9 i) + (15 − 36 i) + (18 + 27 i) + 13 = 0วิธีแยกตัวประกอบ 3 22= (x + 1)(x − 4x + 13) = 0x − 3x + 9x + 134 ± 16 − 52∴ x = = 2 ± 3i2(46) x 3 − 17x 2 + 83x − 672= (x − 1)(x − 16 + 67) = 0เฉพาะกําลังสอง ได้16 ± 256 − 268x = = 8 ± 3 i2∴ ตอบ (1) + (8 + 3 i) + (8 − 3 i) = 17(47) z 3 + 2z 2 + 9z + 18 = (z + 2)(z 2 + 9) = 0→ z = − 2, ± 3iตอบ ผลบวก = − 2 ผลคูณ = − 182Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET267จํานวนเชิงซอน(48) แสดงว่าอีกรากคือ 4 − 3i2∴ Ax + Bx + C = (x − 4 + 3 i)(x − 4 − 3 i)2= x − 8x + 25 → A + B + C = 18(49) (x − 2)(x − 1 + i)(x − 1 − i) = 02(x − 2)(x − 2x + 2) = 03 2→ x − 4x + 6x − 4 = 0(50) (x − 2 + 2 3 i)(x −2 − 2 3 i)2 2→ (x − 4x + 16)(x + 16) = 0เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องลําดับและอนุกรมถ้าศึกษาเรื่องอนุกรมเรขาคณิตในบทที่ 13 แล้ว จะสามารถจัดรูปสมการ 5 + 4 + 3 + 2 + =ให้เป็น 6x − 1= 0x − 1(x + 4 i)(x − 4 i) = 04 3 2→ x − 4x + 32x − 64x + 256 = 02(51) (x − 2 + 2 i)(x − 2 − 2 i) = x − 4x + 82 2จากโจทย์แยกได้ (x − 4x + 8)(x − 7) = 0คําตอบที่เหลือคือ 2 − 2i, ± 72(52) (x + 1 + i)(x + 1 − i) = x + 2x + 22 2จากโจทย์แยกได้ (x + 2x + 2)(x − 2) = 0คําตอบคือ − 1± i, ± 2(53) (x + 1 − 3 i)(x + 1 +23 i) = x + 2x + 4จากโจทย์แยกได้2 3 2(x + 2x + 4)(x − 2x + 9x − 18) = 02 2→ (x + 2x + 4)(x − 2)(x + 9) = 0∴ คําตอบคือ − 1± 3 i, 2, ± 3i(54.1) เนื่องจากสมการ x 6 − 1 = 0 แยกตัว5 4 3 2ประกอบได้ (x − 1)(x + x + x + x + 1) = 0แสดงว่าคําตอบของพหุนามดีกรี 5 ในโจทย์ ก็คือคําตอบของสมการ x 6 − 1 = 0 ยกเว้น x=1 นั่นเอง6 6x − 1 = 0 → x = 1 ดังนั้น x เป็นรากที่ 6 ของ1 (ซึ่งเราจะหาคําตอบทั้ง 6 ได้ โดยอาศัยรูปเชิงขั้ว)1 3ตอบ − ± ±1, i2 2x x x x 1 0ได้อย่างง่ายดายครับ!(54.2) แยกตัวประกอบได้(x + 1)(x − 2)(x + 2)(x + 2x + 4) = 0∴ ตอบ − 1, ± 2, − 1 ± 3 i24 2(55) แยกตัวประกอบได้ (x − 1)(x − x + 1) = 02 2→ (x − 1)(x + 1)(x + 1)(x − x + 1) = 01 3x 1, i, i2 2− ± −z =2→ = ± ± ± ตอบ ผลบวก = 1(56.1) 2 1 1 822 ⎛ 1⎞⎛ 7 ⎞→ z = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠44∴ z = 2 → ผลบวก 4 คําตอบ =2 2(56.2) (x + 4)(x − 2x + 8) = 0→ x = ± 2i, 1±7 i24 2ตอบ 2i + − 2i + 1+ 7i + 1− 7i = 4+4 24(56.3) (x + 4)(x − 3 i) = 0→ x = 3i หรือ x 4 = − 44 4 4 4ผลบวกค่าสัมบูรณ์ = 3i + 4 + 4 + 4 + 4= 3 + 4 2(57) แสดงว่า p( − 2 i) = 0 [ทฤษฎีตัวประกอบ]3 2( −2 i) −(5 −2 i)( − 2 i) + (7 − 10 i)( − 2 i) + k = 0→ k = 14i(58) ถ้าแทนค่า x ลงไปในพหุนามจะคํานวณยากจึงใช้ทฤษฎีเศษเหลือ ตามคําใบ้ในโจทย์ (ซึ่งต้องตั้งหารยาว เพราะหารสังเคราะห์กําลังสองไม่ได้, หารสังเคราะห์กําลังหนึ่งก็ยาก เพราะติด i) →ได้คําตอบ (คือเศษ) = − 313 2(59) P(x) = x + Bx + Cx + Dจาก 1 + 3 i เป็นรากของ P(x)2→ (x − 1 − 3 i)(x − 1 + 3 i) = x − 2x + 42แสดงว่า P(x) = (x − 2x + 4)(x − c)P(2) = 5 จะได้ c = 3 / 4∴ รากที่เป็นจํานวนจริงของ P(x) คือ c = 3 / 4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NETeÃ× èo§æÁใช้จํานวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ..268จํานวนเชิงซอนการคํานวณวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ในวิชาฟิสิกส์ระดับ ม.ปลาย ไม่ได้กล่าวถึงจํานวนเชิงซ้อนเลยแต่ให้ใช้เวกเตอร์ในการหาขนาดและมุม หรือที่เรียกกันว่าใช้ เฟสเซอร์ (Phaser) แต่อันที่จริงแล้ววงจรไฟฟ้ากระแสสลับนั้นเกี่ยวข้องกับจํานวนเชิงซ้อนโดยตรง ส่วนเฟสเซอร์เป็นเพียงการนําผลที่ได้จากจํานวนเชิงซ้อน(ในรูปเชิงขั้ว) ไปเขียนเป็นรูปภาพเท่านั้นเอง..หากมีความรู้ในเรื่องจํานวนเชิงซ้อนจะทําให้คํานวณวงจรไฟฟ้ากระแสสลับได้โดยง่าย เพราะเป็นการคํานวณขนาดและมุมไปในตัวพร้อมๆ กัน ไม่ต้องยุ่งยากกับเฟสเซอร์เลยครับ (โดยเฉพาะในข้อสอบพื้นฐานวิศวะนั้นจําเป็นมากที่จะต้องใช้จํานวนเชิงซ้อนคิด เนื่องจากวงจรค่อนข้างซับซ้อน)สิ่งที่ต้องทราบเพื่อใช้ในการคํานวณ (ด้วยจํานวนเชิงซ้อน) มีดังนี้(1) นิยมใช้ j แทน i เพื่อไม่ให้สับสนกับตัวแปร i ที่ใช้แทนกระแสไฟฟ้า(2) นิยมให้แหล่งจ่ายแรงดันกระแสสลับ (สัญญาณรูปไซน์) มีมุมเป็นศูนย์ (คือ แรงดัน = V∠ 0°)(3) ค่าอิมพีแดนซ์ (Z) หน่วยเป็นโอห์ม ของแต่ละอุปกรณ์เป็นดังนี้ตัวต้านทาน Z R = R (มีแต่ส่วนจริง ไม่มีส่วนจินตภาพ)ตัวเหนี่ยวนํา Z L = jω L (ชี้ขึ้น ขนาดเท่ากับ ω L หรือเขียนในรูป L 90ω ∠ °)1 1ตัวเก็บประจุ Z C = = −j⎛ ⎞⎜ ⎟ (ชี้ลง ขนาดเท่ากับ 1 หรือเขียนในรูป 1 90jωC⎝ωC⎠ ωCωC ∠− ° )(4) เราคํานวณในวงจรเสมือนว่าเป็นวงจรไฟฟ้ากระแสตรงตามที่คุ้นเคย เพียงแค่คิดเลขเป็นจํานวนเชิงซ้อน(กฎทุกกฎใช้ได้หมด ไม่ว่าจะเป็น V = IZ, การรวมค่าโอห์มแบบอนุกรมและแบบขนาน, กฎการแบ่งกระแส, การแบ่งแรงดัน, กฎของเคอร์ชอฟฟ์ ฯลฯ)ตัวอย่าง ถ้าแหล่งกําเนิดแรงดันรูปไซน์มีขนาด 10 โวลต์(rms) และอุปกรณ์แต่ละชิ้นมีค่าอิมพีแดนซ์ตามที่ระบุในรูป (คํานวณเป็นโอห์มให้แล้ว) ให้หาอิมพีแดนซ์รวม และกระแสรวมในวงจรนี้ (แบบ rms)วิธีคิด ถ้าเป็นวงจรไฟฟ้ากระแสตรง เราจะใช้วิธีรวม R อนุกรมในแต่ละเส้น แล้วนําทั้งสองเส้นมารวมกันแบบขนาน จะได้ค่า R รวม3 Ω 4 Ω10 Vของวงจร แล้วก็ใช้สูตร V = IR ก็จะได้ค่ากระแสรวมของวงจร4 Ω 3 Ω ถึงแม้วงจรนี้เป็นไฟฟ้ากระแสสลับ เราก็ยังยึดวิธีคิดแบบเดิมได้เส้นขวา มี 4 โอห์ม กับ j3 โอห์ม ต่อแบบอนุกรมจึงได้ Zขวา= 4 + j3 โอห์มเส้นกลาง มี 3 โอห์ม กับ -j4 โอห์ม ต่อแบบอนุกรมจึงได้ Zกลาง= 3 − j4 โอห์ม (อย่าลืมว่า C ต้องชี้ลงในทิศ -j)จากนั้นรวมสองเส้น แบบขนาน Z รวม = (4 + j3) //(3 − j4)=(4 + j3)(3 − j4) 24 − j7= = 3.5 − j0.5 โอห์ม ... คิดเป็นขนาด2 23.5 + 0.5 = 3.54 โอห์ม(4 + j3) + (3 − j4) 7 − j1V 10I = = = 2.8 + j0.4Z 3.5 − j0.5ดังนั้น รวมรวมV 10(ถ้าไม่ต้องการทราบมุม ต้องการเพียงขนาด ก็คิดตามนี้ก็ได้ครับ I รวม = = = 2.83 )Zรวม3.54หมายเหตุ ค่า Z รวม = 3.5 − j0.5 และ I รวม = 2.8 + j0.4 นี้นําไปวาดเฟสเซอร์ร่วมกับค่า V ได้เลยแอมแปร์ ..คิดเป็นขนาด2 22.8 0.4 2.83+ = แอมแปร์ตามสัดส่วนค่าจริง, จินตภาพ ที่ได้ออกมา เหมือนกับว่าคํานวณทีเดียวได้ทั้งขนาดและมุมพร้อมกัน...และถ้าต้องการหากระแสในแต่ละเส้น หรือความต่างศักย์แต่ละจุดก็คงจะดัดแปลงวิธีการต่อไปได้แล้วนะครับMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET269ทฤษฎีกราฟG,r,A,p,Hº··Õè12 ·ÄÉ®Õ¡ÃÒ¿กราฟ (Graph) ในที่นี้ไม่ได้หมายถึงกราฟของความสัมพันธ์หรือฟังก์ชัน แบบที่เคยศึกษาผ่านมาแล้ว(คือกราฟของสมการระหว่าง x กับ y) แต่จะหมายถึงแผนภาพซึ่งประกอบด้วยจุดและเส้นที่เชื่อมจุด เช่นแผนภาพแสดงเส้นทางเดินรถไฟ, โครงสร้างทางเคมี,วงจรไฟฟ้า... บางตําราจะใช้คําว่า ข่ายงาน (Network)การศึกษา ทฤษฎีกราฟ (Graph Theory) จะช่วยแก้ปัญหาบางอย่างได้เช่น การหาเส้นทางเดินให้ผ่านทุกจุดโดยไม่ซ้ําทางเดิม, การหาเส้นทางไปยังจุดหมายให้สั้นที่สุด, การเลือกวางเส้นทางให้เชื่อมทุกๆ จุดโดยประหยัดที่สุด เป็นต้นสมมติกราฟ G เป็นกราฟที่ใช้แทนเมือง 4 เมือง คือA, B, C, D และมีถนนเชื่อมระหว่างเมือง A–B, A–C, B–C,B–D, และ C–D จะเขียนแผนภาพของ G ได้ดังรูปACe 1Be 2 e 3 e4e 5DMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET27012.1 ส่วนประกอบของกราฟทฤษฎีกราฟส่วนประกอบของกราฟมี 2 เซต คือเซตของ จุดยอด (Vertex) : V(G) และเซตของ เส้นเชื่อม (Edge) : E(G)ในตัวอย่างกราฟ G นี้ จะได้ V(G) = {A,B,C,D} และ E(G) = {AB, AC,BC,BD,CD}หรืออาจเขียนเป็น E(G) = {e,e 1 2,e 3,e 4,e 5}การเกิดเป็นกราฟได้จะต้องมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด แต่กราฟอาจไม่มีเส้นเลยก็ได้(หมายความว่า เซต V(G) ห้ามเป็นเซตว่าง แต่เซต E(G) สามารถเป็นเซตว่างได้)ข้อตกลงในการเขียนแผนภาพของกราฟ คือ จะวางจุดยอดจุดใดไว้ตําแหน่งใดก็ได้ และจะลากเส้นเชื่อมเป็นเส้นตรงหรือโค้งก็ได้ (แต่หากเส้นเชื่อมสองเส้นที่ลากขึ้นนั้นตัดกัน จุดตัดที่เกิดขึ้นจะไม่นับเป็นจุดยอดของกราฟ) ... ดังนั้นกราฟ G ดังที่กําหนดให้ อาจเขียนแผนภาพแบบอื่นๆ ได้มากมาย เช่นBA e 1 Be 1 e 4e 4A BeAe 2e 13 De 3 C e 5De 4 e 3e 2 e 5 e 2 D CCe 5พิจารณากราฟ G ดังรูป1. พบว่า e 5 และ e 6 เป็นเส้นที่เชื่อมจุดปลาย คู่เดียวกันเรียก e 5 และ e 6 ว่า เส้นเชื่อมขนาน (Parallel Edges)หมายเหตุกราฟนี้มีเส้นเชื่อมขนาน เราไม่สามารถใช้คําว่า CD เขียนแทนทั้ง e 5 กับ e 6 ได้ จะต้องเขียน E(G) = {e,e 1 2,e 3,e 4,e 5,e 6,e 7}เท่านั้นABe 2 e 3 e42. พบว่า e 7 เป็นเส้นเชื่อมที่มีปลายทั้งสองเป็นจุดๆ เดียว เรียก e 7 ว่า วงวน (Loop)3. เรียกจุดยอด A กับ B ว่า จุดยอดที่ประชิดกัน (Adjacent Vertices)เนื่องจากมีเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดทั้งสอง(ตัวอย่างจุดยอดที่ไม่ประชิดกันเช่น จุดยอด A กับ D)4. เรียกเส้นเชื่อม e 1 “เกิดกับ (Incident) จุดยอด A”เนื่องจากจุดยอด A เป็นปลายของ e 1(หรือจะกล่าวว่า e 1 เกิดกับจุดยอด B ก็ถูกเช่นกัน)ACCe 7e 1e 5e 6e 1BDe 2 e 3 e45. ดีกรี (Degree) ของจุดยอด คือจํานวนครั้งที่มีเส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอดนั้น“ดีกรีของจุดยอด A” ใช้สัญลักษณ์ deg Aดังนั้น ในกราฟรูปล่าง deg A = 2 , deg B = 3 , deg C = 2, deg D = 3 , และ deg E = 0เรียกจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจํานวนคู่ว่า จุดยอดคู่ (Even Vertex) เช่น จุด A, จุด C, จุด Eและเรียกจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจํานวนคี่ว่า จุดยอดคี่ (Odd Vertex) เช่น จุด B, จุด DEe 5DMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET271ทฤษฎีกราฟทฤษฎีบทที่สําคัญ ได้แก่1. ผลรวมดีกรีของจุดยอดทั้งหมดในกราฟ จะเป็น 2 เท่าของจํานวนเส้นเชื่อม (ดังนั้น ผลรวมดีกรีย่อมเป็นจํานวนคู่เสมอ)เช่น ในตัวอย่างที่แล้ว... deg รวม = 10 และจํานวนเส้นเชื่อม = 52. เนื่องจากผลรวมดีกรีต้องเป็นจํานวนคู่ ทําให้จํานวนจุดยอดคี่ของกราฟเป็นจํานวนคู่เสมอ (ส่วนจุดยอดคู่จะมีเท่าใดก็ได้)เช่น ในตัวอย่างที่แล้ว มีจุดยอดคี่อยู่ 2 จุดS e¾ièÁeµiÁ! SÇi¸Õ¡ÒÃËÒ´Õ¡ÃÕ¢o§¨ú ÂoóÂÒ§§ÒÂæ ¤×oe¢ÕÂ¹Ç§¡ÅÁ¢¹ÒéÅç¡æ ÅoÁÃoº¨ú Âo´¹aé¹Ç§¡ÅÁ¹Õéµa´¡aºeÊ¹eª×èoÁ¡Õ è¤Ãa é§ ü´Âo´¡çäÁÕ´Õ¡ÃÕe·Ò¹aé¹¤Ãaº..แบบฝึกหัด 12.1(1) ให้เขียนแผนภาพของกราฟ G ข้อละ 1 แบบ เมื่อกําหนด V(G) และ E(G) ให้ดังนี้(1.1) V(G) = {w,x,y,z} และ E(G) = {wx, wy, wz, xy, xz, yz}(1.2) V(G) = {A,B,C,D} และ E(G) = {AB, AC,BC,DD}(1.3) V(G) {v,v 1 2,v 3,v 4,v 5,v 6}E(G){vv,vv,vv,vv,vv,vv}= และ = 1 3 2 4 2 5 3 6 4 6 5 5(2) จากกราฟ G ที่กําหนดให้แต่ละข้อ ให้เขียน V(G), E(G), deg A , deg Dและตอบว่าจุดยอด D กับจุดยอดใดที่เป็นจุดยอดประชิด, และ เส้นเชื่อม e 3 เกิดกับจุดยอดใด(2.1) B(2.3) Ee 1 e 5D e 1 FA e 4(2.2)DBe 6e 2ee 3 e 52Cee 35C A e 1CB e 4Ae 6e 4 e 2e 3D(3) โดยอาศัยทฤษฎีเกี่ยวกับจุดยอดคี่ ให้ตอบว่าแต่ละเหตุการณ์ต่อไปนี้เป็นไปได้หรือไม่(3.1) กราฟ G มีจุดยอดทั้งสิ้น 4 จุด ซึ่งแต่ละจุดมีดีกรีเท่ากับ 1, 2, 3, และ 3(3.2) ในจํานวน 5 เมือง มีเมืองที่มีถนนเชื่อมไปยังเมืองอื่น 3 สาย อยู่ 1 เมือง, 2 สายอยู่ 2 เมือง, และเมืองที่เหลือมีถนนเชื่อมไปยังเมืองอื่นเพียงเมืองละ 1 สาย(3.3) นักเทนนิส 15 คน ทุกคนลงแข่งกับใครก็ได้ในกลุ่มนี้ 3 ครั้ง(4) ให้ใช้ทฤษฎีกราฟเบื้องต้น ช่วยแก้ปัญหาต่อไปนี้(4.1) หากมีข้อมูลว่า ประเทศไทยมีอาณาเขตติดต่อกับประเทศพม่า ลาว กัมพูชา และมาเลเซีย, ประเทศลาวมีอาณาเขตติดต่อกับกัมพูชา พม่า และเวียดนาม, กัมพูชามีอาณาเขตติดต่อกับเวียดนาม, มาเลเซียติดกับสิงคโปร์ ... ต้องการระบายสีแผนที่ของประเทศที่กล่าวมานี้ โดยอาณาบริเวณแต่ละประเทศที่ติดต่อกันต้องใช้คนละสี จะต้องเตรียมสีอย่างน้อยกี่สี[ Hint : ให้จุดยอดแทนประเทศ และให้เส้นเชื่อมแทนการมีอาณาเขตติดต่อกัน ](4.2) ร้านกาแฟแห่งหนึ่งมีลูกค้าประจํา 7 คน ซึ่งจะมานั่งดื่มกาแฟในเวลาดังนี้เกษม และขจร จะมาดื่มกาแฟด้วยกันทุกครั้ง ภายในช่วงเวลา 8.15 – 8.45 น.คะนึง และงาม จะมานั่งดื่มกาแฟด้วยกัน ภายในช่วงเวลา 8.30 – 9.00 น.จรูญ มานั่งดื่มกาแฟคนเดียว ภายในช่วงเวลา 8.20 – 8.40 น.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET272ทฤษฎีกราฟฉลอง มานั่งดื่มกาแฟคนเดียว ภายในช่วงเวลา 8.50 – 9.15 น.และชรัส มานั่งดื่มกาแฟคนเดียว ภายในช่วงเวลา 8.00 – 8.25 น.ร้านกาแฟจะต้องจัดที่นั่งไว้รับรองลูกค้าประจํากลุ่มนี้ อย่างน้อยที่สุดกี่ที่[ Hint : ให้จุดยอดแทนตัวลูกค้า และให้เส้นเชื่อมแทนการมีช่วงเวลาทับซ้อนกัน ](4.3) เพื่อนสนิทกลุ่มหนึ่งซึ่งมี 5 คน มีการคุยโทรศัพท์ระหว่างกันในรอบสัปดาห์ที่ผ่านมาเป็นจํานวน 2, 3, 3, 4, 4 ครั้ง ตามลําดับ แสดงว่ามีการโทรศัพท์เกิดขึ้นรวมทั้งหมดกี่ครั้ง(4.4) การแข่งขันเทนนิสมีนักกีฬาเข้าร่วมแข่งขัน 10 คน เป็นการแข่งแบบพบกันหมด หากใน 1 วัน จัดแข่งได้ 4 คู่ จะต้องใช้เวลาทั้งหมดกี่วัน12.2 กราฟออยเลอร์มีปัญหาที่คลาสสิคอยู่ข้อหนึ่ง กล่าวถึงสะพานข้ามแม่น้ําพรีเกลในเมืองเคอนิกส์แบร์ก ประเทศเยอรมนี ... เรียกว่าปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก (Königsberg Bridge Problem)สะพานเหล่านี้เชื่อมเกาะและแผ่นดินในลักษณะดังรูปเกาะ Aแผ่นดิน Cเกาะ Bปัญหาถามว่า เป็นไปได้ไหมที่เราจะเริ่มต้นจากจุดหนึ่งบนแผ่นดิน แล้วเดินข้ามสะพานให้ครบทุกอันจนกลับมายังจุดเริ่มต้นโดยไม่ซ้ําสะพานเดิมเลยลักษณะของปัญหาเหมือนกับ “การลากเส้นวาดรูปโดยไม่ยกดินสอ”นั่นเอง ซึ่งการจะตอบปัญหาลักษณะนี้ได้ ต้องเข้าใจเกี่ยวกับกราฟออยเลอร์ก่อน ถ้าเราแปลงปัญหานี้เป็นกราฟ โดยให้แผ่นดินและเกาะเป็นจุดยอดและให้สะพานเป็นเส้นเชื่อม จะได้แผนภาพของกราฟดังนี้Aเราสามารถเดินทางจากจุด C ไปยังจุด D ได้หลายทางเช่น C → B → D เขียนเป็นลําดับได้ว่า C, e 7, B, e 6, Dหรือ C → A → D เขียนเป็นลําดับได้ว่า C, e 1, A, e 3, D หรือ 1 4หรือ C → B → A → D เขียนเป็นลําดับได้ว่า 7 5 3แผ่นดิน De 1e 2Ce 7e 5e 4 ee 63DC, e , A, e , D หรืออื่นๆC, e , B, e , A, e , D หรืออื่นๆเรียกลําดับ (ที่ประกอบด้วยจุดสลับกับเส้น) เหล่านี้ว่า แนวเดิน (Walk)ที่กล่าวมาทั้งหมดก็คือตัวอย่างของ “แนวเดิน C–D”Bหมายเหตุหากกราฟไม่มีเส้นเชื่อมขนานและไม่มีวงวน สามารถเขียนลําดับของแนวเดินโดยใช้เฉพาะจุด ไม่ต้องบอกเส้นเชื่อมก็ได้ เช่น C, B, D หรือ C, A, D หรือ C, B, A, D ฯลฯ ... แต่ในตัวอย่างนี้ทําไม่ได้เพราะมีเส้นเชื่อมขนาน (คําว่า C, A, D จะเป็นไปได้หลายทาง ไม่ชัดเจน)กราฟนี้เป็น กราฟเชื่อมโยง (Connected Graph) เนื่องจากทุกๆ จุดยอดมีแนวเดินถึงกันแนวเดินซึ่งเริ่มและจบที่จุดเดียวกัน โดยไม่ใช้เส้นเชื่อมซ้ํากันเลย เรียกว่า วงจร (Circuit)ถ้าวงจรนั้นผ่านจุดยอดและเส้นเชื่อมทั้งหมดที่มีในกราฟ เรียกว่า วงจรออยเลอร์ (Euler Circuit)กราฟใดที่สามารถหาวงจรออยเลอร์ได้ จะถูกเรียกว่าเป็น กราฟออยเลอร์ (Eulerian Graph)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET273ทฤษฎีกราฟปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก ถูกแก้โดยนักคณิตศาสตร์ชื่อ เลออนาร์ด ออยเลอร์ ในปี ค.ศ.1736 ... เมื่อได้แผนภาพแล้ว การแก้ปัญหาก็เพียงพิจารณาว่าแผนภาพที่ได้นั้น “เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่” และเหตุผลที่เขาอธิบายคือ“กราฟออยเลอร์จะต้องเป็นกราฟเชื่อมโยง และจุดยอดทุกจุดต้องเป็นจุดยอดคู่”(เพราะไม่ว่าจุดใด จะต้องมีเส้นทางให้เดินเข้าเป็นจํานวนเท่ากับเส้นทางให้เดินออก) ... ดังนั้นคําตอบของปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก คือ “เป็นไปไม่ได้” เพราะเป็นจุดยอดคี่ทั้ง 4 จุดหมายเหตุ ปัจจุบันเมืองเคอนิกส์แบร์ก เปลี่ยนชื่อเป็น Kaliningrad และกลายเป็นส่วนหนึ่งของรัสเซียDEACFBแบบฝึกหัด 12.2(5) มีแนวเดินจากจุด A ไปยังจุด D ซึ่งไม่ซ้ําเส้นทางเดิมทั้งหมดกี่แบบ ได้แก่อะไรบ้างEB A(6) สําหรับระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์ซึ่งประกอบด้วยคอมพิวเตอร์ 6 เครื่อง เชื่อมต่อเพื่อรับส่งข้อมูลระหว่างกันตามรูป คอมพิวเตอร์เครื่องใดควรเฝ้าระวังไม่ให้เสียหายมากที่สุด ให้อธิบายเหตุผลโดยอ้างทฤษฎีกราฟ(7) กราฟต่อไปนี้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่, ถ้าเป็น ให้เขียนลําดับแสดงวงจรออยเลอร์ด้วย(7.1) E (7.2) E (7.3) EFFCDCCCB A B A(7.4) B (7.5) B (7.6)BBAACAC ACDD(7.7) A(7.8) A(7.9)B F B F BDAFCDECDECDEMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET274ทฤษฎีกราฟ(8) จากกราฟต่างๆ ในข้อ (7) ให้พิจารณาว่า กราฟในข้อใดสามารถลากเส้นจนครบทั้งรูปโดยไม่ทับเส้นทางเดิม และเส้นที่ลากนั้นไม่ขาดตอน ... เมื่อกําหนดเงื่อนไขว่า(8.1) จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ต้องเป็นจุดเดียวกัน(8.2) จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ต้องเป็นคนละจุดกัน[ Hint : มีจุดยอดคี่ได้ 2 จุด … ให้จุดหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้น อีกจุดเป็นจุดสิ้นสุด ](9) บ้านหลังหนึ่งมีแบบแปลนชั้นล่าง ดังรูปA B C เป็นไปได้หรือไม่ที่จะออกเดินจากจุดๆ หนึ่งD E F ให้ผ่านครบทุกประตู ประตูละครั้งเดียว(9.1) แล้วกลับมาที่จุดเริ่มต้นพอดี(9.2) ไม่ต้องกลับมายังจุดเริ่มต้นก็ได้GH[ Hint : ให้จุดยอดแทนห้องและนอกตัวบ้าน (9 จุด) และให้เส้นเชื่อมแทนประตู (15 เส้น) ](10) ตอบคําถามต่อไปนี้(10.1) หากปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก ยกเว้นเงื่อนไขที่ว่าจะต้องกลับมาสิ้นสุดที่จุดเริ่มต้นแล้วคําตอบของปัญหานี้จะกลายเป็น “เป็นไปได้” หรือไม่ เพราะเหตุใด(10.2) ถ้าข้อที่แล้วตอบว่า “ไม่” ... ให้พิจารณาว่าเราสามารถสร้างสะพาน 1 อัน เพิ่มเติมระหว่างจุดใด เพื่อให้คําตอบกลายเป็น “เป็นไปได้”12.3 วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุดเรานําทฤษฎีกราฟเบื้องต้นไปประยุกต์ใช้แก้ปัญหาบางอย่างได้ ดังที่เอ่ยถึงแล้วเช่น การหาเส้นทางมุ่งไปยังจุดหมายให้สั้นที่สุด และการเลือกวางเส้นทางให้เชื่อมทุกจุดโดยประหยัดที่สุด ซึ่งมีรายละเอียดคร่าวๆ ดังนี้.. (วิธีขั้นสูงจะยังไม่ศึกษาในระดับ ม.ปลาย)A13D4B252CE236Fรูปนี้เป็นตัวอย่างของ กราฟถ่วงน้ําหนัก(Weighted Graph) ... คือกราฟที่เส้นเชื่อมทุกเส้นมีจํานวนจริงบวกเขียนกํากับไว้ เรียกจํานวนนี้ว่า ค่าน้ําหนัก (Weight) ซึ่งอาจใช้แทนระยะทางระหว่างจุด,ระยะเวลาที่ใช้เดินทางระหว่างจุด, ค่าใช้จ่ายในการสร้างเส้นทาง, หรืออื่นๆ เพื่อบ่งบอกให้ทราบความแตกต่างระหว่างแต่ละเส้น1. การหา วิถีที่สั้นที่สุด (Shortest Path)วิถี (Path) คือแนวเดินซึ่งไม่ซ้ําจุดยอดเดิม ... วิถีที่สั้นที่สุด คือวิถีที่ผลรวมค่าน้ําหนักน้อยที่สุดเช่นในรูปตัวอย่าง วิถี A–F ที่สั้นที่สุด คือ A, B, C, F ซึ่งมีค่าน้ําหนักรวม 1+ 2 + 3 = 6วิถี D–E ที่สั้นที่สุด คือ D, C, E ซึ่งมีค่าน้ําหนักรวม 5+ 2 = 7วิถี B–D ที่สั้นที่สุด คือ B, A, D หรือ B, D ก็ได้ เพราะมีค่าน้ําหนักรวมเป็น 4 เหมือนกัน2. การหา ต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด (Minimal Spanning Tree)ต้นไม้ (Tree) คือกราฟเชื่อมโยง ซึ่งไม่มีรูปปิด ... (รูปปิด เรียกว่า วัฏจักร (Cycle))Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET275ทฤษฎีกราฟต้นไม้แผ่ทั่ว (Spanning Tree) คือต้นไม้ที่ใช้จุดยอดครบทุกจุด... ในตัวอย่างที่กําหนดให้ จะสร้างต้นไม้แผ่ทั่วได้มากมาย เช่นAA1313DBDB222CE3B CFFA 4 25H 1 3 E HD6 2CB CF 1 22 2 A 42FE H 3ED6H 4นอกจากนี้ยังมีแบบอื่นๆ อีก ... แต่ “ต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด” (คือมีค่าน้ําหนักรวมน้อยที่สุด) ได้แก่แบบ H 3 ซึ่งมีค่าน้ําหนักรวมเท่ากับ 10วิธีหาต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุดคือ เลือกเส้นเชื่อมทีละเส้นๆ เรียงจากเส้นที่ค่าน้ําหนักน้อยไปมาก โดยไม่เลือกเส้นที่ทําให้เกิดรูปปิดข้อสังเกตต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟที่มีจุดยอด n จุด จะมีเส้นเชื่อม n – 1 เส้นเสมอแบบฝึกหัด 12.3(11) ให้หาวิถี X–Y ที่สั้นที่สุดของกราฟถ่วงน้ําหนักต่อไปนี้(11.1) C(11.2)8 3D B 4X 5 2 Y 2 3X 11 1234BC42AA 7(11.3) (11.4)CX 1 CB 1 2612 13 4A DA 2 3 D221 2 GBE4 7 F53 1YX Y8YMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET276ทฤษฎีกราฟจังหวัด A B C D EA - 45 - 70 -B 45 - 40 55 -C - 40 - 30 60D 70 55 30 - 70E - - 60 70 -(12) กําหนดระยะเวลาเดินทางด้วยรถโดยสารระหว่างจังหวัดต่างๆ (หน่วยเป็นนาที) เป็นดังตารางให้หาเส้นทางที่เร็วที่สุดในการเดินทางด้วยรถโดยสารจากจังหวัด A ไปยัง E(13) ให้หาต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด ของกราฟถ่วงน้ําหนักในข้อ (11)(14) ให้หาเส้นทางการวางสายโทรศัพท์ไปตามถนนเพื่อให้เชื่อมต่อกันได้ครบทุกหมู่บ้าน โดยเสียค่าใช้จ่ายในการวางสายน้อยที่สุด (ค่าใช้จ่ายแปรผันตามระยะทาง) กําหนดให้ถนนระหว่างหมู่บ้านมีระยะทางเป็นดังนี้ ... AB = 30 , AF = 40, BC = 10, BE = 50 , BF = 20 , CD = 20, CE = 30 ,DE = 10, DF = 30, และ EF = 60 (หน่วยเป็นกิโลเมตร)(1) ดูในเฉลยวิธีคิด(2.1) V(G) = {A,B,C,D} ,E(G) = {AB, AC,BC,BD,CD} ,deg A = 2 , deg D = 2,จุดยอดประชิดกับ D คือ B กับ C,เส้นเชื่อม e 3 เกิดกับจุด A และ C(2.2) V(G) = {A,B,C,D} ,E(G) = {e,e 1 2,e 3,e 4,e 5,e 6},deg A = 2 , deg D = 4 ,จุดยอดประชิดกับ D คือ A, B, C,เส้นเชื่อม e 3 เกิดกับจุด C และ D(2.3) V(G) = {A,B,C,D,E,F},E (G) = {AA, AB, AE, BC, CE, EF} ,deg A = 4 , deg D = 0 ,จุดยอดประชิดกับ D ไม่มี,เส้นเชื่อม e 3 เกิดกับจุด A(3) เป็นไปไม่ได้เลยสักข้อ(1.1) x (1.2) B (1.3)wzAเฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(4.1) 3 สี (4.2) 5 ที่(4.3) 8 ครั้ง (4.4) 11 วัน(5) 5 แบบ ได้แก่ A, C, D ...A, B, C, D … A, B, E, C, D …A, C, B, E, C, D … และA, C, E, B, C, D(6) เครื่อง B เพราะถ้าขาดไปกราฟจะไม่เชื่อมโยงถึงกัน (แตกเป็นสองกลุ่มคือ A, F กับ C, D, E)(7) ข้อที่เป็นได้แก่ (7.1), (7.4),(7.7), (7.9) โดยมีวงจรออยเลอร์ดังนี้ (วงจรออยเลอร์ในแต่ละข้อสามารถเขียนได้หลายแบบ)(7.1) A, B, C, E, A(7.4) C, D, C, B, D, A, C(7.7) B, C, F, E, D, F, B, D, A, B(7.9) A, C, E, A, B, C, D, E, F, A(8.1) คําตอบเหมือนในข้อ (7)(8.2) กราฟที่ทําได้คือ (7.2), (7.5),และ (7.8)เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)v 1v 3v 6yCDกราฟในข้อนี้เป็นเพียงตัวอย่าง 1 แบบ คําตอบที่ถูกสามารถเขียนต่างจากนี้ได้มากมายMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)v 5(9.1) เป็นไปไม่ได้เพราะไม่ใช่กราฟออยเลอร์(9.2) เป็นไปได้เพราะมีจุดยอดคี่สองจุด(10.1) ยังคงเป็นไปไม่ได้เพราะมีจุดยอดคี่มากกว่า 2จุด (มีถึง 4 จุด)(10.2) ระหว่างจุดใดก็ได้เพราะจะทําให้เหลือจุดยอดคี่เพียง 2 จุด(11.1) X, B, C, Y(11.2) X, D, B, C, Y(11.3) X, B, A, Y(11.4) X, Yหรือ X, E, F, G, Y(12) A, D, E(13) ดูในเฉลยวิธีคิด(14) วางสายโทรศัพท์ไปตามถนน AB, BC, BF, CD, DEv 2v 4

คณิตศาสตร O-NET / A-NET277ทฤษฎีกราฟ(2.1) V(G) = {A,B,C,D},E(G) = {AB,AC,BC,BD,CD} ,deg A = 2 , deg D = 2 ,จุดยอดประชิดกับ D คือ B กับ C ,เส้นเชื่อม e 3 เกิดกับจุด A และ C(2.2) V(G) = {A,B,C,D},E(G) = {e,e 1 2,e 3,e 4,e 5,e 6},deg A = 2 , deg D = 4 ,จุดยอดประชิดกับ D คือ A, B, C ,เส้นเชื่อม e 3 เกิดกับจุด C และ D(2.3) V(G) = {A,B,C,D,E,F},E (G) = {AA, AB, AE, BC, CE, EF} ,deg A = 4 , deg D = 0 ,จุดยอดประชิดกับ D ไม่มี,เส้นเชื่อม e 3 เกิดกับจุด A(3) เป็นไปไม่ได้เลยสักข้อ เพราะแต่ละข้อเป็นกราฟที่มีจุดยอดคี่เป็นจํานวนคี่จุด ดังนี้(3.1) จุดยอดที่มีดีกรี 1,3,3 เป็นจุดยอดคี่สามจุดเป็นไปไม่ได้ (ถ้าลองวาดจะพบว่าไม่สามารถวาดได้)(3.2) เป็นกราฟที่มีจุดยอด 5 จุด ดีกรีเท่ากับ 3, 2,2, 1, 1 ซึ่งก็เป็นจุดยอดคี่สามจุด เป็นไปไม่ได้(3.3) มีจุดยอด 15 จุด แต่ละจุดมีดีกรีเท่ากับ 3เป็นไปไม่ได้(4.1) นําข้อมูลที่มีมาเขียนเป็นกราฟก่อน โดยให้จุดยอดแทนประเทศ และถ้าประเทศใดมีอาณาเขตติดกันก็จะลากเส้นเชื่อมถึงกัน จะได้ลักษณะดังนี้(ไม่จําเป็นต้องได้รูปเหมือนเป๊ะนะครับ)ลาวพม่า ไทย กัมพูชา เวียดนามมาเลเซียสิงคโปร์ไทยและลาวมีเส้นเชื่อมมากที่สุด คือ 4 เส้น จึงให้ไทยเป็นสีที่ 1 และลาวเป็นสีที่ 2 (ใช้คนละสีเพราะอยู่ติดกัน) จากนั้นหาประเทศที่ไม่ติดกับไทย คือสิงคโปร์และเวียดนาม จะให้ใช้สีที่ 1 ได้ด้วย.. ส่วนประเทศที่ไม่ติดกับลาว คือมาเลเซีย จะให้ใช้สีที่ 2ด้วย.. ตอนนี้เหลือพม่าและกัมพูชาที่ยังไม่มีสี ก็ให้ใช้สีที่ 3 (ใช้สีเดียวกันได้เพราะไม่ติดกัน) ดังนั้น จะใช้สีน้อยที่สุด 3 สีMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)(4.2) ให้จุดยอดแทนตัวลูกค้า และให้เส้นเชื่อมแทนการมีช่วงเวลาทับซ้อนกัน ข้อนี้พิเศษตรงที่มีลูกค้าบางคนมาพร้อมกันเสมอ คือ ก+ข และ ค+ง จึงเขียนให้สองคนเป็นจุดเดียวกัน เพื่อให้คิดง่ายขึ้นก+ขชจค+งให้ ก+ข นั่งที่ที่ 1 กับ 2 ..และ ค+ง นั่งที่ที่ 3 กับ 4จากนั้นหาคนที่ไม่ชนเวลากับ ก+ข จะให้นั่งที่ที่ 1ด้วย คือ ฉ ... ส่วนคนที่ไม่ชนกับ ค+ง จะให้นั่งที่ที่ 3ด้วย คือ ช ... เหลือ จ ซึ่งยังไม่มีที่นั่ง ก็ให้นั่งที่ใหม่คือที่ที่ 5 สรุปแล้วต้องเตรียมไว้อย่างน้อย 5 ที่(4.3) จุดยอด 5 จุด แต่ละจุดมีดีกรี 2, 3, 3, 4, 4ซึ่งรวมดีกรีได้เป็น 16 ดังนั้นจํานวนเส้นเชื่อมคือ16/2 = 8 เส้น(4.4) จุดยอด 10 จุด ทุกจุดมีดีกรี 9 เหมือนกันรวมดีกรีได้เป็น 90 ดังนั้นจํานวนครั้งที่แข่งคือ 90/2= 45 ครั้ง (หรือ 45 คู่) แสดงว่าต้องใช้เวลา 12 วัน(คิดจาก 45 หารด้วย 4 แล้วปัดเศษขึ้น เพราะวันสุดท้ายแม้แข่งไม่ครบ 4 คู่ ก็ต้องนับเป็นวันแข่งเช่นกัน)(5) 5 แบบ ได้แก่A, C, D A, B, C, DA, B, E, C, D A, C, B, E, C, Dและ A, C, E, B, C, D(6) เครื่อง B ควรระวังมากที่สุด เพราะถ้าเครื่องใดๆ ที่ไม่ใช่ B เสียไป เครื่องอื่นๆ ยังส่งข้อมูลถึงกันได้อยู่ (ส่งผ่านหลายทอดก็ได้) แต่ถ้าเครื่อง B เสียกราฟจะไม่เชื่อมโยงถึงกัน ..จะแตกเป็นสองกลุ่มคือA, F กับ C, D, E ซึ่งส่งข้อมูลไปหาอีกกลุ่มไม่ได้แล้ว(7) กราฟออยเลอร์จะต้องเป็นกราฟเชื่อมโยง (ทุกจุดเดินทางไปหากันได้) และจุดยอดทุกจุดเป็นจุดยอดคู่เท่านั้น .. ซึ่งข้อที่เป็นกราฟออยเลอร์ได้แก่ (7.1),(7.4), (7.7), และ (7.9) โดยมีวงจรออยเลอร์ดังนี้ (วงจรออยเลอร์ในแต่ละข้อสามารถเขียนได้หลายแบบ)(7.1) A, B, C, E, A(7.4) C, D, C, B, D, A, C(7.7) B, C, F, E, D, F, B, D, A, B(7.9) A, C, E, A, B, C, D, E, F, A(8.1) คําตอบเหมือนในข้อ (7) เพราะถ้าเราสามารถลากเส้นจนครบทั้งรูปโดยไม่ทับเส้นทางเดิม ไม่ขาดตอน และจบที่จุดเริ่มได้ แสดงว่ากราฟนั้นต้องเป็นกราฟออยเลอร์นั่นเองฉ

คณิตศาสตร O-NET / A-NET278ทฤษฎีกราฟ(8.2) ถ้าเราสามารถลากเส้นจนครบทั้งรูปโดยไม่ทับเส้นทางเดิม ไม่ขาดตอน และจบคนละจุดกับจุดเริ่มแสดงว่าต้องเป็นกราฟเชื่อมโยง ซึ่งมีจุดยอดคี่ 2 จุดเท่านั้น (ใช้จุดหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้น อีกจุดเป็นจุดสิ้นสุด) กราฟที่ทําได้คือ (7.2), (7.5),และ (7.8)(9) เขียนกราฟโดยให้จุดยอดแทนห้อง (A ถึง H)โดยมีจุดยอดแทนบริเวณนอกตัวบ้านด้วย (จุด O)และให้เส้นเชื่อมแทนประตู เพื่อแปลงปัญหาให้เป็นกราฟซึ่งต้องการเดินผ่านครบทุกเส้น (ทุกประตู)โดยไม่ซ้ําเส้นเดิม (ประตูเดิม)OA B CD E FG Hมีจุดยอดคี่อยู่ 2 จุด คือ O กับ D ดังนั้นข้อ (9.1)ทําไม่ได้ เพราะไม่ได้มีจุดยอดคู่ทุกจุด (กราฟออยเลอร์) แต่ข้อ (9.2) ทําได้ โดยให้เริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุด O กับ D(10.1) ยังคงเป็นไปไม่ได้ เพราะมีจุดยอดคี่มากกว่า2 จุด (มีถึง 4 จุด)(10.2) ระหว่างจุดใดกับจุดใดก็ได้ เพราะจะทําให้กลายเป็นจุดยอดคู่ไป 2 จุด และเหลือจุดยอดคี่เพียง2 จุด.. จะเหมือนข้อ (8.2) และ (9.2)(11) วิธีการคิดในระดับชั้นนี้ยังไม่ได้อธิบายไว้ ให้ทดลองบวกค่าน้ําหนักของแต่ละเส้นทาง เพื่อเลือกเส้นทางที่น้ําหนักรวมน้อยที่สุดเอง..(11.1) X, B, C, Y(11.2) X, D, B, C, Y(11.3) X, B, A, Y(11.4) X, Yหรือ X, E, F, G, Y(12) แปลงตารางให้เป็นกราฟ ได้ดังนี้B45 4055 C 60 EA 3070 70Dแล้วหาวิถี A-E ที่สั้นที่สุด ได้คําตอบเป็น A,D,E(น้ําหนักรวมเป็น 140 นาที)(13) วิธีหาต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุดคือ เลือกเส้นที่มีน้ําหนักน้อยที่สุด เรียงไปมาก จนกว่าจะครบ n-1เส้น (เมื่อ n คือจํานวนจุด) หากเส้นใดลากแล้วทําให้เกิดรูปปิด ก็จะข้ามเส้นนั้นไปไม่ต้องเลือก(13.1) มี 5 จุด จึงต้องเลือก 4 เส้น..- เลือกน้ําหนักน้อยที่สุด 2 คือ XA และ CB- เลือกน้ําหนัก 3 ..พบว่า XA โค้งๆ เลือกไม่ได้(เนื่องจากเลือกแล้วเกิดรูปปิด) จึงเลือกเฉพาะ CY- เลือกน้ําหนัก 4 คือ AB ... ได้ถึง 4 เส้นแล้วก็หยุดC32 YX2 B4A(13.2) ได้คําตอบดังรูป (เลือก XA แทน XD ก็ได้)D BX2 311 1YCA(13.3)(13.4)AB1AE23X412BX3Y1D1 2FC13G1Y(14) เขียนแผนภาพกราฟ (พยายามวางจุดแบบไม่ให้มีเส้นลากไขว้ทับกัน เพื่อไม่ให้งง) แล้วหาต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด ได้ดังเส้นหนาในรูป จึงตอบว่าต้องวางสายโทรศัพท์ไปตามถนน AB, BC, BF, CD, DEB 10 C3020 50 30E 20A 6040 10F 30 DCDMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET279ลําดับและอนุกรมs+e+r+i+e+sº··Õè13 ÅíÒáºæÅao¹u¡ÃÁลําดับ (Sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจํานวนนับ 1,2,3, ... เช่น สมมติเรามีฟังก์ชันf(n)=n 2 +1 เมื่อ n=1,2,3,... เราจะได้ f(1)=2, f(2)=5,f(3)=10, f(4)=17, ... ค่าฟังก์ชันเหล่านี้ที่เขียนต่อกันเป็น 2, 5, 10, 17, ... จะเรียกว่าลําดับนิยมเขียนฟังก์ชันด้วย a n คือใช้ a,a 1 2 ,a 3 ,...,a n แทน f(1),f(2),f(3),...,f(n) เพื่อให้ทราบว่าเป็นลําดับ (โดเมนเป็นจํานวนนับเท่านั้น) เรียก a 1 ว่า “พจน์ (term) ที่ 1” ของลําดับ,เรียก a 2 ว่าพจน์ที่ 2 ของลําดับ, ไปเรื่อยๆ จนถึงพจน์ที่ n ใดๆ เขียนแทนด้วย a n จะเรียกว่า พจน์ทั่วไป (general term) ของลําดับ2เช่น ลําดับ 2, 5, 10, 17, ... มีพจน์ทั่วไปเป็น an= n + 1 หรืออื่นๆ1, 2, 3, 4, ... มีพจน์ทั่วไปเป็น a n = n หรืออื่นๆ3, 6, 9, 12, ... มีพจน์ทั่วไปเป็น a n = 3n หรืออื่นๆ1, 3, 5, 7, ... มีพจน์ทั่วไปเป็น a n = 2n − 1 หรืออื่นๆ1, 4, 9, 16, ...2มีพจน์ทั่วไปเป็น an= n หรืออื่นๆ3 5 72n−11, , , , ... มีพจน์ทั่วไปเป็น an= หรืออื่นๆ24 9 16n−1, 1, − 1, 1, ...nมีพจน์ทั่วไปเป็น a n = ( − 1) หรืออื่นๆ1, −2, 3, − 4, ... มีพจน์ทั่วไปเป็น an−1= ( − 1) n หรืออื่นๆMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)n

คณิตศาสตร O-NET / A-NET280ลําดับและอนุกรม23, 17, 47, 99, 179, ... มีพจน์ทั่วไปเป็น a = n(n+ 1) − 1 หรืออื่นๆคําว่า “หรืออื่นๆ” ในที่นี้เนื่องจากลําดับหนึ่งๆ ที่ให้มา จะหาพจน์ทั่วไปได้มากกว่า 1 แบบnเสมอ เช่น ลําดับ 2, 4, 8, ... อาจมีพจน์ทั่วไปเป็น an= 2 ซึ่งทําให้ a 4 = 162หรือมีพจน์ทั่วไปเป็น a n = (n+ 1)(n − n+ 6)/6 ซึ่งทําให้ a 4 = 15ลําดับ 1, 2, 3, 4, ... อาจมีพจน์ทั่วไปเป็น a n = n ซึ่งทําให้พจน์ที่ 5 มีค่าเท่ากับ 54 3 2หรือ a n = (n−1)(n−2)(n−3)(n − 4) + n = n − 10n + 35n − 49n+ 24ก็ได้ ซึ่งทําให้ a 5 = 29(กลายเป็นลําดับที่ต่างกัน)ลําดับที่มีจํานวนพจน์ที่แน่นอน เช่น 8 พจน์, 15 พจน์, หรือ n พจน์ก็ได้ จะเรียกว่า ลําดับจํากัด (finite sequence) ส่วนลําดับที่มีจํานวนพจน์มากจนนับไม่ได้ จะเรียกว่า ลําดับอนันต์(infinite sequence)13.1 ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิตลําดับที่เราพบบ่อย มีสองประเภท คือ ลําดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) และลําดับเรขาคณิต (Geometric Sequence)1. ลําดับเลขคณิต คือลําดับที่ “ผลต่างของพจน์ติดกันเป็นค่าคงตัว” เรียกค่านี้ว่า ผลต่างร่วม (Common Difference) ใช้สัญลักษณ์ d นั่นคือ a n + 1 − a n = d เสมอพจน์ทั่วไปของลําดับเลขคณิต เป็น a n = a 1 + (n−1)d2. ลําดับเรขาคณิต คือลําดับที่ “ผลหารของพจน์ติดกันเป็นค่าคงตัว” เรียกค่านี้ว่าอัตราส่วนร่วม (Common Ratio) ใช้สัญลักษณ์ r นั่นคือ a n + 1 ÷ a n = r เสมอ(n 1)พจน์ทั่วไปของลําดับเรขาคณิต เป็น a = a ⋅ r −n 1ข้อสังเกตลําดับเลขคณิต จะมีพจน์ทั่วไปเป็นแบบ สมการเส้นตรง ที่มีความชัน = dส่วนลําดับเรขาคณิต จะมีพจน์ทั่วไปเป็นแบบ สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล ที่มีฐาน = rนอกจากลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิตแล้ว ยังมีลําดับอีกหลายประเภท เช่นลําดับสลับ (Alternating Sequence) มีเครื่องหมายบวกลบสลับกันไปในแต่ละพจน์ลําดับฮาร์โมนิก (Harmonic Sequence) ส่วนกลับของแต่ละพจน์ เป็นลําดับเลขคณิตลําดับฟีโบนักชี (Fibonacci Sequence) พจน์ที่สามขึ้นไปหาได้จากผลบวกของ 2 พจน์ก่อนหน้าลําดับโคชี (Cauchy Sequence) ผลต่างของพจน์ติดกัน มีค่าเข้าใกล้หรือเป็น 0 เมื่อ n ยิ่งเพิ่มขึ้นแบบฝึกหัด 13.1n(1) ให้หา 4 พจน์แรก ของลําดับต่อไปนี้n(1.1) a = 2(1.3)nann⎛ 1 ⎞= ⎜ ⎟⎝2⎠Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET281ลําดับและอนุกรมn(1.2) an= 4n− 2(1.4) = −(2) ให้หาพจน์ทั่วไปของลําดับต่อไปนี้ ข้อละ 1 แบบ1 1 1(2.1) 1, , , , ...2 4 81 1 1(2.2) 1, , , , ...4 9 16(2.3) 1, 5, 13, 29, ...(2.4) 3, 0.3, 0.03, 0.003, ...(2.5) 2, 6, 12, 20, ...na ( 1)(n + 1)n 2(3) ให้บอกว่าลําดับต่อไปนี้เป็นลําดับเลขคณิตหรือเรขาคณิต และหาพจน์ทั่วไปของลําดับด้วย5(3.1) 15, 12, 9, 6, ... (3.5) −10, 5, , ...2(3.2) 2, 4, 8, 16, ... (3.6) 4, 8, 12, ...(3.3) x, x+ 2, x+ 4, ...(3.7) 3, 3, 3, ...(3.4) log 2, log 4, log 8, log 16, ...(4) ให้หาพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 20 ของลําดับเลขคณิตต่อไปนี้ 3, 3.5, 4, ...(5) ให้หาพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 20 ของลําดับเรขาคณิตต่อไปนี้ 1 , 1 , 1, ...4 2(6) พจน์ทั่วไปของลําดับเลขคณิต ที่มีพจน์ที่ 4 เป็น 20 และพจน์ที่ 16 เป็น 56 คืออะไร(7) ลําดับเลขคณิตมีผลบวกพจน์ที่ 2 กับพจน์ที่ 13 เป็น 0 และผลบวกพจน์ที่ 4 กับพจน์ที่ 8 เป็น12 จงหาสี่พจน์แรกของลําดับนี้(8) ถ้าพจน์ที่ 7 ของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 คือ 128 จงหาสองพจน์แรก(9) หาสี่พจน์แรกของลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็นบวก และ a 1 a 2 8+ = , a 3 + a 4 = 72(10) [Ent’41] ให้ x, y, z, w เป็นพจน์ 4 พจน์เรียงกันในลําดับเรขาคณิต ถ้า y + z = 6 และz + w = − 12 จงหาค่าสัมบูรณ์ของพจน์ที่ 5 ของลําดับนี้(11) ลําดับเลขคณิต 20, 16, 12, ... มีเลข –96 อยู่หรือไม่ ถ้ามีให้บอกว่าเป็นพจน์ที่เท่าใด(12) พจน์ที่เท่าใดของลําดับเลขคณิต 3, 7, 11, ... มีค่า 75(13) [Ent’40] พจน์แรกที่เป็นจํานวนเต็มลบของลําดับเลขคณิต 200, 182, 164, 146, ... มีค่าต่างจากพจน์ที่ 10 อยู่เท่าใด(14) [Ent’39] จงหาค่า m ซึ่งเป็นจํานวนเต็มที่น้อยที่สุด ที่ทําให้พจน์ที่ m ของลําดับเลขคณิต2, 5, 8, ... มีค่ามากกว่า 1,000(15) ให้หาลําดับเรขาคณิต ที่มีผลบวกของสามพจน์แรกเป็น –3 และผลคูณเป็น 8(16) ถ้า p, 5p, 6p+9 เป็นลําดับเลขคณิต จงเขียน 3 พจน์ถัดไปS ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! So¨·Âã¹º·¹Õ é¤ÇÃoÒ¹o¨·ÂãËÃoº¤oºÇÒe»¹ eÅ¢¤³iµ ËÃ×o eÃ¢Ò¤³iµ Ái©a¹aé¹oÒ¨ãªÊÙµÃ¼í æÅa¤íÒµoº¼í ä»ä´..(17) ต้องนําจํานวนเท่าใดมาบวกทุกพจน์ของลําดับ 3, 20, 105 จึงทําให้กลายเป็นลําดับเรขาคณิตMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET282ลําดับและอนุกรม(18) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ a, b, c เป็น 3 พจน์เรียงกันในลําดับเรขาคณิต และมีผลคูณเป็น 27ถ้า a, b+3, c+2 เป็น 3 พจน์เรียงติดกันในลําดับเลขคณิตแล้ว a b c + + มีค่าเท่าใด(19) จงหาตัวกลางเลขคณิต ตามเงื่อนไขที่กําหนดให้(19.1) พจน์สองพจน์ระหว่าง 7 กับ 16 ที่ทําให้ 4 พจน์นี้อยู่ในลําดับเลขคณิต(19.2) สี่พจน์กลางระหว่าง 130 กับ 55 เมื่อลําดับนี้เป็นลําดับเลขคณิต(20) จงหาตัวกลางเรขาคณิต ตามเงื่อนไขที่กําหนดให้(20.1) พจน์กลางสี่พจน์ของลําดับเรขาคณิตที่อยู่ระหว่าง 3 กับ 96(20.2) พจน์สามพจน์ระหว่าง 4 27กับ ที่ทําให้ 5 พจน์นี้อยู่ในลําดับเรขาคณิต3 64(21) ลําดับหนึ่งมีรูปทั่วไปเป็น 2an+ 1 = an+ 3 และมีพจน์ที่ 5 เป็น 5 จงหาค่า a 3 + a 6(22) เศรษฐี 3 คนแย่งกันประมูลสินค้า โดยจะเสนอราคาสูงขึ้นเป็น 2 เท่าเสมอ และผลัดกันเสนอราคาทีละคนโดยไม่แซงคิวกัน หากเศรษฐีคนที่ 1 เริ่มประมูลโดยเสนอราคา 1 ล้านบาท ถามว่าใครจะเสนอราคาเกิน 250 ล้านบาทเป็นคนแรก13.2 ลิมิตของลําดับอนันต์หากต้องการทราบว่า ในลําดับอนันต์ลําดับหนึ่งนั้น ถ้า n ยิ่งมากขึ้นจนเข้าใกล้ ∞( n → ∞ ) แล้ว ค่าของ a n จะเข้าใกล้ค่าใด ( a n → ?) เราเรียกว่า การหาลิมิตของลําดับ นั่นเองและค่าที่ได้นี้เรียกว่า ลิมิต (limit)n⎛ 1 ⎞ลําดับ aพบว่า เมื่อ n มากขึ้นจนเข้าใกล้ ∞ แล้ว ค่าของnn= ⎜ ⎟⎝2⎠หรือ 1 1 1 , , ,...2 4 8lim a = 0n →∞a จะเข้าใกล้ 0 จึงกล่าวว่า “ลิมิตของลําดับนี้เท่ากับ 0” และเขียนด้วยสัญลักษณ์ nลําดับที่หาค่าลิมิตได้ เรียกว่า ลําดับลู่เข้า (Convergent Sequence)และลําดับที่ไม่มีลิมิต หรือหาค่าลิมิตไม่ได้ จะเรียกว่า ลําดับลู่ออก (Divergent Sequence)เช่น ลําดับ 1, 2, 3, 4, ... ถ้า n → ∞ แล้ว a n → ∞ ด้วย แสดงว่า lim anหาค่าไม่ได้n →∞ส่วนลําดับ cos π, cos 2 π, cos 3 π , ... พบว่ามีค่าเป็น –1 กับ 1 สลับกันไปตลอด ไม่ได้เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งเป็นพิเศษเลย แสดงว่า lim a n ไม่มีค่า หรือ ลําดับนี้ไม่มีลิมิตn →∞การหาค่าลิมิต สามารถใช้สมบัติการกระจาย แจกแจงได้ทุกรูปแบบ ทั้งการบวก ลบ คูณหาร ยกกําลัง หรือถอดราก (แต่ค่าสัมบูรณ์นั้น ใส่ลิมิตเข้าข้างในไม่ได้เสมอไป)a35n + 2n−1=7n −8nn 2 4จะได้5n + 2n− 1 ⎛ + − ⎞ 0 + 0 −0lim a = lim lim ⎜ ⎟= = = 0⎝ ⎠⎜ 8 ⎟ 0 −8⎝ ⎠35 2 1⎛ ⎞n 3 4n nn ⎜n n2 4 ⎟ ⎜→∞ →∞ n77n −8n→∞ 2−nข้อสังเกต1. ลําดับที่เป็นผลหารของพหุนามP(n)เป็นศูนย์ เมื่อดีกรี P น้อยกว่า Q, เป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกหารกัน เมื่อดีกรีlim Q(n)n →∞ของ P และ Q เท่ากัน, และหาค่าไม่ได้ เมื่อดีกรี P มากกว่า QMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET283ลําดับและอนุกรม2. ลําดับเรขาคณิตnlim (r ) เมื่อ r เป็นค่าคงที่ จะมีได้สี่กรณี คือ ไม่มีลิมิต เมื่อ r < −1, เป็นศูนย์ เมื่อn →∞|r| < 1, เป็น 1 เมื่อ r = 1, และหาค่าไม่ได้ เมื่อ r > 13. ลําดับเลขคณิตลิมิตหาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นกรณีที่ d= 0)(23) ลําดับต่อไปนี้มีค่า lim anเป็นเท่าใดn →∞แบบฝึกหัด 13.2(23.1) an= 2n− 1(23.3) a n(23.2) an=1(23.4) a n(24) ให้หาลิมิตของลําดับต่อไปนี้4n+3(24.1) a n =(24.2)an3n+122n + n−3=5n −1n 26n+75n + 4(24.3) a n = 2(25) ให้หาค่าลิมิตของ a n เมื่อ12n3n − −(25.1) a =(26) จงหาค่า(25.2) ann 3=(3n + 1)(25.3)2(26.1)nn + 1n − 1a = n − 3⎛2+lim ⎜⎜ 3⎝n →∞1( ) n23⎞⎟⎟⎠(24.4)(24.5)(24.6)aaa= sinnπ= cosnπn 5nn25n + 4=n + 826n + 7=3n−17n + 4=n+1(2n + 1) n !(25.4) a n =(25.5)(26.2)an(n+1)!⎛ n+5 ⎞= ⎜3n−1⎟⎝ ⎠S ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! Sã¹¢o 25.1 ËÒ¡ã¤ÃãªÇi¸ÕÅá (Áo§ÊaÁ»ÃaÊi·¸iì) oÒ¨Å×ÁÂ¡¡íÒÅa§·Õ èµaÇÊÇ¹22n2n + 4n+1 4lim ⎢1n →∞ ⎜ 2 ⎟+ 5n5⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎢⎝3n ⎠ ⎝ ⎠⎥⎣⎦(26.3) [Ent’27] ลิมิตของลําดับอนันต์ 3,3 3,3 3 3,3 3 3 3,...(27) [Ent’41] ถ้าaan− bn+ anbnมีค่าเท่าใด2n + n+1=3n + 1n 2และbn=nnn2 −55 + 9แล้ว ลิมิตของลําดับที่มีพจน์ที่ n เป็น(28) [Ent’38] สําหรับจํานวนเต็มบวก n ใดๆ ให้ Mnlim an →∞nมีค่าเท่าใด⎡ 1/n n ⎤= ⎢ − 1/n n+1 ⎥และ an = det(M n)แล้ว⎣ ⎦Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET28413.3 อนุกรมและซิกม่าลําดับและอนุกรมอนุกรม (Series) คือผลบวกของแต่ละพจน์ในลําดับอนุกรมที่พบบ่อยคือ อนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Series) และ อนุกรมเรขาคณิต (GeometricSeries) เช่น ลําดับเลขคณิต 5, 9, 13, 17, ... เป็นอนุกรมเลขคณิต 5 + 9 + 13 + 17 + ...ลําดับเรขาคณิต 2, 4, 8, 16, ... เป็นอนุกรมเรขาคณิต 2 + 4 + 8 + 16 + ...ในทํานองเดียวกัน อนุกรมจํากัด (finite series) เกิดจากลําดับจํากัด และอนุกรมอนันต์(infinite series) เกิดจากลําดับอนันต์ค่าของอนุกรมสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ซิกม่า (sigma) ในรูป ∑ naiได้ เช่น1ลําดับ a n = หรือnและมีค่าเท่ากับ∞∑i=11 1 11, , , , ...2 3 4⎛1⎞⎜ ⎟⎝i⎠จะเขียนเป็นอนุกรมได้ว่าi=11 1 11 + + + + ...2 3 4“ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรก” ของอนุกรม จะใช้สัญลักษณ์ดังนั้น ค่าของอนุกรมอนันต์ก็คือ S ∞∞ = ai = lim Snสมบัติของ Σn∑• k = n ⋅ k∑i=1i=1nn∑kaik ∑ aii= 1 i=1n n n∑(ai b i) ∑ ai ∑bii= 1 i= 1 i=1• = ⋅• ± = ±n →∞สูตรผลบวกnn(n+1)• ∑ i =i=1 2n 2 n(n+ 1)(2n + 1)• ∑ i =i=1 6n23 ⎡n(n+1) ⎤• ∑ i = ⎢i=1 2 ⎥⎣ ⎦เพิ่มเติมเรื่องซิกม่าและสมบัติของซิกม่านี้จะได้ใช้งานอีกครั้งในบทเรียนสถิติ (บทที่ 17)แบบฝึกหัด 13.3(29) ถ้า f(x) = 3x+ 1 และ u 1 = 3, u 2 = 2, u 3 = 1, u 4 = 5 จงหาค่า 4 i i(30) จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้โดยใช้สัญลักษณ์ Σ(30.1) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + 50 ⋅ 51(30.2) 1 + 1 + 1 + ... +12 4 6 2n(30.3) 1 + 3 + 7 + 15 + ... +พจน์ที่ nar + ar + ar + ... + arp p 1 p 2 p q(30.4) + + +(30.5) 1 + 1 + 1 + ...4 5 6∑i=1Snuf(u)n= ∑ aii=1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET285ลําดับและอนุกรม(31) หาค่าของอนุกรมต่อไปนี้(31.1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50(31.2) 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + 102(31.3) 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + ... + 73(32) ให้หาค่าของอนุกรมต่อไปนี้(32.1) 4 2∑ i(i−3)(32.3) 6i=1(32.2) 3 2∑n=1(n + 3)∑k=2(33) [Ent’มี.ค.42] ถ้า f(x) = x− 1 แล้ว 30 2∑ (f f)(n ) มีค่าเท่าใดn=10⎛k+4⎞⎜k−1⎟⎝ ⎠(34) ให้หาค่าผลบวกต่อไปนี้[หมายเหตุ หากรูปทั่วไปของอนุกรมเป็นแบบ เลข ⋅ เลข จะคํานวณด้วยสูตรซิกม่า](34.1) ผลบวก 10 พจน์แรก ของอนุกรม 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n+1)(34.2) S 10 ของอนุกรม 1 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 5 ⋅ 8 + 3 ⋅ 6 ⋅ 9 + ...2 2 2 2(34.3) S 8 ของอนุกรม 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n+1)(34.4) S 20 ของอนุกรม 1 + (12) + + (12 + + 3) + ... + (12 + + 3...n) + +(35) [Ent’39] สําหรับแต่ละจํานวนเต็ม n > 4 จงหาค่าลิมิตของ4n + 11 + 2 + 3 + ... + n3 3 3 3(36) [Ent’มี.ค.43] ถ้าลําดับเลขคณิต a,a 1 2 ,a 3 ,... มีพจน์ที่ 10 และพจน์ที่ 15 เป็น –19 และ –34ตามลําดับแล้ว ∑ 20(ai+ 2 i) มีค่าเท่าใดi=1(37) [Ent’ต.ค.42] ให้ a เป็นจํานวนจริง กําหนดพจน์ที่ n ของอนุกรมคือถ้าพจน์ที่ m คือ 1 + 38 a1 − aแล้วผลบวก m พจน์แรกของอนุกรมมีค่าเท่าใด1 + (n−2) a1 − a13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆอนุกรมที่หาค่า S ∞ ได้ เรียกว่า อนุกรมลู่เข้า (Convergent Series) และอนุกรมที่หาค่าS ∞ ไม่ได้ เรียกว่า อนุกรมลู่ออก (Divergent Series)อนุกรมใดๆ จะหาค่า S ∞ ได้ (ลู่เข้า) ก็ต่อเมื่อ lim rn< 1 และ n = เท่านั้นn →∞→∞n lim a 01. อนุกรมเลขคณิตnn = ∑ ⎡⎣1 + − ⎤⎦= 1+ni=12S a (i 1)dn (a a )หรืออาจเขียนเป็น Σ เพื่อใช้สูตรคํานวณค่าก็ได้S ∞ หาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นอนุกรม 0 + 0 + 0 + …)S e¾ièÁeµiÁ! S1. ÅíÒáºÅÙ e¢Ò ¡aºo¹u¡ÃÁÅÙ e¢Ò äÁeËÁ×o¹¡a¹¹a¤Ãaº ÅíÒáºÅÙ e¢Ò¤×oËÒ¾¨¹o¹a¹µä´ æµo¹u¡ÃÁÅÙe¢Ò¤×oËÒ¼ÅºÇ¡Ö§¾¨¹o¹a¹µä´..2. o¹u¡ÃÁäÅÙe¢Òä´¹aé¹ ÅíÒáºµo§ÅÙe¢ÒÊÙ 0¡o¹ æµÅíÒáº·ÕèÅÙe¢ÒÊÙ 0 o¹u¡ÃÁoÒ¨ääÁÅÙe¢Ò¡çä´¹a¤ÃaºMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET286ลําดับและอนุกรม2. อนุกรมเรขาคณิตSn∑(i 1)= ⎡ a r − ⎤⎣ ⎦=n 1i=1na(1 1 − r )1 − ra1แต่ S ∞ หาค่าได้ก็เมื่อ | r| < 1 เท่านั้น และค่าที่ได้คือ S ∞ =1 − r3. อนุกรมใดๆ ที่ไม่ใช่สองแบบข้างต้น จะมีวิธีคํานวณต่างๆ กันไปซึ่งจะแนะนําวิธีคิดไว้เป็นหมายเหตุ ในแบบฝึกหัดข้อ (34), (49), (56), (58) สรุปคร่าวๆ ได้ดังนี้- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ÊÁ¡ÒÃeÊ¹µÃ§ e»¹o¹u¡ÃÁeÅ¢¤³iµ (ãªÊÙµÃeÅ¢¤³iµËÃ×oÊÙµÃ Σ ¡íÒÅa§Ë¹Öè§¡çä´)- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ เลข + เลข ¡çãËæÂ¡«i¡ÁÒ¤í ·ÕÅaÊÇ¹- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ËÃ×oÊÒÁ äoÂÙ ã¹ÃÙ» เลข ⋅ เลข (ãªÊÙµÃ Σ ¡íÒÅa§Êo§, ¡íÒÅa§ÊÒÁ)ËÁÒÂeËµu ÒËÒ¼ÅµÒ§¢o§¼ÅµÒ§ (Åº¡a¹Êo§ªaé¹) æÅÇe»¹¤Ò¤§·Õè æÊ´§ÇÒe»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊo§ÒËÒ¼ÅµÒ§o´ÂÅº¡a¹ÊÒÁªaé¹æÅÇe»¹¤Ò¤§·Õè æÊ´§ÇÒe»¹¾Ëu¹ÒÁ´Õ¡ÃÕÊÒÁeËÅÒ¹Õ éËÒÃÙ»·aèÇä»äó´Âe¢ÕÂ¹ÃÙ»·aèÇä»¢o§¾Ëu¹ÒÁ æÅÇæ¡ÃaººÊÁ¡ÒÃe¾× èoËÒÊaÁ»ÃaÊi·¸iìæµÅaµaÇ- ÒÃÙ»·aèÇä»¢o§o¹u¡ÃÁe»¹- ÒÃÙ»·aèÇä»¢o§o¹u¡ÃÁe»¹1เลขeÃÕÂ¡ÇÒo¹u¡ÃÁÎÒÃoÁ¹i¡ ..äÁä´ÈÖ¡ÉÒã¹·Õ è¹Õ é1เลข ⋅ เลข ä¤íÒ¹Ç³o´ÂæÂ¡e»¹eÈÉÊÇ¹ÂoÂ- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹eo¡«o¾e¹¹eªÕÂÅ e»¹o¹u¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµ (e¢ÕÂ¹æ¨¡æ¨§oo¡ÁÒæÅÇãªÊÙµÃeÃ¢Ò)1- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹เรขา , เรขา ⋅1เรขา , ËÃ×o ¡çÂa§¤§e»¹o¹u¡ÃÁeÃ¢Ò¤³iµเรขา ⋅ เรขา(æ¨¡æ¨§oo¡ÁÒæÅÇãªÊÙµÃeÃ¢Ò)- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ เรขา + เรขา ¡çãËæÂ¡«i¡ÁÒ¤í ·ÕÅaÊÇ¹- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹เลข ⋅ เรขา ËÃ×oเรขา เลขæÅÇµaé§ÊÁ¡ÒÃÅº¡a¹ e¾×èoãËÊÇ¹·Õ- ÒÃÙ»·aèÇä»e»¹ เรขาเลข ..äÁä´ÈÖ¡ÉÒã¹·Õ è¹ÕeÃÕÂ¡ÇÒo¹u¡ÃÁ¼ÊÁ (¹íÒ¤Ò r ¢o§eÃ¢Ò¤Ù³µÅo´èe»¹eÅ¢¤³iµËÒÂä»eËÅ×oæµeÃ¢Ò¤³iµÅÇ¹æ)éแบบฝึกหัด 13.4(38) ให้หาผลบวกย่อย 18 พจน์แรก ของอนุกรม 2 + 6 + 10 + ...(39) ให้หาผลบวกย่อย 8 พจน์แรก ของอนุกรม 1 1 2 ...2 + + +(40) จงหาค่าของ 1 + 3 + 5 + ... + 101(41) ลําดับเลขคณิต มีผลต่างร่วมเป็น 4 และมีพจน์ที่ 13 เป็น 51 จงหาผลบวก 10 พจน์แรก(42) อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่สิบเป็น 20 พจน์ที่ห้าเป็น 10 จงหาผลบวกย่อย a 8 ถึง a 15(43) อนุกรมเรขาคณิตมีค่า a 3 = 80 และ S 3 = 65 จงหาพจน์แรก และอัตราส่วนร่วม(44) อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์แรกเป็น 160 และอัตราส่วนร่วมเป็น 3/2 ถ้าผลบวก n พจน์แรกเป็น2,110 แล้ว จงหาค่า nMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET287ลําดับและอนุกรม(45) [Ent’ต.ค.43] ให้ 5, x, 20, ... เป็นลําดับเลขคณิตที่มีผลบวกของ 12 พจน์แรกเป็น aและ 5, y, 20, ... เป็นลําดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 6 เป็น b โดยที่ y < 0 แล้ว จงหา a + b∞n−1(46) [Ent’40] a+3, a, a-2 เป็นลําดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น r จงหาค่า ar(47) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกที่ทําให้ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลข+ + + มีค่าเท่ากับ 217 แล้ว n n +(2 + 2 1 + ... + 2 2n ) / 28 มีค่าเท่ากับเท่าใดคณิต 7 15 23 ...1 1 1 1(48) [Ent’36] จํานวนเต็มบวก m ซึ่งมากที่สุด ที่ทําให้อนุกรม m m + 1 m +2 2 2 22 m + 3มีผลบวกมากกว่า 0.01 คือเท่าใด(49) ให้หาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรม 4 + 44 + 444 + 4444 + ...n[Hint : ทําเป็นเลข 9 ทุกตัวก่อน เพื่อเปลี่ยนเป็น 10 1(50) จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้1 1 1 3(50.1)n(50.2)+ + + ... + + ...2 6 18 2 ⋅ 3n+11 1 1 ( −1)− + − ... + + ...n2 4 8 23−n(50.3)4 8(50.4) 3 + 2 + + + ...(50.5)100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 10 + ...3 93 36 − 3 + − + ...2 41 1 11 + + + + ...0.9 (0.9) (0.9)(50.6)2 3− ]∑n=1− + − + ...(51) ชายคนหนึ่งเดินลากท่อนไม้ไปตามแนวราบ ก้าวแรกเขาเดินได้ระยะทาง 0.5 เมตร และด้วยความล้าทําให้ก้าวถัดไปได้ระยะทางเพียง 80% ของก้าวก่อนหน้าเสมอ ถามว่าเมื่อเขาเดินครบ 10ก้าว จะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นเท่าใด และถ้าปล่อยให้เดินไปเรื่อยๆ จะได้ระยะทางเท่าใด2(52) จงหาค่า x ที่ทําให้ 1 + x + x + ... = 4(53) [Ent’39] ถ้าอนุกรมx 2x 3x2 2 21 + + + + ...x x2 x312 + (1+ 2) (1+2)จงหาค่าผลบวกของอนุกรม2 3 4log x − (log x) + (log x) − (log x) + ...2 2 2 2มีผลบวกเท่ากับ 9 แล้ว(54) [Ent’36] ถ้า n เป็นจํานวนเต็มบวกซึ่งทําให้ 3n22 nแล้ว 1 + 2 + 2 + ... + 2 มีค่าเท่าใด1 + log 2 + log 2 + ... + log 2 = n − 212 2(55) [Ent’41] ถ้า a,a 1 2 ,... เป็นลําดับคอนเวอร์เจนต์ มีลิมิตเป็น 1 แล้ว อนุกรม∞a 1 + ∑ (an+1−a n)มีผลบวกเป็นเท่าใดn=12Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET288ลําดับและอนุกรม(56) ให้หาค่าผลบวกต่อไปนี้[หมายเหตุ หากรูปทั่วไปของอนุกรมเป็นจะคํานวณโดยแยกเป็นเศษส่วนย่อย เช่น(56.1)1เลข ⋅ เลข1 1 1 1= ( − ) ⋅3 ⋅ 5 3 5 21 1 1 1+ + + ... + + ...3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 7 ⋅ 9 (2n+ 1)(2n+3)(56.2) S 30 ของ(56.3) S n ของ1 1 1 1+ + + ... + + ...1 ⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n− 1)(2n+1)1 2 3 nlog + log + log + ... + log + ...2 3 4 n+1∞5 3(57) [Ent’35] อนุกรม ∑ ⎜ −n ⎟ มีผลบวกเป็นเท่าใดn=1⎛⎞⎜2 n(n+1) ⎟⎝⎠(58) ให้หาค่าผลบวกต่อไปนี้[หมายเหตุ หากรูปทั่วไปของอนุกรมเป็น เลข ⋅ เรขา หรือเรขาเลข (เรียกว่า อนุกรมผสม)จะคํานวณโดยนําค่า r ของเรขา คูณตลอดแล้วตั้งสมการลบกัน เพื่อให้ส่วนที่เป็นเลขคณิตหายไปเหลือแต่เรขาคณิต]5 8 11 14ตัวอยางเชน หาคา S ...∞ = + + + +2 4 8 16นํา 1 1 5 8 11 14คูณ จะได2 2 4 8 16 32⎛⎞สองสมการลบกันS ∞ = + + + + ...1 5 3 3 3 5 ⎛ 3/4 ⎞S ∞ = + ⎜ + + + ... ⎟ = + = 42 2 4 8 16 2⎜1 − 1/2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 3 5 7 2n−1+ + + + ... + + ...n2 4 8 16 23 5 n+12 + + 1 + + ... + + ...2 8 2 −(58.1) S n ของ(58.2)n 1(59) อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก และถ้าลู่เข้าให้หาค่าอนุกรมด้วย(59.1)(59.2)n⎛10⎞⎜n! ⎟⎝ ⎠∞∞∑ (59.3) ∑n=1i=1∞∑n=12⎛n⎞⎜ n ⎟⎝2⎠]2⎛5i −6⎞⎜ 22i + 7⎟⎝ ⎠(60) เขียนจํานวนต่อไปนี้ในรูปเศษส่วน(60.1) 0.212121... (60.3) 7.256256...(60.2) 0.61041041... (60.4) 2.9999.....ดังนั้น S 8 ∞ =(1.1) 2,4,8,16 (1.2) 2,6,10,14(1.3) 1 , 1 , 1 ,12 4 8 16เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1.4)(2.1)1 2 3 4− , , − ,4 9 16 25n−1⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ (2.2)⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝2⎠⎝n⎠Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)2(2.3) 2 n+ 13− 3 (2.4)n 110 −(2.5) n(n+1)(3.1) เลขคณิต, 18−3 n

คณิตศาสตร O-NET / A-NET289ลําดับและอนุกรม(3.2) เรขาคณิต, 2n(3.3) เลขคณิต, x+ 2n−2(3.4) เลขคณิต, nlog2(3.5)เรขาคณิต,1(20) −⎛−⎞⎜ ⎟⎝ 2 ⎠(3.6) เลขคณิต, 4n(3.7) เป็นทั้งเลขคณิตและเรขาคณิต, a n = 3(4) 4.5, 5, 5.5, 12.5(5) 2, 4, 8, 2 17 (6) 3n+8(7) 26, 22, 18, 14 (8) 2, 4(9) 2, 6, 18, 54 (10) 48(11) มี, พจน์ที่ 30 (12) พจน์ที่ 19(13) 54 (14) 3348 ( −2)(15) หรือn( −2)2(16) 39, 51, 63 (17) 5/4(18) 13 (19.1) 10, 13(19.2) 115, 100, 85, 70(20.1) 6, 12, 24, 483 9(20.2) 1, , หรือ − ,4 16(21) 15 (22) คนที่ 3nn3 91, −4 16(23.1) หาค่าไม่ได้ (23.2) 0(23.3) 0 (23.4) 1 (24.1) 4/3(24.2) 2/5 (24.3) 0 (24.4) 0(24.5 และ 24.6) หาค่าไม่ได้(25.1) -1/9 (25.2) 1(25.3) หาค่าไม่ได้ (25.4) 25(25.5) 1/ 3 (26.1) 2/3(26.2) 4/9 (26.3) 9 (27) 1(28) 2 (29) 128(30.1) ∑ 50i(i+1) (30.2) n ⎛ 1∑ ⎜(30.5)i=1i=1i= 1 +i=1+i=1⎞⎟⎝2i⎠∞ ⎛ 1 ⎞∑ ⎜ ⎟ (31.1) 1275⎝i 3⎠(31.2) 385 (31.3) 784 (32.1) 10(32.2) 23 (32.3) 197/12(33) 9128 (34.1) 440(34.2) 7480 (34.3) 1740i(i+1)(34.4) ∑20=i=1 2(35) 4 (36) 1040 + 740 a(37)1 − a(38) 648 (39) 127.51, 540(40) 2601 (41) 210(42) 184(43) 5, –4 หรือ 45, –4/3(44) 5 (45) 395(46) 18 (47) 127.5(48) 6n(49)⎛4 10 (10 − 1) −⎞⎜n ⎟9 ⎝ 9 ⎠(50.1) 3/4 (50.2) 1/3(50.3) 1000/9 (50.4) 9(50.5) 4 (50.6) ลู่ออก(51) 2.23 และ 2.5(30.3) n i∑ (2 −1)(30.4) q 1 p+ i−1∑ ar2(52) 3/4 (53)log 31 + log 3(54) 255 (55) 1(56.1) 1/6 (56.2) 30/61(56.3) − log(n + 1)(57) 2 (58.1) 3 −n(58.2) 6 (59.1) ลู่ออก(59.2) 6 (59.3) ลู่ออก(60.1) 21/99(60.2) 3049/4995(60.3) 7249/999(60.4) 322n+32เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(1.1) 2,2 1 2 ,2 3 ,2 4 → 2,4,8,16(1.2) 4(1) − 2, 4(2) − 2, 4(3) − 2, 4(4) − 2→2, 6, 10, 141 2 3 41 1 1 1(1.3)⎛ ⎜ ⎞ ⎟ , ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ , ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ,⎛ ⎜ ⎞ ⎟⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠1 1 1 1→ , , ,2 4 8 161 1 2 2 3 3 4 4(1.4) (1) − ,(1) − ,(1) − ,(1) −2 2 2 22 3 4 51 2 3 4→ − , , − ,4 9 16 25(2.1)(2.2)1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞, , , → a0 1 2 3 n = =n−1 ⎜ ⎟2 2 2 22 ⎝2⎠1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞, , , → a2 2 2 2 n = =2 ⎜ ⎟1 2 3 4 n ⎝n⎠2n−1(2.3) a n : 1, 5, 13, 29, ...n2 3 4 5→ a + 3 : 4,8,16,32 → 2 ,2 ,2 ,2n+ 1 n+1n∴ an+ 3 = 2 → a = 2 − 33 3 3 3 3(2.4) , , , → a0 2 3 n =10 10 10 1010(2.5) a n : 2, 6, 12, 20, ...n1 n−1→ a − n : 1,4,9,16,... = n→∴ a = n + nn2หรือ อีกวิธีหนึ่งa ÷ n : 2,3,4,5,... = n + 1n→ ∴ a = n(n + 1) = n + nn(3.1) ลําดับเลขคณิต→ a = 15 + (n − 1)( − 3) = 18 − 3nnn n 1 n(3.2) ลําดับเรขาคณิต → a = 2(2) − = 222Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET290ลําดับและอนุกรม(3.3) ลําดับเลขคณิต→ an= x + (n − 1)(2) = x + 2n − 2(3.4) log 2, 2 log 2, 3 log 2, 4 log 2, ... →ลําดับเลขคณิต!a = log2 + (n − 1)(log2) = nlog2n(3.5) ลําดับเรขาคณิตn−1 n⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞→ an= 10⎜− ⎟ = −20⋅ ⎜−⎟⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠(3.6) ลําดับเลขคณิต a n = 4 + (n − 1)(4) = 4n(3.7) มองเป็นลําดับเลขคณิตหรือเรขาคณิตก็ได้ลําดับเลขคณิตn−1ลําดับเรขาคณิต n(4) a,a,a 4 5 6 = 4.5,5,5.5→ an= 3 + (n − 1)(0) = 3→ a = 3(1) = 3→ a20= 3 + (19)(0.5) = 12.51 (19) 17(5) a,a,a 4 5 6 = 2,4,8→ a 20 = (2) = 2(6) a 4 → a 1 + 3d = 20 .....(1)→ + = .....(2)a16 a115d 56แก้ระบบสมการ ได้ a 1 = 11,d = 3∴ an= 11 + (n − 1)(3) = 3n + 8(7) a 1 + d + a 1 + 12d = 0 .....(1)a1 + 3d + a1+ 7d = 12 .....(2)แก้ระบบสมการ ได้ a 1 = 26,d =− 4ตอบ 26, 22, 18, 14(6)(8) 1 1a(2) = 128 → a = 2 ตอบ 2, 4(9) a 1 + ar 1 = 8 .....(1)2 3 2ar 1 + ar 1 = 72 → r (a1 + ar) 1 = 72 .....(2)แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r = 3, a1= 2ตอบ 2, 6, 18, 542(10) xr + xr = 6 .....(1)2 3 2xr + xr = r(xr + xr ) = − 12 .....(2)แก้ระบบสมการ (2) /(1) ได้ r = − 2, x = 3∴ a = 3( − 2) = 4854(11) − 96 = 20 + (n − 1)( −4) → n = 30ตอบ มี, พจน์ที่ 30(ถ้าแก้สมการแล้ว n ไม่เป็นจํานวนนับ แสดงว่าไม่อยู่ในลําดับนั้น)(12) 75 = 3 + (n − 1)(4) → n = 19ตอบ พจน์ที่ 19(13) a 10 = 200 + (9)( − 18) = 38วิธีแรก จะได้ ..., 38, 20, 2, − 16, ...พบว่า 38 กับ -16 ต่างกันอยู่ 54 ตอบ4วิธีที่สอง หาพจน์แรกที่ติดลบ โดยสมการ200 + (n − 1)( − 18) < 0 จะได้ n > 12.11แสดงว่าเริ่มติดลบที่พจน์ 13a13200 (12)( 18) 16(14) 2 + (n − 1)(3) > 1, 000 → n > 333.67= + − = − ..ก็จะได้คําตอบแสดงว่าค่า m ที่ต้องการคือ 3342(15) a1 + ar 1 + ar 1 = − 3 .....(1)2 3 3aarar 1 1 1 = a1r = 8 .....(2)แก้ระบบสมการได้r = −2 → a =− 1, r =−1/2 → a =− 41 1nn−1 (2) −∴ an= −1( − 2) = หรือ21 n−1 −8an=−4( − ) =2 ( − 2)(16) ค่า d → 5p − p = 6p + 9 − 5p→ ∴ p = 3 จึงได้ลําดับเป็น 3, 15, 27ตอบ 39, 51, 63(17) ลําดับคือ 3 + x, 20 + x, 105 + x ...105 + x 20 + xหาค่า x โดยค่า r → =20 + x 3 + x2 2→ 315 + 108x + x = 400 + 40x + x→ ∴ x = 85/68 = 5/4(18) b = c .....(1) abc = 27 .....(2)abb + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3)แก้ระบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3,ac = 9 →ใส่ค่า b ใน (3) ได้ a + c = 10nบังเอิญโจทย์ถาม a + b + c จึงได้ 10 + 3 = 13(ไม่ต้องแก้ a, c ต่อ)[สมมติถ้าแก้สมการต่อ จะได้ผลเป็น a = 1,c = 9หรือ a = 9,c = 1 ก็ได้](19.1) 7, _, _, 16 → 16 = 7 + 3d→ d = 3 → ตอบ 10, 13(19.2) 130, _, _, _, _, 55 → 55 = 130 + 5d→ d = −15→ ตอบ 115, 100, 85, 705(20.1) 3, _, _, _, _, 96 → 96 = 3 ⋅ r→ r = 2 → ตอบ 6, 12, 24, 484 27 27 43 64 64 34(20.2) ,_,_,_, → = ⋅ r4⎛3⎞4 3 3→ ⎜ ⎟ = r → r = หรือ − →⎝4⎠4 43 9ตอบ 1, , หรือ 3 9−1, , −4 16 4 16[อย่าลืมว่ากําลังเลขคู่ จะต้องมี 2 คําตอบเสมอ!]Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET291ลําดับและอนุกรม(21) การบอกว่า 2an+ 1 = an+ 3 แบบนี้จะต้องหาค่า a 3 กับ a 6 โดยไล่แทนค่าไปจาก a 5คือ 2a6 = a5 + 3 → a6= 4และ 2a5 = a4 + 3 → a4= 7→ 2a4 = a3 + 3 → a3= 11ตอบ a3 + a6= 11 + 4 = 15n−1(22) ลําดับเรขาคณิต→ 1 ⋅ (2) > 250→ n = 9 ∴ ตอบ คนที่ 3(23.1) lim a nn →∞(ลําดับเลขคณิต ที่ d 0= หาค่าไม่ได้1(23.2) lim an= = 0n →∞ ∞( 1 , 1 , 1 , 1 ,... → 0)1 2 3 4(23.3) nlim a = 1n →∞≠ จะหาลิมิตไม่ได้ เสมอ)(เพราะ sin = 1, sin 2 = 1, sin 3 = 1, ...(23.4) nn →∞π π π )lim a = 1(เพราะ cos = − 1 = 1, cos 2 = 1 = 1, ...π π )(24) ในข้อนี้ ลําดับเป็นฟังก์ชันพหุนามหารกัน⎛P(n)⎞แทน n = ∞ ไม่ได้ เพราะจะกลายเป็น⎜Q(n)⎟⎝ ⎠รูปแบบไม่กําหนด⎛∞⎞⎜ ⎟⎝∞⎠(24.1) ต้องใช้ n หารทั้งเศษและส่วน⎛ 3 ⎞⎜4+n⎟ 4 + 0 4→ lim ⎜n →∞ 1⎟ = =33 + 0 3⎜ +⎟⎝ n ⎠(24.2) ใช้ n 2 หารทั้งเศษและส่วน⎛ 1 3 ⎞⎜2+ −2n n⎟ 2→ lim ⎜⎟ =n →∞5 1 5⎜ −n 2 ⎟⎝⎠(24.3)(24.4)(24.5)⎛6 7 ⎞+lim 0⎜ 2n n⎟ 0⎜ ⎟ = =n →∞455⎜ +2 ⎟⎝n⎛ 5 4 ⎞+lim 0⎜ 3 5n n⎟ 0⎜ ⎟ = =n →∞815⎜ +5 ⎟⎝n⎛ 7 ⎞6 +lim 3 1 0⎜ −2 ⎟⎝ n n ⎠⎜ 2n⎟ 6⎜ ⎟ = ⇒n →∞⎠⎠หาค่าไม่ได้(24.6)⎛ 41 +⎜ 7n⎟ 1lim ⎜n →∞ 1 1⎟ = ⇒0⎜ +6 7 ⎟⎝nn⎞⎠หาค่าไม่ได้ข้อสังเกต จากข้อ 24 ลําดับที่เป็นฟังก์ชันตรรกยะ(คือพหุนามหารกัน) P(n) จะมีลิมิตเป็นQ(n)• 0 เมื่อ ดีกรี บน < ล่าง• หาค่าไม่ได้ เมื่อ ดีกรี บน > ล่าง• สปส.ของตัวที่ดีกรีสูงสุด เมื่อ ดีกรีเท่ากัน(25.1)(25.2)3⎛1 − 2n − 3n ⎞ 3 1lim ⎜n →∞3 ⎟ =− =−⎝ 27n + ... ⎠ 27 9⎛ 1 ⎞⎜1+n⎟ 1lim ⎜ ⎟ = = 1n →∞111⎜ − ⎟⎝ n ⎠(25.3)2(25.4)(25.5)lim n − 3n →∞⎛2n + 1⎞ lim ⎜ ⎟ = 2⎝ n + 1 ⎠n →∞⇒ หาค่าไม่ได้5 5⎛ ⎛ n + 5 ⎞⎞⎛ 1⎞1⎜ lim ⎜ ⎟⎟= ⎜ ⎟ =n →∞ 3n 1 3 35⎝ ⎝ − ⎠⎠⎝ ⎠[ลิมิตแจกแจงได้เสมอ ไม่ว่าจะบวกลบคูณหาร, ยกกําลัง, ถอดราก]n(26) ข้อนี้ใช้หลักที่ว่า = เมื่อ r < 1(26.1)(26.2)2n →∞n lim r 0→∞n⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎜2+ ⎜ ⎟ ⎟2 2 0 2lim⎝ ⎠ +⎜⎟ = =⎝ 3 ⎠ 3 3n→∞2 n2⎛2n + 4n + 1⎞⎡ ⎛4⎞ ⎤lim ⎜ ⎟ ⋅ lim ⎢1+ ⎜ ⎟ ⎥⎛2⎞4= ⎜ ⎟ ⋅ (1 + 0) =⎝3⎠92⎝ 3n ⎠ n→∞⎣ ⎝5⎠ ⎦(26.3) หารูปทั่วไปของลําดับก่อน3 7 151 n−12 −( )1 2 4 82n→ 3,3 ,3 ,3 ,... → a = 3lim a 2 0n 3 −9n →∞∴ = =(27) lim ann →∞1=3⎛( 2/5) n− 1⎞0−1lim bn= lim ⎜⎟ = = −1n→∞n→∞911 + 0⎜ +n ⎟⎝ 5 ⎠1 1∴ lim (a n − bn + anb n) = − ( − 1) + ( − ) = 1n →∞3 3n + 1 1(28) a n = det(M n ) = + 1 = 2 +nn1→ lim an= lim (2 + ) = 2n→∞n→∞nMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET292ลําดับและอนุกรม4(29) ∑i=1u f(u ) = u f(u ) + u f(u ) + u f(u ) + u f(u )i i 1 1 2 2 3 3 4 4= (3)(10) + (2)(7) + (1)(4) + (5)(16) = 128(30.1) 50∑i=1(i)(i + 1)(30.2) n ⎛ 1 ⎞∑ ⎜i=1 2i⎟⎝ ⎠(30.3) a n : 1,3,7,15,...→ a + 1:2,4,8,16,... = 2n→ a = 2 − 1n∴ ตอบn∑ni=1i(2 − 1)(30.4) q (p + i)∑ ar หรือ q + 1 (p + i − 1)∑ ar(30.5)i=0i=4(31.1) 50⎛1⎞⎜ ⎟⎝i⎠∞∑ หรือ∑i=1(31.2) 10 2(31.3)∑i=17∑i=1∞∑i=1i=1n⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝i + 3⎠50(51)i = = 1,275210(11)(21)i = = 38563 ⎡7(8)⎤i =⎢= 784⎣ 2 ⎥⎦(32.1) 4 − = 4 −4∑ ∑ ∑23 2 3 2(i 3 i ) i 3 ii= 1 i= 1 i=124(5) 4(5)(9)= ⎡ ⎢⎤ − 3 ⎛ ⎜⎞ ⎟ = 10⎣ 2 ⎥⎦ ⎝ 6 ⎠(32.2) 3 2∑ ∑33(4)(7)n + 3 = (3)(3) 236+ =n= 1 n=1(32.3) เป็นเศษส่วนซึ่งหารไม่ได้ จึงต้องกระจายเพื่อคิดตรงๆ6 7 8 9 10 197→ + + + + =1 2 3 4 5 122 2 2 2(33) (fof)(n ) = f(n − 1) = n − 1 − 1 = n − 230 30 302 2∑ ∑ ∑→ (n − 2) = n − 2n= 10 n= 10 n=1030 9 302 2∑ ∑ ∑= n − n − 2n= 1 n= 1 n=1030(31)(61) 9(10)(19)= − − (21)(2) = 9,1286 6(34.1)1010 10 2∑ ∑S = i (i + 1) = (i + i)i= 1 i=110(11)(21) 10(11)= + = 4406 2(34.2)10∑i=11010∑S = i(i + 3)(i + 6)3 2i=1= (i + 9 i + 18 i)210(11) (10)(11)(21) 10(11)= ⎡ ⎢ ⎤ + 9 + 18⎡ ⎤⎣ 2 ⎥⎦ 6 ⎢⎣ 2 ⎥⎦= 7,480(34.3)88∑i=13 2S = (i + 2i + i)2⎡8(9) ⎤ (8)(9)(17) 8(9)=⎢+ 2 + = 1,740⎣ 2 ⎥⎦6 2+a = 1 + 2 + 3 + ... + n =2(34.4) nn(n 1)i=120 2∑(i + i)20 i(i + 1)i=1→ S20= ∑ =2 21 ⎛20(21)(41) 20(21) ⎞= ⎜ + ⎟ = 1,5402 ⎝ 6 2 ⎠(35)4 4n + 1 n + 1lim = limn→∞2n(n 1)n→∞n4 2n3 n2⎛ + ⎞ ⎛ + + ⎞⎜ ⎟ ⎜⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠4⎛ 4n + 4 ⎞= lim ⎜4n →∞4 3 2 ⎟ =⎝ n + 2n + n ⎠(36) a 1 + 9d =− 19 .....(1)+ =− .....(2)a114d 34→ a1= 8, d = − 3∴ an= 8 + (n − 1)( − 3) = 11 − 3nโจทย์ให้หาi=120 20∑ ∑(a + 2i) = (11 − 3i + 2i)ii= 1 i=1=2020(21)∑ (11 − i) = 20(11) − 102=1 + (n−2) a(37) a n =และ1 − a1 + 38 aam= ∴ m = 401 − aวิธีแรก หา 40 ⎡1 + (i − 2) a⎤∑ ⎢⎥⎣ 1 − a ⎦i=140 ⎛1 − 2 a⎞ 40 ⎛ i a ⎞= ∑ ⎜ ⎟ + ∑ ⎜ ⎟⎝ 1 − a ⎠ ⎝1 − a⎠i= 1 i=140 − 80 a 40(41) a= + ⋅1 − a 2 1 − a40 + 740 a=1 − aตอบวิธีที่สอง ใช้สูตร S n ของอนุกรมเลขคณิตก็ได้ จะคํานวณง่ายกว่ามาก แต่ต้องสังเกตเห็นก่อนว่าเป็นอนุกรมเลขคณิตจริงๆS4040 ⎛1 + ( − a) 1 + 38 a ⎞= ⎜ + ⎟2 ⎝ 1 − a 1 − a ⎠(38) อนุกรมเลขคณิต คิดได้ 2 วิธีวิธีแรก ใช้สูตร S n ของเลขคณิตn→ S n = (a1 + a n)218→ S18= ( 2 + [ 2 + (17)(4)])= 6482Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET293ลําดับและอนุกรมวิธีที่สอง ใช้สูตรซิกม่า18 18∑ ∑→ (2 + (i − 1)(4)) = (4 i − 2)i= 1 i=14(18)(19)= − 18(2) = 6482(39) อนุกรมเรขาคณิต คิดได้วิธีเดียวคือใช้สูตร S n1 (1 28 )n−a(1 1 − r )→ S2n = → S8=1 − r 1 − 2255= = 127.52(40) a n = 1 + (n − 1)(2) = 2n − 1ผลบวก 51 พจน์ 5151→ S = (1 + 101) = 2,6012(41) 51 = a1 + 12(4) → a1= 310→ S 10 = (3 + (3 + (9)(4))) = 2102(42) a 1 + 9d = 20 .....(1)+ = .....(2)a14d 10→ a1 = 2,d = 2 → an= 2 + (n − 1)(2) = 2nหา 15∑i=8⎡(15)(16) (7)(8) ⎤(2 i) = 2⎢− = 184⎣ 2 2 ⎥⎦(43) คิดด้วยสูตร S n จะแก้สมการยากควรคิดตรงๆ คือสมมติเป็น a, b, 80จะได้ 80 = b .....(1) และbaa + b + 80 = 65 .....(2)จะได้ b =− 20,a = 5 หรือ b =− 60,a = 45∴ a 1 = 5,r = − 4 หรือ a 1 = 45,r = − 4 / 3160 ( )(44)( 1 − 3/2n)= 2,110n1 − 3/23 2,110 3 243→ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ − 1 = → ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ =⎝2⎠ 320 ⎝2⎠32∴ n = 5(45) ก. 20 = 5 + 2d → d = 7.5 →12a = S = (5 + 5 + (11)(7.5)) = 5552หาค่า 122 2ข. 20 = 5 ⋅ r → r = 4 → r = − 25(เพราะ y < 0) หาค่า∴ a + b = 555 − 160 = 395(46) หาค่า a โดย6nb = a = 5( − 2) = − 160a a − 2=a + 3 a2 2→ a = a + a − 6 → a = 6ลําดับคือ 9, 6, 48ar = 6 + 4 + + ...n=136= = 181 − 2/3∞n−1ให้หา ∑(47) nn(สูตรอนุกรมเรขาคณิต)S = 217 = (7 + 7 + (n − 1)(8))22→ 4n + 3n − 217 = 0→ (4n + 31)(n − 7) = 0 ∴ n = 7 เท่านั้น7 8⎛2(1−2) ⎞7 8 9 142 + 2 + 2 + ... + 2⎜ ⎟→ =⎝ 1 − 2 ⎠8 82 2(จากสูตรอนุกรมเรขาคณิต จํานวนพจน์ n=8)7 82(2 − 1)= = 127.582ma11/ 2 2(48) = = > 0.011m1 − r1 − ( − )3 ⋅ 221m→ > 0.015 → 2 < 66.67m2∴ m มากที่สุด คือ 6(49) s n = 4 + 44 + 444 + ... + 444444..49 S 9 99 999 ... 999999..9n = + + + +4n= 10 − 1 + 100 − 1 + 1,000 − 1 + ... + 10 − 1n= (10 + 100 + 1,000 + ... + 10 ) − nn10(1 − 10 ) 10 n= − n = (10 − 1) − n1 − 10 94 ⎡10n ⎤∴ S n = (10 1) n9 ⎢− −⎣ 9⎥⎦(50) ข้อนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์1/2 3(50.1) =(50.2)(50.3)(50.4)1 − 1/ 3 41/2 1=1 − ( −1/ 2) 3100 1,000=1 − 0.1 9391 − 2 / 3 =64(50.5)1 − ( −1/ 2) =(50.6) หาค่าไม่ได้ (ลู่ออก)1เพราะ = > [ถ้าใช้สูตรคิดเลยทันทีจะผิด](51.1)(51.2)(52)r 10.910(1/2)(1 − (0.8) )≈ 2.231 − 0.81/22.51 − 0.8 =1 3= 4 → x =1 − x 4เมตร ( ) S ∞เมตร ( S n )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET294ลําดับและอนุกรม(53)1 2 8= 9 → =xx⎛ 2 ⎞ 1 + 2 91 − ⎜ x ⎟⎝ 1 + 2 ⎠xlog 32 8 x 31 + log 3→ = → = → ตอบ2(54)21 + 2 + 3 + ... + n = n − 21n(n + 1) 2n 212→ = − แก้สมการได้ n = 7ตอบ81(1 − 2 )= 2551 − 2∞(55) 1 + ∑ n + 1 − nn=1a (a a )= a 1 + (a2 − a) 1 + (a3 − a 2) + (a4 − a 3) + ...a2a= ตอบ 1a ∞3(56.1) 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ...2 ⎝3 5⎠ 2 ⎝5 7⎠ 2 ⎝7 9⎠1 ⎛ 1⎞1= ⎜ ⎟ =2 ⎝3⎠6(56.2) 1 ( 1 − 1 ) + 1 ( 1 − 1 ) + ... + 1 ( 1 −1)2 1 3 2 3 5 2 59 611 ⎛ 1 ⎞ 30= ⎜1− ⎟ =2 ⎝ 61⎠61(56.3) (log 1 − log 2) + (log 2 − log 3) + ...= log 1 − log(n + 1) = − log(n + 1)(เพราะ log1 = 0)∞∞(57) ∑ n ∑⎡5 ⎤ ⎡ 3 ⎤⎢ −⎣2 ⎥⎦ ⎢n(n + 1) ⎥⎣ ⎦n= 1 n=1x+ (log n − log(n + 1))5 5 5 ⎡ 1 1 1 1( ) ⎢( ) ( )= ... 3 ...2 + 4 + 8 + − 1 − 2 + 2 − 3+ ⎤⎣⎥⎦5/2= − 3 = 5 − 3 = 21 − 1/ 21 3 5 2n − 1(58.1) S n = + + + ... +2 4 8 2 n1 1 3 5 2n 3 2n 1S n ...− −= + + + + +n n 12 4 8 16 2 2 +ลบกัน (โดยนําพจน์ที่มีส่วนเท่ากันตั้งลบกัน) ได้เป็น1 1 2 2 2 2 2n 1S ⎡⎤ −n = + ...n n 12 2 ⎢+ + + + −⎣4 8 16 2 ⎥⎦ 2 +( ) n − 11 1 ⎡2/4(1 − 1/2 ) ⎤ 2n − 1Sn = + ⎢⎥ −n+12 2 ⎢⎣1 − 1/2 ⎥⎦2n−11 1 ⎛ 1⎞2n − 1→ Sn = + 1 − ⎜ ⎟ −n+12 2 ⎝2⎠24 2n − 1 2n + 3∴ Sn = 1 + 2 − − = 3 −n n n2 2 222 3 4 5(58.2) S ∞ = ...1 + 2 + 4 + 8+1 2 3 4 5→ S ∞ = + + + + ...2 2 4 8 16ลบกัน ได้เป็น1 2 ⎛ 1 1 1 ⎞→ S ∞ = + ⎜ + + + ... ⎟2 1 ⎝2 4 8 ⎠1/2= 2 + = 3 → ∴ S∞= 61 − 1/ 210 100 1,000 10,000(59.1) S ∞ = + + + + ...1 2 6 24พบว่า r มากขึ้นเรื่อยๆ ∴ลู่ออก(59.2)1 4 9 16 25 36S ∞ = ...2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64+1 1 4 9 16 25→ S ∞ = + + + + + ...2 4 8 16 32 641 1 3 5 7ลบกันได้ S ∞ = + + + + ...2 2 4 8 161 1 3 5 7→ S ∞ = + + + + ...4 4 8 16 321 1 ⎛2 2 2 ⎞ลบกันอีกรอบได้ S ∞ = + ⎜ + + + ... ⎟4 2 ⎝4 8 16 ⎠1 ⎛ 2 / 4 ⎞ 3= + ⎜ ⎟ = → S∞= 122 ⎝1 − 1/ 2⎠25(59.3) พบว่า lim an0n →∞ 2(60.1) 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ...= 0.21 21 21 71 − 0.01 = 100 − 1 = 99 = 33(60.2) 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + ...⎛ 0.0104 ⎞ 104 3,049= 0.6 + ⎜ ⎟ = 0.6 + =⎝1 − 0.001⎠9,990 4,995(60.3) 7 + 0.256 + 0.000256 + ...0.256 256 7,249= 7 + = 7 + =1 − 0.001 999 999(60.4) 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...0.9= 2 + = 2 + 1 = 31 − 0.1[หมายเหตุ 0.9999... = 1]= ≠ แสดงว่า ลู่ออกMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET295ลิมิตและความตอเนื่องlimt →0tº··Õè14 ÅiÁiµ/¤ÇÒÁµoe¹×èo§คณิตศาสตร์สาขาแคลคูลัส (Calculus) ถูกใช้ประโยชน์ในทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอย่างกว้างขวาง โดยเฉพาะในด้านฟิสิกส์ แนวคิดพื้นฐานของวิชาแคลคูลัสก็คือเรื่องลิมิตของฟังก์ชัน ซึ่งจะได้ศึกษาในบทเรียนนี้ และขยายความไปสู่อนุพันธ์และการอินทิเกรตในบทถัดไป.. ในบทเรียนเรื่องลําดับเคยได้ศึกษาถึงลิมิตบ้างแล้วว่า การพิจารณาว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้จํานวนจริงค่าใดค่าหนึ่งแล้ว ฟังก์ชัน f(x)จะมีค่าเข้าใกล้ค่าใด เรียกว่าการหาลิมิตของฟังก์ชันและค่าลิมิตที่ได้จะเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า lim f(x)→ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = f(x) = x+ 3 พบว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 5 (ไม่ว่า x จะมากกว่าหรือน้อยกว่า 5) แล้ว y จะมีค่าเข้าใกล้ 8 ดังนั้นจึงเขียนเป็นสัญลักษณ์ lim f (x) = 8x →การหาค่าลิมิตของฟังก์ชันนั้น มีรายละเอียดย่อย 2 แบบ คือ ลิมิตซ้าย 5(Left-handedlimit) ซึ่งหาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย (หรือ x < a) และ ลิมิตขวา (Righthandedlimit) ซึ่งหาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางด้านขวา (หรือ x > a)สัญลักษณ์ที่ใช้แทนลิมิตซ้ายและลิมิตขวา คือ lim f (x) กับ lim f (x) ตามลําดับ−x→aMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)+x→axa

คณิตศาสตร O-NET / A-NET296ลิมิตและความตอเนื่องฟังก์ชันใดๆ จะมีค่า lim f (x) = Lx → aก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายกับลิมิตขวาไม่เท่ากันจะกล่าวว่า ไม่มีลิมิตlim f (x) lim f (x) L− +x→a x→a= = เท่านั้น แต่ถ้า14.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตlim c = clim x = ax→ax→alim xx→an=ax→a x→anlim cf(x) = c lim f(x)x→a x→anlim [f (x)] = [ lim f (x)]lim f (x) = lim f (x)nnx→a x→alim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x)x→a x→a x→alim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x)x→a x→a x→alim [f (x) ÷ g (x)] = lim f (x) ÷ lim g (x)x→a x→a x→an• ตัวอยาง ใหหาคาลิมิตในแตละขอตอไปนี้2ก. lim (x + x + 1)x→−1ตอบ แทนคา x =− 1 ลงไปไดเลย ไดลิมิตเทากับ 13⎛ x − 8 ⎞* ข. lim ⎜ ⎟x→0⎜⎝x − 2⎟⎠วิธีคิด หากแทนคา x → 0 + (หรือมากกวา 0 เล็กนอย) จะไดเปน ( −8)/( − 2) = 42แตเมื่อ x → 0 − ( x นอยกวา 0 เล็กนอย) จะทําให x ไมมีคา (ในรูทติดลบ)สรุปวาลิมิตขวาเปน 4 2 แตไมมีลิมิตซาย ... ดังนั้นคําตอบขอนี้คือ ไมมีลิมิตค.2⎛ x − 9 ⎞lim ⎜3 − x ⎟⎝ ⎠x→3วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 3 จะได 0/0 ทําใหไมทราบคําตอบเราตองแยกคิดลิมิตซาย และลิมิตขวา เพื่อใหถอดคาสัมบูรณออกได (ตามนิยามของคาสัมบูรณ)ลิมิตซาย ทดลองแทนเลขที่นอยกวา 3 เล็กนอยลงไปเพื่อดูเครื่องหมายและถอดคาสัมบูรณ2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞x −9 x −9lim = lim = lim ( − (x + 3)) = −6⎜3 − x ⎟ ⎜ 3 − x ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠x→3 −x→3 −x→3−ตอมาลิมิตขวา ทดลองแทนเลขที่มากกวา 3 เล็กนอยลงไปเพื่อถอดคาสัมบูรณ2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞x −9 x −9lim = lim = lim (x + 3) = 6⎜3−x ⎟ ⎜ x − 3 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠x→3 +x→3 +x→3+พบวาลิมิตซายกับขวามีคาไมเทากัน ดังนั้นขอนี้ตอบ ไมมีลิมิต⎛ 5−2x − 3ง. limx 4→⎜⎝x − 4⎞⎟⎠วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 4 ก็จะได 0/0 เราตองถอดคาสัมบูรณออกเชนเดิมแตขอนี้บริเวณ x = 4 (ไมวาจะซายหรือขวา) นั้น ถอดคาสัมบูรณไดแบบเดียวคือ⎛ 5−2x − 3⎞ ⎛− 5+ 2x − 3⎞ ⎛2x −8⎞lim = lim = lim = lim (2) = 2⎜x − 4 ⎟ ⎜x − 4⎟ ⎜x − 4⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠x→4 x→4 x→4 x→4... ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET297ลิมิตและความตอเนื่องจ.limx→5−f (x)เมื่อ⎧⎪ x / x , x < −4.99f(x) = ⎨⎪⎩ − x / x , x > 4.99วิธีคิด ที่ x นอยกวา 5 เล็กนอย เชน 4.999999 จะตองใชเงื่อนไขลางจะได lim f(x) = lim ( − x / x) = lim ( − 1) = − 1 ... ตอบx→5 −x→5 −x→5−⎧ฉ. lim f (x)x → 6เมื่อ f(x) = ⎨x − 4 , x < 6⎩ x − 5 , x > 6วิธีคิด ลิมิตซาย ( x นอยกวา 6 เล็กนอย) ใชเงื่อนไขบน ไดเทากับ 2ลิมิตขวา ( x มากกวา 6 เล็กนอย) ใชเงื่อนไขลาง ไดเทากับ 1 ... ดังนั้นขอนี้ตอบวาไมมีลิมิตแบบฝึกหัด 14.1(1) จากกราฟ จงหาค่า lim f (x)x 1และ lim f (x)→−x → 1(1.1) y(1.2)y2O-11x-1-21x(2) จงหาค่าของ lim f (x)x → 2เมื่อ3 2= + (2.2)(3) จงหาค่าของ(3.1)(4) จงหาค่าของ(4.1)(2.1) f(x) 1 x2⎛x + 1⎞lim ⎜x − 3 ⎟⎝ ⎠x→1(3.2)2lim x + xx→3limx→2(4.2) limx → 3(4.3) limx → 4(4.4) limx → 3f (x)f (x)f (x)f (x)เมื่อเมื่อเมื่อ⎧x+1, x < 2f(x) = ⎨⎩2 , x > 2⎧x+2, x > 3f(x) = ⎨⎩x − 5, x < 3และ limx → 4⎧ ⎪ x+5 , x > 4f(x) = ⎨⎪⎩ 2x− 5 , x < 4f (x)เมื่อf(x) = x + 2x + x⎛ ⎞lim → ⎜ x − 1 ⎟⎝ ⎠x(3.3) ⎜x 12⎧ 3S e¾ièÁeµiÁ! SÃaÇa§ÊaºÊ¹¤íÒÇÒ äÁÁÕÅiÁiµ ¡aº ËÒ¤ÒäÁä´..äÁÁÕÅiÁiµ (ËÃ×oÅiÁiµäÁÁÕ¤Ò) æ»ÅÇÒäÁäé¢Òã¡Å¤Òãé»¹¾ieÈÉ (eª¹ ÅiÁiµ«ÒÂ¡aºÅiÁiµ¢ÇÒäÁe·Ò¡a¹)æµ ËÒ¤ÒäÁä´ æ»ÅÇÒ ÁÕÅiÁiµe»¹ ∞ ¤Ãaº( ∞ eÃÕÂ¡e»¹ÀÒÉÒä·ÂÇÒ ËÒ¤ÒäÁä´)(5) จงหาค่าของlimh→02 2⎛[(x + h) + 1] − (x + 1) ⎞⎜h ⎟⎝⎠Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET298ลิมิตและความตอเนื่อง(6) [Ent’39] จงหาค่า(7) [Ent’41] กําหนดให้lim−x→2f (x)f(x) =,2lim+x→2x −9x−3f (x), และ limx → 2จงหาค่า limx →− 3f (x)f (x)เมื่อและ limx → 3f(x) =f (x)2(x−2)x−2* (8) [Ent’มี.ค.43]2⎧ >x , x 1⎪f(x) = ⎨x-1, 0 < x < 1⎪⎩ 0, x < 0⎡f(x−1)⎤lim f (x ) + lim ⎢x+2⎥⎣ ⎦จงหาค่า2− +x→0 x→1ตัวอย่าง หาค่า limx → 314.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนดf (x)เมื่อ2x − 9f(x) =x − 3ในตัวอย่างนี้ จะพบว่าไม่สามารถหาลิมิตด้วยทฤษฎีบทได้ในทันที เพราะจะให้ผลเป็น 0 ซึ่ง 0เรียกว่า รูปแบบยังไม่กําหนด (indeterminate form) คือยังสรุปไม่ได้ว่าค่าลิมิตเป็นเท่าใด2x − 9 (x + 3)(x −3)วิธีคิด lim = lim = lim (x + 3) = 6x→3 x − 3 x→3 x − 3x→3เทคนิคการคํานวณที่ใช้คือ พยายามให้ x− 3ในเศษและส่วนมาตัดกัน เพื่อไม่ให้เหลือตัวประกอบในเศษและส่วนเป็นเลข 0 (ในตัวอย่างใช้วิธีแยกตัวประกอบ แต่นอกจากนี้ยังมีอีกหลายเทคนิค เช่นการนําพหุนามมาคูณทั้งเศษและส่วนตามความเหมาะสม)yสาเหตุที่เราสามารถกําจัด x− 3ทั้งเศษและส่วนได้ก็เพราะการหาลิมิตนั้นไม่ได้คํานึงถึงตําแหน่งที่ x = 3 อยู่แล้ว 6จะเห็นว่าตัวอย่างนี้แม้ f(3) จะหาค่าไม่ได้ แต่ limx→3ก็ยังหาค่าได้x(เท่ากับ 6) (ดูกราฟประกอบ)O 3• ตัวอยาง ใหหาคาลิมิตในแตละขอตอไปนี้ก.⎛lim⎜⎝x→42x + 9 −5⎞x − 4 ⎟⎠วิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 4 จะพบวาอยูในรูปแบบ 0/0 ทําใหยังไมทราบคําตอบ2ขอนี้มีรากที่สอง เราจึงจัดรูปใหมโดยใช x + 9 + 5 คูณทั้งเศษและสวน (เพื่อใหรูทหายไป)2 2ตามกฎที่วา (A − B)(A + B) = A − B ...จะได⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ 2⎛ ⎞x + 9 − 5 x + 9 + 5 x + 9−25lim⎟⎜ ⎟⎜limx 4 ⎟= ⎝ − ⎠ ⎜ x + 9 + 5 ⎟ ⎜ (x − 4)( x + 9 + 5) ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠x→4 2 x→422⎛ x − 16 ⎞ ⎛ x + 4 ⎞ 8= lim= lim=x→4⎜ 2 x→42(x − 4)( x + 9 + 5) ⎟ ⎜ x + 9 + 5⎟10⎝ ⎠ ⎝ ⎠ข.2⎛x + 2x − 3+ 9−x ⎞lim ⎜⎟⎝ x ⎠x→0... ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET299ลิมิตและความตอเนื่องวิธีคิด เมื่อลองแทนคา x = 0 จะพบวาอยูในรูปแบบ 0/0 เชนกัน ใชวิธีจัดรูปเหมือนขอ ก.⎛ 3− 9− x ⎞ ⎛3− 9−x ⎞lim ⎜x + 2 − ⎟ = lim (x + 2) − lim ⎜ ⎟⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠x→0 x→0 x→0⎛3− 9− x ⎞⎛3+ 9− x ⎞⎛ 9 −(9−x) ⎞= 2 − lim ⎜ ⎟⎜ = 2 − limx→0⎝ x ⎠ ⎜3 9 x ⎟⎜ ⎟x→0⎝+ −⎠ ⎝(x)(3+ 9−x)⎠x ⎛ 1 ⎞ 1 11= 2 − lim⎛⎞2 lim 2x→0⎜(x)(3 9 x)⎟ = −x→0⎜= − =3 9 x⎟⎝+ −⎠ ⎝+ −⎠6 6ค.⎛3 32 − x ⎞lim ⎜2 − x ⎟⎝ ⎠x→2วิธีคิด โจทยรูปแบบ 0/0 ขอนี้มีรากที่สาม ดังนั้นพจนที่นํามาคูณเพื่อใหรูทหายไป จะตางจากเดิม ตาม2 2 3 3กฎที่วา (A − B)(A + AB + B ) = A − B ...และขอนี้ตองคูณถึงสองรอบ เพราะตัวสวนก็มีรากที่สองดวย3 3 2/3 1/3 2/3⎛ 2 − x ⎞ ⎛2 + (2x) + x ⎞⎛ 2 + x ⎞ ⎛2− x⎞⎛ 2 + x ⎞lim = lim⎜ ⎜2 x 2 (2x) x 2 x 2 x⎟− ⎟ ⎜ + + ⎟⎜ + ⎟ − ⎜ 2 + (2x) + x ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠x→2 2/3 1/3 2/3x→22/3 1/3 2/3⎛ 2 + x ⎞ 2 + 2 2 2 2= lim= = =x→2⎜2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 2/3 2/32 (2x) x ⎟⎝ + + ⎠ 2 + 2 + 2 3 × 2 35/6เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องอนุพันธ์ บทที่ 15การหาลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด มีวิธีการคํานวณอีกแบบซึ่งง่ายขึ้น เรียกว่า กฎของโลปีตาล (L’Hôpital’sRule) ได้อธิบายไว้ท้ายบทนี้แล้ว (ในหน้าแถม)S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! S¹o§æ Áa¡¢Õée¡ÕÂë¢ÕÂ¹¤íÒÇ Ò limx → ¹íÒË¹ÒæµÅaºÃÃ·á ã¹eÇÅÒ·´ËÃ×oæÊ´§Çi¸Õ·íÒ ... «Öè§ÒäÁe¢ÕÂ¹¹o¡¨Ò¡ä¼í ¤ÇÒÁËÁÒÂæÅÇ Âa§oÒ¨Å×Áæ·¹¤ÒµaÇeÅ¢´ÇÂ ¤íÒµoº¡çä¼í ¹a¤Ãaºแบบฝึกหัด 14.2(9) หาค่าของลิมิตต่อไปนี้(9.1)(9.2)2⎛x −4⎞lim ⎜x − 2 ⎟⎝ ⎠x→2⎛2x −4lim x→2 ⎜ x2+ x − 6(10) หาค่าของลิมิตต่อไปนี้1 x(10.1) lim ⎜x 1→⎝⎛ −⎜⎝ 1−x⎞⎟⎠x 1(10.2) ⎜x 1⎞⎟⎠⎛ − ⎞lim → ⎜ 2 − x + 3 ⎟⎝ ⎠x 2 1(10.3) lim ⎜x 3→⎛⎜⎝− − ⎞x−3⎟⎠(9.3)⎛2x −2x−3lim x→−1⎜ x2 4x 3⎝+ +⎛ x−a⎞limx→a ⎜x − a ⎟⎝ ⎠(9.4) ⎜ 2 22x(10.4) lim ⎜x 0→⎛⎜⎝⎞⎟⎠⎞x+ 9 −3⎟⎠x+ 1 −1(10.5) lim ⎜x 0→⎛⎜⎝(10.6) lim ⎜2x→2x⎞⎟⎠⎛ x−2⎞⎜ x −2x⎟⎝ ⎠(11) [Ent’มี.ค.44]limx→1⎛ 2x + 3 −2⎞⎜ ⎟⎜ x−1⎟⎝ ⎠มีค่าเท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET300ลิมิตและความตอเนื่อง(12) จงหาค่าของ(12.1)(12.2)⎛3x −1lim x→1 ⎜ x2− 1limx→2⎝⎛⎜⎝(13) [Ent’38] จงหาค่า3⎞⎟⎠x−1−1⎞x − 2 ⎟⎠lim f (x) lim f (x)− +x→1 x→1+ เมื่อ(12.3) lim ⎜3x→−8⎛ 1−x −3⎞⎜ 2 + x ⎟⎝ ⎠⎛ 4 x −1⎞(12.4) limx→1 ⎜ 3 x −1⎟⎝ ⎠⎧ x −1 , x < 1⎪ 1−xf(x) = ⎨⎪1-x , x > 1⎪⎩1−x14.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชันการพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ ก็คือการบอกว่ากราฟของฟังก์ชันขาดตอนที่จุดนั้นหรือไม่ โดยสําหรับฟังก์ชัน f(x) ใดๆ จะต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อlim f (x) = f (a) = lim f (x) เท่านั้น (และต้องหาค่าได้ทั้งสามตัว)− +x→a x→aนิยามของ ความต่อเนื่องบนช่วง1. ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) ก็ต่อเมื่อ f(x) ต่อเนื่องทุกๆ จุดในช่วง (a, b)2. ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] ก็ต่อเมื่อ f(x) ต่อเนื่องบนช่วง (a, b), ต่อเนื่องทางขวาของ a [คือ f(a) = lim f(x) ], และต่อเนื่องทางซ้ายของ b [คือ f(b) = lim f(x) ]+x→a• ตัวอยาง กําหนดให f(x) = mx+ 1 เมื่อ m เปนคาคงตัว และ−x→b⎧ f(x) , x < 1⎪g(x) = ⎨f(x+ 1) , x > 1⎪⎩ − 1 , x = 1ก. ถา g(x) มีลิมิตที่ x = 1 แลว m มีคาเทาใดวิธีคิด g(x) มีลิมิตที่ x = 1 แสดงวา lim g(x) = lim g(x) ... นั่นคือ f(1) = f(1+1)x→1 −x→1+f(1) = f(2) → m+ 1= 2m+ 1 → m= 0 ... ตอบข. ถา g(x) ตอเนื่องในชวง [0, 1] แลว m มีคาเทาใดวิธีคิด g(x) ตอเนื่องในชวง [0, 1] แสดงวา lim g(x) เทากับ g(1) ...x→1−นั่นคือ f(1) = −1 → m+ 1= −1 → m= − 2 ... ตอบค. ถา g(x) ตอเนื่องในชวง [1, 2] แลว m มีคาเทาใดวิธีคิด g(x) ตอเนื่องในชวง [1, 2] แสดงวา lim g(x) เทากับ g(1) ...x→1+นั่นคือ f(2) = −1 → 2m+ 1= −1 → m= − 1 ... ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET301แบบฝึกหัด 14.3ลิมิตและความตอเนื่อง(14) ฟังก์ชันต่อไปนี้ มีความต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่(14.1)f(x) =3x −8x−2(15) ฟังก์ชันต่อไปนี้มีความต่อเนื่องที่จุดใดบ้าง(15.1)(15.2)2⎧ x −x ⎪f(x) = , x ≠ 0⎨ x⎪⎩ 1, x = 02⎧ x −9 ⎪ , x ≠ 3g(x) = ⎨ x−3⎪⎩ 2 , x = 3(16) ฟังก์ชัน f(x) = x+ 1 ต่อเนื่องที่ x = − 1 หรือไม่(14.2)(15.3)2⎧ x −4 ⎪ , x ≠ 2f(x) = ⎨ x−2⎪⎩ 4 , x = 2⎧ x⎪h(x) = , x ≠ 0⎨ x ⎪⎩ 2, x = 0(17) [Ent’มี.ค.42] กําหนดให้⎧ −3/2 , x < −1⎪ 22x + x−1 ⎪ , − 1 < x < 1f(x) = ⎨ 2(x+1)⎪−แล้ว ข้อความใดถูกบ้าง⎪1 x , x > 1⎪⎩1−xก. f ต่อเนื่องที่ x = − 1 ข. f ต่อเนื่องที่ x = 1(18) [Ent’ต.ค.41] กําหนดให้⎧ 1⎪, 0 < x < 13x+1⎪f(x) = ⎨1, x = 1⎪ − −แล้ว ข้อความใดถูกบ้างก.lim f (x) lim f (x)− +x→1 x→12 5 x⎪ , x > 1⎪⎩ x−1= ข. f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 1⎪ 2(19) จงหาค่า a ที่ทําให้ฟังก์ชัน f(x)⎧3x+ a , x = 2= ⎨x −4⎪, x⎩ x − 2≠ 2มีความต่อเนื่องที่ x = 2(20) จงหาค่า b ที่ทําให้ฟังก์ชัน2⎧ − ∈ −∞1 x , x ( ,1)f(x) = ⎨⎩ x+ b, x ∈ [1, ∞)เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง(21) จงหาค่า b ที่ทําให้⎧ 2 , x < 1⎪⎪x−5 f(x) = ⎨ , 1 < x < 2x−2−b⎪⎪ 2⎩ x −5 , x > 2ต่อเนื่องที่ x = 2และถามว่า ค่า b ที่ได้นี้ทําให้ f(x) ต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด(22) ถ้าฟังก์ชัน⎧ax , x < 1⎪f(x) = ⎨ 4, x=1⎪⎩x + b, x > 1ต่อเนื่องที่จุดซึ่ง x = 1 แล้ว จงหาค่า a, bMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET302ลิมิตและความตอเนื่อง(23) จงหาค่า h, k ในแต่ละข้อ เมื่อฟังก์ชันที่กําหนดให้นี้มีความต่อเนื่องบนช่วง [1, 3](23.1)(24) [Ent’37] กําหนดให้2⎧(x−2) ⎪ 2 , x > 2⎪ x −4f(x) = ⎨⎪ h , x = 2⎪⎩ 2x+ k , x < 2f(x) =3 2x −2x − x+22x −1(23.2) f(x) 2จํานวนจริงแล้ว จะต้องนิยามเพิ่มเติมให้ f( − 1) และ f(1) มีค่าเท่าใด⎧ h , x = 1⎪ x+1= ⎨ , 1 < x < 3x −4x⎪⎪⎩ k , x = 3ถ้าต้องการให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของ(25) [Ent’ต.ค.42] กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่และ f(2) = a, f( − 2) = b แล้ว a และ b มีค่าเท่าใดf(x) =3 2x −x − 4x+424−xเมื่อ x ≠ ± 2เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1.1) –1, ไม่มี(1.2) 0, ไม่มี(2.1) 3 (2.2) 18(3.1) –1 (3.2) 12(3.3) หาค่าไม่ได้ (4.1) ไม่มี(4.2) ไม่มี (4.3) 3(4.4) ไม่มี, 8 (5) 2x(6) –1, 1, ไม่มี(7) 0, ไม่มีลิมิต(8) –4/3 (9.1) 4(9.2) 4/5 (9.3) –2(9.4) 1/2a (10.1) 1/2(10.2) –4 (10.3) 1/2(10.4) 12 (10.5) 1/2(10.6) 1/ 4 2 (11) 1/2(12.1) 3/2 (12.2) 1/3(12.3) –2 (12.4) 3/4(13) 0 + ( − 2) = − 2(14.1) ไม่ต่อเนื่อง เพราะไม่มี f(2)(14.2) ต่อเนื่อง(15.1) ทุกจุดยกเว้นที่ x = 0(15.2) ทุกจุดยกเว้นที่ x = 3(15.3) ทุกจุดยกเว้นที่ x = 0(16) ต่อเนื่อง(17) ก.ถูก และ ข.ถูก(18) ก.ถูก และ ข.ผิด(19) –2 (20) –1(21) 3, ไม่ต่อเนื่องที่ x = 1เพราะลิมิตซ้ายไม่เท่ากับขวา(22) 4, 3 (23.1) 0, –4(23.2) –2/3, –4/3(24) –3, –1 (25) –1, 3(1.1) พิจารณาจากกราฟ ที่ x = − 1กราฟผ่านจุด ( −1, − 1) ทั้งทางซ้ายและขวาดังนั้น lim f(x) =− 1x →− 1แต่ที่ x = 1 กราฟแยกกันlim f(x) =− 1 และ lim f(x) = 0−+x→1x→1ดังนั้น lim f(x)x → 1ไม่มีค่า (ไม่มีลิมิต)(1.2) lim f(x) = 0x →− 1แต่ lim f(x)x → 1ไม่มีค่า(เนื่องจาก lim f(x) = 2 และ lim f(x) = − 2 )−+x→1x→1(2) และ (3) สามารถแทนค่าได้เลย ไม่มีปัญหาเพราะฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเดียว (ไม่แยกเงื่อนไข และไม่ติดค่าสัมบูรณ์)(2.1) lim f(x) = 1 + 2 = 3x→2เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(2.2) lim f(x) = 8 + 8 + 2 = 18x → 2(3.1) 1 + 1 = −11 − 3(3.2) 9 + 3 = 12(3.3) 1 คือ หาค่าไม่ได้ ( ∞ )0(4) ในข้อนี้มีการแยกกรณี จึงต้องพิจารณาซ้ายและขวาแยกกัน(4.1) lim f(x) = 2 + 1 = 3−x→2แต่ lim f(x) = 2 ดังนั้น ไม่มีลิมิต+x→2(4.2) lim f(x) = 3 − 5 = − 2−x→3แต่ lim f(x) = 3 + 2 = 5 ดังนั้น ไม่มีลิมิต+x→3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET303ลิมิตและความตอเนื่อง(4.3)และlim f(x) = 8 − 5 = 3−x→4lim f(x) = 4 + 5 = 3+x→4จึงตอบว่า =x → 42(4.4)แต่+x→3−x→3lim f(x) 3lim f(x) = 3 = 9lim f(x) 2(3) 6ส่วน lim f(x)x → 4= = ดังนั้นx → 3มี เท่ากับ 2(4) = 8lim f(x)ไม่มี(พิจารณาที่ x ใกล้ๆ 4 จึงมองเพียงกรณีล่าง คือx > 3 เท่านั้น)(5) แทนค่ายังไม่ได้เพราะเป็น 0 0จึงควรกระจายก่อน2 2 2⎛x + 2xh + h + 1 − x − 1⎞lim ⎜⎟⎝h⎠h→02⎛2xh+ h ⎞= lim ⎜ ⎟ = lim(2x + h) = 2xh→0 ⎝ h ⎠ h→0(6)หา(x − 2) x − 2f(x) = =x − 2 x − 2lim f(x)−x→22โดยมองที่ x < 2 เล็กน้อยจึงถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้ แต่ต้องติดลบ(เพราะ x 2 0− < )−(x − 2)→ lim = lim ( − 1) = −1−−x→2 x − 2 x→2และหาlim f(x)+x→2จึงถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลยทันที(เพราะ x − 2 > 0)ดังนั้น− +x→2 x→2และ lim f(x)x → 2(7) lim f(x)x →− 3โดยมองที่ x > 2 เล็กน้อยlim f(x) =− 1 , lim f(x) = 1 ,ไม่มีค่าแทนค่า x = − 3 ได้ทันทีไม่มีปัญหาได้เป็น 0 0−6 =แต่ lim f(x) แทนเลยไม่ได้เพราะเป็น 0x → 30จึงต้องถอดค่าสัมบูรณ์ เพื่อแยกตัวประกอบมาตัดกันlim f(x) lim −(x − 9)= x − 3= lim − (x + 3) = − 6−−x→3 x→3−x→3(x − 9)lim f(x) = lim = 6x − 3แต่+ +x→3 x→3ดังนั้น lim f(x)x → 3ไม่มีค่า222(8) lim f(x ) พิจารณาว่า x → 0 ทางซ้าย−x→0ดังนั้น x 2 → 0 ทางขวา จึงต้องเลือกใช้กรณีกลางมาคิด (0 < x < 1) ได้เป็น2 2−−x→0 x→0lim f(x ) = lim (x − 1) = − 1และเช่นกัน⎛f(x − 1) ⎞lim ⎜ ⎟ ถ้า ⎝ x + 2 ⎠ x 1+x→1→ ทางขวาจะได้ว่า x − 1 → 0 ทางขวา จึงใช้กรณีกลางเช่นเดิม ได้เป็น⎛f(x − 1) ⎞ ⎛x − 1 − 1⎞1lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟ =−⎝ x + 2 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠ 31 4−1− = −3 3(x − 2)(x + 2)lim = lim(x + 2) = 4x→2 x − 2x→2(x − 2)(x + 2) ⎛x + 2 ⎞ 4lim= lim ⎜ ⎟ =x→2(x − 2)(x + 3) x→2⎝x + 3 ⎠ 5(x + 1)(x − 3) −4lim = =−2x→−1(x + 1)(x + 3) 2x − a 1lim =x→a (x − a)(x + a) 2ax→1 + x→1+ดังนั้นตอบ(9.1)(9.2)(9.3)(9.4)(10.1)1 − x 1 1lim = =(1 − x)(1 + x) 1 + 1 2x→1⎛ ⎞ ⎛ ⎞lim ⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ ⎝ 1 − x ⎠ ⎝ 1 + x ⎠1 − x 1= lim =x→1 (1 − x)(1 + x) 21 − x 1 + xหรืออีกวิธีหนึ่งx 1⎛⎞lim ⎜⎟→ (2 − x + 3) ⎝ 2 + x + 3 ⎠x − 1 2 + x + 3(10.2)x 1(x − 1)(2 + x + 3)= limx→1 1 − x= lim − (2 + x + 3) = − 4x→1⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ ⎝ x − 3 ⎠ ⎝ x − 2 + 1⎠(x − 3) 1= lim=x→3(x − 3)( x − 2 + 1) 2x − 2 − 1 x − 2 + 1(10.3) limx 3⎛ ⎞ ⎛⎞⎜⎟ ⎜ ⎟⎝ x + 9 − 3⎠ ⎝ x + 9 + 3⎠2x x + 9 + 3(10.4) limx 0→(2x)( x + 9 + 3)= limx→0 x= lim 2( x + 9 + 3) = 12x→0⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ ⎝ x ⎠ ⎝ x + 1 + 1⎠x 1= lim=x→0(x)( x + 1 + 1) 2x + 1 − 1 x + 1 + 1(10.5) limx 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET304ลิมิตและความตอเนื่อง⎛ x − 2⎞ ⎛ x + 2⎞(10.6) lim ⎜x→2 x2 ⎟ ⎜ ⎟⎝ − 2x ⎠ ⎝ x + 2 ⎠(x − 2) 1= lim =x→2(x)(x − 2)( x + 2) (2)(2 2)=(11)14 2x→1⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞x + 3 − 2 x + 3 + 2lim ⎜ ⎟ ⎝ x − 1 ⎠ ⎜ 2 ⎟⎝ x + 3 + 2⎠2(x − 1)= limx→12(x − 1)( x + 3 + 2)(x + 1) 2 1= lim= =x→1 2( x + 3 + 2) 4 2(12.1)3=2(12.2)x→12(x − 1)(x + x + 1) 1 + 1 + 1lim =(x − 1)(x + 1) 1 + 132/3 1/3⎛ x−1−1⎞ (x − 1) + (x − 1) + 1lim ⎜ ⎟ x→2⎜ 2/3 1/3⎟⎝ x− 2 ⎠ ⎝(x − 1) + (x − 1) + 1⎠(x − 2)= limx→2 (x 2)((x 1)2/3 (x 1)1/3− − + − + 1)1 1= =1 + 1 + 1 3(12.3)3 2/3⎛ 1−x −3⎞⎛ 1− x + 3⎞ 4− 2 x + xlim3 3 2/3x →−8⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟=⎝ 2+ x ⎠⎝1− x + 3⎠⎝4− 2 x + x ⎠limx→−83 2/3( −x − 8)(4 − 2 x + x )(8 + x)( 1 − x + 3)⎛3 2/3⎛4 − 2 x + x ⎞= lim − ⎜ ⎟x→−8⎝ 1 − x + 3 ⎠4 + 4 + 4=− =−23 + 34 42/3 1/3⎛ x − 1⎞⎛ x + 1 x + 1⎞⎛x + x + 1⎞(12.4) lim ⎜ 3 ⎟⎜ ⋅4⎟⎜ 2/3 1/3 ⎟x → 1⎝ x − 1⎠⎝ x + 1 x + 1⎠⎝x + x + 1⎠=2/3 1/3(x − 1)(x + x + 1)limx→1 (x 1)(4− x + 1)( x + 1)1 + 1 + 1 3= =(1 + 1)(1 + 1) 4x − 1 x − 1(13) lim f(x) = lim = lim− − −x→1 x→1 1 − x x→11 − x−(1 − x)= lim = lim − 1 − x = 0−−x→1 1 − x x→1และ1 − x −(1 − x)lim f(x) = lim = lim1 − x 1 − x+ + +x→1 x→1 x→1−(1 − x)(1 + x)= lim = lim − (1 + x)x→1 + 1 − xx→1+=− 2 ดังนั้นตอบ 0 − 2 =− 2⎛⎞⎞(14.1) แม้ว่าจะหา lim f(x) ได้โดยการแยกตัวx→2ประกอบ (ได้เป็น 12) แต่ที่จริงแล้ว f(2) ไม่นิยามดังนั้น ไม่ต่อเนื่อง ที่ x = 2(14.2) f(2) = 4 (กรณีล่าง)โดยกรณีบน ได้เป็นหา lim f(x)x → 2lim(x 2) 4x→2+ = ดังนั้น ต่อเนื่อง ที่ x = 2(15) ฟังก์ชันทั่วไปจะไม่ต่อเนื่องแค่เพียงบางจุด การหาว่าต่อเนื่องที่จุดใดบ้าง ควรหาในแง่กลับกันว่า “จุดใดไม่ต่อเนื่องบ้าง” แล้วตอบว่า “ต่อเนื่องทุกจุดยกเว้นที่ ......” และจุดที่มีปัญหามักเป็นจุดที่แยกกรณีพอดีเช่นข้อ (15.1) ควรพิจารณาเฉพาะที่จุด x = 0(15.1) f(0) = 1และx(x − 1)lim f(x) = lim = 0 − 1 = − 1xx→0 x→0ดังนั้นตอบว่า ต่อเนื่องทุกจุด ยกเว้นที่จุดซึ่ง x = 0(15.2) g(3) = 2และ(x − 3)(x + 3)lim g(x) = lim = 6(x − 3)x→3 x→3ต่อเนื่องทุกจุดยกเว้นจุดซึ่ง x = 3(15.3)1, x > 0⎧⎪h(x) = ⎨− 1, x < 0⎪⎩ 2, x = 0แสดงว่าลิมิตซ้าย, ขวา, และค่าฟังก์ชัน ไม่เท่ากันเลยจึงตอบว่า ต่อเนื่องทุกจุดยกเว้นที่จุดซึ่ง x = 0(16) f( − 1) = 0 = 0lim f(x) = lim − (x + 1) = − 0 = 0−−x→−1 x→−1และlim f(x) = lim (x + 1) = 0+ +x→−1 x→−1ดังนั้น ต่อเนื่อง ที่ x = − 1(17) ก. พิจารณาที่ x 1= − คือกรณีบนกับกลาง(กรณีบน บอกลิมิตซ้ายและค่า f, ส่วนกรณีกลางบอกลิมิตขวา)3lim f(x) = f( − 1) = −2−x→−12x + x − 1และ lim f(x) = lim+ +x→−1 x→−12(x + 1)(x + 1)(2x − 1) 3= lim=−+x→−12(x + 1) 22ดังนั้น ก. ถูกข. พิจารณาที่ x = 1 คือ กรณีกลางกับล่าง จะได้ว่า2(1) + 1 − 1 1lim f(x) = f(1) = =2(1 + 1) 2−x→1และ+x→1⎛1 − x ⎞lim f(x) = lim ⎜ ⎟ =⎝ 1 − x ⎠x→1 + x→1+1 − x 1lim =(1 − x)(1 + x) 22ดังนั้น ข. ถูกMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET305ลิมิตและความตอเนื่อง(18) ก. ลิมิตซ้ายคือกรณีบน1 1lim f(x) = =3(1) + 1 4−x→1ลิมิตขวาคือกรณีล่าง⎛2 − 5 − x ⎞ ⎛2 + 5 − x ⎞lim f(x) = lim ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +x→1 x→1⎝ x − 1 ⎠ ⎝2 + 5 − x ⎠(x − 1) 1= lim=+x→1 (x − 1)(2 + 5 − x) 4ดังนั้น ก. ถูกข. ผิด เพราะ f(1) = 1 ไม่เท่ากับลิมิตในข้อ ก.(จึงไม่ต่อเนื่องที่ x = 1)(19) lim f(x) = f(2)x→2⎡ (x − 2)(x + 2) ⎤→⎢lim = 4⎥= 3(2) + a⎣ x→2 x + 2 ⎦→ a = − 2(20)2→lim f(x) = f(1) → 1 − 1 = 1 + b−x→1b = − 1(21) ต่อเนื่องที่ x = 2 แสดงว่า2 − 5 2lim f(x) = f(2) → = 2 − 5−x→22 − 2 − b3→ = −1 → b = 3−bและพิจารณาที่ x = 1 บ้าง ... f(1) 21 − 5 4lim f(x) = = = −21 − 2 − 3 1 − 3+x→1= และแสดงว่า ค่า b = 3 ทําให้ f(x) ไม่ต่อเนื่อง ที่x = 1 เพราะ f(1) ≠ lim f(x)+x→1(หรือตอบว่า เพราะไม่มีลิมิต ก็ได้, เนื่องจากลิมิตซ้ายเป็น 2 ลิมิตขวาเป็น -2)(22) lim f(x) = f(1) → a(1) = 4 → a = 4+x→1−x→1lim f(x) = f(1) → 1 + b = 4 → b = 3(23.1) ต่อเนื่องบนช่วง [1,3] แสดงว่าต่อเนื่องที่จุด x = 2 ด้วยlim f(x) = f(2)−x→2⎡ (x − 2)(x − 2) 0 ⎤⎢lim = = 0 = h−x→2 (x − 2)(x + 2) 4 ⎥⎣⎦→ h = 0และlim f(x) = f(2) → 2(2) + k = 0+x→2→ k = − 4(23.2) ต่อเนื่องบนช่วง [1,3] แสดงว่าต่อเนื่องทางขวาของ 1 และทางซ้ายของ 3 ด้วย1 + 1 2ดังนั้น f(1) = lim f(x) → h = = −และ+x→11 − 4 33 + 1 4f(3) = lim f(x) → k = = −−x→39 − 12 32(x − 1)(x − 2)f(x) = = x − 22(x − 1)(24) พิจารณาเมื่อ x ≠ 1, − 1ต้องการให้ต่อเนื่อง จึงต้องนิยามให้f( − 1) = lim f(x) = −1 − 2 = − 3และให้x→−1(25) พิจารณาเมื่อ x ≠ 2, − 2f(1) = lim f(x) = 1 − 2 = − 1x→12(x − 4)(x − 1)f(x) = = 1 − x2(4 − x )ถ้าต้องการให้ต่อเนื่องจึงต้องนิยามให้f(2) = a = lim f(x) = 1 − 2 = − 1และให้x→2f( − 2) = b = lim f(x) = 1 − ( − 2) = 3x→−2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET306ลิมิตและความตอเนื่องeÃ×èo§æÁการคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล..(1) รูปแบบยังไม่กําหนด (Indeterminate Form) มี 7 แบบ ได้แก่00∞∞0 00 ⋅∞ ∞−∞ 0 ∞ 1 ∞เราจะพบสองรูปแบบแรกบ่อยในระดับมัธยมศึกษา ซึ่งการหาลิมิตรูปแบบ 0 และ ∞ นอกจากจะหา0 ∞โดยการจัดรูปแล้ว สามารถหาอย่างง่ายๆ ได้โดย กฎของโลปีตาล (L’Hôpital’s Rule) ซึ่งจะต้องอาศัยสูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จึงควรมีความรู้พื้นฐานของบทที่ 15 (ในหัวข้อ 15.2) ก่อน..(2) กฎของโลปีตาลกล่าวว่าf (x)lim =g(x)x→a x→af ′ (x)limg ′ (x)... เมื่อ f (a) = g (a) = 0 หรือ f(a) = g(a) =∞เรานําไปใช้งานโดยเมื่อทดลองแทนค่าพบว่าลิมิตของฟังก์ชันอยู่ในรูปแบบ 0 0 หรือ ∞ ∞แล้ว เราสามารถหาอนุพันธ์ของเศษและของส่วน เพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่ที่ยังคงมีค่าลิมิตเท่าเดิม หากลองแทนค่าแล้วยังเป็น 0 0หรือ ∞ อยู่อีกก็ให้ใช้กฎของโลปีตาล (คือหาอนุพันธ์เศษและส่วน) ซ้ําเรื่อยๆ จนกว่าจะได้คําตอบ∞(3) ตัวอย่างเช่น ต้องการหาค่าของลองแทน x ด้วย 1 แล้วพบว่าเป็นรูปแบบ 0 0⎛3x − 3x+2lim x→1⎜2x3 3x2− + 1⎝⎞⎟⎠จึงใช้กฎของโลปีตาลได้ ดังนี้3⎛ ⎞2⎛ ⎞x − 3x+ 2 3x − 3lim⎜= lim2x 3x 1⎟⎜ ⎟⎝ − + ⎠ ⎝6x − 6x ⎠x→1 3 2x→12จากนั้นลองแทน x ด้วย 1 แล้วยังเป็น 0 0จึงใช้กฎโลปีตาลอีกครั้ง เป็น2⎛ 3x − 3 ⎞ ⎛ 6x ⎞ 6lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟ = = 1⎝6x− 6x ⎠ ⎝12x − 6 ⎠ 6x→1 2x→1ดังนั้นค่าของลิมิตเท่ากับ 1(4) ตัวอย่างต่อมา ต้องการหาค่าlimx →∞ลองแทน x ด้วย ∞ พบว่าเป็นรูปแบบ ∞ ∞⎛⎜⎝2x −2x⎞x−2⎟⎠จึงใช้กฎของโลปีตาลได้ ดังนี้⎛2x −2x ⎞ ⎛2x − 2 ⎞lim = lim = lim [(4x − 4) x]⎜ x 2⎟⎜ 1 ⎟⎝ − ⎠ ⎜ x ⎟⎝2⎠x →∞ x →∞ −1/2x →∞จากนั้นลองแทน x ด้วย ∞ อีกครั้ง พบว่าได้ ∞ ... ดังนั้นคําตอบคือ หาค่าไม่ได้หมายเหตุ (1) โจทย์ทุกข้อในแบบฝึกหัด 14.2 ที่ผ่านมา สามารถใช้กฎของโลปีตาลเพื่อให้คํานวณได้ง่ายขึ้น(ลองฝึกทําดูสิครับ) แต่ในข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย มักจะตั้งโจทย์ในรูปแบบที่หาอนุพันธ์ยาก ก็จําเป็นต้องใช้วิธีจัดรูปเช่นเดิม(2) นําไปใช้กับลิมิตของลําดับได้ด้วย ถ้าพบว่าอยู่ในรูปแบบ ∞/∞** (3) ไม่ว่ากรณีใดๆ ถ้าไม่ใช่ลิมิตรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ แต่ไปใช้กฎโลปีตาลคิด จะได้คําตอบที่ผิดนะครับMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET307อนุพันธและการอินทิเกรตcalculusº··Õè15 o¹u¾a¹¸æÅa¡ÒÃoi¹·ie¡Ãµหลักการของวิชาแคลคูลัสที่จะได้ศึกษาในบทนี้ได้แก่ การหาอนุพันธ์ และการอินทิเกรต ซึ่งเป็นการกระทํากับฟังก์ชันเพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่ไปใช้ประโยชน์โดยอนุพันธ์คือความชันของเส้นกราฟ และการอินทิเกรตคือการกระทําย้อนกลับของอนุพันธ์ และเป็นการหาพื้นที่ใต้กราฟด้วย15.1 อัตราการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชัน y = f(x) ใดๆ เราพิจารณาหา “อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าฟังก์ชัน” ได้ดังนี้ที่จุด x = x1จะได้ y = f(x 1)ที่จุด x = x2 = x1+ h จะได้ y = f(x1+h)ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x 1 ถึง x 1 + h คือΔ y =f (x1+ h) − f (x 1) =f (x1+ h) − f (x 1)Δ x (x + h) − (x) h1 1หรือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ)” คือf(x+ h) − f(x) Δหรือ y hΔxและเมื่อเราบีบช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 ก็จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุด x ที่กําหนดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET308อนุพันธและการอินทิเกรตฉะนั้น “อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุด x ใดๆ)” คือf(x+ h) − f(x)Δylim หรือ limh→0hΔx→0Δ x(ไม่สามารถแทน h = 0 ลงไปตรงๆ ได้ เพราะจะเป็น 0 จึงต้องใช้ลิมิตช่วยในการคํานวณ)02• ตัวอยาง ถา y = f(x) = 2x + 3x − 4 ใหหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ xก. โดยเฉลี่ยในชวง x = 1 ถึง 4Δy f(4) − f(1) 40 − 1วิธีคิด = = = 13Δx 4 − 1 4 − 1(แปลวาในชวงที่กําหนดนี้ เมื่อ x เพิ่มขึ้น 1 หนวยแลว y จะเพิ่มขึ้นประมาณ 13 หนวย)ข. ที่จุดซึ่ง x = 22Δ y f(2+ h) − f(2) [2(2+ h) + 3(2+ h) − 4] − 10วิธีคิด lim = lim = limΔ x (2+ h) − 2 h211h + h= lim = lim (11 + h) = 11h→0 h h→0Δ x → 0 h → 0 h → 0(คํานวณโดยติดคา x ใดๆ ไวกอน จนไดผลเปน 4x + 3 แลวจึงแทนคา x 2อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f(x)ที่จุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์(Derivative)สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f(x)ได้แก่ f(x) ′ หรือ dydxหรือ d f(x)dxหรือ y′= ลงไปก็ได)ส่วนสัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงตําแหน่ง เช่น อนุพันธ์ที่จุดซึ่ง x = 3 จะใช้ f(3) ′ หรือf(x+ h) − f(x) dydydx =ฉะนั้น อนุพันธ์ของ f(x) ก็คือ lim= นั่นเองh→0 h dxนอกจากนั้นเรียกว่าเป็นค่า ความชัน (Gradient) ของกราฟ y = f(x) ณ จุดนั้นๆ ด้วยแบบฝึกหัด 15.1S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! Seª¹e´ÕÂÇ¡aºã¹º··ÕèæÅÇ Ò¹o§æ ¢Õée¡ÕÂë¢ÕÂ¹¤íÒÇ Ò limh→0¹íÒË¹ÒæµÅaºÃÃ·a´ã¹eÇÅÒ·´ËÃ×oæÊ´§Çi¸Õ·íÒ oÒ¨Å×Áæ·¹¤Ò h ´ÇÂ 0 æÅa¤íÒµoº¡çä¼í ¹a¤Ãaº(1) ให้ y =2x − x+ 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เมื่อเทียบกับ xในช่วง x = 3 ถึง 5(2) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y(2.1)2y = 2x + 3x− 4 เมื่อ x มีค่าใดๆ(2.2) y =23x + 7x+ 1 ที่จุด x = 22(3) ให้ y = x จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลง(3.1) โดยเฉลี่ยของ y เมื่อเทียบกับ x ในช่วง x = x1ถึง 1(3.2) โดยเฉลี่ยของ y เมื่อเทียบกับ x ในช่วง x = 10 ถึง 13(3.3) ของ y ที่จุด x = x1(3.4) ของ y ที่จุด x = 10x = x + hMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x 3

คณิตศาสตร O-NET / A-NET309อนุพันธและการอินทิเกรต(4) ถ้าf(x)1x= จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x) เทียบกับ x(4.1) ในช่วง x = 4 ถึง x = 5(4.2) ในช่วง x = 4 ถึง x = 4.5(4.3) ในช่วง x = 4 ถึง x = 4.01(4.4) ที่จุดซึ่ง x = 4(5) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของปริมาตรทรงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก 2ถึง 3 หน่วย(6) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ(6.1) พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวด้าน ขณะที่ด้านยาว 5 ซม.(6.2) พื้นที่วงกลมเทียบกับรัศมี ขณะที่รัศมียาว 10 นิ้ว(7) ให้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรกรวยกลมตรง(7.1) เทียบกับรัศมีฐาน r เมื่อส่วนสูง H คงตัว(7.2) เทียบกับส่วนสูง H เมื่อรัศมีฐาน r คงตัว(8) ในการสูบน้ําออกจากสระแห่งหนึ่ง หลังจากสูบได้ t นาที จะมีน้ําเหลืออยู่ในสระเป็นปริมาตร Qt 2ลบ.ม. โดยที่ Q = (12 − ) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลง10(8.1) โดยเฉลี่ย ของปริมาตรน้ําในสระ เทียบกับเวลา ในช่วง t = 0 ถึง t = 10 นาที(8.2) ของปริมาตรน้ําในสระ เทียบกับเวลา ขณะที่ t = 10 นาที(9) จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x ใดๆ และที่จุด x = 22(9.1) f(x) = 2x2(9.2) f(x) = x − 2x+4(9.3) f(x) = 3(9.4) f(x) = 2−3t2(10) ถ้า y = x− 2x เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา(10.1) ความชันของเส้นโค้งนี้ที่จุด (2, − 6)(10.2) สมการเส้นสัมผัสโค้ง ณ จุดเดียวกันนี้3(11) ให้หาสมการเส้นสัมผัสโค้ง y = x ณ จุด ( −1, − 1)15.2 สูตรในการหาอนุพันธ์เนื่องจากการใช้ลิมิตคํานวณนั้นไม่สะดวก จึงได้มีการคิดสูตรในการหาอนุพันธ์ไว้ดังนี้1. สูตรทั่วไปd• x = 1dxd• x = nxdxn n−12. การบวกลบคูณหารฟังก์ชันd• c = 0dxdd• cf(x) = c f(x)dxdxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET310อนุพันธและการอินทิเกรต• d [ f(x) ± g(x) ] = f(x) ′ ± g(x) ′dxd [ f (x) ⋅ g (x) ] f (x) g ′ (x) g (x) f ′ (x)dxd ⎡f(x) ⎤ g (x) f ′(x) − f (x) g ′(x)• ⎢ =dx g(x)⎥⎣ ⎦g(x)• = + (หน้า ดิฟหลัง + หลัง ดิฟหน้า)[ ] 23. ฟังก์ชันประกอบ (กฎลูกโซ่; Chain Rule)d dg dfg(f(x))dx df dx((ล่าง ดิฟบน - บน ดิฟล่าง) ส่วน ล่างกําลังสอง)′ ′ ′• = ⋅ หรือเขียนอีกแบบว่า (g f) (x) = g (f (x)) ⋅ f (x)หมายเหตุ กฎลูกโซ่จะเขียนยาวกี่ทอดก็ได้ เช่นdg dg dh df dx= ⋅ ⋅ ⋅dt dh df dx dtn n⎛(x + h) − x ⎞• ตัวอยาง ใหหาคา lim ⎜⎟h→0⎝h ⎠nวิธีคิด ในขณะนี้เราไมสามารถกระจาย (x + h) จึงไมมีวิธีคิดหาลิมิตแบบตรงๆ ไดแตพบวาอยูในรูปแบบนิยามของอนุพันธพอดี ..ดังนั้นคําตอบคือ อนุพันธของ x nn 1ตอบ nx −2 3• ตัวอยาง ใหหาความชันของเสนสัมผัสโคง y = 2x − 3x + x ที่จุด (4, 24)dy2วิธีคิด 2 3(2x) (3x )dx = − + ดังนั้น dyx 4= 2− 24 + 48 = 26dx =2• ตัวอยาง ถา f(x) = (2x + 1)(3x − 2) ใหหาคา f(x) ′2 2วิธีคิด ใชสูตรดิฟผลคูณดังนี้ f(x) ′ = (2x + 1)(6x) + (3x − 2)(2) = 18x + 6x − 43/2• ตัวอยาง ถา f(x) = (2x + 1) ใหหาคา f(4) ′31/2วิธีคิด f(x) ′ = (2x + 1) ⋅ 2 = 3 2x + 12(การดิฟลูกโซ .. มอง 2x+1 เปนตัวแปรกอนหนึ่ง เมื่อดิฟแลวจะตองคูณกับดิฟของ 2x+1 ดวย)เพราะฉะนั้น f(4) ′ = 3 2(4) + 1 = 9• ตัวอยาง ถา22(1 − 3x )f(x) =21+3xใหหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) เทียบกับ x ขณะที่ x = 1วิธีคิด อัตราการเปลี่ยนแปลงที่กลาวถึงก็คือ f(x) ′ ... ขอนี้ใชสูตรดิฟผลหาร ปนกับดิฟลูกโซดังนี้2 2 2 2(1 + 3x ) ⋅ 2 (1 − 3x )( −6x) − (1 − 3x ) ⋅ (6x)f(x) ′ =22(1 + 3x )จากนั้นแทนคา x = 1จะได f(1) ′ = 4.5 ... จึงตอบวา อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) ขณะที่ x = 1 เทากับ 4.5อนุพันธ์อันดับสูงสมมติ f(x) = y =3 2dy 2x − 2x + x+ 5 ดังนั้น หาอนุพันธ์ได้เป็นdxหากเราหาอนุพันธ์ของ f(x) ′ ต่อไปอีก จะเรียกว่าเป็นอนุพันธ์ อันดับสูง (Higher Order)2dyเช่น อนุพันธ์อันดับสอง คือ f(x) ′′ = = 6x4 −dx2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)f(x) ′ = = 3x− 4x+1

คณิตศาสตร O-NET / A-NET311อนุพันธและการอินทิเกรตอนุพันธ์อันดับสาม คืออนุพันธ์อันดับสี่ คือdyf ′′′ (x) = = 63dx4(4) dyf (x) 04dx3= = ... ฯลฯdyการเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็น n ndxหรือ (n) f (x)แต่อันดับที่หนึ่ง สอง และสาม นิยมใช้เครื่องหมายขีด เป็น f ′(x), f ′′ (x), f ′′′ (x)ข้อสังเกต ตัวอย่างที่ยกมาเป็นพหุนามดีกรี 3 จะเห็นได้ว่า อนุพันธ์อันดับที่สี่ขึ้นไปล้วนมีค่าเป็น 03/2• ตัวอยาง ถา f(x) = (2x + 1) ใหหาคา f(4) ′′1/2 1/2วิธีคิด จาก f ′(x) = 3 (2x + 1) ⋅ 2 = 3 (2x + 1) (ดิฟลูกโซ)21 −3f(x) ′′ = 3( )(2x + 1) ⋅ =2 2x + 1จะได1/2เพราะฉะนั้น3f(4) ′′ = = 12(4) + 12 (ดิฟลูกโซอีกครั้งหนึ่ง)แบบฝึกหัด 15.2(12) จงหาค่า f(x) ′ เมื่อกําหนด f(x) ให้ดังนี้3 2 2(12.1) f(x) = 5(12.7)f (x) = (3x − 4x ) + (7x − 5)5 3(12.2) f(x) = x(12.8) f(x) = x − x −(12.3) f(x) = − 3x(12.9) f(x) = 1/x22(12.4) f(x) = − 3x(12.10) f(x) = 2/x2(12.5) f(x) = x + x(12.11) f(x) = 6 x2(12.6) f(x) = 3x − 5x+ 1(12.12) f(x) = 1/ 3x x(13) จงหาค่า f(x) ′ เมื่อกําหนด f(x) ให้ดังนี้2 3(13.1) f(x) = (6x + 4)(3x + 5)4 2(13.2) f(x) = (2x + 1)(x + x+1)(13.3)(13.4)f(x) =f(x) =24x + 7x+123x + 82x + 4x+73x−1(14) จงหาค่า f(x) ′ เมื่อกําหนด f(x) ให้ดังนี้2(14.1) f(x) = (x+3)3(14.2) f(x) = (x 2 + 1)2(14.3) f(x) = (x 3 − x 2 + 2x+1)4/5(14.4) f(x) = (1−4x)(15) ตรวจสอบคําตอบข้อ (2), (3.3), (3.4), (4.4), (6), (7), (8.2) โดยใช้สูตรในการหาอนุพันธ์Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET312อนุพันธและการอินทิเกรต(16) จงหาค่า f(x) ′ เมื่อกําหนด f(x) ให้ดังนี้(16.1) f(x) = (2x+ 3)(3x−4)(16.2)(16.3)(17) จงหาค่าของ(17.1)f(x) =1+3xf(x) =1 − 3x5 33(16.4) f(x) = (3x−5)dydx =x 14x − 10x + 6x−82x(17.2) f(1) ′ เมื่อ f(x) =222 3เมื่อ y = f(x) = (2x+ 1) (3x−2)32x − 2x+32 2 4(17.3) ความชันเส้นสัมผัสโค้ง ณ จุดที่ x= 1เมื่อ f(x) = x + 8(x − 3)2(17.4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) ณ จุดที่ x= 1เมื่อ = −f(x) x 1(18) ให้หาค่าอนุพันธ์อันดับสูง f(x),f ′′ ′′′(x)และ f (4) (x) ของฟังก์ชันต่อไปนี้4 3 2(18.1) f(x) = x + 3x + 5x −7x−35 4 3(18.2) f(x) = x + 3x − 4x + x−12(19) จงหาค่า f ( −3), f ′( −3), f ′′ ( − 3) เมื่อf(x) = x + x−32(20) หาค่า (f′′ + g ′′ )(1) เมื่อ f(x) = 2− x และ g(x) = (1−3x)(21) จงหา f (n) (x) เมื่อ f(x) = 1/x15.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีดความหมายของฟังก์ชันเพิ่มคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วย หรือกล่าวว่าความชันเป็นบวก ส่วนฟังก์ชันลดนั้น เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) กลับลดลง หรือกล่าวว่า ความชันเป็นลบนั่นเอง ดังนั้นเมื่อพิจารณาถึงอนุพันธ์ f(x) ′ ซึ่งเป็นค่าความชันของกราฟ จะได้กฎว่าช่วงที่ f(x) ′ > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ f(x) ′ < 0 เป็นฟังก์ชันลดและเนื่องจากตําแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่ม จะต้องมีการวกกลับของกราฟ ซึ่งทําให้เกิดจุดยอด (จุดสุดขีด; Extreme Point) ขึ้น สามารถหาโดย f(x) ′ = 0เราเรียกค่า x ณ ตําแหน่งที่ f(x) ′ = 0 ว่า ค่าวิกฤต (Critical Value)จุดสุดขีดมี 2 แบบคือจุดสูงสุดและจุดต่ําสุด ถ้าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม จะเกิดจุดต่ําสุด และถ้าความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด ก็จะเกิดจุดสูงสุดหมายเหตุ 1. f(x) ′ = 0 ไม่ได้เป็นจุดสูงสุดหรือต่ําสุดเสมอไป อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าเท่านั้นเราสามารถพิจารณาให้ละเอียดได้จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน หรือ f ′′ (x)หาก f(x) ′′ > 0 แสดงว่าความชันมากขึ้นเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากลบไปบวก) เกิดจุดต่ําสุดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET313อนุพันธและการอินทิเกรตหาก f(x) ′′ < 0 แสดงว่าความชันน้อยลงเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากบวกไปลบ) เกิดจุดสูงสุดหาก f(x) ′′ = 0 อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า หรือจุดสูงสุด หรือจุดต่ําสุดก็ได้2. เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดต่ําสุด (Maximum & Minimum) ของฟังก์ชัน ในการคํานวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง เช่น มีฟังก์ชันกําไร P(x) แล้วหาค่า x ที่ทําให้ได้กําไรมากที่สุดพิจารณากราฟต่อไปนี้ เพื่อทําความเข้าใจเรื่อง สัมพัทธ์ (Relative) และ สัมบูรณ์(Absolute) ฟังก์ชันหนึ่งๆ หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์(แปลว่าเทียบกับจุดข้างเคียง จึงมีได้หลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟังก์ชันมากที่สุดหรือน้อยที่สุดของกราฟแล้ว จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมบูรณ์ด้วยy(สูงสุดกับต่ําสุด มีได้อย่างละ 1 จุด)Cจุดสูงสุดสัมพัทธ์ได้แก่ จุด A, C, E Aจุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือจุด C เท่านั้น Bd eจุดต่ําสุดสัมพัทธ์ได้แก่ จุด B, D a b c Oxจุดต่ําสุดสัมบูรณ์ ไม่มีED• ตัวอยาง f(x) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งหารดวย x + 1 แลวเหลือเศษ 6 ... สัมผัสกับเสนตรง 12x + y + 7 = 0 ณ จุดตัดแกน y ... และมีคาวิกฤตคาหนึ่งเปน 1ก. ใหหาฟงกชัน f(x) นี้3 2วิธีคิด โดยทั่วไปพหุนามกําลังสาม ตองมีลักษณะเปน Ax + Bx + Cx + D ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ 4 ตัว เราจึงใชคําใบที่โจทยใหมา 4 อยาง ในการสรางระบบสมการเพื่อหาสัมประสิทธิ์ 4 ตัวนี้... จากทฤษฎีเศษเหลือ (ในเนื้อหาจํานวนจริง) จะไดวา f( − 1) = 6หรือ − A + B − C + D = 6 .....(1)ตัดแกน y ที่จุดเดียวกับ 12x + y + 7 = 0 คือจุด (0, − 7) จะไดวา f(0) = − 73 2หรือ A (0) + B (0) + C (0) + D = − 7 = D .....(2)มีความชันเทากับเสนตรง 12x + y + 7 = 0 ที่จุด (0, − 7) จะไดวา f(0) ′ = − 122หรือ 3A(0) + 2B(0) + C = − 12 = C .....(3)มีคาวิกฤตคาหนึ่งเปน 1 (คาวิกฤตคือคา x ณ จุดที่ความชันเปนศูนย) จะไดวา f(1) ′ = 0หรือ 3A+ 2B+ C = 0 .....(4)แกสี่สมการรวมกัน ไดผลเปน A = 2, B 33 2= ... ดังนั้นข. ฟงกชันนี้มีคาสูงสุดสัมพัทธ และคาต่ําสุดสัมพัทธเปนเทาใดวิธีคิด จาก3 2f(x) 2x 3x 12x 7หาก f(x) 0= + − − จะได22′ = จะไดเนื่องจาก f( − 2) = 13 และ f(1) = − 14f(x) = 2x + 3x − 12x − 7f ′(x) = 6x + 6x − 126x + 6x − 12 = 0 → x = − 2, 1ดังนั้นคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ 13 และคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ − 14ค. ฟงกชันนี้เปนฟงกชันลดในชวงใดบาง2วิธีคิด จาก f ′(x) = 6x + 6x − 12 คือความชัน และเราตองการความชันติดลบ2ก็คือ 6x + 6x − 12 < 0 → 6(x + 2)(x − 1) < 0 ... ไดคําตอบเปนชวงเปด ( − 2,1)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET314อนุพันธและการอินทิเกรต• ตัวอยาง ตองการสรางถังรูปทรงกระบอกเพื่อเก็บน้ํามัน ปริมาตร 16π ลูกบาศกเมตร โดยสิ้นเปลืองวัสดุกอสราง (รวมฝาบนและลาง) ใหนอยที่สุด ถังใบนี้จะตองมีรัศมีหนาตัดยาวเทาใดวิธีคิด ใหพื้นที่ผิวเปน A และใหความสูง h, รัศมีหนาตัด r2จะไดฟงกชัน A ในรูปของ h, r ดังนี้ ... A = 2πrh + 2( π r )ในขอนี้เราตองการหาคาต่ําสุดของ A (หาคา h, r ที่ทําใหคา A ต่ําที่สุด)2 2... เนื่องจากโจทยกําหนดปริมาตรคงที่ 16π = π r h → h = 16/r2 2 2 2จึงไดฟงกชัน A = 2πr(16/r ) + 2( πr ) = 32 π/r + 2πr = 2 π (16/r + r )dA2 2จากนั้น = 2 π ( − 16/r + 2r) = 0 → 2r = 16/rdr→ r = 2 แสดงวา A ที่ต่ําที่สุดเกิดเมื่อ r = 2 เมตร ตอบแบบฝึกหัด 15.3(22) จากกราฟในหน้าที่แล้ว ให้หาช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่เป็นฟังก์ชันลด(23) หาค่าสูงสุดและต่ําสุด ของฟังก์ชันต่อไปนี้2(23.1) f(x) = −x − x2(23.2) f(x) = x −x−1(23.3) f(x) = 3x+2(24) จงหาค่าสุดขีดทั้งหมด และระบุช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด สําหรับฟังก์ชันต่อไปนี้2(24.1) f(x) = x − 4x+53(24.2) f(x) = x − 3x3 2(24.3) f(x) = 2x + 3x −12x−7(24.4) f(x) =4 3 2x − 3x + 3x − x(24.5) f(x) =3x2(24.6) f(x) = x − 2x+ 1 ; x ∈ [ − 1,2](25) ให้หาค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และต่ําสุดสัมพัทธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยไม่ต้องวาดกราฟ2(25.1) f(x) = 3−x2(25.2) f(x) = x + 3x+43(25.3) f(x) = x − 3x+34 2(25.4) f(x) = x − 2x + 33 2(25.5) f(x) = x + x −8x−15 3(26) ให้เขียนกราฟและบอกค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ y = 2x − 30x2(27) วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง s = 3t − 2t+ 1 เมตร ในเวลา t วินาที จงหา(27.1) ความเร็ว v ของวัตถุ ขณะเริ่มต้น และขณะ t = 2 วินาทีMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)S e¾ièÁeµiÁ! S¡ÒÃËÒ¤ÒÊÙ§Êú µèíÒÊ ú ¢o§¿§¡ªa¹ ´ÇÂo¹u¾a¹¸ µÒ§¨Ò¡º·eÃÕÂ¹eÃ×èo§¡íÒË¹´¡ÒÃeª i§eÊ¹ µÃ§·ÕèÇÒ º·¹aé¹ÁÕµaÇæ»Ãµ¹ 2 µaÇ¤×o x æÅa y e»¹µaÇæ»Ãµ¹·aé§¤Ù æÅa x¡aº y ÁÕ¢o¨íÒ¡a´ÃÇÁ¡a¹ºÒ§oÂÒ§ (ã¹ÃÙ»oÊÁ¡ÒÃeÊ¹µÃ§) æµº·¹ÕéÁÕµaÇæ»Ãµ¹e»¹ x e¾ÕÂ§µaÇe´ÕÂÇ...1. µo§¡ÒÃËÒ¤Òã´µèíÒÊ ú ËÃ×oÊÙ§Êú ãËe¢ÕÂ¹¤Ò¹aé¹ã¹ÃÙ»¿§¡ªa¹¢o§¤Òo×è¹æ (¤×oãËe»¹ y) æÅaµo§ÁÕµaÇæ»Ãµ¹e¾ÕÂ§oÂÒ§e´ÕÂÇ eª¹Ò x e»¹µaÇæ»Ãµ¹ ¡çµo§·íÒµaÇæ»Ão×è¹æ ãËoÂÙ ã¹ÃÙ» x2. ËÒ¡ÁÕ¤ÒÇi¡ÄµËÅÒÂ¤Ò ãËe»ÃÕÂºe·ÕÂºÇÒ¤Òã´·Õè·íÒãËe¡í ¨ú µèíÒÊ ú ËÃ×oÊÙ§Êú á§·Õèµo§¡ÒÃ

คณิตศาสตร O-NET / A-NET315อนุพันธและการอินทิเกรต(27.2) ระยะทางที่ไกลที่สุดจากจุดเริ่มต้นที่วัตถุเคลื่อนที่ไปถึง (ก่อนจะวกกลับ)(28) จงหาจํานวนเต็มบวกสองจํานวนซึ่งรวมกันได้ 8 โดยที่ผลบวกของกําลังสามมีค่าน้อยที่สุด(29) ชาวสวนปลูกมะม่วง 22 ต้นต่อไร่ จะได้ต้นละ 500 ผล และเขาพบว่าหากปลูกเพิ่มอีกไร่ละต้นจะทําให้ผลลดลงต้นละ 10 ผล ดังนั้นแล้วเขาควรจะปลูกไร่ละกี่ต้นจึงจะได้ผลมากที่สุด(30) จากภาพ บริษัทก่อสร้างต้องการวางท่อจากจุด P ไปยัง Q ตามแนวPR และ RQ (โดยจุด R อยู่ที่ใดก็ได้บนเส้น TS) จงหาว่า R อยู่ที่ค่า xเป็นเท่าใด จึงสิ้นเปลืองค่าวางท่อน้อยที่สุด กําหนดให้ค่าก่อสร้าง (หน่วยเป็นล้านบาท) ระหว่าง P ถึง R เป็นสองเท่าของกําลังสองของระยะทางและระหว่าง R ถึง Q เป็นสามเท่าของกําลังสองของระยะทางSRxQ(31) สามเหลี่ยมมุมฉากยาวด้านละ 90, 120, 150 หน่วย ให้หาว่าจะบรรจุสี่เหลี่ยมมุมฉากลงไปภายในสามเหลี่ยมนี้ (ให้มีมุมฉากร่วมกันดังภาพ) ได้พื้นที่มากที่สุดเท่าใด(32) ให้คํานวณค่าต่างๆ เมื่อต้องการทําให้เกิดค่ามากที่สุด ในแต่ละรูปต่อไปนี้(32.1) พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากมากที่สุด (32.4) ปริมาตรกล่องมากที่สุดที่พับได้บรรจุในสามเหลี่ยมมุมฉาก ใช้มุมฉากร่วมกัน เมื่อตัดมุมกระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกกว้างยาว = ________x = _________พื้นที่ = ___________x xaaP3 km T 4 km5 kmb(32.2) พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากมากที่สุดบรรจุในวงกลมขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง dกว้างยาว = _______พื้นที่ = __________da(32.5) ปริมาตรกรวยกลม มากที่สุดบรรจุในทรงกลมรัศมี rความสูงกรวย = ________หากเป็นครึ่งวงกลม จะได้พื้นที่ = _________(32.3) พื้นที่สี่เหลี่ยมมุมฉากมากที่สุดบรรจุในพาราโบลา โดยวางด้านหนึ่งบนโฟกัสBF = _______(32.6) ปริมาตรทรงกระบอกมากที่สุดบรรจุในกรวยกลมตรง สูง Hความสูงทรงกระบอก = _________V BFMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET316โจทย์ทบทวนเรื่องอนุพันธ์อนุพันธและการอินทิเกรต(33) [Ent’38] กําหนดให้x = 1 เท่ากับเท่าใดf(x) =3x+12x−12และ g(x) = 3x + 1 อนุพันธ์ของ [f (x) + g (x)] ที่2(34) [Ent’38] สมการเส้นสัมผัสโค้ง y =3x + 2 ที่จุดซึ่ง x = 5 เป็นสมการใด(35) [Ent’39] กําหนดให้f(0) ′ = 4 และ f(0) 8f(x) =2x−ax+b′′ = − แล้ว ค่าของ f(0) เป็นเท่าใดโดยที่ a และ b เป็นจํานวนจริงซึ่งไม่ใช่ศูนย์ ถ้า3 2(36) [Ent’38] กําหนดให้ f(x) = x + bx + cx เมื่อ b, c เป็นจํานวนจริง ถ้า x = − 2 เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน f และ f(1) ′′ − = 6 แล้ว ข้อใดถูกก. f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ข. f เป็นฟังก์ชันลดค. x = − 2 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ง. x = − 1 ให้ค่าต่ําสุดสัมพัทธ์3 2(37) [Ent’40] กําหนดให้ f(x) = ax + bx + cx+ d มี x− 1เป็นตัวประกอบหนึ่ง และ f(0) 0f(0) ′ = 2, f(0) ′′ + f ′′′ (0) = 1ดังนั้น f(2) มีค่าเท่ากับเท่าใด= ,2(38) [Ent’37] ให้ f(x) = 3x− 10 และ h(x) = (f g)(x) = ax + bx+c ถ้า h(0) = 1 และ h มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = − 2 คือ 5 แล้วค่า g(1) เป็นเท่าใด(39) [Ent’41] กําหนดให้23(x −1)f(x) = โดยที่ g (2) f ′(2) 3g(x)= = แล้ว จงหา g(2)2(40) [Ent’40] กําหนดให้ f (x) = (3x + 5x) g (x) ถ้า g เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 5 ที่จุดซึ่ง x = 1 แล้ว f(1) ′ มีค่าเท่าใด(41) [Ent’39] กําหนดให้ g(x) เป็นพนุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และ2f(x) = (x− 1) g(x) ถ้า x− 2หาร f(x) เหลือเศษ 3 และ x− 2หาร f(x) ′ เหลือเศษ 4 แล้วค่าของ g(2) ′ เป็นเท่าใด(42) [Ent’36] ให้ f(x) = x + x แล้ว จงหาเซตของจํานวนจริง x ซึ่งทําให้ f(x) ′ > 32/3 2(43) [Ent’39] กําหนดให้ f(x) = x (x − 16) จงหาเซต A = { x ∈ R | f ′(x) > 0 }(44) [Ent’41] ถ้า f(x) = x+ 1, g(x) = x และ F(x) = (f g)(x) เมื่อ x1> 1 แล้ว (F )′ (2) มีค่าเท่ากับเท่าใด(45) [Ent’39] สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านทั้งสามยาว 3, 4, 5 นิ้ว ตามลําดับ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่มากที่สุดที่สามารถบรรจุลงในสามเหลี่ยมนี้ได้ จะมีพื้นที่กี่ตารางนิ้ว(46) [Ent’38] สินค้าชนิดหนึ่งขายราคาชิ้นละ 24 บาท ต้นทุนในการผลิต x ชิ้นเท่ากับ3/216 6x 0.2x+ + บาท ถ้า N เป็นจํานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตเพื่อให้ได้กําไรสูงสุดแล้ว ข้อใดเป็นจริงก. 1 < N < 2000ข. 2000 < N < 4000< ง. 6000 < N < 8000ค. 4000 N < 6000Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)′

คณิตศาสตร O-NET / A-NET31715.4 สูตรในการอินทิเกรตอนุพันธและการอินทิเกรตการกระทําที่ตรงข้ามกับกระบวนการหาอนุพันธ์ เราเรียกว่า การอินทิเกรต (Integration)= แล้ว (การหาอนุพันธ์)นั่นคือ ถ้า d F (x) f (x)dxจะได้ว่า f (x) dx = F (x)∫ (การอินทิเกรต)สัญลักษณ์ ∫ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล และเรียก f(x) ว่า ตัวถูกอินทิเกรต (Integrand)สิ่งที่หาอนุพันธ์ได้ตรงตามค่าที่ต้องการ จะเรียกว่า ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) ทั้งหมด2222ตัวอย่างเช่น F(x) 1 = x , F(x) 2 = x + 1, F(x) 3 = x + 5, F(x) 4 = x − 7ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = 2x เนื่องจากล้วนทําให้ d F(x) = f(x)เราพบว่า รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = 2x คือ x2 + c เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆเรียก “รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์” นี้ว่า อินทิกรัลไม่จํากัดเขต (Indefinite Integral) ของ f(x)2และเขียนสัญลักษณ์เป็น ∫ f (x) dx ดังนั้นอินทิกรัลไม่จํากัดเขต ∫ f (x) dx = x + c นั่นเองข้อสังเกตปฏิยานุพันธ์มีได้หลากหลาย แต่อินทิกรัลไม่จํากัดเขตมีแบบเดียวเสมอบางตําราใช้คําว่า ปริพันธ์ แทนคําว่าอินทิกรัลสูตรในการหาอินทิกรัล1. สูตรทั่วไปn+1n x• ∫ x dx = + cn+1∫∫dx• kdx = kx+c• kf(x)dx = k f(x)dx2. การบวกลบฟังก์ชัน• ∫[ f (x) ± g (x)]dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx• การคูณและหาร ไม่มีสูตร3. ฟังก์ชันประกอบ อาศัยเทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร(เทคนิคการอินทิเกรตเป็นเรื่องที่เกินหลักสูตร จึงได้อธิบายไว้ในหน้าแถม ท้ายบทนี้)• ตัวอยางเชน∫4 3 13 2 x 2x 3x∫ (x − 2x + 3) dx = − + + C4 3 14 3 2 13 2 4t 3t 2t 1t4 3 2(4t − 3t + 2t − 1) dt = − + − + C = t − t + t − t + C4 3 2 13 2 2 1 −12x + 3x + 4 −2 2x 3x 4x 2 4( ) dx = (2x + 3+ 4x ) dx = + + + C = x + 3x + + C2x2 1 −1 x2 3 26(x+ 2)(x− 1)dx = (6x − 6x+ 12)dx = 2x− 3x+ 12x+C∫ ∫∫ ∫หมายเหตุ สูตรn+1n x∫ x dx = + c ใช้ได้เมื่อ n 1n+1≠ − เท่านั้น−1ส่วน ∫ (x ) dx จะไม่มีในหลักสูตร ม.ปลาย ... (ผลลัพธ์ที่ได้เป็น ln x CMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)∫+ )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET318อนุพันธและการอินทิเกรต• ตัวอยาง ถา F(x)3−2 − x′ = และ F( 1) 1x3 2วิธีคิด F(x) 2x − −′ = − − x จะอินทิเกรตไดโจทยใหคา F( − 1) = 1 จึงหาคา C ได ...2... ดังนั้นตอบ21 1F (x) = + + 1x x− = จะไดฟงกชัน F(x) เปนอยางไร−2 −1−2x x 1 1F(x) = − + C = + + C2−2 −1 x x1 1C 1 C 1(1) −+ (1) −+ = → =แบบฝึกหัด 15.4(47) จงหาค่า F(x) ที่ทําให้ F ′(x) = f (x) เมื่อกําหนดให้(47.1) f(x) = x(47.5) f(x) =3x(47.2) f(x) = 2x(47.6) f(x) = x x(47.3) f(x) = 75(47.7) f(x) = 1/ x(47.4) f(x) =23x(48) ให้หาค่า ∫ f (x) dx เมื่อกําหนดให้4 23(48.1) f(x) = 5x + 3x − 2(48.4)f(x) = x −33x+ 4f(x) =x−2x1(48.2) f(x) = 2x − (48.5)23x22(48.3) f(x) = x (x− 3)(48.6)f(x) = (4x + 1)(x − 1)2(49) f(x) = 3x − 3 และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f หาก F(0) = 4 แล้ว จงหาค่า F(1)dy 4 2(50) [Ent’41] ถ้า = 5x + 3x − 4x และ − y(1) = y( − 1) แล้วจงหาค่าของ y(0)dx(51) โค้ง C มีความชันที่จุดใดๆ เป็น x 2 + 2x− 3 จงหาสมการโค้งนั้น ถ้าโค้งผ่านจุด (0, 1)(52) [Ent’ต.ค.43] ถ้าเส้นโค้ง y = f (x) ผ่านจุด (0, 1) และ (4, c) เมื่อ c เป็นจํานวนจริง และความชันของเส้นโค้งนี้ที่จุด (x, y) ใดๆ มีค่าเท่ากับ x − 1 แล้ว c มีค่าเท่าใด(53) [Ent’40] ถ้าเส้นโค้ง y = f (x) มีอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันที่จุด (x, y) ใดๆ บนโค้งเป็น 2x− 1 และเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1, 2) ตั้งฉากกับเส้นตรง x+ 2y− 1= 0แล้ว ความชันของโค้งนี้ที่จุดซึ่ง x = 0 เท่ากับเท่าใด(54) [Ent’30] จุดตัดระหว่างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 1) รัศมี 2 หน่วย กับเส้นโค้งที่ผ่านจุด (3, 10) และมีความชันที่จุด (x, y) ใดๆ เป็น 2x จะอยู่ในจตุภาคใด(55) [Ent’ต.ค.41] กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f(2) = − 1, f(1) ′ = − 3, และ f ′′ (x) = 3 ทุกๆ ค่าx แล้ว f(0) มีค่าเท่าใด(56) ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง a ฟุตต่อวินาที2 โดย2a 12t 6t 10= + + หากเมื่อเวลาเริ่มต้นพบว่าระยะทางเป็น 10 ฟุต และความเร็วเป็นศูนย์ จงหาระยะทางเมื่อเวลาผ่านไป 5 วินาทีMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET319อนุพันธและการอินทิเกรต2(57) [Ent’40] ถ้าวัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร่งขณะเวลา t ใดๆ เป็น 24t เมตร/วินาที2 และขณะเวลาเป็น t = 1 วินาที มีความเร็ว 16 เมตร/วินาที และเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 8 เมตร แล้วเมื่อเวลา t = 2 วินาที วัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่าไร(58) [Ent’28] ถ้ากําลังคนของบริษัทแห่งหนึ่งที่มีในปัจจุบันทําให้ได้ผลผลิต 3,000 ชิ้นต่อวัน และเมื่อคนเพิ่ม x คน จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต 80 − 6 x ชิ้นต่อวัน ถามว่าเมื่อเพิ่มคน 25คน บริษัทแห่งนี้จะได้ผลผลิตกี่ชิ้นต่อวัน15.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้งอินทิกรัลจํากัดเขต (Definite Integral) จะมีการระบุช่วงของ x ที่เครื่องหมายอินทิกรัลbbbดังสัญลักษณ์ ∫ f(x)dx โดยมีค่าเป็น ∫ f (x) dx = F (x) = F (b) −F (a)aa2• ตัวอยาง กําหนดให f(x) = x − 1 จะไดวิธีคิดa3∫ f(x)dx มีคาเทากับเทาใด033 3⎡x⎤∫ f(x)dx = ⎢ − x + C ⎥ = (6 + C) − (C) = 6 ... ตอบ0⎣ 3 ⎦ 0(ขอสังเกตคือ การอินทิเกรตแบบจํากัดเขตไมตองเขียน + C ก็ได เพราะจะลบกันหมดเสมอ)2• ตัวอยาง กําหนดฟงกชัน f(x) = x − 4x ใหหาคา a ที่ทําใหวิธีคิด จากดังนั้น32a3−a∫a∫af(x)dx = 18-a3a3 32 a 2 a 232a⎡x⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞f (x) dx = ⎢ − 2x ⎥ = ⎜ − 2a ⎟ − ⎜− − 2a ⎟ =⎣ 3 ⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3x=−a3= 18 → a = 27 → a = 3 ... ตอบค่าของอินทิกรัลจํากัดเขตที่คํานวณได้ ก็คือพื้นที่ระหว่างโค้ง f(x) กับแกน xตั้งแต่ x = a จนถึง b โดยหากส่วนใดของโค้งนั้นอยู่ใต้แกนก็จะได้ผลเป็นค่าติดลบหากเราต้องการหาพื้นที่ระหว่างโค้ง f(x) กับแกน x ที่แท้จริง จะต้องตรวจสอบว่ามีช่วงใดของโค้งที่อยู่ใต้แกน x ก่อน เพื่อแยกชิ้นส่วนในการคํานวณ ไม่ให้พื้นที่บริเวณใดมีค่าติดลบ32... เช่นในตัวอย่างที่แล้ว f(x) = x − 4x พบว่า ∫ f(x)dx = 18 แต่เนื่องจากจุดตัดแกน x คือ 0−3กับ 4, ซึ่ง 0 อยู่ภายในช่วง ( − 3,3) แสดงว่าพื้นที่ไม่น่าจะเป็น 18 ตารางหน่วยและจากกราฟที่สมมติขึ้นนี้ จะคํานวณได้ค่า4∫ f(x)dx = −2และหากคํานวณพร้อมกันจะได้31∫3f(x)dx = 54∫ f(x)dx = 3 ซึ่งถ้าต้องการหาพื้นที่ที่แรเงาที่แท้จริงจะต้องคิด1จาก 5 2 7+ = ตารางหน่วย (คืออินทิเกรตทีละชิ้นส่วน ซึ่งจะมีบางส่วนที่ได้ค่าติดลบ แต่ให้คิดขนาดพื้นที่เป็นค่าบวกเสมอ)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)f(x)O 1 35 ตร.หน่วย42 ตร.หน่วยx

คณิตศาสตร O-NET / A-NET320อนุพันธและการอินทิเกรต2• ตัวอยาง จากตัวอยางที่แลว f(x) = x − 1พื้นที่ที่ปดลอมดวยเสนโคง y = f(x) และแกน x ในชวง x = 0 ถึง x = 3 มีขนาดเทาใด3วิธีคิด ถึงแม ∫ f(x)dx = 6 แตพื้นที่ปดลอมในชวง x = 0 ถึง x = 3 อาจไมเทากับ 60เราตองตรวจสอบวามีจุดตัดแกน x อยูภายในชวง (0, 3) หรือไม2หาจุดตัดแกน x จาก f(x) = x − 1 = 0 → x = 1, − 1 (มีสองจุด แตเราสนใจที่ x 1จึงทราบวาในชวง (0, 1) กับชวง (1, 3) นั้น กราฟชวงหนึ่งอยูเหนือแกน อีกชวงอยูใตแกน(ตองการทราบวาชวงใดเหนือแกน ชวงใดใตแกน ทําไดโดยลองหาคา f(x) บริเวณนั้น)ฉะนั้น อินทิเกรตแยกชิ้น ...1∫ f(x)dx = −2/3(คาที่ไดติดลบ บงบอกวากราฟอยูใตแกน)03และ ∫ f(x)dx = 20/3 (กราฟสวนนี้ตองอยูเหนือแกน)1... พื้นที่ที่ไดคือ 2/3 + 20/3 = 22/3 ตารางหนวย ... ตอบหมายเหตุ 1. ถ้ากราฟไม่มีจุดตัดแกน x ภายในช่วง (0, 3) จะตอบ 6 ตารางหน่วยได้ทันที1 332. เนื่องจาก ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx จะต้องมีค่าเท่ากับ ∫ f(x)dx พอดี..0 103∫ f(x)dx = 6 ไว้แล้ว และคํานวณ003ดังนั้นถ้าบังเอิญเราคํานวณเราก็จะทราบว่า∫ f(x)dx = 20/3 โดยไม่ต้องแทนค่าอินทิเกรตอีกครั้ง1⎧ x − 3,x > 2f(x) = ⎨⎩ − 1 ,x < 26• ตัวอยาง กําหนดใหหา ∫ f(x)dx0วิธีคิด วิธีแรก อินทิเกรตทีละชวงโดยตรง2 2 2∫ f(x)dx = ∫ (1)dx − = [x] − = (2) − − (0) = −20 006 6 62และ ∫ f(x)dx = ∫ (x − 3)dx = [x /2 − 3x] = (0) − ( − 4) = 42 226 2 6ดังนั้น ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = − 2 + 4 = 2 ... ตอบ0 0 2∫1f(x)dx = −2/3วิธีคิด วิธีที่สอง คิดจากพื้นที่ในกราฟ (เนื่องจากเห็นวาเปนสมการเสนตรง)กราฟตัดแกน x ที่ x = 3 และมีลักษณะดังรูปyพื้นที่ชิ้นลาง (สี่เหลี่ยมคางหมู) 2.5 ตารางหนวย4.5 ตร.หน่วยพื้นที่ชิ้นบน (สามเหลี่ยม) 4.5 ตารางหนวย3(คํานวณจากสูตรพื้นที่ตามปกติ)O 2 36x6ดังนั้น ∫ f(x)dx = − 2.5 + 4.5 = 2 ... ตอบ -102.5 ตร.หน่วย(โจทยไมไดถามพื้นที่ แตถามคาอินทิเกรต ดังนั้นชิ้นสวนที่อยูใตแกนจะตองติดลบแตถาโจทยถามพื้นที่ คําตอบจะกลายเปน 2.5 + 4.5 = 7 ตารางหนวย)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)= )

คณิตศาสตร O-NET / A-NET321แบบฝึกหัด 15.5อนุพันธและการอินทิเกรต(59) จงหาค่าของ42(59.1) ∫ (3−x) dx(59.2) ∫ (2x −1) dx0−2(59.3) พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = 3− x กับแกน x ในช่วง x = 0 ถึง 4(59.4) พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y = 2x− 1 กับแกน x ในช่วง x = − 2 ถึง 2(60) จงหาค่าของ(60.1)22∫ (3x −2x) dx(60.3)−133∫ (x −4x) dx−12(64) [Ent’ต.ค.42] ให้ f(x) = x − c โดย c เป็นค่าคงตัวซึ่ง c > 4 ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f(x) จาก x = − 2 ถึง x = 1 เท่ากับ 24 ตารางหน่วย แล้ว c มีค่าเท่าใด(65) กําหนดให้ yf(x) มีกราฟเป็นครึ่งวงกลมดังภาพ (2,7) (8,7)−1∫42(6+ x −x ) dx(60.2)(60.4) พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y =23x − 2x กับแกน x ในช่วง x 1= − ถึง 2(60.5) พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y =3x − 4x กับแกน x ในช่วง x = − 1 ถึง 3(60.6) พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y2= 6+ x− x กับแกน x ในช่วง x = − 1 ถึง 42(61) จงหาพื้นที่ที่ล้อมด้วยโค้ง f(x) = x − 1 กับแกน x ในช่วงที่กําหนดให้ต่อไปนี้(61.1) ในช่วง x = 1 ถึง 2(61.2) ในช่วง x = − 1 ถึง 1(61.3) ในช่วง x = − 2 ถึง 0(62) [Ent’40] ค่าของ2 41⎛x + 1⎞2∫ ⎜12 ⎟ dx + ∫ (4 − x) dx เท่ากับเท่าใด0⎝x⎠(63) [Ent’ต.ค.41] พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y =2x − 3x+ 2 จาก x = 0 ถึง x = 2 เฉพาะส่วนที่อยู่เหนือแกน x เท่ากับเท่าใดจงหาค่า5∫8f(x)dx(66) [Ent’39] กําหนดฟังก์ชัน y = f(x) มีกราฟเป็นเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด ( − 1,0) และผ่านจุด (3, 6) แล้วค่าของ13∫ f(x)dx เท่ากับเท่าใด−x(67) f(x) เป็นกราฟเส้นตรงที่ผ่านจุด (3, 5) และ ( − 2,2) จงหาค่า3∫−2f(x)dx(68) [Ent’มี.ค.42] ถ้า θ ∈R และ1∫ (4x − 3) dx = 0 แล้ว ค่า cos 2θ เป็นเท่าใดsin θ(69) [Ent’40] ถ้าsin θ2 2∫ x dx = − แล้ว 1+ sin θ + cos13θ เท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET322อนุพันธและการอินทิเกรต(70) [Ent’39] ถ้า ∫ (f g)(x) dx =2x + 5x+c โดยที่ c เป็นค่าคงตัว และ f(x) = 4x− 3 แล้วค่า1ของ ∫ g(x) dx เป็นเท่าใด02(71) [Ent’41] ให้ b, c เป็นจํานวนจริง ถ้าเส้นโค้ง y = x + bx+ c มีจุด ( −1, − 4) เป็นจุดต่ําสุดสัมพัทธ์แล้ว จงหาพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้งนี้และแกน x จาก x = − 1 ถึง x = 1(1) 7 (2.1) 4x+3(2.2) 19 (3.1) 2x1+ h(3.2) 23 (3.3) 2x 1(3.4) 20 (4.1) –1/20(4.2) –1/18 (4.3)1−16.04(4.4) –1/16(5) 76 3π ลบ.หน่วย ต่อหน่วย(6.1) 10 ตร.ซม. ต่อ ซม.(6.2) 20π ตร.นิ้ว ต่อนิ้ว(7.1) 2 π rH (7.2) 1π 2r3 3(8.1) –2.3 ลบ.ม. ต่อนาที(8.2) –2.2 ลบ.ม. ต่อนาที(9.1) 4x, 8 (9.2) 2x–2, 2(9.3) 0, 0 (9.4) 0, 0(10.1) –7 (10.2) y = − 7x+8(11) y = 3x+ 2 (12.1) 0(12.2) 1 (12.3) –3(12.4) –6x (12.5) 2x+12(12.6) 6x− 5 (12.7) 9x + 6x4 4(12.8) 5x + 3x −2(12.9) − 1/ x3(12.10) − 4/x (12.11) 3/ x2(12.12) − 1/2x x4 2(13.1) 90x + 36x + 60x5 4 3(13.2) 12x + 10x + 8x + 2x+1(13.3)(13.4)2− 21x + 58x+562 2(3x + 8)23x −2x−252(3x−1)เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(14.4)−165 5 1−4x(16.1) 12x+12(16.2)3 86x −5− + x2 x3(15) ...2(16.3) 6/(1−3x)2(16.4) 9(3x− 5) (17.1) 93(17.2) 0 (17.3) –186.67(17.4) หาค่าไม่ได้2(18.1) 12x + 18x+ 10, 24x 18+ ,+ − ,24 (18.2)3 220x 36x 24x260x + 72x− 24 , 120x+72(19) 3, –5, 2 (20)(21)n(1) − ⋅ n!n 1x +317 4(22) เพิ่ม ( −∞,a) ∪ (b,c) ∪ (d,e)และลด (a, b) ∪ (c, d) ∪ (e, ∞ )(23.1) สูงสุด 1/4 ต่ําสุดหาค่าไม่ได้(23.2) สูงสุดหาค่าไม่ได้ ต่ําสุด -5/4(23.3) สูงสุดและต่ําสุดหาค่าไม่ได้(24.1) ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ 1สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มี สูงสุดสัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ ฟังก์ชันลด ( −∞ ,2)ฟังก์ชันเพิ่ม (2, ∞ )(24.2) ต่ําสุดสัมพัทธ์ –2 ต่ําสุดสัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ สูงสุดสัมพัทธ์ 2สูงสุดสัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ฟังก์ชันลด ( − 1,1) ฟังก์ชันเพิ่ม( −∞, −1) ∪ (1, ∞ )(24.3) ต่ําสุดสัมพัทธ์ –14 ต่ําสุดสัมบูรณ์หาค่าไม่ได้ สูงสุดสัมพัทธ์13 สูงสุดสัมบูรณ์หาค่าไม่ได้2 2(14.1) 2x+ 6 (14.2) 6x (x + 1)3 2 2(14.3) 2(x − x + 2x + 1)(3x − 2x + 2) ฟังก์ชันลด ( − 2,1) ฟังก์ชันเพิ่ม( −∞, −2) ∪ (1, ∞ )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)(24.6) ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ 0 สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มีสูงสุดสัมบูรณ์ 4 ฟังก์ชันลด(1,1) − ฟังก์ชันเพิ่ม (1, 2)(25.1) สูงสุด 3 เมื่อ x = 0(25.2) ต่ําสุด 7 เมื่อ 3x = −4(25.3) ต่ําสุด 1 เมื่อ x = 1และสูงสุด 5 เมื่อ x = − 1(25.4) ต่ําสุด 2 เมื่อ x = 1, − 1และสูงสุด 3 เมื่อ x = 0(25.5) ต่ําสุด –203/27เมื่อ x = 4 / 3และสูงสุด 11 เมื่อ x = − 2(26) ต่ําสุด –324 เมื่อ x = 3และสูงสุด 324 เมื่อ x = − 3โดยมีจุดเปลี่ยนเว้าที่ (0, 0)(27.1) -2 เมตร/วินาทีและ 10 เมตร/วินาทีเมตร (28) 4, 4(27.2) 2 3(29) 36 ต้น (30) 3 กม.(31) 2,700 ตร.หน่วย(32.1) a ,b และ ab 2 2 4(32.2) d ,d และ2 22dและ d22 4(32.4) a/6 (32.5) 4r/3(32.6) H/3 (33) –7/2(32.3) 2 VF3(34) 10x− 27y+ 31 = 0(35) –2 (36) ก. (37) 1(38) 2 (39) 11 (40) 55(41) –2 (42)1(0, ]162

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(43) ( −2,0) ∪ (2, ∞ ) (44) 2 (45) 3(46) ข. (47.1) x 2 / 2 + c (47.2) x2 + c(47.3) 7x+ c (47.4) x3 + c (47.5) 45/2(47.6) 2x /5 + c (47.7) −4+(48.1) x 5 + x 3 − 2x+ c (48.2) 2 + +x / 4 + c1/ 4x cx 1/x cx(48.3) 4 3x c4 − + (48.4) x 4 321 1(48.5) − + + c (48.6)2x(49) 2 (50) 2 (51)x+ + 4x + c4 2x3 24 4x xx − + − x + c3 23x 2y = + x − 3x+13(52) 7/3 (53) 2(54) จุด ( ± 1,2) →จตุภาคที่ 1 และ 2 (55) 5(56) 885 ฟุต (57) 46 เมตร (58) 4,500323อนุพันธและการอินทิเกรต(59.1) 4 (59.2) –4(59.3) 4.5 + 0.5 = 5 ตร.หน่วย(59.4) 6.25 + 2.25 = 8.5 ตร.หน่วย(60.1) 6 (60.2) 4 (60.3) 95/64 4 8(60.4) + + = ตร.หน่วย2 4 627 27 27(60.5) 1 3 + 4 + 6 1 = 12 ตร.หน่วย4 4(60.6) 112 17 21.56 6+ = ตร.หน่วย(61) 4/3, 4/3, 2 ตร.หน่วย (62) 14(63) 5 (64) 9 (65) 9π−621 ≈ 7.074(66) พท. ได้ 12 (67) พท. ได้ 17.5(68) –1 หรือ 1/2 (69) 0 (70) 2.25(71) 16/3เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)Δ(1) y f(5) − f(3) 21 −= = 7 = 7Δx 5 − 3 2Δ y f(x + h) − f(x)(2.1) lim = limΔx→0 Δxh→0h2 2⎡2(x + h) + 3(x + h) −4⎤− ⎡⎣2x + 3x −4⎤⎦= lim⎣⎦h→0h24xh + 2h + 3h= lim = lim(4x + 2h + 3)h→0 hh→0= 4x + 3Δ y f(2 + h) − f(2)(2.2) lim = limΔx→0 Δxh→0h2 2⎡3(2 + h) + 7(2 + h) + 1⎤− ⎡3(2) + 7(2) + 1⎤= lim⎣ ⎦ ⎣ ⎦h→0h212h + 3h + 7h= lim = lim(19 + 3h) = 19h→0 hh→0[หรือคิดเป็น x ก่อน แล้วแทนค่า x ด้วย 2 ก็ได้]Δ y f(x1 + h) − f(x) 1(3.1) =Δxh2 2(x1 + h) −(x 1)= = 2x1+ hhΔy(3.2) แทน 1x = 10,h = 3 → = 23ΔxΔ ylim = lim(2x + h) = 2xΔ x → 0 Δxh → 0Δyx = 10 → lim = 20Δ → Δx1 1−5 4 1=−5 − 4 20(3.3) 1 1(3.4) แทน 1x 0(4.1)1 1−1(4.2) 4.5 4 =−4.5 − 4 181 1−1(4.3) 4.01 4 =−4.01 − 4 16.041(4.4) ดูแนวโน้มจากข้อ 4.1 ถึง 4.3 จะได้ −16⎡ 1 1⎤⎢−หรือคํานวณจาก lim 4 + h 4⎥⎢ ⎥ ก็ได้h→0 ⎣ h ⎦3(5) 4 ΔV rv V(3) −= π → =V(2)3 Δr 3 − 24 3 4 3 76= π3 − π2= π ลบ.หน่วย/หน่วย3 3 32 22 Δ A (5+ h) −5(6.1) A = x → lim = limΔx→0 Δxh→0h210h + h= lim = 10 ตร.ซม./ซม.h→0 h2(6.2) A = π r2 2ΔAπ(10 + h) −π(10)→ lim = limΔr→0 Δrh→0h2π(20h + h )= lim = 20π ตร.นิ้ว/นิ้วh→0 h1 2(7.1) V = π r H31 2 1 2π(r + h) H − πr HΔV→ lim = lim 3 3Δr→0 Δrh→0hMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET324อนุพันธและการอินทิเกรต12π (2rh + h ) H32= lim= π rHh→0 h 31 2 1 2πr(H+ h) − πrHΔV (7.2) lim = lim 3 3ΔH→0 ΔHh→0h1 2= π r3Δ Q Q(t + h) − Q(t)(8.1) =Δth2 2⎛ t + h⎞ t12⎛12⎞⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟=⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠h12 t h=− + +5 50 100∴ ที่ t 0ΔQ 12 0 10→ = − + + = −2.3Δt 5 50 100ΔQ ⎛ 12 t h ⎞(8.2) lim = lim ⎜− + + ⎟Δt→0 Δt h→0⎝ 5 50 100⎠12 t=− +5 50= ถึง 10 นาที จะได้∴ ที่ t 10ΔQ 12 10→ lim = − + = −2.2Δt→0Δt 5 50(9.1)= นาที จะได้2 2dy 2(x + h) − 2x= limdx h→0 h24xh + 2h dy= lim = 4x → = 8h→0 hdx(9.2)dydx=limh→02x=2ลบ.ม./นาทีลบ.ม./นาที[(x + h) 2 − 2(x + h) + 4] −[ x 2− 2x + 4]2xh + h − 2h= lim = 2x − 2h→0 hdyและ = 2dx x=2dy 3 − 3(9.3) = lim = lim 0 = 0dx h→0 h h→0dyและเพราะไม่มี x ใน f(x) เลยดังนั้นdx =(9.4)hx 2= 0dy 2−3t − 2−3t= lim = lim 0 = 0dx h→0 hh→0dy= 0dx x=2และเพราะไม่มี x ใน f(x) เลยดังนั้น(10.1)dy=dxh→02 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤(x h) 2(x h) x 2xlim⎣ + − + ⎦−⎣ − ⎦hh + 4xh − 2h= lim = 1 − 4xh→0 hเป็นความชัน ณ x ใดๆดังนั้น ความชันที่จุด (2,-6) เท่ากับ2dydx =x 2=− 7(10.2) y − y1 = m(x − x 1)→ y + 6 =−7(x −2) → y =− 7x + 8(11)3 3dy (x + h) − x= limdx h→0 h2 2 33x h + 3xh + h= limh→0 h= 3xdy= 3ความชันหาจากdx x=−1สมการเส้นสัมผัสคือy + 1 = 3(x + 1) → y = 3x + 2(12.1) f(x) ′ = 00(12.2) f(x) ′ = 1x = 10(12.3) f(x) ′ = − 3x = − 3(12.4) f(x) ′ =− 6x(12.5) f(x) ′ = 2x + 1(12.6) f(x) ′ = 6x − 52 2(12.7) f(x) ′ = 9x − 8x + 14x = 9x + 6x4 4(12.8) f(x) ′ = 5x + 3x −−1 −2(12.9) f(x) x f ′(x) x212= → = − = −x−2 −3(12.10) f(x) 2x f ′(x) 4x(12.11)(12.12)=−122x43= → =− =−x1 1− 32 2f(x) = 6x → f ′(x) = 3x =3 5−−2 21 1f(x) = x → f ′(x) = − x3 2x2 2 3(13.1) f(x) ′ = (6x + 4)(9x ) + (3x + 5)(12x)4 2= 90x + 36x + 60x4 2 3(13.2) f(x) ′ = (2x + 1)(2x + 1) + (x + x + 1)(8x )5 4 3= 12x + 10x + 8x + 2x + 1(13.3)22 2(3x + 8)(8x + 7) − (4x + 7x + 1)(6x)f(x) ′ =2 2(3x + 8)− 21x + 58x + 56=2 2(3x + 8)(13.4)2(3x − 1)(2x + 4) − (x + 4x + 7)(3)f(x) ′ =2(3x − 1)3x − 2x − 25=2(3x − 1)(14.1) f(x) ′ = 2(x + 3)(1) = 2x + 62 2 2 2(14.2) f(x) ′ = 3(x + 1)(2x) = 6x(x + 1)3 2 2(14.3) f(x) ′ = 2(x − x + 2x + 1)(3x − 2x + 2)(14.4)41−5−16555 1 − 4xf(x) ′ = (1 − 4x) ( − 4) =2xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET325อนุพันธและการอินทิเกรต(15) ..(2.1) dy 4x 3dx = +dy= (6x + 7) = 19=dx(2.2)x 2(3.3)x=2dy= (2x) = 2xx=xdx 1x=x1dy= (2x) = 20=dx(3.4)x 10x=10dy 1 ⎞ 1= − ⎟ = −dx ⎝ x ⎠ 16⎛(4.4) ⎜ 2(6.1)(6.2)x= 4 x=42dA d(x )= = (2x) = 10x=5dx dxx= 5 x=52dA d( πr )= = (2π r)r=10= 20πdr drr= 10 r=102(7.1) ⎛dV d 1 ⎞ 2= ⎜ πrH⎟= π rHdr dr ⎝3 ⎠ 3dV d 1 1⎜ ⎟dH dH ⎝3 ⎠ 32 2(7.2) ⎛ ⎞= πrH= π r(8.2)dQ ⎡ t ⎛ 1 ⎞⎤= 2⎛12⎞dt⎢ ⎜ − ⎟ ⎜−⎟⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠⎥⎣⎦t= 10 t=10⎛ 1 ⎞= 2(12 − 1) ⎜− ⎟ = −2.2⎝ 10 ⎠(16.1) f(x) ′ = (2x + 3)(3) + (3x − 4)(2) = 12x + 13 1 2(16.2) f(x) 2x 5x 3x − −= − + − 4x2 3 8→ f(x) ′ = 6x − 5 − +2 3x x(1 − 3x)(3) − (1 + 3x)( −3) 6f(x) ′ = =(1 − 3x) (1 −3x)(16.3)2 22 2(16.4) f ′(x) = 3(3x − 5) (3) = 9(3x − 5)(17) คําถามทั้งสี่ข้อก็คืออย่างเดียวกันdy• • f(1) ′dx =x 1• ความชันโค้ง ณ x = 1• อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f(x) ณ x = 12 2(17.1) f(x) ′ = (2x + 1)(3)(3x − 2)(3)3+ (3x − 2) (2)(2x + 1)(2)∴ f(1) ′ = (9)(3)(1)(3) + (1)(2)(3)(2) = 931/ 3(17.2) f(x) = 2(x 2 − 2x + 3) −2 2−4/3→ f(x) ′ = − (x − 2x + 3) (2x − 2)3⎛ 2 ⎞ −4/3∴ f(1) ′ = ⎜− ⎟(2) (0) = 0⎝ 3 ⎠2 2 3(17.3) f(x) ′ = ( x + 8)(4)(x − 3) (2x)2 4 1 2 −1/2+ (x − 3) ( )(x + 8) (2x)2∴ f(1) ′ = (3)(4)( − 8)(2) + (16)(1/2)(1/3)(2)=− 192 + 16/3 =− 186.6711 2 −1/2(17.4) ′ = −f (x) (x 1) (2x)21 −1/21f(1) ′ (0) (2)2 0→ = = → หาค่าไม่ได้3 2(18.1) f(x) ′ = 4x + 9x + 10x − 72→ f ′′(x) = 12x + 18x + 10(4)→ f(x) ′′′ = 24x+ 18→ f (x) = 244 3 2(18.2) f(x) ′ = 5x + 12x − 12x + 13 2→ f(x) ′′ = 20x + 36x − 24x2→ f(x) ′′′ = 60x + 72x−24(4)→ f (x) = 120x + 722(19) f( − 3) = ( − 3) + ( −3) − 3 = 3f( ′ − 3) = (2x + 1) = 2( − 3) + 1 = − 5x=−3f( ′′ − 3) = (2) = 2x=−3(20) (f′′ + g ′′)(1) = f ′′(1) + g ′′(1)1/2จาก f(x) = (2 − x)1 1→ f(x) ′ = (2 − x) ( − 1) = − (2 − x)2 2−1/2 −1/23−21 1∴ f ′′(x) = (2 − x) ( −1) → f ′′ (1) = −4 42จาก g(x) = (1 − 3x)→ g(x) ′ = 2(1 − 3x)( − 3) = − 6 + 18xดังนั้น g(x) ′′ = 18 → g(1) ′′ = 18ตอบ1 3− + 18 = 174 4(21) f(x) = 1 → f ′(x)= −12xx→ f(x) ′′ = 2 → f ′′′(x)= −634xx(4) 24→ f (x) = ... จะได้ว่า5x(n) (1) − ⋅ n!f (x) =nn 1x +(22) เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง ( −∞,a) ∪ (b,c) ∪ (d,e)และลดในช่วง (a, b) ∪(c, d) ∪(e, ∞ )(23.1) f(x) ′ =−2x − 1 = 0 → x = 1/2แสดงว่า มีการวกกลับที่ x = 1/2 หนึ่งครั้งแทนค่า f(1/2) ได้ 1/ 4 และลองแทน x ค่าอื่นเช่น x = 0 เพื่อดูว่าเป็นกราฟ (1/2,1/4)หงายหรือคว่ํา จะวาดได้ดังภาพ (คว่ํา)ดังนั้นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน=1/4และค่าต่ําสุด หาค่าไม่ได้[หรือจัดรูปสมการแบบภาคตัดกรวยก็ได้(พาราโบลา)](23.2) f(x) ′ = 2x − 1 = 0 → x = 1/2→ f(1/2) = − 5/ 4 วาดกราฟ[แทน x = 0 ได้ y = − 1แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย]ตอบ ค่าสูงสุด หาค่าไม่ได้, ค่าต่ําสุด -5/4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)(1/2,-5/4)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET326อนุพันธและการอินทิเกรต(23.3) f(x) ′ = 3 → เป็นกราฟเส้นตรง ความชัน 3ไม่มีการวกกลับ∴ ค่าสูงสุดและต่ําสุดหาค่าไม่ได้(24.1) f(x) ′ = 2x − 4 = 0 → x = 2f(2) = 1 และทดลองคิด f(0) = 5วาดกราฟได้ดังรูปตอบ สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มีสูงสุด (สัมบูรณ์) หาค่าไม่ได้ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ = 1ฟังก์ชันเพิ่มในช่วง (2, ∞ ) ลดในช่วง ( −∞ ,2)2(24.2) f(x) ′ = 3x − 3 = 0 → x = − 1,1f( − 1) = 2 , f(1) = − 2ตอบ สูงสุดสัมบูรณ์และต่ําสุดสัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้สูงสุดสัมพัทธ์ = 2ต่ําสุดสัมพัทธ์ =− 2ฟังก์ชันเพิ่มในช่วง ( −∞, −1) ∪ (1, ∞ )ลดในช่วง ( − 1,1)2(24.3) f ′(x) = 6x + 6x − 12 = 0 → x = 1, − 2f(1) =− 14 และ f( − 2) = 13ตอบ สูงสุดสัมบูรณ์และต่ําสุดสัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้สูงสุดสัมพัทธ์ = 13ต่ําสุดสัมพัทธ์ =− 14ฟังก์ชันเพิ่มในช่วง ( −∞, −2) ∪ (1, ∞ )ลดในช่วง ( − 2,1)3 2(24.4) f(x) ′ = 4x − 9x + 6x − 1 = 02(4x − 1)(x − 1) = 0 ดังนั้น x = 1/4, 1, 1ซึ่ง1 27f( )4 256=− และ f(1) = 0มีการวกกลับที่ x = 1 สองครั้ง ดังนั้นที่ x = 1 เป็นเพียงจุดเปลี่ยนความเว้า ไม่ใช่จุดสูงสุดต่ําสุด (ดูจากเครื่องหมายบนเส้นจํานวน)- + - +f(x) ′ตอบ สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มีสูงสุดสัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์=− 27 / 256ฟังก์ชันเพิ่มในช่วง ( 1 , )4 ∞1ลดในช่วง −∞( , )4(-1,2)(-2,13)ลด 1/4 เพิ่ม 1 1 เพิ่ม2(1,0)m=3(2,1)(1,-2)(1,-14)(1/4,-27/256)2(24.5) f(x) ′ = 3x = 0 → x = 0,0(เปลี่ยนความเว้า)+ - +f(x) ′เพิ่ม 0 0 เพิ่มตอบ สูงสุดและต่ําสุดสัมพัทธ์ ไม่มี,สัมบูรณ์ หาค่าไม่ได้และเป็นฟังก์ชันเพิ่มใน R (x ทุกค่า)(24.6) f(x) ′ = 2x − 2 = 0 → x = 1ซึ่ง f(1) = 0 , f( − 1) = 4 ,และ f(2) = 1ตอบ สูงสุดสัมพัทธ์ไม่มีสูงสุดสัมบูรณ์ 4ต่ําสุดสัมพัทธ์และสัมบูรณ์ 0เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง (1, 2) ลดในช่วง ( − 1,1)(25.1) f(x) ′ = − 2x = 0 → x = 0f(0) = 3 → และเนื่องจาก f(1) = 2(0,0)แสดงว่าเป็นพาราโบลาคว่ําดังนั้นสูงสุดสัมพัทธ์ = 3 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ ไม่มี(25.2) f(x) ′ = 2x + 3 = 0 → x = − 3/2f( − 3/2) = 7/ 4 → และเนื่องจาก f(0) = 4แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงายสูงสุดสัมพัทธ์ ไม่มี , ต่ําสุดสัมพัทธ์ 7/42(25.3) f(x) ′ = 3x − 3 = 0 → x = 1, − 1ซึ่ง f(1) = 1, f( − 1) = 5ดังนั้นสูงสุดสัมพัทธ์ 5 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ 13(25.4) f ′(x) = 4x − 4x = 0 → x = − 1, 0, 1→ f( − 1) = f(1) = 2, f(0) = 3∴ สูงสุดสัมพัทธ์ 3 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ 22(25.5) f(x) ′ = 3x + 2x − 8 = 0→ (3x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4/ 3, − 2ซึ่ง f(4/3) =−203/27, f( − 2) = 11ดังนั้น สูงสุดสัมพัทธ์ 11 , ต่ําสุดสัมพัทธ์ − 203/27dy 4 2(26) 10x 90x 0dx = − =(-1,4) (2,1)2 2→ 10x (x − 9) = 0 → x = 0, 0, 3, − 3ซึ่ง f(3) =− 324, f(0) = 0, f( − 3) = 324(ที่ x=0 เป็นจุดเปลี่ยนความเว้า ดังรูป)(-3,324)(1,0)O(3,-324)ตอบ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ 324, ค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ -324Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET327อนุพันธและการอินทิเกรต(27) ความเร็ว คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง เทียบกับเวลาdS(27.1) = = −v 6t 2 m/sdtv(0) =− 2 m/ s และ v(2) = 10 m/ s(27.2) หา maxdSได้S → = 0 → 6t − 2 = 0dt1t = s. ดังนั้น S = S( 1 ) =2 m.3max 3 3(28) ให้จํานวนที่ต้องการเป็น x กับ 8-x3 3จะได้ผลบวก y = x + (8 − x) →dy 2 2y min หาจาก 3x 3(8 x) ( 1) 0dx = + − − =→ 3( − 64 + 16x) = 0 → x = 4ดังนั้น x = 4 เป็นค่าที่ทําให้เกิดค่า y ต่ําสุดตามต้องการ ตอบ 4 กับ 4(29) สมมติปลูกเพิ่ม ไร่ละ x ต้น จะได้ผล y = (22 + x)(500 − 10x) →ต้องการ y max จึงคิดจากdy(22 x)( 10) (500 10x)(1) 0dx = + − + − =→ x = 14 ต้น เป็นค่าที่ทําให้เกิด y max ตามต้องการ ตอบ ปลูกไร่ละ 22+14 = 36 ต้น2 2 2 2(30) ค่าก่อสร้าง y = 2(3 + x ) + 3(4 + (5 − x) )ต้องการ y min คิดจากdy4x 6(5 x)( 1) 0 x 3dx = + − − = → =ดังนั้น ค่า x ควรเป็น 3 km จึงเสียเงินน้อยสุด(31) สมมติด้านนอนเป็น x หน่วยดังรูป → หาความสูง h ในรูปของ x โดยพิจารณา Δ คล้าย120 − x 120=h 903→ h = 90 − x4∴ พื้นที่สี่เหลี่ยม A = xh⎛ 3 ⎞ 3= x ⋅ ⎜90 − x⎟= 90x − x⎝ 4 ⎠ 4ต้องการ A max คิดจาก90dA 3→ = 90 − x = 0 → x = 60 หน่วยdx 23∴ h = 90 − (60) = 45 หน่วย4และ พื้นที่ A max 60 45 2,700= ⋅ = ตร.หน่วย∗ หมายเหตุ ข้อ (27.2) ถึง (31) เนื่องจากได้ค่าวิกฤต (x) เพียงค่าเดียวเท่านั้น จึงสรุปได้เลยว่าเป็นค่าที่โจทย์ต้องการ (โดยไม่ต้องตรวจสอบว่าเป็นจุดสูงสุด หรือ ต่ําสุด)2x120150h(32.1) พิจารณา Δ คล้าย(ทําเช่นเดียวกับข้อ 31)b − x b a= → h = a − xh a baa⎜ ⎟⎝ b ⎠ bdA 2a ba x 0 xdx b 2∴ ตอบ กว้างยาว a ,b พื้นที่ =2 22พื้นที่ A = x⎛a − x⎞= ax − x= − = → = และจะได้2 2(32.2) h = d − x2 2→ A = x ⋅ d − xต้องการ A max คิดจากxaab4xxdh(x,y)xb2 2( )hc-xah =2dA ⎛ 1 ⎞= (x) ( 2x) d x (1) 0dx − + − =⎜ 2 22 d − x ⎟⎝ ⎠2 2 2→ − x + d − x = 0d→ x = และจะได้ h =2ตอบ กว้างยาว d,d2 2d2พื้นที่(32.3) สมมติสมการ y2 =จะได้ว่าพื้นที่ A = (c − x)(2y)= −2y(c )(2y)4c3y= 2cy − →2c24cx2d4dA 3y 2c∴ = 2c − = 0 → y =dy 2c 3และจะได้cx = →32(32.4) ปริมาตร V = (a − 2x)(x)2 2 3= ax− 4ax + 4x2∴ BF = VF3dV 2 2ต้องการ V max คิดจาก a 8ax 12x 0dx = − + =a→ (a − 6x)(a − 2x) = 0 → x = หรือ a 2 6aแต่ถ้า x = จะได้ V = 0 (V min)2aดังนั้นคําตอบคือ x =6(32.5) ปริมาตรกรวย1 2V = π x (r − y)3[ใช้ r-y เพราะค่า y ติดลบ]แต่ x 2 + y 2 = r2 ดังนั้น1 2 2V = π (r − y )(r − y)3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)yy} r} y(x,y)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET328อนุพันธและการอินทิเกรตต้องการ V max คิดจากdV 1 2 2= π ⎡⎣(r − y )( − 1) + (r − y)( − 2y) ⎤⎦= 0dy 32 2→ 3y −2ry − r = 0 → (3y + r)(y − r) = 0r→ y = − ,r3แต่ y = r ไม่ได้ เพราะส่วนสูงจะกลายเป็นr − y = r − r = 0 (V min)r∴ ตอบ y3=− คือ ส่วนสูง(32.6) พิจารณา Δ คล้ายH − h H R= → r = R − hr R H2ดังนั้น ปริมาตร V = πr h2 2 3⎛ R ⎞2⎛ 2h h ⎞= π⎜R − h⎟h = π R ⎜h− +2 ⎟⎝ H ⎠ ⎝ H H ⎠ต้องการ V max คิดจากdV 2 ⎛ 4 3 2⎞= π R ⎜1 − h + h 02 ⎟ =dh ⎝ H H ⎠r 4r −⎛ ⎞⎜− ⎟ = r⎝ 3⎠3rhR2 2H − 4Hh + 3h = 0 → (H − 3h)(H − h) = 0→ h = H/3, Hแต่ h = H ไม่ได้ เพราะ = → = minตอบ h = H/ 3(33) [f(x) + g(x)] ′ = f ′(x) + g(x) ′(2x −1)(3) − (3x + 1)(2)r 0 V 0 (V )→ f(x) ′ = → f(1) ′ = −52(2x − 1)1 2 −1/2g(x) ′ = (3x + 1) (6x)21 ⎛ 1⎞3→ g(1) ′ = ⎜ ⎟(6)=2 ⎝2⎠2(34) ความชัน2−3ตอบ3 7− 5 + = −2 22−2 3dy 1= (x + 2) (2x)dx 3x= 5 x=51 10= (27) (10) = → สร้างสมการ3 2710ผ่านจุด (5, 3) → y − 3 = (x − 5)27→ 10x − 27y + 31 = 0(x + b)(2) − (2x − a)(1)(x + b)(35) f(x) ′ =22b + a 2b + a= → f(0) ′ = 4 → = 42 2(x + b) b− 2(2b + a)f(x) ′′ = → f(0) ′′ = −83(x + b)− 2(2b + a)→ = − 8 .....(2)3b−aจะได้ b = 1,a = 2 → f(0) = = − 2b.....(1)⎫⎪⎬⎪⎭H2(36) ′ ′ดังนั้น 12 − 4b + c = 0 .....(1)f(x) ′′ = 6x + 2b → f( ′′ − 1) = 6 ดังนั้น− 6 + 2b = 6 .....(2)f(x) = 3x + 2bx + c → f( − 2) = 0ได้ b = 6,c = 123 2∴ f(x) = x + 6x + 12x2ถ้า f(x) ′ = 0 → 3x + 12x + 12 = 0 →x = −2, − 2 แสดงว่า มีการเปลี่ยนเว้าที่ x =− 2+ - +f(x) ′เพิ่ม -2 -2 เพิ่มดังนั้น ตอบ ก. f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (ไม่มีจุดวกกลับ)(37) หา a, b, c, d เช่นเดิม โดยสมการf(1) = 0, f(0) = 0, f ′(0) = 2, และ f ′′ (0) f ′′′(0) 1จะได้ d = 0, c = 2, a = 5/4, b = − 13/4ดังนั้น f(2) = 1(38) หา a, b, c จากสมการh(0) = 1, h( − 2) = 5, h ′( − 2) = 0ได้ c = 1, a =− 1, b =− 42→ h(x) = −x − 4x + 1= (fog)(x) = 3(g(x)) − 102+ =x 4x 11∴ g(x) = − − + จะได้ g(1) = 23 3 32 2 2 3(g(2))(3)(2 − 1) (2)(2) −(2 − 1) ⋅ g ′(2)(39) f(2) ′ =2[ g(2) ](3 ⋅ 3 ⋅ 9 ⋅ 4) − (27)g(2) ′3 = ∴ g(2) ′ = 119(40) g(1) = 5, g ′(1) = 02[ ] [ ] [ ][ ]→ f ′(1) = 3(1) + 5(1) g ′(1) + g(1) 6(1) + 5= 8 ⋅ 0 + 5 ⋅ 11 = 55(41) f(2) 3, f ′(2) 42f(2) = 3 = (2 − 1) ⋅ g(2) → g(2) = 3= = → หา g(2) โดย2′ ′→ f (2) = (2 − 1) ⋅ g(2) + g(2) ⋅ 2(2 − 1)(1)→ 4 = g ′(2) + 3 ⋅ 2 → ∴ g ′(2) = − 21 1(42) f(x) ′ = + 1 → + 1 > 32 x 2 x1 1 1→ > 2 → x < → 0 < x 0 จะได้ x − 4x > 0นํา x 4/3 คูณตลอด กลายเป็น x 3 − 4x > 0ตอบ ( −2,0) ∪(2, ∞ )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET329อนุพันธและการอินทิเกรต1 2(44) F(x) = x + 1 → F − (x) = (x − 1)− 1′→ (F ) (x) = 2(x − 1)(1)− 1′∴ (F ) (2) = 2(45) วิธีคิดเช่นเดียวกับข้อ (31) และ (32.1) จะ3 4ได้ว่า พื้นที่ = ⋅ = 3 ตร.นิ้ว2 2(46) ต้องการกําไรสูงสุด∴ ให้ y = กําไร = รายรับ - ต้นทุน3/2= 24x − (16 + 6x + 0.2x )dy1/20 24 6 0.3x 0dx = → − − =1/2→ x = 60 → x = 3,600 ชิ้น∴ ค่า N = จํานวนชิ้นที่ได้กําไรสูงสุด = 3,600 ชิ้น(47.1)(47.2)xf(x) dx = x dx = + c2∫ ∫∫22x2f(x) dx = + c = x + c2(47.3) ∫ f(x) dx = 7x + c(47.4)(47.5)(47.6)(47.7)∫∫∫∫33x3f(x) dx = + c = x + c34xf(x) dx = + c43 5/25x 22 2x dx = + c = x + c5/2 5−4−5x 1x dx = + c = − + c4−4 4x5 3(48.1) ∫(48.2)(48.3)(48.4)(48.5)∫∫∫∫f(x) dx = x + x − 2x + c22 −1−2 2x x(2x − x ) dx = − + c2 −12 1= x + + cx43 2 x 3(x − 3x ) dx = − x + c44 −23 −3 x 3x(x − 3x + 4) dx = − + 4x + c4 −24x 3= + + 4x + c24 2x−1 −2−2 −3 x 2x(x − 2x ) dx = − + c−1 −2= − 1 1c2x+ x+3 2(48.6) ∫(4x − 4x + x − 1)dx4 4 3 x= x − x + − x + c3 22 3(49) ∫→ F(0) = 4 ∴ c = 4และจะได้ F(1) = 1 − 3 + 4 = 2F(x) = (3x − 3) dx = x − 3x + c24 2(50) ∫y = (5x + 3x − 4x)dx5 3 2= x + x − 2x + cโจทย์บอกใบ้ − y(1) = y( − 1)จะได้ − c = − 4 + c ∴ c = 2 = y(0)dy= = x + 2x − 3dx(51) ความชัน2∫32 x 2∴ y = (x + 2x − 3)dx = + x − 3x + c3โค้งผ่านจุด (0, 1) ∴ c = 1ตอบ3x 2y = + x − 3x + 13(52) เช่นเดียวกับข้อ (51) คือ dy x 1dx = −2 3/2→ y = ∫ ( x − 1)dx = x − x + K3โค้งผ่านจุด (0, 1) ∴ K = 12 3/2→ y = x − x + 13โจทย์ถาม c = y(4) = 7 / 3(53) อัตราการเปลี่ยนแปลงความชัน คือ f(x) ′′[เพราะความชันคือ f(x) ′ ]∴ f(x) ′′ = 2x − 12→ f(x) ′ = ∫ (2x − 1)dx = x − x + C 1หาค่า C 1 โดยคําใบ้ที่ว่า ที่จุด (1, 2) ความชันตั้งฉากกับ⎡ 1⎤x + 2y − 1 = 0⎢m = −⎣ 2⎥⎦f(1) 2ดังนั้น′ = [เพราะความชันคูณกันต้องได้ -1]2→ ∴ C = 2 → f(x) ′ = x − x + 21โจทย์ถามความชันที่ x = 0 คือ f(0) ′ = 22 2(54) สมการวงกลมคือ (x) + (y − 1) = 22และสมการโค้งคือ y = ∫ (2x)dx = x + c2(ผ่านจุด (3, 10) ∴ c = 1 ) → y = x + 1แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้เป็น2(y − 1) + (y − 1) − 2 = 0→ (y − 1 + 2)(y − 1 − 1) = 0จะได้ y = −1 → x = เป็นไปไม่ได้หรือ y = 2 → x = ± 1ดังนั้นจุดตัดคือ (1,2), (-1,2) อยู่ใน Q 1 และ Q 2(55) f(x) ′′ = 3 → f(x) ′ = 3x + C1แต่ 1f(1) ′ = −3 ∴ C = −6 → f(x) ′ = 3x − 63x→ f(x) = − 6x + C22แต่ f(2) = −1 ∴ C2= 5 → f(0) = 52Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET330อนุพันธและการอินทิเกรต(56), (57) ต้องทราบว่าจึงจะแก้ปัญหาได้2(56) a = 12t + 6t + 10∫3 2ds dv= v, = adt dt→ v = adt = 4t + 3t + 10t + C 1แต่ v(0) 0 ∴ C = 0= 14 3 2∫แต่ S(0) = 10 ∴ C2= 10S = v dt = t + t + 5t + C 24 3 2→ S = t + t + 5t + 10จะได้ S(5) 625 125 125 10= + + + = 885 ฟุต2 3(57) a = 24t → v = 8t + C 14แต่ v(1) = 16 → C = 8 → S = 2t + 8t + C1 2แต่4S(1) = 8 ∴ C2= −2 → S = 2t + 8t − 2→∴ S(2) = 32 + 16 − 2 = 46 เมตร(58) ให้ y แทนปริมาณผลผลิตที่ได้เมื่อเพิ่ม x คน อัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต80 − 6 x ชิ้นต่อวัน =∫dydx∴3/2y = (80 − 6 x)dx = 80x − 4x + Cแต่โจทย์ใบ้ว่า ถ้าไม่เพิ่มคนเลย (x = 0) จะได้3,000 ชิ้นต่อวัน → C = 3,000ตอบ y(25) = 80 ⋅25 − 4 ⋅ 125 + 3,000= 4,500 ชิ้นต่อวัน∫4 2⎡ x ⎤(59.1) (3 − x) dx = ⎢3x− ⎥0⎣ 2 ⎦= (12 − 8) −(0 − 0) = 42(59.2) [2− = − ]−2∫4022(2x 1) dx x x −= (4 − 2) − (4 + 2) = − 4(59.3) y = 3 − xมีจุดตัดแกน x (แทน y=0)ที่จุด (3, 0) ดังภาพ4.5 ตร.หน่วย3O 3 4-11 1พื้นที่ = × 3 × 3 + × 1×1 0.5 ตร.หน่วย2 2= 4.5 + 0.5 = 5 ตร.หน่วย[ข้อ 59.1 คิดจาก 4.5 − 0.5 = 4 ก็ได้](59.4) y = 2x − 12.251มีจุดตัดแกน x ที่ 6.25( ,0) 32-2ดังภาพ0.5 21 1พื้นที่ = × 2.5 × 5 + × 1.5 × 3 -52 2= 6.25 + 2.25 = 8.5 ตร.หน่วย[ข้อ 59.2 คิดจาก − 6.25 + 2.25 = − 4 ก็ได้](60.1)−1∫2= (8 − 4) − ( −1 − 1) = 6(60.2)∫2 3 221(3x − 2x) dx = (x − x ) −3 43⎛x2(x − 4x) dx = ⎜ − 2x−181 1= ⎜ ⎛ − 18⎟ ⎞ − ⎜ ⎛ − 2⎟⎞ = 4⎝ 4 ⎠ ⎝4⎠(60.3)−1∫⎝ 4⎞⎟⎠3−14 2 32⎡ x x⎤(6 + x − x ) dx = ⎢6x+ − ⎥⎣ 2 3 ⎦64 1 1 95= ⎜ ⎛ 24 + 8 − ⎟ ⎞ − ⎜ ⎛ − 6 + + ⎟⎞ =⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 3⎠62(60.4) y = 3x − 2xมีจุดตัดแกน x ที่x 0, 2/3 = ดังภาพการหาพื้นที่ปิดล้อม ต้องแยกคิดทีละช่วงเพราะช่วง 0 ถึง 2/3 จะได้ติดลบ(ต้องเอาเครื่องหมายลบออก)2/30 2∫ ∫ ∫= f(x)dx − f(x)dx + f(x)dx−1 0 2/34−1(ใส่ลบตรงส่วนที่อยู่ใต้แกน เพื่อให้ค่ากลายเป็นบวก)3 203 22/33 22−1 0 2/3= (x − x ) − (x − x ) + (x − x )⎛ 4 ⎞ 4 8= 2 − ⎜− ⎟ + 4 = 6⎝ 27 ⎠ 27 27พื้นที่ตร.หน่วย4 42 4 627 27∫ ∫ ∫0 2 3= f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx−1 0 23 11 ( 4) 64 42 4/27= − − + = 12 ตร.หน่วย-1 0 2/3 24+4/27[เช็คข้อ 60.1 จะได้ − + = ถูกต้อง]3(60.5) y = x − 4xมีจุดตัดแกน x ที่ 0, 2, − 2ดังภาพ1+3/4 6+1/44-2 -1 0 2 3[เช็คข้อ 60.2 จะได้ 1 3 − 4 + 6 1 = 4 ถูกต้อง]4 42(60.6) y = 6 + x − xมีจุดตัดแกน x ที่112/6x =− 2,3 ดังภาพ4-2 -1 317/6Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET331อนุพันธและการอินทิเกรตพื้นที่∫ ∫3 4= f(x)dx −−1 3112 ⎛ 17 ⎞= − ⎜− ⎟ =6 ⎝ 6 ⎠[เช็คข้อ 60.3 จะได้2(61) y = x − 1มีกราฟดังภาพ(61.1)(61.2)(61.3)f(x)dx21.5 ตร.หน่วย112 17 95− = ถูกต้อง]6 6 62232⎛x ⎞ 4∫ (x − 1) dx = ⎜ − x ⎟ = ตร.น.1⎝ 3 ⎠ 1 3∫1 32⎛x ⎞ 4− (x − 1) dx = − ⎜ − x ⎟ =−1⎝ 3 ⎠ −13−1 0∫ f (x) dx − ∫ f (x) dx−2 −14 ⎛ 2⎞= − ⎜− ⎟ = 23 ⎝ 3⎠(62)ตร.หน่วย∫ ∫2 42x + 1 2 22 dx (x x−= + ) dx1 1x⎡ 23⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1 8 1 1 5= ⎢ − ⎥ = ⎜ − ⎟ − ⎜ − 1⎟= 2⎣ 3 x⎦ ⎝3 2⎠ ⎝3 ⎠ 6∫ ∫1 120 01(4 − x) dx = (16 − 8 x + x) dx⎡1216 3/2 x ⎤ ⎛ 16 1 ⎞= ⎢16x − x + ⎥ = ⎜16− + ⎟⎣ 3 2 ⎦ ⎝ 3 2⎠1= 11 ตอบ 146(63) พิจารณากราฟพื้นที่เหนือแกน x เท่ากับ10∫2(x − 3x + 2) dx3 2⎡x3x ⎤= ⎢ − + 2x⎥⎣ 3 2 ⎦1 3 5= − + 2 =3 2 62(64) y = x − cถ้า c > 4 แสดงว่าตัดแกน x ที่ ± cเกิน ± 2 ดังภาพดังนั้น−2∫12(x − c) dx = −243⎛x⎞→ ⎜ − cx⎟= −24⎝13 ⎠ −210⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞→ ⎜ − c⎟ − ⎜− + 2c⎟= −24 → c = 9⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠04/3 4/34/3-2 1 1 210 1 2-2 1ตร.น.(65)8∫ f(x)dx = พื้นที่ใต้กราฟ5= พื้นที่1−4 พื้นที่วงกลมπ23 9= 7 × 3 − = 21 − ≈ 7.074 4π(66) ไม่จําเป็นต้องสร้างสมการเส้นตรงเพื่ออินทิเกรตเพราะเป็นรูป Δ3→ ∫−1f(x)dx1= × 4× 6 = 122(67) เช่นเดียวกับข้อ (66) คือ3∫ f(x)dx = พื้นที่ คางหมู−21= × 5 × (2 + 5) = 17.521(68) [2(4x − 3) dx = 2x − 3x]sin θ∫2= −1 − 2 sin θ + 3 sin θ = 0→ (2 sin θ − 1)(sin θ − 1) = 01sin θ2→ sin θ = 1 , 1/2 → cos 2θ = 1 −2 sin θ= − 1 หรือ 1/2(69)31∫sin θ32⎡x⎤x dx = ⎢ ⎥⎣ 3 ⎦sin θsin θ 1 2= − = − → sin θ = − 13 3 3∴ 1 + sin θ + cos θ = 1 − 1 + 0 = 0(70) (fog)(x) = 2x + 5, f(x) = 4x − 3 →แก้ฟังก์ชัน หา g(x) ได้เป็น∫1 21xg(x) = + 22x ⎛x ⎞ 1∴ ( + 2)dx = ⎜ + 2x⎟= + 2 = 2.250 2 ⎝ 4 ⎠ 4(71) หา b, c จาก f( − 1) =−4, f ′( − 1) = 0 →ได้ b = 2,c =− 32y = x + 2x − 3วาดกราฟได้ดังรูปพื้นที่∫12−113x 2⎞⎟3 ⎠ −1=− (x + 2x −3) dx⎛=− ⎜ + x − 3x = 16 / 3⎝10-1625-3 -1 133-2 37Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET332อนุพันธและการอินทิเกรตeÃ×èo§æÁเทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร..ฟังก์ชันประกอบที่หาอนุพันธ์ไว้โดยใช้กฎลูกโซ่ (หรือดิฟก้อน) เมื่อเราต้องการจะอินทิเกรตกลับไปต้องอาศัยเทคนิค การเปลี่ยนตัวแปร (Substitution) มิฉะนั้นจะอินทิเกรตไม่ได้3 10ตัวอย่างเช่น f(x) = (3x + 4) มีอนุพันธ์เป็น f ′(x) =3 9 2 2 3 910(3x + 4) (9x ) = 90x (3x + 4)2 3 9ถ้าเราต้องการหาค่า ∫ 90 x (3x + 4) dx เราไม่สามารถกระจายฟังก์ชันกําลัง 9 ได้ จึงต้องใช้เทคนิคเปลี่ยนตัวแปร x ให้เป็น u ที่เหมาะสม ... ในตัวอย่างนี้ให้ u =33x + 4du 2จะได้ 9xdx = นั่นคือ dudx = (ย้ายข้างสมการ)29x2 3 92 9แทนค่าตัวแปรใหม่ลงไปใน ∫ 90 x (3x + 4) dx ได้เป็น ∫ 90 x (u) 9x9เศษส่วนหารกันได้ ∫ 10(u) du จะพบว่าเหลือตัวแปร u ล้วนๆ และอยู่ในรูปที่อินทิเกรตได้10 3 10(แสดงว่าเลือกตัวแปร u ได้ถูกต้อง) ผลที่ได้คือ u + C = (3x + 4) + C นั่นเอง..หลักในการเลือกว่าให้ก้อนใดเป็น u ก็คือต้องเลือกก้อนที่เมื่อดิฟแล้วออกมาคล้ายส่วนที่เหลือ(เพื่อให้สามารถกําจัด x ที่ยังคงเหลือไปให้หมด)282เช่น จาก ∫ t(1−2t ) dt เราเลือก u= 1− 2t เพราะเมื่อดิฟแล้วได้ − 4t มาตัดกับ t ที่เหลือได้พอดี3 2 3322หรือ จาก ∫ x(4−x)dx ถ้าเลือก u= x เมื่อดิฟแล้วจะได้ 3x ไม่สามารถไปตัดกับ 4− x ได้2จึงต้องเลือก u = 4 − x เมื่อดิฟแล้วได้ − 2x ตัดกับ x 3 เหลือ x 2 ซึ่งสามารถเปลี่ยนเป็น x 2 = 4− u ได้du23 2 3จาก −2 du∫ x(4 x)dx ให้ u 4 x 2xdx3 3 3 3 du= − → = − จะได้ ∫ xudx = ∫ xu−2x51 2 3 1 3 1 3 4 1 ⎡ 4 u ⎤= − ∫ xudu = − ∫(4 − u)u du = − ∫ (4u − u)du = − ⎢u − ⎥ + C2 2 2 2 ⎣ 5 ⎦251 ⎡2 4 (4 − x ) ⎤= − ⎢(4 − x ) − ⎥ + C2 ⎣5 ⎦ทดลองทําดูนะครับ28ก. ∫ t(1−2t ) dtข.2 3∫(3x + 2) 2x + 4x+1 dx2ค. ∫ + +ง.2/3∫x 3(x 1) dx2x(1−x)dx18+12xจ.25∫(4−9x −3x )dxเฉลย9u2ก. − + c เมื่อ u= 1−2t361 u c3+ เมื่อ u= 2x + 4x+137 5 32 8 8u2 u2 u2c = +7 5 31 43− 6u3+ u3+ c เมื่อ u= 1−x2ข.3/2ค.ง.− + + เมื่อ u x 31จ. c42u + เมื่อ 2u= 4−9x−3xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET333ความนาจะเปนP r,o + b!º··Õè16 ¤ÇÒÁ¹Òäe»¹ความน่าจะเป็นและสถิติ เป็นวิชาที่มีบทบาทสําคัญทั้งในทางพาณิชยศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ รวมไปถึงการแพทย์และจิตวิทยาด้วย ทฤษฎีมากมายในปัจจุบัน ถูกพัฒนาขึ้นจากหลักการของความน่าจะเป็นนอกจากประโยชน์ดังกล่าวแล้ว เรายังปรับใช้ความน่าจะเป็นในชีวิตประจําวันได้โดยอาจไม่รู้ตัว เช่น การนับจํานวนแบบที่เป็นไปได้ การคาดคะเนโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งๆ (หรือหลายเหตุการณ์) จะเกิดขึ้น16.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับถ้าเราต้องทํางาน k อย่าง โดยที่งานอย่างแรกมีทางเลือกทําได้ n 1 แบบ และในแต่ละแบบก็เลือกทํางานอย่างที่สองได้ n 2 แบบ และในแต่ละแบบ... (ไปเรื่อยๆ) จะมีจํานวนวิธีเลือกทํางานจนครบทุกอย่าง เท่ากับ n 1 × n 2 × ... × n k วิธีเรียกกฎนี้ว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ (Fundamental Principles of Counting)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NETตัวอยาง มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัวจะจัดเปนชุดที่ไมซ้ํากันเลยไดกี่แบบตอบ 3 × 4 = 12 แบบเขียนเปนแผนภาพตนไม (Tree Diagram) ไดดังรูปตัวอยาง มีเรือวิ่งขามฟาก 3 ลําจะนั่งเรือไปและกลับไมใหซ้ําลํากัน ไดกี่วิธีตอบ 3 × 2 = 6 วิธีตัวอยาง ทอดลูกเตา 2 ครั้ง จะมีผลออกมาไดกี่แบบตอบ 6 × 6 = 36 แบบ334ส 1ส 2ส 3ก 1 (ส 1 ,ก 1 )ก 2 (ส 1 ,ก 2 )ก 3 (ส 1 ,ก 3 )ก 4 (ส 1 ,ก 4 )ก 1 (ส 2 ,ก 1 )ก 2 (ส 2 ,ก 2 )ก 3 (ส 2 ,ก 3 )ก 4 (ส 2 ,ก 4 )ก 1 (ส 3 ,ก 1 )ก 2 (ส 3 ,ก 2 )ก 3 (ส 3 ,ก 3 )ก 4 (ส 3 ,ก 4 )ความนาจะเปนจะมีวิธีเดาข้อสอบที่ไม่ซ้ํากันเลยได้กี่แบบแบบฝึกหัด 16.1(1) จากตาราง เรามีวิธีเดินทางจาก การเดินทาง รถยนต์ เรือ รถไฟ เครื่องบินเมือง ก ไปเมือง ง โดยผ่านทุก ก → ข ได้ ไม่ได้ ได้ ได้เมืองได้กี่วิธีข → ค ได้ ได้ ไม่ได้ ไม่ได้ค → ง ไม่ได้ ได้ ได้ ได้(2) มีหีบ 5 ใบวางเรียงกัน จะมีวิธีเอาบอล 3 ลูกใส่ในหีบ ทีละลูกๆ ทั้งหมดกี่วิธี(3) ร้านฟาสต์ฟู้ดมีเบอร์เกอร์อยู่ 6 ชนิดและเครื่องดื่ม 4 ชนิด โดยเครื่องดื่มแต่ละชนิดนั้นมี 3ขนาด จะมีวิธีจัดชุดอาหารกับเครื่องดื่มคู่กันกี่แบบ(4) นําอักษรจากคําว่า SPECIAL มาสลับเป็นคําได้ทั้งหมดกี่แบบ (ไม่คํานึงถึงความหมาย)(5) มีถุง 2 ใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 3 ลูก สีดํา 2 ลูก สีขาว 1 ลูก (ซึ่งแต่ละลูกถือว่าต่างกัน) ใบที่สองมีบอลสีแดง 2 ลูก สีดํา 2 ลูก สีขาว 2 ลูก หยิบลูกบอลจากใบแรกไปใส่ในใบที่สอง 1 ลูก และหยิบจากใบที่สองออกมา 1 ลูก มีกี่วิธีซึ่งบอลที่หยิบจากใบแรกเป็นสีแดง และบอลที่หยิบออกจากใบที่สองไม่ใช่สีขาว(6) ข้อสอบฉบับหนึ่งประกอบด้วย โจทย์ปัญหาแบบถูก-ผิด 5 ข้อ และปรนัย (ก,ข,ค,ง) อีก 7 ข้อ(7) กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากเลข 0 ถึง 9 อย่างละใบ ถ้าหยิบมา 2 ใบ (ทีละใบโดยไม่ใส่คืน) จะมีกี่วิธีที่ผลรวมเลขเป็นจํานวนคี่(8) [Ent’24] ใช้ตัวเลข 0 ถึง 5 มาสร้างจํานวน 3 หลักจะสร้างได้กี่จํานวน ถ้ากําหนดให้(8.1) แต่ละหลักไม่ซ้ํากัน(8.2) เป็นจํานวนคี่ และแต่ละหลักไม่ซ้ํากัน(8.3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ํากัน(8.4) หาร 10 ลงตัวMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)S ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! So¨·Âº·¹Õ éÇi¸Õ¤í Êa é¹ÁÒ¡æ æµ¡çµoº¼í ä´§ÒÂ¹o§æ ËÅÒÂ¤¹eËç¹µaÇeÅ¢ã¹o¨·Â¡çËÂiºÁÒ¤Ù³¡a¹ËÃ×oÂ¡¡íÒÅa§¡a¹´× éoæ eÅÂ æºº¹ÕéäÁ¤ÇÃ¤Ãaº Áa¹äÁäé»¹æºº¹aé¹·u¡¢o oÂÙ ·Õ èÊÒ¹¡ÒÃ³ã¹o¨·Â´ÇÂ..Çi¸Õ·Õ è´Õ·Õ èÊú ¤×o¤oÂæ ¹Ö¡ÇÒ ¢o¹Õ éÁÕ¡ÒÃ·íÒ§Ò¹(ËÃ×o¡ÒÃµa´Êi¹ã¨) ¡Õ è¢a é¹µo¹ ääéoÒ¨íÒ¹Ç¹·Ò§eÅ×o¡ã¹æµÅa¢a é¹µo¹ÁÒ¤Ù³¡a¹ä´Ù¡µo§».Å. äÁ¤ÇÃ·o§ÊÙµÃÅá »ÃaeÀ·ÇÒ Êiè§ÁÕªÕÇiµ äÁÁÕªÕÇiµ ã¤ÃÁÒÂ¡¡íÒÅa§ã¤Ã ÏÅÏ e¾ÃÒaÁa¹¼í §ÒÂæÅaãªäÁäéÊÁoä»¹a¤Ãaº ¤í µÃ§æ ªaÇÃÊú !

คณิตศาสตร O-NET / A-NET335ความนาจะเปน(9) ต้องการเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิก ตําแหน่งละ 1 คน โดยเลือกจากนักเรียนชาย 5 คน หญิง 4 คน จะเลือกได้กี่ชุด หากกําหนดว่าประธานและรองประธานเป็นเพศเดียวกันและคนละเพศกับเหรัญญิก16.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยนจํานวน วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) สิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง จะมี n! วิธีแต่ถ้าเอามาเรียงเพียงแค่ r สิ่ง จะมี n! วิธี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P n,r หรือ n P r(n−r)!เครื่องหมาย ! เรียกว่า แฟคทอเรียล (Factorial)มีนิยามว่า n! n (n 1) (n 2) ... 3 2 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ เมื่อ n เป็นจํานวนนับและกําหนดให้ 0! = 1 เพื่อให้สอดคล้องกับสมการ P n,n = n!ตัวอยาง 3! = 3 × 2 × 1 = 67!P7,3= = 7 × 6 × 54!8! 8 × 7 × 6!= =6! 6!56ตัวอยาง จัดคน 3 คน ใหยืนเรียงแถวเปนเสนตรง ไดกี่วิธีตอบ คิดแบบการนับ ได 3 × 2 × 1 = 6 วิธี หรือคิดแบบเรียงสับเปลี่ยน P 3,3= 3! = 6 วิธีตัวอยาง มีธง 5 ผืน ผืนละสีไมซ้ํากัน จะมีวิธีสงสัญญาณโดยเอาธง 3 ผืนมาวางเรียงกัน ไดกี่วิธี5!ตอบ คิดแบบการนับ 5 × 4 × 3 = 60 วิธี หรือคิดแบบเรียงสับเปลี่ยน P 5,3= = 60 วิธีจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้งหมด n สิ่ง ที่มีสิ่งของซ้ํากัน k 1 สิ่ง, k 2 สิ่ง, ...n!จะเรียงได้ วิธีk! ⋅ k ! ⋅ ...1 2(แต่ถ้าไม่นํามาเรียงครบทั้ง n สิ่ง ก็จะต้องพิจารณาการซ้ํากันนั้น แยกเป็นหลายๆ กรณี)จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง เป็นรูปวงกลม (Circular Permutation) จะทําให้ไม่มีหัวแถวหรือปลายแถว ดังนั้นจํานวนวิธีจึงลดลง ให้คิดว่าระบุตําแหน่งเจาะจงก่อน 1 สิ่ง แล้วที่เหลือจึงจัดแบบเส้นตรงปกติ นั่นคือ (n− 1)! วิธี(n−1)!(แต่หากการจัดนี้สามารถมองได้สองด้าน จํานวนวิธีจะลดลงอีก เหลือ วิธี)แบบฝึกหัด 16.2(10) ให้หาค่าของ 10! , 6!3! , P7! 4!7! 4,3, และ P 7,3+(11) ถ้า (n 3)! = 30 จงหาค่า n(n+1)!Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)22!

คณิตศาสตร O-NET / A-NET336ความนาจะเปน(12) ให้หาค่า n ซึ่งทําให้ 2Pn,2+ 50 = P2n,2(13) ของต่างๆ กัน 4 ชิ้น นํามาจัดเป็นแถวได้กี่วิธี ถ้า(13.1) ใช้ทุกชิ้นเท่านั้น(13.2) ใช้มากกว่า 1 ชิ้น(14) นําอักษรจากคําว่า STAND มาเรียงเป็นคําได้กี่แบบ ถ้า(14.1) ใช้ทุกตัว(14.2) เลือกมาเพียง 3 ตัว(15) คําว่า HONESTY สามารถนําอักษรมาเรียงเป็นคําได้กี่คําหาก (15.1) S และ T ต้องติดกันเสมอ(15.2) S และ T ต้องไม่ติดกัน(16) มีชาย 3 คน หญิง 2 คน จะจัดคนทั้ง 5 มายืนเรียงแถว โดยผู้ชายยืนติดกันและผู้หญิงยืนติดกัน ได้กี่วิธี และถ้าบังคับให้ยืนสลับกันจะได้กี่วิธี(17) จงหาจํานวนวิธีที่จะจัดชาย 5 คน หญิง 4 คน นั่งบนเก้าอี้เรียงยาว โดยต้องไม่มีผู้หญิงคนใดนั่งติดกัน(18) มีชาย 3 คน หญิง 2 คน โดยใน 2 คนนี้มี ด.ญ.อ้อ รวมอยู่ด้วย จะจัดแถวได้กี่แบบ ถ้า ด.ญ.อ้อ ต้องยืนหัวแถวหรือท้ายแถวเสมอ(19) อักษรคําว่า TRIANGLE นํามาจัดเป็นคําได้กี่คํา หากต้องขึ้นต้นด้วย T และลงท้ายด้วย E(20) สลับที่ตัวอักษรจากคําว่า AMPLITUDE (โดยไม่คํานึงถึงความหมาย) ได้กี่คํา เมื่อ(20.1) สระไม่ติดกัน(20.2) พยัญชนะไม่ติดกัน(20.3) ต้องขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ และสระต้องไม่ติดกัน(20.4) ต้องขึ้นต้นด้วยสระ และสระต้องไม่ติดกัน(21) นําอักษรในคําว่า MISSISSIPPI มาเรียงสับเปลี่ยนได้กี่แบบS ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! SÂéíÒoÕ¡·ÕÇÒ ÁÒÖ§ËÂiºµaÇeÅ¢·Õ èeËç¹ä»¤Ù³ ËÃ×oÂ¡¡íÒÅa§ ËÃ×oãÊæ¿¤·oeÃÕÂÅæËÅ¡eÅÂäÁä´¹a¤Ãaº µo§¤oÂæ ¤í eËÁ×o¹ËaÇ¢o·Õ èæÅÇ¡o¹.. æÅaÒºa§eoiÁa¹ÁÕeÅ¢e´ÕÂÇ¡a¹¤Ù³¡a¹«éíÒæ Áa¹¡çe¡í¡ÒÃÂ¡¡íÒÅa§¢Öé¹eo§ ËÃ×oÒ¤Ù³æÅÇeÅ¢¤oÂæÅ´Å§æ Áa¹¡çe¡í æ¿¤·oeÃÕÂÅ¢Öé¹eo§¤×o¡ÒÃ¤í µÃ§æ ÁÒ¡o¹ æÅÇe¢ÕÂ¹¤íÒµoºãËÊÇÂ§ÒÁã¹ÃÙ»Â¡¡íÒÅa§ ËÃ×oæ¿¤·oeÃÕÂÅ¡ç¤oÂÇÒ¡a¹ËÅa§¨Ò¡¹aé¹¤Ãaº..(22) นําอักษรในคําว่า TROTTING มาเรียงสับเปลี่ยนได้กี่แบบ ถ้าบังคับว่า ต้องขึ้นต้นด้วยสระ และลงท้ายด้วยตัว T(23) นําอักษรในคําว่า ALGEBRA มาเรียงสับเปลี่ยนได้กี่แบบ ถ้าต้องรักษาลําดับของสระและพยัญชนะให้เป็นแบบเดิมB(24) มีวิธีเดินทางจาก A ไป B ได้กี่แบบ ถ้าเดินทางได้ตามเส้นที่กําหนดเท่านั้น และเดินทางได้เฉพาะทิศเหนือ กับทิศตะวันออก(25) นําอักษรจากคําว่า ARRANGE มา 3 ตัวเพื่อจัดเป็นคํา Aจะจัดได้กี่แบบ(26) จัดคน 4 คน คือ ก, ข, ค, ง นั่งล้อมเป็นวงกลมได้กี่วิธี ให้ตรวจสอบคําตอบโดยการเขียนวิธีทั้งหมด(27) จัดลูกปัด 4 สี มาร้อยเป็นวงได้กี่วิธี ให้ตรวจสอบคําตอบโดยการเขียนวิธีทั้งหมดNMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET337ความนาจะเปน(28) มีชาย 3 คน หญิง 3 คน จะนั่งสลับชายหญิงรอบโต๊ะอาหารวงกลมได้กี่แบบ(29) ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งรอบโต๊ะกลม โดยชายหญิงต้องสลับกันครั้งละ 2 คน จะมีวิธีจัดกี่แบบ(30) สามีภรรยาเชิญแขกมารับประทานอาหาร 4 คน จะจัดที่นั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่แบบ หากสามีภรรยาต้องนั่งติดกันเสมอ(31) มีวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 4 คน นั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี ถ้าไม่มีหญิงคนใดนั่งติดกันเลย16.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่มวิธีจัดหมู่ (Combination) ต่างจากเรียงสับเปลี่ยน ตรงที่จะไม่คํานึงถึงลําดับก่อนหลังเช่น สมมติมีตัวอักษร 3 ตัว คือ ABC จะได้ว่าP3,2= 6 ได้แก่ AB, AC, BA, BC, CA, CBแต่ C 3,2= 3 ได้แก่ AB, AC, BCAB กับ BA การเรียงสับเปลี่ยนถือว่าต่างกัน แต่การจัดหมู่ถือว่าเป็นวิธีเดียวกันจํานวนวิธีจัดหมู่สิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง โดยที่คัดออกมา r สิ่ง จะมีเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ C n,r หรือ n C r และนิยมเขียนเป็น n r⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠5จากการหยิบของ 5 ชิ้น ออกจากกองที่มี 12 ชิ้น 12ก็เหมือนการแบ่งแยกของออกเป็นสองกลุ่ม กลุ่มละ 5 และ 7 ชิ้น 7ซึ่งแบ่งกลุ่มได้ 12! วิธี เรียกว่า กฎการแบ่งกลุ่ม (Partitioning Law)5! ⋅ 7!ขยายผลออกไปถึงการแบ่งของ 12 ชิ้น เป็นสามกอง ดังนี้12n!(n−r)! ⋅ r !543วิธีอ่านว่า “n เลือก(choose) r”nPrข้อสังเกต สูตรการจัดหมู่ คิดโดยนําการเรียงสับเปลี่ยนมาแล้วหารลําดับทิ้งไป คือ C =ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีที่จะหยิบสลาก 5 ชิ้น ออกมาจากกองที่มีอยู 12 ชิ้นตอบ⎛12⎞ 12!⎜7925 ⎟ = =⎝ ⎠ 7! ⋅ 5!วิธี⎛12⎞ ⎛12⎞ขอสังเกต ⎜ =5 ⎟ ⎜ 7 ⎟ หรือ n =n⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜n r⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ตัวอยาง ดินสอสี 1 โหล มีสีตางๆ กัน ตองการหยิบ 5 แทง ตามเงื่อนไขตอไปนี้ จะไดกี่วิธี(ก) แตละครั้งตองมีสีแดง ตอบ1 11(ข) แตละครั้งตองไมมีสีแดง ตอบ11⎛ ⎜ ⎞⎛ ⎞ = 1⎟⎜4⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎜⎞ = 5 ⎟⎝ ⎠⎜ 5 ⎟⎝ ⎠462⎛หรือ คิดจาก จํานวนวิธีทั้งหมด ลบดวยจํานวนวิธีที่มีสีแดง ก็ได 12 ⎞ − 330 = 462 วิธี330Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)วิธีวิธีnrr!

คณิตศาสตร O-NET / A-NET338ความนาจะเปนก็จะมีจํานวนวิธีเป็น12!5! ⋅ 4! ⋅ 3!วิธี (พิสูจน์ได้จาก⎛12⎞ ⎛7⎞⎛3⎞⎜ 5 ⎟ ⎜4⎟⎜3⎟)⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠แต่ถ้ามีกองใดที่จํานวนเท่ากัน ที่ถือว่าไม่แตกต่างกัน จํานวนวิธีจะลดลงโดยคิดเช่นเดียวกับการสับเปลี่ยน เช่น จากแผนภาพด้านขวานี้12!จะแบ่งได้ วิธี3(2 !) ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5 !3! ที่เพิ่มเข้ามา เนื่องจากมี 3 กองที่สลับกันเองไม่มีความหมาย จํานวนวิธีจึงต้องลดลง1222215ตัวอยาง มีคน 4 คน จัดเปนสองกลุม กลุมละ 2 คน ไดกี่แบบ4!ตอบ 3 แบบ2(2 !) ⋅ 2 ! =ตัวอยาง คน 12 คน แบงเปน 5 กลุม ที่มีจํานวน 2, 2, 2, 3, 3 คน ไมใหซ้ําแบบกันเลยไดกี่แบบ138, 600 แบบ12!ตอบ3 2⋅ ⋅ ⋅(2!) 3! (3!) 2! =(32) ถ้า C 18,r= C 18,r + 2จงหาค่า rแบบฝึกหัด 16.3(33) [Ent’20] มีนวนิยายที่น่าอ่านวางอยู่ 10 เล่ม ขอยืมไปอ่าน 3 เล่ม จะมีวิธีเลือกหนังสือกี่วิธี(34) จุด 6 จุด กระจายกันอยู่บนเส้นรอบวงกลม จะสร้างสามเหลี่ยมจากจุดเหล่านี้ได้กี่รูป(35) หาจํานวนวิธีเลือกกรรมการชุดละ 8 คน จากนักเรียนหญิง 6 คน ชาย 10 คน โดย(35.1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม(35.2) ต้องมีหญิง 2 คนเท่านั้น(35.3) ต้องมีหญิงอย่างน้อย 5 คน(35.4) ต้องมีหญิงมากกว่า 1 คน(36) ถุงใบหนึ่งมีบอลสีขาว 6 ลูก สีดํา 5 ลูก จะมีกี่วิธีที่หยิบบอลออกมา 4 ลูกพร้อมกัน และได้สีขาวกับดํา อย่างละ 2 ลูก(37) ในการประชุม มีนักธุรกิจ 3 คน นักวิชาการ 8 คน และอาชีพอื่นๆ 10 คน ต้องการเลือกกรรมการ 4 คน โดยต้องมีนักธุรกิจรวมอยู่อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง จะมีวิธีจัดกรรมการกี่แบบ(38) รถโรงเรียน 2 คัน มี 6 และ 9 ที่นั่ง ตามลําดับ จะจัดนักเรียน 13 คน ประจํารถได้กี่แบบ (มีที่ว่าง 2 ที่)(39) มีอักษร A, B, C, m, p, q, r, s, a, e, o, u นําอักษรทั้งหมดมาจัดเป็นคําโดยให้มีอักษรตัวพิมพ์ใหญ่ขึ้นต้น และพยัญชนะตัวเล็ก 3 ตัว สระ 2 ตัว ได้กี่คํา(40) อักษรชุดหนึ่งได้แก่ a, a, a, b, b, c, c, d, d, e, fนํามาจัดเป็นคําที่มีความยาว 4 ตัวอักษร ได้กี่แบบ7¤Ò¢o§ ( )S ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! S2 ¡aº 7 6( ) ( )1 1 äÁe·Ò¡a¹¹a¤ÃaºeÃÒµo§eÅ×o¡ãªãËÙ¡æºº ...¤ÇÒÁæµ¡µÒ§¤×o7 6( ) ( )1 1 ¹aé¹ÁÕÅíÒáºe¡í ¢Öé¹´ÇÂ (Êiè§·Õ èeÅ×o¡ÁÒä´ã¹æµÅa¢a é¹µo¹×oÇÒÊÅaº¡a¹æÅÇ¼ÅÅa¾¸e»ÅÕèÂ¹)7æµ ( )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)2 ¹a é¹eÅ×o¡¾ÃoÁæ ¡a¹ o´ÂäÁ¤íÒ¹Ö§ÅíÒáº¡o¹ËÅa§ (Êo§ªié¹·Õ èeÅ×o¡ÁÒ×oÇÒÈa¡íìÈÃÕe·Ò¡a¹)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET339ความนาจะเปน(41) การแข่งขันเทนนิสมีนักกีฬาเข้าร่วมแข่งขัน 10 คน เป็นการแข่งแบบพบกันหมด หากใน 1 วันจัดแข่งได้ 4 คู่ จะต้องใช้เวลาทั้งหมดกี่วัน(42) มีคน 9 คน แบ่งเป็น 3 กลุ่ม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่วิธี(42.1) 4, 3, 2 คน(42.2) กลุ่มละ 3 คน(43) นักกีฬาเทนนิส 9 คน ถูกแบ่งเป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 3 คน เพื่อไปแข่งที่สหรัฐอเมริกา, อังกฤษ, ฝรั่งเศส จะแบ่งได้กี่วิธี(44) นักเรียน 7 คน เข้าห้องพัก 3 ห้อง ซึ่งมีขนาด 3, 2, 2 คน แต่ละห้องถือว่าต่างกัน จะจัดได้กี่วิธี (ลองคิดแบบแบ่งกลุ่มก่อน แล้วค่อยจัดเข้าห้อง)16.4 การนับในกรณีอื่นๆการนับรูปเรขาคณิต1. จํานวนเส้นตรง⎛จุด 5 จุด (ที่ไม่มีสามจุดใดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน) สร้างเส้นตรงได้ 5 ⎞⎜2⎟เส้น⎝ ⎠⎛แต่ถ้ามี 3 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน สร้างเส้นตรงได้ 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ − + 1 เส้น⎜2⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛หมายเหตุ การลบ 3 ⎞⎜2⎟แล้วบวก 1 หมายความว่า จุดสามจุดในแนวเดียวกันทําให้จํานวนเส้นตรงที่⎝ ⎠ได้นั้นหายไปหมด เหลือเพียงเส้นเดียว จึงลบเส้นตรงที่เกิดจากสามจุดนี้ออกให้หมด แล้วบวกกลับไปเพียง 1 เส้น2. จํานวนสามเหลี่ยม⎛จุด 5 จุด (ที่ไม่มีสามจุดใดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน) สร้างสามเหลี่ยมได้ 5 ⎞⎜3⎟รูป⎝ ⎠⎛แต่ถ้ามี 3 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน สร้างสามเหลี่ยมได้ 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ − รูป⎜3⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠3. จํานวนจุดตัดของเส้นตรง กับวงกลม⎛เส้นตรง 8 เส้น จะมีจุดตัดเกิดขึ้นได้มากที่สุด 8 ⎞⎜2⎟จุด⎝ ⎠⎛5⎞วงกลม 5 วง รัศมีต่างๆ กัน จะมีจุดตัดเกิดขึ้นมากที่สุด 2 ⋅ จุด ⎜ 2 ⎟⎝ ⎠เส้นตรง 8 เส้นกับวงกลม 5 วง ตัดกัน เกิดจุดตัดมากที่สุด⎛8⎞ ⎛5⎞ ⎛8⎞ ⎛5⎞⎜ 2 22⎟+ ⋅ ⎜ + ⋅2⎟ ⎜1⎟⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠จุด4. จํานวนสี่เหลี่ยมเส้นขนานสองชุด จํานวน 5 เส้น กับ 4 เส้น ดังภาพ⎛จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมขึ้น 5 ⎞⎛ 4 ⎞⎜2⎟⎜2⎟รูป⎝ ⎠⎝ ⎠Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET340ความนาจะเปนการจัดหมู่สิ่งของที่เหมือนกันหมด (Stars and Bars)กรณีที่สิ่งของที่เราจะจัดหมู่นั้นเหมือนกันหมด เช่น การแจกลูกอมให้เด็กๆ และต้องการคิดว่าแบ่งเป็นปริมาณต่างๆ กันได้กี่ลักษณะ จะต้องใช้หลัก Stars and Bars ดังตัวอย่างนี้ตัวอยาง มีลูกอมที่เหมือนกัน 9 เม็ด ตองการแบงใหเด็ก 3 คน ตามเงื่อนไขตอไปนี้ จะไดกี่วิธี(ก) ทุกคนตองไดรับ (อยางนอยคนละ 1 เม็ด)วิธีคิด นําลูกอมมาวางเรียงแถวกัน 9 เม็ด จะเกิดชองวาง 8 ชอง (เปรียบเทียบลูกอมเหมือน⎛ดวงดาว) ใหเราเอาไม 2 อันไปวางกั้นในชองสองชองใดๆ ก็จะไดลูกอมเปน 3 กองพอดี นั่นคือ 8 ⎞⎜2⎟วิธี⎝ ⎠(ข) บางคนอาจจะไมไดรับ (คือแบงอยางไรก็ได)วิธีคิด ใหเพิ่มลูกอมเขาไปเทาจํานวนคนกอน กลายเปน 12 เม็ด มีชอง 11 ชอง แบงใหคนสามคนตามหลัก Stars and Bars ในขอ (ก) ซึ่งทุกคนจะไดอยางนอย 1 เม็ด แลวไมวาจะแบงวิธีใดก็เอาคืนมา⎛จากเด็กคนละเม็ด (เหลือ 9 เม็ดเทาเดิม) จะทําใหบางคนไมมีลูกอมอยูเลย ดังนั้น แบงได 11 ⎞⎜2⎟ วิธี⎝ ⎠การแบ่งของแบบ Stars and Bars นั้น ของแต่ละกลุ่มที่ได้ถือว่าต่างกัน (มีลําดับเกิดขึ้น)เช่น เป็นการแบ่งลูกอมให้เด็ก 3 คน ชื่อ ก, ข, ค ตามลําดับ.. แต่หากจะแบ่งลูกอมเป็นกองๆ 3กอง (ซึ่งสลับกันไม่มีความหมาย) จะใช้ Stars and Bars ไม่ได้ ต้องนับเอาโดยตรงการนับ “จํานวนเต็มที่หารลงตัว”เราสามารถนําการนับเบื้องต้นผสมกับการสังเกต เพื่อนับจํานวนเกี่ยวกับการหารลงตัวได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้38 = 2 มีจํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว 4 จํานวน คือ 2,2,2,20 1 2 3225 = 5 มีจํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว 3 จํานวน คือ 5,5,50 1 23 1 1120 = 2 × 3 × 5 มีจํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว 16 จํานวน (4x2x2) คือ0 0 02 × 3 × 5 | 2 0 × 3 0 × 51 | 2 0 × 3 1 × 50 | 2 0 × 3 1 × 511 0 02 × 3 × 5 | 2 1 × 3 0 × 51 | 2 1 × 3 1 × 50 | 2 1 × 3 1 × 512 0 02 × 3 × 5 | 2 2 × 3 0 × 51 | … | 2 3 × 3 1 × 51แบบฝึกหัด 16.4(45) จุด 6 จุด ไม่มี 3 จุดใดที่อยู่ในแนวเดียวกันเลย จะสร้างเส้นตรงได้กี่เส้น และสร้างรูปเหลี่ยมใดๆ ได้กี่รูป(46) จุด 7 จุด มี 4 จุดอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน และอีก 3 จุดก็อยู่ในแนวเส้นตรงเช่นกัน จะสามารถลากเส้นตรงได้กี่แบบ และสร้างสามเหลี่ยมได้กี่รูป(47) รูปหกเหลี่ยม มีจุดยอด 6 จุด จุดกึ่งกลางด้านอีก 6 จุด จะลากเส้นเชื่อมจุดได้กี่เส้น(48) รูป 20 เหลี่ยมด้านเท่า มีเส้นทแยงมุมกี่เส้น(49) เส้นตรง 5 เส้นไม่ขนานกัน กับวงกลมรัศมีต่างๆ กัน 4 วง จะเกิดจุดตัดมากที่สุดเท่าใด(50) เส้นขนานชุดหนึ่งมี 6 เส้น อีกชุดมี 3 เส้น ตัดกันจะเกิดสี่เหลี่ยมด้านขนานกี่รูปMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET341ความนาจะเปน(51) [พื้นฐานวิศวะ '39]รูปที่กําหนดให้นี้ มีรูปสี่เหลี่ยมอยู่ทั้งหมดกี่รูป(52) มีบอล 6 ลูกซึ่งเหมือนกัน แบ่งให้ นาย ก และ ข จะแบ่งได้กี่วิธี หากกําหนดว่า(52.1) แต่ละคนต้องได้รับอย่างน้อย 1 ลูก(52.2) บางคนอาจไม่ได้รับ(53) มีบอล 6 ลูกซึ่งเหมือนกัน แบ่งออกเป็น 2 กอง จะแบ่งได้กี่วิธี หากแต่ละกองต้องมีอย่างน้อย1 ลูก เทียบผลกับข้อ (52.1)(54) ลูกอมแบบเดียวกัน 7 เม็ด แบ่งให้เด็ก 4 คน ได้กี่วิธี(54.1) แต่ละคนได้อย่างน้อย 1 เม็ด(54.2) แบ่งอย่างไรก็ได้(55) ลูกอมแบบเดียวกัน 7 เม็ด แบ่งเป็น 4 กอง ได้กี่วิธี ถ้าแต่ละกองต้องมีอย่างน้อย 1 เม็ดเทียบผลกับข้อ (54.1)(56) มีจํานวนเต็มบวกที่หาร 100,000 ลงตัวกี่จํานวน(57) มีจํานวนที่หาร 120 ลงตัว กี่จํานวน (จํานวนเต็มบวก, เต็มลบ)(58) มีจํานวนที่หาร xy a b ลงตัวกี่จํานวน ถ้า x, y เป็นจํานวนเฉพาะ0(a + b) = 11(a + b) = a + b2(a + b) =2a2+ 2ab + b3(a + b) =3a2 2+ 3a b + 3ab3+ b4(a + b) =4a3 2 2+ 4a b + 6a b3+ 4ab4+ b16.5 ทฤษฎีบททวินามสามเหลี่ยมของปาสคาล11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1nทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem) คือ ทฤษฎีที่กล่าวถึงการกระจายทวินาม (a + b)เมื่อ a และ b เป็นจํานวนจริง, n และ r เป็นจํานวนนับ โดย 0 < r < nn nn+ = ⎜0⎟ + ⎜ + + +1⎟⎜2⎟⎜n⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛n⎞−⎛Tr+1 = ⎜ a br ⎟ และเรียก n ⎞⎜⎝ ⎠r ⎟⎝ ⎠n ⎛ ⎞ n 0 ⎛ ⎞ n−1 1 ⎛ ⎞ n−2 2 ⎛n⎞0 nจะได้ (a b) a b a b a b ... a bเรียกพจน์ที่ r+1 เป็นพจน์ทั่วไปn r rใดๆ ว่าสัมประสิทธิ์ทวินามข้อสังเกต⎛1. จํานวนพจน์ทั้งหมดจะมี n+1 พจน์ คือเริ่มจากสัมประสิทธิ์ n ⎞⎜0⎟ถึง ⎛ n ⎞⎜⎝ ⎠ n⎟⎝ ⎠กําลังของ a ค่อยๆ ลดลง ในขณะที่กําลังของ b เพิ่มขึ้น และนํากําลังมารวมกันจะได้ n เสมอMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET342ความนาจะเปน2. สัมประสิทธิ์ทวินามอาจไม่ใช่สัมประสิทธิ์จริงๆ ของพจน์นั้น(หากใน a หรือ b มีสัมประสิทธิ์อยู่อีก)⎛n⎞ ⎛n⎞⎛n⎞⎛n⎞n3. + + + ... + = 2⎜0⎟ ⎜1⎟⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜n⎟⎝ ⎠ดังเช่นเคยพบตอนที่หาจํานวนสับเซตทั้งหมด ของเซตที่มีสมาชิก n ตัว(59) จงกระจายโดยอาศัยทฤษฎีบททวินาม5(59.1) (a + b)4(59.2) (2x − 3y)2 4(59.3) (1 − 2x + x )1 8(60) จากการกระจาย (3x + ) จงหาyแบบฝึกหัด 16.5(60.1) พจน์ที่ 4(60.2) สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ที่ 6(60.3) สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ที่มี x6(60.4) สัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง32 12(61) จากการกระจาย (x + ) จงหา4x(61.1) พจน์ที่ 6(61.2) สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ที่ 6(61.3) สัมประสิทธิ์ของ x6(61.4) พจน์ที่ไม่มีตัวแปร x7(62) จงหาค่าโดยประมาณของ (2.001) โดยบอกทศนิยม 6 ตําแหน่ง7[ Hint : (2 0.001)+ ]7* (63) จากการกระจาย (2x + 3y) จงหา(63.1) ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินามของทุกพจน์(63.2) ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์โจทย์ทบทวนเรื่องเทคนิคการนับ(64) หาจํานวนวิธีในการแบ่งหนังสือ 12 เล่มต่างๆ กัน ออกเป็นกองๆ 3 กอง(64.1) กองละ 3, 4, 5 เล่ม(64.2) ทุกกองจํานวนเท่ากัน(65) หนังสือ 9 เล่ม แบ่งให้นาย ก, ข, ค ได้กี่วิธี ถ้าหาก(65.1) คนหนึ่งได้ 2 เล่ม อีกคนได้ 3 เล่ม อีกคนได้ 4 เล่ม(65.2) คนหนึ่งได้ 5 เล่ม อีก 2 คนได้เท่ากัน(65.3) หนังสือทั้ง 9 เล่มเหมือนกันหมดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET343ความนาจะเปน(66) เด็กคนหนึ่งมีบอลต่างๆ กัน 10 ลูก จะแบ่งเป็น 5 กอง โดยมี 3 กองที่กองละ 2 ลูก และอีก2 กองมีกองละลูก ได้กี่วิธี(67) เด็กคนหนึ่งมีบอลต่างๆ กัน 10 ลูก จะแบ่งให้เพื่อน 5 คน โดยมี 3 คนได้คนละ 2 ลูก และอีก 2 คนได้คนละลูก ได้กี่วิธี(68) แบ่งชาย 5 คน หญิง 3 คน เข้าพักในห้อง 3 ห้องที่มีขนาด 3, 3, 2 คน (ห้องต่างกัน) จงหาจํานวนวิธีแบ่ง เมื่อ(68.1) ใครอยู่ห้องไหนก็ได้(68.2) ผู้หญิง 3 คนต้องอยู่ด้วยกัน(68.3) ผู้หญิง 3 คนต้องอยู่คนละห้องกัน(69) จงหาจํานวนวิธีแบ่งพนักงาน 6 คนเป็น 3 กลุ่ม (กลุ่มละกี่คนก็ได้) เพื่อไปทํางาน 3 อย่าง(69.1) ที่แตกต่างกัน(69.2) ที่เหมือนกัน(70) ครูมีหนังสือ 8 เล่มที่ต่างกัน จะแบ่งให้เด็ก 3 คน อย่างน้อยคนละเล่ม ได้กี่วิธี(71) นักเรียน 12 คน ในจํานวนนี้มีนาย ก, ข, ค ด้วย แบ่งเป็น 3 กลุ่ม เท่าๆ กัน จะแบ่งได้กี่วิธีถ้า (71.1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม(71.2) นาย ก, ข, ค อยู่ด้วยกัน(71.3) นาย ก, ข, ค อยู่แยกกันหมด(72) เด็กคนหนึ่งมีลูกแก้วเหมือนกัน 12 ลูก ต้องการแบ่งให้เพื่อน 3 คน จงหาจํานวนวิธี เมื่อ(72.1) แต่ละคนได้อย่างน้อย 1 ลูก(72.2) แต่ละคนได้อย่างน้อย 2 ลูก(72.3) อาจมีบางคนไม่ได้รับเลย(73) จดหมายเหมือนกัน 9 ฉบับ ต้องการใส่ตู้ไปรษณีย์ 5 ตู้ จะมีกี่วิธี เมื่อ(73.1) ทุกตู้ต้องมีจดหมาย(73.2) ใส่เพียง 3 ตู้เท่านั้น(74) ชายคนหนึ่งประกอบรถยนต์จําหน่าย เขามีตัวถังรถ 4 ชนิด เครื่องยนต์ 2 ชนิด สีพ่นรถ 5 สีเขาจะผลิตรถยนต์ต่างๆ กันได้กี่แบบ(75) ผู้ตรวจงานจะต้องตรวจเครื่องจักร 6 เครื่องทุกวัน เขาพยายามเปลี่ยนลําดับก่อนหลังในการตรวจ เพื่อไม่ให้พนักงานรู้ตัว จงหาวิธีทั้งหมดที่จะใช้ได้(76) สารเคมีชนิดหนึ่งเกิดจากสาร 5 ชนิดผสมกัน โดยเทสารผสมทีละอย่าง จงหาว่ามีวิธีผสมกี่วิธีถ้าสมมติว่าเทสารใดก่อนหลังก็ได้(77) ในการจัดแถวเด็กชาย 5 คน ซึ่งมี ด.ช.บอย รวมอยู่ด้วย และมีเด็กหญิงอีก 5 คน จงคํานวณวิธีจัด ถ้า(77.1) ด.ช.บอย ต้องยืนหัวแถวเสมอ(77.2) ด.ช.บอยยืนหัวแถว และสลับชายหญิง(78) เซต A = { 3, 4, 5}จงหาว่ามีเลขกี่จํานวนซึ่งประกอบด้วยเลขจากเซต A และ(78.1) มีค่าน้อยกว่า 500(78.2) มีค่าน้อยกว่า 500 และเป็นจํานวนคู่Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET344ความนาจะเปน(79) มีกี่จํานวนที่ประกอบจากเลข 2, 4, 6, 8 (ใช้ได้เพียงตัวละครั้ง) แล้วมีค่ามากกว่า 999(80) นําอักษรในคําว่า SPECTRUM มาเรียงเป็นคําที่มี 4 อักษร โดยอักษรในคําไม่ซ้ํากัน(80.1) ได้กี่คํา(80.2) ถ้าตัวสุดท้ายเป็นสระเสมอ ได้กี่คํา(81) จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดนักเรียน 6 คน นั่งล้อมรอบโต๊ะกลม โดยที่นาย ก และ ข ซึ่งอยู่ในจํานวน 6 คนนั้น จะต้องนั่งติดกันเสมอ(82) มีจุด 10 จุดบนเส้นรอบวงกลม จะสร้างหกเหลี่ยมได้กี่รูป(83) มีจํานวนบวก 6 จํานวน, จํานวนลบ 8 จํานวน, ถ้าเลือกมา 4 จํานวนโดยการสุ่ม จงหาจํานวนวิธีที่เลข 4 จํานวนนั้นคูณกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็นบวก(84) มีหนังสือบนชั้น 12 เล่ม จงหาจํานวนวิธีแบ่งหนังสือให้นาย ก 4 เล่ม และนาย ข 3 เล่ม(85) ตะกร้าใบหนึ่งบรรจุบอลสีแดง 5 ลูก ขาว 4 ลูก ถ้าหยิบมา 3 ลูก จะมีกี่วิธีที่บอล 3 ลูกนั้นมีสีขาวอย่างน้อย 1 ลูก เมื่อ(85.1) หยิบออกมาทีละลูก โดยไม่ใส่คืน(85.2) หยิบพร้อมกันทั้ง 3 ลูก(86) จงหาจํานวนวิธีเลือกไพ่ 4 ใบจากไพ่สํารับหนึ่ง แล้วได้ A, K, Q, J โดยที่ไพ่เหล่านี้(86.1) มาจากชุดต่างกันหมด(86.2) มาจากชุดเดียวกันหมด(86.3) มาจากชุดใดก็ได้หมายเหตุ ชุดของไพ่ มี 4 ชุด (ดอก) และ ชนิดของไพ่ มี 13 ชนิด (เลข)(87) แจกไพ่ทีละ 5 ใบ จงหาจํานวนวิธีทั้งหมด ที่ไพ่ในมือหนึ่งจะเป็นชุดเดียวกันทั้ง 5 ใบ(88) หาวิธีที่ไพ่ในมือหนึ่งมีโพดํา 5 ใบ โพแดง 5 ใบ และ ข้าวหลามตัด 5 ใบ(89) หาวิธีที่ไพ่ในมือหนึ่งซึ่งมี 5 ใบ จะมีชนิดเดียวกัน 3 ใบ และอีกชนิด 2 ใบ เช่น AAA22(90) หาวิธีที่ไพ่ในมือหนึ่งซึ่งมี 5 ใบ จะมีชนิดเดียวกัน 2 ใบ อีกชนิด 2 ใบ และอีกชนิด 1 ใบ เช่นAA223(91) ชาย 5 คน หญิง 5 คน ถ่ายรูปร่วมกัน โดยผู้ชายยืนแถวหลัง ผู้หญิงนั่งแถวหน้า ได้กี่แบบ(92) จงหาจํานวนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ จากการยิงปืน 10 นัดไปยังเป้าที่แบ่งเป็น 5 ส่วน(93) ทีมฟุตบอล 10 ทีม จัดประกบคู่กัน 5 คู่ โดยแข่งวันละคู่ จะมีการจัดที่เป็นไปได้กี่แบบ(94) ระบายสี 6 สีบนลูกเต๋า ด้านละสี ได้กี่แบบ(95) ระบายสี 5 สีบนลูกเต๋า ด้านละสี โดยไม่ให้สีเดียวกันอยู่ติดกัน ได้กี่แบบ(96) ระบายสีบนลูกบาศก์หน้าเกลี้ยง ด้านละสี ได้กี่แบบ ถ้า(96.1) ระบาย 6 สี(96.2) ระบาย 5 สี โดยสีเดียวกันต้องไม่อยู่ติดกัน(96.3) ระบาย 4 สี โดยสีเดียวกันต้องไม่อยู่ติดกัน(97) นาย ก และ ข อยู่ในหมู่ 7 คน จงหาวิธีจัด 7 คนนั่งล้อมวง โดยไม่ให้ 2 คนนี้อยู่ติดกันMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET345ความนาจะเปน(98) จํานวนเต็มบวกที่หาร 25,000,000 ลงตัว มีกี่จํานวน(99) เส้นทางการเดินทางจากเมือง A ไป B เป็นดังรูป ถ้าไปได้ทางทิศเหนือกับตะวันออกเท่านั้น จะไปได้กี่เส้นทางและหากต้องแวะเติมน้ํามันที่จุด F ด้วย จะเหลือกี่เส้นทาง(100) คณะผู้แทนไทย 25 คนไปเยี่ยมประเทศจีน และมีเจ้าภาพมาต้อนรับ 15 คน ถ้าผู้แทนทุกคนต้องทักทายเจ้าภาพให้ครบทุกคนด้วย จะมีการทักทายเกิดขึ้นทั้งหมดกี่ครั้ง(101) ในงานเลี้ยงศิษย์เก่า มีผู้ไปงาน 150 คน ถ้าทุกคนทักทายกันและกัน จะมีการทักทายกี่ครั้ง(102) มีกี่จํานวนที่สร้างจาก 0 0 1 1 2 3 3 แล้วมีค่าเกิน 1 ล้าน(103) จัดคน 5 คน เข้าพักในห้อง 3 ห้องต่างๆ กัน ซึ่งจุห้องละ 2 คน ได้ทั้งหมดกี่วิธี(104) แบ่งนักเรียน ชาย 3 คน หญิง 5 คน ออกเป็น 2 กลุ่มเท่ากัน เป็นกลุ่ม A และ B โดยแต่ละกลุ่มต้องมีผู้ชายอยู่ด้วย ได้กี่แบบ(105) ชาย 5 คน หญิง 5 คน ยืนสลับกันในแถวตรง โดยนาย ก กับนางสาว ข ต้องอยู่ติดกันเสมอได้กี่แบบ(106) นักเรียน 10 คน เรียงแถวเป็นวงกลม โดยมี 1 คนอยู่กลางวง ได้กี่แบบ(107) แจกของเล่น 5 ชิ้นต่างๆ กัน ให้เด็ก 3 คน (ทุกคนต้องได้อย่างน้อย 1 ชิ้น) ได้กี่วิธี(108) แบ่งทอฟฟี่ 5 ชนิด ชนิดละ 2 เม็ด ให้เด็ก 2 คน คนละ 5 เม็ด ได้กี่แบบ(109) บ้านพักมี 5 ห้อง เป็นห้องคู่ 3 ห้อง และห้องเดี่ยว 2 ห้อง สามารถจัดคน 8 คนเข้าพักโดยในจํานวนนี้มีสามีภรรยาคู่หนึ่งต้องพักด้วยกัน ได้ทั้งหมดกี่วิธี(110) ลูกเต๋า 2 ลูกที่ต่างกัน นํามาวางประกบกันได้ทั้งหมดกี่แบบ(111) นาย ก และนาย ข เข้าไปจอดรถในที่จอดซึ่งเป็นแถวยาว จอดได้ n คัน โดย ก และ ข ต้องจอดห่างกันเว้น 1 ช่อง สามารถทําได้กี่แบบ (ขณะนั้นไม่มีรถคันอื่นอยู่เลย)* (112) กําหนด A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,3,5,7}ถ้าให้ C = {E | E ⊂ A และ E∩ B ≠ ∅ } จงหาจํานวนสมาชิกของเซต C* (113) A = {1,2,3,4}(113.1) มีความสัมพันธ์ภายใน A ทั้งหมดกี่แบบ(113.2) มีความสัมพันธ์ภายใน A ที่มี A เป็นโดเมน ทั้งหมดกี่แบบ(113.3) มีฟังก์ชันจาก A ไป A ทั้งหมดกี่แบบ(113.4) มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก A ไปทั่วถึง A ทั้งหมดกี่แบบ16.6 ความน่าจะเป็นการทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือการกระทําที่เราไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละครั้งจะเกิด ผลลัพธ์ (Outcome) อะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่เป็นไปได้เซตของ “ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด” เรียกว่า ปริภูมิตัวอย่าง (Sample Space; S)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)AFBN

คณิตศาสตร O-NET / A-NET346ความนาจะเปนและเซตของ “ผลลัพธ์ใดๆ ที่เราสนใจ” เรียกว่า เหตุการณ์ (Event; E) ดังนั้น E ⊂ Sตัวอยาง การทดลองสุม โยนเหรียญ 1 อัน 3 ครั้ง มีผลลัพธที่เปนไปไดตางๆ กัน 8 แบบดังนั้น ปริภูมิตัวอยาง S={ HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}มีเหตุการณ E ⊂ S ที่เปนไปได 2 8 = 256 แบบเชน E 1 = ออกหัวเกิน 1 ครั้ง = { HHH, HHT, HTH, THH }E 2 =ออกอยางใดอยางหนึ่งลวน = { HHH, TTT }E 3 = ออกกอยในครั้งที่สอง = { HTH, HTT, TTH, TTT }E 4= ออกหัวและกอยเทาๆ กัน = ∅ความน่าจะเป็น (Probability) ของเหตุการณ์ที่เราสนใจจะหาได้เฉพาะเหตุการณ์ที่เป็นการทดลองสุ่มซึ่งโอกาสเกิดแต่ละผลลัพธ์มีค่าเท่าๆ กันเท่านั้นn(A)โดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใช้สัญลักษณ์ P(A) จะคํานวณได้จาก P(A) =เมื่อ n(A) คือจํานวนผลลัพธ์ที่อยู่ใน A และ n(S) คือจํานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้n(S)สมบัติของความน่าจะเป็น1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น 0 < P(A) < 1โดยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีผลลัพธ์เลย มีค่าเป็น 0 P( ∅ ) = 0และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์ได้ทุกแบบ มีค่าเป็น 1 P(S) = 12. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ รวมกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหลือ (ที่เราไม่สนใจ) จะได้ 1 เสมอ P(A) = 1 − P(A')3. ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ หาได้จาก P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)ซึ่งจากสมบัติข้อ 2 และ 3 ทําให้เราสามารถใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ช่วยคํานวณได้หมายเหตุความหมายของ A ∩ B ก็คือเหตุการณ์ “A และ B” (เกิดขึ้นครบทั้งสองอย่าง)ส่วน A ∪ B ก็คือเหตุการณ์ “A หรือ B” (เกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่างก็ได้)หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์ มีลักษณะดังนี้ A ∩ B = ∅เราจะเรียกเหตุการณ์ A และ B ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน (Mutually Exclusive) (หรือDisjoint) และจะทําให้ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)แต่หากเหตุการณ์สองเหตุการณ์มีลักษณะดังนี้ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)เราจะเรียกเหตุการณ์ A และ B ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่ขึ้นต่อกัน หรือ อิสระจากกัน (Independent)และจะทําให้ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A) ⋅ P (B)แบบฝึกหัด 16.6S ¨ú ·Õ è¼í ºoÂ! SÃaÇa§ÊaºÊ¹ÃaËÇÒ§¤íÒÇÒ eËµu¡ÒÃ³ ¡aº¤íÒÇÒ¼ÅÅa¾¸ ¹a¤Ãaº µo§¤í ãËÃoº¤oºÇÒo¨·ÂÒÁoaäÃ(114) โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน สนใจผลรวมแต้มของลูกเต๋า จงหาปริภูมิตัวอย่าง(115) ผลลัพธ์ของหน้าลูกเต๋าสองลูก (ลูกเต๋าไม่ต่างกัน) ที่โยนพร้อมๆ กัน มีกี่แบบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET347ความนาจะเปน(116) โยนเหรียญ 1 อัน และสนใจหน้าเหรียญที่หงายขึ้น จะมีเหตุการณ์กี่แบบ อะไรบ้าง(117) ถ้า P(A) = 0.48, P(B) = 0.32, และ P(A ∩ B) = 0.25∪ , P(A − B) , P(A'), และ P(B')จงหา P(A B)(118) ถ้า P(A) = 0.4, P(B) = 0.55, และ P(A ∩ B) = 0.15 จงหาความน่าจะเป็นของ(118.1) เหตุการณ์ A และ B(118.2) เหตุการณ์ A หรือ B(118.3) เหตุการณ์ที่ไม่ใช่ทั้ง A และ B(119) [Ent’39] ความน่าจะเป็นที่สมศักดิ์จะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ และเคมี เป็น 2 3 และ 4 9ตามลําดับ ถ้าความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านทั้งสองวิชา เป็น 1 4 จงหา(119.1) P {ผ่านอย่างน้อย 1 วิชา}(119.2) P {ผ่านเพียงวิชาเดียว}(119.3) P {ไม่ผ่านทั้ง 2 วิชา}(120) [Ent’39] ลูกเต๋าลูกหนึ่ง ถูกถ่วงน้ําหนักให้แต้มคู่แต่ละหน้ามีโอกาสเกิดเป็น 2 เท่าของแต้มคี่จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้ในการโยนแต่ละครั้ง(120.1) ได้แต้มคู่(120.2) ได้แต้มคี่(120.3) ได้จํานวนเฉพาะ(120.4) ได้แต้ม 1 หรือแต้มคู่(121) โยนลูกเต๋าที่แตกต่างกัน 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์(121.1) ผลรวมแต้มได้ 8(121.2) ผลรวมแต้มเป็นจํานวนเฉพาะ(121.3) ผลรวมแต้มเป็นจํานวนคู่(122) ถ้าสลับอักษรในคําว่า STATISTICS อย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่คําที่ได้นั้นจะ(122.1) มีตัว T ติดกัน 3 ตัว(122.2) มีตัว T ติดกัน 2 ตัว(123) กล่องใส่ลูกบอลสองใบ ใบแรกมีบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 3 ลูก และกล่องที่สองมีบอลสีแดง 3ลูก สีขาว 4 ลูก ถ้าสุ่มหยิบบอลอย่างสุ่มออกมากล่องละ 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่(123.1) ได้สีแดงทั้ง 4 ลูก(123.2) ได้สีขาวทั้ง 4 ลูก(123.3) ได้สีแดงอย่างน้อย 1 ลูก(123.4) ได้สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก(123.5) ได้สีละ 2 ลูก(124) [Ent’38] ในการประกวดร้องเพลงครั้งหนึ่ง มีผู้เข้ารอบ 3 คน แต่ละคนต้องสุ่มเลือกเพลงที่จะร้อง 1 เพลง จากเพลงบังคับที่มีอยู่ 5 เพลง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้(124.1) เลือกร้องเพลงเดียวกันทั้ง 3 คน(124.2) เลือกร้องเพลงเดียวกันเพียง 2 คน(124.3) มีคนร้องเพลงซ้ํากัน(124.4) ไม่มีคนร้องเพลงซ้ํากันMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET348ความนาจะเปน(125) [Ent’37] มีเลข 9 จํานวน ซึ่งเป็นบวก 6 จํานวน ลบ 2 จํานวน และศูนย์ 1 จํานวน ในจํานวนบวกมีเลขคู่กับคี่เท่าๆ กัน ในจํานวนลบก็เช่นกัน ถ้าสุ่มเลขดังกล่าวมา 4 จํานวน จงหา(125.1) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน เป็นศูนย์}(125.2) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน มากกว่าศูนย์}(125.3) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน น้อยกว่าศูนย์}(125.4) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน มากกว่าศูนย์และเป็นจํานวนคู่}(125.5) P {ผลคูณของเลขสี่จํานวน น้อยกว่าศูนย์และเป็นจํานวนคี่}(126) นักเรียน ม.4, 5, 6 ส่งตัวแทนชายหญิงมาชั้นละคู่ หากสุ่มเลือกตัวแทนออกมา 2 คน ความน่าจะเป็นที่จะได้ชายและหญิงที่มาจากชั้นต่างกัน เป็นเท่าใด(127) ครูมีหนังสือเรียน 5 วิชา วิชาละ 2 เล่ม (ที่เหมือนกัน) นํามาแบ่งให้นักเรียน 2 คน คนละ 5เล่มอย่างสุ่ม ให้หาความน่าจะเป็นที่นักเรียนแต่ละคนจะได้หนังสือครบทุกวิชา8(128) จากการกระจาย (4a + 5b) ถ้าสุ่มหยิบสัมประสิทธิ์ทวินามออกมา 2 จํานวน ให้หาความน่าจะเป็นที่จํานวนทั้งสองจะมีค่าไม่เท่ากัน(129) กล่องใบหนึ่งมีสลากตัวเลขจํานวนเต็มที่ไม่ซ้ํากัน ทุกใบเป็นจํานวนที่หารด้วย 4 หรือ 6 ลงตัวและมีค่ามากกว่า 10 แต่ไม่เกิน 100 หากสุ่มหยิบสลากออกมา 1 ใบ ให้คํานวณหาโอกาสที่ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 4 ไม่ลงตัว หรือหารด้วย 6 ไม่ลงตัว⎡k−4 1 ⎤A = ⎢ k k−6⎥(130) กําหนดเมตริกซ์และเซต 2B = {x∈ I | x < 21x} สุ่มสมาชิกจาก B⎣ ⎦มา 1 ตัว เพื่อแทนค่า k ในเมตริกซ์ A จงหาโอกาสที่ A จะเป็นนอนซิงกูลาร์เมตริกซ์(131) ตารางขนาด 12 ช่องนี้ ถูกทาสีลงไปตามลําดับทีละช่องอย่างสุ่มโดยการโยนเหรียญ คือถ้าเหรียญออกหัวจะทาสีแดง และถ้าออกก้อยจะทาสีเขียว ทําเช่นนี้จนครบทุกช่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ช่อง A, B, C, Dจะเป็นสีแดงหมดทั้งสี่ช่อง(132) สลากเลข 1 ถึง 4 อยู่ในกล่อง สุ่มหยิบขึ้นมาทีละใบจนครบทุกใบ ให้หาความน่าจะเป็นที่จะได้เลขเรียงจากน้อยไปมากพอดี (ลองคิดทั้งแบบการนับ และแบบความน่าจะเป็นคูณกัน)(133) ในโรงพยาบาลมีผู้ป่วยโรคหืดหรือหอบ 60% เป็นหืด 41% เป็นหอบ 28% ถ้าสุ่มเลือกผู้ป่วยมา 1 คน ให้หาความน่าจะเป็นที่คนไข้คนนี้จะเป็นโรคหืดเพียงอย่างเดียว(1) 18 (2) 125 (3) 72(4) 7! (5) 15 (6) 245 7(7) (5× 5) + (5× 5) (8) 100,48, 43, 30 (9) 140(10) 720, 1/28, 24, 210(11) 3 (12) 5 (13) 4!,P 4,2+ P 4,3+ P 4,4= 60(14) 5!, 5!2!เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(15) 6!2!, 7! − 6!2!(16) 24, 12 (17) 5! × P6,4(18) 4! × 2 (19) 6!(20) 5! P6,4× , 4!5!, 5! × P5,4,45! × × P5,3(21)(22)(24)11!4!4!2!6!2 × × 1 (23) 3! 4!2!2!7!(25) 3!(2× 4 × ) + P5,34!3! 2!BAD(26) 3! (27) 3!2C(28) 2!3!(29) 2 × 5!6! (30) 2!4!(31) 4! × P5,4(32) 810(33) ( )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)(34) 63 ( 3 ) (35) 16( )8 ,⎛6⎞ ⎛10⎞⎜2⎟ ⎜ 6 ⎟ , ⎛6⎞⎛10⎞ ⎛6⎞ ⎛10⎞⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5⎟ ⎜ 3 ⎟ + ⎜6⎟ ⎜ 2 ⎟ ,⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 16 6 10 108 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ − ⎜1⎟ ⎜ 7 ⎟ −⎛ ⎜ 8⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

คณิตศาสตร O-NET / A-NET349ความนาจะเปน6 5(36) ⎛ ⎜2⎞ ⎟ ⎛ ⎜2⎞ ⎟ (37)⎛ 3 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 18 ⎞⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ + ⎜3⎟⎜ 1 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎠13 13 13(38) ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ +⎛ ⎞ 3 5 4(39)⎜ 6 ⎟⎝ ⎠⎜ 5 ⎟ ⎜ 4 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠(40) 20 36 480 360(42.1)⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜1⎟⎜3⎟⎜2⎟5!⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎜ 2⎞ ⎟ ÷ →⎝ ⎠9!(3 !)+ + + (41) 10 4 129!4!3!2!7!3!2!2!9!(42.2)3(3 !) 3 !(43)3(44) (45) ⎛ ⎜6 2⎞ ⎟ , ⎛6 6 6 6⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⎜4⎟+ ⎜5⎟+⎛ ⎜6⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(46) ⎛ ⎜ 7 4 1 32 ⎞ ⎟− ⎛ ⎜2 ⎞ ⎟+ − ⎛ ⎜2⎞ ⎟+1, ⎛ ⎜ 7 4 3⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎟−⎛ ⎜3 ⎞ ⎟−⎛ ⎜3⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(47)⎛ 12 ⎞6⎛ 3 ⎞⎜ 2 ⎟− ⎜2⎟+6 (48)⎛ 20 ⎞⎜ 20⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 ⎟ −⎝ ⎠(49) ⎜ ⎛5 2 4 2 5 42 ⎟ ⎞ + ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 ⎟+ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ (50)⎛ 6 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠(51)⎛ 5 ⎞ 3 3 4 3 32 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜2⎟−⎛ ⎜2 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜2⎞ ⎟ (52)⎛ 5 ⎞⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1⎟, ⎛ 7 ⎞⎜⎝ ⎠ 1⎟⎝ ⎠(53) 3 (54) ⎛ ⎜6 3⎞ ⎟ , ⎛ 10 ⎞⎜⎝ ⎠ 3 ⎟⎝ ⎠(57) 32 (58) 2(a+ 1)(b + 1)(55) 3 (56) 36(59.1) a 5 + 5a 4 b+ 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 − 56x 3 + b54 3 2 2 3 4(59.2) 16x − 96x y+ 216x y − 216xy + 81y2 4 5 6 7 8(59.3) 1− 8x+ 28x + 70x − 56x + 28x − 8x + x8 1⎜3⎟(3x) ( ) (60.2) ⎛ ⎜8 ⎝ ⎠ y5⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝8⎜4⎟(3 ) (61.1)⎛12 ⎞ 2 7 3 5⎜ (x ) (4 )⎝ ⎠5 ⎟⎝ ⎠ x⎛ ⎞12 3⎜ ⎟ (61.3) พจน์ที่ 4 →⎛ ⎞⎜ (3 )⎝ ⎠3 ⎟⎝ ⎠12 3→⎛ ⎞⎜ 4 ⎟ (x ) (4 )⎝ ⎠ x5 3(60.1)⎛ ⎞4(60.4)⎛ ⎞(61.2) 12 5(61.4) พจน์ที่ 528 4(60.3) ⎛ ⎜8 2(62) 128.448673 (63.1) 2 7 (63.2) 5712! 12!9!(64)(65) ,, 33!4!5! (4 !) 3 !⎞⎜2⎟ , ⎛ ⎜8 ⎝ ⎠ 2⎞ ⎟ , ⎛ 14 ⎞⎜⎝ ⎠ 2 ⎟⎝ ⎠3!2!3!4!⎞ ⎟⎠10 8! (111) 2(n 2)⎝ 8 ⎠ (2 !) 3 !(1!) 2 !, 5!3!3!2! 1!2!2!(73) ⎛ ⎜8 4⎞ ⎟ , ⎛ ⎜ 5 8⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎛2⎟⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠(74) 40 (75) 6! (76) 5!(77) 9!, 5!4! (78) 30, 10 (79) 4!(80) P 8, 4 , 7652 × × × (81) 2!4!(82)⎛⎜10 6(84)⎞⎟⎝ ⎠12!3!4!5!9 5(85.2)⎛ ⎜3⎞ ⎟ − ⎛ ⎜3⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠(87) ⎛13⎞ × 4⎛6⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛8⎞⎜4⎟ + ⎜2⎟⎜2⎟+ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠(83)6 8⎜ 5 ⎟ (88)⎛13⎞⎜⎝ ⎠5 ⎟⎝ ⎠⎛13⎞ ⎛ ⎞ ⎛12⎞ ⎛ ⎞⎜ 1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ 13 11 4⎜ 2⎞ ⎟⎛ ⎜2 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜2⎞ ⎟⎛ ⎜ 1 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ 1⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠10!6 (93)5(2 !)(89)4 4(90)4 4(92) 10(95)⎛ 5 ⎞⎛3 ⎞⎜1⎟⎜1⎟4!⎝ ⎠⎝ ⎠⎛4⎞⎜2⎟(97) 6! 2!5!⎝ ⎠(98) 10!5!5!(101)⎛ 150(103)2(85.1) 987 × × − 543 × ×(86) 4!, 4 , 443(91) 5!5!(94) 6!(96)⎛ 5 ⎞3!⎜1⎟⎝ ⎠− (98) 63,⎛ 5 ⎞⎜1⎟3! ÷ 2⎝ ⎠4! 6!, × (100) 25 × 152!2! 3!3!(102) 450⎞⎜ 2 ⎟⎝ ⎠5!× 3! (104) 601!(2!) 2!(105) 9(4!4!) × 2 (106) 10 × 8!⎛ 5! 5! ⎞⎜⎟3!⎝1!(2!) 2! (1!) 2! 3! ⎠(107) +2 2(108) 5 ⎛ 5 ⎞ 4⎛ ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟⎜1⎟ + ⎜1⎟⎜3⎟+ 1⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠6!3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜1⎟ ⎜1⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠(109)2 2(2 !) (1!) × (110) 6 6 49!3! , ⎛2 ⎜8 5!(2!) 2! 2⎞− (112) 2 6 − 23⎟ (66)⎛ ⎞⎜ ⎟ 3 2⎝ ⎠(113) 16 4 42 , 15 , 4 , 4!8!(67) ข้อที่แล้ว × 5! (68) , 5!2!(114) S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}3!3!2! (115) 21 แบบ (116) 4 แบบ⎛ 6! 6! 6! ⎞(69.1) คือ E⎜ + + × 3!1 = ∅ , E2= { H}, E3= { T},2 3(1!) 2! 4! 1!2! 3! (2!) 3!⎟⎝⎠E4= { H,T}(117) 0.55, 0.23, 0.52, 0.68(69.2) เหมือนข้อที่แล้ว แต่ไม่ต้องคูณ 3!(118) 0.15, 0.8, 0.2⎛(70) 8! + 8! + 8! + 8! +8! ⎞⎜3!2 2 2 ⎟ (119) 31/36, 11/18, 5/36⎝(1!) 2!6! 1!2!5! 1!3!4! (2!) 2!4! 2!(3!) 2! ⎠12!(71) , 9!, (120) 2/3, 1/3, 4/9, 7/99!3!323(121) 5/36, 15/36, 18/36(4 !) 3 ! (4 !) 2 ! 1! (3 !) 3 !(122) 1/15, 7/15(72)⎛ 11(123) 1/70, 3/35, 32/35, 69/70, 29/70Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข),

คณิตศาสตร O-NET / A-NET(124) 1/25, 12/25, 13/25, 12/25(125) 4/9, 5/21, 20/63, 5/21, 1/126(126) 2/5 (127) 1/51350(128) 8/9 (129) 1 – (8/30)(130) 9/10 (131) 1/16(132) 1/24 (133) 32%ความนาจะเปน(1) มีการเลือกอยู่ 3 ขั้นตอน (ก ไป ข, ข ไป ค,ค ไป ง) จํานวนวิธีของขั้นตอนแรก คือ 3 วิธีขั้นตอนสอง คือ 2 วิธี และขั้นตอนสามคือ 3 วิธีจึงได้ว่า 3 × 2 × 3 = 18 วิธี(2) มี 3 ขั้นตอน คือ- บอลลูกแรกใส่หีบไหนดี (5 วิธี)- บอลลูกสองใส่หีบไหนดี (5 วิธี)- บอลลูกสามใส่หีบไหนดี (5 วิธี)× × = วิธีตอบ 5 5 5 125(3) 6 × 4 × 3 = 72 แบบ(4) เอาตัวไหนมาวางหน้าสุด เลือกได้ 7 วิธีตัวถัดมาเหลือ 6 วิธี เพราะห้ามใช้ตัวซ้ําถัดมาก็เหลือ 5, 4, 3 ไปเรื่อยๆ จนถึง 1ดังนั้นคําตอบคือ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 5,040 แบบ(5) หยิบสีแดงจากถุงใบแรก ได้ 3 วิธีหยิบจากถุงใบสองได้ 5 วิธี (ถุงใบสองมีสีแดง 3 ลูกแล้ว และมีสีดํา 2 ลูก) ดังนั้น 3 × 5 = 15 วิธี(6) มีการตัดสินใจเลือกอยู่ 12 ครั้ง ดังนี้2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4 × 4 × 4 × 4 × ... × 4 ถูก-ผิด5 7= 2 ⋅ 4 = 16,416 แบบก,ข,ค,ง(7) คิดแบบแยกกรณี• กรณีแรก คู่ + คี่ = 5 × 5 = 25• กรณีสอง คี่ + คู่ = 5 × 5 = 25 รวม 50 วิธีหรือคิดแบบไม่ต้องแยกกรณีก็ได้ ดังนี้ใบแรกเป็นใบไหนก็ได้ = 10 วิธีไม่ว่าใบแรกจะเป็นเลขใด ใบที่สองก็จะเลือกได้ 5 วิธีจึงได้ 10 × 5 = 50 วิธี(8.1) หลักร้อยห้ามเป็นเลข “0” จะเลือกได้ 5 แบบหลักสิบห้ามซ้ํากับหลักร้อย จึงเหลือให้เลือก 5 แบบ(รวม 0 ด้วย, ใช้ 1 ถึง 5 ไปแล้วในหลักร้อย 1 ตัว)หลักหน่วย เหลือให้เลือก 4 แบบจึงได้ 5 5 4 100× × = จํานวน(8.2) เลือกหลักหน่วย ได้ 3 แบบหลักร้อย เหลือ 4 แบบ แล้วมาหลักสิบ ก็ 4 แบบจึงได้ 3 × 4 × 4 = 48 จํานวน(สังเกต ควรคิดจากหลักที่มีเงื่อนไขมากๆ ก่อน)เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)(8.3) • กรณีหลักร้อยเป็น 3หลักร้อยได้ 1 วิธี คือ 3, หลักสิบได้ 1 วิธีคือ 5หลักหน่วย 3 วิธี (ต้องไม่เป็น 0 เพราะจะได้ 350)จึงได้ 1× 1× 3 = 3• กรณีหลักร้อยเป็น 4 หรือ 5หลักร้อยเลือกได้ 2 วิธี, หลักสิบกับหลักหน่วยเป็นอะไรก็ได้ จึงได้ 2 × 5 × 4 = 40∴ ตอบ 43 จํานวน (นําผลแต่ละกรณีมาบวกกัน)(8.4) ไม่ได้บอกว่าแต่ละหลักห้ามซ้ํากัน!หลักหน่วย ได้ 1 วิธี คือ 0, หลักร้อยได้ 5 วิธี คือ 1ถึง 5, หลักสิบ เป็นอะไรก็ได้ คือ 6 วิธีจึงได้ 1× 5 × 6 = 30(9) • กรณี ช ญ ช 5 × 4 × 4 = 80• กรณี ญ ช ญ 4 × 5 × 3 = 60 รวม 140 ชุด(10) 10 ! 10 × 9 × 8 ×= 7 ! = 7207! 7!6!3! 1 1 4!= = P4, 3 = = 244!7! 4 ⋅ 7 28 1!7!P7, 3 = = 7 × 6 × 5 = 2104!2(11) (n + 3)(n + 2) = 30 → n + 5n − 24 = 0→ (n + 8)(n − 3) = 0 → n = 3 เท่านั้น(เพราะถ้า n = − 8 จะทําให้หน้าแฟคทอเรียลติดลบ)(12) 2 (n)(n − 1) + 50 = (2n)(2n − 1)2→ 50 = 2n → n = 5 เท่านั้น× × × = = วิธี(13.1) 4 3 2 1 ( P 4, 4) 24(13.2) • ใช้ 2 ชิ้น 4 × 3 ( = P 4,2) = 12• ใช้ 3 ชิ้น 4 × 3 × 2 ( = P 4, 3) = 24= ดังนั้นได้ 60 วิธี• ใช้ 4 ชิ้น P 4, 4 24(14.1) P 5,5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120(14.2) P 5, 3 = 5 × 4 × 3 = 60(15.1) มอง S กับ T ติดกัน จะเหลืออักษรเพียง 6ตัว คือ H, O, N, E, ST, Y สลับได้ 6! แบบแต่ในทุกแบบสามารถสลับภายใน ST ได้ 2! แบบด้วย (คือ ST, TS) ∴ ตอบ 6! × 2! = 1,440 คํา(15.2) ใช้วิธีลบออก ดังนี้ST ไม่ติดกัน = วิธีทั้งหมด - ST ติดกัน= 7! − 6!2! = 3,600 คําMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET351ความนาจะเปน(16) ยืนติดกัน(22) เลือกสระหน้าสุดได้ 2 แบบ นําตัว T ไปวางชายสลับกันเอง 3!, หญิงสลับกันเอง 2! หลังสุดได้ 1 แบบ (ไม่ต้องเลือกเพราะ T ทั้งสามตัวและนํามาวางต่อกันได้อีก 2! แบบถือว่าเหมือนกัน) และเหลือตรงกลาง 6 ตัวซึ่งมี T(คือ ชชชญญ กับ ญญชชช)6!ซ้ํากันอยู่ 2 ตัว จะได้ 2 × 1× = 720 แบบ∴ ตอบ 3!2!2! = 24 วิธี2!ยืนสลับกัน(23) ส พพ ส พพ สเรียงพยัญชนะสลับกันเอง ได้ 4! แบบ3 × 2 × 2 × 1×1ช ญ ช ญ ชเรียงสระได้ 3! ← (มี A ซ้ํากัน)2!หรือมองเฉพาะชาย 3!, หญิง 2! ก็ได้3!(นํามาต่อกันได้เพียง 1 แบบ คือ ชญชญช)∴ ตอบ 4! × = 72 แบบ2!∴ ตอบ 3!2! = 12 วิธี(24) ไม่ว่าจะไปด้วยเส้นทางใด จะต้องมีการขึ้นเหนือ(17)(N) 3 ครั้ง และไปทางตะวันออก (E) 4 ครั้ง∗ ¢o¹Õ é¤ÇÃÈÖ¡ÉÒe·¤¹i¤¡ÒÃ¤í ãË´Õ ∗∴ เปรียบเหมือนการสลับลําดับในคําว่า NNNEEEE¼ÙËi§ 4 ¤¹ËÒÁµi´¡a¹ ä¤i´æººÊaºËÇÒ§ eËÁ×o¹¢o 16 ตอบ 7! 353!4! = แบบäÁä´ e¾ÃÒa¡ÒÃËÒÁËi§µi´¡a¹¹a é¹ ªÒÂµí ¡a¹ä´ ... ËÃ×oÒä¤í(25) • กรณี 1-1-1 (ไม่ใช้อักษรซ้ําเลย)æººÅº¡a¹eËÁ×o¹¢o 15.2 ¡çäÁä´ e¾ÃÒaµo§ÅºËÅÒÂ¡Ã³Õมี A,R,N,G,E → 5 × 4 × 3 = 60 แบบ (P 5, 3 )æÅa¤íÒ¹Ç³ÂÒ¡ (·a é§ËÁ´ - µí 4 ¤¹ - µí 3 ¤¹ - µí 2 ¤¹)• กรณี 2-1 (ใช้อักษรซ้ํา 1 คู่)เทคนิคการคิด คือ วางผู้ชาย 5 คนเป็นแถวก่อน มีทั้งหมด 8 กรณี ได้แก่ AAR, AAN, AAG, AAE,ได้ 5 4 3 2 1 = 5! วิธีRRA, RRN, RRG, RRE (คิดจาก 2x4 ก็ได้)จะมีช่องว่าง 6 ช่อง (นับช่องหน้าสุดและหลังสุดด้วย)3!ในแต่ละแบบสลับที่ได้ → = 3 แบบจะให้ผู้หญิง 4 คน เลือกอยู่กันคนละช่อง (เพื่อจะได้2!ไม่ติดกัน) ได้ 6 × 5 × 4 × 3∴ ตอบ 60 + 8 (3) = 84 แบบ∴ ตอบ 5! × P6, 4 = 43,200 วิธี(26) = 3! = 6 วิธี ได้แก่(18) สลับคน 4 คน ได้ 4! แบบข กค ง ค กข ง ง กข้อนี้เกิดได้ 2 กรณี คือ อ้ออยู่หัว / อยู่ท้ายข คดังนั้นคําตอบคือ 4! × 2 = 48 แบบข ก(19) T 6 ตัว Eง ค ค กง ข ง กค ขT กับ E สลับไม่ได้ ก็จะเหลือเพียง 6 ตัวที่สลับกันได้ดังนั้น จะได้ 6! = 720 คํา(27) 3! (หาร 2 เพราะพลิกด้านได้)2(20) คิดเหมือนข้อ 17 คือ ...B AC D C AB D B A= 3 วิธีได้แก่(20.1) วางพยัญชนะ D C5!วางสระ 6 × 5 × 4 × 3 ตอบ 5! × P6, 4 คํา(28) ไม่ต้องเลือก (ใครก็ได้ เพศใดก็ได้)(20.2) วางสระ 4!3!2! = 24 แบบวางพยัญชนะ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ตอบ 4!5! คํา(สังเกต ใช้ครบทุกช่องพอดี = สับหว่าง)(20.3) พยัญชนะตัวหน้าสุด เลือกได้ 5 แบบเหลือพยัญชนะกับสระอย่างละ 4 ตัว (29) มี 2 กรณีดังรูปจึงตอบ 5 × 4! × 5 × 4 × 3 × 2 = 5! × P5, 4 คํา จึงได้ 6!5! × 2(20.4) สระตัวหน้าสุด เลือกได้ 4 แบบ= 172,800 แบบเหลือพยัญขนะ 5 และสระ 3 ตัว(30)จึงตอบ 4 × 5! × 5 × 4 × 3 = 4 × 5! × P5, 3 คํา ส ภ2! × 4! = 48 แบบ(เราเริ่มเลือกช่องจาก 5 ช่องเท่านั้น เพราะช่องแรกสุดห้ามใช้ มิฉะนั้นสระอาจจะติดกัน)11!(21)34,6504!4!2! = แบบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET352ความนาจะเปน(31) วิธีคล้ายข้อ 17 แต่เปลี่ยนเป็นวงกลมวางผู้ชายเป็นวงกลมก่อน = 4! วิธีพบว่ามีช่องว่าง 5 ช่องผู้หญิงจึงเลือกที่อยู่ได้ 5 × 4 × 3 × 2 วิธี× = วิธี∴ ตอบ 4! P5, 4 2,880(32)⎛ 18( )18r=⎞⎜ r + 2 ⎟⎝⎠ แสดงว่าr + (r + 2) = 18 ∴ r = 8(33)⎛10⎞ 10 ! 10 × 9 × 8⎜ 3 ⎟ = = = 120⎝ ⎠ 7!3! 3×2แบบ[เป็น C 10, 3 ไม่ใช่ 10, 3สลับกัน, แต่ถ้าต้องเลือกยืมวันจันทร์ อังคาร พุธ ทีP เพราะเราไม่สนใจลําดับการละเล่ม แบบนี้ลําดับถือว่าสําคัญ ต้องใช้ 10, 3(34) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งเกิดจากการเลือกจุดมา 3จุด และแน่นอนว่าไม่คํานึงลําดับ เช่น Δ ABC กับΔ BCA ถือเป็นรูปเดียวกันดังนั้นจะได้(35.1)⎛⎜16 8⎝⎛ 6 6!⎜3 ⎞ ⎟ = = 20⎝ ⎠ 3!3!⎞⎟⎠(35.2) 6 ×10⎜ ⎛ 2⎟ ⎞ ⎜ ⎛ 6 ⎟⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠รูปP ][เลือกทีเดียว 8 คน และไม่มีลําดับ]ญ ช6 10 6 10(35.3) ญ 5 + ญ 6 =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜5⎟ ⎜ 3 ⎟ + ⎜6⎟ ⎜ 2 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(35.4) ใช้วิธีบวกกันจะยาว(ญ2 + ญ3 + ญ4 + ญ5 + ญ6)จึงใช้ วิธีทั้งหมด ลบด้วย ญ1 และลบด้วย ญ016 6 10 6 10=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ 8 ⎟ − ⎜1⎟ ⎜ 7 ⎟ − ⎜0⎟ ⎜ 8 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠6 5(36)⎛ ⎜2⎞ ⎟ ⎛ ⎜2⎞ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(37) นักธุรกิจ 2 + นักธุรกิจ 33 18 3 18=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟ ⎜ 2 ⎟ + ⎜3⎟ ⎜ 1 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(38) 67 + 58 + 49⎛13⎞ ⎛7⎞13 13= ⎜ 6 ⎟ ⎜7⎟+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 ⎟ + ⎜ 4 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠7 8 9[หมายเหตุ⎛ ⎞,⎛ ⎞7 8,⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜9⎟= 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ไม่ต้องคิด]หรือถ้ามองอีกคันหนึ่งเป็นหลัก อาจตอบในรูป⎛13⎞ ⎛13⎞ ⎛13⎞⎜ 7 ⎟ + ⎜ 8 ⎟ + ⎜ 9 ⎟ ก็ได้⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(39) การคิดจะเริ่มจาก “เลือก” แล้วค่อย “สลับ”3 5 4เลือก⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ →⎜1⎟ ⎜3⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠สลับ 1×5!3 5 4ใหญ่ เล็ก สระ ∴ ตอบ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜1⎟ ⎜3⎟ ⎜2⎟5!⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(40) • กรณี 1-1-1-16เลือก a, b, c, d, e, f⎛→⎞⎜4⎟⎝ ⎠• กรณี 2-1-1เลือก a, b, c, d⎛ 4 ⎛ 5→ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 คู่ เดี่ยว 2• กรณี 3-11 5เลือก a⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ ⎜1⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 สาม เดี่ยว 1• กรณี 2-24เลือก a, b, c, d⎛ ⎞→ ⎜2⎟⎝ ⎠2 คู่∴ ตอบ 896 แบบ10(41) จํานวนคู่ที่เกิดขึ้น⎛∴ ใช้เวลา 12 วัน(42.1) กฎการแบ่งกลุ่ม(42.2) กฎการแบ่งกลุ่ม39!(43)3(3 !) ⋅ 3 !สลับ 4! → 360สลับ 4! 4802! →สลับ 4! 203! →สลับ 4! 362!2! →=⎞⎜ 2 ⎟ = 45⎝ ⎠คู่9!1,2604!3!2! = วิธี9!280(3 !) 3 ! = วิธี× 3! = 1,680เลือกกลุ่ม (C) สลับประเทศ (P)7!3!(2!) ⋅ 2!(44)2×2!วิธีจัดกลุ่ม สลับเข้าห้องหมายเหตุ การสลับเข้าห้องเป็น 2! เพราะกลุ่มขนาด 3 คนนั้นนําไปใส่เข้าห้องขนาดเล็กไม่ได้)(45) ⎛ ⎜6 2⎞ ⎟ เส้น, ⎛6 6 6 6⎝ ⎠ 3 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ + ⎜4⎟ + ⎜5⎟+⎛ ⎜6⎞ ⎟ รูป⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(สามเหลี่ยม + สี่เหลี่ยม + ห้าเหลี่ยม + หกเหลี่ยม)(46) ⎛7⎞ − ⎛4⎞+ 1 − ⎛3⎞+ 1 เส้น⎜2⎟ ⎜2⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠7 4 3⎜ ⎛ 3⎟ ⎞ − ⎜ ⎛ 3⎟ ⎞ − ⎜ ⎛3⎟⎞ รูป⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(47)12 3⎛ ⎜ 2 ⎞ ⎟ − 6 ⋅ ⎛ ⎜2⎞ ⎟ + 6⎝ ⎠ ⎝ ⎠เส้น(มีแนวเดียวกันอยู่ 6 แนว)(48) เลือกจุดสองจุดใดๆ จะสร้างเส้นตรงได้ 1 เส้นแต่ถ้าไปเลือกโดนจุดที่ติดกัน จะเกิดเส้นรอบรูป ไม่ใช่เส้นทแยงมุม (มีเส้นรอบรูป 20 เส้น)ดังนั้นตอบ⎛ 20 ⎞ − 20 เส้น⎜ 2 ⎟⎝ ⎠(49) ⎛ ⎜ 5⎞ 2 4 2 5 42 ⎟ + ⎛ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET353ความนาจะเปน(50) 6 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠รูป(51) คิดด้วยวิธีดังรูป (คล้ายสูตรในเรื่องเซต)= + -4 3 3 5 3 3=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟ ⎜2⎟ + ⎜2⎟ ⎜2⎟− ⎜2⎟ ⎜2⎟= 39⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠รูป(52.1) stars&bars 6:25→⎛ ⎞= 5 วิธี ได้แก่ 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5⎜1⎟⎝ ⎠(52.2) stars&bars 8:2(ใส่เผื่อเข้าไป 2 ลูก เพื่อจะดึงออกคนละลูกทีหลัง)7→⎛ ⎞= 7 วิธี⎜1⎟⎝ ⎠ได้แก่ 6,0 5,1 4,2 3,3 2,4 1,5 0,6(53) ต้องใช้วิธีนับเอาเท่านั้น (เพราะ stars&barsจะต้องมีคนรอรับของแล้ว)ได้เป็น 5, 1 4, 2 3, 3 3 → วิธี6(54.1) stars&bars⎛หมายเหตุ อาจคิดอีกวิธีโดย1, 1, 1, 4 สลับได้ 4!/ 3! 47:4→ ⎞⎜3⎟= 20⎝ ⎠= วิธี1, 1, 2, 3 สลับได้ 4!/ 2! = 12 วิธี1, 2, 2, 2 สลับได้ 4!/ 3! = 4 วิธี รวม = 20 วิธี10(54.2) stars&bars 11 : 4 →⎛ ⎞= 120 วิธี⎜ 3 ⎟⎝ ⎠(55) 1, 1, 1, 4 1, 1, 2, 3 1, 2, 2, 2 3วิธี→ วิธี5 5(56) 100,000 = 2 ⋅ 5 → ตอบ 6 × 6 = 363 1 1(57) 120 = 2 × 3 × 5ดังนั้นจํานวนเต็มบวกมีอยู่ 4× 2× 2 = 16 จํานวนตอบ 32 (เพราะมีจํานวนเต็มลบอีก 16 จํานวน)(58) 2(a + 1)(b + 1)(คูณ 2 เพราะต้องนับจํานวนลบด้วย)5 0 4 1 3 2(59.1)⎛ 5 ⎞ 5ab⎛ ⎞ab⎛ 5 ⎞ab⎜0⎟ + ⎜1⎟+ ⎜2⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ 5 5 5⎜3⎞ ⎟ ab + ⎛ ⎜4 ⎞ ⎟ ab +⎛ ⎜5⎞ ⎟ ab⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 3 1 4 0 5ตอบ a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b54 4 4 3(59.2) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜0⎟(2x) + ⎜1⎟(2x) ( − 3y) +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ 4 4 4⎜2 ⎞ ⎟(2x) ( − 3y) + ⎛ ⎜3⎞ ⎟(2x)( − 3y) + ⎛ ⎜4⎞ ⎟( −3y)⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠2 2 3 44 3 2 2 3 4ตอบ 16x − 96x y + 216x y − 216xy + 81y248(59.3) ⎡(1 − x) ⎤ = (1 − x)⎣ ⎦2 3 4 5 6 7 8= 1− 8x + 28x − 56x + 70x − 56x + 28x − 8x + x8 5 3(60.1) T⎛ ⎞(3x)( )4(60.2) ⎛ ⎜8 5⎝(60.3) ⎛ ⎜8 2⎝1= ⎜3⎟⎝ ⎠ y⎞ ⎟⎠⎞ ⎟⎠4(60.4)⎛ ⎞8⎜4⎟(3 )⎝ ⎠8 6 2[มาจาก T⎛ ⎞(3x) ( ) ]31= ⎜2⎟⎝ ⎠ y[สัมประสิทธิ์ ไม่เหมือนกับสัมประสิทธิ์ทวินาม]12 2 7 3 5(61.1) T⎛ ⎞(x )( )= ⎜ 5 ⎟⎝ ⎠ x6 4(61.2)⎛ 12 ⎞⎜ 5 ⎟⎝ ⎠(61.3) หาว่าพจน์ใดเป็น x 6 ก่อนr12 2 12− r⎛ 3 ⎞T (x ) มองที่กําลังของ xโดย ( r )= ⎜ ⎟⎝x⎠r 4→ 2(12 −r) − 4r = 6 ∴ r = 33ตอบ สัมประสิทธิ์⎛ ⎞12= ⎜ 3 ⎟ (3 )⎝ ⎠(61.4) หาว่าพจน์ใดเป็น x0→ 2(12 −r) − 4r = 0 ∴ r = 44ตอบ พจน์นั้น⎛ ⎞12= ⎜ 4 ⎟ (3 )⎝ ⎠7 7 7 7 6(62) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞[ไม่มี x ในพจน์นี้](2 + 0.001) = ⎜0⎟(2) + ⎜1⎟(2) (0.001) +⎝ ⎠ ⎝ ⎠7 5 2 7 4 3⎜ ⎛ 2⎟ ⎞ (2) (0.001) + ⎜ ⎛ 3⎟⎞ (2) (0.001) + ...⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 128 + 0.448 + 0.000672 + 0.000000560 + ...= 128.448673(63.1) 7 7 77= 2 = 128[พิสูจน์ จาก⎛ ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞...⎛ 7 ⎞⎜0⎟ + ⎜1⎟ + ⎜2⎟ + ⎜3⎟+ + ⎜7⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(n) (n)−(n0 1n )n n 0 n 1 1 0 n(a + b) = a b + a b + ... + a bแทน a b 1n2 = n n n0 12+ ... nn= = ]= = จะได้ว่า( ) ( ) ( ) ( )เช่นข้อนี้ ให้ 2x 1, 3y 1(63.2) อยากทราบค่าผลบวกสัมประสิทธิ์ ก็ทําคล้ายๆ ข้อ 63.1 แต่เราจะแทนเพียง x และ y ด้วย1 ... ก็จะได้ว่า7 7 7 0 7 6 1(2 + 3) = ⎜⎛ 0⎟⎞ (2) (3) + ⎜⎛ 1⎟⎞ (2) (3) + ...⎝ ⎠ ⎝ ⎠7 7นั่นคือ ผลบวกสัมประสิทธิ์เท่ากับ (2 + 3) = 5(64-71) ใช้กฎการแบ่งกลุ่ม (แล้วจะคูณการสลับลําดับอีกหรือไม่ ก็แล้วแต่สถานการณ์ข้อนั้น)(64.1)12!3!4!5!Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET354ความนาจะเปน12!(64.2)3(4 !) 3 !(65.1)(65.2)29!3!2!3!4!9!3!5!(2!) 2! ×× (3! เกิดจากการสลับให้คน)(65.3) stars&bars ⎛ ⎜8 2⎞ ⎟⎝ ⎠(66) สังเกต 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8 ลูกเท่านั้นจึงต้องได้เป็น⎛10⎞8!⎜ ⎟ 3 2⎝ 8 ⎠ (2!) 3!(1!) 2!(67) นําคําตอบข้อ 66 มาคูณ 5!8!(68.1) × 2!2(3!) 2!2!จัดกลุ่มคน สลับห้อง(68.2) หญิง 3 คน ไม่ต้องแบ่งกลุ่มชาย 5 คน ต้องแบ่งเป็น 3 และ 2 คนตอบ 5! 2!3!2!× (2! เกิดจากการสลับห้อง)(68.3) ชาย 5 คน แบ่งกลุ่มเป็น 2, 2, 1 คน5!→ × 3! × 2!2(2 !) 2 ! 1!จัดหญิงลงกลุ่ม สลับห้อง(69.1) อาจแบ่ง 6 คน เป็น 1,1,4 หรือ 1,2,3 หรือ2,2,2 จึงได้ว่า⎛ 6! 6! 6! ⎞⎜ + + ×2 3(1!) 2! 4 ! 1!2! 3! (2!) 3!⎟⎝⎠3!จัดกลุ่มคน มอบหมายงาน(69.2) ข้อนี้งานเหมือนกันหมดจึงตอบเหมือนข้อ 69.1 โดยไม่ต้องคูณ 3!(70) หนังสือต่างกัน จึงไม่ใช่ stars&barsแต่ต้องคิดแยกกรณีตรงๆ เหมือนข้อ 69.1 คือ อาจแบ่งเป็น 1,1,6 หรือ 1,2,5 หรือ 1,3,4 หรือ 2,2,4หรือ 2,3,3 ∴ ตอบ8! 8! 8! 8! 8!( )+ + + + × 3!2(1!) 2!6! 1!2!5! 1!3!4!2(2!) 2!4!22!(3!) 2!12!(71.1) แบ่ง 12 คน เป็น 4,4,4 จะได้3(4 !) 3 !9!(71.2) แบ่ง 9 คน เป็น 1,4,4 จะได้21!(4!) 2!(กลุ่มที่มี 1 คน จะถูกเติม ก,ข,ค ลงไปด้วย)9!(71.3) แบ่ง 9 เป็น 3,3,3 จะได้ 3!3(3 !) 3 ! ×(3! เกิดจากการเลือกใส่ ก,ข,ค ลงไปกลุ่มละ 1 คน)11(72.1) stars&bars 12 : 3⎛ ⎞→ ⎜2⎟⎝ ⎠(72.2) แจกไปก่อนเลยคนละ 1 ลูก,8แล้วจึงคิดแบบ stars&bars 9:3⎛→⎞⎜2⎟⎝ ⎠(72.3) ใส่เพิ่ม 3 ลูกเป็น 15(แล้วค่อยดึงออกคนละลูกทีหลัง) ∴ ได้⎛ 14 ⎞⎜ 2 ⎟ วิธี ⎝ ⎠8(73.1) stars&bars 9:5⎛ ⎞(73.2) ⎛5⎞ ×⎛8⎜3⎟ ⎜2⎞ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ ⎜4⎟⎝ ⎠เลือกตู้ stars&bars 9:3(74) 4 × 2 × 5 = 40(75) 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6!(76) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!(77.1) บอย 9 คน = 9!(77.2) บอย ญชญชญชญชญ = 5!4!(78) การดึงเลขจากเซต ใช้ซ้ําได้และระวัง.. โจทย์ไม่ได้บอกว่าต้องเป็นเลข 3 หลักฉะนั้น มี 3 กรณี ดังนี้(78.1) • 3 หลัก 2 × 3 × 3 = 18• 2 หลัก 3 × 3 = 9• 1 หลัก 3 = 3 ตอบ 30 จํานวน(78.2) 2 3 1 3 1 1 10× × + × + = จํานวน(79) ประกอบยังไงก็มากกว่า 999 อยู่แล้ว ถ้ามี 4หลัก ... ดังนั้น ตอบ 4!(80.1) 8× 7× 6× 5 = P8, 4 หรือ ⎛ ⎜8⎞ ⎟ × 4! ก็ได้⎝4⎠(80.2) 2 × 7 × 6 × 5 (81) 2! × 4!ตัวสุดท้าย 3 ตัวแรกก ข(82)⎛ 10 ⎞⎜ 6 ⎟⎝ ⎠(83) มี 3 กรณี คือบวกทั้งหมด, บวก 2 ลบ 2, ลบทั้งหมด6 6 8 8∴ ตอบ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜4⎟ + ⎜2⎟ ⎜2⎟+ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(84) 7 แบ่งเป็น 4 (ก) กับ 3 (ข)⎛ 12 7! 12!⎜ 7 ⎞ ⎟ × =⎝ ⎠ 4!3! 5!4!3!หรือมองเป็น 12 แบ่งเป็น 5 (เก็บ), 4 (ก), 3 (ข)ก็ได้12!5!4!3! เช่นกัน(85.1) วิธีทั้งหมด - วิธีที่ไม่มีสีขาวเลย= 9 × 8 × 7 − 5 × 4 × 39 5(85.2) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜3⎟− ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠(86.1) A K JQ ? ? ? ?4! 24(86.2) ⎛4⎞ = 4 วิธี⎜1⎟⎝ ⎠= = วิธี(86.3)44 4 4 4 4 256× × × = = วิธีMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET355ความนาจะเปน[สังเกตความต่างของแต่ละข้อ จะเป็น4× 3× 2× 1 → 4× 1× 1× 1 → 4× 4× 4× 4](87) ดอกเดียวกัน 5 ใบ⎛ 4 ⎞ ⎛ 13⎞⎜ 1 ⎟ ⎜ 5 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠เลือกดอก เลือกเลข(88) ความหมายของโจทย์คือ ถือไพ่อยู่ 15 ใบเราต้องเลือกเลขสําหรับแต่ละดอกดังนั้นตอบ⎛13⎞ ⎛13⎞ ⎛13⎞⎜ 5 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 5 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠13 4 12 4(89) ×(91) 5!5!⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ 1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠10(92) 6 × 6 × 6 × ... × 6 = 6[นับแต่ละครั้งเป็น 6 แบบ เพราะมีการยิงไม่โดนด้วย]10 !(93) × 5!5(2 !) 5 !จัดกลุ่ม เลือกวันแข่ง(94) เนื่องจากลูกเต๋ามีหมายเลขกํากับ จึงมองเป็นการจับคู่หมายเลข 1 ถึง 6 เข้ากับสี 6 สี → 6!(95) เลือกสีที่จะใช้สองครั้ง ได้ 5 วิธีเลือกด้านคู่ตรงข้ามกันเพื่อที่จะทาสีซ้ํานั้น ได้ 3 วิธีเหลือ 4 ด้าน 4 สี จับคู่กันได้ 4!ดังนั้นจะได้ 5 × 3 × 4!(96) ลูกบาศก์หน้าเกลี้ยง จะคิดต่างจากลูกเต๋าเนื่องจากไม่มีหมายเลขประจําด้าน (แต่ละด้านไม่ต่างกัน) และลูกบาศก์เป็นทรงสามมิติที่หมุนได้และพลิกด้านได้ ต้องคิดคล้ายการจัดแบบวงกลม ดังนี้(96.1) ไม่ต้องนับด้านแรกใช้สีใดก็ได้ทาด้านใดก็ได้ไปก่อนด้านตรงข้ามเลือกสีได้ 5 แบบเหลือด้านรอบๆ 4 ด้านสลับสีเป็นวงกลม 3! แบบ∴ ตอบ 5 × 3! = 30 วิธี(96.2) คู่แรกเลือกสีที่จะใช้ซ้ําได้ 5 แบบ แล้วก็ทาลงไปเหลือ 4 ด้านรอบๆสลับสีเป็นวงกลม ได้3! ÷ 2 แบบ[หาร 2 เพราะวงกลมพลิกด้านแล้วเกิดสภาพเดิม]∴ ตอบ3!5 152× = วิธี(96.3) 4 ด้านแรก (2 คู่)เลือกสีที่จะใช้ซ้ํา ได้⎛4⎞⎜2⎟แบบ ⎝ ⎠อีก 2 ด้านที่เหลือ ทา 2 สีได้เลย(สลับกันไม่นับ เพราะพลิกด้านได้ เกิดสภาพเดิม)∴ ตอบ ⎛4⎞ = 6 วิธี⎜2⎟⎝ ⎠(97) วิธีทั้งหมด - สองคนติดกัน = 6! − 2!5!6 8(98) 25,000,000 = 2 ⋅ 5สําหรับ 3 ตัวซ้ํา สําหรับ 2 ตัวซ้ําดังนั้น ตอบ13 4 4 11 4(90) ⎛ ⎜ 2⎞ ⎟⎛ ⎜2 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜2⎞ ⎟ × ⎛ ⎜ 1 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜1⎞7 × 9 = 63⎟10 !⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(99) จาก A ไปถึง B (N5, E5) → เส้นทาง5!5!สําหรับ 2 คู่ สําหรับ 1 เดี่ยว13 12หมายเหตุ ใช้⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ แทน ⎛ 13 ⎞⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎟ ไม่ได้นะครับ!จาก A ไปถึง F (N2E2) และ F ไปถึง B (N3E3)⎝ ⎠ → × เส้นทาง4! 6!2!2! 3!3![ถ้าโจทย์ถามเส้นทางที่ไม่ผ่าน F, ก็เอาคําตอบที่ได้ลบกัน](100) 25 × 15 (101)⎛ 150 ⎞[สังเกตความแตกต่างของข้อ 100 กับ 101 นะครับ](102) ต้องใช้ครบทุกเลข• หลักล้านเป็น 1 หรือ 3• หลักล้านเป็น 2⎜⎝26!→ 1 ×2!2!2!⎟⎠6!→ 2 × 2!2!บวกกัน = 450หรือคิดจาก วิธีทั้งหมด - วิธีที่ขึ้นด้วย 07! 6! 5×6!= − = = 45032!2!2! 2!2! (2 !)(103) แบ่ง 5 เป็น 2,2,15!→ × 3! (คูณ 3! = เข้าห้อง)2(2 !) 2 ! 1!(104) แบ่งชาย 3 คน เป็น 1,2แบ่งหญิง 5 คน เป็น 3,2(แล้วชายกับหญิงก็จะรวมกัน 1+3 และ 2+2 คน)ดังนั้นตอบ 3! × 5! × 2! = 601!2! 3!2!(2! คือ การให้ชื่อกลุ่ม)หรือคิดจาก วิธีทั้งหมด - วิธีที่ชายอยู่กลุ่มเดียวกัน(แบ่งหญิง 5 คน เป็น 4,1 ชาย 3 คนไม่ต้องแบ่ง)⎡ 8! 5! ⎤→⎢− × 2! = 602(4 !) 2 ! 4!1! ⎥⎣⎦(105) กข + 8 คนสลับกันจัดคน 8 คนสลับกัน ได้ 4!4! x 2 แบบ[คูณ 2 เพราะมี 2 กรณี]และให้ ก, ข ไปอยู่ในช่องว่าง ได้ 9 ช่องดังนั้นตอบ 4!4! × 2 × 9Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET356ความนาจะเปน(106) เลือกตรงกลางวงได้ 10 แบบนอกนั้นจัดแบบวงกลมได้ 8! แบบจึงตอบ 10 ⋅ 8!(107) คิดเหมือนข้อ 70 →แบ่ง 5 เป็น 1,1,3 หรือ 1,2,2⎡ 5! 5! ⎤ตอบ + ×2 2⎢(1!) 2! 3! 1!(2!) 2!⎥⎣⎦3!(108) • กรณีไม่ซ้ําเลย = 1 แบบ5 4• กรณีซ้ํา 1 คู่ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = 20 แบบ⎜1⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟ ⎜1⎟= 30⎝ ⎠ ⎝ ⎠• กรณีซ้ํา 2 คู่5 3แบบ∴ ตอบ 51 วิธี(109) แบ่ง 6 คนเป็น 2,2,1,1 และอีกกลุ่มเป็นสามีภรรยา (2 คน)6!จะได้ 3!2!2 2(2!) 2!(1!) 2! ×(3!2! คือการสลับเข้าห้อง)(110) เลือกหน้าที่จะชนกัน ได้ 6 x 6 แบบจากนั้นแต่ละวิธียังบิดได้ 4 แบบ จึงตอบ 6× 6×4(111) ก ข ... ก ข1 n−2เลื่อนจากหัวถึงท้าย ได้ n− 2 ตําแหน่งในแต่ละตําแหน่งยังสลับ ก,ข ได้อีก 2 แบบตอบ 2(n − 2)(112) วิธีทั้งหมด - วิธีที่ E ∩ B =∅6 3= 2 − 2 = 56{1,2,3,...,6} {2,4,6}(113) ข้อนี้ให้ศึกษาจากเรื่องแถมท้ายบทนะครับ :](113.1) 2 4×4 = 2164 4 4(113.2) (2 − 1) = 154(113.3) 4 × 4 × 4 × 4 = 4(113.4) 4 × 3 × 2 × 1 = 4!(114) S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}(115) ถ้าลูกเต๋าต่างกัน จะมี 6 × 6 = 36 แบบคือ (1,1) (1,2) (1,3) ไปจนถึง (6, 6)แต่ว่า ลูกเต๋าไม่ต่างกัน ฉะนั้น (1, 2) ถือว่าซ้ํากับ(2, 1)... ฯลฯ ผลลัพธ์จะลดลงเหลือเพียง 21 แบบ(ลองเขียนแล้วนับดู จะรู้ว่าทําไมไม่ใช่ 18)(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)(116) S = {H, T} → n(S) = 2∴ เหตุการณ์ E จะมี 2 2 = 4 แบบได้แก่ ∅ ,{H},{T},{H,T}(117) P(A ∪ B) = 0.48 + 0.32 − 0.25 = 0.55P(A − B) = 0.48 − 0.25 = 0.23P(A') = 1 − 0.48 = 0.52P(B') = 1 − 0.32 = 0.68(118.1) P(A ∩ B) = 0.15(118.2) P(A ∪ B) = 0.4 + 0.55 − 0.15 = 0.8(118.3) P(A [ ∪ B)' ] = 1− 0.8=0.2(119) ให้ M = คณิตศาสตร์, C = เคมี จะได้ว่า..(119.1)2 4 1 31P(M ∪ C) = + − =3 9 4 36(119.2) P(M [ − C) ∪(C−M) ]⎛2 1⎞ ⎛4 1⎞11= ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ =⎝3 4⎠ ⎝9 4⎠1831 5(119.3) P(M [ ∪ C)' ] = 1− =36 36(120) แต้ม 1 2 3 4 5 6โอกาส x 2x x 2x x 2x∴ x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1 → x = 1/ 9(120.1) แต้มคู่ = 2x + 2x + 2x = 6/9 = 2 / 3(120.2) แต้มคี่ = x + x + x = 1/ 3(120.3) จํานวนเฉพาะ (2,3,5)= 2x + x + x = 4 / 9(120.4) 1 หรือคู่ = x + 2x + 2x + 2x = 7 / 9(121) วิธีทั้งหมด n(S) = 6 × 6 = 36เรื่องของผลบวก ต้องนับจํานวนเอาโดยตรง(121.1) ผลรวมเป็น 8 ได้แก่(2,6) (6,2) (3,5) (5,3) และ (4, 4)∴ ความน่าจะเป็น = 5/36(121.2) ผลรวมเป็น 2,3,5,7,11 ได้แก่(1,1) (1,2) (2,1) (1,4) (4,1)(2,3) (3,2) (1,6) (6,1) (2,5)(5,2)(3,4)(4,3)(5,6)(6,5)∴ ความน่าจะเป็น = 15/36=5/12(121.3) ผลรวมเป็นคู่ มีวิธีอยู่ 6 × 3 = 18 แบบ∴ ความน่าจะเป็น = 18 / 36 = 1 / 2(122) วิธีทั้งหมด=10 !3!3!2!(122.1) มอง T เป็น 1 ตัวติดกัน จะได้ 8!3!2!(ไม่ต้องสลับ T ภายใน, เพราะ T ถือว่าเหมือนกัน)จะได้ ความน่าจะเป็น8! / 3!2! 1= =10 ! / 3 ! 3!2! 15Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET357ความนาจะเปน(122.2) วิธีทั้งหมด - T ติดกัน 3 ตัว - T ไม่ติดเลย7! 8×⎛ ⎞1⎜3!2! 3⎟1 7 7= 1− −⎝ ⎠= 1− − =15 10 ! / 3! 3!2! 15 15 15(123) วิธีทั้งหมด5 7(123.1)(123.2)=⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 3 5 7 1⎜ ⎛ 2⎟ ⎞ ⎛ ⎜2 ⎞ ⎟ ÷ ⎛ ⎜2 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜2⎞ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 70⎛ 3 4 5 7 3⎜2 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜2 ⎞ ⎟ ÷ ⎛ ⎜2 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜2⎞ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 35(123.3) วิธีทั้งหมด - วิธีที่ไม่มีแดงเลย= 1 − 3/35 = 32 / 35(123.4) 1 − 1/70 = 69 / 70(123.5) มี 3 กรณี คือ ดด/ขข ดข/ดข ขข/ดด∴ จะได้⎛2⎞ ⎛4⎞ ⎛2⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛4⎞⎛3⎞ ⎛3⎞⎜2⎟ ⎜2⎟ + ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟⎜1⎟ + ⎜2⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 29 =⎛5⎞ ⎛7⎞70⎜2⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠(124) วิธีทั้งหมด = 5 × 5 × 55(124.1)⎛ ⎞ ÷ (5 × 5 × 5) =1⎜1⎟⎝ ⎠25(124.2) วิธีทั้งหมด - ซ้ํา 3 - ไม่ซ้ําเลย1 5 × 4 × 3 12= 1 − − =25 5 × 5 × 5 25(124.3)5 × 4 × 3 131 − =5 × 5 × 5 25× ×5 × 5 × 5 25(124.4) 5 4 3 =129(125) วิธีทั้งหมด⎛(125.1) ต้องมีศูนย์=⎞⎜4⎟⎝ ⎠1 8 9 4→⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜1⎟ ⎜3⎟÷ ⎜4⎟=⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9(125.2) ต้องเป็น + + + + หรือ + + - -⎛ 6 6 2 ⎞ 9 5→⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜⎜4⎟ + ⎜2⎟ ⎜2⎟⎟÷ ⎜4⎟=⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠⎝ ⎠ 21(125.3) ต้องเป็น + + + - เท่านั้น6 2 9 20→ ⎛ ⎜3 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜1 ⎞ ⎟ ÷ ⎛ ⎜4⎞ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 63หรือคิดจาก14 5 209 21 63− − = ก็ได้(125.4) การคูณกันแล้วเป็นจํานวนคู่ แปลว่า ต้องมีเลขคู่อย่างน้อย 1 ตัว แต่ถ้าคูณกันได้จํานวนคี่ แสดงว่า เป็นเลขคี่ทั้งหมด∴ คิดจาก มากกว่าศูนย์ - มากกว่าศูนย์และเป็นคี่ซึ่งพบว่า มากกว่าศูนย์และเป็นคี่นั้น เป็นไปไม่ได้จึงตอบ 5/21(125.5) น้อยกว่าศูนย์และเป็นคี่ เป็นไปได้3 1 9คือ + + + - (คี่ทุกตัว) =⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎛ ⎞=1⎜3⎟ ⎜1⎟ ⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 126=⎛ ⎞⎜2⎟= 15⎝ ⎠6 × 2= = 62!(126) วิธีทั้งหมด6วิธีที่สนใจ(6 คือใครก็ได้, แต่ไม่ว่าคนแรกจะเป็นใคร คนที่สองจะเหลือเพียง 2 วิธี, จากนั้น หาร 2! เพื่อกําจัดลําดับทิ้งไป)∴ ตอบ = 6/15 = 2/5⎛ ⎞⎜2⎟⎝ ⎠→ หรือคิดจาก 3 × 2!Uก ข คงก็ได้เลือกชั้น ม.4,5,6 สลับเพศ(127) ใช้ผลจากข้อ 108• ไม่ซ้ําเลย 1 แบบ • ซ้ํา 1 คู่ 20 แบบ• ซ้ํา 2 คู่ 30 แบบ∴ ตอบ1 1=1 + 20 + 30 51(128) สปส.ทวินามได้แก่ 8 ,⎛ 8 ⎞, 8 ,...,8⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜0⎟ ⎜1⎟⎜2⎟ ⎜8⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ซึ่งมี 9 ตัว และมีค่าเท่ากันเป็นคู่ๆ 4 คู่(ตรงกลางคือ ⎛ ⎜8 4⎞ ⎟ ไม่เท่ากับตัวอื่นเลย)⎝ ⎠→ หยิบ 2 ตัวแล้วไม่เท่ากัน คิดง่ายๆ จากวิธีทั้งหมด - หยิบ 2 ตัวแล้วเท่ากัน (ซึ่งมี 4 คู่)4= 1 − = 1 − 1/9 = 8 / 9⎛9⎞⎜2⎟⎝ ⎠(129)หาร4 หาร6ให้ F = หาร 4 ลงตัว และ S = หาร 6 ลงตัว→ ชิ้น ข คือ F ∩ Sหาจํานวนจาก “หาร 12 (ค.ร.น.ของ 4 กับ 6) ลงตัว”คือ 12,24,36,...,96 → 8 ตัว→ n(F) = 23, n(S) = 15∴ n(F ∪ S) = 23 + 15 − 8 = 30 ตัว→ โจทย์ถาม “หาร 4 หรือ 6 ไม่ลงตัว”คือ ก + ค → ตอบ 1 − 8/30 = 11/ 15(130) จาก x 2 < 21x → x(x − 21) < 0→ B = {1, 2, 3, ..., 20}และพบว่า A ≠ 0 ก็เมื่อ (k − 4)(k −6) − k ≠ 0แก้สมการกําลังสอง ได้ k ≠ 3,8ดังนั้น ตอบ 1 − 2/20 = 9 / 10Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET358ความนาจะเปน(131) พิจารณาเฉพาะ 4 ช่อง A-B-C-D (เพราะช่องอื่นไม่มีผลต่อการคํานวณ) จะได้ว่า โอกาสที่แต่ละช่องจะเป็นสีแดง = 1/2 (จากการโยนหัวก้อย)∴ ตอบ 1 × 1 × 1 × 1 =12 2 2 2 16หรือ คิดจากจํานวนวิธี1 1=2 × 2 × 2 × 2 16(คือสีแดงล้วน 1 วิธี และวิธีทั้งหมดสีต่างๆ 16 วิธี)(132) คิดแบบการนับวิธีที่ถูกต้อง มี 1 วิธี และวิธีทั้งหมดมี 4x3x2x1 วิธีจะได้1 1=4 × 3 × 2 × 1 24คิดแบบความน่าจะเป็น แต่ละขั้นตอนโอกาสที่จะหยิบถูกทุกครั้ง(133)Uก ข ค1 1 1 1= × × × 1 =4 3 2 24งก + ข = 41%ข + ค = 28%ก + ข + ค = 60%หืด หอบP{หืดอย่างเดียว} = 60% − 28% = 32%(ชิ้นส่วน ก)eÃ×èo§æÁเรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน..(1) ความสัมพันธ์จาก A ไป B ... จะใช้ A กี่ตัวก็ได้ และ B กี่ตัวก็ได้ดังนั้นเราสร้างเซต AxB ขึ้นก่อน ซึ่งมีสมาชิกเป็นคู่อันดับจํานวน n(A)xn(B) คู่อันดับแล้วความสัมพันธ์จาก A ไป B จะเลือกคู่อันดับไปจากเซตนี้กี่คู่อันดับก็ได้เปรียบเหมือนสับเซตของ AxB นั่นเอง จะมีทั้งหมดn(A) n(B)2×แบบ(2) ความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่งบังคับว่าโดเมนเท่ากับ A ... แปลว่าต้องใช้สมาชิก A ให้ครบทุกตัวเราจะพิจารณาสมาชิกในโดเมนทีละตัว สมาชิกตัวหนึ่งสามารถจับคู่กับสมาชิกของ B กี่ตัวก็ได้ (แต่ไม่จับเลยไม่ได้) สมาชิกตัวนี้จึงเลือกคู่ได้ 2 n(B) − 1 แบบ แต่ต้องใช้สมาชิกทุกตัวของ A ให้ครบ แสดงว่าต้องคูณกันn(B) n(A)n(A) ครั้ง ...ดังนั้น จะมีทั้งหมด (2 − 1) แบบ(3) ฟังก์ชันจาก A ไป B ... จะต้องใช้ A ให้ครบเสมอ แต่ใช้สมาชิก B กี่ตัวก็ได้และด้วยความเป็นฟังก์ชัน สมาชิกใน A แต่ละตัวจึงจับคู่สมาชิก B ได้เพียง 1 ตัวเท่านั้น คือ n(B) แบบn(A)เราจึงคิดจํานวนฟังก์ชันโดยการคูณ n(B) เป็นจํานวน n(A) ครั้ง... ดังนั้นคําตอบคือ (n(B)) แบบ(4) ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ... นอกจากเงื่อนไขของฟังก์ชันจาก A ไป B ในข้อที่แล้วยังต้องเพิ่มเงื่อนไขว่าสมาชิกใน B ต้องไม่ถูกเลือกซ้ํา (แสดงว่า n(B) ต้องไม่น้อยกว่า n(A))คําตอบที่ได้คือ n(B) ⋅(n(B) − 1) ⋅(n(B) −2) ⋅ ...n(A) ตัว(5) ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ... ใช้วิธีลบออก คือจํานวนแบบทั้งหมดลบด้วยจํานวนแบบที่ไม่ทั่วถึงตัวอย่าง กําหนด A = {1,2,3}, B = {2,3}, และ C = { − 1,0,2,5}* ความสัมพันธ์จาก A ไป B มีทั้งหมด 3 ×2 2 = 64 แบบ* ความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่งมีโดเมนเป็น A มีทั้งหมด 3 3 3 27* ความสัมพันธ์ภายใน A (แปลว่าจาก A ไป A) มีทั้งหมด 3 ×2 3 = 512 แบบ* ความสัมพันธ์ภายใน A ซึ่งมีโดเมนเป็น A มีทั้งหมด 7 × 7 × 7 = 343 แบบ* ฟังก์ชันจาก C ไป B มีทั้งหมด 2 × 2 × 2 × 2 = 16 แบบ* ฟังก์ชันจาก C ไปทั่วถึง B มีทั้งหมด 16 − 2 = 14 แบบ* ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป C มีทั้งหมด 4 3 2 24× × = แบบ× × = แบบ* ฟังก์ชันจาก A ไป C ซึ่ง f(x) < x (แปลว่าตัวหลัง < ตัวหน้า) มีทั้งหมด 2 3 3 18× × = แบบหมายเหตุ ไม่ควรท่องเป็นสูตรเพราะในข้อสอบอาจจะเพิ่มเงื่อนไขให้แปลกไป ควรทําความเข้าใจในวิธีคิด :]Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET359สถิติstatº··Õè17 Êiµiสถิติศาสตร์ (Statistics) คือวิชาที่เกี่ยวกับการเก็บรวบรวม นําเสนอ และวิเคราะห์ข้อมูล เมื่อเรามีข้อมูล (Data) จํานวนหนึ่ง เรามักจําเป็นต้องวิเคราะห์ข้อมูลก่อนถึงจะนําไปใช้ประโยชน์ (เพื่อการตัดสินใจหรือการวางแผน) ต่อได้ การวิเคราะห์ข้อมูลแบ่งเป็นการวิเคราะห์เบื้องต้น เช่น การแจกแจงความถี่, การหาค่ากลาง, การหาค่าการกระจาย และการวิเคราะห์ขั้นสูง เช่น การประมาณค่า, การหาความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลสองชุด โดยสิ่งที่ได้จากการวิเคราะห์จะเรียกว่า สารสนเทศ หรือ ข่าวสาร (Information)ลักษณะของข้อมูล1. ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) เป็นข้อมูลที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณที่วัดเป็นตัวเลข เช่นน้ําหนัก ส่วนสูง คะแนนสอบ ... สามารถนําไปคํานวณหรือเปรียบเทียบได้โดยตรง อาจเป็นข้อมูลที่ต่อเนื่อง (เช่นส่วนสูง จะมีค่าทศนิยมเท่าใดก็ได้) หรือไม่ต่อเนื่อง (เช่นยอดขายสินค้า จะต้องเป็นจํานวนนับเท่านั้น)2. ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) ไม่ได้เป็นตัวเลข เช่น เพศ ศาสนา สี ความพึงพอใจ ...หากเราต้องการวิเคราะห์อาจจะต้องกําหนดตัวเลขเพื่อใช้แทนข้อมูลเหล่านี้ก่อนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET36017.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูลสถิติประเภทข้อมูลแบ่งตามแหล่งที่มา1. ข้อมูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือข้อมูลที่ได้จากการสํารวจเองโดยตรง (ไม่ว่าจะเป็นการนับการวัด การทดลอง การสอบถาม การสังเกต) ซึ่งจะเก็บรวบรวมได้ใน 2 ระดับ คือ- ระดับประชากร (Population)เก็บข้อมูลจากทุกๆ สิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า การสํามะโน (Census)- ระดับตัวอย่าง (Sample)เก็บข้อมูลจากสิ่งที่สุ่มเลือกมา เรียกว่า การสํารวจตัวอย่าง (Sample Survey หรือ Sampling)2. ข้อมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) คือข้อมูลที่มีผู้รวบรวมไว้แล้ว (และมักผ่านการวิเคราะห์ขั้นต้นแล้วด้วย) ผู้ใช้ไม่ต้องทําการสํารวจเอง เช่น ข้อมูลจากหน่วยงานราชการ องค์กรของรัฐรายงานและบทความจากหนังสือการนําเสนอข้อมูล1. ข้อความ บทความใช้เมื่อข้อมูลที่ต้องการนําเสนอมีไม่มากนัก บางครั้งอาจมีการจัดตัวเลขเรียงเป็นแถวคล้ายตารางเพื่อให้อ่านง่าย2. ตาราง2.1 การนําเสนอข้อมูลโดยใช้ ตาราง (Table) เป็นการจัดระเบียบข้อมูลตามลักษณะต่างๆที่น่าสนใจ ทําให้เปรียบเทียบข้อมูลได้สะดวกกว่าการนําเสนอด้วยข้อความ ... ซึ่งตารางที่ใช้ อาจเป็นตารางแบบทางเดียว แบบสองทาง (จําแนกข้อมูลเป็นสองแถว) หรือแบบหลายทาง (จําแนกย่อยลงไปมากกว่าสองแถว)2.2 การสร้าง ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution Table) คือการจัดข้อมูลที่มีอยู่ให้เป็นกลุ่มๆ โดยให้ข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกันอยู่ด้วยกัน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์และการจัดเก็บ ... มีขั้นตอนดังนี้(1) แบ่งค่าข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดออกเป็นช่วงๆ ตามที่ต้องการ เรียกแต่ละช่วงว่า อันตรภาคชั้น (Class Interval) เช่น “30 – 39”, “40 – 49”, “50 – 59”(2) พิจารณาว่าบรรดาข้อมูลที่มีนั้น มีค่าตกอยู่ในแต่ละช่วงเป็นปริมาณเท่าใด เรียกปริมาณข้อมูลที่ปรากฏในแต่ละช่วงว่า ความถี่ (Frequency)มักเขียนอันตรภาคชั้นและความถี่ของแต่ละชั้น ในรูปตารางขนาดประมาณ 5 ถึง 20 ชั้นและมักกําหนดความกว้างแต่ละชั้นเท่าๆ กัน ... แม้โดยทั่วไปไม่จําเป็นต้องเท่ากันก็ได้ อีกทั้งอันตรภาคชั้นต่ําสุดหรือสูงสุดอาจเป็น อันตรภาคชั้นเปิด (Open-Ended Class Interval) ก็ได้ เช่น “น้อยกว่า 30”, “มากกว่า 60”• ตัวอย่างเช่น ข้อมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 40 คนในชั้นเรียน ได้แก่40 45 46 46 50 51 49 52 42 4150 55 51 53 54 40 43 48 53 5558 62 64 61 50 48 48 56 58 5859 64 63 68 59 65 61 67 66 64หากต้องการตารางแจกแจงความถี่ขนาด 6 ชั้น อาจเขียนได้ดังนี้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET361สถิติน้ําหนัก (กก.) จํานวนนักเรียน40 – 44 545 – 49 750 – 54 955 – 59 860 – 64 765 – 69 4รวม 40• อันตรภาคชั้น ได้แก่ 40 – 44, 45 – 49, 50 –54, 55 – 59, 60 – 64, และ 65 – 69 โดยมีความถี่ของแต่ละชั้น ได้แก่ 5, 7, 9, 8, 7, และ 4ตามลําดับ• ค่า ขอบล่าง (Lower Boundary) และ ขอบบน(Upper Boundary) คือค่ากึ่งกลางระหว่างรอยต่ออันตรภาคชั้น เช่น ชั้น 45 – 49 มีค่า 44.5 เป็นขอบล่าง ซึ่งค่า 44.5 ก็เป็นขอบบนของชั้น 40 – 44 ด้วย• ความกว้างอันตรภาคชั้น หาได้จาก “ผลต่างของขอบบนและขอบล่างของชั้นนั้น” ในตัวอย่างนี้ความกว้างแต่ละชั้นเป็น 5 เท่ากันหมดความถี่สะสม (Cumulative Frequency; CF หรือ Σf) คือ “ผลรวมความถี่ชั้นนั้น กับความถี่ชั้นที่มีค่าข้อมูลต่ํากว่าทั้งหมด” ในบางครั้งอาจให้ความถี่สะสมเป็นผลรวมความถี่ชั้นนั้นกับชั้นที่ค่าข้อมูลสูงกว่าทั้งหมดก็ได้ แต่ไม่เป็นที่นิยมความถี่สัมพัทธ์ (Relative Frequency) และ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ (Relative CumulativeFrequency) ก็คืออัตราส่วนความถี่หรือความถี่สะสม เทียบกับความถี่รวม (N) ดังนั้นความถี่สัมพัทธ์รวมทุกชั้นต้องได้ 1 เสมอ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ของชั้นสูงสุดก็ต้องเป็น 1 เช่นกัน (บางครั้งจะใช้เป็นหน่วย “ร้อยละ” ซึ่งจะปรับให้ผลรวมความถี่เป็นร้อยละ 100)3. แผนภูมิ กราฟการนําเสนอข้อมูลแบบนี้สะดวกที่สุด เมื่อต้องการผลสรุปในเชิงเปรียบเทียบ3.1 แผนภูมิแท่ง (Bar Chart) และ แผนภูมิเชิงเส้น (Line Chart) นิยมใช้แสดงข้อมูลที่เปลี่ยนไปตามเวลา เช่น ยอดขายผลิตภัณฑ์ชนิดหนึ่งในแต่ละเดือน ... ส่วน แผนภูมิวงกลม (PieChart) นิยมใช้แสดงสัดส่วนข้อมูลเป็นร้อยละ เช่น ส่วนแบ่งตลาดของผลิตภัณฑ์แต่ละยี่ห้อ3.2 ฮิสโทแกรม (Histogram) คือแผนภูมิแท่งสี่เหลี่ยมวางเรียงชิดกัน ใช้แสดงข้อมูลจากแต่ละอันตรภาคชั้น โดยให้แกนนอนแทนค่าข้อมูล x เขียนกํากับด้วยขอบบน-ขอบล่างของชั้น หรือด้วย จุดกึ่งกลางชั้น (Midpoint) ก็ได้ และให้แกนตั้งแทนค่าความถี่ f … ความสูงของแท่งสี่เหลี่ยมจะแปรตามความถี่ชั้นนั้นๆรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ (Frequency Polygon) คือรูปที่เกิดจากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางยอดแท่งสี่เหลี่ยมของฮิสโทแกรมแต่ละแท่ง (โดยสมมติให้มีอันตรภาคชั้นก่อนหน้าและหลังอันตรภาคชั้นทั้งหมดที่มีอยู่ ฝั่งละ 1 ชั้น และลากเส้นตรงไปบรรจบแกนนอนที่กึ่งกลางชั้นทั้งสองนี้ เพื่อให้เป็นรูปปิดที่มีพื้นที่เท่ากับฮิสโทแกรมเดิม)เส้นโค้งของความถี่ (Frequency Curve) คือรูปที่เกิดจากการปรับเส้นตรงในรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ ให้เป็นเส้นโค้งเรียบ และพยายามให้พื้นที่ใต้เส้นโค้งมีขนาดใกล้เคียงพื้นที่รูปเดิมที่สุดถ้าเราสร้างฮิสโทแกรมโดยใช้ความถี่สะสม และปรับให้เป็น เส้นโค้งของความถี่สะสม(Ogive) จะได้เส้นโค้งที่เริ่มจาก 0 ขึ้นไปถึง N เสมอMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET362สถิติน้ําหนัก (กก.) ความถี่ ความถี่สะสม40 – 4445 – 4950 – 5455 – 5960 – 6465 – 6957987451221293640รวม 40f (ความถี่)f (ความถี่)8642O 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 69.5(กก.)ฮิสโทแกรม (1) แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คนf (ความถี่)x8642O 42 47 52 57 62 67x(กก.)ฮิสโทแกรม (2) แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คนf (ความถี่)8642O 37 42 47 52 57 62 67 72x(กก.)เส้นโค้งของความถี่ แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คน8642O 37 42 47 52 57 62 67 72รูปหลายเหลี่ยมของความถี่แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คนcf (ความถี่สะสม)40302010O 37 42 47 52 57 62 67 72เส้นโค้งของความถี่สะสม (Ogive)แสดงน้ําหนักนักเรียน 40 คนx(กก.)x(กก.)3.3 แผนภาพลําต้น-ใบ (Stem-and-Leaf Diagram)ใช้จัดข้อมูลให้เป็นกลุ่มเพื่อเห็นลักษณะคร่าวๆ และมีข้อดีคือข้อมูลดิบแต่ละค่าไม่สูญหายไป (การสร้างตารางแจกแจงความถี่ หรือสร้างฮิสโทแกรม จะทําให้รายละเอียดของข้อมูลสูญหายไป)การเขียนแผนภาพลําต้น-ใบ จะตัดเลขในหลักขวาออกก่อน (กี่หลักแล้วแต่ความเหมาะสม)แล้วนําหลักที่เหลือมาเรียงไว้เป็นลําต้นในแนวตั้ง จากนั้นจึงนําเลขที่ตัดออกมาเขียนต่อท้ายในบรรทัดเดียวกัน เรียกว่าใบ (ควรเรียงลําดับจากน้อยไปมากด้วย เพื่อให้เป็นระเบียบและวิเคราะห์ข้อมูลได้สะดวก)ในตัวอย่างข้างต้น จะเขียนแผนภาพลําต้น-ใบ ได้ดังนี้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET363สถิติต้น456ใบ0 0 1 2 3 5 6 6 8 8 8 90 0 0 1 1 2 3 3 4 5 5 6 8 8 8 9 91 1 2 3 4 4 4 5 6 7 8จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวิเคราะห์ข้อมูลคร่าวๆ ได้ว่า(1) มองเป็นแผนภูมิแท่งแนวนอน จะได้ว่า ช่วงข้อมูล 50 – 59 มีความถี่มากที่สุด(2) ข้อมูลที่ต่ําที่สุดคือ 40 และสูงที่สุดคือ 68 ... มีค่าต่างกันอยู่ 28(3) ข้อมูลตรงกลางมีค่าประมาณ 53 หรือ 54• ตัวอย่าง ข้อมูลคะแนนสอบของนักเรียน 20 คนในห้อง ก และ ข ได้แก่ก 158 162 164 161 150 148 180 156 145 158ข 180 163 160 158 162 167 181 175 175 172เราสามารถเขียนแผนภาพของข้อมูลสองชุดนี้ด้วยกัน ดังนี้ใบ (ห้อง ก) ต้น ใบ (ห้อง ข)5 80 6 8 81 2 40141516171880 2 3 72 5 50 1จากแผนภาพต้น-ใบ อาจวิเคราะห์ข้อมูลคร่าวๆ ว่า(1) นักเรียนห้อง ก ส่วนมากได้คะแนน 150 – 159 และห้อง ข ส่วนมากได้คะแนน 160 – 169(2) คะแนนต่ําสุดของแต่ละห้อง คือ 145 และ 158, คะแนนสูงสุดคือ 180 และ 181(3) ห้อง ก มี ข้อมูลที่ผิดปกติ (Outlier) คือ 180(4) คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้อง ข น่าจะสูงกว่าห้อง ก17.2 ค่ากลางของข้อมูลค่ากลางของข้อมูล (Central Value) เป็นตัวเลขที่ใช้แทนข้อมูลทั้งหมด จะช่วยให้วิเคราะห์ข้อมูลได้อย่างกว้างๆ ซึ่งค่ากลางที่นิยมใช้ มี 3 ชนิด ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean)ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล x 1 , x 2 , x 3 , ..., x N ใช้สัญลักษณ์ว่า X (อ่านว่า x-bar)เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับ ค่าของข้อมูล โดยตรง จึงเหมาะกับชุดข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกันทุกค่าไม่มีค่าใดสูงหรือต่ําผิดปกติไปจากค่าอื่นๆ (มิฉะนั้นค่าที่ได้จะไม่มีคุณภาพ)ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungrouped Data)Nx + x + x + ... + xX = =N1 2 3 N i=1x คือข้อมูลตัวที่ i, และมีจํานวนข้อมูล (Units) ทั้งหมดเท่ากับ N ตัวi∑NxiMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET364สถิติข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ คิดแบบถ่วงน้ําหนัก (Weighted)N∑ wx i iwx + w x + w x + ... + w xX = =1 1 2 2 3 3 N N i=1Nw1 + w2 + w 3 + ... + wNx i คือข้อมูลตัวที่ i, iข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว (Grouped Data)k∑∑i=1w คือน้ําหนักของข้อมูลตัวที่ i, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัวfxf x + f x + f x + ... + f xX = = =i i i i1 1 2 2 3 3 k k i= 1 i=1kf1 + f2 + f 3 + ... + fkN∑ fii=1x i กึ่งกลางชั้นที่ i, iข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว (สูตรลดทอน)X = a + ID เมื่อf คือความถี่ชั้นที่ i, มีทั้งหมด k ชั้น, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัวD=k∑fdi ii=1Na คือกึ่งกลางของชั้นใดชั้นหนึ่งที่เลือก (ชั้นใดก็ได้), I คือความกว้างชั้น (เท่ากันทุกชั้น)d i เป็นจํานวนเต็ม โดยให้ชั้นที่มีค่า a นั้นเป็น d = 0และชั้นที่มีข้อมูลน้อยลง d = −1, − 2,... ไปเรื่อยๆ ส่วนชั้นที่ข้อมูลสูงขึ้น d = 1,2,... ไปเรื่อยๆหมายเหตุ สัญลักษณ์ ∑ (Capital Sigma) อ่านว่า Summationใช้แทนผลรวมของพจน์ต่างๆ โดยมีตัวแปร i กํากับไว้ว่าในแต่ละพจน์จะแปรค่าจากเท่าใดจนถึงเท่าใด(เช่น i = 1 ถึง N)สมบัติของ ∑ ที่ควรทราบมีดังนี้N N N N∑ ∑ ∑ ∑• c = N ⋅ c • (x ± y ) = x ± yi i i ii= 1 i= 1 i= 1 i=1NN∑ cxic ∑ xic เป็นค่าคงที่i= 1 i=1• = ⋅ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean) ของข้อมูลหลายๆ ชุดkXc( ∑ x) N x + N x + N x + ... + N x= = =N N N N ... Nc 1 1 2 2 3 3 k k i=1kc 1 + 2 + 3 + + kx i คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ i, N i คือจํานวนข้อมูลชุดที่ i จากทั้งหมด k ชุดหมายเหตุ อาจมองในแง่ว่า เป็นการนําค่าเฉลี่ยแต่ละชุด มาถ่วงน้ําหนักด้วยจํานวนข้อมูลก็ได้ในตําราสถิติ นิยมใช้สัญลักษณ์แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น μ (Mu) และ Xโดยให้นิยามว่า μ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลทั้งหมด (Population Mean) เป็นค่าแท้จริงและ X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตัวอย่าง (Sample Mean) เป็นค่าประมาณนั่นคือ ถ้า N คือจํานวนข้อมูลทั้งหมด และถูกสุ่มมาเป็นตัวอย่างจํานวน n ข้อมูล จะได้N∑ xii=1μ = และNX=แต่ในหนังสือเล่มนี้จะใช้สัญลักษณ์ X กล่าวรวมถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตทั้งสองแบบn∑i=1nxiwki∑fx∑∑i=1NxiNiiMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET365สถิติ2. มัธยฐาน (Median; Med)มัธยฐาน คือค่าที่มีตําแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด (เมื่อเรียงลําดับข้อมูลจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อย) เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับ ลําดับของข้อมูล (บอกให้ทราบว่ามีข้อมูลที่มีค่ามากกว่าค่านี้ กับน้อยกว่าค่านี้ อยู่ปริมาณเท่าๆ กัน) จึงยังคงใช้ได้ดีกับข้อมูลชุดที่มีบางค่าสูงหรือต่ํากว่าค่าอื่นอย่างผิดปกติข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่Med คือข้อมูล ในตําแหน่งที่ N + 1 (ตําแหน่งกึ่งกลาง)2เมื่อมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว และเรียงลําดับแล้วข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว⎛N⎞−∑fLMed = L + I ⎜2⎟⎜ ⎟⎝ fMed⎠ข้อสังเกต ใช้ N/2 โดยไม่ต้องบวกหนึ่งL คือขอบล่างชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ (ตัวที่ N/2) ซึ่งชั้นนั้นมีความกว้าง I และมีความถี่เป็น f Med∑ คือความถี่สะสมจนถึงขอบล่างf Lหมายเหตุ บางตําราใช้สัญลักษณ์Med =X3. ฐานนิยม (Mode; Mo)ฐานนิยม คือค่าข้อมูลตัวที่ปรากฏบ่อยครั้งที่สุด (มีความถี่สูงที่สุด) เป็นค่ากลางที่ให้ความ-สําคัญกับ ความถี่ของข้อมูล จะเหมาะสมที่สุดกับข้อมูลเชิงคุณภาพ เช่น การลงคะแนนเลือกตั้งข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่Mo คือข้อมูลตัวที่มีความถี่มากที่สุดหมายเหตุ โดยทั่วไปจะเป็นฐานนิยมร่วมกันได้ไม่เกิน 2 ค่าข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว⎛ dL⎞Mo = L + I ⎜ d L d ⎟⎝ + U⎠L คือขอบล่างชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ (ชั้นที่ความถี่สูงสุด) ซึ่งทุกๆ ชั้นมีความกว้าง Id L คือผลต่างความถี่ ชั้นนั้นกับชั้นที่ค่าข้อมูลน้อยลง (ขอบล่าง)d U คือผลต่างความถี่ ชั้นนั้นกับชั้นที่ค่าข้อมูลมากขึ้น (ขอบบน)หมายเหตุ บางตําราใช้สัญลักษณ์ Mo = X• ตัวอยาง ขอมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 9 คนเปนดังนี้40 45 46 46 50 51 49 52 42 ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของขอมูลชุดนี้40 + 45 + 46 + 46 + 50 + 51 + 49 + 52 + 42ตอบ ก. คาเฉลี่ยเลขคณิต X = = 46.78 กก.9ข. มัธยฐาน (ตองเรียงลําดับขอมูลกอน กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52)อยูตําแหนงกึ่งกลาง คือตําแหนงที่ 9 + 1 = 52S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! Sมีคาเปน Med = 46 กก.¤Ò (N+1)/2 e»¹µíÒæË¹§¢o§Áa¸Â°Ò¹ äÁãª¤Òค. ฐานนิยม (ดูจากขอมูลที่ปรากฏบอยครั้งที่สุด)¢o§Áa¸Â°Ò¹o´ÂµÃ§ á§¹aé¹ ËÒÁe¢ÕÂ¹ÇÒ Med =(9+1)/2 = 5 ¹a¤Ãaº e¾ÃÒa·Õè¨Ãi§ Med = 46มีคาเปน Mo = 46 กก.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET366สถิติ• ตัวอยาง ขอมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 10 คนเปนดังนี้40 45 46 46 50 51 49 52 42 50ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของขอมูลชุดดังกลาว40 + 45 + 46 + 46 + 50 + 51 + 49 + 52 + 42 + 50ตอบ ก. คาเฉลี่ยเลขคณิต X = = 47.1 กก.10ข. มัธยฐาน (เรียงลําดับขอมูลไดเปน 40 42 45 46 46 49 50 50 51 52)อยูตําแหนงกึ่งกลาง คือตําแหนงที่ 10 + 1 = 5.5 ... แปลวากึ่งกลางระหวาง 46 และ 49246 + 49ดังนั้นมีคาเปน Med = = 47.5 กก. (ใชวิธีเฉลี่ยแบงครึ่งเอา)2ค. ฐานนิยม ในตัวอยางนี้มีคาเปน Mo = 46 และ 50 กก.หมายเหตุ มีขอมูลที่เปนฐานนิยมรวมกันได 2 คา (หากเกินจะถือวาขอมูลชุดนี้ไมมีฐานนิยม)• ตัวอยาง ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนจํานวน 100 คน เปนดังนี้คะแนน จํานวนนักเรียน คะแนน จํานวนนักเรียน20 – 2930 – 3940 – 4950 – 5929132060 – 6970 – 7980 – 8990 – 993015101ก. ใหหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิธีคิด การหาคาเฉลี่ยเลขคณิต จะใชวิธีถวงน้ําหนักโดยตรงก็ได แตคํานวณยากมาก24.5(2) + 34.5(9) + 44.5(13) + ... + 94.5(1)นั่นคือ X = = 60.2 คะแนน100(สังเกต : คาขอมูลที่ใชเปนตัวแทนของแตละชั้น คือกึ่งกลางของชั้นนั้น)เราสามารถใชวิธีลัดในการหาคาเฉลี่ยเลขคณิตไดเสมอ โดยตองเพิ่มชอง d กอนดังนี้x f d x f d20 – 2930 – 3940 – 4950 – 59291320-4-3-2-160 – 6970 – 7980 – 8990 – 9930151010123หลักในการกําหนดคา d คือ เลือกชั้นใดก็ได 1 ชั้น กําหนดคา d=0จากนั้นพิจารณาชั้นที่มีคาขอมูล (คา x ) สูงขึ้น ให d= 1,2,3,... ตามลําดับสวนชั้นที่มีคาขอมูล (คา x ) ต่ําลง ก็ให d=− 1, −2, − 3,... ตามลําดับเชนกันวิธีคํานวณคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ X = a + ID โดย a คือกึ่งกลางของชั้นที่ d=0ดังนั้นในตัวอยางนี้ a = 64.5 ... I = ความกวางชั้น = 10 ...− 4(2) − 3(9) −2(13) − 1(20) + 0(30) + 1(15) + 2(10) + 3(1)และ D = = − 0.43100จึงสรุปไดวา X = 64.5 + (10)( − 0.43) = 60.2 คะแนนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET367สถิติจะเห็นวาวิธีคํานวณ X ดวย D นี้ ทําใหสะดวกมากขึ้น และผลลัพธที่ไดจะถูกตองเสมอ (ไมใชคําตอบจากการประมาณ)ข. ใหหามัธยฐานของคะแนนสอบ100วิธีคิด มัธยฐาน อยูตําแหนงที่ 502 = (สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่แลว จะใช N ) 2การหาคามัธยฐาน ตองเพิ่มชองความถี่สะสมกอน ดังนี้x f cf x f cf20 – 2930 – 3940 – 4950 – 59291320211244460 – 6970 – 7980 – 8990 – 993015101748999100จะพบวา มัธยฐาน (คือตัวที่ 50) นั้นอยูในชั้น “60 – 69” (เพราะเกินตัวที่ 44 แตยังไมถึง 74)⎛N⎞f 50 − 44Med = L + I ⎟ = 59.5 + (10)( ) = 61.5⎜ ⎟f30⎝ Med ⎠Lดังนั้น มัธยฐาน ⎜ −∑2L คือขอบลางของชั้นที่มัธยฐานอยู คือ 59.5ซึ่งชั้นนั้นมีความกวาง I คือ 10 และมีความถี่เปน f Med คือ 30สวน ∑ คือความถี่สะสมที่ขอบลาง คือ 44fLS ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Òe©ÅÕèÂeÅ¢¤³iµ¨Ò¡µÒÃÒ§! S1. ãËÃaÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕÂ§¡Åaº´Ò¹ (ÁÒ¡ä»¹oÂ) ËÃ×oäÁ2. ¤Òe©ÅÕèÂeÅ¢¤³iµ·Õè¤íÒ¹Ç³ä´ äÁ¨íÒe»¹µo§ÁÕ¤ÒoÂÙ ã¹ªaé¹·Õ èeÅ×o¡ d = 0 eÊÁoä»e¾ÃÒa·Õè¨Ãi§äeÅ×o¡ªaé¹ã´¡çä´ ä´¤íÒµoºe·Ò¡a¹ (·aèÇä»Áa¡eÅ×o¡ªa é¹·Õ è¤ÇÒÁÕ èÊÙ§Êú e¾×èoãË¤iéÅ¢§ÒÂ)3. ÊÙµÃ X = a + ID ¹ÕéãªäéÁ×èo¤ÇÒÁ¡ÇÒ§ (I) ·u¡æ ªaé¹e·Ò¡a¹e·Ò¹aé¹คะแนนS ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤ÒÁa¸Â°Ò¹¨Ò¡µÒÃÒ§! S1. ãËÃaÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕÂ§¡Åaº´Ò¹ (ÁÒ¡ä»¹oÂ) ËÃ×oäÁ2. ãËÊa§e¡µÇÒ¤ÒÁa¸Â°Ò¹·Õè¤íÒ¹Ç³ä´ oÂÙ ã¹ªaé¹ 60 – 69 ¨Ãi§ËÃ×oäÁ ÒäÁãªæÊ´§ÇÒ¤í ¼i´ค. ใหหาฐานนิยมของคะแนนสอบวิธีคิด ฐานนิยมจะคํานวณงายที่สุดในบรรดาคากลางทั้งสามอยาง เพราะไมตองเพิ่มชองในตาราง ... ฐานนิยมจะอยูในชั้นที่มีความถี่สูงสุด ในตัวอยางนี้ก็คือชั้น “60 – 69”คะแนน จํานวนนักเรียน คะแนน จํานวนนักเรียน20 – 2930 – 392960 – 6970 – 79301540 – 49 13 80 – 89 1050 – 59 20 90 – 99 1⎛ dL⎞10คํานวณจาก Mo = L + I ⎜59.5 (10)( ) 63.5dLd⎟ = + = คะแนน⎝ + U⎠10 + 15L คือขอบลางของชั้นที่ฐานนิยมอยู คือ 59.5 ... ซึ่งชั้นนั้นมีความกวาง I คือ 10Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET368สถิติสวน d L คือผลตางความถี่ ชั้นนั้นกับชั้นที่คาขอมูลนอยลง (ขอบลาง) คือ 30-20 = 10d คือผลตางความถี่ ชั้นนั้นกับชั้นที่คาขอมูลมากขึ้น (ขอบบน) คือ 30-15 = 15Uง. เมื่อนําความถี่ในตารางไปสรางเสนโคงของความถี่ จะพบวามีการแจกแจงแบบใด(ขอ ง. นี้ ใชความรูในบทเรียนสถิติ (2) ประกอบดวย)ตอบ มีวิธีคิดสองแบบ คือดูแนวโนมจากคาความถี่ในตาราง พบวาซีกขวาสูงกวาซีกซาย ก็ได หรือจะดูจากคาที่คํานวณไวในขอ ก. ถึง ค. ก็ได ... X < Med < Mo แสดงวาเปนโคงเบซายจ. หากตัดอันตรภาคชั้น 20 – 29 และ 30 – 39 ทิ้งไป ใหเหลือขอมูลเพียง 89 จํานวน แลวคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม จะเปลี่ยนแปลงอยางไรตอบ คาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน จะเพิ่มขึ้น(คิดงายๆ วาถาเพิ่มขอมูลในชั้นลางสุดมากๆ คาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน ยอมถูกดึงใหลดลงดังนั้น ในทางกลับกัน ถาตัดชั้นลางสุดทิ้งไป คาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน ก็ยอมเพิ่มขึ้น)สวนฐานนิยมนั้นเทาเดิม สังเกตไดจากสองชั้นลางสุดไมไดมีผลในการคํานวณฐานนิยมเลยนอกจากการคํานวณจากข้อมูลโดยตรงแล้ว เรายังสามารถหาค่ามัธยฐานได้จากเส้นโค้งของความถี่สะสม และหาฐานนิยมได้จากฮิสโทแกรม ดังภาพcf (ความถี่สะสม)NS ¢o¤ÇÃÃaÇa§ã¹¡ÒÃËÒ¤Ò°Ò¹¹iÂÁ¨Ò¡µÒÃÒ§! S1. ãËÃaÇa§ÇÒµÒÃÒ§¢oÁÙÅeÃÕÂ§¡Åaº´Ò¹ (ÁÒ¡ä»¹oÂ) ËÃ×oäÁ2. ãËÊa§e¡µÇÒ¤Ò°Ò¹¹iÂÁ·Õè¤íÒ¹Ç³ä´ oÂÙ ã¹ªaé¹ 60 – 69 ¨Ãi§ËÃ×oäÁ ÒäÁãªæÊ´§ÇÒ¤i´¼i´การหาค่ามัธยฐานจากเส้นโค้งของความถี่สะสมf (ความถี่)การหาค่าฐานนิยมจากฮิสโทแกรมN/2O x O xMedMoในการคํานวณค่ากลาง จะพบว่าข้อมูลบางลักษณะไม่เหมาะสมกับค่ากลางบางชนิด ซึ่งมีผลสรุปไว้คร่าวๆ ดังตารางนี้ยังไม่แจกแจงแจกแจงแล้วลักษณะข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม- ข้อมูลเชิงคุณภาพ ไม่เหมาะสม ไม่เหมาะสม ใช้ได้- เกาะกลุ่มกันปกติ ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้- บางค่าต่างไปจนผิดปกติ ไม่เหมาะสม ใช้ได้ ใช้ได้- ทุกชั้นกว้างเท่ากัน ใช้ได้ ใช้ได้ ใช้ได้- มีอันตรภาคชั้นเปิด ไม่เหมาะสม ใช้ได้ ใช้ได้- บางชั้นกว้างไม่เท่ากัน ไม่เหมาะสม ใช้ได้ ไม่เหมาะสมMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET369สถิติสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตN(1) NX = ∑ x ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คูณกับจํานวนข้อมูล จะได้เป็นผลรวมข้อมูลทั้งหมดi=1i(2) ∑ N (xi− X) = 0 ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนทั้งหมดเป็นศูนย์i=1(3) N 2∑ (xi− K) จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ K = Xi=1สมบัติของมัธยฐานN∑ xi− K จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ K = Med (คล้ายข้อ 3 ของ X )i=1สมบัติของค่ากลางทั้ง 3 ชนิด(1) ค่ากลางที่ได้ จะมีค่าอยู่ระหว่างข้อมูลที่น้อยที่สุดกับมากที่สุด เสมอ(2) ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ y i = mx i + cจะได้ว่า (ค่ากลางของY) = m ⋅ (ค่ากลางของX) + c ด้วย เช่น Y = mX + c• ตัวอยาง ใหหาคา a ที่ทําให 5 2∑ (a − x i)มีคานอยที่สุด สําหรับขอมูล x : 2, 3, 6, 12, 20i=1และหาคา b ที่ทําให ∑ 8b − yiมีคานอยที่สุด สําหรับขอมูล y : 3, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16i=1ตอบ คา a ก็คือ X นั่นเอง เพราะ 5 2∑ (a − x i)ก็เหมือนกับ 5 2∑ (xi− a) ดังนั้น a = 8.6สวนคา b ก็คือi=1i=1Med y เพราะ ∑ 8b − yiเหมือนกับ ∑ 8 yi− b ดังนั้น b = 7.5i=1• ตัวอยาง ในการวัดความสูงของนักเรียนกลุมหนึ่ง ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 155 ซม. แตพบวาไมเมตรที่ใชในการวัดมีขอผิดพลาด สวนสูงจริงของแตละคนตองเพิ่มขึ้น 3 ซม. แสดงวาคาเฉลี่ยเลขคณิตที่แทจริงเปนเทาใดตอบ ขอมูลทุกตัวถูกบวก 3 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็บวก 3 เปน 158 ซม.• ตัวอยาง ในการวัดความสูงของนักเรียนกลุมหนึ่ง ไดคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 155 ซม. แตพบวาไมเมตรที่ใชในการวัดมีขอผิดพลาด สวนสูงจริงของแตละคนตองเพิ่มขึ้นเปน 1.02 เทา แสดงวาคาเฉลี่ยเลขคณิตที่แทจริงเปนเทาใดตอบ ขอมูลทุกตัวถูกคูณ 1.02 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็คูณ 1.02 เปน 158.1 ซม.• ตัวอยาง สมการแทนความสัมพันธระหวางน้ําหนัก ( W : กก.) กับสวนสูง ( H : ซม.) ของนักเรียนHกลุมหนึ่ง เปน W = − 2 ถาทราบวาสวนสูงเฉลี่ย เทากับ 162 ซม. แลวน้ําหนักเฉลี่ยจะเปนเทาใดตอบ เนื่องจาก3HW 23= − เสมอ ทุกๆ คา HH162ดังนั้น W = − 2 ดวย ... สรุปวา3i=1W = − 2 = 52 กก.3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET370สถิติ4. ค่ากลางอื่นๆ (ไม่นิยมใช้)ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean; GM)ใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ในกรณีที่มีข้อมูลบางตัวค่าสูงหรือต่ําผิดปกติ เพราะค่าเหล่านี้มีผลเปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยเรขาคณิตไม่มากนักข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วi=NNN1 2 3 N = ∏ ii=1GM x x x ...x xx คือข้อมูลตัวที่ i, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว โดยทุกข้อมูลเป็นจํานวนจริงบวกk∑ fiki=1 f1 f2 f3fk N fi1 2 3 k ii=1GM = x x x ...x = ∏ xx i กึ่งกลางชั้นที่ i, f i คือความถี่ชั้นที่ i, มีทั้งหมด k ชั้น,และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว โดยทุกข้อมูลเป็นจํานวนจริงบวกหมายเหตุ 1. สัญลักษณ์ ∏ (Pi) ใช้แทนผลคูณ โดยมีตัวแปร i กํากับไว้ว่าในแต่ละตัวคูณจะแปรค่าจากเท่าใดจนถึงเท่าใด (เช่น i = 1 ถึง N) คล้ายสัญลักษณ์ ∑ (Sigma)2. นิยมใช้สมบัติของ log ช่วยในการคํานวณรากที่ N ดังนี้ ...1N1Nlog GM = ∑ log x และ log GM f log xn i = 1i= ∑in i = 1ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก (Harmonic Mean; HM)ใช้หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่เป็นอัตราส่วน เช่น กิโลเมตรต่อชั่วโมง, ราคาต่อชิ้น ฯลฯNข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ HM = =Nข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วx คือข้อมูลตัวที่ i, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัวix i กึ่งกลางชั้นที่ i, iiN1 1 1 1 1+ + + ... +⎛ ⎞x1 x2 x3 x∑ ⎜N i=1 x⎟⎝ i ⎠fif1 + f2 + f 3 + ... + fk i=1 NHM = = =f kk1 f2 f3 fk fi f+ + + ... +⎛ ⎞ ⎛ i ⎞x x x x∑ ⎜x⎟ ∑ ⎜x⎟1 2 3 k i= 1⎝ i ⎠ i=1⎝ i ⎠f คือความถี่ชั้นที่ i, มีทั้งหมด k ชั้น, และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัวกึ่งกลางพิสัย (Midrange)ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ Midrange =xmax + xminx max คือข้อมูลที่มีค่าสูงที่สุด, X min คือข้อมูลที่มีค่าต่ําที่สุดmax minข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว Midrange =U max คือขอบบนของชั้นที่ค่าข้อมูลสูงที่สุด, minU2+ L2k∑L คือขอบล่างของชั้นที่ค่าข้อมูลต่ําที่สุดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET371แบบฝึกหัด 17.2สถิติ(1) ส่วนสูงนักเรียน 8 คน วัดได้ดังนี้ 112, 120, 114, 122, 112, 110, 114, 112 ซม. จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม(2) [Ent’38] จากข้อมูลที่กําหนดให้ ชุด A: 1, 3, 2, 2, 5, 3, 4, 4, 3 และชุด B: 1, 2, 4, 1, 2,5, 2, 5, 1, 5, 5, 3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองชุดนี้ เท่ากันข. มัธยฐานของข้อมูลสองชุดนี้ เท่ากัน(3) [Ent’31] ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 5, 1, 3, 2, 5, 4, 2, 7, 8, 3, 2, 1, 9, 8, 3, 5, 6, 9,4, 3 แล้วข้อมูลชุดนี้มีการแจกแจงแบบใด ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเป็นเท่าใด(4) จงหาข้อมูล 4 จํานวน ซึ่งมีฐานนิยมและมัธยฐานเป็น 70 เท่ากัน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 75และพิสัยเป็น 80(5) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คน เป็น 65 คะแนน ถ้านักเรียน 7 คนแรกมีคะแนนสอบดังนี้ 55, 43, 67, 80, 85, 74, 38 คะแนน ส่วนอีก 3 คน มีคนได้คะแนนเท่ากัน 2คน และมากกว่าอีกคนหนึ่งอยู่ 11 คะแนน จงหามัธยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบของนักเรียน10 คนนี้(6) [Ent’ต.ค.41] ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากน้อยไปมากได้ 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90,120 ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานเป็น 30 และ 40 ตามลําดับแล้ว ข้อมูลชุดต่อไปนี้จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่าใด 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130(7) [Ent’40] คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีเส้นโค้งความถี่เป็นโค้งเบ้ซ้าย โดยที่ 80เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนทั้งหมดสอบได้คะแนนเท่ากันคือ 75 คะแนน สมชายสอบได้คะแนนเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ โดยที่คะแนนของสมชายต่างจากฐานนิยมอยู่ 6 คะแนน สมชายสอบได้คะแนนเท่าใด(8) ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 5 คน คนโตอายุ 15 ปี คนสุดท้องอายุ 4 ปี ค่าเฉลี่ยอายุบุตรทุกคนเป็น11 ปี มัธยฐานเป็น 12 ปี หากบุตรคนที่ 4 อายุน้อยกว่าคนที่ 2 อยู่ 4 ปี จงหาค่าเฉลี่ยของอายุบุตรในอีก 3 ปีข้างหน้า(9) [Ent’41] ความสัมพันธ์ระหว่างกําไร (y) และราคาทุน (x) ของสินค้าชนิดหนึ่งเป็นy = 7 + 0.25 x ถ้าราคาทุนของสินค้า 5 ชิ้นเป็น 32, 48, 40, 56, 44 บาท แล้ว จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกําไรของสินค้า 5 ชิ้นนี้(10) [Ent’22] จากการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างน้ําหนัก (กก.; W) กับส่วนสูง (ซม.; H) ของคน 15 คน พบว่าเป็นไปตามสมการ 3W = H − 15 ถ้าค่าเฉลี่ยของส่วนสูง 6 คนแรกเป็น 159ซม. และของอีก 9 คนที่เหลือเป็น 156 ซม. ให้หาค่าเฉลี่ยของน้ําหนักคน 15 คนนี้(11) ข้อมูลชุดหนึ่งมี X เป็น 11 ถ้ามีข้อมูลค่า 29 เพิ่มอีกตัว จะทําให้ X กลายเป็น 13 ให้หาว่าเดิมมีข้อมูลอยู่กี่ตัว(12) ข้อมูล N จํานวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 15 ภายหลังพบว่าอ่านข้อมูลผิด คือจาก 21 อ่านผิดเป็น 12 จึงทําการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่ได้เป็น 16 จงหาจํานวนข้อมูลMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET372สถิติ(13) จากการหาตัวกลางเลขคณิต หรือ X ของข้อมูล 10 ตัว ได้ค่าเป็น 12 แต่ปรากฏว่าอ่านข้อมูลผิดไป จากข้อมูลจริงคือ 3 แต่อ่านเป็น 8 ดังนั้นค่า X ที่แท้จริงคือเท่าใด(14) น้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนชายเป็น 70 กก. นักเรียนหญิงเป็น 55 กก. และน้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหมด 150 คน เป็น 60 กก. ให้หาจํานวนนักเรียนชาย และนักเรียนหญิง(15) จากผลสอบของนักเรียน 30 คนในห้องหนึ่ง พบว่าค่าเฉลี่ยของคะแนนนักเรียนชายเท่ากับจํานวนนักเรียนชายพอดี และค่าเฉลี่ยของคะแนนนักเรียนหญิงก็เท่ากับจํานวนนักเรียนหญิงด้วย หากค่าเฉลี่ยรวมทั้งห้องเป็น 50/3 คะแนน และจํานวนนักเรียนชายน้อยกว่านักเรียนหญิง จงหาจํานวนนักเรียนชาย(16) คนกลุ่มหนึ่งเป็นชาย 40 คน และหญิง 60 คน เงินรวมกัน 18,630 บาท ถ้าค่าเฉลี่ยของเงินที่ผู้หญิงมีน้อยกว่าค่าเฉลี่ยของเงินที่ผู้ชายมี อยู่ 10 บาท จงหาผลรวมของค่าเฉลี่ยทั้งสองนี้(17) [Ent’41] ตารางต่อไปนี้เป็นเกณฑ์การคิดคะแนนที่ผู้สอนกําหนดไว้ และผลการเรียนของนักเรียนคนหนึ่ง ถ้านักเรียนคนนี้ได้คะแนนเฉลี่ยตลอดภาคเป็น 79% แล้ว ให้หาคะแนนสอบปลายภาคที่นักเรียนคนนี้ได้รับการบ้านสอบย่อยครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2สอบปลายภาคเกณฑ์ 20% 20% 30% 30%คะแนนที่ได้ (100) 92 84 63(18) [Ent’มี.ค.44] กําหนดให้ x 1 , x 2 , ..., x 10 มีค่าเป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9ตามลําดับ โดยที่ a < 15 ถ้าพิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 12b เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ 10 2∑ (xi− b) มีค่าน้อยที่สุดi=1และ c เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ ∑ 10 xi− c มีค่าน้อยที่สุด แล้ว a + b + c มีค่าเท่าใดi=1(19) [Ent’มี.ค.43] ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1 , x 2 , ..., x 20 โดยมีสมบัติดังนี้20∑ xi− a มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ a 5i=1= และ 20 2∑ (xi− b) มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ b = 8i=1พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่ามัธยฐานข. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมด เท่ากับ 100(20) กําหนดให้ ∑ 3 (xi + y i) = 9 และ ∑ 3 (xi − y i) = 7 หากต้องการให้ 3 2∑ (xi− a) มีค่าน้อยที่สุดi=1เท่าที่เป็นไปได้ a ต้องมีค่าเท่าใดi=1(21) กําหนดข้อมูลชุดหนึ่งเป็น x 1 , x 2 , x 3 , ..., x N และกําหนดเงื่อนไขต่อไปนี้ จงหาค่า X20 202 2(21.1) (x + 1) = (x − 3)∑ ∑ii= 1 i=1(21.2) 8 2∑ (xi+ 1) = 1 และ 8 2∑ ii=1ii=1(21.3) N 2∑ xi= A และ N 2∑ ii=1i=1(x + 2) = 9(x + 2) = Bi=1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET373สถิติ(22) ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของข้อมูลตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้(22.1)ข้อมูล ความถี่(22.2) คะแนน ความถี่3 – 5 100 – 19 56 – 8 1220 – 39 109 – 11 1540 – 59 1512 – 14 560 – 79 2515 – 17 380 – 99 20(22.4)(22.3)(22.5)อันตรภาคชั้น ความถี่10 – 14 1015 – 19 1220 – 24 1525 – 29 930 – 34 4อันตรภาคชั้น ความถี่อันตรภาคชั้น ความถี่30 – 39 140 – 49 250 – 59 660 – 69 2070 – 79 2180 – 89 890 – 99 2รวม 600 – 9 510 – 19 8 (22.6) รายได้ (บาท) จํานวนคน20 – 29 72,100 – 2,199 130 – 39 122,000 – 2,099 240 – 49 281,900 – 1,999 650 – 59 201,800 – 1,899 1060 – 69 101,700 – 1,799 1270 – 79 101,600 – 1,699 7รวม 1001,500 – 1,599 2รวม 40(22.7)ราคา (บาท) 90 – 94 95 – 99 100 – 104 105 – 109 110 – 114จํานวนร้านค้า 5 20 30 35 10(22.8)น้ําหนัก (กก.) 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74ความถี่สัมพัทธ์ 0.05 0.18 0.42 0.27 0.08(23) [Ent’30] ความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่สังเกตได้ กับร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ของค่าเหล่านี้เป็นไปตามตาราง ให้หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลx -4 -3 1 2 3y 30 50 60 80 100(24) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบ จากผลสอบดังต่อไปนี้น้อยกว่า 10 คะแนน 5 คน น้อยกว่า 50 คะแนน 60 คนน้อยกว่า 20 คะแนน 13 คน น้อยกว่า 60 คะแนน 80 คนน้อยกว่า 30 คะแนน 20 คน น้อยกว่า 70 คะแนน 90 คนน้อยกว่า 40 คะแนน 32 คน น้อยกว่า 80 คะแนน 100 คนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET374สถิติ(25) [Ent’มี.ค.42] เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียน 36 คน โดยใช้ความกว้างแต่ละอันตรภาคชั้นเป็น 10 แล้ว ปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 50 – 59 ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ํากว่า 49.5 อยู่ 12 คน และต่ํากว่า 59.5 อยู่ 20 คน แล้ว มัธยฐานของคะแนนสอบมีค่าเท่าใด(26) [Ent’38] อายุของเด็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้ ถ้ามัธยฐานเป็น 7 ปีแล้ว a มีค่าเท่าใดอายุ (ปี) 1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12จํานวนเด็ก 3 a 6 4(27) ตารางต่อไปนี้แสดงรายจ่ายต่อเดือนของครอบครัวจํานวน 100 ครัวเรือน หากมัธยฐานเป็น49.5 แล้วค่า f 1 , f 2 เป็นเท่าใดรายจ่าย (ร้อยบาท) 0 – 19 20 – 39 40 – 59 60 – 79 80 – 99จํานวนครัวเรือน 14 f 1 28 f 2 15(28) [Ent’35] ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน 25 คน สมัยเป็นนักเรียนคนหนึ่งที่เข้าสอบพบว่าได้ 62 คะแนน เป็นมัธยฐานพอดี และมี 8 คนที่ได้สูงกว่า 69 คะแนน ถ้ามีการจัดกลุ่มคะแนนสอบเป็นช่วงๆ กว้างเท่ากัน และคะแนนของสมัยตกอยู่ในอันตรภาคชั้น 60 – 69 แล้วจํานวนนักเรียนที่สอบได้ในช่วง 60 – 69 คะแนน เป็นเท่าใด17.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูลในหัวข้อที่แล้วเราได้ศึกษาการหาค่ากลางของข้อมูล ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใช้แทนค่าข้อมูลทั้งหมดที่นิยมใช้มี 3 ชนิด ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม โดยที่ มัธยฐาน เป็นค่าข้อมูลในตําแหน่งกึ่งกลางเมื่อถูกเรียงลําดับจากน้อยไปมากแล้ว ค่ามัธยฐานบอกให้ทราบว่า มีข้อมูลที่ค่าสูงกว่าค่านี้ และค่าต่ํากว่าค่านี้ อยู่เป็นปริมาณเท่าๆ กันเมื่อเรียงลําดับข้อมูลจากน้อยไปมากแล้ว นอกเหนือจากการระบุตําแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล(คือแบ่งข้อมูลออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน) เรายังสามารถระบุตําแหน่งใดๆ ของข้อมูลก็ได้ (คือแบ่งข้อมูลออกเป็นกี่ส่วนก็ได้) ถ้าเราแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน จุดแบ่งทั้งสามจุดนั้นจะเรียกว่าควอร์ไทล์ (Quartile) ที่ 1 หรือ Q 1 , ควอร์ไทล์ที่ 2 ( Q 2 ), และควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q 3 ) ตามลําดับความหมายของควอร์ไทล์ที่ 1 คือมีข้อมูลที่ต่ํากว่าค่านี้อยู่เป็นปริมาณ 1/4 และมากกว่าค่านี้อยู่อีก3/4 โดยประมาณMedQ 1 Q 2 Q 3D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9น้อย x (ข้อมูล) มากการบอกตําแหน่งข้อมูลที่นิยมใช้กันมีอีก 2 ชื่อ นั่นคือ เดไซล์ (Decile; D) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น10 ส่วน และ เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile; P) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 100 ส่วนทั้งมัธยฐาน ควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ เรียกว่า ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล(Relative Standing) การคํานวณหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ เป็นแบบเดียวกับการคํานวณหามัธยฐาน ดังสรุปได้ดังนี้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET375สถิติข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่Q คือข้อมูล ในตําแหน่งที่ r (N 1)rP r คือข้อมูล ในตําแหน่งที่4r(N + 1)100+ rเมื่อมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว และเรียงลําดับจากน้อยไปมากแล้วข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว⎛ r N −∑ f⎞LQr= L + I⎜4 ⎟⎜ ⎟⎝ fQr⎠⎛ rN −∑f⎞LPr= L + I⎜100 ⎟⎜ ⎟⎝ fPr⎠D คือข้อมูล ในตําแหน่งที่⎛ r N −∑ f⎞LDr= L + I⎜10 ⎟⎜ ⎟⎝ fDr⎠ข้อสังเกต ใช้ r r r N, N, N4 10 100L คือขอบล่างชั้นที่มีควอร์ไทล์ (หรือเดไซล์หรือเปอร์เซ็นไทล์) ที่ต้องการอยู่ซึ่งชั้นนั้นมีความกว้าง I และมีความถี่เป็น f Qr (หรือ f Dr หรือ f Pr )∑ คือความถี่สะสมที่ขอบล่างf Lr (N + 1)10โดยไม่ต้องบวกหนึ่งและสามารถหาค่าได้จากเส้นโค้งของความถี่สะสมด้วยเช่นกัน ภาพด้านขวาเป็นตัวอย่างการหาค่าควอร์ไทล์ที่ 1, 2, และ 3 จากกราฟcf (ความถี่สะสม)N3N/42N/4N/4O Q 1 Q 2 Q 3x (ข้อมูล)• ตัวอยาง ขอมูลน้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 9 คนเปนดังนี้40 45 46 46 50 51 49 52 42ใหหาคามัธยฐาน ควอรไทลที่ 3 และเปอรเซ็นไทลที่ 14 ของขอมูลชุดดังกลาวตอบ (ตองเรียงลําดับขอมูลกอน กลายเปน 40 42 45 46 46 49 50 51 52)ก. มัธยฐาน อยูตําแหนงกึ่งกลาง คือตําแหนงที่ 9 + 1 = 5 ... มีคาเปน Med = 46 กก.3 50 + 51ข. ควอรไทลที่ 3 อยูตําแหนงที่ (9 + 1) = 7.5 ... มีคาเปน Q3= = 50.5 กก.42ค. เปอรเซ็นไทลที่ 14 อยูตําแหนงที่ 14 (9 + 1) = 1.4 ... มีคาเปน100P14= 40 + 0.4(42 − 40) = 40.8 กก.ขอสังเกต : เมื่อตําแหนงที่ตองการนั้นไมลงตัว (เปนทศนิยม) จะใชวิธีเทียบสัดสวนเอาเชน ขอมูลตําแหนงที่ 1.4 หาโดย นําขอมูลตําแหนงที่ 1 มาบวกเพิ่มไป 0.4 ของระยะหาง2S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! SÊÁÁµiÇÒÁÕ¤aæ¹¹¢o§¹a¡eÃÕÂ¹oÂÙ 200 ¤¹ e»oÃe«ç¹ä·Å·Õè75 ËÁÒÂÖ§Êoºä´·Õè 150 ãªÃÖe»ÅÒ¤Ãaº ...Ò¿§e¼i¹æ ¡çeËÁ×o¹äãª æµ·Õè¨Ãi§æÅÇäÁãª¹a¤Ãaº e¾ÃÒae»oÃe«ç¹ä·Å¹aé¹eÃÕÂ§¨Ò¡¤aæ¹¹¹oÂä»ÁÒ¡æµÊoºä´·Õèe·Òã´¹aé¹eÃÕÂ§¨Ò¡¤aæ¹¹ÁÒ¡ä»¹oÂ ©a¹aé¹µo§µoºÇÒÊoºä´·Õè 50Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET376สถิติ• ตัวอยาง สวนสูงของนักเรียนกลุมหนึ่งเปนดังนี้(กอนศึกษาตัวอยางนี้ ใหทบทวนการหามัธยฐานของขอมูลแบบตาราง ในตัวอยางหัวขอที่แลว)ก. สมชายและสมหญิงเปนนักเรียนในกลุมนี้ โดยสมชายมีสวนสูงอยูในตําแหนงควอรไทลที่ 3และสมหญิงมีสวนสูงอยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่45 ดังนั้นสมชายสูงกวาสมหญิงอยูเทาใดวิธีคิด การวัดตําแหนงของขอมูล (มัธยฐาน ควอรไทล เดไซล และเปอรเซ็นไทล) จะตองเพิ่มชองความถี่สะสม (ซึ่งในตารางนี้มีแลว) ... ควอรไทลที่ 3 อยูตําแหนงที่ 3 60 454 × =จะพบวา ควอรไทลที่ 3 (คือตัวที่ 45) นั้นอยูในชั้น “170 – 174”⎛ 3 ⎞ N f 45 − 41Q3= L + I ⎟ = 169.5 + (5)( ) = 172⎜⎟f8⎝ Q3 ⎠Lดังนั้น ⎜ −∑4* ขอสังเกต : ตําแหนงที่ตองการ (45) อยูกึ่งกลางระหวาง 41 กับ 49 พอดีจึงทําใหขอมูลที่คํานวณได เปนกึ่งกลางชั้น (ระหวาง 170 – 174) และจะเปนแบบนี้เสมอดังนั้นถาพบวาตําแหนงที่ตองการอยูตรงกลางพอดี ก็ใหตอบกึ่งกลางชั้นไดเลย ... ไมตองใชสูตรตอมา หาเปอรเซ็นไทลที่ 45 พบวาอยูตําแหนงที่ 45 60 27100 × =ซึ่งตําแหนงนี้อยูตัวสุดทายของชั้น “160 – 164” พอดี! จึงไดคาเปนขอบบนของชั้นดังนั้น P 45 164.5= ซม. (ไมตองใชสูตรเชนกัน)27 − 15ถาลองคํานวณจากสูตรก็จะไดผลเทากัน 4512สรุปวา สมชายสูงกวาสมหญิงอยู 172 − 164.5 = 7.5 ซม.ซม.P = 159.5 + (5)( ) = 164.5 ซม.ข. สวนสูง 159.5 เซนติเมตร คิดเปนเดไซลที่เทาใดวิธีคิด สวนสูง 159.5 ซม. อยูขอบบนของชั้น “155 – 159” พอดีแปลวามีจํานวนคนที่สวนสูงนอยกวานี้ อยู 15 คน และมากกวานี้อยู (ที่เหลือ) 45 คน15ดังนั้น สวนสูง 159.5 ซม. คิดเปนเดไซลที่ 10 2.560 × =(คือเทียบสัดสวน วาจํานวนคน 15 ใน 60 นั้น คิดเปนเทาใดใน 10 สวน)แผนภาพชนิดหนึ่งช่วยให้มองการกระจายของข้อมูลในแต่ละส่วนย่อยๆ ได้ เรียกว่าแผนภาพกล่อง (Box-and-Whisker Plot) ... เขียนได้โดยอาศัยข้อมูลต่ําสุด, ข้อมูลสูงสุด, และข้อมูลในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3เช่น น้ําหนัก (กก.) ของนักเรียน 9 คนได้แก่ 40 45 46 46 50 51 49 52 42พบว่า x min = 40, Q 1 = 43.5, Q 2 = 46, Q 3 = 50.5, และ x max = 52จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้ (บริเวณ 40 – 43.5และ 50.5 – 52 เรียกว่าหนวด หรือ Whisker,บริเวณ 43.5 – 50.5 เรียกว่ากล่อง หรือ Box)สวนสูง (ซม.)150 – 154155 – 159160 – 164165 – 169170 – 174175 – 179180 – 184Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)จํานวนคน ความถี่สะสม5 510 1512 2714 418 497 564 6040 42 44 46 48 50 52

คณิตศาสตร O-NET / A-NET377สถิติทําให้เราทราบว่า (1) ข้อมูลในช่วง 40 – 43.5 และในช่วง 50.5 – 52 มีปริมาณเท่ากัน(2) ข้อมูลในช่วง 43.5 – 50.5 มีปริมาณเป็นครึ่งหนึ่งของทั้งหมด คือ 40 – 52(3) ข้อมูลในช่วง Q 2 – Q 3 มีการกระจายมากที่สุด และช่วง Q 3 – Q 4 มีการกระจายน้อยที่สุดแบบฝึกหัด 17.3(29) “สมพรสอบได้คะแนนคิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 จากจํานวนผู้สอบ 4,000 คน” ข้อใดถูกต้องก. สมพรสอบได้ที่ 80ข. สมพรสอบได้ 80% ของคะแนนเต็มค. ผู้ที่ได้คะแนนน้อยกว่าสมพร มีประมาณ 80 คนง. ผู้ที่ได้คะแนนมากกว่าสมพร มีประมาณ 800 คน(30) ผลคะแนนสอบของนักเรียน 15 คนเป็นดังนี้ 16, 19, 32, 30, 4, 9, 4, 12, 20, 26, 12, 31,20, 17, 24 จงหาคะแนนที่ตรงกับควอร์ไทล์ที่ 3, เดไซล์ที่ 6, และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80(31) จากข้อมูลชุดหนึ่งได้แก่ 4, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 19, 23 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ P 10 ,D 2 , P 60 และ Q 3(32) ข้อมูลที่เรียงลําดับแล้วเป็นดังนี้ 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, x, 23, 24, 27, 28, 30ถ้าทราบว่า D 6 = 20 แล้วจงหาค่า x(33) กําหนดข้อมูลชุดหนึ่งเป็น 28, 15, 19, 11, 29, 12, 27, 24, 30 จงหาว่า(33.1) 28 คิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด(33.2) 15 คิดเป็นควอร์ไทล์ที่เท่าใด Y (ความถี่สะสม)(34) ผลสอบของนักเรียน 32 คน เขียนเป็น 32กราฟของความถี่สะสมได้ดังภาพ โดยเส้นโค้งนี้ตรงกับสมการ Y = 4 log 2 Xจงหาว่าควอร์ไทล์ที่ 3 กับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50มีค่าต่างกันอยู่เท่าใดO 1 256น้ําหนัก (กก.) จํานวน (คน)31 – 40 341 – 50 751 – 60 2461 – 70 1071 – 80 581 – 90(36) ผลการสอบของนักเรียน 40 คนเป็นดังตาราง หากอาจารย์ต้องการตัดเกรดเพียง 3 เกรดคือ A, B, F โดยต้องการให้เกรด A มีจํานวนนักเรียน 20% เกรด B มีจํานวน40% และที่เหลือได้เกรด F ถามว่าจะต้องตัดเกรดที่คะแนนเท่าใด และหากได้ 71 คะแนนจะได้เกรดใดX (คะแนน)(35) จากการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนได้ผลดังตารางจงหาเดไซล์ที่ 6 และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 921 คะแนน จํานวนคน30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99256111141Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET378สถิติค่าจ้าง (บาท)81 – 8586 – 9091 – 9596 – 100101 – 105106 – 110111 – 115116 – 120จํานวนคน13x58y104(37) [Ent’37] กําหนดค่าจ้างรายวันของคนงานกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังตาราง ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เป็น100.5 บาท และควอร์ไทล์ที่ 3 เป็น 110.5 บาทแล้ว จํานวนคนงานที่ได้ค่าจ้างรายวันต่ํากว่า 105.5 บาท เท่ากับเท่าใด17.4 ค่าการกระจายของข้อมูลพิจารณาข้อมูลสองชุดได้แก่ ชุดที่ 1; 8, 10, 12, 20, 5, 1, 7, 7 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 7.5และชุดที่ 2; 8, 7, 7, 8, 7, 8, 8, 7 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 7.5 เท่ากัน จะเห็นว่าค่ากลางของข้อมูลนั้นไม่สามารถบอกลักษณะข้อมูลชุดต่างๆ ได้อย่างสมบูรณ์ ควรใช้อีกค่าหนึ่งร่วมกันด้วย นั่นคือค่าการกระจาย (Dispersion) ค่าการกระจายยิ่งมาก แสดงว่าข้อมูลยิ่งแตกต่างกัน ไม่เกาะกลุ่มกัน เช่นในตัวอย่างข้างต้น ข้อมูลชุดที่ 1 จะมีค่าการกระจายมากกว่าชุดที่ 2การวัดการกระจายแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation)ซึ่งใช้สําหรับข้อมูลชุดนั้นเพียงชุดเดียว และการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) ซึ่งใช้เปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลสองชุดได้การกระจายสัมบูรณ์ที่นิยมใช้ มี 4 แบบ ดังนี้1. พิสัย (Range)เป็นค่าที่วัดได้รวดเร็ว แต่จะมีข้อผิดพลาดมากหากข้อมูลบางจํานวนมีค่าสูงเกินไป หรือต่ําเกินไปแบบผิดปกติ จึงเหมาะกับการวัดโดยคร่าวๆ ที่ไม่ต้องการความแม่นยํามากนักข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่Range = x − xmaxminx max คือข้อมูลที่มีค่าสูงที่สุด, x min คือข้อมูลที่มีค่าต่ําที่สุดข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วRange = U − LmaxminU max คือขอบบนของชั้นที่ค่าข้อมูลสูงที่สุด, L min คือขอบล่างของชั้นที่ค่าข้อมูลต่ําที่สุด2. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Quartile Deviation; QD)บางครั้งเรียกว่า กึ่งพิสัยควอร์ไทล์ (Semi-interquartile Range)ถึงแม้ว่าการวัดที่ได้จะไม่ละเอียดนัก เพราะใช้เพียงข้อมูลที่ใกล้เคียงกับควอร์ไทล์ที่ 1 และ 3 เท่านั้นแต่ก็มีส่วนดีเนื่องจากใช้ได้กับการแจกแจงความถี่ที่มี่อันตรภาคชั้นเปิด และใช้ได้กับข้อมูลชุดที่มีบางจํานวนค่าสูงหรือต่ําเกินไปแบบผิดปกติข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ หรือข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วQD=Q− Q23 1Q 3 คือข้อมูลในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 3, Q 1 คือข้อมูลในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET379สถิติ3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation; MD หรือ Average Deviation)เป็นค่าที่วัดได้ละเอียดกว่าสองแบบแรกเพราะคํานวณจากข้อมูลทุกตัว แต่มีข้อเสียที่การคํานวณยุ่งยากกว่าข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่N∑ x − Xx − X + x − X + ... + x − XMD = =N1 2 N i=1x i คือข้อมูลตัวที่ i จากทั้งหมด N ตัว, X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วffii1 x1 − X + fx X2 x2 − X + ... + fkxk − X−i=1MD = =f + f + ... + f N1 2 kx i กึ่งกลางชั้นที่ i จาก k ชั้น ซึ่งมีความถี่ iX คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตiNk∑f , และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว,4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation; SD หรือ s)เป็นค่าที่นิยมใช้มากที่สุด เนื่องจากมีความละเอียด เชื่อถือได้ สามารถคํานวณได้ง่ายกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (โดยใช้สูตรที่จัดรูปแล้ว) และนําไปใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลขั้นสูงได้ข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่N2 2 2 i1 − + 2 − + + N −∑i=1(x X) (x X) ... (x X)s = =Nหรือจัดรูปได้ว่าsN2∑ xi=i=1−NX22(x − X)x i คือข้อมูลตัวที่ i จากทั้งหมด N ตัว, X คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้วk2 2 2 i i1 1 − + 2 2 − + + k k −∑i=1f(x − X)f (x X) f (x X) ... f (x X)s = =f + f + ... + f Nหรือจัดรูปได้ว่า1 2 kNN2 2∑ fx i i ∑ fd i ii= 1 2 i=12s = − X = I ⋅ − DNNx i กึ่งกลางชั้นที่ i จาก k ชั้น ซึ่งมีความถี่ iX คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตNเมื่อf , และมีข้อมูลทั้งหมด N ตัว,2D=k∑ fd i ii=1d i เป็นจํานวนเต็ม โดยให้ชั้นที่มีค่า a นั้นเป็น d = 0และชั้นที่มีข้อมูลค่าน้อยลง d = −1, − 2,... ไปเรื่อยๆ ส่วนชั้นที่ข้อมูลค่าสูงขึ้น d = 1,2,... ไปเรื่อยๆในตําราสถิติ นิยมใช้สัญลักษณ์แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น σ (Sigma) และ sโดยให้นิยามว่า σ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้งหมด เป็นค่าแท้จริงและ s คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง เป็นค่าประมาณนั่นคือ ถ้า N คือจํานวนข้อมูลทั้งหมด และถูกสุ่มมาเป็นตัวอย่างจํานวน n ข้อมูล จะได้σNN2 2∑(x i − μ) ∑ xii= 1 i=1= = −NN2μ และnN2 2∑(xi− X) ∑ xii= 1 i=1nXs = = −n − 1 n − 1 n − 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)N2

คณิตศาสตร O-NET / A-NET380สถิติข้อสังเกต 1. ในระดับประชากรใช้ตัวหารเป็น N แต่ในระดับตัวอย่างใช้ตัวหารเป็น n – 1ซึ่งกําหนดเช่นนี้เพื่อให้สนับสนุนสมบัติต่างๆ ในสถิติขั้นสูง (และยังไม่กล่าวถึงในระดับ ม.ปลาย) แต่จะสังเกตได้ว่า ยิ่งมีจํานวนข้อมูลมากๆ การใช้ตัวหาร N กับ n – 1 จะยิ่งให้ผลใกล้เคียงกัน2. ในทางปฏิบัตินิยมใช้ตัวหารเป็น n – 1 เพราะมักเป็นการคํานวณในระดับตัวอย่างแต่การศึกษาระดับชั้นนี้ เราใช้ตัวหารเป็น N เพราะในโจทย์จะบอกข้อมูลให้เราทราบครบทุกตัวและในหนังสือเล่มนี้จะใช้สัญลักษณ์ s กล่าวรวมถึงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสองแบบ• ตัวอยาง อายุของสมาชิกในครอบครัวหนึ่งซึ่งมี 5 คน ไดแก 15, 35, 35, 35, 55 ปใหหาคาการกระจายของขอมูลชุดนี้ ในแบบตางๆก. พิสัยตอบ Range 55 15 40= − = ปข. สวนเบี่ยงเบนควอรไทลตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนควอรไทล จะตองรู Q 1 และ Q 3 กอน1Q 1 อยูในตําแหนงที่ (5 1) 1.54 × + = ... ดังนั้น 115 + 35Q = = 25 ป235 + 55Q = = 45 ป23Q 3 อยูในตําแหนงที่ (5 1) 4.54 × + = ... ดังนั้น 3Q3 − Q145 − 25สรุปวา QD = = = 10 ป2 2ค. สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย15 + 35 + 35 + 35 + 55ตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ตองรู X กอน ...20 + 0 + 0 + 0 + 20จากสูตร MD = = 8 ป5X = = 35 ป5(นําผลตางระหวาง ขอมูลแตละตัว กับ x มาเฉลี่ยกัน)ง. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานตอบ การหาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตองรู X กอน ... คํานวณแลวในขอ ค. ได X 35 = ป2 2 2 2 220 + 0 + 0 + 0 + 20จากสูตร SD = = 160 ≈ 12.65 ป5(วิธีหา SD คลายกับ MD ... แตผลตางที่ได ตองนํามายกกําลังสองทุกตัว และถอดรูทตอนจบ)ขอสังเกต : คา QD, MD, SD ที่ได จะใกลเคียงกันเสมอสมบัติของค่าการกระจายสัมบูรณ์(1) ค่าการกระจายเป็นบวกหรือศูนย์เสมอ โดยเป็นศูนย์ก็เมื่อข้อมูลทุกค่าเหมือนกันหมด(2) ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ y i = mx i + cจะได้ว่าค่าการกระจายของข้อมูลชุด Y เป็น m เท่าของชุด Xข้อสังเกตค่ากลาง ถูกกระทบทั้งการบวกและคูณ แต่ ค่าการกระจาย ถูกกระทบเฉพาะการคูณMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET381สถิติสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(1) จากสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต ที่ว่า N 2∑ (xi− K) จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ K = Xทําให้เราทราบว่า ค่า(2) ค่า 2 s หรือ2i=1⎛ ⎞M = ⎜÷⎝ ⎠N2∑ (xi− K) ⎟ N จะน้อยที่สุดก็เมื่อ M SDi=1σ เรียกว่า ความแปรปรวน (Variance; Var)= ( K = X)ความแปรปรวนรวม (Combined Variance หรือ Pooled Variance) ของข้อมูลหลายชุดคํานวณจากk2 22 2 2 2 2 2 i i + i2 2 N(s 1 1 + X 1) + N 2(s2 + X 2) + ... + N k(sk + X k)i=1p + Xc = =kN1 + N 2 + ... + Nk∑ Nii=1sX i คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ i, 2 iN คือจํานวนของข้อมูลชุดที่ i จากทั้งหมด k ชุดi∑N(s X )s คือความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ iส่วนการกระจายสัมพัทธ์ มี 4 แบบ คํานวณได้จากการกระจายสัมบูรณ์ โดยใช้คําว่าสัมประสิทธิ์ของ... (Coefficient of…) นําหน้า ได้แก่xmax − xminสัมประสิทธิ์ของพิสัย =xmax+ xQ3 − Q1สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ =สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยminสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานQMD=Xs=X+ Q3 1ซึ่งสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนี้ เป็นค่าการกระจายสัมพัทธ์ที่นิยมใช้มากที่สุดเรียกสั้นๆ ว่า สัมประสิทธิ์การแปรผัน (Coefficient of Variation; CV)ข้อสังเกตค่ากลาง และ ค่าการกระจายสัมบูรณ์ มีหน่วยอย่างเดียวกับข้อมูลความแปรปรวน มีหน่วยเหมือนข้อมูลยกกําลังสองแต่ ค่าการกระจายสัมพัทธ์ ไม่มีหน่วย• ตัวอยาง (ตัวอยางนี้มีการทบทวนเนื้อหาเรื่องสมบัติของคากลางดวย)ในการสอบครั้งหนึ่ง คาเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนสอบของนักเรียน เปน 14 คะแนนและ 1.4 คะแนน 2 ตามลําดับก. หากผูสอนเพิ่มคะแนนเก็บใหทุกคน คนละ 5 คะแนน แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนชุดใหม เปนเทาใดตอบ ขอมูลทุกตัวถูกบวก 5 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็บวก 5 เปน 19 คะแนนแตการบวกไมมีผลตอคาการกระจาย ดังนั้น ความแปรปรวนยังคงเปน 1.4 คะแนน 2ข. หากผูสอนปรับคะแนนเต็มจากเดิม 20 คะแนน ใหกลายเปน 60 คะแนน แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนชุดใหม เปนเทาใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET382สถิติตอบ ขอมูลทุกตัวถูกคูณ 3 ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิตก็คูณ 3 เปน 52 คะแนนและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( s ) ก็จะกลายเปน 3 เทาจากเดิมดวยแตขอนี้คิดความแปรปรวน ( s 22) ดังนั้นจะตองเพิ่มขึ้นเปน 1.4 × 3 = 12.6 คะแนน 2หมายเหตุ : สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s 2 = 3s 1 ทําใหความแปรปรวน s 2 = (3s) 2 = 3 2 s2แบบฝึกหัด 17.42 1 1(38) ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่า 12, 14, 14, 17, 18, 21 จงหาค่าการกระจายสัมบูรณ์ทั้งสี่แบบ(39) โค้งความถี่สะสมของคะแนนนักเรียนจํานวน 400 คน เป็นไปตามสมการ F = 100 log 4 X จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์(40) ข้อมูลชุดหนึ่งมีส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น 2 และสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น2/3 จงหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75(41) [Ent’38] ข้อมูล 4 จํานวนมีค่าดังนี้ 5, a, b, 1 โดยที่ 1 < a < b ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 4 และความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้ว จงหาค่าของ b – a(42) [Ent’37] ข้อมูล 7 จํานวนมีค่าต่างกันดังนี้ 9, 6, 15, a, 2, 4, 12 โดยที่ 2 < a < 12 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลเป็น 2 เท่าของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ค่า a จะเป็นเท่าใด(43) ในการวัดความสูงของนักเรียน คํานวณค่า s ได้ 10 ซม. แต่พบว่าสเกลของไม้เมตรผิดพลาดขาดไป 10% ของส่วนสูงจริง ดังนั้นค่า s ที่ถูกต้องคือเท่าใด(44) นักเรียนคนหนึ่งคิดว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 42 จึงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 6 แต่มาพบว่าที่จริงค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 40 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แท้จริงเป็นเท่าใด(45) จงหาค่าความแปรปรวนของข้อมูลแต่ละชุด และความแปรปรวนรวมของทั้งสองชุดชุดที่ 1; 3, 6, 9, 12, 15 ชุดที่ 2; 3, 9, 15(46) ข้อมูลสองชุดมีจํานวนเท่ากัน ชุดแรกมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0 และชุดที่สองมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 3 ถ้าพบว่าข้อมูลรวมมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 3 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดที่ 2(47) นักเรียนชาย m คน ทุกคนอายุ x ปี และนักเรียนหญิง n คน ทุกคนอายุ y ปี จงหาความแปรปรวนรวมของอายุนักเรียนทั้งหมด(48) [Ent’36] ในการสอบของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมี 60 คน ได้คะแนนรวม 1,320 คะแนน โดยมีความแปรปรวนเป็น 100 คะแนน 2 ถ้ามีนักเรียนได้ 32 คะแนนอยู่ 10 คน จงหาความแปรปรวนของคะแนนของนักเรียน 50 คนที่เหลือ(49) [Ent’36] ถ้านักเรียน 20 คนมีส่วนสูงเฉลี่ย 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 3 ซม.นักเรียนชายซึ่งมี 12 คนมีส่วนสูงเฉลี่ย 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 ซม. ถามว่าส่วนสูงของนักเรียนหญิงหรือชายมีการกระจายมากกว่ากัน และมากกว่ากันกี่เท่า(50) จงหาความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่ง ซึ่งมี ∑ 10 xi= 60 และ 10 2∑ ii=1i=1(x − 5) = 370Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET383สถิติ(51) จากการสํารวจอายุการใช้งานแบตเตอรี่ 2 ยี่ห้อ ได้ผลดังนี้ยี่ห้อ A; 30, 26, 32, 46, 21 เดือน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 31ยี่ห้อ B; 28, 53, 40, 18, 34, 31 เดือน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 34อยากทราบว่ายี่ห้อใดมีคุณภาพดีกว่ากัน[คุณภาพดี หมายถึงผลิตออกมาใช้งานได้ใกล้เคียงกันทุกชิ้น](52) กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบนักเรียน 100คน จงหาค่าการกระจายสัมบูรณ์ทั้งสี่แบบ17.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติสมมตินาย ก สอบวิชาภาษาไทยได้ 80% และสอบวิชาภาษาอังกฤษได้ 87% ยังสรุปไม่ได้ทันทีว่าเขาสอบวิชาใดได้ดีกว่ากัน เพราะต้องคํานึงถึงค่าเฉลี่ย และค่าการกระจายของคะแนนแต่ละวิชาประกอบกันด้วยค่ามาตรฐาน (Standard Score หรือ Z-Score; z) เป็นค่าที่ใช้เทียบข้อมูลที่ดึงมาจากต่างชุดกันได้ เพราะเป็นการปรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานให้เท่ากันxXii = i = 1,2,3,...,Nz−sข้อสังเกต1. ค่า z ไม่มีหน่วย2. ค่า z ของข้อมูลที่ค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะเครื่องหมายบวก,น้อยกว่าค่าเฉลี่ยจะเป็นลบ, ตรงกับค่าเฉลี่ยพอดี จะเป็น 0คะแนน ความถี่50 – 59 1560 – 69 2070 – 79 4080 – 89 1590 – 99 10xi−3. สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์อีกแบบได้เป็นμzi= โดย i = 1, 2, 3, ..., Nσ4. อาจเขียนข้อมูลที่ตําแหน่ง z = c ในรูปแบบ x = X + cs ก็ได้เช่น X − 2s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = − 2, หรือ X + 0.5s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = 0.5สมบัติของค่ามาตรฐาน(1) ∑ N zi= 0 (ผลรวมของข้อมูลชุด z ใดๆ เป็น 0 เสมอ)i=1(2) Z = 0 เสมอ (ผลจากข้อ 1) และ s z = 1 เสมอ(3) The 95% Rule : “โดยทั่วไปข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z = − 2 ถึง z = 2 จะมีปริมาณร้อยละ 95ของจํานวนข้อมูลทั้งหมด” ... หมายความว่าข้อมูลเกือบทุกค่าจะอยู่ในช่วง (X − 2s,X+ 2s) และเราอาจประมาณ Range ≈ 4 s ก็ได้ (คือเมื่อทราบค่าพิสัย จะประมาณค่า s ได้)• ตัวอยาง ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ปรากฏวาคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เปน 60 และ 10 คะแนน ตามลําดับ โดยที่นาย ก ไดคะแนนคิดเปนคามาตรฐานเทากับ1.3 และนาย ข ไดคะแนนนอยกวานาย ก อยู 8 คะแนนก. นาย ข ไดกี่คะแนนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET384สถิติวิธีคิด คํานวณหาคะแนนของนาย ก จากสมการx − X x − 60z = ก → 1.3 = กกs 10ไดเปน xก = 73 คะแนน ... ดังนั้น คะแนนของนาย ข เทากับ xข = 73 − 8 = 65 คะแนนข. เมื่อรวมคะแนนเก็บซึ่งทุกคนได 5 คะแนนเทากันแลว คะแนนรวมของนาย ข คิดเปนคามาตรฐานเทากับเทาใด70 − 65วิธีคิด คะแนนรวมของนาย ข คือ 70 คะแนน คิดเปนคามาตรฐาน รวม,ข10(สังเกต : X ตองเปลี่ยนเปน 65 เพราะขอมูลทุกตัวถูกบวก 5, แตการบวกไมมีผลกับ s )z = = 0.5การคํานวณเกี่ยวกับเส้นโค้งของความถี่ลักษณะของเส้นโค้งของความถี่มี 3 แบบ (หรือกล่าวว่าลักษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คือ(1) โค้งปกติ (Normal Curve) หรือ โค้งรูประฆัง (Belled-Shaped Curve) เป็นโค้งของข้อมูลที่พบบ่อยที่สุดโดยเฉพาะข้อมูลจากธรรมชาติ เช่น ส่วนสูง น้ําหนัก ปริมาณผลผลิตการเกษตร(2) โค้งเบ้ลาดทางซ้าย (หรือทางลบ) (Negatively Skewed Curve)(3) โค้งเบ้ลาดทางขวา (หรือทางบวก) (Positively Skewed Curve)ซึ่งโค้งแต่ละแบบ บอกความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ดังภาพfffโค้งปกติโค้งเบ้ซ้ายโค้งเบ้ขวาOx = Med = MoxOx < Med < MoxOMo < Med < xxเนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งจะเท่ากับความถี่รวมพอดี(เป็นสิ่งที่ได้จากการสร้างฮิสโทแกรม) เราจึงสามารถคํานวณเกี่ยวกับการวัดตําแหน่งของข้อมูล (มัธยฐาน, ควอร์ไทล์,เดไซล์, เปอร์เซ็นไทล์) ได้ โดยจะศึกษาเฉพาะโค้งปกติซึ่งใช้ตารางท้ายบทเรียนในการหาค่าพื้นที่ใต้โค้งS ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! So¤§eº«ÒÂÂoÁÒ¨Ò¡ o¤§eºÅÒ´·Ò§«ÒÂ o¤§eº¢ÇÒÂoÁÒ¨Ò¡ o¤§eºÅÒ´·Ò§¢ÇÒ ... ÒÒÁÇÒÃÙ»äË¹e»¹o¤§eº«ÒÂ ÃÙ»äË¹o¤§eº¢ÇÒ ¹o§æÊÇ¹ÁÒ¡äe´ÒÊÅaº¡a¹ ©a¹aé¹ãËÊa§e¡µ´Õæ ¹a¤Ãaº¾oeÃÕÂ¡ÂoæÅÇoÒ¨·íÒãËe¢Òã¨¤ÇÒÁËÁÒÂ¼í ä»ในทางปฏิบัตินั้นเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างตารางหลายตารางเพื่อใช้แทนข้อมูลที่มีค่ากลางและค่าการกระจายต่างๆ กัน ดังนั้นจึงต้องใช้วิธีเปลี่ยนค่า x ให้เป็นค่ามาตรฐาน z ก่อน (ค่าเฉลี่ยจะเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลชุดใด) เรียกโค้งปกติที่ปรับค่าข้อมูลให้เป็นค่ามาตรฐานแล้วนี้ว่าโค้งปกติมาตรฐานX-3 -2 -1 0 1 2 3xzสิ่งสําคัญในตารางแสดงพื้นที่ใต้กราฟของโค้งปกติมาตรฐาน1. พื้นที่ใต้โค้งรวมกันทั้งหมด (ความถี่รวม) จะมีค่าเท่ากับ 1.00 พอดี2. ค่าที่ระบุในตาราง แสดงพื้นที่ที่วัดระหว่าง z=0 ไปถึง z ใดๆ โดยมีเพียงค่า z เป็นบวกเท่านั้น (ซีกขวาของโค้ง) เราสามารถหาพื้นที่ซีกซ้ายได้โดยอาศัยความสมมาตรของรูปกราฟ3. หาค่าเปอร์เซ็นไทล์ (เดไซล์, ควอร์ไทล์) ได้โดยการนําพื้นที่ที่ต้องการไปเทียบเป็นค่า zMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET385สถิติตัวอย่างเช่น เราสามารถหาว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 65 มีค่าเท่าใดจากการเปิดตารางที่พื้นที่ 0.15 ซึ่งในตารางระบุว่า z=0.385(จากนั้นนําไปคํานวณกลับเป็นค่าข้อมูล x ได้)ในทํานองเดียวกัน เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 หาได้จากการเปิดตารางที่พื้นที่ 0.3 ได้ค่า z=0.841 แต่เนื่องจากเป็นพื้นที่ทางซีกซ้ายค่า z ที่แท้จริงจึงเป็น -0.841A = 0.3 A = 0.15P 20 P 65-0.841 0.385xzใช้สูตร เปิดตาราง เทียบสัดส่วนx ←⎯⎯⎯→ z ←⎯⎯⎯→ A ←⎯⎯⎯→ P,D,Q• ตัวอยาง ถาคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวนเทากับ 60 และ 25 ตามลําดับ และผูสอบผานตองไดคะแนนไมนอยกวา 54 คะแนน สมมตินาย ก, นาย ข,และนาย ค ทราบวาตนเองไดคะแนนอยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 10, 15, และ 33 ตามลําดับกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงปกติตั้งแตคามาตรฐาน 0 ถึง z ดังนี้z 0.35 0.40 0.44 1.20A 0.1368 0.1554 0.1700 0.3849ก. นาย ค สอบไดกี่คะแนนวิธีคิด ขอนี้เราทราบตําแหนงเปอรเซ็นไทล ( P 33 ) และตองการเทียบเปนขอมูลคะแนน ( xค )เริ่มจากการเทียบ P 33 เปนพื้นที่ จะพบวาอยูทางซีกซายของโคง และหางจากแกนกลางอยู 0.17 ซึ่งระบุในตารางวา คามาตรฐานเปน 0.44เนื่องจากอยูทางซาย จึงตองไมลืมวา คามาตรฐานที่แทจริงเปน − 0.44 ... จากนั้นทําการx − 60คํานวณเปนคา xค ไดตามตองการ คือ − 0.44 = ค → xค = 57.8 คะแนน5(อยาลืมวาตัวเลข 25 ที่โจทยใหมาเปนความแปรปรวน ตองถอดรูทกอนจึงเปนคา s )ข. นักเรียนสามคนนี้ ใครสอบผานบางวิธีคิด นักเรียนที่สอบผานจะตองได 54 คะแนนขึ้นไป ฉะนั้นผลจากการคํานวณขอ ก. เราทราบแลววานายค สอบผาน ... ตอมาจะใชวิธีเดิมเพื่อคํานวณหาคะแนนนาย ก ( P 10 ) และ ข ( P 15 ) ดวย ... เริ่มจากการเทียบ P 10 และ P 15 เปนพื้นที่ จะพบวาอยูทางซีกซายของโคง และหางจากแกนกลางอยู 0.40 และ0.35 ตามลําดับ แตปรากฏวาในตารางไมไดกําหนดคามาให!(ขอควรระวัง : อยาดู z กับ A สลับชองกัน เชนในตารางมีคา z = 0.35, 0.40 มาให แตไมไดใช ...เพราะที่เราตองการคือ A = 0.35, 0.40 ซึ่งไมมีให)ดังนั้นขอนี้จึงตองคิดดวยวิธีอื่น คือแปลงจากคะแนน 54 คะแนน มาเปนเปอรเซ็นไทลบาง แบบนี้ก็จะชวยใหเทียบวาใครสอบผาน ไดรวดเร็วกวาเดิมอีก ... การคํานวณเริ่มจากคิด 54 ใหเปนคามาตรฐาน54 − 60z54= = − 1.2 ดูในตาราง ไดพื้นที่เทากับ 0.3849 (แตอยูซีกซายของโคง) นั่นคือเปอรเซ็นไทล5ที่ 50 − 38.49 = 11.51 ... แสดงวาผูสอบผานตองไดเปอรเซ็นไทลที่ 11.51 ขึ้นไป ... สรุปวา นาย ขและนาย ค สอบผานMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET386สถิติ• ตัวอยาง คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 64 คะแนน และการแจกแจงเปนโคงรูประฆัง ถามีนักเรียนสอบไดมากกวา 80 คะแนนอยู 15.87% และพื้นที่ใตโคงปกติระหวาง z = 0 ถึง 1เทากับ 0.3413 แลว สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบนี้เปนเทาใดวิธีคิด สัมประสิทธิ์การแปรผัน หาไดจาก s/X ... เราทราบคา X แลว แตยังไมทราบ sสามารถหาคา s ไดจากคําใบที่วา “มีนักเรียนสอบไดมากกวา 80 คะแนนอยู 15.87%”นั่นคือ คะแนน 80 อยูในตําแหนงพื้นที่ 0.5 − 0.1587 = 0.3413 ... ซึ่งระบุคา z = 180 − 64ดังนั้น 1 = ไดคา s = 16 ... สรุปวา สัมประสิทธิ์การแปรผัน = 16/64 = 0.25sเพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการอินทิเกรต (บทที่ 15)นอกจากจะใช้ตารางแล้ว ยังหาพื้นที่ใต้กราฟอย่างละเอียดได้โดยใช้เครื่องช่วยคํานวณอินทิเกรตสมการของเส้นโค้งปกติ คือ21 x−μ−⎛ ⎞⎜ ⎟2 ⎝ σ ⎠f(x) = e ÷ σ 2 π (ซึ่งจะพบว่ามีการเลื่อนแกนและความสูงของกราฟ ต่างๆ กันไปตามค่า μ และ σ )และสมการของโค้งปกติมาตรฐาน ที่กลายเป็น1 z2−2f(z) e 2= ÷ π (ซึ่งจะไม่ขึ้นกับค่า μ และ σ )S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! Sµo§·íÒ¤ÇÒÁe¢ÒãëÃ×èo§x, z, A ãË´Õæ ¹a¤Ãaº e¾×èoää´äÁe»´µÒÃÒ§ÊÅaº¡a¹ÃaËÇÒ§ z ¡aº Aแบบฝึกหัด 17.5(53) นาย ก สอบวิชาภาษาไทยได้ 48 คะแนน และภาษาอังกฤษได้ 35 คะแนน โดยค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยและภาษาอังกฤษเป็น 45 กับ 32 คะแนนตามลําดับ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 12 กับ 10 คะแนนตามลําดับ ถามว่าเขาสอบวิชาใดได้ดีกว่ากัน(54) นักเรียน 40 คนมีอายุรวมกัน 640 ปี และมีค่าความแปรปรวนของอายุเป็น 4 ปี2 ถ้า ก และข อยู่ในกลุ่มนี้โดยที่ ก อายุ 18 ปี และค่ามาตรฐานของอายุ ก น้อยกว่า ข อยู่ 0.5 แล้ว จงหาอายุของ ข(55) คนงาน 100 คน มีอายุเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเป็น 25 และ 13 ปีตามลําดับ ถ้าผลรวมของค่ามาตรฐานของอายุคนงาน 99 คน เป็น -0.25 แล้ว อายุของคนงานอีกคนที่เหลือเป็นเท่าใด(56) ค่ามาตรฐานคะแนนสอบของ ก ข และ ค เป็น -1.6, 1.28, 2.4 ตามลําดับ ถ้า ก ได้คะแนนน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตอยู่ 5 คะแนน และ ข ได้ 60 คะแนน ถามว่าคะแนนของ ค เป็นเท่าใด(57) [Ent’38] จากข้อมูลการสอบของนักเรียน 6 คนดังตาราง จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันคะแนน 30 40 45 60 85 100ค่ามาตรฐาน -1.2 -0.8 -0.6 0 1.0 1.6(58) [Ent’35] ในการสอบ นักเรียนที่ได้ 70 คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐาน 1 ถ้าสัมประสิทธิ์การแปรผันคือ 30% แล้ว จงหาคะแนนเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน พร้อมทั้งบอกด้วยว่าคนที่ได้ค่ามาตรฐานเป็น -1 นั้นมีคะแนนสอบเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET387สถิติตารางต่อไปนี้แสดงค่าพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ระหว่าง z = 0 ถึง z = zใช้สําหรับโจทย์แบบฝึกหัดตั้งแต่ข้อ 59 เป็นต้นไป (ยกเว้นข้อที่โจทย์ระบุค่ามาให้)z A z A z A z A0.00 0.0000 0.72 0.2642 1.20 0.3849 1.96 0.47500.44 0.1700 0.84 0.3000 1.25 0.3944 2.00 0.47730.50 0.1915 1.00 0.3413 1.29 0.4000 2.03 0.47880.67 0.2500 1.12 0.3686 1.50 0.4330 2.50 0.49380.71 0.2612 1.19 0.3830 1.56 0.4400 3.00 0.4987(59) ให้หาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ในช่วงค่า z ที่กําหนด(59.1) z = 0 ถึง 1.12 (59.4) z = 2 ถึง 3(59.2) z = 0 ถึง -2.03 (59.5) z < -1.19(59.3) z = -1.19 ถึง 2(60) [Ent’40] คะแนนสอบที่มีการแจกแจงปกติชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิ์การแปรผัน 24% และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน ให้หาตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของนักเรียนที่ได้ 65 คะแนน(61) ผลการสอบของนักเรียน 300 คน มีการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบเป็น 72คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ผู้ที่สอบได้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 10 จะสอบได้กี่คะแนน(62) [Ent’36] ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาไทยมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 80 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน นักเรียนที่ได้คะแนนเป็นเดไซล์ที่ 3.3 จะมีผลสอบกี่คะแนน(63) [Ent’35] ในการสอบครั้งหนึ่งซึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ และมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 และความแปรปรวนเท่ากับ 100 ข้อใดต่อไปนี้มีค่าสูงที่สุดก. คะแนน ณ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ข. คะแนนมาตรฐาน 1.50ค. คะแนนดิบ 85 ง. คะแนน ณ เดไซล์ที่ 7(64) [Ent’38] ข้อมูลที่แจกแจงแบบปกติชุดหนึ่งมีค่าสูงสุดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.5, คะแนนต่ําสุดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 10 ให้หาพิสัยของข้อมูลชุดนี้(65) จากการสํารวจผู้สอบคณิตศาสตร์กลุ่มหนึ่ง พบว่าผลการสอบมีการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 97 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 20 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนสอบเป็นเท่าใด [กําหนดพื้นที่ทางขวาของ z=0 เป็น 50%, z=0.25 เป็น 40.13%, z=0.5เป็น 30.85%, z=0.675 เป็น 25.00%, และ z=0.75 เป็น 22.66%](66) การแจกแจงความถี่ของรายได้พนักงานบริษัทแห่งหนึ่งเป็นแบบปกติ ผู้มีรายได้ต่อเดือนต่ํากว่า3,000 บาทมีอยู่ 33% ผู้มีรายได้ในช่วง 3,000 ถึง 5,000 บาทมี 61% และที่เหลือได้มากกว่า5,000 บาท จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของรายได้ทั้งหมดนี้(67) [Ent’39] คะแนนสอบที่มีการแจกแจงเป็นโค้งรูประฆัง มีจํานวนนักเรียนได้ต่ํากว่า 40 คะแนนอยู่ 15.87% และสูงกว่า 70 คะแนนอยู่ 2.27% จงหาสัมประสิทธิ์การกระจายของคะแนนสอบกลุ่มนี้ และหาว่ามีนักเรียนที่สอบได้มากกว่า 30 คะแนนอยู่ร้อยละเท่าใด(68) [Ent’40] ผลการสอบของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวน 9 ถ้าจํานวนนักเรียนที่ได้น้อยกว่า 60 คะแนนเท่ากับคนที่ได้มากกว่า 72 คะแนน ให้หาว่าจํานวนคนที่ได้น้อยกว่า 60 คะแนนคิดเป็นร้อยละเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET388สถิติ(69) ผลสอบของ 500 คนเป็นการแจกแจงปกติ มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 คะแนน, ก และ ขเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้โดย ก สอบได้ 40% ของคะแนนเต็ม และ ข สอบได้ 20% ของคะแนนเต็มถ้าการสอบนี้เต็ม 200 คะแนนและมีคนได้คะแนนน้อยกว่า ก อยู่ 450 คน ข้อใดถูกต้องก. คะแนนของ ก ได้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ข. คะแนนของ ข ได้เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20ค. มีคนได้คะแนนน้อยกว่า ข 119 คน ง. ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยได้เพราะข้อมูลไม่พอ(70) คะแนนสอบของนักเรียน 1,000 คนมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10ถ้ามีนักเรียน 900 คนได้ต่ํากว่า 80 คะแนน (กําหนดพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z=0 ถึง 1.3 เป็น 0.4)ข้อใดผิดก. คะแนนเฉลี่ยน้อยกว่า 80 ข. คะแนน 54 เป็นค่ามาตรฐาน -1.3ค. คะแนน 54 เป็นเปอร์เซ็นไทล์ 10 ง. ผู้ได้คะแนน 54 ถึง 80 มีมากกว่า 800 คน(71) [Ent’39] คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีสัมประสิทธิ์การแปรผัน1/4 ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 3 แล้ว มัธยฐานเท่ากับเท่าใด(72) [Ent’39] กําหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ z=0.67 เป็น 0.25 ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งแจกแจงแบบปกติโดยส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น 2 และสัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เป็น2/3 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวน17.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลหากเรามีคู่อันดับ (x, y) จํานวนหนึ่ง หลังจากสร้าง แผนภาพการกระจายตัว (ScatterPlot) เราจะเห็นลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x กับ y และสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างx กับ y เป็นสมการในรูป y = f(x) “เพื่อใช้ทํานายค่า y” ที่ค่า x ตามต้องการได้รูปแบบความสัมพันธ์ที่พบบ่อย ได้แก่ เส้นตรง พาราโบลา และเอกซ์โพเนนเชียลแต่ละรูปแบบเราจะต้องคํานวณหาค่าคงตัวที่บ่งบอกลักษณะของกราฟ ดังนี้1. ฟังก์ชันเส้นตรง รูปทั่วไป Y = mX + cหาค่าคงตัว m กับ c โดยสมการΣy = mΣ x + cN__________(1)2Σxy = mΣx + cΣ x ________(2)(N คือจํานวนคู่อันดับ หรือจํานวนจุด)S ¨ú ·Õè¼í ºoÂ! SΣ ≠ Σ ⋅ Σ ¹a¤Ãaº.. µo§¤Ù³ x⋅ y ãË¤Ãº¡o¹æÅÇ¨Ö§ÃÇÁ¤Ò xy x y2. ฟังก์ชันพาราโบลา รูปทั่วไป Y =2aX + bX + cหาค่าคงตัว a, b และ c โดยสมการΣy =2aΣx + bΣ x + cN________(1)Σxy =3aΣx 2+ bΣx + cΣ x ______(2)2Σxy =4aΣx 3+ bΣx 2+ cΣ x _____(3)OOyyxxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET389X3. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล รูปทั่วไป Y = abหรือ log Y = log a + X log bหาค่าคงตัว log a กับ log b โดยสมการΣ (log y) = N log a + log b Σ x _______(1)2Σ (x log y) = log a Σx + log b Σ x _____(2)Oyxสถิติข้อสังเกตสมการเหล่านี้เรียกว่า สมการปกติ (Normal Equations) หาได้จากกระบวนการเดียวกันคือสมการที่หนึ่ง เติมเครื่องหมาย Σ ทั้งสองข้างของสมการสมการที่สอง นําสมการแรกมาเติมตัวแปรต้น คือ x ไว้ภายใน Σ ทุกพจน์สมการต่อๆไป หากจํานวนสมการยังไม่ครบ ให้เพิ่ม x ไว้ภายใน Σ อีก ทีละตัวๆการหาค่าคงตัวด้วยสมการเหล่านี้ เรียกว่า ระเบียบวิธีกําลังสองน้อยที่สุด (Method ofLeast Squares) เป็นวิธีที่ทําให้ค่า y ที่ได้ มี ความคลาดเคลื่อนกําลังสอง (Square Error หรือ 2Σ (yi− Y) ) น้อยที่สุดY คือค่าจริง และ Y (อ่านว่า y-hat) คือค่าที่ได้จากการประมาณด้วยฟังก์ชัน ... ซึ่งการทํานายค่าของ y ที่ค่า x ภายในพิสัยของข้อมูลที่มี เรียกว่า การพยากรณ์ในช่วง (Interpolation)และที่ค่า x นอกพิสัยที่มี เรียกว่า การพยากรณ์นอกช่วง (Extrapolation)ข้อควรระวัง สมการที่หาได้ไม่สามารถทํานายค่า x จาก y ได้ ... ถ้าต้องการประมาณค่า x ก็ต้องเปลี่ยนฟังก์ชันทั้งหมด ให้เป็น x f(y) = แทน (คือให้ y เป็นตัวแปรต้น)• ตัวอยาง จากการสอบถามรายจายของ 8 ครอบครัวในหมูบานหนึ่ง ไดผลสัมพันธกับรายได ดังตารางจงหาความสัมพันธที่ใชประมาณรายจายจากรายได และถามวาถาครอบครัวหนึ่งในหมูบานนี้มีรายได4, 500 บาท จะมีรายจายประมาณเทาใดรายได (พันบาท) 1 3 4 6 8 9 11 14รายจาย (พันบาท) 1 2 4 4 5 7 8 9วิธีคิด โจทยตองการทํานายรายจาย จากรายได แสดงวาในที่นี้ Y คือรายจาย และ X คือรายได เมื่อวางคูอันดับเหลานี้ลงในแกนพิกัดฉากแลวพบวา มีความสัมพันธกันแบบเสนตรง ดังนั้นสมการที่เราจะใชคือY = mX + c และดําเนินการหาคา m, c โดย..แทนคา y = 40Σ Σ และ2→ y = m x + cNΣ , Σ x = 56, N 8Σ Σ Σxy = m x + c x2Σ และ Σ x = 524 จะได..= , xy = 364→ 40 = 56m + 8c และ 364 = 524m + 56cแกระบบสมการ ไดคําตอบ m = 0.636 และ c = 0.545(1) ความสัมพันธที่ใชประมาณรายจายจากรายได คือ Y = 0.636 X + 0.545เมื่อ Y คือรายจาย (พันบาท) และ X คือรายได (พันบาท)(2) Y = 0.636(4.5) + 0.545 = 3.407 ดังนั้น ครอบครัวที่มีรายได 4, 500 บาทจะมีรายจายประมาณ 3, 407 บาทตอบตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET390สถิติ• ตัวอยาง จากตัวอยางที่แลว ถามวาถาครอบครัวหนึ่งในหมูบานนี้มีรายจาย 3, 500 บาท จะมีรายไดประมาณเทาใด* วิธีคิด โจทยตองการทํานายรายไดจากรายจาย แสดงวาหากเราจะใช Y เปนรายจาย และ X เปนรายไดเชนเดิม จะตองเปลี่ยนรูปสมการเปน X = mY + c และหาคา m, c โดย..แทนคา x = 56Σ Σ และ2→ x = m y + cNΣ , Σ y = 40, N 8Σ Σ Σxy = m y + c y2Σ และ Σ y = 256 จะได..= , xy = 36456 = 40m + 8c และ 364 = 256m + 40cแกระบบสมการ ไดคําตอบ m = 1.5 และ c = − 0.5 ดังนั้น ความสัมพันธที่ใชประมาณรายไดจากรายจาย คือ X = 1.5Y − 0.5 เมื่อ Y คือรายจาย (พันบาท) และ X คือรายได (พันบาท)จึงไดวา ครอบครัวที่มีรายจาย 3, 500 บาท จะมีรายไดประมาณ 4, 750 บาท ตอบ• ตัวอยาง ถาความสัมพันธเชิงฟงกชันที่ใชทํานายกําไร ( y : พันบาท) จากตนทุน ( x : รอยบาท) อยูในรูป y = mx + c โดยมีสมการที่ไดจากระเบียบวิธีกําลังสองนอยที่สุด ดังนี้19 = 30 m + 10 c ___ (1) และ 6.6 = 10 m + 4 c ___ (2)ก. เมื่อตนทุนเปน 400 บาท จะทํานายกําไรไดเปนกี่บาทวิธีคิด การทํานายกําไร ( y ) จากตนทุน ( x ) สามารถทําไดแกระบบสมการ ได m = 0.5 และ c = 0.4 ... นั่นคือสมการที่ใชไดแก y = 0.5x + 0.4... และเมื่อตนทุนเปน 400 บาท ( x = 4) จะได y = 0.5(4) + 0.4 = 2.4ดังนั้นตอบวา กําไรเทากับ 2,400 บาทข. เมื่อกําไรเปน 400 บาท จะสามารถทํานายตนทุนได ตองกําหนดคาใดเพิ่มเติมใหวิธีคิด จากสมการที่โจทยใหมา คือสมการ y = m x + cN2Σ Σ และ Σxy = mΣx + cΣxซึ่งใชทํานายคา y จาก x ... แตถาตองการทํานายคา x จาก y ตองใชสมการ Σx = mΣy + cN22และ Σxy = mΣy + cΣ y ซึ่งเมื่อเทียบกันดูแลว พบวายังตองทราบเพิ่มอีกอยางหนึ่ง นั่นคือ Σ yค. ตนทุนเฉลี่ย X เทากับกี่บาทวิธีคิด จากขอ ข. เทียบกับสมการในโจทย ไดวา y = 6.62Σ x = 30 ... จากนั้นหา X จาก x/N = 10/4 = 2.5Σ , Σ x = 10, N 4Σ= , xy = 19Σ หรือตนทุนเฉลี่ยเทากับ 250 บาท, และ• ตัวอยาง ถาใหสมการแทนความสัมพันธเชิงฟงกชันที่ใชประมาณน้ําหนัก ( W : ก.ก.) จากสวนสูง ( HH: ซม.) ของนักเรียนกลุมหนึ่ง เปน W = − a โดยที่ทราบวาน้ําหนักเฉลี่ยและสวนสูงเฉลี่ย เทากับ 523ก.ก. และ 162 ซม. ตามลําดับก. นักเรียนคนหนึ่งในกลุมนี้สูง 159 ซม. จะมีน้ําหนักประมาณเทาใดHวิธีคิด จากสมการ W = − a ยังทํานายนําหนักไมไดเพราะไมทราบคา a3เราสามารถหาคา a ไดจากคําใบที่วา W = 52 และ H = 162จากความสัมพันธWH3= − a ... แทนคา = 162 − ... จะได a = 252 a3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET391สถิติดังนั้น นักเรียนที่สูง 159 ซม. จะมีน้ําหนัก W 159/3 2 51= − = กก.HH(หมายเหตุ : การที่ถา W = − a แลว W = − a ดวย จะบอกถึงที่มาในแบบฝกหัดขอ 79)33ข. หากนักเรียนคนหนึ่งสูงขึ้น 12 ซม. น้ําหนักจะเพิ่มขึ้นประมาณเทาใด* วิธีคิด ขอนี้หามคํานวณจาก W = 12/3 − 2 เด็ดขาด! เพราะการที่ H เพิ่มขึ้น 12 ซม. ไมไดแปลวาH= 12 ... วิธีคิดที่จริงคือ W = H/3 เทานั้น คือ W = 12/3 = 4 กก.(หมายเหตุ ในกราฟเสนตรง สัดสวนการเปลี่ยนแปลงของ y และ x จะดูที่ความชัน m เทานั้น ... สวนคา c จะเปนเทาใด ก็เพียงทําใหกราฟยกขึ้นลง แตไมมีผลตอการเปลี่ยนแปลงเลย)ข้อมูลในรูปอนุกรมเวลาหากข้อมูลที่เราสนใจ (Y) เป็นข้อมูลที่ตัวแปรต้นมีช่วงห่างเท่าๆ กัน เช่น ตัวแปรต้นเป็นปีพ.ศ. ที่ห่างเท่าๆ กันแล้ว เราจะเรียกข้อมูล Y ชุดนั้นว่า ข้อมูลในรูปอนุกรมเวลา (Time SeriesData) ซึ่งจะสามารถแทนค่าตัวแปรต้น X ด้วยตัวเลขค่าน้อยๆ ได้เพื่อให้สะดวกในการคํานวณ วิธีที่นิยมที่สุดคือ ให้ข้อมูลตรงกลางเป็นเลข 0 แล้วนับขึ้นลงเป็น ± 1, ± 2 ต่อไปจนครบทุกจุด เพราะวิธีนี้จะทําให้ Σ x = 0 จึงแก้ระบบสมการหาพารามิเตอร์ได้ง่าย โดยเฉพาะสมการเส้นตรง กับสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลหากจํานวนข้อมูลเป็นจํานวนคู่ ไม่มีจุดตรงกลาง ก็จะให้ปีระหว่างกลางนั้นเป็น ± 1 และคู่ถัดไปเป็น ± 3, ± 5 ไปเรื่อยๆ (เพื่อรักษาระยะห่างให้เท่าๆ กัน) แบบนี้ก็ยังได้ Σ x = 0 เช่นกัน• ตัวอยาง จงสรางสมการทํานายประชากรในทองที่หนึ่ง ถากําหนดขอมูลที่สํารวจไดดังตาราง และจากนั้นใหประมาณจํานวนประชากรในทองที่นี้ในป 2547วิธีคิด ให Y คือจํานวนประชากร และให X เปน −2, − 1, 0, 1, 2 แทน พ.ศ. 2535, 2537, ...ตามลําดับ เมื่อวางคูอันดับเหลานี้ลงในแกนพิกัดฉากแลวพบวา มีความสัมพันธกันแบบเอ็กซโพเนนเชียลดังนั้นสมการที่เราจะใชคือ log y = log a + x log b และจะหาคา log a, log b โดย..Σ Σ Σ2Σ (log y) = N log a + log b Σ x และ (x log y) = log a x + log b xแทนคา Σ (log y) = 0.345, Σ x = 0, N = 5, (x log y) = 0.988→ 0.345 = 5 log a และ 0.988 = 10 log b2Σ และ Σ x = 10 จะได..ไดคําตอบ log a = 0.069 และ log b = 0.0988(1) ความสัมพันธที่ใชประมาณจํานวนประชากร คือ log Y 0.069 0.0988 X= + เมื่อ Y คือจํานวนประชากร (พันคน) และ X แทนเวลาตามที่ไดกําหนดตอบ(2) ป พ.ศ. 2547 มีคา X = 4 จะได log Y= 0.069 + 0.0988(4) = 0.4642 หรือ= = … ในป พ.ศ. 2547 จะมีประชากรประมาณ 2, 912 คน ตอบ 0.4642Y 10 2.912พ.ศ. 2535 2537 2539 2541 2543จํานวนประชากร (พันคน) 0.8 0.9 1.1 1.4 2.0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET392สถิติแบบฝึกหัด 17.6(73) [Ent’40] พิจารณาแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรx และ y ดังรูป สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์ระหว่าง x และ yอยู่ในรูปใดต่อไปนี้ก. y = x − 1ข. y = a − bx, a,b > 02ค. y = a − bx , a,b > 0 ง. y = a + bx, a,b > 0O(74) [Ent’38] จากการทดลองวัดความสัมพันธ์ระหว่างเวลา t (วินาที) และระยะทาง s (เมตร)ของวัตถุที่เคลื่อนที่ ได้ผลดังนี้t 1 2 3 4s 2 8 18 32ถ้าความสัมพันธ์เป็นแบบเส้นตรงแล้ว เราจะทํานายระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ ในขณะที่ t = 1.5วินาทีได้เท่าใด(75) [Ent’30] ในการประมาณความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเส้นตรง ของ x กับ y โดยวิธีกําลังสองน้อยที่สุด เมื่อมีข้อมูล (x, y) ดังนี้ (0, 5) , (1, 2), (2, 1) จงทํานายค่า y เมื่อ x =1(76) [Ent’ต.ค.43] ถ้า y = mx + c เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเพื่อการทํานายรายจ่ายหมวดบริการลูกค้า (y) จากจํานวนพนักงานของโรงแรม (x) ในจังหวัดหนึ่ง จํานวนข้อมูลที่นํามาสร้างความสัมพันธ์เท่ากับ 5 และมีสมการดังนี้28 = 5c + 10m และ 67 = 10c + 30mพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. ถ้า x = 5 ค่าประมาณของ y = 8.9 ข. x = 5.6(77) [Ent’31,ต.ค.41] กําหนดให้ความสัมพันธ์ระหว่างรายได้ (x) และรายจ่าย (y) ต่อเดือนของครอบครัวที่อาศัยในอําเภอหนึ่งเป็น y = 200 + 0.85x ถ้าครอบครัว 2 ครอบครัวมีรายได้ต่างกัน1,000 บาท จะมีรายจ่ายโดยประมาณ ต่างกันเท่าใด(78) [Ent’ต.ค.42] พิจารณาข้อมูลของ x และ y ดังนี้x -3 -1 0 1 3y 0 a a+3 a+4 a+6เมื่อ a เป็นค่าคงที่ ให้ x และ y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเส้นตรงความชัน 1.55ถ้า x = 4 จะประมาณค่า y ได้เท่าใด(79) [Ent’มี.ค.43] ถ้าให้สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ใช้สําหรับประมาณจํานวนห้องพักที่มีแขกมาพัก (แทนด้วย y) จากจํานวนห้องพักที่มีการขอจองล่วงหน้า (x) คือ y = a + 0.75xโดยที่ X = 40, Y = 60 ถามว่าถ้า x = 60 แล้ว จํานวนห้องพักที่มีแขกมาพักจริงโดยประมาณเท่ากับเท่าใด[Hint : จากสมการที่ 1 ของสมการเส้นตรง นํา N หารสองข้าง จะได้ Y = mX + c]y3xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET393สถิติ(80) [Ent’37] จากการสอบถามครอบครัว n ครอบครัว ที่มีรายได้ต่อเดือน 5,000 ถึง 20,000บาท เกี่ยวกับรายจ่ายต่อเดือน ปรากฏผลดังนี้รายได้ (พันบาท) : x x 1 x 2 x 3 … x nรายจ่าย (พันบาท) : y y 1 y 2 y 3 … y nและมีค่า X = 12, Y = 5 โดยสมการเส้นตรงที่แทนความสัมพันธ์นี้ตัดแกน y ที่จุด (0, − 3) ถ้าครอบครัวมีรายได้ 15,000 บาท จะมีรายจ่ายโดยประมาณเป็นเท่าใด(81) [Ent’35] ถ้าค่าของตัวแปร x และ y คือx -1 0 1 2 3y 1 0 1 3 102และสมการที่ใช้ประมาณความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรนี้คือ y = kx จงหาค่า k(82) [Ent’36] จากการสอบถามถึงรายจ่ายของครอบครัว 8 ครอบครัว ที่มีรายได้ตั้งแต่ 1,000 ถึง14,000 บาท ได้สมการที่ใช้แสดงความสัมพันธ์ของรายได้ (X) และรายจ่าย (Y) คือY = 0.636 X + 0.545 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. เราสามารถใช้สมการข้างต้นประมาณS ¢o¤ÇÃÃaÇa§! Sรายได้ เมื่อทราบรายจ่าย1. ÒÁÕÊÁ¡ÒÃ Y = ...X... æÊ´§ÇÒãª·íÒ¹ÒÂ Y eÁ× èoºo¡¤Ò X ÁÒข. ถ้าเพิ่มข้อมูลอีก 7 ครอบครัว สมการที่ãËe·Ò¹aé¹ äÁÊÒÁÒÃeoÒä»ãª·íÒ¹ÒÂ X ¨Ò¡¤Ò Y ä´ ÒoÂÒ¡ใช้แทนความสัมพันธ์ยังคงเป็นสมการเดิม(83) [Ent’33] สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างต้นทุน (Y: พันบาท) กับจํานวนสินค้าที่ผลิต(X: ร้อยชิ้น) คือ Y = 2X + 5 ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูกหรือผิดบ้างก. ถ้าต้นทุนเป็น 7,000 บาท คาดว่าผลิตได้ 100 ชิ้นข. ถ้าผลิตเพิ่ม 200 ชิ้น คาดว่าต้นทุนเพิ่ม 4,000 บาท·íÒ¹ÒÂäµo§ãË¤Ùoa¹áºÁÒe¾×èoÊÃÒ§ÊÁ¡ÒÃãËÁã¹ÃÙ» X = ...Y...2. Òºo¡¤Ò X ·Õèe»ÅÕ èÂ¹ä» (e¾ièÁ¢Öé¹ËÃ×oÅ´Å§¡çä´) ÁÒãË æÅÇÒÁ Y ·Õèe»ÅÕ èÂ¹ä» ä¤í e©¾Òa m e·Ò¹aé¹ ... e¾ÃÒaã¹¡ÃÒ¿eÊ¹µÃ§ Êa´ÊÇ¹¡ÒÃe»ÅÕèÂ¹æ»Å§¢o§ Y æÅa X ä¢Öé¹¡aº¤ÇÒÁªa¹ m e¾ÕÂ§oÂÒ§e´ÕÂÇ (¤Ò c äÁÁÕ¼Å)(84) [Ent’23] ตารางที่กําหนดให้นี้เป็นข้อมูลเกี่ยวกับเงินที่ใช้โฆษณาสินค้าต่อเดือน (X: หมื่นบาท)และเงินที่ได้จากการขายต่อเดือน (Y: แสนบาท)x 5 1 3 4 2y 10 3 6 7 4หาค่าต่างๆ ได้ดังนี้ Σ x = 15, Σ y =230, Σ x2= 55, Σ y = 210, Σ xy = 107 และกําหนดให้สัมพันธ์กันแบบเส้นตรง หากต้องการขายสินค้าให้ได้เดือนละ 12,000,000 บาท ควรลงทุนโฆษณาเท่าใด(85) [Ent’26] จากตารางซึ่งข้อมูลสัมพันธ์กันแบบเส้นตรง พิจารณาว่าข้อความใดถูกหรือผิดบ้างx 1 2 3 4y 2 5 7 8ก. ถ้า y = 10 ทํานาย x ได้ 4.75 ข. Y = 2X + 0.5(86) [Ent’34] ข้อมูลอนุกรมเวลา (Y) มีค่าดังนี้พ.ศ. 2526 2527 2528 2529 2530y 20 30 20 40 60ถ้า Y สัมพันธ์กับเวลาในลักษณะเส้นตรงแล้ว จะสามารถทํานายค่า Y ในปี 2535 ได้เท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET394สถิติ(87) [Ent’31] มูลค่าอุตสาหกรรมสิ่งทอส่งออกระหว่างปี 2520 ถึง 2524 เป็นดังนี้พ.ศ. 2520 2521 2522 2523 2524มูลค่า (ล้านบาท) 1 3 4 5 9ถ้าพยากรณ์โดยใช้ความสัมพันธ์เส้นตรงแบบกําลังสองน้อยที่สุด จงหามูลค่าส่งออกเฉลี่ย 6 เดือนแรก ของปี 2525สูตรสําเร็จของสมการเส้นตรงในกรณีทั่วๆ ไป ระบบสมการที่ใช้หาพารามิเตอร์นั้นมักจะแก้หาคําตอบได้ยาก (เนื่องจากความแตกต่างของตัวเลขสัมประสิทธิ์) สําหรับรูปแบบเส้นตรงนั้น เราใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการได้ผลเป็นสูตรสําเร็จดังนี้N Σ(xy) − ΣxΣy1. หาค่า m จากสูตร m =2 2N Σ(x ) − ( Σx)2. ต่อจากนั้นอาจหาค่า c โดยอาศัยสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ ใช้สมการ Y = mX + c(สมการนี้ได้จาก นํา N ไปหารสมการปกติที่ (1) ของรูปแบบเส้นตรง นั่นเอง)เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1) 114.5, 113, 112 ซม. (24) 44.5, 45.93, 46.17(2) ก. ถูก ข. ผิด (25) 57 คะแนน (26) 5 คน(3) เบ้ขวา, 4.5, 4, 3 (27) 22, 21 (28) 6 คน(4) 40, 70, 70, 120 (29) ง. (30) 26, 20, 29.2(5) 70, 73 คะแนน (31) (4+5+15+18)/4=10.5(6) 55.5 (7) 69 คะแนน (32) 18 (33) 70, 1.2(8) 14 ปี (9) 18 บาท (34) 64-16=48 คะแนน(10) 47.4 กก. (11) 8 ตัว (35) 58.83, 74.5 กก.(12) 9 ตัว (13) 11.5 (36) 62.23, 76.77 คะแนน, เกรด B(14) 50, 100 คน (15) 10 คน (37) 22 คน(16) 192.3+182.3= 374.6 บาท (38) 9, 2.625, 2.67, 3(17) 83 คะแนน (18) 19 (39) (64-4)/2=30 (40) 5(19) ผิดทั้ง 2 ข้อ (20) 8/3 (41) 7–3=4 (42) 8(21.1) 1 (21.2) –1 (43) 11.11 ซม. (44) 14.14(21.3) B − A (45) 18, 24, 20.25 (46) 4− 14N(47)(22.1) 8.6, 8.6, 9.2(22.2) 61.5, 65.5, 72.83(22.3) 20.5, 20.5, 21.17(22.4) 69.5, 69.98, 70.21(22.5) 44.50, 45.93, 46.17(22.6) 1802, 1791.17, 1770.93 บาท(22.7) 103.25, 103.67, 105.33 บาท(22.8) 67.45, 67.43, 67.35(23) –0.72 2mx + ny mx + ny−⎛ ⎞⎜ ⎟m + n ⎝ m + n ⎠(48) 96 (49) หญิง, 16.5 / 2 เท่า(50) 36 (51) ยี่ห้อ A(52) 50, 7.5, 8.95, 11.52(53) อังกฤษ (54) 19 ปี(55) 28.25 ปี(56) 63.5 คะแนน(57) 5/12(58) 53.85, 16.15, 37.72(59.1) 0.3686(59.2) 0.4788(59.3) 0.8603(59.4) 0.0214(59.5) 0.1170(60) 89.44(61) 59.1 คะแนน(62) 73.4 คะแนน(63) ค. (64) 24(65) 13.5 คะแนน(66) 0.29(67) 0.2, 97.73(68) 2.27 (69) ค.(70) ง. (71) 12(72) 3, 8.91 (73) ข.(74) 5 เมตร (75) 4(76) ก. ถูก และ ข. ผิด(77) 850 บาท (78) 11.2(79) 75 (80) 7,000 บาท(81) 1 (82) ก. และ ข. ผิด(83) ก. ผิด และ ข. ถูก(84) 676,000 บาทต่อเดือน(85) ก. ผิด และ ข. ถูก(86) 97 (87) 4.9 ล้านบาทMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET395เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคิด)สถิติ(1)X =112+ 120+ 114+ 122+ 112+ 110+ 114+112916= = 114.5 ซม.8หรือใช้สมบัติของค่ากลางช่วยคิด โดยการลดทอนตัวเลขลงให้คํานวณง่ายขึ้น เช่น นํา 115 ไปลบออกทุกจํานวน กลายเป็น −3, 5, −1, 7, −3, −5, −1, − 3หาค่าเฉลี่ยได้เป็น− 3+ 5− 1+ 7−3−5−1−3−4= = − 0.588ดังนั้น (บวก 115 กลับคืนไป)X =− 0.5 + 115 = 114.5 ซม.Med → เรียงลําดับข้อมูลเป็น110, 112, 112, 112,114 , 114, 120, 122Med∴ Med = 113 ซม. (อยู่ตําแหน่งตรงกลางพอดี)และ Mo = 112 ซม. (มีข้อมูลซ้ํามากที่สุด)(2) A : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 → XA= 3 และMedA= 3B : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5 → XB= 3 และMedB= 2.5 ดังนั้น ก. ถูก และ ข. ผิด(3) เรียงลําดับข้อมูล1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9X = 4.5,Med = 4,Mo = 3การแจกแจงเป็นแบบ “เบ้ลาดทางขวา”(เพราะข้อมูลส่วนมากไปอยู่ทางค่าน้อย, หรืออาจมอง< < ก็ได้)จาก Mo Med X(4) A, B, C, DMo = 70, Med = 70 แสดงว่า B = C = 70จากนั้น หา A กับ D จากพิสัยและ Xโดย A + 70 + 70 + D = 75 .....(1)4และ D A 80− = .....(2)→ แก้ระบบสมการ ได้ A = 20,D = 100∴ ตอบ ข้อมูล 4 จํานวนได้แก่ 20,70,70,100(5) N = 10, X = 65→ ∑ x = 65× 10 = 650 คะแนน7 คนแรกได้คะแนนรวม55 + 43 + 67 + 80 + 85 + 74 + 38 = 442∴ 3 คนที่เหลือ มีคะแนนรวมกัน 208 คะแนนa, a+ 11, a+ 11 → 3a + 22 = 208 → a = 628∴ ข้อมูลทั้งหมด 10 จํานวน ได้แก่38,43,55,62,67,73,73,74,80,85(67 + 73)ตอบ Med = = 70 คะแนน,2Mo = 73 คะแนน(6) ฐานนิยม = 30 แสดงว่า a = 30(เพราะต้องมี 30 อย่างน้อย 3 ตัว)มัธยฐาน = 40 แสดงว่า a + b = 402∴ b = 50 → หา X ของข้อมูล11, 22, 33, 34, 35, 46, 67, 68, 99, 130555→ X = = 55.510(7) ฐานนิยม = 75 เพราะมีผู้ได้คะแนน 75เหมือนๆ กันอยู่ถึง 80% ของจํานวนคนทั้งหมดสมชายได้คะแนน = X = 75 − 6 = 69 คะแนน[ใช้ 75-6 เพราะเป็นโค้งเบ้ซ้าย ดังนั้น X < Mo](8) ไม่จําเป็นต้องคิดละเอียดถึงขนาดหาอายุของแต่ละคน เพราะว่า X = 11 ปี →อีก 3 ปีข้างหน้าจะได้ X ใหม่ = 11 + 3 =14 ปี[เป็นสมบัติของค่ากลาง คือ ถ้า y = mx + c แล้วY = mX + c ด้วย](9) Y = 7 + 0.25 X ด้วย → ดังนั้นหาค่า Xก่อนได้เลย32 + 48 + 40 + 56 + 44→ X = = 445∴ Y = 7 + (0.25)(44) = 18 บาท(10) 3W = H − 15 ด้วย∑ H→ หา H โดย H =156(159) + 9(156)= = 157.2 ซม.15157.2 − 15→∴ W = = 47.4 กก.3∑ xเดิม(11) จาก X =เดิมN∑ xเดิม→ 11 = → ∑ x = 11NเดิมN∑ x + 29เดิมX = = 13ใหม่N + 111N + 29→ = 13 → N = 8 ตัวN + 1∑ x = 15N(12)ผิด→ ∑ xถูก= 15N − 12 + 21 = 15N + 915N + 9∴ 16 = → N = 9 ตัวNMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET396สถิติ(13) ∑ x = 12 × 10 = 120ผิด→ ∑ xถูก= 120 − 8 + 3 = 115115∴ Xถูก= = 11.510NxXรวม=N(14) จากช ช ญ ญช ญจะได้ 60ช+ Nx+ NN(70) + N (55)= .....(1)150และโจทย์กําหนด N ช + N ญ = 150 .....(2)แก้ระบบสมการได้ N ช = 50 คน, N ญ = 100 คน(15) สมมติ Nช = Xช = A, Nญ = Xญ= Bจะได้ว่า A + B = 30 .....(1)และจากสูตร X รวม จะได้ญ2 250 A + B3 30แก้ระบบสมการ ได้ A = 10,B = 20(เพราะโจทย์ระบุว่า A(16) 18,630 = 40Xช + 60Xญจะได้ X ช 192.3= .....(2)< B) ∴ ตอบ ชาย 10 คน= 40X + 60(X − 10)ช= บาท∴ = บาท รวมกันเป็น 374.6 บาทXญ182.3(17)20(92) + 20(84) + 30(63) + 30(x)79 =100∴ x = 83 คะแนน(18) พิสัย = 12 และ a < 15 → ดังนั้น a = 3i2∑(x − b) น้อยสุด → ดังนั้น b = X = 8∑ x − c น้อยสุด → ดังนั้น c = Medx= 8iตอบ 3 + 8 + 8 = 19(19) ก. a = Medx= 5, b = X = 8 ดังนั้น ก.ผิดข. ∑ x = NX = (20)(8) = 160 ดังนั้น ข.ผิด(20) ∑ x + ∑ y = 9 .....(1)∑ x − ∑ y = 7 .....(2) ∴ ∑ x = 8, ∑ y = 12ต้องการ ∑(xi− a) น้อยสุดxดังนั้น ∑a = X = = 8 / 3หมายเหตุ ค่า N ได้มาจากบนซิกม่า2(21.1) ∑ xNช3→ ∑i=12+ 2 ∑ x + ∑ 1 = ∑ x −6 ∑ x + ∑ 98 ∑ x = ∑ 9 − ∑ 1 = 180 − 2020∴∑ x = 20 → X = = 1202(21.2) ∑ x + 2 ∑ x + 8 = 1 .....(1)2และ ∑ x + 4 ∑ x + 32 = 9 .....(2)(2)-(1) ; 2 ∑ x = −16 → ∑ x = − 8→ X = − 8 / 8 = − 12(21.3) ∑ x = A.....(1)2และ ∑ x + 4 ∑ x + 4N = B .....(2)แทนค่า (1) ใน (2) จะได้ A + 4 ∑ x + 4N = Bดังนั้น(22.1)B−A−4N B − A∑ x = → X = − 14 4N⎛−20 − 12 + 5 + 6 ⎞X = a + ID = 10 + 3⎜ ⎟⎝ 45 ⎠= 10 − 1.4 = 8.6[หมายเหตุ การคิด X อาจเลือกชั้นใดก็ได้ ไม่จําเป็นต้องคิดตรงตามนี้ แต่คําตอบจะเท่ากันเสมอ]⎛N/2 −∑fL⎞Med = L + I ⎜ ⎟ = 8.5 + 3⎝ fMed⎠= 8.5 + 0.1 = 8.6⎛ d ⎞ ⎛ ⎞22.5 − 22( )L3Mo = L + I ⎜ = 8.5 + 3 ≈ 9.2dL+ d⎟ ⎜U3 + 10⎟⎝ ⎠⎝⎠[หมายเหตุ การคิด Med กับ Mo ต้องเลือกชั้นตามนี้เท่านั้น]⎛−15 −20 − 15 + 20 ⎞(22.2) X 69.5 20= 69.5 − 8 = 61.515= + ⎜ ⎟⎝ 75 ⎠⎛37.5 − 30 ⎞Med = 59.5 + 20 ⎜ ⎟ = 59.5 + 6⎝ 25 ⎠= 65.5⎛ 10 ⎞Mo = 59.5 + 20 ⎜ = 59.5 + 13.33 = 72.8310 + 5⎟⎝ ⎠−20 − 12 + 9 + 8(22.3) ( )X = 22 + 5 = 22 − 1.550= 20.5⎛25 − 22 ⎞Med = 19.5 + 5 ⎜ ⎟ = 19.5 + 1 = 20.5⎝ 15 ⎠⎛ 3 ⎞Mo = 19.5 + 5 ⎜ ≈ 19.5 + 1.67 ≈ 21.173+6⎟⎝ ⎠(22.4)ข้อมูล ความถี่ d CF3 – 56 – 89 – 1112 – 141012155-2-1011022374215 – 17 3 2 45สําหรับคิด xสําหรับคิด Med⎛−30⎞X = 74.5 + 10⎜⎟ = 69.5⎝ 60 ⎠⎛30 − 29 ⎞Med = 69.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 69.98⎝ 21 ⎠⎛ 1 ⎞Mo = 69.5 + 10 ⎜ ≈ 70.211+13⎟⎝ ⎠Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET397สถิติ(22.5) X = 44.5 + 10(0) = 44.5⎛50 − 32 ⎞Med = 39.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 45.93⎝ 28 ⎠⎛ 16 ⎞Mo = 39.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 46.17⎝16 + 8 ⎠(22.6) ข้อนี้ระวัง ตาราง “ตีลังกา”⎛ 21 ⎞X = 1,749.5 + (100) ⎜ ⎟ = 1,802⎝40⎠20 − 9( )บาทMed 1,699.5 + 1001,791.17125Mo = 1,699.5 + 100⎛ ⎞⎜ ≈ 1,770.935 + 2⎟⎝ ⎠(22.7)= ≈ บาท⎛−75⎞X = 107 + 5⎜⎟ = 103.25⎝100⎠⎛50 − 25 ⎞Med = 99.5 + 5 ⎜ ⎟ ≈ 103.67⎝ 30 ⎠⎛ 5 ⎞Mo = 104.5 + 5 ⎜ ⎟ ≈ 105.33⎝5 + 25⎠(22.8) X = 67 + 3(0.15) = 67.45 กก.0.50 − 0.23( )Med 65.5 + 367.430.420.24Mo = 65.5 + 3⎛ ⎞⎜ ⎟ ≈ 67.35⎝0.24 + 0.15 ⎠(23)บาทบาทบาทบาท= ≈ กก.กก.−4 (30) − 3 (20) + 1(10) + 2 (20) + 3 (20)X = = − 0.7100(24) แปลงข้อมูลเป็นตารางแล้วจึงคํานวณX = 44.5 + 10(0) = 44.5 คะแนน50 − 32Med 39.5 10 ( ) 45.9328⎛ 16 ⎞Mo = 39.5 + 10 ⎜ ⎟ ≈ 46.17⎝16 + 8 ⎠18 − 12(25) Med 49.5 10 ( ) 578⎛⎛13 + a ⎞ ⎞⎜⎜⎟ − (3 + a) ⎟7 = 6.5 + 3⎜⎝ 2 ⎠⎟(26)ข้อมูล -4 -3 1 2 3ความถี่ 30 20 10 20 20= + ≈ คะแนน→ a = 5 คนคะแนน= + = คะแนน⎝คะแนน0 – 910 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 796จํานวนคน5871228201010⎠⎛ − + 1(27) 49.5 39.5 2050 (14 f ) ⎞= + ⎜ ⎟⎝ 28 ⎠→ f1= 22 คน∴ f2= 100 − (14 + 22 + 28 + 15) = 21 คนหรือ ถ้าสังเกตว่า 49.5 อยู่กึ่งกลางชั้นพอดีแสดงว่าแบ่ง 28 ออกเป็น ฝั่งละ 14 คนคือ 14 + f1+ 14 = 50 คน (ซ้าย)และ 14 + f2+ 15 = 50 คน (ขวา)ก็จะได้ f1 = 22, f2= 21 โดยง่าย..(28)( − )⎛12.5 − 17 fMed⎞62 = 59.5 + 10 ⎜ ⎟⎝ fMed⎠→ fMed= 6 คน(29) 80P จาก 4,000 คน แปลว่ามีคนที่ได้คะแนนน้อยกว่าอยู่ 80% และมากกว่าอยู่ 20%ดังนั้น ข้อ ง. จึงถูก (20% ของ 4,000 = 800 คน)ส่วนข้อ ข. นั้นไม่เกี่ยวข้องเลย ( P 80 ไม่สามารถบอกได้ว่าได้กี่คะแนน)(30) เรียงข้อมูล จากน้อยไปมาก เท่านั้น4, 4, 9, 12, 12, 16, 17, 19, 20, 20, 24, 26, 30, 31, 323Q 3 อยู่ตําแหน่งที่ (15 + 1) = 1246 (15 + 1) = 9.610D 6 อยู่ตําแหน่งที่ดังนั้น Q3= 26 และ D 6 = 20P 80 อยู่ตําแหน่งที่80 (15 + 1) = 12.8100∴ P80= 26 + (0.8)(4) = 29.2(ในกรอบเป็นการเทียบสัดส่วน... 0.8 คือตําแหน่งที่ต้องการ และ 4 คือผลต่างระหว่าง 26 กับ 30)(31) P 10 อยู่ตําแหน่งที่D 2 อยู่ตําแหน่งที่10 (9 + 1) = 11002 (9 + 1) = 210ดังนั้น P 10 = 4 และ D 2 = 5และ P 60 = 15, Q 3 = 18 (คิดแบบเดียวกัน)4 + 5 + 15 + 18= = 10.546(32) D 6 อยู่ตําแหน่งที่ (13 + 1) = 8.410∴ 20 = x + (0.4)(23 − x) → x = 18∴ ค่าเฉลี่ย(33.1) เรียงข้อมูลเป็น11, 12, 15, 19, 24, 27, 28, 29, 3028 อยู่ตําแหน่งที่ 7 จาก 9r→∴ (9 + 1) = 7 → r = 70 (P 70)100(ในกรอบเป็นสมการบอก “ตําแหน่งที่”)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET398สถิติ(33.2) 15 อยู่ตําแหน่งที่ 3 จาก 9r→∴ (9 + 1) = 3 → r = 1.2 (Q 1.2 )43(34) Q 3 อยู่ตําแหน่งที่ (32) = 244→ 24 = 4 log x → x = 64 = Q2 350P 50 อยู่ตําแหน่งที่ (32) = 16100→ 16 = 4 log x → x = 16 = P∴ ตอบ 64 16 48(35)2 50− = คะแนน6D 6 อยู่ตําแหน่งที่ (50) = 3010⎛30 − 10 ⎞∴ D6= 50.5 + (10) ⎜ ⎟ ≈ 58.83⎝ 24 ⎠92P 92 อยู่ตําแหน่งที่ (50) = 46100⎛46 − 44 ⎞∴ P92= 70.5 + (10) ⎜ ⎟ = 74.5⎝ 5 ⎠(36)กก. คน CF31 – 4041 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 903724105131034444950กก.กก.F 40% B 40% A 20%P 40 P 80แสดงว่าต้องการทราบค่าคะแนนที่ตรงกับ P 40 ,P 8040P 40 อยู่ตําแหน่งที่ (40) = 1610016 − 13P4059.5 10 ( ) 62.231180 (40) = 3210032 − 24P8069.5 10( ) 76.7711→ = + ≈ คะแนนP 80 อยู่ตําแหน่งที่→ = + ≈ คะแนน∴ ตอบ ตัดเกรดที่ 62.23 กับ 76.77 คะแนนและถ้าได้ 71 คะแนน จะได้เกรด B(37)ค่าจ้าง (บาท)81 – 8586 – 9091 – 9596 – 100101 – 105106 – 110111 – 115116 – 120จํานวนคน13x58y1041 : 2 : 1P25= 100.5 และ Q3= 110.5ถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่า 100.5 กับ 110.5 เป็นขอบของชั้นพอดี แสดงว่า ตารางโดนตัดแบ่งเป็นอัตราส่วน 1:2:1 ดังแสดงให้ดู∴ จะหาค่า x ได้ จาก 1 + 3 + x + 5 = 10 + 4และ ตอบ 1+ 3 + x + 5 + 8 = 14 + 8 = 22 คน[หมายเหตุ อาจจะหา x = 5 ก่อนก็ได้, และยังสามารถหา y ได้โดย 8 + y = 2(10 + 4) ด้วย](38) Range = 21 − 12 = 9QD = Q3 − Q1→ ต้องหาค่า Q,Q 3 1 ก่อน3Q 3 อยู่ตําแหน่งที่ (6 + 1) = 5.254∴ Q3= 18 + (0.25)(3) = 18.751 (6 + 1) = 1.754∴ Q1= 12 + (0.75)(2) = 13.518.75 − 13.5→ QD = = 2.6252Q 1 อยู่ตําแหน่งที่MD กับ SD ต้องหาค่า X ก่อน12 + 14 + 14 + 17 + 18 + 21X = = 1664 + 2 + 2 + 1 + 2 + 5MD = = 2.6762 2 2 2 2 24 + 2 + 2 + 1 + 2 + 5SD = = 9 = 36ข้อสังเกต QD, MD, SD จะต้องมีค่าใกล้เคียงกัน(39) Q 3 อยู่ตําแหน่ง 300→ 300 = 100 log4 x → x = 64 = Q3Q 1 อยู่ตําแหน่ง 100→ 100 = 100 log4 x → x = 4 = Q164 − 4∴ QD = = 30 คะแนน2Q − QQ3 − Q12= 2 และ =(40) จาก3 12Q + Q 33 1จะได้ Q1 = 1, Q3= 5 ดังนั้น P 75 = Q 3 = 51 + a + b + 5(41) 1, a, b, 5 → = 4 .....(1)43 + (a − 4) + (b − 4) + 14และ 2 2 2 2แก้ระบบสมการได้ a = 3,b = 7(เพราะโจทย์กําหนด a= 5 .....(2)< b) → ∴ b − a = 4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET399สถิติ(42) X = 2QD → หา X ได้เป็น 48 + a1,320(48) X รวม = = 22 คะแนน760หา QD ได้ 2 กรณี ดังนี้→ กลุ่ม 10 คน X 1 = 32, s 1 = 0ก. ถ้าเรียงข้อมูลเป็น 2, a , 4, 6, 9, 12 , 151,000→ กลุ่ม 50 คน X 2 = = 20, s 2 = ?12 − a50จะได้ QD = → a = 4.5 (ผิด)2 2 2 222 10(0 + 32 ) + 50(s 2 + 20 )สูตร 100 + 22 =ข. ถ้า 4 < a < 12 จะได้ข้อมูลเป็น6022, 4 , 6 9 , 12 , 15→ s2= 96 คะแนน 2(a) (a) (a)12(150) + 8(X ญ)(ค่า a อยู่ที่ใดที่หนึ่งใน 3 ช่องนี้)(49) สูตร Xรวม= 150 =2012 − 4ซึ่งพบว่า QD = → a = 8 (ถูก)→ Xญ= 150 ซม. ด้วย2(43) 90% ของ s จริง= 10 ซม.สูตร s 2 รวม ไม่ต้องคิด X เพราะสองกลุ่มเท่ากัน2 210012(2 ) + 8(s ญ)2→ s = 10 × = 11.11 ซม.→ 3 = → Sจริงญ = 16.590202 2∑ x 2 ∑ x(44) 6 = − 42 → = 1,800 สปส.การแปรผัน⎛ s ⎞⎜ ⎟ ญ 16.5 2= , ช =NN⎝X⎠ 150 1502→ s = 1,800 − 40 = 200 ≈ 14.14จริง3 + 6 + 9 + 12 + 15(45) X 1 = = 925แทนค่า ∑ x = 60 จะได้ ∑ x = 7203 + 9 + 152และ X 2 = = 92 ∑ x 2ความแปรปรวน s = − X3Nเนื่องจาก X 1 = X 2 ดังนั้น สูตรหาความแปรปรวน2720 ⎛60⎞= −2 2⎜ ⎟ = 362 Ns 1 1+N2s10 ⎝ 10 ⎠2รวม จะลดเหลือเพียง sรวม=N1 + N22 2 2 2 22 6 + 3 + 0 + 3 + 6ซึ่งข้อนี้ s1= = 1852 2 2 2 21 + 5 + 1 + 15 + 102 2 2sA= = 70.4 ≈ 8.392 6 + 0 + 6และ s2= = 2453s 8.392 5(18) + 3(24)→ = = 0.27จึงได้ sรวม= = 20.25X 3182 2 2 2 2 26 + 19 + 6 + 16 + 0 + 3N(5) + N(3)sB= ≈ 116.33(46) X รวม = = 462Ns 10.792 2 2 22 2 2 N(0 + 5 ) + N(s2+ 3 ) ≈ 10.79 → = = 0.32สูตร sรวม→ 3 + 4 =X 342N→ s2= 4น้อยกว่า)(47) X ช = x, X ญ = y, s ช = 0, s ญ = 0 (52) Range = 99.5 − 49.5 = 50 คะแนน(เพราะทุกคนอายุเท่ากันหมด)QD → หา Q 3 กับ Q 1 ก่อนmx + nyจะได้ X รวม =Q 3 อยู่ตําแหน่งที่ 75 Q379.5m + n2 2 2 22 2 m(0 + x ) + n(0 + y )Q 1 อยู่ตําแหน่งที่ 25 Q164.5สูตร sรวม+ Xรวม=m + n79.5 − 64.5พอดี) ∴ QD = = 7.5 คะแนน2 222 mx + ny mx + ny2∴ s⎛ ⎞ 2รวม = − ⎜ ⎟ ปีm + n ⎝ m + n ⎠จึงตอบว่า หญิงกระจายมากกว่าอยู่ 16.5 / 2 เท่า2 2(50) ∑(x − 5) = ∑ x − 10 ∑ x + 250 = 370(51) การวัดคุณภาพการผลิต ไม่ได้เทียบกันที่ Xแต่จะเทียบกันที่การกระจาย ดังนั้นเราต้องหา s/X∴ ยี่ห้อ A คุณภาพดีกว่า (เพราะค่าการกระจาย→ = (ขอบพอดี)→ = (กึ่งกลางชั้นMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET400สถิติMD กับ SD ต้องหา X ก่อน⎛−15⎞→ X = 74.5 + (10) ⎜ ⎟ = 73⎝100⎠คะแนน15(18.5) + 20(8.5) + 40(1.5) + 15(11.5) + 10(21.5)MD =100= 8.95 คะแนนและ SD =2 2 2 2 215(18.5) + 20(8.5) + 40(1.5) + 15(11.5) + 10(21.5)100= 132.75 ≈ 11.52 คะแนน48 − 45(53) z ไทย= = 0.251235 − 32z = = 0.3อังกฤษ10∴ อังกฤษดีกว่า640(54)X = = 16 ปี s 24018 − 16→ zn= = 1 → zข= 1.52xข− 16∴ 1.5 = → xข= 19 ปี2= ปี(55) จากสมบัติว่า ∑ z = 0 ดังนั้นx − 25z = 0.25 = → x = 28.25 ปีคนสุดท้าย13ก(56) จาก z =จะได้กx−sX−51.6 s 3.125s− = → = คะแนน60 − Xจาก z ข = 1.28 = → X = 56 คะแนนx − 563.1253.125∴ = → = คะแนนค2.4 xค63.5(57) เลือกใช้ 2 ช่องใดๆ คํานวณก็ได้แต่ถ้าเลือก z = 0 จะง่าย เพราะได้ x = X เลยนั่นคือถ้าและจาก60 − Xz = 0 → 0 = → X = 60s85 − 601.0 = → s = 25sดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผัน = 25/60 = 5 / 1270 − X1 70 X sss0.3 s 0.3XX = → = .....(2)(58)= → − = .....(1)แก้ระบบสมการได้ X = 53.85 คะแนนs = 16.15 คะแนนx − 53.85และ − 1 = → x = 37.7 คะแนน16.15(59.1) 0.3686 (59.2) 0.4788(59.3) 0.3830 + 0.4773 = 0.8603(59.4) 0.4987 − 0.4773 = 0.0214(59.5) 0.5 − 0.3830 = 0.1170(60)ss = 12, = 0.24 ∴ X = 50X65 − 50x = 65 → z = = 1.2512(61) P 10 → A = 0.4 ทางซ้ายx − 72→ z = − 1.29 =10→ x = 59.1 คะแนน(62) (เหมือนข้อที่แล้ว)→ = ทางซ้ายD3.3A 0.17x − 80→ z = − 0.44 =15→ x = 73.4 คะแนน→ A = 0.3944 ทางขวาคิดเป็น P 89.44(63) แปลงทุกข้อให้อยู่ในรูปเดียวกัน(เช่นแปลงเป็นค่า z ก็ได้)ก. P 80 → A = 0.3 ทางขวา → z = 0.84ข. z = 1.5085 − 60ค. z = = 2.510ง. D 7 คือ P 70 จึงน้อยกว่า 80∴ ตอบ ค.P ในข้อ ก. แน่นอนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET401สถิติ(64) P 97.5 → A = 0.475 ทางขวาx− X10max→ z = 1.96 = .....(1)P33A 0.17→ = ทางซ้ายmin→ z = − 0.44 = .....(2)x− X10(1)-(2); x max − x min = 19.6 + 4.4 = 24ดังนั้น พิสัย = 24 คะแนน(65) หา Q3→ A = 0.25 ทางขวาQ − 97203→ z = 0.675 = .....(1)Q1A 0.25→ = ทางซ้ายQ − 97201→ z = − 0.675 = .....(2)Q3 − Q1(1)-(2);2ดังนั้น QD = 13.5 คะแนน(66)0.610.330.17= 6.75 + 6.75 = 13.5โจทย์ไม่บอกทั้ง X, s จึงต้องแก้ระบบสมการ5,000 − XA = 0.44 → z = 1.56 = .....(1)A 0.17 z 0.440.44s3,000 − Xs= → = − = .....(2)จะได้ s = 1,000 และ X = 3,440ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผัน(67)1,000= ≈ 0.293,440A 0.4773 z 270 − XsA 0.3413 z 140 − Xsจะได้ s = 10,X = 5010∴ สัมประสิทธิ์การแปรผัน =50= 0.230 − 50ถ้า x = 30 → z =10= − 2= → = = .....(1)= → = − = .....(2)แสดงว่ามีนักเรียนที่ได้คะแนนมากกว่านี้อยู่47.73 + 50 = 97.73%3000 5000 x0.15870.34130.47730.022740 70 x-2 0 z(68)พื้นที่ A = B แสดงว่า X อยู่กึ่งกลางระหว่าง 6060 + 72กับ 72 นั่นคือ X = = 66 คะแนน260 − 66x = 60 → z = = −2→3ถ้าพื้นที่ = 0.4773 ซ้าย∴ มีคนได้น้อยกว่า 60 คะแนนอยู่50 − 47.73 = 2.27%(69) ก ได้ 80 คะแนนตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 450 100 90500 × =→ A = 0.4 ทางขวา → z = 1.2980 − X1.29 X 54.220∴ = → = คะแนน(ก.ผิด, ง.ผิด)ข ได้ 40 คะแนน→ A = 0.2612 ทางซ้าย40 − 54.2→ zข= = − 0.7120∴ คิดเป็น P 23.88 (ข.ผิด) คือมีคนได้น้อยกว่า ข.อยู่ 23.88 × 500 = 119.4 คน (ค. ถูก)100(70) 900 คน ได้ต่ํากว่า 80 คะแนนแปลว่า P 90 = 80→ = ทางขวาP90A 0.480 − X→ z = 1.3 = → X = 67 คะแนน10พิจารณาที่ 54 คะแนนAB60 x 72 x54 − 67z 1.310→ = = − → คิดเป็น P 10∴ ก,ข,ค ถูก และ ง.ผิด(เพราะมีผู้ได้ 54 ถึง 80 ประมาณ 800 คนพอดี)(71) s 1 X = และ 4s = 30.4 0.454 67 80 x∴ X = 12 และทําให้ Med = 12 ด้วย (โค้งปกติ)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET402สถิติQ− Q2(72) จาก3 1จะได้ Q3 = 5, Q1= 1Q3 − Q12= 2 และ =Q + Q 33 15 + 1X 325 − 3Q → z = 0.67 → 0.67 =s∴ = = (ความสมมาตรของโค้งปกติ)พิจารณาที่ 32→ s = 2.985 → s ≈ 8.91(73) มีแนวโน้มเป็นเส้นตรง ที่ตัดแกน y ทางบวกและความชันเป็นลบ จึงตอบข้อ ข.(74) ∑ y = m ∑ x + cN .....(1)→ 60 = 10m + 4c2∑ xy = m ∑ x + c ∑ x .....(2)→ 200 = 30m + 10cได้ m = 10,c = − 10 ∴ Ŷ = 10X − 10ดังนั้นที่ 1.5 วินาที Ŷ = 10(1.5) − 10 = 5 เมตร(75) ∑ y = m ∑ x + cN → 8 = 3m + 3c2∑ xy = m ∑ x + c ∑ x → 4 = 5m + 3c14ได้ m =− 2,c =314 2 14∴ Ŷ = − 2X + ⇒ − + = 43 3 3(76) ก. แก้ระบบสมการได้ m = 1.1,c = 3.4Ŷ = 1.1(5) + 3.4 = 8.9 ข้อ ก. ถูกข. เทียบสมการที่โจทย์ให้มา กับสมการปกติ พบว่า∑ y = 28, ∑ x = 10, ∑ xy = 67, ∑ x = 30∑ x 10X 2N 5∴ = = = ข้อ ข. ผิดหมายเหตุ ถ้าโจทย์ให้คํานวณความแปรปรวนก็ทําได้22 ∑ x 2 30 2โดยใช้สูตร s = − X = − 2 = 2(77) Δ y = m Δ xN 5→ Δ y = 0.85(1,000) = 850 บาท(78) ∑ y = m ∑ x + cN→ 4a + 13 = (1.55)(0) + (5)c ..... (1)2∑ xy = m ∑ x + c ∑ x→ 3a + 22 = (1.55)(20) + (0)c .....(2)ได้ a = 3 → c = 5∴ Ŷ = 1.55(4) + 5 = 11.2(79) Y a 0.75X→ 60 = a + 0.75(40) → a = 30= + ด้วย (สมบัติของ X )∴ Ŷ = 30 + 0.75(60) = 75 ห้อง(80) ตัดแกน y ที่ −3 → c = − 3จาก Y = mX + c จะได้ 5 = m(12) − 32→ m = 2 / 32Ŷ (15) 3 73∴ = − = → ตอบ 7,000 บาท2(81) ∑ y = k ∑ x → 15 = k(15) → k = 1(82) ก. ผิด (ต้องรู้ X ทํานาย Y เท่านั้น)ข. ผิด เพราะอีก 7 ครอบครัวไม่น่าจะอยู่บนเส้นตรงY = 0.636X + 0.545 ทุกจุด หรือแบ่งฝั่งกันดึงให้เส้นตรงคงอยู่ที่เดิมได้ (น่าจะดึงให้เบนไปจากเดิม)(83) ก. ผิด (ต้องรู้ X ทํานาย Y เท่านั้น)ข. ถูก ( Δ y = 2 Δ x = 2(2) = 4 → 4,000 บาท)(84) รู้ Y จะทํานาย X ต้องเปลี่ยนตัวแปรเป็นดังนี้∑ x = m ∑ y + cN, ∑ xy = m ∑ y + c ∑ yจะได้ 15 = 30m + 5c กับ 107 = 210m + 30c17 2→∴ m = ,c =−30 517 2ดังนั้น ˆX = Y −30 517 2→ ˆX = (120) − = 67.630 5ตอบ 676,000 บาท ต่อเดือน(85) ก. รู้ Y ทํานาย X→ 10 = 22m + 4c และ 65 = 142m + 22c10 5→ m = ,c = −21 4210 5ดังนั้น ˆX = (10) − ≈ 4.64 ผิด21 42ข. รู้ X ทํานาย Y→ 22 = 10m + 4c และ 65 = 30m + 10c→ m = 2,c = 0.5 ถูก(86)จาก ∑ y = m ∑ x + cNจะได้ 170 = 5c → c = 342และจาก ∑ xy = m ∑ x + c ∑ xจะได้ 90 = 10m → m = 9คิดปี 2535 เทียบเป็นค่า X ได้ 7;→ Ŷ = 9(7) + 34 = 97(87) กําหนด X = -2, -1, 0, 1, 2 เช่นเดิมจะได้ 22 = 5c → c = 4.4และ 18 = 10m → m = 1.8คิดปี 2525 เทียบเป็นค่า X ได้ 3;→ Ŷ = 1.8(3) + 4.4 = 9.8 ล้านบาทดังนั้น เฉลี่ย 6 เดือนแรก (ครึ่งปี)= = 4.9 ล้านบาท9.82x -2 -1 0 1 2y 20 30 20 40 602Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET403ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอ¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ æÂ¡µÒÁËaÇ¢o2/15บทที่ 1 เซต1. นับจํานวนแบบของเซต2/25 1/1 1/1 1/102. หาจํานวนสมาชิกเกี่ยวกับเพาเวอร์เซต1/1 1/1 2/1 2/13. คิดชิ้นส่วนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ หรือโจทย์ปัญหา2/21 1/1 2/1 2/1 2/1 2/4 2/1 2/1ข้อสอบฉบับที่ 7ตอนที่ 2ข้อที่ 15บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง1. ทฤษฎีเศษและทฤษฎีตัวประกอบในพหุนาม2/10 2/3 2/3 1/3 2/3 2/12. แก้สมการและอสมการ ดีกรีสองขึ้นไป หรือมีค่าสัมบูรณ์, การดําเนินการเกี่ยวกับช่วง2/2 2/1 2/2 1/2 2/4 2/2 2/2 2/2 1/1, 2/5 2/2 2/6 2/3,243. ทฤษฎีจํานวนเกี่ยวกับการหารลงตัว, ห.ร.ม. และ ค.ร.น., วิธีของยูคลิด2/14 1/2 2/3 2/2 2/2 1/1 2/3 2/1 1/7, 2/2 1/10บทที่ 3 ตรรกศาสตร์1. ค่าความจริงของรูปแบบประพจน์, ตรวจสอบการสมมูลกัน, ตรวจสอบสัจนิรันดร์2/3 2/2 1/3 2/5 2/5 2/4 2/2 2/4 2/62. การอ้างเหตุผล ... สมเหตุสมผลหรือไม่, ผลในข้อใดที่ทําให้สมเหตุสมผล2/4 2/3 2/4 2/4 2/3 2/23. หาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ, หานิเสธของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ2/5 2/3 2/6 2/3 2/4,5 2/3 2/5 2/8,9 2/74. การให้เหตุผล (อุปนัย/นิรนัย)ยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเป็นเนื้อหาในหลักสูตรใหม่บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์1. การสร้างสมการเส้นตรงจากสิ่งที่กําหนดให้ เช่น จุด, ความชัน, เส้นขนานหรือเส้นตั้งฉาก1/2 2/11 2/22. ภาคตัดกรวยสองรูป ... โดยหาส่วนประกอบจากรูปแรกเพื่อใช้เป็นส่วนประกอบของอีกรูป2/7 2/8,9 2/10 2/11,12 2/10 2/7,8 2/103. ภาคตัดกรวยรูปเดียว … หาจุด, พื้นที่, ถามนิยาม, หรือใช้เรื่องอื่นช่วยคิดเช่น อนุพันธ์, ตรีโกณฯ1/1, 2/8 2/9 1/10,11 2/11,12 2/10,11 2/11 2/10 1/3 1/1, 2/4,7 1/7,8Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET404ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอบทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน1. นับจํานวนความสัมพันธ์จาก A ไป B, จํานวนคู่อันดับ2/5 2/12. หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ (อาจเป็นสมการภาคตัดกรวย), จัดรูปหา r − 12/4 2/5 2/7 2/6 2/8 2/6 2/63. นับจํานวนฟังก์ชันที่เป็นไปได้ ... เช่น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B2/20,25 2/21 1/6 2/2 1/1 2/1 2/1814. จัดรูปหา g f, จัดรูปหา f − , การใช้กราฟของฟังก์ชัน2/5 1/2 2/25 2/8 1/1, 2/6,7,8 2/7 2/5 2/8 2/10,13 2/1515. การแก้ฟังก์ชัน (มี g fกับ f − ผสมด้วย)1/7 2/8 2/8 2/6 1/2, 2/4 2/76. หาโดเมนและเรนจ์ของ g f, ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจํานวนเต็ม2/26 2/1 1/5 2/9 2/7 2/6,7 1/1บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น1. คิดค่าสูงสุดต่ําสุด ... อาจเป็นโจทย์ปัญหาสถานการณ์ หรืออาจมีสมการมาให้เลย2/13 2/12 2/12 2/13 1/15 2/15 2/15 1/5 1/4 2/212. บอกค่าสูงสุดหรือต่ําสุดมาให้ แล้วให้ย้อนกลับไปหาค่าคงที่ในสมการจุดประสงค์2/15 2/14 2/14 2/13บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ1. พื้นฐานของตรีโกณมิติ2/7 1/8 1/22. แก้สมการหรืออสมการ, ใช้สูตรผลบวกผลลบ ... อาจปนเรื่องอื่น เช่น อนุกรม, ฟังก์ชัน2/27 2/6 2/6 2/4,9,10 2/9 2/9 2/15 2/83. เกี่ยวกับ arc (ให้หาค่า หรือแก้สมการ)1/3 2/7 2/26 2/8 1/9 1/2 2/9 1/4 1/2 2/94. กฎของ sin, cos (อาจติดมุมผลบวกผลลบ หรือติด arc), การหาระยะทางและความสูง2/9 2/7 2/10 2/9 1/2 2/9 1/3บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม1. การจัดรูปเลขยกกําลัง, ลอการิทึม, และโดเมน เรนจ์2/6 1/3, 2/10,26 2/11 2/5 1/32. แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม2/8 1/4, 2/10 1/2 1/4,12,13 2/13 1/3 1/3 2/10 1/4 1/2 1/13. แก้อสมการ1/1, 2/13 1/2 2/12 2/12 2/12 2/11 2/11 2/14 2/11Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET405ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอบทที่ 9 เมตริกซ์1. การหา det, การแก้สมการเกี่ยวกับ det, สมบัติของ det2/12 2/11 2/12 1/14, 2/3 1/6 2/14 1/4 1/42. ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์, การใช้โคแฟกเตอร์ช่วยหา det1/4 1/3 1/3 1/2 1/3 2/12 2/12 2/2013. คํานวณเกี่ยวกับ adj A และ A −2/11 2/14 2/13,14 2/13 2/13 2/13 1/54. การดําเนินการตามแถว และแก้ระบบสมการ2/11 1/5 2/12,13บทที่ 10 เวกเตอร์1. การเขียนเวกเตอร์ในรูปผลรวมของเวกเตอร์อื่น2/14 2/14 2/4 2/17 2/17 2/15 2/14 2/252. การคูณแบบดอท, การหามุมระหว่างเวกเตอร์1/4 2/14 1/16 2/16 2/17 2/16 2/16 2/14 1/5 1/6 1/53. สูตรของขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ (กฎของ cos)2/13 2/13 2/15 2/16 2/15 1/6 2/54. เวกเตอร์ในสามมิติ และการคูณแบบครอสยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเป็นเนื้อหาในหลักสูตรใหม่บทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน1. การบวกลบคูณหาร, การยกกําลัง (เชิงขั้ว), การจัดรูปสมการ2/9 2/15 2/16 1/17 2/18,19 1/4 2/18,19 2/17 2/16 2/16 1/62. การถอดราก (เชิงขั้ว)2/18 2/15 2/15 2/243. ค่าสัมบูรณ์, สมบัติของค่าสัมบูรณ์1/5 1/18 2/17 1/94. รากคําตอบของสมการพหุนาม2/15 2/16 2/17 2/18 2/16 2/12 2/10บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเป็นเนื้อหาในหลักสูตรใหม่บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม1. ลําดับเลขคณิต, ลําดับเรขาคณิต, สูตรอนุกรม1/20 1/3, 2/20 1/4 2/19 2/11 1/42. สูตรของซิกม่า, อนุกรมที่ไม่ใช่เลขคณิตหรือเรขาคณิต2/27 2/17 2/18 1/21 2/19 2/143. ลิมิตของลําดับอนันต์ใดๆ2/28 1/5 2/17Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET406ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอบทที่ 14 ลิมิตและความต่อเนื่อง1. ลิมิตของฟังก์ชัน1/4 2/20 2/17 2/18 2/162. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน2/15 2/16 2/18 2/26 2/19 2/20 2/18 2/18บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต1. หาอนุพันธ์, ความชันเส้นโค้ง, การประยุกต์ของกฎลูกโซ่2/16 1/6 1/5 2/6 1/19,22 1/7 2/20 2/21 2/21,22 2/3 2/42. ค่าวิกฤต, จุดสูงสุดต่ําสุด, ช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มและลด, โจทย์ปัญหา2/17 2/19 2/21 2/21 2/20 1/6 2/19,203. อินทิกรัลไม่จํากัดเขต2/18 2/19,25 2/20,21 1/23 2/22 2/22 2/22 2/19 2/20 1/74. อินทิกรัลจํากัดเขต2/18 2/23 1/5, 2/23 2/21 2/22 2/21 2/16 (2/5 พื้นที่ใต้กราฟ)5. พื้นที่ใต้กราฟ2/17 2/5 1/6 1/5, 2/23 2/22 2/21 2/23 2/17บทที่ 16 ความน่าจะเป็น1. การนับเบื้องต้น และการเรียงสับเปลี่ยน2/1,19 1/6 2/22,23 2/6 2/24 1/6 2/22 1/32. การจัดหมู่2/20 2/23 2/24 2/23 1/8 1/83. ทฤษฎีบททวินาม2/19 1/5 1/9 1/2, 2/254. ความน่าจะเป็นของการนับเบื้องต้น และการเรียงสับเปลี่ยน1/6 2/21 2/27 1/4, 2/27 1/25 1/6 2/24,25 2/24 2/23 2/21,22 2/205. ความน่าจะเป็นของการจัดหมู่2/20 1/24,26 2/24 2/25 1/7, 2/24 2/23 2/24 2/196. สมบัติของความน่าจะเป็น2/25 1/7บทที่ 17 สถิติ1. ค่ากลางของข้อมูล2/23 2/23 1/8 2/26 (1/8 2/17 2/23 ปนกับควอร์ไทล์) 1/62. ค่าการกระจายของข้อมูล ... มักจะปนกับเรื่องค่ากลางด้วย2/22 2/23 2/28 1/28 2/25 2/26,27 1/7, 2/26 2/25 2/26 2/183. ค่ามาตรฐาน, สมบัติของค่ามาตรฐาน2/26 1/7 2/28 2/26 2/26 2/254. การคํานวณเกี่ยวกับพื้นที่ใต้โค้งปกติ2/242/282/282/242/72/272/282/282/272/272/272/272/225. การประมาณความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน1/5 2/22 1/5 1/27 2/27 2/25 1/7 1/8 2/19Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET407ขอสอบเขาฯ แยกตามหัวขอตารางสรุป แยกตามฉบับและบทเรียนหมายเหตุ : สําหรับข้อที่รวมเนื้อหาหลายบทเรียนด้วยกัน จะจัดไว้ในบทเรียนที่เป็นประเด็นหลักของข้อนั้นๆฉบับ เรื่องต.ค.41เซต 1/1จํานวนจริงตรรกศาสตร์เรขาคณิตวิเคราะห์ความสัมพันธ์+ฟังก์ชันกําหนดการเชิงเส้นตรีโกณมิติเอกซ์โพ+ลอการิทึมมี.ค.422/212/22/102/14 1/2 2/12/32/41/22/72/52/202/252/26ต.ค.42มี.ค.431/12/25 -- 1/1 1/12/22/32/82/92/42/52/22/3 2/2 1/22/22/42/51/12/81/22/12/21เนื้อหาที่ยังไม่เคยมีในข้อสอบ เนื่องจากเพิ่งเพิ่มในหลักสูตรใหม่ คือการให้เหตุผลแบบอุปนัย/นิรนัย, เวกเตอร์ใน 3 มิติ, ทฤษฎีกราฟ ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค. ต.ค. มี.ค.43 44 44 45 45 46 46 47 47 482/1 2/1 2/1 2/1 2/1 2/4 1/1 2/1 1/10 2/12/32/42/22/31/12/22/32/4 1/3 2/52/6 2/5 2/32/42/22/32/42/51/12/52/22/32/92/10 1/10 1/11 2/12 2/11 2/12 2/11 2/10 2/11 2/10 2/11 2/10 2/112/2 1/1 1/1 2/12/12/52/251/51/61/72/72/82/92/62/72/82/62/72/82/62/72/82/62/72/81/32/12/22/32/72/81/22/42/52/62/22/32/42/51/32/101/12/62/72/81/72/12/22/62/82/91/12/42/71/102/32/242/62/71/71/82/22/102/13 2/182/152/13 2/12 2/12 2/13 1/15 2/15 2/15 2/15 2/14 1/5 2/14 2/13 1/4 2/211/32/27 2/6 2/72/62/81/32/102/26เมตริกซ์ 2/112/12 2/111/4เวกเตอร์ 1/4 2/13จํานวนเชิงซ้อนลําดับ+อนุกรมลิมิต+ความต่อเนื่องอนุพันธ์+อินทิเกรตความน่าจะเป็นสถิติเลขดัชนี--ยกเลิก--2/62/7,92/261/42/102/72/81/22/111/32/112/14 2/14 2/13 2/141/81/91/41/121/131/32/12 1/14 2/32/15 1/162/42/10 2/92/101/1 1/22/13 2/131/21/62/142/4 2/16 2/17 2/161/22/91/32/52/121/22/91/32/121/22/91/42/91/32/12 2/10 2/111/22/91/42/112/9 1/52/15 2/15 2/16 2/16 2/17 1/17 1/18 2/18 2/19 1/4 2/18 2/18 2/19 2/17 2/18 2/15 2/16 2/16 2/17 2/152/28 2/27 2/17 2/18 1/20 1/211/32/15 2/8 2/91/22/141/12/111/32/14 2/14 2/13 2/13 1/4 2/13 1/4 2/12 2/13 2/12 1/5 2/20 1/5 2/12 2/132/17 2/16 2/17 2/16 2/15 2/14 1/6 2/15 1/5 2/14 1/6 2/25 2/5 1/52/16 2/121/6 1/92/24 2/101/32/20 1/5 1/4 2/19 -- 2/19 2/17 2/11 1/42/142/15 2/16 2/18 2/26 -- 1/4 2/19 2/20 2/20 2/17 2/182/162/172/181/62/12/191/52/232/241/62/172/182/192/202/212/222/232/281/52/192/251/62/202/272/222/232/282/62/192/202/211/42/222/232/271/52/242/281/191/221/232/51/241/251/262/61/271/282/71/72/212/222/231/52/242/251/82/262/271/62/202/212/221/72/232/242/252/262/272/281/52/212/222/231/62/242/251/72/262/272/281/52/212/222/231/62/242/251/72/262/272/282/192/202/212/221/72/232/241/82/252/262/272/18 2/18 -- 2/161/62/202/212/221/82/232/241/72/252/262/271/72/192/202/212/222/232/241/82/252/262/272/32/162/231/81/92/212/222/172/182/192/22 2/24 2/24 1/6 2/8 2/28 1/8 1/8 1/8 2/28 2/28 2/28 -- --2/42/52/171/21/32/192/202/251/62/222/23Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET408ขอสอบเขาฯ ต.ค.41¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ µ.¤.41 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. ถ้า A = { ∅ ,0,1,{0},{0,1}} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของ Aแล้ว เซต P(A) − A มีสมาชิกกี่ตัว2. ถ้า L 1 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด ( − 2,0) และ ( − 1,2) และ L 2 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกําเนิดและตั้งฉากกับ L 1 แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง L 1 และเส้นตรง L 2เท่ากับกี่ตารางหน่วย3.1sec (2 arcsin )3 มีค่าเท่ากับเท่าใด4. ให้ u = ai + bj โดย a > 0 ถ้า u ตั้งฉากกับเวกเตอร์ − i + 2j แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์ u กับเวกเตอร์ 3i − j (มุมแหลม) มีขนาดกี่องศา5. กําหนดให้ ความสัมพันธ์ระหว่างรายได้ ( x ) และรายจ่าย ( y ) ต่อเดือนของครอบครัวที่อาศัยในอําเภอหนึ่งมีสมการเป็น y = 200 + 0.85x ครอบครัวสองครอบครัวในอําเภอนี้ซึ่งมีรายได้ต่างกัน1,000 บาท จะมีรายจ่ายโดยประมาณต่างกันเท่าใด6. ชาย 3 คน และหญิง 3 คน เข้าคิวในแถวเดียวกันเพื่อซื้อตั๋วภาพยนตร์ ความน่าจะเป็นที่หญิงทั้ง3 คน จะยืนเรียงติดกันทั้งหมดในแถวมีค่าเท่ากับเท่าใดตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. จํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 210 ลงตัว มีจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 14 2. 15 3. 16 4. 172. กําหนดให้ A และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการตามลําดับ เซตในข้อใดเป็นสับเซตของ B− A23−xx + 21. { − 1.6, 1.6}2. { − 1.7, 1.7}3. { − 1.8, 1.8}4. { − 1.8, 1.7}> และ202− x < 23. ประพจน์ ~p →(q →(r ∨ p)) สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้1. (~ p) ∨ q ∨ r2. p ∨(~q) ∨ r3. p ∨ q ∨ (~r)4. p ∨(~q) ∨ (~r)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET409ขอสอบเขาฯ ต.ค.414. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ เมื่อ p, q และ r เป็นประพจน์ก. เหตุ 1) p ∨(p ∧ ~q) ข. เหตุ 1) ~p→r2) p → q2) ~r∨sผล q 3) ~sผลpข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก สมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล ข ไม่สมเหตุสมผล3. ก ไม่สมเหตุสมผล ข สมเหตุสมผล 4. ก ไม่สมเหตุสมผล ข ไม่สมเหตุสมผล5. กําหนดให้ S = {x | x เป็นจํานวนเต็ม และ x < 5}และf(x) =3 2 2x − x − 4x + a4x + bx + 4โดยที่ a ∈ S, b ∈ Sจํานวนคู่ลําดับ (a, b) ∈ S × S ทั้งหมดที่ทําให้ f(1) 01. 15 2. 18 3. 20 4. 22= เท่ากับข้อใดต่อไปนี้26. กําหนดให้ f = { (x, y) | y = log (x + 1) + log (x + 2) − log (4 − x ) }x 1และ g = {(x,y)| y = 2 − และ x > 0}ถ้า D fแล้ว D f= โดเมนของ f และ R g = เรนจ์ของ g∩ R เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้g1. [0, 1.5) 2. [0.5, 2.5) 3. [1, 3) 4. [1.5, 4)7. สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดเป็น (0, − 1) และผ่านโฟกัสทั้งสองของวงรี2 23x + 4y − 16y + 4 = 0 ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้1.2( ,1)32.3( ,1)23. 1 ( ,1)24. 1 ( ,1)3228. เซตคําตอบของสมการ log (x − x − 4) = log (0.01) เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้1. − [ −2,2]2 0.1R 2. R − [ −1,3]3. [ 4,2]− 4. [ − 3,3]159. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง (1 + i)(z + 1) = − 1 แล้ว ส่วนจริงของจํานวนเชิงซ้อน z(z−z)เท่ากับข้อใด1.3.3− 2. 3 221− 4. 1 226 310. กําหนด p(x) = x + ax − x + b โดยที่ a และ b เป็นจํานวนจริง ถ้า x − 1 หาร p(x)เหลือเศษ − 1 และ x + 1 หาร p(x) เหลือเศษ 1 แล้ว x หาร p(x) จะเหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 12. 0 3. 1 4. 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET410ขอสอบเขาฯ ต.ค.41⎡1 −1⎤A = ⎢ 2 1 ⎥11. กําหนดให้ ถ้า ⎣ ⎦ B เป็นเมตริกซ์ที่ 1B = 2A − แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นค่าของ det (3 adj B)1. 6 2. 9 3. 12 4. 1812. ในการสร้างเมตริกซ์ในรูปแบบ{ 2, 1,0,1,2}1. 2252⎡x − 1 y ⎤⎢0 2+x⎥⎣⎦แบบสุ่ม โดย x และ y เป็นสมาชิกของเซต− − ความน่าจะเป็นที่จะได้เมตริกซ์เอกฐาน มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้2. 3253. 2 54. 3 513. บริษัทผลิตโทรศัพท์แห่งหนึ่ง ได้ผลิตโทรศัพท์รุ่นใหม่ออกมา 2 รุ่น คือรุ่น P 1 และ P 2 โดยที่รุ่นP 1 จะขายได้กําไรเครื่องละ 1,000 บาท และรุ่น P 2 จะขายได้กําไรเครื่องละ 500 บาท ในแต่ละวันบริษัทตั้งใจจะผลิตโทรศัพท์รุ่น P 1 ไม่น้อยกว่า 80 เครื่อง และรุ่น P 2 ระหว่าง 50 ถึง 100เครื่อง ถ้าบริษัทมีความสามารถในการผลิตโทรศัพท์ทั้ง 2 รุ่นรวมกันในแต่ละวันไม่เกิน 150 เครื่องแล้วบริษัทจะได้กําไรสูงสุดจากการผลิตโทรศัพท์ทั้ง 2 รุ่น เป็นจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 105,000 บาท 2. 115,000 บาท 3. 125,000 บาท 4. 130,000 บาท14. จํานวนสมาชิกในเซต {100, 101, 102, ..., 600} ซึ่งหารด้วย 8 หรือ 12 ลงตัวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 84 2. 92 3. 100 4. 12515. กําหนดให้⎧ 1⎪,0< x 1x − 1lim f (x) lim f (x)= ข. f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = 1ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด16. กําหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ F(x) =3(f(x)) + 15 ถ้า F(1) = f ′(1) = 4 แล้วF(1) ′ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 22. 3 23. 8 4. 24Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET411ขอสอบเขาฯ ต.ค.4117. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y =2x − 3x + 2 จาก x = 0 ถึง x = 2 เฉพาะส่วนที่อยู่เหนือแกน x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3 ตารางหน่วย 2 2. 1 ตารางหน่วย63. 2 3 ตารางหน่วย 4. 5 6 ตารางหน่วย18. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f(2) = −, 1 f(1) ′ = − 3, และ f(x) ′′ = 3 ทุกค่า x แล้ว f(0) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 5 2. 6 3. 12 4. 1519. ถ้าจัดนักเรียน 6 คน ซึ่งมีเมตตาและปรานีรวมอยู่ด้วยให้เรียงแถวเป็น 2 แบบ แบบที่หนึ่งนักเรียนทั้งหมดยืนเป็นแถวตรงโดยที่เมตตาและปรานียืนติดกัน และแบบที่สองนักเรียนทั้งหมดยืนเป็นวงกลมโดยที่เมตตาและปรานียืนตรงกันข้าม แล้วจํานวนวิธีของการจัดแต่ละแบบแตกต่างกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 96 2. 120 3. 196 4. 21620. ให้ A = {1,2,3} และ B = {a,b,c,d} แล้วจํานวนสมาชิกของเซต {f : A > B|f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1− 1} เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 40 2. 34 3. 30 4. 2421. จากการสํารวจแม่บ้านที่ดูละครโทรทัศน์จํานวน 200 คน ปรากฏว่ามี65 คน ดูละครเรื่องที่ 1 90 คน ดูละครเรื่องที่ 245 คน ดูละครเรื่องที่ 2 เรื่องเดียว 35 คน ดูละครเรื่องที่ 3 เรื่องเดียว15 คน ดูละครเรื่องที่ 1 และเรื่องที่ 3 35 คน ดูละครเรื่องที่ 2 และเรื่องที่ 3และมี 30 คน ที่ไม่ได้ดูละครทั้ง 3 เรื่องนี้ถ้าสุ่มเลือกแม่บ้านจากกลุ่มนี้มา 1 คน แล้วข้อใดต่อไปนี้ผิด1. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครทั้ง 3 เรื่องนี้ เท่ากับ 0.052. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครอย่างน้อยหนึ่งเรื่อง เท่ากับ 0.853. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครเรื่องที่ 1 เรื่องเดียว เท่ากับ 0.24. ความน่าจะเป็นที่จะได้ผู้ที่ดูละครเรื่องที่ 3 เท่ากับ 0.4522. ถ้าในปี 2538 นายเสริมได้รับเงินเดือน เดือนละ 16,000 บาท และในปี 2541 นายเสริมได้รับเงินเดือนใหม่เป็น 24,000 บาท โดยที่ดัชนีราคาผู้บริโภคของปี 2541 เทียบกับปี 2538 มีค่าเท่ากับ125 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้านายเสริมได้รับการปรับเงินเดือนขึ้นตามดัชนีราคาผู้บริโภค แล้วนายเสริมควรได้รับเงินเดือนใหม่เท่ากับ 25,000 บาทข. รายได้ที่แท้จริงของนายเสริมในปี 2541 เมื่อเทียบกับปี 2538 เท่ากับ 19,200 บาทข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET412ขอสอบเขาฯ ต.ค.4123. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากน้อยไปมากได้เป็น 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานของคะแนนชุดนี้เป็น 30 และ 40 ตามลําดับแล้วข้อมูลชุดต่อไปนี้คือ 11, 22, 33, 34, a+5, b+6, 67, 68, 99, 130 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.524. ถ้าน้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยมีการแจกแจงปกติ โดยในปี 2533 มีน้ําหนักเฉลี่ย 2,500 กรัมและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 250 กรัม และในปี 2540 มีน้ําหนักเฉลี่ย 3,240 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 200 กรัม น้ําหนักแรกเกิดของเด็กไทยที่อยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 97.73ในปี 2533 จะอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ตามข้อใดต่อไปนี้ในปี 2540กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติดังนี้z 1.0 1.2 2.0 2.2A 0.3413 0.3849 0.4773 0.48611. 11.51 2. 38.49 3. 48.61 4. 61.51ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน25. ถ้า A = {1,2,3,4,5,6} และ B = {1,2,3} แล้วจํานวนฟังก์ชัน f:A> B ทั้งหมดซึ่ง f(1) ≠ 1 หรือ f(2) ≠ 2 หรือ f(3) ≠ 3เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 530 2. 612 3. 702 4. 81426. ให้ I เป็นเซตของจํานวนเต็ม ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งกําหนดโดย f(x) = 2x และg(x) = x − 1 ทุก x ∈ I แล้ว เรนจ์ของ (f g) + f คือเซตในข้อใดต่อไปนี้xx1. {x ∈ I | เป็นจํานวนเต็มคี่ } 2. {x ∈ I | เป็นจํานวนเต็มคู่ }223. เซตของจํานวนเต็มคี่ทั้งหมด 4. เซตของจํานวนเต็มคู่ทั้งหมด27. ให้ S = ( − π , π 2 4 6) และ F(x) = sin x + sin x + sin x + ... โดย x ∈ S2 2ถ้า a เป็นสมาชิกของเซต S ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ F(a) < 1 แล้ว F(a) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0 2. 1 3. 1 4. 1428 628. ให้ f(x) = x − x และ f′ คืออนุพันธ์ของ fถ้า {a n} เป็นลําดับซึ่งมี lim a n = 1 แล้ว lim (f f ′)(a n)มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้n →∞n →∞1. 68 2. 92 3. 150 4. 192Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET413เฉลยคําตอบขอสอบเขาฯ ต.ค.41ตอนที่ 1 (1) 29 (2) 0.8 (3) 3 (4) 45 (5) 850 (6) 0.2ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 3 (3) 2 (4) 1 (5) 3 (6) 2 (7) 1 (8) 4 (9) 4(10) 1 (11) 3 (12) 4 (13) 3 (14) 1 (15) 2 (16) 2 (17) 4 (18) 1 (19)4 (20) 1 (21) 4 (22) 3 (23) 2 (24) 1ตอนที่ 3 (25) 3 (26) 1 (27) 4 (28) 4ตอนที่ 1(1) P(A) มีสมาชิก 2 5 = 32 ตัว,A มีสมาชิก 5 ตัวแต่สมาชิกของ A ที่อยู่ใน P(A) นั้นมี 3 ตัวคือ φ , {0}, {0,1}n[ P(A) A]32 3 29∴ − = − = ตัว ตอบ2 − 0 1= = → ∴ = −(1) − − (2) −21L คือ y x2(2) m L1 2 m L2เฉลยวิธีคิด(4) หามุมระหว่าง − i + 2j กับ 3i − j ก่อนเลยโดยการดอทกัน2 2 2 2(− 1)(3) + (2)( − 1) = ( − 1) + 2 3 + ( −1) cos θ ดอทด้วยตัวเลขดอทด้วยขนาดและมุม1→ cos θ = − ∴ θ= 135°2และเนื่องจาก u ทํามุม 90° กับ − i + 2j− i + 2j∴ มุมแหลมระหว่าง uแสดงว่าสมการ 2 =− (ผ่านจุด O)u กับ 3i − j คือ 45°45° 3i − j(-8/5,4/5)ตอบ-2 O(5) y = 200 + 0.85x ดังนั้น Δ y = 0.85 Δ xL 1L 2 ถ้า Δ x = 1,000 จะได้ Δ y = 850 บาท ตอบสมการ L 1 คือ y = 2(x + 2) = 2x + 4(6) วิธีทั้งหมด คือ 6!8 4วิธีที่ต้องการคิด (ญ ติดกันหมด) คือ 4! 3!หาจุดตัดของสองเส้นตรงได้ ( − , )5 5ช ช ช ญญญ1 4พื้นที่ Δ= × ( ) × (2) = 0.8 ตร.หน่วย ตอบ(รวมผู้หญิงไว้ด้วยกัน สลับรวมกับผู้ชายภายนอกได้2 54! และสลับภายในกลุ่มผู้หญิงกันเอง 3!)1(3) หา cos(2 arcsin ) ก่อน4!3!ดังนั้น ความน่าจะเป็น = = 0.2 ตอบ3 6!1ให้ arcsin A3 = จะได้ ตอนที่ 21 1 1 1(1) 210 = 2 × 3 × 5 × 722 ⎛ 1 ⎞ 1cos(2A) = 1 − 2 sin A = 1 − 2 ⎜ ⎟ = ดังนั้น จํานวนเต็มบวกที่หารลงตัว⎝ 3 ⎠ 3 มีอยู่ 2 × 2 × 2 × 2 = 16 จํานวน ตอบ∴ 1 1sec(2 arcsin ) 33= cos(2A)=(หมายเหตุ วิธีคิดจากเนื้อหาเรื่องความน่าจะเป็น คือแยกตัวประกอบให้เป็นจํานวนเฉพาะ แล้วนําเลขชี้กําลังแต่ละตัวมาบวกหนึ่งแล้วคูณกันทั้งหมด)x(2) A; 2 − 3 (x − 3)(x + 3)< 0 →< 0x + 2 x + 2เขียนเส้นจํานวนได้ A = ( −∞, −2) ∪ [ − 3, 3]2B; x 2 − 2 < 2 →− 2 < x − 2 < 22< < <

คณิตศาสตร O-NET / A-NET414ขอสอบเขาฯ ต.ค.41(3) ~p →(q →(r ∨ p)) ≡ p ∨(~q ∨(r ∨ p))≡ p ∨(~ q) ∨ r ตอบ(4) ก. ใช้วิธีตรวจสอบสัจนิรันดร์ ถ้าเหตุเป็นจริงทุกข้อและผลเป็นเท็จได้ จะไม่สมเหตุสมผล... จากผล q บังคับให้เป็นเท็จ นําไปคิดที่เหตุ 2บังคับให้เหตุเป็นจริง จะได้ว่า p ต้องเป็นเท็จด้วย แต่เมื่อนําค่าความจริงของ p กับ q ไปคิดที่เหตุ 1 พบว่าเป็นเท็จเสมอ ดังนั้นเราไม่สามารถทําเหตุเป็นจริงทุกข้อและผลเป็นเท็จได้ ข้อนี้จึงสมเหตุสมผลข. จากเหตุ 1 คือ ~p→ r รวมกับเหตุ 2 คือ~r∨ s ≡ r→ s จะได้ผลเป็น ~p sกับเหตุ 3 คือ ~s ได้ผลสรุปเป็น p ตรงกับที่ให้มาในโจทย์ ดังนั้นข้อนี้สมเหตุสมผล ตอบ ข้อ 1.(5) S = { −5, −4, −3, −2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}ถ้า2 2→ นําไปรวม1 − 1 − 4 + a a − 4f(1) = 0 → = = 01 + b + 4 b + 5a เป็น 2 หรือ -2 และ b ห้ามเป็น -5จํานวนวิธีเลือก a กับ b เป็น 2 กับ 10 ตามลําดับจึงตอบ 2 × 10 = 20 ตอบ(6) D f ; x + 1 > 0 และ x + 2 > 02และ 4 − x > 0 (โดเมนของฟังก์ชัน log)แสดงว่า x >− 1 และ x >− 2 และ − 2 < x < 2อินเตอร์เซคกันได้เป็น D f = ( − 1,2)R g ; จาก x 0 − > −> จะได้ x 1 1ทําให้ x −2 1 −> 2 1 → y > 1/2จึงได้ว่า R g = [0.5, ∞ )สรุป D f R g [0.5,2)∩ = ตอบ ข้อ 2.2 2(7) จัดรูปวงรีก่อน 3x + 4 (y − 4y + 4) = − 4 + 162 22 2 x (y−2)→ 3x + 4 (y − 2) = 12 → + = 14 3จุดศูนย์กลาง (0,2) รีตามแกน x และมีระยะโฟกัสc = 4 − 3 = 1ดังนั้น จุดโฟกัสได้แก่ (1,2) และ (-1,2)ต่อมาคิดพาราโบลาจากรูปพบว่าเป็นพาราโบลาหงาย2ตามสมการ y − k = 4c(x − h)2→ y + 1 = 4cxหาค่า c โดยแทนจุดที่ผ่านคือ (1,2) ลงไป ได้ 4c = 3(-1,2) (1,2)V(0,-1)2 2สมการพาราโบลาเป็น y + 1 = 3x → y = 3x − 1ตอบ ข้อ 1.2 2 2(8) 2 0.1log (x − x − 4) = log (0.1) = 22 2 2→ (x − x − 4) = 2 = 42x − x − 4 = 2 หรือ − 2นั่นคือ x 2 − x − 6 = 0 หรือ x 2 − x − 2 = 0แยกตัวประกอบ ได้เป็น (x − 3)(x + 2) = 0 หรือ(x − 2)(x + 1) = 0ดังนั้น x =−1, − 2,2,3 ตอบ ข้อ 4.1 1(9) (z + 1) = − → z + 1 = −1 + i 1 − i1 1 + i 3 i→ z = − − 1 = − − 1 = − −1 − i 2 2 215 3 i 15จะได้ว่า z(z− z) =⎛ ⎞⎜−− ⎟( −i)⎝ 2 2⎠3 i 3i 1= ⎛ ⎜− − ⎞ ⎟(i)=⎛ ⎜− +⎞ ⎟⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠(10) x − 1 หาร p(x) เหลือเศษ − 1ตอบ 1 2→ p(1) = −1 → 1 + a − 1 + b = − 1 .....(1)x + 1 หาร p(x) เหลือเศษ 1→ p( − 1) = 1 → 1 − a + 1 + b = 1 .....(2)แก้ระบบสมการได้ a = 0, b =− 1ดังนั้น p(0) b 1= =− ตอบ−1(11) หา adj B ก่อน โดย adj B = adj(2A )และข้อนี้ det (A) = 3จาก−1−1 −1 −1adj A adj(2A )= A → = (2A )−1A2A−1adj(2A )→ =22 / 31 A2−1 2ดังนั้น = =adj B adj(2A ) A32โจทย์ถาม det (3 adj B) = det (2A) = 2 (3)= 12 ตอบ2(12) det = 0 → (x − 1)(2 + x) = 0→ x = 1 หรือ − 1 หรือ − 2ดังนั้น เลือก x ได้ 3 วิธี และ y เป็นอะไรก็ได้ (53 × 5 3วิธี) ความน่าจะเป็น = = ตอบ5 × 5 5(13) กําไร = 1,000x + 500yเมื่อผลิต P 1 x เครื่องและ P 2 y เครื่องเงื่อนไขได้แก่ x > 80,50 < y < 100,x + y < 150100 (80,70)50 (100,50)(80,50)O 80จากกราฟพบว่า (80, 70) → กําไร 115,000 บาท(100, 50) → กําไร 125,000 บาท (สูงสุด) ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET415ขอสอบเขาฯ ต.ค.41(14)ABหาร8ลงตัว หาร12ลงตัวภายใน A มี 104, 112, 120, ..., 600คือเริ่มจาก 8x13 ถึง 8x75 รวม 63 ตัวภายใน B มี 108, 120, 132, ..., 600คือเริ่มจาก 12x9 ถึง 12x50 รวม 42 ตัวและภายใน A ∩ B (คือหาร ค.ร.น.=24 ลงตัว)มี 120, 144, ..., 600เริ่มจาก 24x5 ถึง 24x25 รวม 21 ตัวตอบ n(A ∪ B) = 63 + 42 − 21 = 841 1(15)= =และlim f (x) lim 3x + 1 4−−x→1 x→1lim f (x) = lim+ +x→1 x→12 − 5 − xx − 1⎛2 − 5 − x ⎞ ⎛2 + 5 − x ⎞= lim+x→1 ⎜ x − 1 ⎟ ⎜2 + 5 − x ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ 4 − 5 + x ⎞1= lim ⎜limx→1 + (2 5 x)(x 1)⎟ =⎝ + − − ⎠x→1+ (2+ 5−x)1 1= =2 + 2 4ดังนั้น ก. ถูกแต่ f(1) 1 = ไม่เท่ากับ 1 4ดังนั้น ข. ผิด ตอบ1F(x) ′ = ((f(x)) + 15) ⋅3(f(x)) ⋅ f ′(x)23 −1/2 2(16)แทนค่า x ด้วย 1 จะได้1 3 −1/2 2F(1) ′ = ((f(1)) + 15) ⋅3(f(1)) ⋅ f ′(1)23หาค่า f(1) จาก F(x) = (f(x)) + 153F(1) = (f(1)) + 15 = 4 ดังนั้น f(1) = 11 3F(1) ′ = (1 + 15) ⋅3(1) ⋅ 4 = ตอบ2 2−1/2 2แทนค่า(17) หาจุดตัดแกน x ได้เป็น x = 1, 2วาดกราฟคร่าวๆ ได้ดังนี้พื้นที่เหนือแกน x เท่ากับ10∫2(x − 3x + 2) dx3 2⎡x3x ⎤= ⎢ − + 2x⎥⎣ 3 2 ⎦1 3 523 2 6= − + = ตารางหน่วย ตอบ100 1 2(18) f(x) ′′ = 3 → f(x) ′ = 3x + C1แต่ ′1′f(1) = −3 ∴ C = −6 → f(x) = 3x − 623x→ f(x) = − 6x + C22= − ∴ = → = ตอบแต่ f(2) 1 C25 f(0) 5(19) จัดแถวตรงได้ 5!2! = 240 วิธี(5! คือสลับภายนอกและ 2! คือสลับภายในกันเอง)จัดวงกลมได้ 4! = 24 วิธี(สองคนวางตรงข้ามกันตรงไหนก็ได้จัดเฉพาะคนอื่นที่เหลือเป็นเส้นตรง)ดังนั้น ต่างกัน 216 วิธี ตอบ(20) วิธีทั้งหมด - วิธีที่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง= (4× 4× 4) − (4× 3× 2) = 40 วิธี ตอบ(21)“1”H30AA + B + C + D = 65BC DGFE“3”“2”แต่ C + D = 15 ดังนั้น A + B = 50453535และจะได้ว่า200 − H = (A + B) + E + (D + F) + G + C200 − 30 = 170 = 50 + 45 + 35 + 35 + Cจะได้ C = 5∴ D = 10 → F = 25หา B จาก 90 − 35 − 45 = 10 → A = 401. ดูทั้งสามเรื่อง 10 0.05200 = ถูก2. ดูอย่างน้อยหนึ่งเรื่อง 170 0.85200 = ถูก3. ดูเรื่องที่หนึ่งเท่านั้น 40 0.2200 = ถูก4. ดูเรื่องที่สาม 5 + 35 + 35 = 0.375 ผิด ตอบ(22) ก.20016,00012510020,000100× = บาทข. 24,000 × = 19,200 บาท125ตอบ ก. ผิด ข. ถูกMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET416ขอสอบเขาฯ ต.ค.41(23) 10, 20, 30, 30, a, b, 60, 60, 90, 120ฐานนิยม = 30 แสดงว่า a = 30(เพราะมี 60 อยู่สองตัว ดังนั้น 30 ต้องมีมากกว่าสองตัว)a+bมัธยฐาน = 40 = ดังนั้น b = 50211 + 22 + 33 + 34 + ... + 120 500 + 55X = =10 10= 55.5 ตอบ(24) ปี 2533; P 97.73 A 0.4773→ = ทางขวาx − 2500z = 2.0 = ดังนั้น x = 3000 กรัม2503000 − 3240ปี 2540; x = 3000 → z = = − 1.2200→ A = 0.3849 ทางซ้ายจะได้ P 50 38.49 P 11.51− = ตอบ(25) ใช้วิธีลบออกด้วยนิเสธ คือ จํานวนวิธีทั้งหมดลบด้วยวิธีที่ “f(1)=1 และ f(2)=2 และ f(3)=3”= (3× 3× 3× 3× 3× 3) − (1× 1× 1× 3× 3×3)= 702 วิธี ตอบตอนที่ 3(26) (fog)(x) + f(x) = 2(x − 1) + 2x = 4x − 2โดย x ∈ Iดังนั้น R fog f { 2, 6, 10, 14, ...}+ = ± ± ± ± ตอบ ข้อ 1.(27)2 4 6F(a) < 1 → sin a + sin a + sin a + ... < 12 2 2sin a sin a − 1 + sin a< 1 →< 02 21 − sin a 1 − sin a22sin a − 1→> 02sin a − 1แยกตัวประกอบแล้วเขียนเส้นจํานวน ได้เป็น1 1sin a ∈ ( −∞, −1) ∪ [ − , ] ∪ (1, ∞ )2 21 1แต่เงื่อนไขของ sin จึงได้ sin a [ , ]2 2หาก a ( , )2 2∈ − เท่านั้น∈ − π π ค่า a ที่น้อยที่สุดคือ2π sin ( −π/ 4)24 1 − sin ( −π/ 4)1 ตอบ∴ F(a) = F( − ) =1/2= =1 − 1/2π− =47 5(28) ′ = −lim (fof )(a ) lim f(8a 6a )n n nn→∞n→∞7 5 8 7 5 6lim [(8a n 6a n) (8a n 6a n) ]n →∞= − − −ซึ่งเราทราบว่า nn →∞18 6ตอบ (8 −6) −(8 − 6) = 192a= ดังนั้น− π4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET417ขอสอบเขาฯ มี.ค.42¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ ÁÕ.¤.42 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. ถ้า A = {1, 2, 3, 4, ...}และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...}แล้ว (A −B) ∪(B − A) มีสมาชิกกี่ตัว32. ถ้า A = {p | pเป็นจํานวนเฉพาะบวก และ −แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A มีค่าเท่าใด3. 101 110 100− + มีค่าเท่าใดlog 28 log 325 log 91p|(980 p) }⎡ x y 0⎤A = [a ] = ⎢ 1 2 0⎥⎢ ⎥⎢⎣−1 −x 1⎥⎦แล้ว det (A I)4. ถ้า ij 3×3+ เท่ากับเท่าใด(เมื่อ I เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 3 3, det A = 1 และโคแฟกเตอร์ของ a 21 = 3× )65. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง (7 − 24 i)(3 + 4 i) z = 1 แล้ว zz มีค่าเท่าใด6. ให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และ f(3) = − 2, f(3) ′ = 5f(x)ถ้า g(x) = แล้ว g(3) ′ มีค่าเท่าใด2x + 1ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. ให้ S เป็นเซตของจํานวนจริง m ทั้งหมดที่ทําให้เส้นตรง y = mx ตัดกับวงกลม 2 2ขอบเขตบนค่าน้อยที่สุดของ S คือจํานวนในข้อใดต่อไปนี้x + y − 10x + 16=01. 1 22. 2 33. 3 44. 4 52. กําหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ประพจน์ ~[(p ∧ q) →(~q∨ r)] สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้1. p ∧~(q→ r)2. ~q ∨(~p∧r)3. ~(p ∧ q) ∧(q ∧ r)4. ~(p ∧ q) →(q ∧ ~r)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET418ขอสอบเขาฯ มี.ค.423. พิจารณาการให้เหตุผลต่อไปนี้ก. เหตุ 1) p →(q→ r) ข. เหตุ 1) p →(q → ~s)2) p 2) p ∧ s3) ~r→ qผล qผล r → tข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล4. กําหนดให้ r เป็นความสัมพันธ์ในเซตของจํานวนจริง21−xโดยที่ r = {(x,y)| y = } ข้อใดต่อไปนี้ถูก21+x1. D r = [ − 1,1], Dr−1 = [ − 1,1]2. rr−13. D = [0,1], D −1= [ − 1,1]4. −1rrD = [ − 1,1], D = [0,1]D = [0,1], D = [0,1]5. กําหนดให้ f(x) = x และ A−12= {x ∈ R | f (x) + [f(x)] = 2}พิจารณาค่าความจริงของข้อความต่อไปนี้2ก. ∃x∈A[ x − x − 6= 0]ข.2ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. จริง ข. จริง 2. ก. จริง ข. เท็จ3. ก. เท็จ ข. จริง 4. ก. เท็จ ข. เท็จr∀x∈ A[ x + 2x − 3=0]r2 46. ถ้า 1 + cos θ + cos θ + ... = a โดยที่ a เป็นจํานวนจริงแล้ว cos ( ππ−2 θ) sin( −2 θ)มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.2⎛a − 2⎞− ⎜ ⎟⎝ a ⎠22.2⎛a − 2⎞⎜ ⎟⎝ a ⎠3.2⎛ a ⎞− ⎜a + 2⎟⎝ ⎠4.2⎛ a ⎞⎜a + 2⎟⎝ ⎠27. ให้ A เป็นเซตคําตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin (arccos x)ข้อใดต่อไปนี้คือผลคูณของสมาชิกในเซต A1.14− 2.1− 3. 1 244. 1 22 28. ถ้าไฮเพอร์โบลา H มีสมการเป็น 16x −64x −9y − 80 = 0 แล้ววงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัสทั้งสองของ H และมีแกนโทคือแกนสังยุคของ H มีสมการเป็นข้อใดต่อไปนี้1.2 216x 64x 25y 464 016x − 64x + 25y − 336 = 0− + − = 2.2 23.2 225x 100x 16y 464 025x − 100x + 16y − 336 = 0− + − = 4.2 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET419ขอสอบเขาฯ มี.ค.429. วงรีวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ (3, 1) จุดโฟกัสจุดหนึ่งที่ (5, 1) และสัมผัสแกน y ที่จุด (0, 1)สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ ( − 2,1) และมีรัศมีเท่ากับความยาวแกนโทของวงรี คือข้อใดต่อไปนี้2 21. x + y + 4x − 2y = 02. x 2 + y 2 + 4x −2y − 1=02 22 23. x + y + 4x −2y − 4 = 04. x + y + 4x −2y − 15=010. ถ้า x, y สอดคล้องกับระบบสมการlog 3x log 2y9 + 4 = 16log x − log y = 2 − log 23 1332 2แล้ว x − y มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 5+ 7 2. 5− 7 3. 5 7 4. 10 711. ถ้า x 1 สอดคล้องระบบสมการx1 + 2x2 + x3= 03x1 + x2 − 2x3= 52x1 − 3x2 − 3x3= 9⎡x+ y 2x ⎤A = ⎢ 3 y ⎥⎣ ⎦และ1 1แล้วผลบวกของ y ทั้งหมดที่ทําให้ A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0 2. − 1 3. − 2 4. − 312. กําหนดสมการจุดประสงค์ P = 7x + 5y และอสมการข้อจํากัดคือ2x + y > 40 , 2x + 3y < 60 , 0 < x < 24, y > 0ถ้า (a, b) เป็นจุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจํากัด และให้ค่า P น้อยที่สุดแล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 20 2. 24 3. 25 4. 2813. ให้ u + v = 5 2 และ u − v = 26 แล้ว u⋅ vเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3 2. 6 3. 8 4. 1214. กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ และ E เป็นจุดที่ทําให้ ˜CE = 2˜BAถ้า ˜ ˜ ˜BE = a CB + b CA เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว แล้ว b − a คือค่าในข้อใดต่อไปนี้1. − 12. 2 3. 3 4. 515. ให้ P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ3x เป็น 1 ถ้า x − 2 หาร P(x) เหลือเศษ 5 และ (1+ 3 i) เป็นรากหนึ่งของ P(x) แล้วรากที่เป็นจํานวนจริงของ P(x) คือค่าในข้อใดต่อไปนี้1. 3 2. 4 3. 5 4. 4 4345Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET420ขอสอบเขาฯ มี.ค.4216. กําหนดให้⎧ -3/2 , x < −1⎪ 22x + x − 1⎪ , − 1 < x < 1f(x) = ⎨ 2(x + 1)⎪⎪1−x, x > 1⎪⎩1−xพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. f ต่อเนื่องที่จุด x = − 1 ข. f ต่อเนื่องที่จุด x = 1ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก, ข. ถูก 2. ก. ถูก, ข. ผิด3. ก. ผิด, ข. ถูก 4. ก. ผิด, ข. ผิด17. กําหนดให้ a, b, c, d เป็นจํานวนจริง และ3 2f(x) ax bx cx dเป็น 2 ที่ x = 1 และ f ′′ (1) = − 4ถ้า f(0) 118. ถ้า θ ∈1. x = − 32. x = − 1/33. x = 1/34. x = 3R และ1. 0 หรือ 323. − 1 หรือ 1 2= + + + โดยที่ f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์= แล้ว f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่จุดในข้อใดต่อไปนี้1∫ (4x − 3) dx = 0 แล้ว cos 2θ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้sin θ2. 0 หรือ−4. − 1 หรือ 13219. ถ้า a และ b เป็นสัมประสิทธิ์ของ2x − และ 4 x ของการกระจายแล้ว a b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.2− 2.71− 3.2⎛⎜x⎝412⎞− ⎟2x ⎠1− 4.3104−15ตามลําดับ20. ในการเก็บตัวนักกีฬา ได้จัดให้นักกีฬาพักรวมกันห้องละ 2 คน ถ้ามีนักกีฬาจากต่างจังหวัด 4คน และจากกรุงเทพฯ 4 คน แล้วจํานวนวิธีที่จะจัดให้มีเพียง 2 ห้องเท่านั้นที่แต่ละห้องมีนักกีฬาจากต่างจังหวัดและนักกีฬาจากกรุงเทพฯ พักด้วยกัน มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 36 2. 72 3. 108 4. 14421. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกันอยู่ 10 ลูก เป็นสีแดง 3 ลูก สีขาว 5 ลูก สีดํา 2 ลูก สุ่มหยิบลูกแก้วจากถุงสองครั้งๆ ละลูกโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกที่สองเป็นสีแดงเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 32. 3103. 271004. 3310022. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวน มีฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 15, 16 และ 17ตามลําดับ และพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 5 ความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3152. 24 53. 225Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)4. 19 5

คณิตศาสตร O-NET / A-NET421ขอสอบเขาฯ มี.ค.4223. เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียน 36 คน โดยใช้ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเป็น 10 แล้ว ปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 50 – 59 ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ํากว่า 49.5 คะแนน อยู่จํานวน 12 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ํากว่า 59.5คะแนน อยู่จํานวน 20 คน แล้วมัธยฐานของคะแนนการสอบครั้งนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด1. 53 2. 54 3. 56 4. 5724. ตัวแทนจําหน่ายหม้อหุงข้าวไฟฟ้ายี่ห้อหนึ่ง ขายหม้อหุงข้าวขนาด 1 ลิตร, 2 ลิตร, 3 ลิตร และ4 ลิตร ในรอบ 2 ปีที่ผ่านมาด้วยราคาและปริมาณดังต่อไปนี้ขนาดของ ปริมาณหม้อ ราคาหม้อหุงข้าวไฟฟ้า 2540 2541 2540 25411 ลิตร 300 250 400 4002 ลิตร 220 230 500 4503 ลิตร 200 200 600 a4 ลิตร 150 130 1000 950ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2541 เมื่อเทียบกับ พ.ศ. 2540 เท่ากับ 96.00แล้ว ดัชนีราคาแบบใช้ราคารวมโดยถ่วงน้ําหนักด้วยปริมาณในปีฐาน (วิธีของลาสไพเยอเรส) ของพ.ศ. 2541 เมื่อใช้ พ.ศ. 2540 เป็นปีฐาน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 80.00 2. 86.80 3. 90.00 4. 96.30ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน25. ถ้า A = {5, 6, 7, ..., 20} และ B = {1, 2, 3, ..., 15} แล้วจํานวนสมาชิกในเซต {x|x เป็นสับเซตของ A และ x ไม่เป็นสับเซตของ B}เท่ากับข้อใดต่อไปนี้101110111. 7× 2 2. 31× 2 3. 31× 2 4. 63 × 226. กําหนดถ้า⎧1, x < 0f(x) = ⎨ ⎩ 0, x > 0xg = {(x,y)| y = f(1− e ) และ y > 0} แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก1. Dg R' g⊂ 2. g ⊂ g3. Dg R g [1, )D'⊂ ∪ ∞ 4. g gRR ⊂ D ∩[1, ∞ )27. ถ้า f(x) = x − 1 แล้ว 30 2∑ (f f)(n ) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้n=101. 9028 2. 9030 3. 9128 4. 917028. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น64 คะแนน ถ้านักเรียนที่สอบได้คะแนนมากกว่า 80 คะแนนมีอยู่ 15.87% แล้วสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้คือข้อใดต่อไปนี้(พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z=0 ถึง z=1 คือ 0.3413)1. 35% 2. 30% 3. 25% 4. 20%Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET422เฉลยคําตอบขอสอบเขาฯ มี.ค.42ตอนที่ 1 (1) 7 (2) 14 (3) 1 (4) 6 (5) 0.2 (6) 0.62ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 1 (3) 4 (4) 2 (5) 3 (6) 1 (7) 2 (8) 2 (9) 4(10) 3 (11) 4 (12) 1 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 1 (17) 2 (18) 3 (19) 1(20) 2 (21) 2 (22) 3 (23) 4 (24) 4ตอนที่ 3 (25) 2 (26) 4 (27) 3 (28) 3เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) A − B = {1,2,3,4,5},B A {{1,2},{3,4,5}}− = → ตอบ 7 ตัว(2) จากการกระจาย3 3 2 2 3(980 − p) = 980 − 3(980) (p) + 3(980)(p) − pพบว่าสามพจน์หลังย่อมหาร p ลงตัวเสมอ(เพราะมี p คูณอยู่ในนั้น)33∴ p|(980 − p) ก็ต่อเมื่อ p|9803 6 3 6ซึ่ง 980 = 2 × 5 × 7ดังนั้น A = {2,5,7} → ผลบวกเท่ากับ 14 ตอบ(3) log 28 − log −1 325 + log −29110 10 101= log10 28 + log10 325 − log1091228 ⋅ 325 9100= log 10( ) = log 10( )91 91= log1010 = 1 ตอบ(4) |A| = 1 → 2x − y = 1 .....(1)y 0C21= 3 → −x 1= − y = 3−.....(2)แก้ระบบสมการได้ y =− 3, x =− 10 −3 0∴ |A + I| = 1 3 0 = 6−1 1 2ตอบ6(5) |7 −24 i| ⋅ |3 + 4 i| ⋅ |z| = |1|6 6 1→ 25 ⋅ 5 |z| = 1 → |z| =1252 1∴ zz = |z| = = 0.2 ตอบ52(3 + 1)f ′(3) − f(3)[2(3)](6) g(3) ′ =2 2[3 + 1](10)(5) − ( −2)(6)= = 0.62 ตอบ100ตอนที่ 2(1) เส้นตรง y = mx ตัดกับวงกลม2 2x + y − 10x + 16 = 0 แสดงว่าจะต้องสามารถแก้ระบบสมการเพื่อหาจุดตัดได้2 2→ x + (mx) − 10x + 16 = 02 2→ (m + 1)x − 10x + 16 = 010 ± 100 − 64(m + 1)→ x =22(m + 1)2จะมีคําตอบ (มีจุดตัด) เมื่อ 100 − 64 (m + 1) > 02 100 2 36 6 6→ m + 1 < → m < → − < m

คณิตศาสตร O-NET / A-NET423ขอสอบเขาฯ มี.ค.42(4) หาโดเมน จากy =21 − x1 + x2จะได้เงื่อนไขว่า221 − x > 0 (เพราะตัวส่วน 1 x 0ดังนั้น x 2 < 1 →−1 < x < 1 ∴ D r = [ − 1,1]D − = R )หาเรนจ์ (เพราะ 1 rจัดรูปr+ > อยู่แล้ว)22 1 − x2 2 2 2= → + = −2y y x y 1 x1 + x2 2 2 2 2→ x + x y = 1 − y → x =ดังนั้นเงื่อนไขคือ1 − y1 + y21 − y1 + y22> → − >20 1 y 0นั่นคือ y 2 < 1 →−1 < y < 1แต่อย่าลืมว่ามีการยกกําลังสองเอง ต้องมองเงื่อนไขรู้ทในโจทย์ คือ y > 0 เท่านั้น ∴ D −1= [0,1]rตอบ ข้อ 2.(5) f(x) = x (y > 0) กลายเป็น−1 2f (x) = x (x>0)2ดังนั้น1( x =− 2 ไม่ได้ เพราะจาก f − นั้นต้อง x 0A = {x ∈ R | x + x − 2 = 0} = {1, −2}> )สรุปว่า A = {1}ก. 1 2 − 1 − 6 ≠ 0 เท็จข. 1 2 + 2 − 3 = 0 จริง ดังนั้น ตอบ ข้อ 3.1(6) ยุบอนุกรมเรขา → = a21 − cos θ⎞θ=⎜ ⎟⎝ a ⎠โจทย์ถาม cos( ππ− 2 θ) sin( −2 θ)22 ⎛a − 1นั่นคือ cos2= [ − cos(2 θ)] ⋅ [cos(2 θ )] = − cos 2θ2 2 ⎡ ⎛a−1⎞⎤=−(2 cos θ− 1) =−⎢2 ⎜ ⎟ −1a⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎦⎛=−⎜⎝a−2a2⎞⎟⎠ตอบ2(7) cos (2 arcsin x) =−2(1 − 2 sin (arccos x))ให้ A = arcsin x, B = arccos xจะได้ cos 2A =− 2 cos 2B2 2→ 1 − 2sin A = −2(2cos B − 1)2 2 2→ 1 − 2x = −2(2x − 1) → 2x = 1x1= หรือ2f(x)1− ตรวจคําตอบพบว่าใช้ได้ทั้งคู่2∴ผลคูณ =− 1/2 ตอบf -1 (x)22(8) จัดรูปไฮเพอร์โบลา;2 216(x − 4x + 4) − 9y = 80 + 642 2(x − 2) y→ − = 19 16จุดศูนย์กลาง (2, 0) , อ้อมแกน x,ระยะโฟกัส c = 9 + 16 = 5จุดโฟกัสคือ ( − 3,0) กับ (7, 0)และจุดปลายแกนสังยุคคือ (2, 4) , (2, − 4)(2,4)(-3,0) O (2,0) (7,0)2 2(x − 2) (y)∴ สมการวงรีคือ + = 125 162 2→ 16x − 64x + 25y − 336 = 0 ตอบ(9)(2,-4)(0,1) (3,1) (5,1)จาก a = 3, c = 2 จะได้ b = 9 − 4 = 5→ แกนโทยาว 2 5หน่วย2 2∴ สมการวงกลม คือ (x + 2) + (y − 1)2= (2 5)→ x 2 + y 2 + 4x −2y − 15 = 0 ตอบหมายเหตุ ในข้อสอบพิมพ์คําตอบผิดเป็น2 2x + y − 4x −2y − 15 = 0 ข้อนี้จึงให้คะแนนฟรีlog3 9 log24(10) จัดรูปสมการแรกเป็น x + y = 162 2→ x + y = 16 .....(1)สมการสอง log3 x + log3 y = log3 9 − log32→ xy = 9 / 2 หรือ 2xy = 9 .....(2)2 2(1)+(2) จะได้ x + 2xy + y = 25และ (1)–(2) จะได้ x 2 − 2xy + y 2 = 72 2∴ โจทย์ถาม |x − y | = |(x + y)(x − y)|= 25 ⋅ 7 = 5 7 ตอบ(11) หา x 1 ด้วยกฎของคราเมอร์0 2 1 1 2 1x1= 5 1 − 2 ÷ 3 1 −29 −3 −3 2 −3 −3− 9 + 30 − 15 − 36= = 3− 2 + 18 − 6 − 3 − 9 − 83+y 6∴ A =⎡ ⎤⎢ ⎣ 3 y ⎥ ⎦เป็นเมตริกซ์เอกฐาน2แสดงว่า |A| = 0 = 3y + y − 18 → y = 3, − 6ผลบวกคําตอบคือ − 3 ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET424ขอสอบเขาฯ มี.ค.42(12)(15, 10) → P = 155(20, 0) → P = 140(24, 3) → P = 183(24,3)x(24, 0) → P = 168 O 20 24∴ P min = 140 เกิดเมื่อ (a, b) = (20, 0) ตอบ 20(13) จาก |u + v| = 5 2 จะได้2 2|u| + |v| + 2 u ⋅ v = 50 .....(1)และจาก |u − v| = 26 จะได้2 2|u| + |v| −2 u ⋅ v = 26 .....(2)(1)-(2) จะได้ 4u⋅ v = 24 ดังนั้น u⋅ v = 6ตอบ(14) BA Cy(15,10)E˜BE =˜BC +˜CE = −˜CB + 2˜BA=−˜CB + 2(CA˜−˜CB) =− 3˜CB + 2˜CA∴ a = − 3, b = 2 จะได้ b − a = 5 ตอบ(15) 1 + 3 i เป็นรากหนึ่งของ P(x) แสดงว่าต้องมี 1 − 3 i (สังยุค) เป็นรากด้วยนั่นคือ P(x) = (x − c)(x − 1 − 3 i)(x − 1 + 3 i)2= (x − c)(x − 2x + 4)หาค่า c จาก ทฤษฎีเศษ P(2) = 55 = (2 − c)(4 − 4 + 4) ดังนั้น c = 3 / 4 ตอบ2x + x − 1(16) ก. lim f(x) = limx→−1 + x→−1+ 2(x + 1)(2x − 1)(x + 1) 3= lim= −+x→−12(x + 1) 23ซึ่ง lim f(x) f( 1)−x→−122(1) + 1 − 1 1ข. f(1) = = และ2(2) 21 − x 1lim f(x) = lim =x→1 + x→1+ (1 − x)(1 + x) 2ดังนั้น ตอบ ข้อ 1.= − = − ด้วย (ก. ถูก)2(ข. ถูก)(17) โจทย์กําหนด f(0) = 1 .....(1) และf(1) ′′ = − 4 .....(2)ประโยค “มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เป็น 2 ที่ x=1” แปลว่าf(1) = 2 .....(3) และ f(1) ′ = 0 .....(4)จากสมการ (1); 0 + 0 + 0 + d = 1 → d = 1แทนลงในสมการ (3); a + b + c + 1 = 2จาก (4) จะได้ 3a + 2b + c = 0และ (2) จะได้ 6a + 2b =− 4แก้ระบบสมการได้ a 1∴3 2f(x) = − x + x + x + 1= − , b = 1, c = 12หาค่าวิกฤตจาก f(x) ′ = − 3x + 2x + 1 = 0→ x = − 1/3, 1แต่โจทย์บอกว่าค่าสูงสุดเกิดที่ x = 1 ไปแล้วดังนั้นค่าต่ําสุดต้องเกิดที่ x =− 1/3 ตอบ2 1(18) จาก (2x − 3x) | = 0sin θ2→ ( −1) −(2 sin θ − 3 sin θ ) = 0แก้สมการได้ sin θ= 1, 1/22แทนลงในสูตร cos 2θ = 1 − 2 sin θจะได้ cos 2θ=− 1, 1/2 ตอบ(19) พจน์ทั่วไปจากการกระจาย10 −10( ) 2 ( )r4 10 r 1 r ⎛ 1⎞40−6r=r(x ) ( − ) =r ⎜−⎟ x2x⎝ 2 ⎠2หาพจน์ที่เป็น x − โดยบังคับให้ 40 − 6r = − 2จะได้ r = 7 ∴ สัมประสิทธิ์หาพจน์ที่เป็น x 4 โดย 40 − 6r = 4จะได้ r = 6 ∴ สัมประสิทธิ์10 ⎛ 1 ⎞=⎛ ⎞⎜ 7 ⎟ ⎜− ⎟ = a⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠10 ⎛ 1 ⎞=⎛ ⎞⎜ 6 ⎟ ⎜− ⎟ = b⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎛10⎞a⎜ 7 ⎟1 10 ! 6! 4 ! 1ดังนั้น⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎝ ⎠b 10⎜− ⎟ = ⎜−⎟⎛ ⎞ ⎝ 2⎠ 7!3! 10! ⎝ 2⎠⎜ 6 ⎟⎝ ⎠=− 2/7 ตอบ(20) มีห้องดังนี้ กก ตต กต กตจึงแบ่งกรุงเทพ 4 คนออกเป็น 2, 1, 1และแบ่งต่างจังหวัด 4 คนออกเป็น 2, 1, 1 ด้วย4!วิธี2!(1!) 2!ได้ส่วนละ24! 4!⋅ ⋅ 2! = 722!(1!) 2! 2!(1!) 2!ดังนั้นคําตอบคือ2 2(คูณ 2! เพราะกรุงเทพ 1 คน จับคู่กับต่างจังหวัด1 คนนั้น สามารถเลือกสลับคู่ได้) ตอบ 72 วิธีหมายเหตุ ถ้าคิดว่าห้องต่างกันจะต้องเลือกห้องด้วยจะได้ 72 4 ! 1,728× = วิธี76Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET425ขอสอบเขาฯ มี.ค.42(21) มี 2 กรณีคือ แดง-แดง กับ อื่น-แดง3× 2 + 7×3 3จึงได้= ตอบ10×9 10(22) สมมติให้เป็น A, B, C, D, Eมัธยฐาน = 16 แสดงว่า C = 16ฐานนิยม = 15 แสดงว่า A = B = 15พิสัย = 5 แสดงว่า E = 20ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 1715 + 15 + 16 + D + 205= แสดงว่า= 17 → D = 19ทราบครบทุกข้อมูลแล้ว หาความแปรปรวนได้ดังนี้2 2 2 2 22 2 + 2 + 1 + 2 + 3 22s = = ตอบ5 5⎛N/2 −∑f⎞Med = L + I ⎜ ⎟⎝ fMed⎠(23)L⎛18 − 12 ⎞= 49.5 + 10 ⎜ ⎟ = 57 คะแนน ตอบ⎝20 − 12 ⎠400 + 450 + a + 950(24) จาก 0.96 =400 + 500 + 600 + 1,000จะได้ a 600 = ดังนั้น LI คํานวณได้จาก400(300) + 450(220) + 600(200) + 950(150)× 100400(300) + 500(220) + 600(200) + 1,000(150)= 96.30 ตอบตอนที่ 3(25) X ⊂ A และ X B⊄ ;A = {5, 6, 7, 8, ..., 15 , 16, 17, 18, 19, 20} ,B = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 15 }แสดงว่า 5 ถึง 15 จะอยู่ใน X กี่ตัวก็ได้ ไม่อยู่ก็ได้11จัดได้ 2 แบบแต่ 16 ถึง 20 บังคับว่าจะต้องอยู่ใน X ด้วย กี่ตัวก็ได้ แต่ไม่อยู่เลยไม่ได้ ..จัดได้ 2 5 − 1 แบบ11 5 11∴ ตอบ 2 ⋅(2 − 1) = 31×2(26) หา D g และ R gxจาก y = f(1 − e ) และ y > 0แสดงว่า y = 1 เท่านั้น (เพราะสิ่งที่ได้ออกมาจาก fมีเพียงเลข 0 กับ 1) สรุปว่า R g = {1}xxจาก f(1 − e ) = 1 จึงได้ว่า 1 − e < 0x→ e > 1 → x > ln1 → x > 0สรุปว่า D g = (0, ∞ )ดังนั้นข้อที่ถูกคือ ข้อ 4. R g D g [1, )(27)30 302 2∑ ∑(fof)(n ) = f(n − 1)⊂ ∩ ∞ ตอบn= 10 n=1030230⎡ 292⎤30∑ ∑ ∑ ∑= (n − 2) = ⎢ n − n ⎥ − 2n= 10 ⎣n= 1 n= 1 ⎦ n=1030(31)(61) 9(10)(19)= − − (21)(2)6 6= 9,455 − 285 − 42 = 9,128 ตอบ(28) ที่ x = 80พื้นที่ 0.5 0.1587 0.341380 − 64จะได้ z = 1 → 1 = → s = 16ss 16สัมประสิทธิ์การแปรผัน = 0.25X= 64== − = ทางขวาหรือ 25% ตอบ0.34130.158764 80 xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET426ขอสอบเขาฯ ต.ค.42¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ µ.¤.42 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็น จุดกําเนิด และจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี2 2x + 2y + 4x − 4y − 2 = 0 เท่ากับเท่าใด2. ถ้า f(x) = 4x และg(x) =2x − 1ค่า x ที่ทําให้ (f g)(x) = (g f)(x)แล้ว เท่ากับเท่าใด3. ให้ A เป็นเมตริกซ์มิติ 3×3⎡−1 3⎤⎡−ถ้า M13M= , ⎢ 1 2 ⎥ 21⎣ ⎦det A มีค่าเท่ากับเท่าใด1 1⎤= ⎢ 2 4 ⎥⎣ ⎦และ M32⎡ 2 1⎤= ⎢ −1 0 ⎥⎣⎦ แล้ว2xx−3 + 3 5(3 2)4. กําหนดให้ A = {x ∈ R | 5 = 25 }ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ A มีค่าเท่ากับเท่าใด5. ให้ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x โดยที่2v(x) x 2x = − และและ u(3) = − 9, u(3) ′ = 3 แล้ว ค่าของ f(3) ′ เท่ากับเท่าใด1f(x) =u(x)v(x)6. ในการประชุมครั้งหนึ่ง มีผู้แทนจาก 3 ประเทศเข้าร่วมประชุม โดยมีผู้แทนประเทศละ 3 คนจํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดให้ผู้แทนแต่ละประเทศต้องนั่งติดกันในการประชุมโต๊ะกลม เท่ากับเท่าใดตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ถ้าAf(x) =x1−x= Dgofและ B Dg1. − { −1,1}2และ g(x) = x − 1= แล้ว (A ∪ B ') คือเซตในข้อใดต่อไปนี้R 2. (1, − ∞ )3. ( 1 ,1) (1, )2∪ ∞ 4. (1,1) − ∪(1, ∞ )2 12. ให้ A = {x | x − 2 < 4} และ − −แล้ว A ∩ B คือเซตในข้อใดต่อไปนี้1. (2,3) − ∪ (5,6)2. (0, 3) ∪ (5, 6)B = {x | 15x − 8x + 1 > 0}3. (0, 3) ∪(3, 5) ∪ (5, 6) 4. (2,0) − ∪(0,3) ∪ (5,6)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET427ขอสอบเขาฯ ต.ค.423. สําหรับจํานวนเต็ม a, b ใดๆ ให้ (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ bให้ A = {1, 2, 3, ..., 400} จํานวนสมาชิกของเซต {x∈ A |(x,40) = 5} มีค่าเท่ากับข้อใด1. 30 2. 40 3. 60 4. 804. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ก. เหตุ 1) p →(q → ~r) ข. เหตุ 1) (p ∧ q) → r2) q 2) ~(r ∨ s)3) r 3) pผล p ผล ~qข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล5. เอกภพสัมพัทธ์ U ที่กําหนดในข้อใดต่อไปนี้ที่ทําให้ประโยค2∃ x[2x + x− 1 < 0 ∧2x − 4x+4 < 3] มีค่าความจริงเป็นจริง1. U = เซตของจํานวนเต็มบวกคู่ 2. U = เซตของจํานวนเต็มบวกคี่3. U = เซตของจํานวนเต็มลบคู่ 4. U = เซตของจํานวนเต็มลบคี่6. ให้ f(x) = arcsinx, g (x) = cos x และ h (x) = (f g)(x)พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. โดเมนของ h คือเซตของจํานวนจริง และπg( h(x)) g(x)2 − =ข. h เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด47.π{cos A | 0 < A < และ 5− 3sin3A มีค่ามากที่สุด }3เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้1 31. − 2.3.{ ,0, }2 21 3{0, , }2 24.3 1{ − , − ,0}2 23 1 3{ − , , }2 2 28. ถ้า A เป็นจุดบนวงกลม x 2 + y 2 + 4x − 6y + 11= 0 ซึ่งอยู่ใกล้กับจุดโฟกัส F ของพาราโบลา− + + = มากที่สุด แล้วระยะระหว่างจุด A กับ F มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้2x 12x 4y 52 01. 7 2 2. 8 2 3. 7 2 − 2 4. 8 2 − 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET428ขอสอบเขาฯ ต.ค.429. ให้ O เป็นจุดกําเนิด, A เป็นจุดบนแกน x และ B เป็นจุดในระนาบซึ่งทําให้เส้นตรง OB มีความชันเท่ากับ 2 และเส้นตรง AB มีความชันเท่ากับ 1ถ้า θ = ABO ˆ2แล้ว sec θ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 10/9 2. 11/9 3. 10 4. 1110. กําหนดให้ a, b เป็นคําตอบของสมการ log 3x + 6 log x3 = 5 โดยที่ a 0 0 < y < 5 x y 10+ < และ 2x y 16แล้วโรงงานจะขายสินค้าได้เงินมากที่สุดเป็นจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 120 2. 125 3. 130 4. 150+

คณิตศาสตร O-NET / A-NET429ขอสอบเขาฯ ต.ค.4216. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า A3 2= { x ∈ R | (1+ i) x + (1+ 2i) x − (1+ i) x − (1+ 2i) = 0 } แล้ว A ⊆ [ − 1.5, 1.5]ข. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง 6 1z = i แล้ว z เท่ากับ 1 82ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด17. ให้ a เป็นจํานวนจริง กําหนดพจน์ที่ n ของอนุกรมคือถ้าพจน์ที่ m คือ 1 + 38 a1.3.1−a40 + 740 a1−a20 + 720 a1−a18. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่และ f(2) a, f( 2) b1 + (n−2) a1−aแล้วผลบวก m พจน์แรกของอนุกรมนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้f(x) =2.4.3 240 + 790 a1−a20 + 760 a1−ax − x − 4x + 424 − x= − = แล้ว a และ b เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้1. a = 1, b = − 32. a = 1, b = 33. a = − 1, b = − 34. a = − 1, b = 3เมื่อ x ≠ ± 2219. ถ้า f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีกราฟผ่านจุด (0, 2) และ f(x) ′ = 3x − 12x + 9แล้ว ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 2. 3 3. 6 4. 820. ในจํานวนเด็ก 12 คน มีเด็กถนัดซ้าย 4 คน ถ้าเลือกเด็ก 5 คนโดยการสุ่มจากเด็กเหล่านี้ แล้วความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กถนัดซ้ายอยู่ในกลุ่มที่เลือกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 35992. 47993. 63994. 929921. ให้ A = {1,2,3} และ B = {3,4}ถ้า S = {f : A ∪B> A× B | f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง }แล้วจํานวนสมาชิกของ S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 120 2. 240 3. 360 4. 48022. พิจารณาข้อมูลของ x และ y ดังนี้x -3 -1 0 1 3y 0 a a+3 a+4 a+6เมื่อ a เป็นค่าคงที่ ให้ x และ y มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นกราฟเส้นตรง โดยที่ความชันเท่ากับ 1.55 ถ้า x = 4 จะประมาณค่า y ได้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 8.7 2. 10.8 3. 11.2 4. 12.8Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET430ขอสอบเขาฯ ต.ค.4223. แผนภูมิวงกลมต่อไปนี้แสดงจํานวนนักเรียนทั้งหมด 500 คนของโรงเรียนแห่งหนึ่ง จําแนกตามคะแนนสอบวิชาหนึ่ง 240%1. นักเรียนที่ได้คะแนน 1 – 20 คะแนน2. นักเรียนที่ได้คะแนน 21 – 40 คะแนน24% 33. นักเรียนที่ได้คะแนน 41 – 60 คะแนน20%1 10% 4. นักเรียนที่ได้คะแนน 61 – 80 คะแนน6% 5. นักเรียนที่ได้คะแนน 81 – 100 คะแนน5 4ถ้าความแปรปรวนของคะแนนสอบเท่ากับ 481.44 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ครึ่งหนึ่งของนักเรียนโรงเรียนนี้ได้คะแนนมากกว่า 40 คะแนนข. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบวิชานี้เท่ากับ 0.50ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด24. ในปี พ.ศ. 2540 สุเมธมีรายได้เดือนละ 15,000 บาท โดยที่รายได้ต่อเดือนที่แท้จริงของเขาเป็น12,500 บาท เทียบกับปี พ.ศ. 2538ถ้าดัชนีราคาผู้บริโภคในปี พ.ศ. 2541 สูงกว่าปี พ.ศ. 2540 อยู่ 5%แล้วค่าครองชีพในปี พ.ศ. 2541 สูงกว่าปี พ.ศ. 2538 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้(โดยคิดจากดัชนีราคาผู้บริโภค เมื่อใช้ปี พ.ศ. 2538 เป็นปีฐาน)1. 20% 2. 25% 3. 26% 4. 30%ตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน25. ให้ F (x) = f (g (x)) ถ้า g(x) =3x + 2x + 2 และ ∫ F(x)dx3= 5x + 2x + c แล้ว ค่าของ f(5) ′เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 6 2. 5 3. 4 4. 3⎛x + 7⎞26. กําหนดให้ f(x) = ⎜ ⎟⎝ 24 ⎠ถ้า g(x) A arcsin xπ เมื่อ 3 x 3− < < และ f(x 6) f(x)= + โดยที่ A ∈ [0, π ] และ cos A = 2/ 5− เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.13.แล้วค่าของ1(g f)(5)102. 1 5−15+ = ทุกๆ x ∈ R27. กล่องใบหนึ่งบรรจุขนมชั้น 24 ชิ้น แต่ละชิ้นมี 4 ชั้นๆ ละสี ซึ่งมีสีเขียว ขาว แดง เหลือง และการเรียงลําดับสีของแต่ละชิ้นทั้ง 24 ชิ้นแตกต่างกันหมด ถ้าหยิบขนม 1 ชิ้นจากกล่องนี้โดยสุ่ม แล้วความน่าจะเป็นที่ชิ้นที่หยิบได้มีสองชั้นบนไม่ใช่สีแดงและไม่ใช่สีเหลืองเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.1242. 1123. 1 64.4. 1 4−110Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET431ขอสอบเขาฯ ต.ค.4228. ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักศึกษาในมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและความแปรปรวนของคะแนนเท่ากับ 60 และ 25 ตามลําดับ และผู้สอนกําหนดว่านักศึกษาที่จะสอบผ่านต้องได้คะแนนไม่น้อยกว่า 54 คะแนน ถ้านายขาว นายแดง และนายดํา สอบได้คะแนนอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไตล์ที่ 10, 15 และ 33 ตามลําดับจงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. นายขาวสอบไม่ผ่าน แต่นายแดงและนายดําสอบผ่านข. นายดําสอบได้ 57.8 คะแนนข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติดังนี้พื้นที่จาก z=0 ถึง z=0.24 เท่ากับ 0.0948พื้นที่จาก z=0 ถึง z=0.44 เท่ากับ 0.1700พื้นที่จาก z=0 ถึง z=1.2 เท่ากับ 0.3849เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 2 (2) 0.2 (3) 15 (4) 1 (5) 5 (6) 432ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 4 (3) 2 (4) 3 (5) 4 (6) 2 (7) 2 (8) 1 (9) 1(10) 2 (11) 4 (12) 2 (13) 2 (14) 2 (15) 3 (16) 1 (17) 1 (18) 4 (19)3 (20) 4 (21) 3 (22) 3 (23) 4 (24) 3ตอนที่ 3 (25) 1 (26) 1 (27) 3 (28) 1เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) จัดรูปสมการ2 2(x + 4x + 4) + 2 (y − 2y + 1) = 2 + 4 + 22 2→ (x + 2) + 2 (y − 1) = 82 2(x + 2) (y −1)→ + = 18 4เป็นวงรีตามแกน x จุดศูนย์กลาง ( − 2,1)ระยะโฟกัส c = 8 − 4 = 2∴ จุดโฟกัสคือ ( − 4,1)กับ (0, 1)2 21พื้นที่ Δ= × 4 × 1 = 2 ตร.หน่วย ตอบ22 2(2) (fog)(x) (gof)(x) 4 ⎛ ⎞= → ⎜ ⎟ =⎝ x − 1 ⎠ 4x − 1→ 8 28(4x 1) 2(x 1)x − 1 = 4x − 1→ − = −→ 30x = 6 ดังนั้น x 0.2= ตอบ1⎡• •• ⎤(3) สมมติ A = ⎢•••⎥⎢⎣• •• ⎥⎦⎡ • •• ⎤จาก M 13 จะได้ A = ⎢− 1 3 • ⎥⎢⎣ 1 2 • ⎥⎦⎡ • −11⎤จาก M 21 จะได้ A = ⎢− 1 3 • ⎥⎢⎣ 1 2 4⎥⎦⎡ 2 −1 1⎤และจาก M 32 จะได้ A = ⎢−1 3 0⎥⎢⎣ 1 2 4 ⎥⎦det(A) =−3 − 4 + 24 − 2 = 15 ตอบ2xx − 1/23 + 3 10(3 )(4) จาก 5 = 52xx − 1/2เอาฐาน 5 เท่ากันออก จะได้ 3 + 3 = 10(3 )ให้ 3 x2 10= A จะได้ A + 3 = A2→ 3A − 10A + 3 3 = 0→ ( 3A − 1)(A − 3 3) = 03Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET432ขอสอบเขาฯ ต.ค.42ดังนั้น→A1= หรือ 3 31x 23 3 −3= หรือ 3 32จะได้ตอบ ผลบวกคําตอบคือ 1−(5) f(3) ′ =v(3)u ′(3) u(3)v ′(3)[ v(3) ] 2(3)(3) − ( −9)(2(3) − 2)= = 5 ตอบ2(3)1 3x =− ,2 2(6) มองเป็นกลุ่มละ 3 คนจํานวน 3 กลุ่มสลับวงกลม (ภายนอก) ได้ 2! แบบสลับกันเองภายในแต่ละกลุ่ม ได้ 3! แบบ3ดังนั้น ตอบ 2! × (3!) = 432 วิธีตอนที่ 2(1) หา D g ก่อน จากเงื่อนไขรู้ท2x − 1 > 0 → (x − 1)(x + 1) > 0ดังนั้น B = D g = ( −∞, −1] ∪ [1, ∞ )ต่อมา หา gof(gof)(x) = (f(x)) − 12D จากแสดงว่า f(x) ต้องอยู่ในช่วง ( −∞, −1] ∪ [1, ∞ )x x + 1 − xกรณีซ้าย < −1 → < 01 − x 1 − x10x 1x x − 1 + x> 1 → > 01 − x 1 − x2x − 10 < จะได้ x > 1−กรณีขวา→ −< จะได้ 1/2 x 1ดังนั้น A = D gof = [1/2,1) ∪(1, ∞ )และจะได้ A ∪ B' = ( −1,1) ∪(1, ∞ ) ตอบ(2) A; − 4 < x − 2 < 4 → − 2 < x < 6B; นํา 2 x คูณสองข้าง (โดยที่ x 0≠ )2จะได้ 15 − 8x + x > 0 → (x − 3)(x − 5) > 0→ x < 3, x > 5, x ≠ 0∴ A ∩ B = ( −2,0) ∪(0,3) ∪ (5,6) ตอบ3(3) จาก 40 = 2 × 5ห.ร.ม. ของ x กับ 40 เท่ากับ 5 แสดงว่าใน x ต้องมี 5 อยู่ และต้องไม่มี 2 อยู่สรุปว่า x เป็นเลขคี่ ที่หาร 5 ลงตัว นั่นเองได้แก่ 5, 15, 25, 35, ..., 395 รวม 40 จํานวน ตอบ(4) ก. จากเหตุ 1 คือ p →(q → ~r)จัดรูปใหม่ได้ว่า q →(p → ~r)นําไปรวมกับเหตุ 2 คือ q จะได้เป็น p → ~rจากนั้นนําผลที่ได้ไปรวมกับเหตุ 3 คือ r อีกก็จะได้ผลสรุปคือ ~pแต่ผลที่ให้มาในโจทย์คือ p ตรงข้ามกับผลที่เราได้ดังนั้น ข้อ ก. ไม่สมเหตุสมผลข. จากเหตุ 2 คือ ~r ∧ ~s สามารถแยกข้อเป็นเหตุ~r และเหตุ ~s ได้นําเหตุ ~r ไปรวมกับเหตุ 1 คือ (p ∧ q) → r จะได้ผลเป็น ~(p ∧ q) ก็คือ ~p ∨ ~q ก็คือ p → ~qดังนั้นเมื่อรวมกับเหตุ 3 คือ p ก็จะได้ผลสรุป ~qข้อ ข. จึงสมเหตุสมผล ตอบ ข้อ 3.2(5) จากจะได้ − 1 < x < 1/22และจาก2x + x − 1 < 0 → (2x − 1)(x + 1) < 0(x − 2) < 3 → | x −2| < 3→−3 < x −2 < 3 จะได้ − 1 < x < 5นํามาอินเตอร์เซคชันกัน (เพราะเชื่อมด้วย “และ”)จะได้ว่าโจทย์กลายเป็น ∃x[ − 1< x < 1/2]ดังนั้น ตอบ ข้อ 4. (เพราะมี x = − 1 ที่ใช้ได้)(6) ก. h(x) = arcsin(cos x)โดเมนเป็นจํานวนจริงใดๆ ถูกเพราะไม่ว่า x เป็นเท่าใดก็หา cos x ได้เสมอ และไม่ว่า cos x จะมีค่าเท่าใด ก็ยังหา arcsin ได้เสมอ..πต่อมาพิจารณา g( − h(x)) = cos( − h(x))2 2= sin[h(x)] = sin(arcsin(cos x)) = cos x = g(x)ก็ถูกเช่นกันข. h เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ผิดเพราะ x ที่ต่างกันสามารถให้ค่า h(x) ที่เหมือนกันได้เช่น x = 0 h(x) = arcsin(cos 0) = arcsin 1 = π /2π π πสรุปว่า ก. ถูก ข. ผิด ตอบ ข้อ 2.(7) 5 − 3sin3A มากที่สุด แสดงว่า sin 3Ax = 2 h(x) = arcsin(cos 2 ) = arcsin 1 = /2จะต้องน้อยที่สุด นั่นคือ sin 3A = − 1พิจารณาในช่วง 0 < 3A < 4π จะได้ว่าπ π π π3 7 73A = , → A = ,2 2 2 6∴ cos A 0, 3/2= − ตอบ ข้อ 2.(8) จัดรูปพาราโบลา;2(x − 12x + 36) = −4y − 52 + 362→ (x − 6) = 4( − 1)(y + 4) → c = − 1เป็นพาราโบลาคว่ํา, จุดยอดอยู่ที่ (6, − 4)จุดโฟกัสอยู่ที่ (6, − 5)→ จัดรูปวงกลม;2 2(x + 4x + 4) + (y − 6y + 9) = − 11 + 4 + 92 2→ (x + 2) + (y − 3) = 2∴ จุดศูนย์กลาง ( − 2,3)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)π, รัศมี 2 หน่วย

คณิตศาสตร O-NET / A-NET433ขอสอบเขาฯ ต.ค.42C(-2,3) Aθα βA O CF(6,-5)→ ระยะ AF = CF − CA =2 28 + 8 − 2= 8 2 − 2 = 7 2 หน่วย ตอบ(9)Btan α= 1 → tan ABC ˆ = 1tan β= 2 →ˆ tan OBC1=2ดังนั้น tan θ= tan (ABC ˆ − OBC) ˆ1 − 1/2 1=1 + (1)(1/2) 3m1 − m22 − 1 1หรือ คิดจากสูตร tan θ= = =1 + mm 1 2 1 + 2 32 2 1 10โจทย์ถาม sec θ= tan θ+ 1 = + 1 = ตอบ9 96(10) ให้ A = log3x จะได้ A + = 5A2→ A − 5A + 6 = 0 → A = 2,3→ x = 9,27 ∴ a = 9,b = 27หาจํานวนในช่วง [9, 27] ที่หาร 3 ลงตัวได้แก่ 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ตอบ 7 จํานวน2(11) det A =− 1 =− 4x1∴ x = หรือ21−2t 3โจทย์ถาม det(2(I − A)A ) = 2 det(I − A) det(A)=−8det(I − A)ดังนั้นต้องหาค่า det(I − A) ก่อน1⎡1/2 5 −1⎤กรณี x = → A = ⎢ 0 4 −2⎥2 ⎢⎣ 0 0 −1/2⎥⎦⎡1/2 −5 1 ⎤9→ I− A = ⎢ 0 −3 2 ⎥ → det(I− A) = −⎢ 0 0 3/2⎥4⎣⎦กรณี1⎡3/2 −5 1 ⎤x =− →I− A = ⎢ 0 −3 2 ⎥2 ⎢⎣ 0 0 1/2⎥⎦det(I A)949=−8( − ) = 18 ตอบ4→ − = − เช่นกันดังนั้นคําตอบคือ(12) กําไร = 10x + 15yจากบริเวณที่แรเงาในกราฟ จะได้ว่าจุด (0, 5) กําไร = 15 บาท (5,5)(5, 5) กําไร = 125 บาท5(6, 4) กําไร = 120 บาท(6,4)(8, 0) กําไร = 80 บาทดังนั้น ตอบ 125 บาท O 8 10(13) จาก |u + v| = 37 จะได้2 2|u| + |v| + 2|u||v| cos 60 = 372 2นั่นคือ |u| |v| |u||v| 37และจาก |u − v| = 13 จะได้2 2|u| + |v| − |u||v| = 13 .....(2)2 2สมการ (1)+(2) หาร 2; |u| + |v| = 25+ + = .....(1)สมการ (1)-(2); 2|u||v| = 242 2บวกกันได้ |u| + 2|u||v| + |v| = 25 + 24 = 492→ (|u| + |v|) = 49 → |u| + |v| = 7 ตอบ(เป็นค่าบวกเสมอ เพราะเป็นขนาดเวกเตอร์)(14) A˜ ˜|OD| = |OA|cos θθOD B→ หาได้จาก ˜ÕB ⋅ OA = |ÕB ||OA˜| cos θ˜จะได้ (5)(3) + ( − 2)(4) = 29 | OA | cos θ∴ |OA|˜cos θ = 7/ 29ÕD คือเวกเตอร์ขนาด 7/ 29 หน่วย ในทิศ ÕBทํา ˜ OB ให้เหลือ 1 หน่วยได้เป็น ˜ OB 5 i − 2 j =|OB|˜ 297 ⎛5i − 2j ⎞ 7∴ÕD = = (5 i −2j)ตอบ29 ⎜29 ⎟⎝ ⎠ 292(15) z = 4 ∠ π 3→ z 17 = 417 ∠343→ ซึ่ง 34 π104 π= +3 3(16) ก. จัดรูปสมการ2 2ππ ∴ อยู่ใน Q 3 ตอบ(1 + i) x [x − 1] + (1 + 2i)[x − 1] = 0(1 + i) x + (1 + 2i) ⎡ ⎤ = 02→ [ ] ⎣x − 1⎦แต่ x ∈ R เท่านั้น ดังนั้น x = 1, − 1 ถูก6 6 1 1ข. |z | = |z| = i =8 8→ |z| |z|1 168 2= = = ถูก ดังนั้นตอบ ข้อ 1.(17) พจน์ที่ m → m − 2 = 38 ∴ m = 40สังเกตดี ๆ เป็นอนุกรมเลขคณิต (เพราะ n กําลัง 1)S n (a a )2ใช้สูตร n = 1 + nMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET434ขอสอบเขาฯ ต.ค.4240 ⎛1 − a 1 + 38 a ⎞∴ S40= ⎜ + ⎟2 ⎝ 1 − a 1 − a ⎠⎛2 + 37 a⎞40 + 740 a= 20 ⎜ ⎟ =⎝ 1 − a ⎠ 1 − a(18)2(x − 4)(x − 1)f(x) = = − x + 124 − xเมื่อ x ≠ ± 2ถ้าจะให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะต้องให้f(2) = lim f(x) = − 2 + 1 = − 1 และx→2f( 2) lim f(x) ( 2) 1 3x→−2ตอบ− = = − − + = ตอบ ข้อ 4.2(19) ∫f(x) = (3x − 12x + 9) dx3 2= x − 6x + 9x + C → ผ่าน (0, 2) ∴ C = 22→ หาค่าสูงสุด f(x) ′ = 3x − 12x + 9 = 0ดังนั้น x = 1,3ซึ่ง f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6 ,และ f(3) 27 54 27 2 2= − + + = ∴ ตอบ 6(20) คําว่า “มี” คิดยาก เพราะมีได้หลายกรณี (กี่คนก็ได้) จึงควรใช้วิธีลบออกคือวิธีทั้งหมด – วิธีที่ “ไม่มี” (แปลว่าถนัดขวาล้วนๆ)⎛8⎞⎜5⎟8!5!7! 92= 1 −⎝ ⎠= 1 − =⎛12⎞5!3!12! 99⎜ 5 ⎟⎝ ⎠ตอบ(21) n(A ∪ B) = 4 , n(A × B) = 3 × 2 = 6ตอบ 6 × 5 × 4 × 3 = 360(22) จาก ∑ y = m ∑ x + cNจะได้ 4a 13 1.55(0) 5c+ = + .....(1)2และจาก ∑ xy = m ∑ x + c ∑ xจะได้ 3a + 22 = 1.55(20) + c(0) .....(2)แก้ระบบสมการได้ a = 3, c = 5∴ Ŷ = 1.55X + 5ถ้า x = 4 จะได้ Ŷ 1.55(4) 5 11.2(23)= + = ตอบคะแนน ความถี่ d1 – 2021 – 4041 – 6061 – 8020%40%24%10%-2-10181 – 100 6% 2ก. เกิน 40 คะแนนมี 24 + 10 + 6 = 40%ข. หา X = a + ID−40 − 40 + 10 + 12= 50.5 + (20)⎛⎞⎜⎟ = 38.9⎝ 100 ⎠สัมประสิทธิ์การแปรผันคะแนน= s 481.440.56X= 38.9=ดังนั้น ก. ผิด และ ข. ผิด ตอบ ข้อ 4.(24) ดัชนีปี 40 เทียบ 38ดัชนีปี 41 สูงขึ้น 5% ดังนั้นดัชนีปี 41 เทียบ 3815,000= × 100 = 12012,000105= 120 × = 126100ตอบ 26%ตอนที่ 3(25)d 3 2F(x) = (5x + 2x + c) = 15x + 2dx2ดังนั้น (fog)(x) = 15x + 2จากกฎลูกโซ่ (fog) ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g(x) ′2→ 30x = f ′(g(x)) ⋅ (3x + 2)เราต้องการ f(5) ′ จึงต้องให้ g(x) 5แทน x ด้วย 1 (ใช้วิธีเดาเอาเพราะแก้ยาก)ได้เป็น 30 ⋅ 1 = f ′(5) ⋅ (3 + 2)∴ f(5) ′ = 30/5 = 6 ตอบ= พบว่าควร−1 −1(26) (g of)(5) = g (f(5))แทน x = 5 เลยยังไม่ได้ เพราะนิยามแค่− 3 < x< 3 จึงต้องใช้วิธีลดค่า ตามสมการf(x + 6) = f(x) → พบว่า f( − 1) = f(5)−1 −1 −1 6 −1∴ g (f(5)) = g (f( − 1)) = g ( ) = g ( )24 4ππ−1= + จะหาπ→ จาก g(x) A arcsin x g ( )4คือ หาค่า x ที่ทําให้ A + arcsinx = π4x sin⎛π A⎞ π π→ = ⎜ − ⎟ = sin cos A − cos sin A⎝4 ⎠ 4 4⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝ 2⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 5⎠10ตอบ(27) สองชั้นบนไม่ใช่แดงและเหลือง แสดงว่าต้องเป็นเขียวและขาว สลับกันได้ 2! แบบสองชั้นล่างก็จะเป็นแดงและเหลือง สลับได้ 2! แบบความน่าจะเป็น2!2! 124 6= = ตอบ(หมายเหตุ วิธีทั้งหมด 24 แบบ ก็คือ 4! นั่นเอง)(28) ก. คิดที่เกณฑ์ 54 คะแนน54 − 60→ z = = − 1.2 → A = 0.3849 ซ้าย5คิดเป็น P 11.51 ดังนั้น ข้อ ก. ถูก เพราะมีขาวคนเดียวที่ได้ไม่ถึง P 11.51ข. คิดนายดํา P 33 → A = 0.17 ซ้าย→z =− 0.44 =จะได้ x ดํา 57.8ตอบ ข้อ 1.xดํา− 605Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)= คะแนน ดังนั้น ข้อ ข. ถูก

คณิตศาสตร O-NET / A-NET435ขอสอบเขาฯ มี.ค.43¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ ÁÕ.¤.43 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 6 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. ให้ A = {0, ± 1, ± 2, ..., ± 20}และ B = {x∈ A | |x| เป็นจํานวนเต็ม }จํานวนสมาชิกของเซต {C⊂B|0∈ C และ 1∉ C} เท่ากับเท่าใด2. ถ้า x เป็นรากของสมการ3x−1 x 5x−1 x2 6 25 75⋅ ⋅ = แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด3. ถ้า⎡ 5 4 6⎤A = ⎢−2 0 7⎥⎢ ⎥⎢⎣1 2 0⎥⎦C (A) C (A) ⎤= ⎢ 3 2 ⎥⎡ 13 23และ Bแล้ว − 1det (B ) มีค่าเท่ากับเท่าใด⎣ ⎦4. ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้งสองลูกจะเป็นเลขที่หารด้วย 4 ไม่ลงตัว มีค่าเท่ากับเท่าใด5. ถ้าให้สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ใช้สําหรับการประมาณจํานวนห้องพักที่มีแขกมาพักจริง (แทนด้วย y ) จากจํานวนห้องพักที่มีการจองล่วงหน้า (แทนด้วย x ) คือ y = a + 0.75xโดยที่ x = 40 และ y = 60ถ้า x = 60 แล้ว จํานวนห้องพักที่มีแขกมาพักจริง โดยประมาณเท่ากับเท่าใด6. กําหนดดัชนีราคาผู้บริโภคของปีต่างๆ โดยมีปี 2535 เป็นปีฐาน ดังนี้ปี 2535 2536 2537ดัชนี 100 90 108ถ้ารายได้ที่เป็นตัวเงินของชายผู้หนึ่งในปี 2536 เท่ากับ 900 บาท และรายได้ที่แท้จริงของเขาในปี2537 เท่ากับรายได้ที่แท้จริงของเขาในปี 2536 เมื่อเทียบกับรายได้ในปี 2535 แล้ว รายได้ที่เป็นตัวเงินที่เขาควรจะได้รับในปี 2537 เท่ากับเท่าใดตอนที่ 2 ข้อ 1 – 24 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ x 2 < 8x + 20ถ้า A = {x∈ S | x เป็นจํานวนเฉพาะบวก } และ B = {x∈ S | x เป็นจํานวนเต็มคี่ }แล้ว (A × B) − (B × A) มีจํานวนสมาชิกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 11 2. 15 3. 21 4. 23Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET436ขอสอบเขาฯ มี.ค.432. ให้ S = {0, 1, 2, ..., 7}และ นิยาม a ∗ b = เศษเหลือจากการหารผลคูณ ab ด้วย 6 ทุก a, b ∈ Sพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. x ∗ 1 = x ทุก x ∈ S ข. {4 ∗ x | x ∈ S} = {0, 2, 4}ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด3. นิเสธของข้อความ ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)] คือข้อความในข้อใดต่อไปนี้1. ∀x[P(x) → ~Q(x)]2. ∃x[~P(x) → Q(x)]3. ∀x[P(x) → Q(x)]4. ∃x [Q (x) → P (x)]4. กําหนดให้ เหตุ 1) ~p → ~q3) q∨t2) p →(r ∨ s)4) ~tผลในข้อใดต่อไปนี้ทําให้การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล1. s → r2. s → ~r3. r → ~s4. ~r→s215. กําหนดให้ r = {(x,y)| y = 9− x } และ = =2s {(x,y)| y }x − 9พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. Dr∩ Rs − 1 = ∅ ข. Rr∪ Ds−1 = (0, ∞ )ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด3 26. กําหนดให้ f(x) = ax + x + x+ b เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง และ f(1) = 3, f(1) ′ = 0 ถ้าg (x) = f ′′(x)แล้ว (g f)( −1)มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 16 2. − 4 3. 4 4. 167. ถ้าสามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC = 45° , มุม ACB = 60° และด้าน AC ยาว 20 นิ้ว แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 300 23 1 +3. 200 23 1 +ตารางหน่วย 2. 300 33 1 +ตารางหน่วย 4. 200 33 1 +ตารางหน่วยตารางหน่วย8.1 3 3 1 4 4sec ⎜⎛ (arcsin + arccos ) ⎟⎞ + tan ⎛ ⎜ (arcsin + arccos )⎞ ⎟⎝2 5 5 ⎠ ⎝2 5 5 ⎠มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 2. 3 3. 1+ 2 4. 2+3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET437ขอสอบเขาฯ มี.ค.439. กําหนดให้เส้นตรง 3x − 4y − 5 = 0 ขนานกับเส้นตรง x + ky + 5= 0 เมื่อ k เป็นจํานวนจริงถ้าวงกลมซึ่งมีเส้นตรงทั้งสองนี้เป็นเส้นสัมผัส มีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน y และผ่านจุด (a, 1/ 4)แล้ว a เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 6/2 2. 7/2 3. 2 4. 310. ให้ C เป็นวงกลม x 2 + y 2 −2x − 4y − 20= 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และมีรัศมี rสมการพาราโบลาซึ่งมี (h, k) เป็นจุดยอด และ x = r เป็นสมการไดเรกตริกซ์ คือข้อใดต่อไปนี้11. log31.2y 4y 20x 16 0− + − = 2. 23.2y 4y 16x 12 0− + − = 4. 23 + 3 27( 3 + 5 3 + 6)3log (3 2)1/ 41. 3มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้y + 4y −16x − 12=0y − 4y + 16x − 14 = 01log (34 − + 2)1 1 log 194 44 − + 2. 1/2333. − 1 log 3 194. − 34 4⎡ cos 2x − sin x cos x⎤12. กําหนดให้ A = และ⎢ 2sin3x cos3x ⎥⎣⎦2S = { x ∈[0, ] | 2 det(A ) − 3 3 det(A) + det( 3 I) = 9π เมื่อ I คือเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ× ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 π2. 3 π3. 4 π4. 5 π66662 2}13. แม่ค้าคนหนึ่งทําขนมขายส่งสองชนิด โดยขายขนมชนิดแรกราคาชิ้นละ 12 บาท ชนิดที่สองราคาชิ้นละ 10 บาท ถ้าแม่ค้าทําขนมชนิดแรก x ชิ้น และชนิดที่สอง y ชิ้น โดยมีอสมการข้อจํากัดดังนี้x > 0, y > 0 5x + 6y < 15000 และ 3x + 2y < 6000แล้ว แม่ค้าจะขายขนมได้เงินสูงสุดเมื่อขายขนมทั้งสองชนิดรวมกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2575 ชิ้น 2. 2625 ชิ้น 3. 2875 ชิ้น 4. 3205 ชิ้น14. ให้ u = i + 3j, v = 2i + jถ้า θ เป็นมุมระหว่าง (u + v) และ (u − v) แล้ว cos θ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.152. 2 53. 1 515. กําหนดให้ u − v = 3 และ u ⋅ v = − 2 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. u + v เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย2ข. u +2v = 3ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด4. 2 5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET438ขอสอบเขาฯ มี.ค.4316. ถ้า z 1 = cos 12° + i sin 12° และ z 2 = − cos 16° − i sin 16°แล้ว⎛ z1⎞⎜ ⎟⎝z2⎠1.15เท่ากับข้อใดต่อไปนี้− 1+3 i22. 1 + 3 i23.− 3 + i24.−3 − i217. ให้ z, 1 z 2 , z 3 , z 4 เป็นรากของสมการ z 4 + z 2 + 2=0z1 + z2 + z3 + z4มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 2. 45/23. 2 4. 29/418. ถ้าลําดับเลขคณิต a 1 , a 2 , a 3 , ... มีพจน์ที่ 10 และพจน์ที่ 15 เป็น − 19 และ − 34ตามลําดับ แล้ว ∑ 20(a i + 2 i) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้i=11. − 30 2. − 15 3. 10 4. 203 219. กําหนดให้ f(x) = x + cx − 9x เมื่อ c เป็นจํานวนจริง ถ้าค่าวิกฤตค่าหนึ่งของ f คือ 1 แล้วf เป็นฟังก์ชันลดในเซตใดต่อไปนี้1. (3,1) − 2. ( −∞, −3) ∪(1, ∞ )3. (1,4) − 4. ( −∞, −1) ∪(4, ∞ )220. ให้ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f โดยที่ f(x) = 3x − 6x + 3 ถ้า F(0) = − 1 และ F มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วง [0, 2] ที่จุด x = c แล้ว F(c) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 12. 0 3. 1 4. 221. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ g(x) = (x+1)f(x)2ถ้า ∫ g(x)dx = x − x + c แล้ว f(1) ′ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3 42. 5 43. 3 24. 5 222. ในโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬาบาสเกตบอลรวมกัน 30 คน เป็นนักกีฬาฟุตบอล 17 คน และนักกีฬาบาสเกตบอล 18 คน ถ้าจะเลือกประธานกีฬาของโรงเรียน 1 คน และรองประธานกีฬา 1 คน จากนักกีฬากลุ่มนี้ โดยที่ประธานต้องเป็นทั้งนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬาบาสเกตบอล แล้วจํานวนวิธีการเลือกดังกล่าวมีทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 125 2. 130 3. 145 4. 15023. ถ้าต้องการเขียนจํานวนที่มี 7 หลัก โดยใช้ตัวเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และให้มีเลขโดด 3,4, 5 อยู่ติดกันตรงกลางระหว่างเลขโดดคู่และเลขโดดคี่ โดยแต่ละจํานวนไม่มีเลขซ้ํา แล้วจะเขียนได้ทั้งหมดเป็นจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 8 2. 16 3. 24 4. 48Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET439ขอสอบเขาฯ มี.ค.4324. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้น ม.6 จํานวน 300 คน สมชาย สมศักดิ์และสมศรี เป็นนักเรียนชั้น ม.6 ของโรงเรียนนี้ โดยที่เกรดเฉลี่ยของสมชายอยู่ในตําแหน่งเดไซล์ที่ 8.15เกรดเฉลี่ยของสมศักดิ์คิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1นักเรียนชั้น ม.6 ที่ได้เกรดเฉลี่ยมากกว่าสมศรีมีจํานวน 50 คนถ้าสมมติว่าเกรดเฉลี่ยของนักเรียนชั้น ม.6 มีการแจกแจงปกติ ข้อใดต่อไปนี้เป็นรายชื่อนักเรียนเรียงลําดับจากคนที่ได้เกรดเฉลี่ยมากที่สุดไปน้อยที่สุด(กําหนดพื้นที่ใต้โค้งปกติ z=0 ถึง z=1 มีค่าเท่ากับ 0.3413)1. สมชาย สมศักดิ์ สมศรี 2. สมศักดิ์ สมศรี สมชาย3. สมศรี สมศักดิ์ สมชาย 4. สมศักดิ์ สมชาย สมศรีตอนที่ 3 ข้อ 25 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 4 คะแนน25. ให้ f, g : R > R กําหนดโดยf(x) =xx + 1และ g(x) = จํานวนเต็มซึ่งน้อยที่สุด ที่มากกว่าหรือเท่ากับ x(เช่น g(1.01) = 2, g( − 6) = − 6, g( − 7.99) = − 7 เป็นต้น)ถ้า F(x) = (f g)(x) และ G(x) = (g f)(x) แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นเท็จ1. D F = ( −∞, ∞ )2. R F = (0,1)3. G(x) = 1 เมื่อ x > 04. G(x) = 0 เมื่อ x < 026. ถ้า2⎧ >x , x 1⎪f(x) = ⎨x − 1, 0 < x < 1⎪⎩ 0 , x < 0⎡f(x − 1) ⎤lim f (x ) + lim ⎢ ⎥⎣ x + 2 ⎦แล้ว2x→0 −x→1+1.เท่ากับข้อใดต่อไปนี้4− 2. − 1 3. 0 4. 1 3327. กล่องใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 5 ลูก สีเขียว 3 ลูก สีน้ําเงิน 2 ลูก ถ้าหยิบลูกหินอย่างสุ่มครั้งละ 1ลูก โดยไม่ใส่คืน 3 ครั้ง แล้วความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกหินสีเดียวกันอย่างน้อย 2 ลูก มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.1242. 23243. 1 44. 3 4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET440ขอสอบเขาฯ มี.ค.4328. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1 , x 2 , x 3 , ..., x 20 โดยมีสมบัติดังนี้202∑ (xi− 5) = 500 , 20 ii=1i=1และ 20 2(xi− b)i=1∑ |x − a| มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ a = 5∑ มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ b = 8ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่าค่ามัธยฐาน2. ผลรวมของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 1003. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 54. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 50%เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 128 (2) 0.25 (3) 0.1 (4) 0.75 (5) 75 (6) 1080ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 3 (3) 3 (4) 4 (5) 2 (6) 1 (7) 4 (8) 3 (9) 4(10) 3 (11) 1 (12) 4 (13) 2 (14) 1 (15) 2 (16) 1 (17) 4 (18) 3 (19) 1(20) 3 (21) 1 (22) 3 (23) 4 (24) 2ตอนที่ 3 (25) 2 (26) 1 (27) 4 (28) 4เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) B = {0, ± 1, ± 4, ± 9, ± 16} → n(B) = 9จํานวนแบบของ Cมีตัวอิสระให้เลือก 7 ตัว ตอบ 7x3x 1 5x 1 ⎛75 ⎞ 25(2) 2 ⋅ 25 = =⊂ B โดย 0 ∈ C และ 1 ∉ C2 = 128− − ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠4x −1 4x −1 → 2 ⋅ 25 = 14x −1→ (50) = 1→ 4x − 1 = 0 → x = 0.25 ตอบ(3) C 13 (A) =−20541 2= − 4, C 23 (A) = −12= − 6(ตําแหน่ง C 23 อย่าลืมใส่ลบ)−4 −6∴ B =⎡ ⎤⎢ ⎣ 3 2 ⎥ ⎦−1 1 1และdet(B ) = = = 0.1det(B) − 8 + 18(4) นับจํานวนวิธีที่ผลรวมหารด้วย 4 ลงตัวก่อนคือ ผลรวมเป็น 4, 8, หรือ 12ได้แก่ (1, 3) (3, 1) (2, 2) (2, 6) (6, 2) (3, 5)(5, 3) (4, 4) (6, 6) มีอยู่ 9 วิธีตอบ91 − = 0.756 × 6xตอบ(5) Y a 0.75X→ 60 = a + 0.75(40) → a = 30= + ด้วย∴ Ŷ = 30 + 0.75X → ถ้า x = 60 จะได้Ŷ = 30 + 0.75(60) = 75 ห้อง ตอบ(6) ปี 2536 ได้ 900 บาท100คิดเป็นรายได้แท้จริง 900 × = 1,000 บาท90∴ ปี 2537 มีรายได้แท้จริง 1,000 บาทด้วย108คิดเป็นตัวเงิน 1,000 × = 1,080 บาท ตอบ100ตอนที่ 22(1) S; x −8x −20 < 0 → (x − 10)(x + 2) < 0นั่นคือ S = [ − 2,10]A = {2,3,5,7} B = { − 1, 1, 3, 5, 7, 9}∴ n(A × B) = 4 × 6 = 24จากนั้นหาว่า (A × B) กับ (B A)× มีตัวซ้ํากันกี่ตัวเนื่องจาก A ∩ B = {3,5,7} ดังนั้น ใน A × B กับB × A จะมีตัวซ้ํากัน 3 × 3 = 9 ตัว[ได้แก่ (3, 3) (3, 5) (3, 7) (5, 3) (5, 5) (5, 7)(7, 3) (7, 5) และ (7, 7)]ตอบ 24 − 9 = 15Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET441ขอสอบเขาฯ มี.ค.43(2) ก. ผิด เพราะว่า 6 ∗ 1 = 0, 7 ∗ 1 = 1ข. ถูก เพราะ 4 ∗ 0 = 0, 4 ∗ 1 = 4, 4 ∗ 2 = 24 ∗ 3 = 0, 4 ∗ 4 = 4, 4 ∗ 5 = 24 ∗ 6 = 0, 4 ∗ 7 = 4ตอบ ก. ผิด ข. ถูก(3) ~ ∃x [P(x) ∧ ~ Q(x)] ≡ ∀x [~ P(x) ∨ Q(x)]≡∀x [P(x) → Q(x)] ตอบ(4) จากเหตุ 3 คือ q∨ t กับเหตุ 4 คือ ~t สรุปได้ว่า q ...จากนั้นนําไปรวมกับเหตุ 1 คือ ~p → ~qได้เป็น p ...สุดท้ายไปรวมกับเหตุ 2 คือ p →(r ∨ s)ได้ผลเป็น r s ~r s∨ ≡ → ตอบ(5) ดู r ก่อน;D r คิดจาก2 2ดังนั้น D r = [ − 3,3]9 − x > 0 → x − 9 < 0ส่วน R r คิดจาก x 2 0> เสมอ22< − < ดังนั้น r∴ 0 9 x 3ต่อมา ดู S บ้าง;→ 9 − x < 9R = [0,3]R 1S − คือ D S คิดจาก x 2 − 9 > 0 (ห้ามเป็น 0)ดังนั้น R − 1 = ( −∞, −3) ∪(3, ∞ )SD 1S − คือ R S คิดจาก x 2 − 9 > 021→ x − 9 > 0 → > 02x − 9ดังนั้น 1D − = (0, ∞ )S∴ ก. Dr∩ R 1S − = ∅ข. Rr∪ D −1= [0, ∞ ) ตอบ ข้อ ก. ถูก ข. ผิดS(6) f(1) = 3 → a + 1 + 1 + b = 3f(1) ′ = 0 → 3a + 2 + 1 = 0ดังนั้น a =− 1 และ b = 23 2∴ f(x) =− x + x + x + 22f(x) ′ =− 3x + 2x + 1 และ g(x) = f ′′(x) =− 6x + 2→ (gof)( − 1) = g(f( − 1)) = g(3) = − 16 ตอบ(7)20 นิ้วC 60°จะได้ ABC ˆ = 180° − 45° − 60° = 75°หาความยาว AB ได้จากกฎของไซน์sin CABA45°sin BAC→ = ... ซึ่ง sin B sin 75B= °= sin45° cos 30° + cos 45° sin30° =ฉะนั้นกฎของไซน์จะเป็นดังนี้sin 60° sin 75°20 ( 3/2)= → AB =AB 20 ⎛ 3 + 1 ⎞⎜2 2 ⎟⎝ ⎠จัดรูปได้พื้นที่Δ=AB =20 63 + 11 (AB)(AC)(sin A)21 20 6 1 200 3= ⎛ ⎞ (20)⎛ ⎞2 ⎜=3 1⎟⎜ ⎟⎝ + ⎠ ⎝ 2⎠3 + 13 + 12 2ตอบ(8) จากการสังเกต จะพบว่าarcsin + arccos = 90°เสมอ เมื่อ 0 < < 13 3เช่น arcsin + arccos = 90 ° ,5 54 4arcsin arccos 905 5B5+ = ° ดังรูป 4A3[ถ้าไม่ทราบ จะเปลี่ยนเป็น arctan แล้วคํานวณก็ได้]1 1∴ sec ⎜ ⎛ × 90° ⎟ ⎞ + tan ⎜ ⎛ × 90°⎟⎞⎝2 ⎠ ⎝2⎠= sec 45°+ tan 45°= 2 + 1 ตอบ(9) เส้นตรง 3x − 4y − 5 = 0 ขนานกับx + ky + 5 = 0 ... นํา 3 คูณสมการหลังจะได้3x + 3ky + 15 = 0 → นั่นคือ 3x − 4y + 15 = 0อย่างแน่นอน (ให้ 3k = − 4 ความชันจึงเท่ากัน)15 − ( −5)ระยะห่างระหว่างเส้นตรง = 4 หน่วย2 2→ จะหาวงกลมรัศมี 2 หน่วยซึ่งอยู่ในเส้นคู่ขนานนี้ แสดงว่าจุดศูนย์กลางอยู่ตรงกลางเป๊ะเส้นแรกตัดแกน y ที่เส้นหลังตัดแกน y ที่ดังนั้นจุด C มีพิกัด→ สมการวงกลม คือ3 + 45(0, − ) ,415(0, )45(0, )4 [จุดกึ่งกลาง]22 5 2⎛ ⎞x + ⎜y − ⎟ = 2⎝ 4 ⎠22 21 ⎛ 1 5⎞ผ่านจุด (a, ) → a + ⎜ − ⎟ = 24 ⎝4 4⎠2→ a = 4 − 1 = 3 → a = 3 ตอบL 2L 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET442ขอสอบเขาฯ มี.ค.43(10) จัดรูปสมการวงกลม2 2(x − 2x + 1) + (y − 4y + 4) = 20 + 1 + 42 2 2→ (x − 1) + (y − 2) = 5∴ (h, k) = (1, 2), r = 5 →หาพาราโบลาที่จุดยอดอยู่ที่(1, 2) และมีไดเรกตริกซ์เป็น x = 5 → แสดงว่าเปิดซ้ายดังรูป และ c =− 42จาก (y − k) = 4c(x − h)2จะได้ (y − 2) = −16(x − 1)2→ y − 4y + 4 = − 16x + 162→ y − 4y + 16x − 12 = 0 ตอบ(11) พิจารณา3/4 3/43 + 3 27 = 3 + 3 (3 ) = 3 (1 + 3 )และ 3 + 5 3 + 6 = ( 3 + 2)( 3 + 3)1/4 1/4 1/4 3/4 1/4= (3 + 2)(3 + 3) = (3 + 2)(1 + 3 )(3 )ดังนั้น จากโจทย์= log3⎛3/43(1+3 ) ⎞⎜⎟⎜ 1/ 4 3/ 4 1/ 4(3 + 2)(1 + 3 )(3 ) ⎟⎝⎠⎛3/43 ⎞ 31/ 4= log3 = − log1/ 43(3 + 2)⎜3 2⎟⎝ + ⎠ 4ตอบ(12) det(A) = cos2xcos3x + 2sinxcosxsin3xซึ่ง 2 sin x cos x = sin 2xดังนั้น det(A) = cos(3x − 2x) = cos x2จาก 2A − 3 3A + 3I = 92→ 2cos x − 3 3cosx + 3 = 9= = )(อย่าลืม23I ( 3) I 32→ 2cos x − 3 3cosx − 6 = 0→ (2 cos x + 3)(cos x − 2 3) = 03→ cos x = − เท่านั้น2(13) P = 12x + 10y(0, 2500) → P = 25,000(2000, 0) → P = 24,000(750, 1875) → P = 27,750π5∴ x =6เป็น P max ดังนั้นตอบ 750 + 1,875 = 2,625 ชิ้น(14) u + v = 3i + 4jและ u − v = − i + 2jหามุมระหว่างกันได้จากการดอท→ (3)( − 1) + (4)(2) = (5)( 5) cos θ5 1∴ cos θ = = ตอบ5 5 521 5ตอบ2500 (750,1875)O 20002 2(15) u − v = 3 → u + v − 2u ⋅ v = 92 2แทนค่า u ⋅ v =− 2 จะได้ u + v = 5ดังนั้น ข. ผิดต่อมา หาขนาดของ u+ v บ้าง2 2u + v + 2u ⋅ v = 5 + 2( − 2) = 1แสดงว่า ก. ถูก ตอบ(16) z 1 = 1∠ 12 ° , z 2 = −1∠ 16°15 15z11 (12 16 ) ( 1 ( 4 ))15⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ ⎜ ⎟ = ⎜− ∠ °− ° ⎟ = − ∠ − °⎝z2⎠ ⎝ 1⎠= −1 ∠( − 60) ° = − cos( − 60) ° − isin( − 60) °− 1 + 3 i=− cos 60°+ i sin 60°= ตอบ2(17) 4 2 z z 2 0+ + = ใช้สูตรหาคําตอบได้เป็น2 − 1 ± 1 − 8 1 7z = = − ± i2 2 222 ⎛ 1⎞⎛ 7 ⎞ดังนั้น z = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠1/ 4→ z = 2 [เท่ากันทั้งสี่คําตอบเสมอ]ตอบ(18) 19 a19d1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 9/ 42 2 2 2 4 2 2+ + + = ⋅ =− = + และ 1จะได้ d = − 3 กับ a 1 = 82− 34 = a + 14d∴ รูปทั่วไป a n = 8 + (n − 1)( − 3) = 11 − 3nโจทย์ถามi=120 20∑ ∑(a + 2i) = (11 − 3i + 2i)ii= 1 i=1=2020(21)(11 − i) = 220 − 102=∑ ตอบ(19) ค่าวิกฤตเป็น 1 แสดงว่า f(1) ′ = 02→ 3(1) + 2c(1) − 9 = 0 → c = 32ดังนั้น f(x) ′ = 3x + 6x − 92หาช่วงที่เป็นฟังก์ชันลด คือ 3x + 6x − 9 < 0→ 3(x + 3)(x − 1) < 0 ตอบ ช่วงเปิด ( − 3,1)3 2(20) F(x) = x − 3x + 3x + C → F(0) = − 1แสดงว่า C = − 1 ...หาค่าสูงสุดสัมบูรณ์2F(x) ′ = f(x) = 3x − 6x + 3 = 0 → x = 1, 1มี 1 ซ้ําสองครั้งแสดงว่าเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าเท่านั้นไม่ใช่จุดสูงสุดต่ําสุด→ จึงเช็คที่ปลายช่วงF(0) = − 1, F(2) = 1ดังนั้น ตอบ ค่าสูงสุดคือ 11O-11 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET443ขอสอบเขาฯ มี.ค.43d 2(21) g(x) = (x − x + c) = 2x − 1dx2x − 1(x + 1)(2) −(2x −1)(1)∴ f(x) = และ f(x) ′ =2x+1(x + 1)(2)(2) − (1)(1) 3→ f(1) ′ = = ตอบ22 4(22)xx = 17 + 18 − 30 = 5 คนฟุต17 บาส18∴ เลือกประธานได้ 5 แบบเลือกรองประธานจากคนอื่นที่เหลือ ได้ 29 แบบตอบ 5 × 29 = 145(23) 345 Δ Δสลับภายในแต่ละกลุ่ม ได้ 2!, 3!, 2! ตามลําดับและยังสลับระหว่างกลุ่มเลขคู่กับเลขคี่ได้ 2 กรณีจึงได้ (2 ! 3 ! 2 !) × 2 = 48 จํานวน ตอบ(24) แปลงทุกคนเป็นเดไซล์ → สมชาย D 8.15สมศักดิ์ z = 1 → A = 0.3413 ทางขวา → D8.413สมศรี มีคนน้อยกว่าสมศรีอยู่250 100300 ×= 83.33% → D 8.333ดังนั้น ตอบ สมศักดิ์ สมศรี สมชายตอนที่ 3(25) พิจารณา เฉพาะ f(x) กับ g(x) ก่อนD f= R เพราะว่า x เป็นอะไรก็ได้≠− อยู่แล้ว)( x 1R f = ( − 1,1) จากการลองแทนค่าดูจะพบว่าxx + 1นั้นเป็นเศษส่วนที่อยู่ระหว่าง -1 กับ 1 เสมอD g = R เพราะว่า x เป็นอะไรก็ได้(g เป็นฟังก์ชัน “ปัดขึ้น”)R g = I เพราะไม่ว่า x เป็นอะไร g(x) จะเป็นจํานวนเต็มเสมอ1. D fog = R ถูกเพราะไม่ว่า x เป็นอะไรก็หา fog ได้2. R fog = (0,1) ผิด ต้องได้ (1,1) − ตอบ ข้อ 2.3. (gof)(x) = 1 เมื่อ x > 0 ถูกเพราะ f(x) = ถูกปัดขึ้นเป็น 1 จริง+ 14. (gof)(x) = 0 เมื่อ x < 0 ถูกเพราะ f(x) =− ถูกปัดขึ้นเป็น 0 จริง+ 1(26)2 22 2 2− + +x→ 0 x →0 x →0lim f(x ) = lim f(x ) = lim (x − 1) = − 1⎛f(x − 1) ⎞ ⎛f(x − 1) ⎞และ lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟x→1 + ⎝ x + 2 ⎠ x−1→0+⎝ x + 2 ⎠(x − 1) − 1 1= lim=−x→1 x + 2 3x−1→0ดังนั้น ตอบ(27) คิดจาก วิธีทั้งหมด - หยิบได้สีไม่ซ้ําเลย⎛5⎞⎛3⎞ ⎛2⎞⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟3!3= 1 −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=10 × 9 × 8 4ตอบ4−3(28) Σ xi− a น้อยสุด แสดงว่า a = Med = 5i2Σ(x − b) น้อยสุด แสดงว่า b = X = 8ดังนั้น ข้อ 1. ผิดข้อ 2. Σ x = NX = (20)(8) = 160 (ผิด)2ต่อมา จาก Σ(x − 5) = 5002→Σx −10Σ x +Σ 25 = 500i2→Σx − 10(160) + (500) = 5002จะได้ Σ x = 1,6002Σx 2 1,600 2s = − X = − 8N 20= 80 − 64 = 4 → ข้อ 3. ผิดs∴ ข้อ 4. สัมประสิทธิ์การแปรผัน =X4= = 0.5 (หรือ 50%) ตอบ ข้อ 4.8Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET444ขอสอบเขาฯ ต.ค.43¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ µ.¤.43 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ A, B, C เป็นเซต โดยที่ A ∩B ⊂ B∩Cถ้า n(A) = 25, n(C) = 23, n(B ∩ C) = 7, n(A ∩ C) = 10 และ n(A ∪B ∪ C) = 49 แล้ว n(B)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 11 2. 14 3. 15 4. 182. กําหนดให้ A = {x | x − 4 > 5}B = {x | x + 3 − x < 1}ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. A ∪ B = ( −∞, −1) ∪(1, ∞ )2. (A ∩ B) ' = (9, ∞ )3. B − A = [1,9)4. A − B = ( −∞, − 1)3. ให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ ถ้าประพจน์ (p ∧ q) →(r ∨ s) มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ1. (p ∧r) ↔(s ∧ t)2. (p ∧ s) →(q ∨ t)3. (p ∧ s) ∨(r ∧ t)4. (r →p) ∧(s → t)4. กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือ U = {2n | n ∈ I + } เมื่อ I + เป็นเซตของจํานวนเต็มบวกพิจารณาข้อความต่อไปนี้2x+3 xก. ∃x[2 − 18(2 ) + 4 = 0] มีค่าความจริงเป็นจริงข. ∃ x[log 2(x + 2) + log 2(x − 1) = 2] มีค่าความจริงเป็นจริงข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด25. ให้ f(x) = (x + 1) และ g(x) = x + 1Dfog∩ R' gof คือเซตในข้อใดต่อไปนี้1. [0, 1) 2. [0, 2) 3. [1, ∞ ) 4. [2, ∞ )6. ให้ A = {1,2,3,4,5} และ B = {a,b}และให้ S = {f | f : A > B เป็นฟังก์ชันทั่วถึง }จํานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 22 2. 25 3. 27 4. 30Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET445ขอสอบเขาฯ ต.ค.437. ถ้า (f g)(x) = 3x − 14 และ1f( x 2) x 23 + = − แล้ว1(g − f)(x) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3x − 4 2. 3x − 6 3. 3x − 8 4. 3x − 108. ถ้า3sin xtan x5⎛ ⎡cosec x sec x⎤⎞det ⎜2⎢ 1 cos x⎥⎟⎣⎦= และ34= − แล้วเท่ากับข้อใดต่อไปนี้⎝ ⎠1. − 2.161− 3.32− 4. − 139. ถ้า1 1arctan x arctan 2 arctan4 2sin(180 arctan x)= − แล้ว°+ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.135 172. 165 173.−135 174.−165 17210. กําหนดให้ P เป็นพาราโบลา y = x และ L เป็นเส้นตรง x − y − 2 = 0ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่าง P และ L มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 7 2 หน่วย 2. 7 7 27หน่วย 3. หน่วย 4. หน่วย88 16 1611. กําหนดวงกลม C มีจุดศูนย์กลางที่ ( − 1,2) และสัมผัสแกน x ที่จุด Pเส้นตรง L ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม C และมีความชันเป็น 1 ถ้า Q เป็นจุดตัดของC และ L ที่อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 แล้ว กําลังสองของระยะ PQ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 6− 4 2 หน่วย 2. 7 − 4 2 หน่วย3. 8− 4 2 หน่วย 4. 9− 4 2 หน่วย12. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของสมการxและ B เป็นเซตคําตอบของสมการ log x3xx=33log 3 x= 9xถ้า C = {ab | a ∈ A และ b ∈ B} แล้วเซตในข้อใดต่อไปนี้เป็นสับเซตของ C− 1/ 3 2− 1/ 3 4/ 31. {3 ,3 }2. {3 ,3 }− 1/ 3 2/ 3{3 ,3 } 4. {3 ,3 }3.4/3 22x x+213. กําหนดให้เส้นโค้ง y = 2 −2 − 45 ตัดแกน x ที่จุด A ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุดB(0,b) ขนานกับเส้นตรง y = (log32)x − 4 แล้ว b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 2. 1 3. − 14. − 214. ให้ A, B และ C เป็นเมตริกซ์มิติ 3× 3 ถ้า det (A) = − 3 และ AB t − 2AC t t = − 3A −1แล้ว− เท่ากับข้อใดต่อไปนี้tdet (2C B )1. 3 − 2. 1 − 3. 1 4. 3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET446ขอสอบเขาฯ ต.ค.4315. บริษัทแห่งหนึ่งผลิตเก้าอี้โยกมีกําไร 50 บาท/ตัว และผลิตเก้าอี้นั่งธรรมดามีกําไร 30 บาท/ตัวถ้าบริษัทผลิตเก้าอี้โยก x ตัว/วัน และเก้าอี้นั่งธรรมดา y ตัว/วัน แล้วจะมีเงื่อนไขการผลิตดังนี้6x + 3y < 900 และ 3x + 4y < 600แล้ว บริษัทจะมีกําไรมากที่สุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 4, 500 บาท/วัน 2. 7, 500 บาท/วัน3. 7, 800 บาท/วัน 4. 9, 500 บาท/วัน16. ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ และ θ เป็นมุมระหว่าง u และ vถ้า u + v ตั้งฉากกับ u − 2v และ u + 2v ตั้งฉากกับ 2u − vและ u = 2 แล้ว cos θ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้−1−11.2.3.106−144.−1217. กําหนดให้ z 1 และ z 2 เป็นจํานวนเชิงซ้อนที่ 2z1z2 = 1 + z26และπ πz = (cos + isin ) ข้อใดต่อไปนี้คือ อินเวอร์สการคูณของ z 211.18 183i12 2− 2.1 3i2 2+ 3. 3i 4. − 3i18. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อน ซึ่ง z = 3 − 4i และ z − 1 = 30 แล้วส่วนจินตภาพของ z อยู่ในเซตใดต่อไปนี้1. { − 4,4} 2. { − 21, 21} 3. { − 3,3} 4. { − 24, 24}3 219. ให้ f(x) = x − x + g(x) และ f ′(2) = f (2) = 2แล้ว ⎛g ⎞ ′⎜ ⎟ (2)⎝ f ⎠มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 22. 1/2 3. 0 4. 220. ให้ 5, x, 20, ... เป็นลําดับเลขคณิตที่มีผลบวกของ 12 พจน์แรกเป็น a และ5, y, 20, ... เป็นลําดับเรขาคณิตที่มีพจน์ที่ 6 เป็น b โดยที่ y < 0 แล้ว a + b มีค่าเท่าใด1. 205 2. 395 3. 435 4. 84521. ถ้า ∑ 10 xi= −8, ∑ 10 yi= 4 และ ∑ 10 (5 − x i)(y i+ 2) = 76 แล้ว ∑ 10 (xiy i)มีค่าเท่ากับข้อใดi=1i=1i=1i=1ต่อไปนี้1. − 60 2. − 30 3. 30 4. 603 222. กําหนดให้ f(x) = ax − 4x + 1 เมื่อ a เป็นค่าคงตัว และถ้า g(x) มีลิมิตที่ 1 แล้ว a เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0 2. 5 23. 8 3⎧f(x) , x > 1⎪g (x) = ⎨f ′ (x) , x < 1⎪⎩0 , x = 14. 3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET447ขอสอบเขาฯ ต.ค.4323. ถ้าเส้นโค้ง y = f(x) ผ่านจุด (0, 1) และ (4, c) เมื่อ c เป็นจํานวนจริง และความชันของเส้นโค้งนี้ที่จุด (x, y) ใดๆ มีค่าเท่ากับ x − 1 แล้ว c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 4 32. 7 33. 8 4. 924. ในการจัดคน 6 คน ซึ่งมีนาย ก และนาย ข รวมอยู่ด้วย เข้าพักในห้อง 3 ห้อง โดยที่ห้องที่หนึ่งพักได้ 3 คน ห้องที่สองพักได้ 2 คน และห้องที่สามพักได้ 1 คน ความน่าจะเป็นที่นาย ก และนายข จะได้พักห้องเดียวกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1152. 3153. 4 154. 5 1525. กล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 5 ใบ หมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 หยิบบัตร 2 ใบโดยหยิบทีละใบแบบไม่คืนที่ให้ x เป็นหมายเลขบัตรใบแรกที่หยิบได้ และ y เป็นหมายเลขบัตรใบที่สองที่หยิบได้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ x < y และ 4< xy < 12 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 52. 2 53. 3 54. 4 526. ค่าแรงงานต่อวันของคนงานกลุ่มหนึ่งจํานวน 8 คน เป็น 150, 152, 158, 168, 170, 177, 180,185 บาท ถ้าสุ่มเลือกคนงานจากกลุ่มนี้มา 2 คนแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้คนงานอย่างน้อยหนึ่งคนที่มีค่าแรงงานต่อวันต่ํากว่าค่าแรงงานเฉลี่ยของคนงานกลุ่มนี้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3142. 5 143. 9 144. 111427. ถ้า y = mx + c เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเพื่อการทํานายรายจ่ายหมวดบริการลูกค้า ( y )จากจํานวนพนักงานของโรงแรม ( x ) ในจังหวัดหนึ่ง และจํานวนข้อมูลทั้งหมดที่นํามาสร้างความสัมพันธ์เท่ากับ 5 โดยมีสมการปกติดังนี้28 = 5c + 10m ___(1) และ 67 = 10c + 30m ___(2)พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า x = 5 ค่าประมาณของ y = 8.9ข. x = 5.6ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด28. กําหนดข้อมูลสองชุดดังนี้ชุดที่หนึ่ง คือ 5, 8, 6, 7, 9 ชุดที่สอง คือ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5ถ้าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดที่หนึ่งเป็น 2 เท่าของข้อมูลชุดที่สอง และความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่สองเท่ากับ 9 แล้ว ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่สองเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 21 2 2. 42 2 3. 18 4. 16Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET448ขอสอบเขาฯ ต.ค.43ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. ถ้า A = { ∅ ,0,1,{0,1}}และ B = { ∅, { ∅ }, {0, {0, 1}}, {0, {1}}}แล้ว เซต P(A) − B มีจํานวนสมาชิกเท่าใด2. ให้ x, y, z เป็นจํานวนเต็มบวกที่มีค่าเรียงติดกันจากน้อยไปมากถ้า y เป็นจํานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทําให้ 3 x + y + z เป็นจํานวนเต็มบวกแล้ว y มีค่าเท่าใด3. ถ้าเท่าใดA⎡3 2⎤= ⎢ 2 2 ⎥แล้ว −1 −1 2 −1 3 −1 6det(4(A )) + det(4(A )) + det(4(A ) ) + ... + det(4(A ) ) มีค่า⎣ ⎦4. กําหนดจุด A(3, − 2),B(9,4) และ O(0,0) ถ้าแบ่งส่วนของเส้นตรง AB เป็น 3 ส่วนเท่าๆ กันที่จุด C และ D แล้ว ÕC ⋅ÕD มีค่าเท่าใด5. ให้ f(x) =2x − c โดยที่ c เป็นค่าคงตัว ซึ่ง c > 4ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = f(x) จาก x = − 2 ถึง x = 1 เท่ากับ 24 ตารางหน่วยแล้ว c มีค่าเท่าใด6. จํานวนเลขสามหลักซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว และตัวเลขหลักสิบแตกต่างจากตัวเลขหลักร้อย มีจํานวนทั้งหมดเท่าใด7. อายุของคนงานกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น x และความแปรปรวนเป็น s 2 สมหวังมีอายุ x − 0.51s ปี จํานวนคนในกลุ่มนี้ที่มีอายุน้อยกว่าสมหวังมีจํานวนเป็นร้อยละเท่าใด (พื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่าง z=0 และ z=0.51 เท่ากับ 0.195)8. ราคาและปริมาณสินค้า 3 ชนิดที่ร้านค้าแห่งหนึ่งจําหน่ายในปี พ.ศ. 2541 และปี พ.ศ. 2542เป็นดังตารางชนิดสินค้าปริมาณ (หน่วย) ราคาต่อหน่วย (บาท)2541 2542 2541 2542หม้อหุงข้าว 15 20 500 500กระติกน้ําร้อน 10 8 300 450พัดลม 80 100 400 xถ้าดัชนีราคาถ่วงน้ําหนักแบบใช้ราคารวมโดยวิธีของพาเช่อ ของปี พ.ศ. 2542 เมื่อใช้ปี พ.ศ. 2541เป็นปีฐาน เท่ากับ 126 แล้ว ราคาของพัดลมในปี พ.ศ. 2542 เป็นเท่าใด (บาท)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET449เฉลยคําตอบขอสอบเขาฯ ต.ค.43ตอนที่ 1 (1) 4 (2) 4 (3) 3 (4) 3 (5) 1 (6) 4 (7) 2 (8) 2 (9) 1(10) 1 (11) 3 (12) 2 (13) 4 (14) 4 (15) 3 (16) 1 (17) 4 (18) 2 (19)1 (20) 2 (21) 4 (22) 2 (23) 2 (24) 3 (25) 1 (26) 3 (27) 2 (28) 1ตอนที่ 2 (1) 13 (2) 9 (3) 15.75 (4) 35 (5) 9 (6) 162 (7) 30.5 (8)524.24เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) วาดแผนภาพโดยให้ A ∩B ⊂ B ∩ Cแสดงว่าส่วนที่แรเงานั้นไม่มีสมาชิกแทนค่าตามสูตรของเซต49 = 25 + n(B) + 23 − x − 7 − 10 + x∴ n(B) = 18 ตอบ(2) A; x − 4 > 5 หรือ x − 4 < − 5→ x > 9 หรือ x < − 1B; x + 3 1 + x→ x + 3 < 1 + 2 x + xA< ยกกําลังสอง→>2 2 x → x 1 → x 1(ตรวจสอบเงื่อนไขของรู้ท พบว่าใช้ได้หมด)ดังนั้น 1. A B ( , 1) [1, )∪ = −∞ − ∪ ∞ → ผิด2. (A ∩ B)' = ( −∞, 9] → ผิด3. B − A = [1,9] → ผิด4. A − B = ( −∞, −1)→ ข้อ 4. ถูก ตอบ(3) (p ∧ q) → (r ∨ s) เป็นเท็จแสดงว่า p กับ q เป็นจริง, r กับ s เป็นเท็จ1. (p ∧ r) ↔ (s ∧ t) ≡ (T ∧ F) ↔ (F ∧ t)≡ F ↔ F ≡ T2. (p ∧ s) → (q ∨ t) ≡ F → (q ∨ t) ≡ T3. (p ∧ s) ∨ (r ∧ t) ≡ F ∨ (F ∧ t) ≡ F ∨ F ≡ F4. (r → p) ∧ (s → t) ≡ (F → T) ∧ (F → t)≡ T ∧ T ≡ T ตอบ ข้อ 3.(4) U = {2,4,6,8,10,…}x2ก. ให้ A = 2 จะได้8A − 18A + 4 = 01→ 2(4A − 1)(A − 2) = 0 → A = ,24x 1→ 2 = ,2 → x = − 2,14แต่ -2 กับ 1 ไม่อยู่ใน U เลย ∴ ก. ผิดxCBข. log 2((x + 2)(x − 1)) = 22→ (x + 2)(x − 1) = 4 → x + x − 6 = 0→ x = − 3,2 [ซึ่ง x = − 3 ไม่ได้ เพราะทําให้ในlog เป็นลบ] ∴ x = 2 → อยู่ใน U ∴ ข. ถูกตอบ ข้อ 3.2(5) หา D fog → พิจารณา f(x) = (x + 1) พบว่า xเป็นอะไรก็ได้ (โดเมนของ f)2∴ (fog)(x) = (g(x) + 1) → g(x) เป็นอะไรก็ได้→ D fog จึงเท่ากับ D g → x > 0 ∴ fog = ∞หา R gof → พิจารณา f(x) พบว่า f(x) > 0 เสมอ(เรนจ์ของ f)3D [0, )∴ (gof)(x) = f(x) + 1 > 1 ∴ R gof = [1, ∞ )และจะได้ Dfog ∩ R' gof = [0,1)(6) วิธีทั้งหมด – วิธีที่ไม่ทั่วถึง(วิธีที่ไม่ทั่วถึง มี 2 แบบ คือเรนจ์เป็น a ล้วน หรือเป็น b ล้วน)จะได้ = 2× 2× 2× 2× 2 − 2 = 30 ตอบ11(7) f( x + 2) = x − 2 → ให้ A = x + 233นั่นคือ x = 3(A −2) → f(A) = 3(A −2) − 2= 3A − 8 ∴ f(x) = 3x − 8จาก (fog)(x) = 3x − 14 แต่ f(g(x)) = 3(g(x)) − 8∴ 3x − 14 = 3(g(x)) − 8−1จะได้ g(x) = x − 2 → g (x) = x + 2−1ตอบ(g of)(x) = (3x − 8) + 2 = 3x − 6⎛ cscx secx(8) det 2⎡⎤ ⎞⎜ ⎢ 1 cos x⎥⎟⎝ ⎣⎦ ⎠2= 2 ⋅(csc x cos x − sec x) = 4(cot x − sec x)3 3โจทย์ให้ sin x = , tan x =−5 44 5∴ cot x =− , sec x =−3 44 5 1ตอบ 4( − + ) = −3 4 3-45Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET450ขอสอบเขาฯ ต.ค.43⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞1⎜ ⎟ + ⎜ ⎟2 2(9) 2 arctan = arctan⎝ ⎠ ⎝ ⎠2⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞1 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝2⎠ ⎝2⎠4 1 4= arctan ∴ arctan x = arctan − arctan3 4 31 4−4 3⎛ 13 ⎞= arctan= arctan1 4⎜−⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 161 +⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝4⎠ ⎝3⎠โจทย์ถาม 16sin(180°+arctan x)13-13=− sin(arctan x) = ตอบ5 175 17[หมายเหตุ ดูจาก Δ ในรูป](10) พิจารณากราฟy=x 2ระยะทางที่สั้นที่สุดจากเส้นตรง L 1 ถึงA x-y-2=0พาราโบลา คือระยะไปยังเส้นสัมผัส ( L 2 ) L 2L 1นั่นเอง..→ ความชันโค้งพาราโบลา dy 2xdx =ความชันเส้นตรง L 1 = 1 และเท่ากับ L 2 ด้วย1ดังนั้นที่จุด A มีความชัน 2x = 1 → x =แสดงว่าจุด A มีพิกัด 1 1 ( , )2 4⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − 2⎝2⎠ ⎝4⎠1 + 1ระยะทางที่ต้องการ =2 2(7/ 4) 7 22 8= = หน่วย ตอบ(11) ข้อนี้คิดจากรูปง่ายกว่าวงกลมมีรัศมี = 2 หน่วย= CQ = CPเราทราบว่า m L = 1Qดังนั้น QCP ˆ = 45°หาระยะ PQ จากกฎของ cos2 2→ PQ = 2 + 2 − 2(2)(2) cos 45°2โจทย์ถาม PQ = 8 − 4 2 ตอบ(12) A; ใส่ log 3 ทั้งสองข้าง33 3 3 3→ log x ⋅ log x = log 9 + log x23 3→ 3(log x) − (log x) − 2 = 0→ (3 log3 x + 2)(log 3 x − 1) = 02−2/3→ log3x = − ,1 → x = 3 ,332C(-1,2)22PL3x3xB; จาก log x = → นํา 3 ยกกําลังทั้งสองข้างxx x3→ x = 3 → x log x = log 331→ x (log x − log 3) = 031/ 3→ x = 0 หรือ x 31/ 3∴ x = 3 ดังนั้น ตอบ= [ซึ่ง 0 ใช้ไม่ได้]1 4−3 3{3 , 3 }(13) หาจุดตัดแกน x โดยให้ y = 02x x x x→ 2 − 4 ⋅2 − 45 = 0 → (2 − 9)(2 + 5) = 0x2 9→ = เท่านั้น (ติดลบไม่ได้) → = 2จะได้จุด A (log29, 0), ความชันเส้นตรง = 3และความชัน AB คือb− log 92x log 9log 2b“ขนานกัน” แสดงว่า log32 = − log 2 9→ b = − (log3 2)(log2 9) = − log39 = − 2 ตอบt t t 1(14) จาก AB 2AC 3A −det ทั้งสองข้าง− = − ดึงตัวร่วม แล้วใส่t t (3) −→ A B − 2C =Atแทนค่า A = − 3 และ A = A =− 3 ด้วยt t 3∴ B − 2C = −3 → 2C − B = ( −1) ( − 3) = 3และเนื่องจากใส่ทรานสโพสแล้ว det ไม่เปลี่ยนtดังนั้น 2C − B = 3 ตอบ(15) P = 50x + 30y(150, 0) → P = 7,500(120, 60) → P = 7,800150 (120,60)(0, 150) → P = 4,500ตอบ 7,800 บาทO 150(16) ตั้งฉากกันแสดงว่าดอทกันได้ 02 2(u + v) ⋅(u − 2v) = u − u ⋅ v − 2 v = 0 .....(1)2 2(u + 2v) ⋅(2u − v) = 2 u + 3u ⋅ v − 2 v = 0 ...(2)แทนค่า u = 2 แล้วแก้ระบบสมการได้1 5u ⋅ v = − , v =2 2และจาก u v u v cos⋅ = θ จะได้1 ⎛ 5⎞1− = ( 2) ⎜ ⎟ cos θ → cos θ = −2 ⎝ 2 ⎠103ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET451ขอสอบเขาฯ ต.ค.436 6 6(17)π π πz = (1 ∠ ) = 1 ∠ = 1∠11 3= + i2 218 18 3จาก 2z1z2 = 1 + z2 → 2z1z2 − z2= 11 1→ z = → z =2z 1 2z − 12 21 −1... กลับเศษส่วน−1⎛ 1 3 ⎞z2 = 2z1− 1 = 2 ⎜− i − 1 = − 3 i2 2 ⎟⎝ ⎠(18) สมมติ z = a + bi2 2z = a + b = 3 − 4i = 5 .....(1)2 2z − 1 = (a − 1) + b = 30 .....(2)แก้ระบบสมการดังนี้2 2 2 2a + b = 25, a − 2a + 1 + b = 30→− 2a + 1 + 25 = 30 → a =− 22 2ดังนั้น 4 + b = 25 → b = ± 21ตอบ { − 21, 21}g ′ f(2)g ′(2) − g(2)f ′(2)⎝ f ⎠[f(2)](19)⎛ ⎞⎜ ⎟ (2) =2โจทย์บอกว่า f(2) ′ = f(2) = 2 แล้วหาค่า g(2) และ g(2) ′ ดังนี้3 2→ g(x) = f(x) − x + x แทน x 2g(2) = f(2) − 8 + 4 = 2 − 8 + 4 = − 2และจากการหาอนุพันธ์2g(x) ′ = f(x) ′ − 3x + 2x แทน x 2g(2) ′ = 2 − 12 + 4 = − 6= ได้ว่า= ได้ว่าg (2)( 6) ( 2)(2)ดังนั้น⎛ ⎞ ′ − − −⎜ ⎟ (2) = = −2⎝ f ⎠420 − 5(20) ลําดับเลขคณิต; d = = 7.5212→ a = S 12 = (5 + 5 + (11)(7.5)) = 5552ลําดับเรขาคณิต; 2 20r = → r = − 25(เพราะ y 06ดังนั้น ตอบ 555 − 160 = 395(21) จาก Σ(5 − x)(y + 2) = 765< ) → b = a = 5( − 2) = − 160→ 5Σy − 2 Σx − Σ xy + Σ 10 = 76แทนค่า 5(4) − 2( −8) − Σ xy + (10)(10) = 76∴Σ xy = 60 ตอบ(22) g(x) มีลิมิตที่ 1 แสดงว่าlim g(x) = lim g(x) → f ′(1) = f(1)− +x→1 x→12 3 2 5ตอบตอบ→ 3a(1) − 8(1) = a(1) − 4(1) + 1 → a = ตอบ22f ′(x) = x − 1 → f(x) = x − x + C3(23)3/2ผ่านจุด (0, 1) แสดงว่า C 1 = 1โจทย์ถาม (4, c) แสดงว่า c =f(4)2 3/2= (4) − 4 + 1 = 16 − 3 = 7 ตอบ3 3 3(24) ใช้กฎการแบ่งกลุ่ม6!วิธีทั้งหมด = =3!2!1!60วิธีที่สนใจ (ก, ข อยู่ห้องเดียวกัน) มี 2 กรณีคือ แบ่ง 4 เป็น 2, 1, 1+กข4!จะได้ = × 2 = 12 วิธี22!(1!) 2!(คูณ 2 เพราะ กข เลือกอยู่ห้อง 1 คนได้ 2 แบบ)และแบ่ง 4 เป็น 3, 1 (กข อยู่ห้อง 2 คน)4!จะได้ = = 4 วิธี3!1!ตอบ 12 + 4 =460 15(25) วิธีทั้งหมด 5 × 4 = 20 วิธีวิธีที่สนใจ ได้แก่ → (1, 5) (2, 3) (2, 4) (2, 5)มีอยู่ 4 วิธี ดังนั้น ตอบ 4 =120 5150 + 152 + 158 + … + 185(26) X =8= 167.5 บาท ซึ่งมีคนน้อยกว่าอยู่ 3 คน (และเกินอยู่ 5 คน)ข้อนี้คิดจาก วิธีทั้งหมด – วิธีที่ไม่มีใครน้อยกว่าเลย⎛5⎞⎜2⎟9= 1 −⎝ ⎠=⎛8⎞14⎜2⎟⎝ ⎠ตอบ(27) เทียบกับ y m x cNΣ = Σ + และ2Σ xy = mΣ x + cΣ x พบว่า N = 52→Σ y = 28, Σ x = 10, Σ xy = 67, Σ x = 30ก. แก้ระบบสมการได้ m = 1.1, c = 3.4ดังนั้น Ŷ (1.1)(5) 3.4 8.9ข.= + = ถูกΣx 10X 2N 5+ + + +X = = 75= = = → ผิด ตอบ ข้อ 2.(28) 15 8 6 7 92 2 2 2 22 + 1 + 1 + 0 + 2s1= = 25⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟X Xs1 s2โจทย์บอกว่า = 2⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠⎛ 2⎞ ⎛ 3 ⎞42→ ⎜= 2 → X2= = 21 27 ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝X2⎠21ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET452ขอสอบเขาฯ ต.ค.43ตอนที่ 2(1) P(A) มีจํานวนสมาชิก 2 4 = 16 ตัว,ซ้ํากับ B อยู่ 3 ตัว คือ φ, { φ }, {0,{0,1}}ดังนั้น P(A) − B มีสมาชิกอยู่ 16 − 3 = 13 ตัว ตอบ(2) ให้ x, y, z เป็น y-1, y, y+1∴ 3x + y + z =3(y − 1) + y + (y + 1) =33yหาค่า y ที่น้อยที่สุดที่ 3 3y เป็นจํานวนเต็มบวกลองแทนค่าดู3y 1 33= → ไม่ได้, = →ไม่ได้, y = 3 ...ไปเรื่อยๆ จนถึง y = 9→ 3 27 = 3 ใช้ได้ ดังนั้น ตอบ 9⎛4 4 4 4(3) จาก+ + + … +⎜⎝A A A A⎛ 1 1 1 1 ⎞= 16 ⎜ + + + + ⎟⎝ 2 4 8 64 ⎠⎛ 1 (1 (1/2)6 ⎞− ) ⎛ 1 ⎞= 16 ⎜2⎟ = 16 1 −⎜ ⎟⎜1 − (1/2) ⎟ ⎝ 64 ⎠⎝⎠2 2 2 2⎛63 ⎞ 63= 16 ⎜ ⎟ = = 15.75⎝64 ⎠ 42 3 6y 2 6⎞⎟⎠… เป็นอนุกรมเรขาฯตอบ3(4) จาก ÕA⎡ ⎤9และ ÕB= ⎢ ⎣ − 2 ⎥ ⎦ใช้สูตร (ถ่วงน้ําหนัก)จะได้ว่า˜˜ ˜= ⎡ ⎤⎢ ⎣4⎥ ⎦2OA+ 1OB 2 3 1 9 5OC = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤3 3 ⎢−2+3 4=⎣ ⎥⎦⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣0⎥⎦˜˜˜1OA + 2OB 1 3 2 9 7OD = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤3 3 ⎢−2+3 4=⎣ ⎥⎦⎢⎣ ⎥⎦⎢⎣2⎥⎦˜˜ ตอบ∴ OC ⋅ OD = 35ACDBO2(5) y = x − cถ้า c > 4 แสดงว่าตัดแกน x ที่ ± cเกิน ± 2 ดังภาพ12ดังนั้น ∫ (x − c) dx = −24−2-2 1(ใส่ติดลบ เพราะพื้นที่อยู่ใต้แกนทั้งช่วงเลย)3⎛x⎞→ ⎜ − cx⎟= −24⎝13 ⎠ −2⎛ 1 ⎞ ⎛ 8 ⎞→ ⎜ − c⎟ − ⎜− + 2c⎟= −24 → c = 9⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠(6) 9 9 2 162ตอบ× × = จํานวน ตอบ1-9 ห้ามซ้ํา 0,5(ซ้ําได้)(X − 0.51s) − X(7) z = = − 0.51s→ A = 0.195 ทางซ้าย0.195คิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ 50 − 19.5 = 30.5 ตอบ500(20) + 450(8) + x(100)(8) 1.26 =500(20) + 300(8) + 400(100)→ x = 524.24 บาท ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET453ขอสอบเขาฯ มี.ค.44¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ ÁÕ.¤.44 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน21. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log 2(x + 2x) < 0จํานวนเต็มที่เป็นสมาชิกของ A มีทั้งหมดกี่จํานวน2. กําหนดให้⎡x −1 6⎤A = ⎢2 5 7⎥⎢ ⎥⎣4 2y 9⎦ถ้าไมเนอร์ของ a 32 เท่ากับ 23และโคแฟกเตอร์ของ a 23 เท่ากับ − 44 แล้ว x y+ มีค่าเท่ากับเท่าใด3. กําหนดให้ a, b, c เป็น 3 พจน์เรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต และมีผลคูณเป็น 27 ถ้าa, b+ 3, c+ 2 เป็น 3 พจน์เรียงติดกันในลําดับเลขคณิตแล้ว a + b + c มีค่าเท่ากับเท่าใด4.limx→12x + 3 − 2x − 1มีค่าเท่ากับเท่าใด5. กําหนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่งทําให้พจน์ที่ไม่มี x ในการกระจายคือพจน์ที่ 9 สัมประสิทธิ์ของ 15 x ในการกระจายนี้เท่ากับเท่าใด⎛⎜x⎝⎞+ ⎟2x ⎠2 1n6. ในการสร้างเมตริกซ์ในรูป2⎡x x−4⎤⎢−x x−1⎥⎣ ⎦ความน่าจะเป็นที่จะได้เมตริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใดแบบสุ่ม โดยที่ x ∈ {0,1,2,3,4}2 57. ถ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = (x − 1) (2x − ) ที่จุด ( 1 , − 1 ) ทํามุม θ กับแกน x โดยที่4 2 16π20 < θ < แล้ว sin θ มีค่าเท่ากับเท่าใด228. กําหนดให้ x 1 , x 2 , ..., x 10 มีค่าเป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลําดับโดยที่ a < 15 ถ้า พิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 12b เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ 10 2∑ (xi− b) มีค่าน้อยที่สุดi=1และ c เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ ∑ 10 xi− c มีค่าน้อยที่สุด แล้ว a + b + c มีค่าเท่าใดi=1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET454ขอสอบเขาฯ มี.ค.44ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ A, B, C เป็นเซต ถ้า n(B) = 42, n(C) = 28, n(A ∩ C) = 8,n(A ∩B ∩ C) = 3, n(A ∩ B ∩ C ') = 2, n(A ∩B' ∩ C ') = 20 และ n(A ∪B ∪ C) = 80 แล้วn(A ' ∩B ∩ C) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 5 2. 7 3. 10 4. 132. ให้ A, B และ F เป็นเซตซึ่งกําหนดดังนี้A = {1,2,3,4,5,6}B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}F = {f : B > A|f(x) ∉ x ทุกเซต x ∈ B}จํานวนสมาชิกของ F เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 24 2. 60 3. 100 4. 1203 23. กําหนดให้ x + 1 และ x − 1 เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) = 3x + x − ax + b เมื่อ a, bเป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร p(x) ด้วย x − a − b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 15 2. 17 3. 19 4. 214. กําหนดให้ A = {x | x−1< 2 และA ∩ B คือช่วงในข้อใดต่อไปนี้1 1> }x+1 22และ B = {x | x + 2x < 0}1. (1,0) − 2. [ − 1,0) 3. (0, 1) 4. (0, 1]5. กําหนดให้ p, q, r เป็นประพจน์ถ้าประพจน์ p →(q∧ r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ (p ∨ q) ↔ r มีค่าความจริงเป็นจริง แล้วพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ก. (p ↔ q) ↔ ~ rข. p ↔ (q ∨ ~r)ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. จริง และ ข. จริง 2. ก. จริง และ ข. เท็จ3. ก. เท็จ และ ข. จริง 4. ก. เท็จ และ ข. เท็จ6. เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดที่ทําให้ข้อความ ( ∀ x[x 2 < 2x+ 3] ) ∧ ( ∃y[y 2 − 4>0] ) มีค่าความจริงเป็นจริง1. [ − 3, 0] 2. [ − 1.5, 1.5] 3. [ − 1, 2] 4. [ − 0.5, 2.5]7. กําหนดความสัมพันธ์ = y =21r {(x,y)| }x − 1พิจารณาข้อความต่อไปนี้− 1 1+xก. D r = ( −∞, −1) ∪(1, ∞ ) ข. = = ±r {(x,y)| y }xข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET455ขอสอบเขาฯ มี.ค.448. กําหนดให้xf(x) = , x ≠−11+xและxg(x) = , x ≠ 11−xข้อใดต่อไปนี้ผิด− 11. (f g) (x) = x , x ≠ 1 2.−1 −1−1 3. (f g)(x) =x, x ≠ 1 4.−1 x9. กําหนดให้1+2xxf(x) 2sin 2= และ2g(x) = x − 1เซต (R f∩D g) − R gof คือเซตในข้อใดต่อไปนี้(f g )(x) = x , x ≠−1(g f)(x) = , x ≠−11+2x1. { − 1, 1}2. { − 2, 2}3. [2, − 3] ∪ [1, 2]4. [ −2, −1] ∪ ( 3,2]10. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B และ Cตามลําดับ ถ้า cos B = 1/4 และ (a+ b+ c)(a− b+ c) = 30 แล้ว ac มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 12 2. 20 3. 20/3 4. 40/311. กําหนดให้ A และ B เป็นจุดโฟกัสของวงรี x 2 + 2y 2 + 4x − 4y + 2= 0 และวงรีนี้ตัดแกน x ที่จุด C และ D โดยทําให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าข. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับ 4 2 ตารางหน่วยข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด12. กําหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 4) และมีความชันเท่ากับ 3/4 ถ้าเส้นตรง L สัมผัสวงกลม C ซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่จุด (1, 2) แล้ว จุดใดต่อไปนี้เป็นจุดบนวงกลม C131.2.3. − 4. ( 3 ,2)2(1, )516(1, )52( ,2)5x(x 2 −3) ( x)13. เซตคําตอบของอสมการ 2 < 8 3−เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้1. (1, ∞ ) 2. ( − 2,100) 3. (10,10) − 4. ( −∞ ,2)14. กําหนดให้ A = [a ij] 3 × 3 โดยที่t⎛ adj(A ) ⎞det⎜4det (A) ⎟⎝ ⎠aเท่ากับข้อใดต่อไปนี้iji−1⎧ =⎪2 ,i j= ⎨⎪⎩ 2 ,i ≠ j1. − 16 2. − 4 3. 4 4. 1615. กําหนดให้ P = ax + 2y และมีเงื่อนไขข้อจํากัดดังนี้ 2x + y < 50 , x + 2y < 70, x 0y > 0 ถ้าค่าสูงสุดของ P เท่ากับ 100 แล้ว a เท่ากับค่าในข้อใดต่อไปนี้1. 1 2. 2 3. 4 4. 6Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)5> ,

คณิตศาสตร O-NET / A-NET456ขอสอบเขาฯ มี.ค.4416. ให้ u = ai + bj โดยที่ a > 0 และ b > 0 และ u ⋅(5i − 2j) = 14ถ้า u ทํามุม θ กับเวกเตอร์ i และ cos θ = 3/5 แล้ว a + b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 7 2. 14 3. 18 4. 2117. ให้ A, B, C เป็นจุดในระนาบ และ O เป็นจุดกําเนิด โดยที่ ÕA = 3 i −2 j และ˜ 2OB = 2 i + 5j ถ้า ÃC=˜ 2AB แล้ว | ˜ OC|มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 113918. ถ้า32z 1 3i = + และ32. 98 918zi − zแล้ว a + b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้27= a + bi3. 1939เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง4. 15391. − 12. 0 3. 1 4. 29 10 12619. กําหนดให้ z = i + i + ... + i เมื่อ i 21= − 1 แล้ว 2z − เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1+ i 2. 1− i 3. − 1+ i 4. −1−i20. กําหนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกที่ทําให้ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต7 + 15 + 23 + ... มีค่าเท่ากับ 217 แล้ว n n +2 + 2 1 + ... + 22nมีค่าข้อใดต่อไปนี้821. 127 2. 128 3. 127.5 4. 128.5321. กําหนดให้ f(x) = ax + bx เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง และ f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์เท่ากับ − 23ที่จุด x = 1 ถ้า g(x) = x + f(x) ′ แล้ว g เป็นฟังก์ชันลดในช่วงใดต่อไปนี้1. (0, 2) 2. ( −3, − 1) 3. ( − 1,1) 4. ( − 2,0)3 222. กําหนดให้ f(x) = ax + bx + 2x − 2 เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริง ถ้า f(1) ′ = 5 และf ′′ (0) = − 12แล้ว ∫ (f′(x) + f ′′(x)) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.3 25x 9x 10x c+ − + 2.3 23.3 25x 9x 10x c− + + 4.3 25x + 9x + 10x + c5x − 9x − 10x + c23. ให้ f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งอนุพันธ์ของ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [0, 1] และ g(x) =4ถ้า f (1) = f ′(1) = 1 และ f (0) f ′(0) 21.5− 2.2= = − แล้ว1− 3. 3 221∫ g(x)dx ′′ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้04. 7 2f(x)x + 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET457ขอสอบเขาฯ มี.ค.4424. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. จํานวนวิธีในการจัดเด็ก 5 คน และผู้ใหญ่ 5 คน ถ่ายรูปหมู่ โดยให้เด็กยืนแถวหน้าและผู้ใหญ่ยืนแถวหลัง เท่ากับ 5! 5!ข. จํานวนวิธีในการจัดชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งโต๊ะกลม 2 โต๊ะที่ต่างกัน ซึ่งมีโต๊ะละ 6 ที่นั่ง โดยที่ชายและหญิงนั่งแยกโต๊ะกัน เท่ากับ 5! 5!ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด25. ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนหนึ่งสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 2/5 และสอบผ่านวิชาภาษาอังกฤษเท่ากับ 1/3 ถ้าความน่าจะเป็นในการสอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชา เท่ากับ 13/15 แล้วความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชาเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 7152. 4 153. 3 54. 1 526. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็น 55 และ 10 ตามลําดับ โดยที่นาย ก ได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.3และเมื่อรวมคะแนนเก็บระหว่างภาคการศึกษา ซึ่งนักเรียนทุกคนได้คนละ 5 คะแนนแล้ว นาย ข ได้คะแนนรวมน้อยกว่าคะแนนรวมของนาย ก 8 คะแนน ข้อใดต่อไปนี้เป็นคะแนนรวม และค่ามาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข ตามลําดับ1. 60 , 0.5 2. 60 , 13. 65 , 0.5 4. 65 , 127. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติดังนี้z 0.97 1.58A 0.334 0.443คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นายคณิตและนายวิทยาเป็นนักเรียนห้องนี้ ถ้าปรากฏว่ามีนักเรียน 5.7 เปอร์เซ็นต์ที่สอบได้คะแนนมากกว่านายคณิต และมีนักเรียน 16.6 เปอร์เซ็นต์ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่านายวิทยา และนายคณิตได้คะแนนมากกว่านายวิทยาอยู่ 51 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการสอบครั้งนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 12 2. 15 3. 18 4. 2028. ถ้าราคาเฉลี่ยของเมล็ดถั่วเหลืองต่อกิโลกรัม ในแต่ละเดือนของปี พ.ศ. 2542 ที่จังหวัดหนึ่งเป็นดังนี้ เดือน มกราคม ราคา 13 บาท เดือน กุมภาพันธ์ ราคา 11 บาทเดือน มีนาคม ราคา 12 บาทแล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ดัชนีราคาเมล็ดถั่วเหลืองของเดือนกุมภาพันธ์ เทียบกับของเดือนมกราคม เท่ากับ84.62 เปอร์เซ็นต์ข. ดัชนีราคาเมล็ดถั่วเหลืองของเดือนมีนาคม เทียบกับของเดือนกุมภาพันธ์ เพิ่มขึ้น 10.09เปอร์เซ็นต์ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET458เฉลยคําตอบขอสอบเขาฯ มี.ค.44ตอนที่ 1 (1) 4 (2) 9 (3) 13 (4) 0.5 (5) 27.5 (6) 0.4 (7) 0.1 (8) 19ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 4 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (6) 4 (7) 2 (8) 3 (9) 4(10) 1 (11) 2 (12) 1 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 1 (18) 2 (19) 4(20) 3 (21) 4 (22) 1 (23) 3 (24) 2 (25) 3 (26) 3 (27) 4 (28) 2เฉลยวิธีคิดตอนที่ 12(1) log4 log3 log 2(x + 2x) < 02 0→ log log (x + 2x) < 4 ⇒ 13 2→ log (x + 2x) < 3 → x + 2x < 222 1 2 32→ x + 2x − 8 < 0 ได้เป็น − 4 < x < 2อย่าลืมเงื่อนไขของ log คือ x 2 + 2x > 0(แยกตัวประกอบได้ช่วง x < − 2, x > 0)ดังนั้น เซต A คือ [ −4, −2) ∪ (0,2]∴ จํานวนเต็มใน A ได้แก่ -4, -3, 1, 2รวม 4 จํานวน ตอบx6(2) M32= = 7x − 12 = 23 → x = 527x −1C23=−42y=−2xy − 4 =−44 → y = 4ดังนั้น x + y = 9 ตอบ(3) ลําดับเรขาคณิต b = c .....(1)ผลคูณ abc 27a= .....(2)ลําดับเลขคณิต b + 3 − a = c + 2 − b − 3 .....(3)แก้ระบบสมการ (1),(2) ได้ b = 3,ac = 9 →ใส่ค่า b ใน (3) ได้ a + c = 10บังเอิญโจทย์ถาม a + b + cจึงได้ 10 + 3 = 13 ตอบ[ไม่ต้องแก้ a, c ต่อ แต่สมมติถ้าแก้สมการต่อ จะได้ผลเป็น a = 1,c = 9 หรือ a = 9,c = 1 ก็ได้](4)x→1⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞x + 3 − 2 x + 3 + 2lim ⎜ ⎟ ⎝ x − 1 ⎠ ⎜ 2 ⎟⎝ x + 3 + 2⎠2(x − 1)= limx→12(x − 1)( x + 3 + 2)(x + 1) 2= lim = = 0.5x→1 2( x + 3 + 2) 4bตอบ(5) พจน์ที่ 9 มีค่าnn( 8) ( 8)8 8n − 8 2n − 16 − 82 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞(x ) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⋅ x⎝2x ⎠ ⎝2⎠“พจน์นี้ไม่มี x” แสดงว่ากําลังของ x คือ 2n − 16 − 8 = 0 → n = 12หาพจน์ที่มี1512x จากพจน์ทั่วไป ( )→ 24 − 2r − r = 15 → r = 3ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของพจน์นี้12 != = 27.59!3! ⋅ 8ตอบ⎛ 1 ⎞r ⎜ ⎟ ⋅ x⎝2⎠12 ⎛ 1 ⎞=⎛ ⎞⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝2⎠2(6) det = 0 → x (x − 1) + x(x − 4) = 03 2→ x − 4x = 0 → x = 0,2, − 2r324−2r −rนํา x มาจาก {0,1,2,3,4} ...มีเลข 0 กับ 2 ที่ใช้ได้2ดังนั้น ความน่าจะเป็น = = 0.4 ตอบ52(x 1)(2x 5 )4(x 1)(2)13แทน x = จะได้ความชัน =24∴ tan θ =3 42 θ→ cos θ = = 1 − 2 sin⎛ ⎞⎜ ⎟4 5 ⎝2⎠2 1จะได้ sin⎛θ⎞⎜ ⎟ =⎝2⎠10= 0.1 ตอบ2(7) y′ = ความชัน = − − + −(8) พิสัย = 12 และ a < 15 → ดังนั้น a = 3i2∑(x − b) น้อยสุด → ดังนั้น b = X = 8∑ x − c น้อยสุด → ดังนั้น c = Medx= 8i(จากสมบัติของ X และ Med)ตอบ 3 + 8 + 8 = 19Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET459ขอสอบเขาฯ มี.ค.44ตอนที่ 2(1) คิดจากแผนภาพn(A ∩ B ∩ C) = จ = 3n(A ∩ B ' ∩ C ') = ก = 20โจทย์ถามn(A ' ∩ B ∩ C) = ฉถ้ามองแค่ B กับ C สองเซตจะได้สูตรว่า80 − 20 = 42 + 28 − ◊Aก= + -ขง จ→◊= 10 แต่ จ = 3 ตอบ 7(2) โดเมนคือ {1} {1, 2} {1, 2, 3} {1,2,3,4}แต่เรนจ์ห้ามอยู่ในโดเมน (f(x) ∉ x)∴ {1} จับเรนจ์ได้ 5 วิธี (2ถึง6){1, 2} จับได้ 4 วิธี (3ถึง6){1, 2, 3} ได้ 3 วิธี (4ถึง6)และ {1,2,3,4} ได้ 2 วิธี (5,6)ตอบ 5 × 4 × 3 × 2 = 120(3) “เป็นตัวประกอบ”แสดงว่า p( − 1) = 0 และ p(1) = 0 ได้สมการดังนี้− 3 + 1 + a + b = 0 .....(1)3 + 1 − a + b = 0 .....(2)∴ a = 3,b = − 1หาร3 2p(x) 3x x 3x 1= + − − ด้วยx − a − b = x − 2 ได้เศษ = p(2) = 21 ตอบ(4) A; x − 1 < 2 → −2 < x − 1 < 2→− 1 < x < 31 1และ >x + 1 2→ 2 > x + 1(ย้ายข้างคูณไขว้ได้เพราะมากกว่า 0 เสมอ)→− 2 < x + 1 < 2 →− 3 < x < 1แต่อย่าลืม x ≠− 1 ด้วยB; x(x + 2) < 0 → − 2 < x < 0ดังนั้น A ∩ B = ( − 1,0) ตอบ(5) p → (q ∧ r) ≡ F แสดงว่า p เป็นจริง,q กับ r มีเป็นเท็จอย่างน้อย 1 ตัว(p ∨ q) ↔ r ≡ T ↔ r ≡ T แสดงว่า r เป็นจริง∴ q เป็นเท็จก. (p ↔ q) ↔ ~ r ≡ F ↔ F ≡ จริงข. p (q ~r) T F↔ ∨ ≡ ↔ ≡ เท็จ ตอบชฉคCB(6) แสดงว่าต้องจริงทั้ง 2 อย่าง2x < 2x + 3 → −1 < x < 32y − 4 > 0 → y < − 2 หรือ y > 2ดังนั้น ∀x[ −1< x< 3] ∧ ∃ y[y< −2หรือ y > 2]ตอบ ข้อที่ถูกคือข้อ 4. เพราะทุกๆ x อยู่ใน [ − 1,3]และมีบาง x อยู่ใน ( −∞, −2) ∪(2, ∞ )1(7) ก. หา D; r 20สัมบูรณ์x − 11→ > 0(x − 1)(x + 1)> เพราะอีกฝั่งเป็นค่าD r ( , 1) (1, )−ข. หา 1 1 2 1r ; x = → y − 1 =2y − 1x= −∞ − ∪ ∞ ∴ ข้อ ก. ถูก2 11 + x→ y = + 1 → y = ±xx1 + xซึ่งไม่เหมือนกับ ± ∴ ข้อ ข. ผิดx[เพราะ x มีทั้งค่าบวกและลบ เช่น ถ้า x =− 0.5สองแบบนี้จะได้ค่าไม่เท่ากัน] ตอบ ข้อ 2.− 1− 1(8) หา f (x) กับ g (x) ก่อน−1 y→ f (x); x = → x + xy = y1 + y−xx→ xy − y = −x → y = =x − 1 1 − x−1 xซึ่งเหมือน g(x)∴ f (x) = (x ≠ 1)1 − x−1แสดงว่า g (x) = f(x) ด้วย−1 −1 −1 −11. (fog) (x) = (g of )(x) = g (g(x)) = x ถูก−1 −1 −12. (f og )(x) = f (f(x)) = x ถูก⎛ x ⎞1 1 x⎜ ⎟−−3. (f og)(x) = f⎛ ⎞ ⎝1 − x⎠⎜ ⎟ =⎝1 − x⎠x1 −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝1 − x⎠x x= = → ข้อ 3. ผิด1 − x − x 1 − 2x⎛ x ⎞1 1 x⎜ ⎟−−4. (g of)(x) = g⎛ ⎞ ⎝1 + x⎠⎜ ⎟ =⎝1 + x⎠x1 +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝1 + x⎠x x= = ถูก1 + x + x 1 + 2xดังนั้น ตอบ ข้อ 3.[หมายเหตุ ที่จริงข้อ 4. ต้องเพิ่มว่าx12≠− ด้วย]Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET460ขอสอบเขาฯ มี.ค.44(9) R f = [ − 2,2] (แอมพลิจูดเป็น 2)g( ] [ )2D; x − 1>0 → −∞, −1 ∪ 1, ∞2R ; คิดจาก −→gof2<

คณิตศาสตร O-NET / A-NET461ขอสอบเขาฯ มี.ค.44(17) ใช้สูตรการแบ่งเวกเตอร์˜ 2OB˜+ 1OAÕC =3=2 1(2i + 5j) + (3i3 3− 2j)=7 8i + j3 3˜2 ⎛7 ⎞ ⎛8 ⎞ 113→ |OC| = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =⎝3⎠ ⎝3⎠9(18) 3 1 3z = + i = 1∠ π2 2 322O6AB1C2⎛18 1⎞z⎜ ∠ ⎟1 2โจทย์ถาม⎝ 3 ⎠ ∠ π= =27 91 − zi − 1 ∠ 3i⎛ π− 1∠⎞ π⎜ ⎟⎝ 3 ⎠1 1 1 − i= = = ∴ ตอบ 1 − 1 = 0i − ( − 1) i + 1 22 2(19)ไปเรื่อยๆ ดังนั้น125 126 1 2π9 10 11 12 13 14 15 16i + i + i + i = 0, i + i + i + i = 0z = i + i = i + i = i − 1−1 2 2( −1 − i)→ 2z = = = −1 − i ตอบi − 1 2(20) S n = n (a 1 + a n )2nn→ 217 = (7 + 7 + (n − 1)(8)) = (8n + 6)2 22 31→ 4n + 3n − 217 = 0 → n = 7, −4+แต่ n ∈ I ∴ n = 7 เท่านั้น7 8 9 14 8โจทย์ถาม (2 + 2 + 2 + … + 2 ) ÷ 27 8 7 8 8⎡2(1− 2) ⎤8 2(2 − 1) 2 − 1= ⎢ ⎥ ÷ 2 = =8⎣ 1 − 2 ⎦2 2= 127.5 ตอบ(21) f(1) =− 2 และ f(1) ′ = 0ทําให้ได้สมการว่า a + b =− 2 และ 3a + b = 0แก้ระบบสมการได้ a = 1,b =− 33 3 2→ f(x) = x − 3x → g(x) = x + (3x − 3)2หาช่วงที่เป็นฟังก์ชันลด g(x) ′ = 3x + 6x < 0ตอบ ( − 2,0)(22) f(1) ′ = 5 และ f(0) ′′ = − 12ทําให้ได้สมการว่า 3a + 2b + 2 = 5, 0 + 2b = − 12∴ b = − 6,a = 53 2นั่นคือ f(x) = 5x − 6x + 2x − 2หาค่า [f′(x)+ f ′′(x)] dx∫จะได้ผลคล้ายๆ กับ f(x) + f ′(x)แต่ติดค่า C,C 1 23 2 2ดังนี้ − + + + − +(5x 6x 2x C 1) (15x 12x C 2)3 2= 5x + 9x − 10x + C ตอบ(23) 1 1∫0g(x)dx ′′ = [g(x)] ′ = g(1) ′ − g(0) ′หาค่า g(1) ′ กับ g(0) ′ จาก4 3(x + 1)(f ′(x)) − (f(x))(4x )g(x) ′ =4 2(x + 1)(2)(1) − (1)(4) 1→ g(1) ′ = = − และ4 2(1)( −2) − ( −2)(0)g(0) ′ = =− 211 3ตอบ − − (2) − =2 2(24) ก. 5!5! ถูกแล้วข. โต๊ะวางติดกัน จึงเหมือนมีตําแหน่งเกิดขึ้นภายในโต๊ะแล้ว จัดแต่ละโต๊ะได้เป็น 6!6!โต๊ะต่างกันจึงคูณ 2! ข้อนี้จึงต้องเป็น 6!6!2!ตอบ ก. ถูก ข. ผิด(25) ก + ขข + ค=ก + ค + ง13ก + ข + ค2=5(26) คิด ก. ก่อน0ก ข ค1313 2= ∴ ข = 1 − =1515 152 1 2 3= + − = ตอบ5 3 15 5x − 5510ก1.3 xก68→ = → = คะแนนข. น้อยกว่า ก. อยู่ 8, แต่บวกไปคนละ 5 ด้วยดังนั้น x รวม, ข = 68 − 8 + 5 = 65คิดเป็นค่ามาตรฐาน65 − 60→ zรวม, ข = = 0.510[อย่าลืมว่าทุกคนได้บวก 5 ทําให้ X เปลี่ยน]ตอบ 65, 0.5(27)จะได้ว่า16.6%วิทยา0.33400.4430zค1.58ง= และzว=− 0.97x − X x − Xss2.55 =x − xsค วจากสูตรจะได้ 1.58 = , − 0.97 =นําสองสมการมาลบกัน ได้เป็นค วซึ่งโจทย์บอกว่า x ค − x ว = 5151s 202.55∴ = = คะแนน ตอบ(28) ก. 11 100 84.62%13 × = ถูกข. เพิ่มขึ้น 12 − 11 × 100 = 9.09% ผิด ตอบ11คณิต5.7%Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET462ขอสอบเขาฯ ต.ค.44¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ µ.¤.44 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. กําหนดให้ A = {1,2,3,4} และ S {f : Aจํานวนฟังก์ชันทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ S เท่ากับเท่าใด= > A|f(x) x+1< ทุก x ∈ A}2. ให้ช่วงเปิด (a, b) เป็นเซตคําตอบของอสมการ log(3x+ 4) > log(x− 1) + 1แล้ว a + b มีค่าเท่ากับเท่าใด3. ถ้าA⎡1 0 −1⎤= ⎢3 −1 −2⎥⎢ ⎥⎣2 5 a ⎦−1และ C 11 (A) = 2แล้ว det ( − 3A ) มีค่าเท่ากับเท่าใด4. ให้ z = −1− 3 i แล้ว z6 + z6 เท่ากับเท่าใด5. ถ้า c เป็นจํานวนจริง ซึ่งlimn →∞3 2 ∞ n−13cn − n + cn (2) −=(2n + 1) 3∑ แล้ว c มีค่าเท่าใด3 n−2n=16. ถ้าเส้นตรง x = a แบ่งครึ่งพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2x จาก x = 0 ถึง x = 8 แล้ว3a มีค่าเท่าใด7. กําหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, B และ A ∩ B ดังนี้P(A) = 0.5, P(B) = 0.3 และ P(A ∩ B) = 0.1 แล้ว P(A' B')∪ มีค่าเท่ากับเท่าใด8. ร้านค้าแห่งหนึ่งขายพัดลม 3 ขนาด ในการหาดัชนีราคาพัดลมทั้ง 3 ขนาด ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2543 โดยใช้ พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2541 เป็นปีฐาน เท่ากับ 80 และ120 ตามลําดับแล้ว ราคาเฉลี่ยของพัดลมทั้ง 3 ขนาด ใน พ.ศ. 2542 เมื่อหาโดยใช้ดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวม เพิ่มขึ้นจากราคาเฉลี่ยของพัดลมทั้ง 3 ขนาดในพ.ศ. 2541 ร้อยละเท่าใดตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. ให้ A, B, C เป็นเซตที่มีสมาชิก เซตละ 2 ตัว และ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C โดยที่A ∪B∪ C = {a,b,c,d} ถ้า (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = ∅ แล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. d ∈ Aข. B = Cข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET463ขอสอบเขาฯ ต.ค.442. ถ้า − 2 < x < 2 และ 8 < y < 13 แล้ว ค่ามากที่สุดของx(1/2) + 1y + 2เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 2. 1/2 3. 1/3 4. 1/83 23. กําหนดให้ P(x) = x + ax + bx + 2 โดยที่ a และ b เป็นจํานวนจริง ถ้า x − 1 และ x + 3ต่างก็หาร P(x) แล้วเหลือเศษ 5 ดังนั้น a + 2b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 11 2. − 1 3. 1 4. 94. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจริงก. x[cot 2x cot x 0]1∀ x [sin x + cos x = 1 − sin 2x ]2∃ − = ข.4 4 2ค่าความจริงของข้อความ ก. และข้อความ ข. เป็นไปตามข้อใดต่อไปนี้1. ก. เป็นจริง และ ข. เป็นจริง 2. ก. เป็นจริง และ ข. เป็นเท็จ3. ก. เป็นเท็จ และ ข. เป็นจริง 4. ก. เป็นเท็จ และ ข. เป็นเท็จ5. กําหนดให้ p, q, r เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ และเท็จ ตามลําดับ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเหมือนกับประพจน์ (p →~ q) ∨(r ∧ ~ p)1. (~ r →p) ∧(q ∨ r)2. (q ∧ ~r) ↔(~p → ~q)3. (~ p ∨r) →(q ∧ ~ r)4. (p → q) ∨(~ r ↔ q)3 2 2 216. ถ้า r = {(x,y) ∈ R× R | 2x + 3xy − x + y = 0} แล้ว เรนจ์ของ r − เท่ากับข้อใด1 11 11. ( − , ]2. −3.3 2( ,1 1) ( ,3 3)[ , )2 3−∞ − ∪ − ∞ 4. ( −∞, ∞ )217. กําหนดให้ f(x) = 4− x และ g(x) =29−xจํานวนในข้อใดต่อไปนี้เป็นสมาชิกของ R gof1.122. 1 43.184.1148. กําหนดให้ f(x + 1) = 3x + 2+ f(x) และ g(3x − 1) = 2x + 8 ถ้า f(0) = 1− 1แล้ว g (f(2)) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 12. 0 3. 1 4. 29. ถ้า sin 15°+ sin 55°= x และ cos 15°+ cos 55°=y2แล้ว (x + y) − 2xy เท่ากับข้อใดต่อไปนี้22221. 4cos 20° 2. 2cos 20° 3. 4cos 40° 4. 2cos 40°Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET464ขอสอบเขาฯ ต.ค.4410. ถ้า 0< x < π แล้ว4เซตคําตอบของ log 0.5(sin x) + log 0.5(sin 2x) < log 0.5(cos x) + log 0.5(cos 2x)คือเซตในข้อใดต่อไปนี้1. ∅ 2.π(0, ) 3.π π( , )612 64.π π( , )6 411. ให้ C เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงรี x 2 + 2y 2 + 4x − 4y + 2= 0 และผ่านจุดโฟกัสทั้งสองของวงรีนี้ ถ้าวงกลม C ตัดเส้นตรง y = − x ที่จุด A และ B แล้ว ระยะ ABยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3 หน่วย 2. 5 หน่วย 3. 6 หน่วย 4. 8 หน่วย12. กําหนดให้ P เป็นพาราโบลา y 2 − 2y −8x − 7 = 0 ซึ่งมี L เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ สมการวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดโฟกัสของ P และมี L เป็นเส้นสัมผัส คือข้อใดต่อไปนี้2 22 21. x + y + 2x −2y − 14 = 0 2.3.2 2x y 2x 2y 2 0+ + + − = 4.2 2x + y + 2x −2y − 2 = 0x + y −2x −2y − 14 = 02x 2x x13. เซตคําตอบของสมการ 4 ⋅ 3 + 9⋅ 2 = 13⋅ 6 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้1. [ − 4,0] 2. [ − 3,1] 3. [ − 2,2] 4. [1, 3]⎛2⎡x −x 1⎤⎞⎜⎟f(x) = det ⎢0 1 2⎥⎢ ⎥⎜⎢x 1 1⎥⎟⎝⎣⎦ ⎠a − b คือข้อใดต่อไปนี้14. ให้ถ้าช่วง [a, b] เป็นเซตคําตอบของอสมการ f(x) > −2แล้ว1. 1 32. 2 33. 4 34. 5 315. ค่าของ x, y ที่ทําให้ P = 2x + 3y มีค่าสูงสุดตามเงื่อนไขข้อจํากัดที่กําหนดให้ต่อไปนี้x + y > 4, 3x + 2y < 10 , 2x − y < 1, x > 0 และ y > 0 สอดคล้องกับข้อใดต่อไปนี้391. x + y = 5 2. x + y = 4 3. x + y = 4. x + y =8338216. กําหนดให้ u2แล้ว θ อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้π1. (0, )6= , u + v = 5 , u v 42.π π( , )6 4− = ถ้า θ เป็นมุมระหว่าง u และ v3.π π( , )4 3π π4. ( , )3 2| ˜ ||ÃB| =17. กําหนดจุด A (1, 1), B (4, 10), C (7, 9) และ D เป็นจุดที่อยู่บนด้าน AB โดยที่ AD 2 3θ คือมุมระหว่าง CÃ และ ˜DC แล้ว cos θ คือค่าในข้อใดต่อไปนี้1.−252.−2103. 2 54. 2 10ถ้าMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET465ขอสอบเขาฯ ต.ค.4418. ถ้า3 39i4 42+ เป็นคําตอบหนึ่งของสมการ ax − 3x + c = 0 โดยที่ a และ c เป็นจํานวน2จริงแล้ว เศษที่เหลือจากการหาร ax − 3x + c ด้วย x + 2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 8 2. 12 3. 16 4. 20⎧ 1⎪ ,x ≠ 119. กําหนดให้ f(x) = ⎨x − 1⎪⎩ 2 ,x = 1ถ้า h (x) = f (x) g (x) แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. h ต่อเนื่องที่จุด x = 1 และx → 12. h ต่อเนื่องที่จุด x = 1 และx → 13. h ไม่ต่อเนื่องที่จุด x = 1 และx → 14. h ไม่ต่อเนื่องที่จุด x = 1 และ3และ g(x) = x + x − 2lim h(x) = 0lim h(x) = 4lim h(x) = 0lim h(x) = 4x→120. กําหนดให้ g เป็นฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ที่ทุกจุด x > 0 และ g(3) ′ = 3n 3 2จํานวนเต็มบวก n ที่ทําให้ g(x + 2x) = 4x + 6x + 31 คือจํานวนในข้อใดต่อไปนี้1. 5 2. 6 3. 7 4. 821. ให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับสามเท่าของค่าต่ําสุดสัมพัทธ์และ f(0) = 2 ถ้า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = − 1 และมีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 แล้ว f(4)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 28 2. − 24 3. 24 4. 2822. กําหนดให้เส้นโค้ง y = f(x) ผ่านจุด (1, 0) และมีความชันที่จุด (x, y) ใดๆ เป็น23x− = แล้ว a + b มีค่า2− 4x + ถ้า (a, b) เป็นจุดตัดระหว่างเส้นโค้งนี้กับเส้นตรง x 2 02xเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3 22. 2 3. 7 24. 423. คนกลุ่มหนึ่งเป็นชายและหญิงจํานวนเท่ากัน โดยที่อัตราส่วนของจํานวนวิธีที่ชายและหญิงยืนสลับที่กันเป็นแถวตรง กับจํานวนวิธีที่ชายและหญิงยืนสลับที่กันเป็นวงกลม เท่ากับ 10 : 1 จํานวนวิธีที่จะเลือกตัวแทน 2 คนจากคนกลุ่มนี้ โดยมีชายอย่างน้อย 1 คน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 30 2. 35 3. 40 4. 4524. ห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่งจัดรายการสมนาคุณแก่ลูกค้า โดยจะให้ลูกค้าทุกคนสุ่มหยิบคูปองส่วนลดได้ 2 ใบ จากกล่องซึ่งมีคูปองทั้งหมด 12 ใบ ซึ่งมีคูปองมูลค่า 50 บาท 5 ใบ คูปองมูลค่า100 บาท 3 ใบ คูปองมูลค่า 200 บาท 3 ใบ และคูปองมูลค่า 500 บาท 1 ใบ ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าคนหนึ่งจะสุ่มหยิบคูปอง 2 ใบ และได้คูปองที่มีมูลค่าส่วนลดรวมมากกว่า 300 บาท มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 11662. 14663. 2066Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)4. 2366

คณิตศาสตร O-NET / A-NET466ขอสอบเขาฯ ต.ค.4425. นักเรียนอนุบาล 4 คน มีอายุเป็น x, 1 x 2 , x 3 , x 4 ปี โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเป็น 5.5ปี และ 4 2∑ xi= 141 ถ้ามีนักเรียนที่มีอายุ 3 ปี มาเพิ่มอีก 1 คน แล้ว สัมประสิทธิ์ของการแปรผันi=1ของอายุนักเรียนทั้ง 5 คนนี้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.552. 1 3. 2 554. 526. ถ้าตารางแจกแจงความถี่ของข้อมูลชุดหนึ่ง ซึ่งมีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากัน เป็นดังต่อไปนี้ชั้นที่ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น ความถี่สะสม12345.........2530816364050ให้ x เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต และ med เป็นมัธยฐานของข้อมูล ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. x = 19 และ med = 19.75 2. x = 19 และ med = 17.53. x = 20 และ med = 19.75 4. x = 20 และ med = 17.527. ถ้าจากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจํานวนชั่วโมงต่อสัปดาห์ที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ (แทนด้วย X ) และผลการเรียนเฉลี่ย หรือ GPA (แทนด้วย Y ) ได้สมการที่ใช้ประมาณผลการเรียนเฉลี่ย จากจํานวนชั่วโมงต่อสัปดาห์ที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ เป็นสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 0.02 และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 2.7พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้าจํานวนชั่วโมงที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ เพิ่มขึ้น 10 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ ผลการเรียนเฉลี่ยเพิ่มขึ้น 0.2ข. ถ้าผลการเรียนเฉลี่ยเท่ากับ 3 ทํานายว่าจํานวนชั่วโมงที่ใช้ในการทบทวนวิชาต่างๆ เท่ากับ15 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด28. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = − 1.2 ถึง z = 0 เท่ากับ 0.3849 คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 50คะแนน และ 10 คะแนน ตามลําดับ ถ้านายคํานวณสอบได้ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เท่ากับ 88.49แล้ว นายคํานวณสอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 58 คะแนน 2. 60 คะแนน 3. 62 คะแนน 4. 65 คะแนนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET467เฉลยคําตอบขอสอบเขาฯ ต.ค.44ตอนที่ 1 (1) 96 (2) 3 (3) 1.8 (4) 128 (5) 4.8 (6) 128 (7) 0.9 (8) 50ตอนที่ 2 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (6) 1 (7) 3 (8) 1 (9) 1(10) 4 (11) 3 (12) 4 (13) 3 (14) 4 (15) 1 (16) 2 (17) 1 (18) 4 (19)4 (20) 2 (21) 4 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 1 (26) 3 (27) 2 (28) 3เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) ตัวหน้า (1, _) (2, _) (3, _) (4, _)และตัวหลัง y < x + 1จะได้ว่า (1, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2 รวม 2 แบบ(2, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2,3 รวม 3 แบบ(3, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบ(4, _) เลือกตัวหลังได้ 1,2,3,4 รวม 4 แบบรวม 2 × 3 × 4 × 4 = 96 แบบ ตอบ(2) log(3x + 4) > log(x − 1) + log 10→ 3x + 4 > 10(x − 1) → 14 > 7x → x < 2แต่อย่าลืมเงื่อนไขของ log คือ 3x + 4 > 0 และ4x − 1 > 0 จะได้ x >− และ x > 1ดังนั้นได้ช่วงคําตอบ (1, 2) ตอบ 3−1 −1(3) 113C (A) = 2 →5 a= 2 → − a + 10 = 2→ a = 8∴ A = − 8 + 0 − 15 − 2 + 0 + 10 = − 15−1 (3) − −27→ − 3A = = = 1.8A −15π3ตอบ4 4(4) z = 2 ∠ , z = 2 ∠( − )3 36 6 6 24π6 24π→ z + z = 2 ∠ + 2 ∠( − )3 36 6= 2 ∠ 0 + 2 ∠ 0 = 64 + 64 = 128 ตอบ(5)3 23cn − n + cnlimn →∞ 8n3+ … + 11 c3c − +2n n 3c= lim=n →∞ 18 + … +83nn−1∞(2) −4 8และ ∑ = 3 − 2 + − + …n−2n=1 33 93 9= =21 − ( − )533c 9∴ = → c = 4.8 ตอบ8 5π(6)0 a 8จะได้ว่า a 8∫ ydx = ∫0 aa 83/2 2 3/2 2→ ⎡ ⎢2x ⋅ ⎤ = ⎡ 2x ⋅⎤⎣ 3⎥ ⎦⎢⎣ 3⎥⎦ตัดสัมประสิทธิ์0 a22 3⋅ ทั้งสองข้างของสมการ3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2→ a − 0 = 8 − a → 2a = 833 3 3 8→ 4a = 8 → a = = 128 ตอบ4(7) P(A ' ∪ B ' ) = 1 − P(A ∩ B)= 1 − 0.1 = 0.9 ตอบ(8) I 43 = 80, I 42 = 120−ydxเพิ่มขึ้น 120 80 × 100 = ร้อยละ 50 ตอบ80ตอนที่ 2(1) A = {a, _} B = {b, _} C = {c, _}ซึ่งถ้า (A ∩ B) ∪(A ∩ C) = ∅แสดงว่า A ∩ B =∅ และ A ∩ C = ∅ฉะนั้น b และ c ต้องไม่อยู่ใน Aจึงสรุปว่า A = {a,d} ก. ถูกและ a กับ d ต้องไม่อยู่ใน B, C เลย∴ B = {b,c} C = {c,b} ข. ถูก ตอบ1 x(2) −2 < x < 2 → < 2 < 44xx1 ⎛ 1⎞ 5 ⎛ 1⎞→ 4 1 54 < ⎜ ⎟ → +2 < ⎜ ⎟⎝ ⎠ 4 < ⎝2

คณิตศาสตร O-NET / A-NET468ขอสอบเขาฯ ต.ค.44(3) P(1) = 5 → 1 + a + b + 2 = 5 .....(1)P( − 3) = 5 → − 27 + 9a − 3b + 2 = 5 .....(2)แก้ระบบสมการได้ a = 3 และ b =− 1∴ ตอบ 1(4) ก. cot 2x − cot x = 0→ cos 2x cos xsin 2xsin x= 0→sin x cos 2x − cos x sin 2xsin 2x sin x= 0→sin( −x) −1= 0 →sin 2x sin x sin 2x= 0เป็นไปไม่ได้ ∴ ก. เท็จ4 4ข. +sin x cos x4 2 2 4 2 2= [sin x + 2 sin x cos x + cos x] − 2 sin x cos x2 2 2 2 2= (sin x + cos x) − 2 sin x cos x22 (2 sin x cos x) 1 2= − = − ∴ ข. จริง1 1 sin 2x2 2ตอบ ข้อ 3.(5) โจทย์ (p →~ q) ∨ (r ∧ ~ p)≡ (T → T) ∨ (F ∧ F) ≡ T ∨ F ≡ Tข้อที่ถูกคือ ข้อ 3. (F ∨ F) → … ≡ Tส่วนอีก 3 ข้อเป็นเท็จ ดังนี้1. … ∧ (F ∨ F) ≡ F2. (F ∧ …) ↔ (F → …) ≡ F ↔ T ≡ F4. (T → F) ∨ (T ↔ F) ≡ F ∨ F ≡ Fตอบ ข้อ 3.(6) เรนจ์ของ 1 r − ก็คือโดเมนของ r;จากดังนั้น2 33 2 2 2 2 x − 2x2x + 3xy − x + y = 0 → y =3x + 113x + 1 ≠ 0 → x ≠ −3และ 2 −3 2→x 2x x (2x − 1)> 0 < 03x + 1 3x + 1เขียนเส้นจํานวนได้ช่วง ( −1/3,0] ∪ [0,1/2]ดังนั้น ตอบ⎛⎜ −⎝1 1,3 2⎤⎦⎥(7) หา R gof เริ่มคิดจาก f;2 2 2x > 0 → 4 − x < 4 → 0 < 4 − x < 22< < < cos 3xขยายช่วง 0 < x < π เป็น4เพื่อหาช่วงคําตอบจากรูป ถ้า cos 3x < 03จะได้π π< 3x > จริงๆ ด้วย) ตอบ ,cos x 0, cos 2x 0(11) จัดรูปวงรี;2 2(x + 4x + 4) + 2(y − 2y + 1) = − 2 + 4 + 22 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝6 4⎠(x + 2) (y − 1)→ + = 1 จุดศูนย์กลาง ( − 2,1)4 2รีตามแกน x โดยระยะโฟกัส = 4 − 2 = 2วงกลมผ่านจุดโฟกัสแสดงว่า รัศมีวงกลม = 2 ด้วย2 2ได้สมการวงกลมคือ (x + 2) + (y − 1) = 2 .....(1)ตัดกับเส้นตรง y = − x .....(2)แก้ระบบสมการ ได้จุดตัด 2 จุด คือ⎛−3− 3 3+3⎞⎜,2 2 ⎟⎝⎠กับ∴ระยะห่าง2 2( 3) ( 3) 6Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)2⎛− 3+ 3 3−3⎞⎜,2 2 ⎟⎝⎠+ = หน่วย ตอบ

คณิตศาสตร O-NET / A-NET469ขอสอบเขาฯ ต.ค.44(12) จัดรูปพาราโบลา; y 2 − 2y + 1 = 8x + 7 + 12→ (y − 1) = (4)(2)(x + 1) เป็นพาราโบลาเปิดขวาจุดยอดอยู่ที่ ( −1,1)→ ระยะโฟกัส = 2ดังนั้น จุดโฟกัส (1, 1)ไดเรกตริกซ์ x =− 3Fหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (1, 1)และมีรัศมี = 2c = 42 2นั่นคือ (x − 1) + (y − 1) = 162 2→ x + y − 2x − 2y − 14 = 0 ตอบ(13) มอง x3 A 2 B2 2 2 24A + 9B = 13AB → 4A − 13AB + 9B = 0A 9→ (4A − 9B)(A − B) = 0 → = หรือ 1B 4x⎛3⎞9→ ⎜ ⎟ = หรือ 1 → x = 2 หรือ 0⎝2⎠4∴ ตอบ ข้อ 3.(14)= และ x= จะได้2 2 2 2f(x) = x + 0 −2x − x − 0 − 2x = −3x − xแก้อสมการ2 2−3x − x > −2 → 3x + x − 2 < 0→ (3x − 2)(x + 1) < 0 ได้ช่วง [ − 1,2/3]2 5∴ a − b = −1− = ตอบ3 3(15)(0, 5) → P = 155 7 31( , ) → P = ≈ 10.333 3 3(0, 4) → P = 1212 17 75( , ) → P = ≈ 10.77 7 7∴ P max เกิดที่จุด (0, 5)ตอบ x + y = 5(16) จาก u + v = 5 จะได้2 2u + v + 2 u v cos θ = 25 .....(1)และจาก u − v = 4 จะได้2 2u + v − 2 u v cos θ = 16 .....(2)สมการและสมการ(1) + (2)2(1) − (2)42 2 41ได้ u + v =ได้29u v cos θ=42โจทย์บอก u =22⎛ 2⎞2 41∴ ⎜+ v =2 ⎟⎝ ⎠ 2→ v = 20⎛ 2⎞9จะได้ u v cos θ = ⎜( 20)cos θ =2 ⎟⎝ ⎠49→ cos θ = ≈ 0.7124 10เราทราบว่าπ2cos = ≈ 0.7074 2ดังนั้น θ< π เล็กน้อย ตอบ ข้อ 2.4(17) ˜ 1−7 −6CA =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢1−9=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ −8⎥⎦C˜ ⎡ 4−7 ⎤ ⎡−3⎤CB=⎢10 − 9=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ใช้สูตรการแบ่งเวกเตอร์˜ ˜ ˜1CA + 2CB −4CD = =⎡ ⎤3 ⎢ ⎣ − 2 ⎥ ⎦4∴˜DC =⎡ ⎤⎢ ⎣2⎥ ⎦6หามุมระหว่าง⎡−⎤⎢⎣−8⎥กับ ⎡4 ⎦ ⎢2⎤⎣ ⎥⎦Aใช้วิธีการดอท;( − 6)(4) + ( − 8)(2) = (10) ⋅( 20) ⋅ cos θ2ย้ายข้าง → cos θ = − ตอบ53 39(18) แสดงว่ามี − i เป็นคําตอบด้วย4 4ดังนั้นพหุนามคือ − − − +B1D2⎛ 3 39 ⎞ ⎛ 3 39 ⎞⎜x i x i4 4 ⎟ ⎜ 4 4 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 3 9 39= x − x + + = 02 16 16นํา 2 คูณ เพื่อปรับให้ตรงตามโจทย์2→ 2x − 3x + 6 = 0จะได้ เศษเหลือคือ22 ( 2) 3 ( 2) 6 20(19)x→13⎛x + x − 2⎞lim h(x) = lim ⎜ ⎟⎝ x − 1 ⎠x→1 x→12= lim (x + x + 2) = 43และ h(1) = 2 ⋅ (1 + 1 − 2) = 0ไม่เท่ากัน ดังนั้น ไม่ต่อเนื่องที่ x 1− − − + = ตอบ= ตอบ ข้อ 4.(20) กฎลูกโซ่ g(f(x)) ′ ⋅ f ′(x) = (gof) ′(x)n n−1 2จะได้ g(x ′ + 2x) ⋅ (nx + 2) = 12x + 12xn 12x + 12x→ g(x ′ + 2x) =n−1nx + 22ต้องการคิดที่ g(3) ′ จะสังเกตได้ว่าควรแทน x = 112 + 12→ g(3) ′ = = 3 → n = 6n + 2ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET470ขอสอบเขาฯ ต.ค.443 2(21) ให้ f(x) = Ax + Bx + Cx + Df(0) = 2 → ได้ D = 2f( ′ − 1) = 0 → 3A − 2B + C = 0f( ′ − 1) = 0 → 3A + 2B + C = 0แก้สองสมการนี้ได้ B = 0 และ 3A C 0อีกคําใบ้คือ f( − 1) = 3 ⋅ f(1)→− A + B − C + D = 3(A + B + C + D)+ = .....(1)แทน B = 0, D = 2 ได้เป็น A + C =−.....(2) 1แก้ระบบสมการ (1) กับ (2) อีกครั้งสรุปว่าดังนั้น1 3A = ,C = −2 21 3f(4) = (64) + 0 − (4) + 2 = 28 ตอบ2 22 2(22) f(x) ′ = 3x − 4x + 2x −3 2 −1ดังนั้นf(x) = x − 2x − 2x + Cโดยผ่าน (1, 0) จะได้ว่า 1− 2 − 2 + C = 0นั่นคือ C 33 2 2= → f(x) = x − 2x − + 3xตัดกับ x = 2 แสดงว่าค่า y คือ f(2)f(2) = 8 − 8 − 1 + 3 = 2→ (a, b) = (2, 2) ตอบ 4(23) สมมติมีชาย n คน, หญิง n คน→ เส้นตรง = n!n! × 2วงกลม = n! × (n − 1)!n!n! × 2∴ = 10 → 2n = 10 → n = 5n!(n − 1)!วิธีเลือกให้มีชายอย่างน้อย 1 คนคิดจากวิธีทั้งหมด – วิธีที่ได้หญิงล้วน10 5= ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ = 35 ตอบ⎜ 2 ⎟⎝ ⎠⎜2⎟⎝ ⎠(24) กรณี 500, → จํานวนวิธี 1× 11 = 11กรณี 200, 200 → จํานวนวิธี3ดังนั้น ความน่าจะเป็น⎛ ⎜2⎞ ⎟ = 3⎝ ⎠11 + 3 14= =⎛12⎞66⎜ 2 ⎟⎝ ⎠ตอบ(25) Σ x = (4)(5.5) = 22เก่า25→Σ x = 22 + 3 = 25 → X = = 5ใหม่ใหม่5x 2 141 x 2 141 3 2Σ = → Σ = + = 150เก่าใหม่150 2s = − 5 = 5ใหม่5s 5สัมประสิทธิ์การแปรผัน = X= ตอบ 5(26) หาขอบระหว่างชั้นที่ 4 กับ 5จากการเฉลี่ย 25 + 30 = 27.52ความกว้างชั้นคิดจาก 30 − 25 = 5ดังนั้น ขอบแต่ละชั้น คือ 27.5, 22.5, 17.5, …ดังตารางx CF f d8 - 1213 - 1718 - 2223 - 2728 - 328163640508820410-2-1012⎛−16 − 8 + 4 + 20 ⎞X = a + ID = 20 + (5) ⎜⎟ = 20⎝ 50 ⎠⎛N/2 −ΣfL⎞⎛25 − 16 ⎞Med = L + I ⎜ ⎟ = 17.5 + (5) ⎜ ⎟⎝ fMed⎠⎝ 20 ⎠= 19.75 ตอบ(27) m = 0.02, c = 2.7 → Yˆ= 0.02 X + 2.7ก. Δ x = 10 → Δ Yˆ= mΔ x = (0.02)(10) = 0.2ข. รู้ y ทํานาย ˆX ไม่ได้ (ข้อมูลไม่เพียงพอ)ตอบ ก. ถูก ข. ผิด(28) P 88.49 A 0.3849→ = ทางขวาx − 50→ z = 1.2 → 1.2 =10∴ x = 62 คะแนน ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET471ขอสอบเขาฯ มี.ค.45¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ ÁÕ.¤.45 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน+1. กําหนดให้ S = {n ∈ I | n < 1000 และ ห.ร.ม.ของ n และ 100 เท่ากับ 1}จํานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับเท่าใด2.2 2 2 2 2sin 1 sin 2 sin 3 ... sin 89 sin 90− ° + ° − ° + − ° + ° มีค่าเท่ากับเท่าใดlog 2x3. x ที่สอดคล้องกับสมการ log 3(x 12) log [3log 3 + − = x ( x 5 x 5)]มีค่าเท่ากับเท่าใด4. กําหนดให้Snn k−1∑ ⎛ 1 ⎞และk=1⎝10⎠∞1= ⎜ ⎟ S =⎛ ⎞∑ ⎜ ⎟k=1⎝10⎠1 −S S n (10 )9k−15จํานวนเต็มบวก n ที่ทําให้ − = เท่ากับเท่าใด5. ถ้า a คือจํานวนจริงที่ทําให้พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y =2 2a x + 4ax + 10 จาก x = 0 ถึง x = 1มีค่าน้อยที่สุด แล้วพื้นที่ที่ได้เท่ากับเท่าใด6. กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากสีแดงซึ่งเขียนหมายเลข 1, 2, 3 ไว้สลากละหนึ่งหมายเลข รวมกับสลากสีเขียวซึ่งเขียนหมายเลข 1, 2, 3 ไว้สลากละหนึ่งหมายเลขเช่นเดียวกัน ถ้าจับสลากสองใบจากกล่องโดยจับทีละใบแบบไม่ใส่กลับคืน ความน่าจะเป็นที่จะได้สลากสีเหมือนกัน หรือหมายเลขเดียวกันเท่ากับเท่าใด7. จากข้อมูลความสูงของพ่อ และลูก (ซึ่งมีอายุ 10 ปี) กลุ่มหนึ่ง ปรากฏความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็น y = 0.9x + 54.8 เมื่อ y แทนความสูงของพ่อ และ x แทนความสูงของลูก ปรากฏว่าความสูงเฉลี่ยของเด็กในกลุ่มนี้เท่ากับ 120 เซนติเมตร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของเด็กเท่ากับ 8 เซนติเมตร ถ้าเด็กคนหนึ่งในกลุ่มนี้มีค่ามาตรฐานของความสูงเท่ากับ − 1.8 แล้ว เราประมาณความสูงของพ่อได้เท่ากับกี่เซนติเมตร8. ตัวแทนจําหน่ายกระติกน้ําร้อนยี่ห้อหนึ่ง ขายกระติกน้ําร้อน 3 ขนาด ในปี 2543 และ 2544ด้วยราคาดังต่อไปนี้ราคา (บาท)ขนาดของกระติกน้ําร้อนราคาสัมพัทธ์เล็กกลางใหญ่2543 2544600 660800 1,0001,000 a1.101.25bMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET472ขอสอบเขาฯ มี.ค.45ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2544 เมื่อเทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากับ 120 แล้วราคาเฉลี่ยของกระติกน้ําร้อนทั้ง 3 ขนาดใน พ.ศ. 2544 เมื่อหาโดยใช้ดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ค่าเฉลี่ยราคาสัมพัทธ์ เพิ่มขึ้นจากราคาเฉลี่ยของกระติกน้ําร้อนทั้ง 3 ขนาดนี้ใน พ.ศ. 2543 ร้อยละเท่าใดตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซต U = {1,2,3,4,5} และ A, B, C เป็นเซตซึ่งมีเงื่อนไขว่าn(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(A ∩ B) = n(B ∩ C) = n(A ∩ C) = 2∪ ∪ = U แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ผิดถ้า A B C1. n(A ∪ B) = 42. n(A ∪(B ∩ C)) = 33. n(A ∩(B ∪ C)) = 24. n(A ∩ B ∩ C) = 122. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ 12 + x − x < 0และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3− x < 1เซต A ∩ B เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้1. (5, − − 3) 2. ( −3, − 1) 3. (1, 3) 4. (3, 5)3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือเซต U = (0, 1) ∪(2, ∞)แล้ว1 2 12ประพจน์ ∀x[(x − ) < หรือ (x − 1) > 1 ] มีค่าความจริงเป็นจริง2 4ข. ถ้า p, q, r เป็นประพจน์ แล้ว p →(q∧ r) สมมูลกับ (p → q) ∨(p → r)ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด4. ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ ถ้า [p →(q →r)] ↔(s ∧ r) มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~p∨ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก1. p → q มีค่าความจริงเป็นจริง 2. q r3. r → s มีค่าความจริงเป็นเท็จ 4. s p→ มีค่าความจริงเป็นจริง→ มีค่าความจริงเป็นเท็จx+y5. กําหนดให้ r 1 = {(x,y)| e < 1}และ r 2 = {(x,y)| ln (x− 3y+ 5) > 0}พื้นที่ของบริเวณที่เป็นกราฟของ r 1 ∩ r 2 ซึ่งอยู่เหนือแกน x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1.5 ตารางหน่วย 2. 2 ตารางหน่วย3. 2.5 ตารางหน่วย 4. 3 ตารางหน่วยMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET473ขอสอบเขาฯ มี.ค.456. กําหนดให้ I เป็นเซตของจํานวนเต็ม และให้ f, g เป็นฟังก์ชันจาก I ไป I⎧⎪x/2 , x เป็นจํานวนคู่ซึ่งกําหนดโดย f(x) = 2x และ g(x) = ⎨⎪ ⎩ x , x เป็นจํานวนคี่แล้ว g f − fเป็นฟังก์ชันจาก I ไป I ที่มีสมบัติตามข้อใดต่อไปนี้1. หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง 2. หนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง3. ทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง 4. ไม่หนึ่งต่อหนึ่งและไม่ทั่วถึง7. กําหนดให้ f(x) = 5− g(x) โดยที่ g(x) = 5 + 2xถ้า D fog = [a,b] แล้ว 4(a + b) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 15 2. 20 3. 25 4. 30−18. กําหนดให้ f, g เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติว่า f (g(x)) = x + 2ทุก x ∈ Rพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. f(2x) = g(2(x− 1)) ทุก x ∈ R− 1ข. g (f(x)) เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน Rข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด9. กําหนดให้ 0 < θ < 2πเซตคําตอบของอสมการπ2cos1. (0, )353. (0, ) ∪ (4 6, )θ−cosθ < 0sin θ−1/2เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้2.ππ5( , )3 6π π π 4.3 3π π π π( , ) ∪ ( , )6 2 4 210. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง (h, k) อยู่บนเส้นตรง 2x + 3y = 6 โดยที่ h, k เป็นจํานวนเต็มถ้าวงกลมวงนี้มีเส้นตรง 2x − y = 1 และเส้นตรง 2x + y =− 3 เป็นเส้นสัมผัสแล้ว ความยาวรัศมีของวงกลมนี้อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้1. [2, 4] 2. [4, 5] 3. [5, 6] 4. [6, 7]11. กําหนดให้ F 1 และ F 1 เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา x 2 + 6x − y 2 − 14y − 41= 0 ถ้า 1 1และ P(0,y) 2 2 เป็นจุดสองจุดที่ทําให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม PFF 1 1 2 และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม2 2PFF 2 1 2 ต่างก็เท่ากับ 2 2 ตารางหน่วยแล้ว y1− y2มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 28 2. 56 3. 84 4. 12012. กําหนดให้ a > 0 เป็นคําตอบของสมการ a a − 1เซตคําตอบของอสมการ 2log(x a 2) log(x a 1) 44 − 9⋅ 2 + 2 = 0+ − − < เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้1. (3,3) − 2. ( − 2,7) 3. (0, 8) 4. (1, 10)P(0,y)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET474ขอสอบเขาฯ มี.ค.4513. กําหนดให้x⎡(tan 30 ° ) −1⎤A = ⎢ x ⎥⎢⎣(cot 60 ° ) 2 ⎥⎦1A − คือเมตริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้1.3.⎡2/9 −1/3⎤⎢1/9 1/3 ⎥⎣ ⎦⎡1/3 −1/3⎤⎢1/9 2/9 ⎥⎣ ⎦และ det (A) = 92.4.⎡ 2/9 1/3⎤⎢−1/9 1/3⎥⎣ ⎦⎡ 2/9 1/9⎤⎢−1/3 1/3⎥⎣ ⎦14. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า x ∈ R และข. กําหนดให้ a, b ∈ R และ⎛⎡x x x⎤⎞det⎜⎢1 x x⎥ ⎟= −4⎜⎢⎥1 1 x ⎟⎝⎣⎦⎠⎡ a 2⎤A = ⎢ 2b 3 ⎥⎣ ⎦แล้ว x < 2ถ้า A= badjA แล้ว a+ b > 2ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด15. น้ํามันดีเซล 100 ลิตร ราคาต้นทุนลิตรละ 12 บาท และน้ํามันปาล์ม 120 ลิตร ราคาต้นทุนลิตรละ 8 บาท ถ้าจะผสมน้ํามันสองชนิดนี้รวมกันให้มีจํานวนไม่น้อยกว่า 150 ลิตร และขายน้ํามันผสมนี้ในราคาลิตรละ 11 บาท ให้ได้กําไรมากที่สุดแล้ว กําไรที่ได้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 230 บาท 2. 260 บาท 3. 330 บาท 4. 460 บาท16. กําหนดจุด P( − 1,2) , R(3,3), O(0,0) และ Q เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง PR โดยที่1|˜PQ| = |˜PR|ถ้า A(x,y) เป็นจุดในควอดรันต์ที่ 2 ที่ทําให้ ÕA ตั้งฉากกับ ÕQ และ3|ÕA| = 5 หน่วยแล้ว x + y เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.−610−2. 6 23.6104. 6 217. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีสมบัติว่า 5| ÃB| = |˜BC | + |˜CA| ถ้า M และ N เป็นจุดแบ่งครึ่งด้าน BC และ AC ตามลําดับแล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้1ก. MN˜= (BC˜−ÃC)ข. ÃM ⋅˜BN = 02ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด218. กําหนดให้ ω = cos θ + i cos θ เมื่อ cos θ< 0 และ2cos θ = 1π แล้วถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนมีสมบัติว่า ω z = 2 และอาร์กิวเมนต์ของ z ω เท่ากับ 42z + z + 1 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 3 + 2i 2. −3 − 2i 3. 3+ 2i 4. 3−2iMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET475ขอสอบเขาฯ มี.ค.4519. กําหนดให้ จํานวนเชิงซ้อน z, 1 z 2 , z 3 เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง ถ้าz3−z1π π= cos + i sin , zz 1 2 = 1+ i, zz 2 3 = 2+ 2i, zz 3 1= 3+ 4i แล้วz − z 3 32 1พิจารณาข้อความต่อไปนี้z − z πก. 3 2= cos + i sinz − z 3 31 2πข. 2 2 21 2 3z + z + z = 6 + 7iข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด20. ให้⎧(x − 4)( x + 2) a⎪,x > 4⎪ x − 2f(x) = ⎨⎪ 1 ,x = 4⎪ 2⎩ x − b ,x < 4โดยที่ a, b เป็นจํานวนจริงbถ้า f ต่อเนื่องที่จุด x = 4 แล้ว f⎛ ⎞⎜a+ ⎟ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้⎝ 16 ⎠1. − 16 2. − 14 3. 14 4. 16221. กําหนดให้ f(x) = 3x + 1 ถ้า g เป็นฟังก์ชันซึ่ง (f g)(x) = x + 1 ทุก x ∈ R แล้วf(1) ′ + g(1) ′ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 41122. 35123. 3344. 39 4222. กําหนดให้ g(x) = x f(x) ถ้า f(x) ′ = 2x + 3 และ g(1) ′′ = 0 แล้ว f(4) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0 2. 11 3. 13 4. 2823. กําหนดให้กราฟของ y = f(x) เป็นเส้นโค้งที่อยู่เหนือแกน x และมีความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ 6x + 2 b เมื่อ b เป็นจํานวนจริง ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งนี้จากx = 0 ถึง x = 2 เท่ากับสองเท่าของพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งนี้จาก x = 0 ถึง x = 1 แล้ว fมีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่จุด x ในข้อใดต่อไปนี้1. x = 2 2. x = 1 3. x = 0 4. x = − 124. กําหนดจุด 10 จุดบนแผ่นกระดาษ มี 4 จุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน นอกนั้นไม่มี 3 จุดใดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จํานวนรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดที่กําหนดให้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 80 2. 106 3. 116 4. 12025. ในการใส่จดหมาย 5 ฉบับที่เขียนถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองที่จ่าหน้าไว้แล้ว 5 ซองซองละหนึ่งฉบับ ความน่าจะเป็นที่ใส่จดหมายลงในซองได้ตรงกับชื่อหน้าซองไม่เกิน 3 ซอง และไม่น้อยกว่า 1 ซอง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 751202. 851203. 90120Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)4. 96120

คณิตศาสตร O-NET / A-NET476ขอสอบเขาฯ มี.ค.4526. ถ้าตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนวิชาหนึ่งของนักเรียน 20 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็นดังนี้คะแนน 31 – 39 40 – 48 49 – 57 58 – 66 67 – 75 76 – 84 85 – 93จํานวนนักเรียน 2 3 5 4 3 2 1พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มากกว่าฐานนิยมข. ค่าการกระจายของคะแนน ที่วัดโดยส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ เท่ากับ 10.5 คะแนนข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด27. ในการชั่งน้ําหนักกระเป๋าเดินทาง 4 ใบ ปรากฏว่าได้น้ําหนักเป็น 15.5, 14.8, 14.5 และ 15.2กิโลกรัม ถ้าชั่งน้ําหนักของกระเป๋าเดินทาง 4 ใบนี้รวมกับกระเป๋าเดินทางอีกใบหนึ่งได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของกระเป๋า 5 ใบนี้เป็น 16 กิโลกรัม แล้ว ค่ามัธยฐาน และความแปรปรวนของน้ําหนักของกระเป๋าเดินทางทั้งห้าใบนี้ตามลําดับเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 15, 4.58 2. 15.2, 4.58 3. 15, 4.116 4. 15.2, 4.11628. ถ้าความสูงของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีมัธยฐานเท่ากับ 160 เซนติเมตร และมีนักเรียนที่สูงน้อยกว่า 158 เซนติเมตรอยู่ 34.46% สัมประสิทธิ์การแปรผันของความสูงของนักเรียนห้องนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติz 0.3 0.4 0.5A 0.1179 0.1554 0.19151. 1.563% 2. 2.432% 3. 3.125% 4. 4.346%เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 400 (2) 0.5 (3) 13 (4) 6 (5) 7 (6) 0.6 (7) 149.84 (8) 19ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 1 (3) 2 (4) 1 (5) 2 (6) 1 (7) (ตอบ 180) (8) 1(9) 4 (10) 3 (11) 2 (12) 4 (13) 4 (14) 1 (15) 3 (16) 2 (17) 2 (18) 2(19) 4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 3 (25) 1 (26) 1 (27) 4(28) 3เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) หาจํานวนนับ n < 1,000 ซึ่งหาร 2 ไม่ลงตัวและหาร 5 ไม่ลงตัว ว่ามีเท่าใดหาร 2 ลงตัว มี 500 จํานวน,หาร 5 ลงตัว มี 200 จํานวน,หารทั้ง 2 และ 5 ลงตัว คือหาร 10 ลงตัว มี 100จํานวน400 100 100 nหาร2 หาร5∴ จะได้ n ที่ต้องการ= 1,000 − (500 + 200 − 100)= 400 จํานวน ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET477ขอสอบเขาฯ มี.ค.452 2 2 2(2) …2 2 2 2− sin 1° + sin 2° − + sin 44° − sin 45°+ sin 46°− … + sin 88°− sin 89°+ sin 90°เปลี่ยน sin 46° เป็น cos 44°เปลี่ยน sin 47° เป็น cos 43° ฯลฯไปจนถึงเปลี่ยน sin 89° เป็น cos 1°2 2และเนื่องจาก sin 1°+ cos 1°=12 2และ − sin 2° − cos 2° = − 1 ก็จะรวมกันเป็นศูนย์ซึ่งคู่ของ 3° กับ 4° ก็รวมกันได้ศูนย์ไปเรื่อยๆ จนถึงคู่ของ 43° กับ 44° ก็เช่นกัน..2 2ดังนั้น เหลือเพียง − sin 45°+ sin 90°1=− + 1 = 0.5 ตอบ2(3)log3 2x + log3(x − 12) = 2 log3[ x( x + 5 − x − 5)]2→ 2x(x − 12) = [ x( x + 5 − x − 5)]2→ 2x(x − 12) = x(x + 5 − 2 x − 25 + x − 5)2→ 2x(x − 12) = x(2x − 2 x − 25)แต่ x ห้ามเป็น 0 เพราะอยู่ใน log จึงสามารถนํา 2x หารสองข้างได้ กลายเป็น2x − 12 = x − x − 252→ 12 = x − 25 → x = 13 ตอบ( x > 0 เสมอ เพราะอยู่ใน log)1 1(4) S 110 100= + + + … อนุกรมเรขาคณิตn1(1 − 0.1 ) 10n∴ S n = = (1 − 0.1)1 − 0.1 91 10และ S = S∞= =1 − 0.1 9โจทย์บอกว่า−510S − Sn=910 ⎛10 10 n ⎞ 10→ − ⎜ − (0.1) ⎟ =9 ⎝ 9 9 ⎠ 9−5−5n n −510 10→ (0.1) = → 10(0.1) = 109 9n −6→ (0.1) = 10 ∴ n = 6 ตอบ(5) กราฟนี้ไม่ตัดแกน x (เพราะเมื่อให้ y=0 แล้วพบว่าไม่มีคําตอบ; B 2 − 4AC < 0)→ พื้นที่เท่ากับ 1 2 2∫0(a x + 4ax + 10) dx13 3 22⎞ a⎛ax= ⎜ + 2ax + 10x ⎟ = + 2a + 10⎝ 3 ⎠ 3ต้องการค่า a ที่ทําให้พื้นที่สูงสุดdA 2a∴ หาอนุพันธ์0= + 2 = 0 → a = − 3da 3พื้นที่ A = 3 − 6 + 10 = 7 ตร.หน่วย ตอบ(6) จับทีละใบไม่ใส่คืน วิธีทั้งหมด = 6 × 5ต้องการวิธีที่สีเหมือนหรือเลขเหมือนคิดจาก วิธีทั้งหมด – วิธีสีต่างและเลขต่าง6 × 2ตอบ 1 − = 0.66 × 5ลูก(7) zลูก=− 1.8 =→ xลูก= 105.6 ซม.x − 1208พ่อสูง 0.9(105.6) 54.8 149.84660 + 1,000 + a(8) 1.20 =600 + 800 + 1,0001,200a 1,220 → = =→ = บาท⎛1.10 + 1.25 + 1.22ดัชนี SR+ = ซม. ตอบb 1.221,000⎞I = ⎜⎟ × 100 = 119⎝ 3 ⎠แสดงว่า เพิ่มขึ้นร้อยละ 19 ตอบตอนที่ 2(1) n(A ∪ B ∪ C) = n( U ) = 5→ 5 = 3 + 3 + 3 − 2 − 2 − 2 + n(A ∩ B ∩ C)∴ n(A ∩ B ∩ C) = 2AB1 00 2 011Cข้อที่ผิดจึงเป็น ข้อ 4. ตอบ(2) A; x 2 − x − 12 > 0→ (x − 4)(x + 3) > 0 → A = ( −∞, 3) ∪(4, ∞ )B; − 1 < 3 − x < 1 → 2 < x < 4B = ( −4, −2) ∪ (2,4)ดังนั้น A B ( 4, 3)1 2 1(3) ก. จาก (x − ) − < 02 41 1 1 1→ (x − − )(x − + ) < 02 2 2 2∩ = − − ตอบ ข้อ 1.→ (x − 1)(x) < 0 ได้เป็นช่วง (0, 1)2และ (x − 1) − 1 > 0 → (x − 1 − 1)(x − 1 + 1) > 0→ (x − 2)(x) > 0 ได้เป็นช่วง ( −∞,0) ∪ (2, ∞ )ดังนั้น ∀ x[0< x< 1 หรือ x < 0 หรือ x > 2]ซึ่งพบว่าทุกๆ ค่าใน U ทําให้เป็นจริง ∴ ก. ถูกข. p → (q ∧ r) ≡ ~p ∨ (q ∧ r)≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) ข. ผิดตอบ ข้อ 2.(4) ~p ∨ s ≡ p → s เป็นเท็จแสดงว่า p จริง, s เท็จและจะได้ [T → (q → r)] ↔ (F ∧ r) เป็นจริงแสดงว่า q → r เป็นเท็จ ∴ q จริง, r เท็จดังนั้น ตอบ ข้อ 1. p → q ≡ T → T ≡ TMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET478ขอสอบเขาฯ มี.ค.45x+ y x+y 0(5) r 1 ; e < 1 → e < e→ x + y < 0r ; ln(x − 3y + 5) > ln 1 → x − 3y + 5 > 12→ x − 3y > −4เขียนกราฟได้ดังนี้แก้สมการหาจุดตัดได้ ( − 1,1)1 (4)(1) 22ดังนั้น พื้นที่ Δ= = ตร.หน่วย ตอบ(6) (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x)ซึ่ง 2x ย่อมเป็นจํานวนคู่เสมอ จึงได้(2x)(gof)(x) x2∴ [(gof) − f](x) = x − 2x = − x= = เมื่อ x ∈ Iเนื่องจากพบว่าแต่ละค่าของ x ให้ผลออกมาแบบเดียวไม่ซ้ํากัน และครอบคลุมจํานวนเต็มทั้งหมด ดังนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ตอบ(7) g(x) = 5 + 2xf(x) = 5 − g(x) = 5 − 5 + 2xดังนั้น (fog)(x) = 5 − 5 + 2 5 + 2x5หา D fog ; 5 + 2x > 0 → x > −และ 5 + 2 5 + 2x 0 →(เมื่อ 5 + 2x > 0)กรณีแรก บน < 0 และล่าง > 0เขียนเส้นจํานวนแล้วหาช่วงในวงกลมcos θ0 1sin θ1/22> จริงเสมอและ 5 − 5 + 2 5 + 2x > 0→ 5 + 2 5 + 2x < 5→ 5 + 2 5 + 2x < 25→ 5 + 2x < 10 → 5 + 2x < 100→ 95x < ดังนั้น ⎡ 5 95 ⎤D = ,2fog ⎢−⎣ 2 2 ⎥⎦ทําให้⎛90⎞4(a + b) = 4 ⎜ ⎟ = 180⎝ 2 ⎠−1(8) จาก(ไม่มีข้อถูก) ตอบf (g(x)) = x + 2 → f(x + 2) = g(x)→ f(x) = g(x − 2)ก. f(2x) = g(2x − 2)−1ข. g (f(x)) = x − 2เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน Rตอบ ถูกทั้งสองข้อ(9) แยกตัวประกอบได้ (cos θ )(cos θ − 1) < 0-4(-1,1)0sin θ−1/2π/2π/6กรณีที่สอง บน > 0 และล่าง < 0cos θ5π/60sin θ11/23π/2ดังนั้น ช่วงคําตอบคือπ , 5 3,ตอบ เป็นสับเซตของข้อ 4.(10) สมมติจุดศูนย์กลางเป็น⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ∪ ⎜ ⎞ ⎟⎝2 6⎠ ⎝ 6 2 ⎠⎛ 6 − 2h⎞(h, k) = ⎜h,⎟⎝ 3 ⎠(เพราะอยู่บนเส้นตรง 2x + 3y = 6 )ระยะทางจากจุดนี้ไปยังเส้นตรงทั้งสอง เท่ากัน⎛6−2h⎞ ⎛6−2h⎞2h − ⎜ ⎟ − 1 2h + ⎜ ⎟ + 3⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠→ =5 584→ h − 3 = h + 533ถ้า 8 4h − 3 = h + 5 → h = 63 3และถ้า 8 h − 3 =− 4 h −5 → h =−13 3 2(ใช้ไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่า h ∈ I )∴ รัศมีตอบ ข้อ 3.(11) จัดรูป8 (6) − 3313 169= = = =5 5 52 233.8(x + 6x + 9) − (y + 14y + 49) = 41 + 9 − 492 2→ (x + 3) − (y + 7) = 1เป็นไฮเพอร์โบลาอ้อมแกน x มีจุดศูนย์กลางที่(3, − − 7) และระยะโฟกัส = 1 + 1 = 2∴ จุดโฟกัสคือ ( − 3± 2, − 7)แสดงว่าฐาน Δยาว 2c = 2 2 หน่วยจะได้ส่วนสูงของ ΔF 1 F 2จาก 1 h 2 22 ⋅ ⋅ = 2 2→ h = 2y 1 กับ y 2 คือ 7 2ตอบ 81 − 25 = 56− ± นั่นเอง ดังรูปMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)P 1 (0,-5)-7P 2 (0,-9)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET479ขอสอบเขาฯ มี.ค.45922 9A2A − + 2 = 0 → 2A − 9A + 4 = 021→ (2A − 1)(A − 4) = 0 → A = หรือ 42(12) 2 2a − ⋅ 2 a + 2 = 0 มอง 2 a = A จะได้ว่า∴ a = − 1 หรือ 2โจทย์ให้ a > 0 ดังนั้น a = 2 เท่านั้น2 log (x + 2) − log (x − 1) < log 162 2 22 2(x + 2) (x + 4x + 4) − 16x + 16→ < 16 → < 0x − 1 x − 12x − 12x + 20 (x − 10)(x − 2)→ < 0 → < 0x − 1 x − 1ได้ช่วง ( −∞,1) ∪ (2,10)แต่มีเงื่อนไข log ว่า x >− 2 และ x > 1ดังนั้น x ∈ (2,10) ตอบ ข้อ 4.x x(13) A = 9 = 2(tan30 ° ) + (cot60 ° )x x x⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞= 2⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 3⎜ ⎟⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠x⎛ 1 ⎞→ 9 = 3⎜⎟ → x = −2⎝ 3 ⎠2 1−11 d −b1 ⎡⎤A =⎡ ⎤2 2c a= −−A ⎢ ⎢ ⎥⎣−⎥⎦ 9 ⎢−( 1/ 3 ) ( 1/ 3⎣) ⎥⎦1 2 1 2/9 1/9=⎡ ⎤ ⎡ ⎤9 ⎢−33 =⎣ ⎥⎦ ⎢⎣−1/31/3⎥ตอบ⎦2 2 2 3 2(14) ก. det = −x − x − x + x + x + x = − 43 2→ x − 2x + x + 4 = 02→ (x + 1)(x − 3x + 4) = 0→ x = − 1 เท่านั้น ∴ ก. ถูก3 −2ข. adj A =⎡ ⎤⎢ ⎣ − 2b a ⎥ ⎦→ A = b adjA จะได้ว่า⎡ a 2⎤ ⎡ 3b −2b⎤⎢22b 3 =⎣ ⎥ ⎦ ⎢−2b ab ⎥⎣ ⎦→ b = − 1,a = − 3 ∴ ข. ถูก ตอบ ข้อ 1.(15) น้ํามันดีเซล x ลิตร, น้ํามันปาล์ม y ลิตรจะได้สมการจุดประสงค์P (กําไร) = 11(x + y) − 12x − 8y = 3y − xเงื่อนไขคือ 0 < x < 100, 0 < y < 120และ x + y > 150วาดกราฟแล้วพบว่า(30, 120) → P = 330(100, 120) → P = 260(100, 0) → P = 50ตอบ P max 330= บาท(30,120)O(100,120)(100,50)(16) สูตรแบ่งเวกเตอร์˜ 2OP˜1ORÕQ =+3−1⎤⎡3⎤ ⎡1/3⎤2 1=⎡3 ⎢2 +3 ⎢3⎥ =⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣7/3⎥⎦APO1 Q 2มีความชัน ˜ = 7 แสดงว่าความชัน OA คือ -1/7−7∴ OA มีทิศเดียวกับ⎡ ⎤แต่ยาว 5 หน่วย⎢⎣ 1 ⎥⎦ OA(7i − + j) 7 1= 5 = − i +50 2 2j˜ ตอบ(17) ก. จาก ˜MN =˜MC +˜CNC1 1=˜BC+˜CAN2 2M1= (BC˜−˜ AC) ถูก2B1 1ข. ˜ÃM ⋅ BN = (AC˜+ ÃB) ⋅ (BA˜+˜BC)2 21[(AC ⋅ BA) + (AC ⋅ BC) + (AB ⋅ BA) + (AB ⋅ BC)]41 2= [bc cos(180 °− A) + ab cos C − c + ac cos(180 °− B)]41 [ bc cos A ab cos C c2= − + − − ac cosB]42 2 2 2 2 2 2 2 21 a −b − c a + b −c 2 b −a −c= [ + − c + ]4 2 2 21 [a2 b2 5c2= + − ] ≠ 0 ผิด ตอบ ข้อ 2.8=˜˜ ˜˜ ˜˜ ˜˜2 1(18) 2 cos θ= 1 →cosθ=−21 1 5→ω=− − i = 1∠ π2 2 4จาก ω z = ω ⋅ z = 2 → 1⋅ z = 2 → z = 2และจากz 5∠ = ∠z− ∠ω = → ∠z− =ω4 4 43π3→∠ z = ดังนั้นπz = 2∠ = −2i22จะได้ z 2 + z + 1 = −4 − 2i + 1 = −3 − 2i ตอบz(19) ก. 3 − z ⎛2 z 3 − z ⎞= 1 − ⎜ 1⎟z1 − z2 ⎝z2 − z1⎠−R62Aπ π π⎛ 1 3 ⎞ 1 3= 1 − ⎜+ i = − i2 2 ⎟⎝ ⎠ 2 2ข. 2 zz 1 2 ⋅ z13 z 1 (i + 1)(3 + 4i) 3z = = = + 2izz 2+2i 22 32 1 2 2 321 3zดังนั้น ก. ผิดzz ⋅ z z (i + 1)(2 + 2i) 16 12= = = + izz 3+4i 25 25zz ⋅ zz (2 + 2i)(3 + 4i)z = = = 6 + 8izz 1+i2 2 3 3 131 2407 262z1 + z2 + z3= + i50 25จะได้ 2 2 2ดังนั้น ข. ผิด ตอบ ข้อ 4.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET480ขอสอบเขาฯ มี.ค.452(20) lim f(x) = 4 − b = 16 − b และ f(4) = 1และ−x→4( x − 2)( x + 2)lim f(x) = lim a = 16a( x − 2)+ +x→4 x→4ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ x = 4 แปลว่าสามค่านี้เท่ากัน1∴ b = 15, a =16⎛ 1 15⎞จะได้ f ⎜ + ⎟ = f(1) = −14⎝16 16 ⎠ตอบ2(21) (fog)(x) = 3(g(x)) + 1 = x + 12 2(x + 1) − 1→ g(x) =31 3ดังนั้น f(x) ′ = ⋅ 3 → f(1) ′ =2 3x + 1422(x + 1) 4 8และ g(x) ′ = ⋅(2x) → g(1) ′ = (2) =3 3 3ตอบ 3 + 8 =414 3 122(22) ∫2หาค่า C จาก g(x) = x ⋅ f(x)f(x) = (2x + 3) dx = x + 3x + C4 3 2g(x) = x + 3x + Cx3 2→ g(x) ′ = 4x + 9x + 2Cx2′′ ′′→ g(x) = 12x + 18x + 2C → g(1) = 0∴ 12 + 18 + 2C = 0 → C = − 15จะได้ f(4) = 16 + 12 − 15 = 13 ตอบ2(23) f ′(x) = 6x + 2b → f(x) = 3x + 2bx + Cพื้นที่ 2 1∫ = 2 ∫0 03 223 21→ (x + bx + Cx) = 2 (x + bx + Cx)0 0→ 8 + 4b + 2C = 2(1 + b + C)2→ b = −3 → f(x) = 3x − 6x + C จึงได้ว่าf(x) ′ = 6x − 6 = 0 เมื่อ x 1สัมพัทธ์ ตอบ(24) รูปทั้งหมด - รูปที่ไม่ใช่ Δ10 4= ⎛ ⎜ 3⎞ ⎟ − ⎛ ⎜3⎞ ⎟ = 120 − 4 = 116⎝ ⎠ ⎝ ⎠2= เป็นจุดต่ําสุดรูป(25) กรณีแรก ตรง 3 ซอง เลือกว่าใครจะได้ตรง5=⎛ ⎞= 10 วิธี และอีก 2 ซองสลับให้ไม่ตรงได้ 1⎜3⎟⎝ ⎠วิธี กรณีที่สอง ตรง 2 ซอง เลือกว่าใครตรง⎛ 5 ⎞ = 10 วิธี และอีก 3 ซองสลับให้ไม่ตรงได้ 2 วิธี⎜2⎟⎝ ⎠(ไล่เขียนเพื่อนับ) กรณีที่สาม ตรง 1 ซอง เลือกว่าใครตรง ⎛5⎞ = 5 วิธี และอีก 4 ซองสลับให้ไม่ตรง⎜1⎟⎝ ⎠ได้ 9 วิธี (ไล่เขียนเพื่อนับ)∴ ตอบ10 × 1 + 10× 2 + 5×9 75=5! 120(26) ก. ลองร่างโค้งความถี่ พบว่าเป็นโค้งเบ้ขวา∴ X > Mode ก. ถูกหรือ จะคํานวณเอาก็ได้x f d CF31 - 39 2 -3 240 - 48 3 -2 549 - 57 5 -1 1058 - 66 4 0 1467 - 75 3 1 1776 - 84 2 2 1985 - 93 1 3 20⎛−6−6− 5+ 3+ 4+3⎞X = a + ID = 62 + (9) ⎜ ⎟⎝ 20 ⎠= 62 − 3.15 = 58.85 คะแนนแต่ Mo อยู่ในชั้น 49-57 ..ดังนั้น X > Mode แน่ๆข. หา Q 1 กับ Q 3Q 1 อยู่ตําแหน่งที่Q148.5120 54 × =∴ = คะแนน (สุดท้ายของชั้นพอดี)Q3อยู่ตําแหน่งที่ 3 20 154 × =⎛15 − 14 ⎞∴ Q3= 66.5 + 9 ⎜ ⎟ = 69.5⎝ 3 ⎠69.5 − 48.5จะได้ QD 10.52ตอบ ข้อ 1.คะแนน= = ข. ถูก(27) 15.5 + 14.8 + 14.5 + 15.2 + x = 165→ x = 20 กก.เรียงข้อมูล; 14.5, 14.8, 15.2, 15.5, 20→ Med = 15.2 กก.ความแปรปรวน2 2 2 2 22 (1.5) + (1.2) + (0.8) + (0.5) + 4s =5= 4.116 กก. 2 ตอบ(28) Med = X = 160ที่ x = 158 ซม. จะได้พื้นที่ = 0.5 − 0.3446= 0.1554 ทางซ้าย0.34460.1554158 − 160→ z = −0.4 ∴ − 0.4 =s→ s 5s = 5 → 3.125%X= 160= ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET481ขอสอบเขาฯ ต.ค.45¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ µ.¤.45 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน121. กําหนดให้ f(x) = 36−4x3ถ้า A = {x | x ∈ [ − 3,3] และ f(x) ∈ {0,1,2,3}} แล้วจํานวนสมาชิกของเซต A เท่ากับเท่าใด2. ถ้า a และ b เป็นคําตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0และ a ≠ b แล้ว sin arctan(ab) เท่ากับเท่าใด3. กําหนดให้ log 8(log 4(log2x)) = 2 ถ้า4. กําหนดให้det (A − c I) = 0 ถ้า⎡4 −2⎤A = , ⎡1 0⎤⎢ 1 1 ⎥ I = ⎢⎣ ⎦ 0 1 ⎥⎣ ⎦⎡1 c c⎤B = ⎢c1 c⎥⎢ ⎥⎣c c 1⎦(2 n= ) แล้ว n มีค่าเท่ากับเท่าใดx 4และ c เป็นจํานวนจริงที่น้อยที่สุดที่ทําให้แล้ว1det ( B)2เท่ากับเท่าใด5. ให้ b เป็นจํานวนจริง และกําหนดให้ถ้าb∫ f(x)dx = 12 แล้ว b มีค่าเท่ากับเท่าใด−22⎧ ⎪3x + 1 , 0 < x < bf(x) = ⎨⎪⎩ 1 ,x < 06. ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวเลขทั้ง 7 ตัวในเซต {1,2,3,4,5,6,7} จํานวนวิธีที่เรียงได้เลข 7 หลักซึ่งผลบวกของเลขโดดในหลักหน่วยและหลักสิบมีค่าน้อยกว่า 7 เท่ากับเท่าใด7. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลําดับจากน้อยไปมากคือ a 4 5 6 b ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 6 และ 3 ตามลําดับ สัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด8. ตัวแทนจําหน่ายโทรทัศน์สียี่ห้อหนึ่ง ขายโทรทัศน์สี 3 ขนาด ในรอบปี 2542, 2543 และ 2544ด้วยราคาดังต่อไปนี้ขนาดของ ราคา (บาท) ราคาสัมพัทธ์ในการหาดัชนีราคาโทรทัศน์สี 2544 2542 ปี 2543 เมื่อใช้ปี 2542 เป็นปีฐาน20 นิ้ว29 นิ้ว34 นิ้ว9,63921,21838,8859,00020,00035,0001.021.031.10ดัชนีราคาโทรทัศน์สีทั้ง 3 ขนาด อย่างง่ายแบบใช้ค่าเฉลี่ยราคาสัมพัทธ์ของ พ.ศ. 2544 เมื่อใช้ พ.ศ.2543 เป็นปีฐานเท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET482ขอสอบเขาฯ ต.ค.45ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. สําหรับเซต X ใดๆ ให้ P(X) แทนเพาเวอร์เซตของ X และ n(X) แทนจํานวนสมาชิกของ Xถ้า A และ B เป็นเซตซึ่ง n(P(A ∩ B)) = 4 และ n((A∩ B) × (A∪ B)) = 12 แล้วn(P(A ∪B) −P((A−B) ∪(B− A))) เท่ากับข้อใด1. 16 2. 32 3. 48 4. 56−x − 12. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3x 2 > 2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. S = ( −1,0] ∪ (1, ∞ ) ข. ∃x[x∈S ∧ (x + 2) ∉ S]ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด3. กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนเต็ม ซึ่ง a เป็น ห.ร.ม. ของ b และ 216ให้ q 1 , q 2 เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ 216 = b q1+ 106, b = 106q2+ 43 2ถ้า f(x) = x + ax + bx − 36 แล้ว เมื่อหาร f(x) ด้วย x − a ได้เศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 192 2. 200 3. 236 4. 2724. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า p , q เป็นประพจน์ โดยที่ p มีค่าความจริงเป็นจริงและ ~q →(~p∨ q) เป็นสัจนิรันดร์ แล้ว q มีค่าความจริงเป็นจริงข. นิเสธของข้อความ ∃x[(~P(x)) ∧ Q(x) ∧ (~R(x))]คือข้อความ ∀x [Q (x) →(P (x) ∨ R (x))]ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด5. กําหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด โดยที่ x[P(x)] x[~Q(x)]∀ → ∃ มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจริง ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง1. ∃x[P(x) ∧ ~Q(x)]2. ∃x[~P(x) ∨ ~Q(x)]3. ∀x[P(x) → ~Q(x)]4. ∀x[P(x) → Q(x)]6. กําหนดให้ k เป็นค่าคงตัว และ r = {(x,y) ∈ R + × R+ | x + k x = y + k y }พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า k = 1 แล้ว r เป็นฟังก์ชัน ข. ถ้า k = − 1 แล้ว r เป็นฟังก์ชันข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET483ขอสอบเขาฯ ต.ค.45⎪ 27. กําหนดให้⎧2 ,x < −1f(x) = ⎨(x−1) , − 1 < x < 2⎪⎩ x + 1 ,x > 2และ g(x) = f(x) + 2ถ้า k เป็นจํานวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ทําให้ g(k) > 5 แล้ว (g f)(k)1. 5 2. 6 3. 7 4. 88. กําหนดให้ f(x) = x เมื่อ x > 0 และ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้⎧ x ,0 < x < 1g(x) = ⎨⎩x + 1 ,1 < xพิจารณาข้อความต่อไปนี้1ก. g f −1เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน R f ข. f g − เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน R gข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด9. นายดํายืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่ง มองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60° แต่เมื่อเขาเดินตรงเข้าไปหาเสาธงอีก 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75° ในขณะที่เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60° นั้น เขายืนอยู่ห่างจากเสาธงเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.3+ เมตร 2.10(2 3)2110(2 3)23. 10(2 + 2 3) เมตร 4. 10(2 3)+ เมตร+ เมตร2 210. ถ้าไฮเพอร์โบลา H มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงรี 4x + 9y −8x − 36y + 4 = 0 จุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัสทั้งสองจุดของวงรีนี้ และผ่านจุด (5, 5)แล้ว จุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา H คือจุดในข้อใดต่อไปนี้77881. (1 − , 2) และ (1 + , 2) 2. (1 − , 2) และ (1 + , 2)3.119(1 , 2)11− และ119(1 , 2)11+ 4.1110(1 , 2)11− และ1110(1 + , 2)11x 311. กําหนดให้ f(x) 1 = − + เมื่อ x < 1 และ f(x) 2 = 3x− 2 เมื่อ x > 12 2ถ้า P(a,b) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว 7/ 5 หน่วยและสัมผัสกราฟของ f 1 และ f 2 แล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 2 2 2. 2 2 3. 6− 2 4. 6+212. ให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ log16x + log4 x + log2x < 7 และ4x −3 2x −3B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3 − 26(3 ) > 1 แล้ว A − B คือช่วงในข้อใดต่อไปนี้1.3(0, )22. 3 [ , 16)23. (0, 3] 4. [3, 16)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET484ขอสอบเขาฯ ต.ค.45⎡1 2 0 ⎤= ⎢3 1 −1⎥⎢ ⎥, x > 0⎣x 0 −2⎦และ det (2 adj A) = 1/18 แล้ว x เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้1. x < 5 2. 5< x < 9 3. 9< x < 13 4. x>13−113. ถ้า A เป็นเมตริกซ์ซึ่ง A14. กําหนดให้สมการจุดประสงค์คือ P = 2ax + 3ay โดยที่ a > 0อสมการข้อจํากัดคือ 2x + y < 1000 , x + 3y < 900, x > 0 และ y > 0ถ้าค่าสูงสุดของ P คือ 33, 000 แล้ว a เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้1. 10 < a < 20 2. 20 < a < 30 3. 30 < a < 40 4. 40 < a < 5015. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ |˜BC| = 1 , |˜ CA| = 21ถ้า u = (CA˜+ 2˜ CB) , θ เป็นมุมระหว่าง u และ ˜CB3และ 1cos BCA = แล้ว cos θ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.5442. 5 23.54 216. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ |ÃB| = c , |˜ BC| = a , |˜ CA| = bถ้า a 2 + b 2 + c 2 = 13 แล้ว ÃB ⋅˜BC +˜BC ⋅˜CA +˜CA ⋅˜ AB เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.1322.13− 3. 132317. กําหนดให้ z 1 , z 2 , z 3 เป็นจํานวนเชิงซ้อน ซึ่งมีสมบัติว่า 1 2 3z1+ z2+ z3= 0 และให้ Re (z) แทนส่วนจริงของจํานวนเชิงซ้อน zพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. 1 2Re(zz)12= ข. 1 24.4.52 2−133z = z = z = 1 และz − z = 3ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด18. กําหนดให้ z เป็นจํานวนเชิงซ้อน ถ้า − 1+ 3 i เป็นรากที่ 5 ของ z แล้ว รากที่ 2 ของ zคือจํานวนในข้อใดต่อไปนี้1. 2 2( − 3− i), 2 2( 3+ i) 2. 2 2( −− 1 3 i), 2 2(1+3 i)3. 2 2( − 3+ i), 2 2( 3− i) 4. 2 2( −+ 1 3i), 2 2(1−3i)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET485ขอสอบเขาฯ ต.ค.4519. กําหนดให้ log x , log (x + 2) , log (x + 16) เป็นสามพจน์แรกที่เรียงกันของลําดับเลขคณิต ถ้าa 10 เป็นพจน์ที่ 10 และ 10S เป็นผลบวก 10 พจน์แรกของลําดับนี้แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. a10= 9log5 − 8log3, S 10 = 5[9log5 − 7log3]2. a10= 9log5 − 8log3, S 10 = 5[9log7 − 2log3]3. a10= 9log7 − log3, S 10 = 5[9log5 − 7log3]4. a10= 9 log 7 − log 3 , S 10 = 5[9log7 − 2log3]20. กําหนดให้ a 0 > ,ถ้า+ −x→a x→a⎧ x⎪ x+2f(x) = ⎨⎪ x+1⎪⎩ xlim (f g)( x) − lim (g f)(x) =,x < a,x > a11a(a+2)2และ g(x) = x แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 2. 3 3. 5 4. 9221. กําหนดให้ f(x) = x − 6x + c โดยที่ c เป็นจํานวนจริง ถ้า a และ b เป็นรากของสมการf(x) = 0 และ 3a + 2b = 20 แล้ว f(c) ′ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 38 2. − 26 3. 26 4. 382 222. กําหนดให้ f(x) = x − 2 x และ g(x) = x + 1(g f) ′( − 3) + (f g) ′(3)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 132 2. − 84 3. 84 4. 13223. กําหนดให้ f(x) ′′ = ax เมื่อ a เป็นค่าคงตัว ถ้าเส้นตรง 2x + y − 6 = 0 สัมผัสกับกราฟของ1f ที่จุด (1, 4) และ f(0) = 8 แล้ว ∫ f(x)dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 22 402. 23 43. 4244. 43424. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดขนาดเดียวกัน เป็นสีแดง 24 เม็ด ที่เหลือเป็นลูกกวาดสีขาวและลูกกวาดสีเขียว ถ้าสุ่มหยิบลูกกวาดขึ้นมา 1 เม็ด ความน่าจะเป็นที่ได้ลูกกวาดสีขาวหรือสีเขียวเท่ากับ 5/6และความน่าจะเป็นที่ได้ลูกกวาดสีเขียวหรือสีแดงเท่ากับ 3/4 แล้ว จํานวนลูกกวาดสีเขียวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 36 2. 60 3. 72 4. 8425. ชมรมกีฬาของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 80 คน สมาชิกทุกคนต้องเล่นกีฬาอย่างน้อยหนึ่งอย่าง และมีสมาชิกเป็นนักฟุตบอล 49 คน นักบาสเกตบอล 40 คน นักเทนนิส 33 คนนักกีฬาทั้งสามอย่าง 5 คน นักเทนนิสอย่างเดียว 10 คน นักบาสเกตบอลอย่างเดียว 13 คน นักบาสเกตบอลและนักเทนนิส 13 คน ความน่าจะเป็นในการเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการของชมรมตําแหน่งละ 1 คน จากสมาชิกทั้งหมด โดยที่ประธานต้องเป็นนักกีฬาทั้งสามอย่าง และรองประธานจะต้องเป็นนักกีฬาอย่างน้อย 2 อย่าง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.93162. 113163. 15632Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)4. 23632

คณิตศาสตร O-NET / A-NET486ขอสอบเขาฯ ต.ค.4526. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างต้นทุนการผลิตสินค้าต่อหน่วย ( y ) (หน่วยเป็นบาท) กับจํานวนสินค้าที่ผลิตได้ในแต่ละวัน ( x ) (หน่วยเป็นชิ้น) ของโรงงานแห่งหนึ่งที่ได้จากการเก็บข้อมูลตั้งแต่วันที่ 1 – 30 กันยายน 2545 อยู่ในรูปสมการ y = 8−0.5xถ้าจํานวนสินค้าที่โรงงานแห่งนี้ผลิตได้ในวันที่ 1 – 4 ตุลาคม 2545 เป็น 4, 2, 8, 10 ชิ้นตามลําดับ แล้ว ความแปรปรวนของต้นทุนการผลิตสินค้าต่อหน่วยที่ทํานายได้ในช่วงเวลาดังกล่าวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2.5 2. 10 3. 17.5 4. 22.527. ถ้าน้ําหนักของนักเรียนชั้นอนุบาลในโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่ามัธยฐานเป็นสามเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนกลุ่มนี้มีน้ําหนักน้อยกว่า15.7 กิโลกรัม แล้ว เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนกลุ่มนี้ที่มีน้ําหนักอยู่ระหว่าง 13 กิโลกรัม ถึง 18กิโลกรัม เท่ากับข้อใดต่อไปนี้กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง zz 0.13 0.14 0.2 0.4 0.6 0.7พื้นที่ 0.0517 0.0557 0.0793 0.1554 0.2258 0.25801. 30.51% 2. 33.73% 3. 38.12% 4. 41.34%28. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมีคะแนนเต็ม 70 คะแนน มีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนเท่ากับ 2/7 ถ้านายบัณฑิตสอบได้ 65 คะแนน ซึ่งคิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3 และนางสาวบังอรสอบได้คะแนนซึ่งคิดเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 1.9 แล้วนางสาวบังอรสอบได้คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 50 คะแนน 2. 52 คะแนน 3. 54 คะแนน 4. 56 คะแนนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET487เฉลยคําตอบขอสอบเขาฯ ต.ค.45ตอนที่ 1 (1) 5 (2) 0.6 (3) 127 (4) 0.625 (5) 2 (6) 1440 (7) 0.8 (8)102.14ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 2 (3) 2 (4) 1 (5) 4 (6) 2 (7) 3 (8) 1 (9) 4(10) 4 (11) 3 (12) 1 (13) 3 (14) 2 (15) 4 (16) 2 (17) 3 (18) 4 (19)4 (20) 2 (21) 1 (22) 3 (23) 2 (24) 4 (25) 1 (26) 1 (27) 3 (28) 3เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) y = 1236 − 4x → 3y =236 − 4x32 2 2 2→ 9y = 36 − 4x → 4x + 9y = 362 2x y→ + = 129 41โดยที่ y > 0(เป็นรูปครึ่งวงรี) -3 0 3จากกราฟพบว่าถ้า y ∈ {0,1,2,3} จะมี x อยู่ 5 ตัว ตอบ(2) ให้ A = arcsinx จะได้ว่า2sin A = x, cos A = 1 − xดังนั้นจากโจทย์ → sin(2A) = x2→ 2sinAcosA = x → 2x 1− x = x2→ x(2 1− x − 1) = 02 1จะได้ x = 0 หรือ 1 − x = → แต่โจทย์บอก2 1ว่าคําตอบไม่ใช่ 0 ดังนั้น 1 − x =22 1 2 3 31 − x = → x = → x = ±4 4 2(ตัวหนึ่งเป็น a และอีกตัวเป็น b คูณกันได้ -3/4)⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ให้หาค่า sin arctan −⎜ ⎜ ⎟⎟⎝ ⎝ 4 ⎠⎠3tan =− ย่อมได้ว่า4log (log x) = 8 = 64ถ้า2(3)23sin 0.65= = ตอบ4 2128 12764 128 (2 ) (2 )2→ log x = 4 = 2 → x = 2 = 4∴ n = 127 ตอบ4−c −2(4) A − cI =⎡ ⎤⎢⎣1 1−c⎥⎦→ A − cI = (4 − c)(1 − c) + 2 = 02จะได้ 4 − 5c + c + 2 = 0→ (c − 3)(c − 2) = 0 → c ที่น้อยที่สุดคือ 2หา31 1122B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ 2 1 22 ⎝2⎠22 13⎛ 1⎞5= ⎜ ⎟ (4 − − 4− 4+ 1+ 8+ 8) = = 0.625⎝2⎠8ตอบ[หมายเหตุ ข้อนี้คําตอบเป็นทศนิยมเกิน 2 ตําแหน่ง,จะตอบ 0.62 หรือ 0.63 ก็ได้ เนื่องจากในการตรวจข้อสอบ ยินยอมให้ทศนิยมตําแหน่งที่สองคลาดเคลื่อนได้ ± 1 อยู่แล้ว](5)พื้นที่ขวาb∫0พื้นที่ซ้าย = = 22 3b30= (3x + 1) dx = (x + x) = b + b3 3∴ b + b + 2 = 12 → b + b = 10b 2→ = ตอบ(6) เลือกเลขหลักหน่วยและสิบ ได้ดังนี้ 1, 2 1, 31, 4 1, 5 2, 3 2, 4 รวม 6 กรณีแต่ละกรณีสลับได้ 5! × 2! แบบตอบ 6 × 5! × 2! = 1,440 วิธีa + 4 + 5 + 6 + b(7) X = 6 =5→ a + b = 15 .....(1)(6 − a) + 2 + 1 + 0 + (b −6)MD = 3 =5→ b − a = 12 .....(2)สัมประสิทธิ์ของพิสัย1-2 0 bb − a 12= = = 0.8b + a 15ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET488ขอสอบเขาฯ ต.ค.45(8) หาราคา ปี 2543 โดยใช้ข้อมูลช่องขวาที่ให้มาx1.02 x 9,1809,000 = → = บาทy1.03 y 20,60020,000 = → = บาทz1.10 z 38,50035,000 = → = บาท∴ I SR ปี 2544 เทียบ 2543⎛9,639 21,218 38,885 ⎞ 100= ⎜ + + ⎟ ×⎝9,180 20,600 38,500 ⎠ 3100= (1.05 + 1.03 + 1.01) × = 103 ตอบ3ตอนที่ 22(1) n(P(A ∩ B)) = 4 = 2 แสดงว่าn(A ∩ B) = 2จาก n((A ∩ B) × (A ∪ B)) = 12 = 2 × 6แสดงว่า n(A ∪ B) = 6ดังนั้น n[(A − B) ∪(B − A)]= 6 − 2 = 4โจทย์ถาม n[P(A ∪ B) − P((A − B) ∪(B − A))]เนื่องจาก (A − B) ∪(B − A) เป็นสับเซตของA ∪ B เพาเวอร์เซตจึงเป็นสับเซตของกันด้วยสามารถลบจํานวนได้เลยดังนี้ 2 6 − 2 4 = 48 ตอบ(2) แยกช่วงย่อยคิดกรณีแรก ถ้า x < 0 จะได้สมการกลายเป็น3x −2 3x −2> 2 → < 2− x − 1 x + 13x −2 −2x −2 x − 4→< 0 → < 0x + 1 x + 1นั่นคือ ( − 1,4] และนําไปอินเตอร์เซคกับเงื่อนไขเหลือแค่ (1,0) −กรณีที่สอง ถ้า x > 0 จะได้สมการกลายเป็น3x −2 3x −2 − 2x + 2> 2 →> 0x − 1 x − 1x→ > 0 นั่นคือ ( −∞,0] ∪(1, ∞ )x − 1อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข เหลือแค่ {0} ∪(1, ∞ )ดังนั้น ก. S ( 1,0 ] (1, )= − ∪ ∞ ถูกข. มีบาง x ซึ่ง x ∈ S และ (x + 2) ∉ S ไม่จริงเพราะ S ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้นไม่ว่า x เป็นจํานวนเท่าใด (x + 2) ย่อม S(3) การหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีของยุคลิดจาก 216 b q1106∈ เสมอ ผิด ตอบ ข้อ 2.= + .....(1)และ b = 106q2+ 4 .....(2)ทําต่อไป 106 = 4(26) + 2 และ 4 = 2 (2)ดังนั้น ห.ร.ม. a = 2ส่วนค่า b ได้จากการพิจารณาสมการที่ (1)คือ bq1= 216 − 106 = 110 โดย q 1 เป็นจํานวนนับ และ b > 106 (ตัวหารต้องมากกว่าเศษ)∴ b = 110 เท่านั้น (q1= 1)(ไม่สามารถเป็น 55 × 2 ได้ เพราะ 55 < 106 )3 2∴ f(x) = x + 2x + 110x − 36 หารด้วย x − 2ได้เศษ f(2) 8 8 220 36 200= = + + − = ตอบ(4) ก. p เป็นจริง และ ~q →(F ∨ q) เป็นจริงแสดงว่า ~q→ q เป็นจริง∴ q เป็นจริงเท่านั้น ก. ถูกข. นิเสธคือ ∀x ⎡⎣P(x) ∨ ~ Q(x) ∨R(x)⎤⎦≡∀x ⎡⎣ Q(x) →(P(x) ∨R(x))⎤⎦ ข. ถูก ตอบ ข้อ 1.(5) ∀x [ P(x) ] → ∃ x [ ~ Q(x) ] เป็นเท็จแสดงว่า ∀ x [ P(x) ] เป็นจริงและ ∃ x [ ~Q(x) ] เป็นเท็จ (คือ ∀ x[ Q(x) ] จริงด้วย)พิจารณาว่าตัวเลือกในข้อใดเป็นจริงโดยยึดในใจว่า ∀ x [ P(x) ] จริง, ∀ x[ Q(x) ] จริง1. มีบาง x ซึ่ง P จริง และ Q เท็จ ...ไม่ใช่2. มีบาง x ซึ่ง P เท็จ หรือ Q เท็จ ...ก็ไม่ใช่3. ทุกๆ x ถ้า P จริง แล้ว Q เท็จ ...ไม่ใช่4. ทุกๆ x ถ้า P จริง แล้ว Q จริง ...ใช่ ตอบ ข้อ 4.(6) ก. x + x = y + y→ y + y − (x + x) = 0→ y =∴ y =− 1 ± 1 + 4(x + x)2− 1 ± 4x + 4 x + 12− 1 ± (2 x + 1)= = x หรือ −1 − x2แต่ y 1 x=− − ไม่ได้ เพราะติดลบ∴ y = x เท่านั้น จึงเป็นฟังก์ชันข. x − x = y − y→ y − y − (x − x) = 0→ y =∴ y =1 ± 1 + 4(x − x)21 ± 4x − 4 x + 121 ± (2 x − 1)2= = หรือ 1 xซึ่งเป็นไปได้ทั้ง 2 อย่าง จึงไม่เป็นฟังก์ชัน(เช่น ถ้า x=1 จะได้ y=1 ก็ได้, y=0 ก็ได้)ตอบ ข้อ 2.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x−

คณิตศาสตร O-NET / A-NET489ขอสอบเขาฯ ต.ค.45(7) จาก g(k) > 5 → f(k) + 2 > 5 → f(k) > 3⎧ 2 ,k < −1f(k) = ⎨ (k − 1) , − 1 < k < 2⎪⎩ k + 1 ,k > 2⎪ 2และลองแทนค่าจํานวนเต็ม k ไล่ไปเรื่อยๆกรณีบน f(k)=2 เสมอ ไม่มากกว่า 3 อยู่แล้วกรณีกลาง ถ้า k = 0 ได้ f(0) 1ถ้า k = 1 ได้ f(1) 0= ,กรณีล่าง ถ้า k = 2 ได้ f(2) 3= แสดงว่าไม่มี k ที่ใช้ได้เลย= ,ถ้า k = 3 ได้ f(3) = 4∴ จํานวนเต็ม k ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ f(k)>3 คือ 3(gof)(3) = g(4) = f(4) + 2 = 7 ตอบ−1 2(8) ก. f (x) = x เมื่อ x > 02 21 x ; 0 x 1gof − (x)⎧ 3/2 ตอบ3 > 27 → 2x > 33A − B = (0, )2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET1(13) [พิสูจน์ จาก adjA = A ⋅ A −n 1 n 1จะได้ adjA A A −−= ⋅ = A ]2ดังนั้น 2adjA = 2 3 adjA = 8 Aหา A จากในโจทย์ก่อน−1A = 12 −2 − 2x = 10 − 2x12 1∴ A = → จะได้ว่า 8A =10 − 2x18→ 8 12(10 2x) 1442(10 − 2x)= 18→ − =→ x = 11 ตอบ ข้อ 3.(14)300 (420,180)O 500สมมติว่าจุด (420, 180) ทําให้เกิด P max∴ 33,000 = 2a (420) + 3a (180)ได้ a ≈ 23.91 ลองแทนค่าจุดอื่นหา P ดูก่อน(500, 0) ได้ P = 23,913(0, 300) ได้ P = 21,519แสดงว่าจุดที่เลือก เกิด P max จริงๆ∴ ตอบ ข้อ 2.(15)Aนํา u มาดอทกับ ˜CB จะได้มุม θ˜ ˜ ˜ ÃcBBba1C2arccos 1/412u ⋅ CB = [CA ⋅ CB + 2| CB | ]31 12u |˜CB | cos θ= [|˜CA ||˜CB | ( ) + 2|˜CB | ]3 4แทนค่า |CA|˜= 2, |CB|˜= 15จะได้ u cos θ=61หาขนาด u จาก u = |CA˜+ 2˜CB|31 2 210= 2 + 2 + 2(2)(2) ( 1/4)=3 35 10 5∴ cos θ = ÷ = ตอบ6 3 2 2(16)C490˜˜ ˜ ˜ ˜ขอสอบเขาฯ ต.ค.45˜โจทย์ถาม AB ⋅ BC + BC ⋅ CA + CA ⋅ AB= ca cos(180°− B) + ab cos(180°− C) + bc cos(180°−A)=−ca cos B −ab cos C − bc cos Aจาก a 2 + b 2 + c 2 = 13 ใช้กฎของ cos ใน Δจะได้ว่า2 2 2 2(b + c − 2bc cos A) + (a + c − 2ac cos B)2 2+ (a + b − 2ab cos C) = 13แทนค่า a 2 + b 2 + c 2 = 13 ลงไป จะได้−2bccosA − 2accosB − 2bccosA = − 13ดังนั้น ตอบ−132(17) เนื่องจากขนาด z 1 , z 2 , z 3 เป็น 1และรวมกันเป็น 0 แสดงว่า z 1 , z 2 , z 3 อยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย และห่างเป็นระยะเท่าๆ กันคือห่างกัน 120° ดังนั้น ถ้าให้ z 1 = 1∠θ จะได้z2 = 1 ∠θ+ ( 120 ° ), z3= 1 ∠θ− ( 120 ° )ก. z 2 1 ( 120 )= ∠−θ− ° ดังนั้นz1z2= 1 ∠θ+ ( ( −θ− 120 ° )) = 1 ∠− ( 120 ° )∴ Re(z 1z 2) = 1 cos( − 120 ° )1= cos 120°=− เสมอ2ข. z 1 − z 2= (cosθ+ isin θ) −(cos( θ+ 120) ° + isin( θ+ 120)) °= ⎡⎣ cos θ−cos( θ+ 120 ° ) ⎤⎦ −i ⎡⎣sinθ−sin( θ+ 120 ° ) ⎤⎦3 3 3 3= ( cos θ+ sin θ ) + i( sin θ− cos θ )2 2 2 2= 3 ( 3 cos sin ) i( 3 sin cos )2 ⎡ ⎣ θ + θ + θ − θ ⎤ ⎦∴ z − z =1 23 3cos2 sin2 3sin2 cos2θ + θ + θ + θ2θ cos3 4cos2 4sin2= θ + θ = 32(พจน์กลางคือ 2 3 sinθ หักล้างกันแล้ว)ตอบ ข้อ ก. ผิด, ข.ถูกหมายเหตุ ข้อ ข. อาจพิสูจน์แบบเวกเตอร์2 21 − 2 = + − ° = ก็ได้z z 1 1 2(1)(1) cos(120 ) 35 5(18) z = ( − 1 + 3 i) = (2∠ 120 ° )= 32∠ 600° = 32∠ 240°รากที่สองของ z ได้แก่ 32∠12032 ∠ (120°+ 180 ° )นั่นคือ1 332 ( i)2 2− + กับ° กับ1 332 ( − i)2 2ตอบ 2 2( − 1 + 3i) และ 2 2(1 − 3i)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET491ขอสอบเขาฯ ต.ค.45(19) log(x + 2) − log x = log(x + 16) − log(x + 2)x+ 2 x+16 2 2→ = → x + 4x + 4 = x + 16xx x+21→ x =317 1∴ a1= log( ) และ d = log( ) − log( ) = log(7)33 31→ a10= log( ) + 9 log(7) = 9 log 7 − log 33และ 1010 1S = (log( ) + (9log7 − log3))2 3= 5(9log7 − 2log3) ตอบ ข้อ 4.(20)a + 1lim (fog)( x) = lim f(x) =a+ +x→a x→alim (gof)(x) x a= lim g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−−⎜ ⎟ = ⎜ ⎟x→a x→a⎝ x + 2 ⎠ ⎝ a + 2 ⎠จะได้ a + 1 − a =11a a + 2 a(a + 2)2→ (a + 1)(a + 2) − a = 11 → 3a + 2 = 11→ a = 3 ตอบ(21) x 2 − 6x + c = (x − a)(x − b)แสดงว่า a + b = 6 .....(1)จากโจทย์บอกเพิ่มว่า 3a + 2b = 20 .....(2)แก้ระบบสมการได้ a = 8, b =− 22∴ f(x) = (x − 8)(x + 2) = x −6x − 16 → c = − 16โจทย์ถาม f( ′ − 16) = 2( −16) − 6 = − 38 ตอบ(22) ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกก่อนจึงดิฟได้ก. ที่ x =− 32 2 2→ (gof)(x) = g(x + 2x) = (x + 2x) + 12→ (gof)′(x) = 2(x + 2x)(2x + 2)→ (gof)′( − 3) = 2(9 − 6)( − 4) = − 24ข. ที่ x = 3 ได้ g(3) 10= ดังนั้น2 2 2 2→ (fog)(x) = f(x + 1) = (x + 1) − 2(x + 1)2→ (fog) ′(x) = 2(x + 1)(2x) − 4x→ (fog) ′(3) = 2(10)(6) − 12 = 108 ตอบ 84(23) เส้นตรง 2x + y − 6 = 0 สัมผัสกราฟที่จุด(1, 4) แสดงว่า f(1) = 4 และความชัน f(1) ′ =− 2จากจะได้จากจะได้axf ′′(x) = ax → f ′(x) = + b2af(1) ′ = + b = − 2 .....(1)23axf(x) = + bx + c6af(1) b c 46= + + = .....(2)และ f(0) = c = 8แก้ระบบสมการ ได้ a = 6, b =− 522ดังนั้น 1 1 3∫ ∫f(x) dx = (x − 5x + 8) dx0 04⎛x 5 2⎞ 23= ⎜ − x + 8x⎟=⎝ 4 2 ⎠ 410ตอบ(24) แดง 24 เม็ด, ขาว x เม็ด, เขียว y เม็ด5 x + y∴ =6 24 + x + yแก้ระบบสมการ จาก (1) ได้และ 3 24 +=y4 24 + x + y5 (24 + x + y) = x + y → x + y = 1206แทนใน (2) 3 24 += y ได้ y 844 144(25) จํานวนคน = 80 คน,เป็นนักกีฬาครบทุกอย่าง = 5 คนเป็นนักกีฬาสองอย่างขึ้นไป(คิดจากรูป)F= 37 คน5 × 36 × 78 9ตอบ =80 × 79 × 78 316(26) หา 2 x= เม็ด ตอบB20 14 1310 5 810T4 + 2 + 8 + 10s ; X = = 642 2 2 22 2 + 4 + 2 + 4∴ sx= = 104จาก Y = 8 − 0.5 X จะได้ s Y = 0.5s x2 2 2 2→ s Y = (0.5) s x = (0.5) ⋅ 10 = 2.5 ตอบ(27) Med = X = 3s .....(1)และ x = 15.7 → พื้นที่ A 0.557= ทางขวา15.7 − X→ z = 0.14 = .....(2)แก้ระบบสมการได้ s = 5, X = 1513 − 15ดังนั้น z 13 = = − 0.4s5−z = = 0.65และ 1818 15ตอบ 15.54 + 22.58 = 38.12%(28) s 2 X = , 65 − X3 =7sแก้ระบบสมการได้ s = 10 และ X = 35x − 35บังอรดังนั้น 1.9 =10→ = คะแนน ตอบx 54บังอร0.1554 0.2258-0.4 0.6 zMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET492ขอสอบเขาฯ มี.ค.46¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ ÁÕ.¤.46 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการ x > x − 1x − 5และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ> 0ถ้า A− B คือช่วง (a, b) แล้ว a b(x + 1)(x + 3)+ มีค่าเท่ากับเท่าใด2. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า A = 30° ด้าน BC ยาว 2 เซนติเมตร และด้าน AC ยาว 3เซนติเมตร แล้ว 4sin3B มีค่าเท่ากับเท่าใดxx3. ถ้า log93, log 9(3 − 2) , log 9(3 + 16) เป็นสามพจน์แรกที่เรียงกันในอนุกรมเลขคณิต และ Sเป็นผลบวกของสี่พจน์แรกของอนุกรมนี้ แล้ว 3 S มีค่าเท่ากับเท่าใด4. กําหนดให้ A และ B เป็นเมตริกซ์ขนาด 2×2⎡5 4 ⎤⎡ 2 1 ⎤ถ้า A + 2B = ⎢ 8 16 ⎥ และ A − B = แล้ว − 1⎢⎣ ⎦−1 −5⎥ det (2A B) มีค่าเท่ากับเท่าใด⎣ ⎦5. กําหนดสมการจุดประสงค์คือ P = 3x + 2y โดยมีอสมการข้อจํากัดคือ 0 < x < 4 และ6 < x + y < 7 แล้ว ค่าสูงสุดของ P เท่ากับเท่าใด6. ถ้า u = 4i + 3j, v = u และ u + v = 8 แล้ว u ⋅ v มีค่าเท่าใด7. สลาก 11 ใบ มีหมายเลข 1 ถึง 11 กํากับอยู่ใบละ 1 หมายเลข สุ่มหยิบสลากมา 4 ใบ ความน่าจะเป็นที่สลากที่หยิบมา มีผลคูณของหมายเลขเป็นจํานวนคู่ แต่ผลบวกของหมายเลขเป็นจํานวนคี่มีค่าเท่าใด (ตอบทศนิยม 2 ตําแหน่ง)8. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งดังนี้คะแนน ความถี่16 – 18 a19 – 21 222 – 24 325 – 27 628 – 30 4ถ้าควอร์ไทล์ที่หนึ่ง ( Q 1) เท่ากับ 18.5 คะแนน แล้ว มัธยฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องนี้เท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET493ขอสอบเขาฯ มี.ค.46ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ A = {1,2}, B = { 1, 2, 3, ..., 10 }11เซต {f|f : A − > B และมี x ∈ A ซึ่ง f(x) = x} มีจํานวนสมาชิกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 16 2. 17 3. 18 4. 192. ให้ p , q และ r เป็นประพจน์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า [(p ∧ ~ r) ∧ q] →~(p ∧ q) เป็นเท็จ แล้ว (p ∨ q) → r เป็นจริงข. ถ้า q ∨ ~r เป็นเท็จ แล้ว [p ∨(q →r)] → ~ q เป็นเท็จข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด3. กําหนดให้ p , q , r และ s เป็นประพจน์ในการอ้างเหตุผล ถ้า “เหตุ” คือ 1. (p ∨ q) →(r ∧ s)2. r → ~sแล้ว ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้เป็น “ผล” ที่ทําให้การอ้างเหตุผลมีความสมเหตุสมผล1. p 2. q 3. ~p ∧ ~q 4. ~p∧q4. ให้ A , B และ C เป็นเซตซึ่ง n(A∪ B) = 16, n(A) = 8, n(B) = 14, n(C) = 5 และn(A∩B∩ C) = 2 ค่าสูงสุดของ n[(A∩ B) × (C− A)] ที่เป็นไปได้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 6 2. 12 3. 18 4. 245. กําหนดให้ I คือเซตของจํานวนเต็ม และ S = {x | x−1 − 1 ⋅ x−1+ 1 < 50} จํานวนสมาชิกของเซต S ∩ I เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 13 2. 14 3. 15 4. 166. กําหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน ซึ่ง f(x) < 0 ทุก x2− 1 x + 1ถ้า (g f)(x) = 2 [f (x)] + 2 f (x) − 4 และ g (x) = แล้ว3พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. g fเป็นฟังก์ชันคงตัว ข. f(100) + g(100) = 300ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET494ขอสอบเขาฯ มี.ค.4627. กําหนดให้ f(x) = −(x− 1) ทุก x < 1 และ g(x) = 1− x ทุก x < 1พิจารณาข้อความต่อไปนี้1ก. f −−1 −1 1 3(x) = 1− x ทุก x < 0ข. (g f )( − ) =4 4ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด8. กําหนดให้ r = {(x,y)| 0 < x, 0 < y < 5 และ x 2 − y 2 − 2x + 6y 0 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้1. (2,1/2) − 2. ( − 1/2,2) 3. (0, 10) 4. (1/2, 20)13. กําหนดให้⎡x+ 2 x x+1⎤A = ⎢ 0 x x+1⎥⎢ ⎥⎣x+ 1 −1 x ⎦และ⎡ x x+1⎤B = ⎢ 2x 3 ⎥⎣ ⎦ถ้า x เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ det (A) = 0 แล้ว adj B คือเมตริกซ์ในข้อใดต่อไปนี้⎡ 3 −2⎤⎡ ⎤1.3.⎢−2 1 ⎥⎣ ⎦⎡ 3 −3⎤⎢−4 2 ⎥⎣ ⎦2. 3 0⎢2 −1⎥⎣ ⎦⎡4. 3 1 ⎤⎢4 −2⎥⎣ ⎦Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET495ขอสอบเขาฯ มี.ค.4614. ให้ A , B เป็นจุดสองจุดบนเส้นตรง y = 2x ถ้าจุด C(2,1) − ทําให้ ˜˜CA ⋅ CB = 0 และ|˜CA| = |˜CB|แล้ว รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 5 ตารางหน่วย 2. 10 ตารางหน่วย3. 5 ตารางหน่วย 4. 10 ตารางหน่วย315. กําหนดให้ z 1 , z 2 , z 3 เป็นรากของสมการ (1− i) z = 2 โดยที่ z 1 , z 2 , z 3 อยู่ใน2ควอดรันต์ที่ 1, 2 , 3 ตามลําดับ zz 1 3+ z2มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 2i 2. 2i 3. − 2 4. 24 3 216. กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนจริง และ f(x) = x − 6x + 15x + ax+ b ถ้าจํานวนเชิงซ้อน1 + i และ 2 + i เป็นรากของ f (x) แล้ว a + b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 10 2. − 8 3. 8 4. 10117. lim ⎡2 23 1+ x − 1−x − (1+ x)(1 − x ) + (1−x)(1−x ) ⎤ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้⎣ ⎦x→0x1. 0 2. 1 43. 1 24. 118. กําหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด x = 4 และ⎧ ⎛ x−4⎞⎪ f(x) ⎜ ,x 4g(x)x 2⎟ ≠= ⎨ ⎝ − ⎠⎪2⎩ 4 − kx ,x = 4โดยที่ k เป็นค่าคงตัวถ้ากราฟของ f ตัดเส้นตรง y = x + 1 ที่จุดซึ่ง x 4= แล้ว k อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้1. (3, − − 1) 2. ( − 2,0) 3. (1,1) − 4. (0, 2)19. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f(x) ′′ = 2x+ 1 ถ้าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับ 1 2 ที่ x = − 1แล้ว ค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับข้อใดต่อไปนี้11. − 1 2. −33. 0 4. 1 320. ในการจัดไปทัศนศึกษาครั้งหนึ่ง ผู้จัดคิดค่าบริการเป็นเงื่อนไขดังนี้ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 50 คน ผู้จัดจะคิดค่าบริการอัตราหนึ่งถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 51 คน ค่าบริการจะลดลงคนละ 2 บาทถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 52 คน ค่าบริการจะลดลงคนละ 4 บาทถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 53 คน ค่าบริการจะลดลงคนละ 6 บาท เป็นเช่นนี้เรื่อยไปปรากฏว่า ถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 90 คน แล้วจะเก็บค่าบริการได้มากที่สุดถ้ามีผู้ร่วมเดินทาง 100 คน จะเก็บค่าบริการได้ทั้งหมดเป็นเงินเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 16,000 บาท 2. 16,200 บาท 3. 16,400 บาท 4. 16,600 บาทMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET496ขอสอบเขาฯ มี.ค.4621. ถ้าความชันของเส้นโค้ง y = f (x) ที่จุด (x, y) ใดๆ เท่ากับ x 2 − 3x + 2 และแล้ว จุด (x, y) ในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนเส้นโค้ง y = f(x)1.4(0, )32.4(0, )3− 3.13(1, )44.0∫2f(x)dx = 413(1, − )4222. กําหนดให้ A เป็นบริเวณในระนาบ xy ซึ่งปิดล้อมด้วยพาราโบลา y = x − 7 และแกน xจาก x = 0 ถึง x = a เมื่อ a เป็นค่าคงตัว ถ้าพื้นที่ของบริเวณ A ส่วนที่อยู่เหนือแกน xมากกว่าพื้นที่ของบริเวณ A ส่วนที่อยู่ใต้แกน x เท่ากับ 2a ตารางหน่วย แล้ว a คือจํานวนในข้อใดต่อไปนี้1. 2 3 2. 3 3 3. 5 4. 723. มีคนงานหญิง 6 คน และคนงานชาย 8 คน ซึ่งมีนายดํารวมอยู่ด้วย ถ้าจะเลือกคนงาน 4 คนไปทํางานที่ต่างกัน 4 ประเภท โดยให้เป็นหญิง 2 คน เป็นชาย 2 คน และให้มีนายดําอยู่ใน 4 คนนี้ด้วย จํานวนวิธีการเลือกคนงานดังกล่าวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1920 วิธี 2. 2400 วิธี 3. 2520 วิธี 4. 2880 วิธี24. นายกวีและนายขจรได้รับเชิญไปงานเลี้ยง ซึ่งมีผู้ได้รับเชิญทั้งหมด 20 คน เจ้าภาพจัด (โดยสุ่ม)ให้ผู้ร่วมงานนั่งโต๊ะกลม 2 โต๊ะ ๆ ละ 10 ที่นั่ง ความน่าจะเป็นที่นายกวีและนายขจรจะได้นั่งติดกันในโต๊ะตัวเดียวกันเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1192. 2 193. 2 94. 4 925. จากการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างยอดขาย ( y ) (หน่วยเป็นหมื่นบาท) ของพนักงานขายประกันในบริษัทประกันภัยแห่งหนึ่งกับประสบการณ์การขาย ( x ) (หน่วยเป็นปี) ของพนักงานขายโดยเก็บข้อมูลจากพนักงานขายประกัน 8 คน ได้ข้อมูลดังนี้8∑ xi= 48, ∑ 8 yi= 41, ∑ 8 xy i i = 286, 2∑ xi= 348 พิจารณาข้อความต่อไปนี้i=1i=1i=1i=1ก. ถ้าพนักงานขายประกันคนหนึ่งมีประสบการณ์การขาย 6 ปี ยอดขายโดยประมาณของพนักงานคนนี้เท่ากับ 51, 250 บาทข. ประสบการณ์การขายเพิ่มขึ้น 1 ปี ทําให้ยอดขายประกันเพิ่มขึ้น 11, 250 บาทข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด26. ในการสอบครั้งหนึ่ง มีผู้เข้าสอบจํานวนหนึ่งซึ่งมีนายคณิตและนายวิทยารวมอยู่ด้วย โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการสอบเท่ากับ 60 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.25นายคณิตสอบได้มากกว่านายวิทยา 9 คะแนน และผลบวกของค่ามาตรฐานของคะแนนของคนทั้งสองเท่ากับ 1.5ถ้าให้ A = ค่ามาตรฐานของคะแนนของนายคณิต และ B = คะแนนของนายวิทยาแล้ว A และ B เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้1. A = 0.45, B = 65.75 คะแนน 2. A = 0.45, B 663. A = 1.05, B = 66.75 คะแนน 4. A = 1.05, B 68= คะแนน= คะแนนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET497ขอสอบเขาฯ มี.ค.4627. การแจกแจงความสูงของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติ ถ้านักเรียนที่มีความสูงมากกว่า149.4 เซนติเมตร มีอยู่ 3% และนักเรียนที่มีความสูงน้อยกว่าฐานนิยมแต่มากกว่า 136.5เซนติเมตร มีอยู่ 25.8% แล้ว ข้อใดต่อไปนี้คือฐานนิยม และความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนกลุ่มนี้ตามลําดับ (หน่วยเป็นเซนติเมตร)กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง zz 0.3 0.7 1.49 1.88พื้นที่ 0.1179 0.2580 0.4139 0.47001. 144.4, 5 2. 144.4, 25 3. 140 , 5 4. 140 , 2528. ร้านสุขสวัสดิ์จําหน่ายเสื้อนักเรียนยี่ห้อหนึ่ง โดยที่ราคาของเสื้อนักเรียนในปี 2544 และ 2545เป็นดังนี้ราคา (บาท)ขนาดเสื้อนักเรียนเล็กกลางใหญ่2544 2545100 105115 125125 130ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2544 เทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากับ 1.19 แล้วดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2545 เทียบกับ พ.ศ. 2543 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1.06 2. 1.12 3. 1.16 4. 1.26เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 5.5 (2) 2.25 (3) 243 (4) 8 (5) 18 (6) 7 (7) 0.48 (8)24.5ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 4 (3) 3 (4) 3 (5) 3 (6) 2 (7) 1 (8) 4 (9) 1(10) 4 (11) 1 (12) 1 (13) 4 (14) 3 (15) 1 (16) 2 (17) 3 (18) 2 (19)4 (20) 1 (21) 1 (22) 2 (23) 3 (24) 2 (25) 2 (26) 3 (27) 4 (28) 4ตอนที่ 1(1) A; เนื่องจากเป็นบวกแน่นอนทั้งสองข้าง จึงยกกําลังสองได้ เป็น x 2 > (x − 1)2 แล้วย้ายมาลบกัน2 2x −(x − 1) > 0 → (x − x + 1)(x + x − 1) > 0→ 2x − 1 > 01∴ A = ( , ∞ )2B; เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น ( −3, −1) ∪ [5, ∞ )1 1ดังนั้น A − B = ( ,5) → + 5 = 5.5 ตอบ(2) กฎของ sine;พิสูจน์ sin 3B = sin(2B + B)= sin 2B cos B + cos 2B sin B2 2sin B sin 30°3= → sin B =3 2 42= (2 sin B cos B)(cos B) + (1 − 2 sin B)(sin B)เฉลยวิธีคิด2 2= 2 sin B(1 − sin B) + (1 − 2 sin B)(sin B)3= 3sinB− 4sin B ดังนั้น ในข้อนี้ถาม 4sin3B⎡ 3 3 3 ⎤ 9= 4⎢3( ) − 4( ) = = 2.254 4 ⎥ตอบ⎣⎦ 4(3) อนุกรมเลขคณิต;x x x9 9 9 9log (3 − 2) − log 3 = log (3 + 16) − log (3 − 2)x3 − 2 3 + 16→ = →x3 3 − 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)xให้ 3 x = A2 2จะได้ (A − 2) = 3(A + 16) → A − 7A − 44 = 0x→ (A − 11)(A + 4) = 0 → 3 = 11 เท่านั้นดังนั้น อนุกรมนี้คือ log9 3 + log9 9 + log927= 0.5 + 1 + 1.5 + … → ผลบวก 4 พจน์แรกS = 0.5 + 1 + 1.5 + 2 = 5 → ตอบ 3 5 = 243

คณิตศาสตร O-NET / A-NET498ขอสอบเขาฯ มี.ค.46(4) นําสองสมการมาลบกัน จะได้3 31 13B =⎡ ⎤B⎡ ⎤⎢921⎥ → =⎢37⎥→ B = 7 − 3 = 4⎣ ⎦ ⎣ ⎦2 1จาก A B⎡− =⎤⎢ ⎣ − 1 − 5 ⎥ ⎦2 1 1 1 32→ A =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢−1 −5 +3 7=⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 22⎥⎦→ A = 6 − 4 = 2−1ตอบ2 12 ⋅ A ⋅ B = 4 ⋅ ⋅ 4 = 82(5)(0, 6) → P = 12(4, 2) → P = 16(0, 7) → P = 1476(4,3)(4, 3) → P = 18(4,2)∴ P O 4max = 18 ตอบ2 2(6) u = 4i + 3j → u = 4 + 3 = 5∴ v = 52 2ดังนั้น u + v = 5 + 5 − 2u ⋅ v = 8จะได้ u ⋅ v = 7 ตอบ(7) การที่ผลคูณเป็นจํานวนคู่ แสดงว่า ต้องมีเลขคู่อย่างน้อย 1 ใบ ... การที่ผลบวกเป็นจํานวนคี่ แสดงว่า ต้องมีเลขคี่ 1 หรือ 3 ใบเพราะฉะนั้นมี 2 กรณีคือ คู่ 3 คี่ 1 และ คู่ 1 คี่ 3⎡ 5 6 5 6 ⎤ 11จะได้ความน่าจะเป็น⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷⎛ ⎞⎢⎜3⎟ ⎜1⎟ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜1⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦⎜4⎟⎝ ⎠60 + 100= ≈ 0.48 ตอบ330(8) Q1= 18.5 = ขอบของชั้นแสดงว่า a:(2+ 3+ 6+ 4) = 1:3→ 3a = 2 + 3 + 6 + 4 → a = 5มัธยฐานอยู่ตําแหน่งที่ 20 102 = เป็นขอบพอดีเช่นกัน ∴ Med = 24.5 คะแนน ตอบตอนที่ 2(1) คําว่า “มี” x ซึ่ง f(x) = xแสดงว่ามี f(1) = 1 หรือ f(2) = 2 ก็ได้นําจํานวนแบบมาบวกกันเลยทันทีไม่ได้ เพราะจะมีบางแบบที่นับซ้ํา เราต้องใช้วิธีเหมือนเรื่องเซตคิด f(1) = 1 ; มีอยู่ 1× 9 = 9 แบบคิด f(2) = 2 ; มีอยู่ 1× 9 = 9 แบบคิด f(1) = 1 และ f(2) 2มีอยู่ 1× 1 = 1 แบบ= ;8 1 8(2) ก. (p ∧ ~ r) ∧ q เป็นจริง,(p ∧ q) เป็นจริง ดังนั้น p จริง, r เท็จ, q จริงจะได้ (p ∨ q) →r ≡ T →F≡ เท็จ ∴ ก. ผิดข. q ∨ ~r เท็จ แสดงว่า q เท็จ, r จริงจะได้ […] → T ≡ T เสมอ ข. ผิด ตอบ ข้อ 4.(3) 1. (~ p ∧ ~ q) ∨ (r ∧ s)2. r → ~sให้เหตุเป็นจริงทุกข้อ จะได้ p, q, r, s เป็นเท็จ∴ ผลซึ่งสมเหตุสมผล คือ ข้อ 3.( ~p ∧ ~q เป็นจริง) ตอบ(4) 16 = 8 + 14 − ◊ ∴ ◊ = 6ดังนั้นได้ A ∩ B ∩ C' = 4 ดังรูปA B2 40 23Cต้องการ n(A ∩ B) × n(C − A) มากที่สุดแต่ n(A ∩ B) = 6 เท่านั้น (เปลี่ยนไม่ได้)แสดงว่าต้องพยายามจัดให้ n(C − A) มากที่สุดดังนั้น ถ้า n(C) = 5 ก็เอา 3 ไว้ในส่วนที่แรเงาn(A) = 8 ก็เอา 2 ไว้นอกสุด ดังรูปจะได้ n(C − A) = 3 และ ตอบ 18(5)2 2x − 1 − 1 < 50 → − 50 < x − 1 − 1 < 502→− 49 < x − 1 < 51 →− 51 < x − 1 < 51→ 1− 51 < x < 1+51→−6กว่า < x < 8กว่า∴ S มีจํานวนเต็มคือ -6, -5, -4,…, 6, 7, 8รวม 15 จํานวน ตอบ− 1 x + 1(6) จาก g (x) = → g(x) = 3x − 13→ (gof)(x) = 3f(x) − 1 แต่โจทย์บอกว่า2(gof)(x) = 2[(f(x)] + 2f(x) − 42ดังนั้น 2[(f(x)] + 2f(x) − 4 = 3f(x) − 13→ (2f(x) − 3)(f(x) + 1) = 0 → f(x) = , − 12แต่ให้ f(x) < 0 ดังนั้น f(x) 1= − เท่านั้น= − = − เป็นฟังก์ชันคงตัว ถูกก. (gof)(x) g( 1) 4ข. f(100) + g(100) = ( − 1) + (300 − 1) = 298 ผิดตอบ ข้อ 2.∴ ตอบ 9 + 9 − 1 = 17 แบบf(1)=1f(2)=2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET499ขอสอบเขาฯ มี.ค.462(7) ก. จาก y =−(x − 1) เมื่อ x < 1 → y < 0 (10) แสดงว่าจุดโฟกัสคือ ( − 3,2) กับ (5, 2)2 2จะได้อินเวอร์สเป็น x =−(y −1) →− x = (y − 1) จุดศูนย์กลาง (h, k) = (1, 2) ระยะโฟกัส c = 4,→± − x = y − 1วงรีตามแกน x ...คําว่า 12 หน่วย แสดงว่า a = 6แต่ y < 1 ทําให้ได้ − − x เท่านั้น∴ จุดยอด A( − 5, 2) B(7, 2)2 2− − x = y − 1 → y = 1− − x(x − 1) (y − 2)สมการวงรีคือ − = 12 2 2ซึ่ง x < 0 เสมอ สามารถเขียน − x เป็น x ได้6 6 − 4หาจุดตัดแกน y; แทน x = 0−1→ f (x) = 1 − x ถูก21 (y − 2) 2 1751 1 1→ − = 1 → (y − 2) =2ข. หา f − ( − ) → − = −(x − 1)36 20 94 45 7 D1 1→ y = 2 ±→ x − 1 = ± → x = เท่านั้น32 2A (0,2) B−1 1 1∴ f ( − ) =4 2−1 1 1 3Cต่อมา หา g ( ) → = 1−x → x = ถูก2 2 4 ∴ พื้นที่ ABCD ซึ่งเป็น รูปว่าวตอบ ข้อ 1.1(8) x 2 − y 2= × ผลคูณเส้นทแยงมุม− 2x + 6y < 822 2→ (x − 2x + 1) − (y − 6y + 9) < 8 + 1 − 91 10 7= × 12 × = 20 7 ตร.หน่วย2 2→ (x − 1) − (y − 3) < 02 3ด้านขวาเป็น 0 จึงไม่ใช่ไฮเพอร์โบลา แต่เป็นเพียง[หมายเหตุ ที่จริงต้องเรียกว่า ACBD ]1 − ( −4) −2 − 3เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน(11) mAB = mCD→ =a −( −5) 1 − 2คือ (x − 1 − y + 3)(x − 1 + y − 3) < 0→ a = − 4→ (x − y + 2)(x + y − 4) < 01 − ( −2) 3mAC= =−วาดกราฟแรเงาได้ดังภาพx-y+2=0−4 − 1 55∴ D r = [0,4] ก. ผิด− + + −(3,5) จุดกึ่งกลาง AC คือ= − −421 5 ⎛ 3⎞และถ้า (3, c) ∈ r แล้วดังนั้นสมการ L คือ y + = ⎜x+ ⎟(4,0)2 3 ⎝ 2⎠c ไม่จําเป็นต้องเป็น 5O 3→ 5x − 3y + 6 = 0 ตอบดังนั้น ข. ผิด ตอบ ข้อ 4.x+y-4=0(9) ให้(12) กรณีแรก x24 − 2 > 0 และ − >arccos x = A, arcsin x = Bx2จะได้π4 > 2 1 − x > 1A − B = → ใส่ sin สองข้าง;126x > x < 012sin A cos B − cos A sin B =2ซึ่ง x 2 < 0 นั้นเป็นไปไม่ได้ กรณีนี้ไม่มีคําตอบ2 2 1กรณีที่สอง x24 − 2 < 0 และ log(1 − x ) < 0→ 1 − x ⋅ 1 − x − x ⋅ x =2x24 < 21 − x < 12 1 2 1 1→ 1 − 2x = → x = → x = ±12x < x > 02 4 221ตรวจคําตอบพบว่า x = เท่านั้น ถึงจะถูก จะได้คําตอบกรณีนี้เป็นช่วง ( −∞,1/2) − {0}21 π π π แต่อย่าลืมเงื่อนไข ภายใน log ต้องมากกว่าศูนย์ตอบ∴ arccos − arctan 1 = − =2 3 4 122→ 1 − x > 0 ∴ − 1 < x < 1ตอบ1(1, ) {0}2− − คือข้อ 1.4 1 1 ( 2) 3 1( , ) ( , )2 2 2 2log(1 x ) 0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET500ขอสอบเขาฯ มี.ค.46(13)2 2 2A = x (x + 2) + x(x+ 1) − x(x+ 1) + (x+ 2)(x+ 1) = 02→ x (x + 2) + (x + 2)(x + 1) = 02→ (x + 2)(x + x + 1) = 0 → x = − 2 เท่านั้น−2 −1∴ B =⎡ ⎤⎢ ⎣ − 4 3 ⎥ ⎦d b 3 1และ → adj B =⎡ ⎤=− ⎡ ⎤⎢⎣−c a ⎥⎦ ⎢⎣ 4 −2⎥⎦ตอบ(14) ข้อนี้วาดรูปแล้วคิดจากตรีโกณมิติจะง่ายเริ่มจากวาดเส้นตรง L; y = 2xy=2xพบว่า CO ตั้งฉากกับ L พอดี1(m C ACO =− , mL= 2)2→ |CO|˜= 4 + 1 = 5Oโจทย์บอกว่า ˜˜CA ⋅ CB = 0Bแสดงว่า CÃ ตั้งฉากกับ ˜CBและโจทย์บอกว่า |CA|˜= |CB|˜ แสดงว่า OACกับ OBC เป็น Δ หน้าจั่ว มุม 45° , 45° , 90°ดังนั้น |OA|˜= |OB|˜= 5จะได้ พื้นที่ Δ ABC =˜ ˜1 ( 5)(2 5) 521 |CO||AB|2= = ตร.หน่วย ตอบ(15) 3 2 2∠0z = = = 1 ∠( − 315 ° )1 − i 2∠ 315°ดังนั้น z = 1 ∠( − 105 ° ) ← Q31∠ 15° ← Q1และ 1∠ 135° ← Q221 3 2∴ zz + z = 1 ∠( − 90) ° + 1∠ 270°=−i − i =− 2i ตอบ(16) แสดงว่าf(x) (x 1 i)(x 1 i)(x 2 i)(x 2 i)= − − − + − − − +2 2= (x − 2x + 2)(x − 4x + 5)4 3 2= x − 6x + 15x − 18x + 10ตอบ − 18 + 10 = − 8(17) มอง 1 + x = A, 1 − x = B จะได้1lim (A −B − AAB + BBA)x→03x1= lim [A (1 − AB) −B (1 − AB)]x→03x1= lim (A −B)(1 − AB)x→03x2 2 2 21 ⎛A −B ⎞ ⎛1−A B ⎞= limx→03 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟x ⎝ A + B ⎠ ⎝ 1 + AB ⎠21 ⎛ 2x ⎞ ⎛ x ⎞= limx→03 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟x ⎝A + B⎠ ⎝1 + AB⎠2 2 1= lim = =x→0 (A + B)(1 + AB) (2)(2) 2ตอบ(18) f ตัดเส้นตรง y = x + 1 ที่ x = 4แสดงว่า f(4) = 5→ g ต่อเนื่องที่ x 4x→4= แสดงว่าlim g(x) = g(4) → f(4) ⋅ ( 4 + 2) = 4 − k(4)→ 5(4) = 4 − 16k → k = − 1 ตอบ ข้อ 2.(19) ค่าสูงสุดคือ 1 ที่ 2 x = − 1แสดงว่า1f( − 1) = และ f( ′ − 1) = 022→ ′ = + + แทนค่า -1f(x) x x C 1จะได้ 0 = 1 − 1 + C1 → C1= 03 2x x→ f(x) ′′ = + + C2แทนค่า -13 2จะได้ 1 = − 1 + 1 + C12 → C2=2 3 2 3หาค่าต่ําสุด; f(x) ′ = 0 → x(x + 1) = 0→ x = 0, − 1 แต่ที่ -1 เป็นจุดสูงสุดไปแล้ว∴ จุดต่ําสุดเกิดที่ x = 0 และค่าต่ําสุดเท่ากับ1f(0) = C = ตอบ23(20) สมมติเมื่อมี 50 คน คิดคนละ a บาทและให้ y = ค่าบริการที่ได้ เมื่อมีคน 50 + x คนจะได้ว่า y = (50 + x)(a − 2x)ค่าสูงสุดของ y เกิดที่ 90 คน (x = 40)→ y ′ = (50 + x)( − 2) + (a − 2x)(1) = 0→−100 − 4x + a = 0 → แทน x ด้วย 40 จะได้a 260คือ y 100 (260 2 (50)) 16,000= บาท โจทย์ถามค่าบริการสําหรับ 100 คน= − = บาท ตอบ2(21) f(x) ′ = x − 3x + 23 2x 3x→ f(x) = − + 2x + C3 224 3⎛xx 2⎞→ ∫ f(x) dx = ⎜ − + x + Cx ⎟⎝12 2 ⎠0 04 4= − 4 + 4 + 2C = 4 → C =3 34∴ f(0) = ตอบ ข้อ 1.322Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET501ขอสอบเขาฯ มี.ค.46(22)a 77⎛ ⎞− − = 2a⎜⎟⎝ 0 ⎠∫ ∫a 73 3⎛x⎞ ⎛x⎞→ ⎜ − 7x⎟ + ⎜ − 7x⎟= 2a⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠7 0⎡3a 7 7 ⎤ ⎡ 7 7⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢⎜− 7a⎟− ⎜ − 7 7⎟⎥ + ⎢⎜ − 7 7 ⎟ −(0)⎥⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎦3a→ − 9a = 0 → a = 3 3 ตอบ3(23) เลือก ⎛ ⎜ 6 7 12⎞ ⎟ ⎛ ⎜1 ⎞ ⎟ ⎛ ⎜1⎞ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 2aและสลับได้ 4!⎝ ⎠∴ คูณกันได้ 2,520 วิธี ตอบ(24) วิธีทั้งหมดเท่ากับ 20 !(สาเหตุที่เป็น 20 ! เนื่องจากโต๊ะอยู่ใกล้กัน จึงเปรียบเหมือนมีตําแหน่งที่นั่งเกิดขึ้นแล้ว จะไม่ใช่วงกลมอีกต่อไป)วิธีที่ต้องการ20⎛ ⎜ 1⎞ ⎟ × 2 × 18!⎝ ⎠2 คนเลือกที่นั่ง 18 คนที่เหลือนํามาหารกันได้คําตอบเป็น 2 ตอบ 19(25) แก้ตามสูตรΣ y = mΣ x + cN → 41 = 48m + 8c2และ Σ xy = mΣ x + cΣx → 286 = 348m + 48c92 9จะได้c = ∴ Ŷ = +ก.2m = และ 38x = 6 ˆ 2 9→ Y = (6) +3 8= 5.125→ 51,250 บาทข.ˆ0 7 a2Δ x = 1 → Δ Y = (1) = 6.6673→ 6,667 บาท ตอบ ก. ถูก ข. ผิดX3 8s(26) X = 60, = 0.25 → s = 15Xxค− xว= 9 .....(1)xค− 60 xว− 60zค+ zว= + = 1.515 15→ xค+ xว= 142.5 .....(2)142.5 − 9แก้ระบบสมการได้ x ว = = 66.752คะแนน จึงตอบ ข้อ 3.(ถ้าอยากคิด z ค จะได้75.75 − 60xค= 75.75 → zค= = 1.05)15(27)0.2580.470.03136.5 Mo 149.4 xที่ 136.5 → A = 0.258 ทางซ้าย136.5 − X→ z = − 0.7 = .....(1)sที่ 149.4 → A = 0.47 ทางขวา149.4 − X→ z = 1.88 = .....(2)sแก้ระบบสมการได้ s = 5, X = 140 ซม.∴ ตอบ ฐานนิยม (Mo) = X = 140 ซม.และ s 2 = 25 ซม. 2(28) ปี 44 เทียบ 43;100 + 115 + 125 2,0001.19 = → Σ P43=ΣP437+ +(2,000/7)บาทปี 45 เทียบ 43; 105 125 130 = 1.26 ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET502ขอสอบเขาฯ ต.ค.46¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ µ.¤.46 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน1. กําหนดให้ A, B เป็นเซต ซึ่ง n(A) = a, n(B) = b ถ้า n[(A B) (B A)] 7n(A × B) = 40 แล้ว n({C | C ⊆ A∪ B และ n(C) < 2}) เท่ากับเท่าใด232. กําหนดให้ a > 0 และ f(x) = ax ,x > 0 และ g(x) = x−1−1f (64)ถ้า (f g)(4) = 2 แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด− 1g (64)− ∪ − = และ3 23. กําหนดให้ f(x) = x + kx + mx+ 4 เมื่อ k และ m เป็นค่าคงตัวถ้า x − 2 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ f(x) และเมื่อนํา x + 1 ไปหาร f(x) ได้เศษเหลือ 3 แล้ว ค่าสัมบูรณ์ของ k + m เท่ากับเท่าใด4.π4 41 + cos ( + (arccos −arctan ))2 5 3เท่ากับเท่าใด5. กําหนดเวกเตอร์ a, b, c ดังนี้ a = 4i − 2j , a + b = 6i + 4jและ c = c1i + c2jโดยที่ c 1 > 0, c 2 > 0 และ c = 2 17ถ้า c ตั้งฉากกับ (a − b) แล้ว c 1 + c 2 มีค่าเท่ากับเท่าใด6. กําหนดให้เส้นตรง y = −6x − 5 สัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด x = − 1 ถ้า3 2f(x) = ax + bx − 3 เมื่อ a, b เป็นจํานวนจริงแล้ว ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f เท่ากับเท่าใด7. ในการศึกษาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของปริมาณนมโดยเฉลี่ย (ลิตร) ที่เด็กแต่ละคนในตําบลหนึ่งบริโภคต่อปี ( y ) ระหว่างปี พ.ศ. 2538 – 2545 พบว่า เมื่อเปลี่ยนช่วงเวลาให้อยู่ในรูปของค่า xดังนี้พ.ศ. 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545x -7 -5 -3 -1 1 3 5 7จะได้สมการแสดงความสัมพันธ์ (ทศนิยม 2 ตําแหน่ง) เป็น y = 0.54x + 38.85ถ้าใช้ความสัมพันธ์นี้ทํานายปริมาณนมโดยเฉลี่ยที่เด็กแต่ละคนในตําบลนี้บริโภคใน พ.ศ. 2547 แล้วจะได้ว่าปริมาณนมโดยเฉลี่ยที่เด็กแต่ละคนบริโภคโดยประมาณ เท่ากับเท่าใด8. ข้อสอบชุดหนึ่งมี 2 ตอน ตอนละ 4 ข้อ มีคําสั่งให้ผู้สอบทําข้อสอบตอนที่หนึ่งอย่างน้อย 1 ข้อและทําข้อสอบตอนที่สอง 2 ข้อ จํานวนวิธีที่ผู้สอบจะทําข้อสอบชุดนี้ เท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET503ขอสอบเขาฯ ต.ค.46ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนเต็มซึ่ง a|(2b− c) และ a 2 |(b+ c) แล้ว a|3c2x − 2x+23 2ข. ถ้า A = {x ∈ R | < 1} และ B = {x ∈ R | x − 2x < 0} แล้ว A = Bx − 2ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด2. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ก. เหตุ 1) p ∧ qข. เหตุ 1) P(x) → ~Q(x)2) (q ∨ r) →(s ∧ p)2) Q(x) ∨ R(x)3) p → ~rผล P (x) → R (x)ผล s ∧ ~rข้อความใดต่อไปนี้ถูก1. ก และ ข สมเหตุสมผลทั้งคู่ 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผลทั้งคู่3. ให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจํานวนจริงถ้า P(x) แทนข้อความ x 2 − 3x < 0 และ Q(x) แทนข้อความ 1/ 3ประโยคในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง1. ∀x[P(x) → Q(x)]2. ∀x[Q(x) → P(x)]− 2 < log x < − 1 แล้ว3. ∀x[~P(x) → Q(x)]4. ∀x[P(x) → ~Q(x)]4. กําหนดให้ f, g เป็นฟังก์ชันซึ่ง D f = [0, ∞ )−1 2−12โดยที่ f (x) = x, x > 0 และถ้า a > 0 และ f (a) g (a) 19g (x) = (f(x)) + 1, x > 0−1 −1+ = แล้ว f (a) + g (a) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 273 2. 2743. 513 4. 5145. กําหนดให้ a > 0 และถ้า R g ( 2.5, )⎧⎪−x 1= − ∞ แล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้−1ก.g (a 1) log 2− = ข.1log(4|x|) , x 0−⎧⎪ 0ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET504ขอสอบเขาฯ ต.ค.466. ให้x − 4r = {(x,y)| y = }x − 2ก. 4 Rr2พิจารณาข้อความต่อไปนี้R − = [0,4) ∪ (4, ∞ )∈ ข. 1rข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด2 27. ให้ H เป็นไฮเพอร์โบลา 12y − 4x + 72y + 16x + 44 = 0 ซึ่งมีจุดโฟกัสคือ F 1 และ F 2ให้ E เป็นวงรีซึ่งมีจุดศูนย์กลางร่วมกับ H โดยมี F 1 และ F 2 เป็นจุดยอด และสัมผัสแกน yถ้า E ตัดแกน x ที่จุด A และ B แล้ว AB ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 8 หน่วย 2. 7 หน่วย 3. 6 หน่วย 4. 5 หน่วย28. กําหนดให้วงกลม C มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดโฟกัสของพาราโบลา y = 1−8(x − 2) ถ้าเส้นตรง3x − 4y + 5 = 0 เป็นเส้นสัมผัสวงกลม C แล้ว จุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนวงกลม C1. (0, 1+ 5)2. (1−2 2, 0)3. (1, − − 1)4. (2, − 2)9. ถ้า sin A = 2 และ cos A 12= แล้ว tan B มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้sin B 3 cos B 21. 4 2. 32 3. 1 4. 2310. ถ้า a, b เป็นคําตอบของสมการ x x + 1 x + 22x 1 xคําตอบของสมการ (ab) + = (ab+ 3) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้log 31.2.3.log 2 − log 31log 8 − 2311. กําหนดให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ xT {log x | x S}36 − 3 − 2 + 12= 0 แล้ว4.log 4log 7 − log 161log 5 − 2x 3log⎛ + ⎞⎜ ⎟ 1⎝ x − 1⎠ > และ= ∈ แล้ว T เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้1. [0, 2] 2. [1, 3] 3. [1/2,5/2] 4. [1/3,7/3]12. กําหนดให้ a เป็นจํานวนจริง และถ้า M(A) 11 = 18 และ M 22 (A) = − 12แล้ว 31⎡ a 1 2a+6⎤A = ⎢6 a 3⎥⎢ ⎥⎢⎣a 2 a ⎥⎦C (A) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 57 2. − 33 3. − 15 4. − 32Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET505ขอสอบเขาฯ ต.ค.4613. กําหนดให้ a เป็นจํานวนจริง และถ้า a > 10 และ det (adj A) 225⎡ 1 0 2 ⎤A = ⎢ 0 3 0 ⎥⎢ ⎥⎣ 4 0 a ⎦= แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 11 2. 12 3. 13 4. 14214. กําหนดสมการจุดประสงค์คือ P(x,y) = (a− 1)x + ay โดยที่ a เป็นจํานวนจริงบวก ซึ่ง2a − a − 2 > 0 และมีอสมการข้อจํากัดคือ 2 < x < 4, y > 1 และ x + y < 7 ถ้าค่าสูงสุดของP(x,y) เท่ากับ 41 แล้ว a มีค่าอยู่ในช่วงใดต่อไปนี้1. [2, 2.5) 2. [2.5, 3) 3. [3, 3.5) 4. [3.5, 4)15. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และ D เป็นจุดบนด้าน BC ซึ่งทําให้|˜BD | : |˜BC | = 1 : 3 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ˜ ˜ ˜1 23AD = 2AB + BC ข. ˜ ÃD ⋅ BC = − BC6 | ˜|ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด16. กําหนดจํานวนเชิงซ้อน z 1= a, z 2 = b (cos θ + i sin θ ) โดยที่ a > 0, b > 0 และθ = + โดยที่ c, d เป็นจํานวนจริง2i|zz|sin czz dzz0 < θ 0 ถ้า z สอดคล้องกับแล้ว a2z + 4z − 322z − 64= 1และ zz = 61+ b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 9 2. 10 3. 11 4. 12218. กําหนดให้ f(x) = | x + 4x | และ2ถ้า a, b เป็นคําตอบทั้งสองของสมการ f (x) = g (x)limf(x)+ limf(x)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้แล้วx → a x → bg(x)g(x)g(x) = | x − 16 |1. 3 22. 5 63. 1 24. 1 319. ให้ x เป็นจํานวนจริง ซึ่ง |x| < 1 ถ้าอนุกรม1 2 1 2 2 3 1 31 (1 x)( ) (1 x x )( ) (1 x x x )( ) ...2 2 2+ + + + + + + + + + มีผลบวกเท่ากับ 16 7แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 2.131− 3. 1 434. 1 4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET506ขอสอบเขาฯ ต.ค.463 220. กําหนดให้ g เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ f(x) = xg(x) ถ้า f(x) ′ = 4x + 9x และ f(0) = 0แล้วd ⎡ f(x) ⎤⎢dx g(x+1)⎥⎣ ⎦ที่จุด x = − 2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 42. − 2 3. 2 4. 4221. กําหนดให้ f(x) = x − 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้14ก. f(x)dx =−1∫3ข. พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y = f(x) จาก x = − 1 ถึง x = 1 เท่ากับ 4 3 ตารางหน่วยข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด3 222. กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนจริง และ f(x) = x + ax + bx + 1 ถ้า f(1) ′ = 15 และ155∫ f(x)dx = แล้ว f(1) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้0121. 9 2. 10 3. 11 4. 1223. กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 3 สี เป็นสีขาว 4 ลูก สีแดงและสีเขียวมีจํานวนเท่ากัน เมื่อสุ่มหยิบลูกแก้วมา 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีขาวทั้ง 2 ลูกเท่ากับ 2/15 ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้วมา 4 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วเป็นสีเขียว 1 ลูก และสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 30702. 31703. 29354. 333524. ในการยืนเรียงเป็นแถวตรงของนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ถ้าความน่าจะเป็นที่ไม่มีนักเรียนหญิงสองคนใดยืนติดกันเลย เท่ากับ a และความน่าจะเป็นที่นักเรียนหญิงทั้งหมดต้องยืนติดกันเท่ากับ b แล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0.20 2. 0.25 3. 0.30 4. 0.3525. ในการสํารวจน้ําหนักตัวของนักเรียน 200 คน มีการแจกแจงความถี่ดังนี้น้ําหนักตัว (ก.ก.) ความถี่19 – 22 2023 – 26 6027 – 30 3031 – 34 4035 – 38 50จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. น้ําหนักตัวของนักเรียน 200 คนนี้ มีฐานนิยมมากกว่ามัธยฐานข. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของน้ําหนักตัวนักเรียน 200 คนนี้เท่ากับ 0.15ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET507ขอสอบเขาฯ ต.ค.4626. โรงงานแห่งหนึ่งคัดเลือกคนงานจากผู้สมัครเข้าทํางานทั้งหมด โดยมีเงื่อนไขว่าผู้ที่จะได้รับการพิจารณาคัดเลือกเข้าทํางานต้องมีค่ามาตรฐานของอายุไม่น้อยกว่า 1.5 และไม่เกิน 3.52ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของอายุของผู้สมัครทั้งหมดเป็น 23 ปี และ a ปีตามลําดับ และถ้านําค่ามาตรฐานของอายุของผู้สมัครทั้งหมดมาหาความแปรปรวนได้ความแปรปรวนเท่ากับ a/4 แล้ว ผู้สมัครที่อยู่ในข่ายที่จะได้รับการคัดเลือกเข้าทํางานจะต้องมีอายุตามข้อใดต่อไปนี้1. ไม่น้อยกว่า 26 ปี และไม่เกิน 37 ปี 2. ไม่น้อยกว่า 29 ปี และไม่เกิน 37 ปี3. ไม่น้อยกว่า 26 ปี และไม่เกิน 30 ปี 4. ไม่น้อยกว่า 29 ปี และไม่เกิน 30 ปี27. ในการสอบวิชาหนึ่งมีนักเรียนสอบสองห้อง เป็นห้อง ก และห้อง ข พบว่าคะแนนสอบของทั้งสองห้องมีการแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานเท่ากันและเท่ากับ a สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของนักเรียนห้อง ก และห้อง ข เท่ากับ c และ c + 5 a ตามลําดับ ถ้าในการสอบครั้งนี้เด็กหญิงสดซึ่งอยู่ห้อง ก และเด็กหญิงใสซึ่งอยู่ห้อง ข ทําคะแนนได้ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 78.81 ทั้งคู่แล้วเด็กหญิงใสได้คะแนนมากกว่าเด็กหญิงสดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้z 0.70 0.80 0.90A 0.2580 0.2881 0.31591. 5 2. 4 3. 3.5 4. 228. ให้ปี พ.ศ. 2539 เป็นปีฐานในการหาดัชนีราคาผู้บริโภคตั้งแต่ พ.ศ. 2540 เป็นต้นไป สมมติว่าดัชนีราคาผู้บริโภคใน พ.ศ. 2540 เท่ากับ 104 และค่าครองชีพใน พ.ศ. 2543 สูงกว่าค่าครองชีพในพ.ศ. 2540 เท่ากับ 25 เปอร์เซ็นต์ ถ้านายสุจริตมีรายได้ต่อเดือนที่แท้จริงใน พ.ศ. 2543 เท่ากับ20,000 บาท แล้ว เขามีรายได้ต่อเดือนเป็นตัวเงินเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 23,000 บาท 2. 24,000 บาท 3. 25,000 บาท 4. 26,000 บาทmเฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 56 (2) 0.5 (3) 4 (4) 1.28 (5) 10 (6) 5 (7) 44.79 (8) 90ตอนที่ 2 (1) 2 (2) 1 (3) 4 (4) 1 (5) 4 (6) 3 (7) 2 (8) ไม่มีข้อถูก (9)2 (10) 4 (11) 1 (12) 2 (13) 3 (14) 3 (15) 3 (16) 2 (17) 3 (18) 1(19) 4 (20) 1 (21) 3 (22) 2 (23) 2 (24) 1 (25) 4 (26) 3 (27) 2(28) 4ตอนที่ 1(1) n(A × B) = 40แสดงว่า ab = 40 .....(1)− ∪ − = แสดงว่าn(A [ B) (B A) ] 7(a − m) + (b − m) = 7 → a + b = 2 m + 7 .....(2)โดยที่ a, b, m เป็นจํานวนนับ และ m < a,bจากสมการแรกพบว่ามี a, b หลายคู่ คือ 1, 402, 20 4, 10 5, 8 แต่จากสมการที่สองจะทราบว่าเฉลยวิธีคิดa + b ต้องเป็นจํานวนคี่เท่านั้น∴ a, b = 5 กับ 8 ... จะได้ m = (13− 7)/ 2 = 3n(A ∪ B) = 5 + 8 − 3 = 10Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)ดังนั้น จํานวนสับเซตของ A ∪ B ซึ่งหยิบสมาชิกมา

คณิตศาสตร O-NET / A-NET508ขอสอบเขาฯ ต.ค.46(2)3g(4) 4 64= = แสดงว่า−1 2f (64) = 2 → f(2) = 64 → a(2 ) = 64∴ a = 16โจทย์ถาม−1f (64) 2= = 0.5 ตอบ− 1g (64) 4(3) f(2) 0 8 4k 2m 4 0f( − 1) = 3 → − 1 + k − m + 4 = 3 .....(2)ได้ k 2, m 2= → + + + = .....(1)=− =− ตอบ 4⎛π+θ⎞=− θ ดังนั้น จากโจทย์จะได้(4) cos ⎜ ⎟ sin⎝2⎠⎛ 4 4⎞1 − sin ⎜arccos − arctan ⎟⎝ 5 3⎠ใช้สูตร sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B3 3 4 4ได้เป็น⎛⋅ − ⋅⎞1 − ⎜⎟ = 1.28⎝5 5 5 5⎠(5) a = 4i − 2j .....(1)a + b = 6i + 4j .....(2)นําสมการ (2) ลบด้วยสมการ (1)ได้ b = 2i + 6j ∴(a − b) = 2i − 8j2 2เวกเตอร์ c มีขนาด1 2ตอบ2 17 → c + c = 2 17และตั้งฉากกับ 2i − 8j (ดอทกันได้ 0)→ 2c1 − 8c2= 0 แก้ระบบสมการจะได้ c 1 = 8, c 2 = 2 ตอบ 10(6) y สัมผัสกับ L; y = −6x − 5 ที่จุด x =− 1แสดงว่า f( − 1) = −6( −1) − 5 = 1 → − a + b − 3 = 1และความชัน f( ′ − 1) = −6 → 3a − 2b = − 6แก้ระบบสมการได้ a = 2 และ b = 63 2 2∴ f(x) = 2x + 6x − 3 → f ′(x) = 6x + 12x = 0→ x = 0, − 2ซึ่ง f(0) =− 3 , f( − 2) = 5∴ ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ = 5 ตอบ(7) ปี 2547; เทียบเป็นค่า x = 11∴ Ŷ = 0.54(11) + 38.85 = 44.79 ลิตร ตอบ(8) ตอนที่ 1 เลือกทํากี่ข้อก็ได้ ยกเว้นไม่ทําเลย4 4 4 4 4→⎛ ⎞+⎛ ⎞+⎛ ⎞+⎛ ⎞= 2 − 1 = 15 วิธี⎜1⎟ ⎜2⎟ ⎜3⎟⎜4⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠4ตอนที่ 2 เลือกสองข้อเท่านั้น⎛∴ ตอบ 15 × 6 = 90 วิธี→⎞⎜2⎟= 6⎝ ⎠วิธีตอนที่ 2(1) ก. สัญลักษณ์ a b แปลว่า a ไปหาร b ลงตัว(หมายถึง b a = จํานวนเต็ม)สิ่งที่ควรทราบคือ (เมื่อ a, b, c, n เป็นจํานวนนับ)(i) ถ้า a b และ a c แล้ว a(b±c)(ii) ถ้า a b แล้ว a bc(iii) ถ้า an b แล้ว a bจาก a(2b− c) .....(1) และ a 2 (b + c) .....(2)ประโยค (2) แสดงว่า a(b+ c) ∴ a(2b+2c)นําไปลบกับ (1) เพื่อกําจัด b ทิ้งไป จะได้ว่าa [(2b 2c) (2b c)] a 3c+ − − → ก. ถูกx − 2x + 2 − x + 2< 0x − 22x − 3x + 4→ < 0 → x − 2 < 0x − 2ข. A; 2(เพราะ x 2 − 3x + 4 แยกไม่ได้) ∴ A = ( −∞ ,2)B; x(x 2 − 2) < 0→ เขียนเส้นจํานวนโดยให้มีเลข0 สองครั้งด้วย จะได้ B = ( −∞,2) − {0} ข. ผิดตอบ ข้อ 2.(2) ก. ให้เหตุเป็นจริงทุกข้อจะได้ว่า p จริง, q จริง, r เท็จ, s จริงพบว่าผลจะเป็นจริงเสมอ ดังนั้น ก. สมเหตุสมผลข. เหตุ 2 คือ Q(x) ∨ R(x) เปลี่ยนรูปเป็น~ Q(x) → R(x) แล้วนําไปรวมกับเหตุ 1 คือP(x)→ ~ Q(x) ได้ผลเป็น P(x) → R(x)ดังนั้น ข. สมเหตุสมผล ตอบ ข้อ 1.(3) P(x); x (x − 3) < 0 → 0 < x < 3แสดงว่า P(x) แทนข้อความ “ x ∈ (0,3)”−1 −2⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞Q(x); ⎜ ⎟ < x < ⎜ ⎟ → 3 < x < 9⎝3⎠ ⎝3⎠∈ ”แสดงว่า Q(x) แทนข้อความ “ x (3,9)∴ ข้อที่ถูกคือ ข้อ 4. ตอบ[สําหรับทุกๆ x, ถ้า x ∈ (0,3) แล้ว x ∉ (3,9)]−1 2(4) f (x) = x → f(x) = x−1 2g (x) = ( x) + 1 = x + 1 → g(x) = x − 1ดังนั้น f(a) + g(a) = a + a − 1 = 19→ a + a − 20 = 0 → ( a − 4)( a + 5) = 0จะได้ a = 16 เท่านั้น1 1 2f −−∴ (16) + g (16) = 16 + 16 + 1 = 273 ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET509ขอสอบเขาฯ ต.ค.46(5) พิจารณา R g ทีละช่วงกรณีแรก ถ้า x < 1x→ 0 < 10 < 10 → − 10a < − a(10 ) < 0ดังนั้น R g ช่วงแรกคือ ( − 10a,0)กรณีที่สอง ถ้า x > 13 3→ x > 1 → x − 1 > 0ดังนั้น R g อีกช่วงคือ [ 0, ∞ )1∴− 10 a = −2.5 → a =4−1 −1 3ก. g (a − 1) = g ( ) พบว่าจึงคิดจาก41 x 3− (10 ) = −4 4x∴ 10 = 3 → x = log 3 ก. ผิดข.1g (x)x3− ∈(2.5,0)−4−ที่โจทย์ให้มานั้นผิดตรงเงื่อนไขคือ เราพบว่า R g = ( −2.5,0) ∪ [ 0, ∞ )− 1ดังนั้น g (x) ต้องเป็น1 log ( 4 x ), 2.5 x 0g − ⎧(x) = ⎨− < 0ตอบ ข้อ 4.(6) ก. พิจารณาว่า 4 ∈ Rrหรือไม่ทําได้โดยให้ y = 4 ดูว่ามีค่า x หรือไม่2x − 42→ 4 = → 4 x − 8 = x − 4x − 22→ x − 4 x + 4 = 0 → มอง x = A จะได้4A − 4A + 4 = 0 ซึ่งถ้าลองแยกตัวประกอบ(จํานวนจริง) จะแยกไม่ได้ ∴ ก. ผิดข. R − 1 = D;r r x −2 ≠ 0 และ x > 0 (ในรู้ท)∴ x ≠ 2 → x ≠ 4 จะได้ [0, 4) ∪(4, ∞ ) ข. ถูกตอบ ข้อ 3.(7) จัดรูป;2 212(y + 6y + 9) − 4(x − 4x + 4) = − 44 + 108 − 162 2(y + 3) (x − 2)→ − = 14 12เป็นไฮเพอร์โบลา เปิดบนล่าง, จุดศูนย์กลาง (2, − 3)และระยะโฟกัส c = 4 + 12 = 4ดังนั้นวงรีที่ต้องการ มีจุดศูนย์กลางที่ (2, − 3)จุดยอด a = 4“สัมผัสแกน y” แปลว่าค่า b 2 = ดังรูปจะได้2 2(y + 3) (x − 2)− = 116 4หาจุดตัดแกน x โดยแทน y = 029 (x−2) 2 7→ − = 1 → (x − 2) =16 4 4A24B(2,-3)ดังนั้นx = 2 ±72และระยะ AB คือ 7 หน่วย ตอบ(8) จัดรูปพาราโบลา;2 2y = 1−8(x −2) → y − 1 = −8(x − 2)2 1→ (x − 2) = 4 ( − )(y − 1)32เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอด (1, 2), คว่ํา,ดังนั้นจุดโฟกัสคือระหว่างจุด63(1, )1c =3263(1, )32 หารัศมีวงกลมจากระยะ32 ไปถึงเส้นตรง3(1) − 4(63 / 32) + 5 1/8 1r = = =2 23 + 45 4063 132 402 2 2สมการวงกลม (x − 1) + (y − ) = ( )ในตัวเลือกที่ให้มา ไม่มีข้อถูกเลย ตอบ2(9) sin A = sin B .....(1)cos A31cos B2= .....(2)2 2แต่ sin A + cos A = 1 จะได้2 2 12( sin B) + ( cos B) = 13 24 2 1 2→ sin B + cos B = 13 24 2 12→ sin B + (1 − sin B) = 13 25 2 1 2 3→ sin B = → sin B =6 2 52 3 2 2 3∴ cos B = 1 − = → tan B = ตอบ5 5 2(10) ให้ 3 x = A, 2 x = B→ AB − 3A − 4B + 12 = 0→ A(B − 3) − 4(B − 3) = 0x→ (A − 4)(B − 3) = 0 → 3 = 4 หรือ 2 x = 3→ x = log34 หรือ x = log23ดังนั้น ab = log24 = 22x 1 x 2x 1 xโจทย์ถาม (ab) + = (ab + 3) → 2 + = 5ใส่ log ฐานสอง ทั้งสองข้าง (2x + 1) = x log25−1 1→ x = =2 − log 5 log 5 − 22 2ตอบ+x − 1(11) จากเงื่อนไขของ log จะได้ x 3 > 0 เสมอคือ ( , 3) (1, )−∞ − ∪ ∞ แต่ x ต้องเป็นฐานด้วย∴ x > 1 เท่านั้น (แสดงว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่ม)21> >x 3 x 3 x x→+ x →+ − + 0x − 1 x − 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET510ขอสอบเขาฯ ต.ค.462x 2x 3 (x 3)(x 1)→− − < 0 →− + < 0x − 1 x − 1ได้เป็น ( −∞, −1] ∪ (1,3] และมีเงื่อนไข x > 1จึงสรุปว่า S = (1,3]→ = = ตอบ ข้อ 1.T (log 1,log 3] (0,2]3 32(12)12a+6C31= = 3 −2a − 6aa 3a3 2 2จากM11=2a= a − 6 = 18 → a = 242 2และa2a 6M22= a 2a 6a 12a + = − − = −aแทนค่า a 2 = 24 ลงไป จะได้2 2→ 24 −2a − 6a = −12 → −2a − 6a = − 36∴ C31= 3 − 36 = − 33 ตอบ[หมายเหตุ จะแก้สมการให้ได้ a =− 2 6 ก่อนก็ได้](13) พิสูจน์1− 1 n − 1 n 1adjA = A ⋅ A → adjA = A ⋅ A = A −โจทย์บอกว่า adjA = 2252→ (3a − 24) = 225 → 3a − 24 = ± 15→ a = 13 เท่านั้น ตอบ(14)(2,5)(4,3)O 2 42เนื่องจาก P = (a − 1)x + ay โดย a > 0ดังนั้น P(2, 5) ย่อมมากกว่า P(2, 1)และ P(4, 3) ย่อมมากกว่า P(4, 1)ตัด (2, 1) กับ (4, 1) ทิ้งไปต่อมาพิจารณาว่าจุด (2, 5) หรือ (4, 3) ที่เกิด P max2a − 1เนื่องจากความชันของ P คือ −aโจทย์บอกว่า a 2 − a −2 > 0 → a 2 − 1 > a + 1แสดงว่า a 2 − 1 > a แน่นอน ดังนั้นความชัน P จึงติดลบมากกว่า 1m 0 ดังนั้น b = 5ตอบ 6 + 5 = 11(18) จากสมการ x 2 + 4x = x 2 − 16กรณีแรก x 2 + 4x = x 2 − 16→ 4x = −16 → x = − 4กรณีที่สอง 2 + = − 2 +x 4x x 162→ x + 2x − 8 = 0 → x = 2, − 4∴ แสดงว่าโจทย์ถามlim +limx→2 x→−4f(x) 12ซึ่ง lim = = 1x 2และ→ g(x) 12f(x) (x)(x + 4) −4 1lim = lim= =g(x) →− (x − 4)(x + 4) −4 − 4 2x→−4 x 4ดังนั้น ตอบ 3 22Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET511ขอสอบเขาฯ ต.ค.461 2 1 2(19) ให้ S 1 (1 x)( ) (1 x x )( )นํา 1 2∞ = + + 2 + + + 2+ …คูณทั้งสองข้าง จะได้1 1 1 2 2 1 3S∞ = 1( ) + (1+ x)( ) + (1+ x+ x )( ) + …2 2 2 2ลบกัน ได้21 x x 1S∞ = 1 + + + … =22 2 2 1 − (x/2)(ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต)2 4∴ S∞= =1 − (x/2) 2 − xดังนั้น4 16 1= → x =2 − x 7 4โจทย์ให้Sตอบ∞ =1673 2 4 3(20) f ′(x) = 4x + 9x → f(x) = x + 3x + Cแต่ f(0) = 0 ∴ C = 03 2และ g(x) = f(x) → g(x) = x + 3xโจทย์ถาม dจะได้x⎛ f(x) ⎞⎜ ⎟ ที่ dx ⎝g(x + 1) ⎠ x =− 2g(x + 1)f ′(x) − f(x)g(x ′ + 1)=g( −1)f ′( −2) − f( −2)g( ′ −1)=[ g( −1)] 2[ g(x + 1) ] 2 x 2(2)(4) − ( −8)( −3)= = − 4 ตอบ22(21) ก.1∫32⎛x⎞(x − 1) dx = ⎜ − x ⎟⎝ 3 ⎠−1 −11 1 4( 1) ( 1)3 3 3= − − − + = − ก. ผิดข. จุดตัดแกน x คือ-1 กับ 1 ดังกราฟ∴ พื้นที่ = ตร.หน่วย43ดังนั้น ข. ถูก ตอบ ข้อ 3.2(22) f(x) ′ = 3x + 2ax + b→ f(1) ′ = 15 แสดงว่า 3 + 2a + b = 15 .....(1)1∫4 3 2⎛x ax bx ⎞f(x)dx = ⎜ + + + x ⎟⎝ 4 3 2 ⎠0 01 a b 5514 3 2 12= + + + = .....(2)แก้ระบบสมการ ได้ a = 4, b = 4∴ f(1) = 1 + 4 + 4 + 1 = 10 ตอบ11=−-1 1(23) สมมติมีลูกแก้วรวม n ลูกจะได้ว่า⎛4⎞2⎜2⎟n 6 × 15=⎝ ⎠→ ( 2)= = 4515 2n( 2)∴ n = 10 แสดงว่า มีแดงกับเขียวอย่างละ 3 ลูกสิ่งที่โทย์ถาม คิดจากวิธีที่ “เขียว 1 ลูก” ลบด้วย “เขียว 1 และขาว 3”⎛3⎞ ⎛7⎞ ⎛3⎞ ⎛4⎞⎜1⎟ ⎜3⎟ − ⎜1⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3(35) − 3(4) 31= =⎛10⎞210 70⎜ 4 ⎟⎝ ⎠6! × 7 × 6 × 5 × 4 1(24) a = =10 ! 67!4! 1b = = ∴ a + b = 0.2 ตอบ10 ! 30แต่ Med อยู่ชั้น 27 − 30 Mo Medข. Q 3 อยู่ตําแหน่ง 150 → ขอบพอดีตอบ(25) ก. โค้งเป็นแบบเบ้ขวา ∴ Mo < Med ก. ผิด(หรือคิดอีกแบบคือ Med อยู่ชั้น 23 − 26∴ < แน่ๆ)∴ Q3= 34.5Q 1 อยู่ตําแหน่ง 50 → กึ่งกลางชั้นพอดี∴ Q1= 24.5สัมประสิทธิ์34.5 − 24.5= = 0.1734.5 + 24.5ข. ผิดตอบ ข้อ 4.(26) จากสมบัติของค่ามาตรฐานที่ว่า s z = 1 เสมอa∴ = 1 → a = 44xmin− 23zmin= 1.5 = → xmin= 26 ปี,2xmax− 23zmax= 3.5 = → xmax= 30 ปี2ตอบ ข้อ 3.(27) X = a, ห้อง ก. s = acห้อง ข. s = ac + 5A=0.2881ขวา จะได้ z=0.8สด (ก.)0.8 =x− aacสด→ = − .....(1)0.8ac xสดax − aใส0.8 =ac + 5ใส (ข.)→ 0.8ac + 4 = x − a .....(2)ใสสมการลบกัน (2)-(1); x − x = 4 ตอบใสสดP 78.81(28) ดัชนี43125= × 104 = 130100ดังนั้น รายได้ที่เป็นตัวเงิน= 26,000 บาท ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)130= × 20,000100

คณิตศาสตร O-NET / A-NET512ขอสอบเขาฯ มี.ค.47¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ ÁÕ.¤.47 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนนx21. กําหนดให้ f(x) = 10 และ g(x) = 100 − 3xจํานวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดที่เป็นสมาชิกของ R gof มีค่าเท่าใด1 2 12. ค่า sin(2 arctan ) + cot (arcsin ) เท่ากับเท่าใด2 33. กําหนดให้ P คือพาราโบลา x 2 + 8y + 2x + a = 0 โดยที่ a < 0และมีเส้นตรง y = 4 เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ ถ้า P ตัดแกน x ทางลบที่จุด A แล้วเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุดยอดของ P มีความชันเท่ากับเท่าใดx−1 x−1 x−14. ผลบวกของคําตอบของสมการ log (4 + 2 + 6) = 2 + log (2 + 1) มีค่าเท่าใด2 25. ให้ A, B เป็นเมตริกซ์มิติ 3×3ถ้า AB = 3I โดยที่ I เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ และแล้ว det (A) มีค่าเท่ากับเท่าใดadj B=1A3⎡6. กําหนดให้เวกเตอร์ 1 ⎤⎢4⎥ตั้งฉากกับเวกเตอร์ ⎡−8⎢⎣ ⎦ a⎡ถ้า θ เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ a ⎤⎢0⎥และ ⎡ b ⎤⎢⎣ ⎦ c⎥⎣ ⎦27. กําหนดให้ f(x) = 3x + 1 และ 1ถ้า g(0) = 1 แล้ว ∫ g(x) dx มีค่าเท่ากับเท่าใด0⎣⎤⎥⎦(f g) ′(x) = 3x + 1และแล้ว2cos θ เท่ากับเท่าใด⎡5⎤⎡1⎤⎡−8⎤⎢ b c3⎥= ⎢ +4⎥⎢ a ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦8. ถ้านําปริมาณข้าวกล้องที่ร้านค้าแห่งหนึ่งขายได้รายปี ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2537 ถึงปี พ.ศ. 2546 ( y )(หน่วยเป็นกิโลกรัม) มาสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันกับช่วงเวลา ( x ) โดยกําหนดให้ปี พ.ศ. 2541และ 2542 มีค่า x = − 1 และ 1 ตามลําดับ แล้วได้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของปริมาณข้าวกล้องที่ร้านค้าแห่งนี้ขายได้โดยประมาณ คือ y = 192 + cxถ้าทํานายโดยใช้ความสัมพันธ์นี้ ปรากฏว่าปริมาณข้าวกล้องที่ร้านค้าแห่งนี้ขายได้ในปี พ.ศ.2547 โดยประมาณเท่ากับ 316.3 กิโลกรัม แล้วในปี พ.ศ. 2548 จะทํานายว่าปริมาณข้าวกล้องที่ร้านค้าแห่งนี้ขายได้โดยประมาณเท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET513ขอสอบเขาฯ มี.ค.47ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 28 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. สําหรับเซต X ใดๆ ให้ n(X) แทนจํานวนสมาชิกของเซต Xกําหนดให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ที่มีสมาชิก 240 ตัว และ A, B, C เป็นเซตที่มีสมบัติดังนี้n(A) = 5x, n(B) = 5x , n(C) = 4x, n(A B) n(B C) n(A C) yn(A ∩B ∩ C) = x, n[(A ∪B∪ C)'] = 60ถ้า y x 20− = แล้ว x เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้1. 18 x < 21∩ = ∩ = ∩ = ,< 2. 21 < x < 24< 4. 27 < x < 303. 24 x < 27−x − 1 − 12. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 3x 2 > 0เซต {x|x> 0 และ x∉ S} เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้1. [0, 1] 2. 1 3 [ , ]4 23. 1 [ ,2]24. 3 [ ,3]43. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ x 2 + ax + b หาร x 3 − 3x 2 + 5x + 7 มีเศษเหลือเท่ากับ10 ค่า a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 2. 2 3. 3 4. 44. กําหนดให้ ประพจน์ (~ p ↔~ r) ∨(p ↔ q) มีค่าความจริงเป็นเท็จประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ1. ~p →(q∨ r)2. ~p →(q ∧ r)3. p ∨ q ∨ ~r4. p ∧ q ∧ ~r5. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ประพจน์ [p (q r)] [q (p r)]→ → ↔ → → เป็นสัจนิรันดร์ข. มีจํานวนจริง a อยู่ในช่วงเมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือ1U = −( ,0)21(0, )ทําให้ประโยค 2∃ x[x + x+ a= 0] มีค่าความจริงเป็นจริง4ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด6. กําหนดให้ r = {(x,y)| x> y และ y 2 = x 2 + 2x − 3} พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. D r = [1, ∞ )ข. R r = ( −∞, ∞ )ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET514ขอสอบเขาฯ มี.ค.4727. กําหนดให้ f(x) = ax + b และ g(x − 1) = 6x + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวถ้า f (x)= g (x) เมื่อ x = 1,2 และ (f + g)(1) = 8−1แล้ว (f g )(16) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3198. กําหนดให้2. 619⎧⎪ 1−x ,x ∈ [0,1]f(x) = ⎨⎪⎩ 1 + x − 1,x ∈ (1, ∞ )3. 10 4. 20พิจารณาข้อความต่อไปนี้−1ก. f (x) ≠ f(x) ทุก x ∈ (1, ∞ )−1ข. มีจํานวนจริง a > 0 เพียง 2 จํานวนเท่านั้น ซึ่ง f (a) = aข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด9. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี ACB = 60° ลากเส้นตรงจากจุด A ไปพบด้าน BCที่จุด D โดยทําให้ BAD = 30° ถ้าระยะ BD ยาว 3 หน่วย และระยะ AD ยาว 2 หน่วย แล้วระยะ CD ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 4 332. 5 333. 7 694. 8 6910. ให้ A เป็นจุดในควอดรันต์ที่หนึ่ง และเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม C ซึ่งมีรัศมี 3 หน่วย ถ้า2 2C ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองของไฮเพอร์โบลา 2y − 12y − 3x + 6x + 9 = 0 แล้ว ระยะทางจากจุดกําเนิดไปยังจุด A มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 15 2. 18 3. 20 4. 24log x2(log + 1)11. กําหนดให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 4 ⋅ 2 − 9 ⋅ 2 10 + 2 < 0ถ้า a และ b เป็นสมาชิกของ S ที่มีค่ามากสุดและค่าน้อยสุดตามลําดับ แล้ว a เท่ากับข้อใดbต่อไปนี้1. 20 2. 100 3. 200 4. 100012. กําหนดให้⎡ a a−2 −1⎤A = ⎢−1 a 1⎥⎢ ⎥⎣ 1 −1 a⎦ถ้า M(A) 11 = 5 และ M 33(A) 0เมื่อ a เป็นจํานวนจริง= แล้ว พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. det (A) = 11ข. C 13 (A) = − 1ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET515ขอสอบเขาฯ มี.ค.47213. กําหนดให้ สมการจุดประสงค์คือ P = a x + ay โดย a เป็นจํานวนจริงบวกและอสมการข้อจํากัดคือ 2x + y < 8, x + y > 6, x > 0, y > 0ถ้าค่ามากที่สุดของ P เท่ากับ 70 แล้ว a เป็นจริงตามข้อใด1. 1 < a < 4 2. 4 < a < 7 3. 7 a < 10< 4. a > 1014. ให้ A, B, C เป็นจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และ D เป็นจุดบนเส้นตรง BC ที่ทําให้2 2 2BD : DC = 2 : 1 ถ้า |ÃD | = a |ÃB | b |˜+ AC| + c |˜ ÃB ⋅ AC|โดยที่ a, b, c เป็นจํานวนจริง และ ˜ ÃB ⋅ AC ≠ 0 แล้ว a 2 + b 2 + c2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 31812. 32813. 10274. 1127315. ถ้า z 1 และ z 2 เป็นรากของสมการ (z − 2 3) = − 8 i ซึ่งมีขนาดเป็นจํานวนเต็มแล้ว z 1 + z 2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 3 − i 2. 3 − i 3. 3 3 − i 4. 3 3 + i16. กําหนดให้ z,z 1 2 ,z 3 เป็นจํานวนเชิงซ้อน1 1 1ซึ่งสอดคล้อง zz 1 2 z 3 = 1 และ z 1 + z 2 + z 3 = + +z1 z2 z3พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. 1 21 1(1 − z )(1 − z ) = (1 − )(1 − )z zข. ถ้า z 1 ≠ 1 และ z 2 11 2z + i z − i = 4≠ แล้ว 3 3ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด17. กําหนดพจน์ที่ n ของลําดับสองลําดับดังนี้n(1 + 2 + 3 + ... + n)a =และ b =n 2 2 2 2n →∞3(1 + 2 + 3 + ... + n )lim (a b )n+ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.n118. กําหนดให้13n3n + 2 − 3n + 1n+ 2 − n+1+ 2. 1 + 3 3. 1 + 1 4. 1 3⎧ 1⎪ ,x≠0f(x) = ⎨ x⎪⎩ 1 ,x = 0และg(x) =พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. f g ต่อเนื่องที่ x = 0 ข.1x − 12 31 1f( ′ − ) = g( ′ )2 2ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด2 +Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET516ขอสอบเขาฯ มี.ค.4719. เมื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชัน4 3 2f(x) = 1 x − 2 x − 1 x + 2x −14 3 2 3พบว่า กราฟของ f มีจุดวิกฤต (c, f (c)) ซึ่ง c > 0 เป็นจํานวน a จุด และกราฟของ f ตัดแกนx เป็นจํานวน b จุด ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. a = 1, b = 2 2. a = 1, b = 4 3. a = 2, b = 2 4. a = 2, b = 4320. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุด และ h(x) = x + 1 ถ้า a เป็นจํานวนจริงซึ่ง(h f)(a) = 9 , (h f) ′(a) = 0 , (h f) ′′ (a) = −1แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก1. f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด a และมีค่าเท่ากับ 12. f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด a และมีค่าเท่ากับ 23. f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่จุด a และมีค่าเท่ากับ 14. f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์ที่จุด a และมีค่าเท่ากับ 221. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสาม ซึ่ง f(0) = 1 = f(1)1ถ้า f(0) ′ = 1 และ ∫ f(x)dx = 6 แล้ว f( − 1) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้−11. − 72. − 1 3. 13 4. 1522. วิธีในการเขียนจํานวนคู่ที่มีสามหลักจากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยที่หลักร้อยและหลักหน่วยเป็นตัวเลขที่แตกต่างกัน และมีค่าไม่น้อยกว่า 200 มีจํานวนวิธีเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 72 2. 71 3. 60 4. 5923. จัดคน 8 คนซึ่งมีสมศักดิ์ สมชาย และสมหญิง รวมอยู่ด้วย เข้านั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 8 ที่นั่งความน่าจะเป็นที่สมชายได้นั่งติดกับสมหญิง และสมศักดิ์ไม่นั่งติดกับสมชาย เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 72. 5 213. 11424. 5 4224. ในการเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิก จากนักเรียนชาย 6 คนและนักเรียนหญิง 4คน ซึ่งมีนายกําธรรวมอยู่ด้วย ความน่าจะเป็นที่การเลือกครั้งนี้นายกําธรได้เป็นประธาน และมีนักเรียนหญิงได้รับเลือกอย่างน้อยหนึ่งคนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 131802. 133603. 2 454. 44525. คะแนนการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นหนึ่งซึ่งมีสองห้อง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเท่ากับ54 คะแนน โดยที่ห้อง ก และห้อง ข มีนักเรียน 30 และ 20 คนตามลําดับ ถ้าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้อง ก เท่ากับ 50 คะแนน เมื่อแยกพิจารณาผลสอบแต่ละห้อง พบว่านักเรียนห้อง ก ผู้ได้คะแนน 55 คิดเป็นค่ามาตรฐาน 1.0 เท่ากับค่ามาตรฐานของนักเรียนห้อง ข ผู้ที่ได้คะแนน 66พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ความแปรปรวนของคะแนนของนักเรียนห้อง ก เท่ากับ 25ข. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของนักเรียนห้อง ก มากกว่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนห้อง ขข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET517ขอสอบเขาฯ มี.ค.4726. ถ้า 20, x 2, ..., x 25 เป็นข้อมูลที่เรียงจากค่าน้อยไปมาก และเป็นลําดับเลขคณิต และควอร์ไทล์ที่หนึ่งของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 31 แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 6.24 2. 10.28 3. 12.48 4. 24.9627. อายุของนักเรียนห้องหนึ่ง มีการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนเท่ากับ 4 และมีนักเรียนจํานวน50.4% ที่มีอายุไม่เกิน 14 ปีเมื่อพิจารณาอายุของนักเรียนห้องนี้ในอีก 2 ปีข้างหน้า และให้ a แทนตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของนักเรียนที่อายุ 16 ปี ให้ b แทนจํานวนเปอร์เซ็นต์ของนักเรียนที่มีอายุ (หน่วยเป็นปี) อยู่ในช่วง[14, 16] แล้ว a และ b มีค่าเท่ากับค่าในข้อใดต่อไปนี้กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้z 0.01 0.99 1.01 2.65A 0.004 0.3389 0.3438 0.4961. a = 50.4, b = 33.78%2. a = 50.4, b = 34.29%3. a = 99.6, b = 33.78%4. a = 99.6, b = 34.29%28. ถ้าตัวแทนจําหน่ายเตาไมโครเวฟยี่ห้อหนึ่ง ขายเตาไมโครเวฟ 3 ชนิดในปี พ.ศ. 2544, 2545และ 2546 ด้วยราคาต่อไปนี้ชนิดของเตา ราคาต่อหน่วย (บาท)ไมโครเวฟ 2544 2545 2546ชนิดที่ 1 2,000 2,200 3,080ชนิดที่ 2 4,000 5,000 5,400ชนิดที่ 3 a a 6,720ถ้าดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ราคารวมของ พ.ศ. 2545 เทียบกับ พ.ศ. 2544 เท่ากับ 110 แล้วดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ค่าเฉลี่ยราคาสัมพัทธ์ของ พ.ศ. 2546 เทียบกับ พ.ศ. 2545 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 108 2. 120 3. 129 4. 140เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 9 (2) 8.8 (3) 0.5 (4) 3 (5) 27 (6) 0.8 (7) 1.25 (8)338.9ตอนที่ 2 (1) 1 (2) 3 (3) 1 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (7) 4 (8) 3 (9) 4(10) 2 (11) 4 (12) 4 (13) 2 (14) 4 (15) 4 (16) 2 (17) 3 (18) 1 (19)3 (20) 2 (21) 3 (22) 3 (23) 2 (24) 1 (25) 2 (26) 3 (27) 2 (28) 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET518เฉลยวิธีคิดขอสอบเขาฯ มี.ค.47ตอนที่ 1(1) (gof)(x) =2100 − 3(f(x))xจาก f(x) = 10 ∴ f(x) > 0 เสมอ2 2→ f(x) > 0 → 3(f(x)) > 02→ 100 − 3(f(x)) < 1002<

คณิตศาสตร O-NET / A-NET519ขอสอบเขาฯ มี.ค.47ตอนที่ 2(6) จัดรูป y 2 = x 2 + 2x − 32 2 2 2(1) n(A ∪B ∪ C) = 240 − 60 = 180→ 3 = x + 2x − y → 3 + 1 = (x + 2x + 1) − y2 2ใช้สูตรของแผนภาพเซต(x + 1) y→ + = 1180 = 5x + 5x + 4x − y − y − y + x4 4จะได้ 15x − 3y = 180 .....(1)เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีศูนย์กลางที่ (1,0) −แต่โจทย์บอก y − x = 20 .....(2)และ a = b = 2 (นั่นคือเส้นกํากับตั้งฉากกัน)แก้ระบบสมการได้ x = 20 ตอบ ข้อ 1. วาดกราฟได้ดังรูป(2) แยกช่วงย่อยคิดก. เมื่อ x < 1 จะได้อสมการกลายเป็น(-1,0)3x − 2 3x − 2แต่โจทย์บอกว่า(1,0)> 0 → < 01 − x − 1 xx > y ด้วย จึงมีเขียนเส้นจํานวนได้ (0, 2/ 3]เพียงเสี้ยวขวาเท่านั้นx=yนําไปอินเตอร์เซคกับเงื่อนไข ได้ (0, 2/ 3] เช่นเดิม จุดตัด (3/2,3/2) ในรูป หาจากการแก้ระบบสมการข. เมื่อ x > 1 จะได้อสมการกลายเป็น3ดังนั้น D r = [1, ∞ ) และ R r = ( −∞ , ]3x − 22> 0 เขียนเส้นจํานวน ( −∞,2/3] ∪ (2, ∞ )x − 2ตอบ ก. ถูก, ข. ผิดนําไปอินเตอร์เซคกับเงื่อนไข เหลือเพียง (2, ∞ ) (7) จาก f(1) = g(1) และ f(1) + g(1) = 8ดังนั้น ได้ s = (0,2/3] ∪(2, ∞ )∴ f(1) = 4 → a + b = 4 .....(1)ซึ่ง {x > 0 และ x ∉ s} คือ ( 2 ,2] ตอบ ข้อ 3.และ g(1) = 4 → แทน x ด้วย 23→ 12 + c = 4 → c = − 8(3) หาร x 3 − 3x 2 + 5x + 7 เหลือเศษ 10 และจาก f(2) = g(2)→ แสดงว่าหาร x 3 − 3x 2 + 5x + 7 − 10 ลงตัว→ 4a + b = 18 − 8 = 10 .....(2)พิจารณา x 3 − 3x 2 + 5x − 3แก้สมการ (1), (2) ได้ a = 2, b = 22แยกตัวประกอบได้ (x − 1)(x − 2x + 3)2∴ f(x) = 2x + 2, g(x − 1) = 6x − 8ซึ่งก้อนหลังนี้แยกต่อไม่ได้แล้ว− 1−1หา g (16) โดย g (6x − 8) = x − 1แสดงว่า x 2 + ax + b = x 2 − 2x + 3−1∴ a = − 2, b = 3 ตอบแทน x ด้วย 4 ได้ g (16) = 3a + b = 1−1(4) หา f(g (16)) = f(3) = 2(9) + 2 = 20 ตอบ(~ p ↔ ~ r) ∨ (p ↔ q)F F(8) ข้อนี้วาดกราฟจะพิจารณาได้เร็วขึ้นแสดงว่า ค่าความจริงของ p ตรงข้ามกับ q, r เมื่อ 0 < x < 1 เป็นเส้นตรง y = x − 1∴ข้อที่เป็นเท็จคือ ข้อ 4. p ∧ q ∧ ~r และเมื่อ x > 1 เป็นครึ่งพาราโบลา2(เพราะ p กับ q ต้องมีตัวหนึ่งเท็จแน่นอน) ตอบ y − 1 = x−1 → (y − 1) = x − 1(5) ก. เนื่องจากโดย y > 1; เปิดขวา, จุดยอดอยู่ที่ (1, 1)~p ∨(~q∨ r) ≡ ~q ∨(~p∨ r) ≡ q →(p → r)ซ้ายกับขวาสมมูลกัน และเชื่อมด้วย ↔(2,2)จึงเป็นสัจนิรันดร์ ก. ถูก1ข. ∃ x เป็นจริง เมื่อ x ∈ U(1/2,1/2)1ดังนั้นลองเลือก x = − จะได้ว่า4O 11 2 1 3( − ) + ( − ) + a = 0 → a =ก. ผิด เพราะกราฟผ่านจุด (2, 2)4 4 161ซึ่งมี a อยู่ใน (0, ) จริง ข. ถูก ตอบ ข้อ 1. −1แสดงว่า f(2) = f (2)4 1 1ข. ถูก คือ f( ) = และ f(2) = 22 2(มี 2 ค่าเท่านั้น) ตอบ ข้อ 3.(3/2,3/2)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET520ขอสอบเขาฯ มี.ค.47(9) กฎของ sin;3 2=sin 30°sin B1→ sin B =3A30°C60°8∴ cos B =3และ AB = 2 cos 30° + 3 cos B = 3 + 8คิดรูปใหญ่; CB 3 +=8sin A sin 60°→ CB =2( 3 +38) sin Aหา sin A จากsin(180°− 60°− B) = sin(120°−B)3 8 1 1 24 + 1= ( )( ) − ( − )( ) =2 3 2 3 62 24 + 1 8 6∴ CB = ( 3 + 8)( ) = 3 +36 9จะได้8 6CD = CB − 3 = ตอบ9(10) จัดรูปไฮเพอร์โบลา2 22(y − 6y + 9) − 3(x − 2x + 1) = − 9 + 18 − 32 2(y − 3) (x − 1)→ − = 1 → (h,k) = (1,3)3 2เปิดบนล่าง, c = 5ดังนั้นจากΔ มุมฉาก APFP (1,3)ได้ AP = 2 หน่วย∴ จุด A มีพิกัด (3,3)O2 2ระยะทางที่ต้องการ 3 3 182D= + = ตอบ2logxlog x − log 10 + 1(11) 4 2 9 2⋅ − ⋅ + 2 < 0มอง 2 log x2= A จะได้ว่า 4A − 9A + 2 < 01→ (4A − 1)(A − 2) < 0 → < A < 241 log x→ < 2 < 2 → −2 < logx < 141 a→ < x < 10 ∴ = 1,000 ตอบ100 ba 12(12) M11=− 1a= 5 → a + 1 = 5 → a = ± 2a a−22M33=− 1 a= 0 → a + a − 2 = 0∴ a = − 2 เท่านั้น−2 −4 −1ก. A = −1 − 2 1 = −8 − 1− 4 − 2 − 2 + 8 = −91 −1 −2−1 −2ข. C 13 =−= 1 + 2 = 3 ตอบ ก.ผิด, ข.ผิด1 15Fr=33BA(13)86สมมติ P max เกิดที่ (2, 4)(2,4)2 2∴ 70 = a (2) + a(4) → a + 2a − 35 = 0→ a = 5 หรือ -7แต่ a เป็นจํานวนบวก ∴ a = 5ทดลองแทนค่าจุด (0, 8) ได้ P = 40 < 70,จุด (0, 6) ได้ P = 30 < 70∴ จุด (2, 4) เกิด P max จริงๆ ตอบ ข้อ 2.(14) จากสูตรแบ่งเวกเตอร์ AC˜ 1 21AD =ÃB +ÃC3 3Dยกกําลังสองทั้งสองข้าง2(นําตัวเองมาดอท)B˜ ˜ ˜˜˜2 1 2 4 4 2→ |AD| = |AB| + |AB ⋅ AC| + |AC|9 9 92 2 2 1 2 4 2 4 2 11∴ a + b + c = ( ) + ( ) + ( ) = ตอบ9 9 9 27(15) z − 2 3 คือรากที่สามของ − 8iซึ่ง − 8i = 8∠ 270° มีรากที่สามได้แก่∠ °=− − , และ2∠ 90° = 2i, 2 210 3 i2∠ 330°= 3 − iดังนั้น z = 2 3 + 2i, 3 − i, 3 3− iตัวที่มีขนาดเป็นจํานวนเต็มคือ 2 3 + 2i(ขนาด=4) และ 3 − i (ขนาด=2)∴ ตอบ (2 3 + 2 i) + ( 3 − i) = 3 3 + i(16) zz 1 2 z 3 = 1 .....(1)1 1 1z + z + z = + + .....(2)และ 1 2 3z1 z2 z3ก. ซ้าย = 1 − z1 − z2 + zz 1 211 z1 z2z31 1 1= 1 − − +z z zz1 11 z3z z= − − + (จาก(1))ขวา1 21 2 1 2= − − + (จาก(1))ถ้าซ้าย = ขวา จะได้1 1 11 − z − z + = 1 − − + z1 2 3z3 z1 z21 1 1→ + + = z1 + z2 + z3ตรงกับ (2) (ก.ถูก)z z z1 2 3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET521ขอสอบเขาฯ มี.ค.47ข. จาก (1) zz 2 3 = .....(1a)z1จาก (2) z 2 + z 3 − − = − z 111 1 1z z z2 3 1z + z 1→ z + z − = − z3 22 3 1zz 2 3 z11→ z + z − z(z + z ) = − z2 3 1 2 3 1z11− z1 2z11 − z1→ z2 + z3= =1 − z1 z(1 1 − z) 11 + z11= = + 1 .....(2a)z1 z11มอง Az = จะได้ (1a) zz 2 3= A,1และ (2a) z 2 + z 3 = A + 1 ..แก้ระบบสมการA2z3 A 1 z 3 (A 1)z3A 0z + = + → − + + =3A + 1 ± A + 2A + 1 − 4A→ z3=2(A + 1) ± (A − 1)z3A2→ = = หรือ 1∴ = หรือ Az212แต่โจทย์บอกว่า z 1 ≠ 1,z 2 ≠ 1 ∴ z 2 = A =z1และ z 3 ต้องเป็น 1 เสมอทําให้ z 3 + i z 3 − i = 2 ⋅ 2 = 2 (ข.ผิด)ตอบ ข้อ 2.⎛n(n + 1) ⎞n⎜ ⎟2= lim⎝ ⎠n→∞n→∞3 ⎛n(n + 1)(2n + 1) ⎞⎜⎟⎝ 6 ⎠n 1= lim⎛ ⎞⎜ ⎟ =n →∞ ⎝ 2n + 1 ⎠ 2(17) คิด lim anต่อมา คิดคูณด้วยจะได้⎛⎜⎝( 3n+ 2− 3n+1)lim bn= limn→∞n→∞( n + 2 − n + 1)3n+ 2+ 3n+ 1 n+ 2+ n+1⎞⋅3n+ 2+ 3n+ 1 n+ 2+ n+1⎟⎠1 ( n + 2 + n + 1)= limn →∞ 1 ( 3n + 2 + 3n + 1)นํา n หารทั้งเศษและส่วน ได้2 11 + + 1 +n n 1 + 1 1= lim= =n →∞ 2 1 3 + 3 33 + + 3 +n nตอบ 1 +12 31(18) ก.⎧ x − 1,g(x) ≠ 0(fog)(x) = ⎨⎩ 1, g(x) = 0(กรณีบน x ≠ 1 ด้วย มิฉะนั้นจะหา g(x) ไม่ได้)และพบว่า กรณีล่าง g(x) = 0 นั้นเป็นไปไม่ได้∴ (fog)(x) = x − 1 เท่านั้น ต่อเนื่องที่ x = 0 แน่ๆ1 1f( ′ − ) = ( − ) = − 4ข.22 x 1x =−21 1g( ′ ) = −=−422 (x − 1) 1x =2ตอบ ก.ถูก และ ข.ถูก3 2(19) f(x) ′ = x − 2x − x + 2 = 0→ (x − 2)(x − 1)(x + 1) = 0 → x = − 1, 1, 2∴ ที่ c > 0 มีจุดวิกฤต 2 จุด(คือ x = 1, x = 2)แทนค่า1 2 1 1f( − 1) = + − − 2 − = ติดลบ,4 3 2 31 2 1 1f(1) = − − + 2 − = เป็นบวก,4 3 2 316 1และ f(2) = 4 − − 2 + 4 − = เป็นบวก3 3แสดงว่ากราฟเป็นดังรูป∴ มีจุดตัดแกน xรวม 2 จุดตอบ ข้อ 3.3(20) (hof)(x) = [f(x)] + 13จาก (hof)(a) = 9 → [f(a)] + 1 = 9 → f(a) = 22จาก (hof) ′(a) = 0 → 3[f(a)] ⋅ f ′(a) = 02→ 3(2) ⋅ f ′(a) = 0 → f ′(a) = 0และจาก (hof) ′′ (a) = − 12→ 3[f(a)] f ′′(a) + 3f ′(a) ⋅ 2[f(a)]f ′(a) = − 12→ 3(2) ⋅ f ′′(a) + 3(0)(2)(2)(0) = − 11→ f(a) ′′ = −12สรุป f(a) 0f(a)′ = แปลว่า เกิดค่าวิกฤตที่ x=a′′ ติดลบ แปลว่า เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์= แปลว่า ค่าสูงสุดนั้นเท่ากับ 2 ตอบ ข้อ 2.f(a) 2-11 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET522ขอสอบเขาฯ มี.ค.473 2(21) f(x) = Ax + Bx + Cx + Df(0) = 1 → 0 + 0 + 0 + D = 1 → D = 1f(1) = 1 → A + B + C + 1 = 1 → A + B + C = 02f ′(0) = 1 → 3A(0) + 2B(0) + C = 1 → C = 1ดังนั้น A + B = − 1และจาก 1 =−1∫ f(x) dx 6 จะได้4 3 2Ax Bx x( + + + x) = 64 3 2 −1A B 1 A B 1→ + + + 1 − + − + 1 = 64 3 2 4 3 22B→ + 2 = 6 → B = 6 ∴ A = − 731ตอบ f( − 1) = −7( − 1) + 6 + ( − 1) + 1 = 13(22) จํานวนคู่, มากกว่า200แสดงว่า อยู่ในรูปแบบ 2-3-4-5 , __ _ , เลขคู่ .และหลักร้อยต้องต่างกับหลักหน่วยกรณีแรก ลงท้ายด้วย 2 หรือ 4จะได้ 3 6 2 36× × = แบบกรณีที่สอง ลงท้ายด้วย 0จะได้ 4 × 6 × 1 = 24 แบบตอบ 36 24 60+ = จํานวน(23) วิธีทั้งหมด = 7!วิธีที่สมชายติดสมหญิง, สมศักดิ์ไม่ติดสมชายคิดโดย นําสมชายกับสมหญิงวางติดกันตรงไหนก็ได้สลับที่กันเองได้ 2! แบบ จากนั้นวางคนที่เหลือ 5คน มองให้เป็นแบบเส้นตรง ได้ 5! แบบ และจากนั้นมีช่อง 5 ช่องที่สมศักดิ์เลือกได้ (โดยไม่ติดกับสมชาย) จึงได้รวม = 2! × 5! × 5∴ ตอบ2! × 5! × 5 5=7! 21(24) กําธรได้เป็นประธาน ลบด้วย กําธรเป็นประธานและไม่มีหญิงเลย1× 9× 8 − 1× 5×4 52 13= = = ตอบ10× 9×8 720 180หรือ คิดบวกกัน 3 กรณีก็ได้ คือ1× 5× 4 + 1× 4× 5 + 1× 4×3 13=10× 9×8 180(25) หา X ข จากสูตร รวมX คือ30(50) − 20X5055 − 501 = → sก= 5 → sก= 25 ก.ถูกsข54 = → Xข= 60ก.2ข. ขก66 − 601 = → s = 6sขsข6 sก5→ = = 0.1, = = 0.1 ข.ผิดXข60 Xก50ตอบ ข้อ 2.(26) Q 1 อยู่ตําแหน่งที่1 (25 + 1) = 6.54มีค่า 31 ∴ 31 = 20 + 5.5d → d = 2ดังนั้นข้อมูลชุดนี้คือ 20, 22, 24, … , 68→ เนื่องจากเป็นลําดับเลขคณิต จึงหา X ได้ง่ายๆจาก 20 + 68 = 44224 + 22 + 20 + … + 2 + 0 + 2 + … + 22 + 24∴ MD =252= (12 + 11 + 10 + … + 0 + … + 12)254 4 ⎡(12)(13)⎤= (12 + 11 + 10 + … + 1) =25 25 ⎢⎣ 2 ⎥⎦= 12.48 ตอบ(27) x = 14A=0.004→ A = 0.004 ทางขวา→ z = 0.01 =→ X = 13.9814 − X2ต่อมาพิจารณาอีก 2 ปีข้างหน้าX กลายเป็น 15.98, s = 2 เช่นเดิมที่ 16 ปี;16 − 15.98z = = 0.012A 0.00414 − 15.98ที่ 14 ปี; z = = − 0.992A 0.3389→ = ทางขวา ∴เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50.4→ = ทางซ้าย∴ ระหว่าง 14 ถึง 16 มีพื้นที่= 0.3389 + 0.004 = 0.3429 คือ 34.29%ตอบ ข้อ 2.2,200 + 5,000 + a(28) I SA45 = 1.10 =2,000 + 4,000 + a→ (1.10)(6,000 + a) = 7,200 + a→ 0.1 a = 600 ∴ a = 6,000⎛3,080 5,400 6,720 ⎞ 100จะได้ I SR46 = + + ×⎜⎟⎝2,200 5,000 6,000 ⎠ 3100= (1.4 + 1.08 + 1.12) × = 120 ตอบ3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)1414 16

คณิตศาสตร O-NET / A-NET523ขอสอบเขาฯ ต.ค.47¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ µ.¤.47 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัยข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน2 2(x − 1) (y −2)1. กําหนดให้ A เป็นจุดๆ หนึ่งบนไฮเพอร์โบลา − = 19 16ถ้าระยะห่างระหว่างจุด A และจุดโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอร์โบลาคือ 3 หน่วย แล้วระยะห่างระหว่างจุด A กับจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งของไฮเพอร์โบลา มีค่าเท่ากับกี่หน่วย2. ผลบวกของคําตอบของสมการ 1 + (2 log x3)(log 9(9 − x)) = log x14มีค่าเท่ากับเท่าใด3. กําหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้าน BC ยาว 3 หน่วย ด้าน AC ยาว 2 หน่วย⎛ 1 ⎞ถ้ามุม B arctan แล้วค่าของ sin (A + B) + sin (A − B) เท่ากับเท่าใด= ⎜ ⎟⎝ 3 ⎠4. ถ้าสมการจุดประสงค์คือ P = 35x − 25y และอสมการข้อจํากัดคือ2x + 3y < 15 , 3x + y < 12 , x > 0, y > 0 แล้ว ค่าสูงสุดของ P เท่ากับเท่าใด5. ให้ x, y, z เป็นคําตอบของระบบสมการเชิงเส้นa11x + a12y + a13z = 2, a21x + a22y + a23z = 1, a31x + a32y + a33z = 0ถ้า⎡a a a⎢a a a⎢⎣a a a11 12 1321 22 2331 32 331 0 0⎤ ⎡ 1 0 0 1 −1 1⎤0 1 0⎥ ~ ⎢0 1 0 0 −2 1⎥⎥ ⎢ ⎥0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 2 3 0⎥⎦แล้ว ค่าของ x + y + z เท่ากับเท่าใด6. ถ้าz3 + i= แล้ว ค่าของ2z − i6 3z + z + 22เท่ากับเท่าใด7. กําหนดให้ m เป็นจํานวนเต็มบวก และ n เป็นจํานวนเฉพาะถ้า m หาร 777 และ 910 แล้วเหลือเศษ n แล้ว m− n มีค่าเท่ากับเท่าใด8. ถ้า S คือเซตของล็อตเตอรี่รัฐบาล ซึ่งมีเลข 6 หลัก และมีเลข 0 อยู่ 4 ตัวแล้ว จํานวนสมาชิกของ S เท่ากับเท่าใด9. ถ้า a และ b เป็นคําตอบของสมการ 3x + 5 = x + 2แล้ว ค่าของ 8 ⎛8⎞ 7 ⎛8⎞ 6 2 ⎛8⎞a − a b + a b − ... − ab 7 + b8⎜1⎟ ⎜2⎟ ⎜7⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠เท่ากับเท่าใด10. ถ้า A = {1, 2, 3, ..., 9} และ S = {B | B⊂ A และ (1∈ B หรือ 9∈B)}แล้ว จํานวนสมาชิกของ S เท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET524ขอสอบเขาฯ ต.ค.47ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง ข้อใดต่อไปนี้ผิด1. x − c เป็นตัวประกอบของ P(x) ก็ต่อเมื่อ P(c) = 02. ถ้าจํานวนเชิงซ้อน z 0 เป็นคําตอบของสมการ P(x) = 0 แล้ว z 0 จะเป็นคําตอบของสมการนี้ด้วย3. ถ้าสัมประสิทธิ์ของ P(x) เป็นจํานวนเต็ม และมี x − m เป็นตัวประกอบแล้ว m จะต้องเป็นจํานวนตรรกยะ4. ถ้า P(a) = b แล้ว x − a จะเป็นตัวประกอบของ P(x) − b2. ข้อความในข้อใดต่อไปนี้ผิด1. ถ้า a, b, n เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n|a และ n| b แล้วจะได้ว่า n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตัวด้วย2. ถ้า a, b, n เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a| n และ b| n แล้วจะได้ว่า ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวด้วย3. ถ้า a, m, n เป็นจํานวนเต็มบวก และ a| mn แล้ว จะได้ว่า a| m หรือ a| n4. ถ้า d และ c เป็น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มบวก m, n แล้วจะได้ว่า dc = mn3. ถ้า f(x) และ g (x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ และมีสมบัติดังนี้1f(g(x)) ′ = และ f(g(0)) = 5 แล้วค่าของ f(g(2)) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้g(x) ′1. 1 2. 3 3. 5 4. 74. ถ้า F 1 และ F 2 เป็นโฟกัสของวงรี x 2 + 3y 2 −2x − 23=0และ P(4, 5) เป็นจุดซึ่งอยู่บนวงรีนี้แล้ว ค่าของ cos (F 1P F 2) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.1− 2.91− 3. 3 745. ให้ A, B, C เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ÃB +˜BC +˜2 2 2CA = 0 ข. (BC) < (CA) + (AB)ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด4. 3 56. จํานวนคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของอสมการ − 5 < < 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้x1. 8 2. 9 3. 10 4. 112x − 6Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET525ขอสอบเขาฯ ต.ค.477. กําหนดให้ L เป็นเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (2, 1) และมีระยะห่างระหว่างจุดกําเนิดและเส้นตรง L2เท่ากับ 1 หน่วย ถ้า L ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสพาราโบลา y = ax − 4a + 1 ที่จุด (2, 1) แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 2.3161− 3.163− 4.88. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้าประพจน์ [p ∧ (q →r)] →(r ∨ s) มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้ว p ∧ q → s มีค่าความจริงเป็นเท็จ2ข. นิเสธของข้อความ ∀x∃ y[(x > y) ∧ (x < y)] คือ ∃ ∀ > → 0] มีค่าความจริงเป็นจริงข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดx10. กําหนดให้ f(x) =21−xพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก.เมื่อ x ∈ ( − 1,1)⎧ −21 − 1 + 4x−1⎪f (x) =, x ≠ 0⎨ 2x ⎪⎩ 0 , x = 01−8ข. f เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง ( − 1,1)ข้อใดต่อไปนี้จริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด11. กําหนดให้π1r = 1 + sin ผลบวกของอนุกรมในข้อใดต่อไปนี้เท่ากับ81 + r∞∞∞nn n11. ∑ r 2. ∑ (1) − r 3. ∑ 4.n+1n=0n=0n=0r∞∑n=0n(1) −rn+13 212. ให้ f(x) = x + ax + bx+ c เมื่อ a, b, c เป็นจํานวนจริงถ้า x − 3 หาร f(x) แล้วเหลือเศษ 10 และ 1+ i เป็นรากหนึ่งของ f(x) ′ แล้วค่าของ f(1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 42. − 2 3. 0 4. 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET526ขอสอบเขาฯ ต.ค.4713. กําหนดให้⎧ x + 1 , x > 0f(x) = ⎨⎩ x − 1 , x < 0ฟังก์ชัน g ในข้อใดต่อไปนี้ ทําให้ฟังก์ชัน g fไม่ต่อเนื่อง1. g(x) = 1 เมื่อ x ∈ ( −∞, −1) ∪[1, ∞ )2. g (x) =−1f (x) เมื่อ x ∈ ( −∞, −1) ∪[1, ∞ )3.2⎧⎪(x − 1) , x > 1g(x) = ⎨2⎪⎩ (x + 1) , x < −134. g(x) = x เมื่อ x ∈ ( −∞, −1) ∪[1, ∞ )2x x14. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 5 + 11 < 12(5 ) −9ถ้า a และ b เป็นสมาชิกของ S ที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด ตามลําดับแล้ว a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. log515 2. log520 3. 2 4. log53015. กําหนดให้⎡ π πθ∈ − ,ถ้าπ⎢ ⎣2tan⎛ ⎞⎜ −θ⎟−1⎝4⎠2tan⎛π⎞⎜ −θ ⎟ + 1⎝4⎠1. 3 5⎤4 4 ⎥ ⎦3=5แล้ว2cos θ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้2. 4 53. 7104. 9 1016. กําหนดให้ y = f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งมีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 3 ที่จุด x = 2และมีเส้นตรง 3x + y − 7 = 0 เป็นเส้นสัมผัสกราฟที่จุด (1, 4)22ถ้า g(x) = x f(x) แล้ว ค่าของ ∫ g ′′(x) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้11. 5 2. 7 3. 8 4. 1017. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาสถิติที่เป็นจํานวนเต็มของนักเรียน 40 คนดังนี้คะแนน จํานวนนักเรียน60 – 6465 – 6970 – 7475 – 7980 – 844a10b7เมื่อสุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มนี้มาหนึ่งคน ได้ว่าความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้ได้คะแนนน้อยกว่า 70คะแนน มีค่าเท่ากับ 0.30 มัธยฐานของคะแนนชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 71.50 2. 73.50 3. 73.75 4. 74.50Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET527ขอสอบเขาฯ ต.ค.4718. ให้ x 1 , x 2 , ..., x 5 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6ถ้า 5 2∑ (x i − 4) = 30 แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้i=11. 2 2. 2 3. 6 4. 2 219. จากรายการซ่อมแซมเครื่องซักผ้า 6 เครื่อง ปรากฏผลดังนี้เครื่องซักผ้าเครื่องที่ 1 2 3 4 5 6จํานวนปีที่ใช้งาน : X 1 2 3 2 1 3ค่าซ่อมแซมต่อปี (ร้อยบาท) : Y 4 7 10 8 3 10สมการที่ใช้แทนความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันสําหรับการประมาณค่าซ่อมแซมจากจํานวนปีที่ใช้ คือข้อใดต่อไปนี้1. Y = 3.25X + 0.52. Y = 3.5X + 0.53. Y = 3.5 X + 0.754. Y = 3.75X + 0.2520. กําหนดให้ A เป็นเมตริกซ์มิติ 3×3และ A ij คือเมตริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซ์ A ออกถ้า⎡ 2 −5 −1⎤adj A = ⎢−28 10 −1⎥⎢⎥⎣ 17 −5 −1⎦แล้ว det (A) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้A11⎡−1 −2⎤= ⎢ 5 8 ⎥⎣ ⎦และ A 32⎡ 1 −1⎤= ⎢ 3 −2⎥⎣ ⎦1. − 92 2. − 15 3. 15 4. 9221. กําหนดให้ S คือเซตของเมตริกซ์⎧⎪⎡a b⎤⎨ ⎢c d⎥⎪⎩⎣ ⎦⎫⎪a, b, c, d ∈ {0, 1} ⎬⎪⎭ความน่าจะเป็นในการสุ่มหยิบเมตริกซ์ A จากเซต Sโดยมีสมบัติ det (A) = 0 หรือ det (A) = 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3 42. 5 83. 11164. 131622. ในการออกรางวัลเลขท้ายสองตัวของล็อตเตอรี่รัฐบาล ความน่าจะเป็นที่รางวัลเลขท้ายสองตัวมีหลักสิบที่เป็นเลขที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7 หรือหลักหน่วยเป็นเลขที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0.40 2. 0.51 3. 0.54 4. 0.6023. ถ้า⎧ x− n , 2n < x < 2n+1f(x) = ⎨⎩ n + 1 , 2n + 1 < x < 2n + 2โดยที่ n=0,1,2,...,920แล้วค่าของ ∫ f (x) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้01. 105 2. 115 3. 125 4. 135Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET528ขอสอบเขาฯ ต.ค.4724. ถ้า A เป็นเซตคําตอบของสมการ z 14 − i = 0และ B เป็นเซตคําตอบของสมการ z 22 − i = 0แล้ว จํานวนสมาชิกของ A ∩ B เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0 2. 1 3. 2 4. 31 125. ถ้า v = n i + 1 − 2j เมื่อ n = 1, 2, 3, ..., 99nnแล้วค่าของ ∑ 99 vn+1−vnอยู่ในช่วงใดต่อไปนี้n=11. (1, 1.2) 2. (1.2, 1.4) 3. (1.4, 1.6) 4. (1.6, 1.8)เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 9 (2) 9 (3) 0.75 (4) 140 (5) 6 (6) 0.5 (7) 2 (8) 1215 (9) 625(10) 384ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 3 (3) 4 (4) 1 (5) 2 (6) 1 (7) 1 (8) 3 (9) 4(10) 3 (11) 4 (12) 1 (13) 4 (14) 2 (15) 4 (16) 2 (17) 2 (18) 1 (19)1 (20) 2 (21) 4 (22) 2 (23) 1 (24) 3 (25) 3ตอนที่ 1(1) ไฮเพอร์โบลา a = 3,b = 4นิยามของไฮเพอร์โบลาคือ ระยะห่างจากจุดๆ หนึ่งไปยังโฟกัสทั้งสอง มีผลต่างเป็น 2a = 6 ดังนั้นd − 3 = 6 → d = 9 หน่วย ตอบ2log3log(9 − x) log14(2) 1 + =เฉลยวิธีคิด(4) (0, 5) P → = − 1253 3∴ ตอบ 2( )( ) 0.754 2 = (3, 3) → P = 30(4, 0) → P = 1405 (3,3)∴ Pmax= 140O 4log x log 9 log x⎡a11 a12 a13⎤ ⎡x⎤⎡2⎤แต่ 2 log 3 = log 9 ดังนั้น(5) ⎢a21 a22 a23⎥ ⎢y⎥ = ⎢1⎥→ AX = B⎢⎣a31 a32 a33⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦log(9 − x) log 14จะได้ → 1 + =1log x log xดังนั้น X = A B1→ log x + log(9 − x) = 14หา A − โดยการดําเนินการตามแถว (rowoperation)คือ ⎡A I ~ I A − ⎤1→ x(9 − x) = 14 ∴ x = 2, 7⎣⎤⎦ ⎣ ⎦ตอบ 2 + 7 = 9⎡ 1 −1 1⎤−1(3) เทียบจากโจทย์ จะพบว่า A = ⎢0 −2 1⎥sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos B⎢⎣2 3 0⎥⎦หา sin A จากกฎของไซน์x 1 −1 1 1sin A sin B2⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡2⎤ ⎡ ⎤3 =1 ∴ ⎢y⎥= ⎢0 − 2 1⎥ ⎢1⎥ = ⎢−2⎥2⎢⎣z⎥⎦ ⎣⎢2 3 0⎦ ⎥⎣⎢0⎦⎥ ⎢⎣ 7 ⎥⎦1 3 3B→ sin A = ( )( ) =ตอบ 1 − 2 + 7 = 632 2 43และหา cos B จาก Δ จะได้2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET529ขอสอบเขาฯ ต.ค.47(6) โจทย์ถามก.⎛ z − i ⎞⎜⎟6 3⎜ z + z + 2 ⎟⎝⎠3 i 3 1z − i = − = + = 12 2 4 4ข. z 6 = (1∠ 30 ° ) 6 = 1∠ 180° = − 13 3z = (1∠ 30 ° ) = 1∠ 90° = i6 3∴ z + z + 2 = − 1 + i + 2 = 1+ i = 2ตอบ2⎛ 1 ⎞⎜ ⎟⎝ 2 ⎠= 0.5(7) จากบทนิยามของการหาร;777 = mq1+ n และ 910 = mq2+ nนํามาลบกันกลายเป็น 133 = m(q 2 − q 1)นั่นคือ “m ต้องหาร 133 ลงตัว”→ พิจารณา 133 = 7 × 19ถ้า m = 7 จะได้เศษ n 02= ซึ่งผิดเงื่อนไข∴ m = 19, ได้เศษ n = 17 ตอบ 19 − 17 = 2(8) กรณีที่ 1; สองตัวที่เหลือ เลขซ้ํากัน9 ⎛ 6! ⎞→⎛ ⎞× = 135 วิธี⎜1⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝4!2!⎠กรณีที่ 2; สองตัวที่เหลือ เลขไม่ซ้ํากัน9 ⎛6!⎞→⎛ ⎞× = 1,080 วิธี⎜2⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝4!⎠ตอบ 135 1,080 1,215(9) 3x + 5 = x + 2+ = จํานวน2→ 3x + 5 = x + 4x + 42 1 5→ x + x − 1 = 0 → x = − ±2 2ดังนั้น1 5a, b =− ±2 28สิ่งที่โจทย์ถามคือ (a b)− [จากทฤษฎีบททวินาม]8 8ดังนั้น (a − b) = ( 5) = 625 ตอบ(10) มีคําว่า “หรือ” จึงควรใช้วิธีลบออกด้วยนิเสธคือ วิธีทั้งหมด ลบด้วยวิธีที่ (1 ∉ B และ 9 ∉ B)9 7→ 2 − 2 = 384 จํานวน ตอบหรือ สามารถคิดโดยตรงด้วยสูตรยูเนียนของเซตคือ (1 ∈ B) + (9 ∈ B) − (1 ∈ B และ 9 ∈ B)8 8 7= 2 + 2 − 2 ก็ได้เช่นกันตอนที่ 2(1) ข้อ 1, 2, 4 เป็นทฤษฎีที่ควรรู้ (ถูกแน่นอน)2ส่วนข้อ 3 นั้นผิด เช่น สมมติ P(x) = x − 2 จะได้(x − 2)(x + 2) ซึ่ง 2 ไม่ใช่จํานวนตรรกยะตอบ ข้อ 3.(2) ข้อ 1, 2, 4 ถูกแล้วส่วนข้อ 3 ผิด เช่น เมื่อ a = 6, b = 2, c = 3ตอบ ข้อ 3.(3) กฎลูกโซ่; (fog) ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g(x) ′ดังนั้นข้อนี้ (ย้ายข้าง) f ′(g(x)) ⋅ g(x) ′ = 1 = (fog) ′(x)และอินทิเกรตได้ (fog)(x) = x + cหาค่า c จาก (fog)(0) = 5 → c = 5จะได้ (fog)(2) = 2 + 5 = 7 ตอบ(4) จัดรูปวงรี;Aข. จากกฎของ cos;C2 22 2 (x − 1) y(x − 2x + 1) + 3y = 23 + 1 → + = 124 8ระยะโฟกัส = 24 − 8 = 4 หน่วยจุดศูนย์กลาง (1, 0)หามุมระหว่าง 1คิดโดยใช้เวกเตอร์ดอทกันจาก ˜ −PF 1 ,˜PF−2จะได้ ˜˜1 2และ ˜˜1 2−ดังนั้น cos θ =54 ⋅ 6(5) ก. ถูก BPF˜กับ PF˜2⎡ 7 ⎤ ⎡ 1 ⎤= ⎢ =⎣ 5⎥ ⎦⎢⎣−5⎥⎦PF ⋅ PF = − 7 + 5 = −2PF ⋅ PF = 54 6 cos θ2 1= −92 2 2ตอบ(BC) = (CA) + (AB) − 2(CA)(AB) cos A22 2ดังนั้น (BC) จะมากหรือน้อยกว่า (CA) + (AB)ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ cos A(มุมแหลมเครื่องหมายบวก มุมป้านเครื่องหมายลบ)ตอบ ก. ถูก, ข. ผิด2 2x − 6 x + 5x − 65 0x(6) จาก − →xจะได้ช่วงคําตอบ [ −6,0) ∪ [1, ∞ )และจาก 2 2→x − 6 x − x − 6< 1 < 0xxจะได้ช่วงคําตอบ ( −∞, −2] ∪ (0,3]อินเตอร์เซคกันได้ [ −6, −2] ∪ [1,3]ตอบ 8 จํานวนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)F 1 C F 2(-3,0) (1,0) (5,0)(7) หาสมการเส้นตรง L;(y − 1) = m(x − 2) → y − mx + 2m − 1 = 0ระยะห่างไปยังจุดกําเนิด (0, 0) เท่ากับ 10 − m(0) + 2m −12→ 1 = → 1+ m = 2m−121+mP

คณิตศาสตร O-NET / A-NET530ขอสอบเขาฯ ต.ค.47→ m = 0, 4/3 แต่ m = 0 ไม่ได้ (เพราะจะหาเส้นตั้งฉากไม่ได้) ∴ m = 4/3 จึงได้ความชันของเส้นสัมผัสพาราโบลา =− 3/4 (ตั้งฉากกับ L)y(2) ′ = 2a(2) = −3/4 → a = − 3/16 ตอบ(8) ก. [p ∧ (q → r)] → (r ∨ s) ≡ FT FT F F F Fจะได้ว่า (p ∧ q) → s ≡ (T ∧ F) → F ≡ T (ก.ผิด)ข. เนื่องจาก ~ (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ~ P(x) ∨ ~ Q(x)≡ P(x) → ~ Q(x)ดังนั้น นิเสธของ ∀x∃y [P(x, y) ∧ Q(x, y)]∃ ∀ → ~Q(x,y)] (ข.ถูก) ตอบคือ x y[P(x,y)(9) ก. เท็จ เช่น x = 0.5 จะได้ว่า2x < x คือ 0.5 < 0.25 ซึ่งเป็นเท็จ2 2[ส่วน x + x < x + x นั้นเป็นจริงเสมอ เพราะเป็นสมบัติของค่าสัมบูรณ์ของผลบวก]ข. ∃x [(x − 3)(x + 2) > 0]≡∃x[x ∈( −∞− , 2] ∪[3, ∞ )] เท็จตอบ ก. ผิด, ข. ผิดx(10) ก. จาก y =21 − xy1 − yอินเวอร์สคือ x =22 2→ x − xy = y → xy + y − x = 01 1 1 4x∴ f − (x) = y =− + +2xต้องเลือกใช้เครื่องหมายบวก เพราะพบว่า f(x) เป็นบวก เมื่อ x เป็นบวก และ f(x) เป็นลบ เมื่อ x ติดลบ … ดังนั้น ก. ผิดข.2 2(1 − x )(1) − (x)( − 2x) x + 1f(x) ′ = =(1 − x ) (1 − x )222 22พบว่ามากกว่า 0 เสมอ ตอบ ก. ผิด, ข. ถูก2 1(11) ข้อ 1. 1 + r + r + … =2 1ข้อ 2. 1 − r + r − … =1 − r1 + r1 + 1 + 1 + … = (1/ r) =1r r r 1 − (1/ r) r − 11 − 1 + 1 − … = (1/ r) =1r r r 1 + (1/ r) 1 + rข้อ 3.2 3ข้อ 4.2 3พบว่ามีข้อที่น่าจะใช้ได้อยู่ 2 ข้อ คือ 2. กับ 4.แต่ที่จริงแล้วข้อ 1. กับ 2. นั้นผิด เพราะเป็นอนุกรมอนันต์ที่มีอัตราส่วนร่วมมากกว่า 1 จะไม่สามารถหาผลบวกถึงอนันต์ได้π(sin0.กว่า)8 ≈ตอบ ข้อ 4.(12) ทฤษฎีเศษ; f(3) = 10ทฤษฎีของจํานวนเชิงซ้อน;2′ = − − − + = − +f(x) k(x 1 i)(x 1 i) k(x 2x 2)2แต่โจทย์ให้ f(x) ′ = 3x + 2ax + bดังนั้นจัดการเทียบได้ k = 3, a =− 3, b = 63∴ f(3) = 10 = 3 − 3(9) + 6(3) + c→ c = −8 → f(1) = 1 − 3 + 6 − 8 = − 4 ตอบ(13) ข้อ 1. (gof)(x) = 1 → ต่อเนื่อง−1ข้อ 2. (gof)(x) = (f of)(x) = x → ต่อเนื่อง2ข้อ 3. (gof)(x) = x → ต่อเนื่องข้อ 4.3⎧ ⎪ (x + 1) ; x > 0(gof)(x) = ⎨ 3⎪⎩ (x − 1) ; x < 0ไม่ต่อเนื่องที่ x=0 ดังนั้น ตอบ ข้อ 4.(14) ให้ 5 x2= A จะได้ 3/4 จะได้อสมการกลายเป็น2 2→ A + 11 < 12A − 9 → A − 12A + 20 < 0แยกตัวประกอบแล้วเขียนเส้นจํานวนได้ A ∈ [2,10]ข. เมื่อ A < 3/4 จะได้อสมการกลายเป็น2 2→ A + 11 < − 12A + 9 → A + 12A + 2 < 0ซึ่งแยกตัวประกอบเป็นจํานวนจริงไม่ได้ →∅ดังนั้นคําตอบได้จากกรณีแรกเท่านั้น คือx< < → <

คณิตศาสตร O-NET / A-NET531ขอสอบเขาฯ ต.ค.47(17) ความน่าจะเป็น 0.30แสดงว่า 4 + a = 0.30 → a = 840⎛20 − 12 ⎞∴ Med = 69.5 + 5 ⎜ ⎟ = 73.50⎝ 10 ⎠(18) X = 6 แสดงว่า Σ x = 6 ⋅ 5 = 30ตอบ2 2จาก Σ(x − 4) = 30 → Σx −8Σ x + 16 ⋅ 5 = 3019052 2∴Σ x = 190 → s = − 6 = 2 ตอบ(19) ใช้สมบัติว่า ถ้า y = mx + c แล้วY = mX + c ด้วย(1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 3)จากโจทย์และX = = 26(4 + 7 + 10 + 8 + 3 + 10)Y = = 76ซึ่งพบว่าสอดคล้องกับข้อ 1. (Y = 3.5X + 0.5)ตอบ ข้อ 1.[หมายเหตุ จะคํานวณจากวิธีเต็มก็ได้2คือ Σ y = mΣ x + cN, Σ xy = mΣ x + cΣ x ](20) นํา A 11 กับ 32ได้เป็น⎡1 a −1⎤A = ⎢3 −1 −2⎥⎢⎣b 5 8 ⎥⎦A มาประกอบกันจากนั้นใช้ความรู้ที่ว่า det หาโดยนําสมาชิก A แนวใดแนวหนึ่งคูณกับสมาชิก C(A) แนวเดียวกันนั้น⎡ 2 −28 17⎤= = ⎢−5 10 −5⎥⎢⎣ − 1 − 1 − 1 ⎥⎦tซึ่ง C(A) (adj A)นําแถวกลางคูณกัน ได้เป็นdet(A) 3( 5) ( 1)(10) ( 2)( 5) 15= − + − + − − = − ตอบ[หมายเหตุ จะใช้สมบัติที่ว่า A ⋅ adj A = det(A) ⋅ Iก็ได้ โดยนํา Aแถว2 และ adjหลัก2 มาคูณกัน](21) det(A) = ad − bcวิธีทั้งหมด 2 2 2 2 16= × × × = แบบโจทย์ต้องการ det(A) = 0 หรือ 1จะใช้วิธีนับเอาก็ได้ แต่ถ้าสังเกตว่า det(A) เป็นไปได้แค่ 0, 1, -1 เท่านั้น ก็จะคํานวณได้จากวิธีทั้งหมดลบด้วยวิธีที่ det เป็น -1คือ (0⋅0 − 1⋅1), (0⋅1− 1⋅1), (1⋅0 − 1⋅1)รวม 3 กรณี ตอบ3 131 − =16 16(22) โจทย์มีคําว่า “หรือ” ควรคิดแบบลบด้วยนิเสธคือ วิธีทั้งหมด - (หลักสิบน้อยกว่า 7 และ หลัก7 × 7หน่วยมากกว่า 2) = 1 − = 0.51 ตอบ10 × 10(23) จาก109⎧ x , 0< x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET532ขอสอบเขาฯ มี.ค.48¢oÊoºe¢ÒÁËÒÇi·ÂÒÅaÂ ÁÕ.¤.48 ()ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัยข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน1. ผลบวกของคําตอบของสมการx x x12 2(3 ) 9(4 ) 18 0− − + = มีค่าเท่ากับเท่าใด82. พจน์ที่เป็นค่าคงตัวที่เกิดจากการกระจาย (tan x − 2 cot x) มีค่าเท่ากับเท่าใด3. ในคณะกรรมการนักเรียนจํานวน 10 คน จะมีวิธีเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการ ได้กี่วิธี ถ้ากรรมการคนหนึ่งไม่สมัครที่จะเป็นประธาน4. นายแดงนําเงินไปฝากธนาคารออมสิน โดยฝากเดือนแรก 100 บาท เดือนต่อไปฝากเพิ่มขึ้นเดือนละ 5 บาท ทุกเดือน เมื่อครบ 2 ปี นายแดงนําเงินไปฝากทั้งหมดเท่าใด5. กําหนดให้ u , v , w เป็นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับสมการ u + 5v − 2w = 0โดยที่ u = 3i + 4j และ u ตั้งฉากกับ vถ้า θ เป็นมุมระหว่าง u และ w แล้ว ค่าของ |w| cos θ เท่ากับเท่าใด6. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1 , x 2 , ..., x 13 โดยที่ x n = 5− n เมื่อ n = 1, 2, ..., 13จํานวนจริง a ที่ทําให้ ∑ 13 xn− a มีค่าน้อยที่สุด เท่ากับเท่าใดn=12 2(x − 1) (y − 1)7. กําหนดให้เส้นตรง x = y ตัดวงรี + = 1 ที่จุด A และ B9 4ถ้า F 1 และ F 2 เป็นจุดโฟกัสของวงรีนี้ แล้ว AF1 + AF2 + BF1 + BF2มีค่าเท่ากับเท่าใด8. กําหนดให้พาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น y 2 − 4y − 16x − 12 = 0ถ้า L เป็นเส้นตรงที่ผ่านโฟกัสของพาราโบลารูปนี้ และตั้งฉากกับเส้นตรง 3x − 2y + 5 = 0แล้ว ระยะตัดแกน y ของเส้นตรง L มีค่าเท่ากับเท่าใด9. ถ้า z 1 = 4 (cos 145° + i sin 145 ° ) และ z 2 3 (cos 115 i sin 115 )2ค่าของ z − z เท่ากับเท่าใด1 210. ถ้า n เป็นจํานวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังนี้100 < n < 1000 45 และ 75 หาร n ลงตัว7 หาร n เหลือเศษ 3แล้ว n มีค่าเท่ากับเท่าใด= °+ ° แล้วMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET533ขอสอบเขาฯ มี.ค.48ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. สําหรับเซต A และ B ใดๆ ข้อใดต่อไปนี้ ผิด1. ถ้า A ∩ B = ∅ แล้ว A ⊂ B' และ B ⊂ A'2. A − (A ∩ B) = A − B3. (A ∪B) − A = B4. ถ้า (A ∩ B) = A แล้ว A ⊂ B2. ข้อใดต่อไปนี้ ผิด1. เส้นตรง y = 3x + 2 ขนานกับเส้นตรง 3x − y − 4 = 02. เส้นตรง y + 5x + 8 = 0 ตั้งฉากกับเส้นตรง 5y = x + 33. ระยะห่างระหว่างจุด (0, 0) กับเส้นตรง 3x + 4y − 10 = 0 เท่ากับ 24. ระยะห่างระหว่างเส้นตรง x − 2y + 5 = 0 กับเส้นตรง x − 2y − 5 = 0 เท่ากับ 23 23. เซตในข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตคําตอบของสมการ 9x + 12x + x − 2 = 01 3−2 11. { − 2, , }2. { − 1, , }3.3 21 2{ 1, , }3 3− 4.4. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันซึ่งแล้ว g (x) =f ′(x)3 2−2 1{ − 1, , }3 3f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x)lim = lim = g(x)hhh→0 +h→0−ข. ถ้า f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f(x) > 0 สําหรับทุกๆ จํานวนจริง x และ f(a) 0ความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันy′ ≠ แล้ว= 1ที่จุด a คือ 1f(x)ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดf(a) ′225. ค่าของ ∫ 4−x dx อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้−21. (3.1, 3.2) 2. (3.2, 3.3) 3. (6.1, 6.2) 4. (6.2, 6.3)6. ให้ p, q, r, s เป็นประพจน์ ถ้า [(p →~ q) ∨r] ∧(q ∨ s) มีค่าความจริงเป็นจริง และ(p ∧ s) → r มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้ว ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็น เท็จ1. p → q 2. q→ r 3. r → s 4. s → pMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET534ขอสอบเขาฯ มี.ค.487. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือ เซตของจํานวนเต็มแล้วข้อความ ∃m∃ n [5m+ 7n = 1] มีค่าความจริงเป็นจริง2ข. นิเสธของข้อความ ∀x ∃y[(x −2x > y −2) ∧ (y > sinx)]2คือ ∃x ∀y[(x − 2x < y −2) ∨ (y < sinx)]ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด8. ถ้า2 2sin 3Asin Acos 3A− = 2 แล้ว cos 2A มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้cos A2 21. 1 2. 1 423.124. 1 39. ถ้า tan (arccos x) = − 3 แล้ว ค่าของ x sin (2 arccos x) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.3− 2.41− 3. 1 224. 3 410. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. เซตคําตอบของ x 4 − 2x 3 + x 2 + 4x − 6 = 0 คือ { 2, − 2, 1+ 2i, − 2+i }ข.6 6⎛1+ 3i⎞ ⎛1−3i⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 1ถ้า a และ b เป็นสมาชิกของ S ที่มีค่ามากที่สุดและค่าน้อยที่สุด ตามลําดับแล้ว ab มีค่าเท่ากับข้อใด7/29/211/213/21. 10 2. 10 3. 10 4. 1012. กําหนดให้⎡1 −1 0⎤B = ⎢0 1 2⎥⎢ ⎥⎣3 0 1⎦,⎡ 1 ⎤C = ⎢0⎥⎢ ⎥⎣2⎦,⎡ x ⎤X = ⎢ y⎥⎢ ⎥⎣ z ⎦และ I เป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ถ้า A เป็นเมตริกซ์มิติ 3× 3 ซึ่งสอดคล้องกับสมการ 2AB = I และ AX = Cแล้ว ค่าของ x + y + z เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 20 2. 24 3. 26 4. 30Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET535ขอสอบเขาฯ มี.ค.4813. กําหนดให้⎡4 12 −9⎤A = ⎢ 7 −10 5 ⎥⎢⎥⎣ 1 0 0 ⎦และ B, C, D เป็นเมตริกซ์มิติ 3× 3 ซึ่ง A~B~C~D4โดยที่ B ได้จาก A โดยการดําเนินการ R1−R2C ได้จาก B โดยการดําเนินการ 5R 1D ได้จาก C โดยการดําเนินการ R 23แล้ว det (D) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 3750 2. − 150 3. 150 4. 375014. ถ้า a n เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลมี n พจน์แล้ว1, 2, 2, 3, 3, 3, ..., n, n, n, ..., nanlim เท่ากับข้อใดต่อไปนี้n →∞ n31. 0 2. 1 23. 1 34. 2 315. กําหนดให้16. กําหนดให้ก.f(x) = det⎡ 1 1⎤⎢1 x ⎥⎢⎣1 1⎥⎦−11. f เป็นฟังก์ชัน 1− 1และ −12. f เป็นฟังก์ชัน 1− 1และ − เมื่อ x ≠ 1 ข้อใดต่อไปนี้ถูกf (x) =⎡ 1 1⎤det ⎢1 x ⎥⎢⎣ 1 1⎥⎦3. f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1− 1เนื่องจากมีค่า x ที่ทําให้4. f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1− 1และ⎧ 1 ,x < 0f(x) = ⎨⎩ 0 ,x > 0lim (f f)(x) = 0x→0− ข.− 1− เมื่อ x 0≠ , x ≠ 1⎡ 1 1⎤f (x) = det ⎢ 1 ⎥ เมื่อ x ≠ − 1⎢ 1⎣1+x ⎥⎦⎡ 1 1⎤det ⎢1−x ⎥ = 0⎢⎣ 1 1⎥⎦2⎡ 1 1⎤(f f)(x) = det ⎢1−x⎥ เมื่อ x ≠ 1⎢⎣ 1 1⎥⎦พิจารณาข้อความต่อไปนี้lim (f f)(x) = 1x→0+ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด17. ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด (x, y) ใดๆ เป็น 2x − 4และ f มีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 10 หน่วยแล้วพื้นที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ y = f(x) กับแกน x จาก x = 0 ถึง x = 3 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 33 2. 36 3. 39 4. 42Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET536ขอสอบเขาฯ มี.ค.4818. ให้ A = {1,2,3,4} และ B = {1,2,3,4,5}ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B โดยที่ f(1) = 2 หรือ f(2) m= เมื่อ m เป็นจํานวนคี่แล้ว จํานวนของฟังก์ชัน f ที่มีสมบัติดังกล่าว เท่ากับข้อใด1. 75 2. 150 3. 425 4. 50019. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีดํา 4 ลูก และสีแดง 6 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้มา 3 ลูกความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละอย่างน้อยหนึ่งลูก เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0.78 2. 0.80 3. 0.82 4. 0.8420. ในการสุ่มหยิบเลข 3 หลัก ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 100 มาหนึ่งจํานวน ความน่าจะเป็นที่เลขจํานวนนั้นมีเลข 8 อย่างน้อย 1 หลัก และไม่มีเลข 9 ในหลักใดๆ จะเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 82. 1 93. 2 84. 2 921. กําหนดสมการจุดประสงค์ z = ax + b y โดยที่ a > 0, b > 0และมีอสมการข้อจํากัดคือ x − 2y < 0, x + y > 3, 2x + y > 4, x > 0, y > 0เมื่อ z = 0 จะได้เส้นตรง ax + by = 0 มีความชันเท่ากับ − 3/2ถ้า z มีค่าน้อยที่สุดที่จุด (x 0, y 0) แล้ว ค่าของ x 0 − y 0 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. − 42. − 1 3. 1 4. 322. กําหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 1 เท่ากับ 0.3413ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมีจํานวน 20,000 คน มีการแจกแจงปกติแล้ว จํานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนซึ่งต่างจากคะแนนเฉลี่ยมากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3,413 2. 6,348 3. 6,826 4. 13,65223. กําหนดฮิสโทแกรมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน80 คน ดังนี้ความถี่สัมพัทธ์0.3750.3500.0750.0500.025O 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 คะแนนข้อใดต่อไปนี้ถูก1. นักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง 50 − 79 มีจํานวนมากกว่านักเรียนที่สอบได้คะแนน 90 คะแนนขึ้นไป เท่ากับ 50 คน2. นักเรียนที่สอบได้คะแนน 90 คะแนนขึ้นไป มีร้อยละ 10 ของนักเรียนทั้งหมด3. ควอร์ไทล์ที่หนึ่งของคะแนนสอบมีค่าอยู่ระหว่าง 60 − 69 คะแนน4. ควอร์ไทล์ที่สามของคะแนนสอบมีค่าอยู่ระหว่าง 80 − 89 คะแนนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET537ขอสอบเขาฯ มี.ค.4824. กําหนดให้วงกลม x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 ตัดแกน y ที่จุด 2 จุด แต่ไม่ตัดแกน xข้อความในข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง1. a23. a22> c และ b2< c และ b> c2. a2> c4. a22> c และ b2< c และ b< c< c25. ถ้า S เป็นเซตของจํานวนเต็ม m ที่มีสมบัติดังนี้50 < m < 100 และ 7 หาร m 3 เหลือเศษ 6แล้วจํานวนสมาชิกของ S เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 7 2. 14 3. 18 4. 21เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 2.5 (2) 1120 (3) 648 (4) 3780 (5) 2.5 (6) 3 (7) 12 (8) 4 (9) 7(10) 675ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 4 (3) 4 (4) 2 (5) 4 (6) 1 (7) 1 (8) 1 (9) 4(10) 3 (11) 2 (12) 1 (13) 3 (14) 4 (15) 2 (16) 1 (17) 1 (18) 3 (19)2 (20) 4 (21) 2 (22) 2 (23) 3 (24) 3 (25) 4เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) มอง 3 x = A, 4 x = Bจะได้ AB − 2A − 9B + 18 = 0→ A(B −2) − 9(B − 2) = 0→ (A −9)(B − 2) = 0x→ 3 = 9 หรือ 4 x = 2→ x = 2 หรือ 1 2∴ ตอบ 2.58 8 r r r(2) พจน์ทั่วไปคือ ( ) (tan x)− ( − 2)(cot x)r“พจน์ที่เป็นค่าคงตัว” หมายถึงไม่ติดตัวแปร x(แสดงว่า tan x กับ cot x คูณกันแล้วหมดไปพอดี)∴ 8 − r = r → r = 48 4 4 4จะได้ค่าของพจน์นั้น =⎛ ⎞ (tan x) ( − 2) (cot x)8 ⎞ (2)4 1,120=⎛⎜4⎟− =⎝ ⎠⎜4⎟⎝ ⎠ตอบ(3) ประธาน 9 × รอง 9 × เลขา 8= 648 วิธี ตอบ(4) 100 + 105 + 110 + … + พจน์ที่ 2424= (100 + (100 + 23 × 5)) = 3,780 ตอบ2(5) u + 5v − 2w = 0 → u + 5v = 2wนํา u ดอททั้งสองข้าง;ได้เป็น u ⋅ u + 5u ⋅ v = 2u ⋅ w = 2 u w cos θ2 2 2ซึ่ง u ⋅ u = u = 3 + 4 = 25และ u ⋅ v = 0 เนื่องจาก u ⊥ v∴จะได้ 25 + 0 = 2(5) w cos θ→ w cos θ = 2.5 ตอบ(6) ข้อมูล x,x 1 2 ,x 3 ,…,x 13คือ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, … , 8Σ xn− a น้อยสุด แสดงว่า a = Medเรียงเลขก่อน; 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 , 4, 4, 5, 6, 7, 8Med 3∴ = ตอบ(7)AF 1 F 2จากนิยามวงรี AF1 + AF2= 2aและ BF1 + BF2= 2a∴ ตอบ 2(3) + 2(3) = 12BMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET538ขอสอบเขาฯ มี.ค.48(8) y 2 − 4y + 4 = 16x + 12 + 42→ (y − 2) = 4(4)(x + 1) เป็นพาราโบลาเปิดขวาจุดยอด ( − 1,2) ∴ จุดโฟกัส (3, 2)เส้นตรงในโจทย์มีความชัน = 3/2ดังนั้นเส้นตรงที่ต้องการ (L) มีความชัน − 2/32 2→ y − 2 = − (x − 3) → y = − x + 43 3∴ ระยะตัดแกน y คือ 4 ตอบ2 2 2(9) z1 − z2 = z1 − 2 z1 z2 cos θ + z2เมื่อ θ= มุมระหว่าง z,z 1 22 21 2∴ z − z = 4 − 2(4)( 3)cos 30° + 3= 16 − 12 + 3 = 7 ตอบ(10) เนื่องจาก 45 และ 75 หาร n ลงตัวหา ค.ร.น. ของ 45, 75 ได้เป็น 225แสดงว่า n อาจเป็น 225, 225 × 2, 225 × 3,หรือ 225 × 4 ก็ได้(คือเป็น 225, 450, 675, หรือ 900)แต่ 7 หาร n แล้วต้องเหลือเศษ 3จึงพบว่า n ต้องเป็น 675 ตอบตอนที่ 2(1) ข้อ 1, 2, 4 ถูกต้องแล้ว (สามารถตรวจสอบได้จากแผนภาพ)ส่วนข้อ 3. ผิด เพราะ“(A ∪ B) − A = B ” ก็เมื่อ“A กับ B ไม่ซ้อนทับกัน”เท่านั้น (คือ A Bแต่ถ้า A กับ B มีส่วนที่ซ้อนทับกัน จะได้(A ∪ B) − A = B − Aตอบ ข้อ 3.∩ = ∅)(2) 1. m1= 3, m 2 = 32. m1=− 5, m 2 = 1/ 53(0) + 4(0) − 10 10d = = = 23 + 4 53.2 25 − ( −5) 10d = = = 2 51 + 2 54.2 2(3) หารสังเคราะห์AA2Bตอบ ข้อ 4.−1 9 12 1 −2−9 −3 29 3 −22∴จากโจทย์แยกได้ (x + 1)(9x + 3x − 2) = 0− 3 ± 9 + 72x =18− 3 ± 9 1 2,18 3 3⎧ 1 2⎫⎨−1, , − ⎬⎩ 3 3⎭คําตอบที่เหลือ คือ= = − (ใช้วิธีแยกตัวประกอบก็ได้)∴ ตอบB(4) ก. ถูก ตามนิยาม(1) ลิมิต h → 0 จะมีได้ก็เมื่อลิมิต h → 0 + กับ h → 0 − ต้องเท่ากันf(x + h) − f(x)(2) lim= f(x) ′h→0ข. ผิด จากyh1f(x)1′ =− ⋅ f(x) ′f(x)f(a) ′=−f(a)= จะได้ y2จึงต้องตอบว่าความชัน2ตอบ ข้อ 2.2(5) y = 4 − x2มีกราฟเป็นรูปครึ่งวงกลมรัศมี 2 หน่วย ดังนี้-2 O 222∴ ∫ 4 − x dx = พื้นที่ครึ่งวงกลม−21= = ≈22π(2) 2π 6.28 ตอบ ข้อ 4.(6) จาก (p ∧ s) →r ≡ F แสดงว่า p, s จริง, r เท็จและจาก (p →~ q) ∨ r ≡ T แสดงว่า q เท็จ∴ ตอบ ข้อ 1. p → q ≡ F(7) ก. ถูก เช่น m = 10, n =− 7ข. ถูก เพราะ ~ ∀x∃y[P ∧ Q] ≡ ∃x∀y[~P ∨ ~Q]ตอบ ข้อ 1.2 2 2 2sin 3A cos A − cos 3A sin A(8)= 22 2sin A cos A(s3A cA − c3A sA)(s3A cA + c3A sA))→ = 22(sin A cos A)(sin 2A)(sin 4A) 2→ = (เติม 2 กับ 4 เอง)(2 sin A cos A)(sin2A)(2 sin2A cos2A) 2→ =2(sin 2A)4ดังนั้นcos 2A1424= ตอบ(9) tan(arccos x) =− 3แสดงว่า arccos x = 120° และ1x =−21∴ x sin(2 arccos x) =− sin 240°21 3 3= ( − )( − ) = ตอบ2 2 4(10) ก. ผิด ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนเต็มทุกตัวคําตอบที่เป็นเชิงซ้อนจะต้องเป็นสังยุคของกันข. ถูก จากสมบัติว่า + Δ < + Δ เสมอ6 6⎛1+ 3i⎞ ⎛1−3i⎞6 6∴ +

คณิตศาสตร O-NET / A-NET539ขอสอบเขาฯ มี.ค.482(11) log(log x ⋅(9 − log x )) > 12→ log x ⋅(9 − log x ) > 10ให้ log x = A จะได้2A (9 −2A) > 10 → 2A − 9A + 10 < 0→ (2A − 5)(A − 2) < 0 → 2 < A < 5/22< < <

คณิตศาสตร O-NET / A-NET540ขอสอบเขาฯ มี.ค.48(22) คะแนนซึ่งห่างจาก X อยู่เท่ากับ sคือค่า z =± 1 ดังรูป(เพราะ x = X ± sทําให้ z =± 1 จากA Ax Xสมการ z−= )sโจทย์ต้องการจํานวนคนในบริเวณที่แรเงาเนื่องจากพื้นที่ A = 0.3413ดังนั้น ส่วนที่แรเงา = 1 − 0.6826 = 0.3174คิดเป็นจํานวนคน = 0.3174 × 20,000= 6,348 คน ตอบ-1 0 1 z(23) เขียนเป็นตารางได้ดังนี้คะแนน f สัมพัทธ์ CF สัมพัทธ์30 – 39 0.025 0.02540 – 49 0.050 0.07550 – 59 0.075 0.15060 – 69 0.350 0.50070 – 79 0.375 0.87580 – 89 0.075 0.95090 – 99 0.050 1.000ข้อ 1. 50 − 79 มี (0.075 + 0.35 + 0.375) × 80= 64 คน และ 90 ขึ้นไป มี 0.05 × 80 = 4 คนดังนั้นข้อนี้ผิดข้อ 2. 0.05 คือร้อยละ 5 ดังนั้นข้อนี้ผิดข้อ 3. ความถี่สะสมที่ 0.250อยู่ในช่วง 60 − 69 ถูกข้อ 4. ความถี่สะสมที่ 0.750อยู่ในช่วง 70 − 79 ดังนั้นข้อนี้ผิดตอบ ข้อ 3.(24) หาจุดตัดแกน x (ให้ y = 0) จะได้2 − 2a ± 4a − 4cx + 2ax + c = 0 → x =2โจทย์ว่าไม่มีจุดตัดแกน x เลย2แสดงว่าในรู้ทติดลบ นั่นคือ 4a2→ a < c< 4cต่อมาหาจุดตัดแกน y (ให้ x = 0) จะได้2 − 2b ± 4b − 4cy + 2by + c = 0 → y =2โจทย์ว่ามี 2 จุด แสดงว่าถอดรู้ทได้สองค่าตามปกติ22นั่นคือ 4b > 4c → b > c ตอบ ข้อ 3.(หมายเหตุ ถ้าโจทย์บอกว่า “สัมผัส” คือตัด 1 จุด2จะแปลว่าในรู้ทเป็น 0 พอดี คือ 4b 4c22= )(25) ให้ m = 49 + a เมื่อ a = 1,2,3, … ,513 3 2 2 3เราพบว่า (49 + a) = 49 + 3(49) a + 3(49)a + aนั้นสามพจน์แรกหาร 7 ลงตัว (เพราะมี 49 คูณอยู่)3แสดงว่า เศษเกิดจากพจน์สุดท้าย (a ) เท่านั้นดังนั้นข้อนี้เราสามารถนับจํานวนได้จาก3 3 3 3 31,2,3,4, … ,51 (ลดทอนตัวเลขลง)ซึ่งเริ่มไล่จาก 1 3 ÷ 7 ได้เศษ 1332 ÷ 7 ได้เศษ 1 3 ÷ 7 ได้เศษ 6334 ÷ 7 ได้เศษ 1 5 ÷ 7 ได้เศษ 636 ÷ 7 ได้เศษ 6 และ 7 3 ÷ 7 ลงตัว (เศษ 0)สําหรับ 8,9, 3 3 … ,513 นั้น สามารถลดทอนลงได้ด้วยเหตุเดิมคือ 8 3 = (7 + 1)3 จึงได้เศษเหมือน 133 3... 9 = (7 + 2) จึงได้เศษเหมือน 2 3 ... ฯลฯ3 3วนไปจนถึง 51 = (49 + 2)จะพบว่าได้เศษเป็น 6 อยู่ชุดละ 3 ตัว รวม 7 ชุดตอบ 21 จํานวนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET541สถิติคะแนนสอบฯÊiµi¤aæ¹¹Êoº ¤³iµÈÒÊµÃ 1ที่มา : http://www.entrance.mis.mua.go.th และ http://www.entrance.co.th/newentinfo/stat/stat.aspสถิติที่ให้มาในตารางนี้ สําหรับผู้ที่ต้องการประเมินตนเองก่อนถึงการสอบจริงโดยทดลองทําข้อสอบฉบับเก่าๆคะแนน 0-10(ต่ําสุด)ต.ค.41 4,495(0.00)มี.ค.42 1,141(3.00)ต.ค.42 5,884(0.00)มี.ค.43 2,464(0.00)ต.ค.43 6,958(2.00)มี.ค.44 1,866(3.00)ต.ค.44 5,341(2.00)มี.ค.45 3,733(3.00)ต.ค.45 3,805(2.00)มี.ค.46 2,589(0.00)ต.ค.46 1,508(3.00)มี.ค.47 3,636(0.00)ต.ค.47 930(5.00)มี.ค.48 3,758(0.00)11-20 21-30(เฉลี่ย)31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100(สูงสุด)40,972 61,452 25,434 6,044 1,867 621 243 74 30(25.28)(100.00)21,383 52,528 31,526 8,711 2,684 1,015 368 105 15(28.77)(100.00)46,996 65,383 25,631 5,766 1,611 582 211 62 13(24.58)(97.00)25,754 50,432 29,863 10,149 3,720 1,481 628 181 46(28.73)(100.00)53,464 71,551 22,916 6,543 2,445 1,138 570 255 57(24.46)(98.00)24,474 53,865 25,366 9,860 4,107 2,045 1,010 541 177(29.23)(100.00)47,058 77,649 21,070 6,007 2,271 1,011 412 128 43(24.66)(100.00)34,141 58,352 18,501 6,493 2,472 858 203 50 1(25.48)(92.00)43,527 85,139 25,799 5,564 1,370 384 96 14 3(24.91)(95.00)32,096 59,202 22,551 6,324 2,199 836 310 70 13(26.20)(97.00)31,938 86,787 34,843 8,895 2,443 858 287 79 9(27.26)(97.00)34,317 61,414 16,976 4,458 1,416 492 139 36 5(24.61)(94.00)49,375 74,967 31,154 4,606 917 364 120 16 7(25.48)33,629 51,122 20,145 6,317 2,264 970 323(97.00)87 24(25.76)(100.00)รวม(SD)141,232(9.74)119,476(10.20)152,139(9.51)124,718(11.49)165,897(10.64)123,311(12.64)160,990(10.01)124,804(10.31)165,701(8.61)126,190(10.05)167,647(9.23)122,889(9.26)162,456(7.87)118,639(10.70)ข้อสังเกต คะแนนต่ําสุดน่าจะเป็น 0 คะแนนทุกครั้ง (น่าจะมีผู้ไม่เข้าสอบอย่างน้อย 1 คน) ส่วนครั้งที่เป็น 2, 3, หรือ 5 คะแนน เป็นเพราะมีข้อที่โจทย์ผิดและได้คะแนนฟรีทุกคน ... คะแนนสูงสุดฉบับแรกๆ มีผู้ได้ถึง 100 คะแนนเต็ม แต่ในช่วงหลังนี้ไม่มีเลย และจํานวนผู้ที่ได้เกิน 80 คะแนนขึ้นไปก็ลดลงมาก (เพราะมีบางบทเรียนซึ่งข้อสอบยากจนไม่น่ามีใครคิดได้ทัน) สังเกตให้ดี ปี 2545 คะแนนออกมาต่ําที่สุด (แม้จะได้บวกคะแนนฟรีก็ตาม) ... มองภาพรวมของสถิติและตัวข้อสอบ ตลอดปี 2546 ข้อสอบง่ายลงกว่า 2545 และมาถึง มี.ค.47 ก็ยากขึ้นอีกเล็กน้อย ส่วน ต.ค.47 และ มี.ค.48 ข้อสอบเปลี่ยนแนวไปทําให้หลายคนว่ายากขึ้นมาก ส่วนตัวผมว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหา แต่อาจารย์กวดวิชาคงลําบาก เพราะนักเรียนที่จะทําข้อสอบแบบนี้ได้ถูก ต้องรู้ลึกและแม่นจริงครับ การขยันเรียนที่โรงเรียนมาตลอดน่าจะได้ผลมากกว่ากวดวิชาข้อสังเกตนี้เป็นเพียง “ความเห็นส่วนตัว” ซึ่งวิเคราะห์จากสถิติและโจทย์ข้อสอบเก่าเท่านั้น อาจจะวิเคราะห์ผิดก็ได้ ไม่ควรยึดถือว่าต้องเป็นไปตามนี้จริง ... ขยันฝึกทําโจทย์และทดลองจับเวลา จนกว่าจะได้คะแนนอยู่ตัวในระดับที่หวังไว้ ดีที่สุดครับ ... ฝากทิ้งท้ายว่า “อย่าเอาสถิติมาบั่นทอนกําลังใจตัวเอง แต่เอาไว้เป็นเป้าหมายถึงจะดี :]”Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET542ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)¢oÊoºe¢ÒÏ ¾×é¹°Ò¹ÇiÈÇa 32-41e©¾Òa¢o·Õèe» ¹¤³iµÈÒÊµÃข้อสอบทุกข้อเป็นแบบปรนัย ข้อละ 2 คะแนนปี 25321. จงหาพื้นที่ของระนาบ กขค บนแกน xyz ดังแสดงในรูปกําหนดให้ระยะ กค = 10 เมตร ระยะ งข = 4 เมตร และระยะงจ = 3 เมตร ขจ ตั้งได้ฉากกับฐาน กค1. 15 ตร.ม. 2. 20 ตร.ม.3. 25 ตร.ม. 4. 50 ตร.ม.z2. ขึงลวดสลิงเป็นรูปพาราโบลา โดยมีช่วงยาวระหว่างปลายทั้งสองข้าง กข = 4.0 เมตรyกค2.0 2.04.0ข1.03. y เป็นฟังก์ชันของ x ซึ่งมีกราฟแสดงความสัมพันธ์ได้ดังรูป ต้องการทราบว่าค่าอนุพันธ์ dy/dx มีค่าเท่าไร1. − 42. − 23. 2 4. 4x40-4คขy4ง3(1,4)จ 10ลวดสลิงตกท้องช้างที่กลางช่วงจุด ค 1.0 เมตรจงหาสมการความสัมพันธ์ของรูปลวดสลิง1. y = x22. y = x − 323. y = (x + x )/ 24. y =2x − x /4y1 2 3ก(3,-4)4. สมการการสลายตัวของธาตุกัมมันตรังสี N = N0e −λt สามารถเขียนให้อยู่ในรูปลอการิทึมฐาน eได้เป็น ln N = −λ t + ln N0ให้หาว่ากราฟรูปใดแสดงความสัมพันธ์ของการสลายตัวนี้1. ln N 2. ln N 3. ln N 4. ln Nxxt5. พาราโบลาที่มีเส้นตรง y = − 2 เป็นไดเรกตริกซ์ และจุด (0, 0) เป็นโฟกัส จะผ่านจุดใด1. (0, 0) 2. (0, − 1) 3. (0, 1) 4. (0, − 2)tttMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET543ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)6. จงหาโคออร์ดิเนตของจุดตัดระหว่างกราฟเส้นตรง1. (2, 4) 2. 3 ( ,4)21y x 323. ( 4 , 11 )3 3= + กับ y = 2x + 14. 5 11 ( , )4 47. กลุ่มตัวเลขต่อไปนี้ กลุ่มใดมีทั้งพิสัยต่ําสุดและฐานนิยมสูงสุดกลุ่มที่ 1 1, 5, 7, 6, 5 กลุ่มที่ 2 2, 3, 6, 6, 4กลุ่มที่ 3 2, 7, 4, 7, 3 กลุ่มที่ 4 3, 6, 7, 7, 41. กลุ่มที่ 1 2. กลุ่มที่ 2 3. กลุ่มที่ 3 4. กลุ่มที่ 48. เส้นโค้งสองเส้นต่อไปนี้ มีความชันเท่ากันเมื่อ x มีค่าเท่าใด23y = 3x − 3x + 1 และ y = x + 11. 0 2. 1 3. 2 4. 39. มีเส้นคู่ขนานสองเส้นคือ x − y + 5 = 0 และ x − y − 5 = 0ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นนี้จะเป็นเท่าใด1. 10 2 2. 10/ 2 3. 2/10 4. 10/210. ความสัมพันธ์ระหว่างต้นทุนการผลิตเครื่องจักรต่อเครื่อง กับจํานวนการผลิตเป็นดังนี้จํานวนการผลิต x (เครื่อง) 1 2 3 4ต้นทุนต่อเครื่อง y (หน่วย 100 บาท) 65 35 25 20ถ้านําข้อมูลไปหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน จะได้ความสัมพันธ์แบบใด21. y = ax 2. y = ax + ba3. y =24. y11. สมการ 1 = B x + A เขียนเป็นกราฟได้ดังรูป จงหาค่า By A1. B = tanθ 2. Btan θ=RO3. B = RO tanθ 4. B = PO ROปี 2533PθOx12. คนงาน 4 คน ได้รับมอบหมายให้ทําชิ้นงานที่เหมือนๆ กันนาย ก ทํา 4 ชิ้น ใช้เวลาทํา 32 นาที ทํา 6 ชิ้น ใช้เวลาทํา 24 นาทีนาย ขนาย ค ทํา 4 ชิ้น ใช้เวลาทํา 24 นาที นาย ง ทํา 7 ชิ้น ใช้เวลาทํา 28 นาทีหากให้คนงานทั้ง 4 คนนี้ทํางานร่วมกันเป็นทีมในเวลา 5 ชั่วโมง จะได้ชิ้นงานรวมกี่ชิ้น1. 233 ชิ้น 2. 237 ชิ้น 3. 250 ชิ้น 4. 300 ชิ้น13. ในการสร้างอาคารสูงหลังหนึ่ง เสียค่าใช้จ่ายคงที่เป็น 450 เท่าของค่าก่อสร้างอาคารชั้นแรกโดยค่าก่อสร้างชั้นต่อๆ ไปมีค่าเป็น 2, 3, 4, ... เท่าของชั้นแรก ตามลําดับ จะต้องสร้างอาคารนี้สูงกี่ชั้นจึงจะเสียค่าใช้จ่ายเฉลี่ยต่อชั้นน้อยที่สุด1. 30 ชั้น 2. 34 ชั้น 3. 39 ชั้น 4. 42 ชั้น14. ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม มีค่าเท่ากับ 180 ° , 360° และ540° ตามลําดับ จงหาว่าผลรวมของมุมภายในของรูปยี่สิบเหลี่ยมมีค่าเท่าไร1. 2160° 2. 2700° 3. 3240° 4. 3780°x1/yRa= + bxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET544ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)15. นักศึกษา 110 คน แต่ละคนต้องเลือกเรียนวิชาฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ และภาษาอังกฤษ อย่างน้อยหนึ่งวิชา นักศึกษาเลือกเรียนวิชาฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ และภาษาอังกฤษ เป็นจํานวน 80, 60 และ40 คน ตามลําดับ ในจํานวนดังกล่าวนี้มีนักศึกษาที่เลือกเรียนทั้งสามวิชาเป็นจํานวน 10 คน เลือกเรียนวิชาฟิสิกส์อย่างเดียว 20 คน เลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดียว 30 คน และนักศึกษาที่เลือกเรียนภาษาอังกฤษทุกคนจะเลือกเรียนวิชาฟิสิกส์ด้วย จงหาความน่าจะเป็นที่นักศึกษาเลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์หรือภาษาอังกฤษ1. 7/11 2. 8/11 3. 9/11 4. 10/1116. เครื่องบินเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในแนวระดับ ผ่านเหนือเจดีย์ด้วยความเร็วคงที่ 450V = 450 ก.ม./ชม.Aกิโลเมตร/ชั่วโมง เมื่อถึงตําแหน่ง A นักบินมองเห็น30° 60° ยอดเจดีย์เป็นมุมก้มเท่ากับ 30° กับแนวราบ หลังจากนั้นอีก 20 วินาที นักบินมองเห็นยอดเจดีย์เป็นมุมก้ม 60° กับแนวราบ จงหาว่าเครื่องบินลํานี้บินสูงจากยอดเจดีย์เท่าไร1. 1250 เมตร 2. 1250 3 เมตรเจดีย์3. 2500 เมตร 4. 2500 3 เมตร17. วงกลมรัศมี r เมตร สองวง แต่ละวงมีจุดศูนย์กลางตั้งอยู่บนเส้นรอบวงของอีกวงหนึ่ง พื้นที่ร่วมกันระหว่างวงกลมทั้งสองจะมีค่าโดยประมาณใกล้เคียงที่สุดเท่ากับ1.21.00 r ตารางเมตร 2.21.23 r ตารางเมตร1.73 r ตารางเมตร223. 1.41r ตารางเมตร 4.18. ทิศทางของเวกเตอร์ Ã , B˜ และ D˜ ดังแสดงในรูป กําหนดให้˜ ˜ ˜C = A + BขนาดของÃ = 20 หน่วย = 2 เท่าของขนาดของ B˜˜และขนาดของ˜D = 20 3 หน่วย˜B 30°ÃD จงคํานวณหาขนาดของ ˜ D − ˜ C60°1. 10 3 หน่วย 2. 15 หน่วย3. 20 3 หน่วย 4. 30 หน่วยz9 เมตรAB y30°19. ต้องการเดินท่อจากตําแหน่ง B ไปยัง O ในแนวเส้นทแยงมุม OB ของรูปปริซึม ท่อจะมีความยาวเท่าไรกําหนดให้ AB ทํามุม 30° กับ OB1. 17.319 เมตร 2. 17.414 เมตร3. 17.732 เมตร 4. 17.886 เมตรO12 เมตรx20. จงหาระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดตัดของเส้นตรง y = x − 5 กับเส้นตรง y = −2x − 5 ไปยังแนว3ของเส้นตรง y = − x + 341. 3/5 2. 8/5 3. 27/5 4. 32/5rrMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET545ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)21. คะแนนสอบของวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม มีการแจกแจงปกติ โดยผู้ได้คะแนนตั้งแต่ 61 – 70คะแนน มีอยู่ 13.6% ส่วนผู้ที่ได้คะแนนเท่ากับหรือต่ํากว่า 60 คะแนน มีอยู่ 84.13%กําหนดให้ 0 < ค่ามาตรฐาน < 1 มีพื้นที่ใต้โค้ง = 0.34130 < ค่ามาตรฐาน < 2 มีพื้นที่ใต้โค้ง = 0.4773ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของวิชา มีค่าเป็นเท่าไร1. X = 40, σ = 102. X = 40, σ = 153. X = 50, σ = 104. X = 50, σ = 1522. สมการ log 16x + log 4 x + log2x = 7 ค่าของ x จากสมการนี้จะเท่ากับ1. 4 2. 8 3. 14 4. 1623. แนวถนนตรงสองสายตัดกันเป็นมุม 60° ที่จุด คหากต้องการสร้างถนนใหม่เป็นแนวโค้งเชื่อมต่อแนวถนนเดิมโดยใส่ส่วนโค้งของวงกลมรัศมี 510 เมตร ดังรูป ระยะที่สั้นที่สุดจากจุดตัดเดิมไปยังแนวถนนใหม่นี้จะมีค่าประมาณเท่าไร1. 60 เมตร 2. 80 เมตร3. 100 เมตร 4. 120 เมตรแนวถนนเดิมค60°แนวถนนใหม่R = 510 เมตรแนวถนนเดิม24. ขึงเชือกให้เป็นรูปพาราโบลาระหว่างจุด A และ B ระยะห่าง 10 เมตร และระยะหย่อนyต่ําสุดที่กึ่งกลาง ณ จุด C เป็น 1 เมตร5 เมตรให้หาระยะหย่อนของเชือกที่จุด D2 เมตร1. 12/25 เมตร 2. 14/25 เมตรA D C Bx 3. 16/25 เมตร 4. 20/25 เมตร1 เมตร10 เมตรf 1 (x)525. กราฟของฟังก์ชัน4f(x) 1 และ f(x)มีดังแสดงในรูป23ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากัน เมื่อ x มีค่า ... 21. x = 1.512. x = 3.0xf 2 (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 93. x = 5.54. x = 7.55432126. ต้องการสร้างถังเก็บน้ําทรงกระบอก ให้สามารถจุxปริมาตรได้เท่ากับ 1 2 3 4 5 6 7 8 916 π ลูกบาศก์เมตร จงหาว่าขนาดของถังใบนี้มีค่าเป็นเท่าไร จึงทําให้พื้นที่ผิวของน้ํามัน(รวมพื้นที่ฝาและฐาน) มีค่าน้อยที่สุดRให้ R เป็นขนาดความยาวรัศมีของถังและ h เป็นขนาดความสูงของถัง1. R = 1.59 เมตร, h = 6.35 เมตรh 2. R = 2 เมตร, h = 4 เมตร3. R = 2.52 เมตร, h = 2.52 เมตร4. R = 2.83 เมตร, h = 2 เมตรMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET546ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)27. เซตคําตอบของสมการ4 3 22x 3x 2x 1 0+ + − = คือ1.3.1{ −1, , − 1+ 3 i, 1− 3 i} 2.21 1 3 1 3{ −1, , − i, + i} 4.2 2 2 2 21 1 3 1 3{ −1, , − + i, − − i}2 2 2 2 21{ − 1, , 2 + 3 i, − 2 − 3 i}2ปี 253428. สมการจํานวนเชิงซ้อนπ3x+ 4yi = 2(cos + i1 π 2sin )ฉะนั้นค่าของ x จากสมการนี้จะเท่ากับ1. 2 − 23 22. 23 24 2 4โดยที่ i = − 13. 1 + 2 4. 1 2 3 2629. ในการวางท่อน้ําประปาจากจุด A ไปจุด B ตามรูปข้างล่างนี้ ค่าใช้จ่ายในการวางท่อขนานกับถนนเท่ากับ 100 บาทต่อเมตร และเท่ากับ 200 บาทBต่อเมตรเมื่อวางท่อข้ามถนน เพื่อให้เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุดจงหาระยะ AP ซึ่งท่อน้ําเริ่มเลี้ยวข้ามถนนถนนกว้าง 15 ม.A P1. 85.5 เมตร 2. 91.4 เมตร100 ม.3. 95.7 เมตร 4. 100 เมตร30. ในการทดลองอบแห้งพืชชนิดหนึ่งโดยการวัดน้ําหนักของพืช (M ) และเวลาที่ใช้ในการอบแห้ง( t ) ได้ข้อมูลดังต่อไปนี้เวลา (ชั่วโมง) 0 10 20 30 40น้ําหนักพืช (กรัม) 99 36 15 5 2จงหาสมการที่จะแสดงความสัมพันธ์ระหว่างน้ําหนักพืชและเวลาที่ใช้ในการอบแห้ง ที่ดีที่สุด1. M =0.1 t100 − e −0.1 t2. M = 100 − e0.1 t3. M 100e −0.1 t= 4. M = 100e31. แรงดันไฟฟ้า e = 100sinθ โวลต์, กระแสไฟฟ้า i = 10sin( θ− 60 ° ) แอมแปร์กําลังไฟฟ้า P เท่ากับผลคูณของ e และ i กําลังไฟฟ้าสูงสุดจะมีค่าเท่าใด1. 750 วัตต์ 2. 1000 วัตต์ 3. 500 วัตต์ 4. 250 วัตต์32. จงหาค่า x ที่ทําให้เมตริกซ์⎡ 1 2 −1⎤A = ⎢−2 x −2⎥⎢ ⎥⎣ 1 −2 1 ⎦เป็นซิงกูลาร์เมตริกซ์1. 4 2. 2 3. 1 4. 033. โดมรูปครึ่งทรงกลม มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว50 เมตร ตัดยอดออกในแนวราบที่ระดับ 20 เมตรจากฐาน จงหาพื้นที่ของวงกลมส่วนที่ตัด1. 225 π / 4 ตารางเมตร2. 225π ตารางเมตร3. 400π ตารางเมตร4. 500π ตารางเมตรr = 25 ม. r = 25 ม.20 ม.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET547ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)34. จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ (1, 1), ( −1, − 1) และ ( − 4,2) บนระนาบ x และ y จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้1. 6.5 ตารางหน่วย 2. 5 ตารางหน่วย3. 6 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหน่วย35. จงหาค่าของ x เมื่อ log (5x + 10) = log (3x − 2) + 11. 0.8 2. 0.4 3. 1.2 4. − 6ปี 253536. ช่างสํารวจได้ทําการจดข้อมูลการวัดดังนี้คือ AB ยาว 60 เมตร โดยแนว AB ขนานกับริมฝั่งแม่น้ํา มีระยะห่าง 5 เมตร จุด C อยู่ห่างจากริมฝั่งอีกข้างหนึ่งเท่ากับ 12 เมตร ถ้าช่างวัดขนาดของมุม BAC และ CBA ได้ 75 องศา และ 45 องศา ตามลําดับ จงหาว่าแม่น้ําสายนี้กว้างเท่าใด C3 + 112 เมตร(กําหนดว่า sin 75° = )ทิศการไหล75° 45°A237. ถ้า f(x) = x sin2x จงหา dfdxd(uv) u dv v duกําหนดให้dx dx dxและ d (sin 2x) = 2 cos 2xdx21. 2x cos 2x38. กําหนดให้3.22x cos 2x= + เมื่อ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x⎡2 1⎤A = ⎢ 0 3 ⎥⎣ ⎦จงหาค่าของ A T × (B × A)1.⎡14 12⎤⎢16 24⎥⎣ ⎦+ 2x sin 2x2. x 2 cos 2x+ x sin 2x4. x 2 cos 2xและ2.B⎡3 2⎤B = ⎢ 1 2 ⎥⎣ ⎦⎡12 18⎤⎢12 30⎥⎣ ⎦5 เมตร3.2 21. 18.49 เมตร 2. 30.32 เมตร3. 35.49 เมตร 4. 47.32 เมตร⎡21 27⎤⎢11 21⎥⎣ ⎦+ 2x sin 2x+ x sin 2x4.⎡20 18⎤⎢12 18⎥⎣ ⎦39. เด็กกลุ่มหนึ่งมี 5 คน สี่คนแรกมีอายุ 1, 4, 6 และ 8 ปี ตามลําดับ ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเด็กทั้ง 5 คน คือ 6 ปี ค่ากึ่งกลางพิสัยของอายุเด็กกลุ่มนี้คือ1. 4.5 ปี 2. 5.0 ปี 3. 6.0 ปี 4. 11.0 ปี40. ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนชั้นมัธยมปีที่ 4, 5 และ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็น 16,17 และ 18 ปี ตามลําดับ และจํานวนนักเรียนในแต่ละชั้นดังกล่าวเป็น 60, 50 และ 30 คนตามลําดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของอายุนักเรียนทั้งหมดคือ1. 16.5 ปี 2. 16.8 ปี 3. 17.0 ปี 4. 17.5 ปี241. ถ้า U(x) = x − 2.6 x + 1.5, 0 < x < 3 ค่าน้อยที่สุดของฟังก์ชัน U คือ1. − 0.23 2. − 0.19 3. − 0.15 4. 1.50Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET548ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)42. หน้าตัดส่วนหนึ่งของท่อรับอากาศเข้าของเครื่องบิน F-100 เป็นรูปวงรีที่มีโฟกัสอยู่ที่จุด (-4,-5)มีแกนเอกยาว 14 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-4,1) สมการของวงรีนี้คือ1.3.2 22 2(x + 4) (y − 1)(x + 4) (y − 1)+ = 12. + = 149 2513 492 2(x + 4) (y − 1)+ = 14. ไม่มีคําตอบที่ถูกต้อง25 1343. กําหนดให้ เมื่อ x = 0, v = 1dv 2และเมื่อ= ax + 3 จงหา v(x)dx1.3x2dv d ⎛dv⎞x = 1, = 62 ⎜ ⎟ =dx dx ⎝dx⎠3x 13 + + 2. x 3 + 3x + 13.32x 3x 1+ + 4.33x + 3x + 144. กําหนดให้ A = {a,b,c} จงเลือกข้อความที่ถูกต้อง1. a ⊂ A 2. A ⊂ {b,c} 3. ∅ ⊂ A 4. {b} ∈ A45. กําหนดให้ A = 1+ 2i, B = 2+ 3i, C = 3+4iจงหาค่าของ (B+ C) CAโดยที่ B คือสังยุคของ B และ C คือค่าสัมบูรณ์ของ C1. 6 − 8i 2. 7 − 9i 3. 6 + 8i 4. 7 + 9i46. เส้นโค้งเส้นหนึ่งผ่านจุด (2, a) และ (1, 1) ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ที่จุด (x, y) ใดๆ2เป็น 3x − 2 จงหาค่าของ a1. 2 2. 4 3. 6 4. 847. แผงรับแสงอาทิตย์ประกอบด้วยกระจกสะท้อนแสงรูปพาราโบลา ที่เขียนได้เป็นสมการ2x − 12y − 6x = 3 พื้นผิวนี้จะมี1. โฟกัสที่ (2, 3) จุดยอดที่ ( − 1,3) และไดเรกตริกซ์ x = − 448. ถ้า2. โฟกัสที่ (2, 3) จุดยอดที่ (1, − 3) และไดเรกตริกซ์ x = 43. โฟกัสที่ (3, 2) จุดยอดที่ (3, 1) และไดเรกตริกซ์ y = 44. โฟกัสที่ (3, 2) จุดยอดที่ (3, − 1) และไดเรกตริกซ์ y = − 41log x log a log b36= − และกําหนดให้ a = 27b อยากทราบว่า x มีค่าเป็นเท่าไร251. 3b 2. 3 3 b 3. b(3b − 1) 4. 9b49. ท่อน้ําในโรงงานแห่งหนึ่งวางเอียงและเขียนเป็นสมการได้7y − 4 = (x − 3)5จากจุด P(9,12) ต้องการดึงเชือกไปผูกกับท่อที่ P 1 โดยให้เชือกทํามุมฉากกับท่อ ความยาว PP 1ของเส้นเชือกคือ1.2372.2373.2374. 2 37Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET549ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)50. เวกเตอร์สองเวกเตอร์ซึ่งมีขนาด 8 หน่วย และ 12 3หน่วย ทํามุมกับแกนระบบพิกัดฉาก 30 องศา และ 60 องศาดังรูป จะต้องใช้เวกเตอร์ใดมารวมกับเวกเตอร์ทั้งสอง ทําให้ได้เวกเตอร์ลัพธ์เป็นศูนย์1. −(10 3) i − 22 j 2. −(2 3) i − 14 j3. (10 3) i + 22 j 4. (2 3) i + 14 j60°12 3 หน่วยy30°8 หน่วยxปี 253651. จากการศึกษาอายุการใช้งานของเครื่องยนต์เล็กชนิดเดียวกัน 3 ยี่ห้อ ยี่ห้อแรกศึกษามาจาก 22เครื่อง ได้อายุเฉลี่ย 12 ปี ยี่ห้อที่สอง 8 เครื่อง อายุเฉลี่ยรวมของทั้งสองยี่ห้อ 13.6 ปี ส่วนยี่ห้อที่สามจําไม่ได้ว่ากี่เครื่อง แต่มีอายุเฉลี่ย 16 ปี ถ้าอายุเฉลี่ยรวมของทั้งสามยี่ห้อเป็น 14.2 ปี จงหาจํานวนเครื่องของยี่ห้อที่สาม1. 10 เครื่อง 2. 14 เครื่อง 3. 15 เครื่อง 4. 18 เครื่อง52. ถ้า (x − y i)(2 + i) = 7 + 4 i เมื่อ x และ y เป็นจํานวนจริง จงหาว่า x + 2y มีค่าเท่าใด1.31 2.522 3.313 4.553. รถยนต์คันหนึ่งแล่นในแนวเส้นตรง เริ่มออกแล่นในช่วง 12 วินาทีแรกด้วยสมการความเร็ว2 2 2v = 6 −(t − 6) เมื่อ v = ความเร็ว (เมตรต่อวินาที) t = เวลา (วินาที) หลังจากสิ้นวินาทีที่12 รถยนต์เร่งเครื่องด้วยอัตราเร่งคงตัวจนกระทั่งมีความเร็วเป็น 5π เมตรต่อวินาที ภายใน 4วินาที ระยะทางทั้งหมดที่รถแล่นได้มีค่าเท่าใด1. 18π เมตร 2. 26π เมตร 3. 28π เมตร 4. 46π เมตร54. จานรับสัญญาณดาวเทียมถูกออกแบบให้เป็นโค้งพาราโบลาดังรูป โดยสัญญาณจะมารวมกันที่จุดโฟกัสสมการและค่าโฟกัสของจานใบนี้คือY (cm)421. 600y =27x โฟกัสคือ 21.43 cm22. 600x = 7y โฟกัสคือ 21.43 cm12023. 147y = 5x โฟกัสคือ 7.35 cmF24. 147x = 5y โฟกัสคือ 7.35 cmX (cm)55. ถ้าและกําหนดให้log x =1log a − 2 log b + 2 log c3a98b3c= ดังนั้น x จะมีค่าเท่าใด1. 2bc 2. 2 bc3. 2b c56. เสี้ยว 1/4 ของวงกลมดังรูป แสดงตําแหน่งของจุดโคออร์ดิเนตดังนี้A(3,11), B(3, − 2) , C(16, − 2) และ D(8,10)สมการของเส้นตรงที่สัมผัสกับเสี้ยววงกลมที่จุด D คือ1. 5x − 12y = 148 2. 12x + 5y = 1463. 5x + 12y = 160 4. 6x + 11y = 158Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)yBA14 34. 2cbDCx

คณิตศาสตร O-NET / A-NET550ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)57. อุโมงค์รถไฟแห่งหนึ่ง ถูกออกแบบเป็นรูปครึ่งวงรีซึ่งมีฐานกว้าง 36 เมตร และสูง 12 เมตร ความสูงของอุโมงค์ที่ระยะทางห่างจากศูนย์กลางเท่ากับ 6 เมตร 12จะมีค่าเท่าใด1. 5 3 เมตร 2. 6 3 เมตร3. 7 2 เมตร 4. 8 2 เมตร58. จากเส้นโค้งปกติและเส้นโค้งปกติมาตรฐาน ดังรูปกําหนดให้ z =x1− x, z =x2− x, และพื้นที่ B 0.05B1s59. ฟังก์ชัน f(x) ของกราฟต่อไปนี้ คืออะไรx1. f(x) = 2 + x22. f(x) = 2x + 123. f(x) = x + x+13 24. f(x) = x − 2x + 3x + 1n60. กําหนดให้ f(x) ′ = x แล้วจะได้หาก2Ax1 x x 2z1=− 1.96 0 z2=1.962s18161412108642f(x)0 1 2 3120636xX (cm)= อยากทราบว่าพื้นที่ A ซึ่งอยู่ระหว่าง x 1 และ x 2 มีค่าเท่าใด1. 0.90 2. 0.953. 0.96 4. 0.99n+1xf(x) = + cn+14f(x) ′ = 3x − − 2 และ f(2) 82x= แล้วจงหาว่า c มีค่าเท่าใดโดยที่ n ≠ − 1 และ c เป็นค่าคงตัว ถ้า1. 2 2. 7/2 3. 11/2 4. 6y61. กําหนดเวกเตอร์ P˜ และ Q˜ ดังรูป ถ้าขนาดผลรวมของ ˜Qเวกเตอร์ทั้งสองในแนวแกน x และแกน y มีค่า 21 หน่วยและ 18 หน่วยตามลําดับ ขนาดของเวกเตอร์ P˜ ได้แก่1. 3 5 หน่วย 2. 5 5 หน่วย (-1,2)3. 8 5 หน่วย 4. 12 5 หน่วย(4,2) P˜062. เด็ก 4 คนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุ 5 ปี โดยที่เด็ก 3 คนมีอายุ 4.3, 5.3 และ 6.4 ปี พิสัยของอายุของเด็กทั้ง 4 คนนี้ มีค่าเท่าใด1. 0.7 ปี 2. 1.4 ปี 3. 2.1 ปี 4. 2.4 ปีxMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET551ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)63. ถ้า⎡3 x⎤⎡1 2 0⎤ ⎢5 71 y ⎥ ⎡ ⎤⎢1 0 2⎥ =⎢ ⎥ ⎢5 5⎥z 1 ⎣ ⎦แล้ว x + y − z จะมีค่าเท่าใด⎣ ⎦ ⎣ ⎦64. ถ้า1. 4 2. 5 3. 6 4. 73+ + + +y = limn →∞ 1 3 (n 1) 9n3− + + (n + 1)4 3n(2n 1) 9n (3n 1)จงหาว่า y มีค่าเท่าใด1. 1 2. 2 3. 3 4. 465. สุดายืนอยู่ทางทิศใต้ของเสาธง มองดูยอดเสาธงเป็นมุมเงย 60 องศา เมื่อสุดาเดินตรงไปทางทิศตะวันตกเป็นระยะทาง 10 เมตร มองดูยอดเสาธงเป็นมุมเงย 45 องศา จงหาว่าเสาธงสูงกว่าระดับสายตาของสุดากี่เมตร1. 7.1 เมตร 2. 10 เมตร 3. 12.2 เมตร 4. 23.7 เมตร366. ถ้า u = x − 3.63x + 1.362, 0 < x < 3 ค่าน้อยที่สุดของ u คืออะไร1. − 1.362 2. − 1.300 3. 1.100 4. 1.36267. บริษัทแห่งหนึ่งจําหน่ายสินค้า 3 ชนิด ต้องการเปรียบเทียบการขายของพนักงาน 4 คน โดยมีข้อมูลดังแสดงในจํานวนสินค้าที่ขายได้ตารางผู้ที่ขายเก่งที่สุดคือใคร พนักงานชนิดที่ 1 ชนิดที่ 2 ชนิดที่ 31. คนที่ 1คนที่ 18 5 92. คนที่ 2 คนที่ 27 7 83. คนที่ 3 คนที่ 38 8 64. คนที่ 4 คนที่ 48 9 5ค่าเฉลี่ยเลขคณิตส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน68. นาย ก, ข, ค และ ง ยืนอยู่ที่ตําแหน่ง (3, 5), (2, 4), (2, 3) และ (4, 2) ตามลําดับ โดยหน่วยเป็นกิโลเมตร ถ้าทั้งสี่คนออกเดินทางพร้อมกันตรงไปยังจุดหมาย จ ที่ (3, 10) ด้วยความเร็ว 25 ,38 , 49 และ 64 กิโลเมตรต่อชั่วโมงตามลําดับ ผู้ที่ไปถึงจุดหมายหลังสุดคือใคร1. นาย ก 2. นาย ข 3. นาย ค 4. นาย งปี 253769. ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนสูงของนักเรียนในโรงเรียนแห่งหนึ่งเป็น 165 เซนติเมตร โดยมีจํานวนนักเรียนทั้งสิ้น 200 คน ต่อมาปรากฏว่ามีนักเรียนซึ่งมีส่วนสูง 150 เซนติเมตร จํานวน 20คนได้ลาออกไป ถามว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนสูงของนักเรียนโรงเรียนนี้จะเป็นเท่าไร หลังจากนักเรียนกลุ่มดังกล่าวได้ลาออกไป1. 167.67 ซม. 2. 166.67 ซม. 3. 177.67 ซม. 4. 176.67 ซม.70. จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ u ⋅ n ระหว่างเวกเตอร์ u จากจุด A(6,4) ไปยังจุด B( −2, − 2) กับเวกเตอร์ n ซึ่งเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์จากจุด C( − 1,2)ไปยังจุด D(2,6)1. − 4.8 2. − 48 3. − 9.6 4. 9.6718172Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET552ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)71. AB และ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงเดียว ถ้าจุด A , B และ C มีพิกัดดังนี้A(5,1.732) A(5,1.732), B(3, − 1.732) และ C (2.268, 1)C(2.268,1)ให้หาพิกัดของจุด DB(3,-1.732)D1. (5.628, − 1) 2. (5.732, − 1)3. (6.628, − 1) 4. (6.732, − 1)72. จากการศึกษาถึงความสัมพันธ์ระหว่างแรงและความเร่ง ได้ข้อมูลดังนี้แรง (N) 1 2 3 4ความเร่ง (m/s 2 ) 0.1 0.2 0.6 0.8กําหนดให้วิเคราะห์ความสัมพันธ์ของแรง ( F) และความเร่ง ( a) ในเชิงสมการเส้นตรง จงทํานายค่าความเร่งเมื่อแรง F = 3.5 N1. 0.665 m/s 2 2. 0.675 m/s 2 3. 0.680 m/s 2 4. 0.700 m/s 2d(a ) ⎤=dx ⎢dx ⎥⎣ ⎦ ×dA ⎡ ij73. กําหนดนิยามดังนี้ เมื่อ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส n × n ใดๆ แล้วถ้า3 2⎡x x + x/2⎤A = ⎢2 x ⎥⎣⎦⎡1⎤B = ⎢ 2 ⎥⎣ ⎦⎡0⎤C = ⎢ 2 ⎥⎣ ⎦จงหาผลรวมของค่า x ที่สอดคล้องกับสมการ dA B Cdx ⋅ =1. 0 2. − 1/3 3. − 4/3 4. − 174. กําหนดให้ z คือจํานวนเชิงซ้อน โดยที่ z = x + yi จงหาความชันของเส้นโค้ง z − 1 = 2 ที่จุด (x, y) ใดๆ1.− 2. 1 − xyxy3. 1 + yx4. 1 − yx75. กําหนดให้ log 105 = A จงหาค่าของ 2 + log 101.251. A 2. 2A 3. 3A 4. 4A76. นาย ก และนาย ข ออกเดินทางจากจุดเริ่มต้นเดียวกัน นาย ก เดินด้วยความเร็ว 2 กิโลเมตรต่อชั่วโมง มุ่งหน้าไปทางทิศตะวันออกเฉียงไปทางเหนือเล็กน้อยเป็นมุม 30° กับทิศตะวันออก นายข เดินด้วยความเร็ว 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมงไปทางทิศใต้ เมื่อเวลาผ่านไป 90 นาที นาย ก และนายข จะอยู่ห่างกันเท่าใด1. 3 7 กม. 2. 3 3 กม. 3. 45 + 18 3 กม. 4. 45 − 18 3 กม.77. กําหนดให้ ÃB = 3 i + j และ ÃC = 2 i + 3 j จงหาขนาดของมุม BAC(กําหนด 1.3 = 1.14 )1. 30° 2. 38° 3. 45° 4. 60°78. กําหนดให้ M = 2x + 3y จงหาค่า M สูงสุดตามเงื่อนไขต่อไปนี้x + y > 4, 5x + 2.5y < 25 , 0 < x < 5 และ 0 < y < 51. 15 2. 20 3. 21 4. 25n nMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET553ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)79. จงหาขนาดของพื้นที่ทั้งหมดที่แรเงาในรูป1. 182. 363. 544. 7280. หากมีโปรแกรม 2 โปรแกรมสามารถสั่งให้คอมพิวเตอร์คํานวณเพื่อแก้ปัญหาชนิดเดียวกัน แต่ด้วยวิธีการที่ต่างกัน การเลือกโปรแกรมที่ดีกว่าควรดูความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลกับเวลาที่คอมพิวเตอร์ใช้ในการคํานวณ ถ้าจํานวนข้อมูลมากๆ แล้วใช้เวลาน้อยๆ ความสัมพันธ์นั้นจะชี้ให้เห็นว่าโปรแกรมหนึ่งดีกว่าอีกโปรแกรมหนึ่งกําหนดให้ f แทนความสัมพันธ์++n ∈ I แทนจํานวนข้อมูล, t ∈ R แทนเวลาที่ใช้คํานวณข้อใดต่อไปนี้เป็นข้อที่ถูกต้อง (ให้เปรียบเทียบด้วยจํานวนข้อมูลที่เท่ากัน)1. f = {(n,t)| t = n} ดีกว่า f = {(n,t)| t = 100}2. f {(n,t)| t n }3. f {(n,t)| t 100n 5}2= = ดีกว่า = =f {(n,t)| t log n }2= = + ดีกว่า = =n24. f = {(n,t)| t = 2 } ดีกว่า f = {(n,t)| t = n }81. กําหนดให้เมตริกซ์π⎡cos( ) sin( )⎤⎢−θ −θA2 2 ⎥= ⎢ ⎥⎢sin( −θ) cos( −θ)⎥⎣ 2 2 ⎦πy27f {(n,t)| t n }π π จะได้ det (A) มีค่าเท่ากับ1. cos 2θ 2. sin 2θ 3.πcos 2( )2 − θO-92y = x − 96x24. 1+ 2cos θ82. ข้อใดเป็นกราฟของ y = x + x1. y 2. y 3. y 4.yxxxx83. กําหนดนิยามและกําหนดให้ f(x) 1f(x) 3xd f(x)= e , f(x) 4 = lnxdx x=a= cos x, f(x) 2จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้ผิดdd1. f 1(x)f 2(x)dx x= 0.5 dx x=0.5dd3. f 1(x)f 3(x)dx x= 0.75 dx x=0.75คือการหาอนุพันธ์ของ f(x) เทียบกับ x แล้วแทนค่า x= arcsinx โดย 0 < f(x) 4 4x= cos π/4 x=cos π/6=aMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET554ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)84. ถ้า=n 34n + 2 + 9n (2n + 2)A limn →∞ 2n+1 5n3+ (n + 4)จงหาค่า A1. 0 2. ∞ 3. 1/2 4. 18/5y285. สมการของเส้นกราฟอยู่ในรูปแบบ y = ax + bx + c50โดย a, b, c เป็นค่าคงที่ จงหาค่าความชันของเส้นกราฟที่จุด x = 41. 11 2. 6.253. 5 4. 14ปี 253886. จงหาค่าของ1/5(0.0981) โดยอาศัยข้อมูลต่อไปนี้log(0.0981) = − 1.0083, log(9.81) = 0.9917log(6.280) = 0.7979 , log(6.285) = 0.79831. 0.6280 2. 0.6285 3. 0.6290 4. 0.629587. กําหนดให้จงหาค่าของf(x) =dydx =x 02x + 11−2x−1 3, g (x)= x และ y = (gf)(x)1. − 42. 0 3. 6 4. 1288. กําหนดให้เซต S {1,2,3,4,5}= ,⎡a b⎤A = ⎢ c d ⎥⎣ ⎦และเวกเตอร์ x = ad i + bc jถ้า P คือความน่าจะเป็นในการเลือกค่า a, b, c และ d จากเซต S โดยที่ค่าที่เลือกสามารถซ้ํากันได้ และให้ได้ det (A) > x จงหาว่าค่า P น่าจะอยู่ในช่วงคําตอบใด1. [0, 0.1] 2. [0.1, 0.5] 3. [0.5, 0.9] 4. [0.9, 1]89. จากการทดสอบมนุษย์หุ่นยนต์ Super Girl I เกี่ยวกับเวลาที่ใช้ในการวิ่ง และความเร็วในการวิ่งได้ผลการทดสอบดังนี้เวลาที่ใช้ในการวิ่ง (หน่วยเป็นวินาที) : x x 1 x 2 … x nความเร็วที่ใช้ในการวิ่ง (หน่วยเป็นเมตร/วินาที) : y y 1 y 2 … y nและ x = 53, y = 109 โดยที่สมการเส้นตรงซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลา ( x ) และความเร็ว ( y ) ผ่านจุด (1, 5) จงทํานายความเร็วของหุ่นยนต์ Super Girl I เมื่อเวลาวิ่งผ่านไป 20วินาที1. 43 m/s 2. 75 m/s 3. 89 m/s 4. 100 m/s90. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ผลรวมของรากคําตอบของอสมการ x − 6 + x + 4 > 6−x เท่ากับ 0xข. รากคําตอบที่เป็นจํานวนจริงของสมการ 3( x) = xมี 2 ค่า1. ข้อ ก ถูก ข้อ ข ผิด 2. ข้อ ก ผิด ข้อ ข ถูก3. ถูกทั้ง ก และ ข 4. ผิดทั้ง ก และ ข2010O5 8xMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET555ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)91. กําหนดให้ θ = arctan(3/4) จงหาค่าของ cos 2θ1. 0.28 2. 0.48 3. 0.56 4. 0.965 3 292. ถ้า f(x) = x + 9x −8x − 72 และ x = − 1+ i 3 เป็นรากคําตอบหนึ่งของสมการ f(x) = 0จงหาค่าผลรวมของรากคําตอบของสมการ f(x) = 01. 0 2. 1 3. 2 4. 4n93. ในระบบเลขฐาน 10 ที่ใช้กันในปัจจุบัน หลักของตัวเลขถูกกําหนดโดย 10 เมื่อ n = 1หมายถึงหลักหน่วย ( 1), เมื่อ n = 2 หมายถึงหลักสิบ ( 10) ฯลฯ และค่าตัวเลขในแต่ละหลักนั้น2 1 0คือผลคูณของค่าหลัก เช่น 215 = 2 × 10 + 1 × 10 + 5 × 10 ดังนั้นถ้าในระบบเลขฐาน 16 ซึ่งนิยมใช้ในการเขียนโปรแกรมสั่งงานคอมพิวเตอร์มีสัญลักษณ์ที่ใช้แทนคือ 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (โดยในที่นี้ A = 10, B = 11, ..., F = 15 ในเลขฐาน 10 ตามลําดับ)ดังนั้นตัวเลข 31B ในฐาน 16 จะมีค่าเทียบเท่ากับเลขฐาน 10 ในข้อใด1. 768 2. 779 3. 795 4. 80594. กําหนดให้λ ⎤λ = ⎢ ⎥⎦⎡ 0 1 ⎤A = และ ⎡ 0⎢ −2 −2⎥ I⎣ ⎦ ⎣0λจงหาค่าของ λ ซึ่งเป็นค่าคงที่ใดๆ จากสมการ det ( λI − A) = 01. − 2+ 2i, −2− 2i2. − 1+i, −1−i3. − 1+ 2i, −1− 2i4. − 2+ i, −2−i95. สมการในข้อใดที่เป็นสมการของเส้นกํากับ (Asymptotes)2 2ของสมการ 16y − 25x − 64y + 50x + 439 = 01.3.4y = ± (x − 1) − 252.5y = ± (x − 1) − 244.4y = ± (x − 1) + 255y = ± (x − 1) + 2496. ชาวนาคนหนึ่งมีลวดหนามยาว 80 เมตร หากต้องการใช้ล้อมรั้วที่ดินรูปสี่เหลี่ยม จํานวน 3 แปลง ดังรูป ถามว่าพื้นที่รวมมากที่สุดที่ชาวนาสามารถล้อมได้ เป็นเท่าไร1. 192 ตร.ม. 2. 200 ตร.ม. 3. 220 ตร.ม. 4. 234 ตร.ม.1397. กําหนดให้ (g f)(x) = และ f(x) = ln x + 2 จงหาค่าของ g(x) เมื่อ x < − 131.15 x −ln x + 32.12 x 5 −3.1x 1 +98. กําหนดให้ T = 25x + 22y จงหาค่า T สูงสุดที่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้4.θA(2,3)12 x 1 +x + y < 5, 3x + 2y < 12, 3x + 6y < 18 , x > 0 และ 0 < y < 21. 94 2. 100 3. 108 4. 12299. ถ้าเวกเตอร์ ˜yAC =ÃB +˜BCจงหามุม θ ระหว่างB(1,9)C(8,11)เวกเตอร์ ÃC กับ ÃD โดยจุด A, B, C และ D มีพิกัดตามรูป1 241. cos 251 223. cos 25− − 1 502. cos 50− − 1 434. cos 50Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)D(6,6)x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET556ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)⎡a a ⎤ b b ⎡c c ⎤⎢a 21 a ⎥ ⎢22 b21 b ⎥ ⎢22c21 c ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 22⎦11 12 ⎡ 11 12 ⎤11 12100. กําหนด A = , B = , C =Tจงหาค่า c ij ซึ่งเป็นสมาชิกของ C ในแถวที่ i และหลักที่ j เมื่อ C = (AB)1. ab j1 1i aj2b2i3. ab j1 1i ab i2 2j+ 2. ab i1 1j + a i2 b 2j+ 4. ab i1 1j + a j2 b 2i101. จงหาพื้นที่แรเงาในรูป1. 27 2. 363. 54 4. 34102. จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นกราฟของสมการy − 1 = x − 2 และสมการ x = 01. 2 ตร.หน่วย 2. 4 ตร.หน่วย3. 8 ตร.หน่วย 4. 16 ตร.หน่วยyy= 3 x(0,0) (5,0)(9,9)x103. นิยาม ∪ n A i = A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ Anและ ∩n A i = A1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ Ani=1−A = [ − , ], n ∈n 2n+110 8n 2กําหนดให้ ni=1+I จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้∞∞∞ ∞ ∞ ∞10ก. ∪ A i = [ − ,4] ข. ∩ A i = [0, ] ค. Ai − Aii=nni=n8n − 22n + 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∪ ∩ ∩ ∪i= 1 i= n i= 1 i=n1. มีข้อความที่ถูก 1 ข้อ 2. มีข้อความที่ถูก 2 ข้อ3. ถูก 3 ทั้งข้อความ 4. ผิดทุกข้อ= ∅ปี 2539104. ในการก่อสร้างอาคารหลังหนึ่ง จะต้องเสียค่าใช้จ่ายคงที่สําหรับการก่อสร้าง เท่ากับ 800หน่วย และจะต้องเสียค่าใช้จ่ายสําหรับการก่อสร้างอาคารชั้นที่ n เท่ากับ n หน่วย จงคํานวณหาว่าจะต้องสูงกี่ชั้น จึงจะเสียค่าใช้จ่ายสําหรับการก่อสร้างเฉลี่ยต่อชั้นน้อยที่สุด1. 20 ชั้น 2. 40 ชั้น 3. 80 ชั้น 4. 160 ชั้น105. ให้ a nn/2= n สําหรับ n เป็นเลขคี่ และ a 2กําหนดให้ 2 25 = x และผลบวกของอนุกรมเลขคณิต n = n1 + nผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต1. 250022(x 1)3. 505022(x 1)Snna(1 1 − r )=(1 − r)n= สําหรับ n เป็นเลขคู่ จงหาค่า 100 anS (a a )2+ − 2.42500 + 2(x − 1)+ −44. 5050 + 2(x − 1)106. จากความสัมพันธ์ระหว่าง f(x) กับ x ดังแสดงในกราฟf(x)3ต่อไปนี้ จงหาค่าของ ∫ log [f (x)] dx110001. 1010 2. 2001003. 6 4. 41010.10 1 2 3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)∑n=1x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET557ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)107. โปรเจคชันของส่วนของเส้นตรง PP 1 2 บนแกน x ยาว 2 หน่วย และบนแกน y ยาว 3หน่วย จงหาความยาวของส่วนของเส้นตรง PP 1 21. 13 2. 13 3. 5 4. 5108. จงหาค่า k ที่ทําให้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ ไม่สามารถหาคําตอบได้2x − y + 3z = 1 − x + ky − z = 3 และ x − y + z = − 21. − 22. − 1 3. 0 4. 1109. เมื่อ p(x) คือพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ 3 และสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจํานวนเต็มถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย (x − 2) แล้ว จะเหลือเศษ 0ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย (x + 1) แล้ว จะเหลือเศษ 0ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x แล้ว จะเหลือเศษ 8จงหา p(x) ว่าจะเท่ากับข้อใด1. (x − 2)(x + 1)(x − 4)2. (x − 2)(x + 1)(x + 4)3. (x − 2)(x + 1)(x + 8)4. (x − 2)(x + 1)(x − 8)110. สามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 2 ตารางหน่วย AB มีความยาวเท่ากับ 1 หน่วย ถ้า BE มีAความยาวเท่ากับ 0.8 หน่วย และเส้น DE ขนานกับเส้น ACจงหาค่าความยาวของ BDE1. 4.0 หน่วย 2. 3.2 หน่วย3. 1.8 หน่วย 4. 1.6 หน่วยBD C111. แผ่นโลหะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 16cm ต้องการตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วพับตามรอยเส้นประเพื่อทําเป็นกล่อง ดังรูปกล่องจะมีปริมาตรได้มากที่สุดเท่าไร1. 9812 cm 3 2. 9218 cm 327273. 829127cm 3 4. 819227112. ข้อต่อไปนี้ข้อใดผิดก. sin ( α−β ) = sin α cos β + cos α sin β ข. cos ( α−β ) = cos α cos β + sin α sin βค. sin 2α = 2 sin α cos α ง. cos ( α− 30 ° ) + cos ( α+ 30 ° ) = sin α1. ข้อ ก กับข้อ ข 2. ข้อ ข กับข้อ ค3. ข้อ ค กับข้อ ง 4. ข้อ ง กับข้อ ก113. จากรูปที่กําหนดให้ดังต่อไปนี้ อยากทราบว่ามีรูปสี่เหลี่ยมรวมทั้งหมดกี่รูป1. 39 รูป 2. 40 รูป3. 41 รูป 4. 42 รูปcm 3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET558ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)y + 4y −9=y + 3114. ถ้า 3 233และ f(x) = x − 2x + 5 อยากทราบว่า f(y) จะมีค่าเท่าไรบ้างก. − 16 ข. 9 ค. 261. ข้อ ก ถูก 2. ข้อ ข ถูก 3. ข้อ ค ถูก 4. ข้อ ก และข้อ ข ถูก115. กําหนดวงกลมรัศมีเท่ากับ 1 cm สองวงตัดกันดังรูป จงหาพื้นที่แรเงา1. 0.33 cm 2 2. 0.45 cm 23. 0.50 cm 2 4. 0.57 cm 2116. มีลวดหนามยาว L ต้องการนําไปล้อมรั้วเพื่อจับจองที่ดิน ถามว่าจะต้องล้อมให้เป็นรูปอย่างไรจึงจะได้พื้นที่มากที่สุด กําหนดว่าการล้อมรั้วจะต้องให้ปลายลวดข้างหนึ่งต่อกับปลายอีกข้างหนึ่งพอดี1. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส3. รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า 4. รูปวงกลม117. เชือกเส้นหนึ่งยาว 10 m นํามาตัดแบ่งครึ่งความยาว แล้วนําส่วนที่แบ่งแล้วมาตัดแบ่งครึ่งอีกนําส่วนที่ถูกตัดแบ่งครึ่งแล้วมาตัดแบ่งครึ่งไปเรื่อยๆ ถามว่าจะต้องตัดอย่างน้อยที่สุดกี่ครั้ง ความยาวของเชือกที่ถูกแบ่งครั้งสุดท้ายจึงจะเหลือไม่ถึง 1 mm(กําหนดให้ log 2 = 0.301)1. 12 2. 13 3. 14 4. 15118. ถ้าความน่าจะเป็นที่พรุ่งนี้จะมีฝนตกเท่ากับ 0.35 และความน่าจะเป็นที่พรุ่งนี้จะมีเมฆมากเท่ากับ 0.4 โดยที่ความน่าจะเป็นที่พรุ่งนี้จะมีเมฆมากและมีฝนตก เท่ากับ 0.25 จงหาความน่าจะเป็นที่พรุ่งนี้มีเมฆมากหรือไม่มีฝนตก1. 0.95 2. 0.90 3. 0.85 4. 0.80ปี 2540119. เส้นตรงเส้นหนึ่งผ่านจุด A(2,2,2) และ B(6,5,2) อยากทราบว่า ถ้าลากเส้นจากจุดC( −4,0, − 3) ไปตั้งฉากกับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด A และ B ข้างต้น เส้นตั้งฉากนี้จะมีความยาวเท่าไร332211. หน่วย 2. หน่วย 3. 61 หน่วย 4. 221 หน่วย5 5120. รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าบรรจุอยู่ในวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 7 cmพื้นที่แรเงาจะเท่ากับเท่าไร1. 21.22 cm 2 2. 26.70 cm 23. 42.44 cm 2 4. 127.30 cm 2121. สําหรับสมการ f(x) และ g(x) ใดๆกําหนดให้ log (f (x) g (x)) = 4 และf(x)log(10 ) 3 , g(x) 0g(x) = ≠2จงหาค่า x ถ้า g(x) = x + 11. ± 22. ± 3 3. ± 5 4. ± 77 cmMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET122. กําหนด f(x) ดังรูป และจงหา1∫4g(x) dxdf (x)g(x) = + xdx1. 5.5 2. 6.03. 7.5 4. 8.0j123. จงหาค่าของ ln jกําหนดให้ j 12 2โดยที่ r x yj= − และ = + =z x jy r e θx 2559f(x)126. ถ้าเขียนกราฟนี้บนสเกล x− yกราฟพาราโบลาที่ได้จะมีจุดโฟกัสที่จุดใดy91. (0, )2413. (0, )628765ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)1 2 3 4 5 6 7 8−1= + และ θ = tan (y/x)/21. π /2 2. e π /23. −π /2 4. e −π124. จากข้อมูลสภาพการจราจรและอัตราการเกิดอุบัติเหตุ บนถนนสายหลักสายหนึ่งในช่วง 16.00-18.00 น. พบว่าความน่าจะเป็นของการเกิดการจราจรติดขัดคิดเป็น 0.85 และความน่าจะเป็นของการเกิดอุบัติเหตุเท่ากับ 0.5 ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดการจราจรติดขัดและการเกิดอุบัติเหตุเท่ากับ 0.3 จงหาความน่าจะเป็นที่การจราจรไม่ติดขัดหรือเกิดอุบัติเหตุ1. 0.15 2. 0.35 3. 0.45 4. 0.50125. ในการวิ่งมาราธอนครั้งหนึ่ง ถ้าความเร็วเฉลี่ยของนักวิ่งทั้ง 200 คน เท่ากับ 15 km/h และมีการกระจายของค่าความเร็วเป็นแบบโค้งปกติ โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.5 km/h จงหาว่านักวิ่งคนหนึ่งที่ทําความเร็วเฉลี่ยได้ 16 km/h จะเข้าเส้นชัยประมาณลําดับที่เท่าไรหมายเหตุ ให้ประมาณว่าพื้นที่ใต้โค้งของการกระจายช่วง ±σ มีค่าประมาณ 2/3 ของพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดช่วง ± 2σ มีค่าประมาณ 19/20 ของพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดช่วง ± 3σ มีค่าประมาณ 9975/10000 ของพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมด1. มากกว่าลําดับที่ 12 2. ลําดับที่ 10 3. ลําดับที่ 5 4. ลําดับที่ 32.4.29(0, )61(0, − )6O 2 4127. แนวถนนตรงสองสายที่จะสร้างใหม่ตัดกันที่จุด A วิศวกรต้องการสร้างทางโค้งแบบวงกลมรัศมี R = 200 3 m เชื่อมแนวถนนตรงทั้งสองสาย โดยมีจุดเริ่มโค้งที่จุด B และ C ตามลําดับตําแหน่งจุด B จําเป็นต้องหาจากจุด A แต่จุด A เข้าถึงไม่ได้เพราะอยู่ในเหวลึก ทางออกทางหนึ่งคือการกําหนดจุด X และจุด Y บนแนวถนนตรงซึ่งสามารถมองเห็นกันAได้ ถ้ามุม PXY , มุม QYX และระยะ XY จากการสํารวจครั้งนี้เท่ากับ90°, 150° และ 105 3 m ตามลําดับ ระยะ XB จะเท่ากับเท่าไร Xหมายเหตุ รูปนี้ไม่ได้วาดตามสเกลBY1. 475 m 2. 495 mR C3. 515 m 4. 525 mPQMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET560ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)128. จากเงื่อนไขที่กําหนดให้ดังต่อไปนี้ก. มหาวิทยาลัยที่สอนพยาบาลศาสตร์ทุกแห่ง มีการสอนแพทยศาสตร์ข. มหาวิทยาลัยที่สอนพยาบาลศาสตร์ทุกแห่ง ไม่มีการสอนวิศวกรรมศาสตร์ค. ครึ่งหนึ่งของมหาวิทยาลัยที่สอนวิศวกรรมศาสตร์ มีการสอนแพทยศาสตร์ง. ครึ่งหนึ่งของมหาวิทยาลัยที่สอนแพทยศาสตร์ มีการสอนพยาบาลศาสตร์จ. ไม่มีมหาวิทยาลัยใดที่สอนเฉพาะแพทยศาสตร์เพียงอย่างเดียวอยากทราบว่า ถ้ามีมหาวิทยาลัยที่สอนแพทยศาสตร์ทั้งหมด 10 แห่ง จะมีมหาวิทยาลัยที่สอนวิศวกรรมศาสตร์กี่แห่ง1. 5 แห่ง 2. 10 แห่ง 3. 15 แห่ง 4. 20 แห่ง129. จากสมการ y 3 3y 22+ = 4(y + 3) และฟังก์ชัน f(x) = x − xอยากทราบว่า f(y) จะมีค่าเท่าไร เมื่อ y ≠ − 31. {2, 6} 2. {2, 12} 3. {2, 9, 12} 4. {6, 9, 12}ปี 2541130. กําหนดให้ i = − 1 จงหาค่า(i + 1)(i − 1)20161. 4 2. − 4 3. − 4i 4. 4i131. แผ่นฟิล์มกรองแสงชนิดหนึ่ง กรองแสงออกได้ 20 เปอร์เซ็นต์ ถ้าต้องการนําแผ่นฟิล์มกรองแสงชนิดนี้ไปติดรถยนต์เพื่อให้กรองแสงออกได้ประมาณ 60 เปอร์เซ็นต์ โดยใช้แผ่นฟิล์มชนิดนี้ซ้อนกันอยากทราบว่าจะต้องใช้แผ่นฟิล์มชนิดนี้กี่ชั้น สมมติให้แสงผ่านกระจกได้ 100 เปอร์เซ็นต์1. 2 2. 3 3. 4 4. 5132. ถ้าประพจน์ต่อไปนี้ “ถ้าพ่อค้ากักตุนน้ําตาล แล้วราคาน้ําตาลจะสูงขึ้น” เป็นความจริง ข้อใดเป็นการให้เหตุผลที่ถูกต้อง1. เนื่องจากราคาน้ําตาลสูงขึ้น จึงสรุปได้ว่าพ่อค้ากักตุนน้ําตาล2. เนื่องจากพ่อค้าไม่ได้กักตุนน้ําตาล จึงสรุปได้ว่าราคาน้ําตาลไม่ได้สูงขึ้น3. เนื่องจากราคาน้ําตาลไม่สูงขึ้น จึงสรุปได้ว่าพ่อค้าไม่ได้กักตุนน้ําตาล4. มีข้อถูกมากกว่า 1 ข้อ133. กําหนด⎡1 2 0⎤A = ⎢0 2 1⎥⎢ ⎥⎣0 0 2⎦และ⎡a 0 0⎤B = ⎢1 2 0⎥⎢ ⎥⎣3 0 1⎦จงหาค่า a ซึ่งทําให้ det (AB) = 81. 1/8 2. 1 3. 8 4. ไม่สามารถหาค่า a ได้134. ในการหาความกว้างของลําน้ํา เนื่องจากไม่สามารถวัดระยะโดยตรงได้ จึงทําการวัดระยะ ACได้ 50 เมตร, มุม CAB ได้ 105° และมุม ACB ได้ 45° จงหาความกว้างของลําน้ํา (ระยะAB )B21. 50 เมตร 2. 50 3 เมตร3 2 ลําน้ํา3. 50 2 เมตร 4. 50 3 เมตรAC5 3⎛ 4n + n ⎞135. จงหาค่าของ lim 3 cos (n π ) โดยที่ n เป็นจํานวนเต็มบวกn →∞⎜ 55n − 38 ⎟⎝ ⎠1. 0 2. 0.8 3. 2.4 4. ∞Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET561ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)136. รถไฟที่แล่นด้วยความเร็วคงที่ v กิโลเมตรต่อชั่วโมง ต้องเสียค่าใช้จ่ายเป็นค่าน้ํามัน v/52บาทต่อชั่วโมง และค่าจ้างพนักงานเดินรถ 40 บาทต่อชั่วโมง ถ้าต้องเดินทางระยะทาง 500กิโลเมตร ควรจะแล่นด้วยความเร็วเท่าใดจึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด1. 10 2 2. 20 2 3. 50 2 4. ไม่มีความเร็วที่เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด137. วงกลม C n+ 1 สร้างจากวงกลม C n โดยที่ n = 1,2,3,... โดยการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสบรรจุในวงกลม C n แล้วสร้างวงกลม C n+ 1 บรรจุในสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว ดังแสดงในรูป ถ้าวงกลม C 1 มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d จงหาผลบวกของเส้นC n+1C nรอบวงของวงกลมทั้งหมด1. (2 − 2) π d 2. 2( 2 − 1) π dππ3. ( 2 − 1) d24. 2 d2 1 −138. ถังน้ําใบหนึ่งมีเครื่องสูบน้ําเข้าถังสองเครื่อง ถ้าทดลองเปิดเครื่องสูบน้ําทีละเครื่องเพื่อสูบน้ําใส่ถังเปล่าจนเต็มถัง พบว่าเครื่องหนึ่งจะใช้เวลาน้อยกว่าอีกเครื่องหนึ่ง 3 ชั่วโมง แต่ถ้าเปิดเครื่องทั้งสองพร้อมกัน พบว่าน้ําจะเต็มถังในเวลา 2 ชั่วโมง ข้อใดเป็นระยะเวลาที่เครื่องใดเครื่องหนึ่งใช้ในการสูบน้ําใส่ถังเปล่าจนเต็มถัง101. 1 ชั่วโมง 2. 3 ชั่วโมง 3. 4 ชั่วโมง 4. 2 + ชั่วโมง139. สมการเส้นตรงชุดใดต่อไปนี้ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก1. 3x − 5y + 10 = 0, x + 4y − 6= 0, 6x − 10y − 1 = 02. x − 3y + 1= 0, 3x + y + 1 = 0 , − 2x + 6y + 5 = 03. x − 4y + 2= 0, 2x + y = 0 , 2x + 3y − 5 = 04. 5x − 3y + 7 = 0 , 2x − y = 0, 9x + 15y − 4 = 0เฉลยคําตอบ2(1) 3 (2) ไม่มีข้อถูก (ตอบ y = (x /4) − x) (3) 1 (4) 2 (5) 2 (6) 3 (7) 4 (8) 2(9) 2 (10) 4 (11) 3 (12) 2 (13) 1 (14) 3 (15) 3 (16) 2 (17) 2 (18) 4(19) 1 (20) 4 (21) 3 (22) 4 (23) 2 (24) 3 (25) 3 (26) 2 (27) 2 (28) 4(29) 2 (30) 3 (31) 1 (32) 1 (33) 2 (34) 3 (35) 3 (36) 2 (37) 1 (38) 2(39) 3 (40) 2 (41) 2 (42) 2 (43) 2 (44) 3 (45) 2 (46) 3 (47) 4 (48) 1(49) 2 (50) 4 (51) 1 (52) 3 (53) 3 (54) 2 (55) 1 (56) 3 (57) 4 (58) 1(59) 4 (60) 1 (61) 4 (62) 4 (63) 1 (64) 3 (65) 3 (66) 2 (67) 2 (68) 3(69) 2 (70) 3 (71) 2 (72) 2 (73) 3 (74) 2 (75) 3 (76) 1 (77) 2 (78) 2(79) 3 (80) 3 (81) 3 (82) 4 (83) 3 (84) 3 (85) 3 (86) 2 (87) 4 (88) 1(89) 1 (90) 2 (91) 1 (92) 1 (93) 3 (94) 2 (95) 4 (96) 2 (97) 3 (98) 3(99) 1 (100) 1 (101) 2 (102) 2 (103) 3 (104) 2 (105) 1 (106) 4 (107) 1(108) 4 (109) 1 (110) 2 (111) 4 (112) 4 (113) 1 (114) 2 (115) 4 (116) 4(117) 3 (118) 2 (119) ไม่มีข้อถูก (ตอบ 29 ) (120) 2 (121) 2 (122) 1 (123) 3(124) โจทย์ผิด เพราะ P(A ∪ B) > 1 ไม่ได้ (125) 3 (126) ไม่มีข้อถูก (ตอบ (0, 103/24))(127) 2 (128) 2 (129) 1 (130) 2 (131) 3 (132) 3 (133) 2 (134) 3 (135) 3(136) 1 (137) 4 (138) 2 (139) 4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)2

คณิตศาสตร O-NET / A-NET562เฉลยวิธีคิดขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)2 2(1) Δขงจ จะได้ ขจ = 3 + 4 = 51พื้นที่ Δกขค = ⋅ 5 ⋅ 10 = 25 ตร.ม. ตอบ2(2) พาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่ (2, − 1)2→ (x − 2) = 4c(y + 1)หาค่า c ก่อน โดยกราฟผ่านจุด (0,0)2→ (2) − = 4c(1) → c=12ดังนั้น สมการที่ได้คือ (x − 2) = 4 (y + 1)หรือ x 2 − 4x + 4 = 4y + 4จัดรูปได้ว่า2xy = − x ตอบ ไม่มีข้อถูก4− −= = −43 − 1(3) dydx = ความชัน 4 4(4) ln N =−λ t + ln N0แกน y คือ ln N และแกน x คือ tสมการจะอยู่ในรูป Y =−λ X + lnN0∴เป็นกราฟเส้นตรง และ 0ติดลบ ตอบ ข้อ 2.(5) จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่าง F กับ Directrixตอบ (0, − 1)(6) แก้ระบบสมการตอบλ > ดังนั้น ความชัน1 4→ x + 3 = 2x + 1 → 2 = 1.5x → x =2 3ตอบ ข้อ 3.(7) กลุ่ม 1; พิสัย 7 − 1 = 6กลุ่ม 2; พิสัย 6 2 4กลุ่ม 3; พิสัย 7 − 2 = 5กลุ่ม 4; พิสัย 7 3 4ตอบ กลุ่มที่ 4(8) dy 6x 3− = → ฐานนิยม = 6− = → ฐานนิยม = 7dydx = − และ 23xdx =2∴ 6x − 3 = 3x2→ 3(x − 1) = 0→ x = 1 ตอบ5 − ( −5)10(9) d = =2 21 + 1 2ตอบFy = -2(10) ลองพล็อตจุดคร่าวๆ พบว่ารูปกราฟคล้ายไฮเพอร์โบลามุมฉาก ดังนั้นตัดข้อ 1. (พาราโบลา)กับข้อ 2. (เส้นตรง) เหลือเพียงข้อ 3. กับ 4. ที่เป็นไปได้จากนั้นทดลองแทนค่าดูดังนี้...2ข้อ 3; yx= a ลองเอาข้อมูลมาคูณดูเพื่อเป็นค่า a= ,22จะได้ 65(1) = 65 , 35 (2) 140225(3) = 225 พบว่าค่า a ที่ได้นั้นแตกต่างกันมากจึงไม่น่าใช่ข้อ 3. ตอบ ข้อ 4.[หมายเหตุ ถ้าลองนําข้อมูลมาแก้สมการเพื่อหา a, b60ในข้อ 4. จะได้เป็น(11) จาก 1 = B x + AyAเมื่อแกน Y เป็น 1 yBY X AAy = + 5]xและแกน X เป็น x จะอยู่ในรูป= + ซึ่งเป็นกราฟเส้นตรง ความชัน B Aและตัดแกน Y ที่ AB∴ = tan θ และ A = ROAรวมสองสมการได้เป็น B(12) เวลา 5 ช.ม. คิดเป็น 300 นาทีดังนั้น ชิ้นงานที่ได้ = ก + ข + ค + ง= RO tanθ ตอบ300 300 300 300( 4) ( 6) ( 4) ( 7)= × + × + × + ×32 24 24 28= 37.5 + 75 + 50 + 75 = 237.5 ขึ้นแต่นาย ก ทําชิ้นสุดท้ายไม่เสร็จ จึงต้องปัดเศษทิ้งตอบ 237 ชิ้น(13) สมมติชั้นแรกเสีย a บาท และสร้าง x ชั้นจะได้ ค่าก่อสร้างเฉลี่ย;450a + (a + 2a + 3a + 4a + .... + xa)y =x⎛x(x + 1) ⎞450a + a ⎜ ⎟2 450a a=⎝ ⎠= + (x + 1)x x 2450a a2ดังนั้น y′ = − + = 0 จะได้ x = 9002x 2คือ x 30= ชั้น ตอบ(14) รูป n เหลี่ยม จะแบ่งเป็น Δ ภายในได้ n รูปมุมที่เกิดขึ้นคิดจาก= มุมรวมใน Δ ทั้งหมด - มุมรอบจุดยอดตรงกลาง= 180 n − 360 องศาดังนั้น ตอบ 180 (20) − 360 = 3240 องศาMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET563ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)(15) ข้อนี้ไม่จําเป็นต้องวาดแผนภาพ เพราะตัวเลขที่ให้มาสามารถคํานวณได้ทันทีความน่าจะเป็นที่เรียนคณิตหรืออังกฤษ20 9= 1 − ฟิสิกส์เท่านั้น = 1 − = ตอบrθh110 11(16) แปลงหน่วยของความเร็วก่อนกม. 450 × 1,000 ม. ม.450 = = 125ชม. 3,600 วินาที วินาทีAดังนั้น ระยะ AB= 125 × 20 = 2,500 เมตรΔ ABC เป็น Δ หน้าจั่ว∴ BC = 2,500 ด้วยh = BC sin60° = 2500( 3/2)= 1,250 3 เมตร ตอบ(17)B30° 120° 60°30°1จากรูป h = r2h 1→ =r 2ดังนั้น θ = 60°1= π r32พื้นที่ส่วนโค้งมุม 120°= ของวงกลม3และพื้นที่ที่ต้องการ คิดเหมือนยูเนียนของเซต คือ+ -=1 2 1 2 1πr + π r − 4( hr sin60 ° )3 3 2=2 2 1 1 3π r − 4 × × r × r3 2 2 2⎛2 3⎞r2 1.23r2= ⎜− ≈3 2 ⎟⎝ ⎠(18) ˜ A = 20sin60° i + 20cos60°j= 10 3 i + 10 j , ˜ B =−10 j ,˜ D = 20 3 sin30° i − 20 3 cos 30°j= 10 3 i − 10 jโจทย์ถาม ˜C = ˜D − Ã− ˜ B = −30 j∴ |C|˜= 30 หน่วย ตอบ(19) หาความยาว AB2 2→ AB = 9 + 12 = 15 เมตร15Δ ABO; = cos 30°OB15 30ดังนั้น OB 10 33/2 3≈ 17.319 เมตร ตอบ1= = = เมตรDCh(20) y = x − 5 และ y = −2x − 5ตัดกันที่ x − 5 =−2x −5 → x = 0, y =− 5หาระยะจาก (0, − 5) ไปยัง 3x + 4y − 12 = 0ได้เป็น2 2จ3(0) + 4( −5) − 12 32=3 + 4 5(21) พิจารณาที่ 60 คะแนนพื้นที่ A = 0.3413 → z = 1ที่ 70 คะแนนค 60°ข510ก510งตอบพื้นที่ A = 0.3413 + 0.1360 = 0.4773 → z = 260 − X∴ 1 = และs70 − X2 =sจะได้ s = 10, X = 50 ตอบ ข้อ 3.1 1(22) log2 x + log2 x + log2x = 74 27→ log 2 x = 7 → log 2 x = 444ตอบ x = 2 = 16(23)แสดงว่า ˆΔ กคง;∴ กค =กคง 60กง 510sin 60°= =กค กค2510 5903ระยะที่ต้องการคือ ขคคิดจาก กค – กขหา กค จากตรีโกณมิติมุมที่โจทย์ให้มา 60° ดังนั้นกคจ ˆ + กคง ˆ = 120°= ° (เพราะ Δ กจค, Δ กคง เท่ากัน)× ≈ เมตรและ ขค ≈ 590 − 510 = 80 เมตร ตอบ(24) พาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่ (5, − 1)2จะได้สมการเป็น (x − 5) = 4c(y + 1)ผ่านจุด (0,0) ดังนั้น หาค่า c ได้เป็น 25 = 4c2สมการที่ได้คือ (x − 5) = 25 (y + 1)โจทย์ถาม y เมื่อ x = 216→ 9 = 25(y + 1) → y = − ตอบ ข้อ 3.25(25) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ก็คือความชันของกราฟเมื่อพิจารณาจากรูปทีละช่วงๆ พบว่าระหว่าง x = 5ถึง x = 6 เท่านั้น ที่ความชันเท่ากันΔ(ความชันเป็น y 1 = ) ดังนั้น ตอบ ข้อ 3.Δx 260 70Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET564ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)(26) พื้นที่ผิว A = ผิวข้าง + ฝาและฐาน2= 2πRh + 2( π R ) แต่โจทย์บังคับว่าปริมาตร 16π2ดังนั้น πRh= 16π→ h=162R⎛16 ⎞ 2 322∴ A = 2πR⎜+ 2 R = + 2 R2 ⎟ π π⎝R⎠RdA 32π→ = − + 4πR = 02dR R323จะได้π4 R = → R = 8 → R = 22R16และ h = = 4 เมตร ตอบ ข้อ 2.22π เมตร(27) สังเกตจากตัวเลือกพบว่า − 1 กับ 1 เป็น 2คําตอบอย่างแน่นอน จึงนําไปหารออกได้เป็น(x + 1)(2x − 1)(x + x + 1) = 0ซึ่ง 2 x x 1 0x215 ม.100-xA P x ม.2 2ดังนั้น y = 100(100 − x) + 200( 15 + x )π+ + = นั้นได้คําตอบเป็น2− 1 ± 1 − 4 1 3i2 2 2= = − ± ตอบ ข้อ 2.(28) แปลงด้านขวามือของสมการได้ดังนี้2⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1⎞12⎜ + i⎟ = 2⎜ + i − ⎟ = + 2 i⎝ 2 2 ⎠ ⎝2 2 4⎠2ดังนั้น เทียบสัมประสิทธิ์กับฝั่งซ้ายมือได้ว่า13x = และ 4y = 2 ตอบ x =2(29) ให้ y = ค่าใช้จ่าย∴ ⎜⎟ ( )B16⎛ 1 ⎞y′ =− 100 + 200 2x = 0⎜ 2 22 15 + x ⎟⎝⎠x 1= → 2x = 15 + x2 215 + x 2จะได้2 22 2 2→ 4x = 225 + x → x = 75 → x ≈ 8.6ดังนั้น ระยะ AP ประมาณ 91.4 เมตร ตอบ(30) เนื่องจากตัวเลือกเป็นเอกซ์โพเนนเชียล จึงไม่สะดวกที่จะคํานวณสมการออกมาโดยตรงใช้วิธีลองแทนค่าดีกว่า ... ที่ t = 0 จะได้1. M = 100 − 1 = 99 2. M = 993. M = 100 4. M = 100ถือว่าใกล้เคียงทั้งหมด จึงลองแทน t = 10 จะได้1.1M = 100 − ซึ่ง e ≈ 2.7 ดังนั้น M ≈ 99e2. M 100 e 97= − ≈ 3.4. M 100e 270100M = ≈ 30e= ≈ ดังนั้นควรเลือกข้อ 3. ตอบ(31) P = (100 sin θ)(10 sin( θ − 60 ° ))= 500 (2 sin θ sin( θ − 60 ° ))= 500 (cos 60°−cos(2 θ− 60 ° ))= 250 − 500 cos(2 θ − 60 ° )ต้องการ P สูงสุด แสดงว่า cos(2 θ − 60 )° ต้องน้อยที่สุด คือเป็น − 1 จะได้ P max = 750 วัตต์ ตอบ(32) ซิงกูลาร์เมตริกซ์ แปลว่า det เท่ากับ 0;จาก A = x − 4 − 4 + x + 4 − 4 = 2x − 8แสดงว่า 2x − 8 = 0 นั่นคือ x = 4 ตอบ(33) มองด้านข้าง เป็นรูปครึ่งวงกลมซึ่งมาจากสมการวงกลม2 2 2x + y = 25(-4,2)(-1,-1)(1,1)20 ⎧ ⎨ ⎩ต้องการตําแหน่งความสูง y = 20 จะได้ว่า2 2 2x = 25 − 20 = 225 ∴ x = ± 15พื้นที่วงกลมที่ตัด π2(34)= (15) = 2251 (4 2 1 2 4 1) 62พื้นที่15π ตร.ม. ตอบ1 11 −4 2Δ=2 −1 − 11 1= + + + + − = ตร.หน่วย ตอบ(35) log(5x + 10) = log(3x − 2) + log 10→ 5x + 10 = (3x −2)(10) → x = 1.2 ตอบ(36) A = 75° ,B = 45°ดังนั้น C = 60°จากกฎของ sine;sin 60° sin 45°=60 AC A60 sin 45°AC =sin 60°= 20 6จะได้5Dเมตรต่อไปหาระยะ CD ซึ่ง CD sin 75AC = °⎛ดังนั้น CD AC sin 75 20 63 + 1⎞= ° = ⎜2 2 ⎟⎝ ⎠= 10 3 ( 3 + 1)= 30 + 10 3 ≈ 47.32∴ แม่น้ํากว้าง = CD − 17 = 30.32 เมตร ตอบddf (x) x (sin 2x) sin 2x (x )dxdx2 2(37) ′ = +2= 2x cos 2x + 2x sin 2x ตอบ32 2 1 69(38) BA =⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ 12 03=⎣ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥⎦ ⎢⎣27⎥⎦C12At ( BA)=⎡ 2 0 ⎤⎡ 6 9 ⎤ ⎡ 12 18 ⎤⎢13 27=⎣ ⎥⎢ ⎦⎣ ⎥⎦ ⎢⎣1230⎥⎦75° 45°ตอบBMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET565ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)1 + 4 + 6 + 8 + x(39) 6 = → x = 11 ปี511 + 1กึ่งกลางพิสัย = = 6 ปี ตอบ260(16) + 50(17) + 30(18)(40) X รวม =60 + 50 + 302,350= ≈ 16.8 ปี ตอบ140(41) หา U min ; U(x) ′ = 2x − 2.6 = 0ค่าวิกฤต x = 1.3 ซึ่ง U( 1.3)0.19=− ,เช็คที่ปลายช่วง U( 0)= 1.5และ U( 3)= 2.7∴ Umin= − 0.19 ตอบ(42) วงรีตั้ง เพราะโฟกัสกับจุดศูนย์กลางมีค่า xเท่ากัน ...แกนเอกยาว 14 แสดงว่า a = 7ระยะโฟกัส c = 1 − ( − 5)= 62 2 2∴ b = a − c = 49 − 36 = 13ตอบ2 2(x + 4) (y − 1)+ = 113 49dv(43) 2 22ax 2a(1) 6 a 3dx = → = → =dv 2แสดงว่า 3x 3dx = +2 3v(x) = (3x + 3) dx = x + 3x + c∫หา c จาก (0,1) จะได้ c = 13ตอบ v(x) = x + 3x + 1(44) เนื่องจาก ∅ เป็นสับเซตของเซตใดๆ ทุกเซตดังนั้น ตอบ ข้อ 3.(45) (B C) (2 3 i) (3 4 i) 5 i+ = − + + = + ,2 2C = 3 + 4 = 5(5 + i)(5) (5 + i)(1 − 2 i)(5)1 + 2i 1 + 2= (5 + i)(1 − 2 i) = 7 − 9 i ตอบดังนั้น หาค่าของ =2 2dy 2 3(46) 3x 2 y x 2x Cdx = − → = − +หา C จากจุดที่ผ่านคือ (1,1) ได้ว่า 1 − 2 + C = 13∴ C = 2 ดังนั้น y = x − 2x + 2= − + = ตอบและ3a 2 2(2) 2 6(47) จัดรูปพาราโบลา; x 2 − 6x + 9 = 12y + 3 + 92จะได้ (x − 3) = 4(3)(y + 1) ดังนั้นพาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่ (3, − 1) เลือกข้อ 4. ได้เลย ตอบ(48)ดังนั้น1/ 31/ 3 alog x = log a − log b → x =6 1/ 3 2(27b ) 3bx = 3bb= b= ตอบb(49) จัดสมการใหม่เป็น5(y − 4) = 7(x − 3) → 7x −5y − 1 = 0หาระยะตั้งฉาก จาก (9,12) ได้ว่า7(9) −5(12) −1 2 2d = = = ตอบ2 27 + 57437(50) หาผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสองก่อน(8 cos 30° i + 8 sin 30°j)+ (12 − 3cos60i ° − 12 3sin60j) °= 4 3i+ 4j− 6 3i− 18j= −2 3i−14jดังนั้นต้องตอบ 2 3 i + 14j ตอบ+ + 3(51) 14.2 =( 22 8) ( 13.6) N ( 16)22 + 8 + N3→ 426 + 14.2 N = 408 + 16 Nดังนั้น N 3 103 3= เครื่อง ตอบ(52) จาก (x − y i)(2 + i) = (2x + y) + (x − 2y) iเทียบสัมประสิทธิ์ได้ 2x + y = 7 และ x − 2y = 418 1แก้ระบบสมการได้ x = , y =−5 518 2 16 1∴ x + 2y = − = = 3 ตอบ5 5 5 5(53) ข้อนี้เป็นโจทย์คณิตศาสตร์ครับ ไม่สามารถใช้สูตรในวิชาฟิสิกส์คํานวณ เพราะว่า a ไม่คงที่วาดกราฟ v-t ได้ดังนี้2 2 2v (t 6) 6+ − = เป็นรูป(ครึ่ง)วงกลม ดังภาพvระยะทาง = พื้นที่ใต้กราฟ v-t1 2 1= π6 + (5 π)(4) = 28π เมตร ตอบ2 2(54) พาราโบลาเปิดขวา และจุดยอด (0,0)มีรูปทั่วไปคือ y2 = 4cxหาค่า 4c จากกราฟผ่านจุด (42,60)2 60060 = 4c(42) → 4c =7ดังนั้นสมการคือ 2 600y = x72หรือเขียนว่า 600x = 7y ตอบ ข้อ 2.1/ 3 2 2(55) จาก log x = log a − log b + log cจะได้5π61/ 3 91/ 322⎛ ⎞c2 ⎜ 3 ⎟ 2x = a ⋅ = 8b ⋅cb ⎝ c ⎠ b3 2⎛2b⎞ c= ⎜ ⎟ = 2bc2⎝ c ⎠ bO 6 12 16ตอบa คงตัวtMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET566ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)(56)mBD10 − ( −2)12= =8 − 3 5และเส้นตรงต้องตั้งฉากกับ BD เพราะเป็นเส้นสัมผัสวงกลม ดังนั้น−เส้นตรงนั้นมีความชัน 5 ตอบ ข้อ 3. ได้ทันที12(57) นําแกนพิกัดฉาก x-y ไปตั้งไว้ตรงกลางเพื่อให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) จะได้คํานวณง่าย∴ a = 18,2 2x yb = 12 → + = 12 218 12หาความสูง ณ x = 6 จาก22 26 y+ = 12 218 12y 1 2 8→ = 1 − → y = 144 ×212 9 9ดังนั้น y = 8 2 เมตร ตอบx−sX1(58) z1= แสดงว่า x 1 ตรงกับค่ามาตรฐาน z 1 =− 1.96, และ 2x ตรงกับz2= 1.96 ดังนั้นพื้นที่ A = 1 − B − B= 1 − 0.05 − 0.05 = 0.90 ตอบ(59) ลองแทน x = 33ข้อ 1. f(x) = 2 + 3 = 112ข้อ 2. f(x) = 2 (3) + 1 = 192ข้อ 3. f(x) = 3 + 3 + 1 = 133 2และข้อ 4. f(x) = 3 − 2 (3) + 3 (3) + 1 = 19ดังนั้นมีข้อ 1. กับ 3. ไม่ถูกแน่นอนต่อไปลองแทน x = 2 จะได้ว่า2ข้อ 2. f(x) = 2 (2) + 1 = 93 2และข้อ 4. f(x) = 2 − 2 (2) + 3 (2) + 1 = 7ดังนั้น ตอบ ข้อ 4.3 4(60) f(x) = x + − 2x + cxf(2) = 8 จะได้ว่า 8 + 2 − 4 + c = 8ดังนั้น c = 2 ตอบ Q2 2P(61) m= , m =−PQ θ41α∴ ˜ P กับ Q˜ ตั้งฉากกัน α θทําให้ θ+α= 90° ดังรูป 0สมมติ P˜ ยาว p , Q˜ ยาว qคิดที่แกน x; pcosθ−qsinθ= 21 .....(1)คิดที่แกน y; psinθ+ qcosθ= 18 .....(2)แต่จากจุด (4,2) ซึ่งห่างจากจุดกําเนิดอยู่ 20หน่วย และทํามุม θ กับแกน x ทําให้เราทราบว่า2 1sin θ= = และ20 5กลายเป็น 2p 1q 215 54 2cos θ= =20 5− = และ 1p + 2q = 185 5แก้ระบบสมการได้ p = 12 5 ตอบ(62)5 =4.3 + 5.3 + 6.4 + x4= − = ปี ตอบ(63) ตําแหน่ง 21; 1(3) + 2(z) = 5 → z = 1→ x = 4 → พิสัย 6.4 4 2.4ตําแหน่ง 22; 1(x) + 2(1) = 5 → x = 3ตําแหน่ง 12;7 − x1(x) + 2(y) = 7 → y = = 22∴ x + y − z = 3 + 2 − 1 = 4 ตอบ(64)n →∞2 4 34 + 6n + 3n + 27n + 9nlim1 3n 3 9n4 9n3− − + +นํา n 4 หารเศษและส่วน ได้คําตอบ 27 39 = ตอบ(65) ที่มุม 60 ° ;h hAB = = .....(1)ที่มุม 45 ° ;tan 60°3hCB = = htan 45°.....(2)2 2 2ที่ Δ ABC ; AB + 10 = CB→ h 2 2 2 2 2( ) 10 h h 1003+ = → 3=∴ h = 150 ≈ 12.2 เมตร ตอบU′ = 3x − 3.63 → U′= 0 จะได้ x =± 1.12(66)คิดที่ปลายช่วง 0 < x < 3 ด้วยได้ U(1.1) =− 1.3, U(0) = 1.362, U(3) = 17.472ดังนั้น U min =− 1.3 ตอบ(67) การเปรียบเทียบต้องคิดเป็นค่ามาตรฐาน (z)8 − 7 5 − 8 9 − 7คนที่ 1; รวมz = + + = − 11 1 2− − −z = + + = − 0.51 1 27 7 7 8 8 7คนที่ 2; รวมด้วยวิธีเดียวกันได้ z รวม คนที่ 3 = 0.5และ z รวม คนที่ 4 = 1 ∴ ตอบ คนที่ 4(68) นาย ก; ระยะทาง = 10 − 5 = 5 ก.ม.5→ เวลาที่ใช้ = = 1 ชม.252 2นาย ข; ระยะทาง = 1 + 6 = 37 ก.ม.37→ เวลาที่ใช้ = < 1 ชม.38นาย ค; ใช้เวลา 50 149 > ชม.และนาย ง; 65 164 > ชม.ดังนั้นต้องเปรียบเทียบระหว่าง นาย ค กับนาย งพบว่า > ∴ นาย ค ถึงหลังสุด ตอบ50 6549 64Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)A10C60°45°BhN

คณิตศาสตร O-NET / A-NET567ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)20(150) + 180(X )20030,000X2166.67180− − −u =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢−2−4 =⎣ ⎥⎦ ⎢⎣−6⎥⎦2(69) 165 =→ = = ซม. ตอบ(70)2 6 8˜˜2 −− ( 1) 3CD 3/5CD =⎡ ⎤ ⎡ ⎤6 2 4n⎡ ⎤⎢= → = =⎣ − ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦⎢4/5⎥|CD|˜ ⎣ ⎦3 4 48∴ u ⋅ n = ( − 8)( ) + ( − 6)( ) = − = − 9.6 ตอบ5 5 5(71) อาศัยความสมมาตรของรูป ABCD ที่วางตะแคงอยู่ จาก x B − x C = 3 − 2.268 = 0.732ดังนั้น x D x A 0.732− = ด้วย → xD= 5.732จึงเลือกข้อ 2. ตอบ(72) ∑ a = m ∑ F + cN → 1.7 = 10m + 4 c2∑ Fa = m∑ F + c∑F → 5.5 = 30m + 10cแก้ระบบสมการได้ m = 0.25 และ c =− 0.2∴ â = 0.25F − 0.2หาค่า â (ที่ 3.5) = 0.25 ( 3.5)− 0.22= 0.675 m/s ตอบ(73)dA ⎡ ⎤3x 2x 1 0⋅ B = C → ⎢+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤dx2⎥2=⎢⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦2 1→ 3x + 2(2x + ) = 022 12 1→ 3x + 4x + 1 = 0 → x = − , − 134ผลรวมคําตอบ คือ − ตอบ32 2(74) z − 1 = 2 → (x − 1) + y = 22 2 2 2→ (x − 1) + y = 4 → x − 2x + y = 3* ข้อนี้เกินหลักสูตรม.ปลาย เพราะต้องหาอนุพันธ์ตลอดสมการ ดังนี้dy2x − 2 + 2y ⋅ = 0dxdy 2 − 2x 1 − x→∴ = = ตอบdx 2y y(75) 2 + log10 1.25 = log10 100 + log101.25= log10 125 = 3 log105 = 3A ตอบ(76) เวลา 90 นาที นาย ก ได้ 2(1.5) = 3 กม.นาย ข ได้ 4(1.5) = 6 กม. 3A 30° Cใช้กฎของ cos;2 2CB = 6 + 3 − 2(6)(3) cos 120°6= 3 7 กม. ตอบB(77) มุม BAC เป็นมุม θ ระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองหาได้โดยสูตรการดอทเวกเตอร์;2 2 2 23(2) + 1(3) = 3 + 1 ⋅ 2 + 3 cos θ9→ 9 = 10 ⋅ 13 cos θ → cos θ = ≈ 0.811.4→θ= 38° ตอบ(78) (0, 4) → M = 12(5, 0) → M = 10(0, 5) → M = 15(2.5, 5) → M = 20(4, 0) → M = 8∴ Mmax= 2054O(79) จุดตัดแกน x คือ x = 3ดังนั้นA =− +0 33336y(2.5,5)4 53 6∫ ∫ (ใส่ลบเพื่อให้พื้นที่เป็นบวก)xx=−( − 9x) + ( − 9x)3 30 3=−(9 − 27) + [(72 −54) −(9 − 27)] = 54 ตอบ6(80) ตรวจสอบโดยแทนค่า n เช่น แทน n = 106ข้อ 1. t = 10 ดีกว่า t = 100 ผิด (t น้อยดีกว่า)ข้อ 2. t = 1,000 ดีกว่า t = 12 ผิด812ข้อ 3. t = 10 + 5 ดีกว่า t = 10 ถูก1,000 312ข้อ 4. t = 2 = (1,024) ดีกว่า t = 10 ก็ถูกเปรียบเทียบข้อ 3. กับ 4. ด้วยข้อมูลที่เท่ากันทางขวาเหมือนกัน จึงพิจารณาจากทางซ้ายn→ t = 100n + 5 ย่อมน้อยกว่า t = 2ดังนั้นเลือกข้อ 3. ตอบ2 2(81)π πA = cos ( −θ) −sin ( −θ)2 2cos⎡ π= 2( −θ)⎤⎢⎣2 ⎥ตอบ⎦(82) เนื่องจากมี x ดังนั้น x ติดลบไม่ได้→ เหลือเพียงข้อ 2. กับ 4. ที่เป็นไปได้ลองแทนค่า x 1 y 2= → = ,x = 2 → y = 3.414, x = 3 → y = 4.732,x = 4 → y = 6 พบว่ามีลักษณะการโค้งแบบข้อ 4.ตอบ ข้อ 4.(83) * ข้อนี้ถ้าต้องหาอนุพันธ์จริงๆ จะยาก เพราะxเกินหลักสูตร (ดิฟ cos, arcsin, e , ln x ) แต่ถ้าเราต้องการพิจารณาแค่ว่า ”ค่าใดมากกว่ากัน” สามารถทําได้โดยดูจากความชันของกราฟf 1เนื่องจากπ1.572 ≈10-1π/2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)xดังนั้น ที่ x = 0.5, 1,0.75 นั้น f 1 ความชันติดลบทั้ง 3 ตัวx

คณิตศาสตร O-NET / A-NET568ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)→ ส่วน f 2 = arcsinเป็นฟังก์ชันเพิ่มเสมอ(ความชันเป็นบวก)ฉะนั้น ข้อ 1. ถูกแล้วOf 4x→ f3= e ก็เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ดังนั้นข้อ 3. ผิด1x4π/2-11f 3Of 21O−π/2→ f = lnx เป็นฟังก์ชันเพิ่มเช่นกัน ฉะนั้น ความชันเป็นบวก ข้อ 2. ถูกแล้วส่วนข้อ 4. นั้นถูกแล้ว เนื่องจากπ πcos < cosxx4 6ความชันของกราฟ f 4 ที่πcos จึงมากกว่า4ตอบ ข้อ 3.4 3 n4n + 18n + 18n + 2(84) lim ;n →∞4 3 n5n + 20n + 2 ⋅ 2[นํา 2 n ไปหารทั้งเศษและส่วน]→limn →∞4 34n + 18n + 18n5nn24 3+ 20nn2+ 2+ 1ซึ่งถ้า n →∞ แล้ว n 4 2n4n∴ lim = 0 ดังนั้น ตอบ 1n →∞n22 (ad) + (bc)→ (ad) − 2abcd + (bc) > (ad) + (bc)2 2 2 2→−2abcd > 0 →abcd < 0 เป็นไปไม่ได้เลย∴ P = 0 ตอบ ข้อ 1.(89) Ŷ = mX + c → Y = mX + c ด้วย∴ 109 = 53m + c .....(1)และ 5 = m(1) + c .....(2)แก้ระบบสมการได้ m = 2, c = 3∴ เมื่อ x = 20 วินาทีจะได้ Ŷ = 2(20) + 3 = 43 m/s ตอบ(90) ก. จากเงื่อนไขของรู้ท พบว่า x − 6 > 0 และx + 4 > 0 และ 6 − x > 0 นํามาอินเตอร์เซคกันเหลือแค่เลข 6 แค่ตัวเดียว→ แทนค่า x = 6 ดู พบว่า 0 + 10 > 0 จริง∴ ผลบวกคําตอบก็คือ 6 ข้อ ก. ผิดx 3ข. ( x) = x ; โดย x > 0ใส่ log 2 ข้าง; x log x = 3 log x2x→ ( − 3)(log x) = 02จะได้ x − 3 = 0 หรือ log x 02 =→ x = 6 หรือ 1 ข้อ ข. ถูก ตอบ ข้อ 2.3 3(91) ให้ θ= arctan ∴sinθ=4 52 18→ cos 2θ = 1 − 2 sin θ = 1 − = 0.28 ตอบ25(92) − 1 + i 3 เป็นคําตอบ แสดงว่า สังยุคคือ−1 − i 3 ต้องเป็นคําตอบด้วย2จาก (x + 1 − i 3)(x + 1 + i 3) = x + 2x + 4นําไปหารยาวออกจาก f(x) ได้ผลเป็น2 3 2(x + 2x + 4)(x − 2x + 9x − 18) = 0แยกตัวประกอบ2 2→ (x + 2x + 4)(x − 2)(x + 9) = 0ดังนั้นคําตอบคือ − 1 + i 3, −1 − i 3, 2, − 3i, 3iผลบวกคําตอบ = 0 ตอบ[อาจใช้สูตรลัดที่ให้ไว้ในบทจํานวนเชิงซ้อนก็ได้]2 1 0(93) 31B = 3 × 16 + 1× 16 + 11×1616= 768 + 16 + 11 = 795 ตอบλ −1(94) λI− A =2 λ+ 22= λλ ( + 2) + 2 = λ + 2λ + 2 = 0− 2 ± 4 − 8∴ λ= =− 1 ± i ตอบ2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET569ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)(95) จัดรูป;2 216 (y − 4y + 4) − 25 (x − 2x + 1) = − 439 + 64 − 252 2→ 16(y − 2) − 25(x + 1) = − 4002 2(x + 1) (y − 2)→ − = 116 25เป็นไฮเพอร์โบลาเปิดซ้ายขวา a = 4, b = 5เส้นกํากับต้องผ่านจุดยอด ( − 1,2)และมีความชัน ± (b/ a)ดังนั้น ตอบ(96)a5− = ± + คือ ข้อ 4.4by 2 (x 1)ความยาวลวด 80 เมตร→ 80 = 2b + 4a ∴ b = 40 − 2a2พื้นที่ A = ab = a(40 − 2a) = 40a − 2aจะได้ A′ = 40 − 4a = 0 → a = 10ดังนั้น A max = 10(40 − 20) = 200 ตร.ม. ตอบ1 1g(ln x + 2) = =3 3ln x + 3 (ln x + 2) + 1(97)3∴ g(x) =1x + 1ตอบ(98) (0, 2) → T = 44(4, 0) → T = 100(2, 2) → T = 94(3, 1.5) → T = 1082∴ Tmax= 108 ตอบO6 4(99) ÃC=⎡ ⎤,ÃD =⎣⎢8⎦⎥y⎡ ⎤⎢⎣ 3⎥⎦หามุม θ โดยการดอท;6(4) + 8(3) = (10)(5) cos θ(2,2)4(3,1.5)48 −124→ cos θ = ∴ θ = cos ตอบ50 25C (AB) = B A = ⎡b b ⎤ ⎡a a ⎤⎣b12 b 22 ⎦ ⎢ ⎣a12 a22⎦(100)T T T 11 21 11 21ab + a b ab + a b=⎡⎢⎣ab + a b ab + a b11 11 12 21 21 11 22 2111 12 12 22 21 21 22 22พิจารณา c 12 = a 21 b 11 + a 22 b 21และ c 21 = a 11 b 12 + a 12 b 22นั่นคือ ab j1 1i + a j2 b 2i ตอบ ข้อ 1.(101) พื้นที่แรเงา = พื้นที่ใต้กราฟจาก 0 ถึง 9ลบด้วยพื้นที่สามเหลี่ยม913/29= ∫ (3 x) dx − × 4 × 9 = (2x ) − 18002= 54 − 18 = 36 ตอบ⎤⎥⎦x(102) สมการ y − 1 = x − 2ได้แก่ (y − 1) = (x − 2) และ (y − 1) = −(x − 2)เป็นเส้นตรงสองเส้นกากบาทผ่านจุด (2, 1)พื้นที่1Δ = × 4 × 224= ตร.หน่วย ตอบ14(103) A 1 = [ − 10,2] , A 2 = [ − 5, ],510 22A 3 = [ − , ], ...3 710 8n − 2A ∞ = [ lim( − ), lim( )] = [0, 4]n→∞n n→∞2n + 1(เป็นช่วงที่ไม่เกิดขึ้นจริงเพราะเกิดที่อนันต์)⎡ 10 ⎞ก. A n ∪ A n + 1 ∪ A n + 2 ∪ ∪ A ∞ =⎢− ,4⎟⎣ n ⎠(106) แปลงกราฟเป็น แกน log(f(x)) จะได้ดังนี้(log 1 = 0 ดังนั้นแกน x จึงต้องขยับขึ้นมา 1 ช่อง)log f(x)3210-1… ถูก⎛ 8n − 2ข. n n 1 n 2 …ถูก⎤A ∩ A + ∩ A + ∩ ∩ A∞= ⎜0, ⎝ 2n + 1 ⎦⎥∞∞ค. ∪ − − ∩⎡ 10 ⎞ ⎛ 8n − 2⎤⎢,4⎟⎜0,i= 1 ⎣ n ⎠ i=1⎝ 2n + 1⎦⎥= (0, 4) − (0, 4) = ∅ ถูก ดังนั้น ตอบ ถูก 3 ข้อ(104) สมมติสร้าง n ชั้นค่าใช้จ่ายเฉลี่ย y =800 + (1 + 2 + 3 + ... + n)n⎡(n)(n + 1) ⎤800 ⎢ 2 ⎥ 800 n + 1= +⎣ ⎦= +2 n n 2800 12∴ y′= − + = 0 → n = 1,6002n 2→ n = 40 ชั้น ตอบ(105) 100 ∑ an = a1 + a2 + a3 + … + a100n=11 2 50= 1 + 2 + 3 + 2 + … + 99 + 21 2 31 2 3 50= (1 + 3 + 5 + … + 99) + (2 + 2 + 2 + … + 2 )5050 ⎛2(1 − 2 )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)⎞=⎛⎞⎜ (1 + 99) ⎟ + ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 − 2 ⎠50 2= 2,500 + 2(2 − 1) = 2,500 + 2(x − 1) ตอบ3-1x2

คณิตศาสตร O-NET / A-NET570ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)3∫ log[f(x)]dx = พื้นที่ใต้กราฟจาก 1 ถึง 311= × 2 × (3 + 1) = 4 ตอบ2(107)32 2PP = 2 + 3 = 132(108) พิจารณาสมการ − x + ky − z = 3 กับx − y + z = − 2 พบว่า สัมประสิทธิ์ของ x และของz ถูกคูณ -1 ดังนั้นจะไม่มีคําตอบเมื่อ k = 1 ตอบ[จะคํานวณจาก det = 0 ก็ได้](109) หาร x − 2 กับ x + 1 ลงตัว แสดงว่า1 2ตอบp(x) = (x − 2)(x + 1)(x − c)หาค่า c โดย “หาร x แล้วเหลือเศษ 8”นั่นคือ p(0) = 8 → 8 = (2)(1)(c) − − → c=4ตอบ p(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 4)1(110) พื้นที่ Δ ABC = 2 = × 1 × BC → BC = 42AB BE 1 0.8Δ คล้าย; = → =AC BD 4 BDBD 3.2→ = หน่วย ตอบ(111) จากการพิสูจน์แล้วในหัวข้อ “อนุพันธ์” (บทที่15) จะได้ว่า ต้องตัดออก “ด้านละ 1 ใน 6” ดังนั้น216 8,192ปริมาตร =⎛ ⎞× × = ลบ.ซม. ตอบ(112) ก. ผิด4⎜ 16 ⎟⎝6⎠ 6 27ต้องเป็น sin( α−β ) = sin αcos β−cos αsinβข. กับ ค. ถูกแล้วง. ผิด ต้องเป็น cos( α− 30 ° ) + cos( α+ 30 ° )= 2 cos α cos 30° = 3 cos α ตอบ ข้อ 4.(113) คิดด้วยวิธีดังรูป (คล้ายสูตรในเรื่องเซต)= + -4 3 3 5 3 3=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟ ⎜2⎟ + ⎜2⎟ ⎜2⎟− ⎜2⎟ ⎜2⎟= 39⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(114) y 3 + 4y 2 − 9 = 3y + 9รูป ตอบ3 2 2→ y + 4y − 3y − 18 = 0 → (y − 2)(y + 3) = 0แต่จากโจทย์มีตัวส่วน ดังนั้น y ≠ − 3จึงได้ว่า y = 2 เท่านั้น3∴ f(2) = 2 − 2(2) + 5 = 9 ตอบ ข้อ 2.(115) พื้นที่แรเงาดังนี้เท่ากับ 1 ของวงกลม4A Bลบด้วยพื้นที่ Δ ABC1 2 1จะได้ = π 1 − × 1×14 2Cπ 1= − และในโจทย์มีรูปนี้ 2 ซีกรวมกัน4 21ตอบπ π2( − ) = − 1 ≈ 0.57 cm 24 2 2(116) เปรียบเทียบได้ดังนี้1. ผืนผ้า ไม่ต้องคิด เพราะพื้นที่น้อยกว่า จัตุรัสอยู่แล้ว (ความรู้จากเรื่องอนุพันธ์)2. จัตุรัส พื้นที่ = ด้าน 22 2⎛L⎞Lแต่ 4ด้าน = L ∴ พื้นที่ = =⎜ ⎟⎝4⎠163. หกเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ = 6 รูป Δ ด้านเท่า= 6( 1 × ด้าน × ด้าน sin 602 × ° ) 3 3= ด้าน 22แต่ 6ด้าน = L ∴ พื้นที่เมฆมาก ฝนตกคิดจาก1 − (P{ ฝนตก } − P{ เมฆมากและฝนตก })1 ( 0.35 0.25)0.902 23 3 L L=⎛ ⎞⎜ ⎟ =2 ⎝6⎠24 3(หมายเหตุ คิดพื้นที่สามเหลี่ยมจาก 1 [ab sin C] )24. วงกลม พื้นที่ = π รัศมีแต่ L = 2π รัศมี ∴ พื้นที่22 2⎛ L ⎞= π ⎜ ⎟ =⎝2⎠πเปรียบเทียบกัน พบว่า 4π< 16 < 24 3ดังนั้น วงกลมมีพื้นที่มากที่สุด ตอบ4(117) 10 เมตร 10ตัดครั้งแรกเหลือครั้งที่สามเหลือ4= มิลลิเมตร410L4, ตัดครั้งที่สองเหลือ41022410, ฯลฯ3210n 4∴ < 1 → 2 > 10 → nlog2 > 4n244→ n > ซึ่ง 130.301 0.301 ≈ กว่า∴ต้องตัด 14 ครั้งขึ้นไป ตอบ(118) มีเมฆมากหรือไม่มีฝนตกแรเงาได้ดังภาพ= − − = ตอบπ2 ,Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET571ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)(119) คิดที่ระนาบ z = 2 ก่อน (มองเฉพาะ x,y)3ได้สมการเส้นตรง AB เป็น (y − 2) = (x − 2)4→ 3x − 4y + 2 = 0z=2A BD 25z=-3Cระยะจากจุด D( − 4,0,2) มาถึง AB3( −4) − 4(0) + 2คิดจาก = 2 หน่วย2 23 + 4จากนั้นมองว่า ระยะทางนี้ตั้งฉากกับ CDซึ่งยาว 2 − ( − 3) = 5 หน่วย2 2คําตอบคือ 2 + 5 = 29 หน่วย ไม่มีข้อใดถูก(120) พื้นที่หกเหลี่ยม = 6 ⋅Δ1 147 3= 6( × 7 × 7 × sin60 ° ) = ≈ 127.32 22 22 2พื้นที่วงกลม = π (7) ≈ × 7 = 1547ตอบ 154 − 127.3 = 26.7 cm 2(121) log(f(x)) + log(g(x)) = 4และ log 10 + log(f(x)) − log(g(x)) = 3จะได้ log(f(x)) = 3 , log(g(x)) = 1ดังนั้น2g(x) 10 x 1 10 x 3= → + = → = ± ตอบ⎡df(x)⎤ ⎡df(x)⎤⎢ + x dx = dx + x dxdx⎥ ⎢dx⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦(122) 4 4 4∫ ∫ ∫1 1 142 2 24 ⎡x ⎤4 1= ⎡⎣f(x) ⎤⎦+ = (f(4) − f(1)) + ( − )1⎢ ⎥⎣ 2 ⎦2 211= (6 − 8) + (8 − ) = 5.5 ตอบ2[หมายเหตุ ค่า f(4) และ f(1) ดูจากกราฟ](123) จาก j = − 1 = 1∠ 2ดังนั้น j =πj πj 2 2→ ln j = j ln j = j ln e = j ln e2ซึ่ง j 2 =− 1 และ ln e = 1 ∴ ตอบ(124)ติดขัด (J) อุบัติ (A)− π2πj1e2P(J) = 0.85,P(A) = 0.5,∴ P(J ∪ A) = 0.85 + 0.5 − 0.3 = 1.05P(J ∩ A) = 0.3ความน่าจะเป็นเกิน 1 ดังนั้น โจทย์ข้อนี้ผิด ตอบ(แต่ถ้ามั่วทําต่อก็พอไหว โจทย์ถาม (J' ∪ A) คือส่วนที่แรเงา คิดจาก 1 − (P(J) − P(J ∩ A))= 1 − (0.85 − 0.3) = 0.45 ก็อาจเฉลยข้อ 3.)(125)16 − 15z = = 20.519/20A = = 47.5%2(หาร 2 เพราะโจทย์บอกมาเป็นช่วง 2ดังนั้นพื้นที่ด้านขวาของ A = 50 − 47.5 = 2.5%คือมีคนมากกว่าเขาอยู่ 2.5% ดังนั้น± )เขาได้ลําดับที่ประมาณ 2.5% × 200 = 5 ตอบ(126) สมการเส้นตรง ผ่านจุด (1,4)2 2→ (y − 4) = − (x − 1)32กระจายได้เป็น 2x =− 3y + 14-2 0 2 z2 3 3 14→ x = − y + 7 = 4( − )(y − )2 8 314เป็นพาราโบลาคว่ํา จุดยอด V(h, k) = (0, )314 3 103จุดโฟกัส F(0, ) (0, )3 8 24− = ไม่มีข้อใดถูก(127) A โจทย์บอก XYC ˆ = 150°X105 3 ∴ AYX ˆ = 30°แต่มุม AXY ˆ = 90° จะได้YBXAY ˆ = 60° ถูกแบ่งครึ่งCด้วยO 200 3200 3จาก Δ OAB จะได้ tan 30°=AB→ AB = 600 เมตรAXจาก Δ AXY จะได้ tan 30°=105 3→ AX = 105 เมตรตอบ XB 600 105 495AO → BAO ˆ = 30°= − = เมตร(128) แพทย์ 10 → จากข้อ ง. และ ก. ได้ว่ามีพยาบาล 5 → แสดงว่ามีแพทย์ที่ไม่พยาบาลอีก5 → แต่จากข้อ จ. ทําให้ทราบว่า 5 แห่งนี้ต้องสอนวิศวะ → จากข้อ ข. ทําให้ทราบว่า วิศวะกับแพทย์มี5 และวิศวะกับพยาบาลไม่มีเลย → ดังนั้น จากข้อค. ทําให้ทราบว่า วิศวะทั้งหมดมี 10 แห่ง ตอบ5 5 5พยาบาลวิศวะแพทย์(129) y(y 2 + 3) = 4(y + 3) แต่โจทย์บอกว่าy ≠ − 3 ดังนั้น y 2 = 4 → y = 2, − 2∴ f(2) = 2, f( − 2) = 6 ตอบ { 2, 6 }AMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET572ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (เกา)(130) จากโจทย์10(2i)2= = (2i) = −48(2i) −2 10[(i + 1) ]=[(i − 1) ]28ตอบ(131) ต้องการกรองแสง เหลือประมาณ 0.401 ชั้น เหลือแสง 0.802 ชั้น เหลือ 0.80 × 0.80 = 0.643 ชั้น เหลือ 0.80 × 0.64 = 0.5124 ชั้น เหลือ 0.80 × 0.512 = 0.4096ดังนั้น ตอบ 4 ชั้น(132) โจทย์คือ p → qข้อ 1. q→ ผิด→ p ผิด ข้อ 2. ~p ~q) ตอบ∴ ข้อ 3. ถูก (คือ ~q → ~p(133) A = 1⋅ 2 ⋅ 2 = 4, B = a ⋅ 2 ⋅ 1 = 2a→ AB = 4 ⋅ 2a = 8 → a = 1 ตอบ(134) มุม ˆจากกฎของ sin;ABC = 30°AB 50=sin 45° sin 30°ดังนั้น AB = 50 2 เมตร ตอบ(135)⎛ 1 ⎞5 3 4 +⎛ 4n + n ⎞ ⎜ 2n⎟ 4lim ⎜lim5 ⎟ = ⎜ ⎟ =⎝5n − 38 ⎠n→∞3855⎜ −5 ⎟⎝ n ⎠n→∞(ใช้วิธีนํา n 5 หารทั้งเศษและส่วน)π = πlim 3 cos(n ) 3 lim cos(n )n→∞n →∞n→∞{ … }= 3 lim −1, 1 , −1, 1 , − 1, = 3⋅ 1=3ตอบ 4 3 2.45 × =(136) ระยะทาง 500 กม. ความเร็ว v กม./ชม.แสดงว่าใช้เวลาวิ่ง 500 ชม.v2v 500→ ค่าใช้จ่าย f(v) = ( + 40)( )5 v20,000= 100v +v20,0002f(v) ′ = 100 − = 0 → v = 2002v∴ v = 200 = 10 2 กม./ชม. (จึงจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด) ตอบ(137) เส้นรอบวง วงนอกสุด = π ddd2 2รัศมีวงถัดไป = → เส้นรอบวงd dดังนั้น ผลบวกคือ ππ πd2[อนุกรมเรขาฯอนันต์]d2 2 d/2d= π2+ + + …2 ( 2)πd2πd= =11 − ( )2 − 12(138) สมมติความเร็วเป็น x กับ y และถังมีปริมาตรเท่ากับ 1 จะได้ว่า 1 − 1 = 3 .....(1)และ12x + y =.....(2)xy1 1ตอบแก้ระบบสมการได้ x = , y =6 3ดังนั้น เวลาที่ใช้สูบ คือ 6 และ 3 ชม. ตอบ ข้อ 2.(139) ข้อ 1. ความชัน 3 , −1 ,3ข้อ 2. ความชัน 1 , − 3,13 3ข้อ 3. ความชัน 1 , −2,−24 3ข้อ 4. ความชัน 5 ,2, −33 55 4 5มีข้อ 2. กับ 4. ที่มีเส้นสองเส้นตั้งฉากกัน (ความชันคูณกันได้ -1) แต่ว่าข้อ 2. อีกเส้นก็ตั้งฉากด้วย (คือมี 1 เท่ากันสองเส้น) จึงไม่เกิดสามเหลี่ยม3ดังนั้น ตอบ ข้อ 4.Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET573ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)¢oÊoºe¢ÒÏ ¾×é¹°Ò¹ÇiÈÇa 41-48e©¾Òa¢o·Õèe» ¹¤³iµÈÒÊµÃหมายเหตุ ข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 2 คะแนนและข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 3 คะแนนตุลาคม 25411. จากการสังเกต ณ จุด A มุมระหว่างแนวราบและแนวที่มองไปยังยอดตึกแห่งหนึ่งเป็น 30 องศาเมื่อเดินจากจุด A มุ่งไปยังตึกนี้เป็นระยะทาง 200 เมตร ถึงจุด B พบว่ามุมระหว่างแนวราบและแนวที่มองไปยังยอดตึกนี้เป็นมุม 45 องศาพอดี ความสูงของตึกหลังนี้สูงกี่เมตร โดยประมาณ1. 271 2. 273 3. 275 4. 2772. วิศวกรคนหนึ่งมีลูกน้อง 10 คน จะแบ่งกลุ่มลูกน้องเป็นสองกลุ่มให้มีคนกลุ่มละเท่าๆ กัน วิศวกรผู้นั้นจะมีวิธีจัดกลุ่มลูกน้องได้กี่วิธี1. 45 วิธี 2. 90 วิธี 3. 126 วิธี 4. 252 วิธี3. จงหา0∫2f(t) dt4. จากการวิเคราะห์แนวโน้มของปริมาณรถที่วิ่งผ่านถนนสายหนึ่งในอดีตพบว่า ปริมาณรถที่วิ่งผ่านแปรผันตามรากที่สองของจํานวนประชากรในเมือง A ปัจจุบันเมือง A มีประชากรอยู่ 9 ล้านคนสมมติให้แนวโน้มการเปลี่ยนแปลงของปริมาณรถที่วิ่งผ่านถนนสายนี้มีอัตราคงที่ และคาดว่าจะมีประชากรในอีก 10 ปีข้างหน้าเพิ่มเป็น 16 ล้านคน ปริมาณรถที่วิ่งผ่านถนนสายนี้ในอีก 10 ปีข้างหน้าจะเพิ่มเป็นกี่เท่าของปริมาณรถที่วิ่งผ่านถนนสายนี้ ณ ปีปัจจุบัน1. 4/3 2. 1.5 3. 16/9 4. 45. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีความยาวของแต่ละด้านเท่ากับ a ถูกบรรจุด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีมุมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมภายนอก ดังแสดงในรูป ถ้าสี่เหลี่ยมดังกล่าวเกิดขึ้นอย่างa ไม่สิ้นสุด จงหาผลรวมของเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เกิดขึ้นa5f(t)O 1 2 3 4-5t1. 4 2 a1+23. 4 2 a2 1 −1. 02. 2.53. 54. 102. 2 − 14 2 a4. 1 + 24 2 aMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET574ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)6. ถ้า X 1 , X 2 , … X N เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่ n > 0 และทุกๆ ค่าของ X เป็นจํานวนเต็ม ค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เป็นค่าแบบใด1. จํานวนเต็ม 2. จํานวนนับ 3. จํานวนตรรกยะ 4. จํานวนอตรรกยะ7. จากการขนส่งสินค้าทางบกจากกรุงเทพไปยังจังหวัดอุดรธานี พบว่ามีการขนส่งด้วยรถไฟและรถบรรทุกอยู่ร้อยละ 20 มีการขนส่งด้วยรถไฟร้อยละ 30 ถามว่ามีการขนส่งสินค้าด้วยรถบรรทุกอยู่ร้อยละเท่าใดมีนาคม 25428. โรงงานผลิตถ้วยแก้วแห่งหนึ่งมีการควบคุมคุณภาพแบบสุ่มตรวจ ระดับคุณภาพของโรงงานอยู่ที่ความผิดพลาดหรือข้อบกพร่องของผลิตภัณฑ์ (เช่น บิ่น เบี้ยว ผิดขนาด ฯลฯ) ไม่เกินร้อยละ 5ดังนั้นในการผลิตถ้วยแก้ว 1,500 ใบ จะต้องสุ่มตรวจกี่ใบที่เมื่อไม่พบข้อบกพร่องเลยจะสามารถยอมรับได้ตามเกณฑ์ระดับคุณภาพดังกล่าว1. 75 ใบ 2. 74 ใบ 3. 19 ใบ 4. 20 ใบ9. เมือง A และ B อยู่ห่างกัน 20 กม. ดําออกเดินทางจากเมือง A ในแนวทิศะวันออกเฉียงเหนือ แดงออกเดินทางจากเมือง B ในแนวทิศตะวันตกเฉียงเหนือ เมือง CNอยู่ระหว่างทางในแนวทางเดินของดํากับแดง เมือง C อยู่ห่างจากเมือง A เท่าไร1. 10.00 กม. 2. 10 2 กม.AB 3. 10 3 กม. 4. 20.00 กม.20 กม.10. แผนกซ่อมบํารุงของโรงงานแห่งหนึ่งมีพนักงานประจํา 9 นาย เป็นช่างกลโรงงาน 5 นาย และช่างไฟฟ้า 4นาย ในการจัดทีมซ่อมบํารุงแต่ละครั้งจะใช้ช่างกลโรงงาน 3 นาย และช่างไฟฟ้า 2นาย ในฐานะหัวหน้าแผนกซ่อมบํารุง ท่านมีวิธีจัดทีมงานได้กี่วิธีมีนาคม 254311. แก้วบรรจุน้ําเต็มปริ่มใบหนึ่ง หมุนรอบแกนกลางของแก้วด้วยความเร็วคงที่ แรงหนีศูนย์กลางที่เกิดขึ้นทําให้น้ําที่อยู่ในแก้วส่วนหนึ่งล้นออกจากแก้ว เมื่อมองจากภาพตัดขวาง น้ําที่เหลืออยู่ในแก้วขณะนั้นอยู่ในรูปพาราโบลา ซึ่งก้นรูปพาราโบลาแตะก้นแก้ว และขอบพาราโบลาแตะขอบแก้วด้านบน2พอดี สามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ในแนว x และ y ของรูปพาราโบลาได้เป็น y = xดังรูป น้ําที่เหลืออยู่ในแก้วมีปริมาตรเท่าใดy = x 21. มากกว่า 1/3 ของแก้ว 2. 1/ 3 ของแก้ว3. น้อยกว่า 1/3 ของแก้ว 4. ข้อมูลไม่เพียงพอที่จะบอกได้12. ในการคํานวณค่าความสามารถของกระบวนการผลิต ดัชนีชี้วัดประกอบด้วยCPU =USL − X3 ⋅ SDCPLLSL − X=3 ⋅ SDและ CPK = ค่าที่ต่ํากว่าระหว่าง CPU กับ CPLโดยที่ USL คือค่าควบคุมขั้นสูง LSL คือค่าควบคุมขั้นต่ําX คือค่าปัจจัยเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ SD คือค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานของปัจจัยเมื่อค่า CPK = 1 ผลิตภัณฑ์ที่เสียหายซึ่งเกิดขึ้นเมื่อปัจจัยสูงหรือต่ํากว่าค่าควบคุมจะมีจํานวนร้อยละเท่าไร (ทศนิยม 2ตําแหน่ง) ใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติที่กําหนดให้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)z 0.00 3.00A 0.0000 0.4987

คณิตศาสตร O-NET / A-NET575ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)ตุลาคม 254313. ผลสอบวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรมของนักเรียนจํานวน 100 คน มีตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ช่วงคะแนน ความถี่ ช่วงคะแนน ความถี่0 – 910 – 1920 – 2930 – 3940 – 49151020301050 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง1. มัธยฐานมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่ามากกว่าฐานนิยม3. ฐานนิยมมีค่ามากกว่ามัธยฐาน 4. มัธยฐานมีค่ามากกว่าฐานนิยม14. ในการวัดการเปลี่ยนแปลงของการทดลองทางวิศวกรรม บ่อยครั้งที่ค่าที่วัดได้จะอยู่ในรูปของลําดับข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้องเกี่ยวกับลําดับ1. โดเมนของลําดับเป็นจํานวนเต็มบวก2. ลําดับเรขาคณิตคือลําดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 กับพจน์ที่ n คงที่3. ค่าลิมิตของลําดับคือค่าเพียงจํานวนเดียว ที่พจน์ที่ n ของลําดับมีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับเมื่อ n มีค่ามากขึ้นอย่างอนันต์4. ลําดับไดเวอร์เจนต์คือลําดับอนันต์ที่มีค่าลิมิตของลําดับเป็นจํานวนจริง15. นาย ก ยืนอยู่บนดาดฟ้าของตึก A ซึ่งสูง 10 เมตร ต้องการส่งสัญญาณให้นาย ข โดยใช้กระจกสะท้อนแสงอาทิตย์ โดยนาย ข ยืนรออยู่บนดาดฟ้าของตึก B ซึ่งสูง 50 เมตร และอยู่ห่างจากตึก A 30 เมตร ขณะนั้นเป็นเวลาเที่ยงตรง นาย ก จะต้องวางกระจกสะท้อนแสงทํามุมกับพื้นราบเป็นมุมเท่าใด− 1 4− 1 51. tan เรเดียน 2. tan เรเดียน331 43.π −1 1 4− tan เรเดียน 4.π−− tan เรเดียน2 34 2 316. เลขจํานวนเชิงซ้อนใช้อย่างแพร่หลายในงานคํานวณด้านวิศวกรรม ข้อใดต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องของจํานวนเชิงซ้อน (กําหนดให้ z , z 1 และ z 2 เป็นจํานวนเชิงซ้อน)−1 −11. (z) (z )3. z1+ z2 z1 + z211= 2.z− =z −< 4. z1⋅ z

คณิตศาสตร O-NET / A-NET576ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)มีนาคม 254418. โรงงานอุตสาหกรรมขนาดเล็กแห่งหนึ่งผลิตผลิตภัณฑ์และบรรจุใส่กล่อง กล่องละ 1 โหล เพื่อจําหน่ายทั้งกล่อง ก่อนส่งออกจําหน่ายเจ้าหน้าที่ตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์จะสุ่มผลิตภัณฑ์ในกล่องอย่างไม่ใส่คืนทุกกล่อง กล่องละ 3 ชิ้น เพื่อตรวจสอบคุณภาพ ถ้าสุ่มพบผลิตภัณฑ์ชํารุดแม้แต่ชิ้นเดียว จะส่งผลิตภัณฑ์ทั้งกล่องกลับไปยังโรงงาน และถ้าไม่พบผลิตภัณฑ์ชํารุดเลยจะส่งผลิตภัณฑ์กล่องนั้นออกจําหน่าย จงหาความน่าจะเป็นที่กล่องที่มีผลิตภัณฑ์ชํารุด 3 ชิ้น จะถูกส่งออกไปจําหน่าย1. 12/55 2. 27/55 3. 7/55 4. 21/5519. ฟังก์ชัน f เป็นสับเซตจาก R ไป Rนิยามว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) ถ้ามีคุณสมบัติต่อไปนี้(i) f(x + y) = f(x) + f(y)(ii) α f (x) = f ( α x) โดยที่ α เป็นค่าคงที่จํานวนจริงใดๆข้อใดต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น1. f(x) 2. f(x) 3. f(x) 4.f(x)xxxx20. เครื่องบรรจุนมกล่องกึ่งอัตโนมัติจะบรรจุนมใส่กล่องกระดาษ โดยปริมาตรบรรจุมีการแจกแจงปกติและมีค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 ลบ.ซม. ในการจําหน่ายจะบรรจุนมกล่องในลังกระดาษขนาดบรรจุ 2 โหลเพื่อจําหน่าย ถ้าความน่าจะเป็นที่นมในกล่องจะมีปริมาตรเกินกว่า 250 ลบ.ซม.เป็นร้อยละ 50 จงหาปริมาตรเฉลี่ยของนมกล่องทั้งลัง เป็น ลบ.ซม.ตุลาคม 254421. ผลิตภัณฑ์ ก ประกอบด้วยชิ้นส่วน ข จํานวน 2 ชิ้นนํามาประกอบเข้าด้วยกัน ถ้าชิ้นส่วน ขชํารุดจะใช้เวลาในการปรับแต่งก่อนประกอบ 9 นาที และใช้เวลาในการประกอบ 1 นาที ถ้าชิ้นส่วนข ไม่ชํารุดจะไม่ต้องปรับแต่ง และใช้เวลาในการประกอบ 1 นาทีเช่นเดียวกัน ถ้าสุ่มชิ้นส่วน ข มาจากกล่องชิ้นส่วน ข จํานวน 10 ชิ้น ซึ่งมีชิ้นส่วน ข ที่ชํารุดอยู่ 3 ชิ้น และชิ้นส่วน ข ที่ไม่ชํารุด 7ชิ้น จงหาเวลาเฉลี่ยในการประกอบผลิตภัณฑ์ ก จํานวน 1 ชิ้น1. 7.2 นาที 2. 7.4 นาที 3. 8.4 นาที 4. 8.6 นาที22. ระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์หนึ่งๆ จะประกอบด้วยคอมพิวเตอร์หลายเครื่อง เครื่องคอมพิวเตอร์แต่ละเครื่องมีหน้าที่รับและส่งข้อมูล ถ้าสมมติว่าคอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งมีข้อมูลเข้ามาจากเครื่องอื่นด้วยอัตราคงที่ 20 หน่วย/วินาที และจะส่งข้อมูลทั้งหมดที่เข้ามาออกไปยังเครื่องอื่นที่อัตราคงที่ 10หน่วย/วินาทีด้วยความน่าจะเป็น 1/2 และจะส่งข้อมูลกลับไปรวมกับข้อมูลที่เข้ามาจากเครื่องอื่นที่อัตราคงที่ 10 หน่วย/วินาทีด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ถ้าเครื่องคอมพิวเตอร์เครื่องนี้สามารถเก็บข้อมูลในเครื่องได้มากที่สุด 300 หน่วย จงหาว่านานเท่าไรเครื่องคอมพิวเตอร์เครื่องนี้จะสูญเสียข้อมูลจากการที่ไม่สามารถเก็บข้อมูลส่วนเกินได้กําหนดให้เครื่องนี้จะส่งข้อมูลออกทันทีที่มีข้อมูลเก็บอยู่ในเครื่อง1. 12 วินาที 2. 15 วินาที 3. 20 วินาที 4. 30 วินาทีMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET577ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)23. บนเกาะแห่งหนึ่งมีคนอยู่ 2 ประเภท ประเภทแรกเป็นคนที่พูดความจริงเสมอ ส่วนประเภทสองเป็นคนที่พูดโกหกเสมอ เมื่อท่านขึ้นไปบนเกาะได้ยินคนบนเกาะ 2 คน คือ A และ B พูด ดังนี้A พูดว่า “B เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ”B พูดว่า “ฉันและ A เป็นคนคนละประเภทกัน”ท่านคิดว่า A และ B เป็นคนประเภทไหน1. A และ B เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ2. A และ B เป็นคนที่พูดโกหกเสมอ3. A เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ ส่วน B เป็นคนที่พูดโกหกเสมอ4. A เป็นคนที่พูดโกหกเสมอ ส่วน B เป็นคนที่พูดความจริงเสมอ24. ประเทศ 3 ประเทศ ได้แก่ประเทศ X, ประเทศ Y, และประเทศ Z เป็นประเทศเพื่อนบ้าน มีชายแดนติดกันดังแสดงในภาพนาย x เป็นพลเมืองประเทศ X ทํางานที่ด่านตรวจคนเข้าเมืองประเทศ X ประเทศ Yด่าน X ด่าน Yประเทศ Zของประเทศ X มีนิสัย “พูดจริง” เสมอ นาย y เป็นพลเมืองประเทศ Y ทํางานที่ด่านตรวจคนเข้าเมืองของประเทศ Y มีนิสัย “พูดเท็จ” เสมอ เนื่องจากงานค่อนข้างน่าเบื่อ นาย xและนาย y จึงชอบเปลี่ยนด่านที่ทํางาน บางวันนาย x จะย้ายไปทํางานที่ด่านของประเทศ Y ส่วนนาย y จะย้ายไปทํางานแทนที่ประเทศ X แต่บางวันทั้งคู่ก็อยู่ประจําด่านของประเทศตนเอง ขึ้นอยู่กับอารมณ์และสถานการณ์ในแต่ละวันหากนาย z ซึ่งเป็นพลเมืองประเทศ Z ต้องการเดินทางเข้าประเทศ X และได้ศึกษาจากคู่มือท่องเที่ยวซึ่งได้กล่าวถึงพฤติกรรมของนาย x และนาย y ไว้อย่างชัดเจน ดังนั้นเมื่อนาย z ไปถึงด่านตรวจคนเข้าเมือง คําถามใดที่นาย z ควรใช้ เพื่อตัดสินใจว่าด่านใดคือด่านเข้าประเทศ X ที่เท้จริง (โดยนาย z มีโอกาสถามได้เพียง 1 ครั้งเท่านั้น)1. “ท่านเป็นเพศชาย ใช่ไหม”2. “ท่านเป็นพลเมืองของประเทศนี้ ใช่ไหม”3. “ท่านพูดความจริงเสมอ ใช่ไหม”4. การถามเพียง 1 คําถาม ไม่เพียงพอต่อการหาข้อสรุป25. ในการสํารวจการสวมใส่อุปกรณ์ป้องกันภัยส่วนบุคคล 3 ชนิด ของพนักงานในหน่วยงานหนึ่งจํานวน 100 คน พบว่าพนักงานส่วนใหญ่ละเลยในการสวมใส่อุปกรณ์ป้องกันภัย ทําให้มีโอกาสเกิดอันตรายได้ค่อนข้างสูง จากมาตรฐานความปลอดภัยในการทํางานได้ระบุว่าต้องสวมใส่อุปกรณ์อย่างน้อย 2 ชนิด คือหูเสียบป้องกันเสียงดังและแว่นตานิรภัย ผลการสํารวจพบว่ามีพนักงานส่วนน้อย 3คน ที่ไม่ยอมใส่อุปกรณ์อะไรเลย และ1) มีผู้สวมใส่หูเสียบป้องกันเสียงดัง 50 คน2) มีผู้สวมใส่แว่นตานิรภัย 70 คน3) มีผู้สวมใส่ผ้าปิดจมูกอย่างเดียว 20 คน4) มีผู้สวมใส่แว่นตานิรภัยอย่างเดียว 15 คน5) มีผู้สวมใส่ผ้าปิดจมูกและหูเสียบป้องกันเสียงดัง 20 คน6) มีผู้สวมใส่แว่นตานิรภัยและผ้าปิดจมูก 28 คนอยากทราบว่า มีโอกาสเท่าใดที่พนักงานจะสวมใส่อุปกรณ์ได้ถูกต้องตามมาตรฐานความปลอดภัย1. 0.27 2. 0.35 3. 0.43 4. ผิดทุกข้อMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET578ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)26. จงหาจํานวนทางเดินทั้งหมดจากจุด a ไปยังจุด b โดย aจะต้องเดินไปทางขวาหรือลงล่างเท่านั้น จากรูปเป็นตัวอย่างทางเดินแบบหนึ่งจากจุด a ไปจุด b1. 70 2. 163. 256 4. ผิดทุกข้อb27. ในการบริหารความปลอดภัยในโรงงานมีหลักการง่ายๆ ว่า “เมื่อลงทุนจัดทําระบบความปลอดภัยยิ่งสูง ก็จะทําให้อุบัติเหตุน้อยลง” จากการศึกษาพฤติกรรมของค่าใช้จ่ายทั้งสองพบว่าสามารถแสดงได้จํานวนเงิน (ล้านบาท)ดังกราฟต่อไปนี้f = 0.01 x − 0.01g =1x − 1อยากทราบว่า จะต้องใช้เงินลงทุนในระบบความปลอดภัยเท่าใด ถึงจะได้ผลตอบแทนที่คุ้มค่าที่สุด (หน่วย : 1000 บาท)มีนาคม 2545328. บริษัทแห่งหนึ่งผลิตสินค้าชิ้นหนึ่ง มีฟังก์ชันต้นทุนรวม ดังสมการ C(x) = x + x บาท โดย xคือจํานวนหน่วยของสินค้าที่ผลิตซึ่งจะสัมพันธ์กับเวลา ( t ) หน่วยเป็นเดือน ดังสมการต่อไปนี้2t x 2x 7= − +จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อเวลา ในเดือนที่ 4 ของการผลิต11. 8 บาท/เดือน 62. 7 บาท/เดือน3. 112 บาท/เดือน 4. ไม่มีข้อถูก29. ห้องเรียน A และห้องเรียน B มีนักเรียนรวมกันทั้งสิ้นเท่ากับ 55 คน เมื่อทําการจัดห้องเรียนพบว่าห้องเรียน A สามารถจัดให้นักเรียนนั่งได้แถวละ 5 คนพอดี ส่วนห้องเรียน B ก็สามารถจัดให้นักเรียนนั่งได้แถวละ 6 คนพอดีข้อใดสรุปได้ถูกต้อง เกี่ยวกับจํานวนแถวของห้องเรียน A และห้องเรียน B1. จํานวนแถวของห้องเรียน A < จํานวนแถวของห้องเรียน B2. จํานวนแถวของห้องเรียน A = จํานวนแถวของห้องเรียน B3. จํานวนแถวของห้องเรียน A > จํานวนแถวของห้องเรียน B4. สรุปไม่ได้30. บริษัทแห่งหนึ่งมีจํานวนโทรศัพท์ที่โทรเข้าในช่วงเวลา t ชั่วโมง โดยมีความน่าจะเป็นดังนี้nt − tP[N(t) = n] = 2 ซึ่ง N(t) คือจํานวนที่โทรเข้าในช่วงเวลา t ชั่วโมงn!จงหาความน่าจะเป็นซึ่งช่วงเวลาระหว่างการโทรเข้าแต่ละครั้งน้อยกว่า 2 ชั่วโมง1. 0 2. 1/ 4 3. 1/2 4. 3/431. กระดาษรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 และ 4 cm สามารถตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ใหญ่ที่สุดได้กี่ตาราง cmMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)34

คณิตศาสตร O-NET / A-NET579ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)32. ในการรับสมัครนักศึกษาด้วยการสอบเข้าของคณะวิศวกรรมศาสตร์ ณ มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง มีเกณฑ์ว่าผู้มีสิทธิ์เข้าสอบสัมภาษณ์จะต้องมีค่ามาตรฐานของคะแนนสอบตั้งแต่ 1.5 ขึ้นไป ถ้าค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบของผู้เข้าสอบทั้งหมดเป็น 50 และค่าความแปรปรวนของคะแนนสอบเป็น4 จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ผู้เข้าสอบจะมีสิทธิ์สอบสัมภาษณ์ต่อเมื่อทําข้อสอบได้ร้อยละเท่าไรขึ้นไปตุลาคม 254533. อุปกรณ์ป้องกัน (Circuit Breaker) ในระบบส่งจ่ายกําลังไฟฟ้าของการไฟฟ้าฝ่ายผลิตของประเทศไทย ดังแสดงข้อมูลในตารางข้างล่างอุปกรณ์ป้องกันProbability ที่จะชํารุดราคา/หน่วย(Circuit Breaker)ABCD750,000650,000550,000450,000ในเวลา 5 ปี0.180.20.250.3พนักงานออกแบบและวางแผนของการไฟฟ้าฯ ควรจะเลือกอุปกรณ์ป้องกัน (Circuit Breaker)ประเภทใดมาใช้งานเพื่อให้เกิดความคุ้มทุนมากที่สุด1. D 2. C 3. B 4. A34. จากรูปแสดงการเปรียบเทียบเส้นโค้งความถี่ของค่าระดับความเข้มแสง (Intensity value) แต่ละจุดภาพของรูปภาพต้นไม้และรูปภาพเครื่องบิน ซึ่งแต่ละรูปภาพมีขนาด 128 x 128 จุดภาพ วิศวกรท่านหนึ่งได้คํานวณค่ามัธยฐานของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพทั้งสอง พบว่ามีค่าเท่ากันคือ128 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. การกระจายของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้และรูปภาพเครื่องบิน มีค่าเท่ากันข. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้และเครื่องบิน มีค่าเท่ากันค. ฐานนิยมของค่าระดับความเข้มแสงของรูปภาพต้นไม้มีค่าน้อยกว่า 128จํานวนจุดภาพ6,000ภาพต้นไม้ภาพเครื่องบินO ระดับความเข้มแสง255อยากทราบว่าจํานวนข้อที่ถูกมีทั้งหมดกี่ข้อ1. 1 ข้อ 2. 2 ข้อ 3. 3 ข้อ 4. ผิดหมดทุกข้อ35. ถ้าในประเทศไทยมีรหัสที่รับนักศึกษาต่อในคณะวิศวกรรมศาสตร์ จํานวน 100 รหัส แล้ว ในการสอบคัดเลือกบุคคลเข้าศึกษาในสถาบันอุดมศึกษาของทบวงมหาวิทยาลัยคราวนี้ ผู้สมัครจะมีโอกาสเข้าศึกษาต่อได้กี่รหัส1. ไม่เกิน 4 รหัส 2. 100 P 4 รหัส 3. 100 C 4 รหัส 4. 100 รหัสMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET580ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)36. ในการตัดแผ่นเหล็กรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้วยเครื่องตัดพลาสมาจากเหล็กแผ่นรูปวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง 8 เมตร โดยรูปสี่เหลี่ยมABCD นี้สามารถวางลงใน Quadrant ที่ 2 ของแผ่นโลหะได้พอดีดังรูปจงหาระยะ BD1. 8 เมตร 2. 4 เมตร3. 4 3 เมตร 4. ข้อมูลไม่เพียงพอที่จะตอบADBCมีนาคม 254637. รูปเหลี่ยมด้านเท่าต้องมีความยาวแต่ละด้านไม่มากกว่าเท่าใด เพื่อที่วงกลมรัศมี r สามารถสัมผัสกับทุกด้านได้1. 4r 2. 2 3 r 3. 2r 4. 2r/ 338. บริษัทผลิตรถยนต์แห่งหนึ่งทําการผลิตรถยนต์ 3 รุ่น โดยแต่ละรุ่นใช้วัสดุตามตารางรุ่น เหล็ก (kg) อะลูมิเนียม (kg) พลาสติก (kg)ABC200250200300300250400400300ปรากฏว่าในวันนี้มีวัสดุในโกดังดังนี้ เหล็ก 1,000 kg อะลูมิเนียม 1,500 kg พลาสติก 1,600 kgเพื่อให้วันนี้ผลิตรถยนต์ให้ได้จํานวนมากที่สุด วิศวกรโรงงานควรเลือกปฏิบัติตามข้อใดก. ไม่ผลิตรถยนต์รุ่น A และ B เลย เพราะว่าใช้วัสดุมากข. ตัดสินใจโดยพิจารณาปริมาณการใช้เหล็กและพลาสติกเป็นหลักค. ผลิตรถยนต์รุ่น C รุ่นเดียว เพราะว่าสามารถได้จํานวนมากถึง 5 คัน1. ก และ ข 2. ก ข และ ค 3. ข และ ค 4. ก และ ค39. ร้านเบเกอรี่แห่งหนึ่งต้องใช้แป้งสาลีและน้ําตาลเป็นวัตถุดิบหลักในการทําขนมเค้กและขนมพายถ้าในการทําขนมเค้ก 1 ชิ้น จะต้องใช้แป้งสาลี 400 กรัม และน้ําตาล 200 กรัม ส่วนขนมพาย 1ชิ้นจะต้องใช้แป้งสาลี 200 กรัม และน้ําตาล 400 กรัม ทางร้านจะได้กําไรจากขนมเค้กชิ้นละ 80บาท และขนมพายชิ้นละ 100 บาท ถ้าในแต่ละวันทางร้านต้องสั่งแป้งสาลี 10 กิโลกรัม และน้ําตาล14 กิโลกรัม ทางร้านจะต้องผลิตขนมเค้กและขนมพายอย่างละกี่ชิ้นต่อวันเพื่อให้มีกําไรสูงสุด และจะได้กําไรเป็นเท่าใด ถ้าหากขนมที่ผลิตออกมาขายได้หมด1. ขนมเค้ก 20 ชิ้น ขนมพาย 20 ชิ้น กําไร 3,600 บาท2. ขนมเค้ก 10 ชิ้น ขนมพาย 20 ชิ้น กําไร 2,800 บาท3. ขนมเค้ก 10 ชิ้น ขนมพาย 30 ชิ้น กําไร 3,800 บาท4. ขนมเค้ก 20 ชิ้น ขนมพาย 10 ชิ้น กําไร 2,600 บาท40. ระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์ระบบหนึ่งประกอบด้วยเครื่องคอมพิวเตอร์ที่เหมือนกันจํานวน 3เครื่อง ในระบบนี้จะอนุญาตให้คอมพิวเตอร์ส่งข้อมูลได้ทีละเครื่อง ไม่เช่นนั้นจะทําให้ระบบหยุดทํางาน โดยที่คอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งจะมีความน่าจะเป็นที่จะส่งข้อมูลเท่ากับ 1/2 จงหาความน่าจะเป็นที่ระบบเครือข่ายนี้จะทํางานอยู่ได้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET581ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)ตุลาคม 254641. โรงงานแห่งหนึ่งมีความต้องการไฟฟ้าเฉลี่ย 1,000 kW ซึ่งปัจจุบันโรงงานซื้อไฟฟ้าจากการไฟฟ้าฯ ในราคา 2 บาท/kWh แต่ในขณะนี้บริษัทกําลังคิดจะเปลี่ยนจากการซื้อไฟฟ้ามาเป็นการผลิตไฟฟ้าใช้เองโดยใช้เครื่องยนต์ดีเซล หากการทําเช่นนี้มีค่าใช้จ่ายต่อปีเป็น 50,000 + 1,975 n บาทเมื่อ n เป็นจํานวนชั่วโมงทํางาน จงหาว่าโรงงานนี้ควรจะทํางานอย่างน้อยกี่ชั่วโมงต่อปี จึงจะคุ้มค่ากับการเปลี่ยนมาผลิตไฟฟ้าใช้เอง1. 1,500 ชั่วโมง 2. 1,750 ชั่วโมง 3. 2,000 ชั่วโมง 4. 2,250 ชั่วโมง42. บริษัทก่อสร้างแห่งหนึ่งมีทีมวิศวกรชาย 3 คน และหญิง 3 คน โดยบริษัทมีโครงการที่จะส่งพนักงาน 3 คนไปฝึกอบรมต่างประเทศ อยากทราบว่าความน่าจะเป็นที่พนักงานที่บริษัทสุ่มเลือกมาจะเป็นวิศวกรชาย 2 คน และวิศวกรหญิง 1 คน เป็นเท่าใด1. 2/9 2. 3/9 3. 3/20 4. 9/2043. บริษัทผู้ผลิตหลอดฟลูออเรสเซนต์จากต่างประเทศ ต้องการจ้างโรงงานในประเทศไทยเป็นตัวแทนผลิต โดยมีทางเลือกอยู่ 2 โรงงาน คือโรงงาน A และโรงงาน Bให้ทดลองผลิตหลอดไฟเพื่อที่จะเลือกตัวแทนผลิตเพียงรายเดียวBผลปรากฏว่าอายุการใช้งานของหลอดไฟที่ผลิตจากโรงงาน A และ Bมีการแจกแจงปกติดังรูปจงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. อายุการใช้งานเฉลี่ยของหลอดไฟจากโรงงาน A เท่ากับโรงงาน Bxข. บริษัทจะเลือกโรงงาน A หรือโรงงาน B เป็นตัวแทนผลิตก็ได้ เพราะให้คุณภาพเท่ากันค. บริษัทควรจะเลือกโรงงาน A เป็นตัวแทนผลิตข้อความใดถูกต้องจากผลการทดลองในครั้งนี้1. ก 2. ก และ ข 3. ค 4. ก และ คมีนาคม 254744. กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 6 ลูก เป็นลูกสีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก สีเหลือง 1 ลูกเด็กคนหนึ่งหยิบลูกแก้วออกจากกล่องนี้มา 1 ลูกโดยวิธีสุ่ม เมื่อดูสีของลูกแก้วแล้วก็โยนกลับลงในกล่อง แล้วทําการหยิบครั้งที่ 2 โอกาสที่เด็กคนนี้จะหยิบได้ลูกแก้วสีแดงและสีเหลืองอย่างละลูกเท่ากับข้อใด1. 1/3 2. 1/6 3. 2/3 4. 1/ 1245. ถ้าเชิญแขกมารับประทานอาหาร 6 คน โดยเป็นผู้ชาย 3 คน ผู้หญิง 3 คน โดยเชิญให้แขกนั่งรอบโต๊ะกลมซึ่งมี 6 ที่นั่ง อยากทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะจัดแขกให้นั่งสลับชาย-หญิง เป็นเท่าใด1. 1/2 2. 1/5 3. 1/ 10 4. 1/6046. จงหาตัวเลขในตําแหน่งที่ขาดหายไปของลําดับต่อไปนี้125, 726, ......, 40328, 3628891. 5027 2. 5037 3. 5047 4. 506747. บริษัทผลิตกระเป๋าแห่งหนึ่ง ถ้าขายใบละ 40 บาท จะขายได้ 4000 ใบ ถ้าขายใบละ 30 บาทจะขายได้ 8000 ใบ จงสร้างฟังก์ชันเชิงเส้น f(x) เมื่อ f(x) เป็นจํานวนกระเป๋าที่ขายได้ และ xเป็นราคาขายต่อใบ1. f(x) = 400x − 120002. f (x) = 200 x − 40003. f(x) = − 400x + 20000 4. f (x) = − 200 x + 12000Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)A

คณิตศาสตร O-NET / A-NET582ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)48. จงคํานวณหาพื้นที่แรเงาของรูปต่อไปนี้ โดยวงกลมมีรัศมีเท่ากับ 1 และสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาวทั้งสองด้านเท่ากันคือ 21. 2 − π 2. 2 − π /23. 2 − π /8 4. 2 − π /1212249. ผู้จัดการโรงงานแห่งหนึ่งวางแผนที่จะนําเงินรายได้ในแต่ละปีไปฝากธนาคาร เพื่อจะใช้เป็น300,000 เงินลงทุนในอีก 4 ปีข้างหน้า โดยจะเริ่มฝากเงินในปีหน้า200,000 เป็นปีแรก 100,000 200,000 และ 300,000 บาท ตาม100,000ลําดับ (ดังแผนภูมิกระแสเงินสด) อยากทราบว่าในปีที่ 4 ถ้าอัตราดอกเบี้ยเงินฝากคงที่ 10% ต่อปี ผู้จัดการคนนี้จะมีเงินปีที่ เก็บรวมเป็นเท่าใด (คิดเป็นหน่วยพันบาท)0 1 2 3 4ตุลาคม 25470.9 0.850. แผงวงจรอิเล็กทรอนิกส์ ประกอบ 0.80.9ด้วยชิ้นส่วนต่างๆดังรูป โดยแต่ละชิ้นส่วน0.9จะมีค่าความน่าจะเป็นในการทํางานตามตัวเลขที่ระบุไว้อยากทราบว่าความน่าจะเป็นรวมของวงจรนี้ที่จะทํางานได้ เป็นเท่าใด (พิจารณาทศนิยม 2 ตําแหน่ง)1. 0.52 2. 0.65 3. 0.70 4. 0.7251. ในการวางแผนการผลิตของชิ้นส่วนรถยนต์ พบว่าเกิดความล่าช้าเนื่องจากการรองาน วิศวกรฝ่ายวางแผนจึงสนใจทําการเก็บข้อมูลเวลาที่ล่าช้า 100 ตัวอย่าง ซึ่งได้ข้อมูลคือ ล่าช้า 0.5 นาที 40%,ล่าช้า 0.8 นาที 25% และล่าช้า 1 นาที 35% จากข้อมูลดังกล่าววิศวกรผู้นี้ควรจะเผื่อเวลาสําหรับความล่าช้าโดยเฉลี่ยประมาณกี่นาทีมีนาคม 254852. องค์การขนส่งมวลชนกรุงเทพ (ขสมก.) สนใจที่จะเปิดเส้นทางเดินรถโดยสารสายใหม่บนถนนสายหนึ่ง จึงจ้างวิศวกรเข้าไปสํารวจข้อมูลจํานวนรถรับจ้างที่วิ่งผ่านถนนเส้นนั้นในระยะเวลาหนึ่งชั่วโมง จากการสํารวจทําให้ได้ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้จํานวนรถรับจ้างที่ผ่านในหนึ่งชั่วโมง (คัน) 0 1 2 3ความน่าจะเป็น 0.5 0.25 0.2 0.05ขสมก. อยากทราบว่าเวลาเฉลี่ยที่รถรับจ้างแต่ละคันจะผ่านถนนสายนี้เป็นเท่าใด1. 45 นาที 2. 60 นาที 3. 75 นาที 4. 120 นาที53. จากรูปป้ายทะเบียนรถยนต์ อยากทราบว่าจะมีวิธีการจัดเรียงป้ายทะเบียนดังกล่าวได้กี่แบบ ถ้ากําหนดให้การจัดเรียงตัวอักษรจะใช้พยัญชนะไทยเพียง 40 ตัว และเมื่อนํามาเรียงแล้วจะใช้ไม่ได้ 500 คู่ส่วนการจัดเรียงตัวเลขจะห้ามนําเลขศูนย์ขึ้นหน้าที่หลักแรก1. 9.54 ล้านแบบ 2. 12.34 ล้านแบบ3. 14.40 ล้านแบบ 4. 16.00 ล้านแบบกก 1234กรุงเทพมหานครMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET583ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)54. นักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร์ระดับปริญญาโทคนหนึ่ง ต้องการซื้อเลเซอร์พรินเตอร์สําหรับการพิมพ์วิทยานิพนธ์ โดยเลเซอร์พรินเตอร์เครื่องนี้มีราคา 15,000 บาท และตลับหมึกมีราคาตลับละ2,000 บาท (หนึ่งตลับสามารถพิมพ์เอกสารได้ 1,000 หน้า) แต่ถ้าไม่ซื้อเครื่องพรินเตอร์จะต้องไปจ้างร้านพิมพ์เอกสารในราคาหน้าละ 8 บาทถ้าหากนักศึกษาคนนี้ซื้อเครื่องพรินเตอร์ดังกล่าวแล้ว เขาควรจะพิมพ์เอกสารกี่หน้าจึงจะคุ้มค่ากว่าไปจ้างร้านพิมพ์เอกสารเฉลยคําตอบ(1) 2 (2) 3 (3) 3 (4) 1 (5) 3 (6) 3 (7) 90 (8) 3 (9) 2 (10) 60 (11) 1(12) 0.13 (13) 3 (14) 4 (15) 4 (16) 4 (17) 1,812 (18) 4 (19) 3 (20) 6,000(21) 2 (22) 4 (23) 2 (24) 2 (25) 3 (26) 1 (27) 100 (28) 4 (29) 2 (30) 2(31) 3 (32) 53 (33) 3 (34) 2 (35) คําถามไม่ชัดเจน (36) 2 (37) 2 (38) 3(39) 3 (40) 0.5 (41) 3 (42) 4 (43) 1 (44) 2 (45) 3 (46) 3 (47) 3 (48) 3(49) 705.1 (50) 3 (51) 0.75 (52) 3 (53) ไม่มีข้อถูก (ตอบ 9.90 ล้านแบบ) (54) 2,625เฉลยวิธีคิด(1) จาก Δ เล็ก มุม B = 45°แสดงว่าระยะทางจาก Bถึงตึก เท่ากับ h ด้วย30°พิจารณา Δ ใหญ่ A 200htan 30°= → 200 + h = 3h200 + h200→ h = ≈ 273 เมตร ตอบ3 − 1(2) จากกฎการแบ่งกลุ่ม 10 เป็น 5, 510 !จะได้ = 126 วิธี ตอบ2(5 !) 2 !(3) 2 ∫ f(t) dt = พื้นที่02(4) รถ α ประชากร จะได้ว่า1 145°B h1Δ = × 5 × 2 = 5 ตอบรถ2 ประชากร216 4= = = ตอบรถ ประชากร 9 3h(5) ความยาวด้านนอกสุด = aจะได้เส้นรอบรูปนอกสุด = 4a2 2a a aความยาวด้านถัดไป = + =4 4 24aจะได้เส้นรอบรูปชั้นที่สอง =2ดังนั้น เส้นรอบรูปรวม = 4a +4a 4a+22 ( 2)+ …4a 4 2 a= = ตอบ11 − ( )2 − 12(ใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์)∑ x จํานวนเต็ม(6) X = =Nจํานวนเต็มa/2a/2จะออกมาเป็นจํานวนตรรกยะเสมอ ตอบ(จํานวนตรรกยะคือเศษส่วนและจํานวนเต็ม)(7) โจทย์ข้อนี้ควรระบุด้วยว่า นอกจากสองทางนี้แล้วไม่มีการขนส่งทางอื่นอีก จึงจะคํานวณได้ดังนี้จาก n(A ∪ B) = 100%→ 100 = 30 + n(B) − 20 → n(B) = 90% ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET584ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)(8) เนื่องจาก 5% ของ 20 เท่ากับ 1 ใบดังนั้นถ้าสุ่มมา 20 ใบ จะบกพร่องได้ 1 ใบ(เพราะโจทย์ใช้คําว่า “ไม่เกิน 5%”)และถ้าพบว่า 19 ใบแรกไม่บกพร่องเลย ใบที่ 20 ก็ไม่จําเป็นต้องตรวจ ตอบ 19 ใบ(9) ทิศการเดินของ Aกับ B ตั้งฉากกันCและมุม A กับ B เป็น 45°ดังนั้น จาก Δ ABC ; A 20 BAC = 20 sin 45° = 10 2 กม. ตอบ(10)⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ = 10 × 6 = 60 วิธี ตอบx 2 x04a42πx πa= ( ) =4 210⎜3⎟ ⎜2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠40 4−1 4tan θ = = ดังนั้น θ= tan30 33มุมที่กระจกทํากับพื้นคือ α หาได้จากSAC ˆ − θ π/2−θ π θβ = = = −2 2 4 2และπα = − β − θ2π ⎛π θ ⎞ π θ∴ α= −⎜− ⎟ −θ= −2 ⎝ 4 2⎠4 2=π 1 −14− tan4 2 3ตอบa 2ay ปริมาตร = ∫ (2πrh)dx0a2= ∫ (2πx ⋅ x )dx(11) ถ้าเปลี่ยนตัวเลือกทั้งหมด เป็น 2/3 ของแก้วจะตอบได้ทันทีว่า น้อยกว่า 2/3 ของแก้ว เพราะพาราโบลาลูกถ้วยย่อมกินปริมาตรมากกว่ากรวยกลมตรง (โดยที่ถ้าเป็นกรวยจะกินปริมาตร 1/3 แก้ว →เหลือ 2/3 แก้วพอดี... ตามสูตรปริมาตรกรวย = 1/3ของทรงกระบอก)แต่ข้อนี้ตัวเลือกเป็น 1/3 ของแก้ว ไม่สามารถกะได้ต้องคํานวณละเอียดโดยการอินทิเกรต “แบบเปลือกทรงกระบอก” เพื่อหาปริมาตร ดังนี้O x a02 2 2 4แต่ปริมาตรเต็มแก้ว = πrh= πa(a) = π aดังนั้น น้ําเหลืออยู่ 1 ของแก้ว ตอบ ข้อ 1.2(12) ย้าย 3 มาคูณ จะได้ 3 CPU = z, 3 CPL = zดังนั้น ถ้า CPK = 1 แสดงว่า z = 3 หรือ − 3ได้พื้นที่ A = 0.4987และพื้นที่ส่วนนอก A = 0.0013(ซ้ายของ -3 หรือ ขวาของ 3 ก็ได้)∴ ผลิตภัณฑ์เสียหายคิดเป็นร้อยละ 0.13 ตอบ(13) คํานวณ X โดยเลือกชั้น 30-39 ให้ d = 0−45−20− 20+ 10+ 10+ 15+ 12+ 5+6X = 44.5 + (10)( )100= 41.8Med อยู่ชั้น 30-3950 − 45Med = 29.5 + (10)( ) = 31.1630Mo อยู่ชั้น 30-3910Mo = 29.5 + (10)( ) = 32.8310 + 20ตอบ ข้อ 3.(14) ตอบ ข้อที่ผิดคือ ข้อ 4.เพราะลําดับไดเวอร์เจนต์ คือลําดับที่ไม่มีลิมิต หรือหาค่าไม่ได้ (ถ้าได้เป็นจํานวนจริงเรียกว่าคอนเวอร์เจนต์)(15)B S B(16) ตอบ ข้อ 4. เพราะว่า zz 1 2 = z 1 z 2 เสมอ(17) ชั่วโมงการทํางานเฉลี่ย = 2,000 ชม.แสดงว่า ถ้าไปตรวจบํารุงรักษาเมื่อ 2,000 ชม.เครื่องจักรมีโอกาสทํางานอยู่ 50% หรือไปถึงก็พบว่าเสียหายแล้วอยู่ 50% เท่าๆ กันหากต้องการให้เครื่องจักรมีโอกาสทํางานถึง 97%ก็ต้องเข้าไปบํารุงรักษาก่อนจะถึง 2,000 ชม.ดังรูปพื้นที่ 0.47 = ซ้าย→ z = − 1.88 =x − 2,000100จะได้ x = 1,812 ชั่วโมง ตอบ(18) n(S) = ชํารุด 3 ชิ้น ตรวจพบกี่ชิ้นก็ได้,n(E) = ชํารุด 3 ชิ้น ตรวจไม่พบเลย12 12นั่นคือ n(S)ดังนั้นAθ40 5030 C=⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ และ 12 9n(E) =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 ⎟ ⎜3⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛12⎞ ⎛9⎞⎜ 3 ⎟ ⎜3⎟21P(E) =⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛12⎞ ⎛12⎞55⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Aβ βθα0.47 0.5ตอบCx 2,000เสียหาย 3% ทํางานได้ 97%Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET585ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)(19) จากข้อ (i) ถ้า x = 0,y = 0 จะได้ว่าf(0) = f(0) + f(0) ⇒ 2f(0) ∴ f(0) = 0 เท่านั้นจึงมีข้อ 1. กับ 3. ที่เป็นไปได้ต่อมาพิจารณาจากข้อ (ii) f( α x) = α f(x)→ f(2) = 2f(1), f(3) = 3f(1), f(4) = 4f(1), ...พบว่า f(3) − f(2) = f(1), f(4) − f(3) = f(1), ...แสดงว่า ความชันเท่าเดิมตลอดทุกค่า xคือเป็นกราฟเส้นตรง ตอบ ข้อ 3.(20) ความน่าจะเป็นที่นม31 กล่องมีปริมาตรเกิน 250 cmเป็น 50% พอดี3แสดงว่า 250 cm = X 250โจทย์ถามปริมาตรเฉลี่ยทั้งลัง (24 กล่อง)3จะได้ 24 × 250 = 6,000 cm ตอบ(21) ชิ้นส่วน ข มีโอกาสชํารุด 3 ใน 10กรณีที่ 1; ไม่ชํารุดเลย ใช้เวลา 2 นาทีมีโอกาสเกิดขึ้น⎛7⎞⎜2⎟⎝ ⎠ 7=⎛10⎞15⎜ 2 ⎟⎝ ⎠กรณีที่ 2; ชํารุดทั้งสองชิ้น ใช้เวลา 9+9+2=20 นาทีมีโอกาสเกิดขึ้น⎛3⎞⎜2⎟⎝ ⎠ 1=⎛10⎞15⎜ 2 ⎟⎝ ⎠กรณีที่ 3; ชํารุดชิ้นเดียว ใช้เวลา 9+2=11 นาที7 1 7มีโอกาสเกิดขึ้น 1 − − =15 15 15ดังนั้นเวลาเฉลี่ย (ถ่วงน้ําหนักด้วยความน่าจะเป็น)7 1 7= + + = นาที ตอบ(2) (20) (11) 7.415 15 15[หมายเหตุ การหาค่าเฉลี่ยโดยถ่วงน้ําหนักด้วยความน่าจะเป็น ในวิชาสถิติจะเรียกว่า การหาค่าคาดหมายซึ่งจะได้ศึกษาเพิ่มเติมในระดับมหาวิทยาลัยครับ..](22) ที่เวลา t วินาทีมีข้อมูลเข้า 20t หน่วยส่งข้อมูลออก1 110t( ) 10t( ) 10t2 2+ = หน่วยดังนั้น มีข้อมูลค้างในเครื่อง 20t − 10t = 10t หน่วย→ 10t = 300 → t = 30 วินาที ที่เครื่องจะทํางานได้โดยไม่สูญเสียข้อมูล ตอบ(23) พิจารณาที่ A; ถ้า A พูดจริง แสดงว่า B เป็นคนพูดจริงด้วย แต่ B พูดว่า B กับ A เป็นคนละประเภท → ขัดแย้งกัน ดังนั้น กรณีนี้จึงไม่ใช่...แต่ถ้า A พูดโกหก แสดงว่า B เป็นคนพูดโกหกเหมือนกัน และ B พูดว่า B กับ A เป็นคนละประเภท ก็คือ B โกหก ...ลงตัวพอดี ตอบ ข้อ 2.(24) ข้อ 1. ไม่ใช่ เพราะการถามว่า “ท่านเป็นเพศชายใช่ไหม” นั้นจะทําให้ทราบเพียงว่า นายคนนี้ชื่อนาย x (พูดจริงเสมอ) หรือ นาย y (พูดเท็จเสมอ)แต่จะไม่ได้ข้อมูลเกี่ยวกับด่านเข้าประเทศเลย (ถามได้คําถามเดียว)ข้อ 3. ยิ่งไม่ได้ข้อมูลเลย เพราะหากถามว่า “ท่านพูดความจริงเสมอใช่ไหม” นั้น ไม่ว่านาย x หรือ นาย yก็จะตอบว่า “ใช่” เหมือนกันทั้งสองคนส่วนข้อ 2. เป็นข้อที่ถูก ... สมมติเราไปถูกด่านแล้วคือด่าน X ไม่ว่าจะเจอนาย x หรือนาย y ก็จะได้รับคําตอบว่า “ใช่” เสมอ แต่ถ้าไปผิดด่าน (คือไปด่านY) นาย x กับนาย y จะตอบว่า “ไม่ใช่” ทั้งคู่วิธีนี้จะทําให้ทราบว่าด่านนี้ถูกหรือผิด ∴ ตอบ ข้อ 2.(25) จาก ตา=70 จะได้ข+ง+จ = 70 − 15 = 55แต่ ง+จ = 28 ดังนั้นข = 55 − 28 = 27 คนจาก หู=50 จะได้จ = 100 − 3 −20 − 15 − 50 = 12และ ง = 28 − 12 = 16โจทย์ถาม ข+ง 27 16 43หู3ตาก ข 15ค ง จ20จมูก= + = ตอบ 0.43(26) ขวา 4 ครั้ง, ลง 4 ครั้งเหมือนการสลับลําดับอักษร ขขขขลลลล8!= = 70 เส้นทาง ตอบ4!4!(27) จุดที่คุ้มค่าก็คือค่าระบบความปลอดภัย เท่ากับค่าอุบัติเหตุพอดี1∴ 0.01x − 0.01 =x − 11002→ x − 1 = → (x − 1) = 100x−1จะได้ x − 1 = 10 เท่านั้น (ติดลบไม่ได้) → x = 11ดังนั้น f = g = 0.1 ล้านบาทคิดเป็นหน่วยพันบาท ก็คือ 100 พันบาท ตอบdC(28) โจทย์ถามdt =t 4แต่ให้ฟังก์ชัน C กับ t มาในรูปของ xจึงต้องใช้กฎลูกโซ่dC dC dx dC dt 3x + 1= ⋅ = ÷ =dt dx dt dx dx 2x − 2ต้องการคิดที่ t = 4 หาค่า x ที่ทําให้ t = 4 ดังนี้2→ 4 = x − 2x + 7 → พบว่า x ไม่ใช่จํานวนจริงดังนั้น t = 4 เป็นไปไม่ได้ ... ตอบ ข้อ 4.2[หมายเหตุ t = x − 2x + 7 โดย x > 0จะได้ว่า t > 6 เสมอ]2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET586ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)(29) สมมติห้อง A มี a แถว แถวละ 5 คน,ห้อง B มี b แถว แถวละ 6 คน∴ 5a + 6b = 55 โดย a, b เป็นจํานวนนับ55 − 6b 6bจะได้ว่า a = → a = 11 −5 5∴ 6b ต้องหาร 5 ลงตัว พบว่า b = 5 เท่านั้น(ถ้า b = 10 จะได้ห้อง B มี 60 คน.. ซึ่งเกิน 55)สรุปว่า a = 5, b = 5 ตอบ ข้อ 2.(30) [ข้อนี้คล้ายการแจกแจงแบบปัวส์ซองซึ่งเกินหลักสูตร แต่ก็ไม่เหมือนทั้งหมดนะครับ ยังพอคํานวณได้]เราต้องการความน่าจะเป็นที่ในระยะเวลา 2 ชั่วโมง(t=2) มีการโทรมากกว่า 1 ครั้ง (n>1) ก็คือกี่ครั้งก็ได้ตั้งแต่ 2 ครั้ง, 3 ครั้ง, 4 ครั้ง, เป็นต้นไป..ซึ่งควรจะคํานวณด้วยวิธีลบออก= ความน่าจะเป็นรวม - ความน่าจะเป็นที่มีการโทรเข้า 0 ครั้ง - ความน่าจะเป็นที่มีการโทรเข้า 1 ครั้ง= 1 − P[N(2) = 0] − P[N(2) = 1]0 1−2 −22 2 1 1 1= 1 − 2 − 2 = 1 − − = ตอบ0! 1! 4 2 4(31) จากการพิสูจน์ที่แสดงในเรื่อง “อนุพันธ์”จะได้คําตอบเป็น 1.5 × 2 = 3 ตร.ซม. ตอบ(32) s 2 = 4 → s = 2x − 50z = 1.5 = → x = 53 คะแนน2เนื่องจากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ดังนั้น ตอบ 53(33) ต้องการราคาถูก และโอกาสที่จะชํารุดน้อย→ คิดง่ายๆ โดยนําราคากับโอกาสชํารุดมาคูณกันประเภทใดได้ค่าต่ําสุดก็ตอบอันนั้นA; 75 × 0.18 = 13.5 B; 65 × 0.2 = 13C; 55 × 0.25 = 13.75 D; 45 × 0.3 = 13.5ดังนั้นควรเลือกยี่ห้อ B ตอบ(34) ก. ถูก การกระจายเท่ากัน รูปกราฟเพียงแค่พลิกด้านกันเท่านั้นข. ผิด โค้งเบ้ซ้าย X < Medแต่โค้งเบ้ขวา X > Medค. ถูก โค้งภาพต้นไม้เป็นโค้งเบ้ขวา Mo < Medตอบ มีข้อถูก 2 ข้อ(35) ข้อนี้คําถามไม่ชัดเจนMo Medถ้าถามในแง่ว่าเลือกได้กี่รหัส ก็ต้องตอบข้อ 1. ไม่เกิน4 รหัส แน่นอน ... หรือว่า มีโอกาสเลือกกี่รหัส แบบนี้ตอบข้อ 4. คือ 100 รหัสส่วนข้อ 2. กับ 3. เป็นไปไม่ได้แน่ เพราะถามเป็นหน่วย “รหัส” ไม่ใช่จํานวน “แบบ” ในการเลือก (ซึ่งคํานวณออกมาได้ค่าหลายล้านแบบ)(36) วงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 8 เมตร แสดงว่าAC = 4 เมตร (เพราะจุด A อยู่ที่ศูนย์กลางพอดี)สี่เหลี่ยมมุมฉากมีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน ดังนั้นBD = 4 เมตรด้วย ตอบ(37) จากการสังเกตพบว่า จํานวนด้านยิ่งน้อยด้านจะยิ่งยาวขึ้น ดังนั้นด้านที่ยาวที่สุดคือด้านของรูปสามเหลี่ยมพิจารณา Δ ด้านเท่ายาวด้านละ x หน่วยมีวงกลมรัศมี r แนบในสมบัติของเส้นมัธยฐานทําให้ทราบว่าเส้นมัธยฐานยาว r + 2r = 3rx 2 2 2∴ ( ) + (3r) = x (ทฤษฎีบทปีทาโกรัส)2จะได้x/2r2r2x2 3x9r = → x = 12 r = 2 3 r ตอบ4(38) มองโดยรวมพบว่า รุ่น C ใช้วัสดุน้อยที่สุดทั้ง 3อย่าง ถ้าผลิตรุ่น C รุ่นเดียว จะได้จํานวน 5 คัน(เหล็กหมดก่อน) ถ้าผลิตรุ่น A หรือ B รุ่นเดียวจะได้เพียง 4 คัน (พลาสติกหมดก่อน) ดังนั้น ค. ถูกแต่หากมองต่อไปถึงการผลิต 2 รุ่นร่วมกัน จะพบว่าหากผลิตรุ่น C 4 คัน รุ่น A 1 คัน ก็ยังได้จํานวน 5คันเช่นเดิม (เหล็กหมด และพลาสติกหมดพอดี)ดังนั้น ก. ผิด, ข. ถูก ตอบ ข้อ 3.(39) สมการจุดประสงค์ P = 80x + 100yโดยที่ x = จํานวนเค้ก และ y = จํานวนพายมีเงื่อนไขดังนี้ 0.4x + 0.2y < 100.2x + 0.4y < 14 yและ x > 0, y > 0ได้จุดยอดมุมเป็น 50 (10,30)(0, 50), (25, 0)และ (10, 30)xตอบ ข้อ 3. ได้ทันที O 25(40) [ข้อนี้เกินหลักสูตร เพราะคิดแบบความน่าจะเป็นคูณกัน เป็นการแจกแจงแบบทวินาม แต่ก็ยังพอคํานวณได้จากพื้นฐานความรู้ดังนี้]โอกาสที่ระบบจะทํางานได้= มีเครื่องเดียวส่งข้อมูล + ไม่มีเครื่องใดส่งข้อมูลเลย3 1 1 1 1 1 1 3 1=⎛ ⎞⎜1⎟⋅ ( )( )( ) + ( )( )( ) = + = 0.5⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 8 8(3 เลือก 1 คือจํานวนกรณี ที่มีเครื่องเดียวส่งข้อมูล)ตอบ 0.5Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET587ขอสอบเขาฯ พื้นฐานวิศวะ (ใหม)(41) ปริมาณไฟฟ้าที่ใช้ในเวลา n ชั่วโมง= 1,000 n kWh ... คิดเป็นราคา 2 ⋅ 1,000n บาทค่าใช้จ่ายในการผลิตไฟฟ้า 50,000 + 1,975 n บาทจะคุ้มทุนที่ 2,000 n = 50,000 + 1,975 n→ n = 2,000 ชม. ตอบOบาท2,0002000n50000+1975n3 3 6(42)⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜1⎟÷ ⎛ ⎜3 ⎞ ⎟ = ตอบ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 20(43) ก. ถูก ( X เท่ากัน)ข. ผิด โรงงาน B คุณภาพดีกว่า(เพราะการกระจายน้อยกว่า)ดังนั้น ค. ผิดด้วย ตอบ ข้อ 1.(44) แดงเหลือง + เหลืองแดง3× 1 + 1×3 1= = ตอบ(45)6×6 63!2! 5!n1109÷ = ตอบ(หมายความว่า เกิน2,000 ชม. ไปแล้วจึงไม่ขาดทุนดังกราฟ)(46) พิจารณาหลักหน่วย พบว่าเลขเรียง5 → 6 → ? → 8 → 9 แสดงว่า ต้องเป็นเลข 7เท่านั้น (ซึ่งก็มีในทุกตัวเลือก)หลักที่เหลือ 12 → 72 →? → 4032 → 36288ถ้าลองหารดูจะพบว่าและ 4032 56 7 87272 36288= 6, = 912 4032= = × ดังนั้น ส่วนที่หายไปคือ 72 × 7 = 504 ตอบ 5,047[หมายเหตุ เขียนรูปทั่วไปได้ว่า(n + 4)!an= 12 10 + (n + 4) = (n + 4)! + (n + 4) ]5!8000 − 4000(47) ความชัน m = = −40030 − 40ตอบ ข้อ 3. ได้ทันที(48) สามเหลี่ยมยาวด้านละ 2, 2 แสดงว่ามุมแหลมมีขนาด 45° → วงกลมถูกตัด 1 ใน 8ดังนั้น พื้นที่แรเงา1= Δ− Ο8=1 1(2)(2) −2(1) = 2 − ππ ตอบ2 8 8(49) คิดเป็นหน่วยพันบาท จะได้ว่า ปีที่ 1 ฝาก 100พอถึงปีที่ 2 (บวกดอกเบี้ย) เป็น 1.1 × 100 = 110ฝากเพิ่มอีก 200 เป็น 310ถึงปีที่ 3 เป็น 1.1 × 310 = 341ฝากเพิ่มอีก 300 เป็น 641ถึงปีที่ 4 เป็น 1.1 × 641 = 705.1 พันบาท ตอบ(50) พิจารณาเฉพาะเส้นคู่ขนาน (3 ชิ้นส่วน) ก่อนความน่าจะเป็นที่ทํางานได้ (คิดแบบยูเนียนของเหตุการณ์) คือ P{เส้นบนทํางาน} + P{เส้นล่างทํางาน} – P{ทํางานทั้ง2เส้น}= (0.9 × 0.8) + (0.9) − (0.9 × 0.8 × 0.9) = 0.972ดังนั้นความน่าจะเป็นรวมของวงจร= 0.8 × 0.972 × 0.9 ≈ 0.70 ตอบ(51) ให้ x = เวลาล่าช้าจะได้ X = (0.4)(0.5) + (0.25)(0.8) + (0.35)(1)= 0.75 นาที ตอบ(52) จํานวนรถเฉลี่ยใน 1 ชม. (ถ่วงน้ําหนักด้วยความน่าจะเป็น)= (0)(0.5) + (1)(0.25) + (2)(0.2) + (3)(0.05)= 0.8 คันเทียบสัดส่วน.. 0.8 คัน ใช้เวลา 1 ชม.∴ 1 คันใช้เวลา 1 = 1.25 ชม. = 75 นาที ตอบ0.8(53) จํานวนแบบของอักษร (40 × 40) − 500จํานวนแบบของตัวเลข 9 × 10 × 10 × 10ดังนั้น คูณกันทั้งหมดได้ 9.9 ล้านแบบ ตอบ(54) สมมติพิมพ์ a หน้าจะได้ว่าพิมพ์เองเสียเงิน 15,000 + 2a บาทควรน้อยกว่าหรือเท่ากับ จ้างพิมพ์ 8a บาทจาก 15,000 + 2a < 8a ได้ a > 2,500 หน้าแต่ถ้าพิมพ์ 2,500 หน้า จะต้องใช้หมึกถึง 3 ตลับและเสียเงิน 21,000 บาท (โดยมีหมึกเหลืออยู่)∴ควรพิมพ์มากกว่า 21,000 = 2,625 หน้า ตอบ8(หมายถึงพิมพ์ในช่วง 2,626 ถึง 3,000 หน้า)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 588โจทยทดสอบ ชุดที่ 1o¨·Â·´Êoº ªú ·Õè 1(กุมภาพันธ์ 2547)ข้อสอบมี 2 ส่วน กําหนดเวลาส่วนละ 2 ชั่วโมง• ส่วนที่หนึ่งประกอบด้วย เซต ระบบจํานวนจริง ตรรกศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน กําหนดการเชิงเส้น ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเมตริกซ์ ลําดับและอนุกรม ลิมิตและความต่อเนื่อง• ส่วนที่สองประกอบด้วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เวกเตอร์ จํานวนเชิงซ้อนอนุพันธ์และการอินทิเกรต ความน่าจะเป็น สถิติส่วนที่หนึ่งตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัยข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ A = { −1, 0, 1, 2}จํานวนฟังก์ชัน f:A−>A โดย “มี x ∈ A ซึ่งถ้า x > 0 แล้ว f(x) < 0” เท่ากับกี่แบบ2. กําหนดให้ p(x) เป็นพหุนามดีกรีสอง ถ้า x + 1 หาร p(x) เหลือเศษเท่ากับ 1x หาร p(x) เหลือเศษเท่ากับ 3 และ x − 1 หาร p(x) เหลือเศษเท่ากับ 9 แล้วx − 2 หาร p(x) เหลือเศษเท่ากับเท่าใด3. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการx2 2log (4 + 8) − log 12x − 1=1มีค่าเท่ากับเท่าใด4. กําหนดให้ = =AB BA I และ⎡y −x −4⎤A = ⎢−1 −y 3 ⎥⎢ ⎥⎢⎣4 x x ⎥⎦โดยที่โคแฟกเตอร์ของ a31= 5 และโคแฟกเตอร์ของ 12 =t 2แล้ว det (5 A B ) มีค่าเท่ากับเท่าใดa 135. วงรีและไฮเพอร์โบลามีจุดโฟกัสอยู่ที่ตําแหน่งเดียวกัน คือ (0, 2) และ (0, −2) ถ้าอัตราส่วนของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดโฟกัส ต่อระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอด ( c:a) ของวงรีและไฮเพอร์โบลา เป็น 1/2 และ 2 ตามลําดับ และ (m, n) เป็นจุดที่โค้งทั้งสองนี้ตัดกัน แล้วค่าของ m2 + n เท่ากับเท่าใด6. กําหนด2k⎧⎪ x ,x < 2f(x) = ⎨k⎪⎩ ( 8 − 1) x + 8 ,x > 2ถ้า k เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x =2 แล้วค่าของ f(2) เท่ากับเท่าใดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 589โจทยทดสอบ ชุดที่ 17. ให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 32 เท่ากับ 2ถ้า 32 = n q0 + r 0 ; 0 < r0< n n = 4r0 + r 1 ; < 1 < 0โดยที่ q 0 ,r 0 ,r 1 เป็นจํานวนเต็มบวก แล้ว ค.ร.น. ของ n และ 32 มีค่าเท่ากับเท่าใด8. ถ้า2 3a + a + a + + a10=เมื่อ a = 5 2 แล้ว จะได้ว่า x มีค่าเท่ากับเท่าใดlog (ax) 2 log (a x) 3 log (a x) ... 10 log (a x) 1100 r r และ r = 3r0 19. สําหรับจํานวนเต็มบวก n ใดๆ ให้และ B n = เมตริกซ์ผูกพันของ nAn⎡ 2n + n 3⎤= ⎢ ⎥⎢ 2− ⎥⎣ n 1 3⎦bA แล้วลิมิตของลําดับ =ndet (B ) มีค่าเท่ากับเท่าใดn10. ถ้า A เป็นจุดบนแกน y ซึ่งอยู่ห่างจากจุด (2, 2) และ (1, −1) เป็นระยะทางเท่ากัน และP คือพาราโบลาที่มีจุดยอดที่พิกัด (1, 3) ซึ่งมีจุด A เป็นจุดปลายของเลตัสเรคตัม แล้วจุด B บนเส้นโค้ง P ซึ่งอยู่ห่างจากจุดโฟกัส 6 หน่วย จะอยู่ห่างจากแกน y เป็นระยะทางกี่หน่วยตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ A = { ∅,0,1,{0}} และ B = {1, {0}, {0, 1}}ถ้า P(X) แทนเพาเวอร์เซตของ X แล้ว n(P(A) − B) + n(P(B) − A) มีค่าเท่ากับเท่าใด1. 17 2. 20 3. 21 4. 222. กําหนด A ⊂ B และ C = {A,B} ถ้า P(C) แทนเพาเวอร์เซตของ Cพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. A ∪B ∈ C และ A ∩B ∈ C ข. A∈P(C) และ B∈P(C)ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด3. จํานวนสมาชิกของเซต{f :(B−A)1−1> (A− B) | n (A) = 8 และ n(B) = 6 และ n(A ∪ B) = 11}มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 6 2. 15 3. 60 4. 1254. ให้ A เป็นเซตคําตอบของสมการ x − 4 + x − 3 = 1และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ4 >2x − 2 x + 1แล้วข้อใดเป็นสับเซตของ B − A1. (1.5, 2.5) 2. (2.5, 3.5) 3. (3.5, 4.5) 4. (4.5, 5.5)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 590โจทยทดสอบ ชุดที่ 15. กําหนดให้ A เป็นเซตคําตอบของอสมการf (x) = (3 + x)(2 − x) , g(x) =1x + 3x − 1> 2x + 2และ c เป็นขอบเขตบนค่าน้อยที่สุดของ A ∩ D f ⋅ g แล้ว c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. −3 2. −2 3. 1 4. 26. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า (p → q) ∧(r ∨ s) เป็นจริง และ q∨s เป็นเท็จ แล้ว ∨ → ∧ข. นิเสธของ ∀ x[ x < / 0 → − x < 0] สมมูลกับ ∃ x[x ∧ ≠x(x 1 0 x 1) 2. ∀ x(x > 0 ∨ x = 0)23. ∃ + > ∧ ∃ ≠x(x 1 0) x(x 1) 4. ∀ x(x > 0) ∨ ∀ x(x = 0)9. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ก. เหตุ 1) p → ~q ข. เหตุ 1) P (x) ∧ Q (x)2) q∨r 2) Q (x) → R (x)3) ~r 3) ~R(x) ∨ S(x)ผล p ผล S (x)ข้อความใดต่อไปนี้ถูก1. ก และ ข สมเหตุสมผลทั้งคู่ 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล3. ก ไม่สมเหตุสมผล แต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผลทั้งคู่2 210. ให้ r = {(x, y) | 9x + 4y − 18x + 16y − 11 = 0 }แล้ว D −1 ∩rR เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้r−11. [ −5, −1] 2. [ −1,1] 3. [1, 3] 4. [3, 5]22Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 591โจทยทดสอบ ชุดที่ 111. กําหนดให้ = ∈ R× R < 2 −r 1 {(x,y) | y x 3}และ r = {(x,y) ∈ R× R | 2y + 3(x + 1) > 4x}2แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง1. − −(1, 2) เป็นจุดสูงสุดในเซต r' 1 ∩ r 22. (3/2, −3/ 4) เป็นจุดต่ําสุดในเซต r' ∩3. − −r1 2(1, 2) เป็นจุดสูงสุดในเซต r' 1 − r 24. (3/2, −3/ 4) เป็นจุดสูงสุดในเซต r' −r1 212. กําหนดให้ f(x) = x + 1 และ g(x) = (x − 1) 2 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. Dgof= D fog และ Rgof≠ R fog ข. gof = goffogข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดD R และ D ≠ R13. กําหนดช่วงเปิด A = (0, ∞) และให้ f, g เป็นฟังก์ชันภายในเซตของจํานวนจริง R1โดย f(x) = 2+x และ g(x) = แล้วจํานวนเต็มในเซต Dgof−A มีกี่จํานวน2−f(x)1. 5 2. 4 3. 3 4. 223 214. กําหนดให้ f(x) = x − x−1 และ g(x) = x − x − x − 1−1แล้ว ค่าของ (f g )(1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. −1 2. −5 3. 5 4. 115. กําหนดให้ f(x) = x 2 − 1 และ g(x) = 3 x − 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้−1ก. f + g เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0, ∞)−1ข. f g เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0, ∞)ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด2 216. ถ้า O เป็นจุดกําเนิด และ C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม x + y + 4x − 8y + 11=0 แล้วสมการของเส้นตรง OC และสมการของวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง ตรงกับสมการในข้อใดต่อไปนี้1. =−2. =−2 2y 2x และ + + − =x y 2x 4y 02 2x y 2x 4y 15y 2x และ + + − =2 23. y = 2x และ x + y + 2x − 4y = 02 24. y = 2x และ + + − =x y 2x 4y 15fogMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 592โจทยทดสอบ ชุดที่ 12 217. กําหนดให้ E เป็นวงรีซึ่งมีสมการเป็น 6x + 5y + 12x −20y − 4 = 0 และ H เป็นไฮเพอร์โบลาซึ่งมีจุดศูนย์กลางร่วมกับ E , มีจุดยอดทับจุดโฟกัสของ E และมีความยาวแกนสังยุคเท่ากับความยาวแกนโทของ E ข้อใดต่อไปนี้เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา H2 21. − + + − =2 2x 5y 2x 20y 14 0 2. x − 5y −2x − 20y + 14=02 23. − + + − =2 2x 5y 2x 20y 18 0 4. x − 5y −2x − 20y + 18=018. จํานวนจริงบวก x ที่ทําให้เมตริกซ์ ⎡ − 21 0 x⎢⎤2 1 0⎥ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน มีทั้งหมดกี่จํานวน19. กําหนดให้⎢ ⎥⎢⎣x 3 5 ⎥⎦1. 0 2. 1 3. 2 4. 3⎡a 0 2 ⎤A = ⎢0 2 0 ⎥⎢ ⎥⎣a 0 −2⎦เมื่อ det (3 I − A) = 8และการดําเนินการตามแถว ⎡⎣A I ⎤⎦~ ⎡⎣I B ⎤⎦ โดยที่ I คือเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ 3×3แล้ว det (B adj A) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. −40 2. −8 3. 8 4. 40x(1−x)20. ถ้า A = {x ∈ R |( 2 ) >9 } แล้ว3 4เซต B เป็นช่วงในข้อใดต่อไปนี้ที่ทําให้ B∩ A' = ∅1. (2, − −1) 2. (1,0) − 3. (0, 1) 4. (1, 2)21. ถ้าจํานวนจริง x ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ(log (x− 3) − log (x − 3) + log (x− 3) − log (x− 3) + ...) < 13 323438คือช่วง (a, b) แล้วค่าของ a + b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 3 2. 3 3 3. 4 3 4. 5 33 2 322. ให้ = ∈ R + − − + − + =A {x | (x 1) 5(2x 3) 2 x 4 1 0}2และ B = {x ∈ R | log3x9 + (log3x) = 2}aแล้ว C = {log 3 | a∈Aและ b∈B} เท่ากับข้อใดต่อไปนี้b1. {0,1,3} 2. {0, 1, 9} 3. {1,3,1/9} 4. {1, 3, 27}23. กําหนดสมการจุดประสงค์ C(x,y) = 5x + 2y โดยมีเงื่อนไขดังนี้ x + 2y> 5, 3x + y 103x − 8y < 8, x> 0 และ y> 0 จะได้ว่าค่าต่ําสุดของ C เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 15 2. 17 3. 20 4. 21> ,Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 593โจทยทดสอบ ชุดที่ 124. กําหนดสมการจุดประสงค์คือ P(x,y) = (a/2)x + 25y โดยที่ a เป็นจํานวนจริงบวก และมีอสมการข้อจํากัดคือ x > 0, y > 0, x + y < 5 และ x + 2y < 8 ถ้าค่าสูงสุดของ P(x,y)เท่ากับ 150 แล้ว a มีค่าอยู่ในช่วงใดต่อไปนี้1. [40, 50) 2. [50, 60) 3. [60, 70) 4. [70, 80)25. ให้⎧ x − 2⎪ , x < 2⎪ 2−xf(x) = ⎨⎪2−x, x > 2⎪⎩ 2 − xข้อใดต่อไปนี้ถูก1. lim f (x) และ lim f (x) หาค่าไม่ได้−+x→2x→22. lim f (x) > 0 และ lim f (x) < 0−+x→23.− +x→2 x→24.− +x→2 x→2x→2lim f (x) + lim f (x) = 2 2lim f (x) + lim f (x) = −2 2ส่วนที่สองตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัยข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ arctan x = arctan(1/3) + arctan(1/2)และ arcsin y = arcsin(1/ 10) + arcsin(1/ 5) แล้ว (x − y)(x + y) มีค่าเท่ากับเท่าใด2. กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีพื้นที่ 24 ตารางหน่วย และ ˜ÃB ⋅ AD = 3ถ้า θ คือมุมระหว่าง ÃB กับ ÃD แล้ว tan θ มีค่าเท่ากับเท่าใด1 33. ถ้าจํานวนเชิงซ้อน z = +2 2iแล้ว ค่าสัมบูรณ์ของ ⎛⎜⎜⎝ iz − z17 18+ z2⎞⎟⎠เท่ากับเท่าใด4. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 7 ลูก และสีขาว 3 ลูก สุ่มลูกบอลจากกล่องจํานวน 3 ลูกพร้อมกันความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาว 2 ลูก หรือสีแดง 2 ลูก มีค่าเท่ากับเท่าใด5. ในจํานวนเด็ก 4 คน มีสองคนที่น้ําหนักเท่ากัน และน้ําหนักน้อยกว่าอีกสองคนที่เหลือ ถ้าฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัยของน้ําหนักของเด็กทั้ง 4 คนนี้ได้แก่ 40, 41 และ 6 กิโลกรัม ตามลําดับแล้วค่าความแปรปรวนของน้ําหนักของเด็ก 4 คนนี้เท่ากับเท่าใด26. กําหนดให้ 4sin x+ 11cosx− 1 = 02แล้วπcot (x + ) + sec (x − 3 π)มีค่าเท่าใด2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 594โจทยทดสอบ ชุดที่ 17. สําหรับแต่ละจํานวนเต็มบวก n ถ้า z n เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่งกําหนดโดย−z = 1−2 n − 3i แล้วลิมิตของลําดับ a = z z มีค่าเท่ากับเท่าใดn3 25 4 3 28. ถ้า g(x) = 2x + 3x + 1 และ ∫ = − + − + −แล้ว อนุพันธ์ของ f(x) ที่จุดซึ่ง x = 6 มีค่าเท่ากับเท่าใดnn n(f g)(x) dx x x x x x c9. ในการแบ่งนักเรียนซึ่งมีผู้ชาย 3 คนและผู้หญิง 5 คน ออกเป็นกลุ่ม A และ B กลุ่มละ 4 คนความน่าจะเป็นที่ในแต่ละกลุ่มนั้นมีผู้ชายอยู่ด้วยเป็นเท่าใด (ตอบทศนิยม 2 ตําแหน่ง)10. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งคะแนนเต็มเท่ากับ 100 คะแนน ของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นคะแนน จํานวนนักเรียนดังตาราง คณิตและวิทยาเป็นนักเรียนในห้องดังกล่าว ถ้าคณิตได้คะแนนในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่3 และวิทยาได้คะแนนในตําแหน่งมัธยฐาน ดังนั้นคณิตได้คะแนนมากกว่าวิทยาอยู่กี่คะแนน90 – 9980 – 8970 – 7960 – 6950 – 5940 – 4930 – 39102530201041ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนนcos θ cos 4θ⎡⎤1. กําหนดให้ A = ⎢ − θ θ ⎥ เมื่อ θ = π⎣ sin 2 sin 3 ⎦12tแล้ว det (2A ) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 3 2. 2 3. 3 4. 2+32. ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ถ้า cos x = −1/ 5 แล้ว tan x = −22. ถ้า tan x = 2 แล้ว cos x = 1/ 53. tan(arccos ( − 1/ 5)) = −24. arccos ( − 1/ 5) = arctan( −2)22 sin θ−sinθ3. เซตคําตอบของอสมการ2cosθ−1> 0 เมื่อ 0 < θ < 2πมีสมาชิกที่เป็นจํานวนนับทั้งหมดกี่จํานวน1. 2 2. 3 3. 4 4. 54. ถ้า u = v แล้วมุมระหว่าง u กับ v ที่ทําให้ + = −1.π[0, )42. π π [ , )4 2u v 2 u v อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี้3. [ π , 3π) 4.3π[ , π )2 44Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 595โจทยทดสอบ ชุดที่ 15. ให้ u = 2i + 4j และ ÃB เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกับ u โดยจุด A อยู่ที่ (1, −2) และจุด Bอยู่บนเส้นตรง y = 3x − 2 ดังนั้น |ÃB | : u มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1.5 2. 2 3. 2.25 4. 46. ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่มีสมบัติดังนี้ u = v และ u⋅ v = 3ข้อใดต่อไปนี้เป็นขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ u กับแกน x ที่เป็นไปได้หาก v = i + j1. 15 ° 2. 30 ° 3. 45 ° 4. 60 °7. ถ้า z เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง z ≠ 0 และ −3− + =แล้ว Re (z ⋅ z) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 2. 2 3.1(5 12 i) z ( 3 4 i) 130 z24. 1 238. ถ้า z,z 1 2 ,z 3 เป็นรากของสมการ z + 5=2 i2 2 2แล้ว z1 + z2 + z 3 คือค่าในข้อใดต่อไปนี้1. 3 2. 3 3 3. 9 4. 9 329. กําหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ F(x) = (f(x)) + 2x + 1ถ้า f(2) > 0, F(2) = 3 และ f(2) ′ = 4 แล้ว F(2) ′ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 1 2. 3 3. 5 4. 710. กําหนดให้ g(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ f(x) = (x −1) 2 g(x)ถ้า x − 2 หาร f(x) และ f(x) ′ เหลือเศษ 3 และ 4 ตามลําดับแล้ว ค่าของdgdxx=2เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 4 2. 1 3. −2 4. −311. กําหนด f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกําลังสามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง และสัมประสิทธิ์ของ3x เท่ากับ 1 ถ้า f(x) มี x − 1 เป็นตัวประกอบหนึ่ง, x − 2 หาร f(x) ′ และ f(x) ′′ เหลือเศษ 2เท่ากัน แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นสมการเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x) ณ จุดซึ่ง x = 21. y = 2x −2 2. y = 2x − 43. y = 2x + 2 4. y = 2x− −12. กําหนดให้ f(x) 10log (x 4) x= +25ถ้าความชันของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x) ที่จุด (a, f (a)) เท่ากับ − 2425แล้วจํานวนจริง a ที่เป็นไปได้ มีทั้งหมดกี่จํานวน1. 0 2. 1 3. 2 4. 3Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 596โจทยทดสอบ ชุดที่ 113. ค่าของ∫4⎛x + 1⎞2⎜ ⎟ + −2 dx (4 x) dx⎝ x ⎠∫2 11 0เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 10 2. 14 3. 20 4. 2414. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ∫ 3 (x 3 − 4x) dx = 4−1ข. ขนาดพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y = x 3 −4x กับแกน x ในช่วง x = −1 ถึง 3เท่ากับ 12 ตารางหน่วยข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด415. ถ้าเส้นโค้งเส้นหนึ่งมีสมการเป็น f(x) = x −a∫ 21และ a เป็นจํานวนจริงที่ทําให้ f(x)dx ′′ = − แล้ว− a4ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ ณ จุดซึ่ง x = a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้4x1. 1 22. − 1 23. 3 24. − 3 216. จํานวนวิธีจัดพนักงาน 6 คนเป็น 3 กลุ่ม เพื่อทํางาน 3 อย่างที่แตกต่างกัน โดยแบ่งกลุ่มละกี่คนก็ได้ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 90 2. 180 3. 540 4. 108017. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. จํานวนวิธีร้อยมาลัยวงกลมด้วยดอกไม้ 5 ชนิด โดยดอกมะลิและดอกดาวเรืองต้องอยู่ติดกันเท่ากับ 12 วิธีข. จํานวนวิธีจัดนักเรียน 5 คนเป็นวงกลม โดยเด็กหญิงมะลิและเด็กหญิงดาวเรืองต้องอยู่ติดกัน เท่ากับ 12 วิธีข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด18. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลข 1 ถึง 10 กํากับ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบสลากพร้อมกัน 3ใบ โดยให้มีแต้มรวมกันเป็น 10 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1.3.1602. 1401304. 12019. ในการลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอด 2 จุดใดๆ ของรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าที่แนบในวงกลม โดยที่เส้นนั้นไม่ใช่ด้านของรูปสิบเหลี่ยม ความน่าจะเป็นที่เส้นที่ลากขึ้นนี้ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 6 2. 6 3. 5 4. 5 7979Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 597โจทยทดสอบ ชุดที่ 120. สมการแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ที่ใช้ประมาณค่าของกําไร ( Y : พันบาท) จากจํานวนสินค้าที่ผลิต ( X : สิบชิ้น) คือ Y = 2X + 5พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้าจะผลิตสินค้าเพิ่ม 20 ชิ้น คาดว่ากําไรจะเพิ่ม 9, 000 บาทข. ถ้ากําไรเป็น 7, 000 บาท คาดว่าจะผลิตสินค้าได้ 10 ชิ้นข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด21. จากตารางต่อไปนี้ ซึ่งข้อมูลชุด x และ y มีความสัมพันธ์กันในรูปแบบฟังก์ชันเส้นตรงx -2 -1 1 2y -2 1 3 4ถ้าการทํานายค่า x และ y ใช้ระเบียบวิธีกําลังสองน้อยที่สุด พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้า y = 3 ทํานายได้ว่า x = 1 ข. ถ้า x = 1 ทํานายได้ว่า y = 3ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด22. ในการสอบย่อยครั้งหนึ่งคะแนนเต็มคือ 100 คะแนน มีนักเรียนเข้าสอบ 9 คนในวิชาคณิตศาสตร์และเคมี ได้คะแนนดังนี้คณิตศาสตร์ : 70 70 70 78 79 80 90 91 92เคมี : 50 60 72 78 80 85 90 92 95ปรากฏว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ เท่ากับ 8.6 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาเคมีเท่ากับ 14.2 คะแนน ถ้านายปัญญาสอบวิชาคณิตศาสตร์และเคมีได้ 90 คะแนนเท่ากันทั้งสองวิชา แล้วข้อสรุปข้อใดต่อไปนี้ถูก1. เขาเรียนวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีกว่าเคมี2. เขาเรียนวิชาเคมีได้ดีกว่าคณิตศาสตร์3. เขาเรียนทั้งสองวิชาได้ดีเท่ากัน เพราะคะแนนเท่ากัน4. เขาเรียนทั้งสองวิชาได้ดีเท่ากัน เพราะได้ตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์เดียวกัน23. การจ่ายโบนัสให้กับพนักงานของบริษัทหนึ่งเท่ากับ 1,000 บาทบวกกับ 2 เท่าของเงินเดือนพิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของโบนัส เป็น 2 เท่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนข. ความแปรปรวนของโบนัส เป็น 2 เท่าของความแปรปรวนของเงินเดือนข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 598โจทยทดสอบ ชุดที่ 124. ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ โดยที่ค่าสูงสุดของข้อมูลอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่97.5 และค่าต่ําสุดของข้อมูลอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 33 ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเป็น 20 คะแนน แล้วพิสัยของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน ดังนี้z 0.170 0.440 0.475 1.960A 0.0675 0.1700 0.1826 0.47501. 28.0 2. 30.4 3. 39.2 4. 48.025. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 40 คะแนนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเท่ากับ 10 คะแนน และมีนักเรียนที่สอบได้คะแนนที่คิดเป็นค่ามาตรฐานระหว่าง -1 และ 1 อยู่ 75% ของนักเรียนทั้งหมด ถ้านาย ก สอบได้ 50 คะแนนแล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นตําแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของนาย ก1. 37.5 2. 50.0 3. 75.0 4. 87.5เฉลยคําตอบส่วนที่หนึ่งตอนที่ 1 (1) 224 (2) 19 (3) 2 (4) 5 (5) 11 (6) 8 (7) 416 (8) 0.5(9) 1.5 (10) 4ตอนที่ 2 (1) 3 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 2 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 3(10) 2 (11) 4 (12) 3 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 1 (17) 1 (18) 3 (19)2 (20) 1 (21) 4 (22) 1 (23) 2 (24) 3 (25) 4ส่วนที่สองตอนที่ 1 (1) 0.5 (2) 8 (3) 1.5 (4) 0.7 (5) 6 (6) 19 (7) 10 (8) 1(9) 0.86 (10) 9ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 3 (3) 2 (4) 2 (5) 1 (6) 1 (7) 2 (8) 3 (9) 2(10) 3 (11) 1 (12) 2 (13) 2 (14) 1 (15) 4 (16) 3 (17) 3 (18) 3(19) 1 (20) 4 (21) 2 (22) 1 (23) 4 (24) 4 (25) 4ส่วนที่หนึ่ง ตอนที่ 1(1) คิดจากจํานวนแบบทั้งหมด ลบด้วย จํานวนแบบที่ “ไม่มี” ...ซึ่งจํานวนแบบทั้งหมด = 4 × 4 × 4 × 4และจํานวนแบบที่ “ไม่มี” (ตามเงื่อนไขในโจทย์) นั้นหมายความว่า ถ้าหาก x > 0 แล้ว f(x) > 0นั่นคือ 4 × 2 × 2 × 2 แบบตอบ (4 × 4 × 4 × 4) − (4 × 2× 2× 2) = 224 แบบ2(2) พหุนามดีกรีสอง p(x) = Ax + Bx + Cใช้ทฤษฎีเศษ.. p( − 1) = 1 , p(0) = 3 , และ p(1) = 9จะได้ A − B + C = 1 .....(1)C = 3 .....(2) และ + + =A B C 9 .....(3)เฉลยวิธีคิดแก้ระบบสมการได้ A=2, B=4, C=32ดังนั้น p(x) = 2x + 4x + 3 และหารด้วย x − 22เหลือเศษ = p(2) = 2(2) + 4(2) + 3 = 19 ตอบx(3) จากโจทย์จะได้ log (4 + 8) − log 12 = x − 12 2xx⎛4 + 8⎞4 + 8⎜⎟⎝ 12 ⎠12−นั่นคือ log = x − 1 → = 2xให้ 2 = A จะได้22A + 8 1= A ⋅12 22→ A − 6A + 8 = 0 → A = 4 หรือ 2ดังนั้น x=2 หรือ 1 ... แต่ในโจทย์มี x – 1 เป็นส่วนทําให้ x เป็น 1 ไม่ได้ ตอบ ผลบวกคําตอบคือ 2Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x 1

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 599โจทยทดสอบ ชุดที่ 1−x −4(4) C31=−y 3= −3x − 4y = 5 .....(1)−13และ C12=−4 x= x + 12 = 13 .....(2)แก้ระบบสมการได้ x=1 และ y=–2ดังนั้นและ⎡−2 −1 −4⎤A = ⎢−1 2 3 ⎥⎢⎣ 4 1 1 ⎥⎦−1det(B) = det(A ) = 1/25จึงได้ det(A) = 25t 2 3 1ตอบ det(5A B ) = 5 ⋅25 ⋅ = 525(5) จากจุดโฟกัสจึงทราบว่า c=2 และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k)=(0,0) จากนั้นอัตราส่วน c:a จะทําให้ทราบว่า วงรีมีค่า a=4 และไฮเพอร์โบลามีค่า a=1สร้างสมการได้ดังนี้..2 2y x2 2วงรี + = 1 → 3y + 4x = 4816 122 2y x1 32 2ไฮเพอร์โบลา − = → − =21 3y x 3แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้ (3, ± ± 2)2ตอบ m + n = 9 + 2 = 11(6) ต่อเนื่องที่ x=2 แปลว่าลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวา2kkkนั่นคือ 2 = ( 8 − 1)2 + 8 ... ให้ 2 = A2จะได้ + − − =A (1 8)A 8 0 แยกตัวประกอบได้ (A + 1)(A − 8) = 0 → A = −1 หรือ 8kแต่ =−k2 8 k 3/22 1 ไม่ได้.. ดังนั้น = → =2(3/ 2) 3ตอบ f(2) = 2 = 2 = 8(7) เป็นการหา ห.ร.ม. ด้วยวิธีของยุคลิด ซึ่งผลหารสุดท้ายจะเป็น ห.ร.ม. ดังนั้น = 1และจะได้ r0= 6, n =ตอบ ค.ร.น. ของ n กับ 32 คือr 226 ตามลําดับ26 × 32= 4162(8) พจน์ซ้ายมือในโจทย์สามารถจัดรูปได้ดังนี้2 2 3 3 10 10a a a alog(ax) + log(ax) + log(ax) + ... + log(a x)4 2 9 3 100 10= log (ax ⋅ a x ⋅ a x ⋅ ... ⋅ a x )a1+ 4+ 9 + ... + 100 1+ 2+ 3 + ... + 10= log (a x )a385 55= log (a x )a385 55ดังนั้นสมการกลายเป็น =log (a x ) 110385 55 110 55 −275→ a x = a → x = a−275/55 −5 5 −5 −1∴ x = a = a = ( 2) = 2 = 0.5 ตอบ⎡ 3 −3⎤(9) Bn= adj(A n)= ⎢ 2 2− − +⎥⎣ n 1 n n⎦2 2จะได้ b = det(B ) = 3( n + n − n −1)nแสดงว่า→∞nn →∞a2 2lim bn= lim 3 ( n + n − n −1)n⎛2 2= 3lim( n+ n− n−1)⎜n →∞⎜⎝⎛= 3lim⎜n →∞ ⎜⎝ส่วน จะได้n + 1⎞⎟2 2n + n + n −1⎟⎠⎛= 3lim⎜n →∞ ⎜⎝⎛ 1 ⎞= 3⎜⎟ = 1.5⎝1 + 1⎠ตอบ2 2n + n + n −1⎞⎟2 2n + n + n −1⎟⎠นํา n หารทั้งเศษและ1 + 1/n1+ 1/n + 1−1/n(10) ให้จุด A มีพิกัดเป็น (0,y) จะได้ว่า2 2 2 22 + (y − 2) = 1 + (y + 1)2 2ดังนั้น 4 + y − 4y + 4 = 1+ y + 2y + 1 → y = 1นั่นคือจุด A อยู่ที่ (0,1) ... และโจทย์บอกว่าจุดยอดอยู่ที่ (1,3) จึงลองวาดรูปดูได้ดังนี้A(0,1)V(1,3)แต่อัตราส่วนพาราโบลาที่แท้จริงนั้น VF:AF ต้องเป็น1:2 (ตามหลักที่ว่า เลตัสเรคตัมจะยาว 4c เสมอ)ดังนั้นพาราโบลาในข้อนี้ เป็นแบบรูปขวามือเท่านั้น..หาคําตอบได้โดยอาศัยรูปกราฟ (ไม่ต้องแก้สมการ) เนื่องจากเราทราบว่า FB=6 หน่วยจะเท่ากับระยะทางจากจุด B ไปถึง directrixดังนั้น B ห่างจากแกน y อยู่ 6–2=4 หน่วย ตอบส่วนที่หนึ่ง ตอนที่ 2(1) เซต P(A) และ B มีสมาชิกซ้ํากัน 2 ตัว ได้แก่4{0} กับ {0,1} ดังนั้น n(P(A) − B) = 2 − 2 = 14เซต P(B) และ A มีสมาชิกซ้ํากัน 1 ตัว ได้แก่ ∅3ดังนั้น n(P(B) − A) = 2 − 1 = 7 ตอบ 21(2) ก. เนื่องจาก A ⊂ B ดังนั้น A ∪ B = B และA ∩ B = A ซึ่งทั้งสองเซตนี้เป็นสมาชิกของ C ..ถูกข. ผิด ที่จริงใน P(C) จะมี {A} และ {B} ต่างหาก(3) n(A ∩ B) = 8 + 6 − 11 = 3ดังนั้น n(B − A) = 6 − 3 = 3และ n(A − B) = 8 − 3 = 5FA(0,1)จํานวนฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก B–A ไป A–B จะมีทั้งหมด × × =5 4 3 60 แบบ ตอบB6FFA2⎞⎟⎟⎠V(1,3)62VdirectrixMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 600โจทยทดสอบ ชุดที่ 1(4) เซต A; แบ่งช่วงย่อยในการคํานวณดังนี้ก.ข.ค.3 4ก. เมื่อ x < 3 จะได้− x+ 4− x+ 3= 1 → − 2x=−6 → x= 3 → ∅ข. เมื่อ 3 < x < 4 จะได้− x+ 4+ x− 3= 1 → 1= 1 → [3,4)ค. เมื่อ x > 4 จะได้x− 4+ x− 3= 1 → 2x= 8 → x= 4 → {4}ดังนั้น A = [3,4]เซต B; ยกกําลังสองทั้งสองข้างได้ เพราะขวามือเป็นบวกเสมอ และพจน์ซ้ายมือนั้นมากกว่าหรือเท่ากับพจน์ขวามือ จึงย่อมเป็นบวกเสมอด้วย16 > 4 →4 −1 > 02 2(x − 2) x + 1 (x − 2) x + 124x + 4 − x + 4x − 4→> 02(x − 2) (x + 1)2− x + 8x x(x − 8)→> 0 →< 02 2(x − 2) (x + 1) (x − 2) (x + 1)- + - + - +-1 0 2 2 8แต่จากโจทย์มี x + 1จึงต้องเพิ่มเงื่อนไขว่า x + 1 > 0 → x > −1และนอกจากนั้น4> 0 ด้วย คือ x > 2x − 2รวมแล้วจึงได้ว่า B = (2,8]สรุป.. − = ∪x − 1(5) เซต A; − >B A (2,3) (4,8] ตอบ ข้อ 4.2 0x + 2x − 1−2x − 4 −x −5→ > 0 → > 0x + 2 x + 2x + 5นั่นคือ < 0 แสดงว่า A = ( −5, −2)x + 2โดเมนของ f; (3 + x)(2 − x) > 0→ (3 + x)(x −2) < 0 นั่นคือ f = −โดเมนของ g; x + 3 > 0 → x > −3นั่นคือ D g = ( −3, ∞)สรุป.. ∩ = ∩ ∩ = − −f⋅g f gD [ 3,2]A D A D D ( 3, 2)มีขอบเขตบนค่าน้อยที่สุดเท่ากับ –2 ตอบ[หมายเหตุ การหาโดเมนของ f ⋅ g จะต้องคิดโดเมนทีละฟังก์ชันแล้วอินเตอร์เซคเข้าด้วยกัน ห้ามนํา f กับg มาคูณกันก่อน เพราะอาจทําให้บางเงื่อนไขหายไป](6) ก. q∨s เป็นเท็จ แสดงว่า q กับ s เป็นเท็จทั้งคู่ ... (p → q) ∧(r ∨ s) เป็นจริง แสดงว่า p → qเป็นจริง (นั่นคือ p เป็นเท็จ) และ r ∨ s เป็นจริง(นั่นคือ r เป็นจริง)(q p) (r s) F F T ข้อ ก. ถูกสรุป ∨ → ∧ ≡ → ≡ข. นิเสธของ ∀x[P→Q] คือ ∃x[P∧ ~Q]ดังนั้นจากโจทย์ ควรเป็น ∃x[x≮0 และ −x>0 ]นั่นคือ ∃x[x≮0 และ x

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 601โจทยทดสอบ ชุดที่ 1(11) r 1 มีขอบเขตเป็นพาราโบลา y + 3 < x22จึงทําให้ r' 1 มีขอบเขตเป็นพาราโบลา y + 3 > xคือพาราโบลาหงาย จุดยอด (0,–3) แรเงาด้านใน..ส่วน r 2 มีขอบเขตเป็นเส้นตรง 2y > x − 3คือเส้นประเฉียงขึ้น ผ่านจุด (0,–3/2) แรเงาด้านบน..ข้อ 1. กับ 2. r' 1 ∩ r 2ไม่มีจุดสูงสุด (สูงขึ้นได้เรื่อยๆ)และไม่มีจุดต่ําสุด(เพราะขอบเขตเป็นเส้นประ)ข้อ 3. กับ 4. r' 1− r2 = r' 1∩r' 2จุดสูงสุดคือ (3/2,–3/4)(หาโดยแก้ระบบสมการ)และจุดต่ําสุดคือ (0,–3) ดังรูปตอบ ข้อ 4.(12) จาก gof = (f − 1)2หาโดเมน; เนื่องจาก − 2(f 1) นั้น f เป็นอะไรก็ได้ดังนั้น x + 1 เป็นอะไรก็ได้.. นั่นคือ x > 0สรุป D gof = [0, ∞)หาเรนจ์; เนื่องจาก x > 0 → x + 1 > 1ดังนั้น f > 1 ..ทําให้ − > → − 2 >สรุป R gof = [0, ∞)จาก fog = g + 1f 1 0 (f 1) 0หาโดเมน; เนื่องจาก g + 1 นั้น g 0จึงได้ว่า (x − 1) 2 > 0 ซึ่งเป็นจริงเสมออยู่แล้วสรุป Dfog= Rหาเรนจ์; เนื่องจาก −2→> เท่านั้น(x 1) > 0 g > 0จึงทําให้ g > 0 → g + 1 > 1สรุป R fog = [1, ∞) ตอบ ข้อ 3. (ก. ผิด, ข. ถูก)12 − 2 + x12 − 4 + xหาโดเมน; 2 − 4 + x ≠ 0 → x ≠ 0(13) จาก g =จะได้ gof =และ 4 + x > 0 → x > −4ดังนั้น D gof = [ −4,0) ∪(0, ∞) และD A [ 4,0) มีจํานวนเต็ม 4 จํานวน ตอบgof− = −(14) หา g −13 2(1) โดยให้ x − x − x − 1 = 1 แล้วหา3 2ค่า x โดยหารสังเคราะห์ ( x − x − x − 2 = 0)ได้ x=2 หมายความว่า g(2) = 1 ดังนั้น − 1g (1) = 2−1ตอบ (fog )(1) = f (2) = 4 −2 − 1 = 1(15) = 2 −−ก. + = +1 3f(x) x 1 และ − = −1 3 2f g x xg (x) x 1−1 3 2 6 3ข. fog = (x + 1) − 1 = x + 2xทั้งสองข้อเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0, ∞) จริง(เพราะถ้า x เพิ่มขึ้น y ย่อมเพิ่มด้วย) ตอบ ข้อ 1.(16) สมการวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(-2,4)ดังนั้น mOC= −2 และสมการ OC คือ y =−2x2 2ความยาว OC เท่ากับ 2 + 4 = 20 = 2 5ดังนั้นวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะต้องมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1,2) และรัศมียาว 5 หน่วย..2 2สร้างสมการได้ (x + 1) + (y − 2) = 52 2กระจายเป็น x + y + 2x − 4y = 0 ตอบ ข้อ 1.2 2(17) 6(x + 2x + 1) + 5(y − 4y + 4) = 4 + 6 + 202 2(x + 1) (y − 2)→ + = 1 เป็นวงรีแนวตั้ง5 6มีจุดศูนย์กลางที่ (-1,2), a = 6, b = 5, c = 1ดังนั้น V( − 1, 2± 6), F( − 1, 2±1)หาสมการไฮเพอร์โบลาที่ C( −1, 2), V( − 1, 2±1),แกนสังยุคยาวเท่าแกนโทของวงรี (คือ b = 5)จะได้2 2(y − 2) (x + 1)− = 11 52 2นั่นคือ 5(y − 2) − (x + 1) = 52 2กระจายได้ 5y − x −20y − 2x + 14 = 02 2หรือใช้เป็น − + + − =(18)x 5y 2x 20y 14 0 ตอบ210−x2 1 03 2= x − 6x + 5 = 0x3 52 5±3 5→ (x − 1)(x −5x − 5) = 0 → x = 1,25−3 5แต่2มีค่าติดลบ.. จึงมีจํานวนจริงบวกที่เป็นคําตอบเพียง 2 จํานวน ตอบ⎡3−a 0 −2⎤(19) 3I − A = ⎢ 0 1 0 ⎥⎢⎣ − a 0 5 ⎥⎦det (3 I − A) = 15 −5a − 2a = 8 → a = 1ดังนั้น⎡ 10 2⎤A = ⎢02 0⎥⎢⎣ 10 − 2 ⎥⎦Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)และ det(A) = –4–4 = –8−1ประโยค ⎡⎣ A I ⎤⎦ ~ ⎡⎣I B ⎤⎦ แปลว่า B = Adet(adjA)n−2จาก det (B adj A) = = (det(A))det(A)3−2ตอบ (8) − =−8n−1[หมายเหตุ วิธีพิสูจน์=ในแบบฝึกหัดเรื่องเมตริกซ์ ข้อ 67]det(adjA) (det(A)) อยู่

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 602โจทยทดสอบ ชุดที่ 12 23 3− −(20) จากโจทย์จะได้ ( ) > ( )(0,10)x(1 x) 2Oy(3,1)(4,1/2)ฐานเท่ากันตัดทิ้งได้ (แต่เป็นฟังก์ชันลด ต้องพลิกเครื่องหมาย)2จะได้ x(1− x) < −2 → x − x + 2 < 0แยกตัวประกอบได้ (x − 2)(x + 1) > 0ดังนั้น A = ( −∞, −1) ∪(2, ∞) และ A' = [ −1,2]เซต B ที่ตรงตามที่โจทย์ต้องการคือข้อ 1. ตอบ(21) จากโจทย์ จัดรูปฝั่งซ้ายของอสมการได้ดังนี้1 1log 3(x − 3) − log 3(x − 3) + log 3(x − 3) − ...2 41 1 1= (1 − + − + ...)(log 3(x − 3))2 4 81 2= ( )(log 3(x− 3)) = (log 3(x−3))1 + 1/2 32ดังนั้นจากโจทย์จะได้ (log 3 (x − 3)) < 133→ (log 3(x − 3)) < → x − 3 < 3 32→ x < 4 3แต่ต้องคํานึงถึงเงื่อนไขของสิ่งที่อยู่ใน log ด้วยคือ x − 3 > 0 → x > 3สรุป.. ช่วง (a,b) คือ ( 3,4 3) ตอบ 5 3(22) เซต A; 3 x 2 − 8x + 16 + 2 3 x − 4 + 1=0ให้ 3 2x − 4 = a จะได้ a + 2a + 1 = 03นั่นคือ a =−1 → x − 4 =−1 → x = 3ดังนั้น เซต A = {3}log 9เซต B;3 2(log x) 23log 33x + =2นั่นคือ2ให้ log 3 x(log x) 23log 33 + log 3x + =2 2= a จะได้ a 21 + a + =2 3 2→ 2 + a (1+ a) = 2(1+ a) → a + a − 2a = 0→ a(a + 2)(a − 1) = 0 → a = 0, − 2,10 −2 1ดังนั้นx = 3 ,3 ,3 = 1,1/9,3เซต C; มีสมาชิกเป็น log 3 ได้แก่ b3log 3 11 = , 3log 3 31/9 = , 3log 3 03 =ตอบ {0,1,3}(23) เขียนกราฟของเงื่อนไข ได้ดังรูปค่าต่ําสุดของ Cเกิดที่ (3,1)ตอบ C min = 17ax(24) เขียนกราฟของเงื่อนไขได้ดังรูปy สมมติว่า P สูงสุดเกิดที่(2,3) จะได้ว่า150 = (a/2)(2)+25(3)4 (2,3) นั่นคือ a = 75x ตรวจสอบความถูกต้องO 5โดยแทนค่า (0,4)และ (5,0) ลงไป พบว่า P(5,0)=187.5 ซึ่งมากกว่า150 แสดงว่าที่จริงแล้ว P สูงสุดเกิดที่จุด (5,0)ดังนั้น 150 = (a/2)(5)+25(0) ... ได้ a = 60ตอบ ข้อ 3.x − 2 x − 2(25) lim f(x) = lim = lim−x→2 −x→2 2 − x−x→22 − x−(2 − x)= lim = lim −−−x→2 2 − x x→22 − x = 02 − x −(2 − x)และ lim f(x) = lim = lim+ + +x→2 x→2 2 − x x→22 − x=−( 2 − x)( 2 + x)lim = lim − ( 2 +x→2 2 − xx→2x)2 2=− ดังนั้น ตอบ ข้อ 4.ส่วนที่สอง ตอนที่ 1(1) จาก x = tan(arctan(1/3) + arctan(1/2))ใช้สูตร tan(A+B) จะได้เป็น1/3 + 1/2x = = 11 − (1/3)(1/2)และจาก y = sin(arcsin(1/ 10) + arcsin(1/ 5))ใช้สูตร sin(A+B) จะได้เป็น1 2 3 1 5 1y = ( )( ) + ( )( ) = =10 5 10 5 50 2(หาค่า cos ได้จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)2 2 1ตอบ (x − y)(x + y) = x − y = 1 − = 0.52(2) พื้นที่สี่เหลี่ยม = |AB|˜⋅|AD|sin ˜θ = 24และจาก ˜ÃB ⋅ AD = |ÃB | ⋅| ÃD | cos θ = 3นําสองสมการมาหารกัน จะได้ tan θ = 8 ตอบ1 3 1 3(3) จาก − = − − + = −i = i = i และz z ( i) ( i) 3 i2 2 2 2และ 17 118 18 18z = (1 ∠ ( π/3)) = 1 ∠ (18 π/3)) = 1∠ 6π= 1ดังนั้น17 18z − z − 3 i 3= =i + z i + 1 2ตอบ ค่าสัมบูรณ์ของ⎛ z − z⎜⎝ i + z17 182⎞⎟⎠3 2คือ( ) = 1.52Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 603โจทยทดสอบ ชุดที่ 1(4)⎛3⎞ ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎛3⎞⎜2⎟⎜1⎟ + ⎜2⎟ ⎜1⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 21 + 63= = 0.7⎛10⎞120⎜ 3 ⎟⎝ ⎠ตอบ(5) ให้ข้อมูลทั้งสี่ได้แก่ a, b, c, dมีสองคนหนักเท่ากันและน้อยกว่าอีกสองคนที่เหลือแสดงว่า a, b เท่ากันและเป็นฐานนิยมด้วย = 40มัธยฐาน = 41 แสดงว่า c = 42พิสัย = 6 แสดงว่า d = 46ดังนั้นข้อมูลทั้งสี่คือ 40, 40, 42, 46 กก.คํานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ได้เท่ากับ 42 กก.ตอบ2 2 2 22 2 + 2 + 0 + 4 24s = = = 64 4(6) จาก24sin x 11cosx 1 0+ − = จะได้24(1 − cos x) + 11cos x − 1 = 02→ 4c − 11c − 3 = 0 → (4c + 1)(c − 3) = 0แต่ cos x = 3 ไม่ได้ ดังนั้น cos x = –1/4 เท่านั้น2 1โจทย์ถามπcot (x + ) +2 cos(x − 3 π)2 12= tan x + = ( ± 15) + 4 = 19− cos x(หาค่า tan x มาจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)n n(7) จาก −−nn nตอบa = z z = (1−2 − 3i)(1− 2 + 3i)− n 2 2 2 2= (1 − 2 ) + 3 = 1 − + + 9n 2n2 2lim a = 1 − 0 + 0 + 9 = 10 ตอบดังนั้น nn →∞5 4 3 2(8) จาก ∫4 3 2แสดงว่า (fog)(x) = 5x − 4x + 3x − 2x + 1(fog)(x) dx = x − x + x − x + x − cจากนั้นใช้กฎลูกโซ่ คือ (fog) ′(x) = f ′(g(x)) ⋅ g(x) ′ต้องการหาค่า f(6) ′ จึงพยายามแทนค่า g(x) เป็น 6ซึ่งจากโจทย์พบว่า g(1) = 6 เราจึงแทน x ด้วย 1ตลอดสมการ ได้เป็น (fog) ′(1) = f ′(6) ⋅ g ′(1)ดังนั้น3 2′ − + −2(fog) (1) 20(1) 12(1) 6(1) 2f(6) ′ = =g(1) ′ 6(1) + 6(1)12= = 1 ตอบ12(9) วิธีทั้งหมด ลบด้วย วิธีที่ผู้ชายทุกคนอยู่ด้วยกัน* วิธีที่ผู้ชายอยู่ด้วยกันคือ แบ่งผู้หญิงเป็น 4 กับ 1คน ได้ 5! = 5 วิธี แต่ต้องตั้งชื่อกลุ่มเป็น A, B4!1!ด้วย จึงคูณอีก 2! ได้เป็น 10 วิธี* วิธีทั้งหมดคือแบ่งคน 8 คนออกเป็น 4 กับ 4 คน8!ได้ = 35 วิธี แต่ต้องตั้งชื่อกลุ่มเป็น A, B4!4!2!เช่นกัน จึงคูณอีก 2! ได้เป็น 70 วิธี10 6ตอบ − = ≈1 0.8670 7(10) ตารางที่ให้มาเรียงข้อมูลจากมากไปน้อย จึงควรกลับด้านก่อน และเขียนความถี่สะสมได้ดังนี้มัธยฐานอยู่ตําแหน่งที่ 100/2 = 5090 – 99 10 100ซึ่งพบว่าอยู่กึ่งกลางชั้น 70-79 พอดี ดังนั้นมัธยฐานเท่ากับจุดกึ่งกลาง คือ 74.5 คะแนนควอร์ไทล์ที่ 3 อยู่ตําแหน่งที่ (3/4)(100) = 7575 − 65ดังนั้น Q3= 79.5 + 10( ) = 83.5 คะแนน25ตอบ ต่างกันอยู่ 9 คะแนนส่วนที่สอง ตอนที่ 2t 2(1) จาก det (2A ) =คะแนน จํานวน CF30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 89141020302515153565902 det(A)= 4(sin3θ cos θ + cos 4θ sin2 θ )= 2(sin 4θ+ sin 2θ+ sin 6θ−sin 2 θ )3= 2(sin π/3 + sin π /2) = 2( + 1)2= 3 + 2 ตอบ(2) ข้อ 1. กับ 2. ผิด เพราะค่าที่ได้อาจเป็นบวกหรือติดลบก็ได้ ขึ้นอยู่กับควอดรันต์ข้อ 4. ผิด เพราะ arccos ติดลบ กับ arctan ติดลบนั้นอยู่คนละควอดรันต์กัน (ไม่มีทางเท่ากันได้)แต่ถึงแม้ว่าข้อ 4. จะผิด ข้อ 3. ก็ยังถูก เพราะค่าtan ของมุมๆ นั้นเท่ากับ -2 จริงๆ (เพียงแต่เขียนเป็นคําว่า arctan(-2) ไม่ได้!) ตอบ ข้อ 3.θ θ −2cosθ−1(3) แยกตัวประกอบได้ (sin )( 2 sin 1) > 0กรณีแรก บน > 0 และล่าง > 0เขียนเส้นจํานวนแล้วหาคําตอบในวงกลมsin θ0 1/ 2cos θ1/2พบว่าในเซตคําตอบมีจํานวนนับ 1 และ 6(คิดโดยประมาณค่า π ≈ 3.14 )กรณีที่สอง บน < 0 และล่าง < 0sin θ 3π/40cos θ1/ 2π1/2พบว่าในเซตคําตอบมีจํานวนนับคือ 3ตอบ มีจํานวนนับรวม 3 จํานวนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)π/3π/40 2π5π/3

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 604โจทยทดสอบ ชุดที่ 1(4) ให้ u = v = a จะได้ว่า2 2 2 2 2 2a + a + 2a cos θ = 2 a + a −2a cos θยกกําลังสองทั้งสองข้าง และดึงตัวร่วมได้เป็น2 22a (1 + cos θ ) = 4 (2a )(1 − cos θ )∴ cos θ = 0.6 ตอบ ข้อ 2.(เพราะ cos 45°≈ 0.707 และ cos 90 0(5) สมมติจุด B มีพิกัดเป็น (x, 3x-2)ดังนั้น ความชันของเวกเตอร์ ÃB เท่ากับ(3x − 2) − ( −2)(x) − (1)°= )แต่ความชันของเวกเตอร์ u เท่ากับ 4/2 = 2เวกเตอร์สองอันนี้ความชันเท่ากัน แก้สมการได้ x=-2แสดงว่าจุด B คือ (-2,-8) และ ÃB =−3 i −6jตอบ |ÃB | : u = 3 : 2 = 1.5(6) จาก v = i + j แสดงว่า v = 2และ v ทํามุม 45° กับแกน xu ⋅ v = 3 = ( 2)( 2)(cos θ) → cos θ =นั่นคือมุมระหว่าง u กับ v เป็น 30° ดังนั้นu ทํามุมกับแกน x เท่ากับ 15° หรือ 75° ก็ได้ตอบ ข้อ 1.2 2(7) z ⋅ z = (a − bi)(a + bi) = a + b2 2ดังนั้น Re(z ⋅ z) = a + b ด้วย2 2และเนื่องจาก |z| = a + b2เราจึงหา Re(z ⋅ z) ได้โดย |z|3จากโจทย์ ใส่ค่าสัมบูรณ์ได้ (13)|z| (5)(เพราะ |z| = |z| เสมอ) ...จากนั้นย้ายข้างได้2|z| 2= ตอบ3(8) จากสมการในโจทย์ z =− 5 + 2 i3ดังนั้น |z| = | − 5 + 2 i| = 2732= (130)|z|แสดงว่าทุกๆ คําตอบย่อมมีขนาดเป็น |z| = 32 2 2ตอบ 1 2 3z + z + z = 3 + 3 + 3 = 9(9) จาก F(2) = 3 จะได้23 = (f(2)) + 2(2) + 1 → f(2) = 2(โจทย์บอกว่า f(2) > 0 เท่านั้น)1และจาก F(x) ′ = ( )2จะได้2 f(x) f ′(x) + 22 (f(x)) + 2x + 11 2(2)(4) + 2F(2) ′ = ( ) = 3 ตอบ2 3(10) x-2 หาร f(x) และ f’(x) เหลือเศษ 3 และ 4หมายความว่า f(2)=3 และ f’(2)=4 (ทฤษฎีเศษ)f(x)ดังนั้น จาก g(x) = จะได้2(x − 1)2dg (x − 1) f ′(x) − f(x) 2 (x − 1)= g(x) ′ =4dx (x − 1)2(1) (4) − (3) 2 (1)g(2) ′ = =− 2 ตอบ4(1)แทนค่า3 2(11) f(x) = x + Ax + Bx + C* x-1 เป็นตัวประกอบ แปลว่า f(1)=0* x-2 หาร f’(x) และ f’’(x) เหลือเศษ 2 เท่ากันแปลว่า f’(2)=2 และ f’’(2)=2 (ทฤษฎีเศษ)* เนื่องจาก2f(x) 3x 2Ax B′ = + + และf(x) ′′ = 6x + 2Aจึงได้ว่า f ′′(2) = 6(2) + 2A = 2 → A = − 52f ′(2) = 3(2) − 10(2) + B = 2 → B = 103 2f(1) = (1) − 5(1) + 10(1) + C = 0 → C = − 6* หาสมการเส้นสัมผัสโค้งนี้ ณ จุดซึ่ง x=2ความชัน = f’(2) = 2 (โจทย์ให้มาแล้ว)3 2จุดที่สัมผัส.. f(2) = (2) − 5(2) + 10(2) − 6 = 2ดังนั้นสมการเส้นตรงคือ y = 2x − 2 ตอบ1 x 1 x= + = +10 25 x − 4 251 1f(x) ′ =− + แทนค่า a ตามในโจทย์ได้2(x − 4) 2524 1 12f(a) ′ = − = − + → (a − 4) = 1225 (a − 4) 25(12) f(x)log (x −4)ดังนั้น a = 3 หรือ 5 ... แต่ในโจทย์มี log จึงมีเงื่อนไขทําให้ x > 4 เท่านั้น ตอบ 1 จํานวน2 42x + 1 2 2(13)dx (x x−= + ) dx∫ ∫21 x123x 1 8 1 1 5= ⎡ ⎢ − ⎤ ⎥ = ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ − ⎜ ⎛ − 1⎟⎞ = 2⎣ 3 x⎦ ⎝3 2⎠ ⎝3 ⎠ 6และ1∫ ∫1 12(4 − x) dx = (16 − 8 x + x) dx0 0⎡ 1216 3/2 x ⎤ ⎛ 16 1 ⎞= ⎢16x − x + ⎥ = ⎜16− + ⎟⎣ 3 2 ⎦ ⎝ 3 2⎠111 6= ดังนั้น ตอบ 14(14) ก.−1∫03 43⎛x2⎞(x − 4x) dx = ⎜ − 2x ⎟⎝ 4 ⎠81 1= ⎛ ⎜ − 18 ⎞ ⎟ − ⎜ ⎛ − 2⎟⎞ = 4⎝ 4 ⎠ ⎝4⎠3−1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 605โจทยทดสอบ ชุดที่ 13ข. y = x − 4xมีจุดตัดแกน x ที่0, 2, –2 ดังรูปพื้นที่แรเงา∫ ∫ ∫0 2 3= f (x) dx − f (x) dx + f (x) dx−1 0 27 25(4) 124 44xf(x) x4= − − + = ตารางหน่วย ตอบ ข้อ 1.(15) จากa 2f(x) ′ = x − 1= − จะได้3ดังนั้น ( )−a∫3a26 3−af(x)dx ′′ = x − 1 = a + a1a + a = − → 4a + 4a + 1 = 04จึงได้6 3 6 33 2 3 1→ (2a + 1) = 0 → a = −2ความชัน ณ x=a คือ f(a) ′3 1 3= a − 1 = − − 1 = − ตอบ2 26!(16) แบ่งเป็น 4,1,1 จะได้ 3! 9024!(1!) 2! × =6!แบ่งเป็น 3,2,1 จะได้3! 3603!2!1! × =6!แบ่งเป็น 2,2,2 จะได้ 3! 903(2 !) 3 ! × =รวม 90+360+90 = 540 วิธี ตอบ(17) ก. 2!3! = 6 วิธี2(หาร 2 เพราะเป็นการจัดวงกลมแบบพลิกด้านได้)ข. 2!3! = 12 วิธี ตอบ ข้อ 3.(18) หยิบพร้อมกันให้ได้แต้มรวมเป็น 10 มีดังนี้..1,2,7 1,3,6 1,4,5 2,3,5 รวม 4 กรณี4 4 1ตอบ = =⎛10⎞120 30⎜ 3 ⎟⎝ ⎠(19) เส้นที่ลากขึ้นระหว่างจุดยอด 2 จุดในรูปสิบเหลี่ยม จะมีทั้งหมด ⎛10⎞ = 45 เส้น⎜ 2 ⎟⎝ ⎠แต่ในจํานวนนี้เป็นด้าน (เส้นรอบรูป) อยู่ 10 เส้นดังนั้นมีเส้นที่ไม่ใช่ด้าน อยู่ 45–10=35 เส้นให้หาความน่าจะเป็นที่เส้นนี้ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางซึ่งเราพบว่า มีเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางอยู่ 5 เส้นตอบ 35 − 5 =635 77/4425/4-2 -1 0 2 3(20) ก. Δ y = 2 Δ x = 2(2) = 4แสดงว่ากําไรเพิ่ม 4,000 บาทเท่านั้น(การคิด X, Y ที่เปลี่ยนแปลงไป จะไม่ขึ้นกับค่า c)ข. ทราบค่า Y แล้วจะทํานายค่า X แบบนี้ ทําไม่ได้!ตอบ ข้อ 4.(21) ก. ∑ x = m ∑ y + cN → 0 = 6m + 4c2∑ xy = m ∑ y + c ∑ y → 14 = 30m + 6cแก้ระบบสมการได้ m=2/3 และ c=-1ดังนั้นที่ y=1 จะได้ ˆX = (2/3)(3) − 1 = 1ข. ∑ y = m ∑ x + cN → 6 = 0m + 4c2∑ xy = m ∑ x + c ∑ x → 14 = 10m + 0cจะได้ m=1.4 และ c=1.5ดังนั้นที่ x=1 จะได้ Ŷ = 1.4(1) + 1.5 = 2.9ตอบ ข้อ 2.(22) การเปรียบเทียบข้อมูลสองกลุ่ม ต้องเทียบด้วยค่ามาตรฐาน (z) เท่านั้น.. หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตวิชาคณิตศาสตร์ได้ 80 คะแนน และเคมี 78 คะแนน..คณิตศาสตร์;z90 − 80 108.6 8.690 − 78 1214.2 14.2= = ≈ 1 กว่าๆเคมี; z = = ≈ ไม่ถึง 1ตอบ เขาเรียนวิชาคณิตศาสตร์ได้ดีกว่าเคมี(23) ถ้าให้ Y=โบนัส และ X=เงินเดือน จะได้Y = 1000 + 2X ... ดังนั้น จากสมบัติของค่ากลางและค่าการกระจาย จะได้ก. Y = 1000 + 2X2 2ข. sY 2sX sY 4sX= → = ตอบ ข้อ 4.(24) จาก P 97.5 → A = 0.475 ทางขวาmaxจะได้ z = 1.960 = .....(1)20และจาก P 33 → A = 0.17 ทางซ้ายxmin− Xจะได้ z =− 0.440 = .....(2)x− X20(1)-(2); x max − x min = 39.2 + 8.8 = 48.0ดังนั้น พิสัยเท่ากับ 48.0 คะแนน ตอบ(25) นักเรียนที่ได้ค่ามาตรฐานระหว่าง -1 และ 1 มีอยู่ 75%แสดงว่าพื้นที่แรเงาในรูปมีฝั่งละ 37.5%0.3750.375-1 0 1 z50 − 40คะแนนของนาย ก คิดเป็นค่า z = = 110จึงคิดเป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50+37.5 = 87.5 ตอบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 606โจทยทดสอบ ชุดที่ 2ตอนที่ 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบแบบอัตนัยข้อ 1 – 5 ข้อละ 2 คะแนน ข้อ 6 – 10 ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ P เป็นจุดๆ หนึ่งบนวงรีo¨·Â·´Êoº ªú ·Õè 2(กุมภาพันธ์ 2548)2 2(x − 1) (y −2)+ = 19 16ถ้าระยะห่างระหว่างจุด P และจุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีคือ 2 หน่วย แล้ว(PF˜⋅˜PF ) sec (FP ˆ F ) มีค่าเท่ากับเท่าใด1 2 1 22(log x)2. ผลคูณของทุกคําตอบของสมการ 2 3x = 10x มีค่าเท่ากับเท่าใดซึ่งมี F 1 , F 2 เป็นจุดโฟกัส3. กําหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้าน BC ยาว 5 หน่วย ด้าน AC ยาว 8 หน่วยถ้ามุม = − −B arccos(12/13) arcsin( 3/5) แล้วค่าของ 7 cosec A cos B เท่ากับเท่าใด4. ถ้าสมการจุดประสงค์คือ P = 14x − 7y และอสมการข้อจํากัดคือ x + y < 12,2x + 5y > 30 , 5x + 2y > 30 แล้ว ผลรวมของค่าสูงสุดและค่าต่ําสุดของ P เท่ากับเท่าใด5. ให้เมตริกซ์⎡a11 a12 a13⎤A = ⎢a ⎥⎢21 a22 a23⎥⎣a31 a32 a33⎦ถ้า2แล้ว ค่าของ det (2 A adj A) เท่ากับเท่าใด⎡1 0 −1 1 0 0⎤ ⎡1 0 0⎢0 1 1 0 1 0⎥ ~ ⎢0 1 0⎢ ⎥ ⎢⎢⎣1 −1 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1a a aa a aa a a11 12 1321 22 2331 32 33⎤⎥⎥⎦6. ถ้า z = 2 − 3i แล้ว ค่าสัมบูรณ์ของ ⎛ 2z + 7i⎜⎞⎟2⎜ − − ⎟⎝z 1 i⎠เท่ากับเท่าใด7. ถ้าจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่หาร 105 เหลือเศษ 3 และหาร 601 เหลือเศษ 6 นั้นหาร 35323 2เหลือเศษเท่ากับ a, และให้พหุนาม x + bx + c หาร x − 2x − x −2 เหลือเศษ 4 เมื่อ b, c เป็นจํานวนจริง ดังนั้น a + b + c มีค่าเท่ากับเท่าใด8. รหัสสินค้าจํานวน 6 หลักของบริษัทแห่งหนึ่งประกอบขึ้นจากเลข 0 ถึง 9 โดยสองหลักแรกระบุปีที่ผลิต (เช่น 48 แทน พ.ศ. 2548) และหลักสุดท้ายเป็นตัวเลขตรวจสอบความถูกต้อง ซึ่งได้มาจากหลักหน่วยของผลบวกของเลขในห้าหลักแรก บริษัทนี้จะสามารถตั้งรหัสสินค้าที่ผลิตในปี พ.ศ. 2548ให้มีเลข 0 ไม่เกิน 2 หลัก ได้มากที่สุดกี่รหัส9. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์ และผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินามของทุกพจน์ ในการ7กระจาย (3a − 2b) มีค่าต่างกันอยู่เท่าใด10. ถ้า B = { −2, −1,1,3,4,7} และ S = {A | A ⊂ B และ ∉แล้ว จํานวนสมาชิกของ S เท่ากับเท่าใด(1 A หรือ n(A) ∉ A)}Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 607โจทยทดสอบ ชุดที่ 2ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 25 เป็นข้อสอบแบบปรนัย ข้อละ 3 คะแนน1. กําหนดให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนใดๆ และ a, b เป็นจํานวนจริงข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ถ้า P(a + bi) = 0 แสดงว่า x − a + bi เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P(x)2. หากสมการ P(x) = 0 มี a + bi เป็นคําตอบหนึ่งแล้ว a − bi จะเป็นคําตอบของสมการนี้ด้วย3. เมื่อ n เป็นจํานวนนับ สมการพหุนามกําลัง n ย่อมมี n คําตอบต่างๆ กัน4. เมื่อ n เป็นจํานวนนับ รากที่ n ของจํานวน a + bi ย่อมมี n คําตอบต่างๆ กัน2. ข้อความในข้อใดต่อไปนี้ผิด1. ถ้า a, b, c เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a| b และ a|c แล้วจะได้ว่า a หารผลรวมเชิงเส้นของ b และ c ลงตัวด้วย2. ถ้า a, b, c เป็นจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a| b หรือ a|c แล้วจะได้ว่า a หารผลคูณ bc ลงตัวด้วยn3. ถ้า a, b, n เป็นจํานวนเต็มบวก และ a| b แล้ว จะได้ว่า a| b4. ถ้า a, b, n เป็นจํานวนเต็มบวก และ a n | b แล้ว จะได้ว่า a| b2 233. ถ้า f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ โดย f(2x + 1) = {[g(x + 2)] + 1 } และเส้นสัมผัสโค้ง g(x) ที่ x = 3 มีสมการเป็น y = 3x − 8 แล้วอนุพันธ์ของ f(x) ที่ x = 3 อยู่ในเซตใดต่อไปนี้1. {12, 18} 2. {24, 36} 3. {54, 72} 4. {84, 108}4. ถ้า F 1 และ 22 2F เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา x − 3y −2x − 23=0ระยะทางระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ทํามุม 60 ° กับแกน x และผ่าน F 1 และ 2F ตามลําดับเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 4 2. 4 2 3. 4 3 4. 4 65. ให้ A, B, C เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใดๆจุด D อยู่บนด้าน BC โดยที่ |BD|˜ ˜:|BC| = 3 : 4พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ÃB = 4˜ÃD − 3 ACข. ถ้า |AB|˜ ˜= |AC| = 3 |AD|˜ แล้ว มุม A มีขนาดประมาณ 120 °2ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดx − 66. จํานวนคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของอสมการ x + 1 < < 5 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้x1. 5 2. 6 3. 8 4. 12Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)2

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 608โจทยทดสอบ ชุดที่ 27. เส้นโค้งพาราโบลา x = ay 2 + 1 มีสมการเส้นสัมผัส ณ จุด (3, b) คือ + + =a, b, c เป็นจํานวนจริง จะได้ว่า a + b + c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. −4 2. −2 3. 2 4. 48. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. ถ้าประพจน์ [(p ∧ q) →r)] ↔(p ∨ q) มีค่าความจริงเป็นเท็จแล้ว (p → q) ∨ r มีค่าความจริงเป็นเท็จข. นิเสธของข้อความ ∃y∀x [ Q (x, y) →P (x) ] คือ ∃x∀y[Q(x,y)∧ข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิดx 4y c 0 เมื่อ~P(x)]9. กําหนดเอกภพสัมพัทธ์คือช่วงเปิด (1, 4) พิจารณาข้อความต่อไปนี้2ก. ประพจน์ ∀x[x − 5x+4 < 0] มีค่าความจริงเป็นจริง3 2ข. ประพจน์ ∃x[2x −5x −5x− 7 > 0] มีค่าความจริงเป็นจริงข้อใดต่อไปนี้ถูก1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด10. กําหนดให้2x − 5f(x) =x − 3พิจารณาข้อความต่อไปนี้ก. f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (1, 5) − {3} ข. อินเวอร์สของ f เป็นฟังก์ชันข้อใดต่อไปนี้จริง1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด11. กําหนดให้ r = ln (1/3) ผลบวกของอนุกรมในข้อใดต่อไปนี้เท่ากับ1. ∑∞n=0n∑r 2. ∞ =n 0n n(1) − r 3.1∞∑ n + 1n=0 r11 + r4. ∞ n(1) −∑ n+1n=0 r3 212. ให้ f(x) = x + ax + bx+c เมื่อ a, b, c เป็นจํานวนจริงถ้า x − 1 หาร f(x) แล้วเหลือเศษ 2 และ i − 2 เป็นรากหนึ่งของสมการ f(x) ′ = 0 แล้วค่าของ f( −1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. −30 2. −26 3. −10 4. −26/313. กําหนดให้ f(x) = 9− x 22, g(x) = x + 5 ข้อใดต่อไปนี้ผิด21. (f g)(x) = 4 − x เมื่อ x ∈ [ − 2,2]2. (g f)(x) = 14 − x2 เมื่อ x ∈ [ − 14, 14]3. R fog = [0,2] และ R gof = [ 5, 14]4. f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ −3,3]Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 609โจทยทดสอบ ชุดที่ 2x2x14. ให้ S เป็นเซตคําตอบของอสมการ 1− 11e > 9+eถ้า a และ b เป็นสมาชิกของ S ที่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด ตามลําดับแล้ว a − b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. ln 1 2. ln 10 3. 2ln3 4. ln 1115. กําหนดให้ θ∈[ 0, 2 π]ถ้า tan θ = 2 − sec θ แล้ว sin( + 2 θ)21. 72. − 72525πมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้73. , − 12574. , − 1, 12516. กําหนดให้ y = f (x) เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งมีค่าต่ําสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 4 ที่จุดซึ่ง x = 1และมีเส้นตรง x + y + 3=0 เป็นเส้นสัมผัสกราฟที่จุด (a, −2)2ถ้า f(x) ⋅ g(x) = x แล้ว ค่าของ g ′′(x) dx เท่ากับข้อใดต่อไปนี้∫ 1−11. 3 22. 3 43. − 3 44. − 3 217. กําหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นดังนี้คะแนน จํานวนนักเรียน30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 79510ab2เมื่อสุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มนี้มาหนึ่งคน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้ได้คะแนนน้อยกว่าและมากกว่า49.5 คะแนน มีค่าเท่ากัน และคะแนน 59.5 คิดเป็นเดไซล์ที่ 8 ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของคะแนนชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 0.01 2. 7.92 3. 10.01 4. 49.9218. ให้ x 1 , x 2 , ..., x 5 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 8 และ ii=1ดังนั้นหากมีข้อมูล 2 เพิ่มอีกหนึ่งจํานวน ความแปรปรวนจะเท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 5 2. 10 3. 39 4. 52∑ 5 2(x − 5) = 7519. ตารางแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเส้นตรง ระหว่างผลการเรียนที่ได้กับจํานวนชั่วโมงที่ใช้ทบทวนบทเรียนของนักเรียน 6 คนในห้องเรียนหนึ่ง เป็นดังนี้จํานวนชั่วโมงที่ใช้ 3 4 7 8 10 10ผลการเรียนที่ได้ 1 1 2 2 3 3ถ้านักเรียนคนหนึ่งในห้องนั้นได้ผลการเรียน 4 จะทํานายได้ว่าใช้เวลาทบทวนบทเรียนกี่ชั่วโมง1. 13.50 2. 14.50 3. 14.75 4. 15.25Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 610โจทยทดสอบ ชุดที่ 220. กําหนดให้ M ij คือเมตริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซ์ A ออกถ้าแล้ว⎡−13 −14 a ⎤adj A = ⎢ −5 b −1⎥⎢⎥⎣ 17 11 −8⎦M−1det ((2A) ) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้22⎡−1 −1⎤= และ ⎡ d −1⎤⎢ ⎥ M31=⎣c 3 ⎢ ⎥⎦⎣−1 2 ⎦1. −1/ 152 2. −1/38 3. −2/19 4. −8/1921. กําหนดให้ S คือเซตของคู่อันดับดังนี้ {(x 1, y 1),(x 2, y 2),(x 3, y 3)}และ A = {0,1,2} ความน่าจะเป็นในการสุ่มหยิบ x i และ y i ทั้งหมดจากเซต Aและได้ S เป็นฟังก์ชันจาก A ไป A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 2 92. 4 93. 2 814. 4 8122. กล่องใบหนึ่งบรรจุสลากที่แต่ละใบเขียนหมายเลขกํากับไว้ เป็นจํานวนสามหลักซึ่งแต่ละหลักไม่ซ้ํากันเลยครบทุกแบบที่เป็นไปได้ หากสุ่มหยิบสลากหนึ่งใบจากกล่อง ความน่าจะเป็นที่ได้จํานวนซึ่งประกอบด้วยเลขโดดคี่เรียงกันตามลําดับน้อยไปมากหรือมากไปน้อย เท่ากับเท่าใด1.1240∫ 42. 12163.11204. 110823. ค่าของ ( x(8−x) − x(4−x)) dx อยู่ในช่วงต่อไปนี้01. [0, 2) 2. [2, 6) 3. [6, 12) 4. [12, 20)24. ถ้า A เป็นเซตคําตอบของสมการ∑ 5k=0kz = 0zและ B เป็นเซตคําตอบของระบบสมการ =z + 11และ z = 1แล้ว จํานวนสมาชิกของ A ∪ B เท่ากับข้อใดต่อไปนี้1. 5 2. 6 3. 7 4. 825. ถ้า = − +3 1vn 3 i j2n nเมื่อ n = 1, 2, 3, ..., 100แล้วค่าของ (v + − v ) ใกล้เคียงกับข้อใดต่อไปนี้มากที่สุด∑ 99 n 1 nn=11. 1.414 2. 1.571 3. 1.732 4. 1.995เฉลยคําตอบตอนที่ 1 (1) 12 (2) 100 (3) 6.6 (4) 84 (5) 0.5 (6) 10 (7) 16 (8) 996 (9) 127(10) 53ตอนที่ 2 (1) 4 (2) 3 (3) 3 (4) 4 (5) 1 (6) 2 (7) 3 (8) 4 (9) 1(10) 2 (11) 4 (12) 1 (13) 2 (14) 4 (15) 1 (16) 3 (17) 2 (18) 2(19) 1 (20) 1 (21) 1 (22) 4 (23) 3 (24) 1 (25) 4Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 611โจทยทดสอบ ชุดที่ 2เฉลยวิธีคิดตอนที่ 1(1) โจทย์ถาม (PF˜1⋅˜PF ˆ2) sec (FP1F2)= | ˜ PF ˆ ˆ1| ˜ ⋅ |PF2|cos P sec P= | ˜ PF1| ˜ ⋅ |PF2|ซึ่งสามารถใช้สมบัติที่ว่า ระยะทางจากจุดๆ หนึ่งไปยังจุดโฟกัสทั้งสอง บวกกันแล้วเป็นค่าคงที่ = 2a เสมอวงรีที่โจทย์ให้มามีค่า a = 4 ดังนั้น 2a = 8ถ้าระยะทางหนึ่งเป็น 2 หน่วย อีกระยะทางหนึ่งย่อมเท่ากับ 8–2=6 หน่วย ตอบ 2 ⋅ 6 = 122(logx)23(2) จากโจทย์จะได้ log(x ) = log(10 x )2 3→ 2(log x) log(x) = log 10 + log(x )ให้ log(x) = A จะได้3 3→ 2A = 1 + 3A → 2A − 3A − 1 = 02→ (A − 1)(2A −2A − 1) = 0ดังนั้น A = 1 หรือ 1 ± 321+31−3จะได้ x = 10 หรือ 102หรือ 102ซึ่งผลคูณของทุกคําตอบ เท่ากับ 100 ตอบ(3) cos B = cos(arccos (12/13) − arcsin( − 3/5))⎛12 ⎞ ⎛4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛−3 ⎞ 33= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝13 ⎠ ⎝5 ⎠ ⎝13 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 65ต่อมา หามุม A ได้จากกฎของไซน์ในรูปสามเหลี่ยมBC AC 5 8คือ = → =sin A sin B sin A sin B8จะได้ cosec A =5sinBซึ่ง sin B = sin(arccos (12/13) − arcsin( − 3/5))⎛ 5 ⎞ ⎛4⎞⎛12⎞ ⎛−3⎞56= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝13 ⎠ ⎝5 ⎠ ⎝13 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 65⎛8⎞ ⎛65⎞13ดังนั้น cosec A = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝5⎠ ⎝56⎠7ตอบ⎛13 ⎞ ⎛33⎞7cosecA cosB = 7⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 6.6⎝ 7 ⎠ ⎝65⎠(4) P max เกิดที่ (10,2)Pmax= 126และ minP เกิดที่ (2,10) (2,10)(30/7,30/7) (10,2)Pmin=− 42ตอบ ผลรวม = 84⎡(5) 1 0 − 1 ⎤ ⎡⎢0 1 1 I ⎥ ~ ⎢⎢⎣1 −1 0 ⎥⎦⎢⎣I A⎡1 0 −1⎤−1แปลว่า ⎢0 1 1⎥ = A⎢⎣1 −1 0⎥⎦−โดยที่ 1 0 1 10 1 1 = 2 → det(A) =1 −1 0โจทย์ถาม 2 n (det(A)) 2 (det(A)) n−13 2 3−1= 2 (1/2) (1/2) = 0.5 ตอบ(6) จากจะได้2z + 7i (4 − 12i − 9) + 7i −5 − 5i= =z− 1− i (2 + 3i) − 1 − i 1 + 2i22 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞2⎤⎥⎥⎦z + 7i 5 2 25⋅2= = = 10⎜z 1 i⎟⎜5 ⎟⎝ − − ⎠ ⎝ ⎠ 5ตอบ(7) หาร 105 เหลือเศษ 3 แปลว่าหาร 102 ลงตัวหาร 601 เหลือเศษ 6 แปลว่าหาร 595 ลงตัวซึ่ง 102 = 2 × 3 × 17 , 595 = 5 × 7 × 17แสดงว่า จํานวนเต็มที่มากที่สุดนั้น คือ 17 (ห.ร.ม.)และ 17 หาร 353 เหลือเศษ a = 13ต่อมา พหุนามหาร 3 2 x 2x x 2ก็ย่อมแปลว่าหาร 3 2 x 2x x 6− − − เหลือเศษ 4− − − ลงตัวซึ่ง 3 2 2x 2x x 6 (x 3)(x x 2)− − − = − + + แสดงว่าพหุนาม 2 x bx c+ + นั้นคือ x 2 + x + 2 (เพราะเป็นพหุนามกําลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนจริง)ตอบ a+b+c = 13+1+2 = 16(8) ควรคิดโดยวิธีลบออก คือจํานวนรหัสทั้งหมด ลบด้วย จํานวนรหัสที่มีเลข 0 เกิน 2 หลัก..สมมติว่ารหัสอยู่ในรูป 4 8 A B C Sจํานวนรหัสทั้งหมด 10 × 10 × 10 × 1 = 1000 แบบ(หลัก S เป็น 1 แบบเพราะถูกสร้างจากหลักหน่วยของผลบวก 4,8,A,B,C เท่านั้น เราเลือกเองไม่ได้)จํานวนรหัสที่มีเลข 0 เกิน 2 หลักกรณีแรก; A,B,C เป็น 0 ทุกหลัก (จะได้ S เป็น 2)มีอยู่ 1 แบบ (คือ “0002”)กรณีที่สอง; A,B,C เป็น 0 เพียง 2 หลัก จะต้องบังคับให้ S เป็น 0 ด้วย เพื่อให้มีเลข 0 เกิน 2 หลัก(แสดงว่า A,B,C อีก 1 หลักที่เหลือ ต้องเป็นเลข 8)มีอยู่ ⎛3⎞ = 3 แบบ (คือ “0080, 0800, 8000”)⎜2⎟⎝ ⎠ส่วนกรณีที่ A,B,C,S เป็น 0 ทุกหลัก เป็นไปไม่ได้ตอบ 1000 4 996 − = รหัสMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 612โจทยทดสอบ ชุดที่ 27(9) เนื่องจาก (3a − 2b) =7 7 7( 0) ( 1) ( 7)7 0 6 1 0 7(3a) ( − 2b) + (3a) ( − 2b) + ... + (3a) ( − 2b)ผลบวกของสัมประสิทธิ์ คือ⎛7⎞ 77(3) ( 2)⎛ ⎞0 1(3) ( 2) ...⎛ ⎞⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ − + + ⎜0⎟(3) ( −2)⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠7 0 6 1 0 7ซึ่งหาค่าได้โดยแทน a และ b ด้วย 1 ในสมการแรก7 7ได้ผลลัพธ์เป็น (3(1) − 2(1)) = 1 = 1ส่วนผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินาม เท่ากับ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎛7⎞7 70 1 2 3...⎛ ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + + ⎜7⎟= 2 = 128⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(สามารถพิสูจน์ได้โดยแทนค่า 3a=1 และ -2b=1)ตอบ 128–1 = 127(10) ในโจทย์มีคําว่า “หรือ” คิดโดยตรงยาก ควรใช้วิธีลบออก คือจํานวนสับเซตของ B ทุกแบบ ลบด้วยแบบที่ไม่ต้องการ นั่นคือ “ 1 ∈ A และ n(A) ∈ A ”6* จํานวนสับเซตของ B ทุกแบบ = 2 = 64 แบบ* จํานวนแบบที่ “ 1 ∈ A และ n(A) A∈ ”กรณี A มีสมาชิก 0 ตัว (คือเซตว่าง) เป็นไปไม่ได้กรณี A มีสมาชิก 1 ตัว มี 1 แบบ คือ {1}กรณี A มีสมาชิก 2 ตัว เป็นไปไม่ได้กรณี A มีสมาชิก 3 ตัว มี 4 แบบ คือ {1,3,?}กรณี A มีสมาชิก 4 ตัว มี 6 แบบ คือ {1,4,?,?}กรณี A มีสมาชิก 5 หรือ 6 ตัว เป็นไปไม่ได้ตอบ 64 − 1 − 4 − 6 = 53ตอนที่ 2(1) ข้อ 1. ผิด ต้องแก้เป็น x − (a + bi)ข้อ 2. ผิด กฎนี้ใช้ได้เมื่อ P(x) มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจํานวนจริงเท่านั้น (สัมประสิทธิ์ติด i จะใช้ไม่ได้)ข้อ 3. ผิด มี n คําตอบจริง แต่บางคําตอบอาจซ้ํากันข้อ 4. ถูก (เพราะ n คําตอบนั้นจะไม่เหมือนกันเลย)(2) ข้อ 1. ถูก เป็นกฎที่ควรทราบ (ผลรวมเชิงเส้นของ b, c คือ bx+cy เมื่อ x, y เป็นจํานวนเต็มใดๆ)ข้อ 2. ถูก ถ้าหารตัวใดตัวหนึ่งได้ ย่อมหารผลคูณได้2ข้อ 3. ผิด เช่น 4|6 แต่ 4|6 /ข้อ 4. ถูก ถ้าหลายตัวหารได้ ตัวเดียวย่อมหารได้(3) เส้นสัมผัส g(x) ที่ x=3 คือ y=3x-8 แปลว่าg(3) = 3(3)-8 = 1 และ g’(3)=32 2... จากนั้น f(2x + 1) = {[g(x + 2)] + 1} 3จะได้2 2{ } 22′ + ⋅ = + + ⋅ +f(2x 1) (2) 3 [g(x 2)] 1 2[g(x 2)]แทน x ด้วย 1 ตลอดสมการ ได้เป็น2{ } 22{ } 22⋅ g(x ′′ + 2) ⋅ (2x)f ′(3) ⋅ (2) = 3 [g (3)] + 1 ⋅ 2 [g (3)] ⋅ g ′′(3) ⋅ (2)→ f(3) ′ = 3 [1] + 1 ⋅2[1] ⋅3 → f(3) ′ = 72 ตอบ2 2(4) (x − 2x + 1) − 3(y ) = 23 + 12 22 2 (x − 1) y→ (x − 1) − 3y = 24 → − = 124 8อ้อมแกน x, C(h, k) = (1, 0), c = 24 + 8 = 4 2∴ F(1± 4 2,0) โจทย์ให้หาระยะระหว่างเส้นตรงที่ผ่านสองจุดนี้ โดยทํามุม 60°กับแกน x ดังรูป∴ d = (8 2)sin60°= 4 6หน่วย ตอบ d(5) ก. ใช้สูตรการแบ่งเวกเตอร์AC˜ 3AC˜1AB˜1D3ข. ให้ |AB|˜= |AC|˜= a2จะได้B|AD|˜= a3จากข้อ ก. เราทราบว่า ÃB + 3ÃC = 4ÃDคิดเฉพาะขนาดได้ดังนี้..+AD =4ดังนั้น ÃB = 4ÃD − 3ÃC2 2 282a + (3a) + 2 (a)(3a) cos A = 4 ( a)32 2 64 213→ 10a + 6a cos A = a → cos A = −9 27เนื่องจาก cos A มีค่าประมาณ -0.5 แสดงว่ามุม Aมีขนาดประมาณ 120° ตอบ ข้อ 1.2x − 6(6) ซีกซ้าย; x + 1

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 613โจทยทดสอบ ชุดที่ 2(7) จัดรูปสมการพาราโบลาเป็นy =±x − 1aพาราโบลานี้จะมีความชัน dy =±1dx 2 a x − 1แต่สมการเส้นตรง x + 4y + c = 0 มีความชัน -1/4แสดงว่าพาราโบลามีความชัน -1/4 ณ จุดที่ x=3แทนค่า dy =− 1 =− 1 → a = 2dx 4 2 a 3 − 1(ต้องใช้พาราโบลาซีกที่เป็นเครื่องหมายลบจึงคิดได้)x − 13 − 1ดังนั้น y =− และค่า b =− =− 12ส่วนค่า c หาจาก 3 + 4( − 1) + c = 0 → c = 1ตอบ a+b+c = 2(8) ก. เชื่อมด้วยเครื่องหมาย “ก็ต่อเมื่อ” มีเท็จได้ 2กรณี คือ T,F และ F,T สมมติว่าคิดแบบ T,F จะได้..[(p ∧ q) →r)] ↔(p ∨ q)FT FF F ? F F(พบว่า r จะเป็นจริงหรือเท็จก็ได้)คําถามคือ (p → q) ∨ r จะเป็นเท็จเสมอหรือไม่ลองแทน p เป็นเท็จ และ q เป็นเท็จ ได้ผลเป็นT ∨ r ซึ่งเป็นจริงเสมอ ดังนั้น ก. ผิดข. ในวงเล็บถูกต้องแล้ว แต่ผิดที่ตัวบ่งปริมาณ ต้องเป็น ∀y∃ x (สลับที่ไม่ได้) ตอบ ข้อ 4.(9) ก. จะได้เป็น ∀x[(x − 4)(x − 1) < 0]นั่นคือ ∀ x[1< x < 4] ...ซึ่งทุกค่าในเอกภพสัมพัทธ์ก็ให้ผลเป็นจริงตามเงื่อนไขนี้ ดังนั้น ก. ถูก2ข. จะได้ ∃x[(2x − 7)(x + x+ 1) > 0]2ซึ่งพจน์ (x + x + 1) แยกตัวประกอบไม่ได้ และจะมีค่าเป็นบวกเสมอ จึงตัดทิ้งได้ ไม่มีผลต่ออสมการ..กลายเป็น ∃x[2x− 7 > 0] นั่นคือ∃ x[x > 3.5] ซึ่งพบว่ามี x บางค่าตรงตามนี้จริงตอบ ข้อ 1.2(x − 3)(2x) − (x − 5)(1)(10) f(x) ′ =(x − 3)2x − 6x + 5 (x − 1)(x − 5)= =2 2(x − 3) (x − 3)ค่าวิกฤตคือ x=1 และ 5โดยที่ x=3 นั้นความชันหาค่าไม่ได้..ลองแทน x ต่างๆ และ3เขียนกราฟได้ดังรูปก. เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (1, 3) ∪ (3, 5) ..ถูกข. ผิด เพราะ f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 ตอบ ข้อ 2.2(1,2)2(5,10)2(11) ข้อ 1. 1 + r + r + …2ข้อ 2. 1 − r + r − …1 log3 log3ln = − ln 3 = − ≈ − ≈ −1.กว่าๆ3 log e log 2.7ดังนั้นข้อ 1. กับ 2. ผิดแน่นอน เพราะเป็นอนุกรมอนันต์ที่มีอัตราส่วนร่วมน้อยกว่า –1 หรือมากกว่า 1ซึ่งไม่สามารถหาผลบวกถึงอนันต์ได้1 + 1 + 1 + … = (1/ r) =1r r r 1 − (1/ r) r − 11 − 1 + 1 − … = (1/ r) =1r r r 1 + (1/ r) 1 + rข้อ 3.2 3ข้อ 4.2 3ตอบ ข้อ 4.(12) f(x) เป็นพหุนามดีกรีสาม แสดงว่า f’(x) เป็นพหุนามดีกรีสอง ซึ่งโจทย์บอกว่า i − 2 เป็นรากหนึ่ง(เป็นคําตอบหนึ่ง) ของสมการ f(x) ′ = 0 แสดงว่า− i − 2 เป็นอีกคําตอบหนึ่ง จะได้2f ′(x) = k (x −(i −2))(x −( −i − 2)) = k (x + 4x + 5)2ดังนั้นอินทิเกรตได้ f(x) = k( + 2x + 5x + c) 13แต่ในโจทย์ให้สัมประสิทธิ์หน้าสุดเป็น 1 แสดงว่า k=33 2นั่นเอง.. จึงได้ f(x) = x + 6x + 15x + cต่อมา หาค่า c ได้จากประโยค x-1 หาร f(x) เหลือเศษ 2 หมายความว่า f(1)=2 (จากทฤษฎีเศษ)3 22 = (1) + 6(1) + 15(1) + c → c = − 203 2ตอบ f ( − 1) = ( − 1) + 6( − 1) + 15( −1) − 20 = − 302 2 2(13) 1. fog = 9 − g = 9 − (x + 5) = 4 − x22หาโดเมน; เนื่องจาก 9 − g นั้น 9 − g > 0เท่านั้น จึงได้ว่า − 3 < g < 3 นั่นคือ2 2< < < 5 → g > 52 2จึงทําให้ g > 5 → 9 − g < 42→ 0 < 9 − g < 2 สรุป R fog = [0,2]gof; จาก x 2 > 0 → 9 − x 2 < 92จึงทําให้ 0 < f < 3 → 5 < f + 5 < 142< < สรุป gof→ 5 f + 5 14Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)x3R = [ 5, 14]4. ถูก เพราะช่วง [-3,3] ตลอดทั้งช่วงอยู่ในโดเมนของ f กับ g และก็ไม่มีค่า x ใดที่ฟังก์ชันไม่นิยาม(เช่นทําให้มีส่วนเป็น 0)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 614โจทยทดสอบ ชุดที่ 2(14) ให้ exกรณีแรก ถ้า2= A จะได้ |1− 11A| > 9 + AA111> จะทําให้ในค่าสัมบูรณ์ติดลบ2ซึ่งถอดค่าสัมบูรณ์ได้ 11 A − 1 > 9 + A2→ A − 11A + 10 < 0 → (A − 11)(A − 1) < 0xดังนั้น 1 < A < 11 → 1 < e < 11→ ln 1 < x < ln 11 ช่วงคําตอบคือ [ln1,ln11]1กรณีที่สอง ถ้า 0 < A < จะทําให้ในค่าสัมบูรณ์2เป็นศูนย์หรือเป็นบวก ซึ่งถอดได้ 1− 11A > 9 + A2→ A + 11A + 8 < 0ดังนั้น11− 11 − 89 11 89< A

คณิตศาสตร O-NET / A-NET 615โจทยทดสอบ ชุดที่ 2(21) วิธีทั้งหมดคือ หยิบ x i กับ y i เป็น 0, 1, หรือ2 ก็ได้ เป็นจํานวน 6 ครั้ง (ซ้ํากันอย่างไรก็ได้)6ได้ทั้งหมด 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 แบบวิธีที่ต้องการคือ หยิบ x i ได้เลข 0, 1, 2 อย่างละตัวพอดี (3! แบบ) และหยิบ y i เป็นเลขใดก็ได้ (ซ้ํากัน4ได้) นั่นคือได้ทั้งหมด 3! 3 3 3 2 3ดังนั้น ความน่าจะเป็น⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ แบบ42 ⋅ 3 263 9= = ตอบ(22) จํานวนทั้งหมด = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 จํานวน(ขึ้นต้นด้วยเลข 0 ไม่ได้ ขั้นตอนแรกจึงเป็น 9 วิธี)ส่วนจํานวนที่ต้องการ ได้แก่ 135, 357, 579 และกลับด้าน (มากไปน้อย) ได้อีก รวม 6 จํานวนตอบ ความน่าจะเป็น= 6 19 ⋅ 9 ⋅ 8 = 108(23) พิจารณา y 1 x(8 x)1= − จะได้2 2y = −(x − 8x + 16) + 16 = −(x − 4) + 16นั่นคือ y 2 + (x − 4) 2 = 16 ... เป็นสมการครึ่งวงกลม รัศมี 4 หน่วย จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (4,0)และในทํานองเดียวกัน y 2 = x(4 − x) จะได้22 2y = −(x − 4x + 4) + 4 = −(x − 2) + 4นั่นคือ y 2 + (x − 2) 2 = 4 ... เป็นสมการครึ่งวงกลมรัศมี 2 หน่วย จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,0)โจทย์ให้อินทิเกรตจาก0 ถึง 4 แสดงว่าถามพื้นที่แรเงาดังภาพ..หาได้จากสูตรพื้นที่วงกลม1 2 1 2π π π= (4) − (2) = 2 ≈ 6.284 2ตอบ ข้อ 3.482 3 4 5(24) A; จาก 1 + z + z + z + z + z = 0zจัดรูปอนุกรมเรขาคณิตได้เป็น 6 − 1= 0z − 1ดังนั้นคําตอบของสมการคือค่า z ที่ทําให้ z 6 = 1เราหาคําตอบทั้ง 6 ได้ โดยอาศัยรูปเชิงขั้ว1 3± ± i2 2ได้เป็น z = − 1,(เหลือ 5 คําตอบเพราะ z ห้ามเป็น 1)2 2B; จาก z = 1 → a + b = 1และเนื่องจาก z = 1 นําไปแทนในสมการแรก จะ2 2ได้ว่า z + 1 = 1 → (a + 1) + b = 1แก้ระบบสมการได้a1 312= − และb =±32ดังนั้น z =− ± i (ซึ่งสองค่านี้ก็อยู่ใน A ด้วย)2 2สรุป.. A และ B มีสมาชิกรวม 5 ตัว ตอบ99(25) จากโจทย์ (v − v )∑n=1n+1 n= |(v 2− v 1) + (v 3− v 2) + ... + (v 100−v 99)|= |v100 − v 1 |= |( 3 − 0.0003 i + 0.01 j) − (0 i + 1 j)|≈ | 3 i − 1 j| ≈ 2 ตอบ ข้อ 4.หมายเหตุ ในข้อนี้ถ้าคิดแบบแม่นยํา จะได้เป็น| 2.9997 i − 0.99 j | = 3.9798 = 1.995Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET616ฉบับเขมขนÀÒ¤¼¹Ç¡Math E-Book ©ºaºe¢Á¢¹เซต1. เซต คือ “กลุ่มของสิ่งต่างๆ” และเรียกสิ่งที่อยู่ภายในแต่ละเซตว่า “สมาชิก”นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยปีกกา { }2. ในการเขียนแจกแจงสมาชิกของเซตนั้น- จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma)- สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน- สมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา- หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมาย “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ- จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยลูกน้ํา (จุลภาค)- สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน- สมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา- หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมาย “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ3. เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเป็นเซตเดียวกัน (สมาชิกทุกตัวต้องเหมือนกัน) เท่านั้น4. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B, 3 ∈ Cสัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C5. ภายในเซต จะมีเซตหรือคู่อันดับหรืออะไรก็ได้ทั้งนั้น และจะนับ 1 ก้อนเป็นสมาชิก 1 ตัว6. เซตจํากัดคือเซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เซตอนันต์คือเซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้สัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n(A) เช่น n(A) = 7, n(B) = 57. เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เรียกว่า เซตว่าง ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ ดังนั้นจะได้ว่า n( ∅ ) = 08. เซตอนันต์บางเซตไม่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิก แต่เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข } อ่านว่า “เซตของ (สมาชิก) โดยที่ (เงื่อนไข)”9. ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ หรือเซต U มีผลต่อเซตแบบบอกเงื่อนไข- สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก U- โดยทั่วไปถ้าไม่ได้ระบุเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่า U เป็นเซตที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้10. สับเซต คือเซตย่อย ...B เป็นสับเซตของ A ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต B อยู่ใน A ด้วยหรือเมื่อ B เป็นเซตว่างก็ได้ (และ B ไม่เป็นสับเซตของ A หากมีสมาชิกบางตัวของ B ไม่อยู่ใน A)11. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊂สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄12. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตต่างๆ กันทั้งสิ้น 2 n แบบ13. เซตว่างเป็นสับเซต(ที่เล็กที่สุด)ของทุกเซต และเซตทุกเซตเป็นสับเซต(ที่ใหญ่ที่สุด)ของตัวเอง14. เพาเวอร์เซต คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้- เพาเวอร์เซตของ A ใช้สัญลักษณ์ว่า P(A)- ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 n ตัว15. ประโยค {a, b} ∈ P(A) แปลว่า {a, b} ⊂ Aและประโยค {a, b} ⊂ A ก็แปลได้อีกทอดว่า “ a ∈AAA และ b ∈ A”Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET617ฉบับเขมขน16. การแสดงเซตด้วยแผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ จะให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นกรอบสี่เหลี่ยม ซึ่งภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทนขอบเขตของเซตต่างๆ และแต่ละเซตมักมีการซ้อนทับกัน17. การดําเนินการเกี่ยวกับเซต ทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม- ยูเนียน ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด- อินเตอร์เซกชัน ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ B- คอมพลีเมนต์ ... เซต A' คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน A (บางตําราใช้สัญลักษณ์ A c , A )- ผลต่าง ... เซต B − A คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... เขียนได้อีกแบบว่า B ∩ A'18. โดยทั่วไปค่าของ n(B − A) ต้องคิดจาก n(B) − n(A ∩ B) เท่านั้น (ห้ามคิดจาก n(B)-n(A))19. การแจกแจง 20. คอมพลีเมนต์A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)(A ∪ B)' = A ' ∩ B '(A ∩ B)' = A ' ∪ B '21. โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์- จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณชิ้นส่วนต่างๆ- ในข้อสอบมักตั้งใจให้ใช้สูตรในการหาจํานวนสมาชิกแต่ละชิ้นส่วนดังนี้สองเซต ... n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩B)สามเซต ... n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) −n(A ∩B) −n(A ∩ C) −n(B ∩ C) + n(A ∩B∩C)ระบบจํานวนจริง1. จํานวนที่คิดขึ้นครั้งแรกใช้นับสิ่งของต่างๆ เรียกว่า จํานวนธรรมชาติ หรือ จํานวนนับได้แก่ 1, 2, 3, 4, ... สัญลักษณ์แทนเซตของจํานวนนับคือ เซต N2. จํานวนนับ จํานวนศูนย์ และจํานวนเต็มลบ เรียกรวมกันว่า จํานวนเต็ม (เซต I )3. จํานวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเต็ม เรียกรวมกันว่า จํานวนตรรกยะ (เซต Q )- เศษส่วนของจํานวนเต็ม จะเขียนเป็นทศนิยมซ้ําได้เสมอ- จํานวนอื่นๆ จะเป็นทศนิยมไม่ซ้ํา เรียกว่า จํานวนอตรรกยะ ( Q ' ) เช่น 2 , 3 , π, e4. จํานวนทั้งหมดที่กล่าวมานี้ เรียกรวมกันว่าจํานวนจริง (เซต R )- จํานวนซึ่งไม่ใช่จํานวนจริง ได้แก่ จํานวนซึ่งในรู้ทติดลบ เช่น −2 (เรียกว่าจํานวนจินตภาพ)และจํานวนซึ่งตัวส่วนเป็น 0 (จะถือว่าหาค่าไม่ได้และไม่ใช่จํานวนจริง)5. คําศัพท์เพิ่มเติมเกี่ยวกับจํานวนเต็ม- จํานวนคู่ คือจํานวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว (ได้แก่ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, …)จํานวนเต็มอื่นๆ เรียกว่าจํานวนคี่ เป็นจํานวนเต็มที่หาร 2 ไม่ลงตัว (ได้แก่ 1, -1, 3, -3, …)- จํานวนเฉพาะ คือจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0, 1, -1 และมีจํานวนเต็มที่หารลงตัวเพียง ± 1 และ ± ตัวมันเอง เท่านั้น (จํานวนเฉพาะสามารถติดลบได้ด้วย เช่น -2, -3, -5, -7, …)- จํานวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่จํานวนเฉพาะและไม่ใช่ 0, 1, -1 จัดเป็นจํานวนประกอบ (คือจํานวนซึ่งแยกตัวประกอบได้)6. สมบัติปิด หมายความว่า เมื่อนําสมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลที่ได้ยังคงเป็นสมาชิกของเซตนั้นอยู่ เช่น เซตจํานวนนับมีสมบัติปิดการบวกและคูณ แต่ไม่มีสมบัติปิดการลบ- สมบัติอื่นของจํานวนจริงได้แก่ การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การแจกแจง การมีเอกลักษณ์ และการมีอินเวอร์ส7. “เอกลักษณ์” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวน a ใดก็ตาม แล้วได้ผลลัพธ์ a เท่าเดิม- เอกลักษณ์การบวกของจํานวนจริง คือ 0 และเอกลักษณ์การคูณของจํานวนจริง คือ 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET618ฉบับเขมขน8. “อินเวอร์สของ a” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวน a แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์- เอกลักษณ์การบวกของ a คือ −a และเอกลักษณ์การคูณของ a คือ 1/ a (หรือเขียนเป็น − 19. ทบทวนการคํานวณเกี่ยวกับเศษส่วน−1a d ac + bd a d ad+ = | ⋅ = |⎛a⎞b=b c bcab a=c bcb c bca ac| =bc b⎜ ⎟⎝b⎠|abcd=10. ทฤษฎีบทเศษเหลือ ช่วยในการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าสองn n−1- พหุนาม p(x) คือพหุนามที่มี x เป็นตัวแปร และอยู่ในรูป- ทฤษฎีบทเศษเหลือ ... ถ้าหาร p(x) ด้วย (x − c) แล้ว จะเหลือเศษเท่ากับ p(c)aadbca x + a x + ... + a x + an n−1 1 0- ทฤษฎีบทตัวประกอบ ... หาก p(c) = 0 จะกล่าวว่า (x − c) เป็นตัวประกอบของ p(x)- อีกทฤษฎีที่ทําให้หาค่า c ที่เป็นตัวประกอบได้เร็ว คือ ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ ซึ่งกล่าวว่า ถ้า(x − (k m)) เป็นตัวประกอบของ p(x) แล้ว k ต้องเป็นตัวประกอบของ a 0 และ ma ... ( km เป็นเศษส่วนอย่างต่ําเท่านั้น)ต้องเป็นตัวประกอบของ n(แต่หาก c ไม่ใช่จํานวนตรรกยะ เช่น2− = − +x 2 (x 2)(x 2) จะใช้ทฤษฎีนี้ไม่ได้)11. สมการ คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการเท่ากัน- การแก้สมการ คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง- อาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของสมการ” หรือการหา “รากของสมการ” ก็ได้คําว่าจงหา “รากของสมการ” แปลว่าให้หาคําตอบของสมการ (ไม่เกี่ยวกับการถอดรู้ทอะไรใดๆ)12. สมบัติเกี่ยวกับสมการa = b → a ± c = b ± ca = b → ac = bca = b → a / c = b / c เมื่อ c ≠ 013. ข้อควรระวังในการแก้สมการใดๆ- การบวกหรือลบทั้งสองข้าง (ย้ายข้างบวกลบ) และการตัดออกสําหรับการบวกหรือลบ ทําได้เสมอ- การคูณทั้งสองข้าง (ย้ายข้างคูณ) ทําได้เสมอ การหารทั้งสองข้าง (ย้ายข้างไปหาร) ห้ามเป็น 0- การตัดออกสําหรับการคูณ ทําได้เมื่อมั่นใจว่าเลขที่ตัดออกทั้งสองข้างไม่ใช่ 0- การยกกําลังสองทั้งสองข้าง ทําได้เสมอแต่การตัดกําลังสองออกจะมีผล 2 กรณี คือสองข้างเท่ากัน หรือสองข้างเป็นติดลบของกันและกัน14. สมบัติที่สําคัญในการแก้สมการกําลังสองคือ หาก ab = 0 แล้วจะได้ว่า a = 0 หรือ b = 02สมการกําลังสองมีรูปทั่วไปเป็น Ax + Bx + C = 0ควรแยกตัวประกอบให้อยู่ในรูป (Dx + E)(Fx + G) = 0 ก่อนเพื่อจะได้ทราบว่า คําตอบของสมการกําลังสองได้แก่ x = − E15. ถ้าแยกตัวประกอบในใจไม่สําเร็จ ต้องใช้สูตรหาคําตอบคือหรือ xD = − GF− B± B − 4ACx =2Aและถ้าพบว่าในรู้ทเป็นจํานวนติดลบจึงค่อยสรุปว่าแยกตัวประกอบไม่ได้ และสมการไม่มีคําตอบ16. อสมการ คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการไม่เท่ากัน (ได้แก่ > > < < หรือ ≠ )- การแก้อสมการ คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง- อาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของอสมการ” ก็ได้เช่นกัน17. ช่วง คือเซตชนิดหนึ่งซึ่งมีสมาชิกเป็นค่าต่อเนื่องกัน อาจเป็นช่วงเปิด ช่วงปิด หรือช่วงครึ่งเปิด2a )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET619ฉบับเขมขน18. สมบัติเกี่ยวกับอสมการa > b → a ± c > b ± ca > b → ac > bc เมื่อ c > 0a > b → ac < bc เมื่อ c 0 ให้ตอบช่วงซ้ายและขวา, ถ้าอสมการเป็น < 0 ให้ตอบช่วงกลาง- ถ้าอสมการมีเครื่องหมาย = ด้วย ให้ตอบจุดเหล่านั้นด้วย (ช่วงปิด)20. ค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คือ ค่า bค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, ∞) และ [a, ∞) และ ( −∞, ∞) หาไม่ได้21. “ค่าสัมบูรณ์ ของจํานวนจริง a” ใช้สัญลักษณ์ a- ความหมายเชิงเรขาคณิต คือ a เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุด 0- และ a − b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุดที่แทน b22. การถอดค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วๆ ไปa⎧⎪ a เมื่อ a>0= ⎨⎪⎩ − a เมื่อ a < 023. ทฤษฎีเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์- ค่าสัมบูรณ์ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ a > 0 เสมอ- ค่าสัมบูรณ์ไม่คํานึงถึงเครื่องหมายลบ a = −a a − b = b − a- ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการคูณ ab = a bna =naa- ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการหาร = ab b2- ยกกําลังด้วยเลขคู่ไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ = =โดย2 2a a a- ค่าสัมบูรณ์กระจายไม่ได้ สําหรับการบวกลบ a + b a + b- นิยามการถอดรากที่ n ของกําลัง n24. ทฤษฎีที่ช่วยแก้สมการและอสมการ ที่มีค่าสัมบูรณ์- สมการ x = b และสมการ =และสรุปได้ว่า “ x = b หรือ x = −b”- อสมการ x < b คือ − b < x < bอสมการ x > b คือ “ x < −b หรือ >nanb ≠ 0< a −b > a − b⎧⎪= ⎨ ⎪ ⎩a ,a ,n = evenn = odd2 2x b มีความหมายเดียวกับสมการ x =x b”25. บทนิยามของการหารจํานวนเต็มลงตัว- “m หารด้วย n ลงตัว” เขียนเป็นสัญลักษณ์ n m- สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า n m ก็ต่อเมื่อ m = nq และ q ∈ IMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)b

คณิตศาสตร O-NET / A-NET620ฉบับเขมขน- สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c- ผลรวมเชิงเส้น ถ้า a b และ a c แล้ว a (bx±cy)- เลขยกกําลังnถ้า a b แล้ว a b ... และถ้า an b แล้ว a b26. บทนิยามของการหารจํานวนเต็มใดๆ- สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า m = nq + r และ ∈มีจํานวนเต็ม q, r ชุดเดียวเท่านั้น เรียก q ว่าผลหาร ... และเศษคือ r27. สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ห.ร.ม. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ (a, b)สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ค.ร.น. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ [a, b]- ห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ- ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แล้ว (a/d,b/d) = 1- ถ้า (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เป็นจํานวนเฉพาะสัมพัทธ์28. ขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ของ a กับ b แบบยุคลิดq I , 0 < r < nเริ่มโดยเขียน a กับ b ในรูปการหาร แล้วนําเศษที่ได้ไปหารต่อๆ ไปคือ a = b q1 + r 1 ... b = rq 1 2 + r 2... r1 = r2q3 + r 3 ... r2 = r3q4 + r 4 ...ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหารลงตัว (เศษเป็น 0) จะได้ว่า ห.ร.ม. เท่ากับ เศษตัวสุดท้าย ( kr )ตรรกศาสตร์1. ประโยคทุกประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง เรียกว่า ประพจน์- ประโยคบอกเล่า ประโยคปฏิเสธ เป็นประพจน์- ประโยคคําถาม คําสั่ง ขอร้อง แสดงความปรารถนา ประโยคอุทาน เหล่านี้ไม่ใช่ประพจน์2. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประพจน์ต่างๆ เป็นตัวอักษรเล็ก เช่น p, q, r- แต่ละประพจน์จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ 2 แบบ คือเป็น จริง (T) หรือเป็น เท็จ (F)- เครื่องหมาย ~ เรียกว่านิเสธ ใช้เพื่อกลับค่าความจริงให้เป็นตรงกันข้ามpqp และ q( ∧ p q)p หรือ q( ∨ p q)ถ้า p แล้ว q( p → q)p ก็ต่อเมื่อ q( p ↔ q)ไม่ p( ~p)T T T T T T FT F F T F F FF T F T T F TF F F F T T T3. ตารางข้างบน เรียกว่า ตารางค่าความจริง ... เป็นตารางแสดงรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเช่น ถ้ามี 1 ประพจน์จะเป็นไปได้ 2 แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ, หรือ 2 n นั่นเอง4. หากรูปแบบของประพจน์ใดให้ค่าเป็นจริงเสมอทุกๆ กรณี จะเรียกรูปแบบนั้นว่า สัจนิรันดร์- การตรวจสอบว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สามารถใช้ “วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ”คือหากพยายามทําให้รูปแบบนั้นเป็นเท็จไม่ได้เลย รูปแบบนั้นก็จะเป็นสัจนิรันดร์แต่ถ้าทําเป็นเท็จได้แม้เพียงกรณีเดียว รูปแบบนั้นย่อมไม่ใช่สัจนิรันดร์5. รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ที่ให้ค่าความจริงตรงกันทุกๆ กรณี จะกล่าวว่า สมมูลกัน(แปลว่า สามารถใช้แทนกันได้) ... สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงการสมมูลกัน คือ ≡- ถ้า ≡ เป็นสัจนิรันดร์ และ ↔ ก็เป็นสัจนิรันดร์ แล้ว จะได้ว่า →Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET621ฉบับเขมขน6. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (ที่ควรทราบ)- การแจกแจง - การเติมนิเสธp ∨(q∧r) ≡ (p ∨ q) ∧(p ∨r) ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~ qp ∧(q∨r) ≡ (p ∧ q) ∨(p ∧r) ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧~ q- การเปลี่ยนตัวเชื่อม ~(p → q) ≡ p ∧~ qp → q ≡ ~p ∨ q ≡ ~q →~p ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p ↔ ~qp ↔ q ≡ (p → q) ∧(q→p)7. ตัวเชื่อม และ มีสมบัติคล้ายอินเตอร์เซคชัน ... ตัวเชื่อม หรือ มีสมบัติคล้ายยูเนียน ...นอกจากนั้น นิเสธ ก็มีสมบัติคล้ายคอมพลีเมนต์8. ประโยคเปิด คือประโยคที่ยังติดค่าตัวแปร และเมื่อแทนค่าตัวแปรแล้วจึงกลายเป็นประพจน์- สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยคเปิดใดๆ (ที่ติดค่าตัวแปร x) ได้แก่ P (x), Q (x), R (x) ฯลฯ9. ตัวบ่งปริมาณ คือข้อความที่ใช้บ่งบอกความมากน้อยของค่าตัวแปร x- ตัวบ่งปริมาณมี 2 แบบ ได้แก่ “สําหรับ x ทุกตัว” ( ∀x ) และ “มี x บางตัว” ( ∃x )- เมื่อใช้ตัวบ่งปริมาณร่วมกับเอกภพสัมพัทธ์ จะทําให้ประโยคเปิดมีค่าความจริง10. สามารถแจกแจงตัวบ่งปริมาณได้เพียงสองรูปแบบนี้เท่านั้น∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)]∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)]11. ประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร (มีตัวบ่งปริมาณสองตัว) การอ่านต้องคํานึงถึงลําดับก่อนหลังเช่น ∀x∃y [...] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกๆ ตัว จะใช้ y ได้บางตัว ...”แต่ ∃y∀x [...] แทนประโยค “มี y บางตัว ที่ใช้ x ได้ครบทุกตัว ...”12. การหานิเสธ ต้องเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ จาก ∀ เป็น ∃ และจาก ∃ เป็น ∀และใส่นิเสธที่ประโยคเปิด ภายในเครื่องหมายวงเล็บด้วยเช่น นิเสธของ ∀x∃y [P (x) →Q (x, y)] คือ ∃x∀y[P(x)∧ ~Q(x,y)]13. การอ้างเหตุผล คือการกล่าวว่าถ้ามีเหตุเป็นข้อความ 1 2 3 nแล้วสามารถสรุปผลเป็นข้อความ q อันหนึ่งได้- การอ้างเหตุผลมีทั้งแบบที่สมเหตุสมผล และไม่สมเหตุสมผล14. วิธีตรวจสอบความสมเหตุสมผล ของการอ้างเหตุผลp , p , p , ..., p ชุดหนึ่ง- ตรวจสอบสัจนิรันดร์ ... จะสมเหตุสมผลก็เมื่อ (p 1 ∧ p2 ∧p 3 ∧... ∧p n) → q เป็นสัจนิรันดร์(หรือกล่าวว่าไม่สมเหตุสมผลเพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือเหตุเป็นจริงทั้งหมด แต่ผลเป็นเท็จ)- เทียบกับรูปแบบที่พบบ่อยการอ้างเหตุผลทุกรูปแบบต่อไปนี้ สมเหตุสมผล(1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → qpผล q(5) เหตุ p ∨ผล~ pqq~qผล ~p(6) เหตุ p → qผล~q → ~p~p∨q(3) เหตุ p → qq → rผล p → r(7) เหตุ p ∧ qผล p(4) เหตุ p → qr → sp ∨ rผล q∨s(8) เหตุ pผล p ∨15. การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการใช้ความจริงจากส่วนย่อยนําไปสรุปความจริงของส่วนรวมหรือกล่าวว่า เป็นการสรุปผลที่จะเกิดขึ้น ซึ่งมาจากการสังเกตหรือทดลองในกรณีย่อยๆ หลายครั้งข้อควรระวังคือ ข้อสรุปที่ได้ไม่จําเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นขยายผลออกไปจากสิ่งที่เห็นqMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET622ฉบับเขมขน16. สิ่งที่ควรคํานึงเพราะมีผลต่อความน่าเชื่อถือได้แก่ จํานวนข้อมูลที่มีเพียงพอหรือไม่,ข้อมูลที่ใช้นั้นเป็นตัวแทนที่ดีแล้วหรือไม่, และข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนเกินไปหรือไม่17. ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย- ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} สมาชิกตัวที่เหลือน่าจะเป็น 12, 14, 16, ...- ลําดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... พจน์ถัดไปน่าจะเป็น 63 (ดูจากผลต่างของพจน์ติดกัน)- ถ้าผลบวกของเลขโดดเป็นจํานวนที่หารด้วย 3 ลงตัวแล้ว จํานวนนับนั้นจะหารด้วย 3 ลงตัว18. การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการใช้ความจริงที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป เพื่อนําไปสู่ข้อสรุปย่อยข้อควรระวังคือ ถ้าใช้ความรู้สึกเพียงผิวเผินอาจจะคิดว่าสมเหตุสมผล ทั้งที่จริงไม่ใช่19. การตรวจสอบความสมเหตุสมผล สามารถทําได้อย่างรอบคอบโดยใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ถ้าพบว่าแผนภาพเป็นไปตามที่สรุป ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น จะถือว่าสมเหตุสมผล แต่ถ้าเป็นแบบอื่นได้ด้วย จะถือว่าไม่สมเหตุสมผล20. ข้อสรุปที่สมเหตุสมผล อาจจะขัดแย้งกับความจริงในโลกก็ได้ เพราะเรากล่าวในรูปแบบการอ้างเหตุผล นั่นคือ การสมเหตุสมผลไม่ได้หมายความว่าผลจะเป็นจริงทันที แต่เมื่อใดเหตุทุกข้อเป็นจริงผลจึงจะจริงด้วย21. ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย (ที่สมเหตุสมผล)- เหตุ (1) นักเรียนทุกคนต้องทําการบ้าน ... (2) สุดาเป็นนักเรียน ผล สุดาต้องทําการบ้าน- เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนบินไม่ได้ ผล คนไม่ใช่นก- เหตุ (1) สัตว์ปีกทุกตัวบินได้ ... (2) แมวบางตัวเป็นสัตว์ปีก ผล แมวบางตัวบินได้22. ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย (ที่ไม่สมเหตุสมผล)- เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) ยุงบินได้ ผล ยุงเป็นนก- เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนไม่ใช่นก ผล คนบินไม่ได้- เหตุ (1) นักเรียนบางคนเป็นนักกีฬา (2) นักกีฬาบางคนแข็งแรง ผล นักเรียนบางคนแข็งแรงเรขาคณิตวิเคราะห์1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยแกน 2 แกนที่ตั้งฉากกัน ณ จุดกําเนิด (จุด O) yเรียกชื่อแกนนอนและแกนตั้ง ว่าแกน x และแกน y ตามลําดับ- แกนทั้งสองนี้ตัดกัน แบ่งพื้นที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วน Q 2เรียกแต่ละส่วนว่าจตุภาค (ควอดรันต์, Q) ดังภาพ(−, +)2. การอ้างถึงพิกัดในระบบพิกัดฉาก จะเขียนในรูปคู่อันดับQO3สมาชิกตัวแรกแทนระยะในทิศ +x และตัวหลังแทนระยะในทิศ +y (−, −)3. การเขียนชื่อจุดนิยมใช้ตัวอักษรใหญ่ เช่น จุด P, จุด Q- อาจเขียนกํากับด้วยคู่อันดับเป็น P(x,y) เช่น Q(2,4) ใช้แทนจุด Q และมีพิกัด (2,4)4. ระยะห่างระหว่างจุด P กับ Q คือ PQQ (x 2 ,y 2 )Q 1(+, +)Q 4(+, −)x2 22 1 2 1PQ = (x − x ) + (y − y )P (x 1 ,y 1 )Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET623ฉบับเขมขน5. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด 6. จุดที่แบ่งระยะทางเป็นอัตราส่วน m:nQ (x 2 ,y 2 )Q (x 2 ,y 2 )mx1+ x2 y1+y2R( , )2 2nP (x 1 ,y 1 )P (x 1 ,y 1 )7. จุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม (เรียกว่าจุดเซนทรอยด์)R (x 3 ,y 3 )P (x 1 ,y 1 )P (x 1 ,y 1 )θCmx1+ nx2 my1+ny2R( , )m + n m + nx1+ x2+ x3 y1+ y2+y3C( , )3 3Q (x 2 ,y 2 )- เส้นมัธยฐาน คือเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดจุดหนึ่ง กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม- จุดตัดของเส้นมัธยฐาน จะแบ่งเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นออกเป็นอัตราส่วน 2 : 1 เสมอ8. เราสามารถสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่กําหนดให้ เช่น จุด P กับ Q ใดๆ ได้เสมอ- เขียนแทน “ส่วนของเส้นตรง” ที่เชื่อมระหว่างจุด P กับ Q ด้วยสัญลักษณ์ PQ- นิยมตั้งชื่อ “เส้นตรง” ด้วยอักษร L เช่น เส้นตรง L 1 , เส้นตรง L 29. ความชัน (m) ของเส้นตรง ที่ทราบจุดผ่านสองจุดQ (x 2 ,y 2 )m = tanθ=y − yx − x2 12 1เส้นตรงสองเส้นขนานกัน ( ) ก็ต่อเมื่อ มีความชันเท่ากันเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน ( ⊥ ) ก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันได้ -110. สมการของเส้นตรง- เมื่อทราบจุดผ่านจุดหนึ่ง (x 1, y 1) และค่าความชัน mจะได้สมการ y − y1 = m ( x − x 1)mP (x 1 ,y 1 )- เมื่อทราบจุดผ่านสองจุด (x 1, y 1), (x 2, y 2)ให้คํานวณค่าความชันจากสองจุดนี้ก่อนQ (x 2 ,y 2 )แล้วเลือกใช้จุดใดก็ได้จุดเดียวมาสร้างสมการด้วยวิธีเดิม11. สมการเส้นตรงที่นิยมใช้ประโยชน์มีอยู่ 3 รูปแบบ ได้แก่P (x 1 ,y 1 )- รูปแบบ y = mx + c เมื่อ m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน yyyycOm > 0xm < 0cOxOc m = 0x- รูปแบบ y − y1 = m ( x − x 1)เมื่อ m คือความชัน และกราฟผ่านจุด (x 1, y 1)x y- รูปแบบ + = 1 เมื่อ a, b คือ ระยะตัดแกน x และ y ตามลําดับabMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET624ฉบับเขมขน12. สมการเส้นตรงในรูปทั่วไปได้แก่ A x + By + C = 0 ... จะมีค่าความชัน m = − A13. ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น 14. ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงd =C − C2 122A + BAx+By+C 1 =0dAx+By+C 2 =0Ax + By + CP (x 1 ,y 1 )dAx+By+C=015. ภาพฉาย (โพรเจคชัน) บนเส้นตรงภาพฉายของจุด P บนเส้นตรง L คือจุด Q ภาพฉายของ PP 1 2 บนเส้นตรง L คือ QQ 1 2P (x 1 ,y 1 )P 2 (x 2 ,y 2 )L: Ax+By+C=0QP 1 (x 1 ,y 1 ) Q 2L: Ax+By+C=0d =1 12A + B- การคํานวณหาตําแหน่งภาพฉาย วิธีที่สะดวกที่สุดคือสร้างสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับเส้นตรง L แล้วแก้ระบบสมการหาจุดตัดของเส้นตรงทั้งสอง16. ความสัมพันธ์ที่พบบ่อย นอกจากจะมีกราฟเป็นเส้นตรงแล้ว ยังมีกราฟเส้นโค้ง ได้แก่ วงกลมพาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลาด้วย กราฟทั้งสี่รูปนี้เรียกรวมกันว่า ภาคตัดกรวย17. พื้นฐานการเขียนกราฟใดๆ- เมื่อมีค่าคงที่มาบวกหรือลบ จะเกิดการเลื่อนแกนทางขนานหากเปลี่ยนรูปสมการจาก f(x,y) = 0 ไปเป็น f(x− h,y-k) = 0 จุดกําเนิดจะถูกเลื่อนไปยังคู่อันดับ(h, k) และรูปกราฟทั้งหมดถูกเลื่อนตามไปด้วย- เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นบวก) มาคูณหรือหาร จะเกิดการปรับขนาดทางแกนนั้นหากเปลี่ยนรูปสมการจาก y = f(x) ไปเป็น my = f (nx) เมื่อ m, n มากกว่า 1กราฟรูปเดิมจะถูกบีบลงทางแนวนอน n เท่า และบีบลงทางแนวตั้ง m เท่า (ส่วนกรณีที่ m, n น้อยกว่า 1 จะมองว่าเป็นการหาร และกราฟจะถูกขยายออกแทน)- หากสมการมีทั้งการบวกลบและคูณหาร ร่วมกัน.. จะต้องจัดรูปสมการให้บวกลบอยู่ในวงเล็บ(กระทํากับตัวแปรโดยตรง) แล้วถัดมาจึงเป็นการคูณหาร.. นั่นคือใช้แกน h, k ที่ได้จากการเลื่อนแกนแล้ว เป็นแกนกลางสําหรับบีบหรือขยายรูปกราฟ- เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นลบ) มาคูณหรือหาร นอกจากจะมีการขยายหรือบีบแล้ว ยังเกิดการพลิกรูปกราฟ โดยใช้แกน h, k นี้เป็นแกนหมุนด้วย (หากตัวแปร x ถูกคูณด้วยลบ จะพลิกสลับซ้ายขวา,และหากตัวแปร y ถูกคูณด้วยลบ จะพลิกสลับบนล่าง)18. วงกลม คือ “เซตของคู่อันดับที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เป็นระยะเท่าๆ กัน”เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดศูนย์กลาง (C) และเรียกระยะทางนั้นว่ารัศมี (r)2 2 2- สมการวงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(0,0) และรัศมียาว r หน่วย คือ x + y = r- เส้นสัมผัสวงกลม คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น (เรียกว่าจุดสัมผัส)และเส้นสัมผัสวงกลมทุกเส้นจะตั้งฉากกับรัศมี (ที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดสัมผัส)Q 12BMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET625ฉบับเขมขนrC(h,k)วงกลม2 2 2(x− h) + (y− k) = rจุดศูนย์กลาง C(h,k)รัศมี r หน่วยรูปทั่วไป2 2x + y + Dx + Ey + F=019. พาราโบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่มีระยะไปถึงจุดคงที่จุดหนึ่ง เท่ากับระยะไปถึงเส้นตรงเส้นหนึ่ง” เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดโฟกัส (F) เรียกเส้นตรงเส้นนั้นว่าไดเรกตริกซ์- สมการพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ V(0,0) และระยะโฟกัสยาว c หน่วย2คือ =x 4cy (อ้อมแกน y, กราฟหงายเมื่อค่า c เป็นบวก, กราฟคว่ําเมื่อค่า c ติดลบ)y 4cx (อ้อมแกน x, กราฟเปิดขวาเมื่อ c เป็นบวก, กราฟเปิดซ้ายเมื่อ c ติดลบ)2หรือ =2c⎧c ⎨⎩⎧c ⎨⎩Axis :x=hF (h,k+c)V (h,k)Directrix : y=k-cพาราโบลา (ตั้ง)2(x− h) = 4 c (y−k)จุดยอด V(h,k)ระยะโฟกัส c หน่วยเลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วยรูปทั่วไป2x + Dx + Ey + F=0Axis : y=kDirectrix :x=h-ccV(h,k)c⎫⎪⎬2c⎪⎭F (h+c,k)พาราโบลา (ตะแคง)2(y− k) = 4 c (x−h)จุดยอด V(h,k)ระยะโฟกัส c หน่วยเลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วยรูปทั่วไป2y + Dx + Ey + F=0Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET626ฉบับเขมขน20. วงรี คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลรวมของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่าเท่ากัน”เรียกจุดคงที่สองจุดนั้นว่าจุดโฟกัส ( F,F 1 2 ) และระยะทางรวมนั้นเท่ากับความยาวแกนเอก (2a)- สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C(0,0) และแกนเอกยาว 2a หน่วย แกนโทยาว 2b หน่วย2 2คือ ⎛ x ⎞ + ⎛ y⎜ ⎟ ⎜ ⎞ ⎟ = 1⎝a⎠ ⎝b⎠2 2(รีตามแกน x) หรือ ⎛ y ⎞ ⎛ x ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1⎝a⎠ ⎝b⎠(รีตามแกน y)- สําหรับวงรีนั้น a > b เสมอ ดังนั้นตัวเลขใดมีค่ามากกว่า ตัวนั้นก็จะเป็น a (เป็นแกนเอก)B 1 (h,k+b)⎫⎬ ba⎭V 2 F 2 C Fc1(h,k) (h+c,k)B 2V 1(h+a,k)วงรี (นอน)2 2(x−h) (y−k)+ = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b2 2ระยะโฟกัส c = a − bรูปทั่วไป2 2Ax + By + Dx + Ey + F = 0B 2(h,k+c)b C (h,k) B 1 (h+b,k)a⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩V 1 (h,k+a)F 1⎫⎬c⎭F 2V 2วงรี (ตั้ง)2 2(y−k) (x−h)+ = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b2 2ระยะโฟกัส c = a − bรูปทั่วไป2 2Ax + By + Dx + Ey + F = 021. ไฮเพอร์โบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลต่างของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่าเท่ากัน”เรียกจุดคงที่สองจุดนั้นว่าจุดโฟกัส และผลต่างระยะทางเท่ากับความยาวแกนตามขวาง (2a)- สมการของไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่ C(0,0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยุคยาว2b คือ ⎛ ⎞ 2− ⎛ ⎞2x y= 1 (อ้อมแกน x) หรือ ⎛ ⎞ 2− ⎛ ⎞2y x= 1 (อ้อมแกน y)⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝a⎠ ⎝b⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝a⎠ ⎝b⎠- สําหรับไฮเพอร์โบลา a ไม่จําเป็นต้องมากกว่า b (แกนใดเครื่องหมายบวก จะอ้อมแกนนั้น)- ถ้า a = b เส้นกํากับจะตั้งฉากกัน เรียกไฮเพอร์โบลานั้นว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉากMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET627ฉบับเขมขนB 1 (h,k+b)⎫c ⎬ b ⎭F 2V 2aC V 1(h,k)(h+a,k)AsymptoteAsymptoteb(y-k)=a(x-h)AsymptoteB 2F 1(h+c,k)Asymptotea(y-k)=b(x-h)F 1 (h,k+c)V 1 (h,k+a)B b 2 C (h,k) B 1 (h+b,k)⎧ ⎫⎪c⎬ a⎨ ⎭⎪⎩V 2F 2ไฮเพอร์โบลา (ตะแคง)2 2(x−h) (y −k)− = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b2 2ระยะโฟกัส c = a + bรูปทั่วไป2 2Ax + By + Dx + Ey + F = 0ไฮเพอร์โบลา (ตั้ง)2 2(y−k) (x −h)− = 12 2a bจุดศูนย์กลาง C(h,k)แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b2 2ระยะโฟกัส c = a + bรูปทั่วไป2 2Ax + By + Dx + Ey + F = 0- ไฮเพอร์โบลามุมฉากอีกรูปแบบหนึ่ง ได้แก่สมการในรูป xy =เมื่อ k เป็นค่าคงที่ ... (จะมีแกนตั้งและแกนนอนเป็นเส้นกํากับ)ไฮเพอร์โบลามุมฉากxy= k k > 0จุดยอด V 1 ( k, k)V 2 ( − k, − k)จุดโฟกัส F 1 ( 2k, 2k)F 2 ( − 2k, − 2k)- ถ้า k < 0 ไฮเพอร์โบลานี้จะอยู่ในควอดรันต์ที่ 2 และ 4kV 2C (0,0)V 1F 1ความสัมพันธ์/ฟังก์ชัน1. ผลคูณคาร์ทีเซียน คือผลคูณของเซต ... เซต A × B คือเซตของคู่อันดับ ที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต A และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต B ครบทุกคู่ ... และจะได้ n(A × B) = n(A) ⋅ n(B)เช่น A = {0,1,2}, B = {1,3} จะได้ A× B = {(0,1),(0,3),(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)}Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET628ฉบับเขมขน2. A× B = B×A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือมีเซตใดเซตหนึ่งเป็น ∅3. ความสัมพันธ์ (r) คือเซตของคู่อันดับใดๆ (สามารถเขียนกราฟได้)- “ความสัมพันธ์จาก A ไป B” คือเซตของคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้ามาจาก A และตัวหลังมาจาก Bแต่ไม่จําเป็นต้องครบทุกคู่ ... สัญลักษณ์ที่ใช้คือ r = {(x, y) ∈ A × B | .....}n(A×B)- ดังนั้น ความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็คือสับเซตของ A×B ... จะมีได้ทั้งหมด 2 แบบ- “ความสัมพันธ์ภายใน A” คือ r = {(x, y) ∈ A × A | .....}- ถ้าไม่ระบุว่าเป็นความสัมพันธ์จากเซตใดไปเซตใด จะหมายถึงเซตจํานวนจริง R ×4. “โดเมน (A) ของความสัมพันธ์” คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ“เรนจ์ หรือพิสัย (R) ของความสัมพันธ์” คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ- ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว ⊂ rD A และ R ⊂ B5. การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ภายใน R ซึ่งบอกเป็นเงื่อนไข (สมการ)ให้พิจารณาสิ่งเหล่านี้คือ การหาร, การถอดราก, ค่าสัมบูรณ์, การยกกําลัง จะมีข้อจํากัดเกิดขึ้น- ถ้า a = b จะได้ว่า c c ≠ 0- ถ้า a = n b โดยที่ n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0 และ b > 0- ถ้า an= b โดยที่ n เป็นจํานวนคู่ จะได้ว่า a > 0- ถ้า a = b จะได้ว่า a > 0การหาโดเมน ควรพิจารณาในรูป y =...(x)...และการหาเรนจ์ ควรจัดรูปให้กลายเป็น x = ...(y)... แล้วจึงค่อยพิจารณา(โดยปกติ การเขียนกราฟ จะช่วยให้เห็นโดเมนและเรนจ์ได้ชัดเจนกว่าการคํานวณ)6. อินเวอร์สของ r ใช้สัญลักษณ์ r −1 โดยมีนิยามว่า − 1r = {(y, x) | (x, y) ∈ r }นั่นคือ r −1 คิดจาก การสลับที่สมาชิกตัวหน้าและหลังของคู่อันดับใน rหรือถ้าเป็นความสัมพันธ์แบบเงื่อนไข จะคิดจากการสลับตําแหน่งระหว่างตัวแปร x และ y7. D − 1 =rR และ r Rr − 1 = D r เสมอ8. รูปแบบของกราฟที่ควรรู้จักคือ เส้นตรง ภาคตัดกรวย และมีเพิ่มเติมดังนี้- กราฟค่าสัมบูรณ์ (ที่คล้ายพาราโบลา) y = a x หรือ x = a yyyx = a|y|a > 0y = a|x|a > 0xxOOyk- กราฟค่าสัมบูรณ์ (ที่คล้ายวงกลม) x + y = kเมื่อ k คือค่าคงที่ที่มากกว่าศูนย์9. กราฟของความสัมพันธ์อาจเป็น “พื้นที่ (แรเงา)” ในระนาบ หากว่าความสัมพันธ์นั้นเป็น“อสมการ” โดยมีหลักในการเขียนกราฟคือ คิดว่าเป็นเครื่องหมายเท่ากับแล้วเขียนกราฟของสมการก่อน จากนั้นตรวจสอบว่าบริเวณใดของพื้นที่ตรงตามเงื่อนไขของอสมการ จึงแรเงา (เส้นกราฟทึบแสดงว่าจุดบนเส้นนั้นอยู่ใน r, เส้นประแสดงว่าจุดบนเส้นนั้นไม่อยู่ใน r)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)r-kO-kRkx

คณิตศาสตร O-NET / A-NET629ฉบับเขมขน10. กราฟของ r −1 สามารถคิดจากกราฟของ r ได้โดยการหมุนกราฟ ใช้เส้นตรง y = x เป็นแกนหมุน … (เท่ากับเป็นการสลับแกน x กับแกน y กัน)11. หากความสัมพันธ์ใดมีลักษณะดังต่อไปนี้ด้วย จะเรียกว่าเป็น “ฟังก์ชัน” (f)“สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัว จะคู่กับสมาชิกตัวหลังได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น”หรือกล่าวว่า สําหรับ x แต่ละตัว จะคู่กับ y ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น(ห้ามใช้สมาชิกตัวหน้าซ้ํา แต่ ใช้สมาชิกตัวหลังซ้ําได้)12. ความสัมพันธ์ที่เขียนในรูป y = ...(x)... ได้ จะเป็นฟังก์ชันเสมอและถ้า f เป็นฟังก์ชัน จะเขียนแทน y ด้วยคําว่า f(x) ... เช่น f(x) = x2เพราะเรามอง x เป็นค่าตัวแปรต้น และมอง y เป็นค่าของฟังก์ชัน เช่น f(2) คือค่า y ที่ได้เมื่อ x=213. ลักษณะของฟังก์ชัน- “ฟังก์ชันจาก A ไป B” ( f:A > B ) ... คือฟังก์ชันซึ่ง Df= A และ R f ⊂ B- “ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B” ( f:A onto > B ) ... คือฟังก์ชันซึ่ง f =1−1- “ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B” ( f:A > B )คือฟังก์ชันที่ Df= A และ f ⊂1−1- “ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B” ( f:A > B )D A และ R = BR B และสําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วยคือฟังก์ชันที่ Df= A และ f =14. เมื่อเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะเห็นชัดว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ และหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่yr 1ontoR B และสําหรับ y แต่ละตัว จะคู่กับ x เพียงตัวเดียวด้วยyr 2yr 3fOxOxOxไม่เป็นฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชัน แต่ไม่เป็น 1-1 เป็นฟังก์ชัน 1-115. ฟังก์ชันแบบเฉพาะต่างๆ ที่ควรรู้จักฟังก์ชันคงตัว มีสมการเป็น f(x) = a (กราฟเส้นตรงนอน)ฟังก์ชันเชิงเส้น มีสมการเป็น f(x) = ax+b (กราฟเส้นตรงเฉียง)- ค่า a คือความชัน ถ้าเป็นบวกกราฟเฉียงขึ้น ถ้าติดลบกราฟเฉียงลง- ค่า b คือระยะตัดแกน y- พบในความสัมพันธ์ระหว่างสองสิ่งที่เพิ่มลดเป็นสัดส่วนโดยตรงต่อกัน2ฟังก์ชันกําลังสอง มีสมการเป็น f(x) = ax + bx + c (กราฟพาราโบลา)- ถ้าค่า a เป็นบวกพาราโบลาหงาย, ถ้าติดลบพาราโบลาจะคว่ํา- ค่ามากน้อยของ a เป็นตัวบอกการยืดหดของกราฟ ค่า a ยิ่งมากรูปพาราโบลาจะยิ่งแคบ- จุดยอดอยู่ที่ค่า x = -b/2a (ส่วนค่า y สามารถหาได้โดยแทนค่า x นี้ลงไปในฟังก์ชัน)xฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล มีสมการเป็น f(x) = ab (กราฟเอกซ์โพเนนเชียล จากบทที่ 4)- ถ้าฐาน b มากกว่า 1 กราฟเฉียงขึ้น, ถ้าฐาน b อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 กราฟเฉียงลง- พบในปริมาณสิ่งต่างๆ ที่เพิ่มหรือลดแบบทวีคูณ เช่น เงินฝาก จํานวนประชากร แบคทีเรียปริมาณรังสีฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ มีสมการเป็น f(x) = a x (กราฟรูปตัววี)- คล้ายพาราโบลาคือ ถ้าค่า a เป็นบวกกราฟจะหงาย, ถ้าติดลบกราฟจะคว่ํา- ค่ามากน้อยของ a เป็นตัวบอกการยืดหดของกราฟ ค่า a ยิ่งมากรูปตัววีจะยิ่งแคบMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET630ฉบับเขมขน16. ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการใช้งานฟังก์ชัน จะต้องรู้ว่าเป็นฟังก์ชันรูปแบบใดและใช้ข้อมูลในโจทย์หาค่าคงที่ a, b, หรือ c ของฟังก์ชันให้ครบก่อนเมื่อทราบรูปแบบสมการของฟังก์ชันนั้นแล้วจึงจะสามารถตอบคําถามได้17. ฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด ... สําหรับทุกๆ x, 1 x 2 ∈ [a,b]ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า > 2 1x x แล้ว f(x ) >f(x)2 1และ ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ ถ้า x2 > x 1 แล้ว f(x 2)< f(x) 1(การเขียนกราฟของพหุนาม และหาช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม, ลด จะคิดโดยการหาอนุพันธ์)18. ฟังก์ชันคอมโพสิท ... ได้แก่ฟังก์ชัน g(f(x)) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (g f)(x)- ฟังก์ชัน (g f)(x) จะหาได้ก็เมื่อ มีสมาชิกบางส่วนของ R f กับ D g ร่วมกัน- การหาโดเมนและเรนจ์ ของ (g f)(x) ทําได้โดย เขียน g ในรูป f ก่อน (ยังไม่ต้องใส่ x)จากนั้นถ้าหา D gof ให้ใช้โดเมน g ไปบังคับหาโดเมน fถ้าหา R gof ให้ใช้เรนจ์ f ไปขยายเป็นเรนจ์ g19. ฟังก์ชันอินเวอร์ส ... f − 1 จะเป็นฟังก์ชัน ก็เมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เท่านั้น1 1 1- สมบัติของอินเวอร์ส (f g) − = g − f− และ − 1 − 1(f ) = f20. − 1f ( ) = Δ มีความหมายเดียวกับ f( Δ ) = ... ใช้ช่วยในการแก้ฟังก์ชัน21. พีชคณิตของฟังก์ชัน (f ∗ g)(x) = f (x) ∗g (x) ซึ่งคิดโดเมนได้จาก Df∗ g = Df ∩ D gเครื่องหมาย ∗ เป็นได้ทั้ง + , − , × , ÷ (โดยกรณีหาร g(x) ≠ 0)กําหนดการเชิงเส้น1. กําหนดการเชิงเส้น เป็นเทคนิคที่ใช้จัดสรรทรัพยากรให้ได้ประโยชน์สูงที่สุด เช่น การผลิตสินค้าด้วยวัตถุดิบที่มีให้ได้กําไรสูงที่สุด การขนส่งให้สิ้นเปลืองน้อยที่สุด การหาปริมาณวัตถุผสมให้เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด การมอบหมายงานเพื่อให้สําเร็จในเวลาน้อยที่สุด ฯลฯ2. ขั้นตอนในการคิด คือ- เขียนสมการจุดประสงค์ (หรือฟังก์ชันจุดประสงค์) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปร x และ y- เขียนเงื่อนไขที่มีอยู่ เรียกว่าอสมการข้อจํากัด(นอกจากข้อจํากัดที่โจทย์ให้มาแล้ว อาจจะต้องเพิ่มอสมการ x> 0, y> 0)- เขียนกราฟของระบบอสมการข้อจํากัด และแรเงาบริเวณที่ “ตรงตามเงื่อนไขทุกข้อ”- หาจุดยอดมุมทั้งหมดของบริเวณที่แรเงา (ถ้าเป็นจุดที่เกิดจากเส้นตรงตัดกัน ต้องใช้วิธีแก้ระบบสมการหาจุดตัด) คู่อันดับ x และ y เหล่านี้เท่านั้นที่เป็นคําตอบได้- นําคู่อันดับ x และ y ยอดมุมทุกจุด ไปหาค่าจุดประสงค์ที่มากหรือน้อยที่สุดตามต้องการ3. ในบางสถานการณ์- ค่า x หรือ y อาจจะต้องเป็นจํานวนเต็ม หากค่าที่เป็นคําตอบไม่ใช่จํานวนเต็มก็จําเป็นจะต้องเลือกจุดข้างเคียง (ภายในบริเวณที่แรเงา) ที่เป็นจํานวนเต็ม และให้ผลใกล้เคียงที่สุด- อาณาบริเวณที่แรเงาอาจล้อมรอบด้วยเส้นประ (เช่น คําว่าระหว่าง, น้อยกว่า, หรือ มากกว่า)จุดยอดมุมที่เป็นคําตอบยังไม่สามารถใช้ได้ ก็ต้องใช้วิธีเลือกจุดข้างเคียงเช่นเดียวกันMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET631ฉบับเขมขนฟังก์ชันตรีโกณมิติ1. ตรีโกณมิติ เป็นวิชาที่เกี่ยวกับการวัดส่วนประกอบของสามเหลี่ยม เช่น ความยาวด้าน, ขนาดมุม,ขนาดพื้นที่ … มีฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอยู่ 6 ฟังก์ชัน ได้แก่ ฟังก์ชันไซน์ (sin) โคไซน์ (cos)แทนเจนต์ (tan) โคแทนเจนต์ (cot) ซีแคนต์ (sec) และโคซีแคนต์ (cosec หรือ csc)2. หาก 0°

คณิตศาสตร O-NET / A-NET632ฉบับเขมขน8. นอกจากการวัดมุมในระบบองศาแล้ว ยังมีอีกระบบซึ่งวัดจากความยาวเส้นรอบวง เรียกว่าเรเดียน (rad) นั่นคือ ... 180 ° คิดเป็น π เรเดียนyπ/2- หน่วยเรเดียนนี้ เป็นค่าจํานวนจริง ( π = 3.1416... )2π/3π/3- การวัดมุมเป็นเรเดียน มักละหน่วยไว้3π/4π/4ไม่ต้องเขียนกํากับว่า rad ก็ได้5π/6π/69. หากขนาดของมุมที่จะหาค่าฟังก์ชันπ0ตรีโกณมิตินั้น มี nπ หรือ n π /2ไปบวกลบxอยู่ เราสามารถกําจัดค่าคงที่เหล่านี้ทิ้งได้ 7π/611π/6ให้เหลือเพียงมุม θ5π/47π/4- เมื่อตัดมุม nπ ออก ฟังก์ชันยังคงเป็นชื่อเดิม 4π/3 5π/3ไม่เปลี่ยน แต่ถ้าตัดมุม n π /2ออก ฟังก์ชันจะ3π/2เปลี่ยนชื่อเป็นโคฟังก์ชันเสมอ (นอกจากนี้ยังต้องดูเครื่องหมายบวกลบด้วยว่าเปลี่ยนหรือไม่)10. การแก้สมการตรีโกณมิติ ควรเปลี่ยนทุกค่าให้เป็น sin กับ cos ล้วน... แล้วใช้เอกลักษณ์2 2sin θ+ cos θ= 1 เป็นสมการช่วย11. ข้อควรระวังในสมการตรีโกณมิติ- การทราบค่าฟังก์ชันค่าหนึ่ง จะยังไม่สามารถสรุปได้ทันทีว่า θ อยู่ตําแหน่งใด เพราะจะมีสองคําตอบอยู่ในคนละควอดรันต์เสมอ เราต้องทราบเพิ่มเติมด้วยว่า ค่า θ นี้อยู่ในควอดรันต์ใด(โดยปกติเราสามารถทราบควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันอื่น)- แผนภาพต่อไปนี้เป็นการสรุปเครื่องหมายเพื่อความสะดวกในการหาคําตอบQ 1 เป็นบวกทั้ง 6 ค่าQ 2 มีเฉพาะ sin และ cosec ที่เป็นบวกQ 3 มีเฉพาะ tan และ cot ที่เป็นบวกsin +tan +ALL +cos +Q มีเฉพาะ cos และ sec ที่เป็นบวก4- สมมติว่าต้องการค่า θ ในช่วง 0 < θ < 2πแต่สมการที่ได้นั้นเป็นค่า 2 θ จะต้องขยายช่วงคําตอบเป็น 0 < 2θ< 4πหากไม่ขยายช่วงแล้วคําตอบที่ได้จะไม่ครบ- คําตอบบางคําตอบ (โดยเฉพาะที่อยู่บนแกน x หรือแกน y) อาจใช้ไม่ได้ ในกรณีที่สมการมีคําว่าtan, cosec, sec, cot เพราะค่าเหล่านี้มาจากการหารกันของ sin, cos ต้องตรวจสอบด้วยว่ามีคําตอบใดหาค่าเหล่านี้ไม่ได้ (คือ ตัวส่วนเป็น 0) หรือไม่12. สูตรชุดที่หนึ่ง (สูตรเบื้องต้น)(1) cos ( α+β ) = cos α cos β − sin α sin β(2) cos ( α−β ) = cos α cos β + sin α sin β(3) sin ( α+β ) = sin α cos β + cos α sin β(4) sin ( α−β ) = sin α cos β − cos α sin β13. สูตรชุดที่สอง (สูตรผลคูณ)(5) 2cosα cosβ = cos ( α+β ) + cos ( α−β ) ... จาก (1)+(2)(6) −2sinα sinβ = cos ( α+β) − cos ( α−β ) ... จาก (1)-(2)(7) 2 sin α cos β = sin ( α+β ) + sin ( α−β ) ... จาก (3)+(4)α β = α+β − α−β ... จาก (3)-(4)(8) 2 cos sin sin ( ) sin ( )⎧tan α + tan βtan ( α+β ) =⎪1 − tan α tan β⎨⎪tan α − tan βtan ( α−β ) =⎪ ⎩1 + tanα tanβMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET633ฉบับเขมขน14. สูตรชุดที่สาม (สูตรผลบวก, ผลลบ)A + B A − B(9) cos A + cos B = 2 cos ( ) cos ( ) ... จาก (5)(10)(11)(12)2 2cos A cos BA + B A − B2 sin ( ) sin ( )2 2sin A sin BA + B A − B2 sin ( ) cos ( )2 2sin A sin BA + B A − B2 cos ( ) sin ( )2 2− = − ... จาก (6)+ = ... จาก (7)− = ... จาก (8)15. สูตรชุดที่สี่ (สูตรมุมสองเท่า และมุมครึ่ง)sin (2 α ) = 2 sin α cos α2 22 2cos (2 α ) = cos α − sin α หรือ cos (2 α ) = 1 − 2 sin α = 2 cos α − 12tanαtan (2 α ) =1 − tan2 α2 2สูตรสําหรับมุมครึ่ง ได้จากการย้ายข้างสมการ cos (2 α ) = 1 − 2 sin α = 2 cos α − 1โดยมองว่า α กลายเป็น α/2 … และ 2 α กลายเป็น α16. ฟังก์ชันอินเวอร์สของตรีโกณมิติจะใช้คําว่า arc นําหน้าtan x , … แทนคําว่า arc-)-1-1-1(บางตําราใช้สัญลักษณ์ sin x , cos x ,และมีการจํากัดช่วงดังภาพต่อไปนี้D = [ −1,1]arcsinD = [ −1,1]arccosR arcsin = [ −π/2, π/2]R arccos = [0, π]R arctan = ( −π/2, π/2)1 0 = cos∞π/2π/20 = sin -1 10 = tanπ 0−π/2-1−π/2 −∞- ฟังก์ชัน arcsin (กับ arctan) จะอยู่ในช่วงที่ cos เป็นบวกเสมอ ส่วนฟังก์ชัน arccos จะอยู่ในช่วงที่ sin เป็นบวกเสมอ17. ความสัมพันธ์ที่มีประโยชน์ในเรื่องอินเวอร์ส คือ+ =x + yDarctanarctan x arctan y arctan 1 − xyใช้ได้เมื่อ arctan x + arctan y ยังอยู่ในช่วง ( −π/2, π /2)18. กฎของไซน์ “อัตราส่วนของค่าไซน์ของมุมๆ หนึ่ง ต่อความยาวด้านตรงข้าม จะเท่ากันทั้งสามsin A sin B sin Cมุม” = = ... พิสูจน์มาจาก พื้นที่สามเหลี่ยม ( 1 bc sin A )a b c219. กฎของโคไซน์ “เราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือ ได้จากความยาวด้านสองด้านและขนาดมุม2 2 2ตรงกลาง” a = b + c − 2bc cos A(ถ้ามุมตรงกลางนั้นเป็น A = 90° กฎนี้จะกลายเป็นทฤษฎีบทปีทาโกรัส)20. การวัดระยะทางหรือความสูงของสิ่งต่างๆ- อาศัยหลักว่า ในสามเหลี่ยมมุมฉากถ้ารู้ขนาดของมุม และรู้ความยาวด้าน 1 ด้านแล้ว จะคํานวณหาความยาวด้านที่เหลืออีก 2 ด้านได้ โดยเลือกใช้ sin หรือ cos หรือ tan ให้เหมาะสม- ศัพท์ที่ใช้เรียกมุมที่เกิดจากการสังเกตได้แก่ มุมก้ม (มุมกด) คือมุมที่วัดลงไปจากแนวราบ(ระดับสายตา) และมุมเงย (มุมยก) คือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบ=RMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET634ฉบับเขมขนฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม1. เลขยกกําลังจะอยู่ในรูป n a , เรียก a ว่าฐาน และเรียก n ว่าเลขชี้กําลังna คือ a คูณกันเป็นจํานวน n ตัว ... โดยนิยามให้ a = 1 และ a− =2. ทฤษฎีบทที่เกี่ยวกับเลขยกกําลัง⎧ a ⋅ a = a⎪• ⎨ma m−n⎪ = an⎩ amn mn⎧ (a ) = a⎪• ⎨ m⎪ n m⎩a = anm n m+n6. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชันเลขยกกําลัง กําหนดรูปทั่วไปเป็น =โดยค่าของฐาน a อยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞) เท่านั้น นํามาเขียนกราฟได้ดังนี้yy0n n n⎧ ⎪ (ab) = a ⋅ b• ⎨n n n⎪⎩ (a/b) = a / b⎧ n ab = n a ⋅ n b⎪• ⎨na an⎪ =n⎪⎩b bโดย n เป็นจํานวนจริงใดๆ (ไม่จําเป็นต้องเป็นจํานวนเต็ม) และกรณีกรณฑ์3. คําว่า “รากที่สองของ x” และสัญลักษณ์ “ x กับ x1/2 ” มีความหมายต่างกัน- รากที่สองของ 16 ได้แก่ 4 และ -41/2- แต่สัญลักษณ์ 16 หรือ 16 จะมีค่าเท่ากับ 4 (เป็นบวก) เท่านั้น4. การหารากที่สองของ M ± N ... เมื่อ M = a+b และ N = 4ab จะได้ว่าn1nan ≠ 0รากที่สองของ M + N คือ ± ( a+b) และรากที่สองของ M − N คือ ± ( a−b)5. วิธีทําส่วนไม่ให้ติดกรณฑ์ (รู้ท)- รูปแบบ ABCD- รูปแบบABCD ± EABC Dให้นํา D คูณทั้งเศษและส่วน กลายเป็นDให้นํา D ∓ E คูณทั้งเศษและส่วน กลายเป็นABC( D ∓ E)D − Exf(x) aO(0,1)x(0,1)Ox- = exp+D R , R = Rxxy = a , a > 1y = a , 0 < a < 1expฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด0- กราฟผ่านจุด (0, 1) เสมอ เนื่องจาก =7. สมการที่มี +a 1 ทุกๆ ค่า a ที่ไม่ใช่ศูนย์ax b บวกลบกันอยู่หลายพจน์ ควรย้ายข้างให้จํานวนพจน์เท่าๆ กัน และสัมประสิทธิ์หน้า x รวมใกล้เคียงกันที่สุด จากนั้นจึงยกกําลังทั้งสองข้างจนกว่าเครื่องหมายกรณฑ์จะหมดไป ... (การยกกําลังมักทําให้ได้คําตอบเกิน ต้องตรวจคําตอบเสมอ)- หากสิ่งที่อยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์ยาวมาก ให้สมมติสิ่งนั้นเป็นตัวแปร A ก่อน แล้วทําตัวแปรที่เหลือให้อยู่ในรูป A ทั้งหมด เพื่อให้คํานวณสะดวกขึ้นMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET635ฉบับเขมขน8. สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียลf(x) g(x)- รูปแบบ a = b จะต้องแปลงฐานทั้งสองข้างให้เท่ากัน เพื่อกําจัดฐานทิ้งไปM Nตามสมบัติที่ว่า a = a ↔ M = N- ถ้ามีพจน์เลขยกกําลังฐานเดียวกัน บวกลบกันอยู่ เช่น x 2x2a,a อาจสมมติเป็นตัวแปร A, Aเพื่อให้คํานวณสะดวกขึ้น แต่ถ้ามีฐานอื่นอยู่ด้วย จะใช้ตัวแปร B อีกอันก็ได้- อสมการ ใช้สมบัติของฟังก์ชันเพิ่ม/ฟังก์ชันลด ในการกําจัดฐานM Nคือ a > a ↔ M > N เมื่อ a > 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม)M Nและ a > a ↔ M < N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด)9. ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นอินเวอร์สของเอกซ์โพเนนเชียล เขียนได้ในรูป f(x) = logaxyความสัมพันธ์ระหว่างเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมคือ x = a ↔ y = logaxโดยค่าของฐาน a จะต้องอยู่ในช่วง (0, 1) หรือ (1, ∞) ซึ่งนํามาเขียนกราฟได้ดังนี้yyOx(1,0) O(1,0)x+- log =y loga x, a > 1D R , R = R= y = loga x, 0 < a < 1ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลดlog- กราฟผ่านจุด (1, 0) เสมอ แสดงว่า a =10. กฎของลอการิทึมได้แก่⎧ loga1 = 0• ⎨⎩ logaa = 1⎧ log a(mn) = logam + logan⎪• ⎨ ⎛m⎞⎪ loga⎜⎟ = logam − logan⎩ ⎝ n ⎠log 1 0 ทุกๆ ค่า a ที่เป็นฐานได้q q• log p b = logabaplog⎧a n logam⎪ m = n• ⎨logan⎪⎩ a = nlogcb 1• logab= =log a log a+เมื่อ a, b, c, m, n ∈ R โดยที่ a, b, c ≠ 1 และ p, q ∈ R11. ลอการิทึมฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมสามัญ อาจละไว้ไม่ต้องเขียนฐานกํากับ คือเขียนเพียงlog x ก็ได้... ส่วนลอการิทึมที่มีฐานเป็นค่า e ( ≈ 2.718 ) จะเรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติ และใช้สัญลักษณ์ ln x แทนlogex12. สมการและอสมการที่มีลอการิทึม- มักจะแก้ปัญหาโดยใช้กฎของลอการิทึม เช่น การทําให้ฐานเท่ากันเพื่อกําจัด log ทิ้งไปตามสมบัติที่ว่า log M = l og N ↔ M = Naa- ถ้ามีพจน์คล้ายกันปรากฏอยู่ อาจสมมติเป็นตัวแปร A เพื่อให้คํานวณสะดวกขึ้น- เมื่อได้คําตอบแล้ว ต้องตรวจสอบเสมอ (เช่น ภายใน log ต้องมากกว่าศูนย์)- อสมการ ใช้สมบัติของฟังก์ชันเพิ่ม/ฟังก์ชันลด ในการกําจัดฐาน คือa 1 (ฟังก์ชันเพิ่ม)log M l og N M N เมื่อ 0 < a < 1 (ฟังก์ชันลด)logaM > l ogaN ↔ M > N เมื่อ >และ > ↔

คณิตศาสตร O-NET / A-NET636ฉบับเขมขนเมตริกซ์1. เมตริกซ์ เป็นกลุ่มของจํานวนที่เรียงตัวกันเป็นสี่เหลี่ยม ภายในเครื่องหมาย ( ) หรือ [ ]- เรียกจํานวนแต่ละจํานวนที่อยู่ในเมตริกซ์ว่า สมาชิก ของเมตริกซ์- ขนาดของเมตริกซ์ เรียกว่า มิติ (คิดจาก จํานวนแถว คูณ หลัก)- เมตริกซ์สองเมตริกซ์ จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ “มีมิติเดียวกัน” (แปลว่า ขนาดเท่ากัน) และสมาชิกในตําแหน่งเดียวกันต้องเท่ากัน ทุกๆ ตําแหน่ง2. การเรียกชื่อเมตริกซ์นิยมใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C โดยจะเรียกชื่อสมาชิกเป็นตัวพิมพ์เล็ก ที่มีตัวห้อยบอกตําแหน่งแถวและหลัก ในรูป a ij (แถวที่ i และหลักที่ j)3. ทรานสโพสของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ A t หรือ A T คือการเปลี่ยนแถวเป็นหลัก- เมตริกซ์มิติ m × n เมื่อทําการทรานสโพส จะกลายเป็นมิติ n × m4. เมตริกซ์ที่ควรรู้จัก- เมตริกซ์จัตุรัส คือเมตริกซ์ที่มีจํานวนแถว เท่ากับจํานวนหลัก ( n × n) ... เรียกแนว 11, 22, 33,.. จนถึง nn ว่าเส้นทแยงมุมหลัก และที่เหลือเรียกว่าสามเหลี่ยมบนกับสามเหลี่ยมล่าง- เมตริกซ์ศูนย์ ( 0 ) คือเมตริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็นเลข 0 (จัตุรัสหรือไม่ ก็ได้)- เมตริกซ์หนึ่งหน่วย (I ) คือเมตริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก เป็น 1 และสมาชิกตัวอื่นที่เหลือทั้งหมดเป็น 05. การบวกเมตริกซ์คู่หนึ่ง จะทําได้ก็ต่อเมื่อ เมตริกซ์ทั้งสองมีมิติเดียวกันผลบวกที่ได้ จะมีมิติเดิม และสมาชิกของผลลัพธ์เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันนั้นบวกกัน(สําหรับการลบก็เช่นกัน; สมาชิกผลลัพธ์ เกิดจากสมาชิกตําแหน่งเดียวกันลบกัน)- เอกลักษณ์การบวกของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ 06. การคูณเมตริกซ์ด้วยสเกลาร์ ผลที่ได้จะเป็นการคูณสมาชิกทุกตัวด้วยสเกลาร์นั้น7. การคูณเมตริกซ์คู่หนึ่ง จะทําได้เมื่อ จํานวนหลักของตัวตั้ง เท่ากับจํานวนแถวของตัวคูณและผลคูณที่ได้จะมีจํานวนแถวเท่าตัวตั้ง จํานวนหลักเท่าตัวคูณเขียนง่ายๆ ได้ว่า Am× n × Bn× r = C m×r8. วิธีการหาผลคูณเมตริกซ์ จะยึดแถวจากตัวตั้ง และยึดหลักจากตัวคูณ ดังตัวอย่าง⎡2 3⎤ ⎡0 1⎤ ⎡ 1 3 2 ⎤ถ้า A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ ⎥ , C =− ⎢− − ⎥⎣ 1 4⎦ ⎣3 2⎦ ⎣ 1 0 2 ⎦จะได้⎡20 ⋅ + 33 ⋅ 21 ⋅ + 32 ⋅ ⎤ ⎡9 8⎤AB = ⎢ ⎥ =−⋅ + ⋅ −⋅+ ⋅ ⎢ ⎥⎣ 10 4 3 11 4 2⎦ ⎣12 7 ⎦⎡01 ⋅+⋅− 1(1) 03 ⋅ +⋅ 10 02 ⋅ +⋅− 1( 2) ⎤ ⎡−1 0 −2⎤BC = ⎢ ⎥ =⋅+ ⋅− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅− ⎢ ⎥⎣31 2( 1) 33 20 32 2( 2) ⎦ ⎣ 1 9 2 ⎦- เอกลักษณ์การคูณของเมตริกซ์ ก็คือ เมตริกซ์ I9. สมบัติการบวกและการคูณการบวกเมตริกซ์• A + B = B + A• (A + B) + C = A + (B + C)t t t• A + B = (A + B)• A + 0 = 0 + A = A• A + ( − A) = 0การคูณด้วยเมตริกซ์• AB ไม่จําเป็นต้องเท่ากับ BA• (AB) C = A (BC)• A(B + C) = AB + AC• (A + B) C = AC + BCt t t• (AB) = B A• AI = IA = AMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET637ฉบับเขมขนtการคูณด้วยสเกลาร์• (kA) = k ⋅ A• k(k 1 2A) = k 2(kA) 1 = (kk 1 2) A• k(A + B) = kA + kBt10. ดีเทอร์มินันต์ ... เป็นคุณสมบัติของเมตริกซ์จัตุรัสเท่านั้น และดีเทอร์มินันต์มีค่าเป็นตัวเลขเครื่องหมายแสดง “ดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ A” คือ A หรือ det (A)ถ้า = ⎡⎣⎤⎦ถ้าเมตริกซ์ 1 × 1 เมตริกซ์ 2 × 2A a จะได้ว่า det (A) =⎡ ⎤a ถ้า A = จะได้ว่า ⎢ ⎥ det (A)⎣c d ⎦= ad − bcเมตริกซ์ 3 × 3 ใช้หลักว่า คูณเฉียงขึ้นใส่ลบ คูณเฉียงลงเครื่องหมายเดิม แล้วรวมกัน⎡a b c⎤A = ⎢d e f⎥⎢ ⎥⎢⎣g h i⎥⎦a bจะได้ว่า det (A) = −gec − ahf − bdi + aei + gbf + hdcส่วนเมตริกซ์ n × n ใดๆ จะใช้วิธีโคแฟกเตอร์ (ใช้ได้กับทุกขนาดตั้งแต่ ×2 2 ขึ้นไป)det (A) = สมาชิก 1 แนว (แถวหรือหลักก็ได้) คูณกับโคแฟกเตอร์ของแนวนั้น ( ∑ ij ij11. ไมเนอร์ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า M ij (A)... คือ ค่า det ของเมตริกซ์ย่อย (ตัดแถว ตัดหลัก) ที่ตําแหน่งนั้น ... โคแฟกเตอร์ของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ว่า C ij (A) คือไมเนอร์ที่ถูกใส่+เครื่องหมายบวกหรือลบสลับกัน ตามรูปแบบ = − i jC ij ( 1) ⋅ M ij (ตําแหน่งแรกสุดใส่บวก, แล้วเติมเครื่องหมายบวกลบสลับกันไป)12. เมตริกซ์ที่ค่า det เป็นศูนย์ เรียกว่าเมตริกซ์เอกฐาน (ซิงกูลาร์)13. สมบัติของดีเทอร์มินันต์• det (AB) = det (A) ⋅ det (B)•tdet (A ) = det (A)•nndet (A ) = (det (A)) เมื่อ n ∈ I•ndet(kA) = k ⋅ det(A) เมื่อ n = ขนาดของ A• det (I) = 1• det (0) = 014. เมตริกซ์ไม่มีการหารกัน แต่จะใช้การคูณด้วยอินเวอร์สแทนอินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A ใช้สัญลักษณ์ A −1 ... โดยนิยามให้−1 −1เมตริกซ์ 1 × 1 เมตริกซ์ 2 × 2ถ้า = ⎡⎣⎤⎦a bA a จะได้ว่า − 1= ⎡ ⎣ ⎤⎡ ⎤A 1/a ⎦ ถ้า A = จะได้ว่า ⎢ ⎥ A−⎣c d ⎦เมตริกซ์ n × n ใดๆ ตั้งแต่ 2 × 2 ขึ้นไป จะใช้วิธีโคแฟกเตอร์เช่นเดิมtสูตรคือ − 1 (Cof (A))tA = และเรียก (Cof (A)) ว่า adj A ก็ได้det (A)aC )A ⋅ A = A ⋅ A = I1 1 ⎡ d −b⎤= ⋅det (A) ⎢ − ⎥⎣ c a ⎦15. เมตริกซ์ที่จะหาอินเวอร์สการคูณได้ ต้องเป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน ( det ≠ 0 ) เท่านั้น16. สมบัติของอินเวอร์สการคูณ−1 −1 −1• (AB) = B A1• (kA) = ⋅ Ak−1−1• A = A =−1 −11A−1n n −1 −n• (A ) = (A ) = A−1 −1• (A ) = A17. ข้อควรระวังในสมการเมตริกซ์- เมื่อทําการย้ายข้างตัวคูณ ไปเป็นอินเวอร์สอยู่อีกฝั่ง ต้องคํานึงถึงลําดับด้วย เพราะการคูณไม่มี−1−1สมบัติการสลับที่.. เช่น AB = C กลายเป็น B = A C ได้.. แต่เป็น B = CA ไม่ได้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET638ฉบับเขมขน- ตรวจสอบเสมอว่า สมการยังเป็นเมตริกซ์ทั้งสองข้างหรือไม่ (หากย้ายข้างเมตริกซ์ ไปเป็นอินเวอร์สจนหมด อย่าลืมเหลือเมตริกซ์ I ไว้ด้วย..)- สมการเมตริกซ์สามารถคูณเข้าทั้งสองข้างได้เสมอ แต่การตัดออกทั้งสองข้างบางครั้งใช้ไม่ได้- ใส่เครื่องหมาย det ทั้งสองข้างได้เสมอ แต่การตัดออกทั้งสองข้างก็มักจะใช้ไม่ได้- ถ้า AB = 0 แล้ว ไม่จําเป็นที่ A หรือ B ต้องเป็น 018. การคํานวณเกี่ยวกับ adj A ควรพิสูจน์จากสมการ − 1 adj AA = ก่อน เพื่อให้สะดวก เช่น−det (A) ⋅ I = A (adj A), adj A1 A=det (A) ,det (A)n−1det (adj A) = (det (A)) ฯลฯ19. ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจํานวนตัวแปรเท่ากับจํานวนสมการ จะเขียนให้อยู่ในรูปสมการเมตริกซ์ได้ เป็น AX = B (เรียก A ว่า เมตริกซ์สัมประสิทธิ์, X เป็นเมตริกซ์ตัวแปร, และ B เป็นเมตริกซ์ค่าคงที่) สิ่งที่เราต้องการหาก็คือเมตริกซ์ Xเช่น⎛4x + 2y − z = 0⎜⎜x − y = 3⎜⎝5x − 3y + 2z + 1 = 0แปลงเป็นสมการเมตริกซ์ได้ว่า⎡4 2 −1⎤⎡x⎤ ⎡0⎤⎢ 1 − 1 0⎥⎢y⎥ = ⎢3⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ 5 −3 2⎥⎢ ⎦⎣z⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦−1- แก้สมการโดยวิธีอินเวอร์ส AX = B → X = A Bdet (A i)- กฎของคราเมอร์ xi= ... เมื่อ A i คือนํา B มาแทนหลักที่ i ของ Adet (A)20. การดําเนินการตามแถว ... สามารถกระทําได้ 3 ลักษณะ คือa) นําค่าคงที่ k (ที่ไม่ใช่ 0) ไปคูณไว้แถวใดแถวหนึ่งb) นําค่าคงที่ k ไปคูณแถวใดแถวหนึ่ง แล้วเอาไปบวกไว้ที่แถวอื่นc) สลับแถวกัน 1 ครั้ง- ใช้เครื่องหมาย ~ แทนการดําเนินการแต่ละขั้นตอน และเขียนวิธีกํากับไว้−121. นําไปใช้ประโยชน์ในการหาอินเวอร์สการคูณ (A ) และแก้ระบบสมการ AX =−- การหาอินเวอร์สการคูณ ⎡A I ⎤ ~ ⎡ I A1 ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦B ได้- การแก้ระบบสมการ ⎡⎣A B ⎤⎦~ ⎡⎣I X ⎤⎦- เทคนิคการทําให้เป็น I โดยเร็วที่สุดคือ ทําให้เป็น 0 ทั้งหมดทีละสามเหลี่ยม (ล่าง หรือบน)22. การดําเนินการตามแถวทั้งสามแบบ ส่งผลต่อค่า det ดังนี้a) det = k ⋅ detnewoldb) det = det (det ไม่เปลี่ยน, ใช้ช่วยในการหา det ได้)newoldc) det = − detnewoldtทั้งนี้ การดําเนินการตามหลัก ก็ให้ผลเช่นเดียวกัน เนื่องจากสมบัติ det (A ) =det (A)เวกเตอร์1. ปริมาณในโลกมีสองชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์ (ระบุเฉพาะขนาด) และปริมาณเวกเตอร์ (ระบุทั้งขนาดและทิศทาง) ... การเขียนปริมาณเวกเตอร์จะใช้ลูกศร ให้ความยาวลูกศรแทนขนาด และหัวลูกศรแทนทิศทาง ชื่อของเวกเตอร์ตั้งตามจุดเริ่มและจุดสิ้นสุดของลูกศร เช่น ÃB หรือจะใช้ตัวพิมพ์เล็ก (ที่เติมขีดด้านบน) ก็ได้ เช่น u, v, w ... ส่วนขนาดของเวกเตอร์ u คือ u2. เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ มีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน (ไม่จําเป็นต้องมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกัน เช่น ÃB = CD˜ก็ได้ ถ้ามีขนาดเท่ากันและทิศเดียวกัน)Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET639ฉบับเขมขน3. เวกเตอร์บวกกัน สามารถหาผลลัพธ์ได้สองวิธี คือ หัวต่อหาง และหางต่อหาง- การบวกเวกเตอร์มีสมบัติเหมือนการบวกจํานวนจริงทุกประการ ได้แก่สมบัติปิด, สมบัติการสลับที่, สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม, การมีเอกลักษณ์, และการมีอินเวอร์ส- เอกลักษณ์การบวกของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ศูนย์ ( 0 ) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 0 หน่วย- อินเวอร์สการบวกของ u เขียนสัญลักษณ์ว่า −u หมายถึง เวกเตอร์ขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้ามกับ u ... (หรือกล่าวว่า −ÃB=˜) BA4. การลบเวกเตอร์ เป็นการบวกด้วยนิเสธ คือ u− v = u + ( −v)สามารถหาได้จากวิธีหางต่อหางแบบใหม่ คือเขียนเวกเตอร์ตัวตั้งและตัวลบแบบหางชนกันเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะลากจากปลายลูกศรของตัวลบ มายังปลายลูกศรของตัวตั้ง5. ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ หาได้จากกฎของโคไซน์2 2u+ v = u + v + 2 u v cos θ2 2u− v = u + v − 2 u v cos θ˜⎡Δx⎤ ⎡ x2−x1⎤AB =⎢=⎣Δy⎥ ⎦⎢⎣ y2−y⎥1⎦A (x 1 ,y 1 )- ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้ว กับพิกัดฉากเมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ vและสามารถนําขนาดที่ได้ไปคํานวณหาทิศทางโดยกฎของไซน์- มุม θ ระหว่าง u กับ v ต้องวัดระหว่างหางกับหางเสมอ และมีขนาดไม่เกิน 180 °6. ผลที่ได้จากการคูณเวกเตอร์ u ด้วยสเกลาร์ a เป็นดังนี้- ถ้า a = 0 จะได้ au = 0- ถ้า a > 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศเดียวกันกับ u แต่มีขนาดเป็น a ⋅- ถ้า a < 0 จะได้ au เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศตรงข้ามกับ u และมีขนาดเป็น a ⋅- การคูณด้วยสเกลาร์นี้มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง เช่นเดียวกับจํานวนจริง คือa(bu) = (ab)u, (a+ b) u = au + bu , และ a(u+ v) = au + av7. ความสัมพันธ์ของ “การคูณด้วยสเกลาร์” และ “การขนานกันของเวกเตอร์”เมื่อ u ≠ 0 และ v ≠ 0 จะได้ทฎษฎีว่า- u จะขนานกับ v ก็ต่อเมื่อ มีค่า a ≠ 0 ที่ทําให้ u =- ถ้า u ไม่ขนานกับ v , หาก au + bv = 0 แสดงว่า a = 0 และ b = 08. การแก้โจทย์ปัญหาประเภท “เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น”- เขียนเวกเตอร์ที่กําหนด ในรูปผลรวมของเวกเตอร์อื่นแบบใดก็ได้ ก่อน- พยายามเปลี่ยนเวกเตอร์ที่ไม่ต้องการ เป็นผลรวมของเวกเตอร์ที่ต้องการ ไปทีละขั้นๆ- เมื่อเหลือเพียงเวกเตอร์ที่ต้องการ ก็จัดเป็นรูปอย่างง่ายแล้วตอบ A9. สูตรในการสร้างเวกเตอร์ภายในสามเหลี่ยม (ดูภาพประกอบ)nถ้า BZ : ZC = n : m จะได้ว่า ˜ mAB˜+ nACÃZ =m + nZB (x 2 ,y 2 )m10. เวกเตอร์ในระบบแกนพิกัดฉากสองมิติΔ x = r cos θΔ y = r sinθav2 2r = ( Δ x) + ( Δy)tan θ = ( Δy/ Δ x) = ความชัน- เวกเตอร์สองอันจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ Δx เท่ากัน และ Δy เท่ากัน- เวกเตอร์สองอันขนานกันก็ต่อเมื่อ ความชันเท่ากัน (มีทั้งทิศเดียวกันและตรงข้าม)และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันได้ –1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)uuCB

คณิตศาสตร O-NET / A-NET640ฉบับเขมขน- การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ จะได้ผลเช่นเดียวกับเมตริกซ์ นั่นคือ16. ในความเป็นจริงจุดใดๆ ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันเสมอไป แต่อยู่ในปริภูมิสามมิติ เราจําเป็นต้องใช้พิกัดฉาก 3 มิติ ซึ่งประกอบด้วยแกน x, y, และ z ตั้งฉากกันที่จุดกําเนิด ระนาบ xy, yz, xzแบ่งปริภูมิออกเป็น 8 ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่าอัฐภาค (มีลําดับเหมือนจตุภาคดังรูป)zzx⎡a⎤ ⎡c⎤ ⎡a+c⎤⎡a⎤⎡ka⎤⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢ + ⎥k ⋅ =⎣b⎦ ⎣d⎦ ⎣b d ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦⎣b⎦ ⎣kb⎦11. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็น 1เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สําคัญในระบบพิกัดฉากสองมิติ มีอยู่ 2 ตัว ได้แก่ i กับ jโดย i แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +x และ j แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง +y1= และ ⎡0⎤⎢ ⎥ j =⎣0 ⎢ ⎥⎦⎣ ⎦⎡ ⎤นั่นคือ i... จะได้ว่าเวกเตอร์ ⎡ ⎤ = +1 ⎢ ⎥ ai bj⎣b⎦12. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางของ ÃB ใดๆ (ที่ไม่ใช่ 0 ) สามารถสร้างได้จากการนําขนาดของ˜ÃB มาหาร (เพื่อทําให้ขนาดเหลือเพียง 1 หน่วย) เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า AB|ÃB|13. การคูณเวกเตอร์คู่หนึ่ง จะเกิดผลลัพธ์ได้ 2 แบบ คือ การคูณแบบดอท ( u ⋅ v) ให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ (ตัวเลข) อาจเรียกว่าผลคูณเชิงสเกลาร์ และการคูณแบบครอส ( u × v) ยังคงให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ อาจเรียกว่าผลคูณเชิงเวกเตอร์- ดอทในพิกัดฉาก ⎡ a ⎤ ⋅ ⎡ c ⎤ = (a i + bj) ⋅ (c i + dj) = ac+bdOz⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣b⎦⎣d⎦- ดอทในเชิงขั้ว u ⋅ v = u v cos θ- ใช้สมการทั้งสองร่วมกันในการคํานวณเกี่ยวกับมุม θ ระหว่าง u กับ v14. การหาขนาดผลรวมเวกเตอร์ด้วยกฎของโคไซน์ อาจเขียนใหม่ได้ว่า2 2u+ v = u + v + 2(u ⋅ v)2 2u− v = u + v − 2(u ⋅ v)15. สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบดอท• u ⋅ v = v ⋅ u• u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w• a(u ⋅ v) = a u ⋅ vy48x3zaเมื่อ θ คือ มุมระหว่าง u กับ v• u ⋅ u = u• 0 ⋅ u = 0• u ⋅ v = 0 ↔ u ⊥ v15262yระนาบ yz (x = 0)ระนาบ xz (y = 0)ระนาบ xy (z = 0)xyQ(2,0,1) 1 P(2,4,1)42xR(2,4,0)yMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET641ฉบับเขมขน17. หลักในการตั้งลําดับแกนคือ กฎมือขวา ... เมื่อแบมือขวาขึ้นตรงๆ และแยกนิ้วโป้งให้ตั้งฉากกับนิ้วชี้ จะได้ว่าปลายนิ้วทั้งสี่ชี้ไปในทิศ +x, ฝ่ามือหันไปในทิศ +y, และนิ้วโป้งชี้ไปในทิศ +z18. ระบุตําแหน่งสิ่งต่างๆ ด้วย สามสิ่งอันดับ (Ordered Triple) B (x 2 ,y 2 ,z 2 )ที่สมาชิกแต่ละตัวแทนระยะทางในแนว +x, แนว +y, และแนว⎡Δx⎤ ⎡x2−x1⎤+z ตามลําดับ เช่น สามสิ่งอันดับ (2, 4, 1)˜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥19. เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติเมื่อกําหนดเวกเตอร์หนึ่งหน่วยบนแต่ละแกนดังนี้aก็จะเขียนเวกเตอร์ ⎡ ⎢ ⎤b⎥⎢ ⎥⎢⎣ c⎥⎦ได้เป็น ai + bj + ck⎡ 1⎤i = ⎢0⎥⎢ ⎥⎢⎣ 0⎥⎦,⎡0⎤j = ⎢ 1⎥⎢ ⎥⎢⎣ 0⎥⎦A (x 1 ,y 1 ,z 1 )2 2 220. ขนาดของเวกเตอร์ r = ( Δ x) + ( Δ y) + ( Δz)(เป็นสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด คล้ายทฤษฎีบทปีทาโกรัสใน 2 มิติ)21. การบวกลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์, และ⎡a⎤⎡d⎤ ⎡a+d⎤⎢b⎥ + ⎢e⎥ = ⎢b+e⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦ ⎣⎢ f⎦⎥ ⎣⎢c+f⎦⎥⎡a⎤⎡d⎤การคูณแบบดอท ⎢b⎥ ⋅ ⎢e ⎥ = (ai+ bj+ ck) ⋅ (di+ ej+ fk) = ad+ be + cf⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦⎣⎢f⎦⎥และ ⋅ = θAB = Δy = y −y⎢ ⎥ ⎢2 1⎥⎢Δz⎥ ⎢z2−z1⎥v⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡0⎤k = ⎢0⎥⎢ ⎥⎢⎣1⎥⎦⎡a⎤⎡ka⎤k ⋅ ⎢b⎥= ⎢kb⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦ ⎣kc⎦u v u v cos (ใช้สมการทั้งสองร่วมกัน ในการคํานวณมุม θ ระหว่าง u กับ v )22. มุมที่เวกเตอร์กระทํากับแกนทั้งสาม เรียกว่ามุมกําหนดทิศทาง ได้แก่ มุม α , β และ γ ซึ่งเป็นมุมที่เวกเตอร์ทํากับแกน +x , แกน +y และแกน +z ตามลําดับ ... หาได้โดยการดอท (นําabcเวกเตอร์ดอทกับ i, j,k ทีละอัน) จะได้ cos α = , cos β = , และ cos γ =เรียกค่าทั้งสามนี้ว่า โคไซน์แสดงทิศทาง (มักกล่าวถึงค่าเหล่านี้แทนมุม)2 2 2และมีสมบัติว่า cos α + cos β + cos γ = 1 เสมอ23. เวกเตอร์สองอันจะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ โคไซน์แสดงทิศทางของ u กับ v ทั้งชุดมีค่าตรงกันหรือเป็นค่าติดลบของกัน ... และเวกเตอร์สองอันจะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ u ⋅ v = 0 เท่านั้น24. การคูณเวกเตอร์แบบครอส⎡a⎤⎡d⎤ ⎡bf−ce⎤i j k⎢b⎥ × ⎢e⎥ = ⎢cd− af⎥= a b c⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣c⎦ ⎣⎢f⎦⎥⎣ae−bd⎦d e fผลลัพธ์ที่ได้ จะตั้งฉากกับระนาบ uv ... หาทิศทางได้ด้วยกฎมือขวาโดยสี่นิ้วพุ่งไปทาง u กํามือเข้าหา v ผลลัพธ์มีทิศทางตามนิ้วโป้งที่ชูขึ้นขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ u× v = u v sin θ25. สมบัติของการคูณเวกเตอร์แบบครอส• u × v = − (v × u)• u × (v + w) = u × v + u × w• a(u × v) = a u × v• u ⋅ (v × w) = (u × v) ⋅ wu• u × u = 0• 0 × u = 0• u × v = 0 ↔ u vuuuu×v× v uMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET642ฉบับเขมขน26. พื้นที่สามเหลี่ยม ที่มีด้านประชิดเป็น u กับ v และมุม1 1ระหว่างเวกเตอร์เป็น θ คือ u v sinθ → u×v2 2พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ u v sinθ → u×v27. ปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน ที่มีด้านประชิดเป็นเวกเตอร์u u uu (v w) v v vw w wu , v , w คือ ⋅ × =1 2 31 2 31 2 3uθvจํานวนเชิงซ้อน1. ระบบจํานวนที่ใหญ่ที่สุดซึ่งประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ในรูป a + bi (โดยa, b ∈ R ) และนิยามให้ i = −1 เรียกว่าจํานวนเชิงซ้อน ( C ) มี a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วนจินตภาพ และมักแทนตัวแปรที่เป็นจํานวนเชิงซ้อนด้วย z- จาก z = a + bi บางทีเขียนว่า a = Re(z) และ b = Im(z) ก็ได้- สามารถใช้คู่อันดับ (a, b) แทนจํานวนเชิงซ้อน z = a + bi ได้ และทําให้แผนภาพเปลี่ยนจากเส้นจํานวนในแกนนอน 1 มิติ กลายเป็นระนาบเชิงซ้อน 2 มิติ (มีแกนจริงกับแกนจินตภาพ)2. กําลังของ i มี 4 แบบหมุนเปลี่ยนกัน คือ i1 = i ... i 2 = − 1 ... i3 = − i ... i 4 = 15i = i ... i 6 = − 1 ... i723. ในการคํานวณเราปฏิบัติเหมือนกับ i เป็นตัวแปรหนึ่ง (ซึ่ง = −- การเท่ากัน a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b =- การบวก (a + bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d) i= − i ... i 8 1i 1) เพียงเท่านั้นd= ...- การคูณ (a + bi) × (c + di) = (ac− bd) + (ad+bc) i4. สมบัติของจํานวนเชิงซ้อน เหมือนกับสมบัติของจํานวนจริงทุกประการ นั่นคือ มีสมบัติปิด, การสลับที่การบวกและคูณ, การเปลี่ยนกลุ่มการบวกและคูณ, การแจกแจง, และการมีเอกลักษณ์กับอินเวอร์ส โดยเอกลักษณ์การบวกก็คือ 0 หรือ 0 + 0i หรือ (0, 0) และเอกลักษณ์การคูณคือ 1 หรือ1 + 0i หรือ (1, 0) เช่นเดียวกับในระบบจํานวนจริง- อินเวอร์สการบวกของ z = a + bi ก็คือ − z = −a − bi- อินเวอร์สการคูณของ z = a + bi คือ − 1 1 1z = = ซึ่งสามารถทําให้อยู่ในรูปปกติได้โดยนํา a − bi คูณทั้งเศษและส่วน จะได้z a + bi1 a − bi ⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞= = ⎜ ⎟ −2 2+⎜+⎟+ + ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ia bi a b a b a b ⎠−1 −1 −1n −1 −1 n −nและมีทฎษฎีบทว่า (z1z 2) = z1 z 2 และ (z ) = (z ) = z5. ในเศษส่วนหนึ่งๆ เมื่อมีจํานวนเชิงซ้อน a + bi เป็นตัวส่วน จะนําสังยุคของ a + bi คือ a − biมาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นเลขจํานวนจริง ( 2 +2สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสังยุคของ z = a + bi คือ z = a − bi- สมบัติของสังยุค• z = z ก็ต่อเมื่อ z เป็นจํานวนจริงเท่านั้น และ z =n n+(z ) = (z) และ (z ) = (z) n ∈ I• − 1 − 1• z1 ± z2 = z1 ± z 2• zz 1 2 = zz 1 2 และ z ÷ z = z ÷ z1 2 1 2a b )z เสมอMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET643ฉบับเขมขน6. ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนใดๆ คือระยะห่างจากจุดนั้นไปถึงจุดกําเนิด (0, 0)ดังนั้น z = a + bi = a 2 + b2- สมบัติของค่าสัมบูรณ์• z มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 เสมอ และ ⋅ =• z = −z = z− 1 −1• = znz และ =n+z z n ∈ Iz z• zz 1 2 = z1 z 2 และ z1 ÷ z2 = z1 ÷ z 2 ...ที่สําคัญคือค่าสัมบูรณ์กระจายบวกลบไม่ได้7. การอ้างถึงพิกัด (a, b) ของจํานวนเชิงซ้อน อาจจะกล่าวได้อีกแบบเป็น (r, θ) โดยที่ r แทน“ระยะห่างจากจุดกําเนิด” และ θ แทน “ทิศทาง หรืออาร์กิวเมนต์” (มุมวัดทวนเข็มจากแกน +x )เรียกรูปแบบนี้ว่ารูปเชิงขั้ว ซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างสองระบบนี้เป็นดังนี้2z2 2za = r cos θr = a + b =b = r sin θtan θ = (b/a)เราอาจเขียนรูปทั่วไปของ z = a + bi ได้ใหม่ว่า z = (rcos θ ) + (rsin θ)iหรือ z = r(cos θ + i sin θ)- จาก z = r(cos θ + i sin θ) บางทีเขียนว่า r =Abs(z) และ θ = Arg(z)- บางตําราใช้สัญลักษณ์ z = r ∠θ หรือ = θ8. รูปเชิงขั้วสามารถนํามาใช้ประโยชน์ในการคูณ หาร ยกกําลัง และถอดรากของจํานวนเชิงซ้อนได้สะดวก โดยมีทฤษฎีอยู่ดังนี้ถ้า 1 = 1 θ 1 + θ1z r cis เพื่อความสะดวกในการเขียน, คํานวณz r (cos i sin ) และ z = r (cos θ + i sin θ ) แล้ว2 2 2 2- การคูณ zz 1 2 = rr 12(cos( θ+θ 1 2) + i sin( θ+θ 1 2))- การหาร z 1/z 2 = (r 1/r 2)(cos( θ−θ 1 2) + i sin( θ−θ 1 2))n n- การยกกําลัง z = r (cos(n θ ) + i sin(n θ)) ... เรียกว่าทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์n- รากที่ n ของ z มีอยู่ n คําตอบเสมอ เพราะมาจากสมการ ? = zθ θคําตอบแรก คือ n z = n r (cos( ) + i sin( ))nnและคําตอบที่เหลือจะมีขนาดเท่ากันแต่มุมต่างๆกัน หาค่ามุมได้จากการแบ่งวงกลม 360°ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กันโดยมีมุม θ/n นี้เป็นจุดๆ หนึ่งในบรรดาคําตอบ− −9. สมการพหุนามดีกรี n ในรูป a n + n 1 − + n 2nx an 1x an−2x + ... + a0= 0 จะหาคําตอบได้ n จํานวนเสมอ ซึ่งใน n คําตอบนี้ อาจเป็นจํานวนจริงและจํานวนเชิงซ้อนปนกันอยู่สามารถคํานวณโดยแยกคําตอบที่เป็นจํานวนจริงออกจนเหลือเพียงดีกรีสอง แล้วอาศัยสูตร− b ± b −4acx =2a- จากสูตร2ช่วยในการหาคําตอบที่เป็นจํานวนเชิงซ้อน− b ± b −4acx =2a2ทําให้เราพบว่า ในสมการที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจํานวนจริง ถ้าA + Bi เป็นคําตอบหนึ่งของสมการแล้ว จะมีสังยุค A − Bi เป็นอีกคําตอบด้วยเสมอ- หากไม่ต้องการใช้สูตร อาจใช้วิธีจัดกําลังสองสมบูรณ์ก็ได้2 22เช่น x + 4x + 7 = 0 → (x + 4x + 4) + 3 = 0 → (x + 2) + 3 = 0 → x = − 2±3 i- ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบ (หารลงตัว) ของพหุนาม ที่เคยได้ศึกษาในเรื่องจํานวนจริง ยังคงใช้ได้กับจํานวนเชิงซ้อน ... และการหารสังเคราะห์ก็ยังใช้ได้เช่นกันMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET644ฉบับเขมขนทฤษฎีกราฟ1. กราฟ ในที่นี้หมายถึง แผนภาพซึ่งประกอบด้วยจุดและเส้นที่เชื่อมจุด การเกิดเป็นกราฟได้จะต้องมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด แต่กราฟอาจไม่มีเส้นเลยสักเส้นก็ได้เซตของจุดยอด เรียกว่า V(G) และเซตของเส้นเชื่อม เรียกว่า E(G)2. ข้อตกลงในการเขียนแผนภาพของกราฟ คือ จะวางจุดยอดจุดใดไว้ตําแหน่งใดก็ได้ และจะลากเส้นเชื่อมเป็นเส้นตรงหรือโค้งก็ได้ (แต่หากเส้นเชื่อมสองเส้นที่ลากขึ้นนั้นตัดกัน จุดตัดที่เกิดขึ้นจะไม่นับเป็นจุดยอดของกราฟ)3. เส้นเชื่อมขนาน เป็นเส้นที่เชื่อมจุดปลายคู่เดียวกันวงวน เป็นเส้นเชื่อมที่มีปลายทั้งสองเป็นจุดๆ เดียว4. จุดยอดที่ประชิดกัน คือจุดที่มีเส้นเชื่อมระหว่างกันเส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด เมื่อจุดยอด A เป็นปลายหนึ่งของเส้นเชื่อมนั้น5. ดีกรีของจุดยอด คือจํานวนครั้งที่มีเส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอดนั้น ใช้สัญลักษณ์ deg เช่น deg A- ผลรวมดีกรีของจุดยอดทั้งหมดในกราฟ จะเป็น 2 เท่าของจํานวนเส้นเชื่อม6. จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจํานวนคู่ เรียกว่าจุดยอดคู่ และจุดยอดที่มีดีกรีเป็นจํานวนคี่ เรียกว่าจุดยอดคี่- จํานวนจุดยอดคี่ของกราฟใดๆ จะต้องเป็นจํานวนคู่เสมอ (ส่วนจุดยอดคู่จะมีกี่จุดก็ได้)7. ลําดับที่ประกอบด้วยจุดสลับกับเส้น เช่น C, e 7, B, e 5, A, e 3, D หรือประกอบด้วยจุด เช่นC, B, A, D เรียกว่า แนวเดิน เช่นแนวเดิน C − D- หากทุกๆ จุดยอดมีแนวเดินถึงกัน จะเรียกว่าเป็น กราฟเชื่อมโยง8. แนวเดินซึ่งเริ่มและจบที่จุดเดียวกัน โดยไม่ใช้เส้นเชื่อมซ้ํากันเลย เรียกว่า วงจรถ้าวงจรนั้นผ่านจุดยอดและเส้นเชื่อมทั้งหมดที่มีในกราฟ เรียกว่า วงจรออยเลอร์กราฟใดที่สามารถหาวงจรออยเลอร์ได้ จะถูกเรียกว่าเป็น กราฟออยเลอร์9. ปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก ถามว่าเป็นไปได้ไหมที่เราจะเริ่มต้นจากจุดหนึ่งบนแผ่นดิน แล้วเดินข้ามสะพานให้ครบทุกอันในภาพจนกลับมายังจุดเริ่มต้น โดยไม่ซ้ําสะพานเดิมเลย- ลักษณะของปัญหาเหมือนกับ “การลากเส้นวาดรูปโดยไม่ยกดินสอ” ซึ่งคําตอบจะได้จากการพิจารณาว่าแผนภาพนั้น “เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่”10. กราฟออยเลอร์จะต้องเป็นกราฟเชื่อมโยง และจุดยอดทุกจุดเป็นจุดยอดคู่ดังนั้นคําตอบของปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก คือ “เป็นไปไม่ได้”11. กราฟถ่วงน้ําหนัก คือกราฟที่เส้นเชื่อมทุกเส้นมีจํานวนจริงบวกเขียนกํากับไว้ เรียกจํานวนนี้ว่า ค่าน้ําหนัก ซึ่งอาจใช้แทนระยะทางระหว่างจุด, ระยะเวลาที่ใช้เดินทางระหว่างจุด, ค่าใช้จ่ายในการสร้างเส้นทาง, หรืออื่นๆ เพื่อบ่งบอกให้ทราบความแตกต่างระหว่างแต่ละเส้น12. เรานําทฤษฎีกราฟเบื้องต้นไปประยุกต์ใช้แก้ปัญหาบางอย่างได้ เช่น การหาเส้นทางมุ่งไปยังจุดหมายให้สั้นที่สุด (วิถีที่สั้นที่สุด คือแนวเดินซึ่งไม่ซ้ําจุดยอดเดิม และมีผลรวมค่าน้ําหนักน้อยที่สุด)และการเลือกวางเส้นทางให้เชื่อมทุกจุดโดยประหยัดที่สุด (ต้นไม้แผ่ทั่ว คือกราฟเชื่อมโยงที่ไม่มีรูปปิด และใช้จุดยอดครบทุกจุด ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟที่มีจุดยอด n จุด จะมีเส้นเชื่อม n−1 เส้นเสมอ ... ต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด คือต้นไม้ที่มีค่าน้ําหนักรวมน้อยที่สุด)ลําดับและอนุกรม1. ลําดับ คือค่าของฟังก์ชันที่นํามาเขียนเรียงกัน เมื่อโดเมนของฟังก์ชันเป็นเซตจํานวนนับ 1,2,3,...- เรียก a 1 ว่า “พจน์ที่ 1” ของลําดับ, เรียก a 2 ว่าพจน์ที่ 2 ของลําดับ, ไปเรื่อยๆ- พจน์ที่ n ใดๆ เขียนแทนด้วย a n จะเรียกว่าพจน์ทั่วไป และนิยมเขียนรูปแบบของลําดับด้วย a nMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET645ฉบับเขมขน2. ลําดับที่มีจํานวนพจน์ที่แน่นอน เช่น 8 พจน์, 15 พจน์, หรือ n พจน์ก็ได้ จะเรียกว่า ลําดับจํากัดส่วนลําดับที่มีจํานวนพจน์มากจนนับไม่ได้ จะเรียกว่า ลําดับอนันต์3. ลําดับที่เราพบบ่อย มีสองประเภท คือลําดับเลขคณิต และลําดับเรขาคณิต- ลําดับเลขคณิต คือลําดับที่ “ผลต่างของพจน์ติดกันเป็นค่าคงตัว” เรียกค่านี้ว่า ผลต่างร่วม dพจน์ทั่วไปเป็น an = a 1 + (n−1)d- ลําดับเรขาคณิต คือลําดับที่ “ผลหารของพจน์ติดกันเป็นค่าคงตัว” เรียกค่านี้ว่า อัตราส่วนร่วม r(n−1)พจน์ทั่วไปเป็น an = a1⋅ r4. ข้อสังเกตคือลําดับเลขคณิต จะเป็นฟังก์ชันเส้นตรง โดยมีความชัน = d ... เช่น a n = 8 + 3nnส่วนลําดับเรขาคณิต จะเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล โดยมีฐาน = r ... เช่น an= 8 ⋅ 35. หากต้องการทราบว่า ในลําดับ (อนันต์) ลําดับหนึ่งนั้น ถ้า n ยิ่งมากขึ้นจนเข้าใกล้ ∞( n → ∞ ) แล้ว ค่าของ a n จะเข้าใกล้ค่าใด ( a n → ?) เราเรียกว่าการหาลิมิตของลําดับ ... และค่าที่ได้นี้เรียกว่า ลิมิต เขียนด้วยสัญลักษณ์ lim a nn →∞- ลําดับเรขาคณิต ...→∞nnr < 1,lim (r ) เมื่อ r เป็นค่าคงที่ จะมีได้สี่กรณี คือ ไม่มีลิมิต เมื่อ −เป็นศูนย์ เมื่อ |r| < 1, เป็น 1 เมื่อ r = 1, และหาค่าไม่ได้ เมื่อ r > 1- ลําดับเลขคณิต ลิมิตหาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นกรณีที่ d=0)6. ลําดับที่หาค่าลิมิตได้ เรียกว่า ลําดับลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต์)และลําดับที่ไม่มีลิมิต หรือหาค่าลิมิตไม่ได้ จะเรียกว่า ลําดับลู่ออก (ไดเวอร์เจนต์)- การหาค่าลิมิต สามารถใช้สมบัติการกระจาย แจกแจงได้ทุกรูปแบบ ทั้งการบวก ลบ คูณ หารยกกําลัง หรือถอดรากP(n)- รูปแบบ limn →∞เมื่อ P และ Q เป็นพหุนาม จะมีได้สามกรณี คือ เป็นศูนย์ เมื่อดีกรี PQ(n)น้อยกว่า Q, เป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกหารกัน เมื่อดีกรีของ P และ Q เท่ากัน, และหาค่าไม่ได้ เมื่อดีกรี P มากกว่า Q7. อนุกรม คือผลบวกของแต่ละพจน์ในลําดับ ..ค่าของอนุกรมสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ a ได้ซึ่งผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม จะใช้สัญลักษณ์ S n∞(ดังนั้น ค่าของอนุกรมอนันต์ก็คือ = =∞∑ ii=1S a lim S )n →∞- อนุกรมที่หาค่า S ∞ ได้ เรียกว่าอนุกรมลู่เข้า (คอนเวอร์เจนต์) และอนุกรมที่หาค่า ∞เรียกว่าอนุกรมลู่ออก (ไดเวอร์เจนต์)8. อนุกรมเลขคณิตn• S = ⎡a + (i− 1)d ⎤ = (a + a ) หรืออาจเขียนเป็น Σ เพื่อใช้สูตรคํานวณค่า∑ nn ⎣ 1i=1⎦21 n• S ∞ หาค่าไม่ได้เสมอ (ยกเว้นอนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 +…)9. อนุกรมเรขาคณิต• Sn=na(1 1 − r )1 − r• S ∞ หาค่าได้ก็เมื่อ |r| < 1 เท่านั้น และค่าที่ได้คือ S ∞ =na 11 − r∑ nii=1S ไม่ได้Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET646ฉบับเขมขน10. สมบัติของ Σ 11. สูตรซิกม่าที่ควรทราบn∑• k = n ⋅ ki=1n∑∑• ka = k ⋅ aiii= 1 i=1n n n∑(ai b i) ∑ ai ∑bii= 1 i= 1 i=1• ± = ±nnn(n+1)• ∑ i =i=1 2n + +• ∑2 n(n 1)(2n 1)i =i=1 6n2⎡ + ⎤• ∑3 n(n 1)i = ⎢ ⎥i=1 ⎣ 2 ⎦ลิมิตและความต่อเนื่อง1. การหาลิมิตของ f(x) สําหรับฟังก์ชัน y = f(x) ใดๆ คือการพิจารณาว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ค่าจํานวนจริงค่าใดค่าหนึ่ง (เช่น เข้าใกล้ a) แล้ว ค่าของ y หรือ f(x) จะเข้าใกล้ค่าใด- ค่าลิมิตที่ได้จะเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า lim yx→aหรือ lim f (x)x→a2. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตlim clim xnlim x===canalim cf(x) = c lim f(x)x→ax→ax→ax→a x→an=x→a x→an = nx→a x→alim [f (x)] [ lim f (x)]lim f (x) lim f (x)lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x)lim [f (x) ⋅ g (x)] = lim f (x) ⋅ lim g (x)lim [f (x) ÷ g (x)] = lim f (x) ÷ lim g (x)lim f (x) = lim f (x) = L เท่านั้นx→a x→a x→ax→a x→a x→ax→a x→a x→a3. ฟังก์ชันใดๆ จะมีค่า lim f (x) = Lx →ก็ต่อเมื่อa− +x→a x→a- คําว่า lim f (x) คือลิมิตซ้าย หาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย (หรือ x < a)−x→a- คําว่า lim f (x) คือลิมิตขวา หาได้จากกรณีที่ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา (หรือ x > a)+x→a4. รูปแบบไม่กําหนด คือรูปแบบที่ยังสรุปไม่ได้ว่าค่าลิมิตเป็นเท่าใดได้แก่ รูปแบบ 0 , ∞ , 0 ∞ 0 ⋅ ∞ , ∞ −∞, 0 0 , ∞ 0 และ 1 ∞ ... ซึ่งรูปแบบที่พบบ่อยในบทนี้ คือ 0 0- ถ้า lim f (x)x→aอยู่ในรูปแบบ 0 ... เทคนิคการคํานวณคือ พยายามแยกพจน์ −0 x a ในเศษและส่วนมาตัดกัน เพื่อไม่ให้เหลือตัวประกอบในเศษและส่วนเป็นเลข 0 ... อาจใช้วิธีแยกตัวประกอบ การนําสังยุคหรืออื่นๆ ที่เหมาะสมคูณทั้งเศษและส่วน หากเป็นรากที่สอง รากที่สาม5. สาเหตุที่เราสามารถกําจัด x−a ทั้งเศษและส่วนได้ ก็เพราะการหาลิมิตนั้นไม่ได้คํานึงถึงตําแหน่งที่ x = a อยู่แล้ว ... คือแม้ f(a) จะไม่นิยาม (เพราะส่วนเป็นศูนย์) แต่ limx→aก็ยังหาได้6. การพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ คือการบอกว่ากราฟของฟังก์ชันขาดตอนที่จุดนั้นหรือไม่ โดยสําหรับฟังก์ชัน f(x) ใดๆ จะต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อlim f (x) = f (a) = lim f (x) เท่านั้น (และต้องหาค่าได้ทั้งสามตัว)− +x→a x→a7. นิยามของความต่อเนื่องบนช่วง- ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) ก็ต่อเมื่อ f(x) ต่อเนื่องทุกๆ จุดในช่วง (a, b)- ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] ก็ต่อเมื่อ f(x) ต่อเนื่องบนช่วง (a, b), ต่อเนื่องทางขวาของ a [คือ f(a) = lim f(x)], และต่อเนื่องทางซ้ายของ b [คือ =+−x→anf(b) lim f(x)]x→bMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET647ฉบับเขมขนอนุพันธ์และการอินทิเกรต1. อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ)f(x+ h) − f(x)คือ หรือ Δ yhΔxและเมื่อบีบช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุด x ที่กําหนดf(x+ h) − f(x)ฉะนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุด x ใดๆ) คือ lim หรือ limh→0 hΔ →2. อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y = f(x) ที่จุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์f(x+ h) − f(x)ฉะนั้น อนุพันธ์ของ f(x) ก็คือ limh→0 hนอกจากนั้นยังเป็นค่าความชันของกราฟ y = f(x) ณ จุดนั้นๆ ด้วย- สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f(x) ได้แก่ f(x) ′ หรือ dydx- สัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงตําแหน่ง เช่น อนุพันธ์ที่จุดซึ่ง x = 3 จะใช้ ′3. สูตรในการหาอนุพันธ์d −• xn= nxn 1dxd• c = 0dxdd• cf(x) = c f(x)dxdxหรือ d f(x)dxf(3) หรือx 0ΔyΔ xหรือ ′ y ก็ได้dydxx=3••d[ f(x) ± g(x) ] =dx[ ⋅ g (x) ] =dxf(x) ′ ± g(x) ′f (x) g ′ (x) + g (x) f ′ (x)•d ⎡f(x) ⎤ g (x) f ′(x) − f (x) g ′(x)⎢ =dx g(x)⎥⎣ ⎦[ g(x) ] 2d dg df4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิท (กฎลูกโซ่) ... คือ g(f(x)) = ⋅dx df dx- เขียนแบบฟังก์ชันได้เป็น (g f) ′(x) = g ′(f (x)) ⋅ f ′(x)dg dg dh df dx- อาจจะเขียนยาวกี่ทอดก็ได้ เช่น = ⋅ ⋅ ⋅dt dh df dx dt5. หากเราหาอนุพันธ์ของ f(x) ′ ต่อไปอีก จะเรียกว่าเป็นอนุพันธ์อันดับสูงdy- การเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็น n ndxหรือ (n) f (x)แต่อันดับที่หนึ่ง สอง และสาม นิยมใช้เครื่องหมายขีด เป็น f ′(x), f ′′ (x), f ′′′ (x)- อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง คือ f(x) ′ นั้นคือ ความชัน (อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่า y)ส่วน อนุพันธ์อันดับที่สอง คือ f ′′ (x) จะกลายเป็น “อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน”6. ฟังก์ชันเพิ่มคือความชันเป็นบวก ฟังก์ชันลดคือความชันเป็นลบดังนั้น ช่วงที่ f(x) ′ > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ f(x) ′ < 0 เป็นฟังก์ชันลด- เนื่องจากตําแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่ม จะต้องมีการวกกลับของกราฟและทําให้เกิดจุดยอด สามารถหาโดย f(x) ′ = 0 ... ค่า x ณ จุดนั้นเรียกว่าค่าวิกฤต- ตําแหน่งที่ f(x) ′ = 0 นั้น อาจไม่ใช่จุดสูงสุดหรือต่ําสุดเสมอไป อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าสามารถพิจารณาให้ละเอียดได้จากอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน หรือ f ′′ (x)f(x) 0 แสดงว่าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม เกิดจุดต่ําสุดหาก ′′ >หาก ′′

คณิตศาสตร O-NET / A-NET648ฉบับเขมขน7. ฟังก์ชันหนึ่งๆ หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์ (มีได้หลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟังก์ชันมากที่สุดหรือน้อยที่สุดของกราฟแล้ว จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมบูรณ์ด้วย (สูงสุดกับต่ําสุด มีได้อย่างละ 1 จุด)8. เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดต่ําสุดของฟังก์ชัน ในการคํานวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง เช่นมีฟังก์ชันกําไร P(x) แล้วหาค่า x ที่ทําให้ได้กําไรมากที่สุด ... หลักในการสร้างสมการคือ ต้องเป็นdyการคํานวณหาค่า x ที่ทําให้เกิด y สูงสุดหรือต่ําสุด แล้วเอาสมการนั้นมาคิด = 0dx9. การอินทิเกรต คือการกระทําที่ตรงข้ามกับกระบวนการหาอนุพันธ์dนั่นคือ ถ้า F (x) = f (x) แล้ว จะได้ว่า ∫ f (x) dx =dxF (x)สัญลักษณ์ ∫ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล และเรียก f(x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต10. สิ่งที่หาอนุพันธ์ได้ตรงตามค่าที่ต้องการ จะเรียกว่าปฏิยานุพันธ์ ทั้งหมดตัวอย่างเช่น F(x) = 21 x , F(x) = 22 x + 1, F(x) = 23 x + 5, F(x) = 24 x −7dต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = 2x เนื่องจากล้วนทําให้ F (x) = f (x)dx- รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = 2x คือ x 2 + c เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆเรียกว่าอินทิกรัลไม่จํากัดเขต ของ f(x) และเขียนสัญลักษณ์เป็น ∫ f(x)dx- ปฏิยานุพันธ์มีได้หลากหลาย แต่อินทิกรัลไม่จํากัดเขตมีแบบเดียวเสมอ11. สูตรในการหาอินทิกรัลn+1n x• ∫ kdx = kx+c• ∫ x dx = + cn+1• ∫ kf(x)dx = k∫f(x)dx• ∫ [ f (x) ± g (x)]dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx12. อินทิกรัลจํากัดเขต จะมีการระบุช่วงของ x ที่เครื่องหมายอินทิกรัล ดังสัญลักษณ์ ∫ bf(x)dx∫ bbโดยมีค่าเป็น f(x)dx = F(x) = F(b) −F(a)aa- ค่าของอินทิกรัลจํากัดเขตที่คํานวณได้ ก็คือพื้นที่ระหว่างโค้ง f(x) กับแกน x ตั้งแต่ x = aจนถึง b โดยหากส่วนใดของโค้งนั้นอยู่ใต้แกนก็จะได้พื้นที่เป็นค่าลบ- หากเราต้องการหาพื้นที่ระหว่างโค้ง f(x) กับแกน x ที่แท้จริง จะต้องตรวจสอบว่ามีช่วงใดของโค้งที่อยู่ใต้แกน x ก่อน เพื่อแยกชิ้นส่วนในการคํานวณ ไม่ให้พื้นที่บริเวณใดมีค่าติดลบaความน่าจะเป็น1. กฎพื้นฐานเกี่ยวกับการนับ- จากแผนภาพต้นไม้ ทําให้เราทราบว่า ในการทํางาน k ขั้นตอน โดยที่งานแต่ละขั้นตอนมีทางเลือกทําได้ n i แบบ จะมีจํานวนวิธีเลือกทํางานจนเสร็จสิ้น เท่ากับ n1 × n 2 × ... × n k วิธี(เอาจํานวนแบบมาคูณกัน)- ถ้าการนับจําเป็นต้องแยกคิดหลายกรณี จะต้องนําผลคูณที่ได้ในแต่ละกรณีมาบวกกัน2. เครื่องหมาย ! เรียกว่าแฟคทอเรียล มีนิยามว่า n! = n ⋅ (n−1) ⋅ (n−2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1เมื่อ n เป็นจํานวนนับ ... และกําหนดให้ 0! = 1Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET649ฉบับเขมขน3. จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง จะมี n! วิธีn!แต่ถ้าเอามาเรียงเพียงแค่ r สิ่ง จะมีวิธี (n−r)! - จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้งหมด n สิ่ง ซึ่งมีสิ่งของซ้ํากัน k 1 สิ่ง, 2n!จะเรียงได้ วิธีk! ⋅ k ! ⋅ ...1 211 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1k สิ่ง, ...4. จํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง เป็นรูปวงกลม ให้คิดว่าระบุตําแหน่งเจาะจงก่อน1 สิ่ง แล้วที่เหลือจึงจัดแบบเส้นตรงปกติ นั่นคือ −(n 1)! วิธี- หากการจัดนี้สามารถมองได้สองด้าน เช่น ร้อยมาลัย จํานวนวิธีจะลดลงเหลือ5. วิธีจัดหมู่ ต่างจากเรียงสับเปลี่ยน ตรงที่จะไม่คํานึงถึงลําดับก่อนหลัง- จํานวนวิธีจัดหมู่สิ่งของต่างๆ กัน n สิ่ง โดยที่คัดออกมา r สิ่ง จะมี(n−1)!2n!วิธี(n−r)! ⋅ r !⎛นิยมเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n ⎞⎜r⎟อ่านว่า “n เลือก r”⎝ ⎠6. การแบ่งของออกเป็นกลุ่มย่อยๆ- จากการหยิบของ 5 ชิ้น ออกจากกองที่มี 12 ชิ้น ก็เหมือนการแบ่งแยกของออกเป็นสองกลุ่ม512!กลุ่มละ 5 และ 7 ชิ้น จึงได้สูตรว่า12แบ่งกลุ่มได้ วิธี 5! ⋅ 7!75ดังนั้น ขยายผลออกไปถึงการแบ่งของ 12 ชิ้น เป็นสามกอง ดังนี้ 12 412!ก็จะมีจํานวนวิธีเป็น วิธี (พิสูจน์ได้จาก ⎛12⎞ ⎛7⎞ ⎛3⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ) 35! ⋅ 4! ⋅ 3!2⎝ 5 ⎠ ⎝4⎠⎝3 ⎠- ถ้ามีกองใดที่จํานวนเท่ากัน และถือว่าการสลับที่ไม่ทําให้แตกต่างกัน 2จํานวนวิธีจะต้องลดลง โดยคิดเช่นเดียวกับการสับเปลี่ยน เช่น การแบ่ง 12 212!จะได้วิธี13(2 !) ⋅ 3 ! ⋅ 1! ⋅ 5 !5(3! ที่เพิ่มเข้ามา เนื่องจากมี 3 กองที่สลับกันเองไม่มีความหมาย จํานวนวิธีจึงต้องลดลง)7. เทคนิคการนับ- บางครั้งถ้าพบว่าจํานวนกรณีมีมาก ควรลองคิดมุมกลับ คือใช้วิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดลบด้วยวิธีที่ไม่ต้องการ แบบนี้อาจช่วยให้คํานวณง่ายขึ้น เช่น หยิบลูกบอล 4 ลูกให้ได้สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก พบว่าต้องบวกกันหลายกรณีมาก แต่ถ้าใช้วิธีลบออกจะคิดเพียงแค่ วิธีทั้งหมด ลบด้วยวิธีที่ไม่ได้สีขาวเลย- ถ้าต้องนับเหตุการณ์ที่มีคําว่า “หรือ” ห้ามนําจํานวนวิธีแต่ละส่วนมาบวกกันแล้วตอบเลยทันทีเพราะมักจะมีการนับซ้ําซ้อนเกิดขึ้น ควรใช้หลักการในเรื่องเซต คือ “เกิด A หรือ B” คิดจาก “เกิดA” บวกด้วย “เกิด B” และลบด้วย “เกิดทั้ง A และ B” แบบนี้จึงจะถูกต้อง- การนับเหตุการณ์ที่มีคําว่า “หรือ” สามารถคิดแบบลบออกได้ด้วย คือ “เกิด A หรือ B” คิดจากวิธีทั้งหมด ลบด้วยสิ่งที่ตรงกันข้ามคือ “ไม่เกิดทั้ง A และ B” แบบนี้คิดง่ายขึ้นเพราะเป็นการเปลี่ยนคําว่า “หรือ” ให้กลายเป็น “และ”8. ทฤษฎีบททวินาม0(a + b) = 11(a + b) = a + b2 2 2(a + b) = a + 2ab + b3 3 2 2 3(a + b) = a + 3a b + 3ab + b4 4 3 2 2 3 4(a + b) = a + 4a b + 6a b + 4ab + bMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)วิธี

คณิตศาสตร O-NET / A-NET650ฉบับเขมขนn- ทฤษฎีบททวินาม คือ ทฤษฎีที่กล่าวถึงการกระจายทวินาม (a + b)เมื่อ a และ b เป็นจํานวนจริง, n และ r เป็นจํานวนนับ โดย 0 < r < n⎛n⎞ ⎛n⎞− ⎛n⎞−⎛n⎞จะได้ว่า (a + b) = a b + a b + a b + ... + a bn n 0 n 1 1 n 2 2 0 n⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝0⎠ ⎝1⎠⎝2⎠⎝n⎠⎛n⎞n r rTr+1 = ⎜ ⎟ a b เรียก ⎛ n ⎞⎝r⎜ ⎟⎠⎝r⎠n 1 พจน์ คือเริ่มจาก ⎛ n⎜⎞⎟ ถึง ⎛ n ⎞⎝0 ⎜ ⎟⎠ ⎝n⎠−- พจน์ที่ r+1 เป็นพจน์ทั่วไป- จํานวนพจน์ทั้งหมดจะมี +ใดๆ ว่าสัมประสิทธิ์ทวินามกําลังของ a ค่อยๆ ลดลง ในขณะที่กําลังของ b เพิ่มขึ้น และนํากําลังมารวมกันจะได้ n เสมอ- สัมประสิทธิ์ทวินาม อาจไม่ใช่สัมประสิทธิ์ของพจน์นั้น (หากใน a หรือ b มีสัมประสิทธิ์อีก)- สูตร ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n+ + ⎞ + + ⎛ n ⎞ n... = 2 ดังเช่นเคยพบตอนที่หาจํานวนสับเซต⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝0⎠ ⎝1⎠⎝2⎠⎜ ⎟⎝n⎠9. การทดลองสุ่ม คือการกระทําที่เราไม่สามารถบอกได้ว่าแต่ละครั้งจะเกิดผลลัพธ์อะไร แต่สามารถบอกได้ว่ามีผลลัพธ์อะไรบ้างที่เป็นไปได้ ... เซตของ “ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด” เรียกว่า ปริภูมิตัวอย่าง (S) และเซตของ “ผลลัพธ์ใดๆ ที่เราสนใจ” เรียกว่า เหตุการณ์ (E)10. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หาได้เฉพาะเหตุการณ์ที่เป็นการทดลองสุ่มเท่านั้น- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใช้สัญลักษณ์ P(A) ... คํานวณจาก P(A) = n(A)n(S)เมื่อ n(A) คือจํานวนผลลัพธ์ใน A และ n(S) คือจํานวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้11. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 เท่านั้น 0 < P(A) < 1- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีผลลัพธ์เลย มีค่าเป็น 0 P( ∅ ) = 0- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์ได้ทุกแบบ มีค่าเป็น 1 P(S) = 112. ความหมายของ A ∩ B คือเหตุการณ์ “A และ B” (เกิดขึ้นทั้งสองอย่าง)A ∪ B คือเหตุการณ์ “A หรือ B” (เกิดขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง)จะใช้แผนภาพเซต (เวนน์-ออยเลอร์) ช่วยคํานวณ ดังนี้- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ รวมกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหลือ(ที่เราไม่สนใจ) จะได้ 1 เสมอ P(A) = 1 − P(A')- ความน่าจะเป็นของสองเหตุการณ์ หาได้จาก P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)สถิติ1. สถิติศาสตร์ คือวิชาที่เกี่ยวกับการเก็บรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูล- การเก็บรวบรวมต้องเลือกวิธีให้เหมาะสม เช่น ลงทะเบียน, สัมภาษณ์, วัดค่า, ทดลอง- การวิเคราะห์มี 2 ระดับ ได้แก่ วิเคราะห์ขั้นต้น เรียกว่า สถิติเชิงพรรณนา (เช่น การหาค่ากลางค่าการกระจาย การจัดกลุ่มข้อมูลเป็นตาราง เป็นแผนภาพ กราฟ ฯลฯ) และวิเคราะห์ขั้นสูง เรียกว่าสถิติเชิงอนุมาน (เช่น การทํานายหรือประมาณค่า การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ฯลฯ)2. ลักษณะข้อมูล มีข้อมูลเชิงคุณภาพ กับข้อมูลเชิงปริมาณ- ข้อมูลเชิงคุณภาพ เป็นค่าที่ไม่ได้บ่งบอกถึงความมากน้อย เปรียบเทียบกันไม่ได้ เช่น เลขที่ เพศ- ข้อมูลเชิงปริมาณ เป็นค่าที่บ่งบอกความมากน้อย เปรียบเทียบได้ เช่น อายุ ส่วนสูง คะแนนMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET651ฉบับเขมขน3. ประเภทข้อมูลแบ่งตามแหล่งที่มา- ข้อมูลปฐมภูมิ ได้จากการรวบรวมเอง ซึ่งจะทําได้ 2 ระดับ คือระดับตัวอย่าง (เรียกว่าการสํารวจตัวอย่าง) และระดับประชากร (เรียกว่าการสํามะโน)- ข้อมูลทุติยภูมิ มีผู้รวบรวมไว้แล้ว เช่นข้อมูลในเอกสารราชการ รายงาน นิตยสารต่างๆ4. การแจกแจงความถี่ของข้อมูล คือการจัดข้อมูลที่มีอยู่ ให้เป็นกลุ่มๆ เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ และจัดเก็บ โดยดําเนินการดังนี้- แบ่งค่าข้อมูลที่เป็นไปได้ออกเป็นช่วงๆ ตามที่ต้องการ เรียกแต่ละช่วงว่าอันตรภาคชั้น- พิจารณาว่าข้อมูลที่มีนั้นมีค่าอยู่ในแต่ละช่วงเป็นปริมาณเท่าใด เรียกปริมาณข้อมูลแต่ละช่วงว่าความถี่5. นิยมเขียนอันตรภาคชั้นและความถี่ของแต่ละชั้นในรูปตาราง โดยกําหนดความกว้างแต่ละชั้นเท่าๆกัน (แต่อันตรภาคชั้นบนสุดหรือล่างสุดอาจเป็น อันตรภาคชั้นเปิดก็ได้ เช่น “มากกว่า 80”)- ค่าขอบล่าง และขอบบน คือค่ากึ่งกลางระหว่างรอยต่ออันตรภาคชั้น- ความกว้างอันตรภาคชั้น หาได้จาก ผลต่างของขอบบนและขอบล่างของชั้นนั้น6. ความถี่สะสม คือ “ผลรวมความถี่ชั้นนั้น กับความถี่ชั้นที่มีค่าข้อมูลต่ํากว่าทั้งหมด”- ความถี่สัมพัทธ์ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ คืออัตราส่วนความถี่หรือความถี่สะสม เทียบกับความถี่รวม (N) ดังนั้นความถี่สัมพัทธ์รวมต้องได้ 1 เสมอ และความถี่สะสมสัมพัทธ์ของชั้นสูงสุดก็ต้องเป็น1 เช่นกัน- บางครั้งใช้เป็นหน่วยร้อยละ โดยแต่ละชั้นคูณด้วย 100 เพื่อปรับผลรวมความถี่จาก 1 เป็น 1007. ฮิสโทแกรม คือแผนภูมิแท่งสี่เหลี่ยมวางเรียงติดกัน โดยให้แกนนอนแทนค่าข้อมูล x (เขียนกํากับด้วยขอบบนขอบล่างของชั้น หรือด้วยจุดกึ่งกลางชั้นก็ได้) และแกนตั้งแทนค่าความถี่ f ความสูงของแท่งสี่เหลี่ยมจะแปรตามความถี่ของชั้นนั้นๆ- รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ คือรูปที่เกิดจากการลากเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางยอดแท่งสี่เหลี่ยมของฮิสโทแกรมแต่ละแท่ง (โดยลากเส้นตรงไปบรรจบ 0 ที่กึ่งกลางชั้นก่อนหน้าและหลังสุดของที่มีอยู่เพื่อให้กลายเป็นรูปปิดซึ่งมีพื้นที่เท่าฮิสโทแกรมเดิม)- เส้นโค้งของความถี่ คือรูปที่เกิดจากการปรับเส้นตรงในรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ ให้เป็นเส้นโค้ง(โดยพยายามให้มีพื้นที่ใกล้เคียงเดิมที่สุด) ลักษณะทั่วไปของเส้นโค้งมี 3 แบบ (อ่านรายละเอียดในตอนถัดไป)8. แผนภาพต้น-ใบ ใช้จัดข้อมูลให้เป็นกลุ่มเพื่อเห็นลักษณะคร่าวๆ ได้ผลดีกว่าตารางและฮิสโทแกรมเพราะข้อมูลดิบแต่ละค่าไม่สูญหายไป ... วิธีเขียนคือตัดหลักข้อมูลออกเป็นสองกลุ่ม แล้วนํากลุ่มหน้ามาเรียงไว้เป็นลําต้นในแนวตั้ง จากนั้นจึงนําหลักที่เหลือเขียนต่อท้ายในบรรทัดเดียวกัน (เป็นใบ)- สิ่งที่วิเคราะห์ได้จากแผนภาพต้น-ใบ เช่น ช่วงใดมีความถี่มากที่สุด, ข้อมูลที่ต่ําที่สุด สูงที่สุด และตรงกลางเป็นเท่าใด, และใช้เปรียบเทียบระหว่างข้อมูล 2 ชุดได้ด้วย9. ค่ากลางของข้อมูล เป็นตัวเลขที่ใช้แทนข้อมูล x 1 , x 2 , x 3 , ..., x N ทั้งหมด ช่วยให้วิเคราะห์ข้อมูลได้คร่าวๆ ซึ่งค่ากลางที่นิยมใช้ มี 3 ชนิด ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม(ค่ากลางที่ได้จะมีหน่วยเดียวกับข้อมูล และมีค่าอยู่ระหว่างข้อมูลตัวที่น้อยที่สุดกับมากที่สุดเสมอ)ยังไม่แจกแจงแจกแจงแล้วลักษณะข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม- ข้อมูลเชิงคุณภาพ ---- ---- ใช้ได้ดีมาก!- เกาะกลุ่มกันปกติ ใช้ได้ดีมาก! พอไหว พอไหว- บางค่าต่างไปจนผิดปกติ ---- ใช้ได้ดีมาก! พอไหว- ทุกชั้นกว้างเท่ากัน ใช้ได้ดีมาก! พอไหว พอไหว- มีอันตรภาคชั้นเปิด ---- ใช้ได้ดีมาก! พอไหว- บางชั้นกว้างไม่เท่ากัน ---- ใช้ได้ดีมาก! ----Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET652ฉบับเขมขน10. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ( X )- เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับค่าของข้อมูลโดยตรง จึงเหมาะกับชุดข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกันทุกค่า ไม่มีค่าใดสูงหรือต่ําผิดปกติไปจากค่าอื่นๆ (มิฉะนั้นค่าที่ได้จะไม่มีคุณภาพ)∑ x∑ wx- ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ X = ... คิดแบบถ่วงน้ําหนัก X- ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว (ใช้ความถี่เป็นน้ําหนัก)N∑ fxX = =∑ f- สูตรลดทอน ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว X = a + ID เมื่อ= ∑ w∑ fxND =∑ fdN(a คือกึ่งกลางของชั้นใดก็ได้ที่เลือก, I คือความกว้างชั้น (เท่ากันทุกชั้น),d i เป็นจํานวนเต็ม โดยให้ชั้นที่มีค่า a นั้นเป็น d= 0 และชั้นที่มีข้อมูลน้อยลง d = −1, − 2, ... ส่วนชั้นที่ข้อมูลสูงขึ้น d= 1,2,... ไม่ว่าจะเลือกชั้นใดก็คํานวณได้คําตอบเท่ากัน)∑ รวม- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลหลายชุด Xรวม( x) ∑NX= =N ∑ N(อาจมองว่า เป็นการนําค่าเฉลี่ยของแต่ละชุดมาถ่วงน้ําหนักด้วยจํานวนข้อมูล)11. มัธยฐาน (Med)- คือค่าที่มีตําแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด (เมื่อเรียงลําดับมากน้อยของข้อมูลแล้ว)- เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับลําดับข้อมูล (บอกว่ามีข้อมูลที่มีค่ามากกว่านี้และน้อยกว่านี้ อยู่เป็นปริมาณเท่ากัน) จึงยังคงใช้ได้ดีกับข้อมูลชุดที่มีบางค่าสูงหรือต่ํากว่าค่าอื่นอย่างผิดปกติ- ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ Med คือข้อมูลในตําแหน่งที่ (N+1)/2 (ตําแหน่งกึ่งกลาง)(ข้อควรระวังคือ (N+1)/2 นั้นเป็นเพียงตําแหน่งของ Med ..ยังไม่ใช่ค่าของ Med)⎛L- ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว Med L IรวมN/2 −∑f⎞= + ⎜ ⎟⎝ fMed⎠(ใช้ N/2 เลยโดยไม่ต้องบวกหนึ่ง ... L คือขอบล่างชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ (ตัวที่ N/2) ซึ่งชั้นนั้นมีความกว้าง I และมีความถี่เป็น f Med ... ส่วน ∑ fLคือความถี่สะสมจนถึงขอบล่าง)12. ฐานนิยม (Mo)- คือค่าข้อมูลตัวที่ปรากฏบ่อยครั้งที่สุด (มีความถี่สูงที่สุด) โดยทั่วไปจะมีได้ไม่เกิน 2 ค่า- เป็นค่ากลางที่ให้ความสําคัญกับความถี่ของข้อมูล เหมาะกับข้อมูลเชิงคุณภาพ เช่น การเลือกตั้งdMo = L + I ⎜+ ⎟⎝ d 1 d 2 ⎠⎛ 1 ⎞- ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว(L คือขอบล่างชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ (ชั้นที่ความถี่สูงสุด) ซึ่งทุกๆ ชั้นมีความกว้าง Id 1 คือผลต่างความถี่ที่ขอบล่าง, d 2 คือผลต่างความถี่ที่ขอบบน)13. สามารถหาค่ามัธยฐานได้จากเส้นโค้งของความถี่สะสม และหาฐานนิยมได้จากฮิสโทแกรมcf (ความถี่สะสม) การหาค่ามัธยฐานจาก f (ความถี่)การหาค่าฐานนิยมจากฮิสโทแกรมเส้นโค้งของความถี่สะสมNN/2O MedxO Mox214. สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต ∑(x − K) จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ K =Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)X

คณิตศาสตร O-NET / A-NET653ฉบับเขมขน15. สมบัติของมัธยฐาน ∑|x − K ] จะน้อยที่สุด ก็เมื่อ K = Med16. สมบัติของค่ากลางทั้ง 3 ชนิดถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ Yi= mXi+ cจะได้ว่า (ค่ากลางของ Y ) = m ⋅ (ค่ากลางของ X ) + c ด้วย เช่น Y = mX + c17. การวัดตําแหน่งของข้อมูล- มัธยฐาน เป็นค่าข้อมูลในตําแหน่งกึ่งกลางเมื่อถูกเรียงลําดับแล้ว บอกให้ทราบว่ามีข้อมูลที่ค่าสูงกว่านี้ และค่าต่ํากว่านี้ อยู่เป็นปริมาณเท่าๆ กัน (แบ่งข้อมูลเป็น 2 ส่วน)- ถ้าเราแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน จุดแบ่งทั้งสามจุดนั้นจะเรียกว่าควอร์ไทล์ที่ ( Q 1 ),ควอร์ไทล์ที่ 2 ( Q 2 ), และควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q 3 ) ตามลําดับ ความหมายของควอร์ไทล์ที่ 1 คือมีข้อมูลที่ต่ํากว่าค่านี้อยู่เป็นปริมาณ 1/4 และมากกว่าค่านี้อยู่อีก 3/4 โดยประมาณ- เดไซล์ (D) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น 10 ส่วน และ เปอร์เซ็นไทล์ (P) แทนการแบ่งข้อมูลเป็น100 ส่วน ... การคํานวณหาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ เป็นแบบเดียวกับการคํานวณหามัธยฐาน นั่นคือ- ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่Q คือข้อมูลในตําแหน่งที่ +rrr (N 1)4r(N 1)100P คือข้อมูลในตําแหน่งที่ +- ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว⎛ r N −∑ f⎞LQr= L + I⎜4 ⎟⎜ ⎟⎝ fQr⎠⎛ rN −∑f⎞LPr= L + I⎜100 ⎟⎜ ⎟⎝ fPr⎠D คือข้อมูลในตําแหน่งที่ +r⎛ r N −∑ f⎞LDr= L + I⎜10 ⎟⎜ ⎟⎝ fDr⎠(ใช้ r r rN, N, N4 10 100cf (ความถี่สะสม)r (N 1)10ได้เลยโดยไม่ต้องบวกหนึ่ง)- สามารถหาค่าได้จากเส้นโค้งของความถี่สะสม Nด้วยเช่นกัน ภาพด้านขวาเป็นตัวอย่างการหาค่า 3N/4ควอร์ไทล์ที่ 1, 2, และ 3 จากกราฟ2N/4N/4O x (ข้อมูล)18. ค่าการกระจายของข้อมูลQ 1 Q 2 Q 3- ค่ากลางของข้อมูลนั้นไม่สามารถบอกลักษณะข้อมูลได้อย่างสมบูรณ์ ควรใช้ค่าการกระจายควบคู่กันด้วย ... ค่าการกระจายมาก แสดงว่าข้อมูลแตกต่างกัน ไม่เกาะกลุ่มกัน- การวัดการกระจายแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ การกระจายสัมบูรณ์ ซึ่งใช้สําหรับข้อมูลชุดนั้นเพียงชุดเดียว และการกระจายสัมพัทธ์ ซึ่งใช้เปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลสองชุด- ค่าการกระจายจะต้องเป็นบวกหรือศูนย์เสมอ (เป็นศูนย์เมื่อข้อมูลทุกค่าเหมือนกันหมด)- การกระจายสัมบูรณ์ที่นิยมใช้ มี 4 แบบ คือ พิสัย, QD, MD, และ SD19. พิสัย- เป็นค่าที่วัดได้รวดเร็ว แต่จะมีข้อผิดพลาดมากหากข้อมูลบางจํานวนมีค่าสูงเกินไป หรือต่ําเกินไปแบบผิดปกติ จึงเหมาะกับการวัดโดยคร่าวๆ ที่ไม่ต้องการความแม่นยํามากนัก- ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ ... พิสัย = Xmax− X min- ข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ... พิสัย = U − LmaxminMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET654ฉบับเขมขน20. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (QD) ... บางครั้งเรียกว่า กึ่งช่วงควอร์ไทล์- การวัดที่ได้จะไม่ละเอียดนัก เพราะใช้เพียงข้อมูลที่ใกล้เคียงกับควอร์ไทล์ที่ 1 และ 3 เท่านั้น แต่ก็มีส่วนดีเนื่องจากใช้ได้กับการแจกแจงความถี่ที่มี่อันตรภาคชั้นเปิด และใช้ได้กับข้อมูลชุดที่มีบางจํานวนค่าสูงหรือต่ําเกินไปแบบผิดปกติQ3 − Q1- ข้อมูลใดๆ ... QD =221. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (MD)- เป็นค่าที่วัดได้ละเอียดกว่าสองแบบแรกเพราะคํานวณจากข้อมูลทุกตัว แต่มีข้อเสียที่การคํานวณยุ่งยากกว่า∑ |x − X|- ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ ... MD =22. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( SD หรือ s )- เป็นค่าที่นิยมใช้มากที่สุด เนื่องจากมีความละเอียด เชื่อถือได้ สามารถคํานวณได้ง่ายกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (โดยใช้สูตรที่จัดรูปแล้ว) และนําไปใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลขั้นสูงได้- ข้อมูลที่ยังไม่แจกแจงความถี่ ...sN2∑(x − X)= ... จัดรูปได้ว่าN2∑ x 2s = − XN- ค่า s 2 เรียกว่าความแปรปรวน23. สมบัติของค่าการกระจายสัมบูรณ์- ถ้าข้อมูลชุด Y ทุกๆ ตัว สัมพันธ์กับข้อมูลชุด X แต่ละตัว ตามสมการ = +Y mX cจะได้ว่าค่าการกระจายของข้อมูลชุด Y เป็น m เท่าของชุด X(ค่ากลาง ถูกกระทบทั้งการบวกและคูณ แต่ ค่าการกระจาย ถูกกระทบเฉพาะการคูณ)24. สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน- ค่าของM2∑(x −K)= นั้น จะน้อยที่สุดก็เมื่อ M = SD (เพราะ K = X)N25. การกระจายสัมพัทธ์ มี 4 แบบ คํานวณได้จากการกระจายสัมบูรณ์ โดยใช้คําว่า “สัมประสิทธิ์ของ...” นําหน้า ได้แก่Xmax− Xmin- สัมประสิทธิ์ของพิสัย =Xmax+ Xmin- สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์=QQ− Q+ Q3 13 1- สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = MDX- สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = s ... นิยมเรียกว่า สัมประสิทธิ์การแปรผันX26. ค่ากลาง และค่าการกระจายสัมบูรณ์ มีหน่วยอย่างเดียวกับข้อมูล- ความแปรปรวน มีหน่วยเหมือนข้อมูลยกกําลังสอง- ค่าการกระจายสัมพัทธ์ ไม่มีหน่วย27. แผนภาพกล่อง ช่วยให้มองการกระจายของข้อมูลในแต่ละส่วนย่อยๆ ได้ ... เขียนโดยอาศัยข้อมูลต่ําสุด, ข้อมูลสูงสุด, และข้อมูลในตําแหน่งควอร์ไทล์ที่ 1, 2, 3 ประกอบกันบนเส้นจํานวน ทําให้วิเคราะห์ได้ว่าข้อมูลในช่วงใด (ในบรรดา 4 ช่วง) ที่มีการกระจายมากกว่ากันสมมติ x min = 40, Q1= 43.5, Q2= 46, Q3= 50.5, และ x max = 52 จะได้แผนภาพดังรูปเรียกช่วง (Q 1 , Q 2) และ (Q 2 , Q 3) ว่า กล่องเรียกช่วง (x min, Q 1) และ (Q 3 , x max) ว่า หนวด40 42 44 46 48 50 52Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)ii

คณิตศาสตร O-NET / A-NET655ฉบับเขมขน28. ค่ามาตรฐาน (z) เป็นค่าที่ใช้เทียบข้อมูลที่ดึงมาจากต่างชุดกัน โดยปรับค่าเฉลี่ยเลขคณิต และxiXส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานให้เท่ากัน ... z = (ไม่มีหน่วย)i- ค่า z ของข้อมูลที่ค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะเครื่องหมายบวก,น้อยกว่าค่าเฉลี่ยจะเป็นลบ, ตรงกับค่าเฉลี่ยพอดี จะเป็น 0- อาจเขียนข้อมูลที่ตําแหน่ง z = c ในรูปแบบ x = X + cs ก็ได้เช่น x − 2s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = −2, หรือ X + 0.5s หมายถึงข้อมูลที่มีค่า z = 0.529. สมบัติของค่ามาตรฐาน−s- ผลรวมของข้อมูลชุด z ใดๆ เป็น 0 เสมอ ∑ zi= 0 ... จึงได้ว่า z = 0 เสมอด้วย- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน sz= 1 เสมอ- The 95% Rule : “โดยทั่วไปข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z = −2 ถึง z = 2 จะมีปริมาณร้อยละ 95 ของจํานวนข้อมูลทั้งหมด” ... หมายความว่าข้อมูลเกือบทุกค่าจะอยู่ในช่วง (x − 2s,x+2s) และเราอาจประมาณ Range ≈ 4 s ก็ได้ (ใช้ประมาณค่า s จากพิสัย)30. ลักษณะของเส้นโค้งของความถี่มี 3 แบบ (หรือกล่าวว่าลักษณะการแจกแจงมี 3 แบบ) คือ โค้งปกติ (โค้งรูประฆัง), โค้งเบ้ลาดทางซ้าย (หรือทางลบ), และโค้งเบ้ลาดทางขวา (หรือทางบวก) …ซึ่งโค้งแต่ละแบบ บอกความสัมพันธ์ระหว่าง X, Med, Mo ดังภาพfโค้งปกติfโค้งเบ้ซ้ายfโค้งเบ้ขวาOxx = Med = Mo Oxx < Med < Mo O Mo < Med < xx31. เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งจะเท่ากับความถี่รวมพอดี (เป็นสิ่งที่ได้จากการสร้างฮิสโทแกรม) เราจึงสามารถคํานวณเกี่ยวกับการวัดตําแหน่งของข้อมูล (มัธยฐาน, ควอร์ไทล์, เดไซล์, เปอร์เซ็นไทล์) ได้โดยจะศึกษาเฉพาะโค้งปกติ ซึ่งมีตารางในการหาค่าพื้นที่ใต้โค้ง32. สิ่งสําคัญคือในตาราง พื้นที่ใต้โค้งรวมกันทั้งหมด (ความถี่รวม) จะถูกปรับให้เป็น 1.00 พอดีเพื่อให้การคํานวณง่ายขึ้น ... ค่าที่ระบุในตาราง แสดงพื้นที่ใต้โค้งที่วัดระหว่าง z=0 ไปถึง z ใดๆ โดยมองเพียงค่า z เป็นบวกเท่านั้น (ซีกขวาของโค้ง) เราสามารถหาพื้นที่ซีกซ้ายได้โดยอาศัยความสมมาตรของรูปกราฟ- ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 65 มีค่าเท่าใด จากการเปิดตารางที่พื้นที่ 0.15 ซึ่งในตารางระบุว่าz=0.385 (จากนั้นนําไปคํานวณกลับเป็นค่าข้อมูล x ได้)ในทํานองเดียวกัน เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 หาได้จากการเปิดตารางที่พื้นที่ 0.3 ได้ค่า z=0.841 แต่เนื่องจากเป็นพื้นที่ทางซีกซ้ายค่า z ที่แท้จริงจึงเป็น -0.841ใช้สูตร เปิดตาราง เทียบสัดส่วนx ←⎯⎯⎯→ z ←⎯⎯⎯→ A ←⎯⎯⎯→ P,D,Q33. หากเรามีคู่อันดับ (x, y) จํานวนหนึ่ง หลังจากสร้างแผนภาพการกระจายเพื่อดูลักษณะกราฟแล้วเราจะหาความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ได้เป็นสมการในรูป y = f(x) เพื่อใช้ทํานายค่า y ณ จุด xที่กําหนด- นิยมใช้ Y แทนค่าจริง และ Y แทนค่าที่ได้จากการประมาณด้วยฟังก์ชันMath E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)A = 0.3 A = 0.15P 20 P 65-0.841 0.385xz

คณิตศาสตร O-NET / A-NET656ฉบับเขมขน34. รูปแบบที่พบบ่อย คือฟังก์ชันเส้นตรง ... รูปทั่วไป Y = mX + c- หาค่าคงที่ m กับ c โดยสมการΣy = mΣ x + cN__________(1)2Σxy = mΣx + cΣ x ________(2)- การหาค่าพารามิเตอร์ด้วยสมการเหล่านี้ เรียกว่าระเบียบวิธีกําลังสองน้อยที่สุด ... เป็นวิธีที่ทําให้ค่า y ที่ได้ มีความคลาดเคลื่อนกําลังสอง 2Σ (yi− Y) น้อยที่สุด- ถ้าลองนําสมการที่ (1) มาหารด้วย N จะพบว่าตรงตามสมบัติเดิม ... Y = mX + c35. ถ้าโจทย์บอก ΔX และถาม ΔY ให้คิดจาก Δ Y = m ⋅ ΔX ... (ไม่ขึ้นกับค่า c)เพราะในกราฟเส้นตรง อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y และ x จะดูที่ความชัน m เท่านั้น36. ข้อควรระวังคือ สมการ y = f(x) ที่หาได้ไม่สามารถคํานวณค่า x เมื่อทราบ y ได้ ... ถ้าต้องการประมาณค่า x จะต้องเปลี่ยนฟังก์ชันทั้งหมดเป็น x = f(y) (คือให้ y เป็นตัวแปรต้น)37. หากข้อมูล X มีช่วงห่างเท่าๆ กัน เช่น ปี พ.ศ. แล้ว เราจะเรียกข้อมูล Y ว่าเป็นข้อมูลในรูปอนุกรมเวลา ซึ่งจะสามารถแทนค่า X ด้วยตัวเลขค่าน้อยๆ ได้เพื่อให้สะดวกในการคํานวณ- วิธีที่นิยมที่สุดคือ ให้ข้อมูลตรงกลางเป็นเลข 0 แล้วนับขึ้นลงเป็น ± 1, ± 2 ... วิธีนี้จะทําให้Σ x = 0 จึงแก้ระบบสมการหา m, c ได้ง่าย- หากจํานวนข้อมูลเป็นจํานวนคู่ (ไม่มีจุดตรงกลาง) จะให้ปีระหว่างกลางนั้นเป็น ±1 และคู่ถัดไปเป็น ± 3, ± 5 ไปเรื่อยๆ (รักษาระยะห่างให้เท่ากัน) แบบนี้จะช่วยให้ Σ x = 0 เช่นเดิมÃÒÂ¹ÒÁ¼ÙÁÕou»¡ÒÃ¤u³ :]เหลียง ต้น | ปอน อั้ม บัว ปอง มดใหญ่ และน้องๆ 44 | จ๋า อิ๋ง | ออม แนน พลอยโอ๊ต มด หนึ่ง กิ๊ฟ | ตาล ปอบ รดี นิ้ง จอย ทราม เบนซ์ จิ๊ก | สุจิน จิง วิว พิม เมย์เบสท์ เข่ง มิมิ แพร นุ้ย เจน | เบสท์ อิม | ถาวร | แบงค์ | แอน เนย์ เภา ตูน หยุ่นตั้ม ท้อป เต็ก อุ้ย | เต๊าะ ยุ้ย | ภา มุก | คี้ บี๋ | แชมป์ | นาจา บาบูน บอย | ไอซ์โน้ต พีม กร โอลีฟ ดล | พราว เต้ ต้า | เคน นัท บี | น้ํามนต์ กระต่าย อ้อ เก๋ แพรวนิว | น้ํา | อากิ ลิน ไพลิน แพนเค้ก | เมฆ | โอ๊ต | แนน ทิพ ปอนด์ เบลล์ จอย แอมปอ เจี๊ยบ เหมี่ยว วัน แอม พลอย พี ปู ซี นก นุ่น ผึ้ง เจน ป๊อ แก้ว | ก้อง เพ้นท์ เป๊ะดิ๊บ | ไกด์ ปลา แน๊ต | บุ้งกี๋ พีจัง โอโอ้ พังก์ หญิง พี่ปิ เดียร์ | จูเนียร์Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET657ดรรชนี´ÃÃª¹Õกฎการแบ่งกลุ่ม 337กฎของคราเมอร์ 216กฎของโคไซน์ 172|229กฎของไซน์ 172กฎของโลปีตาล 306กฎมือขวา 238กฎลูกโซ่ 310ก็ต่อเมื่อ 60กรณฑ์ 188กราฟของความสัมพันธ์ 124กราฟของตรีโกณมิติ 165กราฟเชื่อมโยง 272กราฟถ่วงน้ําหนัก 274กราฟออยเลอร์ 272การกระจายสัมบูรณ์ 378การกระจายสัมพัทธ์ 381การแจกแจงความถี่ 384การแจกแจงปกติ 384การดําเนินการตามแถว 215|216การทดลองสุ่ม 345การให้เหตุผล 69การอ้างเหตุผล 65กําลังสองน้อยที่สุด 389กําลังสองสมบูรณ์ 95|98กําหนดการเชิงเส้น 147กึ่งกลางชั้น 361กึ่งกลางพิสัย 370กึ่งพิสัยควอร์ไทล์ 378แกนจริง/แกนจินตภาพ 252แกนตามขวาง 102แกนเอก/แกนโท 100แกนสังยุค 102ขนาน 86|233ขอบเขตบนน้อยสุด 42ขอบบน/ขอบล่าง 361ข้อมูลเชิงคุณภาพ/เชิงปริมาณ 359ข้อมูลปฐมภูมิ/ทุติยภูมิ 360ขั้นตอนวิธีการหาร 48ขั้นตอนวิธีของยุคลิด 49ข่าวสาร (สารสนเทศ) 359ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย) 49ครอสโปรดัคท์ (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) 240ควอดรันต์ (จตุภาค) 83ควอร์ไทล์ 374ความชัน 86|308ความต่อเนื่อง 300ความถี่ 360ความถี่สะสม/ความถี่สะสมสัมพัทธ์ 361ความถี่สัมพัทธ์ 361ความน่าจะเป็น 346ความแปรปรวน 381ความเยื้องศูนย์กลาง 103ความสัมพันธ์ 120ความสัมพันธ์จาก A ไป B 120|358ความสัมพันธ์ภายใน A 120|358คอนเวอร์เจนต์ 282|285คอมพลีเมนต์ 16ค่ากลาง 363ค่าการกระจาย 378ค่าความจริง 59ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต 370ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 363ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก 370คาบ 165ค่ามาตรฐาน 383ค่าวิกฤต 312ค่าสัมบูรณ์ 44|125|254คู่อันดับ 83|119แคแรกเทอริสติก 193แคลคูลัส 295|307โค้งความถี่ 361โค้งความถี่สะสม 361|368โค้งเบ้ 384โค้งปกติ/โค้งรูประฆัง 384โคไซน์แสดงทิศทาง 239โค-ฟังก์ชัน 158โคแฟกเตอร์ (ตัวประกอบร่วมเกี่ยว) 209จตุภาค (ควอดรันต์) 83Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET658ดรรชนีจริง/เท็จ 59จํานวนจริง 32จํานวนจินตภาพ 32|251จํานวนเฉพาะ 48จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ 49จํานวนเชิงซ้อน 32|251จํานวนตรรกยะ 31จํานวนเต็ม 31จํานวนนับ/จํานวนธรรมชาติ 31จํานวนประกอบ 48จํานวนอตรรกยะ 31จุดกําเนิด 83จุดเปลี่ยนความเว้า 312จุดยอด 97|270จุดยอดคี่/จุดยอดคู่ 270จุดยอดประชิด 270จุดศูนย์กลาง 94|99|102จุดสุดขีด 312จุดสูงสุด/จุดต่ําสุด 312ช่วง 40ช่วงครึ่งเปิด 40ช่วงเปิด/ช่วงปิด 40ซิกม่า 274ซิงกูลาร์เมตริกซ์ (เมตริกซ์เอกฐาน) 210เซต 11เซตจํากัด/เซตอนันต์ 12เซตว่าง 12แซมเปิลสเปซ (ปริภูมิตัวอย่าง) 345ฐานนิยม 365ดอทโปรดัคท์ (ผลคูณเชิงสเกลาร์) 235ดีกรี 37|270ดีเทอร์มินันต์ (ตัวกําหนด) 208เดไซล์ 374โดเมน 121|146ไดเรกตริกซ์ 96ไดเวอร์เจนต์ 282|285ต้นไม้แผ่ทั่ว 274ตรรกศาสตร์ 59ตรวจคําตอบ 204ตรีโกณมิติ 157ตั้งฉาก 86|233ตัวกําหนด (ดีเทอร์มินันต์) 208ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) 49ตัวเชื่อมประพจน์ 60ตัวบ่งปริมาณ 67ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (โคแฟกเตอร์) 209ตัวผกผัน (อินเวอร์ส) 32|122ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) 49ตัวอย่าง/ประชากร 360ตารางค่าความจริง 60ตารางแจกแจงความถี่ 360ต่ําสุดสัมพัทธ์/สัมบูรณ์ 313ตําแหน่งสัมพัทธ์ 374ถ่วงน้ําหนัก 364ถ้า-แล้ว 60แถว 205ทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนาน 240ทรานสโพส 206ทฤษฎีกราฟ 269ทฤษฎีจํานวน 48ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ 257ทฤษฎีบทตัวประกอบ 36ทฤษฎีบททวินาม 341ทฤษฎีบทปีทาโกรัส 84ทฤษฎีบทเศษเหลือ 36นิรนัย 71นิเสธ 60|228แนวเดิน 272ปฏิยานุพันธ์ 317ประชากร/ตัวอย่าง 360ประพจน์ 59ประโยคเปิด 67ปริพันธ์ (อินทิกรัล) 317ปริภูมิตัวอย่าง (แซมเปิลสเปซ) 345ปริภูมิสามมิติ 237ปริมาณเวกเตอร์ 227ปริมาณสเกลาร์ 227เปลี่ยนตัวแปร 332เปอร์เซ็นไทล์ 374ผลคูณคาร์ทีเซียน 119ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (ครอสโปรดัคท์) 240ผลคูณเชิงสเกลาร์ (ดอทโปรดัคท์) 235ผลต่างเซต 16ผลต่างร่วม 280ผลบวกย่อย 284ผลรวมเชิงเส้น 48|234ผลลัพธ์ 345แผนภาพกล่อง 376แผนภาพการกระจายตัว 388แผนภาพต้นไม้ 333Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

คณิตศาสตร O-NET / A-NET659ดรรชนีแผนภาพลําต้น-ใบ 362แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ 15|346พจน์/พจน์ทั่วไป 279พหุนามตัวแปรเดียว 36|259พาราโบลา 96|125|388พิกัดฉาก 83|233พิกัดเชิงขั้ว 233|256พิสัย (เรนจ์) 121|146|378พื้นที่ใต้โค้ง 319|385เพาเวอร์เซต 13โพรเจคชัน (ภาพฉาย) 89ฟังก์ชัน 127ฟังก์ชันคอมโพสิท (ประกอบ) 131|146|310ฟังก์ชันโคซีแคนต์ 157ฟังก์ชันโคไซน์ 157ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ 157ฟังก์ชันจาก A ไป B 128|358ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B 128|358ฟังก์ชันจุดประสงค์ 148ฟังก์ชันซีแคนต์ 157ฟังก์ชันไซน์ 157ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 157ฟังก์ชันแทนเจนต์ 157ฟังก์ชันประกอบ (คอมโพสิท) 131|146|310ฟังก์ชันผกผัน (อินเวอร์ส) 133|146ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 169ฟังก์ชันเพิ่ม/ฟังก์ชันลด 129|312ฟังก์ชันลอการิทึม 192ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง 128|358ฟังก์ชันอาร์ค- 169ฟังก์ชันอินเวอร์ส (ผกผัน) 133|146ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล 189|389เฟสเซอร์ 268แฟคทอเรียล 335โฟกัส 96ภาคตัดกรวย 92ภาพฉาย (โพรเจคชัน) 89มัธยฐาน 84|365มิติ 205มุมก้ม/มุมเงย 173มุมกําหนดทิศทาง 239เมตริกซ์ 205เมตริกซ์จัตุรัส 206เมตริกซ์แต่งเติม 215เมตริกซ์ผกผัน (อินเวอร์ส) 211Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)เมตริกซ์ผูกพัน (แอดจอยท์) 212เมตริกซ์สามเหลี่ยม 210เมตริกซ์เอกฐาน (ซิงกูลาร์เมตริกซ์) 210แมนทิสซา 193ไม่เกิดร่วมกัน 346ไม่ขึ้นต่อกัน (อิสระจากกัน) 346ไมเนอร์ 209ไม่มีลิมิต 282ยูเนียน 16ระนาบ 83ระนาบเชิงซ้อน 252ระบบสมการเชิงเส้น 216ระเบียบวิธีกําลังสองน้อยที่สุด 389ระยะตัดแกน 86รัศมี 94ราก (รู้ท) 188รากที่สอง 58|188|257รูปเชิงขั้ว 256รูปแบบยังไม่กําหนด 298|306รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ 361เรขาคณิตวิเคราะห์ 83เรเดียน 160เรนจ์ (พิสัย) 121|146ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน e) 193ลอการิทึมแบบเนเปียร์ 193ลอการิทึมสามัญ (ฐาน 10) 193ลําดับ 279ลําดับจํากัด/ลําดับอนันต์ 280ลําดับเลขคณิต/ลําดับเรขาคณิต 280ลิปดา 158ลิมิต 282|295ลิมิตซ้าย/ลิมิตขวา 295ลู่เข้า/ลู่ออก 282|285เลขชี้กําลัง 187เลตัสเรคตัม 97เลื่อนแกน 93และ 60วงกลม 94|125วงกลมหนึ่งหน่วย 158วงจร/วงจรออยเลอร์ 272วงรี 99วงวน 270วัฏจักร 274วิถี/วิถีที่สั้นที่สุด 274วิธีจัดหมู่ 337

คณิตศาสตร O-NET / A-NET660ดรรชนีวิธีเรียงสับเปลี่ยน 335เวกเตอร์ 227เวกเตอร์หนึ่งหน่วย 233เศษ (เศษเหลือ) 36|48สตาร์แอนด์บาร์ 340สถิติ 359สมการจุดประสงค์ 148สมการตรีโกณมิติ 162สมการปกติ 389สมการพหุนาม 36|259สมการลอการิทึม 195สมการเส้นตรง 86|280สมการเอกซ์โพเนนเชียล 191|280สมบัติการแจกแจง 33สมบัติการตัดออก 33สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม 33สมบัติการสลับที่ 32สมบัติไตรวิภาค 39สมบัติปิด 31|32สมมูล 60สมเหตุสมผล 65|71สมาชิก 11|119|205ส่วนจริง/ส่วนจินตภาพ 251ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 378ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 379ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 379สังยุค 254สัจนิรันดร์ 63|65สับเซต 12สับเซตแท้ 13สัมประสิทธิ์การแปรผัน 381สัมประสิทธิ์ทวินาม 341สัมพัทธ์/สัมบูรณ์ 313|378สามสิ่งอันดับ 238สามเหลี่ยมบน/สามเหลี่ยมล่าง 206สามเหลี่ยมปาสคาล 341สารสนเทศ (ข่าวสาร) 359สํามะโน 360สูงสุดสัมพัทธ์/สัมบูรณ์ 313เส้นกํากับ 102เส้นโค้งของความถี่ 361เส้นจํานวน 40เส้นเชี่อม/เส้นเชื่อมขนาน 270เส้นตรง 86|125|388เส้นทแยงมุมหลัก 206เส้นสัมผัสวงกลม 95ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) 49หรือ 60หลัก 205หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 333หาค่าไม่ได้ 282หารลงตัว 48|340หารสังเคราะห์ 37เหตุการณ์ 346องศา 158|160อนุกรม 284อนุกรมจํากัด/อนุกรมอนันต์ 284อนุกรมเลขคณิต/อนุกรมเรขาคณิต 284อนุกรมเวลา 391อนุพันธ์ 308อนุพันธ์อันดับสูง 310อสมการ 41อสมการข้อจํากัด 148อัฐภาค 237อัตราการเปลี่ยนแปลง 307อัตราส่วนร่วม 280อันตรภาคชั้น/อันตรภาคชั้นเปิด 360อาณาบริเวณที่หาคําตอบได้ 148อาร์ค- 169อินเตอร์เซกชัน 16อินทิกรัล (ปริพันธ์) 317อินทิกรัลจํากัดเขต 319อินทิกรัลไม่จํากัดเขต 317อินทิเกรต 317อินเวอร์ส 32|211|252อินเวอร์สของความสัมพันธ์ 122|126อินเวอร์สของฟังก์ชัน 133อินเวอร์สเมตริกซ์ (ผกผัน) 211อิสระจากกัน (ไม่ขึ้นต่อกัน) 346อุปนัย 69เอกภพสัมพัทธ์ 12เอกลักษณ์ 32|207|252เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ 158|171แอดจอยท์ (เมตริกซ์ผูกพัน) 212แอนติลอการิทึม 193แอมพลิจูด 165ฮิสโทแกรม 361|368ไฮเพอร์โบลา 102ไฮเพอร์โบลามุมฉาก 102|104|125Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)

Release2.2

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?