Corso di meccanica dell'autoveicolo.pdf

Appunti del Corso diMeccanica del VeicoloL’AutoveicoloAndrea Rindi Susanna Papini Luca Pugi Jury Auciello Mirko IgnestiDipartimento di Energetica “Sergio Stecco”Sezione di Meccanica ApplicataUniversità di Firenzevia S. Marta 3, 50139 Firenze, Italyrindi@mapp1.de.unifi.it18 maggio 2012

IndiceIndiceElenco delle figureElenco delle tabelleIntroduzioneiivviiiixI La dinamica longitudinale 11 Contatto ruota–strada 21.1 Modello di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Modello di Coulomb: azioni combinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Limiti del modello di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Cinematica del rotolamento 72.1 Sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Il modello a spazzola 123.1 Scorrimento longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Scorrimento laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Coefficiente di aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Aderenza generalizzata 234.1 Magic Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Aderenza generalizzata in direzione laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 Spinta di campanatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 Diagramma di Gough . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.3 Carpet Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.4 Rigidezza di deriva e di campanatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.5 Magic formulae per il comportamento laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Interazione tra forze longitudinali e trasversali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.1 Diagramma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Richiami di aerodinamica 375.1 Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Forze aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38i

INDICEINDICE6 Frenatura 406.1 Decelerazione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.1.1 Contributo dei freni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.1.2 Contributo delle azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.1.3 Contributo dell’attrito di rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.4 Contributo della Pendenza della strada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Modello semplificato di veicolo in frenatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2.1 Trasferimento di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2.2 Decelerazione massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2.3 Ripartizione della frenatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.4 Variazione del coefficiente di aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.5 Efficienza della frenatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2.6 Influenza della posizione del baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2.7 Bloccaggio delle ruote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2.8 Correttori di frenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.9 ABS (Antilock Braking System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.10 BAS (Brake Assistance System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.11 CBC (Cornering Break Control) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.12 ESP (Electronic Stability Program) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.13 FDR (Regelung Fahr-Dynamik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3 Frenatura ideale: “parabola di frenatura” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.4 Ripartitore di frenatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 Prestazioni del veicolo 627.1 Caratteristica meccanica di un motore a combustione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2 Dinamica longitudinale in piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2.1 Modello di Coulomb (1 grado di libertà) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2.2 Modello a tre gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3 Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.1 Forza resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.3.2 Massima pendenza superabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.3.3 Massima pendenza compatibile con l’aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.3.4 Accelerazione massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.3.5 Criteri di massima per il dimensionamento del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75II La dinamica laterale 768 Sterzatura 778.1 Sterzatura cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.1.1 Il modello a bicicletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.2 Limite di slittamento e ribaltamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.3 Sterzatura dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.3.1 Angoli di deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.3.2 Trasferimento di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3.3 Equazioni di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.3.4 Derivate di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3.5 Equazioni di moto linearizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.4 Comportamento direzionale a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.4.1 Rigidezza di deriva, punto neutro e margine statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93ii

INDICEINDICE8.4.2 Influenza delle forze longitudinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.4.3 Trasferimento di carico trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.4.4 Convergenza dei pneumatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.5 Risposta a sollecitazioni esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.6 Stabilità direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999 Instabilità direzionale 1029.1 Slip angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.1.1 La posizione del baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.1.2 Il tipo di trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2 Marcia in rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2.1 Caso 1: ɛ a = ɛ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.2.2 Caso 2: ɛ a > ɛ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.2.3 Caso 3: ɛ a < ɛ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.3 Marcia in curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.4 Studio della dinamica del cornering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.4.1 Influenza dell’angolo di campanatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.4.2 Influenza della forza di trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110III La dinamica verticale 11210 Dinamica verticale 11310.1 Angoli caratteristici del pneumatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11410.2 Analisi cinematica delle sospensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.3 Schemi di sospensioni tipiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.4 Comfort e guidabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.4.1 Modello a 1 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.4.2 Modello a 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121iii

Elenco delle figure1.1 Azioni normali e tangenziali che si instaurano fra corpi in moto relativo . . . . . . . . . . . . 21.2 Schema di corpo rigido per la ruota che rotola senza strisciare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Andamento qualitativo del coefficiente d’attrito al variare della velocità . . . . . . . . . . . . 31.4 Andamento delle pressioni normali nel caso ideale (a) e nel caso reale (b) . . . . . . . . . . . 41.5 Andamento del coefficiente d’attrito volvente al variare della velocità per un tipico pneumaticoconvenzionale a tele incrociate e uno radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Vista laterale e dall’alto delle azioni agenti su un pneumatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 Sistema di riferimento per lo studio della cinematica del rotolamento (Fonte: [6]) . . . . . . . 72.2 S α è l’intersezione fra asse elicoidale del moto e piano x − z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Riposizionamento dell’asse elicoidale nel caso sia applicata una coppia al mozzo (b) . . . . . . 102.4 Segno di V s al variare della coppia applicata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 Modello monodimensionale di contatto pneumatico–strada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Andamento delle tensioni longitudinali τ x (ξ) secondo il modello a spazzola . . . . . . . . . . 143.3 Forza longitudinale al variare dello scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Modello a spazzola per deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Andamento delle tensioni laterali τ y (ξ) secondo il modello a spazzola . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Momento di autoallinemento secondo il modello a spazzola (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . 173.7 Andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µ x al variare dello scorrimentopratico s (in figura indicato con σ) (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 Andamento di µ x in differenti condizioni di asfalto (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.9 Influenza della velocità di marcia sui valori di µ x (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.10 Influenza dell’usura sull’andamento del massimo di µ x con la velocità (Fonte: [5]) . . . . . . . 213.11 Fenomeno dell’aquaplaning per pneumatico con battistrada (curve A) e senza (curve B)(Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.12 Diminuzione del coefficiente di aderenza longitudinale all’aumentare del carico normale applicatoalla ruota (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.1 Distorsione dell’orma di contatto per la presenza della deriva [5] . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Deformazioni laterali, distribuzione delle azioni tangenziali e normali, slittamento e velocitàlaterali in un pneumatico in deriva [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Forza laterale F y e momento di autoallineamento M z in funzione dell’angolo di deriva α [5] . 264.4 Andamenti di F y , t e M z al variare di F z in funzione di α [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Curve qualitative F y (α), t (α) e M z (α) al variare della velocità V [5] . . . . . . . . . . . . . . 274.6 Spinta di campanatura in funzione del carico normale e dell’angolo di campanatura [5] . . . . 284.7 Forza laterale al variare di γ [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.8 Momento di autoallineamento al variare di γ [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29iv

ELENCO DELLE FIGUREELENCO DELLE FIGURE4.9 Diagramma di Gough per un pneumatico radiale per auto (in alto) e per uno convenzionaleper autocarro (in basso) [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.10 Diagrammi di Gough a differenti velocità per un carico F z fissato: a) pneumatico con comportamentosoddisfacente; b) pneumatico con comportamento insoddisfacente [5] . . . . . . . 314.11 Carpet Plot del coefficiente di aderenza laterale [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.12 Rigidezza di deriva in funzione del carico F z [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.13 Coefficienti di aderenza in funzione dello scorrimento per diversi valori dell’angolo di deriva [5] 344.14 Diagramma polare [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.15 Diagramma polare “ribaltato”: grafico sperimentale [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1 Sistemi di riferimento (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Andamento qualitativo dei coefficienti adimensionali aerodinamici in funzione dell’angolo diinclinazione del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.1 Forze agenti su un veicolo in moto su una strada con pendenza tan α (Rielaborato da: [2]) . . 406.2 Modello del veicolo in frenatura (Fonte: [6]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.3 Carichi sui due assali in funzione dell’accelerazione longitudinale (Fonte: [6]) . . . . . . . . . . 456.4 Zona ammissibile delle possibili coppie di forze frenanti (Fonte: [6]) . . . . . . . . . . . . . . . 486.5 Zona ammissibile al variare del coefficiente di aderenza (Fonte: [6]) . . . . . . . . . . . . . . . 496.6 Zona ammissibile al variare della posizione del baricentro (arretramento) (Fonte: [6]) . . . . . 506.7 Aderenza longitudinale in funzione dello pseudoslittamento percentuale . . . . . . . . . . . . . 506.8 Aderenza longitudinale e laterale (per angolo di deriva costante)in funzione dello pseudoslittamentopercentuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.9 Curva di proporzionamento dell’impianto frenante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.10 Limitatore semplice (Fonte: [7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.11 Limitatore semplice: pressione ai cilindri freno (Fonte: [7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.12 ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.13 Intervallo di scorrimento su cui funziona l’ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.14 Sensore di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.15 Curve di funzionamento dell’ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.16 Curve di funzionamento dell’ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.17 Funzionamento del BAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.18 Schema di funzionamento dell’ESP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.19 Forze agenti su un veicolo su strada in pendenza (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.20 Frenatura in condizioni ideali: relazione fra F x1 e F x2 per un veicolo con baricentro al centrodel passo a = b, con baricentro arretrato a > b e con baricentro posto anteriormente al centrodel passo a < b. Grafico ottenuto per m = 1000 kg; l = 2,4 m; h G = 0,5 m, strada piana.(Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.21 Ingrandimento della zona utile del grafico di Fig. 6.20. Sono state tracciate anche le rette aµ x1 e µ x2 e a decelerazione costante (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.22 Diagrammi M f2 (M f1 ) in condizioni di frenatura ideale: (a) diagramma tipico di vetturea trazione posteriore con rapporto h G /l basso; (b) diagramma tipico di vettura a trazioneanteriore di classe medio alta e con rapporto h G /l medio; (c) diagramma tipico di vetturepiccole a trazione anteriore, con ripartizione pesi vuoto/pieno squilibrata e con rapporto h G /lalto (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.23 Confronto fra i momenti frenanti all’avantreno e al retrotreno fra le condizioni di frenaturaideale e quella in cui il rapporto K f è costante. Nel caso illustrato il valore di µ xP è sufficientementeelevato da produrre lo slittamento oltre il punto A d’intersezione fra le due curve(Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61v

ELENCO DELLE FIGUREELENCO DELLE FIGURE7.1 Curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata (Fonte: [5]) . . . . . . . . . 627.2 Curve caratteristiche di due tipici motori con relative curve iso–consumo (Fonte: [5]) . . . . . 647.3 Moto di avanzamento del veicolo in piano (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.4 Forze esterne agenti sul veicolo (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Forze agenti sulle ruote anteriori (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.6 Forze agenti sulle ruote posteriori (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.7 Schema della trasmissione (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.8 Forze applicate a un veicolo in marcia su strada in pendenza (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . 717.9 Curve di potenza resa disponibile dal motore e necessaria all’avanzamento per le diversecondizioni di pendenza e marcia inserita (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.10 Variazione delle curve di potenza massima del motore su scala logaritmica dovute al rapportodi trasmissione e al rendimento (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.11 Individuazione della massima velocità raggiungibile per un dato rapporto di trasmissione euna data pendenza (Fonte: [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.1 Schema di veicolo in condizione di sterzatura cinematica (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . 778.2 Giunto di Ackermann (vista dall’alto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3 Meccanismo di sterzo a quadrilatero articolato (vista dall’alto) . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.4 Andamento qualitativo dell’errore commesso rispetto alla condizione di Ackermann utilizzandoun sistema di sterzo come quello di Fig. 8.3 (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.5 Schema di modello a bicicletta (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.6 Forze agenti su un veicolo che percorre una traiettoria curvilinea (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . 818.7 Sistema di riferimento per lo studio della dinamica laterale del veicolo (Fonte: [5]) . . . . . . 838.8 Posizione e velocità dell’orma di contatto nel sistema di riferimento inerziale (Fonte: [5]) . . . 858.9 Trasferimento di carico (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.10 Forze al contatto ruota–suolo scomposte secondo gli assi corpo (a)) e secondo gli assi pneumatico(b)) (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.11 Forze agenti sul veicolo in condizioni di sterzatura: modello a bicicletta . . . . . . . . . . . . 908.12 Sterzatura dinamica: modello a bicicletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.13 Equilibrio laterale per l’intero veicolo in curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.14 Guadagno della curvatura a regime (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.15 Comportamento di direzionale di un veicolo ad un asse sterzante: modello a bicicletta (Fonte: [5]) 948.16 Variazione del margine statico per veicolo a trazione anteriore e a trazione posteriore perdiversi valori del µ xp (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.17 Influenza del trasferimento di carico sulla rigidezza di deriva (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . 968.18 Guadagno della curvatura della traiettoria (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.19 Risposta ad una forza esterna applicata nel baricentro in direzione y: a) veicolo neutro, b)sottosterzante, c) sovrasterzante (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.1 Caso 1: ɛ a = ɛ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.2 Caso 2: ɛ a > ɛ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3 Caso 3: ɛ a > ɛ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.4 Effetto della deriva dei pneumatici sulla marcia curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.5 Schema di un veicolo in curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.6 Angolo di sterzo in funzione della velocità al variare del segno del coefficiente di sottosterzo . 1099.7 Angolo di campanatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.8 Modello a bicicletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.1 Sequenza di rotazioni Yaw–Pitch–Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114vi

ELENCO DELLE FIGUREELENCO DELLE FIGURE10.2 Angolo di campanatura o camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11410.3 Angolo di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.4 Angolo di incidenza del montante e braccio a terra longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.5 Angolo di inclinazione del montante e braccio a terra trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.6 Sospensione a quadrilateri articolati trasversali (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.7 Sospensione a quadrilateri articolati trasversali con assi cerniera a) non orizzontali e b) nonparalleli (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.8 Avantreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.9 Retrotreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.10Avantreno con sospensioni indipendenti di tipo Mc Pherson (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . 11810.11Modello a 1 grado di libertà per lo studio della dinamica verticale . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.12Diagramma del rapporto z 0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.13Diagramma del rapporto ¨z 0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.14Modello a 2 gradi di libertà per lo studio della dinamica verticale (Fonte: [5]) . . . . . . . . . 12210.15Diagramma dei rapporti z s0 /h 0 e z n0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210.16Diagramma dei rapporti ¨z s0 /h 0 e ¨z n0 /h 0 (Rielaborato da: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122vii

Elenco delle tabelle1.1 Valori indicativi di f v0 per alcuni tipi di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.1 Valori di µ P per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Valori di µ S per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.1 Valori tipici di C x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.1 Valori tipici del rapporto t2h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Segni delle grandezze che definiscono il comportamento direzionale del veicolo . . . . . . . . . 95viii

IntroduzioneUn veicolo terrestre presenta tre aspetti principali che saranno oggetto dei nostri studi:• DINAMICA LONGITUDINALE;• DINAMICA LATERALE;• DINAMICA VERTICALE;La dinamica longitudinale si occupa delle leggi in base alla quale il veicolo si muove secondo unatraiettoria rettilinea, realizzando moti uniformi, accelerati o decelerati.Gli aspetti fondamentali legati alla dinamica longitudinale riguardano:• Dimensionamento del propulsore;• Dimensionamento dell’impianto frenante e ripartizione delle forze frenanti sugli assi;• Scelta dei rapporti di trasmissione del cambio;La dinamica laterale studia le leggi in base alla quale un veicolo si muove lungo una traiettoria curva(in genere fissando una legge d’avanzamento).La traiettoria curvilinea, oggetto dello studio, può essere impostata dal sistema di guida (sterzo), oppureda una perturbazione esterna. A seconda di quale sia il modo in cui viene impostata la traiettoria curvilinea,si individuano differenti oggetti di studio:• il comportamento sovra o sottosterzante del veicolo, qualora la curva sia impostata per mezzo delsistema di guida, come generalmente avviene nello studio di un autoveicolo;• la stabilità di marcia ad alte velocità e l’assetto in curva del veicolo, nel caso in cui la dinamica lateralesia dovuta a una perturbazione esterna. Questo campo di indagine si presenta generalmente nellostudio della dinamica laterale di un veicolo ferroviario.La dinamica verticale studia i moti vibratori con cui il veicolo reagisce in presenza d’irregolaritàstradali.Tale studio è legato sia a problemi di comfort, sia a quelli di sicurezza di marcia, in relazione a fenomenidi distacco di una ruota o del ribaltamento.Bisognerebbe infine parlare di tutti gli aspetti legati al controllo della dinamica di marcia.L’incremento delle prestazioni di un autoveicolo è oggi strettamente connesso con l’utilizzo d’opportunisistemi di controllo, sia su strada (ABS, controllo della trazione, ESP, sospensioni attive, sistemi di sterzata,ecc. . . ) sia su ferrovia (antipattinante, antislittante, sospensioni attive, ecc. . . ).Tali aspetti saranno marginalmente trattati nel corso di Dinamica del veicolo e saranno approfonditi neicorsi successivi.ix

Parte ILa dinamica longitudinale1

Capitolo 1Contatto ruota–stradaLe forze che vengono scambiate nel moto del veicolo sono di varia natura:• forze alle ruote;• forze aerodinamiche;• forze motrici generate dal propulsore;• forze frenanti dovute all’azione dei freni.Questi ultimi due tipi di forze sono propriamente forze interne al sistema, ma, poiché generano lavoro,devono essere messe in conto quando si valuta la dinamica del veicolo.In questo capitolo presenteremo alcuni modelli utili per l’individuazione delle forze che vengono scambiatenel contatto ruota–strada.1.1 Modello di CoulombCome schema di prima approssimazione s’ipotizza che ruota e strada siano modellati come corpi rigidiin modo tale da considerare il loro contatto puntiforme. Se non vi è strisciamento fra i due corpi, vale laNT-N-TFig. 1.1: Azioni normali e tangenziali che si instaurano fra corpi in moto relativoseguente legge di Coulomb:|T||N| f s (1.1)dove |T| e |N| sono le componenti, rispettivamente, tangenziale e normale della forza di contatto.2

1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA–STRADAIl parametro adimensionale f s prende il nome di coefficiente d’attrito statico. Esso dipende dal tipo dimateriale a contatto, dalla natura delle superfici e al più dalla velocità: quindi, è indipendente sia dall’areadi contatto sia dal carico applicato.Con il modello di Coulomb applicato al caso ruota–strada, nell’ipotesi che non vi sia strisciamento frai due corpi (e che quindi non sia superato il limite di aderenza definito dalla (1.1)), il punto di contattocoincide con il centro d’istantanea rotazione C (Fig. 1.2), perciò la velocità di traslazione del centro dellaruota è esprimibile, dalla relazione fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, come:V G = ω ∧ (G − C) .Fig. 1.2: Schema di corpo rigido per la ruota che rotola senza strisciareQuando la forza tangenziale supera il valore definito dalla (1.1) si ha strisciamento tra ruota e pavimentazionee in queste condizioni la forza tangenziale ha direzione opposta alla velocità di strisciamento e valein modulo:|T| = f cin |N| (1.2)dove f cin è detto coefficiente d’attrito radente (cinetico).Fig. 1.3: Andamento qualitativo del coefficiente d’attrito al variare della velocitàDal grafico di Fig. 1.3 si osserva che vale in generale:f s > f cin .3

1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA–STRADA(a) Caso ideale(b) Caso realeFig. 1.4: Andamento delle pressioni normali nel caso ideale (a) e nel caso reale (b)Abbiamo detto che, essendo i corpi rigidi, il contatto fra pneumatico e strada è di tipo puntiforme. Inrealtà, si tiene conto della deformabilità del pneumatico ammettendo che il contatto avvenga non in unpunto, bensì su una superficie limitata, chiamata orma di contatto.Qualora si consideri il materiale costituente la ruota perfettamente elastico, nel rotolamento del pneumaticosulla strada si instaura in corrispondenza dell’orma di contatto un andamento di pressione perfettamentesimmetrico. La forza normale risultante passa, quindi, per il centro del cerchio (Fig. 1.4a).A causa della semplicità del modello, per tenere conto delle resistenze di rotolamento, s’introduce ilparametro d’attrito volvente u, che tiene conto della non perfetta elasticità dei corpi a contatto. Infatti,poiché la ruota non è perfettamente rigida, occorre spendere una certa energia per poterla deformare nelrotolamento ∗ : tale energia, però, non viene interamente restituita a causa delle perdite interne al materiale.Ne consegue, con riferimento alla Fig. 1.4b, una distribuzione delle pressioni con risultante spostata in avantinel senso del moto.Questo richiede, per poter mantenere in moto la ruota, l’instaurarsi di un momento M A pari a:M A = Nu.Se valutiamo il lavoro dissipato per unità di percorso, possiamo scrivere:dL sds = M dϕAds = M A dsds r = M A= Nur r .Si definisce perciò il coefficiente d’attrito volvente come:f v = dL s/ dsNIl coefficiente d’attrito volvente dipende dalla pressione di gonfiaggio, dal tipo di pneumatico, dal tipo distrada e dalla velocità.= u r4

1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA–STRADAFig. 1.5: Andamento del coefficiente d’attrito volvente al variare della velocità per un tipico pneumatico convenzionalea tele incrociate e uno radialeDa rilevazioni di tipo sperimentale si è individuato per questo coefficiente un andamento come quellorappresentato qualitativamente in Fig. 1.5.Si osserva che, per entrambe i tipi di pneumatici, f v ha un andamento lentamente crescente fino a unacerta velocità, detta velocità critica, in corrispondenza della quale si individua un ginocchio nella curva:oltre questa velocità l’attrito di rotolamento subisce un incremento repentino che lo porta rapidamente adassumere valore elevati.La velocità critica si manifesta in seguito all’instaurarsi di moti vibratori che interessano la strutturadel pneumatico: in corrispondenza di questa velocità, la lunghezza d’onda delle vibrazioni cui è sottopostala gomma diventa paragonabile alle dimensioni dell’orma di contatto, il pneumatico tende a distaccarsi dalsuolo nella parte posteriore del contatto e, conseguentemente, la pressione fra ruota e strada deve aumentarenotevolmente a seguito della riduzione della superficie effettiva di contatto.Per fenomeni di isteresi, poi, la temperatura della gomma cresce e questo comporta l’aumento ulterioredell’energia che deve essere dissipata nel rotolamento. Il fenomeno, quindi, si “autoalimenta” e, pertanto, lavelocità critica pone un limite superiore al funzionamento del pneumatico in esame.L’andamento della curva di Fig. 1.5 può essere rappresentata, nel tratto al di sotto della velocità critica,da una equazione del tipo:f v = f v0 + KV 2 (1.3)dove f v0 e K sono dei coefficienti da determinare sperimentalmente per ciascun tipo di pneumatico nellediverse condizioni di asfalto.In via del tutto indicativa si fornisce la seguente Tab. 1.1 † .1.1.1 Modello di Coulomb: azioni combinateIl modello di Coulomb viene introdotto tradizionalmente per spiegare la possibilità delle ruote di trasmettereforze longitudinali. Peraltro, è noto che una ruota è in grado di esercitare sia forze longitudinali∗ Si suppone la ruota assai più deformabile della strada: ciò è generalmente accettabile nel contatto pneumatico–strada, manon necessariamente nel caso di contatto ferroviario.† Il valore di f v0 per la neve è relativamente alto perché essa tende ad accumularsi davanti al pneumatico. Come avremomodo di comprendere in seguito, questa è anche la ragione della ridotta efficacia dell’ABS in queste condizioni: la neve che siaccumula tende a bloccare la ruota, ma a questo bloccaggio si oppone il sistema elettronico di controllo, allungando la frenata.5

1.1. Modello di Coulomb 1. CONTATTO RUOTA–STRADATab. 1.1: Valori indicativi di f v0per alcuni tipi di superficieSuperficief v0asfalto buono 0,013–0,015neve 0,025sabbia 0,15–0,3cemento 0,01–0,015selciato 0,033–0,065che laterali. Il modello di Coulomb può essere usato anche per descrivere questo caso a patto di considerarela condizione di superamento del coefficiente d’attrito sulla risultante delle forze longitudinali e laterali.wNTFig. 1.6: Vista laterale e dall’alto delle azioni agenti su un pneumaticoSAncora una volta il modello di Coulomb descrive le sole due condizioni limite di aderenza e slittamento.1. Aderenza: √T2+ S 2 ≤ f s N ; V = ωR2. Slittamento: √T2+ S 2 = f c N ; V ≠ ωR1.1.2 Limiti del modello di CoulombIl modello presentato in questo paragrafo si presta a descrivere con buona approssimazione condizionidi moto dei veicoli in rettilineo fintanto che le forze longitudinali trasmesse non superano il limite impostodalla (1.1). Di fatto, le condizioni di funzionamento previste dal modello sono soltanto due: rotolamentopuro e bloccaggio delle ruote.Esso si dimostra, però, inadeguato qualora si intenda studiare, per esempio, manovre di frenatura oaccelerazione al limite delle prestazioni o si voglia studiare il comportamento in curva di un veicolo. Analogamente,con questo tipo di approccio non vi è modo di evidenziare i fenomeni di instabilità che intervengonoad alte velocità sui veicoli ferroviari.6

Capitolo 2Cinematica del rotolamento2.1 Sistema di riferimentoNello studio della cinematica, che ci tornerà utile per presentare i modelli che superano i limiti di quelloappena presentato, si farà riferimento al sistema di coordinate presentato in Fig. 2.1.Fig. 2.1: Sistema di riferimento per lo studio della cinematica del rotolamento (Fonte: [6])Si suppone che all’asse della ruota venga imposto un moto puramente traslatorio con velocità costanteV su una strada perfettamente piana e rettilinea. Il cerchio della ruota ∗ ha velocità angolare ω. L’origineO del sistema di riferimento è presa sul piano della strada e posta in corrispondenza del centro dell’orma dicontatto, ossia è data dall’intersezione di tre piani:• il piano stradale;• il piano medio longitudinale del cerchio;• il piano verticale contenente l’asse di rotazione della ruota.L’asse x è dato dall’intersezione del piano stradale con quello longitudinale ed è diretto secondo il sensodi marcia; l’asse z è ortogonale alla strada e diretto verso l’alto, mentre l’asse y, di conseguenza, coincide con∗ Solo per esso si può parlare di velocità angolare, essendo un corpo rigido.7

2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTOla proiezione sul piano stradale dell’asse della ruota ed è orientato in modo da considerare positive rotazionie momenti antiorari.Gli angoli † rappresentati in Fig. 2.1 sono così chiamati:angolo di camber o campanatura γ è l’angolo di cui è inclinato il piano medio della ruota rispetto allaperpendicolare alla strada; è uno dei più importanti angoli che determinano l’assetto del veicolo inquanto riveste particolare importanza nell’ottica di massimizzare l’impronta a terra del pneumatico alvariare del carico verticale;angolo di deriva α rappresenta l’angolo fra l’asse x e la velocità V e ad esso è dovuta la possibilità delpneumatico di esercitare forze laterali.Supporremo, infine, che le forze (di risultante F = (F x , F y , F z )) trasmesse dalla strada alla ruota sianoapplicate in corrispondenza dell’origine O del sistema di riferimento: poiché ciò non sarà, in generale,verificato, occorre prevedere, per equilibrare il sistema, la presenza di una coppia di risultante:⎡ ⎤M x⎢ ⎥M = ⎣M y ⎦M zDi queste componenti ‡ , riveste maggiore interesse il momento di autoallineamento M z , in quanto, nellamanovra di sterzatura, tende a riportare lo sterzo in posizione neutra.2.2 CinematicaSupponiamo che il moto rigido del mozzo avvenga con velocità V = (V x , V y , 0) costante in modulo edirezione, parallela alla strada, ma in generale inclinata di un angolo di deriva α. Indicato con V il modulodella velocità, le due componenti lungo gli assi x e y saranno date da:V x = V cos αV y = −V sin αOltre a traslare il mozzo ruota con velocità angolare § ω = (0, ω,0) dipendente, oltre che dalla velocità ditraslazione, anche dalla coppia applicata all’asse.Poiché l’angolo di deriva è stato supposto non nullo, il moto del cerchione non è piano, ma è comunqueindividuato, istante per istante, l’asse elicoidale del moto: il moto del mozzo consiste in una rotazione, convelocità angolare ω attorno a tale asse e in una traslazione con velocità parallela al vettore velocità angolare.Nel caso in esame, l’asse elicoidale è sempre parallelo all’asse y e i suoi punti hanno una velocità parallela ay e di modulo pari a V y .In Fig. 2.2 è indicato con S α la traccia dell’asse elicoidale sul piano x − z, mentre per quanto riguarda ladistanza R fra tale punto e il centro del mozzo possiamo scrivere:R = V xω(2.1)Definiamo condizione di puro rotolamento quella in cui il moto avvenga con deriva nulla (α = 0) e senzache vi sia alcuna coppia applicata all’asse del mozzo (T = 0). In queste condizioni, il moto sarà perfettamente† Si noti, per inciso, che la definizione del sistema di riferimento non cambia per la presenza o meno di detti angoli.‡ M x e M y vengono chiamate, rispettivamente, momento di ribaltamento e momento di resistenza al rotolamento.§ Si suppone, come è in generale, l’angolo di campanatura sufficientemente piccolo da poter trascurare la componente lungoz di ω.8

2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTOFig. 2.2: S α è l’intersezione fra asse elicoidale del moto e piano x − zpiano, l’asse elicoidale diventa asse di istantanea rotazione, tutti i suoi punti hanno velocità nulla V y = 0 eil mozzo si muove con velocità V diretta secondo l’asse longitudinale x. Se indichiamo con ω 0 la velocitàangolare in queste condizioni, la (2.1) diventa:In generale, possiamo affermare:R 0 = V ω 0(2.2)h < R 0 < R e ,ossia il centro di istantanea rotazione si trova leggermente sotto il piano stradale.Possiamo, a questo punto, pensare di applicare alla ruota un angolo di deriva non nullo (α ≠ 0), purmantenendo nulla la coppia applicata (T = 0). In queste condizioni (Fig. 2.3a), il moto del cerchio non è piùpiano e detta ω0α la velocità angolare in queste condizioni (minore rispetto a ω 0 in cui non si aveva deriva)avremo (per la (2.1)):R0 α = V cos αω0α (2.3)Poiché α è generalmente piccolo, non vi è grossa differenza fra i due valori di R0 α e R 0 , anche se concettualmenterappresentano grandezze differenti: sono la distanza fra asse elicoidale del moto e asse del cerchionel caso in cui sia, rispettivamente, presente o meno la deriva della ruota; fermo restando che sono ottenutiin assenza di coppie applicate alla ruota.Qualora si preveda (come in Fig. 2.3b) di applicare una coppia sulla ruota, la velocità angolare ω saràdiversa dalla ω0α che avevamo in precedenza . Questo comporta che l’asse elicoidale venga a trovarsi a unadistanzaR = V cos αωrispetto all’asse della ruota diversa dal precedente valore R0 α definito dalla (2.3). Il punto S α , a distanza R0αdal centro ruota, ha pertanto una velocità di scorrimento V s rispetto alla strada.Le componenti di questa velocità sono date da:{Vsx = ωR − ωR0 α = V cos α − ωR0 α = ω0 α R0 α − ωR0α (2.4)= −V sin α = −V x tan α = −ω0 α R0 α tan αV syLa prima delle (2.4) è stata ottenuta osservando che V x non cambia con l’applicazione della T e che sipuò scrivere per le (2.1) e (2.3):V x = ωR = ω α 0 R α 0 Sarà ω < ω α 0 con coppia frenante e ω > ωα 0con coppia motrice.9

2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTO(a)(b)Fig. 2.3: Riposizionamento dell’asse elicoidale nel caso sia applicata una coppia al mozzo (b)Si definisce anche un vettore velocità di rotolamento dato da:⎡ ⎤V r =⎢⎣ωR α 0che rappresenta la parte di V dovuta al solo rotolamento.Vale, evidentemente:V s = V − V rAnche se sono vettori definiti nello spazio, queste tre velocità hanno tutte la terza componente nulla everranno considerate, qui e nel seguito, come vettori a due componenti.Per definire lo stato di sollecitazione del pneumatico, si definiscono i due vettori scorrimento pratico:⎡ ⎤s = V sV x=00⎥⎦⎣ 1 − ω ω0α ⎦ (2.5)− tan αe scorrimento teorico:⎡σ = V s= V xs = ωα 0V r V r ω s = 1ω α ⎤0⎢s = ⎣ ω − 1 ⎥1 − s x− ωα ⎦ (2.6)0ω tan αI due vettori appena definiti differiscono fra di loro solo in modulo, avendo entrambe sempre la stessadirezione e verso di V s . In particolare, nel caso di ruota bloccata (ω = 0) in assenza di deriva (α = 0) si has = (1, 0) e σ = (+∞, 0), mentre in condizioni di puro rotolamento sono entrambi nulli.Concludiamo il capitolo osservando, con l’ausilio della Fig. 2.4, che V sx > 0 con ruota frenata (T < 0) eV sx < 0 quando la ruota è motrice (T > 0).10

2.2. Cinematica 2. CINEMATICA DEL ROTOLAMENTOxVxzVsxFT < 0wC MVsxMS aCFT > 0Fig. 2.4: Segno di V s al variare della coppia applicata11

Capitolo 3Il modello a spazzolaAbbiamo già osservato che il modello di Coulomb è troppo semplice per poter spiegare alcuni aspettifondamentali del moto del veicolo. Qui presenteremo un modello, chiamato “a spazzola” (brush model, inletteratura anglosassone), che ci permetterà di ottenere un andamento qualitativo delle forze longitudinali elaterali che vengono scambiate al contatto ruota–strada, sia qualora si consideri la presenza della deriva omeno.3.1 Scorrimento longitudinaleCome primo approccio per presentare il modello a spazzola consideriamo la configurazione rappresentatain Fig.3.1.Fig. 3.1: Modello monodimensionale di contatto pneumatico–stradaIl sistema è considerato piano, ossia si suppone che il pneumatico abbia larghezza (cioè dimensionesecondo l’asse y, ortogonale al foglio) nulla, in modo da poter supporre che la pressione dovuta al contattocon la strada sia costante lungo l’asse trasversale e vari, quindi, secondo il solo asse longitudinale x.Ipotizzeremo, senza perdere in generalità, che l’angolo di camber γ sia nullo; per valutare l’andamentodelle tensioni longitudinali, come ci si propone di fare in questo paragrafo, dobbiamo poi supporre nulloanche l’angolo di deriva α.La strada è supposta infinitamente rigida e si assume che il contatto fra i due corpi avvenga in corrispondenzadi un segmento di lunghezza 2a, dipendente dalla forza normale agente e dalla deformabilità del solo12

3.1. Scorrimento longitudinale 3. IL MODELLO A SPAZZOLApneumatico. All’interno di questo segmento di contatto si introduce una coordinata ξ con origine nel bordod’ingresso e orientata secondo l’asse x nel verso opposto alla direzione di avanzamento.Per le ipotesi che abbiamo fatto, le deformazioni dovute alle azioni reciproche che si scambiano pneumaticoe strada avvengono tutte esclusivamente sul battistrada: si ipotizza che ciascun tassello elementare di cuisi può pensare costituito il battistrada si deformi in maniera del tutto indipendente dagli altri tasselli. Ladeformazione longitudinale del tassello individuato dalla coordinata ξ viene indicata con u (ξ).La velocità del tassello di battistrada che entra nella zona di contatto è data da ∗ :v (ξ) = V x − ωR 0 + dudt = V x − ωR 0 + ∂u ∂ξ∂ξ ∂tPossiamo scrivere:∂ξ∂t = V x (3.2)in quanto la derivata parziale a primo membro rappresenta la “velocità di alimentazione” con cui i tassellidel battistrada entrano nella superficie di contatto e coincide con la velocità V x , appunto. La (3.1) si puòcosì scrivere nella forma:∂uv (ξ) = V x − ωR 0 + V x (3.3)∂ξAmmettendo che vi sia una relazione lineare fra deformazione e sforzo longitudinale applicato sul singolotassello, avremo:u (ξ) = τ x (ξ)C kdove C k rappresenta la rigidezza longitudinale del battistrada.A questo punto, è ragionevole aspettarsi che, almeno per un certo tratto in corrispondenza dell’ingressodel segmento di contatto, il battistrada aderisca alla superficie stradale. In questa zona di aderenza, lavelocità del tassello espressa dalla (3.1) dovrà annullarsi:da cui si ottiene:È immediato scrivere:(3.1)V x − ωR 0 + V x1C k∂τ x∂ξ = 0 (3.4)V x(Vx − ωR 0V x+ 1 )∂τ x= 0C k ∂ξ∂τ x∂ξ = −C V x − ωR 0k = −C k s (3.5)V xdove si riconosce a secondo membro lo scorrimento pratico † definito dalla (2.5).Occorre a questo punto fare una precisazione: la velocità, che abbiamo chiamato di “alimentazione”, concui il battistrada entra all’interno del contatto non è eguale a V x , come abbiamo ammesso, bensì a V r = ωR 0 ,leggermente diversa dalla prima. In ragione di ciò, la (3.2) si trasforma nella:∂ξ∂t = ωR 0e, conseguentemente, dalla (3.1) avremmo ottenuto, invece della (3.5), la seguente:∂τ x∂ξ = −C V x − ωR 0k = −C k σ (3.6)ωR 0∗ Avendo supposto α = 0, potremmo scrivere V al posto di V x, ma si preferisce seguire questa formulazione perché piùgenerale.† In realtà, è la sola componente s x, ma nel caso in esame coincide con lo scorrimento essendo nullo l’angolo di deriva α.13

3.1. Scorrimento longitudinale 3. IL MODELLO A SPAZZOLAIn realtà, non vi è grossa differenza nell’uso dell’una o dell’altra relazione, poiché, come abbiamo avutomodo di notare nel precedente capitolo, i due scorrimenti differiscono solo nel modulo. D’altra parte, comesi capirà in seguito, quello a spazzola è un modello di tipo qualitativo, in quanto, per conoscere le τ x (ξ),saremo costretti a ipotizzare un andamento, seppur ragionevole, delle p (ξ).Pertanto, non perdendo alcuna informazione in merito all’andamento qualitativo delle τ x , preferiamo persemplicità far uso dello scorrimento pratico, anziché di quello teorico.Detto questo, integrando la (3.5), otteniamo:τ x (ξ) = τ x (0) − C k sξPoiché in corrispondenza del bordo d’ingresso il battistrada non può essere compresso, in quanto provieneda una zona non in contatto con la strada e, pertanto, non sottoposto ad alcuna forza, avremo:τ x (0) = 0e, quindi:τ x (ξ) = −C k sξ (3.7)La precedente è valida fintanto che vale la (3.4), ossia fintanto che il battistrada aderisce alla strada.Nella zona posteriore della superficie di contatto, si instaureranno degli strisciamenti fra pneumatico estrada: se ammettiamo che il tassello si comporti in base alla legge di Coulomb, avremo che la relazioneappena trovata sarà valida fintanto che le τ x non superino il valore limite imposto dal prodotto f s p (ξ),mentre nella restante parte sarà τ x (ξ) = f cin p (ξ).Concludendo, abbiamo: {τx (ξ) = −C k sξ ove τ x (ξ) ≤ f s p (ξ)(3.8)τ x (ξ) = −f cin p (ξ)altroveSi comprende ora quello che si è detto sul carattere qualitativo di questo modello: l’andamento delleτ x (ξ) è ottenuto in funzione di quello della p (ξ), per ottenere il quale andrebbero svolte indagini più precisee complesse (come, ad esempio, analisi ad elementi finiti). Generalmente, si preferisce ipotizzare per lasua semplicità un andamento delle pressioni parabolico, con l’accortezza di imporre in corrispondenza degliestremi del segmento 2a una pressione nulla, come fisicamente richiesta dalla presenza di una certa rigidezzadel pneumatico.(a) Caso f cin = f s(b) Caso f cin < f sFig. 3.2: Andamento delle tensioni longitudinali τ x (ξ) secondo il modello a spazzola14

3.2. Scorrimento laterale 3. IL MODELLO A SPAZZOLAIn Fig. 3.2 si riporta graficamente la soluzione ‡ della espressione (3.8), in cui si distingue l’andamentolineare delle tensioni longitudinali fintanto che è soddisfatta la condizione di aderenza (per quel dato valoredi scorrimento) e il successivo andamento parabolico (o comunque proporzionale a quello ipotizzato per lapressione) nel restante tratto finale di miscroslittamenti.La forza longitudinale risultante, data dall’integrale della (3.8):T x =è rappresentata in Fig. 3.3 al variare dello scorrimento.∫ 2a0τ x (ξ) dξFig. 3.3: Forza longitudinale al variare dello scorrimento3.2 Scorrimento lateraleIn maniera del tutto analoga, si può sfruttare il modello a spazzola per valutare le azioni tangenziali chesi scambiano ruota e strada. Si pensi semplicemente di applicare un angolo di deriva non nullo al sistema cheabbiamo già presentato nel precedente paragrafo e al contempo supporre nulla la componente longitudinale T xdella forza di contatto, ossia nullo lo scorrimento longitudinale del pneumatico (la componente longitudinaledella velocità del centro della ruota è uguale a quella di puro rotolamento). A questa configurazione si da ilnome di deriva semplice del pneumatico.La configurazione dell’orma di contatto è quella di fig. 3.4, dove si è indicato con w (ξ) la deformazionelaterale che subisce il tassello di pneumatico individuato dalla coordinata ξ, ancora orientata in verso oppostoa x e con origine nel bordo di ingresso dell’orma di contatto. Anche in questo caso si considera (modello aspazzola) che la deformazione di ciascun tassello è indipendente da quella dei tasselli adiacenti.Considerando ancora il singolo elemento di battistrada di posizione ξ, la velocità laterale con la quale simuove nell’orma di contatto è data da:v y (ξ) = V sin α + dwdtOccorre, a questo punto, osservare che l’angolo di deriva α è, nelle normali condizioni di marcia, dell’ordinedi 2°–4°; si potranno pertanto considerare accettabili le seguenti approssimazioni:sin α ≈ tan α ≈ α.(3.9)‡ Più precisamente il modulo.15

3.2. Scorrimento laterale 3. IL MODELLO A SPAZZOLAFig. 3.4: Modello a spazzola per derivaSi può pertanto riscrivere la (3.9) nella forma:v y (ξ) = V α + ∂w ∂ξ∂ξ ∂t = V α + V ∂w∂ξ(3.10)Nella zona di aderenza dovrà realizzarsi la condizione:v y = 0,ossia:Vale, in definitiva:Integrando, si ottiene:V α + V ∂w∂ξ = 0.∂w∂ξ= −α (3.11)w (ξ) = −αξ (3.12)avendo già considerato che la deformazione al bordo di ingresso deve essere nulla perché il battistradaproviene da una regione non soggetta sollecitazioni.′Indicando con C k la rigidezza trasversale del pneumatico, si può ipotizzare una relazione lineare fradeformazione e tensione:w (ξ) = τ y (ξ)′ .C kSfruttando la (3.12), possiamo scrivere:τ y (ξ) = −C ′ kαξ (3.13)Per le stesse ragioni che abbiamo detto nel caso delle tensioni longitudinali, la (3.13) vale fintanto cheτ y (ξ) ≤ f s p (ξ). Sarà, in definitiva:{τy (ξ) = −C kαξ ′ ove τ y (ξ) ≤ f s p (ξ)(3.14)τ y (ξ) = −f cin p (ξ)altroveLa risultante delle forze laterali si ottiene integrando la precedente:T y (ξ) =∫ 2a016τ y (ξ) dξ

3.2. Scorrimento laterale 3. IL MODELLO A SPAZZOLAFig. 3.5: Andamento delle tensioni laterali τ y (ξ) secondo il modello a spazzolaPoiché, come si osserva dalla Fig. 3.5, la distribuzione delle tensioni non è simmetrica, si genera unmomento diretto secondo l’asse z dato da:M z (ξ) =∫ 2a0τ y (ξ) (ξ − a) dξL’andamento del momento M z , detto di autoallineamento, è rappresentato in Fig. 3.6. Si osserva che pervalori di α molto piccoli, la zona di aderenza coincide approssimativamente con l’intera orma di contatto econseguentemente il momento di autoallinamento vale:M z (ξ)| α→0≈ T ya3Invece, per valori alti di α, in corrispondenza dei quali la distribuzione delle tensioni tangenziali è pressochésimmetrica, il momento, in virtù di detta simmetria, dovrà annullarsi.Fig. 3.6: Momento di autoallinemento secondo il modello a spazzola (Fonte: [2])Concludiamo osservando che la zona effettiva di aderenza è individuata da una relazione del tipo:τ (ξ) < f s p (ξ)17

3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLAdove con τ si è indicato il modulo della tensione tangenziale totale, pari alla somma (vettoriale) delle duetensioni longitudinale τ x e laterale τ y . In altri termini, possiamo affermare che l’impegno di aderenza in unadirezione toglie aderenza nell’altra.3.3 Coefficiente di aderenzaQuando si studiano le forze scambiate nell’interfaccia pneumatico–strada (o, analogamente, ruota–rotaia)piuttosto che parlare in termini di coefficiente d’attrito si preferisce introdurre un nuovo coefficiente, chiamatocoefficiente di aderenza e definito dalla seguente relazione:µ (s, α, N) = T N(3.15)Dalla definizione (3.15) appare evidente che concettualmente coefficiente d’attrito e coefficiente di aderenzasono la stessa cosa: si preferisce usare quest’ultimo, però, per evidenziare la dipendenza di questofattore da valori locali di alcune grandezze significative, quali appunto lo scorrimento s, l’angolo di deriva αe il carico normale N.Nello studio della dinamica longitudinale di un veicolo è di interesse immediato l’andamento, al variaredello scorrimento, del coefficiente di aderenza µ x :µ x = T xNQuesta curva si ricava immediatamente dai risultati trovati nel paragrafo 3.1, con particolare riferimentoalla (3.8) e alla Fig. 3.3. Occorre, però, fare una precisazione: tutti i grafici sperimentali che valutanol’andamento delle forze e dei coefficienti di aderenza in funzione degli scorrimenti fanno uso di una convenzioneopposta a quella da noi usata nella definizione di scorrimento. Fermo restando la validità dei risultati ottenuti,ci uniformeremo, qui e nel seguito, a questa convenzione, cambiando il segno allo scorrimento, le cui “nuove”componenti saranno date da:s x = ω ω 0− 1s y = tan α(3.16)Sul grafico di Fig. 3.7 si riporta l’andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µ x alvariare dello scorrimento.Si individuano due valori notevoli del coefficiente di aderenza: il valore di picco µ P e il valore in slittamentopuro µ S . A rigore, come giustamente segnalato in figura, questi valori differiscono fra la frenatura el’accelerazione, ma la differenza è tale da poter ammettere che siano uguali.Si fa notare che il superamento del valore di picco µ Pf in frenatura rappresenta una condizione instabile:all’aumento della coppia frenante abbiamo visto corrispondere un aumento dello scorrimento § , a cuicorrisponde, da quanto si evince dalla Fig. 3.7, una riduzione del µ x , ossia della forza frenante. Ne conseguel’immediato bloccaggio delle ruote.In Fig. 3.8 è mostrato la forte variabilità del coefficiente di aderenza al variare delle condizioni dell’asfalto.Condizione particolarmente critica (non prendendo in considerazione il caso di strada innevata o ghiacciata,in cui l’aderenza si mantiene su valori sempre molto bassi) è quella in cui la strada sia solo parzialmentebagnata e piena di sporcizia, condizione che si realizza piuttosto frequentemente alle prime acque autunnali.In tali condizioni, il coefficiente di aderenza è assai variabile da punto a punto e, mentre dove si realizzanocondizioni di scarso scorrimento l’aderenza è ragionevolmente elevata, là dove lo scorrimento è più alto ilcoefficiente µ x può assumere valori assai più bassi del massimo.§ Del valore assoluto, con la nuova convenzione dei segni.18

3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLAFig. 3.7: Andamento qualitativo del coefficiente di aderenza longitudinale µ x al variare dello scorrimento pratico s(in figura indicato con σ) (Fonte: [5])Fig. 3.8: Andamento di µ x in differenti condizioni di asfalto (Fonte: [5])19

3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLAIn tabb. 3.1 e 3.2 si riportano i valori tipici che possono assumere i due coefficienti µ P e µ S per diversetipologie di pneumatici e strada: si osservi come in condizione di asfalto favorevole con i diffusi pneumaticiradiali la massima forza longitudinale trasmissibile possa anche superare del 20% il carico normale agentesulla ruota.Tab. 3.1: Valori di µ P per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5])Tipo pneumaticoCementoTipo di stradaAsfaltoAsciutto Bagnato Asciutto Bagnato Neve GhiaccioRadiale 1,19 0,99 1,22 1,10 0,45 0,25Convenzionale 1,13 0,84 1,02 1,07 0,27 0,24Radiale (da neve) 1,04–1,12 0,62–0,83 1,00–1,09 1,00–1,10 0,36–0,47 0,24–0,44Convenz. (da neve) 0,86–1,02 0,59–0,70 0,81–0,89 0,78–1,02 0,41–0,48 0,29–0,37Catene 0,60 0,40Tab. 3.2: Valori di µ S per vari tipi di pneumatici a 30 km/h (Fonte: [5])Tipo pneumaticoCementoTipo di stradaAsfaltoAsciutto Bagnato Asciutto Bagnato Neve GhiaccioRadiale 0,95 0,73 1,03 0,90 0,43 0,16Convenzionale 0,99 0,62 0,88 0,80 0,22 0,18Radiale (da neve) 0,88–1,00 0,50–0,61 0,87–0,99 0,77–0,93 0,35–0,45 0,22–0,41Convenz. (da neve) 0,72–0,90 0,47–0,57 0,70–0,78 0,67–0,84 0,39–0,47 0,29–0,36Il valore massimo della forza longitudinale diminuisce all’aumentare della velocità, ma questa diminuzioneè fortemente influenzata dalle condizioni della strada: come si può osservare dalla fig. 3.9, questa diminuzionenon è molto importante su strada asciutta, ma diventa significativa su strada bagnata.La Fig. 3.10 mostra come l’aumento di µ P dovuto all’usura del battistrada possa essere molto sensibilealle alte velocità. La cosa non deve trarre in inganno: il grafico di Fig. 3.10 fa riferimento a superfici asciutte,mentre la presenza di uno strato di acqua peggiora l’aderenza in maniera molto più sensibile su pneumaticiusurati (si veda al riguardo la Fig. 3.11).Infatti, qualora lo spessore dello strato di acqua è notevole e la velocità abbastanza sostenuta, puòrealizzarsi una condizione di sostentamento idrodinamico noto come aquaplaning. La superficie di contattoè in queste condizioni assai ridotta e le condizioni di contatto che ne derivano ricordano un po’ quelle tipichedelle superfici lubrificate.Osserviamo, infine, che il coefficiente di aderenza longitudinale diminuisce all’aumentare del carico(Fig. 3.12): al contempo, però, la forza longitudinale aumenta essendo essa pari al prodotto del coefficientedi aderenza per il carico normale.20

3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLAFig. 3.9: Influenza della velocità di marcia sui valori di µ x (Fonte: [5])Fig. 3.10: Influenza dell’usura sull’andamento del massimo di µ x con la velocità (Fonte: [5])Fig. 3.11: Fenomeno dell’aquaplaning per pneumatico con battistrada (curve A) e senza (curve B) (Fonte: [5])21

3.3. Coefficiente di aderenza 3. IL MODELLO A SPAZZOLAFig. 3.12: Diminuzione del coefficiente di aderenza longitudinale all’aumentare del carico normale applicato alla ruota(Fonte: [5])22

Capitolo 4Aderenza generalizzataPer lo studio dei fenomeni di interazione fra pneumatico e strada sono stati sviluppati diversi modelli,oltre a quello a spazzola presentato nel precedente capitolo. Sostanzialmente, i modelli si suddividono in:fisici: riproducono il reale contatto fra pneumatico e strada, così da prevedere il comportamento dei fenomeni;semiempirici: si basano su formule matematiche che riproducono in maniera approssimata ma abbastanzaprecisa l’andamento delle forze di un dato pneumatico, al variare di alcune grandezze caratteristiche.Dipendono da alcuni coefficienti che devono necessariamente essere valutati per via sperimentale.In questo capitolo, ci proponiamo di presentare uno dei più validi modelli semiempirici per la ricostruzione“analitica” del contatto e di sviluppare alcuni concetti sull’interazione dei vari parametri nell’aderenza delpneumatico.4.1 Magic FormulaFra i modelli empirici di maggior rilevanza per l’accuratezza dei risultati ottenuti vi è il modello matematicodi Pacejka ([8]), anche detto della magic formula. Questa formula si può utilizzare per esprimere diversegrandezze, come la forza di deriva o il momento di autoallineamento o la forza longitudinale, in funzionedegli altri parametri.Applicandola al caso della forza longitudinale, avremo qualcosa del tipo:(F x = D sin C arctan{B ( 1 − E )( ) [s x + S h + E arctan B ( ) ]})s x + S h + S v (4.1)dove i coefficienti B, C, D, E, S h , S v dipendono dal carico F z e dall’angolo di campanatura γ, devono esserericavati sperimentalmente e non hanno significato fisico.Si fanno le seguenti osservazioni:• è una funzione dispari, antisimmetrica: è sostanzialmente una funzione seno;• D fornisce direttamente il valore massimo di F x ;• vale, per quanto detto al punto precedente: D = µ xP F z ;• S h e S v sono parametri di offset per permettere eventualmente valori non nulli di forza in corrispondenzadi scorrimento nullo;• il prodotto BCD fornisce la pendenza della curva per s x + S h = 0.23

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATASi assume poi:• µ xP = b 1 F z + b 2 ;• C = b 0 ;• b 0 = 1,65;• BCD = ( b 3 F 2 z + b 4 F z)e−b 5F z;• E = b 6 F 2 z + b 7 F z + b 8 ;• S h = b 9 F z + b 10 ;• S v = 0.Dalla formula (4.1) e successive assunzioni si osserva che la funzione F x = f (N, s x ) viene fatta dipendereda 10 parametri b i che vengono calcolati con metodi di identificazione in maniera da interpolare la curvasperimentale. Per la sua stessa espressione, si accetta implicitamente che il comportamento in frenatura ein accelerazione sia antisimmetrico.Inoltre, poiché B, C e D dipendono dal carico normale, può essere conveniente studiarli in formaadimensionale, fornendo le seguenti definizioni:fattore di forma: C = P C1 λ Cfattore di picco: D = µF zcoefficiente d’attrito: µ = (P D1 + P D2 df z ) λ µfattore di curvatura: E = ( P E1 + P E2 df z + P E3 df 2 z)· {1 − PE4 sign (s + S h )} λ Erigidezza di slittamento: K = F z[(PK1 + P K2 df z ) e −P K 3 df z]λKfattore di rigidezza: B = K/CDshift orizzontale: S h = (P H1 + P H2 df z ) λ Hshift verticale: S V = F z (P V1 + P V2 df z ) λ V λ µIn questo modo, la dipendenza da F z viene tenuta in conto con:df z = F z − F z0F z0Con questa formulazione, vengono introdotti 6 fattori di scala (λ C , λ µ , λ E , λ K , λ H , λ V ) che permettonodi scalare, appunto, la formula senza cambiare tutti i parametri in essa contenuti.4.2 Aderenza generalizzata in direzione lateraleLa generazione di forze tangenziali nel contatto ruota–strada avviene in seguito alla deformazione delpneumatico in direzione laterale. In particolare, la forza scambiata fra ruota e strada (o rotaia) è dovutaalla presenza di una zona, più o meno estesa, in cui si instaurano dei microslittamenti fra le due superfici incontatto. La presenza di un angolo di deriva implica il fatto che la ruota non sia in rotolamento puro maquesto non significa che essa strisci sulla strada. Infatti, la deformabilità del pneumatico permette alla ruotadi muoversi con la stessa velocità del suolo, ossia di aderire ad esso. Tuttavia, per ripristinare le condizioni dimoto del pneumatico indeformato, in corrispondenza dell’uscita dell’orma di contatto, si dovranno instauraredegli slittamenti fra pneumatico e strada che coinvolgeranno una zona sempre più estesa man mano che la24

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATAderiva aumenta, fino a coinvolgere l’intera orma di contatto e a portare così la ruota in una condizione divero e proprio slittamento.Il fatto, insito nella presenza stessa dell’angolo di deriva, che il vettore velocità non giaccia nel pianomedio della ruota implica che la forma della superficie di contatto sia distorta, come mostrato in Fig. 4.1.Nella stessa figura si mostra anche, qualitativamente, l’incremento dell’estensione della zona di strisciamentoall’aumentare dell’angolo di deriva.Fig. 4.1: Distorsione dell’orma di contatto per la presenza della deriva [5]Per comprendere le ragioni di questa deformazione, si consideri un tassello del battistrada giacente, ariposo, sul piano medio del pneumatico, la cui proiezione è l’asse X ′ di Fig. 4.1. Se si segue il moto di questotassello a partire dalla zona indeformata, ossia al di fuori dell’orma, mano a mano che esso si avvicina alpunto di contatto A, esso tenderà a “uscire” dal piano medio per poter seguire la traiettoria impostagli dalladirezione della velocità V . Il tassello del battistrada seguirà, quindi, una traiettoria parallela alla velocitàfino al punto B, mantenendosi aderente al suolo. Oltre il punto B le forze di richiamo verso il piano disimmetria saranno di intensità tale da farlo deviare, costringendolo a strisciare sul terreno. È intuitivo chemaggiore è l’angolo di deriva, maggiori saranno le deformazioni che subirà il pneumatico nel tratto A − B,maggiori saranno le forze di richiamo e, conseguentemente, maggiore dovrà essere l’estensione della zona distrisciamento B − C necessaria per riallineare il battistrada con il centro ruota.In Fig. 4.2 sono riportati gli andamenti delle grandezze fondamentali lungo l’orma di contatto di unpneumatico in deriva. Si osserva che le distribuzioni delle azioni tangenziali τ y e normali σ z non sonosimmetriche e questo implica che le risultanti F y e F z non sono applicate nel centro della zona di contatto:la F z è applicata in un punto spostato in avanti rispetto alla direzione di moto e determina il momentoresistente dovuto al rotolamento, mentre la risultante F y delle azioni laterali è applicata in una posizionearretrata di un braccio t rispetto al centro dell’orma. Si instaura, quindi, un momento di autoallineamentoM z = F y t che tende a riportare il piano di simmetria della ruota nella direzione della velocità.Nelle figure seguenti si riportano gli andamenti delle grandezze fondamentali al variare di diversi parametrisignificativi del moto. In particolare, dalla Fig. 4.5 si osserva che, all’aumentare della velocità, le grandezzeF y (α), t (α) e M z (α), dopo un primo tratto in cui assumono pressoché lo stesso valore, tendono a diminuireper valori più elevati di α.4.2.1 Spinta di campanaturaQualora sia presente un angolo di campanatura non nullo, si instaura una forza laterale, chiamata spintadi campanatura, anche se non si ha deriva. A parità di angoli γ e α, la spinta di campanatura è generalmenteassai inferiore rispetto alla forza di deriva. Essa dipende dal carico normale F z e, fissato che sia quest’ul-25

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATAFig. 4.2: Deformazioni laterali, distribuzione delle azioni tangenziali e normali, slittamento e velocità laterali in unpneumatico in deriva [5]Fig. 4.3: Forza laterale F y e momento di autoallineamento M z in funzione dell’angolo di deriva α [5]26

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATAFig. 4.4: Andamenti di F y, t e M z al variare di F z in funzione di α [5]Fig. 4.5: Curve qualitative F y (α), t (α) e M z (α) al variare della velocità V [5]27

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATAtimo, varia in maniera pressoché lineare con l’angolo di campanatura (Fig. 4.6: si osservi che la spinta dicampanatura è negativa per γ > 0, ossia la direzione è opposta a quella mostrata schematicamente in figura).Fig. 4.6: Spinta di campanatura in funzione del carico normale e dell’angolo di campanatura [5]La spinta di campanatura è di solito applicata anteriormente al centro dell’orma di contatto e produceun momento M zγ di entità generalmente trascurabile.Si tenga presente che le forze laterali dovute alla campanatura e alla deriva sono applicate contemporaneamentee la risultante che si ottiene, come mostrato in Fig. 4.7, risente maggiormente del contributodovuto alla campanatura per bassi valori dell’angolo di deriva.Da quanto abbiamo fin qui esposto, ci si può ragionevolmente aspettare che, annullando gli angoli di derivae di campanatura, la forza laterale e il momento di autoallineamento generati dal pneumatico si annullinoanch’essi. In realtà, ciò non è quasi mai verificato per una serie di ragioni. Innanzitutto, il comportamentodi un pneumatico non è mai “simmetrico”, ma, a causa dell’isteresi dovuta al materiale di cui è costituito,può rimanere una piccola forza residua anche quando si sia annullata la deriva del pneumatico stesso. Aquesto si aggiunge la possibilità che, per le imprecisioni di lavorazione, la forma della ruota presenti unacerta conicità: essa tenderà quindi a rotolare su una traiettoria non più rettilinea, bensì circolare.Un altro fattore che influenza questa “asimmetria” di comportamento di un pneumatico è il cosiddetto plysteer, dovuto alla sua tipica struttura a tele incrociate. Infatti, l’angolo e l’ordine con cui sono posizionatele varie tele fa sì che, anche in rotolamento puro, il pneumatico rotoli lungo una retta inclinata rispetto alsuo piano medio: ciò determina l’instaurarsi di una forza laterale, il cui verso, però, non cambia pur se simonta il pneumatico ruotato di 180° sul cerchio.Appare evidente che l’effetto dovuto al ply steer può essere controllato con una buona precisione, inquanto dipende sostanzialmente dalla progettazione della disposizione delle tele. Questa controllabilità delfenomeno può essere sfruttata per limitare l’uso della convergenza, il cui scopo è garantire alla traiettoria28

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATAFig. 4.7: Forza laterale al variare di γ [5]Fig. 4.8: Momento di autoallineamento al variare di γ [5]29

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATArettilinea la condizione di moto stabile; con la differenza che il ply steer, rispetto alla convergenza, noncomporta l’aumento della resistenza al rotolamento.4.2.2 Diagramma di GoughPer avere un quadro di insieme sul comportamento laterale del pneumatico, è molto utile far uso di undiagramma del tipo rappresentato in Fig. 4.9, dove la forza laterale F y è riportata in funzione del momentodi autoallineamento M z con F z , α e t come parametri.Fig. 4.9: Diagramma di Gough per un pneumatico radiale per auto (in alto) e per uno convenzionale per autocarro(in basso) [5]Si è detto che il momento di autoallineamento viene percepito dal guidatore come una reazione sullosterzo: poiché (come è evidente dalla Fig. 4.9) al diminuire della forza laterale il momento tende a zero, ladiminuzione della reazione sullo sterzo dovrebbe essere sentore di condizione di rischio.In realtà, un pneumatico di cattiva qualità può conservare un valore relativamente elevato di momentodi autoallineamento anche per valori pericolosamente bassi della spinta laterale. La Fig. 4.10 mostra comeil pneumatico di curva caratteristica b) al crescere della velocità presenta una marcata riduzione della forzadi deriva che però non è accompagnata dalla riduzione del momento.4.2.3 Carpet PlotIn quest’altro tipo di diagramma si riportano le grandezze considerate (tipicamente forze o coefficienti diaderenza) in funzione dell’angolo di deriva per diversi valori del carico verticale, con l’accortezza di traslarelungo l’asse delle ascisse le curve ottenute per diversi valori di F z di quantità proporzionali al carico stesso(in Fig. 4.11 ne è riportato un esempio).Per poter leggere un digramma di questo tipo, poiché le curve sono shiftate a seconda del carico verticale,occorre riportare anche le curve “iso–deriva”, come fatto in figura.30

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATAFig. 4.10: Diagrammi di Gough a differenti velocità per un carico F z fissato: a) pneumatico con comportamentosoddisfacente; b) pneumatico con comportamento insoddisfacente [5]Fig. 4.11: Carpet Plot del coefficiente di aderenza laterale [5]31

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATA4.2.4 Rigidezza di deriva e di campanaturaAbbiamo visto (Fig. 4.3, per esempio) che per bassi valori dell’angolo di deriva la forza laterale ha unandamento pressoché lineare con α, per cui si può definire una rigidezza di deriva come la pendenza dellacurva F y (α) nell’origine:C α = ∂F y∂α ∣ (4.2)α=0Pertanto, per bassi valori di α è lecito scrivere:F y = −C α α (4.3)Si definisce anche un coefficiente di rigidezza laterale come il rapporto fra la rigidezza di deriva e il cariconormale: valori tipici di questo rapporto sono di 0,15 ° −1 per pneumatici radiali e 0,12 ° −1 per pneumaticiconvenzionali.In maniera analoga si definisce la rigidezza di campanatura:C γ = ∂F y camp∂γ ∣ (4.4)γ=0Al rapporto fra questa grandezza e la forza normale si da il nome di coefficiente di rigidezza di campanaturae assume valori dell’ordine di 0,021 ° −1 per pneumatici radiali e 0,01 ° −1 per pneumatici convenzionali.Per il calcolo della forza laterale può, quindi, essere conveniente utilizzare un modello linearizzato edesprimere la F y come ∗ :F y = −C α α + C γ γ (4.5)La validità della (4.5) è del tutto accettabile per angoli α ≤ 4° e γ ≤ 10°, circa.Un procedimento del tutto analogo può essere applicato al momento di autoallineamento, definendo lerigidezze come:(M z ) ,α= ∂M z∂α ∣α=0(M z ) ,γ= ∂M z∣∂γ∣γ=0ed esprimere il momento secondo un’espressione lineare del tipo:M z = (M z ) ,αα + (M z ) ,γγI coefficienti di rigidezza per il momento di autoallineamento assumono i seguenti valori:[ ](M z ) ,α≈ 0,01 m/deg[ ]conven.F z 0,013 m/deg radiali[ ](M z ) ,γ≈ 0,001 m/deg[ ]conven.F z 0,0003 m/deg radialiOccorre osservare che nella definizione che abbiamo dato dei coefficienti di rigidezza di deriva e di campanaturaè implicita una dipendenza lineare delle forze laterali dal carico normale applicato. In realtà, larigidezza di deriva ha un andamento lineare con il carico normale soltanto per bassi valori di quest’ultimo:per valori più alti, la rigidezza cresce in maniera molto meno sensibile, al punto che si può spesso ritenereche si raggiunga una sorta di saturazione (Fig. 4.12).∗ Si tenga presente l’osservazione fatta sul segno della spinta di campanatura che è negativa per γ > 0.32

4.2. Aderenza generalizzata in direzione laterale 4. ADERENZA GENERALIZZATAFig. 4.12: Rigidezza di deriva in funzione del carico F z [5]4.2.5 Magic formulae per il comportamento lateraleSi riportano di seguito le magic formulae ricavate con il modello semi-empirico di Pacejka [8]: valgono lestesse considerazioni che si sono fatte ad inizio del capitolo.dove vale:(F y = D sin C arctan{B ( 1 − E )( ) [α + S h + E arctan B ( ) ]})α + S h + S v (4.6)BCD = C αessendo C α la rigidezza di deriva.In maniera del tutto analoga al caso già presentato si forniscono una serie di espressioni per i varicomponenti:• C = a 0 = 1,30;• D = µ yP F z ;• µ yP = a 1 F z + a 2 ;• E = a 6 F z + a 9 ;[ ( )]F• BCD = sin 2 arctan za 4(1 − a 5 |γ|);• S h = a 8 γ + a 9 F z + a 10 ;• S v = a 11 F z + a 12 F z + a 13 ;• a 11 = a 111 F z + a 112Si osserva, per inciso, che i termini S v e S h tengono conto del ply steer e della conicità del pneumatico.Espressione analoga si definisce anche per il momento di autoallineamento:33

4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali 4. ADERENZA GENERALIZZATAdove però si pone:• C = C 0 ;• D = c 1 F 2 z + c 2 F z ;(M z = D sin C arctan{B ( 1 − E )( ) [α + S h + E arctan B ( ) ]})α + S h + S v (4.7)• E = ( c 7 F 2 z + c 8 F z + c 9)(1 + c10 |γ|);• BCD = ( c 3 F 2 z + c 4 F z)(1 − c6 |γ|) e −c5Fz ;• S h = c 11 γ + c 12 F z + c 13 ;• S v = ( c 14 F 2 z + c 15 F z)γ + c16 F z + c 17Anche in questo caso le varie grandezze non sono dimensionalmente congruenti essendo espresse F z in(kN), α e γ in (deg), F y in (N) e M z in (N m).4.3 Interazione tra forze longitudinali e trasversaliAbbiamo già avuto modo di notare nel precedente capitolo che quanto fin qui esposto è valido solamentequando il pneumatico sviluppa forze solamente longitudinali o trasversali; ben diversa può essere la situazionese gli è richiesta la contemporanea produzione di forze in entrambe le direzioni. Infatti, l’impegno diaderenza in una direzione riduce l’aderenza disponibile nell’altra.Più precisamente, applicando una forza motrice o frenante ad un pneumatico che abbia un certo angolo dideriva, la forza di deriva si riduce, così come si riduce la forza longitudinale che un pneumatico può esercitarese è presente anche una forza laterale.Fig. 4.13: Coefficienti di aderenza in funzione dello scorrimento per diversi valori dell’angolo di deriva [5]Il fenomeno è chiarito dalla Fig. 4.13: al crescere della deriva, il valore di aderenza longitudinale dipicco si riduce considerevolmente, mentre resta pressoché invariata l’aderenza in condizioni di slittamento.Al contempo l’aderenza laterale, a parità di angolo di deriva, dimuisce in maniera assai considerevole conl’aumentare dello scorrimento: il valore di aderenza laterale a ruote bloccate è comunque sempre alquantolimitato.34

4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali 4. ADERENZA GENERALIZZATA4.3.1 Diagramma polareSi può pensare quindi di riportare la forza laterale in funzione di quella longitudinale prendendo comeparametro l’angolo di deriva: ciascun punto della curva ottenuta corrisponde a valori diversi dello scorrimentolongitudinale. Il procedimento può essere esteso anche al momento di autoallineamento, ottenendo laFig. 4.14.Fig. 4.14: Diagramma polare [5]A rigore, le curve di forza non sono simmetriche rispetto alle ordinate, ossia il massimo di forza lateralesviluppabile dal pneumatico si raggiunge quando si ha la contemporanea azione di una leggera forza frenante † .Osservando la Fig. 4.14, si constata che quando si applica una elevata forza frenante il momento cambiadi segno e questo ha un effetto destabilizzante perché tende a far aumentare l’angolo di deriva.Generalmente si preferisce riportare il digramma polare invertendo l’asse delle ordinate, ottenendo laFig. 4.15: la curva tratteggiata rappresenta l’inviluppo dei grafici ottenuti per diversi valori di α e identificail valore della forza risultante massima esercitabile dal pneumatico.Fig. 4.15: Diagramma polare “ribaltato”: grafico sperimentale [5]Se F è la forza esercitata dal pneumatico e F x e F y sono le sue componenti, il coefficiente di aderenzadella forza risultante può essere espresso come:µ = F F z=√µ 2 x + µ 2 y (4.8)Nei modelli più semplici si ipotizza che la curva dell’inviluppo di Fig. 4.15 sia un cerchio, chiamato cerchiodi aderenza. In realtà, µ x è maggiore di µ y e per di più le curve non sono perfettamente simmetriche. Si† Detto in altri termini, le curve non sono delle vere e proprie semi–ellissi, anche se si approssimano a tali.35

4.3. Interazione tra forze longitudinali e trasversali 4. ADERENZA GENERALIZZATAtenga, poi, presente che, qualunque sia il tipo di approssimazione che si faccia, la forza F ha una fortedipendenza dalla velocità.Approssimazione ellitticaGeneralmente non si commette un grosso errore ad approssimare la curva inviluppo di Fig. 4.15 (per undato valore di α) con un ellisse di espressione:( ) 2 ( ) 2 Fy Fx+ = 1 (4.9)F y0 F x0dove F y0 è il valore di F y esercitata con F x = 0 per un dato α, mentre F x0 è la massima forza longitudinaleper α = 0.Se si introduce la rigidezza di deriva (4.2), la precedente diventa:( ) 2 ( ) 2 Cα Fx+ = 1 (4.10)C 0 α F x0dove C 0 è la rigidezza di deriva del pneumatico in assenza di forze longitudinali.In questo modo la rigidezza di deriva C di un pneumatico che sta esercitando una forza longitudinaleF x può essere espressa in funzione della rigidezza C 0 che lo stesso pneumatico sviluppa in assenza di forzelongitudinali per mezzo della:( ) 2 FxC = C 0√1 −(4.11)F x036

Capitolo 5Richiami di aerodinamica5.1 Sistemi di riferimentoPrima di passare allo studio delle azioni aerodinamiche occorre fare una precisazione sui sistemi diriferimento di cui si fa uso nello studio del moto di un veicolo:Sistema assi suolo XYZ: Sistema di riferimento fisso rispetto alla strada. Gli assi X e Y giacciono suun piano orizzontale (con l’asse X orientato secondo la linea mediana della strada) mentre l’asse Z èverticale e diretto verso l’alto.Sistema assi corpo xyz: Sistema solidale al veicolo, centrato nel suo baricentro. L’asse x si trova nel pianodi simmetria del veicolo ed è orizzontale, l’asse z si trova anch’esso nello stesso piano ed è veerticale ediretto verso l’alto, mentre l’asse y è perpendicolare agli altri due.Sistema assi vento x ′ y ′ z ′ : Sistema solidale con il veicolo, simile al sistema assi corpo con la differenza chel’asse x ′ è diretto secondo la velocità relativa ⃗ V r fra aria e veicolo, nel verso opposto (FIg. 5.1). È ilsistema di riferimento usato nello studio dell’aerodinamica.Fig. 5.1: Sistemi di riferimento (Fonte: [5])La velocità relativa ⃗ V r dell’aria rispetto al veicolo è la differenza fra la velocità ⃗ V del veicolo stesso equella ⃗v v del vento.All’angolo β che la velocità ⃗ V forma con l’asse x si da il nome di angolo di deriva del veicolo o angolodi assetto. Analogamente, l’angolo β a fra lasse x ′ , ossia ⃗ V r , e l’asse x prende il nome di angolo di derivaaerodinamico.37

5.2. Forze aerodinamiche 5. RICHIAMI DI AERODINAMICA5.2 Forze aerodinamicheLa risultante ⃗ F a delle azioni aerodinamiche è applicata nel centro di spinta, che generalmente non coincidecon il baricentro. Poiché risulta più agevole, anche dal punto di vista sperimentale, ritenere la F a applicatanel baricentro, occorrerà introdurre dei momenti di trasporto aerodinamici per rendere conto di questo“disallineamento”.Si definiscono le seguenti componenti delle azioni aerodinamiche nel sistema assi vento:resistenza F xv : è l’unica che compie lavoro;devianza F yvportanza F zvLe componenti della forza aerodinamica rispetto al sistema assi corpo prendono il nome di:resistenza longitudinale F xaresistenza laterale F yaresistenza verticale F zaQuelle del momento aerodinamico nello stesso sistema assi corpo sono dette invece:momento di rollio M xamomento di beccheggio M yamomento di imbardata M zaNello studio sperimentale dell’aerodinamica di un veicolo si introducono i coefficienti adimensionali:C x =˜C x =−F x a12 ρSV r2M a x12 ρSlV r2C y =˜C y =F y a12 ρSV r2M a y12 ρSlV r2C z =˜C z =F z a12 ρSV r2M a z12 ρSlV r2In Tab. 5.1 sono riportati valori tipici assunti dal C x per diverse tipologie di veicoli: si tenga presente chei coefficienti adimensionali vengono calcolati per β a = 0 fissando la superficie S e la lunghezza l (tipicamentesi assume S = 2 m 2 ); poi, mantenendo S e l costanti, si vede come variano i coefficienti adimensionali alvariare di β a .Tab. 5.1: Valori tipici di C xTipo veicoloC x tipicoauto 0,28–0,32bus 0,6–0,7autocarri 0,838

5.2. Forze aerodinamiche 5. RICHIAMI DI AERODINAMICA(a) C x (b) C y (c) ˜C zFig. 5.2: Andamento qualitativo dei coefficienti adimensionali aerodinamici in funzione dell’angolo di inclinazione delvento39

Capitolo 6FrenaturaSi consideri la Fig. 6.1, in cui sono mostrate tutte le forze agenti su un veicolo in salita su una stradain rettilineo, in assenza di vento laterale. Il veicolo è modellato come un corpo rigido in moto traslatorio.Con questa ipotesi si considerano nulli gli effetti delle sospensioni (in termini di beccheggio della cassa) esi suppone che non vi sia diversità di comportamento fra i pneumatici destro e sinistro dello stesso asse,escludendo così rotazioni di imbardata.Fig. 6.1: Forze agenti su un veicolo in moto su una strada con pendenza tan α (Rielaborato da: [2])La legge di moto per il veicolo considerato si scrive (si prende un asse x parallelo alla strada e direttocome la velocità):Mẍ = −F x1 − F x2 − F aer − Mg sin α − ∑ i f v iF zi (6.1)avendo indicato con F x1 e F x2 le forze frenanti applicate, rispettivamente, all’asse anteriore e posteriore,con F aer = 1 2 ρ AV 2 SC x la resistenza aerodinamica e con ∑ i f v iF zi la resistenza all’avanzamento dovutaall’attrito volvente.In particolare, se ammettiamo che il coefficiente d’attrito volvente sia uguale per tutte le ruote:∑i f v iF zi = f v∑i F z ied esprimendo le forze frenanti per mezzo del coefficiente d’aderenza:F xi= µ xi F zi40

6.1. Decelerazione costante 6. FRENATURAla (6.1) diviene:∑iẍ =µ x iF zi − 1 2 ρ AV 2 ∑SC x − f v i F z i− Mg sin α(6.2)MSi osserva che nelle equazioni scritte non compaiono termini riferiti alle ruote.La massa M è la massa traslante complessiva del veicolo (comprese quindi anche le ruote) e non è lamassa ridotta alla traslazione longitudinale; in altri termini le masse rotanti sono direttamente rallentate daifreni e, dunque, non devono rientrare nel computo della massa ridotta.6.1 Decelerazione costanteSupponiamo che il moto del veicolo sia uniformemente decelerato, ossia sia sottoposto a forze frenanticostanti. Integrando l’equazione di moto possiamo ottenere un’espressione del tutto generica dalla qualepossiamo risalire al tempo o lo spazio percorso dal veicolo durante la manovra di frenatura.Sia dunque F tot la forza totale (costante) agente sul veicolo. La precedente si modifica nella:ossia:ẍ = F totM− dVdt = F totM = a x (6.3)Il tempo t f necessario a portare il veicolo dalla velocità V 0 alla V f si ottiene svolgendo l’integrale:∫V fV 0dV = − F totM∫ t f0dt ⇒ V 0 − V f = F totM t f = a x t fIl tempo d’arresto a partire dalla velocità V 0 si ottiene dalla precedente ponendo V f = 0:Si può anche scrivere:che, sfruttando la (6.3), diviene:Integrando quest’ultima:si perviene a:∫V fV 0t arr = M F totV 0 = V 0a x(6.4)V = −V = dxdtdxdV / F totm∫V dV = −x 0x fF totM dxV0 2 − Vf2= − F tot2 M (x f − x 0 )Lo spazio necessario per arrestare il veicolo dalla velocità V 0 è quindi:s arr = M V02F tot 2 = V 02(6.5)2a x41

6.1. Decelerazione costante 6. FRENATURADalla (6.5) risulta immediato che lo spazio necessario per arrestare un veicolo sottoposto ad una decelerazionecostante aumenta, a parità di decelerazione, con il quadrato della velocità da cui si inizia afrenare.Analizziamo adesso i singoli contributi delle forze agenti sul veicolo nell’equazione della dinamica (6.2).6.1.1 Contributo dei freniLe forze dovute ai freni su ciascuna ruota si possono esprimere come prodotto del coefficiente di aderenzalongitudinale per il carico agente sulla ruota stessa, quindi la forza totale frenante è data da:F freni = ∑ i µ x iF zi (6.6)Supponendo che i coefficienti di aderenza siano uguali per ogni pneumatico (frenatura ideale), la precedentediviene:F freni = µ x∑i F z i= µ x Mg (6.7)La decelerazione che si può imporre al veicolo per la sola azione dei freni è quindi fornita da:ẍ freni = − F freniM = −µ xg (6.8)Quindi la massima decelerazione a cui può essere sottoposto il veicolo è direttamente proporzionale alcoefficiente di aderenza longitudinale µ x . In altri termini, possiamo dire che la massima forza longitudinaleche le ruote possono esercitare è pari al prodotto del peso del veicolo per il coefficiente di aderenza µ x .Il tempo di arresto e lo spazio di arresto in questo caso valgono rispettivamente:t arr = V 0µ x gs arr = V 022µ x g6.1.2 Contributo delle azioni aerodinamicheIntegriamo adesso l’equazione (6.2) considerando assieme all’azione dei freni, costante per semplicità,il contributo dato dalla resistenza aerodinamica all’avanzamento. In questo caso la forza totale agente sulveicolo può essere scritta nel modo seguente:F tot = F freni + cV 2dove c = 1 2 ρSC x.L’equazione di moto diventa:da cui:o anche:Essendo:−M dVdt = F freni + cV 2dV−MF freni + cV 2 = dtV dV−MF freni + cV 2 = V dtV dt = dx42

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAsi può ricavare lo spazio d’arresto integrando la precedente:ottenendo:∫s arr0dx = M∫ 0V 0V dVF freni + cV 2s arr = M 2c ln F freni + cV02(6.9)F freniLe forze frenanti di natura aerodinamiche sono del tutto trascurabili nello studio della dinamica dellafrenatura; infatti se si considera un veicolo che si muove con una velocità di V = 40 m/s (144 km/h) laresistenza aerodinamica vale F aer = 600 N che, confrontata con le altre forze frenanti, (che, come visto,possono superare il peso del veicolo in condizioni di buona aderenza: 8000–18 000 N) risulta effettivamentetrascurabile.Per V = 20 m/s = 76 km/h le forze aerodinamiche F aer = 150 N.6.1.3 Contributo dell’attrito di rotolamentoL’attrito di rotolamento opponendosi al moto fornisce un effetto benefico ai fini della frenatura. Utilizzandoil parametro d’attrito volvente f v = u R, la resistenza dovuta all’attrito si può esprimere come:F v = ∑ i f v iF ziche, se supponiamo che tutti i parametri di attrito volvente siano uguali per tutte le ruote, diventa:F v = ∑ i f v iF zi = f v∑i F z i= f v Mg (6.10)e la decelerazione dovuta al solo attrito di rotolamento sarà fornita dalla:ẍ = − F vM = −f vg (6.11)L’attrito di rotolamento è spesso trascurabile, essendo come ordine di grandezza equivalente ad unadecelerazione di 0,01 g.6.1.4 Contributo della Pendenza della stradaLa pendenza può dare ovviamente un contributo positivo o negativo alla forza frenante.La componente della forza peso in direzione parallela a quella di avanzamento può essere espressa come:F pend = Mg sin αIl contributo alla decelerazione dovuta alla sola pendenza (indicata con i = tan α) sarà dato da ∗ :ẍ = −gi (6.12)Per cui l’effetto di una pendenza, ad esempio del 4%, è quello di decelerare o accelerare il veicolo di 0,04 g.6.2 Modello semplificato di veicolo in frenaturaPer lo studio semplificato della dinamica della frenatura adottiamo lo schema riportato nella Fig. 6.2, nelquale si si fa uso una convenzione non standard sui versi delle azioni agenti sul veicolo.In riferimento alla suddetta figura poniamo:∗ Per i bassi valori di α normalmente ammessi sulle strade, si può ragionevolmente porre: sin α ≈ α ≈ tan α.43

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.2: Modello del veicolo in frenatura (Fonte: [6])• X 1 e X 2 sono le forze longitudinali, rispettivamente, sull’assale anteriore e posteriore;• Z 1 e Z 2 sono le forze verticali, rispettivamente, sull’assale anteriore e posteriore;• u e ˙u sono, rispettivamente, la velocità e l’accelerazione del veicolo;• l è il passo del veicolo;• a e b sono la distanza dal baricentro, rispettivamente, dell’asse anteriore e posteriore;• h è l’altezza del baricentro;• W = mg è il peso del veicolo;• G è la posizione del baricentro;• O 0 x 0 z 0 è un sistema di riferimento solidale con la strada;• Gxz è un sistema di riferimento solidale con il veicoloSupponiamo che il veicolo si stia muovendo su una strada piana ed orizzontale, che gli angoli di sterzo ditutte le ruote siano nulli e che si muova in aria ferma, o meglio che sia assente qualunque componente lateraledel vento. Queste ipotesi equivalgono a dire che tutti gli pneumatici si trovano in condizioni di frenaturapura, cioè con angoli di deriva tutti nulli.Se si pensa di studiare una manovra di frenatura con forze frenanti costanti è possibile trascurare imoti di beccheggio della carrozzeria; tali moti sono infatti localizzati nei primi istanti di applicazione delleforze frenanti e implicano, comunque, rotazioni della cassa di pochi gradi; per questo motivo l’altezza hdel baricentro può essere ritenuta costante. Quest’ultima semplificazione equivale in sostanza a trascuraretotalmente l’effetto delle sospensioni e a considerare quindi il veicolo come un unico corpo rigido.Supponiamo inoltre che le ruote di uno stesso assale si trovino nelle stesse condizioni di aderenza, caricoverticale e forze frenanti.Con le ipotesi fatte ci siamo ricondotti a considerare un veicolo come un sistema piano in moto rettilineouniformemente ritardato.Come abbiamo visto, possiamo trascurare in prima approssimazione anche il contributo delle forzeaerodinamiche e dell’attrito di rotolamento.Le equazioni di moto per il veicolo si possono dunque scrivere:44

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA⎧m ˙u = − (X ⎪⎨1 + X 2 )0 = Z 1 + Z 2 − mg⎪⎩0 = (X 1 + X 2 )h − Z 1 a + Z 2 bInoltre le forze frenanti sono limitate dal coefficiente µ secondo le seguenti disequazioni:(6.13)|X 1 | µZ 1|X 2 | µZ 2(6.14)Nella (6.14) con µ abbiamo indicato un coefficiente d’aderenza fittizio, definito come rapporto tra lamassima forza longitudinale ed il corrispondente carico verticale (è assunto indipendente dal carico verticale)ed è uguale per tutte le ruote.Alle (6.13) e (6.14) vanno aggiunte le condizioni di vincolo monolatero per la strada, ossia le forze verticaliche essa esercita sul veicolo devono essere dirette verso l’alto:Z 1 0Z 2 0(6.15)Osserviamo che le equazioni scritte rappresentano il comportamento del veicolo anche in accelerazionesemplicemente cambiando il segno alle forze longitudinali e applicando tali forze solo all’asse motore.6.2.1 Trasferimento di caricoIn condizioni di marcia uniforme (velocità costante), sui due assali gravano i cosiddetti carichi statici W 1e W 2 che dipendono solo dalla posizione del baricentro † :W 1 = mg b lW 2 = mg a l(6.16)In frenatura ( ˙u < 0) si ha un aumento ∆Z del carico sull’assale anteriore e una conseguente paridiminuzione su quello posteriore.Infatti, dalle equazioni d’equilibrio (6.13) si ottiene per ˙u generica:Z 1 = W 1 + ∆Z = W 1 − mhlZ 2 = W 2 − ∆Z = W 2 + mhl˙u˙u(6.17)Fig. 6.3: Carichi sui due assali in funzione dell’accelerazione longitudinale (Fonte: [6])† I carichi statici si determinano ponendo ˙u = 0 nella (6.13).45

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAIl trasferimento di carico dipende quindi linearmente dall’accelerazione longitudinale ed è tanto maggiorequanto maggiore è il rapporto h/l tra l’altezza del baricentro ed il passo del veicolo (Fig. 6.3).La ripartizione delle forze frenanti tra asse anteriore e asse posteriore (X 1 /X 2 ) non ha alcuna influenzasul trasferimento di carico (∆Z), ma quello che conta è solo la forza frenante totale (X 1 + X 2 ) ‡ .La condizione Z 2 = 0 corrisponde al distacco delle ruote posteriori e quindi all’incipiente ribaltamentoin senso longitudinale del veicolo.Tale condizione si ottiene per una decelerazione pari a:˙u = −g a h6.2.2 Decelerazione massimaLa massima decelerazione si realizza quando tutte le ruote si trovano al limite di aderenza, cioè quando:Sostituendo nelle equazioni d’equilibrio (6.13):X 1 = µZ 1X 2 = µZ 2(6.18)| ˙u| max= µg (6.19)La massima decelerazione non dipende quindi dalle caratteristiche dell’impianto frenante che determinanoinvece la possibilità di realizzarla nelle varie condizioni di utilizzo.La condizione d’incipiente ribaltamento in direzione longitudinale va messa in relazione con la massimadecelerazione realizzabile; infatti, perché si abbia il ribaltamento del veicolo dovrà sussistere la relazione:ossia:| ˙u| = agh | ˙u| max = µgah µ (6.20)Dalla (6.20) si comprende che la condizione di incipiente ribaltamento in frenatura dipende esclusivamentedalle caratteristiche geometriche e di massa del veicolo (posizione longitudinale e altezza del baricentro) edall’aderenza disponibile.Nei normali autoveicoli, anche in condizioni d’elevata aderenza, tale disequazione non è mai verificata,quindi le ruote iniziano a slittare prima che il veicolo si ribalti in senso longitudinale.Inserendo le equazioni (6.17) e (6.19) nelle (6.18) si ottengono i valori delle forze frenanti X 1P e X 2P incondizioni limite d’aderenza, cioè i massimi valori possibili con le date condizioni di aderenza:Sfruttando le (6.16), la precedente si modifica nella:X 1P = µ(W 1 + m h )l µgX 2P = µ(W 2 − m h ) (6.21)l µgX 1P = µ m g (b + µh)lX 2P = µ m (6.22)l g (a − µh)‡ Si consideri la prima delle (6.13): ˙u varia con X 1 + X 2 e quindi ∆Z varia di conseguenza.46

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURA6.2.3 Ripartizione della frenaturaLe forze frenanti X 1P e X 2P in condizioni limite d’aderenza sono le massime esercitabili fissati il coefficiented’aderenza fittizio µ. Consideriamo il rapporto tra questi due valori:X 1PX 2P= Z 1 PZ 2P= b + µha − µh(6.23)Tale rapporto indica come ripartire le forze frenanti fra i due assali in modo da raggiungere contemporaneamentele condizioni limite ed ottenere quindi una frenatura ottimale.Tali condizioni sono, di fatto, esclusivamente teoriche ed è quindi necessario studiare tutte le possibilicondizioni di frenatura di un veicolo.Supponiamo quindi di imporre una forza frenante e che l’altra assuma il valore massimo compatibile conl’aderenza; supponiamo cioè che X 2 sia nota e che X 1 = µZ 1 e sostituiamo nell’equazione di moto (6.13):X 1 = µ(W1 + h l X )21 − h l µIn maniera del tutto analoga, fissiamo X 1 e sia X 2 = µZ 2 ; si ottiene:X 2 = µ(W2 − h l X )11 + h l µ(6.24)(6.25)Le (6.24) e (6.25) esprimono la forza al limite di aderenza, rispettivamente, sull’assale anteriore eposteriore note che siano le forze frenanti sull’altro assale.Come casi particolari si considerano la frenatura solo sull’asse anteriore (X 2 = 0):e solo sull’asse posteriore (X 1 = 0):X 10 = µW 11 − µ h lX 20 = µW 21 + µ h lSi può osservare che la forza frenante sull’assale anteriore è maggiore del prodotto tra il coefficiented’aderenza e il carico statico, mentre quella sull’assale posteriore è minore per effetto del trasferimento dicarico dal retrotreno all’avantreno.Se sul piano di coordinate X 1 e X 2 tracciamo le due rette definite dalle equazioni (6.24) e (6.25) si ottieneil grafico di Fig. 6.4.La zona del piano delimitata dai due assi cartesiani e dalle due rette di cui sopra (in grigio) delimitatutte le possibili coppie di forze frenanti per un dato coefficiente di aderenza µ (regione ammissibile).In altri termini, ogni coppia di forze appartenente alla regione ammissibile dà origine ad una frenaturadel veicolo senza che si bocchi nessun assale. Oltre la retta superiore si bloccano le ruote anteriori, mentreoltre la retta a destra si bloccano le ruote posteriori.L’intersezione delle due rette individua il punto P di coordinate X 1P , X 2P (eq. (6.18)) in cui si ha lamassima decelerazione e si bloccano contemporaneamente i due assali.La retta per l’origine e per P ha la seguente equazione:X 1 = b + µha − µh X 2 (6.26)Confrontando la precedente con la (6.23), si comprende che tale retta definisce come ripartire in manieraottimale le forze frenanti sui due assali, nota che sia l’aderenza disponibile.Le rette inclinate di −45 ◦ individuano i punti in cui è costante la somma X 1 + X 2 : in base alla primadelle (6.13), corrispondono a coppie di forze frenanti che danno uguale decelerazione.47

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.4: Zona ammissibile delle possibili coppie di forze frenanti (Fonte: [6])Si osserva che per avere decelerazione massima l’unica possibilità è trovarsi nella situazione individuata daP , mentre, per livelli inferiori di decelerazione, si hanno infinite combinazioni dei valori X 1 , X 2 (il segmentod’ogni retta a −45 ◦ compreso nella zona ammissibile).6.2.4 Variazione del coefficiente di aderenzaSe l’aderenza disponibile fosse nota e costante il dimensionamento dell’impianto frenante sarebbe ultimatocon le considerazioni fatte al paragrafo precedente; ovvimente l’aderenza può variare moltissimo nelle variesituazioni di guida e, in genere, non è nota.Per questo motivo è necessario studiare come variano le regioni ammissibili al variare di µ.A tale scopo indichiamo con µ 1 e µ 2 i coefficienti d’aderenza in due differenti condizioni di asfalto. Ingenerale, se µ 1 < µ 2 , la regione corrispondente a µ 1 è interamente contenuta in quella corrispondente a µ 2 .Al crescere dell’aderenza le due rette che delimitano la zona ammissibile diventano sempre più inclinate e illoro punto d’intersezione, cioè i vari punti P , si sposta su di una parabola, come vederemo in seguito.La situazione è rappresentata in Fig. 6.5, dove sono raffigurate tre diverse zone ammissibili per coefficientid’aderenza crescenti µ 1 < µ 2 < µ 3 : è evidente il non parallelismo delle rette che delimitano la zonaammissibile nelle tre differenti condizioni d’aderenza.Supponiamo di aver dimensionamento l’impianto frenante in modo da avere una frenatura ottima perµ = µ 2 :X 1 = b + µ 2ha − µ 2 h X 2Se si è in condizioni di ridotta aderenza per µ = µ 1 si esce attraverso la corrispondente zona ammissibileattraverso il lato superiore (punto A), cioè le ruote anteriori si bloccano prima di aver completamenteutilizzato l’aderenza disponibile sulle ruote posteriori.Se si è in condizioni di aderenza migliore (µ = µ 3 ) si esce attraverso la corrispondente zona ammissibileattraverso il lato di destra (punto B), cioè le ruote posteriori si bloccano prima di aver completamenteutilizzato l’aderenza disponibile sulle ruote anteriori.Quindi, una variazione del coefficiente di aderenza rispetto a quello utilizzato per ripartire le forze frenantiporta necessariamente ad una frenatura non ottimale (cioè non si riesce ad ottenere la decelerazione massimapossibile con quel coefficiente di aderenza, µ 3 g o µ 1 g).48

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.5: Zona ammissibile al variare del coefficiente di aderenza (Fonte: [6])6.2.5 Efficienza della frenaturaSupponiamo ancora di aver dimensionato l’impianto frenante in modo da avere una frenatura ottima perµ = µ 2 .Come detto, sia nel caso di ridotta aderenza (µ 1 ) che d’aderenza maggiore (µ 3 ) non si riesce ad avere lafrenatura ottimale (che corrisponderebbe a decelerazioni rispettivamente di µ 1 g e µ 3 g): la retta per P 2 nonpassa né per P 1 né per P 3 .Nei due casi otteniamo invece una decelerazione pari rispettivamente a ε 1 µ 1 g e ε 3 µ 3 g, dove con ε 1 e ε 3abbiamo indicato l’efficienza della frenatura nelle due condizioni d’aderenza, definita dalle seguenti relazioni:bε 1 =b + h (µ 2 − µ 1 )aε 3 =a + h (µ 3 − µ 2 )se µ 1 < µ 2 (6.27)se µ 3 > µ 2 (6.28)6.2.6 Influenza della posizione del baricentroLa forma e le dimensioni della zona ammissibile di frenatura nel piano X 1 − X 2 dipendono anche dallaposizione del baricentro del veicolo e dal rapporto h l(eq. (6.22)).Gli spostamenti del baricentro sono dovuti, per esempio, alle condizioni di carico del veicolo.A parità di coefficiente d’aderenza µ, la posizione del baricentro non influenza la decelerazione massimaottenibile essendo come visto (eq. (6.19)):| ˙u| max= µgPertanto il punto P d’intersezione delle due rette, al variare della posizione del baricentro, si mantienesulla retta a −45 ◦ , caratteristica per quell’aderenza µ e d’equazione:µg = X 1P + X 2P (6.29)In altri termini, ricordando le (6.16) e la (6.24), si constata che la pendenza delle rette che definiscono icontorni della zona ammissibile dipende solo da h le né da a né da b: al variare della posizione del baricentro,le rette suddette trasleranno senza cambiare inclinazione.49

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.6: Zona ammissibile al variare della posizione del baricentro (arretramento) (Fonte: [6])Ancora una volta, se l’impianto frenante è stato dimensionato secondo la condizione individuata da P ,una variazione della posizione del baricentro porta a condizioni di frenatura non ottimali (punto A) in cui siha il bloccaggio delle ruote anteriori (G è in questo caso in posizione più arretrata § ).6.2.7 Bloccaggio delle ruoteCome abbiamo visto, se ad una ruota si applica una forza frenante troppo elevata si ha il bloccaggio dellastessa.Il bloccaggio delle ruote è una condizione assolutamente da evitare perché:• riduce la capacità di frenare: si passa da un valore del coefficiente d’aderenza prossimo a µ P al valoreµ S come risulta dalla figura seguente.Fig. 6.7: Aderenza longitudinale in funzione dello pseudoslittamento percentuale• si perde il “potere direzionale” del pneumatico: quando la ruota è bloccata di fatto non funzionapiù come ruota, ma come un corpo che striscia sulla strada; il coefficiente di aderenza laterale perpseudoslittamenti longitudinali prossimi ad 1 si riduce enormemente (Fig. 6.8).§ Infatti, se b diminuisce (cioè il baricentro arretra), dalla (6.16) si ha che anche il carico statico sull’anteriore W 1 diminuisce:la zona corrispondente al bloccaggio delle ruote anteriori si abbassa anch’essa perché anche il limite di aderenza anteriore X 1Psi è abbassato (eq. (6.18)); quindi, il punto ˆP è sotto P .50

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.8: Aderenza longitudinale e laterale (per angolo di deriva costante)in funzione dello pseudoslittamentopercentuale6.2.8 Correttori di frenataAbbiamo visto che se le condizioni d’aderenza e di carico variano rispetto a quelle di progetto, le forzefrenanti possono portare al bloccaggio delle ruote.Il bloccaggio delle ruote anteriori provoca, in generale, la perdita delle capacità di indirizzare il veicolo,qualunque sia l’angolo di sterzo impostato. Il veicolo procede lungo la “tangente” e gli spostamenti laterali,se presenti, sono dovuti esclusivamente alla forza del vento o alla pendenza laterale della sede stradale.Il bloccaggio delle ruote posteriori porta ad una condizione d’equilibrio instabile per il veicolo: un qualsiasidisturbo laterale, peraltro sempre presente, induce il veicolo a ruotare su se stesso; le ruote anteriori, cheruotano col veicolo, sviluppano un momento che tende a favorire la rotazione innescata dal disturbo e soloquando il veicolo si è completamente girato, torna in una condizione d’equilibrio stabile.Si traccino le regioni ammissibili per vari valori di µ e delle condizioni di carico e per ciascuna condizione sidisegni il segmento a 45 ◦ relativo ad una certa efficienza della frenatura: in questo modo, per ogni condizionedi aderenza e di carico si definiscono dei triangoli che individuano condizioni di frenatura accettabili, anchese non ottimali.L’impianto frenante dovrà fornire un legame tra le forze sull’asse posteriore e quello sull’asse anterioretale da attraversare tutti i triangoli e in modo da uscire sempre dalle varie regioni ammissibili dalla partealta (bloccaggio delle ruote anteriori).Se l’impianto frenante è stato dimensionato per mantenere un rapporto fisso tra la forze frenanti anterioreX 1 e posteriore X 2 , cioè imponendo la relazione definita dall’equazione (6.26) per un dato valore di aderenza,non si hanno in generale condizioni ottimali di frenatura per tutte le possibili condizioni di aderenza e carico.Quindi un primo metodo per proporzionare l’impianto frenante è quello di imporre che la relazione traforze anteriori e posteriori sia descritta da una spezzata, anziché da una retta (Fig. 6.9); in pratica si imponeche da un certo punto in poi le forze frenanti sull’asse posteriore crescano meno di quelle sull’asse anteriore.Questo tipo di proporzionamento assicura in genere il rispetto delle due condizioni di attraversamentodi tutti i “triangoli” e di uscita dalle regioni ammissibili dalla parte “alta” al variare delle condizioni diaderenza.Ovviamente, non si può garantire in questo modo che per tutte le condizioni di aderenza si abbia ilmassimo dell’efficienza della frenatura; infatti ciò richiederebbe di proporzionare l’impianto secondo unalegge parabolica, che definisce appunto la parabola che passa per tutti i vertici delle regioni ammissibili.Per tener conto dell’influenza del baricentro, il correttore di frenata dovrebbe essere sensibile alla variazionedi carico in modo da far variare la posizione del “ginocchio” della spezzata.I metodi tradizionali per proporzionare l’impianto frenante fanno uso dei cosidetti limitatori di presione,che ci accingiamo a descrivere brevemente.51

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.9: Curva di proporzionamento dell’impianto frenanteLimitatore di pressioneDa un punto di vista pratico, come detto, si può quindi accettare che le ruote si blocchino purché a farlosiano quelle anteriori su fondo poco aderente; questo è ovviamente un compromesso, infatti così facendo ilveicolo perde direzionalità, ma non va in testa-coda come succederebbe se si bloccassero le ruote posteriori.Questa condizione si realizza inserendo nel circuito dei freni degli opportuni meccanismi che limitano l’azionefrenante dei freni posteriori in funzione della forza frenante richiesta o della distribuzione di carico.Fig. 6.10: Limitatore semplice (Fonte: [7])Il funzionamento di questo dispositivo è molto semplice: per un certo valore della pressione dell’impiantofrenante e, quindi, della forza frenante esercitata, la reazione della molla non è più sufficiente a tenere apertoil condotto dei freni posteriori; da questo valore in poi la pressione sul condotto posteriore rimane costante,mentre può continuare a crescere quella nel condotto anteriore (Fig. 6.11).I correttori di frenata diventano meno importanti se il veicolo è dotato di sistemi attivi di frenatura. Inquesto caso il dimensionamento dell’impianto frenante viene fatto su considerazioni di durata e riscaldamento,piu che sugli aspetti della ripartizione delle forze frenanti.52

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.11: Limitatore semplice: pressione ai cilindri freno (Fonte: [7])6.2.9 ABS (Antilock Braking System)È un sistema che impedisce alle ruote di bloccarsi durante la frenata, conservandone quindi la direzionalità(possibilità di sterzare la vettura) e che consente di ridurre gli spazi d’arresto nella maggioranza dei casi,specie sui fondi scivolosi.(a) ABS: schema funzionale (b) Centralina di distribuzione delfluido di lavoroFig. 6.12: ABSPrendiamo come riferimento la condizione di frenata di panico, che viene effettuata dal conducente inpresenza di un improvviso ostacolo, affondando con forza il pedale del freno; in tali condizioni, molto spesso,la riduzioni degli spazi d’arresto ottenute con l’ABS non sarebbero sufficienti ad evitare un incidente mentre,la possibilità di sterzare la vettura permette in molti casi di schivare l’ostacolo.Il risultato è ottenuto “modulando” la frenata, vale a dire con un sistema in grado di percepire se una o piùruote stanno per bloccarsi e quindi di intervenire per ridurre la pressione del fluido di lavoro e quindi la forzafrenante sulla ruota che sta per bloccarsi. Occorre, quindi, un sistema che misura la velocità di rotazione diciascuna ruota, che la paragoni a quella delle altre ruote e che intervenga sul freno. Concettualmente l’ABSha originato molti sistemi di controllo della trazione e ora anche della stabilità (ASC Automatic stabilitycontrol, ESP Electronic Stability Program, CBC Cornering Break Control ecc.).53

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAPrincipio di funzionamentoPer prevenire il bloccaggio di una ruota la forza frenante deve essere continuamente modulata intorno aduna posizione ottima.Un sistema ABS è in grado di misurare istante per istante le velocità delle quattro ruote, di confrontarletra di loro e quindi di individuare le condizioni di incipiente bloccaggio di una ruota, stimando la decelerazionedel veicolo; in questo caso il sistema interviene facendo diminuire la forza frenante sulla ruota che sta perbloccarsi.Fig. 6.13: Intervallo di scorrimento su cui funziona l’ABSDal confronto delle velocità misurate, il sistema ABS è in grado di stimare per ciascun pneumatico lecondizioni di slittamento.Per ottenere il massimo effetto frenante lo slittamento di ciascuna ruota dovrebbe essere mantenuto inprossimità del valore di picco, che di solito si trova per slittamenti relativi dell’ordine del 15%. Peraltro lecondizioni di massima manovrabilità laterali si hanno per valori dello slittamento relativo prossimi a zero.Si deve quindi accettare un compromesso tra le due esigenze e normalmente gli ABS mantengono loslittamento percentuale tra l’otto e il trenta percento.Slittamento percentuale ottimale = 8–30%Sensore di velocitàIl sensore di velocità sfrutta la variazione di riluttanza magnetica che avviene al passaggio di ciascundente della ruota solidale all’asse di moto. Il sensore è formato da un magnete permanente sul quale èavvolta una spira di filo di rame alimentato. Il filo di rame è soggetto a una variazione d’intensità del campomagnetico al passaggio d’ogni dente e quindi si genera agli estremi del filo una differenza di potenziale ditipo alternato la cui frequenza è proporzionale alla velocità della ruota.6.2.10 BAS (Brake Assistance System)Il sistema è anche conosciuto come BDC (Brake Dynamic Control).Molto spesso in caso d’emergenza l’automobilista comune non applica la necessaria forza sul pedale delfreno e quindi non si riesce ad entrare nel campo d’azione dell’ABS: questo provoca un allungamento dellafrenata e perciò un rischio. Il BAS è un dispositivo di “aiuto” alla frenata d’emergenza che fa sì che, qualora incaso di pericolo il conducente prema rapidamente il freno senza però esercitare la debita pressione, l’impiantorileva le intenzioni del pilota e interviene applicando la pressione massima sull’impianto frenante.54

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.14: Sensore di velocità(a) Velocità angolare delle ruote e delveicolo(b) Operazioni dell’ABSFig. 6.15: Curve di funzionamento dell’ABS(a) Un unico circuito idraulico(b) Andamento della pressione dell’olioe della velocità delle ruote e del veicolocon ABSFig. 6.16: Curve di funzionamento dell’ABS55

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.17: Funzionamento del BASIn poche parole, se in caso di emergenza il pedale del freno non fosse pigiato con la necessaria forza,il BAS, rivelando un innalzamento improvviso della pressione nell’impianto frenante, applica la pressionemassima possibile istantaneamente. Ad occuparsi del non bloccaggio delle ruote se n’occuperà l’ABS senzail quale il BAS non potrebbe esistere.6.2.11 CBC (Cornering Break Control)È un tipo di funzionamento dei freni per mezzo del quale, durante un rallentamento in curva, la forzafrenante è distribuita opportunamente fra le ruote in modo da evitare un effetto d’imbardata. In curve dovesi frena e in cui si sviluppa più di 0,6 g d’accelerazione trasversale (registrata da un apposito sensore), laruota posteriore interna non viene frenata in modo che nasca, tramite le altre tre ruote frenanti, una coppiadi riassestamento. Il CBC agisce per frenate che non necessitano di intervento dell’ABS.L’ESP (e l’analogo DSC 3 ) è un gradino più avanti, perché fa intervenire i freni anche se il pilota nonfrena; il sistema è però complicato dalla necessità di un sensore di imbardata e uno di rotazione del volante.6.2.12 ESP (Electronic Stability Program)Sistema elettronico basato sull’impianto dell’ABS, con le funzioni aggiuntive BAS (Brake Assist) e ASR(Acceleration Slip Regulation) o TCS (Traction Control System), dove la regolazione automatica e separatadei freni (ovviamente senza bloccaggio), del motore e della trasmissione impedisce perdite di stabilità dellavettura in curva.Occorrono sensori d’assetto (di tecnica aeronautica) che comandano la centralina di funzionamento ABS,la quale, frenando opportunamente solo alcune ruote, ristabilisce il contatto col terreno di tutte e quattro leruote e impone un “momento d’imbardata” che recupera le perdite di stabilità. I sensori aggiuntivi a quellidell’impianto ABS riguardano l’angolo di sterzata, la velocità d’imbardata e l’accelerazione traversale delretrotreno.Storicamente, la Mercedes “classe A” è la prima vettura “media” ad essere equipaggiata con ESP diserie, in conseguenze delle modifiche decise dopo i noti fatti connessi con il non superamento, nel 1997, della“prova dell’alce”.La centralina dell’ESP ha una potenzialità quattro volte superiore di quella di un ABS ed esegue uncontrollo di stabilità a intervalli di 20 millesimi di secondo. La logica di funzionamento consiste nel determinare,in base alla sterzata del pilota, qual è la reazione del veicolo che egli desidera o si aspetta, controllarequale sta per essere in realtà la risposta del veicolo e agire con i freni per adeguarla al desiderio del pilota.56

6.2. Modello semplificato di veicolo in frenatura 6. FRENATURAFig. 6.18: Schema di funzionamento dell’ESPL’ESP è conosciuto con una serie di sinonimi, a seconda della ditta che lo produce o lo monta sulleproprie autovetture:• VSC (Vehicle Stability Control);• VDC (Vehicle Dynamic Control);• DSC (Dynamics Stability Control);• AHBS (Active Handling Brake System);• PSM (Porsche Stability Management);• EDS (Electronic Dynamic System);• CSC (Corner Stability Control).In poche parole, la logica di funzionamento di tale dispositivo può essere così riassunta: l’ESP, attraversoi suoi sensori, intuisce quali sono le intenzioni del pilota e se per varie ragioni (scarsa aderenza, eccessivavelocità, ecc.) l’auto dovesse comportarsi in modo diverso, agendo sui freni (e non solo, vedi sopra) necorreggerebbe il comportamento. Quindi in condizioni critiche aiuta anche il conducente più inesperto apadroneggiare i comportamenti della propria vettura.Anche se stiamo guidando una vettura dotata di ESP ricordiamoci sempre che le leggi della fisica regnanosovrane e quindi, se il fondo stradale è ghiacciato, nessun sistema al mondo può consentire alla nostraautovettura di affrontare una curva a 100 km/h!6.2.13 FDR (Regelung Fahr-Dynamik)Sistema di sicurezza attiva per il controllo della dinamica di marcia messo a punto dalla Bosch in collaborazionecon la Mercedes. All’occorrenza ripristina la stabilità della vettura intervenendo automaticamentesu freni e acceleratore.Mentre l’ABS e l’antipattinamento servono a eliminare gli slittamenti in senso longitudinale, l’FDRentra in funzione per impedire gli slittamenti trasversali, ossia i fenomeni di sovrasterzo o sottosterzo che siinnescano quando una o più ruote perdono aderenza. Se, per ipotesi, tutte e quattro perdessero aderenzacontemporaneamente, esso sarebbe inefficace perché, ovviamente, non può rivoluzionare le leggi della fisica.La regolazione dinamica può, invece, correggere efficacemente l’accenno di sbandata dovuto alla perditad’aderenza di una ruota modificando opportunamente la coppia sulle altre tre.57

6.3. Frenatura ideale: “parabola di frenatura” 6. FRENATURAPer esempio, se l’auto scivola con l’avantreno verso l’esterno della curva, ossia sottosterza, l’FDR intervienefrenando la ruota posteriore interna in modo da riallineare la vettura. Il sistema avverte la perdita distabilità del veicolo grazie ad un sensore d’imbardata, in altre parole un “captatore” in grado di rilevare lasbandata attorno all’asse verticale che passa per il baricentro dell’auto. Oltre a questo, l’FDR si avvale ditutta una serie di sensori che lo informano sulla velocità delle ruote, sull’entità dell’accelerazione trasversale,della rotazione del volante e, infine, sulla pressione esercitata sui pedali del freno e sull’acceleratore (caricomotore).Per memorizzare nella centralina tutti questi dati e attuare, in un tempo brevissimo, le eventuali azionicorrettive, l’FDR necessita di una capacità di calcolo e di una memoria assai elevata. Questa è di 48 kB,ossia quattro volte superiore a quella richiesta per il funzionamento di un impianto ABS e il doppio di quellanecessaria per un sistema antipattinamento.6.3 Frenatura ideale: “parabola di frenatura”Si userà in questo paragrafo la convenzione per cui F x > 0 se la forza longitudinale è diretta in avanti,F z > 0 se verso l’alto (Fig. 6.19).La frenatura ideale è definita come la condizione in cui tutte le ruote frenano con lo stesso coefficiente diaderenza longitudinale µ.Fig. 6.19: Forze agenti su un veicolo su strada in pendenza (Fonte: [5])La forza frenante totale vale:e l’equazione di moto longitudinale si scrive:F x = ∑ i µ x iF zi∑dudt = i µ x iF xi − 1 2 ρSC xV 2 − f ∑ i f z i− mg sin α(6.30)mSi ponga particolare attenzione al fatto che le parti ruotanti sono rallentate direttamente dai freni equindi non devono comparire nell’espressione precedente. In sostanza, m è la massa del veicolo e non quellaridotta.La resistenza aerodinamica e di rotolamento sono in genere trascurabili e, trascurando anche l’effettodovuto alla portanza, si può scrivere nella frenatura ideale (µ xi = µ):dudt = µ ∑ i F z i− mg sin α=mNel caso di strada piana, otterremo:µmg cos α − mg sin αm(6.31)58

6.3. Frenatura ideale: “parabola di frenatura” 6. FRENATURAdudt = µgL’ipotesi di frenatura ideale implica anche che, se i raggi di rotolamento sono tutti uguali, i momentiapplicati alle ruote sono proporzionali a F zi .Calcoliamo adesso le forze che le ruote devono esercitare per avere una frenatura ideale. Per far ciò occorrecalcolare le F zi ; con riferimento alla Fig. 6.19, dall’equlibrio alla rotazione rispetto, alternativamente, ai puntidi applicazione delle F z2 e F z1 si ottiene:Riscrivendo la (6.31):e sostituendovi le (6.32) si ottiene:F z1F z2F x1 = µ mglF x2 = µ mglEliminando µ dalla precedente, otteniamo:= m ()dugb cos α − gh G sin α − h Gldt= m () (6.32)duga cos α − gh G sin α + h Gldtdudt = µF z 1+ µF z2− g sin αm(b cos α − µh G )(a cos α + µh G )(6.33)()(F x1 + F x2 ) 2 a+ mg cos α F x1h − F bx 2= 0 (6.34)hLa (6.34) è l’equazione di una parabola: nella fattispecie, è il luogo geometrico delle coppie di forze F x1e F x2 che danno luogo alla frenatura in condizioni ideali.Fig. 6.20: Frenatura in condizioni ideali: relazione fra F x1 e F x2 per un veicolo con baricentro al centro del passoa = b, con baricentro arretrato a > b e con baricentro posto anteriormente al centro del passo a < b. Grafico ottenutoper m = 1000 kg; l = 2,4 m; h G = 0,5 m, strada piana. (Fonte: [5])In Fig. 6.20 è riportata la parabola di frenatura per un tipico autoveicolo: solo il tratto con valori negativiè d’interesse, in quanto corrisponde a frenatura con marcia in avanti.59

6.3. Frenatura ideale: “parabola di frenatura” 6. FRENATURALa parabola in sostanza mi dice come ripartire la forza tra assale anteriore e assale posteriore per ottenereuna data decelerazione a prescindere da quale sia l’aderenza. Infatti, le “curve ad accelerazione costante”sono le rette a −45° e posso pensare di riportare anche le rette di F x1 in funzione di F x2 e viceversa per varivalori di µ x1 e µ x2 , ottenendo le curve a µ x1 e µ x2 costante.Fig. 6.21: Ingrandimento della zona utile del grafico di Fig. 6.20. Sono state tracciate anche le rette a µ x1 e µ x2 ea decelerazione costante (Fonte: [5])La parabola la posso vedere come il luogo dei punti P che dà decelerazione massima al variare dell’aderenza.Come si è detto le relazioni che legano F x1 e F x2 , in altre parole M f1 e M f2 nelle condizioni di frenaturaideale, dipendono dalla posizione del baricentro (a, b, h), dalla massa del veicolo e quindi dalla condizionedi carico dello stesso.Fig. 6.22: Diagrammi M f2 (M f1 ) in condizioni di frenatura ideale: (a) diagramma tipico di vetture a trazioneposteriore con rapporto h G/l basso; (b) diagramma tipico di vettura a trazione anteriore di classe medio alta e conrapporto h G/l medio; (c) diagramma tipico di vetture piccole a trazione anteriore, con ripartizione pesi vuoto/pienosquilibrata e con rapporto h G/l alto (Fonte: [5])60

6.4. Ripartitore di frenatura 6. FRENATURA6.4 Ripartitore di frenaturaSi può definire un fattore di ripartizione di frenatura:K f = M f 1M f2come il rapporto fra il momento frenante sull’avantreno e quello al retrotreno. Tale rapporto dipende dallecaratteristiche costruttive e dalla configurazione di esercizio dell’impianto frenante.Fig. 6.23: Confronto fra i momenti frenanti all’avantreno e al retrotreno fra le condizioni di frenatura ideale e quella incui il rapporto K f è costante. Nel caso illustrato il valore di µ xP è sufficientemente elevato da produrre lo slittamentooltre il punto A d’intersezione fra le due curve (Fonte: [5])Sfruttando il grafico di Fig. 6.23, per ogni valore di decelerazione si può ottenere un valore di K f per ilquale si ha una ripartizione ideale.Se K f è costante nel piano M f1 e M f2 , le caratteristica di ripartizione dell’impianto frenante è una retta.Il punto A di intersezione tra la parabola e la retta da la condizione nelle quali l’impianto funziona in manieraideale (a sinistra di A).61

Capitolo 7Prestazioni del veicoloPer procedere nello studio della dinamica longitudinale occorre conoscere, sostanzialmente, la potenzanecessaria e quella disponibile per il moto del veicolo. Mentre la prima di queste potenze va intesa come lapotenza resistente che occorre per mantenere il veicolo in moto in determinate condizioni di pendenza, velocità,resistenze aerodinamiche e di rotolamento, la potenza disponibile altro non è che la potenza installatasul veicolo, cioè la potenza del motore (a meno delle perdite negli ingranaggi della trasmissione).7.1 Caratteristica meccanica di un motore a combustione internaIn Fig. 7.1 è riportata la curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata.Fig. 7.1: Curva caratteristica di un tipico motore ad accensione comandata (Fonte: [5])Si tratta di un grafico, ottenuto per via sperimentale, in cui viene plottata la potenza erogata dal motorein funzione del regime di rotazione, per diversi gradi di ammissione: a pieno carico (grado di ammissioneγ pari a 1) si ottiene la curva superiore di figura, mentre a grado di ammissione nullo si individua la curvainferiore ∗ ; ogni punto che giace nel piano compreso fra le due curve rappresenta un punto di funzionamentoparzializzato del motore.∗ Si riconosce il tipico assorbimento di potenza che ha un motore ad accensione comandata qualora si parzializzi moltol’aspirazione: a questo comportamento è riconducibile il fenomeno del cosiddetto “freno–motore”.62

7.1. Caratteristica meccanica di un motore 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOBenché in uno studio delle prestazioni di un veicolo la caratteristica sperimentale del motore sia generalmentedisponibile, è molto più agevole, in uno studio di massima, ricondursi a una espressione algebricadella potenza in piena ammissione:Per i coefficienti P mi3∑P m = P mi ωm i (7.1)i=0si ritiene generalmente valido:per tutti i tipi di motore a combustione interna,P m0 = 0 P m3 = − P maxω 3 maxP m1per i motori ad accensione comandata,= P maxω maxP m2 = P maxω 2 maxP m1per i motori Diesel ad iniezione indiretta e= 0,6 · Pmaxω maxP m2 = 1,4 · Pmaxω 2 maxP m1= 0,87 · Pmaxω maxP m2 = 1,13 · Pmaxω 2 maxper i motori Diesel ad accensione diretta.La coppia sviluppata dal motore si ottiene direttamente dalla potenza:e, sfruttando la (7.1), si può scrivere:M m = P mω m(7.2)M m =3∑i=0P mi ω i−1m (7.3)In Fig. 7.1 sono mostrate anche le curve di potenza ottenute a parità di rendimento η: per un motore adaccensione comandata, il rendimento risulta più alto in condizioni di funzionamento assai vicine alla coppiamassima di piena ammissione e si riduce piuttosto rapidamente allontanandosi da esse. Questa riduzione èmolto più limitata per un motore ad accensione per compressione (Fig. 7.2).Generalmente, si preferisce parlare, piuttosto che di rendimento, di consumo specifico di combustibiledefinito dalla:q = 1(7.4)H i · ηdove si è indicato con H i il potere calorifico inferiore del combustibile: evidentemente, il consumo specificonon è più un termine adimensionale come il rendimento ma ha l’unità di misura di una massa per l’inversodi un’energia, ossia si misura in kg J −1 nel sistema SI.Dai grafici che abbiamo fin qui mostrato appare evidente che si evidenziano distintamente le curve dicoppia e/o di potenza massime (a piena ammissione) e minime (ammissione nulla); per valutare la coppiache si sviluppa con grado d’ammissione genrico γ si ipotizza una relazione lineare del tipo:M m = M mmax γ + M mmin (1 − γ) (7.5)63

7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO(a) Motore ad accensione comandata(b) Motore ad accensione spontaneaFig. 7.2: Curve caratteristiche di due tipici motori con relative curve iso–consumo (Fonte: [5])7.2 Dinamica longitudinale in pianoIn questo paragrafo saranno ricavate le equazioni che descrivono il moto di avanzamento su strada pianadi un autoveicolo.Fig. 7.3: Moto di avanzamento del veicolo in piano (Fonte: [2])La condizione di moto è quella rappresentata in Fig. 7.3: vengono evidenziate tutte le variabili chedescrivono il moto delle varie parti del veicolo e le forze agenti sullo stesso. In particolare, delle azioni aerodinamichesi prende in considerazione la sola componente di resistenza F aer e si suppongono le componentinormali delle forze di contatto avanzate del parametro d’attrito volvente u. Il veicolo è supposto in motopuramente rettilineo e privo di sospensioni, ossia si considerano nulle tutte le rotazioni della cassa rispettoalle ruote; la stessa ipotesi ci porta a ritenere uguali le forze agenti sulle ruote dello stesse asse.Per quest’analisi si utilizzeranno due modelli differenti delle forze di contatto ruota–strada:• il modello di Coulomb, che porterà a considerare il sistema di Fig. 7.3 dotato di un solo grado di libertà;• le formule di Pacejka, per utilizzare le quali occorre considerare tre differenti gradi di libertà del sistema.7.2.1 Modello di Coulomb (1 grado di libertà)Supponiamo, appunto, che il contatto fra pneumatico e strada segua la legge di Coulomb. Si può individuareuna relazione cinematica fra le velocità angolari delle ruote e la velocità di traslazione dell’interoveicolo:˙θ A = ˙θ P = ω r = ẋR(7.6)64

7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOin quanto, in questa formulazione, le ruote supposte rigide, il loro raggio di rotolamento R, cioè le lorodimensioni, uguali e il loro moto avviene senza strisciamento con velocità angolare ω r .Supporremo, senza perdere in generalità, che il nostro veicolo sia a trazione posteriore:ω m = ˙θ Pτ = ˙θ Pτ c τ p(7.7)ove si è indicato con τ c e τ p il rapporto di trasmissione, rispettivamente, al cambio e al ponte del differenziale.Indicando con W m , W r , W p , rispettivamente, le potenze motrice, resistente e perduta e con E c l’energiacinetica, si può scrivere il bilancio energetico del sistema di Fig. 7.3:W m + W r + W p = dE cdtLa potenza motrice sarà quella fornita dal motore:(7.8)mentre per la potenza resistente si potrà scrivere:W m = P m = M m ω m (7.9)W r = W rrot + W raer = −2N P f v R ˙θ P − 2N A f v R ˙θ A − 1 2 ρSC xẋ 2 ẋ (7.10)L’equilibrio alla traslazione verticale comporta:che, per la (7.6), porta a:2N A + 2N P = Mg (7.11)W rrot = −Mgf v ẋ (7.12)La potenza perduta si ottiene una volta che siano note le caratteristiche del motore e il rendimento dellatrasmissione:W p = − (1 − η) (M m − J m ˙ω m ) ω m (7.13)Nell’espressione precedente al momento motore M m è stato decurtata quella quota parte che tiene contodell’inerzia delle parti rotanti, ossia il momento J m ˙ω m che serve per accelerare le suddette parti.L’energia cinetica può essere scomposta in quella del motore:E cm= 1 2 J mω 2 me in quella delle parti che stanno a valle della trasmissione † :Si può scrivere, allora:E cu= 1 2 Mẋ2 + 1 2 4J rω 2 rdE c= J m ω m ˙ω m + mẋẍ + 4J r ω r ˙ω rdtSfruttando le (7.6) e (7.7), la precedente diviene:dE cdtẋ ẍẋ= J m + mẋẍ + 4J rRτ c τ p Rτ c τ p RSfruttando le (7.9), (7.10), (7.13) e (7.14), la (7.8) diviene:ẍR(7.14)† È l’energia cinetica “utile”, ossia quella posseduta dalle ruote e dalla cassa del veicolo.65

7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOM m ω m − (1 − η) (M m − J m ˙ω m ) − Mgf v ẋ − 1 2 ρSC xẋ 3 ẋ ẍẋ ẍ= J m+ mẋẍ + 4J rRτ c τ p Rτ c τ p R R(7.15)Semplificando e raccogliendo, si giunge a:A regime, potendo porre:ẍ =ηM mRτ c τ p− Mgf v − 1 2 ρSC xẋ 2M + 4J rR 2 + ηJ mR 2 τ 2 c τ 2 p(7.16)ẍ = 0ẋ = V = costsi può calcolare facilmente la coppia motrice che deve fornire il motore per mantenere il veicolo in moto allavelocità V :¯M m = Rτ cτ pη(Mgf v + 1 2 ρSC xV 2 )e il grado di ammissione da dare al motore per sviluppare suddetta coppia:(7.17)avendo posto:¯γ =¯M m − M min ¯ω mM max − M min ¯ω m(7.18)¯ω m =VRτ c τ pIl modello utilizzato (e quindi la (7.16)) vale soltanto finché siamo in condizioni di aderenza. Affinché sipossa quindi sfruttare la (7.16) occorre verificare che sia soddisfatta la suddetta condizione.Per far ciò occorre prendere in considerazione le forze esterne ‡ che agiscono sul veicolo (Fig. 7.4): si dovràsupporre che esso abbia un ulteriore grado di libertà per poter considerare la perdita di aderenza di un asse.Fig. 7.4: Forze esterne agenti sul veicolo (Fonte: [2])Le condizioni di equilibrio alla traslazione verticale e longitudinale e alla rotazione attorno al punto P siscrivono come:‡ Il momento motore M m non viene preso in considerazione perché è una forza interna al sistema e non compie lavoro.66

7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO⎧Mg − 2N P − 2N A = 0⎪⎨−Mẍ − 1 2 ρSC xẋ 2 + 2T xA + 2T xP = 0⎪⎩ 2N P p − Mg (a + u) − Mẍh 1 − 1 2 ρSC xẋ 2 h 2 − 2J r ˙θA − 2J r ˙θP = 0(7.19)Poiché per l’assenza di strisciamento si può porre:avremo:⎪⎩¨θ A = ẍR⎧⎪⎨ N A = Mg − 2N P2¨θ P = ẍRN P = Mg (a + u) + Mẍh 1 + 1 2 ρSC xẋ 2 h 2 + 4 JrR ẍ2p(7.20)Occorre a questo punto aggiungere un’ulteriore equazione d’equilibrio per poter esplicitare le forzelongitudinali.Fig. 7.5: Forze agenti sulle ruote anteriori (Fonte: [2])Per far ciò, si prenda in considerazione la Fig. 7.5, dove sono rappresentate le forze agenti sulle ruoteanteriori, comprese le componenti orizzontale e verticale delle reazioni che il telaio scambia con le ruotestesse. Sarà:da cui:− 2J r ¨θA − 2N a u − 2T xA R = 0 (7.21)uT xA = −N AR − J rR 2 ẍUnendo la precedente con la seconda delle (7.19), si potrà verificare che siano soddisfatte le condizioni diaderenza imposte dal modello di Coulomb:∣ T xA ∣∣∣∣ f sN A∣ ∣∣∣ T xPN P∣ ∣∣∣ f s (7.22)67

7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO7.2.2 Modello a tre gradi di libertàCon questo modello vengono meno le relazioni cinematiche (7.6) che legano la velocità della cassa conle velocità angolari delle ruote: queste sono, invece, i gradi di libertà del nostro modello (che è sempreraffigurato dalla configurazione di Fig. 7.3). La differenza è che, adesso, non sono più incognite le forzelongitudinali T xA e T xP , le quali si suppongono ricavata da un modesllo ad hoc (brush model o magicformula).Valgono sempre le stesse relazioni trovate per l’equilibrio longitudinale:e per l’equilibrio della ruota non motrice § :−Mẍ − 1 2 ρSC xẋ 2 + 2T xA + 2T xP = 0−2J r ¨θA − 2N A u − 2T xA R = 0Fig. 7.6: Forze agenti sulle ruote posteriori (Fonte: [2])A questo punto occorre aggiungere la condizione di equilibrio per le ruote motrici (Fig. 7.6): deve esserepresa in considerazione anche la coppia C r trasmessa dai semiassi alle ruote:Raccogliendo tutte le equazioni avremo:− 2J r ¨θP − 2N P u − 2T xP R + C r = 0 (7.23)⎧ẍ = 2T x A+ 2T xP − 1 2 ρSC xẋ 2M⎪⎨¨θ A = −2N Au − 2T xA R(7.24)2J r⎪⎩ ¨θ P = −2N P u − 2T xP R + C r2J rPer poter risolvere le (7.24) occorre esprimere le azioni T xA , T xP e C r in funzione delle coordinate liberedel sistema.Per far ciò si faccia riferimento alla Fig. 7.7, in cui è rappresentato lo schema della trasmissione di ungenerico autoveicolo.Il bilancio energetico del sistema di figura, escludendo le ruote (ossia degli elementi racchiusi dal riquadrodi Fig. 7.7) sarà dato da:§ Continueremo a supporre, senza perdere in generalità, il veicolo a trazione posteriore.68

7.2. Dinamica longitudinale in piano 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOFig. 7.7: Schema della trasmissione (Fonte: [2])W m + W p − W u = dE cdtPer la potenza “utile”, ossia la potenza che è effettivamente disponibile alle ruote, avremo:(7.25)W u = C r ˙θP (7.26)per quella motrice:W m = M m ω m (7.27)per la potenza perduta:W p = − (1 − η) (M m − J m ˙ω m ) ω m (7.28)e per l’energia cinetica:Inserendo queste espressioni nella 7.25 si può scrivere:E cm = 1 2 J mω 2 m (7.29)Continuando a valere:M m ω m − (1 − η) (M m − J m ˙ω m ) ω m − C r ˙θP = J m ω m ˙ω m (7.30)si avrà in definitiva:ω m =˙θ Pτ c τ p= ω rτ c τ pC r = η (M m − J m ˙ω m ) ω m˙θ P= η M mτ c τ p− η J m ¨θ Pτ 2 c τ 2 p(7.31)Per avere ẍ, ¨θ A e ¨θ P occorre conoscere la T = T (N, s). Ricordando la definizione di scorrimento:avremo:s = v V = ω − ω 0ωs A = ẋ − R ˙θ AẋNel moto a regime possiamo porre:s P = ẋ − R ˙θ Pẋ(7.32)69

7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOẍ = 0 ¨θA = 0 ¨θP = 0e ricercare le ˙θ A e ˙θ P supponendo nota la ẋ = V = cost.Continuando a valere le (7.19) e (7.21), avremo:⎧¯N P = Mg (a + u) + 1 2 ρSC xV 2 h 22p⎪⎨ ¯N A = Mg − 2 ¯N P2(7.33)¯T xA = − ¯N uAR⎪⎩ ¯T xP = −2 ¯T xA + 1 2 ρSC xV 22Le formule di Pacejka non sono facilmente invertibili, per cui non si può ricavare s direttamente da T eN. Per questo, si dovrà valutare iterativamente:(T xA sA , ¯N)A − ¯TxA ɛcon ɛ 0 piccolo a piacere. Una volta trovati s A (e s P ) si può porre:¯˙θ A = V R (1 − s A)¯˙θ P = V R (1 − s P ) ¯ω m =¯˙θ Pτ¯C m = 2 ¯N P u + 2 ¯T xA¯Mm = τ ¯C mη7.3 Calcolo delle prestazioni di un autoveicoloLe prestazioni del veicolo si studiano in termini di:• massima pendenza superabile:• massima velocità ed accelerazione su strada piana.Generalmente, per questo tipo di studio, data l’eccessiva complicazione del modello a tre gradi di libertà,si preferisce fare uso del modello di Coulomb, assicurandosi di essere in condizioni lontane dalla perditad’aderenza.Per procedere allo studio di questi fenomeni occorre in primo luogo valutare la potenza necessariaall’avanzamento di un veicolo.7.3.1 Forza resistenteLe forza di resistenza all’avanzamento è data in generale da:R =Possiamo notare che:[Mg cos α − 1 2 ρSC zV 2 ] (f0+ kV 2) + 1 2 ρSC xV 2 + Mg sin α (7.34)• La parte di peso verticale deve essere decurtata della portanza, che spinge verso l’alto;• f v non è costante con la velocità, ma vale f v = f 0 + kV 270

7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOLa (7.34) può essere riscritta in forma differente, per mettere in risalto la dipendenza dalle varie potenzedella velocità:dove i termini moltiplicativi valgono:R = A + BV 2 + CV 4 (7.35)⎧A = Mg (f 0 cos α + sin α)⎪⎨B = 1 2 ρS (C x − f 0 C z ) + Mgk cos α⎪⎩ C = − 1 2 ρSC zkIl termine C, che moltiplica la quarta potenza della velocità, dipende quindi dalla portanza e dall’attritodi rotolamento: la sua influenza diventa significativa solo per macchine sportive. A velocità di uso comuneil termine di maggior rilevanza è la pendenza.La potenza resistente si ottiene direttamente dalla (7.35):7.3.2 Massima pendenza superabileW r = RV = AV + BV 3 + CV 5 (7.36)Sul veicolo in marcia a velocità costante in salita agiscono la forza peso mg e la resistenza aerodinamicaF aer , nell’ipotesi di moto a regime non si hanno forze o coppie di inerzia agenti sul veicolo.Fig. 7.8: Forze applicate a un veicolo in marcia su strada in pendenza (Fonte: [2])Sia W ms la potenza che il motore deve erogare per muovere il veicolo in salita a velocità costante. Questapuò essere calcolata attraverso un bilancio di potenze a regime:W ms + W r + W p = 0 (7.37)La potenza resistente in salita è data da:W r = −2 (N A + N P ) f v V − 1 2 ρSC xV 3 − MgV sin α (7.38)Dall’equilibrio del veicolo in direzione perpendicolare al moto si ha:2 (N A + N P ) = Mg cos α71

7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOPer cui la (7.38) diventa:La potenza perduta nel moto a regime in salita vale:W r = −Mg (f v cos α + sin α) V − 1 2 ρSC xV 3 (7.39)W p = − (1 − η) W ms (7.40)La (7.37) diventa:W ms = 1 [Mg (f v cos α + sin α) V + 1 ]η2 ρSC xV 3 = − 1 η W r (7.41)Per pendenze stradali si ha:cos α = 1sin α = tan α = iper cui avremo:W ms= 1 η[(f v + i) MgV + 1 2 ρSC xV 3 ](7.42)Quindi, la potenza richiesta per superare la pendenza i è la somma di un termine proporzionale allavelocità e che aumenta al crescere della pendenza, e di un termine che dipende dalla terza potenza dellavelocità ed è indipendente dalla pendenza. Perché l’autoveicolo proceda in salita ad una certa velocità econ una certa pendenza, occorre che la potenza resa disponibile dal motore W m sia uguale o superiore allapotenza necessaria W ms .In Fig. 7.9 si riportano le curve di potenza motrice e potenza necessaria all’avanzamento in salita infunzione della velocità. La curva di potenza fornita (W m = W m (ω m ), con V = ω m Rτ) è una caratteristicadel motore.Fig. 7.9: Curve di potenza resa disponibile dal motore e necessaria all’avanzamento per le diverse condizioni dipendenza e marcia inserita (Fonte: [2])Per valutare W m in funzione di V c’è un fattore di scala Rτ: in scala logaritmica, la moltiplicazione perun fattore di scala si traduce in una traslazione in direzione orizzontale della curva. Poiché il fattore di scaladipende dal rapporto di trasmissione, si avranno diverse curve di potenza disponibile, al variare della marciainserita, tutte corrispondenti a diverse traslazioni in orizzontale (Fig. 7.10).72

7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOFig. 7.10: Variazione delle curve di potenza massima del motore su scala logaritmica dovute al rapporto di trasmissionee al rendimento (Fonte: [5])Se le curve di potenza fornita e necessaria risultano tangenti (come avviene in Fig. 7.9 per cambio in IIImarcia e pendenza pari a 0,15), si ottiene in ordinata la velocità che consente di superare quella pendenzaalla marcia impostata. Si ottiene una condizione di marcia instabile in cui, a fronte di una piccola variazionedella velocità, la vettura tende ad arrestarsi.Pertanto, per poter considerare superabile una data pendenza, è necessario che per un dato intervallo divelocità la curva della potenza disponibile sia al di sopra della curva della potenza richiesta. Evidentemente,la curva di potenza disponibile che consente il superamento della maggiore pendenza è quella più vicinaall’asse delle potenze, che corrisponde al valore minimo del rapporto di trasmissione al cambio che si ottienecon la I marcia innestata.La condizione di moto a regime su strada piana costituisce un caso particolare del moto a regime in salita,ove si consideri pendenza nulla i = 0. La velocità massima si ottiene quando il rapporto di trasmissione ètale da posizionare il massimo della curva di potenza disponibile W m (V ) in corrispondenza con l’intersezionecon la curva della potenza necessaria per l’avanzamento W ms (Fig. 7.11).Fig. 7.11: Individuazione della massima velocità raggiungibile per un dato rapporto di trasmissione e una datapendenza (Fonte: [2])7.3.3 Massima pendenza compatibile con l’aderenzaLa massima pendenza superabile da un veicolo va considerata anche tenendo conto dell’aderenza disponibile,in quanto questa influisce sulla capacità di trasmettere a terra sulle ruote motrici una forza longitudinale73

7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLOdi trazione sufficientemente elevata.Si scrive l’equazione della rotazione dell’intero veicolo intorno al punto P di Fig. 7.8 (trazione posteriore):2N p p − Mgh sin α − 1 2 ρSC xV 2 h s − Mg(a + u) cos α = 0 (7.43)Trascurando:• le forze aerodinamiche essendo pendenze superabili a basse velocità;• l’avanzamento dell’azione normale ti dovuto all’attrito volvente rispetto al semipasso: u ≪ p/2la precedente diviene:2N p p − Mghi − Mga = 0 ⇒ N p =L’equilibrio in direzione longitudinale comporta:Mg (hi + a)2p(7.44)2T xA + 2T xP − 1 2 ρSC xV 2 − Mg sin α = 0 (7.45)Poiché le forze longitudinali sui pneumatici posteriori (motrici) sono maggiori di quelle sugli anteriori(condotti), trascurando poi anche le resistenze aerodinamiche si ha:2T xP = Mgi (7.46)Imponendo che le espressioni delle forze N p e T x ottenute rispettino la condizione di aderenza:si ottiene:T x= iNa+ihP p f si f sa /p1 − f sh /p= i max (7.47)La (7.47) fornisce il valore della massima pendenza superabile con aderenza f s a V = cost.Svolgendo lo stesso procedimento per un veicolo a trazione anteriore, la pendenza massima risulta:i f s(p − a) /p1 + f sh /p= i max (7.48)Si tenga presente che la pendenza superabile da un veicolo a trazione anteriore è generalmente inferiorerispetto a una trazione posteriore.Infatti, la (7.48) rappresenta un numero minore rispetto alla (7.47), considerando che ha un denominatoreminore a fronte di un numeratore pressoché eguale (il baricentro generalmente si trova in una posizione pocodiscoste dal centro longitudinale del veicolo, per cui b = p − a differisce poco da a).7.3.4 Accelerazione massimaRiprendiamo l’espressione dell’accelerazione longitudinale di un veicolo su strada piana:Si fanno alcune assunzioni:ẍ =ηM mRτ− Mgf v − 1 2 ρC xSẋηJ m(Rτ) 2+ 4 J RR 2 + M(7.49)• si trascurano:74

7.3. Calcolo delle prestazioni di un autoveicolo 7. PRESTAZIONI DEL VEICOLO– le resistenze aerodinamiche;– la potenza dovuta all’attrito di rotolamento;– l’inerzia delle ruote J R ;• l’inerzia del motore varia invece con il rapporto di trasmissione (in I marcia è dell’ordine di M,nell’ultima marcia è circa 1/20M)Otterremo:ηM mẍ =ηJ mRτ + RτM (7.50)Tale espressione fornisce il valore di accelerazione in funzione del rapporto di trasmissione. Per trovareil τ per cui si ha il massimo dell’accelerazione si minimizza il denominatore:ottenendo:( )∂ ηJm∂τ Rτ + RτM = 0τ =√ηJmRM(7.51)7.3.5 Criteri di massima per il dimensionamento del cambioConcludiamo elencando i punti fondamentali su cui si basa la procedura di dimensionamento del cambioda associare a un motore di caratteristica nota:1. Si sceglie il rapporto di trasmissione alla velocità più alta in modo da ottenere la massima velocitàsu strada piana, corrispondente alla IV marcia (di solito si pone τ C = 1 e si definisce τ P in modo daottenere la condizione di cui sopra).2. Si sceglie il rapporto di trasmissione in prima marcia τ CI in modo da realizzare la massima accelerazione.3. Si definiscono i rapporti di trasmissione intermedi in maniera opportunamente graduata (per esempioseguendo una progressione geometrica per minimizzare i tempi di ripresa).75

Parte IILa dinamica laterale76

Capitolo 8Sterzatura8.1 Sterzatura cinematicaSi definisce sterzatura cinematica il moto di un veicolo su una traiettoria curva determinata dal purorotolamento delle ruote.Da questa definizione segue che, in condizioni di sterzatura cinematica, la velocità delle ruote è contenutanel loro piano medio e gli angoli di deriva sono tutti nulli, perciò le ruote non possono esercitare forzetrasversali per equilibrare la forza centrifuga dovuta alla traiettoria curvilinea.Quindi la sterzatura cinematica è una pura astrazione ed è possibile solo se la velocità sulla traiettoriacurva tende a zero.Fig. 8.1: Schema di veicolo in condizione di sterzatura cinematica (Fonte: [5])Perché le condizioni di sterzatura cinematica siano verificate, il centro istantaneo di rotazione O di tuttele ruote coincide: tale punto è anche il centro di curvatura dell’intero veicolo (Fig. 8.1).In queste condizioni, i due angoli di sterzo non possono essere uguali, infatti devono valere le relazioni:ltan δ 1 =R 1 − t 2ltan δ 2 =R 1 + t 2(8.1)Eliminando R 1 dalle precedenti, si ottiene una relazione diretta fra gli angoli δ 1 e δ 2 , nota come relazionedi Ackermann:77

8.1. Sterzatura cinematica 8. STERZATURAcot δ 2 − cot δ 1 = t l(8.2)Un dispositivo capace di rispettare pienamente la condizione (8.2) è il giunto di Ackermann (Fig. 8.2).Fig. 8.2: Giunto di Ackermann (vista dall’alto)Infatti, per uno spostamento x dell’asse di comando, le due ruote ruotano di un angolo α (δ 1 ) e β (δ 2 ).Dalla Fig. 8.2 si ottiene:x = h tan δ − h tan (δ − δ 1 ) = h tan (δ + δ 2 ) − h tan δ (8.3)Ne consegue:cot δ 2 − cot δ 1 = 2 tan δ (8.4)Confrontando la (8.4) con la (8.2) è immediato verificare che il giunto di Fig. 8.2 realizza pienamente lacondizione di Ackermann qualora si faccia in modo che:2 tan δ = t lIl rapporto t lè una caratteristica del veicolo e permette di trovare l’angolo di cui devono essere inclinatele guide prismatiche del sistema di sterzo che sia realizzato con un giunto del tipo quello di Fig. 8.2.Fig. 8.3: Meccanismo di sterzo a quadrilatero articolato (vista dall’alto)Tale meccanismo non viene in pratica mai utilizzato a causa delle presenze delle coppie prismatiche cherichiedono costi e manutenzione eccessivi; si preferisce usare un meccanismo a quadrilatero articolato comequello rappresentato in Fig. 8.3. Con un sistema di questo tipo, però, non si è in grado di rispettare lacondizione di Ackermann. Si può dimostrare, infatti, che per il sistema di Fig. 8.3 vale:√ (l2 ) 2sin(δ − δ 2 ) + sin(δ + δ 1 ) = − 2 sin δ − [ cos(δ − δ 2 ) cos(δ − δ 1 ) ] 2l 1(8.5)78

8.1. Sterzatura cinematica 8. STERZATURAPer valutare di quanto ci si discosta dalla condizione di sterzatura cinematica si riporta l’errore ∆δ 2 =δ 2 − δ 2ACK rispetto a δ 1 (Fig. 8.4): generalmente, si tende a preferire una situazione di compromesso,imponendo δ = 18°.Fig. 8.4: Andamento qualitativo dell’errore commesso rispetto alla condizione di Ackermann utilizzando un sistemadi sterzo come quello di Fig. 8.3 (Fonte: [5])L’importanza delle condizioni d’Ackerman per un buon comportamento direzionale è stata spesso sovrastimata,infatti:• è sempre presente un angolo di deriva;• le sospensioni generano un effetto sterzante dovuto al rollio del veicolo;• le ruote sterzanti sono convergenti;• le deformazioni delle sospensioni inducono piccoli angoli che dipendono dalle forze scambiate in direzioneverticale.L’errore di sterzatura ha effetto su una maggiore usura delle ruote anteriori e sulla centratura dello sterzo:il momento con cui lo sterzo reagisce deve aumentare gradualmente all’aumentare dell’angolo di sterzaturache si può ottenere con una corretta geometria di Ackermann.In definitiva, le condizioni di Ackermann al più minimizzano il consumo di battistrada, in quantorealizzano le condizioni in cui nessuna ruota striscia.8.1.1 Il modello a biciclettaPer ottenere delle relazioni di più facile utilizzo si preferisce fare uso di un modello semplificato, il qualeprevede che le ruote destre e sinistre si comportino allo stesso modo: il veicolo è, quindi, ricondotto alloschema di un semplice biciclo (Fig. 8.5).Con la simbologia di Fig. 8.5 abbiamo:cot δ = R 1lEliminando t 2 dalle (8.1), la precedente diviene: 79

8.2. Limite di slittamento e ribaltamento 8. STERZATURAFig. 8.5: Schema di modello a bicicletta (Fonte: [5])cot δ = cot δ 1 + cot δ 22Il raggio R di curvatura della traiettoria del baricentro risulta:R =√b 2 + R 2 1 = √b 2 + l 2 cot 2 δ(8.6)Se il raggio di curvatura è grande rispetto al passo del veicolo e l’angolo di sterzo piccolo, si può porre:che può essere riscritta nella forma:R ∼ = l cot δ ∼ = l δ1Rδ = 1 lLa (8.7) definisce il guadagno della curvatura della traiettoria, che rappresenta il rapporto fra la curvaturache percorre il veicolo e l’angolo di sterzo imposto: in condizioni di sterzatura cinematica, detto rapportorimane costante e uguale all’inverso del passo del veicolo.Un’espressione analoga può essere ricavata per l’angolo β di deriva del veicolo. Dalla Fig. 8.5 si ha:( )bβ = arctan √ ∼= arctan bR2 − b 2 RSfruttando la (8.7), sempre con l’ipotesi di piccoli angoli, otteniamo la relazione cercata:(8.7)(8.8)βδ = b l(8.9)8.2 Limite di slittamento e ribaltamentoUn veicolo che percorra una curva ad una determinata velocità è sottoposto a una forza centrifuga chevaria col variare del raggio della curva e della velocità con cui percorre la suddetta curva. A secondadell’intensità delle forze di aderenza, ci sarà un limite per cui le ruote cominceranno a slittare lateralmente80

8.2. Limite di slittamento e ribaltamento 8. STERZATURAoppure il veicolo può giungere a ribaltarsi. In questo paragrafo si vuole valutare quando intervengono questilimiti.Fig. 8.6: Forze agenti su un veicolo che percorre una traiettoria curvilinea (Fonte: [5])La situazione è quella rappresentata in Fig. 8.6: il veicolo percorre in condizioni stazionarie (V = cost) unastrada piana con inclinazione laterale α t e curvatura di raggio costante R; si trascurano le forze aerodinamichelungo x ma non quelle dovute alla portanza; il veicolo non si trova in condizioni di sterzatura cinematica,ma sono presenti su tutte le ruote i rispettivi angoli di deriva, senza i quali non si potrebbero produrre leforze laterali necessarie al moto curvilineo.Si considera un sistema di riferimento Gηz, con asse η parallelo alla superficie stradale e passante per ilcentro O ′ di istantanea rotazione del veicolo: la F y non giace su η, ma l’angolo compreso fra gli assi η e y ètale da poter ammettere che P ηi = F yi .L’equilibrio alla traslazione in direzione η comporta:mentre quello lungo z:m V 2R cos α t − mg sin α t = ∑ i P η i= ∑ i F y i(8.10)F z = mg cos α t + mV 2R sin α t − 1 2 ρSC zV 2 (8.11)Se supponiamo che il coefficiente d’aderenza sia lo stesso per tutte le ruote (µ yi = µ y ∀i), possiamoscrivere:e, per la (8.11), la (8.10) diviene:Ponendo:∑i F y i= ∑ i µ y iF zi = µ y∑i F z iV 2gR − tan α t = µ y ·(1 + V 2gR · tan α t − 1 2M = 1 ρSC z V 22 mg cos α t81= µ y F zρSC z V 2 )mg cos α t(8.12)

8.2. Limite di slittamento e ribaltamento 8. STERZATURAla precedente diventa:V 2gR = tan α (t + µ )y 1 − MV2(8.13)1 − µ y tan α tche rappresenta il rapporto fra accelerazione centrifuga e accelerazione di gravità.Il valore massimo di tale rapporto si ha in corrispondenza del valore di picco di µ:Al termine:( ) V2Rmax= g tan α t + µ yP(1 − MV2 )1 − µ yP tan α t= gf s (8.14)f s = tan α t + µ yP(1 − MV2 )1 − µ yP tan α t(8.15)si da il nome di fattore di slittamento.L’espressione (8.14) fornisce il valore massimo della velocità di percorrenza di una curva di raggio Rcompatibilmente con l’aderenza disponibile: se si percorre una curva con una velocità maggiore di quelladefinita da questa relazione, il veicolo inevitabilmente slitta lateralmente. Si noti che la (8.14) è un’espressioneindiretta; se si vuole un’espressione diretta della V max , dopo alcuni passaggi avremo:V max = √ √tan α t + µ yPRg ·1 − µ yP · (tan α t − RgM)Se si trascurano i termini aerodinamici, dalle (8.14) e (8.15), si ottiene direttamente:V max = √ Rg · √fsCome già detto ad inizio del paragrafo, il limite alla velocità di percorrenza di una curva dovutoall’aderenza dei pneumatici non è l’unico: infatti un ulteriore limitazione viene dal pericolo di ribaltamento.Le condizioni di ribaltamento imminente si hanno quando la risultante delle forze nel piano yz cade fuoridal punto A della figura 8.6. Facendo l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto A e considerando che sulpneumatico destro e sinistro agisca F z /2 si ha:mV 2R h cos α t − mgh sin α t = 1 (mg cos α t + mV 22R sin α t − 1 )2 ρSC zV 2 t (8.16)Dividendo per mg cos α t e riordinando:V 2 tan α t + tgR = 2h · (1− MV 2)1 − t2h · tan α tIn analogia al caso precedente si definisce un fattore di ribaltamento come:(8.17)per cui la (8.17) diviene:f r =tan α t + t2h · (1− MV 2)1 − t2h · tan α t( ) V2RmaxIn conclusione, il limite di percorrenza della curva sarà:(8.18)= gf r (8.19)82

8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA( ) V2Rmax= g min (f s , f r ) (8.20)Generalmente, si verifica che µ yP < t2h , ossia f s < f r : questo significa che la vettura tenderà a slittareprima di ribaltarsi.Tab. 8.1: Valori tipici del rapportoTipo Veicolot2hAutovettura 1,1–1,6Veicolo commerciale 0,8–1,1TIR o Autobus 0,4–0,8t2hOccorre a questo punto fare alcune osservazioni: l’ipotesi che il coefficiente d’aderenza sia uguale per tuttele ruote non è facilmente realizzabile nella realtà, ma l’ipotesi più restrittiva è l’aver trascurato completamentel’effetto delle sospensioni, che hanno, invece, un’influenza notevole nei fenomeni analizzati. Ad esse sonocorrelati, infatti, i trasferimenti di carico che si hanno fra ruota esterna e interna alla curva, il moto di rolliocui è sottoposta la cassa del veicolo (che porta a una diversa disposizione del baricentro) e tutta una seriedi fenomeni dinamici che potrebbero, a seguito, per esempio, di un’eccitazione come l’urto della ruota conun marciapiede, portare il sistema vibrante telaio–sospensioni–ruote a condizioni di risonanza.Le considerazioni svolte in questo paragrafo sono, comunque, utili per avere un quadro d’insieme delproblema.8.3 Sterzatura dinamicaL’autoveicolo viene considerato un corpo rigido avente tre gradi di libertà. Utilizzando il sistema diriferimento di Fig. 8.7, si possono prendere come coordinate del sistema le coordinate X e Y del baricentroe l’angolo di imbardata ψ fra gli assi “locale” x e “assoluto” X.Fig. 8.7: Sistema di riferimento per lo studio della dinamica laterale del veicolo (Fonte: [5])Le equazioni di moto sono:83

8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA⎧mẌ ⎪⎨= F XmŸ ⎪⎩= F Y(8.21)J Z ¨ψ = MZÈ noto che per passare dal sistema di riferimento assi corpo xyz al sistema assi inerziale ∗ XY Z occorremoltiplicare le espressioni trovate nel primo sistema per la matrice di rotazione R(ψ): poiché ψ non èpiccolo, le espressioni ottenute non sono linearizzabili. Difatti, l’utilizzo di questo modello è indirizzato allarisoluzione numerica del problema dinamico.Avremo:dove la matrice:[ ] [F X cos ψ=F Y sin ψ[cos ψR (ψ) =sin ψ] [ ]− sin ψ F xcos ψ F y]− sin ψcos ψ(8.22)(8.23)rappresenta la matrice di rotazione per passare dalle coordinate del sistema di riferimento mobile xyz aquello fisso XY Z. Evidentemente, la matrice R gode di tutte le proprietà delle matrici di rotazione; inparticolare † :R T = R −1ossia:Con riferimento alla Fig. 8.7 e dalla definizione (8.23) possiamo porre:] [ ][Ẋ u= RẎ v(8.24)Derivando rispetto al tempo:{Ẋ = u cos ψ − v sin ψẎ = u sin ψ + v cos ψ(8.25)e raccogliendo:{Ẍ = ˙u cos ψ + u ˙ψ sin ψ − ˙v sin ψ − v ˙ψ cos ψŸ = ˙u sin ψ + u ˙ψ cos ψ + ˙v cos ψ − v ˙ψ sin ψ(8.26)Le equazioni di moto (8.21) diventano allora:{Ẍ =(˙u − v ˙ψ ) cos ψ − ( ˙v − u ˙ψ ) sin ψŸ = ( ˙u − v ˙ψ ) sin ψ + ( ˙v + u ˙ψ ) cos ψ(8.27)⎧ (m[˙u − v ˙ψ) (cos ψ − ˙v − u ˙ψ) ]sin ψ = F X⎪⎨ (m[˙u − v ˙ψ) (sin ψ + ˙v + u ˙ψ) ](8.28)cos ψ = F Y⎪⎩J Z ¨ψ = MZ∗ Si noti che nei due sistemi di riferimento gli assi z e Z coincidono.† Dalla (8.23) basta verificare che RR T = I e ricordare che per definizione R −1 è tale che: RR −1 = I.84

8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURAOsservando che:[R −1 cos ψ=− sin ψ]sin ψcos ψe premoltiplicando per essa il secondo membro della (8.27) dopo alcuni passaggi otteniamo:[cos ψ− sin ψ] [(sin ψ ˙u − v ˙ψ ) cos ψ − ( ˙v − u ˙ψ ) ] [sin ψ(cos ψ ˙u − v ˙ψ ) sin ψ + ( ˙v + u ˙ψ ) ˙u −=˙ψv]cos ψ ˙v + ˙ψu(8.29)Dalla (8.22) si ha anche:[ ] [ ]R −1 F X F x=F Y F y(8.30)che, unita alla (8.28) e alla (8.29), porta a:⎧m ( ˙u − ⎪⎨ ˙ψv ) = F xm ( ˙v + ˙ψu ) = F y(8.31)⎪⎩J Z ¨ψ = MZLe espressioni trovate, pur essendo ancora non lineari, sono, rispetto alle (8.21), più semplici da scriveree più facilmente linearizzabili.8.3.1 Angoli di derivaAnche gli angoli di deriva possono essere espressi in funzione delle coordinate assolute.Fig. 8.8: Posizione e velocità dell’orma di contatto nel sistema di riferimento inerziale (Fonte: [5])Con riferimento alla Fig. 8.8, si può esprimere la velocità del centro P i dell’orma dell’i-esima ruota come:[ ]V Pi = V G + ˙ψk u∧ (P i − G) =vL’angolo β i fra la velocità del punto P i e l’asse x è dato da:[+ ˙ψk( )u −∧ x i i + y i j =˙ψy]iv + ˙ψx i(8.32)85

8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA( ) (viv +β i = arctan = arctan˙ψx)iu i u − ˙ψy imentre l’angolo di deriva α i da (δ i è l’angolo di sterzo):8.3.2 Trasferimento di carico(8.33)(v +α i = β i − δ i = arctan˙ψx)iu − ˙ψy − δ i (8.34)iPer valutare l’influenza delle forze normali (e, in particolare, la loro asimmetria dovuta, appunto, altrasferimento di carico) sulla sterzatura occorre considerare la deformabilità delle sospensioni, anche se èstata trascurata nel modello fin qui sviluppato.Fig. 8.9: Trasferimento di carico (Fonte: [5])Con riferimento alla Fig. 8.9, indicati con F zi e ∆F zi il carico totale e il trasferimento di carico agentisull’assale i-esimo, le forze agenti sulle ruote destra e sinistra dello stesso assale valgono:⎧⎪⎨⎪⎩F zisF zid= F z i2 + ∆F z iL’equilibrio alla rotazione attorno all’asse x porta poi a:∑= F z i2 − ∆F z i(8.35)F y ih G + ∑ t i∆F zi + M xaer = 0 (8.36)i idove generalmente M xaer viene trascurato.Se si considera, a questo punto, la rigidezza torsionale k ti dell’assale i-esimo e si indica con φ l’angolo dirollio, avremo:Questa relazione può essere estesa all’intero veicolo:∑t i ∆F zi = k ti φ (8.37)k t k∆F zk = φ ∑ k k t k(8.38)Ricavando φ dalla precedente e sostituendo nella (8.37):∆F zi = k ∑t∑ i k t k∆F zkk k (8.39)t kt i86

8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURA8.3.3 Equazioni di motoFig. 8.10: Forze al contatto ruota–suolo scomposte secondo gli assi corpo (a)) e secondo gli assi pneumatico (b))(Fonte: [5])Facendo riferimento alla Fig. 8.10, la (8.31) diventa:⎧m ( ˙u − ˙ψv ) = ∑ F x ipcos δ i − ∑ F y ipsin δ i − 1i i 2 ρSC xV 2 − mg sin α⎪⎨ m ( ˙v + ˙ψu ) = ∑ F x ipsin δ i + ∑ F y ipcos δ i + 1i i 2 ρSC yV 2 + mg sin α tJ Z ¨ψ =∑i F x ipx i sin δ i + ∑ F y ipx i cos δ i − ∑ F x ipy i cos δ i + ∑ F y ipy i sin δ ii i i⎪⎩+ ∑ M z i+ 1i 2 ρS ˜C z V 2 l(8.40)Queste espressioni sono facilmente linearizzabili se si suppone che tutti gli angoli siano piccoli: questaipotesi è generalmente accettabile nelle normali condizioni di esercizio, laddove non siano richieste alteprestazioni.Quindi, se si suppone β ≈ 0:{u = V cos β ≈ Vv = V sin β ≈ V β(8.41)Se si indica la velocità di imbardata con r = ˙ψ, la (8.31) diventa:⎧m ( ) ˙V − rV β = Fx⎪⎨m ( ˙v + rV ) = mV ( ) ˙β + r + mβ ˙V = Fy(8.42)⎪⎩J Z ṙ = M ZSe si considera solo la prima equazione del sistema (8.42) e si suppone che siano trascurabili i terminiδ i ≈ 0 e rβ ≈ 0, si avrà:m ˙V = F xm + F xnm − 1 2 ρSC xV 2 (8.43)avendo indicato con i termini F xme F xnm , rispettivamente, la forza motrice (o frenante) e la forza nonmotrice esercitata sulle ruote folli. Se si suppone nota la legge V (t), si ottiene immediatamente F xme F xnm87

8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURAsenza bisogno di conoscere le azioni agenti lungo y: ciò equivale a dire che il comportamento longitudinaledel veicolo non è influenzato da quello laterale.Anche le espressioni degli angoli di deriva possono essere linearizzate. Dalle (8.33) e (8.34), poiché ˙ψy i èassai più piccolo di V , si ha:β i = V β + rx iVL’espressione linearizzata delle forze laterali si ottiene direttamente dalla (8.40):α i = β + r x iV − δ i (8.44)F y = ∑ i F x ipδ i + ∑ i F y ip+ 1 2 ρSC yV 2 + mg sin α t (8.45)Riprendendo la definizione di rigidezza di deriva, nelle ipotesi in cui ci siamo posti, possiamo scrivere:(F yip = −C i α i = −C i β + r x )iV − δ i(8.46)In questa espressione si sono trascurati i termini dovuti alla rigidezza di campanatura in quanto essa ègeneralmente assai più piccola rispetto a quella di deriva e perché, avendo completamente trascurato il rollioin questo modello di veicolo privo di sospensioni, le forze di campanatura di uno stesso asse sono eguali eopposte.Se si linearizza anche il coefficiente aerodinamico:e si suppone:C y = ∂C y∂β β . = (C y ), β βla (8.45) diventa:F y = ∑ i F x ipk i δ − ∑ i C i8.3.4 Derivate di stabilitàδ i = k i δ(β + r x )iV − k iδ + 1 2 ρS(C y), β βV 2 + mg sin α t (8.47)La precedente equazione può essere riscritta raccogliendo le variabili del moto β, r e δ:F y =[− ∑ C i + 1 ] (∑ ) r[∑)]i 2 ρSV 2 (C y ), β β − x ii V + k i(C i + F xip δ + mg sin α t (8.48)iAi parametri moltiplicativi si da il nome di derivate di stabilità:⎧Y β = − ∑ ⎪⎨C i + 1i 2 ρSV 2 (C y ), βY r = − 1 ∑Vx iC ii⎪⎩ Y δ = ∑ )k i(C i + F xipi(8.49)Dalle espressioni (8.49) è evidente che, in generale, le derivate di stabilità non sono costanti, ma dipendonodalla velocità.Espressioni analoghe si possono ottenere per i momenti d’imbardata. La terza delle (8.40) viene linearizzatain:M Z = ∑ i F x ipx i δ i + ∑ i F y ipx i − ∑ i F x ipy i + ∑ i F y ipy i δ i + ∑ i M z i+ 1 2 ρS ˜C z V 2 l (8.50)88

8.3. Sterzatura dinamica 8. STERZATURANella precedente il termine ∑ i F y ipy i δ i è generalmente trascurabile rispetto agli altri termini, mentre,per quanto riguarda il termine ∑ i F x ipy i , il contributo delle forze frenanti o di trazione è nullo perché detteforze per ruote dello stesso asse sono uguali, opposte e danno pertanto momento nullo. L’unico termine chedà momento è quello dovuto al trasferimento di carico e all’attrito di rotolamento (che, pur essendo piccolo,varia con il quadrato della velocità):∑i F x ipy i = ∑ i t i∆F zi(f0 + KV 2) (8.51)Trascurando il momento aerodinamico nella (8.36), si ha:che sostituita nella precedente porta a:∑∑i F y ih G + ∑ i t i∆F zi = 0 (8.52)i F x ipy i = − ∑ i F y ih G(f0 + KV 2) (8.53)Se si linearizza anche l’espressione del momento di autoallineamento:l’ultima delle (8.40) diventa:M zi = (M zi ), α α (8.54)J Z ¨ψ = Nβ β + N r r + N δ δ + M ze (8.55)in cui si sono definite le derivate di stabilità del momento come:⎧N β = ∑ ( [C i x i + (M zi ), α + h G f0 + KV 2) ]C i + 1i⎪⎨2 ρS( ˜C y ), β V 2 lN r = 1 ∑ [C i x 2 (i + (M zi ), α x i + h G f0 + KV 2) ]C i x iV i⎪⎩ N δ = ∑ k (i[C i x i − (M zi ), α + F xip x i − h G f0 + KV 2) ]C ii(8.56)8.3.5 Equazioni di moto linearizzateIn definitiva, le espressioni finali delle equazioni di moto linearizzate sono:Si seguono generalmente due metodi di studio:{mV( ˙β + r)+ m ˙V β = Yβ β + Y r r + Y δ δ + F yeJṙ = N β β + N r r + N δ δ + M ze(8.57)• a comandi bloccati: si considera assegnato l’angolo di sterzo δ e le azioni esterne F ye e M ze ;• a comandi liberi: l’angolo di sterzo è anch’esso variabile; occorre aggiungere un’equazione aggiuntivache descriva la legge di sterzo.Nel primo caso, qualora si ipotizzi che non vi siano (ovvero, siano trascurabili) né azioni aerodinamiche,né trasferimento di carico, né interazione fra le forze longitudinali e trasversali, si può mostrare che le derivatedi stabilità sono costanti, qualora sia costante anche la velocità.Riprendendo l’espressione (8.46), possiamo scrivere (Fig. 8.11):F ya = −C a α a F yp = −C p α pα a = β + r a V − δα p = β − r b V89

8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURAFig. 8.11: Forze agenti sul veicolo in condizioni di sterzatura: modello a biciclettae le (8.57) diventano ‡ :ossia:si ha:⎧⎪⎨⎪⎩{mV( ˙β + r)+ m ˙V β = Fya + F ypJṙ = F ya a − F yp bmV ˙β + ( m ˙V + C a + C p)β +(mV + C aaaJṙ + (C a a − C p b) β +(C 2ab 2V + C pVV + C bpV)r = C a aδ)r = C a δSi può esprimere la precedente anche in forma matriciale. Posto:[ ][ ]βC ax =c =rC a a⎡⎤[ ]mV 0⎢m ˙V a+ C a + C p mV + C aA =B = ⎣V + C bpV ⎥0 J Za 2 b 2 ⎦C a a − C p b C aV + C pV(8.58)(8.59)Aẋ + Bx = c δ (8.60)8.4 Comportamento direzionale a regimeStudiamo il comportamento del veicolo a regime imponendo un angolo di sterzo δ costante e una velocitàV di percorrenza costante, cioè:In queste condizioni la velocità angolare r vale:V = cost δ = 0‡ Poiché δ ≈ 0.90

8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURAr = V RFig. 8.12: Sterzatura dinamica: modello a biciclettaCome risulta anche dalla Fig. 8.12, l’angolo tra le due normali alle velocità effettive dei pneumatici valeδ − α a + α p .Risulta quindi:δ − α a + α p = l RGli angoli di deriva in funzione delle forze trasversali sono espressi da:(8.61)α a = − F y aC aα p = − F y pC p(8.62)Fig. 8.13: Equilibrio laterale per l’intero veicolo in curvaIn curva, le forze di contatto devono equilibrare solo la forza centrifuga del veicolo (Fig. 8.13):In definitiva, si avrà:F ya = − mV 2RblF yp = − mV 2Ral(8.63)δ = l R + mV 2Rl( b− a )= l (1 + KV2 ) (8.64)C a C p R91

8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURAdove si è chiamato coefficiente di sottosterzo il parametro:K = m l 2 ( bC a− a C p)(8.65)Quindi, in condizioni di sterzatura dinamica il guadagno della curvatura della traiettoria non è piùcostante, ma varia con la velocità secondo la legge:1Rδ = 1 l · 11 + KV 2 (8.66)Il coefficiente (8.65) definisce il comportamento sovrasterzante o sottosterzante del veicolo:• K > 0: sottosterzante;• K = 0: neutro;• K < 0: sovrasterzante.Infatti, dall’espressione (8.66), per K > 0 il guadagno della curvatura diminuisce all’aumentare di V ,ossia l’angolo di sterzo δ che si deve impostare per percorrere una curva di raggio R cresce al crescere dellavelocità di percorrenza della curva stessa: il veicolo dimostra, appunto, un comportamento sottosterzante.Viceversa, per K < 0, l’angolo di sterzo che si deve impostare per percorrere una data curva diminuisceall’aumentare della velocità di percorrenza della curva, ossia il veicolo è sovrasterzante.Si possano fare le precedenti considerazioni in termini di guadagno della curvatura di traiettoria, anzichédi angolo di sterzo.1Il termine può essere interpretato come un fattore correttivo che permette di ottenere la risposta1 + KV2in condizioni dinamiche a partire dalla risposta in condizioni di sterzatura cinematica:• Se K > 0 e V aumenta, la curvatura è più piccola: il veicolo è sottosterzante.• Se K < 0 e V aumenta, la curvatura è più grande: il veicolo è sovrasterzante.Per entrambe le tipologie di veicoli si individua una velocità “particolare”, dal diverso significato fisico.Si definisce velocità caratteristica di un veicolo sottosterzante la velocità alla quale l’angolo di sterzonecessario per seguire una data traiettoria è il doppio dell’angolo di Ackermann (ossia dell’angolo di sterzoche si deve dare per quella curvatura in condizione di sterzatura cinematica): a questa velocità, il guadagnodella traiettoria vale 1/2l.Ponendo nella (8.66):risulta:11 + KV 2 = 1 2√1V car =K(8.67)Per un veicolo sovrasterzante, si definisce velocità critica quella in corrispondenza della quale il guadagnodi curvatura tende ad infinito: è un condizione di instabilità, in quanto la vettura tende a sterzare senza chesia applicato alcun angolo di sterzo δ.Ricercando nella (8.66)è sempre:1limV →V crit Rδ = ∞92

8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURAFig. 8.14: Guadagno della curvatura a regime (Fonte: [5])V crit =√− 1 K(8.68)Si può ricercare un’espressione analoga alla (8.66) per il guadagno dell’angolo di deriva, che risulta:( )βδ = b 1 − maV 2 1l blC p 1 + KV 2 (8.69)Si vuole ora capire come varia la traiettoria seguita del veicolo in funzione del suo comportamento sovrao sottosterzante. Con riferimento alla Fig. 8.15, si considera un veicolo a due ruote con il solo asse anterioresterzante.Per velocità tendenti a zero si è in condizioni di sterzatura cinematica: gli angoli di deriva sono nulli e ilveicolo si muove su una traiettoria curvilinea di centro O e raggio R.Al crescere della velocità le ruote si muovono con angoli di deriva α a e α p crescenti.Se gli angoli di deriva sono uguali α a = α p , l’angolo BÔ′ A continua a valere δ e quindi il punto O ′ sitrova su una circonferenza passante per i punti di contatto A e B e il centro O di curvatura della traiettoriain condizioni cinematiche: il raggio di curvatura della traiettoria R ′ è pressoché uguale a quello in condizionicinematiche R: il veicolo è neutro.Se invece α a > α p , il centro si sposta in O ′′ e ne segue che R ′′ > R: il veicolo è sottosterzante.Viceversa, se α a < α p , O ′′′ è il nuovo centro di istantanea rotazione e quindi R ′′′ < R: il veicolo èsovrasterzante.8.4.1 Rigidezza di deriva, punto neutro e margine staticoLe espressioni (8.65) e (8.66) mostrano che l’assetto in curva del veicolo e di conseguenza il suo comportamentosotto o sovrasterzante dipende in primo luogo dalla rigidezza di deriva dei due assi anterioree posteriore e dalla posizione del baricentro del veicolo rispetto ai due assi. Un veicolo con rigidezza dideriva dell’asse anteriore inferiore a quella dell’asse posteriore (C a < C p ) e contemporaneamente con baricentrospostato verso l’asse anteriore (b > a) presenterà un comportamento sottosterzante, mentre alcontrario un veicolo con bassa rigidezza di deriva dell’asse posteriore tenderà a mostrare un comportamentosovrasterzante.La presenza di una forza longitudinale (di trazione o di frenatura) su uno dei due assi, tende a ridurrela corrispondente rigidezza di deriva. Ne consegue che un veicolo a trazione anteriore mostrerà di normaun comportamento sottosterzante, mentre un veicolo a trazione posteriore mostrerà tendenzialmente un93

8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURAFig. 8.15: Comportamento di direzionale di un veicolo ad un asse sterzante: modello a bicicletta (Fonte: [5])comportamento sovrasterzante. Poiché le resistenze al moto crescono con il quadrato della velocità, larigidezza di deriva dell’asse motore e di conseguenza il comportamento sotto/sovrasterzante cambierannocon la velocità.Si definisce punto neutro il punto in cui si pensa applicata la risultante delle forze laterali di deriva deipneumatici con δ = 0 e r = 0.Se si sfrutta il modello linearizzato, le forze di deriva sono date da:e la coordinata del punto neutro risulta pertanto:F ya = −C a β F yp = −C p βPiù in generale, per mezzo delle derivate di stabilità si può porre:e la coordinate del punto neutro diventa:x N = aC a − bC pC a + C p(8.70)F yβ = Y β β M yβ = N β βx N = N βY β(8.71)Si definisce poi margine statico il rapporto fra la coordinata del punto neutro e il passo del veicolo:M s = x N(8.72)lIn Tab. 8.2 sono riassunti i segni assunti dalle caratteristiche che definiscono il comportamento direzionaledel veicolo.94

8.4. Comportamento direzionale a regime 8. STERZATURATab. 8.2: Segni delle grandezze che definiscono il comportamento direzionale del veicoloComp. direz. K M s x N |α a | − |α p |Sottosterzante ⊕ ⊖ ⊖ ⊕Neutro 0 0 0 0Sovrasterzante ⊖ ⊕ ⊕ ⊖8.4.2 Influenza delle forze longitudinaliRiprendendo le espressioni dell’approssimazione ellittica ottenute nel paragrafo 4.3.1, si può scrivere perciascun assale:( )√2 ( ) 2 FxµxC = C 0√1 − = C 0 1 −(8.73)µ p F z µ xpQuindi il comportamento direzionale è fortemente influenzato dall’aderenza.Fig. 8.16: Variazione del margine statico per veicolo a trazione anteriore e a trazione posteriore per diversi valori delµ xp (Fonte: [5])In particolare, all’aumentare della velocità deve aumentare la forza traente F x necessaria a mantenere ilveicolo in moto a quella velocità e quindi, poiché la forza traente massima µ p F z rimane costante una voltache sia fissato µ p , deve diminuire la rigidezza di deriva C dell’assale motore. Pertanto, se il veicolo è atrazione posteriore aumenta il comportamento sovrasterzante, mentre se è a trazione anteriore aumenta ilcomportamento sottosterzante.Come si osserva dalla Fig. 8.16, questo comportamento è più accentuato quanto più alta è la velocità opiù bassa l’aderenza.8.4.3 Trasferimento di carico trasversaleNel modello a bicicletta non è stato considerato il trasferimento di carico trasversale. Poiché la rigidezzadi deriva ha un andamento simile a quello di Fig. 8.17, se ∆z è piccolo (entro il valore rappresentato da(∆z) lim ) il trasferimento di carico ha poca influenza, mentre, quando ∆z è maggiore, la diminuzione dellarigidezza sull’assale più scaricato non è compensato dall’aumento su quello dell’altra ruota.Per limitare in parte questa situazione, si può pensare di introdurre una barra antirollio che, aumentandola rigidezza dell’asse su cui è posta e incrementandone il trasferimento di carico, ne riduce la rigidezza dideriva.95

8.5. Risposta a sollecitazioni esterne 8. STERZATURAFig. 8.17: Influenza del trasferimento di carico sulla rigidezza di deriva (Fonte: [5])8.4.4 Convergenza dei pneumaticiCome sarà chiarito nel seguito, i pneumatici degli autoveicoli sono generalmente montanti in modo chei loro piani medi non siano perfettamente simmetrici ma piuttosto convergano anteriormente all’assale: laragione principale di questo montaggio va ricercata nel fatto che in questo modo la traiettoria rettilinearisulta una condizione stabile nel moto del veicolo.Si indichi con α c l’angolo di convergenza pari alla semiapertura delle direzioni di tali piani. Gli angoli dideriva delle due ruote anteriori destra e sinistra sono:ossia:La forza sull’assale è:F y = − 1 2α ad= β + a V r − δ − α c = α − α cα as = β + a V r − δ + α c = α + α c(8.74)[(αa− α c) ( C + ∆F z∂C∂F z)+ ( α a + α c) ( C − ∆F z∂C∂F z) ] (8.75)F y = C |α a | + α c ∆F z∂C∂F z(8.76)Trascurando il trasferimento di carico, l’effetto della convergenza non è rilevante finché la rigidezza rimanelineare.Se però non si trascura il trasferimento di carico, la convergenza produce un aumento della forza di derivaesercitata dall’assale interessato.8.5 Risposta a sollecitazioni esterneLe considerazione sul comportamento direzionale con il parametro K fin qui fatte, valgono quando lederivate di stabilità non dipendono dalla velocità. Altrimenti K non è costante e il veicolo varia il suocomportamento direzionale al variare della velocità.Sfruttando le derivate di stabilità, l’espressione del guadagno della curvatura della traiettoria è:96

8.5. Risposta a sollecitazioni esterne 8. STERZATURA1Rδ =Y δ N β − Y β N δ( ) ] (8.77)V[N β mV − Yr + Yβ N rSe le derivate di stabilità non sono costanti, non ha quindi senso definire il comportamento direzionaleper mezzo di K.Con la velocità pesano i termini aerodinamici, ( in particolare ) il momento di imbardata può avere uneffetto importante sul comportamento direzionale: ˜Cz , β > 0 porta ad un aumento del comportamentosottosterzante.Fig. 8.18: Guadagno della curvatura della traiettoria (Fonte: [5])In definitiva, il comportamento direzionale di un veicolo è rappresentato da un grafico del tipo rappresentatoin Fig. 8.18, dal quale risulta che si può definire una velocità V ′ di comportamento neutrocome:∂∂V( )∣ 1 ∣∣∣V= 0 (8.78)Rδ =V ′Si pensi ora di avere un veicolo in marcia in rettilineo. A seguito dell’applicazione di una forza lateralebaricentrica, se il veicolo è neutro la traiettoria seguita (a regime, dopo il transitorio immediatamentesuccessivo all’applicazione della forza) sarà sempre rettilinea (ma “deviata” rispetto a quella iniziale), mentrese il veicolo è sovra o sottosterzante le traiettorie saranno curvilinee secondo lo schema di Fig. 8.19.97

8.5. Risposta a sollecitazioni esterne 8. STERZATURAFig. 8.19: Risposta ad una forza esterna applicata nel baricentro in direzione y: a) veicolo neutro, b) sottosterzante,c) sovrasterzante (Fonte: [5])98

8.6. Stabilità direzionale 8. STERZATURA8.6 Stabilità direzionaleSe a un veicolo in moto stazionario si impone una perturbazione, il suo moto si modifica e si possonoverificare i seguenti casi:• stabilità non asintotica (stabilità statica): qualunque sia la perturbazione introdotta sul sistema, essocontinua a muoversi discostandosi di poco dalla condizione stazionaria rispetto alla quale è statoperturbato, ma non ritorna in tale condizione;• stabilità asintotica (stabilità dinamica): qualunque sia la perturbazione introdotta sul sistema, essocontinua a muoversi in prossimità della condizione di equilibrio o stazionaria e ritorna ad essa per untempo, al limite, infinito;• instabilità statica: esiste almeno una possibile perturbazione (combinazione di spostamento e velocitàiniziale) a seguito della quale il sistema si allontana dalla condizione di moto stazionaria senza piùritornarvi;• instabilità dinamica: esiste almeno una perturbazione a seguito della quale il sistema compie oscillazioniintorno alla posizione di equilibrio o condizione di moto stazionario, ma l’ampiezza delle oscillazioniaumenta nel tempo.Nel seguito, lo studio della stabilità del veicolo verrà eseguito tenendo conto che:• non si fa riferimento alla traiettoria, bensì alle variabili di stato;• si prescinde dall’intervento del pilota (comandi bloccati).Le equazioni del moto sono quelle già trovate in termini di derivate di stabilità:⎧⎪⎨⎪⎩mV ˙β + ( m ˙V + C a + C p)β +(mV + C aaaJṙ + (C a a − C p b) β +(C 2ab 2V + C pVV + C bpV)r = C a aδ)r = C a δNell’ipotesi di moto stazionario ( ˙V = 0) e comandi bloccati (δ = cost), definito il vettore di stato:[ ]βx =ril sistema (8.79) si riduce alla forma:(8.79)avendo posto:A =[]mV 00 JAẋ + Bx = Cδ (8.80)⎡⎤a⎢C a + C p mV + C aB = ⎣V + C b[ ]pV ⎥C aa 2C a a − C p b C aV + C b 2 ⎦ C =C a apVCome noto, la soluzione del moto perturbato la si può esprimere come somma del moto stazionario e diun termine x p indotto dalla perturbazione. La soluzione stazionaria si ottiene facilmente ponendo:ẋ sta = 0 → x sta = cost99

8.6. Stabilità direzionale 8. STERZATURAda cui risulta:La (8.80) diventa pertanto:Bx sta = CδAẋ p + Bx p = 0 (8.81)Il moto indotto dalla perturbazione è rappresentato dall’omogenea associata al moto, ossia dall’equazioneappena scritta.Dalla teoria delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, l’integrale generale di una equazionedel secondo ordine è del tipo:x p = x 0 e λtDerivando e sostituendo, ricercando solo la soluzione diversa da quella banale:det ( λA + B ) = 0dovremo risolvere un polinomio di secondo grado in λ, nella forma:in cui:Le soluzioni sono:P λ 2 + Qλ + R = 0P = mJVQ = m ( C a a 2 + C p b 2) + J ( )C a + C pR = 1 ( ) 2[C a C p a + b − mV2 ( C a a − C p b )]VPosto:λ 1,2 = − Q 2P ± √ ( Q2P) 2− R P( ) 2 Q∆ = − R 2P Psi distinguono tre casi § :1. R > 0, ∆ > 0 ⇒ Q > 2 √ P R = . Q crit . Si ottengono due soluzioni reali negative:λ 1 = − Q 2P − √ ( Q2P) 2− R P = −α 1 ∈ Rλ 2 = − Q 2P + √ ( Q2P) 2− R P = −α 2 ∈ RIl sistema non oscilla e si dice che è asintoticamente stabile.§ Si indicheranno con α, α 1 , α 2 e ω generici numeri reali positivi.100

8.6. Stabilità direzionale 8. STERZATURA2. R > 0, ∆ < 0 ⇒ Q < Q crit . Si ottengono due soluzioni complesse coniugate:√λ 1,2 = − Q ( ) 22P ± j R QP − = −α ± jω2PIl sistema oscilla ma tende a ritornare nella condizione di equilibrio: asintoticamente stabileoscillante.3. R < 0. Si ottiene una soluzione reale negativa e una positiva:λ 1 = − Q 2P − √ ( Q2P) 2− R P = −α 1 ∈ Rλ 2 = − Q 2P + √ ( Q2P) 2− R P = α 2 ∈ RIl sistema si allontana indefinitamente dalla condizione di equilibrio senza oscillare: staticamenteinstabile.Nel moto di un veicolo i tre casi sopra presentati sono gli unici possibili: infatti, essendo sempre P > 0e Q > 0, l’instabilità dinamica non può esistere.Nel caso di veicolo sottosterzante (K > 0), il coefficiente R è sempre positivo e dunque la vettura risultasempre stabile, indipendentemente dalla velocità di marcia.Nel caso di veicolo sovrasterzante (K < 0), il coefficiente R è positivo solo al di sotto della velocità critica( √ 1/K) e la vettura risulta stabile solo a velocità inferiori alla velocità critica. Quindi, al crescere dellavelocità, un veicolo sovrasterzante passa da una condizione stabile a una instabile.Abbiamo definito un valore critico per il coefficiente Q come:Q crit = 2 √ P R = 2√C a C p Jml 2( 1 + KV 2)Si possono presentare tre casi:1. K = 0: Q crit = cost2. K > 0: Q crit cresce se V cresce3. K < 0: Q crit diminuisce all’aumentare di VQuindi, un veicolo sottosterzante al crescere della velocità può passare da una condizione asintoticamentestabile ad asintoticamente stabile con oscillazione.101

Capitolo 9Instabilità direzionaleIn questo capitolo si vuole mostrare un’altro tipo di approccio al problema della dinamica laterale. Siritroveranno molti dei risultati ottenuti nei precedenti capitoli, ma per giungere ad essi seguiremo unastrada un po’ diversa.Durante il normale utilizzo dell’autoveicolo, il conducente presume che la traiettoria venga eseguita comeda lui impostata, ma normalmente ciò non avviene. Infatti il veicolo è continuamente sottoposto all’azionedi forze esterne, come per esempio una raffica di vento o una pendenza, che non fanno altro che alterarne ilpercorso.In tutte le situazione in cui la traiettoria impostata dallo sterzo varia sotto l’azione di tali perturbazioniesterne diremo di avere instabilità direzionale. Da notare che la seguente definizione non esclude nessunadirezione: comprende sia traiettorie rettilinee che curve. I casi sono comunque da esaminare separatamentein quanto fenomeni distinti.La causa di queste variazioni è da ricercare sostanzialmente alle variazioni degli angoli di deriva deirispettivi pneumatici: come abbiamo già visto, infatti, sotto l’azione di una forza trasversale l’impronta delpneumatico forma un certo angolo rispetto alla direzione teorica.9.1 Analisi dell’angolo di deriva (slip angle)Prima di osservare i vari casi di instabilità, è bene definire i principali parametri che influenzano l’angolodi deriva.Dal grafico gia visto dell’andamento della deriva in funzione del carico trasversale si definisce rigidità lateralela tangente dell’angolo che la curva forma (almeno nel primo tratto per ɛ < 5°, dove si può approssimarecome lineare).La forza perturbatrice F è chiamata forza di cornering e può essere scritta come:F = C α α (9.1)L’andamento della curva dipende sostanzialmente, dal tipo di pneumatico, dal peso Mg agente sul pneumatico,dalle caratteristiche del fondo stradale e dalla pressione di gonfiaggio p. Si può dimostrare che laderiva è funzione dei rapporti f/Mg e Mg/p, dove f è la forza che agisce assialmente alla ruota.Si nota altre sì come Mg abbia un effetto contrastante. L’esperienza infatti dimostra come il carico Mgpossa avere sia un effetto stabilizzante che destabilizzante.Nel nostro caso in cui il carico sui due assi è di solito inferiore a 5000 N, si è visto che ha un effettomaggiormente stabilizzante.Ci sono anche cause esterne che influenzano l’angolo di deriva, che sono:• la posizione del baricentro;102

9.2. Marcia in rettilineo 9. INSTABILITÀ DIREZIONALE• il tipo di trazione (anteriore, posteriore, integrale).9.1.1 La posizione del baricentroIdealmente il baricentro si potrebbe pensare al centro dei due assi, cosi facendo si avrebbe una distribuzionesimmetrica del peso, ma in realtà non è cosi. Infatti, la posizione dei vari organi (es: motore, cambio),fanno si che il baricentro sia spostato e quindi i due assi caricati in modo diverso.Tutto questo fa sì che ci siano diverse aderenze e, in presenza di una forza perturbante trasversale, diversedeformazioni e angolo di deriva.Quindi i pneumatici più vicini al baricentro avranno maggior deriva, in quanto essa è proporzionaleall’intensità della forza trasversale.9.1.2 Il tipo di trazioneVisto che le gomme non devono solo sostenere il peso del veicolo e resistere alle sollecitazioni del fondostradale, ma devono anche trasmettere la coppia torcente data dal motore, si intuisce facilmente come illimite di aderenza sia raggiunto prima dalle ruote che trasmettono anche la coppia.Nel caso si abbia la trazione integrale le cose non cambiano: infatti, la potenza non è mai ripartita al50%. È comunque da sottolineare il fatto che la trazione integrale, offrendo la possibilità di suddividere lacoppia motrice o di decelerazione (freno motore), lascia ad ogni ruota più forza a disposizione per contrastarele forze laterali (es: centrifuga, raffica di vento).A questo punto si possono considerare gli effetti dei diversi angoli di deriva suddividendo come abbiamofatto tra traiettoria rettilinea e curvilinea.9.2 Marcia in rettilineoIn questa trattazione useremo delle ipotesi restrittive e più precisamente:• il veicolo sia a velocità costante;• il conducente dopo la forza esterna mantenga almeno per un breve tempo lo sterzo nella stessa posizione(con angolo di sterzata nullo);• la forza perturbatrice si pensa applicata completamente al baricentro e coincide esattamente con ilcentro di spinta.L’ultima ipotesi è necessaria in quanto nella realtà una tale perturbazione di carattere aerodinamicogenererebbe inevitabilmente un momento di imbardata.Si possono distinguere allora tre casi (indicando con ɛ a e ɛ p gli angoli di deriva, rispettivamente, anterioree posteriore):1. ɛ a = ɛ p ;2. ɛ a > ɛ p ;3. ɛ a < ɛ p .103

9.2. Marcia in rettilineo 9. INSTABILITÀ DIREZIONALE9.2.1 Caso 1: ɛ a = ɛ pEssendo uguali gli angoli di deriva, il veicolo subirà uno spostamento laterale verso la parte della forzaperturbatrice, quindi durante l’azione della forza il vettore velocità sarà inclinato esattamente dell’angolo dideriva, ma successivamente continuerà a mantenere la stessa traiettoria.Questa situazione non è molto pericolosa in quanto non c’è nessuna forza che si oppone al moto prestabilito.Fig. 9.1: Caso 1: ɛ a = ɛ p9.2.2 Caso 2: ɛ a > ɛ pL’angolo di deriva delle ruote davanti è maggiore. In questo caso il veicolo tende a cambiare di traiettoriaincurvandosi maggiormente dalla parte anteriore. Così si verranno a generare istantaneamente delle forzecentrifughe che tenderanno a riportare il veicolo nella traiettoria originale, quindi a contrastare l’instabilità.Questa è la migliore condizione che si possa ottenere (in termini di stabilità).Fig. 9.2: Caso 2: ɛ a > ɛ p104

9.3. Marcia in curva 9. INSTABILITÀ DIREZIONALE9.2.3 Caso 3: ɛ a < ɛ pLa deriva del retrotreno è maggiore dell’avantreno. La rotazione crea una forza centrifuga concorde conla forza perturbatrice: in questo modo la deviazione compiuta viene esaltata e la stabilità è maggiormentecompromessa.Questo è il caso più sfavorevole per la stabilità.Fig. 9.3: Caso 3: ɛ a > ɛ pIn conclusione, si può notare che in fase di progetto si deve ricercare preferibilmente maggior derivasull’avantreno che sul retrotreno, in quanto in questo modo il controllo della vettura risulta più “intuitivo”anche per un guidatore meno esperto.9.3 Marcia in curvaRiterremo ancora valide le ipotesi fatte nel caso di moto rettilineo.Anche questa volta si possono esaminare distintamente tre casi e anch’essi differiscono tra loro esattamentecome in precedenza, cioè con la relazione di ordine tra gli angoli di deriva dell’avantreno e del retrotreno.Chiameremo inoltre l’angolo di sterzo α.Si ricorda anche che, se le velocità di avanzamento tendono a zero, gli angoli di deriva si riduconodrasticamente e si può utilizzare lo schema di sterzatura cinematica.Il centro di istantanea rotazione è comunque individuato dalle perpendicolari alle direzioni delle velocitàdelle ruote. Si può notare (Fig. 9.4 a pagina 106) come questo punto sia molto spostato verso la parteposteriore del veicolo.Andiamo adesso a vedere nel caso di velocità sostenute come si comporta il mezzo.Nel primo caso, si considerino gli angoli di deriva uguali sull’avantreno e sul retrotreno.Andando a tracciare come prima le perpendicolari si nota come il centro di rotazione si sposti leggermentein avanti ma il raggio di curvatura rimanga uguale.In questo modo il veicolo ha un comportamento neutro.Nel secondo caso, gli angolo di deriva anteriori sono maggiori dei posteriori.Questa volta tracciando le linee si vede chiaramente che il raggio di curvatura è aumentato rispetto alneutro (il veicolo quindi tende a compiere una curva di raggio maggiore).105

9.3. Marcia in curva 9. INSTABILITÀ DIREZIONALEFig. 9.4: Effetto della deriva dei pneumatici sulla marcia curvilineaNell’ultimo caso, con deriva maggiore nelle ruote posteriori, si vede che il raggio è diminuito e quindi latraiettoria tende a “stringere”.In base al comportamento del veicolo in curva, si può dire quindi che un veicolo è:neutro: quando percorre una traiettoria con raggio di curvatura che corrisponde all’incirca con quelloimpostato dal conducente;sottosterzante: quando ha tendenza a percorrere una traiettoria con raggio di curvatura maggiore di quellodella traiettoria voluta dal conducente, tende cioè ad allargare la curva;sovrasterzante: quando ha tendenza a percorrere una traiettoria con raggio di curvatura minore di quellodella traiettoria voluta dal conducente, tende cioè a stringere la curva.In fase di progettazione quasi tutte le vetture vengono studiate in modo tale da avere un comportamentosottosterzante. Infatti, tale condotta viene considerata come uno dei fattori di sicurezza passiva.Il veicolo che si trova in una situazione sottosterzante tende a compiere una traiettoria più larga (talesituazione limita oltretutto la forza centrifuga), cosicché il pilota, portato d’istinto a stringere la curva, esegueuna manovra corretta.Al contrario, nel caso di sovrasterzo la macchina tenta di compiere una traiettoria più stretta con raggiodi curvatura minore: aumenta la forza centrifuga, a scapito del grip. Inoltre, la manovra di correzionenecessaria è innaturale per il guidatore, che si ritrova a dover sterzare dalla parte opposta alla curva.Nonostante si pensi che il comportamento neutro sia il migliore si è visto che in curva, quando la macchinacomincia a sbandare, perde il grip quasi contemporaneamente su tutte e quattro le ruote, il che rende ancorapiù complicata la manovra di ripresa.I parametri su cui si può “giocare” per dare sotto-sovrasterzo sono i seguenti:• interventi sugli ammortizzatori;106

9.4. Studio della dinamica del cornering 9. INSTABILITÀ DIREZIONALEFig. 9.5: Schema di un veicolo in curva• barre anti-rollio;• rigidità degli elementi elastici;• convergenza;• campanatura;• diversa pressione di gonfiaggio delle gomme;• posizione dei centri di rollio e del baricentro.I parametri che influenzano maggiormente sono quelli del sistema sospensivo.9.4 Studio della dinamica del corneringAdesso che sono chiari i concetti, almeno intuitivamente, si può passare allo studio della capacità diaffrontare una curva dal punto di vista analitico.Prima di iniziare è bene ricordare la relazione di Ackermann che porta a:δ = L R(9.2)A questo valore di δ si dà talvolta il nome di angolo di Ackermann.Iniziamo intanto con l’applicare la seconda equazione di Newton al veicolo che si sta impegnando in unacurva (si osserva che in tutta la trattazione si suppone per semplicità di aver a che fare con un modellocosiddetto “a bicicletta”):dove:∑i F i = F a + F p = M V 2R(9.3)• F a è la forza laterale applicata all’asse anteriore;• F p è la forza laterale applicata all’asse posteriore;• M è massa del veicolo;• V è la velocità di avanzamento;• R è il raggio di curvatura.107

9.4. Studio della dinamica del cornering 9. INSTABILITÀ DIREZIONALEAdesso imponiamo che la sommatoria dei momenti rispetto al baricentro sia nulla (condizione valida finoa che vi è abbastanza grip):che risolta in F a :F a b − F p c = 0 (9.4)Sostituendo nella (9.3) si ha:Per la (9.1) si può dire allora:F a = F pcbF p = M b V 2L R(9.5)(9.6)α a = W aV 2C αa grα p = W pV 2C αp gravendo chiamato con W a e con W p rispettivamente il carico sull’assale anteriore e posteriore.Dal semplice studio geometrico della precedente figura si ricava l’effettivo angolo di sterzata delle ruoteanteriori (che indicheremo con δ):(9.7)δ = L R + α a − α p (9.8)Ed infine sostituendo dalle (9.7) si ricava l’angolo di sterzata in funzione degli angoli di deriva:δ = L R + (WaC αa− W pC αp) V2gRSi nota come attraverso queste equazioni si riesca a determinare l’angolo di sterzata attraverso il raggiodi curvatura ( o l’accelerazione. )WInoltre aC αa− WpC αpi permette di determinare la direzione della sterzata. Ognuno dei due termini è inproporzione al carico sull’asse anteriore o posteriore e alla rigidezza.Questo termine viene generalmente chiamato grado di sottosterzo e viene indicato con la lettera K. Lesue dimensioni sono (s 2 m −1 °) e indica “la quantità di angolo di deriva per ogni g di forza centrifuga”.Ognuno dei due termini di K viene detto angolo di conformità.Nonostante tali termini si riferiscano alla traiettoria curva si è visto che determina la risposta del veicolonel moto rettilineo in presenza di disturbi.La precedente diviene quindi:δ = L R + K V 2gR(9.9)(9.10)Come è naturale pensare il segno del coefficiente K determina il comportamento neutro, sottosterzanteo sovrasterzante del veicolo.Neutro (W a /C αa = W p /C αp → K = 0 → α a = α p ): in questo caso è importante notare come in caso dicurva costante sia necessario un angolo teorico di sterzata pari all’angolo di Ackerman. Equivale adire che l’accelerazione centrifuga imprime una forza al centro di spinta (per semplicità idealmentecoincidente con il centro di massa), che genera angoli di deriva anteriori e posteriori coincidenti.108

9.4. Studio della dinamica del cornering 9. INSTABILITÀ DIREZIONALEFig. 9.6: Angolo di sterzo in funzione della velocità al variare del segno del coefficiente di sottosterzoSottosterzo (W a /C αa > W p /C αp → K > 0 → α a > α p ): in questo caso la forza centrifuga applicata al centrodi spinta “aprirà” maggiormente la deriva anteriore, e farà tendere come già sappiamo a compiere alveicolo una traiettoria con raggio di curvatura maggiore. L’analisi da noi effettuata rispecchia esattamentetale supposizione: infatti, essendo K > 0, aumenta l’angolo effettivo di sterzata δ, è per questomotivo che il pilota è costretto a “stringere la curva”.Sovrasterzo (W a /C αa < W p /C αp → K < 0 → α a < α p ): a questo punto è intuitivo il caso del sovrasterzo.La deriva è maggiore sulle ruote posteriori, il termine K è negativo e ciò implica perché sia necessario“aprire la curva”. È opportuno ripetere ancora una volta come in fase di progetto si tenda a progettareil veicolo perché abbia un comportamento sottosterzante proprio per l’innaturalezza da parte del pilotadi compiere tale manovra.Dall’analisi si nota anche come la velocità influenzi in modo maggiore l’effettivo angolo di sterzata inquanto la forza centrifuga dipende dal quadrato della velocità (l’unico caso escluso è il comportamento neutrodove l’angolo di sterzata rimane sempre L/R).Per questo è importante affrontare le curve a moderate velocità, infatti aumentando la forza centrifugaed essendo costretti a stringere la virata, il grip a disposizione è sempre limitato.Il livello di sottosterzo viene anche identificato dal valore della velocità caratteristica (V car ), che èla velocità necessaria per ottenere all’incirca un angolo di sterzata reale all’incirca doppio dell’angolo diAckerman:V car =√L g K(9.11)Nel caso del sovrasterzo l’angolo di sterzo scende con il quadrato della velocità, e arriva a zero ad unacerta velocità detta velocità critica ∗ :V crit =√−L g K(9.12)Ricordando che L è il passo della macchina si nota come un veicolo con passo maggiore raggiunga lavelocità critica solo ad un valore più alto.Dall’analisi da noi effettuata sembra che progettando una vettura con carattere sottosterzante si sianorisolti sostanzialmente i problemi di sicurezza, ma come tutti sappiamo la realtà non è questa.Infatti noi abbiamo supposto che la forza perturbatrice agisca esattamente nel centro di massa. Nellamaggioranza dei casi ovviamente non è cosi e la forza si potrà pensare spostata di una certa distanza rispetto∗ Non deve stupire il segno − sotto radice in quanto si ricorda che in tal caso K < 0.109

9.4. Studio della dinamica del cornering 9. INSTABILITÀ DIREZIONALEFig. 9.7: Angolo di campanaturaa G, il che comporterà una deriva maggiore, davanti o dietro. Questa è la spiegazione per cui lo stesso veicoloassume tutti e tre i comportamenti a seconda della situazione in cui si trova.Esisterà comunque un punto a una certa distanza dal baricentro che mi dia lo stesso angolo di derivasull’avantreno e sul retrotreno; questo punto è detto punto neutro di deriva (si ricorda infatti che se α a e α psono uguali si ha il comportamento neutro).La distanza dal baricentro da tale punto è chiamata margine statico.Una delle caratteristiche più importanti di tale punto è la sua mobilità, si pensi infatti alle continue frenatee accelerazioni; abbiamo già visto come la coppia di trazione ridistribuisca diversamente il carico sugli assalie abbiamo visto che la deriva è proprio in funzione anche dei carichi. Questi continui cambiamenti provocanoinevitabilmente lo spostarsi del punto neutro di deriva.9.4.1 Influenza dell’angolo di campanaturaCome è possibile immaginarsi l’angolo di campanatura influirà anch’esso sull’angolo di sterzo.Con riferimento alla Fig. 9.7, si indica con γ g (interno i o esterno o) l’angolo di campanatura rispetto alterreno, con γ b (interno i o esterno o) l’angolo di campanatura rispetto al telaio, con φ l’angolo di rollio.L’angolo di campanatura totale durante il cornering sarà:γ g = γ b + φ (9.13)È importante sottolineare come l’angolo di campanatura influisca molto meno rispetto a quello di deriva.Infatti per avere la stessa forza si ha bisogno di 5° del primo rispetto ad uno solo del secondo.Ripetendo i calcoli analitici molto simili ai precedenti ma tenendo di conto anche della campanatura siarriva facilmente alla seguente:δ = L [(R + Wa− W )p+C αa C αp(Cγa ∂γ aC αa ∂φ − C ) ]γ p ∂γ p ∂φ V2C αp ∂φ ∂a y gR(9.14)Dalla precedente si nota, ovviamente, la presenza dell’angolo di sottosterzo derivante dall’angolo di derivavisto in precedenza ed in più la parte di angolo di sottosterzo derivante dalla campanatura:(Cγa ∂γ aK camp =C αa ∂φ − C )γ p ∂γ p ∂φ(9.15)C αp ∂φ ∂a y9.4.2 Influenza della forza di trazioneInfine andiamo proprio ad analizzare gli effetti delle forze di trazione sviluppate dal motore e trasmessealle ruote. Andremo quindi alla ricerca di una formula il più generale possibile indipendentemente dal fattoche la trasmissione sia a 2 (anteriori – FWD – o posteriori – RWD –) o quattro ruote motrici (4WD).Ancora una volta usiamo il modello a bicicletta e applichiamo il secondo principio della dinamica, indirezione laterale:110

9.4. Studio della dinamica del cornering 9. INSTABILITÀ DIREZIONALEFig. 9.8: Modello a biciclettaW aV 2Rg = F y acos(α a + δ) + F xa sin(α a + δ)W pV 2Rg = F y pcos(α p ) + F xp sin(α p )dove le F y sono le forze perturbatrici e le F x sono le forze di trazione.Con l’ipotesi di piccoli angoli, risolvendo α a e α p e sostituendo nella (9.8) si ottiene:(9.16)D’altra parte:δ =LR1 + F x aC αa+W a V 2C αa Rg1 + F x aC αa+W p V 2C αp Rg1 + F x pC αp(9.17)e quindi la precedente diventa:1≪ 11 + FxaC αa11 + FxaC αa≈ 1 − F x aC aL [ (δ = R Wa1 + F +x a C αaC αa− W ) (p W a F xa−C αp Cα 2 − W )]pF xp V 2aCα 2 pRg(9.18)Come si può notare è composta da tre termini: il primo è l’angolo di Ackermann, ma alterato da unfattore che dipende dalla forza di trazione anteriore, che se positiva (FWD) aumenta l’angolo di sterzata,se negativa (RWD) lo diminuisce; il secondo termine non è altro che il grado di sottosterzo relativo allarigidità laterale; il terzo termine, invece, è influenzato unicamente dalle forze di trazione e ovviamente variain funzione dei tre tipi di trazione.Ovviamente ci sono altri fattori che influenzano il grado di sottosterzo, di cui tralasciamo la trattazioneanalitica: in particolare, il fattore più importante è dato dal rollio.Infine, si ricorda che l’effettivo angolo di sterzo è dato semplicemente dalla somma dei vari contributi cheabbiamo esaminato.111

Parte IIILa dinamica verticale112

Capitolo 10Dinamica verticaleIl problema della dinamica verticale consiste nel determinare la risposta del veicolo (in termini di motovibratorio e di forze scambiate con la strada) indotto dalla geometria del fondo stradale (o del binario perun veicolo ferroviario).Di particolare interesse in questo senso è la presenza lungo la via di corsa di irregolarità dovute adimperfezioni del fondo stradale che si generano sia durante la posa del fondo stesso sia per effetto di cedimentianelastici del terreno, fenomeno quest’ultimo che porta ad una crescita dell’irregolarità con l’esercizio dellavia stradale/ferrata. La presenza di queste irregolarità ha un effetto negativo nel comfort o nella sicurezzadi marcia del veicolo.Nello studio della dinamica verticale, perciò, si considerano le sospensioni, che hanno il duplice effetto di:• ripartire le forze scambiate fra terreno e cassa del veicolo (elementi elastici)• smorzare le suddette forze (elementi smorzanti)Si definisce:massa sospesa: tutto ciò che sta sopra le sospensioni;massa non sospesa: tutto ciò che sta sotto le sospensioni (principalmente, le ruote).Il rapporto tra queste due grandezze viene considerato come un indice di comfort.La sospensione ideale è quella che è in grado di permettere i soli moti verticali fra ruota e massa sospesa.Un veicolo a quattro ruote ha in generale 10 gradi di libertà, che sono:• le coordinate xyz del baricentro delle masse sospese;• i 3 angoli di imbardata, rollio e beccheggio;• 4 coordinate per il moto verticale ruota–cassa.Le tre rotazioni di imbardata ψ (yaw), beccheggio ϑ (pitch) e rollio ϕ (roll) possono essere anche vistecome le rotazioni da dare al sistema assi suolo per ottenere il sistema assi corpo. In particolare, gli angoli diimbardata, beccheggio e rollio sono considerati come rotazioni attorno agli assi, rispettivamente, z, y e x.Poiché il risultato di una sequenza di rotazioni dipende dall’ordine con cui queste vengono eseguite, siassume che queste vengano fatte in terna corrente (ogni rotazione viene eseguita rispetto alla terna ottenutacon la precedente rotazione) secondo l’ordine Yaw–Pitch–Roll (Fig. 10.1).Da un punto di vista del cinematismo si parla di:sospensioni a ruote indipendenti: ogni sospensione è collegata alla vettura in maniera indipendente (1gdl libero)sospensione ad assale rigido: le ruote dello stesso assale sono collegare tra loro (2 gdl liberi)113

10.1. Angoli caratteristici del pneumatico 10. DINAMICA VERTICALEFig. 10.1: Sequenza di rotazioni Yaw–Pitch–RollFig. 10.2: Angolo di campanatura o camber10.1 Angoli caratteristici del pneumaticoSi definiscono gli angoli caratteristici del montaggio del pneumatico:angolo di campanatura o camber: è l’angolo formato dal piano medio del pneumatico e dalla verticaleal terreno (Fig. 10.2). Riveste un ruolo primario nel massimizzare la superficie di contatto.angolo di convergenza: è l’angolo formato dei piani medi delle ruote rispetto alla direzione di avanzamento(Fig. 10.3). La presenza di una convergenza positiva garantisce la stabilità della traiettoria rettilinea.angolo di incidenza del montante: è l’angolo formato dall’asse di sterzatura rispetto a una direzioneverticale passante per il centro dell’impronta (Fig. 10.4). La formazione di un braccio a terra longitudinalecrea un’azione “raddrizzante” della traiettoria, “richiamando” lo sterzo ma rendendolo più“duro” alla risposta a basse velocità, con un incremento delle perturbazioni che giungono su di esso.angolo di inclinazione del montante: è l’angolo formato dall’asse di sterzatura rispetto a una direzioneverticale passante per il centro dell’impronta, misurato su un piano verticale frontale del veicolo(Fig. 10.5). La presenza di un braccio a terra trasversale controbilancia gli effetti del braccio a terralongitudinale.114

10.1. Angoli caratteristici del pneumatico 10. DINAMICA VERTICALEFig. 10.3: Angolo di convergenzaFig. 10.4: Angolo di incidenza del montante e braccio a terra longitudinaleFig. 10.5: Angolo di inclinazione del montante e braccio a terra trasversale115

10.2. Analisi cinematica delle sospensioni 10. DINAMICA VERTICALE10.2 Analisi cinematica delle sospensioniSi è già detto che una sospensione ideale dovrebbe far muovere la ruota rispetto alla cassa nella soladirezione verticale. Nella pratica, i moti permessi sono determinati dalla geometria e quindi dalla cinematicadella sospensione: ciascuno schema sospensivo avrà una cinematica più o meno vicina a quella che abbiamodefinita “ideale”.Nello studio cinematico delle sospensioni si vuole, pertanto, capire come la geometria di ciascuna sospensionedetermina la cinematica del moto ruota–cassa. Per far questo si studiano le variazioni di campanatura(γ), angolo di sterzo (δ), carreggiata (t) a seguito di variazioni ∆z dello scuotimento della sospensione e ∆ϕdi rollio della cassa.Si definiscono pertanto scorrettezze del sistema sospensivo le derivate:Si danno le seguenti definizioni:∂t∂ϕ , ∂t∂z , ∂δ∂ϕ , ∂δ∂z , ∂γ∂ϕ , ∂γ∂zasse di rollio: asse d’istantanea rotazione ∗ a rollio del veicolo.centro di rollio (per asse): punto d’intersezione fra asse di rollio e piano verticale passante per i punti dicontatto delle due ruote.Per ragioni di simmetria † , il centro di rollio sta sul piano di simmetria del veicolo.Per come è definito, il centro di rollio è il centro di istantanea rotazione del corpo vettura rispetto alsuolo. La sua individuazione è fondamentale in quanto è il punto del corpo vettura nel quale una forzalaterale applicata non genera rotazione.10.3 Schemi di sospensioni tipicheSi riportano di seguito alcuni schemi di tipi di sospensioni utilizzati in campo automobilistico: per alcunedi esse è riportato il procedimento per l’individuazione del centro di rollio, basato sul teorema delle catenecinematiche.10.4 Comfort e guidabilitàLo studio del comfort e della guidabilità di un veicolo si avvale della teoria delle vibrazioni di sistemimeccanici schematizzati per mezzo di corpi rigidi ed elementi elastici e smorzanti. Questo tipo di approccioprevede la modellazione dell’intero veicolo in un sistema avente 1 o più gradi di libertà e per il quale sistudiano le vibrazioni indotte dalle irregolarità della strada. Ci limiteremo a presentare due soli modelli.10.4.1 Modello a 1 gdlCon questo modello si considerano i moti nelle tre direzioni indipendenti l’uno dall’altro e si prende inconsiderazione il solo moto verticale della sospensione.Con riferimento alla Fig. 10.11, indicheremo con m la quota parte di massa sospesa che grava sulla sospensionein esame, V la velocità del veicolo e λ la lunghezza d’onda dell’irregolarità della strada: supporremo,pertanto, che la forzante dovuta alle irregolarità sia di tipo armonico h(t) = h 0 e jωt con pulsazione ω = 2πVλ .∗ Si tratta di un asse di istantanea rotazione in quanto è variabile nel tempo.† Prescindendo da eventuali asimmetrie costruttive delle sospensioni (tipiche di formule sportive americane) o generate daspostamento della cassa, causato ad esempio da trasferimento di carico o non perfetta planarità trasversale della strada.116

10.4. Comfort e guidabilità 10. DINAMICA VERTICALEFig. 10.6: Sospensione a quadrilateri articolati trasversali (Fonte: [5])Fig. 10.7: Sospensione a quadrilateri articolati trasversali con assi cerniera a) non orizzontali e b) non paralleli(Fonte: [5])Fig. 10.8: Avantreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5])117

10.4. Comfort e guidabilità 10. DINAMICA VERTICALEFig. 10.9: Retrotreno a bracci oscillanti longitudinali (Fonte: [5])Fig. 10.10: Avantreno con sospensioni indipendenti di tipo Mc Pherson (Fonte: [5])Fig. 10.11: Modello a 1 grado di libertà per lo studio della dinamica verticale118

10.4. Comfort e guidabilità 10. DINAMICA VERTICALELa forza peso determina la condizione di equilibrio iniziale e dunque la freccia statica:z p = −mgkCome noto, questo è un termine costante che ha influenza solo sull’individuazione della condizione diequilibrio, ma non sulla dinamica del moto che risulta determinata dall’equazione:m¨z + cż + kz = cḣ + kh − mg (10.1)Data la linearità del sistema la soluzione sarà anch’essa di tipo armonico:Sostituendo nella precedente, avremo:z(t) = z 0 e jωt(−mω 2 + jωc + k ) z 0 = (jωc + k) h 0 (10.2)Il rapporto z0h 0è un numero complesso nella variabile reale ω, con modulo e fase pari a:∣ √z 0 ∣∣∣ c∣ =2 ω 2 + k 2h 0 c 2 ω 2 + (k − mω 2 ) 2() (10.3)−cmω 2ϕ = arctank ( k − mω 2) + c 2 ω 2Introducendo i parametri adimensionali:√k• ω n = : pulsazione naturale;m• c cr = 2 √ km: smorzamento critico;• ξ =c : smorzamento adimensionale;c crsi ha:• ω ∗ = ω ω n: frequenza adimensionale,z 0 1 + j2ξω ∗=(10.4)h 0 1 − ω ∗2 + j2ξω ∗Per considerazioni relative al comfort assume maggiore importanza il parametro accelerazione, legato aglispostamenti da: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ ¨z 0 ∣∣∣ ∣∣∣= ω 2 z 0 ∣∣∣h 0 h 0Si possono fare le seguenti osservazioni:• per valori della pulsazione della forzante molto inferiori alla pulsazione propria del sistema, il rapportoz 0 /h 0 è prossimo ad 1, ossia l’ampiezza di vibrazione della massa m risulta paragonabile all’ampiezzadell’irregolarità stradale: in tali condizioni, la massa segue “rigidamente” il moto del punto di contatto,come se il veicolo non fosse dotato di sospensioni;• per valori della pulsazione della forzante prossimi alla pulsazione propria del veicolo, l’ampiezza dioscillazione diviene molto elevata in rapporto a quella dell’irregolarità stradale e tende a divenire infinitanella condizione di risonanza. Poiché la forzante è data in forma di spostamenti, la sua pulsazionedipende in ultima analisi dalla velocità di avanzamento del veicolo e dalla lunghezza d’onda dell’irregolarità:per una data lunghezza d’onda, è possibile definire un particolare valore della velocità(V cr = 2πλω r ) per la quale il veicolo entra in risonanza;119

10.4. Comfort e guidabilità 10. DINAMICA VERTICALEFig. 10.12: Diagramma del rapporto z 0/h 0 (Rielaborato da: [5])Fig. 10.13: Diagramma del rapporto ¨z 0/h 0 (Rielaborato da: [5])120

10.4. Comfort e guidabilità 10. DINAMICA VERTICALE• se la pulsazione della forzante è molto superiore alla pulsazione propria del sistema, l’ampiezza divibrazione del veicolo risulta inferiore all’ampiezza dell’irregolarità e tanto inferiore quanto maggioreè il valore del rapporto adimensionale. Da questo esame, si evidenzia che la presenza della elasticitàdella sospensione rende il veicolo in grado di attenuare la vibrazione impressa dalla strada al punto dicontatto, a patto che la pulsazione propria del veicolo sia sufficientemente piccola rispetto a quella delmoto impresso dalla irregolarità stradale.Volendo ottimizzare il comfort dei passeggeri (ossia minimizzare le accelerazioni a cui questi risultanoesposti, a fronte di una data irregolarità stradale) un possibile criterio è quello di cercare lo smorzamento cche porta ad un massimo relativo (o almeno punto di stazionarietà) nel punto A di Fig. 10.12.∣ ∣Derivando l’espressione di ω 2 ∣∣ z 0 ∣∣h 0rispetto a ω e imponendo che la derivata sia nulla in A si ottiene:c ott =√km2= c cr2 √ 2Poiché la componente dinamica della forza che i pneumatici esercitano sul suolo è:(10.5)F z = c ( ż − ḣ) + k (z − h) = −m¨zil c ott trovato minimizza anche la forza trasmessa al suolo e quindi anche il comportamento direzionale.Per la scelta della rigidezza della sospensione bisogna tener conto che:• un valore troppo piccolo della rigidezza significa abbassamenti statici elevati;• un valore troppo basso della pulsazione propria significa che il transitorio di oscillazione innescato, adesempio, dal superamento di un ostacolo localizzato si attenuerà in un tempo elevato, peggiorando inquesto modo il comfort dei passeggeri.In generale per il dimensionamento della rigidezza si cerca di assicurare un buon effetto filtrante tra1–1,5 Hz, campo di maggiore sensibilità del corpo umano. Di fatto, si cerca di fare in modo che:f n = ω n2π = 1√k2π m ≈ 1 Hz10.4.2 Modello a 2 gdlIn questo modello si prende in considerazione anche l’elasticità del pneumatico (Fig. 10.14, in cui si èindicato con m la massa sospesa sulla sospensione e con m n la massa non sospesa, mentre P e c p sono,rispettivamente, la rigidezza e lo smorzamento del pneumatico).Individuando le matrici di massa, rigidezza e smorzamento e i vettori degli spostamenti e delle forzantidel sistema:M =Z =[ ]m 00 m n[ ]z sz n[]K −KK =−K K + P[ ]0F =c p ḣ + c p h[ ]c −cC =−c c + c pl’equazione di moto scritta in forma matriciale è:M¨Z + CŻ + KZ = F (10.6)Procedendo come nel caso precedente, si individuano le risposte ad una forzante di tipo armonico (h(t) =h 0 e jλt ) in termini di spostamenti ed accelerazioni sia per le masse sospese sia per quelle non sospese.121

10.4. Comfort e guidabilità 10. DINAMICA VERTICALEFig. 10.14: Modello a 2 gradi di libertà per lo studio della dinamica verticale (Fonte: [5])Fig. 10.15: Diagramma dei rapporti z s0 /h 0 e z n0 /h 0 (Rielaborato da: [5])Fig. 10.16: Diagramma dei rapporti ¨z s0 /h 0 e ¨z n0 /h 0 (Rielaborato da: [5])122

10.4. Comfort e guidabilità 10. DINAMICA VERTICALEIn Figg. 10.15 e 10.16 le risposte sono riportate in funzione della frequenza dimensionale λ ∗ = λ √ mK .Come nel caso precedente, si ottiene lo smorzamento ottimale rendendo minima l’accelerazione:c ott =√Km2√k p + 2Kk p(10.7)123

Bibliografia[1] Francesco Braghin. Contatto pneumatico–strada. Politecnico di Milano. Milano.[2] Stefano Bruni. Appunti di Meccanica dell’Autoveicolo. Politecnico di Milano. Milano, set. 2002.[3] Augusto Carpignano. Meccanica dei trasporti ferroviari e tecnica delle locomotive: ad uso di capideposito locomotive, capi tecnici e operai della trazione, segretari tecnici, macchinisti, appassionati diferrovia. 2 a ed. Torino, Italia: Editrice Universitaria Levrotto e Bella, 1989.[4] Coenraad Esveld. Modern Railway Track. Ed. by Delft University of Technology. 2nd ed. Zaltbommel,the Netherlands: MRT-Productions, 2001. isbn: 90-800324-3-3.[5] Giancarlo Genta. Meccanica dell’autoveicolo. Collana di Progettazione e Costruzione delle Macchine.Torino: Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella, 2000.[6] Massimo Guiggiani. Dinamica del Veicolo. Torino: CittàStudiEdizioni, 1998.[7] Heinz Heisler. Advanced Vehicle Technology. 2nd ed. Butterworth-Heinemann Ltd, 2004.[8] Hans B. Pacejka. Tyre and Vehicle Dynamics. Elsevier Science & Technology, 2005.[9] Hans B. Pacejka. “Tyre Models for Vehicle Dynamics Analysis”. In: Vehicle System Dynamics 21(2002).[10] Romano Panagin. La dinamica del veicolo ferroviario. 2 a ed. Torino, Italia: Editrice UniversitariaLevrotto e Bella, 1997.124