funcions-III -1/16 ASÍMPTOTES. Les asímptotes a una ... - jaumesc.cat

H. Itkur funcions-III -2/ 16Exemples :y =•22x2x − xVerticals:Com és un quocient de polinomis, és contínua a tots els reals exceptequan 2x-x 2 =0 ⇒ L'únic punt de discontinuïtat és el -1, per tant sols calmirar per x=-1.22xxxlím= lím= lím = 02⇒ el 0 és unax→0 2x − x x → 0 x(2 − x) x→0 2 − xdiscontinuïtat evitable ⇒ no hi ha asímptota vertical.2xlím 21/ 2 2x − x=1/4=x → 0± ∞⇒x =12és una asímptota vertical.Horitzontals :2x1Com lím= lím= − 1 ⇒2x→∞ 2x − x x→∞ 2/x − 1⇒ y = -1 és asímptota horitzontalObliqües: no en té ja que asímptotes horitzontals.y =• 23x(1 + x)Verticals:L'únic punt de discontinuïtat és el -1, per tant sols cal mirar per x=-1.3x − 1lím = =2x -1 (1 + x) 0 ± ∞ ⇒ x = -1 és asímptota verticalHoritzontals :Com3xlím2x→∞ (1 + x)= ∞ ⇒ no té asímptota horitzontal

H. Itkur funcions-III -3/ 163yxObliqües: m = lím = lím= 12x→∞ x x→∞ x(1 + x)33 32xx − x − 2x− xn = lím-1·x = lím= -222x→∞ (1 + x)x → ∞ (1 + x)per tant la recta y = x - 2 és una asímptota obliqua.DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT.Donada la funció f:(a,b) ⎯⎯→R i x 0 ∈(a,b), diem que:x ⎯⎯→y=f(x)f és derivable en x 0 ⇔ existeixlímx→x 0f(x) - f(xx - xd'aquest límit, en diem la derivada de f en x 0 i el representem per f '(x 0 ) o y ' (x 0 ) o (df/ dx) (x 0 ).Si anomenem increment de x = ∆x = x -x 0 i increment de y = ∆y = f(x) -f(x 0 )00)f '(x ) =0lím∆ x → 0f(x0+∆ x) - f(x∆ x0)=Δylím∆ x → 0 ∆ xExemple:__Calculem a partir de la definició, la derivada de y=√ x en el punt d'abscissa 7.y'(7) =x − 7 ( x − 7 )·( x + 7 )lím= límx → 7 x − 7 x→7 ( x − 7)·( x + 7 )x − 7y' (7) = lím= límx → 7 ( x − 7)·( x + 7 ) x → 7⇒1x +7=217

H. Itkur funcions-III -4/ 16FUNCIÓ DERIVADA - DERIVADES SUCCESSIVES.Donada la funció f:(a,b)⎯⎯⎯→R , diem que:f és derivable a l'interval (a,b) ⇔ és derivable a tots els punts de l'interval.Si una funció és derivable a l'interval (a,b), podem considerar una altra funció queassigna a cada x 0 el valor de la derivada de f en aquest x 0(a,b) ⎯⎯⎯⎯→ Rx ⎯⎯⎯→ derivada de f en x = f '(x)d'aquesta funció en diem funció derivada de f i la representem per:f ':(a,b) ⎯⎯⎯⎯→ Rx ⎯⎯⎯⎯→ f '(x)Observeu que f ' és una funció real de variable real i, per tant, pot ser (no n'està pasobligada) que sigui derivable.Si f ' és derivable a l'interval (a,b), podrem parlar de la derivada de f ' que en diremderivada segona o f ".f ":(a,b)⎯⎯⎯⎯→ Rx ⎯⎯⎯⎯→ derivada de f ' en el punt xf " torna a ser una funció real de variable real i si és derivable a tot (a,b), podrem trobarla seva funció derivada, la (f ")' que anomenarem derivada tercera o f "' .I així, en general, es defineix la derivada n-èssima com la derivada de la (n-1)-èssimaderivada:f n) = ( f (n-1) )'.CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS DERIVABLES.f:(a,b) ⎯⎯⎯→R x 0 ∈(a,b) f derivable en x 0 ⇒ f contínua en x 0 .És a dir: f derivable ⇒ f contínua .Demostració:f derivable en x 0 ⇒ ∃ f '(x 0 ) ∈ R .f(x) - f(x 0 )Calculem el lím ( f(x) - f(x 0 ) ) = lím ⎯⎯⎯⎯⎯ ( x - x 0 )=x→x 0 x→x 0 x - x 0per ser el límit del producte, el producte dels límitsf(x) - f(x 0 )= lím ⎯⎯⎯⎯⎯ lím ( x - x 0 ) = f '(x 0 ) · 0 = 0 .x→x 0 x - x 0 x→x 0

H. Itkur funcions-III -5/ 16Per tant :f derivable en x 0 ⇒ lím (f(x) - f(x 0 )) = 0 ⇒ lím f(x) = f(x 0 ) ⇒ f contínua en x 0 .x→x 0 x→x 0Per veure-ho, n'hi ha prou en trobar una funció contínua en un punt i no derivable enaquest punt.Per exemple, la funció valor absolut. és contínua en el punt 0 i no és derivable en 0.⎧ x x≥0⏐x⏐ = ⎨⎩ -x x

H. Itkur funcions-III -6/ 16Per a cada x d'un entorn de x 0 podem considerar el punt B x =(x,f(x)).Tracem la recta r AB secant a la corba pels punts A i B x .Per definició de pendent, tenim que:f(x) - f(x 0 )pendent r AB = tg α x = ⎯⎯⎯⎯⎯ .x - x 0Si fem x ⎯→x 0 ⇒ r AB ⎯⎯→tangent en Adoncs: f derivable en x 0 ⇒ f contínua en x 0⇒ f(x) ⎯→f(x 0 ) ⇒ B x ⎯⎯→ A⇒ r AB ⎯⎯⎯→tangent en A .Per tant, quan x⎯⎯→x 0 el pendent de la secant per A i B x passa a ser el pendent de latangent en A.Amb el que:f(x) - f(x 0 )pendent tangent = lím pendents secants per A i B = lím ⎯⎯⎯⎯⎯ = f '(x 0 ).x→x 0 x→x 0 x - x 0TANGENTS I NORMALS A UNA CORBA.Si y=f(x) és una funció derivable en un punt x 0 , la interpretació geomètrica anterior,ens permet afirmar que l'equació de la recta tangent en el punt d'abscissa x 0 és:y - f(x 0 ) = f '(x 0 ) ( x-x 0 ) .-1I que l'equació de la normal en x 0 és: y - f(x0) =(x − x0)f '(x )0Exemple:Calculem l'equació de la tangent a y = x 3 + x en el punt d'abscissa -1.Trobem en primer lloc les coordenades del punt de tangència:

H. Itkur funcions-III -7/ 16f(-1) = (-1) 3 + (-1) = -2 ⇒ punt tangència = (-1,-2).Calculem y '(-1): y ' = 3x 2 + 1 ⇒ y '(-1) = 3(-1) 2 + 1 = 4 .La recta buscada és y + 2 = 4(x + 1) ; i expressada en forma explícita és: y = 4x + 2.CÀLCUL DE DERIVADES.REGLES DE DERIVACIÓ.La derivada d’una constant és 0.f(x)=k =constant ⇒ f és derivable i f ’(x)=0.f(x) - f(x0) k - k0Ja que: f ' (x ) = lím= lím= lím= lím 0 00 x x 0 x - xx x 0 x - x x x 0 x - x= .→→→x → x 0000La derivada d’una suma és la suma de derivades.y=f(x) i y=g(x) derivables en x 0 g ⇒y = f(x) + g(x) derivable en x 0 i (f+g)’(x 0 )=f ‘(x 0 ) + g‘(x 0 )Ja que:(f +g) ' (x0) =f(x) +límx → x 00g(x) - f(xx - x000) - g(x0)=límx → x 0f(x) - f(x0) g(x) - g(x0)= lím + lím= f '(x0) + g '(x0) .x → x 0 x - xx → x 0 x - x⎡⎢⎣f(x)) - f(xx - x00)+g(x) - g(xx - x00) ⎤⎥⎦=La derivada d’una constant per una funció és la constant per la derivada de la funció.y=f(x) derivable en x 0 i k constant ⇒ y = k·f(x) derivable en x 0 i(k·f)’(x 0 )=k·f ‘(x 0 )Ja que:k·f(x) - k·f(x0) k·( )( f(x) - f(x0))f(x) - f(x0)k·f ' (x0) = lím= lím= k · lím= k·f ' (x0) .x → x 0 x - xx → x 0 x - xx → x 0 x - x000

H. Itkur funcions-III -8/ 16La derivada d’un producte és la derivada del primer factor per el segon més laderivada del segon per el primer.y=f(x) i y=g(x) derivables en x 0 ⇒y = f(x)·g(x) derivable en x 0 i (f·g)’(x 0 )=f ‘(x 0 )·g(x 0 ) +f(x 0 )· g‘(x 0 )Ja que:(f ·g) ' (x0) =límx → x 0f(x)·g(x) - f(xx - xsumant i retant f(x)·g(x 0 )f(x)·g(x) - f(x)·g(x(f ·g) ' (x ) = lím0x → x 000)·g(x0)=0) + f(x)·g(xx - xi traient factor comúf(x)· ( g(x) - g(x ) ) + ( f(x) - f(x ) )00(f ·g) ' (x0) = límx → x 0x - x0com el límit d’una suma és la suma dels límits:(f ·g) ' (x0) =límf(x)·00) - f(x·g(x( g(x) - g(x )) ( f(x) - f(x ))x - xx → x 0 x → x000+lím00)0)·g(x0·g(xx - xcom el límit d’un producte és el producte dels límits:g(x) - g(x0) f(x) - f(x0)(f ·g) ' (x0) = lím f(x)· lím+ lím· lím g(x0)x → x 0 x → x 0 x - xx → x x - x x x00→00com f és contínua al ser derivable(f·g)’(x 0 )=f ‘(x 0 )·g(x 0 ) +f(x 0 )· g‘(x 0 ) .0)0)Propietaty=g(x) derivable en x 0 i g(x 0 )≠01⇒ g derivable en⎛ 1 ⎞, − g '(x )x0 i0⎜ (x0) =2g⎟⎝ ⎠g (x0)Ja que:1Com g· = 1gderivant els dos membres tenim que:,⎛ 1 ⎞1 ⎛ 1 ⎞ ,⎜ g· = 0g⎟ ⇒ g ' · + g· = 0⎝ ⎠g⎜g⎟⎝ ⎠

H. Itkur funcions-III -9/ 16i isolant1g ' ·⎛ 1 ⎞, g= − =−⎜g⎟⎝ ⎠ gés a dir:2gg '⎛⎜⎝1 ⎞, −=g⎟⎠2gg 'La derivada d’un quocient és la derivada del numerador pel denominador menys laderivada del denominador pel numerador partit tot pel denominador al quadrat.y=f(x) i y=g(x) derivables en x 0 i g’(x 0 )≠0 ⇒⎛ ⎞, f '(x )·g(x ) − g'(x )·f(x )f(x)y = derivable en xg(x)0 i⎜⎝fg⎟⎠(x ) =0002g(x0)00Ja que:⎛⎜⎝fg⎞⎟⎠,(x ) =0⎛ 1 ⎞⎜ f·g⎟⎝ ⎠,(x ) =0f ' (x01)· (x0) +g⎛f(x0)·⎜⎝1 ⎞g⎟⎠,(x0)⎛⎜⎝fg⎞⎟⎠,−(x ) =01− g '(x0)f ' (x0)· (x0) + f(x0)·=2gg (x )0f '(x0)·g(x0) g'(x0)·f(x2g (x )00).

H. Itkur funcions-III -10/ 16TAULA DE DERIVADES.y = k = ctt⇒ y ' = 0 y = f+g ⇒ y ' = f '+g 'y = k f ⇒ y ' = k f ' y = f g ⇒ y ' = f 'g + f g 'f f 'g - f¨g 'y = ⎯ ⇒ y ' = ⎯⎯⎯⎯g g2_ 1y = x α ⇒ y ' = α x α-1 y = √x ⇒ y ' = ⎯⎯2√xy = a x ⇒ y ' = a x ln a y = e x ⇒ y ' = e x1 1y = log a x ⇒ y ' = ⎯⎯ y = ln x ⇒ y ' = ⎯⎯x ln axy = sin x ⇒ y ' = cos x y = cos x ⇒ y ' = - sin x1y = tg x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯ = sec 2 x = 1 + tg 2 xcos 2 x-1y = ctg x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯ = - cosec 2 x = - (1 + ctg 2 x)sin 2 xy = sec x ⇒ y ' = sec x tg x y = cosec x ⇒ y ' = - cosec x ctg x1 -1y = arc sin x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯⎯ y = arc cos x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯⎯______ ______√ 1 - x 2 √ 1 - x 21 -1y = arc tg x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯⎯ y = arc cotg x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯⎯1 + x 2 1 + x 21 -1y = arc sec x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯⎯ y = arc cosc x ⇒ y ' = ⎯⎯⎯⎯____ ____x√ x 2 -1 x√ x 2 -1

H. Itkur funcions-III -11/ 16DERIVACIÓ DE FUNCIONS COMPOSTES. REGLA DE LA CADENA.Donades f:(a,b) ⎯⎯→R i g:(c,d) ⎯⎯→R que es puguin composar f(a,b)⊂ (c,d).x ⎯⎯→u=f(x) u ⎯⎯→z=g(u)x 0 ∈(a,b) f derivable en x 0 i g derivable en f(x 0 ) = u 0 ⇒Ja que:⇒ gof és derivable en x 0 i (gof) '= g '(f(x 0 ))·f '(x 0 ) = g '(y y )·f '(x 0 ) .Per definició de derivada(g f)' (x0) =límΔx→0∆ z∆ xmultiplicant i dividint per ∆ u∆ z⎡ Δz Δu ⎤⎡ Δz Δu ⎤(g f) ' (x0) = lím = lím · = lím · = límΔx→0 ∆ x ⎢Δx→0 ⎣ Δx Δu ⎥⎦⎢Δx→0 ⎣ Δu Δx ⎥⎦ Δx→0com el límit d’un producte és el producte dels límits tenim que:⎡ Δz Δu ⎤ Δz Δu(g f) ' (x0) = lím ⎢· lím · límΔx 0 Δu Δx ⎥=.→ ⎣⎦ Δx→0 Δu Δx→0 ΔxΔuCom f '(x0) = lím substituint obtenim que:Δx→0 ΔxΔz(g f) ' (x0) = lím · f '(x0)Δx→0 ΔuΔzΔuΔu· límΔx→0 ΔxPer altra banda comf der en x 0 ⇒ f contínua en x 0 ⇒ quan x → x 0 ⇒ f(x) → f(x 0 )i per tantquan ∆x → 0 ⇒ ∆u → 0Δz Δzamb el que lím = lím = g'(u0)Δx→0 Δu Δu→0 ΔuI per tant: (gof)'(x 0 ) = g’(u 0 ) · f'(x 0 ) = g’(f(x 0 )) · f '(x 0 )Exemples :• Si volem derivar y=(4x-3) 2 , podem desenvolupar el binomi o fer elsegüent:De 4x-6 en diem t 4x-6=t.Llavor la funció a derivar és y=t 2 ⇒ y’ = 2·t·t’Com t’=4Tenim que y’=2·(4x-3)·4 = 8 · (4x-3) .• Si hem de derivar y = (x 4 +5x) 12Podem considerar que u = x 4 +5xI per tant hem de derivar la funció y = u 12Amb el que y’=12 u 11·u’ = 12 (x 4 +5x ) 11 ·(x 4 +5x)’ =12 (x 4 +5x ) 11 ·(4x 3 +5).

H. Itkur funcions-III -12/ 16DERIVADA DE FUNCIONS RECÍPROQUES.Si f:(a,b)⎯→(c,d) té recíproca f -1 :(c,d)⎯→(a,b)x ⎯⎯→ yy ⎯⎯→ xx 0 ∈(a,b) i y 0 = f(x 0 )f derivable en x 0 i f '(x 0 ) ≠0 ⇒ f -1 és derivable en y 0 i (f -1 ) ' (y 0 ) = ⎯⎯ .f '(x 0 )Demostració:f i f -1 recíproques ⇒ (f -1 ° f ) ( x ) = x = I(x) .Derivant aquesta expressió en el punt x 0 , obtenim:1( f -1 )' (f(x 0 ))·f '(x 0 ) = 1 ⇒ (f -1 ) ' (y 0 ) = ⎯⎯⎯ .f '(x 0 )Exemple:Càlcul de la derivada de y = arc sin x.Prenem x = sin y i y = arc sin x , que són recíproques entre (-π/2,π/2) i (-1,1).1 1Llavors y ' = ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ .sin ' y cos y________ ______Com cos y = √ 1 - sin 2 y = √ 1 - x 2 ,substituint:1(arc sin) '(x) = ⎯⎯⎯⎯⎯ ._______√ 1 - x 21

H. Itkur funcions-III -13/ 16CREIXEMENT I DECREIXEMENT.Donada f:(a,b) ⎯⎯⎯→ R x 0 ∈(a,b), diem que:f és creixent en el punt x 0 ⇔ per valors de x propers a x , els punts anteriors a x 0 0tenen imatges anteriors a la imatge de x 0 , i els punts posteriors a x 0 tenen imatgesposteriors a la imatge de x 0 .x < x ⇒ f ( x ) < f ( x )f és creixent en x 0 ⇔∃ δ >0 i ∀ x ⏐x - x0⏐ 〈δ ⇒⎧⎨⎩x0f ( x0f ( x0)) < f ( x)PROPIETAT I .f:(a,b) ⎯⎯⎯⎯→ R x 0 ∈(a,b) i f derivable en x 0f creixent en x 0 ⇒ f '(x 0 ) ≥ 0 .f decreixent en x 0 ⇒ f '(x 0 ) ≤ 0 .Demostració:f creixent en x 0 ⇒ ∃ δ > 0 i ∀ x⏐ x - x 0 ⏐〈 δ ⇒ ⎨⎧ x < x 0 ⇒ f(x) < f(x 0 )⎩ x 0 < x ⇒ f(x 0 ) < f(x)I per tant, quan ⏐ x - x 0 ⏐〈 δ , es compleix que:x - x 0 < 0 ⇒ x < x 0 ⇒ f(x) < f(x 0 ) ⇒ f(x) - f(x 0 ) < 0x - x 0 > 0 ⇒ x > x 0 ⇒ f(x) > f(x 0 ) ⇒ f(x) - f(x 0 ) > 0O dit d'una altra manera, per ⏐ x - x 0 ⏐〈 δf(x) - f(x 0 )x - x 0 i f(x) - f(x 0 ) tenen el mateix signeés a dir : si ⏐ x - x 0 ⏐〈 δ ⎯⎯⎯⎯⎯ ≥ 0 .x - x 0 f(x) - f(x 0 )Per definició de derivada , f derivable en x 0 ⇒ ∃ lím ⎯⎯⎯⎯⎯ = f ' (x 0 ) .x→x 0 x - x 0Quan fem l límit x → x 0 , arriba un moment en que ⏐x - x 0 ⏐

H. Itkur funcions-III -14/ 16Amb el que:f(x) - f(x 0 ) +f '(x 0 ) = lím ⎯⎯⎯⎯⎯ = lím ⎯⎯ ≥ 0 .x→x 0 x - x 0 x→x 0 +Anàlogament es demostra que: f decreixent en x 0 ⇒ f '(x 0 ) ≤ 0 .PROPIETAT I If:(a,b) ⎯⎯⎯⎯→ R x 0 ∈(a,b) i f derivable en x 0f '(x 0 ) > 0 ⇒ f creixent en x 0 .f '(x 0 ) < 0 ⇒ f decreixent en x 0 .Demostració:Demostrarem que f '(x 0 )>0 ⇒ f creixent en x 0 .Suposem f derivable en x 0 i f '(x 0 ) > 0 ⇒f(x) - f(x 0 )∃ lím ⎯⎯⎯⎯⎯ = f '(x 0 ) >0 ⇒x→x 0 x - x 0Sabem que valors negatius o nuls, sols poden donar límits negatius o nuls. I per tant siaquest límit és positiu , cal que pels valors de x suficientment propers a x 0 , el quocientf(x) - f(x 0 )⎯⎯⎯⎯⎯ sigui estrictament positiu.x - x 0f(x) - f(x 0 )És a dir ∃ δ >0 i ∀ x ⏐ x - x 0 ⏐ < δ ⇒ ⎯⎯⎯⎯ > 0 ⇒x - x 0⎧ si x - x 0 < 0 ⇒ f(x) - f(x 0 ) < 0∃ δ > 0 i ∀ x ⏐ x - x 0 ⏐ < δ ⎨∃ δ > 0 i ∀ x ⏐ x - x 0 ⏐ ⇒ ⎨Per tant: f és creixent en x 0 .⎩ si x - x 0 > 0 ⇒ f(x) - f(x 0 ) > 0⎧ x < x 0 ⇒ f(x) < f(x 0 )⎩ x > x 0 ⇒ f(x) > f(x 0 )Observació: Combinant les dues propietats anteriors, tenim que:Per estudiar el creixement d'una funció, sols ens cal estudiar el signe que té la sevaderivada.⇒⇒

H. Itkur funcions-III -15/ 16EXTREMS D'UNA FUNCIÓ.Donada f:[a,b] ⎯⎯⎯→ R diem que:x 0 ∈[a,b] és màxim absolut de f a [a,b] ⇔ ∀ x∈ [a,b]⇔ f(x 0 ) és el valor mes gran de totes les imatges.f(x) ≤ f(x 0 ) ⇔x 0 ∈[a,b] és mínim absolut de f a [a,b] ⇔ ∀ x∈ [a,b]⇔ f(x 0 ) és el valor mes petit de totes les imatges.f(x) ≥ f(x 0 ) ⇔x 0 ∈[a,b] és extrem absolut de f a [a,b] ⇔ x 0 és un màxim o un mínim absolut.x 0 ∈(a,b) és màxim relatiu de f a (a,b) ⇔⇔ ∃δ > 0 i ∀x∈(a,b) ⏐x - x 0 ⏐ 0 i ∀x∈(a,b) ⏐ x - x 0 ⏐

H. Itkur funcions-III -16/ 16f(x) - f(x 0 ) f(x) - f(x 0 ) −f '(x 0 ) = lím ⎯⎯⎯⎯⎯ = lím ⎯⎯⎯⎯⎯ = lím ⎯⎯ ≤ 0 ⇒ f '(x 0 ) ≤ 0 .x→x 0 + x - x 0 x→x 0 x - x 0 +⏐x-x 0 ⏐