Труды

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский физико-технический институт(государственный университет)Утверждаю в печатьПроректор по инновационной и научной работеМуравьев А.А._____________________19 декабря 2011 г.Труды54-й научной конференции МФТИПроблемы фундаментальных и прикладных естественных итехнических наук в современном информационном обществе10–30 ноября 2011 годаУправление и прикладная математикаТом 1Декан факультета____________________________________________19 декабря 2011 г.Москва–Долгопрудный–ЖуковскийМФТИ2011

ISBN 978-5-7417-0400-49 785741 704004

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский физико-технический институт(государственный университет)Труды54-й научной конференции МФТИПроблемы фундаментальных и прикладных естественныхи технических наук в современном информационномобществе10–30 ноября 2011 годаУправление и прикладная математикаТом 1Москва–Долгопрудный–ЖуковскийМФТИ2011

Министерство образования и науки Российской ФедерацииРоссийская академия наукМосковский физико-технический институт(государственный университет)Российский фонд фундаментальных исследованийТруды54-й научной конференции МФТИПроблемы фундаментальных и прикладных естественныхи технических наук в современном информационномобществе10–30 ноября 2011 годаУправление и прикладная математикаТом 1Москва–Долгопрудный–ЖуковскийМФТИ2011

УДК 519.6(06)ББК 22.1Т78Т78Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемыфундаментальных и прикладных естественных и техническихнаук в современном информационном обществе».Управление и прикладная математика. Том 1. — М.: МФТИ, 2011.— 133 с.ISBN 978-5-7417-0400-4В первом томе представлены материалы по фундаментальной математике и различнымнаправлениям прикладной математики, в частности математическому моделированиюв физике, экономике, экологии. В этом томе также представлены тезисыпо исследованию операций, Computer Science и оптимизации. В 2011 году на ФУПМеоткрылись три новые базовые кафедры (на базе кафедры Информатики и Parallels,на базе ИППИ РАН, на базе ИТМФ г. Сарова) и одна специализация («Анализ данныхЯндекс» на базе кафедры чл.-корр. РАН К.В. Рудакова). Один из пленарныхдокладов прочтет заведующий новой кафедрой в г. Сарове проф. В.П. Соловьев (директорИТМФ). В 2011 году также добавились три новые секции, две из которыхпредставлены в этом томе: «Анализ систем и решений», созданная на базе одноименнойкафедры (зав. каф. проф. А.А. Шананин) и «Теоретическая информатика».Также отметим международное участие (возможное во многом благодаря проф.Р.Г. Новикову) на секции «Квазилинейные уравнения и обратные задачи», работакоторой осуществляется в рамках научного сотрудничества ФУПМ МФТИ и CMAPEcole Polytechnique. В заключение хотелось бы обратить внимание, что 23.02.2011 г.не стало научного руководителя факультета акад. Александра Александровича Петрова,возглавлявшего в прошлые годы одну из секций и кафедру «Анализ систем ирешений». Это огромная утрата для факультета, для физтеха и для страны в целом.Было решено сохранить секцию А.А. Петрова. В этом году её возглавляет прямойученик А.А. Петрова чл.-корр. РАН И.Г. Поспелов (заведующий одной из базовыхкафедр ФУПМ в ВЦ РАН).УДК 519.6(06)ББК 22.1ISBN 978-5-7417-0400-4© Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2011

3Программный комитет конференцииН.Н. Кудрявцев, член-корр. РАН, ректор института — председательТ.В. Кондранин, профессор, первый проректор — зам. председателяА.А. Муравьёв, с.н.с., проректор по научной и инновационной работе —зам. председателяЛ.В. Стрыгин, к.ф.-м.н. — учёный секретарь конференцииМ.В. Алфимов, академик РАН — директор Центра фотохимии РАНА.Ф. Андреев, вице-президент РАН — директор ИФП РАНС.Т. Беляев, академик РАН — профессор МФТИЕ.П. Велихов, академик-секретарь Отделения НИТ РАН — Президент НИЦ«Курчатовcкий институт»В.Ф. Гантмахер, член-корр. РАН — зав. кафедрой МФТИЮ.В. Гуляев, академик РАН — директор ИРЭ РАНВ.Г. Дмитриев, член-корр. РАН — зав. кафедрой МФТИВ.П. Иванников, академик РАН — директор ИСП РАНА.С. Коротеев, академик РАН — директор Центра КелдышаН.А. Кузнецов, академик РАН — зав. кафедрой МФТИВ.Л. Макаров, академик РАН — директор ЦЭМИ РАНВ.Е. Фортов, академик-секретарь Отделения ЭММПУ РАН —директор ОИВТ РАНБ.Е. Патон, академик РАН — президент НАН УкраиныВ.Т. Черепин, член-корр. НАН Украины — директор ФТЦ НАН УкраиныС.А. Жданок, академик-секретарь Отделения ФТН НАН БеларусиС.Н. Гаричев, д.т.н. — декан ФРТКМ.Р. Трунин, д.ф.-м.н. — декан ФОПФС.С. Негодяев, к.т.н. — декан ФАКИИ.Н. Грознов, доцент — декан ФМБФП.А. Тодуа, профессор — декан ФФКЭВ.В. Вышинский, профессор — декан ФАЛТА.А. Шананин, профессор — декан ФУПМА.Г. Леонов, профессор — декан ФПФЭВ.Е. Кривцов, доцент — декан ФИВТМ.В. Ковальчук, член-корр. РАН — декан ФНБИКЛ.К. Ужинская, к.т.н. — декан ФИБСА.И. Кобзев, профессор — декан ФГНА.П. Алёхин, профессор — зав. кафедройЮ.М. Белоусов, профессор — зав. кафедройА.С. Бугаёв, академик РАН — зав. кафедройВ.Н. Бондарик, к.т.н. — зав. кафедройС.А. Гуз, доцент — зав. кафедройА.П. Иванов, профессор — зав. кафедройА.В. Кваченко, к.т.н. — зав. кафедройВ.А. Никишкин, к.ф.-м.н. — зав. кафедройД.С. Лукин, профессор — и.о. зав. кафедрой

4А.В. Максимычев, д.ф.-м.н. — зав. кафедройИ.Б. Петров, профессор — зав. кафедройЕ.С. Половинкин, профессор — зав. кафедройЭ.Е. Сон, член-корр. РАН — зав. кафедройА.А. Тельнова, доцент — зав. кафедройЭ.М. Трухан, профессор — зав. кафедройА.С. Холодов, член-корр. РАН — зав. кафедройР.М. Энтов, академик РАН — зав. кафедрой

Содержание 5СодержаниеПрограммный комитет конференции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Пленарное заседание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Р.Г. НовиковДвумерная обратная задача рассеяния при фиксированной энергии и её приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12В.П. СоловьевПроект «Развитие суперкомпьютеров и грид-технологий» и его дальнейшиеперспективы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12И.Б. ПетровКомпьютерное моделирование пространственных динамических процессов всредах со сложной структурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Секция квазилинейных уравнений и обратных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . 14М.И. ИсаевЭкспоненциальная неустойчивость в обратных задачах . . . . . . . . . . . . . 14Е.К. Вдовина, К.А. ВолосовТочное решение нелинейного уравнения четвертого порядка . . . . . . . . . . 15А.В. КазейкинаАсимптотическое по времени поведение решений уравнения Веселова—Новикова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16В.А. Буров, К.В. Дмитриев, С.В. Логинов, О.Д. РумянцеваПерспективы акустической термотомографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17В.Н. РазжевайкинЛидирующий вид в модели конкуренции с диффузией . . . . . . . . . . . . . 19В.А. Буров, А.В. Прудникова, С.Н. Сергеев, А.С. ШурупПрименение методов акустической томографии океанадля оценки характеристик дна мелкого моря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20М.И. БелишевC*-алгебры и обратные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21М.Н. ДемченкоДинамическая обратная задача для системы Максвелла . . . . . . . . . . . . 22В.А. Буров, А.А. Шмелев, Р.В. Крюков, О.Д. РумянцеваТомография на основе нелинейных акустических эффектов третьего порядка 23M. SantacesariaNew global stability estimates for the Calderon problem in two dimensions . . . 25Секция высшей математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29А.А. ФонаревО некотором проекционном итерационном процессе . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 СодержаниеС.Н. ФилипповПоложительные и вполне положительные отображенияв задаче нахождения квантовых каналов, разрушающихили аннигилирующих сцепленность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Г.М. ИвановУклонение выпуклой оболочки множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Т.В. ДудниковаО локальной стационарности и уравнении транспорта энергии для решетчатыхсистем в гармоническом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32М.В. Балашов, М.О. ГолубевОб условии Липшица для метрической проекциив гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Г.Е. Иванов, М.С. ЛопушанскиО плотности множества точек существования для полунормы . . . . . . . . . 34Л.Л. НгуенG-трансляторы на многообразиях с изолированными особенностями . . . . . 35Е.С. БарановскийИсследование математических моделей, описывающих течения жидкостиФойгта с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственныхпеременных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36А.И. ДнестрянОб информационной полноте квантовой томограммы . . . . . . . . . . . . . . 37О.К. ПодлипскийОсобенности построения прикладных обучающих систем, основанных назнаниях группы экспертов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38А.Ю. ГоловкоМультипликативные неравенства типа Гальярдо–Ниренберга для нерегулярныхобластей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40В.М. ИпатоваИсследование задачи вариационной ассимиляции данныхдля модели циркуляции атмосферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41А.А. ЦаревАлгебраические решетки разрешимых классов Фиттинга . . . . . . . . . . . . 41А.С. ФильченковНовый пример гладкого косого произведения, имеющего аттрактор с непустойвнутренностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Е.А. ЦветковОбоснование концепции супертреков для расчета небольцмановских функционаловвесовыми методамив прикладных задачах радиационной физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Е.О. Головина, К.В. Лумпова, Д.А. СаранчаИсследование динамических режимов в одном классе одномерных унимодальныхотображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Н.А. ГусевАсимптотические свойства решений линеаризованных уравнений Навье–Стокса для слабо сжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Содержание 7Э.Г. ШифринОбобщенное решение задачи Коши для нормальной системы обыкновенныхдифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46К.Н. КорягинТупиковые тестовые множества для полиномов Жегалкина, аффинно эквивалентныешару, и недостаточность такого описания в общем случае . . . . . 47Секция математических основ управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49А.В. КолногоровПараллельное управление в случайной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49А.С. ТихомировНижняя оценка трудоемкости марковского симметричного случайного поиска 49А.А. ОрловДвойственный метод Ньютона для задачи полуопределенного программирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Е.А. МалининаМатематическая модель заполнения лазерных мишеней радиоактивнымиизотопами водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52М.И. ИсаевСвойства графов с большой алгебраической связностью . . . . . . . . . . . . 53А.О. АртемоваОб управлении двузвенным манипулятором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Г.А. ШепелевМатематические аспекты построения релейных управленийс запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Секция теоретической информатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58М.И. ИсаевПриближенный подсчет числа эйлеровых ориентацийи эйлеровых циклов в графах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58И.В. КозловОценка трудоемкости одного алгоритма решения задачи минимального k-разреза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59А.А. МастихинаЧастичное предвосхищение множеств последовательностей . . . . . . . . . . 60В.О. Семенцов-Огиевский, Д.В. КарповТест на эмуляцию памяти виртуальных машин . . . . . . . . . . . . . . . . . 61А.А. РубцовИсследование на жесткость моделей обобщенных недетерминированных автоматов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Секция анализа систем и решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63И.Ф. ГималтдиновИдентификация модели рамсеевского типа по даннымо сберегательном и потребительском поведении домашних хозяйств в России 63

8 СодержаниеЕ.В. ГасниковаДостаточные условия существования равновесия макросистемы . . . . . . . . 64И.А. Кондраков, А.А. ШананинПриложение обобщенного непараметрического методадля анализа инвесторов на фондовом рынке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Е.Г. МолчановОценка коэффициента эластичности замещения производственных факторовна микроуровне в обобщенной модели Хаутеккера—Иохансена . . . . . . 67М.П. Ващенко, А.А. ШананинВлияние состава пула инвестиционных проектов на доходность в модели оптимальногоинвестирования в непрерывном времени . . . . . . . . . . . . . . 68Секция экспериментальной экономики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Д.А. РукинаИсследование поведения игроков в процессе торга . . . . . . . . . . . . . . . . 70С.А. Скиндерев, И.С. МеньшиковВлияние информируемости участников на распределение выигрышей в лабораторныхкооперативных играх . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Р.С. Спиридонов, И.С. МеньшиковИнтерпретация точек изменения тренда при анализе функционального состоянияучастников лабораторных игр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Ф.М. УльяновМетодика оценки взаимосвязи между поведенческими и психологическимихарактеристиками участников лабораторной игры . . . . . . . . . . . . . . . 74М.А. Двуреченская, И.С. Меньшиков, О.Р. Меньшикова, Р.И. ЯминовОптовый рынок электроэнергии и мощности. Анализ серии экспериментов . 75О.С. Гребнёва, О.Р. МеньшиковаИсследование психологических типов первокурсников во взаимосвязи с ихшкольными достижениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76О.А. Максакова, И.С. Меньшиков, О.Р. МеньшиковаФункциональное состояние участников лабораторных дискретных игр и еговлияние на эффективность участия в экспериментах . . . . . . . . . . . . . . 78И.С. Меньшиков, Р.И. ЯминовТеоретико-игровой анализ оптового рынка электроэнергии и мощности . . . 79А.А. Золотарев, И.С. Меньшиков, О.Р. Меньшикова, Р.И. ЯминовНовый подход к управлению загрузкой канала передачи данных в сети Интернетс использованием экспериментальной экономики. Анализ серии экспериментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80А.Е. УтемовМодифицированное поведение роботов в динамических играх . . . . . . . . . 82А.А. ЦукановДобавление приватного параметра минимальной стоимостив классическую версию игры «Ультимативный дележ» . . . . . . . . . . . . . 83

Содержание 9Е.Л. КудрявцевИспользование L-равновесия для анализа теоретико-игровых моделей с унимодальнойзависимостью выигрышаот порогового значения стратегии игрока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83К.В. МакаровРавновесие Байеса—Нэша в двухшаговой антагонистической игре двух лицс неполной информацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85П.А. ШишкинАнализ зависимости между поведенческимии психологическими характеристиками участников экономических игр . . . . 86А.Л. СувориковаАнализ индивидуального поведения участников эксперимента «Торговлямощностью и электроэнергией» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Е.В. ГасниковаКонцепция равновесия макросистемы в модели распределения потоков . . . 88О.Д. ЯкимоваОб опыте участия в серии экспериментов «Торговля мощностью и электроэнергией». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90А.А. Золотарев, А.Н. ЧабанЛабораторный анализ индивидуальных стратегий абонентов сети Интернети исследование последствий введения гибких тарифов . . . . . . . . . . . . . 91Секция математического моделирования в экономике, экологии и социологии . . . 93Д.В. Зайцев, Ю.В. ГрабскийПрименение физических принципов при моделировании поведения неорганизованныхмасс людей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Р.Ю. Богомазов, Н.Т. БесединДвухэтапный подход к задачам линейного программирования при диалоге спрограммой, выполняющей арифметические операции . . . . . . . . . . . . . 94Ю.В. ДорнПлатные дороги как средство достижения лучшего положения равновесияНэша–Вардропа на транспортном графе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95В.П. ВржещТрехпродуктовая модель российской экономики . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Д.И. ПетрашкоИсследование поведения транспортного потока относительно изменения расстояния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Секция математического моделирования и вычислительного эксперимента . . . . . 102В.С. Маряхина, В.В. ГуньковМатематическое моделирование диффузии флуоресцентного зонда в биологическойжидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102И.А. ВарфоломеевИспользование модели решёточного газа для описания свойств флюидов . . 103

10 СодержаниеА.Ю. Демьянов, Д.А. ЛисицинМоделирование электрических и магнитных свойств насыщенных пористыхсред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105А.В. ДемидоваПопуляционное моделирование на базе стохастических дифференциальныхуравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106М.Н. ГеворкянТочность сохранения симплектической структуры классическими численнымиметодами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107О.В. КузнецоваО введении стохастики в общее уравнение макроэкономической динамики . . 108А.В. Королькова, Д.С. КулябовУравнения Максвелла в криволинейных координатах в голономном базисе . 109Л.Р. МинибаеваКритерий мощности для аппаратов с двухъярусными открытыми турбиннымимешалками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110О.В. КасаткинаПостроение точных решений дифференциальных включений . . . . . . . . . 112Д.М. Мазилкин, А.А. Кулешов, М.Е. ЛадонкинаИсследование порядка слабой сходимости схем повышенного порядка аппроксимациина системе уравнений Сен-Венана . . . . . . . . . . . . . . . . . 113А.И. Белокрыс-Федотов, В.А. Гаранжа, Л.Н. КудрявцеваАлгоритмы построения тетраэдральных и гексаэдральных сеток в неявныхобластях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115А.А. Корнеева, М.В. Цепкова, Е.А. ЧжанО непараметрическом моделировании дискретно-непрерывных процессов . . 117Е.И. Дмитриев, А.К. ИдаятоваО непараметрических алгоритмах идентификации лавинообразных процессов118Секция математических и информационных технологий . . . . . . . . . . . . . . . 119Ф.А. Максимов, Ю.Д. ШевелевМоделирование течения с вихрями Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119В.В. Елесин, А.Ф. Максимов, Ф.А. МаксимовТехнология решения задач аэродинамического проектирования . . . . . . . . 120А.С. ЕгуновДинамическое программирование как метод аппроксимации плоских кривыхпри наличии ограничений специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122А.Ю. Лебедева, А.А. Попов, П.С. Уткин, И.В. СеменовПрименение метода взвешенных наименьших квадратовдля расчета градиентов трехмерных сеточных функций . . . . . . . . . . . . 125А.В. Полиев, И.В. СеменовЧисленное исследование нерегулярной ячеистой структуры детонационнойволны в водородно-воздушной смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127А.А. Попов, И.Ф. Ахмедьянов, И.В. СеменовРазработка и реализация параллельных алгоритмов динамической сеточнойадаптации для решения многомерных задач газовой динамики . . . . . . . . 128

Содержание 11Н.Е. Демидов, И.В. Семенов, И.Ф. АхмедьяновЧисленное исследование структуры фронта детонационной волны в метановоздушнойсмеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129П.А. Пасынков, И.В. СеменовПрименение широкодиапазонного уравнения состояния реального газа в вычислительныхзадачах внутренней баллистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130И.А. Бенидовский, И.В. СеменовЧисленное исследование влияния межгранулярного давления на динамикуподъема пыли из слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

12 В.П. СоловьевПленарное заседаниеУДК 517.9+530.1Двумерная обратная задача рассеяния при фиксированнойэнергии и её приложенияР.Г. НовиковEcole PolytechniqueМеждународный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизикиРАНРассматриваемая нами двумерная обратная задача рассеяния при фиксированнойэнергии возникает, в частности, в следующих областях:1. Многомерная обратная задача квантового рассеяния.2. Теория солитонов в размерности 2+1.3. Акустическая томография.В этом докладе мы даем краткий обзор результатов по рассматриваемой задачеи представляем, в частности, результаты недавних работ [1]–[3].Литература1. Novikov R.G. Absence of exponentially localized solitons for the Novikov-Veselovequation at positive energy // Physics Letters. A. — 2011. — V. 375, — Р. 1233–1235.2. Kazeykina A.V., Novikov R.G. Absence of exponentially localized solitons for theNovikov-Veselov equation at negative energy // Nonlinearity. — 2011. — V. 24. —P. 1821–1830.3. Novikov R.G., Santacesaria M. Monochromatic reconstruction algorithms for twodimensionalmulti-channel inverse problems // e-print:arXiv:1105.4086.УДК 519.6Проект «Развитие суперкомпьютеров и грид-технологий»и его дальнейшие перспективыВ.П. СоловьевФедеральный ядерный центр РоссииВсероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физикиВ докладе дано описание проекта «Развитие суперкомпьютеров и гридтехнологий»,стартовавшего в г. Сарове 22.07.2009 на выездном заседании Комиссиипри Президенте РФ по вопросам модернизации и технологического развитияэкономики. Кратко даны цели и задачи проекта, рассказано о результатах институтатеоретической и математической физики (ИТМФ) в области суперкомпьютерныхтехнологий, достигнутых в ходе выполнения проекта. Дана структура комплексногоподхода ИТМФ к решению задач проекта. В докладе приведены примеры решенияна суперЭВМ практических задач, рассказано о результатах, полученных при их

Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов в средах со сложнойструктурой 13решении, показано, как результаты решения задач внедряются в отрасли промышленностии сферы человеческой деятельности.Проект дал толчок к постановке и решению практических задач, напрямую несвязанных с ним. В докладе рассказано о ходе решения таких задач.В докладе большое внимание уделено созданию в РФЯЦ-ВНИИЭФ базового рядасупер-ЭВМ. В проекте выделено два направления развития суперЭВМ: суперЭВМнового поколения, предназначенные для решения полномасштабных задач имитационногомоделирования, и компактные суперЭВМ, предназначенные для моделированияработы и состояния отдельных узлов и системы узлов.В докладе рассказывается о дальнейших планах пролонгации проекта, постановкеновых задач и вовлечении в проект других отраслей промышленности РоссийскойФедерации.УДК 519.6Компьютерное моделирование пространственныхдинамических процессов в средах со сложной структуройИ.Б. ПетровМосковский физико-технический институт (государственный университет)Рассматриваются процессы динамического нагружения различных естественныхи технических конструкций. Численно решаются задачи клинической медицины, сейсморазведки,геофизики, воздействия землетрясений на наземные конструкции, моделируютсятехногенные катастрофы, в том числе в энергетических сооружениях.Для математического моделирования используется система динамических уравненийв частных производных механики сплошных сред. Для численного решения используетсякласс гибридных сеточно-характеристических методов, являющихся наиболееэффективными для численного исследования быстрых динамических процессов всплошных средах.

14 М.И. ИсаевСекция квазилинейных уравненийи обратных задачУДК 517.95Экспоненциальная неустойчивость в обратных задачахМ.И. ИсаевМосковский физико-технический институт (государственный университет)CMAP, Ecole PolytechniqueМногие обратные задачи, касающиеся дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, представляют собой определение некоторого параметра уравнения, например,коэффициента уравнения или геометрии области, в которой происходит явление,моделируемое уравнением. Для нахождения данного параметра необходимадополнительная информация о решениях уравнения, как правило, данные о решенияхв доступной (и, следовательно, известной) части границы области, в которойпроисходит явление.Обратные задачи такого рода часто являются некорректными. Действительно,даже в случае, когда информации достаточно для гарантии единственности восстановлениянеизвестного параметра, зависимость от данных измерений может не являтьсяв достаточной степени непрерывной, т.е. устойчивой.Точные знания о характере некорректности дают преимущество при разработкеэффективных численных методов. Чтобы обеспечить некоторую устойчивость в данныхзадачах, обычно применяют регуляризацию, то есть ограничивают пространствонеизвестных, считая, что они удовлетворяют априорным условиям, как правило, касающихсягладкости. Учитывая эту априорную информацию, можно доказать, чтонеизвестные зависят непрерывным образом от данных измерений.В докладе дан обзор известных результатов об устойчивости и неустойчивостив двух задачах: обратной задаче Гельфанда и обратной задаче рассеяния [1], [5]–[8].В частности, представлены новые оценки неустойчивости, полученные в работах [3],[4]. Кроме того, приведена некоторая общая схема доказательства экспоненциальнойнеустойчивости в обратных задачах [2].Литература1. Alessandrini G. Stable determination of conductivity by boundary measurements //Appl. Anal. — 1988. — V. 27. — P. 153–172.2. Di Cristo M., Rondi L. Examples of exponential instability for inverse inclusion andscattering problems // Inverse Problems. — 2003. — V. 19. — P. 685–701.3. Isaev M.I. Exponential instability in the Gel’fand inverse problem on the energyintervals // J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2011. — V. 19(3) — P. 453–473; e-printarXiv: 1012.2193.4. Isaev M.I. Exponential instability in the inverse scattering problem on the energyinterval // arXiv:1012.5526.

Точное решение нелинейного уравнения четвертого порядка 155. Mandache N. Exponential instability in an inverse problem for the Schrödingerequation // Inverse Problems. — 2001. — V. 17. — P. 1435–1444.6. Novikov R.G. New global stability estimates for the Gel’fand-Calderon inverse problem// Inverse Problems. — 2011. — V. 27. — P. 015001-015028. e-print arXiv:1002.0153.7. Novikov R., Santacesaria M. A global stability estimate for the Gel’fand- Calderoninverse problem in two dimensions // J. Inverse Ill-Posed Problems — 2010. — V. 18.— P. 765–785. e-print arXiv: 1008.4888.8. Stefanov P. Stability of the inverse problem in potential scattering at fixed energy //Annales de l’institut Fourier. — 1990. — V. 40, № 4. — P. 867–884.УДК 519.6Точное решение нелинейного уравнения четвертого порядкаЕ.К. Вдовина, К.А. ВолосовМосковский государственный университет путей сообщения (МИИТ)Математическая модель [1], [2] из двух нелинейных параболических уравненийдля активатора процесса свертываемости Q(t, x, y) (тромбина) и ингибитора S(t, x, y)записана в системе координат χ, θ, связанной с медленно вращающейся полярнойсистемой координат Q(t, x, y) = K(χ, θ), S(t, x, y) = P (χ, θ), где χ = ln √ x 2 + y 2 , θ =arctan(y/x) − ω t. Для построения точного решения используется метод нефиксированнойконструктивной замены переменных, развитый в [3]-[5]. Этот способ позволяетнайти дифференциальные связи, которые следуют из внутренней структурыуравнений и на их базе можно построить решение в неявной параметрической форме.Этим методом построено новое решение в задаче о динамике системы открытогогиперцикла [6]. Имеет место возможность записать эту систему в качестве нелинейногоуравнения с частными производными четвертого порядка и, как в [6] выписатьсемейства его точных решений. Построены решения типа локализованных структур,которые могут передвигаться вокруг начала координат, как спиральные волны. Можноорганизовать последовательность таких структур, разнесенных в пространстве нарасстояние, большее, чем характерный размер.Литература1. Лобанов А.И., Старожилова Т.К., Зарницина В.И., Атфуллаханов Ф.И. Сравнениедвух математических моделей для описания пространственной динамикипроцесса свертывания крови // Математическое моделирование. — 2003. — Т. 15,№ 1. — С. 14–28.2. Крутикова М.П., Куриленко И.А., Лобанов А.И., Старожилова Т.К. Двумерныестационарные структуры в математической модели свертывания крови с учетомгипотезы о переключении активности тромбина // Математическое моделирование.— 2004. — Т. 16, № 12. — С. 85–95.3. Волосов K.A. Методика анализа эволюционных систем с распределенными параметрами:дис. д-ра ф.-м. наук. — М.: МИЭМ, 2007.4. Волосова А.К., Волосов К.А. Конструирование решений уравнений с частнымипроизводными // Международный журнал математики и математических наук.— 2009.5. Волосов К.А. Конструирование решений квазилинейных уравнений с частнымипроизводными // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008.— Т. 11, № 2(34). С. 29–39. English transl. in Journal of Applied and IndustrialMathematics. — 2009. — V. 3, N 4. — P. 519–527.

16 А.В. Казейкина6. Волосова А.К. Математическое моделирование нелинейной динамики системы открытогогиперцикла: дис. канд. ф.-м. наук. — М.: МИИТ, 2011.УДК 517.958Асимптотическое по времени поведение решений уравненияВеселова—НовиковаА.В. КазейкинаМосковский государственный университет имени М.В.ЛомоносоваEcole PolytechniqueУравнение Веселова—Новикова:∂ t v = 4R(4∂ 3 zv + ∂ z (vw) − E∂ z w),∂¯z w = −3∂ z v, v = ¯v, E ∈ R,v = v(x, t), w = w(x, t), x = (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 , t ∈ R,является математически наиболее естественным (2 + 1)-мерным аналогом уравненияКортевега — де Фриза, интегрируемым с помощью метода обратной задачи рассеяниядля двумерного уравнения Шредингера. Изучение поведения решений данногоуравнения является важной задачей теории интегрируемых нелинейных систем.В данном докладе представлены недавние результаты исследования асимптотическогоповедения решений уравнения Веселова—Новикова. Основное внимание традиционноуделяется вопросу существования/отсутствия солитонов для данного уравнения.В первой части доклада продемонстрировано, что если уравнения задачи рассеяниядля решения уравнения Веселова—Новикова всюду разрешимы, то это решениеравномерно убывает с течением времени, а значит, не содержит в асимптотике солитонов[1], [2].Условие разрешимости всюду уравнений задачи рассеяния является достаточноограничительным: солитоны уравнения Веселова—Новикова могут возникать при нарушенииданного условия. Известно, например, что для солитонных решений уравненияВеселова—Новикова, построенных в [3], данные рассеяния имеют точки особенностей.Вторая часть доклада посвящена изучению вопроса существования/отстуствиясолитонов при отсутствии предположения о разрешимости всюду уравнений задачирассеяния. В этом случае можно указать некоторые функциональные классы, не содержащиесолитонов уравнения Веселова—Новикова. Так, в работе [4] показано, что,в отличие от одномерного КдФ, уравнение Веселова—Новикова при E > 0 не имеетэкспоненциально локализованных солитонов. В [5] этот результат перенесен также наслучай отрицательной энергии E < 0. Для случая нулевой энергии доказано отсутствиесолитонов кондуктивного типа [6]. Решения кондуктивного типа естественновозникают, когда задача Кальдерона о проводимости изучается при помощи задачирассеяния для двумерного уравнения Шредингера на нулевом уровне энергии.

Перспективы акустической термотомографии 17Литература1. Kazeykina A.V., Novikov R.G. A large time asymptotics for transparent potentialsfor the Novikov–Veselov equation at positive energy // J. Nonlinear Math. Phys. —2011. — N 18(3). — P. 377–400.2. Kazeykina A.V. A large time asymptotics for the solution of the Cauchy problem forthe Novikov-Veselov equation at negative energy with non-singular scattering data. —arXiv:1107.1150. — 2011.3. Гриневич П.Г. Рациональные солитоны уравнений Веселова–Новикова –– безотражательныепри фиксированной энергии двумерные потенциалы // ТМФ. —1986. — N 69(2). — С. 307–310.4. Novikov R.G. Absence of exponentially localized solitons for the Novikov–Veselovequation at positive energy // Physics Letters. A. — 2011. — N 375. — С. 1233–1235.5. Kazeykina A.V. Absence of traveling wave solutions of conductivity type for theNovikov — Veselov equations at zero energy. — arXiv:1106.5639. — 2011.6. Kazeykina A.V., Novikov R.G. Absence of exponentially localized solitons for theNovikov-Veselov equation at negative energy // Nonlinearity. — 2011. — N 24. —С. 1821–1830.УДК 534.8+519.24Перспективы акустической термотомографииВ.А. Буров, К.В. Дмитриев, С.В. Логинов, О.Д. РумянцеваМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваТепловые флуктуационные явления в средах, поглощающих акустические волны,сопровождаются собственным тепловым излучением, которое оказывается возможнымиспользовать для контроля за температурой биологической ткани [1]–[4]. Напути практической реализации термотомографии стоит основная трудность — слабостьсигнала и принципиально очень малое входное отношение сигнал/помеха. Дляпреодоления этой проблемы используются аддитивные (использующие фокусировку[1], [3], [4]) и корреляционные методы. Показано, что специально разрабатываемыепринципы активно-пассивного режима термотомографирования потенциально позволяютраздельно восстанавливать в каждой точке полный набор температурныхи акустических характеристик объекта: собственную температуру объекта, температуруфонового излучения, коэффициент поглощения и скорость звука. Однакополучаемая из эксперимента информация связана или с акустояркостной температурой,которая зависит от произведения коэффициента поглощения и температурыобъекта, или с произведением функции, характеризующей неоднородность скоростипо сравнению с ее фоновым значением, на коэффициент проникновения излученияв точку. По этой причине задача разделения перечисленных характеристик весьмане простая. Ситуация еще больше осложняется из-за рассеяния и поглощения акустическихполей, приводя к тому, что распределение фоновой температуры будетнеоднородным и анизотропным. Как следствие, оценка и разделение характеристикобъекта нуждается в предварительной оценке заранее неизвестных неоднородныхраспределений поглощения и скорости звука.При разработке корреляционной фокусированной схемы [2] необходимо обеспечитьвозможность снижения разрешающей способности для улучшения температурнойчувствительности. Наибольший интерес представляют рефлекторные корреляционныесистемы, обладающие минимальными потерями и позволяющие сократить

18 В.А. Буров, К.В. Дмитриев, С.В. Логинов, О.Д. Румянцевачисло координат, по которым ведется механическое сканирование. Для таких схемпоказано, что, хотя входное отношение сигнал/помеха с ростом размеров томографируемогообъекта ухудшается, полезный сигнал всегда можно выделить, увеличиввремя накопления.В предлагаемой схеме (рис. 1) температурная чувствительность растет пропорциональноувеличению размера элемента разрешения. Оценки показывают возможностьполучения разрешающей способности в 1–2 К. Для раздельного восстановлениятемпературных и акустических характеристик объекта необходимо создание дополнительнойанизотропной подсветки — дополнительного шумового поля с заданнымисвойствами. Это поле обязано проходить через выделенный элемент разрешения,попадать на выбранный («подсвеченный») приемник, но при этом не попадать надругой («неподсвеченный») приемник данной пары. Из-за рассеяния поля подсветкина неоднородном фоне создание желаемой подсветки в полной кольцевой схеме чрезвычайносложно для пар приемников, расположенных друг от друга на расстоянииоколо половины длины волны. В предлагаемой же схеме с фокусировкой подсветкаосуществляется парой дополнительных зеркал и соответствующих им решетокизлучающих преобразователей, хотя и здесь возникают технические сложности.Настоящая работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ № НШ-4590.2010.2 и № МК-2041.2011.5, а также гранта № 10-02-00636а и гранта ПравительстваРоссийской Федерации № 2010-220-01-077, договор № 11.G34.31.0005.Рис. 1. Схема корреляционных термоакустических измерений и реализация анизотропнойподсветки в системе с фокусирующими зеркаламиЛитература1. Аносов А.А., Гаврилов Л.Р. Восстановление распределения глубинной температурыбиообъектов с помощью линейных фазированных решеток // Акуст. журн.— 2005. — T. 51. № 4. — С. 447–455.2. Буров В.А., Дмитриев К.В., Евтухов С.Н. Активно-пассивные термотомографическиесистемы с фокусировкой акустических полей // Известия Российскойакадемии наук. Серия Физическая. — 2009. — Т. 73. № 4. — С. 551–557.

Лидирующий вид в модели конкуренции с диффузией 193. Вилков В.А., Кротов Е.В., Мансфельд А.Д., Рейман А.М.Применение фокусируемыхантенн для задач акустояркостной термометрии // Акуст. журн. — 2005.— T. 51. № 1. — С. 81–89.4. Кротов Е.В., Рейман А.М., Субочев П.В. Синтез акустической линзы Френелядля акустояркостной термометрии // Акуст. журн. — 2007. — T. 53. № 6. — С. 779–785.УДК 517.956.4Лидирующий вид в модели конкуренции с диффузиейВ.Н. РазжевайкинВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНМосковский физико-технический институт (государственный университет)Наблюдаемый в природных биологических сообществах процесс сукцессии помимолокализованного точечного проявления достаточно часто находит и пространственноевыражение, возникающее зачастую из-за неравномерности распределенияих фаз развития по ареалу обитания. В результате формируются цепочки бегущихволн, имеющих постоянные скорости, так что процесс временной сукцессии приобретаетнаглядную пространственную интерпретацию. При этом можно наблюдатьотставание более медленных, но более приспособленных видов биологических сообществ,от более подвижных, но и более слабых в конкурентном отношении. Нафинальной стадии оказываются, как правило, виды, имеющие в сложившихся окружающихусловиях эволюционно оптимальные характеристики.Картина такого процесса весьма наглядно может быть описана посредством диффузионноймодели конкуренции вида)N∑u t = D i u i xx + u(M i i − γ ij u j , i = 1, ..., N, (1)с некоторыми ненулевыми финитными начальными u j (x, 0) распределениями дляплотности u j = u j (x, t) каждого из рассматриваемых видов.Относительно системы (1) предполагается выполненной следующая гипотеза оединой экологической нише. (H1). Коэффициенты конкуренции имеют вид γ ij = α i β j ,причем все величины m i = M iα iразличны.Определение. Будем говорить, что вид с номером i 1 ∈ {1, ..., N} является лидеромдля системы (1), если для любого X > 0 найдется такое ^x > X, что существуетt j > 0, для которого: 1) u i 1(^x, t j ) > δ i ; 2) u k (x, t j ) > δ k для всех k ≠ i 1 и x ^x.Основной результат заключается в теореме о независимости выбора лидирующеговида от конкретных изначальных значений численностей присутствующих видов.Теорема. При выполнении гипотезы (H1) лидер существует и его номер определяетсяиз решения оптимизационной задачи √ D i 1 Mi 1 = max { √ D i M i } независимоiот начальных финитных распределений.Материал подготовлен при поддержке РФФИ. Код проекта 09-07-00398.j=1

20 В.А. Буров, А.В. Прудникова, С.Н. Сергеев, А.С. ШурупУДК 551.463.21+534Применение методов акустической томографии океанадля оценки характеристик дна мелкого моряВ.А. Буров, А.В. Прудникова, С.Н. Сергеев, А.С. ШурупМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваАкустическая томография позволяет восстановить внутреннюю структуру обширных(порядка сотен и тысяч километров) регионов океана на основе характеристикакустических сигналов, прошедших через рассматриваемую область. С математическойточки зрения задача акустической томографии океана может бытьрассмотрена как частный случай многоканальных обратных задач рассеяния [1], гдемногоканальность определяется неадиабатичностью распространения акустическихмод в океаническом волноводе.Методы томографии океана первоначально разрабатывались для глубокого океана(глубина — несколько километров), то есть такого океана, в котором волноводныесвойства обеспечиваются преимущественно зависимостью скорости звука от глубины.В настоящее же время основные гидроакустические исследования сосредоточенына шельфе, т.е. в условиях мелкого моря (глубина — несколько сот метров), гдеэффекты, вносимые океаническим дном, способны существенно изменить картинураспространения акустического поля и требуют своего учета, а многоканальностьявляется определяющим фактором. По этой причине методы, разработанные дляглубокого океана, не допускают непосредственного переноса на мелкое море, чтотребует развития новых подходов.Ранее [2] была разработана схема акустической томографии, позволяющая восстановитьосновные объекты мониторинга океана — рефракционные неоднородности(отклонения глубинного профиля скорости звука от, например, среднесезонных значений)и течения (глобальные течения типа Гольфстрима и локальные синоптическиевихри, аналогичные атмосферным вихрям) — в едином подходе с помощью полосчатогобазиса. В горизонтальной плоскости полосчатый базис представляет собойнабор параллельных полос, равномерно покрывающих рассматриваемую область иповорачиваемых под разными углами. В каждой из таких полос поочередно задаютсябазисные функции, например, функции Карунэна—Лоэва [2], описывающие глубинноеповедение восстанавливаемых характеристик среды.В настоящей работе демонстрируется возможность восстановления параметровдна мелкого моря — его импедансных параметров и рельефа — методами акустическойтомографии океана с применением полосчатого базиса. Показано, что при использованиив качестве источника зондирования модовых сигналов можно разделитьвлияние рассматриваемых параметров дна на распространяющееся поле благодаряразличному характеру их влияния на дисперсионные характеристики мод, что можетбыть использовано в томографических схемах (рис. 1). Использование полученныхрезультатов позволяет предложить схему томографирования неоднородностей океанав едином подходе, который обеспечивается разложением всех параметров (рефракционныхнеоднородностей, планарных течений, вихрей и геоакустических параметровдна) по полосчатому базису. Важным шагом дальнейших исследованийявляется учет неадиабатического распространения звука, что может быть сделано,например, функционально-аналитическими методами решения многоканальных задачрассеяния [1].

C*-алгебры и обратные задачи 21Настоящая работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ № НШ-4590.2010.2, № МК-2041.2011.5, грантов РФФИ № 10-02-00636а, 10-05-00229а и грантаПравительства Российской Федерации № 2010-220-01-077, договор № 11.G34.31.0005.Рис. 1. Модельное распределение по акватории параметров неоднодностей скоростизвука Δc d (а) и рельефа ΔH (б) в дне; результаты их совместного восстановленияΔ^c d (в) и Δ ^H (г) при использовании 3 низших мод на частотах 25, 50 и 75 ГцЛитература1. Novikov R.G., Santacesaria M. Monochromatic reconstruction algorithms for twodimensionalmulti-channel inverse problems. — E-print arXiv: 1105.1086.2. Буров В.А., Сергеев С.Н., Шуруп А.С. Трехмерная модель томографическоговосстановления океанических неоднородностей при неизвестном расположенииантенн // Акустич. журнал. — 2011. — T. 57. № 2, — С. 348–363.УДК 517.98C*-алгебры и обратные задачиМ.И. БелишевСанкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАНМногие динамические и спектральные обратные задачи математической физикисводятся к проблеме восстановения риманова многообразия по граничным данным.Последняя, в единственно адекватной формулировке, состоит в построении многообразияс заданным краем, имеющего (на этом краю) предписанные граничные данные(оператор реакции, оператор-функцию Вейля–Титчмарша и др). При этом принципиальнымоказывается вопрос: из какого «материала»такое многообразие можетбыть построено? Предлагаемый ответ и рецепт построения состоит в следующем:1) граничные данные эффективно (с точностью до изометрического изоморфизма)определяют коммутативную операторную алгебру непрерывных мультипликаторов,являющуюся подалгеброй алгебры ограниченных операторов пространства L 2на многообразии;

22 М.Н. Демченко2) алгебра мультипликаторов изометрична алгебре непрерывных функций намногообразии; гельфандов спектр (пространство максимальных идеалов) последнейгомеоморфен исходному (подлежащему восстановлению) многообразию;3) используя те же граничные данные, удается оснастить спектр гладкой структуройи метрикой, которые превращают его в изометрическую копию исходного многообразия;эта копия и решает задачу восстановления.Таким образом, «материалом»служит спектр адекватной алгебры, определяемойграничными данными многообразия.При попытке воспроизвести эту схему для восстановления графа выяснилось, чтосответствующая операторная алгебра, определяемая граничными данными, оказываетсянекоммутативной. Тем не менее, в ряде случаев удается извлечь информациюо струтуре графа из спектра (пространства примитивных идеалов) этой алгебры.Такой подход, использующий идеи коммутативной и некоммутативной геометрий,дает единый взгляд на широкий класс разных по характеру обратных задач.Литература1. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems.— 2007. — 23(5). P. R1–R67.2. Belishev M.I. Geometrization of Rings as a Method for Solving Inverse Problems. —Sobolev Spaces in Mathematics III. Applications in Mathematical Physics, Ed. V.Isakov. — Berlin: Springer, 2008. — P. 5–24.УДК 517.98Динамическая обратная задача для системы МаксвеллаМ.Н. ДемченкоСанкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАНПусть Ω ⊂ R 3 – ограниченная область с гладкой границей, ε, µ – положительныегладкие скалярные функции в Ω. Для фиксированного T > 0 рассмотрим системуМаксвелла в Ω × [0, T ]:e t = ε −1 rot h, h t = −µ −1 rot e, (x, t) ∈ Ω × (0, T ),e | t=0 = h | t=0 = 0,e θ | ∂Ω×[0,T ] = f.Здесь ( · ) θ – касательная составляющая на границе области, e = e f (x, t) иh = h f (x, t) – электрическая и магнитная составляющие решения. Свяжем с этойсистемой операторR T : f ↦→ h f ∣θ ∂Ω×(0,T ).Пусть c = (εµ) −1/2 – скорость распространения электромагнитных волн. В оптимальнойпо времени постановке обратной задачи требуется по данным{R 2T , c ∣ ∂Ω, ∂c∣ }∂ν ∂Ω(ν – внутренняя нормаль к ∂Ω) восстановить ε и µ в области Ω T , гдеΩ s = {x ∈ Ω | dist c (x, ∂Ω) < s}, s > 0,

Томография на основе нелинейных акустических эффектов третьего порядка 23(dist c – расстояние в оптической метрике ds 2 = c −2 |dx| 2 ).В [1] с помощью метода граничного управления (BC-метод) доказана единственностьвосстановления c | Ω T при условии, что Ω T покрывается регулярной системойполугеодезических координат (это выполнено для достаточно малых T ). Этот результатозначает единственность произведения εµ. Здесь мы покажем (также используяBC-метода), что коэффициенты ε и µ однозначно определяются при произвольномT > 0 в том случае, если Ω T удовлетворяет некоторому геометрическому условию,а именно: при почти всех s ∈ (0, T ) граница области Ω s липшицева. Это условие,по-видимому, не является слишком ограничительным и обязательно выполняется вситуации, рассмотренной в [1].Литература1. Белишев М.И., Гласман А.К. Динамическая обратная задача для системы Максвелла:восстановление скорости в регулярной зоне (BC-метод) // Алгебра и анализ.— 2000. — 12(2). — С. 279–316.2. Демченко М.Н. Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла// Алгебра и анализ. — 2011. — 23(6). — С. 31–78.УДК 551.463.21+534Томография на основе нелинейных акустических эффектовтретьего порядкаВ.А. Буров, А.А. Шмелев, Р.В. Крюков, О.Д. РумянцеваМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваАкустическая томография является эффективным методом медицинской диагностики.Отдельной диагностической ценностью обладают нелинейные параметры биологическихтканей, которые содержат важную диагностическую информативностьдля целей медицины, поскольку относительное изменение нелинейных параметровдля патологически больной и здоровой ткани значительно превышает относительноеизменение линейных характеристик тех же тканей.Большинство существующих на сегодняшний день томографических систем, позволяющихвосстановить распределение нелинейного параметра второго порядка, основанона методе конечной амплитуды, который заключается в оценке нелинейногопараметра по амплитуде сигнала второй или более высшей гармоники акустическойволны, распространяющейся в исследуемом образце [1]. Однако данный методтребует проведения целой серии экспериментов с различной ориентацией приемоизлучающейсистемы и объекта для восстановления полной картины образца. Неколлинеарноевзаимодействие двух акустических волн позволяет, применяя сложнуюкодировку сигналов, восстановить ограниченную область пространственного спектранелинейного параметра в результате всего одного эксперимента. Однако в силузакона сохранения импульса этот метод не дает возможность восстановить пространственныйспектр нелинейного параметра вблизи нулевого значения пространственнойчастоты, что не позволяет восстановить абсолютные значения нелинейного параметравторого порядка. В настоящей работе представлена томографическая система,основанная на эффекте нелинейного взаимодействия трех первичных неколлинеарныхакустических волн. Присутствие во взаимодействии третьей волны снимает ограничения,накладываемые законом сохранения импульса, что позволяет восстановитьдвумерное распределение абсолютных значений нелинейных акустических параметровв результате всего нескольких измерений (в пределе — одного) [2]. В качестве

24 В.А. Буров, А.А. Шмелев, Р.В. Крюков, О.Д. Румянцевапервичных волн используются широкополосные сигналы, кодированные по известномузакону. Результатом их неколлинеарного взаимодействия является генерациякомбинационных волн суммарно-разностных частот, амплитуда которых зависит отзначений нелинейных параметров среды в точке взаимодействия.Результаты численного моделирования процесса томографии, представленные нарис. 1, наглядно показывают возможность восстановления абсолютных значений заданногораспределения нелинейного параметра сложного исследуемого объекта. Нарис. 2 представлен результат восстановления поперечного сечения четырех пальцев(всех кроме большого) руки человека, сложенных вместе. Реалистичные формы иразмеры восстановленного объекта свидетельствуют о возможности использованияэффектов третьего порядка в целях медицинской томографии.Настоящая работа выполнена при поддержке грантов Президента РФ № НШ-4590.2010.2, № МК-2041.2011.5, грантов РФФИ № 10-02-00636а и гранта ПравительстваРоссийской Федерации № 2010-220-01-077, договор № 11.G34.31.0005.Рис. 1. Результат восстановления распределения нелинейного параметра за счетнелинейных эффектов второго (б) и третьего (в) порядковРис. 2. Результат восстановления сечения четырех пальцев человекаЛитература1. Zhang D., Chen X., Gong X. Acoustic nonlinearity parameter tomography forbiological tissues via parametric array from a circular piston source. Theoretical

New global stability estimates for the Calderon problem in two dimensions 25analysis and computer simulations // J. Acoust. Soc. Am. — 2001. — V. 109, № 3. —P. 1219–1225.2. Буров В.А., Шмелев А.А. Численное и физическое моделирование процесса томографированияна основе акустических нелинейных эффектов третьего порядка// Акуст. журн. — 2009. — Т. 55, № 4–5. — С. 466–480.УДК 517.95New global stability estimates for the Calderon problem in twodimensionsM. SantacesariaCMAP Ecole PolytechniqueThe aim of the talk is showing a new global stability estimate for the Gel’fand-Calderóninverse problem on a two-dimensional bounded domain. Specifically, the inverse boundaryvalue problem for the equation −Δψ +v ψ = 0 on D is analysed, where v is a smooth realvaluedpotential of conductivity type defined on a bounded planar domain D. By means ofthis new estimate it is shown that the smoothness of the potential is related to the stabilityof its reconstruction: the more a potential is smooth, the more the reconstruction is stable.Furthermore, the stability is proven to depend exponentially on the smoothness, in asense to be made precise. The problem finds its main application in electrical impedancetomography. As a corollary, a similar estimate for the Calderón problem for the electricalimpedance tomography is obtained. The talk is based on [M. Santacesaria, 2011].Let D ⊂ R 2 be a bounded domain equipped with a potential given by a functionv ∈ L ∞ (D). The corresponding Dirichlet-to-Neumann map is the operator Φ :H 1/2 (∂D) → H −1/2 (∂D), defined byΦ(f) = ∂u∂ν ∣ , (1)∂Dwhere f ∈ H 1/2 (∂D), ν is the outer normal of ∂D, and u is the H 1 (D) — solution of theDirichlet problem(−Δ + v)u = 0 on D, u| ∂D = f. (2)Here we have assumed that0 is not a Dirichlet eigenvaluefor the operator − Δ + v in D. (3)The following inverse boundary value problem arises from this construction:Problem 1. Given Φ, find v on D.Problem 1 can be considered as the Gel’fand inverse boundary value problem for theSchrödinger equation at zero energy (see [4], [9]) as well as a generalisation of the Calderónproblem for the electrical impedance tomography (see [3], [9]), in two dimensions.It is convenient to recall how the above problem generalises the inverse conductivityproblem proposed by Calderón. In the latter, D is a body equipped with an isotropicconductivity σ(x) ∈ L ∞ (D) (with σ σ min > 0),v(x) = Δσ1/2 (x)σ 1/2 (x)Φ = σ −1/2 (Λσ −1/2 + ∂σ1/2∂ν, x ∈ D, (4)), (5)

26 M. Santacesariawhere σ −1/2 (resp. ∂σ 1/2 /∂ν) in (5) denote the multiplication operators by the functionsσ −1/2 | ∂D (resp. ∂σ 1/2 /∂ν| ∂D ) and Λ is the voltage-to-current map on ∂D, defined asΛf = σ ∂u∂ν ∣ , (6)∂Dwhere f ∈ H 1/2 (∂D), ν is the outer normal of ∂D, and u is the H 1 (D)-solution of theDirichlet problemdiv(σ∇u) = 0 on D, u| ∂D = f. (7)Indeed, the substitution u = ũσ −1/2 in (7) yields (−Δ + v)ũ = 0 in D, where v is givenby (4). The following problem is called the Calderón problem:Problem 2. Given Λ, find σ on D.We remark that Problems 1 and 2 are not overdetermined, in the sense that weconsider the reconstruction of a real-valued function of two variables from real-valuedinverse problem data dependent on two variables.There are several questions to be answered in these inverse problems: to prove theuniqueness of their solutions (e.g. the injectivity of the map v → Φ for Problem 1), thereconstruction and the stability of the inverse.In this talk some interior stability estimates are presented. Let us consider, for instance,Problem 1 with a potential of conductivity type. We want to prove that given twoDirichlet-to-Neumann operators, respectively Φ 1 and Φ 2 , corresponding to potentials,respectively v 1 and v 2 on D, we have that‖v 1 − v 2 ‖ L ∞ (D) ω (‖Φ 1 − Φ 2 ‖ H 1/2 →H −1/2) ,where the function ω(t) → 0 as fast as possible as t → 0. For Problem 2 similar estimatesare considered.There is a wide literature on the Gel’fand-Calderón inverse problem. In the case ofcomplex-valued potentials the global injectivity of the map v → Φ was firstly proved in[9] for D ⊂ R d with d 3 and [2] for d = 2 with v ∈ L p : in particular, these results wereobtained by means of global reconstruction techniques, developed by the same authors.Global stability estimates for Problem 1 and 2, for d 3 were first found in [1]. In thetwo-dimensional case the first global stability estimate for Problem 1 was given in [11].Global results for Problem 2 in the two dimensional case have been found muchearlier than for Problem 1. In particular, global uniqueness was first proved in [8] andglobal stability in [6], where a logarithmic estimate is obtained for conductivities withtwo continuous derivatives. This result was recently improved to Hölder continuousconductivities.The research line delineated above is devoted to prove stability estimates with theleast possible regular potential/conductivity. Instead, we have tried to address a differentquestion: given sufficiently smooth potentials/conductivities, how the stability estimatesvary with respect to the smoothness of these potentials/conductivities. The results,detailed below, constitute also a progress for the case of non-smooth potentials: theyindicate stability dependence of the smooth part of a singular potential with respect toboundary value data.We will assume for simplicity thatD is an open bounded domain in R 2 , ∂D ∈ C 2 ,v ∈ W m,1 (R 2 ) for some m > 2, supp v ⊂ D,(8)

New global stability estimates for the Calderon problem in two dimensions 27where, for m ∈ N ∪ {0},LetW m,1 (R 2 ) = {v : ∂ J v ∈ L 1 (R 2 ), |J| m}, (9)J ∈ (N ∪ {0}) 2 , |J| = J 1 + J 2 , ∂ J v(x) = ∂|J| v(x).∂x J 11 ∂x J 22‖v‖ m,1 = max|J|m ‖∂J v‖ L 1 (R 2 ).The last (strong) hypothesis is that we will consider only potentials of conductivity type,i.e.v = Δσ1/2σ 1/2 , for some σ ∈ L∞ (D), with σ σ min > 0. (10)The main result is the following.Let the conditions (3), (8), (10) hold for the potentials v 1 , v 2 , where D is fixed, and letΦ 1 , Φ 2 be the corresponding Dirichlet-to-Neumann operators. Let ‖v j ‖ m,1 N, j = 1, 2,for some N > 0. Then, for any α < m there exists a constant C = C(D, N, m, α) suchthat‖v 2 − v 1 ‖ L ∞ (D) C(log(3 + ‖Φ 2 − Φ 1 ‖ −1 )) −α , (11)where ‖Φ 2 − Φ 1 ‖ = ‖Φ 2 − Φ 1 ‖ H 1/2 →H −1/2.Let σ 1 , σ 2 be two isotropic conductivities such that Δ(σ 1/2j )/σ 1/2j satisfies conditions(8), where D is fixed and 0 < σ min σ j σ max < +∞ for j = 1, 2 and some constantsσ min and σ max . Let Λ 1 , Λ 2 be the corresponding Dirichlet-to-Neumann operators and‖Δ(σ 1/2j )/σ 1/2j ‖ m,1 N, j = 1, 2, for some N > 0. We suppose, for simplicity, thatsupp (σ j − 1) ⊂ D for j = 1, 2. Then, for any α < m there exists a constant C =C(D, N, σ min , σ max , m, α) such that‖σ 2 − σ 1 ‖ L ∞ (D) C(log(3 + ‖Λ 2 − Λ 1 ‖ −1 )) −α , (12)where ‖Λ 2 − Λ 1 ‖ = ‖Λ 2 − Λ 1 ‖ H 1/2 →H −1/2.The above estimates show that as m → +∞, α = α(m) → +∞ (one can takeα(m) = m − 1).In addition we stress that under the assumption of Theorem 1 and Corollary (12),according to instability estimates of [7] and [5], our results are found to be almost optimal.In dimension d 3 a global stability estimate similar to our result (with respect todependence on smoothness) was proved in [10].Bibliography1. Alessandrini G. Stable determination of conductivity by boundary measurements //Appl. Anal. — 1988. — V27, N 1. — P. 153–172.2. Bukhgeim A.L. Recovering a potential from Cauchy data in the two-dimensional case// J. Inverse Ill-Posed Probl. 2008. V.16, N 1. — P. 19–33.3. Calderón A.P. On an inverse boundary problem // Seminar on Numerical Analysisand its Applications to Continuum Physics. — Soc. Brasiliera de Matematica, Rio deJaneiro. — 1980. — P. 61–73.4. Gel’fand I.M. Some aspects of functional analysis and algebra // Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians, Amsterdam. — 1954. — V.1. — P. 253–276.Erven P. Noordhoff N.V., Groningen; North-Holland Publishing Co., Amsterdam.

28 M. Santacesaria5. Isaev M. Exponential instability in the Gel’fand inverse problem on the energyintervals // J. Inverse Ill-Posed Probl.— 2011 V.19, — N 3. — P. 453–472. e-printarXiv:1012.2193.6. Liu L. Stability Estimates for the Two-Dimensional Inverse Conductivity Problem —Ph.D. thesis, Department of Mathematics, University of Rochester, New York, 1997.7. Mandache N. Exponential instability in an inverse problem of the Schrodinger equation// Inverse Problems. — 2001. — V.17, N 5. — P. 1435–1444.8. Nachman A. Global uniqueness for a two-dimensional inverse boundary value problem// Ann. Math. 143, 1996, P. 71–96.9. Novikov R.G. Multidimensional inverse spectral problem for the equation −Δψ +(v(x) − Eu(x))ψ = 0 // Funkt. Anal. i Pril. V.22, 1988, N 4, P. 11–22 (in Russian);English Transl.: Funct. Anal. and Appl. 22, 1988, N 4. P. 263–272.10. Novikov R.G. New global stability estimates for the Gel’fand-Calderon inverse problem// Inv. Problems V.27, 2011, N 1. P. 015001.11. Novikov R.G., Santacesaria M. A global stability estimate for the Gel’fand-Calderoninverse problem in two dimensions // J. Inverse Ill-Posed Probl. — 2010. — V.18, —N 7. — P. 765–785.12. Santacesaria M. New global stability estimates for the Calderon problem in twodimensions. — 2011. — e-print arXiv:1110.0335.

О некотором проекционном итерационном процессе 29Секция высшей математикиУДК 517.988.8О некотором проекционном итерационном процессеА.А. ФонаревМосковский физико-технический институт (государственный университет)Предлагается проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе итерационныйпроцесс и проекционный метод, построенный на основе итерационного процессаиз [1], для отыскания решения уравненияx + g(x) = 0(x ∈ H), (1)где H - вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением 〈x, y〉и нормой ‖ x ‖= 〈x, x〉 1/2 для x, y ∈ H, g — монотонный хеминепрерывный ограниченныйоператор из H в H (см. терминологию в [2]).Предположим, что заданы такие последовательности замкнутых подпространств{H k } ∞ k=1 пространства H и операторов ортогонального проектирования пространстваH на H k (k = 1, 2, ...), что P k x → x в H при k → ∞ для каждого x ∈ H.Построим проекционный итерационный процесс.Возьмем любую точку a ∈ H 1 . ВычислимДалее для k = 1, 2, ... вычисляемb = −P 1 g(a), x 1 = 1 2 (a + b), r 1 = 1 4 ‖a − b‖2 .y k = −P k+1 g(x k ), r k′ 14 ‖y k − x k ‖ 2 ,x k+1 = x k + r k(y4rk′ k − x k ) при r k ′ r k)(r k+1 = r k 1 − r k4rk′С использованием решений проекционных уравнений2 , x k+1 = 1 2 (y k + x k ) при r k ′ r k2 ,при r ′ k r k2 , r k+1 = r ′ k при r ′ k r k2 .x + P k g(x) = 0(x ∈ H k ),(k 1),доказывается, что последовательность {x k } ∞ k=1 построенного проекционного итерационногопроцесса сходится в H к решению уравнения (1). При этом доказательствосущественно отличается от доказательства сходимости последовательности итерационногопроцесса в [1] . К уравнению (1) сводится уравнение (см. [1]):Ax + h(x) = 0 (2)

30 С.Н. Филипповс нелинейным оператором h : H ⇒ H и самосопряженным положительно определеннымлинейным оператором A с областью определения D(A) ⊂ H, а именно, превративобласть определения D( √ A) оператора √ A во вспомогательное гильбертовопространство H A введением скалярного произведения [x, y] = 〈 √ Ax, √ Ax〉 , заменимуравнение (2) следующим уравнением:где q(x) = A −1 h(x).x + q(x) = 0, (x ∈ H A ),Литература1. Абрамов А.А., Гаипова А.Н. О некоторых уравнениях, содержащих монотонныеразрывные операторы // Доклады АН СССР. — 1973. — Т. 212, № 3. — С. 529–531.2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теориинелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972. — 416 с.УДК 512.64+519.72+530.145Положительные и вполне положительные отображенияв задаче нахождения квантовых каналов, разрушающихили аннигилирующих сцепленностьС.Н. ФилипповМосковский физико-технический институт (государственный университет)Рассмотрим 2-мерное комплексное векторное пространство со скалярным произведением〈ϕ|ψ〉, ϕ, ψ ∈ H, удовлетворяющим аксиомам унитарного пространства илинейным по второму аргументу (называемое в физической литературе гильбертовымпространством кубита). Состояние кубита задается оператором плотности ρ вH (ρ 0, T rρ = 1), а состояние двух кубитов задается оператором плотности ρ 12 вH ⊗H . Сцепленность состояния ρ 12 означает, что его невозможно представить в видевыпуклой суммы факторизованных состояний ∑ i p iρ (1) . Вполне положительноеотображение E множества квантовых состояний, сохраняющее след, суть квантовыйканал.Определение 1. Квантовый канал E называется разрушающим сцепленность[1], если (E ⊗ Id anc )[ρ q+anc ] есть сепарабельное (расцепленное) состояние рассматриваемойсистемы (q) и вспомогательной системы (anc) для любого входного состоянияρ q+anc . Здесь Id означает тождественное преобразование.Для практических применений сцепленных состояний полезным оказывается следующеепонятие, введённое в работе [2].Определение 2. Канал E 12 , действующий в пространстве состояний составныхсистем 1 и 2, называется аннигилирующим сцепленность, если E 12 [ρ 12 ] есть сепарабельноесостояние систем 1 и 2 для любого входного состояния ρ 12 .Предметом исследования доклада являются локальные двухкубитные квантовыеканалы E 1 ⊗ E 2 . Для таких каналов справедливо следующееУтверждение 1. Канал E 1 ⊗ E 2 является разрушающим сцепленность тогда итолько тогда, когда E 1 и E 2 разрушают сцепленность.В силу утверждения 1 каждый канал E 1 ⊗E 2 , разрушающий сцепленность, являетсятакже аннигилирующим сцепленность. Однако обратное не всегда имеет место.i ⊗ρ (2)i

Уклонение выпуклой оболочки множества 31В докладе исследуются необходимые и достаточные условия аннигиляции сцепленностиканалом E 1 ⊗ E 2 .Определение 3. Квантовый канал E называется унитальным, если E[I] = I, гдеI — единичный оператор.Унитальный однокубитный канал E i , i = 1, 2, задаётся тремя сингулярными значениями(λ x i λ y i λz i ) ≡ −→ λ i . Обозначим отображение, для которого λ ˜−→ i = − −→ λ i . В литературеизвестно, что унитальный однокубитный канал E разрушает сцепленность тогдаи только тогда, когда отображение Ẽ есть квантовый канал, т.е. |λx | + |λ y | + |λ z | 1.В докладе доказываются следующие утверждения:Утверждение 2. Пусть E 1 и E 2 — унитальные однокубитные каналы. КаналE 1 ⊗E 2 аннигилирует сцепленность тогда и только тогда, когда отображения Ẽ1 ⊗E 2и E 1 ⊗ Ẽ2 являются положительными.Утверждение 3. Пусть E 1 и E 2 — унитальные однокубитные каналы, такие чтоE1 2 и E2 2 разрушают сцепленность, тогда E 1 ⊗ E 2 аннигилирует сцепленность.Утверждение 4. Для того чтобы унитальный канал E ⊗ E аннигилировал сцепленностьнеобходимо и достаточно, чтобы E 2 разрушал сцепленность.Утверждение 5. Пусть E 1 ⊗ E 2 не аннигилирует сцепленность и E i = F i · G iдля некоторых унитальных каналов F i , G i , i = 1, 2. Тогда G 1 ⊗ G 2 также не являетсяаннигилирующим сцепленность.Утверждение 6. Канал E 1 ⊗ E 2 из унитальных составляющих E 1 и E 2 не анни-( −→λ1гилирует сцепленность, если · −→ )λ 2 > 1.Работа поддержана грантами РФФИ 09-02-00142, 10-02-00312, 11-02-00456, Региональнымобщественным Фондом содействия отечественной науке в рамках проекта«Лучшие аспиранты РАН 2010», Фондом некоммерческих программ «Династия»Министерством образования и науки Российской Федерации в рамках проектов2.1.1/5909, П558, 14.740.11.0497 и 14.740.11.1257.Литература1. Холево А.С. Квантовые системы, каналы, информация. — М.: МЦНМО, 2010. —328 с.2. Moravchikova L., Ziman M. Entanglement-annihilating and entanglement-breakingchannels // Journal of Physics. A. — 2010. — V. 43. — P. 275–306.УДК 517.982.252Уклонение выпуклой оболочки множестваГ.М. ИвановМосковский физико-технический институт (государственный университет)Пусть X — линейное нормированное пространство. Через co A обозначим выпуклуюоболочку множества A ⊂ X, через ρ(x, A) – расстояние от точки x ∈ X до множестваA, через B r (a) — замкнутый шар радиуса r с центром в точке a ∈ X. Уклонениеммножества A ⊂ X от множества B ⊂ X называется величина h + (A, B) = supx∈Aρ(x, B).Величина h + (co D, D) называется уклонением выпуклой оболочки (УВО) множестваD ⊂ X. УВО-модулем пространства X назовем величинуζ X =sup h + (co D, D).D⊂B 1 (0)

32 Т.В. ДудниковаЛегко видеть, что для любого линейного нормированного пространства X справедливынеравенства 1 ζ X 2. Для гильбертова пространства H справедливоравенство ζ H = 1.Пространство упорядоченных наборов x = (x 1 , . . . , x n ) из n действительных чиселx i с нормой ‖x‖ = (|x 1 | p + . . . + |x n | p ) 1/p обозначим через l n p.Теорема 1. Пусть X n – линейное нормированное пространство размерностиn 2. Тогда ζ Xn 2 n−1.Причем равенство достигается при X n n = l n 1.Более того, пусть множества P и Q есть сечения единичного n-мерного шарадвумя параллельными гиперплоскостями, причем гиперплоскость, содержащая P,проходит через 0. Тогда Q параллельным переносом можно накрыть множеством2 n−1n P.Из теоремы 1 и неравенства ζ X 1 следует, что УВО-модуль любого двумерногонормированного пространства равен 1. Легко видеть, что УВО-модуль пространстваl 1 равен 2.Согласно работе [1] множество A ⊂ X называется проксимально гладким с константойR, если функция расстояния x → ρ(x, A) непрерывно дифференцируема намножестве U(R, A) = {x ∈ X : 0 < ρ(x, A) < R}.В работе [2] показано, что в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховомпространстве X метрическая проекция на замкнутое проксимально гладкоес константой R множество A ⊂ X непрерывна на множестве U(R, A). Отсюда и изтеоремы 1 получаем следующий результат.Теорема 2. Пусть замкнутое множество A из равномерно выпуклого и равномерногладкого банахова пространства X является проксимально гладким с константойR и содержится в шаре радиуса r < Rζ X. Тогда A стягиваемо.Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 10-01-00139) и ФЦП «Научныеи научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы.Литература1. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal Smoothness and Lower–C 2Propoerty // J. Convex Anal. — 1995. — V. 2, N. 1–2. — P. 117–144.2. Иванов Г. Е., Балашов М. В. Cлабо выпуклые и проксимально гладкие множествав банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. – 2009. –Т. 73, N 3. – С. 23–66.УДК 517.9О локальной стационарности и уравнении транспорта энергиидля решетчатых систем в гармоническом приближенииТ.В. ДудниковаЭлектростальский политехнический институт (филиал МИСиС)Настоящий доклад касается математических проблем обоснования статистическойфизики и посвящен выводу предельных «гидродинамических»уравнений из гамильтоновыхуравнений движения системы частиц. В качестве модели рассматриваютсягармонические кристаллы в Z d , d 1. В гармоническом приближении кристаллхарактеризуется отклонениями u(z, t) ∈ R n , z ∈ Z d атомов кристалла от их положенияравновесия. Поле u(z, t) подчиняется дискретному волновому уравнению. Выводгидродинамических уравнений связан с проблемой сходимости к равновесной мере.Для рассматриваемой модели такая сходимость была доказана в [1]. Кратко сформулируемрезультат. Предполагается, что начальные данные — случайная функция

О локальной стационарности и уравнении транспорта энергии для решетчатых систем в гармоническомприближении 33с распределением µ 0 . На меру µ 0 накладываются следующие условия: µ 0 обладаетнулевым средним, конечной средней плотностью энергии и удовлетворяет условиюперемешивания. Изучается распределение µ t случайного решения u(z, t) в моментвремени t ∈ R. Доказано, что меры µ t слабо сходятся к некоторой равновесной гауссовоймере при t → ∞ .Чтобы вывести гидродинамические уравнения, вводится малый параметр ε > 0,задающий отношение между масштабами измерений в макро- и микропеременныхпространства и времени, и рассматривается семейство начальных мер {µ ε 0, ε > 0},удовлетворяющих некоторым условиям. В частности, предполагается, что меры µ ε 0являются локально трансляционно-инвариантными, или «мало меняются»при пространственныхсдвигах порядка o(ε −1 ); и корреляции мер µ ε 0 убывают на большихрасстояниях. Для любых ненулевых τ ∈ R и τ ∈ R d изучается распределение µ ε τ/ε,r/εслучайного решения u(z, t) в точках z, близких к точке [r/ε], и в моменты времениτ/ε. Доказано (см. [2]), что limε→0µ ε τ/ε,r/ε , где µ τ,r является гауссовой мерой. В частности,выведены явные формулы для корреляций меры µ τ,r . Эти формулы позволяютзаключить, что в преобразовании Фурье предельные корреляционные матрицы удовлетворяютследующему уравнению:∂ τ f τ,r (θ) = iC(θ)▽ω(θ) · ▽ r f τ,r (θ), r ∈ R d , τ > 0, (1)()0 ωгде C(θ) =−1 (θ)где θ ∈ T−ω(θ) 0d (d-мерный тор) и ω(θ) является, грубо говоря,дисперсионным соотношением кристалла. Это уравнение следует рассматриватькак аналог уравнения Эйлера для нашей модели. Уравнение (1) является обобщениемрезультатов Добрушина и др. [3], полученных для бесконечной одномерной цепочкигармонических осцилляторов. Из уравнения (1) вытекает, что вигнеровская матрицаW (τ, r, θ) удовлетворяет уравнению транспорта энергии:∂ τ W (τ, r, θ) + ▽ω(θ) · ▽ r W (τ, r, θ) = 0, r ∈ R d .В работе [4] были доказаны аналогичные результаты для гармонических кристалловв полупространстве с нулевым граничным условием.Литература1. Dudnikova T.V., Spohn H. Local stationarity for lattice dynamics in the harmonicapproximation // Markov Processes and Related Fields. — 2006.— V. 12, N. 4. —P. 645–578.2. Dudnikova T.V., Komech A.I., Spohn H. On the convergence to statistical equilibriumfor harmonic crystals // J. Math. Phys. — 2003. — V. 44. — P. 2596–2620.3. Dobrushin R.L., Pellegrinotti A., Suhov Yu.M., Triolo L. One dimensional harmoniclattice caricature of hydrodynamics // J. Stat. Phys.— 1986. — V. 43. P. 571–607.4. Dudnikova T.V. Lattice dynamics in the half-space. Energy transport equation // J.Math. Phys.— 2010.— V. 51, N. 8. — P. 083301 (25 pages).

34 Г.Е. Иванов, М.С. ЛопушанскиУДК 517.982.22+517.982.252+256Об условии Липшица для метрической проекциив гильбертовом пространствеМ.В. Балашов, М.О. ГолубевМосковский физико-технический институт (государственный университет)Пусть H — гильбертово пространство над вещественным полем скаляров,B R (x) = {y ∈ H| ‖y − x‖ R} — замкнутый шар радиуса R 0 с центром вточке x ∈ H.Для точки x ∈ H обозначим P A x = {a ∈ A| ‖x − a‖ = inf ‖x − y‖}.y∈AХорошо известно, что для выпуклого и замкнутого множества A ⊂ H множествоP A x одноточечно, т.е. P A x = {a(x)}, и для любых точек x 0 , x 1 ∈ H‖a(x 0 ) − a(x 1 )‖ 1 · ‖x 0 − x 1 ‖ . (1)В докладе обсуждается возможность усиления неравенства (1).Определим U ρ (A) = {x ∈ H| inf ‖x − y‖ < ρ}.y∈AТеорема 1. Пусть подмножество A ⊂ H выпукло и замкнуто. Пусть числоC ∈ [0, 1) таково, что для всех точек x 0 , x 1 ∈ H\U ρ (A) выполнено неравенство‖a(x 0 ) − a(x 1 )‖ C ·‖x 0 − x 1 ‖ . Тогда множество A есть пересечение шаров радиусаR = Cρ . 1−CТеорема 2. Пусть множество A ⊂ H имеет вид A = ⋂ B R (x) ≠ ⊘. Тогда длялюбых точек x 0 , x 1 ∈ H\A выполнено неравенство‖a 0 − a 1 ‖ R√(R + ρ0 )(R + ρ 1 ) ·x∈X√‖x 0 − x 1 ‖ 2 − (ρ 0 − ρ 1 ) 2 , (2)где {a i } = P A x i , ρ i = ‖x i − a i ‖, i ∈ {0, 1}.Следствие 1. Пусть непустое подмножество A ⊂ H выпукло и замкнуто. Тогдаусловия1)A = ⋂ B R (x),x∈X2) ∀ρ > 0, ∀x 0 , x 1 ∈ H\U ρ (A), {a i } = P A x i , i ∈ {0, 1},эквивалентны.‖a 0 − a 1 ‖ RR + ρ · ‖x 0 − x 1 ‖ ,УДК 517.982.252О плотности множества точек существования для полунормыГ.Е. Иванов, М.С. ЛопушанскиМосковский физико-технический институт (государственный университет)В докладе уточнена теорема из [1], обобщающая теорему С.Б. Стечкина о том, чтов равномерно выпуклом банаховом пространстве множество точек, для которых проекцияна заданное замкнутое множество существует и единственна, является всюдуплотным. При этом роль нормы играет функция Минковского выпуклого, но, вообщеговоря, неограниченного множества. Например, таким выпуклым неограниченныммножеством может быть надграфик выпуклой функции.Пусть в банаховом пространстве E задано замкнутое выпуклое множество M, длякоторого нулевой элемент является внутренней точкой. M-расстоянием от точки

G-трансляторы на многообразиях с изолированными особенностями 35x ∈ E до множества A ⊂ E называется величина ρ M (x, A) = infa∈A µ M(x − a), гдеµ M (y) = inf{t > 0 : y ∈ tM} — функция Минковского неограниченного множестваM, то есть полунорма. M-проекцией точки x ∈ E на множество A ⊂ E называетсямножество P M (x, A) = A ⋂ (x − ρ M (x, A)M). Определимγ M (A) = sup ρ M (x, A),x∈ES M (A) = {x ∈ E : 0 < ρ M (x, A) < γ M (A)},T M (A) = {x ∈ E : множествоP M (x, A)одноэлементно}.Нас интересуют необходимые и достаточные условия на множество M того, что выполняетсяследующий аналог утверждения С.Б. Стечкина:(С) для любого замкнутого множества A ⊂ E множество S M (A) T M (A) имеетпервую категорию (а значит, множество T M (A) всюду плотно в S M (A)).Для любых множеств A, B ⊂ E будем рассматривать сумму МинковскогоA+B = {a+b : a ∈ A, b ∈ B} и разность Минковского (A−B) ∗ = {x ∈ E : x+B ⊂ A}.Множество M называется параболичным, если для любого ограниченного множестваB ⊂ E множество ( B + 1M) \M ограничено. Множество M называется слабо2параболичным, если для любого вектора b ∈ E множество ( b + 1M) \M ограничено.2Множество M называется ограниченно равномерно выпуклым (ОРВ), если∀ R > 0 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀x, y ∈ M ∩ B R (0) : ‖x − y‖ ε → B δ( x + y2)⊂ M,где B r (a) = {x ∈ E : ‖x − a‖ r} — замкнутый шар. Барьерным конусом множестваM называется b(M) = {p ∈ E * : 〈p, x〉 < +∞}.Рассмотрим следующие четыре условия:(i) M множество параболично;(ii) множество M слабо параболично;(iii) множество b(M)\{0} открыто;(iv) ∀ x ∈ E ∀ x ∈ (M − M) ∗ \{0} ∃t ∈ R : x + ty ∈ M.В работе [1] доказано, что для ОРВ множества M справедливы импликации(i)⇒ (C) ⇒(iv), то есть условие (i) необходимо, а условие (iv) достаточно для выполненияусловия (C). В настоящем докладе необходимые и достаточные условиядля (C) уточнены, а именно,(i)⇒(ii)⇒(C)⇒(iii)⇒(iv). Отметим, что в конечномерномнормированном пространстве все перечисленные условия эквивалентны, а в гильбертовомпространстве — не эквивалентны.Литература1. Иванов Г.Е O Аппроксимативные свойства множеств относительно функцииМинковского // Проблемы фундаментальной и прикладной математики. — М.:МФТИ. — 2009, C. 76–105.УДК 515.168.5G-трансляторы на многообразиях с изолированнымиособенностямиЛ.Л. НгуенРоссийский университет дружбы народовПри изучении задачи Соболева (относительной эллиптической теории) для подмногообразийс особенностями возникает новый класс операторов, которые называюттрансляторами. Такие операторы впервые были введены Б.Ю. Стерниным в

36 Е.С. Барановский1971 г. в работе [1] и далее исследовались в работах [2]–[4]. Доклад посвящен G-трансляторам на компактных многообразиях с изолированными особенностями, т.е.трансляторам, инвариантным относительно действия конечной циклической группыG простого порядка. Интерес к такому классу операторов возникает, в частности, всвязи с изучением некоторых нелокальных эллиптических операторов.Нами вводится условие эллиптичности для G-трансляторов, которое называетсяG-эллиптичностью, и доказывается теорема конечности (фредгольмовости). Затеммы сравниваем условие G-эллиптичности с обычной эллиптичностью. В частности,даётся ряд примеров, в которых эти два условия неэквивалентны. Также вычисляетсяиндекс эллиптических G-трансляторов.Основные результаты доклада опубликованы в [5].Литература1. Стернин Б.Ю. Эллиптические морфизмы на многообразиях с особенностями(оснащение эллиптического оператора) // ДАН СССР. — 1971. — Т. 200, № 1.— С. 45–48.2. Стернин Б.Ю. Эллиптическая теория на компактных многообразиях с особенностями.— М.: МИЭМ, 1974. — 108 с.3. Стернин Б.Ю. Задачи типа С.Л. Соболева в случае подмногообразий с многомернымиособенностями // ДАН СССР. — 1969. — Т. 189, № 4. — С. 732–735.4. Савин А.Ю., Стернин Б.Ю. Об индексе эллиптических трансляторов — ДАН. —2011. — Т. 436, № 4. — С. 443–447.5. Нгуен Л.Л. Об эллиптичности G — трансляторов на многообразиях с изолированнымиособенностями // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика.Физика. — 2011. — № 3. — С. 24–33.УДК 517.958Исследование математических моделей, описывающихтечения жидкости Фойгта с линейной зависимостьюкомпонент скорости от двух пространственных переменныхЕ.С. БарановскийВоронежский государственный университетСреди моделей движения вязкоупругих жидкостей широкое распространение получилапредложенная в работе [1] модель движения слабоконцентрированных водныхрастворов полимеров. Эта модель описывает течение вязкой жидкости, которойтребуется некоторое время для того, чтобы прийти в движение под действием внезапноприложенной силы. Один из вариантов данной модели предполагает следующиеуравнения движения:ρ(∂u∂t +3∑i=1)∂uu i − νΔu − k ∂ Δu + ∇p = ρf,∂x i ∂tdivu = 0.Здесь x i — координаты в пространстве, t — время, ρ — плотность среды, u —вектор скорости точек среды, p — давление, f — вектор плотности внешних сил, Δ— оператор Лапласа, div — дивергенция, ν — кинематический коэффициент вязкости,k — время запаздывания (ретардации).

Об информационной полноте квантовой томограммы 37Жидкость, движение которой определяется данной системой уравнений, получиланазвание жидкости Фойгта.В докладе рассматриваются математические модели, описывающие течения жидкостиФойгта с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственныхпеременных. К таким течениям относятся хорошо известные течения Пуазейля,Куэтта, Экмана, Стокса, Кармана, течения вблизи застойной точки, осциллирующиетечения и многие другие.Основное внимание уделяется выводу общей определяющей системы уравненийдля данного класса течений и поиску решений начально-краевых задач, возникающихпри изучении этой системы в рамках конкретных физических моделей.В докладе рассматриваются модели движения фойгтовской жидкости в каналепри наличии постоянного или меняющегося со временем по гармоническому законуперепада давления (течение Пуазейля и осциллирующее течение). Для соответствующихначально-краевых задач вводится понятие обобщенного решения, доказываютсятеоремы о существовании и единственности обобщенного решения и выводятсяформулы для вычисления решений. Доказано, что предельный режим при t → +∞нестационарного течения Пуазейля представляет собой стационарное, независящееот рассматриваемого типа жидкости (ньютоновская, фойгтовская), распределениескоростей с параболическим профилем. В случае более сложного осциллирующеготечения ситуация меняется. Здесь предельный режим определяется не стационарной,а периодической во времени функцией. При этом движение существенно зависит отрелаксационных свойств жидкости. В частности, в случае жидкости Фойгта можетотсутствовать хорошо известный «аннулярный эффект Ричардсона» (см. [2]).В докладе также будет рассмотрена система уравнений, описывающая вращательно-симметричныетечения жидкости Фойгта. Приводится один класс решенийэтой системы. Рассмотренный класс решений характеризуется тем, что определяющаяего система уравнений представляет собой систему обыкновенных дифференциальныхуравнений. На основе этой системы удалось построить решение однойначально-краевой задачи, описывающей затухающее движение приведенной в начальныймомент времени во вращение жидкости.Литература1. Павловский В.А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворовполимеров // ДАН СССР. — 1971. — Т. 200, № 4. — C. 809–812.2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974. — 711 с.УДК 517.983Об информационной полноте квантовой томограммыА.И. ДнестрянМосковский физико-технический институт (государственный университет)Квантовая томография — одно из представлений квантовой механики, в которомсостояние описывается симплектической квантовой томограммой — функциейплотности распределения наблюдаемойµ^x + ν ^p,где ^x, ^p — стандартные операторы координаты и импульса. Пусть ^ρ есть операторплотности некоего квантового состояния, тогда симплектическая томограмма данно-

38 О.К. Подлипскийго состояния определяется следующим образом:W (x, µ, ν) = T γ(^ρδ(x − µ^q − ν ^p)).Симплектическая томограмма состояния c волновой функцией ψ вычисляется поформуле [1]:W (x, µ, ν) = | ^F µ,ν ψ| 2 ,где оператор ^F µ,ν есть линейный унитарный интегральный оператор в пространствеL 2 (R), действие которого на функцию ψ равно∫( ^F 1µ,ν ψ)(x) = √ e i µx22ν e i µy2 xy−i 2ν ν ψ(y)dy.2π|ν|Функцию W (x, µ = cos θ, ν = sin θ) называют оптической квантовой томограммойи обозначают W (x, θ).Нас интересует возможность восстановить состояние, зная оптическую томограмму.Функция W (x, θ), известная для любого значения θ, позволяет однозначно восстановитьсостояние. Если известен конечный набор функций W (x, θ n ), n = 1, 2, ..., N, тосостояние восстанавливается приближенно [2]. Целью работы является поиск и изучениеметодов определения состояния по дискретному набору функций томограммы.RРис. 1.Литература1. Mancini S., Man’ko V.I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach toquantum systems // Phys. Lett. A. — 1996. — V. 213. — P. 1–6.2. Amosov G.G., Mancini S., Man’ko V.I. On the information completeness of quantumtomograms // Phys. Lett. A. — 2007. — V. 372. — P. 12.УДК 519.8Особенности построения прикладных обучающих систем,основанных на знаниях группы экспертовО.К. ПодлипскийМосковский физико-технический институт (государственный университет)Длительность формирования экспертных навыков определяет актуальность задачисокращения этого времени путем создания новых компьютерных технологий,

Особенности построения прикладных обучающих систем, основанных на знаниях группы экспертов39способных не только создавать в компьютере копии экспертных знаний (модель эксперта),но и эффективно обучать молодых специалистов.Рассматриваются основные проблемы, возникающие при построении моделей эксперта— подсознательность знаний эксперта, большие объемы баз знаний эксперта,возможность ошибок при извлечении экспертных знаний.Описывается методология вербального анализа решений (ВАР), разработанная вИнституте системного анализа РАН для решения задач классификации, рассматриваетсяформальная постановка задачи ординальной классификации [1]. Описываетсяметод построения экспертных баз данных. Для решения больших задач классификациииспользуется разработанный метод, состоящий в выделении из исходной задачиупрощенных задач [2].Рассматривается проблема эффективного обучения искусству диагностики. Цельобучения — создание в долговременной памяти молодого специалиста подсознательныхправил, позволяющих принимать решения так же, как это делает эксперт.Описывается методика обучения, основная идея которой состоит в том, что ненужно пытаться передать решающие правила эксперта новичку, а нужно помочьновичку вырастить их самостоятельно, используя возможности человека по неявномуобучению [3].Рассматриваются разработанные системы для обучения искусству диагностикиострого инфаркта миокарда и расслаивающей аневризмы аорты, апробированные вУчебно-научном центре по внедрению передовых медицинских технологий при ГКБим. С.П. Боткина.Описываются проблемы диагностики экспертом сложных граничных задач и вопросывключения таких задач в обучающую систему [4].Предлагается и обосновывается метод построения баз экспертных знаний группойэкспертов для создания прикладных обучающих систем [5].Совместно с экспертами Первого Московского государственного медицинскогоуниверситета им. И.М. Сеченова строится модель эксперта по быстропрогрессирующемугломерулонефриту и модель эксперта по нефропатии беременных.Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-1512.2010.9.Литература1. Ларичев О.И. Структура экспертных знаний в задачах классификации // ДокладыАкадемии Наук. — 1994. — Т. 336, № 6. — С. 750–752.2. Асанов А.А., Подлипский О.К. Опыт построения большой базы экспертных знаний// Методы поддержки принятия решений: сборник трудов Института системногоанализа Российской академии наук. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. —С. 42–50.3. Брук Э.И., Кочин Д.Ю., Подлипский О.К. Bowman Flexible (SupplementaryMaterial) // Системы неявного обучения задачам медицинской диагностики, основанныена экспертных знаниях. — Медицина в зеркале информатики. – М.:Наука, 2008. – С. 22–33.4. Подлипский О.К. Построение баз знаний группой экспертов. // Компьютерныеисследования и моделирование. — 2010. — Т. 2. № 1 — С. 3–11.5. Подлипский О.К. О методах выявления экспертного знания для создания прикладныхконсультационных и обучающих систем // Труды МФТИ. — 2011. —Т. 3, № 1. — С. 112–116.

40 А.Ю. ГоловкоУДК 517Мультипликативные неравенства типа Гальярдо–Ниренбергадля нерегулярных областейА.Ю. ГоловкоМосковский физико-технический институт (государственный университет)Гальярдо и Ниренбергом в 1959 году для неограниченных областей G ⊂ R n сгладкой границей было установлено неравенство∑‖D α f‖ Lq(G) C‖f‖ 1−θ|α|=lL r(G)⎛⎞⎝ ∑‖D α f‖ Lq(G)⎠|α|=sθдля 1 p, q, r < ∞, s ∈ N, l ∈ Z + , l < s, l sГальярдо–Ниренберга:< θ < 1 при выполнении соотношенияl − n q = θ(s − n p ) + (1 − θ)(−n r ).В случае ограниченной области с гладкой границей справедлив аналог неравенства,отличающийся добавлением в правую часть слагаемого C‖f‖ř при некоторомř 0 (см., например, [1]). Оказывается, что при тех же соотношениях на параметрыдля области с условием гибкого σ-конуса (определение см., например, в [2]),наделённой правильными путями (определение см., например, в [2]), мультипликативноенеравенство Гальярдо–Ниренберга несправедливо, но справедливо мультипликативноенеравенство типа Гальярдо–Ниренберга, причём при σ = 1 соотношениеГальярдо–Ниренберга является достаточным для выполнения неравенства типаГальярдо–Ниренберга при определённых ограничениях на параметры. Также неравенствообобщается на случай, когда в правой части стоит сумма норм не всех обобщённыхчастных производных порядка s, и показывается, что этот случай существенноотличен от случая суммы норм всех обобщённых частных производных порядкаs. Также оказывается, что условие бесконечного гибкого σ-конуса при σ >1 на область и существование правильных путей не являются достаточными длявыполнения мультипликативного неравенства Гальярдо-Ниренберга без аддитивнойдобавки C‖f‖ř ни при каких 1 p, q, r < ∞, s ∈ N, l ∈ Z + , l < s, 0 < θ < 1. В качествевспомогательных результатов устанавливаются теоремы о плотности гладкихфункций в рассматриваемых пространствах Соболева для произвольного открытогомножества, которые могут иметь и другие приложения. Также плотность гладкихфункций устанавливается в весовых пространствах Соболева с весами, равными степенирасстояния до границы.Литература1. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функцийи теоремы вложения. — М.: Наука, 1996. — 480 с.2. Бесов О.В. Теоремы вложения Соболева для областей с нерегулярной границей// Математический сборник. — 2001. — Т. 192, № 3. — С 3–26.

Исследование задачи вариационной ассимиляции данныхдля модели циркуляции атмосферы 41УДК 517.95Исследование задачи вариационной ассимиляции данныхдля модели циркуляции атмосферыВ.М. ИпатоваМосковский физико-технический институт (государственный университет)Рассматривается двухслойная квазигеострофическая модель общей циркуляцииатмосферы [1], основными переменными которой являются баротропная и бароклиннаясоставляющие функции тока. Предполагается, что имеются натурные измеренияскорости воздуха. Данные наблюдений используются для отыскания неизвестногоначального состояния модели. Расхождение между наблюдаемыми величинамии результатами моделирования измеряется целевым функционалом стоимости. Доказываетсяразрешимость оптимизационной задачи при положительных значенияхпараметра регуляризации. Исходная система уравнений модели аппроксимируетсяполуявной спектрально-разностной схемой, по отношению к которой ставится дискретнаязадача ассимиляции данных. Получена теорема о сходимости численныхрешений задачи к её точным решениям.Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадрыинновационной России» на 2009–2013 годы и АВЦП «Развитие научного потенциалавысшей школы» (проект 2.1.1/11133).Литература1. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата. — М.:ВИНИТИ, 1994.УДК 512.542Алгебраические решетки разрешимых классов ФиттингаА.А. ЦаревВитебский государственный технологический университетВсе рассматриваемые группы конечны и разрешимы. Будем использовать стандартнуютерминологию [1]. Классом Фиттинга называется класс групп, замкнутыйотносительно взятия нормальных подгрупп и произведений нормальных подгрупп.Для произвольного класса групп F ⊇(1) символ G F обозначает пересечение всех такихнормальных подгрупп N, что G/N ∈ F. Символ G F обозначает произведениевсех нормальных F-подгрупп группы G.Положим N 0 = N ∪ {0} и N 0 = N 0 ∪ {∞} , где N — множество всех натуральныхчисел. Для любого k ∈ N 0 будем считать ∞ ± k = ∞. Пусть n ∈ N 0 . ПодгруппаU группы G называется A n -вложенной (A n -eingebettet) в G [2], если существуеттакая цепь подгрупп U = U 0 U 1 ... U r = G , что UiRn+1 U i−1 для всехi = 1, ..., r, r ∈ N 0 . В этом случае пишут UA n G.Непустая совокупность классов групп Θ называется полной решеткой классов,если пересечение любой совокупности классов из Θ снова принадлежит Θ и во множествеΘ имеется такой класс F, что H ⊆ F для любого другого класса H ∈ Θ.Элемент F полной решетки классов Θ называется компактным, если для любого подмножестваη ⊆ Θ из неравенства F supΘподмножества η 0 ⊆ η, что F supΘη следует существование такого конечногоη 0 . Полная решетка называется алгебраической,

42 А.С. Фильченковесли любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.Доказана следующая теорема.Теорема. Решетка всех разрешимых A n -замкнутых классов Фиттинга алгебраичнадля любого фиксированного n ∈ N 0 .Литература1. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. — Berlin—New York: Walter de Gruyter,— 1992. — 891 p.2. Müller K. Fittingklassen mit zusätzlichen Abschlubeigenschaften // Arch. Math. —1988. — V. 50. — P. 19–24.УДК 517.987.5Новый пример гладкого косого произведения, имеющегоаттрактор с непустой внутренностьюА.С. ФильченковНижегородский государственный университет им. Н.И. ЛобачевскогоДля гладкого косого произведения, заданного на замкнутом прямоугольнике, исследованавзаимосвязь свойства топологической транзитивности со свойствами плотностимножества периодических точек и равномерной аппроксимируемости фазовогопространства периодическими орбитами.Построен новый пример гладкого косого произведения в замкнутом прямоугольнике,имеющего аттрактор с непустой внутренностью.Отображение F : I → I называется косым произведением отображений интервалов,еслиF (x, y) = (f(x), g x (y)), где g x (y) = g(x, y), (x, y) ∈ I,(1)I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ].Обозначим через T 3 (I) пространство C 3 -гладких отображений вида с фазовымпространством I, наделённое C 3 -нормой.Пусть P — произвольное разбиение замкнутого прямоугольника I координатнымипрямыми на m замкнутых подпрямоугольников I j , любые два из которых либо не⋃пересекаются, либо имеют общую вершину или общую сторону (при этом I = m I j ).Определение. Будем говорить, что фазовое пространство I отображенияF ∈ T 3 (I) равномерно аппроксимируется периодическими орбитами, если для любогоε > 0 и любого разбиения P прямоугольника I с параметром λ(P ) < ε найдётсяF -периодическая орбита, пересекающаяся с внутренней частью прямоугольника I jпри каждом 1 j m.Для произвольного отображения определим шварциан семейства отображений вслоях, полагаяj=1S(g x (y)) =∂ 3∂y 3 g x (y)∂∂y g x(y) − 3 2( ∂ 2∂y 2 g x (y)∂∂y g x(y)) 2при всех (x, y) ∈ I таких, что ∂ ∂y g x(y) ≠ 0.В T 3 (I) выделим непустое подмножество отображений, удовлетворяющих следующимусловиям:(C.1) S(g x (y)) < 0 при всех (x, y) ∈ I таких, что ∂∂y g x ≠ 0;

Обоснование концепции супертреков для расчета небольцмановских функционалов весовымиметодамив прикладных задачах радиационной физики 43(C.2) отображение g x : [a 2 , b 2 ] → [a 2 , b 2 ] при любом x ∈ [a 1 , b 1 ] имеет не более однойкритической точки в интервале (a 2 , b 2 );(C.3) g x (∂([a 2 , b 2 ])) ⊆ ∂([a 2 , b 2 ]) при любом x ∈ [a 1 , b 1 ] где ∂([a 2 , b 2 ]) — граница отрезка[a 2 , b 2 ].Следующие теоремы содержат основные результаты работы.Теорема А. Для отображения, удовлетворяющего условиям (C.1) — (C.3), следующиеутверждения эквиваленты:(A.1) топологически транзитивно;(A.2) фазовое пространство I равномерно аппроксимируется периодическимиорбитами косого произведения F .Пусть W u +(x 0 , f n )(W u −(x 0 , f n )) — правостороннее (левостороннее) неустойчивоемногообразие периодической точки x 0 (n — период точки x 0 ).Теорема В. Пусть F ∈ T 3 (I) удовлетворяет условиям (C.1) — (C.3), и существуетпериодическая точка (x 0 , y 0 ) отображения F с наименьшим периодомтакая, что:а) x 0 ∈ (a 1 , b 1 ) и W u +(x 0 , f n ) = W u −(x 0 , f n ) = [a 1 , b 1 ]илиб) x 0 = a 1 (x 0 = b 1 ) и (W u +(x 0 , f n ) = [a 1 , b 1 ](W u −(x 0 , f n ) = [a 1 , b 1 ]).Тогда каждое из условий (A.1) и (A.2) эквивалентно следующему(B.3) множество периодических точек отображения F всюду плотно в I.С использованием полученных результатов построен новый пример C 3 -гладкогокосого произведения в замкнутом прямоугольнике, имеющего собственный подпрямоугольникв качестве глобального аттрактора.Данная работа является совместной с Л.С. Ефремовой.УДК 519.245Обоснование концепции супертреков для расчетанебольцмановских функционалов весовыми методамив прикладных задачах радиационной физикиЕ.А. ЦветковМосковский физико-технический институт (государственный университет)Как известно, весовые методы, разработанные для вычисления методом Монте-Карло среднего значения линейных по плотности столкновений функционалов, неприменимы для оценки значений небольцмановских функционалов. Для вычислениязначений небольцмановских функционалов весовыми методами в работе [1] предложенаконцепция супертреков. К рассмотренным весовым методам Монте-Карлоотносятся разыгрывание со смещенной плотностью вероятности, расщепление, русскаярулетка и DXTRAN. Обоснование несмещенности весовых оценок строится наусреднении по возможному вкладу супертрека в показания детектора. В настоящейработе предложено альтернативное обоснование концепции супертреков, основанноена усреднении по всем возможным супертрекам.Под супертреком будем понимать дерево, описывающее родственные связи междупервичной и вторичными частицами, каждой вершине которого ставится в соответствиеточка из фазового пространства. Вершины дерева соответствуют точкамстолкновения частиц, а ребра — свободному перемещению частиц без столкновений.Множество всех супертреков W разбивается на счетное количество подмножеств W n ,содержащие супертреки с одинаковыми деревьями, но разными фазовыми координатамиточек столкновения. Пусть k n — количество точек столкновения у супертреков

44 Е.А. Цветковиз множества W n , которые перенумерованы так, что точке столкновения частицыиз более позднего поколения соответствует больший номер. Вероятность того, чторазыгрываемый супертрек S попадет во множество W n , причем точки соударенийпопадут в окрестности dx 0 , dx 1 , ..., dx kn точек x 0 , x 1 , ..., x kn , можно записать в специальномвиде:p(S)dS = p(x 0 )k n∏i=1p n (x i |x 0 , x 1 , ..., x i−1 )dx 0 dx 1 ...dx kn ,где множители p n (x i |x 0 , x 1 , ..., x i−1 ) имеют смысл условной плотности вероятности того,что i-я вершина супертрека попадет в точку x i и в результате столкновения в этойточке произойдет реакция с нужным количеством выходящих частиц, при условии,что все предыдущие вершины попали в точки x 0 , x 1 , ..., x i−1 . Количество выходящихиз реакции частиц равно количеству выходящих из i-й вершины супертрека ребер иизвестно.Среднее значение вклада в показания детектора q(S) супертрека S может бытьзаписано в виде∞∑∫Mq = q n (x 0 , ..., x kn )p n (x 0 , ..., x kn )dx 0 dx 1 ...dx kn ,n=1где функции q n (x 1 , x 2 , ..., x kn ) совпадают с q(S) на W n , а координаты точек столкновенияу супертрека S ∈ W n равны x 1 , x 2 , ..., x kn :p n (x 0 , ..., x kn ) = p(x 0 )k n∏i=1p n (x i |x 0 , ..., x i−1 ).Среднее значение случайной величины q(S), записанное в таком виде, позволяетперенести практически без изменений доказательства несмещенности весовых оценоксо случая аддитивных функционалов (см., например, [2]) на случай супертреков.Для примера докажем несмещенность весовой оценки в случае разыгрывания супертрековсо смещенной плотностью вероятности p ′ n(x i |x 0 , x 1 , ..., x i−1 ). Весовая оценка вэтом случае принимается равной q ∗ (S) = q(S)w(S), где w(S) — статистический вессупертрека. Ее среднее значение равно∞∑∫Mq ∗ = q n (x 0 , ..., x kn )p ′ n(x 0 , ..., x kn )w n (x 0 , ..., x kn )dx 0 ...dx kn .Положивn=1w n (x 0 , x 1 , ..., x kn ) = p n(x 0 , x 1 , ..., x kn )p ′ n(x 0 , x 1 , ..., x kn ) ,получаем Mq ∗ = Mq, что и означает несмещенность весовой оценки q ∗ (S).Литература1. Booth T. Monte Carlo Variance Reduction Approaches for non-Boltzmann Tallies:Tech. Rep. LA-12433 / T. Booth: Los Alamos National Lab., NM (United States),1992.2. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука. Главнаяредакция физико-математической литературы, 1975.

Исследование динамических режимов в одном классе одномерных унимодальных отображений 45УДК 510.647Исследование динамических режимов в одном классеодномерных унимодальных отображенийЕ.О. Головина 1 , К.В. Лумпова 1 , Д.А. Саранча 21Вятский государственный университет2Вычислительный центр РАНОдномерное унимодальное отображение (ОУО) является одним из популярныхобъектов, иллюстрирующих богатство динамических режимов в простых разностныхуравнениях. Получены такие результаты, как «порядок Шарковского», каскадыудвоений. В данной работе проведено исследование ОУО, полученных при описаниидинамики численностей животных [1]. Для ОУО такого типа существует сценарийизменения выделенного параметра, при котором последовательно возникают зоныстабильности с устойчивыми циклами [2]. Внутри зоны стабильности период цикловпостоянный, при переходе от одной зоны к другой период изменяется в последовательностинатурального ряда 1, 2, 3, 4. . . . Зоны стабильности отделены друг от другапереходными зонами с более сложными режимами. Для нахождения периодическихтраекторий ОУО используются разработанные в работе [2] методы.Литература1. Саранча Д.А. Количественные методы в экологии. Биофизические аспекты и математическоемоделирование. — М.: МФТИ, 1997. — 283 с.2. Недоступов Э.В., Саранча Д.А., Чигерев Е.H., Юрезанская Ю.С. О некоторыхсвойствах одномерных унимодальных отображений // ДАН. — 2010. — Т. 430,№ 1. — С. 23–28.УДК 532.51+517.956.6+517.972.5Асимптотические свойства решений линеаризованныхуравнений Навье–Стокса для слабо сжимаемой жидкостиН.А. ГусевМосковский физико-технический институт (государственный университет)В ограниченной области D ⊂ R d (d ∈ N) с кусочно-гладкой границей на временноминтервале t ∈ (0, T ), T > 0, рассматривается начально-краевая задача длялинеаризованных уравнений Навье–Стокса движения баротропной жидкости:ρ t + div(bρ) + divu = 0, ρ = αp,u t + ∇p = −Au + ρf,u| t=0 = u ◦ , u| ∂D = 0, p| t=0 = p ◦ ,где ρ, u и p — величины, пропорциональные вариациям плотности, скорости и давлениясоответственно,f = −b t − (b, ∇)b,−Au = (b, ∇)u + (u, ∇)b − (νΔu + k∇divu),ν > 0, k 0 — коэффициенты вязкости. Векторное поле b представляет собой полескорости, в окрестности которого проводилась линеаризация.

46 Э.Г. ШифринПриводятся достаточные условия существования и единственности обобщённого(слабого) решения данной задачи:{u, p} = {u α , p α } ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(D) d ) × L ∞ (0, T ; L 2 (D))при α > 0. Изучается поведение этих решений при α → 0. Устанавливаются аналогиизвестных для уравнений Навье–Стокса результатов [1]–[6] о слабой и сильнойсходимости полей скорости. Приводятся новые результаты [7], [8] о слабой и сильнойсходимости полей p α . Эти результаты сопоставляются с необходимым условиемсильной сходимости полей скорости и давления, полученным в [9] для уравненийНавье–Стокса.Литература1. Ebin D.G. Motion of a Slightly Compressible Fluid// Proc. Nat. Acad. Sci.USA. —1975. – V. 72, N 2. — P. 539–542.2. Temam R. Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis. — North HollandPublishing Co., Amsterdam — New York — Oxford. — 1979.3. Klainerman S., Majda A. Singular limits of quasilinear hyperbolic systems with largeparameters and the incompressible limit of compressible fluids // Comm. Pure Appl.Math. — 1981. V 34, N 4, — 481–524.4. Lions P.-L., Masmoudi N. Incompressible limit for a viscous compressible fluid // J.Math. Pures Appl. — 1998. — 77(6). — P. 585–627.5. Feireisl E. Dynamics of viscous compressible fluids. — Oxford Lectures Ser // Math.Appl. — 2004. 26, Oxford Univ. Press, Oxford.6. Feireisl E., Novotny A. The Low Mach Number Limit for the Full Navier-Stokes-Fourier System // Arch. Rational Mech. Anal. — 2007. — 186. — P. 77–107.7. Гусев Н.А. Слабая и сильная сходимость решений линеаризованных уравненийслабосжимаемой жидкости // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.— 2011. — № 1(22). — С. 47–52.8. Гусев Н.А. Асимптотические свойства решений линеаризованных уравнений движенияслабо сжимаемой среды // Труды МФТИ. — 2011. — Т. 3, № 1.9. Шифрин Э.Г. Условие непрерывной зависимости от сжимаемости нестационарныхтечений вязких мало сжимаемых жидкостей // ДАН. — 1999. — T. 365, № 2.C. 197–200.УДК 517.5Обобщенное решение задачи Коши для нормальной системыобыкновенных дифференциальных уравненийЭ.Г. ШифринМосковский физико-технический институт (государственный университет)Рассматривается задача Коши для системы dx/dt = V(x, t) обыкновенных дифференциальныхуравнений с суммируемой правой частью. Обобщенное решениеопределяется как предел при h → 0 решения модифицированной системы, в которойправая часть получена усреднением V(x, t) по кубу σ h (x) со стороной 2h. Использованиетеоремы Каратеодори позволяет доказать существование обобщенного решения,которое совпадает с классическим, когда последнее существует и удовлетворяетобобщенному условию Липшица.

Тупиковые тестовые множества для полиномов Жегалкина, аффинно эквивалентные шару, инедостаточность такого описания в общем случае 47УДК 519.71Тупиковые тестовые множества для полиномов Жегалкина,аффинно эквивалентные шару, и недостаточность такогоописания в общем случаеК.Н. КорягинВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНСоответствие между всеми тупиковыми тестовыми множествами итупиковыми тестовыми множествами, определяемыми невырожденнымиаффинными преобразованиямиВ статье рассматриваются булевы функции, заданные полиномами ЖегалкинаP (x 1 , ..., x n ). Обозначим через {P n } = {P |P = P (x 1 , ..., x n )}, {Pn k } ={P n | deg(P n ) k}, но для Pn k , deg(Pn k ) = k.Определение 1. Множество T точек единичного n-мерного куба E n называетсятестовым для множества {Pn k }, если любой полином P n ∈ {Pn k }, определенный наэтом множестве, допускает однозначное доопределение на весь куб E n .Определение 2. Тестовое множество T называется тупиковым тестовым множествомдля множества {Pn k }, если удаление любого элемента из множества T делаетего не тестовым.Утверждение 1. При невырожденных аффинных преобразованиях тупиковоетестовое множество перейдет в тупиковое тестовое множество (см. [1]).Утверждение 2. Все тупиковые тестовые множества для множеств {Pn n },{Pnn−1 }, {Pnn−2 }, {Pn} 1 можно описать с помощью невырожденных аффинных преобразованийнад множествами B n (0), B n−1 (0), B n−2 (0), B 1 (0) соответственно.Утверждение 3. Множество тупиковых тестовых множеств для множества{Pn k }, получаемых из шара B k (0) с помощью невырожденных аффинных преобразований,не совпадает с множеством всех тупиковых тестовых множеств для {Pn k }.Утверждение 4. Произвольное тупиковое тестовое множество для множества{Pn} 1 при любом преобразовании Поварова x ij → (x ij ⊕ 1), ij ∈ I ⊆ {1, ..., n} неможет перейти в себя.Рассмотрим тупиковое тестовое множество C 1 , 0 ∈ C 1 для множества {Pn} 1 имножество M 1 всех множеств, получающихся из множества C 1 всевозможными преобразованиямиПоварова. Выберем произвольное тупиковое тестовое множество C 2 ,0 ∈ C 2 , C 2 /∈ M 1 для множества {Pn} 1 и рассмотрим множество M 2 всех множеств,получающихся из множества C 2 всевозможными преобразованиями Поварова. ПосколькуC 2 /∈ M 1 , то M 1 ∩ M 2 = ∅. Данную операцию проделываем до некоторогошага d такого, что множество ∪ d i=1M i , M a ∩ M b = ∅, 1 a < b d будет являтьсямножеством всех тупиковых тестовых множеств для множества {Pn}.1Следствие 1. |M i | = 2 n , i = 1, d. ∣ ∣ ∪di=1 M i = d2 n .Следствие 2. Количество тупиковых тестовых множеств для множества {Pn},1содержащих точку 0, равно d(n + 1), а не содержащих точку 0 равно d(2 n − n − 1).Утверждение 5. Количество тупиковых тестовых множеств для множества{Pn k }, 2 k n − 3, получаемых из шара B k (0) с помощью невырожденных аф-

48 К.Н. Корягинфинных преобразований, в случае нечетного k равно q, а в случае четного k равноq(n + 1), где q — количество тупиковых тестовых множеств для множества {P 1 n}.Литература1. Корягин К.Н. Уровневая структура полиномов Жегалкина, свойства тестовыхмножеств и алгоритм поиска аннигиляторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2010. — Т. 50, № 7. — С. 1334–1340.

Параллельное управление в случайной среде 49Секция математических основ управленияУДК 519.6Параллельное управление в случайной средеА.В. КолногоровНовгородский государственный университет им. Ярослава МудрогоРассматривается задача об адаптивном управлении в случайной среде [1], известнаятак же, как задача о двуруком бандите [2], в приложении к обработке конечногодостаточно большого числа N данных, допускающих параллельную обработку.Предложена стратегия [3], которая на начальных этапах, числом не больше r − 1,выполняет последовательное сравнение методов с помощью обработки равных тестовыхпартий данных и отбрасывает тот метод, эффективность которого хуже навеличину заданного порога. На заключительном этапе применяется только лучшийпо результатам тестирования метод. Получены оптимальные асимптотические приN → ∞ оценки тестовых партий и порогов для начальных этапов и установлено, чтопорядок минимаксного риска определяется величиной N α , где α = 2 r−1 (2 r −1) −1 . Прииспользовании параллельной обработки полное время функционирования стратегииопределяется количеством этапов r, а не числом обрабатываемых данных N.Литература1. Срагович В.Г. Адаптивное управление. — М.: Наука, 1981. – 384 с.2. Berry D.A., Fristedt B. Bandit Problems: Sequential Allocation of Experiments. —London, New York: Chapman and Hall, 1985. – 275 p.3. Kolnogorov A.V., Melnikova S.V. Minimax R-Stage Strategy for the Multi-ArmedBandit Problem // Proceedings of the 9-th IFAC Workshop "Adaptation andLearning in Control and Signal Processing ALCOSP’07". 2007. http://www.ifacpapersonline.net.УДК 519.626Нижняя оценка трудоемкости марковского симметричногослучайного поискаА.С. ТихомировНовгородский государственный университет им. Ярослава МудрогоРассмотрим евклидово пространство R d с метрикой ρ. В качестве метрики ρ будемиспользовать или евклидову метрику ρ 2 , или метрику ρ ∞ . Пусть целевая функцияf : R d ↦−→ R принимает минимальное значение в единственной точке x ∗ , а нашейцелью является отыскание точки x ∗ с заданной точностью ε > 0.Для поиска точки минимума воспользуемся марковским симметричным случайнымпоиском {ξ n } n0 . Так будем называть марковские алгоритмы случайного поиска[1], переходные функции которых обладают симметричными плотностями [2]. Здесьрассмотрим более широкий, чем в [2], класс поисков, формы плотностей которых

50 А.А. Орловмогут меняться в зависимости от текущей точки поиска. Отметим, что знаменитыйалгоритм simulated annealing принадлежит рассматриваемому семейству методов.Обозначим через τ ε момент первого попадания поиска {ξ n } n0 в ε-окрестностьточки x ∗ . Трудоемкость случайного поиска определяется как Eτ ε и имеет смыслсреднего числа шагов поиска до достижения им ε-окрестности точки x ∗ . Оказалось,что трудоемкость марковского симметричного случайного поиска не может бытьменьше, чем ln(ρ(x, x ∗ )/ε) + 1, где x — начальная точка поиска.Теорема. Пусть целевая функция f : R d ↦−→ R принимает минимальное значениев единственной точке x ∗ . Пусть марковский симметричный случайный поиск {ξ n } n0начинается в точке x, 0 < ε < δ = ρ(x, x ∗ ), n — натуральное число. Тогда справедливынеравенстваP(τ ε n) ε δ∑n−1k=0ln k (δ/ε), Eτ ε = ln(δ/ε) + 1.k!В заключение отметим, что для одномерного пространства оптимизации R и простейшейцелевой функции f(x) = |x| можно построить такой марковский симметричныйслучайный поиск, у которого Eτ ε = 2 ln(δ/ε) + 2. Поэтому полученная оценкатрудоемкости достаточно точна (имеет правильный порядок зависимости от ε).Результаты работы позволяют оценить потенциальные возможности марковскихалгоритмов и сделать вывод о том, что трудоемкость некоторых построенных марковскихпоисков (см. [1], [3]) близка к оптимальной, по крайне мере по порядкузависимости от ε.Литература1. Zhigljavsky A., Zilinskas A. Stochastic Global Optimization. – Berlin: Springer, 2008.– 262 p.2. Тихомиров А.С. Нижние оценки скорости сходимости марковского симметричногослучайного поиска // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2011. – Т. 51, № 9. –С. 1630–1644.3. Тихомиров А.С. О скорости сходимости алгоритма simulated annealing // Ж. вычисл.матем. и матем. физ. – 2010. – Т. 50, № 1. – С. 24–37.УДК 519.85Двойственный метод Ньютона для задачи полуопределенногопрограммированияА.А. ОрловМосковский физико-технический институт (государственный университет)Рассматривается линейная задача полуопределенного программирования:minX C • X,A i • X = b i , 1 i m, (1)X ≽ 0.Здесь X, C и A i — симметричные матрицы порядка n, неравенство X ≽ 0 означает,что матрица X положительно полуопределена. Точка между двумя матрицами A i и

Двойственный метод Ньютона для задачи полуопределенного программирования 51X указывает на их скалярное произведение, определяемое как след матрицы A T i X.Двойственной к (1) является задачаmaxu,V bT u,m∑u i A i + V = C, (2)i=1V ≽ 0.Предполагается, что обе задачи (1) и (2) имеют решения и что матрицы A i , 1 i mлинейно независимы.В [1] для решения задачи (2) был предложен двойственный метод Ньютона, вкотором итерации велись по двойственным переменным, а прямая переменная Xопределялась по ним, исходя из специальной зависимости. В настоящем сообщениииспользуется другая зависимость X(u), причем предлагается решать методом Ньютонасистему линейных уравненийA i • X(u) − b i = 0, 1 i m. (3)Пусть vecM обозначает прямую сумму столбцов квадратной матрицы M. В векторнойформе система (3) запишется какA vec vecX(u) − b = 0 m ,где A vec — m × n 2 матрица, строками которой являются векторы vecA i , 1 i m.ВозьмемvecX(u) = D n Φ −1 (V 1/2 (u))L n A T vecb, Φ(V ) = L n [A T vecA vec + V ⊗ V ]D n ,Здесь L n и D n — элиминационная и дуплицирующие матрицы. Матрица Φ(V (u)) являетсянеособой, если точка [u, V (u)] невырожденная. Итерации вгде X k = X(u k ),u k+1 = u k + Λ −1 (u k )(b − A vec vecX k ), (4)Λ(u) = 1 2 A vecL n Φ −1 (V 1/2 (u))H(X(u)V 1/2 (u))H(V 1/2(u))D n A T vec,H(V ) = 1 2 (I ⊗ V + V T ⊗ I).Теорема. Пусть для прямой и двойственной задач имеет место строгая двойственность,причем их решения X ∗ и V ∗ строго комплементарны. Пусть, кроме того,точка V ∗ является вершиной допустимого множества в V -пространстве. Тогда метод(4) локально сходится к соответствующему решению двойственной задачи u ∗ сосверхлинейной скоростью.Литература1. Жадан В.Г., Орлов А.А. О сходимости двойственного метода Ньютона для линейнойзадачи полуопределенного программирования. – Иркутск: Известия Иркутскогогосударственного университета, 2011. — С. 75–90.

52 Е.А. МалининаУДК 517.977.5Математическая модель заполнения лазерных мишенейрадиоактивными изотопами водородаЕ.А. МалининаМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваБолее полувека тому назад была сформулирована задача использования в мирныхцелях энергии термоядерного синтеза, получаемая при слиянии легких ядеризотопов водорода. Существует два основных подхода к данной задаче: магнитныйтермоядерный синтез и инерциальный термоядерный синтез (ИТС). В ИТС [3] используютсялазерные мишени, которые заполняются газовой смесью из изотопов водорода,доставляются в фокус лазерной установки, подвергаются облучению лазером,сжимаются и вызывают термоядерную реакцию.Рассматриваемая лазерная мишень представляет собой двухслойную сферическуюоболочку, внешний слой которой изготовлен из полистирола или полиимида,а внутренний пористый слой — из пенополистирола. Мишень помещают в камерус D–T газообразной смесью, находящейся под давлением. Из-за перепада давлениясмесь заполняет мишень, но важно соблюсти баланс давлений внутри и вне мишени,чтобы не допустить её разрушение.Для исследования этих вопросов строится математическая модель процесса.Упрощенные модели для однослойных оболочек исследовались в работах [1], [2], [4].Исследуемая же модель после введения безразмерных величин представляет собойсистему сингулярно возмущенных полулинейных уравнений параболического типа соспецифическими начально-краевыми условиями. Данная задача решается методоммалого параметра и формулируется теорема [5], в которой описано приближенноеаналитическое решение поставленной задачи.Литература1. Белолипецкий А.А. Нелинейная математическая модель заполнения тонкостенныхоболочек газом. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математикаи кибернетика. — 2000. — № 27. — С. 10.2. Aleksandrova I.V., Belolipetskiy A.A. Mathematical models for filling polymer shellswith a real gas fuel // Laser and Particle Beams — 1999. — V. 17, N 4. P. 701–712.3. Дюдерштадт Дж., Мозес Г. Инерциальный термоядерный синтез. — М.: Энергоатомиздат,1984. — 302 с.4. Белолипецкий А.А., Тер-Крикоров А.М. О решении одной сингулярно возмущеннойначально-краевой задачи для линейного параболического уравнения // ТрудыМФТИ. — 2011. — Т. 3, № 1(9). — С. 3–6.5. Белолипецкий А.А., Малинина Е.А, Семенов К.О. Анализ математической моделизаполнения оболочек лазерных мишеней радиоактивным газом. — М.: Математическиемодели и задачи управления: сб. науч. тр / Моск. физ-техн. инст. М.,2011. — С. 4–13.

Свойства графов с большой алгебраической связностью 53УДК 519.17Свойства графов с большой алгебраической связностьюМ.И. ИсаевМосковский физико-технический институт (государственный университет)CMAP, Ecole PolytechniqueДля графа G с вершинами ν 1 , ν 2 , . . . , ν n и множеством ребер EG определим матрицуQ размера n × n следующим образом:⎧⎨ −1, (ν j , ν k ) ∈ EG,Q jk = d j , j = k,⎩0, иначе,где d j обозначает степень вершины ν j .Матрица Q = Q(G) называется матрицей Лапласа графа G. Собственные значенияλ 0 λ 1 . . . λ n−1 матрицы Q являются неотрицательными вещественнымичислами, причем количество нулевых собственных значений совпадает с количествомкомпонент связности, в частности, λ 0 = 0. Число λ 1 = λ(G) называется алгебраическойсвязностью графа G. По теореме Кирхгофа (матричная теорема о деревьях),см. [2]:t(G) = 1 n λ 1λ 2 . . . λ n−1 ,где t(G) обозначает число остовных деревьев графа G.Пусть G 1 — граф, получающийся из графа G посредством удаления вершины ν 1и всех смежных ребер. Для произвольного остовного дерева графа обозначим какграф, получающийся из графа посредством удаления всех ребер дерева T .Теорема 1. Пусть G — простой граф с n вершинами, причем алгебраическаясвязность графа λ 1 σn для некоторого σ > 0. Тогда существует константа c > 0,зависящая только от σ, такая, чтоt(G 1 ) c t(G)n ,t(G T ) ct(G).Теорема 2. Пусть a > 0 и предположения теоремы 1 выполнены. Тогда длялюбого A ⊂ V G такого, что |A| an, существует функция высоты h : V G → N 0 ,обладающая свойствамиh(ν) = 0, если ν ∈ A, h(ν) H для любых ν ∈ V G,|{w ∈ V G|(w, ν) ∈ EG и h(w) < h(ν)}| > αn, если ν /∈ A,где константы H, α зависят только от a и σ.Обозначим число различных эйлеровых циклов и эйлеровых ориентаций EC(G)и EO(G) соответственно.Теорема 3. Пусть предположения теоремы 1 выполнены, а также все степениd 1 , d 2 , . . . , d n вершин графа G четные. Тогда при n → ∞EC(G) = Θ k1 ,k 2(n−1|EG|−2 2 π− n−12(n−1|EG|+EO(G) = Θ k1 ,k 22где константы k 1 , k 2 > 0 зависят только от σ.Доказательства теорем 1–3 приведены в [1].√t(G)n∏2 π− n−12j=1( ) )dj2 − 1 ! ,√t(G)),

54 А.О. АртемоваЛитература1. Isaev M. Asymptotic behavior of the number of the Eulerian circuits // e-print arXiv:1104.3046. — 2010.2. Kirchhoff G. Фрактальная модификация континуального приближения // ПЖТФ.2010. – T. 36, вып. 11. — С. 98–103.УДК 531.36Об управлении двузвенным манипуляторомА.О. АртемоваУльяновский государственный университетРассматривается задача об управлении двузвенным манипулятором, моделируемымв виде двойного маятника, состоящего из неподвижного основания и двухабсолютно жестких звеньев G 1 , G 2 . Элементы конструкции соединены между собойдвумя идеальными цилиндрическими шарнирами O 1 , O 2 таким образом, что обазвена могут совершать движения только в вертикальной плоскости. Центр масс C 1звена G 1 лежит на луче O 1 O 2 . Положение центра масс C 2 звена G 2 не совпадает сположением шарнира O 2 .Введены обозначения: q i — угол между прямой O i C i и вертикальной осью; l gi —длина отрезка O i C i ; l 1 — длина отрезка O 1 O 2 ; m i — масса звена G i ; I i — моментинерции звена G i относительно оси шарнира O i ; g — ускорение свободного падения.Рассматривается задача о стабилизации заданного программного движения( ˙q 1 (t), ˙q 2 (t), q 1 (t), q 2 (t)) манипулятора. Показано, что рассматриваемая задача можетбыть решена на основе специально подобранной функции Ляпунова. Получено управлениевида⎧(( ))q1 − q 1 (t)Q 1 = Q 1 (t) − µ 1 · sign ( ˙q 1 − ˙q 1 (t)) + k 1 sin,⎪⎨⎪⎩ Q 2 = Q 2 (t) − µ 2 · sign(( ˙q 2 − ˙q 2 (t)) + k 2 sin2(q2 − q 2 (t)2)),где (Q 1 (t), Q 2 (t)) — моменты, обеспечивающие заданное программное движение,µ 1 , µ 2 > 0 — коэффициенты усиления, k 1 , k 2 > 0 — коэффициенты пропорциональности,а функции sin x 12и sin x 22выбраны исходя из задачи оптимизации областипритяжения.Представлены результаты численного моделирования стабилизации различныхпрограммных движений системы при следующих параметрах: l 1 = 1 м, l g1 = l g2 = 0.5м, I 1 = I 2 = 0.3333 кг·м 2 , m 1 = m 2 = 1кг, g = 9.81 м/с 2 .Пример численного моделирования представлен на рис. 2 а, б и рис. 3 а, б. Дляданного примера — управлениеU 1 (x) = −µ 1 · sign( (q1 − π ))2˙q 1 + k 1 sin4при k 1 = 5, µ 1 = 35 и управление(( ))q2 − tU 2 (x) = −µ 2 · sign ˙q 2 − 1 + k 2 sin4при k 2 = 5, µ 2 = 25.

Об управлении двузвенным манипулятором 55Стабилизирующее движение — q 1 (t) = π 2 , ˙q 1(t) = 0, q 2 (t) = t, ˙q 2 (t) = 1 с численныминтегрированием при начальных условиях(q 1 (0), ˙q 1 (0), q 2 (0), ˙q 2 (0)) = (1.1; 0.6; 0.7; 0.1).Методика решения задачи основана на материале монографий [1],[2].Рис. 1. Двузвенный манипуляторРис. 2. (а, б)Рис. 3. (а, б)Литература1. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейнымимеханическими системами. – М.: Физматлит, 2006. – 328 с.2. Матюхин В.И. Управление механическими системами. – М.: Физматлит, 2009. –320 с.

56 Г.А. ШепелевУДК 531.36Математические аспекты построения релейных управленийс запаздываниемГ.А. ШепелевУльяновский государственный университетВ докладе рассмотрена задача о стабилизации систем, описываемых функционально-дифференциальнымиуравнениями с последействием, при помощи кусочно-непрерывныхуправлений:ẋ(t) = f(t, x t , u), (1)где x(t) ∈ R n , x t ∈ C H = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < H, O < H < ∞}, u ∈ R m — управление,f : R + × C H × R m → R n — непрерывная функция.Пусть X = {x : [t 0 − h, ∞) → B H } , t 0 0 (B H = {x ∈ R n : |x| < H}) — класс допустимыхпрограммных движений, т.е. абсолютно непрерывных функций, которыезадаются управлениями u ∈ U, где U суть некоторое множество функций u = u(t, ϕ),кусочно-непрерывных в области R + × C H .Для некоторого управляющего воздействия u 0 ∈ U правая часть (1) представляетсобой разрывную функцию f 0 = f(t, ϕ, u 0 ). Вводится многозначное отображениеF (t, ϕ), которое является доопределением f 0 (t, ϕ) на множестве её разрывов и исследуетсядифференциальное включениеẋ(t) ∈ F (t, x t ). (2)Предполагается также, что решение x 0 (t) ∈ X включения (2), достигаемое наu 0 (t, ϕ), является единственным.Для включения (2) можно определить множество предельных включений:ẋ(t) ∈ F ∗ (t, x t ). (3)Через {x ∗ (t)} обозначим предельное к x 0 (t) решение включения (3).Теорема 1. Допустим, что можно найти функционал V : R + × C H1 → R,такой, что1) a 1 (|ϕ(0) − x 0 (t)|) V (t, ϕ) a 2 (||ϕ − x 0 t ||);2) его производная в силу (2) удовлетворяет ˙V ∗ (t, ϕ) −W (t, ϕ) 0;3) для каждой предельной пары (F ∗ , W ∗ ) множество {W ∗ (t, ϕ) = 0} не содержитрешений (3), кроме x = x ∗ (t).Тогда управление u 0 (t, ϕ) решает задачу о стабилизации x 0 (t).Допустим, что кусочно-непрерывные управления u = (u 1 (t, ϕ), ..., u m (t, ϕ)) терпятразрыв на поверхности {ψ j (t, ϕ) = 0} ( j = 1, l ) , где ψ j : R × C H → R есть ограниченные,равномерно непрерывные функции.Теорема 2. Допустим, что можно найти функционал Ляпунова V = V (t, ϕ),такой, что:1) a 1 (|ψ(t, ϕ)|) V (t, ϕ) a 2 (||ϕ − x 0 t ||);2) его производная удовлетворяет ˙V ∗ (t, ϕ) a 3 (|ψ(t, ϕ)|) для каждой такойфункции ϕ ∈ C, что V (t + s, ϕ(s) − x 0 (t)) V (t, ϕ(0) − x 0 (t)) ;3) семейство {x = x ∗ t } асимптотически устойчиво относительно множества{ψ ∗ (t, x) = 0} и равномерно соответственно по отношению к {ẋ(t) ∈ F ∗ (t, x t )}.Тогда управление u = u 0 (t, ϕ) является стабилизирующим для движения x =x 0 (t).Используя теорему 2, можно показать, что управляющее воздействие

Математические аспекты построения релейных управленийс запаздыванием 57(( ))ϕ(t − h) − ϕu = −µ · sign ˙ϕ(t) − ˙ϕ ∗ ∗ (t − h(t) + k · sin2решает задачу о стабилизации заданного программного движения (ϕ ∗ (t), ˙ϕ ∗ (t)),| ˙ϕ ∗ (t)| m = const, | ¨ϕ ∗ (t)| l = const перевёрнутого математического маятника:¨ϕ = ω 2 0 sin ϕ(t) + u.Литература1. Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальныхуравнений. — Ульяновск: УлГУ, 2005. — 328 с.2. Ким А.В., Пименов В.Г. i-гладкий анализ и численные методы решенияфункционально-дифференциальных уравнений. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярнаяи хаотическая динамика». — 2004. — 256 с.3. Павликов С.В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. — НабережныеЧелны: Изд-во Института управления, 2006. — 264 с.4. Сурков А.В. Об устойчивости функционально-дифференциальных включений сиспользованием инвариантно дифференцируемых функционалов Ляпунова //Дифференциальные уравнения. — 2007. — T. 43, № 8. — C. 1055–1063.5. Liz E., Pouso R.L. Existence theory for first order discontinuous functional differentialequations // Proceedings of the american mathematical society. — 2002. — V. 130,N 2. — P. 3301–3311.

58 М.И. ИсаевСекция теоретической информатикиУДК 519.17Приближенный подсчет числа эйлеровых ориентацийи эйлеровых циклов в графахМ.И. ИсаевМосковский физико-технический институт (государственный университет)CMAP, Ecole PolytechniqueЭйлеровым циклом называется цикл, в котором присутствуют все ребра графаровно один раз. Два эйлеровых цикла считаются одинаковыми, если они переходятдруг в друга при циклическом сдвиге.Эйлеровой ориентацией графа G называется ориентация его ребер такая, что длялюбой вершины количество входящих ребер и выходящих ребер одинаково. Каждыйэйлеров цикл индуцирует эйлерову ориентацию.Задачи о подсчете числа различных эйлеровых циклов EC(G) и эйлеровых ориентацийEO(G) в неориентированных графах являются #P -трудными. Это показанов работе Brightwell и Winkler [2]. Поэтому даже приближенные методы представляютбольшой интерес.Приведены эффективные приближенные алгоритмы подсчета числа эйлеровыхориентаций и эйлеровых циклов в графах. При дополнительном условии, что графобладает большой алгебраической связностью (см., например, [3] и [4]), данные алгоритмыдают верный результат с гарантированной точностью O(n −1/2 ). Более того,для числа эйлеровых ориентаций можно привести явную формулу. Пусть степениd 1 , d 2 , . . . , d n вершин ν 1 , ν 2 , . . . , ν n простого связного графа G четные, тогдаn−1|EG|+EO(G) ≈ 2 2 π− n−1 12 √t(G)∏(ν i ,ν j )∈EG(где P j k = 1 − 1 12, − 14 d j +1 d k +1)а t(G) обозначает число остовных деревьев G.Известно, что в случае плотных графов (а графы с большой алгебраической связностьюявляются плотными) для многих NP-сложных задач можно построить полиномиальныеприближенные схемы, см., например, [1]. Стоит отметить, что сложностьсхем может зависеть от априорно заданной точности ε неполиномиально (например, взадаче MAX-CUT сложность равна n O(ε2) ), что делает невозможным их применениедля уровня точности ε = O(n −1/2 ) .Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ №11-01-00398a.Литература1. Arora Sanjeev, Kargery David, Karpinski Marek. Polynomial Time ApproximationSchemes for Dense Instances of NP-Hard Problems // Proceeding STOC ’95Proceedings of the twenty-seventh annual ACM symposium on Theory of computing.— 1995.P jk ,

Оценка трудоемкости одного алгоритма решения задачи минимального k-разреза 592. Brightwell Graham, Winkler Pe ter. Note ob Counting Eulerian Circuits // arXiv:cs.0405067. — 2004.3. Isaev M. Asymptotic behavior of the number of the Eulerian circuits // e-print arXiv.1104.3046. — 2010.4. Fiedler M. Algebraic connectivity of graphs // Czech. Math. Journal. — 1973. — V. 98,N 23. — P. 298–305.УДК 519.174.1Оценка трудоемкости одного алгоритма решения задачиминимального k-разрезаИ.В. КозловМосковский физико-технический институт (государственный университет)Рассматривается задача поиска минимального k-разреза в графе. Задан графG(V, E) : |V | = n, |E| = m, весовая функция w : E → R + и целое число k. Требуетсянайти множество ребер с минимальным суммарным весом, при удалении которыхграф распадается на k компонент связности {V 1 , . . . , V k }. Данная задача являетсяNP-трудной, если k — параметр входа [1], поэтому рассматриваются приближенныеалгоритмы.В качестве базового алгоритма берется алгоритм SPLIT из работы [2]. Суть алгоритмазаключается в последовательном нахождении минимальных разрезов в компонентахсвязности графа. С помощью вспомогательных лемм из работы [3] доказываетсяоценка точности приближенного решения.Лемма. Пусть даны граф G(V, E, w), числа h 1 и k max{2, h}. Тогда длялюбого минимального h-разреза C h и любого k-разреза C k графа G выполняется следующеенеравенство:w(C h )(2w(C k ) − h ) h − 1k k − 1 .Следствие. Для любого минимального разреза C 2 и любого k-разреза C k графаG выполняется следующее неравенство:w(C 2 )(2w(C k ) − 2 ) 1k k − 1 .Теорема. Алгоритм SPLIT находит k-разрез, вес которого не более чем в (2− 2 k )раз больше, чем оптимальное решение задачи минимального k-разреза.Если для поиска минимальных разрезов использовать алгоритм Хао–Орлина[4], то трудоемкость алгоритма SPLIT при малых значениях k будет меньше, чемтрудоемкость классического алгоритма поиска приближенного k-разреза Сарана–Вазирани [2]. Алгоритм Хао–Орлина позволяет произвести n − 1 вычисление максимальногопотока, необходимое для решения задачи минимального разреза, за времяпорядка одного вычисления максимального потока.В алгоритме SPLIT необходимо на каждом шаге искать минимальный разрезв двух вновь образовавшихся компонентах. Таким образом, алгоритм Хао–Орлинабудет применен 2k − 1 раз в ходе алгоритма SPLIT и трудоемкость алгоритма SPLITоценивается как O(knm log(n 2 )/m).Данная оценка была ранее получена в работе [5], но доказательство, представленноездесь, проще, поскольку не требует построения никаких дополнительных конструкций.

60 А.А. МастихинаЛитература1. Goldschmidt O., Hochbaum D.S. Polynomial algorithm for the k-cut problem // Proc.29th Ann. IEEE Symp. on Foundations of Comput. Sci. – 1988. – P. 444–451.2. Saran H., Vazirani V. Finding k-cuts within twice the optimal // Proc. 32nd Ann.IEEE Symp. on Foundations of Comput. Sci. – 1991. – P. 743–751.3. Xiao M., Cai L., Yao A. A faster algorithm for finding the minimum cut in a directedgraph // J. of Algorithms. – 1994. – № 17. – P. 424–446.4. Hao J., Orlin J.B. A faster algorithm for finding the minimum cut in a directed graph// J. of Algorithms. – 1994. – N 17. – P. 424–446.5. Kapoor S. On minimum 3-cuts and approximating k-cuts using cut trees // Lect.Notes in Comp. Sci. – 1996. – N 1084. P. 132–146.УДК 519.713Частичное предвосхищение множеств последовательностейА.А. МастихинаМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРассматривается задача частичного угадывания бесконечных последовательностейиз нулей и единиц, принадлежащих фиксированному множеству. Частичноеугадывание производится детерминированным автоматом. Детерминированность автоматаозначает, что после подачи на его вход t первых символов он однозначноопределяет выходной символ. Считается, что множество последовательностей такжепорождается некоторым детерминированным устройством.Исследуется вопрос: для каких множеств можно гарантированно угадывать некоторуюненулевую долю символов в каждой последовательности?Пусть на автомат подается последовательность α ∈ {0, 1} ∞ . Обозначим за y выходнуюпоследовательность автомата Φ. Тогда степенью предвосхищения α даннымt∑автоматом назовем величину c Φ 1(α) = lim (1 − |α(i) − y(i − 1)|), то есть нижнийtt→∞ i=1предел доли угаданных символов. Также отдельно рассматривается верхняя степеньугадывания c −Φ (α), равная верхнему пределу того же отношения.Введем степень предвосхищения множества A: c Φ (A) = inf c(α). Множество Aα∈Aчастично угадываемо, если существует детерминированный автомат, для которогостепень предвосхищения множества A ненулевая.Для следующих подмножеств {0, 1} ∞ получены критерии частичной угадываемости:1. Общерегулярные множества.2. Множества, образованные сверхитерацией языков, порожденных простымиLL(1)-грамматиками.3. Множества, образованные сверхитерацией таких детерминированных контекстно-свободныхязыков L, что L*, также детерминированный контексто-свободныйязык.В случае, когда частичная угадываемость имеет место, строятся угадывающиеавтоматы. В случае 1 это конечные автоматы, для 2 и 3 — автоматы с магазиннойпамятью. Для случая 1 можно построить автомат, угадывающий множество с максимальновозможной степенью. Рассмотрены различные способы задания множеств.

Тест на эмуляцию памяти виртуальных машин 61Также для множеств 2 получен критерий для частичной угадываемости в смыслеверхнего предела.Литература1. Вереникин А.Г., Гасанов Э.Э. Об автоматной детерминизации множеств сверхслов// Дискретная математика. — 2006. — Т. 18, № 2. C. 84–97.2. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.:Наука, 1985. — 318 с.3. Мастихина А.А. Критерий частичного предвосхищения общерегулярных сверхсобытий// Дискретная математика. — 2011. — № 4.4. Aho A., Ullman J. The theory of parsing, translation and compiling // Prentice-Hall,Inc., 1972.УДК 004.4Тест на эмуляцию памяти виртуальных машинВ.О. Семенцов-Огиевский, Д.В. КарповМосковский физико-технический институт (государственный университет)Виртуализация PC — технология, востребованная во многих отраслях промышленности,в финансовом, банковском, медицинском и других секторах. Виртуальнаямашина — чрезвычайно сложный программный продукт, соответственное ее тестированиеи отладка — также непростая задача.Наш НИР заключается в разработке теста памяти виртуальных машин.Планируется 3 компоненты:1) Тесты на спецификацию пейджинга.2) Тесты на TLB.3) Тесты на SMP.Сам процесс тестирования основан на фаззинге (fuzzing) и дифференциальноманализе.Литература1. Martignoni Lorenzo, Paleari Roberto, Fresi Roglia Gimpaolo, Bruschi Danilo. TestingSystem Virtual Machines.2. Intel® 64 and IA-32 Architectures Developer’s Manual.УДК 519.681.4Исследование на жесткость моделей обобщенныхнедетерминированных автоматовА.А. РубцовМосковский физико-технический институт (государственный университет)Понятие недетерминизма в моделях вычислений можно интерпретироватьнесколькими способами. Классическая интерпретация состоит в том, что детерминированнаямодель вычислений имеет функцию перехода, а недетерминированнаявместо функции перехода имеет отношение перехода.Альтернативный подход в определении недетерминизма состоит в том, что вместес входным словом, детерменированной модели вычислений, на вход подаётся словоподсказка.Тогда модель вычислений принимает слово, если и только если для негонайдётся подсказка, с помощью которой оно будет принято.

62 А.А. РубцовИспользование второго подхода для модели обобщённых недетерминированныхавтоматов (ОНА) — многоголовочных двусторонних автоматов с дополнительнойлентой-подсказкой — позволяет получить различные классы сложности в зависимостиот ограничений, накладываемых на множество подсказок. Фиксированное множествоподсказок будем называть фильтром.В [1], используя данную модель, были построены фильтры для классов сложностиLogSpace, NLogSpace, NP и PSPACE.Исследована жёсткость модели относительно регулярных ограничений, накладываемыхна фильтры, построенные для данных классов языков. Получена классификациярегулярных языков, в рамках которой любой регулярный язык-фильтр задаётмножество подсказок, которым в рамках модели ОНА соответствует либо классязыков LogSpace, либо класс языков NLogSpace. Данная класификация обобщена наслучай регулярных ограничений на множество блочных периодических фильтров, вэтом случае множеству подсказок в рамках модели ОНА соответствует одному изклассов языков: LogSpace, NP или PSPACE.Литература1. Вялый М.Н. О моделях недетерминизма для двусторонних автоматов // ТрудыVIII международной конференции «Дискретные модели в теории управляющихсистем». — М.: МаксПресс, 2009. — С. 54–60.2. Vyalyi M.N. On models of a nondeterministic computation. Electronic preprint, 2008.ArXiv:0811.2586.3. Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов языкови вычислений. — 2-е изд. — М.: ИД «Вильямс», 2007.4. Sipser M. Introduction to the Theory of Computation. — PWS, 1997.5. Ibarra O.H. Characterizations of some tape and time complexity classes of Turingmachines of multihead and auxiliary stack automata // J. of computer and systemsciences. — 1971. — V. 5, N 2. — P. 88–117.

Идентификация модели рамсеевского типа по даннымо сберегательном и потребительском поведении домашних хозяйств в России 63Секция анализа систем и решенийУДК 519.865Идентификация модели рамсеевского типа по даннымо сберегательном и потребительском поведении домашниххозяйств в РоссииИ.Ф. ГималтдиновМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРассмотрим модифицированную модель Рамсея:∫ T0(C(t)) α e γt dt → max,dXdt = Seγt + r D D − C − r L L, X = M + D − L, (1)M(t) θC(t), C(t) 0, L(t) 0, D(t) 0,X(0) = X 0 , L(T ) = 0.Здесь D — депозиты домашних хозяйств, L — кредиты, r D и r L — процентная ставкапо депозитам и потребительским кредитам соответственно, C — потребление, M —наличные деньги, X — благосостояние домашних хозяйств, Se γt — доходы домашниххозяйств, Δ — коэффициент дисконтирования, θ — коэффициент в ограниченииликвидности, α ∈ (0, 1) — коэффициент отвращения к риску. Решение задачи (1)приводится в [1].В работе проводится идентификация модели по данным о сберегательном и потребительскомповедении домашних хозяйств в современной России.Положим коэффициент отвращения к риску α = 0.5. Предположим, что банкиустанавливают процентную ставку r D так, чтобы Δ(t) = r D (t) − (1 − α)γ(t) рис. 1б.Согласно [1] такая стратегия соответствует границе, разделяющей богатый и среднийслой домашних хозяйств. Коэффициент ограничения ликвидности коррелируетс соотношением χ = D RUR /(D RUR + D UE ) , где D RUR — рублевые депозиты, а D UE —валютные. На рис. 1а приводится сравнение реальных значений коэффициента ограниченияликвидности с величиной 2.6χ . В расчетах величина 2.6χ использовалась вкачестве θ.На рис. 2 сопоставляются исторические данные и результаты расчетов по модели.На рис. 2а изображена динамика наличных денег M, на рис. 2б —динамиканетто-депозитов (разница депозитов D и потребительских кредитов L ), на рис. 2в —потребительские расходы населения. Как видно из рисунка, результаты расчетовхорошо согласуются с историческими данными. Работа выполнена при финансовойподдержке РГНФ (грант 12-02-00127) и РФФИ (гранты 11-07-00162-а, 11-01-12084-офи-м-2011).

64 Е.В. ГасниковаРис. 1. Параметры моделиРис. 2. Сравнение результатов расчетов с данными РосстатаЛитература1. Гималтдинов И.Ф. Синтез управления в модифицированной модели Рамсея сучетом ограничения ликвидности и потребительского кредитования // Труды53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных иприкладных наук». — 2010. — Часть 7. Т. 1. C. 91–93.УДК 519.21Достаточные условия существования равновесиямакросистемыЕ.В. ГасниковаМосковский физико-технический институт (государственный университет)Предположим, что некоторая макросистема может находиться в различных состояниях,характеризуемых вектором −→ n с неотрицательными целочисленными компонентами.Будем считать, что в системе происходят случайные превращения (химическиереакции). Пусть −→ n → −→ n − −→ α + −→ β , ( −→ α , −→ β ) ∈ J — все возможные типы

Достаточные условия существования равновесия макросистемы 65реакций. Введем, следуя М.А. Леонтовичу (1935), интенсивность реакции (случайдискретного времени рассматривается аналогичным образом):λ (−→ −→ α , β )( −→ n ) = λ (−→ −→ α , β )( −→ n → −→ n − −→ α + −→ β ) = M 1−∑ α ii K −→ α −→β ( −→ n /M) ∏n i · . . . · (n i − α i + 1),i:α i >0где — константы реакции (в химической кинетике — постоянные, а в социодинамике— необязательно); при этом часто считают ∑ n i (t) ≡ M. Т.е. λ (−→ −→ α , β )( −→ n ) —iвероятность осуществления в единицу времени перехода −→ n → −→ n − −→ α + −→ β . На макроуровнеэто соответствует принципам химической кинетики (закон действующих массГульдберга—Вааге, 1865). Таким образом, динамика макросистемы задается линейнойполугруппой (однородный дискретный марковский случайный процесс), инфинитезимальныйоператор которой определяется интенсивностями реакций λ (−→ −→ α , β )( −→ n ).Предположим теперь, что множество J не зависит от M, и в начальный моментвремени для любого i существует предел c i (0) = lim n i(0)/M. Тогда (Малышев—M→∞Пирогов—Рыбко) в произвольный момент времени t > 0 и для любого i существуетпредел по вероятности (заметим, что n i (t) — случайные величины, тем не менееc i (t) — уже не случайные величины) c i (t) п.н.= lim n i(t)/M. Описанный выше приёмM→∞называется каноническим скейлингом. В результате такого скейлинга приходим к«динамике квазисредних»(терминология В. Вайдлиха):dc idt =∑( −→ α −→ β )∈J(β i − α i )K −→ α −→β ( −→ c ) ∏ jc α ij . (1)Эти же уравнения можно получить и по-другому, а именно как приближеннуюдинамику средних ¯c i (t) = E[n i (t)/M]. Приближенную в том смысле, что при выводе(1) используется приближение: F (¯c i (t)) ≈ E[F (n i (t)/M)] для «достаточно хороших»функций F (например, полиномов). Отметим, следуя В.В. Веденяпину, что система(1) имеет следующие линейные первые интегралы:〈 −→ µ , −→ n (t)〉 ≡ 〈 −→ µ , −→ n (0)〉 ⇔ −→ µ ⊥ Lin{ −→ α − −→ β } (−→ α ,−→ β )∈J.(2)Естественно задаться вопросом: а что будет, если система (1) имеет на внутренностипересечения неотрицательного ортанта и инвариантного аффинного многообразия(2) единственную неподвижную точку? Оказывается, имеет место утверждение:если эта точка экспоненциально глобально устойчива, то 1) все законы сохранения(1) определяются (2); 2) около положения равновесия инвариантная мера будетэкспоненциально быстро концентрироваться (с ростом M); 3) скорость сходимостик равновесию (mixing time) оценивается как O(poly(M)); 4) элементы корреляционнойматрицы случайного вектора равномерно ограничены по времени; 5) предельныепереходы lim и lim перестановочны: lim lim ∗ = lim lim ∗.M→∞ t→∞ M→∞ t→∞ t→∞ M→∞Обратим внимание, что модель «хищник–жертва »является хорошим примеромтого, что может быть, если не выполняется условие устойчивости равновесия.Результаты работ из списка литературы [1] наталкивают на гипотезу: аттрактординамической системы (1), который может быть сколь угодно сложным множеством(например, в приложениях типичны случаи предельных циклов, нескольких положенийравновесий и даже хаотических аттракторов), является таким множеством,в малой окрестности которого на больших временах с большой вероятностью будетпребывать рассматриваемая макросистема.Работа поддержана грантами РФФИ.

66 И.А. Кондраков, А.А. ШананинЛитература1. Гасников А.В., Гасникова Е.В., Колесников А.В., Нагапетян Т.А. О концепцииравновесия макросистемы и её приложении к модели равновесногораспределения потоков // Труды Международной научной конференции«50 лет ИППИ РАН», Москва, 25 июля–29 июля 2011. — М., 2011. — 8 с.http://www.iitp.ru/ru/conferences/823.htmУДК 519.866Приложение обобщенного непараметрического методадля анализа инвесторов на фондовом рынкеИ.А. Кондраков, А.А. ШананинМосковский физико-технический институт (государственный университет)Обобщенный непараметрический метод (ОНМ, см. [1], [2]) позволяет анализироватьповедение совокупности экономических агентов на товарных и фондовыхрынках. Он основан на построении индексов цен и количеств посредством обработкиторговой статистики {P t , X t } T t=0, где X t — вектор объемов продаж в момент t,P t — вектор цен. ОНМ сводится к решению системы неравенств Африата-Вериана:ωλ τ 〈P t , X t 〉 λ t 〈P t , X t 〉, λ t > 0, τ, t ∈ [0, T ]. По решению этой системы можно построитьвременные ряды индексов цен 1 λ tи продаж λ t 〈P t , X t 〉. Величина ln ω являетсяпоказателем нерациональности (см. [1]) и описывает степень отклонения потребительскогоповедения от рационального.В работе [3] был предложен подход для анализа фондовых рынков (ФР) с помощьюОНМ. Исходным объектом анализа является торговая статистика 20 крупнейшихмировых бирж с апреля 2006 года по июнь 2011. Это дневная торговая статистика.Она содержит средневзвешенную цену акции и объем торгов за день. При формированииторговой статистики были выявлены три проблемы. Во-первых, на ФРневозможно выделить полные группы взаимозаменяемых товаров, так как все акциинаходятся в отношении замещения. Во-вторых, на разных биржах акции торгуютсяв разных валютах и необходимо для построения торговой статистики пересчитатьрезультаты торгов в единой валюте. В-третьих, помимо долгосрочных инвесторов,существенную роль на бирже играют спекулянты, что увеличивает объем торгови влияет на рационализируемость. Первая особенность сказывается в том, что показательнерациональности всегда положителен. В [3] был предложен подход дляразрешения второй проблемы на основе анализа матрицы кросс-курсов. Третья особенностьсвязана с характерным временем работы: для долгосрочного инвестора этомесяцы, для спекулянта — дни и недели.Для устранения влияния активности спекулянтов необходимо переходить к месячнойторговой статистике. Переход осуществляется с помощью расчета средневзвешенныхцен. Однако за месяц цены могут существенно измениться, поэтому необходимоиспользовать преобразование цен, предложенное в [4], с. 224–232.Был рассчитан показатель нерациональности для месячной статистики: 0.00727.Для недельной он составляет 0.07049, т.е. увеличивается на порядок. При этом этотэффект связан не только с уменьшением количества моментов времени. Был рассчитанпоказатель нерациональности для торговой статистики, где присутствует толькоодна из каждых четырех недель (1-ая, 2-ая, 3-ая или 4-ая). Минимум по четыремгенерируемым торговым статистикам составляет 0.06345, что также на порядок

Оценка коэффициента эластичности замещения производственных факторов на микроуровнев обобщенной модели Хаутеккера—Иохансена 67больше, чем величина для месячной статистики. Более того, рассчитанные показателинерациональности имеют тот же порядок, как показатели нерациональности длянеагрегированных торговых статистик товарных рынков (продажи магазинов илиторговых сетей, см. [2]). Таким образом, можно предположить, что получена методика,позволяющая строить торговую статистику, в которой влияние краткосрочныхспекулятивных оборотов минимально, что позволяет исследовать долгосрочные тенденциифондового рынка с помощью ОНМ.Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ (грант № 12-02-00127) иРФФИ (гранты №11-01-12084-офи-м-2011 и №11-07-00162 )Литература1. Шананин А.А. Проблема интегрируемости и обобщённый непараметрический методанализа потребительского спроса // Труды МФТИ. — 2009. — Т. 1, № 4. —С. 84–98.2. Кондраков И.А. Шананин А.А. Идемпотентные аналоги теорем о неотрицательныхматрицах и их приложения к анализу экономической информации // Журналвычислительной математики и математической физики. — 2011. — Т. 51, № 2.— С. 188–205.3. Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Шананин А.А.Обобщенный непараметрическийметод. Применение к анализу товарных рынков // Труды МФТИ. — 2010. — Т. 2,№ 3. — С. 32–45.4. Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств. — М.: РИОР, 2011.— 420 с.УДК 51.77Оценка коэффициента эластичности замещенияпроизводственных факторов на микроуровне в обобщенноймодели Хаутеккера—ИохансенаЕ.Г. МолчановМосковский физико-технический институт (государственный университет)Будем рассматривать технологическую структуру производства с помощью обобщенноймодели Хаутеккера–Иохансена с двумя производственными факторами текущегопользования (ПФТП) и однородным продуктом [1].Для оценки эластичности замещения производственных факторов на микроуровнев этой модели необходимо найти интервалы коэффициента эластичности ε,при которых разрешима следующая проблем моментов:∫∃?µ(...) 0; µ(R+) 2 < ∞ :R 2 +θ(p t 0 − q(p t 1x 1 , ..., p t nx n ))µ(dx) = y t , t = 1, ..., Tв классе абсолютно непрерывных неотрицательных мер µ(·) с носителем в n. Здесьθ(·) — функция Хевисайда, t = 1, ..., T — периоды времени, ρ t i, ρ t 0 — цены на i-й ПФТФи выпускаемый однородный продукт в период времени t, аq(p t 1x 1 , ..., p t nx n ) = ((p t 1x 1 ) −ρ + ... + (p t 2x 2 ) −ρ ) − 1 ρ , −обратная функция спроса с постоянным коэффициентом эластичности ρ = −ε/(1+ε)

68 М.П. Ващенко, А.А. ШананинПоложим количество ПФТП n = 2. После замены переменных проблема моментовпреобразуется к виду∫∃?µ(...) 0; µ(R+) 2 < ∞ :R 2 +θ(1 − p −t1 x 1 − p −t2 x 2 )µ(dx) = y t , t = 1, ..., T.Разрешимость этой проблемы моментов зависит только от структуры разбиенияR+ 2 линиями 1 = p −t1 x 1 + p −t2 x 2 на области. В [2] было показано, что разрешимостьпроблемы моментов равносильна принадлежности вектора конической оболочке множестваточек, соответствующих областям этого разбиения.В докладе исследуется изменение структур разбиения при изменении линий вида1 = p −t1 x 1 + p −12 x 2 в связи с изменением коэффициента эластичности замещения производственныхфакторов на микроуровне, связь этих структур с ориентированнымиматроидами, а также вид множеств допустимых коэффициентов эластичности.Литература1. Шананин А.А. Обобщенная модель чистой отрасли производства // Математическоемоделирование. — 1997. — Т. 9, № 9. — С. 117–127.2. Шананин А.А. Непараметрический метод анализа технологической структурыпроизводства // Математическое моделирование. — 1999. — Т. 11, № 9 — С. 116–122.3. Branko Grunbaum Arrangements and Spreads // American Mathematical Society,1972. — 114 p.УДК 519.865.5Влияние состава пула инвестиционных проектовна доходность в модели оптимального инвестированияв непрерывном времениМ.П. Ващенко, А.А. ШананинМосковский физико-технический институт (государственный университет)Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНРассмотрим следующую задачу инвестора, управляющего набором из M инвестиционныхпроектов (ИП):⎧∑s(t) = s(0) + N ∫ tu k (x) · Φ k (t − x)dx, 0 t ^T ,⎪⎨⎪⎩k=1 0s(t) 0, u k (t) 0, u k (t) ∈ L ∞ ∀ t 0, ∀ k = 1 . . . N,u k (t) = 0, t ^T − T ∀k = 1 . . . N,s( ^T ) → sup .Здесь Φ k (t) = χ k ((−∞; t)) — функция распределения заряда (потока платежей ИП),χ k ∈ σ(R, B(R)), conv(supp(χ k )) ⊂ [0; T ], u k (t) ∈ L ∞ — интенсивность запуска ИПпроекта k-го типа в момент времени t. При этом ∀k ∈ [1; M] ∃τ k > 0 : Φ k (t) наотрезке [0; τ k ] или монотонно невозрастающая, или монотонно неубывающая. Следуяидеям [1], доходность инвестиционного проекта определяется какlim^T →∞(1)(ln V ( ^T )/ ^T ),где ν( ^T ) — оптимальное значение функционала в задаче (1), V ( ^T ) = ν( ^T ). Определимs(0){ T}∫F (p) = max e −pt dΦ k (t) .k0

Влияние состава пула инвестиционных проектов на доходность в модели оптимального инвестированияв непрерывном времени 69lim^T →∞Теорема. В задаче (1) если F (0) 0 (ситуация убыточного пула), то(ln V ( ^T )/ ^T ) = 0, если ∀p 0, F (p) > 0 (ситуация арбитражного пула), то∃ ^T 0 > T :∀ ^T > ^T 0 V ( ^T ) = +∞, и можно определить lim (ln V ( ^T )/ ^T ) = +∞; в^T →∞остальных случаях (ситуация стандартного пула) для пула инвестиционных проектов∃ p ∗ = min{p > 0|F (p) = 0} и lim^T →∞(ln V ( ^T )/ ^T ) = p ∗ .Разберем пример влияния состава пула инвестиционных проектов на его доходность,демонстрирующий, как на языке инвестиционных проектов можно проанализироватьвзаимодействие развитой и развивающейся экономик. Каждая из экономикхарактеризуется основным инвестиционным проектом, отражающим технологическийуклад. Графики NPV для этих проектов изображены на рис. 1 сплошнымилиниями: для развитой экономики в верхней части рисунка (доходность p D ), дляразвивающейся — в нижней (доходность p E ). Взаимодействие экономик реализуетсяпутем введения дополнительных депозитного проекта и проекта займа, графикифункции NPV этих проектов изображены на рис. 1 пунктирной линией: в верхнейчаcти — депозитный, в нижней — займа. Развитой экономике доступен проект депонированиясредств под ставку r d , позволяющий увеличить итоговую доходностьдля развитой экономики до уровня точки ^p D (см. жирную линию в верхней частирис. 1). Ставка r c , с одной стороны, больше, чем r d (затрат финансового посредника),с другой стороны, r c меньше, чем p E (в противном случае проект кредитованияне использовался бы в развивающейся экономике, ее доходность была бы равна p E ).Капитал, вывозимый из развитой экономики в развивающуюся, будет стимулироватьразвитие последней, снизятся доходность p E и ставка кредитования r c . Так будет продолжатьсядо тех пор, пока кривые основных проектов не будут давать достаточноблизкие доходности.Настоящая работа подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-07-00162-а, РФФИ 11-01-12084-офи-м-2011), аналитической ведомственной программыРНП.2.2.1.1.2467, ПФИ ОМН РАН №3 (проект 3.14), ПФИ Президиума РАН №4(проект 109).Рис. 1.Литература1. Cantor D.G., Lipman S.A. Investment selection with imperfect capital markets //Econometrica. — 1983. — V. 51, N 4. — P. 1121–1144.

70 Д.А. РукинаСекция экспериментальной экономикиУДК 519.865, УДК 330.16Исследование поведения игроков в процессе торгаД.А. РукинаМосковский физико-технический институт (государственный университет)При рассмотрении задачи торга Нэш [1] ввел для правил выбора классическуюсистему аксиом и доказал, что всем аксиомам удовлетворяет только правило выбора,состоящее в максимизации произведения полезностей. Ранее к такому же правилувыбора пришел Цойтен [2], рассматривая последовательный процесс торга двух игроков.Для проверки идей Нэша и Цойтена в Лаборатории экспериментальной экономикиМФТИ был проведен ряд экспериментов. Их целью было выявить, какиезакономерности наблюдаются в предложениях пары реальных игроков в процессеторга и какому правилу выбора будет лучше всего соответствовать вектор полезностей,окончательно установленный парой.В лабораторной игре «Переговоры о разделе трех продуктов» участники случайнымобразом разбивались на пары и получали роли первых и вторых игроковс различными полезностями трех абсолютно делимых продуктов. Полезности былиспециально выбраны такими, чтобы точки, соответствующие различным классическимправилам выбора, лежали достаточно далеко друг от друга (рис. 1). Далеекаждая пара пыталась разделить их между собой, внося последовательные предложенияо разделе. Максимальное число предложений было случайным числом от 5 до8. Если пара успевала прийти к соглашению, то оба игрока получали выигрыши всоответствии со своими полезностями, если нет — по нулю. Игра состояла из восьмираундов. Целью игрока было набрать максимальный суммарный выигрыш.Данные экспериментов показали, что лучше всего представлениям игроков осправедливом правиле выбора соответствует не решение Нэша, а точка относительногоэгалитаризма.Оказалось, что процесс выставления заявок достаточно точно описывается следующейзакономерностью: если игроку партнер предлагал полезность на δ процентовменьшую, чем тот предлагал себе на прошлом шаге, то в ответ игрок предлагал партнеруполезность, меньшую на aδ процентов, где a — некоторая константа, постояннаядля игрока. Было сделано предположение, что если заменить партнера на робота, достаточноразумно торгующегося, но не имеющего аксиоматических представлений осправедливом правиле выбора, то игрок, столкнувшийся с ним, будет придерживатьсятакого же стиля выставления заявок, как и в игре с человеком. Предположениеподтвердилось, причем у разных участников коэффициенты a достаточно сильно отличались.Также было выяснено, что игроки сильно отличались предложением m,которое они вносили на первом ходу. Чтобы обосновать выбор игроком тех или иныхa и m, была предпринята попытка связать эти параметры с результатами психологическоготеста Эннеаграмма. Оказалось, что они хорошо коррелируют с волевымипсихологическими характеристиками игроков.

Влияние информируемости участников на распределение выигрышей в лабораторных кооперативныхиграх 71Рис. 1. Переговорное множество и точки, соответствующие различным правилам выбораЛитература1. Nash J. The Bargaining Problem // Econometrica. — 1950. — V. 18, N. 2. — P. 155–162.2. Zeuthen F. Problems of monopoly and economic warfare. London: George Routledgeand Sons, 1930. — P. 3–16.УДК 539.3Влияние информируемости участников на распределениевыигрышей в лабораторных кооперативных играхС.А. Скиндерев 1 , И.С. Меньшиков 1,21Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН2Московский физико-технический институт (государственный университет)Рассмотрим кооперативную игру трех лиц с нулевыми индивидуальными выигрышами:V (1) = V (2) = V (3), V (12) = a, V (13) = b, V (23) = c, V (123) = d. Даннаяигра достаточно полно исследована теоретически, найдены в общем виде различныетеоретико-игровые значения, такие как C-ядро, N-ядро, вектор Шепли [1].Целью настоящей работы является исследование кооперативной игры трех лицв лаборатории. В качестве механизма выбран непрерывный двойной аукцион с наведеннымизаявками [2], [3]. Непрерывный двойной аукцион дает игроку возможностьв каждый момент торговой сессии подавать заявку на рынок, а также видетьвстречную заявку системы. При этом все участники аукциона выставляют заявкина получение соответствующего выигрыша от присоединения к некоторой коалиции.Наведенная заявка в данном случае будет предложением вступить в самую выгоднуюдля участника коалицию и равна разнице между выигрышем коалиции и суммойзаявок остальных участников.Более подробно механизм можно описать следующим образом. Для удобства будемсчитать, что 0 a b c d = 100. Предположим, что в некоторый моментвремени каждый игрок делает заявку на получение выигрыша {p i } i=1,2,3 , тогда игроку1, например, можно вступить в три коалиции, получив остаток от заявок партнеровпо коалиции: q a 1 = a − p 2 , q b 1 = b − p 3 , q d 1 = d − p 2 − p 3 . Естественно, игроку1 предлагается вступить в самую выгодную на текущий момент коалицию, получив

72 Р.С. Спиридонов, И.С. Меньшиковпри этом q 1 = max(q1, a q1, b q1). d Если один из игроков соглашается с наведенной заявкой,то образуется коалиция, соответствующая той заявке, с которой согласилсяигрок, и игра заканчивается.В рамках этого механизма можно сформулировать утверждение 1: каждый игрокi может в каждый момент времени поставить блокирующую заявку p ∗ i , получивгарантию того, что если образуется коалиция, то она обязательно будет содержатьэтого игрока, и при этом он получит положительный выигрыш.В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ проведено несколько серийлабораторных кооперативных игр трех лиц. Игроками были студенты старшихкурсов ФУПМ МФТИ. В качестве мотивации игроков использовались учебные очки.Для анализа было выбрано две серии: в первой участвовали 12 студентов, во второй— 15. Игроки случайным образом разбивались на тройки, всего было сыграно 132игры трех лиц в первой серии и 165 — во второй. В каждой серии было по пять различныхнаборов параметров (a, b, c). Условия экспериментов одинаковые: большаячасть студентов участвовала в обоих экспериментах, наборы параметров игр одни ите же. Главным отличием второго эксперимента от первого было то, что студентамбыло сформулировано утверждение 1.Для каждого набора (a, b, c) методами математической статистики (критерий χ 2 )были проверены гипотезы о влиянии информируемости на результаты экспериментов.Оказалось, что для трех наборов из пяти гипотеза о том, что новая информацияне повлияла на результаты, должна быть отвергнута при достаточно высокомуровне значимости. Таким образом, оказалось, что утверждение 1 является нетривиальнымфактом, поэтому были продолжены исследования механизма наведенныхзаявок. Утверждение 1 обобщено на случай произвольного числа игроков. Были введеныпонятия предъядра и расширенного предъядра, на основе которых было доказанонесколько общих свойств механизма наведенных заявок. Установлена связьновых понятий с классическими результатами кооперативной теории игр, такими кактеорема Бондаревой–Шепли [1].Литература1. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. — М.: Мир, 1991.464 с.2. Скиндерев С.А. Использование технологии Генератор Проектов для создания лабораторныхсетевых аукционов // Автоматизация проектирования инженерныхи финансовых информационных систем средствами генератора проектов. М.: ВЦРАН, 2010. — С. 80–88.3. Меньшиков И.С., Платонов В.В., Скиндерев С.А., Чабан А.Н. Сравнительныйанализ эффективности лабораторных сетевых аукционов. — М.: ВЦ РАН, 2007.— 45 с.УДК 519.865, УДК 330.16Интерпретация точек изменения тренда при анализефункционального состояния участников лабораторных игрР.С. Спиридонов 1 , И.С. Меньшиков 21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Вычислительный Центр им. А.А. Дородницына РАНВ Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ еженедельно проводятсянаблюдения за поведением людей в разнообразных экономических ситуациях, которыемогут быть проанализированы с помощью аппарата теории игр. В экспериментах

Интерпретация точек изменения тренда при анализе функционального состояния участниковлабораторных игр 73отслеживается влияние психологических и физиологических факторов на принятиеэкономических решений. Физиологическое состояние участника определяется с помощьюстабилокресел, разработанных в ЗАО ОКБ «РИТМ», г. Таганрог, с которых 50раз в секунду поступают данные о положении центра тяжести участника (в разверткена координаты X, Y , Z). Эту информацию психофизиологи считают интегральнойхарактеристикой функционального состояния организма.В процессе анализа экспериментов ставится задача сопоставления динамики торговс динамикой колебаний стабилограмм участников, причем как индивидуальных,так и совместных [1]. Речь идет об определенной синхронизации всплесков в стабилограммах,возникающих в момент кульминации торгов, который соответствует выявлениюприватной информации. Более того, оказывается, что выигрыш участникапрямо пропорционально связан со степенью выявления им сигнальных моментов и втом числе момента кульминации. Таким образом, чувствительность функциональногосостояния игрока к сигнальным моментам может свидетельствовать об адекватномвосприятии им ситуации на рынке, что выражается в среднем в большем выигрыше.Для подтверждения всех этих гипотез требуется проводить анализ стабилографическихрядов, которые имеют ряд «неприятных», с точки зрения анализа данных,особенностей. Во-первых, это их протяженность: длительность эксперимента в среднемсоставляет 240 секунд, так что при частоте данных 50 точек в секунду длинаряда составляет 12 000 значений (на каждую координату). В пределах некоторыхсегментов ряд ведет себя как случайный шум с фиксированным средним — это соответствуетодному функциональному состоянию. Но между сегментами происходитскачок, который характеризируется непонятным априори средним на следующем сегментеи случайным временем скачка.Для решения задачи определения моментов скачков уже был в наличии подход,основанный на выделении кусочно-постоянного тренда (сегментация). В дополнениек нему был развит и реализован в среде MATLAB метод, основанный на выделениикусочно-линейного тренда (l-фильтрация [2]). В обоих случаях моменты смены функциональногосостояния определяются по точкам нарушения гладкости полученноготренда. Для одновременного учета колебаний по всем трем координатам используетсяанализ тренда энергии стабилограммы (квадрат разности двух соседних точек,построенных по временным рядам X, Y , Z). Задача о синхронизации стабилограммрешается при помощи анализа общей энергии группы и подсчета коэффициента каноническойкорреляции.Оба подхода интегрированы в единую систему для анализа данных стабилограмми их сравнении с экономической активностью участников. Данные поступают с системылабораторных торгов FTS в Excel, где происходит их первичная обработка ивыделение сигнальных моментов, а затем результаты сравниваются с результатамианализа стабилограмм. С помощью этой системы подтверждены гипотезы о динамикефункциональных состояний участников в эксперименте RE0 (Rational Expectations),который представляет собой не что иное, как непрерывный двойной аукцион, лежащийв основе функционирования большинства бирж.Литература1. Бурнаев Е.В., Меньшиков И.С. Модель функционального состояния участниковлабораторных рынков // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009.— № 6. С. 187–204.

74 Ф.М. Ульянов2. Kim S.-J., Koh K., Boyd S., Gorinevjy D. Trend Filtering // SIAM Rev. — 2009. —V. 51, N 2. — P. 339–360.УДК 519.865Методика оценки взаимосвязи между поведенческимии психологическими характеристиками участниковлабораторной игрыФ.М. УльяновВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНВ экспериментальной экономике стоит задача анализа влияния психофизиологическихфакторов на процесс принятия экономических решений человеком. По итогампроведения экспериментов в Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ накопленбольшой объем данных двух типов: психологические портреты участниковэксперимента и их поведение в лабораторных играх [1], [2]. В работе предлагаетсяметодология поиска зависимостей между этими двумя типами данных, которая используетприемы и алгоритмы интеллектуального анализа данных [3] (Data mining).Схема алгоритма:Шаг 1. На основе действий участника в игре выбираем поведенческие признакии рассчитываем их для каждого из игроков. Строим матрицу: «игроки — поведенческиепризнаки».Шаг 2. Решаем задачу кластеризации: разбиения игроков на непересекающиесягруппы на основе поведенческих признаков. На выходе получаем вектор с номеромкластера для каждого игрока. Назовем их поведенческими кластерами.Шаг 3. Выбираем психологические признаки и строим матрицу «игрок — психологическиепризнаки». В качестве психологических признаков используются результатытестов MBTI и Эннеаграммы.Шаг 4. Решаем задачу классификации, используя матрицу «игрок — психологическиепризнаки — поведенческий кластер» в качестве обучающей выборки. В результатеполучаем алгоритм, который по психологическим признакам относит игрока кодному из поведенческих кластеров.Алгоритм обладает хорошей обобщающей способностью, если вероятность ошибкина контрольной (неизвестной) выборке мала или хотя бы не сильно отличается отвероятности ошибки на обучающей выборке. Обобщающая способность алгоритмаоценивается с помощью функционала скользящего контроля [4].Таким образом, если на шаге 4 мы построим алгоритм, который обладает способностьюк обобщению, то можно говорить о наличии связи между признаками, взятымитолько из психологических характеристик участников, и разбиением на классы,которое строится исходя из поведенческих характеристик участников. С помощьюпостроенной модели, основываясь на психологических характеристиках, можно будетоценить, к какому классу по поведению относится участник. И, наоборот, наоснове поведения в игре предсказывается, каким набором психологических характеристикобладает игрок.С помощью данной методики анализировались лабораторные игры, проводившиесясо студентами в 2006–2011 гг. в Лаборатории экспериментальной экономики

Оптовый рынок электроэнергии и мощности. Анализ серии экспериментов 75МФТИ. На двух задачах удалось показать наличие связи между поведением игроковв эксперименте и их психологическим портретом.Литература1. Двуреченская М.А., Меньшикова О.Р. Об иерархической кластеризации психологическихи поведенческих характеристик участников сетевого двойного аукционас закрытыми заявками: // Информационные технологии модели и методы: cб. науч./ Моск. физ-тех. ин-т. — М., 2010. — С. 93–104.2. Меньшикова О.Р., Мороз И.И., Талачева Е.И. Влияние психологического типаучастника лабораторных рынков на его поведение в социально-экономическихэкспериментах // Информационные технологии модели и методы // Сб. науч. /Моск. физ-тех. ин-т. М., 2010. — С. 161–174.3. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. — Новосибирск:ИМ СО РАН, 1999.4. Воронцов К.В. Комбинаторный подход к оценке качества обучаемых алгоритмов// Математические вопросы кибернетики / под ред. О.Б. Лупанова. — М.: Физматлит,2004.УДК 519.865Оптовый рынок электроэнергии и мощности. Анализ серииэкспериментовМ.А. Двуреченская 1 , И.С. Меньшиков 1,2 , О.Р. Меньшикова 1 ,Р.И. Яминов 21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНРоссийский рынок электроэнергии проходит путь реформирования, направленногона переход от регулирования к либерализации рыночных отношений. В рамкахреформы был создан рынок оптовой торговли электроэнергией, состоящий из двухосновных частей: электроэнергии и мощности. Целью проводимой реформы должностать увеличение приоритета прямых свободных договоров (СД) между генерирующимикомпаниями и потребителями электроэнергии. Если обратиться к опытуэнергорынка Европы, то там речь идет о практически полном отказе от продажимощности отдельно от электроэнергии и переходе на комбинированные контракты,когда оба эти товара торгуются одновременно.В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ была создана модель оптовогорынка электроэнергии и мощности, которая была положена в основу серии лабораторныхэкспериментов с 20 участниками (9 генкомпаний и 11 потребителей электроэнергии).Для проведения экспериментов одним из авторов этой работы была созданапрограмма, использующая оболочку Z-Tree (университет Цюриха, Швейцария,[1]), которая позволяет генерировать последовательность усложняющихся экспериментов,все ближе приближая к реальности условия принятия решений генкомпаниямии потребителями. Было проведено 7 экспериментов с практически неменяющимсяпулом участников, причем за каждым была закреплена определенная рольдля того, чтобы он мог с ней освоиться и действовать разумно. Длительность одногоэксперимента составляла 3 часа, за это время удавалось сыграть от 4 до 6 попыток.Генкомпании играли в одной комнате, а потребители — в другой. Несколькораз были зафиксированы сговоры генкомпаний, которые приводили к сокращению

76 О.С. Гребнёва, О.Р. Меньшиковастроительства новых электростанций, выводу из эксплуатации ряда существующихэлектростанций. Все это создавало или углубляло дефицит на рынке мощности иэлектроэнергии и приводило к резкому росту цен и существенному увеличению выигрышейгенкомпаний.Рассматривался следующий механизм торговли, состоящий из трех этапов. Этап1. Торговля на 5 лет вперед. На этом этапе потребители заключают договоры напокупку мощности (СДМ) или мощности вместе с электроэнергией (СДЭМ базовый,полупиковый, пиковый) для потребления через 5 лет. На этом этапе можно торговатьмощностью еще непостроенных электростанций. Если продано более 80 % мощностинепостроенной электростанции, то генкомпания обязана ее строить, если меньше 20%, то строительство запрещено, промежуточный вариант генкомпания обрабатываетпо своему усмотрению. После этапа 1 потребители могут принять решение о снижениипотребления на 10 % или меньше. Это оправдано, когда намечается дефицитэлектроэнергии и потребители опасаются штрафов за остановку производства илиотключение населения.Этап 2. Торговля на 1 год вперед (через 4 года после 1-го этапа). На данномэтапе заключаются договоры на покупку мощности или мощности вместе с электроэнергиейдля потребления через год. Торговля происходит только мощностью ужепостроенных электростанций. В конце этапа 2 потребители могут еще на 5 % илименее сократить потребление.Этап 3. Непосредственно в год потребления происходит торговля электроэнергиейна рынке РСВ (рынок на сутки вперед) и мощностью постфактум. РСВ моделируетсяаукционом, который проходит для участников в автоматическом режиме. Вся электроэнергияперераспределяется таким образом, чтобы работали самые экономичныеэлектростанции, и при этом электроэнергии хватило бы всем потребителям в нужномобъеме. Торговля мощностью постфактум моделируется аукционом, на которыйгенкомпании могут подать только ценовые заявки, а объемы определяются автоматически,исходя из свободной мощности электростанций. Здесь торгуется оставшаясясвободная мощность, покупатели докупают недостающие объемы и продают излишки.Литература1. Fischbacher U. z-Tree: Zurich toolbox for ready-made economic experiments //Experimental Economics. – 2007. – P. 171–178.УДК 519.865+330.16Исследование психологических типов первокурсниковво взаимосвязи с их школьными достижениямиО.С. Гребнёва, О.Р. МеньшиковаМосковский физико-технический институт (государственный университет)В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ уже несколько лет проводятсяисследования влияния психологического типа участника лабораторного рынкана его поведение в экономических играх. Установлены взаимосвязи поведенческих ипсихологических характеристик участников [1], [2], причем для этого использовалисьразличные психологические тесты. Было проведено исследование результативностиучастия студентов в занятиях экспериментальной экономикой в зависимости от ихпсихологического типа [3].

Исследование психологических типов первокурсников во взаимосвязи с их школьными достижениями77На этот раз мы с разрешения декана А.А. Шананина решили протестироватьвсех первокурсников, поступивших в этом году на ФУПМ, а затем сопоставить полученныепсихологические данные с такими характеристиками, как баллы ЕГЭ, среднийбалл в школе, наличие серебряной или золотой медали, победы в олимпиадах,достижения в спорте (отдельно шахматы), искусстве (отдельно музыка), наличиесвидетельства об окончании ЗФТШ, активное участие в общественной жизни, исполнениефункций старосты и т.д. В качестве психологической базы были выбранытесты MBTI и Эннеаграмма. Тестирование проводилось через Интернет на сайтеwww.excellence.ru. На этом сайте протестировались больше 10 000 человек, поэтомумы располагали базой для сравнения психологических данных группы из 120первокурсников, поступивших на ФУПМ, по которым нам удалось собрать все необходимыехарактеристики.Основное отличие от других групп, которые приходилось тестировать ранее, состоитв очень большом разнообразии психологических типов. В группе первокурсниковприсутствуют все 16 типов MBTI, что бывает редко. Основные тенденции,связанные с преобладанием интровертов (I), сенсорных (S), думающих (T) и организованных(J), сохраняются, но все пропорции сдвигаются в сторону равновесия.Особенно ярко это проявляется в том, что сильно повышена доля интуитивных типов(N), которых в обычной среде не больше 25 %, а в нескольких крупных организациях,которые приходилось тестировать, их доля не превышала 10 %. В группе первокурсниковинтуитивных 47 %. Именно эти люди обладают развитым стратегическиммышлением, хорошо предвидят последствия принимаемых решений (*NT*), а такжеобеспечивают психологический комфорт группе (*NF*).Тест Эннеаграмма дал неожиданные результаты. Наибольшей по численности (20человек) оказалась группа Помощников (E*F* на языке MBTI). Эти люди имеютвысокие баллы по искусству, в частности музыке, и являются активистами в общественнойработе. Медалисты оказались Перфекционистами (тип 1), а наименьшееколичество медалей было отмечено в группе Энтузиастов (тип 7). Это неудивительно,поскольку эти два типа — антиподы. Довольно мало людей оказалось в группеМотиваторов (тип 3), нацеленных на карьерный рост, видимо, не это, а интерес кнауке, собственному развитию является движущим фактором первокурсников, поступившихна ФУПМ. Однако доля таких людей высока среди победителей олимпиади шахматных турниров. Также довольно мало людей в группе Миротворцев (тип 9),это означает, по-видимому, что студенты имеют свое независимое мнение и не склоннысоглашаться с утверждениями, в справедливости которых они не удостоверилисьлично. Обнаружено также много других интересных фактов.Литература1. Двуреченская М.А., Меньшикова О.Р. Об иерархической кластеризации психологическихи поведенческих характеристик участников сетевого двойного аукционас закрытыми заявками // Информационные технологии: модели и методы: сб. науч.тр. / Моск. физ.-техн. ин-т. — М., 2010. — С. 93–104.2. Меньшикова О.Р., Мороз И.И., Талачева Е.И. Влияние психологического типаучастника лабораторных рынков на его поведение в социально-экономическихэкспериментах // Модели и методы обработки информации: сб. науч. тр. / Моск.физ.-техн. ин-т. — М., 2009. — С. 161–174.3. Лукинова Е.М., Меньшикова О.Р. Результативность участников лабораторныхрынков в зависимости от их психологических типов // Модели и методы обра-

78 О.А. Максакова, И.С. Меньшиков, О.Р. Меньшиковаботки информации: сб. науч.тр. / Моск. физ.-техн. ин-т. — М., 2009. — С. 175–185.УДК 519.865+330.16Функциональное состояние участников лабораторныхдискретных игр и его влияние на эффективность участияв экспериментахО.А. Максакова 1 , И.С. Меньшиков 2,3 , О.Р. Меньшикова 31Институт нейрохирургии им. Н.Н. Бурденко,2Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН,3Московский физико-технический институт (государственный университет)В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ во время проведения экспериментовс помощью системы стабилографических кресел проводятся измеренияфункционального состояния (ФС) участников лабораторных игр. В отличие от работы[1], где рассматривались аналогичные вопросы для непрерывного двойного аукциона,в данной работе изучаются показатели 13 человек, которые участвовали вдискретных экономических играх.Особенность этих игр состоит в том, что в них можно выделить две игровые фазы:фазу принятия решения (ПР), когда происходит восприятие, анализ полученнойинформации, которые завершаются действием, выражающимся во вводе принятогорешения с клавиатуры, и фазу ожидания результатов (ОЖ). Игровые фазы в началепопытки дополнялись измерениями в состоянии покоя с закрытыми глазами (ГЗ).На каждом временном отрезке в 30 секунд рассчитывались три основных параметра:энергия, энтропия и устойчивость энергии. Оказалось, что средняя энергия вигровых фазах ПР и ОЖ значимо не различается, однако она превышает энергию всостоянии покоя. Средняя энтропия, наоборот, и в состоянии ПР, и в состоянии ОЖзначимо ниже, чем в состоянии покоя. Средняя устойчивость в обеих фазах игрыоказалась выше, чем в состоянии покоя. Таким образом, выявилось отличие функциональногосостояния во время игровых эпизодов (ПР и ОЖ) от ФС спокойногосостояния.Показатели функционального состояния на стадии ОЖ свидетельствуют о высокойвнутренней активности с различными проявлениями готовности к действию.По-видимому, функциональное состояние участников в фазе ожидания очень значимодля проведения игры. В этой фазе более отчетливо проявляются психологическиеособенности человека, более очевидны внутригрупповые влияния, а также прослеживаетсявлияние исходного функционального состояния.Для того чтобы ответить на вопрос, связано ли функциональное состояние с успехомв экономической игре, было произведено ранжирование показателя эффективностии выделено три класса: низкая эффективность, средняя и высокая. Для каждогокласса были рассчитаны различные показатели функционального состояния. Оказалось,что низкая эффективность сочетается с наиболее высоким значением энтропиив каждой фазе игры, средняя эффективность связана только с наиболее низкой вариативностьюустойчивости, а высокая эффективность достигается при отличном отдругих исходном функциональном состоянии (высокая энергия и низкая энтропия).При высокой эффективности энтропия в игре практически не меняется по сравнениюс состоянием покоя, т.е. человек в процессе деятельности не теряет информацию.Таким образом, можно считать, что некоторым основанием для ожидания успешнойигры является исходная упорядоченность и высокая энергия функционального

Теоретико-игровой анализ оптового рынка электроэнергии и мощности 79состояния, а также сохранение определенной свободы в процессе игры. Это сочетаниеможет указывать на высокую мотивацию, эмоциональную значимость задачи,возможность усвоения и переработки информации во время игры.Анализ данных также выявил косвенные признаки взаимовлияния функциональногосостояния участников игры и эффективности их деятельности.Литература1. Лукьянов В.И., Максакова О.А., Меньшиков И.С., Меньшикова О.Р., СенькоО.В., Чабан А.Н. Функциональное состояние и эффективность участников лабораторныхрынков // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. —№ 6. — С. 202–219.УДК 519.833.2+519.866Теоретико-игровой анализ оптового рынка электроэнергиии мощностиИ.С. Меньшиков, Р.И. ЯминовВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНИсследуется модель российского оптового рынка электроэнергии и мощности(с акцентом на торговлю мощностью) в одной изолированной зоне свободного перетока.В работе рассматриваются два типа агентов: генкомпании (N G ) и покупатели(N P ).У каждой генкомпании есть свои электростанции: E i , где i ∈ N G . Каждаяэлектростанция характеризуется мощностью M ij , указанием построена она или нетCnstr ij (1 – построена, 0 – не построена), постоянными C ij и переменными K ij затратами,где i ∈ N G , j ∈ E i . Если электростанция построена и производит x электроэнергии,то ее расходы будут: Cost ij (x) = C ij · M ij + K ij · x. Если электростанцияне построена, то по ней нет никаких расходов.У каждого покупателя есть свои конечные потребители: S i , где i ∈ N P , которыехарактеризуются объемом потребления мощности M ij , объемом потребленияэлектроэнергии M ij · β (далее β = 0.9) и выкупной стоимостью V ij , где i ∈ N P ,j ∈ S i . Потребитель может принять решение о сокращении своего потребления наα ∈ [0%; 15%]. Также есть штрафы за непотребление мощности P enM и электроэнергииP enE. Выигрыш игрока за потребление x мощности и y электроэнергии, гдеy x и x αM ij , y αM ij β: P rof = y · V ij − (αM ij − x) · P enM − (αM ij β − y) · P enE.Игра проходит в три этапа:1. Торговля на 5 лет вперед. На данном этапе проводится двойной аукцион назаключение форвардных контрактов на мощности на 5 лет вперед. Торговля происходитмощностью всех электростанций. В конце этапа генкомпании могут выбрать:строить или не строить новые электростанции. А потребители могут сократить потребление.2. Торговля на 1 год вперед (через 4 года после 1-го этапа), с поставкой в тот жегод. Торговля происходит только мощностью уже построенных электростанций.3. Торговля электроэнергией моделируется без участия игроков. Все генкомпанииавтоматически выставляют все мощности по переменным затратам, берется совокупныйспрос, который определяет цену отсечения, по данной цене происходят все сделкис электроэнергией. Торговля мощностью: перед этапом 2 все генкомпании подаютценовые заявки на свои мощности (ограничены сверху γC ij , где γ — параметр), на

80 А.А. Золотарев, И.С. Меньшиков, О.Р. Меньшикова, Р.И. Яминовэтапе 3 берутся свободные мощности электростанций. Они выстраиваются по возрастаниюзаявок, пока не закроют суммарный оставшийся спрос покупателей. Ценаопределяется как средневзвешенная цена из прошедших заявок.Действия игроков: генкомпании{QP rice 1 ij, QQnt 1 ij, QCnstr ij , QP rice 3 ij, QP rice 2 ij, QQnt 2 ij},i ∈ N G , j ∈ E i , покупатели: {QP rice 1 ij, QQnt 1 ij, α ij , QP rice 2 ij, QQnt 2 ij}, i ∈ N P , j ∈ S i ,где QP rice k ij — ценовая заявка на аукцион на этапе k = 1, 2, 3, QQnt k ij — количественнаязаявка. QCnstr ij — решение генкомпаний строить электростанцию или нет,α ij — сокращение потребления. Аукционный механизм после каждого этапа определяетцену: P k и объемы Q k ij, где k = 1, 2, 3, i ∈ N G ∪ N P . После третьего этападополнительно определяется цена электроэнергии P el и объем продаж Q elij. Выигрыширассчитываются по формуламu i = ∑ j∈E iu ij , где u ij = ∑ k=1,2,3 P k Q k ij + P El Q Elij− QCnstr ij Cost ij (Q Elij ), для генкомпаний;u i = ∑ j∈S iu ij , где u ij = P rof(α ij α ij , ∑ k=1,2,3 Qk ij, Q Elij ) ∑ k=1,2,3 P k Q k ij − P El Q Elij ),для покупателей.Можно показать, что в данной игре существует единственное равновесие в чистыхстратегиях, только в ситуации равенства спроса и предложения или дефицитнойситуации:∑i∈N G ,j∈E iQCnstr ij · M ij ∑i∈N P ,j∈S i(1 − α ij ) · M ij .Равновесие будет следующего вида: заявки генкомпаний на строительство согласованыс выигрышами (строятся только те электростанции, которые выгодны):QCnstr ij = 1, если u ij > 0 и QCnstr ij = 0, если u ij < 0; заявки на снижение потребленияу покупателей согласуются с их выигрышами (сокращают спрос толькоте потребители, которым это выгодно): α ij = 0, если u ij > 0, и α ij = 0.15, если u ij < 0;все объемы продаются на этапе 3: Q 1,2ij = 0, где i ∈ N G ∪ N P ; а заявки генкомпанийна 3-й этап максимальны: Q 3 ij = γC ij , где i ∈ N G .В случае дефицита данная ситуация не устойчива в том смысле, что покупателямвыгоднее купить мощности дороже, но полностью на этапах 1 или 2 (иначе тот, ктопокупает на этапе 3, получает штраф), а генкомпаниям выгодно им продать.Если же рассмотреть профицитную ситуацию, то тогда нет равновесия в чистыхстратегиях, даже в подыгре без 1-го этапа (когда спрос и предложение уже ясны) ив подыгре, состоящей только из 3-го этапа и подачи заявок на него генкомпаниями.УДК 519.865+330.16Новый подход к управлению загрузкой канала передачиданных в сети Интернет с использованиемэкспериментальной экономики. Анализ серии экспериментовА.А. Золотарев 1 , И.С. Меньшиков 1,2 , О.Р. Меньшикова 1 , Р.И. Яминов 21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНОператоры сети Интернет все чаще сталкиваются с проблемой перегрузки каналасвязи в пиковые часы. Решать эту проблему можно по-разному: с помощью инвестицийв строительство новых сетей, компрессии данных, использования облегченныхпротоколов связи и т.д. Все эти решения должен осуществлять сам оператор.

Новый подход к управлению загрузкой канала передачи данных в сети Интернет с использованиемэкспериментальной экономики. Анализ серии экспериментов 81Фирма «Эванти», которая является резидентом Сколково в области IT-проектов,предложила другое решение данной проблемы: включить в активное управление каналомсамих абонентов. По замыслу авторов проекта абоненты должны получатьинформацию о текущей и прогнозируемой загрузке канала, выбирать разумную стратегиюиспользования этой информации и разделять с оператором ответственностьза комфортные условия работы в сети.Для того чтобы иметь возможность прогнозировать, к чему приведет предоставлениеабонентам указанной информации, в Лаборатории экспериментальной экономикиФУПМ МФТИ были развернуты экспериментальные исследования, участникамикоторых стали первокурсники ФУПМ. Одним из авторов доклада была созданапрограмма, использующая оболочку z-Tree (университет Цюриха, Швейцария, [1]),которая позволяет генерировать последовательность экспериментов, имитирующихдействия абонентов в сети. В контролируемых условиях лаборатории студенты скачиваютфайлы, просматривают веб-страницы и в зависимости от того, насколькоэффективно они выполняют задание, им начисляются очки.Основная цель состоит в том, чтобы подобрать такие правила взаимодействияоператора и клиентов, которые бы привели к повышению утилизации канала, удовлетворенностиклиентов работой в сети и увеличению выручки оператора.До конца ноября планируется закончить серию из 20 экспериментов, которыепроводятся два раза в неделю. Все эксперименты отличаются друг от друга, усложняютсясо временем и все больше имеют сходства с реальной работой в сети Интернет.В качестве примера приведем один из экспериментов. Он состоит из трех этапов,в каждом по 10 попыток. На первом этапе абоненты сети Интернет могут выбиратьодин из четырех тарифов в соответствии с их максимальной скоростью: 256, 512,1024, 2048, скорость измеряется в Кбит/с. Если канал свободен, то все пользователибудут иметь максимальную скорость. При полной загрузке канала скорость делитсямежду участниками пропорционально максимальной скорости на тарифе. На первомэтапе выбранный тариф нельзя менять до конца попытки, а в следующей попыткеможно выбрать другой тариф. Попытка длится 2 минуты.На втором и третьем этапах эксперимента выбранный тариф можно менять вовремя загрузки файлов, эти этапы различаются уровнем предоставленной оператороминформации: на втором этапе эксперимента клиент видит только скорость навыбранном тарифе, а на третьем — на всех тарифах. Это позволяет клиенту болееудачно выбирать моменты переключений с тарифа на тариф.Кроме того, мы моделируем присутствие разных клиентов в сети. Пока у нас вравных пропорциях присутствует три типа клиентов. В дальнейшем планируем типыклиентов и их количество выбирать максимально приближенными к реальнойситуации в сети. Типы клиентов различаются разным отношение к деньгам, объемомзадания (сколько нужно скачать файлов и просмотреть веб-страниц) и способомпересчета очков в деньги.Наряду с рассмотренным выше тарифным планом, когда абоненты платят заскорость, исследуются особенности другого тарифного плана, который соответствуеттому, что абоненты платят за приоритет. Тарифы мы по-прежнему называем 256,512, 1024, 2048, но в отличие от предыдущего тарифного плана при относительносвободном канале можно скачивать файлы на высокой скорости, находясь на тарифе256, т.е. в данном случае 256 Кбит/с не является ограничением сверху дляскорости на этом тарифе. Все зависит от того, насколько свободен канал. Как показалиэксперименты, предоставление полной информации о скоростях на каждомтарифе и количестве клиентов, которые им пользуются, позволяет участникам бо-

82 А.Е. Утемовлее равномерно распределить свою работу во времени. Часть клиентов предпочитаетскачивать файлы в начале попытки, другие же предпочитают подождать, пока каналстанет свободнее. Пользуясь низкими тарифами и соответственно платя меньшеденег, они скачивают файлы на высокой скорости в конце попытки.Литература1. Fischbacher U. z-Tree: Zurich toolbox for ready-made economic experiments //Experimental Economics. — 2007. — P. 171–178.УДК 519.865Модифицированное поведение роботов в динамических играхА.Е. УтемовВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНВ работе рассматривается игра «Турнир». Четыре игрока разбиты по парам. Впервой стадии (полуфинале) каждый участник выбирает число x от 0 до 1000. Тот,у кого оказалось большее число, побеждает в паре и выходит в следующую стадиюигры, которая называется финал. В финале выигрывает тот, у кого осталось большересурсов, т.е. больше число 1000−x. Победитель финала получает одно очко, а всеостальные — 0 очков.По этой игре проводились эксперименты в Лаборатории экспериментальной экономикисо студентами МФТИ. Полученные результаты сравнивались с поведениемроботов и равновесиями в этой игре.Для игры «Турнир» вводится концепция роботов-игроков, стратегии которых основанына понятии модифицированного равновесия, предложенном в [1]. Цель созданияроботов состоит в том, чтобы смоделировать поведение участников экспериментовв нескольких попытках. Поведение игроков в игре «Турнир», на первыйвзгляд, предсказать достаточно сложно ввиду отсутствия явной оптимальной стратегии(стратегия определяется единственным числом — ставкой полуфинала). Однако,как оказалось, с помощью модифицированных роботов удалось достаточно хорошосмоделировать и предсказать поведение участников экспериментов по решениям этихигроков в первой попытке. Параметры роботов — ходы игроков в первой попытке, тоесть ставки полуфинала, и некий параметр, который отвечает за дисперсию. Этихпараметров оказалось достаточно для предсказания поведения игроков на несколькопопыток вперед. Данный результат полезен, так как модифицированные роботымогут использоваться и в других динамических играх, где требуется предсказатьповедение игроков от попытки к попытке.Суть стратегии роботов состоит в том, что на каждой итерации каждый робот оптимизируетсвой ход (ставку полуфинала), принимая в расчет фиксированные стратегиитрех других роботов с учетом дисперсии. Робот, принимая решение, знает,что значение ставки каждого из трех других роботов разбросано вокруг некоторогосреднего значения. После нескольких таких итераций наблюдается сходимость ставокроботов.Помимо игры «Турнир» в работе рассматриваются другие динамические игрыи сходимость роботов в них. С помощью роботов удалось хорошо смоделироватьповедение участников и в этих играх, хотя концепция роботов и их параметры быливидоизменены. В частности, стратегия роботов для игры «Турнир» сравнивается состратегией роботов, разработанной для игры «Три сенатора» [2], на предмет скоростисходимости.

Добавление приватного параметра минимальной стоимостив классическую версию игры «Ультимативный дележ» 83Литература1. Яминов Р.И. Модифицированное равновесие // Информационные технологии:модели и методы: сб. науч. тр. / Моск. физ.-техн. ин-т. — М., 2010. — С. 73–83.2. Утемов А.Е. Стратегии обучения в одной динамической игре голосования //Информационные технологии: модели и методы: сб. науч. тр. / Моск. физ.-техн.ин-т. — M., 2010. — С. 114–123.УДК 519.86Добавление приватного параметра минимальной стоимостив классическую версию игры «Ультимативный дележ»А.А. ЦукановВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНРассматривается модификация классической игры «Ультимативный дележ» сдвумя участниками. В данном варианте каждая из сторон при получении положительнойдоли дележа несет затраты, таким образом у каждого из участников экспериментатеперь имеется минимальная величина, на которую он будет соглашаться.Приватный параметр затрат на протяжении всего эксперимента известен только самомуучастнику и не известен другой стороне. Он является случайной величиной,равномерно распределенной на отрезке [0, 0.4], а величина параметра, дележ которогопроизводится, условно нормирован единицей.Эксперимент по данной игре проводился на базе Лаборатории экспериментальнойэкономики МФТИ и ВЦ РАН. Для организации эксперимента с помощью специализированнойоболочки Z-tree (Университет Цюриха, Швейцария [1]) была написанаотдельная версия компьютерной программы. В эксперименте принимали участиестуденты, аспиранты и сотрудники МФТИ.В целом, как и ожидалось, поведение участников эксперимента отличалось от поведенияв классическом варианте ультимативного дележа, а также версии эксперимента«Ультимативный дележ с поощрениями и наказаниями». Равновесие Байеса—Нэша [2], а также равновесие, к которому в итоге пришли участники, отличалось отравновесий в других вариантах эксперимента.Литература1. Fischbacher U. z-Tree: Zurich toolbox for ready made economic experiments //Experimental Economics. — 2007. — P. 171–178.2. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. — М.:МЗ Пресс, 2007. — 208 с.УДК 519.86Использование L-равновесия для анализа теоретико-игровыхмоделей с унимодальной зависимостью выигрышаот порогового значения стратегии игрокаЕ.Л. КудрявцевВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНВ работах по экспериментальной экономике можно встретить игровые модели,в которых стратегия игрока i описывается с помощью только одного числа x i из

84 Е.Л. Кудрявцевпромежутка (a, b) (дальше — ключевое число). Исследователь использует знания изтеории игр, чтобы прогнозировать, какими ключевыми числами x ∗ i описывается рациональноеповедение игроков (например, в смысле равновесия Нэша). В результатепроведения экспериментов в лаборатории получают некоторое распределение ключевыхчисел. Обычно исследователи концентрируют внимание на средней величинеE(x i ) и применяют различные методики для того, чтобы объяснить расхождениемежду E(x i ) и x ∗ i .Мы утверждаем, что в случае игр с унимодальной (один максимум) зависимостьювыигрыша от выбранного числа x i более важными вопросами являются следующие:почему распределение стратегий реальных людей имеет некоторый разброс и каковавеличина разброса в стратегиях людей, как её измерить? Если принять гипотезы отом, что агрегированное распределение стратегий участников экспериментов имеетнекоторый разброс, то расхождение между E(x i ) и x ∗ i уже не будет казаться нелогичным.Рассмотрим байесовскую игру G B = {A i , T i , u i , q i , i = 1, . . . , N}, для которойT i = [t A i , t B i ] ⊂ R, A i = {0, 1}. Для неё существует расширенная игра G E ={M i , ũ i , q i , i = 1, . . . , N}, где M i — множество смешанных стратегий (интегрируемыхфункций на T i со значениями от 0 до 1). Пусть m i (p i ) — пороговая функция спорогом в точке p i . Мы рассматриваем только такие игры, что при любых µ −i ∈ M −i(профиль стратегий других игроков) функция ũ i (m i (p i ), µ −i ) является унимодальнойпо p i с одним максимумом. Два игрока принадлежат к одной группе, если играG B симметрична относительно них. Будем обозначать логистические стратегии какµ aλ (t) =11+e λ(t−a) — вероятность выбрать действие 1 в ситуации, когда тип игрокаравен t.L-равновесием с параметрами λ 1 , λ 2 , . . . , λ M в игре с группами игроков и чувствительностьюε называется такой профиль смешанных стратегий µ a1 λ 1, µ a2 λ 2, . . . , µ aM λ M,что для любого игрока i из группы j выполняется: maxµ i[ũ i (µ i µ −i )] − ε < ũ i (µ aj λ j, µ −i ).Рассмотрим величину ε(µ ai λ j) = maxµ i[ũ i (µ i µ −i )] − ũ i (µ aj λ j, µ −i ). ε(µ ai λ j) показывает,насколько можно было игроку i улучшить свой выигрыш, если бы он использовалстратегию µ ai λ j.Предложенное теоретико-игровое равновесие было сопоставлено с экспериментальнымиданными, полученными в Лаборатории экспериментальной экономикиМФТИ. С 2009 года по 2011 год был проведён ряд экспериментов с теоретикоигровымимоделями «Majority Voting» и «Fight». Нами было получено, что агрегированноеповедение игроков можно приблизить с помощью логистических стратегий,у которых можно оценить параметры λ 1 , λ 2 , . . . , λ M . Оказалось, что если предположить,что игроки использовали именно логистические стратегии с параметрамиλ 1 , λ 2 , . . . , λ M , тогда наилучшие ε(µ ai λ j), которые ими могли быть достигнуты, всеголишь на несколько процентов меньше, чем те, которые были показаны в экспериментах.Это можно трактовать так: неоптимальность в поведении игроков заложена вбольшей степени в предположениях об использовании смешанных стратегий с параметрамиλ 1 , λ 2 , . . . , λ M , чем в отклонении параметров a 1 , a 2 , . . . , a M от оптимальныхзначений a ∗ 1, a ∗ 2, . . . , a ∗ M .Выводы, которые мы делаем из проведённого исследования:ˆ В ряде игр использование игроками смешанных стратегий с большим разбросомпорогов приводит к большей неоптимальности с точки зрения ожидаемоговыигрыша, чем от смещения этого разброса.

Равновесие Байеса—Нэша в двухшаговой антагонистической игре двух лиц с неполной информацией85ˆ Ключевым направлением исследования поведения игроков в играх такоготипа является прогнозирование разброса в стратегиях.ˆ Если известен разброс в стратегиях игроков, то равновесие может быть эффективноиспользовано для предсказания параметров агрегированных стратегий игроков.Литература1. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. М.:МЗ — Пресс, 2007. — 208 с.2. Кудрявцев Е.Л. Анализ модели «Явка на выборы» на основе L-равновесия //Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальныхи прикладных наук». — 2010. — Т. 1. — С. 115–116.3. Levine D.K., Palfrey T.R. The paradox of voter participation: A laboratory study //American Political Science Review. 2007. — V. 101. P. 143–158.УДК 519.86Равновесие Байеса—Нэша в двухшаговой антагонистическойигре двух лиц с неполной информациейК.В. МакаровВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНДанная работа посвящена изучению оптимальных стратегий игроков в двухшаговомаукционе с неполной информацией, который уже рассматривался в [1]. Задачаописывает экономическую ситуацию, когда на рынке есть несколько инсайдеров. Ониучаствуют в торгах и своим поведением влияют на ставки.Похожую задачу исследовали Крепс и Доманский в работе [2], однако в их моделив аукционе принимал участие только один инсайдер. Авторы показали, чтооптимальная стратегия инсайдера обуславливает некоторые случайные блужданияравновесной цены, которые наблюдаются на рынке. Имея приватную информацию орынке, инсайдер стремится своими действиями как можно дольше её не открыватьдля других игроков.В данной работе рассматривается теоретическое решение двухшаговой игры, используяподходы, ранее описанные в общих чертах в [1]. Также приводится анализповеденческих характеристик людей, которые принимали участие в контролируемомлабораторном эксперименте, описывающем данную игру.Описание игры. Два игрока обладают деньгами и рисковыми активами. Истиннаястоимость актива определяется после окончания торгов случайным и равновероятнымвыбором из трех значений 30, 70 или 110. Оба игрока знают это. Каждому изних сообщается дополнительно один из сценариев, который точно не реализуется,причем им сообщают разные сценарии. Игроки знают об информированности другдруга, но, конечно, не знают, что именно сообщили другому игроку.Участники игры ведут двухпериодные торги. В каждом периоде они независимои одновременно делают ставки: 15, 70 либо 80. После первого шага торгов игрокинаблюдают ставку своего соперника, что даёт им дополнительную информацию орынке.Подсчёт очков происходит в конце второго шага аукциона. Становится известнареальная стоимость актива и считается результат по каждому шагу торгов следующимобразом: игрок, назвавший большую цену, покупает единицу актива у того, кто

86 П.А. Шишкинназвал меньшую цену, заплатив партнеру по сделке заявленную цену. При равенствецен заявок сделки не происходит.Цель каждого участника игры — максимизировать стоимость своего итоговогопортфеля.Поиск равновесия Байеса—Нэша [3]. Для решения используется подход, основанныйна том, что оптимальная стратегия в n-шаговой игре представима как композицияоптимального хода на первом шаге и оптимальной стратегии в (n − 1)-шаговойигре.Для первого шага игры получены некоторые упрощения за счет исключения доминируемыхстратегий. Эти упрощения позволяют провести анализ второго шагаигры, разложить решение на несколько простых блоков, к которым уже можно применитьвычислительные методы для поиска оптимального ответа.Литература1. Макаров К.В. Оптимальные смешанные стратегии для двойного аукциона снеполной информацией // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современныепроблемы фундаментальных и прикладных наук». – 2010. – С. 87–89.2. Доманский В.К., Крепс В.Л. Повторяющиеся игры с асимметричной информациейи случайные блуждания цен на финансовых рынках // Обозрение прикладнойи промышленной математики. – 2005. – Т. 12, № 4. – С. 950–952.3. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.:МЗ — Пресс, 2007. – 208 с.УДК 519.83+004.93Анализ зависимости между поведенческимии психологическими характеристиками участниковэкономических игрП.А. ШишкинМосковский физико-технический институт (государственный университет)Машинное обучение глубоко вошло в области человеческой жизнедеятельности,в которых возможно создание моделей, описывающихся числовыми параметрами. Вдокладе пойдет речь о применении машинного обучения в экспериментальной экономикеи психологии. Предлагаемая работа дополняет предыдущую [1] анализом зависимостимежду поведенческими и психологическими характеристиками игроков.В работе [1] использовался тест Структограмма, в то время как в рассматриваемойработе используются тесты Эннеаграмма и MBTI [2].Поведенческие характеристики выделяются из игры, в которой участвуют 12человек. Игра состоит из 20 раундов по 3 периода. В первом периоде каждый изучастников называл количество очков, которое бы он хотел получить в качестве отступных,чтобы не участвовать в игре. Во втором периоде выявлялось отношениекаждого игрока к одиннадцати остальным в смысле желания играть именно с ними.Каждому участнику выдавалось 11 фишек, которые он должен был распределитьмежду остальными участниками. После этого подводились итог первого тура, и троеучастников с наименьшими отступными выбывали из игры в этой попытке, получивзапрашиваемые суммы. Трое следующих выходили из игры с нулевым выигрышем. Втретьем периоде проводилась одна из двух классических игр: дилемма заключенного

Анализ индивидуального поведения участников эксперимента «Торговля мощностью и электроэнергией»87либо ультимативный дележ, по результатам которых 6 оставшихся игроков получаливыигрыш.Из игры выделяются такие характеристики для каждого игрока, как дисперсияставок игрока, среднее значение отступных, а также другие, более сложные, требующиевыкладок.Психологические характеристики измеряются с помощью тестов Эннеаграмма иMBTI. В результате тестирования получается 17 психологических характеристик,таких, как помощник, сенсорный, интроверт и т.д.Работа отвечает на вопрос о том, существует ли зависимость между психологическимии поведенческими характеристиками. Если существует, то между какими инасколько сильно выраженная.При построении зависимости проводится анализ нескольких методов машинногообучения — гребневой и ядерной гребневой регрессии. В процессе обучения происходитвыбор ядра и параметров регуляризации. Кроме того, производится отборпризнаков с помощью вариации генетического алгоритма. Оказывается, что некоторыезависимости находятся лучше с помощью ядерной гребневой регрессии (дляхарактеристики сенсорный), другие же одинаково выражены при использовании обоихметодов (для характеристик помощник, интроверт). Для чистоты экспериментаиспользуется двухуровневая кросс-валидация. В случае же использования одноуровневойкросс-валидации возможно переобучение при отборе признаков.Качество найденной зависимости оценивается с помощью порядковых статистикСпирмена и Кэндалл-тау.В результате получена зависимость между поведенческими характеристиками ипсихологическим типом помощник на уровне значимости 10 −4 , интроверт — 6·10 −4 ,сенсорный — 3 · 10 −4 . Другими словами, удается достоверно выявлять выраженныепсихологические типы помощник, сенсорный, интроверт по поведению игроков.Литература1. Меньшикова О.Р., Мороз И.И., Талачева Е.И. Влияние психологического типаучастника лабораторных рынков на его поведение в социально-экономическихэкспериментах // Модели и методы обработки инфрмации: сб. научн. тр./ Московскийфизико-технический институт. — М., 2009. — С. 161–174.2. Меньшиков И.С. Анализ функционального состояния участников лабораторныхрынков // Психология. Журнал Высшей школы экономики. — 2009. — Т. 6, № 2.С. 125–152.УДК 519.865Анализ индивидуального поведения участников эксперимента«Торговля мощностью и электроэнергией»А.Л. СувориковаМосковский физико-технический институт (государственный университет)Для эффективного регулирования рыночных отношений в области продажи мощностии электроэнергии необходимы правила. Прежде чем вводить эти правила вупотребление, они должны быть исследованы и протестированы. Для этого в Лабораторииэкспериментальной экономики МФТИ под руководством И.С. Меньшиковабыло проведено моделирование рынка оптовой торговли электроэнергии и мощности.Для тестирования модели рынка на базе Лаборатории была проведена серия изсеми экспериментов, в которых принимала участие группа из 20 человек. Состав

88 Е.В. Гасниковагруппы был почти неизменным. Перед началом серии за каждым игроком была закрепленаодна из ролей: генерирующая компания (генкомпания) или покупатель.Внутри каждого эксперимента было сыграно несколько игр. Каждая игра состоялаиз нескольких этапов, внутри которых игроки должны были, в зависимости от своейроли, варьировать те или иные параметры. Для генкомпаний этими параметрамиявлялись заявки на продажу мощности и электроэнергии и количество построенныхв течение игры станций. Игроки-покупатели делали прогнозы потребления ресурсовна основе полученной информации и принимали решение о закупке мощности иэлектроэнергии или о сокращении потребления. Отражением эффективности стратегиикаждого участника в игре был полученный им в конце выигрыш. Построеннаямодель носит вероятностный характер, в ней есть такие случайные параметры, как,например, потери мощности у генкомпаний.В работе был проведен анализ индивидуального поведения участников. Былиполучены количественные характеристики типичных паттернов поведения участниковиз группы генкомпаний и потребителей. Также были получены количественныехарактеристики, описывающие взаимосвязь типичных паттернов поведения с психологическимитипами участников эксперимента. В частности, было отмечено, чтоучастники с более жесткими характеристиками позволили себе вступить в сговор сцелью организации дефицита электроэнергии и в конечном итоге, повышения ценына нее, в то время как участники с более мягкими характеристиками придерживались«социальной» стратегии. Также отмечено, что типичные паттерны поведениязависят от ситуации на рынке — имеется ли на рынке дефицит мощности и электроэнергииили профицит.УДК 519.837Концепция равновесия макросистемы в моделираспределения потоковЕ.В. ГасниковаМосковский физико-технический институт (государственный университет)Ориентированный граф Γ = (V, E) представляет собой транспортную сеть города(V — узлы сети (вершины), E ⊂ V × V — дуги сети (рёбра графа)). ПустьW = {w = (i, j) : i, j ∈ V } — множество пар источник — сток; p = {ν 1 , ν 2 , ..., ν m } —путь из ν 1 в ν m , если (ν k , ν k+1 ) ∈ E, k = 1, ..., (m − 1) (в общем случае нужно такжеуказывать, какое именно ребро, соединяющие заданные вершины, выбирается);P w — множество путей, отвечающих корреспонденции w ∈ W ; P = ∪ w∈W P w — совокупностьвсех путей в сети Γ; x p — величина потока по пути p, −→ x = {x p : p ∈ P };G p ( −→ x ) — удельные затраты на проезд по пути p, −→ G( −→ x : p ∈ P ); y e — величина потокапо дуге e: −→ y = Θ −→ x , Θ = {δ ep } e∈E,p∈P , δ ep = {1, e ∈ p; 0, e /∈ p}; τ e (y e ) — удельныезатраты на проезд по дуге e (как правило, возрастающие, выпуклые, гладкие функции),естественно считать, что −→ G( −→ x ) = Θ T −→ τ ( −→ y ). Заметим, что в приложениях частотребуется учитывать и затраты на прохождения вершин графа (в свою очередь этизатраты могут зависеть, вообще говоря, от величин всех потоков, проходящих черезкаждую рассматриваемую вершину). Пусть также известны потоки корреспонденцийd w , w ∈ W . Тогда вектор{−→ x , характеризующий распределение } потоков, долженлежать, на множестве: X =−→ ∑ x 0 : x p = d w , w ∈ W . Это множество можетp∈Pиметь и другой вид, если дополнительно учитывать, например, конечность пропускныхспособностей рёбер (ограничения сверху на y e ).

Концепция равновесия макросистемы в модели распределения потоков 89Рассмотрим игру, в которой каждому элементу w ∈ W соответствует свой, достаточнобольшой (d w ≫ 1), набор однотипных «игроков» («сидящих на корреспонденцииw»). Множеством чистых стратегий каждого такого игрока является P w , авыигрыш (потери со знаком минус) определяется формулой −G p ( −→ x ) (игрок «выбирает»путь следования p ∈ P w , при этом он пренебрегает тем, что от его выборатакже «немного» зависят |P w | компонент вектора −→ x и, следовательно, сам выигрыш−G p ( −→ x )). Можно показать, что отыскание равновесия Нэша(–Вардропа) −→ x ∗ ∈ X(макроописание равновесия) равносильно решению задачи нелинейной комплементарности(принцип Дж.Г. Вардропа (1952)), что равносильно решению вариационногонеравенства:()∀ w ∈ W, p ∈ P w → x ∗ p ·G p ( −→ x ∗ ) − minq∈P wG p ( −→ x ∗ )⇔ ∀ −→ x ∈ X → 〈 −→ G( −→ x ∗ ), ( −→ x − −→ x ∗ )〉 0.= 0 ⇔Несложно показать, что если −→ G( −→ x ) — строго монотонное преобразование, т.е.∀ −→ x , −→ z ∈ X( −→ x ≠ −→ z ) → 〈 −→ G( −→ x ) − −→ G( −→ z ), −→ x − −→ z 〉 > 0,то равновесие Нэша—Вардропа единственно, и что задача отыскания равновесияНэша—Вардропа сводится к решению следующей задачи выпуклого программирования:Ψ( −→ x ) = ∑∑∫y ee∈E 0e∈E∑x pδ pep∈P∫0τ e (z)dz → min−→ x ∈X⇒ если ∀ e ∈ E → τ ′ e(·) > 0, то V ( −→ y ) =τ e (z)dz — строго выпуклый функционал, и равновесие −→ y ∗ — единственно. Отметим,что это еще не означает единственность равновесия −→ x ∗ . Связано это можетбыть, например, с тем, что −→ G( −→ x ) = Θ T −→ τ ( −→ y ), −→ y = Θ −→ x , и разные векторы распределенияпотоков −→ x могут соответствовать одному и тому же вектору −→ y = Θ −→ x .Ниже предлагается возможная динамика в этой игре, «приводящая» к равновесиюНэша—Вардропа. Свой путь на (n + 1)-м шаге игрок, сидящий на корреспонденцииw, выбирает согласно смешанной стратегии (в независимости от всех остальных):с вероятностью P rob w p (n + 1) = γ · max{x p (n), 1} exp(−G p ( −→ x (n))/T )/Z w n , w ∈ W выбратьпуть p ∈ P w (0 < γ 1), а с вероятностью 1 − γ — действовать согласностратегии, использованной на предыдущем n-м шаге. Здесь x p (n) — количество игроков,сидящих на корреспонденции w и выбравших на n-м шаге стратегию p ∈ P w .Множитель max{x p (n), 1} характеризует желание имитировать, а также надежностьиспользования этой стратегии. Именно этот множитель подмечает специфику рассматриваемойзадачи (без него сходимость будет в общем случае не к равновесиюНэша—Вардропа) и отличает предложенную в задаче динамику от многих других.Параметр γ характеризует «консерватизм» («ленивость»), чем меньше γ, тем болееконсервативный игрок; «температура» T характеризует отношение к риску («горячность»),чем больше температура, тем более «горячий игрок», склонный к болеерискованным действиям.Доклад посвящен проверке гипотезы (считаем, d w ≫ 1, T — достаточно мало):В случае неединственности равновесия Нэша—Вардропа большую часть временисистема будет проводить в малой окрестности «равновесия», которое доставляет

90 О.Д. Якимоварешение следующей задачи энтропийно-линейного программирования:∑ ∑− x p ln(x p /d w ) → max , где −→ ∑y ∗ = arg−→−→ x ∈X,Θ−→ x =−→ y∗y =Θ−→ x min−→ x ∈Xw∈W p∈P w e∈EРабота поддержана грантами РФФИ.∫ y e0τ e (z)dz.УДК 519.865Об опыте участия в серии экспериментов «Торговлямощностью и электроэнергией»О.Д. ЯкимоваМосковский физико-технический институт (государственный университет)В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ была построена модельоптового рынка мощности и электроэнергии, на основании которой проведена серияиз 7 усложняющихся экспериментов. В серии экспериментов условия принятиярешений операторами (генкомпаниями и потребителями) все больше приближалиськ реальности. Была сформирована группа из 20 человек, которая принимала участиев этих экспериментах, причем за каждым участником была закреплена определеннаяроль. Я была генкомпанией с номером 6, которая имитировала действияОАО «ТГК-1». Эта компания является ведущим производителем электрической итепловой энергии в Северо-Западном регионе России, а также третьей в стране территориальнойгенерирующей компанией по величине установленной мощности. Онаобъединяет электростанции в четырех субъектах РФ: Санкт-Петербурге, РеспубликеКарелия, Ленинградской и Мурманской областях. В нашей упрощенной игре в моемраспоряжении было шесть электростанций, четыре из которых действующие, а две —строящиеся. Для того чтобы иметь возможность построить электростанцию, нужнобыло на первом этапе игры, когда идет торговля на 5 лет вперед, продать не менее20 % мощности этой электростанции.Игра была достаточно сложной, поэтому осмысление стратегий и понимание сутиигры приходило с опытом. В работе проанализирована эффективность стратегийповедения, которые я применяла в последовательности экспериментов.Во время торгов заключались свободные договоры на продажу мощности (СДМ)и комбинированные договоры на поставку электроэнергии вместе с мощностью(СДЭМ). Комбинированные договоры подразделялись на базовые, полупиковые ипиковые в зависимости от того, в какое время суток нужно поставлять электроэнергию.Базовый договор предполагает поставку электроэнергии и мощности 24часа в сутки, полупиковый исключает 6 ночных часов, а пиковый предполагает поставкуэлектроэнергии только в течение 8 пиковых часов. В игре было три этапа,причем третий этап не требовал стратегических решений участников. Единственное,что нужно было сделать генкомпаниям на третьем этапе, — это выставить ценовыезаявки на постфактум. Первый этап — это форвардная торговля на 5 лет вперед, авторой этап — форвардная торговля на год вперед по прошествии четырех лет. Такимобразом, на первых двух этапах речь идет об одном и том же моменте поставкиэлектроэнергии и мощности.В первых экспериментах у меня максимум продаж приходился на СДЭМ базовыйи СДЭМ полупиковый на первом и втором этапах торговли, а также присутствовалапродажа других типов контактов. В следующих двух экспериментах сделки преимущественнозаключались на первом этапе, причем максимум сделок приходился

Лабораторный анализ индивидуальных стратегий абонентов сети Интернет и исследованиепоследствий введения гибких тарифов 91на СДЭМ базовый, затем СДЭМ полупиковый и СДЭМ пиковый. В последнем жеэксперименте я продавала только СДЭМ базовый и СДЭМ полупиковый на обоихэтапах.Дисперсия выигрышей с увеличением номера эксперимента уменьшалась, чтосвязано, по-видимому, с выработкой более структурированной стратегии и появлениинекоторой интуиции в принятии решений.Анализ своих стратегий помог мне проанализировать стратегии восьми другихгенкомпаний. Наблюдалось довольно большое разнообразие этих стратегий. Интересноотметить, что в некоторых играх происходил сговор генкомпаний, когда онине строили новых электростанций, выводили из строя действующие электростанциис тем, чтобы увеличить дефицит мощности и электроэнергии и повлиять на рост цен.Однако несколько человек не вступали в сговор и продолжали строить электростанции.Проанализированы мотивы их поведения.УДК 519.86Лабораторный анализ индивидуальных стратегий абонентовсети Интернет и исследование последствий введения гибкихтарифовА.А. Золотарев, А.Н. ЧабанМосковский физико-технический институт (государственный университет)В Лаборатории экспериментальной экономики ФУПМ МФТИ регулярно проводятсяэксперименты, в которых принятие решения человеком оказывается связаннымс его психологическим типом. Для моделирования реакций человека в различныхреальных ситуациях используется сеть компьютеров с заданными на ней социальноэкономическимииграми. Отклонения от теоретических результатов классическойтеории игр довольно часто могут быть объяснены с помощью различий психологическихтипов участников. Совпадение некоторых психологических и поведенческихкластеров позволяет выделить отдельные группы людей, поведение которых можнопрогнозировать.С сентября этого года в Лаборатории проводится серия экспериментов, связанныхс изучением работы абонентов сети Интернет. Данная серия игр была инициализированакомпанией «Эванти», резидентом фонда Сколково. Суть экспериментовзаключается в проверке возможности использования механизма пользовательскойрегуляции загруженности интернет-канала за счет свободного перехода между тарифами.В каждом эксперименте участвуют студенты первого курса ФУПМ МФТИ, прошедшиепсихологическое тестирование по тестам MBTI и Эннеаграмма. Всего наданный момент в экспериментах приняли участие более 80 студентов.Результаты тестов показывают практически равномерное распределение всехучастников экспериментов по психологическим типам. Это означает, что можно увидетьповедение практически всех пользователей Интернета.В экспериментах участники делятся на несколько категорий. Каждой категориисоответствует свое начальное значение очков и определенные привилегии при пользованиимоделируемым интернет-каналом. В эксперименте, состоящем из серии повторяющихсяпопыток, за участником закреплена одна и та же категория, что вызываетэффект приспособления к доставшимся ему начальным условиям.В результате у каждого участника складывается индивидуальная стратегия, зависящаякак от его категории, так и от его психологических особенностей. Таким об-

92 А.А. Золотарев, А.Н. Чабанразом, результаты эксперимента (как выигрыши, так и устойчивые стратегии участников)можно рассматривать в координатах «категории — психологические типы».После анализа индивидуальных стратегий можно выделить новые типы поведения,а значит, и новые типы игроков.В качестве примера рассмотрим один из экспериментов, в котором участвовал 21студент. Каждому участнику перед каждой попыткой случайным образом (равновероятно)выдается начальное значение очков. Во время эксперимента все участникидолжны скачать несколько файлов за наименьшее время. С каждой секундой количествоочков, которые может получить участник, линейно убывает.На первом этапе участники не могут переключать тариф во время скачиванияфайлов, на втором и третьем этапах они могут это делать. Различие между вторыми третьим этапами заключается в доступе к информации о текущей ситуации.Даже беглый анализ данных экспериментов показывает обоснованность введения«ночных» тарифов для операторов. В каждой попытке находились люди, которыеждали, когда освободится канал, чтобы скачать, возможно, меньше файлов, но гарантированнона большой скорости за низкую плату.Результаты экспериментов показывают, что люди определенного психологическоготипа наиболее часто готовы использовать дорогие тарифы. Это может быть интереснои оператору, который в этом случае получит больше денег. Поэтому конструированиеиндивидуальных тарифных планов может стать полезным как для абонентовсети Интернет, так и для оператора.

Применение физических принципов при моделировании поведения неорганизованных масс людей93Секция математического моделированияв экономике, экологии и социологииУДК 53.01+316.454.3Применение физических принципов при моделированииповедения неорганизованных масс людейД.В. Зайцев, Ю.В. ГрабскийФГУ «12 Центральный научно-исследовательский институт Министерства обороныРоссийской Федерации»Не так давно появились работы [1], [2], в которых показана возможность перенесенияна макросистемы физических понятий, в первую очередь термодинамических.Такую возможность можно обосновать тем, что, следуя известным работам(например, [3] с. 71–74), из уравнения Шредингера путем подстановки в нее волновойфункции квазиклассической частицы можно получить классическое уравнениеГамильтона–Якоби и уравнение непрерывности для плотности вероятности нахождениячастицы в том или ином месте: ∂ρ/∂t = −div v · ρ − v · grad ρ. На этом анализвзаимосвязи квантовой механики с классической физикой в работе [3] заканчивается.Но если квазиклассическая частица обладает набором дискретных состояний S i , тов этом случае легко показать [4], [1], что уравнение непрерывности трансформируетсяв известную в теории марковских процессов систему уравнений Колмогорова:dP i /dt = −µ i P i + µ i−1 P i−1 , описывающую изменения вероятностей P i нахождениячастицы в состояниях S i (µ i — интенсивность перехода частицы из состояния S i ).Тем самым перенос физических идей на макросистемы (в частности, человеческоеобщество) представляется вполне корректным.Групповое поведение людей является биологически детерминированной разновидностьюих взаимодействия с окружающей средой. Существует множество психологическихфеноменов существования людей в макросоциуме, различия заключаютсяв характере и выраженности объединяющего начала (иными словами, степенисходства состояний). В одних случаях можно наблюдать слабую чувствительностьсистемы к внешнему воздействию (например, при рекламе товаров или политическойрекламе без четкой адресации определенной фокус-группе). В других случаяхвоздействие на ограниченный круг субъектов позволяет эффективно управлятьбольшими массами людей. Это неоднократно доказано на практике (причем для социумовс разным этническим и возрастным составом) возможностью регулированияповедения неорганизованных масс людей («толпы»).Качественная картина психологического описания поведения «толпы» постулируетизменение сознания у ее пассивных участников, при котором они теряют своюиндивидуальность и подвержены влиянию со стороны ее активных участников [6],[7].Идея переноса физических понятий на макросистемы позволяет предложить следующийподход для описания поведения «толпы», ориентируясь на известный феномен«массового сознания» [6]–[8]. Постулируем, что каждый человек в «толпе»

94 Р.Ю. Богомазов, Н.Т. Бесединможет находиться в одном из трех состояний: S 0 — в этом состоянии человек неимеет мотивации и не видит смысла в выполнении каких-либо поступков, ассоциированныхс поведением «толпы» (вероятность такого поступка близка к нулю); S 1 —в этом состоянии человек имеет мотивацию к «массовому поведению» и готов к совершениюподобных поступков и S 2 — в этом состоянии человек совершает поступок,ассоциированный с поведением «толпы». Причем если человек готов на совершениепоступка, то совершить его он может как самостоятельно, так и под влиянием со стороныдругих активных участников «толпы», уже совершающих подобные поступки(физическая аналогия с процессами спонтанного и вынужденного излучения).По аналогии со скоростными уравнениями, описывающими процессы лазернойгенерации, в работе получены уравнения, описывающие динамику «толпы», как безучета процессов межличностного влияния, так и с их учетом. Результаты моделированияпоказали, что мобильность «толпы» при учете процессов межличностноговлияния повышается на порядок, причем для ее управления достаточно оказыватьвнешнее воздействие только на 10 % активных участников.Литература1. Маслов В.П. Эконофизика и квантовая статистика // Математические заметки. —2002 — Т. 72, вып. 6. декабрь.2. Богданов К. Кинетика социального неравенства // Квант. — 2004. — № 5.3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика(нерелятивистская теория). — М.: Наука, 1989.4. Зайцев Д.В. О совместимости теории марковских процессов с квантовой механикой// Научная сессия МИФИ–2000: сб. науч. тр. — Т. 5. — М., 2000.5. Zaitsev D.V. Estimation of ultrashort laser pulse penetration depth into plasma atmultiphoton collisional absorption // Вопросы атомной науки и техники. — 2000.— № 1. — Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт».6. Грушин Б.А. Массовое сознание: Опыт определения и проблемы исследования.— М., 1987.7. Психология масс: Хрестоматия. — Самара, 1998.8. Московичи С. Век толп. — М., 1996.УДК 519.852.6Двухэтапный подход к задачам линейного программированияпри диалоге с программой, выполняющей арифметическиеоперацииР.Ю. Богомазов, Н.Т. БесединЮго-Западный государственный университетПреобразование симплексных таблиц при поиске оптимального решения в задачахлинейного программирования (ЛП) требует большого числа арифметическихопераций, от выполнения которых можно избавиться, если воспользоваться библиотечнойкомпьютерной программой. Однако, разглядывая ответы в конце задачникаили любуясь теми же ответами на экране компьютера, математику изучить нельзя.Ситуация меняется, если программа, кроме ответа, выдает еще результаты промежуточныхвычислений, которые объясняют, как получается конечный результат. Такиепрограммы уже давно используются при изучении ЛП [1], однако и в этом случае

Платные дороги как средство достижения лучшего положения равновесия Нэша–Вардропа натранспортном графе 95очевиден недостаток: пользователь программы созерцает готовое решение, но повлиятьна процесс его получения не может, роль пользователя в этом процессе пассивна.Цель настоящей работы — превратить студента в активного участника процессаполучения решения, избавив его при этом от арифметических вычислений. Создаютсятакие условия, при которых студент занят интеллектуальным трудом, а достаточнобольшой набор однотипных арифметических операций по его командамвыполняет компьютер.На первом этапе освоения методов ЛП (классический симплекс-метод, его модификациии двойственный симплекс-метод), когда внимание акцентируется на законахпреобразования симплексных таблиц, таким набором операций являются элементарныепреобразования матрицы (симплексной таблицы), которые превращают один изее столбцов в столбец единичной матрицы.На втором этапе, когда уделяется должное внимание практическим приложениямтеории двойственности, задачам теории игр и целочисленного программирования,стандартный набор арифметических операций расширяется. Ни один, а несколькостолбцов симплексной таблицы по одной команде превращаются в столбцы, состоящиеиз единицы и нулей.Создаются качественно новые условия для самостоятельной работы студента прирешении самых разных задач ЛП. Интересно, что эти условия могут быть созданысамим же студентом, так как составление программы для выполнения арифметическихвычислений — это упражнение для начинающего программиста. Освободившисьот трудоемких вычислений, в задачах оптимизации можно экспериментировать, изменяявходные параметры и выбирая разные маршруты поиска оптимального решения.Большая размерность задачи теперь не является препятствием для ее решения,теоретические выводы можно быстро подтвердить конкретным примером, можно занятьсядетальным рассмотрением особых случаев в ЛП.Для удовлетворения возросшего спроса на задачи создан генератор задач, болеесложных, чем в существующих сборниках задач. В задачах уделяется внимание «постоптимальному»анализу, т. е. изучению того, как оптимальное решение реагируетна изменение исходных данных и как его можно улучшить.Литература1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. — М.:Высшая школа, 1986.УДК 519.833.2Платные дороги как средство достижения лучшего положенияравновесия Нэша–Вардропа на транспортном графеЮ.В. ДорнВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНПри моделировании транспортных сетей и распределения трафика на них предполагается,что водители (с одним и тем же алгоритмом принятия решения), действуяоппортунистически и считая свое собственное влияние на транспортную ситуациюнезначительным, пытаются снизить свои личные издержки (время в пути, финансовыезатраты и др.). Это приводит к некоторому, в общем случае не единственному,положению равновесия Нэша–Вардропа — равновесному распределению потоков помаршрутам (UE, user equilibrium), при котором затраты на используемых маршрутах

96 Ю.В. Дорн(с одними и теми же пунктами отправления и назначения) равны между собой. Еслибы водители действовали согласованно и стремились минимизировать не личныеиздержки, но суммарные издержки всех водителей, то установилось бы оптимальноес точки зрения общих затрат распределение (SO, social optimum). В общем случаесредние издержки водителя в состоянии UE выше, чем в состоянии SO.В работе исследуется возможность снижения средних издержек водителя при равновесном(UE) распределении потоков по маршрутам при использовании в качествемеханизма управления введения платы за проезд.В работе рассматривается транспортный граф G(M, R), на котором N(N >> 1)независимых однородных агентов каждый шаг времени выбирают маршрут с цельюмаксимизировать собственную функцию полезности (минимизировать затраты в пути),где M — множество вершин графа, R — множество его ребер. Для удобствабудем рассматривать транспортные графы с одним истоком и одним стоком.Рассматриваются модели, в которых функции издержек на ребрах задаются выпуклыми,монотонно-возрастающими, бесконечное число раз дифференцируемыми,ограниченными функциями от проходящего по ребру потока τ i = τ i (y i ), с ограниченнымипроизводными τ 0 > τ ′ i(•) > 0 ∀e i ⊂ E (модели Beckmann и др. (1956) и другие),а также модель Нестерова–де Пальма (2003 [3]). В обоих типах моделей предполагается,что функция издержек на маршрутах является аддитивной суммой функцийиздержек входящих в маршрут m ребер транспортного графа:j∈Pe i ∈EG m ( −→ X t ) = ∑e i ∈p m τ ei ( −→ X t ).Равновесное распределение потоков −→ X ∗ для первого типа моделей является решениемзадачи:∑x j · τ ei ( −→ X ) · δ ij → min,−→ Xx∑ j 0,x j = N,j∈Px i · (G i ( −→ X ) − minq∈P G q( −→ X )) = 0для любого маршрута i из множества маршрутов P , соответствующего каким-либоистокам и стокам (с соответствующими требованиями к неотрицательности потокови сохранению общего числа водителей постоянным). Введению платы за проезд намножестве ребер C соответствует изменение матрицы||T ch (•)|| = ||τ ei (•)|| ′ = ||τ ei (•) + υ ei (•) · δ ik || ei ⊂Ek⊂Cυ ei (•) = const ei 0.= ||T 0 (•)|| + ||T d (•)||,Это может привести (например, при введении платы за проезд на ребре 2–3 в парадоксеБраесса [5] к конфигурации транспортного графа, при котором равновесномураспределению потоков для ||T ch (•)|| соответствуют меньшие средние издержки,нежели для равновесного распределения для матрицы издержек ||T 0 (•)||.

Платные дороги как средство достижения лучшего положения равновесия Нэша–Вардропа натранспортном графе 97Естественным является вопрос о том, когда решение∑x j · τ ei ( −→ X ) · δ ij → min ,−→ X ,||Td (•)||j∈Pe i ∈Ex∑ j 0,x j = N,j∈Px i · (G i ( −→ X ) − minq∈P G q( −→ X )) = 0реализуется в случае, когда ||T d (•)|| не является нулевой матрицой.Аналогичная задача стоит и для модели Нестерова–де Пальма. Оказывается, однимиз условий наличия такой матрицы ||T ch (•)||, что средние издержки в UE ниже,чем при ||T 0 (•)||, является определенный вид графа транспортной сети. Снижение издержекпроисходит за счет выделения ребер, входящих в большое количество маршрутов,функция издержек которых сильно эластична по отношению к потоку. Далеена таких ребрах вводится плата за проезд, поощряющая перераспределение потоковв пользу ребер, входящих в сравнительно небольшое количество маршрутов, и функцияиздержек на которых слабо чувствительна к потоку (ребра с большой емкостью).В работе также проведены численные эксперименты по «нащупыванию»водителямиравновесного состояния при использовании некоторой имитационной динамики [8], атакже оценивается выигрыш от использования помимо штрафных (введении платыза проезд) санкций также субсидий.Литература1. Стенбринк П.А. Оптимизация транспортных сетей. — М.: Транспорт, 1981.2. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary game dynamics // Bulletin of the AmericanMathematical Society. — 2003. — V. 40, N 4. — P. 479–619.3. Nesterov Y., De Palma A., Stationary dynamic solutions in congested transportationnetworks : Summary and Perspectives // Networks and Spatial Economics. — 2003.— V. 3. — P. 371–395.4. Швецов В.И. Проблемы моделирования передвижений в транспортных сетях //Труды МФТИ (специальный выпуск, посвященный математическому моделированиютранспортных потоков / под ред. акад. В.В. Козлова). — 2010. — Т. 2,№ 4(8).5. Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введениев математическое моделирование транспортных потоков: учебное пособие/ под редакцией А.В. Гасникова с приложениями М.Л. Бланка, Е.В. Гасниковой,А.А. Замятина и В.А. Малышева, А.В. Колесникова, А.М. Райгородского. — М.:МФТИ, 2010.6. Braess D. Uber ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung // Unternehmensforschung.1969. N 12. — 258–268.7. Chudak F., Eleuterio V., Nesterov Y. Static Traffic Assignment Problem. Acomparison between Beckmann (1956) and Nesterov & de Palma (1998) models //Conference Paper STRC. — 2007.8. Гасникова Е.В., Дорн Ю.В. О стохастической марковской динамике, приводящейк равновесию Нэша–Вардропа в модели распределения потоков // ТрудыМФТИ (специальный выпуск, посвященный математическому моделированиютранспортных потоков / под ред. акад. В.В. Козлова). — 2010. — Т. 2, № 4(8).

98 В.П. ВржещУДК 519.86Трехпродуктовая модель российской экономикиВ.П. ВржещМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваМатематическое моделирование служит в настоящее время основным инструментоманализа и прогноза экономики, однако задача построения долговременной универсальноймодели экономической системы, по надежности сравнимой с моделями,скажем, технических систем, еще очень далека от решения. Принципиальная трудностьзаключается в том, что экономическая система способна к качественному саморазвитию,т. е. систематически порождает явления, выходящие за рамки существующейтеории. Однако 40-летний опыт построения и применения моделей, накопленныйв отделе математического моделирования экономических систем ВЦ РАН, показал,что они служат надежным инструментом анализа макроэкономических закономерностей,а также прогноза последствий макроэкономических решений при условиисохранения сложившихся отношений [5]. В данной работе описывается очереднаямодель российской экономики, созданная в ВЦ РАН в рамках направления Системныйанализ развивающейся экономики (САРЭ) под руководством чл-корр. РАН И.Г.Поспелова.На основе методики нелинейного дезагрегирования макроэкономического баланса,основанной на гипотезе о рациональном поведении массовых экономических агентов[3], построена новая трехпродуктовая модель межвременного равновесия с управлениемкапиталом для российской экономики, которая явилась продолжением болееранней модели экономики России, созданной в ВЦ РАН в 2004 году [2].Модель состоит из блоков двух типов — описание экономических агентов (ЭА) иих взаимодействий (ВД). ЭА принимают решения относительно потоков материальныхи финансовых благ. Они должны быть согласованы. Согласование происходитв блоках ВД.Опыт моделирования и исследования экономики парадоксальным образом свидетельствуето том, что поведение массовых агентов надо описывать рациональнымповедением (принципом оптимальности) [1], [4], а индивидуальных агентов — сценариями.Модель описывает поведение 9 агентов. Массовые агенты Производитель,Банк, Собственник, Домохозяйство, Торговец — описываются рациональным поведением.Индивидуальные агенты — Государство, Центральный банк (ЦБ), Импортер,Экспортер — описываются сценариями.В основе модели лежит полная система балансов материальных запасов и финансовыхинструментов. Всего в модели 17 блоков ВД: рынок потребительского продукта,рынок фондообразующего продукта, рынок реального ВВП, рынок внутреннегопродукта, рынок импортного продукта, рынок экспортного продукта, рынок кредитов,рынок депозитов, взаимодействие банков и ЦБ, взаимодействие государства иЦБ, рынок труда, уплата налогов и пошлин и выплата субсидий, управление капиталомпроизводителя, управление капиталом банка, торговые дивиденды, рыноквалюты, проведение безналичных расчетов.Формально модель получается объединением соотношений блоков описания поведенияагентов и блоков описания их взаимодействий. Всего получается 175 соотношений.После упрощения системы и исключения большей части переменных, остаетсясистема из 40 уравнений на 40 неизвестных, из них 18 уравнений — динамические.Расчет модели проводится по квартальным данным с 1 квартала 2004 года по 2-йквартал 2010 года. Модель удачно воспроизводит такие макроэкономические показатели,как ВВП, инфляция дефлятора ВВП, валовое накопление и инфляция его де-

Исследование поведения транспортного потока относительно изменения расстояния 99флятора, конечное потребление и инфляция индекса потребительских цен, экспорт,импорт, кредиты и депозиты банков, общая и валютная банковская ликвидность,процентные ставки по кредитам и сальдо кредитов ЦБ.Литература1. Андреев М.Ю., Пильник Н.П., Поспелов И.Г. Моделирование деятельности современнойроссийской банковской системы // Экономический журнал Высшейшколы экономики. — 2009. — Т. 13, № 2. — С. 143–171.2. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г., Поспелова И.И., Хохлов М.А. Новая технологиямоделирования экономики и модель современной экономики России. — М.: МИ-ФИ, 2007.3. Вржещ В.П., Поспелов И.Г., Хохлов М.А. Модельное дезагрегирование макроэкономическойстатистики // Экономический журнал Высшей школы экономики.— 2010. — Т. 14, № 1. — С. 88–104.4. Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Усанов Д.А., Шананин А.А. Технологии анализарынков на основе обобщенного непараметрического метода. — М.: ВЦ РАН,2010.5. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделированияэкономики. — М.: Энергоатомиздат, 1996.УДК 519.6Исследование поведения транспортного потока относительноизменения расстоянияД.И. ПетрашкоМосковский физико-технический институт (государственный университет)Движение автомобиля в потоке машин состоит из двух желаний: ехать как можнобыстрее вплоть до «комфортной» скорости и следовать за впереди идущим автомобилем.Как показали численные эксперименты, одной из наиболее «удачных» моделейявляется модель М. Трайбера:⎡( ) (ss ′′ ′ δ(n(t) = a n⎣1 − n (t) d∗− n s′n (t), s ′ n+1(t) − s ′ n(t) ) ) ⎤ 2⎦ .Член a n[1 −(s,n (t)V 0 n) δ], где V 0n — желаемая скорость, описывает желание двигатьсяс комфортной скоростью.(Член a n[1 −V 0ns n+1 (t) − s n (t)d ∗ n(s , n(t),s , n+1 (t)−s, n(t))s n+1 (t)−s n(t)) 2]описывает желание следовать за впередиидущим автомобилем.В последнем выражении под d ∗ nобозначено безопасное расстояние(s′n (t), s ′ n+1(t) − s ′ n(t) ) = d n + T n s ′ n(t) − s′ n(t) ( s ′ n+1(t) − s ′ n(t) )d ∗ n2 √ a n b n,где d n — расстояние между автомобилями в заторе, T n — время реакции водителя,b n — ускорение комфортного торможения.Поясним формулу для безопасного расстояния: пока водитель n-го автомобиляотреагирует на изменение ситуации на дороге, он проедет путь T n s ′ n. Потом, поняв,

100 Д.И. Петрашкочто ему нужно тормозить: s ′ n+1(t) − s ′ n(t) < 0, он успеет выровнять свою скорость соскоростью впереди идущего автомобиля только в том случае, если расстояние междуними не менее чем s ′ n(t) ( s ′ n+1(t) − s ′ n(t) ) /(2b n ). Желая уместить в одной формулеускорение и торможение обычно делят на √ a n b n .Приняв такую модель поведения автомобиля на дороге, было проведено исследованиесредней скорости движения от количества машин.Также было проведено исследование зависимости средней скорости движения автомобилейот расстояния, на котором они будут стоять в пробке d n , и скорости набиранияжелаемой скорости δ.Исследование проводилось методом численного моделирования кольца длиной108, 9 км, на который изначально равномерно «брошены» машины с нулевыми скоростями.Машины обладали равномерным разбросом характеристик (а именно a n , b n , T n ,δ n , d n ) в пределах [0.8; 1.2] от некоторой «эталонной машины», поведение которой моделировалось.Именно разнообразие характеристик машин приводило к образованиюпробок в численной модели.Данные для эталонной машины были взяты из [1].В итоге были получены такие результаты:Как видно на рис. 1, при достижении определенного «критического» количествамашин происходит резкое падение скорости движения. В окрестности 4000 машиндобавление 100 машин приводит к падению скорости движения всех машин в 2 раза.Как показало моделирование, изменение «степени желания» двигаться быстрее δне оказывает существенного влияния на среднюю скорость движения потока, изменениеее в пределах [0,1000] вносило вклад менее чем 0.5%.Как видно на рис. 2, увеличение безопасного расстояния приводит к замедлениюдвижения автомобилей.Таким образом, в модели Трайбера обсуждаемая в последнее время идея «неспешить в пробке» или «не подьезжать в пробке близко» приводит к замедлениюсредней скорости движения потока.Рис. 1.

Исследование поведения транспортного потока относительно изменения расстояния 101Рис. 2.Литература1. Введение в математическое моделирование транспортных потоков / под редакциейА.В. Гасникова. — М.: МФТИ, 2010. — 360 с.

102 В.С. Маряхина, В.В. ГуньковСекция математического моделированияи вычислительного экспериментаУДК 539.12+535.372+51–76Математическое моделирование диффузии флуоресцентногозонда в биологической жидкостиВ.С. Маряхина, В.В. ГуньковОренбургский государственный университетФлуоресцентные зонды часто используют для исследования физико-химическихсвойств биотканей и других биологических объектов. Однако биологическая тканьсостоит на 90 % из воды, а остальное представляют собой вещества органическойи неорганической природы. Поэтому во время измерения спектров флуоресценциивведенного зонда в биологическую ткань или кровеносный сосуд происходит регистрациясуммарного спектра, в который входит свечение от иммобилизированныхи свободно диффундирующих в водной среде молекул. И определить, какая частьзонда связалась с биоструктурами, а какая находится в свободном состоянии, достаточнозатруднительно.Настоящая работа посвящена созданию математической модели, устанавливающейсвязь диффузии молекулярных зондов в биологических жидкостях с их спектрамифлуоресценции.Объектом вычислительного эксперимента являлась биологическая жидкость, содержащаяразличные по размеру включения (от 20 нм до 40 мкм). Предполагалось,что флуоресцентный зонд вводится в виде точечной инъекции в биологическую жидкость,в которой он может находиться как в свободном состоянии, так и в иммобилизованном.При этом распределение зонда осуществлялось равномерно по всемупространству. Система дифференциальных уравнений была составлена исходя изматериального баланса молекул зонда по подобию задачи Смолуховского.В случае иммобилизации зонда происходят изменения в его спектрах флуоресценции(смещение максимумов и изменение ширины спектра). В этой связи динамикуизменения спектров флуоресценции зондов оценивали как сумму произведения вычисленныхконцентраций в свободном и связанном состояниях на соответствующиеспектры флуоресценции зонда в каждый момент времени. Для сравнения использовалиэкспериментально полученные спектры флуоресценции эритрозина в буферноми ферментативном растворах и суспензии клеток.Описанные предположения привели к неудовлетворительной аппроксимации экспериментальныхспектров. Поэтому дополнительно была составлена модель с учетомособенностей распределения концентрации по всему объёму жидкости. Для этого наоснове уравнения диффузии была составлена система дифференциальных уравненийс учётом иммобилизации молекул красителя. Её решение позволило установить, чтопри коэффициенте диффузии, равным 10 −9 м 2 /с, состояние диффузного равновесиянаступает приблизительно спустя 5 минут.

Использование модели решёточного газа для описания свойств флюидов 103Показана удовлетворительная аппроксимация экспериментально полученногоспектра флуоресценции зонда в связанном состоянии спектром, полученным в результатерешения дифференциальных уравнений.Таким образом, разработанная математическая модель позволяет установитьсвязь между диффузионными процессами зонда в биологической жидкости и егоспектрами флуоресценции.УДК 533.7Использование модели решёточного газа для описаниясвойств флюидовИ.А. ВарфоломеевМосковский физико-технический институт (государственный университет)В микронеоднородных системах, а также в непосредственной близи границ разделафаз классическая гидродинамика оказывается неприменима.Для моделирования флюида в подобных условиях наиболее широко применяютсяметоды Монте-Карло и решёточных уравнений Больцмана. Эти методы не лишенынедостатков, среди которых можно выделить игнорирование межмолекулярных корреляций.Одним из альтернативных методов является модель решёточного газа (МРГ).МРГ явно учитывает межмолекулярные корреляции, что является необходимымусловием для самосогласованного единообразного подхода к описанию различныхфазовых состояний, что критично при моделировании процессов роста граней кристаллов,различных мембранных процессов, адсорбции и десорбции [1].Самосогласованность и то, что единственным исходным параметром теории являютсямежмолекулярные потенциалы, позволяет для описания многокомпонентнойсмеси использовать параметры, определенные из независимых экспериментальныхданных по индивидуальным компонентам. Кроме того, это даёт возможность единообразноописывать скорости переходных процессов и равновесное состояние, а такжеестественным образом вводить различные граничные условия [1].На настоящий момент нами выполнено численное моделирование зависимостейсжимаемости от давления и давления от плотности метана в объёмной фазе. Из рис. 1и рис. 2 видно, что полученные при помощи МРГ результаты с хорошей точностьюсоответствуют справочным данным NIST [2]. Следует отметить, что использованныевычислительные процедуры могут описывать как равновесные, так и неравновесныесостояния флюида, как в объёме, так и в присутствии внешних потенциалов (стенок).Эту общность планируется использовать в дальнейшем для моделирования потоков вмезоскопических (десятки нм) порах произвольной геометрии. Подобные вычисленияна основе МРГ уже проводились в 2D [3].

104 И.А. ВарфоломеевРис. 1. Коэффициент сжимаемости CH 4 в зависимости от давления при различныхтемпературах. Сплошная кривая — МРГ, точки — справочные данные NIST [2]Рис. 2. Зависимость давления от плотности для CH 4 при различных температурах.Сплошная кривая — МРГ, точки — справочные данные NIST [2]Литература1. Товбин Ю.К. Молекулярно-статистическая теория и многомасштабное моделированиефизико-химических процессов в нанотехнологиях (Molecular StatisticalTheory and Multi-Scale Modeling of Physico-chemical Processes in Nanotechnologies)// Российские нанотехнологии. — 2010. — T. 5, № 11–12. — C. 36–57.2. Methane fluifd properties / NIST // URL:http://webbook.nist.gov/cgi/inchi/InChI% 3D1S/CH4/h1H43. Товбин Ю.К. Перенос газа и жидкости в узких порах // Теоретические основыхимической технологии. — 2002. — T. 36, № 3. — C. 240–247.

Моделирование электрических и магнитных свойств насыщенных пористых сред 105УДК 537.8Моделирование электрических и магнитных свойствнасыщенных пористых средА.Ю. Демьянов, Д.А. ЛисицинМосковский физико-технический институт (государственный университет)Наряду с экспериментальными методами исследования различных физическихсвойств пористых сред в настоящее время активно развиваются методы описанияхарактеристик материалов посредством численного моделирования. В нашей работепроводится численное изучение эффективных электрической проводимости и магнитнойпроницаемости, а также пондеромоторных сил [1] в насыщенных пористыхобразцах.Численное моделирование сводится к решению пространственной задачи о нахождениипотенциала соответствующего поля при заданных граничных условиях.Применяется метод установления, в основе которого используется неявная схема покоординатногорасщепления [2].С использованием неравномерных сеток развита методика учета эффектов поверхностнойпроводимости на границе вода—порода. Как известно [3], их влияниепроявляется в гидрофильных породах при малой водонасыщенности. На рис. 1 ирис. 2 приведены соответственно примеры полей электрических токов для чисто объемнойпроводимости и с учетом эффектов поверхностной проводимости.В присутствии сильных магнитных полей (например, при исследовании с помощьюЯМР) в насыщенной пористой среде следует учитывать влияние пондеромоторныхсил. На рис. 3 приведено распределение пондеромоторной силы в окрестностинеоднородности (шаровое включение).В ходе проведенного численного моделирования в качестве начальных данных используютсячисловые модели пористых сред, полученные средствами томографии, атакже дополнительные данные о минеральном составе горной породы и насыщающихее флюидах.Рис. 1. Проекция плотности тока вдоль приложенного поля в поперечном центральномсечении образца без учета поверхностной проводимостиРис. 2. Проекция плотности тока вдоль приложенного поля в поперечном центральномсечении образца с учетом поверхностной проводимости

106 А.В. ДемидоваРис. 3. Объемные пондеромоторные силы (по абсолютной величине) вокруг сферическоговключенияЛитература1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамикасплошных сред. — М.: Наука, 1982.2. Лобанов А.И., Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: учебное пособие.— М.: — БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с.3. Латышева М.Г. Практическое руководство по интерпретации диаграмм геофизическихметодов исследования скважин. — М.: Недра, 1981. — 182 с.УДК 517.958Популяционное моделирование на базе стохастическихдифференциальных уравненийА.В. ДемидоваРоссийский университет дружбы народовБольшинство существующих моделей, описывающих популяционную динамику,являются детерминистическими, и, несмотря на то, что эти модели качественно отражаютциклические свойства реальных систем, существуют аспекты, по которым онине могут служить их точным описанием. Во-первых, не учитывается вероятностныйхарактер процессов рождения-гибели. А во-вторых, не учитываются случайные колебания,которые происходят со временем в среде, приводящие к случайным флуктуациямпараметров модели. Применение стохастического моделирования взаимодействияпопуляций позволяет учесть вероятностные механизмы и тем самым даетболее полное описание системы.Встает вопрос о механизме ввода стохастических членов в детерминистическоеуравнение. Обычно ввод осуществляется произвольным образом, просто добавлениемчлена со стохастической переменной. Однако более адекватным является введениестохастической части, согласованной с детерминистической. Это становится возможным,если обе части получены из одного уравнения.Рассматривается механизм получения стохастического дифференциального уравненияс согласованными стохастической и детерминистической частями. Наиболееудобным для исследования является стохастическое дифференциальное уравнение вформе Ланжевена, т.к. в нем стохастическая и детерминистическая части разделены.В качестве уравнения, описывающего систему, предлагается использовать уравнениеКолмогорова–Чепмена, из которого с помощью разложения Крамерса–Мойола

Точность сохранения симплектической структуры классическими численными методами 107можно получить уравнение Фоккера–Планка. Уравнение Фоккера–Планка являетсястохастическим дифференциальным уравнением, но в нем нет четкого разделенияна стохастическую и детерминистическую части, однако его можно привести к эквивалентномустохастическому дифференциальному уравнению в форме Ланжевена.Для примера можно рассмотреть модель экспоненциального роста, которая описываетсяследующим детерминистическим уравнением:x ′ = (b − d)x,где b и d — коэффициенты рождаемости и смертности. В данной модели их принятосчитать константами. Далее построим стохастическую модель экспоненциального роста.В этой системе возможны два процесса: рождение и гибель особи с некоторымивероятностями, т.е. в единицу времени система переходит из состояния x в состояниеx + 1 с вероятностью k 1 — рождение особи, и с вероятностью k 2 возможен переход изсостояния x в x − 1 — гибель особи.Таким образом, уравнение Колмогорова–Чепмена будет иметь следующий вид:∂ t P (x, t) = k 2 (x − 1)P (x − 1, t) + k 1 (x + 1)P (x + 1, t) − (k 2 x + k 1 x)P (x, t).Используя описанный выше механизм для данной системы, можно получить стохастическоедифференциальное уравнение в форме Ланжевена, которое будет иметьвидdx(t) = (k 1 x − k 2 x)dt + √ (k 2 x + k 1 x)dW (t),где W (t) — винеровский процесс. Таким образом, получено уравнение, описывающеестохастическую модель экспоненциального роста, в котором стохастическая идетерминистическая части согласованы и разделены.Литература1. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшаяшкола, 1990.2. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: — Мир, 1986.3. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционныхпроцессов. М.: Изд-во МГУ, 1988.УДК 517.958Точность сохранения симплектической структурыклассическими численными методамиМ.Н. ГеворкянРоссийский университет дружбы народовКлассические численные методы решения задачи Коши в применении к уравнениямГамильтона не учитывают геометрических свойств фазового пространства, т.е. несохраняют симплектическую структуру (форму) и, как следствие, полную энергиюзамкнутой системы.Разработаны численные схемы, учитывающие симплектическую структуру (такназываемые симплектические интеграторы) [2], но они не так универсальны, какклассические методы. Однако в прикладных вычислениях достаточно потребоватьсохранение формы с некоторой точностью. Возникает следующий вопрос: с какой

108 О.В. Кузнецоваточностью та или иная классическая численная схема сохраняет симплектическуюструктуру?В работе были изучены наиболее используемые на практике численные методы:явные методы Рунге–Кутты до 4-го порядка включительно, явные многошаговыеметоды до 4-го порядка (Адамс–Бошфорт), различные методы типа «редактор–корректор» [1], [3].В качестве простейшего примера был выбран линейный осциллятор с функциейГамильтона:H = p22 + q22 .Проверялось сохранение полной энергии. В результате сравнения фазовых портретови вычисления якобианов преобразований был сделан вывод о том, что некоторыеклассические численные методы сохраняют энергию H с приемлемой точностью. Рассмотрим,например, метод Рунге—Кутты 2-го порядка, записанный для уравненийГамильтона:q n+1 = q n + hp n − h22 q n, p n+1 = p n − hq n − h22 p n,полная энергия с каждой итерацией увеличивается на величину порядка O(h 4 ). Этолегко увидеть, вычислив H для n + 1 шага:1 (p22 n+1 + qn+1) 2 1 (= p22 n + qn) 2 1 +4 h4 qn.2Таким образом, при достаточно малом шаге разбиения h обеспечивается хорошаяточность сохранения величины H и симплектической структры в общем случае.Литература1. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. — New Zealand:Wiley, 2003. — 425 p.2. Budd C.J., Piggott M.D. Geometric integration and its applications // Handbook ofNumerical Analysis. — 2003. — V. 11. — P. 35–139.3. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальныхуравнений. — М.: Наука, 1986. — 288 с.УДК 517.958О введении стохастики в общее уравнениемакроэкономической динамикиО.В. КузнецоваРоссийский университет дружбы народовЦентральное место в вопросах современной экономической динамики занимаюттеория долгосрочного экономического роста и теория деловых циклов.Значительную роль в развитии теории деловых циклов сыграли работы А. Филипсаи Р. Гудвина. Филипс разработал непрерывную модель, взяв непрерывно распределенныезапаздывания спроса на потребительские товары и элементы капиталовложений.Модель Филипса оказалась достаточно гибкой, она хорошо отражает реальныединамические процессы, происходящие в экономической системе. Однако её ограниченностьзаключена в её линейности, в то время как в реальных системах решающуюроль играет именно нелинейное взаимодействие основных элементов.

Уравнения Максвелла в криволинейных координатах в голономном базисе 109Наиболее удачная нелинейная модель разработана Р. Гудвином на основе моделиФилипса с добавлением нелинейного элемента.Главным недостатком указанных математических моделей является изолированноерассмотрение экономического роста и циклических колебаний. А. Акаев предложилрешение данной проблемы.Следуя за А. Акаевым, рассмотрим модель Филипса с нелинейным акселераторомв форме Гудвина. Путем модификации этой модели получено уравнение{ [1 d 2 Yλ dt + 1 + k 2 λ − kν 1 − χ 4 (ν dY ) ]} 2dYe3 dt dt −(1−s)dY dt +kY −k(1−s)Y e = dAdt +kA.Данное уравнение рассматривается в том числе в виде стохастического, однакостохастика вводится произвольным образом в виде члена типа √ εσ ξ ξ(t), где ξ(t) —гауссовский «белый шум», σ ξ — среднее квадратичное отклонение ξ(t). Нами исследованвопрос введения стохастической части, согласованной с детерминистической.Литература1. Акаев А.А. Анализ решений общего уравнения макроэкономической динамики //Экономика и математические методы. — 2008. — Т. 44, № 3. — С. 62–78.2. Аллен Р. Математическая экономия. — М.: Издательство иностранной литературы,1963.3. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986.УДК 517.958Уравнения Максвелла в криволинейных координатахв голономном базисеА.В. Королькова, Д.С. КулябовРоссийский университет дружбы народовПри моделировании волноводов часто возникает необходимость поиска решенияв криволинейных системах координат. Однако, в отличие от теории поля, где обычноиспользуют голономный базис∂ (взятый относительно приращения координаты),∂x i∂в электродинамике исторически используют векторный базис (взятый относительноприращений интервала). Целью работы была запись уравнения Максвелла∂s iв произвольной (криволинейной) системе координат. Поскольку формализм работыс криволинейными системами координат в векторном формализме громоздок икрайне слабо разработан, то представляется оправданным применение тензорногоформализма. Для этого устанавливается связь между векторным и тензорным формализмом,выписываются соответствующие уравнения Максвелла, приводятся примерызаписи уравнений в некоторых криволинейных координатах.В работе используется формализм абстрактных индексов. Светлым шрифтом обозначаетсяабстрактный индекс (α), полужирным с подчёркиванием — компонентныйиндекс тензора (α). Присутствие в некотором выражении компонентного индексаозначает, что в него косвенным образом введён некоторый (произвольный) базис,а сами индексы подчиняются правилу суммирования Эйнштейна (суммирование повсякому численному индексу, который встречается в одном члене выражения дважды:вверху и внизу). Абстрактные индексы имеют организующее значение.

110 Л.Р. МинибаеваБудем обозначать векторный базис штрихом. Для ортогональных координат ввекторном формализме вводятся коэффициенты Ламе:√giih i′i = .g i ′ i ′Тогда связь между векторными и тензорными компонентами можно записать следующимобразом:f i′ = f i h i′i ,f i ′ = f i.Считая, что связность согласована с метрикой (т. е. cвязностями являются символыКристоффеля), заменим в уравнениях Максвелла ковариантные производныечастными (в системе СГС):h i′i1√g(3) εijk ∂ j E k = − 1 ∂B ic ∂t ;1√g(3) εijk ∂ j H k = 1 ∂D ic ∂t + 4π c ji ;1√g(3) ∂ i( √ g (3) D i ) = 4πρ;1√g(3) ∂ i( √ g (3) B i ) = 0.Литература1. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчислениеи релятивистские поля. — М.: Мир, 1987. — 528 с.2. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика: учебное пособие для студентовфиз. спец. университетов. — 2-е изд., перераб. — М.: Высш. шк., 1990. — 352 с.УДК 66.021.1+532.5Критерий мощности для аппаратов с двухъяруснымиоткрытыми турбинными мешалкамиЛ.Р. МинибаеваКазанский национальный исследовательский технологический университетДля расчета поля скорости и гидродинамических характеристик в аппаратах с одноймешалкой на валу и внутренними неподвижными элементами была разработанаметодика [1], [2], заключающаяся в численном решении системы дифференциальныхуравнений сохранения массы и импульса с частными производными в цилиндрическихкоординатах в трехмерной постановке методом контрольного объема (схемаsegregated) с привлечением комплекса вычислительной гидродинамики Fluent 6.3.На основе разработанной методики расчета поля скорости и гидродинамическиххарактеристик были исследованы семь цилиндрических аппаратов диаметром

Критерий мощности для аппаратов с двухъярусными открытыми турбинными мешалками 111D a = 0, 289 м с четырьмя равномерно расположенными отражательными перегородками,установленными от крышки до днища аппарата, снабженные двумя открытымитурбинными мешалками на одном валу. Варьировались диаметр мешалки d мот (0, 15ö0, 35)D a и расстояния между мешалками C 1−2 от (1ö2, 5)d м . Расстояние отдна аппарата до нижней кромки лопасти мешалки во всех случаях было равнымдиаметру мешалки, т.е. C Д−1 = d м + hл = d 2 м + dм = 1, 1d 10 м (где h л — высота лопасти,м).Важной характеристикой при расчете и проектировании аппаратов с перемешивающимиустройствами является такая гидродинамическая характеристика, как критериймощности или мощность, затрачиваемая на перемешивание.Зависимость критерия мощности K N для аппаратов с двухъярусными открытымитурбинными мешалками от симплекса C 1−2 /d м имеет вид симметричной функции сS-образной формой (рис. 1), поэтому описывалось гиперболическим тангенсом:K N = K N1 + K N22− K N1 − K N2th2(C1−2dмdм− 1, 47D a− 0, 660, 5), (1)где K N1 — критерий мощности для аппаратов с одной открытой турбинной мешалкойна валу, K N2 — суммарный критерий мощности для аппаратов с двумя открытымитурбинными мешалками на валу при параллельной структуре потока.Как показали наши исследования, критерий мощности для аппаратов с двухъяруснымимешалками меньше суммы критерия мощности для аппаратов с одноймешалкой на валу и для случая параллельной структуры потока близок кK N = 1, 45K N1 + 0, 45K N1 thK N2 = 1, 9K N1 . (2)С учетом выражения (2) зависимость (1) можно переписать в следующем виде:)dм− 1, 47Область применимости зависимости (3):(C1−2dмD a− 0, 660, 5. (3)C Д−1 d м , H D a , C1 − 2 2, 5d м , d м = (0, 15ö0, 35)D a(где — высота аппарата, м).Таким образом, получено выражение для определения критерия мощности дляаппаратов с двухъярусными открытыми турбинными мешалками, учитывающее диаметрмешалки и аппарата, а также расстояние между мешалками.

112 О.В. КасаткинаРис. 1. Критерий мощности для аппаратов с двухъярусными открытыми турбиннымимешалкамиЛитература1. Минибаева Л.Р., Мухаметзянова А.Г., Клинов А.В. Численное моделированиегидродинамической структуры потока в аппарате с перемешивающими устройствами// Вестник Казанского технологического университета. — 2008. — № 6. —Ч. 1. — С. 191–198.2. Минибаева Л.Р., Мухаметзянова А.Г., Клинов А.В. Модели турбулентности дляадекватного описания поля скорости в аппаратах с перемешивающими устройствами// Вестник Казанского технологического университета. — 2010. — № 9. —С. 469–477.УДК 517.957Построение точных решений дифференциальных включенийО.В. КасаткинаРоссийский университет дружбы народовВ данной работе рассматриваются вопросы построения приближенных решенийзадачи Коши дифференциальных уравнений. Основная идея состоит в том, что приближенныерешения дифференциальных уравнений можно трактовать, как точноерешение исходного уравнения подправленной на невязку правой частью. Такой подходможет быть оправдан во многих случаях, поскольку правые части, как правило,известны лишь с определенной погрешностью.Изначально предлагаемый подход детально развивается на примере задачи Кошидля нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения. Рассматриваемаязадача Коши решалась численно методом Рунге–Кутты 4-го порядка, с помощьюлинейной интерполяции строилось приближенное решение, а также полученнаяневязка.Далее изучается нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных.Рассматривалась начальная задача для нелинейного уравнения переноса с периодическимиусловиями по пространственной переменной. Для построения приближенногорешения использовался явный метод. Было получено приближенное решение,а также невязка для данного случая.

Исследование порядка слабой сходимости схем повышенного порядка аппроксимации на системеуравнений Сен-Венана 113В последней части рассматриваются эволюционные уравнения, описывающиенелинейную динамику идеальной жидкости со свободной поверхностью, в конформныхпеременных. Хорошо известно, что такие уравнения являются очень эффективнымидля проведения численных расчетов. В частности, использование такихуравнений позволило изучать волны-убийцы в океане с помощью вычислительныхэкспериментов.Литература1. Шамин Р.В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностныхволн в океане. — М.: Наука, 2008. — 133 с.2. Захаров В.Е., Шамин Р.В. О вероятности возникновения волн-убийц // Письмав ЖЭТФ. — 2010. — Т. 91, вып. 2. — С. 68–71.3. Шамин Р.В. Поверхностные волны на воде минимальной гладкости // Современнаяматематика. Фундаментальные направления. — 2010. — Т. 35. — С. 126–140.4. Шамин Р.В. Динамика идеальной жидкости со свободной поверхностью в конформныхпеременных // Современная математика. Фундаментальные направления.— 2008. — Т. 28. — С. 3–144, 137–138.5. Дьяченко А.И. О динамике идеальной жидкости со свободной поверхностью //Докл. Акад. наук. — 2001. — Т. 376, № 1. — С. 27–29.УДК 519.632.4Исследование порядка слабой сходимости схем повышенногопорядка аппроксимации на системе уравнений Сен-ВенанаД.М. Мазилкин 1,2 , А.А. Кулешов 2 , М.Е. Ладонкина 21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАНРешение различных задач математической физики, которые описываются гиперболическимисистемами уравнений, могут быть гладкими в одних областях и разрывнымив других. Разрывные решения могут при этом возникать из гладких начальныхданных. Такие свойства решений налагают на алгоритмы численного решениягиперболических систем уравнений достаточно противоречивые требования. С однойстороны, численный метод должен уметь сохранять свойство монотонности в тех областях,где искомые решения имеют большие перепады значений. С другой стороны,тот же метод должен обладать высоким порядком точности в тех областях, где решениеявляется гладким. В 1959 г. в своей работе С.К. Годунов показал, что линейныхразностных схем, удовлетворяющих этим двум требованиям, одновременно быть неможет.Существует несколько способов устранения или ослабления таких осцилляцийи восстановления монотонности, например, методы ENO и WENO, использующиединамический выбор шаблона для интерполяции сеточных величин, основанный наанализе локальной гладкости решения. Методы ENO впервые были предложены в1987 г.. Конечно-разностные и конечно-объёмные схемы основываются на интерполированиидискретных данных полиномами или другими простыми функциями. Основнаяидея состоит в том, чтобы избегать использования в шаблоне ячеек, в которыхпоявляется разрыв, если это возможно. Результатом метода ENO будет кусочнополиномиальнаяаппроксимация. В задаче мы имеем начальное, граничные условия,и так как в общем случае точное решение задачи заранее неизвестно, то для

114 Д.М. Мазилкин, А.А. Кулешов, М.Е. Ладонкинаприближенного определения дисбалансов и порядков сходимости разностного решениядостаточно провести три расчета соответствующей начально-краевой задачи сдостаточно малыми шагами: h 1 = h; h 2 = h; h 2 3 = h . В таком случае порядок сходимостиопределяется по формуле: r = log , где ¯δV 24|¯δV 1||¯δV 2| i = V α hi − V α hi+1, i = 1, 2,где V α h (t, x) = ∫ aV z h(t, y)dy, α = X, x ∈ [0, X]. Вычисление проводилось справаналево по формуле трапеций. Поскольку формула трапеций имеет второй порядокточности на гладких функциях, то полученные значения отражают реальный порядокслабой сходимости только при r 2. Зачастую численное моделированиепроцесса распространения волн является весьма трудоёмкой задачей, в этой связибыло принято решение использования параллельных алгоритмов. Векторная формазаписи системы уравнений Сен-Венана первого приближения теории мелкой водыдля прямоугольного(горизонтального) (русла)при отсутствии трения имеет вид:H qU t + f(u) x= 0, U = , f(u) =, где H(t, x) > 0 и q(t, x) — глубинаqq 2+ gH2H 2и расход жидкости, g — ускорение силы тяжести. Рассмотрим начально-краевую задачу:H(0, x) = 2 − 2 π arctg(x), q(0, x) = 0, q(t, 0) = q 0(t), q(t, X) = q 1 (t), где q 0 (t) иq 1 (t) — гладкие функции, согласованные с начальными данными в смысле выполненияследующих условий: q 0 (0) = 0, q 1 (0) = 0, ˙q 0 (0) = −gH(0, 0)H x (0, 0) = a 0 , ˙q 1 (0) =−gH(0, X)H x (0, X) = a 1 , a 0 = 4gπ , a 1 = 4gπ (1 − 1 π arctgX)/(1 − X2 ).Рис. 1. Cхема Рунге–Кутта даёт второй порядок слабой сходимости (синий цвет) заударной волной. На момент времени T = 1,5Рис. 2. ENO, аппроксимация 2 порядка. На момент времени T = 2,0

Алгоритмы построения тетраэдральных и гексаэдральных сеток в неявных областях 115Рис. 3. Порядок аппроксимации, ENO. На момент времени T = 2,0Литература1. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989.2. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики.— М., 2004. — 424 c. — ISBN 5-354-00772-0.3. Остапенко В.В. О сходимости разностных схем за фронтом нестационарной ударнойволны // Журнал вычислительной математики и математической физики.— 1997. — Т. 37, № 10. — C. 1201–1212.4. Ковыркина О.А. О численном моделировании течений с прерывными волнами //Вычислительная механика сплошных сред. — 2008. — Т. 1, № 1. — C. 48–56.5. Shu Chi-Wang. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatoryschemes for hyperbolic conservation laws / in: B. Cockburn, C. Johnson, C.-W.Shu, E. Tadmor, A. Quarteroni (Eds.) // Advanced Numerical Approximation ofNonlinear Hyperbolic Equations, Lecture Notes in Mathematics. — V. 1697. — NewYork: Springer 1998. — P. 325–432.6. Якобовский. М.В. Распределенные системы и сети: учеб. пособие. — М.: МГТУ«Станкин», 2000. — 118 c.УДК 519.634Алгоритмы построения тетраэдральных и гексаэдральныхсеток в неявных областяхА.И. Белокрыс-Федотов, В.А. Гаранжа, Л.Н. КудрявцеваВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНМосковский физико-технический институт (государственный университет)Задание областей сложной формы как нулевых изоповерхностей некоторой функции,напоминающей функцию расстояния со знаком, является достаточно гибкими универсальным механизмом геометрического моделирования. Неявные функцииможно строить по поверхностной триангуляции, по набору плоских сечений, по «супу»из точек, ребер и плоских граней, по сплайнам, и все это можно комбинироватьс наборами примитивов при помощи булевых операций. Для построения тетраэдральныхсеток в неявных областях предложен итерационный метод самоорганизацииточек [1], который позволяет распределить их по области согласно заданной функциихарактерного размера. При этом точки распределяются так, что острые ребрана поверхности автоматически приближаются ребрами Делоне без использования

116 А.И. Белокрыс-Федотов, В.А. Гаранжа, Л.Н. Кудрявцеваспециальных алгоритмов поиска острых ребер. Таким образом, одновременно строитсяобъемная и поверхностная сетка. Этот алгоритм носит эвристический характер,но продемонстрировал работоспособность для достаточно сложных тестовых задач.В полученной сетке Делоне, как правило, присутствует небольшое число плоскихтетраэдров. Для их удаления используется вариационный метод оптимизации [2] свозможностью движения вершин сетки по границе области.По существу, этот же вариационный метод используется для построения гексаэдральныхсеток. При этом возникает проблема вариационного построения поверхностныхсеток на неявных поверхностях, а также задача одновременной оптимизацииобъемных и поверхностных сеток. Для решения этой задачи используется итерационныйметод, который можно отнести к классу методов проекции градиента. Критическимэтапом в задаче построения структурированных гексаэдральных сеток являетсяэтап распутывания для построения допустимой начальной сетки. Предложенадостаточно эффективная техника распутывания, позволяющая строить допустимыесетки с сотнями тысяч вершин. При этом также решается весьма непростая задачараспутывания поверхностной сетки на изоповерхности. На следующем этапе дляпостроения сверхбольших сеток можно использовать сравнительно простые локальныесхемы доразбиения и оптимизации, не ухудшая качество сетки. В примере нарис. 2 неявная функция строится по начальной поверхностной триангуляции (STLмодели).Построение гексаэдральной сетки со сгущением к телу и с ортогонализациейпроизводится автоматически. Заметим, что для уточнения сетки с использованиемисходной модели САПР достаточно наличия функции вычисления расстояния от тела,которая имеется во всех современных геометрических ядрах. Работа поддержанапрограммой Президиума РАН П-17 и грантом НШ-4096.2010.1.Рис. 1. Тетраэдральная сетка вокруг тела, заданного посредством набора примитивовРис. 2. Нулевые изоповерхности (сверху) и структурированные гексаэдральные сетки.Показано несколько координатных поверхностей

О непараметрическом моделировании дискретно-непрерывных процессов 117Литература1. Гаранжа В.А., Кудрявцева Л.Н. Построение сеток Делоне по слабоструктурированными противоречивым данным. Представлено в ЖВМ и МФ, 2011.2. Гаранжа В.А. Барьерный метод построения квазиизометричных сеток // ЖВМи МФ. — 2000. — Т. 40, № 11. — С. 1685–1705.УДК 519.68О непараметрическом моделированиидискретно-непрерывных процессовА.А. Корнеева, М.В. Цепкова, Е.А. ЧжанСибирский федеральный университетБезусловно, проблема моделирования, идентификации надолго останется однойиз центральных проблем кибернетики. Мы обратим основное внимание на некоторыеособенности различных задач идентификации в «узком» и «широком» смыслах. Последнеебудет обусловлено как различными уровнями априорной информации об исследуемомобъекте [1], процессе, так и стремлением максимально приблизиться к реальности.Здесь мы подчеркнём важность проблемы измерения «входных-выходных»переменных исследуемого объекта, процесса. Главное, что следует выделить в этойпроблеме, состоит в том, что нередко динамический объект мы вынуждены рассматриватькак статический с запаздыванием из-за длительной процедуры контроля (измерения,анализа) некоторых переменных, существенно превышающей постояннуювремени объекта.При моделировании и управлении дискретно-непрерывными процессами целесообразноиспользовать сигналы или аналогичные им, но это требует тщательного анализане только самого конкретного объекта, но и средств и технологии контроля всехдоступных переменных, а также априорной информации, которая одновременно поразличным каналам измерения переменных многомерной системы объекта можетсоответствовать различным уровням априорной информации.В докладе рассматриваются две задачи, необходимые для моделирования такогорода процессов. Первая состоит в заполнении недостающих строк в матрице наблюдений,а вторая — в генерации случайных помех в каналах измерения, распределенныхпо различным законам [2] (распределения: нормальное, Вейбулла, логнормальное,Лапласа, Парето и др.). Необходимость заполнения матрицы наблюденийпеременных дискретно-непрерывных процессов обусловлена повышением точностиадаптивных моделей, что и показывает настоящее исследование. В частности, точностьвосстановления регрессионных характеристик по заполненной матрице выше,чем точность восстановления последних по исходной. А это в свою очередь приводити к повышению точности разрабатываемых моделей интересующих нас процессов.Литература1. Медведев А.В. Теория непараметрических систем. Моделирование // Вестник CибГАУим. ак. М.Ф. Решетнева. — 2010. — № 4.2. Первушин В.Ф., Сергеева Н.А., Стрельников А.В. Прецизионный генератор случайныхчисел // Материалы XII Международного симпозиума по непараметрическимметодам кибернетики и системному анализу. — 2010. — С. 86–91.

118 Е.И. Дмитриев, А.К. ИдаятоваУДК 519.8О непараметрических алгоритмах идентификациилавинообразных процессовЕ.И. Дмитриев, А.К. ИдаятоваСибирский государственный аэрокосмический университетим. академика М.Ф. РешетневаРассматривается класс дискретных непрерывных процессов, которые скачкообразнореагируют на плавно изменяющиеся входные воздействия. Подобного родапроцессы являются предметом изучения в теории катастроф [1]. Ниже исследуютсянекоторые алгоритмы моделирования лавинообразных процессов в условиях, когдаотсутствует их описание с точностью до вектора параметров. Это соответствует классузадач идентификации в «широком» смысле. В основе моделирования подобныхпроцессов лежат непараметрические оценки Надарая–Ватсона функций регрессиипо наблюдениям со случайными ошибками.Проведено численное исследование непараметрических оценок функций регрессииметодами статистического моделирования, а также исследован новый класс аппроксимацийнепараметрического типа, относящегося к классу H-аппроксимаций.Проведено также численное моделирование непараметрических оценок производнойфункции регрессии по наблюдениям входных, выходных переменных процессов. Приведенырезультаты исследования алгоритмов идентификации лавинообразного процессадля сравнительно простого случая в условиях непараметрической неопределенности.Предложены непараметрические оценки прогнозирования лавинообразных процессовпо результатам наблюдений входных, выходных переменных со случайнымиошибками, обобщающие известную непараметрическую оценку Надарая–Ватсона [2].В частности, она может быть принята в видеX sn (u(t), µ(t)) =n∑j=1 t=1n∑s∑x j tΦs∑Φj=1 t=1(u(t)−ujλc s)Φ(u(t)−ujλc s)Φ(µ(t)−µj)λc s(µ(t)−µjλ) , (1)c sгде u(t) — управляющее воздействие, µ(t) — входная переменная, t = 1, s; j ==1, n, x j t, u j t, µ j t — обучающая выборка, Φ — колоколообразное ядро, c s — параметрразмытости, λ — номер точки выборки x j t, при котором мы строим прогноз x(t).В докладе приводятся результаты вычислительного эксперимента, состоящего ванализе и прогнозировании лавин по имеющимся обучающим выборкам и текущимнаблюдениям процессов.Литература1. Арнольд В.И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990. — 127 с.2. Medvedev A.V. Non-Parametric Stochastic Approximation in Adaptive SystemsTheory // Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and StatisticalInference. Proceedings of the International Workshop. — 2011. — C. 195–212.

Моделирование течения с вихрями Тейлора 119Секция математическихи информационных технологийУДК 532.5.032Моделирование течения с вихрями ТейлораФ.А. Максимов, Ю.Д. ШевелевИнститут автоматизации проектирования РАНУсловия бифуркации представляют большой интерес для тестирования методовмоделирования с целью определения адекватности учета сложных физических явлений,определяющих устойчивость того или иного решения. Течение между вращающимисяцилиндрами — классическая задача устойчивости движения жидкости.В данной работе прямым численным моделированием получена нелинейная зависимостькоэффициента момента трения между вращающимися цилиндрами при изменениирежима от течения Куэтта к течению с вихрями Тейлора. Моделированиеметодом установления на основе уравнений Навье—Стокса вязкого газа [1] осуществлялосьв трехмерной постановке без привлечения гипотез о какой-либо симметриитечения. Изменением только вязкости потока (и соответственно числа Рейнольдса)были получены как плоское течение Куэтта, так и течение с вихрями Тейлора.Рассматривается течение в цилиндре с размерами R 1 = 1 , R 1 = 2. Внутреннийцилиндр вращается с угловой скоростью ω. Число Рейнольдса определяется следующимобразом: Re = ωR 1 (R 2 − R 1 )/ν , где ν — коэффициент кинематической вязкости.На (рис. 1) приведено изменение коэффициента момента трения Cm от Re.Рассматриваемая геометрия исследовалась экспериментально в [2]. Линия 1 — решениеКуэтта, маркеры 2 — экспериментальные данные [2], линия 3 — аппроксимацияэкспериментальных данных и маркеры 4 — результаты расчетов. При Re= 40 реализуетсяплоское течение Куэтта. При Re= 80 и больше образуются вихри Тейлора,что приводит к нелинейному изменению Cm. На рис. 2 приведено распределениеплотности в сечении, проходящем через ось цилиндра для случая течения с вихрямиТейлора (Re= 2000). По длине цилиндра образуется четное количество вихрейТейлора, которые образуют пары.Программа расчета трехмерного течения реализована на многопроцессорной технике,что позволяет проводить расчеты на больших сетках и существенно уменьшитьвремя решения задачи.Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-01-00711-а).Расчеты проводились на МВС-100К МСЦ РАН.

120 В.В. Елесин, А.Ф. Максимов, Ф.А. МаксимовРис. 1. Коэффициент момента трения Cm = Cm(Re)Рис. 2. Изолинии плотности (Re= 2000)Литература1. Максимов Ф.А., Чураков Д.А., Шевелев Ю.Д. Разработка математических моделейи численных методов для решения задач аэродинамического проектированияна многопроцессорной вычислительной технике // ЖВМ и МФ. — 2011. — Т. 51,№ 2. — С. 303–328.2. Donnelly R.J. Experiments on the stability of viscous flow between rotating cylinders// Proceedings of Royal Society. Ser. A. — 1958. —V. 246, N 1246. — P. 312–325.УДК 519.688Технология решения задач аэродинамическогопроектированияВ.В. Елесин 1 , А.Ф. Максимов 2,3 , Ф.А. Максимов 31GDT Software Group2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана3Институт автоматизации проектирования РАНДля внедрения методов вычислительной аэродинамики в проектирование реальныхлетательных аппаратов в конструкторских бюро необходимо иметь достаточнобольшой набор инструментов для компьютера. Выделим следующие этапы: 1)построение аэродинамической формы в виде данных для компьютера; 2) преобразованиеданных к виду, позволяющему реализовать построение расчетной сетки;

Технология решения задач аэродинамического проектирования 1213) построение расчетной сетки; 4) моделирование обтекания с использованием математическоймодели течения; 5) анализ результатов расчета (визуализация теченияи расчет интегральных аэродинамических сил и моментов). Отметим, что все этапывзаимосвязаны между собой и накладывают определенные требования друг кдругу. Есть иерархия, которая в основном определяется задачами проектирования.Например, если исследуется трение (тепловые потоки) и аэродинамические свойствав условиях образования вихревых структур при больших углах атаки, то необходимоиспользовать модель вязкого газа. Для описания изменения газодинамических параметровв вязких слоях необходимо сгущение узлов в этих слоях, т.е. должна бытьпостроена соответствующая сетка. Отметим большую роль типа рассматриваемыхгеометрий, так как это существенно влияет на топологию сетки.Для проектирования аэродинамических форм, характерных для ракетной техники,реализована последовательность: 1) построение геометрической формы на основетвердотельного моделирования с выделением основных геометрических характеристикв качестве параметров и формирование файла типа «STL»; 2) построение наборасечений тела по продольной координате; 3) построение трехмерной расчетной сеткинабором взаимосвязанных двумерных сеток; 4) численное моделирование на основеуравнений Навье—Стокса; 5) анализ результатов расчета; 6) редактирование принеобходимости геометрических параметров проектируемой формы и проведение повторногомоделирования. Существует потенциальная возможность автоматическогозамыкания указанной последовательности для проведения оптимизации геометрическихпараметров проектируемых или уже существующих аэродинамических форм.На рис. 1 приведен пример ракетной конфигурации, состоящей из осесимметричногокорпуса и треугольного крыла. Крыло имеет ромбовидный профиль. На рис. 2приведена расчетная сетка в трех сечениях по продольной координате. На рис. 3 приведенрезультат расчета в виде распределения плотности и пространственных линийтока, визуализирующих вихревые структуры.При соответствующей адаптации тех или иных этапов разработанная технологияаэродинамического проектирования может быть применена для геометрий другихклассов тел. Данная технология адаптирована для проведения расчетов на многопроцессорнойвычислительной технике. Расчеты проводились на МВС-100К МСЦРАН.Рис. 1. Геометрия летательного аппарата

122 А.С. ЕгуновРис. 2. Расчетная сеткаРис. 3. Результат расчетаУДК 519.857Динамическое программирование как метод аппроксимацииплоских кривых при наличии ограничений специального видаА.С. ЕгуновМосковский государственный технический университет радиотехники,электроники и автоматикиПри проектировании трасс линейных сооружений часто возникают задачи поэлементнойаппроксимации плоских кривых при наличии ограничений специальноговида. Проектирование трасс линейных сооружений представляет собой сложнейшуюкомплексную проблему. Ее конечной целью является нахождение непрерывной кривой(трассы), состоящей из элементов заданного вида (отрезков прямых, окружностей,клотоид, парабол и др.), удовлетворяющих целому ряду технических ограничений,выражаемых системой неравенств, и оптимальной по некоторому критерию,выражающего затраты на строительство и последующую эксплуатацию сооружения.Ограничения обусловлены необходимостью соблюдения строительных норм иправил, условиями землепользования и другими факторами. Это сложная оптимизационнаязадача, которая решается методами нелинейного программирования [1].Однако принципиальная особенность состоит в том, что изначально число элементовискомой кривой (или, иными словами, размерность задачи) неизвестно. Поэтомупроектную задачу приходится решать в три этапа.

Динамическое программирование как метод аппроксимации плоских кривых при наличии ограниченийспециального вида 1231. На первом этапе игнорируются ограничения на длину элемента, проектная и исходныелинии (число элементов исходной кривой известно) рассматриваются ввиде ломаных. Все остальные ограничения заменяются их дискретными аналогами.Решается задача оптимизации по исходному критерию (например, минимумзатрат на строительство).2. На втором этапе полученная ломаная линия (результат первого этапа) преобразуетсяв последовательность элементов заданного вида с учетом всех ограничений(в том числе и с ограничениями на длину элемента). Эта задача решается с помощьюдинамического программирования, которое в данном случае можно рассматриватькак метод аппроксимации. Для задач проектирования трасс линейныхсооружений не требуется высокая точность аппроксимации, так как нужновсего лишь установить число элементов и их примерное положение [1].3. На третьем этапе при известном числе элементов и начальном приближении решаетсязадача оптимизации по исходному критерию.Рис. 1. Сетка варьированияРис. 2. Кусочно-линейная аппроксимацияРис. 3. Аппроксимация с использованием нормалей

124 А.С. ЕгуновРис. 4. Построение первого варианта параболыРис. 5. Построение очередной параболыРис. 6. Построение последнего элементаРис. 7. Варианты построения связки дуга+отрезок прямойЛитература1. Струченков В.И. Методы оптимизации в прикладных задачах. — М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2009. — 320 с.

Применение метода взвешенных наименьших квадратовдля расчета градиентов трехмерных сеточных функций 1252. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: ИЛ, 1960. — 400 c.3. Струченков В.И., Козлов А.Н., Егунов А.С. Кусочно-линейная аппроксимацияплоских кривых при наличии ограничений // Информационные технологии. —2010. — № 12. — С. 32–34.4. Струченков В.И., Козлов А.Н., Егунов А.С. Кусочно-параболическая аппроксимацияплоских кривых при наличии ограничений // Информационные технологии.— 2011. — № 7. — С. 44–48.5. Струченков В.И., Козлов А.Н., Егунов А.С. Динамическое программирование впроектировании трасс линейных сооружений // Информационные технологии. —2011. — № 8. — С. 33–36.УДК 519.6Применение метода взвешенных наименьших квадратовдля расчета градиентов трехмерных сеточных функцийА.Ю. Лебедева 1 , А.А. Попов 1,2 , П.С. Уткин 1,2 , И.В. Семенов 1,21Институт автоматизации проектирования РАН2Московский физико-технический институт (государственный университет)Построение разностных схем повышенного порядка аппроксимации для решениятрехмерных задач газовой динамики на неструктурированных криволинейных сеткахосложнено локальной неортогональностью сеточных линий и отсутствием фиксированногосеточного шаблона. Повышение порядка в подобных случаях достигаетсяза счет восполнения сеточных функций с использованием интерполяционных схем иаппроксимации градиентов.В программном комплексе [1] вычисление градиентов сеточных функций реализованопри помощи разновидности метода взвешенных наименьших квадратов, известнойв литературе как Moving Least Squares [2], 1-го и 2-го порядков аппроксимации.Характерной особенностью метода является то, что системы линейных уравнений,возникающие в результате процедуры минимизации функционала отклонения дляметода наименьших квадратов, могут быть плохо обусловлены или вовсе вырождены,например, в случае равномерной сетки для определенного сеточного шаблона. Хорошиерезультаты при решении подобных систем обеспечивает метод SVD-разложенияматриц [3], эффективная реализация которого в библиотеке Intel Math Kernel Libraryиспользовалась в рамках данной работы.Реализован метод расчета градиента с использованием шаблонов, включающихот 7 до 27 точек. Тестирование реализованного метода демонстрирует его эффективностьпри расчете градиентов сеточной функции даже на сильно неравномернойсетке (рис. 1). Наблюдается немонотонный характер изменения погрешности методаот размера сеточного шаблона для метода первого порядка, связанный с симметричнымрасположением точек шаблона относительно рассчитываемой (рис. 2). Крометого, рис. 2 демонстрирует преимущество метода 2-го порядка над методом 1-го порядкапри числе точек шаблона не менее 12.

126 А.Ю. Лебедева, А.А. Попов, П.С. Уткин, И.В. СеменовРис. 1. Сравнение рассчитанных x-компонент градиента функции трехмерного гауссовараспределения с аналитической зависимостью на сильно неравномерной сетке.Число узлов локального шаблона в расчетах равно 16Рис. 2. Влияние размера сеточного шаблона на точность вычисления градиентафункции трехмерного гауссова распределенияЛитература1. Semenov I., Akhmedyanov I., Lebedeva A., Utkin P. Three-dimensional numericalsimulation of shock and detonation waves propagation in tubes with curved walls //Science and Technology of Energetic Materials. 2011. — V. 72 — N. 4. — P. 116–122.2. Gossler A. Moving Least Squares: A Numerical Differentiation Method for IrregularlySpaced Calculation Points // Sandia Report SAND2001-1669. — 2001.3. Press W.H. et al. Numerical Recipes in C. — Cambridge University Press, 1997. —1018 p.

Численное исследование нерегулярной ячеистой структуры детонационной волны в водородновоздушнойсмеси 127УДК 532.222.2Численное исследование нерегулярной ячеистой структурыдетонационной волны в водородно-воздушной смесиА.В. Полиев 1 , И.В. Семенов 1,21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Институт автоматизации проектирования РАНРабота посвящена численному исследованию структуры детонационного фронтав водородно-воздушной стехиометрической смеси. Целью исследования было изучениемеханизмов образования нерегулярной ячеистой структуры при детонации смеси.Расчеты проводились с помощью специально разработанного комплекса программдля моделирования многомерных реагирующих потоков на многопроцессорных ЭВМ[1]. Моделирование процесса горения водорода осуществлялось с использованием сокращённойхимической кинетики, состоящей из 17 обратимых реакций [2]. Исследовалираспространение детонации в плоском канале длиной 50 см и шириной 1см, заполненном покоящейся стехиометрической смесью водорода с воздухом принормальных условиях. Пространственное разрешение расчетной сетки составляло0.01 мм. В качестве источника зажигания использовалась та же стехиометрическаясмесь при давлении 100 атм и температуре 3000 K, расположенная в прямоугольныхобластях в начале канала на нижней и верхней стенках.В вычислительном эксперименте наблюдали нерегулярную структуру детонационныхячеек. Детонационный фронт при таком способе инициирования детонацииимеет сложную нестационарную структуру. Сразу после образования детонационнойволны размер детонационной ячейки составлял около 1 мм, в дальнейшем ячейкиувеличивались до 3–4 мм. После этого ячеистая структура становилась нерегулярной.Особое внимание уделялось рассмотрению структуры поперечных детонационныхволн. Были исследованы распределения концентраций основных компонентов реакцииH 2 , O 2 , H 2 O, OH за поперечными волнами. Результаты показали, что существуетнесколько видов поперечных ударных волн, похожий результат был получен в вычислительныхэкспериментах по моделированию детонации метановоздушной смеси[3]. Среди них можно выделить детонационные поперечные волны (рис. 1, нижняяволна). В них зона реакции имеет ширину порядка 0.05 мм и давление достигает110–120 атм. Существуют также ударные поперечные волны (рис. 1, верхняя волна).В них зона реакции отстает от фронта волны на 1–1.5 мм, а давление во фронтесоставляет 30–40 атм. При расчете с использованием сетки с пространственнымразрешением 0.05 мм форма детонационных ячеек имеет регулярный вид с характернымразмером около 1.1 мм. Это говорит о том, что для адекватного моделированияячеистой структуры детонационной волны необходимо разрешать зону реакции запоперечными волнами.

128 А.А. Попов, И.Ф. Ахмедьянов, И.В. СеменовРис. 1. Снизу — детонационная поперечная волна. Сверху – ударная поперечнаяволна. (а) – концентрация H 2 , (б) – концентрация OH, (в) – давление в 10 атмЛитература1. Semenov, I., Akhmedyanov, I., Lebedeva, A., Utkin, P. Three-dimensional numericalsimulation of shock and detonation waves propagation in tubes with curved walls //Science and Technology of Energetic Materials. — 2011. — V. 72, N. 4. — P. 116–122.2. О Conaire M., Curran H.J., Simmie J.M., Pitz W.J., Westbrook C.K. Acomprehensive Modeling Study of Hydrogen // Wiley Periodicals, Inc. Int J ChemKinet. — 2004. — N 36. — 603–622.3. Kessler D.A., Gamezo V.N., Oran E.S. Multilevel detonation cell structures inmethane-air mixtures // Proc. of the Combustion Institute. — 2011. — N 33. — 2211–2218.УДК 519.688Разработка и реализация параллельных алгоритмовдинамической сеточной адаптации для решениямногомерных задач газовой динамикиА.А. Попов 1 , И.Ф. Ахмедьянов 2 , И.В. Семенов 1,21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Институт автоматизации проектирования РАННесмотря на колоссальные скорости роста мощности современных суперЭВМ,в задачах математического моделирования все еще есть проблема ограниченностии зачастую нехватки вычислительных ресурсов. В некоторых случаях, например,при моделировании детонационных течений в полноразмерных устройствах [1] простонеобходимо применять расчетные сетки с высокой разрешающей способностьюи, следовательно, максимально использовать ресурсы вычислительной техники. Вподобных случаях становится необходимым применение динамически адаптивныхсеток [2]. Цель работы — разработка программного модуля динамической адаптациидля использования на многопроцессорных ЭВМ в рамках существующего вычислительногокомплекса [1].Перед началом расчета производится декомпозиция расчетной сетки, вследствиечего каждый процессор получает свое множество внутренних и граничных ячеек.После каждого шага расчета запускается адаптационная процедура, в качестве которойбыл выбран метод локального дробления-слияния ячеек расчетной сетки [3].Для работы процедуры в граничных ячейках процессоров происходят парные обменымежду процессорами. Для поддержания уникальности индексов ячеек и узлов сетки

Численное исследование структуры фронта детонационной волны в метановоздушной смеси 129производится синхронизация этих номеров с выделенным управляющим процессором.Число расчетных ячеек на отдельном процессоре может значительно возрастивследствие процедуры адаптации, и изначальная сбалансированность использованияпроцессоров может нарушиться, поэтому необходимо использовать метод динамическойбалансировки нагрузки. Обмен данными между процессорами реализован сиспользованием программного интерфейса MPI.Для тестирования разработанного алгоритма и программного модуля были выбранызадачи о распаде произвольного разрыва и о точечном взрыве в газе [4], таккак они имеют области с разным масштабом изменения параметров решения и имеютаналитическое решение.Литература1. Semenov, I., Akhmedyanov, I., Lebedeva, A., Utkin, P. Three-dimensional numericalsimulation of shock and detonation waves propagation in tubes with curved walls //Science and Technology of Energetic Materials. – 2011. – V. 72, N. 4. – P. 116–122.2. Попов А.А., Ахмедьянов А.Ф., Семенов И.В. Разработка алгоритмов и программногомодуля для расчета задач газовой динамики на адаптивных сетках // Труды53-й научной конференции МФТИ. Часть VII. Управление и прикладная математика.Т. 3. – М.: МФТИ, 2010. – С. 80–82.3. Loehner R., Morgan K. Improved adaptive refinement strategies for finite elementaerodynamics computations // AIAA Paper. – 1986. – N. 0499.4. Седов Л.И. Метод подобия и размерности в механике сплошных сред. – М.: Наука,1977.УДК 534.222.2Численное исследование структуры фронта детонационнойволны в метановоздушной смесиН.Е. Демидов 1,2 , И.В. Семенов 1,2 , И.Ф. Ахмедьянов 11Институт автоматизации проектирования РАН,2Московский физико-технический институт (государственный университет)В последнее время продолжает расти интерес к детонации метановоздушных смесей.Этот интерес обусловлен вопросами безопасности предприятий, работающих сприродным газом, вопросами повышения эффективности сжигания природного газаи т.п.Метан является газом с высокой энергией активации. Анализ экспериментальныхданных и вычислительных экспериментов показывает, что при детонации смесей сE a /RT фН > 6, 5 (где E a — энергия активации, T фН — температура фон Неймана, R— универсальная газовая постоянная) фронт волны неустойчив и наблюдаются вторичныедетонационные ячейки. В используемой при расчетах математической модели[1] используется одностадийная модель кинетики горения метана с отношениемE a /RT фН = 11, 9.В [2] было сделано предположение о том, что подобные явления обусловлены взаимодействиемпоперечных волн двух типов: первичных (детонационных) — поперечныеволны на фронте головной ударной волны, за которыми происходит детонация;и вторичных (инертных) — поперечные ударные волны, за которыми детонации непроисходит.В данной работе было проведено двумерное моделирование распространения детонационнойволны по метановоздушной смеси в прямоугольном канале при помощи

130 П.А. Пасынков, И.В. Семеновпрограммного комплекса, осуществляющего численное моделирование многомерныхзадач газовой динамики на многопроцессорных ЭВМ [3]. Были детально рассмотреныобразование, взаимодействие и взаимопревращение обоих типов поперечныхволн. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с экспериментомкачественно и количественно.В начале канала на фронте наблюдается очень мелкая ячеистая структура(рис. 1), которая укрупняется далее при распространении детонационной волны.Этот процесс укрупнения происходит за счет двух процессов: слияние несколькихпоперечных волн в одну и переход детонационных поперечных волн в ударные поперечныеволны при значительном увеличении зоны реакции за ними, вследствиеразвития неустойчивости. При этом при взаимодействии двух ударных поперечныхволн возможно инициирование детонационной поперечной волны.Рис. 1. Распределение максимального давления (за все время расчета) в прямоугольномканале. Размер пространственных осей в метрах. Давление в 10 атмЛитература1. Демидов Н.Е., Уткин П.С., Семенов И.В. Верификация кинетической модели горенияметана // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемыфундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладнаяматематика. — 2010. — Т. 3. — С. 82–85.2. Kessler D.A., Gamezo V.N., Oran E.S. Multilevel detonation cell structures inmethane-air mixtures // Proceedings of the Combustion Institute. — 2011. — V. 33.— P. 2211–2218.3. Semenov I., Akhmedyanov I., Lebedeva A., Utkin P. Three-dimensional numericalsimulation of shock and detonation waves propagation in tubes with curved walls //Science and Technology of Energetic Materials. — 2011. — V. 72, N. 4. — P. 116–122.УДК 623.5Применение широкодиапазонного уравнения состоянияреального газа в вычислительных задачах внутреннейбаллистикиП.А. Пасынков 1 , И.В. Семенов 1,21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Институт автоматизации проектирования РАНДля отработки современных образцов артиллерийского вооружения требуетсябольшой объем дорогостоящих и продолжительных стрельбовых испытаний. Применениеэффективных математических моделей с высокой предсказательной способностью,в частности внутрибаллистических процессов, может существенно сократитьстоимость и сроки разработки изделий.Традиционно для описания внутрибаллистических процессов в качестве уравнениясостояния (УРС) пороховых газов используется уравнение состояния типа Дюпре

Численное исследование влияния межгранулярного давления на динамику подъема пыли из слоя131с коволюмом [1], [2]. Но подобное уравнение состояния не учитывает изменяющийсяхимический состав смеси пороховых газов и некорректно описывает состояние пороховыхгазов в некоторых диапазонах давлений, температур и плотностей. В качествеальтернативного УРС применили широкодиапазонное уравнение состояния для смесиреальных газов, состоящей из 6 компонентов (CO 2 , CO, H 2 O, N 2 , O 2 и H 2 ), разработанноев Институте химической физики РАН (ИХФ РАН) [3]. ШирокодиапазонноеУРС для смеси реальных газов исследовано и построена локальная аппроксимацияданного УРС реального газа двучленным УРС. Реализована схема расчета распадапроизвольного разрыва в смеси газов, удовлетворяющих двучленному УРС, в программномкомплексе для численного решения задач внутренней баллистики [4].Проведено тестирование широкодиапазонного УРС на решении газодинамическихзадач для воздуха и модельного порохового газа. Сравнительный анализ длязадачи о распаде произвольного разрыва в смеси газов, проведенный для УРС реальногогаза, УРС с коволюмом и УРС идеального газа, показывает хорошее совпадениедля низких плотностей и отличие для высоких.Литература1. Серебряков М.Е. Внутренняя баллистика ствольных систем и пороховых ракет.— М.: Оборонгиз, 1962.2. Хоменко Ю.П., Ищенко А.Н., Касимов В.З. Математическое моделирование внутрибаллистическихпроцессов в ствольных системах. — Новосибирск: Изд-во СОРАН, 1999.3. Кузнецов Н.М., Дубровский А.В., Фролов С.М. Аналитическая аппроксимациятермических и калорических уравнений состояния реальных газов в широкомдиапазоне плотности и температуры // Сверхкритические Флюиды: Теория иПрактика. — 2011. — Т. 6, № 1. — С. 25–52.4. Семенов И.В., Уткин П.С., Ахмедьяно, И.Ф., Меньшов И.С. Применение многопроцессорнойвычислительной техники для решения задач внутренней баллистики// Вычислительные методы и программирование. — 2011. — Т. 12. — С. 183–193.УДК 532.222.2Численное исследование влияния межгранулярного давленияна динамику подъема пыли из слояИ.А. Бенидовский 1 , И.В. Семенов 1,21Московский физико-технический институт (государственный университет)2Институт автоматизации проектирования РАНПри моделировании пылевых взрывов в промышленности важную роль играетадекватное моделирование подъема и диспергирования пыли из плотных слоев,образующихся на различных поверхностях, например, внутри тоннелей и шахт. В[1] численно исследовалась задача дисперсии слоя пыли со стенок плоского каналаза проходящей ударной волной. В качестве основного механизма, обеспечивающегоподъем пыли, рассматривалась сила Магнуса, действующая на частицу в завихренномпотоке газа. Было продемонстрировано качественное соответствие результатовчисленного моделирования данным натурных опытов [2]. Вместе с тем было отмечено,что существует ряд других факторов, влияющих на динамику дисперсии пылевогослоя. Целью данной работы является численное исследование одного из этих

132 И.А. Бенидовский, И.В. Семеновфакторов, а именно межгранулярного давления, возникающего при плотной упаковкечастиц в слое. В отличие от [1] математическая модель движения гетерогеннойсреды, основанная на подходе взаимопроникающих континуумов с учетом межфазноговзаимодействия, включает давление в дисперсной фазе [3]. Межгранулярноедавление определяется формулой⎧ [ ( ) ]⎨k1−βB 0σ(β) =− 1−β − 1 при β > β 0 ,⎩0 иначе,где β 0 — объемная доля, соответствующая плотной упаковке частиц, а параметры Bи k — эмпирические константы, определяемые на основе экспериментальных данных.В численных экспериментах варьировались значения констант β 0 и B. Более подробноеописание используемой математической модели и вычислительного алгоритмасодержится в [3]. Постановка задачи соответствует работе [1]. Рассматривается плоскийканал, заполненный воздухом, с тонким слоем инертной пыли толщиной 2 мм нанижней стенке. Диаметр частиц составляет 100 мкм. Параметры в камере высокогодавления подобраны таким образом, что на входе в секцию для наблюдений ударнаяволна имеет скорость около 500 м/с. Были выполнены расчеты с двумя значениямиконстанты β 0 , равными 0.35 и 0.7. Для сравнения была измерена задержка подъемапыли за проходящей ударной волной. На рис. 1 показана динамика подъема пылиза ударной волной для случая β 0 = 0.35. В результате установлено, что для слоя сменее плотной упаковкой время задержки подъема больше. Это обусловлено процессомкомпактирования пыли в слое. Также было исследовано влияние эмпирическойконстанты при двух различных значениях, равных 1.5·10 3 атм и 4.5·10 3 атм. Вычислительныйэксперимент показал незначительное увеличение интенсивности подъемадисперсной фазы при трехкратном увеличении значения B.Рис. 1.Литература1. Уткин П.С., Семенов И.В. Численное исследование динамики подъема пыли изслоя // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальныхи прикладных наук». — 2010. — Т. 3. — С. 86–88.2. Zydak P., Klemens R. Experimental Investigation into Coal Dust Lifting Processbehind Shock Wave for Different Dust Layer Thickness // Proc. 7th ISHPMIE. —2008. — V. 1. — P. 22–43.3. Семенов И.В., Уткин П.С., Ахмедьянов И.Ф., Меньшов И.С. Применение многопроцессорнойвычислительной техники для решения задач внутренней баллистики// Вычислительные методы и программирование. — 2011. — Т. 12. — С.183–193.

Научное изданиеТруды54-й научной конференции МФТИПроблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наукв современном информационном обществеУправление и прикладная математика. Том 1Составители:А.Е. Алексеенко, А.В. Гасников, А.М. Казённов, Е.Г. Молчанов, Е.Ю. ЧиркинаРедакторы:В.А. Дружинина, И.А. Волкова, О.П. Котова, Л.В. СебоваНабор и вёрстка:А.Е. Алексеенко, Е.А. Аникушкина, А.М. Казённов, Д.М. Казённова,Е.А. Казённова, Н.Г. Петракова, Е.В. Пруцкова, Е.С. Шубина, Н.Д. ШуваловПодписано в печать 21.11.2011. Формат 60 × 84 1 ⁄16Усл. печ. л. 16,75. Уч.-изд. л. 15,0. Тираж 100 экз. Заказ № 117.Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего профессионального образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)»141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф»141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9