E - Одеський Національний Університет імені І. І. Мечникова

4. ОПТИЧНІ ТА ФОТОЕЛЕКТРИЧНІ ЯВИЩАВ НАПІВПРОВІДНИКАХ.............................................................884.1. Поглинання світла у напівпровідниках………………......884.1.1. Основні характеристики електромагнітноговипромінювання..............................................................884.1.2. Власне поглинання світла в напівпровідниках……….904.1.3. Поглинання світла у прямозоннихнапівпровідниках.............................................................924.1.4. Поглинання світла у непрямо зоннихнапівпровідниках.............................................................944.1.5. Застосування поглинання світлау напівпровідниках……………………………………..964.2. Рекомбінація електронів і діроку напівпровідниках...................................................................974.2.1. Випромінювальна і невипромінювальнарекомбінація…………………………………………….974.2.2. Міжзонна випромінювальна рекомбінація....................994.2.2.1. Міжзонна випромінювальна рекомбінаціяу прямозонних напівпровідниках………….…1004.2.2.2. Міжзонна випромінювальна рекомбінація унепрямозонних напівпровідниках.....................1024.3. Нерівноважні електрони і дірки..........................................1044.3.1. Квазірівні Фермі для електронів і дірок......................1044.3.2. Концентрації нерівноважних електронів і дірок…....1064.4. Генерація і рекомбінація нерівноважних електронів ідірок у однорідному напівпровіднику...............................1074.4.1. Кінетичне рівняння для нерівноважних носіївзаряду…………………………………………………..1074.4.2. Стаціонарні концентрації нерівноважних електронів ідірок у напівпровіднику. Фотопровідність ................1104.4.3. Кінетика фотопровідності після „включення”генерації носіїв заряду………………………….....1124.4.4. Кінетика фотопровідності після припинення генераціїносіїв заряду...................................................................114Контрольні запитання до розділу 4 ...........................................116ЛІТЕРАТУРА.................................................................................1185

ПЕРЕДМОВАПосібник написано для студентів 3-го курсу спеціалізації"Фізика твердого тіла і твердотільна електроніка", які вивчаютьперший спеціальний курс – "Фізичні основи твердотільноїелектроніки". Головним завданням даного курсу є ознайомленнястудентів з основними положеннями і термінологією фізикитвердого тіла і фізики напівпровідників.Автор дає поняття про сили зв'язку в кристалах, на прикладахколивань атомних ланцюжків знайомить з особливостямиакустичних та оптичних коливань, дає поняття про зони Бріллюена,про фонони, показує, чим визначається число незалежних коливанькристалічної ґратки.На елементарному рівні викладено відомості проенергетичний спектр і властивості електронів у кристалах, пропрямозонні та непрямозонні напівпровідники, про точкові дефекти,про статистику електронів і дірок у кристалі, про вплив домішок наконцентрації носіїв заряду.В розділі, присвяченому електричним властивостямнапівпровідників, вводяться поняття про дрейф і дифузію носіївзаряду, про довжину екранування у напівпровіднику, виводитьсяспіввідношення Ейнштейна.Окремий розділ присвячено оптичним і фотоелектричнимявищам у напівпровідниках. Обговорюються особливостіоптичного поглинання та випромінювальної рекомбінації впрямозонних і непрямозонних напівпровідниках. Вводятьсяпоняття про невипромінювальну рекомбінацію, про квазірівніФермі, про час життя носіїв заряду.В посібнику описано лише основні, на думку автора, явища вкристалах, вивчення яких буде предметом наступних спеціальнихкурсів.Автор користується найпростішими способами описаннярівноважних і нерівноважних процесів у напівпровідниках, поможливості обмежуючись мінімальним використаннямматематичних засобів.Велика увага приділяється організації неперервного контролюзнань, які допоможуть у вивченні всіх наступних спеціальнихкурсів.6

І. СИЛИ ЗВ’ЯЗКУ І ДИНАМІКА КРИСТАЛІВ1.1. Класифікація кристалів за типом зв’язку1.1.1. Іонні кристалиКристали з іонним зв’язком складаються із позитивних інегативних іонів, як схематично показано на рис. 1.1. Розглянемокристал NaCl. Натрій належить до першої (І) групи таблиціМендедєєва, а значить, атом натрію має один валентний електрон.Цей електрон має найменшу енергію зв’язку серед усіх електронівданого атома і відносно легко може «відірватися» від атома. Прицьому атом натрію (Na) перетворюється у позитивний іон натрію(Na + ). Хлор належить до сьомої (VII) групи таблиці Мендедєєва, а+++++– Na +– Cl –++++Рис. 1.1. Структура іонного кристала.значить, атом Cl має 7 валентних електронів. До утвореннязамкнутої електронної оболонки атому Cl не вистачає одногоелектрона. Тому атом хлору легко «приймає» додатковий електроні перетворюється у негативний іон хлору (Cl - ).При утворенні кристала NaCl атоми натрію віддають свійвалентний електрон атомам хлору. При цьому іони Na + і Cl - маютьзамкнуті електронні оболонки, які у кристалі практично неперекриваються. Тому іонний зв’язок обумовлюєтьсяелектростатичною взаємодією протилежно заряджених іонів.Іонний зв’язок мають кристали NaCl, LiF, Al 2 O 3 , Cr 2 O 3 та ін . .7

1.1.2. Кристали з ковалентним (гомополярним) зв’язкомКовалентний зв’язок у кристалах здійснюється за рахунокперекриття електронних хмаринок валентних електронів. Валентніелектрони стають спільними для сусідніх атомів. Походженняковалентного зв’язку схематично показано на рис. 1.2. Два атомизближуються настільки, що їхні оболонки перекриваються+ + aρρбx 1 x 2 xРис. 1.2. Перекриття електронниххмаринок двох атомів при ковалентномузв’язку.(рис. 1.2а). На рис. 1.2б показано, як при цьому змінюєтьсярозподіл густини заряду електронів. Суцільні лінії на рис. 1.2бпоказують, якою була б залежність ( x), якби електронніхмаринки при їх перекритті не взаємодіяли, а штрихова лініясхематично ілюструє, якою стає залежність ( x)в результатівзаємодії електронних хмаринок. Негативний заряд, якийутворюється у місці перекриття електронних хмаринок, взаємодіє зпозитивно зарядженими атомними залишками і обумовлює зв’язокміж атомами.Ковалентний зв’язок мають кристали, що складаються затомів одного хімічного елемента IV групи: кристали алмазу (C),кремнію (Si), германію (Ge). Розташування сусідніх атомів утакому кристалі схематично показано на рис. 1.3. Кожен атомзнаходиться у центрі тетраедра і має чотирьох сусідів. Зв’язок між8

двома сусідніми атомами здійснюється двома спільнимиелектронами.Для кристалів з ковалентним зв’язком характернанаправленість зв’язку: прямі, що з’єднують центри сусідніх атомів,створюють фіксовані кути. Насиченість ковалентного зв’язкуозначає: кожний атом має зв'язок з певним, фіксованим числоматомів.Багато кристалів маютьпроміжний зв'язок між ковалентнимта іонним. Кристали сполук A III B V ,тобто сполук елементів ІІІ та V груп,наприклад, арсеніду галію (GaAs),фосфіду галію (GaP), антимонідуіндію (InSb) мають змішаний зв’язок(в якому переважає часткаРис. 1.3. Направленість ковалентнихзв’язків у кристалі.ковалентного зв’язку).Кристали сполук A II B VI , тобтосполук елементів ІІ та VI груп, маютьпроміжний зв'язок, ближче доіонного. Це кристали сульфіду цинку (ZnS), селеніду цинку (ZnSe),сульфіду кадмію (CdS), селеніду кадмію (CdSe), телуриду кадмію(CdTe) та ін.1.1.3. Металічні кристалиВ кристалах з металічним зв’язком атоми віддають валентніелектрони всьому кристалу. Структура кристала з металічнимзв’язком схематично показана на рис. 1.4. Упорядковано розміщеніпозитивні іони знаходяться у негативно зарядженій «електроннійрідині» (у «електронному газі»). Розподіл електронної густини уметалічному кристалі схематично показано на рис. 1.5. За рахуноквзаємодії позитивних іонів з «електронним газом» і здійснюєтьсяметалічний зв’язок. Металічні кристали утворюють атоми Na, K,Ca, Cu, Ag, Au, Al та ін. Для металічних кристалів характерні таківластивості: висока електропровідність, обумовлена наявністюелектронів, які вільно рухаються у кристалі; непрозорість,обумовлена поглинанням електромагнітних хвиль у провідномусередовищі; висока відбивна здатність (металічний блиск), яка9

також обумовлена наявністю високої концентрації рухливих++ + +ρ+ + ++++ + ++++ + ++x 1x 2xРис. 1.4. Схема металічногозв’язку.Рис. 1.5. Розподіл електронноїгустини у металічному кристалі.електронів. Пластичність багатьох металів обумовлена меншою«жорсткістю» зв’язку порівняно з кристалами з іонним таковалентним зв’язком.1.1.4. Молекулярні кристалиМолекулярний кристал складається з атомів або молекул, міжякими діють сили Ван-дер-Ваальса. В таких атомах і молекулахелектронні оболонки замкнуті. Тому між ними не здійснюється нііонний, ні ковалентний зв’язок. Молекули мають дипольниймомент, або ж дипольний момент індукується внаслідок взаємодії ізсусідніми молекулами (атомами). Взаємодія двох диполівсхематично показана на рис. 1.6. Залежність потенціальної енергіївзаємодії двох диполів від відстані+ + між ними відповідає виразу6U 1 r , (1.1)P 1P 2Рис. 1.6. Взаємодія диполів умолекулярних кристалах.де r – відстань між диполями.Молекулярний зв'язок мають утвердому стані кристали інертнихгазів (елементів VIII групи): A r , X e ,…,а також кристали O 2 , H 2 , HCl,… Молекулярні кристали утворюютьмолекули більшості органічних речовин.Енергія зв’язку в молекулярних кристалах набагато менша,ніж у кристалах з ковалентним, іонним та металічним зв’язком.10

Характерні властивості молекулярних кристалів: низька точкаплавлення, низька точка кипіння. Ці властивості обумовленіслабкістю молекулярного зв’язку.1.1.5. Кристали з водневим зв’язкомВ таких кристалах зв’язок здійснюється за допомогою іонівводню H + . Атом водню має малі розміри (борівський радіуса В =0,053нм). Тому він має не більше двох сусідів. Розташуванняатомів кисню та водню у кристалах льоду схематично показано нарис. 1.7а. Спрощена схема здійснення водневого зв’язку вкристалах льоду ілюструється на рис. 1.7б. Атом водню зв’язаний здвома атомами кисню, атом кисню – з 4 атомами водню.Кристалічна ґратка має ажурну структуру. Між атомамизнаходяться великі порожнини, в які можуть легко проникатиатоми домішок.Водневий зв'язок, крім кристалів льоду (H 2 O), маютьфтористоводневі сполуки, білкові молекули та ін. Важливу рольводневий зв'язок відіграє в деяких сегнетоелектричних кристалахОНОНОНННОНОНОНННОНОНОабРис. 1.7. Схема розташування атомів кисню і водню у кристалільоду (а) та спрощена схема зв’язків у даному кристалі (б).11

(дигідрофосфаті калію КDР та ін.).Кристали з водневим зв’язком схильні до полімеризації.1.2. Коливання простої кристалічної ґратки1.2.1. Взаємодія атомної та електронної підсистем укристаліПри розгляді руху атомних ядер і електронів у молекулах ікристалах враховують, що маса ядра суттєво більша, ніж масаелектрона. Так, відношення маси протона до маси електронаскладає Mp/ me 1836,13. Для кристала кремнію відношення масиатома до маси електрона складаєMa/me 51408. (1.2)У рівноважному стані2 2meeMaa , (1.3)2 2де e і – a значення середньої квадратичної швидкості електрона іатома, відповідно. Це означає, що відношення середніх швидкостейелектрона і атома кремнію складає / M / m 226. (1.4)e a a eТаким чином, швидкість електронів у кристалі набагатобільша, ніж атомів. Поки атом здійснить одне коливання, електронможе здійснити сотні «обертів» навколо ядра або зіткнутися зсотнями атомів. Тому при розрахунках руху електронів і ядер ватомах використовують так зване адіабатичне наближення.Вважають, що ядра атомів нерухомі й розміщені в деякому порядку(ядерна підсистема „закріплена”). При цьому розраховують енергіюелектронів (електронної підсистеми). При розрахунках координатиядер вважаються фіксованими параметрами. Потім беруть іншікоординати ядер і знову розраховують енергію електронноїпідсистеми і повторюють розрахунки при зміні координат ядер.Тоді енергія електронної підсистеми буде залежати від координатядер. А ми знаємо, що енергія, яка залежить від взаємногоположення тіл це – потенціальна енергія. Тобто, на другому етапірозрахунків – при розрахунках руху ядер (важкої підсистеми) –12

енергію електронної (легкої) підсистеми вважають внеском допотенціальної енергії Е р атомних залишків. При русі атомнихзалишків електрони встигають „слідувати” за цим рухом, встигаютьдосягати стаціонарних станів при кожній зміні положень ядер.Такі розрахунки дають, наприклад, для двоатомної молекулизалежність E ()E pr 0pРис. 1.8. Залежністьпотенціальної енергіїмолекули від відстаніміж ядрами атомів.r , тобто залежність потенціальної енергії молекуливід відстані між ядрами атомів,схематично зображену на рис. 1.8.Потенціальна енергія має мінімум уточці r 0 , що відповідає рівноважномустану молекули.Залежність потенціальної енергіїrкристалічної ґратки від положенняодного з атомів схематично показанана рис. 1.9. Рівноважному положеннюатома відповідає його координата х 0 .Розклад потенціальної енергії в рядТейлора у околі точки х х0даєE pх 0Рис. 1.9. Залежністьпотенціальної енергіїкристалічної ґратки відположення одного затомів.х21 d Ep0 2Ep( x) Ep( x ) ... (1.5)2 dxЗнехтувавши нескінченно малими більшвисоких порядків, ми отримаємопараболічну залежність Ep( x ), показануштриховою кривою на рис. 1.9. Таказалежність відповідає гармонічномуосцилятору (математичному маятнику).Таким чином, при малих відхиленняхатома від рівноважного положенняможна вважати, що на нього дієвертаюча сила, пропорційна довідхилення.1.2.2. Коливання ланцюжка однакових атомівРозглянемо одновимірну модель кристалічної ґратки –ланцюжок однакових атомів, фрагмент якого показаний на рис.13

1.10. Будемо вважати, що на n-й атом діють лише сили з бокуатомів, які мають номери n-1 та n+1, тобто з боку найближчихсусідів. Якщо відхилення n-го атома від положення рівновагистановить и n , то з боку n+1-го атома на n-й атом діє сила:F u u(1.6),nn , 1 n n1 u n-1u n+1n-1 n n+1Рис. 1.10. Фрагмент ланцюжкаатомів.де u n+1 – відхиленняn+1-го атома відрівноважного положення.Таким же чиномможна знайти силу, щодіє на n-й атом з боку n-1-атома:F u u(1.7).nn , 1 n n1 В цих формулах β – стала величина (для даного кристала при данійтемпературі), яка характеризує «жорсткість» зв’язку.Врахувавши ці дві сили, ми можемо записати другий законНьютона для n-го атома:2dun22 n n1 n1.m u u u(1.8)dtРозв’язок цього рівняння (лінійного однорідного диференціальногорівняння другого ступеня) шукаємо у виглядіu 0 exp ,nun i tkna (1.9)де а – період ґратки; na= – рівноважна координата n-го атома; – циклічна частота коливань:2 ; (1.10)TТ – період коливань; k – хвильове число (у 3-вимірному випадку –хвильовий вектор), яке пов'язане з довжиною хвилі λспіввідношенням2k . (1.11)14

Якщо зафіксувати фазу коливань, тобто взятиt kx const(1.12)і продиференціювати по t ліву і праву частини даної рівності, тоодержимо:dx k 0,(1.13)dtзвідки отримаємо фазову швидкість хвилі, тобто швидкістьпоширення хвильового фронту dx dt k. (1.14)Підставимо у рівняння (1.8) його частковий розв’язок (1.9).Врахуємо:ikaun1 une; .ika(1.15)un1 uneТоді отримаємо:2dunika ika u2 n 2 e e .(1.16)dt mІз (1.9) отримуємо диференціюванням:Тоді (1.16) прийме вигляд:dudtn2dun2dtm iun;2un .(1.17)2ika ikaun un2 e e . (1.18)Ця рівність повинна виковуватися при всіх значеннях u n .Тому поділимо ліву і праву частини рівності на u n і отримаємо:2 ika ika 2 ee.m (1.19)Врахуємо, що вираз у круглих дужках15

ika ikae e 2cos ka.(1.20)Крім того,2 ka1coska 2sin .(1.21)2Тоді (1.19) перепишемо у вигляді:ω–2π/a–π/a02π/akРис. 1.11. Дисперсійна крива для акустичниххвиль у ланцюжку з однакових атомів.mka22 2 4 sin ,(1.22)звідки, з урахуванням того, що ω >0, отримаємо: ka 2 sin .(1.23)m 2Ми отримали залежність ω(k) для поширення хвиль уланцюжку атомів. Ця залежність (і відповідна крива) ω=ω(k)називається дисперсійною залежністю (і дисперсійною кривою)для пружних хвиль у атомному ланцюжку. На рис. 1.11 показанаотримана нами залежність ω(k), що відповідає формулі (1.23). Ізформули видно, що при k→0 отримаємо ω→0. Приkak отримаємо sin 1, звідки знайдемо максимальнеa2значення циклічної частоти коливаньmax 2 .(1.24)m16

1.2.3. Швидкість поширення хвиль у атомному ланцюжкуФазова швидкість хвиль, що поширюються в атомномуланцюжку, визначається формулою (1.14). Врахувавши (1.23),отримаємо 2 kasin .k m 2(1.25)При малих значеннях k маємоka kasin ,(1.26)2 2i ми отримаємоде функціяпри k>0 sign k =+1. asignk,m(1.27)sign k ;signk означає "знак k" , тобто, при k

EYm a; .(1.30)aДля сталі EY =1.96·10 11 кг·м -1 с -2 ; ρ=8·10 3 кг·м -3 , що дає υ 0 ≈5·10 3 м·с -1 .З урахуванням (1.28) вираз для фазової швидкості хвиль (1.25)можна переписати у виглядіsin ka / 2 0.(1.31)ka /2Із формули (1.31) видно, що зі зростанням хвильового вектора (азначить, і частоти) фазова швидкість зменшується і будемінімальною при k .2min 20.(1.32) 2 Групова швидкість поширення хвиль (швидкість переносуенергії) виражається якdg .(1.33)dkВрахувавши дисперсійну залежність ( 1.23 ) , отримаємо ka kag 2 cos .m 2 2 (1.34)kaПри малих значеннях k , тобто при k , врахуємо cos 1,a 2 що дає .(1.35)gПри зростанні хвильового вектора (і частоти) υ g зменшується. При k маємо cos 0, тобто g 0. Це означає, що приa 2 2 k ми маємо стоячі хвилі.a 18

1.2.4. Зони Бріллюена2Із рис. 1.11 видно, що хід функції ω(k) в області 0 ka2повторює її хід в області k 0, тобто функція ω(k)aперіодична з періодом 2 :a 2 kk ,(1.36) a де ν=±1,±2,±3,... . Це обумовлено дискретністю ланцюжка атомів(дискретністю кристалічної ґратки ) і періодичністю розташуванняатомів.При k отримаємо мінімальну довжину хвилі в даномуaатомному ланцюжкуmin 2 a.(1.37) a Для будь-якої хвилі з хвильовим вектором, що не входить вінтервал, можна знайти тотожну з нею хвилю з хвильовим вектором ; 2 2в даному інтервалі. Тому інтервал значень хвильового вектора ; 2 2описує всі хвилі, які можуть поширюватися в атомному ланцюжку. Цей інтервал ; 2 2значень хвильового вектора k називають першою зоноюБріллюена для хвиль в атомному ланцюжку. Всі інші зониБріллюена мають ту ж довжину 2 a і дають ті ж самі хвилі, що іперша зона Бріллюена.У двовимірному і тривимірному кристалах також вводять,відповідно, двовимірну та тривимірну перші зони Бріллюена.19

1.3. Коливання складної кристалічної ґраткиЯкщо в елементарній комірці кристалічної ґратки знаходятьсядва і більше атомів, існують два типи коливань: акустичні таоптичні.1.3.1. Коливання ланцюжка із атомів двох сортівРозглянемо коливання ланцюжка із атомів двох сортів,показаного на рис. 1.12. У ланцюжку є атоми з масами m і M.Відстань між сусідніми атомами складає d; період (відстань міжmMa=2d2n-1 2n 2n+1dРис. 1.12. Коливання ланцюжка з атомів двох сортів.однаковими атомами) дорівнює a=2d.Запишемо другий закон Ньютона для двох атомів, щознаходяться в одній елементарній комірці:2du2nm 2u 2 2n u2n 1 u2n1; (1.38)dt2du2n1M 22u2n1 u2n u2n2. (1.39)dtБудемо шукати розв’язок даної системи рівнянь у виглядіu exp 2 ;2n A1 i t nkd (1.40)u exp 2 1 .2n1A2 i t n kd (1.41)Підстановка цих розв’язків у рівняння (1.38) і (1.39) дасть:2ikd ikd mA1 2A1A 2e e ; (1.42)2ikd ikd MA2 2A2 A1e e . (1.43)Перепишемо ці рівняння у вигляді:20

2 2 2 m A 2 cos kd A 0;(1.44)1 22 cos kd A 2 M A 0.(1.45)1 2Ми отримали систему двох лінійних однорідних рівнянь відносноамплітуд А 1 і А 2 коливань атомів. Ця система має ненульовірозв’язки у випадку, коли детермінант із коефіцієнтів дорівнюєнулю:22 m2coskd 0.22coskd2 M(1.46)Із (1.46) ми отримаємо співвідношення дисперсії:12 2 22 1 1 1 1 4sin kd m M m M Mm 1.3.2. Акустичні та оптичні коливання.(1.47)Із (1.47) бачимо, що є два дисперсійні співвідношення, яківідповідають знакам "+" і "–" перед другим доданком справа урівності (1.47). При k 0 ( a ), коли взяти знак "–",співвідношення має вигляд2 22 dka 2 .(1.48)M mЗа врахуванням рівності d a/2, де а – період ґратки, миотримаємо:a a 2M mk . (1.49)Ми бачимо, що у цьому випадку залежність a k для ланцюжка ізатомів двох сортів при k 0 така ж, як і для ланцюжка із атоміводного сорту. Такі коливання називаються акустичними.Розв’язок зі знаком "+" дає при k 0: 2 1 1o2 (1.50) ;mM 1 1o2 (1.51) .mM Видно, що в області k 0( a ) 0 =const. Такі коливанняназиваються оптичними.21

2ω0оптичніакустичні2Рис. 1.13. Дисперсійні криві дляакустичних і оптичних коливань.kНа межі першої зониБріллюена, тобто при k маємо (при m>M)a 2d2 a ;M(1.52)2 o .m(1.53)Дисперсійні криві дляакустичних і оптичнихколивань схематично показаніна рис. 1.13.1.3.3. Коливання атомів різних сортів при a вакустичній хвиліРозглянемо випадок акустичних коливань при k0 . Із (1.49) отримаємо 0. Тоді з (1.44) одержімо:А 1 =А 2 (1.54)Таким чином, при в акустичних коливаннях амплітуди іu0xРис. 1.14. Зміщення атомів різнихсортів у акустичній хвилі при a .фази зміщень атомів різних сортів однакові. Зміщення атомів уакустичній хвилі у деякий момент часу показані на рис. 1.14.Елементарна комірка кристалічної ґратки коливається як одне ціле.Кристал коливається, як неперервне (не дискретне) середовище. В22

спектральній області чутливості людського вуха( /(2 )20Гц–20кГц) такі коливання – звичайні звукові(акустичні) коливання. Тому вказані коливання у всій областіхвильових векторів [ / a, / a]називаються акустичними.1.3.4. Коливання атомів різних сортів при a уоптичній хвиліРозглянемо тепер коливання атомів різних сортів у оптичнійхвилі при a ( k 0 ). Із (1.44) при k 0 отримаємо22 m A 2 A2.1(1.55)2Підставивши 0з (1.50), отримаємо:A1M ,(1.56)A2mабоAm AM . (1.57)u1 200А 1А 2xРис. 1.15. Зміщення атомів різнихсортів у оптичній хвилі при a .Таким чином, в оптичних хвилях атоми двох сортівколиваються в протифазі. Зміщення атомів у оптичній хвилі удеякий момент показані на рис. 1.15.Амплітуди коливань обернено пропорційні до мас атомів. Із(1.57) видно, що при a при оптичних коливаннях центр маселементарної комірки нерухомий.На рис. 1.16 показано коливання атомів у одній елементарнійкомірці в оптичній хвилі при a . В іонному кристалі23

(наприклад, NaCl), атоми іонізовані. Це значить, що елементарнакомірка має дипольний момент. У рівноважному стані модульдипольного моменту елементарної комірки дорівнюєP0 qd,(1.58)де q – заряд іона, d рівноважна відстань між іонами. Унерівноважному стані відстань між атомами періодично змінюєтьсяз частотою ω. Тоді залежність дипольного моменту комірки відчасу має виглядi tP P Pe , (1.59)0де P – амплітуда коливань дипольного моменту, яка визначаєтьсямаксимальною зміною відстані між іонами в комірці при їхколиваннях. А коливання диполя ведуть до випромінюванняелектромагнітних хвиль (в даномуРис. 1.16. Положення атомівдвох сортів:а – рівноважні;б –при оптичних коливаннях.абвипадку в оптичному діапазоні). Зіншого боку, поглинанняелектромагнітних хвиль (звичайно, вінфрачервоній області) веде догенерації коливань даних диполів.Тому такі коливання називаютьсяоптичними.Таким чином, оптичніколивання у кристалах з хоча бчастково іонним зв’язком сильновзаємодіють з електромагнітнимихвилями.При акустичних коливаннях вся елементарна коміркарухається як одне ціле, і тому її дипольний момент незмінюється. Акустичні коливання слабко взаємодіють зелектромагнітними хвилями.1.4. Властивості коливань кристалічної ґратки1.4.1. Число незалежних коливаньКристал складається із обмеженого числа атомів, а значить,має обмежене число ступенів свободи. Це веде до обмеженогочисла незалежних коливань кристалічної ґратки. Розрахуємо число24

коливань ланцюжка з N однакових атомів. Для обмеженоголанцюжка треба ввести граничну умову. Найпростіша граничнаумова – умова циклічності. Замкнемо кінець і початок ланцюжка,як показано на рис. 1.17.Для відхилення від рівноважногоположення атома в акустичній хвиліn=1n=NN-числоперіодів(атомів)Рис. 1.17. Замкнутийланцюжок із N атомівможна записати:unt Aexp itkna . (1.60)Умова циклічності має виглядun un N , (1.61)оскільки n-й атом одночасно має номерn+N. Тоді, підставивши (1.61) в (1.60),отримаємо A exp i t kna A exp i t k n N a . (1.62)Із тотожності (1.62) отримаємо:ikNae 1,(1.63)звідкиkNa 2 ,(1.64)де ν=1, 2, 3 …,тобто хвильовий вектор має дискретні значення:2 k .(1.65)a NОскільки в 1-й зоні Бріллюена k ,(1.66)a aчисло ν отримає значенняN N ,(1.67)2 2тобто повне число незалежних коливань дорівнює N.Таким чином, повне число незалежних коливанькристалічної ґратки дорівнює N, де N – число ступенів свободиґратки.Цей висновок справедливий і для 3-вимірної кристалічноїґратки незалежно від числа атомів у елементарній комірці.25

1.4.2. Коливання 3-вимірної кристалічної ґраткиВ простій кристалічній ґратці знаходиться один атом велементарній комірці. Це означає, що елементарна комірка має триступені свободи. Для коливань атома треба записати 3 незалежнірівняння (вирази для другого закону Ньютона).Система з трьох рівнянь дасть 3 дисперсійні криві, показані нарис. 1.18. Криві 1 і 2 відповідають поперечним коливанням; крива 3– поздовжнім коливанням.У кубічних кристалах криві 1 і 2 збігаються, тобто поперечніколивання вироджені. Це означає, що, наприклад, хвилі зізміщенням атомів вздовж осей ox і oy мають однакові частоти. АωПоздовжні хвилі321a0Поперечні хвиліaРис. 1.18. Дисперсійні криві для коливаньпростої кристалічної ґратки.k iхвилі вздовж осі oz (напрямку поширення хвилі) мають, звичайно,більшу частоту коливань при заданому значенні хвильовоговектора k, ніж поперечні.Якщо ґратка має два атоми в елементарній комірці, то коміркамає 6 ступенів свободи. Тоді буде 6 дисперсійних кривих: 3акустичні (які відповідають трьом ступеням свободи центра маскомірки) і 3 оптичні, як показано на рис. 1.19.Гілки дисперсійних кривих акустичних коливань, як і саміколивання та їхні частоти позначаються абревіатурами LA(longitudinal acoustic – поздовжні акустичні) та TA (transversalacoustic – поперечні акустичні). Гілки дисперсійних кривихоптичних коливань, як і самі коливання та їхні частотипозначаються абревіатурами LO (longitudinal optical – поздовжні26

оптичні) та TО (transversal optical – поперечні оптичні).Узагальному випадку елементарна комірка може мати S атомів, тодібуде 3S гілок дисперсійних кривих, за числом ступенів свободи.ωLOLATOOAa0 iРис. 1.19. Дисперсійні криві для коливаньскладної ґратки, що має 2 атоми в елементарнійкомірці.При акустичних коливаннях (при a) всі атоми в комірцірухаються однаково, як і центр мас комірки. Тому, незалежно відчисла атомів у елементарній комірці, буде 3 гілки дисперсійнихкривих для акустичних коливань (за числом ступенів свободицентра мас). Інші 3S–3 гілки дисперсійних кривих будутьвідповідати оптичним коливанням.Аналіз спектру коливань кристалічної ґраткивикористовується для дослідження сил взаємодії атомів укристалах. З іншого боку, взаємодія коливань кристалічної ґратки зелектронами і фотонами використовується в оптоелектроніці та внелінійній оптиці.1.5. Фонони1.5.1. Фонони – кванти коливань кристалічної ґраткиЗапишемо другий закон Ньютона для гармонічногоосцилятора (математичного маятника):TAak27

2d x x.2mdt (1.68)Розв’язок цього лінійного однорідного диференційного рівняннядругого ступеня шукаємо у вигляді:i 0tx x0 e .(1.69)Із (1.69) отримаємо:dx i; 0xdt(1.70)2d x 2 2 0x.dt(1.71)Підставивши (1.71) в (1.68), отримаємо2m0 x x,(1.72)звідки частота власних коливань гармонічного осцилятора0 .m(1.73)Квантова механіка дає енергію гармонічного осцилятора1E 0 , 2 (1.74)де ν= 0, 1, 2, 3,…EЕнергетичний спектр осцилятора4 показаний на рис. 1.20. Відстань міжсусідніми енергетичними рівнями3 складаєРис. 1.20.Енергетичнийспектр гармонічногоосцилятора.21ν=0E . 0 (1.75)Переходи між енергетичними рівнямиосцилятора здійснюються привиконанні правила відбору 1, (1.76)тобто переходи відбуваються міжсусідніми енергетичними рівнями.Переходи зі збільшенням енергіївідбуваються при поглинанні енергії,а зі зменшенням – при передачі енергіїзовнішньому середовищу (наприклад, при випромінюванніфотона).28

Кванти коливань кристалічної ґратки називаютьсяфононами (по аналогії з фотонами). Поняття про фонони буловведено в 1930 р. І. Є. Таммом. Енергія фонона визначаєтьсяформулою (1.75).Кванти акустичних коливань називаються акустичнимифононами. Кванти оптичних коливань називаються оптичнимифононами. Розрізняються поздовжні акустичні (LA) і поперечніакустичні (TA) фонони. Абревіатури утворені від англійських слів:longitudinal acoustic та transversal acoustic.Серед оптичних фононів розрізняють поздовжні оптичні (LО)та поперечні оптичні (TО) фонони (від слів longitudinal орtical таtransversal орtical). Оптичні фонони у кристалах з (хоча б частково)іонним зв’язком зумовлюють електричну поляризацію кристалічноїґратки і сильно взаємодіють з фотонами. Спектри оптичногопоглинання і випромінювання, пов’язані з оптичними фононами,знаходяться в інфрачервоній області спектру.1.5.2. Статистика фононів у кристалахКвантова статистика ділить всі частинки на ферміони(частинки, що підкоряються статистиці Фермі–Дірака) і бозони(що підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна). Ферміонами єчастинки з напівцілим спіном. Ферміони підкоряються принципуПаулі: в одному стані не може бути більше однієї частинки.Бозонів принцип Паулі не стосується: число частинок уданому стані може бути більшим одиниці і залежить відтемператури.Стан фонона визначається значенням хвильового вектора k і енергією Eik ik,де індекс і відповідає даному типуфононів (даній гілці дисперсійної кривої). Фонони, як і ряд іншихквазічастинок у кристалі, є бозонами. Їх концентрація N фвизначається мінімумом вільної енергії F при даній температурі таданому об’ємі, тобто умовоюFNф TV , 0.Хімічний потенціал частинок визначається формулою(1.77)29

F . (1.78) NСпівставлення формул (1.77) і (1.78) показує, що для фононів0 . (1.79)Рівність нулю хімічного потенціалу має місце для бозонів.Середнє число бозонів у одному стані з енергією Ехарактеризується функцією розподілу Бозе-Ейнштейна1f E,E(1.80)kTe 1де енергія фонона E ;k – стала Больцмана; Т – температура.При достатньо низьких температурах, колиkT E,(1.81)TV ,отримаємоEkTe 1,(1.82)і формула (1.80) спрощується доE ,f E e kT (1.83)тобто квантова функція розподілу Бозе-Ейнштейна перетворюєтьсяв класичну функцію розподілу Больцмана.При дуже високих температурах, колиkT E,(1.84)у знаменнику формули (1.80) отримаємоEEe kT 1 ,(1.85)kTі формула (1.80) спрощується доkTf E .(1.86)EІз цієї формули видно, що при Т→∞ отримаємо f(Е)→∞, тобто водному стані може бути багато фононів.30

Як уже згадувалося, фонони мають властивості частинок:вони мають енергію E та квазіімпульс P k 2 , де k .Але, на відмінність від частинок, вони не можуть існувати безвідповідного середовища (кристала). Їх число залежить відтемператури. При підвищенні температури число фононів зростає,при її зниженні – зменшується. Фонони можуть народжуватися ізникати (знищуватися) у кристалі.31

Контрольні запитання до розділу 1.1. Який тип зв’язку реалізується в кристалах NaCl?2. Який тип зв’язку реалізується в кристалах кремнію?3. В яких кристалічних ґратках є тільки акустичні коливання, а вяких – акустичні та оптичні?4. Нарисуйте схематично дисперсійну криву для акустичнихколивань.5. Нехай атомний ланцюжок складається з атомів двох сортів змасами M та m. Як пов’язані амплітуди і фази акустичнихколивань цих атомів при a ?6. Нарисуйте схематично дисперсійну криву для оптичнихколивань кристалічної ґратки.7. Нехай атомний ланцюжок складається з атомів двох сортів змасами M та m. Як пов’язані амплітуди і фази оптичнихколивань цих атомів при a ?8. Чому для коливань кристалічної ґратки можна ввести першузону Бріллюена?9. Чому для коливань кристалічної ґратки є мінімальна довжинахвилі та чому вона дорівнює?10. Які розміри першої зони Бріллюена (у одновимірномувипадку)?11. Чому дорівнює число незалежних коливань кристалічноїґратки?12. Запишіть другий закон Ньютона (рівняння руху) длягармонічного осцилятора.13. Запишіть вираз для спектру енергії гармонічного осцилятора.14. Що таке фонон?15. Як пов’язана енергія фонона з його частотою?16. Які частинки і чому називаються бозонами, а які –ферміонами?17. Запишіть функцію розподілу Бозе–Ейнштейна і поясніть, яківеличини в неї входять.32

2. ЕЛЕКТРОНИ І ДІРКИ В КРИСТАЛАХ2.1. Енергетичний спектр електронів у кристалах.Метали, діелектрики, напівпровідники2.1.1. МеталиХарактерні метали – кристали елементів І групи: Li(порядковий №3 у таблиці Менделєєва); Na (№11); Cu (№29); Ag(№47); Au (№79).Електронна структура вказаних атомів:Li (№3) 1S 2 2S 1 ;Na (№11) 1S 2 2S 2 2P 6 3S 1 ;Cu (№29) 1S 2 2S 2 2P 6 3S 2 3P 6 3D 10 4S 1 ;Ag (№47) ------------------------------------5S 1 ;Au (№79) ----------------------------------------6S 1 .У всіх цих атомів – наполовину заповнена S-оболонка валентнихелектронів. Так, в атомі Na один валентний електрон знаходиться встані 3S. Тому стан 3S наполовину заповнений (за врахуваннямдвох орієнтацій спіна).Якщо в кристал об’єднуються N атомів, то у них є Nвалентних електронів, а число 3S–станів становить 2N. Приоб’єднанні атомів у кристалEці 2N станів розщеплюються(ефект Штарка), яксхематично показано на рис.3S 12.1. Відстань міжполовина станіврозщепленими рівнями дужезаповнена мала: в 1см 3 знаходитьсяN ≈10 23 атомів. Тому прирівноважній відстані міжатомами r 0 всі ці рівніr 0r утворюють зону. В зоні 2Nстанів, в яких знаходяться NРис. 2.1. Схема розщеплення 3S станівелектронів. Електрониатомів Na при об’єднанні атомів укристал.займають половину станів змінімальною енергією. Азверху знаходяться пусті, не заповнені стани. Під дією зовнішньої33

сили (наприклад електричного поля) електрони переходять внезаповнені стани (отримують додаткову енергію) і вільнорухаються в кристалі. Кристал має високу електропровідність прибудь-яких температурах.Якщо кристал має площу поперечного перерізу S і через ньогопроходить струм І, то густина струму j визначається якj I / S0, (2.1)Густина струму j пропорційна до напруженості електричного поляE в провіднику. Диференційний закон Ома формулюється так:j E , (2.2)де величина називається електропровідністю. Густина струмувимірюється в А/м 2 , тобто j =А/м 2 ; вимірність напруженості поляE =В/м; Вимірність електропровідності =АВ -1 м -1 .Температурна залежність електропровідності металів маєвигляд (1 T )0 , (2.3)де – температурний коефіцієнт електропровідності. Припідвищенні температури електропровідність металів зменшується.Це явище пояснюється розсіюванням електронів на фононах (наколиваннях кристалічної ґратки). При цьому концентраціяелектронів у металі не залежить від температури.2.1.2. ДіелектрикиПриклад діелектрика – кристал NaCl. Електронні конфігураціїатомів Na і Cl мають вигляд:Na (№11) 1S 2 2S 2 2P 6 3S 1 ;Cl (№17) 1S 2 2S 2 2P 6 3S 2 3P 5 .У атома Na валентний електрон знаходиться в стані 3S, а уатома Cl – не вистачає одного валентного електрона для заповненнявсіх станів оболонки 3P. При творенні кристала атом Na віддаєелектрон атому Cl. Тоді у іона Na + залишається заповнена 2Pоболонка, а у іона Cl - заповнена оболонка 3P. Оболонка 3S у іонаNa + пуста.Розщеплення рівнів іонів Na + і Cl - при об’єднанні іонів укристал NaCl схематично показано на рис. 2.2. Стан 3P іона Cl -34

повністю заповнений. Стан 3S іона Na + пустий. При об’єднанні Nіонів енергетичні рівні розщеплюються. В 6N станах 3Pзнаходиться 6N електронів. Стани 3P перетворюються в зонувалентних електронів (валентну зону). В цій зоні 6N станів і 6Nвалентних електронів. Всі стани заповнені.Для електронів справедливий принцип Паулі: у одному стані(за врахуванням двох орієнтацій спіна) не може бути більше одногоелектрона. Тому електрони в зоні 3Р не можуть змінювати своюенергію під цієюEзона провідності3S Na+заборонена зонаr 0валентна зона3P 6 Cl -Рис. 2.2. Схема розщеплення станіввалентних електронів при об’єднаннііонів Na + і Cl - у кристалі.rелектричного поля.Валентна зона в науковійлітературі позначається щеяк v-зона (англійськоюмовою valence band).«Пусті» стани 3S іонівNa + при об’єднанні іонів укристал перетворюються в«пусту» зону. Якщоякимось чином (наприклад,при поглинанні світла)перевести електрон ізвалентної зони в цю«пусту» зону, то електронможе прискорюватисяелектричним полем. Кристал буде проводити струм. Тому ця«пуста» зона називається зоною провідності. Зона провідності внауковій літературі позначається ще як с-зона (conduction band).Між валентною зоною і зоною провідності є область енергій, вяких немає стаціонарних електронних станів. Ця областьназивається забороненою зоною (energy band gap – енергетичнащілина).Таким чином, в кристалі NaCl валентна зона повністюзаповнена електронами. Внаслідок того, що в цій зоні немає пустихмісць, електрони у валентній зоні не можуть прискорюватися підцією електричного поля. А в зоні провідності є пусті місця, аленемає електронів. Тому кристал NaCl не проводить струм. Цедіелектрик. В діелектриках ширина забороненої зони E g становитькілька електрон-вольт.35

Один електрон-вольт – це енергія, яку отримує електронпри переміщенні в електричному полі з точки А до точки В,якщо різниця потенціалів між цими точками становить 1В.Для опису електричних властивостей діелектриків інапівпровідниківEE cE vE g зонаповністю заповнюють цю зону.2.1.3. НапівпровідникиxE c - зонапровідностіE v - валентназонаРис. 2.3. Зонна діаграма діелектрика.використовують зоннудіаграму, тобто залежністьенергії електрона відкоординати в кристалі. Таказонна діаграма показана нарис. 2.3.В зоні провідності NaClзнаходиться 2N пустих станів,де N - число атомів у кристалі.У валентній зоні NaClзнаходяться 6N електронів іНапівпровідники відрізняються від діелектриків лише тим, щоширина забороненої зони у них менша. Тому в напівпровідникахпри кімнатній температурі частина електронів переходить ізвалентної зони в зону провідності. Напівпровідники маютьелектропровідність, але на багато порядків величини меншу, ніжметали. Звичайно в електричних і оптичних явищах відіграютьосновну роль електрони, що знаходяться поблизу мінімуму («дна»)зони провідності, та дірки (пусті місця у валентній зоні), якізнаходяться близько від максимуму («вершини») валентної зони.Тому звичайно використовують спрощену зонну діаграмунапівпровідника, показану на рис. 2.4. Показують лише дно зонипровідності, що відповідає енергії E c , і вершину валентної зони Е v .Обов’язково між значеннями E c і Е v є заборонена зона шириною E g .Зона провідності позначається, як с-зона (від англійськогоconduction band). Валентна зона позначається як v-зона (valenceband). Ширина забороненої зони позначається як Е g (energy gap –енергетична щілина) .36

EУ ідеальних бездефектних напівпровідникахелектропровідністьE cекспоненціально зростає зтемпературою;E g2T eEgkT 0 , (2.4)де k– стала Больцмана.Причина цієї закономірностітака: внаслідок зіткнень міжсобою і з атомами деяка,невелика частина електронівможе отримати достатньовелику енергію, щоб перейти вc -зону. Це показано нарис. 2.5. Звичайно осі координат на зонній схемі не показують.За рахунок зіткнень з іншими частинками електронпереходить із v-зони в c-зону, що показано стрілкою 1. При цьому«народжується» один електрон у c-зоні і одна дірка у v-зоні. Такийперехід називається генерацією електрона і дірки. Зворотнийперехід, позначений стрілкою 2, називається рекомбінацієюE g 1+ +E cE vРис. 2.5. Генерація і рекомбінаціяелектронів і дірок у напівпровіднику.кристала зростає число переходів 1.2E vРис. 2.4. Спрощена зонна схеманапівпровідника.xелектрона і дірки. Результатомрекомбінації є «анігіляція»,зникнення електрона в с- зоні тадірки у v-зоні.Зростання електропровідностінапівпровідника при підвищеннітемператури пояснюється тим, щопри нагріванні зростає числоелектронів з великою енергією,здатних перейти в с- зону. Цеозначає, що при нагріванні37

2.2. Одноелектронне наближення.Хвильові властивості електронів у кристалахВ кристалі знаходиться дуже велике число електронів і ядер.Так, в кристалі кремнію на 1 см 3 приходиться 5·10 22 атомів, якімають 2·10 23 валентних електронів. Ясно, що розрахувати точнорух кожного електрона в кристалі неможливо. При описанніелектронних процесів у кристалах користуються одноелектроннимнаближенням. Враховують, що потенціальну енергію взаємодіїелектрона, що знаходиться в деякій точці в кристалі, з усімаіншими електронами і з ядрами можна замінити деякоюусередненою за часом величиною. Це припущення справедливе дляописання багатьох процесів. Дійсно, теплова швидкість електронів7при кімнатній температурі T 10 см/с. А відстань між атомами в8кристалах a 510 см, так що ця відстань проходиться15електроном за час t 510 с. Якщо розглядати процеси, яківідбуваються за час t 1пс, то за цей час електрон встигнепровзаємодіяти з 200 атомами і з 800 валентними електронами. Такщо дійсно, результат вимірювання є результатом, усередненим повеликому числу актів взаємодії. Тому при розрахунках електроннихпроцесів вважають, що в кристалі кожний електрон рухається удеякому стаціонарному (не залежному від часу) електричномуполі. Це поле є періодичним, період його в кожному напрямізбігається з періодом кристалічної ґратки.Одноелектронне наближення з успіхом використовується дляописання електронних процесів, що відбуваються за час t 1 пс,а також багатьох оптичних явищ. Але деякі явища неможливопояснити і розрахувати в рамках одноелектронного наближення.Так, найпростішим виходом за рамки одноелектронногонаближення є врахування взаємодії двох електронів та взаємодіїдвох квазічастинок: електрона і дірки. Взаємодія електрона зіншими електронами враховується як міжелектронне розсіяння.Взаємодія електрона і дірки дає зв'язаний стан, який називаєтьсяекситоном. У ряді випадків екситон (система із двох квазічастинокз електричними зарядами протилежних знаків) дуже подібний доатома водню (але з іншими розмірами та іншою енергією зв'язку).Екситони відіграють важливу роль у оптичних явищах в38

напівпровідниках та діелектриках. У даному посібникурозглядаються тільки явища. які можна описати водноелектронному наближенні.2.2.1. Хвильові властивості вільного електронаДля плоскої монохроматичної електромагнітної хвиліпросторово-часова залежність електричного вектора має вигляд r, t 0exp E E it kr, (2.5)E амплітуда (комплексна величина); 2 /Tде циклічначастота; k - хвильовий вектор. Напрям хвильового векторазбігається з напрямом поширення хвилі, а його модуль k=2π/λ, де λ- довжина хвилі. А. Ейнштейном було введено поняття про квантелектромагнітного поля – фотон. Енергія фотона визначаєтьсярівністю0 Eф ,(2.6)де h /2 ;h – стала Планка.Імпульс фотона пов'язаний з хвильовим векторомспіввідношеннямp k.(2.7)Експерименти з дифракції пучків електронів показали, щопісля відбиття від кристала електрони дають таку ж дифракційнукартину, як і електромагнітні хвилі. Французький фізик Луї де-Бройль висунув гіпотезу, що електрон, як і інші частинки (атоми,молекули і т. ін.), має хвильові властивості. Хвильовий вектор такоїчастинки визначається через її імпульс як k p/ ,(2.8)тобто таким же чином, як і для фотона. При цьому довжина хвилідля частинки визначається виразомd 2 / k,(2.9)а за врахуванням (2.8) h/ p.(2.10)d39

Величина λ d , що визначається формулою (2.10), називаєтьсядовжиною хвилі де-Бройля (або дебройлівською довжиною хвилі)для даної частинки.Вільному електрону можна зіставити хвилюrt , Aexp itkr, (2.11)де циклічна частота виражається через енергію електрона E / .(2.12)Густина енергії електромагнітної хвилі у деякій речовинівизначається через напруженість електричного поля як2 rt , E , (2.13)де ε 0 – електрична стала; ε – діелектрична проникність речовини.Аналогічно для електрона: густина ймовірностізнаходження електрона в околі даної точки дається виразом r , t r , t 2.(2.14)eВеличина rt , називається хвильовою функцією електрона.Для вільного електрона звичайно записують тількипросторову частину хвильової функціїikr r Ae ,(2.15)причому в експоненті пишуть знак "+", оскільки фізичний зміст маєлише модуль цієї функції. Цю просторову частину хвильовоїфункції називають просто хвильовою функцією.Якщо відомо, що електрон точно знаходиться у обмеженійчастині простору об’ємом V, то із (2.14) видно, щоV0r 2 dV 1,тобто хвильова функція електрона нормована.2.2.2. Хвильові властивості електрона у кристалі(2.16)Численні експерименти і розрахунки показали, що електрон,який рухається у кристалі, як і вільний електрон, має хвильовівластивості. Оскільки кристал – періодична структура, хвильовафункція електрона в кристалі періодична.ikr r u r e (2.17)k .k40

Такий вигляд хвильової функції був теоретично доказаний Блохом.Доказ справедливості виразу (2.17) називається теоремою Блоха, асама хвильова функція, що відповідає формулі (2.17), називаєтьсяблохівською хвильовою функцією. Формула (2.17) справедлива длябудь-якої частинки, яка рухається в періодичному полі. В формулі(2.17) ku r - періодична функція, період якої збігається з періодомкристалічної ґратки. Хвильовий вектор k електрона у кристалі –величина дійсна (не комплексна). Якби ця величина булакомплексна, то амплітуда хвилі в деякому напрямі зростала б, тобтовеличина ρ e , що визначається формулою (2.14), не була бперіодичною функцією в кристалі.Слід відзначити, що електрон з довжиною хвилі де-Бройляd a,(2.18)де – а період ґратки, "не відчуває" дискретності кристала. Вінрухається подібно до вільного електрона, і для ньогоu r u const(2.19)k 0.2.2.3. Зони Бріллюена для електронів у кристаліМи раніше розглядали коливання кристалічної ґратки. Дляплоскої монохроматичної акустичної хвилі, що поширюєтьсявздовж осі x, справедливоu x, t u0exp itkx ,(2.20)де у одновимірному випадку x = na. Для дебройлівської хвиліелектрона у одновимірному випадку із (2.11) отримаємо x, t Aexp itkx ,(2.21)що має ту ж математичну форму, що й (2.20).В розділі 1 показано, що внаслідок дискретності таперіодичності кристалічної ґратки (наявності періоду величиною а)можна ввести першу зону Бріллюена. Значення хвильового вектораk в межах першої зони Бріллюена і відповідні їм значення ( k ) описують всі можливі хвилі в кристалі.Хвильова функція електрона в кристалі (2.21) має таку жматематичну форму, що й вираз (2.20) для коливань кристалічноїґратки. Це означає, що для хвильової функції електрона в кристалі41

можна ввести першу зону Бріллюена тієї ж форми і тих же розмірів,що й для коливань ґратки.Таким чином, для хвильової функції електрона в кристаліможна ввести першу зону Бріллюена (а також другу, третю і т.ін.). Всі стани електрона в ідеальному кристалі можна зіставити іззначеннями хвильового вектора електрона в першій зоні Бріллюена.У одновимірному випадку першій зоні Бріллюенавідповідають значення хвильового вектора k , (2.22)a aде а – період ґратки. Це відповідає дебройлівській довжині хвиліелектрона в кристалі2 a .(2.23)Мінімальна довжина дебройлівської хвилі електронаmin 2a відповідає границям зони Бріллюена, тобто значеннямхвильового вектора k / a. В центрі зони Бріллюена, тобтопри k→0, довжина хвилі λ→∞.02.3. Структура енергетичних зон електронів унапівпровідникахРаніше ми дійшли висновку, що в енергетичному спектріелектрона у напівпровіднику (як і вдіелектрику) можна виділитивалентну зону і зону провідності, якc-зона показано на рис. 2.6. Енергія Е сЕ с відповідає мінімуму (дну) зониЕ g провідності (с-зони), енергія E v –Е v максимума (вершині) валентної зониv-зона(v-зони). Вісь абсцис ох відповідаєx деякому напрямку в кристалі.Положення дна с-зони Е с і вершиниv-зони Ev не залежать відкоординати х.EРис. 2.6. Зона провідностіта валентна зонау напівпровіднику.42

2.3.1. Залежність Е(k)Розглянемо тепер залежність енергії електрона Е відхвильового вектора k в одновимірному випадку. Енергія електронау c-зоні має мінімальне значення Е с . Будемо вважати, що мінімуменергії досягається при k=0, тобто Е(0)= Е с . Тоді залежність Е(k) воколі точки k=0 можна розкласти в ряд Тейлора:2dE 1 d E 2EkE0 k k ...2 , (2.24)dk 2 dkk0 k0при цьому Е(0)=Е с . В мінімумі функції перша похідна повиннадорівнювати нулю, а друга похідна повинна бути додатною, тобтоdE 0;(2.25)dk k02dE2dkk0 0.(2.26)Якщо знехтувати у (2.24) нескінченно малими величинами більшвисоких порядків, то в околі точки k=0 для енергії електрона в c-зоні отримаємо:21 dE E k E k.2c2(2.27)2 dkk0Енергію вільного електрона можна виразити формулою:2 2mV pEc Ep Ep ,(2.28)2 2mде Е р – потенціальна енергія (Е р =const); р – імпульс електрона.Враховуючи, що імпульс електрона і його хвильовий векторпов’язані виразом p k, формулу (2.28) можна переписати увигляді2 2kEeEp . (2.29)2m43

Вираз (2.27) для енергії електрона в с-зоні буде математичнототожний до виразу (2.29) для енергії вільного електрона, якщопокласти2 21 dE 2 , (2.30)2 dk 2mk0nде m n – ефективна маса електрона в c-зоні.Таким чином, залежність Е(k) для електрона поблизумінімуму c-зони кристала можна записати в такому ж вигляді,як і для вільного електрона, якщо ввести ефективну масуелектронаm122 d E n 2dk k 0 .(2.31) Тоді залежність енергії електрона поблизу мінімума c -зони відхвильового вектора k має вигляд2 2kEk Ec . (2.32)E2mсnЗалежність Ek для електрона в зоніE cпровідності напівпровідника показанаE v верхньою кривою на рис. 2.7. Ця крива -парабола.vДля енергії електрона у v-зоні0 kпоблизу її максимуму можна тежзаписати розклад у ряд Тейлора (2.24).При цьомуРис. 2.7. Залежність E(k)поблизу екстремумів с- іv-зон. E 0 E V.(2.33)Крім того, в максимумі залежності E k маємо2dE 0.2(2.34)dkТому, аналогічно до формули (2.32), поблизу максимуму валентноїзони залежність енергії електрона від хвильового вектора маєвиглядk044

де E kmp ефективна маса дірки у валентній зоні2 2k EV ,(2.35)2m122 d E 2dk k0mp .(2.36) При цьому, за врахуванням (2.34), величина m p додатна, тобтоm p >0.Залежність Е(k) поблизу максимуму валентної зони показананижньою кривою на рис. 2.7. Як видно із формули (2.35), ця крива– парабола.Таким чином, залежності Е(k) поблизу мінімуму c-зони імаксимуму v-зони мають вигляд парабол.Слід відзначити, що значення ефективних мас електрона в с-зоні mn і дірки у v-зоні m p не збігаються з масою електрона. Це –параметри, які визначаються через кривизну залежності Е(k) умінімумі c-зони і в максимумі v-зони. В різних напівпровідниках ів різних напрямках в одному і тому ж кристалі ці параметриможуть бути різними. Ці параметри дуже зручні, тому що їхвикористання дає змогу записати залежність Е(k) в кристалі у такійже формі, як для вільного електрона.2.3.2. Прямозонні та непрямозонні напівпровідникиСлід відзначити, що залежності Е(k) для електрона в с-зоні ідірки у v-зоні можна описати виразами (2.32) і, відповідно, (2.35)тільки в малому околі точки, що відповідає екстремуму зони. У всійзоні Бріллюена залежність Ek може бути складною інемонотонною. У найпростішому випадку ця залежністьілюструється на рис.2.8. На краях зони БріллюенаdE0dk , (2.37)як і для коливань кристалічної ґратки.Залежність Е(k) ми розглядали, припустивши, що мінімальнаенергія електрона в c-зоні відповідає значенню хвильового вектораp45

k=0. Напівпровідники, у яких мінімум c-зони і максимум v-зонивідповідають одному і тому ж значенню хвильового вектора k(звичайно, k=0), називають прямозонними. Це, наприклад,арсенід галію (GaAs), антимонід індію (InSb), сульфід кадмію(CdS), селенід кадмію (CdSe).Для багатьох напівпровідників мінімум c-зони відповідаєзначенню k≠0. Для такихнапівпровідників замість виразуРис. 2.8. Найпростіша залежністьE(k) в c-і v-зонах напівпровідника.22E gЕЕ00E gЕ сE v2Siс-зонаv-зона2Рис. 2.9. Залежність E(k х )у с- і v-зонах кремнію.Е сE vk ik х(2.32) залежність E k поблизумінімуму c-зони має вигляд 2 k k 2oEkE0 , (2.38)2mде значення хвильового вектора k 0відповідає мінімуму c-зони. Прицьому ефективна маса електронаm n залежить від напрямку вкристалі. Замість скалярноївеличини m n для такого випадкувводять тензор ефективної маси.Напівпровідники, у якихмінімум c-зони і максимум v-зони відповідають різнимзначенням хвильового вектораk , називають непрямозонними.Непрямозонними є такінапівпровідники, як кремній (Si),германій (Ge), фосфід галію (GaP)та ін. Наприклад, у кремніюзалежність Е(k) у c-зоні маємінімум при k x , якaсхематично показано на рис. 2.9.А максимум валентної зониn46

знаходиться у центрі зони Бріллюена, тобто при k 0. Шириназабороненої зони кремнію E g =1,12 еВ.На рис. 2.10 схематично показана залежність E k 111 дляарсеніду галію. Зона провідності має два мінімуми. Нижчий(головний) мінімум c-зони знаходиться в центрі зони Бріллюена,тобто при k 0. Ця точка звичайно позначається буквою Γ (гамма).В цій же точці Г знаходиться максимум v-зони. Тому GaAs єпрямозонним напівпровідником. У c-зоні є побічний мінімум,який знаходиться на перетині діагоналі зони Бріллюена з її межею.Ця точка в зоні Бріллюена позначається буквою L. Побічниймінімум знаходиться вище від основного на ΔЕ≈0,3 еВ. Шириназабороненої зони арсеніду галію при кімнатній температурі E g=1,42 еВ.EGaAsEGaРE cE cE gE vE gE v0 L k 111Рис. 2.10. ЗалежністьE(k 111 ) у арсеніді галію.0 Х k 100Рис. 2.11. ЗалежністьE(k 100 ) у фосфіді галію.На рис. 2.11 схематично показана залежність E k 100 дляфосфіду галію. Основний мінімум c-зони знаходиться на осі ох, вточці k x . Ця точка в зоні Бріллюена позначається буквою Х.2Максимум v-зони знаходиться в точці Г. Таким чином, головниймінімум c-зони і максимум v-зони в GaP знаходяться в різнихточках зони Бріллюена. Тому фосфід галію є непрямозонним47

напівпровідником. Для GaP ширина забороненої зони E g =2,25 еВ.Побiчний мінімум c-зони знаходиться в точці Г (тобто при k 0),на E =0,25 еВ вище основного.Слід відзначити, що валентна зона напівпровідників Si, GaAs,GaP та ін. має складну будову і включає три підзони: зону важкихдірок, зону легких дірок і зону, відщеплену за рахунок спінорбітальноївзаємодії.2.4. Точкові дефекти у напівпровідникахВ попередніх лекціях ми розглядали властивості так званогоідеального напівпровідника, тобто спрощеної його моделі. Відеальному напівпровіднику всі атоми розташовані строгоперіодично. Крім того, ідеальний кристал не має меж, тобто йогорозміри нескінченні.Реальні кристали маютьдефекти, тобто відхилення відперіодичності у розташуванніатомів. Дефекти можуть бути 3-вимірні, 2-вимірні (деякі поверхні,зокрема, площини), одновимірні(лінійні, наприклад, дислокації) таточкові (нуль-вимірні). Мирозглянемо тільки точкові дефекти.Точкові дефекти ділять навласні та домішкові. НайпростішіРис. 2.12. Кристал з вакансією.власні дефекти – це вакансії таміжвузлові атоми. Структурукристала з вакансією схематичнопоказано на рис. 2.12. У одному з вузлів кристала немає атома.Відсутність атома порушує періодичність структури кристала.Електрони сусідніх з вакансією атомів перебудовують свої орбіти.Тоді, в залежності від хімічної природи відсутнього атома, вакансіямає або лишній електрон і легко віддає його кристалу (вона єдонором), або має дефіцит одного електрона і може прийняти йоговід кристала (тобто, є акцептором).На рис. 2.13 схематично показано структуру кристала зміжвузловим атомом. Валентний електрон міжвузлового атома,48

звичайно, легко відривається від цього атома і переходить в с-зону.Тому міжвузлові атоми часто мають донорні властивості.Длямодифікаціївластивостей напівпровідниківшироко використовуютьсядомішкові дефекти. Введеннядомішок у кристали називаєтьсялегуванням. Домішкові дефектиділяться на домішки заміщеннята домішки проникнення.Домішка проникнення – атомдомішки, що знаходиться уРис. 2.13. Кристал з міжвузловим міжвузлі кристалу. Домішкаатомом.заміщення – атом домішки, щознаходиться у вузлі кристалічноїґратки замість атома основної речовини.Розглянемо домішки заміщення у елементарнихнапівпровідниках IV групи, наприклад, у кремнію. У кристалікремнію, як розглянуто раніше, кожний атом має 4 сусіди, з якимизв’язаний ковалентним зв’язком. Всі 4 валентні електрони атомаберуть участь у ковалентному зв’язку з 4 сусідніми атомами. Якщозамість атома Si у вузлі знаходиться атом V групи, у цього атома 4електрони будуть задіяні у зв’язку з сусідніми атомами Si, а одинвалентний електрон буде “лишнім”. Він буде слабко зв’язаний зі“своїм” атомом і буде легко переходити в с-зону (в результатівзаємодії з фононами). Тому атоми елементів V групи, наприклад,фосфор (Р), миш’як (As), сурма (Sb) в кристалах Si, Ge є донорами.Атоми елементів ІІІ групи мають три валентні електрони, тобто длязв’язку з 4 сусідніми атомами у кристалі кремнію не вистачаєодного електрона. Цей електрон домішковий атом забирає ізвалентної зони кристала. У валентній зоні виявляється один стан,не заповнений електронами (дірка). Тому домішки третьої групи,наприклад, бор (В), алюміній (Al) у кремнії є акцепторами.Донорні та акцепторні енергетичні рівні в кристалісхематично показані на енергетичній діаграмі напівпровідника нарис. 2.14. Звичайно, донорні та акцепторні рівні знаходяться узабороненій зоні напівпровідника. Електрон, що знаходиться надонорному рівні, локалізований, тобто рухається поблизу “свого”49

атома. Тому донорні рівні позначаються на енергетичній діаграмінапівпровідника не суцільною, а штриховою лінією. Донорні рівнізвичайно знаходяться близько від с-зони, на відстані E сd від неї.При низькій температурі (наприклад, при Т=77 К, що відповідаєтемпературі кипіння рідкого азоту) «лишній» електронлокалізований на донорі, так щоE c повний заряд системиDEелектрон+атом дорівнює нулю.cd«Глибина» донорних рівнів мала,E gE cd ~ 0,005 еВ. При кімнатнійAРис. 2.14. Донорні таакцепторні рівні.E vaтемпературі больцманівськийфактор kТ 0,026 еВ. Середняенергія фононів такого жепорядку. Оскільки E cd < kТ, врезультаті взаємодії з фононами“лишній” електрон відриваєтьсявід свого атома і переходить в с-зону. Донорний атом стаєзарядженим, має заряд +е, де е - заряд електрона. Таким чином,легування кристала донорами веде до появи вільнихелектронів у с-зоні. Напівпровідник має електронну провідність.Акцепторні рівні знаходяться поблизу валентної зони, якпоказано на рис. 2.14, на відстані Е VA від v-зони. Звичайно Е VA < kТпри кімнатній температурі. Взаємодія електронів, що знаходяться увалентній зоні, з фононами веде до того, що електрони переходятьна акцепторний рівень. Тоді акцепторний атом стає зарядженим(його заряд стає рівним –е), а у валентній зоні з’являється дірка.Легування кристала акцепторними домішками веде до появидіркової провідності у напівпровідника.2.5. Статистика електронів і дірок у напівпровідниках2.5.1. Функція розподілу Фермі -ДіракаE VКвантова статистика ділить всі частинки на ферміони(частинки, що підкоряються статистиці Фермі-Дірака) і бозони (щопідкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна). Ферміонами є частинкиз напівцілим спіном. Це – електрони, протони, іони з напівцілимсумарним спіном і т. ін.50

У напівпровідниковому кристалі ферміонами є електрони ідірки. Ферміони підкоряються принципу Паулі: в одному стані неможе знаходитися більше, ніж одна частинка. Функція розподілучастинок за енергією – це середнє число частинок, що знаходятьсяв стані з даною енергією.Функція розподілу Фермі-Дірака має вигляд1f E ,EF(2.39)kTe 1де Е – енергія частинки (електрона) в даному стані; F – енергіяФермі (рівень Фермі); k – стала Больцмана; Т – температура.На рис. 2.15 схематично показано хід функції розподілуEF213312Фермі-Дірака при трьохтемпературах. При підвищеннітемператури функція розподілуf E стає більш плавною. Із (2.39)видно, що при E=F функціярозподілу дорівнює 1/2, тобто1f F . (2.40)2Звідси можна сформулювати0 0,5 1 f Eфізичний зміст рівня Фермі: якщоРис. 2.15. Функція розподілу енергія електронного стануФермі-Дірака при різних збігається з рівнем Фермі, данийтемпературах: T T T .1 2 3 стан заповнений наполовину. Цеозначає, що ймовірність заповненняданого стану дорівнює 1/2.Із формули (2.39) видно, що ймовірність заповнення даногостану визначається величиною ( EF)/( kT). Для рівнів, якізнаходяться вище рівня Фермі, і при цьомуE F kT(2.41)функція розподілу (2.39) спрощується доEfEf 0 exp , (2.42) kT де51

причомуВиразБольцмана.Для станів зFf0 exp , (2.43) kT f E 1. (2.44)(2.42) збігається з класичною функцією розподілуF E kT(2.45)із (2.39) отримаємоfE 1, (2.46)причому1 f( E) f0exp E kT , (2.47)деFf 0exp kT . (2.48)Із (2.44) і (2.46) видно, що при достатньо низькій температуріенергетичні стани над рівнем Фермі можна вважати „пустими” (незаповненими електронами), а під рівнем Фермі – заповненими.2.5.2. Статистика електронів у с-зоні та дірок у v-зоніУ рівноважному стані положення рівня Фермі одне і те ж дляелектронів у всьому кристалі (і навіть у системі, яка складається,наприклад, з шарів різних напівпровідників, металів, діелектриків).На рис. 2.16 показана зонна діаграма напівпровідника (зліва) іфункція розподілу електронів за енергією fE для трьохвипадків: а) коли рівень Фермі знаходиться всередині забороненоїзони; б) коли рівень Фермі лежить всередині c-зони; в) коли рівеньФермі лежить всередині v-зони.Якщо рівень Фермі знаходиться всередині забороненої зони(на відстані Ec F kT від c-зони і на відстані F EVkTвідv-зони, як показано на рис. 2.16а, то розподіл електронів у c-зоніможна описати класичною функцією розподілу Больцмана(2.42), а розподіл дірок у v-зоні – такою ж функцією (2.47)52

(враховуючи від’ємний напрям зростання енергії дірок). У даномувипадку напівпровідник називається невиродженим.Невиродженими називаються у даному випадку також електрони ідірки (“невироджений електронний газ” і “невироджений дірковийгаз”).EE gFa)E V00,51E cб)f (E)FE cE gE VE0 0,5 1 f (E)EE cE gв)E VF0 0,5 1 f (E)Рис. 2.16. Зонна діаграма напівпровідника і функція розподілуелектронів за енергією, коли рівень Фермі знаходиться: а – взабороненій зоні; б – в c-зоні; в – у v- зоні.53

На рис.2.16б показана зонна діаграма напівпровідника увипадку, коли рівень Фермі знаходиться всередині c-зони. Уданому напівпровіднику майже всі енергетичні рівні (в тому числі уc-зоні), що знаходяться під рівнем Фермі, заповнені електронами(ці рівні заштриховані). У даному випадку для електронів у c-зонікласична статистика незастосовна, і напівпровідникназивається виродженим напівпровідником n-типу. Електронив такому напівпровіднику називаються виродженими (вонипідкоряються “виродженій”, тобто квантовій, не класичнійстатистиці). А для дірок у даному напівпровіднику класичнастатистика застосовна, тобто дірки – не вироджені.У випадку, показаному на рис. 2.16в, рівень Фермізнаходиться всередині v- зони. Заповнені електронами рівні (підрівнем Фермі) заштриховані. У даному напівпровіднику діркивироджені (а електрони в с-зоні – не вироджені). Ми маємовироджений напівпровідник p-типу.Слід відзначити, що у достатньо очищених напівпровідникахрівень Фермі звичайно лежить у забороненій зоні, тобто такінапівпровідники – невироджені.При легуванні напівпровідника донорами (атоми якихвіддають електрони кристалу) рівень Фермі наближається до c-зони. Донорами, наприклад, в арсеніді галію (GaAs) є Te, Sn, S таін. У кристалах кремнію донорами є атоми елементів V групи,наприклад, P, Sb, As. У сильно легованому донораминапівпровіднику рівень Фермі заходить всередину c-зони, тобтонапівпровідник стає виродженим напівпровідником n-типу.При легуванні напівпровідника акцепторами (наприклад, Zn,Cd та ін. в GaAs) рівень Фермі наближається до v-зони, а придостатньо сильному легуванні ми можемо отримати виродженийнапівпровідник p-типу. У кристалах кремнію акцепторами є атомиелементів III групи, наприклад, Al, B.2.5.3. Статистика електронів, локалізованих на точковихдефектахДля електронів, локалізованих на дефектах у кристалі, як і дляелектронів у c- і v-зонах , справедливий принцип Паулі: в одномустані (включаючи орієнтацію спіна) не може знаходитися більше54

ніж один електрон. Локальні енергетичні рівні називаютьсявиродженими, якщо одну енергію мають електрони, щознаходяться в різних станах (наприклад, два електрони з двомарізними орієнтаціями спіна).Слід відзначити, що терміни «вироджений напівпровідник»,«вироджені електрони», «вироджені дірки» не мають нічогоспільного з поняттям «вироджений енергетичний рівень».З донорного стану електрони можуть переходити в c-зону.Тоді змінюється зарядовий стан донора. Розрахунок за методомГіббса для систем зі змінним числом частинок дає длялокалізованих станів функцію розподілу електронів1f E,EF(2.49)kT(1/ ge ) 1де g – кратність виродження даного локального рівня. Кратністювиродження даного енергетичного рівня називають числостанів електрона, які мають одну і ту ж енергію. Функціярозподілу Гіббса (2.49) відрізняється від функції розподілу Фермі-Дірака (2.39) лише наявністю множника 1/g у знаменнику. При g=1функція розподілу Гіббса збігається з функцією розподілу Фермі-Дірака. При g = 2 формулу (2.49) можна переписати у вигляді1f E,EEF(2.50)kTe 1де E ln 2 kT kT . Це означає, що при невеликій кратностівиродження локальних рівнів функція розподілу електронів наданих рівнях мало відрізняється від функції розподілу Фермі-Дірака (2.39).2.6. Вплив домішок на концентрації електронів і дірок тана положення рівня Фермі у напівпровідникуВ даному розділі ми будемо розглядати тільки невиродженінапівпровідники. У такому напівпровіднику концентраціяелектронів у c-зоні визначається виразом55

nNc Ec F exp ,kT (2.51)де N c – ефективна щільність станів у с-зоні; Е с – енергія мінімуму(дна) с-зони; F – рівень Фермі; k – стала Больцмана; Т –температура. Розрахунки дають для ефективної щільності станів ус-зоні вираз32mkT 2n Nc 2 M2 C , (2.52) h де mn – ефективна маса електрона; h – стала Планка; MC – числоеквівалентних мінімумів у с-зоні.Концентрація дірок у v-зоні визначається аналогічно:exp F EvpN.v (2.53) kT де NV – ефективна щільність станів у v-зоні; Ev – енергіямаксимуму (вершини) v-зони. Розрахунки дають для ефективноїщільності станів у v-зоні вираз32mkT 2p Nv 2 2 h , (2.54)де mp – ефективна маса дірки.Із (2.51) і (2.53) можна отримати дуже кориснеспіввідношення між концентраціями рівноважних електронів ідірок у невиродженому напівпровіднику. Помноживши міжсобою ліві частини рівностей (2.51) і (2.53), а також, відповідно,праві частини, отримаємо:exp Ec Evnp N .cNv (2.55) kT Врахувавши, щоE E E(2.56)cv g,де Е g – ширина забороненої зони, отримаємо:56

exp Egnp n .i NcNv (2.57) kT Права частина рівності (2.57) – стала величина для даногонапівпровідника при даній температурі Т. Таким чином, якщонапівпровідник невироджений, то при будь-яких концентраціяхдонорів та акцепторів добуток концентрацій рівноважнихелектронів і дірок залишається сталою величиною.Якщо у напівпровіднику немає донорів і акцепторів (відеальному випадку, коли напівпровідник не легований і не міститьвласних дефектів), то концентрація електронів у c-зоні дорівнюєконцентрації дірок у v-зоні, тобтоn p n i , (2.58)де величина ni називається концентрацією власних носіївзаряду в даному напівпровіднику при даній температурі. Із формул(2.57) і (2.58) отримаємо вираз для концентрації власних носіївзаряду 1 Egn2i NcNv exp .(2.59) 2kTКонцентрація власних носіїв заряду при даній температурі єдуже важливий параметр напівпровідника, який широкозастосовується для розрахунків електричних йогохарактеристик.2.6.1. Рівняння нейтральностіВсередині напівпровідника в стані рівноваги немаєнаправленого руху електронів і дірок. Це означає, щомакроскопічне (усереднене по багатьох елементарних комірках)електричне поле в однорідному напівпровіднику дорівнює нулю, аелектростатичний потенціал в кожній точці кристала один і той же.Зміна електростатичного потенціалу у будь-якому середовищівизначається рівнянням Пуассона ,(2.60) де057

2 2 2 ,2 2 2(2.61)x y z r – густина електричного заряду в даній точці; 0 – електричнастала; – (відносна) діелектрична проникність даного середовища.Відсутність змін потенціалу всередині однорідногонапівпровідника, згідно з (2.60), означає, що густина заряду вкожній точці всередині напівпровідника 0.(2.62)Рівність (2.62) називається умовою нейтральностінапівпровідника.Всередині напівпровідника існують електричні заряди: заряделектрона становить – е; заряд дірки складає +е; заряд іонізованогодонорного центра становить + е; заряд іонізованого акцепторадорівнює – е.Введемо позначення: n – концентрація електронів у c-зоні; p –концентрація дірок у v–зоні; N d – повна концентрація донорів; n d –концентрація електронів, локалізованих на донорах; N a – повнаконцентрація акцепторів; n a – концентрація електронів,локалізованих на акцепторах. Тоді густина заряду електронів у c-зоні будеe en;(2.63)густина заряду, пов’язаного з дірками у v-зоніpep; (2.64)густина заряду, пов’язана з іонізованими донорами e N n ;(2.65)d d dгустина заряду, пов’язана з іонізованими акцепторами en . (2.66)a a.У рівності (2.65) враховано, що зайнятий електроном донорнийцентр – нейтральний. Донор має заряд +е, коли віддасть "свій"електрон кристалу. У рівності (2.66) враховано, що акцепторотримує заряд – е лише тоді, коли "забере" у кристала електрон.58

Врахувавши вирази (2.63) – (2.66), умову нейтральності можнауточнити (скоротивши всі доданки на е):pn N n n (2.67) 0.d d aЦя рівність називається рівнянням нейтральності длянапівпровідника.2.6.2. Рівняння нейтральності та рівень Фермі унапівпровідникуВиразимо концентрації електронів, дірок, іонізованих доноріві акцепторів через енергії відповідних рівнів та положення рівняФермі.Для концентрації електронів на донорах запишемо1nd NdEd F, (2.68) exp 1 kT де для спрощення прийнято значення фактора виродженнядонорного рівня g d =1. Такий же вираз справедливий дляконцентрації електронів на акцепторах:1na NaEa F. (2.69) exp 1 kT Якщо підставити у рівняння нейтральності (2.67) вирази (2.51)і (2.53) для концентрацій електронів і дірок та формули (2.68) і(2.69) для nd i n a , отримаємо рівняння для знаходження рівня ФерміF: F Ev EcFNVexp Ncexp kT kT 1 1NdNa0. (2.70)F Ed EaFexp exp 1 kT kT Це рівняння нелінійне і не має загального аналітичногорозв’язку. Звичайно, його можна розв’язати чисельно, тобто59

знайти положення рівня Фермі при всіх заданих параметрах: E c , E v ,N c , N v , N d , N a і при заданій температурі Т.2.6.3. Концентрації електронів і дірок та рівень ФерміУ бездефектному напівпровіднику, тобто коли немає донорів іакцепторів, рівняння нейтральності (2.67) спроститься до (2.58). Заврахуванням виразів (2.51) для концентрації електронів і (2.53) дляконцентрації дірок, для даного випадку отримаємоEv EckT NvF ln .(2.71)2 2 NЯкщо ширина забороненої зони Eg kT, логарифмічнимдоданком у правій частині даної рівності можна знехтувати, іотримаємо приблизну рівністьEv EF c,(2.72)2тобто у бездефектному напівпровіднику рівень Фермізнаходиться приблизно посередині забороненої зони, незалежновід температури.Врахувавши вираз (2.71), із (2.51) і (2.53) отримаємо вираз(2.59) для концентрацій електронів і дірок у бездефектномунапівпровіднику.2.6.4. Вплив концентрації легуючих домішок наконцентрації електронів і дірок та на положення рівня Фермі унапівпровідникуНаявність дефектів у кристалі впливає на рівноважніконцентрації електронів і дірок, а значить, і на положення рівняФермі. При зміні концентрації донорів і акцепторів зберігаєтьсяспіввідношення (2.57) між концентраціями електронів і дірок (якщоконцентрації домішок недостатні для виродження електронів ідірок).c60

2.6.4.1. Концентрація електронів у напівпровіднику,легованому донорамиРозглянемо напівпровідник, легований донорами (привідсутності акцепторів). Зонна діаграма такого напівпровідникапоказана на рис. 2.17.E cE Донорний рівень DD cdF сзнаходиться на відстані Е сdF від c-зони. Будемо вважатиE g(для спрощення), що факторвиродження донорного рівняg d =1.При наявності унапівпровіднику донорів іРис. 2.17. Зонна діаграма напівпровідника,легованого донорами.при відсутності акцепторіврівняння нейтральності(2.67) прийме вигляд 0,p n N n (2.73)де Nd nd– концентрація іонізованих донорів. Врахувавшиспіввідношення між концентраціями електронів і дірок уневиродженому напівпровіднику (2.57), перепишемо (2.73) увигляді2ninNdnd .(2.74)nЗвичайно донори вводять для того, щоб встановитиконцентрацію електронів у напівпровіднику достатньо високою,щоб при робочих температурах електронного приладувиконувалась нерівністьddn n i.(2.75)Для цього вводять достатньо велику концентрацію донорівE v61

Nd n.(2.76)iТоді, при не дуже високих температурах, другим доданком справа у(2.74), тобто концентрацією дірок, можна знехтувати, і умованейтральності скоротиться доn N n ,(2.77)тобто концентрація вільних електронів дорівнює концентраціїіонізованих донорів.Температурна залежність концентрації електронів уn01 2n=N d3Рис. 2.18. Температурна залежністьконцентрації електронів у напівпровіднику,легованому донорами.Tddнапівпровіднику, легованомудонорами, схематично показанана рис. 2.18. На цій залежностіможна виділити три ділянки.Ділянка 1 відповідає низькимтемпературам, коли донори неповністю іонізовані. При дуженизьких температурах майжевсі електрони знаходяться надонорах, тобтоn N d. (2.78)Зі зростанням температуричисло іонізованих донорів зростає, а значить, зростає концентраціяелектронів n. При цьому рівень Фермі знаходиться між дном с-зониі донорним рівнем.Знайдемо температуру, при якій половина всіх донорнихцентрів буде іонізована. Із (2.68) видно, що це буде при виконаннірівностіeEdkT1 1F ,21(2.79)тобто, приF = E d . (2.80)При цьому із (2.77) видно, що при даній температурі концентраціяелектронів буде62

1n N2 . d (2.81)Тоді із (2.51) і (2.68), за врахуванням (2.80), отримаємо Ec Ed 1Nexpc Nd. kT 2(2.82)Позначивши глибину донорного рівняE E E ,(2.83)c d cdіз (2.82) розрахуємо температуру Т d , при якій половина донорівбуде іонізована:E cd2NcTd ln .(2.84)k NdЯк видно з (2.80), при цій температурі рівень Фермі проходитьчерез донорний рівень.При Т > Т d практично всі донори будуть іонізовані, тобтоN n N ,(2.85)d d dі умова нейтральності (2.77) дасть для концентрації електронівn N d.(2.86)Виконання цієї рівності відповідає області температур 2 нарис. 2.18.Рівність (2.86) дуже важлива для практичного використаннянапівпровідників: у певній області температур концентраціявільних електронів не залежить від температури і визначаєтьсятільки концентрацією донорів. Легуючи напівпровідникдонорами, можна задавати концентрацію електронів, необхіднудля роботи даного приладу.При високих температурах порушується сильна нерівність(2.76), тобто стає суттєвою термічна генерація електронів із v-зонив c-зону, яка веде до зростання внеску дірок у рівняннянейтральності (2.73). Оцінимо температуру, коли це будевідбуватися, тобто величини першого і другого доданку у правій63

частині (2.74), із врахуванням (2.85), зрівняються, тобто будедосягнута рівністьn N ,(2.87)idІз (2.87) за врахуванням (2.59) отримаємо EgNN expN 2kT 1 2 .c V d(2.88)Позначивши через T id температуру, при якій виконуєтьсярівність (2.87), із (2.88) отримаємоTidE g NN c v ln .2kN d (2.89)При температурах Т > T id концентрація дірок, тобто величинаn 2 i /n, дає значний внесок в умову нейтральності (2.74), іконцентрація електронів експоненціально зростає з температурою,що відповідає ділянці 3 на рис. 2.18. При цьому зростає іконцентрація дірок у v-зоні.Таким чином, концентрація електронів у с-зоні малозалежить від температури і визначається концентрацієюдонорів у області температурT d < T < T id , (2.90)де величину T d можна знайти з формули (2.84), а величину T id – із(2.89). При TT id за рахуноктермічних переходів між v - і с-зонами генеруються одночасновеликі концентрації і електронів, і дірок. При цьому рівень Фермінаближається до середини забороненої зони.Для більшості електронних приладів умовою нормальноїроботи є незалежність концентрації рівноважних електронів у с-зоні від температури. Із формули (2.84) видно, що нижня межаробочого діапазону температур приладу Td Ecd, тобто, дляроботи при низьких температурах необхідно легуватинапівпровідник мілкими донорами (з малою відстанню від с-зониEcd ). З іншого боку, для роботи при високих температурахнеобхідно мати достатньо високе значення верхньої межі робочих64

температур T id . Із формули (2.89) видно, що Tid Eg, тобто, дляроботи при підвищених температурах треба використовуватинапівпровідник з достатньо великою шириною забороненоїзони E .g2.6.4.2. Концентрація дірок у напівпровіднику, легованомуакцепторамиAE gРис. 2.19. Зонна діаграманапівпровідника, легованогоакцепторною домішкою.p0E va1 2F vp=N a3E cFE vРис. 2.20. Температурна залежністьконцентрації дірок у напівпровіднику,легованому акцепторами.TЗоннадіаграманапівпровідника, легованогоакцепторною домішкою,показана на рис. 2.19. Принаявності у напівпровідникуакцепторів і відсутності донорівумова нейтральності (2.58)прийме виглядp-n-na 0 , (2.91)де n a – концентраціяіонізованих акцепторів (тобто,концентрація електронів,захоплених акцепторами).Врахувавши співвідношення(2.59) між концентраціямивільних електронів і дірок уневиродженомунапівпровіднику, із (2.91)отримаємо2nipna .n(2.92)На рис. 2.20. схематичнонаведена залежність концентрації дірок від температури. Цязалежність аналогічна до залежності n(T), показаної на рис. 2.18 дляконцентрації електронів у напівпровіднику, легованому донорами.На кривій р(T) можна виділити три ділянки. Перша ділянкавідповідає частковій іонізації акцепторів. Аналогічно до формули(2.84) можна отримати температуру Т а , при якій рівень Фермі65

проходить через акцепторний рівень, тобто акцептори наполовинуіонізовані:E va2NvTa ln .(2.93)k NaПри T < T а акцептори лише частково іонізовані, що відповідаєділянці 1 на рис. 2.20. При цьому концентрація дірок зростає зізростанням температури, а рівень Фермі знаходиться між v-зоною іакцепторним рівнем.При температурі Т іа , яка визначається формулоюE gNN c vTia ln ,2kN (2.94) a яку можна отримати аналогічно до (2.89), величини двох доданків управій частині (2.91) зрівнюються, тобто, виконується рівністьn i = N a . (2.95)В області температурT а < T < T iа (2.96)концентрація дірок не залежить від температури і визначаєтьсяконцентрацією акцепторів, тобтоp N a , (2.97)що відповідає ділянці 2 кривої р(Т) на рис. 2.20.При T > T iа концентрація дірок експоненціально зростаєвнаслідок інтенсивної термічної генерації електронів із v-зони в c-зону. При T > T iа рівень Фермі наближається до серединизабороненої зони зі зростанням температури.Із формули (2.93) і видно, що нижня межа робочогоінтервалу температур для напівпровідника, легованогоакцепторами, Ta Eva, тобто визначається глибиноюакцепторного рівня, а верхня межа, згідно з виразом (2.94),Tia Eg, тобто визначається шириною забороненої зонинапівпровідника.66

Таким чином, вводячи донори, можна отримувати, в деякомуінтервалі температур, електронну провідність напівпровідника.Концентрація дірок в такому напівпровідникуp n. (2.98)Електрони в такому напівпровіднику називаються основниминосіями заряду, а дірки - неосновними.Вводячи акцептори, можна добитись виконання зворотноїумови, тобтоp n.(2.99)В такому напівпровіднику основними носіями заряду є дірки, анеосновними – електрони.DE cdF сE cF2.6.4.3. КомпенсованийнапівпровідникУ попередніх підрозділахF vпоказано, що легуваннянапівпровідника донорамиAEпідвищує концентраціюvaE v електронів у c-зоні (зміщуєРис. 2.21. Зонна діаграмарівень Фермі в сторону с-компенсованого напівпровідника. зони).Легуваннянапівпровідника акцепторамизміщує рівень Фермі в сторонуv-зони. Одночасне введення і донорів, і акцепторів унапівпровідник називається його компенсацією. Зонна діаграмакомпенсованого напівпровідника схематично показана на рис. 2.21.Компенсація напівпровідника часто відбувається при виготовленніприладів. Наприклад, p-n перехід можна виготовляти, беручи яквихідний матеріал даний напівпровідник, легований донорами.Такий напівпровідник має електронну провідність. Область здірковою провідністю у такому напівпровіднику (тобто р-область)можна отримати шляхом дифузії акцепторів. При цьому, звичайно,в р-області будуть знаходитися і акцептори, і донори, причому N a >N d .67

Повністю компенсованим називають напівпровідник, уякомуN .d Na (2.100)У такому напівпровіднику концентрації електронів і дірокмалі, одного порядку з концентрацією власних носіїв заряду n i .Рівень Фермі при цьому знаходиться близько до серединизабороненої зони.Цікаво, що у компенсованому напівпровіднику концентраціїдонорів і акцепторів можуть бути високими, а концентраціїносіїв заряду у зонах (тобто, електронів у c-зоні та дірок у v-зоні)можуть бути на багато порядків нижчі від концентраційелектрично активних центрів (донорів і акцепторів).Якщо концентрація донорів у напівпровіднику перевищуєконцентрацію акцепторів, тобтоN , d Na (2.101)напівпровідник називається частково компенсованимнапівпровідником n-типу (з електронною провідністю).ЯкщоNa Nd,(2.102)маємо частково компенсований напівпровідник р-типу (здірковою провідністю).Часткова компенсація часто відбувається при вирощуванні талегуванні напівпровідників А II В VI таких як CdS (E g =2,4 eB), CdSe(E g =1,7 eB), ZnS, ZnSe, а також напівпровідників A IV B VI (PbS,PbSe…). Якщо Nd Na,то частина електронів, що за рахуноквзаємодії з фононами перейшли з донорів у c-зону, захоплюютьсяакцепторами і цілком їх заповнюють, так щоn a = N A . (2.103)При цьому концентрацією вільних дірок (дірок у v-зоні) можназнехтувати. Рівняння нейтральності (2.67) у даному випадкуспрощується доn N n N (2.104) 0,d d aа у випадку, коли донори всі іонізовані, отримаємоn N N(2.105)d a .68

Із даного рівняння видно, що концентрація електронів участково компенсованому напівпровіднику n-типу визначаєтьсярізницею концентрацій донорів і акцепторів. Акцептори частковокомпенсують заряд донорів.У випадку, коли концентрація акцепторів перевищуєконцентрацію донорів, отримаємо напівпровідник з дірковоюпровідністю. Якщо акцептори повністю іонізовані, умованейтральності має виглядp N N ,(2.106)тобто донори частково компенсують заряд акцепторів.ad69

Контрольні запитання до розділу 21.Нарисуйте енергетичну діаграму для електронів унапівпровіднику.2.Що таке зона провідності у напівпровіднику?3.Що таке валентна зона в напівпровіднику?4.Що таке заборонена зона в напівпровіднику?5.Як пов’язані імпульс і хвильовий вектор для вільної частинки(формула)?6.Чому дорівнює кінетична енергія вільної частинки?7.Як пов’язана кінетична енергія з імпульсом вільної частинки?8.Як пов’язана кінетична енергія з хвильовим вектором вільноїчастинки?9.Чому дорівнює довжина хвилі де-Бройля для вільної частики?10.Який вигляд має хвильова функція вільного електрона?11.Який вигляд має хвильова функція електрона в періодичномуполі (в кристалі)?12.Який напівпровідник називається прямозонним? Наведітьприклади прямозонних напівпровідників.13.Нарисуйте залежність енергії електрона в с- і v-зонах упрямозонному напівпровіднику.14.Який напівпровідник називається непрямозонним? Наведітьприклади непрямозонних напівпровідників.15.Нарисуйте залежність енергії електрона в с- і v-зонах унепрямозонному напівпровіднику.16.Запишіть формулу залежності енергії електрона відхвильового вектора поблизу мінімуму с-зони в прямозонномунапівпровіднику.17.Запишіть формулу залежності енергії електрона відхвильового вектора поблизу мінімуму с-зони в непрямозонномунапівпровіднику.18.Що таке ефективна маса електрона в с-зоні напівпровідника?19.Що таке ефективна маса дірки у v-зоні напівпровідника?20.Що таке донорні центри в напівпровіднику?21.Які зарядові стани може мати донор?22.Що таке акцепторні центри в напівпровіднику?23.Які зарядові стани може мати акцептор?24.Які види власних точкових дефектів у кристалах ви знаєте?70

25.Які види домішкових дефектів у кристалах ви знаєте?26.Бор – елемент 3-ї групи. Він є донором чи акцептором укристалі кремнію?27.Алюміній – елемент 3-ї групи. Він є донором чи акцептором укристалі кремнію?28.Фосфор – елемент 5-ї групи. Він є донором чи акцептором укристалі кремнію?29.Сурма – елемент 5-ї групи. Він є донором чи акцептором укристалі кремнію?30.Що таке ферміон? Який параметр визначає, чи є даначастинка ферміоном?31.Що таке бозон? Який параметр визначає, чи є дана частинкабозоном?32.Запишіть функцію розподілу Фермі-Дірака.33.Запишіть функцію розподілу Бозе-Ейнштейна.34. Що таке вироджений напівпровідник?35.Що таке невироджений напівпровідник?36.Що таке рівень Фермі?37.Де знаходиться рівень Фермі у бездефектномунапівпровіднику?38.Що таке функція розподілу електронів за енергією?39.Нарисуйте температурну залежність концентрації електроніву напівпровіднику, легованому донорами.40.Нарисуйте температурну залежність концентрації дірок унапівпровіднику, легованому акцепторами.41.Чому при низьких температурах у напівпровіднику,легованому донорами, концентрація електронів у с-зоні менша,ніж концентрація донорів?42.Чому при низьких температурах у напівпровіднику,легованому акцепторами, концентрація дірок у v-зоні менша, ніжконцентрація акцепторів?43.Чому при високих температурах у напівпровіднику,легованому донорами, концентрація електронів у с-зоні більша,ніж концентрація донорів?44.Чому при високих температурах у напівпровіднику,легованому акцепторами, концентрація дірок у v-зоні більша,ніж концентрація акцепторів?45.Що таке компенсований напівпровідник?71

3. ЕЛЕКТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ НАПІВПРОВІДНИКІВ3.1. Дрейф електронів і дірокВ однорідному напівпровіднику при відсутності електричногоі магнітного полів та при однорідній температурі електрони в с-зоніта дірки у v-зоні рухаються хаотично, як атоми в газі. Томусукупність електронів у с-зоні невиродженого напівпровідникаможна розглядати як електронний газ. Таким же чином можнаговорити про дірковий газ.Електрони і дірки рухаються з великими швидкостями.Теплову (середню квадратичну) швидкість електрона Т можназнайти із рівності:2m T3 kT.(3.1)2 2Поклавши m = m 0 , де m 0 – маса вільного електрона, при Т = 300 Котримаємо T =1,17.10 7 см/с. Будемовважати кристал ізотропним, тобто yaйого параметри вважати незалежними від напряму.0 Розглянемо рух ансамблю із Nxдірок (рух дірок розглядатизручніше, ніж електронів, оскількизаряд дірки додатний, тобто q=+e). yб Число N може бути дуже великим.Наприклад, при концентрації дірокр=10 17 см -3 в об’ємі 1мкм 30 знаходиться N=10 5d xдірок. На рис.3.1.а схематично показано кутовийрозподіл середніх швидкостей діроку площині xy. Цей розподілРис. 3.1. Кутовий розподілсферично симетричний, так що центршвидкостей дірок: а – урівновазі; б – умас ансамблю N дірок нерухомий,електричному полі.тобто швидкість центра мас d 0 .Нехай теперу напівпровідникустворено електричне поле з напруженістю E , направленою вздовж72

E E Тоді на кожну дірку буде діяти сила F e E , аосі x, тобто x.на ансамбль із N дірок буде діяти силаF eE N.(3.2)NПід час руху дірки розсіюються при взаємодії з фононами,нейтральними та іонізованими дефектами та ін. При кожному актірозсіяння різко змінюється напрям руху дірки. Розсіяння можнаврахувати через "силу тертя" F fN , яка діє на ансамбль дірокF N,(3.3)fNде d – швидкість руху центра мас ансамблю (дрейфовашвидкість); γ – ефективний коефіцієнт тертя.Тоді другий закон Ньютона для центра мас ансамблю з Nдірок можна записати у вигляді* ddmNpeE N Nd, (3.4)dtде*mp – ефективна маса дірки. Розділивши ліву і праву частиниданої рівності наmN , отримаємо*pddde E (3.5)dt m m* .* dppВеличина *m pмає вимірність 1/с. Позначимо1 ,(3.6)*m p pде величина 1/ p називається часом релаксації імпульсу (точніше– квазіімпульсу) дірки. Величину p можна трактувати як середнійчас між актами розсіяння дірки. За врахуванням (3.6) другийзакон Ньютона для руху центра мас ансамблю дірок буде мативиглядdde 1 E .*d(3.7)dt m pp73

При незмінності величини E через час t p установитьсястаціонарний рух ансамблю дірок, тобто буде виконуватися умовастаціонарностіdd 0.(3.8)dtЗа врахуванням (3.8) із (3.7) отримаємо вираз для стаціонарноїшвидкості руху центра мас ансамблю з N дірок:epd E ,* (3.9)mтобто швидкість направленого руху центра мас ансамблю дірок(дрейфова швидкість дірок) пропорціональна до напруженостіелектричного поля. Кутовий розподіл швидкості дірок уелектричному полі показано на рис.3.1.б. Швидкість центра мас(дрейфова швидкість) направлена вздовж осі ox і дорівнює d .Направлений рух електронів і дірок під дією електричногополя називається їх дрейфом. Швидкість направленого рухуелектронів і дірок називається їх дрейфовою швидкістю.Відношення модуля дрейфової швидкості дірокdp донапруженості електричного поля називається рухливістю дірок,тобтоpdp pE . (3.10)Із формули (3.9) видно, що рухливість дірок так пов’язана з іншимипараметрами дірок у даному напівпровіднику:ep ,p* (3.11)m*де p час релаксації квазіімпульсу дірок; mp – ефективна маса діркив даному напівпровіднику.Аналогічно визначається рухливість електронівdn E , (3.12)так щоnp74

en ,n* (3.13)mn*де n – час релаксації квазіімпульсу електрона; mn – ефективнамаса електрона.Звичайно у напівпровідниках*m* p mn,(3.14)тому рухливість електронів звичайно вища, ніж дірок, тобто (3.15)n p .При низьких напруженостях електричного поля дрейфовашвидкість електронів і дірок набагато менша теплової швидкості.Так, у кремнії при Т=300 К рухливість електронів n =1500 см 2 В -1 с -1 . При напруженості поля E =100 В/см дрейфова швидкістьелектронів складає 1,5 . 10 5 см/с, а теплова швидкість T 10 7 см/с.При цьому кутовий розподіл швидкостей електронів і діроквідносно їх центра мас залишається приблизно сферичним, аелектричне поле тільки незначно змінює теплову швидкістьелектронів і дірок. Час релаксації імпульсу електронів n і дірок pмало змінюється в електричному полі.При високих напруженостях поля E >10 3 В/см відбувається„розігрівання” електронів і дірок, тобто їх теплова швидкістьзростає при підвищені напруженості поля. При цьому зменшуєтьсячас релаксації імпульсу (час вільного прольоту між актамирозсіювання), що веде до зменшення рухливості електронів і дірок.При напруженості поля E ~10 3 –10 4 В/см (для різнихнапівпровідників і при різних температурах ця величина різна)дрейфова швидкість наближається до величини v s ~10 7 cм/c інасичується, тобто не збільшується при подальшому зростаннінапруженості поля. Максимальна дрейфова швидкість електронівназивається швидкістю насичення для електронів. Аналогічновизначається швидкість насичення для дірок.75

3.2. Закон ОмаРозглянемо проходження струму в напівпровідниковомукристалі, показаному на рис. 3.2. До кристала прикладена напругаV, причому зліва "+", справа "–", так що напрям струму – зліванаправо.Дрейфовим називається струм, обумовлений дрейфомелектронів і дірок вlелектричному полі. Густинаелектронного дрейфового"+"S "–"+ –VРис. 3.2. Схема кристала, вякому проходить дрейфовийструм.струму визначається формулоюj en (3.16)dnі, відповідно, густина дірковогодрейфового струму –формулоюj ep (3.17)dndp dp ,де dn і dp – дрейфовішвидкості електронів і дірок, відповідно. Із формули (3.10) видно,що E ,(3.18)dppа із (3.12) отримаємоdn E ,(3.19)nЗа врахуванням (3.19) із (3.16) отримаємо зв’язок густиниелектронного дрейфового струму з напруженістю поля:dnn.j enE (3.20)Аналогічно, із (3.17) і (3.18) отримаємо для густини дірковогострумуj epE .(3.21)dpЯкщо у напівпровіднику є електрони і дірки, то повна густинадрейфового струму є сумою електронної його компоненти ідіркової компоненти, тобтоp76

.j e ne p E (3.22)d n pВираз (3.22) називається законом Ома в диференціальнійформі для дрейфового струму в даному напівпровіднику. Величина e n ep(3.23)nназивається електропровідністю даного напівпровідника, так щозакон Ома в диференціальній формі можна записати так:j.p E (3.24)Електропровідність напівпровідника є сумою електронної ідіркової її компонент: , n p (3.25)де en;(3.26)npn ep.(3.27)pІз рис. 3.2 видно, що напруженість поля в однорідномунапівпровідникуE V /, l(3.28)де V - прикладена напруга; l – довжина кристала. Врахувавши, щосила струму в напівпровідникуI jS,(3.29)де S – площа перерізу кристала, отримаємо закон Ома для струму внапівпровіднику:SI V .(3.30)lВеличина 1/σ називається питомим опором напівпровідника, тобто 1/ ,(3.31)а опір даного кристала визначається якlR ,(3.32)S77

так що із виразу (3.30) отримаємо звичайну форму закону Ома дляструму у напівпровідниковому кристаліVI .(3.33)RТаким чином, виконання закону Ома, (тобто пропорційністьструму в напівпровіднику до прикладеної напруги), обумовленорозсіянням електронів і дірок, яке веде до того, що їх дрейфовашвидкість пропорційна до напруженості електричного поля.Закон Ома виконується лише при достатньо низькихнапруженостях поля. В сильних полях, при E >10 3 В/см, електрони ідірки розігріваються електричним полем, і їх рухливістьзменшується. При ще сильніших полях E 10 4 В/см дрейфовашвидкість електронів і дірок насичується, перестає залежати віднапруженості поля. Найбільша дрейфова швидкість називаєтьсяшвидкістю насичення (вона позначається як s ), а напруженістьполя E , при якій досягається величина , називаєтьсяsнапруженістю поля насичення. Звичайно sдрейфова швидкість насичення одного порядку величини зтепловою швидкістю електронів і дірок.s 10 7 см/с, тобто3.3. Дифузійний струм у напівпровідникахЯкщо в рідині або газі концентрація частинок (атомів абомолекул) N залежить від координати, тобто N Nr,точастинки дифундують із місць, де їх концентрація вища, до місць,де концентрація нижча. Густина дифузійного потоку J частиноквизначається формулою J DN,(3.34)де D – коефіцієнт дифузії; лінійний оператор (набла)виражається формулою i j k; (3.34А)x y z78

i , j , k – одиничні вектори вздовж осей x, y і z. Вектор Nназивається градієнтом функції N Nr. Цей вектор направленийв сторону найсильнішого зростання функції, а його модульдорівнює похідній цієї функції у вказаному напрямку. Рівність(3.34) читається так: густина дифузійного потоку частинокпропорційна до градієнту концентрації частинок і направлена всторону найшвидшого зменшення концентрації. Густинадифузійного потоку частинок – це число частинок, що проходятьза 1 с через одиницю площі перерізу, перпендикулярного доградієнта концентрації. В одновимірному випадку формула (3.34)перетворюється в dNJ D . (3.35)dxЯкщо у напівпровіднику концентрація електронів n (водновимірному випадку) залежить від координати x, то густинадифузійного потоку електронів визначається формулою dnJnDn,(3.36)dxде D n – коефіцієнт дифузії електронів у даному напівпровіднику.Аналогічна формула справедлива для густини дифузійного потокудірок dpJpDp,(3.37)dxде D p – коефіцієнт дифузії дірок.Дифундуючи, електрони переносять заряд – е, що спричиняєелектронний дифузійний струм густиноюdif dnjn eDn.(3.38)dxДифузія дірок, кожна з яких має заряд +е, створює дірковийдифузійний струм густиноюdif dpjp eDp.(3.39)dx79

Повна густина дифузійного струму є сумою густин дифузійнихструмів електронів і дірок:dn dpj difeDn eDp.dx dx(3.40)При наявності у напівпровіднику електричного поля повнагустина струму дорівнює сумі густини дрейфового струму ігустини дифузійного струму. Врахувавши вираз (3.20) длягустини електронного дрейфового струму і формулу (3.38) дляелектронного дифузійного струму, отримаємо вираз для повноїгустини електронного струму:dnjn ennE eDn.(3.41)dxАналогічно, врахувавши (3.21) і (3.39), отримаємо для густинидіркового струмуdpjp eppE eDp. (3.42)dxОчевидно, повна густина струму в даній точці напівпровідникабудеj j . n jp (3.43)Таким чином, густина струму в напівпровідникувизначається такими величинами: концентраціями електронівn і дірок p; їх градієнтами dndx і dp , а також напруженістюdxполяE .3.4. Співвідношення ЕйнштейнаСпіввідношення Ейнштейна зв’язує коефіцієнт дифузії тарухливість електронів (або дірок) у невиродженомунапівпровіднику. Виведемо це співвідношення. Для зручностівиведемо дане співвідношення для дірок, заряд яких додатний іскладає +е.80

Нехай, в результаті нерівномірного розподілу домішок, уданому місці напівпровідника виникла неоднорідність розподілуелектричного потенціалу φ,φа схематично показана на рис. 3.3а,де φ 0 – потенціал у одноріднійφ 0частині кристала. Уx невиродженому напівпровіднику0р-типу рівноважний розподілP φ 0б дірок за енергією збігається зрозподілом Больцмана: 0 exp ex p x p ,0 kTx0(3.44)Рис. 3.3. Розподіл потенціалу(а) і концентрації дірок (б) унеоднорідномунапівпровіднику.де р 0 – концентрація дірок уоднорідній частині кристала.Просторовийрозподілконцентрації дірок схематичнопоказано на рис. 3.3б. Врівноважному стані виконується умова детальної рівноваги.Густина електронного струму і окремо густина дірковогоструму у будь-якій точці кристалу дорівнюють нулю.Враховуючи формулу (3.42), отримаємо умову рівноваги длядіркового струмуdp E (3.45) 0.epp x eDpdxНапруженість поля E виражається через градієнт потенціалу, що водновимірному випадку даєdE .(3.46)dxЗ іншого боку, із (3.44) отримаємо вираз для градієнта концентраціїдірок:dp ep xd (3.47)dx kT dx81

Підставивши (3.46) і (3.47) в (3.45), отримаємо зв'язок міжкоефіцієнтом дифузії для дірок D p та їх рухливістю μ р :kTD .p pe (3.48)Це і є співвідношення Ейнштейна для дірок уневиродженому напівпровіднику.Аналогічно можна отримати співвідношення Ейнштейна дляелектронів:kTD ,n ne (3.49)де μ n – рухливість електронів.Слід відзначити, що співвідношення Ейнштейна (3.48) і (3.49)отримано для рівноважних електронів і дірок. Звичайно, колидосліджуються або використовуються процеси тривалістюt , ,(3.50)де n і p - час релаксації імпульсу електронів і дірок,нерівноважні носії заряду встигають "термалізуватися", тобто їхнясередня швидкість встигає зрівнятися із середньою швидкістюрівноважних електронів і дірок. Тому, при виконанні умови (3.50),співвідношення Ейнштейна (3.48) і (3.49) справедливі також длянерівноважних електронів і дірок.3.5. Довжина екранування (дебаївська довжина)Всередині однорідного напівпровідника у рівноважному станіта при відсутності зовнішніх впливів електричне поле дорівнюєнулю. Але існує ряд факторів, які ведуть до існування електричногополя у обмежених областях напівпровідника. Такими факторами урівноважному стані є, наприклад, неоднорідності розподілудомішок, наявність заряджених електронних станів на поверхнінапівпровідника, дія зовнішнього електричного поля.На рис. 3.4а схематично показано розподіл донорів унапівпровіднику. Нехай у напівпровіднику є дві області, позначеніцифрами 1 і 2, в яких концентрація донорів складаєnpN0d N і N ,d0d82

відповідно. Якщо донори іонізовані, то всередині області 2концентрація електронів становитиме0n N d (3.51)0,N dΔN d0N d1 20nρ0Δn n 01 20"+"в1 "-" 20Рис. 3.4. Розподіл концентрацій донорів(а) та електронів (б), а також густинипросторового заряду (в) у неодноріднолегованому напівпровіднику.xxxаба в області 1on nN N (3.52)0 d d,тобто всередині області 1концентрація електронівбуде на Δn більша, ніж вобласті 2, як показано нарис. 3.4б. Тоді електронибудуть дифундувати зобласті 1, де їх концентраціявища, в область 2. Дифузіяелектронів створитьдифузійний струм густиноюdnj eD , (3.53)dxдедифnn x n x n . 0 (3.54)При цьому в частині області2, прилеглій до межі розділуобластей 1 і 2, концентраціяелектронів стане більшою,ніжконцентраціяіонізованих донорів. Тому вцьому шарі утвориться від'ємний просторовий заряд густиною x e n x(3.55) .В частині області 1, прилеглій до межі розділу областей, таким жечином утвориться додатний просторовий заряд, як показано нарис. 3.4в. Вказані заряди створять електричне поле, напруженістьякого визначається із рівняння Пуассона:2 , (3.56)083

де – густина заряду; 0 – електрична стала; – діелектричнапроникність напівпровідника. Із рівняння (3.56) отримаєморівняння для напруженості поляdE x .(3.57)dx 0В області 2 величина ρ задається виразом (3.55), тобтоdEe nx.(3.58)dx 0Під дією даного електричного поля виникне дрейфовий струмгустиноюjdr x enn xE x.(3.59)Розглянемо випадок, колиn n . 0 (3.60)Тодіn x n 0 n x n , 0 (3.61)і рівняння (3.58) стане лінійним:jdr x enn0 E x.(3.62)Рівновага наступить, коли дрейфовий струм, направленийпроти дифузійного струму, зрівняється з ним по абсолютнійвеличині: 0.jdrx jdifx (3.63)Врахувавши вирази (3.53) і (3.62) цю рівність перепишемо у виглядіdneDn enn0 E x 0.(3.64)dxВзявши до уваги співвідношення ЕйнштейнаkTD ,n ne (3.65)із (3.64) отримаємоd n e n 0 E x .(3.66)dx kTРівняння (3.58) і (3.66) утворюють систему лінійнихдиференційних рівнянь першого порядку. Перетворимо цю системуу одне диференційне рівняння другого порядку. Для цьогопродиференціюємо ліву і праву частини рівняння (3.66):84

звідки отримаємо2d n e dn2 0, E dx kT dxE2d kT d n2dx en0dxE.(3.67)(3.68)Підставивши цей вираз дляddx у рівняння (3.58), отримаємолінійне диференційне рівняння другого порядку відносно Δn(x)22d nen0n 0.2 dx 0kT(3.69)Ввівши позначення0kT2 L ,2Den0(3.70)перепишемо (3.69) у вигляді2d n n 0.2 2dx Ld(3.71)Врахуємо граничні умови:Δn(0)=Δn 0 ; (3.72)Δn(∞)=0. (3.73)Тоді розв’язок рівняння (3.71) буде таким:LDnx n0 e ,(3.74)тобто величина Δn експоненціально зменшується вглибину області2. Теж саме можна сказати про густину просторового заряду:і про напруженість поляxx xxLD 0 e(3.75) LDE E 0 .(3.76)Таким чином, електричне поле, що виникає внаслідокнеоднорідного легування напівпровідника, екрануєтьсявільними електронами.Величина L D , що визначається формулою (3.70) унапівпровіднику з електронною провідністю, тобтоe x85

nn 0E000"+" V "–"L DL DΔn(0)Рис. 3.5а – схема для створенняелектричного поля у приповерхневомушарі напівпровідника;б, в - розподіл концентраціїелектронів танапруженості поля у напівпровіднику.LxxD0kT,2en0(3.77)називається довжиноюекранування, або дебаївськоюдовжиною.а Аналогічноунапівпровіднику з дірковоюпровідністю0kTLD ,2 (3.78)e pб0де р 0 – рівноважнаконцентрація дірок.Нехайтепернапівпровідник знаходиться уелектричному полі, створеномув поданням напруги на металевийелектрод, як показано нарис. 3.5а. Тоді під дієюзовнішнього електричного поляелектронибудутьпритягуватися до поверхні(коли подано «+» на електрод),і встановиться профільконцентрації електронів,показаний на рис. 3.5б.Електрони своїм зарядомбудуть екранувати зовнішнєполе, внаслідок чого в приповерхневому шарі напівпровідникавстановиться розподіл напруженості поля, показаний на рис. 3.5в.Глибина проникнення поля у напівпровідник при виконаннінерівності (3.60), тобто при Δn

Контрольні запитання до розділу 31.Що таке теплова швидкість електронів?2.Що таке теплова швидкість дірок?3.Запишіть формулу для середньої кінетичної енергії частинкипри температурі Т.4.Якого порядку теплова швидкість електрона унапівпровіднику?5.Чому дорівнює сила, що діє на електрон у електричному полінапруженості E?6.Що таке час релаксації квазіімпульсу електрона?7.Що таке час релаксації квазіімпульсу дірки?8.Що таке дрейфова швидкість електронів?9.Дайте означення рухливості електрона.10.Дайте означення рухливості дірки.11.Чому рухливість дірок у напівпровіднику звичайно менша,ніж електронів?12.Що таке електропровідність напівпровідника?13.Наведіть формулу для розрахунку електронної компонентиелектропровідності напівпровідника.14.Наведіть формулу для розрахунку діркової компонентиелектропровідності напівпровідника.15.Що таке густина струму?16.Запишіть закон Оиа.17.Запишіть закон Ома в диференційній формі (для густиниструму).18.Чому закон Ома для напівпровідника справедливий тількипри достатньо слабких полях?19.Чому закон Ома для напівпровідника порушується присильних полях?20.Що таке дрейфова швидкість насичення для електронів унапівпровіднику?21.Якого порядку величина дрейфової швидкості насичення дляелектронів у напівпровіднику?22.Що таке швидкість насичення для дірок у напівпровіднику?23.Нарисуйте схематично залежність дрейфової швидкостіелектронів від напруженості електричного поля унапівпровіднику.87

24.Що таке дифузія електронів?25.Що таке коефіцієнт дифузії електронів у напівпровіднику?26.Запишіть вираз для електронної компоненти дифузійногоструму в напівпровіднику.27.Запишіть вираз для діркової компоненти дифузійного струмув напівпровіднику.28.Із яких компонент складається електронний струм унапівпровіднику?29.Із яких компонент складається дірковий струм унапівпровіднику?30.Які величини зв’язує співвідношення Ейнштейна?31.Запишіть співвідношення Ейнштейна для електронів унапівпровіднику.32.Запишіть співвідношення Ейнштейна для дірок унапівпровіднику.33.Що таке дебаївська довжина (довжина екранування) унапівпровіднику?88

4. ОПТИЧНІ ТА ФОТОЕЛЕКТРИЧНІ ЯВИЩАВ НАПІВПРОВІДНИКАХ4.1. Поглинання світла у напівпровідниках4.1.1. Основні характеристики електромагнітноговипромінюванняПросторово-часове описання електромагнітних хвильздійснюється за допомогою рівнянь Максвелла. Розв‘язок системирівнянь Максвелла у однорідному середовищі можна представитияк суперпозицію плоских монохроматичних хвиль. Для плоскоїмонохроматичної хвилі зміна електричного вектора в просторі таза часом виражається рівністю (4.1)або в комплексній форміE E cos( tkr)0 ,E E 0exp[ i ( tkr)](4.2),де r – радіус-вектор; t – час; 2 / T – циклічна частота; Т –період коливань; k – хвильовий вектор. Його модуль k 2 / ; –довжина хвилі. Напрям вектора k збігається з напрямомпоширення хвилі; – початкова фаза коливань. При цьому c n T, де с – швидкість світла у вакуумі, n – показникзаломлення середовища.Густина енергії електромагнітної хвилі ρ – це енергія,розрахована на одиницю об’єму. Одиниця вимірювання густиниенергії [ρ]= Дж/м 3 . Для плоскої монохроматичної хвилі густинаенергії визначається формулою1 2 2(4.3) 0 E 0H ,2де 0 – електрична стала, – діелектрична проникністьсередовища, в якому поширюється хвиля; 0 – магнітна стала; –магнітна проникність даного середовища; H – величинамагнітного вектора.89

Для монохроматичного випромінювання використовуєтьсятакож поняття концентрації фотонів. Концентрація фотонів N Ф –це число фотонів, розраховане на одиницю об’єму середовища. Згустиною енергії монохроматичного випромінювання данавеличина пов’язана співвідношенням h N . (4.4)Інтенсивність випромінювання I (для світла – видимоговипромінювання – інтенсивність світла)– це енергія, якапереноситься електромагнітним випромінюванням через одиницюплощі хвильового фронту за одну секунду (паралельно вживаєтьсятермін – густина потоку енергії випромінювання). Інтенсивністьвипромінювання дорівнює модулю вектора Умова – Пойнтінга івизначається рівністюI c, (4.5)де υ с – швидкість поширення електромагнітних хвиль у даномусередовищі. Вимірність цієї величини [I]=Вт . м -2 .Густина потоку фотонів для монохроматичноговипромінювання визначається формулою1(4.6)L I ,hде h – стала Планка; – частота коливань (в Гц). Густина потокуфотонів визначається як число фотонів, що проходять черезодиницю площі хвильового фронту за одну секунду. Вимірністьданої величини [L]=м -2. с -1 .4.1.2. Власне поглинання світла в напівпровідникахПоглинання електромагнітних хвиль характеризуєтьсякоефіцієнтом поглинання . Якщо плоска монохроматичнаелектромагнітна хвиля поширюється вздовж осі х, то густинапотоку фотонівL ( x ) L (0 ) exp( x ) . (4.7)Оскільки інтенсивність світла, згідно з формулою (4.6),пропорційна до густини потоку фотонів, то для інтенсивності світлазалежність I( x ) має аналогічний вигляд:I ( x) I(0)exp( x). (4.8)90

Із виразів (4.7) та (4.8) видно, що коефіцієнт поглинанняможна визначити як 1 dL(4.9)L dx ,абоI dxОдиниця вимірювання коефіцієнта поглинання [α] = см -1 .Існує цілий ряд механізмів поглинання світла унапівпровідниках. Ми коротко розглянемо найважливіший з них –поглинання світла, що супроводжується переходами електронів ізвалентної зони (v-зони) в зону провідності (с-зону). Такепоглинання називається власним, або фундаментальнимпоглинанням напівпровідника.Спектр власного поглинання напівпровідника, на відмінувід спектрів атомів і молекул, являє собою широку смугу (а неhенергієюE g1 dI .Е cЕ vРис. 4.1. Схема електронногопереходу в напівпровідникупри поглинанні фотона.(4.10)набір дискретних ліній). Цеобумовлено тим, що електронніпереходи при поглинанні унапівпровіднику відбуваються неміж дискретними енергетичнимирівнями, а між зонами:валентною зоною і зоноюпровідності.Електронний перехід привласному поглинанні показанострілкою на рис. 4.1: фотон зh E g(4.11)поглинається, а електрон переходить із валентної зони у зонупровідності. Це означає, що при власному поглинанні фотонавідбувається генерація електрона і дірки (електронно-дірковоїпари).Темп генерації електронів у с-зоні Gn – це число електронів,що генеруються в одиниці об’єму за 1с. Аналогічно визначається91

темп генерації дірок Gp . При поглинанні одного фотона (якщойого енергія не перевищує 2E g ) народжується один електрон у с-зоні і одна дірка у v-зоні. Тому при власному поглинанні світлаG G L, (4.12)nде – коефіцієнт поглинання світла; L – густина потоку фотонів.4.1.3. Поглинання світла у прямозонних напівпровідникахМеханізми власного поглинання у прямозонних танепрямозонних напівпровідниках мають суттєві відмінності. Нарис. 4.2 схематично показана зонна діаграма прямозонногонапівпровідника – арсеніду галіюEGaAs (GaAs). Як указувалося раніше, упрямозонних напівпровідниківмінімум с-зони і максимум v-зони знаходяться в одній і тій жеE 2E cточці зони Бріллюена: в точці Г,тобто при значенні хвильовогоhνвектора k 0.E 1E gE v0 L k 111Рис. 4.2. Електронний перехід упрямозонному напівпровіднику –арсеніді галію – при поглинанніфотона.2 1pВпрямозонномунапівпровіднику при поглинаннісвітла перехід електрона із стану зенергією E 1 у валентній зоні в станз енергією Е 2 у с-зоні відбуваєтьсявнаслідок взаємодії електрона іфотона. При цьому виконуютьсязакони збереження енергії таімпульсу. Закон збереженняенергії має виглядE E h , (4.13)де h – енергія фотона. Із формули (4.13) видно що власнепоглинання напівпровідника відбувається при енергіяхфотонів, більших ширини забороненої зони, тобтоh E g , (4.14)92

Закон збереження (квазі)імпульсу при поглинанні фотонівформулюється як P2 P1P , (4.15)P і P 2 – значення квазіімпульсу електрона у двох відповіднихде 1станах; P – імпульс фотона. За врахуванням співвідношенняP k(4.16)із (4.15) отримаємо співвідношення між значеннями хвильовоговектора: k2 k1k , (4.17)де k – хвильовий вектор фотона. Величина хвильового векторафотона на кілька порядків величини менша від ширини зониБріллюена в напівпровіднику:2 2k . (4.18)aДійсно, ширина забороненої зони арсеніду галію складає 1,43 еВ,що відповідає довжині хвилі фотона λ=0,87мкм. Період ґраткиa 0,56 нм. Це означає, що хвильовий вектор фотона, якийпоглинається, у 1550 разів менший від ширини зони Бріллюена дляелектрона. Тому величиною хвильового вектора фотона у виразі(4.17) можна знехтувати, і закон збереження хвильового векторапри поглинанні фотона у прямозонному напівпровіднику маєвиглядk k2 1, (4.19)тобто при поглинанні фотона хвильовий вектор електрона незмінюється. Електронний перехід при міжзонному поглинанні наенергетичній діаграмі прямозонного напівпровідника зображуєтьсявертикальною стрілкою, як показано на рис. 4.2. Такі електронніпереходи називають прямими, або вертикальними.Закони збереження енергії та імпульсу (4.13) і (4.15)називають ще правилами відбору для оптичного поглинання упрямозонному напівпровіднику.93

Розрахунки показують, що спектр поглинанняпрямозонного напівпровідника поблизу його довгохвильовоїмежі, тобто в областіh E E , (4.20)ggмає вигляд1/2 ( ) , (4.21)const h E gде константа має різні значення для різних напівпровідників ізалежить від температури.Коефіцієнт поглинання прямозонних напівпровідників досягає4значень 10см -1 .4.1.4. Поглинання світла у непрямозонних напівпровідникахНа рис. 4.3 показана залежність Ek (100)для фосфіду галію(GaP) – типового непрямозонногоEGaРнапівпровідника. Максимумвалентної зони знаходиться вцентрі зони Бріллюена (в точці Г,E 2тобто, при k 0). А головнийE c мінімум зони провідності pзнаходиться в точці Х, тобто накраю зони Бріллюена, в точціhνE gkx / a, де а =0,545 нм – періодґратки. Ширина забороненої зониE vE 1фосфіду галію Eg 2,25еВ.Поглинання відбувається при0 Х k 100енергії фотонів h hmin , деh EРис. 4.3. Електронний перехід унепрямозонному напівпровіднику– фосфіді галію – при поглинанніфотона. . Фотон з енергієюhmin має довжину хвилі 1, 24 / hmin 0,55 мкм.Хвильовий вектор такого фотонаk 2 / 1,14 . 10 5 см -1 . Хвильовий вектор електрона в зоніпровідності в точці Х складає k / a=5,76 . 10 7 см -1 , тобтоXming94

kX k . (4.22)Це означає, що імпульс фотона з енергієюh min Egнедостатній, щоб перевести електрон із валентноїзони в зону провідності. Тому в GaP, як і в інших непрямозоннихнапівпровідниках, переходи електронів із максимуму валентноїзони в мінімум зони провідності за рахунок взаємодії двохчастинок – електрона і фотона – неможливі.У непрямозонних напівпровідниках електронні переходи ізмаксимуму валентної зони в мінімум зони провідностівідбуваються в результаті взаємодії трьох (квазі)частинок:електрона, фотона і фонона – кванта коливань кристалічноїґратки. Закон збереження енергії при такій взаємодії має виглядE E h , (4.23)2 1 pде E1 і E2 – енергії електрона у відповідних станах; h – енергіяфотона; p – енергія фонона. Знак „+” відповідає поглинаннюфонона (цей випадок відображено на рис. 4.3), а „–” – генераціїфонона.Закон збереження квазіімпульсу (і хвильового вектора) маєвигляд k k k k, (4.24)де 12 1 pk і k 2 – значення хвильового вектора електрона у відповідних– хвильовий вектор фотона; k p – хвильовий векторстанах; k фонона. Знак „+” відповідає поглинанню фонона (цей випадоквідображено на рис. 4.3), а „–” – генерації фонона.Закони збереження енергії та імпульсу (4.23) і (4.24)називають ще правилами відбору для оптичного поглинання унепрямозонному напівпровіднику.Звичайно, енергія фононів у широкозонних напівпровідникахмала порівняно із забороненою зоною, тобто E . (4.25)pТому в приблизних розрахунках замість правила відбору (4.23)використовують приблизну рівністьg95

E E h . (4.26)2 1Враховуючи малість імпульсу фотона, що виражаєтьсянерівністю (4.22), замість правила відбору (4.24) використовуютьйого спрощений варіант k k k . (4.27)2 1 pРозрахунки показують, що спектр поглинаннянепрямозонного напівпровідника поблизу його довгохвильовоїмежі, тобто в областіh E E , (4.28)ggмає вигляд const h E g p2 ( ) , (4.29)де константа має різні значення для різних напівпровідників ізалежить від температури. Порівняння виразів (4.21) і (4.29)показує, що спектри поглинання прямозонних і непрямозоннихнапівпровідників мають різний вигляд. Це дає змогу встановити, чиє досліджуваний напівпровідник прямозонним, чи непрямозонним.Аналіз спектру поглинання напівпровідника на основі виразів(4.24) і (4.29) дає змогу визначити його ширину забороненої зони.Коефіцієнт поглинання непрямозонних напівпровідників2досягає значень 10см -1 , тобто на два порядки менше, ніж упрямозонних напівпровідників. Менші значення коефіцієнтапоглинання у непрямозонному напівпровіднику обумовлені тим,що ймовірність взаємодії трьох частинок (електрона, фотона іфонона) у такому напівпровіднику менша, ніж ймовірністьвзаємодії двох частинок (електрона і фотона) у прямозонномунапівпровіднику. Класичний аналог: ймовірність випадковогозіткнення двох атомів більша, ніж ймовірність зіткнення трьохатомів.4.1.5. Застосування поглинання світла у напівпровідникахПри власному поглинанні світла у напівпровідникугенеруються електрони в с-зоні й дірки у v-зоні. Це явищеназивається внутрішнім фотоефектом у напівпровіднику.96

Внутрішній фотоефект використовується у фотоприймачах іфотоелектричних перетворювачах енергії. Фотоприймачіперетворюють оптичний сигнал (наприклад, світловий імпульс) уелектричний (наприклад, в імпульс стуму або напруги). Найбільшпоширеними фотоприймачами є фотодіоди і фоторезистори.Фотоелектричні перетворювачі енергії перетворюютьенергію оптичного випромінювання (наприклад, енергію сонячногосвітла) у електричну енергію. Найбільш поширені фотоелектричніперетворювачі енергії – сонячні елементи. Електрорушійна сила(ЕРС) сонячного елемента не перевищує величини Eg/ e , де Eg –ширина забороненої зони напівпровідника; е - заряд електрона.Для підвищення робочої напруги використовують системипослідовно включених сонячних елементів – сонячні батареї.4.2. Рекомбінація електронів і дірок у напівпровідниках4.2.1. Випромінювальна і невипромінювальна рекомбінаціяРекомбінація електрона і дірки – це їх „воз’єднання”,„аннігіляція” електроннодірковоїпари, „взаємнеЕ cзнищення” електрона і дірки1hν2як квазічастинок. ТемпE g p рекомбінації електронів Rn –число електронів, щоЕ vрекомбінують у одиниціРис. 4.4. Схема електронних об’єму за 1с. Вимірність цієїпереходів у напівпровіднику: величини [ Rn] см -3 с -1 .1 – при міжзонній випромінювальнійрекомбінації; 2 –Аналогічно визначається темппри багатофононній невипромінювальнійрекомбінації.При випромінювальнійрекомбінації дірок Rp .рекомбінації відбуваєтьсягенерація (випромінювання) фотона. На рис. 4.4 стрілкою 1показано електронний перехід при міжзонній випромінювальнійрекомбінації. Електрон переходить із с-зони у v-зону і при цьому97

генерується фотон. При такому переході електрон передає енергіюфотону. При невипромінювальній рекомбінації енергіяелектронно-діркової пари передається або фононам, або третьомуносію заряду. Стрілками 2 на рис. 4.4 показано перехід електрона ізс-зони у v-зону при багатофононній невипромінювальнійрекомбінації. Енергія електронапередається багатьом фононам,що генеруються при такомупереході. Так що багатофононнарекомбінація веде до нагрівання- - -Е cкристала.При ударній рекомбінації2(рекомбінації Оже) енергіяE g1Е vРис. 4.5. Схема електроннихпереходів у напівпровідникупри ударній (Оже-)рекомбінації: 1 – при передачіенергії електронно-дірковоїпари електрону; 2 – припередачі енергії дірці.електронно-діркової парипередається третьому носіюзаряду. На рис. 4.5 стрілками 1показано електронні переходи прирекомбінації електронно-дірковоїпари за участю третьоїквазічастинки – електрона.Електрон і дірка рекомбінують, асвою енергію передають щеодному електрону. Цей електронотримує енергію порядку E g ,тобто переходить на більшвисокий енергетичний рівень у с-зоні. Такі високо-енергетичніелектрони називають гарячимиелектронами. За короткий часгарячі електрони термалізуються, тобто передають надлишковуенергію фононам. Так що в кінцевому результаті ударнарекомбінація веде до нагрівання кристала.На рис. 4.5 стрілками 2 показано електронні переходи прирекомбінації електронно-діркової пари за участю третьоїквазічастинки – дірки. Електрон і дірка рекомбінують, а своюенергію передають ще одній дірці. Ця дірка отримує енергіюпорядку E g , тобто переходить в глибину v-зони. Такі високоенергетичнідірки називають гарячими дірками. За короткий час98

гарячі дірки термалізуються, тобто передають надлишковуенергію фононам – нагрівають кристал.Внаслідок того, що в акті ударної рекомбінації беруть участьтри частинки, така рекомбінація відіграє значну роль при високихконцентраціях носіїв заряду: у сильно легованих напівпровідниках,або при дуже високих концентраціях нерівноважних носіїв заряду.Для оцінки ефективності роботи напівпровідникових джерелвипромінювання використовують важливий параметр – квантовийвихід випромінювальної рекомбінації, який визначається виразомRrgr , (4.30)R Rде Rr – темп випромінювальної рекомбінації (radiativerecombination rate); Rnr – темп невипромінювальної рекомбінації(non-radiative recombination rate). Із виразу (4.30) видно, щовеличина квантового виходу випромінювальної рекомбінаціїпоказує, яка частина електронно-діркових пар прорекомбінувала згенерацією фотонів. Інше еквівалентне означення квантовоговиходу випромінювальної рекомбінації: це відношення числагенерованих фотонів до числа прорекомбінувавших електроннодірковихпар.4.2.2. Міжзонна випромінювальна рекомбінаціяПри міжзонній випромінювальній рекомбінації електронів ідірок енергія електронно-діркової пари величиноюE E E , (4.31)rnr2 1де E2 – енергія електрона у с-зоні; E1 – енергія дірки у v-зоні,передається фотону. За певних умов, у сильно нерівноважномустані, може відбуватися вимушена випромінювальнарекомбінація, тобто відбувається вимушене випромінюванняфотона, яке використовується у напівпровідникових лазерах. Піддією резонансного фотона електрон переходить із с-зони у v-зону,генеруючи фотон, який за всіма параметрами тотожнийпервинному фотону.99

Спектр випромінювальної рекомбінації – це залежністьспектральної густини темпу випромінювальної рекомбінації R відчастоти (або енергії h ) фотонів. Спектральна густина темпувипромінювальної рекомбінації визначається виразомdRR ( ) d. (4.32)Спектр випромінювальної рекомбінації у невиродженомунапівпровіднику пов’язаний зі спектром поглинанняспіввідношенням Русбрека–Шоклі, яке у спрощеному виглядіможна записати якkTR ( ) const ( ) e . (4.33)Це співвідношення виводиться із умови детальної рівноваги міжтепловим випромінюванням і напівпровідником. Якісно цеспіввідношення можна пояснити так: ймовірності електроннихпереходів із стану 1 в стан 2 і зворотних переходів однакові. Аледля випромінювального переходу із стану 2 в с-зоні в стан 1 у v-зоні необхідно, щоб у стані 2 був електрон, а в стані 1 була дірка. Афункція розподілу для електронів і дірок у невиродженомунапівпровіднику – больцманівська, що і дає експоненціальниймножник у виразі (4.33).h4.2.2.1. Міжзонна випромінювальна рекомбінаціяу прямозонних напівпровідникахПравила відбору (тобто закони збереження енергії тахвильового вектора) для міжзонної рекомбінації електронів і діроку прямозонному напівпровіднику такі ж, як і для міжзонногопоглинання – це виконання рівностей (4.13) і (4.15). Перехіделектрона із стану 2 у с-зоні в стан 1 у v-зоні (з генерацією фотона)відбувається без зміни хвильового вектора електрона. Такіпереходи називаються прямими, або вертикальними. Вонизображуються вертикальною стрілкою на графіку E(k).Для прямозонного напівпровідника спектр рекомбінаційноговипромінювання визначається виразом (4.33), де спектрпоглинання ( h ) відповідає формулі (4.21), тобто100

( ) ( ) 2 kTR const h E e . (4.34)g1hαβR ν2 130 0,5 1 1,5( h E )/ kTРис. 4.6. Спектральні залежності величин дляпрямозонного напівпровідника: 1– коефіцієнтапоглинання α; 2 – величини β=exp(-hν/kT).3 – спектр рекомбінаційного випромінювання.gСпектр випромінювання при міжзонній рекомбінації упрямозонному напівпровіднику схематично показано на рис. 4.6.Крива 1 дає спектр поглинання прямозонного напівпровідника,який відповідає формулі (4.21), тобто ( h E g). Крива 2 даєспектральну залежність величини =exp(- h / kT).Крива 3відображає залежність R( h ), тобто спектр рекомбінаційноговипромінювання. Максимум спектру випромінювання відповідаєенергії фотонаh E kT /2. (4.35)MgРекомбінаційне випромінювання прямозоннихнапівпровідників використовується у напівпровідникових джерелахсвітла: світлодіодах, лазерах та інших приладах. Із виразу (4.35)видно, що енергія випромінюваних лазером фотонів, а значить –і колір випромінюваного світла, визначається шириноюзабороненої зони напівпровідника.101

4.2.2.2. Міжзонна випромінювальна рекомбінаціяу непрямозонних напівпровідникахУ непрямозонних напівпровідниках випромінювальнарекомбінація відбувається за участю трьох частинок: електрона,фотона і фонона. Правила відбору (тобто закони збереження енергіїта хвильового вектора) для міжзонної рекомбінації електронів ідірок у непрямозонномуEнапівпровіднику такі ж, як і дляGaРміжзонного поглинання – цевиконання рівностей (4.33) і(4.34). При цьому знак «+»E 2E c відповідає генерації фонона, а «–» p– поглинанню фонона.Електронний перехід приhν E g міжзонній рекомбінації внепрямозонному напівпровідникуE vпоказано на рис. 4.7. При такомуE 1переході генерується фотон зенергією hν і фонон з енергією0 Х k 100Рис. 4.7. Електронний перехід унепрямозонному напівпровіднику– фосфіді галію – привипромінюванні фотона. p та хвильовим вектором k p .Спектр рекомбінаційноговипромінювання непрямозонногонапівпровідника визначаєтьсявиразом (4.33), де враховуєтьсяспектр поглинання непрямозонного напівпровідника, якийвідповідає формулі (4.29) тобтоh2 kTR () const( h Eg p)e , (4.36)де p– енергія фонона. Знак «+» відповідає генерації фонона, а«–» – поглинанню фонона.Спектр випромінювання при міжзонній рекомбінації унепрямозонному напівпровіднику схематично показано на рис. 4.8.Крива 1 дає спектр поглинання непрямозонного напівпровідника,який відповідає формулі (4.29), тобто22 ( h E ) ( hE) . Крива 2 зображує спектральнуg p g102

залежність величини =exp(- h / kT).Крива 3 відображаєзалежність R ( h ), тобто спектр рекомбінаційноговипромінювання. Максимум спектру відповідає енергії фотонаh E 2kT. (4.37)MgЯк указано у підрозділі 4.1.4, коефіцієнт поглинання світла уαβR ν2 130 12 3( h E )/ kTgРис. 4.8. Спектральні залежності величин длянепрямозонного напівпровідника: 1– коефіцієнтапоглинання α; 2 – величини β=exp(-hν/kT).3 – спектр рекомбінаційного випромінювання.непрямозонних напівпровідниках приблизно на два порядкивеличини менший, ніж у прямозонних. Теж саме можна сказати іпро ймовірність випромінювальної міжзонної рекомбінації. Приоднакових концентраціях носіїв заряду темп випромінювальноїрекомбінації в непрямозонному напівпровіднику приблизно надва порядки менший, ніж у прямозонному напівпровіднику.Тому в напівпровідникових лазерах використовуються тількипрямозонні напівпровідники.103

4.3. Нерівноважні електрони і дірки4.3.1. Квазірівні Фермі для електронів і дірокНа відмінність від металів, у напівпровідниках легко можназмінювати концентрації електронів і дірок. Це можна зробити,наприклад, за рахунок освітлення напівпровідника, йогоопромінення іонізуючими частинками, прикладення сильногоелектричного поля. Дуже широко для зміни концентраційелектронів і дірок використовується інжекція неосновних носіївзаряду в p-n переходах. Явища, які ведуть до зростанняконцентрацій нерівноважних носіїв заряду, називаютьгенераційними явищами (генераційними процесами).У нерівноважному стані поняття про рівень Фермі неможна вводити. Але у процесах тривалістюt , , (4.38)де n,p – значення часу релаксації квазіімпульсу для електронів ідірок, електрони і дірки встигають термалізуватися: їх розподіл зашвидкістю стає таким же, як і для рівноважних електронів, тобтовідповідає температурі кристала. Тоді у нерівноважному станірозподіл електронів за енергією у с- зоні буде такий же, як урівноважному стані при даній температурі, тільки зросте їхзагальна концентрація, що математично еквівалентнозміщенню рівня Фермі. Це дає змогу ввести поняття проквазірівень Фермі для електронів у нерівноважному станінапівпровідника. Функція розподілу електронів у с-зоні унерівноважному стані відповідає виразу1fn EEF n , (4.39)kTe 1де F n– квазірівень Фермі для електронів (електроннийквазірівень Фермі).Нерівноважні дірки у v-зоні теж швидко термалізуються, і їхрозподіл за енергією відповідає виразуnp104

fE1p EF pkTe, (4.40)1де Fp – квазірівень Фермі для дірок (дірковий квазірівеньФермі). Суттєво те, що квазірівні Фермі для електронів і дірокмають різні значення , тобтоFp Fn. (4.41)На рис. 4.9а схематично показано положення квазірівнів Фермі уневиродженому напівпровіднику. У нерівноважному стані рівеньФермі „розщеплюється” на два квазірівні Фермі: один – дляелектронів, а другий – для дірок. При зростанні концентраціїнерівноважних електронів (наприклад, в результаті поглинанняF nF nЕ cЕ cЕ cF nE gE gF pЕ vE gF pЕ vЕ vF pабРис. 4.9. Положення квазірівнів Фермі: 1 – у невиродженомунапівпровіднику; 2 – у напівпровіднику з виродженимиелектронами; 3 – у напівпровіднику з виродженими іелектронами, і дірками. Заштриховано зайняті електронамиобласті в зонах.фотонів) електронний квазірівень Фермі F n зміщується в сторону с-зони. При підвищенні концентрації нерівноважних дірок дірковийквазірівень Фермі рухається в сторону v-зони.На рис. 4.9б показано положення квазірівнів Фермі у випадку,коли електрони у напівпровіднику вироджені, а дірки –невироджені. Електронний квазірівень Фермі знаходиться в с-зоні, іенергетичні рівні під ним зайняті електронами.Рис. 4.9в ілюструє положення квазірівнів Фермі у випадку,коли і електрони, і дірки вироджені (така ситуація реалізується унапівпровідникових лазерах). Квазірівень Фермі для електронівв105

знаходиться в с-зоні, і енергетичні рівні під ним у с-зоні зайнятіелектронами. Квазірівень Фермі для дірок лежить у v-зоні, іенергетичні рівні над ним у v-зоні пусті („зайняті дірками”).4.3.2. Концентрації нерівноважних електронів і дірокЯкщо у напівпровіднику при даних концентраціях домішок іпри даній температурі концентрації рівноважних електронів ідірок становлять, відповідно, n 0 і p 0 , то за рахунок генераційнихпроцесів можна створити їх концентрації n і p. Тоді концентраціянерівноважних електронів визначається якп n n 0(4.42)і концентрація нерівноважних дірок визначається аналогічно:p p p 0 . (4.43)У підрозділі 2.6 показано, що у невиродженомунапівпровіднику концентрація рівноважних електронів у с-зонівизначається як Ec F n0 Ncexp ,(4.44) kT де N c – ефективна щільність станів у с-зоні; Е с – енергія мінімума(дна) с-зони; F – рівень Фермі. Концентрація рівноважних діроку v-зоні визначається аналогічно: F Evp0 Nvexp .(4.45) kT Ввівши величину відстані рівня Фермі від с-зониF E F , (4.46)cвираз (4.40) для концентрації рівноважних електронів можнапереписати у вигляді Fcn0 Ncexp kT . (4.47)Аналогічно, ввівши величину відстані рівня Фермі від v-зониvcF F E , (4.48)v106

вираз (4.41) для концентрації рівноважних дірок можнапереписати у вигляді Fvp0 Nvexp kT . (4.49)У нерівноважному стані для повної концентрації електроніву с-зоні можна записати вираз, аналогічний до (4.47): FcnnNcexp kT , (4.50)де Fcn – відстань квазірівня Фермі для електронів від с-зони.Аналогічний вираз справедливий для концентрації дірок унерівноважному стані:exp Fvp pNv kT , (4.51)де Fvp – відстань квазірівня Фермі для дірок від v-зони.Із виразу (4.50) видно, що при зростанні концентраціїелектронів (в результаті генераційних процесів) у нерівноважномустані електронний квазірівень Фермі зміщується в сторону с-зони, тобто зменшується величина Fcn . Аналогічно, із виразу (4.51)видно, що при зростанні концентрації дірок у нерівноважномустані дірковий квазірівень Фермі зміщується в сторону v-зони,тобто зменшується величина Fvp .4.4. Генерація і рекомбінація нерівноважних електронів ідірок у однорідному напівпровіднику4.4.1. Кінетичне рівняння для нерівноважних носіїв зарядуЯк вказано раніше, темп генерації електронів Gn – це числоелектронів у с-зоні, що генеруються в одиниці об’єму за 1с.Аналогічно визначається темп генерації дірок Gp . Якщо носіїзаряду генеруються за рахунок власного поглинання фотонів, тотемп генерації електронів і дірок визначається формулою (4.12),тобто107

Gn Gp L , (4.52)де – коефіцієнт поглинання світла; L – густина потоку фотонів; – квантовий вихід фотоіонізації, тобто, відношення числагенерованих електронів (і дірок) до числа фотонів, щопоглинаються. При енергії фотонівE h 2E(4.53)gквантовий вихід фотоіонізації =1, тобто, при поглинанні одногофотона народжується одна електронно-діркова пара. Якщоh E g , то немає власного поглинання, тому що енергія фотонанедостатня для переходу електрона із v-зони у с-зону. Якщоh 2Eg , то при поглинанні одного фотона може народитися двіелектронно-діркові пари.Згідно з формулою (4.7), густина потоку фотонів припоширенні у напівпровіднику (як і в інших речовинах) звичайнозменшується вздовж променя, тобто,L Le x, (4.54)де L0 – густина потоку фотонів у напівпровіднику на межі повітрянапівпровідник;х – відстань від поверхні. Підставивши формулу(4.54) в (4.15), отримаємо розподіл темпу генерації електроннодірковихпар по товщині кристала:xG G G G e , (4.55)npде G0 – темп генерації поблизу освітленої поверхнінапівпровідника.Для того, щоб генерація електронів і дірок відбуваласярівномірно по товщині напівпровідника, необхідно виконаннясильної нерівностіd 1/ , (4.56)де d – товщина напівпровідникового кристала. При виконаннісильної нерівності (4.56), тобто при достатньо малій товщинікристала, експоненту можна розкласти в ряд і знехтувати внескоммалих величин, тобто,xG G e G (1 x) G , (4.57)0g0 0 00108

Темп рекомбінації електронів Rn – число електронів, щорекомбінують в одиниці об’єму за 1с. Подібно визначається темпрекомбінації дірок Rp .Темп рекомбінації електронів можнарозрахувати, якщо відомий час життя електрона n , тобтосередній час перебування нерівноважного електрона між актамигенерації та рекомбінації. Ці величини пов’язані співвідношеннямR n/ , (4.58)nде n – концентрація нерівноважних електронів. Таке жспіввідношення має місце для нерівноважних дірок:Rpn p/ , (4.59)де p – концентрація нерівноважних дірок.При рівномірній (незалежній від координати точки в кристалі)генерації і рекомбінації для нерівноважних електронів можназаписати кінетичне рівняння:d n G nRndt, (4.60)яке при врахуванні (4.58), має виглядdn Gn n/n(4.61)dtАналогічне кінетичне рівняння можна записати для нерівноважнихдірок:dp Gp p/p . (4.62)dtКоли час життя нерівноважних електронів не залежить від їхконцентрації, тобто,constnp , (4.63)рекомбінація називається лінійною. При лінійній рекомбінації,згідно з виразом (4.58), темп рекомбінації лінійно залежить відконцентрації нерівноважних електронів. При цьому кінетичнерівняння (4.63) для нерівноважних електронів є лінійнимдиференційним рівнянням першого порядку.Аналогічно рекомбінація дірок є лінійною, коли109

const , (4.64)тобто час життя дірок не залежить від їх концентрації.p4.4.2. Стаціонарні концентрації нерівноважних електроніві дірок у напівпровіднику. ФотопровідністьРозглянемо випадок, коли темп генерації електронів і дірок унапівпровіднику не залежить від часу, тобто,G const. (4.65)nЯкщо темп генерації залишається сталим тривалий часt n , (4.66)то встановиться стаціонарне значення концентрації електронів,тобто у рівнянні (4.61) буде виконуватися рівністьd n 0dt. (4.67)Тоді рівняння (4.61) спроститься доGn n/ 0, (4.68)звідки отримаємо вираз для розрахунку стаціонарної концентраціїнерівноважних електронівn G . (4.69)nТаким чином, при лінійній рекомбінації стаціонарнаконцентрація нерівноважних електронів пропорційна до темпугенерації електронів. Аналогічно для дірокp G . (4.70)pЗгідно з виразом (3.23), можна розрахуватиелектропровідність напівпровідника у нерівноважному випадку: e ne pe ( n n) e( p p), (4.71)n p n 0 p 0де n і p – рухливості електронів і дірок, відповідно; n0 і p0 –концентрації рівноважних електронів і дірок; n і p –концентрації нерівноважних електронів і дірок. Формулу (4.71)можна переписати у виглядіnnp110

де величина 0 , (4.72) e n ep(4.73)0 n 0 p 0є рівноважною електропровідністю, а величина e ne p(4.74)nє зміна електропровідності внаслідок генерації електронів і дірок.Якщо генерація електронів і дірок здійснюється за рахунокпоглинання фотонів, то величина називаєтьсяфотопровідністю. Таким чином, фотопровідність – це змінаелектропровідності напівпровідника внаслідок його освітлення.При освітленні напівпровідника монохроматичним світлом ізспектральної області власного поглинання темп генераціїелектронів і дірок визначається виразом (4.52), і, врахувавшиформули (4.69) і (4.70), фотопровідність можна розрахувати заформулою , (4.75)де електронна компонента фотопровідності розраховується як en eL, (4.76)nn n n n nпричому – коефіцієнт поглинання світла; n – квантовий вихідфотоелектронів; n – час життя електрона; L – густина потокуфотонів.Аналогічно розраховується діркова компонентафотопровідності: e p e L, (4.77)p p p p pде p – квантовий вихід фотодірок; p – час життя дірки.На рис. 4.10 схематично показана залежність фотопровідностівід густини потоку фотонів, що відповідає виразу (4.75) заврахуванням (4.76) і (4.77).Фотопровідність лінійно залежить від густини потоку фотонів.Фотопровідність не дорівнює нулю лише, коли коефіцієнтпоглинання 0 . Це означає що фотопровідність при власномупоглинанні світла має місце при енергії фотонівpp111

h E g , (4.78)де Eg – ширина забороненої зони напівпровідника. Таким чином,довгохвильова межаспектру фоточутливостіΔσнапівпровідникавизначається йогошириною забороненоїзони.Фотоприймачі, яківикористовують явищефотопровідності,називаютьсяL фоторезисторами. ІзРис. 4.10. Залежність фотопровідності формул (4.76) і (4.77)від густини потоку фотонів при лінійній видно, що фотопровідністьрекомбінації.напівпровідника призаданій густині потокуфотонів пропорційнадобутку рухливості основних носіїв заряду на їх час життя (основніносії заряду – ті, які дають основний внесок у фотопровідність приn p). Для конструювання фоторезисторів використовуютьнапівпровідники з відповідною до призначення шириноюзабороненої зони і з достатньо високим значенням добуткурухливості на час життя основних носіїв заряду.4.4.3. Кінетика фотопровідності після „включення”генерації носіїв зарядуРозглянемо кінетику фотопровідності, тобто змінуфотопровідності з часом у нестаціонарних умовах. Нехай домоменту t 0 напівпровідник знаходиться у рівноважному стані,тобто концентрація нерівноважних електронівn 0 . (4.79)t починається („включається”) генерація електронів.G залишається сталим достатньоt , де n – час життя електронів, як показаноВ момент 0Нехай темп генерації n0тривалий часn112

на рис. 4.11. Залежність nt() при t 0 можна знайти,розв’язавши кінетичне рівняння (4.61) з початковою умовою (4.79)при Gn const. Розв’язок лінійного неоднорідного диференційногорівняння зі сталими коефіцієнтами має вигляд t nt() ns1exp n , (4.80)де стаціонарне значення концентрації електронів визначаєтьсявиразомn G . (4.81)s n nЦя залежність для t t1показана на рис. 4.11б. При генераціїелектронів за рахунок поглинання фотонів рівність (4.71)перетворюється вn L, (4.82)s n nG n0Δn τ0Δn sРис. 4.11. Часова залежність темпугенерації електронів (а) іконцентрації нерівноважнихелектронів (б) у напівпровіднику.t 1τаtбtНаосновіспіввідношення (4.76) можназнайти часову залежністьелектронної компонентиелектропровідності t n() t ns1exp n ,(4.83)де при генерації електронів зарахунок поглинання фотонів,згідно з (4.76), nsenns en nnL.(4.84)Величина ns – цестаціонарне значенняфотопровідності, а залежність n()t після включення генераціїелектронів – кінетика електронної компоненти фотопровідностіпісля початку генерації.113

Аналогічно можна описати кінетику діркової компонентифотопровідності, тобто t p() t ps1exp , (4.85) p де p – час життя нерівноважних дірок, а стаціонарне значеннядіркової компоненти фотопровідності визначається як e p e L. (4.86)ps p s p p pФотопровідність є сумою її електронної та дірковоїкомпонент, так що кінетика фотопровідності визначається виразом () t n() t p()t , (4.87)а її стаціонарне значення можна розрахувати за формулою e( ) L. (4.88)ns ps n n n p p p4.4.4. Кінетика фотопровідності після припиненнягенерації носіїв зарядуНехай тепер, після досягнення стаціонарних концентраційнерівноважних електронів і дірок , в момент t t1, як показано нарис. 3.16а, різко припиняється („виключається”) генерація носіївзаряду. Тоді почнеться спадання концентрацій електронів і дірок.Для електронів при t t1за врахуванням рівності Gn 0диференційне рівняння (4.61) спроститься доdn n / n . (4.89)dtПри початковій умові, яка відповідає рівності (4.82), розв’язоклінійного однорідного рівняння має вигляд tt 1nt() nsexp n , (4.90)де стаціонарне значення концентрації нерівноважних електронівможна розрахувати за формулою (4.71), або, при генераціїелектронів за рахунок поглинання фотонів, формулою (4.82).114

Часова залежність концентрації нерівноважних електронів післяприпинення генерації показана на рис. 3.4.3б при t t1.Для спадання концентрації нерівноважних дірок аналогічноотримаємо tt 1pt() psexp p . (4.91)Кінетику спадання електронної компонентифотопровідності після припинення генерації можна знайти,врахувавши співвідношення (4.84), що дасть tt 1n() t nsexp n . (4.92)Аналогічно для діркової компоненти фотопровідності tt 1p() t psexp p . (4.93)Із формул (4.90) і (4.91) видно, що після припинення генераціїконцентрації нерівноважних електронів і дірок експоненціальноспадають з часом. При цьому можна розрахувати середній часзнаходження нерівноважного електрона у с-зоні t n , що даєtn . (4.94)Рівність (4.94) розкриває фізичний зміст часу життянерівноважного електрона: це середній час перебуваннянерівноважного електрона у с-зоні з моменту його генерації домоменту його рекомбінації.Аналогічна рівність має місце для нерівноважних дірок:tpn . (4.95)Час життя нерівноважної дірки – це середній часперебування нерівноважної дірки у v-зоні з моменту її генераціїдо моменту її рекомбінації.Аналізуючи кінетику фотопровідності, можна знайти часжиття основних носіїв заряду, тобто тих носіїв, які даютьосновний внесок у фотопровідність.p115

Контрольні запитання до розділу 41.Чому дорівнює енергія фотона?2.Що таке інтенсивність світла?3.Що таке густина потоку фотонів?4.Як пов’язана густина потоку фотонів з інтенсивністю світла?5.Як змінюється інтенсивність світла вздовж променя припоглинанні?6.Що таке коефіцієнт поглинання світла?7.У яких одиницях вимірюється коефіцієнт поглинання світла?8.Що таке темп генерації нерівноважних електронів?9.В яких одиницях вимірюється темп генерації електронів унапівпровіднику?10.Запишіть формулу для розрахунку темпу генерації електроніву напівпровіднику при власному поглинанні світла.11.Що таке прямозонний напівпровідник?12.Що таке непрямозонний напівпровідник?13.Запишіть правила відбору для власного поглинання світла упрямозонному напівпровіднику.14.Запишіть правила відбору для власного поглинання світла унепрямозонному напівпровіднику.15.Який вигляд має спектр власного поглинання прямозонногонапівпровідника?16.Який вигляд має спектр власного поглинання непрямозонногонапівпровідника?17.Якого порядку величина коефіцієнта поглинання упрямозонному напівпровіднику?18.У яких напівпровідників коефіцієнт поглинання більший: упрямозонних, чи у непрямозонних, і чому?19.Що таке випромінювальна рекомбінація у напівпровіднику?20.Що таке невипромінювальна рекомбінація у напівпровіднику?21.Що таке темп рекомбінації електронів у напівпровіднику?22.В яких одиницях вимірюється темп рекомбінації електронів унапівпровіднику?23.Назвіть основні механізми невипромінювальної рекомбінаціїу напівпровіднику.24.Нарисуйте на зонній схемі електронні переходи при Ожерекомбінації.116

25.Запишіть правила відбору для міжзонної рекомбінації упрямозонному напівпровіднику.26.Запишіть правила відбору для міжзонної рекомбінації унепрямозонному напівпровіднику.27.Які напівпровідники використовуються як робоча речовина влазерах: прямозонні, чи непрямозонні, і чому?117

ЛІТЕРАТУРА1. Основна література1. Шалимова К. В. Физика полупроводников. Учебник для вузов. –3-е изд., перераб. И доп. – М.: Энергоиздат, 1985. – 392 с.2. Фистуль В. И. Введение в физику полупроводников. Учеб.Пособие для специальностей полупроводниковой и электроннойтехники. – М.: Высшая школа, 1984. – 296 с.3. Киттель Ч., Введение в физику твердого тела. М.: Физматгиз,1962. – 696 с.4. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. В 2 книгах. Пер. сангл. – 2-е перераб. и доп. изд. -М.: Мир, 1991. – 456 с.2. Додаткова література1. Киреев П. С. Физика полупроводников.Учеб. пособие длявтузов. – М.: Высшая школа, 1975. – 584 с.2. Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников.–М.: Наука, 1977. – 672 с.3. Зеегер К. Физика полупроводников. – М.: Мир, 1977. – 616 с.4. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. – М.: Мир, 1966. – 568с.5. Епифанов Г. И. Физика твердого тела. – М.: Высшая школа,1965. – 276 с.5. Киттель Ч., Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. –492 с.6. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. – М.: Мир, 1974. –472 с.7. Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. – 640 с.8. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. – 616 с.9. Дружинін А. О. Твердотільна електроніка. Фізичні основи івластивості напівпровідникових приладів. – Львів: ВидавництвоЛьвівської політехніки. 2009. – 332 с.118