Beautiful Minds

Progetto Lauree ScientificheTreviso, dicembre 2008Beautiful MindsGiochi e modelli matematici da Pacioli a NashUNIVERSITASSTUDIORUMUTINENSISGiorgio T. BagniDipartimento di Matematica e InformaticaUniversità di Udinebagni@dimi.uniud.itwww.syllogismos.itSommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John Nash• Introduzionetra il XV e il XVI secolo• I quadrati magiciuna storia antichissima• Moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Un giocodi divinazione binaria• La Teoria dei GiochiVon Neumann e NashLucaPacioli• Il francescano LucaPacioli (1445-1514)è una figura primariadella matematica delXV–XVI secolo.• Pacioli si ricorda perl’introduzione della“partita doppia”…• … e per molti giochimatematici che oggiispirano le nostre gare!Un’opera manoscritta di PacioliDe Viribus Quantitatis• Alla storia dei giochimatematici si collegaDe Viribus Quantitatis,scritta presumibilmentetra il 1496 e il 1508.• Una copia manoscritta,proveniente dalla bibliotecabolognese di G.G. Amadei,morto nel 1768, si trovapresso la BibliotecaUniversitaria di Bologna,codice 250.SommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John NashI “quadrati magici”… partendo dallaCina, VI sec. a.C.• Introduzionetra il XV e il XVI secolo• I quadrati magiciuna storia antichissima• Moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Un giocodi divinazione binaria• La Teoria dei GiochiVon Neumann e NashLo Shu4 e 2 sono le spalle8 e 6 sono i piediun 3 sulla sinistraun 7 sulla destraporta un 9 sulla testaè calzato con un 1mentre un 5 sta nel mezzo15151515154 9 23 5 78 1 615 15 151

I “quadrati magici”… partendo dallaCina, VI sec. a.C.• Il più antico quadratomagico è il cinese Lo Shu,l’unico quadrato magicoclassico di ordine 3 (aparte i simmetrici etc.)• L’interesse per questi“giochi” si diffuse inOccidente con Malinconiadi A. Dürer (1514).• B. Frenicle de Bessy(1605–1675) trovò 880quadrati magici di ordine 4.un “quadrato magico”Quadrati magicinel XIV secolo• L’introduzione dei quadratimagici in Europa è stataattribuita a M. Moschopulosintorno al 1415-1420, ma cisono manoscritti precedenti(i quadrati di quello bolognesedel 1339 sono in Pacioli).• Alcuni dei quadrati (da 3×3 a9×9) di Pacioli si ritrovanonel De occulta philosophialibri tres di Cornelio Agrippa(Anversa, 1531).Il misterioso quadratodi Mercurio• Di questo quadrato magico, di ordine 8, Paciolifornisce soltanto le prime due righe (e la costantemagica, 260):Il misterioso quadratodi Mercurio8+1 = 9 come inC. Agrippa; nel testopacioliano è: 4+5• Esso è dunque incompleto e, come negli altri casi, nonè illustrato dal disegno (e non è riportato da CornelioAgrippa), ma tra i quadrati magici costruiti nel mondoarabo tra il XI e il XII secolo e conosciuti poi inEuropa compare il seguente:• Esso coincide per le prime due righe con la traccia diPacioli,Ma occupiamocieccezionorafattadiperun’esperienzail primo eriferibileper l’ultimoaiquadrati magici molto più vicina noi: Goethe e il Faust…elemento della prima riga (errori di scrittura?).Du mußt verstehn!Aus Eins mach Zehn,Und Zwei laß gehn,Und Drei mach gleich,So bist du reich.Verlier die Vier!Aus Fünf und Sechs,So sagt die Hex,Mach Sieben und Acht,10 149223So ist‘s vollbracht:Und Neun ist Eins,345 4 765Und Zehn ist keins.Dasist 8 7 6 dasHexen-187698Einmaleins!Devi comprendere!Di Un fai Dieci,getta via il Due,uguaglia il Tre,e sarai ricco.Crepi il Quattro!Di Cinque e Sei,dice la strega,fai Sette e Otto.È tutto fatto.Se Nove è Uno,Dieci è nessuno.Questa è latabellina della strega!I quadrati magicioggi• La matematica da Frenicle ha realizzato molti risultatia proposito dei quadrati magici. Importante è…• … l’ordine n del quadrato da costruire: esso puòessere dispari (comeper il quadrato Lo Shu,n = 3) o pari (come perquello di Dürer: n = 4).• Presenteremo una regolaper costruire un quadratomagico classico di ordinen dispari (vedremo adesempio il caso: n = 5).2

I quadrati magicioggi• Ricordiamo che un quadrato magico di ordine n sidice classico se coinvolge i numeri da 1 a n 2 .• Per trovare la costante magica di un q. m. cl. diord. n si sommano i numeri da 1 a n 2(“piccolo Gauss”) e si divide per n:• 1 2 … n 2 –1 n 2n 2 n 2 –1 … 2 1• n 2 +1 n 2 +1 … n 2 +1 n 2 +1 (2 volte)• Quindi c. m. del q. m. cl. ord. n = n 2 (n 2 +1)/2n= n(n 2 +1)/2I quadrati magicioggi• Iniziamo a porre1 nella casellaal centro dellaprima riga.• Poi collochiamogli altri numeri,in ordine,secondo una“diagonaleascendente”,rispettandoalcune regole.1I quadrati magicioggi• Regole per le“diagonali”:• si va alla colonnasuccessiva in casodi fine colonna;• si va alla rigaprecedente in casodi fine riga;• si va alla casellainferiore in caso dicasella occupata.17234101124561218171319258142021215162239E infine…• Troviamola costantemagica:• sommadeinumerida 1a 25:25×26:2= 325• 325:5= 6565656565656565verifichiamo!17234101124 1 8 155 7 14 166 13 20 2212 19 21 318 25 2 965 65 65 65 65La SagradaFamilia…• C’è un particolareinteressante nellasplendida “facciatadella Passione”di Josep MariaSubirachs...• … un quadrato magiconon classico di ordine4 avente la costantemagica 33 (mentrequella del quadrato diDürer era 34).1 14144La Sagrada11813710102639515Familia…• Il passaggio dal quadrato magico classico di ordine4 a uno come quello della Sagrada Familia può nonessere del tutto banale.• Iniziamo col quadrato magico di Dürer (c.m. 34):simmetrizziamolo rispetto all’asse orizzontale,quindi simmetrizziamolo rispetto all’asse verticale.165943106152117141381214 15 14 19 6 7 125 10 11 816 3 2 13112813147112156103495163

La SagradaFamilia…Per ogni elemento d’angolo ci sono due possibilità,quelle illustrate nelle figure: Ang+Int e Ang+Lat• Per “abbassare” la costante magica di 1 (da 34 a 33)quanti elementi dobbiamo ridurre (di un’unità)?Quattro: uno (e uno solo) per ogni riga,in modo tale che ne risulti uno (e uno solo) per ognicolonna e uno (e uno solo) per ogni diagonale.• Di questi quattro elementi uno (uno solo) deve essere“in un angolo”(anche partendo11 12 13 14 11 12 13 14da un elemento 21 22 23 24 21 22 23 24di lato si viene 31 32 33 34 31 32 33 34a considerarneuno d’angolo).41 42 43 44 41 42 43 44La SagradaFamilia…Per ogni elemento d’angolo ci sono due possibilità,quelle illustrate nelle figure: Ang+Int e Ang+Lat• Dobbiamo individuare gli elementi da ridurre di 1.• Si può iniziare dal primo elemento in alto a sinistra:con la soluzione Ang+Int,oppure con la soluzione Ang+Lat.• Non è stata però questa la soluzione dei costruttoridella SagradaFamilia: se si 1 14 15 4 1 14 15 4operasse con 12 7 6 9 12 7 6 9questi elementi8 11 10 5 8 11 10 5si otterrebbe 0in angolo… 13 2 3 16 13 2 3 16La SagradaFamilia…• Si può allora iniziare dal primo elemento in alto adestra (con le soluzioni Ang+Int o Ang+Lat), dalprimo in basso a sinistra (con entrambe le soluzioni) odal primo in basso a destra. Provate voi!• Quest’ultima, con la soluzione Ang+Int, è la sceltaoperata per il quadrato magico della Sagrada Familia.• Si noti che lacostante magica1 14 15 4 1 14 14 4(33) viene 12 7 6 9 11 7 6 9individuata in 8 11 10 5 8 10 10 5moltissimi modidiversi!13 2 3 16 13 2 3 15SommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John Nash• Introduzionetra il XV e il XVI secolo• I quadrati magiciuna storia antichissima• Moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Un giocodi divinazione binaria• La Teoria dei GiochiVon Neumann e NashTorniamo a Pacioli: moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Il “XXXII effecto” è introdotto dalla dicitura “De doinumeri che, multiplicato l’uno in l’altro, semprefarà la summa del producto le figure che voli”. Nonappare chiaro, sulla base del titolo, l’intendimentodell’Autore: si tratta di trovare dei fattori che portino aprodotti, in forma posizionale decimale, espressi danumeri costituiti da una stessa cifra ripetuta.• Pacioli considera il caso di sei cifre e si propone diottenere: 111111, 222222, 333333, 444444,555555, 666666, 777777, 888888, 999999• Egli si basa inizialmente sul prodotto:777 × 143 = 111111Torniamo a Pacioli: moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Moltiplicando un fattore (Pacioli opera sul secondo,143) per 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (e dunque scegliendocome secondi fattori quelli riportati in grassetto nellatabella) si otterranno i prodotti sopra elencati:• 777 × (143×2) = 777 × 286 = 111111 × 2 = 222222777 × (143×3) = 777 × 429 = 111111 × 3 = 333333777 × (143×4) = 777 × 572 = 111111 × 4 = 444444777 × (143×5) = 777 × 715 = 111111 × 5 = 555555777 × (143×6) = 777 × 858 = 111111 × 6 = 666666777 × (143×7) = 777 × 1001 = 111111 × 7 = 777777777 × (143×8) = 777 × 1144 = 111111 × 8 = 888888777 × (143×9) = 777 × 1287 = 111111 × 9 = 9999994

Torniamo a Pacioli: moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Successivamente Pacioli propone un secondo mododi realizzare lo stesso “effecto”, basato sul prodotto:481 × 231 = 111111• Le due soluzioni di Pacioli esauriscono o menoquelle possibili per il problema di ottenere prodottidi sei cifre uguali?• La risposta è no.• Esercizio. Quante sono le soluzioni possibili perl’esercizio pacioliano?• [Risposta: 15, si ricordi la scomposizione in fattoriprimi e un po’ di calcolo combinatorio…]Torniamo a Pacioli: moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Perché Pacioli ha considerato proprio 111111?L’“effecto” può essere proposto anche per prodotticostituiti da un numero di cifre ripetute diverso da 6.• Si voglia ottenere un numero di tre, quattro etc. cifreuguali (il caso di due cifre è banale: 11 è un primo).Consideriamo le scomposizioni in fattori primi:111 = 3×37 1111 = 11×10111111 = 41×271 1111111 = 239×4649• Per un numero di cifre minore di 8 le scomposizionisono, a parte quella impiegata da Pacioli, costituite dadue soli fattori primi e ciò impedisce di proporrepiù soluzioni.SommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John Nash• Introduzionetra il XV e il XVI secolo• I quadrati magiciuna storia antichissima• Moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Un giocodi divinazione binaria• La Teoria dei GiochiVon Neumann e NashUn gioco didivinazione binaria• Disponiamo sedici carte da gioco nel modo seguente echiediamo al partecipante di individuarne una senzaindicarla (De Viribus Quantitatis, Capitolo LXIX).• Inquadriamo in rosso la carta scelta (il settebello):Un gioco didivinazione binaria• Alla prima domanda (“in che riga sta la carta?”) ilpartecipante indica la prima riga.• Dopo lo spostamento (le linee 1, 2 diventano le nuoverighe), la carta sta in una delle posizioni indicate:Un gioco didivinazione binaria• Alla prima domanda (“in che riga sta la carta?”) ilCosì facendo la carta “pensata” verrà adpartecipante indica la prima riga.essere posizionata in un posto di ordine• Dopo lo spostamento (le linee 1, 2 diventano le nuovek ≡ 1 mod 2, cioè di posto disparirighe), la carta sta in una delle posizioni indicate:1 25

Un gioco didivinazione binaria• Alla seconda domanda (“in che riga sta la carta?”) ilRipetendo la procedura la carta “pensata” verràpartecipante indica la seconda riga.ad essere posizionata in un posto di ordine• Dopo lo spostamento (le linee 1, 2 diventano le nuovek ≡ 1 mod 4, cioè di posto 1, 5, 9 o 13righe), la carta sta in una delle posizioni indicate:Un gioco didivinazione binaria• Alla terza domanda (“in che riga sta la carta?”) ilRipetendo ancora la carta sarà in un posto dipartecipante indica ancora la seconda riga.ordine k ≡ 1 mod 8, 1 o 9. Alla quarta domanda• Dopo lo spostamento (le linee 1, 2 diventano le nuovesi indicherà la riga e la carta sarà individuata!righe), la carta sta in una delle posizioni indicate:SommarioStoria e giochiDa Luca Pacioli a John Nash• Introduzionetra il XV e il XVI secolo• I quadrati magiciuna storia antichissima• Moltiplicazionicon risultati sorprendenti• Un giocodi divinazione binaria• La Teoria dei GiochiVon Neumann e NashTeoria dei GiochiBeautiful minds• Ma i giochi matematici sonodavvero soltanto “giochi”?• Per gli studi sui giochimatematici a John Nash(1928) è stato conferito nel1994 il Premio Nobel perl’economia.• La storia di Nash, la suagenialità abbinata alla schizofrenia, ha interessato ecommosso milioni di persone…• …ma Nash non è certo l’unico matematico che, dopoPacioli, si è impegnato nella Teoria dei Giochi.Teoria dei GiochiBeautiful minds• János (John von) Neumann(1903–1957) fu una figurachiave della Game Theory.• E non si deve dimenticare ilgrande Ennio De Giorgi(1928–1996), uno dei piùimportanti matematici delXX secolo: uno dei risultatiper i quali è noto Nash riguarda la regolaritàhölderiana delle soluzioni delle equazioni ellittiche delsecondo ordine e oggi viene chiamato Teorema diDe Giorgi–Nash (De Giorgi lo provò nel 1957).Teoria dei GiochiBeautiful minds• La Teoria dei Giochi si occupa di situazioni in cui piùagenti sono chiamati a prendere alcune decisioni.• Gli agenti capiscono la situazione in cui si trovanoe sono in grado di fare ragionamenti logici anchecomplessi (sono “intelligenti”); hanno l’obiettivo dimassimizzare le loro preferenze (sono “razionali”).• Un gioco si dice non cooperativo quando l’adozionedi strategie riguarda i singoli giocatori sulla base diragionamenti individuali (se n’è occupato Nash).• Un gioco si dice a somma nulla se la somma dellevincite è zero (ad esempio quando una squadra vincee l’altra perde).6

Teoria dei GiochiBeautiful minds• Von Neumann e Morgenstern dimostrarono (1944)che qualunque gioco a n soggetti e somma non zero siriduce a un gioco a n+1 soggetti e somma zero, e chela trattazione di questi ultimi giochi si collega a quelladel gioco a due persone e somma zero.• Pertanto i giochi a due persone e a somma zerosvolgono un ruolo fondamentale nella teoria deigiochi.• Una strategia è detta minimax quando minimizza lamassima perdita possibile.• Una strategia è detta maximin quando massimizza laminima vincita possibile.Teoria Notiamo La mossa dei subito ottimale Giochi che non di A ci e sono la mossa strategie Mettiamociottimale dominate di BBeautiful da portano altre (in a 1 tale (valore minds caso del potrebbero gioco): c’è nei essere un panni punto trascurate!) di sella B… A…• Consideriamo ad esempio la seguente matrice (per A):ABMossaA–1MossaA–2MossaA–3MAXMossaB–13–155MossaB–223–73MossaB–310–11MIN1–1–7Teoria dei GiochiBeautiful minds• Il caso visto è particolare: i giocatori A e B non hannoalcun interesse a scegliere mosse diverse da A–1 e daB–3 (strategie pure, che saranno certamente adottate).• Ma non è detto che esista sempre un punto di sellacorrispondente a strategie pure.• Il teorema di minimax di Von Neumann afferma cheesiste sempre un punto di sella, ma non è detto cheesso si trovi nell’ambito di strategie pure. Bisognaconsiderare anche le strategie miste.• Una strategia si dice mista se è rappresentata da unadefinita probabilità di scegliere una mossa o un’altratra quelle a disposizione.Teoria dei GiochiBeautiful minds• Consideriamo un esempio di gioco che porteràall’adozione di una strategia mista.• Non c’è punto di sella: cosa faranno i giocatori?ABMossaA–1MossaA–2MAXMossaB–111/31MossaB–202/32/3MIN01/3valore inferioredel giocovalore superioredel giocoTeoria dei GiochiBeautiful minds• Per stabilire il comportamento ottimale per A, in ungrafico si costruiscono le linee che rappresentano glieffetti delle mosse di A rispetto alle reazioni di B.y1 (A-1; B-1)2/3 (A-2; B-2)• La strategiaottimale perIl punto cherende A è dunque massimi iminimi prendere guadagni la(ovvero decisione minime lemassime A-1 conperdite)è “spostato” verso1/3 (A-2; B-1)0 (A-1; B-2) 3/4 1 xprobabilità 1/4la strategia A–2e la A-2 conprobabilità 3/4.Teoria dei GiochiBeautiful minds• L’equilibrio di Nash (1949, Nash era studente aPrinceton) riguarda giochi non cooperativi:sotto certe condizioni, esiste un punto di equilibrioche si ottiene quando ciascun partecipante sceglie lapropria mossa strategica in modo da massimizzare lasua funzione di retribuzione• supponendo che gli altri competitori non varino ipropri comportamenti a motivo della sua scelta.• I soggetti possono operare una scelta dalla quale tuttitraggono un guadagno ovvero limitano la perdita alminimo.7

Teoria dei GiochiBeautiful mindsIl Dilemma del Prigioniero(Albert W. Tucker)• Ciascuno dei due giocatori, i prigionieri A e B, ha duepossibili scelte: confessare o non confessare.• Se uno solo dei due confessa, viene perdonato el’altro viene condannato a 8 anni di carcere.• Se entrambi confessano, i prigionieri vengonoentrambi condannati a 6 anni di carcere.• Se nessuno dei due confessa, vengono condannatientrambi a 2 anni di carcere.• È un gioco a somma non nulla e i giocatori scelgonola propria strategia simultaneamente, senza conoscerel’azione scelta dall’altro (“non si parlano”).Teoria dei GiochiBeautiful minds• L’esito (in anni di prigione) è così sintetizzato:Prigioniero BPrigioniero Aconfessanon confessaconfessaA=6, B=6A=8, B=0Questa soluzioneminimizza gli anni“complessivi” di prigione!non confessaA=0, B=8A=2, B=2• Riassumendo, ciascuno:se confessa rischia da 0 a 6 anni di carcerese non confessa rischia da 2 a 8 anni di carcereminimaxTeoria dei GiochiBeautiful minds• La conclusione, paradossale, porta a…… Guaio: e “non i prigionieri si fidano”…“non l’uno dell’altro! si parlano”!Matematica, giochi e strategieLo stesso guaio: le superpotenze… “non si parlano”!• Diamo infine un’occhiata a questo “gioco”, dove gliesiti quantificano i problemi di spesa e di sicurezza:Prigioniero BPrigioniero AconfessaconfessaA=6, B=6non confessaA=0, B=8Superpotenza BSuperpotenza Asi dota di arminuclearisi dota diarmi nucleariA=6, B=6non si dota diarmi nucleariA=0, B=8non confessaA=8, B=0A=2, B=2non si dota di arminucleariA=8, B=0A=2, B=2…un esito non soddisfacente per nessun giocatore(6 anni a testa), visto che con due “non confessioni”l’esito sarebbe stato di soli 2 anni a testa!• Dunque, ragionando in termini “freddi”, le dueSuperpotenze in gioco continueranno ad armarsi…• Ma questo, purtroppo, non è un gioco.Chiudiamo con De Viribus QuantitatisUno spunto attuale• Nell’antico lavoro di Paciolic’è un suggerimento:l’indicazione di una stradaforse lontana dalla didatticaufficiale, colta, ma talvoltafredda di quel tempo (deigiorni nostri?), ma ricca estimolante: una letturache, dopo mezzo millennio,non ha ancora esaurito lapropria vitalità……per le beautiful minds!Grazie a tuttidell’attenzione8