Beautiful Minds

Teoria dei GiochiBeautiful minds• Von Neumann e Morgenstern dimostrarono (1944)che qualunque gioco a n soggetti e somma non zero siriduce a un gioco a n+1 soggetti e somma zero, e chela trattazione di questi ultimi giochi si collega a quelladel gioco a due persone e somma zero.• Pertanto i giochi a due persone e a somma zerosvolgono un ruolo fondamentale nella teoria deigiochi.• Una strategia è detta minimax quando minimizza lamassima perdita possibile.• Una strategia è detta maximin quando massimizza laminima vincita possibile.Teoria Notiamo La mossa dei subito ottimale Giochi che non di A ci e sono la mossa strategie Mettiamociottimale dominate di BBeautiful da portano altre (in a 1 tale (valore minds caso del potrebbero gioco): c’è nei essere un panni punto trascurate!) di sella B… A…• Consideriamo ad esempio la seguente matrice (per A):ABMossaA–1MossaA–2MossaA–3MAXMossaB–13–155MossaB–223–73MossaB–310–11MIN1–1–7Teoria dei GiochiBeautiful minds• Il caso visto è particolare: i giocatori A e B non hannoalcun interesse a scegliere mosse diverse da A–1 e daB–3 (strategie pure, che saranno certamente adottate).• Ma non è detto che esista sempre un punto di sellacorrispondente a strategie pure.• Il teorema di minimax di Von Neumann afferma cheesiste sempre un punto di sella, ma non è detto cheesso si trovi nell’ambito di strategie pure. Bisognaconsiderare anche le strategie miste.• Una strategia si dice mista se è rappresentata da unadefinita probabilità di scegliere una mossa o un’altratra quelle a disposizione.Teoria dei GiochiBeautiful minds• Consideriamo un esempio di gioco che porteràall’adozione di una strategia mista.• Non c’è punto di sella: cosa faranno i giocatori?ABMossaA–1MossaA–2MAXMossaB–111/31MossaB–202/32/3MIN01/3valore inferioredel giocovalore superioredel giocoTeoria dei GiochiBeautiful minds• Per stabilire il comportamento ottimale per A, in ungrafico si costruiscono le linee che rappresentano glieffetti delle mosse di A rispetto alle reazioni di B.y1 (A-1; B-1)2/3 (A-2; B-2)• La strategiaottimale perIl punto cherende A è dunque massimi iminimi prendere guadagni la(ovvero decisione minime lemassime A-1 conperdite)è “spostato” verso1/3 (A-2; B-1)0 (A-1; B-2) 3/4 1 xprobabilità 1/4la strategia A–2e la A-2 conprobabilità 3/4.Teoria dei GiochiBeautiful minds• L’equilibrio di Nash (1949, Nash era studente aPrinceton) riguarda giochi non cooperativi:sotto certe condizioni, esiste un punto di equilibrioche si ottiene quando ciascun partecipante sceglie lapropria mossa strategica in modo da massimizzare lasua funzione di retribuzione• supponendo che gli altri competitori non varino ipropri comportamenti a motivo della sua scelta.• I soggetti possono operare una scelta dalla quale tuttitraggono un guadagno ovvero limitano la perdita alminimo.7