X002 Exempel på problem med punktvis konvergens 002

X002: Exempel på problem med punktvis
konvergens 002
Mikael Forsberg
11 november 2006
1 Definition av funktionsföljden
Betrakta följande funktionsföljd
⎧
⎪⎨ k 3 x
f k (x) = −k
⎪⎩
3 x + 2k 2
0
2
för , 0 ≤ x < 1 k
för , 1 k ≤ x < 2 k
k ≤ x ≤ 2
Ritar vi upp de sju stycken först funktionerna så får vi följande bild:
40
30
20
10
0
0,0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
x
2,0
Figur 1: Exempel på följd som konvergerar punktvis mot nollfunktionen på
intervallet [0, 2]. Notera hur funktionerna blir högre och smalare på intervall
[0, 2/k] som krymper ihop mot origo då k växer...
2 Egenskaper för följden
Påstående 2.1. f k (x) konvergerar mot nollfunktionen punktvis för alla x.
1

Bevis. Vi noterar först att f k (0) = 0 = f k (2) för alla x. Vi behöver nu visa att
f k (x) → 0 för alla x ∈ (0, 2). Låt x ∈ (0, 2) och välj N så stor att 2/N < x. För
k > N så gäller att f k (x) = 0 (varför?). Poängen är att hur litet x än är så kan
vi välja ett större N och f k blir då noll på ett större intervall. När x → 0 så går
N → ∞ och f k (x) → 0, vilket skulle visas.
Påstående 2.2. ∫ 2
f k (x)dx = k
Övning 2.1. Bevisa ovanstående påstående.
Påstående 2.3.
∫ 2
lim
k→∞ 0
0
f k (x)dx ≠
∫ 2
0
lim f k (x)dx
Bevis. Den första integralen går mot oändligheten eftersom integralen först blir
k (enligt påstående 2.2. )som sedan går mot oändligheten. Den andra integralen
blir noll eftersom gränsvärdet inne i integralen blir noll för alla x (enligt
påstående 2.1. )
3 Poäng med exemplet
Påståendet 2.3 ger med andra ord att man inte får byta gränsvärdes och integrationsordning.
Detta är en ytterligare svaghet för punktviskonvergens som
vi eliminerar genom att införa likformig konvergens. Exemplet här är punktvis
konvergent mot nollfunktionen men inte likformigt konvergent.
2