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É. COUSQUER, USTL COURS D’ALGÈBRE A B + C AD + CB = D BD Ainsi qu’on l’a indiqué dans le chapitre précédent sur les relations d’équivalence, il faut vérifier que le résultat ne dépend pas des représentants choisis. Vérifier que les relations (A, B)R(A 1 , B 1 ) et (C, D)R(C 1 , D 1 ) impliquent (AD + BC, CD)R(A 1 D 1 + B 1 C 1 , C 1 D 1 ) Nous laissons cette vérification à faire en exercice. Produit On définit le produit de deux fractions par A B × C D = AC BD en vérifiant que la fraction produit est indépendante des représentants choisis. Structure de K(X) Proposition 3 L’ensemble K(X) des fractions rationnelles muni de ces deux opérations est un corps. Nous laissons vérifier les axiomes de corps en exercice. Par exemple 1 1 est élémént neutre pour la multiplication, et si P Q ≠ 0 son inverse est Q P . Remarque 1 En identifiant un polynôme P à la fraction P on obtient que K[X] 1 est inclus dans K(X) et que c’est un sous-anneau de K(X). Zéros et pôles d’une fraction Définition 3 Lorsqu’on choisit le représentant irréductible d’une fraction P Q avec Q unitaire, – les zéros de P s’appellent les zéros de la fraction P Q – les zéros de Q s’appellent les pôles de la fraction P Q . Ë toute fraction rationnelle, on peut associer une fonction définie sur K sauf aux pôles de la fraction. Proposition 4 Si deux fractions rationnelles définissent la même fonction rationnelle, elles sont égales. FRACTIONS RATIONNELLES 2
É. COUSQUER, USTL COURS D’ALGÈBRE En effet, si P (x) pour toute valeur de x qui n’est pas un pôle, les Q(x) polynômes P T et RQ coïncident pour une infinité de valeurs (K = R ou K = C) donc P T = RQ et P = R. Q T Cette remarque n’est valable que parce que les corps R et C sont infinis. La même proposition ne serait pas valable pour des fractions rationnelles à coefficients dans un corps fini. = R(x) T (x) Décomposition d’une fraction rationnelle Nature de la décomposition L’objectif de ce cours est d’apprendre à décomposer une fraction en une somme de fractions simples qu’on sait intégrer et qu’on appelle éléments simples. Définition 4 On appelle éléments simples de K(X) les fractions suivantes : – les monômes a n x n avec n ≥ 0 et n ∈ N, – les fractions P Q α avec Q irréductible et d ◦ P < d ◦ Q. Cas K = C Les éléments simples sont : – les monômes a n x n avec a n ∈ C et n ∈ N, – les fractions λ (x−x 0 ) α avec α ∈ N ∗ , λ et x 0 ∈ C. Cas K = R Les éléments simples sont : – les monômes a n x n avec a n ∈ R et n ∈ N, λ – les fractions (x−x 0 avec α ∈ N ∗ , λ et x ) α 0 ∈ R, λx+µ – les fractions avec α ∈ N ∗ , λ, µ, p, q ∈ R, et avec x 2 + px + q (x 2 +px+q) α irréductible. Théorème de la décomposition : Théorème 5 Toute fraction rationnelle se décompose de manière unique (à l’ordre près), en une somme d’éléments simples. La démonstration se fait par étapes. FRACTIONS RATIONNELLES 3
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