Unendliche Integrale Partielle Integration

Unendliche Integrale
Partielle Integration
SS 2013
Torsten Schreiber
174

Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein:
Bei der Intergalrechnung nennt man die Funktion, die sich dem Integralzeichen befindet
, wobei die Aufleitung dieser Funktion die ergibt. Daraus ergibt sich
auch die Regel für die Stammfunktionen von Potenzen, d.h. die Zahl im Exponent wird um
erhöht und dieser neue Ausdruck als vor den Term als Faktor gesetzt.
Dies bedeutet, dass die der Stammfunktion die Integrandfunktion ergeben muss.
Handelt es sich um ein
Integral – es sind keine Grenzen vorhanden, so wird lediglich die
gesucht, wobei eine
C stets als Summand hinzugefügt werden muss.
Wenn es sich um ein
Integral handelt – es werden Grenzen benötigt, so wird eine
bestimmte
gesucht.
Dabei ist darauf zu achten, dass eine Fläche niemals
sein darf und man auch nicht über
der Integrandfunktion integrieren darf. In diesem zweiten Fall muss man das Integral in
entsprechende
zerlegen und separat integrieren.
Wird die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse gesucht, so ergeben die zu berechnenden
die Grenzen des Integrals. Bei der Fläche zwischen zwei Funktionen ergeben sich die
Grenzen aus denn
der Funktionen und die Intergandfunktion ist immer die
aus den gegebenen Funktionen..
SS 2013 Torsten Schreiber
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Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten:
Aufgaben zu den behandelten Themen vom 28.06.2013?
Was sind unendliche Integrale?
Wann sprechen wir von endlichen Integralen?
Was passiert wenn die Funktion auf deren Ableitung trifft?
Wann handelt es sich um eine alternierende Funktion?
Was ist eine reduzierende Funktion?
Wie nutzen wir die partielle Integration?
Aufgaben und Übungen zu den benannten Themen.
SS 2013 Torsten Schreiber
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1)
Berechnen Sie Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse (Nullstellen).
a)
3 2
f ( x)
= x − 3x
− 4x
2)
Bestimmen Sie von den folgenden Funktionen die zugehörige Stammfunktion.
3x−4
a) b)
h(
x)
= 7x
− 2⋅e
k( x)
= 4⋅(5
− 3x)
3
3)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt zwischen den gegebenen Funktionen.
a)
1
f ( x)
= ∧ g(
x)
=
2
x
1
x
b) f ( x)
= 5x
− 6 ∧ g(
x)
= x
SS 2013
Torsten Schreiber 177

Abhängig von den zugehörigen Integrandfunktionen wird im Bereich der Flächeninhaltsberechnung
zwischen unendlichen und endlichen Integralen unterschieden.
Um die entsprechende Eigenschaft klassifizieren zu können, wird zuerst die Stammfunktion an der
gegebenen Stelle berechnet und anschließend mittels Grenzwertbetrachtung gegen Unendlich
oder Konstant der Wert des Integrals bestimmt.
unendliche Integrale:
Dem Integral kann kein exakter Wert zugewiesen werden bzw. strebt der gesuchte
Flächeninhalt gegen unendlich.
Dies geschieht z.B. an den senkrechten Asymtoten (Definitionslücken) einer Funktion.
1
f ( x)
= ⇒ lim( f ( x)
) = ∞
3
( x −1)
x→1
1
∫
0
f ( x)
dx =
1
−
2⋅(
x −1)
2
1
0
⎛
= lim⎜
−
x→1
⎝
1
2⋅(
x −1)
2
+
1 ⎞
⎟
2
⎠
=
⎡
⎢− ∞ +
⎣
1 ⎤
2
⎥
⎦
=
− ∞
= ∞
Man erkennt, dass durch die Grenzwertbetrachtung unendlich als Resultat herauskommt, was
keinem exakten Flächeninhalt entsprechen kann.
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Endliche Integrale:
Es handelt sich um einen festen Wert, der dem Integral zugewiesen werden kann.
Dieser liegt z.B. dann vor, wenn sich die Fläche innerhalb zweier Nullstellen befindet oder auch
bei der Bestimmung des Inhalts zwischen zwei gegebenen Funktionen.
Wird allerdings der Flächeninhalt bis ins Unendliche gesucht, so muss der Grenzwert der
Integrandfunktion (im Undendlichen) Null sein.
1
f ( x)
= ⇒ lim ( f ( x)
) = 0
2
x x→∞
∞
1 ⎛ 1
∫ f ( x)
dx = − = lim ⎜−
2
x x→∞⎝
x
∞
2
+
1 ⎞
⎟
2 ⎠
=
⎡
⎢0
⎣
−
+
1 ⎤
2
⎥
⎦
=
1
2
Auch hier wird mittels Grenzwertbetrachtung der Stammfunktion die Fläche gesucht.
Da die Stammfunktion allerdings im Unendlichen Null ist, fällt sie ganz weg und man erhält
einen konstanten Wert für die gesuchte Fläche.
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1)
Geben Sie den Wert des folgenden Integrals an und klassifizieren Sie diesen.
a)
∞
∫
1
⎛ 2
⎜
5
⎝ x
⎞
⎟dx
b)
⎠
1
∫
0
⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟dx
⎝ x ⎠
2)Bestimmen die Grenze des Integrals, so dass die gegebene Fläche erreicht wird.
∞
∫
α
⎛ 1
⎜
⎝ (2x
− 2)
⎞
⎟
⎠
dx =
2
1
16
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Trifft hinter dem Integralzeichen eine Funktion auf deren Ableitung, kann dies entweder in Form
eines Produktes oder als Quotient geschehen.
Aufgrund der Kettenregeldefinition ergeben sich dadurch folgende Zusammenhänge:
Produkt:
1
2
2
∫ ( f ( x)
⋅ f ′(
x)
) dx = ⋅[ f ( x)
] + C
1 1
⎡
⎢ ⋅
⎣ 2
′
⎤
⎥
⎦
1
2
2
2−
[ f ( x)
] + C = ⋅ 2⋅[ f ( x)
] ⋅ f ′(
x)
+ 0 = f ( x)
⋅ f ′(
x)
Beweis
Quotient:
⎛ f ′(
x)
⎞
∫ ⎜ dx =
f x
⎟ ln )
⎝ ( ) ⎠
( f ( x ) + C
[ ln( f ( x)
) + C]
′
=
1
⋅
f ( x)
f
′(
x)
+ 0 =
f ′(
x)
f ( x)
Beweis
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′′′
Für die Berechnung komplizierter Stammfunktionen ist es wichtig, die Arten der möglichen
Integrandfunktion näher zu beschreiben.
Die Unterscheidung bezieht sich im Wesentlichen auf die Art der Ableitungen:
Reduzierende Funktion:
Eine solche Funktion liegt dann vor, wenn sich beim Ableiten eines Ausdrucks der
Exponent reduziert und letztlich zu einer Konstanten wird (Polynom vom Grade n).
3
2
f ( x)
= 2x
⇒ f ′(
x)
= 6x
⇒ f ′′(
x)
= 12x
⇒ f ′′′ ( x)
= 12
Nach n Ableitungen verschwindet die Funktion komplett (wird Null).
Alternierende Funktion:
Eine solche Funktion liegt dann vor, wenn sich beim Ableiten eines Ausdrucks die
entstehende Funktionsklasse nicht verändert (Trigonometrie, Exponential).
f ( x)
= e
⇒
f ′(
x)
= 2⋅e
⇒
f ′′ ( x)
= 4⋅e
( x)
= 8⋅e
2x+ 1
2x+
1
2x+
1
2x+
1
Nach n Ableitungen ist die Funktion immer noch die gleiche (alternierend).
⇒
f
⇒ ...
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Besteht die Integrandfunktion aus einem Produkt von zwei unterschiedlichen Funktionen, so
muss partiell integriert werden.
Das anzuwendende Verfahren ergibt sich aus der bekannten Produktregel der Ableitungen:
′
[ f ( x)
⋅ g(
x)
] = f ′(
x)
⋅ g(
x)
+ g′
( x)
⋅ f ( x)
⇔ f ′(
x)
⋅ g(
x)
= [ f ( x)
⋅ g(
x)
] − g′
( x)
⋅ f ( x)
Durch die Bildung der „Aufleitung“ auf beiden Seiten ergibt sich automatisch die Produktregel
der Integration sprich die partielle Integration:
∫
f ′( x)
⋅ g(
x)
= f ( x)
⋅ g(
x)
− g′
( x)
⋅ f ( x)
Fall 1:
Trifft eine reduzierende auf eine alternierende Funktion, sollte g(x) als reduzierend und f‘(x)
als alternierende Funktion gewählt werden, da nach n Integrationen die reduzierende Funktion
verschwindet.
Fall 2:
Sind die beiden Faktoren des Produkt alternierende Funktionen, so muss max. zweimal partiell
integriert werden, da nach dem 2. Schritt automatisch das Ausgangsintegral entsteht.
∫
′
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Torsten Schreiber 183

2 2x
Beispiel zu Fall 1: ( x ⋅e
)
∫ dx = F1(
x)
+ C
2x
1 2x
f ′(
x)
= e ⇒ f ( x)
= ⋅e
2
1. Schritt: F 1
( x)
=
g(
x)
=
x
2
⇒
g′
( x)
= 2⋅
x
g(x)=reduzierend; f(x)=alternierend
1
2
2 2 ⎛ 1
⋅e x 2
⋅ x − e x ⎞
⎜ ⋅ ⋅ 2⋅
x⎟dx
⎠
∫
⎝ 2
2
( ⋅ x)
∫ e x dx = F2 ( x)
+ C
2x
1 2x
f ′(
x)
= e ⇒ f ( x)
= ⋅e
2
2. Schritt: F ( x 2
) =
g(
x)
= x
⇒
g′
( x)
= 1
1
2
⋅e 2 x ⋅
x
−
∫
⎛ 1
⎜1⋅
⎝ 2
⋅
2
e x
⎞
⎟dx
⎠
2 2x
1 2x
2 ⎛ 1 2x
1 2x
⎞ 1 2x
⎛ 2 1 ⎞
( x ⋅e
) dx = e ⋅ x − ⎜ e ⋅ x − e ⎟ + C = e ⋅⎜
x − x + ⎟ + C
⇒ ∫ 2 ⎝ 2 4 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠
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Torsten Schreiber 184

∫ sin( dx = F1
( x)
+ C
2x
1 2x
f ′(
x)
= e ⇒ f ( x)
= ⋅e
2
1. Schritt: 1(
x)
=
2x
Beispiel zu Fall 2: ( x)
⋅e
)
g(
x)
= sin( x)
⇒
2
( ⋅ x)
)
g′
( x)
= cos( x)
1 2
F 1 ⎛
e 2 x ⋅sin(
x ) − e x ⎞
∫ ⎜ ⋅ cos( x)
⎟dx
2
⎝ 2 ⎠
∫ e x cos( dx = F2
( x)
+ C
2x
1 2x
f ′(
x)
= e ⇒ f ( x)
= ⋅e
2
2. Schritt: F
2
( x)
=
1 e 2 x ⎛ 1
⋅cos(
x ) − e 2 x ⎞
2
∫ ⎜ ⋅ ( −sin(
x))
⎟dx
⎝ 2
⎠
g(
x)
= cos( x)
⇒ g′
( x)
= −sin(
x)
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⇒
⇔
∫
∫
2x
1 2x
1 ⎛ 1 2x
1 2x
( sin( x)
⋅e
) dx = e ⋅sin(
x)
− ⎜ e ⋅cos(
x)
+ ( e ⋅sin(
x)
)
2
2x
1 2x
⎛ 1 ⎞ 1 2x
( sin( x)
⋅e
) dx = e ⋅⎜sin(
x)
− cos( x)
⎟ − ( e ⋅sin(
x)
)
2
⎝
2 ⎝ 2
2
⎠
g(x)=alternierend; f(x)=alternierend
2x
1 2x
⎛ 1 ⎞
2x
2 x ⎛ 1 ⎞
( sin( x)
⋅e
) dx = e ⋅⎜sin(
x)
− cos( x)
⎟ ⇔ ( sin( x)
⋅e
) dx = e ⋅⎜sin(
x)
− cos( x ⎟
⎠
5 2
∫ ∫
)
4
2 ⎝ 2 ⎠
5 ⎝ 2
4
∫
2
∫
⎞
dx⎟
⎠
Torsten Schreiber 185
dx

Aufgrund der Vielzahl der Möglichkeiten eine Stammfunktion zu entwickeln, sollte folgende
Vorgehensmethodik angewandt werden:
1. Einfache Aufleitung:
f ( x)
=
a ⋅ x
n
⇒
F(
x)
=
a
n
⋅ x
+ 1
n+
1
( )
2. Produkt f ( x)
⋅ f ′(
x)
:
1
2
2
∫ ( f ( x)
⋅ f ′(
x)
) dx = ⋅[ f ( x)
] + C
⎛ f ′(
x)
⎞
3. Quotient ⎜
⎟ :
⎝ f ( x)
⎠
⎛ f ′(
x)
⎞
∫ ⎜ dx =
f x
⎟ ln )
⎝ ( ) ⎠
( f ( x ) + C
reduzierend
4. Alternierend :
alternierend
∫
f ′( x)
⋅ g(
x)
= f ( x)
⋅ g(
x)
− g′
( x)
⋅ f ( x)
∫
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1)
Berechnen Sie zu den gegebenen Funktionen deren Stammfunktion.
3
ln( x)
8x
−16x
a) f ( x)
= b) g( x)
= − tan( x)
c) h(
x)
=
2 2
x
(2x
− 4)
2)
Bestimmen die folgenden beiden unbestimmten Integrale.
1 2
⎛
⎞
a) ∫ ⎜ x ⋅cos(2x)
⎟dx
⎝ 2 ⎠
∫
3−2x
b) ( cos(2x)
⋅e
)
dx
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Mit den folgenden Begriffen sollten Sie nun vertraut sein:
Produktregel
Grenzwerte von Integralen
endliche Integrale
reduzierende Funktion
alternierende Funktion
Partielle Integration
unendliche Integrale
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SS 2013 Torsten Schreiber 189