Naloge za predmet elementarna matematika II

Naloge za predmet elementarna matematika II
5. skupina nalog: tekmovalne naloge
1. Dokažite, da za vsako naravno število n, ki je tuje z 10, obstaja naravno število, ki ima vse
cifre (če je zapisano v desetiškem sistemu) enake 1 in je deljivo z n.
2. Najdite vsa naravna števila X, za katera velja naslednje: produkt cifer števila X je enak
44X − 86868, vsota cifer pa je kub nekega naravnega števila.
3. Naj bodo a 1 , a 2 , . . . , a 1988 naravna števila. Dokažite, da
10 | (a 1 + · · · + a 1988 ) =⇒ 10 | (a 5 1 + · · · + a 5 1988).
4. Naj bosta A in A ′ števili z enakimi ciframi. Dokažite, da je A deljivo z 10, če je A+A ′ = 10 10 .
5. Dokažite, da za vsako realno število x ≥ 1 2
|x − n 2 | ≤
obstaja naravno število n takšno, da je
√
x − 1 4 .
6. Dokažite, da naravno število oblike 8n + 7 ni moč napisati v obliki vsote kvadratov treh
naravnih števil.
7. Naj bo p praštevilo večje od 2 in naj za vsak k = 1, 2, . . . , p − 1 a k označuje ostanek pri
delenju k p s p 2 . Dokažite:
a 1 + a 2 + · · · + a p−1 = p3 − p 2
.
2
8. Dokažite: če vsota dveh naravnih števil znaša 30030, tedaj produkt teh dveh števil ni deljiv
s 30030.
9. Naj bosta a in b takšni naravni števili, da a 2 + ab + 1 deli b 2 + ab + 1. Dokažite, da je a = b.
10. Določite vsa pozitivna števila a, za katera sta oba korena enačbe a 2 x 2 + ax + 1 − 7a 2 = 0
celi števili.
11. Ali obstaja 1987 različnih naravnih števil takšnih, da je vsota njihovih kvadratov kvadrat
naravnega števila?
12. Naj bodo x 1 , . . . , x 1990 naravna števila za katera velja x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 1989 = x 2 1990. Dokažite,
da sta med temi števili vsaj dve sodi.
13. Vemo, da je x, y, z, t neka permutacija števil 12, 14, 37, 65. Določite x, y, z, t, če je xy − xz +
yt = 182.
14. Ugotovite, ali je 2 1986 + 1 praševilo. Odgovor utemeljite!
15. Določite vsa naravna števila n, pri katerih je 3 2n+1 − 2 2n+1 − 6 n sestavljeno število.
16. Naj bo a 1 , a 2 , . . . , a n poljubna permutacija števil 1, 2, . . . , n. Dokažite, da je
(a 1 − 1)(a 2 − 2) · · · (a n − n) sodo število, če je n liho.
1

17. Dokažite, da enačba m 3 = n 3 + 1989 nima rešitev v naravnih številih.
18. Določite vsa praštevila p, q, r za katera velja p q + q p = r.
19. Dokažite, da obstaja neskončno mnogo trojic celih števil x, y, z takšnih, da je zy+xz+yx = 1.
20. Dokažite, da enačba x−y +z = 1 ima neskončno mnogo rešitev, takšnih da so x, y, z paroma
različna naravna števila, ki imajo lastnost, da vsako deli produkt drugih dveh.
21. Za neko naravno število n sta prvi cifri (na levi) desetiških zapisov števil 2 n in 5 n enaki.
Določite to cifro.
22. Dokažite, da za vsako naravno število m obstaja naravno število n > m, za katero se
decimalni zapis števila 5 n dobi iz decimalnega zapisa števila 5 m z dodavanjem določenih
cifer z leve strani.
23. Dokažite, da za vsako naravno število n > 6 obstajata naravni števili a in b, takšni da je
a + b = n, D(a, b) = 1, a > 1, b > 1.
24. V pravokotni trikotnik je ob eni kateti včrtano m, ob drugi pa n krožnic s polmerom r, tako
kot je narisano na sliki:
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
♣ ♣ ♣
♣
♣
Določite m in n tako, da bo polmer včrtane krožnice tega trikotnika celoštevilčni večkratnik
polmera r.
25. Naj bo n neko naravno število. Dokažite, da je največji skupni delitelj števil n 2 + 1 in
(n + 1) 2 + 1 bodisi 1, bodisi 5.
26. Naj bo n naravno število. Dokažite: n je praštevilo natanko takrat ko ima enačba
natanko eno rešitev v naravnih številih.
1
x − 1 y = 1 n
27. Dokažite, da enačba 6(6a 2 + 3b 2 + c 2 ) = 5n 2 nima drugih celoštevilskih rešitev razen rešitve
a = b = c = n = 0.
28. Vemo, da sta oba korena enačbe x 2 + ax + 1 = b naravni števili. Dokažite, da je število
a 2 + b 2 sestavljeno.
29. Naj bo a n celo število, ki je najbližje številu √ n. Izračunajte vsoto
1
+ 1 + · · · + 1 .
a 1 a 2 a 1980
2

30. Naj τ(n) označuje število različnih deliteljev naravnega števila n. Določite ali je vsota
τ(1) + τ(2) + · · · + τ(1989) soda ali liha.
]
31. Naj bo a n =
[√(n + 1) 2 + n 2 , n ∈ N, kjer [x] označuje celi del od x. Dokažite:
(a) obstaja neskončno mnogo naravnih števil m, za katera velja a m+1 − a m > 1;
(b) obstaja neskončno mnogo naravnih števil m, za katera velja a m+1 − a m = 1.
32. Dokažite, da za poljubna naravna števila x, y, z, a, b, c, iz 1 2 x + 1 3 y + 1 5 z = 1 2 a + 1 3 b + 1 5 c
sledi x = a, y = b, z = c.
33. Pokažite, da za poljubni naravni števili m in n obstaja m takih zaporednih naravnih števil,
da je vsako izmed njih deljivo z n-to potenco kakega naravnega števila, ki je večje od 1.
34. Naj bo m liho število. Dokažite, da je za vsa naravna števila n > 2 vsota m-tih potenc vseh
naravnih števil tujih z n in manjših od n večkratnik števila n.
35. (a) Podana je enačba x 3 − 3xy 2 + y 3 = n, kjer je n naravno število. Dokažite, da ta enačba
ima vsaj tri celoštevilčne rešitve, če ima vsaj eno.
(b) Dokažite, da enačba x 3 − 3xy 2 + y 3 = 2891 nima nobene celoštevilčne rešitve.
36. Naj za poljubno naravno število n velja x n = 3x n−1 + 2. Dokažite, da za x 0 lahko izberemo
takšno celo število, da bo 1988 delilo x 100 .
37. Dokažite, da ne obstajata celi števili x in y za kateri bi veljalo
38. Bodita p in q naravni števili, za kateri velja
Dokažite, da je število p deljivo s 1979.
x 2 + 9 = y 3 .
p
q = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · − 1
1318 + 1
1319 .
39. Naj bo a(k) največje liho število, ki deli k. Dokažite, da za vsako naravno število n velja
2 n ∑
k=1
a(k) = 1 3 (4n + 2) .
40. Dokažite: če za naravni števili x in y velja, da 2xy deli x 2 + y 2 − x, tedaj je x popolni
kvadrat.
41. Dokažite, da zaporedje a n = 1 + 2 2 + · · · + n n vsebuje neskončno mnogo sestavljenih lihih
števil.
42. Za naravni števili a in b velja, da sta števili 15a + 16b in 16a − 15b kvadrata naravnih števil.
Določite najmanjšo vrednost, ki jo lahko ima manjši od teh dveh kvadratov.
3

43. Za realni števili x, y ≥ 1 velja, da sta a = √ x − 1 + √ y − 1 in b = √ x + 1 + √ y + 1
nezaporedni celi števili. Dokažite:
b = a + 2, x = y = 5 4 .
44. Dokažite, da za poljubno naravno število n ≥ 2 velja
∑ 1
pq = 1 2 ,
če se sešteva po vseh naravnih številih p, q, za katera velja D(p, q) = 1, 0 < p < q ≤ n in
p + q > n.
45. Določite vse urejene trojice (a 1 , a 2 , a 3 ) naravnih števil, za katere velja a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 in za
katere vsako število deli vsoto drugih dveh.
46. Naj bodo 1 < d 1 < d 2 < · · · < d k < n vsi pozitivni delitelji naravnega števila n. Določite n,
če vemo, da velja
d 2 5 + d 2 6 − 1 = n .
47. Določite vse pare a n , a n+1 zaporednih členov zaporedja a 1 , a 2 , . . . definiranega z a n = 2 n +49,
tako da velja
a n = pq, a n+1 = rs,
kjer so p, q, r, s praštevila za katera velja
p < q, r < s, q − p = s − r .
48. Za podano naravno število n določite število rešitev enačbe
√ x +
√ y = n
v naravnih številih x, y.
49. Za poljubno naravno število n definiramo f(n) = [2 √ n] − [ √ n − 1 + √ n + 1]. Določite vse
vrednosti n, za katere velja f(n) = 1.
50. Naj bo p podano praštevilo. Pokažite, da je število
( 2p
p
)
− 2
deljivo s p.
51. Določite število naravnih števil n, ki zadoščajo pogojema 1 ≤ n ≤ 1996 in
[ ] [ ] [ ]
n n n
+ + = n 2 3 4 2 + n 3 + n 4 .
52. Naj bo S n vsota prvih n praštevil (S 1 = 2, S 2 = 2 + 3, S 3 = 2 + 3 + 5, . . . ). Dokažite, da se
za vsako naravno število n v odprtem intervalu 〈S n , S n+1 〉 nahaja vsaj en popoln kvadrat.
4

53. Na tabli so napisana vsa naravna števila od 1 do 1986 vključno. Smemo obrisati poljubni
napisani števili in ju nadomestiti z njuno razliko in s številom 0. Ugotovite ali je možno z
izpeljavo končnega števila ponovitev te operacije na tabli dobiti same ničle.
54. Podana so števila
1
19 , 1
2 20 , 1
2 21 , · · · , 1
2 93 , 1
2 94 . 2
Poljubni par a, b števil (a ≠ b) smemo nadomestiti s številom a+b−ab. Na primer, namesto
števil 1/32 2 in 1/66 2 smemo napisati število 163/135168, saj je 1/32 2 + 1/66 2 − 1/32 2 · 66 2 =
163/135168. Ta postopek nadaljujemo tako dolgo, dokler nam ne ostane samo eno število.
Dokažite, da na koncu vedno ostane isto število, ne glede na to kako smo postopek izvajali.
Določite to število!
55. Za poljubno končno neprazno množico šetvil S, naj σ(S) in π(S) označuje vsoto, oz. produkt
vseh števil iz S. Dokažite, da velja
∑
(
σ(S)
π(S) = n2 + 2n − 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 )
(n + 1) ,
n
kjer ∑ označuje vsoto po vseh nepraznih podmnožicah S množice {1, 2, 3, . . . , n}.
56. Kvadrat naravnega števila se zaključuje z . . . 21 (v desetiškem zapisu). Je lahko njegova
tretja cifra z desne soda?
57. Naj bo a 1 = 1, a 2 = 3, a n+2 = (n + 3)a n+1 − (n + 2)a n za vse n ≥ 1. Določite vse vrednosti
n, za katere 11 deli a n .
58. Za naravni števili m, n naj velja
Dokažite, da velja
√
7 −
m
n > 0 .
√
7 −
m
n > 1
mn .
59. Določi zadnjih 1000 cifer (desetiškega zapisa) števila
N = 1 + 50 + 50 2 + 50 3 + · · · + 50 999 .
60. Določite vsa cela števila a, b, c, za katera velja, da je 1 < a < b < c in da (a−1)(b−1)(c−1)
deli število abc − 1.
61. Dokažite, da za poljubno naravno število m velja
∑
ϕ(abk)ϕ(k) = m 2 .
(a, b, k) ∈ N 3
abk | m
D(a, b) = 1
62. Točke številske premice oblike 19a + 85b, kjer a, b ∈ {0, 1, 2, . . .}, so pobarvane rdeče; vse
druge celoštevilske točke so pobarvane zeleno. Ugotovite ali obstaja A ∈ R, tako da bo za
vsak par (B, C) ∈ Z × Z točk simetričnih glede na A veljalo, da je B pobarvana različno od
C.
5

63. Dokažite, da neskončna vrsta
konvergira k racionalnemu številu.
0, 1
+ 0, 01
+ 0, 002
+ 0, 0003
+ 0, 00005
+ 0, 000008
+ 0, 0000013
+ · · ·
64. Dokažite, da vsako realno število lahko zapišemo kot vsoto devetih števil, ki v svojih decimalnih
zapisih vsebujejo samo cifri 0 in 7.
6