Limiti e forme indeterminate

4 Esercizi risolti sulle forme indeterminate
A(x)
lim
x→∞
B(x) = lim
x→∞
a 0 x n +a 1 x n−1 +···+a n−1 x+a n
b 0 x m +b 1 x m−1 +···+b m−1 x+b m
= ∞ ∞
con n, m interi positivi. Il numeratore è di grado n ed il denominatore di grado m. Si
proceda nel modo seguente:
a. si metta in evidenza al numeratore e al denominatore rispettivamente x n ed x m .
Si ottiene così il
lim
x→∞
x n( a 0 + a1
x
x m (b 0 + b1 x
+···+
an−1
x n−1 + an
x n )
)
bm−1
+···+
x
+ bm
m−1 x m
b. a questo punto si tenga presente che i limiti di funzioni del tipo p/x q con q > 0
p
valgono lim x→∞ x
= 0. Quindi tutti gli addendi con una potenza positiva di x
q
al denominatore x q , passando al limite, si annullano. Rimane da considerare, al
limite, il termine a0xn
b 0x
. I casi che possono presentarsi sono 3 e dipendono dai valori
m
di n e m.
1. se n < m:
A(x)
lim
x→∞ B(x) = lim a 0 x n
x→∞ b 0 x m = lim a 0
= 0;
x→∞ b 0 xm−n A(x)
2. se n = m: lim
x→∞ B(x) = a 0
uguale al rapporto dei coefficienti di grado massimo;
b 0
3. se n > m:
Esercizio 6 lim
3x 3 +4x 2 +x−1
x 4 . Raccogliendo la potenza x 3 al numeratore discende
x→∞
3x 3 +4x 2 +x−1
lim
x→∞
x 4
A(x)
lim
x→∞ B(x) = lim a 0 x n−m
= ∞.
x→∞ b 0
x 3( 3+ 4 x
= lim
+ )
1
x
− 1 2 x
3+ 4 3 x
x→∞ x 4 = lim
+ 1 x
− 1 2 x 3
x→∞ x
4
in quanto lim x→∞ x = lim x→∞ 1 1
x
= lim 2 x→∞ x
= 0. 3
4x 5 +7x 4 +1
Esercizio 7 lim
x→∞ 2x 5 . In modo analogo, fattorizzando x 5 sia al numeratore
+7
che al denominatore si giunge a
4x 5 +7x 4 +1 x 5( 4+ 7 x
lim
x→∞ 2x 5 = lim
+ )
1
x 5
+7 x→∞ x 5( )
2+ 7 = 2
x 5
in quanto i termini del tipo 7 x , 1 7
x
, 5 x
hanno limite nullo e lim 5 x→∞ x 5 /x 5 = 1.
x 3 +1
Esercizio 8 lim . Con le medesime modalità dei precedenti esercizi raccogliamo
x 3 al numeratore e x al denominatore:
x→±∞ x−1
x 3 +1
lim
x→±∞ x−1 = lim x 3( )
1+ 1 x 3
x→±∞ x ( x 2( )
1+ 1
)
1− 1 = lim (
x) 3
x→±∞
x 1−
1
= +∞
x
avendo lim x→±∞ x 2 = +∞.
= 0