notas de clase

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MÉTODOS NUMÉRICOS
- NOTAS DE CLASE -
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por
René Escalante
Departamento de Cómputo Científico y Estadística
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
- Noviembre, 2014 -

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Contenido
1 Conceptos básicos 1
1.1 Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tipos de errores y cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Errores por redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Errores por cancelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Cotas para el error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Convergencia y algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Experimentación numérica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL) 15
2.1 Resolución directa de un SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 El algoritmo de eliminación gaussiana . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Estrategias de pivoteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 El método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 El método de los gradientes conjugados . . . . . . . . . 43
2.4 Experimentación numérica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Aproximación de autovalores 53
3.1 El método de las potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 El método QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Descomposición en valores singulares . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Ecuaciones no lineales 67
4.1 Tasas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 El método de la bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
i

ii
CONTENIDO
4.3 Método regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 El método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 El método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 Métodos de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7 El algoritmo de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Experimentación numérica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Sistemas de ecuaciones no lineales 97
5.1 El método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Métodos tipo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Apéndice al Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Aproximación de funciones 105
6.1 El teorema de aproximación de Weierstrass y el teorema de
Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Interpolación polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2.1 La forma de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.2 Otras formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.3 El método de las diferencias divididas . . . . . . . . . . 110
6.2.4 Error del polinomio de interpolación . . . . . . . . . . 113
6.3 Interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4 Interpolación polinómica a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.1 Interpolación local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4.2 Funciones splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.5 Mejores aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.5.1 Mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5.2 El enfoque de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6 Interpolación trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.6.1 Series de Fourier y la transformada discreta de Fourier 133
6.6.2 La transformada rápida de Fourier . . . . . . . . . . . 137
6.7 Experimentación numérica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.8 Apéndice al Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 Diferenciación e integración numéricas 145
7.1 Diferenciación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2 Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2.1 Fórmulas de Newton-Cotes y extensiones . . . . . . . . 149
7.2.2 Cuadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

CONTENIDO
iii
7.3 Extrapolación de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.4 Experimentación numérica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 158
8 Problemas de valores iniciales 163
8.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2 EDOs de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2.1 Métodos de un paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2.2 Métodos multi-paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.3 Sistemas y EDOs de orden mayor . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.4 Estabilidad y ecuaciones de stiff . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.5 Experimentación numérica adicional . . . . . . . . . . . . . . . 192
9 Problemas con valores en la frontera 197
9.1 Método del disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2 Método de las diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.3 Métodos de proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3.1 Método de colocación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.3.2 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Referencias 217

Capítulo 8
Problemas de valores iniciales
para EDOs
Muchos sistemas físicos y naturales dan lugar a modelos matemáticos que
contienen ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Aunque pareciera ser
mejor resolver analíticamente estas ecuaciones, muchas de ellas tienen soluciones
analíticas complicadas o simplemente no las conocemos. En estos
casos, requerimos del uso de una técnica numérica para buscar una solución
aproximada de la ecuación diferencial. La bibliografía relacionada con este
tema, al nivel que proponemos aquí, es realmente extensa 1 y nosotros, simplemente,
hacemos una adaptación de la misma.
8.1 Preliminares
Consideraremos aquí el estudio y análisis de métodos numéricos para la EDO
de primer orden de la forma
y ′ (t) = f(t, y(t)),
donde y(t) es una función de valores reales (de la variable real t) y f es una
función conocida que toma valores reales y depende de dos variables reales.
Nuestro objetivo será el de encontrar soluciones numéricas de esta ecuación
diferencial. Sin embargo, en general, la solución de esta ecuación es una
familia infinita de curvas solución, que constituye la solución general. Por
1 Ver por ejemplo, [2], [6], [19], [22], [24], [27], [29], [34], [36].
163

164
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
lo que para escoger una solución particular de esta familia necesitaremos,
además, de una condición inicial. Dados dos números reales, t 0 y y 0 , el
objetivo de un problema de valores iniciales (PVI) consiste en encontrar
una solución y(t), para t > t 0 , tal que
y ′ (t) = f(t, y(t)), y(t 0 ) = y 0 , (8.1)
A fin de garantizar la existencia de una solución única para el PVI (8.1),
debemos considerar el siguiente teorema.
Teorema 8.1 (Teorema de Picard (1856-1941)) Supongamos que la función
de valores reales (t, y) ↦→ f(t, y) es continua en la región R = {(t, y) ∈
R 2 : y ∈ [y 0 − C, y 0 + C] ∧ t ∈ [t 0 , T M ]}, que |f(t, y 0 )| ≤ K cuando
t ∈ [t 0 , T M ], y que f satisface la condición de Lipschitz, i.e. existe λ > 0 tal
que |f(t, u)−f(t, v)| < λ|u−v| ∀(t, u), (t, v) ∈ R. Si también suponemos que
C ≥ (K/λ)(e λ(T M −t 0 ) − 1), entonces existe una única función y ∈ C 1 [t 0 , T M ]
tal que y(t 0 ) = y 0 ∧ y ′ (t) = f(t, y(t)) para t ∈ [t 0 , T M ]; además, |y(t) − y 0 | ≤
C, t ∈ [t 0 , T M ].
Demostración. Ver, por ejemplo, [3]. ✷
Al aplicar este teorema necesitamos escoger la constante C tal que las
hipótesis sean satisfechas. También, se puede demostrar que si T M − t 0 es lo
suficientemente pequeño y si ∂f/∂y es continua en una vecindad de (t 0 , y 0 ),
entonces se satisfacerán las condiciones del teorema [3].
Ejemplo.
Consideremos el PVI sguiente:
y ′ (t) − αy(t) = β, y(t 0 ) = y 0 ,
donde α y β son constantes. Claramente, λ = |α| (independientemente de
C) y K = |αy 0 | + |β|. De manera que, para cualquier intervalo [t 0 , T M ], si
escogemos C lo suficientemente grande las condiciones son satisfechas. Por
lo tanto, el PVI tiene una única solución definida en t ∈ [t 0 , T M ], que es
continuamente diferenciable.
Ejercicio 1.
Aplicar el Teorema 8.1 al siguiente PVI no lineal
y ′ (t) = y 2 (t), y(0) = 1,

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 165
¿Cuál es la solución única de este PVI?
En estas notas siempre supondremos que la función f satisface las condiciones
del Teorema de Picard. Asumimos también que deseamos resolver el
PVI (8.1) en el intervalo [t 0 , T M ], el cual dividimos en N subintervalos usando
los puntos t n = t 0 + nh, n = 0, 1, . . . , N, donde h = (T M − t 0 )/N. De
manera que, para cada n, buscaremos estimar una aproximación y n de y(t n ).
Estas aproximaciones se calculan de manera sucesiva para n = 1, 2, . . . , N.
Llamaremos a h el tamaño del paso.
8.2 EDOs de primer orden
Entre las técnicas numéricas más utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias están los denominados métodos de Runge-Kutta. Estos
métodos se basan en aproximar una función a partir de su desarrollo en
serie de Taylor. Así, un método de Runge-Kutta de primer orden 2 usa un
desarrollo de Taylor de primer orden, un método de Runge-Kutta de segundo
orden usa un desarrollo de Taylor de segundo orden, etc.
En el caso del método de Runge-Kutta de primer orden, en cada paso
evaluamos f en el punto correspondiente a la solución aproximada actual
(t n , y n ), para luego utilizar la información obtenida de la pendiente para
hallar y n+1 . Así, la ecuación queda
y n+1 = y n + h n f(t n , y n ),
cuya aplicación sucesiva define el algoritmo:
n = 0
Se repite:
f n = f(t n , y n )
Se define el paso h n > 0
t n+1 = t n + h n
y n+1 = y n + h n f n
n = n + 1
Con un error local de truncamiento O(h 3 ), obtenemos el método de
2 Éste es el denominado método de Euler.

166
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Runge-Kutta de segundo orden:
k 1 = hf(t n , y n ) (8.2)
k 2 = hf(t n + h, y n + k 1 ) (8.3)
y n+1 = y n + k 1 + k 2
2
(8.4)
Observemos que por cada paso se requieren dos evaluaciones de f.
El método de Runge-Kutta más conocido es el siguiente método de cuarto
orden:
k 1 = hf(t n , y n ) (8.5)
k 2 = hf(t n + h 2 , y n + 1 2 k 1) (8.6)
k 3 = hf(t n + h 2 , y n + 1 2 k 2) (8.7)
k 4 = hf(t n + h, y n + k 3 ) (8.8)
y n+1 = y n + 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) (8.9)
El cual requiere de cuatro evaluaciones de f por paso.
A continuación estudiaremos con mayor detalle estas técnicas.
8.2.1 Métodos de un paso
En este tipo de métodos y n+1 viene expresada en términos del valor y n
obtenido en el paso anterior. El caso más simple de los métodos de un
paso es el denominado método de Euler, que definiremos a continuación.
Sabiendo que y(t 0 ) = y 0 , supondremos que ya hemos calculado y n , para
algún n = 0, 1, . . . , N − 1 (N ≥ 1). Definimos entonces, para cada n =
0, 1, . . . , N − 1, de a un paso por vez, el siguiente esquema iterativo:
y n+1 = y n + hf(t n , y n ),
con el que buscaremos estimar, en la red de puntos dada, los valores aproximados
y n de y(t n ).

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 167
Observemos que al considerar el desarrollo de Taylor, hasta los dos primeros
términos, de y(t n+1 ) = y(t n + h) alrededor de t n con y ′ (t n ) = f(t n , y(t n )),
obtendremos
y(t n + h) = y(t n ) + hf(t n , y(t n )) + O(h 2 ).
Si además sustituimos y(t n ) y y(t n +h) por sus valores aproximados y n y y n+1
respectivamente, y desechamos el término O(h 2 ), obtendremos el método de
Euler.
En una forma más general podemos expresar los métodos de un paso
como
y n+1 = y n + hΨ(t n , y n , h), n = 0, 1, . . . , N − 1, y(t 0 ) = y 0 , (8.10)
donde Ψ(t n , y n , h) es una función continua de sus variables. Así, por ejemplo,
en el caso del método de Euler, Ψ(t n , y n , h) = f(t n , y n ).
Al resolver una ecuación diferencial numéricamente se presentan diferentes
tipos de errores.
Definición 8.1 Llamaremos error de truncamiento local el que ocurre
en un paso dado cuando reemplazamos un proceso infinito por uno finito. El
error de truncamiento global es la acumulación de todos los errores de
truncamiento local. Denominaremos también error de redondeo global
al que se presenta cuando acumulamos los errores de redondeo (local) de los
pasos anteriores. El error total es la suma de los errores de truncamiento
global y de redondeo global.
El error de truncamiento local está presente en cada paso del proceso
de obtención de la solución numérica. El error de truncamiento global está
asociado con el método numérico particular que aplicamos y es independiente
del hardware que utilicemos.
Para el caso del método numérico (8.10), consideraremos el error e n ≡
y(t n )−y n , también denominado error global, y el error de truncamiento
ê n ≡ y(t n+1) − y(t n )
h
− Ψ(t n , y(t n ), h). (8.11)
Si suponemos que Ψ satisface la condición de Lipschitz con respecto a su
segundo argumento en R (ver el enunciado del Teorema 8.1) para 0 ≤ h ≤ h 0 ,

168
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
y si además, |y n − y 0 | ≤ C, entonces
|e n | ≤ max 0≤n≤N−1 |ê n |
[e λ(t n−t 0 ) − 1]. (8.12)
λ
En efecto, de la definición del error ê n , vemos que
y de (8.10) sigue que
y(t n+1 ) = y(t n ) + hΨ(t n , y(t n ), h) + hê n ,
e n+1 = e n + h[Ψ(t n , y(t n ), h) − Ψ(t n , y n , h)] + hê n ;
aplicando a continuación la condición de Lipschitz, obtenemos que
|e n+1 | ≤ |e n | + hλ|e n | + h|ê n | = (1 + hλ)|e n | + h|ê n | (n = 0, 1, . . . , N − 1),
de donde sigue por inducción que |e n | ≤ ê
λ [(1+hλ)n −1] para n = 0, 1, . . . , N,
con ê = max 0≤n≤N−1 |ê n |, obteniendo así la cota que buscamos (¿por qué?).
Resulta claro que (8.12) nos da una cota para la magnitud del error e n
en términos del error de truncamiento ê n . Observemos además que (8.12)
sugiere que si el error de truncamiento se aproxima a cero cuando h → 0,
entonces el error (global) e n converge a cero también.
Definición 8.2 Diremos que el método (8.10) es consistente con el PVI
(8.1) si el error de truncacimiento (8.11) es tal que, para cualquier ε > 0,
existe un h ε > 0 para el cual |ê n | < ε, para 0 < h < h ε y cualquier par de
puntos (t n , y(t n )), (t n+1 , y(t n+1 )) de alguna curva solución en R.
Observaciones:
• Por la continuidad de las funciones involucradas, de (8.11) sigue que si
t n → t ∈ [t 0 , t M ] y h → 0, entonces lim n→∞ ê n = y ′ (t) − Ψ(t, y(t), 0).
Por lo que una condición equivalente para que (8.10) sea un método
consistente es que Ψ(t, y, 0) = f(t, y).
• De aquí en adelante asumiremos que el método numérico de un paso
(8.10) es consistente.

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 169
Consideremos ahora el caso particular del método de Euler. Supongamos
primero que y ∈ C 2 [t 0 , T M ], entonces, del Teorema de Taylor, sigue que
y(t n+1 ) = y(t n ) + hy ′ (t n ) + h2
2! y′′ (ξ n ),
donde ξ n está entre t n y t n+1 . Notemos que, de la definición del error de
truncamiento, ê n = h 2 y′′ (ξ n ). Además, si definimos M = max s∈[t0 ,T M ] |y ′′ (s)|,
entonces |ê n | ≤ hM.
Observemos que este resultado nos dice que, para
2
el método de Euler, la magnitud del error de truncamiento está acotada
superiormente por un múltiplo constante del tamaño de paso h (i.e., |ê n | ≤ κh
para 0 ≤ h ≤ h 0 , donde κ es independiente de h, ver la Definición 8.3).
Más aun, como para el método de Euler debemos tener que Ψ(t n , y n , h) ≡
f(t n , y n ), de (8.12) sigue que
|e n | ≤ h
2λ M[eλ(t n−t 0 ) − 1], n = 0, 1, . . . , N, (8.13)
donde λ es la constante de Lipschitz para f.
Ejemplo.
Consideremos el PVI: y ′ = tan −1 y, y(0) = y 0 , donde y 0 es un número
real dado. Encontremos, para este caso, las constantes M y λ de (8.13).
Como f(t, y) = tan −1 y, por TVM sabemos que existe ζ ∈ (w, z) tal que
|f(t, w) − f(t, z)| = |f y (t, ζ)||w − z| = |(1 + ζ 2 ) −1 ||w − z| ≤ |w − z|. Por
lo que λ = 1. Por otra parte, como y ′′ = (tan −1 y) ′ = (1 + y 2 ) −1 y ′ =
(1+y 2 ) −1 tan −1 y, M = π/2. Por lo que la cota (8.13) es |e n | ≤ h(π/4)[e tn −1]
(n = 0, 1, . . . , N). De manera que si consideramos una tolerancia dada ε para
el error e n = y(t n ) − y n (i.e., |e n | ≤ ε para n = 0, 1, . . . , N), será suficiente
que el tamaño de paso h sea tal que h(π/4)[e t n
− 1] ≤ ε, o mejor aun, que
h ≤ 4ε/[π(e T M
− 1)]. Lo que significa que podemos alcanzar una solución
numérica con la precisión que deseemos, siempre que escojamos h lo suficientemente
pequeño. También podemos estimar una cota inferior para N (pues
h = T M /N); sin embargo, en la práctica, un N menor que esta cota podría
producir la precisión requerida; por ejemplo, si escogemos y 0 = 1, T M = 1 y
ε = 0.01 (¿por qué?).
Ejercicio 2.
Consideremos el PVI: y ′ = y 2 −ϕ(t), y(0) = 2, donde ϕ(t) = t4 −6t 3 +12t 2 −14t+9
(1+t) 2 .

170
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Corroborar que la cota de error (8.13) muestra, de manera aproximada, el
hecho de que si usamos los tamaños de paso h = 0.2, h/2 y h/4, se produce
también una correspondiente reducción del error por un factor (aproximado)
de 2. Graficar las soluciones aproximadas para distintos tamaños de paso en
el intervalo [0, 1.6].
Para “medir”, de alguna forma, la tasa asintótica de decaimiento del e-
rror de truncamiento cuando h → 0 introducimos el concepto de orden de
precisión.
Definición 8.3 Diremos que el método (8.10) tiene orden de precisión
r, si r es el entero positivo más grande tal que, para cualquier curva solución
(t, y(t)) en R lo suficientemente suave del PVI (8.1), existen constantes κ
y h 0 tales que, para cualquier par de puntos (t n , y(t n )), (t n+1 , y(t n+1 )) en la
curva solución, |ê n | ≤ κh r para 0 < h ≤ h 0 .
Claramente, el método de Euler tiene orden de precisión igual a 1.
Teorema 8.2 (Teorema de convergencia) Supongamos que el PVI (8.1)
satisface las condiciones del Teorema 8.1 y que su aproximación, obtenida de
(8.10) cuando h ≤ h 0 , cae en R. Supongamos también que Ψ satisface las
condiciones de consistencia Ψ(t, y, 0) = f(t, y) y de Lipschitz con respecto
a su segundo argumento en la región R. Entonces, si la sucesión de las
aproximaciones sucesivas {y n } generada por el método (8.10), al usar la red
de puntos t n = t 0 + nh (n = 1, 2, . . . , N) con valores sucesivos de h cada vez
más pequeños, tendremos convergencia a la solución del PVI en el sentido
de que lim n→∞ y n = y(t) cuando t n → t ∈ [t 0 , T M ], n → ∞ y h → 0.
Demostración. Observemos primero que aplicando la condición de consistencia
podemos expresar el error de truncamiento como
ê n = y(t n+1) − y(t n )
h
Ahora, por el TVM,
y(t n+1 ) − y(t n )
h
− f(t n , y(t n )) + Ψ(t n , y(t n ), 0) − Ψ(t n , y(t n ), h).
− f(t n , y(t n )) = y ′ (ξ n ) − y ′ (t n ), donde ξ n ∈ (t n , t n+1 ).
Por otra parte, por el teorema de Picard, y ′ es continua en [t 0 , T M ] (∴ uniformemente
continua allí) y al ser Ψ una función continua en R × [0, h 0 ]

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 171
(uniformemente continua), para cada ε > 0 existe h ε tal que, para n =
0, 1, . . . , N −1, |y ′ (ξ n )−y ′ (t n )| ≤ ε/2 ∧ |Ψ(t n , y(t n ), 0)−Ψ(t n , y(t n ), h)| ≤ ε/2.
De donde sigue que |ê n | ≤ ε para h < h ε y n = 0, 1, . . . , N − 1. Por lo que,
de (8.12), tenemos que
|y(t) − y n | ≤ |y(t) − y(t n )| + |y(t n ) − y n | ≤ |y(t) − y(t n )| + ε λ [eλ(t n−t 0 ) − 1].
Ahora, como y es continua en [t 0 , T M ] y t n → t ∈ [t 0 , T M ] cuando h → 0
y n → ∞, entonces lim n→∞ y(t n ) = y(t). Por último, si hacemos ε → 0
(independientemente de h y n), tenemos que y n → y(t). ✷
Métodos implícitos de un paso
Observemos que de y(t n+1 ) − y(t n ) = ∫ t n+1
t n
y ′ (t)dt y luego aproximar la integral
usando la regla del trapecio, obtenemos el siguiente método de un
paso:
y n+1 = y n + h 2 [f(t n+1, y n+1 ) + f(t n , y n )], (8.14)
el cual se denomina método de la regla del trapecio 3 y tiene una precisión
de segundo orden. En efecto, como el error de truncamiento ê n está dado
por
ê n = y(t n+1) − y(t n )
− 1 h 2 [f(t n+1, y(t n+1 )) + f(t n , y(t n ))]
y como el error para la regla del trapecio viene dada por (−1/12)(t n+1 −
t n ) 3 f ′′ (ξ), con ξ ∈ (t n , t n+1 ) (ver §7.2.1), entonces |ê n | ≤ (1/12)h 2 M, donde
M = max z∈[t0 ,t M ] f ′′ (z).
Como y n+1 aparece a ambos lados de (8.14), para calcular y n+1 a partir de
y n necesitamos resolver una ecuación que, por lo general, no es lineal. Podemos
resolver la ecuación (8.14) para y n+1 , por ejemplo, usando el método de
Newton (siempre y cuando la derivada f y sea relativamente fácil de calcular),
usando como iterado inicial y n + hf(t n , y n ). Este tipo de métodos, en donde
requerimos resolver una ecuación para determinar el nuevo valor de y n+1 , son
de segundo orden (i.e., el error e n es O(h 2 )), y se conocen como métodos
implícitos.
3 También conocido como el método de Adams-Moulton de segundo orden.

172
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Ejercicio 3.
Para el mismo PVI del Ejercicio 2, aplicar el método de la regla del trapecio
para los tamaños de paso h = 0.4 y h/2. Graficar los resultados obtenidos
y comparar con el método de Euler del Ejercicio 2. ¿Qué efecto tiene la
reducción del tamaño de paso por un factor de 2?
Métodos de Runge-Kutta
Comencemos por considerar la siguiente familia de métodos:
donde
y n+1 = y n + hΨ(t n , y n , h), (8.15)
Ψ(t n , y n , h) = αf(t n , y n ) + βf(t n + µh, y n + νhf(t n , y n ))
y α, β, µ y ν son parámetros a ser determinados.
Observaciones.
• (8.2)-(8.4) coincide con el caso α = β = 1/2 y µ = ν = 1. Este método
se suele denominar método de Euler mejorado. Otro ejemplo es
el método de Euler modificado, para el cual α = 0, β = 1 y
µ = ν = 1/2. Asimismo, el método de Euler también es un miembro
de esta familia (caso α = 1 y β = 0); no obstante, ahora nos interesan
métodos con un orden de precisión mayor que 1.
• De acuerdo con la Definición 8.2 (i.e., cuando Ψ(t, y, 0) = f(t, y)), un
método de esta familia será consistente sii α + β = 1. Este es el caso
de los ejemplos anteriores.
Con el objeto de determinar el error de truncamiento (8.11) necesitaremos
calcular algunas derivadas de y. A fin de simplificar la notación, supongamos
que las funciones en el lado derecho de las siguientes expresiones están evaluadas
en (t n , y(t n )), de manera que
y ′ (t n ) = f,
y ′′ (t n ) = f t + f y f,
y ′′′ (t n ) = f tt + f ty f + (f ty + f yy f)f + f y (f t + f y f),
. . . . . .

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 173
Y usando el desarrollo de Taylor en dos variables, tenemos que
Ψ(t n , y(t n ), h) =
αf + β(f + µhf t + νhff y + 1 2 (µh)2 f tt + µνh 2 ff ty + 1 2 (νh)2 f 2 f yy + O(h 3 )).
Por lo que el error de truncamiento queda
ê n = y(t n + h) − y(t n )
h
− Ψ(t n , y(t n ), h)
= f + 1 2 h(f t + f y f) + 1 3! h2 (f tt + f ty f + (f ty + f yy f)f + f y (f t + f y f))
−[αf + β(f + µhf t + νhff y + 1 2 (µh)2 f tt + µνh 2 ff ty + 1 2 (νh)2 f 2 f yy )]
+O(h 3 ).
Como α + β = 1, (1 − α − β)f = 0, y como el término h[(1/2)(f t + f y f) −
βµf t − βνff y ] se anula para toda f tal que βµ = βν = 1/2, el método será
de segundo orden si ν = µ, β = 1/2µ y α = 1 − 1/2µ, con µ ≠ 0. De manera
que el error de truncamiento del método queda:
ê n = h 2 [( 1
6 − µ 4
)
( 1
(f tt +f yy f 2 )+
3 − µ )
ff ty + 1 ]
2 6 (f tf y +ffy 2 ) +O(h 3 ). (8.16)
Demostrando que en efecto existe una familia de métodos, dependiente de
un parámetro (µ ≠ 0), que es de segundo orden.
Observemos que en (8.16) no tenemos manera de escoger, para toda f, el
parámetro µ para que el método sea de tercer orden (ver el Ejercicio 4).
Ejercicio 4.
Corroborar la última observación anterior para el caso del PVI: y ′ = y,
y(0) = 1. ¿Cuál es el error de truncamiento? ¿Cómo depende de µ?
Ejercicio 5.
Para los métodos de Euler modificado y de Euler mejorado estimar sus respectivos
errores de truncamiento y verificar que son métodos de segundo
orden.

174
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Podemos realizar un análisis similar, aunque más complicado, para obtener
métodos de Runge-Kutta de orden mayor, como el método (8.5)-(8.9), el cual
se conoce como el método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden.
Ejercicio 6.
Para el mismo PVI del Ejercicio 2 y tamaños de paso, aplicar el métodos de
la regla del trapecio y el clásico de Runge-Kutta de cuarto orden. Graficar,
para cada h y en el mismo sistema coordenado, los resultados obtenidos junto
con el método utilizado en el Ejercicio 2. Graficar los errores en otro sistema
coordenado, indicando en el eje horizontal el número de puntos igualmente
espaciados (N = 1.6/h), en una escala logarítmica, y en el eje vertical ln |e N |.
Interpretar y comparar las gráficas que corresponden a cada uno de los tres
métodos.
8.2.2 Métodos multi-paso
Estos son los denominados métodos de k pasos, donde ahora y n+1 viene
expresada en términos de los k valores anteriores: y n , y n−1 , . . . , y n−k+1 (k ≥
2).
Si bien está claro que cuando aplicamos los métodos de Runge-Kutta
podemos alcanzar una mayor precisión, también es cierto que esto ocurre a
costa de llevar a cabo un mayor trabajo computacional, pues se requiere de
un número mayor de evaluaciones de f. Por otra parte, si consideramos, por
ejemplo, los tres nodos t n−1 , t n = t n−1 +h y t n+1 = t n−1 +2h, e integramos la
ecuación diferencial y ′ (t) = f(t, y(t)) entre t n−1 y t n+1 , entonces obtendremos
que y(t n+1 ) − y(t n−1 ) = ∫ t n+1
t n−1
f(t, y(t))dt. Si a continuación aplicamos el
método de Simpson (ver §7.2.1) para aproximar la integral del lado derecho,
conseguimos el método
y n+1 = y n−1 + h 3 [f(t n+1, y n+1 ) + 4f(t n , y n ) + f(t n−1 , y n−1 )], (8.17)
que tan sólo requiere de tres evaluaciones de la función f por paso.
Observemos también que para calcular y n+1 en (8.17) necesitamos de
los dos valores anteriores, y n−1 y y n , por lo que este método es diferente a
los métodos de un paso que tan sólo requieren del valor anterior, y n . Este

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 175
tipo de métodos se denomina métodos multi-paso lineales. Daremos a
continuación una definición más general.
Definición 8.4 Sea {t n } una sucesión de nodos igualmente espaciados con
tamaño de paso h. Entonces, el método
k∑
a j y n+j = h
j=0
k∑
b j f(t n+j , y n+j ), (8.18)
j=0
donde los coeficientes a j y b j (j = 0, 1, . . . , k) son constantes reales con a k
distinto de cero, se denomina método de k pasos lineal. Es mejor suponer
también que no se da el caso de que a 0 = b 0 = 0. Si b k = 0 decimos que el
método es explícito, y si b k ≠ 0 entonces decimos que es implícito.
Así, por ejemplo, (8.17) es un método de 2 pasos lineal implícito.
Observación:
• En la definición anterior decimos que el método (8.18) es “lineal”
porque sólo involucra combinaciones lineales de los y n+j y f(t n+j , y n+j ),
para j = 0, 1, . . . , k.
Ejemplos.
El método de Euler es un método de un paso lineal explícito. Asimismo, el
denominado método de Euler implícito
y n+1 = y n + f(t n+1 , y n+1 ),
es un método de un paso lineal implícito. El método de la regla del trapecio
es también un método de un paso lineal implícito.
El denominado método de Adams-Bashforth
y n+4 = y n+3 + h 24 (55f n+3 − 59f n+2 + 37f n+1 − 9f n ), (8.19)
en donde usamos la notación f k ≡ f(t k , y k ), es un método de 4 pasos lineal
explícito. El denominado método de Adams-Moulton
y n+3 = y n+2 + h 24 (9f n+3 + 19f n+2 − 5f n+1 − 9f n ) (8.20)
es un método de 3 pasos lineal implícito.

176
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Como ya hemos observado, partiendo de y(t n+1 ) = y(t n )+ ∫ t n+1
t n
f(t, y(t))dt,
podemos aproximar la integral usando una fórmula de cuadratura numérica,
para obtener una fórmula que genera, en cada paso, una solución aproximada
del problema 8.1. La expresión obtenida será de la forma:
y n+1 = y n + af n + bf n−1 + cf n−2 + . . . ,
la cual se denomina fórmula de Adams-Bashforth. A manera de ejemplo,
supongamos que deseamos aproximar, para los puntos t i = t 0 +ih (0 ≤ i ≤ n),
la integral anterior de la siguiente manera:
∫ tn+1
t n
f(t, y(t))dt ≈ h[Af n + Bf n−1 + Cf n−2 + Df n−3 + Ef n−4 ].
Determinaremos los coeficientes A, B, C, D y E de manera tal que esta
expresión sea exacta siempre que el integrando sea un polinomio de grado
≤ 4. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que t n = 0 y h = 1
(¿por qué?); claramente t n+1 = 1, t n−1 = −1, t n−2 = −2, t n−3 = −3 y
t n−4 = −4. Asimismo, podemos considerar convenientemente, como base de
P 4 , los polinomios p 0 (t) = 1, p 1 (t) = t, p 2 = t(t + 1), p 3 (t) = t(t + 1)(t + 2) y
p 4 = t(t + 1)(t + 2)(t + 3). Cuando los sustituímos en la ecuación
∫ 1
0
p n (t)dt = Ap n (0) + Bp n (−1) + Cp n (−2) + Dp n (−3) + Ep n (−4),
obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1 = A + B + C + D + E
1
2
5
6
9
4
= −B − 2C − 3D − 4E
= 2C + 6D + 12E
= −6D − 24E
251
30 = 24E,
que fácilmente resolvemos por sustitución hacia atrás, obteniendo la fórmula
y n+1 = y n +
h
720 [1901f n − 2774f n−1 + 2616f n−2 − 1274f n−3 + 251f n−4 ],
denominada método de Adams-Bashforth de quinto orden.

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 177
El procedimiento ilustrado es el método de los coeficientes indeterminados.
De manera similar podemos obtener métodos de orden superior.
A fin de mejorar la precisión, los métodos de Adams-Bashforth se suelen
aplicar conjuntamente con otros métodos. Supongamos ahora que usamos
un método de cuadratura numérica que incluya f n+1 , entonces ahora
y n+1 = y n + af n+1 + bf n + cf n−1 + . . .
Ejercicio 7.
Aplicar el método de los coeficientes indeterminados para deducir el siguiente
método:
y n+1 = y n +
h
720 [251f n+1 + 646f n − 264f n−1 + 106f n−2 − 19f n−3 ].
Se trata del método de Adams-Moulton de quinto orden.
Notemos que este método no se puede aplicar directamente para avanzar
en la solución, ya que y n+1 aparece a ambos lados de la ecuación. Sin embargo,
podemos usar el método de Adams-Bashforth de quinto orden anterior
para estimar un valor de y n+1 , el predictor yn+1, p para luego utilizarlo con el
método de Adams-Moulton de quinto orden para obtener un nuevo valor de
y n+1 , el corrector yn+1. c Este algoritmo se denomina el método predictorcorrector.
De manera que, en la expresión anterior para el método de
Adams-Moulton de quinto orden, f n+1 = f(t n+1 , yn+1).
p
Dado que tan sólo conocemos el valor inicial y 0 , podemos usar, por ejemplo,
el método de Runge-Kutta para obtener y 1 , y 2 , y 3 y y 4 . En general, se
utilizan conjuntamente métodos de un mismo orden 4 .
Como se desprende de (8.18), requerimos de k valores iniciales, y 0 , y 1 , . . .,
y k−1 , antes de aplicar el método de k pasos lineal al PVI (8.1). De ellos,
como acabamos de observar, y 0 está dado por la condición inicial, pero los
demás debemos estimarlos de alguna otra forma, por ejemplo, usando un
4 La precisión de una solución numérica de una ecuación diferencial está determinada por
el orden del método utilizado. El orden indica cuántos términos de una solución expresada
en serie de Taylor está utilizando el método. Por ejemplo, decimos que un método dado
es de cuarto orden porque produce de manera aproximada la misma precisión que la que
se obtiene al usar una serie de Taylor con los términos h, h 2 , h 3 y h 4 . De manera que en
cada paso de la solución en la que se aplica el método esperamos que el error sea O(h 5 ).
Más adelante precisaremos esta idea intuitiva de orden

178
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
método de un paso. En cualquier caso, los valores iniciales contendrán e-
rrores numéricos, por lo que es importante saber cómo este hecho afectará a
las siguientes aproximaciones y n ’s, para n ≥ k, que hemos calculado usando
(8.18). Por lo tanto, es relevante considerar aquí la “estabilidad” del método
numérico con respecto a “pequeñas perturbaciones” en las condiciones iniciales.
A continuación introduciremos los importantes conceptos de cero-estabilidad,
consistencia y convergencia para el caso de los métodos multipaso
lineales. Si alguna de estas tres condiciones no fuera satisfecha, entonces
la aplicación del método no sería de mucha utilidad.
Estabilidad
Definición 8.5 Diremos que un método de k pasos lineal, para la ecuación
y ′ = f(t, y), es cero-estable si existe una constante K tal que, para cualesquiera
dos sucesiones {y n } ∧ {z n } generadas por las mismas fórmulas, pero
con diferentes valores iniciales y 0 , y 1 , . . ., y k−1 ∧ z 0 , z 1 , . . ., z k−1 , tenemos
que, para t n ≤ T M ,
cuando h → 0.
|y n − z n | ≤ K max
0≤j≤k−1 {|y j − z j |}, (8.21)
Debido a lo tedioso que puede ser aplicar esta definición directamente,
formularemos un equivalente algebraico de la cero-estabilidad que esperamos
facilite esta tarea. Introduciremos primero alguna notación.
Asociados a los métodos de k pasos lineales (8.18), consideraremos los
denominados primer y segundo polinomios característicos
ϕ(z) =
k∑
a j z j y ψ(z) =
j=0
k∑
b j z j ,
j=0
respectivamente, donde a k ≠ 0 y a 2 0 + b 2 0 ≠ 0. También necesitaremos el
siguiente lema, el cual es un resultado clásico sobre relaciones de recurrencia.
Lema 8.1 Consideremos la siguiente relación de recurrencia lineal homogénea
de orden k:
a k y n+k + . . . + a 1 y n+1 + a 0 y n = 0, n = 0, 1, . . . , (8.22)

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 179
con a k ≠ 0, a 0 ≠ 0, a j ∈ R, j = 0, 1, . . . , k, y polinomio característico
asociado ϕ(z) = ∑ k
j=0 a jz j . Sea {z s : 1 ≤ s ≤ l ≤ k} el conjunto de las
raíces distintas del polinimio ϕ, y denotemos por m s la multipicidad de z s ,
con ∑ l
s=1 m s = k. Si una sucesión de números complejos {y n } satisface
(8.22), entonces y n = ∑ l
s=1 p s(n)zs n , ∀n ≥ 0, donde p s (·) es un polinomio en
n de grado m s − 1, 1 ≤ s ≤ l. En particular, si todas las raíces son simples,
entonces los p s , 1 ≤ s ≤ k, son constantes.
Demostración: Ver las referencias. ✷
Teorema 8.3 (Condición de la raíz) Para un PVI (8.1) que satisfaga las
condiciones del teorema de Picard, un método multipaso lineal es cero-estable
sii las raíces del primer polinomio característico del método están en el interior
del disco unitario cerrado en el plano complejo, y las raíces que caen en
el círculo unitario son simples.
Demostración: (⇒) Consideremos el método (8.18) aplicado al caso y ′ = 0:
a k y n+k + . . . + a 1 y n+1 + a 0 y n = 0. (8.23)
Según el Lema 8.1, toda solución de esta relación de recurrencia lineal es de
la forma y n = ∑ l
s=1 p s(n)zs n , donde z s es una raíz de multiplicidad m s del
primer polinomio característico ϕ del método, y el polinomio p s es de grado
m s − 1, 1 ≤ s ≤ l ≤ k. Claramente, si |z s | > 1 para algún s, entonces existen
valores iniciales y 0 , y 1 , . . . , y k−1 tales que la solución correspondiente crece
como lo hace |z s | n , y si |z s | = 1 y m s > 1, entonces existe una solución que
crece como n ms−1 . En cualquier caso, hay soluciones que crecen de manera
no acotada cuando n → ∞ (i.e., h → 0 con nh fijo). Considerando los valores
iniciales y 0 , y 1 , . . . , y k−1 que producen la solución no acotada {y n }, y los
valores iniciales z 0 = z 1 = . . . = z k−1 = 0 para los que la solución de (8.23)
correspondiente es {z n } con z n = 0 ∀n, vemos que (8.21) no se cumple.
(⇐) Queda como ejercicio, aunque también podemos consultar, por ejemplo,
la referencia [19, §6.3]. ✷
Notemos que el teorema anterior afirma que la condición de cero-estabilidad
puede ser determinada por simplemente considerar el comportamiento del
método cuando lo aplicamos al caso y ′ = 0 (i.e., f(t, y) ≡ 0). Por esta razón

180
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
es que a este concepto de estabilidad se le dió el nombre de “cero-estabilidad”.
Ejemplos.
Los métodos de Euler, de Euler implícito y el de la regla del trapecio tienen
como primer polinomio característico el polinomio ϕ(z) = z − 1, que tiene la
raíz simple z = 1; por lo que los tres métodos son cero-estables.
El método de Adams-Bashforth (8.19) tiene como primer polinomio característico
el polinomio ϕ(z) = z 4 −z 3 = z 3 (z −1), que tiene la raíz múltiple
z = 0 y la raíz simple z = 1; por lo tanto, el método es cero-estable. (¿Qué
podemos decir del método de Adams-Moulton (8.20)?)
Ejercicio 8.
Ver si los dos métodos siguientes de 3 pasos lineales son, o no son, ceroestables:
11y n+3 + 27y n+2 − 27y n+1 − 11y n = 3h(f n+3 + 9f n+2 + 9f n+1 + f n ),
Consistencia
y n+3 + y n+2 − y n+1 − y n = 2h(f n+2 + f n+1 ).
De manera similar a como hicimos en el caso de un paso, aquí también
consideraremos el error de truncamiento. Supongamos que y es una solución
del problema y ′ = f(t, y), definiremos el error de truncamiento de (8.18)
como
ê n =
∑ k
j=0 a jy(t n+j ) − h ∑ k
j=0 b jf(t n+j , y(t n+j ))
h ∑ k
j=0 b , con ψ(1) =
j
k∑
b j ≠ 0.
j=0
(8.24)
Definición 8.6 Diremos que el método (8.18) es consistente con la ecuación
y ′ = f(t, y) si el error de truncamiento (8.24) es tal que, para cualquier
ε > 0, existe un h ε > 0 para el cual |ê n | < ε para 0 < h < h ε , y cualesquiera
puntos (t n , y(t n )), . . . , (t n+k , y(t n+k )) en alguna curva solución en la región
R del PVI (8.1).
Si suponemos que la solución de la ecuación diferencial es lo suficientemente
suave, y si consideramos los desarrollos de Taylor de y(t n+j ) y y ′ (t n+j )

8.2. EDOS DE PRIMER ORDEN 181
alrededor del punto t n , entonces al sustituirlos en (8.24), obtendremos que
ê n = T 0y(t n ) + T 1 hy ′ (t n ) + T 2 h 2 y ′′ (t n ) + . . .
.
hψ(1)
donde T 0 = ∑ k
j=0 a j, T 1 = ∑ k
j=1 ja j− ∑ k
j=0 b j, T 2 = ∑ k
j=1 (j2 /2!)a j − ∑ k
j=1 jb j,
. . . , T m = ∑ k
j=1 (jm /m!)a j − ∑ k
j=1 (jm−1 /(m−1)!)b j , . . . Para alcanzar la consistencia,
necesitamos que cuando h → 0 y n → ∞, con t n → t ∈ [t 0 , t M ],
ê n → 0. Lo que significa, necesariamente, que T 0 = T 1 = 0. En términos de
los polinomios característicos, esto quiere decir que ϕ(1) = 0 y ϕ ′ (1) = ψ(1),
que es distinto de cero. Así, si un método multipaso lineal es consistente,
entonces tiene una raíz simple en el círculo unitario (en z = 1); notemos que
esto no viola la condición de la raíz.
Definición 8.7 Diremos que el método (8.18) tiene orden de precisión
r, si r es el entero positivo más grande tal que, para cualquier curva solución
(t, y(t)) en R lo suficientemente suave del PVI (8.1), existen constantes κ y
h 0 tales que, para cualesquiera k + 1 puntos (t n , y(t n )), . . . , (t n+k , y(t n+k ))
en la curva solución, |ê n | ≤ κh r para 0 < h ≤ h 0 .
De manera que el método es de orden de precisión r sii T 0 = T 1 = . . . =
T r = 0 y T r+1 ≠ 0, pues
ê n = T r+1
ψ(1) hr y (r+1) (t n ) + O(h r+1 )
Ejercicio 9. ([36])
Determinar los valores de w ≠ 0 para los cuales el método multi-paso lineal
y n+3 + (2w − 3)(y n+2 − y n+1 ) − y n = hw(f n+2 + f n+1 )
es cero-estable. ¿Cuál es el orden de precisión del método sin dejar de ser
cero-estable?
El siguiente resultado relaciona los conceptos de cero-estabilidad, consistencia
y convergencia de un método multi-paso lineal.
Teorema 8.4 (Teorema de Dahlquist) Para un método de k pasos lineal
consistente con la ecuación diferencial y ′ = f(t, y), donde f satisface

182
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
la condición de Lipschitz, para valores iniciales consistentes (i.e., y j = γ j ,
j = 0, 1, . . . , k − 1, que convergen a y 0 cuando h → 0), la cero-estabilidad es
una condición necesaria y suficiente para alcanzar convergencia. Más aún, si
la solución y ∈ C r+1 y el orden de truncamiento es O(h r ), entonces el error
e n = y(t n ) − y n es también O(h r ).
Demostración. Ver por ejemplo la referencia [19]. ✷
Observaciones:
• Según el teorema de Dahlquist, si un método multi-pasos lineal no
es cero-estable, su error e n no puede hacerse arbitrariamente pequeño
mediante la adopción de un h lo suficientemente pequeño para datos
iniciales suficientemente precisos. De hecho, si la condición de la raíz
se viola, entonces existe una solución para el método multi-pasos lineal
que crecerá por un factor arbitrariamente grande en un intervalo fijo
de t, sin importar qué tan precisas sean las condiciones iniciales.
• Un resultado relacionado, también de Dahlquist, impone una restricción
sobre el orden de precisión de un método de k pasos lineal cero-estable,
respecto a que no puede exceder k + 1 si k es impar, o k + 2 si k es par
[19]. Así, por ejemplo, el método de la regla del trapecio es cero-estable,
k = 1 y tiene orden 2.
Ejercicio 10.
A partir de la última observación anterior, investigar la cero-estabilidad y el
orden de precisión en los métodos multi-paso lineales siguientes:
y n+2 − y n = h 3 (f n+2 + 4f n+1 + f n ),
11y n+3 + 27y n+2 − 27y n+1 − 11y n = 3h(f n+3 + 9f n+2 + 9f n+1 + f n ).
8.3 Sistemas de ecuaciones y EDOs de orden
mayor
Consideremos aquí algunos métodos numéricos para aproximar la solución
de un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma
y ′ j = f j (t, y 1 , . . . , y m ), j = 1, 2, . . . , m,

8.3. SISTEMAS Y EDOS DE ORDEN MAYOR 183
el cual también se puede expresar como y ′ = f(t, y), donde y es una función
vectorial con m entradas que depende de t y f es una función vectorial con
m entradas que depende de t y y. Ahora bien, para que en este contexto
podamos hablar también de la existencia de una única solución necesitaremos
considerar m condiciones complementarias. Supongamos pues, que contamos
con estas condiciones y que están evaluadas en un mismo valor de t, digamos
t 0 , y que son de la forma y j (t 0 ) = y j,0 para j = 1, 2, . . . , m (donde los y j,0
están dados); o bien, usando notación vectorial, las condiciones están dadas
por y(t 0 ) = y 0 . Denominamos a este problema un problema de valores
iniciales (PVI) para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Los métodos numéricos que hasta ahora hemos considerado los podemos
aplicar, sin mayores cambios, al caso de un sistema de ecuaciones diferenciales
5 . Así, por ejemplo, el método de Runge-Kutta (8.2)-(8.4) queda
k 1 = h f(t n , y n )
k 2 = h f(t n + h, y n + k 1 )
y n+1 = y n + k 1 + k 2
.
2
Resulta claro que debemos evaluar todos los elementos del vector k 1 antes de
continuar con el seguiente paso para calcular k 2 , y luego proceder con y n+1 .
Una de la diferencias más importantes, respecto al caso de una sóla ecuación
diferencial, tiene que ver con la aplicación de un método multi-paso
implícito cuando buscamos determinar y n+1 . Un método de este tipo suele
requerir del uso de un método iterativo para estimar la solución de un sistema
de ecuaciones que, en general, es no lineal. Como en muchos problemas
prácticos es normal tratar con sistemas que involucran cientos de ecuaciones
diferenciales, es muy importante que nos aseguremos de que la ventaja que
pensamos podemos obtener por la aplicación del método implícito justifique
realmente el trabajo adicional en cada paso del proceso.
Cuando trabajamos con sistemas de ecuaciones diferenciales, extendemos
el análisis que realizamos para el caso de una ecuación, pero usando, cada
vez que sea necesario, la notación vectorial y reemplazando el valor absoluto
de un número por la norma de un vector en R m . Asimismo, el teorema de
Picard para el caso de una ecuación diferencial, lo podemos extender al caso
de un sistema de m ecuaciones diferenciales al reemplazar la notación del
valor absoluto por la vectorial en R m .
5 Sabiendo, claro está, que ahora estamos trabajando con vectores.

184
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Para finalizar esta sección, hacemos la observación de que una ecuación
diferencial de orden superior puede expresarse como un sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden. Consideremos, por ejemplo, el problema de
valores iniciales 6
..
x(t)
x (t) = −
, x(0) = 0.4, ẋ (0) = 0,
(x(t) 2 + y(t) 2 )
3/2
..
y(t)
y (t) = −
(x(t) 2 + y(t) 2 ) , y(0) = 0, ẏ (0) = 2,
3/2
que son las ecuaciones de Newton del movimiento para el problema de dos
cuerpos. Como t ∈ [0, 2π], (x(t), y(t)) define una elipse. Podemos definir
u 1 (t) = x(t), u 2 (t) = ẋ (t), u 3(t) = y(t), u 4 (t) = ẏ (t). De manera que ahora
el problema de valores iniciales anterior queda expresado como el siguiente
sistema de ecuaciones de primer orden:
.
u 1 (t) = u 2 (t) , u 1 (0) = 0.4
.
u 1 (t)
u 2 (t) = −
(u 1 (t) 2 +u 3
,
(t) 2 ) 3/2 u 2 (0) = 0
.
u 3 (t) = u 4 (t) , u 3 (0) = 0
.
u 3 (t)
u 4 (t) = −
(u 1 (t) 2 +u 3
, u
(t) 2 ) 3/2 4 (0) = 2
8.4 Estabilidad y ecuaciones de stiff
Uno de los conceptos más importantes del cómputo científico es el de estabilidad.
Éste tiende a tener significados un tanto diferentes dependiendo del
contexto en que se aplique. Por supuesto que aquí sólo discutiremos algunos
aspectos de la estabilidad respecto a la solución numérica de EDOs.
Consideremos, por ejemplo, el PVI siguiente:
y ′′ − 10y ′ − 11y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = −1, (8.25)
cuya solución exacta es y(t) = e −t (¿por qué?). Supongamos ahora que
perturbamos por una pequeña cantidad ε la primera condición inicial, de
manera que y(0) = 1 + ε. La solución con esta nueva condición será
(
y(t) = 1 + 11 )
12 ε e −t + ε
12 e11t
6 Tomado de [30].

8.4. ESTABILIDAD Y ECUACIONES DE STIFF 185
(¿por qué?). Observemos que, para cualquier ε > 0, sin importar qué tan
pequeño sea, cuando t → ∞ la solución tiende a infinito. En este caso podemos
decir que la solución y(t) = e −t del problema (8.25) es inestable, puesto
que cambios, arbitrariamente pequeños en las condiciones iniciales, pueden
producir, cuando t → ∞, cambios arbitrariamente grandes en la solución 7 .
Por lo tanto, resulta muy difícil obtener una solución numérica satisfactoria
porque los errores de redondeo y discretización producirán el mismo efecto
que el cambio de las condiciones iniciales, y la solución aproximada tenderá
a diverger a infinito.
Ejercicio 11.
Expresar el problema (8.25) como un sistema de ecuaciones de primer orden
equivalente e intentar resolverlo numéricamente por alguno de los métodos
vistos y discutir los resultados obtenidos.
En el caso no lineal se suele presentar una mayor inestabilidad.
ejemplo, consideremos el PVI siguiente:
y ′ = ty(y − 2), y(0) = y 0 ,
cuya solución es
Por
y(t) =
2y 0
y 0 + (2 − y 0 )e t2
(¿por qué?)
Observemos que si y(0) = 2 la solución exacta es y(t) = 2, la cual será
inestable. En efecto, si y 0 < 2, entonces y(t) → 0 cuando t → ∞, pero si
y 0 > 2, la solución crece, pero tiene una singularidad cuando y 0 +(2−y 0 )e t2 =
0.
Los dos ejemplos anteriores muestran inestabilidades en las soluciones
de la ecuación diferencial misma. Consideremos ahora inestabilidades en el
método numérico. Por ejemplo, analicemos el método siguiente:
y n+1 = y n−1 + 2hf n , (8.26)
el cual es un método de 2 pasos y de segundo orden (¿por qué?). Apliquemos
este método al problema
y ′ = −2y + 1, y(0) = 1, (8.27)
7 En la jerga del análisis numérico, también podemos decir que este problema está mal
condicionado.

186
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
cuya solución exacta es y(t) = (1/2)e −2t + (1/2). Si ahora consideramos la
condición inicial perturbada y(0) = 1 + ε, obtendremos la solución y(t) =
(ε + 1/2)e −2t + (1/2), cuya diferencia con la primera solución es el término
εe −2t . Por lo que podemos concluir que la solución es estable. Ahora, al
aplicar el método (8.26) al PVI (8.27), obtenemos
y n+1 = y n−1 + 2h(−2y n + 1) = −4hy n + y n−1 + 2h, y 0 = 1. (8.28)
Como (8.26) es un método de dos pasos, también necesitaremos de un valor
para y 1 . Escogeremos el valor de y 1 como la solución exacta evaluada en
t = h, i.e. y 1 = (1/2)e −2h + (1/2).
Para analizar el comportamiento de la sucesión {y n } generada por (8.28)
es mejor considerar la ecuación como una ecuación en diferencias.
————————————
Una ecuación en diferencias lineal de orden m con coeficientes constantes es de la forma
y n+1 = α m y n + . . . + α 1 y n−m+1 + α 0 , n = m − 1, m, m + 1, . . . , (8.29)
donde α 0 , α 1 , . . . , α m son constantes dadas. La parte homogénea de (8.29) está dada por
y n+1 = α m y n + . . . + α 1 y n−m+1 .
Trataremos ahora de buscar una solución para esta ecuación. Para ello consideremos una
solución de la forma y k = λ k , para una constante desconocida λ. Éste será el caso si
λ satisface la denominada ecuación característica: λ m − α m λ m−1 − . . . − α 1 = 0. Si
suponemos que las m raíces de esta ecuación, digamos λ 1 , . . . , λ m , son distintas, entonces
sus soluciones fundamentales son λ k 1, λ k 2, . . . , λ k m, y la solución general es
m∑
y k = d i λ k i , k = 0, 1, . . . ,
i=1
donde los d i ’s son constantes arbitrarias. Observemos que una solución particular de (8.29)
está dada por
α 0
y k =
,
1 − α 1 − . . . − α m
siempre que el denominador sea distinto de cero. De manera que la solución general de
(8.29) será
m∑
y k = d i λ k α 0
i +
, k = 0, 1, . . . . (8.30)
1 − α 1 − . . . − α m
i=1
Determinamos las constantes arbitrarias cuando consideramos m condiciones adicionales,
digamos y 0 , y 1 , . . . , y m−1 . Luego, para obtener una solución de (8.29) debemos resolver el
SEL m × m
m∑
d i λ k α 0
i +
= y k , k = 0, 1, . . . , m − 1,
1 − α 1 − . . . − α m
i=1

8.4. ESTABILIDAD Y ECUACIONES DE STIFF 187
a fin de hallar los d i ’s.
————————————
Si aplicamos esta teoría a la ecuación en diferencias
y n+1 = −4hy n + y n−1 + 2h, y 0 = 1, y 1 = 1 2 e−2h + 1 2 . (8.31)
(i.e., (8.28) con las dos condiciones adicionales consideradas). La correspondiente
ecuación característica es λ 2 + 4hλ − 1 = 0, cuyas raíces son
λ 1 = −2h + √ 1 + 4h 2 y λ 2 = −2h − √ 1 + 4h 2 . En este caso, el SEL es
de donde
d 1 + d 2 + 1 2 = 1, d 1λ 1 + d 2 λ 2 + 1 2 = 1 2 e−2h + 1 2 ,
d 1 = 1 4 + y 1 − (1/2) + h
2 √ 1 + 4h 2 , d 2 = 1 4 − y 1 − (1/2) + h
2 √ 1 + 4h 2 .
Así que la solución de (8.31) es
y n = d 1
(
− 2h +
√
1 + 4h
2 ) n
+ d2
(
− 2h −
√
1 + 4h
2 ) n
+
1
2 .
De la solución anterior, observamos que, para cualquier tamaño de paso
h > 0,
0 < −2h + √ 1 + 4h 2 < 1 y 2h + √ 1 + 4h 2 > 1.
Así, cuando n → ∞, el primer término de la solución de (8.31) tiende a
0 y el segundo a ∞, de una manera oscilatoria. Como la solución exacta
de la ecuación diferencial (8.27) tiende a 1/2 cuando t → ∞, el error de la
solución aproximada {y n } diverge a ∞, por lo que el método (8.28) aplicado
al problema (8.27) es inestable.
En muchas referencias prefieren usar el término estabilidad en lugar de
cero-estabilidad como fue introducido en la Definición 8.5. De manera que
en virtud del Teorema 8.3, el método multi-paso lineal es estable sii las raíces
λ i del polinomio
ρ(λ) ≡ λ m − a m λ m−1 − . . . − a 1 , (8.32)

188
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
satisfacen que |λ i | ≤ 1, además, cualquier raíz para la cual |λ i | = 1 será
simple. También, algunos autores, usan el término fuertemente estable
cuando m − 1 raíces satisfacen que |λ i | < 1. Como cualquier método que sea
al menos de primer orden de precisión debe satisfacer que ∑ m
i=1 a i = 1 (¿por
qué?), 1 es una raíz de (8.32). Por lo que, en este caso, un método fuertemente
estable tendrá una raíz igual a 1 y el resto de las raíces tendrán valor
absoluto < 1. Para el caso de los métodos de Runge-Kutta ρ(λ) = λ − 1, por
lo que λ = 1 es la única raíz de (8.32) y este tipo de método siempre es fuertemente
estable. Para un método de m pasos para el cual ρ(λ) = λ m − λ m−1
tenemos m − 1 raíces iguales a cero, por lo que este tipo de método también
es fuertemente estable.
Ejercicio 12.
¿Cuál es el polinomio ρ(λ) en el caso del método (8.26)? ¿Es este método estable?
¿Es fuertemente estable? ¿Cómo justificar la afirmación que hicimos
más arriba respecto a que “el método (8.28) aplicado al problema (8.27) es
inestable”? Explicar 8 .
En muchos casos, métodos fuertemente estables pueden presentar un comportamiento
de inestabilidad si h es grande. Aunque, en teoría, podemos
tomar h lo suficientemente pequeño para superar esta dificultad, puede ocurrir
que el tiempo de cómputo sea prohibitivo. Este es el caso cuando tratamos
con las denominadas ecuaciones diferenciales del tipo stiff.
Ecuaciones tipo stiff
En un sistema de EDOs de esta clase se presenta una importante diferencia
entre las escalas temporales de las componentes del vector solución. Muchos
algoritmos numéricos que en general trabajan bien, cuando los usamos
para tratar ecuaciones de stiff, muestran un desempeño poco satisfactorio.
En estos casos, solamente alcanzamos la estabilidad de la solución numérica
cuando la longitud de paso es lo suficientemente pequeña. Si bien, este
fenómeno suele presentarse para el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales,
consideraremos primero un sencillo ejemplo con una sola ecuación.
8 Aquí, la teoría de estabilidad se reduce a la estabilidad en el límite cuando h → 0. Este
ejemplo muestra lo que puede ocurrir cuando h es arbitrariamente pequeño y el método
es estable pero no fuertemente estable.

8.4. ESTABILIDAD Y ECUACIONES DE STIFF 189
Consideremos pues el siguiente PVI
y ′ = −100y + 100, y(0) = y 0 , (8.33)
cuya solución exacta es y(t) = (y 0 − 1)e −100t + 1. Observemos que si sustituimos
y 0 por y 0 + ε, entonces el término εe −100t se añade a la solución, por
lo que podemos concluir que la solución es estable. Ahora bien, si aplicamos
el método de Euler al PVI (8.33), obtenemos
y n+1 = y n + h(−100y n + 100) = (1 − 100h)y n + 100h,
i.e. una ecuación en diferencias de primer orden, cuya solución exacta es
y n = (y 0 − 1)(1 − 100h) n + 1 (¿por qué?). Observemos que las ecuaciones
diferencial y en diferencias tienen la misma solución particular y p = 1.
Ahora, si por ejemplo y 0 = 2, las dos soluciones exactas anteriores serían
(a) y(t) = e −100t + 1 y (b) y n = (1 − 100h) n + 1, (8.34)
respectivamente.
Está claro que a partir de y 0 = 2, y(t) decrece muy rápidamente hasta
alcanzar el valor límite de 1 (e.g., y(0.1) ≈ 1 + 5 × 10 −5 ), y que más allá
de t = 0.1 la solución varía muy poco y es casi igual a 1. En cuanto al
tamaño del paso h, notemos que si h > 0.02 en la solución (8.34)(b), entonces
|1 − 100h| > 1 y los valores aproximados y n crecen rápidamente,
mostrando un comportamiento inestable. Como (1 − 100h) n resulta ser una
buena aproximación a e −100t cuando h es lo suficientemente pequeño, y una
mala cuando h > 0.02, entonces, a pesar de que este término exponencial
contribuya muy poco con la solución para t > 0.1, el método de Euler necesita
que aproximemos la solución con suficiente precisión, de lo contrario
perderemos la estabilidad.
Aunque este es tan sólo un ejemplo, en términos generales: cuando la
solución contiene un componente que aporta muy poco a la misma, los métodos
numéricos tradicionales necesitan que la solución se aproxime de una manera
precisa a fin de conservar la estabilidad.
Una estrategia recomendada para abordar un problema con ecuaciones
de stiff es la de considerar un método implícito.
Ejercicio 13.
Encontrar la solución de la ecuación en diferencias y n+1 = αy n + β como

190
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
una función de y 0 . Usar este resultado para demostrar que la solución de la
ecuación en diferencias obtenida por aplicar el método de Euler implícito al
PVI (8.33) es y n = (y 0 − 1)(1 + 100h) −n + 1. En particular, si y 0 = 2, ¿qué
podemos decir de la estabilidad respecto al tamaño del paso h?
Si la ecuación diferencial de nuestro problema no fuera lineal, el método
implícito que usemos podría requerir, en cada paso, de la resolución de una
ecuación no lineal para y n+1 . Asimismo, en general, para un sistema de ecuaciones
diferenciales se podría necesitar resolver, en cada paso, un sistema de
ecuaciones, lineales o no lineales, dependiendo de cómo sean las ecuaciones
diferenciales involucradas. Esto es costoso desde el punto de vista numérico,
sin embargo, el manejo eficiente de las ecuaciones de stiff requiere usar un
método numérico que incluya alguna condición de tipo implícito.
Ejercicio 14.
Repetir el análisis realizado para el PVI (8.33) para el caso del PVI:
y ′ = λy, y(0) = y 0 , donde λ es una constante.
Consideremos ahora el PVI para el sistema de ecuaciones diferenciales
siguiente:
y ′ = Ay, y(0) = y 0 , (8.35)
donde A es una matriz de orden m con elementos constantes. A fin de
simplificar la exposición supondremos que los autovalores de A son distintos,
por lo que existe una matriz no singular P tal que P AP −1 = Λ es una matriz
diagonal. Así que el problema dado es equivalente al sistema
z ′ = Λz, z(0) = z 0 ,
donde z ≡ P y y z 0 = P y 0 . De manera que el sistema se reduce a un
conjunto de m ecuaciones independientes, cuyas soluciones son z j = z 0j e λ jt ,
j = 1, . . . , m, donde los λ j s son los elementos de la diagonal de la matriz
Λ y también los autovalores de A. Claramente, si todos los autovalores son
reales y negativos, entonces lim t→∞ ∥z(t)∥ = 0, y como ∥y(t)∥ = ∥P −1 z(t)∥ ≤
∥P −1 ∥ ∥z(t)∥, también lim t→∞ ∥y(t)∥ = 0, donde ∥·∥ es una norma cualquiera
en R m y la norma sobre P −1 es la norma matricial subordinada.

8.4. ESTABILIDAD Y ECUACIONES DE STIFF 191
Observemos que al aplicar el método de Euler al sistema propuesto obtendremos
y n+1 = (I + hA)y n (¿por qué?), de donde sigue que
z n+1 = P y n+1 = P (I + hA)y n = P (I + hA)P −1 z n = (I + hΛ)z n ,
donde Λ es la matriz diagonal con los autovalores de A en su diagonal. Si
todos los autovalores de A son reales y negativos, entonces para asegurar que
lim n→∞ ∥y n ∥ = 0, para un valor fijo de h > 0, requerimos para el método de
Euler que h|λ j | < 2, j = 1, 2, . . . , m (ver el Ejercicio 15(b)).
En el caso de que apliquemos el método de Euler implícito al PVI (8.35),
y n+1 = (I − hA) −1 y n (¿por qué?), por lo que
z n+1 = P (I − hA) −1 P −1 z n = (P (I − hA)P −1 ) −1 z n = (I − hΛ) −1 z n .
Así que para encontrar z n+1 basta considerar el sistema (I − hΛ)z n+1 = z n ,
el cual es muy fácil de resolver pues la matriz I − hΛ es diagonal.
Ejercicio 15.
(a) Para el PVI (8.35), en el caso de que usemos el método de Euler
implícito, ¿necesitaremos la condición de que h|λ j | < 2, j = 1, 2, . . . , m?
(b) Consideremos el sistema (8.35), donde
( )
−8003 1999
A =
23988 −6004
( 1
y y(0) =
4
)
.
Ver que lim t→∞ ∥y(t)∥ = 0. Aplicar los métodos de Euler y de Euler
implícito para resolver numéricamente el sistema con 12 pasos y tamaño
de paso h = 0.004. Construir una tabla con las cuatro columnas: t,
la primer componente de la solución, el resultado de aplicar el método
de Euler implícito, y el resultado de aplicar el método de Euler. ¿Qué
podemos concluir de los resultados de la tabla? ¿Qué podemos decir
acerca de los valores de h|λ j |, j = 1, 2? ¿Cómo debe ser el tamaño del
paso para que ambos métodos alcancen la misma precisión?
Una parte transitoria de la solución, la cual viene desde hace tiempo
decayendo, evita el incremento en el tamaño del paso y limita el rango de la
variable independiente para el que una solución numérica puede ser estimada.

192
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
La mayoría de los problemas prácticos no son lineales, y para tales problemas
es difícil definir de manera precisa el concepto de stiff, si bien una
estrategia a seguir podría ser la de reemplazar el problema por una aproximación
lineal. Sin embargo, para el caso del sistema con coeficientes constantes
y ′ = Ay podemos dar la siguiente definición.
Definición 8.8 Diremos que el sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes
constantes, y ′ = Ay, es de stiff si todos los autovalores de A tienen
partes reales negativas, y si el cociente de la parte real más grande entre la
más pequeña es grande.
Las dificultades numéricas encontradas en el Ejercicio 15(b) se deben, sin
duda, al tamaño relativo de λ 2 respecto al tamaño del autovalor λ 1 (¡verificar!).
8.5 Experimentación numérica adicional
Ejercicio 1. Usando un software de cómputo científico, implementar los
métodos de Runge-Kutta de órdenes uno, dos y cuatro, con paso de tamaño
fijo. Consideremos, por ejemplo, resolver numéricamente el siguiente PVI:
y ′ (t) = 3y(t) + e 2t , y(0) = 3,
en el intervalo [0, 3] (la solución analítica es y = 4e 3t − e 2t ).
solución.
Graficar la
Ejercicio 2.
Aplicar el método de Runge-Kutta para resolver numéricamente el siguiente
problema de valores iniciales:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y ′′ (x) + xy(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1,
y(0) = 3 −2/3 Γ(1/3) ≈ 1.2878993169,
y ′ (0) = −3 −1/3 Γ(2/3) ≈ −0.9388929401,
donde Γ es la función Gamma, la cual se define por Γ(s) = ∫ ∞
t s−1 e −t dt,
0
con s real > 0. Las soluciones de la ecuacion y ′′ (x) + xy = 1 se llaman

8.5.
EXPERIMENTACIÓN NUMÉRICA ADICIONAL 193
funciones generalizadas de Airy 9 de orden 0. A fin de comprobar el resultado,
la respuesta en la red de puntos t = 0, 0.1, 0.2, . . . , 0.9, 1.0, es:
0 1.28789931690000
0.10000000000000 1.19880295408549
0.20000000000000 1.11852115068333
0.30000000000000 1.04601372670662
0.40000000000000 0.98037804300430
0.50000000000000 0.92082923969703
0.60000000000000 0.86668350462695
0.70000000000000 0.81734388182298
0.80000000000000 0.77228821288660
0.90000000000000 0.73105887250618
1.00000000000000 0.69325401561206
Obtener también la gráfica de la solución aproximada (así como la de su
derivada).
Ejercicio 3. (Movimiento cerca de los puntos de Langrange)
Consideremos dos grandes masas esféricas M 1 y M 2 , con M 1 > M 2 . En la
ausencia de otras fuerzas, estos cuerpos se moverán en órbitas elípticas alrededor
de su centro de masa común (como en el caso de la Tierra y la Luna).
Bajo la influencia gravitacional de los dos cuerpos grandes, consideremos
9 Las soluciones de la versión homogénea: y ′′ + xy = 0, conocidas como funciones
de Airy, aparecen de un modo natural en muchos problemas de la Física-Matemática;
por ejemplo, en la teoría de difracción de ondas de radio alrededor de la superficie
terrestre; en el diseño de cáscaras toroidales delgadas, sometidas a la acción de presiones
internas y fuerzas radiales distribuidas; en el estudio de la deformación, tanto de
columnas sujetas a fuerzas longitudinales, como en placas delgadas en las cuales actúan
además de fuerzas transversales, fuerzas centrífugas internas. Cuando se estudia la aproximación
WKM (Wentzel - Kramers - Brillouin), para resolver determinados problemas de
la mecánica cuántica, se usa un método de aproximación, en el cual aparece la ecuación
uno-dimensional de Schrödinger,
d 2 y
dx 2 + 2m (E − V (x))y = 0
h2 (con E > V , E − V = m 2 V 2 , y V la velocidad clásica), la cual, después de cierto análisis,
toma la forma
d 2 y
− zy = 0,
dz2 que es una ecuación de Airy (para más detalles ver [12]).

194
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
el movimiento de un tercer cuerpo, como una nave espacial (con una masa
insignificante en comparación con M 1 y M 2 ). Se producen entonces cinco
puntos de equilibrio para el movimiento del cuerpo pequeño con relación a
los dos cuerpos grandes. Tres de los mismos (encontrados por Euler) están
sobre la línea que une los dos cuerpos grandes. Los otros dos (encontrados
por Lagrange) son los denominados puntos de Lagrange. Cada uno de ellos
forma un triángulo equilátero en el plano de movimiento con las posiciones
de los dos cuerpos grandes. Y estamos interesados en el movimiento de la
nave cuando pasa cerca de un punto de Lagrange.
A fin de simplificar nuestro análisis, supondremos que los dos cuerpos
grandes se mueven en círculos (por lo que mantienen una distancia constante
entre sí). Tomaremos como el origen del sistema de coordenadas el centro de
masa y supondremos que el eje x siempre contiene a los dos cuerpos grandes.
La distancia entre los cuerpos grandes será la unidad de distancia, y la suma
de las dos masas será la unidad de masa (M 1 +M 2 = 1). Por último, la unidad
de tiempo será tal que una órbita completa tome 2π unidades (en nuestro
caso, 1 año ≡ 2π unidades, lo que equivale a tomar la constante gravitacional
igual a 1). Con todas estas suposiciones, el parámetro fundamental es la masa
relativa del más pequeño de los dos cuerpos: µ = M 2
M 1 +M 2
= M 2 . Entonces, la
posición de M 1 es (−µ, 0) y la de M 2 es (1 − µ, 0). La posición del punto de
Lagrange será ((1 − 2µ)/2, √ 3/2). Si (x, y) es la posición de la nave espacial,
entonces las distancias a M 1 y M 2 son:
r 2 1 = (x + µ) 2 + y 2 ,
r 2 2 = (x − 1 + µ) 2 + y 2 .
Por último, las ecuaciones de Newton del movimiento aplicadas a este caso
son:
..
x −2 ẏ (1 − µ)(x + µ)
−x = − −
r1
3
..
− µ)y
y +2 ẋ −y = −(1
r1
3
− µy .
r2
3
µ(x − 1 + µ)
, (8.36)
r2
3
Encuentre el sistema de cuatro ecuaciones de primer orden equivalente al
sistema (8.36) (ver Ejemplo de §6.2). Si los dos cuerpos son la Tierra y
la Luna, µ = 0.0122, x = (1 − 2µ)/2 + ξ y y = √ 3/2 + η. Así, (ξ, η)
es la posición de la nave relativa al punto de Lagrange. Comenzando con
condiciones iniciales menores que 1/100 unidades de distancia del punto de

8.5.
EXPERIMENTACIÓN NUMÉRICA ADICIONAL 195
Lagrange, calcular la solución. Para cada solución calculada, obtener la
gráfica de η vs. ξ para observar el movimiento relativo al punto de Lagrange.
Graficar además y vs. x, que incluya las posiciones de M 1 y M 2 , a fin de
obtener una visión global del movimiento. (Nota: Tomado del texto de
Polking y Arnold, 1999 [33])

196
CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE VALORES INICIALES

Capítulo 9
Problemas con valores en la
frontera para EDOs
En muchos problemas prácticos requerimos determinar una solución para
un sistema de ecuaciones diferenciales en un intervalo finito dado, con s
condiciones complementarias conocidas en uno de los extremos del intervalo
y m − s condiciones en el otro extremo. A un problema, con este tipo de
condiciones, lo denominaremos un problema con valores en la frontera
(PVF). Los métodos numéricos que abordan esta clase de problemas son
diferentes a los considerados para los PVIs. Más precisamente, requerimos la
solución en un intervalo [a, b], con algunas condiciones dadas en a, y el resto
en b, sin embargo pueden darse situaciones más complicado, que involucran
tres o más puntos.
Proponemos pues el caso de un problema con valores en la frontera en
dos puntos para una ecuación diferencial de segundo orden. Nos referimos al
problema
y ′′ = f(t, y, y ′ ), t ∈ (a, b), con las condiciones y(a) = α, y(b) = β, (9.1)
donde α y β son números reales dados.
Ejemplo.
y ′′ = −y, y(0) = 3, y(π/2) = 7. (9.2)
La solución general de la ecuación diferencial es y(t) = C 1 sen t + C 2 cos t.
Hallamos las constantes C 1 y C 2 tales que se satisfagan las condiciones de
frontera. Así, C 1 = 7 y C 2 = 3. De manera que la solución de (9.2) es
197

198
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
y(t) = 7 sen t + 3 cos t.
El procedimiento que seguimos en el ejemplo anterior deja de ser práctico
cuando no conocemos la solución general de la ecuación diferencial (9.1).
De allí la necesidad de contar con métodos numéricos adecuados que nos
permitan abordar este tipo de problema.
Consideremos ahora el siguiente problema de apariencia similar al anterior:
y ′′ = −y, y(0) = 3, y(π) = 7. (9.3)
Si imponemos las condiciones de frontera a la solución general, obtenemos
la contradicción de que C 2 = 7 y C 2 = −7. Por lo que el problema (9.3)
no tiene solución. El asunto de la existencia de soluciones de (9.1) tiende a
ser más complicado que para el caso de los PVIs. Mostremos a continuación
otro ejemplo.
Ejemplo. ([34, §12.1])
Consideremos el PVF siguiente
−y ′′ (t) = f(t), t ∈ (0, 1), y(0) = y(1) = 0. (9.4)
Del TFC sigue que si y ∈ C 2 [0, 1] y satisface la ecuación diferencial −y ′′ (t) =
f(t), entonces
y(t) = −
∫ t
0
F (s)ds + C 1 t + C 2 ,
donde C 1 y C 2 son constantes abitrarias y F (s) = ∫ s
f(t)dt. Integrando por
0
partes tenemos que
∫ t
∫ F (s)ds = sF (s) ∣ t t
∫ t
− sF ′ (s)ds = (t − s)f(s)ds.
0
0
0
Ahora, es claro que de las condiciones de frontera sigue que C 2 = 0 y C 1 =
(1 − s)f(s)ds. De manera que la solución de (9.4) se puede expresar como
∫ 1
0
o bien,
y(t) =
∫ 1
0
y(t) = t
∫ 1
0
(1 − s)f(s)ds −
G(t, s)f(s)ds, donde G(t, s) =
∫ t
0
0
(t − s)f(s)ds,
{ s(1 − t) si s ∈ [0, t],
t(1 − s) si s ∈ [t, 1],
(9.5)

199
para cualquier t fijo. La función G se denomina función de Green para el
PVF (9.4). Ésta es una función lineal a trozos de s para t fijo, y viceversa
(¡verificar!). Además, la función G es continua, simétrica 1 , nula en los puntos
extremos del intervalo [0, 1], no negativa y ∫ 1
G(t, s)ds = t(1−t)/2. Por esta
0
razón podemos concluir que para toda f ∈ C[0, 1] existe una única solución
y ∈ C 2 [0, 1] del PVF (9.4) que tiene la representación (9.5).
Ejercicio 1.
(a) Demostrar que si f ∈ C[0, 1] la solución de (9.4), dada por (9.5), tiene
las propiedades de monotonicidad y del principio del máximo 2 .
(b) Demostrar que y(t) = −t ln(t) si f(t) = 1/t en (9.4). Esto muestra que
y ∈ C 2 (0, 1), pero y(0) no está definida y además y ′ , y ′′ no existen en
t = 0 (lo que implica que si f ∈ C(0, 1), pero no a C[0, 1], entonces
y /∈ C[0, 1]).
El siguiente teorema nos dice algo más.
Teorema 9.1 El PVF
Ly ≡ y ′′ = f(t, y) y(0) = 0, y(1) = 0, (9.6)
tiene solución única si f y es continua, no negativa y acotada en el conjunto
F = {(t, y) ∈ R 2 : t ∈ [0, 1], y ∈ R}.
Demostración: La demostración se desarrolla siguiendo un procedimiento
similar, aunque más elaborado, al mostrado en el ejemplo anterior, donde se
parte de la equivalencia entre una ecuación integral definida en términos de
una función de Green para el operador L y el PVF (9.6). Para los detalles
ver la referencia [28, §4.1]. ✷
1 Esto es, G(t, s) = G(s, t) ∀t, s ∈ [0, 1].
2 La primera propiedad dice que si f ∈ C[0, 1] es una función no negativa, entonces y
también lo es. La segunda establece que si f ∈ C[0, 1], entonces ∥y∥ ∞ ≤ 1 8 ∥f∥ ∞, donde
∥y∥ ∞ = max t∈[0,1] |y(t)| es la norma del máximo.

200
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
Ejercicio 2.
Aplicar el teorema anterior para demostrar que el PVF en dos puntos
tiene una solución única.
y ′′ = (5y + sen 3y)e t y(0) = y(1) = 0
Consideremos ahora el problema más general:
Ejercicio 3.
y ′′ (t) = f(t, y) y(a) = α, y(b) = β, (9.7)
(a) Realizar el cambio de variable adecuado para que los problemas (9.7)
y
x ′′ (s) = (b − a) 2 f(a + (b − a)s, x(s)), x(0) = α, x(1) = β, (9.8)
sean equivalentes. Es decir, demostrar que si x es una solución de
(9.8), entonces la función y, definida por y(t) = x((t − a)/(b − a))
(a ≤ t ≤ b), es una solución de (9.7), y si y es una solución de (9.7),
entonces la función x, definida por x(s) = y(a + (b − a)s) (0 ≤ s ≤ 1),
es una solución de (9.8).
(b) Demostrar que los siguientes PVFs
{ { y ′′ (t) = sen(ty) + y 2 , x ′′ (t) = 16{sen[(4s + 1)x] + x 2 },
y(1) = 3, y(5) = 7, x(0) = 3, x(1) = 7,
son equivalentes.
Ejercicio 4.
(a) Demostrar que los siguientes PVFs
{ { y ′′ (t) = f(t, y),
z ′′ (t) = f(t, z + α + (β − α)t),
y(0) = α, y(1) = β, z(0) = 0, z(1) = 0,
son equivalentes.
(b) Demostrar que el PVF
{ y ′′ (t) = [5y − 10t + 35 + sen(3y − 6t + 21)]e t ,
y(0) = −7, y(1) = −5,
tiene una solución única.

9.1.
MÉTODO DEL DISPARO 201
9.1 Método del disparo
El método del disparo reemplaza un problema con valores en la frontera en
dos puntos por una sucesión de problemas de valores iniciales cuyas soluciones
convergen a la solución del problema dado. De manera que la estrategia a
seguir para abordar el PVF (9.1) es la de proponer un valor inicial y ′ (a) tal
que el PVI asociado nos permita obtener una solución aproximada con la expectativa
de que y(b) = β. Si este no fuera el caso, proponemos de nuevo otro
valor para y ′ (a) y repetimos el proceso, el cual, por cierto, denominaremos
de disparo. Estudiemos algunas estrategias para hacer esto.
Supongamos pues que el PVI asociado es
y ′′
γ = f(t, y γ , y ′ γ), y γ (a) = α, y ′ γ(a) = γ, (9.9)
donde γ denota el valor propuesto para y ′ (a). Si denotamos por y γ la solución
de este problema, claramente, nuestro objetivo es el de escoger γ de manera
que y γ (b) = β. Ahora bien, si consideramos la función ϕ, definida por
ϕ(γ) ≡ y γ (b) − β, (9.10)
nuestro objetivo será entonces el de resolver para γ la ecuación, en general,
no lineal ϕ(γ) = 0. Por lo que necesitamos de algún método numérico adicional
para resover esta ecuación (e.g., un método tipo secante). El costo
computacional involucrado será alto, ya que cada valor de ϕ(γ) lo obtenemos
al resolver numéricamente un PVI.
Supogamos que tenemos dos valores de ϕ, digamos ϕ(γ 1 ) y ϕ(γ 2 ), y que
que ϕ es una función lineal. Entonces,
( )
ϕ(γ2 ) − ϕ(γ 1 )
ϕ(γ) = ϕ(γ 2 ) +
(γ − γ 2 ).
γ 2 − γ 1
Si escogemos γ 3 tal que ϕ(γ 3 ) = 0 (i.e., el punto de corte con el eje de las
abscisas), entonces
( )
γ2 − γ 1
γ 3 = γ 2 −
ϕ(γ 2 ).
ϕ(γ 2 ) − ϕ(γ 1 )
Podemos aplicar este mismo procedimiento a fin de obtener la sucesión
{γ i } ∞ i=1 a partir de
( )
γn − γ n−1
γ n+1 = γ n −
ϕ(γ n ) (n ≥ 1),
ϕ(γ n ) − ϕ(γ n−1 )

202
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
que constituye el conocido método de la secante para ecuaciones no lineales
(ver §4.5). Una estrategia adicional consiste en que después de que
hayamos obtenido algunos valores de γ para los que ϕ(γ) ≈ 0, detengamos
el proceso y apliquemos interpolación polinomial a fin de obtener una mejor
estimación ([29, §8.8]); sin embargo, el éxito de esta estrategia depende de
que la función inversa de ϕ sea diferenciable en una vecindad de la raíz y de
que ésta sea simple.
Por supuesto que también podemos aplicar aquí el método de Newton
para ecuaciones no lineales (§4.4):
γ n+1 = γ n − ϕ(γ n)
, n = 0, 1, . . . (9.11)
ϕ ′ (γ n )
Ejercicio 5.
A partir de derivar parcialmente respecto a γ las ecuaciones en (9.9), demostrar
que obtenemos el PVI
µ ′′ = f yγ (t, y γ , y ′ γ)µ + f y ′ γ
(t, y γ , y ′ γ)µ ′ , µ(a) = 0, µ ′ (a) = 1, (9.12)
donde µ = ∂y γ /∂γ. Al resolverlo, podemos determinar µ(b) = ∂y γ (b)/∂γ =
ϕ ′ (γ), lo que nos permitirá aplicar el método de Newton para hallar una raíz
de ϕ.
Si γ 0 es una primera aproximación lo suficientemente buena, la sucesión
{γ n } convergerá a la raíz de (9.10) que buscamos. Si hacemos γ = γ 0 los dos
PVIs (9.9) y (9.12) se pueden resolver por alguno de los métodos, el que más
convenga, de los estudiados en el capítulo anterior. Del PVI (9.9) obtenemos
y γ0 y de (9.10), ϕ(γ 0 ), mientras que de la solución del PVI (9.12) obtenemos
ϕ ′ (γ 0 ). De manera que, de (9.11), obtenemos un nuevo estimado γ 1 , y el
proceso se repite.
Ejercicio 6.
Escribir un algoritmo para el método del disparo usando el método de Newton.
Resolver numéricamente el PVF
y ′′ = −y + 2(y ′ ) 2 y −1 , t ∈ (−1, 1), y(−1) = y(1) = (e + e −1 ) −1 .
La solución de este problema es y(t) = (e t + e −t ) −1 . Plantear y resolver
numéricamente el PVI (9.9) para el método del disparo (cuya solución denotaremos
por yγ) ∗ y el PVI (9.12) usando el método de Runge-Kutta de

9.1.
MÉTODO DEL DISPARO 203
segundo orden, con tamaño de paso h = 2/N y valores de N = 4, 8, 16, 32 y
64. Usar como iterado inicial para el método de Newton γ 0 = 0.2 y como criterio
de parada la condición |γ n+1 − γ n | < 10 −10 . Tabular los resultados con
columnas para N, γ ∗ −γ r y E N ≡ max 0≤i≤N |y(t i )−yγ ∗ r(t i)|, donde γ ∗ denota
la raíz que buscamos, γ r es la raíz de la ecuación ϕ(γ) = yγ ∗ −(e+e −1 ) −1 = 0,
los t i son los nodos usados en la resolución del PVI y yγ ∗ es la solución del
r
PVI cuando γ = γ r .
El método del disparo puede ser, computacionalmente hablando, muy
costoso. Sin embargo, en el caso de que la ecuación diferencial sea lineal el
método de la secante proporciona la solución en un paso. En este caso el
PVF en dos puntos será de la forma:
y ′′ (t) = p(t)y ′ (t) + q(t)y(t) + r(t) y(a) = α, y(b) = β, (9.13)
donde asumimos que las funciones p, q y r son continuas en [a, b]. Supongamos
también que hemos resuelto los PVIs:
y
y ′′
γ 1
(t) = p(t)y ′ γ 1
(t) + q(t)y γ1 (t) + r(t), y γ1 (a) = α, y ′ γ 1
(a) = γ 1 ,
y ′′
γ 2
(t) = p(t)y ′ γ 2
(t) + q(t)y γ2 (t) + r(t), y γ2 (a) = α, y ′ γ 2
(a) = γ 2 .
Observemos que la combinación lineal de y γ1
y y γ2
y(t) = λy γ1 (t) + (1 − λ)y γ2 (t), (9.14)
con λ ∈ R, es una solución de la ecuación diferencial y satisface la condición
y(a) = α. Escojamos pues λ tal que y(b) = β. Esto es,
De donde,
β = λy γ1 (b) + (1 − λ)y γ2 (b).
λ =
β − y γ 2
(b)
y γ1 (b) − y γ2 (b) . (9.15)
Si usamos un software de cómputo científico para resolver numéricamente
el problema (9.13), podemos tomar γ 1 = 0 y γ 2 = 1 en los dos PVIs anteriores,
y para obtener y γ1 y y γ2 de manera simultánea, podemos transformar estos

204
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
problemas de segundo orden en un solo sistema de primer orden. En efecto,
si definimos y 0 = t, y 3 = y γ ′ 1
, y 4 = y γ ′ 2
, obtendremos el siguiente sistema de
ecuaciones de valores iniciales:
⎧
y 0 ′ = 1 y 0 (a) = a,
⎪⎨ y γ ′ 1
= y 3 y γ1 (a) = α,
y γ ′ 2
= y 4 y γ2 (a) = α,
y 3 ⎪⎩
′ = f(y 0 , y γ1 , y 3 ) y 3 (a) = 0,
y 4 ′ = f(y 0 , y γ2 , y 4 ) y 4 (a) = 1.
A continuación, calculando λ mediante (9.15), obtenemos la solución y en
cada valor de t usando (9.14).
Ejercicio 7.
Aplicar el método del disparo para resolver numéricamente el PVF siguiente:
y ′′ = −(t + 1)y ′ + (cos t)y + e t y(0) = 1, y(1) = 3.
Utilizar el método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden con h = 0.01.
Notemos que la solución del problema (9.1) no lineal no se puede expresar
como una combinación lineal de las soluciones de dos problemas con valores
iniciales como lo acabamos de hacer.
Ejercicio 8.
Demostrar que si resolvemos un PVF lineal en dos puntos con el método
de Newton para ϕ, y calculamos ϕ ′ usando (9.12), el resultado debe ser el
mismo que el que obtuvimos usando las ecuaciones (9.14) y (9.15).
Los métodos de disparo se pueden aplicar a problemas más generales
que (9.1) [28]. Una importante dificultad con el método del disparo es que el
PVI asociado pueda presentar situaciones de inestabilidad, debido por ejemplo
a curvas solución que divergen en parte del dominio; un hecho que crea
una dificultad adicional para dar en el blanco deseado 3 . Una posible solución
a este problema está dada por la aplicación del denominado método del disparo
múltiple, en el cual el intervalo [a, b] se divide en subintervalos y se
3 I.e., El PVI generado por el método del disparo es con frecuencia inestable, en el
sentido de ser muy sensible a perturbaciones en las condiciones iniciales.

9.2.
MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS 205
aplica el método del disparo en cada uno de ellos. Se requiere además de la
continuidad de y y y ′ en los puntos internos del intervalo original, extremos
de los subintervalos, lo que nos proporciona las condiciones de frontera necesarias
para los subproblemas individuales. El sistema de ecuaciones que de
ello resulta se puede resolver numéricamente usando, por ejemplo, el método
de Newton. Otra dificultad, derivada de usar el método de Newton, consiste
en que no tenemos una estrategia general para escoger una estimación inicial
γ 0 para la iteración de Newton, y con una mala elección, la iteración puede
no converger.
9.2 Método de las diferencias finitas
Otra estrategia para abordar numéricamente un PVF en dos puntos consiste
en la discretización del intervalo de definición de t, para luego aplicar fórmulas
que estiman de manera aproximada las derivadas. Por ejemplo,
y
y ′′ (t) =
y ′ (t) =
y(t + h) − y(t − h)
2h
− 1 6 h2 y ′′′ (ξ)
y(t + h) − 2y(t) + y(t − h)
h 2 − 1
12 h2 y (4) (ζ)
(ver §7.1).
Consideremos nuevamente el problema (9.1) y definamos una partición
del intervalo [a, b] mediante el uso de los puntos t 0 , t 1 , . . . , t n , t n+1 ∈ [a, b], no
necesariamente igualmente espaciados, de manera que a = t 0 < t 1 < . . . <
t n < t n+1 = b. Suponemos pues que t i = a + ih, i = 0, 1, . . . , n + 1, y
h = (b − a)/(n + 1). Así, la discretización de (9.1) es
⎧
⎨
⎩
y i+1 −2y i +y i−1
h 2
y 0 = α, y n+1 = β,
= f ( t i , y i , y i+1−y i−1
)
2h , i = 1, . . . , n,
(9.16)
el cual representa un sistema de orden n con y 1 , y 2 , . . . , y n como incógnitas.
Si f depende de y i de una manera no lineal, entonces las ecuaciones serán
no lineales y más difíciles de resolver. Si f es lineal en y y y ′ , entonces f es
de la forma f(t, y, y ′ ) = p(t)y ′ (t) + q(t)y(t) + r(t). De manera que el sistema

206
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
anterior será ahora un sistema lineal de la forma
⎧
⎨ a i y i−1 + d i y i + c i y i+1 = b i , i = 1, . . . , n,
⎩
y 0 = α, y n+1 = β,
donde a i = −1 − 1hp 2 i+1, d i = 2 + h 2 q i , c i = −1 + 1hp 2 i, b i = −h 2 r i , p i = p(t i ),
q i = q(t i ) y r i = r(t i ), para i = 1, 2, . . . , n (¡verificar!). En notación matricial
tenemos el sistema tridiagonal 4 siguiente:
⎛
⎞ ⎛
d 1 c 1 0 . . . 0 0
a 1 d 2 c 2 0 . .
. 0 .. . .. . .. . .. .
.
⎜ . .. . .. . .. . .. 0
⎟
⎝ . . . . 0 a n−2 d n−1 c n−1
⎠ ⎜
⎝
0 . . . . . . 0 a n−1 d n
Observaciones:
y 1
y 2
.
.
.
y n−1
y n
⎞
⎛
=
⎟ ⎜
⎠ ⎝
b 1 − a 1 α
b 2
.
.
.
b n−1
b n − c n β
• Si h es lo suficientemente pequeño, los q i > 0 y | 1 2 hp i| < 1 (1 ≤ i ≤ n),
entonces |d i | > |1 + 1 2 hp i| + |1 − 1 2 hp i| = 2. Por lo que la matriz del
sistema anterior es diagonal dominante y no singular.
• Si p, q y r ∈ C[a, b] y q > 0, el PVF (9.1) con f lineal en y y y ′ , tiene
solución única ([28, Cor. Th. 1.2.2]).
Para el caso lineal, demostraremos el siguiente resultado de convergencia.
Teorema 9.2 Si y ∈ C 4 [a, b], para i = 1, 2, . . . , n, |e i | = |y(t i ) − y i | converge
a 0 cuando h → 0.
Demostración: Como para i = 1, 2, . . . , n,
y(t i−1 ) − 2y(t i ) + y(t i+1 )
h 2 − 1
12 h2 y (4) (ζ i ) = r i + q i y(t i )
+ p i
[ y(ti+1 ) − y(t i−1 )
2h
⎞
⎟
⎠
− 1 ]
6 h2 y ′′′ (ξ i ) .
4 Por lo que podemos resolver el sistema usando, por ejemplo, un algoritmo de eliminación
gaussiana que aproveche la estructura particular de la matriz.

9.2.
MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS 207
y
y i−1 − 2y i + y
[
i+1
yi+1 − y
]
i−1
= r
h 2
i + q i y i + p i ,
2h
obtendremos, de sustraer la segunda ecuación de la primera, que
e i−1 − 2e i + e i+1
h 2
[ ei+1 − e
]
i−1
= q i e i + p i + h 2 u i ,
2h
donde u i = 1
12 h2 y (4) (ζ i ) − 1 6 h2 y ′′′ (ξ i ). Agrupando términos encontramos que
a i−1 e i−1 + d i e i + c i e i+1 = −h 4 u i
(¡verificar!).
De esta expresión sigue que |d i ||e i | ≤ |a i−1 ||e i−1 | + |c i ||e i+1 | + h 4 |u i |. Sea
∥e∥ ∞ = max i=1,...,n |e i |. De manera que ∥e∥ ∞ (|d i | − |c i | − |a i−1 |) ≤ h 4 ∥u∥ ∞ ,
donde
∥u∥ ∞ = max
i=1,...,n |u i| ≤ ∥y(4) ∥ ∞
12
+ ∥y′′′ ∥ ∞
.
6
De donde sigue, para h lo suficientemente pequeño, que h 2 q i ∥e∥ ∞ ≤ h 4 ∥u∥ ∞
(¿por qué?). Así,
[
]
∥e∥ ∞ ≤ h 2 ∥u∥ ∞
.
inf t∈[a,b] q(t)
Por lo tanto, ∥e∥ ∞ es O(h 2 ) cuando h → 0 como queríamos ver. ✷
Ejercicio 9.
Aplicar el método de las diferencias finitas con h = 1/2 para resolver el PVF
en dos puntos
Calcular y 1 ≈ y(1/2).
y ′′ (t) = −2y ′ (t) − 10t y(0) = 1, y(1) = 2.
Ejercicio 10.
Escribir un algoritmo para resolver numéricamente PVFs lineales en dos puntos
usando el método de las diferencias finitas. Usar el algoritmo con n = 10
y h = 0.1 para estimar la solución del PVF
y ′′ (t) = −2t −1 y ′ (t) + 2t −2 y(t) + t −2 sen(ln t), t ∈ (1, 2), y(1) = 1, y(2) = 2.

208
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
Comparar los resultados con los obtenidos al aplicar el método del disparo
al mismo problema, así como con la solución exacta
y(t) = −(1/10) cos(ln t) − (3/10) sen(ln t) + C 2 t −2 + C 1 t,
donde C 1 = (1/70)(−4 cos(ln 2) − 12sen(ln 2) + 8) y C 1 = (11/10) − C 2 .
Ejercicio 11.
Resolver numéricamente el PVF del Ejercicio 6 usando el método de las diferencias
finitas (9.16). Aquí E N ≡ max 0≤i≤N |y(t i ) − y N (t i )|, donde y N (t i ) es
la solución de (9.16) que obtenemos al resolver el sistema no lineal asociado.
Resolver este sistema no lineal usando el método de Newton, con valor inicial
(e + e −1 ) −1 . En cada iteración de Newton estimar el máximo, respecto a i =
1, 2, . . . , N, de la magnitud de la diferencia entre dos iteraciones consecutivas
del método. Terminar las iteraciones de Newton cuando este valor sea menor
o igual a 10 −10 . Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 6.
9.3 Métodos de proyecciones
Hacemos aquí una adaptación, con algunos cambios, de las referencias [22]
y [29]. En este capítulo buscaremos aproximar la solución de una ecuación
diferencial mediante una combinación lineal finita de funciones conocidas.
Estas funciones se suelen denominar funciones base y tienen la propiedad
de que son relativamente simples: polinomios, funciones trigonométricas y
splines. La idea fundamental consiste en considerar la solución como un
elemento de un espacio funcional apropiado de dimensión infinita, y buscamos
obtener una solución aproximada en un subespacio de dimensión finita
definido por las funciones base. La proyección de la solución sobre el subespacio
de dimensión finita es la solución aproximada. Esta estrategia da
lugar a una familia de métodos, algunos de los cuales se conocen como el
método de colocación, el método de Galerkin, el método de Rayleigh-Ritz y
el método de los elementos finitos.
Consideremos un operador diferencial lineal L y busquemos resolver la
ecuación
Ly = f, (9.17)
donde suponemos que f se conoce, pero y no. Comenzamos por escoger un
conjunto de funciones base {ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n }, y queremos resolver (9.17) con

9.3.
MÉTODOS DE PROYECCIONES 209
un elemento de la forma y = ∑ n
j=1 c jϕ j . Como L es lineal,
Ly =
n∑
c j Lϕ j = f.
j=1
Necesitamos especificar en qué sentido y(t) = ∑ n
j=1 c jϕ j (t) es una solución
aproximada; es decir, ¿cuál es el criterio que usaremos para determinar los coeficientes
c j en esta combinación lineal? Existen algunas posibles estrategias;
veremos aquí dos de ellas.
9.3.1 Método de colocación
En el método de colocación y, f y ϕ j son funciones con el mismo dominio.
En particular, en n puntos dados t i (i = 1, 2, . . . , n),
n∑
c j (Lϕ j )(t i ) = f(t i ), (9.18)
j=1
el cual es un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas (los c j ).
Si las funciones ϕ j y los puntos t i son tales que la matriz del sistema es
no singular, entonces podemos calcular de manera única los coeficientes c j
(j = 1, 2, . . . , n).
Ejemplo.
Consideremos el siguiente PVF de Sturm-Liouville:
y ′′ + py ′ + qy = f, y(0) = y(1) = 0,
donde las funciones conocidas p, q y f ∈ C[0.1]. En este caso,
Ly ≡ y ′′ + py ′ + qy,
y buscamos una solución en el espacio vectorial
V = {y ∈ C 2 [0, 1] : y(0) = y(1) = 0}.
De manera que si escogemos las funciones base en V, claramente, las condiciones
homogéneas en la frontera se satisfacen. Un tal conjunto de funciones
puede ser aquél cuyos elementos son de la forma ϕ jk (t) = t j (1−t) k (j, k ≥ 1).

210
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
En este caso, es fácil obtener las funciones Lϕ jk . De manera que si escogemos
n funciones de este conjunto y n puntos t i ∈ [0, 1], podemos resolver el
sistema de colocación (9.18) y obtener una solución aproximada de (9.17).
Ejercicio 12.
Aplicar el método de colocación al PVF
y ′′ (t) + t 2 y(t) = t 3 , t ∈ [0, 1] y(0) = y(1) = 0,
cuando las funciones base son, para j = 1, 2, . . . , n,
(i) ϕ j (t) = senjπt, y (ii) ϕ j (t) = t j (1 − t),
donde n = 3 y t i = i/3, i = 1, 2, 3.
La matriz del sistema (9.18) será, en general, densa. Por lo que deberíamos
escoger las funciones base de manera tal que la matriz de coeficientes
del sistema (9.18) tenga una estructura de banda, con una banda
lo más estrecha posible. Intentaremos pues que la matriz de coeficientes sea
tridiagonal. Si suponemos que las funciones p y q no tienen propiedades especiales,
debemos esperar que los ϕ j en (9.18) sean tales que ϕ ′′
j (t i ) = ϕ ′ j(t i ) =
ϕ j (t i ) = 0, para |i − j| > 1. En este sentido, las funciones base apropiadas
a escoger serán los B-splines. En la sección § 6.4.2 definimos las funciones
splines (Definición 6.2) y tratamos brevemente los denominados B-splines.
Consideremos el PVF
Ly ≡ y ′′ + py ′ + qy = f y(a) = α, y(b) = β, (9.19)
Como necesitamos que las funciones base pertenezcan a C 2 [a, b], nos basta
considerar B-splines cúbicos Bi 3 , con nodos t i igualmente espaciados como
puntos de colocación y h = t i+1 − t i . Si n es el número de funciones base a
utilizar, debemos hallar n coeficientes a partir de n condiciones. Dos de las
mismas corresponden a las condiciones de frontera. Éstas son:
n∑
c j ϕ j (a) = α
j=1
y
n∑
c j ϕ j (b) = β.
j=1

9.3.
MÉTODOS DE PROYECCIONES 211
Figura 9.1: Método de colocación usando B-splines cúbicos.
Por lo que restan n − 2 condiciones de colocación:
n∑
c j (Lϕ j )(t i ) = f(t i ), para i = 1, . . . , n − 2.
j=1
Así que t i = a + (i − 1)h (i ∈ Z), donde h = (b − a)/(n − 3). Los nodos de
colocación en [a, b] son a = t 1 , t 2 , . . ., t n−2 = b. Debemos tomar algunos nodos
fuera del intervalo [a, b] pues necesitamos considerar B-splines Bj 3 adicionales
(¿por qué?). Éstos son aquellos que no son iguales a cero en el intervalo
[a, b]: B−2, 3 B−1, 3 B0, 3 B1, 3 . . ., Bn−3. 3 (ver la Figura 9.1). Por lo tanto,
para j = 1, 2, . . . , n, definimos ϕ j = Bj−3. 3 Aprovechando el hecho de que
los nodos son igualmente espaciados, podemos definir, convenientemente, un
sólo B-spline, que llamaremos B 3 , para obtener las funcione ϕ j . Éste es:
⎧
⎪⎨
B 3 (t) =
⎪⎩
(t+2) 3
6
si t ∈ [−2, −1]
1+3(t+1)+3(t+1) 2 −3(t+1) 3
6
si t ∈ [−1, 0]
1+3(1−t)+3(1−t) 2 −3(1−t) 3
6
si t ∈ [0, 1]
(2−t) 3
6
si t ∈ [1, 2]
0 de lo contrario.
De donde,
ϕ j (t) = B 3 ( t − a
h − j + 2 )
Ejercicio 13.
Verificar la igualdad (9.20) y que B 3 es en efecto un B-spline cúbico.
(9.20)

212
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
Ejercicio 14.
Escribir un algoritmo que use el método de colocación para resolver el problema
(9.19), con nodos igualmente espaciados en [a, b]. Construir una tabla
con la solución aproximada y = ∑ n
j=1 c jϕ j y el residual Ly − f evaluados en
los puntos medios entre puntos de colocación consecutivos y en los puntos
de colocación mismos. Usar un software de cómputo científico para resolver
numéricamente el PVF
y ′′ + (sent)y ′ + (t 2 + 2)y = e t−3 , y(2.6) = 7, y(5.1) = −3.
Usar B-splines cúbicos, donde los puntos de colocación son los mismos nodos
en [a, b].
Se puede demostrar que si y es lo suficientemente diferenciable, el método
de colocación, usando como funciones base los B-splines cúbicos, tiene un
error de discretización O(h 2 ), el cual es el mismo que para el método de
las diferencias finitas estudiado en la sección § 9.2. Sin embargo, podemos
obtener una precisión mayor cuando usamos splines de mayor grado.
9.3.2 Método de Galerkin
El método de Galerkin se basa en el concepto de ortogonalidad de funciones
5 . Mostraremos la idea general del método a través del PVF lineal más
simple:
y ′′ (t) + q(t)y(t) = f(t), t ∈ [0, 1] y(0) = y(1) = 0. (9.21)
Necesitaremos la función residual para y(t), la cual definimos por
r(t) = y ′′ (t) + q(t)y(t) − f(t), t ∈ [0, 1].
Por supuesto que si y fuera la solución exacta de (9.21), entonces r ≡ 0,
y el residual sería entonces ortogonal a toda función, y en particular sería
ortogonal al conjunto de funciones base. Claramente, y no puede ser la
solución exacta, ya que hemos supuesto que y es una combinación lineal de
las funciones base. La estrategia de Galerkin consiste en escoger y tal que
5 Recordemos que dos funciones integrables f y g son ortogonales en el intervalo [0, 1]
si ∫ 1
f(t)g(t)dt = 0.
0

9.3.
MÉTODOS DE PROYECCIONES 213
su residual sea ortogonal a las funciones base ϕ 1 , ϕ 2 , . . ., ϕ n . Esto es, para
i = 1, 2, . . . , n,
∫ 1
0
[y ′′ (t) + q(t)y(t) − f(t)]ϕ i (t)dt = 0.
Si sustituimos y(t) = ∑ n
j=1 c jϕ j (t) en la expresión anterior, obtenemos
n∑
∫ 1
∫ 1
c j [ϕ ′′
j (t) + q(t)ϕ j (t)]ϕ i (t)dt = f(t)ϕ i (t)dt, i = 1, 2, . . . , n,
j=1
0
el cual constituye un sistema de ecuaciones lineales, el cual podemos resolver
para los coeficientes c 1 , c 2 , . . . , c n .
Observemos que al integrar por partes la primera integral del lado izquierdo
de la expresión anterior, obtenemos
∫ 1
∫
ϕ ′′
j (t)ϕ i (t)dt = ϕ ′ j(t)ϕ i (t) ∣ 1 1
∫ 1
− ϕ ′ j(t)ϕ ′ i(t)dt = − ϕ ′ j(t)ϕ ′ i(t)dt
0
0
(¿por qué?). Así, el sistema anterior se puede expresar como:
n∑
∫ 1
c j [q(t)ϕ j (t)ϕ i (t) − ϕ ′ j(t)ϕ ′ i(t)]dt =
j=1
0
0
0
∫ 1
0
0
f(t)ϕ i (t)dt, i = 1, 2, . . . , n.
Ejercicio 15.
Repetir el Ejercicio 12, pero ahora usando el método de Galerkin.
(9.22)
Ejercicio 16.
Escribir un algoritmo de propósito general que use el método de Galerkin
para resolver el problema (9.21). Probar el algoritmo usando un software de
cómputo científico para resolver numéricamente el PVF del Ejercicio 12.
Ejercicio 17.
Usar para el problema (9.21) las funciones base ϕ i = Bi 1 (i = 1, 2, . . . , n), con
la red de nodos igualmente espaciados t i = ih, i = 0, 1, . . ., n + 1, y t n+1 = 1,
las cuales definimos por
⎧
⎪⎨
ϕ i (t) =
⎪⎩
0 si t < t i−1 o t > t i+1
t−t i−1
h
si t ∈ [t i−1 , t i )
t i+1 −t
h
si t ∈ [t i , t i+1 )

214
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
Integrar sobre cada subintervalo para calcular los elementos del sistema (9.22),
percatándose de que las entradas de la matriz de coeficientes del sistema son
iguales a cero si |i − j| > 1. Expresar en forma matricial (mostrando los
elementos de las matrices involucradas) el sistema de ecuaciones obtenido
cuando q ≡ 0.
Si la solución de (9.21) es lo suficientemente diferenciable, se puede demostrar
que el método de Galerkin, usando B-splines lineales, tiene un error
del orden de O(h 2 ). Y si hubiéramos usado B-splines cúbicos, el orden de
precisión sería de O(h 4 ).
Comparación entre los métodos de las diferencias finitas, colocación
y Galerkin:
• Cuando aplicamos el método de las diferencias finitas (§9.2) obtenemos
una aproximación a la solución de la ecuación diferencial en una red de
puntos, mientras que en los métodos de colocación y Galerkin obtenemos
los coeficientes de la representación y = ∑ n
j=1 c jϕ j de la solución
aproximada, donde el valor de la solución aproximada en cualquier
punto t ′ en el intervalo se obtiene de la evaluación y(t ′ ) = ∑ n
j=1 c jϕ j (t ′ ).
Si bien, en el método de las diferencias finitas no necesitamos realizar
un trabajo adicional para obtener la solución aproximada en la red
de puntos, la misma está definida, solamente, en esos puntos, y para
obtener una aproximación en otros puntos del intervalo necesitaríamos
llevar a cabo un proceso de interpolación. En cambio, los métodos de
colocación y Galerkin, permiten obtener una solución aproximada en
todo el intervalo.
• Recordemos que el SEL para el método de las diferencias finitas se obtuvo
fácilmente y que la matriz de coeficientes es tridiagonal, por lo que
el sistema se puede resolver de una manera relativamente eficiente, con
un número de operaciones aritméticas de ≈ n. Sin embargo, en el caso
de los métodos de colocación y Galerkin, la matriz de coeficientes será,
por lo general, densa. Lo cual implica que además de que necesitamos
evaluar los n 2 elementos de la matriz, también el tiempo de cómputo
será proporcional a n 3 . Por esta razón es que resulta más conveniente
usar como funciones base, ϕ j , los B-splines cúbicos, los cuales, como

9.3.
MÉTODOS DE PROYECCIONES 215
hemos visto, son iguales a cero excepto en un subintervalo alrededor de
t j , de manera que la matriz de coeficientes será tridiagonal.
• El método de Galerkin requiere de la evaluación de integrales para
poder construir el sistema de ecuaciones como en (9.22), el cual, en
general, requerirá de la aplicación de algún método de cuadratura
numérica o de integración simbólica.
• Los tres métodos anteriores tienen versiones de orden mayor, por la
que no hay una clara ventaja de un método respecto a los otros. Dado
un problema particular, habría que realizar un análisis para ver cuál
de los métodos pudiera ser el más conveniente utilizar. Sin embargo,
para el caso de PVFs, los dos primeros métodos son probablemente los
más fáciles de aplicar. El método de Galerkin tendrá mayor relevancia
en el caso de que consideremos problemas que involucren ecuaciones
diferenciales parciales.
Apéndice de §9.3
Recordemos primero que una función spline es un polinomio a trozos bajo
ciertas condiciones de continuidad.
Definición 9.1 Dados n + 1 puntos t 0 , t 1 , . . . , t n tales que a = t 0 < t 1 <
. . . < t n = b y un entero r ≥ 0, una función spline de grado r con nodos
t 0 , t 1 , . . . , t n es una función S que satisface las dos propiedades siguientes:
(i) En cada subintervalo [t i−1 , t i ), S es un polinomio, S i−1 , de grado ≤ r.
(ii) S ∈ C r−1 [a, b].
B-splines
A partir de los denominados B-splines podemos obtener, mediante combinaciones
lineales apropiadas, los demás splines, permitiéndonos definir bases
para determinados espacios de funciones splines. Estas funciones muestran,
en la práctica, un eficiente comportamiento numérico.
Consideremos un conjunto de nodos t i ∈ R tales que
. . . < t −2 < t −1 < t 0 < t 1 < t 2 < . . .
Denotemos por Bi
k los B-splines de grado k, con i ∈ Z. Así, por ejemplo,
{ 1 si
Bi 0 ti ≤ x < t
(x) =
i+1
0 de lo contrario

216
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
son los B-splines de grado 0, y definen la sucesión {B 0 i } i∈Z con las siguientes
propiedades:
(i) El soporte de B 0 i es el intervalo [t i , t i+1 ).
(ii) B 0 i (x) ≥ 0 ∀i, x.
(iii) B 0 i es continua por la derecha en todo R.
(iv) ∑ ∞
i=−∞ B0 i (x) = 1 ∀x (i.e., para una x ∈ R cualquiera, si x ∈ [t j .t j+1 ),
entonces ∑ ∞
i=−∞ B0 i (x) = Bj 0 (x) = 1).
Observaciones:
• Los B-splines son una base 6 para el conjunto de los splines de grado
0, si suponemos que estos están definidos en los nodos dados y son
continuos por la derecha. En efecto, si S es un spline de grado 0,
entonces S(x) = c i si x ∈ [t i , t i+1 ). Luego, S(x) = ∑ ∞
i=−∞ c iB 0 i (x).
• Las funciones B 0 i son el punto de partida para poder definir de manera
recursiva los B-splines de orden superior. Esto es
B k i
= Vi k B k−1
i + (1 − Vi+1)B k k−1
i+1 , (9.23)
x−t i
donde Vi k (x) =
t i+k −t i
. Como Vi k es una función lineal y Bi 0 es un
polinomio a trozos de grado 0, entonces Bi
1 es un polinomio a trozos
de grado ≤ 1. En general, Bi k es un polinomio a trozos de grado ≤ k.
Al aplicar la ecuación recursiva anterior podemos ver que
⎧
⎪⎨
0 si x < t i o x ≥ t i+2
Bi 1 x−t i
(x) = t i+1 −t i
si x ∈ [t i , t i+1 )
⎪⎩ t i+2 −x
t i+2 −t i+1
si x ∈ [t i+1 , t i+2 )
En este caso, Bi
1 tiene propiedades similares a las dadas más arriba para
Bi 0 (i.e., (i), (ii), (iii) y (iv)). Sin embargo, el soporte de Bi 1 ahora es el
intervalo (t i , t i+2 ) y Bi 1 es continua y diferenciable en todo R excepto en t i ,
6 I.e., todo vector en el espacio posee una única representación en términos de los elementos
de la sucesión {B 0 i } i∈Z.

9.3.
MÉTODOS DE PROYECCIONES 217
t i+1 y t i+2 . En el caso de la propiedad (iv), para x ∈ R cualquiera, podemos
encontrar un índice j tal que x ∈ [t j , t j+1 ). Así que B 1 i (x) = 0 ∀i con la
posible excepción de i = j o i = j − 1; por lo que, para este valor de x,
∑ ∞
i=−∞ B1 i (x) = B 1 j−1(x) + B 1 j (x) = 1 (¡verificar!).
Ejercicio.
Demostrar las siguientes propiedades de los Bi k , con i ∈ Z y k ∈ N:
(a) Si k ≥ 1 y x /∈ (t i , t i+k+1 ), entonces Bi k (x) = 0.
(b) Si k ≥ 0 y x ∈ (t i , t i+k+1 ), entonces Bi k (x) > 0.
(c) ∑ ∞
i=−∞ c iBi
k
(d) ∀k ∑ ∞
= ∑ ∞
i=−∞ [c iVi
k
i=−∞ Bk i (x) = 1.
(e) Para k ≥ 1, los Bi
k ∈ C k−1 (R).
+ c i−1 (1 − V k
i )]B k−1
i .
Asimismo, podemos usar los B-splines Bi
k
de los splines de grado k.
como una base para el espacio

218
CAPÍTULO 9. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA

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