TMI-V-Buchinhalt-15-11-11

- 1 - 

Technische Mechanik I 

- Statik- 

von 

Annette Kunow 

TM-I-Vorlesungsskript-15-11-11.docx

Inhaltsverzeichnis 

- 2 - 

- 2 -............................................................................. Fehler! Textmarke nicht definiert. 

1 Einleitung .................................................................................................................................................... - 4 - 

2 Mathematische Grundlagen ....................................................................................................................... - 5 - 

2.1 Der Kraftvektor- Definition .................................................................................................................... - 5 - 

2.2 Differentialrechnung ............................................................................................................................. - 6 - 

2.3 Integralrechnung .................................................................................................................................. - 6 - 

2.3.1 Das unbestimmte Integral ............................................................................................................. - 6 - 

2.3.2 Das bestimmte Integral ................................................................................................................. - 7 - 

3 Gleichgewicht in einem Punkt .................................................................................................................. - 10 - 

Definition ............................................................................................................................................... - 11 - 

3.1 Kräfte in der Ebene ............................................................................................................................ - 11 - 

3.2 Kräfte und Momente in der Ebene ..................................................................................................... - 13 - 

3.2.1 Das Kräftepaar und das Drehmoment ........................................................................................ - 13 - 

3.2.2 Kraft und Drehmoment ................................................................................................................ - 14 - 

3.2.3 Das Moment einer Kraft .............................................................................................................. - 14 - 

3.3 Aufgaben zu Kapitel 3 ........................................................................................................................ - 16 - 

4 Gleichgewicht in der Ebene ...................................................................................................................... - 20 - 

4.1 Gleichgewichtsbedingungen .............................................................................................................. - 21 - 

4.2 Mögliche Kräfteverteilung in der Ebene ............................................................................................. - 23 - 


5 Lagerreaktionen bei ebenen Tragwerken ................................................................................................. - 32 - 

5.1 Das Wechselwirkungsgesetz ............................................................................................................. - 35 - 

5.2 Kräftetypen ......................................................................................................................................... - 36 - 

5.3 Definition der Tragwerksarten ............................................................................................................ - 36 - 

5.4 Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers ........................................................................................... - 37 - 

5.4 Statische Bestimmtheit ...................................................................................................................... - 38 - 

5.6 Lösen eines Berechnungsproblems................................................................................................... - 40 - 


6 Ebenes Fachwerk ..................................................................................................................................... - 45 - 

6.1 Definition eines Fachwerks ................................................................................................................ - 45 - 

6.2 Aufbau eines Fachwerks .................................................................................................................... - 46 - 

6.3 Analytische Lösung ............................................................................................................................ - 50 - 

6.4 Der CREMONAplan ........................................................................................................................... - 52 - 

6.4.1 Graphische Kontrolle ................................................................................................................... - 53 - 

6.5 Der RITTERsche Schnitt .................................................................................................................... - 54 - 


7 Gerader Balken und Rahmensystem ....................................................................................................... - 63 - 

7.1 Innere Kräfte ...................................................................................................................................... - 63 - 

7.2 Vorzeichenfestlegung ........................................................................................................................ - 64 - 

7.3 Bestimmung der Schnittkraftverläufe N, Q, M nach der elementaren Methode (durch Schneiden) . - 64 - 

Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem ................................................................................. - 64 - 


- 3 - 

7.4 Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen (Grundgleichungen) ................................ - 66 - 

7.4.1 Gleichgewicht am infinitesimalen Element (Bild 7.12) ................................................................ - 67 - 

Lösungswege ........................................................................................................................................... - 73 - 

7.5 Zusammengesetzte Systeme ............................................................................................................ - 76 - 

7.5.1 Gerberträger ................................................................................................................................ - 76 - 

7.5.2 Rahmen ....................................................................................................................................... - 78 - 


8 Der Arbeitsbegriff in der Statik .................................................................................................................. - 99 - 

8.1 Der Arbeitssatz ................................................................................................................................... - 99 - 

8.2 Prinzip der virtuellen Verrückungen bei starren Körpern ............................................................. - 100 - 

8.3 Stabilität einer Gleichgewichtslage .................................................................................................. - 100 - 

8.4 Ermittlung von Auflagerkräften mit Hilfe des Arbeitssatzes ............................................................. - 109 - 

8.5 Stabilität ........................................................................................................................................... - 111 - 

8.6 Aufgaben zu Kapitel 8 ...................................................................................................................... - 112 - 

9 Haftung und Reibung .............................................................................................................................. - 116 - 

9.1 Haftung ............................................................................................................................................. - 116 - 

9.2 Reibung ............................................................................................................................................ - 117 - 

9.3 Seilhaftung ....................................................................................................................................... - 121 - 

9.1 Aufgaben zu Kapitel 9 ...................................................................................................................... - 122 - 

10 Raumstatik ............................................................................................................................................ - 128 - 

10.1 Aufgaben zu Kapitel 10 .................................................................................................................. - 132 - 

11 Literatur ................................................................................................................................................. - 134 - 

Sachwörterverzeichnis ............................................................................................................................... - 135 - 

Impressum ................................................................................................................................................. - 136 - 


- 50 - 

S 3 

0 

y 

x S 2 

S 1 

( 6.7) : Σ in y − Richtung: S3y 

= 0 

( 6.8) : Σ in x − Richtung: − S1 + S2 

+ S3x 

= 0 

Damit wird die y- Komponente der Stabkraft S 3 zu Null, dann ist auch die x- Komponente von der Stabkraft 

S 3 Null. Die Stabkraft S 1 ist gleich der Stabkraft S 2 . 

6.3 Analytische Lösung 

Bei dieser Lösung betrachtet man das Fachwerk zuerst als Gesamtsystem und löst mit den drei Gleichgewichtsbedingungen 

am Gesamtsystem die Auflagerkräfte. 

Beispiel 

• Statisch bestimmtes Fachwerk nach dem 1. Bildungsgesetz 

• Bestimmung der Lagerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem 

• Bestimmung der Stabkräfte durch den CREMONAplan 

Ein Fachwerkträger wird durch drei Kräfte F 1 , F 2 und F 3 belastet (Bild 6.11). 

gegeben: a, F 1 , F 2 , F 3 

gesucht: Bestimmung der Lager- und Stabkräfte 

A 

F 1 

F 2 

F 3 

a/3 

2a/3 

4 

1 

5 

II 

6 

2 

7 

III 

8 

3 

a/3 

9 

VI 10 VII 11 

IV 

a) 

B 

a 

a 

a 

a/3 

2a/3 

A x 1 

5 

4 

II 

6 

2 

7 

III 

8 

3 

F 1 

F 2 

F 3 

a/3 

9 

VI 10 VII 11 

IV 

b) 

B x 

B y 

a 

a 

a 

Bild 6.11 a) Fachwerkträger mit drei Kräften F 1, F 2 und F 3; b) Schnittbild 

Lösung 

Für die analytische Bestimmung der Auflagerkräfte mit F 1 = F 2 = F 3 = F gilt 

( 6.3) : ↑ : By 

- F1 

- F2 

- F3 

= 0 ⇒ By 

=F1 

+ F2 

+F3 

= 3 F 


- 51 - 

4 a 

3 

(6.4): 

ΣMAlinks 

: Bx 

- (F1 

a + F2 

2 a + F3 

3 a) = 0 ⇒ Bx 

= (F1 

+ 2F2 

+ 3F3 

) = 

3 

4 

9 

F 

2 

3 

9 

( 6.5) : →: 

A 

x 

+ Bx 

= 0 ⇒ A 

x 

= - (F1 

+ 2F2 

+ 3F3 

) = - F 

4 

2 

Danach können die Stabkräfte durch knotenweises Schneiden ermittelt werden. Man erhält für jeden Knoten 

zwei Gleichungen. Durch die Berechnung der Auflagerkräfte am Gesamtsystem ergeben sich drei zusätzliche 

Gleichungen, die als unabhängige Kontrollen genutzt werden können. 

Am besten werden immer nur die Gleichgewichtsbedingungen hingeschrieben, die sofort zum Ergebnis führen, 

sonst wird das Ganze zu unübersichtlich. 

S 

3 

F 

3 

S11 

IV 

Bild 6.12 Stabkräfte am Knoten VI 

Am Knoten VI (Bild 6.12) ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen 

( 6.6) : ↑ : S3V 

= S3 

sinα 

= F3 

⇒ S3 

= 10 F3 

, 

( 6.7) : → : S11 = - S3 

cosα 

= - 3 F3 

. 

S 

2 

F 

III 

2 

S 3 

S 7 S = 0 

8 

Bild 6.13 Stabkräfte am Knoten III 

Am Knoten III (Bild 6.13) ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen 

( 6.8) : → : S2 

cos α - S7 

cos α - S3 

cos α = 0 

sin α 

( 6.9) : ↑ : - S3 

sin α + S2 

sin α - S7 

sin α =F2 

. 

cos α 

Mit dem Eliminationsverfahren, (6.8) * sin α + (6.9) * cos α , folgt 

10 

( 6.10) : 2 (S2 - S3 

) sin α cos α =F2 

cos α ⇒ S2 

= (F2 

+ 2 F3 

). 

2 

In (6.9) eingesetzt 

(6.11) : 

S 

= 

10 F 

- 

10 

(F + 2 F ) = - 

2 

10 

2 

7 3 

2 3 

F2 


- 52 - 

S1 

F 

1 

S 

II 2 

S 6 

Bild 6.14 Stabkräfte am Knoten II 

Am Knoten II (Bild 6.14) ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung 

( 6.12) : ↑ : S6 

= - F 

1. 

Ax 

I 

S 1 

S 4 S 5 

Bild 6.15 Stabkräfte am Knoten I 

Am Knoten I (Bild 6.15) ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung 

2 

( 6.13) : ↑: 

- S4 

- S5 

- S1 

2 

10 

10 

= 0, 

Daraus folgt 

2 10 1 

( 6.14) : S4 

= - S5 

- S1 

= - (F2 

+ 2 F3 

). 

2 10 2 

Am übersichtlichsten werden die berechneten Stabkräfte und Lagerkräfte in Tabellenform (Tabelle 6.2) geschrieben 

Stabkräfte und Lagerkräfte 

10 

1 

= S 

2 

= (F2 

2F ) , S 3 = 10 F3 

, S 

4 

= − (F2 

+ 2F3 

), S 5 

= 0 , 

10 

S 

6 

= −F1 

, S 

7 

= F , S 

2 8 

= 0 , 

2 

2 

2 

10 

3 

= − (F1 

+ 2F2 

3F ) , S10 = S11 

= −3F 

, A (F + 2 F + 3 F ), 

3 x 

= -Bx 

= - 

1 2 3 y 

F1 

+ F2 

+ F 

4 

4 

= 

S1 + 

3 

S 

9 

+ 

3 

B 

3 

6.4 Der CREMONAplan 

Ein graphisches Verfahren ist der CREMONAplan. Beim CREMONAplan werden die einzelnen zentralen 

Kraftsysteme pro Knoten in einen einzigen Kräfteplan gezeichnet. 

Die Auflagerkräfte müssen immer vorab getrennt berechnet werden, weil hier das benötigte graphische Seileckverfahren, 

das zur Lösung notwendig wäre, nicht vorgestellt wird (siehe Literatur). Damit wäre ein vollständiges 

graphisches Verfahren möglich. 

In Bild 6.16 wird die Lösung mit dem CREMONAplan darrgestellt. Die einzelnen Kraftecke ergeben sich aus 

dem CREMONAplan. 


- 53 - 

Bild 6.16 Kräfteplan, Kräftemaßstab F [ N] 1cm 

Aufzeichnen des CREMONAplans 

1 = ˆ ; CREMONAplan, Umlaufsinn und die einzelnen Kraftecke 

• Nummerierung der Stäbe und der Knoten (wird hier durch die Aufgabenstellung vorgegeben) 

• Kraftmaßstab wählen, Umlaufsinn wählen 

• Vorherige Bestimmung der möglichen Nullstäbe 

In den Lageplan (Bild 6.17) werden die Stabkräfte während der Erstellung des CREMONAplans als Zugkräfte 

(Pfeile ziehen an den Knoten) und Druckkräfte (Pfeile drücken auf die Knoten) eingetragen. Die Nullstäbe 

werden mit einer Null gekennzeichnet. 

A X 

I 

1 

0 

5 

4 

9 

B X 

V 

B Y 

F 2 

F 3 

II 

2 

6 

7 

III 

08 

3 

F 1 

VI 10 VII 11 IV 

Bild 6.17 Lageplan mit Pfeilen zur Vorzeichendefinition der Stäbe und Kennzeichnung der Nullstäbe 

Mit F 1 = F 2 = F 3 = F ergeben sich die Stabkräfte zu 

(6.15) : 

S1 = + 4.7 F,S2 

= + 4.7 F,S3 

= + 3.2F,S4 

= -1.5 F,S5 

= 0, S6 

= - F,S7 

= - 1.6 F,S 

S = - 3 F,S = - 3 F. 

10 

11 

8 

= 0, S 

9 

= - 4.7 F, 

6.4.1 Graphische Kontrolle 

Eine graphische Kontrolle kann durch das Aufzeichnen der Auflagerkräfte in den Kräfteplan durchgeführt 

werden. Die Kräfte werden in der Reihenfolge ebenfalls im Uhrzeigersinn, hier: F 1 , F 2, F 3 , B y , B x , A x . Das 

System ist im Gleichgewicht, wenn das Krafteck geschlossen ist. 


- 134 - 

11 Literatur 

Assmann; Technische Mechanik I, II, II; Oldenbourg; 2009 

Beitz/ Grote (Hers.); Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau, 20. Auflage; Springer- Verlag; 2011 

Böge; Technische Mechanik; Vieweg; 2011 

Brommundt/ Sachs; Technische Mechanik; Springer- Lehrbuch; 1998 

Bronstein, Ilja N./ Semendjajew, K. A./ Musiol, Gerhard/ Muehlig, Heiner; Taschenbuch der Mathematik; 

Deutsch (Harri); 2008 

Bufler; Technische Mechanik; Vorlesungsskript Institut für Mechanik (Bauwesen) der TU Stuttgart; 1971 

Dankert, Jürgen/ Dankert, Helga; Technische Mechanik: Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik; Vieweg+Teubner 

Verlag; 2010 

Gabbert, Ulrich/ Raecke, Ingo; Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure; Carl Hanser Verlag; 2007 

Göldner/ Holzweissig; Leitfaden der Technische Mechanik; Fachbuchverlag Leipzig; 1990 

Göldner/ Pfefferkorn ; Technische Mechanik; Fachbuchverlag Leipzig; 1990 

Göldner/ Witt; Technische Mechanik; Fachbuchverlag Leipzig- Köln; 1993 

Gross, Dietmar/ Hauger, Werner/ Schröder, Jörg/ Wall Wolfgang A.; Technische Mechanik: 1 Statik, 2 

Elastostatik, 3 Kinetik; Springer-Lehrbuch; 2011 

Gross, Dietmar/ Ehlers, Wolfgang/ Wriggers, Peter/ Schröder, Jörg, Müller, Ralf ; Formeln und Aufgaben zur 

Technischen Mechanik 1 Statik, , 2 Elastostatik, 3 Kinetik; Springer-Lehrbuch; 2011 

Gummert/ Reckling; Mechanik; Vieweg; 1994 

Herr, Horst; Technische Mechanik. Lehr- und Aufgabenbuch: Statik, Dynamik, Festigkeitslehre; Europa- 

Lehrmittel; 2008 

Hibbeler, Russell C.; Technische Mechanik 1 – Statik, 2 – Festigkeitslehre, 3. Dynamik; Pearson Studium; 

2005, 2012 

Issler/ Ruoß/ Häfele; Festigkeitslehre- Grundlagen I, II; Springer; 1997 

Kühhorn/ Silber; Technische Mechanik für Ingenieure; Hüthig; 2000 

Kunow, A.; Technische Mechanik: I Statik; II Elastostatik, III Kinetik ; kindle; 2012 

Kunow, A.; Technische Mechanik: I Statik; II Elastostatik, III Kinetik – Vollständig durchgerechnete Übungen; 

kindle; 2012 

Mayr; Technische Mechanik; Carl Hanser; 2008 

Mayr; Mechanik Training; Carl Hanser; 2008 

Neuber; Technische Mechanik; Springer; 1974 

Pestel/ Wittenburg; Technische Mechanik; Bibliographisches Institut; 1983 

Riemer/ Wauer/ Wedig; Mathematische Methoden der Technischen Mechanik; Springer- Lehrbuch; 1993 

Romberg/ Hinrichs; Keine Panik vor Mechanik!; Vieweg; 2011 

Szabó; Einführung in die Technische Mechanik; Springer; 2002 

Will/ Lämmel; Kleine Formelsammlung Technische Mechanik/ CD- Rom; Fachbuchverlag Leipzig; 1998 

Zimmermann; Übungsaufgaben Technische Mechanik; Fachbuchverlag Leipzig; 1994 


- 136 - 

Impressum 

Prof. Dr.-Ing. Annette Kunow 

Technische Mechanik I - Statik- 

1. Auflage 2012 

Konzeption: Annette.kunow 

Grafiken: Annette Kunow 

Umschlag: Frank Terhaag 

Alle Angaben/ Daten sind nach bestem Wissen erstellt, jedoch ohne Gewähr für Vollständigkeit und Richtigkeit. 

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die Rechte der Verbreitung, der Vervielfältigung, 

der Übersetzung, des Nachdrucks und der Wiedergabe auf fotomechanischem oder ähnlichem 

Wege sowie der Auswertung durch Datenbanken oder ähnlichen Einrichtungen durch Fotokopie, Mikrofilm 

oder andere elektronische Verfahren sowie der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch 

bei nur auszugsweiser Verwertung, dem Autor vorbehalten.

TMI-V-Buchinhalt-15-11-11

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