Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki 

Tadeusz Lesiak 

Wykład I 

Wektory

Wektory w geometrii i algebrze 

Historycznie pierwszy był opis geometryczny: 

B 

 

 

Wektor = uporządkowana para punktów 

= ukierunkowany odcinek linii prostej 

Cechy wektora: 

A –początek (punkt zaczepienia) 

B -koniec 

A 

Kierunek – prosta, do której należą wszystkie punkty wektora 

Zwrot –uporządkowanie od A do B 

Wartość (długość) – długość odcinka AB oznaczana jako 

Prostsza notacja: a = długość wektora 

 

 

Wiele podstawowych wielkości mechanicznych to wektory 

(przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, pęd, siła …). 

Poznajmy też skalary - wielkości określane jedną liczbą 

(masa, długość, czas, energia, temperatura, gęstość… ). 

T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 2

Wektory w geometrii i algebrze 

 

Wektory o jednakowych długościach i kierunkach 

tworzą klasę równoważności, która może być 

reprezentowana przez wektor V 0 ,którego początkowy 

punkt leży w środku układu współrzędnych NOTACJA 

Opis algebraiczny (od Kartezjusza i geometrii analitycznej): 

 

 

 

 

Wynika z jedno-jednoznacznego przyporządkowania wektorowi wodzącemu 

współrzędnych jego punktu końcowego – uporządkowanej pary (trójki…) liczb 

rzeczywistych (x 1 ,x 2 , …) 

Liczby te nazywamy składowymi wektora; 

Podanie składowych określa w pełni dany wektor np. x i , i=1,2,3… 

W przestrzeni o n-wymiarach wektor jest algebraicznie reprezentowany jako 

uporządkowany ciąg liczb rzeczywistych (x 1 ,x 2 ,…x n ). 

Równoważność opisu geometrycznego i algebraicznego 

Język algebraiczny jest na ogół prostszy np. pojęcie stycznej do krzywej w danym punkcie. 


Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy 

 

 

Dla ustalenia uwagi rozważmy przestrzeń 3D 

Każdy wektor może być wyrażony w postaci kombinacji liniowej dowolnych trzech 

nie koplanarnych (nie leżących na jednej płaszczyźnie) wektorów 

- skalary 

 

|x| - długość wektora x 

V 1 , V 2 , V 3 – składowe wektora x o kierunkach V 1 , V 2 , V 3 

 

Każde takie trzy niekoplanarne wektory V 1 , V 2 , V 3 tworzą bazę 

 

 

 

Wektory bazowe najczęściej wybiera się jako wzajemnie ortogonalne – baza 

ortogonalna (w przeciwnym wypadku baza skośna) 

Baza kartezjańska – szczególny przypadek bazy ortogonalnej – składa się z trzech 

prostopadłych do siebie wektorów o długości jednostkowej; oznaczenie (e 1 ,e 2 ,e 3 ) 

Baza kartezjańska stanowi przykład bazy ortonormalnej 


Rozkład wektora na składowe; pojęcie bazy 

 

 

 

Pojęcia bazy i układu współrzędnych mogą być 

używane zamiennie 

Baza prawoskrętna: jeśli ustawimy palce prawej ręki 

w kierunku dodatniej osi x 1 , a następnie zamykając 

dłoń, ustawimy palce w kierunku osi x 2 

kciuk wskazuje dodatni kierunek x 3 

Baza lewoskrętna: jeśli jeden lub trzy wektory bazy 

prawoskrętnej doznają zmiany kierunku 

 

Dowolny wektor x może być wyrażony w bazie kartezjańskiej jako: 

 

x i , i=1,2,3 - i-ta składowa wektora x w tej bazie 


Rozkładanie wektorów na składowe 

Rozważmy wektor a ; jego początek został umieszczony 

w początku kartezjańskiego układu współrzędnych (na płaszczyźnie) 

Koniec wektora jest rzutowany prostopadle na obie osie układu 

Otrzymane wielkości a x , a y 

współrzędnych: 

to składowe wektora a w danym układzie 

– wartość wektora 

–kąt jaki tworzy wektor a z osią x 

Wektor jednostkowy (wersor) – wektor o wartości równej jeden 

Wersorami są wektory bazowe bazy kartezjańskiej 


Dodawanie i odejmowanie wektorów 

 

Suma wektorów: 

Metoda 

geometryczna 

Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne 

Dodawanie wektorów (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ 

GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Add3Vectors/Add3Vectors.html 

 

Różnica wektorów: 


Dodawanie wektorów 

i mnożenie ich przez skalar 

Metoda analityczna dodawania wektorów 

Analityczne dodawanie wektorów (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ 

GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/VectorAddComponents/VectorAddComponents.html 

iloczyn wektora a przez skalar r 

wynik – wektor o wartości r razy większej od wartości wektora a 


Iloczyn skalarny dwóch wektorów 

Inaczej: iloczyn wewnętrzny lub iloczyn z kropką 

wynik liczba (skalar) 

–kąt zawarty między wektorami a i b 

Ilustracja iloczynu skalarnego (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ 

GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DotProduct/DotProduct.html 

cos funkcją parzystą iloczyn skalarny jest operacją przemienną 

Iloczyn skalarny jest rozłączny ze względu na dodawanie wektorów: 


Iloczyn skalarny dwóch wektorów 

nie tylko gdy co najmniej jeden z wektorów ma wartość 

zero, ale także gdy są one wzajemnie prostopadłe 

gdyż =0 (cos=1) 

W szczególności, dla wektorów bazy kartezjańskiej zachodzi: 

- delta Kroneckera, zdefiniowana następująco: 

Dla dwóch dowolnych wektorów a i b w bazie kartezjańskiej: 

Algebraiczna definicja iloczynu skalarnego 

(umowa sumacyjna Einsteina) 


Obroty układu współrzędnych 

-rzut wektora x na oś e i 

Zbiór liczb {x i } = przedstawienie (współrzędne) wektora x w bazie (układzie współrzędnych {e i } 

Zbadajmy związki między składowymi określonego wektora x w dwóch różnych 

bazach kartezjańskich o wspólnym środku 

x może być rozłożony na składowe zarówno w bazie K jak i K’ 

W bazie K: 

W szczególności, gdy 

Relacja między wersorami baz: primowanej i nieprimowanej 

Jednocześnie definicja dziewięciu wielkości 

a ki – cosinusów kierunkowych kątów między sześcioma osiami 


Obroty układu współrzędnych 

Cosinusy kierunkowe mogą być 

zapisane w postaci macierzy 

kwadratowej 3x3 

R – macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej 

(opisuje w pełni konsekwencje przejścia między K i K’) 

Elementy macierzy R są określone równaniem: 

Ta definicja stanowi pewną konwencję. Alternatywa: 

Nie wszystkie elementy macierzy R są niezależne: wynika to z ortonormalności obu baz: 

Dziewięć równań, 

Nie wszystkie niezależne 

Podobnie: 

Relacje ortogonalności 

Odpowiadają im przekształcenia ortogonalne 


Przekształcenia ortogonalne 

W przestrzeni n-wymiarowej macierz obrotu ma n 2 elementów 

Relacje ortogonalności dają (1/2)n(n+1) związków między elementami macierzy 

(1/2)n(n-1) elementów pozostaje dowolnych 

n = 2 jeden parametr swobodny – kąt obrotu 

n = 3 trzy parametry swobodne 

– trzy z sześciu cosinusów kierunkowych lub trzy kąty Eulera (patrz poniżej) 


Dwuwymiarowa macierz obrotu 

1 

Macierz (a ki ) określa co dzieje się ze składowymi wektora x, 

podczas przejścia od bazy e i do e’ i poprzez obrót bazy o kąt 

(+) przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara 

Wektor x zachowuje się pasywnie (biernie); a obraca się baza 

2 

Alternatywna interpretacja: x i x’ to dwa różne wektory; x’ powstaje przez obrót x o kąt (-) 

Składowe wektora x’ w bazie K są wtedy liczbowo równe składowym wektora x w bazie K’ 

Transformacja aktywna jednego wektora w nowy wektor; baza pozostaje pasywna 

Macierz transformacji odwrotnej 

-jednocześnie macierz transponowana do (a ki ) 


Kąty Eulera 

1) φ 

2) Θ 

3) ψ 

T. Lesiak Metody matematyczne fizyki 

15

Trójwymiarowa macierz obrotu 

Uogólnijmy macierz obrotu 2D na 

przypadek obrotu 3D wokół osi x 3 : 

CW – clockwise 

Przejście do trójwymiarowej macierzy obrotu R(,,) 

3. Obrót CCW o kąt w płaszczyźnie x” 1 x” 2 wokół osi x” 3 

CCW – counter 

Cel: przejście do nowego układu współrzędnych, w którym nowa oś z=x’ 3 

clockwise 

ma dowolny kierunek (wzdłuż dowolnego wektora V) 

Można tego dokonać w trzech krokach: obrotach o kąty , i 

1. Obrót o kąt CCW wokół osi x 3 = x’ 3 

2. Obrót o kat CW (- CCW) wokół osi x’ 2 


Trójwymiarowa macierz obrotu 

, -kąty Eulera (kilka różnych definicji powyższej macierzy) 

Uwagi: 

po każdym obrocie dany wektor ma w ogólności inne składowe 

wektor to nie pojedyncza uporządkowana trójka liczb 

lecz raczej zbiór takich trójek, związanych ze sobą w określony sposób 

Twierdzenie: iloczyn skalarny jest niezmienniczy względem przekształceń ortogonalnych 


Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 

Kierunek wektora c jest 

prostopadły do płaszczyzny 

wyznaczonej przez wektory a i b 

Zwrot (dodatni kierunek) 

wektora c jest określony przez 

regułę śruby prawoskrętnej 

wynik wektor c; jego długość: 

–kąt zawarty między wektorami a i b, liczony od a do b , < 

Ilustracja iloczynu wektorowego (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ 

GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/CrossProduct/CrossProduct.html 

Iloczyn wektorowy zmienia znak 

przy zmianie kolejności czynników 

(antykomutacja) 



Przykład: zbiór ortogonalnych wektorów bazy kartezjańskiej 

(i, j, k) = (e 1 , e 2 , e 3 ) dla prawoskrętnego układu współrzędnych 

Wersory (wektory jednostkowe wzdłuż osi 

współrzędnych kartezjańskich) spełniają relacje: 

W zwartym zapisie: 

Ale tylko gdy i,j,k są parzystą permutacją liczb 1,2,3 

Wygodny, ogólny zapis z użyciem tensora Levi-Civity 

jeżeli (i,j,k) stanowi parzystą permutację liczb (1,2,3) 

jeżeli (i,j,k) stanowi nieparzystą permutację liczb (1,2,3) 

W pozostałych przypadkach (co najmniej dwa wskaźniki jednakowe) 



Wygodne relacje: 

Wygodna definicja skrętności 

układu współrzędnych: 

prawoskrętny 

lewoskrętny 

Algebraiczna definicja iloczynu 

wektorowego dwóch wektorów 

Wygodny zapis 

w postaci wyznacznika: 



„zwykły” wektor = wektor biegunowy (polarny): 

Wektorów są dwa rodzaje: 

Psudowektor =wektor osiowy (aksjalny) 

= iloczyn wektorowy dwóch wektorów biegunowych 

Oba te obiekty transformują się tak samo przy obrotach 

Różnica ujawnia się przy operacji inwersji układu współrzędnych (odbicia przestrzennego) 

Wektor biegunowy ZMIENIA znak 

Wektor osiowy NIE ZMIENIA znaku 

Identyczne zachowanie dla skalarów i pseudoskalarów 


Rodzaje współrzędnych 

W 3D każdy punkt geometryczny leży na przecięciu trzech płaszczyzn lub innych 

bardziej skomplikowanych powierzchni 

Współrzędne prostoliniowe –jeśli przybierają one stałe wartości na płaszczyznach 

 

krzywoliniowe w przeciwnym wypadku 

sferyczne 

walcowe 

Współrzędne ortogonalne –jeśli dla dowolnego punktu w przestrzeni, wektory normalne do 

wszystkich trzech powierzchni przecinających się w tym punkcie są do siebie prostopadłe 


Wektory bazy a metryka 

 

 

- zbiór wersorów bazy dla przestrzeni n-wymiarowej 

W ogólnym przypadku wersory bazy nie są ortonormalne 

 

Przypomnienie własności delty Kroneckera: 

 

Zawsze można skonstruować z wektorów bazy następującą macierz n x n 

 

 

 

 

Elementy diagonalne = kwadraty długości wektorów bazy 

Macierz g = METRYKA (dokładniej TENSOR METRYCZNY) 

Dla współrzędnych ortogonalnych metryka jest diagonalna 

W ogólnym przypadku metryka może zależeć od położenia w przestrzeni 



 

Dla współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni Euklidesowej 

 

 

 

Dowolny wektor V można rozłożyć na wektory bazowe: 

Składowe wektora zostały nieprzypadkowo zapisane z indeksami u góry (dalsze slajdy) 

Iloczyn skalarny dwóch wektorów w bardziej poprawnym zapisie: 

 

W zapisie macierzowym: 

 

 

Dla przypadku: powyższa formuła podaje długość wektora V 

metryka zadaje relację między długością wektora 

a jego składowymi 



 

W ogólnym przypadku wektory bazy nie muszą być do siebie wzajemnie 

ortogonalne oraz nie muszą być znormalizowane (być wersorami) 

 

można zawsze określić nie trywialną, odwrotną bazę wektorów: 

 

Nasza konwencja: baza wyjściowa – indeksy na dole 

baza odwrotna - indeksy u góry 

Wzajemna relacja odwrotności między bazami: 

W zapisie macierzowym: 


Wektory kowariantne i kontrawariantne 

 

Dwa zbiory wektorów bazowych dwa rodzaje wektorów 

Rozwinięcie wektora 

na wektory bazowe 

Baza 

wyjściowa 

Baza 

odwrotna 

Składowe 

Nazwa składowych 

kontrawariantne 

kowariantne 

 

 

 

Wektor jest w obu przypadkach „ten sam” 

Zamiast „kowariantne składowe” często wygodnie jest mówić „wektor kowariantny” 

Odpowiednio dla kontrawariantnych … 



 

Interpretacja graficzna tych składowych 

Składowe kontrawariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy „wyjściowej” 

Składowe kowariantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy „wyjściowej” 

 

Jednocześnie: 

Składowe kontrawiantne = rzuty prostopadłe wektora na wektory bazy „odwrotnej” 

Składowe kowariantne = rzuty równoległe wektora na wektory bazy „odwrotnej” 

Przykład 2D 

dla ogólnego układu współrzędnych: 

składowe kontrawariantne (V 1 ,V 2 ) 

kowariantne (V 1 ,V 2 ) 



 

Ogromna zaleta wprowadzenia „górnych i dolnych” składowych 

– prostota zapisu iloczynu skalarnego 

 

Metryka umożliwia przechodzenie między składowymi kowariantnymi i kontrawariantnymi: 

 

w szczególności kwadrat długości wektora infinitezymalnego przesunięcia: 


Rodzaje współrzędnych i ich transformacje 

 

-ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni 

 

Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego 

zbioru tj. 

Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz 

dostatecznie wiele razy różniczkowalne 

Założenie 2: do transformacji f i istnieje 

transformacja odwrotna 

Równania: q 1 =const, q 2 =const, q 3 =const zadają trzy powierzchnie, które przecinają się 

w jednym punkcie P – tym, w którym są określone współrzędne (q 1 ,q 2 ,q 3 ). 

Te powierzchnie to powierzchnie współrzędnych. 

Krzywe wzdłuż których się one przecinają to krzywe współrzędnych. 

Styczne do tych krzywych w punkcie P to osie współrzędnych 


Rodzaje współrzędnych i ich transformacje 

 

-ogólne współrzędne określonego punktu w przestrzeni 

 

Zmiana układu współrzędnych odpowiada pewnej transformacji, przejściu do innego 

zbioru tj. 

Założenie 1: funkcje f i są jednoznaczne w rozważanym zakresie zmienności q i oraz 

dostatecznie wiele razy różniczkowalne 

Założenie 2: do transformacji f i istnieje 

transformacja odwrotna 


Przejścia między układami współrzędnych 

 

Skoncentrujmy się na przejściach współrzędne kartezjańskie – inne krzywoliniowe 

 

Kwadrat odległości między sąsiednimi punktami: 

Czynniki skali (scale factors) 

 

 

Odległość między sąsiednimi punktami = element liniowy 

Co więcej 

Wyrażenia Q ik można zestawić 

w macierz metryki (tensor) 


Przejścia między układami współrzędnych 

 

 

Jeżeli zmienia się tylko jedno z wyrażeń q 

Można określić cosinusy kierunkowe między parami elementów liniowych 

Cosinus kąta ik między ds i i ds k : 

 

Znaczne uproszczenie dla ortogonalnych układów współrzędnych 

(powierzchnie współrzędnych przecinają się zawsze pod kątem prostym): 

 

Trzy elementy powierzchniowe w układzie ortogonalnym: 

 

Element objętościowy: 


Przykład 2D: współrzędne 

kartezjańskie vs biegunowe 

Kartezjańskie: q 1 =x, q 2 = y 

Biegunowe: q 1’ =r , q 2’ = 


Współrzędne walcowe 

Kartezjańskie: (x,y,z) 

Walcowe (r,z 


Współrzędne sferyczne 

(Dwie możliwości definicji kąta θ) 


Sferyczne (r,µ, 


Współrzędne sferyczne 

(Dwie możliwości definicji kąta θ) 


Sferyczne (r,µ, 


Przestrzeń euklidesowa vs nieeuklidesowa 

 

 

Przestrzeń euklidesowa -przestrzeń, w której można globalnie (a nie tylko lokalnie) 

wprowadzić układ współrzędnych kartezjańskich 

–płaska tj. o zerowej krzywiźnie 

Nieeuklidesowa –gdy jest to niemożliwe 

‣ Ex. 1: Sfera (powierzchnia kuli) – krzywizna dodatnia 

Do danej linii prostej m nie można przeprowadzić 

żadnej prostej równoległej przechodzącej przez 

dany punkt leżący poza prostą m 

Suma kątów wewnętrznych trójkąta > 180 0 

‣ Ex. 2: siodło – krzywizna ujemna 

Do danej linii prostej m można przeprowadzić co 

najmniej dwie proste równoległe przechodzącej 

przez dany punkt leżący poza prostą m 

Suma kątów wewnętrznych trójkąta < 180 0 


Powtórka elementów 

rachunku całkowego 


Całki krzywoliniowe 

wyrażenia postaci: 

v – funkcja wektorowa 

dl – wektor infinitezymalnego przesunięcia 

Całka jest obliczana wzdłuż krzywej P biegnącej od punktu a do punktu b 

W każdym punkcie krzywej obliczamy iloczyn skalarny 

wartości funkcji v i przesunięcia dl z danego punktu 

do następnego punktu na tej krzywej 

Gdy rozważana krzywa jest 

zamknięta (b=a) 

Przykład: praca wykonywana przez daną siłę F: 

Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki krzywoliniowej nie 

zależy od drogi całkowania (siły o takiej własności = siły zachowawcze) 


Całki powierzchniowe 


v – funkcja wektorowa 

da – wektor prostopadły do powierzchni, o wartości równej polu 

infinitezymalnego elementu powierzchni 

Istnieją dwa wektory prostopadłe do danej powierzchni, o przeciwnych 

zwrotach znak całki powierzchniowej nie jest określony 

W każdym punkcie powierzchni obliczamy iloczyn skalarny 

wartości funkcji v i elementu powierzchni da 

Gdy rozważana powierzchnia 

jest zamknięta 

Przykład: jeśli v opisuje przepływ płynu (masę płynu na jednostkę powierzchni 

i czasu) to całka powierzchniowa odpowiada strumieniowi płynu – całkowitej masie płynu 

przepływającej przez powierzchnię w jednostce czasu 

Istnieje ważna klasa funkcji wektorowych, dla których wartość całki powierzchniowej nie 

zależy od wyboru powierzchni, a jedynie od kształtu krzywej będącej jej brzegiem 


Całki objętościowe 


T - funkcja skalarna 

d – infinitezymalny element objętości (d = dx dy dz) 

Przykład: T –gęstość materii; całka objętościowa = całkowita masa 

Całki objętościowe z funkcji wektorowych: 


Przykład: Całkowanie po Objętości 

we Współrzędnych Sferycznych 

 

Całkowanie po objętości we współrzędnych kartezjańskich 

= mnożenie funkcji podcałkowej przez element objętości dxdydz i zsumowanie tego 

iloczynu po wszystkich infinitezymalnych przyczynkach 

 

Ta „prosta” procedura może okazać się bardzo skomplikowana jeśli funkcja F zależy 

w skomplikowany sposób od współrzędnych (x,y,z) i/lub gdy granice całkowania nie 

są prostymi funkcjami x,y,z 

 

Przykład: policzmy objętość kuli stosując współrzędne kartezjańskie 

 

Znacznie wygodniej jest prowadzić rachunek we współrzędnych sferycznych 




 

 

W tym celu trzeba wyrazić infinitezymalny element objętości dV we współrzędnych 

sferycznych. 

można wykorzystać fakt, iż objętość rozpięta na prostopadłościanie o bokach 

odpowiadających trzem wektorom a,b,c, wyraża się wzorem: 

 

Przy transformacji współrzędnych: 

Element objętości dV zmienia się według formuły: 

J – Jakobian przekształcenia współrzędnych 




Jakobian jest równy iloczynowi czynników skali 

Przykład dla współrzędnych sferycznych (wersja 2) 


Folie zapasowe

Metody matematyczne fizyki

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?